Examen de Febrero de 1998; Problema 3

Examen de Febrero de 1998; Problema 3

Enunciado

Para la viga AE de la figura, que tiene una rtula montada en D, seleccionar el perfil IPE de acero A-42 capaz de soportar las cargas indicadas, el peso propio y un incremento de temperatura uniforme en la fibra superior (desde la seccin A hasta la E) (T = 20 C, con respecto a la temperatura de la fibra inferior. Determinar, as mismo, los diagramas acotados de esfuerzos cortantes y de momentos flectores y dibujar la deformada aproximada de la viga.

Datos:Acero A-42:L = 5 msadm = 1.600 kg/cm2P = 4 Tona = 12(10-6 C-1q = 1 Ton/mE = 200 GPa EMBED Word.Picture.6

Resolucin

El grado de hiperestaticidad de la viga es 1, ya que tiene cuatro apoyos y disponemos de tres ecuaciones de la esttica; dos procedentes del equilibrio vertical de fuerzas y otra de la rtula del punto D.

1. Reduccin de la estructuraEn primer lugar, se van a eliminar los tramos isostticos de la viga, para simplificar el problema hiperesttico.El tramo DE es isosttico, y puede ser analizado como una viga biapoyada: EMBED Word.Picture.6 Donde: EMBED Equation.2

A su vez, el tramo CD es un voladizo, y puede ser analizado como una viga empotrada: EMBED Word.Picture.6 Donde: EMBED Equation.2 Con lo que la viga inicial queda reducida al tramo ABC, sobre el que actuarn las siguientes cargas: EMBED Word.Picture.6

2. Resolucin de la hiperestaticidadSe va a considerar como redundante la reaccin correspondiente al apoyo del punto B, con lo que la viga a resolver ser: EMBED Word.Picture.6

Y la condicin de compatibilidad: dB = 0.La flecha del punto B se obtendr como suma de los efectos correspondientes a las diferentes cargas:CargaObtenida deValorDos cargas puntuales PTabla vigas biapoyadas, caso 6, con:L = 4L; a = L EMBED Equation.2 Carga distribuida (q + qp)Tabla vigas biapoyadas, caso 1, con:L = 4L; q = q +qp EMBED Equation.2 Momento MCTabla vigas biapoyadas, caso 7, con:L = 4L; M0 = - MC EMBED Equation.2 Carga VC- EMBED Equation.2 Reaccin RBTabla vigas biapoyadas, caso 4, con:L = 4L; P = -RB EMBED Equation.2 Y adems, habr que tener en cuenta la componente debida al incremento de temperatura DT en la fibra superior. Este incremento de temperatura dar lugar a un diagrama: EMBED Word.Picture.6 al cual podemos aplicar los teoremas de Mohr. Dado que el diagrama y la viga son simtricos, la tangente a la deformada producida por DT en el punto B ser horizontal, con lo que podemos plantear la flecha de C en funcin de la de B y resolverlo mediante el 2 teorema de Mohr: EMBED Equation.2 Con todo lo anterior, la ecuacin de compatibilidad de desplazamientos resulta: EMBED Equation.2 y, por tanto, despejando RB y sustituyendo el valor de MC, queda: EMBED Equation.2 Finalmente, sustituyendo los valores de P; q y L, queda: EMBED Equation.2 , en toneladas.A partir de este valor, podemos calcular los correspondientes a RA y RC a partir de las ecuaciones de la esttica, aplicadas a la viga liberada: EMBED Equation.2 De donde, despejando los valores de RA y RC y sustituyendo los de RB, MC y VC, queda: EMBED Equation.2 y EMBED Equation.2 , ambas en toneladas.

3. Obtencin de los diagramas aproximados y seleccin del perfilPara comenzar a iterar, se van a despreciar los efectos del peso propio y del incremento de temperatura, con lo que el valor de las reacciones ser: RA = 5625 TonRB = 1425 TonRC = 15625 TonRE = 25 TonA partir de estos valores, se puede dibujar el diagrama de esfuerzos cortantes aproximado:

EMBED Word.Picture.6

y, por tanto el de momentos flectores:

EMBED Designer.Drawing.7

Como puede verse, el mximo valor del momento flector ha resultado ser de 25 Tm, con lo que el mdulo resistente requerido, ser: EMBED Equation.2 Por lo cual, ser necesario como mnimo un perfil IPE 500, que tiene las siguientes caractersticas:Wx = 1930 cm3Ix = 48200 cm4qp = 907 kg/mh = 05 m

4. Obtencin de los diagramas exactos y comprobacin del perfilUna vez elegido el perfil, se pueden calcular los valores exactos de las reacciones, incluyendo el efecto del incremento de temperatura y del peso propio. Los nuevos valores sern: EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 Con lo que el diagrama de esfuerzos cortantes resultar: EMBED Word.Picture.6 y el de momentos flectores ser: EMBED Designer.Drawing.7 Como puede verse, el mximo valor del momento flector ha resultado ser de 273 Tm, con lo que la tensin normal mxima, ser: EMBED Equation.2 Luego el perfil IPE 500 es vlido.La deformada tendra, aproximadamente, el siguiente aspecto:

EMBED Designer.Drawing.7 Feb 98; P3; PAGE 5/5