Repartido 1

Profesor Fernando Díaz Matemática II 5to cient. I.D.A.L. 2016

CONTEXTO :

JUSTIFICACIÓN :

La ciencia utiliza el método deductivo, que consiste en encadenar los saberes de manera tal que se

obtengan nuevos conocimientos.

En Geometría, existen puntos de partida necesarios para obtener nuevos saberes y que son aceptados

por sí mismos : son los axiomas y postulados ; es decir se fijan conceptos primitivos que se aceptan sin definir

y ciertas propiedades que se aceptan sin demostrar, que son los axiomas. A partir de los conceptos primitivos

( punto, recta, plano ) se definen nuevos conceptos y de los axiomas se deducen nuevas propiedades

apareciendo los teoremas, que son verdades que deben ser demostradas y de las cuales puedo obtener otras

proposiciones que son los corolarios.

Ejercicio 1 Investiga que significa cada uno de los siguientes conceptos, y completa el cuadro

AXIOMA :

POSTULADO :

TEOREMA :

COROLARIO :

Geometría: podemos partir de que es la Ciencia que estudia las propiedades de las

figuras desde el punto de vista de la forma, de la magnitud, de la posición.

Algunos conjuntos de puntos son:

Nombre del

Conjunto

PUNTO RECTA SEGMENTO SEMIRRECTA PLANO

Representación

Simbolo

Se lee

Punto P

Recta MN

Recta NM

Segmento

MN

Segmento

NM

Semirrecta

MN

Plano α

A

O

B

ÁNGULO: podemos darle la siguiente definición : “es la porción de un plano limitada

por dos semirrectas que tienen el origen común”.

Un ángulo se mide (en grados sexagesimales), en grados, minutos y segundos.

El circulo completo mide 360º, es decir, un grado es la trescientas sesenta ava parte del circulo

completo.

Un grado se divide en 60 partes iguales y cada una de estas partes se llama minuto, es decir:

Un minuto se divide en 60 partes iguales y cada una de ellas recibe el nombre de segundo, es decir:

CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS : (completa el cuadro)

ÁNGULO COMPLETO ÁNGULO LLANO ÁNGULO OBTUSO

mide

mide Mide

Dibujo

Dibujo Dibujo

ÁNGULO RECTO ÁNGULO AGUDO

mide

mide

Dibujo

Dibujo

SUMA (RESTA) DE ANGULOS: Los ángulos expresados en grados, minutos y segundos se pueden sumar

o restar como sigue:

Ejemplos: 1) Suma de ángulos: 15º 28’ 35’’

+ 48º 47’ 52’’

63º 75’ 87’’

Luego, 63º 76’ 87’’ = 64º 16’ 27’’

1º = 60’

1’ = 60’’

O = vértice del ángulo

OA

y OB semirrectas

AOB BOA

2) Realiza la resta: 150º

- 122º 45’ 35’’

Así 149º 59’ 60’’

- 122º 45’ 35’’

27º 14’ 25’’ Ejercicio 2

A) Determinar el valor de los siguientes ángulos:

AOC = BOE =

BOD = COF =

AOE = DOF =

AOF =

B) Dados los siguientes ángulos:

= 23º 45’ , = 120º 40’ 32’’ , = 92º 10’ 20’’ Calcula

a) + + = b) - = c) 2

C) En la figura, OC es bisectriz del AOB.

Encuentra el valor de x e y , si AOB = 140º.

2y-20º

x+10º

DEFINICIONES :

ÁNGULOS ADYACENTES Dos ángulos son adyacentes si tienen un lado

en común.

y son adyacentes

ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS:

Dos ángulos adyacentes son complementarios si suman

en conjunto 90º.

9

D C B

42º 45º

30º

E 51º 0 A

F

A C

O B

L1

ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS Dos ángulos adyacentes son suplementarios

si suman en conjunto 180º

180º

ANGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA

SECANTE.

1 2

3 4

5 6

7 8

Ejercicio 3

A) En la figura, ¿ cuál es el valor de x ?

2x-1 29º

B) En la figura, ¿ cuál es el valor de x ?

x+80

70°

C) En la figura, encuentra los valores de x e y

D) La suma de las magnitudes de dos ángulos es 124º. Si la medida de uno de ellos

es el

triple de la del otro. ¿ cuál es la medida de cada uno de ellos ?

E) Tres ángulos suman 157°. El mayor mide 32º más que el segundo, y éste 25º más

que el tercero. ¿ Cuánto vale cada ángulo ?

F) G) H)

1 4 5 8

2 3 6 7

3x 2x 5x

2x-10°

x+40°

x+50°

2x-80°

y+10º

2x 3x-70º

L2

CONSTRUCCIONES BÁSICAS.

Es necesario para el trabajo posterior de polígonos, sepas realizar las construcciones

básicas de geometría, esto es con compás y escuadra.

Ejercicio 4

A) Copia en tu cuaderno el ángulo dado en la figura :

B) En tu cuaderno, construye la mediatríz

del segmento AB:

La mediatriz es la perpendicular en el

punto medio del segmento dado.

A

B

C) Construye la bisectriz del ángulo dado.

D) Desde un punto P exterior a la recta L, traza otra recta perpendicular a la recta dada.

X P

L

E) Encuentra el conjunto de todos los puntos del plano que están a distancia “d” del punto dado P.

d x P

F) Comprueba con tus útiles , que los ángulos opuestos por el vértice

son iguales entre sí.

G) Desde un punto exterior P a una recta L, traza una

paralela a la recta dada.

P

POLÍGONOS.

POLÍGONO es una figura limitada por segmentos de rectas.

Los polígonos pueden ser cóncavos o convexos.

POLÍGONO CONVEXO POLÍGONO CÓNCAVO.

Se clasifican de acuerdo al número de lados:

3 lados es un _________________

4 lados es ___________________.

5 lados es un _____________________

6 lados es un _______________________

10 lados es un _____________________

20 lados es un __________________

ANGULOS INTERIORES DE UN POLÍGONO

La suma de los ángulos interiores se obtiene multiplicando 180º por el número

de lados del polígono menos dos.

DIAGONALES

Número de diagonales que parten de un sólo vértice.

S = 180º ( n - 2 )

D = n

2 ( n - 3)

i = 180 2º ( )n

n

c = 360º

n

e = 360º

n

El número de diagonales que se pueden trazar en un polígono de n lados, desde un mismo

vértice se obtiene restando tres al número de lados.

NÚMERO TOTAL DE DIAGONALES.

El número total de diagonales que se pueden trazar en un polígono de n lados se obtiene

según la siguiente fórmula:

POLIGONO REGULAR. Es el polígono que tiene todos sus lados iguales y sus ángulos congruentes.

Además se puede inscribir en una circunferencia.

a) Angulo Interno: como tiene todo sus ángulos congruentes, se

divide la suma total por el número de ángulos.

b)

Angulo del centro: se divide 360º por el número de lados del

polígono

.

c)

Angulo exterior: también se obtiene dividiendo 360º por el

número de lados.

Ejercicio 5

A) ¿Cuánto mide el ángulo interior de un decágono regular?

B) ¿Cuánto mide la suma de los ángulos interiores de un polígono de 8 lados?

i

c

d = n - 3

e

C) ¿Cuántas diagonales se pueden trazar en total en un polígono de 9 lados?

D) ¿Cuál es el polígono regular cuyo ángulo interior mide 150º ?

E) ¿En qué polígono se pueden trazar 9 diagonales en total ?

F) En un polígono regular de 12 lados:

i) ¿cuánto mide cada ángulo interior?

ii) ¿cuánto mide cada ángulo exterior?

iii) ¿cuánto mide cada ángulo central?

TRIÁNGULOS.

Identificar los triángulos.

ABC triángulo cualquiera

C AB , BC y AC lados del triángulo

interiores

, , exteriores

A

’ A, B y C vértices del triángulo

CLASIFICACION DE TRIÁNGULOS.

SEGÚN SUS LADOS.

1. EQUILÁTERO AB BC AC

2. ISÓSCELES AC BC

3. ESCALENO AB BC AC

B `

SEGÚN SUS ÁNGULOS :

4. ACUTÁNGULO Todos sus ángulos interiores son agudos.

5. RECTÁNGULO 1 ángulo recto y dos agudos suplementarios

6. OBTUSÁNGULO 1 ángulo obtuso y dos agudos.

PROPIEDADES DE TODO TRIÁNGULO :

I. LOS TRES ÁNGULOS INTERIORES SUMAN EN CONJUNTO 180º.

II. LOS TRES ANGULOS EXTERIORES EN CONJUNTO, SUMAN 360º.

III. CADA ANGULO EXTERIOR ES EQUIVALENTE A LA SUMA DE LOS DOS

ÁNGULOS INTERIORES NO ADYACENTES.

Ejercicio 6

A) De los tres ángulos de un triángulo el

mayor mide 32 más que el segundo y

éste 25 más que el tercero. ¿ Cuánto

mide cada ángulo ?

B) El ángulo basal de un triángulo

isósceles mide 57 más que el

ángulo del vértice.

¿ Cuánto mide cada ángulo ?

C) Los ángulos interiores de un triángulo

están en la razón de 3 : 5 : 7. ¿ Cuál es

la medida del ángulo del medio ?

D) El perímetro de un triángulo

equilátero es 24. ¿ Cuál es la

magnitud de su lado ?

Hallar x e y en cada caso

E) F)

30º

G) H)

x

120º

100º

35º 62º

x

SEGMENTOS SECUNDARIOS EN UN TRIÁNGULO.

I.BISECTRICES.

C AE = b

BF = b

CD = b

F E Las tres bisectrices se cortan en un mismo

punto que sirve de centro a la circunferencia

INSCRITA.

A D B

DICHO PUNTO SE LLAMA INCENTRO.

II. MEDIANAS

C E punto medio de BC

D punto medio de AB

F punto medio de AC.

F E AE = ta ; BF = tb ; CD = tc

G

Las tres medianas se cortan en un sólo

punto llamado CENTRO DE GRAVEDAD o

BARICENTRO A D B

65° x x

20°

y

35º

y

y

Una característica especial de las medianas es que el segmento adyacente al vértice es el doble

del segmento adyacente al lado. es decir, AG = 2GE.

III. ALTURAS DEL TRIÁNGULO.

C La altura es un segmento perpendicular al

lado bajada desde el vértice opuesto.

CD AB ; AE BC ; BF AC

E Las tres alturas se cortan en un

F mismo punto llamado

ORTOCENTRO.

A D B

IV. PARALELEA MEDIA

C D, E y F son los puntos medios de los

lados del triángulo.

DE, EF y FD son las medianas.

Cada paralela media que une dos puntos

medios es paralela al lado al tercer lado y

es la mitad de dicho lado.

V. MEDIATRICES

Mmediatriz es la perpendicular levantada

en el punto medio de cada lado del

triángulo.

Las tres mediatrices se cortan en un solo

punto que sirve de centro a la

circunferencia circunscrita, es decir, pasa

por cada vértice del triángulo. Dicho punto

se denomina

CIRCUNCENTRO.

A

B

F

E

D

Ejercicio 7

A) ¿Qué puedes decir acerca de las alturas?. Dibújalas.

i) en un triángulo rectángulo Conclusiones

B

C A

ii) en un triángulo acutángulo Conclusiones B

A C

iii) en un triángulo obtusángulo Conclusiones

B

A C Dibuja las medianas : Conclusiones

B

A C

Traza las mediatrices de los lados del triángulo :

Conclusiones B

A C

Traza las medianas

Conclusiones B

A C

CONSTRUCCIONES DE TRIÁNGULOS

PRIMER CASO : Se conocen los tres lados.

Construye un triángulo dados : lado a = 4 ; b = 5 cm y c = 6 cm.

Construcción :

1º Se dibujan los tres segmentos dados

2º Se traza una recta. Se determina el vértice A. Se dibuja una arco centro A y con

radio c. Se determina el vértice B.

3º Desde A se traza un nuevo arco hacia C con radio b.

4º Desde el vértice B se traza un arco hacia C con radio a.

5º Queda determinado el vértice C. Se une A con C y b con C

a b c

b a

A c B Ejercicio 8

EN TU CUADERNO :

A) Dibuja un triángulo dados : a = 12 : b = 7 ; c = 8

B) ¿ Crees tú poder construir una triángulo dados a = 4 ; b = 6 ; c = 12 cm. ?

SEGUNDO CASO : Se conocen dos lados y el ángulo formado por ellos..

Construye un triángulo dados : lado b = 4 ; c = 5 cm y = 60º.

Construcción :

1º Se dibujan los dos trazos dados y el ángulo de 60º

2º Se traza una recta. Se determina el vértice A. Se dibuja una arco centro A y con

radio c. Se determina el vértice B.

3º En A se copia el ángulo de 60º. Se obtiene el lado libre del ángulo .

4º Sobre el lado libre del ángulo se copia el segmento b. Se determina el vértice C.

5º Se une B con C y queda construido el triángulo.

CONSTRUCCIÓN ( EN TU CUADERNO )

EN TU CUADERNO :

C) Construye un triángulo dados : b = 4,5 cm ; c = 5,0 cm y = 50º

D) Construye un triángulo dados : b = 52 mm ; a = 35 mm y = 65º

TERCER CASO : Se conocen un lado y los dos ángulos contiguos.

Construye un triángulo dados : lado c = 4,6 cm ; = 120º y = 30º.

Construcción :

1º Se dibujan el trazo dado y los dos ángulos dados.

2º Se traza una recta. Se determina el vértice a. Se dibuja una arco centro A y con

radio c. Se determina el vértice B.

3º En el vértice A se copia el ángulo .

4º En el vértice B se copia el ángulo .

5º Se unen los vértices con los puntos determinados en cada arco. Queda determinado

el triángulo ABC.

EN TU CUADERNO :

E) Construye un triángulo dados : a = 4,5 cm ; = 75º y = 50º

F) Construye un triángulo dados : b = 52 mm ; = 105º y = 35º

CUARTO CASO : Se conocen dos lados y un ángulo.

Construye un triángulo dados : lado c = 4,6 cm ; b = 5,4 cm y = 85º.

Construcción :

1º Se dibujan los tres datos

2º Se traza una

3º

4º

5º

EN TU CUADERNO :

G) Construye un triángulo dados : b = 4,5 cm ; c = 5,0 cm y = 50º

H) Construye un triángulo dados : b = 52 mm ; a = 35 mm y = 65º

Ejercicio 9

A) El pueblo A está situado a 23 km al sur del pueblo B. El pueblo C está 35 km al

suroeste de B. ¿ Cuál es la distancia entre A y C?

B) Desde un acantilado, Luis observa un barco bajo un ángulo de 20º. Luis se

encuentra a 15 metros sobre el nivel del mar. ¿ A qué distancia está el barco

CONGRUENCIAS

ESTAS SÍ SON FIGURAS CONGRUENTES

ESTAS SÍ SON FIGURAS CONGRUENTES

ESTAS NO SON FIGURAS CONGRUENTES

Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma y el mismo tamaño, es decir,

si al colocarlas una sobre la otra son coincidentes en toda su extensión.

Esto significa que deben tener lados y ángulos iguales :

AB = A’B’ , A = A’

A A’ AC = A’C’ , B = B’

BC = B’C’ , C = C’

B C B’ C’

La notación de que un triangulo es congruente con otro lo anotamos ABC A’B’C’

Existen criterios que permiten afirmar que dos triángulos son congruentes :

CRITERIO ANGULO - LADO - ANGULO ( A . L ..A)

Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales un lado y

los ángulos adyacentes a él :

C A : A = A’ C’

L : AB = A’B’ A : B = B’

’ ’

A B A’ B’

2. CRITERIO LADO - ANGULO - LADO ( L . A .L )

Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales 2 lados y el

ángulo comprendido entre ellos :

C L : AC = A’C’ C’

A : = ’ L : AB = A’B’

’ ’

A B A’ B’

3. CRITERIO LADO - LADO - ANGULO ( L . L. A . )

Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales 2 lados y el ángulo

opuesto al mayor de ellos :

C L : AC = A’C’ C’

L : BC = B’C’ ’ A : = ’

’ ’

A B A’ B’

4. CRITERIO LADO - LADO - LADO ( L . L. L . )

Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente iguales :

C L : AC = A’C’ C’

L : BC = B’C’ ’ L : AB = A’B’

’ ’

A B A’ B’

DOS EJEMPLOS DE APLICACIÓN :

C

1) TEOREMA : La bisectriz correspondiente

al ángulo basal de un triángulo isósceles es

perpendicular a la base y la biseca. 1 2

Hipótesis : ABC es isósceles

CD es bisectríz

Tesis : ADC = CDB = 90º

y AD = DB A D B

Demostración : En primer lugar se deben ubicar los datos de la hipótesis en la figura

para luego darse cuenta cuál es el criterio a utilizar , así :

L : AC = BC (lados iguales de un triángulo isósceles )

A : 1 = 2 (por ser CD bisectríz )

L : CD = CD ( lado común a los dos triángulos )

Por tanto : ADC DBC ( por criterio L.A.L.)

Ahora, si dos triángulos son congruentes, entonces todos sus elementos respectivos

son iguales ( se dice que los elementos homólogos son iguales) , así :

ADC + CDB = 180º ( son ángulos adyacentes )

y como éstos son iguales, cada uno mide 90º ( los ángulos homólogos son los opuestos a

lados iguales ).

Además : AD = DB ( por ser elementos homólogos )

Q. E. D. ( Queda Esto Demostrado )

2) En la figura : F E

Hipótesis : FA = DA y CFA = EDA A

Tesis : i) ACF ADE

ii) A es el punto medio de CE

C D

Demostración :

I : CFA = EDA ( por hipótesis )

II : FA = DA ( por hipótesis )

III: CAF = EAD ( ángulos opuestos por el vértice )

por tanto : i) ACF ADE ( por criterio L.A.L.)

ii) CA = EA ( lados homólogos )

3) En la figura : C

Hipótesis : AC = AD y BC = BD

Tesis : i) ABC ABD A B

ii) ACB = ADB

Demostración :

I: AC = AD ( por hipótesis )

II : BC = BD ( por hipótesis )

III : AB = AB ( por hipótesis )

Así : i) ABC ABD ( por criterio L.L.L.)

ii) ACB = ADB ( ángulos homólogos )

E J E R C I C I O S.

1) Considera los siguientes pares de triángulos, en los que se indica los lados o ángulos

respectivamente congruentes. ¿ En qué casos se puede asegurar la congruencia del par de

triángulos ? Indica el criterio utilizado en cada caso :

a) B F b) E

A C D

E A F

D B

C

AB = DE , AC = DF

AC = FE , AB = ED

BC = DF CAB = EDF

c) N d) D C

M R

L

A B

J K DAB = CBA

DBA = CAB

MN = LJ AB = AB

MR = JK

D

NRM = LKJ

E

e) f) A D

A

D F B C

E F

C B

BC = EF AB = BC = AC

AB = DE DE = DF = FE

2) Señala en qué condiciones serían congruentes ( Realiza un dibujo )

a) Dos trazos o segmentos b) Dos rectángulos

c) Dos cuadrados d) Dos circunferencias

3) Responde , EN EL CUADERNO ,las siguientes preguntas ( Justifica tus

respuestas )

a) ¿ Pueden dos triángulos ser congruentes sin ser coplanares ?

b) ¿ Pueden dos artículos manufacturados en serie llamarse congruentes en el más

estricto sentido matemático ?

c) Un cuadrado tiene un lado igual a uno de los lados de otro cuadrado. ¿ Son los

cuadrados necesariamente congruentes ?

d) Un cubo tiene igual arista a una arista de otro cubo. ¿ Son los cubos congruentes ?

En los casos siguientes demuestra lo que se indique :

R

4) Hipótesis : 1 = 2 ; 3 = 4

Tesis : RZS RZT 1 2

3 4

T Z S

T

5) Hipótesis : 3 = 4 = 90º ; RS = RT

Tesis : RZS RZT 3

R 4 Z

S

6) Hipótesis : DE EF ; XY XZ E X

D = Y ; DZ = FY

Tesis : DEF XYZ

D Z F Y

7) Hipótesis : AC = BC y CD = CE C

Tesis : ADC BEC

A D E B

CUADRILÁTEROS.

CUADRADO

lados iguales

ángulos rectos

diagonales se

bisecan y son

perpendiculares

entre sí.

PARALELOGRAMO (dos pares de lados

RECTANGULO

lados paralelos

iguales

ángulos rectos

sus diagonales se

bisecan.

paralelos)

ROMBO

lados iguales

ángulos oblicuos

sus diagonales se

bisecan y son

perpendiculares

entre sí.

ROMBOIDE

lados paralelos

iguales

ángulos oblicuos

sus diagonales se

bisecan

Los ángulos internos y opuestos son congruentes.

Los ángulos internos no opuestos son suplementarios.

ESCALENO (Sus lados no paralelos desiguales)

TRAPECIOS

ISOSCELES

(Sus lados no paralelos iguales )

RECTANGULO

(Tiene dos ángulo rectos

En los casos siguientes , si ABCD es paralelogramo , hallar el valor de las variables:

2y - 2

a) B C b) B C c) B y C

2x E x+40

A D A D A D

2y-10

Perímetro ROMBO = 40 DE = 3 y , BE = x ABCD es rombo

AC = 30 , EC = z

1) En los siguientes casos , si ABCD es un rombo , hallar x e y .

a) B C b) B y+10 C c) B C

2y y +20 x 20

A 3x-7 D A D A D

BAC = 4x - 5

CAD = 2x + 15

2) Sean ABCD trapecio, hallar x e y en los casos siguientes :

a) B C b) B C c) B C

105º 9x+5º y y 7x

3y 2x+10º 2x+10º 4x-30º 2x

A D A D A D

3) Si ABCD es un paralelogramo , hallar x e y en los casos siguientes :

B C

(a) AD = 5x , AB = 2x , CD = y , Perímetro = 84 .

(b) AB = 2x , BC = 3y+8 , CD = 7x25 , AD = 5y10 .

(c) A = 4y60 , C = 2y , D = x .

(d) A= 3x , B = 10x15 , C = y . A D

E J E R C I C I O S.

Usando congruencia de triángulo demuestra las siguientes propiedades de los

paralelógramos :

D C

4) Los lados opuestos de los paralelógramos

son iguales.

AB = CD y AD = BC

A B

A B

5) Los ángulos opuestos de los paralelógramos

son iguales : E

ABC = ADC y DAC = BCD

D C

6) Hipótesis : AD // BC y AB // DC D C

Tesis : ACD ACB

A B

7) Hipótesis : CD = AB y 2 = 4 D C

Tesis : ACD ACB y BC = AD 4

2

A B

8) .Las diagonales de un rombo son perpendiculares D C

entre sí.

Hipótesis : ABCD es rombo

Tesis : AC DB

A B

9) Las diagonales de un rectángulo son iguales. D C

Hipótesis : ABCD es rectángulo

Tesis : AC = BD

A B

.