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Análisis y simulación de un sistema electromecánico de tipo capacitivo para la
captación de energía
1
Dpto. Matemática Aplicada II
Escuela Técnica Superior de Ingeniería
Universidad de Sevilla
Sevilla, 2018
Dpto. Matemática Aplicada II
Escuela Técnica Superior de Ingeniería
Universidad de Sevilla
Sevilla, 2018
Autor: Antonio Piedra Pérez
Tutor: Emilio Freire Macías
Análisis y simulación de un sistema electromecánico
de tipo capacitivo para la captación de energía
Proyecto Fin de Carrera
Ingeniería Eléctrica
Análisis y simulación de un sistema electromecánico de tipo capacitivo para la
captación de energía
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Análisis y simulación de un sistema electromecánico de tipo capacitivo para la
captación de energía
3
Proyecto Fin de Carrera
Ingeniería Eléctrica
Análisis y simulación de un sistema
electromecánico de tipo capacitivo para la
captación de energía
Autor:
Antonio Piedra Pérez
Tutor:
Emilio Freire Macías
Profesor titular
Dpto. de Matemática Aplicada II
Escuela Técnica Superior de Ingeniería
Universidad de Sevilla
Sevilla, 2018
Análisis y simulación de un sistema electromecánico de tipo capacitivo para la
captación de energía
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Análisis y simulación de un sistema electromecánico de tipo capacitivo para la
captación de energía
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Proyecto Fin de Carrera: Análisis y simulación de un sistema electromecánico de tipo capacitivo
para la captación de energía
Autor: Antonio Piedra Pérez
Tutor: Emilio Freire Macías
El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes
miembros:
Presidente:
Vocales:
Secretario:
Acuerdan otorgarle la calificación de:
Sevilla, 2018
El Secretario del Tribunal
Análisis y simulación de un sistema electromecánico de tipo capacitivo para la
captación de energía
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Análisis y simulación de un sistema electromecánico de tipo capacitivo para la
captación de energía
7
RESUMEN
Según algunas estimaciones de crecimiento demográfico, en el año
2050 se prevé que la población mundial alcance los 9700 millones de
habitantes. Esto supondrá un incremento notable en la demanda energética
global. Ante este escenario, la energía será un factor crucial para ser capaces
de mantener los niveles de progreso y crecimiento económico de hoy en día.
Actualmente la energía proveniente de combustibles fósiles supera el
80% del total de energía consumida. Estas fuentes de energía son finitas y
tienen un fuerte impacto medioambiental debido a los elevados niveles de
contaminación que conllevan. Por todo ello, y unido a un incremento en la
concienciación social respecto al cambio climático, el desarrollo de tecnologías
para el aprovechamiento de fuentes de energía renovables se prevé que
continúe con una amplia expansión en el futuro próximo.
Para contribuir al desarrollo de un modelo sostenible, durante las últimas
décadas se han realizado grandes avances en líneas de investigación que
tienen como objetivo el aprovechamiento de la energía ambiental a pequeña
escala. Estas líneas de investigación han tenido un punto de inflexión
determinante con el desarrollo de los MEMS (Micro Electro-Mechanical
Systems), dispositivos de pequeñas dimensiones compuestos por elementos
activos y pasivos capaces de realizar diferentes funciones como captación de
señales, procesamiento de datos y actuación sobre el entorno.
Este proyecto contempla algunas de las diferentes posibilidades de
recolección de energía ambiental proveniente de fuentes mecánicas de
vibración a partir de dispositivos MEMS y concretamente está centrado en la
recolección mediante dispositivos electroestáticos y su posterior transducción a
energía eléctrica. Se profundiza en el desarrollo de estos modelos y en el
conocimiento de las partes que dan lugar al sistema objeto de estudio.
Una vez realizado el estudio del sistema, se procede a un análisis más
detallado sobre algunas de las diferentes aplicaciones para las que puede ser
diseñado en función de los requerimientos específicos.
Análisis y simulación de un sistema electromecánico de tipo capacitivo para la
captación de energía
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Análisis y simulación de un sistema electromecánico de tipo capacitivo para la
captación de energía
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ÍNDICE
Resumen ................................................................................................ 7
1. INTRODUCCIÓN ......................................................................... 17
1.1. Contexto................................................................................ 17
1.2. Sistemas de recolección ....................................................... 19
1.3. Transductores electroestáticos .............................................. 22
1.4. Principio de funcionamiento .................................................. 22
1.5. Condensadores electrolíticos ................................................ 25
2. SISTEMA ELECTROESTÁTICO ................................................. 29
2.1. Esquema de recolección ....................................................... 29
2.2. Modelado del circuito ............................................................ 30
2.3. Ecuaciones de estado ........................................................... 31
2.4. Adimensionalización de las ecuaciones de estado ................ 32
2.5. Valores admisibles de variables y parámetros ...................... 34
3. ESTUDIO DEL SISTEMA ............................................................ 35
3.1. Caso 1: Sistema sin excitación .............................................. 35
3.1.1. Equilibrio del sistema ............................................................ 36
3.1.2. Linealización del sistema ...................................................... 38
3.1.3. Estabilidad del sistema ......................................................... 40
3.1.4. Análisis físico de la estabilidad. Fenómeno de pull-in............ 41
Análisis y simulación de un sistema electromecánico de tipo capacitivo para la
captación de energía
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3.1.5. Análisis de los polos del sistema en función de los parámetros.
48
3.2. Caso 2: Estudio del sistema ente una excitación de tensión . 50
3.3. Caso 3: Estudio del sistema ente una excitación mecánica .. 56
3.4. Acondicionamiento de la señal de salida ............................... 60
3.4.1. Acondicionamiento pasivo..................................................... 61
3.4.2. Acondicionamiento activo...................................................... 62
4. CONCLUSIONES ........................................................................ 67
5. BIBLIOGRAFÍA ............................................................................ 71
6. ANEXO ........................................................................................ 73
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captación de energía
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ÍNDICE DE TABLAS
Tabla 1. Principios de funcionamiento de convertidores electromecánicos
........................................................................................................................ 20
Tabla 2. Ventajas e inconvenientes de diferentes tipos de convertidores
........................................................................................................................ 21
Análisis y simulación de un sistema electromecánico de tipo capacitivo para la
captación de energía
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Análisis y simulación de un sistema electromecánico de tipo capacitivo para la
captación de energía
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ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 1. Densidad energética de diferentes fuentes ambientales ........ 18
Figura 2. Principio de funcionamiento de un condensador .................... 23
Figura 3. Esquema de un ciclo de carga fija ......................................... 24
Figura 4. Esquema de un ciclo de tensión fija ....................................... 25
Figura 5. Placa electrolítica fabricada por (a) orientación dipolar y (b)
inyección de carga .......................................................................................... 26
Figura 6. Ejemplos de SPD de diferentes placas electrolíticas ............. 27
Figura 7. Principio de funcionamiento de un condensador electrolítico . 27
Figura 8. Movimiento de cargas en un condensador electrolítico .......... 28
Figura 9. (a) Placa electrolítica, (b) parámetros y (c) circuito equivalente
........................................................................................................................ 28
Figura 10. Modelo de un recolector de vibraciones ............................... 29
Figura 11. Modelado del transductor electromecánico de tipo capacitivo
........................................................................................................................ 30
Figura 12. Puntos de equilibrio del sistema en el plano .... 37
Figura 13. Puntos de equilibrio del sistema en el plano ............ 38
Figura 14. Equilibrio de fuerzas para ........................................ 46
Figura 15. Equilibrio de fuerzas para ........................................... 46
Figura 16. Equilibrio de fuerzas para ........................................ 47
Figura 17. Respuesta del sistema en función de la ubicación de sus
polos ............................................................................................................... 48
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captación de energía
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Figura 18. Respuesta del sistema en función del parámetro para
........................................................................................................................ 49
Figura 19. Respuesta del sistema en función del parámetro para
............................................................................................................ 50
Figura 20. Modelado de las ecuaciones del circuito en Simulink .......... 51
Figura 21. Respuesta de la posición ante una entrada de tensión de
valor .................................................................................................. 52
Figura 22. Respuesta de la velocidad ante una entrada de tensión
de valor ............................................................................................. 53
Figura 23. Modelo mejorado de las ecuaciones del circuito en Simulink 53
Figura 24. Conmutador ......................................................................... 54
Figura 25. Operador lógico de posición ................................................ 54
Figura 26. Operador lógico de aceleración ........................................... 54
Figura 27. Respuesta de la carga ante una entrada de tensión
variable ...................................................................................................... 55
Figura 28. Respuesta de la posición ante una entrada de tensión
variable ...................................................................................................... 55
Figura 29. Respuesta de la velocidad ante una entrada de tensión
variable ...................................................................................................... 56
Figura 30. Modelo del circuito sometido a una excitación mecánica
externa .................................................................................................... 57
Figura 31. Modelado del sistema de ecuaciones (80) en Simulink ........ 58
Figura 32. Señales de salida y ante una excitación mecánica
senoidal ................................................................................................... 59
Análisis y simulación de un sistema electromecánico de tipo capacitivo para la
captación de energía
15
Figura 33. Señales de salida y ante una excitación de onda
cuadrada ................................................................................................. 59
Figura 34. Esquema de procesamiento de la señal eléctrica ................ 61
Figura 35. Esquema de circuito de acondicionamiento pasivo simple ... 61
Figura 36. Curva de potencia normalizada en función de la tensión de
salida ....................................................................................................... 62
Figura 37. Esquema de un circuito de acondicionamiento activo tipo
flyback............................................................................................................. 63
Figura 38. Tensión de salida del acondicionador .................................. 64
Figura 39. Tensiones y corrientes durante el proceso de conversión.... 64
Análisis y simulación de un sistema electromecánico de tipo capacitivo para la
captación de energía
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Análisis y simulación de un sistema electromecánico de tipo capacitivo para la
captación de energía
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1. INTRODUCCIÓN
En este bloque se exponen las motivaciones del proyecto, se presentan
distintos tipos de transductores electromecánicos focalizando en el estudio de
los convertidores electroestáticos y exponiendo el principio de funcionamiento
en el que se basa.
1.1. Contexto
Desde tiempos remotos, las diferentes civilizaciones han sabido
aprovechar, además de su propio esfuerzo físico, los recursos energéticos del
entorno y adaptarlos a las necesidades concretas de cada población. Así se ha
ido evolucionando y perfeccionando los diferentes avances tecnológicos para
conseguir aumentar su eficiencia. Por citar algunos de ellos, los egipcios ya
utilizaban la energía eólica para desplazar sus barcos de vela por el Nilo en el
4500 a.C. del mismo modo que se aprovecharon los recursos hídricos en los
molinos o mareomotrices en otras aplicaciones. A partir del siglo XVII comenzó
a generalizarse el uso de combustibles fósiles como el carbón o el petróleo, y el
inicio de la Revolución Industrial durante el siglo XVIII supuso un desarrollo
tecnológico cualitativo que se tradujo en una transformación definitiva de la
sociedad, fijando los pilares básicos de la economía moderna.
Desde esta época se ha vivido un crecimiento exponencial en cuanto a
desarrollo industrial y demanda energética. Sin embargo, tras varias décadas
de crecimiento acelerado, diferentes crisis energéticas interrumpieron esta
trayectoria. En la década de los 80 el crecimiento del consumo se paralizó,
fluctuando en los años siguientes. Esta situación fue provocada por el
agotamiento paulatino de diferentes fuentes de energía fósiles no renovables.
Las reservas de petróleo se estima que no duren más de 40 años con la
demanda actual, las de gas natural no mucho tiempo más, y las de carbón
alrededor de un siglo más.
Ante este escenario, unido a la creciente preocupación por el cambio
climático causado en gran medida por el incremento de la demanda de
combustible y el uso de energías no renovables, el uso de energías limpias va
calando cada vez más en la sociedad. Esto ha despertado un mayor interés por
el desarrollo de tecnologías capaces de aprovechar diferentes energías de
nuestro entorno como pueden ser las vibraciones mecánicas producidas por los
coches o las personas al caminar o moverse, los gradientes de temperatura, la
Análisis y simulación de un sistema electromecánico de tipo capacitivo para la
captación de energía
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energía solar o la proveniente de reacciones químicas. Cada una de estas
fuentes está caracterizada por una densidad energética, de la que
posteriormente podrá obtenerse energía eléctrica tras un adecuado proceso de
conversión con una determinada eficiencia. Como se puede observar en la
figura 1, la energía solar es la que mayor densidad energética posee, pero sin
embargo no disponemos de ella en zonas de oscuridad, al igual que no
tendremos amplitud térmica en otras situaciones. Por ello, la fuente de la que
podamos obtener una mayor cantidad de energía dependerá de nuestro
entorno concreto.
Figura 1. Densidad energética de diferentes fuentes ambientales
Estas investigaciones se han visto incentivadas por la creciente
tendencia a obtener y almacenar la mayor información posible de nuestro
entorno, ya sea del ambiente, industrias, equipos, edificios, etc. y ser capaces
de interactuar de alguna manera. Para ello se requiere la implementación de
sistemas de control basados en microcontroladores y sensores como los que
se utilizan actualmente en móviles entre otras aplicaciones. Sin embargo
actualmente existen algunas limitaciones que frenan el desarrollo de ciertas
tecnologías. Una de estas limitaciones está relacionada con la vida útil de
algunos sensores de transmisión inalámbricos. Muchos de estos MEMS
requieren una pequeña fuente de energía para su funcionamiento que puede
ser proporcionada por algunas de las fuentes energéticas ambientales citadas,
en lugar de otras alternativas como el uso de baterías con una capacidad finita.
Análisis y simulación de un sistema electromecánico de tipo capacitivo para la
captación de energía
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El aprovechamiento de estos recursos proporciona una infinidad de
aplicaciones prácticas derivadas de la capacidad de abastecerse de manera
autónoma durante años sin necesidad de una fuente externa ni de la
intervención humana, disminuyendo de este modo su tamaño y peso,
aumentando su versatilidad y alargando su vida útil.
Dentro del citado contexto se profundiza en el estudio de los diferentes
sistemas susceptibles de ser utilizados como recolectores de energía
ambiental, centrándose en un modelo concreto que será objeto de estudio.
1.2. Sistemas de recolección
El concepto de recolección de energía proveniente de fuentes
mecánicas de vibración (Vibration Energy Harvesters o VEH) comenzó a tener
una notable relevancia en la década de 2000 con el crecimiento de los MEMS.
El proceso de conversión de energía mecánica de vibración a eléctrica
se compone de dos pasos. En primer lugar la energía vibratoria es convertida a
un movimiento relativo entre dos elementos a través de un sistema masa-
muelle, que posteriormente se convierte en energía eléctrica gracias a un
convertidor electromecánico. El espectro de frecuencias ambientales
susceptibles de uso es generalmente bastante bajo, de manera que con la
introducción de un sistema masa muelle podemos ser capaces de generar el
fenómeno de resonancia, amplificando el movimiento relativo de los dos
elementos y su poder de conversión.
La mayor parte de los dispositivos capaces de realizar la conversión de
energía mecánica en eléctrica se basan en fundamentos piezoeléctricos,
magnetoestáticos o electroestáticos. Cada uno de ellos tiene un principio de
funcionamiento y unas ventajas e inconvenientes en función de la aplicación
requerida.
Los dispositivos piezoeléctricos permiten generar una diferencia de
potencial con carga en su superficie cuando se someten a una tensión
mecánica.
Análisis y simulación de un sistema electromecánico de tipo capacitivo para la
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El principio de funcionamiento de los dispositivos magnetoestáticos se
basa en la Ley de Lenz. Con el movimiento relativo entre una bobina y un imán
se genera una fuerza electromotriz.
Los dispositivos electroestáticos se basan en el movimiento relativo
entre dos placas de un condensador para generar una corriente.
Tabla 1. Principios de funcionamiento de convertidores electromecánicos
Las ventajas e inconvenientes de cada uno de ellos podemos resumirlas
en la siguiente tabla
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Tabla 2. Ventajas e inconvenientes de diferentes tipos de convertidores
Piezoeléctricos Electromagnéticos Electroestáticos
VE
NT
AJA
S
- Altas tensiones de salida
- Altas capacidades
- No es necesario controlar
ningún hueco
- Altas corrientes de salida
- Robustos con vida útil
elevada
- Altas tensiones de salida
- Posibilidad de construir
sistemas de bajo coste
- Facilidad para ajustar el
acoplamiento, así como
altos valores de
acoplamiento alcanzables
INC
ON
VE
NIE
NT
ES
- Material costoso
- Acoplamiento vinculado a
las propiedades del
material
- Bajas tensiones de salida
- Difícil desarrollar MEMS
- Baja eficiencia con bajas
frecuencias y pequeño
tamaño
- Material puede ser costoso
- En general las
capacitancias son bajas y
pueden tener un fuerte
impacto las capacitancias
parásitas
- Necesidad de control
micrométrico en MEMS
para evitar el “pull-in”
Análisis y simulación de un sistema electromecánico de tipo capacitivo para la
captación de energía
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1.3. Transductores electroestáticos
Los recolectores de energía electroestáticos están basados en el
principio de funcionamiento de un condensador de placas paralelas móviles. La
energía mecánica ambiental disponible es utilizada para variar el espacio entre
las placas que forman el condensador. Este movimiento provoca un cambio en
su capacidad que es aprovechada para general una fuerza electromotriz. Las
placas del condensador pueden estar separadas por aire o por un material
dieléctrico.
Los dispositivos electroestáticos son estructuras pasivas que requieren
de un ciclo energético para la conversión de energía mecánica en eléctrica y
pueden clasificarse en dos tipos:
Convertidores con condensadores de película. Son aquellos que
se basan en un ciclo de carga y descarga del condensador,
necesitando una fuente de alimentación activa externa para
polarizar el condensador en una parte del ciclo de conversión.
Convertidores con condensadores electrolíticos. Son dispositivos
que poseen una placa de material dieléctrico con polarización
permanente que es introducida entre ambas placas del
condensador. Con esto se consigue crear una diferencia de
potencial entre las placas, permitiendo así prescindir de la fuente
externa de alimentación y convirtiendo a estos dispositivos en
autónomos.
1.4. Principio de funcionamiento
En este epígrafe se presentan de manera detallada los principios físicos
de los convertidores electroestáticos y de las ecuaciones que lo gobiernan.
Existe una amplia diversidad de formas y diseños para la realización de
condensadores. Su capacitancia y fuerza electromotriz final tendrán una
importante vinculación con sus formas y tamaños.
A continuación estudiaremos el modelo simplificado de un condensador
y su funcionamiento.
Análisis y simulación de un sistema electromecánico de tipo capacitivo para la
captación de energía
23
Figura 2. Principio de funcionamiento de un condensador
Un condensador es un dispositivo formado por dos conductores
cercanos aislados entre sí denominados placas o armaduras en situación de
influencia total, es decir, que las líneas de campo eléctrico que salen de una
van a parar a la otra. Al conectarlas a una fuente de alimentación y establecer
una diferencia de potencial entre las placas se genera una corriente que hace
circular electrones de una placa a la otra hasta estabilizar la carga en un valor
que depende de la capacidad del condensador. Al finalizar este proceso,
ambas placas poseen la misma cantidad de carga aunque con signos
opuestos. Este elemento permite almacenar así energía y cederla en el
momento oportuno. La carga almacenada en las placas es proporcional a la
diferencia de potencial entre ambas, siendo la constante de proporcionalidad
conocida como capacidad del condensador
(1)
Donde la capacidad depende de la geometría del condensador de forma
(2)
Siendo la permitividad del material situado entre las placas, su
superficie y la distancia entre placas.
Análisis y simulación de un sistema electromecánico de tipo capacitivo para la
captación de energía
24
Al aumentar la diferencia de potencial entre sus terminales, el
condensador almacena carga eléctrica debido al campo eléctrico que se crea
entre ellas. Esta energía viene dada por
(3)
La fuerza electromotriz puede calcularse como diferencia de un
potencial. De este modo, derivando la energía potencial electroestática
respecto a la distancia entre las placas y manteniendo el potencial o la carga
constante, la fuerza electroestática resultante puede escribirse como
(4)
Donde es la energía electroestática almacenada en el
condensador, la carga acumulada, la tensión entre placas y la
distancia entre placas.
Para la transducción de energía mecánica en eléctrica a continuación se
desarrollan los ciclos de conversión más utilizados: el ciclo de carga fija y el
ciclo de tensión fija.
Ciclo de carga fija
Figura 3. Esquema de un ciclo de carga fija
Es el más sencillo de implementar en dispositivos. Suponemos que se
inicia el ciclo en el punto de máxima capacitancia o hueco mínimo (figura 3a).
En esta posición las placas del condensador son cargadas mediante alguna
fuente de polarización a una tensión dada . Posteriormente se abre el
circuito y la estructura es desplazada mediante energía mecánica hasta la
Análisis y simulación de un sistema electromecánico de tipo capacitivo para la
captación de energía
25
posición (c) donde la capacidad es mínima. En este punto se produce la
descarga del condensador a una tensión (d).
De esta manera, la energía total convertida en cada ciclo viene dada por:
(5)
Ciclo de tensión fija
Figura 4. Esquema de un ciclo de tensión fija
El ciclo comienza en el punto de máxima capacidad o mínima distancia
entre placas (Figura 4a). El condensador es polarizado mediante una fuente
externa a una tensión fija que se mantiene constante durante toda la
conversión. Posteriormente se varía la posición de las placas mecánicamente
modificando así su capacitancia hasta llegar al límite . Al mantener la
tensión fija variamos la carga, generando así una corriente que es almacenada.
La energía total convertida en cada ciclo viene dada por:
(6)
1.5. Condensadores electrolíticos
Como se explicó en el apartado anterior, los convertidores
electroestáticos más útiles desde el punto de vista de aplicaciones autónomas
en MEMS son aquellos que están compuestos por condensadores
electrolíticos. Por este motivo se dedica este apartado a profundizar en las
características y principios de funcionamiento de este tipo de condensadores.
Análisis y simulación de un sistema electromecánico de tipo capacitivo para la
captación de energía
26
Estos condensadores eliminan la necesidad de una fuente de
alimentación externa al sustituirla por una placa electrolítica que es colocada
entre ambos electrodos del condensador permitiendo realizar el ciclo de
conversión en energía eléctrica. Estas placas están compuestas por materiales
dieléctricos que poseen una polarización eléctrica quasi-permanente. Son
dipolos electroestáticos que pueden mantener la carga durante años.
La polarización eléctrica puede ser obtenida de manera controlada
mediante dos procedimientos: orientación dipolar o inyección de carga. El
proceso de fabricación en el primer caso consiste en calentar la placa
dieléctrica hasta su punto de fusión y someterla a un campo eléctrico que es
mantenido hasta su enfriamiento. Esto permite orientar el dieléctrico en la
dirección del campo eléctrico al que es sometido. El segundo caso, más
extendido por la facilidad de estandarización del proceso, consiste en la
proyección de iones sobre una superficie del dieléctrico, consiguiendo transferir
una carga a la superficie de la placa.
Figura 5. Placa electrolítica fabricada por (a) orientación dipolar y (b) inyección
de carga
Según el método y las condiciones de fabricación elegidas, la placa
electrolítica tendrá unas características y comportamiento diferentes. Por
ejemplo variará la posición de las cargas o su estabilidad. La estabilidad de la
fuente de alimentación es un factor clave para el correcto funcionamiento y la
optimización del ciclo de conversión de energía mecánica en eléctrica en los
dispositivos de recolección electromecánicos. Consecuentemente, es
importante seleccionar placas electrolíticas con un comportamiento estable.
Éstas con el paso del tiempo pueden perder propiedades y se pueden producir
fenómenos de movimiento de cargas en el interior del dieléctrico disminuyendo
así su efectividad. Por todo ello, un parámetro determinante es el SPD (Surface
Potencial Decay) que muestra la capacidad que tiene el dieléctrico de mantener
la tensión con el paso del tiempo, el cual será uno de los factores a tener en
cuenta al estimar la vida útil del dispositivo.
Análisis y simulación de un sistema electromecánico de tipo capacitivo para la
captación de energía
27
Figura 6. Ejemplos de SPD de diferentes placas electrolíticas
Este valor se verá influenciado a su vez por otros factores como las
condiciones ambientales de humedad y temperatura, así como de la tensión
inicial a la que es cargado. Estudios muestran que altas temperaturas o grado
de humedad perjudican a la estabilidad, al igual que resulta más fácil conseguir
valores altos de estabilidad para menores tensiones de carga de la placa.
A continuación se procede a explicar brevemente el principio de
funcionamiento para posteriormente implementarlo en nuestro modelo. En la
siguiente figura se muestra un esquema de la influencia de la placa electrolítica
sobre el condensador.
Figura 7. Principio de funcionamiento de un condensador electrolítico
Análisis y simulación de un sistema electromecánico de tipo capacitivo para la
captación de energía
28
Como puede observarse, la capacidad total de un convertidor
electroestático con condensador electrolítico se corresponde con dos
capacidades en serie y puede calcularse como
(7)
La placa electrolítica induce una carga en los electrodos del
condensador de forma que la carga en la placa electrolítica, es igual a la
suma de y , las cargas en ambos electrodos del condensador tal como se
muestra en la figura 7. Si ahora se produce una variación en la distancia entre
los electrodos, variando la geometría del condensador y por tanto su
capacidad, la influencia de la placa electrolítica sobre los electrodos también
variará, provocando una reorganización de cargas. Esto produce una
circulación de corriente a través de la carga R como se muestra en la figura 8,
transformando así parte de la energía mecánica en eléctrica.
Figura 8. Movimiento de cargas en un condensador electrolítico
El modelo equivalente del condensador electrolítico es simple y se
puede esquematizar en una fuente de tensión , que viene dada por el
potencial de la superficie de la placa electrolítica, en serie con un condensador
de capacidad variable. Hay estudios que corroboran que los resultados
experimentales se corresponden con los obtenidos por este modelo.
Figura 9. (a) Placa electrolítica, (b) parámetros y (c) circuito equivalente
Análisis y simulación de un sistema electromecánico de tipo capacitivo para la
captación de energía
29
2. SISTEMA ELECTROESTÁTICO
En este bloque se presenta un modelo de un transductor electroestático.
A partir del modelo, se obtienen las ecuaciones que lo gobiernan, las cuales
permitirán posteriormente realizar un análisis de su funcionamiento.
2.1. Esquema de recolección
En este apartado se estudiará de manera detallada un modelo
simplificado de transductor electromecánico capacitivo. Para llevar a cabo este
proceso, el primer paso es captar la vibración mecánica del ambiente y
transformarla en un movimiento oscilatorio relativo entre dos elementos. Esto
puede ser modelado mediante un sistema masa-muelle-amortiguador unido a
un marco fijo o de referencia tal como se muestra en la siguiente figura.
Figura 10. Modelo de un recolector de vibraciones
El movimiento relativo entre la masa y el marco permitirá recolectar la
energía mecánica de vibración para su posterior transformación en energía
eléctrica.
Análisis y simulación de un sistema electromecánico de tipo capacitivo para la
captación de energía
30
2.2. Modelado del circuito
La figura 11 muestra un esquema simplificado del modelo de circuito que
será objeto de estudio en este proyecto.
Figura 11. Modelado del transductor electromecánico de tipo capacitivo
El modelo anterior está compuesto por una parte mecánica y otra
eléctrica. El circuito está formado por una batería conectada a un
condensador de placas paralelas que hará la función de transductor de
energía. La placa inferior permanecerá fija, mientras que la placa superior tiene
permitido el movimiento en dirección perpendicular al eje de la placa.
Denotaremos por la diferencia de potencial entre placas y por la resistencia
eléctrica asociada a la fuente de tensión para incluir en el modelo las pérdidas
del circuito eléctrico. Por otro lado, modelamos también la parte mecánica tal
como hemos mostrado en el apartado anterior. La placa superior del
condensador de masa , va unida a un muelle de constante elástica y a un
amortiguador con constante de amortiguamiento . Denotamos por al
movimiento de la placa superior respecto a una referencia y a la
distancia entre placas. Se estudia el modelo en el plano horizontal en ausencia
de efecto gravitatorio.
Análisis y simulación de un sistema electromecánico de tipo capacitivo para la
captación de energía
31
2.3. Ecuaciones de estado
Tras el estudio del principio de funcionamiento de un transductor
electroestático se procede a obtener las ecuaciones por las que se rige nuestro
modelo.
La primera de ellas está asociada al movimiento mecánico y vendrá
definida por el equilibrio de fuerzas del sistema.
(8)
La segunda ecuación viene definida por la segunda ley de Kirchhoff en el
circuito formado por la batería, la resistencia y el condensador.
(9)
La fuerza eléctrica de un condensador podemos obtenerla a partir de su
potencial como
(10)
Partiendo de la capacidad del condensador y de la tensión entre las
placas, la energía almacenada viene dada por
(11)
Donde la capacidad del condensador podemos obtenerla conociendo la
permitividad del medio , el área de las placas y la distancia entre ellas.
(12)
Siendo la carga eléctrica. Reescribiendo la ecuación de la energía
almacenada tenemos
(13)
Análisis y simulación de un sistema electromecánico de tipo capacitivo para la
captación de energía
32
En consecuencia la será
(14)
Reescribiendo la corriente como variación temporal de la carga
(15)
Finalmente quedan las ecuaciones de estado de nuestro modelo
(16)
(17)
2.4. Adimensionalización de las ecuaciones de estado
A continuación se procede a realizar el adimensionalizado de las
ecuaciones de estado con el objetivo de minimizar el número de parámetros y
facilitar su estudio posterior.
Usaremos como variable temporal adimensional y y como nuevas
variables adimensionales de forma que
(18)
(19)
(20)
de modo que las variables temporales de y quedan como
(21)
(22)
(23)
Análisis y simulación de un sistema electromecánico de tipo capacitivo para la
captación de energía
33
Aplicando los cambios, las ecuaciones de estado quedan
(24)
(25)
reordenando términos
(26)
(27)
Tomando ahora , , y como
(28)
(29)
(30)
(31)
La ecuación (26) queda
(32)
De manera análoga definimos los parámetros adimensionales y
como
(33)
(34)
Permitiendo reescribir la ecuación (27) como
Análisis y simulación de un sistema electromecánico de tipo capacitivo para la
captación de energía
34
(35)
De esta manera quedan adimensionalizadas las ecuaciones que
gobiernan nuestro modelo, quedando nuestro sistema definido por los
parámetros , y
(36)
(37)
2.5. Valores admisibles de variables y parámetros
En este punto, se hace un inciso para estudiar los posibles valores que
pueden tomar los parámetros de nuestro sistema adimensionalizado, dado que
posteriormente será de utilidad. Partimos de la base de que físicamente las
siguientes magnitudes son estrictamente positivas: , , , , , , . A partir
de estos datos y de las ecuaciones (28), (29), (30), (31) y (33) se deduce que
, , , y son igualmente estrictamente positivas. Adicionalmente, dado
que puede tomar cualquier valor, es un parámetro libre al igual que la
variable de estado . Respecto a la variable de estado , aunque
matemáticamente no estaría limitada, sí que lo está físicamente, dado que
significaría que es la distancia entre placas, es decir, el contacto
limitaría físicamente un valor mayor de . Por lo tanto, acotamos el valor de
en el intervalo .
Análisis y simulación de un sistema electromecánico de tipo capacitivo para la
captación de energía
35
3. ESTUDIO DEL SISTEMA
En este apartado se profundiza en el estudio del sistema y se
particulariza para tres escenarios concretos. En el primer caso se trata el
sistema como aislado, es decir, en ausencia de excitación externa. En segundo
lugar se estudia la respuesta del sistema ante diferentes entradas de tensión y
por último se estudia la respuesta ante una excitación mecánica externa.
Finalmente se hace un análisis del acondicionamiento que es necesario llevar a
cabo a la salida de los transductores electroestáticos para permitir alimentar a
otros dispositivos como emisores o sensores.
3.1. Caso 1: Sistema sin excitación
En este caso se focaliza en el estudio de las ecuaciones que forman
nuestro sistema diferencial con el objetivo de obtener información cualitativa del
comportamiento de las respuestas.
Para comenzar pasamos a presentar las ecuaciones de estado
obtenidas como un sistema de ecuaciones diferenciales de la forma
(38)
Al tratarse de un sistema de segundo orden autónomo, se procede a la
transformación en un sistema de ecuaciones de primer orden para facilitar el
tratamiento de las ecuaciones. Para ello se realiza el siguiente cambio de
variables
(39)
Quedando ahora un sistema de tres ecuaciones diferenciales de primer
orden
(40)
Análisis y simulación de un sistema electromecánico de tipo capacitivo para la
captación de energía
36
Donde
(41)
(42)
(43)
Se trata de un sistema de ecuaciones no lineal, puesto que encontramos
el término en la segunda ecuación y el término en la tercera.
A continuación se procede a estudiar el equilibrio y la estabilidad del
sistema en función de los parámetros. Esto permite conocer los límites de
funcionamiento estable, así como deducir cómo serán las respuestas del
sistema ante diferentes entradas. Para ello procederemos a la linealización de
nuestro sistema en torno a dichos puntos de equilibrio.
3.1.1. Equilibrio del sistema
Los puntos de equilibrio del sistema vendrán dados por las
condiciones
(44)
Resolviendo obtenemos los puntos de equilibrio definidos por
(45)
(46)
Sustituyendo la ecuación (45) en (46) queda
Análisis y simulación de un sistema electromecánico de tipo capacitivo para la
captación de energía
37
(47)
A continuación se representan los puntos de equilibrio en el plano
y en el plano
Figura 12. Puntos de equilibrio del sistema en el plano
Análisis y simulación de un sistema electromecánico de tipo capacitivo para la
captación de energía
38
Figura 13. Puntos de equilibrio del sistema en el plano
Como se ha visto anteriormente, los valores físicamente admisibles de la
variable se encuentran en el intervalo , por lo tanto, parte de los
valores de esta gráfica no serán alcanzables físicamente.
Igualmente se puede observar en la figura 12 que para cada valor de
sólo existe un valor de tensión admisible en el equilibrio, pero sin embargo para
ciertos valores de tensión existen distintos valores de carga de equilibrio
admisibles. Más adelante se demostrará que sólo uno de estos equilibrios es
estable.
3.1.2. Linealización del sistema
Al tratarse de un sistema no lineal se procede a su linealización para
examinar posteriormente la estabilidad en un entorno próximo a los puntos de
operación obtenidos en el apartado anterior.
Análisis y simulación de un sistema electromecánico de tipo capacitivo para la
captación de energía
39
Consideramos el sistema (36), definido por
(48)
(49)
(50)
con puntos críticos en , , . Entonces realizando
una aproximación en serie de Taylor en torno a los puntos críticos, evaluando
las derivadas parciales en y despreciando los términos de orden
superior al lineal
(51)
(52)
(53)
Se puede reescribir como
=
(54)
Donde es la matriz jacobiana del sistema. Particularizando para
nuestro sistema y evaluando en los puntos de equilibrio obtenidos en el
apartado anterior queda
(55)
Análisis y simulación de un sistema electromecánico de tipo capacitivo para la
captación de energía
40
De esta manera, el sistema (40) se encuentra próximo al sistema lineal
(56)
en las cercanías de los puntos de equilibrio . Como
consecuencia, el comportamiento y estabilidad de las trayectorias del sistema
36 cerca de los puntos críticos serán los mismos que en el sistema linealizado.
3.1.3. Estabilidad del sistema
Según el Teorema de Linealización de Liapunov y Poincaré se puede
afirmar que:
-Un punto crítico del sistema (40) es asintóticamente estable si todos los
autovalores de la matriz poseen parte real negativa.
-Un punto crítico del sistema (40) es inestable si la matriz posee algún
autovalor con parte real positiva
Por lo tanto, se procede a estudiar la estabilidad del sistema en función
de los autovalores de la matriz jacobiana.
Los autovalores son las raíces del polinomio característico de la matriz
definido por
(57)
Que operando queda
Análisis y simulación de un sistema electromecánico de tipo capacitivo para la
captación de energía
41
(58)
Por el criterio de Ruth-Hurwitz se sabe que si definimos el polinomio
característico como
(59)
Una de las condiciones necesarias para que se cumpla el criterio de
estabilidad en torno a un punto de equilibrio es que todos los valores de los
coeficientes sean estrictamente positivos. Por lo tanto debe cumplirse
(60)
Como se vio en el apartado 2.4, el parámetro es estrictamente mayor
que 0, de manera que para garantizar la estabilidad debe cumplirse
(61)
Esto implica según las ecuaciones (45) y (47) que la región de
estabilidad para y se encuentra entre
(62)
(63)
Este mismo resultado ya podía intuirse en la figura 12. Físicamente, este
comportamiento se corresponde con el fenómeno conocido como “pull-in”.
3.1.4. Análisis físico de la estabilidad. Fenómeno de
pull-in
Se puede demostrar que a partir de una determinada tensión, la fuerza
electroestática de atracción entre las placas del condensador es mayor a la
fuerza que ejerce el muelle, creando una retroalimentación positiva en la que
Análisis y simulación de un sistema electromecánico de tipo capacitivo para la
captación de energía
42
disminuye el hueco entre placas hasta el colapso dado por la unión de ambas
placas del condensador.
En una posición de equilibrio las únicas fuerzas que interactúan en el
sistema son la fuerza electroestática de atracción entre placas y la fuerza que
ejerce el muelle. La primera viene dada según la ecuación (14) por
(14)
Transformándola con ayuda de la ecuación (12) queda
(64)
Por otro lado, la fuerza que ejerce el muelle es
(65)
Luego podemos obtener la ecuación de la fuerza neta en el equilibrio
como
(66)
Designando cómo positiva la fuerza en el sentido positivo del eje , es
decir, disminuyendo la distancia entre placas.
Análisis y simulación de un sistema electromecánico de tipo capacitivo para la
captación de energía
43
Figura 10. Fuerzas que actúan sobre la placa en el equilibrio
En el equilibrio la fuerza neta será nula. Se estudia ahora cómo afectaría
una pequeña perturbación en la distancia entre placas al estado de equilibrio.
Se denota esta perturbación por . La fuerza neta en esta situación
variará cómo
(67)
Si la variación de la fuerza es positiva, el punto de equilibrio será
inestable, ya que un pequeño aumento en la variable , o lo que es lo mismo,
una pequeña disminución de la distancia entre placas, provocaría que la fuerza
atractiva aumentase, retroalimentando de este modo el sistema hasta su
colapso. En cambio, si la variación de la fuerza fuese negativa, ésta haría que
el sistema volviese a una posición de equilibrio, por lo que nos encontraríamos
ante un punto de equilibrio estable. Particularizando, la variación de la fuerza
neta para pequeñas variaciones de la posición queda
(68)
Por lo tanto, para que el punto de equilibrio sea estable debe cumplirse
(69)
Análisis y simulación de un sistema electromecánico de tipo capacitivo para la
captación de energía
44
Dado que la distancia de equilibrio entre placas disminuye al aumentar la
tensión, si se aumenta la tensión por encima de un cierto valor se perderá la
estabilidad del sistema. Esta es la tensión de “pull-in” . Justo en esta
situación la ecuación (69) pasa a ser
(70)
En este punto se sigue cumpliendo el equilibrio de fuerzas de la
ecuación (66), por lo tanto
(71)
A partir de las ecuaciones (70) y (71) se llega a que el fenómeno de
“pull-in” sucede para un valor de
(72)
Este resultado confirma el obtenido matemáticamente mediante el
estudio de la estabilidad del sistema a partir de los autovalores de la matriz
jacobiana, ya que si adimensionalizamos el resultado obtenido se tiene
(73)
que es el valor límite que ya se obtuvo mediante los autovalores en la
ecuación (63). Es decir, para valores superiores de el equilibrio no se
encontrará en la zona de estabilidad. El valor del voltaje crítico en bornes del
condensador puede obtenerse fácilmente a partir de las ecuaciones (71) y (72)
(74)
De igual manera es posible comprobar que se corresponde con el
resultado obtenido mediante el estudio de estabilidad por autovalores dado en
la ecuación (62). Si normalizamos el valor obtenido dividiendo por
nos queda
Análisis y simulación de un sistema electromecánico de tipo capacitivo para la
captación de energía
45
(75)
que es el mismo límite de estabilidad que se obtuvo en el apartado
anterior.
También es posible comprobar este fenómeno de manera gráfica
examinando las dos componentes de la fuerza que permiten alcanzar el
equilibrio. Por comodidad se procede a normalizar las variables
(76)
(77)
Con estos cambios de variables, la condición de equilibrio (66) queda
como
(78)
A continuación se representan las dos componentes de la fuerza por
separado en tres situaciones diferentes: la primera para una tensión
normalizada inferior a la tensión de “pull-in”, la segunda para , es
decir, justo en el límite de estabilidad y por último con una tensión normalizada
de , superior a la tensión de “pull-in”.
Análisis y simulación de un sistema electromecánico de tipo capacitivo para la
captación de energía
46
Figura 14. Equilibrio de fuerzas para
Figura 15. Equilibrio de fuerzas para
Análisis y simulación de un sistema electromecánico de tipo capacitivo para la
captación de energía
47
Figura 16. Equilibrio de fuerzas para
Puede observarse en la primera gráfica que ambas curvas se cortan,
existiendo un equilibrio estable, mientras que en la tercera no se produce
intersección alguna, por lo que no existe estabilidad. En la segunda se puede
observar cómo en el límite la posición normalizada es , corroborando el
resultado anteriormente obtenido.
En sistemas MEMS resulta de vital importancia el conocimiento y control
de este comportamiento para evitar el colapso de los transductores y garantizar
su correcto funcionamiento, ya que además de encontrarse fuera del rango de
funcionamiento para el cuál es diseñado, el contacto entre los electrodos o
entre el electrodo y la placa electrolítica provoca un deterioro del dispositivo y la
descarga parcial de la placa electrolítica, disminuyendo de este modo su
estabilidad y acortando su vida útil.
Una opción económica y sencilla para evitar que se produzca este
fenómeno es introducir una capa de material dieléctrico del grosor adecuado
entre las placas del condensador, evitando de esta forma que las placas
puedan llegar a contactar. De cualquier forma, en la fase de diseño hay que
Análisis y simulación de un sistema electromecánico de tipo capacitivo para la
captación de energía
48
tener presente que se debe evitar alcanzar en cualquier momento la tensión de
“pull-in”.
3.1.5. Análisis de los polos del sistema en función de
los parámetros.
Resulta de interés estudiar el tipo de respuesta que tendrá el sistema
según los parámetros en la región estable de funcionamiento. Para ello, se
realiza un estudio más pormenorizado de los autovalores del sistema
linealizado, los cuales se corresponden con los polos del mismo.
Como ya se vio en el apartado 3.1.3, un punto crítico del sistema (40) es
asintóticamente estable si todos los autovalores de la matriz poseen parte
real negativa. Además, dentro de la región estable, en función de la ubicación
de los polos la respuesta tendrá un comportamiento diferente. Concretamente
se puede demostrar que un sistema es sobreamortiguado si todos sus polos se
encuentran en el eje real. De manera análoga, el sistema será subamortuguado
si posee un par de polos complejos conjugados con parte real negativa tal
como se muestra en la figura 17.
Figura 17. Respuesta del sistema en función de la ubicación de sus polos
Matlab permite calcular los polos en función de los parámetros del
sistema en los puntos de equilibrio obtenidos en el apartado 3.1.1. De este
Análisis y simulación de un sistema electromecánico de tipo capacitivo para la
captación de energía
49
modo es posible realizar una gráfica en la que se muestren las zonas de
comportamiento subamortiguado y sobreamortiguado al variar alguno de los
parámetros dentro de la región estable de funcionamiento.
En las figuras 18 y 19 se puede observar para qué valores de la
respuesta del sistema será subamortiguada, sobreamortiguada o críticamente
amortiguada (línea que separa ambas regiones) ante una pequeña
perturbación en el rango de comportamiento estable para y en
función de los puntos de equilibrio dados por .
Figura 18. Respuesta del sistema en función del parámetro para
Análisis y simulación de un sistema electromecánico de tipo capacitivo para la
captación de energía
50
Figura 19. Respuesta del sistema en función del parámetro para
Como puede observarse, el amortiguamiento es fácilmente controlable
variando el parámetro , que a su vez depende directamente de , coeficiente
de amortiguamiento del sistema.
3.2. Caso 2: Estudio del sistema ente una excitación de
tensión
En este apartado se pretende profundizar en la respuesta del sistema
real ante una excitación externa. Concretamente se verá cómo reacciona ante
una variación en la tensión de entrada. La situación que se plantea en este
apartado, aunque se aleja del objetivo principal de este estudio, podría venir
motivada por la necesidad de diseñar un dispositivo cuyo objetivo fuese el
control de posición de una determinada parte móvil.
Análisis y simulación de un sistema electromecánico de tipo capacitivo para la
captación de energía
51
En esta situación, de manera general no es posible trabajar con el
sistema linealizado anterior, puesto que no se puede garantizar que el
movimiento requerido se encuentre en las proximidades de algún punto
concreto de equilibrio. Por ello es necesario emplear el sistema completo de
ecuaciones, y dado que un sistema no lineal es difícilmente resoluble
analíticamente, se procede a realizar la integración directa con ayuda de
Matlab.
Para estudiar este caso se modifica el sistema de ecuaciones (40)
incluyendo una entrada de tensión que será la excitación externa
quedando el sistema
(79)
A continuación, en la figura 20 se presenta un esquema que refleja el
modelado del sistema de ecuaciones (79) con ayuda de la herramienta
Simulink de Matlab.
Figura 20. Modelado de las ecuaciones del circuito en Simulink
Análisis y simulación de un sistema electromecánico de tipo capacitivo para la
captación de energía
52
Esta herramienta utiliza comandos de integración numérica de Matlab y
permite realizar simulaciones de sistemas no lineales. A partir de aquí es
posible obtener resultados de las diferentes variables del sistema en función de
una entrada de tensión . Por ejemplo, en las figura 21 y 22 podemos ver la
respuesta de la posición y velocidad de la placa respectivamente al aplicar a la
entrada de tensión un escalón de valor en .
Figura 21. Respuesta de la posición ante una entrada de tensión de valor
Análisis y simulación de un sistema electromecánico de tipo capacitivo para la
captación de energía
53
Figura 22. Respuesta de la velocidad ante una entrada de tensión de valor
Sin embargo, este modelo presenta algunas limitaciones. No es capaz
de reflejar los límites físicos que algunas de las variables del sistema tienen tal
como se demostró en el apartado 2.5. Por este motivo, aunque la respuesta del
sistema es fiel a la realidad en los rangos de estabilidad mostrados en el
apartado 3.1.3, fuera de estos permite alcanzar ciertos valores a algunas
variables que quedan fuera de los rangos físicamente admisibles. A
continuación se muestra un esquema del sistema mejorado, en el que se
incluyen elementos que permiten modelar el fenómeno de “pull-in” que ya se
explicó en el apartado 3.1.4 y acotar las variables para un estudio más realista.
Figura 23. Modelo mejorado de las ecuaciones del circuito en Simulink
En este modelo se ha incluido entre otros, los siguientes elementos
nuevos que permiten una simulación más cercana al comportamiento real del
dispositivo
Análisis y simulación de un sistema electromecánico de tipo capacitivo para la
captación de energía
54
Figura 24. Conmutador
Figura 25. Operador lógico de posición
Figura 26. Operador lógico de aceleración
El conmutador se utiliza para poder simular los momentos siguientes al
“pull-in”. En condiciones normales la salida que emite es la aceleración del
sistema, mientras que si se da la condición de “pull-in” pasa a dar como salida
una aceleración nula para simular el comportamiento real tras la colisión entre
placas. El operador lógico de la figura 25 tiene dos objetivos en el esquema. El
primero como condición de disparo del conmutador en el momento en que se
alcanza el valor de que se corresponde con la colisión entre placas o
“pull-in”. Y el segundo objetivo es resetear el integrador de velocidad para que
la velocidad pase a valer 0 tras la colisión. Por último, el operador lógico de la
figura 26 se utiliza para permitir de nuevo el funcionamiento tras la descarga
del condensador, es decir, en el momento en que la fuerza del muelle sea
superior a la fuerza electroestática de atracción entre placas.
A continuación se presenta la respuesta de la simulación con las nuevas
modificaciones ante una entrada en tensión que supera los límites de
comportamiento estable del sistema. En las figuras 27, 28 y 29 puede
Análisis y simulación de un sistema electromecánico de tipo capacitivo para la
captación de energía
55
observarse la evolución de la carga , posición y velocidad
respectivamente
Figura 27. Respuesta de la carga ante una entrada de tensión variable
Figura 28. Respuesta de la posición ante una entrada de tensión variable
Análisis y simulación de un sistema electromecánico de tipo capacitivo para la
captación de energía
56
Figura 29. Respuesta de la velocidad ante una entrada de tensión variable
En ellas se puede comprobar que el modelo se asemeja al
funcionamiento real en caso de aplicar una tensión de entrada que exceda de
la zona de comportamiento estable, permitiendo observar el fenómeno del “pull-
in” al sobrepasar la tensión de entrada límite anteriormente calculada
.
3.3. Caso 3: Estudio del sistema ente una excitación
mecánica
De manera análoga al apartado anterior, en este se pretende profundizar
en el conocimiento de la respuesta real del sistema ante una excitación
mecánica mediante simulación. Sin embargo, en este caso la situación
planteada podría ser de una mayor utilidad: la obtención de energía eléctrica a
partir de un movimiento mecánico vibratorio.
Como sucedía en el apartado anterior, en este caso tampoco podemos
garantizar un movimiento en un entorno muy próximo a una determinada
posición de equilibrio, por lo que resulta inapropiado el uso del sistema
linealizado del apartado 3.1.2. Por este motivo se realiza la integración directa
de las ecuaciones con ayuda de Matlab para la simulación.
Análisis y simulación de un sistema electromecánico de tipo capacitivo para la
captación de energía
57
En este caso, al esquema objeto de estudio le incorporamos una fuerza
externa que será la excitación mecánica como se muestra en la siguiente figura
Figura 30. Modelo del circuito sometido a una excitación mecánica externa
Modificando el sistema de ecuaciones (40) de forma que incorpore la
nueva excitación externa nos queda el sistema
(80)
Dado que el sistema a analizar es muy similar al (40), para realizar las
simulaciones sólo es necesario hacer una pequeña modificación en el
diagrama de bloques de la figura 23 como se muestra en la siguiente figura,
donde se ha introducido únicamente una fuente adicional en el sumatorio de
integración que se corresponde con la excitación mecánica externa
Análisis y simulación de un sistema electromecánico de tipo capacitivo para la
captación de energía
58
Figura 31. Modelado del sistema de ecuaciones (80) en Simulink
Este nuevo modelo permite simular diferentes tipos de señales
vibratorias como entrada según sea la fuente que origina la vibración. Dado
que existe una gran diversidad de vibraciones mecánicas ambientales de las
que puede nutrirse el convertidor, en este apartado se muestran algunos
ejemplos de aquellas de las que puede obtenerse un mayor rendimiento:
vibraciones con una frecuencia y amplitud constantes como las que puede
generar la maquinaria industrial. El conocimiento de este tipo de entradas
permite un diseño más preciso del dispositivo para conseguir unos mayores
niveles de resonancia dada una frecuencia concreta y maximizar así la
potencia obtenida .
A continuación se muestran las diferentes salidas de las variables y
ante una señal de entrada senoidal y otra cuadrada periódica
obtenidas por simulación en Simulink.
Análisis y simulación de un sistema electromecánico de tipo capacitivo para la
captación de energía
59
Figura 32. Señales de salida y ante una excitación mecánica senoidal
Figura 33. Señales de salida y ante una excitación de onda cuadrada
Análisis y simulación de un sistema electromecánico de tipo capacitivo para la
captación de energía
60
3.4. Acondicionamiento de la señal de salida
Como se indicó en el apartado 1.2, los convertidores electroestáticos se
caracterizan por tener unas tensiones de salida elevadas que pueden superar
el centenar de voltios, así como unas corrientes bajas del orden de . Por este
motivo no es posible conectar directamente la salida a ningún dispositivo y es
necesario un circuito acondicionador para ajustar la tensión de salida del
transductor electroestático.
Dado que las potencias que son capaces de generar estos dispositivos
MEMS de recolección de energía son generalmente bajas, el circuito
acondicionador debe ser lo más sencillo posible para evitar en la medida de lo
posible pérdidas en esta fase.
En el caso de condensadores no electrolíticos en los que es necesaria
una fuente externa para polarizar el condensador, en la etapa acondicionadora
suele utilizarse un ciclo de carga constante, ya que es más sencillo de
implementar y tiene un menor consumo energético que un ciclo de tensión fija.
Para alcanzar mayores potencias el condensador debe ser polarizado con una
tensión elevada, normalmente superior a . Dado que las tensiones de
alimentación para este tipo de dispositivos es habitualmente muy inferior ,
es necesario un circuito para elevar la tensión hasta la tensión de polarización.
Del mismo modo la salida del transductor puede ser del orden del centenar de
voltios, lo cual hace necesario un circuito que permita reducir la tensión hasta
un valor adecuado. Para limitar las pérdidas suele utilizarse una misma fuente
para alimentar el circuito y recolectar la carga al finalizar la conversión
mecánica en eléctrica y la transferencia de carga se realiza a través de un
mismo convertidor DC-DC. En la siguiente figura se muestra un esquema del
procesamiento de la señal.
Análisis y simulación de un sistema electromecánico de tipo capacitivo para la
captación de energía
61
Figura 34. Esquema de procesamiento de la señal eléctrica
En el caso de los condensadores electrolíticos, éstos realizan la
conversión directamente sin necesidad de una fuente externa para polarizar el
condensador. Sin embargo, sigue siendo necesario acondicionar la salida del
transductor. Existen dos tipos de convertidores susceptibles de ser utilizados:
los convertidores pasivos y activos.
3.4.1. Acondicionamiento pasivo
Se trata del circuito mostrado en la siguiente figura, en el que tan sólo se
utiliza un puente de diodos y un condensador que hace la función de regulador
de la tensión de salida.
Figura 35. Esquema de circuito de acondicionamiento pasivo simple
Análisis y simulación de un sistema electromecánico de tipo capacitivo para la
captación de energía
62
Es la forma más simple de convertir los valores de salida del transductor
con elevadas tensiones y bajas corrientes a una fuente de tensión continua de
susceptible de ser utilizada por sensores u otros dispositivos. Además, al
tener muy pocos elementos, el consumo energético de la etapa
acondicionadora es bajo. Sin embargo es muy poco eficiente. En la siguiente
gráfica se muestra la potencia normalizada en función de la tensión del
condensador de regulación. Puede observarse que para una tensión pequeña
de salida el rendimiento decae de manera considerable, desviándose mucho de
la potencia óptima.
Figura 36. Curva de potencia normalizada en función de la tensión de salida
La tensión óptima del condensador de regulación en un convertidor
electroestático se encuentra cercana a la mitad de la tensión de salida del
convertidor electroestático en circuito abierto que suele ser de varios cientos de
voltios. Por lo tanto, para alimentar dispositivos a una tensión de sin reducir
drásticamente la eficiencia del convertidor se requiere un acondicionamiento
activo.
3.4.2. Acondicionamiento activo
Este circuito se presenta como evolución del anterior para mejorar el
rendimiento global del convertidor. Como se ha visto anteriormente, es
necesaria la implementación de un convertidor DC-DC para disminuir la
tensión. Los convertidores más frecuentemente utilizados son el buck, buck-
boost y flyback. Este último es el que presenta mayores ventajas y flexibilidad
de diseño y por ello se profundiza en su conocimiento.
Análisis y simulación de un sistema electromecánico de tipo capacitivo para la
captación de energía
63
Figura 37. Esquema de un circuito de acondicionamiento activo tipo flyback
Para maximizar el rendimiento, como se ha visto en el apartado anterior,
es conveniente mantener la tensión de salida del condensador electroestático
en un entorno próximo al de máximo rendimiento. Para conseguirlo, este
acondicionador posee un condensador de regulación a la salida del puente de
diodos. Sin embargo, a diferencia del anterior, este circuito incorpora un
convertidor DC-DC que permite mantener a la salida del puente de diodos una
tensión elevada, mientras que en la bobina secundaria del trasformador
mantiene la tensión en un rango cercano a los , admisible para ser utilizada
por sensores u otros dispositivos. Para optimizar el proceso y trabajar con una
tensión primaria en un entorno cercano a la tensión óptima, se sincronizan los
interruptores y de la figura 37 de manera que cuando en el primario se
alcanza una tensión que supere en un a la tensión óptima de trabajo
el se cierra durante un tiempo , permitiendo el paso
de corriente que alimenta al circuito magnético. Posteriormente se cierra
permitiendo el paso de parte de la energía almacenada hacia el condensador
de regulación a través del transformador M. Este proceso permite mantener
la tensión primaria en un rango de de la tensión óptima de
funcionamiento en cada ciclo. En la siguiente gráfica se puede comprobar
cómo la evolución de la tensión a la salida del puente de diodos queda acotada
en valores próximos al de máximo rendimiento, optimizando así la potencia
extraída.
Análisis y simulación de un sistema electromecánico de tipo capacitivo para la
captación de energía
64
Figura 38. Tensión de salida del acondicionador
La evolución de las tensiones en ambos extremos del convertidor flyback
se muestran a continuación.
Figura 39. Tensiones y corrientes durante el proceso de conversión
Al incluir un condensador de regulación en el primario con una
capacidad elevada (del orden del centenar de nanofaradios) se contribuye
también a disminuir la influencia de las capacidades parásitas en el
condensador de recolección, que es uno de los inconvenientes que se
expusieron en el apartado 1.2 para este tipo de transductores, ya que pueden
reducir considerablemente su rendimiento.
Análisis y simulación de un sistema electromecánico de tipo capacitivo para la
captación de energía
65
Adicionalmente, este circuito de acondicionamiento permite la
implementación de múltiples transductores en paralelo con un solo
acondicionador que transforme la energía total suministrada por cada uno de
los dispositivos, reduciendo de este modo las pérdidas individuales que tendría
cada circuito por separado.
Análisis y simulación de un sistema electromecánico de tipo capacitivo para la
captación de energía
66
Análisis y simulación de un sistema electromecánico de tipo capacitivo para la
captación de energía
67
4. CONCLUSIONES
Tras el estudio que se ha realizado de este tipo de convertidores
electromecánicos se procede a evaluar globalmente su interés como
mecanismo de recolección de energías renovables.
Dentro de los tres sistemas de recolección de energías mecánicas de
vibración expuestos, el electroestático sea probablemente el que menos se ha
desarrollado por el momento, a mucha distancia de los dispositivos
piezoeléctricos. Sin embargo, como se ha expuesto anteriormente, estos
transductores poseen grandes ventajas como son la capacidad de alcanzar
altos valores de acoplamiento, la posibilidad de producir en serie grandes
cantidades a muy bajo coste con materiales económicos y que son capaces de
resistir altas temperaturas.
Pese a que sin duda también cuentan con numerosos inconvenientes
como las bajas capacidades del transductor, altas tensiones de salida y bajas
corrientes, se ha podido demostrar que con ciertas mejoras en el
acondicionamiento de la señal, estos dispositivos son capaces de satisfacer las
necesidades de pequeños receptores como sensores o emisores, de manera
que puedan proporcionarles la energía necesaria para funcionar de manera
autónoma en el entorno adecuado.
A continuación se repasan las limitaciones más evidentes de estos
dispositivos:
La reducción de tamaño. Como se explicó en la introducción,
uno de los objetivos principales de estos convertidores es
tener un tamaño reducido para poder formar parte de
dispositivos MEMS. Sin embargo, como se ha podido
comprobar, la potencia de salida será proporcional a la masa
móvil, por lo que tampoco es útil reducir el tamaño a cualquier
coste. Además, esta reducción se hace particularmente
complicada cuando se trata el diseño de dispositivos con una
frecuencia resonante inferior a . En consecuencia, es
difícil imaginar transductores con una superficie inferior a
que puedan proporcionar una potencia decente .
Análisis y simulación de un sistema electromecánico de tipo capacitivo para la
captación de energía
68
Frecuencias de operación. Las vibraciones mecánicas
ambientales susceptibles de ser utilizadas por estos
dispositivos se caracterizan generalmente por tener una baja
frecuencia, inferior a . Además, el espectro de
frecuencias suele extenderse en un amplio rango. Esta
circunstancia hace que, por un lado sea difícil diseñar un
dispositivo con un alto rendimiento para todo el rango de
frecuencias, y por otro lado, al ser las frecuencias mecánicas
generalmente bajas, las vigas necesarias para la confección
del dispositivo deben ser largas y delgadas. Esto en
dispositivos MEMS dificulta su fabricación y aumenta su
fragilidad, más aún cuando deben someterse a un alto número
de ciclos.
Control del “pull-in”. Otra de las variables directamente
relacionadas con la potencia extraída del dispositivo es la
variación de la capacidad, la cual a su vez está estrechamente
relacionada con el hueco entre las placas. El control de la
distancia entre placas debe ser muy preciso y es necesario
minimizarlo para alcanzar altas capacidades sin que llegue a
producirse el “pull-in” y el consiguiente fallo eléctrico y
deterioro del dispositivo.
Estabilidad de las placas electrolíticas. En el caso de
condensadores electroestáticos, es fundamental mantener una
estabilidad de la placa electrolítica elevada que garantice el
correcto funcionamiento durante el mayor tiempo posible.
Como se explicó en el apartado 1.5. condiciones ambientales
como la humedad o temperatura pueden afectar
significativamente a su estabilidad. Además, el contacto entre
la placa electrolítica y el electrodo debe ser evitado, ya que
puede provocar la descarga parcial de la placa y
consecuentemente disminuir la estabilidad en un tiempo
inferior al estimado.
Propiedades mecánicas. Otro aspecto a tener en cuanta es el
elevado número de ciclos al que estos dispositivos deben ser
sometidos (más de billones de ciclos anuales para un
transductor que funcione a ). Esto puede provocar el
cambio de la frecuencia de resonancia debido a la fatiga y el
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rendimiento puede resultar seriamente afectado. En
consecuencia, deben diseñarse dispositivos muy robustos
capaces de mantener la frecuencia de resonancia próxima a la
frecuencia de vibración durante toda su vida útil.
En la actualidad, como se adelantó en el apartado 3.3, el campo en el
que podrían tener un mayor crecimiento este tipo de transductores es en la
industria puesto que hay una gran cantidad de maquinaria que genera algún
tipo de vibración mecánica, y en muchos de los casos con una frecuencia fija,
lo que facilita el diseño y optimización del rendimiento al poder alcanzar altos
niveles de resonancia para una frecuencia determinada.
Con vistas al futuro, posiblemente los requerimientos energéticas de los
receptores disminuyan, permitiendo de este modo aumentar la utilidad y
eficacia de los transductores. En este escenario, y unido a la creciente
necesidad de conocimiento de nuestro entorno, puede esperarse que estos
sistemas conecten con ciertas necesidades industriales y al mismo tiempo se
encuentren nuevas aplicaciones de utilidad. Del mismo modo, será de gran
interés el desarrollo de dispositivos que permitan modificar la frecuencia de
resonancia del sistema para adaptarla a diferentes vibraciones o incluso para
permitir mantener la frecuencia de resonancia óptima cuando el dispositivo se
vea afectado por fatiga y disminuya sus prestaciones.
Análisis y simulación de un sistema electromecánico de tipo capacitivo para la
captación de energía
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Análisis y simulación de un sistema electromecánico de tipo capacitivo para la
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5. BIBLIOGRAFÍA
[1] S. Boisseau, G. Despesse and B. Ahmed Seddik, Electrostatic
Conversion for Vibration Energy Harvesting, Small-Scale Energy Harvesting,
Intech, 2012
[2] Stephen D. Senturia, Microsystem Design, Massachusetts Institute of
Technology, 2002
[3] K A Cook-Chennault, N Thambi and A M Sastry, Powering MEMS
portable devices, 2009
[4] Dhakar, Lokesh, Triboelectric Devices for Power Generation and Self-
Powered Sensing Applications, 2017
[5] Kenji Uchino and Takaaki Ishii, Energy Flow Analysis in Piezoelectric
Energy Harvesting Systems, 2010
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captación de energía
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6. ANEXO
Códigos Matlab utilizados.
Figura 12. Gráfica puntos de equilibrio del sistema en el plano
q=[-2:0.01:2]; x=0.5*q.^2; plot(q,x) axis([-2.2 2.2, -0.2 2.2]) xlabel('q') % Etiqueta el eje horizontal ylabel('x') % Etiqueta el eje vertical
Figura 13. Gráfica puntos de equilibrio del sistema en el plano
q=[-2:0.01:2]; x=0.5*q.^2; V0=q.*(1-x); plot(q,V0) axis([-2.2 2.2, -2.2 2.2]) xlabel('q') % Etiqueta el eje horizontal ylabel('V0') % Etiqueta el eje vertical
Figuras 14, 15 y 16. Equilibrio de fuerzas “pull-in”
v=input('Parámetro v: '); g=[]; f=[]; for d=0:0.01:1 f=[f;4*v^2/(27*(1-d)^2)]; g=[g;d]; end plot(g(:),f(:),'r',g(:),g(:),'.g') axis([0 1, 0 1]) xlabel('Z') % Etiqueta el eje horizontal ylabel('Fuerza') % Etiqueta el eje vertical legend('F. electroestática','F. muelle') % Leyenda
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Figuras 18 y 19. Análisis de la respuesta del sistema en función del
parámetro
q=linspace(-sqrt(2/3),sqrt(2/3),100); l=length(q); r=input('Parámetro r: '); b=-1; i=0; M=[]; for s=1:l b=-1; Fi=0.0001; while b<0 Jac=[0 1 0;-1 -2*Fi q(s);q(s)/r 0 0.5*q(s)^2/r-1/r]; b=min(imag(eig(Jac))); Fi=Fi+0.0001; end M=[M;q(s) Fi-0.0001]; end plot(M(:,2),M(:,1),linspace(-0.2,1.5,100),-sqrt(2/3),'r.',linspace(-0.2,1.5,100),sqrt(2/3),'r.') axis([0.9 1.5,-1.1 1.1]); xlabel(' ') % Etiqueta el eje horizontal ylabel(' ')