Más sobre redes:Más sobre redes: red directa y red recíprocay p

• Cualquier plano puede caracterizarse por un vector perpendicular a él (hkl)

• Familia de planos hkl con distancia l dinterplanar dhkl

• Tomemos  hkl = 1/ dhkl• hkl representa a toda la familia de 

planos con distancia interplanar dhkl.

El producto escalar entre este vector y el vector de posición (d'hkl) de un punto perteneciente a uno de los planos de la familia es un número entero (n) que nos indica el orden de dicho plano dentro de la familia hkl:0 sería para el plano que pasa por el origen, 1 para el primero, 2para el segundo, etc.Por lo tanto, σhkl representa a toda la familia de planos hkl con espaciado interplanar dhkl, y en particular para el primero de dichos planos se cumple que el producto |σhkl| dhkl = 1.

Red recíprocap

• De esta manera resulta que los• De esta manera, resulta que los vectores normales (σhkl) son recíprocos a los espaciados interplanares. p

• Los extremos de estos vectores forman también una red periódica de puntos, que por esa 

d d d d dpropiedad de reciprocidad se llama red recíproca de la red original de traslaciones. 

• Los puntos recíprocos así• Los puntos recíprocos así obtenidos reciben el triplete de números hkl (índices de Miller) que representa a la q pcorrespondiente familia de planos.

Relación entre celda directa y recírpoca• Ejes y ángulos de la celda directa a, b, c, • Ejes y ángulos de la celda recíproca a*, b*, c*, j y g p , , , • Los ejes recíprocos (a*, b*, c*) corresponderán a los 

vectores σ100, σ010 y σ001, respectivamente

• Cualquier vector recíproco se puede expresar como una combinación lineal de estos tres vectores recíprocos de base y cuyas componentes son los índices del vector, es decir, los índices de la familia de planos que describe:σ = h a* + k b* + l c*σhkl = h a + k b + l c

Relación geométrica entre los ejes de la celda directa y recíproca

donde

V = (a x b) . c = a. b. c (1 ‐ cos2α ‐ cos2β ‐ cos2γ + 2 cos α cos β + 2 cos α cos γ + 2 cos β cos γ)1/2donde

De acuerdo con las definiciones anteriores, el módulo de a* es igual a la inversa del espaciado d100 (|a*| = 1/d100), que |b*| = 1/d010 y que |c*| = 1/d001, y que, por lo tanto los productos escalares: a.a* = 1,  a.b* = 0 y análogamente con el resto de parejas de p y g p jejes.

Interferencia y difraccióny• Una perturbación ondulatoria (una onda) se propaga a una cierta 

velocidad (v) y se modela satisfaciendo la llamada ecuación de ondas, escalar o vectorial, dependiendo de la naturaleza de la perturbación. 

• Las soluciones de esta ecuación son combinaciones de términos• Las soluciones de esta ecuación son, combinaciones de términos trigonométricos que vienen caracterizados, cada uno, por una amplitud (A), que mide el valor extremo (máximo o mínimo) respecto de una situación de equilibrio de la perturbación, y una faseΦ:

Φ 2 (K t )• Φ = 2π(K.r ‐ ν.t + α)• Donde K es el vector de onda,  es la frecuencia,  es el desfase relativo, t 

es el tiempo y r es el vector de posición.p y p

Condiciones de difracciónCondiciones de difracción

T cristal• Teorema: El conjunto de vectores de la red 

recíproca σ determina las posibles reflexiones de rayos X

cristaldV

reflexiones de rayos X. 

La diferencia de fase entre el rayo i id l di d l

r

k k’

incidente y el dispersado por el elemento de volumen que está separado una distancia r es: [i(k k’) ]

ORayos xincidenteseik.r

Rayos xsalienteseik’.r

exp[i(k‐k’).r]

La amplitud de la onda dispersada en la dirección k’ es proporcional a la integral sobre el cristal n(r)dV por el factor de fase:

Donde k+k=k’kcambio en el vector de onda o“vector de dispersión”

I t d i d l t d F i d ( ) l• Introduciendo las componentes de Fourier de n(r) a la expresión de la amplitud:

• Cuando el vector de dispersión es igual al vector de la red recíproca el argumento de la exponencial es cero y a Vnrecíproca el argumento de la exponencial es cero y a=VnG.

• En dispersión elástica la energía del fotón Ñ se conserva y por lo tanto la frecuencia ’=ck’ del rayo saliente es igual a la frecuencia =ck del rayo incidente  k=k’  y k’2=k2.

• De este resultado: k=  ó   k +  = k’• La condición de difracción es (k + )2= ó• La condición de difracción es (k +  )2=  ó    

2k + 2 =0

• La ec. Anterior es otra forma de la ley de Bragg

Ecuaciones de LaueEcuaciones de Laue

l l d k d d d l• El resultado k=  puede expresarse de otra manera para dar las ecuaciones de Laue.

• Tomando el producto escalar de k con a, b, c de la red cristalina se p , ,obtienen tres condiciones de Laue del vector de dispersión:

E t t di i d L l i l tEstas tres condiciones de Laue se cumplen siempre que el vector k sea un vector de la red recíproca k*, de forma que sea:

k h * + k b* + l *k = h a* + k b* + l c*

pues, debido a las propiedades de la red recíproca, se cumplirá que:k a = h k b = k y k c = lk hkl a = h, k hkl b = k y k hkl c = l

Es decir, que las tres condiciones de Laue (Premio Nobel de Física en 1914) son equivalentes a establecer que el vector k sea un vector de la redson equivalentes a establecer que el vector k sea un vector de la red recíproca (k = k *hkl).

Además si se cumplen lasAdemás, si se cumplen las condiciones de Laue, y todos los átomos, situados sobre la secuencia de planos paralelos asecuencia de planos paralelos a uno dado de índices hkl con distancia al origen DP que sea un múltiplo entero de dhkl, difractarán p hkl,en fase, pues el factor de desfase geométrico será: 

(k – k’) r = n λ( ) λy se producirá un máximo de intensidad en la dirección de difracción:difracción: 

k = k’ + λ *hkl Nhkl es el vector unitario normal a toda la secuencia de planos que, como hemos visto, en condiciones de máximo de difracción, viene dado por: N = * dNhkl = hkl dhklLa ecuación del plano queda, pues: *hkl r = *hkl ri= |*hkl| |ri| cos (*hkl , ri) = (1/dhkl) DP = n

• En la figura se da una descripción del modelo de Bragg cuando se trata de secuencias de planos del mismo espaciado, pero formados a su vez por átomos de distinto tipo, separados por Δd. Esta separación geométrica origina diferencias de fase dentro de un mismo haz difractado que provocan interferencias 

d l i i d i t id d ( ú l di ió )y que dan lugar a variaciones de intensidad (según la dirección), lo que permite obtener información de la estructura de los átomos que forman el cristal.

Esfera de EwaldEsfera de EwaldLos vectores H () pueden considerarse como pertenecientes a una esfera de radio 1/λ centrada en el punto definido por el vector -s0/λ (-k/) respecto del origen donde se sitúa el cristal. Esta es la llamada esfera de Ewald, que proporciona una interpretación geométrica, para las posiciones de máximo de dif ió d l t H t l d í é t tdifracción, pues cuando los vectores H pertenecen a la red recíproca y ésta corta a la esfera de Ewald, se producen máximos de difracción, y el cristal queda situado en posición de Bragg.

E fi d• En esta figura aparece todo el volumen recíproco que puede dar lugar a máximos p gde difracción al girar la muestra. Cambiando las orientaciones se puedenorientaciones, se pueden recoger todos los haces correspondientes al espacio recíproco contenido en una esfera de radio 2/λ, que se denomina esfera límitedenomina esfera límite.

Según la ley de Bragg, el máximo ángulo al que se puede obtener la difracciónque se puede obtener la difracción corresponde al valor máximo de la función seno (la unidad), es decir, que la máxima resolución teórica que se puede alcanzarresolución teórica que se puede alcanzar entre átomos es de λ/2. En la práctica, debido a la disminución de los factores atómicos de dispersión cuando aumenta el pángulo de Bragg, sólo aparecen intensidades apreciables hasta un valor máximo θmax < 90º y la resolución maxpráctica que se alcanza serádmin = λ/2 sen θmax.

Ampliación del espectro medible al disminuir la longitud de onda, según el modelo de Ewald

Si se considera que dhkl es una constante de la muestra, al disminuir la longitud de onda incidente, la ecuación de Bragg nos i di l á l d dif ió (θ)indica que los ángulos de difracción (θ) serán menores y por lo tanto el espectro se contrae, pero por contra se pueden obtener más órdenes de difracción disponer asímás órdenes de difracción y disponer así de mayor resolución estructural.

Cálculo de la distancia interplanar para los diferentes sistemas cristalinos