RELATÓRIO IVFÍSICA EXPERIMENTAL I

Sumário

Introdução ----------------------------------------------------------------------- 3

Objetivo -------------------------------------------------------------------------- 4

Materiais Utilizados------------------------------------------------------------ 4

Procedimento ------------------------------------------------------------------- 4

Discussão e Conclusão ----------------------------------------------------- 13

Bibliografia ----------------------------------------------------------------------14

Introdução:

Desde a época de Aristóteles, diversos estudiosos tentavam explicar certos fatos que os intrigavam, o porquê todo objeto cai ao ser largado na Terra e o porquê mesmo de massas diferentes demoram o mesmo tempo à alturas iguais. Mas, foi a partir do século XVII que dois grandes físicos conseguiram explicar melhor essas características, seus nomes foram Galileu Galilei e Isaac Newton.

Segundo Galileu, desprezando a resistência do ar, objetos de diversas densidades e formas sempre caiam ao mesmo tempo no solo quando lançados a mesma altura e também com mesma aceleração. Entretanto, Galileu não conseguiu demonstrar de forma teórica suas respostas, obtidas de forma empírica.

Através de Newton, os dados obtidos por Galileu foram comprovados e demonstrados com exatidão. Uma parte de sua teoria dizia: "Todos os objetos no Universo atraem todos os outros objetos com uma força direcionada ao longo da linha que passa pelos centros dos dois objetos.”. Essa força de atração foi denominada força gravitacional, na qual quando considerada entre um objeto e a Terra, produz uma aceleração no objeto, chamada de aceleração gravitacional (gravidade).

Por meio do experimento realizado em sala e da teoria dos mínimos quadrados, foi possível comprovar de forma empírica e teórica as conclusões obtidas por Galileu e Newton, onde todo objeto cai com uma aceleração constante, denominada gravidade, e o tempo de queda independe da forma e densidade. A este movimento dar-se o nome de queda livre.

Figura1. Torre de Pisa

Objetivo:

Com os materiais fornecidos, anotar três medidas de períodos obtidos, através da queda de uma esfera até ao solo, para cada altura determinada, de forma separada para a esfera constituída de metal e para a esfera de composição plástica.

Com as coletas de todas as medidas, construir duas tabelas (uma para cada esfera) que forneçam de forma correta e clara os dados coletados, relacionando as medidas de períodos (T) com as alturas (h).

Incluir na tabela também, após os cálculos, o período médio ao quadrado (<T²>) para cada altura e elaborar um gráfico para cada esfera, através do método dos mínimos quadrados, para o caso quadrático <T²>.

A fim da construção da reta, que consiga transmitir os valores mais próximos das medições realizadas, esta fornecerá uma equação horária, pela qual se extrairá a aceleração da gravidade (g). Com isso, analisar os resultados obtidos e dissertar sobre os mesmos.

Materiais utilizados:

1 Sensor de Impacto

1 Cronômetro eletrônico Technos;

1 Esfera de metal;

1 Esfera de plástico;

1 Escala métrica de 2 metros de altura.

Procedimento:

A partir de uma escala métrica de dois metros de altura, fixada na parede, começamos a executar o experimento proposto. Primeiramente realizamos o experimento com a esfera que possuía como matéria constituinte o metal. Da altura de dois metros, esta esfera era solta e de forma simultânea o cronômetro digital era disparado e travado quando a mesma tocava o solo, desta forma obtínhamos uma medida de tempo, de período, da queda da esfera de uma altura de dois metros até o chão. Este procedimento foi repetido mais duas vezes, na altura de dois metros, totalizando assim a coleta de três

medidas de período quando a esfera de metal é solta na altura de 2 metros e toca a superfície. Repetimos essas ações descritas com a finalidade de se obter mais três medidas de período, para a queda da esfera, para cada altura que eram de 1,80m; 1,60m; 1,40m; 1,20m e 1,00m.

De forma análoga, foi feito para a esfera, cujo material constituinte era o plástico (e possuía o mesmo diâmetro da bolinha de metal), e sendo assim, obtivemos também três medidas de período para cada medida de altura estipulada (2,00m; 1,80m; 1,60m; 1,40m; 1,20m e 1,00m).

Resultado e Análise dos Dados:

Para a realização dos cálculos e construção da tabela e gráficos com todos os dados do experimento algumas fórmulas serão utilizadas, as mesmas se encontram abaixo e com suas respectivas explicações:

Fórmula 1

<T²>: é o período médio ao quadrado;

: é a soma de todas as medidas elevadas ao quadrado;

n: é o número de medidas realizadas.

Período médio ao quadrado: o período médio é uma das possibilidades de se caracterizar o período. Consiste no valor médio, no caso da experiência, do tempo do movimento do pêndulo. A unidade do resultado obtido deverá ser expressa em segundos (s), pois estamos tratando da grandeza tempo. O período médio ao quadrado segue o mesmo princípio, porém o cálculo é feito com as medidas elevadas à segunda potência.

, onde:

Fórmula 2

a: coeficiente angular

b: coeficiente linear

Fórmula da reta: Fórmula usada para determinar a equação de pontos pertencentes a uma reta qualquer mostrando relação entre as variações no eixo X e eixo Y, além de determinar o coeficiente angular (a) e o coeficiente linear (b) em um plano cartesiano.

Caso Quadrático:

Fórmula 3

Fórmula 4

a: coeficiente angular

b: coeficiente linear

h: altura da queda da esfera;

<T²>: período médio ao quadrado;

N: número de alturas diferentes que a esfera.

Fórmula 9

r: Coeficiente de determinação

h: altura da queda da esfera;

<T²>: período médio ao quadrado;

N: número de alturas diferentes que a esfera .

Método dos mínimos quadrados: Consiste na montagem de um sistema de equações para o caso linear e outro para o caso quadrático. Através da resolução desses sistemas, será possível determinar os coeficientes angulares e coeficientes lineares, a equação da reta do gráfico e o coeficiente de determinação, que nos fornece os erros mínimos expressados pelos pontos em relação à reta criada, mostrando a melhor representação para os dados. No experimento apenas o caso quadrático será utilizado.

, onde:Fórmula 6

Y = altura final

Yo = altura inicial

vo = velocidade inicial

t = tempo

g = aceleração da gravidade

Equação horária para o movimento uniformemente variado: É o movimento no qual a velocidade escalar varia uniformemente no decorrer do tempo, possuindo aceleração constante.

Com todas as fórmulas apresentadas é possível realizar os cálculos que nos levarão a uma conclusão sobre o experimento realizado.

Caso Quadrático (Esfera de Metal):

<T²>h1 = = ≈ = ≈ 0,40s

<T²>h2 = = ≈ = ≈ 0,35s

<T²>h3 = = ≈ = ≈ 0,30s<T²>h4 = = ≈ = ≈ 0,27s

<T²>h5 = = ≈ = ≈ 0,22s

<T²>h6 = = ≈ = ≈ 0,20s

h(m) T1(s) T2(s) T3(s) <T²>(s) <T>(s)

h1 = 2,00m 0,64s 0,65s 0,62s 0,40s 0,64s

h2 = 1,80m 0,60s 0,59s 0,57s 0,35s 0,59s

h3 = 1,60m 0,55s 0,57s 0,55s 0,30s 0,56s

h4 = 1,40m 0,51 0,51 0,53 0,27s 0,52s

h5 = 1,20m 0,47s 0,48s 0,47s 0,22s 0,47s

h6 = 1,00m 0,45s 0,44s 0,46s 0,20s 0,45s

Caso Quadrático (Esfera de Plástico):

<T²>h1 = = ≈ = ≈ 0,43s

<T²>h2 = = ≈ = ≈ 0,38s<T²>h3 = = ≈ = ≈ 0,34s<T²>h4 = = ≈ = ≈ 0,29s<T²>h5 = = ≈ = ≈ 0,25s

<T²>h6 = = ≈ = ≈ 0,21s

h(m) T1(s) T2(s) T3(s) <T²>(s) <T>(s)

h1 = 2,00m 0,65s 0,67s 0,65s 0,43s 0,66s

h2 = 1,80m 0,61s 0,63s 0,61s 0,38s 0,62s

h3 = 1,60m 0,57s 0,58s 0,59s 0,34s 0,58s

h4 = 1,40m 0,53s 0,55s 0,54s 0,29s 0,54s

h5 = 1,20m 0,51s 0,49 0,50s 0,25s 0,50s

h6 = 1,00m 0,47s 0,46s 0,47s 0,21s 0,47s

Com as tabelas completas, e com os resultados dos períodos médios elevados ao quadrado correspondentes a cada altura, podemos iniciar o cálculo para a determinação da equação dos pontos da reta e em seguida do coeficiente de determinação, ambos para o caso quadrático:

- Esfera de Metal:

(2,00² + 1,80² + 1,60² + 1,40² + 1,20² + 1,00²)a2 + (2,00 + 1,80 + 1,60 + 1,40 + 1,20 + 1,00) = (2,00 . 0,40) + (1,80 .0,35) + (1,60 .0,30) + (1,40 . 0,27) + (1,20 . 0,22) + (1,00 . 0,20) =

(4 + 3,24 + 2,56 + 1,96 + 1.44 + 1,00)a2 + 9b2 = 0,80 + 0,63 + 0,48 + 0,38 + 0,26 + 0,20) =

14,2a2 + 9b2 = 2,74 (I)

(2,00 + 1,80 + 1,60 + 1,40 + 1,20 + 1,00)a2 + 6b2 = 0,40 + 0,35 + 0,30 + 0,27 + 0,22 + 0,20 =

9a2 + 6b2 = 1,74(II)

Resolvendo o sistema de equações (I) e (II), temos:

14,2a2 + 9b2 = 2,749a2 + 6b2 = 1,74

a2 (Esfera de Metal) = 0,20

b2 (Esfera de Metal) = 0,01

Cálculo do Coeficiente de Rendimento:

r2² = {[(2,00 . 0,40) + (1,80 . 0,35) + (1,60 . 0,30) + (1,40 . 0,27) + (1,20 . 0,22) + (1,00 . 0,20)] – (2,00 + 1,80 + 1,60 + 1,40 + 1,20 + 1,00) . (1/6) . (0,40² + 0,35² + 0,30² + 0,27² + 0,22² + 0,20² )}² / { (2,00² + 1,80² + 1,60² + 1,40² + 1,20² + 1,00²) – (1/6) . (2,00 + 1,80 + 1,60 + 1,40 + 1,20 + 1,00)²} . {(0,40² + 0,35² + 0,30² + 0,27² + 0,22² + 0,20²) – (1/6) . (0,40 + 0,35 + 0,30 + 0,27 + 0,22 + 0,20)²}

r2² (Esfera de Metal) = 0,99

- Esfera de Plástico:

(2,00² + 1,80² + 1,60² + 1,40² + 1,20² + 1,00²)a2 + (2,00 + 1,80 + 1,60 + 1,40 + 1,20 + 1,00) = (2,00 . 0,43) + (1,80 .0,38) + (1,60 .0,34) + (1,40 . 0,29) + (1,20 . 0,25) + (1,00 . 0,21) =

(4 + 3,24 + 2,56 + 1,96 + 1.44 + 1,00)a2 + 9b2 = 0,86 + 0,68 + 0,54 + 0,41 + 0,30 + 0,21) =

14,2a2 + 9b2 = 3 (I)

(2,00 + 1,80 + 1,60 + 1,40 + 1,20 + 1,00)a2 + 6b2 = 0,43 + 0,38 + 0,34 + 0,29 + 0,25 + 0,21 =

9a2 + 6b2 = 1,9 (II)

Resolvendo o sistema de equações (I) e (II), temos:

14,2a2 + 9b2 = 39a2 + 6b2 = 1,9

a2 (Esfera de Plástico) = 0,22

b2 (Esfera de Plástico) = 0,01

Cálculo do Coeficiente de Rendimento:

r2² = {[(2,00 . 0,43) + (1,80 .0,38) + (1,60 .0,34) + (1,40 . 0,29) + (1,20 . 0,25) + (1,00 . 0,21)] – (2,00 + 1,80 + 1,60 + 1,40 + 1,20 + 1,00) . (1/6) . (0,43² + 0,38² + 0,34² + 0,29² + 0,25² + 0,21² )}² / { (2,00² + 1,80² + 1,60² + 1,40² + 1,20² + 1,00²) – (1/6) . (2,00 + 1,80 + 1,60 + 1,40 + 1,20 + 1,00)²} . {(0,43² + 0,38² + 0,34² + 0,29² + 0,25² + 0,21²) – (1/6) . (0,43 + 0,38 + 0,34 + 0,29 + 0,25 + 0,21)²}

r2² (Esfera de Plástico) = 0,99 ≈ 1

, onde: , onde:

(plástico) (metal)

Discussão e conclusão

Através do experimento, obtiveram-se duas acelerações gravitacionais para as duas espécies de bolas (Metal e Plástico), entretanto em condições ideais as acelerações deveriam ser iguais a 9,8 m/s². Estas discrepâncias derivam de erros de medição, como a marcação imprecisa da queda, e de forças externas, como a resistência do ar que cria uma força contraria a força da gravidade, diminuindo a aceleração da bola.

Na primeira bola (Metal), obteve uma aceleração gravitacional igual a 10 m/s², este valor é muito usual e quase o ideal, por ser uma aproximação de 9,8 m/s², entretanto percebe-se que houve mesmo assim possíveis erros na medição da queda. Neste caso, a resistência do ar não foi um fator de grande alteração da aceleração da gravidade, tendo em vista seu material (Densidade).

Na segunda bola (Plástico), obteve uma aceleração gravitacional igual a 9,09 m/s². A partir deste valor, percebe-se que houve uma grande diferença entre esta aceleração e a aceleração gravitacional ideal. Esta discrepância pode ser explicada considerando o material da bola (densidade), pois ao jogar a bola de plástico em queda livre, a resistência do ar fará com que sua aceleração reduza.

Logo, esse experimento mostrou os problemas que ocorrem ao tentar calcular a aceleração gravitacional em relação a cada objeto distinto, pois para um resultado ideal é necessário desconsiderar forças externas (resistência do ar) e buscar algarismos com pouca pobreza nas casas decimais.

Bibliografia:

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GUALTER José  Biscuola, NEWTON Villas Boas, HELOU Ricardo Doca. Tópicos de Física 1: Mecânica. 20ª Edição. São Paulo: Saraiva 2007;

DE AGUIAR, Felipe Leonardo; JÚNIOR, Wanderley Innocêncio Moreira. Ajuste de curvas por quadrados mínimos lineares. Minnas Gerais: UFMG. Disponível em: <http://www.mat.ufmg.br/gaal/aplicacoes/ quadrados_minimos.pdf> Acesso em 29 de Maio de 2013;

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