UNSCH-FIMGC/EFPIC-RESISTENCIA DE MATERIALES I-A.AHUI P. 11

TORSIN .- si se considera una barra rgida sujeto en su extremo, se dira que la barra est sometida a torsin debido a la accin de un par de fuerzas aplicado en un plano perpendicular al eje, la aplicacin se da mayormente en arboles de seccin circular o de tubos de paredes delgados, algunas condiciones hipotticas son: las secciones circulares permanecen circulares despus de la torsin, del mismo modo las secciones planas permanecen planos no se alabean despus de la torsin. La proyeccin sobre una seccin transversal de una lnea radial de una seccin permanece radial despus de la torsin, el rbol est sometido a la accin de pares torsores que actan en planos perpendiculares a su eje.

Las tensiones no se sobrepasan al lmite de proporcionalidad.

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Los efectos del esfuerzo de tensin

dFF

Ejm. en la barra(1) Producen un desplazamiento angular de la seccin de un extremo respecto al otro. Y (2) Originan tensiones cortantes en cualquier seccin de la barra perpendicular a su eje

Deduccin de las frmulas de torsin:=ATTITITABB

RotacinBAGeneradorTurbina

T

TGTI BTI AGeneradorTurbinaT

Deformacin de un rbol circular:

MTMTIr

0ILAB

OC0

BA

drIDECMTMTIABRebanada 3Rebanada 1Rebanada 2

O

MT = Momento torsor aplicado del rbol AB AB = Generatriz sobre la superficie inicialmente recta y paralela al eje, se retuerce formando una hlice AC, al tiempo que la seccin B gira un cierto ngulo respecto a la seccin en A. (1), (2) y (3) son rebanadas o fibras elsticas rgidas sufren rotaciones hasta que se deformen y ocasionan un par de resistente igual al par aplicada. Al aumentar el momento torsor aumenta tambin el Angulo de torsin. = deformacintangencial a una distancia de cualquiera dr de la fibra, gira el ngulo produce una deformacin tangencial DE, cuya longitud de la deformacin es el arco del circulo de radio dr y ngulo = = dr , donde distorsion es = = y la tensin cortante segn la ley de Hooke es: = ()rI..........(1)Esta expresin es la ecuacin de compatibilidadDnde: = cte. Donde la distribucin de tenciones a lo largo de cualquier radio varia linealmente con la distancia al centro de la seccin. En la figura la tensin cortante mxima (max) tiene lugar y evidentemente en las fibras exteriores donde en la seccin MN

MdP= dAN

dAdr

: diferencial de fuerza resistente dA: elemento de rea es decir: (equilibrio esttico)par resistente par aplicado MT MT MT, sustituyendo MT2dAPor otra parte: 2dAIp (es el momento polar de inercia de la seccin recta)MT MTL/GIP (radianes) ....................(2)Para colocar en

si , sustituyendo se tiene ..............(3) que es la frmula de torsin para calcular se sustituye = r que es radio del rbol

...........................(4)Ver la semejanza Distribucin de tensiones cortantes en ejes huecosC2

C10c

Momentos polares de Inercia para SeccionesCirculares (slidos y huecos) drDdRr

Sustituyendo estos valores en las formulas de la torsin serEje macizo: Eje hueco: Sistema mtrico: Sistema ingls: Diseo de Ejes que Trasmiten PotenciaLa relacin potencia mecnica y el par torsor. El trabajo realizadoy el par torsor MT aplicado, durante N revoluciones es: = MT (2N) cm. seg. si N = rpm La potencia ser: P = 2 N.MT /60 (cm. Kg./seg.)En caballos de vapor ser multiplicando la relacin por , donde ; para el par torsor ser: MT = 71,620

Con estos valores se hallan en las formulas anteriores teniendo la potencia que debe trasmitirse y la velocidad de rotacin del rbol, el papel del diseo es elegir el material y las dimensiones de la seccin transversal del rbol de tal manera que cuando el rbol este trasmitiendo la potencia requerida a la velocidad especfica, no se exceda el esfuerzo cortante mxima admisible.P = T donde: velocidad angular (rad/seg) = 2f, siendo f (frecuencia) de rotacin Es decir el nmero de revoluciones por segundo (#rev/seg) La unidad de frecuencia es 1Hz (Herts)=1S-1(seg. inversa) Luego P = 2fT = 2(Hz)(N-m) = Watts En el sistema ingls se tiene: f(rpm) y P(Hp); 1rpm = S-1= 1Hp = 550 pie.lb/seg. = 6,600 pulg.lb /seg. T (lb. Pulg.) y (lb/pulg.2)Tambin: ; rbol solido Se obtiene el mnimo valor admisible del radio del cilindro c. En el caso de un rbol cilndrico hueco el parmetro crtico es , donde c2 es radio exterior.

Acoplamiento por Bridas Empernadas

Una conexin o acoplamiento rgido es muy empleado entre 2 rboles, consiste en unas bridas o discos, que forman cuerpo en cada rbol y que se unen entre s mediante pernos o tornillos. El par torsor se trasmite por la resistencia al esfuerzo constante de los pernos. Suponiendo que se distribuye uniformemente la fuerza en cada perno viene dado por la frmula de la tensin cortante simple., donde A es el rea de la seccin transversal del perno y (esfuerzo cortante del perno); y actan en el centro de cada perno tangente a la circunferencia de radio R donde se sita estos. El par torsor que resiste cada perno es: VR y para un numero cualquiera n de pernos, la capacidad de acoplamiento viene dada por:..............(1)En ocasiones un acoplamiento tiene dos series concntricas de pernos llamados V1 y V2 las fuerzas cortantes que soportan cada perno en los crculos exteriores e interior, la resistencia del acoplamiento. = + ; =V1R1n1 + V2R2n2 + .......(2) La relacin entre V1 y V2 se determinan teniendo en cuenta que las bridas de una rigidez relativamente grande producirn en los pernos ms deformaciones proporcionales a sus distancias al centro, por lo que recordando que las fuerzas son proporcionales a las deformaciones resulta: ()* ...........(3)(*) Esta proporcionalidad tiene lugar para pernos del mismo material y dimetro. En caso contrario las distorsiones serian proporcionales a los radios R y de acuerdo a: se tendr que poner ; y por lo tanto si y son las secciones de los pernos .....(31)Momento torsor aplicado a la unin de placas con remaches, roblones y pernosEn la unin de placas con remaches, roblones o pernos sometidos a la accin de un par torsor (MT). Se puede aplicar la relacin hallada para el esfuerzo y cortante en un rbol y por similitud del anlisis matemtico se comprobara que son similares as: Para determinar la tensin cortante en el centro de un robln, siendo ; donde: A es el rea de la seccin recta de un robln situado a distancia del centro de gravedad del conjunto de estas areas A.As el ejemplo. Una placa se sujeta a un elemento fijo mediante cuatro roblones de 20 mm de dimetro como se indica en la figura adjunta. Determinar la mxima y mnima tensin cortante que aparece en los roblones.10Cm(1)10Cm(2)2000Kg.2000Kg.10Cm(3)

MT=2000*30=60,000Kg-cm

Ejercicios de aplicacin:1).-Un rbol de seccin constante de 5cm de dimetro, est sometido a los pares torsores que se indican en la figura a travs de unas ruedas dentadas montadas sobre l, si G = 80GPa.a) calcular el ngulo de torsin de la rueda D con respecto a la A.b) y

Solucin:b).- se dar en el tramo CD: ; donde T = 1000Nm se dar en el tramo BC: donde T = 200Nm

a).-

AB800Nm

TB

800Nm800NmBC800CBTBTA1000

;

1200800

1000

ABC

El ngulo total de torsin ser la suma algebraica de los ngulos parciales en cada porcin.

2).- un rbol cilndrico hueco de acero tiene 2m de longitud y dimetro interior y exterior 50 y 70 respectivamente. a) Cual es el momento de torsin mximo que se puede aplicrsele si el esfuerzo cortante no debe exceder de 120 MPa b) Cual es el valor mnimo correspondiente del esfuerzo cortante en el rbol.

2 m7 mm5mm

T

Solucin: a).- Tmax, b).- a) ;;

; haciendo ; b).- El esfuerzo cortante mnimo ocurrir en la superficie interna del rbol. ; 2.1).-Que momento de torsin de la aplicacin en el extremo del rbol (anterior) para producir un ngulo de torsin de 1.5. Use G para el acero. ; Datos: G , en

2.2).- Que ngulo de torsin establecer un esfuerzo cortante de 70MPa en la superficie interior del rbol hueco de acero del ejemplo anterior. De la longitud de arco en funcin de y . ; 3)100mm1m0.8m0.6mddATBTATCTDBCDTA = 8 KN.mTB = 16 KN.mTC = 32 KN.mTD = 8 KN.m

El rbol BC es hueco con dimetro interior y exterior de 80 y 100 mm respectivamente. Los arboles AB y CD son slidos con dimetro d Para la carga mostrada determinar. a) los esfuerzos cortantes mximos y mnimos del rbol BC. b) el dimetro requerido dde los arboles AB y CD si el esfuerzo cortante admisible es de 160MPa.Solucin:ATA= 8KNmTAB

X (>

ABTBCTATB

X (>

a).-rbol BC(hueco) ; El esfuerzo cortante mximo es en la superficie exterior. ; El min se da en la superficie interior del rbol AB

C1C2

b).- Dimetros requeridos en los arboles AB y CD Se observa y son entonces son iguales a 8KNm donde , se hallara d dimetro solido.

TATABAB

d

; 4).-El diseo preliminar de un rbol que conecta un motor a un generador sugiere el uso de un rbol hueco con dimetros interior y exterior de 5 y 7 pulg respectivamente. Sabiendo que el esfuerzo cortante admisible es de 15 Klb/pulg2.T

5 Pulg.7 Pulg.10 piesT

Hallar el momento torsin mximo que puede ser transmitido. (a) Por el rbol propuesto, (b) por un rbol solido de igual peso, (c) por un rbol hueco de igual peso, (d) por un rbol hueco de igual peso y 10 pulgadas de dimetro exterior.Solucin. a).- T7 Pulg.C1C25 Pulg.

*

b).-rbol solido de igual peso, para que el rbol solido tenga igual peso y longitud, sus secciones transversales deben ser iguales.

entonces: luego: Como *C).- rbol hueco de 10 pulg, para igual peso se requiere nuevamente que las areas sean iguales. determinaremos el dimetro interior del rbol. ; ; con adm = 15 klb/pulg2; y c1 = 4.358 pulg; c2 = 5 pulg; ; luego: ;