distancias interplanares y factor de estructura

7/22/2019 Distancias Interplanares y Factor de Estructura

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTNOMA DEMXICO

INSTITUTO DE INVESTIGACIONES ENMATERIALES

MATEMTICAS APLICADAS A MATERIALES

Dr. Abel Camacho Galvn

Clculo de distancias interplanares y factor de

estructura

Elabor: Nancy de Jess Flores Martnez


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CONTENIDO

Planteamiento del problema 3

Objetivos 6

Metodologa 7

Ejecucin de la metodologa 7

Resultados 8

Algoritmo de Programacin 10

Anlisis de resultados 14

Conclusiones 15

Fuentes consultadas 15


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PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

Existen diversas tcnicas de caracterizacin de materiales. Una de las msusadas es la difraccin de rayos X para polvo cristalino. El resultadodespus de analizar la muestra es un patrn de difraccin, cuyo propsitoes cubrir un rango angular 2tan ancho como sea posible.sta tcnica de caracterizacin estructural tiene su fundamento en la leyde Bragg. Esta ley permite estudiar las direcciones en las que ladifraccin de rayos X, sobre la superficie de un cristal, produce

interferencias constructivas, dado que permite predecir los ngulos en losque los rayos X son difractados por un material con estructura atmicaperidica. La interferencia es constructiva cuando la diferencia de fasesemitida por diferentes tomos es proporcional a 2. La ley de Bragg se

representa como:

Donde:

n es un nmero entero

es la longitud de onda de los rayos X

d distancia interplanar de la red cristalina

es el ngulo de reflexin

Cada sistema cristalino tiene un expresin diferente para calcular lasdistancias interplanares y a medida que la simetra disminuye, lasecuaciones se vuelven complicadas, resultando muy tardado realizar elclculo a mano.

Las expresiones para calcular las distancias interplanares se muestran enla Tabla I.


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El clculo de las distancias interplanares es muy importante al indexar undifractograma de rayos X, porque de ah podemos obtener datosrelacionados con las constantes de red.

Otra ecuacin que resulta tediosa al incrementar la simetra del grupoespacial es el clculo explcito del factor de estructura:

)))

Donde:

F es el factor de estructura

f es el factor de dispersin

h,k,l es el vector en la red recproca

x,y,z es el vector de coordenadas del tomo j


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El factor de estructura F representa a las ondas resultantes de ladispersin de todos los tomos en cada una de las direcciones. Susmdulos estn directamente relacionados con las intensidades de lasreflexiones del patrn de difraccin.

Para los diferentes tipos de centrados (ver tabla II) existen diferentesfactores de estructura.

Tabla II. Notacin del tipo de centradoTipo de centrado Puntos de red Tipo de celda

P (0,0,0) PrimitivaC (0,0,0) (1/2,1/2,0) Centrada en cara C

F(0,0,0) (0,1/2,1/2)

(1/2,0,1/2) (1/2,1/2,0)Centrada en todas las

caras

I (0,0,0) (1/2,1/2,1/2) Centrada en el cuerpo

R(0,0,0) (1/3,2/3,1/3)

(2/3,1/3, 2/3)Romboedral

Por medio del factor de estructura podemos conocer las reflexiones o lasextinciones sistemticas para cada una de las coordenadas del tomo.

Si F0 habr reflexiones en el difractograma de rayos X

Si F=0 habr extinciones en el difractograma de rayos X.

Se anexa un problema en donde se aplica el clculo de las distanciasinterplanares y del factor de estructura:

Se va a realizar una caracterizacin estructural de difraccin de rayos Xde una muestra de hilita con una Cu de 1.54056 . Conociendo lossiguientes datos y considerando que la hilita cristaliza en el sistematriclnico y que su grupo espacial es P 1 , diga a que ngulo de difraccinexistir o no una reflexin para el plano (021). Calcule el factor deestructura de forma explcita.Parmetros de celda:a=5.29 b=9.173 c=9.46 =90.46 =98.68 =90.09


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OBJETIVOS

Obtener las distancias interplanares para los sistemas cristalinos.-Triclnico-Monoclnico-Ortorrmbico-Tetragonal-Trigonal-Hexagonal-Cbico

Calcular el factor de estructura para los diferentes tipos decentrado.-Tipo P-Tipo C-Tipo F-Tipo I

Encontrar las condiciones para los casos en que existan reflexioneso extinciones sistemticas para los diferentes tipos de centrado.

Resolver el problema que se anexa.


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METODOLOGA

EJECUCIN DE LA METODOLOGA

1. Se encontr la distancia interplanar para cada sistema cristalino,basndose en un ejemplo representativo de los sistemas. Lasdistancias interplanares estn expresadas en y los ngulos de reden grados.

2. El factor de estructura se calcul para cada tipo de centrado,tomando en cuenta los puntos de red pertenecientes a cada celda.

3. El problema anexo:

Se resolvi de acuerdo al siguiente orden:

1.Resolver las

ecuaciones de

distancia

interplanar

2.Resolver las

ecuaciones de

factor de

estructura

3.Resolver el

problema

propuesto


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-Se necesita conocer la distancia interplanar perteneciente alsistema triclnico con la siguiente frmula:

-

Posteriormente, con la frmula de la ley de Bragg se encuentra elngulo de difraccin:

n=2dsin

-Por ltimo se calcula el factor de estructura para las posiciones

del grupo espacial P 1

RESULTADOSPara las distancias interplanares:

Sistemacristalino/ejemplo

Frmula distancia interplanar Constantes deredDistanci

interplanar

Triclnico /Wollastonita

>

>

>

>

>

>

>


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Monoclnico /

halotrichita

Trigonal / dolomita

>

>

>

>

>

Hexagonal / berilo

>

>

>

>

>

Ortorrmbico/aragonita

>

>

>

>

>

>

Tetragonal / wulfenita

>

>

>

>

>

Cbico/ pirita

>

>

>

>


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Para el factor de estructura:

Tipo deCentrado

Condiciones

P

F:=

Ninguna

C

Cuando h+k sea par F0 yhabr reflexiones

Cuando h+k sea impar F=0y habr extinciones

F

Cuando h,k y l sean par F0

y habr reflexionesCuando h,k y l sean impar

F0 y habr reflexiones

Cuando haya combinacinde ndices h,k y l pares eimpares F=0 y habr

extinciones

I

Cuando k+l sea par F0 y

habr reflexionesCuando k+l sea impar F=0 y

habr extinciones

Para el problema anexo:

El ngulo de difraccin es de 15.578 para el plano (021), si existirreflexin para el plano ya que el factor de estructura F0.

ALGORITMO DE PROGRAMACIN

> restart; with(plots); with(linalg); with(plottools);

# Clculo de las distancias interplanares de los siete sistemas cristalinos

# Sistema cristalino triclnico # Ejemplo: wollastonita (distancias en y ngulos en grados)


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> a := 7.925; b := 7.32; c := 7.065; alpha := 90.055; beta := 95.217;

g := 103.42; h := 1; k := 0; l := 0;

# dtric :=([h^2*sin(alpha)^2/a^2+k^2*sin(beta)^2/b^2+l^2*sin(g)^2/c^2+2*k*l*(cos(beta)*cos(g)-

cos(alpha))/(b*c)+2*h*l*(cos(alpha)*cos(g)-cos(beta))/(a*c)+2*h*k*(cos(alpha)*cos(beta)-cos(g))/(a*b)]/(1-cos(alpha)^2-cos(beta)^2-cos(g)^2+2*cos(alpha)*cos(beta)*cos(g)))^(-1);

> dtric := 1/(h^2*sin(alpha)^2/((1-cos(alpha)^2-cos(beta)^2-cos(g)^2+2*cos(alpha)*cos(beta)*cos(g))*a^2)+k^2*sin(beta)^2/b^2+l^2*sin(g)^2/c^2+2*k*l*(cos(beta)*cos(g)-cos(alpha))/(b*c)+2*h*l*(cos(alpha)*cos(g)-cos(beta))/(a*c)+2*h*k*(cos(alpha)*cos(beta)-cos(g))/(a*b));

> restart; # Sistema cristalino monoclnico

# Ejemplo: halotrichita (distancias en y ngulos en grados)

> a := 20.51; b := 24.29; c := 6.18; beta := 100.99; h := 0;k := 0;

> l := 1;

# dmono := 1/(h^2/(a^2*sin(beta)^2)+k^2/b^2+l^2/(c^2*sin(beta)^2)-2*h*l*cos(b)/(a*c*sin(beta)^2));

> dmono := 1/(h^2/(a^2*sin(beta)^2)+k^2/b^2+l^2/(c^2*sin(beta)^2)-2*h*l*cos(b)/(a*c*sin(beta)^2));

> restart;

# Sistema cristalino trigonal # Ejemplo: dolomita (distancias en y ngulos en grados)

> a := 4.8012; alpha := 88.067; h := 0; k := 2; l := 1;

# dtrig := (((h^2+k^2+l^2)*sin(alpha)^2+(2*(h*k+h*l+k*l))*(cos(alpha)^2-cos(a)))/a(1+2*cos(alpha)^3-3*cos(alpha)^2)^2)^(-1);

> dtrig := (((h^2+k^2+l^2)*sin(alpha)^2+(2*(h*k+h*l+k*l))*(cos(alpha)^2-cos(a)))/a(1+2*cos(alpha)^3-3*cos(alpha)^2)^2)^(-1);

> restart;

# Sistema cristalino hexagonal # Ejemplo: berilo (distancias en y ngulos en grados)

> a := 9.21; c := 9.19;h := 1;k := 1;l := 2;

# dhex := 1/((4*(h^2+k^2+h*k))/(3*a^2)+l^2/c^2);

> dhex := 1/((4*(h^2+k^2+h*k))/(3*a^2)+l^2/c^2);

> restart;


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# Sistema cristalino ortorrmbico# Ejemplo: aragonita (distancias en y ngulos en grados)

> a := 4.95; b := 7.96; c := 5.74; h := 0; k := 1; l := 0;

# dort := 1/(h^2/a^2+k^2/b^2+l^2/c^2);

> dort := 1/(h^2/a^2+k^2/b^2+l^2/c^2);

> restart;

# Sistema cristalino tetragonal# Ejemplo: wulfenita (distancias en y ngulos en grados)

> a := 5.433;c := 12.11;h := 0;k := 0;l := 1;

# dtetra := 1/((h^2+l^2)/a^2+l^2/c^2);

> dtetra := 1/((h^2+l^2)/a^2+l^2/c^2);

> restart;

# Sistema cristalino cbico# Ejemplo: pirita (distancias en y ngulos en grados)

> a := 5.417; h := 2;k := 0; l := 0;

# dcub := (sqrt(h^2+k^2+l^2)/a)^(-1);

> dcub := (sqrt(h^2+k^2+l^2)/a)^(-1);

> restart;

> exp(I*Pi);

# Clculo de factor de estructura# Si F`0 hay reflexin# Si F=0 hay extincin

# Tipo de centrado primitivo

# Puntos de red (0,0,0)

# F:= ()fj*(e)^(2*Pi*I*(h*xj+k*yj+l*zj));

x := 0; y := 0; z := 0; F := f*exp((2*Pi*I)*(h*x+k*y+l*z));

# F nunca ser cero, por lo que siempre habr reflexiones, sin ninguna condicin.

> restart;# Tipo de centrado en la cara C

> x := 0; y := 0; z := 0; x1 := 1/2; y1 := 1/2; z1 := 0;

> F := f*exp((2*Pi*I)*(h*x+k*y+l*z))+f*exp((2*Pi*I)*(h*x1+k*y1+l*z1));

> simplify(%);# Cuando h+k sea par F`0 y habr reflexiones


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# Cuando h+k sea impar F=0 y habr extinciones

> restart;# Tipo de centrado en todas las caras

> x := 0; y := 0; z := 0;x1 := 0;y1 := 1/2;z1 := 1/2;x2 := 1/2;y2 := 0;

> z2 := , x3 := 1/2;y3 := 1/2;z3 := 0;

> F :=f*exp((2*Pi*I)*(h*x+k*y+l*z))+f*exp((2*Pi*I)*(h*x1+k*y1+l*z1))+f*exp((2*Pi*I)*(h*x2+k*y2+l*z2))+f*exp((2*Pi*I)*(h*x3+k*y3+l*z3));

> simplify(%);

# Cuando h,k y l sean par F`0 y habr reflexiones

# Cuando h,k y l sean impar F`0 y habr reflexiones

# Cuando haya combinacin de ndices h,k y l pares e impares F=0 y habr extinciones

> restart;# Tipo de centrado en el cuerpo

> x := 0; y := 0;z := 0; x1 := 1/2; y1 := 1/2; z1 := 1/2;

> F := f*exp((2*Pi*I)*(h*x+k*y+l*z))+f*exp((2*Pi*I)*(h*x1+k*y1+l*z1));

> simplify(%);

# Cuando k+l sea par F`0 y habr reflexiones# Cuando k+l sea impar F=0 y habr extinciones

> restart;# Problema

# Se va a realizar una caracterizacin estructural de difraccin de rayos X de una muestra dehilita con una Cude 1.54056. Conociendo los siguientes datos y considerando que la hilitacristaliza en el sistema triclnico y que su grupo espacial es P-1, diga a que ngulo dedifraccin existir o no una reflexin para el plano (021). Calcule el factor de estructura deforma explcita.

# Parmetros de celda:

# a=5.29 b=9.173 c=9.46 =90.46 =98.68 =90.09

# Solucin:# Primeramente, se necesita conocer la distancia interplanar con la frmulacorrespondiente al sistema triclnico:

# dtric :=([h^2*sin(alpha)^2/a^2+k^2*sin(beta)^2/b^2+l^2*sin(g)^2/c^2+2*k*l*(cos(beta)*cos(g)-cos(alpha))/(b*c)+2*h*l*(cos(alpha)*cos(g)-cos(beta))/(a*c)+2*h*k*(cos(alpha)*cos(beta)-cos(g))/(a*b)]/(1-cos(alpha)^2-cos(beta)^2-cos(g)^2+2*cos(alpha)*cos(beta)*cos(g)))^(-1);


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# Posteriormente, con la formula de la ley de Bragg n=2dsin se encontrar el ngulo dereflexin (n=1).

# Despus se calcula el factor de estructura para las posiciones del grupo espacial P-1.

# Distancia interplanar

a := 5.736;b := 6.767; c := 5.462; alpha := 97.41;beta := 108.59 g := 107.19; h := 0; k := 2;l :=1;

> dtric := 1/(h^2*sin(alpha)^2/((1-cos(alpha)^2-cos(beta)^2-cos(g)^2+2*cos(alpha)*cos(beta)*cos(g))*a^2)+k^2*sin(beta)^2/b^2+l^2*sin(g)^2/c^2+2*k*l*(cos(beta)*cos(g)-cos(alpha))/(b*c)+2*h*l*(cos(alpha)*cos(g)-cos(beta))/(a*c)+2*h*k*(cos(alpha)*cos(beta)-cos(g))/(a*b));

# Clculo del ngulo de difraccin 2

# = 2dsin(theta);# =arcsin(lambda/(2*d));

> lambda := 1.54056; theta := arcsin(lambda/(2*dtric)); t := evalf(convert(.1359459916,degrees));

> anguloreflex := 2*t;

# Calculando el factor de estructura:

> x := 0; y := 0;z := 0;x1 := 0;y1 := 0;z1 := 0;

F := f*exp((2*Pi*I)*(h*x+k*y+l*z))+f*exp((2*Pi*I)*(h*x1+k*y1+l*z1));

# El ngulo de difraccin es de 15.578 para el plano (021), si existir reflexin para el planoya que el factor de estructura F`0

ANLISIS DE RESULTADOS

Anlisis del problema anexo.

El clculo de la distancia interplanar de la hilita, sirvi para conocer el

ngulo 2. Tener un sistema cristalino triclnico implica tener todos losngulos y todos los parmetros de red de diferente medida, lo que vuelvelaborioso realizar el clculo a mano. Al obtener el ngulo se debermultiplicar por dos para obtener el ngulo de difraccin (2).


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Como era de esperarse para una celda con tipo de centrado primitivo, noexistirn extinciones en el patrn de rayos X.

CONCLUSIONESAl utilizar el algoritmo propuesto para el clculo de las distanciasinterplanares y el factor de estructura ahorras tiempo en comparacin dehacerlo a mano.

El algoritmo es fcil de entender porque tiene especificado claramente endonde se tiene que colocar cada trmino.

Usando este algoritmo como herramienta, las indexaciones en sistemascristalinos no cbicos ser ms gil.

Realizando algunas pequeas modificaciones se pueden obtener losfactores de estructura para todos los grupos espaciales.

FUENTES CONSULTADAS

International Tables of Crystallography. A. Space groupSymmetry.

http://www.mindat.org/system_search.php?c=Triclinicsearch.php?c=Triclinic

distancias interplanares y factor de estructura

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