factorización parte 1

FactorizaciónJosé David Ojeda M.

Factorización• Descomponer una expresión numérica en

factores es escribirla como un producto. Por ejemplo la expresión 9 x 4 es una descomposición en factores del numero 36.

• Un caso particular de la descomposición en factores se presente cuando cada uno de estos factores es primo.36 = 3 * 3 * 2 * 2Es una descomposición en factores primos del numero 36.

Factorización• Factorizar una expresión numérica o una expresión algebraica es descomponerla en factores

Casos de Factorización

1. Factor común

1. Factor común• Factor común de un binomio: Al

multiplicar un monomio por un binomio se aplica la propiedad distributiva

• Ahora para expresar el binomio como el producto de dos factores se realiza el procedimiento inverso. Este procedimiento es conocido como factor común de un binomio.

( )3 2 5 31m m m m× + = +5 3m m+

1. Factor comúnEl factor común de un binomio es una expresión algebraica en la cual

• La parte numérica es el MCD entre las partes numéricas

• La parte literal esta formada por las letras que tiene en común los términos del polinomio con su menor exponente.

1. Factor comúnFactorizar las siguientes expresiones:

El factor común es 3x, pues:• MCD (3,9) = 3• La letra común entre x y xy es x

Para factorizar el binomio 3x + 9xy se divide cada termino entre el factor común:

a) 3 9x xy+

1. Factor común

• De donde3x + 9xy = 3x(1 + 3y)Ejercicios: Factorizar

31

3

x

x= + 9

33

xyy

x= +

2 3

2 3 5

b) 6 5

c) 14 7

m m n

a b c abc

−− −

2 25 15d)

4 2x y xy−

1. Factor común• Factor común de un polinomio: El

procedimiento para encontrar el factor común en un polinomio es similar al usado en el factor común de un binomio.

• Factorizar:

Se halla el MCD entre los denominadores y los numeradores.

3 2 38 4 2

9 3 6a b ab b− +

1. Factor común• MCD (8, 4, 2) = 2 MCD (9, 3, 6) = 3

Fracción común a:

El Factor común enes:

Se divide cada termino del polinomio entre el factor común. Así:

8 4 2 2, es

9 3 6 3y

3 2 38 4 2

9 3 6a b ab b− +

2

3b

1. Factor común

• Entonces:

3 3 3

2

3 2 2

8 2 28 4

9 3 14 34 2 12

23 3 6

2 2 6 1

6 3 12 2

a b b a a

ab b ab ab

b b b b

÷ = =

− ÷ = − = −

÷ = =

1. Factor común

• Caso especial:En algunos casos el factor común puede ser un binomio o en general un polinomio. Ejemplo:

3 2 3 3 28 4 2 2 4 12

9 3 6 3 3 2a b ab b b a ab b

− + = − + ÷

2 33 ( ) 6 ( ) 12 ( )xm x y m x y m x y− + + + − +

1. Factor común• La expresión (x + y) es común a los tres

términos del polinomio. Por lo tanto el factor común es 3m(x + y).

• Se divide cada termino del polinomio entre el factor común:

2

32

3 ( ) 6 ( ) 2

3 ( ) 3 ( )

12 ( )4

3 ( )

xm x y m x yx m

m x y m x y

m x ym

m x y

− + += − =+ +

− + = −+

1. Factor común• Los binomios (x + y) se simplifican en las

tres divisiones:• Entonces:

2 33 ( ) 6 ( ) 12 ( )xm x y m x y m x y− + + + − + =2

2

3 ( )( 2 4 )

3 ( )( 2 4 )

m x y x m m

m x y x m m

+ − + −= − + − +

1. Factor común• Ejercicios: Factorizar

( ) ( )( ) ( )

2 2 2 2

2 2 2 3 2 2 3

2 2 2

3 4 5 7 3 3

3 3

3 2

a) 3 9 6

b) 14 21 49

c) 13 11 10

3 15 9d)

35 49 21

e) 7 1 9 1

16 24f) 4 4

27 63

xy x y x y

a x m a x a x m

am a m am

p q q p q p

w w w

p m p m

+ −+ −

− + +

+ −

+ − +

+ − +

2. Factor común por agrupación de

términos

2. Factor común por agrupación de términos

• En algunos casos en el polinomio que se busca factorizar no hay un factor común para todos sus términos, pero al agruparlos se puede determinar una expresión común para cada agrupación

• Por ejemplo en el polinomio am+bm+an+bn, no hay un factor común, pero si se agrupan los términos es posible factorizarlo.


• Ejemplo:Factorizar

• Se forman dos grupos con el mismo numero de términos

am bm an bn+ + +

am bm an bn+ + +( ) ( )am an bm bn= + + +

( ) ( ) a m n b m n= + + +( )( )m n a b= + +

Se busca el factor común en cada grupo

Se factoriza el binomio común


• Entonces:

• Ejemplo: Factorizar

• Se forman tres grupos con el mismo numero de términos. Si al agrupar queda un signo menos antes del un paréntesis, las expresiones dentro del paréntesis cambian de signo.

( )( )am bm an bn m n a b+ + + = + +

2 3 4 2 3 2 4 2 2 2 23 3a b n a b x n x z a z x a− + − − −


• Se saca el factor común de cada uno de los grupos.

• Se factoriza el binomio común

2 3 4 2 3 2 4 2 2 2 23 3a b n a b x n x z a z x a− + − − −2 3 2 3 2 4 4 2 2 2 2( ) ( ) (3 3 )a b a b x n n x z a z x a= + − + − +

( ) ( ) ( )2 3 2 4 2 2 21 1 3 1a b x n x z a x= + − + − +

( ) ( )2 2 3 4 21 3x a b n z a= + − −


• Ejercicios: Factorizar2

2

3 2 2 2 2

3 2 2 2

a)

b) 2 3 4 6

c) 4 4 4 3 3 3

d) 3 12 3 4

w wz wy zy

x xy x y

w w y wy zw zwy zy

x nx xy xz nz ny

+ + +− − +− − − + +− + + − −

3. Diferencia de cuadrados perfectos


• Expresiones como:

son denominadas diferencias de cuadrados perfectos, pues los términos que las forman tienen raíz cuadrada exacta.

2 2 2 2 2 21, 4 ,

9a b x y m n− − −


• Factorizar una diferencia de cuadrados perfectos es el proceso inverso a encontrar el producto de la suma por la diferencia de dos cantidades.

• La diferencia de cuadrados perfectos se factoriza como el producto de dos binomios; uno con suma y el otro con resta. Los términos de estos binomios son raíces cuadradas de cada uno de los términos de la diferencia planteada inicialmente


• Caso genérico

• Ejemplo: Factorizar la siguiente expresión.

• Se buscan las raíces cuadradas de cada uno de los términos

( ) ( )2 2a b a b a b− = + −

2 2 2 44 9a b x y−

2 2 2 4 24 2 9 3a b ab x y xy= =


• Se factoriza la expresión

• Ejemplo 2: Factorizar la siguiente expresión.

• Se buscan las raíces cuadradas de cada uno de los términos.

( ) ( )2 22 3 2 3ab xy ab xy+ −

2 22516

4m n−

2 225 5 16 4

4 2m m n n= =


• Se factoriza la expresión

• Entonces

5 54 4

2 2m n m n

+ − ÷ ÷

2 225 5 516 4 4

4 2 2m n m n m n

− = + − ÷ ÷


• Ejercicios: Factorizar las siguientes expresiones

4 2

10 12 10

2 6

a) 16 b) 4 9

1 81c) 81 d)

49 529

e) 36 25

t w

m n p

w d

− −

− −

−

4. Suma o diferencia de cubos perfectos


• A partir del trabajo con cocientes notables, se sabe que:

• Como las expresiones anteriores son cocientes exactos, entonces:

3 3 3 32 2 2 2

m n m nm mn n m mn n

m n m n

+ −= − + = + ++ −

( ) ( )( ) ( )

3 3 2 2

3 3 2 2

m n m n m mn n

m n m n m mn n

+ = + − +

− = − + +


Por lo anterior: La suma de dos cubos perfectos se factoriza como el producto de dos factores

• El primer factor es la suma de las raíces cubicas

• El segundo factor es el cuadrado de la primera raíz, menos el producto de las dos raíces, mas el cuadrado de la segunda raíz



• Se buscan las raíces cubicas de cada termino

• Se factoriza

3 6 927 8x y x+

3 3 6 9 2 3327 3 8 2x x y x y x= =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 222 3 2 3 2 33 2 3 3 2 2x x x x x x x y x + − +


• Se resuelven las operaciones indicadas:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 222 3 2 3 2 33 2 3 3 2 2x x x x x x x x x + − +

( ) ( )2 3 2 4 2 6 43 2 9 6 4x x x x x y x y= + − +


La diferencia de dos cubos perfectos se factoriza como el producto de dos factores

• El primer factor es la diferencia de las raíces cubicas

• El segundo factor es el cuadrado de la primera raíz, mas el producto de las dos raíces, mas el cuadrado de la segunda raíz



• Se buscan las raíces cubicas de cada término

6 12164

27m n−

36 2 12 431 1

64 427 3m m n n= =


• Se factoriza y se resuelven las operaciones indicadas

• Entonces

( ) ( )2

22 4 2 2 4 41 1 14 4 4

3 3 3m n m m n n

= − + + ÷ ÷ ÷

6 12 2 4 4 2 4 81 1 1 464 4 16

27 3 9 3m n m n m m n n

− = − + + ÷ ÷


• Ejercicios: Factorizar las siguientes expresiones

3 3 12

3 6 12 9 3 3

3 9

) 1 b) 1 c) 64

125d) 512 e)

81

f) 273

a w x a

x y z t p q

m b

+ − −

− +

−

5. Suma o diferencia de potencias iguales

5. Suma o diferencia potencias iguales

• Antes de plantear una regla general para factorizar expresiones de la forma

, es necesario recordar algunas conclusiones con respecto a los cocientes de la forma

n nx a±n nx a

x a

±±


es divisible entre , si y solo si n es impar.

nunca es divisible entre .

es divisible entre para todo valor de n

(par

n nn n

n nn n

n nn n

x ax a x a

x a

x ax a x a

x a

x ax a x a

x a

+ + +++ + −−− − −−

o impar).

es divisible entre si y solo si n es par.n n

n nx ax a x a

x a

− − ++


• Las expresiones de la forma se pueden factorizar, teniendo en cuenta las conclusiones anteriores y la siguiente regla.

• Si es divisible entre se puede expresar como el producto de dos factores. Así:El primer factor es de la forma

n nx a±

n nx a± x a±

x a±


• El segundo factor es un polinomio de n términos con las siguientes características– El primer termino es y el ultimo es– Los otros términos son productos de x y a

en donde los exponentes de x disminuyen de uno en uno a partir del primer termino y los exponentes de a aumentan a partir del segundo termino.

1xn− 1an−


– Si es un factor de , los signos del segundo factor son todos positivos.

– Si es un factor de los signos del segundo factor se escriben alternados.

Ejemplo: Factorizar

x a− n nx a±

x a+ n nx a±

5 5m n+


• Se tienen en cuenta las condicionas anteriores no es divisible entre

. Así que solo es divisibles entre

• Por lo tanto

5 5m n+m n− 5 5m n+

m n+

( ) ( )5 5 4 3 2 2 3 4m n m n m m n m n mn n+ = + − + − +


• Ejemplo 2: Factorizar• es divisible entre y

por lo tanto la expresión se puede factorizar de dos formas

8 8a b−8 8a b− a b− a b+

( ) ( )( ) ( )

8 8 7 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 7

8 8 7 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 7

a b a b a a b a b a b a b a b ab b

a b a b a a b a b a b a b a b ab b

− = − + + + + + + +

− = + − + − + − + −


• Ejercicios: Factorizar

5 7 7

4 8 10 5

a) 1 b)

1 1c) d) 243

16 32

w w x

w t p q

+ +

− −

factorización parte 1

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