Las Reglas del Producto y el

Cociente

MATE 3031 – Cálculo 1

01/02/2016 JGRA 1 de 19

Cálc

ulo

1 -

MA

TE

3031

Actividades 2.1

• Referencia:– Sección 2.1 Reglas del producto, del cociente y derivadas de orden

superior, Ver ejemplos 1 al 6ñ 8, 9, 10

– Ejercicios de Práctica: Impares 1 – 67

• Asignación 2.1: Problemas 28, 46; Use GRAPH para resolver

problema 62. Incluya copia de la gráfica.

• Referencias del Web:

– Khan Academy – Regla del Producto y Regla del Cociente

– Tutorials for the Calculus Phobe – Product Rule , Quotient Rule

– Visual Calculus: Product Rule Tutorial. Luego, practique en Drill;

Quotient Rule Tutorial. Luego, practique en Drill. Para derivada de

funciones trigonométricas vea Tutorial y practique con drill 1 y drill

2.

– E-MathLab.com: Ejercicios de prática interactivos. Diferenciación

básica, Regla del Producto, Regla del Cociente.

JGRA01/02/2016 2 de 19

Cálc

ulo

1 -

MA

TE

3031

Regla del Producto

entonces, Si v(x)u(x)f(x)

dx

duv

dx

dvuxf )(

uvvuuv )(

Otra manera de recorder esta formula:

01/02/2016 JGRA 3 de 19

Cálc

ulo

1 -

MA

TE

3031

Ejemplo 1

• Calcule:

• Solución:

) xcos (sin xdx

d

) xcos (sin xdx

d )(cos sin x

dx

dx

xxxx cos cos sin sin

xx cos sin 22 xxó sin cos 22

uvvuuv

)(sin cos xdx

dx

01/02/2016 JGRA 4 de 19

Cálc

ulo

1 -

MA

TE

3031

Ejemplo 2

• Calcule:

• Solución:

JGRA01/02/2016

] tan)2[( 2 xxxdx

d

]tan)2[( 2 xxxdx

d )2( tan) (tan)2( 22 xx

dx

dxx

dx

dxx

xxxx tan)22( xsec)2( 22

5 de 19

Cálc

ulo

1 -

MA

TE

3031

Ejemplo 3

)5)(3( 2 xxxdx

d )5)(3( 22

1

xxxdx

d

Calcule:

)(uvdx

d

)2

5

2

1()15652( 2

123

21

23

xxxxx

1562

15

2

521

23

xxx 1562

15

2

5 xxxx

uvvuuv

)52)(3( 21

xx )2

1)(5( 2

12 xxx

01/02/2016 JGRA 6 de 19

Cálc

ulo

1 -

MA

TE

3031

Ejercicios #1

• Calcule las siguientes derivadas:

1.

2.

JGRA01/02/2016

]tan)5x2[( 3 xdx

d

][cos2 xdx

d

)5x2(tantan)5x2( 33 dx

dxx

dx

d

)x6(tansec)5x2( 223 xx

xx tanx6sec)5x2( 223

][coscos][coscos xdx

dxx

dx

dx

)sin(cos)sin(cos xxxx

xx sincos2

7 de 19

Cálc

ulo

1 -

MA

TE

3031

Ejemplo 4

• Si 𝑢(1) = 2 , 𝑢’(1) = −7, 𝑣(1) = 7, 𝑣’ 1 = 2 ,

calcule 𝑑

𝑑𝑥(𝑢𝑣)|𝑥=1

• Solución:

)1(')1( vu

)7(7)2)(2( 45

1

x

uv )1(')1( uv

01/02/2016 JGRA 8 de 19

Cálc

ulo

1 -

MA

TE

3031

Regla del Cociente

entonces, v(x)

)(f(x) Si

xu

2)(

)()()()()(

xv

xvxuxuxvxf

2v

vuuv

v

u

Otra manera de recorder esta formula:

01/02/2016 JGRA 9 de 19

Cálc

ulo

1 -

MA

TE

3031

Ejemplo 5

JGRA01/02/2016

35

13)(

x

xxfEjemplo: Calcule la derivada de:

2)35(

)5)(13()3)(35(

x

xx

2)35(

515915

x

xx

2)35(

14

x

2)35(

)35)(13()13()35(

)(

x

xdx

dxx

dx

dx

xf

2v

vuuv

v

u

10 de 19

Cálc

ulo

1 -

MA

TE

3031

Ejercicio #2

34

12

x

x

dx

d

Calcule:

2)34(

4868

x

xx

2)34(

10

x

2v

vuuv

v

u

2)34(

)4)(12()2)(34(

x

xx

01/02/2016 JGRA 11 de 19

Cálc

ulo

1 -

MA

TE

3031

Identidades trigonométricas básicas

Identidades del cociente tansin

coscot

cos

sin

Identidades recíprocas cscsin

cottan

1 1

sec =1

cos

Identidades Pitagóricas

sin cos tan sec

cot csc

2 2 2 2

2 2

1 1

1

Identidades del ángulo doble

xxx cossin22sin

xxx 22 sincos2cos

1cos22cos 2 xx

xx 2sin212cos

2

2cos1cos2 x

x

2

2cos1sin2 x

x

01/02/2016 JGRA 12 de 19

Cálc

ulo

1 -

MA

TE

3031

Ejemplo 6

• Calcule:

• Solución:

JGRA01/02/2016

x

x

dx

d

sin

cos

x

x

dx

d

sin

cos

x

xdx

dxx

dx

dx

2sin

)(sincos)(cossin

x

xxxx2sin

)(coscos)sin(sin

x

xx2

22

sin

cossin

x

xx2

22

sin

)cos(sin

x2sin

1 x2csc

Tabla de Identidades trigonométricas

13 de 19

Cálc

ulo

1 -

MA

TE

3031

Ejercicios #3

Halle la ecuación de la recta tangente a la curva de:

𝑦 = 𝑥 cos 𝑥 en el punto

Solución:

JGRA01/02/2016

)cos( xxdx

d)(cos)(cos x

dx

dxx

dx

dx

xxx cossin

x

xxdx

dpendiente cos cossin 1)0( 1

La ecuación de la recta tangente es:

)(1)( xy

xy

),(

xy 1

14 de 19

Cálc

ulo

1 -

MA

TE

3031

Derivadas de las recíprocas de las

funciones Trigonométricas

JGRA01/02/2016

xxxdx

dcotcsc) (csc

xxxdx

dtan sec) (sec

xxdx

d csc)(cot 2

15 de 19

Cálc

ulo

1 -

MA

TE

3031

Ejemplo 7

• Calcule

JGRA01/02/2016

x

x

dx

d

sec

1tan

x

x

x

dx

d

cos

1

1cos

sin

xx sincos

coxxdx

d sin

xdx

dx

dx

dcossin

16 de 19

Cálc

ulo

1 -

MA

TE

3031

Ejercicios #4• Calcule :

𝑑

𝑑𝑥

cos 𝑥

𝑒𝑥𝑑

𝑑𝑡

3(1 − sin 𝑡)

2 cos 𝑡

=𝑒𝑥 ∙ − sin 𝑥 − cos 𝑥 ∙ 𝑒𝑥

𝑒𝑥 2

=−𝑒𝑥 sin 𝑥 + cos 𝑥

𝑒𝑥 2

=− sin 𝑥 + cos 𝑥

𝑒𝑥

=3

2

𝑑

𝑑𝑡

1 − sin 𝑡

cos 𝑡

=3

2

𝑑

𝑑𝑡

1

cos 𝑡−

sin 𝑡

cos 𝑡

=3

2

𝑑

𝑑𝑡sec 𝑡 − tan 𝑡

=3

2sec 𝑡 ∙ 𝑡𝑎𝑛 𝑡 − 𝑠𝑒𝑐2 𝑡

=3

2sec 𝑡 tan 𝑡 − sec 𝑡

01/02/2016 JGRA 17 de 19

Cálc

ulo

1 -

MA

TE

3031

Ejercicios del Texto

JGRA01/02/2016 18 de 19

Cálc

ulo

1 -

MA

TE

3031

Ejercicios del Texto 2

JGRA01/02/2016 19 de 19