puntos crÍticos de la funciÓn cÚbica

MAESTRÍA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA

PUNTOS CRÍTICOS DE LA FUNCIÓN CÚBICA

ALEXANDRA BULLA, GUILLERMO GUASCA Y DIEGO MEDINA

BOGOTÁ, 18 NOVIEMBRE DE 2017

2

INTRODUCCIÓN

En este documento, presentamos el trabajo desarrollado por el grupo 4 de la cuarta cohorte de la maestría en Educación Matemática de la Facultad de Educación Universidad de los Andes. Enfo-camos este trabajo en el análisis de los puntos críticos de la función cúbica. En primer lugar, mostramos el resumen de la experiencia durante el proceso de formación. En segundo lugar, ex-ponemos el resultado de la planificación, implementación y evaluación del diseño curricular por medio de una cartilla.

Los anexos que se mencionan en este trabajo se encuentran en http://funes.uniandes.edu.co/9564.

3

RESUMEN DE LA EXPERIENCIA

En este apartado, resumimos nuestra experiencia al (a) diseñar una unidad didáctica relacionada con el tema de los puntos críticos de la función cúbica; (b) implementar esa unidad didáctica en el colegio San Viator con estudiantes de grado undécimo pertenecientes al Programa de Diploma del Bachillerato Internacional; y (c) evaluar el diseño en términos de los resultados sobre el al-cance de las expectativas propuestas.

1. JUSTIFICACIÓN Y FUNDAMENTACIÓN DEL TEMA El diseño inició con la elección de los puntos críticos de la función cúbica como tema de la uni-dad didáctica. A continuación, presentamos la justificación de la elección y fundamentación des-de el punto de vista de los conceptos y procedimientos matemáticos que giran en torno a este te-ma, las formas en que se puede representar y los posibles fenómenos que puede modelar.

1.1. Elección y relevancia del tema De acuerdo con nuestra experiencia, encontramos que la enseñanza de la optimización de fun-ciones se aborda como una aplicación de procedimientos en representaciones simbólicas y está alejada de situaciones reales. Esta forma de proceder impide que los estudiantes comprendan los conceptos y procedimientos matemáticos que hay alrededor de la optimización de funciones, las formas de representarla y su utilidad para resolver situaciones de la vida real. Estas razones nos llevaron a diseñar, implementar y evaluar una unidad didáctica, con el fin de contribuir al apren-dizaje de la optimización de funciones. Particularmente, concretamos el tema de la unidad didác-tica en los puntos críticos de funciones cúbicas.

Establecimos que este tema es importante porque permite contribuir al desarrollo de diferentes pensamientos y sistemas descritos en el documento de los estándares básicos de com-petencias en matemáticas (MEN, 2006). Por ejemplo, el estudio de los puntos críticos permite analizar la variación de la función. En esta medida, el tema contribuye al desarrollo del pensa-miento variacional. También, encontramos que el tema es importante porque aborda estándares particulares para grado undécimo. Por ejemplo, el tema se relaciona con el estándar asociado a interpretar la noción de la derivada como razón de cambio y como valor de la pendiente de la

4

tangente a una recta, y el desarrollo de métodos para hallar las derivadas de funciones básicas. De igual manera, identificamos que el estudio de los puntos críticos es oportuno porque se inclu-ye en el plan de estudios del Programa de Diploma del Bachillerato Internacional. Consideramos que este tema se puede abordar en un grupo de estudiantes de grado undécimo que cuenten con los conocimientos previos requeridos.

1.2. Conceptos y procedimientos del tema Encontramos que los conceptos y procedimientos alrededor de los puntos críticos tienen que ver con el tipo de función cúbica. En primer lugar, identificamos las funciones cúbicas que no tienen o tienen un solo punto crítico. En este caso, relacionamos los conceptos de concavidad y punto de inflexión. En segundo lugar, identificamos las funciones cúbicas que tienen dos puntos críti-cos. Aquí, relacionamos los conceptos de monotonía y la idea de extremo relativo. Por otro lado,

encontramos que la solución de la expresión 𝑥 = #$± $&#'()'(

es un procedimiento que permite hallar los puntos críticos de la función cúbica. Otro procedimiento que identificamos tiene que ver con el uso del criterio de la primera derivada. En la figura 1, presentamos las ideas conside-radas en relación con los conceptos y procedimientos alrededor de los puntos críticos de la fun-ción cúbica.

Figura 1. Conceptos y procedimientos del tema

Función cúbicaMínimo o

máximo localPunto de inflexión

Un punto crítico

Dos puntos críticos

Sin puntos críticos

Extremos relativos

Punto de inflexión

Intervalos

Concavidad

Monotonía

General

Canónica

Puntos Críticos

Teorema de Fermat

Discriminante igual que cero

Discriminante menor que cero

Discriminante mayor que cero

Se definen

Expresión

Puede haber

Surgen

Características

Puntos

Se hallan

Criterio de la primera derivada Fórmula

5

1.3. Representaciones del tema Establecimos que las representaciones de los puntos críticos tienen que ver con expresiones sim-bólicas, parejas ordenadas, tablas, gráficas, representaciones geométricas y ejecutables. En la fi-gura 2, presentamos un esquema con las representaciones del tema y las relaciones entre esas re-presentaciones.

Figura 2. Representaciones del tema

La representación simbólica del tema parte de la expresión general de la función cúbica 𝑓 𝑥 =𝑎𝑥' + 𝑏𝑥. + 𝑐𝑥 + 𝑑. Los coeficientes de esta expresión están asociados a los puntos críticos

mediante la fórmula 𝑥 = #$± $&#'()'(

. Otra representación de los puntos críticos tiene que ver con parejas ordenadas 𝑥1, 𝑓 𝑥1 . En este caso, el primer elemento de la pareja ordenada se relacio-na con el valor 𝑥1, de la variable independiente, que hace que el segundo valor 𝑓 𝑥1 , de la va-riable dependiente, sea máximo o mínimo. Los puntos críticos también se pueden representar mediante tablas de valores. La tabla dispone de dos columnas: la primera para organizar los valo-res que toma la variable independiente 𝑥1y la segunda para los valores de la variable dependien-te 𝑓 𝑥1 . La representación geométrica de los puntos críticos tiene que ver con la identificación de puntos de la función cúbica en los que la pendiente de la recta tangente es nula. La represen-tación gráfica está relacionada con los puntos en el gráfico —en un intervalo— en los que la fun-ción 𝑓(𝑥)alcanza el máximo o mínimo valor o en los puntos en lo que hay un cambio de conca-vidad. Por último, identificamos la representación ejecutable de los puntos críticos de la función cúbica mediante el uso de un software como GeoGebra o Wimplot. En este caso, el carácter di-

6

námico de la representación ejecutable permite establecer relaciones entre las diferentes repre-sentaciones de los puntos críticos de la función cúbica.

1.4. Fenómenos que dan sentido al tema Establecimos que una función cúbica puede tener dos puntos críticos, solo un punto crítico o no

tener puntos críticos. Encontramos que el discriminante 𝑥 = #$± $&#'()'(

permite determinar la cantidad de puntos críticos. Identificamos que una función cúbica no tiene o solo tiene un punto crítico si 𝑏. − 3𝑎𝑐 ≤ 0. En este caso, la función no presenta cambios en el tipo de variación, es decir, la función siempre es creciente o decreciente. Esta información nos permitió establecer que una función cúbica modela fenómenos de crecimiento o de decrecimiento en sentido estricto si 𝑏. − 3𝑎𝑐 ≤ 0. También, identificamos que una función cúbica tiene dos puntos críticos si 𝑏. − 3𝑎𝑐 > 0. En este caso, la función presenta cambios de variación en la que uno de los pun-tos críticos se refiere a un máximo y el otro a un mínimo. Por lo tanto, una función cúbica mode-la fenómenos de optimización si 𝑏. − 3𝑎𝑐 > 0. En la figura 3, presentamos la organización de los fenómenos que dan sentido a los puntos críticos de la función cúbica.

Figura 3. Fenómenos que dan sentido al tema

Sin o un punto crítico𝑏2 − 3𝑎𝑐 ≤ 0

Subestructuras

Puntos críticos de la función cúbica

Dos puntos críticos 𝑏2 − 3𝑎𝑐 > 0

Contextos fenomenológicos

Fenómenos

Contexto PISA 2012

Crecimiento o decrecimiento en sentido

estrictoOptimización

Profesional Social Científico

Volumen de un sólido Utilidades de una

empresa Temperatura motor de un

vehículo

Movimiento de los planetas

Ondas cerebralesRitmo cardiaco

Crecimiento de un feto

Temperatura en un clima de montaña

7

Las ideas sobre los conceptos y procedimientos que giran en torno a los puntos críticos, las dife-rentes formas de representarlos y los posibles fenómenos que modelan son importantes porque permiten establecer y describir lo que esperamos que el estudiante aprenda sobre los puntos críti-cos. A continuación, abordamos esta cuestión.

2. EXPECTATIVAS DE APRENDIZAJE Y DE TIPO AFECTIVO Establecimos los aprendizajes esperados en términos de expectativas de aprendizaje y de tipo afectivo. Las expectativas de aprendizaje tienen que ver con los procesos matemáticos y capaci-dades matemáticas fundamentales del marco PISA 2012 (Ministerio de Educación Cultura y Deporte, 2013), los objetivos de aprendizaje y los procedimientos rutinarios del tema. Las expec-tativas afectivas se relacionan con las actitudes de los estudiantes al enfrentarse a las tareas de aprendizaje.

2.1. Procesos matemáticos y capacidades matemáticas fundamentales En la etapa de la planificación, consideramos privilegiar el proceso matemático de interpretar al llevar a los estudiantes a interpretar y evaluar los puntos críticos como máximo o mínimo de acuerdo con el contexto del problema. También, buscamos contribuir al proceso de formular porque consideramos pertinente que los estudiantes reconozcan los conceptos y relaciones más relevantes de la situación para modelarla matemáticamente mediante una función cúbica. Final-mente, pretendemos contribuir al proceso de emplear, por la importancia que encontramos en el uso de algoritmos —como el criterio de la primera derivada o una fórmula— para calcular los puntos críticos.

Buscamos contribuir a todas las capacidades matemáticas fundamentales. No obstante, privi-legiamos las capacidades de matematización y representación. Esta contribución se evidencia al llevar al estudiante a identificar variables y modelos matemáticos para posteriormente represen-tarlos. Asimismo, abordamos con mayor profundidad la capacidad matemática de diseño de es-trategias para resolver problemas. En este caso, la contribución se presenta al inducir a los estu-diantes a tomar decisiones sobre diferentes formas de abordar un problema relacionado con fenómenos de optimización.

2.2. Objetivos de aprendizaje Los objetivos de aprendizaje abordan los conceptos y procedimientos que rodean los puntos crí-ticos, sus representaciones y los fenómenos que modelan. A continuación, presentamos los obje-tivos de aprendizaje que establecimos para nuestra unidad didáctica. Objetivo 1. Utilizar el concepto de punto crítico para diferenciar cuándo una situación problema modelada por una función cúbica hace parte de un fenómeno de optimización o un fenómeno de crecimiento o de decrecimiento estricto.

Objetivo 2. Determinar los puntos críticos en situaciones de optimización a partir de algunas re-presentaciones de la función cúbica y establecer relaciones entre estas representaciones.

8

Objetivo 3. Interpretar los puntos críticos de la función cúbica como solución de situaciones de optimización para definirlos como mínimos o máximos, al valorar su viabilidad y sus posibles limitaciones en el contexto del problema.

2.3. Procedimientos rutinarios Los procedimientos rutinarios tienen que ver con las posibles acciones que el estudiante ejecuta para resolver una tarea. Denominamos capacidades a estos procedimientos rutinarios. Por ejem-plo, el estudiante puede usar el criterio de la primera derivada para hallar y determinar la canti-dad de puntos críticos. También, el estudiante puede determinar la cantidad de puntos críticos al

usar del discriminante 𝑥 = #$± $&#'()'(

. Estas ejemplos son capacidades que el estudiante debe activar para diferenciar si una función cúbica modela un fenómeno de optimización o crecimien-to o decrecimiento estricto. Presentamos el listado completo de capacidades en el anexo 1.

La identificación de las capacidades nos permitió delimitar las acciones que son propias al tema y los conocimientos previos que el estudiante debe poseer. El establecimiento de capacida-des nos permitió reflexionar sobre las posibles limitaciones que pueden impedir o entorpecer la consecución de los objetivos de aprendizaje. También, la identificación de las capacidades nos permitió organizar secuencias de procedimientos rutinarios que el estudiante ejecuta al resolver una tarea. Denominamos secuencia de capacidades esta organización. Presentamos el listado de secuencia de capacidades en el anexo 2.

Las secuencias de capacidades nos permitieron determinar las posibles estrategias que un es-tudiante puede llevar a cabo para resolver una tarea. Llamamos caminos de aprendizaje a estas estrategias de solución. Organizamos, para cada objetivo, un esquema con las secuencias de ca-pacidades y los caminos de aprendizaje. Denominamos grafo de caracterización de los objetivos a estos esquemas.

Conocimientos previos Establecimos un listado de conocimientos previos que los estudiantes deben poseer antes de im-plementar la unidad didáctica. Establecer esos conocimientos es importante en la medida en que permiten determinar hasta qué punto un procedimiento es rutinario para un estudiante. Por ejem-plo, utilizar el criterio de la primera derivada para determinar el tipo de función requiere que los estudiantes conozcan y apliquen con anterioridad las reglas de derivación. El uso del discrimi-

nante de la fórmula 𝑥 = #$± $&#'()'(

requiere que los estudiantes comprendan que esta fórmula relaciona los coeficientes de la función cúbica con los puntos críticos. El listado de conocimien-tos previos se encuentra en el anexo 3.

Limitaciones de aprendizaje Las limitaciones de aprendizaje que establecimos tienen que ver con las dificultades y errores en que pueden incurrir los estudiantes. Por ejemplo, cuando un estudiante establece diferencias en-tre los tipos de funciones cúbicas puede tener dificultad para definir de manera formal el concep-to de punto crítico. Esta dificultad se puede hacer evidente cuando el estudiante incurre en erro-res como considerar que el criterio de la primera derivada siempre permite hallar extremos

9

relativos o considerar que todo punto crítico siempre determina el cambio de crecimiento o de-crecimiento. En el anexo 4, presentamos el listado de dificultades y errores.

2.4. Expectativas afectivas Las expectativas afectivas tienen que ver con la motivación del estudiante hacia el aprendizaje del tema matemático. En nuestro caso, establecimos expectativas afectivas como incrementar el interés por razonar sobre los puntos críticos de una función cúbica y su relación con el contexto. Este interés se fundamenta en la aplicación que tiene la interpretación de los puntos críticos en la solución de tareas relacionadas con fenómenos de optimización. Presentamos las expectativas de tipo afectivo en el anexo 5.

El establecimiento de las expectativas de aprendizaje y de tipo afectivo nos permitió diseñar y organizar secuencialmente un conjunto de tareas. Pretendemos con estas tareas: (a) determinar si los estudiantes tienen los conocimientos previos requeridos para abordar la unidad didáctica; (b) contribuir al alcance de las expectativas de aprendizaje y afectivas; y (c) evaluar el nivel de logro de estas expectativas.

3. DISEÑO E IMPLEMENTACIÓN DE LAS TAREAS Establecimos una tarea diagnóstico para indagar si los estudiantes tenían los conocimientos pre-vios necesarios para abordar las tareas de aprendizaje. Algunos conocimientos previos que eva-luamos en esta tarea están asociados al reconocimiento y determinación de intervalos, el recono-cimiento y representación de funciones o la identificación y diferenciación del dominio y el rango. Presentamos la tarea diagnóstico en el anexo 6.

Diseñamos siete tareas de aprendizaje para alcanzar las expectativas propuestas en nuestra unidad didáctica. Las primeras tres pretenden contribuir al alcance del objetivo 1. Con estas ta-reas pretendemos que los estudiantes utilicen el concepto de punto crítico para diferenciar cuán-do una función cúbica modela un fenómeno de crecimiento o de decrecimiento y cuándo modela un fenómeno de optimización. En la tarea 1, el análisis de estos puntos se realiza mediante la re-presentación gráfica y geométrica de la función cúbica. En la tarea 2, se establece el estudio los puntos críticos a partir de la representación simbólica. Por último, por medio de un simulador en GeoGebra, la tarea 3 promueve la identificación de los atributos de los puntos críticos de las fun-ciones cúbicas en representaciones gráficas, geométricas y simbólicas.

Las tareas de aprendizaje diseñadas para el objetivo 2 contribuyen a que los estudiantes re-conozcan los puntos críticos en una representación y los asocien a otras representaciones. La ta-rea 4 favorece el reconocimiento de los puntos críticos en representaciones numéricas y su tra-ducción a representaciones gráficas, parejas ordenadas, tablas o al ejecutable. La tarea 5 lleva a los estudiantes a identificar los puntos críticos en representaciones simbólicas y su traducción a representaciones gráficas, parejas ordenadas, tablas o al ejecutable.

Las tareas del objetivo 3 tienen que ver con la acción de interpretar los puntos críticos de la función cúbica como solución de situaciones de optimización para definirlos como mínimos o máximos, al valorar su viabilidad y sus posibles limitaciones en el contexto del problema. La ta-rea 6 contribuye a que los estudiantes elijan y analicen uno de los puntos críticos en representa-

10

ciones simbólicas. La tarea 7 favorece la elección y análisis de uno de los puntos críticos me-diante representaciones numéricas y gráficas. Presentamos las tareas de aprendizaje y los ele-mentos que las componen en el anexo 7.

Por último, diseñamos un examen final para evaluar el nivel de logro de cada uno de los ob-jetivos de aprendizaje. El examen final consta de tres situaciones problema. Cada situación abor-da un objetivo de aprendizaje. Diseñamos una rúbrica para determinar el nivel de alcance de lo-gro en este examen. Presentamos el examen final junto con su rúbrica en el anexo 8.

Luego de diseñar y organizar secuencialmente las tareas de la unidad didáctica realizamos su implementación. Esta implementación se desarrolló en 17 sesiones de aproximadamente 60 mi-nutos. Organizamos las sesiones en tres fases. En la primera, presentamos la unidad didáctica, implementamos la tarea diagnóstica y preparamos a los estudiantes que no poseían los conoci-mientos previos. En la segunda, implementamos las tareas de aprendizaje del tema. En la tercera, realizamos la evaluación final de la unidad didáctica y la sesión de cierre.

4. INSTRUMENTOS DE RECOLECCIÓN Y ANÁLISIS DE INFORMACIÓN Los instrumentos utilizados para la recolección de datos de nuestra unidad didáctica incluyen un diario para el profesor y uno para los estudiantes. Estos diarios fueron diseñados, para cada tarea de aprendizaje, con el objetivo de recolectar información sobre la percepción del profesor y los estudiantes en relación con la contribución de las tareas de aprendizaje a aspectos cognitivos, afectivos y factores que afectan la motivación.

Establecimos criterios de logro con base en las secuencias de capacidades. Los posibles errores en los que pueden incurrir los estudiantes al activar dichas secuencias nos permitieron establecer niveles de activación para los criterios de logro. Los criterios de logro junto con sus niveles de activación nos ayudaron a recolectar información sobre los aspectos cognitivos. Obtu-vimos información sobre los aspectos afectivos con base en los diarios del profesor y el estudian-te.

En el diario del profesor, dispusimos un esquema que presenta los criterios de logro y resal-tamos las posibles estrategias que los estudiantes pueden realizar al resolver la tarea. En este es-quema, el profesor debe indicar con un color (verde, amarillo o rojo) el grado con el que percibe que el grupo logró cada criterio de logro. También, propusimos una tabla para que el profesor registrara el porcentaje de estudiantes que se encuentran en cada nivel de activación de criterios de logro. En cuanto a los aspectos afectivos, propusimos una tabla con las expectativas afectivas y un espacio en el que el profesor registra su percepción sobre el nivel (bajo, medio o alto) del alcance de cada expectativa. Por otra parte, adaptamos un espacio con el matematógrafo para re-gistrar la percepción del profesor sobre los aspectos que afectan la motivación. Finalmente, pro-pusimos un apartado para que el profesor registre los posibles ajustes a la planificación que re-sultan de la reflexión sobre los aspectos cognitivos y afectivos. Presentamos el diario del profesor en el anexo 9.

En el diario del estudiante, dispusimos el esquema semáforos para que los estudiantes indi-caran con un color (verde, amarillo o rojo) la percepción sobre su nivel de alcance de cada crite-rio de logro. También, el diario del estudiante presenta un apartado relacionado con el

11

matematógrafo. En este apartado, el estudiante registra su percepción sobre los aspectos que afectan la motivación. Presentamos el diario del estudiante en el anexo 10.

Realizamos el análisis de la actuación de los estudiantes con base en los procedimientos y estrategias que ellos utilizaron para resolver las tareas de aprendizaje. Consideramos el nivel de importancia que dimos a esos y a otros aspectos de su actuación para establecer en qué medida los estudiantes habían alcanzado los objetivos de aprendizaje. Tuvimos en cuenta la información recolectada en los diarios sobre la percepción del profesor y del estudiante frente a los aspectos cognitivos, afectivos y la motivación. El análisis de esta información nos permitió realizar la eva-luación de la enseñanza.

5. EVALUACIÓN DE LA ENSEÑANZA Establecimos un procedimiento para analizar los resultados de la implementación de la unidad didáctica en términos de la enseñanza. Este análisis nos permitió identificar atributos de la uni-dad didáctica que influyeron negativamente (debilidades) y positivamente (fortalezas) en el logro de las expectativas cognitivas y de tipo afectivo. Los atributos hacen referencia a la estructura de la unidad didáctica, los elementos de las tareas y los instrumentos de recolección y análisis de información. A continuación, presentamos un ejemplo del procedimiento que desarrollamos para identificar las fortalezas y debilidades del diseño implementado de la unidad didáctica.

Los resultados de la implementación nos permitieron evidenciar que el primer objetivo fue el que se logró en menor medida. Establecimos que la tarea 1 fue la que menos contribuyó al alcance de este objetivo porque los estudiantes presentaron dificultades al activar el criterio de logro relacionado con identificar la cantidad de puntos críticos mediante rectas tangentes con pendiente nula o puntos en la gráfica en la que la variación es nula. Al revisar las características de la tarea, identificamos que el segundo requerimiento obliga al estudiante a realizar el análisis de la variación a partir del concepto de pendiente de una recta. Esto implica que un estudiante que aborda la tarea por medio de la representación gráfica realice una traducción a la representación geométrica sin la suficiente información. Esta situación hace que el estudiante presente dificultades para continuar con el desarrollo de la tarea. Con esta información, pudimos establecer que la formulación del segundo requerimiento de la tarea 1 era una debilidad que influía negativamente en el alcance del objetivo 1.

También encontramos que, cuando los estudiantes abordan la tarea 1 mediante representaciones geométricas, logran reconocer que la función presenta cambios en el tipo de variación, pero no justifican los cambios a partir de la dirección de la pendiente de la recta tan-gente a la curva. En este caso, identificamos como debilidad de la tarea 1 la falta de previsión de ayudas. Específicamente, no establecimos alguna ayuda que indujera al estudiante a relacionar los cambios de variación de una función cúbica con el tipo de inclinación de la recta tangente.

En la tarea 2, supusimos que el tiempo para solucionar la tarea era suficiente. Pensamos, con la información que teníamos, que los estudiantes poseían fortalezas al realizar procedimientos en representaciones simbólicas. Sin embargo, encontramos dificultades en la activación de los crite-rios de logro relacionados con el análisis de la situación y la creación del modelo matemático. Al revisar el diseño de la tarea, encontramos que no previmos —ni se aplicó sobre la marcha— al-

12

guna ayuda para que el estudiante construyera un modelo matemático que correspondiera a la información de la situación. Esta falta de planificación de ayudas se convirtió en una debilidad de la tarea 2.

Los resultados en la tarea 3 nos permitieron identificar que los estudiantes presentaron difi-cultades al hacer uso del punto crítico para describir la variación de la función y al usar el con-cepto de punto crítico para establecer si la función modela un fenómeno de optimización o de crecimiento o de decrecimiento estricto. Al revisar las características de la tarea 3, identificamos que los requerimientos no permitieron a los estudiantes reconocer las virtudes del simulador en GeoGebra para relacionar los puntos críticos en diferentes representaciones porque los requeri-mientos limitaban a los estudiantes a la creación de conjeturas a partir de representaciones sim-bólicas y gráficas. En este caso, establecimos que los requerimientos de la tarea eran un atributo que influyó negativamente al logro del objetivo 1.

Como fortaleza, encontramos que abordar las tareas de aprendizaje del objetivo 1, en térmi-nos de diferentes representaciones, nos permitió contribuir al alcance del objetivo 2 porque privi-legiamos el reconocimiento y uso de representaciones gráficas, geométricas, simbólicas y ejecu-tables.

En relación con el examen final, los resultados dan cuenta de que el nivel de alcance del primer objetivo fue bajo. En la rúbrica, establecimos que el criterio de logro que caracteriza el nivel de desempeño bajo está relacionado con reconocer el uso de la primera derivada para hallar puntos críticos. Al revisar el grafo del objetivo, encontramos que las acciones previas que el es-tudiante debe activar tienen que ver con decidir el método para determinar la cantidad de puntos y reconocer funciones cúbicas en representaciones simbólicas. Consideramos que esta situación tiene que ver con las debilidades encontradas en las tareas 2 y 3 para permitir la reflexión sobre la variación de la función en el sistema simbólico.

Realizamos algunas modificaciones al diseño con base en la reflexión sobre las debilidades y fortalezas. Estas modificaciones dieron origen al diseño final de la unidad didáctica.

6. CONCLUSIONES ¨ La experiencia que obtuvimos durante el proceso de formación de la maestría nos permi-

tió constatar y comprender la complejidad inherente a los puntos críticos de la función cúbica. Durante las situaciones cotidianas que se presentan en un aula de clase, es com-plicado centrar la atención en cada uno de los aspectos que la planificación curricular re-quiere. Sin embargo, el proceso de formación nos permitió identificar y organizar los múltiples significados del tema, establecer expectativas de aprendizaje, identificar limita-ciones de aprendizaje, y prever las actuaciones de los escolares al abordar tareas.

¨ La elaboración de la unidad didáctica nos permitió reconocer la importancia de los con-ceptos y procedimientos, las diferentes representaciones y los fenómenos que dan sentido a los puntos críticos de la función cúbica.

13

CARTILLA

Esta cartilla es un trabajo desarrollado durante el proceso de formación que realizamos en la maestría en Educación Matemática de la Facultad de Educación de la Universidad de los Andes. La cartilla se fundamenta en el modelo del análisis didáctico (Gómez, 2007) para diseñar, llevar a la práctica y evaluar una unidad didáctica que contribuya al aprendizaje de los conceptos y pro-cedimientos asociados a la optimización de funciones cúbicas: la identificación de los puntos crí-ticos. El propósito de la cartilla es brindar a los profesores los elementos suficientes para imple-mentar la unidad didáctica en el aula.

De acuerdo con nuestra experiencia, encontramos que la enseñanza de la optimización de funciones se aborda a partir de la aplicación de procedimientos algebraicos y se presenta en si-tuaciones matemáticas que están alejadas de la realidad. Esta forma de proceder genera dificulta-des para que los estudiantes comprendan los conceptos y procedimientos matemáticos que hay alrededor de la optimización de funciones, sus diferentes formas de representar y su utilidad para resolver situaciones de la vida real.

La unidad didáctica es importante porque contribuye a que los estudiantes utilicen el con-cepto de punto crítico para enfrentarse a tareas relacionadas con la optimización de funciones cúbicas. Este trabajo es relevante porque los puntos críticos son un contenido matemático que aparece regularmente en los planes de estudio del área de matemáticas en la educación media colombiana. La unidad didáctica es coherente con el documento de estándares en matemáticas (MEN, 2006) y otras normativas curriculares como el programa de Diploma del Bachillerato In-ternacional. Constatamos que existen pocos recursos que permitan el aprendizaje efectivo del concepto de punto crítico y su relación con la optimización de funciones.

La cartilla está estructurada en tres apartados. En primer lugar, describimos la importancia que tiene el tema de los puntos críticos de la función cúbica en relación con la normativa curricu-lar y realizamos un acercamiento a los elementos relacionados con el análisis didáctico que el profesor debe conocer para implementar la unidad didáctica. Estos aspectos están asociados al contenido, expectativas, limitaciones y sistema de evaluación de la unidad didáctica. Posterior-mente, presentamos las tareas de aprendizaje y de evaluación. Describimos la estructura, algunas sugerencias metodológicas y los criterios de evaluación asociados a cada tarea. Por último, pre-sentamos la evaluación final con su respectiva rúbrica.

14

7. CONTEXTO DE IMPLEMENTACIÓN La unidad didáctica contribuye al estándar relacionado con interpretar la noción de la derivada como razón de cambio y como valor de la pendiente de la tangente a una recta y el desarrollo de métodos para hallar las derivadas de funciones básicas en contextos matemáticos y no matemáti-cos (MEN, 2006). La unidad didáctica fue concebida para estudiantes de grado undécimo del én-fasis de ingeniería y pertenecientes al segundo año del Programa de Diploma del Bachillerato Internacional. No obstante, consideramos que la implementación se puede llevar a cabo con es-tudiantes que cuenten con los conocimientos previos necesarios.

7.1. Estructura del contenido Encontramos que existen dos tipos de funciones cúbicas. El primero hace referencia a las funcio-nes cúbicas que no tienen o tienen un solo punto crítico. Estas funciones presentan un crecimien-to o decrecimiento en sentido estricto y se relacionan con los conceptos de concavidad y punto de inflexión. El segundo tipo tiene que ver con funciones cúbicas que tienen dos puntos críticos. Estas funciones presentan cambios en el tipo de crecimiento y están relacionadas con los concep-tos de monotonía y la idea de extremo relativo. En la figura 4, presentamos los conceptos y pro-cedimientos más relevantes del tema.

Figura 4. Conceptos y procedimientos del tema de puntos críticos de la función cúbica

Función cúbicaMínimo o

máximo localPunto de inflexión

Un punto crítico

Dos puntos críticos

Sin puntos críticos

Extremos relativos

Punto de inflexión

Intervalos

Concavidad

Monotonía

General

Canónica

Puntos Críticos

Teorema de Fermat

Discriminante igual que cero

Discriminante menor que cero

Discriminante mayor que cero

Se definen

Expresión

Puede haber

Surgen

Características

Puntos

Se hallan

Criterio de la primera derivada Fórmula

15

7.2. Expectativas Con la unidad didáctica, contribuimos a las diferentes capacidades matemáticas fundamentales expuestas en el marco PISA 2012 (Ministerio de Educación Cultura y Deporte, 2013). Privile-giamos las capacidades de matematización, representación y diseño de estrategias para resolver problemas y favorecemos los procesos matemáticos de formular, interpretar y emplear.

Establecimos tres objetivos de aprendizaje. Estos objetivos están relacionados con

1. utilizar el concepto de punto crítico para diferenciar cuándo una situación problema modelada por una función cúbica hace parte de un fenómeno de optimización o un fenómeno de creci-miento o de decrecimiento estricto;

2. determinar los puntos críticos en situaciones de optimización a partir de algunas representa-ciones de la función cúbica y establecer relaciones entre estas representaciones; e

3. interpretar los puntos críticos de la función cúbica como solución de situaciones de optimiza-ción para definirlos como mínimos o máximos, al valorar su viabilidad y sus posibles limita-ciones en el contexto del problema.

En tercer lugar, establecimos unas expectativas de tipo afectivo que tienen que ver con ¨ desarrollar interés por matematizar fenómenos de optimización modelados por una fun-

ción cúbica para determinar los puntos críticos; ¨ incrementar el interés por razonar sobre los puntos críticos de una función cúbica y su re-

lación con el contexto de fenómenos de optimización; ¨ valorar la utilidad del concepto de punto crítico para razonar y justificar la solución ade-

cuada de situaciones problema en diferentes contextos; y ¨ ser cuidadoso y estricto al justificar el uso de los puntos críticos en fenómenos de optimi-

zación.

7.3. Posibles errores en los que pueden incurrir los estudiantes Las limitaciones de aprendizaje que establecemos en la unidad didáctica tienen que ver con las dificultades y errores en que pueden incurrir los estudiantes al enfrentarse a una tarea relacionada con fenómenos de optimización. Las dificultades son circunstancias que impiden o entorpecen la consecución de los objetivos de aprendizaje y los errores son manifestaciones visibles de las difi-cultades (González y Gómez, 2016).

Organizamos las dificultades y errores según las dos primeras categorías propuestas en Socas (1997) —como se cita en González y Gómez (2016)— en las dificultades que correspon-den a la complejidad de los objetos matemáticos y las dificultades de los procesos propios del pensamiento matemático. Entre las dificultades que corresponden a la complejidad del objeto matemático, identificamos la dificultad para evaluar la viabilidad de los puntos críticos de acuer-do con el contexto de una situación de optimización.

Por otra parte, para las dificultades de los procesos propios del pensamiento matemático, identificamos la dificultad de la aplicación del criterio de la primera derivada para determinar los puntos críticos. En la tabla 1, presentamos el listado de dificultades y errores más frecuentes. Re-gistramos el listado total en el anexo 4.

16

Tabla 1 Dificultades y errores representativos del tema de puntos críticos de la función cúbica

E Descripción

D1. Ausencia de nociones relacionadas con el concepto de función E2 Relaciona el dominio con rango y viceversa

D3. Dificultad para definir de manera formal concepto de punto crítico E6 Verifica y analiza puntos diferentes a los puntos críticos en representaciones gráfica o ejecutable de

situaciones de optimización

E98 Realiza procedimientos y obtiene resultados que dificultan la identificación del dominio admisible

E10 Considera que el criterio de la primera derivada siempre permite hallar extremos relativos

D7. Dificultad para identificar los extremos relativos en las diferentes representaciones E22 Asocia el punto mínimo o máximo local de una función cúbica al punto más alto o bajo que

observa en la representación gráfica, geométrica o ejecutable

E23 Expresa la abscisa y la ordenada de un punto crítico sin tener en cuenta que se relacionan como pareja ordenada, lo cual impide su análisis como extremo relativo.

D10. Obligatoriedad de encontrar única respuesta a una situación problema E40 Considera el punto de inflexión como máximo o mínimo relativo

E41 Afirma que la solución a un problema de optimización tiene un máximo y mínimo

E42 Afirma que una función cúbica sin extremos relativos puede ser optimizada

E43 Fija una interpretación incoherente a partir de las soluciones obtenidas

D19. Dificultad para asociar la cantidad de puntos críticos a fenómenos de optimización o de crecimiento o decrecimiento en sentido estricto

E70 Asocia una función cúbica sin puntos o con un punto crítico a fenómenos de optimización

E90 Considera que una función cúbica siempre tiene dos puntos críticos

E71 Asocia una función cúbica con dos puntos críticos a fenómenos de crecimiento o decrecimiento en sentido estricto

Nota. E: error, D: dificultad.

7.4. Criterios de logro Los criterios de logro tienen que ver con procedimientos concretos dentro del proceso de solu-ción de una tarea. Es posible distinguir y caracterizar estos procedimientos. Organizamos los cri-terios de logro de acuerdo con las acciones concretas que deben realizar los estudiantes para al-canzar cada objetivo de aprendizaje. En la tabla 2, presentamos los criterios de logro asociados al primer objetivo. Mostramos la tabla general con los criterios de logro en el anexo 11.

17

Tabla 2 Listado de criterios de logro para el primero objetivo

CdLs Descripción Objetivo 1 CdL11 Reconoce la información dada y solicitada, también, las variables en un problema relacionado

con una función cúbica

CdL12 Elige el procedimiento que brinde más elementos para abordar un problema de optimización, teniendo en cuenta la información inicial y los requerimientos de dicho problema.

CdL13 Verifica que la información dada en el problema es insuficiente para abordar otras representaciones

CdL14 Identifica una situación modelada por una función cúbica en representaciones geométricas

CdL15 Analiza la variación de la función cúbica en representaciones geométricas

CdL16 Identifica una situación modelada por una función cúbica en una gráfica

CdL17 Analiza la variación de una función cúbica en una gráfica o en GeoGebra

CdL18 Identifica la cantidad de puntos críticos mediante rectas tangentes con pendiente nula o puntos en una gráfica donde la variación es nula

CdL19 Identifica que las funciones cúbicas que tienen un punto o ningún punto crítico modelan fenómenos de crecimiento o decrecimiento en sentido estricto

CdL110 Identifica que las funciones cúbicas que tienen dos puntos críticos modelan fenómenos de optimización

CdL111 Identifica una situación modelada por una función cúbica en GeoGebra

CdL112 Decide con cuál sistema de representación describe las características de los coeficientes de la expresión algebraica de una función cúbica.

CdL113 Identifica una situación modelada por una función cúbica en expresiones simbólicas

CdL114 Elige del método para determinar la cantidad de puntos críticos de la función cúbica en la representación simbólica (Uso de la fórmula o del criterio de la primera derivada).

CdL115 Usa el discriminante de la fórmula para determinar la cantidad de puntos críticos de función cúbica.

CdL116 Usa el criterio de la primera derivada en la función cúbica, como punto de partida para hallar los puntos críticos.

CdL117 Elige la técnica de solución de la ecuación cuadrática que resulta de aplicar el criterio de la primera derivada

CdL118 Aplica la fórmula de la ecuación cuadrática como método de solución a ecuaciones cuadráticas.

CdL119 Soluciona una ecuación cuadrática obteniendo raíz cuadrada.

18

Tabla 2 Listado de criterios de logro para el primero objetivo

CdLs Descripción CdL120 Soluciona una ecuación cuadrática haciendo uso de casos de factorización.

CdL121 Soluciona la ecuación cuadrática completando cuadrados.

CdL122 Halla la cantidad de soluciones a una ecuación cuadrática.

CdL123 Asocia cero o una solución de la ecuación cuadrática a cero o un punto crítico en la función cúbica

CdL124 Asocia dos soluciones de la ecuación cuadrática a dos puntos críticos en la función cúbica

CdL125 Describe la variación del crecimiento y decrecimiento de las funciones cúbicas haciendo uso del concepto de punto crítico

CdL126 Usa el concepto de punto crítico en las funciones cúbicas para diferenciar las que modelan fenómenos de optimización o fenómenos de crecimiento y decrecimiento en sentido estricto

Nota: CdL: Criterio de logro

7.5. Grafos de criterios de logro de los objetivos de aprendizaje Los grafos de criterios de logro de los objetivos de aprendizaje son esquemas que permiten iden-tificar y organizar los criterios de logro que se deben activar para alcanzar un objetivo de apren-dizaje. Estos esquemas permiten evidenciar las posibles estrategias que un estudiante puede lle-var a cabo para resolver una tarea. Algunos criterios de logro no tienen asociados errores. Esto es debido a que son criterios de logro relacionados con la toma de decisiones. Los grafos de crite-rios de logro permiten identificar los criterios más relevantes de cada objetivo de aprendizaje.

En la figura 5, presentamos el grafo de criterios de logro del primer objetivo. Los primeros criterios de logro están asociados al reconocimiento de la información. Posteriormente, el grafo da cuenta de las acciones para hallar la cantidad de puntos críticos y describir la variación de la función cúbica en diferentes representaciones. Por último, el esquema muestra los criterios de logro relacionados con el uso del concepto de punto crítico para diferenciar los tipos de funcio-nes cúbicas.

19

Figura 5. Grafo de criterios de logro del primer objetivo

En la figura 6, presentamos el grafo de criterios de logro del segundo objetivo. Los primeros cri-terios de logro están asociados a la interpretación de la información. Posteriormente, el grafo da cuenta de las acciones para determinar los puntos críticos en situaciones de optimización, a partir de algunas representaciones de la función cúbica. Finalmente, el grafo da cuenta de los criterios relacionados con establecer relaciones entre diferentes representaciones de los puntos críticos.

Identifico que las

funciones cúbicas que

tienen un punto o ningún

punto crítico modelan

fenómenos de

crecimiento o

decrecimiento en sentido

estricto

Identifico que las funciones

cúbicas que tienen dos

puntos críticos modelan

fenómenos optimización

Analizo la cantidad

de puntos críticos

en la función

cúbica en

representaciones

gráficas,

geométricas o en

GeoGebraEn una gráfica

Uso el concepto

de punto crítico

en las funciones

cúbicas para

diferenciar las

que modelan

fenómenos de

optimización o

fenómenos de

crecimiento y

decrecimiento

en sentido

estricto

En

representaciones

geométricas

Analizo la variación de la

función cúbica en

representaciones

geométricas

Analizo la variación de

una función cúbica en

una gráfica o en

GeoGebra

En

GeoGebra

Decide con cuál

sistema de

representación

describe las

características de los

coeficientes de la

expresión algebraica de

una función cúbica.

Haciendo uso del

discriminante de la

fórmula

𝑥 = −𝑏± 𝑏2−3𝑎𝑐3𝑎

Haciendo

uso del

criterio de

la primera

derivada

Asocio cero o

una solución

de la ecuación

cuadrática a

cero o un

punto crítico

en la función

cúbica

Asocio dos soluciones de

la ecuación cuadrática a

dos puntos críticos en la

función cúbica

Completando

cuadrados

Haciendo uso

de la fórmula

Obteniendo

raíz

cuadrada

Factorizando

Elijo la

técnica de

solución de

la ecuación

cuadrática

En expresiones

simbólicas

Hallo la

cantidad de

soluciones

a una

ecuación

cuadrática

Describo la variación del

crecimiento y

decrecimiento de las

funciones cúbicas

haciendo uso del concepto

de punto crítico

Elijo el método

para

determinar la

cantidad de

puntos críticos

de la función

cúbica en

expresiones

simbólica

Reconozco la información

dada y solicitada, las

variables y la estructura

matemática en un problema

modelado por una función

cúbica

Elijo el procedimiento que

brinde más elementos

para abordar un problema

de optimización, teniendo

en cuenta la información

inicial y los requerimientos

de dicho problema.

Identifico

una

situación

modelada

por una

función

cúbica

Verifico que la

información

dada en el

problema es

insuficiente para

abordar otras

representaciones

E42-94

E1-49

E88-93

E80

E17

E81

E12-16

E3-86-92

E4-87-89

E97

E9-29-30-34-33-32

E67-95 E40-91

E7-90

E3-4-47-48-89

E71

E70

E69

E62

E63

E64

E65

20

Figura 6. Grafo de criterios de logro del segundo objetivo

En la figura 7, presentamos el grafo de criterios de logro del tercer objetivo. Los primeros crite-rios de logro están asociados al reconocimiento de la información. Luego, el esquema da cuenta de las acciones para hallar los puntos críticos en situaciones de optimización. Finalmente, el gra-fo muestra los criterios relacionados con definir los puntos críticos como máximos o mínimos y evaluar la viabilidad de estos puntos dentro del contexto de la tarea.

Determino cuáles y cuántos

son los puntos críticos en

una tabla de valores

Interpreto puntos

críticos hallados y

los represento

gráfica o

geométricamente

En una

tabla

Analizo los atributos de

los puntos críticos de la

función cúbica mediante

los valores de la tabla

Haciendo uso del

discriminante de

la fórmula

𝑥 = −𝑏± 𝑏2−3𝑎𝑐3𝑎

Haciendo

uso del

criterio de

la primera

derivada

Completando

cuadrados

Haciendo uso

de la fórmula

Obteniendo

raíz

cuadrada

Factorizando

Elijo la

técnica de

solución de

la ecuación

cuadrática

En

expresiones

simbólicas

Hallo la

cantidad de

soluciones

a una

ecuación

cuadrática

Elijo el sistema

de

representación

al cual debería

realizar una

traducción que

me permita

solucionar el

problema

Elijo el

método para

determinar

la cantidad

de puntos

críticos de la

función

cúbica en

expresiones

simbólica





de optimización







de dicho problema

Identifico

una

situación

modelada

por una

función

cúbica

Verifico que la

información dada

en el problema es

insuficiente para

abordar otras

representaciones

En parejas

ordenadas

Analizo los atributos de los

puntos críticos de la función

cúbica mediante parejas

ordenas

Interpreto

puntos críticos

hallados y los

represento en

una tabla o en

coordenadas

numéricas

Interpreto los

puntos críticos

hallados y los

represento en

GeoGebra

Relaciono el

concepto de

punto crítico con

los máximos y

mínimos de una

función cúbica a

partir de

diferentes

representaciones

E1-49

E88-93

E12-16

E97

E9-29-30-34-33-32

E62

E63

E64

E65

E82

E55-59

E14

E82

E26-37-45E68

E69

E23-37

E56-58

E60

E41

21

Figura 7. Grafo de criterios de logro del tercer objetivo

7.6. Esquema general de la unidad didáctica La unidad didáctica está diseñada para 17 sesiones de aproximadamente 60 minutos. Organiza-mos las sesiones en tres fases. En la primera, presentamos la unidad didáctica, implementamos la tarea diagnóstica y preparamos a los estudiantes que no poseían los conocimientos previos. En la segunda, implementamos las tareas de aprendizaje del tema. En la tercera, realizamos la evalua-ción final de la unidad didáctica y la sesión de cierre. En la tabla 3, presentamos la cantidad de tareas para cada objetivo de aprendizaje y la cantidad de sesiones de clase con los respectivos tiempos sugeridos.

Uso el criterio de la primera derivada en

la función cúbica, como punto

partida para hallar los puntos críticos

Reconozco la información dada y

solicitada, las variables y la estructura matemática

en un problema de optimización

Escribo la expresión simbólica a

optimizar en términos de una

sola variable

Elijo la técnica de

solución de la ecuación cuadrática

Completando cuadrados

Haciendo uso de la fórmula

Obteniendo raíz

cuadrada

Factorizando

Elijo el procedimiento que brinde más elementos para

abordar un problema de optimización

Determino los puntos críticos

mediante parejas

ordenadas

Evaluo el dominio admisible de los

puntos críticos de una función cúbica para el problema de optimización

Uso el discriminante de la

fórmula

𝑥 = −𝑏± 𝑏2−3𝑎𝑐3𝑎

Uso una tabla de valores y parejas ordenadas para

identificar los puntos críticos a partir de la expresión simbólica

planteada inicialmente

Elijo si los extremos relativos deben ser

interpretados como un máximo o un mínimo de

la función cúbica

Asocio el extremo relativo de mayor

ordenada con el punto máximo de la función

cúbica

Asocio el extremo relativo de menor

ordenada con el punto mínimo de la función

cúbica

Interpreto los extremos relativos de la función

cúbica como soluciones de fenómenos de

optimización

Asocio los puntos críticos de la función

cúbica como extremos relativos

Uso una gráfica y elementos geométricos

para identificar los puntos críticos a partir

de la expresión simbólica planteada

inicialmente

E62

E63

E64

E65

E1-49

E49-50-51-52-53-54

E9-29-30-34-33-32E31

E2-5-6E23-37

E41-26E22-27

E75

E55-59E56-58

E97

22

Tabla 3 Descripción general de la unidad didáctica

Sesión Aspecto Tiempo (min)

Actividad

1 Inicio 30 Presentación de los objetivos y metodología general de la unidad

2 Tarea 60 Implementación prueba diagnóstica

3 Realimentación 60 Resolución de la prueba diagnóstico en gran grupo para superar las dificultades relacionadas con los conocimientos previos

4, 5, 6 Primer objetivo 180 Implementación de las tareas Wazcartón, Pedido de Kellog’s y Programa para modelar (60 min c/u)

7 Cierre del primer objetivo

60 Socialización general de dudas, dificultades (a partir del diario del estudiante y del profesor) y calificaciones obtenidas en las tareas del objetivo 1

8, 9 Segundo objetivo

120 Implementación de las tareas Utilidades y Tanque de agua. (60 min c/u)

10 Cierre del segundo objetivo

60 Socialización general de dudas y dificultades (a partir del diario del estudiante y del profesor, haciendo uso del software GeoGebra) y calificaciones obtenidas en las tareas del objetivo 2

11, 12 Tercer objetivo 3 120 Implementación de las tareas Cajas de cartón y Caminata (60 min c/u)

13 Cierre del tercer objetivo

60 Socialización general de dudas y dificultades (a partir del diario del estudiante y del profesor) y calificaciones obtenidas en las tareas del objetivo 3. Entrega de formato del sistema de calificación de la unidad didáctica.

14 Realimentación 60 Institucionalización sobre lo aprendido y preparación del examen final

15 Examen final 60 Evaluación final

17 Cierre 60 Realimentación sobre los resultados del examen final, la evaluación de nuestra unidad didáctica y realización de la auto y co-evaluación

23

8. TAREA DIAGNÓSTICA Y TAREAS DE APRENDIZAJE En este apartado, presentamos la prueba diagnóstica, las tareas de aprendizaje y el examen final para el tema. En cada tarea, describimos las características y algunas previsiones que el profesor debe tener en cuenta antes de implementarla.

8.1. Tarea Diagnóstica La tarea diagnóstica permite observar cuáles son los conocimientos previos con los que cuenta el estudiante para abordar el tema puntos críticos de la función cúbica. Esta tarea está compuesta por seis ejercicios en los que se abordan los conceptos y procedimientos de grado de una fun-ción, cantidad de puntos críticos de la gráfica de las funciones, expresión algebraica, solución de ecuaciones cuadráticas y volumen. Esta tarea permite evidenciar las capacidades de los estudian-tes en relación con el reconocimiento de las características de las funciones, el desarrollo de las ecuaciones cuadráticas y la determinación del volumen de figuras. Los estudiantes deben resol-ver la prueba de manera individual. Para el desarrollo de la tarea se entrega a los estudiantes una guía con los puntos de la tarea, una hoja en blanco, lápiz, borrador, regla y calculadora. Se esti-man 10 minutos de lectura conjunta de los puntos y 50 minutos para su desarrollo.

La tarea diagnóstica activa el uso de la representación simbólica al describir la expresión ge-neral de las funciones y en el desarrollo de las ecuaciones cuadráticas. La representación gráfica se utiliza para evaluar las funciones y graficarlas. Finalmente, la representación numérica se ac-tiva cuando los estudiantes evalúan las funciones y hallan la pendiente que pasa por unas coor-denadas.

Sugerencias metodológicas y aclaraciones de la tarea Antes de implementar la tarea diagnóstica, el profesor debe asegurarse que los estudiantes tienen manejan los procedimientos algebraicos asociados con las nociones básicas de derivación, la re-solución de ecuaciones cuadráticas y las características de las funciones hasta grado 3. Algunos ítems de la tarea están diseñados para que el profesor evidencie la capacidad de los estudiantes para realizar procedimientos algebraicos. Sugerimos realizar una sesión de realimentación a par-tir de una acción colaborativa entre los estudiantes que demuestren habilidad en el desarrollo de la tarea diagnóstico y aquellos que presenten más dificultades. El profesor puede formalizar los conocimientos previos haciendo uso de las preguntas formuladas en la prueba diagnóstica. Errores en los que pueden incurrir los estudiantes. Los errores en los que puede incurrir el estu-diante están asociados a la formulación de representaciones simbólicas que no guardan la infor-mación ni las relaciones establecidas al ejercicio. También, puede realizar gráficas en las que no se identifican variables y/o unidades; realizar tablas sin tener precisión en los valores; asociar cantidades de puntos críticos que no corresponden al tipo de función; asociar arbitrariamente los coeficientes de la ecuación cuadrática a la fórmula; y realizar procedimientos y obtener resulta-dos que dificultan la identificación del dominio admisible. Sugerimos que, en la realimentación de la tarea diagnóstico, se aclaren estos errores para que no se presenten en las tareas de aprendi-zaje.

24

Evaluación. El profesor debe observar qué criterios de logro activan los estudiantes. Los criterios para resolver la tarea están asociados a realizar traducciones de la representación simbólica de una función cúbica a su representación gráfica, a la elaboración de una tabla a partir de una re-presentación simbólica y a hallar la cantidad de soluciones a una ecuación cuadrática.

Formulación 1. Completar la siguiente tabla.

Tipo de función

Grado de la función

Cantidad de puntos críticos Gráfica Expresión

algebraica

Lineal

2

f(x)=x24

1

Cúbica

2

2. Graficar y hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos P (-2, -1) y Q (3,6). Seña-lar si la pendiente es positiva, negativa, no existe o es cero. ¿Por qué?

3. Determinar los puntos críticos e intervalos de concavidad, crecimiento y de decrecimiento de las siguientes funciones.

a) 𝑓 𝑥 = 5𝑥' + 4𝑥. + 3𝑥 + 2

b) ℎ 𝑥 = @AB

C

4. Solucionar las siguientes ecuaciones cuadráticas.

a) 𝑥. + 6𝑥 = −9

b) 5𝑥. + 9𝑥 + 2 = 0

25

5. Determinar el área superficial y el volumen de las siguientes figuras.

(a) (b)

6. Un camión se compró en 2015. La relación entre el costo (en cientos de millones) del ca-mión y la depreciación dada por su uso en el tiempo (en décadas), se presenta en la siguiente gráfica.

a. Determinar qué variables representan A y V en la gráfica.

b. Determinar aproximadamente el mínimo y máximo valor que alcanzó el camión durante los tres primeros años.

c. Establecer el intervalo de tiempo en el que el camión tuvo algún valor.

8.2. Tarea Wazcartón La tarea Wazcartón presenta una situación en la que los estudiantes deben diferenciar las funcio-nes cúbicas de acuerdo con el fenómeno que modelan. Para ello, deben describir y analizar la variación del volumen de las cajas. La tarea tiene como objetivo reconocer aquellas funciones que modelan fenómenos de optimización y aquellas que modelan fenómenos de crecimiento y decrecimiento en sentido estricto.

Elementos de la tarea A continuación, describimos los elementos de la tarea.

Requisitos. Para esta tarea se requiere que el estudiante conozca el concepto de punto crítico, re-conozca el concepto de pendiente de una recta, diferencie la variable dependiente de la indepen-diente de una función, reconozca las características de las funciones cúbicas y reconozca que los máximos y mínimos locales de una función pueden ocurrir únicamente en sus puntos críticos.

26

Aportes de la tarea. La tarea pretende que los estudiantes diferencien tipos de funciones cúbicas en el sistema de representación gráfico y geométrico, y determinen si esas funciones modelan un fenómeno de optimización o un fenómeno de crecimiento o de decrecimiento estricto. Mediante el análisis de los sistemas de representación propuestos, se busca que los estudiantes valoren la utilidad del concepto de punto crítico para diferenciar funciones. A través de la idea del volumen de cajas, la tarea pretende que los estudiantes identifiquen la función cúbica como la estructura matemática de la situación. Por tal razón, el estudiante deberá formular supuestos que permitan solucionar la tarea.

Agrupamiento e interacción. En un primer momento, el profesor presenta al grupo de estudiantes la meta de la tarea. Seguido de esto, el estudiante soluciona la tarea de manera individual. Luego, el profesor organiza a los estudiantes en parejas con el fin de revisar las descripciones de las va-riaciones del volumen y las diferencias entre los tipos de cajas. Y, si es posible, discuten cómo se puede utilizar el concepto de pendiente de una recta para hacer tal descripción. Por último, en gran grupo se comparten las reflexiones obtenidas en el trabajo por parejas, con el fin de realizar la socialización. La interacción que se promueve en esta tarea es entre profesor-estudiante, estu-diante-estudiante, estudiante-gran grupo y profesor-gran grupo. Conceptos y procedimientos. La tarea Wazcartón aborda los conceptos y procedimientos asocia-dos a pendiente de una recta, puntos críticos, punto de inflexión y volumen. Sistemas de representación. Los sistemas de representación que se activan son el gráfico y geo-métrico. Contextos de la tarea. La tarea se sitúa en un contexto profesional.

Materiales y recursos. La tarea requiere de volantes con la información de la descripción de la empresa de cajas.

Formulación Wazcartón es una empresa encargada del diseño, elaboración y venta de cajas de metal y de cartón de acuerdo con las especificaciones de sus clientes. A continuación, se describen sus productos.

27

1. Si fuera un vendedor de Wazcartón ¿cómo describiría la variación del volumen de las ca-jas de metal y las cajas de cartón a uno de sus clientes?

2. ¿Cómo se relaciona el concepto de punto crítico con estas descripciones?

3. ¿Qué diferencias encuentra en la variación del volumen entre los dos tipos de cajas?

Temporalidad. El profesor inicia la sesión con la presentación de la tarea y explica la forma de trabajo (8 minutos). Se estima que la duración de la tarea sea de 35 minutos. Antes de finalizar la sesión, el profesor resuelve las inquietudes y realiza la institucionalización, de la tarea, a partir de las respuestas que expusieron los estudiantes en cada requerimiento (20 minutos). El profesor debe estimar un tiempo adicional para que los estudiantes puedan registrar el alcance en cada cri-terio de logro de la tarea.

Sugerencias metodológicas y aclaraciones de la tarea Para iniciar esta tarea, es necesario que el profesor solucione todas las inquietudes de los estu-diantes que se presentan en la tarea diagnostica. Posteriormente, el profesor debe retomar el obje-tivo y el propósito de la tarea. De esta manera, los estudiantes reconocerán la finalidad y los aprendizajes que se desarrollarán o afianzarán al abordarla. Se recomienda hacer una descripción

ESPECIFICACIONESDELOSTIPOSCAJA

Material Usos Tipodebase Volumen

Metal

Idealparaproductosaltos

Circularocuadrada

Dependedelalongituddeldiámetroodelaaristadelabase

Cartón

Idealparaproductosplanos

Cuadrada

Dependedelanchodelabase

28

de la imagen que se presenta de manera detallada y hacer una lectura de las preguntas. El profe-sor debe motivar y promover el trabajo en grupo y la participación crítica para desarrollar la tarea de manera adecuada.

Grafo de criterios de logro de la tarea, errores y actuación del profesor En este apartado, trataremos los aspectos relacionados con el grafo de criterios de logro de la ta-rea. El grafo muestra los posibles caminos de aprendizaje entorno al sistema de representación gráfico o geométrico. También, presentamos los errores en los cuales puede incurrir el estudiante al momento de realizar algún procedimiento.

Grafo de criterios de logro. En la figura 8, presentamos el grafo de criterios de logro del objetivo en el que hemos resaltado los criterios de logro que se activan en esta tarea. Observamos que los primeros criterios de logro están asociados al reconocimiento de la información, la elección del procedimiento y la verificación de la información. Posteriormente, encontramos los criterios de logro asociados a las representaciones geométrica y gráfica que se utilizan para el desarrollo de la tarea. Luego, surgen los criterios de logro relacionados con representaciones y un procedi-miento especifico que permite hallar los puntos críticos. Por último, encontramos los criterios de logro asociados a la descripción de la variación y la utilización del concepto de punto crítico.

29

Figura 8. Grafo de criterios de logro de la tarea Wazcartón

Errores en los que pueden incurrir los estudiantes. Los estudiantes podrían incurrir en algunos errores al desarrollar la tarea. Ellos podrían utilizar una representación gráfica o geométrica que no guarda la información ni las relaciones establecidas al ejercicio; realizar gráficas en las no se identifican variables y/o unidades; asociar dos puntos críticos a fenómenos que no son de optimi-zación o asociar un punto crítico a fenómenos de optimización; y analizar de manera incorrecta la información identificada en las representaciones gráficas y geométricas.

Actuación del profesor. El profesor debe motivar a los estudiantes para que logren solucionar la tarea y que participen a la hora de realizar sus inquietudes. También, debe estar pendiente si que-

Identifico que las




fenómenos de

crecimiento o


estricto





Analizo la cantidad

de puntos críticos

en la función

cúbica en

representaciones

gráficas,

geométricas o en


Uso el concepto

de punto crítico

en las funciones

cúbicas para

diferenciar las

que modelan

fenómenos de

optimización o

fenómenos de

crecimiento y

decrecimiento

en sentido

estricto

En

representaciones

geométricas


función cúbica en

representaciones

geométricas



una gráfica o en

GeoGebra

En

GeoGebra

Decide con cuál

sistema de

representación

describe las


coeficientes de la



Haciendo uso del

discriminante de la

fórmula

𝑥 = −𝑏± 𝑏2−3𝑎𝑐3𝑎

Haciendo

uso del

criterio de

la primera

derivada

Asocio cero o

una solución

de la ecuación

cuadrática a

cero o un

punto crítico

en la función

cúbica




función cúbica

Completando

cuadrados

Haciendo uso

de la fórmula

Obteniendo

raíz

cuadrada

Factorizando

Elijo la

técnica de

solución de

la ecuación

cuadrática

En expresiones

simbólicas

Hallo la

cantidad de

soluciones

a una

ecuación

cuadrática


crecimiento y


funciones cúbicas


de punto crítico

Elijo el método

para

determinar la

cantidad de

puntos críticos

de la función

cúbica en

expresiones

simbólica






cúbica







de dicho problema.

Identifico

una

situación

modelada

por una

función

cúbica

Verifico que la

información

dada en el

problema es

insuficiente para

abordar otras

representaciones

E42-94

E1-49

E88-93

E80

E17

E81

E12-16

E3-86-92

E4-87-89

E97

E9-29-30-34-33-32

E67-95 E40-91

E7-90

E3-4-47-48-89

E71

E70

E69

E62

E63

E64

E65

30

daron errores que no se lograron superar en la prueba diagnóstica, revisar de manera constante el trabajo individual y los grupos de trabajo para constatar que todos realicen la actividad. Las pre-guntas orientadoras pueden ser: ¿cuáles son las variaciones que se presentan en las gráficas? y ¿cuál es la abscisa y la ordenada en un punto crítico a partir de la gráfica? Por otro lado, sugeri-mos al profesor aclarar que la gráfica relaciona la altura con el volumen. En el anexo 14, presen-tamos el listado de ayudas sugeridas al profesor para contribuir a la superación de errores en los que pueden incurrir los estudiantes al solucionar esta tarea. Evaluación. La meta de la tarea se cumple si el estudiante logra realizar acciones asociadas a di-ferenciar qué funciones representan fenómenos de optimización y qué fenómenos son de creci-miento y decrecimiento en sentido estricto, a partir de la representación gráfica o geométrica. También, el estudiante cumple la meta de la tarea si describe las variaciones que existen en el volumen y decide a qué fenómeno está asociado.

8.3. Tarea Pedido de Kellog’s La tarea Pedido de Kellog’s pretende que, a partir de las representaciones simbólicas, los estu-diantes diferencien las funciones cúbicas con respecto al fenómeno que modelan. Los estudiantes deben generar un modelo matemático que les permita analizar la variación del volumen en los recipientes y determinar si es posible obtener un volumen máximo y mínimo. La tarea tiene co-mo objetivo que los estudiantes reconozcan, a partir de un modelo matemático, aquellas funcio-nes que modelan fenómenos de optimización y aquellas que modelan fenómenos de crecimiento y decrecimiento en sentido estricto.

Elementos de la tarea A continuación, describimos los elementos de la tarea. Requisitos. La tarea requiere que el estudiante conozca el concepto de punto crítico, emplee el criterio de la primera derivada, aplique y reconozca las reglas de derivación, y halle el volumen de los prismas con base rectangular y de los cilindros.

Aportes de la tarea. La tarea busca que los estudiantes establezcan diferencias entre tipos de fun-ciones cúbicas en el sistema de representación simbólico y determinen si esas funciones modelan un fenómeno de optimización o un fenómeno de crecimiento o de decrecimiento estricto. La formulación de la tarea pretende que los estudiantes desarrollen interés por matematizar fenóme-nos modelados por una función cúbica para determinar los puntos críticos. También, se pretende que los estudiantes elaboren un modelo matemático que les permita llegar a la solución y, poste-riormente, que reflexionen sobre los resultados matemáticos para elaborar explicaciones y argu-mentos que apoyen o refuten la solución a la tarea.

Agrupamiento e interacción. Al iniciar la sesión, el profesor presenta al grupo de estudiantes la meta de la tarea. Los estudiantes forman parejas para solucionar la tarea y discutir los resultados. Durante este proceso, el profesor identifica formas similares de solución a la tarea y, de acuerdo con esto, sugiere a algunas parejas presentar su solución. Al finalizar, el profesor formaliza la tarea llegando a acuerdos con los estudiantes sobre cada requerimiento. La interacción que se promueve es profesor-estudiante, estudiante-estudiante y profesor-gran grupo.

31

Conceptos y procedimientos. La tarea Pedido de Kellog’s aborda los conceptos y procedimientos asociados a la forma general de las funciones cúbicas, representación de funciones, variación del volumen y puntos críticos. Sistemas de representación. El sistema de representación que se activa es el simbólico.

Contextos de la tarea. Podemos asociar esta tarea a un contexto profesional. Materiales y recursos. En esta tarea se usan volantes con la información que se presenta en la formulación.

Formulación Kellog’s hace una solicitud a Wazcartón para que construya sus nuevas envolturas para el ce-real de Frootloops y Zucaritas con su respectivo premio sorpresa. Las especificaciones de es-tas cajas se presentan en la siguiente tabla. Kellog’s necesita saber la viabilidad de este tipo de requerimiento.

Referencia Caja Especificaciones Restricciones

Frootloops

Cereal Base cuadrada cuyo lado sea la diferencia entre 5 cm y el alto de la caja.

Altura no mayor a 5 cm

Premio Base cuadrada con alto que sea igual a la diferencia entre 5 y 2 veces el lado de la base de la caja.

Longitud del lado de la base no mayor a 5 cm

Zucaritas

Cereal Caja en forma de cubo ( Todos sus lados iguales)

Longitud del lado de la base no mayor a 5 cm

Premio Caja de forma cilíndrica cuya altura sea 2 veces su radio

Longitud del radio de la base no mayor a 5 cm

1. Generar un modelo matemático que permita establecer las diferencias entre el tipo de va-riación del volumen de las cajas (cereal y premio) de la referencia Frootloops y las cajas (ce-real y premio) de la referencia Zucaritas.

2. ¿Es posible determinar un volumen máximo y mínimo en cada una de las cajas? Justificar la respuesta.

Temporalidad. Inicialmente, el profesor presenta la tarea y explica la forma de trabajo (8 minu-tos). Se estima que la duración de la tarea sea una sesión de 60 minutos. El profesor debe contar con 20 minutos para realizar la institucionalización. El profesor debe estimar un tiempo adicional para que los estudiantes puedan registrar el alcance en cada criterio de logro de la tarea.

32

Sugerencias metodológicas y aclaraciones de la tarea El profesor debe iniciar con el propósito de la tarea y hacer una lectura de la imagen que se les entrega de manera detallada. Él debe pedir a los estudiantes que realicen una representación de cómo se imaginan cada tipo de caja. Lo anterior, con el fin de tener una idea sobre el razona-miento que los estudiantes presentaron en torno a la situación e implementar ayudas asociadas a la construcción de las cajas a partir de las medidas. Posteriormente, el profesor debe realizar la lectura de los requerimientos para garantizar que no existan diferentes interpretaciones de lo que se pretende. En el desarrollo de la tarea, el profesor debe estar muy pendiente del modelo mate-mático porque es el aspecto principal que permite desarrollar la tarea. Por último, el profesor de-be motivar al estudiante de manera constante hasta que logre obtener el modelo.

Grafo de criterios de logro de la tarea, errores y actuación del profesor En este apartado, presentamos la posible estrategia que sigue el estudiante para desarrollar la ta-rea, a partir de su grafo de criterios de logro. También presentamos los errores en los que incurre el estudiante al desarrollar la tarea y la actuación del profesor. Grafo de criterios de logro. En la figura 9, presentamos el grafo de criterios de logro de la se-gunda tarea. Los primeros criterios de logro están asociados al reconocimiento de la información, la lección del procedimiento y la verificación de la información. Luego, se encuentran los crite-rios de logro asociados a la representación simbólica y a la utilización de la fórmula para deter-minar los puntos críticos o aplicar el criterio de la primera derivada. Por último, se establecen los criterios de logro asociados a la descripción de la variación y la utilización del concepto de punto crítico desde la representación simbólica.

33

Figura 9. Grafo de criterios de logro de la tarea Pedido de Kellog’s.

Errores en los que pueden incurrir los estudiantes. Los estudiantes podrían incurrir en algunos errores al desarrollar esta tarea. Ellos podrían utilizar una representación simbólica que no guar-da la información ni las relaciones establecidas al ejercicio, confundir los coeficientes de la fun-ción al aplicarlos en el discriminante o confundir las reglas de derivación. Actuación del profesor. El profesor debe apoyar a los estudiantes para que logren solucionar toda la tarea; estar pendiente si quedaron errores que no se lograron superar en la tarea Wazcartón o en la prueba diagnóstico; y revisar de manera constante los grupos de trabajo para constatar que todos realicen la actividad. Los estudiantes deben tener clara la situación del problema para que

Identifico que las




fenómenos de

crecimiento o


estricto





Analizo la cantidad

de puntos críticos

en la función

cúbica en

representaciones

gráficas,

geométricas o en


Uso el concepto

de punto crítico

en las funciones

cúbicas para

diferenciar las

que modelan

fenómenos de

optimización o

fenómenos de

crecimiento y

decrecimiento

en sentido

estricto

En

representaciones

geométricas


función cúbica en

representaciones

geométricas



una gráfica o en

GeoGebra

En

GeoGebra

Decide con cuál

sistema de

representación

describe las


coeficientes de la



Haciendo uso del

discriminante de la

fórmula

𝑥 = −𝑏± 𝑏2−3𝑎𝑐3𝑎

Haciendo

uso del

criterio de

la primera

derivada

Asocio cero o

una solución

de la ecuación

cuadrática a

cero o un

punto crítico

en la función

cúbica




función cúbica

Completando

cuadrados

Haciendo uso

de la fórmula

Obteniendo

raíz

cuadrada

Factorizando

Elijo la

técnica de

solución de

la ecuación

cuadrática

En expresiones

simbólicas

Hallo la

cantidad de

soluciones

a una

ecuación

cuadrática


crecimiento y


funciones cúbicas


de punto crítico

Elijo el método

para

determinar la

cantidad de

puntos críticos

de la función

cúbica en

expresiones

simbólica






cúbica







de dicho problema.

Identifico

una

situación

modelada

por una

función

cúbica

Verifico que la

información

dada en el

problema es

insuficiente para

abordar otras

representaciones

E42-94

E1-49

E88-93

E80

E17

E81

E12-16

E3-86-92

E4-87-89

E97

E9-29-30-34-33-32

E67-95 E40-91

E7-90

E3-4-47-48-89

E71

E70

E69

E62

E63

E64

E65

34

no surjan soluciones que no correspondan y no se bloqueen en algún requerimiento de la tarea o procedimiento. Las preguntas orientadoras que el profesor debe generar, para que los estudiantes puedan continuar con el desarrollo de los procedimientos, están relacionadas con el reconoci-miento de la información para realizar una representación, las reglas de derivación y la solución de ecuaciones cuadráticas. Las preguntas orientadoras pueden ser ¿cuál información del proble-ma le permite realizar algún tipo de representación?, ¿el resultado de la derivada cumple con el desarrollo del exponente? y ¿cuál es la fórmula para solucionar una ecuación cuadrática? Por otro lado, sugerimos al profesor realizar una explicación del criterio de la primera derivada. En el anexo 15, presentamos el listado de ayudas sugeridas al profesor para contribuir a la superación de errores en los que pueden incurrir los estudiantes al solucionar esta tarea. Evaluación. La tarea se cumple si el estudiante ha logrado realizar acciones asociadas a generar un modelo matemático que represente la situación, establecer la variación del volumen de las ca-jas y determinar si es posible obtener un volumen máximo y mínimo en cada una de las cajas. El estudiante debe diferenciar los tipos de funciones cúbicas en el sistema de representación simbó-lico, al analizar si las funciones representan una situación de optimización o una de crecimiento y decrecimiento estricto.

8.4. Tarea Programa para modelar La tarea Programa para modelar busca que los estudiantes diferencien las funciones cúbicas con respecto al fenómeno que modelan. Deben analizar las funciones cúbicas mediante un simulador que les permite cambiar los coeficientes de la función. El objetivo es reconocer, a partir del mo-delo matemático y de la relación entre los coeficientes de la función, aquellas funciones que mo-delan fenómenos de optimización y aquellas que modelan fenómenos de crecimiento y decreci-miento en sentido estricto.


Requisitos. La tarea requiere que el estudiante conozca el concepto de punto crítico, diferencie la variable dependiente de la independiente de una función, reconozca las características de las fun-ciones cúbicas, y reconozca que los máximos y mínimos locales de una función pueden ocurrir únicamente en sus puntos críticos.

Aportes de la tarea. Por medio de la representación ejecutable, la tarea busca que los estudiantes establezcan relaciones entre los sistemas de representación gráfico, geométrico y simbólico para determinar si dichas funciones modelan un fenómeno de optimización o un fenómeno de creci-miento o de decrecimiento estricto. El uso del simulador en GeoGebra permite que los estudian-tes incrementen el interés por razonar sobre los puntos críticos de una función cúbica y su rela-ción con el contexto de fenómenos de optimización. Los requerimientos de la tarea llevan al estudiante a elaborar y presentar explicaciones y argumentos sobre las relaciones encontradas. Agrupamiento e interacción. Esta tarea se desarrolla en tres momentos. El profesor entrega a los estudiantes el simulador en GeoGebra sin dar mayor explicación. Luego, cada uno de los estu-diantes interactúa de manera individual con el programa, con el fin de que vaya construyendo

35

conjeturas para los diferentes requerimientos de la tarea. En seguida, trabajan en parejas para so-cializar las conjeturas y llegar a acuerdos sobre las soluciones a los requerimientos. El profesor pregunta a los estudiantes sobre cuál consideran ellos que fue la meta de la tarea, teniendo en cuenta sus soluciones. Esta pregunta se realizará para fomentar el razonamiento y argumentación de los estudiantes. Por último, el profesor realiza la institucionalización con todo el grupo. La interacción que se promueve es estudiante- estudiante y profesor-gran grupo.

Conceptos y procedimientos. La tarea Programa para modelar aborda los conceptos y procedi-mientos asociados a la forma general de las funciones cúbicas, coeficientes de funciones, manejo de GeoGebra, pendiente de la recta y puntos críticos. Sistemas de representación. Los sistemas de representación que se activan son el gráfico, geomé-trico y simbólico, por medio del simulador en GeoGebra.

Contextos de la tarea. La tarea se sitúa en un contexto científico relacionado con la tecnología. Materiales y recursos. La tarea requiere de una simulación en GeoGebra. La simulación está dis-ponible en el anexo 12. Adicionalmente, el desarrollo de la tarea requiere del uso de computado-res o tabletas.

Formulación Ésta es la simulación en GeoGebra que utiliza Wazcartón para determinar el tipo de material (metal o cartón) en que se fabrican sus cajas.

36

1. Realizar modificaciones en los valores de a, b, c y d que corresponden a los coeficientes de una función cúbica y determinar los cambios que se producen.

2. A partir de los cambios anteriormente descritos y el concepto de punto crítico, establecer qué características debe tener una función que modela un fenómeno de optimización y una que modela un fenómeno de crecimiento o decrecimiento en sentido estricto.

Temporalidad. La tarea se desarrolla en una sesión de 60 minutos. El profesor debe estimar un tiempo para que los estudiantes puedan registrar el alcance en cada criterio de logro de la tarea.

Sugerencias metodológicas y aclaraciones de la tarea Para dar inicio a la tarea, es importante que el profesor retome el objetivo y la meta. De esta ma-nera, se espera que los estudiantes reconozcan la finalidad y aprendizajes que se desarrollarán o afianzarán al abordarla. Se recomienda hacer una lectura inicial y aclarar de dudas. El profesor debe motivar y promover en los estudiantes la participación crítica y generar espacios para com-partir las dificultades que presentaron durante el desarrollo de la tarea. Se recomienda al profe-sor, al finalizar las tres primeras tareas asociadas al primer objetivo, destinar una sesión para rea-lizar una socialización y realimentación de 60 minutos. En esta sesión, el profesor debe institucionalizar las diferentes funciones cúbicas que obedecen a fenómenos de optimización y fenómenos de crecimiento y decrecimiento en sentido estricto.

Grafo de criterios de logro de la tarea, errores y actuación del profesor En este apartado, presentamos algunos aspectos relacionados con el grafo de criterios de logro de la tarea. El grafo muestra los posibles caminos de aprendizaje entorno al sistema de representa-ción simbólico o identificar la cantidad de puntos críticos a partir del sistema de representación gráfico o geométrico. También, presentamos los errores en los que puede incurrir el estudiante al realizar algún procedimiento entorno al uso de la fórmula para determinar los puntos críticos o el criterio de la primera derivada. Por último, establecemos la actuación del profesor. Grafo de criterios de logro. En la figura 10, presentamos el grafo de criterios de logro de la tarea Programa para modelar. En este caso, los criterios más relevantes tienen que ver con la acción de usar los coeficientes de la representación simbólica de la función cúbica, para describir sus ca-racterísticas gráficas y establecer la cantidad de puntos críticos.

37

Figura 10. Grafo de criterios de logro de la tarea Programa para modelar

Errores en los que pueden incurrir los estudiantes. Los estudiantes podrían incurrir en errores como confundir los coeficientes de la función; establecer una cantidad de puntos críticos que no corresponden a la gráfica; asociar una función cúbica con dos puntos críticos a fenómenos de crecimiento o decrecimiento en sentido estricto; considerar que una función cúbica siempre tiene dos puntos críticos; y asociar una cantidad de puntos críticos que no corresponde al tipo de fun-ción cúbica.

Actuación del profesor. El profesor debe apoyar a los estudiantes para que logren solucionar toda la tarea; estar pendiente de si quedaron errores que no se lograron superar en las tareas anterio-

Identifico que las




fenómenos de

crecimiento o


estricto





Analizo la cantidad

de puntos críticos

en la función

cúbica en

representaciones

gráficas,

geométricas o en


Uso el concepto

de punto crítico

en las funciones

cúbicas para

diferenciar las

que modelan

fenómenos de

optimización o

fenómenos de

crecimiento y

decrecimiento

en sentido

estricto

En

representaciones

geométricas


función cúbica en

representaciones

geométricas



una gráfica o en

GeoGebra

En

GeoGebra

Decide con cuál

sistema de

representación

describe las


coeficientes de la



Haciendo uso del

discriminante de la

fórmula

𝑥 = −𝑏± 𝑏2−3𝑎𝑐3𝑎

Haciendo

uso del

criterio de

la primera

derivada

Asocio cero o

una solución

de la ecuación

cuadrática a

cero o un

punto crítico

en la función

cúbica




función cúbica

Completando

cuadrados

Haciendo uso

de la fórmula

Obteniendo

raíz

cuadrada

Factorizando

Elijo la

técnica de

solución de

la ecuación

cuadrática

En expresiones

simbólicas

Hallo la

cantidad de

soluciones

a una

ecuación

cuadrática


crecimiento y


funciones cúbicas


de punto crítico

Elijo el método

para

determinar la

cantidad de

puntos críticos

de la función

cúbica en

expresiones

simbólica






cúbica







de dicho problema.

Identifico

una

situación

modelada

por una

función

cúbica

Verifico que la

información

dada en el

problema es

insuficiente para

abordar otras

representaciones

E42-94

E1-49

E88-93

E80

E17

E81

E12-16

E3-86-92

E4-87-89

E97

E9-29-30-34-33-32

E67-95 E40-91

E7-90

E3-4-47-48-89

E71

E70

E69

E62

E63

E64

E65

38

res; y revisar de manera constante el trabajo individual y de los grupos para constatar que todos realicen la actividad. Los estudiantes deben tener clara la situación del problema para que no sur-jan soluciones que no correspondan y no se bloqueen en algún requerimiento de la tarea o proce-dimiento. Las preguntas orientadoras que el profesor debe generar, para que los estudiantes pue-dan continuar con el desarrollo de los procedimientos, están relacionadas con las características de las funciones cúbicas, la cantidad de puntos críticos a partir del discriminante y el crecimiento de funciones con dos puntos críticos. Las preguntas orientadoras pueden ser ¿cuáles son las ca-racterísticas de las funciones cúbicas, cuando 𝑏. > 3𝑎𝑐 ?, ¿cuántos puntos críticos tiene la fun-ción, cuando 𝑏. ≤ 3𝑎𝑐 ?, ¿cuántos puntos críticos tiene la función? y ¿una función con dos pun-tos críticos crece o decrece constantemente? Por otro lado, sugerimos al profesor realizar una

explicación de la fórmula 𝑥 = #$± $&#'()'(

y su discriminante. En el anexo 16, presentamos el listado de ayudas sugeridas al profesor para contribuir a la superación de errores en los que pue-den incurrir los estudiantes al solucionar esta tarea.

Evaluación. La meta de la tarea se cumple si el estudiante ha logrado realizar acciones asociadas a modificaciones en los coeficientes de la función cúbica en el simulador y logra establecer los cambios que se producen. Adicionalmente, la meta se cumple si los estudiantes logran identificar qué características debe tener una función que modela un fenómeno de optimización y una que modela un fenómeno de crecimiento o decrecimiento en sentido estricto. Lo anterior permite es-tablecer los atributos de las funciones cúbicas en los sistemas de representación gráfico, geomé-trico y simbólico para determinar el fenómeno que representa dicha función.

8.5. Tarea Utilidades La tarea Utilidades busca que los estudiantes reconozcan los puntos críticos de las funciones cú-bicas en diferentes sistemas de representación y los asocien a otras representaciones. Para ello, tienen que describir el comportamiento de las utilidades a partir de los diferentes sistemas de re-presentación que sean convenientes para analizar la situación.


Requisitos. La tarea requiere que el estudiante reconozca los intervalos a partir de sus símbolos, identifique los fenómenos de optimización y crecimiento y decrecimiento en sentido estricto, maneje los sistemas de representación, conozca el concepto de punto crítico y manipule GeoGe-bra, en caso de utilizarlo. Aportes de la tarea. La tarea lleva al estudiante a que identifique los puntos críticos de funciones cúbicas en fenómenos de optimización en el sistema de representación numérico o tabular y, pos-teriormente, represente esos puntos de diferentes maneras. La formulación de la tarea busca in-crementar el interés por razonar sobre los puntos críticos de una función cúbica y su relación con el contexto de fenómenos de optimización. Los requerimientos de la tarea llevan al estudiante a que interprete, relacione y utilice distintas representaciones cuando se interactúa con la tarea.

39

Agrupamiento e interacción. El profesor inicia con la presentación de la meta de la tarea. Los estudiantes forman parejas para solucionar la tarea y discutir los resultados. Al finalizar, el profe-sor realiza la institucionalización. La interacción que se promueve es profesor-estudiante, estu-diante-estudiante y profesor-gran grupo.

Conceptos y procedimientos. La tarea Utilidades aborda los siguientes conceptos y procedimien-tos: sistemas de representación gráfico y tabular de la función cúbica, traducciones entre los sis-temas de representación, intervalos, puntos críticos, crecimiento y decrecimiento de funciones. Sistemas de representación. Los sistemas de representación que se activan son el gráfico, tabular y ejecutable. Contextos de la tarea. Situamos esta tarea en un contexto profesional. Materiales y recursos. Para resolver la tarea se debe entregar a los estudiantes un archivo en Ex-cel con el listado de los valores que analizará (Ver anexo 13). Es necesario tener disponible el programa GeoGebra por si algún estudiante lo requiere.

Formulación En la Bolsa de Valores de Colombia se compran y venden acciones durante 6 horas al día. En el mercado de renta variable se negocian las acciones de compañías inscritas en el merca-do público de valores. Esto hace que el valor de una acción de una compañía cambie a lo lar-go del tiempo de operaciones. Para estudiar las utilidades de una empresa, un analista finan-ciero registra en un documento Excel el valor de la acción a lo largo de la jornada.

40

1. Determinar los puntos críticos y utilizarlos para describir la variación del valor de la ac-ción a lo largo del tiempo de operaciones de la Bolsa.

2. Presentar un informe general que permita evidenciar el momento en que se alcanza el ma-yor y menor valor de la acción. Se pueden incluir gráficos, tablas o hacer uso de Excel o GeoGebra.

Temporalidad. El profesor presenta la tarea y explica la forma de trabajo (6 minutos). Se estima que los estudiantes resuelvan la tarea en 35 minutos. Por último, el profesor realiza la institucio-nalización en 25 minutos. El profesor debe estimar un tiempo adicional para que los estudiantes puedan registrar el alcance en cada criterio de logro de la tarea

Sugerencias metodológicas y aclaraciones de la tarea Para dar inicio a esta tarea del segundo objetivo, es necesario que el profesor solucione todas las inquietudes de los estudiantes que se presentan en las tareas del primer objetivo. Posteriormente, el profesor debe mencionar cuál es el segundo objetivo y el propósito de la tarea. Se recomienda hacer una lectura inicial, entregar el archivo de Excel correspondiente a la situación y aclarar de dudas. El profesor debe motivar a la participación crítica en los estudiantes para generar mejores descripciones de la tarea. También, el profesor debe tener en cuenta las posibles gráficas que realicen los estudiantes y enfatizar en la importancia de tener en cuenta las cifras decimales. En esta sesión, el profesor debe institucionalizar las diferentes representaciones de las funciones cú-bicas asociadas a la situación.

41

Grafo de criterios de logro de la tarea, errores y actuación del profesor En este apartado, presentamos algunos aspectos relacionados con el grafo de criterios de logro de la tarea. El grafo muestra los posibles caminos de aprendizaje entorno al sistema de representa-ción tabular y numérica. También, presentamos los errores en los cuales puede incurrir el estu-diante al momento de realizar traducciones entre los sistemas de representación. Por último, es-tablecemos la actuación del profesor.

Grafo de criterios de logro. En la figura 11, presentamos el grafo de criterios de logro de la cuar-ta tarea. De igual manera que en el tareas anteriores, los primeros criterios de logro están asocia-dos al reconocimiento de la información, la elección del procedimiento y la verificación de la información. Posteriormente, se establecen los criterios de logro asociados a la representación tabular y las parejas ordenadas. Los últimos criterios de logro están asociados a la caracteriza-ción de los puntos críticos mediante el sistema de representación y a la traducción entre los sis-temas para relacionar el concepto de punto crítico.

Figura 11. Grafo de criterios de logro de la tarea Utilidades

Errores en los que pueden incurrir los estudiantes. Los estudiantes podrían incurrir en algunos errores al desarrollar la tarea. Ellos podrían confundir los puntos críticos en los sistemas de re-presentación tabular y numérico; realizar traducciones de representaciones de la función cúbica a una tabla que no guarda la información ni las relaciones establecidas de la situación; establecer relaciones entre las diferentes representaciones de la función cúbica que no guardan información




Interpreto puntos


los represento

gráfica o

geométricamente

En una

tabla





Haciendo uso del

discriminante de

la fórmula

𝑥 = −𝑏± 𝑏2−3𝑎𝑐3𝑎

Haciendo

uso del

criterio de

la primera

derivada

Completando

cuadrados

Haciendo uso

de la fórmula

Obteniendo

raíz

cuadrada

Factorizando

Elijo la

técnica de

solución de

la ecuación

cuadrática

En

expresiones

simbólicas

Hallo la

cantidad de

soluciones

a una

ecuación

cuadrática

Elijo el sistema

de

representación

al cual debería

realizar una

traducción que

me permita

solucionar el

problema

Elijo el

método para

determinar

la cantidad

de puntos

críticos de la

función

cúbica en

expresiones

simbólica





de optimización







de dicho problema

Identifico

una

situación

modelada

por una

función

cúbica

Verifico que la

información dada

en el problema es

insuficiente para

abordar otras

representaciones

En parejas

ordenadas




ordenas

Interpreto

puntos críticos

hallados y los

represento en

una tabla o en

coordenadas

numéricas

Interpreto los

puntos críticos

hallados y los

represento en

GeoGebra

Relaciono el

concepto de

punto crítico con

los máximos y

mínimos de una

función cúbica a

partir de

diferentes

representaciones

E1-49

E88-93

E12-16

E97

E9-29-30-34-33-32

E62

E63

E64

E65

E82

E55-59

E14

E82

E26-37-45E68

E69

E23-37

E56-58

E60

E41

42

con la representación de parejas ordenadas; y confundir el concepto de punto crítico en la situa-ción.

Actuación del profesor. El profesor debe motivar a los estudiantes para que logren solucionar toda la tarea. También, debe estar pendiente si quedaron errores que no se lograron superar en las tareas anteriores, revisar de manera constante el trabajo individual y los grupos de trabajo para constatar que todos realicen la actividad. Los estudiantes deben tener clara la situación del pro-blema para que no surjan soluciones que no correspondan y no se bloqueen en algún requeri-miento de la tarea o procedimiento. Las preguntas orientadoras que el profesor debe aplicar para que los estudiantes puedan continuar con el desarrollo de los procedimientos están relacionadas con el reconocimiento de parejas ordenadas o los valores numéricos en una tabla. Las preguntas orientadoras pueden ser: ¿los valores obtenidos en la tabla y parejas ordenadas están asociadas a una función cúbica? y ¿cuál es la abscisa y la ordenada en un punto crítico? Por otro lado, suge-rimos al profesor aclarar que la gráfica que los estudiantes deben realizar no se debe asociar a un diagrama de barras. En el anexo 17, presentamos el listado de ayudas sugeridas al profesor para contribuir a la superación de errores en los que pueden incurrir los estudiantes al solucionar esta tarea. Evaluación. La meta de la tarea se cumple si el estudiante ha logrado realizar acciones asociadas a la descripción del comportamiento de las utilidades y las traducciones entre los sistemas de re-presentación para determinar el que mejor describa el movimiento de las utilidades. El estudiante debe reconocer los puntos críticos en fenómenos de optimización y realizar traducciones que permiten determinar dichos puntos.

8.6. Tarea Tanque de agua En la tarea Tanque de agua, se pretende que los estudiantes reconozcan los puntos críticos de las funciones cúbicas en diferentes sistemas de representación y los asocien a otras representaciones. Para ello, se espera que aborden el sistema de representación simbólico para determinar el mayor y menor volumen del tanque e interpreten el resultado en el sistema de representación gráfico, geométrico, tabular o ejecutable.


Requisitos. Esta tarea requiere de los siguientes conceptos y procedimientos: identificar fenóme-nos de optimización y crecimiento y decrecimiento en sentido estricto, sistemas de representa-ción, concepto de punto crítico y función cúbica, traducciones entre los sistemas de representa-ción y volumen (en caso de utilizarlo).

Aportes de la tarea. La tarea lleva al estudiante a que identifique los puntos críticos de funciones cúbicas en fenómenos de optimización en representaciones simbólicas y, posteriormente, repre-sente esos puntos de diferentes maneras. Los requisitos de la tarea llevan a los estudiantes a ser cuidadosos y estrictos al justificar el uso de los puntos críticos en fenómenos de optimización. También, los requisitos permiten que los estudiantes deban interpretar los resultados matemáticos en distintos formatos con relación a la situación.

43

Agrupamiento e interacción. Los estudiantes desarrollan la tarea organizados en ternas. Al finali-zar la clase, el profesor realiza la formalización y conclusiones de la tarea. La interacción que se promueve es entre estudiante- grupo pequeño y profesor- gran grupo. Conceptos y procedimientos. La tarea aborda los siguientes conceptos y procedimientos: siste-mas de representación simbólico, tabular y gráfico de la función cúbica, traducciones entre los sistemas de representación, intervalos, puntos críticos y volumen.

Sistemas de representación. La tarea activa los sistemas de representación simbólico, tabular y gráfico.

Contextos de la tarea. Situamos esta tarea en un contexto científico. Materiales y recursos. Los materiales y recursos para desarrollar esta tarea son hojas de papel, lápiz y tablas. De manera opcional, los estudiantes pueden utilizar GeoGebra para verificar las gráficas.

Formulación Durante doce horas, una llave deposita agua en un tanque mediante la función 𝑓 𝑡 =0,5𝑡' + 2𝑡. + 8𝑡, donde t representa el tiempo (medido en horas) y f (t) representa el volu-men de agua que deposita la llave en el tanque —medido en metros cúbicos (m3)—. Al mismo tiempo, un orificio en la parte inferior del tanque deja salir agua mediante la función 𝑔 𝑡 = 0,4𝑡' + 4𝑡. − 2𝑡, donde t representa el tiempo (medido en horas) y g(t) representa el volumen de agua que sale por el orificio —medido en metros cúbicos (m3)—. Tenga en cuenta que el volumen de agua en el tanque es diferencia entre el volumen de agua que le en-tra y el volumen de agua que sale del tanque.

1. Determinar los puntos críticos y utilizarlos para describir la variación del volumen del agua en el tanque a lo largo del tiempo.

2. Presentar un informe general que permita evidenciar el momento en que se alcanza el ma-yor y menor volumen del agua en el tanque. Se pueden incluir gráficos, tablas o hacer uso de GeoGebra.

Temporalidad. El profesor presenta la tarea y explica la forma de trabajo (8 minutos). Se estima que la duración de la tarea sea de 35 minutos. Es importante realizar la formalización de la tarea, a partir de la solución de cada requerimiento junto con los estudiantes. El profesor debe estimar un tiempo para que los estudiantes puedan registrar el alcance en cada criterio de logro de la ta-rea.

Sugerencias metodológicas y aclaraciones de la tarea El profesor debe iniciar con el propósito de la tarea y hacer una lectura detallada de la situación y de los requerimientos para que no se realicen interpretaciones de la situación que no correspon-den. El profesor debe estar atento de las variables que toman los estudiantes para modelar la si-tuación. Por otro lado, el profesor debe tener cuidado con los máximos y mínimos de la situación que van hallar porque no es de las fórmulas que se mencionan. Se recomienda al profesor, al fi-nalizar las dos tareas asociadas al segundo objetivo, destinar una sesión para realizar una sociali-

44

zación y realimentación de 60 minutos. En esta sesión, el profesor debe institucionalizar las dife-rentes funciones cúbicas que obedecen a fenómenos de optimización y fenómenos de crecimien-to y de-crecimiento en sentido estricto a partir de los diferentes sistemas de representación.

Grafo de criterios de logro de la tarea, errores y actuación del profesor En este apartado, presentamos algunos aspectos relacionados con el grafo de criterios de logro de la tarea. El grafo muestra los posibles caminos de aprendizaje entorno al sistema de representa-ción simbólico. También, presentamos los errores en los cuales puede incurrir el estudiante al momento de realizar traducciones entre los sistemas de representación. Por último, establecemos la actuación del profesor. Grafo de criterios de logro. En la figura 12, presentamos el grafo de criterios de logro de la ta-rea. De igual manera que en las tareas anteriores, los primeros criterios de logro están asociados al reconocimiento de la información, elección del procedimiento y verificación de la informa-ción. Luego, establecemos los criterios de logro asociados a la representación simbólica y al desarrollo de la fórmula para encontrar los puntos críticos y el criterio de la primera derivada. Posteriormente, se realiza una traducción entre los sistemas para relacionar el concepto de punto crítico.

Figura 12. Grafo de criterios de logro de la tarea Tanque de agua




Interpreto puntos


los represento

gráfica o

geométricamente

En una

tabla





Haciendo uso del

discriminante de

la fórmula

𝑥 = −𝑏± 𝑏2−3𝑎𝑐3𝑎

Haciendo

uso del

criterio de

la primera

derivada

Completando

cuadrados

Haciendo uso

de la fórmula

Obteniendo

raíz

cuadrada

Factorizando

Elijo la

técnica de

solución de

la ecuación

cuadrática

En

expresiones

simbólicas

Hallo la

cantidad de

soluciones

a una

ecuación

cuadrática

Elijo el sistema

de

representación

al cual debería

realizar una

traducción que

me permita

solucionar el

problema

Elijo el

método para

determinar

la cantidad

de puntos

críticos de la

función

cúbica en

expresiones

simbólica





de optimización







de dicho problema

Identifico

una

situación

modelada

por una

función

cúbica

Verifico que la

información dada

en el problema es

insuficiente para

abordar otras

representaciones

En parejas

ordenadas




ordenas

Interpreto

puntos críticos

hallados y los

represento en

una tabla o en

coordenadas

numéricas

Interpreto los

puntos críticos

hallados y los

represento en

GeoGebra

Relaciono el

concepto de

punto crítico con

los máximos y

mínimos de una

función cúbica a

partir de

diferentes

representaciones

E1-49

E88-93

E12-16

E97

E9-29-30-34-33-32

E62

E63

E64

E65

E82

E55-59

E14

E82

E26-37-45E68

E69

E23-37

E56-58

E60

E41

45

Errores en los que pueden incurrir los estudiantes. Los estudiantes podrían incurrir en errores como confundir la cantidad de puntos críticos a partir del sistema de representación simbólico; confundir los coeficientes de la función al aplicarlos en el discriminante o confundir las reglas de derivación; realizar traducciones de representaciones de la función cúbica a una gráfica que no guarda la información ni las relaciones establecidas de la situación; realizar traducciones de re-presentaciones de la función cúbica a una tabla que no guarda la información ni las relaciones establecidas de la situación; y realizar traducciones de representaciones de la función cúbica a una representación ejecutable que no guarda la información ni las relaciones establecidas de la situación. Actuación del profesor. El profesor debe motivar a los estudiantes para que logren solucionar toda la tarea. Asimismo, él debe estar pendiente si quedaron errores que no se lograron superar en las tareas anteriores, revisar de manera constante el trabajo individual y de los grupos de tra-bajo para constatar que todos realicen la actividad. Los estudiantes deben tener clara la situación del problema para que no surjan soluciones que no correspondan y no se bloqueen en algún re-querimiento de la tarea o procedimiento. Las preguntas orientadoras que el profesor debe aplicar para que los estudiantes puedan continuar con el desarrollo de los procedimientos están relacio-nadas con la información inicial del problema, las representaciones del problema y la solución de una ecuación cuadrática. Las preguntas orientadoras pueden ser: ¿cuál información presenta el problema para desarrollar la tarea?, ¿cuáles son las representaciones simbólicas que modelan el problema? y ¿cómo se soluciona una ecuación cuadrática? Por otro lado, sugerimos al profesor explicar la relación de los sistemas de representación con la gráfica. En el anexo 18, presentamos el listado de ayudas sugeridas al profesor para contribuir a la superación de errores en los que pueden incurrir los estudiantes al solucionar esta tarea.

Evaluación. La meta de la tarea se cumple si el estudiante describir de la variación del volumen del agua y realizar las traducciones entre los sistemas de representación para los puntos críticos de la situación.

8.7. Tarea Cajas de cartón En la tarea Cajas de cartón, se busca que los estudiantes caractericen los puntos críticos en situa-ciones de optimización y vean la viabilidad de la construcción de las cajas. Se espera que los es-tudiantes generen un modelo matemático que les permita relacionar un lado de las cajas con el volumen y analizar si es posible realizar la construcción de las cajas con un volumen máximo y mínimo.

Elementos de la tarea A continuación, describimos los elementos de la tarea. Requisitos. El estudiante debe ser capaz de reconocer las características de un problema modela-do por una función cúbica que se refiera a un fenómeno de optimización. Debe conocer los con-ceptos de punto crítico, representación simbólica de los extremos relativos, volumen y construc-ción de sólidos.

46

Aportes de la tarea. La tarea promueve que el estudiante caracterice uno de los puntos críticos de la función cúbica como máximo en un fenómeno de optimización. Se busca incrementar el inte-rés por razonar sobre los puntos críticos y su relación con el contexto del problema, mediante el uso del material manipulativo. Los conceptos y procedimientos que se deben usar para solucio-nar la tarea permiten reflexionar y elaborar argumentos que apoyen o refuten la solución mate-mática en el problema contextualizado.

Agrupamiento e interacción. Los estudiantes se agrupan en parejas para solucionar la tarea. El profesor asigna a cada pareja de estudiantes el requerimiento que debe socializar con sus compa-ñeros. Para finalizar el profesor formaliza la información obtenida por los estudiantes. La inter-acción que se promueve es entre estudiante-estudiante, estudiante- gran grupo y profesor- gran grupo.

Conceptos y procedimientos. La tarea Cajas de cartón aborda los conceptos y procedimientos asociados al volumen, operación de polinomios, intervalos, puntos críticos y traducciones entre los sistemas de representación. Sistemas de representación. Los sistemas de representación que se activan son el simbólico y numérico. Contextos de la tarea. Situamos esta tarea en un contexto profesional.

Materiales y recursos. Los materiales y recursos para el desarrollo de esta tarea son hojas de pa-pel, tablas, lápiz y cajas de cartón.

Formulación Se quiere construir una caja sin tapa que tenga el mayor volumen posible, usando una hoja tamaño carta (22 x 28 cm). Para la construcción, se realizan cortes de x cm en forma cuadra-da a las esquinas de la hoja, como se muestra en la siguiente imagen.

1. Asignar 3 valores distintos a x para el corte y construir una caja para cada corte asignado, agregar tantos fríjoles como sea posible hasta llenar cada una de las cajas construidas y llenar los registros en los espacios indicados de la siguiente tabla:

X X

47

x es la longitud del corte en centímetros

Dimensiones de la caja

Cantidad de fríjoles

Cantidad de cartón utilizado (cm2)

(a) Valor asignado 1

(b) Valor asignado 2

(c) Valor asignado 3

(d) Extremo relativo encontrado

(e) Extremo relativo encontrado

2. Determinar la expresión matemática del volumen que se quiere optimizar.

3. Describir la variación del volumen de la caja con respecto al valor asignado para el corte.

4. Determinar los extremos relativos del volumen de la caja.

5. Con cada extremo relativo encontrado, construir una caja y llenar su interior con tantos frí-joles como sea posible y completar la tabla con los nuevos registros.

6. Según los datos, ¿es posible construir una caja con la información que brinda cada extre-mo relativo sobre el valor del corte? ¿Qué dimensiones de la caja maximizan su volumen? ¿Qué se puede concluir del proceso de optimización? Justificar las respuestas.

Temporalidad. El profesor presenta la tarea y explica la forma de trabajo (10 minutos). Se estima que la duración de la tarea sea en una sesión de 60 minutos. Por último, el profesor realiza la ins-titucionalización (15 minutos). El profesor debe estimar un tiempo adicional para que los estu-diantes puedan registrar el alcance en cada criterio de logro de la tarea.

Sugerencias metodológicas y aclaraciones de la tarea El profesor debe realizar la presentación de la tarea y pedir a los estudiantes que construyan tres cajas y viertan fríjoles para verificar su volumen. Se debe indicar, con detalle, la forma de regis-trar los datos en la tabla propuesta.

Grafo de criterios de logro de la tarea, errores y actuación del profesor En este apartado, presentamos algunos aspectos relacionados con el grafo de criterios de logro de la tarea. El grafo muestra los posibles caminos de aprendizaje entorno al sistema de representa-ción simbólico. También, presentamos los errores en los cuales puede incurrir el estudiante al momento de determinar el dominio admisible para que la situación tenga sentido. Por último, establecemos la actuación del profesor.

Grafo de criterios de logro. En la figura 13, presentamos el grafo de criterios de logro de la ta-rea. Inicialmente, los primeros criterios de logro están asociados al reconocimiento de la infor-mación y elección del procedimiento. Encontramos posteriormente los criterios de logro asocia-dos a la representación simbólica para aplicar el criterio de la primera derivada o el uso de la fórmula para hallar los puntos críticos. Por último, establecemos los criterios de logro asociados

48

a la interpretación de los puntos críticos que tengan sentido contexto del problema, si existe un volumen máximo o mínimo.

Figura 13. Grafo de criterios de logro de la tarea Cajas de cartón

Errores en los que pueden incurrir los estudiantes. Al desarrollar la tarea, los estudiantes pueden incurrir en algunos errores. Ellos podrían confundir los coeficientes de la función al aplicarlos en el discriminante o confundir las reglas de derivación; argumentar la solución obtenida sin tener en cuenta el contexto del problema; fijar una interpretación incoherente a partir de las soluciones obtenidas; y realizar procedimientos y obtener resultados que dificultan la identificación del do-minio admisible.

Actuación del profesor. El profesor debe apoyar a los estudiantes para que logren solucionar toda la tarea. Él debe estar pendiente de los errores que no se lograron superar en las tareas anteriores y revisar de manera constante los grupos de trabajo para constatar que todos realicen la actividad. Los estudiantes deben tener clara la situación del problema para que no surjan soluciones que no correspondan y no se bloqueen en algún requerimiento de la tarea o procedimiento. Las pregun-tas orientadoras que el profesor debe aplicar para que los estudiantes puedan continuar con el desarrollo de los procedimientos están relacionadas con las incógnitas del problema, los datos para construir la caja, generar la expresión simbólica del problema y utilizar el criterio de la pri-mera derivada. Las preguntas orientadoras pueden ser las siguientes: ¿cuáles son las incógnitas que se encuentran en el problema?, ¿cuáles datos del problema te permiten construir la caja?, ¿cuáles son las variables y constantes en el problema? y ¿a qué valor está igualando la derivada?









sola variable





Obteniendo raíz

cuadrada

Factorizando




mediante parejas

ordenadas




fórmula

𝑥 = −𝑏± 𝑏2−3𝑎𝑐3𝑎






la función cúbica



cúbica



cúbica



optimización






inicialmente

E62

E63

E64

E65

E1-49

E49-50-51-52-53-54

E9-29-30-34-33-32E31

E2-5-6E23-37

E41-26E22-27

E75

E55-59E56-58

E97

49

Por otro lado, sugerimos al profesor explicar la solución de ecuaciones cuadráticas, la correcta construcción de la caja y el dominio admisible de una función para que la situación tenga senti-do. En el anexo 19, presentamos el listado de ayudas sugeridas al profesor para contribuir a la superación de errores en los que pueden incurrir los estudiantes al solucionar esta tarea.

Evaluación. La meta de la tarea se cumple si el estudiante logra determinar el modelo matemáti-co del problema que permita describir la variación del volumen y encontrar los puntos críticos. Para ello, el estudiante debe realizar el proceso de optimización y determinar el dominio admisi-ble para que adquiera sentido la situación.

8.8. Tarea Caminata Con la tarea Caminata, queremos que los estudiantes caractericen los puntos críticos en situacio-nes de optimización a partir de la variación de la velocidad. Ellos deben analizar los datos me-diante una representación tabular, para determinar los puntos críticos y analizar los casos en que existe una velocidad máxima y una velocidad mínima.


Requisitos. El estudiante debe ser capaz de reconocer las características de un problema modela-do por una función cúbica que se refiera a un fenómeno de optimización, y conocer los concep-tos de punto crítico y representación tabular, gráfica y numérica de extremos relativos. Aportes de la tarea. La tarea promueve que el estudiante caracterice uno de los puntos críticos de la función cúbica como mínimo en un fenómeno de optimización. La formulación de la tarea caminata permite que el estudiante valore la utilidad del concepto de punto crítico para razonar y justificar la solución adecuada de acuerdo con el contexto del problema. La tarea permite la comprensión de la relación entre el contexto del problema y la representación de la solución ma-temática. Lograr esta comprensión lleva al estudiante a valorar la viabilidad y posibles limitacio-nes de la situación.

Agrupamiento e interacción. En un primer momento, el profesor presenta al grupo de estudiantes la meta de la tarea. En seguida, los estudiantes abordan la tarea de manera individual. Por último, se comparten las soluciones de algunos de los estudiantes en gran grupo. Se concluye la sesión con la institucionalización y resolución de la tarea. La interacción que se promueve es entre pro-fesor-estudiante, estudiante-estudiante, estudiante-gran grupo y profesor-gran grupo. Conceptos y procedimientos. La tarea aborda los siguientes conceptos y procedimientos: repre-sentación tabular de una función, intervalos, puntos críticos y relación tiempo-velocidad. Sistemas de representación. Los sistemas de representación que se activan son el tabular y gráfi-co. Contextos de la tarea. La tarea se sitúa en un contexto científico.

Materiales y recursos. La tarea utiliza los siguientes materiales y recursos: tablas, hojas de papel, lápiz y cajas de cartón.

50

Formulación Los siguientes valores son el registro de la velocidad de una persona en función del tiempo.

Tiempo (min) Velocidad (m/s)

0 0

0,1 0,058

0,2 0,224

0,3 0,486

0,4 0,832

0,5 1,25

0,6 1,728

0,7 2,254

0,8 2,816

0,9 3,402

1 4

1,1 4,598

1,2 5,184

1,3 5,746

1,4 6,272

1,5 6,75

1,6 7,168

1,7 7,514

1,8 7,776

1,9 7,942

2 8

2,1 7,938

2,2 7,744

2,3 7,406

2,4 6,912

2,5 6,25

51

1. Determinar los extremos relativos de la situación.

2. Describir lo que está ocurriendo con la variación de la velocidad en la caminata.

3. En esta situación, ¿sería posible optimizar la velocidad con respecto al tiempo? ¿Por qué?

4. Relacionar los extremos relativos con el tiempo transcurrido en el que la persona alcanzó su mínima y máxima velocidad.

5. Según lo observado en los puntos anteriores ¿a partir de qué tiempo transcurrido la perso-na alcanza una mínima velocidad al caminar? Justificar la respuesta.

Temporalidad. El profesor inicia la sesión con la presentación la tarea y explica la forma de tra-bajo (10 minutos). Se estima que los estudiantes resuelvan los requerimientos en 30 minutos. Por último, el profesor realiza la institucionalización en 20 minutos. El profesor debe estimar un tiempo adicional para que los estudiantes puedan registrar el alcance en cada criterio de logro de la tarea.

Sugerencias metodológicas y aclaraciones de la tarea El profesor debe estar pendiente de las representaciones que realicen los estudiantes porque los valores que se presentan tienen varios decimales y puede generar errores asociados a la traduc-ción entre representaciones. Al finalizar la tarea Caminata se destina una sesión para realizar una socialización y realimentación de 60 minutos. En esta sesión se pretende formalizar los diferen-tes sistemas de representación de la función cúbica para determinar los puntos críticos en situa-ciones de optimización.

Grafo de criterios de logro de la tarea, errores y actuación del profesor En este apartado, presentamos algunos aspectos relacionados con el grafo de criterios de logro de la tarea. El grafo muestra los posibles caminos de aprendizaje entorno al sistema de representa-ción tabular y numérica. También, establecemos los errores en los cuales puede incurrir el estu-diante al momento de determinar el dominio admisible para que la situación tenga sentido. Por último, presentamos la actuación del profesor.

Grafo de criterios de logro. En la figura 14, presentamos el grafo de criterios de logro de la ta-rea. Observamos que los primeros criterios de logro están asociados al reconocimiento de la in-formación y elección del procedimiento; los siguientes criterios de logro se refieren al uso de la representación tabular y de parejas ordenadas para realizar traducciones a las representaciones

2,6 5,40799999999999

2,7 4,374

2,8 3,136

2,9 1,682

3 0

52

gráfica y geométrica. Lo anterior permite realizar la interpretación de los puntos críticos que ten-gan sentido en el contexto del problema.

Figura 14. Grafo de criterios de logro de la tarea Caminata

Errores en los que pueden incurrir los estudiantes. Los estudiantes pueden incurrir en errores como confundir los puntos críticos en los sistemas de representación tabular y numérico; realizar traducciones de representaciones de la función cúbica a una tabla que no guarda la información ni las relaciones establecidas de la situación; establecer relaciones entre las diferentes representa-ciones de la función cúbica que no guardan información con la representación de parejas ordena-das; confundir el concepto de punto crítico en la situación; argumentar la solución obtenida sin tener en cuenta el contexto del problema; fijar una interpretación incoherente a partir de las solu-ciones obtenidas; y realizar procedimientos y obtener resultados que dificultan la identificación del dominio admisible. Actuación del profesor. El profesor debe apoyar a los estudiantes para que logren solucionar toda la tarea. Adicionalmente, él debe estar pendiente de si quedaron errores que no se lograron su-perar en las tareas anteriores y revisar de manera constante el trabajo individual y de los grupos de para constatar que todos realicen la actividad. Los estudiantes deben tener clara la situación del problema para que no surjan soluciones que no correspondan y no se bloqueen en algún re-querimiento de la tarea o procedimiento. Las preguntas orientadoras que el profesor debe aplicar para que los estudiantes puedan continuar con el desarrollo de los procedimientos están relacio-nadas con las incógnitas del problema, generar una gráfica a partir de parejas ordenadas y opti-









sola variable





Obteniendo raíz

cuadrada

Factorizando




mediante parejas

ordenadas




fórmula

𝑥 = −𝑏± 𝑏2−3𝑎𝑐3𝑎






la función cúbica



cúbica



cúbica



optimización






inicialmente

E62

E63

E64

E65

E1-49

E49-50-51-52-53-54

E9-29-30-34-33-32E31

E2-5-6E23-37

E41-26E22-27

E75

E55-59E56-58

E97

53

mizar la situación. Las preguntas orientadoras pueden ser las siguientes: ¿cuáles son las incógni-tas que se encuentran en el problema?, ¿cuál escala puede trabajar en los ejes para analizar mejor la situación? y ¿se puede optimizar el problema con dos o más variables? Por otro lado, sugeri-mos al profesor explicar las escalas en el plano cartesiano para observar mejor la variación en las gráficas. En el anexo 20, presentamos el listado de ayudas sugeridas al profesor para contribuir a la superación de errores en los que pueden incurrir los estudiantes al solucionar esta tarea.

Evaluación. La meta de la tarea se cumple si el estudiante logra determinar los puntos críticos, describir la variación de la velocidad y determinar si es una situación de optimización. También, la tarea se logra si el estudiante concluye el proceso de optimización y puede determinar el do-minio admisible para que cobre sentido la situación.

9. EVALUACIÓN FINAL El examen final se realiza en una sesión de 60 minutos. En ella, se evalúa el desarrollo de los es-tudiantes sobre el tema puntos críticos de la función cúbica. El examen consta de tres tareas aso-ciadas a cada uno de los objetivos de aprendizaje para observar su nivel de desarrollo. Presenta-mos las rúbricas en términos de los criterios de logro que permiten determinar el desempeño de los estudiantes. En las rúbricas se encuentran los errores asociados a cada punto.

Formulación Tarea 1. Apertura de sucursales

Una compañía financiera planea abrir dos nuevas sucursales 𝐴 y 𝐵. Como resultado de esta inversión, se espera que en 𝑥 meses los ingresos totales de la sucursal A se representan de acuerdo con la expresión 𝐼L 𝑥 = −𝑥' + 7𝑥. − 5.4𝑥 y lo de la sucursal 𝐵 de acuerdo con la expresión 𝐼N 𝑥 = 𝑥' + 2𝑥.

a) Relacionar la función de ingresos de cada compañía con las gráficas 1 y 2 que se presentan a continuación.

b) Gráfica 1

54

Gráfica 2

b) Con base en lo anterior, determinar la sucursal en la que sus ingresos no dejarían de crecer con respecto al tiempo.

En la tabla 4, presentamos la rúbrica del primer punto.

Tabla 4 Niveles de logro e indicadores del primer punto

Nivel de logro

Intervalo numérico

Indicadores

Superior 95-100 El estudiante identifica y analiza los puntos críticos en la función cúbica por medio de su representación gráfica (CdLl.18) y simbólica (CdL1.22), para determinar cuándo una función es creciente o decreciente y cuando es optimizable. También puede utilizar el criterio de la primera derivada para hallar los puntos críticos (CdL1.16).

Alto 85-94 El estudiante utiliza el criterio de la primera derivada para hallar los puntos críticos (CdL1.16), e identifica y analiza los puntos críticos en la función cúbica por medio de su representación gráfica (CdL1.8) y simbólica (CdL1.22), para determinar cuándo una función es creciente o decreciente y cuando es optimizable. Asocia cuando una pendiente es nula al crecimiento o decrecimiento (E86).

Básico 75-84 El estudiante utiliza el criterio de la primera derivada para hallar los puntos críticos (CdL1.16), pero, para solucionar la ecuación cuadrática resultante, el estudiante aplica la fórmula cuadrática y confunde los coeficientes (E33) o confunde los casos de factorización que se requieren para solucionar la ecuación cuadrática (E32).

55

Tabla 4 Niveles de logro e indicadores del primer punto

Bajo 20-75 El estudiante reconoce que debe utilizar el criterio de la primera derivada para hallar los puntos críticos (CdL1.16), pero aplica la segunda derivada para determinar el punto de inflexión y lo considera como punto crítico (E9). Además, deriva una potencia sin operar el exponente (E29), deriva una potencia sin operar el coeficiente (E30) o iguala la derivada a un valor diferente de cero. El estudiante no reconoce el criterio de la primera derivada de la función cúbica para hallar los puntos críticos.

Tarea 2. Rendimiento empresarial

La propietaria de una compañía de textiles desea recibir información acerca del comporta-miento de las utilidades durante los primeros dos años y medio de funcionamiento de su compañía, con el fin de determinar en qué momentos se generó la mayor y menor utilidad en este periodo de tiempo. Por lo anterior, pide a sus mejores empleados realizar un reporte que cumpla con su solicitud. A continuación, se muestra la presentación que brindó cada em-pleado.

Empleado 1.

56

Empleado 2.

Tiempo (años)

Utilidades (millones de pesos)

0 0 0.16 0.24 0.25 0.33 0.42 0.38 0.75 0.23

1 0 1.58 -0.38 1.75 -0.32

2 0 2.5 1.89

Empleado 3.

Empleado 4.

(0,0)

(0.16, 0.24)

(0.25, 0.33)

(0.42, 0.38)

(0.75, 0.233)

(1, 0)

(1.58, -0.38)

(0.75, -0.32)

(2, 0)

(2.5, 1.89)

xxxxf 23)( 23 +-=

57

Empleado 5.

1. Determinar en qué momentos se generó la mayor y menor utilidad de la compañía según el reporte de cada empleado.

2. Mencionar una conclusión general haciendo uso de todos los reportes de los empleados.

En la tabla 5, presentamos la rúbrica del segundo punto.

Tabla 5 Niveles de logro e indicadores del segundo punto

Nivel de logro

Intervalo numérico

Indicadores

Superior 95-100 El estudiante analiza la situación mediante el sistema de representación numérico (CdL2.18), tabular (CdL2.5) y gráfico (CdL2.20) para determinar los puntos críticos, y establece relaciones entre los diferentes sistemas de representación.

Alto 85-94 El estudiante analiza la situación mediante el sistema de representación numérico (CdL2.18), tabular (CdL2.5) y gráfico (CdL2.20) para determinar los puntos críticos. Incurre en el error (E55) al establecer relaciones entre los diferentes sistemas de representación.

58

Tabla 5 Niveles de logro e indicadores del segundo punto

Básico 75-84 El estudiante analiza la situación mediante el sistema de representación numérico (CdL2.18), tabular (CdL2.5) y gráfico (CdL2.20) pero expresa la coordenada “x” como si fuera la “y” al hallar los puntos críticos (E23) y relaciona la pendiente positiva o negativa de una recta con el decrecimiento o crecimiento de una función, respectivamente (E3).

Bajo 20-75 El estudiante determina algunas características de los sistemas de representación pero no logra establecer relaciones que den solución al problema. Establece relaciones de la expresión simbólica de la función cúbica a una gráfica que no guarda la información ni la relaciones establecidas (E55) Incurre en el mismo error con una tabla (E56), con parejas ordenadas (E58) y con la representación geométrica (E59)

El estudiante no determina características de los sistemas de representación para establecer traducciones para establecer los puntos críticos (E16, E17, E80, E81 y E82).

Tarea 3. Ingeniero industrial

Se pide a un ingeniero industrial que diseñe un recipiente cilíndrico con tapa con de 80𝑑𝑚. de aluminio.

(a) Determinar las dimensiones del recipiente para que el volumen sea máximo.

(b) Determinar las dimensiones del recipiente para que el volumen sea mínimo.

(c) Según el contexto del problema, ¿es posible afirmar que el cilindro alcanza un volumen máximo y mínimo?

En la tabla 6, presentamos la rúbrica del tercer punto.

59

Tabla 6 Niveles de logro e indicadores del tercer punto

Nivel de logro

Intervalo numérico

Indicadores

Superior 95-100 El estudiante interpreta los extremos relativos de la función cúbica como soluciones de fenómenos de optimización (CdL3.19) dependiendo de si es un proceso de maximización (CdL3.17) o es un proceso de minimización (CdL3.18) y valora si los puntos críticos encontrados se interpretan como un máximo o un mínimo dentro del con texto del problema (CdL3.16).

Alto 85-94 El estudiante interpreta los extremos relativos de la función cúbica como soluciones de fenómenos de optimización (CdL3.19) dependiendo de si es un proceso de maximización (CdL3.17) o es un proceso de minimización (CdL3.18) y valora si los puntos críticos encontrados se interpretan como un máximo o un mínimo dentro del con texto del problema (CdL3.16). Argumenta la solución al problema sin tener en cuenta el contexto (E75).

Básico 75-84 El estudiante interpreta los extremos relativos de la función cúbica como soluciones de fenómenos de optimización (CdL3.19) perorelaciona el valor mayor en la variable independiente como máximo local (E26) o relaciona el menor valor de la variable independiente como mínimo relativo (E27).

Bajo 20-75 El estudiante evalúa el dominio admisible de los puntos críticos (CdL3.12) y los asocia a los extremos relativos (CdL3.13). Asocia el punto mínimo o máximo local al punto más alto o bajo que observa en la representación gráfica (E22). Además, establece dos posibles soluciones a situaciones de optimización cuando se requiere un máximo o un mínimo (E41) Por último, cuando argumenta la solución, no tiene en cuenta el contexto (E75). El estudiante no interpreta los extremos relativos de la función cúbica como las soluciones de fenómenos de optimización y no establece los puntos críticos.

Criterios del examen final En la siguiente tabla 7, presentamos la valoración general del examen con su respectiva descrip-ción.

Tabla 7 Valoración general del examen

Intervalo numérico

Nivel de logro

Descripción

95-100 Superior El estudiante diferencia funciones cúbicas, determina puntos críticos y los relaciona en diferentes representaciones. Adicionalmente, interpreta dichos puntos como mínimo o máximo de acuerdo con el contexto del problema.

60

Tabla 7 Valoración general del examen

85-94 Alto El estudiante diferencia funciones cúbicas, determina puntos críticos y los relaciona en diferentes representaciones. Adicionalmente, interpreta dichos puntos como mínimo o máximo de acuerdo con el contexto del problema, pero incurre en los errores E55, E86 y E75.

75-84 Básico El estudiante diferencia funciones cúbicas, determina puntos críticos y los relaciona en diferentes representaciones. Sin embargo, incurre en los errores E33, E32, E23, E3, E26 y E27

20-75 Bajo El estudiante diferencia funciones cúbicas, pero incurre en errores E9, E29, E30, E55, E56, E58, E59, E16, E17, E80, E81, E82, E22, E41 y E75

10. CONCLUSIONES El diseño, implementación y evaluación de la unidad didáctica relacionada con los puntos críti-cos de la función cúbica, basada en el modelo del análisis didáctico (Gómez, 2007), nos permitió

¨ reflexionar sobre la importancia de conocer los conceptos y procedimientos que giran en torno al contenido matemático que se pretende desarrollar con los estudiantes. Además, permitió concretar qué de ese contenido matemático se va a enseñar con una unidad di-dáctica;

¨ identificar y establecer relaciones entre las diferentes formas de representar el contenido matemático;

¨ reconocer los fenómenos que dan sentido al contenido matemático; ¨ establecer expectativas de aprendizaje y afectivas que estén alineadas con la normatividad

y las orientaciones curriculares; ¨ prever las limitaciones de aprendizaje que podrían surgir en el proceso de aprendizaje y

generar ayudas que brinden oportunidades para superarlas; ¨ diseñar, organizar y evaluar tareas de aprendizaje que contribuyan al logro de las expecta-

tivas y superación de dificultades; y ¨ establecer criterios e instrumentos de evaluación para determinar el nivel de logro de las

expectativas.

11. LISTADO DE ANEXOS A continuación, presentamos el listado de anexos que apoyan el diseño de la unidad didáctica sobre los puntos críticos de la función cúbica.

Anexo 1. Listado de las capacidades. Anexo 2. Listado de la secuencia de capacidades.

Anexo 3. Listado de los conocimientos previos.

61

Anexo 4. Listado de las dificultades y los errores. Anexo 5. Listado de las expectativas de tipo afectivo.

Anexo 6. Evaluación diagnóstica. Anexo 7. Tareas de aprendizaje.

Anexo 8. Evaluación final. Anexo 9. Diario del profesor.

Anexo 10. Diario del estudiante. Anexo 11. Listado de criterios de logro.

Anexo 12. Simulador en GeoGebra para la tarea Programa para modelar. Anexo 13. Registro acciones para la tarea Utilidades. Anexo 14. Listado de ayudas para los errores en los que incurren los estudiantes en la tarea 1.

Anexo 15. Listado de ayudas para los errores en los que incurren los estudiantes en la tarea 2. Anexo 16. Listado de ayudas para los errores en los que incurren los estudiantes en la tarea 3.



12. REFERENCIAS Gómez, P. (2007). Desarrollo del conocimiento didáctico en un plan de formación inicial de

profesores de matemáticas de secundaria. Granada, España: Departamento de Didáctica de la Matemática de la Universidad de Granada. Disponible en http://digibug.ugr.es/bitstream/10481/1483/1/16582056.pdf

González, M. J. y Gómez, P. (2016). Apuntes sobre análisis cognitivo. Módulo 3 de MAD 4. Documento no publicado. Bogotá: Universidad de los Andes. Disponible en http://funes.uniandes.edu.co/8530/

MEN. (2006). Estándares básicos de competencias en lenguaje, matemáticas, ciencias y ciudadanas. Bogotá: Autor. Disponible en http://is.gd/lRHR7t

Ministerio de Educación Cultura y Deporte. (2013). Marcos y pruebas de evaluación de PISA 2012: matemáticas, lectura y ciencias. Descargado el 30/1/2014, de http://www.mecd.gob.es/dctm/inee/internacional/pisa2012/marcopisa2012.pdf?documentId=0901e72b8177328d

Socas, M. (1997). Dificultades, obstáculos y errores en el aprendizaje de las matemáticas en la Educación Secundaria. En L. R. Coord, E. Castro, E. Castro, M. Coriat, A. Marín, L.

62

Puig, M. Sierra y M. M. Socas (Eds.), La educación matemática en la enseñanza secundaria (pp. 125-154). Barcelona: ice - Horsori. Disponible en https://laurabrichetti.files.wordpress.com/2010/12/socas-robayna-dificutades-errores-y-obstc3a1culos-en-el-azaje-de-la-matemc3a1tica.pdf

puntos crÍticos de la funciÓn cÚbica

Documents