republica de panama ministerio de educaciÓn instituto ... · asignaciÓn prÁctica i parte....
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REPUBLICA DE PANAMA
MINISTERIO DE EDUCACIÓN
INSTITUTO LABORAL NUEVA LUZ
DIRECCIÓN DE EDUCACIÓN DE JOVENES Y ADULTOS
MODULO DE APRENDIZAJE DE MATEMÁTICA
NIVEL: 10°-LETRAS
FACILITADOR:
TRIMESTRE: III
“EDUCANDO PARA UN MUNDO COMPETITIVO”
2015
2
VISIÓN
Ser un Instituto Laboral de excelente proyección social, elevada
calidad y reconocimiento Nacional en la formación de jóvenes y
adultos con innovaciones tecnológicas adecuadas al entorno social y
empresarial.
MISIÓN
El Instituto Laboral Nueva Luz es una entidad privada innovadora
con proyección social, creada para formar y capacitar jóvenes y
adultos con calidad humana, emprendedores con las competencias
esenciales para continuar estudios universitarios en cualquier
institución superior pública o privada.
VALORES
Responsabilidad, Cooperación, Honestidad, Sensibilidad Social,
Innovación Creativa, Diversidad, Respeto, Solidaridad, Equidad.
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TABLA DE CONTENIDO
INTRODUCCIÓN
MENSAJE AL ESTUDIANTE.
TEMA #1: ECUACIONES CUADRÁTICAS.
Método de Solución por Fórmula General
Método de Solución por Factorización.
Método de Solución por Completar el Cuadrado.
TEMA #2: POTENCIA Y LEYES DE LOS EXPONENTES
TEMA #3: RESOLUCION DE TRIANGULOS RECTÁNGULOS.
Teorema de Pitágoras.
TEMA #4: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL.
Media Aritmética
Mediana
Moda
TEMA #5:RAZONES Y PROPORCIONES
BIBLIOGRAFÍA
4
INTRODUCCIÓN
El presente módulo instruccional está estructurado en cuatro temas; cada uno
dividido en subtemas y desarrollado con una gran variedad de ejemplos y
diversas actividades de aprendizaje, divididas en forma individual y grupal.
La metodología del módulo se caracteriza por una presentación clara de cada
tema, de fácil comprensión mediante el empleo de un vocabulario sencillo.
Este módulo pretende ser un instrumento válido para el desarrollo de las
potencialidades de los participantes de décimo grado 10°Letras del Instituto
Laboral Nueva Luz; promoviendo el mejoramiento de la capacidad analítica
de cada uno.
5
MENSAJE AL ESTUDIANTE
Estimado y apreciado amigo estudiante, Bienvenido al Trimestre que inicia.
Te animo a que durante este periodo dediques todo tu esfuerzo, capacidad e
interés para el logro satisfactorio de los objetivos propuestos y de esta forma
puedas aplicar los conocimientos que te ayudaran a ser un mejor individuo y
futuro profesional.
¡Vamos Anímate!
Y recuerda los obstáculos se hicieron para ser superados.
Tú tienes el don divino de la inteligencia y la sabiduría. ¡Úsalo!
6
7
TEMA # 1: ECUACIONES CUADRÁTICAS
Objetivo: Hallar la solución a ecuaciones cuadráticas mediante tres métodos
Definición: Una ecuación es cuadrática si es de la forma
y además y son números Reales cualesquiera.
Ejemplos:
MÉTODOS PARA RESOLVER ECUACIONES CUÁDRATICAS.
Nota: Resolver una ecuación cuadrática significa encontrar los dos valores de
las incógnitas o raíces que hacen cierta la igualdad.
Método 1: Solución mediante Fórmula General Cuadrática.
Todas las ecuaciones de la forma se pueden
resolver utilizando la formula
Ejemplo#1: Resolver empleando la formula general.
Solución:
√
𝑥 𝑏 √𝑏 𝑎𝑐
𝑎
𝑎
𝑏
𝑐
8
√
√
√
Luego se tiene
y
Ejemplo#2: Resolver empleando la formula general.
Solución:
√
√
√
√
𝑎
𝑏
𝑐
9
Luego se tiene
y
ASIGNACIÓN PRÁCTICA
I PARTE. Resolver mediante Fórmula General.
a)
b) 6
c)
Método 2: Solución por Factorización.
Este método consiste en factorizar el trinomio o ecuación cuadrática por los
métodos usuales conocidos.
Ejemplo #1: Resolver por el método de factorización.
Solución: Para este caso hacemos dos factores cuyo primer término sea la
raíz cuadrada del primer término y luego se buscan dos números que
multiplicado den como resultado -2 y que sumados o restados den menos 1.
Luego se igualan a cero cada uno de los factores y se procede a despejar la
incógnita obteniendo las raíces o soluciones de la ecuación cuadrática
10
Ejemplo#2:
Ejemplo#3: Trinomio de la forma
- Se multiplica el trinomio por el coeficiente de la variable que esta
al cuadrado, dejando expresado solamente en forma tácita la
multiplicación con el segundo término y a su vez dividiéndole
por el mismo coeficiente.
- Luego se expresa el primer término como una potencia de dos.
- Se procede entonces como en el caso del trinomio de la forma
.
Resolver
( )
11
Método 3: Solución Completando el Cuadrado.
En las ecuaciones de la forma , la fórmula
para completar el cuadrado es (
)
Ejemplo#1: Resolver por el método de completar el
cuadrado.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
√(
)
√
12
Luego
Ejemplo#2: Resolver por el método de completar el
cuadrado.
(
)
(
)
(
)
(
)
√ √
13
Luego
ASIGNACIÓN PRÁCTICA
I PARTE. Resolver por Factorización
a) b) c)
II PARTE. Resolver Completando el Cuadrado.
a) b) c)
14
TEMA # 2: CONCEPTO DE POTENCIA Y LEYES DE LOS
EXPONENTES
Potencia: es un producto abreviado en donde la base se multiplica tantas
veces indica el exponente.
Exponente
= 9
Base
Ejemplos de potencias: , ,
Desarrollo básico o solución de una potencia:
a) = 2.2.2 = 8 se multiplica el dos por el mismo tantas veces indica el
índice.
b)
c)
LEYES DE LOS EXPONENTES:
Producto de potencias de igual base: para resolver productos de potencia de
igual base se coloca la misma base y se suman sus exponentes.
Ejemplos:
a)
b)
Cociente de potencias de igual base: para resolver cocientes de potencias de
igual base, se coloca la misma base y se restan los exponentes.
15
a)
b)
Potencia de una potencia: para resolver la potencia de una potencia, se
coloca la misma base y se multiplican los exponentes.
Ejemplos:
a)
b) *
+
Potencia de un producto: la potencia de un producto es igual a cada uno de
los factores elevados al exponente del producto.
Ejemplos:
Otra forma seria:
Potencia de cero: todo número elevado a la potencia cero es igual a 1.
Potencias de 1: todo número elevado a la potencia de uno es igual al número.
Potencias de exponente negativo: todo número elevado a una exponente
negativa, se escribe bajo uno, para hacer ese exponente positivo.
16
Potencias de exponente fraccionario: todo número elevado a un exponente
fraccionario se escribe bajo un signo de raíz en donde el denominador del
exponente fraccionario indicara la raíz a desarrollar.
√
√ √
= 2.9
PRÁCTICA INDIVIDUAL
Estos problemas son para que los trabajes tu mismo y reafirmes lo aprendido.
Animo.
a)
b) (
)
c) [ ] =
TALLER GRUPAL
Desarrolla los siguientes ejercicios, consultando con tu compañero o
compañera y asistidos por el profesor.
b)
c)
d) =
d) (
)
e)
=
e) *
+
f)
g)
h) 𝑥
i)
17
18
C
B
A
a c
b
TEOREMA DE PITÁGORAS:
Para este caso:
Del Teorema se derivan dos fórmulas para encontrar la longitud de cualquier
lado, dados los otros dos en todo triángulo rectángulo.
√
√
Veamos algunos ejemplos utilizando el teorema:
En un triángulo rectángulo, a los lados que
forman el ángulo recto se les llama catetos y al
lado que tiene mayor longitud y es el lado que se
opone al ángulo de 90° se le llama hipotenusa.
El Teorema de Pitágoras señala: La suma de los
cuadrados de los catetos es igual al cuadrado
de la hipotenusa.
19
3
4
𝑥
5
x
3
5 7
5
x
a) b)
12
5
d)
C
x
B
A
PRÁCTICA INDIVIDUAL:
Encontrar el valor del lado que falta en los siguientes triángulos rectángulos:
Encuentre el valor del lado faltante usando el Teorema de Pitágoras.
𝑥 √
Solución:
𝑥 √
𝑥 √
𝑥
𝑥 𝑥 √
Solución:
𝑥 √
𝑥 √
𝑥
c) si AB=6 y AC=8. ¿Cuánto vale BC?
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TEMA#3: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Las medidas de Tendencia Central, llamadas medidas de posición o medidas
de centralización que estudiaremos son: Media, Mediana y Moda.
Tendencia central: La tendencia central se refiere al punto medio de una
distribución. Las medidas de tendencia central se denominan medidas de
posición.
Los datos con que se realiza el análisis estadístico pueden estar disponibles
sueltos o estar agrupados en una distribución de frecuencia.
Aquí calcularemos las medidas de tendencia central primeramente con datos
no agrupados y después con datos agrupados. En ambos casos, veremos la
definición y los procedimientos de cálculo de las tres medidas de posición de
mayor importancia.
MEDIA ARITMÉTICA
La media aritmética es el promedio más usado y conocido. Corrientemente
se le llama ¨promedio¨ a secas. Existen dos formas de calcularlo:
- Como una media aritmética simple
- O como una media aritmética ponderada.
Media Aritmética Simple
La media aritmética de un conjunto de valores es el resultado que se
obtiene al dividir la suma de esos valores entre el número de ellos
Y se denota por .
∑
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚é𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠
21
El símbolo Σ (sigma) es el símbolo de sumatoria.
El símbolo ∑ se lee ¨sumatoria de desde hasta ¨
Ejemplo:
Hallar la media de 11, 14, 17, 20, 16, 10 con aproximación a dos cifras
decimales.
Solución: ∑
Media Aritmética Ponderada
Si para cada valor de una serie estadística consideremos su frecuencia, la
media obtenida se llama media ponderada.
∑
Ejemplo1: Encuentre la media de los siguientes datos:
{ }
Es el resultado de multiplicar cada valor por su frecuencia y dividir la suma
de los productos hallados por la suma de las frecuencias 𝑛
22
∑
Ejemplo2: Un profesor informa a su clase que les hará dos exámenes en una
hora, cada uno de los cuales equivaldrá al 30% de la calificación de todo el
curso y el examen final que corresponde al 40%. El cálculo de la media
deberá considerar esas ponderaciones. Si un estudiante obtuvo 80 pts en el
primer examen, 90 pts en el segundo examen y en el examen final 96 pts.
¿Calcule la media aritmética o el promedio de ese estudiante?
Solución:
Fórmula
Examen Calificación en puntos Ponderación
Ex. 1 80 0.30
Ex. 2 90 0.30
Ex. Final 96 0.40
∑ 𝑤𝑖 𝑥𝑖𝑛𝑖
∑ 𝑤𝑖𝑛𝑖
𝑤𝑖 Es la ponderación, el porcentaje % que se le
da a la nota pero en valor decimal.
∑ 𝑤𝑖𝑛𝑖 Es la suma de las ponderaciones en
decimales.
𝑥𝑖 Es el puntaje o nota obtenido en cada examen
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ACTIVIDAD PRÁCTICA #1
Encuentre la Media Aritmética de los siguientes datos:
a) { }
b) { }
c) { }
d) Un profesor informa a su clase que les hará dos exámenes en el
trimestre, cada uno de los cuales equivaldrá al 25% de la calificación de
todo el curso, deberán entregar un portafolio que tiene un valor del 10%
y el examen final que corresponde al 40%. El cálculo de la media
deberá considerar esas ponderaciones. Si un estudiante obtuvo 60 pts en
el primer examen, 75 pts en el segundo examen y en el examen final 86
pts. En el portafolio 90 pts ¿Calcule la media aritmética o el promedio
de ese estudiante?
MEDIANA
La mediana, es otra de las medidas de tendencia central. Se utiliza la
notación Mdn.
Entonces podemos decir que La Mediana es aquel valor que está en el centro
de todos.
Cuando se tienen datos sin agrupar y se desea calcular la mediana, es
necesario, en primer lugar, ordenarlos de acuerdo a su magnitud. Luego se
Mediana:
Es el valor que divide al conjunto ordenado de
datos, en dos subconjuntos con la misma cantidad de
elementos. La mitad de los datos son menores que la
mediana y la otra mitad son mayores
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4 edades 4 edades
determina el valor central de la serie y esa es la mediana. En esta situación se
presentan dos casos:
Cuando el número de datos es par: existirán dos valores centrales
y entonces la mediana se obtiene haciendo el promedio de estos
datos centrales.
Mdn = (
)
y para determinar la posición en la serie
Ejemplo: En la clase de matemáticas hay un número par de
alumnos y las edades fueran: 16, 16, 17, 18, 18, 19, 20,21, 22,25
16, 16, 17, 18 18,19 20, 21, 22, 25
En este caso 18 y 19 son los valores centrales. Por lo tanto, la
mediana será el promedio de los valores centrales; es decir,
Mediana Mdn =
Determinando su posición
se encuentra entre
la posición quinta y sexta de la serie.
Cuando el número de datos es impar: La mediana es dato que está
en la posición
𝑛 es número total de datos
𝑛
es la posición del primer valor o
dato central
𝑛
es la posición del segundo
valor o dato central
𝑛
° 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙
25
7 edades 7 edades
Ejemplo: la siguiente lista de números corresponde a las edades
de los alumnos de una clase:15, 13, 16, 18, 15, 11, 10, 18, 12, 15,
16, 15,12, 13,14.
Solución:
Si los ordenamos de menor a mayor nos queda:
10, 11, 12, 12, 13, 13, 14, 15, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 18.
10, 11, 12, 12, 13, 13, 14, 15, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 18.
El valor central de la serie de edades es 15. Este valor es la
Mediana de las edades consideradas.
ACTIVIDAD PRÁCTICA #2
Encuentre la mediana de cada conjunto de datos.
1) 79, 81, 81, 84, 85, 89, 96.
2) 16,18, 20, 22, 23, 25, 27, 28, 38, 56, 69, 82.
3) Un vendedor de correas para niños tiene una muestra de diferentes
largos de correa: 9cm, 10cm, 4cm, 14cm, 15cm, 19cm, 12cm, 14cm.
Encuentre la mediana y el promedio o media de esas longitudes de
correas
𝑃𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑀𝑑𝑛 𝑛
𝑃𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑀𝑑𝑛
𝑃𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑀𝑑𝑛
𝑃𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑀𝑑𝑛
26
LA MODA
Se denota con el simbolismo Mo.
Definición: La Moda es aquel valor que tiene la mayor frecuencia; es
decir, es el valor que más se repite en un conjunto de datos.
La Moda en ciertos casos puede no existir, es decir, no estar definida, e
incluso puede no ser única. En este último caso la serie de datos tiene más de
un valor modal y recibe el nombre de bimodal, esto si los datos o valores con
la misma mayor frecuencia no son adyacentes y en caso contrario que sean
datos consecutivos la moda es el promedio de esos dos valores.
Ejemplo#1: Encuentre la moda en el siguiente conjunto de datos:
14, 15, 17, 17, 21, 21, 21, 21, 33, 36, 40.
Solución: observamos que el valor con mayor frecuencia es el 21 se
repite 4 veces entonces el valor de la moda Mo = 21.
Otra forma de resolverlo es hacer una tabla de distribución de
frecuencias
Tabla de
Distribución
de Frecuencia
Valor Frecuencia
14 1
15 1
17 2
21 4
33 1
36 1
27
Moda
Ejemplo:
En la serie 4, 9, 8, 3, 12 la moda no está definida.
En la serie 50, 55, 55, 55, 62, 73, 73, 73, 80, se presentan dos
modas, ya que los valores 55 y 73 se repiten tres veces y recibe el
nombre de bimodal.
En la serie 0, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 5 se presentan dos modas, ya
que los valores 2 y 3 se repiten tres veces y son datos adyacentes
entonces la moda es un promedio de esos dos valores tal que:
, luego la moda es 2.
ACTIVIDAD PRÁCTICA # 3
Encuentre la moda en los siguientes conjuntos de números. Ordene si es
necesario.
1) 7, 6, 5, 8, 3, 7, 4, 7.
2) 11, 12, 9, 11, 10, 12, 14, 13.
40 1
28
3) 2, 3, 5, 13, 4, 7, 23, 6, 8, 15, 8, 17, 9, 8, 30, 2, 8, 31, 8, 9, 18, 1, 8.
4) 2.1, 2.5, 2.7, 2.6, 3.4, 3.2, 3.5, 3.3, 3.1, 2.8, 2.7, 3.0, 2.9, 3.1, 3.2, 2.8,
2.9, 3.0, 2.8, 2.8, 2.8, 2.8, 2.8
5) 0.018, 0.016, 0.012, 0.027, 0.051, 0.021, 0.034, 0.042, 0.057, 0.063,
0.019, 0.032, 0.072, 0.065, 0.039, 0.081, 0.011, 0.025, 0.073, 0.058,
0.051, 0.044, 0.056, 0.600, 0.036
29
TEMA 1: RAZONES
Concepto: Una razón es una comparación entre dos cantidades mediante un
cociente o división. El símbolo de razón es : y se lee ¨es a¨. Y los términos o
elementos de una razón son antecedente y consecuente.
Ejemplo:
El símbolo de razón representada también una división es por eso que los dos
puntos se pueden cambiar por los símbolos que representan división.
Ejemplo: ;
;
Aplicación de la razón:
Las razones se utilizan en la práctica para determinar cómo está variando una
cantidad con respecto a otra.
Antecedente
Símbolo de Razón
Consecuente
30
Ejemplo: Se compra en una empresa constructora 27 sacos de cemento y 18
sacos de arena. Hallar la razón de mezcla de sacos de cemento en comparación
con los sacos de arena.
Solución:
Taller (grupal) #1:
Establezca la razón en las siguientes situaciones que se describen a
continuación.
1. En un curso de música se matriculan 16 niñas y 14 niños. Determinar la
razón de niñas a niños.
2. Un pastelero utiliza cinco tazas de harina y 10 paquetes de polvo para
hornear al hacer un pastel mediano. ¿En qué razón el pastelero combina
la harina con respecto al polvo para hornear?
3. El colegio organiza un paseo a la playa y en el bus hay 20 mujeres y 12
hombres. Determine cuál es la razón de hombres a mujeres.
4. En un salón de clases hay 20 estudiantes, al final del trimestre
aprobaron 15 estudiantes y reprobaron 5. Cuál fue la razón de
aprobados y reprobados en el salón.
Valor decimal de una Razón:
31
Para encontrar el valor de una razón en forma decimal solamente se procede
como si fuera una división normal.
Ejemplo: Encontrar el valor decimal de la siguiente razón
Encontrar el valor decimal de la siguiente razón
Problemas de Repartimiento Proporcional:
Los problemas de repartimiento proporcional son problemas en donde se tiene
que repartir una cantidad de acuerdo a una razón dada.
Pasos a seguir para resolver problemas de repartimiento.
1. Sumar los términos de la razón.
2. Formar razones con cada término de la razón y la suma de los términos.
3. Multiplicar las razones formadas por la cantidad a repartir y este
resultado es la cantidad que se debe repartir para cada término.
Ejemplo: Entre tres comerciantes Rey, Romero y Mister Precio se deben
distribuir 1600 kilos de café a razón de 8:11:13. ¿Cuántos kilos recibirán cada
comerciante?
Solución:
Se suman los términos de la razón
32
Se forman las fracciones correspondientes a cada término de la razón
dada respecto a la suma de ellos ; tal que se tiene:
Finalmente, se multiplican estas fracciones por la cantidad a dividir
;
y
Luego, Rey recibirá 400 kilos de café, Romero recibirá 550 kilos de café y
Mister Precio recibirá 650 kilos de café.
ASIGNACIÓN PRÁCTICA INDIVIDUAL # 1:
1. Entre dos comerciantes Casa Gala y Ramtec compraron 720
refrigeradoras en una razón de 4:5. ¿Cuántas refrigeradoras compró
cada uno?
2. Dos almacenes Picadilly y Conway deben repartirse 120 camas en la
razón 2:3. ¿Cuántas camas le corresponden a cada almacén?
3. Shopping Center tiene 108 empleados y están distribuidos en 4
departamentos: Hogar, Ropa, Electrónica y Juguetería. ¿Cuántos
empleados tiene cada departamento?
4. Una Compañía obtuvo de ganancia anual B/ 1800.00 y esta se repartió
entre los socios Varela, Navarro y Lewis en la razón 4:6:14. ¿Qué
cantidad de dinero le corresponde a cada socio?
5. En una casa existe una entrada mensual de B/ 680.00, aportados por el
padre y la madre en la razón 3:2 ¿Cuánto aporta cada uno?
33
Equivalencia de las Razones.
La palabra equivalencia tiene sus raíces en vocablos griegos y significa ¨igual
valor¨.
Para encontrar la equivalencia entre dos razones debemos multiplicar en cruz
sus términos.
Ejemplo: Diga si las siguientes razones son equivalentes:
a)
y
Solución:
Entonces las razones
y
Son equivalentes
a)
y
Solución:
Entonces las razones
y
No Son equivalentes
Observación: Las razones que son equivalentes entre sí se convierten
entonces en una proporción; este concepto lo veremos más adelante en este
módulo.
ASIGNACIÓN INDIVIDUALPRÁCTICA # 2:
Diga si las siguientes razones son equivalentes:
a)
y
b)
y
34
Extremos
Medios
c)
y
d)
y
e)
y
TEMA # 2: PROPORCIONES
Concepto: Una proporción es una igualdad entre dos razones; El símbolo de
razón es :: y se lee ¨como¨ y representa un igual. Los términos de una
proporción son los extremos y los medios.
4 : 5 :: 8 : 10
Luego a esta expresión escrita en símbolos de proporciones y razones
podemos escribirla en términos de una igualdad entre fracciones tal que se
tiene:
Para demostrar que dos razones forman una proporción debe cumplir que las
razones sean equivalentes. Este principio se conoce como propiedad
fundamental de las proporciones.
¨ En toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de
los medios¨
Entonces las razones dadas Si forman una proporción.
𝐸𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑜𝑠
35
Observación: Como se puede observar el procedimiento de multiplicación en
cruz para averiguar si dos razones forman proporción es el mismo para
averiguar si las razones son equivalentes; es decir una proporción se da
cuando dos razones son equivalentes (tienen el mismo valor).
ASIGNACIÓNINDIVIDUAL PRÁCTICA # 3:
Diga si las siguientes razones forman o no forman una proporción:
a.
b.
c.
Propiedad de los Extremos y Medios de las Proporciones
De la propiedad fundamental de las proporciones se desprenden dos
propiedades más:
En toda proporción un extremo es igual al producto de los medios
dividido entre el otro extremo.
En toda proporción un medio es igual al producto de los medios
dividido entre el otro medio.
Ejemplo: encontrar el término que falta en la siguiente proporción
a)
36
Solución: Multiplicando cruzado por las propiedades tenemos
b)
Solución
c)
Solución
ASIGNACIÓN INDIVIDUAL PRÁCTICA # 4:
Encontrar el valor del término desconocido en las siguientes proporciones.
1)
2)
37
3)
4)
5)
TABRAJO GRUPAL (2)
RAZONES Y PROPORCIONES
I. Escribe la razón entre cada par de números.
a) b)
c) d)
II. Escribe la razón que representa cada una de las siguientes situaciones.
38
a) Teresa recibe generalmente $ 25 y su hermana $ 60. Encuentre la
relación entre las cantidades de dinero que reciben las dos.
b) Con 10 naranjas se hacen 4 vasos de jugos ¿Cuál es la razón entre
naranjas y vasos?
III. Proporciones
1) Verifique que el siguiente par de razones forman una proporción
utilizando la propiedad fundamental de las proporciones.
a)
y
b)
d ) e)
y
2) Encuentre el término desconocido en las siguientes proporciones, utilice la
propiedad de extremos y medios.
a)
b)
39
c)
e)
BIBLIOGRAFÍA
Baldor Aurelio. Álgebra.
Instituto Laboral Nueva Luz, Módulo Instruccional 12°, 2011.
Matemática 10° de Santillana. 2010.
Rees-Sparks. Trigonometría. 2004