APRENDAMOS A

FACTORIZAR

Se llama factores o divisores, a las expresiones algebraicasque multiplicadas entre sí, dan como producto la primeraexpresión.

Al proceso de encontrar los factores o divisores a partir deuna expresión determinada se llama descomposiciónfactorial o factores. En otras palabras, el factoreo, es elproceso inverso de la multiplicación y la división, enconsecuencia de los productos y cocientes notables.

El proceso de encontrar factores, está dependiendo deciertas características que las expresiones algebraicaspresentan.

Las características más comunes depolinomios factorizables, son:

1. Polinomios que tienen factores comunes.2. Binomios con diferencias decuadrados3. Trinomios cuadrados perfectos4. Trinomio de la forma ax2 + bx + c

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS QUETIENEN FACTOR COMÚN

Un factor común está sobre la base de la ley distributiva del producto sobre la suma.

La clave de la solución a estos ejercicios está en encontrar dicho factor. En algunos polinomios es fácil y en otros, se requiere de realizar procedimientos para identificarlos. ejemplo:En el polinomio:ax + bx - 3x

El valor que se repite en todos los términos se denomina factor común, y en este caso es “x”

Cuando se identifica el término común, se escribe comocoeficiente de un paréntesis, y dentro del paréntesis loscocientes de dividir cada uno de los términos, entre elfactor común.

A) Cuando el polinomio tiene letras y/o números que se

repiten

Identificar las letras y números que se repiten, estas serán el

factor común.

Si éste, se encuentra con exponente, se selecciona el que es de

menor exponente. ejemplo:

m2x5 + m3y4 - m4n2 El factor común es m2

Se escribe el factor común como coeficiente de un paréntesis, y

dentro de éste, se coloca el cociente de dividir cada uno de los

términos de la expresión original entre el factor común,

identificado en el paso anterior.

B) Cuando los términos del polinomio tienen coeficientes

que son divisibles entre si.

Se obtiene el máximo común divisor (M.C.D) de todos los

coeficientes de la expresión y este será parte del factor común a

encontrar. Cuando existen una o varias letras que son comunes,

entonces se toma la de menor exponente. ejemplos:

Factorar 5x2 – 10x3y + 30x4y2

El MCD de los coeficientes 5 – 10 – 30 es 5

5 10 30 5

1 2 6

luego, la parte literal que se repite es x2

Siempre se deberá tomar la letra que tiene el menor exponente

En consecuencia, el factor común es 5x2

Factorar las expresiones:

1) x2 + x 2) 2x – 5x2

3) a3 b2 – 2a3b 4)16x3 + 4x5 – 12x7

5) 96 – 48mn2 + 144n3

6) 14x2y3 – 28x3 + 56x4

7)10ab + 15a2b + 25ab2 – 5ab

C) Cuando en el polinomio se encuentran otros polinomios que se repiten

Cuando se identifican polinomios agrupados que se repiten, se consideran como si fueran una sola expresión y se realizan los procedimientos descritos anteriormente. Ejemplo:

Descomponer:

2x(n – 1) – 3y (n – 1).

Se puede observar que el factor común es (n – 1)

D) POLINOMIO POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS

Este tipo de polinomio presenta varios factores comunes, por lo que se agrupan de acuerdo a los factores comunes identificados en cada grupo. Ejemplo:a) Factorar ax + bx +ay + bSe agrupan los términos que tienen factores comunes, así:(ax + bx) + (ay + by)Se realiza el proceso de descomposición factorial de cada una de las expresiones.x (a + b) + y(a + b)luego, se descomponen utilizando el procedimiento aplicado anteriormente

Respuesta: ( a + b) (x + y)

b) Factorar x(a + 1) - a - 1

Esta expresión equivale a escribir x(a + 1) -1 (a +1)

En este caso el factor común es:

(a + 1)

Entonces dividimos la expresión original entre este

factor común:

Por lo tanto, la respuesta quedará:

(x -1) ( a + 1)

Factorar las expresiones:

1) 3x(x – 1) – 2y(x – 1) +2(x– 1) 2) x2(m – 1 - n) - (m – 1 - n ) 3) 7a(x – y) + x – y 4) 4am3 – 12amn – m2 + 3n 5) 2a2x – 5a2y + 15by – 6bx 6) 6ax + 3a + 1 + 2x7) nx – ny + nz + x – y + x8) 3ax – 3x + 4y – 4ay9) 4x(m – n) + n – m10) d(x + y) – x – y

DIFERENCIA DE CUADRADOSEn los productos notables se pudo ver que la suma de dos cantidades por su diferencia, es igual al cuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraendo

Siempre aparecerán dos términos que tienen raíces cuadradas exactas, separadaspor un signo menos.El procedimiento para obtener la factorización de una diferencia de cuadradoses el siguiente:

Factorar las expresiones siguientes:

1) 16 – x6

2) b8 – 49

3) 1 – a4

4) 25x2 – 36y2

5) 4m8 – 121n4

6) 4 – (x – 2)2

7) (a + 2)2 – (1 – a)2

8) (2a – c )2 – (a + c)2

9) 25x2 – (5 + x)2

10) (x – y)2– (x – 1)2

11) (a + 1)2 - 4

12) (x -3)2 - (y + 3)2

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO (TCP)Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el

cuadrado de otra cantidad.Así: a2 es un cuadrado perfecto porque es el cuadrado de a, 9b2 es cuadrado perfecto por que es el cuadrado de 3b.Para extraer la raíz cuadrada de un monomio, se extrae la raíz de su coeficiente y se divide el exponente de cada factor literal por 2.

Así, la raíz cuadrada de 16x4 es 4x2

Por productos notables sabemos que(a + b)2 = a2 + 2ab + b2, por tanto

a2 + 2ab + b2 es el trinomio cuadrado perfecto porque es el cuadrado de a + b

El procedimiento para identificar si un trinomio es cuadrado perfecto es:

Ejemplo: 9x2 -12 xy + 4y2

Comprobar si el trinomio es cuadrado perfecto.

Se obtienen las raíces cuadradas del primero y tercer término raíz cuadrada de 9x2 es 3x y la raíz cuadrada de 4y2 es 2y

Se obtiene el doble del producto de las raíces obtenidas anteriormente.

(2) (3x) (2y) = 12xy

Entonces 9x2 -12 xy + 4y2 = (3x – 2y)2

Factorar las expresiones:

1. 4a2 – 20ab + 25b2

2. 9b2 – 30a2b + 25a4

3. 49m6 + 25a2n4 – 70am3n2

4. 4x2 – 12xy + 9y2

5. 4m2 + 9n2 + 12mn

Existen ocasiones en que el trinomio cuadrado perfecto, se encuentra implícitamente con otros términos, es decir, pueden no aparecer tres términos, sino cuatro o más.Considere las ilustraciones siguientes:1) Factorar: 4x2 + 25y2 – 36 + 20xy

SOLUCIÓN:

Se identifica el trinomio cuadrado perfecto, escribiéndolo dentro de un paréntesis.

Se ordenan 4x2+ 20xy + 25y2 – 36

Se agrupan (4x2+ 20xy + 25y2) – 36

Descomponer el trinomio cuadrado perfecto.

La raíz cuadrada de 4x2 es 2x

La raíz cuadrada de 25y2 es 5y

Luego 2(2x) (5y) = 20xy

Se verifica si el término independiente tiene raíz

cuadrada exacta, en caso de no tenerlo, termina el

ejercicio, pero si tiene raíz cuadrada exacta, se

realiza una diferencia de cuadrado.

(2x + 5y)2 – 36

Luego, se factoriza la diferencia de cuadrados.

[(2x+5y)+6][(2x+5y)-6]

(2x + 5y + 6) (2x + 5y - 6) respuesta

2) Factorar: a2 + 2ab + b2 - 1

Encuentra los factores del polinomio siguiente: a2 + 2ab + b2 – 1

Se identifican el trinomio cuadrado perfecto (a2 + 2ab + b2 ) – 1

Se factorizan el trinomio (a + b)2 – 1

Se factorizan las diferencias de cuadrados(a + b + 1) (a + b - 1) respuesta

Factorar las expresiones

1) 9x2 + 25y2 – 30xy – 16

2) m2 + 2mn + n2 – 25

3) m2 – x2 –2xy – y2

4) 25 – x2 – 16y2 + 8xy

5) 49x4 25x2 – 9y2 + 30xy

6) a2 – 16 – x2 + 36 + 12a – 8x

TRINOMIO DE LA FORMA ax2 + bx +cAnteriormente se estudió en los productos notables que (3x + 5) (4x + 6) se obtiene 12x2 + 12x + 30, en la misma forma se puede realizar el procedimiento inverso así:

Para poder realizar el camino inverso y decir que los factores

de 3x2 – 5x -2

son (x - 2) (3x + 5)

descomponer en sus factores el polinomio

3x2 - 5x - 2

El primer coeficiente se deberá multiplicar por cada uno de los

términos, dejando indicado el segundo término con el valor que

posee y en la misma forma se deberá dividir por el mismo valor

para no alterar la expresión.

Lógicamente si el primer coeficiente tiene valor de uno, no se

deberá hacer esta parte

3(3x - 5x - 2)

3

Se multiplica todo el trinomio por el mismo factor del primer término, y dividiéndolo por el mismo factor

9x - 5(3x) - 6

3

se descompone en dos términos haciendo uso de paréntesis, escribiendo en cada uno de ellos la raíz cuadrada del primer término.

(3x ) (3x )

3

Se escribe el signo en cada paréntesis el cual se hace de la manera siguiente:a) El signo que le corresponde al primer paréntesis es el mismo que tiene el segundo término del trinomio;b) El signo correspondiente al segundo paréntesis es el resultado de lamultiplicación de los signos del segundo y el tercer término del trinomio.

Se escribe el segundo término de los paréntesis, de acuerdo a los dos

signos encontrados en el paso anterior, los cuales se hacen con los

criterios siguientes:

a) Si los signos son iguales, se buscan dos números cuya suma,

sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y el producto

del tercer término.

Estos dos números encontrados serán los segundos valores de los

binomios.

b) Si los signos son contrarios, se buscan dos números cuya diferencia sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y el producto sea igual al tercer término.

Para que no exista la posibilidad de equivocarse, escribe siempre el número mayor en el primer paréntesis.

Estos dos números encontrados, serán los segundos valores de los binomios.

Como los signos que tienen los paréntesis son distintos, se buscan dos números que multiplicados resulten 6 y restados resulten 5

6 x 1 = 6 y 6 - 1 = 5

( 3x - 6 ) ( 3x + 1 )

3 * 1

Se obtiene el factor común del primer paréntesis y se simplifican si es posible

1

3 (x - 2 ) (3x + 1 )

3

Luego:

3x2 - 5x - 2 = (x - 2) (3x + 1)

Factorar las expresiones:

1) x2 + 7x + 10 7) 12 – 7m – 10m2

2) 2x2 + 3x – 2 8) m – 6 + 15m2

3) x2 + 3x – 10 9) c2 + 33 - 14c4) 5x2 + 13x – 6 10) 18p2 - 13p - 55) c2 + 5c – 24 11) 20x2 + 7x - 66) 9b2 + 10b + 1 12) 15 + 2n - n2

Cuando tenemos una suma de cubos y queremos

factorizarla, sacamos la raíz cúbica de las dos

cantidades y estas son colocadas en un paréntesis,

separadas por el mismo signo de la suma.

A continuación abrimos otro paréntesis y escribimos en

el la primera cantidad elevada al cuadrado, menos la

primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la

segunda cantidad.

Ejemplo:

Factorizar 8m3 + n3 =(2m+n)[(2m)2-(2m)(n)+(n)2]

=(2m+n)(4m2-2mn+n2)

2m n

√3

3√

Cuando tenemos una diferencia de cubos y queremos factorizarla, sacamos la raíz cúbica de las dos cantidades y estas son colocadas en un paréntesis, separadas por el mismo signo de la resta.

A continuación abrimos otro paréntesis y escribimos en el la primera cantidad elevada al cuadrado, más la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.

Ejemplo:

Factorizar 8m3- 27n3 =(2m-3n)[(2m)2-(2m)(3n)+(3b)2]

=(2m-3n)(4m2-6mn+9n2)

2m 3n

√3

3√

1) 6x4y – 9x3y2 + 12x2y3

2) 5a2 – a

3) xz + xy – x2

4) x2 – 81

5) 6x2 – x – 2

6) (a + 1) (x + y) – (a + 1)

7) (x – y)2 - ax +ay

8) x3 + 2x2 +yx + 2y

9) (x – y)2 – 25

10) 7x2 + 31x - 20

11) a2 + 4a + 4

12) 10a2 + 29a + 21

13) x2 – 9y2

FACTORICE LOS POLINOMIOS SIGUIENTES

14) 16b2 + 24bm + 9b2

15) 1 + 18ab + 81a2b2

16) 8a2 – 22a – 21

17) 14√x – 3c – 5c2

18) (x + y)2 – z2

19) 4a2m + 12a2n – 5bm – 15bn

20) n4 + n2 + 1

21) a2 – x2 – a – x2

22) 5b2 + 7b + 2

23) n2 + n – 42

24) (6a – 3b) (a + b) + (6a – 3b) (5a

+10b)

25) 20 – x – x2

26) 81a2 – 4b2c8

27) 16 – (2a + b)2

28) ax – ay – bx + by

29) x2 + 14x + 49

30) ax + a – x - 1

31) 7x2 + 31x - 20

32) m4 + m2n2 + n4

33) 1 + 2x + x2 – y2

34) 25b2 + 90b + 81

35) x2 + 6x + 9