reduccion a ang agudos (1)

CAPITULO 8Reducciones a funciones de ngulos agudos positivos!

/,l

ANGULOS COFINALES. Sea 0 un ngulo cualquiera; entonces, cot(0 n 360") = cot 0 sec(0 n 360") = sec 0 csc(0 n 360") = csc 0 donde n ea cualquier nmero entero positivo, negativo o cero. sen(0 cos (0 tan(0

+ n 360") = cos 0 + n 360") = tan 0

+ n 360") = sen 0

+ + +

Ejemplos. sen 400" = sen(40 360") = sen 40" cos 860" = cos(130 2 360") = COS 130" tan(- 1000") = tan(80 - 3 360") = tan 80"

+ +

1d;i '1

FUNCIONES DE UN ANGULO NEGATIVO. Sea 0 un hngulo cualquiera; entonces, sen(-0) = -sen 0 cot(-0) = -cot 0 CM(-0) = COSO S%(-0) = sec0 tan(-0) = -tan0 cm(-0) = -mc 0 Ejemplos. sen(-60") = -sen 60, CM(-30") = cos 30, tan(-200") = -tan 200".

Las demostraciones de estas relacionea se encuentran en el problema 1.siFORMULA DE REDUCCIONES. Sea 0 un ngulo cualquiera; sen(90 - 0) = CM 0 sen(90 0) cos(90 - 0) = sen 0 cos (90" 0) tan(90 0) tan(90 - 0) = cos 0 cot(90 + 0) cot (90" - 0) = tan 0 sec (90" 0) ~ ~ ( 9 - 0) = csc 0 0 " Csc(9O0 - 0) = sec 0 Csc(90+0)

+

+ + +

entonces, cos 0 = = - sen 0 = -cot 0 = -tan 0 = - csc 0 = sec 0

sen(180 - 0) = sen 0 ~ 0 ~ ( 1 8 0 ~ = -CM 0 - 0) tan(180 - 0) = -tan 0 cot(180 - 0) = - C O ~ 0 sec(180 - 0) = -sec 0 csc(180 - 0) = csc 0: r

sen(180 0) = -sen 0 cos(180 + 0) = -cos 0 tan(180 + 0) = tan 0 cot(180+0) = cot 0 sec(180 0) = - W 0 ~ ~ ~ ( 1 8 0 "= - csc 0 0)

+

+ +

l

Las demostraciones de eatas relaciones se encuentran en los problemas 2, 3, 4 y 5. FORMULA GENERAL DE REDUCCION. Toda funcin trigonomtrica de (n 90" O), donde 0 es un ngulo cualquiera, es numricamente igual a a) la misma funcin de 0 si n ea par, b) l correspondiente cofuncin de 0 si n es impar. a En cada caso, el signo algebraico ea el igual al signo que tiene la funcin dada en el cuadrante al que pertenece n 90" 0 cuando 0 ea un ngulo agudo positivo.

*

*

'1

La verificacin de estas frmulas se encuentra en el problema 8.

REDUCCIONES A FUNCIONES D E ANGULOS AGUDOS POSITIVOS

55

Ejemplos.1) sen(180- 8) = sen(2 90"- 8) = sen 8 puesto que 180" es un mltiplo par de 90" y, cuando 8 es un Angulo agudo positivo, el lado final (terminal) de 180" - 8

cae en el cuadrante 11. 2) cos(180 8) = cos(2 90" 8) = -cm 8 puesto que 180" es un mltiplo par de 90" y, cuando 8 ea un Angulo agudo positivo, el lad8 finar de 180" 0 cae en el cuadrante 111.

+

+

+

3) tan(270- 8) = tan(3 90" - 8) = cot 8 puesto que 270" es un mltiplo impar de 90" y, cuando 8 ea un Angulo agudo positivo, el lado final de 270" - 8 cae en el cuadrante 111.4) cos(270 8) = cos(3 90" 0) = sen 8 puesto que 270" es un mltiplo impar de 90" y, cuando 8 ea un Angulo agudo positivo, el lado final de 270" 8 cae en el cuadrante IV.o

+

+

+

PROBLEMAS RESUELTOS1. Deducir las f6rmulas para laa funciones de (-0) en terminos de lae funciones de 0.

E n las figuras, 0 y -0 estn colocados en posici6n normal y son numbricamente iguales. Los puntos P(x, y) y P,(x,, y,) estn situados en los respectivos lados finales de tal manera que O P = OP,. E n cada una de las figuras los dos tringulos son congruentes, con lo que r1 = r, x , = x, y, = -y. Entonces,

-

Excepto en los casos en que alguna funci6n noeste definida, las relaciones anteriores son vlidas tambibn cuando 0 es un ngulo de un cuadrante; lo que puede verificarse si se tiene en cuenta que -O0 y 0, -90" y 270, -180 y 180. -270' y 90' son cofinalee. Por ejemplo, sen( -O0) = sen 0" = O = -sen 0, coa( - 180') = coa 180' y cot( -270') cot 90'

-

&en(-90') = sen 270 = O = -cot 270.

-1 =

-sen 90,


Deducir las frmulas para las funciones de (90'-

8) en terminos de las funciones de 8.

E n las figuras, 0 y 90 -.O estdn colocados en posicin normal. Los puntos P(x, y ) y P , ( r l , y , ) d n situados en los respectivos lados finales de tal manera que O P = OPl. E n cada una de las figuras loa doa tringulos son congruentes, con lo que r, = r, rl = y , y , = r. Entonces,

cos(90

- e)

=

3=2 rl r

= sen 8

sec(90 - 8)

=

xl

rl = r

- Y -

=

cec 8

Como sucede en las frmulas del problema 1, algunas de estas relaciones carecen de significado cuando 8 ea un dngulo de un cuadrante. Deducir las frmulas para las funcionee de (90'

+ 8) en tkrminos de las funciones de 8.

REDUCCIONES A FUNCIONES DE ANGULOS AGUDOS POSITIVOS

En las figuras, O y 90+ O estn colocados en posicin normal. Los puntos P(x, y) y P, (x,, y,) estn situados en los respectivos lados finales de tal manera que OP = OP,. En cada una de las figuras los dos tringulos son congruentea, con lo que rl = r, XI = -y, yl = x. Entonces,

csc(90

+ O)

=

r t

Y1

-

=

r x

=

sec

O

4. Deducir las frmulas para las funciones de (180 Puesto que 180'

O)

en trminos de las funciones de cos(90 -sen(90O) = sen O - O) = -coa O,

O.

-O

=

90'

sen(180 cos(180 -

O) = O) =

+ (90 - O), sen [90 + (90' cos [90 + (90'

- O)]

= =

- O)]

etc.O.

5. Deducir las frmulas para las funciones de (180

+ O)

en tbrminos de las funciones de= cos(90=

Pueato que 180'

sen(180 cos(180

+ O = 90 + (90' + O), + O) = sen [90 + (90' + O)] + O) = coa [90 + (90' + O)]- O)O =

-sen(90

+ O) = -sen O + O) = -cos

O,

etc.O.

6. Deducir las frmulas para las funciones de (270' Puesto que 270 180'

en trminos de las funciones de -cos -sen cot cot(270 - O) sec(270 - O) csc(270 - O)

+ (90' - O), sen(270 - O) = sen [180 + (90' - O ) ] = -sen(90 - O)cos(270 tan(270

- O) - O)

cos F18O0 = tan [180=

+ (90' - O ) ] + (90 - O ) ]180'

=

= =

-cos(90 tan(90

- O) - O)

= =

O O O

= = =

tan -csc -sec

O O O.

7. Deducir las frmulas para las funciones de (270 Puesto que 270 sen (270 cos(270 tan(270

+ O)

en trminos de las funciones de -cos O sen d -cot O cot (270 sec(270 csc(270

O.

+ O) + O) + O)

+O

=

= = =

sen [180 cos [180 tan (180'

+ (90' + O) 1 = -sen (90' + O) + (90' + O ) ] = -cos(90 + O) + (90 + O ) ] = tan(90 + O)

+ (90' + O),

== =

+ O) + O) + O)

= -tan O=

cac OO.

= -SS

8. Deducir la frmula general de reduccin. Al examinar las frmulas deducidas en los problemas 1-7, se observa que la frmula general de reduccin es vlida para los enteros n = 1,2,3. Se concluye entonces que la frmula es vlida para cualquier entero n porque n 90f O es cofinal con alguno de los ngulas 8, 90'1 8, 180f O, 270'1 8.

*

58


9. Expresar como una funcin de 9 cada una de las siguientes funciones: a ) sen(9 b) cos(9

- 90') - 90')- 90')

d) cos ( - 180' 9) e) sen ( 270' - 9) -

-

+

g) sen(540 h) tanC720i ) tan(720

+*9)- 9)

j ) cos ( -450 k) csc (,-9000 1) sen( -540'

-

8) 9).

C) sec ( -9

f ) tan (9

-360')

+ 9)

+ 9)

a ) sen(9 - 90') = sen( -90' 9) = sen( - 1 90 9) = -coa 9, el signo es negativo porque, cuando / 9 es un Bngulo agudo positivo, el lado final de 9 - 90' cae en el cuadrante IV. b) coa (9 - 900) = cos ( -90' c) sec ( -9 -90') = sec ( -90' - 9) = sec( -1 -90' - 9) = -csc 9, el signo es negativo porque, cuando 9 es un Bngulo agudo positivo, el lado final de -9 - 90' cae en el cuadrante 111.

+ + + 9) = coa ( -1 . 90' + 9) = sen 9.

.

d) cos ( - 180' e) sen ( -270' f ) tan(9 g) sen (540' h) tan (720'i ) tan(720j ) cos ( -450'

+ 9)- 9)

= coa ( -2==

sen( -3 tan(-4

. 90'90'

90'

+ 9)- 9)

= -coa 9. (cuadrante 111)= = =

cos 9. taso. -sen 9.

(cuadrante 1) (cuadrante 1)(cuadrante 111)

- 360')

+ 9)-O )

= = = ==

sen(6 90'

+ 9)-O )

tan(8 90' - O ) tan(2.360 -O) tan(8 90' 9) tan(2 360' O )

.

+ 9) + 9)+ +

= -tan 9 = tan(-O) = -tape. = = =

.

tan 9 tan O.

=

coa ( -5 sen(-6

;

k) csc ( -900'

+ 9)

= CSC ( -10 =

90' 90'

1 ) sen (- 540 -O)

-sen B. -csC 9. 90 - O = sen 9. )

-O )

+ 9)

=

10. Expresar como funciones de un Bngulo positivo, en dos formas diferentes, cada una de las siguientes funcignes: a) sen 130' b) tan 325' a ) sen 130' b) tan 325'C)

'

c) sen 200' e) tan 165O d) coi 310' f ) sec 250' = sen(2 90' - 50') = sen 50' = sen(1 90' 40') = cos 40'

. . +

g) sen 670' h) cot 930'

i) sc 865')$en(-100')=

-\

tan ( -290').

d) cos 310'e) tan 165'

= ==

cos(4 90' coa (3 90' tan(2 90' tan(1 90' sec (2 90' sec (3 90'

==

tan(4 90' tan(3 90 sen(2 90' sen(3 90'

aen 200'

= = = = = =

.

+ 55') + 20')

- 35')

g) sen 670' o sen 670' h) cot 930'

sen(8 90' sen(7 90' sen(310

cot (10 90' = cot (11 90'

+ 360') = sen 310' = sen(4 + 30') = cot 30'- 60')= tan 60'=

+ 40')

- 70') - 50')

= = =

--

= - tzn 3' 5 -.cct 55"

. .

-sen 2' 0 -coa 70'

f ) sec 250'

= =

+ 40') - 15') + 75') + 70')- 20')

- 50')

= coa 50' = sen 40' = =

-tan 15' -cot 75' 70' 20'

= -sec = -cm

-sen 50'90'

= -coa 40'

- 50')

=

-sen 50

i ) cec 865' = csc(l0 90' - 35') = csc(9 90' 55')

o csc 865'

=

csc(145'

+2

+

csc 35' csc 145'=

= sec 55'=

360')

csc(2 90'

.

- 35')

=

csc 35'

o sen(-,100') o sen( -100') k) coa( -680') o coa( -680') 1 ) tan( -290') o tan( -290')

= -sen 100' = -sen(2= =

90'=

- 80')=

=

-sen 80'

sen( -100'

Los ( -8 90' = coa ( - 7 90'

+ 2 360') = cos 40' = tan( -4 90' + 70') = tan 70' = tan( -3 90' - 20') = cot 20' = tan( -290' + 360') = tan 70'=

.

+ 360') = sen 260' + 40') cos 40'- 50')=

sen(2 90'

+ 80')

=

-sen 80'

sen 50'

cos (-680'


11. Encontrar los valores exactos del seno, del coseno y de la tangente de:Y

a ) 120, b) 210,1

c) 315',

d) -135',

e) -240,

f ) -330'.

Sea 8, siempre agudo y positivo, el ngulo relacionado con cuando = 180' - ti, 180' 8 6 360' - 8. Entonces, toda funcin de -# es numricamente igual a la misma funcin de ti. E n cada caso, el signo algebraico es el que corresponde a la funcin de acuerdo al cuadrante en que cae el lado final de . 1 a ) 120' = 180' - 60'. El dngulo relacionado es 60'; 120' pertenece al cuadrante 1 . , gen 120' = sen 60' = 6 / 2 , cos 120' = -coa 60' = -1/2, tan 120' = -tan 60' = - f l

+

+

+

+

b) 210' = 180' 30'. El dngulo relacionado es 30; 210' pertenece al cuadrante 1 1 1. 0 ' cos 210' = -coa 30 = - n / 2 , tan 210' = tan 3 sen 210' = -sen 30' = -1/2,

+

=

a/3.

C) 315' = 360' - 45'. El dngulo relacionado es 45'; 315' pertenece al cuadrante IV. sen 315' = -sen 45' = - G / 2 , COS 315' = cos 45' = g / 2 , tan 315' = -tan 45' = -1. d) Cualquier funcin de -135' es igual a la misma funcin de -135' 360' = 225' = 225' = 180' 45'. E l dngulo relacionado es 45'; 225' pertenece al cuadrante 1 1 1. sen( -135') = -sen 45' = - n / 2 , cos( -135') = -coa 45' = - n / 2 , tan( -135') = 1.

+

+

+.

360' = 120'. e) Cualquier funcin de -240' es igual a la misma funcin de -240' 120' = 180' - 60'. El dngulo relacionado es 60'; 120' pertenece al cuadrante 11. sen( -240') = sen 60' = n / 2 , coa( -240') = -coa 60' = -1 /2, tan( -240') = -tan60

+

=

-& .

f ) Cualquier funcin de -330'sen(-330')=

sen 30'

=

es igual a la misma funcin de -330' 360' 1/2, coa(-330') = cos 30' = a / 2 , tan(-330')

+

=

=

30'. tan 30'

=

n/3.

12. Encontrar en la tabla de funciones naturales los valores correspondientes a: a ) sen 125'14 ' = sen(180 - 54'46 ') b) cos 169'40 ' = cos (180' - 10'20 ') C ) tan 200'23 ' = tan(180 20'23') 70'44 ') d) cot 250'44 ' = cot (180' e) cos 313'18' = coe(360 - 46'42 ') f ) sen 341'52 ' = sen(360 - 18'8')

+ +

= sen 54'46 = 0,8168 = -COS 10'20 ' = -0,9838 = tan 20'23 = 0,3716 = cot 70'44 = 0,3495 = cos 46'42 = 0,6858 = -sen 18'8' = -0,3112

'

' ' '

13. Si tan 25'

=

a, encontrar:

a) tan 155' - tan 115' 1 tan 155' tan 115'

+

-

1

-tan 25' - ( -cot 25') (-tan 25') (-cot 26')

+

-

-a + l / a 1 a(l/a)

+

-aa+l - -a

+a

1 -a -.2a 2

b) tan 205' tan 245'

-

+ tan 335'

tan 115' - tan 25' cot 25'

-

+ ( -tan

( -cot 25')

25')

a- -+ l/a 1/a

-a

aa 1 1 -aa

+

a ) sen(B

+ C) = sen(180 - A)

=

een A.

15. Demostrar que sen 8 y t a n f 8 tienen el miamo signo. = a ) Supngase que 8 = n 180'. Si n es par (incluido el cero), por ejemplo 2m, entonces sen(2m l M O ) tan(rn 180') = 8. Se excluye el caso en que n es impar porque entonces tan+ 8 no est definida. donde O <

reduccion a ang agudos (1)

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