respuesta de sistemas de control discreto y ad

5/9/2018 Respuesta de Sistemas de Control Discreto y ad - slidepdf.com

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RESPUESTA DE SISTEMAS DE

CONTROL Y ESTABILIDAD

Tema 4



Indice

Respuesta Temporal

Mapeo del Plano s al Plano z

Especificaciones de Respuesta

Transitoria y Permanente Estabilidad. Transformación Bilineal

Lugar de las Raíces en z Respuesta en Frecuencia



Respuesta Temporal

Considerando un sistema de control muestreado en lazo cerrado

la respuesta ante la señal de entrada será

G s( )

T

E s( ) E z( )

H s( )

C z( ) R s( ) +

-T

C zG z R z

GH z

k z z

z p

R z

i

m

i

n( )( ) ( )

( )

( )

( )

( )=⋅

+=

⋅ −

−⋅

∏

∏

1



Respuesta Temporal

Realizando la descomposición en fracciones simples

Las n fracciones representan la respuesta transitoria debida a lospolos del sistema en bucle cerrado, pues cada polo p i contribuye

y su numero y colocación es crítica de cara a establecer larespuesta transitoria del sistema.

El término C R (z) representa la respuesta permanente debida a

los polos de la función de entrada R(z).

C z

k z

z p

k z

z p C zn

n R( ) ( )=

⋅

− + +

⋅

− +1

1 K

Z k z

z pk p u k

i

i

i i

k − ⋅−

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

= ⋅1( ) ( )




Las variables s y z están relacionadas a través del mapeo

Conocidos los efectos de la colocación de polos en el plano s , sepuede determinar los efectos correspondientes de la colocaciónde polos en el plano z .

Para

Por tanto, polos y ceros en s , cuyas frecuencias (ω ) difieren en2π /T son mapeados en las mismas localizaciones en z , es decir,

la correspondencia no es única.

z eTs=

s j= +σ ω

z e e e e e

T j T j T T j T k

= = ⋅ = ⋅

+ +( ) ( )σ ω σ ω σ ω π 2




1

z

0

s

EL semiplano izquierdo de s se transforma en el interior delcirculo unidad en z, siendo la circunferencia unidad la imagen del

eje s = j ω

Por tanto, para que un sistema discreto LTI sea estable, los polosdel sistema han de estar situados en el interior del círculo unidad.




Cada banda de anchura ωs se mapea en el círculo unidad. A laprimera banda se le llama banda primaria, y al resto bandas

complementarias. Esto prueba la no unicidad del mapeo s->z




Transitoria y Permanente

Respuesta Transitoria

Las especificaciones de respuesta transitoria vienen dadas porlos valores de tiempo de subida, sobreoscilación y tiempo de

establecimiento, relacionados con ξ y ω n (sistema dominante 2ºorden).

Los valores de ξ y ω n determinarán la ubicación de los polos LC

en el plano z que satisfagan el transitorio. Es posible obtenerdiferentes lugares geométricos en el plano z usando . z e

Ts=





Abaco con los lugares de ξ y ωn constante (en función de ωs),




Transitoria y Permanente El efecto sobre la respuesta transitoria de una determinada

ubicación de polos en z que cumpla las especificaciones se

puede ver examinando la correspondencia entre la situación depolos en s y los polos en z





E ifi i d R




Transitoria y Permanente La respuesta transitoria depende también de T , pues la ubicación

de los polos es . El valor de T debe cumplir

el teorema del muestreo no habiendo ningún polode la ecuación característica con pues habría solape y

la situación de polos y ceros original será cambiada

z e e esT T j T = = ⋅σ ω

s j1 1 1= +σ ω ω

ω 1

2> s

E ifi i d R t




Transitoria y PermanenteRespuesta Permanente

Considerando el sistema de control digital LC, y suponiendo elsistema estable para poder obtener valores en régimenpermanente, se va a ver el valor del error en régimenpermanente e(kT) ante diferentes referencias.

e t ( ) e t *( )

T

c t ( )G s p ( )

1 − −e

s

Ts u t ( )r t ( )

b t ( )

+

-

H s( )

E ifi i d R t



Especificaciones de RespuestaTransitoria y Permanente

El sistema viene dado por la función de transferencia en lazocerrado

La señal de error E(z) será

e lim e t lim e kT lim z E zss t k z

∗

→∞

∗

→∞ →

−= = = − ⋅( ) ( ) (( ) ( ))1

11

C z

R z

G z

GH z

( )

( )

( )

( )

=

+1

E z R z B z R z GH z E z( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= − = − ⋅

e lim zGH z

R zss z

∗

→

−= − ⋅+

⋅⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

1

11

1

1( )

( )( )

E ifi i d R t




1. Escalón: (error posición)

2. Rampa: (error velocidad)

e lim zGH z z

limGH zss z z

∗→

− − →= − ⋅ + ⋅ −⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥ = +11

11

11

1

1

1

1

1( )

( ) ( )

K lim GH z eK

p z ss

p

= ⇒ =+→

∗

1

1

1( )

( )e lim z GH z

T z

z lim

T

z GH zss z z

∗

→

−−

− → −= − ⋅ + ⋅

⋅

−

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ = − ⋅1

1

1

1 2 1 11

1

1 1 1( ) ( ) ( ) ( )

v

ss zv

K e

zT

zGH zK

1)()1(lim

1=⇒

⋅−= ∗

→

Especificaciones de Resp esta




Los sistemas en tiempo discreto pueden ser clasificados según elnúmero de polos en z = 1 (integradores en el lazo GH ), tal que

para un sistema general

el sistema será tipo N , que indicará el valor de K p y K v.

El significado físico de las constantes de error estático es el

mismo que el visto en tiempo continuo, excepto que estas daninformación solo en los instantes de muestreo.

GH z z

A z

B z N ( )

( )

( )

( )=

−⋅

1

1



Estabilidad. Transformación Bilineal

La estabilidad de un sistema de control muestreado estáasegurada si se cumple que las raíces de la ecuación

característica están en el interior del círculo unidaden el plano z .

El estudio de la estabilidad se va a hacer usando técnicas que

eviten el cálculo de las raíces de la ecuación característica:

1. Criterio de Jury

Maneja la ecuación característica directamente en z , esto es,

1 0+ =GH z( )

1 01

1

1 0+ = = ⋅ + ⋅ + + ⋅ + >−

−GH z Q z a z a z a z a an

n

n

n

n( ) ( ) ,K




A partir de los a j , se forma un arreglo

ba a

a ak

n k

n k

=−0

cb b

b bk

n k

n k

= − −

−

0 1

1




Las condiciones de estabilidad para Q(z) son 1.

2. 3. , , , … ,

Si 1 y 2 no se cumplen, no se seguirá adelante (ni siquiera seconstruirá el arreglo), ya que el sistema será inestable.

2. Criterio de Routh

Se usa el mismo criterio definido para sistemas continuoshaciendo uso de la llamada transformación bilineal que mapea elplano z en w , transformando el círculo unidad en z en el ejeimaginario en el plano w ( j ν ), para así poder aplicar el criterio deRouth a la ecuación característica .

Q( )1 0>

( ) ( )− ⋅ − >1 1 0

n

Qa an0 < b bn0 1

> − c cn0 2> − 20 mm >

1 0+ =GH w( )




Esta transformación bilineal viene dada por

Para el círculo unidad,

wT

z

z z

T

wT

w

= ⋅ −+

⇒ = + ⋅

− ⋅

2 1

1

1 2

12

z e j T

=ω

)2tan(

2

T T jw ω =⇒




La relación entre la frecuencia ν y la frecuencia ω, en los planosw y s es

Para valores deω

pequeños

esto es, valido para

)2 / tan(2 T T

j jw ω ν ==

ν ω ω

ω = ≈ ⋅ =2

22

2T tan T

T

T ( / )

ω π ω

π ω T

T

s

2 10

2

10 10≤ ⇒ ≤

⋅=



Lugar de las Raíces en z

El método del lugar de las raíces (LR) desarrollado para sistemascontinuos es extensible a sistemas discretos, excepto que la

región de estabilidad límite cambia del eje jω al círculo unidad enz .

Esto es así porque la ecuación característica para STD tiene la

misma forma que en STC, esto es

No obstante, la localización de los polos en bucle cerrado queobtiene el LR en el plano z debe ser interpretada de formadiferente a la del plano s .

0)(1 =⋅+ zGH K



Lugar de las Raíces en z

El T afecta al trazado del

lugar de las raíces

Para un valor crítico de K

dado, si aumenta T elsistema será menosestable, incluso inestable.

Análogamente, sidisminuye T , la K crítica esmayor



Respuesta en Frecuencia

Si la entrada a un sistema discreto es una señal senoidal de

frecuencia ω, la respuesta en régimen permanente es también

una señal senoidal de la misma frecuencia.

Igual que la respuesta en frecuencia del STC era

la del STD es , periódica en ω con periodo ωs

c kT ( )u kT ( )G z( )

⇒= )()( kT senkT u ω c kT G e kT G e j T j T

( ) ( ) sen( ( ))= + ∠ω ω ω

G j G ss j

( ) ( )ω ω = =

G e G z j T

z( ) ( )

ω ==1




El desarrollo de técnicas de compensación en la respuesta enfrecuencia, hace necesario el uso más que de G(z) con

de G(w) con , por medio de la transformación bilineal.

De esta manera, es posible representar , y

frente a log ν mediante diagramas de Bode.

Hay que señalar que el Bode de presentaparticularidades, en concreto, es constante al estar

limitada , que corresponde a .

Además, la transformación bilineal hace G(w) sea una función detransferencia de fase no mínima.

z e j T = ω

w j= ν

G j( )ν ∠G j( )ν

lim Gγ

ν →∞

( )ν jwwG =|)(

0 2≤ ≤ω

ω s0 ≤ ≤ ∞ν




)924.0()14.12()2(0381.0)(

+⋅+⋅−⋅=

wwwwwG

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