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RESISTENCIA DE MATERIALES

UNIDAD III

RESISTENCIA DE MATERIALES

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SEMANA 5

INTRODUCCIÓN

Esta semana se inicia la tercera unidad de aprendizaje, denominada Resistencia de

Materiales., cuyo objetivo de aprendizaje es comprender el comportamiento de un sólido

deformable ante la acción de cargas exteriores, según sea el material que lo constituye. Para

ello en este documento se trabajará el tema de la tracción y compresión.

1. Resistencia de materiales

Al construir una estructura se necesita tanto un diseño adecuado como unos elementos

que sean capaces de soportar las fuerzas, cargas y acciones a las que va a estar sometida.

Los tipos de esfuerzos que deben soportar los diferentes elementos de las estructuras son:

1.1. Tracción y compresión.

Las fuerzas que pueden hacer que una barra se estire se llaman fuerzas de

tracción. Hace que se separen entre sí las distintas partículas que componen

una pieza. Por ejemplo, cuando se cuelga del cable de acero de una grúa un

determinado peso, el cable queda sometido a un esfuerzo de tracción,

tendiendo a aumentar su longitud.

Las fuerzas que pueden hacer que una barra se aplaste o comprima se

llaman fuerzas de compresión. Hace que se aproximen las distintas

partículas de un material, tendiendo a producir acortamientos o

aplastamientos. Cuando colocamos una estatua sobre su pedestal,

sometemos ese pedestal a un esfuerzo de compresión, con lo que tiende

a disminuir su altura.

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Los conceptos fundamentales en resistencia de materiales son la tensión y la

deformación. Esos conceptos pueden ilustrarse en su forma más elemental considerando

una barra prismática sometida a fuerzas axiales. Una prismática es un miembro estructural

recto con sección transversal constante en toda su longitud. La fuerza axial es una carga

dirigida a lo largo del eje del miembro que se somete a tracción o compresión. Si

consideramos una barra y aislamos un segmento de ella como cuerpo libre se puede

observar los siguientes aspectos:

Al dibujar un diagrama de cuerpo libre, despreciamos el peso propio de la barra y

suponemos que las únicas fuerzas activas son las fuerzas axiales P en los extremos. A

continuación consideraremos dos vista de una barra; la primera muestra la barra antes de la

aplicación de las cargar (figura b) y la segunda la muestra después de aplicadas las cargas

(figura c). Nótese que la longitud inicial se denota con la letra L, y el incremento en longitud

se denota con la letra griega (delta).

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Las tensiones expuestas de la barra quedan expuestas si hacemos un corte

imaginario a través de la barra en la sección mn (figura c). Como esta sección se toma

perpendicularmente al eje longitudinal de la barra, se llama sección transversal. Aislamos

ahora la parte de la barra a la izquierda de la sección transversal mn como cuerpo libre

(figura d). En el extremo derecho de este cuerpo libre (sección mn), se muestra la acción de

la parte retirada de la barra (es decir, la parte a la derecha de la sección mn) sobre la parte

restante. Esta acción consiste en una fuerza distribuida en forma continua que actua sobre

toda la sección transversal. La intensidad de la fuerza (o, sea, la fuerza por unidad de área)

se llama tensión y se denota con la letra griega (sigma). Por tanto, la fuerza axial P que

actua en la sección transversal es la resultante de las tensiones distribuidas en forma

continua. (La fuerza resultante aparece como la línea punteada en la figura D).

Suponiendo que las tensiones están distribuidas uniformemente sobre la sección

transversal mn (figura d), vemos que la resultante debe ser igual a la intensidad

multiplicada por el área A de la sección transversal de la barra, por tanto, la expresión para la

magnitud de las tensiones es:

𝜎 = 𝑃

𝐴

En esta ecuación la intensidad de la tensión uniforme de la barra prismática cargada

axialmente de sección transversal arbitraria. Cuando la barra es estirada por las fuerzas P,

las tensiones son tensiones de tracción, si se invierte el sentido de las fuerzas, ocasionando

que la barra este comprimida, obtendremos tensión de compresión. Debido a que las

tensiones actúan en una dirección perpendicular a la superficie cortada, se llaman tensiones

normales. Así pues, la tensiones normales pueden ser de tracción o de compresión.

Cuando se repite una convención de signos para las tensiones normales, es

costumbre definir las tensiones de tracción como positivas y las de compresión como

negativas.

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Puesto que la tensión normal se obtiene al dividir la fuerza axial por al área

transversal, se obtienen unidades de fuerzas por unidad de área. Cuando se usan unidades

inglesas , la tensión suele expresarse en libras por pulgadas cuadradas (psi) o Kips por

pulgada cuadrada (ksi).

Ejemplo: Suponga que una barra tiene un diámetro (d) de 2,0 in y que la carga P tiene una

magnitud de 6 Kps. Entonces la tensión de la barra es:

𝜎 = 𝑃

𝐴 =

𝑃

𝜋𝑑2/4=

6𝑘

𝜋 (2,0 𝑖𝑛)2/4= 1,91 𝑘𝑠𝑖 (𝑜 1910 𝑝𝑠𝑖)

En el ejemplo la tensión es tracción o positiva.

Cuando se utilizan unidades del sistema inglés, la fuerza se expresa en newton (N) y el

área en metros cuadrados (m2). En consecuencia, la tensión tiene unidades de newtons por

metro cuadrado (N/m2), es decir, pascales (Pa). Sin embargo, el pascal es una unidad de

tensión tan pequeña que es necesario trabajar con múltiplos grandes, usualmente con el

megapascal (MPa). Para demostrar que el pascal es pequeño, solo tenemos que anotar que

se requieren casi 7000 pascales para hacer 1 psi. Como en el ejemplo anterior, la tensión en

la barra es de 1,91 ksi, se convierte en 13,2 MPa, que es igual a 13,2 X 106 pascales.

Aunque no se recomienda en el sistema inglés, a veces La tensión se da en newtons por

milímetro cuadrado (N/mm2), que es una unidad igual al megapascal (MPa).

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2. Análisis estructural

Los casos relacionados con cuerpos rígidos y fuerzas en equilibrio han sido el

antecedente para conocer ahora acerca de las armaduras, que no son otra cosa

que estructuras formadas por elementos rígidos unidos entre sí. En estos casos se

determinarán las fuerzas externas que actúan sobre la estructura y se analizarán las fuerzas

internas que mantienen unidas sus partes.

Al realizar el análisis de estructuras por el método de los nodos siempre

comprendiendo el objetivo final del cálculo de las fuerzas, comencemos con las definiciones

de los elementos que se utilizarán:

Armadura: Es un tipo de estructura de mayor importancia en ingeniería.

Proporciona soluciones tanto prácticas comoeconómicas a muchos problemas,

principalmente en el diseño de puentes y edificios. Las armaduras que a

continuación vamos a analizar se tratan de estructuras planas en dos

dimensiones, pero que, varios planos unidos entre sí pueden formar elementos

tridimensionales. Una armadura consta de:

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Miembros: Son los elementos rectos conectados entre sí por medio de nodos o

nudos. Por lo general, los miembros de una armadura son delgados y pueden

soportar poca carga lateral, por lo tanto, las cargas deben aplicarse sobre los

nudos y no directamente sobre los miembros. De esta teoría suponemos que

todos los miembros sólo son sometidos a cargas de compresión o tensión a lo

largo de su eje, y de eso se trata el análisis, de encontrar las magnitudes de la

tensión o compresión de cada miembro.

Nodos: Son las conexiones entre cada miembro. Las fuerzas que actúan sobre

ellos se reducen a un solo punto, porque son las mismas fuerzas transmitidas

desde los ejes de los miembros. A través de los nodos nunca se puede

atravesar un miembro. Las conexiones en los nudos están formadas

usualmente por pernos o soldadura en los extremos de los miembros unidos a

una placa común llamada placa de unión.

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Apoyos: Toda estructura necesariamente debe estar apoyada en uno o más

puntos, los cuales se llaman puntos de apoyo, y como transmiten su carga a

través de esos puntos, en el diagrama de fuerzas debemos considerar los

vectores que indiquen las reacciones en esos apoyos. Cada diferente tipo de

apoyo generará a su vez un tipo de

Reacción: Son las fuerzas generadas en los apoyos, son opuestas en dirección

de las fuerzas de la estructura que actúan en ese punto, existen tres tipos de

reacciones:

a) Reacciones equivalentes a una fuerza con línea de acción conocida.

Generadas por apoyos tipo: patines o rodamientos, balancines, superficies

sin fricción, eslabones y cables cortos, collarines sobre barras sin fricción y

pernos en ranuras lisas. En las reacciones de éste tipo hay una sola

incógnita

b) Reacciones equivalentes a una fuerza de dirección desconocida. Generadas

por pernos lisos en orificios ajustados, articulaciones y superficies rugosas.

En las reacciones de este grupo intervienen dos incógnitas.

c) Reacciones equivalentes a una fuerza y a un par. Producidas por soportes

fijos que impiden cualquier movimiento del cuerpo inmovilizándolo por

completo y obligándolo a reaccionar con tres fuerzas incógnitas (dos

componentes de traslación y un momento).

Equilibrio: Cuando las fuerzas y el par son ambos iguales a cero forman un sistema

equivalente nulo se dice que el cuerpo rígido está en equilibrio. Por consiguiente,

las condiciones necesarias y suficientes para el equilibrio de un cuerpo rígido

pueden obtenerse haciendo R y MRO iguales a cero.

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Descomponiendo cada fuerza y cada momento en sus componentes

rectangulares, podemos expresar las condiciones necesarias y suficientes para el equilibrio

de un cuerpo rígido por medio de las seis ecuaciones escalares siguientes:

∑ 𝐹𝑥 = 0 ∑ 𝐹𝑦 = 0 ∑ 𝐹𝑧 = 0

∑ 𝑀 = 0 ∑ 𝑀𝑦 = 0 ∑ 𝑀𝑧 = 0

Las ecuaciones obtenidas pueden usarse para determinar las fuerzas desconocidas

aplicadas a cuerpos rígidos o las reacciones desconocidas que ejercen sobre éste sus

apoyos. Notamos que las primeras tres ecuaciones expresan el hecho de que las fuerzas en

X, Y y Z están equilibradas; las otras tres ecuaciones indican que los momentos con respecto

a los tres ejes X, Y y Z también están equilibrados, o sea, ni se va a mover hacia ninguna

parte y tampoco va a girar en ningún sentido, el cuerpo está en equilibrio.

Cada caso presenta diferencias, pero la tarea principal es despejar de las seis

ecuaciones anteriores la mayor cantidad de variables posibles, a partir del diagrama de

fuerzas.

Por lo tanto el diagrama de fuerzas es la clave para el planteamiento correcto de las

ecuaciones y el cálculo exacto de cada fuerza en cada nudo.

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Ejemplo: La armadura mostrada soporta una carga de 10 kN en C. a) Dibuje el

diagrama de cuerpo libre de toda la armadura y determine las reacciones en sus

soportes b) Determine las fuerzas axiales en las barras. Indique si se encuentran a tensión (T) o a compresión (C).

a) Diagrama de cuerpo libre

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b) Determinación de fuerzas axiales:

∑ 𝑀𝐵 = 0

Ax (3) – 10 (4) = 0

Ax (3) = 40

Ax = 40/3

Ax = 13,33 KN.

∑ 𝑀𝐴 = 0

Bx (3) – 10 (4) = 0

Bx (3) = 40

Bx = 40/3

Bx = 13,33 KN.

∑ 𝐹𝑌 = 0

By - 10 = 0

By = 10 KN.

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NUDO C

𝐹𝐶𝐵

5=

𝐹𝐶𝐴

4=

10

3

Hallar FCB

𝐹𝐶𝐵

5=

10

3

𝐹𝐶𝐵 = 16,66 𝐾𝑁 (𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛)

Hallar FCA

𝐹𝐶𝐴

4=

10

3

𝐹𝐶𝐴 = 13,33 𝐾𝑁 (𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛)

NUDO A

∑ 𝑭𝒀 = 𝟎 𝑭𝑨𝑩 = 𝟎

∑ 𝑭𝑿 = 𝟎

𝐴𝑋 − 𝐹𝐶𝐴 = 0

𝐴𝑋 = 𝐹𝐶𝐴

𝑃𝑒𝑟𝑜 𝐹𝐶𝐴 = 13,33 𝐾𝑁

𝐴𝑋 = 𝐹𝐶𝐴 = 13,33 𝐾𝑁

Por lo tanto:

Ax = 13,33 KN.

By = 10 KN.

Bx = 13,33 KN

FCB = 16,66 KN (tensión)

FCA = 13,33 KN (compresión).

FAB = 0