Facultad de Ingeniera

Universidad Nacional de La Plata

ESTRUCTURAS IV

RESOLUCIN DE SECCIONES DE PARED GRUESA SOMETIDAS A TORSIN UTILIZANDO MICROSOFT EXCEL

Autores: Ing. Juan Julian Rimoli Ing. Juan Pablo Marquez Ing. Marcos D. Actis Ing. Alejandro J. Patanella

La Plata, 2001

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Resolucin de secciones sin agujeros sometidas a torsin utilizando Microsoft Excel

En la teora de torsin se dedujo la Ecuacin General de Torsin:

=+

=

=

=

GyF

xF

xF

yF

Gxy

yz

xz

yzxz

2

2

2

2

2

2 (1)

Siendo F la Funcin de torsin. Se vio tambin que el valor de F en el borde de la seccin debe ser constante. Por ser F una funcin potencial, en caso de secciones simplemente conexas, su valor en el borde puede ser arbitrariamente elegido, pero para que F corresponda a la solucin de la ecuacin de torsin, esta debe ser nula en el borde. Se define ahora una nueva funcin tal que:

222

2

2=

+

=

yx

GF

Ecuacin de Poisson (2)

Se puede observar que tiene las mismas propiedades que F en el borde. Ahora se plantear la resolucin aproximada de dicha ecuacin por diferencias finitas considerando derivadas primeras por izquierda y por derecha para la obtencin de las derivadas segundas, siendo 0 el punto en torno al cual planteamos dichas derivadas: y s s s x s

2

0 3 1

4

2

24

2

2

204321

2042

2

2

40

02

2031

2

2

30

01

=+++

+=

=

=

+=

=

=

s

sysy

sy

sxsx

sx

doreemplazan

Ahora, se despejar 0, sabiendo que esta relacin se debe cumplir para cada punto del mallado:

42 24321

0s++++= (3)

Se ver como se puede utilizar la expresin anterior para resolver un problema de torsin. Suponiendo que se tiene una seccin cualquiera, simplemente conexa, a la cual se le aplicar un mallado. Para todos los puntos exteriores del mallado se sabe que a partir de las condiciones de borde de la ecuacin de Poisson el valor de es constante, y que se debe asignarle el valor nulo; y para los puntos interiores, se sabe que es vlida la expresin (3). Entonces nos encontramos con la siguiente situacin: para un mallado de n puntos interiores, se tiene un sistema de n ecuaciones con n incgnitas, cuya resolucin da una solucin aproximada del problema de torsin. Dicha solucin ser ms prxima a la real cuanto menor sea el ancho de malla s asignado. A continuacin se explicar un mtodo muy sencillo para resolver el sistema de ecuaciones antes mencionado mediante la utilizacin de Microsoft Excel:

Ejemplo de aplicacin: Hallar los valores de la funcin para la siguiente seccin, segn el mallado dado: Lo primero que se debe hacer es escribir los valores que se conozcan de la funcin . Por ello se comienza por los puntos del contorno, en los cuales se verifica =0:

2,5cm S=0,5cm

5cm

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Hay que ubicar el ratn en la celda B2 e introducir en ella la ecuacin (2). Para ello, se debe indicar al Excel que se va a introducir una frmula agregando al comienzo de sta el signo igual. Como se est situado en B2, 1=C2, 2=B1,3=A2 y 4=B3.

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Esta frmula debe escribirse en todos las celdas interiores. Para facilitar esta tarea se proceder a rellenar el resto de las celdas con las frmulas correspondientes de acuerdo al siguiente procedimiento:

1) Apretar el botn izquierdo del ratn en B2 sin soltarlo. 2) Arrastrar el puntero hasta J6 con el botn apretado, y recin all soltarlo. 3) Seleccionar del men Edicin la opcin Rellenar hacia la derecha. 4) Seleccionar del men Edicin la opcin Rellenar hacia abajo.

Hasta ahora se ha obtenido lo siguiente:

Hasta el momento la mquina no ha hecho ninguna iteracin, as que se debe indicarle esto de la siguiente manera:

1) Seleccionar del men "Herramientas" la opcin "Opciones/Calcular". 2) Marcar el casillero "Iteracin". 3) Acotar el nmero de iteraciones y el error. 4) Pulsar aceptar.

Ya se tiene el sistema resuelto. A partir de este momento se puede graficar los valores

obtenidos en un grfico del tipo de curvas de nivel, como sigue: 1) Apretar el botn izquierdo del ratn en A1 sin soltarlo. 2) Arrastrar el puntero hasta K7 con el botn apretado, y recin all soltarlo. 3) Pulsar la tecla del Asistente para Grficos. 4) En Tipo de grfico seleccionar Superficie. 5) Pulsar Siguiente tantas veces como sea necesario y luego pulsar Terminar.

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Para obtener la integral de la superficie anterior se puede utilizar el mtodo de Simpson en 2 dimensiones, o se puede recurrir a un mtodo ms simple, el cual consiste en sumar todos los valores de y multiplicarlos por h2.

=A

T dydxFM 2 = GF 2hGA

jj =

Si se quieren encontrar las tensiones en la seccin se deben realizar las derivadas correspondientes.

xF

yF

yz

xz

=

=

hdx

d iii

= +2

11 hdy

d jjj

= +2

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Para obtener una mayor precisin en los bordes, ya que estas ecuaciones tienen mucho error en los bordes de el perfil, se debera utilizar la derivada con error de segundo orden hacia adentro del perfil.

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Perfil con agujeros sometido a torsin calculado por el mtodo directo mediante Microsoft Excel

Las ecuaciones que representan el fenmeno de torsin en perfiles con agujeros son las siguientes:

N-1

1

2 dn i

N

y

x

ds i

022 =+ (4) =i

iAdsdnd 2 (5) Ni ....2,1=

Donde:

= GF

dydF

xz = dxdF

yz = i: identificador del agujero. N: nmero de agujeros. Ai: rea del agujero i. : giro de la seccin por unidad de longitud. G: mdulo de corte del material del perfil. La ecuacin (4) se aplica en la regin material que ocupa la seccin, o sea, el rea donde no hay agujeros. La integral (5) se realiza sobre el permetro de cada agujero. Dentro del agujero tiene un valor constante B(i). En los bordes exteriores del perfil el valor de es cero. El momento torsor que soporta el perfil se puede calcular mediante: =

AT dydxFM 2

Las ecuaciones anteriores se pueden transformar a ecuaciones en diferencias finitas. De esta forma se pueden encarar el problema de la distribucin de tensiones en una seccin con agujeros para un perfil de forma arbitraria. La ventaja de este mtodo reside en que la ecuacin (1) no presenta dificultades de resolucin an cuando las condiciones de borde no sean simples. Adems, evitamos resolver complejas integrales que pueden surgir del planteo de la ecuacin (2) para el caso de secciones gruesas de formas elaboradas. La principal

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desventaja de este mtodo es que los resultados no son exactos. Debido en parte a que las ecuaciones utilizadas no son exactas y a la dificultad de representar el contorno de un perfil con muchas curvas Pero se puede disminuir el error disminuyendo el ancho del mallado, con el consecuente aumento de la cantidad de ecuaciones y por ende el tiempo de clculo. La forma que adoptaremos para discretizar la seccin ser una grilla de puntos separados entre s a una misma distancia h, tanto en el eje x como en el eje y. Esta discretizacin simplifica mucho las ecuaciones. La siguiente figura es una seccin que posee un agujero discretizada de acuerdo a lo antedicho: La ecuacin en diferencias finitas que utilizaremos para la resolucin de la ecuacin (4) es la misma que la utilizada para la resolucin de secciones sin agujeros(3). La integral (5) en diferencias finitas se puede plantear de la siguiente manera: Detalle del agujero

Agujero i

= B(i)

j-1 j J+1 J+2

B B B B B B B B

La derivada de en direccin normal al contorno del agujero entre los puntos j y j+1 surge de la derivada numrica media entre dos puntos consecutivos. Esta se puede calcular por medio de la siguiente ecuacin:

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hdn

d iBjj

jj)(

1

1* 2+

=+

+

El diferencial de arco en direccin tangencial al contorno del agujero entre los puntos j y j+1 se convierte en: ds = h Entonces la integral (2) toma la siguiente forma:

=+=

+

ii

j

iBjj Ahh

dsdnd 2

22 )(1

Lo que es igual a:

2*)(1 42 hAi

jiBjj =+

+ donde 2

*

hAA ii =

Cuando el agujero es rectangular esta ltima ecuacin se puede reescribir de forma que resulte til para el clculo de la siguiente manera:

8242

__

2*

)( +++=

ladosenpuntos

iladosverticesiB N

hA(7)

Para clarificar el significado de esta ecuacin podemos interpretarla mediante la siguiente seccin discretizada:

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B(i): Es el valor de la funcin en el agujero i, en la figura los puntos que rodean el agujero. vrtices: Es el valor de la funcin en los puntos que se encuentran rodeando los vrtices del agujero, en la figura encerrados por un crculo. lados: Es el valor de la funcin en los puntos que se encuentran rodeando los lados del agujero, en la figura encerrados por un rectngulo. A*i.h2: Es el rea del agujero. Npuntos_en_lados: Es la cantidad de puntos que se encuentran rodeando los lados del agujero, en la figura encerrados por un rectngulo. Para implementar este mtodo en una planilla de clculo de Excel sugerimos seguir los siguientes pasos: 1) A partir de la seccin que se desea calcular, plantear una posible discretizacin teniendo en cuenta que, como la distancia entre los puntos es la misma en ambas direcciones, el valor de h se debe elegir de forma que sea compatible con las medidas de la seccin. Luego de esto, sobre el papel, dibuje un diagrama similar a la figura anterior de la seccin discretizada. 2) A partir del diagrama anterior establezca una equivalencia entre los puntos del mismo y las celdas de la planilla de clculo. 3) Es conveniente encerrar con un cuadro las celdas pertenecientes al borde de el/los agujeros, esto nos ser til para plantear la integral numrica. 4) Se procede a aplicar las condiciones de borde en el contorno del perfil =0 del mismo modo que en las secciones sin agujeros.

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5) En el Men Herramientas/Opciones/Calcular seleccione las opciones de clculo: Iteracin, Clculo Manual, el Cambio mximo (error) y el N mximo de iteraciones. 6) Entre los ceros impuestos en el paso anterior y los cuadros que rodean los agujeros se rellena con la ecuacin: = (arriba + derecha + abajo + izquierda + 2 . h2)/4 *Ubicando el puntero del Mouse en la parte inferior derecha de la celda hasta que aparezca una cruz negra y arrastrando el puntero manteniendo el botn izquierdo apretado se facilita el relleno de las celdas.

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7) En la esquina superior izquierda dentro del cuadro de cada agujero se plantea la ecuacin (7). Para agilizar esta tarea, se puede utilizar la funcin SUMA(Celda inicial : Celda final), la cual suma todo los valores entre Celda inicial y Celda final. 8) Ahora cada uno de los agujeros se debe rellenar con su ecuacin correspondiente, planteadas en el paso anterior. Primeramente, se debe igualar el valor una celda cualquiera (en el ejemplo D4) que no sea la celda que contiene la ecuacin del agujero(C4), al valor de esta ltima. Para esto, se debe presionar la tecla "=" y se debe tipear el identificador de la celda o seleccionarla con el ratn ( = Celda superior izquierda). Luego, hay que presionar la tecla F4. Al hacer esto aparecern dos signos "$" ubicados a la derecha de la letra y el nmero identificador de la celda. De esta forma se impide que la frmula cambie al rellenar todas las celdas del agujero. Por ltimo, se debe rellenar todas las celdas del agujero con la ltima frmula. Esta operacin se debe repetir para cada agujero. Si omitimos multiplicar por h2 tanto en la ecuacin (1) y la integral (2) en diferencias finitas los valores que obtendremos en la planilla de clculo deben ser multiplicados por h2.

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9) En este punto estamos en condiciones de iniciar el clculo. Para iniciarlo debemos pulsar la tecla F9. 10) Una vez realizado el clculo, a partir de los valores obtenidos, se pueden obtener las tensiones en la seccin y la rigidez torsional, procediendo de la misma forma que en la seccin sin agujeros.

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Ejemplo de aplicacin El perfil que se resolvi por medio de la planilla de clculo de Excel se detalla en la siguiente figura:

0.5 cm 2.5 cm

1 cm0.5 cm 1 cm

1 cm

5 cm Los agujeros tienen las mismas dimensiones. Se eligi una discretizacin h = 0.25 cm porque es mltiplo de todas las medidas de la seccin. El modelo discretizado con esta distancia entre puntos es el siguiente: Se utilizaron las siguientes ecuaciones:

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Despus de rellenar las celdas segn lo especificado anteriormente; los resultados finales fueron:

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Resolucin de secciones sin agujeros sometidas a torsin utilizando Microsoft ExcelEjemplo de aplicacin:

Perfil con agujeros sometido a torsin calculado por el mtodo directo mediante Microsoft ExcelEjemplo de aplicacin