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Cátedra de Teoría de Circuitos Apunte de Respuestas Forzadas y Transitorias: Método Operacional

1 de 27 (Versión 23/4/11)

Respuestas forzadas y transitorias: Método operacional 1. Una introducción al método operacional Para ayudar a introducirse al método operacional de análisis de transitorios aplicado a circuitos lineales, vamos a refrescar algunas aplicaciones como por ejemplo logaritmos. Los logaritmos representan un método para simplificar la manipulación de números que contienen muchos dígitos o decimales (en la multiplicación, división, potenciación o radicación). Así, la multiplicación se reducía a la suma de los logaritmos de los números que se quería multiplicar, y la división a la resta de los logaritmos de los números involucrados. Dado que cada número tiene su propio logaritmo, podemos decir que el logaritmo es la transformada de un número. Por ejemplo 0,310103 es la transformada (logaritmo) de 2 en base 10. Otra ocasión en la que usamos transformadas es en análisis de redes por el método simbólico, en el que un número complejo representa la transformada de una función armónica del tiempo. Por ejemplo el complejo I representa la corriente sinusoidal Im.sen

(wt+φφφφ) Una diferencia importante es que mientras que el logaritmo representa un número, el complejo representa una función temporal. Así como los logaritmos simplifican las operaciones con números, los complejos simplifican la manipulación de funciones sinusoidales de forma que los circuitos con corrientes armónicas pueden analizarse con métodos aplicables a sistemas de corriente continua. En el método operacional de análisis transitorio que estudiaremos para cada función del tiempo habrá una función transformada en la variable s. Inversamente, para cada función de s existe una función del tiempo. Esta conversión de función del tiempo en función de s se hace mediante la Transformada de Laplace. Se verá que este método reduce la diferenciación a multiplicación y la integración a división. 2. Definición La transformada de Laplace es:

( ) ( ) ( ) L ∫∞

−==0

dttfesFtf st [1]

donde s, para la aplicación en teoría de circuitos, es la pulsación compleja:

s= σ+jω y F(s) es la imagen o transformada. La condición para que exista la integral de Laplace es que converja. Para ello es necesario que:


2 de 27 (Versión 23/4/11)

a) f(t) sea continua en cada intervalo finito (significa que el intervalo pueda dividirse en un número finito de subintervalos en los que la función sea finita y en cuyos extremos f(t) tenga límites a su derecha y a su izquierda).

b) f(t) sea de orden exponencial, es decir, que tAetf α<)( , para todo t>t0 con A y t0

positivos.

Entonces, la transformación integral es convergente para todo σ>α y existe F(s). Todas

las funciones circuitales cumplen con a) y b). 3. Transformadas

( ) ( ) L ∫∞

− ==0

1

sdttheth st ⇒

sh(t)

1=L [3]

donde h(t) es el escalón unitario.

as

eat

−=

1L [4]

con “a” real o imaginario.

( )

++

−=

+=

−

ωωω

ωω

jsjs

eet

jj 1

2

11

2

1

2LcosL ( )

22cosL

ωω

+=s

st [5]

( )22

.Lω

ωω

+=s

tsen [6]

pues la transformada es una función lineal:

( ) ( )sFAtfA iiii ∑∑ =L

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∞ ∞

+−−−− +===0 0

αααα sFdttfedttfeetfe tststtL

( ) ( )αα +=− sFtfe tL [7]

Un desplazamiento o traslación en el plano s corresponde a un amortiguamiento en el tiempo.

( )( ) 22

cosωα

αωα

++

+=−

s

ste tL [8]

por aplicación de lo anterior.


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( )( ) 22

senωα

ωωα

++=−

ste tL [9]

El diagrama de polos y ceros de las transformadas anteriores se muestra en la Figura N°1. Es útil para antitransformar por fracciones parciales (se verá más adelante) y para analizar la estabilidad de una respuesta.

Figura N°1: Polos y Ceros de F(s)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∞ ∞

−− −=−−=−−0 0

L dtatfedtatfatheatfath stst

ya que h(t-a)=1 para t>a y vale 0 para t<a

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∞

−+− ==−−0

' ''L sFedttfeatfath saats

( ) ( ) ( )sFeatfath sa−=−−L [10]

pues h(t-a)=1, y es nula entre 0 y a (Figura N°2), siendo t’=t-a.

Figura N°2

h(t)

t

h(t-a)

t’

a


4 de 27 (Versión 23/4/11)

Por lo tanto, una traslación en el tiempo da lugar a un amortiguamiento en el plano s. 3.1. Transformada de la función Impulso

( ) ( ) ( ) ( )[ ] 101

0

00

0

0

=−====

+

−

+

−∫ ∫∞

−−− thedtdt

tdhedttet stststδδL [11]

3.2. Transformada de la derivada (ver apunte separado Ing. Kisielewsky sobre 0+ y 0-)

( ) ( )[ ] ( )( ) ( )+

∞−∞−

∞− −=−−== ∫∫ 0)(L

0

0

0

fssFdtestftfedtdt

dfe

dt

tdf stst

dv

u

st

321

( ) ( )+−= 0)(L fssFdt

tdf [12]

donde f(0) representa las condiciones iniciales y es el límite de f(t) cuando t se aproxima a cero desde valores positivos. Omitiremos el signo + en 0+ por sencillez.

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )0'00'00' 22

2

fsfsFsffssFsfdt

dfsL

dt

df

dt

dL

dt

fdL −−=−−=−==

( ) ( ) ( )

−−=

s

f

s

fsFs

dt

fd 00'2

22

2

L [13]

y, en general:

( ) ( ) ( )( ) ( )

−= ∑

=

−n

ii

inn

s

fsFstf

1

1 0L [14]

3.3. Transformada de la integral:

( )( )( ) ( )

s

sF

s

fdttf

t

+=

−

∞−

∫01

L

siendo f(-1) la función primitiva 3.4. Transformada de una potencia:

2

1L

st =


5 de 27 (Versión 23/4/11)

:s

Lt general eny 23

2 =

1

!+

=n

n

s

ntL

4. Teorema de unicidad Dada una F(s) habrá una única f(t) que sea su antitransformada. 4.1. Teoremas del Valor inicial y del Valor final

( ) ( ) ( )00

fssFdfedt

tdf st −== ∫∞

−L

por lo tanto:

( ) ( ) ( ) ( )00000 0

fffdfelimssFlim st

ss =+=+= ∫∞

−∞→∞→

( ) ( )0fssFlims =∞→ , teorema del valor inicial

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∞=+−∞=+= ∫∞

−→→ fffffdfelimssFlim st

ss 0000

00

( ) ( )∞=→ fssFlims 0 , teorema del valor final

pero sujeto a ciertas condiciones:

si F(s)=N(s)/D(s), las raíces de D(s)=0 deben tener todas parte real negativa.

4.2. Ejemplo N°1

=)(tf teα con α>0 ∴ f(∞)=∞

Las

esF at

−==

1)()( y, según el teorema del valor final:

0)(. )( 0s0s =−

==∞ →→as

slimsFslimf

lo cual no es correcto, dado que no se cumple la condición requerida. D(s) tiene raíz de parte real positiva. 4.3. Ejemplo N°2


6 de 27 (Versión 23/4/11)

=)(tfte α− sen(ωt)⇒f(∞)=0

0)(

. )(.)f(

)()(

220022=

++==∞∴

++= →→

ωα

ω

ωα

ω

s

slimsFslim

ssF ss

Cumple, pues las raíces tienen parte real negativa. Los circuitos eléctricos pasivos disipativos siempre cumplen dicha condición. Estas propiedades permiten verificar las condiciones iniciales y el régimen permanente sin hallar la antitransformada.


7 de 27 (Versión 23/4/11)

5. Ley de Ohm operacional

Figura N°4

Dado un circuito RLC serie, donde:

( ) ∫∞−

++=t

dtiCdt

diLRitu .

1

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )

++−+=

++

s

q

s

sI

CissILsRIsU

010

y, como L.i(0+)= L.i(0-)=λ(0): flujo concatenado inicial, queda :

)(

)()(

sZ

sEsI = [19]

con E(s) función excitación y Z(s) función impedancia. En Z(p) se reemplaza p por s :

( ) ( ) ( ) ( )sC

qsUsE

.

00 −+= λ ; ( )

CsLsRsZ

1++=

donde E(s) es la función excitación y Z(s) es la función impedancia Las condiciones iniciales se pueden representar por generadores asociados a L y C, donde L y C se hallan relajados.

δ

Figura N°5


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5.1. Unidades en el campo transformado

[ ] ( )[ ] segV

seg

VsU

segs ⋅=⇒∴⇒

11

También surge de la definición:

( ) ( ) ( )∫

∞−==

0.

][ seg

unid

sin

st

V

dtetutusU L

Análogamente:

[ ] Ω⇒Z ; [ ] segAsI .)( ⇒ ; [ ] Ω=⇒ 1

óA

V

A

A

segHLs

pues, según la ley de Faraday : u=L.di/dt ó:

][

]].[[][

Seg

AHV =

( )[ ] segVseg

segAHiL ⋅=⋅⋅⇒0.

( )segV

seg

V

s

uc ⋅=⇒

1

0

5.2. EJEMPLO N°3 (en este ejemplo anticipamos el método de antitransformación por igualación de coeficientes):

Ω ⇒

Ω

Ω

Ω

Figura N°6

∴+

++=

++=

+

+=

+

+=

+

+=

)10.(

).(.10

10)10.(

5.4

).10(6.0

)5.(4,2

6.06

4,212

)(10010

ss

sAAA

s

A

s

A

ss

s

ss

s

s

ssI


9 de 27 (Versión 23/4/11)

igualando coeficientes:

2

2

2010

4

1

0

0

10

=

=

=

=+

A

A

A

AA

que verifican la expresión original, por lo tanto,

tetiss

sI 1022)(10

22)( −+=∴

++=

6. Antitransformadas Una vez hallada F(s) hay que determinar su antitransformada: f(t)=L-1F(s). Es la parte más difícil del problema. El método de apariencia más simple, consiste en recurrir a la tabla de transformadas o diccionario de imágenes. También puede aplicarse el procedimiento matemático general, pero la expresión que queda es sumamente compleja de resolver, por lo que será mejor aplicar los métodos que se exponen a continuación. En general F(s) será una relación de polinomios (fracción o función racional) y usualmente se la separa en fracciones simples para su posterior tratamiento, F(s) = N(s)/D(s). Además, con frecuencia, el grado del denominador será mayor que el del numerador. Si esto no es así, para realizar la separación en fracciones simples, se deberá dividir el numerador N(s) por el denominador D(s) para producir un polinomio en “s” y un resto, que será un cociente de polinomios en “s” cuyo denominador será de mayor grado que el numerador. Según las raíces del denominador, D(s)=0, se pueden presentar varios casos: 6.1. Raíces simples (R.S) Considérese F(s) escrita en su forma factorizada:

( )))...()((

))...()((

)(

)(

21

21

n

m

ssssss

zszszsK

sD

sNsF

−−−

−−−== para m<n

donde s1,s2,... son polos de F(s). Si éstos son distintos, puede expandirse en una suma de fracciones simples del siguiente modo:

( )n

n

ss

A

ss

A

ss

AsF

−++

−+

−= ...

2

2

1

1 [16]

en donde Ak (k=1,2,...,n) son constantes. El coeficiente Ak se denomina residuo del polo en s=sk. El valor de Ak se encuentra multiplicando ambos miembros de la ecuación [16] y haciendo el límite para “s” tendiendo a “sk”:

( ) ( ) ( ) ( ) kk

n

n

k

k

k

kssss Assss

Ass

ss

Ass

ss

A

sD

sNsks

kk=

−

−++−

−++−

−=

− →→ ......lim

)(

)(lim

1

1


10 de 27 (Versión 23/4/11)

Se observa que todos los términos del segundo miembro tienden a cero con excepción del de Ak. Por lo tanto, el residuo Ak se encuentra a partir de:

( ) ( ) ( )( )( )sD

sNsssFssA ksskssk kk

−=⋅−= →→ limlim

6.2. Raíces múltiples En lugar de analizar, el caso general, se utilizará un ejemplo para mostrar cómo obtener la expansión en fracciones simples de F(s). Considérese la siguiente F(s):

( )( )32

1

32

+

++=

s

sssF

La expansión en fracciones simples de esta F(s) involucra tres términos:

( ) ( )( ) ( ) ( )3

32

21

111)( ++

++

+==

s

B

s

B

s

B

sD

sNsF

en donde B1, B2 y B3 se determinarán del siguiente modo. Si se multiplica ambos miembros de esta última ecuación por (s+1)3, se tiene que:

( ) ( ) ( ) ( ) 322

13 11

)(1 BsBsB

sD

sNs ++++=+ [17]

y tomando límite para “s” tendiendo a “-1” resulta que:

( )( )

( ) ( )[ ] 3322

113

1 11lim)(

1lim BBsBsBsD

sNs ss =++++=

+ −→−→

Además, la diferenciación de ambos miembros de la ecuación [17] con respecto a “s” produce:

( )( )

( ) 213 12

)(1 BsB

sD

sNs

ds

d++=

+ [18]

y tomando límite para “s” tendiendo a “-1” se obtiene que:

( ) ( ) ( )[ ] 22113

1 12lim)(

1lim BBsBsD

sNs

ds

dss =++=

+ −→−→

A su vez, la diferenciación de ambos miembros de la ecuación [18] produce:

( )( )

13

2

2

2)(

1 BsD

sNs

ds

d=

+


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A partir del análisis precedente, se observa que los valores de B3, B2 y B1 se encuentran sistemáticamente del modo siguiente:

( )( ) ( ) 232lim)(

1lim 21

313 =++=

+= −→−→ ss

sD

sNsB ss

( ) ( ) ( ) ( ) 022lim32lim)(

1lim 12

13

12 =+=

++=

+= −→−→−→ sss

ds

d

sD

sNs

ds

dB sss

( ) ( ) ( ) ( ) 122

1lim32

!2

1lim

)(1

!2

1lim 1

21

3

2

2

11 =

=

++=

+= −→−→−→ sss ss

ds

d

sD

sNs

ds

dB

Y de este modo se obtiene:

[ ]( ) ( )

( ) ttt etetes

Ls

Ls

LsFLtf −−−−−−− +=++=

++

++

+== 22

3

1

2

111 101

2

1

0

1

1)()(

para 0≥t Del análisis anterior se puede establecer la siguiente fórmula de recurrencia para N genérico:

( ) ( )[ ]44 344 21

mismoelsiempre

N

km

m

sskj sFssds

dlim

mA

k−⋅= →!

1 [21]

Con j= N, ..., 2, 1 y m=0, 1, 2, ...,N-1 6.3. Ejemplo Nº4

2)17143(!1

1

1)17143(

17143)()2()2(

17143)(

2212

2213

233

2

=++=

=++=

++=+∴+

++=

−→

−→

ssds

dlimA

sslimA

sssFss

sssF

s

s

)2(

3

)2(

2

)2(

1)(

3)17143(!2

1

23

22

2

211

++

++

+=∴

=++= −→

ssssF

ssds

dlimA s


12 de 27 (Versión 23/4/11)

6.4. Ejemplo Nº5

( )

( ) ( )21

2

2)(

1)4(A ; 2)4(2

4)(

2

2112122

++

+=∴

=+==+=⇒+

+= −→−→

sssF

sds

dlimslimA

s

ssF ss

si se desea la antitransformada se aplica:

( ) : eL ; L t- resulta que lo con)()(.!

)(1

αα +==+

sFtfs

nt

n

n

( )( )

ttt etetfs

te 222

..2)(1

. −−− +=∴+

= Lα

α

6.5. Raíces complejas simples Este caso, en esencia no es diferente a los anteriores. Esto se ilustra en el siguiente ejemplo. 6.6. Ejemplo Nº6

( )( )( )322

523)(

)3)(4(

523)(

2

2

2

−−+

+−=

−+

+−=

sjsjs

sssF

ss

sssF

Se calculan los residuos para los diferentes polos:

( )( )

( )

41

21

208

52104

14464

48328456

128

128

128

47

128

47

128

5412

324

5423

)3(2

523lim)(Re

22

22

jjjj

j

j

j

j

j

j

j

j

jj

jj

sjs

sssFs jsjs

−=−

=+

++−=

=−

−⋅

+

+=

−−

−−=

−−

+−−=

−

+−=

−+

+−= →=

( )( ) ( )

( )

41

21

208

52104

14464

48328456

128

128

128

47

128

47

128

5412

324

5223

)3(2

523lim)(Re

22

22

jjjj

j

j

j

j

j

j

j

j

jj

jj

sjs

sssFs jsjs

+=+

=+

+−−=

=+

+⋅

−

−=

+−

+−=

+−

++−=

−−

+−−−=

−−

+−= →−=

( )2

13

5627

49

53293

4

523lim)(Re

2

2

33 =+−

=+

+×−×=

+

+−= →=

s

sssFs ss

( ) ( ) ( ) jttjtejejetf223

41

21

41

212 −+++= −


13 de 27 (Versión 23/4/11)

( ) ( ) ( )tsentetft 22

12cos2 3 ++=

Figura N°7

Entonces:

pasivoscircuitosendáse no creciente,función

32)2arctg2sen(2

5)( tettf ++=

6.7. Ejemplo Nº7

42)´(;42s0D(s) )(

)(

204

35)( 1,22

+=±−=⇒==++

+= ssDj

sD

sN

ss

ssF

Se puede desarrollar en 2 formas: 6.7.1. Por el Teorema de descomposición

jjDyjjD 8)42´(8)42´( −=−−=+−

207)()N(s ;2073)42.(5)N(s 1*

21 jsNjj −−==+−=++−=

)3,194(3,5)(

4544

7)(

)(8

20)(

8

7.

8

207.

8

207)(

2

2

44442).42().42(

+=

+−=

++−

−=

−

−−+

+−=∴

−

−

−−−−−+−

tCosetf

tCostSenetf

eeeej

eej

je

j

jtf

t

t

jtjtjtjtttjtj

θ

Figura N°8


14 de 27 (Versión 23/4/11)

6.7.2. Mediante descomposición de la Función Transferencia en fracciones simples

)º3.194cos(..30,54sen4

74cos.5)(

162)(s

4

4

7

162)(s

2s5 )(

16)2(

7)2.(5

44204

35)(

22

22

22

+=

−=

∴++

−++

+=

++

−+=

−+++

+=

−− tettetf

sF

s

s

ss

ssF

tt

6.8. Raíces complejas múltiples

( ) ( )

( ) ( ) ( )bass

bsa

bass

bsa

bass

sNsF

n

nn

n ++

++⋅⋅⋅+

++

++⋅⋅⋅=

++⋅⋅⋅=

211

22 [23]

El orden será: 2n raíces 7. Teorema o fórmula de conexión Posibilita, por ejemplo, el cálculo cómodo de una respuesta del sistema. Son restricciones para su aplicación que las raíces de D(s)=0 de la transferencia correspondiente a esa respuesta sean simples y ninguna igual al exponente de la excitación. Dado un circuito pasivo, relajado, con excitación exponencial (si hubiera varias fuentes o condiciones iniciales no nulas se aplicará superposición); para la respuesta en una cierta rama:

( ) ( )( )

( )( )

( ) ( ) ( )( )sD

sNsEsR

sD

sN

sE

sRsT ⋅=∴==

Figura N°9

( ) [ ] :como y L siα

α

−==s

EEesE t.

( ) ( ) ( )nsssssD −⋅⋅⋅−= 1

descomponiendo en fracciones simples:

( ) ( )( )

0)D(s) de raíces (s 1

k =−

+−

=⋅−

= ∑=

n

k k

k

ss

A

s

A

sD

sN

s

EsR

ααα

pero:


15 de 27 (Versión 23/4/11)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( )α

α

ααα ααα

D

NE

sDs

sNEslimsRslimA ss ⋅=

−

⋅⋅−=−= →→

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )kk

kksskssk

sDs

sNE

sDssD

sNsssNlimE

sDs

sNEsslimA

kk ''

'

ααα −⋅=

−+

−−⋅=

−

⋅⋅−= →→

( ) ( )( )( )

( )( ) ( ) libref

tsn

k kk

k rresDs

sNE

D

Ntetr k +=⋅

−

⋅+⋅=∴ ∑

=1 'αα

α [24]

Para el caso de corriente continua:

0=α ( ) ( )( )

( )( )

ts

kk

k kesDs

sNE

D

NEtr ⋅

⋅

⋅+⋅= ∑

'0

0 [25]

7.1. Ejemplo Nº8 Hallar i(t):

Figura N°10

RCeti

RCacon

asRs

RC

RC

CsI

s.

RCs

CsT(s).U(s)I(s)

susU

RCsD(s)

RCs

CssT

RCp

Cp

CpRu

i

te

trpT

t

==

−=−

=

+

=

+==

∴===⇒

−=⇒=+

=⇒

+=

+===

−

ττ.2)(

11101110

)(

10

1

10)10()(

10

1)(

11

1

)(

)()(

1

LL

;

Para el caso de corriente alterna:

ωα j=

( ) ( ) [ ] [ ]tjjtj eEeetEte ωδωδω ReRecos ==+= δjeEE .con = [26]

como ]. Re[e(t) tjeE ω= resulta que:


16 de 27 (Versión 23/4/11)

[ ])(Re 1. teeE tj −=ω

que tiene la misma forma que la excitación exponencial. A ella se aplica la ecuación general y luego:

( ) ( )[ ]sRtr Re=

7.2. Ejemplo Nº9 Hallar i(t)

Figura N°11

)2

cos(2150)(π

ω −= ttu con ω=103

[ ] 22 2150Re)2150(Re)(π

ωωπ

jtjtj

j

eEconeEeetu−

==

=

)s(

)s(

s

1

)s(

)s()s (

D

N

LRU

IT =

+== L)D´(sLD´(s) ; s0)s( ; 11 =⇒=−=→=

L

RD

1)N(s1 =⇒

Sabemos que:

)().()( ωωω jUjTjI = , entonces:

45

2.15

11)( je

LjRjT −==

+=

ωω

−+= tstj e

sDjs

sNejTEti 1

)´()(

)()(Re)(

11

1

ωω ω

−−

+=−−

−−

τ

πω

ω

tjj

tj

e

LjL

R

eeeti .

)(

1.150.2

15.2

1150.2Re)(

9045

)2

(


17 de 27 (Versión 23/4/11)

−−−=

−

+

−

−−τ

πω

t

j

tj

ej

jeti .

10.15.1015

150.210Re)(

)2

1

2

1.(10

33

)452

(

444 3444 21

−°−=

−τωt

etti .2

1)135cos(.10)(

8. Circuitos mallados Los circuitos mallados se pueden tratar reduciéndolos primero al circuito operacional y resolviendo, o planteando las ecuaciones en t, transformando y luego resolviendo. En ambos casos hay que hallar primero las condiciones iniciales. De acá en adelante se indicarán las variables transformadas con mayúsculas (p.ej. U) sin escribir expresamente que son funciones de s (p.ej. U(s)) 8.1. Ejemplo 10

Figura N°12

=++−

=−++

0)(

)(

22212

221121

ipLRiR

EiRipLRR

=++−

+=−++ +

0)(

)0()()(

22212

11221121

ILRIR

iLsEIRIsLRR

S

8.2. Ejemplo 11 8.2.1. Circuitos acoplados:

Ambos en convención consumidora:


18 de 27 (Versión 23/4/11)

++=

++=

22212

21111

)(

)(

ipLRMpiu

MpiipLRu

y si las condiciones iniciales son nulas:

++=

++=

22212

21111

)()(

)()(

IsLRMsIsU

MsIIsLRsU

Si se conecta en t=0, estando el secundario en cortocircuito y U1=cte(CC),

L1=100H, L2=1H, R1=10Ω, R2=0,1Ω, M=9.95 por lo tanto:

995.021

==LL

Mk

2

100).1(

2221122121

22

11

2

9975.0201)()( sssMLLsLRLRRRsLRMs

MssLR

k

321−

++=−+++=+

+=∆

∆

−=

∆

−=

∆

+

=

∆

+=

∆

+=

∆

+=

1

1

111

2

1122

22

1

1

95,90)(

)1,0()(0)(

Us

UMs

Mss

UsLR

sI

s

Us

s

UsLR

sLR

Mss

U

sI

20

05.00

2

1

−≅

−≅→=∆

s

s

05.0

05.0

20

05.01.0

)05.0)(20(

1.0

9975.0)( 1111

1+

−+

−=++

+=

s

U

s

U

s

U

ss

s

s

UsI

γβα ++=+−= −− )(05.01.0)( 05.020111

tt eeUUti (ver Figura N°15)

Análogamente se obtiene i2:

δε +=−= −− )(5.0)( 05.02012

tt eeUti (ver Figura N°14)

en donde:


19 de 27 (Versión 23/4/11)

==

==

s

s

2005.0

1

05.020

1

2

1

τ

τ

γ

β

α

=α+β+γ

δ

ε

Figura N°14 Figura N°15

Si las condiciones iniciales no son nulas, aparecen fuentes de cada lado. 8.3. Ejemplo 12 Inductancias en serie

Ω Ω

Figura N°16

Luego de abrir la llave:

−+

−+=⇒

+++=

0

2

5/60

1 )0()(1,0)0()(5,0)(1260

)()1,05,0()()75(60

issIissIsIs

dt

tditi

20

55

20)20(

1010

6,012

660

10

++=

++=

+

+=

+

+=

sss

A

s

A

ss

s

s

sI


20 de 27 (Versión 23/4/11)

teti 2055)( −+=∴

Podemos verificar este resultado utilizando el Teorema del valor inicial y el teorema del valor final:

5)(.lím)(10)(.lím)0(0

==∞==→∞→

+ sIsiysIsiss

Aplicando Laplace no es necesario tener en cuenta las concatenaciones de flujo. 9. Problema resuelto Calcular i(t) por el método de Laplace para el siguiente circuito (Ver Netushil-Strajov T.2, página. 283 y siguientes):


21 de 27 (Versión 23/4/11)

ω ψ)

Figura N°17

R=30Ω L=1H

C=100µF Solución

ss

EEpE

150)()( === L

Ai 10)0( += (+ por coincidir con el sentido adoptado de i)

Vuc 50)0( −= (- por ser opuesta a la caída que provoca i en c)

Con esto ya se puede establecer la ley de ohm operacional y también el esquema operacional equivalente (Figura N°18). Esquema operacional equivalente:

Figura N°18

1020050

10.1150)0(

)0()()(. +=−

−+=−+=ss

AHss

uLisEsE

ccalc

ss

ss

sCsLRsZ

4

6

1030

10.100.

11.30

1)( ++=++=++=

−


22 de 27 (Versión 23/4/11)

424 1030

10200

1030

10200

)(

)()(

++

+=

++

+==

ss

s

ss

s

sZ

sEsI

calc

9.1. Solución mediante el diccionario de imágenes Raíces del denominador:

s1,2=-15 ± j 99 Del diccionario, y desarrollando para el 1er término de I(s):

[ ] [ ]99

200)99sen(

1030

200

9975)99(

15

10

302

1030

200

2)()]sen([

1542

0

0

1

20

420

2

4220

22

0

20

2

00

2

tess

ssssste

t

t

−−

−

=++

==

=∴

=+

=∴

++=

+++=

++=

ω

ω

ω

α

ωα

α

ωαα

ω

ωα

ωωα

L

L

Para el 2° término de I(p):

[ ] [ ]

++−

++

+=

++

−+=

++

−−−

42421

421

421

1030

15

1030

1510

1030

151510

1030

10

ssss

s

ss

s

ss

sLLL

20

2220

202)(

)]cos([ωαα

α

ωα

αωα

+++

+=

++

+=−

ss

s

s

ste tL

=

=∴

=+

=∴

20

420

2 )99(

15

10

3022ω

α

ωα

α

[ ]

[ ] [ ]

antes) (comoetc , L

LL

L

20

2

00

1542

142

1

1542

1

)()sen(

:)99sen(99

15

1030

99

99

15

1030

15

)99cos(1030

15

ωα

ωωα

++=

=++

=++

=++

+

−

−−−

−−

ste

puestessss

tess

s

t

t

t


23 de 27 (Versión 23/4/11)

[ ] [ ] [ ]

−+=

+++

++=

++

+==

−−−

−−−−

)99sen(99

15)99cos(10)99sen(

99

200)(

1030

10

1030

200

1030

10200)()(

:

151515

421

421

4211

teteteti

ss

p

ssss

ssIti

Entonces

ttt

LLLL

+= − t)(t)(ei(t) t 99cos1099sen

99

5015

Como era de esperar, no hay componente de continua (ver Figura N°19).

-10

-5

0

5

10

15

0

0,0

1

0,0

2

0,0

3

0,0

4

0,0

5

0,0

6

0,0

7

0,0

8

0,0

9

0,1

0,1

1

0,1

2

0,1

3

0,1

4

0,1

5

0,1

6

0,1

7

0,1

8

0,1

9

0,2

t

i(t)

Figura N°19

9.2. Solución aplicando el teorema de descomposición

∑=

− ==n

k

ts

k

k kesF

sF

sF

sFtf

1 22

11

)(´

)(

)(

)()( 1L

con n : grado de F2(s), mayor que el grado de F1(s) sk: raíces de F2(s)=0

−=′=′

=++−=′

=−=−−+=

+=+−+=

−−=

+−=

+=′

++=

+=

198)()(

19830)9915(2)(

)(99050)9915(10200)(

99050)9915(10200)(

9915

9915

302)(

1030)(

10200)(

1222

12

1*

121

11

2

1

2

422

1

jsFsF

jjsF

sFjjsF

jjsF

js

js

ssF

sssF

ssF


24 de 27 (Versión 23/4/11)

( ) ( )[ ]t

tjtjtjtj

ttjtj

tjtjtsts

ej

eejj

eeti

eejejti

ej

je

j

je

sF

sFe

sF

sFti

1599999999

159999

)9915()9915(

22

21

12

11

2.2525,0.2

2.10)(

.52525,052525,0)(

198

99050

198

99050

)(

)(

)(

)()( 21

−−−

−−

−−+−

−−

+=

+++−=

−

−+

+=

′+

′=

tettti 15)]99sen(5050.0)99cos(10[)( −+=

Nota: i(t) se podría hallar por el doble de la parte real del 1er término. En efecto, dado: a = A + jB , es a + a* = ( A + jB ) + ( A – jB ) = 2.A Este es nuestro caso, pues las funciones de complejos conjugados resultan complejas conjugadas. Verifiquemos:

[ ])()99sen(.2525,0)99cos(52)(

))]99sen()99)(cos(2525,05[(.2)(

])52525,0[(.2])(´

)([.2)(

215

15

)9915(

12

112

Kjtjteti

tjtjeeti

ejeesF

sFeti

t

t

tjts

+−=

+−ℜ=

+−ℜ=ℜ=

−

−

+−

( ) tettti 15)99sen(505,0)99cos(10)( −+=

9.3. Solución por el método clásico

[ ]

+++−==

++=

=

+=

==

±−=±−=

⇒Ω>≅=

++=

−−

−

−

∫

)cos()sen()(.

)sen(

)sen(

1001

9915

302002

1

0

2,1

λωωλωα

λω

λω

ω

ωα

αα

α

α

teteACdt

duCi

tAeEu

Eu

tAeu

LC

jjp

ooscilatoriC

LR

idtCdt

diLiRE

ppt

ptc

pt

c

cf

pt

cn

p

c


25 de 27 (Versión 23/4/11)

+−==

−=

−−=⇒+=−=

)cossen(.10)0(sen

200

sen

50sen50)0(

λωλα

λλλ

p

c

ACi

EAAEu

∴==

=−

−=⇒

≅

−≅

°−=

−=+−

=⇒+−−==⇒

− 1,01000.10.100.

100020,0

200

98,0cos

20,0sen

3011

204,015500

99tg)

sen

cos9915(.20010)0(

4AC

A

Ci

λ

λ

λ

λλ

λ

[ ]

[ ]

[ ] tpppp

tpppp

tpp

etttt

ettttti

ettti

α

α

α

ωωωω

λωλωλωλω

λωλω

−

−

−

−++−=

−++−=

+++−=

)sen98.1cos7,9)cos3.0.(sen147

)sen.sencos..(cos9,9)sen.coscos..(sen15)(

)cos(99)sen(151,0)(

( ) tpp ettti 15)cos(10)sen(51,0)( −+= ωω

9.4. Solución mediante residuos

[ ][ ] [ ])9915(.)9915(

)20(10

1030

10200)(

42 jsjs

s

ss

ssI

+−−−−−

−−=

++

+=

Como:

2

2

1

1

11

1

))((

)(10)(

ss

C

ss

C

ssss

ZssI

−+

−=

−−

−=

calculando las constantes C1 y C2:

)(

)(10))((lím

21

11

11

ss

ZssssIC

ss −

−=− →=

→


26 de 27 (Versión 23/4/11)

Figura N°20

resulta: residuo en s1= -15- j 99:

2525,0599.2

995102 j

j

jC +=

−

+=

residuo en s2= -15 + j 99:

2525,0599.2

995102 j

j

jC −=

+=

Finalmente:

9915

2525,05

9915

2525,05)(

2

2

1

1

js

j

js

j

ss

C

ss

CsI

−+

−+

++

+=

−+

−=⇒

realizando la antitransformada:

[ ])(2525,0)(5)(

)2525,05()2525,05()(9999999915

)9915()9915(21

21

tjtjtjtjt

tjtjtsts

eejeeeti

ejejeCeCti

−++=

−++=+=

−−−

+−−−

[ ])99(505,0)99cos(10)( 15 tsenteti t += −

10. Bibliografía Nestushil-Strajov - Electrotecnia Tomo II


27 de 27 (Versión 23/4/11)

11. Indice

1. UNA INTRODUCCIÓN AL MÉTODO OPERACIONAL.................................................................................1

2. DEFINICIÓN...........................................................................................................................................................1

3. TRANSFORMADAS ..............................................................................................................................................2

3.1. TRANSFORMADA DE LA FUNCIÓN DE IMPULSO ......................................................................................................4 3.2. TRANSFORMADA DE LA DERIVADA ........................................................................................................................4 3.3. TRANSFORMADA DE LA INTEGRAL:........................................................................................................................4 3.4. TRANSFORMADA DE UNA POTENCIA: .....................................................................................................................4

4. TEOREMA DE UNICIDAD...................................................................................................................................5

4.1. TEOREMAS DEL VALOR INICIAL Y DEL VALOR FINAL ............................................................................................5 4.2. EJEMPLO N°1 ........................................................................................................................................................5 4.3. EJEMPLO N°2 ........................................................................................................................................................5

5. LEY DE OHM OPERACIONAL...........................................................................................................................7

5.1. UNIDADES EN EL CAMPO TRANSFORMADO ............................................................................................................8 5.2. EJEMPLO N°3 .....................................................................................................................................................8

6. ANTITRANSFORMADAS.....................................................................................................................................9

6.1. RAÍCES SIMPLES (R.S) ...........................................................................................................................................9 6.2. RAÍCES MÚLTIPLES ..............................................................................................................................................10 6.3. EJEMPLO Nº4 .......................................................................................................................................................11 6.4. EJEMPLO Nº5 .......................................................................................................................................................12 6.5. RAÍCES COMPLEJAS SIMPLES ...............................................................................................................................12 6.6. EJEMPLO Nº6 .......................................................................................................................................................12 6.7. EJEMPLO Nº7 .......................................................................................................................................................13

6.7.1. Por el Teorema de descomposición...........................................................................................................13

6.7.2. Mediante descomposición de la Función Transferencia en fracciones simples........................................14

6.8. RAÍCES COMPLEJAS MÚLTIPLES ...........................................................................................................................14

7. TEOREMA O FÓRMULA DE CONEXIÓN .....................................................................................................14

7.1. EJEMPLO Nº8 .......................................................................................................................................................15 7.2. EJEMPLO Nº9 .......................................................................................................................................................16

8. CIRCUITOS MALLADOS ..................................................................................................................................17

8.1. EJEMPLO 10.........................................................................................................................................................17 8.2. EJEMPLO 11.........................................................................................................................................................17

8.2.1. Circuitos acoplados: .................................................................................................................................17

8.3. EJEMPLO 12.........................................................................................................................................................19

9. PROBLEMA RESUELTO ...................................................................................................................................20

9.1. SOLUCIÓN MEDIANTE EL DICCIONARIO DE IMÁGENES..........................................................................................22 9.2. SOLUCIÓN APLICANDO EL TEOREMA DE DESCOMPOSICIÓN ..................................................................................23 9.3. SOLUCIÓN POR EL MÉTODO CLÁSICO ...................................................................................................................24 9.4. SOLUCIÓN MEDIANTE RESIDUOS ..........................................................................................................................25

10. BIBLIOGRAFÍA ...................................................................................................................................................26

11. INDICE...................................................................................................................................................................27

resp.temporal-met. operacional al 23-4-11 - …materias.fi.uba.ar/6509/resp.temporal-met....

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