tratamiento didÁctico de la derivada - la aplicaciÓn …
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Abril 2010
TRATAMIENTO DIDAacuteCTICO DE LA
DERIVADA - LA APLICACIOacuteN DEL
PROGRAMA DERIVE
Diana Judith Quintana Saacutenchez
Piura 19 de Abril de 2010
FACULTAD DE EDUCACIOacuteN
Maestriacutea en Educacioacuten
TRATAMIENTO DIDAacuteCTICO DE LA DERIVADA - LA APLICACIOacuteN DEL PROGRAMA DERIVE
Esta obra estaacute bajo una licencia
Creative Commons Atribucioacuten-
NoComercial-SinDerivadas 25 Peruacute
Repositorio institucional PIRHUA ndash Universidad de Piura
DIANA JUDITH QUINTANA SAacuteNCHEZ
TRATAMIENTO DIDAacuteCTICO DE LA DERIVADA ndash LA APLICACIOacuteN DEL PROGRAMA DERIVE
UNIVERSIDAD DE PIURA FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIOacuteN
MAESTRIA EN EDUCACIOacuteN MENCIOacuteN EN MATEMAacuteTICA
2010
AGRADECIMIENTOS
Esta tesis si bien ha requerido de esfuerzo y mucha dedicacioacuten por parte de la autora y su asesor de tesis no hubiese sido posible su finalizacioacuten sin la cooperacioacuten desinteresada de todas y cada una de las personas que a continuacioacuten citareacute Primero y antes que nada dar gracias a Dios por estar conmigo en cada paso que doy por fortalecer mi corazoacuten e iluminar mi mente y por haber puesto en mi camino a aquellas personas que han sido mi soporte y compantildeiacutea durante todo este tiempo A mis padres Alejandro y Carmen por estar siempre a mi lado por el apoyo que siempre me han brindado A Luis mi buen esposo porque en su compantildeiacutea las cosas malas se convierten en buenas por su amor paciencia y comprensioacuten A mis hijos Luis Sebastiaacuten Esteban Hipoacutelito y Renzo Alejandro por ser el regalo maacutes grande de Dios y ser el estiacutemulo para seguir adelante
IacuteNDICE
PAacuteGINA
Introduccioacuten 1 Capiacutetulo I
Problematizacioacuten 2 11 Planteamiento del Problema 2 111 Antecedentes 2 112 Formulacioacuten del Problema 8 113 Justificacioacuten 9 114 Hipoacutetesis 10 115 Variables 10 116 Poblacioacuten 11 12 Objetivos de la Investigacioacuten 11 121 Objetivo General 11 122 Objetivos Especiacuteficos 11
Capiacutetulo II 12 Fundamento Teoacuterico 12 21 Disentildeo Curricular de la Asignatura de matemaacutetica I 12 211 Siacutelabo de la Asignatura de Matemaacutetica I 12 22 Didaacutectica de la Matemaacutetica 13 221 Registros de Representacioacuten Semioacutetica
Raymod Duval 14 222 Taxonomiacutea de Bloom y los niveles en que Se pueden clasificar los objetivos de
Aprendizaje 15 23 Desarrollo de la parte conceptual de la Derivada 19
24 La informaacutetica como recurso 92 241 El Software Educativo en el proceso de ensentildeanza Aprendizaje 94 242 La introduccioacuten del software de Matemaacutetica en la educacioacuten Matemaacutetica 94 243 El programa Derive 96 244 Capacidades del programa Derive 96 245 Laboratorios para el aprendizaje del Caacutelculo diferencial empleando Derive 97
Capiacutetulo III 99
Metodologiacutea de la Investigacioacuten 99 31 Paradigma de Investigacioacuten 99 32 Tipo de Investigacioacuten 100 33 Poblacioacuten 100 34 Hipoacutetesis Estadiacutesticas 100 35 Variables 100 36 Disentildeo de Investigacioacuten 100 37 Teacutecnicas e instrumentos de recoleccioacuten de datos 101 38 Teacutecnica de Procesamiento de Datos 102 39 Proceso de Investigacioacuten 103 391 Dificultades en el aprendizaje del
Calculo Diferencial 103 392 Rendimiento Acadeacutemico 104 393 Propuesta Didaacutectica 104
Capiacutetulo IV 115
Anaacutelisis e Interpretacioacuten de Resultados 115 41 Anaacutelisis Estadiacutestico
411 Resultados del rendimiento acadeacutemico 115 Los grupos experimental y de control
42 Anaacutelisis Inferencial 118 421 Comparacioacuten de Medias 118 422 Tablas de frecuencia del Pre-Test y Post-Test 119
423 Resultados del Pre-Test y Post-Test Considerando la comparacioacuten de medias y la Prueba t-student 121 424 Aceptacioacuten o rechazo de la hipoacutetesis nula o Alternativa 124 43 Discusioacuten de los resultados 125
Conclusiones 128 Recomendaciones 130 Bibliografiacutea 132
IacuteNDICE DE TABLAS
PAacuteGINA
1 Tabla Nordm1 Precio de artiacuteculo por meses 23 2 Tabla Nordm2 Razoacuten de cambio en el 2do 3er y 4to mes 27 3 Tabla Nordm3 Temperatura de un paciente seguacuten
transcurren las horas 29 4 Tabla Nordm4 Relacioacuten de Temperatura Graacutefica y Razoacuten
de Cambio 29 5 Tabla Nordm5 Derivadas de orden superior 78 6 Tabla Nordm6 Calificaciones de la Segunda Unidad
- Grupo Experimental 117 7 Tabla Nordm7 Calificaciones de la Segunda Unidad
- Grupo de Control 118 8 Tabla Nordm8 Resultados Pre Test y Post Test - Grupo Experimental 120 9 Tabla Nordm9 Resultados Pre Test y Post Test ndash Grupo de Control 122 10 Tabla Nordm10 Resumen estadiacutestico de pruebas Pre Test
de los grupos experimental y de control 124 11 Tabla Nordm11 Resumen estadiacutestico de pruebas Post Test
de los grupos experimental y de control 125
IacuteNDICE DE GRAacuteFICOS
PAacuteGINA
1 Figura 1 Graacutefica del precio dado en soles en el primer y tercer mes 24 2 Figura 2 Grafica del Supuesto crecimiento lineal de precio entre el primer y tercer mes 24 3 Figura 3 Graacutefica del descuento del 30 en el precio 24 4 Figura 4 Comportamiento no lineal entre tiempo y precio 26 5 Figura 5 Comportamiento no lineal entre tiempo y precio 26 6 Figura 6 Grafico del peso promedio de un bebeacute desde su nacimiento Hasta los dos antildeos 30 7 Figura 7 Graacutefico del valor de madera producida en funcioacuten del tiempo 31 8 Figura 8 Graacutefico del porcentaje de habitante en Estados Unidos que ven televisioacuten durante las 24 horas del diacutea 32 9 Figura 9 Graacutefica de las rectas secante y tangentes a una curva desde El punto Q hasta el punto P 33 10 Figura 10 Graacutefico de las posiciones de una recta secante a una curva en los puntos P y Q y su aproximacioacuten a la recta tangente 34 11 Figura 11 Graacutefica de la distancia recorrida por el objeto en
funcioacuten del tiempo 36
12 Figura 12 Graacutefica de la funcioacuten 1( )f xx
= y su recta
tangente en el Punto ( )21 2 39
13 Figura 13 Graacutefica de la funcioacuten ( )f x en los puntos c y c h+ empleando la primera forma de derivar 45 14 Figura 14 Graacutefica de la funcioacuten ( )f x en los puntos c y c h+ empleando la primera forma de derivar 45
15 Figura 15 Graacutefico de la funcioacuten valor absoluto para estudiar la derivada en cero 48 16 Figura 16 Graacutefico de la derivada de la funcioacuten valor absoluto 49
17 Figura 17 Graacutefico de la funcioacuten 2 0( )
0x xf xx x
le=
gt para
Estudiar la derivada en cero 50
18 Figura 18 Graacutefico de la funcioacuten 1 0( )
2 0x
f xx x
ge= lt
50
19 Figura 19 Graacutefico de posibles situaciones de funcioacuten Diferenciable en un punto 51
20 Figura 20 Grafico de la funcioacuten 2( ) 9f x x= minus 53
21 Figura 21 Graacutefico de la funcioacuten 1( )
1f x
x=
+ 53
22 Figura 22 Graacutefico de la funcioacuten 3( )
1f x
xminus
=+
59
IacuteNDICE DE ANEXOS
CONTENIDO PAacuteGINA
1 ANEXO 1 Siacutelabo de la Asignatura 135 2 ANEXO 2 Registro de Evaluaciones 144
3 ANEXO 3 Guiacuteas Metodoloacutegicas Aplicando
El Software DERIVE 145
4 ANEXO 4 Planes de Clase 171 5 ANEXO 5 Tabla de Especificaciones 177
6 ANEXO 6 Instrumentos de Evaluacioacuten 186
7 ANEXO 7 Laboratorios en DERIVE 195
INTRODUCCIOacuteN El presente trabajo se ha realizado en la asignatura Matemaacutetica I del segundo ciclo en las Escuelas de Ingenieriacutea Industrial e Ingenieriacutea de Sistemas y fue motivado por la necesidad de mejorar mi praacutectica docente y brindar a los alumnos herramientas para mejorar el aprendizaje de esta asignatura Lo abstracto de las matemaacuteticas no permite que los alumnos puedan ver y manipular entes matemaacuteticos generaacutendose confusiones y problemas para interpretar la informacioacuten que un determinado elemento pueda proporcionar Siendo asiacute con mayor dificultad podraacuten emplear los resultados obtenidos para predecir alguna situacioacuten Pensando en esta problemaacutetica es que penseacute en incorporar al trabajo en clase el uso de Software DERIVE para desarrollar el capiacutetulo de derivadas Elegiacute este software por su faacutecil manejo de esta forma los alumnos no demorariacutean en aprenderlo y podriacutean usarlo sin complicaciones Para esta investigacioacuten se elaboroacute un moacutedulo dando un tratamiento didaacutectico a las definiciones teoremas propiedades de la derivada apoyaacutendonos en la teoriacutea de Registros Semioacuteticos ademaacutes de guiacuteas de laboratorio y praacutecticas calificadas apoyaacutendonos para su elaboracioacuten en la Taxonomiacutea de Bloom Los grupos con los que se trabajo la investigacioacuten fueron dos uno experimental y otro de Control Asiacute iniciamos un estudio en que planteamos la posibilidad de que los estudiantes alcancen un aprendizaje del Caacutelculo Diferencial maacutes efectivo empleando DERIVE que permita mejorar el resultado del rendimiento de la asignatura de Matemaacutetica I y por ende mejorar su calidad educativa
CAPIacuteTULO I
PROBLEMATIZACIOacuteN
11PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 111 ANTECEDENTES
Algunos de los trabajos encontrados con ayuda del buscador REDEMAT son los que presento a continuacioacuten estos trabajos de investigacioacuten se han realizado empleando software educativos y desarrollando temas como Funciones Matrices Geometriacutea en los niveles de secundaria bachillerato y universidad
1 TITULO DERIVE UNA HERRAMIENTA PARA EL
APRENDIZAJE DE LAS MATEMAacuteTICAS AUTOR FRANCISCO CABO GARCIA BONIFACIO LLAMAZARES RODRIacuteGUEZ MARIA TERESA PENtildeA GARCIA LUGAR DEPARTAMENTO DE ECONOMIacuteA APLICADA (MATEMAacuteTICA) UNIVERSIDAD DE VALLADOLID
Los autores muestran en este trabajo su experiencia docente con el programa DERIVE en la asignatura Matemaacutetica de las Licenciaturas en Economiacutea y en Administracioacuten y Direccioacuten de Empresas
El objetivo es complementar el curso con una herramienta que les permita a los alumnos visualizar situaciones matemaacuteticas difiacuteciles o muy laboriosas de trabajar manualmente pero que tiene mucha interpretacioacuten en la Economiacutea Este equipo de docentes ha elaborado una guiacutea dividida en tres capiacutetulos El primero describe los menuacutes y los botones de cada una de las ventanas del programa los dos siguiente se dedican al estudio del Algebra y Caacutelculo asiacute como a programar algunas funciones para facilitar la resolucioacuten de ejercicios La conclusioacuten de esta investigacioacuten es que el uso de recursos informaacuteticos permite un mayor acercamiento del alumno a las asignaturas que como matemaacuteticas no gozan de mucha simpatiacutea entre los estudiantes Ademaacutes de desarrollar en el alumno una mayor destreza en las praacutecticas informaacuteticas ya que este curso corresponde a los primeros ciclos
2 TITULO UNA PROPUESTA METODOLOacuteGICA DE
INTRODUCCIOacuteN TEMPRANA DEL CONCEPTO DE APROXIMACIOacuteN LOCAL EN SU MANIFESTACIOacuteN DE RECTA TANGENTE VIacuteA EL ASISTENTE MATEMAacuteTICO
AUTOR PEDRO VICENTE ESTABAN DUARTE
PEDRO PEREZ CARRERA LUGAR UNIVERSIDAD POLITECNICA DE VALENCIA
ESPANtildeA
Los mapas conceptuales tienen por objeto representar relaciones significativas entre conceptos en forma de proposiciones facilitando el anaacutelisis del lenguaje empleado en su construccioacuten y poniendo de manifiesto la integracioacuten que los aprendices tienen entre los conceptos empleados para su elaboracioacuten En el modelo educativo de Van Hiele es considerado el lenguaje como una de sus caracteriacutesticas fundamentales en el proceso de aprendizaje de un concepto geomeacutetrico o matemaacutetico y es una de los indicadores del nivel de razonamiento en el cual un alumno se encuentra El modelo de Van Hiele esta compuesto por cinco niveles de razonamiento cinco fases del aprendizaje y el insight o definido tambieacuten como comprensioacuten A partir del anaacutelisis del leguaje se pueden disentildear experiencias de aprendizaje
significativas para potenciar el progreso de un alumno a traveacutes de los niveles de razonamiento postulados por dicho modelo El propoacutesito de esta investigacioacuten es exponer una metodologiacutea basada en el Modelo Educativo de Van Hiele para ensentildear el concepto de aproximacioacuten local en su manifestacioacuten de recta tangente a una curva plana en un punto a partir de la visualizacioacuten que se obtiene del haz de secantes entendieacutendolo como conjunto de rectas que pasan todas por un punto fijo de la curva y por otros sobre la curva dada cada vez maacutes cercanos al punto dado Dicha visualizacioacuten que se propone se obtiene con la ayuda del asistente matemaacutetico DERIVE y no requiere de manipulaciones algebraicas que entorpezcan el razonamiento que los alumnos deben desarrollar y exhibir a lo largo del proceso Se elabora un material disentildeado para ser cubierto en una clase en la cual el profesor sirva de orientador formulando preguntas y respondiendo inquietudes en el momento oportuno Como conclusiones de esta investigacioacuten se tiene que para la asimilacioacuten efectiva de un concepto matemaacutetico se deben tener en cuenta dos fases una primera de proporcionar una visualizacioacuten adecuada del concepto a estudiar en la que los alumnos tienen un primer acercamiento al concepto sin manipulaciones algebraicas La segunda es la formalizacioacuten del concepto en la cual la docencia tradicional centra todos sus esfuerzos La ensentildeanza centrada en esta segunda fase hace maacutes difiacutecil que los alumnos progresen en su razonamiento y logren integrar y desarrollar relaciones con los demaacutes conceptos estudiados Su propuesta metodoloacutegica esta dirigida a la primera fase es decir a la construccioacuten de un concepto ndash definicioacuten cuando se disponga de la madurez algebraica y loacutegico deductivo necesarias Su experiencia educativa siguiendo el modelo de Van Hiele aplicado al concepto de aproximacioacuten local del cual esta propuesta metodoloacutegica es su fruto les permite asegurar que el 90 de los alumnos sometidos al proceso descrito pueden verbalizar una definicioacuten correcta de recta tangente a una curva en uno de sus puntos partiendo del haz de secantes y solo el 5 de los alumnos que siguen el curso de anaacutelisis con
una metodologiacutea tradicional dan una definicioacuten de tangente a una curva en un punto a partir del concepto de derivada
3 TITULO ALGUNAS CONSECUENCIAS DEL USO HABITUAL
DEL ORDENADOR EN LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS
AUTOR JCARIAS
LUGAR SIMPOSIO- MADRID 11 DE DICIEMBRE DE 2003
En esta ponencia se hace una reflexioacuten acerca del uso del programa DERIVE 6 en la ensentildeanza de las matemaacuteticas Se inicia con una breve incidencia en las nuevas posibilidades del programa respecto a su predecesor DERIVE 5 Se propone el uso cotidiano incorporado a todas las fases del proceso de ensentildeanza aprendizaje la idea de que ldquoLos meacutetodos con los que los estudiantes han de ser introducidos para resolver los problemas han de tener en cuenta lo que las nuevas tecnologiacuteas son capaces de hacerrdquo le lleva a concluir que no se pueden cambiar los programas curriculares pero que se pueden aprovechar todas las potencialidades que ofrece DERIVE para hacer de el una herramienta capaz de contribuir en la formacioacuten de conocimiento en el alumno Respecto a la evaluacioacuten explica que no se trata de poner exaacutemenes especiales para evaluar unas praacutecticas con ordenador maacutes o menos ocasionales Menos todaviacutea de modificar los contenidos de las asignaturas para adaptarlos a las posibilidades del software al contrario en esta experiencia se plantea valorar las consecuencias de permitir el uso del ordenador en los exaacutemenes entendidos estos como los exaacutemenes de siempre los mismos que se hubiesen propuestos si no se contase con el ordenador Como conclusioacuten se menciona la elaboracioacuten de exaacutemenes donde el alumno plantea el problema pero las cuentas las hace el programa por tanto hay una subida de nivel por que nos centramos maacutes en los problemas (frente a los ejercicios) y por que la economiacutea de tiempo permite abarcar maacutes materias en el examen Como primera consecuencia los resultados acadeacutemicos mejoran pues hay mayor motivacioacuten en el estudiante como
consecuencia de la introduccioacuten de la tecnologiacutea y como consecuencia del mismo planteamiento de la iniciativa que lleva a restar importancia a habilidades algebraicas mal adquiridas La llamada falta de base se cintildee demasiadas veces a una mera deficiencia en esas habilidades que no necesariamente llevan unida una deficiencia en la capacidad de razonar matemaacuteticamente Como segunda consecuencia se tiene que el uso del ordenador implica cambios en los contenidos no con ello perdiendo el rigor que las matemaacuteticas requieren Pero si permitiendo dejar de ser esclavos de las limitaciones del caacutelculo y trabajando ejemplos realistas que solo con ayuda de un ordenador podriacutean visualizarse en el menor tiempo posible permitiendo de esta manera el invertir el tiempo disponible en el anaacutelisis y comprensioacuten de conceptos
4 TITULOCURSO DE CAacuteLCULO DIFERENCIAL POR
COMPUTADORA AUTOR JOSE HUMBERTO GIRALDO
LUGAR DEPARTAMENTO DE MATEMAacuteTICAS- UNIVERSIDAD DE LOS ANDES-BOGOTA- COLOMBIA
SEMINARIO I
En este seminario se expone el proyecto piloto de ensentildeanza de caacutelculo diferencial con computadoras que se esta desarrollando en la Universidad de los Andes En la primera fase del proyecto participan cuatro profesores del departamento estos profesores ensentildean aproximadamente en cuatro secciones diferentes de aproximadamente 130 estudiantes cada una Al principio del semestre cada estudiante recibe un CD que contiene la informacioacuten del curso y que incluye todas las guiacuteas que se usaran durante el semestre Estas guiacuteas tiene un formato especial despueacutes de discutir un determinado concepto el estudiante esta obligado a resolver determinados problemas relacionados con el tema que se ha explorado
Ademaacutes se trabaja para que el estudiante aprenda a encontrar conexioacuten entre la parte algebraica y la parte grafico geomeacutetrica La evaluacioacuten continua del estudiante tambieacuten se contempla como un componente de la estructura del curso El estudiante tiene un quiz semanal que se publica en la web El objetivo es tener al estudiante trabajando todo el tiempo en los conceptos y darle informacioacuten al profesor sobre como se estaacuten asimilando dichos conceptos El profesor Giraldo no obstante expreso que las computadoras no van a reemplazar a los profesores porque los estudiantes siempre van a querer salir de sus casas para socializarse alejarse de sus familias e ir a la universidad Finalmente algunas reflexiones son 1 A pesar de lo atractivo y novedosos que resultan estas metodologiacuteas no se puede perder de vista lo que es esencial en un curso de matemaacuteticas a saber hacer que el estudiante adquiera una forma de pensar precisa coherente y exhaustiva ensentildearle de una manera clara los conceptos y los argumentos loacutegico que los sustentan darle herramientas metodoloacutegicas para solucionar problemas transmitirle una pasioacuten por el mundo de las matemaacuteticas hacerle apreciar su elegancia y su utilidad 2 No cabe duda de que las computadoras con sus caacutelculos agiliacutesimos y sus estupendas animaciones y sus graacuteficas pueden ayudar a cumplir los objetivos mencionados anteriormente pues permite explicar con mucha claridad y entender con gran facilidad las nociones matemaacuteticas maacutes intriacutensecas
5 TIacuteTULO MATEMAacuteTICAS CON DERIVE EN EL SALOacuteN DE CLASES
AUTOR HECTOR AEGUETA VILLAMAR MARIA JUANA LINARES ALTAMIRANO LUGAR DIRECCIOacuteN GENERAL DE SERVICIOS DE
COacuteMPUTO ACADEacuteMICO UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MEacuteXICO
El objetivo de este trabajo es mostrar diversas aplicaciones del programa Derive para PC en el proceso de ensentildeanza de las matemaacuteticas en los niveles de secundaria y medio superior Derive es un asistente matemaacutetico que permite realizar caacutelculos numeacutericos y caacutelculos simboacutelicos El programa puede trabajar con distintos tipos de precisioacuten para los caacutelculos 31416 141 271 etc entonces puede utilizar la precisioacuten exacta Con Derive es posible trabajar una amplia gama de temas matemaacuteticos como Aritmeacutetica de nuacutemeros reales y complejos Algebra Sistemas de Ecuaciones Funciones Caacutelculo Diferencial e Integral Vectores y Matrices Graficacioacuten en dos y tres dimensiones en coordenadas cartesianas y polares etc Derive cuenta ademaacutes con algunas posibilidades de programacioacuten con las que el usuario puede definir sus propias funciones puede trabajar con operadores booleanos y con el operador condicional If tambieacuten puede crear funciones recursivas y de iteracioacuten entre otras Esto uacuteltimo permite al usuario crear sus propias aplicaciones para resolver una diversidad de problemas El programa incluye algunos archivos llamados de aplicacioacuten de gran utilidad para resolver Ecuaciones Diferenciales Transformada de Laplace Integrales Eliacutepticas y para Graficar Curvas y Superficies Parameacutetricas en tres dimensiones etc Ademaacutes de su contenido matemaacutetico la gran virtud de Derive es que corre praacutecticamente en cualquier computadora e inclusive puede correr desde el diskette que lo contenga Ademaacutes DERIVE presenta como anexos ilustraciones de algunos de los documentos que trabajaron en el Taller
112 FORMULACIOacuteN DEL PROBLEMA
Durante el tiempo que he ensentildeado la asignatura de Matemaacutetica I he notado algunas dificultades comunes en los alumnos con respecto al tema del caacutelculo diferencial Este suceso me ha permitido fijar la atencioacuten y reflexionar sobre la idea de trabajar
con alguacuten recurso que me lleve a mejorar mi praacutectica docente Asiacute planteo el siguiente problema
iquestEn queacute medida la aplicacioacuten del programa DERIVE contribuye a mejorar el aprendizaje del Caacutelculo Diferencial en los alumnos de la asignatura de Matemaacutetica I de la Escuela de Ingenieriacutea Industrial y de Sistemas de la Universidad Ceacutesar Vallejo 2006
113 JUSTIFICACIOacuteN
En el desarrollo de nuestra labor como docentes del aacuterea de matemaacutetica nos encontramos con grupos de estudiantes que presentan dificultades en su rendimiento acadeacutemico El nuacutemero de desaprobados en la asignatura incrementa conforme el curso se desarrolla y su retiro de la asignatura es una consecuencia que no tarda en aparecer
Esta situacioacuten se debe a diversas causas entre ellas podemos mencionar el empleo de estrategias instruccionales inadecuadas el desconocimiento por parte de los docentes de los conocimientos previos que tienen los alumnos y un conjunto de factores como lo son lo relacionado con el curriacuteculo el docente el estudiante las tareas acadeacutemicas el contexto socio cultural y las estrategias tanto instruccionales como de aprendizaje
Por otro lado la tecnologiacutea ha afectado a nuestras vidas de muchas maneras Es imposible que ella no afecte la educacioacuten ya que despueacutes de todo uno de los objetivos de la educacioacuten es el de preparar al individuo para que se desenvuelva en la sociedad y la sociedad estaacute imbuida de tecnologiacutea
La complejidad de esta problemaacutetica lleva a la necesidad de plantear alternativas que contribuyan a mejorar los procesos de la ensentildeanza- aprendizaje en tal sentido considerareacute el uso de un programa matemaacutetico DERIVE
Asiacute siendo profesora de la asignatura de Matemaacutetica I inicio un estudio en que planteo la posibilidad de que los estudiantes alcancen un aprendizaje del Caacutelculo Diferencial maacutes efectivo empleando DERIVE que permita mejorar el resultado del rendimiento de la asignatura de Matemaacutetica I y por ende mejorar su calidad educativa
Normalmente este trabajo de investigacioacuten no debe detenerse en la mera descripcioacuten de los problemas sino que como resultado del anaacutelisis de su origen debe desembocar en propuestas tal como la que planteo que contribuyan a superarlos o al menos que la mayoriacutea de estudiantes los superen
114 HIPOacuteTESIS
Hipoacutetesis de la Investigacioacuten
1H Los estudiantes de la asignatura de Matemaacutetica I Seccioacuten A aula 412 del semestre 2006 II de Ingenieriacutea Industrial que usan el software DERIVE obtienen un mejor rendimiento acadeacutemico que los alumnos de la asignatura de Matemaacutetica I Seccioacuten B aula 413 del semestre 2006 II de Ingenieriacutea de Sistemas que no utilizan esta herramienta informaacutetica
Hipoacutetesis Nula
0H Los estudiantes de la asignatura de Matemaacutetica I Seccioacuten A aula 412 del semestre 2006 II que usan el software DERIVE de Ingenieriacutea Industrial no obtienen un mejor rendimiento acadeacutemico que los alumnos de la asignatura de Matemaacutetica I Seccioacuten B aula 413 del semestre 2006 II de Ingenieriacutea de Sistemas que no utilizan esta herramienta informaacutetica
115 VARIABLES
Variable Independiente Uso del programa DERIVE Variable Dependiente Rendimiento acadeacutemico de los alumnos Variables Intervinientes Asistencia a clases horarios tipo de contenidos grado de motivacioacuten de los alumnos
116 POBLACIOacuteN
Los alumnos de la asignatura de Matemaacutetica I de la Escuela de Ingenieriacutea Industrial y de Sistemas de la Universidad Ceacutesar Vallejo durante el segundo semestre 2006 Son en total 51 alumnos Se tomaraacute en cuenta el promedio final al terminar cada ciclo Semestre 2006 ndash II
12OBJETIVOS DE LA INVESTIGACIOacuteN 121 OBJETIVO GENERAL
Evaluar la eficacia del programa DERIVE como recurso didaacutectico en el proceso de ensentildeanza ndash aprendizaje del Caacutelculo Diferencial en los alumnos de la asignatura de Matemaacutetica I de la Escuela de Ingenieriacutea Industrial y de Sistemas de la Universidad Ceacutesar Vallejo
122 OBJETIVOS ESPECIacuteFICOS
1 Disentildear la propuesta de ensentildeanza en sus aspectos conceptuales y praacutecticos
2 Fomentar en los alumnos las capacidades de observar discernir analizar e interpretar
3 Proponer guiacuteas y actividades de aprendizaje que conlleven al alumno al aprendizaje significativo
CAPIacuteTULO II
FUNDAMENTO TEOacuteRICO
INTRODUCCIOacuteN
Iniciamos este capiacutetulo refirieacutendonos a silabo de Matemaacutetica I a continuacioacuten abordaremos los contenidos matemaacuteticos necesarios para la investigacioacuten ademaacutes de la propuesta de trabajar con el programa DERIVE 21 DISENtildeO CURRICULAR DE LA ASIGNATURA DE
MATEMAacuteTICA I
211 SIacuteLABO DE LA ASIGNATURA DE MATEMAacuteTICA I La asignatura que ensentildeo en la Universidad Cesar Vallejo en las Escuelas de Ingenieriacutea de Sistemas e Ingenieriacutea Industrial es Matemaacutetica I El siacutelabo se ha elaborado en base a los temas que indica el plan de estudios enviado por la Facultad de Ingenieriacutea de la Universidad Cesar Vallejo de Trujillo y es el mismo para ambas escuelas sentildealo ademaacutes que en ambas escuelas tiene como pre-requisito la asignatura de loacutegico matemaacutetica curso donde se desarrollan temas como Loacutegica Matemaacutetica Fundamentos de Algebra Matrices y Determinantes y Geometriacutea Analiacutetica
El siacutelabo de esta asignatura se presenta en Anexo 1 pero a continuacioacuten describireacute sus contenidos empezando por mencionar que se deben trabajar tres capiacutetulos los cuales son 1 Funciones 2 Liacutemites y Continuidad 3 Caacutelculo Diferencial El Desarrollo de esta asignatura estaacute orientado a lograr potenciar en el estudiante capacidades propias del aacuterea de Matemaacutetica como el razonamiento y demostracioacuten la interpretacioacuten de graacuteficos y expresiones simboacutelicas y la resolucioacuten de problemas Asiacute como presentar los medios necesarios para la adquisicioacuten de ciertas destrezas como anaacutelisis interpretacioacuten y aplicacioacuten de fundamentos teoacutericos Finalmente el logro de los objetivos de esta asignatura se veraacute reflejado y podraacute ser evaluado en la eficiencia que demuestren los alumnos al resolver situaciones reales
22 DIDAacuteCTICA DE LA MATEMAacuteTICA
Sabemos que la didaacutectica de las matemaacuteticas es la ciencia del estudio y de la ayuda al estudio de las matemaacuteticas Su objetivo es llegar a describir y caracterizar los procesos de estudio ndash o procesos didaacutecticos ndash de cara a proponer explicaciones y respuestas soacutelidas a las dificultades con que se encuentran todos aquellos que estudian matemaacuteticas1
Didaacutectica de las Matemaacuteticas no es un recetario didaacutectico ni un modelo para la ensentildeanza sino un intento de transmitir algunas reflexiones producto de la experiencia y de la lectura de especialistas en el tema
Tal vez lo que se pretenda lograr es estimular ldquola sorpresa matemaacuteticardquo en el viacutenculo con nuestros alumnos Esta sorpresa se basa en provocar conceptos demostraciones elementales con intereacutes reflexioacuten intriga o admiracioacuten Es responsabilidad del docente proponer una situacioacuten adecuada mediante una pregunta que motive las distintas situaciones de
1 BROUSSEAU GUY ldquoLos Diferentes roles del maestrordquo Paidoacutes 1994
aprendizaje con conocimientos anteriores que el alumno deberaacute acomodar y adecuar a las nuevas situaciones Luego modificar el conocimiento como respuesta al medio y no como deseo del maestro es una necesidad que se convierte en una obligacioacuten es nuestra tarea No se pretende en este trabajo abordar toda la problemaacutetica (referido en este caso al caacutelculo diferencial) con la que el profesor se enfrenta en su quehacer diario ya que eacutesta es muy compleja y tiene varias aristas que el docente debe conocer como conocimientos y teoriacuteas epistemoloacutegicas Al respecto conocemos que se han desarrollado diferentes teoriacuteas como Registros de representacioacuten semioacutetica de Raymond Duval teoriacutea de Situaciones Didaacutectica de Guy Brousseau Teoriacutea Socio epistemoloacutegica y el enfoque Ontosemioacutetico de la Cognicioacuten e Instruccioacuten Matemaacutetica Y para este trabajo de investigacioacuten se ha considerado tomar como referencia la Teoriacutea de Registros de Representacioacuten Semioacutetica y la Taxonomiacutea de Raymond Duval para la parte de la evaluacioacuten
221 REGISTROS DE REPRESENTACIOacuteN SEMIOacuteTICA
RAYMOND DUVAL Raymond Duval se ha interesado por los problemas de manipulacioacuten de representantes dentro de un sistema matemaacutetico de signos y sobre los problemas de conversioacuten de representaciones entre dos o maacutes sistemas de un mismo objeto matemaacutetico generando una nueva nocioacuten que es la de Registro de representacioacuten Un registro es un signo en el sentido maacutes amplio de la palabra trazos iacuteconos siacutembolos etc Los registros son medios de expresioacuten y de representacioacuten caracterizados precisamente por sus respectivos sistemas semioacuteticos El aprendizaje de las matemaacuteticas constituye un campo de estudio privilegiado para el anaacutelisis de las actividades cognitivas fundamentales como la conceptualizacioacuten el razonamiento la resolucioacuten de problemas y la comprensioacuten de textos La particularidad del aprendizaje de las matemaacuteticas hace que estas actividades cognitivas requieran de la utilizacioacuten de sistemas de
expresioacuten y de representacioacuten distinta a los del lenguaje natural o de las imaacutegenes Bajo estas ideas se puede considerar el hecho de que no puede haber comprensioacuten matemaacutetica si no se distingue un objeto de su representacioacuten y es que no podemos confundir los objetos matemaacuteticos como lo son por ejemplo los nuacutemeros las funciones las rectas con sus representaciones es decir las escrituras decimales o fraccionarias los siacutembolos los graacuteficos los trazos de las figuras Pues un mismo objeto matemaacutetico puede darse a traveacutes de representaciones muy distintas y debemos tener claro como docentes que toda confusioacuten entre el objeto y su representacioacuten provoca en un plazo maacutes o menos amplio una perdida en la comprensioacuten En esta teoriacutea se sentildeala primer lugar que cuando hablamos de representaciones es necesario considerar los siguientes aspectos 1 El sistema por el cual se produce la representacioacuten- Cualquier representacioacuten se produce a traveacutes de un sistema en particular El contenido de la representacioacuten de un objeto cambia de acuerdo con el sistema de representacioacuten que se utiliza para su produccioacuten El pensamiento humano requiere la movilizacioacuten de varios sistemas de representacioacuten de produccioacuten y su coordinacioacuten 2 La relacioacuten entre la representacioacuten y el objeto representado 3 La posibilidad de un acceso al objeto representado aparte de la representacioacuten semioacutetica 4 La razoacuten por la que el uso de la representacioacuten es necesaria El tema de derivadas se puede aplicar como un ejemplo de esta teoriacutea por cuanto los alumnos tienen siempre problemas para pasar de una forma de representacioacuten a otra 222 TAXONOMIA DE BLOOM Y LOS NIVELES EN
QUE SE PUEDEN CLASIFICAR LOS OBJETIVOS DE APRENDIZAJE
En el propoacutesito de mejorar la calidad y eficiencias de la educacioacuten debemos buscar que los alumnos elementos esenciales de nuestra tarea logren los maacutes altos niveles de aprendizaje Asiacute con ayuda de la taxonomiacutea de Bloom especificareacute objetivos seleccionareacute los contenidos y disentildeareacute los instrumentos de evaluacioacuten
En el dominio cognoscitivo en lugar de contentarnos con la memorizacioacuten de conocimientos primer escaloacuten debemos hacer que logren el nivel maacutes alto Dichos niveles son los siguientes 1 CONOCIMIENTO Se refiere a la capacidad de recordar hechos especiacuteficos y universales meacutetodos y procesos esquemas estructuras o marcos de referencia sin elaboracioacuten de ninguna especie puesto que cualquier cambio ya implica un proceso de nivel superior Requiere que el alumno repita alguacuten dato teoriacutea o principio en su forma original bull Terminologiacutea (palabras teacuterminos teacutecnicos etc) bull Hechos especiacuteficos (fechas partes de algo acontecimientos
etc) bull Convencionalismos (formas de tratar ideas dentro de un campo
de estudio foacutermulas) bull Corrientes y sucesiones (tendencias y secuencias) bull Clasificaciones y categoriacuteas (clases grupos divisiones etc)
criterios (para juzgar o comprobar hechos principios opiniones y tipos de conducta)
bull Metodologiacutea (meacutetodos de investigacioacuten teacutecnicas y procedimientos)
bull Principios y generalizaciones (abstracciones particulares para explicar describir predecir o determinar acciones)
bull Teoriacuteas y estructuras (evocacioacuten de teoriacuteas interrelaciones de los principios y generalizaciones)
Verbos que se usan con frecuencia para redactar objetivos de este nivel Definir - Sentildealar ndash Describir - Nombrar ndash Identificar ndash Narrar ndash Indicar ndash Mencionar 2 COMPRENSIOacuteN Se refiere a la capacidad de comprender o aprehender en donde el estudiante sabe queacute se le estaacute comunicando y hace uso de los materiales o ideas que se le presentan sin tener que relacionarlos con otros materiales o percibir la totalidad de sus implicaciones El material requiere de un proceso de transferencia y
generalizacioacuten lo que demanda una mayor capacidad de pensamiento abstracto Requiere que el alumno explique las relaciones entre los datos o los principios que rigen las clasificaciones dimensiones o arreglos en una determinada materia conocimiento de los criterios fundamentales que rigen la evaluacioacuten de hechos o principios y conocimientos de la metodologiacutea principios y generalizaciones bull Traduccioacuten (parafrasear habilidad para comprender
afirmaciones no literales como simbolismos metaacuteforas traducir material matemaacutetico simboacutelico etc)
bull Interpretacioacuten (explicacioacuten o resumen implica reordenamiento o nuevos arreglos de puntos de vista)
bull Extrapolacioacuten (implicaciones consecuencias corolarios efectos prediccioacuten etc)
Verbos que se usan con frecuencia para redactar objetivos de este nivel Traducir ndash Resumir ndash Expresar ndash Parafrasear ndash Discutir 3 APLICACIOacuteN
Se guiacutea por los mismos principios de la comprensioacuten y la uacutenica diferencia perceptible es la cantidad de elementos novedosos en la tarea por realizar Requiere el uso de abstracciones en situaciones particulares y concretas Pueden presentarse en forma de ideas generales reglas de procedimiento o meacutetodos generalizados y pueden ser tambieacuten principios ideas y teoriacuteas que deben recordarse de memoria y aplicarse
bull Solucioacuten de problemas en situaciones particulares y concretas (utilizacioacuten de abstracciones en tipos de conducta y tipos de problemas)
Verbos que se usan con frecuencia para redactar objetivos de este nivel Demostrar- Practicar ndash Emplear ndash Solucionar ndash Aplicar ndash Operar ndash Usar 4 ANAacuteLISIS
Consiste en descomponer un problema dado en sus partes y descubrir las relaciones existentes entre ellas En general la eventual solucioacuten se desprende de las relaciones que se descubren
entre los elementos constituyentes Implica el fraccionamiento de una comunicacioacuten en sus elementos constitutivos de tal modo que aparezca claramente la jerarquiacutea relativa de las ideas y se exprese expliacutecitamente la relacioacuten existente entre eacutestas
bull Anaacutelisis de elementos (reconocer supuestos no expresados distinguir entre hechos e hipoacutetesis)
bull Identificacioacuten de relaciones entre los elementos (conexiones e interacciones entre elementos comprobacioacuten de la consistencia de las hipoacutetesis con informaciones y suposiciones dadas)
bull Reconocimiento de los principios de organizacioacuten de la situacioacuten problemaacutetica (estructura expliacutecita e impliacutecita reconocimiento de formas y modelos teacutecnicas generales utilizadas etc)
bull Identificacioacuten de conclusiones y fundamentacioacuten de enunciados
Verbos que se usan con frecuencia para redactar objetivos de este nivel Diferenciar- Distinguir- Discriminar- Contrastar- Criticar- Analizar- Inferir 5 SIacuteNTESIS
Es el proceso de trabajar con fragmentos partes elementos organizarlos ordenarlos y combinarlos para formar un todo un esquema o estructura que antes no estaba presente de manera clara Requiere la reunioacuten de los elementos y las partes para formar un todo
bull Elaboracioacuten de un plan o conjunto de actos planeados (habilidad para proponer formas de comprobar las hipoacutetesis)
bull Desarrollo de conjuntos de relaciones para clasificar o explicar datos
bull Deduccioacuten de proposiciones y relaciones (de un grupo de proposiciones baacutesicas o de representaciones simboacutelicas)
bull Construccioacuten de un modelo o estructura bull Reordenacioacuten de las partes en una secuencia loacutegica Verbos que se usan con frecuencia para redactar objetivos de este nivel Organizar- Reconstruir- Proponer- Reordenar
6 EVALUACIOacuteN Se refiere a la capacidad para evaluar se mide a traveacutes de los procesos de anaacutelisis y siacutentesis Requiere formular juicios sobre el valor de materiales y meacutetodos de acuerdo con determinados propoacutesitos Incluye los juicios cuantitativos y cualitativos de acuerdo a los criterios que se sugieran (los cuales son asignados) bull Juicios en funcioacuten de evidencia interna (de exactitud loacutegica
consistencia o criterio interno) bull Juicios en funcioacuten de criterios externos (criterios
seleccionados comparacioacuten de teoriacuteas comparacioacuten de un trabajo con respeto a normas etc)
Verbos que se usan con frecuencia para redactar objetivos de este nivel Juzgar- Evaluar- Apreciar ndash Revisar- Corregir- Seleccionar ndash Justificar- Valoriza
23 DESARROLLO DE LA PARTE CONCEPTUAL DE LA DERIVADA
En este apartado desarrollaremos los contenidos matemaacuteticos que se presentan en el silabo de Matemaacutetica I y que son parte de la investigacioacuten para lo cual hemos revisado bibliografiacutea de autores nacionales y extranjeros especialistas en el tema del caacutelculo diferencial
1 LA IDEA FUNDAMENTAL DEL CAacuteLCULO
Si observamos a nuestro alrededor podremos ver que nuestro mundo se caracteriza por cambios continuos de alliacute la inquietud de desarrollar meacutetodos matemaacuteticos para cuantificar describir y pronosticar estos cambios Para Wenzelburger (1993) es justamente este el propoacutesito del Caacutelculo Diferencial y presenta el concepto de razoacuten de cambio como fundamental Veamos a continuacioacuten dos definiciones del teacutermino Razoacuten de Cambio media o Promedio
DEFINICIOacuteN 1
DEFINICIOacuteN 2
Ambas definiciones muestran la misma idea pero la definicioacuten que presenta Hasser (1976) es muy cuidadosa al determinar las variables que intervienen en ella asiacute da lugar a pensar en ejemplos inmediatos de aplicacioacuten como por ejemplo la relacioacuten entre la cantidad demandada de un bien
dQ y su precio unitario
por periacuteodo de tiempo a traveacutes de la funcioacuten ( )d
Q f p=
Respecto a la segunda definicioacuten es maacutes directa no menciona que x y t sean magnitudes fiacutesicas y analiza directamente los cambios
o variaciones
Razoacuten Promedio de Cambio Sean ( )o ox x t= y ( )o oy y t= ox y oy son valores de las magnitudes fiacutesicas
en alguacuten instante ot Supongamos que ox cambia en la cantidad x∆ El cambio correspondiente y∆ en oy es
( )( )o oy f x x f x∆ = + ∆ minus Y la razoacuten promedio de cambio de y con respecto a x es
( ) ( )( )
0 o of x x f xy xx x
+ ∆ minus∆= ∆ ne
∆ ∆ (Hasser 1976 401)
Razoacuten de Cambio Media Suponga que y es una funcioacuten de x ( )y f x= correspondiendo a un cambio de x a x x+ ∆ la variable y cambia en una cantidad
( ) ( )y f x x f x∆ = + ∆ minus Asiacute el cociente de diferencias
( ) ( )Cambio de x x f x x f xCambio de y y x
∆ + ∆ minus= =∆ ∆
Representa la razoacuten de cambio de y con respecto a x (Hoffmann 1985 82)
Wenzelburger (1993 4) nos dice ldquoDeterminar razones de cambio de procesos continuos es muchas veces maacutes importante que estudiar estos procesos Siempre que dos magnitudes (variables) estaacuten conectadas mediante una relacioacuten funcional (funcioacuten) se puede estudiar el cambio relativo de una de las magnitudes con respecto a la otrardquo Como ejemplos de lo anterior podemos citar a la velocidad que es la razoacuten (el cociente) entre una distancia y un tiempo y describe el cambio en la posicioacuten de un cuerpo con respecto al tiempo transcurrido
Ciertas razones de cambio tienen nombres especiales por ejemplo bull La velocidad es solo uno de las muchas razones de cambio que seraacuten importantes en este capiacutetulo es la razoacuten de cambio de la distancia con respecto al tiempo bull Densidad de un alambre es igual a la razoacuten de cambio de la masa respecto la distancia bull Ingreso Marginal es igual a la razoacuten de cambio del ingreso respecto nuacutemero de artiacuteculo producidos bull Corriente es igual a la razoacuten de cambio de la Carga eleacutectrica respecto al tiempo Asiacute mismo Wenzelburger (1993) menciona dos aspectos importantes al estudiar el Caacutelculo Diferencial los cuales son 1- La continuidad que significa que la relacioacuten es completa no tiene saltos bruscos ni interrupciones y que graacuteficamente se expresa como segmentos de liacuteneas o curvas y no como una coleccioacuten de puntos aislados 2- La determinacioacuten de la pendiente Todos tenemos nociones intuitivas acerca de pendientes y coacutemo comparar las inclinaciones de varias pendientes Por ejemplo sabemos que cuesta maacutes trabajo subir una montantildea maacutes empinada (pendiente grande) o que el agua de un riacuteo corre maacutes raacutepido si este tiene mucha pendiente Lo que hay que explorar entre otras cosas es la manera en la cual la medida de una pendiente de una curva estaacute relacionada con el concepto de razoacuten de cambio
2 LA RELACIOacuteN ENTRE LAS RAZONES DE CAMBIO Y PENDIENTES DE RECTAS
DEFINICIOacuteN 3
Los dos ejemplos que estudiaremos a continuacioacuten tiene por objetivo reforzar la definicioacuten dada asiacute como dar el primer paso en el intento por comprobar si los alumnos pueden comprender un tipo de registro semioacutetico como lo es el lenguaje escrito y luego trabajar lo concerniente a pasar de un registro a otro como lo seriacutea el paso de lo enunciado a la grafica Ejemplo 1
ldquoSuponga que sabemos que el precio de un artiacuteculo en un primer mes era de 600 soles y en el tercer mes subioacute a 1200 soles
MES PRECIO 1 600 Soles 3 1200 Soles
Tabla Nordm 1
Podemos graficar estos datos Fig1 y suponer que el incremento del precio ocurrioacute como en la Fig2
La pendiente de una recta en un sistema de coordenadas ( x y ) es una medida de la razoacuten de cambio de la variable y con respecto al cambio de la variable x (Wenzelburger 1993 9)
La razoacuten de cambio del precio se define de la siguiente manera
se calcula el cambio en direccioacuten vertical y se divide por el cambio en direccioacuten horizontal Asiacute la razoacuten de cambio para los meses uno y tres es
Fig3
500
1000
1500
2000
1 2 3
(1600)
(31200)
Mes
Precio Y
(4840)
4
x
500
1000
1500
2000
1 2 3
(1600)
(31200)
Mes
Precio Y
Fig1
MesFig2
Precio
500
1000
1500
2000
1 2 3
(1600)
(31200)
Y
(2900)
Graacutefica del precio dado en soles en el primer y tercer
mes
Graacutefica del supuesto crecimiento lineal de precio entre el primer y
tercer mes
Graacutefico de la situacioacuten anterior con un descuento del 30 en el precio
Razoacuten de cambio = 600 3002
solesmes
= hellip (1)
Este valor numeacuterico caracteriza el incremento del precio En el cuarto mes se ofrecioacute el producto con un 30 de descuento como promocioacuten (Fig3) La razoacuten de cambio en este mes es
Razoacuten de cambio= 840 1200 3601
solesmes
minus = minus hellip (2)
Ahora consideremos un valor intermedio
Razoacuten de cambio= 900 600 300 3002 1 1
solesmes
minus = = minus hellip (3)
Resumimos lo observado en (1) (2) y (3) Una razoacuten de cambio caracteriacutestica para una graacutefica en forma de segmentos de liacutenea recta soacutelo cambia si hay variacioacuten en la pendiente de eacutesta Si crece la graacutefica la razoacuten de cambio y la pendiente son positivas Si decrece la graacutefica la razoacuten de cambio y la pendiente son negativas Para calcular la razoacuten de cambio entre dos puntos de una graacutefica se sigue el trazo de la curva y se ven los valores primero el punto de la abscisa (valor en el eje horizontal) maacutes grande y despueacutes el punto en la abscisa maacutes pequentildea Despueacutes se forma el cociente entre la diferencia vertical y la horizontalrdquo
3 RAZONES DE CAMBIO ENTRE DOS PUNTOS DE UNA
CURVA
La diferencia entre una relacioacuten lineal de una no lineal radica en que la razoacuten de cambio para una relacioacuten no lineal varia a lo largo de la curva mientras que en una relacioacuten lineal es constante para todos los puntos de la funcioacuten Sobre el ejemplo anterior Wenzelburger (1993) nos dice ldquoes factible que los precios no subieran siguiendo una relacioacuten lineal por ejemplo ver las figuras 4 y 5
De acuerdo a la figura 4 el precio al principio del segundo mes parece ser de 800 soles Como la razoacuten de cambio entre el precio al final del primer mes y del segundo mes (de 600 soles a 800 soles) tenemos
Razoacuten de cambio= 800 600 2001
solesmes
minus = hellip (1)
Ahora calculamos la razoacuten de cambio para el tercer mes
Razoacuten de cambio= 1200 800 4003 2
solesmes
minus = minus hellip (2)
El valor de la razoacuten de cambio en 1 y 2 es diferente Si repetimos el procedimiento para otros pares de puntos vamos a obtener muchos valores diferentes La diferencia entre una curva y una liacutenea recta es la variacioacuten continua de la razoacuten de cambio a lo largo de la curva Si suponemos ahora que los precios cambiaron de acuerdo a la figura 5 podemos observar en la tabla las razones de cambio calculadas para intervalos de 1 mes
500
1000
1500
2000
1 2 3
(1600)
(31200)
Mes
Pesos Y
4
x
(2800)
Fig4
500
1000
1500
2000
1 2 3
(1600)
(31200)
Mes
Pesos Y
4
x
(4800)
Fig5
Las figuras 4 y 5 corresponden al ejemplo1 donde se supone un comportamiento no lineal entre el tiempo y el precio
2do Mes 3er Mes 4to Mes
Razoacuten de cambio en
pesosmes
100 6001
400
minus
1200 10001
200
minus
840 12001360
minus
minus
Tabla Nordm 2
Estos valores describen a grandes rasgos el comportamiento de
la curva precio en funcioacuten del tiempo En el segundo mes el precio sube maacutes raacutepido que en el tercer mes Si calculamos la razoacuten de cambio total del segundo al cuarto mes
Razoacuten de cambio= 840 600 240 803 3
solesmes
minus = = hellip (3)
Obtenemos una informacioacuten equivocada un valor positivo
pequentildeo que no refleja la variacioacuten real del precio Por eso concluimos que es necesario calcular razones de cambio para intervalos pequentildeos debido a que intervalos grandes no dan valores representativos para la descripcioacuten del cambio de una funcioacuten a lo largo de la curvardquo
Observaciones sobre la definicioacuten bull La letra griega delta (∆ ) representa la diferencia o el cambio
bull El cociente yx
∆∆
tambieacuten se llama razoacuten de cambio promedio y
representa graacuteficamente la pendiente de una recta bull El adjetivo promedio es nombre popular pero inexacto porque en
este contexto promedio significa aproximado bull La razoacuten de cambio es suficiente para describir funciones lineales
mas no para graacuteficas curvas
4 LA TRANSFORMACIOacuteN DE LA RAZOacuteN DE CAMBIO PROMEDIO A LA RAZOacuteN DE CAMBIO INSTANTAacuteNEA
Al calcular razones promedio de cambio cada una de ellas no
representa la razoacuten de cambio al principio o al final de un intervalo x∆ sino es un valor promedio que se toma por constante en todo el
intervalo Siendo asiacute es necesario desarrollar un meacutetodo que permita
calcular la razoacuten de cambio de la funcioacuten original praacutecticamente en cada instante es decir para cada valor de x queremos conocer la razoacuten de cambio ( )f x A esta razoacuten de cambio se llama la razoacuten de cambio instantaacutenea Es importante mencionar que una razoacuten de cambio instantaacutenea es mayormente conocida con tasa de cambio Wenzelburger (1993) nos dice
Para ldquola forma de yx
∆∆
2 1
2 1
y yyx x x
minus∆=
∆ minus
Podriacutea proponerse que los puntos 2x y 1x coincidan lo cual implicariacutea tomar 2 1 0x xminus = Entonces la razoacuten de cambio seriacutea instantaacutenea puesto que se tratariacutea de un punto
Es obvio que este intento de solucioacuten fracasa Ya que para 0x∆ = no estaacute definida la razoacuten de cambio Por lo cual aceptaremos
el siguiente principio fundamental para la razoacuten de cambio instantaacutenea
El valor de 2 1x xminus seraacute siempre un nuacutemero que pueda hacerse maacutes pequentildeo que un nuacutemero muy pequentildeo arbitrario pero fijo Debido a que un nuacutemero de esta naturaleza no es igual a cero no estamos considerando un intervalo de longitud cero sino que x∆ se hace cada vez maacutes pequentildeo Esto se expresa como 0x∆ rarr
El valor numeacuterico al cual se aproxima yx
∆∆
cuando 0x∆ rarr es la
razoacuten de cambio instantaacuteneardquo Los problemas del 1 al 4 propuestos a continuacioacuten tienen por finalidad reforzar el conocimiento del alumno sobre razoacuten de cambio promedio e instantaacutenea pendiente ademaacutes interiorizar la relacioacuten que existe entre ambos conceptos asiacute mismo poner en praacutectica el trabajo de cambio de registros semioacuteticos pues se presentan problemas que
hacen uso de los tres tipos de registro y deberaacuten ser convertidos de uno a otro registro para mejorar su comprensioacuten y llegar a una solucioacuten Trabajo Praacutectico Nordm1 Razoacuten de cambio Promedio e Instantaacutenea Problema 12
Una enfermera controla la temperatura a un paciente y registra los resultados
Horas 1500 1600 1700 1800 1900 2000 2100 2200 2300 Temp 36 37 372 378 379 40 40 40 375
Tabla Nordm3
Tareas y Preguntas
a iquestCuaacutel es el cambio de temperatura entre las 1600 y las 1700 horas las 1900 y las 2200 y las 2200horas y las 2300
b Trazar la curva de fiebre del paciente c Calcular la razoacuten de cambio entre las 1500 y las 2300 horas para
intervalos de una hora d Graficar los valores obtenidos en c e Completar la tabla siguiente
Temperatura Graacutefica Razoacuten de Cambio Sube Sube positiva
Queda igual Baja
Tabla Nordm 4
2 El problema 1 se ha tomado del libro de Wenzelburger Didaacutectica del Caacutelculo Diferencial 1993 36
Problema 23
Peso Promedio de un bebeacute- La siguiente graacutefica muestra el peso de un bebeacute promedio desde el instante del nacimiento ( )0t = hasta la
edad de dos antildeos ( )24t = Calcule las pendientes de las rectas tangentes respectivas para estimar la razoacuten promedio de cambio del peso del bebeacute promedio cuando 3t = y cuando 18t = iquestCuaacutel es la razoacuten promedio de cambio en el peso de un bebeacute promedio durante el primer antildeo de vida
Fig6
Fuente Tomado de Thomson Matemaacuteticas para Administracioacuten y Economiacutea 1998 515
Problema 34
Selvicultura- La siguiente graacutefica muestra el volumen de madera producida en un bosque con una uacutenica especie En este caso ( )f t se
3 El problema 2 se ha tomado del libro de Thomson Matemaacuteticas para Administracioacuten y Economiacutea 1998 Paacuteg 515 4 El problema 3 se ha tomado del libro de Thomson Matemaacuteticas para Administracioacuten y Economiacutea 1998 Paacuteg 515
Graacutefico del peso promedio de un bebeacute desde su nacimiento hasta los dos antildeos
mide en metros cuacutebicos por hectaacutereas y t en antildeos Calcule las pendientes de las rectas tangentes respectivas y estime la razoacuten con que el incremento de madera estaacute cambiando al inicio del deacutecimo antildeo y al inicio del antildeo 30
Fig 7 Fuente Tomado de Thomson Matemaacuteticas para Administracioacuten y Economiacutea 1998 515
Problema 45
Patrones de observacioacuten de la televisioacuten- La siguiente graacutefica basada en datos de la compantildeiacutea AC Nielsen muestra el porcentaje de habitantes de Estados Unidos que ven televisioacuten durante un periacuteodo de 24 horas en un diacutea haacutebil ( 0t = corresponde a las 6 am) Calcule las pendientes de las rectas tangentes respectivas y estime la razoacuten de cambio del porcentaje de habitantes que ven televisioacuten entre las 4pm y las 11pm
5 El problema 4 se ha tomado del libro de Thomson Matemaacuteticas para Administracioacuten y Economiacutea 1998 Paacuteg 516
Graacutefico del valor de la madera producida en 3m en funcioacuten del tiempo
Fig8 Fuente Tomado de Thompson Matemaacuteticas para Administracioacuten y Economiacutea 1998 516
5 ALGO SOBRE HISTORIA DE LA DERIVADA
Hasta este momento hemos hablado sobre razones de cambio y como aproximamos una razoacuten de cambio promedio a una razoacuten de cambio instantaacutenea Ahora conoceremos como dos problemas trabajados en eacutepocas de la historia diferentes nos llevaron a la misma solucioacuten La derivada En esta parte hablaremos de razones de cambio e introducireacute las nociones de liacutemites para su resolucioacuten
51 DOS PROBLEMA CON UN MISMO TEMA Los problemas que trataremos a continuacioacuten corresponden a eacutepocas diferentes el primer problema es muy antiguo se remota a la eacutepoca del gran cientiacutefico griego Arquiacutemedes (287-212 aC) Se trata del problema de la pendiente de la recta tangente El segundo problema es maacutes reciente Crecioacute con los intentos de Kepler Galileo Newton y otros para describir la velocidad de un cuerpo en movimiento Es el problema de la velocidad instantaacutenea Los dos problemas uno geomeacutetrico y el otro mecaacutenico parecen no estar muy relacionados En este caso las apariencias engantildean Los dos problemas son gemelos ideacutenticos
Graacutefico del porcentaje de habitantes en Estados Unidos que ven televisioacuten durante las 24 horas de un diacutea
A LA RECTA TANGENTE La descripcioacuten de este problema ha sido tomada de Purcell (2003 99) ldquoSea P un punto de la curva y sea Q un punto moacutevil cercano a P en esa curva Considere la recta que pasa por P y Q llamada recta secante La recta tangente en P es la posicioacuten liacutemite (si esta existe) de la recta secante cuando Q se mueve hacia P a lo largo de la curva
Fig9 Suponga que la curva es la graacutefica de la ecuacioacuten ( )y f x= Entonces P tiene coordenadas ( ) ( )c f c un punto cercano a Q tiene
coordenadas ( ) ( )c h f c h+ + y la recta secante de P a Q tiene pendiente secm dada por
sec( ) ( )f c h f cm
h+ minus
=
Como el objetivo es hallar la recta tangente a la curva ( )f x en el punto P entonces intentaremos aproximar el punto Q a P para ello utilizaremos el concepto de liacutemite con el fin de determinar la pendiente de la recta tangenterdquo
P
Rectas secantes
Recta tangenteQ
Q
Q
La recta tangente es la posicioacuten liacutemite de la recta secante
x
y
Graacutefica de las rectas secantes y tangentes a una curva desde el punto Q hasta el punto P
Fig10
DEFINICIOacuteN 4
Recta Tangente La recta tangente a la curva ( )y f x= en el punto ( ) ( )P c f c es aquella recta que pasa por P con pendiente
tan sec0 0
( ) ( )lim limh h
f c h f cm mhrarr rarr
+ minus= =
Siempre y cuando este liacutemite exista y no sea oinfin minusinfin
(Purcell 2003 101)
P
Q
x
y Liacutenea secante
Liacutenea tangente
( ) ( )c h f c h+ +
( ) ( )f c h f c+ minus
c c h+
( ) ( )c f c
h( )f c
( )f c h+
tan sec0
limh
m mrarr
=
Graacutefico de las posiciones de una recta secante a una curva en los puntos P y Q y su aproximacioacuten a la recta tangente en P
A continuacioacuten veremos un ejemplo que tiene por objetivo que el alumno se familiarice con la definicioacuten la aplique y compruebe que es funcional Ejemplo2Encuentre la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva
( )23 1y x= + minus
en el punto ( )224
Solucioacuten
Encontraremos primero la pendiente de la recta tangente a la curva la cual estaraacute
Dada por
( ) ( )( )2 2
0
3 1 3 1limh
c h c
hrarr
+ + minus minus + minus
( ) ( ) ( )
( )
( )
2 22
2
3 2 3 1 3 1
2 3
2 3
c c h h ch
c h hh
c h
+ + + + minus minus + +
+ +
+ +
Luego aplicando liacutemites tendremos
( )0
lim 2 3 2( 3)h
c h crarr
+ + = +
En el punto 2 la pendiente es 10m = finalmente la ecuacioacuten de la recta en ( )224 es ( )10 2 24 oacute 10 4y x y x= minus + = +
B VELOCIDAD PROMEDIO Y VELOCIDAD INSTANTAacuteNEA
En un contexto referido a la fiacutesica se propone la siguiente situacioacuten con la finalidad de trabajar una solucioacuten y de comprobar que ella tiene mucho en comuacuten la solucioacuten del problema de la recta tangente Si viajamos de una ciudad a otra que estaacute a 80 km En 2 horas nuestra velocidad promedio es de 40 Km por hora Determinamos una velocidad promedio como la distancia de la primera posicioacuten a la segunda posicioacuten dividida entre el tiempo empleado Pero durante el viaje la lectura del velociacutemetro con frecuencia fue diferente de 40 Al principio registroacute 0 a veces hasta 57 al final regresoacute a 0 otra vez iquestQueacute es lo que mide el velociacutemetro Ciertamente no indica la velocidad promedio Purcell (2003 101-103) ldquoConsidere el ejemplo maacutes preciso de un objeto P que cae en el vaciacuteo El experimento muestra que si inicioacute desde el reposo P cae 216t pies en t segundos Por tanto cae 16 pies en el primer segundo 64 pies en el 2do segundo Observemos el diagrama del tiempo empleado y la graacutefica de la relacioacuten tiempoespacio recorrido
Fig11
Ahora analicemos la velocidad promedio en algunos intervalos
Graacutefica de la Distancia recorrida por el objeto en funcioacuten del tiempo
1 2 3 4
50
100
150
200
250
Dis
tanc
ia re
corr
ida
t
( )
( )
( )
2
2
2
16 00 1 16 1 064 161 2 48
2 1
16 15 161 15 40
15 1
16 11 161 11 336
11 1
16 101 161 101 3216
101 1
prom
prom
prom
prom
prom
t t v p s
t t v p s
t t v p s
t t v p s
t t v p s
minus= rarr = = =
minusminus
= rarr = = =minus
minus= rarr = = =
minus
minus= rarr = = =
minus
minus= rarr = = =
minus
Lo que hemos hecho es calcular la velocidad promedio en intervalos de tiempo cada vez maacutes pequentildeos cada uno iniciando en 1t = Entre maacutes breve es el intervalo de tiempo mejor aproximamos la velocidad instantaacutenea en 1t = Seamos maacutes precisos Suponga que un objeto P se mueve a lo largo de un eje coordenado de modo que su posicioacuten en el instante t estaacute dado por ( )S f t= En el instante c el objeto estaacute en ( )f c en el instante cercano c h+ estaacute en ( )f c h+ Asiacute la velocidad promedio en este intervalo es
( ) ( )prom
f c h f cvh
+ minus=
Ahora podemos definir la velocidad instantaacutenea
DEFINICIOacuteN 5
Velocidad Instantaacutenea-Si un objeto se mueve a lo largo de un eje coordenado con funcioacuten de posicioacuten ( )S f t= entonces su velocidad instantaacutenea en el instante c es
0 0
( ) ( )lim limpromh h
f c h f cv vhrarr rarr
+ minus= =
Siempre que el liacutemite exista y no sea oinfin minusinfin (Edwin Purcell2003)
En el caso donde 2( ) 16f t t pies= la velocidad instantaacutenea en 1t = es
2
0 0 0 0
(1 ) (1) 16(1 ) 16lim lim lim lim 32 16 32promh h h h
f h f hv v hh hrarr rarr rarr rarr
+ minus + minus= = = = + =
ldquoAhora podemos ver porqueacute llamamos a la pendiente de la recta tangente y a la velocidad instantaacutenea gemelos ideacutenticosrdquo Este ejemplo tiene por objetivo que el alumno vaya haciendo al mismo tiempo que resuelve los apartados de esta pregunta un verificacioacuten de la teoriacutea por cuando al ir hallando la velocidad promedio en un intervalo considerablemente grande como lo es de 2 a 3 y luego pase a calcular una velocidad promedio en un intervalo lo suficientemente pequentildeo como lo es de 2 a 2003 y finalmente calcule la velocidad instantaacutenea en 2 notaraacuten como se aproxima una variacioacuten una otra hasta llegar a la variacioacuten en un punto Ejemplo 3
Un objeto viaja a lo largo de una recta de modo que su posicioacuten S es 2 1S t= + metros despueacutes de t segundos
a) iquestCuaacutel es su velocidad promedio en el intervalo 2 3tle le b) iquestCuaacutel es su velocidad promedio en el intervalo 2 2003tle le c) iquestCuaacutel es su velocidad promedio en el intervalo 2 2t hle le + d) Encuentre la velocidad instantaacutenea en t = 2
Solucioacuten
La velocidad promedio estaraacute dada por
( ) ( )
promf c h f cv
h+ minus
=
a) La velocidad promedio en el intervalo 2 3tle le seraacute
( ) ( )2 23 1 2 1 10 5 5 3 2 1promv m s
+ minus + minus= = =
minus
b) La velocidad promedio en el intervalo 2 2003tle le seraacute
( ) ( )2 22003 1 2 1 5012009 5 4003 2003 2 0003promv m s+ minus + minus
= = =minus
c) La velocidad promedio en el intervalo 2 2t hle le + seraacute ( )( ) ( )2 2 22 1 2 1 4 4 prom
h h hv h m sh h
+ + minus + += = = +
d) La velocidad instantaacutenea en 2t = seraacute
( )( ) ( )2 2 22 1 2 1 4 4 prom
h h hv h m sh h
+ + minus + += = = + luego en
2t = es 6 Los problemas propuestos en este apartado tienen un objetivo similar al planteado en el ejemplo anterior es decir contrastar en la praacutectica lo que en la teoriacutea se describe a la vez potenciar su habilidad para el cambio de registros ya que como se puede apreciar en los enunciados se piden encontrar ecuaciones dadas algunas graacuteficas y datos elaborar graacuteficas dadas algunas foacutermulas interpretar informacioacuten presentada en ecuaciones graacuteficas referidos a casos de aplicacioacuten en aacutereas como fiacutesica y biologiacutea Trabajo Praacutectico Nordm2 Recta Tangente y Velocidad Instantaacutenea6
Encuentre la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva Ejercicio 1
1yx
= en el
punto ( )21 2
Fig12
6 Los ejercicio se han tomado del libro de Purcell Caacutelculo Diferencial2003
05 1 15 2 25 3
05
1
15
2
25
3
1yx
=
y
x
Graacutefico de la funcioacuten 1( )f x
x= y su recta tangente en el punto (2 frac12)
Considere Ejercicio 2
3 1y x= minus a) Haga un bosquejo de su graacutefica tan detallado como sea posible b) Dibuje la recta tangente en (27) c) Calcule la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos
(27) y ( )3201 (201) 1minus
d) Utilizando el proceso de liacutemite encuentre la pendiente de la recta tangente en (27)
Encuentre las pendientes de las rectas tangentes a la curva Ejercicio 3
2 1y x= minus en los puntos de abscisas -2-1 0 1 2
Haga un bosquejo de la graacutefica de
Ejercicio 4 1
1y
x=
+ luego encuentre la
ecuacioacuten de la recta tangente en (1 12)
Encuentre la ecuacioacuten de la recta tangente a
Ejercicio 5 1
1y
x=
minus en (0-1)
Un experimento sugiere que un cuerpo que cae descenderaacute aproximadamente
Ejercicio 6
216t metros en t segundos a) iquestCuaacutento caeraacute entre t = 0 y t = 1 b) iquestCuaacutento caeraacute entre t = 1 y t = 2 c) iquestCuaacutel es su velocidad promedio en el intervalo 2 3tle le d) iquestCuaacutel es su velocidad promedio en el intervalo 3 301tle le e) Encuentre la velocidad instantaacutenea en t = 3
Un objeto viaja a lo largo de un eje coordenado de modo que su distancia dirigida medida desde el origen despueacutes de t segundos es
Ejercicio 7
2 1t metros+ a) Encuentre la velocidad instantaacutenea en t = 2
b) iquestCuaacutendo alcanzaraacute una velocidad de 12 pies por segundo
Si una partiacutecula se mueve a lo largo de un eje coordenado de modo que su distancia dirigida medida desde el origen despueacutes de
Ejercicio 8
t segundos es ( )2 4t t metrosminus + iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute
momentaacuteneamente detenida Es decir en iquestqueacute momento su velocidad es cero
Cierto cultivo de bacterias crece de modo que tiene una masa de Ejercicio 9
21 12
t gramos +
despueacutes de t horas
a) iquestCuaacutento creceraacute durante el intervalo 2 201tle le b) iquestCuaacutel seraacute la tasa promedio de crecimiento durante el intervalo
2 201tle le c) iquestCuaacutel fue la tasa instantaacutenea de crecimiento en t = 2
6 LA DERIVADA
Revisemos ahora algunas definiciones seguacuten los siguientes autores
DEFINICIOacuteN 6
Si la funcioacuten ( )y f x= tiene derivada en el punto 0
x x= es
decir si existe el
0 00 0
( ) ( )lim limx x
f x x f xyx x∆ rarr ∆ rarr
+ ∆ minus∆=
∆ ∆
Se dice que para el valor dado 0
x x= la funcioacuten es derivable o
lo que es lo mismo tiene derivada en dicho punto
Si la funcioacuten tiene derivada en cada punto de un intervalo ( )a b
se dice que es derivable en dicho intervalo
(N Piskunov 1973 68)
DEFINICIOacuteN 7
DEFINICIOacuteN 8
Como podemos observar la definicioacuten 6 trabaja con la notacioacuten delta a la cual los alumnos se encuentran familiarizados desde el concepto de razoacuten de cambio mientras que en las otras dos definiciones se trabaja con una letra h la cual reemplaza al x∆ La definicioacuten 8 asiacute como la 7 muestran la idea de designar con el teacutermino de derivable en un punto a la funcioacuten cuando esta tenga derivada en dicho punto y de derivable cuando la derivada exista en cada punto de su dominio En cuanto a la definicioacuten 8 presenta a la derivada como una funcioacuten
f a la que lee como ldquof primardquo Uniendo las tres definiciones anteriores podemos presentar la siguiente
La funcioacuten f es derivable en a si
0
( ) ( )limh
f a h f ahrarr
+ minus Existe
En este caso el liacutemite se designa por ( )f a y recibe el nombre de
derivada de f en a (Decimos tambieacuten que f es derivable si
f es derivable en a para todo a del dominio de f )
(Spivak 1967 201)
La derivada de una funcioacuten f es otra funcioacuten f (leacutease ldquof primardquo) cuyo valor en cualquier nuacutemero c es
0
( ) ( )( ) lim
h
f c h f cf chrarr
+ minus=
Siempre que este liacutemite exista y no sea oinfin minusinfin
(Purcell 2003 107)
Veamos los siguientes ejemplos los cuales pretenden familiarizar a los alumnos con la definicioacuten de derivada y a manera de repaso recordar los algoritmos empleados en el caacutelculo de liacutemites como por ejemplo el proceso de racionalizacioacuten Ejemplo 4
Sea ( ) 12 3f x x= minus Encuentre ( ) 4f
Solucioacuten
Empleando la definicioacuten de derivada tenemos [ ] [ ]
0 0
0 0
12(4 ) 3 12(4) 3(4 ) (4)(4) lim lim
12 lim lim 12 12
h h
h h
hf h ffh h
hh
rarr rarr
rarr rarr
+ minus minus minus+ minus= =
= = =
Ejemplo 5
Sea ( ) 0f x x x= gt Encuentre ( )f x
Derivada de f La derivada de una funcioacuten f en un punto c es otra funcioacuten a la
que llamaremos ldquo f prima rdquo y denotaremos por f siempre
que se cumpla
0
( ) ( )( ) lim
h
f c h f cf chrarr
+ minus= Existe
En este caso el liacutemite se designa por ( )f c y recibe el nombre de
derivada de f en c
Decimos tambieacuten que f es derivable si f es derivable en c para
todo c del dominio de f
Solucioacuten
Empleando la definicioacuten de derivada tenemos
( )
0
0
0
0
0
0
( ) ( )( ) lim
= lim
lim
= lim
= lim
1 1 = lim
2
h
h
h
h
h
h
f x h f xf xh
x h xh
x h x x h xh x h x
x h xx h x
h
h x h x
x h x x
rarr
rarr
rarr
rarr
rarr
rarr
+ minus=
+ minus
+ minus + +=
+ + + minus
+ +
+ +
=+ +
7 FORMAS EQUIVALENTES DE LA DERIVADA Purcell (2003) hace mencioacuten a dos formas equivalentes de la derivada de ( )f x en el punto c asiacute la primera forma es
Graacuteficamente podemos ver
0
( ) ( )( ) limh
f c h f cf chrarr
+ minus=
Fig13
Para la segunda forma x toma el lugar de c h+ y por lo tanto reemplazando h tenemos
Graacuteficamente podemos ver
Fig14
otimes
otimes
c c h+
( ) ( )f c h f c+ minus
h( ( ))c f c
( ( ))c h f c h+ +
X
Y
otimes
otimes
c x
( ) ( )f x f cminus
x cminus( ( ))c f c
( ( ))x f x
X
Y
( ) ( )( ) limx c
f x f cf cx crarr
minus=
minus
Graacutefico de la funcioacuten ( )f x en los puntos c y c h+ empleado para la primera forma de definir la derivada
Graacutefico de la funcioacuten ( )f x en los puntos c y x empleado para la segunda forma de definir la derivada
Como podemos apreciar las dos formas de expresar la definicioacuten de la derivada son equivalente aun cuando la notacioacuten empleada no es la misma ya que como hemos podido apreciar en una el limite esta expliacutecitamente en teacuterminos del incremento h luego en el liacutemite h tiende a cero En la otra no aparece h pero cuando el limite indica que x tiende a c impliacutecitamente estaacute indicando que el incremento (h) tiende a cero En el ejemplo siguiente se intenta que los alumnos utilicen la segunda forma de la definicioacuten de la derivada a fin de practicarla pero que establezcan las diferencias en la notacioacuten y significado en relacioacuten a la definicioacuten primera Ejemplo 6
Utilice la segunda forma de representa la derivada para determinar
( )g c si 1( )
4g x
xminus
=+
1 14 4( ) x cg cx c
minus minusminus
+ +=minus
Solucioacuten
( )( )
( )( )
( )( )( )
( )( )
( )2
4 44 4
( ) lim
4 4 lim
4 4 lim
1 lim4 4
1 ( )4
x c
x c
x c
x c
c xx c
g cx cc x
x cx cx c
x cx c
x c
g cc
rarr
rarr
rarr
rarr
minus minus + ++ +
=minus
minus ++ +
minusminus
+ +
minus
+ +
there4 =+
Demostracioacuten-
Espinoza (2002 456) demuestra este teorema de la siguiente manera ldquoPor hipoacutetesis se tiene que f es diferenciable en
0x esto quiere
decir que 0
( )f xexist y
0 00 0
0 0
( ) ( )lim ( ) ( ) lim h h
f x h f xf x h f x h
hrarr rarr
+ minus+ minus =
0 00
0 0
( ) ( )lim lim ( )0 0h h
f x h f xh f x
hrarr rarr
+ minus= = =
Entonces 0 0 0 0
0 0 0
0 00
lim ( ) ( ) 0 lim ( ) lim ( ) 0
lim ( ) ( )h h h
h
f x h f x f x h f x
f x h f xrarr rarr rarr
rarr
+ minus = rArr + minus =
+ =
0f es continua en xthere4 rdquo
ldquoEs muy importante recordar el teorema 1 e igualmente importante recordar que el reciacuteproco no se cumple Una funcioacuten derivable es continua pero una funcioacuten continua no es necesariamente derivablerdquo Spivak (1992 213)
Con los siguientes ejemplos se pretende analizar diferenciabilidad en un punto estudiando el comportamiento de la derivada a ambos lados del punto seleccionado
TEOREMA 1 Sea f una funcioacuten y
0 fx Disin si f es diferenciable en
0x entonces f es continua en
0x
(Espinoza 2002 456)
Ejemplo 7
Estudiar si la funcioacuten ( )f x x= es diferenciable en 0x =
Solucioacuten
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0(0 ) (0)
0 0(0 ) (0) lim lim lim lim 1
0 0(0 ) (0) lim lim lim lim 1
h h h h
h h h h
h hf h fh h h
Asiacuteh hf h f h
h h h hh hf h f h
h h h h
+ + + +
minus minus minus minus
rarr rarr rarr rarr
rarr rarr rarr rarr
+ minus+ minus= =
+ minus+ minus= = = =
+ minus+ minus minus= = = = minus
Seguacuten Spivak (1992 210) ldquoEstos dos liacutemites son llamados a veces derivada por la derecha y derivada por la izquierdardquo en nuestro caso son diferentes
0
(0 ) (0)lim
h
f h fhrarr
+ minus
No existe Por tanto (0)f no existe Graacuteficamente podemos ver la funcioacuten ( )f x x=
Fig 15
Graacutefico de la funcioacuten valor absoluto ( )f x x= Para estudiar la derivada en x=0
Ahora veamos la graacutefica de su derivada
Fig 16 Ejemplo 8
Analizar la derivada de la funcioacuten en el punto 0x = siendo 2 0( )
0x xf xx x
le= gt
Solucioacuten
2
0
0
0( ) (0) 1 0
( ) (0) lim 0
( ) (0) lim 1
h
h
h h hf h f hh h h
hAsiacute
f h fh
f h fh
+
minus
rarr
rarr
= ltminus =
= gt
minus=
minus=
Podemos concluir entonces que (0)f no existe f no es derivable en 0
Graacutefico de la derivada de la funcioacuten valor absoluto 1 0
( )1 0
xf x
xgt
= minus lt
Sin embargo la derivada existe para 0x ne calculeacutemosla
( )2 2 2( ) ( ) 2 2c h cf c h f c ch h c h
h h h+ minus+ minus +
= = = + Aplicando liacutemite
cuando 0h minusrarr tenemos ( ) 2f c c= de una forma similar calculamos
el liacutemite cuando 0h +rarr y obtenemos ( ) 1f c = Graacuteficamente podemos ver
Fig17
Fig 18
Graacutefico de la funcioacuten valor absoluto 2 0( )
0x xf xx x
le= gt
Para estudiar la
derivada en x=0
Graacutefico de la derivada de la funcioacuten 1 0
( )2 0
xf x
x xge
= lt
Purcell (2003) demuestra graacuteficamente cualquier punto donde la graacutefica de una funcioacuten continua tenga una esquina o un veacutertice la funcioacuten no es diferenciable Y esto lo podemos constatar de nuestros ejemplos anteriores Asiacute mismo este autor nos muestra una graacutefica donde se pueden apreciar algunas situaciones para que una funcioacuten no sea diferenciable en un punto
Fig 19
Fuente Tomado del libro de Purcell 2003 111
En esta graacutefica afirmamos que la derivada el c no existe por que
0
( ) ( )( ) lim
h
f c h f cf xhrarr
+ minus= = infin
Esto corresponde al hecho de que la pendiente vertical no estaacute definida El trabajo praacutectico dado a continuacioacuten pretender que el alumno se familiarice con las dos formas empleadas para definir la derivada Otra objetivo es el estudiar la diferenciabilidad de funciones en algunos puntos en particular
Graacutefico de posibles situaciones de funcioacuten diferenciable en un punto
Trabajo Praacutectico Nordm 3 Derivada7
Ejercicio 1
Utilice la definicioacuten de Derivada 0
( ) ( )( ) limh
f x h f xf xhrarr
+ minus= para
determinar la derivada en x de las siguientes funciones
a) ( ) 2 1f x x= + b) 2 1( )4
xg xxminus
=minus
c) 4 2( )h x x x= +
Ejercicio 2
Empleando la segunda forma para definir la derivada ( ) ( )
( ) limx c
f x f cf cx crarr
minus=
minus determine las derivadas de las siguientes
funciones
a) 3( ) xf xx+
= b) 3( ) 5f x x x= +
Ejercicio 3
A continuacioacuten te presento cuatro liacutemites los cuales corresponden a las derivadas de algunas funciones iquestPodriacuteas ayudarnos a determinar a queacute funciones se refieren
a) ( ) ( )3 3
0
2 5 2 5limh
hhrarr
+ minus
b) ( )2
0
3 2(3 ) 15limh
h hhrarr
+ + + minus
c) limx y
senx senyx yrarr
minusminus
d)
2 2
limx t
x tx trarr
minus
minus
7 Los ejercicios han sido tomados del texto de Calculo Diferencial de Purcell (2003 111-112) y Espinoza (2002 514 -515)
Ejercicio 4
Describa los valores x para los que f es derivable A B
Fig 20 Fig 21
Ejercicio 5
Determinar cuales de las funciones siguientes son derivables en los nuacutemeros dados por
0x
1 0
4( ) 42( 8) 4
x xf x xx x
le= =minus gt
2 2
2
2 0
( ) 2 2 0 2
4 2 2
x x
f x x x
x x x
+ lt
= minus le lt
minus + ge
0 0x = y 0 2x =
minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4
minus3
minus2
minus1
1
2
3
4
x
y
y=1(x+1)
minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
minus1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
abs(x^2-9)
Graacutefico de la funcioacuten 2( ) 9f x x= minus Graacutefico de la funcioacuten 1
( )1
f xx
=+
Ejercicio 6
Calcular los valores de y a b c para que la funcioacuten
2
4 2( ) sea continua en x=-2 y diferenciable en x=2
2
si xxf x
ax bx c si x
ge= + + lt
Ejercicio 7
Hallar los valores de a y b de manera que la funcioacuten 2 1
( ) 1 1
ax b si xf x
si xx
+ le= gt
sea derivable en todo su dominio
8 REGLAS DE DERIVACIOacuteN
Para Spivak (1992) el proceso de derivacioacuten es generalmente laborioso y que si no recordamos la definicioacuten de derivada estariacuteamos expuestos a no poder calcularla Sin embargo nos dice que existen algunos teoremas que nos permitiriacutea de una forma un tanto mecaacutenica derivar una clase de funciones muy amplia Asiacute veremos algunas reglas de derivacioacuten que Espinoza (2002) presenta ademaacutes de su demostracioacuten empleando la definicioacuten la notacioacuten de Leibniz8
1) La derivada de una constante es cero-
( ) 0dysi y f x Cdx
= = rArr =
Demostracioacuten
0 0
( ) ( )lim lim 0 0h h
dy f x h f x c c dydx h h dxrarr rarr
+ minus minus= = = there4 =
8 La notacioacuten
dydx
corresponde a Leibniz
2) La derivada de la funcioacuten identidad-
( ) 1dysi y f x xdx
= = rArr =
Demostracioacuten
0 0 0 0
( ) ( )lim lim lim lim 1 1 1h h h h
dy f x h f x x h x h dydx h h h dxrarr rarr rarr rarr
+ minus + minus= = = = = there4 =
3) La derivada de la funcioacuten potencia simple- 1( ) n ndysi y f x x nx
dxminus= = rArr =
Demostracioacuten
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 01 2 2 1
0
1 2 2 1 10
1
( ) ( )lim lim
lim
lim
n n
h hn n n n
h
n n n n nh
n
x h xd y f x h f x para ndx h h
x h x h x x h x xx h x
h
x h x h x x h x x n x
dy nxdx
+
rarr rarrminus minus minus minus
rarr
minus minus minus minus minus
rarr
minus
+ minus+ minus= = isin
+ + + + + + + = + minus
= + + + + + + + =
there4 =
4) La derivada del producto de una funcioacuten por un escalar-
( ) ( )dysi y kf x kf xdx
= rArr =
Demostracioacuten ( ) ( )( )
( )0 0
0
( )( )lim lim
( )lim ( ) ( )
h h
h
k f x h f xkf x h kf xdydx h h
f x h f x dyk kf x kf xh dx
rarr rarr
rarr
+ minus+ minus= =
+ minus= = there4 =
5) La derivada de la suma o diferencia de dos funciones-
( ) ( ) ( ) ( )dysi y f x g x f x g xdx
= plusmn rArr = plusmn
Demostracioacuten ( )( )
( ) ( )
( )( ) ( )( )
0
0
0
( )( )lim
( ( ) ( ))lim
( ) ( )lim
h
h
h
f g x h f g xdydx h
f x h g x h f x g xh
f x h f x g x h g xh
rarr
rarr
rarr
plusmn + minus plusmn=
+ plusmn + minus plusmn=
+ minus plusmn + minus=
( )( ) ( )( )0
( ) ( )lim
( ) ( ) ( ) ( )
h
f x h f x g x h g xh h
dyf x g x f x g xdx
rarr
+ minus + minus= plusmn
= + there4 = +
6) La derivada del producto de dos funciones-
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dysi y f x g x f x g x f x g xdx
= sdot rArr = +
Demostracioacuten
0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim limh h
d y f x h f x f x h g x h f x g xdx h hrarr rarr
+ minus + + minus= =
Ahora sumamos y restamos ( ) ( )f x h g x+ en el numerador
0
0
0 0
0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim
( )( ( ) ( )) ( ( ) ( ))lim ( )
( )( ( ) ( )) ( ( ) ( ))lim lim ( )
( ( ) (lim ( ) lim
h
h
h h
h h
d y f x h g x h f x h g x f x g x f x h g xdx h
f x h g x h g x f x h f xg xh h
f x h g x h g x f x h f xg xh h
g x h gf x h
rarr
rarr
rarr rarr
rarr rarr
+ + minus + minus + +=
+ + minus + minus = + + + minus + minus = +
+ minus= +
0 0
)) ( ( ) ( ))lim ( ) lim
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
h h
x f x h f xg xh h
f x g x g x f xdy f x g x g x f xdx
rarr rarr
+ minus + = +
there4 = +
7) La derivada del cociente de dos funciones-
[ ]2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0( ) ( )
f x d y f x g x f x g xsi y g xg x dx g x
minus= rArr = ne
Demostracioacuten
0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim limh h
d y f x h f x f x h g x h f x g xdx h hrarr rarr
+ minus + + minus= =
0
( ) ( ) ( ) ( )lim( ) ( )h
g x f x h f x g x hh gx g x hrarr
+ minus +=
+
Ahora sumando y restando ( ) ( )f x g x en el numerador se tiene
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim( ) ( )h
g x f x h f x g x f x g x h f x g xh gx g x hrarr
+ minus minus + +=
+
0
2
2
( )( ( ) ( )) ( )( ( ) ( ))
lim( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( 0) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( )
h
g x f x h f x f x g x h g xh h
g x g x hg x f x f x g x g x f x f x g x
g x g x g xdy g x f x f x g xdx g x
rarr
+ minus + +minus
=+
minus minus= =
+
minusthere4 =
Resumiendo
1) ( ) 0dysi y f x Cdx
= = rArr =
2) ( ) 1dysi y f x xdx
= = rArr =
3) 1( ) n ndysi y f x x nxdx
minus= = rArr =
4) ( ) ( )dysi y kf x kf xdx
= rArr =
5) ( ) ( ) ( ) ( )dysi y f x g x f x g xdx
= plusmn rArr = plusmn
6) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dysi y f x g x f x g x f x g xdx
= sdot rArr = +
7) [ ]2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0( ) ( )
f x d y f x g x f x g xsi y g xg x dx g x
minus= rArr = ne
El primer grupo de ejercicios de este trabajo intenta que el alumno fortalezca una habilidad para el caacutelculo de derivadas empleando reglas de derivacioacuten el apartado B es para recordar la aplicacioacuten de la recta tangente a una curva y el apartado C es para trabajar con problemas de aplicacioacuten a diversas aacutereas Trabajo Praacutectico Nordm 4 Reglas de Derivacioacuten9
A Encontrar la derivada de las siguientes funciones
1) ( ) 365f x =
2) 4 3 2( ) 4 3 7f x x x= minus +
3) 5 15
9 3( )f xx x
= minus
4) 3 4 6 31( ) 2 8 16
f x x x x x= minus + minus +
5) 3 2
4 32 7( ) x xf x
x x x+ +
=+ +
6) 2
22( )
4 1
x xf xxminus
=+
7) ( )( )( ) 5 1 2 1f x x x= minus +
8) 2 4 2( )
3x xf x
x+ +
=+
9 Ejercicios tomados de STTan (1998 528-529-530-543-544)
9) 13( ) 9f x x=
10) 3 24 3( ) x xf x
xminus +
=
11) 2 132 3( )f xx x
= minus
12) 2 3( ) 2f x x x= +
13) ( )32
1( ) 2 1 2f x x xx
= + + +
14) 2 1( ) xf x
x+
=
15) 3( )3 1
x xf xx+
=minus
16) 1 2
3 21 2( )1
xf xx
+=
+
17) ( )( )2( ) 1 2 3f x x x= + +
18) ( )( )21 1
( )2
x xf x
x
+ +=
minus
C Encuentre la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva graficada a
continuacioacuten en el punto indicado Punto ( 23)Q minus
Fig 22
Graacutefico de la funcioacuten 3
( )1
f xxminus
=+
D Resolver los siguientes problemas
1 Crecimiento de un tumor canceroso El volumen de un tumor canceroso esfeacuterico estaacute dado por la funcioacuten
34( )3
v r rπ= donde r es el radio del tumor en centiacutemetros
Indique la razoacuten de cambio en el volumen del tumor cuando
a) 23
r cm= b) 54
r cm=
2 Eficiencia de un obrero Un estudio de eficiencia realizado
por la compantildeiacutea de aparatos electroacutenicos Electra mostroacute que el nuacutemero de walkie-talkies ldquoComando espacialrdquo ensamblados por un obrero promedio t horas despueacutes del inicio de labores a las 8 am estaacute dado por 3 2( ) 6 15N t t t t= minus + + a) Encuentre la razoacuten con que el obrero promedio ensambla
los dispositivos t horas despueacutes de iniciar su trabajo b) iquestCon queacute razoacuten los estaraacute ensamblando a las 10 am y a
las 11 am c) iquestCuaacutentos ensamblaraacute entre las 10 y las 11 am
3 Crecimiento de poblaciones Un estudio preparado por la caacutemara de comercio de cierta comunidad ha proyectado que la poblacioacuten de dicha comunidad creceraacute durante los proacuteximos tres antildeos conforme a al regla 3 2( ) 50000 30 20P t t t= + + donde ( )P t denota la poblacioacuten dentro de t meses iquestCon queacute rapidez creceraacute la poblacioacuten dentro de nueve y 16 meses
4 Conservacioacuten de especies Una especie de tortuga estaacute en
peligro de extincioacuten debido a que ciertas personas recogen grandes cantidades de huevos para venderlos como afrodisiacuteacos Despueacutes de implantar severas medidas de conservacioacuten se espera que la poblacioacuten de tortugas crezca de acuerdo con la regla 3 2( ) 2 3 4 1000 0 10N t t t t t= + minus + le le donde ( )N t denota la poblacioacuten al final de antildeo t Encuentre la tasa de crecimiento de poblacioacuten de tortugas cuando 2t = y
8t = iquestCuaacutel seraacute la poblacioacuten diez antildeos despueacutes de la implantacioacuten de las medidas de conservacioacuten
Continuaremos trabajando las reglas de derivacioacuten y ahora estudiaremos las derivadas de las funciones trigonomeacutetricas sus inversas la funcioacuten logariacutetmica y exponencial tomando como referencia las demostraciones presentadas en Smith (2000) y a Piskunov (1973) incluimos tambieacuten algunos ejemplos de aplicacioacuten directa de las reglas de derivacioacuten 8) La derivada de la funcioacuten seno-
( ) cosdysi y f x senx xdx
= = rArr =
Demostracioacuten
0
0
0 0
0 0
( ) ( )lim
cosh cos lim
cosh cos = lim lim
(cosh 1) = lim cos lim
(0) cos (1)
cos
h
h
h h
h h
dy sen x h sen xdx h
senx senh x senxh
senx senx senh xh h
senhsenx xh h
senx xdy xdx
rarr
rarr
rarr rarr
rarr rarr
+ minus=
+ minus=
minus+
minus+
= +
there4 =
9) La derivada de la funcioacuten coseno-
( ) cos dysi y f x x senxdx
= = rArr = minus
La demostracioacuten de este teorema se deja como ejercicio
10) La derivada de la funcioacuten tangente-
2( ) tan secdysi y f x x xdx
= = rArr =
Demostracioacuten
Para ( ) tan senxf x xcosx
= = por regla de cociente se tiene que
( ) ( )2
(cos ) cos
cos
senx x senx xdydx x
minus=
( ) ( )2
cos (cos )
cos
x x senx senxdydx x
+=
2 2
2cos
cosdy x sen xdx x
+=
22
1 seccos
dy xdx x
= =
2secdy xdx
there4 =
Las demostraciones de las derivadas de las funciones trigonomeacutetricas restantes se dejan como ejercicio Resumiendo
8) cosdysi y senx xdx
= rArr =
9) cos dysi y x senxdx
= rArr = minus
10) 2tan secdysi y x xdx
= rArr =
11) 2cosdysi y ctgx ec xdx
= rArr = minus
12) sec sec tandysi y x x xdx
= rArr =
13) sec sec dysi y co x co x ctgxdx
= rArr = minus
Ejemplo 9
Calcular las derivadas de las siguientes funciones a) 2( ) 4 3tanf x x x= minus
b) ( ) senxf xx
=
Solucioacuten
a) trabajamos con la derivada de una diferencia de funciones
( ) 2
2
4 2 3sec
8 3sec
dy x xdxdy x xdx
= minus
= minus
b) Aplicando la derivada de un cociente tenemos ( )
( )2
2
( )
cos
senx x senx xdydx x
x x senxdydx x
minus=
minus=
14) La derivada de la funcioacuten logaritmo-
1( ) log log
a adysi y f x x edx x
= = rArr =
Demostracioacuten
Utilizando la definicioacuten de derivada tendremos
0
0
0
log ( ) log ( )lim
( )log = lim
( )log = lim
a ah
a
h
a
h
x h xdydx h
x hx
hx h
xh
rarr
rarr
rarr
+ minus=
+
+
( )
( )
( )
0
0
0
0
0 0
log (1 ) = lim
log 11 = limx1 = lim log 1x1 = log lim 1x1 = log base de los logaritmos neperianosx
at
at
tat
ta t
a
hhaciendo t cuando h tx
t
txt
t
t
t
e donde e
rarr
rarr
rarr
rarr
= rarr rArr rarr
+
+
+
+
=
ln 11 1 ( ) ln ln
si a e edyEn particular y f x x edx x x
= rArr =
= = rArr = =
1ln dysi y x
dx xthere4 = rArr =
15) La derivada de la funcioacuten logaritmo neperiano-
1( ) ln dysi y f x xdx x
= = rArr =
16) La derivada de la funcioacuten exponencial-
( ) logx xdysi y f x a a adx
= = rArr =
Demostracioacuten
Tomando logaritmos en la igualdad xy a= se tiene ln lny x a= derivando la igualdad obtenida y considerando y en funcioacuten de x tenemos
1 ln
ln lnx
y ay
y y a a a
=
= =
En particular si la base es a e= rarr ln 1e = y obtenemos
( ) x xdff x e edx
= rarr =
17) La derivada de la funcioacuten exponencial con base e-
( ) x xdfsi y f x e edx
= = rarr =
Ejemplo 10
Calcular la derivada de la siguiente funcioacuten
2( ) 3 ln xf x x x e= +
Solucioacuten
( )
( )
2 16 ln 3
6 ln 3
x
x
dy x x x edx x
dy x x x edx
= + +
there4 = + +
Resumiendo
14) 1( ) log loga a
dysi y f x x edx x
= = rArr =
15) 1ln dysi y xdx x
= rArr =
16) ( ) logx xdysi y f x a a adx
= = rArr =
17) ( ) x xdfsi f x e edx
= rArr =
Tomando como referencia a Piskunov (1973) estudiaremos ahora un segundo teorema el cual nos daraacute acceso a la demostracioacuten de la derivada de las funciones trigonomeacutetricas inversas Note ademaacutes que en algunos casos usaremos la notacioacuten y
Teorema 3
Demostracioacuten
Dando a y un incremento y∆ de la igualdad (2) deducimos ( ) ( )x y y yϕ ϕ∆ = + ∆ minus
Como ( )yϕ es una funcioacuten monoacutetona se tiene 0x∆ ne Escribamos la identidad
1yxxy
∆=∆∆∆
Por ser continua la funcioacuten ( )yϕ 0x∆ rarr cuando 0y∆ rarr
Si para la funcioacuten ( )y f x= hellip(1)
Existe una funcioacuten inversa ( )x yϕ= hellip(2)
Tal que en un punto y dado tenga una derivada ( )yϕ distinta de cero entonces la funcioacuten ( )y f x= tiene en el punto
correspondiente x una derivada ( )f x igual a 1( )yϕ
es decir
se verifica la foacutermula 1( )( )
f xyϕ
=
Asiacute pues la derivada de una de las funciones reciacuteprocamente inversas es igual a la inversa de la derivada de la otra funcioacuten para los correspondientes valores de x e y
(Piskunov 1973 92)
Tomando liacutemites cuando 0y∆ rarr en ambos miembros de la uacuteltima
identidad obtenemos 1xy
yx
=
Por lo tanto 1( )( )
f xyϕ
=
(Piskunov 1973 93)
18) La derivada de la funcioacuten arco seno-
2
1( )1
dysi y f x arcsenxdx x
= = rArr =minus
Demostracioacuten
Si y arcsenx= se tiene 2
1
1
dydx x
=minus
Seguacuten la igualdad (1) tenemos cosy
x y= y conforme a la regla
para derivar la funcioacuten inversa se tendraacute 1 1 cosxy
yx y
= =
Pero 2 2cos 1 1 y sen y x= minus = minus luego 2
11
yx
=minus
La raiacutez se toma con el signo positivo porque la funcioacuten
y arcsenx= se define en el intervalo 2 2
yπ πminus le le y por
consiguiente 0y ge (Piskunov 1973 95)
Ejemplo 11
Calcular la derivada de la siguiente funcioacuten
1( )2
xf x arcsen + =
Solucioacuten
( ) ( )
( )
2 2 2
22
1 1 1
1 2 111 12 22
1 2 2 12 2 1
2
dfdx x xx
x xx x
= = =+ minus ++ minus minus
= =minus minus +minus + +
19) La derivada de la funcioacuten arco coseno-
2
1( ) arccos1
dysi y f x xdx x
minus= = rArr =
minus
Demostracioacuten La demostracioacuten se deja como trabajo 20) La derivada de la funcioacuten arco tangente-
21( ) arc t
1dysi y f x gxdx x
= = rArr =+
Demostracioacuten
Si y arctgx= se tiene 21
1dydx x
=+
si consideramos que x tgy=
tenemos
21
cosyx
y=
Por tanto 21 cos xy
y yx
= =
Pero 22 2
1 1cossec 1
yy tg y
= =+
Y puesto que tgy x= tenemos en definitiva 21
1dydx x
=+
Ejemplo 12
Calcular la derivada de la siguiente funcioacuten ( )2( ) (1 )f x x arctg x= +
Solucioacuten
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
22
(1 ) (1 )
1 = 2 (1 )1
= 2 1
df x arctg x x arctg xdx
x arctg x xx
df x arctg xdx
= + + +
+ ++
there4 +
21) La derivada de la funcioacuten arco cotangente-
21( ) arc t
1dysi y f x co gxdx x
minus= = rArr =
+
La demostracioacuten se deja como trabajo asiacute como las demostraciones de las funciones inversas restantes
22) La derivada de la funcioacuten arco secante-
2
1( ) arcsec1
dysi y f x xdx x x
= = rArr =minus
23) La derivada de la funcioacuten arco cosecante-
2
1( ) arc sec1
dysi y f x co xdx x x
minus= = rArr =
minus
Resumiendo
18) 2
1( )1
dysi y f x arcsenxdx x
= = rArr =minus
19) 2
1( ) arccos1
dysi y f x xdx x
minus= = rArr =
minus
20) 2
1( ) arc t1
dysi y f x gxdx x
= = rArr =+
21) 2
1( ) arc t1
dysi y f x co gxdx x
minus= = rArr =
+
22) 2
1( ) arcsec1
dysi y f x xdx x x
= = rArr =minus
23) 2
1( ) arc sec1
dysi y f x co xdx x x
minus= = rArr =
minus
9 REGLA DE LA CADENA
Veamos a continuacioacuten como Smith (2000) presenta y demuestra el teorema de la regla de la cadena un teorema para el caacutelculo de derivadas su utilidad radica en el hecho de que nos permitiraacute derivar funciones compuestas las mismas que se encuentran presentes en la mayoriacutea de modelos matemaacuteticos
Teorema 3
El teorema es cierto incluso si Demostracioacuten
( ) 0g x = pero la demostracioacuten requiere ( ) 0g x ne Sea ( ) ( ( ))F x f g x= Entonces
Regla de la Cadena- Si g es derivable en x y f es derivable en ( )g x entonces
[ ( ( ))] ( ( )) ( )d f g x f g x g xdx
=
(Smith 2000 228)
0
0
0
0
[ ( ( ))] ( ) ( )( ) lim
( ( )) ( ( )) = lim
( ( )) ( ( )) ( ) ( ) = lim ( ) ( )
( ( )) ( ( )) = lim ( )
h
h
h
h
d f g x F x h F xF xdx h
f g x h f g xh
f g x h f g x g x h g xh g x h g x
f g x h f g xg x h
rarr
rarr
rarr
rarr
+ minus= =
+ minus
+ minus + minus+ minus
+ minus+ 0
( ) ( ) 0
( ) ( ) lim( )
( ( )) ( ( )) ( ) ( ) = lim lim ( ) ( )
= ( ( )) ( )
h
g x h g x h
g x h g xg x h
f g x h f g x g x h g xg x h g x h
f g x g x
rarr
+ rarr rarr
+ minusminus
+ minus + minus+ minus
Ahora presentamos la regla de la cadena en teacuterminos de la notacioacuten de Leibniz ldquoSi ( )y f u= y ( )u g x= entonces ( ( ))y f g x= la regla
de la cadena expresa que du dy dudx du dx
= rdquo Smith (2000 228)
Ejemplo 13
Calcular la derivada de la siguiente funcioacuten a) 3 3( ) ( 1)f x x x= + minus
b) 6( ) xf x eminus=
c) 2( ) cos 1f x x= +
Solucioacuten
a) Siendo 3 3( ) ( 1)f x x x= + minus podemos hacer el siguiente cambio 3 1u x x= + minus asiacute 3 3( ) ( 1)f u u y u x x= = + minus Luego la
derivada es
( )33
2 2
1( )
=3 (3 1)
df df dudx du dx
d x xd udu dx
u x
=
+ minus=
+
3 2
5 3 2
5 3 2
=3( 1)(3 1)
= 9 12 9 3 3
=3(3 4 3 1)
x x x
x x x xdf x x x xdx
+ minus +
+ minus + minus
there4 + minus + minus
b) si 6( ) xf x eminus= entonces 6xu minus
= luego
( )
6( ) =
u
df df dudx du dx
d xd edu dx
=
minus
6
1= 6
1 = -6
u
x
e
df edx
minus
minus
there4
c) Sea 2 1u x= + se tiene en la funcioacuten lo siguiente 2( ) cos 1f u u donde u v y v x= = = + luego la derivada seraacute
( ) ( ) ( )
( )
2
1 2
2 2 1 2
1 22 2
1cos
1 = ( ) (2 )2
1 = 1 ( 1) (2 )2
= - 1 1
df df du dvdx du dv dx
d xd vd udu dv dx
senu v x
sen x x x
df x x sen xdx
minus
minus
minus
=
+=
minus
minus + +
there4 + +
Los ejercicios propuestos en este trabajo tienen por finalidad que alumno conozca y aplique las reglas de derivacioacuten asiacute como trabajar reforzar su habilidad para factorizar expresiones algebraicas
Trabajo Praacutectico Nordm 5 Reglas de Derivacioacuten y Regla de la Cadena10
1 Encontrar la derivada de las siguientes funciones
1 ( )( )f x a x a x= + minus
2 1( )1
xf xx
+=
minus
3 3 2( ) 1f x x x= + +
4 ( )f x x x x= + + 5 ( ) 2 3cos3f x senx x= +
6 ( )cos
senxf xa x
=+
7 1( ) ln1
senxf xsenx
+= minus
8 ( ) ( )co s( )f x sen a x x a= + +
9 ( )2( ) f x x ctgx=
10 ( )23
( ) logf x x senx= minus
11 2( ) ln 1f x x x = + +
12 22( )
1xf x arctgx
= minus
13 ( ) arctgxf x e=
14 ( )
( )2
x xe ef x arctg
minusminus=
15 4( )3 5cos
senxf x arctgx
= +
16 2
2 21 2 2( ) ln 21 2 1
x x xf x arctgx x x
+ += + minus + minus
10 Ejercicios tomados de N Piskunov (1973 136-137)
17 2 2( ) (7 4) 49 56 7 9ln(7 4 49 56 7)f x x x x x x x= + + + minus + + + +
18 ( ) ( ) ( ) ( )2( ) 1 1 ln 1 1f x x x x x = + minus minus minus +
19 ( ) 2 5 6( ) 5 6 60 36 21 42
xf x x x x arcsen minus = minus minus minus +
20 ( )2( ) 2 sec 2 8 1 2f x xarc x x arcsen x= + minus
21 2( ) 6 3arccos 13xf x x x = minus minus + minus
22 3( ) (3 2 2cos 2 )xf x e sen x x= minus
23 ( ) ( ) 2( ) 5 3 sec 5 3 ln 5 3 9 30 24f x x arc x x x x = minus minus minus minus + minus +
10 FUNCIONES IMPLICITAS
El siguiente punto que vamos a estudiar corresponde a la derivacioacuten de funciones impliacutecitas Laacutezaro (2000) define una funcioacuten impliacutecita como
DEFINICIOacuteN 9
Asiacute podemos citar como ejemplos a) 2( ) 4f x y x y= minus b) 2 2( ) 2 6f x y x x xy y= minus minus +
El autor nos presenta dos meacutetodos para derivar una funcioacuten impliacutecita ambos meacutetodos seraacuten presentados a continuacioacuten
Funcioacuten Impliacutecita Si tenemos una ecuacioacuten de la forma ( ) 0f x y = con ( )y f x= en el cual la variable dependiente y no estaacute ldquodespejadardquo en teacuterminos de x entonces y se llama funcioacuten impliacutecita de x
(Laacutezaro 2000 53)
1er Meacutetodo
Aplicando en amos miembros de la ecuacioacuten ( ) 0f x y = el
operador ddx
(derivada con respecto a x ) y usando todas las reglas de
derivacioacuten para finalmente despejar y 2do Meacutetodo
Usando derivadas parciales en la foacutermula
fdy x
fdxy
partpart= minuspartpart
Donde
fxpartpart
es la ldquoDERIVADA PARCIAL DE f CON RESPECTO A x rdquo en
este caso consideramos soacutelo a x como variable y el resto de letras se consideran como constantes
fxpartpart
es la ldquoDERIVADA PARCIAL DE f CON RESPECTO A y rdquo en
este caso consideramos soacutelo a y como variable y el resto de letras se consideran como constantes
(Laacutezaro 2000 53)
Ahora apliquemos los dos meacutetodos revisados y reflexionemos acerca de las ventajas de emplearlos Ejemplo 14
En la ecuacioacuten
3 3 3 0x y axy+ minus = donde ( )y f x= hallar dy
dx
Solucioacuten
Empleando el primer meacutetodo
Derivando ambos miembros de la ecuacioacuten tenemos
( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 3
3 3
2 2
2 2
2
2
3 0
3 0
3 3 3 0
3 3 3 3 0
d dx y axydx dx
d d dx y axydx dx dx
dx dy dy dxx y a x ydx dx dx dx
dy dyx y ax aydx dx
dydespejando
dx
dy ay xdx y ax
+ minus =
+ minus =
+ minus + =
+ minus minus =
minus=
minus
Empleando el segundo meacutetodo
3 3
2 2
2
2
( ) 3
3 0 3 y 3 0 3
3x 3 =-
3
Como f x y x y axy obtenemos
f fx ay y axx y
fdy xluego
dfdxdy
ay
y ax
= + minus
part part= + minus = + minus
part part
partpart= minus
minus
minus
Ejemplo 15En la ecuacioacuten
23 23 23 ( ) tanx y a y f x a es cons te+ = =
hallar dydx
Solucioacuten
Empleando el primer meacutetodo
2 3 23 23
13 13
133
13
( ) ( )
20
3
d dx y adx dx
dyx ydx
dy x ydx xy
minus minus
minus
minus
+ =
+ =
= minus = minus
Empleando el segundo meacutetodo 2 3 23 23
13 13
13 13
13
313
( )
2 20 0
3 3
2 2 0 0
3 3
23Asiacute 23
De f x y x y a
obtenemos
f x xx
f y yy
xdy ydx xy
minus minus
minus minus
minus
minus
= + minus
part= + minus =
part
part= + minus =
part
= minus = minus
11 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
Laacutezaro (2000) nos muestra a partir de una notacioacuten la definicioacuten de las derivadas de orden superior
NOTACIOacuteN SE LEE
dy ydx
= La 1ordf derivada de y con respecto
a x
2
2
d dy d y ydx dx dx
= =
2 3
2 3
d d y d y ydx dx dx
= =
3 4(4)
3 4d d y d y ydx dx dx
= =
( 1)
( )( 1)
n nn
n nd d y d y ydx dx dx
minus
minus
= =
La 2ordf derivada de y con respecto
a x
La 3ordf derivada de y con respecto a x
La 4ordf derivada de y con respecto
a x
La n-eacutesima derivada de y con respecto a x
(Laacutezaro 2000 73)
Tabla Nordm 5
La intencioacuten de estos dos ejemplos es de ejercitar la capacidad del alumno para aplicar derivacioacuten sucesiva y simplificacioacuten algebraica Ejemplo 16
Si kxy eminus= Hallar ny Solucioacuten
( )
2 3
( )
etc hasta la n-eacutesima derivada
Luego 1
kx kx kx
nn n kx
y ke y k e y k e
y k e n
minus minus minus
minus +
= minus = = minus
= minus isin
Ejemplo 17
Hallar ( ) (0)nf si 1( ) ln
1f x
x=
minus
Solucioacuten
Pero
1
2 2
3 3
(4) 4 4
(5) 5
1( ) ln ln(1) ln(1 )
1
( ) ln(1 )
1( ) (1 )
1
( ) 1(1 ) ( 1) (1 )
( ) 2(1 ) ( 1) 2(1 )
( ) 2( 3)(1 ) ( 1) 23 (1 )
( ) 23( 4)(1 ) ( 1) 234(1 )
f x xx
f x x
derivando
f x xx
f x x x
f x x x
f x x x
f x x x
minus
minus minus
minus minus
minus minus
minus
= = minus minusminus
= minus minus
minus= minus = minus
minus
= minus minus minus = minus
= minus minus minus = minus
= minus minus minus = minus
= minus minus minus = minus 5
( )
( )
( ) ( 1)(1 )
(0) ( 1)
n n
n
f x n x
luego
f n
minus
minus= minus minus
= minus
12 REGLA DE LrsquoHOSPITAL PARA EL CAacuteLCULO DE LIacuteMITES
INDETERMINADOS DE LAS FORMAS 00
e infininfin
Teorema 4
Regla de LrsquoHospital- Supongamos que lim ( ) 0 lim ( ) 0
x a x af x g x
rarr rarr= and = y supongamos
tambieacuten que existe ( )lim( )x a
f xg xrarr
Entonces existe ( )lim( )x a
f xg xrarr
y
( ) ( )lim lim( ) ( )x a x a
f x f xg x g xrarr rarr
=
(Laacutezaro 2000 48)
Observaciones
La regla de LrsquoHospital se puede aplicar tambieacuten para las siguientes formas indeterminadas
i) ( )lim( )x a
f xg xrarr
infin=infin
ii) ( )lim( )x
f xg xrarrinfin
infin=infin
iii) lim ( ) 0 lim ( ) lim ( ) ( ) 0
( ) 0 ( ) 0 = lim lim1 10 0( ) ( )
x a x a x a
x a x a
f x g x entonces f x g x
f x g x
g x f x
rarr rarr rarr
rarr rarr
= and = infin = infin
= or =
iv) Si lim ( ) lim ( )
x a x af x g x
rarr rarr=infin and = infin ademaacutes
lim [ ( ) ( )]x a
f x g xrarr
minus = infin minusinfin entonces se hace la transformacioacuten
siguiente
( )lim [ ( ) ( )] lim ( )[1 ]
( )x a x a
g xf x g x f x
f xrarr rarrminus = minus pero si ( )
lim 1( )x a
g xf xrarr
=
entonces se hace
( )10( )lim
1 0( )
x a
g xf x
f xrarr
minus=
v) Los liacutemites indeterminados 0 01 0 infin infin se determinan buscando
previamente sus logaritmos y hallando el liacutemite del logaritmo de la expresioacuten [ ] ( )( ) g xf x
Los ejemplos resueltos a continuacioacuten intentan mostrar al alumno algunos casos en los que el liacutemite se puede calcular empleando regla de LrsquoHospital
Ejemplo 18
Calcular los siguientes liacutemites
a) 30
coslimx
x x senxxrarr
minus b) 0
limcot
2x
xxg
π
πrarr
c) 0
limx
tgx senxx senxrarr
minusminus
d) 0
lim 0xx
xrarr
=
e) ( )1
20
lim 1 xx
xrarr
+
Solucioacuten
a) 30
cos 0lim0x
x x senxxrarr
minus= entonces derivando numerador y
denominador tenemos
( )
( )( )( )
20 03
2 0 0 0
cos cos coslim lim3
cos 1lim lim lim3 33 3
x x
x x x
x x senx x xsenx xxx
senxxsenx xx x
rarr rarr
rarr rarr rarr
minus minus minus=
minusminus minus= = = = minus
b) 0
limcot
2x
xxg
π
πrarr
infin=infin
entonces
2
0
0 0 2
lim1 10 2cot lim lim
2 sec2 2 2 2
x
x x
xx xx g
x xtg
ππ π π π π
ππ π π π
rarr
rarr rarr
= = = = =infin
c) 0
0lim
0x
tgx senxx senxrarr
minus=
minus entonces
2
0
sec cos 0lim
1 cos 0x
x xxrarr
minus=
minus luego
2
0 0
2sec sec 2sec 0lim lim
0x x
x xtgx senx x tgx senxsenx senxrarr rarr
+ += =
derivando otra vez 2 4
0
2 2sec sec coslim 3
cosx
x tgx x x
xrarr
+ + =
d)
0lim 0xx
xrarr
=
Hagamos xy x=
Tomemos logaritmos ln lny x x= Ahora apliquemos liacutemites [ ] [ ]
0 0lim ln lim lnx x
y x xrarr rarr
=
Pero0
ln lim 0x
yrarr
= infin entonces expresemos la funcioacuten como
0
lnlim
1x
x
xrarr
infin=infin
por LrsquoHospital 0 0
2
1
lim lim 01x x
x x
xrarr rarr
= minus =minus
O sea
0 0 0 0ln lim 0 lim 1 lim 1 lim 1x
x x x xy y y x
rarr rarr rarr rarr
= rArr = rArr = rArr =
e) ( )1
20
lim 1 1xx
x infin
rarr+ =
Hacer ( )1
21 xy x= +
( )
( )
2
20 0
1ln ln 1
1lim ln lim ln 1x x
y xx
y xxrarr rarr
= +
= +
( )20
= 0
1Pero = lim ln 1
xx
xrarr
infin
+
2
0
21 = lim
1x
xx
rarr
+
( )0 0 0
0 =
1
lim ln 0 ln( lim ) 0 lim 1x x x
y luego y finalmente yrarr rarr rarr
= = =
El siguiente grupo de ejercicios pretende que el alumno afiance sus habilidades para el manejo de reglas de derivacioacuten ademaacutes mejore el manejo de expresiones algebraicas
Trabajo Praacutectico Nordm 6 Derivacioacuten Impliacutecita- Derivada de
Orden Superior11
Ejercicio 1
Halle las derivadas de las siguientes funciones impliacutecitas
1 1
ln( ) 0x xyy
minus minus =
2 3 2 35 3 ln 0x x y yminus minus =
3 ye xy e+ =
4 ln 0x x yyminus + =
5 2 35 2xy y y xy+ = + 6 ( ) 1xy sen xy+ =
11 Ejercicios tomados de N Piskunov (1973 136-137)
7 1 1x y xy+ = +
8 2 2cos( )xy y x= +
9 2 2cos( ) 3 4y xy x+ + =
10 2 3 23 5x yminus = Ejercicio 2
Encuentra la derivada del orden indicado en cada caso 1 3 22 5 1y x x x= minus + minus Hallar y
2 5 3y x= Hallar y
3 6y x= Hallar (6)y
4 ncy
x= Hallar y
5 2 2y a x= minus Hallar y
6 2y x= Hallar y
7 2
x xa aay e e
minus = +
Hallar y
Ejercicio 3
Empleando regla de la cadena derivar las siguientes funciones
1 2
23
3 1ln 1
3
xy x arctgxx
minus= + + +
2 2
221 2 2
ln 211 2
x x xy arctgxx x
+ += +
minusminus +
3 2
21
cos1
n
nxy arcx
minus=
+
4 23 5cos
senxy arctgx
=+
5 y arcsen senx=
6 2 2 2 xy x a x a arcsena
= minus +
13 MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCIOacuteN
Para determinar los maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten es necesario conocer algunas caracteriacutesticas de ella como por ejemplo cuando es creciente o decreciente Basaacutendonos en la bibliografiacutea de Laacutezaro Carrioacuten (2000 108) podemos observar las definiciones siguientes
DEFINICIOacuteN 10
DEFINICIOacuteN 11
131 CRITERIOS PARA EXTREMOS RELATIVOS
Laacutezaro (200 113-114) nos muestra los criterios de la primera y segunda derivada para encontrar los maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten
Una funcioacuten ( )f x es creciente sobre un intervalo I cuando se cumple que
1 2 1 2 1 2( ) ( ) si x x f x f x x x Ilt rArr lt forall isin
(Laacutezaro 2000 108)
Una funcioacuten ( )f x es decreciente sobre un intervalo I cuando se cumple que
1 2 1 2 1 2( ) ( ) si x x f x f x x x Ilt rArr gt forall isin
(Laacutezaro 2000 108)
1 CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA
Sea c un punto criacutetico de ( )f x donde ( ) 0f x = oacute ( )f c no existe Si existe una vecindad de ( ) c V c c cδ δ δ= minus + donde ( )f x es continua en ( )V cδ y derivable en ( )V cδ excepto tal vez en c 1 Si ( ) 0 ( ) 0 f x x c c f x x c cδ δgt forall isin minus and lt forall isin + ( )f crArr
es un maacuteximo relativo de f 2 Si ( ) 0 ( ) 0 f x x c c f x x c cδ δlt forall isin minus and gt forall isin + ( )f crArr
es un maacuteximo relativo de f
3 si ( ) 0 ( ) 0 f x x c c f x x c cδ δgt forall isin minus and gt forall isin + or
( ) 0 ( ) 0 f x x c c f x x c cδ δlt forall isin minus and lt forall isin + ( )f crArr
no es maacuteximo ni miacutenimo relativo de f
Veamos algunos ejemplos que son de aplicacioacuten del criterio dado Ejemplo 19
Sea la funcioacuten
( )
5 3
5
3 5 54 2( ) 2 4 2 2 5
5 5x
x x xf x x x
x e xminus
minus + + lt= minus minus + le lt
minus ge
Hallar los maacuteximos y miacutenimos de esta funcioacuten Solucioacuten
( )Dom f =real ( )f x real es continua en todo definiendo el valor absoluto en f tenemos lo siguiente
5 3
5
3 5 54 22( 4) 2 2 4
( )2( 4) 2 4 5
(5 ) 5x
x x xx x
f xx x
x e xminus
minus + + lt
minus + le lt= minus minus + le lt minus ge
ahora encontramos la derivada de
la funcioacuten ( )f x
2
5
15 ( 1)( 1) 22 2 4
( )2 4 5
( 6) 5x
x x x xx
f xx
x e xminus
minus minus + lt
le lt= minus le lt minus ge
Encontrando los puntos criacuteticos tenemos 0 112456minus Luego de evaluar algunos puntos en los intervalos generados con los puntos criacuteticos de la funcioacuten tenemos que
( 1) 52f minus = es miacutenimo relativo ( )f x (0) 54f = no es maacuteximo ni miacutenimo de ( )f x (1) 56f = es un maacuteximo relativo de ( )f x (2) 2f = minus es miacutenimo relativo ( )f x (4) 2f = es un maacuteximo relativo de ( )f x (5) 0f = no es maacuteximo ni miacutenimo de ( )f x
1(6)f
e= es miacutenimo relativo ( )f x
2 CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA Sea ( )f x una funcioacuten derivable en un entorno de c Si ( ) 0f c = and si ( )f c existe entonces 1) Si ( ) 0 ( ) es un maacuteximo relativo de f c f c flt rarr
2) Si ( ) 0 ( ) es un miacutenimo relativo de f c f c fgt rarr El siguiente ejemplo muestra la funcionalidad del criterio y se espera que el alumno reflexione acerca de las diferencias entre la aplicacioacuten de ambos
Ejemplo 20
Sea la funcioacuten ( ) 2cos cos 2 f x x x x= minus isinreal encontrar los maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten Solucioacuten
Derivando la funcioacuten se tiene
( ) 2 2 2 2 (1 2cos )f x senx sen x senx x= minus + = minus minus luego los puntos singulares (criacuteticos) son De ( ) 0f x = se tiene 2 (1 2cos ) 0senx xminus minus = resolviendo la
ecuacioacuten tenemos que 0 ( 1) 0ordmnsi senx x n nπ π= rarr = + minus = ademaacutes
( ) 11 2cos 0 arccos
2si x x minus = rarr =
52 2
3 3siendo x n x nπ π
π π= plusmn or = plusmn
Luego los puntos criacuteticos son 5 2 2
3 3n n nπ ππ π π + +
La segunda derivada es 2( ) 2 4cos cos 2f x x x= minus minus
Se cumplen a) ( ) 0f n fπ gt rarr tiene miacutenimos relativos en x nπ=
b) ( 2 ) 03
f n fππ+ lt rarr tiene maacuteximos relativos en 2
3x nπ
π= +
c) 5( 2 ) 0
3f n fπ
π+ lt rarr tiene maacuteximos relativos en 52
3x nπ
π= +
El trabajo de aplicaciones que se deja a continuacioacuten tiene la finalidad de aplicar los criterios para hallar maacuteximos y miacutenimos pero es necesario indicar sin restarle mayor importancia a lo anterior que es una bueno oportunidad para que el alumno ponga en praacutectica el trabajo de cambio de registros
Trabajo Praacutectico Nordm 7 Aplicaciones de las derivadas a los Maacuteximos y Miacutenimos de una funcioacuten
Costo Miacutenimo- Una plataforma petroliacutefera estaacute 2 Km mar adentro y la refineriacutea 4 Km costa abajo Si el costo del metro del oleoducto es doble en el mar que en la tierra firme iquestQueacute trayecto debe tener el oleoducto para minimizar el costo
Ejercicio 1
Beneficio Maacuteximo- El beneficio de cierta empresa es Ejercicio 2
21230 20
2P s s= + minus donde s es la cantidad (en cientos de doacutelares)
gastada en publicidad iquestQueacute valor de s hace maacuteximo el beneficio
Cierta empresa de material fotograacutefico oferta una maacutequina que es capaz de revelar y pasar a papel 155 fotografiacuteas por minuto Sin embargo sus cualidades se van deteriorando con el tiempo de forma que el nuacutemero de fotografiacuteas por minuto seraacute funcioacuten de la antiguumledad de la maacutequina de acuerdo a la siguiente expresioacuten (
Ejercicio 3
( )f x representa el nuacutemero de fotografiacuteas por minuto cuando la maacutequina tiene x antildeos)
155 11 0 5( ) 5 45
52
x x si xf x x si x
x
minus le le= +
gt +
a) Estudiar la continuidad de la funcioacuten ( )f x
b) Comprobar que el nuacutemero de fotografiacuteas por minuto decrece con la antiguumledad de la maacutequina Justificar que si tiene maacutes de 5 antildeos revelaraacute menos de 10 fotografiacuteas por minuto
c) Justificar que por muy vieja que sea la maacutequina no revelaraacute menos de 5 fotografiacuteas por minuto
Se ha construido una presa de almacenamiento de agua cuyos costes de mantenimiento diarios son una funcioacuten de la cantidad de agua que la misma tiene almacenada Tales costes (en doacutelares) vienen dados por la siguiente expresioacuten (
Ejercicio 4
( )C x representa el coste si el volumen de agua en millones de metros cuacutebicos es x )
3 2( ) 8 73C x x x x= + minus + a) encontrar el volumen diario de agua oacuteptimo que debe mantenerse para minimizar costes b) calcular el coste miacutenimo diario que supone el mantenimiento de la instalacioacuten Si un diacutea la presa tiene almacenados 3 millones de metros cuacutebicos de agua iquestcuaacutento se ha gastado de maacutes respecto del coste miacutenimo
Un taller artesanal estaacute especializado en la produccioacuten de cierto tipo de juguetes Los costos de fabricacioacuten
Ejercicio 5
( )C x en soles estaacuten relacionados con el nuacutemero de juguetes fabricados x a traveacutes de la siguiente expresioacuten 2( ) 10 2000 250000c x x x= + + El precio de venta de 8000 soles a) Plantear la funcioacuten de ingreso que obtiene el taller con la venta de
los juguetes producidos b) Plantear la funcioacuten de beneficio entendidos como diferencia entre
ingresos y costos de fabricacioacuten c) iquestCuaacutentos juguetes debe fabricar para maximizar beneficios iquestA
cuanto ascenderaacuten estos beneficios
Se ha investigado el tiempo (T en minutos) que se tarda en realizar cierta prueba de atletismo en funcioacuten del tiempo de entrenamiento de los deportistas (x en diacuteas) obtenieacutendose que
Ejercicio 6
3000 30
30( )1125
2 30( 5)( 15)
si xxT x
xx x
le le += + gt minus minus
a) Justificar que la funcioacuten T es continua en todo su dominio b) iquestSe puede afirmar que cuaacutento maacutes se entrene un deportista
menor seraacute el tiempo en realizar la prueba iquestAlguacuten deportista tardaraacute maacutes de 10 minutos en finalizar la prueba
c) Por mucho que se entrene un deportista iquestseraacute capaz de hacer la prueba en menos de 1 minuto iquestY en menos de 2
Un individuo ha invertido en acciones de cierta compantildeiacutea durante los uacuteltimos 10 antildeos El valor de su cartera a lo largo del tiempo (dinero invertido maacutes beneficios obtenidos en miles) viene dado por la siguiente expresioacuten (x en antildeos)
Ejercicio 7
2( ) ( 2) (1 2 ) 252 116 0 10f x x x x si x= minus minus + + le le a) Determinar los intervalos de tiempo en que la cartera crecioacute y
aquellos en que decrecioacute b) El individuo retira sus ingresos transcurridos 10 antildeos iquestCuaacutel hubiera
sido el mejor momento para haberlo hecho iquestCuaacutento pierde por no haberlo retirado en el momento oacuteptimo
El rendimiento (medido de 0 a 10) de cierto producto en funcioacuten del tiempo de uso (x en antildeos) viene dado por la siguiente expresioacuten
Ejercicio 8
2
3( ) 85 0
1
xf x xx
= + ge+
a) iquestHay intervalos de tiempo en los que el rendimiento crece iquestY en queacute decrece iquestCuaacuteles son
b) iquestEn queacute punto se alcanza el rendimiento maacuteximo iquestCuaacutento vale c) Por mucho que pase el tiempo iquestpuede llegar a ser el rendimiento
inferior al que el producto teniacutea cuando era nuevo
El peso que una plancha de cierto material es capaz de soportar depende de la edad de la misma seguacuten la siguiente funcioacuten (el peso P en toneladas t representa la edad en antildeos de la plancha)
Ejercicio 9
250 0 3( ) 20
56 31
t tP t t t
t
minus le le=
minus gt +
a) iquestEs el peso una funcioacuten continua con la edad Seguacuten vaya pasando el tiempo iquestla plancha cada vez aguantaraacute menos peso
b) Dicen que por mucho tiempo que transcurra la plancha siempre aguantaraacute maacutes de 40 toneladas iquestEstaacutes de acuerdo
c) Esboza un dibujo de la graacutefica de P (t) cuidando la concavidad y convexidad de la funcioacuten
El servicio de traumatologiacutea de un hospital va a implantar un nuevo sistema que pretende reducir a corto plazo las listas de espera Se preveacute que a partir de ahora la siguiente funcioacuten indicaraacute en cada momento (t en meses) el porcentaje de pacientes que podraacute ser operado sin necesidad de entrar en lista de espera
Ejercicio 10
2 8 50 0 10( ) 38 100
1004
t t si tp t t si t
t
minus + le le= minus
gt
a) iquestA partir de queacute momento creceraacute este porcentaje Por mucho tiempo que pase iquesta queacute porcentaje no se llegaraacute nunca
b) Haz un esbozo de la graacutefica de la funcioacuten P a lo largo del tiempo 24 LA INFORMAacuteTICA COMO RECURSO
La informaacutetica vista como recurso y no como fin contribuye en la ensentildeanza de la Matemaacutetica a una reconceptualizacioacuten de los planes y programas de estudio para pasar de un modelo masivo unidireccional centrado en el profesor a un modelo mas individualizado centrado en el estudiante
Esto facilita el desarrollo del pensamiento creador de los estudiantes ya que bull Las operaciones automaacuteticas los ayudan a realizar tareas
conceptuales maacutes importantes bull No tienen que ser necesariamente buenos algebraicamente para
dominar el pensamiento abstracto
bull Se le desarrollan gran cantidad de habilidades a traveacutes de la ejercitacioacuten
bull Se le facilita el trabajo independiente bull Pueden dar respuestas maacutes raacutepidas precisas y veraces a los
problemas de la especialidad que se le presenten en el transcurso de sus estudios
bull Tienen la posibilidad de dedicar maacutes tiempo a la modelacioacuten matemaacutetica y al anaacutelisis de la solucioacuten de los diversos problemas a resolver
El grupo experimental es de la Escuela de Ingenieriacutea Industrial y podemos decir que para ellos la computacioacuten no es una herramienta fundamental de trabajo para resolver problemas matemaacuteticos Aquiacute los estudiantes realizaraacuten acciones con la computadora que les reporten beneficios en ahorro de tiempo confiabilidad en los resultados matemaacuteticos ahorro de esfuerzo productividad etc En la competencia del siacutelabo se puede leer Interpreta formula y resuelve problemas de contexto real utilizando definiciones teacutecnicas y aplicaciones del caacutelculo Diferencial desarrollando comunicacioacuten investigacioacuten razonamiento y manifestando confianza flexibilidad y perseverancia De aquiacute se desprende la idea de utilizar programas en esta carrera especiacuteficamente ldquoDERIVErdquo Utilizando este paquete el estudiante puede resolver problemas de aplicacioacuten con mayor precisioacuten y rapidez obteniendo respuestas oacuteptimas y asiacute influir positivamente en la toma de decisiones Por esta razoacuten es necesario un replanteamiento en la ensentildeanza de la matemaacutetica donde lo primordial seraacute
1 Asimilacioacuten de conceptos y definiciones por parte de los estudiantes para aplicarlos a la modelacioacuten de problemas
2 Reduccioacuten sensible de los caacutelculos manuales en elementos del calculo diferencial lo que posibilita impartir mayor cantidad de conocimientos en menor tiempo
3 Elaboracioacuten de pruebas parciales y finales donde el estudiante modele problemas y luego los resuelva usando empleando DERIVE
Esto no significa de ninguna manera que el estudiante no tenga que resolver ejercicios donde aplique los conocimientos adquiridos sin
usar la computacioacuten Pues si lo haraacute y un grado de complejidad donde no sea necesario el uso de los medios de computo En la vida praacutectica el ingeniero se encuentra con situaciones problema inherente a su campo de accioacuten algunas de las cuales pueden ser modeladas con ayuda de un software matemaacutetico Dado un problema se debe 1 Analizarlo profundamente con la finalidad de recoger la mayor cantidad de informacioacuten posible 2 Hacer el planteamiento del problema en cuestioacuten teniendo en cuenta el punto 1 3 Modelarla usando un modelo que se ajuste a la situacioacuten 4 Solucionarla Para ello se puede usar
- Tablas matemaacuteticas - Calculadoras de mano - Computadoras
5 Interpretar los resultados 6 Tomar una decisioacuten Como se puede observar faacutecilmente los puntos del 1 al 6 con excepcioacuten del 4 responden al pensamiento creador y el 4 corresponde al uso del computador De todas formas esto no resta importancia al creciente uso de la computacioacuten en la matemaacutetica Ambos aspectos estaacuten muy vinculados La computacioacuten como herramienta ahorra el tiempo que el estudiante puede utilizar sin liacutemites para desarrollar el pensamiento creador En general se han realizado varias actividades con el uso del ldquoDeriverdquo que han fortalecido el proceso de ensentildeanza-aprendizaje en la especialidad entre las cuales se pueden mencionar 1 Clases praacutecticas en el laboratorio de la Escuela donde la
profesora guiacutea el proceso 2 Clases praacutecticas donde soacutelo se modela el problema y el
estudiante lo resuelve en tiempo extra con la ayuda de la maacutequina
3 Tareas donde el estudiante se ve precisado a utilizar la maacutequina para obtener respuestas raacutepidas y eficientes
4 Tareas sistemaacuteticas de problemas de cierta complejidad los cuales se les hariacutea muy difiacutecil resolverlos manualmente
5 Pruebas integradoras de Matemaacutetica y Computacioacuten donde la matemaacutetica ofrece el modelo para resolverla y la computacioacuten ofrece el paquete para encontrar una solucioacuten oacuteptima
6 Talleres donde la solucioacuten de los problemas es con ayuda de la computadora En estos talleres se puede observar que el estudiante tiene la necesidad de aplicar conceptos estudiados en clases para modelar e interpretar los problemas que se le presentan que en ocasiones son de caraacutecter integrador pues tienen que aplicar conceptos matemaacuteticos como Liacutemite Derivada entre otros para modelar uno soacutelo de ellos por lo tanto el uso del Derive en este caso fue esencial y muy provechoso
241 EL SOFTWARE EDUCATIVO EN EL PROCESO DE
ENSENtildeANZA APRENDIZAJE
El efecto del uso de software educativos en el proceso de ensentildeanza aprendizaje se manifiesta en un cambio de paradigma pedagoacutegico centrado en el aprendizaje maacutes que en la ensentildeanza donde el trabajo del docente prioriza la organizacioacuten y disposicioacuten de los contenidos de aprendizaje asiacute como la organizacioacuten del aprendizaje de los alumnos mediante tareas individuales y en grupo con un permanente seguimiento por parte del docente Es un modelo de formacioacuten centrado en problemas en el que los alumnos no son receptores pasivos de informacioacuten sino que deben resolver problemas utilizando para ello los contenidos adquiridos El uso del software educativo haraacute de la clase un lugar privilegiado de ensentildeanza ya que se convertiraacute en un conjunto muacuteltiple de entornos en aprendizajes en los que el alumnado pueda desarrollar y adquirir el conjunto de habilidades saberes y actitudes necesarias para vivir en sociedad Este hecho conlleva la necesidad de generar nuevos saberes pedagoacutegicos en relacioacuten con la planificacioacuten y el seguimiento del aprendizaje del alumnado en situaciones diversas
242 LA INTRODUCCION DE SOFTWARE DE
MATEMATICA EN LA EDUCACION MATEMATICA
Uno de los propoacutesitos de la educacioacuten matemaacutetica es formar al estudiante para que adquiera fluidez representacional
entendida esta como la representacioacuten verbal graacutefica geomeacutetrica tabular icoacutenica algebraica pictoacuterica mediante la que exprese conceptos y procedimientos matemaacuteticos El aprendizaje significativo se da traveacutes de la solucioacuten de situaciones problema donde el estudiante aprende cuando domina diferentes sistemas de representacioacuten Hoy en diacutea las nuevas tecnologiacuteas han cambiado profundamente el mundo de las matemaacuteticas y el de las ciencias ya que no soacutelo han afectado las preocupaciones propias de su campo y la perspectiva como eacuteste se ve sino tambieacuten el modo en que las ciencias y las matemaacuteticas se hacen se ensentildean y se transmiten Como sentildeala Zabalza (2003) ldquoLa incorporacioacuten de las nuevas tecnologiacuteas a la didaacutectica universitaria situacutea a los docentes ante el enorme desafioacute de las nuevas modalidades de ensentildeanzardquo Introducir la tecnologiacutea en el campo de la educacioacuten definitivamente aumenta las posibilidades de mejorar el rendimiento acadeacutemico en particular en la educacioacuten matemaacutetica se incrementa la manera de representar los conceptos matemaacuteticos pero es necesario considerar que ello podriacutea incrementar el riesgo de los problemas de comunicacioacuten pues los alumnos podriacutean estar expuestos a tomar la notacioacuten del software que emplean como notacioacuten algebraica formal a pesar que se les pida que consideraran que cada software tienen diferentes maneras de expresar los conceptos matemaacuteticos parece que ayudariacutea que las notaciones que usa la tecnologiacutea se fueran ajustando maacutes a las usadas en el aacutelgebra Esto es un riesgo que vale la pena tomar en cuenta al momento de hacer nuestras programaciones y que no debe hacernos desistir de emplear este recurso para lograr los objetivos propuestos El Derive es una potente herramienta computacional para el desarrollo del pensamiento variacional pensamiento que estaacute relacionado con los demaacutes pensamientos matemaacuteticos permite al estudiante concentrar esfuerzos en el razonar solucionar y formular problemas asiacute como en verificar teoremas y propiedades matemaacuteticas y geomeacutetricas
243 EL PROGRAMA CIENTIacuteFICO DERIVE
DERIVE es un programa de matemaacuteticas capaz de procesar variables expresiones ecuaciones funciones vectores y matrices Al igual que una calculadora cientiacutefica sirve para trabajar con nuacutemeros Puede realizar caacutelculos numeacutericos y simboacutelicos con aacutelgebra trigonometriacutea y anaacutelisis ademaacutes de representaciones graacuteficas en dos y tres dimensiones El aspecto maacutes sobresaliente de Derive es su trabajo simboacutelico unido a sus capacidades graacuteficas Es una herramienta excelente para hacer y aplicar matemaacuteticas y para aprender y ensentildear matemaacuteticas Esto lo convierte en un paquete matemaacutetico idoacuteneo para los primeros cursos de la carrera DERIVE es uno de esos programas de caacutelculo simboacutelico quizaacute el maacutes difundido y popular porque en su modalidad maacutes sencilla funcionaba en cualquier PC sin necesidad de que tuviera disco duro y ocupaba soacutelo un diskette Hoy Derive sigue siendo un pequentildeo programa que ocupa poco maacutes de 3 Mb y que sigue siendo muy accesible e intuitivo
244 CAPACIDADES DEL PROGRAMA DERIVE
Conocer las capacidades del programa nos serviraacute para pensar en sus aplicaciones docentes Cuanto mejor se conozca el programa incluyendo sus novedades tanto mejor se puede incorporar a diversos aspectos de la ensentildeanza Derive como una herramienta computacional permite bull La construccioacuten exploracioacuten manipulacioacuten directa y
dinaacutemica de objetos en pantalla que conducen en un nivel bajo a la elaboracioacuten de conjeturas en un nivel medio a la argumentacioacuten y un nivel superior a la realizacioacuten de demostraciones
bull Las representaciones cuantitativas geomeacutetricas tabulares algebraicas y graacuteficas en forma dinaacutemica es decir que al variar un elemento o argumento en la expresioacuten original se produce una variacioacuten de dependencia entre las variables posibilitando asiacute el anaacutelisis y la generalizacioacuten de conceptos
bull La representacioacuten graacutefica en dos y tres dimensiones dando la posibilidad de realizar transformaciones y de asociar figuras con objetos fiacutesicos para pasar a un nivel de conceptualizacioacuten maacutes elevado
bull Problematizar lo visual de tal forma que surja la necesidad de examinar conjeturar predecir y verificar es decir da al estudiante la posibilidad de pensar y de preguntar sobre el porque de determinados hechos llevaacutendolo a la exploracioacuten de otras situaciones
bull La correlacioacuten de lo geomeacutetrico con lo algebraico
En el plan de Estudios de las asignaturas de Loacutegico Matemaacutetica Matemaacutetica I y Matemaacutetica II de la Universidad Cesar Vallejo se desarrollan temas en los cuales el uso de derive seria de mucha ayuda desde este punto puedo mencionar que derive permite trabajar bull Operaciones con vectores matrices y determinantes bull Resolucioacuten de ecuaciones y de sistemas de ecuaciones bull Calculo de Liacutemites derivadas integrales (definidas e
indefinidas) series liacutemites polinomios de Taylor bull Representacioacuten graacutefica de funciones en forma expliacutecita
impliacutecita parameacutetrica y en coordenadas polares Asiacute como la representacioacuten de funciones de dos variable
bull Operaciones con polinomios y fracciones algebraicas y muchas otras
bull Ademaacutes es posible programar funciones que usen las distintas capacidades del programa de modo que aumenta asiacute sensiblemente el espectro de sus aplicaciones DERIVE se suministra con varios ficheros de funciones para propoacutesitos diversos como resolver ecuaciones diferenciales trabajar en Aacutelgebra Lineal etc
245 LABORATORIOS PARA EL APRENDIZAJE DEL
CALCULO DIFERENCIAL EMPLEANDO DERIVE
El contenido de las praacutecticas de laboratorio es ldquoautosuficienterdquo en el sentido que no son precisos conocimientos previos de informaacutetica por parte del alumno
CAPIacuteTULO III
METODOLOGIacuteA DE LA INVESTIGACIOacuteN
31 PARADIGMA DE INVESTIGACIOacuteN
El paradigma de esta investigacioacuten es de tipo positivista tambieacuten denominado (Arnal 1996) paradigma cuantitativo empiacuterico-analiacutetico racionalista Basado en la escuela filosoacutefica del positivismo (Arnal 1996) y que presenta Arnal (199641) citando a Koetting (1994 296) las siguientes caracteriacutesticas 1 Su intereacutes es explicar controlar y predecir 2 La naturaleza de su realidad es dada tangible fragmentada
convergente 3 La relacioacuten sujetoobjeto es independiente neutral libre de
valores 4 Su propoacutesito es la generalizacioacuten libre de contexto con
explicaciones centradas en deducciones y centradas sobre semejanzas
5 la explicacioacuten de la causalidad refiera a causas reales Arnal (1996 41) nos dice ldquoEste paradigma lleva asociado el peligro de reduccionismo al aplicarse al aacutembito educativo Si bien permite satisfacer ciertos criterios de rigor metodoloacutegico sacrifica el estudio de otras dimensiones sustantivas del hecho educativo como realidad humana sociocultural e incluso poliacutetica e ideoloacutegicardquo
32 TIPO DE INVESTIGACIOacuteN
Positivista ndash experimental 33 POBLACIOacuteN
Poblacioacuten Los alumnos de la asignatura de Matemaacutetica I de la Universidad Ceacutesar Vallejo durante el segundo semestre 2006 Son en total 46 alumnos Se tomaraacute en cuenta el promedio final al terminar cada ciclo Semestre 2006 ndash II
34 HIPOacuteTESIS ESTADIacuteSTICAS
0 M MH micro micro= (Hipoacutetesis Nula)
1 M MH micro microne (Hipoacutetesis de la investigacioacuten) Donde
Mmicro Nota promedio de los alumnos de la asignatura de Matemaacutetica I Seccioacuten A aula 412 del semestre 2006 II que emplearon el software DERIVE
Mmicro Nota promedio de los alumnos de la asignatura de Matemaacutetica I Seccioacuten B aula 413 del semestre 2006 II que no que emplearon el software DERIVE
35 VARIABLES
Variable Independiente Programa DERIVE Variable Dependiente Rendimiento acadeacutemico de los alumnos Variables Intervinientes Asistencia a clases horarios tipo de contenidos
36 DISENtildeO DE INVESTIGACIOacuteN
El presente trabajo de investigacioacuten se desarrollaraacute en los ambientes de la Universidad Cesar Vallejo en la Escuela de Ingenieriacutea Industrial y de Sistemas en la asignatura de Matemaacutetica I Ademaacutes se emplearaacute el laboratorio de coacutemputo 305 donde se ha instalado el software DERIVE
El disentildeo empleado es de tipo experimental Hernaacutendez Sampieri (2003 188) nos dice ldquoLa esencia de esta concepcioacuten de ldquoexperimentordquo es que requiere la manipulacioacuten intencional de una accioacuten para analizar sus posibles efectosrdquo Bajo esta idea se tiene la presencia de dos variables una independiente la cual consiste en el uso del software DERIVE como recurso didaacutectico para mejorar el rendimiento acadeacutemico de los alumnos de Ingenieriacutea de Sistemas y la otra llamada dependiente que en este caso es el rendimiento acadeacutemico El disentildeo implica ademaacutes la presencia de dos grupos de los cuales soacutelo uno seraacute expuesto a la presencia de la variable independiente a este grupo le llamaremos grupo experimental y estaraacute formado por los alumnos de la Escuela de Ingenieriacutea Industrial (aula 412) el otro recibiraacute el nombre de grupo de control y lo conformaraacute los alumnos de la Escuela de Ingenieriacutea Sistemas (Aula 413) Al finalizar el proceso de investigacioacuten se compararaacuten ambos para determinar si el grupo que ha sido expuesto a la variable independiente difiere del otro Basada en la tipologiacutea de Cambell y Stanley (1966) empleareacute la simbologiacutea de un disentildeo cuasiexperimental con una preprueba - posprueba y grupo de control siendo el esquema el siguiente
1 1 2
2 3 4
0 0
0 _ 0
G X
G
Para el caso de este trabajo el resultado de la preprueba consiste en el promedio de la primera unidad ya que la investigacioacuten se realizaraacute en la segunda unidad del curso de manera que las notas de la primera unidad seraacuten de importancia en el inicio de esta investigacioacuten
37 TEacuteCNICAS E INSTRUMENTOS DE RECOLECCIOacuteN DE
DATOS
En los estudios experimeacutentales la teacutecnica se encuentra limitada al procedimiento para desarrollar una actividad especiacutefica y los instrumentos son las herramientas que serviraacuten para manipular el objeto de estudio La teacutecnica consiste en el desarrollo de sesiones de laboratorio usando el software DERIVE las cuales se realizaraacuten dentro de la
jornada de clases debo indicar que las clases son una vez a la semana en bloque de 5 horas iniciaacutendose a las 730 am y finalizando a las 1200 am contando con un descanso de 20 minutos a las 1000 am Cada sesioacuten con el grupo experimental seraacute trabajado en el laboratorio de computo el cual esta totalmente equipado para realizar la clase y los alumnos contaran con una guiacutea de trabajo la misma que se les entregaraacute al empezar la clase en el laboratorio Todas las guiacuteas de trabajo se encuentran en el Anexo 3 En el caso del grupo de control no hay asistencia al laboratorio los alumnos trabajaraacuten siempre en el aula y la clase se desarrollara empleando la clase magistral y el trabajo en pareja o en grupo Para la recoleccioacuten de datos he empleado praacutecticas calificadas las cuales disentildeeacute basaacutendome en la taxonomiacutea de Bloom mencionada anteriormente en el Capiacutetulo II del fundamento teoacuterico y cuyas tablas de especificaciones se encuentran en el Anexo 5 aquiacute se pueden apreciar en detalle las habilidades cognitivas y los ejes temaacuteticos que se ha evaluado asiacute como el nuacutemero de preguntas por eje temaacutetico y habilidad que se intenta evaluar luego las practicas calificadas estaacuten se encuentran en el Anexo 6
38 TEacuteCNICAS DE PROCESAMIENTO DE DATOS
Para la seleccioacuten de la teacutecnica para la prueba de hipoacutetesis se utilizaraacute la ldquo t ndashstudentrdquo
( )1 21 22 2
1 2
2p p
x xt t n n
s sn n
minus= asymp + minus
+
Donde 1n es el tamantildeo de muestra de la primera poblacioacuten 2n es el tamantildeo de muestra de la segunda poblacioacuten
11
1
n
ii
xx
n==sum
Media muestral para la muestra nuacutemero 1
12
2
n
ii
xx
n==sum
Media muestral para la muestra nuacutemero 2
( ) ( )2 21 1 2 22
1 2
1 12p
n s n ss
n nminus + minus
=+ minus
Donde
La varianza muestral de la muestra 1 es ( )
12
12 11
1 1
n
ii
x xs
n=
minus
=minus
sum
La varianza muestral de la muestra 2 es ( )
22
22 12
2 1
n
ii
x xs
n=
minus
=minus
sum
39 PROCESO DE LA INVESTIGACIOacuteN
391 DIFICULTADES EN EL APRENDIZAJE DEL CAacuteLCULO DIFERENCIAL
Para este trabajo de investigacioacuten he tomado dos grupos uno corresponde a la Escuela de Ingenieriacutea Industrial al que llamareacute Grupo Experimental y el otro corresponde a la Escuela de Ingenieriacutea de Sistemas al que llamareacute Grupo de Control Es importante que mencione que aun cuando los dos grupos corresponden al segundo ciclo y esta asignatura sea igual para ambas escuelas sus planes de estudio no son los mismos Una dificultad que presentan los alumnos se encuentra en la base de los contenidos que traen consigo realizan algunos errores al emplear fundamentos algebraicos lo cual es necesario para el trabajo con funciones liacutemites y derivadas esto no me permite desarrollar los contenidos de acuerdo a las fechas que se programan en el siacutelabo y por lo general debe reprogramar mis clases o trabajar algunas horas aparte de las asignadas al menos en la primera parte del curso donde se trabaja mucho con funciones y sus graacuteficas
392 RENDIMIENTO ACADEacuteMICO
Respecto al rendimiento acadeacutemico considero necesario presentar en el Anexo 2 el registro de evaluaciones de la primera unidad donde se puede apreciar el rendimiento de los alumnos El grupo de Ingenieriacutea de Sistemas consta de los 32 alumnos de los cuales siete se han retirado del curso reservando su matriacutecula En el grupo de Ingenieriacutea Industrial consta de 19 alumnos de los cuales solo una alumna se retiro del curso Este antildeo es el primero para la escuela de Ingenieriacutea Industrial en la filial de Piura este grupo corresponde a la primera promocioacuten menciono esto porque es la primera vez que dicto el curso para alumnos de esta especialidad
393 PROPUESTA DIDAacuteCTICA
1 TEMA Caacutelculo Diferencial 2 TIEMPO 4 semanas 3 Nordm DE HORAS SEMANALES 5 horas 4 COMPETENCIA Interpreta formula analiza y resuelve problemas de
contexto real utilizando definiciones teacutecnicas y aplicaciones del Caacutelculo Diferencial desarrollando comunicacioacuten investigacioacuten razonamiento y manifestando confianza flexibilidad y perseverancia
5 CAPACIDADES bull Refuerza empleando DERIVE el tema de Razoacuten de
Cambio en una funcioacuten bull Utiliza el software para visualizar y estudiar a traveacutes
de un pequentildeo programa el problema de la Recta Tangente
bull Observa analiza e interpreta el comportamiento de las funciones y sus derivadas a traveacutes de graacuteficas elaboradas en DERIVE
bull Resuelve problemas de aplicacioacuten de la derivada (Maacuteximos y Miacutenimos) al estudio de problemas naturales econoacutemicos sociales y tecnoloacutegicos
bull Desarrollar la capacidad de anaacutelisis criacutetico de las informaciones recibidas
6 ACTITUDES
bull Valora la importancia de la precisioacuten en el trabajo de programacioacuten
bull Demuestra seguridad orden y claridad en su trabajo bull Manifiesta la importancia de la derivada para
explicar y analizar el comportamiento de un fenoacutemeno
7 METODOLOGIacuteA DE LAS SESIONES DE CLASE La metodologiacutea consiste en explicar el fundamento teoacuterico empleando diversos recursos como diapositivas pizarra ndash plumoacuten proyector multimedia y paralelamente trabajar el laboratorio Al planificar estas sesiones se tendraacute en cuenta la competencia y las capacidades que se espera desarrollar en los alumnos Se ha insistido en la necesidad de lograr que el alumno realice un aprendizaje significativo y desempentildee un rol activo para lo cual utilizaremos guiacuteas de trabajo para el tratamiento de los contenidos programados asiacute como hojas de Evaluacioacuten de Laboratorio
8 RECURSOS HUMANOS bull Profesora de Matemaacuteticas bull Grupo Experimental Alumnos del segundo ciclo
de la Escuela de Ingenieriacutea Industrial bull Grupo de Control Alumnos del segundo ciclo de
la Escuela de Ingenieriacutea de Sistemas 9 MATERIALES
bull Centro de Coacutemputo bull Guiacuteas de Trabajo bull Hojas de Evaluacioacuten
10 PLANES DE CLASE Elaborar un plan de clase se ha convertido en una tarea importante al momento de planificar nuestras asignaturas hemos recibido algunos cursos de capacitacioacuten con la finalidad de que todos los docentes podamos manejar este instrumento que nos ayude a organizar mejor nuestro tiempo y a dosificar los
contenidos de acuerdo al tiempo establecido para cada uno de ellos en la programacioacuten oficial Manejamos el formato que presento en el Anexo 4 y en cada clase llevamos uno en nuestra carpeta docente Para este trabajo de investigacioacuten se elaboraron 4 planes de clase los cuales se pueden apreciar en el Anexo 4 Consideramos importante al momento de planificar una sesioacuten de clase conocer los diferentes tipos de actividades a desarrollar los cuales son la parte medular de la clase y los procedimientos a utilizar en cada una de ellas En nuestros planes de clase consideramos las siguientes actividades bull Actividades Iniciales
Preparan el ambiente para el aprendizaje y estimulan el intereacutes por los nuevos contenidos y facilitan su relacioacuten con los conocimientos previos de los estudiantes Tienen como propoacutesito captar la atencioacuten de los alumnos hacia las principales ideas estudiadas Se utiliza como introduccioacuten donde se sentildealan los aspectos a estudiar para despertar el intereacutes de los alumnos por el tema y desarrollar una buena disposicioacuten por temas subsiguientes Tambieacuten puede incluir una evaluacioacuten previa o diagnoacutestica del conocimiento actual las actitudes y niveles de destreza de los alumnos En este mismo sentido se puede plantear una secuencia de experiencias de aprendizajes puede incluir diferentes tipos de actividades entre las cuales se encuentran las Actividades Introductorias o de Exploracioacuten Evidencian diagnoacutestico introduccioacuten o
descubrimiento Son orientadoras Despiertan el intereacutes y la motivacioacuten A continuacioacuten se ofrecen algunos ejemplos de actividades iniciales Hacer una encuesta de las actitudes de los alumnos hacia un tema determinado y colocar los resultados en el pizarroacuten
Mostrar una peliacutecula de corto metraje Pedir a los estudiantes que entrevisten a personas que laboran en una empresa acerca del tema estudiado y discutan sus hallazgos en clase Sostener una discusioacuten en clase que muestre la forma en que se relacionan las experiencias actuales de los alumnos con lo que va a ser estudiado
bull Actividades de Proceso
Dan secuencia a las estrategias y teacutecnicas de aprendizaje para lograr los objetivos propuestos Son las estrategias de aprendizaje y teacutecnicas que ayudan a los estudiantes a extender su pensamiento acerca de un problema o tema y practicar sus destrezas recieacuten aprendidas Estas son el corazoacuten de la Unidad y ocupan la mayor parte del tiempo y la energiacutea de los estudiantes Aquiacute podemos hablar de actividades de desarrollo anaacutelisis y estudio las cuales son actividades destinadas a desarrollar diferentes aspectos del contenido para el logro de los objetivos Incluyen actividades de estudio y ejercitacioacuten Dentro de eacutesta clasificacioacuten se encuentran tambieacuten las denominadas por Taba actividades de generalizacioacuten que incluyen actividades que permiten generalizar o reconstruir lo aprendido Ejemplos de actividades de Desarrollo Solicitar a los estudiantes elaboren mapas
tablas graacuteficas modelos o secuencias cronoloacutegicas
Asignar actividades de redaccioacuten de resentildeas de libros temas cartas o informes de investigacioacuten
Invitar a especialistas sobre el tema a dar una charla
Solicitar a los estudiantes que recaben su propia informacioacuten a traveacutes de entrevistas o cuestionarios
Utilizar peliacuteculas diapositivas transparencias u otros materiales visuales
Organizar grupos pequentildeos de trabajo para que los estudiantes compartan informacioacuten Mostrar a los estudiantes la forma de desarrollar habilidades especiacuteficas y proveer actividades para la praacutectica
bull Actividades Finales Agregan y relacionan las Unidades de Aprendizaje con otras experiencias educativas y aplicaciones a situaciones nuevas Estas actividades favorecen la integracioacuten con resuacutemenes que ayuden a los estudiantes a identificar las ideas maacutes importantes de la Unidad Una actividad de culminacioacuten tambieacuten podriacutea brindar la oportunidad para que los alumnos practiquen o utilicen de forma conjunta los conocimientos habilidades y actitudes desarrolladas en unidades anteriores Aquiacute podemos mencionar a las actividades de aplicacioacuten resumen o culminacioacuten que son aquellas que propician la aplicacioacuten de lo aprendido y sirven para medir o evaluar el nivel de logro Algunos ejemplos de actividades de culminacioacuten
son Planear una puesta en comuacuten para que los estudiantes resuman lo que han aprendido en la Unidad Estimular a los estudiantes a realizar un proyecto que deacute respuesta a problemas particulares de una empresa de su trabajo o de su comunidad Producir material audiovisual presentacioacuten de grabaciones transparencias o cintas de viacutedeo en clase
11 CRITERIOS DE EVALUACIOacuteN Los criterios de evaluacioacuten corresponden a la Taxonomiacutea de Bloom seguacuten la cual se evaluacutea de acuerdo a los criterios de conocimiento comprensioacuten
aplicacioacuten anaacutelisis siacutentesis y evaluacioacuten Asiacute en las evaluaciones presentadas en el Anexo 5 presentamos las tablas de especificaciones de acuerdo a esta taxonomiacutea y a los ejes temaacuteticos que se desarrollaron en cada sesioacuten de clase y en el Anexo 6 se muestran los instrumentos de evaluacioacuten donde se ha tenido el cuidado necesario en la redaccioacuten de cada iacutetem a fin de que logre medir las capacidades sentildealadas en los planes de clase y este de acuerdo a los criterios fijados en la tabla de especificaciones
12 METODOLOGIA DE CLASE
En cuanto a la metodologiacutea indicamos que se trabaja por bloques de cinco horas pedagoacutegicas con un descanso de 20 minutos Las clases se dictan una vez a la semana y se inicia en el turno de la mantildeana de 730am hasta las 1000am en que se da lugar al descanso de veinte minutos para retomar a las 1020am y terminar a las 1200 am Debido a la jornada de trabajo que se tiene es que el eacutexito de una sesioacuten de clases depende en parte de la habilidad del docente para programar su clase haciendo un buen uso del tiempo a fin de hacer de su clase una jornada de trabajo productivo con los alumnos Generalmente distribuyo mi tiempo entre exposicioacuten los contenidos y resolucioacuten de ejercicios en la pizarra tambieacuten invito a los alumnos a participar resolviendo algunos ejercicios y problemas para luego explicar lo que han trabajado a sus compantildeeros Otras de las estrategias empleadas es la solucioacuten de Trabajos Praacutectico en clase y de forma grupal despueacutes de ello siempre se presentan las soluciones a todo el grupo He dejado un trabajo encargados en la primera unidad que mas que ser un trabajo de investigacioacuten de alguacuten contenido matemaacutetico se refirioacute a la lectura de la novela ldquoCriacutemenes Imperceptiblesrdquo de Guillermo Martiacutenez Matemaacutetico y escritor argentino esta novela posee un contenido matemaacutetico y en su momento
sirvioacute para reconocer que en las matemaacuteticas no todo es solucioacuten de ejercicios y problemas Con el grupo experimental trabajeacute sesiones de laboratorio incluidas dentro de las horas de clase PRIMERA CLASE
Esta es la primera clase sobre Derivadas con el grupo de control aquiacute el desarrollo de la clase se hace siguiendo el meacutetodo de la clase magistral en la cual muestro a los alumnos el concepto de razoacuten de cambio con ayuda de diapositivas y graacuteficos elaborados en la pizarra es importante mencionar que toda la informacioacuten ellos la tienen presente en una separata disentildeada para esta clase y entregada para esa sesioacuten
Luego de la explicacioacuten en la cual los alumnos
intervienen con sus preguntas se procede a trabajar por parejas en la solucioacuten del primer trabajo praacutectico que aparece en la separata para esto se asigna a cada pareja formada un problema un tiempo de 15rsquo para resolverlo y entregarlo para su posterior correccioacuten en plenaria A continuacioacuten los alumnos exponen la solucioacuten de los 4 problemas en la pizarra
Luego empleando nuevamente el meacutetodo expositivo dando lugar a las preguntas de los alumnos y haciendo a la vez algunas interrogantes para comprobar su comprensioacuten presente los contenidos referidos a a) Razoacuten de cambio y el problema de la recta tangente a una curva b) Definicioacuten de derivada c) Presentacioacuten de graacuteficos de funciones y sus derivadas Resolvimos algunos ejercicios de los trabajos praacutecticos Nordm2 y Nordm3 en la pizarra y los demaacutes quedaron para trabajar en casa La solucioacuten de dichos ejercicios seria expuesta en la siguiente clase de forma voluntaria
Para la sesioacuten con el grupo experimental la clase se desarrollo con un inicio similar a la clase del grupo
de control mostrando las diapositivas y trabajando con ellos trabajando con ellos sobre la ideas de Razoacuten de cambio Recta tangente a una curva caacutelculo de la derivada de una funcioacuten empleando la definiciones De los Trabajos Praacutecticos Nordm1 Nordm2 y Nordm3 resolviacute en la pizarra algunos ejercicios quedando los otros como trabajo para la siguiente clase Para la sesioacuten de laboratorio prepare una guiacutea de trabajo la cual estaacute dividida en dos temas los cuales se denominan bull Razoacuten de cambio y problema de la recta tangente bull Caacutelculo y grafica de la derivada de una funcioacuten Esta guiacutea de trabajo usa el programa DERIVE y pretende reforzar los conocimientos adquiridos en las clases acerca de los temas de razoacuten de cambio recta secante y tangente a una curva ademaacutes del caacutelculo de la derivada empleando la definicioacuten y el uso de los comandos Lim (liacutemite) y DIF (derivada) propios de DERIVE Considero importante comentar que el uso de programa permitioacute a los alumnos recordar la teoriacutea de graacutefico de funciones estudiada en la primera unidad la cual les sirvioacute de base para comprender el comportamiento de las graacuteficas de las funciones y sus derivadas ademaacutes se dieron indicaciones sobre el uso de sentencias loacutegica como IF ndash THEN para elaborar pequentildeos programas usando DERIVE pues una de las tareas era elaborar un pequentildeo programa que les permitiera ingresar una funcioacuten y un intervalo y que de como resultado la grafica de todas las rectas secantes en un intervalo establecido hasta llegar a la tangente en un punto extremo del intervalo o en cualquier punto del mismo SEGUNDA CLASE
Con el grupo de control el meacutetodo empleado es deductivo las estrategias para el desarrollo de la clase se combinaron entre la exposicioacuten y participacioacuten activa de los alumnos para tratar de deducir algunos conceptos o ideas y luego a traveacutes de la solucioacuten de
ejercicios reforzar los conocimientos Los ejercicios se trabajan en parejas Se presentoacute las primeras reglas de derivacioacuten y luego se resolvieron ejercicios de caacutelculo de derivadas empleando las reglas Ademaacutes de calcular derivadas de orden superior Se continuoacute con el anaacutelisis de las derivadas de algunas funciones sencillas por la facilidad para realizar sus graacuteficas A los alumnos se les dejoacute como tarea la solucioacuten de los trabajos praacutecticos Nordm 4 Con respecto al grupo experimental se presentaron los mismos contenidos y en la parte del laboratorio sirvioacute baacutesicamente para trabajar el anaacutelisis graacutefico de funciones y adelantando un poco gracias el manejo del programa calculamos no solo la primera sino tambieacuten las segundas terceras entre otras derivadas de algunas funciones El trabajar con las graacuteficas de la primera y segunda derivada permitioacute a los alumnos ir teniendo ideas sobre la relacioacuten entre la derivada de una funcioacuten y su graacutefica lo cual seraacute el tema de la siguiente sesioacuten Asiacute mismo recordamos conceptos estudiados en la primera parte del curso como son el de funcioacuten creciente y decreciente ademaacutes de relacionar los signos de la derivada para comprobar que una funcioacuten sea o no creciente TERCERA CLASE
Esta clase tanto para el grupo de control como para el grupo experimental es la misma no incluye el desarrollo de un laboratorio para el grupo experimental y la razoacuten es porque en esta sesioacuten se concluye con la presentacioacuten de todas las reglas de derivacioacuten se trabajaron los temas de derivadas de funciones trigonomeacutetricas sus inversas exponenciales y logariacutetmicas Ademaacutes regla de cadena funciones impliacutecitas derivadas de orden superior
Esta clase tiene la mayor parte del tiempo destinada a la praacutectica en clase pues los ejercicios que
se plantean tienen como finalidad que el alumno aprenda a distinguir las reglas de derivacioacuten y sobre todo reconozca cuando emplearlas
CUARTA CLASE
Con ambos grupos se trabajaron los temas de Regla de LrsquoHospital y aplicaciones de las Derivadas el caacutelculo de Maacuteximos y Miacutenimos de una funcioacuten en el caso del grupo de control se invierte el tiempo en resolver ejercicios y problemas de forma individual grupal y en presentar la solucioacuten de los problemas en la pizarra
Con el grupo experimental si hubo laboratorio aquiacute se presentan problemas diversos de aplicacioacuten para encontrar maacuteximos y miacutenimos de funciones que quizaacutes manualmente seriacutea laboriosos derivar pero con ayuda de programa podemos hacerlo de forma inmediata dando asiacute el tiempo necesario para trabajar la interpretacioacuten de resultados y el anaacutelisis e maacuteximos y miacutenimos
En cuanto a la evaluacioacuten debo indicar que durante el tiempo que duro la experiencia se aplicaron 3 praacutecticas calificadas y un examen parcial Entonces los alumnos presentan en esta segunda unidad tres notas de praacutectica maacutes la calificacioacuten del examen parcial
13 LA EVALUACION
Al finalizar las praacutecticas con DERIVE se realizoacute un examen para evaluar los conocimientos adquiridos por los estudiantes Estos exaacutemenes fueron tres y contando con el examen parcial se pudo obtener el promedio de la segunda unidad en la asignatura
Para la realizacioacuten de los exaacutemenes y con la finalidad de que no haya diferencia en las evaluaciones se aplico el mismo examen ademaacutes fueron aplicados en un horario fuera de las horas de clase y a los dos grupos por igual y al mismo tiempo
Las praacutecticas calificadas se elaboraron de acuerdo a la tabla de especificaciones y la taxonomiacutea de Bloom La prueba tiene una duracioacuten de dos horas
El construir la tabla de especificaciones me sirvioacute para un mayor orden al momento de elaborar el banco de reactivos que evalueacute en cada uno de los temas seguacuten la importancia y el tiempo que se le dedicaron en clase
Para desarrollar esta tabla fue necesario tener en
cuenta
a) La lista de temas desarrollados b) La lista de capacidades especificas que marco cada
tema c) Una revisioacuten previa de todo el contenido Tomeacute en cuenta los niveles taxonoacutemicos de Bloom 1 Conocimiento 2 Comprensioacuten 3 Aplicacioacuten 4 Anaacutelisis - Siacutentesis ndash Evaluacioacuten
Con respecto al porcentaje este fue asignado seguacuten la importancia de los contenidos Las tablas de especificaciones para las tres praacutecticas calificadas asiacute como algunas notas sobre la taxonomiacutea de Bloom se encuentran en Anexo 5
CAPIacuteTULO IV
ANAacuteLISIS E INTERPRETACIOacuteN DE RESULTADOS
41 ANAacuteLISIS ESTADIacuteSTICO
421 RESULTADOS DEL RENDIMIENTO ACADEacuteMICO DE LOS GRUPOS EXPERIMENTAL Y DE CONTROL
El grupo Experimental inicio el semestre acadeacutemico con 19 alumnos El nuacutemero de alumnos es muy pequentildeo y me atrevo a suponer se deba al hecho de ser una especialidad nueva en la Universidad esto en comparacioacuten a la especialidad de Ingenieriacutea de Sistemas de tiene mayor tiempo Del grupo de Control que inicio el semestre con 19 alumnos el alumno 6 se retiro en la segunda unidad por problemas de salud El nuacutemero de alumnos registrados en el grupo de Control es de 32 De los 32 alumnos registrados se retiraron 7 cinco de ellos se retiraron desde la primera unidad y los otros dos en la segunda unidad Las razones del retiro de la asignatura de estos alumnos fueron de caraacutecter econoacutemico y en otros por motivos familiares y de salud
Observemos las calificaciones del promedio de la segunda unidad en ambos grupos
CALIFICACIONES DE LA SEGUNDA UNIDAD
GRUPO EXPERIMENTAL
Tabla 6
R E G I S T R O D E A S I S T E N C I A Y E V A L U A C I Oacute N
Semestre 2006 II Seccioacuten A Escuela Ingenieriacutea Industrial Aula 412
Asignatura Matemaacutetica I
Profesora Lic Diana Quintana S
E v a l u a c i o n e s 2ordm U n i d a d
Prom Ex Prom NF NP Observaciones
Nordm Apellidos y Nombres
Prac
tica
Nordm 1
Prac
tica
Nordm 2
Prac
tica
Nordm 3
Fina
l
2 Sust 2
1 Alumno 1 11 8 9 9 92 2 Alumno 2 18 17 18 20 186 3 Alumno 3 19 18 18 20 19 4 Alumno 4 13 13 12 14 132 5 Alumno 5 15 17 15 15 154 6 Alumno 6 0 0 0 0 0 Retirado 7 Alumno 7 14 9 12 12 118 8 Alumno 8 14 13 13 14 136 9 Alumno 9 12 13 10 13 122
10 Alumno 10 14 11 15 13 132 11 Alumno 11 16 18 15 15 158 12 Alumno 12 10 14 11 11 114 13 Alumno 13 8 7 7 7 72 14 Alumno 14 16 14 12 14 14 15 Alumno 15 13 12 12 14 13 16 Alumno 16 11 10 10 12 11 17 Alumno 17 11 12 11 9 104 18 Alumno 18 9 8 7 11 92 19 Alumno 19 18 13 8 17 146 20
CALIFICACIONES DE LA SEGUNDA UNIDAD
R E G I S T R O D E A S I S T E N C I A Y E V A L U A C I Oacute N
GRUPO DE CONTROL
Semestre 2006 II Seccioacuten B Escuela Ingenieriacutea de Sistemas Aula 413
Asignatura Matemaacutetica I Profesora Lic Diana Quintana S
E v a l u a c i o n e s 2ordm U n i d a d Prom Ex Prom NF NP Observaciones
Nordm Apellidos y Nombres
Prac
tica
Nordm1
Prac
tica
Nordm2
Prac
tica
Nordm3
Fina
l
2 Sust 2
1 Alumno 1 Retirado 2 Alumno 2 5 8 10 11 9 3 Alumno 3 14 6 5 10 9 4 Alumno 4 14 12 13 12 126 5 Alumno 5 0 11 5 13 84 6 Alumno 6 14 18 18 16 164 7 Alumno 7 14 15 12 13 134 8 Alumno 8 0 10 6 11 76 9 Alumno 9 0 10 6 12 8
10 Alumno 10 Retirada 11 Alumno 11 14 10 6 12 108 12 Alumno 12 14 8 6 11 10 13 Alumno 13 11 11 10 7 92 14 Alumno 14 13 10 6 10 98 15 Alumno 15 14 7 6 12 102 16 Alumno 16 12 11 13 8 104 17 Alumno 17 14 12 7 12 114 18 Alumno 18 18 18 20 18 184 19 Alumno 19 Retirada 20 Alumno 20 14 10 12 11 116 21 Alumno 21 14 10 6 11 104 22 Alumno 22 14 13 12 13 13 23 Alumno 23 Retirado 24 Alumno 24 8 20 11 11 122 25 Alumno 25 Retirado 26 Alumno 26 14 16 7 11 118
Tabla 7
Despueacutes de finalizada la investigacioacuten el grupo experimental resulto con el mayor nuacutemero de
alumnos aprobados lo cual me permite conjeturar que hipoacutetesis de la investigacioacuten si se ha logrado Pero se necesitan pruebas concretas por lo cual he empleado el software STATGRAPHICS para procesar los resultados obtenidos y de esta manera tener una mayor certeza de mis suposiciones
42 ANAacuteLISIS INFERENCIAL
421 COMPARACIOacuteN DE MEDIAS
Una medida estadiacutestica de tendencia central se utiliza para indicar un valor que tiende a tipificar o a ser el maacutes representativo de un conjunto de nuacutemeros La media es una medida de tendencia central y se define como
DEFINICIOacuteN
27 Alumno 27 14 20 5 12 126 28 Alumno 28 13 0 7 11 84 30 Alumno 29 Retirado 31 Alumno 30 14 15 9 12 124 32 Alumno 31 Retirado 33 Alumno 32 14 12 12 11 12 34
Media Aritmeacutetica La media aritmeacutetica es a veces denominada simplemente media es la suma de los valores observados de la variable dividido por el nuacutemero de observaciones
(Coacuterdova 1995 31)
Dados n valores 1 2 nx x x de la variable cuantitativa X observados en una muestra su media aritmeacutetica se calcula
utilizando la expresioacuten
n
ii
xx
n=sum
422 TABLAS DE FRECUENCIA DEL PRE TEST Y POST TEST
Presento los resultados de las pruebas Pre Test y Post Test para el grupo Experimental
RESULTADOS PRE TEST Y POST TEST
GRUPO EXPERIMENTAL
Tabla 8
Del total de 19 alumnos inscritos los cuales representan el 100 hubieron 12 desaprobados que en porcentaje representan el 632 Eacuteste porcentaje es mayor que en el otro grupo lo cual me hace decidir por este grupo de alumnos para que sea el grupo experimental Los resultados de las pruebas Pre Test y Post Test para el grupo de control son
RESULTADOS PRE TEST Y POST TEST
GRUPO DE CONTROL
Nordm Apellidos y Nombres Pre Test Post Test 1 Alumno 1 98 92 2 Alumno 2 14 186 3 Alumno 3 136 19 4 Alumno 4 102 132 5 Alumno 5 132 154 6 Alumno 6 54 RETIRADA 7 Alumno 7 10 118 8 Alumno 8 88 136 9 Alumno 9 84 122 10 Alumno 10 124 132 11 Alumno 11 13 158 12 Alumno 12 92 114 13 Alumno 13 62 72 14 Alumno 14 116 14 15 Alumno 15 102 13 16 Alumno 16 88 11 17 Alumno 17 08 104 18 Alumno 18 82 92 19 Alumno 19 114 146 Nordm Apellidos y Nombres Pre Test Post Test 1 Alumno 1 RETIRADO 2 Alumno 2 9 9 3 Alumno 3 88 9
Tabla 9
Del total de 27
alumnos inscritos los cuales representan el 100 hubieron 16 desaprobados que en porcentaje representan el 593
4 Alumno 4 136 126 5 Alumno 5 96 84 6 Alumno 6 146 164 7 Alumno 7 138 134 8 Alumno 8 74 76 9 Alumno 9 86 8 10 Alumno 10 RETIRADO 11 Alumno 11 87 108 12 Alumno 12 86 10 13 Alumno 13 86 92 14 Alumno 14 84 98 15 Alumno 15 84 102 16 Alumno 16 82 104 17 Alumno 17 11 114 18 Alumno 18 174 184 19 Alumno 19 RETIRADO 20 Alumno 20 86 116 21 Alumno 21 7 104 22 Alumno 22 122 13 23 Alumno 23 80 RETIRADO 24 Alumno 24 108 122 25 Alumno 25 8 RETIRADO 26 Alumno 26 11 118 27 Alumno 27 138 126 28 Alumno 28 8 84 29 Alumno 29 RETIRADO 30 Alumno 30 108 124 31 Alumno 31 RETIRADO 32 Alumno 32 108 12
423 RESULTADOS DEL PRE TEST ndash POST TEST CONSIDERANDO LA COMPARACIOacuteN DE MEDIAS Y LA PRUEBA t- STUDENT
Recordemos que en nuestra investigacioacuten manejamos dos hipoacutetesis estadiacutesticas las cuales son
HIPOacuteTESIS ESTADIacuteSTICAS
0 M MH micro micro= (Hipoacutetesis Nula)
1 M MH micro microne (Hipoacutetesis de la investigacioacuten o Hipoacutetesis Alternativa)
Donde
Mmicro Nota promedio de los alumnos de la asignatura de Matemaacutetica I Seccioacuten A aula 412 del semestre 2006 II que emplearon el software DERIVE
Mmicro Nota promedio de los alumnos de la asignatura de
Matemaacutetica I Seccioacuten B aula 413 del semestre 2006 II que no que emplearon el software DERIVE
Los resultados del Pre Test son las notas obtenidas en la primera unidad durante las primeras 7 semanas de clase siendo octava semana donde se realizan las evaluaciones parciales Para obtener la nota de la primera unidad los alumnos deben presentar tres praacutecticas calificadas y un examen parcial de estas notas se obtiene un promedio ponderado donde el examen parcial tiene peso 2 y las praacutecticas calificadas tienen peso 1 En cuanto a los resultados del Post Test estos son los promedios de la segunda unidad que corresponden a las siete siguientes semanas pues en la octava semana de esta segunda Unidad se aplican los exaacutemenes finales luego el promedio de ambas notas daraacute la nota del curso En ambos grupos los resultados de Pre Test se obtuvieron aplicando las mismas estrategias ya que hasta ese momento no se habiacutea iniciado la parte aplicativa de la investigacioacuten
Las evaluaciones fueron disentildeadas considerando la taxonomia de Bloom Asiacute encontraremos en ellas preguntas de conocimiento comprensioacuten aplicacioacuten anaacutelisis siacutentesis y evaluacioacuten Las praacutecticas calificadas se encuentran en los anexos A continuacioacuten presento los resultados Pre Test y Post Test tanto del grupo experimental como del grupo de control indicando que ambos grupos fueron sometidos a las mismas practicas calificadas en el mismo horario el cual estuvo programado fuera de las horas de clase semanales
RESULTADOS DE PRUEBAS PRE TEST EN LOS GRUPOS
EXPERIMENTAL Y DE CONTROL
RESUMEN ESTADIacuteSTICO
EXPERIMENTAL CONTROL ---------------------------------------------------------------------- Frecuencia 18 25 Media 107333 10156 Varianza 409412 69284 Desviacioacuten tiacutepica 202339 263219 Coef de variacioacuten 188515 259175 ----------------------------------------------------------------------
Suponiendo varianzas iguales t = 0778652 P-Valor = 0440656
Tabla 10
En el cuadro Nordm 1 se puede observar que la nota promedio en el grupo de Experimental en la evaluacioacuten Pre- Test fue de 107333 y para el grupo de Control la evaluacioacuten Pre-Test fue de 10156 lo cual indica que no existe una gran diferencia entre las notas de ambos grupos Despueacutes de aplicar la prueba ldquotrdquo Student se encontroacute que el valor experimental fue de 0778652 un valor de p=0440656 lo cual indica que no existe mayor diferencia entre las medias del rendimiento de ambos grupos
RESULTADOS DE PRUEBAS POST TEST EN LOS GRUPOS
EXPERIMENTAL Y DE CONTROL
RESUMEN ESTADIacuteSTICO
EXPERIMENTAL CONTROL ---------------------------------------------------------------------- Frecuencia 18 25 Media 129333 1116 Varianza 957647 637 Desviacioacuten tiacutepica 309459 252389 Coef de variacioacuten 239272 226155 ----------------------------------------------------------------------
Suponiendo varianzas iguales t = 206743 P-Valor = 00450448
Tabla 11 En el cuadro Nordm 2 se puede observar que la nota promedio en el grupo de Experimental en la evaluacioacuten Post- Test fue de 129333 y para el grupo de Control la evaluacioacuten Post-Test
fue de 1116 lo cual indica que existe diferencia entre las notas de ambos grupos Despueacutes de aplicar la prueba ldquotrdquo Student se encontroacute que el valor experimental fue de 206743 un valor de p=00450448 y puesto que el p-valor calculado es inferior a 005 podemos rechazar la hipoacutetesis nula a favor de la hipoacutetesis alternativa
424 ACEPTACIOacuteN O RECHAZO DE LA HIPOacuteTESIS
NULA Y ALTERNATIVA
Observados los resultados de la evaluacioacuten y su proceso a traveacutes del software STATGRAPHICS se resuelve rechazar la hipoacutetesis nula a favor de la hipoacutetesis alternativa
43 DISCUCIOacuteN DE LOS RESULTADOS
Con respecto a la discusioacuten de los resultados quisiera empezar indicando Esta investigacioacuten se ha centrado en la parte del Calculo Diferencial y cuando la empezamos partimos de una primera preocupacioacuten la cual era que los alumnos muchas veces no comprenden totalmente la definicioacuten de derivada En ella se mencionan varios objetos matemaacuteticos como funcioacuten razoacuten de cambio instantaacutenea liacutemite entre otros que estaacuten impliacutecitos o que van saliendo a la luz cuando se recurre por ejemplo a la interpretacioacuten geomeacutetrica como es el caso de graacutefica de funciones y el de pendiente de recta Ademaacutes se observar que los alumnos auacuten tienen cierta inseguridad para manejar estos objetos pesar de que han sido trabajados en temas preliminares al caacutelculo diferencial las dudas con frecuencia son acerca de coacutemo interpretarlos o si son uacutetiles para alguna tarea en especiacutefico Asiacute que un primer trabajo es recordar los conceptos preliminares mencionados y un recurso para tal fin fue el examen parcial que rindieron una semana antes a la ejecucioacuten de esta investigacioacuten En la praacutectica docente siempre me habiacutea sucedido que al momento de dar la definicioacuten de derivada y ayudaacutendome de algunos grafico ilustrativos quedaban dudas en algunos estudiante de manera que penseacute que trabajando con Derive podriacutea
solucionar este problema pues podiacutea graficar todo tipo de funciones y aunque solo necesitaba conocer instrucciones sobre el programa luego graficar no seriacutea un gran problema por el contrario comenzaron a graficar diferentes tipos de funciones con lo que conseguiacute ahorra el tiempo que demandariacutea graficar manualmente e invertirlo en analizar el comportamiento de grafico de las misma Los alumnos aclararon dudas de manteniacutea de los temas anteriores como por ejemplo el comportamiento de las graficas cuando estaacuten cerca de sus asiacutentotas contrastaron los dominios verdaderos con los que ellos en alguacuten momento habiacutean supuesto entre otras conjeturas Con ayuda de DERIVE pude lograr que visualizaran por ejemplo la razoacuten de cambio en un intervalo y la razoacuten de cambio instantaacutenea las relacionaran y diferenciaran Logrado lo anterior se sigue con la interpretacioacuten geomeacutetrica de la derivada y que se asocia con el problemas de la recta tangente DERIVE facilita no solo la parte graacutefica sino tambieacuten algebraica por cuanto en algunos casos haya que hacer alguna redefinicioacuten de la funcioacuten y sabiendo que se puede determinar una razoacuten de cambio en cada punto de la curva faacutecilmente se puede entender que esa razoacuten de cambio sea la pendiente de la recta tangente a cualquier punto de la curva de modo que ahora es posible hallar la ecuacioacuten de una recta que sea tangente en cualquier punto de la curva A modo de una aplicacioacuten se comprueba para otras funciones y resolver problemas en otros contextos ajenos a geomeacutetrico DERIVE con su comando DIF permite encontrar la derivada de cualquier orden de una funcioacuten esto no se oculto a los alumnos pero se indico que era preferible que ellos supieran la reglas de derivacioacuten y las aplicaran correctamente Considero que al poder visualizar la graacutefica de la derivada de una funcioacuten los alumnos comprendieron mejor lo que en teoriacutea se dice acerca de que la derivada de una funcioacuten es otra funcioacuten hicieron comparacioacuten de las graacuteficas de funciones y graacuteficas de sus primeras y segundas derivadas Otro logro obtenido se refiere a la parte conceptual de las aplicaciones de la derivada hallar maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de funciones saber en queacute intervalos en creciente decreciente o constante Sin derive solo analizaacutebamos funciones
sencillas pues teniacuteamos que graficar esto tomaba tiempo asiacute que lograacutebamos unos 3 ejemplos a lo maacutes Con DERIVE ahorraacutebamos el tiempo que demanda graficar y derivar y lo invertiacuteamos en analizar la funcioacuten pues con soacutelo ver la graacutefica sabiacuteamos si ella tiene maacuteximos yo miacutenimos punto de inflexioacuten y determinar cuaacutendo es creciente decreciente o constante pero con la ventana algebraica podiacuteamos derivar y determinar con exactitud donde se encontraban dichos puntos Finalmente mencionado la teoriacutea de registros se les hizo maacutes faacutecil la tarea de pasar de un registro semioacutetico a otro pues teniacutean herramientas para ello y creo que eso contribuyoacute a conceptualizar mejor los contenidos ya que como plantea en su teoriacutea Raymond Duval si no conoce al menos dos formas distintas de expresar o representar un contenido matemaacutetico formas a las que eacutel llama ldquoRegistro de Representacionesrdquo y ldquoRegistros Semioacuteticosrdquo no parece posible aprender y comprender dicho contenido Como ejemplo indico que al ser la derivada en un punto un valor numeacuterico se deja de lado que es tambieacuten una funcioacuten entonces se confunde un objeto matemaacutetico que en este caso es la funcioacuten derivada con una de sus representaciones que viene a ser en esta caso el nuacutemero esta confusioacuten entre un objeto y su representacioacuten en un plazo maacutes o menos amplia provocaba una peacuterdida de la comprensioacuten A esto es necesario antildeadir el hecho de que la pluralidad de sistemas semioacuteticos permite una diversificacioacuten tal de las representaciones de un mismo objeto que aumenta las capacidades cognitivas de los sujetos y por tanto sus representaciones mentales De las clases de laboratorio especiacuteficamente de los diaacutelogos que sostuvimos durante las clases pude comprobar que en ellos trasladar un registros no es algo espontaacuteneamente Y que el pensamiento de un alumno puede movilizar un solo registro de representacioacuten a la vez En este caso hemos manejado en la parte conceptual y la parte practica tres tipos de registros el graacutefico algebraico y la lengua natural
CONCLUSIONES
1 De acuerdo a los resultados obtenidos a traveacutes de las praacutecticas
calificadas administradas suponiendo medias iguales empleando la t- estudent se determina que el programa DERIVE es eficiente en el proceso de ensentildeanza- aprendizaje del Caacutelculo Diferencial
2 De las referencias bibliograacuteficas revisadas en el presente trabajo
en relacioacuten a la definicioacuten de Derivada (N Piskunov 1973 68 Spivak 1967 201 Purcell 2003 107) se concluye en una definicioacuten a mi consideracioacuten maacutes didaacutectica para los alumnos que abarca todos los aportes de cada una de las definiciones leiacutedas y el uso de una notacioacuten maacutes manejable
3 Se logro disentildear y presentar una propuesta metodoloacutegica compuesta por un moacutedulo de trabajo guiacuteas y actividades de laboratorio que fueron aplicadas al grupo experimental y que permitieron mejorar las calificaciones de los alumnos
4 El uso del DERIVE como recurso en las clases de Caacutelculo
Diferencial permitioacute motivar en los alumnos el desarrollo de capacidades como las de observar discernir analizar e interpretar
5 El alumno tiene la disposicioacuten de aprender soacutelo aquello que le
encuentra sentido o loacutegica Por ello el autentico aprendizaje es el aprendizaje significativo Cualquier otro seriacutea puramente mecaacutenico coyuntural o memoriacutestico Ademaacutes este trabajo significativo puede ser estimulado con las tecnologiacuteas de informacioacuten y comunicacioacuten tales como el programa DERIVE
6 Es importante sentildealar que la clase magistral sigue siendo
importante y por tanto nada puede reemplazar al profesor pero el uso de alguacuten recurso tecnoloacutegico tal como el que se propone complementariacutea esta labor ya que se le pueden presentar al alumno situaciones (didaacutecticas) no puramente algebraicas sino tambieacuten intuitivas graacuteficas numeacutericas por lo cual lo aprendido se vea fortalecido
7 el utilizar simultaacuteneamente diferentes representaciones favorece
el establecimiento de conexiones entre ellas siendo estas conexiones las que marcan las diferentes etapas del aprendizaje de los estudiantes Aquiacute es donde el programa DERIVE juega un papel importante debido a su potencia visual que ayuda a la formacioacuten y transformacioacuten de intuiciones y a la creacioacuten de imaacutegenes del concepto y debido tambieacuten a la facilidad para realizar caacutelculos eximiendo al estudiante de esta tediosa labor De esta forma el estudiante puede concentrarse en la exploracioacuten y discusioacuten de los conceptos Los errores cometidos por los estudiantes sirven para acrecentar su aprendizaje y completar asiacute sus imaacutegenes del concepto
RECOMENDACIONES
1
Desde el punto de vista institucional la creacioacuten de una red de investigacioacuten y desarrollo es de fundamental importancia pues mejora la comunicacioacuten la sinergia la discusioacuten y aumenta la cantidad de profesores que pueden provocar el cambio de ensentildeanza lo cual implica un mayor impacto del Proyecto en la Universidad Se sigue la tendencia universal de no realizar investigaciones en grupos reducidos y aislados sino de compartir experiencias aumentar la masa criacutetica de investigadores y aprender de la sinergia creada
2 Desde el punto de vista metodoloacutegico se propone pasar de la forma claacutesica de la ensentildeanza de la matemaacutetica con tiza y pizarra a una forma efectiva dinaacutemica y multimedial de adquirir los conceptos matemaacuteticos baacutesicos Se incorporan procesos de
caacutelculo y de representacioacuten graacutefica maacutes veloces y maacutes precisos que la operatoria personal Se libera al docente y al alumno de tareas no auteacutenticas para hacer hincapieacute en la reflexioacuten y buacutesqueda de otros procedimientos de resolucioacuten de problemas Se busca aplicar un procedimiento que provea un resultado aventajado en calidad y eficiencia que el que puede proveer el profesor con soacutelo tiza y pizarra La metodologiacutea propuesta permite acercarse maacutes a la realidad de los conceptos baacutesicos matemaacuteticos abstractos por su naturaleza a traveacutes de la visualizacioacuten interactiva y la experimentacioacuten con diferentes objetos matemaacuteticos datos con caracteriacutesticas determinadas
3 De acuerdo al os puntos anteriores desde el punto de vista del
aprendizaje se logra a) Una mejor aprehensioacuten de conceptos para su aplicacioacuten en la
resolucioacuten de problemas utilizando Sistemas Exploratorios de Aprendizaje
b) Una mejor aprehensioacuten de los conceptos por medio de los sistemas graacuteficos provistos por los Sistemas de Computacioacuten Algebraica (visualizacioacuten objetivacioacuten interactividad del software numeacuterico y simboacutelico)
c) En los alumnos la promocioacuten de la actitud y aptitud para conjeturar y desarrollar el sentido criacutetico y la reflexioacuten
d) El reconocimiento experimentacioacuten y aplicacioacuten de modelos matemaacuteticos
e) El experimentar conjeturar y descubrir propiedades sobre objetos matemaacuteticos mediante problemas asegura el intereacutes y compromiso del alumno
Las actividades que se realizaron en el laboratorio se presentan en el Anexo son tres y corresponden a los temas de 1 Definicioacuten de Derivada Razoacuten de Cambio y Problema de
la recta tangente 2 Anaacutelisis graacutefico de funciones y sus derivadas
3 Criterio de la primera y segunda derivada para hallar
maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten asiacute como los puntos de inflexioacuten
4 Resolucioacuten de Problemas de Maacuteximos y Miacutenimos
La finalidad de trabajar el tema de Derivadas es que los alumnos manipulen la definicioacuten que emplee el programa para experimentar usando diferentes funciones la variacioacuten de la razoacuten de cambio en intervalos de diferente amplitud La ayuda que brinda el programa es que grafica cualquier funcioacuten y realiza los caacutelculos de forma inmediata de esta manera los alumnos pueden analizar el comportamiento de las funciones y concentrar mayor atencioacuten en la variaciones de las razones de cambio a lo largo de toda la curva Es necesario resaltar que dado que el programa esta disentildeado para realizar graficas los alumnos dispondraacuten de mayor tiempo para hacer el anaacutelisis del comportamiento de la funcioacuten estudiando su variacioacuten sus maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten asiacute mismo conociendo la interpretacioacuten que reciben estos contenidos matemaacuteticos en los diferentes campos de aplicacioacuten Los laboratorios se pueden encontrar en el anexo de este trabajo
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ANEXO 1
SILABO DE LA ASIGNATURA
UNIVERSIDAD CEacuteSAR VALLEJO ndash PIURA
FACULTAD DE INGENIERIacuteA ESCUELA DE INGENIERIacuteA DE SISTEMAS Y
ESCUELA DE INGENIERIacuteA INDUSTRIAL
SIacuteLABO DE MATEMATICA I
1 DATOS GENERALES Coacutedigo del curso HT 32 Aacuterea curricular Formacioacuten Baacutesica Ciclo II Semestre Acadeacutemico 2006-II Duracioacuten 16 Semanas Pre-Requisito Loacutegico Matemaacutetica Creacuteditos 5 Horas Semanales 05 (03 de Teoriacutea 02 de Praacutectica) Docente Lic Diana J Quintana de Mejiacutea Correo electroacutenico dianaquintanaucvedupe
dianaquintana2hotmailcom
2 FUNDAMENTACIOacuteN El Desarrollo de esta asignatura pretende potenciar en el estudiante capacidades propias del aacuterea de Matemaacutetica como el razonamiento y demostracioacuten la interpretacioacuten de graacuteficos y expresiones simboacutelicas y la resolucioacuten de problemas Asiacute como presentar los medios necesarios para la adquisicioacuten de ciertas destrezas como anaacutelisis interpretacioacuten y aplicacioacuten de fundamentos teoacutericos Finalmente el logro de los objetivos de esta asignatura se veraacute reflejado y podraacute ser evaluado en la eficiencia que demuestren los alumnos al resolver situaciones reales
3 COMPETENCIAS
31 Representa y modela a traveacutes de foacutermulas algebraicas las funciones elementales aplicadas a situaciones de la vida cotidiana fenoacutemenos fiacutesicos quiacutemicos econoacutemicos y tecnoloacutegicos reconociendo la relacioacuten entre el lenguaje graacutefico y el numeacuterico para una mejor comprensioacuten de la realidad
32 Resuelve problemas aplicando concepto de liacutemite y continuidad para el estudio de fenoacutemenos naturales presentados en diversos problemas demostrando precisioacuten en los resultados
33 Interpreta formula y resuelve problemas de contexto real utilizando definiciones teacutecnicas y aplicaciones del caacutelculo Diferencial desarrollando comunicacioacuten investigacioacuten
razonamiento y manifestando confianza flexibilidad y perseverancia
4 PROGRAMACIOacuteN ACADEacuteMICA
41 PRIMERA UNIDAD FUNCIONES Y LIMITES
CAPACIDADES
1 Comprende el concepto de funcioacuten reconoce las clases de funciones
2 Grafica adecuadamente funciones reconociendo sus caracteriacutesticas como parte de la resolucioacuten de problemas de aplicacioacuten
3 Emplea procedimientos analiacuteticos y experimentales para generar modelos que expresen situaciones reales interpretando finalmente sus graficas
4 Entiende intuitivamente la nocioacuten de liacutemites 5 Calcula liacutemites laterales finitos e infinitos
ACTITUDES 1 Demuestra precisioacuten orden y claridad en el tratamiento de
datos 2 Valora la importancia de las funciones en el anaacutelisis de
situaciones reales 3 Reconoce la importancia del concepto de liacutemite en el anaacutelisis
de hechos naturales fiacutesicos econoacutemicos y tecnoloacutegicos
COMPORTAMIENTOS OBSERVABLES 1 Desarrolla su trabajo de manera clara y ordenada demostrando
precisioacuten en sus respuestas 2 Realiza comentarios sobre la importancia de las funciones en la
comprensioacuten y anaacutelisis de hechos naturales econoacutemicos fiacutesicos tecnoloacutegicos etc
3 Manifiesta verbalmente la importancia del concepto de liacutemite para una mejor comprensioacuten de la realidad
NIVELES MIacuteNIMOS DE LOGROS 1 Al menos conoce y emplea tres tipos de funciones importantes en La solucioacuten de problemas
2 Dada una situacioacuten real explica si esta puede ser modelada por Una funcioacuten 3 Resuelve al menos tres liacutemites de mediana complejidad
CONTENIDOS
SEMANA CONTENIDOS FECHA
01
bull Funciones definicioacuten dominio y rango bull Clases de Funciones
Polinoacutemicas Racionales bull Lectura
httpaulaelmundoesaulalaminasnumeropdf
bull Trabajo Individual bull Lectura ldquoLos criacutemenes Imperceptiblesrdquo
Guillermo Martiacutenez
Del 4 al 8 de Sept
02
bull Graficas de Funciones con asiacutentotas funcioacuten exponencial y Logariacutetmica
bull Laboratorio Nordm 1 bull Grafico de funciones con valor absoluto bull Presentacioacuten de investigacioacuten sobre la
lectura
Del 11 al 15 de Sept
03
bull Grafica de funciones polinoacutemicas bull Funcioacuten Signo y Mayor entero Ejercicios bull Teacutecnicas de graficacioacuten bull Presentacioacuten de solucioacuten de problemas
sobre funciones bull Informe sobre novela
Del 18 al 22 de Sept
04
bull Aplicaciones de las Funciones bull Laboratorio Nordm 2 bull Evaluacioacuten de Funciones (parte teoacuterica) bull Trabajo Individual
Del 25 al 29 de Sept
05 bull Evaluacioacuten de Funciones (parte praacutectica) bull Laboratorio Nordm 3
Del 2 al 6 de Oct
06 bull Liacutemites Liacutemite Finito- Teoremas bull Caacutelculo de Liacutemites
Del 9 al 13 de Oct
07 bull Praacutectica de caacutelculo de liacutemites bull Laboratorio Nordm 4
Del 16 al 20 de Oct
08 Examen parcial Del 23 al 27 de Oct
42 SEGUNDA UNIDAD CONTINUIDAD Y DERIVADAS
CAPACIDADES
1 Entiende el concepto de continuidad y clasifica los tipos de continuidad
2 Aplicas las propiedades fundamentales de las funciones continuas a la solucioacuten de problemas reales
3 Utiliza correctamente las foacutermulas de derivacioacuten 4 Aplica el caacutelculo diferencial al estudio de fenoacutemenos naturales
econoacutemicos sociales y tecnoloacutegicos ACTITUDES
1 Valora de manera criacutetica la importancia de la exactitud y orden
en el caacutelculo de liacutemites analizando la continuidad en algunos casos
2 Demuestra precisioacuten orden y claridad en sus caacutelculos 3 Aplica los conceptos a hechos reales y concretos
COMPORTAMIENTOS OBSERVABLES
1 Trabaja de manera ordenada y exacta en los momentos correspondientes a praacutecticas y exaacutemenes
2 Manifiesta la importancia de la derivada para explicar y analizar hechos reales en las diferentes aacutereas
NIVELES MIacuteNIMOS DE LOGROS 1 Aplica a situaciones reales el concepto de liacutemite y de
continuidad 2 Dado el graacutefico de una funcioacuten explica con sus propias palabras
el concepto de derivada puntual utilizando argumentos geomeacutetricos
3 Dada una funcioacuten halla la derivada utilizando reglas de derivacioacuten
4 Emplea derivadas para calcular maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten
CONTENIDOS
SEMANA CONTENIDOS FECHA
09 bull Liacutemite al Infinito
Del 30 de Oct Al 3 de
bull Liacutemites de funciones Trigonomeacutetricas bull Taller de ejercicios
Nov
10
bull Evaluacioacuten del tema anterior bull Continuidad y Discontinuidad removible
de una funcioacuten
Del 6 al 10 de Nov
11
bull Evaluacioacuten de Continuidad bull Trabajo en aula sobre problemas de
liacutemites
Del 13 al 17 de Nov
12
La Derivada bull Razoacuten de cambio promedio e
instantaacutenea bull Taller de ejercicios bull Laboratorio Nordm2
Del 20 al 24 de Nov
13
bull Definicioacuten e Interpretacioacuten Geomeacutetrica bull Reglas de derivacioacuten bull Regla de la Cadena bull Evaluacioacuten
Del 27 de Nov Al 1 de Dic
14
bull Derivada de una funcioacuten impliacutecita bull Derivada de orden superior bull Laboratorio Nordm 3
Del 4 al 8 de Dic
15
bull Regla de Hrsquoospital bull Aplicacioacuten de la derivada Maacuteximos y
miacutenimos de una funcioacuten bull Laboratorio Nordm 4 bull Evaluacioacuten
Del 11 al 15 de Dic
16 Examen final Del 18 al 22 de Dic
5 ESTRATEGIAS METODOLOacuteGICAS Uso de metodologiacutea activa empleando principalmente los meacutetodos 1 Magistral 2 Trabajo Autoacutenomo de los alumnos (Investigacioacuten Individual) 3 Trabajo de grupo 4 Expositiva - Interactiva 5 Experimental 6 Debate
7 Demostracioacuten
6 MEDIOS Y MATERIALES
1 Software matemaacutetico DERIVE 2 Texto de biblioteca 3 Separata resumen 4 Direcciones electroacutenicas 5 Ejercicios Aplicacioacuten 6 Casos 7 Presentacioacuten multimedia
7 EVALUACIOacuteN
71 CRITERIOS DE EVALUACIOacuteN
El Promedio Final (PF) del curso seraacute obtenido de la siguiente manera PU1+PU2 PF = 2 Siendo PU1 y PU2
los promedios de la primera y segunda unidad de aprendizaje respectivamente El promedio de cada unidad de aprendizaje se calcula como
PC+TI+CL+LB+2EP PU1 6
=
Donde PC+TI+CL+LB Son los Promedios de praacutecticas calificadas
Trabajo de Investigacioacuten control de lectura laboratorios
EP Examen parcial
La nota se consideraraacute con un decimal en los promedios parcial y final La nota miacutenima aprobatoria es 105 y se redondearaacute al entero inferior o superior seguacuten corresponda
72 CONDICIONES DE EVALUACIOacuteN
El 30 de inasistencias INHABILITA del curso
La justificacioacuten de una inasistencia seraacute uacutenicamente con certificado meacutedico
8 CRONOGRAMA ACADEMICO
UNIDAD ACTIVIDADES FECHA
Primera Inicio del Ciclo Examen Parcial
4 de Septiembre de 2006 23 al 28 de Octubre
Segunda Examen Final Teacutermino del Ciclo Exaacutemenes Extemporaacuteneos
Del 18 al 22 de Diciembre 23 de Diciembre
9 REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
LIBROS EN BIBLIOTECA DE LA UNIVERSIDAD CEacuteSAR VALLEJO
1 AUDRY SANCHEZ Javier Caacutelculo Diferencial e Integral Trillas (
MAT- 01768 ) 2 ESPINOZA RAMOS Eduardo Anaacutelisis Matemaacutetico para Ingenieros
Impreso en Peruacute2002 723pg 3 FILLOY YAGUE Eugenio Geometriacutea Analiacutetica Iberoamericana (
MAT-0532 )
4 GROSSMAN Stanley Algebra Lineal Mc Graw- Hill Edicioacuten 1996 Meacutexico ( MAT- 558 )
5 LEITHOLD Louis El Caacutelculo Oxford University Meacutexico 1996 (
MAT- 0545 )
6 PURCELL Edwin Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica Prentice Hispanoamericana Meacutexico 1993( MAT- 0542)
7 SMITH Robert Caacutelculo Mc Graw- Hill Interamericana Colombia 2001 Tomo I y II ( MAT- 0547 ) Y ( MAT-0548 )
ANEXO 2
REGISTRO DE EVALUACIONES
8 STEWART JAMES Caacutelculo Diferencial e Integral Thomson 1989 ( MAT- 02796 )
9 TOMAS George E Caacutelculo Infinitesimal y Geometriacutea Analiacutetica
Aguilar 1989 ( MAT- 01119 )
LIBROS DE PROPIEDAD DEL DOCENTE
1 AYRES Frank Caacutelculo Diferencial e Integral McGraw-Hill1992
2 DEMIDOVICH B Problemas de Anaacutelisis Matemaacutetico MIR Moscuacute 1981
3 HASSER Norman et al Anaacutelisis Matemaacutetico Trillas 1985 Meacutexico
810pg
4 KITCHEN Joseph Caacutelculo McGraw-Hill1992 Espantildea 863pg
5 KONG Maynard Caacutelculo Diferencial Pontificia Universidad Catoacutelica del Peruacute 1995 Peruacute548 pg
6 LAZARO CARRIOacuteN Moiseacutes Caacutelculo Diferencial Moshera SRL
Peruacute 225 pg
7 MONTOYA VALDERRAMA Manuel Liacutemites Continuidad y Derivadas
8 PISKUNOV N Caacutelculo Diferencial e Integral Montaner y Simon
SA Barcelona19731019pg
9 PURCELL Edwin J et al Caacutelculo Diferencial e Integral Pearson 2003 Meacutexico480 pg
PAacuteGINAS WEB (No menor de 5 y pertinentes al curso) httpwwwdivulgamatcom httpwwwsectormatematicaclcontenidoshtm httpwwwedutekaorg httpwwweswikipediaorg
ANEXO 3
GUIAS METODOLOGICAS APLICANDO EL SOFTWARE DERIVE
APRENDIENDO CALCULO DIFERENCIAL CON DERIVE
SESION Nordm 1
TEMA RAZON DE CAMBIO Y PROBLEMA DE LA RECTA
TANGENTE CAPACIDAD Emplea definicioacuten de razoacuten de cambio para
resolver ejercicios sobre recta tangente
A RAZON DE CAMBIO
Empezaremos por trabajar el concepto matemaacutetico fundamental del caacutelculo sobre el cual se sustenta la teoriacutea de derivadas Este es Razoacuten de Cambio media Recordemos que Hoffmann (1985 Paacuteg 82) la define de la siguiente manera
Consideraremos la segunda definicioacuten de la separata por cuanto es maacutes directa en el anaacutelisis de los cambios o variaciones Ahora sigamos las instrucciones siguientes bull Utilice DERIVE para ingresar la funcioacuten 2( ) 6 2f x x x= minus + y estudiar
sus caracteriacutesticas bull Una vez definida ( )f x construya otra funcioacuten que calcule la Razoacuten de
Cambio Media o Razoacuten de Cambio Promedio de ( )f x para el intervalo [ ]a b
( ) ( )( ) f b f aRCP a bb aminus
=minus
( ) ( ) ( ) ( ) ( )RCP a b f b f a b a= minus minus bull Para probar su funcionamiento encuentre la razoacuten de cambio en el intervalo
[ ]0 3 (03)RCP
bull Halla la RCP de ( )f x en los intervalos [1 2] [1 3] [1 4] [1 11] [1 101]
bull Considera tambieacuten la misma expresioacuten para hallar la RCP en funcioacuten de un valor x a= y un incremento h
( ) ( )( ) f x h f xRCP x hh
+ minus=
( ) ( ) ( ) ( ) RCP x h f x h f x h= + minus
Razoacuten de Cambio Media Suponga que y es una funcioacuten de x ( )y f x= correspondiendo a un cambio de x a x x+ ∆ la variable y
cambia en una cantidad ( ) ( )y f x x f x∆ = + ∆ minus Asiacute el cociente de diferencias
( ) ( )Cambio de x x f x x f xCambio de y y x
∆ + ∆ minus= =∆ ∆
Representa la razoacuten de cambio de y con respecto a x (Hoffmann 1985 82)
bull Halla la RCP de ( )f x en los intervalos para los valores de a) 2x = con un incremento de 4 b) 2x = con un incremento de 3 c) 2x = con un incremento de 2 d) 2x = con un incremento de 1
EJERCICIOS
1 RAZONAMIENTO GRAacuteFICO Utiliza DERIVE para graficar la funcioacuten razoacuten de cambio de 3 2( ) 2 1f x x x= + minus y su funcioacuten razoacuten de cambio
( 001) ( )( )
001f x f xg x + minus
= en una misma ventana Calcule algunos
valores empleando la opcioacuten vector 2 Halla la RCP de la funcioacuten 2( ) ln(( 1) ( 3))f x x x= minus minus + en los
intervalos [556] [ 546] [ 536] [ 526] [ 516] 3 Halla el liacutemite cuando h rarr 0 de ( ( ) ( )) f x h f x h+ minus en la pregunta
anterior Para ello situacutea el cursor sobre dicho resultado para resaltarlo y
pulsa el icono
B RECTA TANGENTE 1 Elabore un programa que permita ingresar una funcioacuten un intervalo
[ ]a b y grafique las rectas secantes en ese intervalo hasta la recta tangente en el punto a Complete la hoja con los datos que vaya realizando Utilice la funcioacuten 3 2( ) 5 3 4f x x x x= minus + minus y el intervalo [ ]23
2 Una vez realizado el trabajo anterior comprueba que se obtiene la misma solucioacuten con el comando TANGENT ( )0 y x x que DERIVE proporciona
3 Ahora puedes resolver algunos problemas del Trabajo Practico Nordm 2 de tu separata empleando el comando TANGENT ( )0 y x x
4 Utiliza las formas equivalentes de la derivada (pag39) y resuelve algunos ejercicios empleando tus propias funciones y el comando derivada que te ofrece DERIVE asiacute podraacutes comprobar tus resultados
TEMA CAacuteLCULO Y GRAFICA DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIOacuteN
En esta parte de nuestro primer laboratorio vamos a ingresar diversas funciones calcularemos sus derivadas empleando la definicioacuten de derivada y empleando tambieacuten el comando DIF
1 Dada la funcioacuten 2 0
( ) 0
x xf x
x x le
= gt
bull Graficarla ademaacutes construir la funcioacuten derivada de dos formas la primera empleando definicioacuten de LIM((f(x+h)-f(x))h h 0 -1) para calcular la derivada por izquierda y LIM((f(x+h)-f(x))h h 0 1)para calcular la derivada por derecha y la segunda forma es empleando el comando DIF (f(x) x) que ofrece DERIVE
bull Observa las graficas de la funcioacuten y su derivada y responde a las
siguientes preguntas
iquestQueacute sucede con la derivada en el punto x=0 iquestQueacute representa la graacutefica de la funcioacuten derivada
2 Introduce la siguiente funcioacuten definida ldquoa trozosrdquo f(x)=IF(xlt4 x^2-5
2x+3)
bull Calcular las derivadas laterales en x = 4 bull Representa la funcioacuten f(x) Observa que se trata de una funcioacuten
continua pero no derivable bull Prueba con otras definiciones de f(x) y otros valores distintos de x = 4
3 Ingresa la funcioacuten 2 1 0
( )0 0
x sen xh x x
x
ne = =
y calcula su derivada en el
punto cero Ademaacutes elabora las graficas 4 Considera f(x)= 4-x^2 en x = 2 y halla las derivadas laterales iquestPuedes
explicar que ocurre 5 Considera tambieacuten f(x) = 1x en x = 0
CAPACIDAD Grafica funciones y encuentra su primera derivada empleando comando propios de DERIVE
6 Demostrar usando DERIVE que la funcioacuten 3 2 1cos 0
( )0 0
x xf x x
x
gt = le
es derivable en cero
7 Calcular y graficar las derivadas de las siguientes funciones empleando derive
a) 2
2( ) xf x sen
xsensenx
=
b) cos( )cos
senx xf xsenx x
minus=
+
c) 1( )2
f xa
x senx
=minus
+
d) 6 2( ) (1 cos 2 )f x x x= minus e) ( ) lnf x x=
APRENDIENDO CALCULO DIFERENCIAL CON DERIVE
SESION Nordm 2
C RELACION ENTRE LA GRAFICA DE UNA FUNCION Y SU
PRIMERA DERIVADA
PROBLEMA- (Caraacutecter creciente o decreciente de una funcioacuten) iquestPuede la primera derivada de una funcioacuten proporcionar informacioacuten acerca del caraacutecter creciente o decreciente de una funcioacuten ( )f x
Empezaremos recordando una serie de conceptos que debemos tener en cuenta para abordar esta sesioacuten
Se dice que una funcioacuten es positiva en la regioacuten en que su graacutefica se encuentra arriba del eje de las abscisas Asiacute use DERIVE y describa en que intervalos las siguientes funciones son positivas
o ( ) 3cosf x x= o ( ) 3 3f x x= minus o ( ) 8 4f x x= minus
o ( )2( ) 2 5f x x= + minus
CAPACIDAD Infiere mediante un anaacutelisis grafico las relaciones existentes entre la graacutefica de una funcioacuten y su primera derivada signo de la primera derivada asociado con crecimiento o decrecimiento de la funcioacuten y derivada nula con puntos criacuteticos
o ( )2( ) 3 2f x xminus minus +
Se dice que una funcioacuten es negativa en la regioacuten en que su grafica se encuentra abajo del eje de las abscisas Emplea DERIVE y describe en que intervalos la siguientes funciones son negativas
o ( ) 5 3f x x= minus
o ( ) 62xf x minus
= +
o 2( ) 4 4f x x x= + minus o 2( ) 6 9f x x x= minus + +
Una funcioacuten es creciente en una regioacuten si y soacutelo si al aumentar los valores de la variable independiente x aumentan tambieacuten los valores de la funcioacuten Es decir
( )f x es creciente en una regioacuten si para dos puntos cualesquiera 1x y
2x siempre que 1 2x xlt necesariamente 1 2( ) ( )f x f xlt y viceversa
Geomeacutetricamente una funcioacuten es creciente en la regioacuten en que su graacutefica sube a medida que recorremos el eje X de izquierda a derecha Grafica empleando derive la funcioacuten 3 2( ) 3 3f x x x= minus + y completa lo siguiente bull La funcioacuten mostrada es decreciente en intervalos que empiezan
inmediatamente despueacutes de _____ y termina inmediatamente antes de _____ Es decir ( )f x es decreciente en el intervalo abierto iquestPor queacute intervalo abierto
bull En cambio la misma funcioacuten es creciente en dos regiones desde menos infinito hasta _______ sin llegar a cero a sea en el intervalo y en el intervalo
bull iquestPodriacuteas dar una justificacioacuten del porqueacute los valores 0 y 2 estaacuten excluidos de las tres regiones
bull La funcioacuten graficada es positiva en los intervalos __________ __________
bull La funcioacuten graficada es negativa en los intervalos __________ __________
Tambieacuten hemos trabajado las siguientes ideas Completa lo que falta
bull Hemos afirmado el hecho de que en un punto del dominio la
pendiente de una curva es igual a la pendiente de la recta ________ en ese punto
Sabemos que bull Cuando una recta es creciente su _________ es positiva bull Cuando una recta es decreciente su ___________ es decreciente bull Cuando una recta es paralela al eje X su __________es
_________________ bull La pendiente de la recta tangente a la grafica de una funcioacuten
( )f x en cualquier punto del dominio es precisamente la primera ____________ de la funcioacuten
bull Elabora las graficas de la funcioacuten 3 2( ) 3 3f x x x= minus + y de su primera derivada empleando DERIVE
bull Haremos un anaacutelisis comparativo de estas graacuteficas bull La funcioacuten ( )f x es decreciente en el intervalo ( )02 iquestCoacutemo es
su derivada ( )f x en ese intervalo_________________ bull La funcioacuten ( )f x es creciente en el intervalo ( )0minusinfin iquestCoacutemo es
su derivada ( )f x en ese intervalo_________________
bull La funcioacuten ( )f x es creciente en el intervalo ( )2infin iquestCoacutemo es su derivada ( )f x en ese intervalo_________________
bull La funcioacuten ( )f x es constante en los puntos 0x = y 2x = iquestCoacutemo es su derivada ( )f x en esos puntos_________________
bull Los hechos que acabas de observar no son una coincidencia ni un hecho aislado corresponde a una relacioacuten muy importante entre una funcioacuten y su primera derivada
bull Considerando tus respuestas tenemos todos lo necesario par construir los siguientes criterios de caracterizacioacuten
bull Para toda funcioacuten ( )f x derivable en un intervalo ( )a b
bull Si acute( ) 0f x gt para todo valor x en ( )a b ( )f x es creciente en
( )a b
bull Si acute( ) 0f x lt para todo valor x en ( )a b ( )f x es decreciente en
( )a b
bull Si acute( ) 0f x = para todo valor x en ( )a b ( )f x es constante en
( )a b Este caso nos seraacute particularmente uacutetil en el caso en que el intervalo conste de un solo punto
bull A cada valor de x en el que acute( ) 0f x = se le llama punto criacutetico bull Problema 1 Empleando DERIVE encuentra los intervalos donde
la funcioacuten 3 2( ) 3 3f x x x= minus + creciente y decreciente y los puntos donde es constante Luego compara tus hallazgos y completa la informacioacuten
bull acute( )f x = ________ ( )f x seraacute creciente donde acute( ) 0f x gt es decir
donde 23 6 0x xminus gt factorizando 3x obtenemos ( )3 0x gt recuerda que el producto de dos factores es mayor que cero soacutelo si ambos son positivos o ambos son negativos
1 3 0 2 0x y xgt minus gt
0 2x y xgt gt
Siempre que 2x gt se cumple tambieacuten que 0x gt No al reveacutes ( )f xthere4 es creciente en ( )2infin
2 3 0 2 0x y xlt minus lt 0 2x y xlt lt
Siempre que 0x lt se cumple tambieacuten que 2x lt No al reveacutes ( )f xthere4 es creciente en ( )0minusinfin
bull ( )f x seraacute decreciente donde acute( ) 0f x lt es decir donde
23 6 0x xminus lt bull ( )3 0x lt ahora recordemos que el producto de dos factores es
negativo si y solo si________________o ____________________-
1 3 0 2 0x y xgt minus lt
0 2x y xgt lt ( )f xthere4 es decreciente en ( )02
2 3 0 2 0x y xlt minus gt 0 2x y xlt gt
iexclImposible No hay valores de x que sean menores que cero y al mismo tiempo mayores que 2
( )f x seraacute constante es decir estaraacute momentaacuteneamente horizontal su
tangente seraacute paralela al eje X donde acute( ) 0f x = ( )3 2 0x x minus = si 0 2x y x= =
Estos son los dos valores de x donde la funcioacuten es constante a los que llamamos ldquopuntos criacuteticosrdquo Otra forma de encontrar los valores de x donde la funcioacuten es creciente o decreciente sin tener que resolver desigualdades es la siguiente Se encuentran los valores de x donde acute( )f x vale cero resolviendo la ecuacioacuten acute( ) 0f x =
Los n valores de x obtenidos al resolver la ecuacioacuten anterior nos permiten dividir el eje X en 1n + intervalos ajenos
Se construye una tabla en la que los a x valores en cada intervalo y analizando el signo que toma acute( )f x en cada uno de ellos podemos decidir si ( )f x es creciente o decreciente con base en el criterio al que arribamos antes Trabajando en esta forma con 3 2( ) 3 3f x x x= minus +
2acute( ) 3 6f x x x= minus 23 6 0x xminus = 3 ( 2) 0x x minus = si 3 0x = 0x = si 2 0x minus = 2x =
( )f x es constante en 0x = y en 2x = Los valores 0 y 2 dividen al eje X en tres intervalos ( )0minusinfin ( )02 ( )2infin
La tabla que construiremos seraacute del tipo
Intervalo ( )0minusinfin ( )02 ( )2infin
Valor de x en el intervalo -1 1 3
Valor de acute( )f x en el intervalo
9 -3 9
Signo de acute( )f x + - + Caraacutecter de ( )f x en el
intervalo Creciente Decreciente Creciente
Por lo tanto ( )f x es creciente en los intervalos ( )0minusinfin y ( )2infin
mientras que es decreciente en el intervalo ( )02 Problema 2 Empleando DERIVE encuentra los intervalos donde la
funcioacuten 1( )f x xx
= + es creciente y decreciente asiacute como los puntos
donde es constante Observa que esta funcioacuten no estaacute definida en 0x =
Problema 3 Utiliza DERIVE y encuentra las regiones donde cada una de las siguientes funciones es creciente decreciente o constante
bull 2 2( )1
x xf xx
minus minus=
minus
bull 22( )
1xf x
x=
+
bull 4 2( ) 6 5f x x x= + minus bull 3( ) 1f x x= minus
bull 26( )
3f x
x=
+
D RELACION ENTRE LA GRAFICA DE UNA FUNCION Y SU SEGUNDA DERIVADA
PROBLEMA 1- (Concavidad de una funcioacuten) iquestPuede la segunda derivada de una funcioacuten proporcionar informacioacuten acerca del tipo de concavidad que presenta una funcioacuten primitiva ( )f x
Emplea DERIVE y grafica la funcioacuten 2( ) ( 3) 4f x x= minus + ademaacutes determina las ecuaciones y graficas de las rectas tangentes a la curva en los puntos 0x = y 5x = Empleando nuevamente DERIVE grafica la funcioacuten
2( ) ( 7) 1f x x= minus + minus ademaacutes determina las ecuaciones y graacuteficas de las rectas tangentes a la curva en los puntos 10x = minus y 5x = minus Observaciones
CAPACIDAD Infiere por medio de un anaacutelisis grafico las relaciones existentes entre la graacutefica de una funcioacuten y su segunda derivada signo de la segunda derivada asociado con concavidad de la funcioacuten y segunda derivada nula con un posible cambio de concavidad
Observa en principio que donde la curva es coacutencava hacia arriba sus tangentes estaacuten pro debajo de la curva y en caso de ser coacutencava hacia abajo sus tangentes estaacuten por arriba de ella Pero donde la curva no es coacutencava la tangente la atraviesa
Una funcioacuten que presenta los dos tipos de concavidad posibles hacia abajo y hacia arriba es 3 2( ) 3 3f x x x= minus + Empleando DERIVE calcula su primera y segunda derivada y graficas todas las funciones en un mismo plano Localiza con cuidado cada grafica colorea con un color diferente asiacute podraacutes identificarlas faacutecilmente en el siguiente anaacutelisis En el intervalo ( )1minusinfin
( )f x es coacutencava hacia abajo ( )f x que representa las pendientes de las rectas tangentes a ( )f x es decreciente No deja de bajar desde minusinfin hasta
1x = ( )f x que representa las pendientes de las rectas tangentes a ( )f x es negativa porque ( )f x es decreciente
Exactamente en 1x =
o ( )f x cambia de concavidad Deja de ser coacutencava hacia abajo
pero aun no es coacutencava hacia arriba o ( )f x es constante tiene un punto criacutetico porque ( ) 0f x = o ( )f x corta al eje X vale cero Dejoacute de ser negativa y auacuten no
es positiva En el intervalo ( )1infin
o ( )f x es coacutencava hacia arriba o ( )f x es creciente o ( )f x es positiva
Una vez mas lo que has observado no es una coincidencia o un caso aislado nuevamente corresponde a una importante relacioacuten entre una funcioacuten y su segunda derivada Conclusioacuten
bull Para toda funcioacuten ( )f x cuya segunda derivada existe en el intervalo ( )a b
bull Si ( ) 0f x gt para todo valor x en ( )a b la graacutefica de ( )f x es
coacutencava hacia arriba en ( )a b
bull Si ( ) 0f x lt para todo valor x en ( )a b la graacutefica de ( )f x es
coacutencava hacia abajo en ( )a b Definicioacuten- Se llama punto de inflexioacuten al punto donde la grafica de la funcioacuten cambia de ser coacutencava hacia abajo a coacutencava hacia arriba o viceversa si existe la tangente en ese punto La funcioacuten que analizamos antes 3 2( ) 3 3f x x x= minus + tiene un punto de inflexioacuten en 1x = porque (1) 0f = Ejercicios Estudia si tiene la funcioacuten 4( )f x x= punto de inflexioacuten en 0x = Con ayuda de DERIVE halla los intervalos donde la funcioacuten es coacutencava hacia arriba yo hacia abajo asiacute como las coordenadas de los puntos de inflexioacuten si existen Elaborar las graficas necesarias
o 23( )
3f x
x=
+
o 3 2( ) 6 9 1f x x x x= minus + +
o 4
2( ) 24xf x x= minus
o 2 4( ) 6f x x x= minus
APRENDIENDO CALCULO DIFERENCIAL CON DERIVE
SESION Nordm 3
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION A CLASIFICACION DE LOS PUNTOS CRITICOS DE UNA FUNCIOacuteN RECORDEMOS Localiza en la graacutefica de la figura 1 el punto(s) m miacutenimo(s) y da sus coordenadas Figura 1 Si observas la graacutefica notaraacutes que existen dos puntos maacutes bajo que todos los demaacutes donde la curva es coacutencava hacia arriba a los que llamaremos miacutenimos locales Las coordenadas de esos puntos en la grafica son
1( )m y 2 ( )m Localiza en la graacutefica de la figura 2 el punto M maacuteximo y da sus coordenadas Figura 2
2
21( ) 1f xx
= minus
( ) ( 2)( 4)( 6)f x x x x x= + minus minus
CAPACIDAD Determina los puntos criacuteticos de una funcioacuten y los clasifica en maacuteximos miacutenimos o de inflexiones
Si observas la grafica de la funcioacuten encontraras que alcanza un punto maacutes alto en la regioacuten donde es coacutencava hacia abajo Las coordenadas de ese punto son ( )M A un punto como este que se encuentra en la cima de una regioacuten donde la curva es coacutencava hacia abajo se le llama maacuteximo local por que en efecto es el punto mas alto aunque no de toda la curva sino de una regioacuten Pregunta iquestQueacute coincidencias y queacute diferencias hay donde ( )f x tiene maacuteximo y donde tiene miacutenimo Coincidencias __________________________________________________________ Diferencias __________________________________________________________ Para determinar los valores extremos de una funcioacuten en un primer acercamiento se requiere
1 Obtener la primera derivada de la funcioacuten para investigar doacutende ( )f x es constante
2 Igualar a cero la primera derivada ( ) 0f x = 3 Resolver la ecuacioacuten resultante para encontrar los puntos criacuteticos
de 1 2( ) f x x x donde podriacutea tener un maacuteximo un miacutenimo o un punto de inflexioacuten
4 Bosquejar la graacutefica de la funcioacuten 5 Elabora una conjetura acerca del caraacutecter de cada punto criacutetico
maacuteximo miacutenimo o punto de inflexioacuten Emplea DERIVE y en cada funcioacuten de los siguientes ejemplos determina los puntos criacuteticos bosqueja una graacutefica y elabora una conjetura acerca del caraacutecter de cada punto criacutetico
A los valores maacuteximos o miacutenimos los llamaremos valores extremos
Ejercicio Ndeg 1
Graficar la funcioacuten 2
21( ) 1f xx
= minus
y completar la informacioacuten
1 ( )f x = 2 ( ) 0f x = de donde 1x = ( )f xthere4 tiene un punto criacutetico 3 iquestQueacute sucede con la graacutefica de la primera derivada en los puntos
criacuteticos de la funcioacuten 4 Mostrar la graacutefica y determinar que tipo de punto es 1x 5 Determinar la segunda derivada y analizar su comportamiento
grafico Ejercicio Ndeg 2 Graficar la funcioacuten ( ) ( 2)( 4)( 6)f x x x x x= + minus minus y completar la informacioacuten
1 ( )f x = 2 ( ) 0f x = de donde 1 2 3 x x x= = = ( )f xthere4 tiene tres
puntos criacuteticos 3 iquestQueacute sucede con la graacutefica de la primera derivada en los puntos
criacuteticos de la funcioacuten 4 Mostrar la graacutefica y determinar que tipo de puntos criacuteticos tiene 5 Determinar la segunda derivada y analizar su comportamiento
grafico Ejercicio Ndeg 3 Graficar la funcioacuten 3 2( ) 3 3f x x x= minus + y completar la informacioacuten
1 ( )f x = 2 23 6 3 ( ) 0x x xminus = minus = de donde 1 2x y x= = ( )f xthere4
tiene dos puntos criacuteticos 3 Indicar el maacuteximo y el miacutenimo 6 iquestQueacute sucede con la graacutefica de la primera derivada en los puntos
criacuteticos de la funcioacuten 4 Mostrar una graacutefica
5 Grafique la primera derivada y determine si el signo de ella antes y despueacutes del punto criacutetico coincide con la propiedad de la funcioacuten de ser creciente o decreciente en los intervalos formados
6 Grafique la segunda derivada y analice la informacioacuten que representa
Ejercicio N deg4 (trabajo)
Graficar la funcioacuten 23( )
3f x
x=
+ y completar la informacioacuten
1 ( )f x =
2 ( )22
6 03
x
x
minus=
+
3 Puesto que ( )22 3x + siempre seraacute mayor que cero la uacutenica
posibilidad de que ( )22
6 03
x
x
minus=
+es que 6 0xminus = luego 0x =
( )f xthere4 tiene soacutelo un punto criacutetico 4 Determine a traveacutes de la graacutefica si se trata de un maacuteximo o
miacutenimo 5 Grafique la primera derivada y determine si el signo de ella antes
y despueacutes del punto criacutetico coincide con la propiedad de la funcioacuten de ser creciente o decreciente en los intervalos formados
6 Grafique la segunda derivada y analice la informacioacuten que representa
B CRITERIO DE LA PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA PARA ENCONTRAR VALORES EXTREMOS DE UNA FUNCION
iquestExiste un procedimiento formal para determinar los valores extremos de una funcioacuten En el punto anterior pudimos determinar los valores criacuteticos de una funcioacuten y decidir si se trataba de un maacuteximo o miacutenimo o un punto de inflexioacuten Pero tuvimos las siguientes limitaciones bull Nuestra decisioacuten quedoacute a nivel de conjetura porque para tomarla
n os apoyamos en una grafica y eso le quita formalidad y precisioacuten al procedimiento
bull No obtuvimos el valor del maacuteximo o miacutenimo de la funcioacuten ni las coordenadas en el caso del punto de inflexioacuten
En esta sesioacuten trabajaremos en laacutepiz y papel el procedimiento formal para obtener los valores extremos de una funcioacuten asiacute como sus puntos de inflexioacuten y resolveremos los ejercicios usando derive asiacute podemos comparar entre el trabajo analiacutetico y los caacutelculos que podemos hacer empleando DERIVE
RECORDAR
Criterio de la primera derivada Hipoacutetesis Si ( )f x es una funcioacuten continua en un Intervalo ( )a b
1x es el uacutenico punto criacutetico en ese intervalo y ( )f x es derivable en
( )a b Entonces Tesis el punto criacutetico ( )1 1 ( )x f x se puede clasificar de acuerdo a la siguiente tabla
CAPACIDAD Comprende y aplica el criterio de la primera y segunda derivada para encontrar valores extremos de una funcioacuten
Signo de ( )f x en ( )1a x
Signo de ( )f x en ( )1 x b Decisioacuten
+ - 1( )f x es un maacuteximo
- + 1( )f x es un miacutenimo
+ + 1( )f x es un posible punto de inflexioacuten
- - 1( )f x es un posible punto de inflexioacuten
Criterio de la segunda derivada Hipoacutetesis Si ( )f x es una funcioacuten que tiene primera y segunda derivadas en un intervalo ( )a b y tiene un punto criacutetico en 1x Tesis el punto criacutetico ( )1 1 ( )x f x se puede clasificar de acuerdo con el siguiente criterio bull Si ( ) 0 ( )f x f xgt tendraacute un maacuteximo en 1x porque es coacutencava hacia arriba bull Si ( ) 0 ( )f x f xlt tendraacute un miacutenimo en 1x porque es coacutencava hacia abajo bull Si ( ) 0 ( )f x f x= podriacutea tener un punto de inflexioacuten 1x si estaacute cambiando la concavidad
Ejercicio Ndeg 1 Determina los maacuteximos y miacutenimos de la siguiente funcioacuten
3 2( ) 3 3f x x x= minus + completa la informacioacuten que se pide y luego compara tus resultados con los obtenidos empleando DERIVE
1 ( )f x = 2 23 6 0x xminus =
3 ( )23 6 3 ____ ____ 0x x xminus = minus = de donde 1 ____x = y
2 ____x = 4 Los valores 0 y 2 dividen al eje X en los intervalos ajenos
( ) ( ) ( )0 0 2 2minusinfin infin 5 Elaboramos una tabla para dar valores a x Completa el valor y el
signo de ( )f x
Intervalo ( )0minusinfin ( )02 ( )2infin
Valor de x -1 1 3
Valor de ( )f x
Signo de ( )f x
6 De acuerdo con el criterio de la primera derivada
a) En 1 0x = ( )f x tiene un ___________ porque ( )f x _____________
b) En 2 2x = ( )f x tiene un ___________ porque ( )f x ____________
7 El valor maacuteximo de ( )f x en _____ es_____ 8 El valor miacutenimo de ( )f x en _____ es_____
Ejercicio Ndeg 2 Determina los maacuteximos y miacutenimos de la siguiente funcioacuten
2
3( )3
f xx
=+
completa la informacioacuten que se pide y luego compara tus
resultados con los obtenidos empleando DERIVE 1 ( )f x =
2 ( )22
6 03
x
x
minus=
+
3 Puesto que ( )22 3x + siempre seraacute mayor que cero la uacutenica
posibilidad de que ( )22
6 03
x
x
minus=
+es que 1 ____x =
4 El valor de z divide al eje X en 2 intervalos ( ) ( )0 0minusinfin infin iquestQueacute sucede en el punto cero
5 Elaboramos una tabla para dar valores a x Completa el valor y el signo de ( )f x
Intervalo ( )0minusinfin ( )0infin
Valor de x -1 1
Valor de ( )f x
Signo de ( )f x
6 ( )f x presenta un _______________en _____ Ejercicio Ndeg 3 Empleando Derive y el criterio de la segunda derivada determina los maacuteximos y miacutenimos de la siguiente funcioacuten ( )3( ) 4 10f x x= minus + ademaacutes completar la informacioacuten y anexa la grafica de las funcioacuten para verificar las validez de tus resultados
1 ( )f x =
2 ( )23 4 0x minus =
3 23( 8 16) 0x xminus + = de donde 1 ____x =
4 ( )f x = 5 (4)f =0 ( )f xthere4 tiene un___________ 6 Las coordenadas de ese punto son ( )4 (4)f es decir ( )4
7 (2)f =_____________gt0 ( )f xthere4 tiene un___________
Trabajo en casa Ejercicio Ndeg 1 Determina los maacuteximos y miacutenimos de la siguiente funcioacuten
( )3( ) 4f x x= minus completa la informacioacuten que se pide y luego compara tus resultados con los obtenidos empleando DERIVE
1 ( )f x =
2 ( )23 4 0x minus =
3 23( 8 16) 0x xminus + = de donde 1 ____x = 4 El valor 4 divide al eje X en dos intervalos ajenos
( ) ( ) 4 4minusinfin infin 5 Elaboramos una tabla para dar valores a x Completa el valor y el
signo de ( )f x
Intervalo ( ) 4minusinfin ( )4infin
Valor de x 2 5
Valor de ( )f x
Signo de ( )f x
6 De acuerdo con el criterio de la primera derivada En 1 4x = ( )f x presenta __________________________
Ejercicio Ndeg 2 Determina los maacuteximos y miacutenimos de la siguiente funcioacuten
1( )f x xx
= + completa la informacioacuten que se pide y luego compara tus
resultados con los obtenidos empleando DERIVE
1 ( )f x =
2 2
11 0x
minus =
3 2
11 0x
minus = 2
11x
= 2 1x = de donde 1 ____x = y 2 ____x =
4 Los valores 1 y -1 dividen al eje X en 3 intervalos ajenos ( ) ( ) ( ) 1 11 1minusinfin minus minus infin iquestQueacute sucede en el punto cero
5 Elaboramos una tabla para dar valores a x Completa el valor y el signo de ( )f x
Intervalo ( ) 1minusinfin minus ( )10minus ( )01 ( )1infin
Valor de x -2 -12 frac12 3
Valor de ( )f x
Signo de ( )f x
6 El valor maacuteximo de ( )f x en _____ es_____ 7 El valor miacutenimo de ( )f x en _____ es_____
Ejercicio Ndeg 3 Empleando Derive y el criterio de la segunda derivada determina los
maacuteximos y miacutenimos de la siguiente funcioacuten 1( )f x xx
= + ademaacutes
completar la informacioacuten y anexa la grafica de las funcioacuten para verificar las validez de tus resultados
1 ( )f x =
2 2
11 0x
minus =
3 2
11 0x
minus = 2
11x
= 2 1x = de donde 1 ____x = y 2 ____x =
4 ( )f x = 5 (1)f = ____gt0 ( )f xthere4 tiene un___________ 6 Las coordenadas de ese punto son ( )1 (1)f es decir ( )1 7 ( 1)f minus = _____________lt0 ( )f xthere4 tiene un___________ 8 Las coordenadas de ese punto son ( )1 ( 1)fminus minus es decir ( )1minus
Ejercicio Ndeg 4 Calcula los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de las siguientes funciones
1 2 4
( )2 16x xf x = minus
2 23( )
1xf x
x=
minus
3 2( )4
xf xx
=minus
4 2 2( )1
x xf xx
minus minus=
minus
Representa las graacuteficas para comprobarlo C PROBLEMAS DE OPTIMIZACIOacuteN
Has aprendido a encontrar valores extremos de una funcioacuten por medio de dos criterios el de la primera derivada y el de la segunda derivada Lo que haremos ahora constituye una de las principales aplicaciones del caacutelculo diferencial utilizado en muy diversas aacutereas del conocimiento Con frecuencia en los procesos industriales cientiacuteficos y tecnoloacutegicos se busca optimizar las condiciones en que se llevan a cabo asiacute como los resultados que se obtienen Por ejemplo se pretende envasar el mayor volumen de un producto empleando la menor cantidad posible de material obtener el mejor efecto de un medicamento con la menor dosis administrada encontrar el nuacutemero de artiacuteculos que deben venderse para obtener la maacutexima ganancia Todo esto es optimizar un proceso y el caacutelculo es una herramienta muy uacutetil para lograrlo
CAPACIDAD Resuelve problemas que involucran maacuteximos o miacutenimos de una funcioacuten empleando derive
Para resolver un problema de optimizacioacuten baacutesicamente debemos proceder de la siguiente manera
1 A partir del enunciado del problema obtener la funcioacuten que queremos optimizar de modo que dependa de una sola variable
2 aplicar uno de los criterios para encontrar los valores extremos de una funcioacuten
3 interpretar los resultados con base en la naturaleza del problema planteado
PROBLEMA 1 Cuando alguien tose la traquea se contrae violentamente lo que afecta de modo directo a la velocidad del aire expulsado a traveacutes de ella Si la velocidad del aire durante la tosida se puede expresar como
2( ) ( )v r k p r r= minus donde k es una constante positiva que depende de la persona p es el radio normal de la traquea y r el radio durante el golpe de tos
a) Utilice una escala apropiada para mostrar la grafica de la velocidad del aire durante la tosida Utilice los valores de K=1 y p=3
b) Determina el dominio apropiado para estudiar esta funcioacuten c) iquestQueacute valor del radio r producir la maacutexima velocidad del aire
expulsado iquestCuaacutel es la velocidad
Solucioacuten
1 Siendo la funcioacuten a maximizar 2 2 3( ) ( ) ( )v r k p r r k p r r= minus = minus
2 La primera derivada es dvdr
=
3 Los puntos criacuteticos son 1 2______ _______r y r= =
4 luego la velocidad del aire expulsado tiene un maacuteximo cuando r =
PROBLEMA 2 Se quiere fabricar latas de refresco cuyo contenido sea 33cl de manera que el costo de la chapa sea miacutenimo Hallar las dimensiones que ha de
ANEXO 4
PLANES DE CLASE
Los planes de clase en general son los mismos para ambos grupos pero si difieren del lugar donde se trabajan pues el grupo experimental recibiraacute clases en el laboratorio de coacutemputo mientras que el grupo de control trabajara sus sesiones de clase en el aula Debo indicar tambieacuten que solo la tercera clase de ambos grupos seraacute en el saloacuten de clases pues se deben trabajar las derivadas de funciones trigonomeacutetricas logariacutetmicas impliacutecitas regla de L`Hospital El modelo de plan de clase que presento a continuacioacuten es el que manejamos en la universidad para nuestra carpeta docente Fue disentildeado por los docentes de la Escuela de Educacioacuten y lo trabajamos en todas las escuelas Presento cuatro planes de clase que corresponde a las 4 sesiones que tuvimos para resolver el capiacutetulo de Derivadas
P L A N D E S E S I Oacute N D E A P R E N D I Z A J E 2 0 0 6- II ESCUELA DE INGENIERIacuteA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS
ASIGNATURA
Ciclo Seccioacuten
Semana Ndeg Sesioacuten
DOCENTE
COMPETENCIA
TIacuteTULO CAPACIDAD
ACTIVIDADES TIEMPO INDICADORES INICIALES DestrezaHabilidad Contenido Producto Iacutetems
PROCESO
FINALES Actitudes
METODO AYUDAS TEacuteCNICAS E INSTRUMENTOS DE EVALUACIOacuteN
Expositivas-Interactivas
Investigacioacuten Individual
Debate
Proyecto
Demostracioacuten
Investigacioacuten por equipos
Otros
Texto Separatas-resumen Transparencias- Diapositivas
Ejercicios Aplicacioacuten Casos Presentacioacuten Multimedia
Otros
Observacioacuten Situacioacuten Ejercicio Praacutectico Pruebas Escritas Situacioacuten Oral
de Evaluacioacuten
Pruebas de Desempentildeo
Examen Temaacutetico
Ejercicios Interpretativos
Pruebas Objetivas
Mapa mental
Mapa Conceptual
Estudios de Casos Praacutecticas- Laboratorio
Proyecto
Portafolio
Ensayos
Otros (Indicar)
Exposicioacuten Diaacutelogo Debate Examen
Oral
Lista de cotejo
Registro anecdoacutetico
Escala de actitud
Otros(Indicar)
Bibliografiacutea
Paacuteginas Web
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ASIGNATURA MATEMATICA I
Ciclo II Seccioacuten A B
Semana 12 Nordm Sesioacuten 1
DOCENTE Lic Diana Quintana Saacutenchez
COMPETENCIA Interpreta formula analiza y resuelve problemas de contexto real utilizando definiciones teacutecnicas y aplicaciones del Caacutelculo Diferencial desarrollando
comunicacioacuten investigacioacuten razonamiento y manifestando confianza flexibilidad y perseverancia
CONTENIDO Derivadas
CAPACIDAD Resuelve problemas sobre razoacuten de cambio recta tangente y grafico de funciones y sus derivadas
ACTIVIDADES TIEMPO INDICADORES INICIALES
15rsquo
DestrezaHabilidad Contenido Producto Iacutetems bull Saludo bull Para esta clase he preparado un relato sobre la historia del
caacutelculo diferencial La historia de Newton y Leibnitz
Resuelve Encuentra Calcula Grafica
Razoacuten de cambio Dos Problemas con un mismo tema Definicioacuten de Derivada Resolucioacuten de problema empleando derivadas Elaboracioacuten de graficas de funciones y sus derivadas
Opinioacuten sobre los protagonistas de la Historia de Calculo Presentacioacuten de ejercicios propuestos en clase
1 Resuelve problemas de
aplicacioacuten de razoacuten de cambio 2 Encuentra la derivada de
funciones ( )f x 3 Calcula la derivada de funciones
( )f x empleando la definicioacuten de derivada
4 Grafica funciones y su
derivadas
ACTIVIDADES DE PROCESO
2h15rsquo break 1h30rsquo
bull Se expone el fundamento teoacuterico sobre la definicioacuten de
derivada y se entrega el material didaacutectico bull Se resuelve en parejas en la solucioacuten del primer trabajo
praacutectico bull Los alumnos exponen en la pizarra la solucioacuten de los
problemas bull Con el grupo experimental se trabaja la guiacutea de laboratorio
ACTIVIDADES FINALES
10rsquo
Actitudes Valora de manera criacutetica la importancia de la historia del calculo asiacute mismo muestra orden e intereacutes por aprender
bull Presentar en la siguiente clase la solucioacuten de los ejercicios
propuestos en la separata
METODO AYUDAS TEacuteCNICAS E INSTRUMENTOS DE EVALUACIOacuteN
x Expositivas-Interactivas
Investigacioacuten Individual
Debate
Proyecto
Demostracioacuten
x Investigacioacuten por equipos
Otros
Texto Separatas-resumen x Transparencias- Diapositivas
Ejercicios Aplicacioacuten x Casos Presentacioacuten Multimedia
x
Otros
Observacioacuten Situacioacuten Ejercicio Praacutectico Pruebas Escritas Situacioacuten Oral
de Evaluacioacuten
Pruebas de Desempentildeo
Examen Temaacutetico
x Ejercicios Interpretativos
Pruebas Objetivas
Mapa mental
Mapa Conceptual
x Estudios de Casos x Praacutecticas- Laboratorio
Proyecto
Portafolio
Ensayos
Otros (Indicar)
x Exposicioacuten x Diaacutelogo Debate Examen
Oral
Lista de cotejo
x Registro anecdoacutetico
Escala de actitud
Otros(Indicar)
Bibliografiacutea Anaacutelisis Matemaacutetico I Eduardo Espinoza Ramos Anaacutelisis Matemaacutetico Maacuteximo Mittac Meza
Paacutegina Web wwwucvpiuraedupe (aula virtual)
P L A N D E S E S I Oacute N D E A P R E N D I Z A J E 2 0 0 6- II
ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS
ASIGNATURA MATEMATICA I
Ciclo II Seccioacuten A
Semana 13 Nordm Sesioacuten 1
DOCENTE Lic Diana Quintana Saacutenchez
COMPETENCIA Interpreta formula analiza y resuelve problemas de contexto real utilizando definiciones teacutecnicas y aplicaciones del Caacutelculo Diferencial desarrollando comunicacioacuten investigacioacuten razonamiento y manifestando confianza flexibilidad y perseverancia
CONTENIDO Derivadas
CAPACIDAD Infiere mediante un anaacutelisis grafico las relaciones existentes entre la graacutefica de una funcioacuten y su primera derivada signo de la primera derivada asociado con crecimiento o decrecimiento de la funcioacuten y derivada nula con puntos criacuteticos
ACTIVIDADES TIEMPO
INDICADORES INICIALES
15rsquo
Destreza Habilidad
Contenido Producto Iacutetems
bull Saludo bull Esta clase se inicia con una lluvia de ideas sobre lo trabajado en
la clase anterior
Calcula Determina Analiza
Reglas de Derivacioacuten Derivadas de orden superior Anaacutelisis graacutefico de funciones y su primera derivada
Solucioacuten de ejercicios sobre derivadas Anaacutelisis de grafico de funciones y su primera derivada Ejemplos de primera y segunda derivada
5 Calcule la derivada de las
siguientes funciones 6 Encuentra derivada de orden
superior de funciones ( )f x 7 Analiza las graficas de
funciones y su derivada
ACTIVIDADES DE PROCESO
2h15rsquo
break 1h30rsquo
bull Para esta sesioacuten los alumnos han descargado el material del aula
virtual Pero para el grupo experimental la guiacutea se entrega en clase
bull Se presenta el contenido y se trabaja dando espacios para las posibles preguntas de los alumnos Ademaacutes se presentan ejemplos
bull Se solicita a los alumnos que voluntariamente expongan sus soluciones
ACTIVIDADES FINALES
10rsquo
Actitudes Valora la importancia de conocer el comportamiento grafico de una funcioacuten y su derivada
bull Presentar en la siguiente clase la solucioacuten del trabajo
praacutectico Nordm 4 METODO AYUDAS TEacuteCNICAS E INSTRUMENTOS DE EVALUACIOacuteN
x Expositivas-Interactivas
Investigacioacuten Individual
Debate
Proyecto
Demostracioacuten
Investigacioacuten por parejas
Otros
Texto Separatas-resumen x Transparencias- Diapositivas
Ejercicios Aplicacioacuten x Casos Presentacioacuten Multimedia
Otros
Observacioacuten Situacioacuten Ejercicio Praacutectico Pruebas Escritas Situacioacuten Oral de Evaluacioacuten
Pruebas de Desempentildeo
Examen Temaacutetico
x Ejercicios Interpretativos
Pruebas Objetivas
Mapa mental
Mapa Conceptual
Estudios de Casos x Praacutecticas- Laboratorio
Proyecto
Portafolio
Ensayos
Otros (Indicar)
x Exposicioacuten x Diaacutelogo Debate Examen
Oral
Lista de cotejo
x Registro anecdoacutetico
Escala de actitud
Otros(Indicar)
Bibliografiacutea Anaacutelisis Matemaacutetico I Eduardo Espinoza Ramos Anaacutelisis Matemaacutetico Maacuteximo Mittac Meza
Paacutegina Web wwwucvpiuraedupe (aula virtual)
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ASIGNATURA MATEMATICA I
Ciclo II Seccioacuten A B
Semana 14 Nordm Sesioacuten 1
DOCENTE Lic Diana Quintana Saacutenchez
COMPETENCIA Interpreta formula analiza y resuelve problemas de contexto real utilizando definiciones teacutecnicas y aplicaciones del Caacutelculo Diferencial desarrollando comunicacioacuten investigacioacuten razonamiento y manifestando confianza flexibilidad y perseverancia CONTENIDO Derivadas
CAPACIDAD Determina los puntos criacuteticos de una funcioacuten y los clasifica en maacuteximos miacutenimos o de inflexiones
ACTIVIDADES TIEMPO INDICADORES
INICIALES
15rsquo
Destreza Habilidad
Contenido Producto Iacutetems
bull Saludo bull Esta clase se inicia con la presentacioacuten de un problema el cual
implica derivar una funcioacuten trascendente la intencioacuten es generar el desequilibrio cognitivo
Identifica Demuestra Emplea
Reglas de Derivacioacuten de funciones Trigonometricas Trigonometricas Inversas Exponenciales Logariacutetmicas Reglas de Derivacioacuten de funciones Impliacutecitas Derivadas de orden superior
Solucioacuten de ejercicios y problemas de la separata referidos a derivadas
bull Identifica las reglas de derivacioacuten
que empleara para resolver determinados ejercicios
bull Demuestra empleando meacutetodos de
derivacioacuten que las derivadas de funciones impliacutecita se pueden calcular
bull Emplea derivacioacuten de orden
superior para resolver problemas
ACTIVIDADES DE PROCESO
2h15rsquo break 1h30rsquo
bull Para esta sesioacuten los alumnos han descargado el material del aula
virtual bull La clase se desarrolla empleando el meacutetodo expositivo dando
espacios para las posibles preguntas de los alumnos Ademaacutes se presentan ejemplos y la solucioacuten del problema planteando al inicio de la clase
bull Con el grupo experimental no hubo laboratorio bull Se resuelve de forma individual los ejercicios del trabajo praacutectico bull Se solicita a los alumnos que voluntariamente expongan sus
soluciones ACTIVIDADES FINALES
10rsquo Actitudes Intereacutes por conocer fundamentos teoacutericos que le permitan resolver ejercicios y problemas
bull Presentar en la siguiente clase la solucioacuten del trabajo praacutectico de la separata
METODO AYUDAS TEacuteCNICAS E INSTRUMENTOS DE EVALUACIOacuteN
x Expositivas-Interactivas
Investigacioacuten Individual
Debate Proyecto Demostracioacuten Investigacioacuten
por parejas Otros
Texto Separatas-resumen x Transparencias- Diapositivas
Ejercicios Aplicacioacuten x Casos Presentacioacuten Multimedia
Otros
Observacioacuten Situacioacuten Ejercicio Praacutectico Pruebas Escritas Situacioacuten Oral de Evaluacioacuten
Pruebas de Desempentildeo
Examen Temaacutetico
x Ejercicios Interpretativos
Pruebas Objetivas
Mapa mental Mapa Conceptual Estudios de Casos x Praacutecticas- Laboratorio Proyecto Portafolio Ensayos Otros (Indicar)
x Exposicioacuten x Diaacutelogo Debate Examen
Oral
Lista de cotejo x Registro
anecdoacutetico Escala de actitud Otros(Indicar)
Bibliografiacutea Anaacutelisis Matemaacutetico I Eduardo Espinoza Ramos Anaacutelisis Matemaacutetico Maacuteximo Mittac Meza
Paacutegina Web wwwucvpiuraedupe (aula virtual)
P L A N D E S E S I Oacute N D E A P R E N D I Z A J E 2 0 0 6- II ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS
ASIGNATURA MATEMATICA I
Ciclo II Seccioacuten B
Semana 15 Nordm Sesioacuten 1
DOCENTE Lic Diana Quintana Saacutenchez
COMPETENCIA Interpreta formula analiza y resuelve problemas de contexto real utilizando definiciones teacutecnicas y aplicaciones del Caacutelculo Diferencial desarrollando comunicacioacuten investigacioacuten razonamiento y manifestando confianza flexibilidad y perseverancia CONTENIDO Derivadas CAPACIDAD Emplea criterios de primera y segunda derivada para resolver problemas de maacuteximos y miacutenimos
ACTIVIDADES TIEMPO INDICADORES INICIALES DestrezaHabilidad Contenido Producto Iacutetems
bull Saludo bull Esta clase se inicia con la participacioacuten de los
alumnos en un pequentildeo dialogo sobre los contenidos estudiados en la clase anterior
15rsquo
Calcula Aplica Resuelve
Reglas de LrsquoHospital Criterio de la Primera y segunda derivada Problemas de Maacuteximos y Miacutenimos
Opinioacuten sobre los protagonistas de la Historia de Calculo Presentacioacuten de ejercicios propuestos en clase
8 Calcula liacutemites empleando la
regla de LrsquoHospital 9 Aplica el criterio de la primera y
segunda derivada para resolver ejercicios
10 Resuelve problemas de
maacuteximos y miacutenimos
ACTIVIDADES DE PROCESO
2h15rsquo break 1h30rsquo
bull Se expone el fundamento teoacuterico sobre la definicioacuten
de derivada y se entrega el material didaacutectico bull Se resuelve en parejas en la solucioacuten del primer
trabajo praacutectico bull Los alumnos exponen en la pizarra la solucioacuten de los
problemas ACTIVIDADES FINALES
10rsquo
Actitudes Valora de manera criacutetica la importancia de la historia del caacutelculo asiacute mismo muestra orden e intereacutes por aprender
bull Resolver y exponer la solucioacuten de los ejercicios de la
separata
METODO AYUDAS TEacuteCNICAS E INSTRUMENTOS DE EVALUACIOacuteN
x Expositivas-Interactivas
Investigacioacuten Individual
Debate
Proyecto
Demostracioacuten
x Investigacioacuten por equipos
Otros
Texto Separatas-resumen x Transparencias- Diapositivas
Ejercicios Aplicacioacuten x Casos Presentacioacuten Multimedia
x
Otros
Observacioacuten Situacioacuten Ejercicio Praacutectico Pruebas Escritas Situacioacuten Oral
de Evaluacioacuten
Pruebas de Desempentildeo
Examen Temaacutetico
x Ejercicios Interpretativos
Pruebas Objetivas
Mapa mental
Mapa Conceptual
Estudios de Casos x Praacutecticas- Laboratorio
Proyecto
Portafolio
Ensayos
Otros (Indicar)
x Exposicioacuten x Diaacutelogo Debate Examen
Oral
Lista de cotejo
x Registro anecdoacutetico
Escala de actitud
Otros(Indicar)
Bibliografiacutea Anaacutelisis Matemaacutetico I Eduardo Espinoza Ramos Anaacutelisis Matemaacutetico Maacuteximo Mittac Meza
Paacutegina Web wwwucvpiuraedupe (aula virtual)
tener la lata es decir el radio y la altura Calcula tambieacuten el valor de la superficie de la chapa miacutenima PROBLEMA 3 Calcula el valor de los coeficientes a y b para que la funcioacuten
3( )f x ax bx= + tenga un maacuteximo relativo en P (12) PROBLEMA 4 Calcular el polinomio de tercer grado que pasa por el origen de coordenadas O (00) tiene un maacuteximo relativo en el punto P (-24) y un punto de inflexioacuten en el punto Q (-12)
ANEXO 5
TABLAS DE ESPECIFICACIONES
Preg horas Razon de Cambio- Problema de la recta tangente 1 0 0 0 1 1 20
TOTAL 2 2 1 2 7 5 100
TOTAL
TABLA DE ESPECIFICACIONESPRUEBA DE MATEMATICA I
PRACTICA 1
Conocimiento Comprensioacuten Aplicacioacuten
Definicion de Derivada 1 0 1 0 2 1 20
Graacutefico de Funciones y suderivada 0 2 0 2 4 3 60
Ejes Temaacuteticos
HabilidadesCognitivas Anaacutelisis
Siacutentesis y Evaluacioacuten
Preg horas Calculo de Derivadas de orden Superior 0 2 0 1 3 3 60Primera y segunda Derivada de una Funcioacuten 0 0 2 2 4 2 40TOTAL 0 2 2 3 7 5 100
Conocimiento Comprensioacuten Aplicacioacuten
TABLA DE ESPECIFICACIONESPRUEBA DE MATEMATICA I
PRACTICA 2
TOTAL
Ejes Temaacuteticos
HabilidadesCognitivas Anaacutelisis
Siacutentesis y Evaluacioacuten
Preg horas Grafico de funciones y sus derivadas y propiedades de las funciones
1 0 1 1 3 2 40
Problemas de Optimizacion 1 0 2 0 3 3 60TOTAL 2 0 3 1 6 5 100
TABLA DE ESPECIFICACIONESPRUEBA DE MATEMATICA I
PRACTICA 3
Conocimiento Comprensioacuten AplicacioacutenTOTAL
Ejes Temaacuteticos
HabilidadesCognitivas Anaacutelisis
Siacutentesis y Evaluacioacuten
Preg horas SEGUNDA UNIDAD 1 0 3 1 5 20 100TOTAL 1 0 3 1 5 20 100
TABLA DE ESPECIFICACIONESEXAMEN FINAL DE MATEMATICA I
Conocimiento Comprensioacuten AplicacioacutenTOTAL
Ejes Temaacuteticos
HabilidadesCognitivas Anaacutelisis
Siacutentesis y Evaluacioacuten
ANEXO 6
INSTRUMENTOS DE EVALUACION
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS ASIGNATURA MATEMATICA I TIEMPO 2 HORAS
PRACTICA CALIFICADA Nordm 1 INDICACIONES Cuide la redaccioacuten de sus respuestas y trabaje en forma ordenada evitando los borrones CONOCIMIENTO (2 ptos cada una)
1 Identifica el concepto de razoacuten de cambio en el problema de la recta tangente
2 Menciona las dos formas equivalentes de la derivada y explica su diferencia simboacutelica
COMPRENCION (2 ptos cada una)
3 En la siguiente figura se dan las graacuteficas de una funcioacuten f y su derivada f sobre unos ejes comunes Explicar en un breve paacuterrafo dichas graacuteficas
4 Empareja cada funcioacuten de la columna izquierda con la grafica de su derivada en la columna derecha
a) A)
b) B) c) C) APLICACIOacuteN (4 ptos)
5 Usar la definicioacuten de derivada para hallar ( )f x Siendo
3 2( )f x x x= + ANALISIS SINTESIS Y EVALUACIOacuteN (4 ptos cada una)
6 Analiza la situacioacuten en el punto 0x = para la funcioacuten ( )f x y su derivada asiacute mismo elabora una grafica de dichas funciones
2
2
4 0( )
4 0
x xf x
x x
minus gt= minus le
7 Evaluacutee las funciones 2( ) 1f x x= + y ( ) 1g x x= + simultaacuteneamente
en la cercaniacutea del punto (01) y responda iquestQueacute se observa iquestQueacute funcioacuten es derivable en ese punto
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS ASIGNATURA MATEMATICA I TIEMPO 2 HORAS
PRACTICA CALIFICADA Nordm 2 INDICACIONES Cuide la redaccioacuten de sus respuestas y trabaje en forma ordenada evitando los borrones COMPRENCION (3 ptos cada una)
1 Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas En caso de que sea falsa explica por queacute o da un ejemplo que muestre su falsedad
a) Si ( ) ( )y f x g x= entonces ( ) ( )dy f x g xdx
=
b) Si ( 1)( 2)( 3)( 4)y x x x x= + + + + entonces 5
5 0d ydx
=
c) La segunda derivada representa el ritmo de cambio de la primera
2 Sean f y g funciones cuyas primeras y segundas derivadas existen en un intervalo I Sentildeala iquestCuaacutel de estas formulas es correcta a) ( ) fg f g fg f gminus = minus b) ( ) fg f g fg+ =
APLICACIOacuteN (25 ptos)
3 Soluciona el siguiente problema El costo C de pedido y transporte de
las componentes utilizadas en la fabricacioacuten de un producto es 200100 1
30xC x
x x = + le +
donde C se mide en miles doacutelares y
x es el tamantildeo del pedido Hallar el ritmo de cambio de C con respecto a x cuando 10 15x x= =
4 Usa la graacutefica de f para esbozar la de f y f
ANALISIS SINTESIS Y EVALUACIOacuteN (3 cada una)
5 Hallar la derivada de f para 1234n = y usar los resultados para proponer una foacutermula general para ( )f x en teacuterminos de n
6 Selecciona y graacutefica de una funcioacuten derivable f tal que 0f gt y
0f lt para todos los nuacutemeros reales x
7 Evaluacutea la derivada de la funcioacuten en el punto que se indica 1 cos1 cos
ecxyecx
+=
minusen 3
6π minus
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS ASIGNATURA MATEMATICA I TIEMPO 2 HORAS
PRACTICA CALIFICADA Nordm 3 INDICACIONES Cuide la redaccioacuten de sus respuestas y trabaje en forma ordenada evitando los borrones CONOCIMIENTO (15 pto cada una)
1 La graacutefica de ( )f x viene dada en la figura adjunta Indica a) iquestEn queacute valores de x es ( )f x cero positiva o negativa b) iquestEn queacute intervalo es f creciente
2 Describa el criterio de la segunda Derivada para hallar maacuteximos y
miacutenimos de una funcioacuten APLICACIOacuteN (45 cada una) Soluciona los siguientes problemas
3 El rendimiento (medido de 0 a 10) de cierto producto en funcioacuten del
tiempo de uso ( x en antildeos) viene dado por la siguiente expresioacuten
2
3( ) 85 0
1
xf x xx
= + ge+
a) iquestHay intervalos de tiempo en los que el rendimiento crece iquestY en que decrece iquestCuaacuteles son
b) iquestEn queacute punto se alcanza el rendimiento maacuteximo iquestCuaacutento vale
4 Se ha construido una presa de almacenamiento de agua cuyos costos de mantenimiento diarios son una funcioacuten de la cantidad de agua que la misma tiene almacenada Tales costos (en doacutelares) vienen dados por la siguiente expresioacuten ( ( )C x representa el costo si el volumen de agua en millones de metros cuacutebicos es x )
3 2( ) 8 73C x x x x= + minus + a) encontrar el volumen diario de agua oacuteptimo que debe mantenerse para minimizar costos b) calcular el costo miacutenimo diario que supone el mantenimiento de la instalacioacuten Si un diacutea la presa tiene almacenados 3 millones de metros cuacutebicos de agua iquestcuaacutento se ha gastado de maacutes respecto del costo miacutenimo
5 Proponga y dibuje una funcioacuten cuya derivada sea siempre negativa ANALISIS SINTESIS Y EVALUACIOacuteN (35 ptos)
6 Las graacuteficas de f f f se muestran en los mismos ejes iquestPodriacuteas decir cuaacutel es cuaacutel
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS ASIGNATURA MATEMATICA I TIEMPO 2 HORAS
EXAMEN FINAL
INDICACIONES Cuide la redaccioacuten de sus respuestas y trabaje en forma ordenada evitando los borrones CONOCIMIENTO (2 ptos)
1 Demostrar usando la definicioacuten que (cos )d x senx
dx= minus
APLICACIOacuteN (4 ptos cada una)
2 Emplea las reglas de derivacioacuten para encontrar la derivada de la
siguiente funcioacuten coscos
senx xy arctgsenx x
+ = minus
3 Calcular la primera derivada de la funcioacuten impliacutecita 2 34 6xy y y xy+ = +
4 Encontrar la derivada de la siguiente funcioacuten reduciendo en lo posible dicha derivada a su miacutenima expresioacuten
1 1 1( ) ln 2
11 1
x x xf x arctg
xx x
+ minus minus minus= +
++ + minus
ANALISIS SINTESIS Y EVALUACIOacuteN (6 ptos)
5 Lee atentamente el siguiente enunciado y responde a las preguntas La puntuacioacuten obtenida por un estudiante en un examen depende del tiempo que haya dedicado a su preparacioacuten ( x expresado en horas) en los siguientes teacuterminos
0 153( )2
1502 3
x si xg x
x si xx
le le= lt +
a) Si un estudiante ha dedicado menos de 15 horas a preparar el examen justificar que no aprobaraacute esto es que obtendraacute menos de 5 puntos
b) Justificar que la puntuacioacuten nunca puede ser superior a 10 puntos
TRATAMIENTO DIDAacuteCTICO DE LA DERIVADA - LA APLICACIOacuteN DEL PROGRAMA DERIVE
Esta obra estaacute bajo una licencia
Creative Commons Atribucioacuten-
NoComercial-SinDerivadas 25 Peruacute
Repositorio institucional PIRHUA ndash Universidad de Piura
DIANA JUDITH QUINTANA SAacuteNCHEZ
TRATAMIENTO DIDAacuteCTICO DE LA DERIVADA ndash LA APLICACIOacuteN DEL PROGRAMA DERIVE
UNIVERSIDAD DE PIURA FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIOacuteN
MAESTRIA EN EDUCACIOacuteN MENCIOacuteN EN MATEMAacuteTICA
2010
AGRADECIMIENTOS
Esta tesis si bien ha requerido de esfuerzo y mucha dedicacioacuten por parte de la autora y su asesor de tesis no hubiese sido posible su finalizacioacuten sin la cooperacioacuten desinteresada de todas y cada una de las personas que a continuacioacuten citareacute Primero y antes que nada dar gracias a Dios por estar conmigo en cada paso que doy por fortalecer mi corazoacuten e iluminar mi mente y por haber puesto en mi camino a aquellas personas que han sido mi soporte y compantildeiacutea durante todo este tiempo A mis padres Alejandro y Carmen por estar siempre a mi lado por el apoyo que siempre me han brindado A Luis mi buen esposo porque en su compantildeiacutea las cosas malas se convierten en buenas por su amor paciencia y comprensioacuten A mis hijos Luis Sebastiaacuten Esteban Hipoacutelito y Renzo Alejandro por ser el regalo maacutes grande de Dios y ser el estiacutemulo para seguir adelante
IacuteNDICE
PAacuteGINA
Introduccioacuten 1 Capiacutetulo I
Problematizacioacuten 2 11 Planteamiento del Problema 2 111 Antecedentes 2 112 Formulacioacuten del Problema 8 113 Justificacioacuten 9 114 Hipoacutetesis 10 115 Variables 10 116 Poblacioacuten 11 12 Objetivos de la Investigacioacuten 11 121 Objetivo General 11 122 Objetivos Especiacuteficos 11
Capiacutetulo II 12 Fundamento Teoacuterico 12 21 Disentildeo Curricular de la Asignatura de matemaacutetica I 12 211 Siacutelabo de la Asignatura de Matemaacutetica I 12 22 Didaacutectica de la Matemaacutetica 13 221 Registros de Representacioacuten Semioacutetica
Raymod Duval 14 222 Taxonomiacutea de Bloom y los niveles en que Se pueden clasificar los objetivos de
Aprendizaje 15 23 Desarrollo de la parte conceptual de la Derivada 19
24 La informaacutetica como recurso 92 241 El Software Educativo en el proceso de ensentildeanza Aprendizaje 94 242 La introduccioacuten del software de Matemaacutetica en la educacioacuten Matemaacutetica 94 243 El programa Derive 96 244 Capacidades del programa Derive 96 245 Laboratorios para el aprendizaje del Caacutelculo diferencial empleando Derive 97
Capiacutetulo III 99
Metodologiacutea de la Investigacioacuten 99 31 Paradigma de Investigacioacuten 99 32 Tipo de Investigacioacuten 100 33 Poblacioacuten 100 34 Hipoacutetesis Estadiacutesticas 100 35 Variables 100 36 Disentildeo de Investigacioacuten 100 37 Teacutecnicas e instrumentos de recoleccioacuten de datos 101 38 Teacutecnica de Procesamiento de Datos 102 39 Proceso de Investigacioacuten 103 391 Dificultades en el aprendizaje del
Calculo Diferencial 103 392 Rendimiento Acadeacutemico 104 393 Propuesta Didaacutectica 104
Capiacutetulo IV 115
Anaacutelisis e Interpretacioacuten de Resultados 115 41 Anaacutelisis Estadiacutestico
411 Resultados del rendimiento acadeacutemico 115 Los grupos experimental y de control
42 Anaacutelisis Inferencial 118 421 Comparacioacuten de Medias 118 422 Tablas de frecuencia del Pre-Test y Post-Test 119
423 Resultados del Pre-Test y Post-Test Considerando la comparacioacuten de medias y la Prueba t-student 121 424 Aceptacioacuten o rechazo de la hipoacutetesis nula o Alternativa 124 43 Discusioacuten de los resultados 125
Conclusiones 128 Recomendaciones 130 Bibliografiacutea 132
IacuteNDICE DE TABLAS
PAacuteGINA
1 Tabla Nordm1 Precio de artiacuteculo por meses 23 2 Tabla Nordm2 Razoacuten de cambio en el 2do 3er y 4to mes 27 3 Tabla Nordm3 Temperatura de un paciente seguacuten
transcurren las horas 29 4 Tabla Nordm4 Relacioacuten de Temperatura Graacutefica y Razoacuten
de Cambio 29 5 Tabla Nordm5 Derivadas de orden superior 78 6 Tabla Nordm6 Calificaciones de la Segunda Unidad
- Grupo Experimental 117 7 Tabla Nordm7 Calificaciones de la Segunda Unidad
- Grupo de Control 118 8 Tabla Nordm8 Resultados Pre Test y Post Test - Grupo Experimental 120 9 Tabla Nordm9 Resultados Pre Test y Post Test ndash Grupo de Control 122 10 Tabla Nordm10 Resumen estadiacutestico de pruebas Pre Test
de los grupos experimental y de control 124 11 Tabla Nordm11 Resumen estadiacutestico de pruebas Post Test
de los grupos experimental y de control 125
IacuteNDICE DE GRAacuteFICOS
PAacuteGINA
1 Figura 1 Graacutefica del precio dado en soles en el primer y tercer mes 24 2 Figura 2 Grafica del Supuesto crecimiento lineal de precio entre el primer y tercer mes 24 3 Figura 3 Graacutefica del descuento del 30 en el precio 24 4 Figura 4 Comportamiento no lineal entre tiempo y precio 26 5 Figura 5 Comportamiento no lineal entre tiempo y precio 26 6 Figura 6 Grafico del peso promedio de un bebeacute desde su nacimiento Hasta los dos antildeos 30 7 Figura 7 Graacutefico del valor de madera producida en funcioacuten del tiempo 31 8 Figura 8 Graacutefico del porcentaje de habitante en Estados Unidos que ven televisioacuten durante las 24 horas del diacutea 32 9 Figura 9 Graacutefica de las rectas secante y tangentes a una curva desde El punto Q hasta el punto P 33 10 Figura 10 Graacutefico de las posiciones de una recta secante a una curva en los puntos P y Q y su aproximacioacuten a la recta tangente 34 11 Figura 11 Graacutefica de la distancia recorrida por el objeto en
funcioacuten del tiempo 36
12 Figura 12 Graacutefica de la funcioacuten 1( )f xx
= y su recta
tangente en el Punto ( )21 2 39
13 Figura 13 Graacutefica de la funcioacuten ( )f x en los puntos c y c h+ empleando la primera forma de derivar 45 14 Figura 14 Graacutefica de la funcioacuten ( )f x en los puntos c y c h+ empleando la primera forma de derivar 45
15 Figura 15 Graacutefico de la funcioacuten valor absoluto para estudiar la derivada en cero 48 16 Figura 16 Graacutefico de la derivada de la funcioacuten valor absoluto 49
17 Figura 17 Graacutefico de la funcioacuten 2 0( )
0x xf xx x
le=
gt para
Estudiar la derivada en cero 50
18 Figura 18 Graacutefico de la funcioacuten 1 0( )
2 0x
f xx x
ge= lt
50
19 Figura 19 Graacutefico de posibles situaciones de funcioacuten Diferenciable en un punto 51
20 Figura 20 Grafico de la funcioacuten 2( ) 9f x x= minus 53
21 Figura 21 Graacutefico de la funcioacuten 1( )
1f x
x=
+ 53
22 Figura 22 Graacutefico de la funcioacuten 3( )
1f x
xminus
=+
59
IacuteNDICE DE ANEXOS
CONTENIDO PAacuteGINA
1 ANEXO 1 Siacutelabo de la Asignatura 135 2 ANEXO 2 Registro de Evaluaciones 144
3 ANEXO 3 Guiacuteas Metodoloacutegicas Aplicando
El Software DERIVE 145
4 ANEXO 4 Planes de Clase 171 5 ANEXO 5 Tabla de Especificaciones 177
6 ANEXO 6 Instrumentos de Evaluacioacuten 186
7 ANEXO 7 Laboratorios en DERIVE 195
INTRODUCCIOacuteN El presente trabajo se ha realizado en la asignatura Matemaacutetica I del segundo ciclo en las Escuelas de Ingenieriacutea Industrial e Ingenieriacutea de Sistemas y fue motivado por la necesidad de mejorar mi praacutectica docente y brindar a los alumnos herramientas para mejorar el aprendizaje de esta asignatura Lo abstracto de las matemaacuteticas no permite que los alumnos puedan ver y manipular entes matemaacuteticos generaacutendose confusiones y problemas para interpretar la informacioacuten que un determinado elemento pueda proporcionar Siendo asiacute con mayor dificultad podraacuten emplear los resultados obtenidos para predecir alguna situacioacuten Pensando en esta problemaacutetica es que penseacute en incorporar al trabajo en clase el uso de Software DERIVE para desarrollar el capiacutetulo de derivadas Elegiacute este software por su faacutecil manejo de esta forma los alumnos no demorariacutean en aprenderlo y podriacutean usarlo sin complicaciones Para esta investigacioacuten se elaboroacute un moacutedulo dando un tratamiento didaacutectico a las definiciones teoremas propiedades de la derivada apoyaacutendonos en la teoriacutea de Registros Semioacuteticos ademaacutes de guiacuteas de laboratorio y praacutecticas calificadas apoyaacutendonos para su elaboracioacuten en la Taxonomiacutea de Bloom Los grupos con los que se trabajo la investigacioacuten fueron dos uno experimental y otro de Control Asiacute iniciamos un estudio en que planteamos la posibilidad de que los estudiantes alcancen un aprendizaje del Caacutelculo Diferencial maacutes efectivo empleando DERIVE que permita mejorar el resultado del rendimiento de la asignatura de Matemaacutetica I y por ende mejorar su calidad educativa
CAPIacuteTULO I
PROBLEMATIZACIOacuteN
11PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 111 ANTECEDENTES
Algunos de los trabajos encontrados con ayuda del buscador REDEMAT son los que presento a continuacioacuten estos trabajos de investigacioacuten se han realizado empleando software educativos y desarrollando temas como Funciones Matrices Geometriacutea en los niveles de secundaria bachillerato y universidad
1 TITULO DERIVE UNA HERRAMIENTA PARA EL
APRENDIZAJE DE LAS MATEMAacuteTICAS AUTOR FRANCISCO CABO GARCIA BONIFACIO LLAMAZARES RODRIacuteGUEZ MARIA TERESA PENtildeA GARCIA LUGAR DEPARTAMENTO DE ECONOMIacuteA APLICADA (MATEMAacuteTICA) UNIVERSIDAD DE VALLADOLID
Los autores muestran en este trabajo su experiencia docente con el programa DERIVE en la asignatura Matemaacutetica de las Licenciaturas en Economiacutea y en Administracioacuten y Direccioacuten de Empresas
El objetivo es complementar el curso con una herramienta que les permita a los alumnos visualizar situaciones matemaacuteticas difiacuteciles o muy laboriosas de trabajar manualmente pero que tiene mucha interpretacioacuten en la Economiacutea Este equipo de docentes ha elaborado una guiacutea dividida en tres capiacutetulos El primero describe los menuacutes y los botones de cada una de las ventanas del programa los dos siguiente se dedican al estudio del Algebra y Caacutelculo asiacute como a programar algunas funciones para facilitar la resolucioacuten de ejercicios La conclusioacuten de esta investigacioacuten es que el uso de recursos informaacuteticos permite un mayor acercamiento del alumno a las asignaturas que como matemaacuteticas no gozan de mucha simpatiacutea entre los estudiantes Ademaacutes de desarrollar en el alumno una mayor destreza en las praacutecticas informaacuteticas ya que este curso corresponde a los primeros ciclos
2 TITULO UNA PROPUESTA METODOLOacuteGICA DE
INTRODUCCIOacuteN TEMPRANA DEL CONCEPTO DE APROXIMACIOacuteN LOCAL EN SU MANIFESTACIOacuteN DE RECTA TANGENTE VIacuteA EL ASISTENTE MATEMAacuteTICO
AUTOR PEDRO VICENTE ESTABAN DUARTE
PEDRO PEREZ CARRERA LUGAR UNIVERSIDAD POLITECNICA DE VALENCIA
ESPANtildeA
Los mapas conceptuales tienen por objeto representar relaciones significativas entre conceptos en forma de proposiciones facilitando el anaacutelisis del lenguaje empleado en su construccioacuten y poniendo de manifiesto la integracioacuten que los aprendices tienen entre los conceptos empleados para su elaboracioacuten En el modelo educativo de Van Hiele es considerado el lenguaje como una de sus caracteriacutesticas fundamentales en el proceso de aprendizaje de un concepto geomeacutetrico o matemaacutetico y es una de los indicadores del nivel de razonamiento en el cual un alumno se encuentra El modelo de Van Hiele esta compuesto por cinco niveles de razonamiento cinco fases del aprendizaje y el insight o definido tambieacuten como comprensioacuten A partir del anaacutelisis del leguaje se pueden disentildear experiencias de aprendizaje
significativas para potenciar el progreso de un alumno a traveacutes de los niveles de razonamiento postulados por dicho modelo El propoacutesito de esta investigacioacuten es exponer una metodologiacutea basada en el Modelo Educativo de Van Hiele para ensentildear el concepto de aproximacioacuten local en su manifestacioacuten de recta tangente a una curva plana en un punto a partir de la visualizacioacuten que se obtiene del haz de secantes entendieacutendolo como conjunto de rectas que pasan todas por un punto fijo de la curva y por otros sobre la curva dada cada vez maacutes cercanos al punto dado Dicha visualizacioacuten que se propone se obtiene con la ayuda del asistente matemaacutetico DERIVE y no requiere de manipulaciones algebraicas que entorpezcan el razonamiento que los alumnos deben desarrollar y exhibir a lo largo del proceso Se elabora un material disentildeado para ser cubierto en una clase en la cual el profesor sirva de orientador formulando preguntas y respondiendo inquietudes en el momento oportuno Como conclusiones de esta investigacioacuten se tiene que para la asimilacioacuten efectiva de un concepto matemaacutetico se deben tener en cuenta dos fases una primera de proporcionar una visualizacioacuten adecuada del concepto a estudiar en la que los alumnos tienen un primer acercamiento al concepto sin manipulaciones algebraicas La segunda es la formalizacioacuten del concepto en la cual la docencia tradicional centra todos sus esfuerzos La ensentildeanza centrada en esta segunda fase hace maacutes difiacutecil que los alumnos progresen en su razonamiento y logren integrar y desarrollar relaciones con los demaacutes conceptos estudiados Su propuesta metodoloacutegica esta dirigida a la primera fase es decir a la construccioacuten de un concepto ndash definicioacuten cuando se disponga de la madurez algebraica y loacutegico deductivo necesarias Su experiencia educativa siguiendo el modelo de Van Hiele aplicado al concepto de aproximacioacuten local del cual esta propuesta metodoloacutegica es su fruto les permite asegurar que el 90 de los alumnos sometidos al proceso descrito pueden verbalizar una definicioacuten correcta de recta tangente a una curva en uno de sus puntos partiendo del haz de secantes y solo el 5 de los alumnos que siguen el curso de anaacutelisis con
una metodologiacutea tradicional dan una definicioacuten de tangente a una curva en un punto a partir del concepto de derivada
3 TITULO ALGUNAS CONSECUENCIAS DEL USO HABITUAL
DEL ORDENADOR EN LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS
AUTOR JCARIAS
LUGAR SIMPOSIO- MADRID 11 DE DICIEMBRE DE 2003
En esta ponencia se hace una reflexioacuten acerca del uso del programa DERIVE 6 en la ensentildeanza de las matemaacuteticas Se inicia con una breve incidencia en las nuevas posibilidades del programa respecto a su predecesor DERIVE 5 Se propone el uso cotidiano incorporado a todas las fases del proceso de ensentildeanza aprendizaje la idea de que ldquoLos meacutetodos con los que los estudiantes han de ser introducidos para resolver los problemas han de tener en cuenta lo que las nuevas tecnologiacuteas son capaces de hacerrdquo le lleva a concluir que no se pueden cambiar los programas curriculares pero que se pueden aprovechar todas las potencialidades que ofrece DERIVE para hacer de el una herramienta capaz de contribuir en la formacioacuten de conocimiento en el alumno Respecto a la evaluacioacuten explica que no se trata de poner exaacutemenes especiales para evaluar unas praacutecticas con ordenador maacutes o menos ocasionales Menos todaviacutea de modificar los contenidos de las asignaturas para adaptarlos a las posibilidades del software al contrario en esta experiencia se plantea valorar las consecuencias de permitir el uso del ordenador en los exaacutemenes entendidos estos como los exaacutemenes de siempre los mismos que se hubiesen propuestos si no se contase con el ordenador Como conclusioacuten se menciona la elaboracioacuten de exaacutemenes donde el alumno plantea el problema pero las cuentas las hace el programa por tanto hay una subida de nivel por que nos centramos maacutes en los problemas (frente a los ejercicios) y por que la economiacutea de tiempo permite abarcar maacutes materias en el examen Como primera consecuencia los resultados acadeacutemicos mejoran pues hay mayor motivacioacuten en el estudiante como
consecuencia de la introduccioacuten de la tecnologiacutea y como consecuencia del mismo planteamiento de la iniciativa que lleva a restar importancia a habilidades algebraicas mal adquiridas La llamada falta de base se cintildee demasiadas veces a una mera deficiencia en esas habilidades que no necesariamente llevan unida una deficiencia en la capacidad de razonar matemaacuteticamente Como segunda consecuencia se tiene que el uso del ordenador implica cambios en los contenidos no con ello perdiendo el rigor que las matemaacuteticas requieren Pero si permitiendo dejar de ser esclavos de las limitaciones del caacutelculo y trabajando ejemplos realistas que solo con ayuda de un ordenador podriacutean visualizarse en el menor tiempo posible permitiendo de esta manera el invertir el tiempo disponible en el anaacutelisis y comprensioacuten de conceptos
4 TITULOCURSO DE CAacuteLCULO DIFERENCIAL POR
COMPUTADORA AUTOR JOSE HUMBERTO GIRALDO
LUGAR DEPARTAMENTO DE MATEMAacuteTICAS- UNIVERSIDAD DE LOS ANDES-BOGOTA- COLOMBIA
SEMINARIO I
En este seminario se expone el proyecto piloto de ensentildeanza de caacutelculo diferencial con computadoras que se esta desarrollando en la Universidad de los Andes En la primera fase del proyecto participan cuatro profesores del departamento estos profesores ensentildean aproximadamente en cuatro secciones diferentes de aproximadamente 130 estudiantes cada una Al principio del semestre cada estudiante recibe un CD que contiene la informacioacuten del curso y que incluye todas las guiacuteas que se usaran durante el semestre Estas guiacuteas tiene un formato especial despueacutes de discutir un determinado concepto el estudiante esta obligado a resolver determinados problemas relacionados con el tema que se ha explorado
Ademaacutes se trabaja para que el estudiante aprenda a encontrar conexioacuten entre la parte algebraica y la parte grafico geomeacutetrica La evaluacioacuten continua del estudiante tambieacuten se contempla como un componente de la estructura del curso El estudiante tiene un quiz semanal que se publica en la web El objetivo es tener al estudiante trabajando todo el tiempo en los conceptos y darle informacioacuten al profesor sobre como se estaacuten asimilando dichos conceptos El profesor Giraldo no obstante expreso que las computadoras no van a reemplazar a los profesores porque los estudiantes siempre van a querer salir de sus casas para socializarse alejarse de sus familias e ir a la universidad Finalmente algunas reflexiones son 1 A pesar de lo atractivo y novedosos que resultan estas metodologiacuteas no se puede perder de vista lo que es esencial en un curso de matemaacuteticas a saber hacer que el estudiante adquiera una forma de pensar precisa coherente y exhaustiva ensentildearle de una manera clara los conceptos y los argumentos loacutegico que los sustentan darle herramientas metodoloacutegicas para solucionar problemas transmitirle una pasioacuten por el mundo de las matemaacuteticas hacerle apreciar su elegancia y su utilidad 2 No cabe duda de que las computadoras con sus caacutelculos agiliacutesimos y sus estupendas animaciones y sus graacuteficas pueden ayudar a cumplir los objetivos mencionados anteriormente pues permite explicar con mucha claridad y entender con gran facilidad las nociones matemaacuteticas maacutes intriacutensecas
5 TIacuteTULO MATEMAacuteTICAS CON DERIVE EN EL SALOacuteN DE CLASES
AUTOR HECTOR AEGUETA VILLAMAR MARIA JUANA LINARES ALTAMIRANO LUGAR DIRECCIOacuteN GENERAL DE SERVICIOS DE
COacuteMPUTO ACADEacuteMICO UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MEacuteXICO
El objetivo de este trabajo es mostrar diversas aplicaciones del programa Derive para PC en el proceso de ensentildeanza de las matemaacuteticas en los niveles de secundaria y medio superior Derive es un asistente matemaacutetico que permite realizar caacutelculos numeacutericos y caacutelculos simboacutelicos El programa puede trabajar con distintos tipos de precisioacuten para los caacutelculos 31416 141 271 etc entonces puede utilizar la precisioacuten exacta Con Derive es posible trabajar una amplia gama de temas matemaacuteticos como Aritmeacutetica de nuacutemeros reales y complejos Algebra Sistemas de Ecuaciones Funciones Caacutelculo Diferencial e Integral Vectores y Matrices Graficacioacuten en dos y tres dimensiones en coordenadas cartesianas y polares etc Derive cuenta ademaacutes con algunas posibilidades de programacioacuten con las que el usuario puede definir sus propias funciones puede trabajar con operadores booleanos y con el operador condicional If tambieacuten puede crear funciones recursivas y de iteracioacuten entre otras Esto uacuteltimo permite al usuario crear sus propias aplicaciones para resolver una diversidad de problemas El programa incluye algunos archivos llamados de aplicacioacuten de gran utilidad para resolver Ecuaciones Diferenciales Transformada de Laplace Integrales Eliacutepticas y para Graficar Curvas y Superficies Parameacutetricas en tres dimensiones etc Ademaacutes de su contenido matemaacutetico la gran virtud de Derive es que corre praacutecticamente en cualquier computadora e inclusive puede correr desde el diskette que lo contenga Ademaacutes DERIVE presenta como anexos ilustraciones de algunos de los documentos que trabajaron en el Taller
112 FORMULACIOacuteN DEL PROBLEMA
Durante el tiempo que he ensentildeado la asignatura de Matemaacutetica I he notado algunas dificultades comunes en los alumnos con respecto al tema del caacutelculo diferencial Este suceso me ha permitido fijar la atencioacuten y reflexionar sobre la idea de trabajar
con alguacuten recurso que me lleve a mejorar mi praacutectica docente Asiacute planteo el siguiente problema
iquestEn queacute medida la aplicacioacuten del programa DERIVE contribuye a mejorar el aprendizaje del Caacutelculo Diferencial en los alumnos de la asignatura de Matemaacutetica I de la Escuela de Ingenieriacutea Industrial y de Sistemas de la Universidad Ceacutesar Vallejo 2006
113 JUSTIFICACIOacuteN
En el desarrollo de nuestra labor como docentes del aacuterea de matemaacutetica nos encontramos con grupos de estudiantes que presentan dificultades en su rendimiento acadeacutemico El nuacutemero de desaprobados en la asignatura incrementa conforme el curso se desarrolla y su retiro de la asignatura es una consecuencia que no tarda en aparecer
Esta situacioacuten se debe a diversas causas entre ellas podemos mencionar el empleo de estrategias instruccionales inadecuadas el desconocimiento por parte de los docentes de los conocimientos previos que tienen los alumnos y un conjunto de factores como lo son lo relacionado con el curriacuteculo el docente el estudiante las tareas acadeacutemicas el contexto socio cultural y las estrategias tanto instruccionales como de aprendizaje
Por otro lado la tecnologiacutea ha afectado a nuestras vidas de muchas maneras Es imposible que ella no afecte la educacioacuten ya que despueacutes de todo uno de los objetivos de la educacioacuten es el de preparar al individuo para que se desenvuelva en la sociedad y la sociedad estaacute imbuida de tecnologiacutea
La complejidad de esta problemaacutetica lleva a la necesidad de plantear alternativas que contribuyan a mejorar los procesos de la ensentildeanza- aprendizaje en tal sentido considerareacute el uso de un programa matemaacutetico DERIVE
Asiacute siendo profesora de la asignatura de Matemaacutetica I inicio un estudio en que planteo la posibilidad de que los estudiantes alcancen un aprendizaje del Caacutelculo Diferencial maacutes efectivo empleando DERIVE que permita mejorar el resultado del rendimiento de la asignatura de Matemaacutetica I y por ende mejorar su calidad educativa
Normalmente este trabajo de investigacioacuten no debe detenerse en la mera descripcioacuten de los problemas sino que como resultado del anaacutelisis de su origen debe desembocar en propuestas tal como la que planteo que contribuyan a superarlos o al menos que la mayoriacutea de estudiantes los superen
114 HIPOacuteTESIS
Hipoacutetesis de la Investigacioacuten
1H Los estudiantes de la asignatura de Matemaacutetica I Seccioacuten A aula 412 del semestre 2006 II de Ingenieriacutea Industrial que usan el software DERIVE obtienen un mejor rendimiento acadeacutemico que los alumnos de la asignatura de Matemaacutetica I Seccioacuten B aula 413 del semestre 2006 II de Ingenieriacutea de Sistemas que no utilizan esta herramienta informaacutetica
Hipoacutetesis Nula
0H Los estudiantes de la asignatura de Matemaacutetica I Seccioacuten A aula 412 del semestre 2006 II que usan el software DERIVE de Ingenieriacutea Industrial no obtienen un mejor rendimiento acadeacutemico que los alumnos de la asignatura de Matemaacutetica I Seccioacuten B aula 413 del semestre 2006 II de Ingenieriacutea de Sistemas que no utilizan esta herramienta informaacutetica
115 VARIABLES
Variable Independiente Uso del programa DERIVE Variable Dependiente Rendimiento acadeacutemico de los alumnos Variables Intervinientes Asistencia a clases horarios tipo de contenidos grado de motivacioacuten de los alumnos
116 POBLACIOacuteN
Los alumnos de la asignatura de Matemaacutetica I de la Escuela de Ingenieriacutea Industrial y de Sistemas de la Universidad Ceacutesar Vallejo durante el segundo semestre 2006 Son en total 51 alumnos Se tomaraacute en cuenta el promedio final al terminar cada ciclo Semestre 2006 ndash II
12OBJETIVOS DE LA INVESTIGACIOacuteN 121 OBJETIVO GENERAL
Evaluar la eficacia del programa DERIVE como recurso didaacutectico en el proceso de ensentildeanza ndash aprendizaje del Caacutelculo Diferencial en los alumnos de la asignatura de Matemaacutetica I de la Escuela de Ingenieriacutea Industrial y de Sistemas de la Universidad Ceacutesar Vallejo
122 OBJETIVOS ESPECIacuteFICOS
1 Disentildear la propuesta de ensentildeanza en sus aspectos conceptuales y praacutecticos
2 Fomentar en los alumnos las capacidades de observar discernir analizar e interpretar
3 Proponer guiacuteas y actividades de aprendizaje que conlleven al alumno al aprendizaje significativo
CAPIacuteTULO II
FUNDAMENTO TEOacuteRICO
INTRODUCCIOacuteN
Iniciamos este capiacutetulo refirieacutendonos a silabo de Matemaacutetica I a continuacioacuten abordaremos los contenidos matemaacuteticos necesarios para la investigacioacuten ademaacutes de la propuesta de trabajar con el programa DERIVE 21 DISENtildeO CURRICULAR DE LA ASIGNATURA DE
MATEMAacuteTICA I
211 SIacuteLABO DE LA ASIGNATURA DE MATEMAacuteTICA I La asignatura que ensentildeo en la Universidad Cesar Vallejo en las Escuelas de Ingenieriacutea de Sistemas e Ingenieriacutea Industrial es Matemaacutetica I El siacutelabo se ha elaborado en base a los temas que indica el plan de estudios enviado por la Facultad de Ingenieriacutea de la Universidad Cesar Vallejo de Trujillo y es el mismo para ambas escuelas sentildealo ademaacutes que en ambas escuelas tiene como pre-requisito la asignatura de loacutegico matemaacutetica curso donde se desarrollan temas como Loacutegica Matemaacutetica Fundamentos de Algebra Matrices y Determinantes y Geometriacutea Analiacutetica
El siacutelabo de esta asignatura se presenta en Anexo 1 pero a continuacioacuten describireacute sus contenidos empezando por mencionar que se deben trabajar tres capiacutetulos los cuales son 1 Funciones 2 Liacutemites y Continuidad 3 Caacutelculo Diferencial El Desarrollo de esta asignatura estaacute orientado a lograr potenciar en el estudiante capacidades propias del aacuterea de Matemaacutetica como el razonamiento y demostracioacuten la interpretacioacuten de graacuteficos y expresiones simboacutelicas y la resolucioacuten de problemas Asiacute como presentar los medios necesarios para la adquisicioacuten de ciertas destrezas como anaacutelisis interpretacioacuten y aplicacioacuten de fundamentos teoacutericos Finalmente el logro de los objetivos de esta asignatura se veraacute reflejado y podraacute ser evaluado en la eficiencia que demuestren los alumnos al resolver situaciones reales
22 DIDAacuteCTICA DE LA MATEMAacuteTICA
Sabemos que la didaacutectica de las matemaacuteticas es la ciencia del estudio y de la ayuda al estudio de las matemaacuteticas Su objetivo es llegar a describir y caracterizar los procesos de estudio ndash o procesos didaacutecticos ndash de cara a proponer explicaciones y respuestas soacutelidas a las dificultades con que se encuentran todos aquellos que estudian matemaacuteticas1
Didaacutectica de las Matemaacuteticas no es un recetario didaacutectico ni un modelo para la ensentildeanza sino un intento de transmitir algunas reflexiones producto de la experiencia y de la lectura de especialistas en el tema
Tal vez lo que se pretenda lograr es estimular ldquola sorpresa matemaacuteticardquo en el viacutenculo con nuestros alumnos Esta sorpresa se basa en provocar conceptos demostraciones elementales con intereacutes reflexioacuten intriga o admiracioacuten Es responsabilidad del docente proponer una situacioacuten adecuada mediante una pregunta que motive las distintas situaciones de
1 BROUSSEAU GUY ldquoLos Diferentes roles del maestrordquo Paidoacutes 1994
aprendizaje con conocimientos anteriores que el alumno deberaacute acomodar y adecuar a las nuevas situaciones Luego modificar el conocimiento como respuesta al medio y no como deseo del maestro es una necesidad que se convierte en una obligacioacuten es nuestra tarea No se pretende en este trabajo abordar toda la problemaacutetica (referido en este caso al caacutelculo diferencial) con la que el profesor se enfrenta en su quehacer diario ya que eacutesta es muy compleja y tiene varias aristas que el docente debe conocer como conocimientos y teoriacuteas epistemoloacutegicas Al respecto conocemos que se han desarrollado diferentes teoriacuteas como Registros de representacioacuten semioacutetica de Raymond Duval teoriacutea de Situaciones Didaacutectica de Guy Brousseau Teoriacutea Socio epistemoloacutegica y el enfoque Ontosemioacutetico de la Cognicioacuten e Instruccioacuten Matemaacutetica Y para este trabajo de investigacioacuten se ha considerado tomar como referencia la Teoriacutea de Registros de Representacioacuten Semioacutetica y la Taxonomiacutea de Raymond Duval para la parte de la evaluacioacuten
221 REGISTROS DE REPRESENTACIOacuteN SEMIOacuteTICA
RAYMOND DUVAL Raymond Duval se ha interesado por los problemas de manipulacioacuten de representantes dentro de un sistema matemaacutetico de signos y sobre los problemas de conversioacuten de representaciones entre dos o maacutes sistemas de un mismo objeto matemaacutetico generando una nueva nocioacuten que es la de Registro de representacioacuten Un registro es un signo en el sentido maacutes amplio de la palabra trazos iacuteconos siacutembolos etc Los registros son medios de expresioacuten y de representacioacuten caracterizados precisamente por sus respectivos sistemas semioacuteticos El aprendizaje de las matemaacuteticas constituye un campo de estudio privilegiado para el anaacutelisis de las actividades cognitivas fundamentales como la conceptualizacioacuten el razonamiento la resolucioacuten de problemas y la comprensioacuten de textos La particularidad del aprendizaje de las matemaacuteticas hace que estas actividades cognitivas requieran de la utilizacioacuten de sistemas de
expresioacuten y de representacioacuten distinta a los del lenguaje natural o de las imaacutegenes Bajo estas ideas se puede considerar el hecho de que no puede haber comprensioacuten matemaacutetica si no se distingue un objeto de su representacioacuten y es que no podemos confundir los objetos matemaacuteticos como lo son por ejemplo los nuacutemeros las funciones las rectas con sus representaciones es decir las escrituras decimales o fraccionarias los siacutembolos los graacuteficos los trazos de las figuras Pues un mismo objeto matemaacutetico puede darse a traveacutes de representaciones muy distintas y debemos tener claro como docentes que toda confusioacuten entre el objeto y su representacioacuten provoca en un plazo maacutes o menos amplio una perdida en la comprensioacuten En esta teoriacutea se sentildeala primer lugar que cuando hablamos de representaciones es necesario considerar los siguientes aspectos 1 El sistema por el cual se produce la representacioacuten- Cualquier representacioacuten se produce a traveacutes de un sistema en particular El contenido de la representacioacuten de un objeto cambia de acuerdo con el sistema de representacioacuten que se utiliza para su produccioacuten El pensamiento humano requiere la movilizacioacuten de varios sistemas de representacioacuten de produccioacuten y su coordinacioacuten 2 La relacioacuten entre la representacioacuten y el objeto representado 3 La posibilidad de un acceso al objeto representado aparte de la representacioacuten semioacutetica 4 La razoacuten por la que el uso de la representacioacuten es necesaria El tema de derivadas se puede aplicar como un ejemplo de esta teoriacutea por cuanto los alumnos tienen siempre problemas para pasar de una forma de representacioacuten a otra 222 TAXONOMIA DE BLOOM Y LOS NIVELES EN
QUE SE PUEDEN CLASIFICAR LOS OBJETIVOS DE APRENDIZAJE
En el propoacutesito de mejorar la calidad y eficiencias de la educacioacuten debemos buscar que los alumnos elementos esenciales de nuestra tarea logren los maacutes altos niveles de aprendizaje Asiacute con ayuda de la taxonomiacutea de Bloom especificareacute objetivos seleccionareacute los contenidos y disentildeareacute los instrumentos de evaluacioacuten
En el dominio cognoscitivo en lugar de contentarnos con la memorizacioacuten de conocimientos primer escaloacuten debemos hacer que logren el nivel maacutes alto Dichos niveles son los siguientes 1 CONOCIMIENTO Se refiere a la capacidad de recordar hechos especiacuteficos y universales meacutetodos y procesos esquemas estructuras o marcos de referencia sin elaboracioacuten de ninguna especie puesto que cualquier cambio ya implica un proceso de nivel superior Requiere que el alumno repita alguacuten dato teoriacutea o principio en su forma original bull Terminologiacutea (palabras teacuterminos teacutecnicos etc) bull Hechos especiacuteficos (fechas partes de algo acontecimientos
etc) bull Convencionalismos (formas de tratar ideas dentro de un campo
de estudio foacutermulas) bull Corrientes y sucesiones (tendencias y secuencias) bull Clasificaciones y categoriacuteas (clases grupos divisiones etc)
criterios (para juzgar o comprobar hechos principios opiniones y tipos de conducta)
bull Metodologiacutea (meacutetodos de investigacioacuten teacutecnicas y procedimientos)
bull Principios y generalizaciones (abstracciones particulares para explicar describir predecir o determinar acciones)
bull Teoriacuteas y estructuras (evocacioacuten de teoriacuteas interrelaciones de los principios y generalizaciones)
Verbos que se usan con frecuencia para redactar objetivos de este nivel Definir - Sentildealar ndash Describir - Nombrar ndash Identificar ndash Narrar ndash Indicar ndash Mencionar 2 COMPRENSIOacuteN Se refiere a la capacidad de comprender o aprehender en donde el estudiante sabe queacute se le estaacute comunicando y hace uso de los materiales o ideas que se le presentan sin tener que relacionarlos con otros materiales o percibir la totalidad de sus implicaciones El material requiere de un proceso de transferencia y
generalizacioacuten lo que demanda una mayor capacidad de pensamiento abstracto Requiere que el alumno explique las relaciones entre los datos o los principios que rigen las clasificaciones dimensiones o arreglos en una determinada materia conocimiento de los criterios fundamentales que rigen la evaluacioacuten de hechos o principios y conocimientos de la metodologiacutea principios y generalizaciones bull Traduccioacuten (parafrasear habilidad para comprender
afirmaciones no literales como simbolismos metaacuteforas traducir material matemaacutetico simboacutelico etc)
bull Interpretacioacuten (explicacioacuten o resumen implica reordenamiento o nuevos arreglos de puntos de vista)
bull Extrapolacioacuten (implicaciones consecuencias corolarios efectos prediccioacuten etc)
Verbos que se usan con frecuencia para redactar objetivos de este nivel Traducir ndash Resumir ndash Expresar ndash Parafrasear ndash Discutir 3 APLICACIOacuteN
Se guiacutea por los mismos principios de la comprensioacuten y la uacutenica diferencia perceptible es la cantidad de elementos novedosos en la tarea por realizar Requiere el uso de abstracciones en situaciones particulares y concretas Pueden presentarse en forma de ideas generales reglas de procedimiento o meacutetodos generalizados y pueden ser tambieacuten principios ideas y teoriacuteas que deben recordarse de memoria y aplicarse
bull Solucioacuten de problemas en situaciones particulares y concretas (utilizacioacuten de abstracciones en tipos de conducta y tipos de problemas)
Verbos que se usan con frecuencia para redactar objetivos de este nivel Demostrar- Practicar ndash Emplear ndash Solucionar ndash Aplicar ndash Operar ndash Usar 4 ANAacuteLISIS
Consiste en descomponer un problema dado en sus partes y descubrir las relaciones existentes entre ellas En general la eventual solucioacuten se desprende de las relaciones que se descubren
entre los elementos constituyentes Implica el fraccionamiento de una comunicacioacuten en sus elementos constitutivos de tal modo que aparezca claramente la jerarquiacutea relativa de las ideas y se exprese expliacutecitamente la relacioacuten existente entre eacutestas
bull Anaacutelisis de elementos (reconocer supuestos no expresados distinguir entre hechos e hipoacutetesis)
bull Identificacioacuten de relaciones entre los elementos (conexiones e interacciones entre elementos comprobacioacuten de la consistencia de las hipoacutetesis con informaciones y suposiciones dadas)
bull Reconocimiento de los principios de organizacioacuten de la situacioacuten problemaacutetica (estructura expliacutecita e impliacutecita reconocimiento de formas y modelos teacutecnicas generales utilizadas etc)
bull Identificacioacuten de conclusiones y fundamentacioacuten de enunciados
Verbos que se usan con frecuencia para redactar objetivos de este nivel Diferenciar- Distinguir- Discriminar- Contrastar- Criticar- Analizar- Inferir 5 SIacuteNTESIS
Es el proceso de trabajar con fragmentos partes elementos organizarlos ordenarlos y combinarlos para formar un todo un esquema o estructura que antes no estaba presente de manera clara Requiere la reunioacuten de los elementos y las partes para formar un todo
bull Elaboracioacuten de un plan o conjunto de actos planeados (habilidad para proponer formas de comprobar las hipoacutetesis)
bull Desarrollo de conjuntos de relaciones para clasificar o explicar datos
bull Deduccioacuten de proposiciones y relaciones (de un grupo de proposiciones baacutesicas o de representaciones simboacutelicas)
bull Construccioacuten de un modelo o estructura bull Reordenacioacuten de las partes en una secuencia loacutegica Verbos que se usan con frecuencia para redactar objetivos de este nivel Organizar- Reconstruir- Proponer- Reordenar
6 EVALUACIOacuteN Se refiere a la capacidad para evaluar se mide a traveacutes de los procesos de anaacutelisis y siacutentesis Requiere formular juicios sobre el valor de materiales y meacutetodos de acuerdo con determinados propoacutesitos Incluye los juicios cuantitativos y cualitativos de acuerdo a los criterios que se sugieran (los cuales son asignados) bull Juicios en funcioacuten de evidencia interna (de exactitud loacutegica
consistencia o criterio interno) bull Juicios en funcioacuten de criterios externos (criterios
seleccionados comparacioacuten de teoriacuteas comparacioacuten de un trabajo con respeto a normas etc)
Verbos que se usan con frecuencia para redactar objetivos de este nivel Juzgar- Evaluar- Apreciar ndash Revisar- Corregir- Seleccionar ndash Justificar- Valoriza
23 DESARROLLO DE LA PARTE CONCEPTUAL DE LA DERIVADA
En este apartado desarrollaremos los contenidos matemaacuteticos que se presentan en el silabo de Matemaacutetica I y que son parte de la investigacioacuten para lo cual hemos revisado bibliografiacutea de autores nacionales y extranjeros especialistas en el tema del caacutelculo diferencial
1 LA IDEA FUNDAMENTAL DEL CAacuteLCULO
Si observamos a nuestro alrededor podremos ver que nuestro mundo se caracteriza por cambios continuos de alliacute la inquietud de desarrollar meacutetodos matemaacuteticos para cuantificar describir y pronosticar estos cambios Para Wenzelburger (1993) es justamente este el propoacutesito del Caacutelculo Diferencial y presenta el concepto de razoacuten de cambio como fundamental Veamos a continuacioacuten dos definiciones del teacutermino Razoacuten de Cambio media o Promedio
DEFINICIOacuteN 1
DEFINICIOacuteN 2
Ambas definiciones muestran la misma idea pero la definicioacuten que presenta Hasser (1976) es muy cuidadosa al determinar las variables que intervienen en ella asiacute da lugar a pensar en ejemplos inmediatos de aplicacioacuten como por ejemplo la relacioacuten entre la cantidad demandada de un bien
dQ y su precio unitario
por periacuteodo de tiempo a traveacutes de la funcioacuten ( )d
Q f p=
Respecto a la segunda definicioacuten es maacutes directa no menciona que x y t sean magnitudes fiacutesicas y analiza directamente los cambios
o variaciones
Razoacuten Promedio de Cambio Sean ( )o ox x t= y ( )o oy y t= ox y oy son valores de las magnitudes fiacutesicas
en alguacuten instante ot Supongamos que ox cambia en la cantidad x∆ El cambio correspondiente y∆ en oy es
( )( )o oy f x x f x∆ = + ∆ minus Y la razoacuten promedio de cambio de y con respecto a x es
( ) ( )( )
0 o of x x f xy xx x
+ ∆ minus∆= ∆ ne
∆ ∆ (Hasser 1976 401)
Razoacuten de Cambio Media Suponga que y es una funcioacuten de x ( )y f x= correspondiendo a un cambio de x a x x+ ∆ la variable y cambia en una cantidad
( ) ( )y f x x f x∆ = + ∆ minus Asiacute el cociente de diferencias
( ) ( )Cambio de x x f x x f xCambio de y y x
∆ + ∆ minus= =∆ ∆
Representa la razoacuten de cambio de y con respecto a x (Hoffmann 1985 82)
Wenzelburger (1993 4) nos dice ldquoDeterminar razones de cambio de procesos continuos es muchas veces maacutes importante que estudiar estos procesos Siempre que dos magnitudes (variables) estaacuten conectadas mediante una relacioacuten funcional (funcioacuten) se puede estudiar el cambio relativo de una de las magnitudes con respecto a la otrardquo Como ejemplos de lo anterior podemos citar a la velocidad que es la razoacuten (el cociente) entre una distancia y un tiempo y describe el cambio en la posicioacuten de un cuerpo con respecto al tiempo transcurrido
Ciertas razones de cambio tienen nombres especiales por ejemplo bull La velocidad es solo uno de las muchas razones de cambio que seraacuten importantes en este capiacutetulo es la razoacuten de cambio de la distancia con respecto al tiempo bull Densidad de un alambre es igual a la razoacuten de cambio de la masa respecto la distancia bull Ingreso Marginal es igual a la razoacuten de cambio del ingreso respecto nuacutemero de artiacuteculo producidos bull Corriente es igual a la razoacuten de cambio de la Carga eleacutectrica respecto al tiempo Asiacute mismo Wenzelburger (1993) menciona dos aspectos importantes al estudiar el Caacutelculo Diferencial los cuales son 1- La continuidad que significa que la relacioacuten es completa no tiene saltos bruscos ni interrupciones y que graacuteficamente se expresa como segmentos de liacuteneas o curvas y no como una coleccioacuten de puntos aislados 2- La determinacioacuten de la pendiente Todos tenemos nociones intuitivas acerca de pendientes y coacutemo comparar las inclinaciones de varias pendientes Por ejemplo sabemos que cuesta maacutes trabajo subir una montantildea maacutes empinada (pendiente grande) o que el agua de un riacuteo corre maacutes raacutepido si este tiene mucha pendiente Lo que hay que explorar entre otras cosas es la manera en la cual la medida de una pendiente de una curva estaacute relacionada con el concepto de razoacuten de cambio
2 LA RELACIOacuteN ENTRE LAS RAZONES DE CAMBIO Y PENDIENTES DE RECTAS
DEFINICIOacuteN 3
Los dos ejemplos que estudiaremos a continuacioacuten tiene por objetivo reforzar la definicioacuten dada asiacute como dar el primer paso en el intento por comprobar si los alumnos pueden comprender un tipo de registro semioacutetico como lo es el lenguaje escrito y luego trabajar lo concerniente a pasar de un registro a otro como lo seriacutea el paso de lo enunciado a la grafica Ejemplo 1
ldquoSuponga que sabemos que el precio de un artiacuteculo en un primer mes era de 600 soles y en el tercer mes subioacute a 1200 soles
MES PRECIO 1 600 Soles 3 1200 Soles
Tabla Nordm 1
Podemos graficar estos datos Fig1 y suponer que el incremento del precio ocurrioacute como en la Fig2
La pendiente de una recta en un sistema de coordenadas ( x y ) es una medida de la razoacuten de cambio de la variable y con respecto al cambio de la variable x (Wenzelburger 1993 9)
La razoacuten de cambio del precio se define de la siguiente manera
se calcula el cambio en direccioacuten vertical y se divide por el cambio en direccioacuten horizontal Asiacute la razoacuten de cambio para los meses uno y tres es
Fig3
500
1000
1500
2000
1 2 3
(1600)
(31200)
Mes
Precio Y
(4840)
4
x
500
1000
1500
2000
1 2 3
(1600)
(31200)
Mes
Precio Y
Fig1
MesFig2
Precio
500
1000
1500
2000
1 2 3
(1600)
(31200)
Y
(2900)
Graacutefica del precio dado en soles en el primer y tercer
mes
Graacutefica del supuesto crecimiento lineal de precio entre el primer y
tercer mes
Graacutefico de la situacioacuten anterior con un descuento del 30 en el precio
Razoacuten de cambio = 600 3002
solesmes
= hellip (1)
Este valor numeacuterico caracteriza el incremento del precio En el cuarto mes se ofrecioacute el producto con un 30 de descuento como promocioacuten (Fig3) La razoacuten de cambio en este mes es
Razoacuten de cambio= 840 1200 3601
solesmes
minus = minus hellip (2)
Ahora consideremos un valor intermedio
Razoacuten de cambio= 900 600 300 3002 1 1
solesmes
minus = = minus hellip (3)
Resumimos lo observado en (1) (2) y (3) Una razoacuten de cambio caracteriacutestica para una graacutefica en forma de segmentos de liacutenea recta soacutelo cambia si hay variacioacuten en la pendiente de eacutesta Si crece la graacutefica la razoacuten de cambio y la pendiente son positivas Si decrece la graacutefica la razoacuten de cambio y la pendiente son negativas Para calcular la razoacuten de cambio entre dos puntos de una graacutefica se sigue el trazo de la curva y se ven los valores primero el punto de la abscisa (valor en el eje horizontal) maacutes grande y despueacutes el punto en la abscisa maacutes pequentildea Despueacutes se forma el cociente entre la diferencia vertical y la horizontalrdquo
3 RAZONES DE CAMBIO ENTRE DOS PUNTOS DE UNA
CURVA
La diferencia entre una relacioacuten lineal de una no lineal radica en que la razoacuten de cambio para una relacioacuten no lineal varia a lo largo de la curva mientras que en una relacioacuten lineal es constante para todos los puntos de la funcioacuten Sobre el ejemplo anterior Wenzelburger (1993) nos dice ldquoes factible que los precios no subieran siguiendo una relacioacuten lineal por ejemplo ver las figuras 4 y 5
De acuerdo a la figura 4 el precio al principio del segundo mes parece ser de 800 soles Como la razoacuten de cambio entre el precio al final del primer mes y del segundo mes (de 600 soles a 800 soles) tenemos
Razoacuten de cambio= 800 600 2001
solesmes
minus = hellip (1)
Ahora calculamos la razoacuten de cambio para el tercer mes
Razoacuten de cambio= 1200 800 4003 2
solesmes
minus = minus hellip (2)
El valor de la razoacuten de cambio en 1 y 2 es diferente Si repetimos el procedimiento para otros pares de puntos vamos a obtener muchos valores diferentes La diferencia entre una curva y una liacutenea recta es la variacioacuten continua de la razoacuten de cambio a lo largo de la curva Si suponemos ahora que los precios cambiaron de acuerdo a la figura 5 podemos observar en la tabla las razones de cambio calculadas para intervalos de 1 mes
500
1000
1500
2000
1 2 3
(1600)
(31200)
Mes
Pesos Y
4
x
(2800)
Fig4
500
1000
1500
2000
1 2 3
(1600)
(31200)
Mes
Pesos Y
4
x
(4800)
Fig5
Las figuras 4 y 5 corresponden al ejemplo1 donde se supone un comportamiento no lineal entre el tiempo y el precio
2do Mes 3er Mes 4to Mes
Razoacuten de cambio en
pesosmes
100 6001
400
minus
1200 10001
200
minus
840 12001360
minus
minus
Tabla Nordm 2
Estos valores describen a grandes rasgos el comportamiento de
la curva precio en funcioacuten del tiempo En el segundo mes el precio sube maacutes raacutepido que en el tercer mes Si calculamos la razoacuten de cambio total del segundo al cuarto mes
Razoacuten de cambio= 840 600 240 803 3
solesmes
minus = = hellip (3)
Obtenemos una informacioacuten equivocada un valor positivo
pequentildeo que no refleja la variacioacuten real del precio Por eso concluimos que es necesario calcular razones de cambio para intervalos pequentildeos debido a que intervalos grandes no dan valores representativos para la descripcioacuten del cambio de una funcioacuten a lo largo de la curvardquo
Observaciones sobre la definicioacuten bull La letra griega delta (∆ ) representa la diferencia o el cambio
bull El cociente yx
∆∆
tambieacuten se llama razoacuten de cambio promedio y
representa graacuteficamente la pendiente de una recta bull El adjetivo promedio es nombre popular pero inexacto porque en
este contexto promedio significa aproximado bull La razoacuten de cambio es suficiente para describir funciones lineales
mas no para graacuteficas curvas
4 LA TRANSFORMACIOacuteN DE LA RAZOacuteN DE CAMBIO PROMEDIO A LA RAZOacuteN DE CAMBIO INSTANTAacuteNEA
Al calcular razones promedio de cambio cada una de ellas no
representa la razoacuten de cambio al principio o al final de un intervalo x∆ sino es un valor promedio que se toma por constante en todo el
intervalo Siendo asiacute es necesario desarrollar un meacutetodo que permita
calcular la razoacuten de cambio de la funcioacuten original praacutecticamente en cada instante es decir para cada valor de x queremos conocer la razoacuten de cambio ( )f x A esta razoacuten de cambio se llama la razoacuten de cambio instantaacutenea Es importante mencionar que una razoacuten de cambio instantaacutenea es mayormente conocida con tasa de cambio Wenzelburger (1993) nos dice
Para ldquola forma de yx
∆∆
2 1
2 1
y yyx x x
minus∆=
∆ minus
Podriacutea proponerse que los puntos 2x y 1x coincidan lo cual implicariacutea tomar 2 1 0x xminus = Entonces la razoacuten de cambio seriacutea instantaacutenea puesto que se tratariacutea de un punto
Es obvio que este intento de solucioacuten fracasa Ya que para 0x∆ = no estaacute definida la razoacuten de cambio Por lo cual aceptaremos
el siguiente principio fundamental para la razoacuten de cambio instantaacutenea
El valor de 2 1x xminus seraacute siempre un nuacutemero que pueda hacerse maacutes pequentildeo que un nuacutemero muy pequentildeo arbitrario pero fijo Debido a que un nuacutemero de esta naturaleza no es igual a cero no estamos considerando un intervalo de longitud cero sino que x∆ se hace cada vez maacutes pequentildeo Esto se expresa como 0x∆ rarr
El valor numeacuterico al cual se aproxima yx
∆∆
cuando 0x∆ rarr es la
razoacuten de cambio instantaacuteneardquo Los problemas del 1 al 4 propuestos a continuacioacuten tienen por finalidad reforzar el conocimiento del alumno sobre razoacuten de cambio promedio e instantaacutenea pendiente ademaacutes interiorizar la relacioacuten que existe entre ambos conceptos asiacute mismo poner en praacutectica el trabajo de cambio de registros semioacuteticos pues se presentan problemas que
hacen uso de los tres tipos de registro y deberaacuten ser convertidos de uno a otro registro para mejorar su comprensioacuten y llegar a una solucioacuten Trabajo Praacutectico Nordm1 Razoacuten de cambio Promedio e Instantaacutenea Problema 12
Una enfermera controla la temperatura a un paciente y registra los resultados
Horas 1500 1600 1700 1800 1900 2000 2100 2200 2300 Temp 36 37 372 378 379 40 40 40 375
Tabla Nordm3
Tareas y Preguntas
a iquestCuaacutel es el cambio de temperatura entre las 1600 y las 1700 horas las 1900 y las 2200 y las 2200horas y las 2300
b Trazar la curva de fiebre del paciente c Calcular la razoacuten de cambio entre las 1500 y las 2300 horas para
intervalos de una hora d Graficar los valores obtenidos en c e Completar la tabla siguiente
Temperatura Graacutefica Razoacuten de Cambio Sube Sube positiva
Queda igual Baja
Tabla Nordm 4
2 El problema 1 se ha tomado del libro de Wenzelburger Didaacutectica del Caacutelculo Diferencial 1993 36
Problema 23
Peso Promedio de un bebeacute- La siguiente graacutefica muestra el peso de un bebeacute promedio desde el instante del nacimiento ( )0t = hasta la
edad de dos antildeos ( )24t = Calcule las pendientes de las rectas tangentes respectivas para estimar la razoacuten promedio de cambio del peso del bebeacute promedio cuando 3t = y cuando 18t = iquestCuaacutel es la razoacuten promedio de cambio en el peso de un bebeacute promedio durante el primer antildeo de vida
Fig6
Fuente Tomado de Thomson Matemaacuteticas para Administracioacuten y Economiacutea 1998 515
Problema 34
Selvicultura- La siguiente graacutefica muestra el volumen de madera producida en un bosque con una uacutenica especie En este caso ( )f t se
3 El problema 2 se ha tomado del libro de Thomson Matemaacuteticas para Administracioacuten y Economiacutea 1998 Paacuteg 515 4 El problema 3 se ha tomado del libro de Thomson Matemaacuteticas para Administracioacuten y Economiacutea 1998 Paacuteg 515
Graacutefico del peso promedio de un bebeacute desde su nacimiento hasta los dos antildeos
mide en metros cuacutebicos por hectaacutereas y t en antildeos Calcule las pendientes de las rectas tangentes respectivas y estime la razoacuten con que el incremento de madera estaacute cambiando al inicio del deacutecimo antildeo y al inicio del antildeo 30
Fig 7 Fuente Tomado de Thomson Matemaacuteticas para Administracioacuten y Economiacutea 1998 515
Problema 45
Patrones de observacioacuten de la televisioacuten- La siguiente graacutefica basada en datos de la compantildeiacutea AC Nielsen muestra el porcentaje de habitantes de Estados Unidos que ven televisioacuten durante un periacuteodo de 24 horas en un diacutea haacutebil ( 0t = corresponde a las 6 am) Calcule las pendientes de las rectas tangentes respectivas y estime la razoacuten de cambio del porcentaje de habitantes que ven televisioacuten entre las 4pm y las 11pm
5 El problema 4 se ha tomado del libro de Thomson Matemaacuteticas para Administracioacuten y Economiacutea 1998 Paacuteg 516
Graacutefico del valor de la madera producida en 3m en funcioacuten del tiempo
Fig8 Fuente Tomado de Thompson Matemaacuteticas para Administracioacuten y Economiacutea 1998 516
5 ALGO SOBRE HISTORIA DE LA DERIVADA
Hasta este momento hemos hablado sobre razones de cambio y como aproximamos una razoacuten de cambio promedio a una razoacuten de cambio instantaacutenea Ahora conoceremos como dos problemas trabajados en eacutepocas de la historia diferentes nos llevaron a la misma solucioacuten La derivada En esta parte hablaremos de razones de cambio e introducireacute las nociones de liacutemites para su resolucioacuten
51 DOS PROBLEMA CON UN MISMO TEMA Los problemas que trataremos a continuacioacuten corresponden a eacutepocas diferentes el primer problema es muy antiguo se remota a la eacutepoca del gran cientiacutefico griego Arquiacutemedes (287-212 aC) Se trata del problema de la pendiente de la recta tangente El segundo problema es maacutes reciente Crecioacute con los intentos de Kepler Galileo Newton y otros para describir la velocidad de un cuerpo en movimiento Es el problema de la velocidad instantaacutenea Los dos problemas uno geomeacutetrico y el otro mecaacutenico parecen no estar muy relacionados En este caso las apariencias engantildean Los dos problemas son gemelos ideacutenticos
Graacutefico del porcentaje de habitantes en Estados Unidos que ven televisioacuten durante las 24 horas de un diacutea
A LA RECTA TANGENTE La descripcioacuten de este problema ha sido tomada de Purcell (2003 99) ldquoSea P un punto de la curva y sea Q un punto moacutevil cercano a P en esa curva Considere la recta que pasa por P y Q llamada recta secante La recta tangente en P es la posicioacuten liacutemite (si esta existe) de la recta secante cuando Q se mueve hacia P a lo largo de la curva
Fig9 Suponga que la curva es la graacutefica de la ecuacioacuten ( )y f x= Entonces P tiene coordenadas ( ) ( )c f c un punto cercano a Q tiene
coordenadas ( ) ( )c h f c h+ + y la recta secante de P a Q tiene pendiente secm dada por
sec( ) ( )f c h f cm
h+ minus
=
Como el objetivo es hallar la recta tangente a la curva ( )f x en el punto P entonces intentaremos aproximar el punto Q a P para ello utilizaremos el concepto de liacutemite con el fin de determinar la pendiente de la recta tangenterdquo
P
Rectas secantes
Recta tangenteQ
Q
Q
La recta tangente es la posicioacuten liacutemite de la recta secante
x
y
Graacutefica de las rectas secantes y tangentes a una curva desde el punto Q hasta el punto P
Fig10
DEFINICIOacuteN 4
Recta Tangente La recta tangente a la curva ( )y f x= en el punto ( ) ( )P c f c es aquella recta que pasa por P con pendiente
tan sec0 0
( ) ( )lim limh h
f c h f cm mhrarr rarr
+ minus= =
Siempre y cuando este liacutemite exista y no sea oinfin minusinfin
(Purcell 2003 101)
P
Q
x
y Liacutenea secante
Liacutenea tangente
( ) ( )c h f c h+ +
( ) ( )f c h f c+ minus
c c h+
( ) ( )c f c
h( )f c
( )f c h+
tan sec0
limh
m mrarr
=
Graacutefico de las posiciones de una recta secante a una curva en los puntos P y Q y su aproximacioacuten a la recta tangente en P
A continuacioacuten veremos un ejemplo que tiene por objetivo que el alumno se familiarice con la definicioacuten la aplique y compruebe que es funcional Ejemplo2Encuentre la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva
( )23 1y x= + minus
en el punto ( )224
Solucioacuten
Encontraremos primero la pendiente de la recta tangente a la curva la cual estaraacute
Dada por
( ) ( )( )2 2
0
3 1 3 1limh
c h c
hrarr
+ + minus minus + minus
( ) ( ) ( )
( )
( )
2 22
2
3 2 3 1 3 1
2 3
2 3
c c h h ch
c h hh
c h
+ + + + minus minus + +
+ +
+ +
Luego aplicando liacutemites tendremos
( )0
lim 2 3 2( 3)h
c h crarr
+ + = +
En el punto 2 la pendiente es 10m = finalmente la ecuacioacuten de la recta en ( )224 es ( )10 2 24 oacute 10 4y x y x= minus + = +
B VELOCIDAD PROMEDIO Y VELOCIDAD INSTANTAacuteNEA
En un contexto referido a la fiacutesica se propone la siguiente situacioacuten con la finalidad de trabajar una solucioacuten y de comprobar que ella tiene mucho en comuacuten la solucioacuten del problema de la recta tangente Si viajamos de una ciudad a otra que estaacute a 80 km En 2 horas nuestra velocidad promedio es de 40 Km por hora Determinamos una velocidad promedio como la distancia de la primera posicioacuten a la segunda posicioacuten dividida entre el tiempo empleado Pero durante el viaje la lectura del velociacutemetro con frecuencia fue diferente de 40 Al principio registroacute 0 a veces hasta 57 al final regresoacute a 0 otra vez iquestQueacute es lo que mide el velociacutemetro Ciertamente no indica la velocidad promedio Purcell (2003 101-103) ldquoConsidere el ejemplo maacutes preciso de un objeto P que cae en el vaciacuteo El experimento muestra que si inicioacute desde el reposo P cae 216t pies en t segundos Por tanto cae 16 pies en el primer segundo 64 pies en el 2do segundo Observemos el diagrama del tiempo empleado y la graacutefica de la relacioacuten tiempoespacio recorrido
Fig11
Ahora analicemos la velocidad promedio en algunos intervalos
Graacutefica de la Distancia recorrida por el objeto en funcioacuten del tiempo
1 2 3 4
50
100
150
200
250
Dis
tanc
ia re
corr
ida
t
( )
( )
( )
2
2
2
16 00 1 16 1 064 161 2 48
2 1
16 15 161 15 40
15 1
16 11 161 11 336
11 1
16 101 161 101 3216
101 1
prom
prom
prom
prom
prom
t t v p s
t t v p s
t t v p s
t t v p s
t t v p s
minus= rarr = = =
minusminus
= rarr = = =minus
minus= rarr = = =
minus
minus= rarr = = =
minus
minus= rarr = = =
minus
Lo que hemos hecho es calcular la velocidad promedio en intervalos de tiempo cada vez maacutes pequentildeos cada uno iniciando en 1t = Entre maacutes breve es el intervalo de tiempo mejor aproximamos la velocidad instantaacutenea en 1t = Seamos maacutes precisos Suponga que un objeto P se mueve a lo largo de un eje coordenado de modo que su posicioacuten en el instante t estaacute dado por ( )S f t= En el instante c el objeto estaacute en ( )f c en el instante cercano c h+ estaacute en ( )f c h+ Asiacute la velocidad promedio en este intervalo es
( ) ( )prom
f c h f cvh
+ minus=
Ahora podemos definir la velocidad instantaacutenea
DEFINICIOacuteN 5
Velocidad Instantaacutenea-Si un objeto se mueve a lo largo de un eje coordenado con funcioacuten de posicioacuten ( )S f t= entonces su velocidad instantaacutenea en el instante c es
0 0
( ) ( )lim limpromh h
f c h f cv vhrarr rarr
+ minus= =
Siempre que el liacutemite exista y no sea oinfin minusinfin (Edwin Purcell2003)
En el caso donde 2( ) 16f t t pies= la velocidad instantaacutenea en 1t = es
2
0 0 0 0
(1 ) (1) 16(1 ) 16lim lim lim lim 32 16 32promh h h h
f h f hv v hh hrarr rarr rarr rarr
+ minus + minus= = = = + =
ldquoAhora podemos ver porqueacute llamamos a la pendiente de la recta tangente y a la velocidad instantaacutenea gemelos ideacutenticosrdquo Este ejemplo tiene por objetivo que el alumno vaya haciendo al mismo tiempo que resuelve los apartados de esta pregunta un verificacioacuten de la teoriacutea por cuando al ir hallando la velocidad promedio en un intervalo considerablemente grande como lo es de 2 a 3 y luego pase a calcular una velocidad promedio en un intervalo lo suficientemente pequentildeo como lo es de 2 a 2003 y finalmente calcule la velocidad instantaacutenea en 2 notaraacuten como se aproxima una variacioacuten una otra hasta llegar a la variacioacuten en un punto Ejemplo 3
Un objeto viaja a lo largo de una recta de modo que su posicioacuten S es 2 1S t= + metros despueacutes de t segundos
a) iquestCuaacutel es su velocidad promedio en el intervalo 2 3tle le b) iquestCuaacutel es su velocidad promedio en el intervalo 2 2003tle le c) iquestCuaacutel es su velocidad promedio en el intervalo 2 2t hle le + d) Encuentre la velocidad instantaacutenea en t = 2
Solucioacuten
La velocidad promedio estaraacute dada por
( ) ( )
promf c h f cv
h+ minus
=
a) La velocidad promedio en el intervalo 2 3tle le seraacute
( ) ( )2 23 1 2 1 10 5 5 3 2 1promv m s
+ minus + minus= = =
minus
b) La velocidad promedio en el intervalo 2 2003tle le seraacute
( ) ( )2 22003 1 2 1 5012009 5 4003 2003 2 0003promv m s+ minus + minus
= = =minus
c) La velocidad promedio en el intervalo 2 2t hle le + seraacute ( )( ) ( )2 2 22 1 2 1 4 4 prom
h h hv h m sh h
+ + minus + += = = +
d) La velocidad instantaacutenea en 2t = seraacute
( )( ) ( )2 2 22 1 2 1 4 4 prom
h h hv h m sh h
+ + minus + += = = + luego en
2t = es 6 Los problemas propuestos en este apartado tienen un objetivo similar al planteado en el ejemplo anterior es decir contrastar en la praacutectica lo que en la teoriacutea se describe a la vez potenciar su habilidad para el cambio de registros ya que como se puede apreciar en los enunciados se piden encontrar ecuaciones dadas algunas graacuteficas y datos elaborar graacuteficas dadas algunas foacutermulas interpretar informacioacuten presentada en ecuaciones graacuteficas referidos a casos de aplicacioacuten en aacutereas como fiacutesica y biologiacutea Trabajo Praacutectico Nordm2 Recta Tangente y Velocidad Instantaacutenea6
Encuentre la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva Ejercicio 1
1yx
= en el
punto ( )21 2
Fig12
6 Los ejercicio se han tomado del libro de Purcell Caacutelculo Diferencial2003
05 1 15 2 25 3
05
1
15
2
25
3
1yx
=
y
x
Graacutefico de la funcioacuten 1( )f x
x= y su recta tangente en el punto (2 frac12)
Considere Ejercicio 2
3 1y x= minus a) Haga un bosquejo de su graacutefica tan detallado como sea posible b) Dibuje la recta tangente en (27) c) Calcule la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos
(27) y ( )3201 (201) 1minus
d) Utilizando el proceso de liacutemite encuentre la pendiente de la recta tangente en (27)
Encuentre las pendientes de las rectas tangentes a la curva Ejercicio 3
2 1y x= minus en los puntos de abscisas -2-1 0 1 2
Haga un bosquejo de la graacutefica de
Ejercicio 4 1
1y
x=
+ luego encuentre la
ecuacioacuten de la recta tangente en (1 12)
Encuentre la ecuacioacuten de la recta tangente a
Ejercicio 5 1
1y
x=
minus en (0-1)
Un experimento sugiere que un cuerpo que cae descenderaacute aproximadamente
Ejercicio 6
216t metros en t segundos a) iquestCuaacutento caeraacute entre t = 0 y t = 1 b) iquestCuaacutento caeraacute entre t = 1 y t = 2 c) iquestCuaacutel es su velocidad promedio en el intervalo 2 3tle le d) iquestCuaacutel es su velocidad promedio en el intervalo 3 301tle le e) Encuentre la velocidad instantaacutenea en t = 3
Un objeto viaja a lo largo de un eje coordenado de modo que su distancia dirigida medida desde el origen despueacutes de t segundos es
Ejercicio 7
2 1t metros+ a) Encuentre la velocidad instantaacutenea en t = 2
b) iquestCuaacutendo alcanzaraacute una velocidad de 12 pies por segundo
Si una partiacutecula se mueve a lo largo de un eje coordenado de modo que su distancia dirigida medida desde el origen despueacutes de
Ejercicio 8
t segundos es ( )2 4t t metrosminus + iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute
momentaacuteneamente detenida Es decir en iquestqueacute momento su velocidad es cero
Cierto cultivo de bacterias crece de modo que tiene una masa de Ejercicio 9
21 12
t gramos +
despueacutes de t horas
a) iquestCuaacutento creceraacute durante el intervalo 2 201tle le b) iquestCuaacutel seraacute la tasa promedio de crecimiento durante el intervalo
2 201tle le c) iquestCuaacutel fue la tasa instantaacutenea de crecimiento en t = 2
6 LA DERIVADA
Revisemos ahora algunas definiciones seguacuten los siguientes autores
DEFINICIOacuteN 6
Si la funcioacuten ( )y f x= tiene derivada en el punto 0
x x= es
decir si existe el
0 00 0
( ) ( )lim limx x
f x x f xyx x∆ rarr ∆ rarr
+ ∆ minus∆=
∆ ∆
Se dice que para el valor dado 0
x x= la funcioacuten es derivable o
lo que es lo mismo tiene derivada en dicho punto
Si la funcioacuten tiene derivada en cada punto de un intervalo ( )a b
se dice que es derivable en dicho intervalo
(N Piskunov 1973 68)
DEFINICIOacuteN 7
DEFINICIOacuteN 8
Como podemos observar la definicioacuten 6 trabaja con la notacioacuten delta a la cual los alumnos se encuentran familiarizados desde el concepto de razoacuten de cambio mientras que en las otras dos definiciones se trabaja con una letra h la cual reemplaza al x∆ La definicioacuten 8 asiacute como la 7 muestran la idea de designar con el teacutermino de derivable en un punto a la funcioacuten cuando esta tenga derivada en dicho punto y de derivable cuando la derivada exista en cada punto de su dominio En cuanto a la definicioacuten 8 presenta a la derivada como una funcioacuten
f a la que lee como ldquof primardquo Uniendo las tres definiciones anteriores podemos presentar la siguiente
La funcioacuten f es derivable en a si
0
( ) ( )limh
f a h f ahrarr
+ minus Existe
En este caso el liacutemite se designa por ( )f a y recibe el nombre de
derivada de f en a (Decimos tambieacuten que f es derivable si
f es derivable en a para todo a del dominio de f )
(Spivak 1967 201)
La derivada de una funcioacuten f es otra funcioacuten f (leacutease ldquof primardquo) cuyo valor en cualquier nuacutemero c es
0
( ) ( )( ) lim
h
f c h f cf chrarr
+ minus=
Siempre que este liacutemite exista y no sea oinfin minusinfin
(Purcell 2003 107)
Veamos los siguientes ejemplos los cuales pretenden familiarizar a los alumnos con la definicioacuten de derivada y a manera de repaso recordar los algoritmos empleados en el caacutelculo de liacutemites como por ejemplo el proceso de racionalizacioacuten Ejemplo 4
Sea ( ) 12 3f x x= minus Encuentre ( ) 4f
Solucioacuten
Empleando la definicioacuten de derivada tenemos [ ] [ ]
0 0
0 0
12(4 ) 3 12(4) 3(4 ) (4)(4) lim lim
12 lim lim 12 12
h h
h h
hf h ffh h
hh
rarr rarr
rarr rarr
+ minus minus minus+ minus= =
= = =
Ejemplo 5
Sea ( ) 0f x x x= gt Encuentre ( )f x
Derivada de f La derivada de una funcioacuten f en un punto c es otra funcioacuten a la
que llamaremos ldquo f prima rdquo y denotaremos por f siempre
que se cumpla
0
( ) ( )( ) lim
h
f c h f cf chrarr
+ minus= Existe
En este caso el liacutemite se designa por ( )f c y recibe el nombre de
derivada de f en c
Decimos tambieacuten que f es derivable si f es derivable en c para
todo c del dominio de f
Solucioacuten
Empleando la definicioacuten de derivada tenemos
( )
0
0
0
0
0
0
( ) ( )( ) lim
= lim
lim
= lim
= lim
1 1 = lim
2
h
h
h
h
h
h
f x h f xf xh
x h xh
x h x x h xh x h x
x h xx h x
h
h x h x
x h x x
rarr
rarr
rarr
rarr
rarr
rarr
+ minus=
+ minus
+ minus + +=
+ + + minus
+ +
+ +
=+ +
7 FORMAS EQUIVALENTES DE LA DERIVADA Purcell (2003) hace mencioacuten a dos formas equivalentes de la derivada de ( )f x en el punto c asiacute la primera forma es
Graacuteficamente podemos ver
0
( ) ( )( ) limh
f c h f cf chrarr
+ minus=
Fig13
Para la segunda forma x toma el lugar de c h+ y por lo tanto reemplazando h tenemos
Graacuteficamente podemos ver
Fig14
otimes
otimes
c c h+
( ) ( )f c h f c+ minus
h( ( ))c f c
( ( ))c h f c h+ +
X
Y
otimes
otimes
c x
( ) ( )f x f cminus
x cminus( ( ))c f c
( ( ))x f x
X
Y
( ) ( )( ) limx c
f x f cf cx crarr
minus=
minus
Graacutefico de la funcioacuten ( )f x en los puntos c y c h+ empleado para la primera forma de definir la derivada
Graacutefico de la funcioacuten ( )f x en los puntos c y x empleado para la segunda forma de definir la derivada
Como podemos apreciar las dos formas de expresar la definicioacuten de la derivada son equivalente aun cuando la notacioacuten empleada no es la misma ya que como hemos podido apreciar en una el limite esta expliacutecitamente en teacuterminos del incremento h luego en el liacutemite h tiende a cero En la otra no aparece h pero cuando el limite indica que x tiende a c impliacutecitamente estaacute indicando que el incremento (h) tiende a cero En el ejemplo siguiente se intenta que los alumnos utilicen la segunda forma de la definicioacuten de la derivada a fin de practicarla pero que establezcan las diferencias en la notacioacuten y significado en relacioacuten a la definicioacuten primera Ejemplo 6
Utilice la segunda forma de representa la derivada para determinar
( )g c si 1( )
4g x
xminus
=+
1 14 4( ) x cg cx c
minus minusminus
+ +=minus
Solucioacuten
( )( )
( )( )
( )( )( )
( )( )
( )2
4 44 4
( ) lim
4 4 lim
4 4 lim
1 lim4 4
1 ( )4
x c
x c
x c
x c
c xx c
g cx cc x
x cx cx c
x cx c
x c
g cc
rarr
rarr
rarr
rarr
minus minus + ++ +
=minus
minus ++ +
minusminus
+ +
minus
+ +
there4 =+
Demostracioacuten-
Espinoza (2002 456) demuestra este teorema de la siguiente manera ldquoPor hipoacutetesis se tiene que f es diferenciable en
0x esto quiere
decir que 0
( )f xexist y
0 00 0
0 0
( ) ( )lim ( ) ( ) lim h h
f x h f xf x h f x h
hrarr rarr
+ minus+ minus =
0 00
0 0
( ) ( )lim lim ( )0 0h h
f x h f xh f x
hrarr rarr
+ minus= = =
Entonces 0 0 0 0
0 0 0
0 00
lim ( ) ( ) 0 lim ( ) lim ( ) 0
lim ( ) ( )h h h
h
f x h f x f x h f x
f x h f xrarr rarr rarr
rarr
+ minus = rArr + minus =
+ =
0f es continua en xthere4 rdquo
ldquoEs muy importante recordar el teorema 1 e igualmente importante recordar que el reciacuteproco no se cumple Una funcioacuten derivable es continua pero una funcioacuten continua no es necesariamente derivablerdquo Spivak (1992 213)
Con los siguientes ejemplos se pretende analizar diferenciabilidad en un punto estudiando el comportamiento de la derivada a ambos lados del punto seleccionado
TEOREMA 1 Sea f una funcioacuten y
0 fx Disin si f es diferenciable en
0x entonces f es continua en
0x
(Espinoza 2002 456)
Ejemplo 7
Estudiar si la funcioacuten ( )f x x= es diferenciable en 0x =
Solucioacuten
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0(0 ) (0)
0 0(0 ) (0) lim lim lim lim 1
0 0(0 ) (0) lim lim lim lim 1
h h h h
h h h h
h hf h fh h h
Asiacuteh hf h f h
h h h hh hf h f h
h h h h
+ + + +
minus minus minus minus
rarr rarr rarr rarr
rarr rarr rarr rarr
+ minus+ minus= =
+ minus+ minus= = = =
+ minus+ minus minus= = = = minus
Seguacuten Spivak (1992 210) ldquoEstos dos liacutemites son llamados a veces derivada por la derecha y derivada por la izquierdardquo en nuestro caso son diferentes
0
(0 ) (0)lim
h
f h fhrarr
+ minus
No existe Por tanto (0)f no existe Graacuteficamente podemos ver la funcioacuten ( )f x x=
Fig 15
Graacutefico de la funcioacuten valor absoluto ( )f x x= Para estudiar la derivada en x=0
Ahora veamos la graacutefica de su derivada
Fig 16 Ejemplo 8
Analizar la derivada de la funcioacuten en el punto 0x = siendo 2 0( )
0x xf xx x
le= gt
Solucioacuten
2
0
0
0( ) (0) 1 0
( ) (0) lim 0
( ) (0) lim 1
h
h
h h hf h f hh h h
hAsiacute
f h fh
f h fh
+
minus
rarr
rarr
= ltminus =
= gt
minus=
minus=
Podemos concluir entonces que (0)f no existe f no es derivable en 0
Graacutefico de la derivada de la funcioacuten valor absoluto 1 0
( )1 0
xf x
xgt
= minus lt
Sin embargo la derivada existe para 0x ne calculeacutemosla
( )2 2 2( ) ( ) 2 2c h cf c h f c ch h c h
h h h+ minus+ minus +
= = = + Aplicando liacutemite
cuando 0h minusrarr tenemos ( ) 2f c c= de una forma similar calculamos
el liacutemite cuando 0h +rarr y obtenemos ( ) 1f c = Graacuteficamente podemos ver
Fig17
Fig 18
Graacutefico de la funcioacuten valor absoluto 2 0( )
0x xf xx x
le= gt
Para estudiar la
derivada en x=0
Graacutefico de la derivada de la funcioacuten 1 0
( )2 0
xf x
x xge
= lt
Purcell (2003) demuestra graacuteficamente cualquier punto donde la graacutefica de una funcioacuten continua tenga una esquina o un veacutertice la funcioacuten no es diferenciable Y esto lo podemos constatar de nuestros ejemplos anteriores Asiacute mismo este autor nos muestra una graacutefica donde se pueden apreciar algunas situaciones para que una funcioacuten no sea diferenciable en un punto
Fig 19
Fuente Tomado del libro de Purcell 2003 111
En esta graacutefica afirmamos que la derivada el c no existe por que
0
( ) ( )( ) lim
h
f c h f cf xhrarr
+ minus= = infin
Esto corresponde al hecho de que la pendiente vertical no estaacute definida El trabajo praacutectico dado a continuacioacuten pretender que el alumno se familiarice con las dos formas empleadas para definir la derivada Otra objetivo es el estudiar la diferenciabilidad de funciones en algunos puntos en particular
Graacutefico de posibles situaciones de funcioacuten diferenciable en un punto
Trabajo Praacutectico Nordm 3 Derivada7
Ejercicio 1
Utilice la definicioacuten de Derivada 0
( ) ( )( ) limh
f x h f xf xhrarr
+ minus= para
determinar la derivada en x de las siguientes funciones
a) ( ) 2 1f x x= + b) 2 1( )4
xg xxminus
=minus
c) 4 2( )h x x x= +
Ejercicio 2
Empleando la segunda forma para definir la derivada ( ) ( )
( ) limx c
f x f cf cx crarr
minus=
minus determine las derivadas de las siguientes
funciones
a) 3( ) xf xx+
= b) 3( ) 5f x x x= +
Ejercicio 3
A continuacioacuten te presento cuatro liacutemites los cuales corresponden a las derivadas de algunas funciones iquestPodriacuteas ayudarnos a determinar a queacute funciones se refieren
a) ( ) ( )3 3
0
2 5 2 5limh
hhrarr
+ minus
b) ( )2
0
3 2(3 ) 15limh
h hhrarr
+ + + minus
c) limx y
senx senyx yrarr
minusminus
d)
2 2
limx t
x tx trarr
minus
minus
7 Los ejercicios han sido tomados del texto de Calculo Diferencial de Purcell (2003 111-112) y Espinoza (2002 514 -515)
Ejercicio 4
Describa los valores x para los que f es derivable A B
Fig 20 Fig 21
Ejercicio 5
Determinar cuales de las funciones siguientes son derivables en los nuacutemeros dados por
0x
1 0
4( ) 42( 8) 4
x xf x xx x
le= =minus gt
2 2
2
2 0
( ) 2 2 0 2
4 2 2
x x
f x x x
x x x
+ lt
= minus le lt
minus + ge
0 0x = y 0 2x =
minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4
minus3
minus2
minus1
1
2
3
4
x
y
y=1(x+1)
minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
minus1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
abs(x^2-9)
Graacutefico de la funcioacuten 2( ) 9f x x= minus Graacutefico de la funcioacuten 1
( )1
f xx
=+
Ejercicio 6
Calcular los valores de y a b c para que la funcioacuten
2
4 2( ) sea continua en x=-2 y diferenciable en x=2
2
si xxf x
ax bx c si x
ge= + + lt
Ejercicio 7
Hallar los valores de a y b de manera que la funcioacuten 2 1
( ) 1 1
ax b si xf x
si xx
+ le= gt
sea derivable en todo su dominio
8 REGLAS DE DERIVACIOacuteN
Para Spivak (1992) el proceso de derivacioacuten es generalmente laborioso y que si no recordamos la definicioacuten de derivada estariacuteamos expuestos a no poder calcularla Sin embargo nos dice que existen algunos teoremas que nos permitiriacutea de una forma un tanto mecaacutenica derivar una clase de funciones muy amplia Asiacute veremos algunas reglas de derivacioacuten que Espinoza (2002) presenta ademaacutes de su demostracioacuten empleando la definicioacuten la notacioacuten de Leibniz8
1) La derivada de una constante es cero-
( ) 0dysi y f x Cdx
= = rArr =
Demostracioacuten
0 0
( ) ( )lim lim 0 0h h
dy f x h f x c c dydx h h dxrarr rarr
+ minus minus= = = there4 =
8 La notacioacuten
dydx
corresponde a Leibniz
2) La derivada de la funcioacuten identidad-
( ) 1dysi y f x xdx
= = rArr =
Demostracioacuten
0 0 0 0
( ) ( )lim lim lim lim 1 1 1h h h h
dy f x h f x x h x h dydx h h h dxrarr rarr rarr rarr
+ minus + minus= = = = = there4 =
3) La derivada de la funcioacuten potencia simple- 1( ) n ndysi y f x x nx
dxminus= = rArr =
Demostracioacuten
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 01 2 2 1
0
1 2 2 1 10
1
( ) ( )lim lim
lim
lim
n n
h hn n n n
h
n n n n nh
n
x h xd y f x h f x para ndx h h
x h x h x x h x xx h x
h
x h x h x x h x x n x
dy nxdx
+
rarr rarrminus minus minus minus
rarr
minus minus minus minus minus
rarr
minus
+ minus+ minus= = isin
+ + + + + + + = + minus
= + + + + + + + =
there4 =
4) La derivada del producto de una funcioacuten por un escalar-
( ) ( )dysi y kf x kf xdx
= rArr =
Demostracioacuten ( ) ( )( )
( )0 0
0
( )( )lim lim
( )lim ( ) ( )
h h
h
k f x h f xkf x h kf xdydx h h
f x h f x dyk kf x kf xh dx
rarr rarr
rarr
+ minus+ minus= =
+ minus= = there4 =
5) La derivada de la suma o diferencia de dos funciones-
( ) ( ) ( ) ( )dysi y f x g x f x g xdx
= plusmn rArr = plusmn
Demostracioacuten ( )( )
( ) ( )
( )( ) ( )( )
0
0
0
( )( )lim
( ( ) ( ))lim
( ) ( )lim
h
h
h
f g x h f g xdydx h
f x h g x h f x g xh
f x h f x g x h g xh
rarr
rarr
rarr
plusmn + minus plusmn=
+ plusmn + minus plusmn=
+ minus plusmn + minus=
( )( ) ( )( )0
( ) ( )lim
( ) ( ) ( ) ( )
h
f x h f x g x h g xh h
dyf x g x f x g xdx
rarr
+ minus + minus= plusmn
= + there4 = +
6) La derivada del producto de dos funciones-
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dysi y f x g x f x g x f x g xdx
= sdot rArr = +
Demostracioacuten
0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim limh h
d y f x h f x f x h g x h f x g xdx h hrarr rarr
+ minus + + minus= =
Ahora sumamos y restamos ( ) ( )f x h g x+ en el numerador
0
0
0 0
0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim
( )( ( ) ( )) ( ( ) ( ))lim ( )
( )( ( ) ( )) ( ( ) ( ))lim lim ( )
( ( ) (lim ( ) lim
h
h
h h
h h
d y f x h g x h f x h g x f x g x f x h g xdx h
f x h g x h g x f x h f xg xh h
f x h g x h g x f x h f xg xh h
g x h gf x h
rarr
rarr
rarr rarr
rarr rarr
+ + minus + minus + +=
+ + minus + minus = + + + minus + minus = +
+ minus= +
0 0
)) ( ( ) ( ))lim ( ) lim
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
h h
x f x h f xg xh h
f x g x g x f xdy f x g x g x f xdx
rarr rarr
+ minus + = +
there4 = +
7) La derivada del cociente de dos funciones-
[ ]2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0( ) ( )
f x d y f x g x f x g xsi y g xg x dx g x
minus= rArr = ne
Demostracioacuten
0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim limh h
d y f x h f x f x h g x h f x g xdx h hrarr rarr
+ minus + + minus= =
0
( ) ( ) ( ) ( )lim( ) ( )h
g x f x h f x g x hh gx g x hrarr
+ minus +=
+
Ahora sumando y restando ( ) ( )f x g x en el numerador se tiene
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim( ) ( )h
g x f x h f x g x f x g x h f x g xh gx g x hrarr
+ minus minus + +=
+
0
2
2
( )( ( ) ( )) ( )( ( ) ( ))
lim( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( 0) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( )
h
g x f x h f x f x g x h g xh h
g x g x hg x f x f x g x g x f x f x g x
g x g x g xdy g x f x f x g xdx g x
rarr
+ minus + +minus
=+
minus minus= =
+
minusthere4 =
Resumiendo
1) ( ) 0dysi y f x Cdx
= = rArr =
2) ( ) 1dysi y f x xdx
= = rArr =
3) 1( ) n ndysi y f x x nxdx
minus= = rArr =
4) ( ) ( )dysi y kf x kf xdx
= rArr =
5) ( ) ( ) ( ) ( )dysi y f x g x f x g xdx
= plusmn rArr = plusmn
6) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dysi y f x g x f x g x f x g xdx
= sdot rArr = +
7) [ ]2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0( ) ( )
f x d y f x g x f x g xsi y g xg x dx g x
minus= rArr = ne
El primer grupo de ejercicios de este trabajo intenta que el alumno fortalezca una habilidad para el caacutelculo de derivadas empleando reglas de derivacioacuten el apartado B es para recordar la aplicacioacuten de la recta tangente a una curva y el apartado C es para trabajar con problemas de aplicacioacuten a diversas aacutereas Trabajo Praacutectico Nordm 4 Reglas de Derivacioacuten9
A Encontrar la derivada de las siguientes funciones
1) ( ) 365f x =
2) 4 3 2( ) 4 3 7f x x x= minus +
3) 5 15
9 3( )f xx x
= minus
4) 3 4 6 31( ) 2 8 16
f x x x x x= minus + minus +
5) 3 2
4 32 7( ) x xf x
x x x+ +
=+ +
6) 2
22( )
4 1
x xf xxminus
=+
7) ( )( )( ) 5 1 2 1f x x x= minus +
8) 2 4 2( )
3x xf x
x+ +
=+
9 Ejercicios tomados de STTan (1998 528-529-530-543-544)
9) 13( ) 9f x x=
10) 3 24 3( ) x xf x
xminus +
=
11) 2 132 3( )f xx x
= minus
12) 2 3( ) 2f x x x= +
13) ( )32
1( ) 2 1 2f x x xx
= + + +
14) 2 1( ) xf x
x+
=
15) 3( )3 1
x xf xx+
=minus
16) 1 2
3 21 2( )1
xf xx
+=
+
17) ( )( )2( ) 1 2 3f x x x= + +
18) ( )( )21 1
( )2
x xf x
x
+ +=
minus
C Encuentre la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva graficada a
continuacioacuten en el punto indicado Punto ( 23)Q minus
Fig 22
Graacutefico de la funcioacuten 3
( )1
f xxminus
=+
D Resolver los siguientes problemas
1 Crecimiento de un tumor canceroso El volumen de un tumor canceroso esfeacuterico estaacute dado por la funcioacuten
34( )3
v r rπ= donde r es el radio del tumor en centiacutemetros
Indique la razoacuten de cambio en el volumen del tumor cuando
a) 23
r cm= b) 54
r cm=
2 Eficiencia de un obrero Un estudio de eficiencia realizado
por la compantildeiacutea de aparatos electroacutenicos Electra mostroacute que el nuacutemero de walkie-talkies ldquoComando espacialrdquo ensamblados por un obrero promedio t horas despueacutes del inicio de labores a las 8 am estaacute dado por 3 2( ) 6 15N t t t t= minus + + a) Encuentre la razoacuten con que el obrero promedio ensambla
los dispositivos t horas despueacutes de iniciar su trabajo b) iquestCon queacute razoacuten los estaraacute ensamblando a las 10 am y a
las 11 am c) iquestCuaacutentos ensamblaraacute entre las 10 y las 11 am
3 Crecimiento de poblaciones Un estudio preparado por la caacutemara de comercio de cierta comunidad ha proyectado que la poblacioacuten de dicha comunidad creceraacute durante los proacuteximos tres antildeos conforme a al regla 3 2( ) 50000 30 20P t t t= + + donde ( )P t denota la poblacioacuten dentro de t meses iquestCon queacute rapidez creceraacute la poblacioacuten dentro de nueve y 16 meses
4 Conservacioacuten de especies Una especie de tortuga estaacute en
peligro de extincioacuten debido a que ciertas personas recogen grandes cantidades de huevos para venderlos como afrodisiacuteacos Despueacutes de implantar severas medidas de conservacioacuten se espera que la poblacioacuten de tortugas crezca de acuerdo con la regla 3 2( ) 2 3 4 1000 0 10N t t t t t= + minus + le le donde ( )N t denota la poblacioacuten al final de antildeo t Encuentre la tasa de crecimiento de poblacioacuten de tortugas cuando 2t = y
8t = iquestCuaacutel seraacute la poblacioacuten diez antildeos despueacutes de la implantacioacuten de las medidas de conservacioacuten
Continuaremos trabajando las reglas de derivacioacuten y ahora estudiaremos las derivadas de las funciones trigonomeacutetricas sus inversas la funcioacuten logariacutetmica y exponencial tomando como referencia las demostraciones presentadas en Smith (2000) y a Piskunov (1973) incluimos tambieacuten algunos ejemplos de aplicacioacuten directa de las reglas de derivacioacuten 8) La derivada de la funcioacuten seno-
( ) cosdysi y f x senx xdx
= = rArr =
Demostracioacuten
0
0
0 0
0 0
( ) ( )lim
cosh cos lim
cosh cos = lim lim
(cosh 1) = lim cos lim
(0) cos (1)
cos
h
h
h h
h h
dy sen x h sen xdx h
senx senh x senxh
senx senx senh xh h
senhsenx xh h
senx xdy xdx
rarr
rarr
rarr rarr
rarr rarr
+ minus=
+ minus=
minus+
minus+
= +
there4 =
9) La derivada de la funcioacuten coseno-
( ) cos dysi y f x x senxdx
= = rArr = minus
La demostracioacuten de este teorema se deja como ejercicio
10) La derivada de la funcioacuten tangente-
2( ) tan secdysi y f x x xdx
= = rArr =
Demostracioacuten
Para ( ) tan senxf x xcosx
= = por regla de cociente se tiene que
( ) ( )2
(cos ) cos
cos
senx x senx xdydx x
minus=
( ) ( )2
cos (cos )
cos
x x senx senxdydx x
+=
2 2
2cos
cosdy x sen xdx x
+=
22
1 seccos
dy xdx x
= =
2secdy xdx
there4 =
Las demostraciones de las derivadas de las funciones trigonomeacutetricas restantes se dejan como ejercicio Resumiendo
8) cosdysi y senx xdx
= rArr =
9) cos dysi y x senxdx
= rArr = minus
10) 2tan secdysi y x xdx
= rArr =
11) 2cosdysi y ctgx ec xdx
= rArr = minus
12) sec sec tandysi y x x xdx
= rArr =
13) sec sec dysi y co x co x ctgxdx
= rArr = minus
Ejemplo 9
Calcular las derivadas de las siguientes funciones a) 2( ) 4 3tanf x x x= minus
b) ( ) senxf xx
=
Solucioacuten
a) trabajamos con la derivada de una diferencia de funciones
( ) 2
2
4 2 3sec
8 3sec
dy x xdxdy x xdx
= minus
= minus
b) Aplicando la derivada de un cociente tenemos ( )
( )2
2
( )
cos
senx x senx xdydx x
x x senxdydx x
minus=
minus=
14) La derivada de la funcioacuten logaritmo-
1( ) log log
a adysi y f x x edx x
= = rArr =
Demostracioacuten
Utilizando la definicioacuten de derivada tendremos
0
0
0
log ( ) log ( )lim
( )log = lim
( )log = lim
a ah
a
h
a
h
x h xdydx h
x hx
hx h
xh
rarr
rarr
rarr
+ minus=
+
+
( )
( )
( )
0
0
0
0
0 0
log (1 ) = lim
log 11 = limx1 = lim log 1x1 = log lim 1x1 = log base de los logaritmos neperianosx
at
at
tat
ta t
a
hhaciendo t cuando h tx
t
txt
t
t
t
e donde e
rarr
rarr
rarr
rarr
= rarr rArr rarr
+
+
+
+
=
ln 11 1 ( ) ln ln
si a e edyEn particular y f x x edx x x
= rArr =
= = rArr = =
1ln dysi y x
dx xthere4 = rArr =
15) La derivada de la funcioacuten logaritmo neperiano-
1( ) ln dysi y f x xdx x
= = rArr =
16) La derivada de la funcioacuten exponencial-
( ) logx xdysi y f x a a adx
= = rArr =
Demostracioacuten
Tomando logaritmos en la igualdad xy a= se tiene ln lny x a= derivando la igualdad obtenida y considerando y en funcioacuten de x tenemos
1 ln
ln lnx
y ay
y y a a a
=
= =
En particular si la base es a e= rarr ln 1e = y obtenemos
( ) x xdff x e edx
= rarr =
17) La derivada de la funcioacuten exponencial con base e-
( ) x xdfsi y f x e edx
= = rarr =
Ejemplo 10
Calcular la derivada de la siguiente funcioacuten
2( ) 3 ln xf x x x e= +
Solucioacuten
( )
( )
2 16 ln 3
6 ln 3
x
x
dy x x x edx x
dy x x x edx
= + +
there4 = + +
Resumiendo
14) 1( ) log loga a
dysi y f x x edx x
= = rArr =
15) 1ln dysi y xdx x
= rArr =
16) ( ) logx xdysi y f x a a adx
= = rArr =
17) ( ) x xdfsi f x e edx
= rArr =
Tomando como referencia a Piskunov (1973) estudiaremos ahora un segundo teorema el cual nos daraacute acceso a la demostracioacuten de la derivada de las funciones trigonomeacutetricas inversas Note ademaacutes que en algunos casos usaremos la notacioacuten y
Teorema 3
Demostracioacuten
Dando a y un incremento y∆ de la igualdad (2) deducimos ( ) ( )x y y yϕ ϕ∆ = + ∆ minus
Como ( )yϕ es una funcioacuten monoacutetona se tiene 0x∆ ne Escribamos la identidad
1yxxy
∆=∆∆∆
Por ser continua la funcioacuten ( )yϕ 0x∆ rarr cuando 0y∆ rarr
Si para la funcioacuten ( )y f x= hellip(1)
Existe una funcioacuten inversa ( )x yϕ= hellip(2)
Tal que en un punto y dado tenga una derivada ( )yϕ distinta de cero entonces la funcioacuten ( )y f x= tiene en el punto
correspondiente x una derivada ( )f x igual a 1( )yϕ
es decir
se verifica la foacutermula 1( )( )
f xyϕ
=
Asiacute pues la derivada de una de las funciones reciacuteprocamente inversas es igual a la inversa de la derivada de la otra funcioacuten para los correspondientes valores de x e y
(Piskunov 1973 92)
Tomando liacutemites cuando 0y∆ rarr en ambos miembros de la uacuteltima
identidad obtenemos 1xy
yx
=
Por lo tanto 1( )( )
f xyϕ
=
(Piskunov 1973 93)
18) La derivada de la funcioacuten arco seno-
2
1( )1
dysi y f x arcsenxdx x
= = rArr =minus
Demostracioacuten
Si y arcsenx= se tiene 2
1
1
dydx x
=minus
Seguacuten la igualdad (1) tenemos cosy
x y= y conforme a la regla
para derivar la funcioacuten inversa se tendraacute 1 1 cosxy
yx y
= =
Pero 2 2cos 1 1 y sen y x= minus = minus luego 2
11
yx
=minus
La raiacutez se toma con el signo positivo porque la funcioacuten
y arcsenx= se define en el intervalo 2 2
yπ πminus le le y por
consiguiente 0y ge (Piskunov 1973 95)
Ejemplo 11
Calcular la derivada de la siguiente funcioacuten
1( )2
xf x arcsen + =
Solucioacuten
( ) ( )
( )
2 2 2
22
1 1 1
1 2 111 12 22
1 2 2 12 2 1
2
dfdx x xx
x xx x
= = =+ minus ++ minus minus
= =minus minus +minus + +
19) La derivada de la funcioacuten arco coseno-
2
1( ) arccos1
dysi y f x xdx x
minus= = rArr =
minus
Demostracioacuten La demostracioacuten se deja como trabajo 20) La derivada de la funcioacuten arco tangente-
21( ) arc t
1dysi y f x gxdx x
= = rArr =+
Demostracioacuten
Si y arctgx= se tiene 21
1dydx x
=+
si consideramos que x tgy=
tenemos
21
cosyx
y=
Por tanto 21 cos xy
y yx
= =
Pero 22 2
1 1cossec 1
yy tg y
= =+
Y puesto que tgy x= tenemos en definitiva 21
1dydx x
=+
Ejemplo 12
Calcular la derivada de la siguiente funcioacuten ( )2( ) (1 )f x x arctg x= +
Solucioacuten
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
22
(1 ) (1 )
1 = 2 (1 )1
= 2 1
df x arctg x x arctg xdx
x arctg x xx
df x arctg xdx
= + + +
+ ++
there4 +
21) La derivada de la funcioacuten arco cotangente-
21( ) arc t
1dysi y f x co gxdx x
minus= = rArr =
+
La demostracioacuten se deja como trabajo asiacute como las demostraciones de las funciones inversas restantes
22) La derivada de la funcioacuten arco secante-
2
1( ) arcsec1
dysi y f x xdx x x
= = rArr =minus
23) La derivada de la funcioacuten arco cosecante-
2
1( ) arc sec1
dysi y f x co xdx x x
minus= = rArr =
minus
Resumiendo
18) 2
1( )1
dysi y f x arcsenxdx x
= = rArr =minus
19) 2
1( ) arccos1
dysi y f x xdx x
minus= = rArr =
minus
20) 2
1( ) arc t1
dysi y f x gxdx x
= = rArr =+
21) 2
1( ) arc t1
dysi y f x co gxdx x
minus= = rArr =
+
22) 2
1( ) arcsec1
dysi y f x xdx x x
= = rArr =minus
23) 2
1( ) arc sec1
dysi y f x co xdx x x
minus= = rArr =
minus
9 REGLA DE LA CADENA
Veamos a continuacioacuten como Smith (2000) presenta y demuestra el teorema de la regla de la cadena un teorema para el caacutelculo de derivadas su utilidad radica en el hecho de que nos permitiraacute derivar funciones compuestas las mismas que se encuentran presentes en la mayoriacutea de modelos matemaacuteticos
Teorema 3
El teorema es cierto incluso si Demostracioacuten
( ) 0g x = pero la demostracioacuten requiere ( ) 0g x ne Sea ( ) ( ( ))F x f g x= Entonces
Regla de la Cadena- Si g es derivable en x y f es derivable en ( )g x entonces
[ ( ( ))] ( ( )) ( )d f g x f g x g xdx
=
(Smith 2000 228)
0
0
0
0
[ ( ( ))] ( ) ( )( ) lim
( ( )) ( ( )) = lim
( ( )) ( ( )) ( ) ( ) = lim ( ) ( )
( ( )) ( ( )) = lim ( )
h
h
h
h
d f g x F x h F xF xdx h
f g x h f g xh
f g x h f g x g x h g xh g x h g x
f g x h f g xg x h
rarr
rarr
rarr
rarr
+ minus= =
+ minus
+ minus + minus+ minus
+ minus+ 0
( ) ( ) 0
( ) ( ) lim( )
( ( )) ( ( )) ( ) ( ) = lim lim ( ) ( )
= ( ( )) ( )
h
g x h g x h
g x h g xg x h
f g x h f g x g x h g xg x h g x h
f g x g x
rarr
+ rarr rarr
+ minusminus
+ minus + minus+ minus
Ahora presentamos la regla de la cadena en teacuterminos de la notacioacuten de Leibniz ldquoSi ( )y f u= y ( )u g x= entonces ( ( ))y f g x= la regla
de la cadena expresa que du dy dudx du dx
= rdquo Smith (2000 228)
Ejemplo 13
Calcular la derivada de la siguiente funcioacuten a) 3 3( ) ( 1)f x x x= + minus
b) 6( ) xf x eminus=
c) 2( ) cos 1f x x= +
Solucioacuten
a) Siendo 3 3( ) ( 1)f x x x= + minus podemos hacer el siguiente cambio 3 1u x x= + minus asiacute 3 3( ) ( 1)f u u y u x x= = + minus Luego la
derivada es
( )33
2 2
1( )
=3 (3 1)
df df dudx du dx
d x xd udu dx
u x
=
+ minus=
+
3 2
5 3 2
5 3 2
=3( 1)(3 1)
= 9 12 9 3 3
=3(3 4 3 1)
x x x
x x x xdf x x x xdx
+ minus +
+ minus + minus
there4 + minus + minus
b) si 6( ) xf x eminus= entonces 6xu minus
= luego
( )
6( ) =
u
df df dudx du dx
d xd edu dx
=
minus
6
1= 6
1 = -6
u
x
e
df edx
minus
minus
there4
c) Sea 2 1u x= + se tiene en la funcioacuten lo siguiente 2( ) cos 1f u u donde u v y v x= = = + luego la derivada seraacute
( ) ( ) ( )
( )
2
1 2
2 2 1 2
1 22 2
1cos
1 = ( ) (2 )2
1 = 1 ( 1) (2 )2
= - 1 1
df df du dvdx du dv dx
d xd vd udu dv dx
senu v x
sen x x x
df x x sen xdx
minus
minus
minus
=
+=
minus
minus + +
there4 + +
Los ejercicios propuestos en este trabajo tienen por finalidad que alumno conozca y aplique las reglas de derivacioacuten asiacute como trabajar reforzar su habilidad para factorizar expresiones algebraicas
Trabajo Praacutectico Nordm 5 Reglas de Derivacioacuten y Regla de la Cadena10
1 Encontrar la derivada de las siguientes funciones
1 ( )( )f x a x a x= + minus
2 1( )1
xf xx
+=
minus
3 3 2( ) 1f x x x= + +
4 ( )f x x x x= + + 5 ( ) 2 3cos3f x senx x= +
6 ( )cos
senxf xa x
=+
7 1( ) ln1
senxf xsenx
+= minus
8 ( ) ( )co s( )f x sen a x x a= + +
9 ( )2( ) f x x ctgx=
10 ( )23
( ) logf x x senx= minus
11 2( ) ln 1f x x x = + +
12 22( )
1xf x arctgx
= minus
13 ( ) arctgxf x e=
14 ( )
( )2
x xe ef x arctg
minusminus=
15 4( )3 5cos
senxf x arctgx
= +
16 2
2 21 2 2( ) ln 21 2 1
x x xf x arctgx x x
+ += + minus + minus
10 Ejercicios tomados de N Piskunov (1973 136-137)
17 2 2( ) (7 4) 49 56 7 9ln(7 4 49 56 7)f x x x x x x x= + + + minus + + + +
18 ( ) ( ) ( ) ( )2( ) 1 1 ln 1 1f x x x x x = + minus minus minus +
19 ( ) 2 5 6( ) 5 6 60 36 21 42
xf x x x x arcsen minus = minus minus minus +
20 ( )2( ) 2 sec 2 8 1 2f x xarc x x arcsen x= + minus
21 2( ) 6 3arccos 13xf x x x = minus minus + minus
22 3( ) (3 2 2cos 2 )xf x e sen x x= minus
23 ( ) ( ) 2( ) 5 3 sec 5 3 ln 5 3 9 30 24f x x arc x x x x = minus minus minus minus + minus +
10 FUNCIONES IMPLICITAS
El siguiente punto que vamos a estudiar corresponde a la derivacioacuten de funciones impliacutecitas Laacutezaro (2000) define una funcioacuten impliacutecita como
DEFINICIOacuteN 9
Asiacute podemos citar como ejemplos a) 2( ) 4f x y x y= minus b) 2 2( ) 2 6f x y x x xy y= minus minus +
El autor nos presenta dos meacutetodos para derivar una funcioacuten impliacutecita ambos meacutetodos seraacuten presentados a continuacioacuten
Funcioacuten Impliacutecita Si tenemos una ecuacioacuten de la forma ( ) 0f x y = con ( )y f x= en el cual la variable dependiente y no estaacute ldquodespejadardquo en teacuterminos de x entonces y se llama funcioacuten impliacutecita de x
(Laacutezaro 2000 53)
1er Meacutetodo
Aplicando en amos miembros de la ecuacioacuten ( ) 0f x y = el
operador ddx
(derivada con respecto a x ) y usando todas las reglas de
derivacioacuten para finalmente despejar y 2do Meacutetodo
Usando derivadas parciales en la foacutermula
fdy x
fdxy
partpart= minuspartpart
Donde
fxpartpart
es la ldquoDERIVADA PARCIAL DE f CON RESPECTO A x rdquo en
este caso consideramos soacutelo a x como variable y el resto de letras se consideran como constantes
fxpartpart
es la ldquoDERIVADA PARCIAL DE f CON RESPECTO A y rdquo en
este caso consideramos soacutelo a y como variable y el resto de letras se consideran como constantes
(Laacutezaro 2000 53)
Ahora apliquemos los dos meacutetodos revisados y reflexionemos acerca de las ventajas de emplearlos Ejemplo 14
En la ecuacioacuten
3 3 3 0x y axy+ minus = donde ( )y f x= hallar dy
dx
Solucioacuten
Empleando el primer meacutetodo
Derivando ambos miembros de la ecuacioacuten tenemos
( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 3
3 3
2 2
2 2
2
2
3 0
3 0
3 3 3 0
3 3 3 3 0
d dx y axydx dx
d d dx y axydx dx dx
dx dy dy dxx y a x ydx dx dx dx
dy dyx y ax aydx dx
dydespejando
dx
dy ay xdx y ax
+ minus =
+ minus =
+ minus + =
+ minus minus =
minus=
minus
Empleando el segundo meacutetodo
3 3
2 2
2
2
( ) 3
3 0 3 y 3 0 3
3x 3 =-
3
Como f x y x y axy obtenemos
f fx ay y axx y
fdy xluego
dfdxdy
ay
y ax
= + minus
part part= + minus = + minus
part part
partpart= minus
minus
minus
Ejemplo 15En la ecuacioacuten
23 23 23 ( ) tanx y a y f x a es cons te+ = =
hallar dydx
Solucioacuten
Empleando el primer meacutetodo
2 3 23 23
13 13
133
13
( ) ( )
20
3
d dx y adx dx
dyx ydx
dy x ydx xy
minus minus
minus
minus
+ =
+ =
= minus = minus
Empleando el segundo meacutetodo 2 3 23 23
13 13
13 13
13
313
( )
2 20 0
3 3
2 2 0 0
3 3
23Asiacute 23
De f x y x y a
obtenemos
f x xx
f y yy
xdy ydx xy
minus minus
minus minus
minus
minus
= + minus
part= + minus =
part
part= + minus =
part
= minus = minus
11 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
Laacutezaro (2000) nos muestra a partir de una notacioacuten la definicioacuten de las derivadas de orden superior
NOTACIOacuteN SE LEE
dy ydx
= La 1ordf derivada de y con respecto
a x
2
2
d dy d y ydx dx dx
= =
2 3
2 3
d d y d y ydx dx dx
= =
3 4(4)
3 4d d y d y ydx dx dx
= =
( 1)
( )( 1)
n nn
n nd d y d y ydx dx dx
minus
minus
= =
La 2ordf derivada de y con respecto
a x
La 3ordf derivada de y con respecto a x
La 4ordf derivada de y con respecto
a x
La n-eacutesima derivada de y con respecto a x
(Laacutezaro 2000 73)
Tabla Nordm 5
La intencioacuten de estos dos ejemplos es de ejercitar la capacidad del alumno para aplicar derivacioacuten sucesiva y simplificacioacuten algebraica Ejemplo 16
Si kxy eminus= Hallar ny Solucioacuten
( )
2 3
( )
etc hasta la n-eacutesima derivada
Luego 1
kx kx kx
nn n kx
y ke y k e y k e
y k e n
minus minus minus
minus +
= minus = = minus
= minus isin
Ejemplo 17
Hallar ( ) (0)nf si 1( ) ln
1f x
x=
minus
Solucioacuten
Pero
1
2 2
3 3
(4) 4 4
(5) 5
1( ) ln ln(1) ln(1 )
1
( ) ln(1 )
1( ) (1 )
1
( ) 1(1 ) ( 1) (1 )
( ) 2(1 ) ( 1) 2(1 )
( ) 2( 3)(1 ) ( 1) 23 (1 )
( ) 23( 4)(1 ) ( 1) 234(1 )
f x xx
f x x
derivando
f x xx
f x x x
f x x x
f x x x
f x x x
minus
minus minus
minus minus
minus minus
minus
= = minus minusminus
= minus minus
minus= minus = minus
minus
= minus minus minus = minus
= minus minus minus = minus
= minus minus minus = minus
= minus minus minus = minus 5
( )
( )
( ) ( 1)(1 )
(0) ( 1)
n n
n
f x n x
luego
f n
minus
minus= minus minus
= minus
12 REGLA DE LrsquoHOSPITAL PARA EL CAacuteLCULO DE LIacuteMITES
INDETERMINADOS DE LAS FORMAS 00
e infininfin
Teorema 4
Regla de LrsquoHospital- Supongamos que lim ( ) 0 lim ( ) 0
x a x af x g x
rarr rarr= and = y supongamos
tambieacuten que existe ( )lim( )x a
f xg xrarr
Entonces existe ( )lim( )x a
f xg xrarr
y
( ) ( )lim lim( ) ( )x a x a
f x f xg x g xrarr rarr
=
(Laacutezaro 2000 48)
Observaciones
La regla de LrsquoHospital se puede aplicar tambieacuten para las siguientes formas indeterminadas
i) ( )lim( )x a
f xg xrarr
infin=infin
ii) ( )lim( )x
f xg xrarrinfin
infin=infin
iii) lim ( ) 0 lim ( ) lim ( ) ( ) 0
( ) 0 ( ) 0 = lim lim1 10 0( ) ( )
x a x a x a
x a x a
f x g x entonces f x g x
f x g x
g x f x
rarr rarr rarr
rarr rarr
= and = infin = infin
= or =
iv) Si lim ( ) lim ( )
x a x af x g x
rarr rarr=infin and = infin ademaacutes
lim [ ( ) ( )]x a
f x g xrarr
minus = infin minusinfin entonces se hace la transformacioacuten
siguiente
( )lim [ ( ) ( )] lim ( )[1 ]
( )x a x a
g xf x g x f x
f xrarr rarrminus = minus pero si ( )
lim 1( )x a
g xf xrarr
=
entonces se hace
( )10( )lim
1 0( )
x a
g xf x
f xrarr
minus=
v) Los liacutemites indeterminados 0 01 0 infin infin se determinan buscando
previamente sus logaritmos y hallando el liacutemite del logaritmo de la expresioacuten [ ] ( )( ) g xf x
Los ejemplos resueltos a continuacioacuten intentan mostrar al alumno algunos casos en los que el liacutemite se puede calcular empleando regla de LrsquoHospital
Ejemplo 18
Calcular los siguientes liacutemites
a) 30
coslimx
x x senxxrarr
minus b) 0
limcot
2x
xxg
π
πrarr
c) 0
limx
tgx senxx senxrarr
minusminus
d) 0
lim 0xx
xrarr
=
e) ( )1
20
lim 1 xx
xrarr
+
Solucioacuten
a) 30
cos 0lim0x
x x senxxrarr
minus= entonces derivando numerador y
denominador tenemos
( )
( )( )( )
20 03
2 0 0 0
cos cos coslim lim3
cos 1lim lim lim3 33 3
x x
x x x
x x senx x xsenx xxx
senxxsenx xx x
rarr rarr
rarr rarr rarr
minus minus minus=
minusminus minus= = = = minus
b) 0
limcot
2x
xxg
π
πrarr
infin=infin
entonces
2
0
0 0 2
lim1 10 2cot lim lim
2 sec2 2 2 2
x
x x
xx xx g
x xtg
ππ π π π π
ππ π π π
rarr
rarr rarr
= = = = =infin
c) 0
0lim
0x
tgx senxx senxrarr
minus=
minus entonces
2
0
sec cos 0lim
1 cos 0x
x xxrarr
minus=
minus luego
2
0 0
2sec sec 2sec 0lim lim
0x x
x xtgx senx x tgx senxsenx senxrarr rarr
+ += =
derivando otra vez 2 4
0
2 2sec sec coslim 3
cosx
x tgx x x
xrarr
+ + =
d)
0lim 0xx
xrarr
=
Hagamos xy x=
Tomemos logaritmos ln lny x x= Ahora apliquemos liacutemites [ ] [ ]
0 0lim ln lim lnx x
y x xrarr rarr
=
Pero0
ln lim 0x
yrarr
= infin entonces expresemos la funcioacuten como
0
lnlim
1x
x
xrarr
infin=infin
por LrsquoHospital 0 0
2
1
lim lim 01x x
x x
xrarr rarr
= minus =minus
O sea
0 0 0 0ln lim 0 lim 1 lim 1 lim 1x
x x x xy y y x
rarr rarr rarr rarr
= rArr = rArr = rArr =
e) ( )1
20
lim 1 1xx
x infin
rarr+ =
Hacer ( )1
21 xy x= +
( )
( )
2
20 0
1ln ln 1
1lim ln lim ln 1x x
y xx
y xxrarr rarr
= +
= +
( )20
= 0
1Pero = lim ln 1
xx
xrarr
infin
+
2
0
21 = lim
1x
xx
rarr
+
( )0 0 0
0 =
1
lim ln 0 ln( lim ) 0 lim 1x x x
y luego y finalmente yrarr rarr rarr
= = =
El siguiente grupo de ejercicios pretende que el alumno afiance sus habilidades para el manejo de reglas de derivacioacuten ademaacutes mejore el manejo de expresiones algebraicas
Trabajo Praacutectico Nordm 6 Derivacioacuten Impliacutecita- Derivada de
Orden Superior11
Ejercicio 1
Halle las derivadas de las siguientes funciones impliacutecitas
1 1
ln( ) 0x xyy
minus minus =
2 3 2 35 3 ln 0x x y yminus minus =
3 ye xy e+ =
4 ln 0x x yyminus + =
5 2 35 2xy y y xy+ = + 6 ( ) 1xy sen xy+ =
11 Ejercicios tomados de N Piskunov (1973 136-137)
7 1 1x y xy+ = +
8 2 2cos( )xy y x= +
9 2 2cos( ) 3 4y xy x+ + =
10 2 3 23 5x yminus = Ejercicio 2
Encuentra la derivada del orden indicado en cada caso 1 3 22 5 1y x x x= minus + minus Hallar y
2 5 3y x= Hallar y
3 6y x= Hallar (6)y
4 ncy
x= Hallar y
5 2 2y a x= minus Hallar y
6 2y x= Hallar y
7 2
x xa aay e e
minus = +
Hallar y
Ejercicio 3
Empleando regla de la cadena derivar las siguientes funciones
1 2
23
3 1ln 1
3
xy x arctgxx
minus= + + +
2 2
221 2 2
ln 211 2
x x xy arctgxx x
+ += +
minusminus +
3 2
21
cos1
n
nxy arcx
minus=
+
4 23 5cos
senxy arctgx
=+
5 y arcsen senx=
6 2 2 2 xy x a x a arcsena
= minus +
13 MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCIOacuteN
Para determinar los maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten es necesario conocer algunas caracteriacutesticas de ella como por ejemplo cuando es creciente o decreciente Basaacutendonos en la bibliografiacutea de Laacutezaro Carrioacuten (2000 108) podemos observar las definiciones siguientes
DEFINICIOacuteN 10
DEFINICIOacuteN 11
131 CRITERIOS PARA EXTREMOS RELATIVOS
Laacutezaro (200 113-114) nos muestra los criterios de la primera y segunda derivada para encontrar los maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten
Una funcioacuten ( )f x es creciente sobre un intervalo I cuando se cumple que
1 2 1 2 1 2( ) ( ) si x x f x f x x x Ilt rArr lt forall isin
(Laacutezaro 2000 108)
Una funcioacuten ( )f x es decreciente sobre un intervalo I cuando se cumple que
1 2 1 2 1 2( ) ( ) si x x f x f x x x Ilt rArr gt forall isin
(Laacutezaro 2000 108)
1 CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA
Sea c un punto criacutetico de ( )f x donde ( ) 0f x = oacute ( )f c no existe Si existe una vecindad de ( ) c V c c cδ δ δ= minus + donde ( )f x es continua en ( )V cδ y derivable en ( )V cδ excepto tal vez en c 1 Si ( ) 0 ( ) 0 f x x c c f x x c cδ δgt forall isin minus and lt forall isin + ( )f crArr
es un maacuteximo relativo de f 2 Si ( ) 0 ( ) 0 f x x c c f x x c cδ δlt forall isin minus and gt forall isin + ( )f crArr
es un maacuteximo relativo de f
3 si ( ) 0 ( ) 0 f x x c c f x x c cδ δgt forall isin minus and gt forall isin + or
( ) 0 ( ) 0 f x x c c f x x c cδ δlt forall isin minus and lt forall isin + ( )f crArr
no es maacuteximo ni miacutenimo relativo de f
Veamos algunos ejemplos que son de aplicacioacuten del criterio dado Ejemplo 19
Sea la funcioacuten
( )
5 3
5
3 5 54 2( ) 2 4 2 2 5
5 5x
x x xf x x x
x e xminus
minus + + lt= minus minus + le lt
minus ge
Hallar los maacuteximos y miacutenimos de esta funcioacuten Solucioacuten
( )Dom f =real ( )f x real es continua en todo definiendo el valor absoluto en f tenemos lo siguiente
5 3
5
3 5 54 22( 4) 2 2 4
( )2( 4) 2 4 5
(5 ) 5x
x x xx x
f xx x
x e xminus
minus + + lt
minus + le lt= minus minus + le lt minus ge
ahora encontramos la derivada de
la funcioacuten ( )f x
2
5
15 ( 1)( 1) 22 2 4
( )2 4 5
( 6) 5x
x x x xx
f xx
x e xminus
minus minus + lt
le lt= minus le lt minus ge
Encontrando los puntos criacuteticos tenemos 0 112456minus Luego de evaluar algunos puntos en los intervalos generados con los puntos criacuteticos de la funcioacuten tenemos que
( 1) 52f minus = es miacutenimo relativo ( )f x (0) 54f = no es maacuteximo ni miacutenimo de ( )f x (1) 56f = es un maacuteximo relativo de ( )f x (2) 2f = minus es miacutenimo relativo ( )f x (4) 2f = es un maacuteximo relativo de ( )f x (5) 0f = no es maacuteximo ni miacutenimo de ( )f x
1(6)f
e= es miacutenimo relativo ( )f x
2 CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA Sea ( )f x una funcioacuten derivable en un entorno de c Si ( ) 0f c = and si ( )f c existe entonces 1) Si ( ) 0 ( ) es un maacuteximo relativo de f c f c flt rarr
2) Si ( ) 0 ( ) es un miacutenimo relativo de f c f c fgt rarr El siguiente ejemplo muestra la funcionalidad del criterio y se espera que el alumno reflexione acerca de las diferencias entre la aplicacioacuten de ambos
Ejemplo 20
Sea la funcioacuten ( ) 2cos cos 2 f x x x x= minus isinreal encontrar los maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten Solucioacuten
Derivando la funcioacuten se tiene
( ) 2 2 2 2 (1 2cos )f x senx sen x senx x= minus + = minus minus luego los puntos singulares (criacuteticos) son De ( ) 0f x = se tiene 2 (1 2cos ) 0senx xminus minus = resolviendo la
ecuacioacuten tenemos que 0 ( 1) 0ordmnsi senx x n nπ π= rarr = + minus = ademaacutes
( ) 11 2cos 0 arccos
2si x x minus = rarr =
52 2
3 3siendo x n x nπ π
π π= plusmn or = plusmn
Luego los puntos criacuteticos son 5 2 2
3 3n n nπ ππ π π + +
La segunda derivada es 2( ) 2 4cos cos 2f x x x= minus minus
Se cumplen a) ( ) 0f n fπ gt rarr tiene miacutenimos relativos en x nπ=
b) ( 2 ) 03
f n fππ+ lt rarr tiene maacuteximos relativos en 2
3x nπ
π= +
c) 5( 2 ) 0
3f n fπ
π+ lt rarr tiene maacuteximos relativos en 52
3x nπ
π= +
El trabajo de aplicaciones que se deja a continuacioacuten tiene la finalidad de aplicar los criterios para hallar maacuteximos y miacutenimos pero es necesario indicar sin restarle mayor importancia a lo anterior que es una bueno oportunidad para que el alumno ponga en praacutectica el trabajo de cambio de registros
Trabajo Praacutectico Nordm 7 Aplicaciones de las derivadas a los Maacuteximos y Miacutenimos de una funcioacuten
Costo Miacutenimo- Una plataforma petroliacutefera estaacute 2 Km mar adentro y la refineriacutea 4 Km costa abajo Si el costo del metro del oleoducto es doble en el mar que en la tierra firme iquestQueacute trayecto debe tener el oleoducto para minimizar el costo
Ejercicio 1
Beneficio Maacuteximo- El beneficio de cierta empresa es Ejercicio 2
21230 20
2P s s= + minus donde s es la cantidad (en cientos de doacutelares)
gastada en publicidad iquestQueacute valor de s hace maacuteximo el beneficio
Cierta empresa de material fotograacutefico oferta una maacutequina que es capaz de revelar y pasar a papel 155 fotografiacuteas por minuto Sin embargo sus cualidades se van deteriorando con el tiempo de forma que el nuacutemero de fotografiacuteas por minuto seraacute funcioacuten de la antiguumledad de la maacutequina de acuerdo a la siguiente expresioacuten (
Ejercicio 3
( )f x representa el nuacutemero de fotografiacuteas por minuto cuando la maacutequina tiene x antildeos)
155 11 0 5( ) 5 45
52
x x si xf x x si x
x
minus le le= +
gt +
a) Estudiar la continuidad de la funcioacuten ( )f x
b) Comprobar que el nuacutemero de fotografiacuteas por minuto decrece con la antiguumledad de la maacutequina Justificar que si tiene maacutes de 5 antildeos revelaraacute menos de 10 fotografiacuteas por minuto
c) Justificar que por muy vieja que sea la maacutequina no revelaraacute menos de 5 fotografiacuteas por minuto
Se ha construido una presa de almacenamiento de agua cuyos costes de mantenimiento diarios son una funcioacuten de la cantidad de agua que la misma tiene almacenada Tales costes (en doacutelares) vienen dados por la siguiente expresioacuten (
Ejercicio 4
( )C x representa el coste si el volumen de agua en millones de metros cuacutebicos es x )
3 2( ) 8 73C x x x x= + minus + a) encontrar el volumen diario de agua oacuteptimo que debe mantenerse para minimizar costes b) calcular el coste miacutenimo diario que supone el mantenimiento de la instalacioacuten Si un diacutea la presa tiene almacenados 3 millones de metros cuacutebicos de agua iquestcuaacutento se ha gastado de maacutes respecto del coste miacutenimo
Un taller artesanal estaacute especializado en la produccioacuten de cierto tipo de juguetes Los costos de fabricacioacuten
Ejercicio 5
( )C x en soles estaacuten relacionados con el nuacutemero de juguetes fabricados x a traveacutes de la siguiente expresioacuten 2( ) 10 2000 250000c x x x= + + El precio de venta de 8000 soles a) Plantear la funcioacuten de ingreso que obtiene el taller con la venta de
los juguetes producidos b) Plantear la funcioacuten de beneficio entendidos como diferencia entre
ingresos y costos de fabricacioacuten c) iquestCuaacutentos juguetes debe fabricar para maximizar beneficios iquestA
cuanto ascenderaacuten estos beneficios
Se ha investigado el tiempo (T en minutos) que se tarda en realizar cierta prueba de atletismo en funcioacuten del tiempo de entrenamiento de los deportistas (x en diacuteas) obtenieacutendose que
Ejercicio 6
3000 30
30( )1125
2 30( 5)( 15)
si xxT x
xx x
le le += + gt minus minus
a) Justificar que la funcioacuten T es continua en todo su dominio b) iquestSe puede afirmar que cuaacutento maacutes se entrene un deportista
menor seraacute el tiempo en realizar la prueba iquestAlguacuten deportista tardaraacute maacutes de 10 minutos en finalizar la prueba
c) Por mucho que se entrene un deportista iquestseraacute capaz de hacer la prueba en menos de 1 minuto iquestY en menos de 2
Un individuo ha invertido en acciones de cierta compantildeiacutea durante los uacuteltimos 10 antildeos El valor de su cartera a lo largo del tiempo (dinero invertido maacutes beneficios obtenidos en miles) viene dado por la siguiente expresioacuten (x en antildeos)
Ejercicio 7
2( ) ( 2) (1 2 ) 252 116 0 10f x x x x si x= minus minus + + le le a) Determinar los intervalos de tiempo en que la cartera crecioacute y
aquellos en que decrecioacute b) El individuo retira sus ingresos transcurridos 10 antildeos iquestCuaacutel hubiera
sido el mejor momento para haberlo hecho iquestCuaacutento pierde por no haberlo retirado en el momento oacuteptimo
El rendimiento (medido de 0 a 10) de cierto producto en funcioacuten del tiempo de uso (x en antildeos) viene dado por la siguiente expresioacuten
Ejercicio 8
2
3( ) 85 0
1
xf x xx
= + ge+
a) iquestHay intervalos de tiempo en los que el rendimiento crece iquestY en queacute decrece iquestCuaacuteles son
b) iquestEn queacute punto se alcanza el rendimiento maacuteximo iquestCuaacutento vale c) Por mucho que pase el tiempo iquestpuede llegar a ser el rendimiento
inferior al que el producto teniacutea cuando era nuevo
El peso que una plancha de cierto material es capaz de soportar depende de la edad de la misma seguacuten la siguiente funcioacuten (el peso P en toneladas t representa la edad en antildeos de la plancha)
Ejercicio 9
250 0 3( ) 20
56 31
t tP t t t
t
minus le le=
minus gt +
a) iquestEs el peso una funcioacuten continua con la edad Seguacuten vaya pasando el tiempo iquestla plancha cada vez aguantaraacute menos peso
b) Dicen que por mucho tiempo que transcurra la plancha siempre aguantaraacute maacutes de 40 toneladas iquestEstaacutes de acuerdo
c) Esboza un dibujo de la graacutefica de P (t) cuidando la concavidad y convexidad de la funcioacuten
El servicio de traumatologiacutea de un hospital va a implantar un nuevo sistema que pretende reducir a corto plazo las listas de espera Se preveacute que a partir de ahora la siguiente funcioacuten indicaraacute en cada momento (t en meses) el porcentaje de pacientes que podraacute ser operado sin necesidad de entrar en lista de espera
Ejercicio 10
2 8 50 0 10( ) 38 100
1004
t t si tp t t si t
t
minus + le le= minus
gt
a) iquestA partir de queacute momento creceraacute este porcentaje Por mucho tiempo que pase iquesta queacute porcentaje no se llegaraacute nunca
b) Haz un esbozo de la graacutefica de la funcioacuten P a lo largo del tiempo 24 LA INFORMAacuteTICA COMO RECURSO
La informaacutetica vista como recurso y no como fin contribuye en la ensentildeanza de la Matemaacutetica a una reconceptualizacioacuten de los planes y programas de estudio para pasar de un modelo masivo unidireccional centrado en el profesor a un modelo mas individualizado centrado en el estudiante
Esto facilita el desarrollo del pensamiento creador de los estudiantes ya que bull Las operaciones automaacuteticas los ayudan a realizar tareas
conceptuales maacutes importantes bull No tienen que ser necesariamente buenos algebraicamente para
dominar el pensamiento abstracto
bull Se le desarrollan gran cantidad de habilidades a traveacutes de la ejercitacioacuten
bull Se le facilita el trabajo independiente bull Pueden dar respuestas maacutes raacutepidas precisas y veraces a los
problemas de la especialidad que se le presenten en el transcurso de sus estudios
bull Tienen la posibilidad de dedicar maacutes tiempo a la modelacioacuten matemaacutetica y al anaacutelisis de la solucioacuten de los diversos problemas a resolver
El grupo experimental es de la Escuela de Ingenieriacutea Industrial y podemos decir que para ellos la computacioacuten no es una herramienta fundamental de trabajo para resolver problemas matemaacuteticos Aquiacute los estudiantes realizaraacuten acciones con la computadora que les reporten beneficios en ahorro de tiempo confiabilidad en los resultados matemaacuteticos ahorro de esfuerzo productividad etc En la competencia del siacutelabo se puede leer Interpreta formula y resuelve problemas de contexto real utilizando definiciones teacutecnicas y aplicaciones del caacutelculo Diferencial desarrollando comunicacioacuten investigacioacuten razonamiento y manifestando confianza flexibilidad y perseverancia De aquiacute se desprende la idea de utilizar programas en esta carrera especiacuteficamente ldquoDERIVErdquo Utilizando este paquete el estudiante puede resolver problemas de aplicacioacuten con mayor precisioacuten y rapidez obteniendo respuestas oacuteptimas y asiacute influir positivamente en la toma de decisiones Por esta razoacuten es necesario un replanteamiento en la ensentildeanza de la matemaacutetica donde lo primordial seraacute
1 Asimilacioacuten de conceptos y definiciones por parte de los estudiantes para aplicarlos a la modelacioacuten de problemas
2 Reduccioacuten sensible de los caacutelculos manuales en elementos del calculo diferencial lo que posibilita impartir mayor cantidad de conocimientos en menor tiempo
3 Elaboracioacuten de pruebas parciales y finales donde el estudiante modele problemas y luego los resuelva usando empleando DERIVE
Esto no significa de ninguna manera que el estudiante no tenga que resolver ejercicios donde aplique los conocimientos adquiridos sin
usar la computacioacuten Pues si lo haraacute y un grado de complejidad donde no sea necesario el uso de los medios de computo En la vida praacutectica el ingeniero se encuentra con situaciones problema inherente a su campo de accioacuten algunas de las cuales pueden ser modeladas con ayuda de un software matemaacutetico Dado un problema se debe 1 Analizarlo profundamente con la finalidad de recoger la mayor cantidad de informacioacuten posible 2 Hacer el planteamiento del problema en cuestioacuten teniendo en cuenta el punto 1 3 Modelarla usando un modelo que se ajuste a la situacioacuten 4 Solucionarla Para ello se puede usar
- Tablas matemaacuteticas - Calculadoras de mano - Computadoras
5 Interpretar los resultados 6 Tomar una decisioacuten Como se puede observar faacutecilmente los puntos del 1 al 6 con excepcioacuten del 4 responden al pensamiento creador y el 4 corresponde al uso del computador De todas formas esto no resta importancia al creciente uso de la computacioacuten en la matemaacutetica Ambos aspectos estaacuten muy vinculados La computacioacuten como herramienta ahorra el tiempo que el estudiante puede utilizar sin liacutemites para desarrollar el pensamiento creador En general se han realizado varias actividades con el uso del ldquoDeriverdquo que han fortalecido el proceso de ensentildeanza-aprendizaje en la especialidad entre las cuales se pueden mencionar 1 Clases praacutecticas en el laboratorio de la Escuela donde la
profesora guiacutea el proceso 2 Clases praacutecticas donde soacutelo se modela el problema y el
estudiante lo resuelve en tiempo extra con la ayuda de la maacutequina
3 Tareas donde el estudiante se ve precisado a utilizar la maacutequina para obtener respuestas raacutepidas y eficientes
4 Tareas sistemaacuteticas de problemas de cierta complejidad los cuales se les hariacutea muy difiacutecil resolverlos manualmente
5 Pruebas integradoras de Matemaacutetica y Computacioacuten donde la matemaacutetica ofrece el modelo para resolverla y la computacioacuten ofrece el paquete para encontrar una solucioacuten oacuteptima
6 Talleres donde la solucioacuten de los problemas es con ayuda de la computadora En estos talleres se puede observar que el estudiante tiene la necesidad de aplicar conceptos estudiados en clases para modelar e interpretar los problemas que se le presentan que en ocasiones son de caraacutecter integrador pues tienen que aplicar conceptos matemaacuteticos como Liacutemite Derivada entre otros para modelar uno soacutelo de ellos por lo tanto el uso del Derive en este caso fue esencial y muy provechoso
241 EL SOFTWARE EDUCATIVO EN EL PROCESO DE
ENSENtildeANZA APRENDIZAJE
El efecto del uso de software educativos en el proceso de ensentildeanza aprendizaje se manifiesta en un cambio de paradigma pedagoacutegico centrado en el aprendizaje maacutes que en la ensentildeanza donde el trabajo del docente prioriza la organizacioacuten y disposicioacuten de los contenidos de aprendizaje asiacute como la organizacioacuten del aprendizaje de los alumnos mediante tareas individuales y en grupo con un permanente seguimiento por parte del docente Es un modelo de formacioacuten centrado en problemas en el que los alumnos no son receptores pasivos de informacioacuten sino que deben resolver problemas utilizando para ello los contenidos adquiridos El uso del software educativo haraacute de la clase un lugar privilegiado de ensentildeanza ya que se convertiraacute en un conjunto muacuteltiple de entornos en aprendizajes en los que el alumnado pueda desarrollar y adquirir el conjunto de habilidades saberes y actitudes necesarias para vivir en sociedad Este hecho conlleva la necesidad de generar nuevos saberes pedagoacutegicos en relacioacuten con la planificacioacuten y el seguimiento del aprendizaje del alumnado en situaciones diversas
242 LA INTRODUCCION DE SOFTWARE DE
MATEMATICA EN LA EDUCACION MATEMATICA
Uno de los propoacutesitos de la educacioacuten matemaacutetica es formar al estudiante para que adquiera fluidez representacional
entendida esta como la representacioacuten verbal graacutefica geomeacutetrica tabular icoacutenica algebraica pictoacuterica mediante la que exprese conceptos y procedimientos matemaacuteticos El aprendizaje significativo se da traveacutes de la solucioacuten de situaciones problema donde el estudiante aprende cuando domina diferentes sistemas de representacioacuten Hoy en diacutea las nuevas tecnologiacuteas han cambiado profundamente el mundo de las matemaacuteticas y el de las ciencias ya que no soacutelo han afectado las preocupaciones propias de su campo y la perspectiva como eacuteste se ve sino tambieacuten el modo en que las ciencias y las matemaacuteticas se hacen se ensentildean y se transmiten Como sentildeala Zabalza (2003) ldquoLa incorporacioacuten de las nuevas tecnologiacuteas a la didaacutectica universitaria situacutea a los docentes ante el enorme desafioacute de las nuevas modalidades de ensentildeanzardquo Introducir la tecnologiacutea en el campo de la educacioacuten definitivamente aumenta las posibilidades de mejorar el rendimiento acadeacutemico en particular en la educacioacuten matemaacutetica se incrementa la manera de representar los conceptos matemaacuteticos pero es necesario considerar que ello podriacutea incrementar el riesgo de los problemas de comunicacioacuten pues los alumnos podriacutean estar expuestos a tomar la notacioacuten del software que emplean como notacioacuten algebraica formal a pesar que se les pida que consideraran que cada software tienen diferentes maneras de expresar los conceptos matemaacuteticos parece que ayudariacutea que las notaciones que usa la tecnologiacutea se fueran ajustando maacutes a las usadas en el aacutelgebra Esto es un riesgo que vale la pena tomar en cuenta al momento de hacer nuestras programaciones y que no debe hacernos desistir de emplear este recurso para lograr los objetivos propuestos El Derive es una potente herramienta computacional para el desarrollo del pensamiento variacional pensamiento que estaacute relacionado con los demaacutes pensamientos matemaacuteticos permite al estudiante concentrar esfuerzos en el razonar solucionar y formular problemas asiacute como en verificar teoremas y propiedades matemaacuteticas y geomeacutetricas
243 EL PROGRAMA CIENTIacuteFICO DERIVE
DERIVE es un programa de matemaacuteticas capaz de procesar variables expresiones ecuaciones funciones vectores y matrices Al igual que una calculadora cientiacutefica sirve para trabajar con nuacutemeros Puede realizar caacutelculos numeacutericos y simboacutelicos con aacutelgebra trigonometriacutea y anaacutelisis ademaacutes de representaciones graacuteficas en dos y tres dimensiones El aspecto maacutes sobresaliente de Derive es su trabajo simboacutelico unido a sus capacidades graacuteficas Es una herramienta excelente para hacer y aplicar matemaacuteticas y para aprender y ensentildear matemaacuteticas Esto lo convierte en un paquete matemaacutetico idoacuteneo para los primeros cursos de la carrera DERIVE es uno de esos programas de caacutelculo simboacutelico quizaacute el maacutes difundido y popular porque en su modalidad maacutes sencilla funcionaba en cualquier PC sin necesidad de que tuviera disco duro y ocupaba soacutelo un diskette Hoy Derive sigue siendo un pequentildeo programa que ocupa poco maacutes de 3 Mb y que sigue siendo muy accesible e intuitivo
244 CAPACIDADES DEL PROGRAMA DERIVE
Conocer las capacidades del programa nos serviraacute para pensar en sus aplicaciones docentes Cuanto mejor se conozca el programa incluyendo sus novedades tanto mejor se puede incorporar a diversos aspectos de la ensentildeanza Derive como una herramienta computacional permite bull La construccioacuten exploracioacuten manipulacioacuten directa y
dinaacutemica de objetos en pantalla que conducen en un nivel bajo a la elaboracioacuten de conjeturas en un nivel medio a la argumentacioacuten y un nivel superior a la realizacioacuten de demostraciones
bull Las representaciones cuantitativas geomeacutetricas tabulares algebraicas y graacuteficas en forma dinaacutemica es decir que al variar un elemento o argumento en la expresioacuten original se produce una variacioacuten de dependencia entre las variables posibilitando asiacute el anaacutelisis y la generalizacioacuten de conceptos
bull La representacioacuten graacutefica en dos y tres dimensiones dando la posibilidad de realizar transformaciones y de asociar figuras con objetos fiacutesicos para pasar a un nivel de conceptualizacioacuten maacutes elevado
bull Problematizar lo visual de tal forma que surja la necesidad de examinar conjeturar predecir y verificar es decir da al estudiante la posibilidad de pensar y de preguntar sobre el porque de determinados hechos llevaacutendolo a la exploracioacuten de otras situaciones
bull La correlacioacuten de lo geomeacutetrico con lo algebraico
En el plan de Estudios de las asignaturas de Loacutegico Matemaacutetica Matemaacutetica I y Matemaacutetica II de la Universidad Cesar Vallejo se desarrollan temas en los cuales el uso de derive seria de mucha ayuda desde este punto puedo mencionar que derive permite trabajar bull Operaciones con vectores matrices y determinantes bull Resolucioacuten de ecuaciones y de sistemas de ecuaciones bull Calculo de Liacutemites derivadas integrales (definidas e
indefinidas) series liacutemites polinomios de Taylor bull Representacioacuten graacutefica de funciones en forma expliacutecita
impliacutecita parameacutetrica y en coordenadas polares Asiacute como la representacioacuten de funciones de dos variable
bull Operaciones con polinomios y fracciones algebraicas y muchas otras
bull Ademaacutes es posible programar funciones que usen las distintas capacidades del programa de modo que aumenta asiacute sensiblemente el espectro de sus aplicaciones DERIVE se suministra con varios ficheros de funciones para propoacutesitos diversos como resolver ecuaciones diferenciales trabajar en Aacutelgebra Lineal etc
245 LABORATORIOS PARA EL APRENDIZAJE DEL
CALCULO DIFERENCIAL EMPLEANDO DERIVE
El contenido de las praacutecticas de laboratorio es ldquoautosuficienterdquo en el sentido que no son precisos conocimientos previos de informaacutetica por parte del alumno
CAPIacuteTULO III
METODOLOGIacuteA DE LA INVESTIGACIOacuteN
31 PARADIGMA DE INVESTIGACIOacuteN
El paradigma de esta investigacioacuten es de tipo positivista tambieacuten denominado (Arnal 1996) paradigma cuantitativo empiacuterico-analiacutetico racionalista Basado en la escuela filosoacutefica del positivismo (Arnal 1996) y que presenta Arnal (199641) citando a Koetting (1994 296) las siguientes caracteriacutesticas 1 Su intereacutes es explicar controlar y predecir 2 La naturaleza de su realidad es dada tangible fragmentada
convergente 3 La relacioacuten sujetoobjeto es independiente neutral libre de
valores 4 Su propoacutesito es la generalizacioacuten libre de contexto con
explicaciones centradas en deducciones y centradas sobre semejanzas
5 la explicacioacuten de la causalidad refiera a causas reales Arnal (1996 41) nos dice ldquoEste paradigma lleva asociado el peligro de reduccionismo al aplicarse al aacutembito educativo Si bien permite satisfacer ciertos criterios de rigor metodoloacutegico sacrifica el estudio de otras dimensiones sustantivas del hecho educativo como realidad humana sociocultural e incluso poliacutetica e ideoloacutegicardquo
32 TIPO DE INVESTIGACIOacuteN
Positivista ndash experimental 33 POBLACIOacuteN
Poblacioacuten Los alumnos de la asignatura de Matemaacutetica I de la Universidad Ceacutesar Vallejo durante el segundo semestre 2006 Son en total 46 alumnos Se tomaraacute en cuenta el promedio final al terminar cada ciclo Semestre 2006 ndash II
34 HIPOacuteTESIS ESTADIacuteSTICAS
0 M MH micro micro= (Hipoacutetesis Nula)
1 M MH micro microne (Hipoacutetesis de la investigacioacuten) Donde
Mmicro Nota promedio de los alumnos de la asignatura de Matemaacutetica I Seccioacuten A aula 412 del semestre 2006 II que emplearon el software DERIVE
Mmicro Nota promedio de los alumnos de la asignatura de Matemaacutetica I Seccioacuten B aula 413 del semestre 2006 II que no que emplearon el software DERIVE
35 VARIABLES
Variable Independiente Programa DERIVE Variable Dependiente Rendimiento acadeacutemico de los alumnos Variables Intervinientes Asistencia a clases horarios tipo de contenidos
36 DISENtildeO DE INVESTIGACIOacuteN
El presente trabajo de investigacioacuten se desarrollaraacute en los ambientes de la Universidad Cesar Vallejo en la Escuela de Ingenieriacutea Industrial y de Sistemas en la asignatura de Matemaacutetica I Ademaacutes se emplearaacute el laboratorio de coacutemputo 305 donde se ha instalado el software DERIVE
El disentildeo empleado es de tipo experimental Hernaacutendez Sampieri (2003 188) nos dice ldquoLa esencia de esta concepcioacuten de ldquoexperimentordquo es que requiere la manipulacioacuten intencional de una accioacuten para analizar sus posibles efectosrdquo Bajo esta idea se tiene la presencia de dos variables una independiente la cual consiste en el uso del software DERIVE como recurso didaacutectico para mejorar el rendimiento acadeacutemico de los alumnos de Ingenieriacutea de Sistemas y la otra llamada dependiente que en este caso es el rendimiento acadeacutemico El disentildeo implica ademaacutes la presencia de dos grupos de los cuales soacutelo uno seraacute expuesto a la presencia de la variable independiente a este grupo le llamaremos grupo experimental y estaraacute formado por los alumnos de la Escuela de Ingenieriacutea Industrial (aula 412) el otro recibiraacute el nombre de grupo de control y lo conformaraacute los alumnos de la Escuela de Ingenieriacutea Sistemas (Aula 413) Al finalizar el proceso de investigacioacuten se compararaacuten ambos para determinar si el grupo que ha sido expuesto a la variable independiente difiere del otro Basada en la tipologiacutea de Cambell y Stanley (1966) empleareacute la simbologiacutea de un disentildeo cuasiexperimental con una preprueba - posprueba y grupo de control siendo el esquema el siguiente
1 1 2
2 3 4
0 0
0 _ 0
G X
G
Para el caso de este trabajo el resultado de la preprueba consiste en el promedio de la primera unidad ya que la investigacioacuten se realizaraacute en la segunda unidad del curso de manera que las notas de la primera unidad seraacuten de importancia en el inicio de esta investigacioacuten
37 TEacuteCNICAS E INSTRUMENTOS DE RECOLECCIOacuteN DE
DATOS
En los estudios experimeacutentales la teacutecnica se encuentra limitada al procedimiento para desarrollar una actividad especiacutefica y los instrumentos son las herramientas que serviraacuten para manipular el objeto de estudio La teacutecnica consiste en el desarrollo de sesiones de laboratorio usando el software DERIVE las cuales se realizaraacuten dentro de la
jornada de clases debo indicar que las clases son una vez a la semana en bloque de 5 horas iniciaacutendose a las 730 am y finalizando a las 1200 am contando con un descanso de 20 minutos a las 1000 am Cada sesioacuten con el grupo experimental seraacute trabajado en el laboratorio de computo el cual esta totalmente equipado para realizar la clase y los alumnos contaran con una guiacutea de trabajo la misma que se les entregaraacute al empezar la clase en el laboratorio Todas las guiacuteas de trabajo se encuentran en el Anexo 3 En el caso del grupo de control no hay asistencia al laboratorio los alumnos trabajaraacuten siempre en el aula y la clase se desarrollara empleando la clase magistral y el trabajo en pareja o en grupo Para la recoleccioacuten de datos he empleado praacutecticas calificadas las cuales disentildeeacute basaacutendome en la taxonomiacutea de Bloom mencionada anteriormente en el Capiacutetulo II del fundamento teoacuterico y cuyas tablas de especificaciones se encuentran en el Anexo 5 aquiacute se pueden apreciar en detalle las habilidades cognitivas y los ejes temaacuteticos que se ha evaluado asiacute como el nuacutemero de preguntas por eje temaacutetico y habilidad que se intenta evaluar luego las practicas calificadas estaacuten se encuentran en el Anexo 6
38 TEacuteCNICAS DE PROCESAMIENTO DE DATOS
Para la seleccioacuten de la teacutecnica para la prueba de hipoacutetesis se utilizaraacute la ldquo t ndashstudentrdquo
( )1 21 22 2
1 2
2p p
x xt t n n
s sn n
minus= asymp + minus
+
Donde 1n es el tamantildeo de muestra de la primera poblacioacuten 2n es el tamantildeo de muestra de la segunda poblacioacuten
11
1
n
ii
xx
n==sum
Media muestral para la muestra nuacutemero 1
12
2
n
ii
xx
n==sum
Media muestral para la muestra nuacutemero 2
( ) ( )2 21 1 2 22
1 2
1 12p
n s n ss
n nminus + minus
=+ minus
Donde
La varianza muestral de la muestra 1 es ( )
12
12 11
1 1
n
ii
x xs
n=
minus
=minus
sum
La varianza muestral de la muestra 2 es ( )
22
22 12
2 1
n
ii
x xs
n=
minus
=minus
sum
39 PROCESO DE LA INVESTIGACIOacuteN
391 DIFICULTADES EN EL APRENDIZAJE DEL CAacuteLCULO DIFERENCIAL
Para este trabajo de investigacioacuten he tomado dos grupos uno corresponde a la Escuela de Ingenieriacutea Industrial al que llamareacute Grupo Experimental y el otro corresponde a la Escuela de Ingenieriacutea de Sistemas al que llamareacute Grupo de Control Es importante que mencione que aun cuando los dos grupos corresponden al segundo ciclo y esta asignatura sea igual para ambas escuelas sus planes de estudio no son los mismos Una dificultad que presentan los alumnos se encuentra en la base de los contenidos que traen consigo realizan algunos errores al emplear fundamentos algebraicos lo cual es necesario para el trabajo con funciones liacutemites y derivadas esto no me permite desarrollar los contenidos de acuerdo a las fechas que se programan en el siacutelabo y por lo general debe reprogramar mis clases o trabajar algunas horas aparte de las asignadas al menos en la primera parte del curso donde se trabaja mucho con funciones y sus graacuteficas
392 RENDIMIENTO ACADEacuteMICO
Respecto al rendimiento acadeacutemico considero necesario presentar en el Anexo 2 el registro de evaluaciones de la primera unidad donde se puede apreciar el rendimiento de los alumnos El grupo de Ingenieriacutea de Sistemas consta de los 32 alumnos de los cuales siete se han retirado del curso reservando su matriacutecula En el grupo de Ingenieriacutea Industrial consta de 19 alumnos de los cuales solo una alumna se retiro del curso Este antildeo es el primero para la escuela de Ingenieriacutea Industrial en la filial de Piura este grupo corresponde a la primera promocioacuten menciono esto porque es la primera vez que dicto el curso para alumnos de esta especialidad
393 PROPUESTA DIDAacuteCTICA
1 TEMA Caacutelculo Diferencial 2 TIEMPO 4 semanas 3 Nordm DE HORAS SEMANALES 5 horas 4 COMPETENCIA Interpreta formula analiza y resuelve problemas de
contexto real utilizando definiciones teacutecnicas y aplicaciones del Caacutelculo Diferencial desarrollando comunicacioacuten investigacioacuten razonamiento y manifestando confianza flexibilidad y perseverancia
5 CAPACIDADES bull Refuerza empleando DERIVE el tema de Razoacuten de
Cambio en una funcioacuten bull Utiliza el software para visualizar y estudiar a traveacutes
de un pequentildeo programa el problema de la Recta Tangente
bull Observa analiza e interpreta el comportamiento de las funciones y sus derivadas a traveacutes de graacuteficas elaboradas en DERIVE
bull Resuelve problemas de aplicacioacuten de la derivada (Maacuteximos y Miacutenimos) al estudio de problemas naturales econoacutemicos sociales y tecnoloacutegicos
bull Desarrollar la capacidad de anaacutelisis criacutetico de las informaciones recibidas
6 ACTITUDES
bull Valora la importancia de la precisioacuten en el trabajo de programacioacuten
bull Demuestra seguridad orden y claridad en su trabajo bull Manifiesta la importancia de la derivada para
explicar y analizar el comportamiento de un fenoacutemeno
7 METODOLOGIacuteA DE LAS SESIONES DE CLASE La metodologiacutea consiste en explicar el fundamento teoacuterico empleando diversos recursos como diapositivas pizarra ndash plumoacuten proyector multimedia y paralelamente trabajar el laboratorio Al planificar estas sesiones se tendraacute en cuenta la competencia y las capacidades que se espera desarrollar en los alumnos Se ha insistido en la necesidad de lograr que el alumno realice un aprendizaje significativo y desempentildee un rol activo para lo cual utilizaremos guiacuteas de trabajo para el tratamiento de los contenidos programados asiacute como hojas de Evaluacioacuten de Laboratorio
8 RECURSOS HUMANOS bull Profesora de Matemaacuteticas bull Grupo Experimental Alumnos del segundo ciclo
de la Escuela de Ingenieriacutea Industrial bull Grupo de Control Alumnos del segundo ciclo de
la Escuela de Ingenieriacutea de Sistemas 9 MATERIALES
bull Centro de Coacutemputo bull Guiacuteas de Trabajo bull Hojas de Evaluacioacuten
10 PLANES DE CLASE Elaborar un plan de clase se ha convertido en una tarea importante al momento de planificar nuestras asignaturas hemos recibido algunos cursos de capacitacioacuten con la finalidad de que todos los docentes podamos manejar este instrumento que nos ayude a organizar mejor nuestro tiempo y a dosificar los
contenidos de acuerdo al tiempo establecido para cada uno de ellos en la programacioacuten oficial Manejamos el formato que presento en el Anexo 4 y en cada clase llevamos uno en nuestra carpeta docente Para este trabajo de investigacioacuten se elaboraron 4 planes de clase los cuales se pueden apreciar en el Anexo 4 Consideramos importante al momento de planificar una sesioacuten de clase conocer los diferentes tipos de actividades a desarrollar los cuales son la parte medular de la clase y los procedimientos a utilizar en cada una de ellas En nuestros planes de clase consideramos las siguientes actividades bull Actividades Iniciales
Preparan el ambiente para el aprendizaje y estimulan el intereacutes por los nuevos contenidos y facilitan su relacioacuten con los conocimientos previos de los estudiantes Tienen como propoacutesito captar la atencioacuten de los alumnos hacia las principales ideas estudiadas Se utiliza como introduccioacuten donde se sentildealan los aspectos a estudiar para despertar el intereacutes de los alumnos por el tema y desarrollar una buena disposicioacuten por temas subsiguientes Tambieacuten puede incluir una evaluacioacuten previa o diagnoacutestica del conocimiento actual las actitudes y niveles de destreza de los alumnos En este mismo sentido se puede plantear una secuencia de experiencias de aprendizajes puede incluir diferentes tipos de actividades entre las cuales se encuentran las Actividades Introductorias o de Exploracioacuten Evidencian diagnoacutestico introduccioacuten o
descubrimiento Son orientadoras Despiertan el intereacutes y la motivacioacuten A continuacioacuten se ofrecen algunos ejemplos de actividades iniciales Hacer una encuesta de las actitudes de los alumnos hacia un tema determinado y colocar los resultados en el pizarroacuten
Mostrar una peliacutecula de corto metraje Pedir a los estudiantes que entrevisten a personas que laboran en una empresa acerca del tema estudiado y discutan sus hallazgos en clase Sostener una discusioacuten en clase que muestre la forma en que se relacionan las experiencias actuales de los alumnos con lo que va a ser estudiado
bull Actividades de Proceso
Dan secuencia a las estrategias y teacutecnicas de aprendizaje para lograr los objetivos propuestos Son las estrategias de aprendizaje y teacutecnicas que ayudan a los estudiantes a extender su pensamiento acerca de un problema o tema y practicar sus destrezas recieacuten aprendidas Estas son el corazoacuten de la Unidad y ocupan la mayor parte del tiempo y la energiacutea de los estudiantes Aquiacute podemos hablar de actividades de desarrollo anaacutelisis y estudio las cuales son actividades destinadas a desarrollar diferentes aspectos del contenido para el logro de los objetivos Incluyen actividades de estudio y ejercitacioacuten Dentro de eacutesta clasificacioacuten se encuentran tambieacuten las denominadas por Taba actividades de generalizacioacuten que incluyen actividades que permiten generalizar o reconstruir lo aprendido Ejemplos de actividades de Desarrollo Solicitar a los estudiantes elaboren mapas
tablas graacuteficas modelos o secuencias cronoloacutegicas
Asignar actividades de redaccioacuten de resentildeas de libros temas cartas o informes de investigacioacuten
Invitar a especialistas sobre el tema a dar una charla
Solicitar a los estudiantes que recaben su propia informacioacuten a traveacutes de entrevistas o cuestionarios
Utilizar peliacuteculas diapositivas transparencias u otros materiales visuales
Organizar grupos pequentildeos de trabajo para que los estudiantes compartan informacioacuten Mostrar a los estudiantes la forma de desarrollar habilidades especiacuteficas y proveer actividades para la praacutectica
bull Actividades Finales Agregan y relacionan las Unidades de Aprendizaje con otras experiencias educativas y aplicaciones a situaciones nuevas Estas actividades favorecen la integracioacuten con resuacutemenes que ayuden a los estudiantes a identificar las ideas maacutes importantes de la Unidad Una actividad de culminacioacuten tambieacuten podriacutea brindar la oportunidad para que los alumnos practiquen o utilicen de forma conjunta los conocimientos habilidades y actitudes desarrolladas en unidades anteriores Aquiacute podemos mencionar a las actividades de aplicacioacuten resumen o culminacioacuten que son aquellas que propician la aplicacioacuten de lo aprendido y sirven para medir o evaluar el nivel de logro Algunos ejemplos de actividades de culminacioacuten
son Planear una puesta en comuacuten para que los estudiantes resuman lo que han aprendido en la Unidad Estimular a los estudiantes a realizar un proyecto que deacute respuesta a problemas particulares de una empresa de su trabajo o de su comunidad Producir material audiovisual presentacioacuten de grabaciones transparencias o cintas de viacutedeo en clase
11 CRITERIOS DE EVALUACIOacuteN Los criterios de evaluacioacuten corresponden a la Taxonomiacutea de Bloom seguacuten la cual se evaluacutea de acuerdo a los criterios de conocimiento comprensioacuten
aplicacioacuten anaacutelisis siacutentesis y evaluacioacuten Asiacute en las evaluaciones presentadas en el Anexo 5 presentamos las tablas de especificaciones de acuerdo a esta taxonomiacutea y a los ejes temaacuteticos que se desarrollaron en cada sesioacuten de clase y en el Anexo 6 se muestran los instrumentos de evaluacioacuten donde se ha tenido el cuidado necesario en la redaccioacuten de cada iacutetem a fin de que logre medir las capacidades sentildealadas en los planes de clase y este de acuerdo a los criterios fijados en la tabla de especificaciones
12 METODOLOGIA DE CLASE
En cuanto a la metodologiacutea indicamos que se trabaja por bloques de cinco horas pedagoacutegicas con un descanso de 20 minutos Las clases se dictan una vez a la semana y se inicia en el turno de la mantildeana de 730am hasta las 1000am en que se da lugar al descanso de veinte minutos para retomar a las 1020am y terminar a las 1200 am Debido a la jornada de trabajo que se tiene es que el eacutexito de una sesioacuten de clases depende en parte de la habilidad del docente para programar su clase haciendo un buen uso del tiempo a fin de hacer de su clase una jornada de trabajo productivo con los alumnos Generalmente distribuyo mi tiempo entre exposicioacuten los contenidos y resolucioacuten de ejercicios en la pizarra tambieacuten invito a los alumnos a participar resolviendo algunos ejercicios y problemas para luego explicar lo que han trabajado a sus compantildeeros Otras de las estrategias empleadas es la solucioacuten de Trabajos Praacutectico en clase y de forma grupal despueacutes de ello siempre se presentan las soluciones a todo el grupo He dejado un trabajo encargados en la primera unidad que mas que ser un trabajo de investigacioacuten de alguacuten contenido matemaacutetico se refirioacute a la lectura de la novela ldquoCriacutemenes Imperceptiblesrdquo de Guillermo Martiacutenez Matemaacutetico y escritor argentino esta novela posee un contenido matemaacutetico y en su momento
sirvioacute para reconocer que en las matemaacuteticas no todo es solucioacuten de ejercicios y problemas Con el grupo experimental trabajeacute sesiones de laboratorio incluidas dentro de las horas de clase PRIMERA CLASE
Esta es la primera clase sobre Derivadas con el grupo de control aquiacute el desarrollo de la clase se hace siguiendo el meacutetodo de la clase magistral en la cual muestro a los alumnos el concepto de razoacuten de cambio con ayuda de diapositivas y graacuteficos elaborados en la pizarra es importante mencionar que toda la informacioacuten ellos la tienen presente en una separata disentildeada para esta clase y entregada para esa sesioacuten
Luego de la explicacioacuten en la cual los alumnos
intervienen con sus preguntas se procede a trabajar por parejas en la solucioacuten del primer trabajo praacutectico que aparece en la separata para esto se asigna a cada pareja formada un problema un tiempo de 15rsquo para resolverlo y entregarlo para su posterior correccioacuten en plenaria A continuacioacuten los alumnos exponen la solucioacuten de los 4 problemas en la pizarra
Luego empleando nuevamente el meacutetodo expositivo dando lugar a las preguntas de los alumnos y haciendo a la vez algunas interrogantes para comprobar su comprensioacuten presente los contenidos referidos a a) Razoacuten de cambio y el problema de la recta tangente a una curva b) Definicioacuten de derivada c) Presentacioacuten de graacuteficos de funciones y sus derivadas Resolvimos algunos ejercicios de los trabajos praacutecticos Nordm2 y Nordm3 en la pizarra y los demaacutes quedaron para trabajar en casa La solucioacuten de dichos ejercicios seria expuesta en la siguiente clase de forma voluntaria
Para la sesioacuten con el grupo experimental la clase se desarrollo con un inicio similar a la clase del grupo
de control mostrando las diapositivas y trabajando con ellos trabajando con ellos sobre la ideas de Razoacuten de cambio Recta tangente a una curva caacutelculo de la derivada de una funcioacuten empleando la definiciones De los Trabajos Praacutecticos Nordm1 Nordm2 y Nordm3 resolviacute en la pizarra algunos ejercicios quedando los otros como trabajo para la siguiente clase Para la sesioacuten de laboratorio prepare una guiacutea de trabajo la cual estaacute dividida en dos temas los cuales se denominan bull Razoacuten de cambio y problema de la recta tangente bull Caacutelculo y grafica de la derivada de una funcioacuten Esta guiacutea de trabajo usa el programa DERIVE y pretende reforzar los conocimientos adquiridos en las clases acerca de los temas de razoacuten de cambio recta secante y tangente a una curva ademaacutes del caacutelculo de la derivada empleando la definicioacuten y el uso de los comandos Lim (liacutemite) y DIF (derivada) propios de DERIVE Considero importante comentar que el uso de programa permitioacute a los alumnos recordar la teoriacutea de graacutefico de funciones estudiada en la primera unidad la cual les sirvioacute de base para comprender el comportamiento de las graacuteficas de las funciones y sus derivadas ademaacutes se dieron indicaciones sobre el uso de sentencias loacutegica como IF ndash THEN para elaborar pequentildeos programas usando DERIVE pues una de las tareas era elaborar un pequentildeo programa que les permitiera ingresar una funcioacuten y un intervalo y que de como resultado la grafica de todas las rectas secantes en un intervalo establecido hasta llegar a la tangente en un punto extremo del intervalo o en cualquier punto del mismo SEGUNDA CLASE
Con el grupo de control el meacutetodo empleado es deductivo las estrategias para el desarrollo de la clase se combinaron entre la exposicioacuten y participacioacuten activa de los alumnos para tratar de deducir algunos conceptos o ideas y luego a traveacutes de la solucioacuten de
ejercicios reforzar los conocimientos Los ejercicios se trabajan en parejas Se presentoacute las primeras reglas de derivacioacuten y luego se resolvieron ejercicios de caacutelculo de derivadas empleando las reglas Ademaacutes de calcular derivadas de orden superior Se continuoacute con el anaacutelisis de las derivadas de algunas funciones sencillas por la facilidad para realizar sus graacuteficas A los alumnos se les dejoacute como tarea la solucioacuten de los trabajos praacutecticos Nordm 4 Con respecto al grupo experimental se presentaron los mismos contenidos y en la parte del laboratorio sirvioacute baacutesicamente para trabajar el anaacutelisis graacutefico de funciones y adelantando un poco gracias el manejo del programa calculamos no solo la primera sino tambieacuten las segundas terceras entre otras derivadas de algunas funciones El trabajar con las graacuteficas de la primera y segunda derivada permitioacute a los alumnos ir teniendo ideas sobre la relacioacuten entre la derivada de una funcioacuten y su graacutefica lo cual seraacute el tema de la siguiente sesioacuten Asiacute mismo recordamos conceptos estudiados en la primera parte del curso como son el de funcioacuten creciente y decreciente ademaacutes de relacionar los signos de la derivada para comprobar que una funcioacuten sea o no creciente TERCERA CLASE
Esta clase tanto para el grupo de control como para el grupo experimental es la misma no incluye el desarrollo de un laboratorio para el grupo experimental y la razoacuten es porque en esta sesioacuten se concluye con la presentacioacuten de todas las reglas de derivacioacuten se trabajaron los temas de derivadas de funciones trigonomeacutetricas sus inversas exponenciales y logariacutetmicas Ademaacutes regla de cadena funciones impliacutecitas derivadas de orden superior
Esta clase tiene la mayor parte del tiempo destinada a la praacutectica en clase pues los ejercicios que
se plantean tienen como finalidad que el alumno aprenda a distinguir las reglas de derivacioacuten y sobre todo reconozca cuando emplearlas
CUARTA CLASE
Con ambos grupos se trabajaron los temas de Regla de LrsquoHospital y aplicaciones de las Derivadas el caacutelculo de Maacuteximos y Miacutenimos de una funcioacuten en el caso del grupo de control se invierte el tiempo en resolver ejercicios y problemas de forma individual grupal y en presentar la solucioacuten de los problemas en la pizarra
Con el grupo experimental si hubo laboratorio aquiacute se presentan problemas diversos de aplicacioacuten para encontrar maacuteximos y miacutenimos de funciones que quizaacutes manualmente seriacutea laboriosos derivar pero con ayuda de programa podemos hacerlo de forma inmediata dando asiacute el tiempo necesario para trabajar la interpretacioacuten de resultados y el anaacutelisis e maacuteximos y miacutenimos
En cuanto a la evaluacioacuten debo indicar que durante el tiempo que duro la experiencia se aplicaron 3 praacutecticas calificadas y un examen parcial Entonces los alumnos presentan en esta segunda unidad tres notas de praacutectica maacutes la calificacioacuten del examen parcial
13 LA EVALUACION
Al finalizar las praacutecticas con DERIVE se realizoacute un examen para evaluar los conocimientos adquiridos por los estudiantes Estos exaacutemenes fueron tres y contando con el examen parcial se pudo obtener el promedio de la segunda unidad en la asignatura
Para la realizacioacuten de los exaacutemenes y con la finalidad de que no haya diferencia en las evaluaciones se aplico el mismo examen ademaacutes fueron aplicados en un horario fuera de las horas de clase y a los dos grupos por igual y al mismo tiempo
Las praacutecticas calificadas se elaboraron de acuerdo a la tabla de especificaciones y la taxonomiacutea de Bloom La prueba tiene una duracioacuten de dos horas
El construir la tabla de especificaciones me sirvioacute para un mayor orden al momento de elaborar el banco de reactivos que evalueacute en cada uno de los temas seguacuten la importancia y el tiempo que se le dedicaron en clase
Para desarrollar esta tabla fue necesario tener en
cuenta
a) La lista de temas desarrollados b) La lista de capacidades especificas que marco cada
tema c) Una revisioacuten previa de todo el contenido Tomeacute en cuenta los niveles taxonoacutemicos de Bloom 1 Conocimiento 2 Comprensioacuten 3 Aplicacioacuten 4 Anaacutelisis - Siacutentesis ndash Evaluacioacuten
Con respecto al porcentaje este fue asignado seguacuten la importancia de los contenidos Las tablas de especificaciones para las tres praacutecticas calificadas asiacute como algunas notas sobre la taxonomiacutea de Bloom se encuentran en Anexo 5
CAPIacuteTULO IV
ANAacuteLISIS E INTERPRETACIOacuteN DE RESULTADOS
41 ANAacuteLISIS ESTADIacuteSTICO
421 RESULTADOS DEL RENDIMIENTO ACADEacuteMICO DE LOS GRUPOS EXPERIMENTAL Y DE CONTROL
El grupo Experimental inicio el semestre acadeacutemico con 19 alumnos El nuacutemero de alumnos es muy pequentildeo y me atrevo a suponer se deba al hecho de ser una especialidad nueva en la Universidad esto en comparacioacuten a la especialidad de Ingenieriacutea de Sistemas de tiene mayor tiempo Del grupo de Control que inicio el semestre con 19 alumnos el alumno 6 se retiro en la segunda unidad por problemas de salud El nuacutemero de alumnos registrados en el grupo de Control es de 32 De los 32 alumnos registrados se retiraron 7 cinco de ellos se retiraron desde la primera unidad y los otros dos en la segunda unidad Las razones del retiro de la asignatura de estos alumnos fueron de caraacutecter econoacutemico y en otros por motivos familiares y de salud
Observemos las calificaciones del promedio de la segunda unidad en ambos grupos
CALIFICACIONES DE LA SEGUNDA UNIDAD
GRUPO EXPERIMENTAL
Tabla 6
R E G I S T R O D E A S I S T E N C I A Y E V A L U A C I Oacute N
Semestre 2006 II Seccioacuten A Escuela Ingenieriacutea Industrial Aula 412
Asignatura Matemaacutetica I
Profesora Lic Diana Quintana S
E v a l u a c i o n e s 2ordm U n i d a d
Prom Ex Prom NF NP Observaciones
Nordm Apellidos y Nombres
Prac
tica
Nordm 1
Prac
tica
Nordm 2
Prac
tica
Nordm 3
Fina
l
2 Sust 2
1 Alumno 1 11 8 9 9 92 2 Alumno 2 18 17 18 20 186 3 Alumno 3 19 18 18 20 19 4 Alumno 4 13 13 12 14 132 5 Alumno 5 15 17 15 15 154 6 Alumno 6 0 0 0 0 0 Retirado 7 Alumno 7 14 9 12 12 118 8 Alumno 8 14 13 13 14 136 9 Alumno 9 12 13 10 13 122
10 Alumno 10 14 11 15 13 132 11 Alumno 11 16 18 15 15 158 12 Alumno 12 10 14 11 11 114 13 Alumno 13 8 7 7 7 72 14 Alumno 14 16 14 12 14 14 15 Alumno 15 13 12 12 14 13 16 Alumno 16 11 10 10 12 11 17 Alumno 17 11 12 11 9 104 18 Alumno 18 9 8 7 11 92 19 Alumno 19 18 13 8 17 146 20
CALIFICACIONES DE LA SEGUNDA UNIDAD
R E G I S T R O D E A S I S T E N C I A Y E V A L U A C I Oacute N
GRUPO DE CONTROL
Semestre 2006 II Seccioacuten B Escuela Ingenieriacutea de Sistemas Aula 413
Asignatura Matemaacutetica I Profesora Lic Diana Quintana S
E v a l u a c i o n e s 2ordm U n i d a d Prom Ex Prom NF NP Observaciones
Nordm Apellidos y Nombres
Prac
tica
Nordm1
Prac
tica
Nordm2
Prac
tica
Nordm3
Fina
l
2 Sust 2
1 Alumno 1 Retirado 2 Alumno 2 5 8 10 11 9 3 Alumno 3 14 6 5 10 9 4 Alumno 4 14 12 13 12 126 5 Alumno 5 0 11 5 13 84 6 Alumno 6 14 18 18 16 164 7 Alumno 7 14 15 12 13 134 8 Alumno 8 0 10 6 11 76 9 Alumno 9 0 10 6 12 8
10 Alumno 10 Retirada 11 Alumno 11 14 10 6 12 108 12 Alumno 12 14 8 6 11 10 13 Alumno 13 11 11 10 7 92 14 Alumno 14 13 10 6 10 98 15 Alumno 15 14 7 6 12 102 16 Alumno 16 12 11 13 8 104 17 Alumno 17 14 12 7 12 114 18 Alumno 18 18 18 20 18 184 19 Alumno 19 Retirada 20 Alumno 20 14 10 12 11 116 21 Alumno 21 14 10 6 11 104 22 Alumno 22 14 13 12 13 13 23 Alumno 23 Retirado 24 Alumno 24 8 20 11 11 122 25 Alumno 25 Retirado 26 Alumno 26 14 16 7 11 118
Tabla 7
Despueacutes de finalizada la investigacioacuten el grupo experimental resulto con el mayor nuacutemero de
alumnos aprobados lo cual me permite conjeturar que hipoacutetesis de la investigacioacuten si se ha logrado Pero se necesitan pruebas concretas por lo cual he empleado el software STATGRAPHICS para procesar los resultados obtenidos y de esta manera tener una mayor certeza de mis suposiciones
42 ANAacuteLISIS INFERENCIAL
421 COMPARACIOacuteN DE MEDIAS
Una medida estadiacutestica de tendencia central se utiliza para indicar un valor que tiende a tipificar o a ser el maacutes representativo de un conjunto de nuacutemeros La media es una medida de tendencia central y se define como
DEFINICIOacuteN
27 Alumno 27 14 20 5 12 126 28 Alumno 28 13 0 7 11 84 30 Alumno 29 Retirado 31 Alumno 30 14 15 9 12 124 32 Alumno 31 Retirado 33 Alumno 32 14 12 12 11 12 34
Media Aritmeacutetica La media aritmeacutetica es a veces denominada simplemente media es la suma de los valores observados de la variable dividido por el nuacutemero de observaciones
(Coacuterdova 1995 31)
Dados n valores 1 2 nx x x de la variable cuantitativa X observados en una muestra su media aritmeacutetica se calcula
utilizando la expresioacuten
n
ii
xx
n=sum
422 TABLAS DE FRECUENCIA DEL PRE TEST Y POST TEST
Presento los resultados de las pruebas Pre Test y Post Test para el grupo Experimental
RESULTADOS PRE TEST Y POST TEST
GRUPO EXPERIMENTAL
Tabla 8
Del total de 19 alumnos inscritos los cuales representan el 100 hubieron 12 desaprobados que en porcentaje representan el 632 Eacuteste porcentaje es mayor que en el otro grupo lo cual me hace decidir por este grupo de alumnos para que sea el grupo experimental Los resultados de las pruebas Pre Test y Post Test para el grupo de control son
RESULTADOS PRE TEST Y POST TEST
GRUPO DE CONTROL
Nordm Apellidos y Nombres Pre Test Post Test 1 Alumno 1 98 92 2 Alumno 2 14 186 3 Alumno 3 136 19 4 Alumno 4 102 132 5 Alumno 5 132 154 6 Alumno 6 54 RETIRADA 7 Alumno 7 10 118 8 Alumno 8 88 136 9 Alumno 9 84 122 10 Alumno 10 124 132 11 Alumno 11 13 158 12 Alumno 12 92 114 13 Alumno 13 62 72 14 Alumno 14 116 14 15 Alumno 15 102 13 16 Alumno 16 88 11 17 Alumno 17 08 104 18 Alumno 18 82 92 19 Alumno 19 114 146 Nordm Apellidos y Nombres Pre Test Post Test 1 Alumno 1 RETIRADO 2 Alumno 2 9 9 3 Alumno 3 88 9
Tabla 9
Del total de 27
alumnos inscritos los cuales representan el 100 hubieron 16 desaprobados que en porcentaje representan el 593
4 Alumno 4 136 126 5 Alumno 5 96 84 6 Alumno 6 146 164 7 Alumno 7 138 134 8 Alumno 8 74 76 9 Alumno 9 86 8 10 Alumno 10 RETIRADO 11 Alumno 11 87 108 12 Alumno 12 86 10 13 Alumno 13 86 92 14 Alumno 14 84 98 15 Alumno 15 84 102 16 Alumno 16 82 104 17 Alumno 17 11 114 18 Alumno 18 174 184 19 Alumno 19 RETIRADO 20 Alumno 20 86 116 21 Alumno 21 7 104 22 Alumno 22 122 13 23 Alumno 23 80 RETIRADO 24 Alumno 24 108 122 25 Alumno 25 8 RETIRADO 26 Alumno 26 11 118 27 Alumno 27 138 126 28 Alumno 28 8 84 29 Alumno 29 RETIRADO 30 Alumno 30 108 124 31 Alumno 31 RETIRADO 32 Alumno 32 108 12
423 RESULTADOS DEL PRE TEST ndash POST TEST CONSIDERANDO LA COMPARACIOacuteN DE MEDIAS Y LA PRUEBA t- STUDENT
Recordemos que en nuestra investigacioacuten manejamos dos hipoacutetesis estadiacutesticas las cuales son
HIPOacuteTESIS ESTADIacuteSTICAS
0 M MH micro micro= (Hipoacutetesis Nula)
1 M MH micro microne (Hipoacutetesis de la investigacioacuten o Hipoacutetesis Alternativa)
Donde
Mmicro Nota promedio de los alumnos de la asignatura de Matemaacutetica I Seccioacuten A aula 412 del semestre 2006 II que emplearon el software DERIVE
Mmicro Nota promedio de los alumnos de la asignatura de
Matemaacutetica I Seccioacuten B aula 413 del semestre 2006 II que no que emplearon el software DERIVE
Los resultados del Pre Test son las notas obtenidas en la primera unidad durante las primeras 7 semanas de clase siendo octava semana donde se realizan las evaluaciones parciales Para obtener la nota de la primera unidad los alumnos deben presentar tres praacutecticas calificadas y un examen parcial de estas notas se obtiene un promedio ponderado donde el examen parcial tiene peso 2 y las praacutecticas calificadas tienen peso 1 En cuanto a los resultados del Post Test estos son los promedios de la segunda unidad que corresponden a las siete siguientes semanas pues en la octava semana de esta segunda Unidad se aplican los exaacutemenes finales luego el promedio de ambas notas daraacute la nota del curso En ambos grupos los resultados de Pre Test se obtuvieron aplicando las mismas estrategias ya que hasta ese momento no se habiacutea iniciado la parte aplicativa de la investigacioacuten
Las evaluaciones fueron disentildeadas considerando la taxonomia de Bloom Asiacute encontraremos en ellas preguntas de conocimiento comprensioacuten aplicacioacuten anaacutelisis siacutentesis y evaluacioacuten Las praacutecticas calificadas se encuentran en los anexos A continuacioacuten presento los resultados Pre Test y Post Test tanto del grupo experimental como del grupo de control indicando que ambos grupos fueron sometidos a las mismas practicas calificadas en el mismo horario el cual estuvo programado fuera de las horas de clase semanales
RESULTADOS DE PRUEBAS PRE TEST EN LOS GRUPOS
EXPERIMENTAL Y DE CONTROL
RESUMEN ESTADIacuteSTICO
EXPERIMENTAL CONTROL ---------------------------------------------------------------------- Frecuencia 18 25 Media 107333 10156 Varianza 409412 69284 Desviacioacuten tiacutepica 202339 263219 Coef de variacioacuten 188515 259175 ----------------------------------------------------------------------
Suponiendo varianzas iguales t = 0778652 P-Valor = 0440656
Tabla 10
En el cuadro Nordm 1 se puede observar que la nota promedio en el grupo de Experimental en la evaluacioacuten Pre- Test fue de 107333 y para el grupo de Control la evaluacioacuten Pre-Test fue de 10156 lo cual indica que no existe una gran diferencia entre las notas de ambos grupos Despueacutes de aplicar la prueba ldquotrdquo Student se encontroacute que el valor experimental fue de 0778652 un valor de p=0440656 lo cual indica que no existe mayor diferencia entre las medias del rendimiento de ambos grupos
RESULTADOS DE PRUEBAS POST TEST EN LOS GRUPOS
EXPERIMENTAL Y DE CONTROL
RESUMEN ESTADIacuteSTICO
EXPERIMENTAL CONTROL ---------------------------------------------------------------------- Frecuencia 18 25 Media 129333 1116 Varianza 957647 637 Desviacioacuten tiacutepica 309459 252389 Coef de variacioacuten 239272 226155 ----------------------------------------------------------------------
Suponiendo varianzas iguales t = 206743 P-Valor = 00450448
Tabla 11 En el cuadro Nordm 2 se puede observar que la nota promedio en el grupo de Experimental en la evaluacioacuten Post- Test fue de 129333 y para el grupo de Control la evaluacioacuten Post-Test
fue de 1116 lo cual indica que existe diferencia entre las notas de ambos grupos Despueacutes de aplicar la prueba ldquotrdquo Student se encontroacute que el valor experimental fue de 206743 un valor de p=00450448 y puesto que el p-valor calculado es inferior a 005 podemos rechazar la hipoacutetesis nula a favor de la hipoacutetesis alternativa
424 ACEPTACIOacuteN O RECHAZO DE LA HIPOacuteTESIS
NULA Y ALTERNATIVA
Observados los resultados de la evaluacioacuten y su proceso a traveacutes del software STATGRAPHICS se resuelve rechazar la hipoacutetesis nula a favor de la hipoacutetesis alternativa
43 DISCUCIOacuteN DE LOS RESULTADOS
Con respecto a la discusioacuten de los resultados quisiera empezar indicando Esta investigacioacuten se ha centrado en la parte del Calculo Diferencial y cuando la empezamos partimos de una primera preocupacioacuten la cual era que los alumnos muchas veces no comprenden totalmente la definicioacuten de derivada En ella se mencionan varios objetos matemaacuteticos como funcioacuten razoacuten de cambio instantaacutenea liacutemite entre otros que estaacuten impliacutecitos o que van saliendo a la luz cuando se recurre por ejemplo a la interpretacioacuten geomeacutetrica como es el caso de graacutefica de funciones y el de pendiente de recta Ademaacutes se observar que los alumnos auacuten tienen cierta inseguridad para manejar estos objetos pesar de que han sido trabajados en temas preliminares al caacutelculo diferencial las dudas con frecuencia son acerca de coacutemo interpretarlos o si son uacutetiles para alguna tarea en especiacutefico Asiacute que un primer trabajo es recordar los conceptos preliminares mencionados y un recurso para tal fin fue el examen parcial que rindieron una semana antes a la ejecucioacuten de esta investigacioacuten En la praacutectica docente siempre me habiacutea sucedido que al momento de dar la definicioacuten de derivada y ayudaacutendome de algunos grafico ilustrativos quedaban dudas en algunos estudiante de manera que penseacute que trabajando con Derive podriacutea
solucionar este problema pues podiacutea graficar todo tipo de funciones y aunque solo necesitaba conocer instrucciones sobre el programa luego graficar no seriacutea un gran problema por el contrario comenzaron a graficar diferentes tipos de funciones con lo que conseguiacute ahorra el tiempo que demandariacutea graficar manualmente e invertirlo en analizar el comportamiento de grafico de las misma Los alumnos aclararon dudas de manteniacutea de los temas anteriores como por ejemplo el comportamiento de las graficas cuando estaacuten cerca de sus asiacutentotas contrastaron los dominios verdaderos con los que ellos en alguacuten momento habiacutean supuesto entre otras conjeturas Con ayuda de DERIVE pude lograr que visualizaran por ejemplo la razoacuten de cambio en un intervalo y la razoacuten de cambio instantaacutenea las relacionaran y diferenciaran Logrado lo anterior se sigue con la interpretacioacuten geomeacutetrica de la derivada y que se asocia con el problemas de la recta tangente DERIVE facilita no solo la parte graacutefica sino tambieacuten algebraica por cuanto en algunos casos haya que hacer alguna redefinicioacuten de la funcioacuten y sabiendo que se puede determinar una razoacuten de cambio en cada punto de la curva faacutecilmente se puede entender que esa razoacuten de cambio sea la pendiente de la recta tangente a cualquier punto de la curva de modo que ahora es posible hallar la ecuacioacuten de una recta que sea tangente en cualquier punto de la curva A modo de una aplicacioacuten se comprueba para otras funciones y resolver problemas en otros contextos ajenos a geomeacutetrico DERIVE con su comando DIF permite encontrar la derivada de cualquier orden de una funcioacuten esto no se oculto a los alumnos pero se indico que era preferible que ellos supieran la reglas de derivacioacuten y las aplicaran correctamente Considero que al poder visualizar la graacutefica de la derivada de una funcioacuten los alumnos comprendieron mejor lo que en teoriacutea se dice acerca de que la derivada de una funcioacuten es otra funcioacuten hicieron comparacioacuten de las graacuteficas de funciones y graacuteficas de sus primeras y segundas derivadas Otro logro obtenido se refiere a la parte conceptual de las aplicaciones de la derivada hallar maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de funciones saber en queacute intervalos en creciente decreciente o constante Sin derive solo analizaacutebamos funciones
sencillas pues teniacuteamos que graficar esto tomaba tiempo asiacute que lograacutebamos unos 3 ejemplos a lo maacutes Con DERIVE ahorraacutebamos el tiempo que demanda graficar y derivar y lo invertiacuteamos en analizar la funcioacuten pues con soacutelo ver la graacutefica sabiacuteamos si ella tiene maacuteximos yo miacutenimos punto de inflexioacuten y determinar cuaacutendo es creciente decreciente o constante pero con la ventana algebraica podiacuteamos derivar y determinar con exactitud donde se encontraban dichos puntos Finalmente mencionado la teoriacutea de registros se les hizo maacutes faacutecil la tarea de pasar de un registro semioacutetico a otro pues teniacutean herramientas para ello y creo que eso contribuyoacute a conceptualizar mejor los contenidos ya que como plantea en su teoriacutea Raymond Duval si no conoce al menos dos formas distintas de expresar o representar un contenido matemaacutetico formas a las que eacutel llama ldquoRegistro de Representacionesrdquo y ldquoRegistros Semioacuteticosrdquo no parece posible aprender y comprender dicho contenido Como ejemplo indico que al ser la derivada en un punto un valor numeacuterico se deja de lado que es tambieacuten una funcioacuten entonces se confunde un objeto matemaacutetico que en este caso es la funcioacuten derivada con una de sus representaciones que viene a ser en esta caso el nuacutemero esta confusioacuten entre un objeto y su representacioacuten en un plazo maacutes o menos amplia provocaba una peacuterdida de la comprensioacuten A esto es necesario antildeadir el hecho de que la pluralidad de sistemas semioacuteticos permite una diversificacioacuten tal de las representaciones de un mismo objeto que aumenta las capacidades cognitivas de los sujetos y por tanto sus representaciones mentales De las clases de laboratorio especiacuteficamente de los diaacutelogos que sostuvimos durante las clases pude comprobar que en ellos trasladar un registros no es algo espontaacuteneamente Y que el pensamiento de un alumno puede movilizar un solo registro de representacioacuten a la vez En este caso hemos manejado en la parte conceptual y la parte practica tres tipos de registros el graacutefico algebraico y la lengua natural
CONCLUSIONES
1 De acuerdo a los resultados obtenidos a traveacutes de las praacutecticas
calificadas administradas suponiendo medias iguales empleando la t- estudent se determina que el programa DERIVE es eficiente en el proceso de ensentildeanza- aprendizaje del Caacutelculo Diferencial
2 De las referencias bibliograacuteficas revisadas en el presente trabajo
en relacioacuten a la definicioacuten de Derivada (N Piskunov 1973 68 Spivak 1967 201 Purcell 2003 107) se concluye en una definicioacuten a mi consideracioacuten maacutes didaacutectica para los alumnos que abarca todos los aportes de cada una de las definiciones leiacutedas y el uso de una notacioacuten maacutes manejable
3 Se logro disentildear y presentar una propuesta metodoloacutegica compuesta por un moacutedulo de trabajo guiacuteas y actividades de laboratorio que fueron aplicadas al grupo experimental y que permitieron mejorar las calificaciones de los alumnos
4 El uso del DERIVE como recurso en las clases de Caacutelculo
Diferencial permitioacute motivar en los alumnos el desarrollo de capacidades como las de observar discernir analizar e interpretar
5 El alumno tiene la disposicioacuten de aprender soacutelo aquello que le
encuentra sentido o loacutegica Por ello el autentico aprendizaje es el aprendizaje significativo Cualquier otro seriacutea puramente mecaacutenico coyuntural o memoriacutestico Ademaacutes este trabajo significativo puede ser estimulado con las tecnologiacuteas de informacioacuten y comunicacioacuten tales como el programa DERIVE
6 Es importante sentildealar que la clase magistral sigue siendo
importante y por tanto nada puede reemplazar al profesor pero el uso de alguacuten recurso tecnoloacutegico tal como el que se propone complementariacutea esta labor ya que se le pueden presentar al alumno situaciones (didaacutecticas) no puramente algebraicas sino tambieacuten intuitivas graacuteficas numeacutericas por lo cual lo aprendido se vea fortalecido
7 el utilizar simultaacuteneamente diferentes representaciones favorece
el establecimiento de conexiones entre ellas siendo estas conexiones las que marcan las diferentes etapas del aprendizaje de los estudiantes Aquiacute es donde el programa DERIVE juega un papel importante debido a su potencia visual que ayuda a la formacioacuten y transformacioacuten de intuiciones y a la creacioacuten de imaacutegenes del concepto y debido tambieacuten a la facilidad para realizar caacutelculos eximiendo al estudiante de esta tediosa labor De esta forma el estudiante puede concentrarse en la exploracioacuten y discusioacuten de los conceptos Los errores cometidos por los estudiantes sirven para acrecentar su aprendizaje y completar asiacute sus imaacutegenes del concepto
RECOMENDACIONES
1
Desde el punto de vista institucional la creacioacuten de una red de investigacioacuten y desarrollo es de fundamental importancia pues mejora la comunicacioacuten la sinergia la discusioacuten y aumenta la cantidad de profesores que pueden provocar el cambio de ensentildeanza lo cual implica un mayor impacto del Proyecto en la Universidad Se sigue la tendencia universal de no realizar investigaciones en grupos reducidos y aislados sino de compartir experiencias aumentar la masa criacutetica de investigadores y aprender de la sinergia creada
2 Desde el punto de vista metodoloacutegico se propone pasar de la forma claacutesica de la ensentildeanza de la matemaacutetica con tiza y pizarra a una forma efectiva dinaacutemica y multimedial de adquirir los conceptos matemaacuteticos baacutesicos Se incorporan procesos de
caacutelculo y de representacioacuten graacutefica maacutes veloces y maacutes precisos que la operatoria personal Se libera al docente y al alumno de tareas no auteacutenticas para hacer hincapieacute en la reflexioacuten y buacutesqueda de otros procedimientos de resolucioacuten de problemas Se busca aplicar un procedimiento que provea un resultado aventajado en calidad y eficiencia que el que puede proveer el profesor con soacutelo tiza y pizarra La metodologiacutea propuesta permite acercarse maacutes a la realidad de los conceptos baacutesicos matemaacuteticos abstractos por su naturaleza a traveacutes de la visualizacioacuten interactiva y la experimentacioacuten con diferentes objetos matemaacuteticos datos con caracteriacutesticas determinadas
3 De acuerdo al os puntos anteriores desde el punto de vista del
aprendizaje se logra a) Una mejor aprehensioacuten de conceptos para su aplicacioacuten en la
resolucioacuten de problemas utilizando Sistemas Exploratorios de Aprendizaje
b) Una mejor aprehensioacuten de los conceptos por medio de los sistemas graacuteficos provistos por los Sistemas de Computacioacuten Algebraica (visualizacioacuten objetivacioacuten interactividad del software numeacuterico y simboacutelico)
c) En los alumnos la promocioacuten de la actitud y aptitud para conjeturar y desarrollar el sentido criacutetico y la reflexioacuten
d) El reconocimiento experimentacioacuten y aplicacioacuten de modelos matemaacuteticos
e) El experimentar conjeturar y descubrir propiedades sobre objetos matemaacuteticos mediante problemas asegura el intereacutes y compromiso del alumno
Las actividades que se realizaron en el laboratorio se presentan en el Anexo son tres y corresponden a los temas de 1 Definicioacuten de Derivada Razoacuten de Cambio y Problema de
la recta tangente 2 Anaacutelisis graacutefico de funciones y sus derivadas
3 Criterio de la primera y segunda derivada para hallar
maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten asiacute como los puntos de inflexioacuten
4 Resolucioacuten de Problemas de Maacuteximos y Miacutenimos
La finalidad de trabajar el tema de Derivadas es que los alumnos manipulen la definicioacuten que emplee el programa para experimentar usando diferentes funciones la variacioacuten de la razoacuten de cambio en intervalos de diferente amplitud La ayuda que brinda el programa es que grafica cualquier funcioacuten y realiza los caacutelculos de forma inmediata de esta manera los alumnos pueden analizar el comportamiento de las funciones y concentrar mayor atencioacuten en la variaciones de las razones de cambio a lo largo de toda la curva Es necesario resaltar que dado que el programa esta disentildeado para realizar graficas los alumnos dispondraacuten de mayor tiempo para hacer el anaacutelisis del comportamiento de la funcioacuten estudiando su variacioacuten sus maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten asiacute mismo conociendo la interpretacioacuten que reciben estos contenidos matemaacuteticos en los diferentes campos de aplicacioacuten Los laboratorios se pueden encontrar en el anexo de este trabajo
BIBLIOGRAFIacuteA
1 Benazic R (2004) Toacutepicos de Historia de la Matemaacutetica Editorial Hozlo SRL Lima
2 Calero Perez Mavilo (1998) Hacia la excelencia de la
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Matemaacuteticas Escolares Editorial Grupo Editorial Iberoameacuterica Bogotaacute
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Meacutexico
8 Helfgott M (1998) Historia y Pedagogiacutea de la Matemaacutetica Editorial Hozlo SRL Lima
9 Lages Lima E (1998) Mi Profesor de Matemaacutetica y otras
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10 Lages Lima E Pinto Carvalho P (2000) La Matemaacutetica de la Ensentildeanza Media Editorial Hozlo SRL Lima
11 Latorre A Del Rincoacuten D Y Arnal J (1997) Bases
Metodoloacutegicas de la Investigacioacuten Educativa Hurtado Ediciones Barcelona Espantildea
12 Lazaro C M (2000) Caacutelculo Diferencial Publicaciones
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14 Menin O (2001) Pedagogiacutea y Universidad Curriacuteculum
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15 Piskunov N (1973) Caacutelculo Diferencial e Integral Montaner y
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16 Purcell E Varberg D Rigdon S(2003) Caacutelculo Diferencial e Integral Editorial Pearson Meacutexico
17 Shabunin M Chejlov V(1989) Problemas de Anaacutelisis
Matemaacutetico Editorial Mir Moscuacute
18 Smith R Minton R (2000) Caacutelculo Editorial Mc Graw Hill Colombia
19 Spivack M (1992) Calculus Editorial Reverteacute SA Barcelona
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20 Sullivan M (1997) Precaacutelculo PrenticendashHall Hispanoamericana S A Meacutexico
21 Tan S (1998) Matemaacutetica para Administracioacuten y Economiacutea
Editorial Thomson
22 Toranzos F(1963) Ensentildeanza de la Matemaacutetica Editorial Kapelusz
23 Wenzelburger Elfriede(1993) Didaacutectica del Caacutelculo
Diferencial Grupo Editorial Iberoameacuterica
24 Zabalza M (2003) Competencias docentes del profesorado universitario Calidad y desarrollo profesional Narcea SA de Ediciones Madrid Espantildea
ANEXO 1
SILABO DE LA ASIGNATURA
UNIVERSIDAD CEacuteSAR VALLEJO ndash PIURA
FACULTAD DE INGENIERIacuteA ESCUELA DE INGENIERIacuteA DE SISTEMAS Y
ESCUELA DE INGENIERIacuteA INDUSTRIAL
SIacuteLABO DE MATEMATICA I
1 DATOS GENERALES Coacutedigo del curso HT 32 Aacuterea curricular Formacioacuten Baacutesica Ciclo II Semestre Acadeacutemico 2006-II Duracioacuten 16 Semanas Pre-Requisito Loacutegico Matemaacutetica Creacuteditos 5 Horas Semanales 05 (03 de Teoriacutea 02 de Praacutectica) Docente Lic Diana J Quintana de Mejiacutea Correo electroacutenico dianaquintanaucvedupe
dianaquintana2hotmailcom
2 FUNDAMENTACIOacuteN El Desarrollo de esta asignatura pretende potenciar en el estudiante capacidades propias del aacuterea de Matemaacutetica como el razonamiento y demostracioacuten la interpretacioacuten de graacuteficos y expresiones simboacutelicas y la resolucioacuten de problemas Asiacute como presentar los medios necesarios para la adquisicioacuten de ciertas destrezas como anaacutelisis interpretacioacuten y aplicacioacuten de fundamentos teoacutericos Finalmente el logro de los objetivos de esta asignatura se veraacute reflejado y podraacute ser evaluado en la eficiencia que demuestren los alumnos al resolver situaciones reales
3 COMPETENCIAS
31 Representa y modela a traveacutes de foacutermulas algebraicas las funciones elementales aplicadas a situaciones de la vida cotidiana fenoacutemenos fiacutesicos quiacutemicos econoacutemicos y tecnoloacutegicos reconociendo la relacioacuten entre el lenguaje graacutefico y el numeacuterico para una mejor comprensioacuten de la realidad
32 Resuelve problemas aplicando concepto de liacutemite y continuidad para el estudio de fenoacutemenos naturales presentados en diversos problemas demostrando precisioacuten en los resultados
33 Interpreta formula y resuelve problemas de contexto real utilizando definiciones teacutecnicas y aplicaciones del caacutelculo Diferencial desarrollando comunicacioacuten investigacioacuten
razonamiento y manifestando confianza flexibilidad y perseverancia
4 PROGRAMACIOacuteN ACADEacuteMICA
41 PRIMERA UNIDAD FUNCIONES Y LIMITES
CAPACIDADES
1 Comprende el concepto de funcioacuten reconoce las clases de funciones
2 Grafica adecuadamente funciones reconociendo sus caracteriacutesticas como parte de la resolucioacuten de problemas de aplicacioacuten
3 Emplea procedimientos analiacuteticos y experimentales para generar modelos que expresen situaciones reales interpretando finalmente sus graficas
4 Entiende intuitivamente la nocioacuten de liacutemites 5 Calcula liacutemites laterales finitos e infinitos
ACTITUDES 1 Demuestra precisioacuten orden y claridad en el tratamiento de
datos 2 Valora la importancia de las funciones en el anaacutelisis de
situaciones reales 3 Reconoce la importancia del concepto de liacutemite en el anaacutelisis
de hechos naturales fiacutesicos econoacutemicos y tecnoloacutegicos
COMPORTAMIENTOS OBSERVABLES 1 Desarrolla su trabajo de manera clara y ordenada demostrando
precisioacuten en sus respuestas 2 Realiza comentarios sobre la importancia de las funciones en la
comprensioacuten y anaacutelisis de hechos naturales econoacutemicos fiacutesicos tecnoloacutegicos etc
3 Manifiesta verbalmente la importancia del concepto de liacutemite para una mejor comprensioacuten de la realidad
NIVELES MIacuteNIMOS DE LOGROS 1 Al menos conoce y emplea tres tipos de funciones importantes en La solucioacuten de problemas
2 Dada una situacioacuten real explica si esta puede ser modelada por Una funcioacuten 3 Resuelve al menos tres liacutemites de mediana complejidad
CONTENIDOS
SEMANA CONTENIDOS FECHA
01
bull Funciones definicioacuten dominio y rango bull Clases de Funciones
Polinoacutemicas Racionales bull Lectura
httpaulaelmundoesaulalaminasnumeropdf
bull Trabajo Individual bull Lectura ldquoLos criacutemenes Imperceptiblesrdquo
Guillermo Martiacutenez
Del 4 al 8 de Sept
02
bull Graficas de Funciones con asiacutentotas funcioacuten exponencial y Logariacutetmica
bull Laboratorio Nordm 1 bull Grafico de funciones con valor absoluto bull Presentacioacuten de investigacioacuten sobre la
lectura
Del 11 al 15 de Sept
03
bull Grafica de funciones polinoacutemicas bull Funcioacuten Signo y Mayor entero Ejercicios bull Teacutecnicas de graficacioacuten bull Presentacioacuten de solucioacuten de problemas
sobre funciones bull Informe sobre novela
Del 18 al 22 de Sept
04
bull Aplicaciones de las Funciones bull Laboratorio Nordm 2 bull Evaluacioacuten de Funciones (parte teoacuterica) bull Trabajo Individual
Del 25 al 29 de Sept
05 bull Evaluacioacuten de Funciones (parte praacutectica) bull Laboratorio Nordm 3
Del 2 al 6 de Oct
06 bull Liacutemites Liacutemite Finito- Teoremas bull Caacutelculo de Liacutemites
Del 9 al 13 de Oct
07 bull Praacutectica de caacutelculo de liacutemites bull Laboratorio Nordm 4
Del 16 al 20 de Oct
08 Examen parcial Del 23 al 27 de Oct
42 SEGUNDA UNIDAD CONTINUIDAD Y DERIVADAS
CAPACIDADES
1 Entiende el concepto de continuidad y clasifica los tipos de continuidad
2 Aplicas las propiedades fundamentales de las funciones continuas a la solucioacuten de problemas reales
3 Utiliza correctamente las foacutermulas de derivacioacuten 4 Aplica el caacutelculo diferencial al estudio de fenoacutemenos naturales
econoacutemicos sociales y tecnoloacutegicos ACTITUDES
1 Valora de manera criacutetica la importancia de la exactitud y orden
en el caacutelculo de liacutemites analizando la continuidad en algunos casos
2 Demuestra precisioacuten orden y claridad en sus caacutelculos 3 Aplica los conceptos a hechos reales y concretos
COMPORTAMIENTOS OBSERVABLES
1 Trabaja de manera ordenada y exacta en los momentos correspondientes a praacutecticas y exaacutemenes
2 Manifiesta la importancia de la derivada para explicar y analizar hechos reales en las diferentes aacutereas
NIVELES MIacuteNIMOS DE LOGROS 1 Aplica a situaciones reales el concepto de liacutemite y de
continuidad 2 Dado el graacutefico de una funcioacuten explica con sus propias palabras
el concepto de derivada puntual utilizando argumentos geomeacutetricos
3 Dada una funcioacuten halla la derivada utilizando reglas de derivacioacuten
4 Emplea derivadas para calcular maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten
CONTENIDOS
SEMANA CONTENIDOS FECHA
09 bull Liacutemite al Infinito
Del 30 de Oct Al 3 de
bull Liacutemites de funciones Trigonomeacutetricas bull Taller de ejercicios
Nov
10
bull Evaluacioacuten del tema anterior bull Continuidad y Discontinuidad removible
de una funcioacuten
Del 6 al 10 de Nov
11
bull Evaluacioacuten de Continuidad bull Trabajo en aula sobre problemas de
liacutemites
Del 13 al 17 de Nov
12
La Derivada bull Razoacuten de cambio promedio e
instantaacutenea bull Taller de ejercicios bull Laboratorio Nordm2
Del 20 al 24 de Nov
13
bull Definicioacuten e Interpretacioacuten Geomeacutetrica bull Reglas de derivacioacuten bull Regla de la Cadena bull Evaluacioacuten
Del 27 de Nov Al 1 de Dic
14
bull Derivada de una funcioacuten impliacutecita bull Derivada de orden superior bull Laboratorio Nordm 3
Del 4 al 8 de Dic
15
bull Regla de Hrsquoospital bull Aplicacioacuten de la derivada Maacuteximos y
miacutenimos de una funcioacuten bull Laboratorio Nordm 4 bull Evaluacioacuten
Del 11 al 15 de Dic
16 Examen final Del 18 al 22 de Dic
5 ESTRATEGIAS METODOLOacuteGICAS Uso de metodologiacutea activa empleando principalmente los meacutetodos 1 Magistral 2 Trabajo Autoacutenomo de los alumnos (Investigacioacuten Individual) 3 Trabajo de grupo 4 Expositiva - Interactiva 5 Experimental 6 Debate
7 Demostracioacuten
6 MEDIOS Y MATERIALES
1 Software matemaacutetico DERIVE 2 Texto de biblioteca 3 Separata resumen 4 Direcciones electroacutenicas 5 Ejercicios Aplicacioacuten 6 Casos 7 Presentacioacuten multimedia
7 EVALUACIOacuteN
71 CRITERIOS DE EVALUACIOacuteN
El Promedio Final (PF) del curso seraacute obtenido de la siguiente manera PU1+PU2 PF = 2 Siendo PU1 y PU2
los promedios de la primera y segunda unidad de aprendizaje respectivamente El promedio de cada unidad de aprendizaje se calcula como
PC+TI+CL+LB+2EP PU1 6
=
Donde PC+TI+CL+LB Son los Promedios de praacutecticas calificadas
Trabajo de Investigacioacuten control de lectura laboratorios
EP Examen parcial
La nota se consideraraacute con un decimal en los promedios parcial y final La nota miacutenima aprobatoria es 105 y se redondearaacute al entero inferior o superior seguacuten corresponda
72 CONDICIONES DE EVALUACIOacuteN
El 30 de inasistencias INHABILITA del curso
La justificacioacuten de una inasistencia seraacute uacutenicamente con certificado meacutedico
8 CRONOGRAMA ACADEMICO
UNIDAD ACTIVIDADES FECHA
Primera Inicio del Ciclo Examen Parcial
4 de Septiembre de 2006 23 al 28 de Octubre
Segunda Examen Final Teacutermino del Ciclo Exaacutemenes Extemporaacuteneos
Del 18 al 22 de Diciembre 23 de Diciembre
9 REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
LIBROS EN BIBLIOTECA DE LA UNIVERSIDAD CEacuteSAR VALLEJO
1 AUDRY SANCHEZ Javier Caacutelculo Diferencial e Integral Trillas (
MAT- 01768 ) 2 ESPINOZA RAMOS Eduardo Anaacutelisis Matemaacutetico para Ingenieros
Impreso en Peruacute2002 723pg 3 FILLOY YAGUE Eugenio Geometriacutea Analiacutetica Iberoamericana (
MAT-0532 )
4 GROSSMAN Stanley Algebra Lineal Mc Graw- Hill Edicioacuten 1996 Meacutexico ( MAT- 558 )
5 LEITHOLD Louis El Caacutelculo Oxford University Meacutexico 1996 (
MAT- 0545 )
6 PURCELL Edwin Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica Prentice Hispanoamericana Meacutexico 1993( MAT- 0542)
7 SMITH Robert Caacutelculo Mc Graw- Hill Interamericana Colombia 2001 Tomo I y II ( MAT- 0547 ) Y ( MAT-0548 )
ANEXO 2
REGISTRO DE EVALUACIONES
8 STEWART JAMES Caacutelculo Diferencial e Integral Thomson 1989 ( MAT- 02796 )
9 TOMAS George E Caacutelculo Infinitesimal y Geometriacutea Analiacutetica
Aguilar 1989 ( MAT- 01119 )
LIBROS DE PROPIEDAD DEL DOCENTE
1 AYRES Frank Caacutelculo Diferencial e Integral McGraw-Hill1992
2 DEMIDOVICH B Problemas de Anaacutelisis Matemaacutetico MIR Moscuacute 1981
3 HASSER Norman et al Anaacutelisis Matemaacutetico Trillas 1985 Meacutexico
810pg
4 KITCHEN Joseph Caacutelculo McGraw-Hill1992 Espantildea 863pg
5 KONG Maynard Caacutelculo Diferencial Pontificia Universidad Catoacutelica del Peruacute 1995 Peruacute548 pg
6 LAZARO CARRIOacuteN Moiseacutes Caacutelculo Diferencial Moshera SRL
Peruacute 225 pg
7 MONTOYA VALDERRAMA Manuel Liacutemites Continuidad y Derivadas
8 PISKUNOV N Caacutelculo Diferencial e Integral Montaner y Simon
SA Barcelona19731019pg
9 PURCELL Edwin J et al Caacutelculo Diferencial e Integral Pearson 2003 Meacutexico480 pg
PAacuteGINAS WEB (No menor de 5 y pertinentes al curso) httpwwwdivulgamatcom httpwwwsectormatematicaclcontenidoshtm httpwwwedutekaorg httpwwweswikipediaorg
ANEXO 3
GUIAS METODOLOGICAS APLICANDO EL SOFTWARE DERIVE
APRENDIENDO CALCULO DIFERENCIAL CON DERIVE
SESION Nordm 1
TEMA RAZON DE CAMBIO Y PROBLEMA DE LA RECTA
TANGENTE CAPACIDAD Emplea definicioacuten de razoacuten de cambio para
resolver ejercicios sobre recta tangente
A RAZON DE CAMBIO
Empezaremos por trabajar el concepto matemaacutetico fundamental del caacutelculo sobre el cual se sustenta la teoriacutea de derivadas Este es Razoacuten de Cambio media Recordemos que Hoffmann (1985 Paacuteg 82) la define de la siguiente manera
Consideraremos la segunda definicioacuten de la separata por cuanto es maacutes directa en el anaacutelisis de los cambios o variaciones Ahora sigamos las instrucciones siguientes bull Utilice DERIVE para ingresar la funcioacuten 2( ) 6 2f x x x= minus + y estudiar
sus caracteriacutesticas bull Una vez definida ( )f x construya otra funcioacuten que calcule la Razoacuten de
Cambio Media o Razoacuten de Cambio Promedio de ( )f x para el intervalo [ ]a b
( ) ( )( ) f b f aRCP a bb aminus
=minus
( ) ( ) ( ) ( ) ( )RCP a b f b f a b a= minus minus bull Para probar su funcionamiento encuentre la razoacuten de cambio en el intervalo
[ ]0 3 (03)RCP
bull Halla la RCP de ( )f x en los intervalos [1 2] [1 3] [1 4] [1 11] [1 101]
bull Considera tambieacuten la misma expresioacuten para hallar la RCP en funcioacuten de un valor x a= y un incremento h
( ) ( )( ) f x h f xRCP x hh
+ minus=
( ) ( ) ( ) ( ) RCP x h f x h f x h= + minus
Razoacuten de Cambio Media Suponga que y es una funcioacuten de x ( )y f x= correspondiendo a un cambio de x a x x+ ∆ la variable y
cambia en una cantidad ( ) ( )y f x x f x∆ = + ∆ minus Asiacute el cociente de diferencias
( ) ( )Cambio de x x f x x f xCambio de y y x
∆ + ∆ minus= =∆ ∆
Representa la razoacuten de cambio de y con respecto a x (Hoffmann 1985 82)
bull Halla la RCP de ( )f x en los intervalos para los valores de a) 2x = con un incremento de 4 b) 2x = con un incremento de 3 c) 2x = con un incremento de 2 d) 2x = con un incremento de 1
EJERCICIOS
1 RAZONAMIENTO GRAacuteFICO Utiliza DERIVE para graficar la funcioacuten razoacuten de cambio de 3 2( ) 2 1f x x x= + minus y su funcioacuten razoacuten de cambio
( 001) ( )( )
001f x f xg x + minus
= en una misma ventana Calcule algunos
valores empleando la opcioacuten vector 2 Halla la RCP de la funcioacuten 2( ) ln(( 1) ( 3))f x x x= minus minus + en los
intervalos [556] [ 546] [ 536] [ 526] [ 516] 3 Halla el liacutemite cuando h rarr 0 de ( ( ) ( )) f x h f x h+ minus en la pregunta
anterior Para ello situacutea el cursor sobre dicho resultado para resaltarlo y
pulsa el icono
B RECTA TANGENTE 1 Elabore un programa que permita ingresar una funcioacuten un intervalo
[ ]a b y grafique las rectas secantes en ese intervalo hasta la recta tangente en el punto a Complete la hoja con los datos que vaya realizando Utilice la funcioacuten 3 2( ) 5 3 4f x x x x= minus + minus y el intervalo [ ]23
2 Una vez realizado el trabajo anterior comprueba que se obtiene la misma solucioacuten con el comando TANGENT ( )0 y x x que DERIVE proporciona
3 Ahora puedes resolver algunos problemas del Trabajo Practico Nordm 2 de tu separata empleando el comando TANGENT ( )0 y x x
4 Utiliza las formas equivalentes de la derivada (pag39) y resuelve algunos ejercicios empleando tus propias funciones y el comando derivada que te ofrece DERIVE asiacute podraacutes comprobar tus resultados
TEMA CAacuteLCULO Y GRAFICA DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIOacuteN
En esta parte de nuestro primer laboratorio vamos a ingresar diversas funciones calcularemos sus derivadas empleando la definicioacuten de derivada y empleando tambieacuten el comando DIF
1 Dada la funcioacuten 2 0
( ) 0
x xf x
x x le
= gt
bull Graficarla ademaacutes construir la funcioacuten derivada de dos formas la primera empleando definicioacuten de LIM((f(x+h)-f(x))h h 0 -1) para calcular la derivada por izquierda y LIM((f(x+h)-f(x))h h 0 1)para calcular la derivada por derecha y la segunda forma es empleando el comando DIF (f(x) x) que ofrece DERIVE
bull Observa las graficas de la funcioacuten y su derivada y responde a las
siguientes preguntas
iquestQueacute sucede con la derivada en el punto x=0 iquestQueacute representa la graacutefica de la funcioacuten derivada
2 Introduce la siguiente funcioacuten definida ldquoa trozosrdquo f(x)=IF(xlt4 x^2-5
2x+3)
bull Calcular las derivadas laterales en x = 4 bull Representa la funcioacuten f(x) Observa que se trata de una funcioacuten
continua pero no derivable bull Prueba con otras definiciones de f(x) y otros valores distintos de x = 4
3 Ingresa la funcioacuten 2 1 0
( )0 0
x sen xh x x
x
ne = =
y calcula su derivada en el
punto cero Ademaacutes elabora las graficas 4 Considera f(x)= 4-x^2 en x = 2 y halla las derivadas laterales iquestPuedes
explicar que ocurre 5 Considera tambieacuten f(x) = 1x en x = 0
CAPACIDAD Grafica funciones y encuentra su primera derivada empleando comando propios de DERIVE
6 Demostrar usando DERIVE que la funcioacuten 3 2 1cos 0
( )0 0
x xf x x
x
gt = le
es derivable en cero
7 Calcular y graficar las derivadas de las siguientes funciones empleando derive
a) 2
2( ) xf x sen
xsensenx
=
b) cos( )cos
senx xf xsenx x
minus=
+
c) 1( )2
f xa
x senx
=minus
+
d) 6 2( ) (1 cos 2 )f x x x= minus e) ( ) lnf x x=
APRENDIENDO CALCULO DIFERENCIAL CON DERIVE
SESION Nordm 2
C RELACION ENTRE LA GRAFICA DE UNA FUNCION Y SU
PRIMERA DERIVADA
PROBLEMA- (Caraacutecter creciente o decreciente de una funcioacuten) iquestPuede la primera derivada de una funcioacuten proporcionar informacioacuten acerca del caraacutecter creciente o decreciente de una funcioacuten ( )f x
Empezaremos recordando una serie de conceptos que debemos tener en cuenta para abordar esta sesioacuten
Se dice que una funcioacuten es positiva en la regioacuten en que su graacutefica se encuentra arriba del eje de las abscisas Asiacute use DERIVE y describa en que intervalos las siguientes funciones son positivas
o ( ) 3cosf x x= o ( ) 3 3f x x= minus o ( ) 8 4f x x= minus
o ( )2( ) 2 5f x x= + minus
CAPACIDAD Infiere mediante un anaacutelisis grafico las relaciones existentes entre la graacutefica de una funcioacuten y su primera derivada signo de la primera derivada asociado con crecimiento o decrecimiento de la funcioacuten y derivada nula con puntos criacuteticos
o ( )2( ) 3 2f x xminus minus +
Se dice que una funcioacuten es negativa en la regioacuten en que su grafica se encuentra abajo del eje de las abscisas Emplea DERIVE y describe en que intervalos la siguientes funciones son negativas
o ( ) 5 3f x x= minus
o ( ) 62xf x minus
= +
o 2( ) 4 4f x x x= + minus o 2( ) 6 9f x x x= minus + +
Una funcioacuten es creciente en una regioacuten si y soacutelo si al aumentar los valores de la variable independiente x aumentan tambieacuten los valores de la funcioacuten Es decir
( )f x es creciente en una regioacuten si para dos puntos cualesquiera 1x y
2x siempre que 1 2x xlt necesariamente 1 2( ) ( )f x f xlt y viceversa
Geomeacutetricamente una funcioacuten es creciente en la regioacuten en que su graacutefica sube a medida que recorremos el eje X de izquierda a derecha Grafica empleando derive la funcioacuten 3 2( ) 3 3f x x x= minus + y completa lo siguiente bull La funcioacuten mostrada es decreciente en intervalos que empiezan
inmediatamente despueacutes de _____ y termina inmediatamente antes de _____ Es decir ( )f x es decreciente en el intervalo abierto iquestPor queacute intervalo abierto
bull En cambio la misma funcioacuten es creciente en dos regiones desde menos infinito hasta _______ sin llegar a cero a sea en el intervalo y en el intervalo
bull iquestPodriacuteas dar una justificacioacuten del porqueacute los valores 0 y 2 estaacuten excluidos de las tres regiones
bull La funcioacuten graficada es positiva en los intervalos __________ __________
bull La funcioacuten graficada es negativa en los intervalos __________ __________
Tambieacuten hemos trabajado las siguientes ideas Completa lo que falta
bull Hemos afirmado el hecho de que en un punto del dominio la
pendiente de una curva es igual a la pendiente de la recta ________ en ese punto
Sabemos que bull Cuando una recta es creciente su _________ es positiva bull Cuando una recta es decreciente su ___________ es decreciente bull Cuando una recta es paralela al eje X su __________es
_________________ bull La pendiente de la recta tangente a la grafica de una funcioacuten
( )f x en cualquier punto del dominio es precisamente la primera ____________ de la funcioacuten
bull Elabora las graficas de la funcioacuten 3 2( ) 3 3f x x x= minus + y de su primera derivada empleando DERIVE
bull Haremos un anaacutelisis comparativo de estas graacuteficas bull La funcioacuten ( )f x es decreciente en el intervalo ( )02 iquestCoacutemo es
su derivada ( )f x en ese intervalo_________________ bull La funcioacuten ( )f x es creciente en el intervalo ( )0minusinfin iquestCoacutemo es
su derivada ( )f x en ese intervalo_________________
bull La funcioacuten ( )f x es creciente en el intervalo ( )2infin iquestCoacutemo es su derivada ( )f x en ese intervalo_________________
bull La funcioacuten ( )f x es constante en los puntos 0x = y 2x = iquestCoacutemo es su derivada ( )f x en esos puntos_________________
bull Los hechos que acabas de observar no son una coincidencia ni un hecho aislado corresponde a una relacioacuten muy importante entre una funcioacuten y su primera derivada
bull Considerando tus respuestas tenemos todos lo necesario par construir los siguientes criterios de caracterizacioacuten
bull Para toda funcioacuten ( )f x derivable en un intervalo ( )a b
bull Si acute( ) 0f x gt para todo valor x en ( )a b ( )f x es creciente en
( )a b
bull Si acute( ) 0f x lt para todo valor x en ( )a b ( )f x es decreciente en
( )a b
bull Si acute( ) 0f x = para todo valor x en ( )a b ( )f x es constante en
( )a b Este caso nos seraacute particularmente uacutetil en el caso en que el intervalo conste de un solo punto
bull A cada valor de x en el que acute( ) 0f x = se le llama punto criacutetico bull Problema 1 Empleando DERIVE encuentra los intervalos donde
la funcioacuten 3 2( ) 3 3f x x x= minus + creciente y decreciente y los puntos donde es constante Luego compara tus hallazgos y completa la informacioacuten
bull acute( )f x = ________ ( )f x seraacute creciente donde acute( ) 0f x gt es decir
donde 23 6 0x xminus gt factorizando 3x obtenemos ( )3 0x gt recuerda que el producto de dos factores es mayor que cero soacutelo si ambos son positivos o ambos son negativos
1 3 0 2 0x y xgt minus gt
0 2x y xgt gt
Siempre que 2x gt se cumple tambieacuten que 0x gt No al reveacutes ( )f xthere4 es creciente en ( )2infin
2 3 0 2 0x y xlt minus lt 0 2x y xlt lt
Siempre que 0x lt se cumple tambieacuten que 2x lt No al reveacutes ( )f xthere4 es creciente en ( )0minusinfin
bull ( )f x seraacute decreciente donde acute( ) 0f x lt es decir donde
23 6 0x xminus lt bull ( )3 0x lt ahora recordemos que el producto de dos factores es
negativo si y solo si________________o ____________________-
1 3 0 2 0x y xgt minus lt
0 2x y xgt lt ( )f xthere4 es decreciente en ( )02
2 3 0 2 0x y xlt minus gt 0 2x y xlt gt
iexclImposible No hay valores de x que sean menores que cero y al mismo tiempo mayores que 2
( )f x seraacute constante es decir estaraacute momentaacuteneamente horizontal su
tangente seraacute paralela al eje X donde acute( ) 0f x = ( )3 2 0x x minus = si 0 2x y x= =
Estos son los dos valores de x donde la funcioacuten es constante a los que llamamos ldquopuntos criacuteticosrdquo Otra forma de encontrar los valores de x donde la funcioacuten es creciente o decreciente sin tener que resolver desigualdades es la siguiente Se encuentran los valores de x donde acute( )f x vale cero resolviendo la ecuacioacuten acute( ) 0f x =
Los n valores de x obtenidos al resolver la ecuacioacuten anterior nos permiten dividir el eje X en 1n + intervalos ajenos
Se construye una tabla en la que los a x valores en cada intervalo y analizando el signo que toma acute( )f x en cada uno de ellos podemos decidir si ( )f x es creciente o decreciente con base en el criterio al que arribamos antes Trabajando en esta forma con 3 2( ) 3 3f x x x= minus +
2acute( ) 3 6f x x x= minus 23 6 0x xminus = 3 ( 2) 0x x minus = si 3 0x = 0x = si 2 0x minus = 2x =
( )f x es constante en 0x = y en 2x = Los valores 0 y 2 dividen al eje X en tres intervalos ( )0minusinfin ( )02 ( )2infin
La tabla que construiremos seraacute del tipo
Intervalo ( )0minusinfin ( )02 ( )2infin
Valor de x en el intervalo -1 1 3
Valor de acute( )f x en el intervalo
9 -3 9
Signo de acute( )f x + - + Caraacutecter de ( )f x en el
intervalo Creciente Decreciente Creciente
Por lo tanto ( )f x es creciente en los intervalos ( )0minusinfin y ( )2infin
mientras que es decreciente en el intervalo ( )02 Problema 2 Empleando DERIVE encuentra los intervalos donde la
funcioacuten 1( )f x xx
= + es creciente y decreciente asiacute como los puntos
donde es constante Observa que esta funcioacuten no estaacute definida en 0x =
Problema 3 Utiliza DERIVE y encuentra las regiones donde cada una de las siguientes funciones es creciente decreciente o constante
bull 2 2( )1
x xf xx
minus minus=
minus
bull 22( )
1xf x
x=
+
bull 4 2( ) 6 5f x x x= + minus bull 3( ) 1f x x= minus
bull 26( )
3f x
x=
+
D RELACION ENTRE LA GRAFICA DE UNA FUNCION Y SU SEGUNDA DERIVADA
PROBLEMA 1- (Concavidad de una funcioacuten) iquestPuede la segunda derivada de una funcioacuten proporcionar informacioacuten acerca del tipo de concavidad que presenta una funcioacuten primitiva ( )f x
Emplea DERIVE y grafica la funcioacuten 2( ) ( 3) 4f x x= minus + ademaacutes determina las ecuaciones y graficas de las rectas tangentes a la curva en los puntos 0x = y 5x = Empleando nuevamente DERIVE grafica la funcioacuten
2( ) ( 7) 1f x x= minus + minus ademaacutes determina las ecuaciones y graacuteficas de las rectas tangentes a la curva en los puntos 10x = minus y 5x = minus Observaciones
CAPACIDAD Infiere por medio de un anaacutelisis grafico las relaciones existentes entre la graacutefica de una funcioacuten y su segunda derivada signo de la segunda derivada asociado con concavidad de la funcioacuten y segunda derivada nula con un posible cambio de concavidad
Observa en principio que donde la curva es coacutencava hacia arriba sus tangentes estaacuten pro debajo de la curva y en caso de ser coacutencava hacia abajo sus tangentes estaacuten por arriba de ella Pero donde la curva no es coacutencava la tangente la atraviesa
Una funcioacuten que presenta los dos tipos de concavidad posibles hacia abajo y hacia arriba es 3 2( ) 3 3f x x x= minus + Empleando DERIVE calcula su primera y segunda derivada y graficas todas las funciones en un mismo plano Localiza con cuidado cada grafica colorea con un color diferente asiacute podraacutes identificarlas faacutecilmente en el siguiente anaacutelisis En el intervalo ( )1minusinfin
( )f x es coacutencava hacia abajo ( )f x que representa las pendientes de las rectas tangentes a ( )f x es decreciente No deja de bajar desde minusinfin hasta
1x = ( )f x que representa las pendientes de las rectas tangentes a ( )f x es negativa porque ( )f x es decreciente
Exactamente en 1x =
o ( )f x cambia de concavidad Deja de ser coacutencava hacia abajo
pero aun no es coacutencava hacia arriba o ( )f x es constante tiene un punto criacutetico porque ( ) 0f x = o ( )f x corta al eje X vale cero Dejoacute de ser negativa y auacuten no
es positiva En el intervalo ( )1infin
o ( )f x es coacutencava hacia arriba o ( )f x es creciente o ( )f x es positiva
Una vez mas lo que has observado no es una coincidencia o un caso aislado nuevamente corresponde a una importante relacioacuten entre una funcioacuten y su segunda derivada Conclusioacuten
bull Para toda funcioacuten ( )f x cuya segunda derivada existe en el intervalo ( )a b
bull Si ( ) 0f x gt para todo valor x en ( )a b la graacutefica de ( )f x es
coacutencava hacia arriba en ( )a b
bull Si ( ) 0f x lt para todo valor x en ( )a b la graacutefica de ( )f x es
coacutencava hacia abajo en ( )a b Definicioacuten- Se llama punto de inflexioacuten al punto donde la grafica de la funcioacuten cambia de ser coacutencava hacia abajo a coacutencava hacia arriba o viceversa si existe la tangente en ese punto La funcioacuten que analizamos antes 3 2( ) 3 3f x x x= minus + tiene un punto de inflexioacuten en 1x = porque (1) 0f = Ejercicios Estudia si tiene la funcioacuten 4( )f x x= punto de inflexioacuten en 0x = Con ayuda de DERIVE halla los intervalos donde la funcioacuten es coacutencava hacia arriba yo hacia abajo asiacute como las coordenadas de los puntos de inflexioacuten si existen Elaborar las graficas necesarias
o 23( )
3f x
x=
+
o 3 2( ) 6 9 1f x x x x= minus + +
o 4
2( ) 24xf x x= minus
o 2 4( ) 6f x x x= minus
APRENDIENDO CALCULO DIFERENCIAL CON DERIVE
SESION Nordm 3
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION A CLASIFICACION DE LOS PUNTOS CRITICOS DE UNA FUNCIOacuteN RECORDEMOS Localiza en la graacutefica de la figura 1 el punto(s) m miacutenimo(s) y da sus coordenadas Figura 1 Si observas la graacutefica notaraacutes que existen dos puntos maacutes bajo que todos los demaacutes donde la curva es coacutencava hacia arriba a los que llamaremos miacutenimos locales Las coordenadas de esos puntos en la grafica son
1( )m y 2 ( )m Localiza en la graacutefica de la figura 2 el punto M maacuteximo y da sus coordenadas Figura 2
2
21( ) 1f xx
= minus
( ) ( 2)( 4)( 6)f x x x x x= + minus minus
CAPACIDAD Determina los puntos criacuteticos de una funcioacuten y los clasifica en maacuteximos miacutenimos o de inflexiones
Si observas la grafica de la funcioacuten encontraras que alcanza un punto maacutes alto en la regioacuten donde es coacutencava hacia abajo Las coordenadas de ese punto son ( )M A un punto como este que se encuentra en la cima de una regioacuten donde la curva es coacutencava hacia abajo se le llama maacuteximo local por que en efecto es el punto mas alto aunque no de toda la curva sino de una regioacuten Pregunta iquestQueacute coincidencias y queacute diferencias hay donde ( )f x tiene maacuteximo y donde tiene miacutenimo Coincidencias __________________________________________________________ Diferencias __________________________________________________________ Para determinar los valores extremos de una funcioacuten en un primer acercamiento se requiere
1 Obtener la primera derivada de la funcioacuten para investigar doacutende ( )f x es constante
2 Igualar a cero la primera derivada ( ) 0f x = 3 Resolver la ecuacioacuten resultante para encontrar los puntos criacuteticos
de 1 2( ) f x x x donde podriacutea tener un maacuteximo un miacutenimo o un punto de inflexioacuten
4 Bosquejar la graacutefica de la funcioacuten 5 Elabora una conjetura acerca del caraacutecter de cada punto criacutetico
maacuteximo miacutenimo o punto de inflexioacuten Emplea DERIVE y en cada funcioacuten de los siguientes ejemplos determina los puntos criacuteticos bosqueja una graacutefica y elabora una conjetura acerca del caraacutecter de cada punto criacutetico
A los valores maacuteximos o miacutenimos los llamaremos valores extremos
Ejercicio Ndeg 1
Graficar la funcioacuten 2
21( ) 1f xx
= minus
y completar la informacioacuten
1 ( )f x = 2 ( ) 0f x = de donde 1x = ( )f xthere4 tiene un punto criacutetico 3 iquestQueacute sucede con la graacutefica de la primera derivada en los puntos
criacuteticos de la funcioacuten 4 Mostrar la graacutefica y determinar que tipo de punto es 1x 5 Determinar la segunda derivada y analizar su comportamiento
grafico Ejercicio Ndeg 2 Graficar la funcioacuten ( ) ( 2)( 4)( 6)f x x x x x= + minus minus y completar la informacioacuten
1 ( )f x = 2 ( ) 0f x = de donde 1 2 3 x x x= = = ( )f xthere4 tiene tres
puntos criacuteticos 3 iquestQueacute sucede con la graacutefica de la primera derivada en los puntos
criacuteticos de la funcioacuten 4 Mostrar la graacutefica y determinar que tipo de puntos criacuteticos tiene 5 Determinar la segunda derivada y analizar su comportamiento
grafico Ejercicio Ndeg 3 Graficar la funcioacuten 3 2( ) 3 3f x x x= minus + y completar la informacioacuten
1 ( )f x = 2 23 6 3 ( ) 0x x xminus = minus = de donde 1 2x y x= = ( )f xthere4
tiene dos puntos criacuteticos 3 Indicar el maacuteximo y el miacutenimo 6 iquestQueacute sucede con la graacutefica de la primera derivada en los puntos
criacuteticos de la funcioacuten 4 Mostrar una graacutefica
5 Grafique la primera derivada y determine si el signo de ella antes y despueacutes del punto criacutetico coincide con la propiedad de la funcioacuten de ser creciente o decreciente en los intervalos formados
6 Grafique la segunda derivada y analice la informacioacuten que representa
Ejercicio N deg4 (trabajo)
Graficar la funcioacuten 23( )
3f x
x=
+ y completar la informacioacuten
1 ( )f x =
2 ( )22
6 03
x
x
minus=
+
3 Puesto que ( )22 3x + siempre seraacute mayor que cero la uacutenica
posibilidad de que ( )22
6 03
x
x
minus=
+es que 6 0xminus = luego 0x =
( )f xthere4 tiene soacutelo un punto criacutetico 4 Determine a traveacutes de la graacutefica si se trata de un maacuteximo o
miacutenimo 5 Grafique la primera derivada y determine si el signo de ella antes
y despueacutes del punto criacutetico coincide con la propiedad de la funcioacuten de ser creciente o decreciente en los intervalos formados
6 Grafique la segunda derivada y analice la informacioacuten que representa
B CRITERIO DE LA PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA PARA ENCONTRAR VALORES EXTREMOS DE UNA FUNCION
iquestExiste un procedimiento formal para determinar los valores extremos de una funcioacuten En el punto anterior pudimos determinar los valores criacuteticos de una funcioacuten y decidir si se trataba de un maacuteximo o miacutenimo o un punto de inflexioacuten Pero tuvimos las siguientes limitaciones bull Nuestra decisioacuten quedoacute a nivel de conjetura porque para tomarla
n os apoyamos en una grafica y eso le quita formalidad y precisioacuten al procedimiento
bull No obtuvimos el valor del maacuteximo o miacutenimo de la funcioacuten ni las coordenadas en el caso del punto de inflexioacuten
En esta sesioacuten trabajaremos en laacutepiz y papel el procedimiento formal para obtener los valores extremos de una funcioacuten asiacute como sus puntos de inflexioacuten y resolveremos los ejercicios usando derive asiacute podemos comparar entre el trabajo analiacutetico y los caacutelculos que podemos hacer empleando DERIVE
RECORDAR
Criterio de la primera derivada Hipoacutetesis Si ( )f x es una funcioacuten continua en un Intervalo ( )a b
1x es el uacutenico punto criacutetico en ese intervalo y ( )f x es derivable en
( )a b Entonces Tesis el punto criacutetico ( )1 1 ( )x f x se puede clasificar de acuerdo a la siguiente tabla
CAPACIDAD Comprende y aplica el criterio de la primera y segunda derivada para encontrar valores extremos de una funcioacuten
Signo de ( )f x en ( )1a x
Signo de ( )f x en ( )1 x b Decisioacuten
+ - 1( )f x es un maacuteximo
- + 1( )f x es un miacutenimo
+ + 1( )f x es un posible punto de inflexioacuten
- - 1( )f x es un posible punto de inflexioacuten
Criterio de la segunda derivada Hipoacutetesis Si ( )f x es una funcioacuten que tiene primera y segunda derivadas en un intervalo ( )a b y tiene un punto criacutetico en 1x Tesis el punto criacutetico ( )1 1 ( )x f x se puede clasificar de acuerdo con el siguiente criterio bull Si ( ) 0 ( )f x f xgt tendraacute un maacuteximo en 1x porque es coacutencava hacia arriba bull Si ( ) 0 ( )f x f xlt tendraacute un miacutenimo en 1x porque es coacutencava hacia abajo bull Si ( ) 0 ( )f x f x= podriacutea tener un punto de inflexioacuten 1x si estaacute cambiando la concavidad
Ejercicio Ndeg 1 Determina los maacuteximos y miacutenimos de la siguiente funcioacuten
3 2( ) 3 3f x x x= minus + completa la informacioacuten que se pide y luego compara tus resultados con los obtenidos empleando DERIVE
1 ( )f x = 2 23 6 0x xminus =
3 ( )23 6 3 ____ ____ 0x x xminus = minus = de donde 1 ____x = y
2 ____x = 4 Los valores 0 y 2 dividen al eje X en los intervalos ajenos
( ) ( ) ( )0 0 2 2minusinfin infin 5 Elaboramos una tabla para dar valores a x Completa el valor y el
signo de ( )f x
Intervalo ( )0minusinfin ( )02 ( )2infin
Valor de x -1 1 3
Valor de ( )f x
Signo de ( )f x
6 De acuerdo con el criterio de la primera derivada
a) En 1 0x = ( )f x tiene un ___________ porque ( )f x _____________
b) En 2 2x = ( )f x tiene un ___________ porque ( )f x ____________
7 El valor maacuteximo de ( )f x en _____ es_____ 8 El valor miacutenimo de ( )f x en _____ es_____
Ejercicio Ndeg 2 Determina los maacuteximos y miacutenimos de la siguiente funcioacuten
2
3( )3
f xx
=+
completa la informacioacuten que se pide y luego compara tus
resultados con los obtenidos empleando DERIVE 1 ( )f x =
2 ( )22
6 03
x
x
minus=
+
3 Puesto que ( )22 3x + siempre seraacute mayor que cero la uacutenica
posibilidad de que ( )22
6 03
x
x
minus=
+es que 1 ____x =
4 El valor de z divide al eje X en 2 intervalos ( ) ( )0 0minusinfin infin iquestQueacute sucede en el punto cero
5 Elaboramos una tabla para dar valores a x Completa el valor y el signo de ( )f x
Intervalo ( )0minusinfin ( )0infin
Valor de x -1 1
Valor de ( )f x
Signo de ( )f x
6 ( )f x presenta un _______________en _____ Ejercicio Ndeg 3 Empleando Derive y el criterio de la segunda derivada determina los maacuteximos y miacutenimos de la siguiente funcioacuten ( )3( ) 4 10f x x= minus + ademaacutes completar la informacioacuten y anexa la grafica de las funcioacuten para verificar las validez de tus resultados
1 ( )f x =
2 ( )23 4 0x minus =
3 23( 8 16) 0x xminus + = de donde 1 ____x =
4 ( )f x = 5 (4)f =0 ( )f xthere4 tiene un___________ 6 Las coordenadas de ese punto son ( )4 (4)f es decir ( )4
7 (2)f =_____________gt0 ( )f xthere4 tiene un___________
Trabajo en casa Ejercicio Ndeg 1 Determina los maacuteximos y miacutenimos de la siguiente funcioacuten
( )3( ) 4f x x= minus completa la informacioacuten que se pide y luego compara tus resultados con los obtenidos empleando DERIVE
1 ( )f x =
2 ( )23 4 0x minus =
3 23( 8 16) 0x xminus + = de donde 1 ____x = 4 El valor 4 divide al eje X en dos intervalos ajenos
( ) ( ) 4 4minusinfin infin 5 Elaboramos una tabla para dar valores a x Completa el valor y el
signo de ( )f x
Intervalo ( ) 4minusinfin ( )4infin
Valor de x 2 5
Valor de ( )f x
Signo de ( )f x
6 De acuerdo con el criterio de la primera derivada En 1 4x = ( )f x presenta __________________________
Ejercicio Ndeg 2 Determina los maacuteximos y miacutenimos de la siguiente funcioacuten
1( )f x xx
= + completa la informacioacuten que se pide y luego compara tus
resultados con los obtenidos empleando DERIVE
1 ( )f x =
2 2
11 0x
minus =
3 2
11 0x
minus = 2
11x
= 2 1x = de donde 1 ____x = y 2 ____x =
4 Los valores 1 y -1 dividen al eje X en 3 intervalos ajenos ( ) ( ) ( ) 1 11 1minusinfin minus minus infin iquestQueacute sucede en el punto cero
5 Elaboramos una tabla para dar valores a x Completa el valor y el signo de ( )f x
Intervalo ( ) 1minusinfin minus ( )10minus ( )01 ( )1infin
Valor de x -2 -12 frac12 3
Valor de ( )f x
Signo de ( )f x
6 El valor maacuteximo de ( )f x en _____ es_____ 7 El valor miacutenimo de ( )f x en _____ es_____
Ejercicio Ndeg 3 Empleando Derive y el criterio de la segunda derivada determina los
maacuteximos y miacutenimos de la siguiente funcioacuten 1( )f x xx
= + ademaacutes
completar la informacioacuten y anexa la grafica de las funcioacuten para verificar las validez de tus resultados
1 ( )f x =
2 2
11 0x
minus =
3 2
11 0x
minus = 2
11x
= 2 1x = de donde 1 ____x = y 2 ____x =
4 ( )f x = 5 (1)f = ____gt0 ( )f xthere4 tiene un___________ 6 Las coordenadas de ese punto son ( )1 (1)f es decir ( )1 7 ( 1)f minus = _____________lt0 ( )f xthere4 tiene un___________ 8 Las coordenadas de ese punto son ( )1 ( 1)fminus minus es decir ( )1minus
Ejercicio Ndeg 4 Calcula los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de las siguientes funciones
1 2 4
( )2 16x xf x = minus
2 23( )
1xf x
x=
minus
3 2( )4
xf xx
=minus
4 2 2( )1
x xf xx
minus minus=
minus
Representa las graacuteficas para comprobarlo C PROBLEMAS DE OPTIMIZACIOacuteN
Has aprendido a encontrar valores extremos de una funcioacuten por medio de dos criterios el de la primera derivada y el de la segunda derivada Lo que haremos ahora constituye una de las principales aplicaciones del caacutelculo diferencial utilizado en muy diversas aacutereas del conocimiento Con frecuencia en los procesos industriales cientiacuteficos y tecnoloacutegicos se busca optimizar las condiciones en que se llevan a cabo asiacute como los resultados que se obtienen Por ejemplo se pretende envasar el mayor volumen de un producto empleando la menor cantidad posible de material obtener el mejor efecto de un medicamento con la menor dosis administrada encontrar el nuacutemero de artiacuteculos que deben venderse para obtener la maacutexima ganancia Todo esto es optimizar un proceso y el caacutelculo es una herramienta muy uacutetil para lograrlo
CAPACIDAD Resuelve problemas que involucran maacuteximos o miacutenimos de una funcioacuten empleando derive
Para resolver un problema de optimizacioacuten baacutesicamente debemos proceder de la siguiente manera
1 A partir del enunciado del problema obtener la funcioacuten que queremos optimizar de modo que dependa de una sola variable
2 aplicar uno de los criterios para encontrar los valores extremos de una funcioacuten
3 interpretar los resultados con base en la naturaleza del problema planteado
PROBLEMA 1 Cuando alguien tose la traquea se contrae violentamente lo que afecta de modo directo a la velocidad del aire expulsado a traveacutes de ella Si la velocidad del aire durante la tosida se puede expresar como
2( ) ( )v r k p r r= minus donde k es una constante positiva que depende de la persona p es el radio normal de la traquea y r el radio durante el golpe de tos
a) Utilice una escala apropiada para mostrar la grafica de la velocidad del aire durante la tosida Utilice los valores de K=1 y p=3
b) Determina el dominio apropiado para estudiar esta funcioacuten c) iquestQueacute valor del radio r producir la maacutexima velocidad del aire
expulsado iquestCuaacutel es la velocidad
Solucioacuten
1 Siendo la funcioacuten a maximizar 2 2 3( ) ( ) ( )v r k p r r k p r r= minus = minus
2 La primera derivada es dvdr
=
3 Los puntos criacuteticos son 1 2______ _______r y r= =
4 luego la velocidad del aire expulsado tiene un maacuteximo cuando r =
PROBLEMA 2 Se quiere fabricar latas de refresco cuyo contenido sea 33cl de manera que el costo de la chapa sea miacutenimo Hallar las dimensiones que ha de
ANEXO 4
PLANES DE CLASE
Los planes de clase en general son los mismos para ambos grupos pero si difieren del lugar donde se trabajan pues el grupo experimental recibiraacute clases en el laboratorio de coacutemputo mientras que el grupo de control trabajara sus sesiones de clase en el aula Debo indicar tambieacuten que solo la tercera clase de ambos grupos seraacute en el saloacuten de clases pues se deben trabajar las derivadas de funciones trigonomeacutetricas logariacutetmicas impliacutecitas regla de L`Hospital El modelo de plan de clase que presento a continuacioacuten es el que manejamos en la universidad para nuestra carpeta docente Fue disentildeado por los docentes de la Escuela de Educacioacuten y lo trabajamos en todas las escuelas Presento cuatro planes de clase que corresponde a las 4 sesiones que tuvimos para resolver el capiacutetulo de Derivadas
P L A N D E S E S I Oacute N D E A P R E N D I Z A J E 2 0 0 6- II ESCUELA DE INGENIERIacuteA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS
ASIGNATURA
Ciclo Seccioacuten
Semana Ndeg Sesioacuten
DOCENTE
COMPETENCIA
TIacuteTULO CAPACIDAD
ACTIVIDADES TIEMPO INDICADORES INICIALES DestrezaHabilidad Contenido Producto Iacutetems
PROCESO
FINALES Actitudes
METODO AYUDAS TEacuteCNICAS E INSTRUMENTOS DE EVALUACIOacuteN
Expositivas-Interactivas
Investigacioacuten Individual
Debate
Proyecto
Demostracioacuten
Investigacioacuten por equipos
Otros
Texto Separatas-resumen Transparencias- Diapositivas
Ejercicios Aplicacioacuten Casos Presentacioacuten Multimedia
Otros
Observacioacuten Situacioacuten Ejercicio Praacutectico Pruebas Escritas Situacioacuten Oral
de Evaluacioacuten
Pruebas de Desempentildeo
Examen Temaacutetico
Ejercicios Interpretativos
Pruebas Objetivas
Mapa mental
Mapa Conceptual
Estudios de Casos Praacutecticas- Laboratorio
Proyecto
Portafolio
Ensayos
Otros (Indicar)
Exposicioacuten Diaacutelogo Debate Examen
Oral
Lista de cotejo
Registro anecdoacutetico
Escala de actitud
Otros(Indicar)
Bibliografiacutea
Paacuteginas Web
P L A N D E S E S I Oacute N D E A P R E N D I Z A J E 2 0 0 6- II ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS
ASIGNATURA MATEMATICA I
Ciclo II Seccioacuten A B
Semana 12 Nordm Sesioacuten 1
DOCENTE Lic Diana Quintana Saacutenchez
COMPETENCIA Interpreta formula analiza y resuelve problemas de contexto real utilizando definiciones teacutecnicas y aplicaciones del Caacutelculo Diferencial desarrollando
comunicacioacuten investigacioacuten razonamiento y manifestando confianza flexibilidad y perseverancia
CONTENIDO Derivadas
CAPACIDAD Resuelve problemas sobre razoacuten de cambio recta tangente y grafico de funciones y sus derivadas
ACTIVIDADES TIEMPO INDICADORES INICIALES
15rsquo
DestrezaHabilidad Contenido Producto Iacutetems bull Saludo bull Para esta clase he preparado un relato sobre la historia del
caacutelculo diferencial La historia de Newton y Leibnitz
Resuelve Encuentra Calcula Grafica
Razoacuten de cambio Dos Problemas con un mismo tema Definicioacuten de Derivada Resolucioacuten de problema empleando derivadas Elaboracioacuten de graficas de funciones y sus derivadas
Opinioacuten sobre los protagonistas de la Historia de Calculo Presentacioacuten de ejercicios propuestos en clase
1 Resuelve problemas de
aplicacioacuten de razoacuten de cambio 2 Encuentra la derivada de
funciones ( )f x 3 Calcula la derivada de funciones
( )f x empleando la definicioacuten de derivada
4 Grafica funciones y su
derivadas
ACTIVIDADES DE PROCESO
2h15rsquo break 1h30rsquo
bull Se expone el fundamento teoacuterico sobre la definicioacuten de
derivada y se entrega el material didaacutectico bull Se resuelve en parejas en la solucioacuten del primer trabajo
praacutectico bull Los alumnos exponen en la pizarra la solucioacuten de los
problemas bull Con el grupo experimental se trabaja la guiacutea de laboratorio
ACTIVIDADES FINALES
10rsquo
Actitudes Valora de manera criacutetica la importancia de la historia del calculo asiacute mismo muestra orden e intereacutes por aprender
bull Presentar en la siguiente clase la solucioacuten de los ejercicios
propuestos en la separata
METODO AYUDAS TEacuteCNICAS E INSTRUMENTOS DE EVALUACIOacuteN
x Expositivas-Interactivas
Investigacioacuten Individual
Debate
Proyecto
Demostracioacuten
x Investigacioacuten por equipos
Otros
Texto Separatas-resumen x Transparencias- Diapositivas
Ejercicios Aplicacioacuten x Casos Presentacioacuten Multimedia
x
Otros
Observacioacuten Situacioacuten Ejercicio Praacutectico Pruebas Escritas Situacioacuten Oral
de Evaluacioacuten
Pruebas de Desempentildeo
Examen Temaacutetico
x Ejercicios Interpretativos
Pruebas Objetivas
Mapa mental
Mapa Conceptual
x Estudios de Casos x Praacutecticas- Laboratorio
Proyecto
Portafolio
Ensayos
Otros (Indicar)
x Exposicioacuten x Diaacutelogo Debate Examen
Oral
Lista de cotejo
x Registro anecdoacutetico
Escala de actitud
Otros(Indicar)
Bibliografiacutea Anaacutelisis Matemaacutetico I Eduardo Espinoza Ramos Anaacutelisis Matemaacutetico Maacuteximo Mittac Meza
Paacutegina Web wwwucvpiuraedupe (aula virtual)
P L A N D E S E S I Oacute N D E A P R E N D I Z A J E 2 0 0 6- II
ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS
ASIGNATURA MATEMATICA I
Ciclo II Seccioacuten A
Semana 13 Nordm Sesioacuten 1
DOCENTE Lic Diana Quintana Saacutenchez
COMPETENCIA Interpreta formula analiza y resuelve problemas de contexto real utilizando definiciones teacutecnicas y aplicaciones del Caacutelculo Diferencial desarrollando comunicacioacuten investigacioacuten razonamiento y manifestando confianza flexibilidad y perseverancia
CONTENIDO Derivadas
CAPACIDAD Infiere mediante un anaacutelisis grafico las relaciones existentes entre la graacutefica de una funcioacuten y su primera derivada signo de la primera derivada asociado con crecimiento o decrecimiento de la funcioacuten y derivada nula con puntos criacuteticos
ACTIVIDADES TIEMPO
INDICADORES INICIALES
15rsquo
Destreza Habilidad
Contenido Producto Iacutetems
bull Saludo bull Esta clase se inicia con una lluvia de ideas sobre lo trabajado en
la clase anterior
Calcula Determina Analiza
Reglas de Derivacioacuten Derivadas de orden superior Anaacutelisis graacutefico de funciones y su primera derivada
Solucioacuten de ejercicios sobre derivadas Anaacutelisis de grafico de funciones y su primera derivada Ejemplos de primera y segunda derivada
5 Calcule la derivada de las
siguientes funciones 6 Encuentra derivada de orden
superior de funciones ( )f x 7 Analiza las graficas de
funciones y su derivada
ACTIVIDADES DE PROCESO
2h15rsquo
break 1h30rsquo
bull Para esta sesioacuten los alumnos han descargado el material del aula
virtual Pero para el grupo experimental la guiacutea se entrega en clase
bull Se presenta el contenido y se trabaja dando espacios para las posibles preguntas de los alumnos Ademaacutes se presentan ejemplos
bull Se solicita a los alumnos que voluntariamente expongan sus soluciones
ACTIVIDADES FINALES
10rsquo
Actitudes Valora la importancia de conocer el comportamiento grafico de una funcioacuten y su derivada
bull Presentar en la siguiente clase la solucioacuten del trabajo
praacutectico Nordm 4 METODO AYUDAS TEacuteCNICAS E INSTRUMENTOS DE EVALUACIOacuteN
x Expositivas-Interactivas
Investigacioacuten Individual
Debate
Proyecto
Demostracioacuten
Investigacioacuten por parejas
Otros
Texto Separatas-resumen x Transparencias- Diapositivas
Ejercicios Aplicacioacuten x Casos Presentacioacuten Multimedia
Otros
Observacioacuten Situacioacuten Ejercicio Praacutectico Pruebas Escritas Situacioacuten Oral de Evaluacioacuten
Pruebas de Desempentildeo
Examen Temaacutetico
x Ejercicios Interpretativos
Pruebas Objetivas
Mapa mental
Mapa Conceptual
Estudios de Casos x Praacutecticas- Laboratorio
Proyecto
Portafolio
Ensayos
Otros (Indicar)
x Exposicioacuten x Diaacutelogo Debate Examen
Oral
Lista de cotejo
x Registro anecdoacutetico
Escala de actitud
Otros(Indicar)
Bibliografiacutea Anaacutelisis Matemaacutetico I Eduardo Espinoza Ramos Anaacutelisis Matemaacutetico Maacuteximo Mittac Meza
Paacutegina Web wwwucvpiuraedupe (aula virtual)
P L A N D E S E S I Oacute N D E A P R E N D I Z A J E 2 0 0 6- II ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS
ASIGNATURA MATEMATICA I
Ciclo II Seccioacuten A B
Semana 14 Nordm Sesioacuten 1
DOCENTE Lic Diana Quintana Saacutenchez
COMPETENCIA Interpreta formula analiza y resuelve problemas de contexto real utilizando definiciones teacutecnicas y aplicaciones del Caacutelculo Diferencial desarrollando comunicacioacuten investigacioacuten razonamiento y manifestando confianza flexibilidad y perseverancia CONTENIDO Derivadas
CAPACIDAD Determina los puntos criacuteticos de una funcioacuten y los clasifica en maacuteximos miacutenimos o de inflexiones
ACTIVIDADES TIEMPO INDICADORES
INICIALES
15rsquo
Destreza Habilidad
Contenido Producto Iacutetems
bull Saludo bull Esta clase se inicia con la presentacioacuten de un problema el cual
implica derivar una funcioacuten trascendente la intencioacuten es generar el desequilibrio cognitivo
Identifica Demuestra Emplea
Reglas de Derivacioacuten de funciones Trigonometricas Trigonometricas Inversas Exponenciales Logariacutetmicas Reglas de Derivacioacuten de funciones Impliacutecitas Derivadas de orden superior
Solucioacuten de ejercicios y problemas de la separata referidos a derivadas
bull Identifica las reglas de derivacioacuten
que empleara para resolver determinados ejercicios
bull Demuestra empleando meacutetodos de
derivacioacuten que las derivadas de funciones impliacutecita se pueden calcular
bull Emplea derivacioacuten de orden
superior para resolver problemas
ACTIVIDADES DE PROCESO
2h15rsquo break 1h30rsquo
bull Para esta sesioacuten los alumnos han descargado el material del aula
virtual bull La clase se desarrolla empleando el meacutetodo expositivo dando
espacios para las posibles preguntas de los alumnos Ademaacutes se presentan ejemplos y la solucioacuten del problema planteando al inicio de la clase
bull Con el grupo experimental no hubo laboratorio bull Se resuelve de forma individual los ejercicios del trabajo praacutectico bull Se solicita a los alumnos que voluntariamente expongan sus
soluciones ACTIVIDADES FINALES
10rsquo Actitudes Intereacutes por conocer fundamentos teoacutericos que le permitan resolver ejercicios y problemas
bull Presentar en la siguiente clase la solucioacuten del trabajo praacutectico de la separata
METODO AYUDAS TEacuteCNICAS E INSTRUMENTOS DE EVALUACIOacuteN
x Expositivas-Interactivas
Investigacioacuten Individual
Debate Proyecto Demostracioacuten Investigacioacuten
por parejas Otros
Texto Separatas-resumen x Transparencias- Diapositivas
Ejercicios Aplicacioacuten x Casos Presentacioacuten Multimedia
Otros
Observacioacuten Situacioacuten Ejercicio Praacutectico Pruebas Escritas Situacioacuten Oral de Evaluacioacuten
Pruebas de Desempentildeo
Examen Temaacutetico
x Ejercicios Interpretativos
Pruebas Objetivas
Mapa mental Mapa Conceptual Estudios de Casos x Praacutecticas- Laboratorio Proyecto Portafolio Ensayos Otros (Indicar)
x Exposicioacuten x Diaacutelogo Debate Examen
Oral
Lista de cotejo x Registro
anecdoacutetico Escala de actitud Otros(Indicar)
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P L A N D E S E S I Oacute N D E A P R E N D I Z A J E 2 0 0 6- II ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS
ASIGNATURA MATEMATICA I
Ciclo II Seccioacuten B
Semana 15 Nordm Sesioacuten 1
DOCENTE Lic Diana Quintana Saacutenchez
COMPETENCIA Interpreta formula analiza y resuelve problemas de contexto real utilizando definiciones teacutecnicas y aplicaciones del Caacutelculo Diferencial desarrollando comunicacioacuten investigacioacuten razonamiento y manifestando confianza flexibilidad y perseverancia CONTENIDO Derivadas CAPACIDAD Emplea criterios de primera y segunda derivada para resolver problemas de maacuteximos y miacutenimos
ACTIVIDADES TIEMPO INDICADORES INICIALES DestrezaHabilidad Contenido Producto Iacutetems
bull Saludo bull Esta clase se inicia con la participacioacuten de los
alumnos en un pequentildeo dialogo sobre los contenidos estudiados en la clase anterior
15rsquo
Calcula Aplica Resuelve
Reglas de LrsquoHospital Criterio de la Primera y segunda derivada Problemas de Maacuteximos y Miacutenimos
Opinioacuten sobre los protagonistas de la Historia de Calculo Presentacioacuten de ejercicios propuestos en clase
8 Calcula liacutemites empleando la
regla de LrsquoHospital 9 Aplica el criterio de la primera y
segunda derivada para resolver ejercicios
10 Resuelve problemas de
maacuteximos y miacutenimos
ACTIVIDADES DE PROCESO
2h15rsquo break 1h30rsquo
bull Se expone el fundamento teoacuterico sobre la definicioacuten
de derivada y se entrega el material didaacutectico bull Se resuelve en parejas en la solucioacuten del primer
trabajo praacutectico bull Los alumnos exponen en la pizarra la solucioacuten de los
problemas ACTIVIDADES FINALES
10rsquo
Actitudes Valora de manera criacutetica la importancia de la historia del caacutelculo asiacute mismo muestra orden e intereacutes por aprender
bull Resolver y exponer la solucioacuten de los ejercicios de la
separata
METODO AYUDAS TEacuteCNICAS E INSTRUMENTOS DE EVALUACIOacuteN
x Expositivas-Interactivas
Investigacioacuten Individual
Debate
Proyecto
Demostracioacuten
x Investigacioacuten por equipos
Otros
Texto Separatas-resumen x Transparencias- Diapositivas
Ejercicios Aplicacioacuten x Casos Presentacioacuten Multimedia
x
Otros
Observacioacuten Situacioacuten Ejercicio Praacutectico Pruebas Escritas Situacioacuten Oral
de Evaluacioacuten
Pruebas de Desempentildeo
Examen Temaacutetico
x Ejercicios Interpretativos
Pruebas Objetivas
Mapa mental
Mapa Conceptual
Estudios de Casos x Praacutecticas- Laboratorio
Proyecto
Portafolio
Ensayos
Otros (Indicar)
x Exposicioacuten x Diaacutelogo Debate Examen
Oral
Lista de cotejo
x Registro anecdoacutetico
Escala de actitud
Otros(Indicar)
Bibliografiacutea Anaacutelisis Matemaacutetico I Eduardo Espinoza Ramos Anaacutelisis Matemaacutetico Maacuteximo Mittac Meza
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tener la lata es decir el radio y la altura Calcula tambieacuten el valor de la superficie de la chapa miacutenima PROBLEMA 3 Calcula el valor de los coeficientes a y b para que la funcioacuten
3( )f x ax bx= + tenga un maacuteximo relativo en P (12) PROBLEMA 4 Calcular el polinomio de tercer grado que pasa por el origen de coordenadas O (00) tiene un maacuteximo relativo en el punto P (-24) y un punto de inflexioacuten en el punto Q (-12)
ANEXO 5
TABLAS DE ESPECIFICACIONES
Preg horas Razon de Cambio- Problema de la recta tangente 1 0 0 0 1 1 20
TOTAL 2 2 1 2 7 5 100
TOTAL
TABLA DE ESPECIFICACIONESPRUEBA DE MATEMATICA I
PRACTICA 1
Conocimiento Comprensioacuten Aplicacioacuten
Definicion de Derivada 1 0 1 0 2 1 20
Graacutefico de Funciones y suderivada 0 2 0 2 4 3 60
Ejes Temaacuteticos
HabilidadesCognitivas Anaacutelisis
Siacutentesis y Evaluacioacuten
Preg horas Calculo de Derivadas de orden Superior 0 2 0 1 3 3 60Primera y segunda Derivada de una Funcioacuten 0 0 2 2 4 2 40TOTAL 0 2 2 3 7 5 100
Conocimiento Comprensioacuten Aplicacioacuten
TABLA DE ESPECIFICACIONESPRUEBA DE MATEMATICA I
PRACTICA 2
TOTAL
Ejes Temaacuteticos
HabilidadesCognitivas Anaacutelisis
Siacutentesis y Evaluacioacuten
Preg horas Grafico de funciones y sus derivadas y propiedades de las funciones
1 0 1 1 3 2 40
Problemas de Optimizacion 1 0 2 0 3 3 60TOTAL 2 0 3 1 6 5 100
TABLA DE ESPECIFICACIONESPRUEBA DE MATEMATICA I
PRACTICA 3
Conocimiento Comprensioacuten AplicacioacutenTOTAL
Ejes Temaacuteticos
HabilidadesCognitivas Anaacutelisis
Siacutentesis y Evaluacioacuten
Preg horas SEGUNDA UNIDAD 1 0 3 1 5 20 100TOTAL 1 0 3 1 5 20 100
TABLA DE ESPECIFICACIONESEXAMEN FINAL DE MATEMATICA I
Conocimiento Comprensioacuten AplicacioacutenTOTAL
Ejes Temaacuteticos
HabilidadesCognitivas Anaacutelisis
Siacutentesis y Evaluacioacuten
ANEXO 6
INSTRUMENTOS DE EVALUACION
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS ASIGNATURA MATEMATICA I TIEMPO 2 HORAS
PRACTICA CALIFICADA Nordm 1 INDICACIONES Cuide la redaccioacuten de sus respuestas y trabaje en forma ordenada evitando los borrones CONOCIMIENTO (2 ptos cada una)
1 Identifica el concepto de razoacuten de cambio en el problema de la recta tangente
2 Menciona las dos formas equivalentes de la derivada y explica su diferencia simboacutelica
COMPRENCION (2 ptos cada una)
3 En la siguiente figura se dan las graacuteficas de una funcioacuten f y su derivada f sobre unos ejes comunes Explicar en un breve paacuterrafo dichas graacuteficas
4 Empareja cada funcioacuten de la columna izquierda con la grafica de su derivada en la columna derecha
a) A)
b) B) c) C) APLICACIOacuteN (4 ptos)
5 Usar la definicioacuten de derivada para hallar ( )f x Siendo
3 2( )f x x x= + ANALISIS SINTESIS Y EVALUACIOacuteN (4 ptos cada una)
6 Analiza la situacioacuten en el punto 0x = para la funcioacuten ( )f x y su derivada asiacute mismo elabora una grafica de dichas funciones
2
2
4 0( )
4 0
x xf x
x x
minus gt= minus le
7 Evaluacutee las funciones 2( ) 1f x x= + y ( ) 1g x x= + simultaacuteneamente
en la cercaniacutea del punto (01) y responda iquestQueacute se observa iquestQueacute funcioacuten es derivable en ese punto
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS ASIGNATURA MATEMATICA I TIEMPO 2 HORAS
PRACTICA CALIFICADA Nordm 2 INDICACIONES Cuide la redaccioacuten de sus respuestas y trabaje en forma ordenada evitando los borrones COMPRENCION (3 ptos cada una)
1 Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas En caso de que sea falsa explica por queacute o da un ejemplo que muestre su falsedad
a) Si ( ) ( )y f x g x= entonces ( ) ( )dy f x g xdx
=
b) Si ( 1)( 2)( 3)( 4)y x x x x= + + + + entonces 5
5 0d ydx
=
c) La segunda derivada representa el ritmo de cambio de la primera
2 Sean f y g funciones cuyas primeras y segundas derivadas existen en un intervalo I Sentildeala iquestCuaacutel de estas formulas es correcta a) ( ) fg f g fg f gminus = minus b) ( ) fg f g fg+ =
APLICACIOacuteN (25 ptos)
3 Soluciona el siguiente problema El costo C de pedido y transporte de
las componentes utilizadas en la fabricacioacuten de un producto es 200100 1
30xC x
x x = + le +
donde C se mide en miles doacutelares y
x es el tamantildeo del pedido Hallar el ritmo de cambio de C con respecto a x cuando 10 15x x= =
4 Usa la graacutefica de f para esbozar la de f y f
ANALISIS SINTESIS Y EVALUACIOacuteN (3 cada una)
5 Hallar la derivada de f para 1234n = y usar los resultados para proponer una foacutermula general para ( )f x en teacuterminos de n
6 Selecciona y graacutefica de una funcioacuten derivable f tal que 0f gt y
0f lt para todos los nuacutemeros reales x
7 Evaluacutea la derivada de la funcioacuten en el punto que se indica 1 cos1 cos
ecxyecx
+=
minusen 3
6π minus
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS ASIGNATURA MATEMATICA I TIEMPO 2 HORAS
PRACTICA CALIFICADA Nordm 3 INDICACIONES Cuide la redaccioacuten de sus respuestas y trabaje en forma ordenada evitando los borrones CONOCIMIENTO (15 pto cada una)
1 La graacutefica de ( )f x viene dada en la figura adjunta Indica a) iquestEn queacute valores de x es ( )f x cero positiva o negativa b) iquestEn queacute intervalo es f creciente
2 Describa el criterio de la segunda Derivada para hallar maacuteximos y
miacutenimos de una funcioacuten APLICACIOacuteN (45 cada una) Soluciona los siguientes problemas
3 El rendimiento (medido de 0 a 10) de cierto producto en funcioacuten del
tiempo de uso ( x en antildeos) viene dado por la siguiente expresioacuten
2
3( ) 85 0
1
xf x xx
= + ge+
a) iquestHay intervalos de tiempo en los que el rendimiento crece iquestY en que decrece iquestCuaacuteles son
b) iquestEn queacute punto se alcanza el rendimiento maacuteximo iquestCuaacutento vale
4 Se ha construido una presa de almacenamiento de agua cuyos costos de mantenimiento diarios son una funcioacuten de la cantidad de agua que la misma tiene almacenada Tales costos (en doacutelares) vienen dados por la siguiente expresioacuten ( ( )C x representa el costo si el volumen de agua en millones de metros cuacutebicos es x )
3 2( ) 8 73C x x x x= + minus + a) encontrar el volumen diario de agua oacuteptimo que debe mantenerse para minimizar costos b) calcular el costo miacutenimo diario que supone el mantenimiento de la instalacioacuten Si un diacutea la presa tiene almacenados 3 millones de metros cuacutebicos de agua iquestcuaacutento se ha gastado de maacutes respecto del costo miacutenimo
5 Proponga y dibuje una funcioacuten cuya derivada sea siempre negativa ANALISIS SINTESIS Y EVALUACIOacuteN (35 ptos)
6 Las graacuteficas de f f f se muestran en los mismos ejes iquestPodriacuteas decir cuaacutel es cuaacutel
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS ASIGNATURA MATEMATICA I TIEMPO 2 HORAS
EXAMEN FINAL
INDICACIONES Cuide la redaccioacuten de sus respuestas y trabaje en forma ordenada evitando los borrones CONOCIMIENTO (2 ptos)
1 Demostrar usando la definicioacuten que (cos )d x senx
dx= minus
APLICACIOacuteN (4 ptos cada una)
2 Emplea las reglas de derivacioacuten para encontrar la derivada de la
siguiente funcioacuten coscos
senx xy arctgsenx x
+ = minus
3 Calcular la primera derivada de la funcioacuten impliacutecita 2 34 6xy y y xy+ = +
4 Encontrar la derivada de la siguiente funcioacuten reduciendo en lo posible dicha derivada a su miacutenima expresioacuten
1 1 1( ) ln 2
11 1
x x xf x arctg
xx x
+ minus minus minus= +
++ + minus
ANALISIS SINTESIS Y EVALUACIOacuteN (6 ptos)
5 Lee atentamente el siguiente enunciado y responde a las preguntas La puntuacioacuten obtenida por un estudiante en un examen depende del tiempo que haya dedicado a su preparacioacuten ( x expresado en horas) en los siguientes teacuterminos
0 153( )2
1502 3
x si xg x
x si xx
le le= lt +
a) Si un estudiante ha dedicado menos de 15 horas a preparar el examen justificar que no aprobaraacute esto es que obtendraacute menos de 5 puntos
b) Justificar que la puntuacioacuten nunca puede ser superior a 10 puntos
DIANA JUDITH QUINTANA SAacuteNCHEZ
TRATAMIENTO DIDAacuteCTICO DE LA DERIVADA ndash LA APLICACIOacuteN DEL PROGRAMA DERIVE
UNIVERSIDAD DE PIURA FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIOacuteN
MAESTRIA EN EDUCACIOacuteN MENCIOacuteN EN MATEMAacuteTICA
2010
AGRADECIMIENTOS
Esta tesis si bien ha requerido de esfuerzo y mucha dedicacioacuten por parte de la autora y su asesor de tesis no hubiese sido posible su finalizacioacuten sin la cooperacioacuten desinteresada de todas y cada una de las personas que a continuacioacuten citareacute Primero y antes que nada dar gracias a Dios por estar conmigo en cada paso que doy por fortalecer mi corazoacuten e iluminar mi mente y por haber puesto en mi camino a aquellas personas que han sido mi soporte y compantildeiacutea durante todo este tiempo A mis padres Alejandro y Carmen por estar siempre a mi lado por el apoyo que siempre me han brindado A Luis mi buen esposo porque en su compantildeiacutea las cosas malas se convierten en buenas por su amor paciencia y comprensioacuten A mis hijos Luis Sebastiaacuten Esteban Hipoacutelito y Renzo Alejandro por ser el regalo maacutes grande de Dios y ser el estiacutemulo para seguir adelante
IacuteNDICE
PAacuteGINA
Introduccioacuten 1 Capiacutetulo I
Problematizacioacuten 2 11 Planteamiento del Problema 2 111 Antecedentes 2 112 Formulacioacuten del Problema 8 113 Justificacioacuten 9 114 Hipoacutetesis 10 115 Variables 10 116 Poblacioacuten 11 12 Objetivos de la Investigacioacuten 11 121 Objetivo General 11 122 Objetivos Especiacuteficos 11
Capiacutetulo II 12 Fundamento Teoacuterico 12 21 Disentildeo Curricular de la Asignatura de matemaacutetica I 12 211 Siacutelabo de la Asignatura de Matemaacutetica I 12 22 Didaacutectica de la Matemaacutetica 13 221 Registros de Representacioacuten Semioacutetica
Raymod Duval 14 222 Taxonomiacutea de Bloom y los niveles en que Se pueden clasificar los objetivos de
Aprendizaje 15 23 Desarrollo de la parte conceptual de la Derivada 19
24 La informaacutetica como recurso 92 241 El Software Educativo en el proceso de ensentildeanza Aprendizaje 94 242 La introduccioacuten del software de Matemaacutetica en la educacioacuten Matemaacutetica 94 243 El programa Derive 96 244 Capacidades del programa Derive 96 245 Laboratorios para el aprendizaje del Caacutelculo diferencial empleando Derive 97
Capiacutetulo III 99
Metodologiacutea de la Investigacioacuten 99 31 Paradigma de Investigacioacuten 99 32 Tipo de Investigacioacuten 100 33 Poblacioacuten 100 34 Hipoacutetesis Estadiacutesticas 100 35 Variables 100 36 Disentildeo de Investigacioacuten 100 37 Teacutecnicas e instrumentos de recoleccioacuten de datos 101 38 Teacutecnica de Procesamiento de Datos 102 39 Proceso de Investigacioacuten 103 391 Dificultades en el aprendizaje del
Calculo Diferencial 103 392 Rendimiento Acadeacutemico 104 393 Propuesta Didaacutectica 104
Capiacutetulo IV 115
Anaacutelisis e Interpretacioacuten de Resultados 115 41 Anaacutelisis Estadiacutestico
411 Resultados del rendimiento acadeacutemico 115 Los grupos experimental y de control
42 Anaacutelisis Inferencial 118 421 Comparacioacuten de Medias 118 422 Tablas de frecuencia del Pre-Test y Post-Test 119
423 Resultados del Pre-Test y Post-Test Considerando la comparacioacuten de medias y la Prueba t-student 121 424 Aceptacioacuten o rechazo de la hipoacutetesis nula o Alternativa 124 43 Discusioacuten de los resultados 125
Conclusiones 128 Recomendaciones 130 Bibliografiacutea 132
IacuteNDICE DE TABLAS
PAacuteGINA
1 Tabla Nordm1 Precio de artiacuteculo por meses 23 2 Tabla Nordm2 Razoacuten de cambio en el 2do 3er y 4to mes 27 3 Tabla Nordm3 Temperatura de un paciente seguacuten
transcurren las horas 29 4 Tabla Nordm4 Relacioacuten de Temperatura Graacutefica y Razoacuten
de Cambio 29 5 Tabla Nordm5 Derivadas de orden superior 78 6 Tabla Nordm6 Calificaciones de la Segunda Unidad
- Grupo Experimental 117 7 Tabla Nordm7 Calificaciones de la Segunda Unidad
- Grupo de Control 118 8 Tabla Nordm8 Resultados Pre Test y Post Test - Grupo Experimental 120 9 Tabla Nordm9 Resultados Pre Test y Post Test ndash Grupo de Control 122 10 Tabla Nordm10 Resumen estadiacutestico de pruebas Pre Test
de los grupos experimental y de control 124 11 Tabla Nordm11 Resumen estadiacutestico de pruebas Post Test
de los grupos experimental y de control 125
IacuteNDICE DE GRAacuteFICOS
PAacuteGINA
1 Figura 1 Graacutefica del precio dado en soles en el primer y tercer mes 24 2 Figura 2 Grafica del Supuesto crecimiento lineal de precio entre el primer y tercer mes 24 3 Figura 3 Graacutefica del descuento del 30 en el precio 24 4 Figura 4 Comportamiento no lineal entre tiempo y precio 26 5 Figura 5 Comportamiento no lineal entre tiempo y precio 26 6 Figura 6 Grafico del peso promedio de un bebeacute desde su nacimiento Hasta los dos antildeos 30 7 Figura 7 Graacutefico del valor de madera producida en funcioacuten del tiempo 31 8 Figura 8 Graacutefico del porcentaje de habitante en Estados Unidos que ven televisioacuten durante las 24 horas del diacutea 32 9 Figura 9 Graacutefica de las rectas secante y tangentes a una curva desde El punto Q hasta el punto P 33 10 Figura 10 Graacutefico de las posiciones de una recta secante a una curva en los puntos P y Q y su aproximacioacuten a la recta tangente 34 11 Figura 11 Graacutefica de la distancia recorrida por el objeto en
funcioacuten del tiempo 36
12 Figura 12 Graacutefica de la funcioacuten 1( )f xx
= y su recta
tangente en el Punto ( )21 2 39
13 Figura 13 Graacutefica de la funcioacuten ( )f x en los puntos c y c h+ empleando la primera forma de derivar 45 14 Figura 14 Graacutefica de la funcioacuten ( )f x en los puntos c y c h+ empleando la primera forma de derivar 45
15 Figura 15 Graacutefico de la funcioacuten valor absoluto para estudiar la derivada en cero 48 16 Figura 16 Graacutefico de la derivada de la funcioacuten valor absoluto 49
17 Figura 17 Graacutefico de la funcioacuten 2 0( )
0x xf xx x
le=
gt para
Estudiar la derivada en cero 50
18 Figura 18 Graacutefico de la funcioacuten 1 0( )
2 0x
f xx x
ge= lt
50
19 Figura 19 Graacutefico de posibles situaciones de funcioacuten Diferenciable en un punto 51
20 Figura 20 Grafico de la funcioacuten 2( ) 9f x x= minus 53
21 Figura 21 Graacutefico de la funcioacuten 1( )
1f x
x=
+ 53
22 Figura 22 Graacutefico de la funcioacuten 3( )
1f x
xminus
=+
59
IacuteNDICE DE ANEXOS
CONTENIDO PAacuteGINA
1 ANEXO 1 Siacutelabo de la Asignatura 135 2 ANEXO 2 Registro de Evaluaciones 144
3 ANEXO 3 Guiacuteas Metodoloacutegicas Aplicando
El Software DERIVE 145
4 ANEXO 4 Planes de Clase 171 5 ANEXO 5 Tabla de Especificaciones 177
6 ANEXO 6 Instrumentos de Evaluacioacuten 186
7 ANEXO 7 Laboratorios en DERIVE 195
INTRODUCCIOacuteN El presente trabajo se ha realizado en la asignatura Matemaacutetica I del segundo ciclo en las Escuelas de Ingenieriacutea Industrial e Ingenieriacutea de Sistemas y fue motivado por la necesidad de mejorar mi praacutectica docente y brindar a los alumnos herramientas para mejorar el aprendizaje de esta asignatura Lo abstracto de las matemaacuteticas no permite que los alumnos puedan ver y manipular entes matemaacuteticos generaacutendose confusiones y problemas para interpretar la informacioacuten que un determinado elemento pueda proporcionar Siendo asiacute con mayor dificultad podraacuten emplear los resultados obtenidos para predecir alguna situacioacuten Pensando en esta problemaacutetica es que penseacute en incorporar al trabajo en clase el uso de Software DERIVE para desarrollar el capiacutetulo de derivadas Elegiacute este software por su faacutecil manejo de esta forma los alumnos no demorariacutean en aprenderlo y podriacutean usarlo sin complicaciones Para esta investigacioacuten se elaboroacute un moacutedulo dando un tratamiento didaacutectico a las definiciones teoremas propiedades de la derivada apoyaacutendonos en la teoriacutea de Registros Semioacuteticos ademaacutes de guiacuteas de laboratorio y praacutecticas calificadas apoyaacutendonos para su elaboracioacuten en la Taxonomiacutea de Bloom Los grupos con los que se trabajo la investigacioacuten fueron dos uno experimental y otro de Control Asiacute iniciamos un estudio en que planteamos la posibilidad de que los estudiantes alcancen un aprendizaje del Caacutelculo Diferencial maacutes efectivo empleando DERIVE que permita mejorar el resultado del rendimiento de la asignatura de Matemaacutetica I y por ende mejorar su calidad educativa
CAPIacuteTULO I
PROBLEMATIZACIOacuteN
11PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 111 ANTECEDENTES
Algunos de los trabajos encontrados con ayuda del buscador REDEMAT son los que presento a continuacioacuten estos trabajos de investigacioacuten se han realizado empleando software educativos y desarrollando temas como Funciones Matrices Geometriacutea en los niveles de secundaria bachillerato y universidad
1 TITULO DERIVE UNA HERRAMIENTA PARA EL
APRENDIZAJE DE LAS MATEMAacuteTICAS AUTOR FRANCISCO CABO GARCIA BONIFACIO LLAMAZARES RODRIacuteGUEZ MARIA TERESA PENtildeA GARCIA LUGAR DEPARTAMENTO DE ECONOMIacuteA APLICADA (MATEMAacuteTICA) UNIVERSIDAD DE VALLADOLID
Los autores muestran en este trabajo su experiencia docente con el programa DERIVE en la asignatura Matemaacutetica de las Licenciaturas en Economiacutea y en Administracioacuten y Direccioacuten de Empresas
El objetivo es complementar el curso con una herramienta que les permita a los alumnos visualizar situaciones matemaacuteticas difiacuteciles o muy laboriosas de trabajar manualmente pero que tiene mucha interpretacioacuten en la Economiacutea Este equipo de docentes ha elaborado una guiacutea dividida en tres capiacutetulos El primero describe los menuacutes y los botones de cada una de las ventanas del programa los dos siguiente se dedican al estudio del Algebra y Caacutelculo asiacute como a programar algunas funciones para facilitar la resolucioacuten de ejercicios La conclusioacuten de esta investigacioacuten es que el uso de recursos informaacuteticos permite un mayor acercamiento del alumno a las asignaturas que como matemaacuteticas no gozan de mucha simpatiacutea entre los estudiantes Ademaacutes de desarrollar en el alumno una mayor destreza en las praacutecticas informaacuteticas ya que este curso corresponde a los primeros ciclos
2 TITULO UNA PROPUESTA METODOLOacuteGICA DE
INTRODUCCIOacuteN TEMPRANA DEL CONCEPTO DE APROXIMACIOacuteN LOCAL EN SU MANIFESTACIOacuteN DE RECTA TANGENTE VIacuteA EL ASISTENTE MATEMAacuteTICO
AUTOR PEDRO VICENTE ESTABAN DUARTE
PEDRO PEREZ CARRERA LUGAR UNIVERSIDAD POLITECNICA DE VALENCIA
ESPANtildeA
Los mapas conceptuales tienen por objeto representar relaciones significativas entre conceptos en forma de proposiciones facilitando el anaacutelisis del lenguaje empleado en su construccioacuten y poniendo de manifiesto la integracioacuten que los aprendices tienen entre los conceptos empleados para su elaboracioacuten En el modelo educativo de Van Hiele es considerado el lenguaje como una de sus caracteriacutesticas fundamentales en el proceso de aprendizaje de un concepto geomeacutetrico o matemaacutetico y es una de los indicadores del nivel de razonamiento en el cual un alumno se encuentra El modelo de Van Hiele esta compuesto por cinco niveles de razonamiento cinco fases del aprendizaje y el insight o definido tambieacuten como comprensioacuten A partir del anaacutelisis del leguaje se pueden disentildear experiencias de aprendizaje
significativas para potenciar el progreso de un alumno a traveacutes de los niveles de razonamiento postulados por dicho modelo El propoacutesito de esta investigacioacuten es exponer una metodologiacutea basada en el Modelo Educativo de Van Hiele para ensentildear el concepto de aproximacioacuten local en su manifestacioacuten de recta tangente a una curva plana en un punto a partir de la visualizacioacuten que se obtiene del haz de secantes entendieacutendolo como conjunto de rectas que pasan todas por un punto fijo de la curva y por otros sobre la curva dada cada vez maacutes cercanos al punto dado Dicha visualizacioacuten que se propone se obtiene con la ayuda del asistente matemaacutetico DERIVE y no requiere de manipulaciones algebraicas que entorpezcan el razonamiento que los alumnos deben desarrollar y exhibir a lo largo del proceso Se elabora un material disentildeado para ser cubierto en una clase en la cual el profesor sirva de orientador formulando preguntas y respondiendo inquietudes en el momento oportuno Como conclusiones de esta investigacioacuten se tiene que para la asimilacioacuten efectiva de un concepto matemaacutetico se deben tener en cuenta dos fases una primera de proporcionar una visualizacioacuten adecuada del concepto a estudiar en la que los alumnos tienen un primer acercamiento al concepto sin manipulaciones algebraicas La segunda es la formalizacioacuten del concepto en la cual la docencia tradicional centra todos sus esfuerzos La ensentildeanza centrada en esta segunda fase hace maacutes difiacutecil que los alumnos progresen en su razonamiento y logren integrar y desarrollar relaciones con los demaacutes conceptos estudiados Su propuesta metodoloacutegica esta dirigida a la primera fase es decir a la construccioacuten de un concepto ndash definicioacuten cuando se disponga de la madurez algebraica y loacutegico deductivo necesarias Su experiencia educativa siguiendo el modelo de Van Hiele aplicado al concepto de aproximacioacuten local del cual esta propuesta metodoloacutegica es su fruto les permite asegurar que el 90 de los alumnos sometidos al proceso descrito pueden verbalizar una definicioacuten correcta de recta tangente a una curva en uno de sus puntos partiendo del haz de secantes y solo el 5 de los alumnos que siguen el curso de anaacutelisis con
una metodologiacutea tradicional dan una definicioacuten de tangente a una curva en un punto a partir del concepto de derivada
3 TITULO ALGUNAS CONSECUENCIAS DEL USO HABITUAL
DEL ORDENADOR EN LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS
AUTOR JCARIAS
LUGAR SIMPOSIO- MADRID 11 DE DICIEMBRE DE 2003
En esta ponencia se hace una reflexioacuten acerca del uso del programa DERIVE 6 en la ensentildeanza de las matemaacuteticas Se inicia con una breve incidencia en las nuevas posibilidades del programa respecto a su predecesor DERIVE 5 Se propone el uso cotidiano incorporado a todas las fases del proceso de ensentildeanza aprendizaje la idea de que ldquoLos meacutetodos con los que los estudiantes han de ser introducidos para resolver los problemas han de tener en cuenta lo que las nuevas tecnologiacuteas son capaces de hacerrdquo le lleva a concluir que no se pueden cambiar los programas curriculares pero que se pueden aprovechar todas las potencialidades que ofrece DERIVE para hacer de el una herramienta capaz de contribuir en la formacioacuten de conocimiento en el alumno Respecto a la evaluacioacuten explica que no se trata de poner exaacutemenes especiales para evaluar unas praacutecticas con ordenador maacutes o menos ocasionales Menos todaviacutea de modificar los contenidos de las asignaturas para adaptarlos a las posibilidades del software al contrario en esta experiencia se plantea valorar las consecuencias de permitir el uso del ordenador en los exaacutemenes entendidos estos como los exaacutemenes de siempre los mismos que se hubiesen propuestos si no se contase con el ordenador Como conclusioacuten se menciona la elaboracioacuten de exaacutemenes donde el alumno plantea el problema pero las cuentas las hace el programa por tanto hay una subida de nivel por que nos centramos maacutes en los problemas (frente a los ejercicios) y por que la economiacutea de tiempo permite abarcar maacutes materias en el examen Como primera consecuencia los resultados acadeacutemicos mejoran pues hay mayor motivacioacuten en el estudiante como
consecuencia de la introduccioacuten de la tecnologiacutea y como consecuencia del mismo planteamiento de la iniciativa que lleva a restar importancia a habilidades algebraicas mal adquiridas La llamada falta de base se cintildee demasiadas veces a una mera deficiencia en esas habilidades que no necesariamente llevan unida una deficiencia en la capacidad de razonar matemaacuteticamente Como segunda consecuencia se tiene que el uso del ordenador implica cambios en los contenidos no con ello perdiendo el rigor que las matemaacuteticas requieren Pero si permitiendo dejar de ser esclavos de las limitaciones del caacutelculo y trabajando ejemplos realistas que solo con ayuda de un ordenador podriacutean visualizarse en el menor tiempo posible permitiendo de esta manera el invertir el tiempo disponible en el anaacutelisis y comprensioacuten de conceptos
4 TITULOCURSO DE CAacuteLCULO DIFERENCIAL POR
COMPUTADORA AUTOR JOSE HUMBERTO GIRALDO
LUGAR DEPARTAMENTO DE MATEMAacuteTICAS- UNIVERSIDAD DE LOS ANDES-BOGOTA- COLOMBIA
SEMINARIO I
En este seminario se expone el proyecto piloto de ensentildeanza de caacutelculo diferencial con computadoras que se esta desarrollando en la Universidad de los Andes En la primera fase del proyecto participan cuatro profesores del departamento estos profesores ensentildean aproximadamente en cuatro secciones diferentes de aproximadamente 130 estudiantes cada una Al principio del semestre cada estudiante recibe un CD que contiene la informacioacuten del curso y que incluye todas las guiacuteas que se usaran durante el semestre Estas guiacuteas tiene un formato especial despueacutes de discutir un determinado concepto el estudiante esta obligado a resolver determinados problemas relacionados con el tema que se ha explorado
Ademaacutes se trabaja para que el estudiante aprenda a encontrar conexioacuten entre la parte algebraica y la parte grafico geomeacutetrica La evaluacioacuten continua del estudiante tambieacuten se contempla como un componente de la estructura del curso El estudiante tiene un quiz semanal que se publica en la web El objetivo es tener al estudiante trabajando todo el tiempo en los conceptos y darle informacioacuten al profesor sobre como se estaacuten asimilando dichos conceptos El profesor Giraldo no obstante expreso que las computadoras no van a reemplazar a los profesores porque los estudiantes siempre van a querer salir de sus casas para socializarse alejarse de sus familias e ir a la universidad Finalmente algunas reflexiones son 1 A pesar de lo atractivo y novedosos que resultan estas metodologiacuteas no se puede perder de vista lo que es esencial en un curso de matemaacuteticas a saber hacer que el estudiante adquiera una forma de pensar precisa coherente y exhaustiva ensentildearle de una manera clara los conceptos y los argumentos loacutegico que los sustentan darle herramientas metodoloacutegicas para solucionar problemas transmitirle una pasioacuten por el mundo de las matemaacuteticas hacerle apreciar su elegancia y su utilidad 2 No cabe duda de que las computadoras con sus caacutelculos agiliacutesimos y sus estupendas animaciones y sus graacuteficas pueden ayudar a cumplir los objetivos mencionados anteriormente pues permite explicar con mucha claridad y entender con gran facilidad las nociones matemaacuteticas maacutes intriacutensecas
5 TIacuteTULO MATEMAacuteTICAS CON DERIVE EN EL SALOacuteN DE CLASES
AUTOR HECTOR AEGUETA VILLAMAR MARIA JUANA LINARES ALTAMIRANO LUGAR DIRECCIOacuteN GENERAL DE SERVICIOS DE
COacuteMPUTO ACADEacuteMICO UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MEacuteXICO
El objetivo de este trabajo es mostrar diversas aplicaciones del programa Derive para PC en el proceso de ensentildeanza de las matemaacuteticas en los niveles de secundaria y medio superior Derive es un asistente matemaacutetico que permite realizar caacutelculos numeacutericos y caacutelculos simboacutelicos El programa puede trabajar con distintos tipos de precisioacuten para los caacutelculos 31416 141 271 etc entonces puede utilizar la precisioacuten exacta Con Derive es posible trabajar una amplia gama de temas matemaacuteticos como Aritmeacutetica de nuacutemeros reales y complejos Algebra Sistemas de Ecuaciones Funciones Caacutelculo Diferencial e Integral Vectores y Matrices Graficacioacuten en dos y tres dimensiones en coordenadas cartesianas y polares etc Derive cuenta ademaacutes con algunas posibilidades de programacioacuten con las que el usuario puede definir sus propias funciones puede trabajar con operadores booleanos y con el operador condicional If tambieacuten puede crear funciones recursivas y de iteracioacuten entre otras Esto uacuteltimo permite al usuario crear sus propias aplicaciones para resolver una diversidad de problemas El programa incluye algunos archivos llamados de aplicacioacuten de gran utilidad para resolver Ecuaciones Diferenciales Transformada de Laplace Integrales Eliacutepticas y para Graficar Curvas y Superficies Parameacutetricas en tres dimensiones etc Ademaacutes de su contenido matemaacutetico la gran virtud de Derive es que corre praacutecticamente en cualquier computadora e inclusive puede correr desde el diskette que lo contenga Ademaacutes DERIVE presenta como anexos ilustraciones de algunos de los documentos que trabajaron en el Taller
112 FORMULACIOacuteN DEL PROBLEMA
Durante el tiempo que he ensentildeado la asignatura de Matemaacutetica I he notado algunas dificultades comunes en los alumnos con respecto al tema del caacutelculo diferencial Este suceso me ha permitido fijar la atencioacuten y reflexionar sobre la idea de trabajar
con alguacuten recurso que me lleve a mejorar mi praacutectica docente Asiacute planteo el siguiente problema
iquestEn queacute medida la aplicacioacuten del programa DERIVE contribuye a mejorar el aprendizaje del Caacutelculo Diferencial en los alumnos de la asignatura de Matemaacutetica I de la Escuela de Ingenieriacutea Industrial y de Sistemas de la Universidad Ceacutesar Vallejo 2006
113 JUSTIFICACIOacuteN
En el desarrollo de nuestra labor como docentes del aacuterea de matemaacutetica nos encontramos con grupos de estudiantes que presentan dificultades en su rendimiento acadeacutemico El nuacutemero de desaprobados en la asignatura incrementa conforme el curso se desarrolla y su retiro de la asignatura es una consecuencia que no tarda en aparecer
Esta situacioacuten se debe a diversas causas entre ellas podemos mencionar el empleo de estrategias instruccionales inadecuadas el desconocimiento por parte de los docentes de los conocimientos previos que tienen los alumnos y un conjunto de factores como lo son lo relacionado con el curriacuteculo el docente el estudiante las tareas acadeacutemicas el contexto socio cultural y las estrategias tanto instruccionales como de aprendizaje
Por otro lado la tecnologiacutea ha afectado a nuestras vidas de muchas maneras Es imposible que ella no afecte la educacioacuten ya que despueacutes de todo uno de los objetivos de la educacioacuten es el de preparar al individuo para que se desenvuelva en la sociedad y la sociedad estaacute imbuida de tecnologiacutea
La complejidad de esta problemaacutetica lleva a la necesidad de plantear alternativas que contribuyan a mejorar los procesos de la ensentildeanza- aprendizaje en tal sentido considerareacute el uso de un programa matemaacutetico DERIVE
Asiacute siendo profesora de la asignatura de Matemaacutetica I inicio un estudio en que planteo la posibilidad de que los estudiantes alcancen un aprendizaje del Caacutelculo Diferencial maacutes efectivo empleando DERIVE que permita mejorar el resultado del rendimiento de la asignatura de Matemaacutetica I y por ende mejorar su calidad educativa
Normalmente este trabajo de investigacioacuten no debe detenerse en la mera descripcioacuten de los problemas sino que como resultado del anaacutelisis de su origen debe desembocar en propuestas tal como la que planteo que contribuyan a superarlos o al menos que la mayoriacutea de estudiantes los superen
114 HIPOacuteTESIS
Hipoacutetesis de la Investigacioacuten
1H Los estudiantes de la asignatura de Matemaacutetica I Seccioacuten A aula 412 del semestre 2006 II de Ingenieriacutea Industrial que usan el software DERIVE obtienen un mejor rendimiento acadeacutemico que los alumnos de la asignatura de Matemaacutetica I Seccioacuten B aula 413 del semestre 2006 II de Ingenieriacutea de Sistemas que no utilizan esta herramienta informaacutetica
Hipoacutetesis Nula
0H Los estudiantes de la asignatura de Matemaacutetica I Seccioacuten A aula 412 del semestre 2006 II que usan el software DERIVE de Ingenieriacutea Industrial no obtienen un mejor rendimiento acadeacutemico que los alumnos de la asignatura de Matemaacutetica I Seccioacuten B aula 413 del semestre 2006 II de Ingenieriacutea de Sistemas que no utilizan esta herramienta informaacutetica
115 VARIABLES
Variable Independiente Uso del programa DERIVE Variable Dependiente Rendimiento acadeacutemico de los alumnos Variables Intervinientes Asistencia a clases horarios tipo de contenidos grado de motivacioacuten de los alumnos
116 POBLACIOacuteN
Los alumnos de la asignatura de Matemaacutetica I de la Escuela de Ingenieriacutea Industrial y de Sistemas de la Universidad Ceacutesar Vallejo durante el segundo semestre 2006 Son en total 51 alumnos Se tomaraacute en cuenta el promedio final al terminar cada ciclo Semestre 2006 ndash II
12OBJETIVOS DE LA INVESTIGACIOacuteN 121 OBJETIVO GENERAL
Evaluar la eficacia del programa DERIVE como recurso didaacutectico en el proceso de ensentildeanza ndash aprendizaje del Caacutelculo Diferencial en los alumnos de la asignatura de Matemaacutetica I de la Escuela de Ingenieriacutea Industrial y de Sistemas de la Universidad Ceacutesar Vallejo
122 OBJETIVOS ESPECIacuteFICOS
1 Disentildear la propuesta de ensentildeanza en sus aspectos conceptuales y praacutecticos
2 Fomentar en los alumnos las capacidades de observar discernir analizar e interpretar
3 Proponer guiacuteas y actividades de aprendizaje que conlleven al alumno al aprendizaje significativo
CAPIacuteTULO II
FUNDAMENTO TEOacuteRICO
INTRODUCCIOacuteN
Iniciamos este capiacutetulo refirieacutendonos a silabo de Matemaacutetica I a continuacioacuten abordaremos los contenidos matemaacuteticos necesarios para la investigacioacuten ademaacutes de la propuesta de trabajar con el programa DERIVE 21 DISENtildeO CURRICULAR DE LA ASIGNATURA DE
MATEMAacuteTICA I
211 SIacuteLABO DE LA ASIGNATURA DE MATEMAacuteTICA I La asignatura que ensentildeo en la Universidad Cesar Vallejo en las Escuelas de Ingenieriacutea de Sistemas e Ingenieriacutea Industrial es Matemaacutetica I El siacutelabo se ha elaborado en base a los temas que indica el plan de estudios enviado por la Facultad de Ingenieriacutea de la Universidad Cesar Vallejo de Trujillo y es el mismo para ambas escuelas sentildealo ademaacutes que en ambas escuelas tiene como pre-requisito la asignatura de loacutegico matemaacutetica curso donde se desarrollan temas como Loacutegica Matemaacutetica Fundamentos de Algebra Matrices y Determinantes y Geometriacutea Analiacutetica
El siacutelabo de esta asignatura se presenta en Anexo 1 pero a continuacioacuten describireacute sus contenidos empezando por mencionar que se deben trabajar tres capiacutetulos los cuales son 1 Funciones 2 Liacutemites y Continuidad 3 Caacutelculo Diferencial El Desarrollo de esta asignatura estaacute orientado a lograr potenciar en el estudiante capacidades propias del aacuterea de Matemaacutetica como el razonamiento y demostracioacuten la interpretacioacuten de graacuteficos y expresiones simboacutelicas y la resolucioacuten de problemas Asiacute como presentar los medios necesarios para la adquisicioacuten de ciertas destrezas como anaacutelisis interpretacioacuten y aplicacioacuten de fundamentos teoacutericos Finalmente el logro de los objetivos de esta asignatura se veraacute reflejado y podraacute ser evaluado en la eficiencia que demuestren los alumnos al resolver situaciones reales
22 DIDAacuteCTICA DE LA MATEMAacuteTICA
Sabemos que la didaacutectica de las matemaacuteticas es la ciencia del estudio y de la ayuda al estudio de las matemaacuteticas Su objetivo es llegar a describir y caracterizar los procesos de estudio ndash o procesos didaacutecticos ndash de cara a proponer explicaciones y respuestas soacutelidas a las dificultades con que se encuentran todos aquellos que estudian matemaacuteticas1
Didaacutectica de las Matemaacuteticas no es un recetario didaacutectico ni un modelo para la ensentildeanza sino un intento de transmitir algunas reflexiones producto de la experiencia y de la lectura de especialistas en el tema
Tal vez lo que se pretenda lograr es estimular ldquola sorpresa matemaacuteticardquo en el viacutenculo con nuestros alumnos Esta sorpresa se basa en provocar conceptos demostraciones elementales con intereacutes reflexioacuten intriga o admiracioacuten Es responsabilidad del docente proponer una situacioacuten adecuada mediante una pregunta que motive las distintas situaciones de
1 BROUSSEAU GUY ldquoLos Diferentes roles del maestrordquo Paidoacutes 1994
aprendizaje con conocimientos anteriores que el alumno deberaacute acomodar y adecuar a las nuevas situaciones Luego modificar el conocimiento como respuesta al medio y no como deseo del maestro es una necesidad que se convierte en una obligacioacuten es nuestra tarea No se pretende en este trabajo abordar toda la problemaacutetica (referido en este caso al caacutelculo diferencial) con la que el profesor se enfrenta en su quehacer diario ya que eacutesta es muy compleja y tiene varias aristas que el docente debe conocer como conocimientos y teoriacuteas epistemoloacutegicas Al respecto conocemos que se han desarrollado diferentes teoriacuteas como Registros de representacioacuten semioacutetica de Raymond Duval teoriacutea de Situaciones Didaacutectica de Guy Brousseau Teoriacutea Socio epistemoloacutegica y el enfoque Ontosemioacutetico de la Cognicioacuten e Instruccioacuten Matemaacutetica Y para este trabajo de investigacioacuten se ha considerado tomar como referencia la Teoriacutea de Registros de Representacioacuten Semioacutetica y la Taxonomiacutea de Raymond Duval para la parte de la evaluacioacuten
221 REGISTROS DE REPRESENTACIOacuteN SEMIOacuteTICA
RAYMOND DUVAL Raymond Duval se ha interesado por los problemas de manipulacioacuten de representantes dentro de un sistema matemaacutetico de signos y sobre los problemas de conversioacuten de representaciones entre dos o maacutes sistemas de un mismo objeto matemaacutetico generando una nueva nocioacuten que es la de Registro de representacioacuten Un registro es un signo en el sentido maacutes amplio de la palabra trazos iacuteconos siacutembolos etc Los registros son medios de expresioacuten y de representacioacuten caracterizados precisamente por sus respectivos sistemas semioacuteticos El aprendizaje de las matemaacuteticas constituye un campo de estudio privilegiado para el anaacutelisis de las actividades cognitivas fundamentales como la conceptualizacioacuten el razonamiento la resolucioacuten de problemas y la comprensioacuten de textos La particularidad del aprendizaje de las matemaacuteticas hace que estas actividades cognitivas requieran de la utilizacioacuten de sistemas de
expresioacuten y de representacioacuten distinta a los del lenguaje natural o de las imaacutegenes Bajo estas ideas se puede considerar el hecho de que no puede haber comprensioacuten matemaacutetica si no se distingue un objeto de su representacioacuten y es que no podemos confundir los objetos matemaacuteticos como lo son por ejemplo los nuacutemeros las funciones las rectas con sus representaciones es decir las escrituras decimales o fraccionarias los siacutembolos los graacuteficos los trazos de las figuras Pues un mismo objeto matemaacutetico puede darse a traveacutes de representaciones muy distintas y debemos tener claro como docentes que toda confusioacuten entre el objeto y su representacioacuten provoca en un plazo maacutes o menos amplio una perdida en la comprensioacuten En esta teoriacutea se sentildeala primer lugar que cuando hablamos de representaciones es necesario considerar los siguientes aspectos 1 El sistema por el cual se produce la representacioacuten- Cualquier representacioacuten se produce a traveacutes de un sistema en particular El contenido de la representacioacuten de un objeto cambia de acuerdo con el sistema de representacioacuten que se utiliza para su produccioacuten El pensamiento humano requiere la movilizacioacuten de varios sistemas de representacioacuten de produccioacuten y su coordinacioacuten 2 La relacioacuten entre la representacioacuten y el objeto representado 3 La posibilidad de un acceso al objeto representado aparte de la representacioacuten semioacutetica 4 La razoacuten por la que el uso de la representacioacuten es necesaria El tema de derivadas se puede aplicar como un ejemplo de esta teoriacutea por cuanto los alumnos tienen siempre problemas para pasar de una forma de representacioacuten a otra 222 TAXONOMIA DE BLOOM Y LOS NIVELES EN
QUE SE PUEDEN CLASIFICAR LOS OBJETIVOS DE APRENDIZAJE
En el propoacutesito de mejorar la calidad y eficiencias de la educacioacuten debemos buscar que los alumnos elementos esenciales de nuestra tarea logren los maacutes altos niveles de aprendizaje Asiacute con ayuda de la taxonomiacutea de Bloom especificareacute objetivos seleccionareacute los contenidos y disentildeareacute los instrumentos de evaluacioacuten
En el dominio cognoscitivo en lugar de contentarnos con la memorizacioacuten de conocimientos primer escaloacuten debemos hacer que logren el nivel maacutes alto Dichos niveles son los siguientes 1 CONOCIMIENTO Se refiere a la capacidad de recordar hechos especiacuteficos y universales meacutetodos y procesos esquemas estructuras o marcos de referencia sin elaboracioacuten de ninguna especie puesto que cualquier cambio ya implica un proceso de nivel superior Requiere que el alumno repita alguacuten dato teoriacutea o principio en su forma original bull Terminologiacutea (palabras teacuterminos teacutecnicos etc) bull Hechos especiacuteficos (fechas partes de algo acontecimientos
etc) bull Convencionalismos (formas de tratar ideas dentro de un campo
de estudio foacutermulas) bull Corrientes y sucesiones (tendencias y secuencias) bull Clasificaciones y categoriacuteas (clases grupos divisiones etc)
criterios (para juzgar o comprobar hechos principios opiniones y tipos de conducta)
bull Metodologiacutea (meacutetodos de investigacioacuten teacutecnicas y procedimientos)
bull Principios y generalizaciones (abstracciones particulares para explicar describir predecir o determinar acciones)
bull Teoriacuteas y estructuras (evocacioacuten de teoriacuteas interrelaciones de los principios y generalizaciones)
Verbos que se usan con frecuencia para redactar objetivos de este nivel Definir - Sentildealar ndash Describir - Nombrar ndash Identificar ndash Narrar ndash Indicar ndash Mencionar 2 COMPRENSIOacuteN Se refiere a la capacidad de comprender o aprehender en donde el estudiante sabe queacute se le estaacute comunicando y hace uso de los materiales o ideas que se le presentan sin tener que relacionarlos con otros materiales o percibir la totalidad de sus implicaciones El material requiere de un proceso de transferencia y
generalizacioacuten lo que demanda una mayor capacidad de pensamiento abstracto Requiere que el alumno explique las relaciones entre los datos o los principios que rigen las clasificaciones dimensiones o arreglos en una determinada materia conocimiento de los criterios fundamentales que rigen la evaluacioacuten de hechos o principios y conocimientos de la metodologiacutea principios y generalizaciones bull Traduccioacuten (parafrasear habilidad para comprender
afirmaciones no literales como simbolismos metaacuteforas traducir material matemaacutetico simboacutelico etc)
bull Interpretacioacuten (explicacioacuten o resumen implica reordenamiento o nuevos arreglos de puntos de vista)
bull Extrapolacioacuten (implicaciones consecuencias corolarios efectos prediccioacuten etc)
Verbos que se usan con frecuencia para redactar objetivos de este nivel Traducir ndash Resumir ndash Expresar ndash Parafrasear ndash Discutir 3 APLICACIOacuteN
Se guiacutea por los mismos principios de la comprensioacuten y la uacutenica diferencia perceptible es la cantidad de elementos novedosos en la tarea por realizar Requiere el uso de abstracciones en situaciones particulares y concretas Pueden presentarse en forma de ideas generales reglas de procedimiento o meacutetodos generalizados y pueden ser tambieacuten principios ideas y teoriacuteas que deben recordarse de memoria y aplicarse
bull Solucioacuten de problemas en situaciones particulares y concretas (utilizacioacuten de abstracciones en tipos de conducta y tipos de problemas)
Verbos que se usan con frecuencia para redactar objetivos de este nivel Demostrar- Practicar ndash Emplear ndash Solucionar ndash Aplicar ndash Operar ndash Usar 4 ANAacuteLISIS
Consiste en descomponer un problema dado en sus partes y descubrir las relaciones existentes entre ellas En general la eventual solucioacuten se desprende de las relaciones que se descubren
entre los elementos constituyentes Implica el fraccionamiento de una comunicacioacuten en sus elementos constitutivos de tal modo que aparezca claramente la jerarquiacutea relativa de las ideas y se exprese expliacutecitamente la relacioacuten existente entre eacutestas
bull Anaacutelisis de elementos (reconocer supuestos no expresados distinguir entre hechos e hipoacutetesis)
bull Identificacioacuten de relaciones entre los elementos (conexiones e interacciones entre elementos comprobacioacuten de la consistencia de las hipoacutetesis con informaciones y suposiciones dadas)
bull Reconocimiento de los principios de organizacioacuten de la situacioacuten problemaacutetica (estructura expliacutecita e impliacutecita reconocimiento de formas y modelos teacutecnicas generales utilizadas etc)
bull Identificacioacuten de conclusiones y fundamentacioacuten de enunciados
Verbos que se usan con frecuencia para redactar objetivos de este nivel Diferenciar- Distinguir- Discriminar- Contrastar- Criticar- Analizar- Inferir 5 SIacuteNTESIS
Es el proceso de trabajar con fragmentos partes elementos organizarlos ordenarlos y combinarlos para formar un todo un esquema o estructura que antes no estaba presente de manera clara Requiere la reunioacuten de los elementos y las partes para formar un todo
bull Elaboracioacuten de un plan o conjunto de actos planeados (habilidad para proponer formas de comprobar las hipoacutetesis)
bull Desarrollo de conjuntos de relaciones para clasificar o explicar datos
bull Deduccioacuten de proposiciones y relaciones (de un grupo de proposiciones baacutesicas o de representaciones simboacutelicas)
bull Construccioacuten de un modelo o estructura bull Reordenacioacuten de las partes en una secuencia loacutegica Verbos que se usan con frecuencia para redactar objetivos de este nivel Organizar- Reconstruir- Proponer- Reordenar
6 EVALUACIOacuteN Se refiere a la capacidad para evaluar se mide a traveacutes de los procesos de anaacutelisis y siacutentesis Requiere formular juicios sobre el valor de materiales y meacutetodos de acuerdo con determinados propoacutesitos Incluye los juicios cuantitativos y cualitativos de acuerdo a los criterios que se sugieran (los cuales son asignados) bull Juicios en funcioacuten de evidencia interna (de exactitud loacutegica
consistencia o criterio interno) bull Juicios en funcioacuten de criterios externos (criterios
seleccionados comparacioacuten de teoriacuteas comparacioacuten de un trabajo con respeto a normas etc)
Verbos que se usan con frecuencia para redactar objetivos de este nivel Juzgar- Evaluar- Apreciar ndash Revisar- Corregir- Seleccionar ndash Justificar- Valoriza
23 DESARROLLO DE LA PARTE CONCEPTUAL DE LA DERIVADA
En este apartado desarrollaremos los contenidos matemaacuteticos que se presentan en el silabo de Matemaacutetica I y que son parte de la investigacioacuten para lo cual hemos revisado bibliografiacutea de autores nacionales y extranjeros especialistas en el tema del caacutelculo diferencial
1 LA IDEA FUNDAMENTAL DEL CAacuteLCULO
Si observamos a nuestro alrededor podremos ver que nuestro mundo se caracteriza por cambios continuos de alliacute la inquietud de desarrollar meacutetodos matemaacuteticos para cuantificar describir y pronosticar estos cambios Para Wenzelburger (1993) es justamente este el propoacutesito del Caacutelculo Diferencial y presenta el concepto de razoacuten de cambio como fundamental Veamos a continuacioacuten dos definiciones del teacutermino Razoacuten de Cambio media o Promedio
DEFINICIOacuteN 1
DEFINICIOacuteN 2
Ambas definiciones muestran la misma idea pero la definicioacuten que presenta Hasser (1976) es muy cuidadosa al determinar las variables que intervienen en ella asiacute da lugar a pensar en ejemplos inmediatos de aplicacioacuten como por ejemplo la relacioacuten entre la cantidad demandada de un bien
dQ y su precio unitario
por periacuteodo de tiempo a traveacutes de la funcioacuten ( )d
Q f p=
Respecto a la segunda definicioacuten es maacutes directa no menciona que x y t sean magnitudes fiacutesicas y analiza directamente los cambios
o variaciones
Razoacuten Promedio de Cambio Sean ( )o ox x t= y ( )o oy y t= ox y oy son valores de las magnitudes fiacutesicas
en alguacuten instante ot Supongamos que ox cambia en la cantidad x∆ El cambio correspondiente y∆ en oy es
( )( )o oy f x x f x∆ = + ∆ minus Y la razoacuten promedio de cambio de y con respecto a x es
( ) ( )( )
0 o of x x f xy xx x
+ ∆ minus∆= ∆ ne
∆ ∆ (Hasser 1976 401)
Razoacuten de Cambio Media Suponga que y es una funcioacuten de x ( )y f x= correspondiendo a un cambio de x a x x+ ∆ la variable y cambia en una cantidad
( ) ( )y f x x f x∆ = + ∆ minus Asiacute el cociente de diferencias
( ) ( )Cambio de x x f x x f xCambio de y y x
∆ + ∆ minus= =∆ ∆
Representa la razoacuten de cambio de y con respecto a x (Hoffmann 1985 82)
Wenzelburger (1993 4) nos dice ldquoDeterminar razones de cambio de procesos continuos es muchas veces maacutes importante que estudiar estos procesos Siempre que dos magnitudes (variables) estaacuten conectadas mediante una relacioacuten funcional (funcioacuten) se puede estudiar el cambio relativo de una de las magnitudes con respecto a la otrardquo Como ejemplos de lo anterior podemos citar a la velocidad que es la razoacuten (el cociente) entre una distancia y un tiempo y describe el cambio en la posicioacuten de un cuerpo con respecto al tiempo transcurrido
Ciertas razones de cambio tienen nombres especiales por ejemplo bull La velocidad es solo uno de las muchas razones de cambio que seraacuten importantes en este capiacutetulo es la razoacuten de cambio de la distancia con respecto al tiempo bull Densidad de un alambre es igual a la razoacuten de cambio de la masa respecto la distancia bull Ingreso Marginal es igual a la razoacuten de cambio del ingreso respecto nuacutemero de artiacuteculo producidos bull Corriente es igual a la razoacuten de cambio de la Carga eleacutectrica respecto al tiempo Asiacute mismo Wenzelburger (1993) menciona dos aspectos importantes al estudiar el Caacutelculo Diferencial los cuales son 1- La continuidad que significa que la relacioacuten es completa no tiene saltos bruscos ni interrupciones y que graacuteficamente se expresa como segmentos de liacuteneas o curvas y no como una coleccioacuten de puntos aislados 2- La determinacioacuten de la pendiente Todos tenemos nociones intuitivas acerca de pendientes y coacutemo comparar las inclinaciones de varias pendientes Por ejemplo sabemos que cuesta maacutes trabajo subir una montantildea maacutes empinada (pendiente grande) o que el agua de un riacuteo corre maacutes raacutepido si este tiene mucha pendiente Lo que hay que explorar entre otras cosas es la manera en la cual la medida de una pendiente de una curva estaacute relacionada con el concepto de razoacuten de cambio
2 LA RELACIOacuteN ENTRE LAS RAZONES DE CAMBIO Y PENDIENTES DE RECTAS
DEFINICIOacuteN 3
Los dos ejemplos que estudiaremos a continuacioacuten tiene por objetivo reforzar la definicioacuten dada asiacute como dar el primer paso en el intento por comprobar si los alumnos pueden comprender un tipo de registro semioacutetico como lo es el lenguaje escrito y luego trabajar lo concerniente a pasar de un registro a otro como lo seriacutea el paso de lo enunciado a la grafica Ejemplo 1
ldquoSuponga que sabemos que el precio de un artiacuteculo en un primer mes era de 600 soles y en el tercer mes subioacute a 1200 soles
MES PRECIO 1 600 Soles 3 1200 Soles
Tabla Nordm 1
Podemos graficar estos datos Fig1 y suponer que el incremento del precio ocurrioacute como en la Fig2
La pendiente de una recta en un sistema de coordenadas ( x y ) es una medida de la razoacuten de cambio de la variable y con respecto al cambio de la variable x (Wenzelburger 1993 9)
La razoacuten de cambio del precio se define de la siguiente manera
se calcula el cambio en direccioacuten vertical y se divide por el cambio en direccioacuten horizontal Asiacute la razoacuten de cambio para los meses uno y tres es
Fig3
500
1000
1500
2000
1 2 3
(1600)
(31200)
Mes
Precio Y
(4840)
4
x
500
1000
1500
2000
1 2 3
(1600)
(31200)
Mes
Precio Y
Fig1
MesFig2
Precio
500
1000
1500
2000
1 2 3
(1600)
(31200)
Y
(2900)
Graacutefica del precio dado en soles en el primer y tercer
mes
Graacutefica del supuesto crecimiento lineal de precio entre el primer y
tercer mes
Graacutefico de la situacioacuten anterior con un descuento del 30 en el precio
Razoacuten de cambio = 600 3002
solesmes
= hellip (1)
Este valor numeacuterico caracteriza el incremento del precio En el cuarto mes se ofrecioacute el producto con un 30 de descuento como promocioacuten (Fig3) La razoacuten de cambio en este mes es
Razoacuten de cambio= 840 1200 3601
solesmes
minus = minus hellip (2)
Ahora consideremos un valor intermedio
Razoacuten de cambio= 900 600 300 3002 1 1
solesmes
minus = = minus hellip (3)
Resumimos lo observado en (1) (2) y (3) Una razoacuten de cambio caracteriacutestica para una graacutefica en forma de segmentos de liacutenea recta soacutelo cambia si hay variacioacuten en la pendiente de eacutesta Si crece la graacutefica la razoacuten de cambio y la pendiente son positivas Si decrece la graacutefica la razoacuten de cambio y la pendiente son negativas Para calcular la razoacuten de cambio entre dos puntos de una graacutefica se sigue el trazo de la curva y se ven los valores primero el punto de la abscisa (valor en el eje horizontal) maacutes grande y despueacutes el punto en la abscisa maacutes pequentildea Despueacutes se forma el cociente entre la diferencia vertical y la horizontalrdquo
3 RAZONES DE CAMBIO ENTRE DOS PUNTOS DE UNA
CURVA
La diferencia entre una relacioacuten lineal de una no lineal radica en que la razoacuten de cambio para una relacioacuten no lineal varia a lo largo de la curva mientras que en una relacioacuten lineal es constante para todos los puntos de la funcioacuten Sobre el ejemplo anterior Wenzelburger (1993) nos dice ldquoes factible que los precios no subieran siguiendo una relacioacuten lineal por ejemplo ver las figuras 4 y 5
De acuerdo a la figura 4 el precio al principio del segundo mes parece ser de 800 soles Como la razoacuten de cambio entre el precio al final del primer mes y del segundo mes (de 600 soles a 800 soles) tenemos
Razoacuten de cambio= 800 600 2001
solesmes
minus = hellip (1)
Ahora calculamos la razoacuten de cambio para el tercer mes
Razoacuten de cambio= 1200 800 4003 2
solesmes
minus = minus hellip (2)
El valor de la razoacuten de cambio en 1 y 2 es diferente Si repetimos el procedimiento para otros pares de puntos vamos a obtener muchos valores diferentes La diferencia entre una curva y una liacutenea recta es la variacioacuten continua de la razoacuten de cambio a lo largo de la curva Si suponemos ahora que los precios cambiaron de acuerdo a la figura 5 podemos observar en la tabla las razones de cambio calculadas para intervalos de 1 mes
500
1000
1500
2000
1 2 3
(1600)
(31200)
Mes
Pesos Y
4
x
(2800)
Fig4
500
1000
1500
2000
1 2 3
(1600)
(31200)
Mes
Pesos Y
4
x
(4800)
Fig5
Las figuras 4 y 5 corresponden al ejemplo1 donde se supone un comportamiento no lineal entre el tiempo y el precio
2do Mes 3er Mes 4to Mes
Razoacuten de cambio en
pesosmes
100 6001
400
minus
1200 10001
200
minus
840 12001360
minus
minus
Tabla Nordm 2
Estos valores describen a grandes rasgos el comportamiento de
la curva precio en funcioacuten del tiempo En el segundo mes el precio sube maacutes raacutepido que en el tercer mes Si calculamos la razoacuten de cambio total del segundo al cuarto mes
Razoacuten de cambio= 840 600 240 803 3
solesmes
minus = = hellip (3)
Obtenemos una informacioacuten equivocada un valor positivo
pequentildeo que no refleja la variacioacuten real del precio Por eso concluimos que es necesario calcular razones de cambio para intervalos pequentildeos debido a que intervalos grandes no dan valores representativos para la descripcioacuten del cambio de una funcioacuten a lo largo de la curvardquo
Observaciones sobre la definicioacuten bull La letra griega delta (∆ ) representa la diferencia o el cambio
bull El cociente yx
∆∆
tambieacuten se llama razoacuten de cambio promedio y
representa graacuteficamente la pendiente de una recta bull El adjetivo promedio es nombre popular pero inexacto porque en
este contexto promedio significa aproximado bull La razoacuten de cambio es suficiente para describir funciones lineales
mas no para graacuteficas curvas
4 LA TRANSFORMACIOacuteN DE LA RAZOacuteN DE CAMBIO PROMEDIO A LA RAZOacuteN DE CAMBIO INSTANTAacuteNEA
Al calcular razones promedio de cambio cada una de ellas no
representa la razoacuten de cambio al principio o al final de un intervalo x∆ sino es un valor promedio que se toma por constante en todo el
intervalo Siendo asiacute es necesario desarrollar un meacutetodo que permita
calcular la razoacuten de cambio de la funcioacuten original praacutecticamente en cada instante es decir para cada valor de x queremos conocer la razoacuten de cambio ( )f x A esta razoacuten de cambio se llama la razoacuten de cambio instantaacutenea Es importante mencionar que una razoacuten de cambio instantaacutenea es mayormente conocida con tasa de cambio Wenzelburger (1993) nos dice
Para ldquola forma de yx
∆∆
2 1
2 1
y yyx x x
minus∆=
∆ minus
Podriacutea proponerse que los puntos 2x y 1x coincidan lo cual implicariacutea tomar 2 1 0x xminus = Entonces la razoacuten de cambio seriacutea instantaacutenea puesto que se tratariacutea de un punto
Es obvio que este intento de solucioacuten fracasa Ya que para 0x∆ = no estaacute definida la razoacuten de cambio Por lo cual aceptaremos
el siguiente principio fundamental para la razoacuten de cambio instantaacutenea
El valor de 2 1x xminus seraacute siempre un nuacutemero que pueda hacerse maacutes pequentildeo que un nuacutemero muy pequentildeo arbitrario pero fijo Debido a que un nuacutemero de esta naturaleza no es igual a cero no estamos considerando un intervalo de longitud cero sino que x∆ se hace cada vez maacutes pequentildeo Esto se expresa como 0x∆ rarr
El valor numeacuterico al cual se aproxima yx
∆∆
cuando 0x∆ rarr es la
razoacuten de cambio instantaacuteneardquo Los problemas del 1 al 4 propuestos a continuacioacuten tienen por finalidad reforzar el conocimiento del alumno sobre razoacuten de cambio promedio e instantaacutenea pendiente ademaacutes interiorizar la relacioacuten que existe entre ambos conceptos asiacute mismo poner en praacutectica el trabajo de cambio de registros semioacuteticos pues se presentan problemas que
hacen uso de los tres tipos de registro y deberaacuten ser convertidos de uno a otro registro para mejorar su comprensioacuten y llegar a una solucioacuten Trabajo Praacutectico Nordm1 Razoacuten de cambio Promedio e Instantaacutenea Problema 12
Una enfermera controla la temperatura a un paciente y registra los resultados
Horas 1500 1600 1700 1800 1900 2000 2100 2200 2300 Temp 36 37 372 378 379 40 40 40 375
Tabla Nordm3
Tareas y Preguntas
a iquestCuaacutel es el cambio de temperatura entre las 1600 y las 1700 horas las 1900 y las 2200 y las 2200horas y las 2300
b Trazar la curva de fiebre del paciente c Calcular la razoacuten de cambio entre las 1500 y las 2300 horas para
intervalos de una hora d Graficar los valores obtenidos en c e Completar la tabla siguiente
Temperatura Graacutefica Razoacuten de Cambio Sube Sube positiva
Queda igual Baja
Tabla Nordm 4
2 El problema 1 se ha tomado del libro de Wenzelburger Didaacutectica del Caacutelculo Diferencial 1993 36
Problema 23
Peso Promedio de un bebeacute- La siguiente graacutefica muestra el peso de un bebeacute promedio desde el instante del nacimiento ( )0t = hasta la
edad de dos antildeos ( )24t = Calcule las pendientes de las rectas tangentes respectivas para estimar la razoacuten promedio de cambio del peso del bebeacute promedio cuando 3t = y cuando 18t = iquestCuaacutel es la razoacuten promedio de cambio en el peso de un bebeacute promedio durante el primer antildeo de vida
Fig6
Fuente Tomado de Thomson Matemaacuteticas para Administracioacuten y Economiacutea 1998 515
Problema 34
Selvicultura- La siguiente graacutefica muestra el volumen de madera producida en un bosque con una uacutenica especie En este caso ( )f t se
3 El problema 2 se ha tomado del libro de Thomson Matemaacuteticas para Administracioacuten y Economiacutea 1998 Paacuteg 515 4 El problema 3 se ha tomado del libro de Thomson Matemaacuteticas para Administracioacuten y Economiacutea 1998 Paacuteg 515
Graacutefico del peso promedio de un bebeacute desde su nacimiento hasta los dos antildeos
mide en metros cuacutebicos por hectaacutereas y t en antildeos Calcule las pendientes de las rectas tangentes respectivas y estime la razoacuten con que el incremento de madera estaacute cambiando al inicio del deacutecimo antildeo y al inicio del antildeo 30
Fig 7 Fuente Tomado de Thomson Matemaacuteticas para Administracioacuten y Economiacutea 1998 515
Problema 45
Patrones de observacioacuten de la televisioacuten- La siguiente graacutefica basada en datos de la compantildeiacutea AC Nielsen muestra el porcentaje de habitantes de Estados Unidos que ven televisioacuten durante un periacuteodo de 24 horas en un diacutea haacutebil ( 0t = corresponde a las 6 am) Calcule las pendientes de las rectas tangentes respectivas y estime la razoacuten de cambio del porcentaje de habitantes que ven televisioacuten entre las 4pm y las 11pm
5 El problema 4 se ha tomado del libro de Thomson Matemaacuteticas para Administracioacuten y Economiacutea 1998 Paacuteg 516
Graacutefico del valor de la madera producida en 3m en funcioacuten del tiempo
Fig8 Fuente Tomado de Thompson Matemaacuteticas para Administracioacuten y Economiacutea 1998 516
5 ALGO SOBRE HISTORIA DE LA DERIVADA
Hasta este momento hemos hablado sobre razones de cambio y como aproximamos una razoacuten de cambio promedio a una razoacuten de cambio instantaacutenea Ahora conoceremos como dos problemas trabajados en eacutepocas de la historia diferentes nos llevaron a la misma solucioacuten La derivada En esta parte hablaremos de razones de cambio e introducireacute las nociones de liacutemites para su resolucioacuten
51 DOS PROBLEMA CON UN MISMO TEMA Los problemas que trataremos a continuacioacuten corresponden a eacutepocas diferentes el primer problema es muy antiguo se remota a la eacutepoca del gran cientiacutefico griego Arquiacutemedes (287-212 aC) Se trata del problema de la pendiente de la recta tangente El segundo problema es maacutes reciente Crecioacute con los intentos de Kepler Galileo Newton y otros para describir la velocidad de un cuerpo en movimiento Es el problema de la velocidad instantaacutenea Los dos problemas uno geomeacutetrico y el otro mecaacutenico parecen no estar muy relacionados En este caso las apariencias engantildean Los dos problemas son gemelos ideacutenticos
Graacutefico del porcentaje de habitantes en Estados Unidos que ven televisioacuten durante las 24 horas de un diacutea
A LA RECTA TANGENTE La descripcioacuten de este problema ha sido tomada de Purcell (2003 99) ldquoSea P un punto de la curva y sea Q un punto moacutevil cercano a P en esa curva Considere la recta que pasa por P y Q llamada recta secante La recta tangente en P es la posicioacuten liacutemite (si esta existe) de la recta secante cuando Q se mueve hacia P a lo largo de la curva
Fig9 Suponga que la curva es la graacutefica de la ecuacioacuten ( )y f x= Entonces P tiene coordenadas ( ) ( )c f c un punto cercano a Q tiene
coordenadas ( ) ( )c h f c h+ + y la recta secante de P a Q tiene pendiente secm dada por
sec( ) ( )f c h f cm
h+ minus
=
Como el objetivo es hallar la recta tangente a la curva ( )f x en el punto P entonces intentaremos aproximar el punto Q a P para ello utilizaremos el concepto de liacutemite con el fin de determinar la pendiente de la recta tangenterdquo
P
Rectas secantes
Recta tangenteQ
Q
Q
La recta tangente es la posicioacuten liacutemite de la recta secante
x
y
Graacutefica de las rectas secantes y tangentes a una curva desde el punto Q hasta el punto P
Fig10
DEFINICIOacuteN 4
Recta Tangente La recta tangente a la curva ( )y f x= en el punto ( ) ( )P c f c es aquella recta que pasa por P con pendiente
tan sec0 0
( ) ( )lim limh h
f c h f cm mhrarr rarr
+ minus= =
Siempre y cuando este liacutemite exista y no sea oinfin minusinfin
(Purcell 2003 101)
P
Q
x
y Liacutenea secante
Liacutenea tangente
( ) ( )c h f c h+ +
( ) ( )f c h f c+ minus
c c h+
( ) ( )c f c
h( )f c
( )f c h+
tan sec0
limh
m mrarr
=
Graacutefico de las posiciones de una recta secante a una curva en los puntos P y Q y su aproximacioacuten a la recta tangente en P
A continuacioacuten veremos un ejemplo que tiene por objetivo que el alumno se familiarice con la definicioacuten la aplique y compruebe que es funcional Ejemplo2Encuentre la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva
( )23 1y x= + minus
en el punto ( )224
Solucioacuten
Encontraremos primero la pendiente de la recta tangente a la curva la cual estaraacute
Dada por
( ) ( )( )2 2
0
3 1 3 1limh
c h c
hrarr
+ + minus minus + minus
( ) ( ) ( )
( )
( )
2 22
2
3 2 3 1 3 1
2 3
2 3
c c h h ch
c h hh
c h
+ + + + minus minus + +
+ +
+ +
Luego aplicando liacutemites tendremos
( )0
lim 2 3 2( 3)h
c h crarr
+ + = +
En el punto 2 la pendiente es 10m = finalmente la ecuacioacuten de la recta en ( )224 es ( )10 2 24 oacute 10 4y x y x= minus + = +
B VELOCIDAD PROMEDIO Y VELOCIDAD INSTANTAacuteNEA
En un contexto referido a la fiacutesica se propone la siguiente situacioacuten con la finalidad de trabajar una solucioacuten y de comprobar que ella tiene mucho en comuacuten la solucioacuten del problema de la recta tangente Si viajamos de una ciudad a otra que estaacute a 80 km En 2 horas nuestra velocidad promedio es de 40 Km por hora Determinamos una velocidad promedio como la distancia de la primera posicioacuten a la segunda posicioacuten dividida entre el tiempo empleado Pero durante el viaje la lectura del velociacutemetro con frecuencia fue diferente de 40 Al principio registroacute 0 a veces hasta 57 al final regresoacute a 0 otra vez iquestQueacute es lo que mide el velociacutemetro Ciertamente no indica la velocidad promedio Purcell (2003 101-103) ldquoConsidere el ejemplo maacutes preciso de un objeto P que cae en el vaciacuteo El experimento muestra que si inicioacute desde el reposo P cae 216t pies en t segundos Por tanto cae 16 pies en el primer segundo 64 pies en el 2do segundo Observemos el diagrama del tiempo empleado y la graacutefica de la relacioacuten tiempoespacio recorrido
Fig11
Ahora analicemos la velocidad promedio en algunos intervalos
Graacutefica de la Distancia recorrida por el objeto en funcioacuten del tiempo
1 2 3 4
50
100
150
200
250
Dis
tanc
ia re
corr
ida
t
( )
( )
( )
2
2
2
16 00 1 16 1 064 161 2 48
2 1
16 15 161 15 40
15 1
16 11 161 11 336
11 1
16 101 161 101 3216
101 1
prom
prom
prom
prom
prom
t t v p s
t t v p s
t t v p s
t t v p s
t t v p s
minus= rarr = = =
minusminus
= rarr = = =minus
minus= rarr = = =
minus
minus= rarr = = =
minus
minus= rarr = = =
minus
Lo que hemos hecho es calcular la velocidad promedio en intervalos de tiempo cada vez maacutes pequentildeos cada uno iniciando en 1t = Entre maacutes breve es el intervalo de tiempo mejor aproximamos la velocidad instantaacutenea en 1t = Seamos maacutes precisos Suponga que un objeto P se mueve a lo largo de un eje coordenado de modo que su posicioacuten en el instante t estaacute dado por ( )S f t= En el instante c el objeto estaacute en ( )f c en el instante cercano c h+ estaacute en ( )f c h+ Asiacute la velocidad promedio en este intervalo es
( ) ( )prom
f c h f cvh
+ minus=
Ahora podemos definir la velocidad instantaacutenea
DEFINICIOacuteN 5
Velocidad Instantaacutenea-Si un objeto se mueve a lo largo de un eje coordenado con funcioacuten de posicioacuten ( )S f t= entonces su velocidad instantaacutenea en el instante c es
0 0
( ) ( )lim limpromh h
f c h f cv vhrarr rarr
+ minus= =
Siempre que el liacutemite exista y no sea oinfin minusinfin (Edwin Purcell2003)
En el caso donde 2( ) 16f t t pies= la velocidad instantaacutenea en 1t = es
2
0 0 0 0
(1 ) (1) 16(1 ) 16lim lim lim lim 32 16 32promh h h h
f h f hv v hh hrarr rarr rarr rarr
+ minus + minus= = = = + =
ldquoAhora podemos ver porqueacute llamamos a la pendiente de la recta tangente y a la velocidad instantaacutenea gemelos ideacutenticosrdquo Este ejemplo tiene por objetivo que el alumno vaya haciendo al mismo tiempo que resuelve los apartados de esta pregunta un verificacioacuten de la teoriacutea por cuando al ir hallando la velocidad promedio en un intervalo considerablemente grande como lo es de 2 a 3 y luego pase a calcular una velocidad promedio en un intervalo lo suficientemente pequentildeo como lo es de 2 a 2003 y finalmente calcule la velocidad instantaacutenea en 2 notaraacuten como se aproxima una variacioacuten una otra hasta llegar a la variacioacuten en un punto Ejemplo 3
Un objeto viaja a lo largo de una recta de modo que su posicioacuten S es 2 1S t= + metros despueacutes de t segundos
a) iquestCuaacutel es su velocidad promedio en el intervalo 2 3tle le b) iquestCuaacutel es su velocidad promedio en el intervalo 2 2003tle le c) iquestCuaacutel es su velocidad promedio en el intervalo 2 2t hle le + d) Encuentre la velocidad instantaacutenea en t = 2
Solucioacuten
La velocidad promedio estaraacute dada por
( ) ( )
promf c h f cv
h+ minus
=
a) La velocidad promedio en el intervalo 2 3tle le seraacute
( ) ( )2 23 1 2 1 10 5 5 3 2 1promv m s
+ minus + minus= = =
minus
b) La velocidad promedio en el intervalo 2 2003tle le seraacute
( ) ( )2 22003 1 2 1 5012009 5 4003 2003 2 0003promv m s+ minus + minus
= = =minus
c) La velocidad promedio en el intervalo 2 2t hle le + seraacute ( )( ) ( )2 2 22 1 2 1 4 4 prom
h h hv h m sh h
+ + minus + += = = +
d) La velocidad instantaacutenea en 2t = seraacute
( )( ) ( )2 2 22 1 2 1 4 4 prom
h h hv h m sh h
+ + minus + += = = + luego en
2t = es 6 Los problemas propuestos en este apartado tienen un objetivo similar al planteado en el ejemplo anterior es decir contrastar en la praacutectica lo que en la teoriacutea se describe a la vez potenciar su habilidad para el cambio de registros ya que como se puede apreciar en los enunciados se piden encontrar ecuaciones dadas algunas graacuteficas y datos elaborar graacuteficas dadas algunas foacutermulas interpretar informacioacuten presentada en ecuaciones graacuteficas referidos a casos de aplicacioacuten en aacutereas como fiacutesica y biologiacutea Trabajo Praacutectico Nordm2 Recta Tangente y Velocidad Instantaacutenea6
Encuentre la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva Ejercicio 1
1yx
= en el
punto ( )21 2
Fig12
6 Los ejercicio se han tomado del libro de Purcell Caacutelculo Diferencial2003
05 1 15 2 25 3
05
1
15
2
25
3
1yx
=
y
x
Graacutefico de la funcioacuten 1( )f x
x= y su recta tangente en el punto (2 frac12)
Considere Ejercicio 2
3 1y x= minus a) Haga un bosquejo de su graacutefica tan detallado como sea posible b) Dibuje la recta tangente en (27) c) Calcule la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos
(27) y ( )3201 (201) 1minus
d) Utilizando el proceso de liacutemite encuentre la pendiente de la recta tangente en (27)
Encuentre las pendientes de las rectas tangentes a la curva Ejercicio 3
2 1y x= minus en los puntos de abscisas -2-1 0 1 2
Haga un bosquejo de la graacutefica de
Ejercicio 4 1
1y
x=
+ luego encuentre la
ecuacioacuten de la recta tangente en (1 12)
Encuentre la ecuacioacuten de la recta tangente a
Ejercicio 5 1
1y
x=
minus en (0-1)
Un experimento sugiere que un cuerpo que cae descenderaacute aproximadamente
Ejercicio 6
216t metros en t segundos a) iquestCuaacutento caeraacute entre t = 0 y t = 1 b) iquestCuaacutento caeraacute entre t = 1 y t = 2 c) iquestCuaacutel es su velocidad promedio en el intervalo 2 3tle le d) iquestCuaacutel es su velocidad promedio en el intervalo 3 301tle le e) Encuentre la velocidad instantaacutenea en t = 3
Un objeto viaja a lo largo de un eje coordenado de modo que su distancia dirigida medida desde el origen despueacutes de t segundos es
Ejercicio 7
2 1t metros+ a) Encuentre la velocidad instantaacutenea en t = 2
b) iquestCuaacutendo alcanzaraacute una velocidad de 12 pies por segundo
Si una partiacutecula se mueve a lo largo de un eje coordenado de modo que su distancia dirigida medida desde el origen despueacutes de
Ejercicio 8
t segundos es ( )2 4t t metrosminus + iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute
momentaacuteneamente detenida Es decir en iquestqueacute momento su velocidad es cero
Cierto cultivo de bacterias crece de modo que tiene una masa de Ejercicio 9
21 12
t gramos +
despueacutes de t horas
a) iquestCuaacutento creceraacute durante el intervalo 2 201tle le b) iquestCuaacutel seraacute la tasa promedio de crecimiento durante el intervalo
2 201tle le c) iquestCuaacutel fue la tasa instantaacutenea de crecimiento en t = 2
6 LA DERIVADA
Revisemos ahora algunas definiciones seguacuten los siguientes autores
DEFINICIOacuteN 6
Si la funcioacuten ( )y f x= tiene derivada en el punto 0
x x= es
decir si existe el
0 00 0
( ) ( )lim limx x
f x x f xyx x∆ rarr ∆ rarr
+ ∆ minus∆=
∆ ∆
Se dice que para el valor dado 0
x x= la funcioacuten es derivable o
lo que es lo mismo tiene derivada en dicho punto
Si la funcioacuten tiene derivada en cada punto de un intervalo ( )a b
se dice que es derivable en dicho intervalo
(N Piskunov 1973 68)
DEFINICIOacuteN 7
DEFINICIOacuteN 8
Como podemos observar la definicioacuten 6 trabaja con la notacioacuten delta a la cual los alumnos se encuentran familiarizados desde el concepto de razoacuten de cambio mientras que en las otras dos definiciones se trabaja con una letra h la cual reemplaza al x∆ La definicioacuten 8 asiacute como la 7 muestran la idea de designar con el teacutermino de derivable en un punto a la funcioacuten cuando esta tenga derivada en dicho punto y de derivable cuando la derivada exista en cada punto de su dominio En cuanto a la definicioacuten 8 presenta a la derivada como una funcioacuten
f a la que lee como ldquof primardquo Uniendo las tres definiciones anteriores podemos presentar la siguiente
La funcioacuten f es derivable en a si
0
( ) ( )limh
f a h f ahrarr
+ minus Existe
En este caso el liacutemite se designa por ( )f a y recibe el nombre de
derivada de f en a (Decimos tambieacuten que f es derivable si
f es derivable en a para todo a del dominio de f )
(Spivak 1967 201)
La derivada de una funcioacuten f es otra funcioacuten f (leacutease ldquof primardquo) cuyo valor en cualquier nuacutemero c es
0
( ) ( )( ) lim
h
f c h f cf chrarr
+ minus=
Siempre que este liacutemite exista y no sea oinfin minusinfin
(Purcell 2003 107)
Veamos los siguientes ejemplos los cuales pretenden familiarizar a los alumnos con la definicioacuten de derivada y a manera de repaso recordar los algoritmos empleados en el caacutelculo de liacutemites como por ejemplo el proceso de racionalizacioacuten Ejemplo 4
Sea ( ) 12 3f x x= minus Encuentre ( ) 4f
Solucioacuten
Empleando la definicioacuten de derivada tenemos [ ] [ ]
0 0
0 0
12(4 ) 3 12(4) 3(4 ) (4)(4) lim lim
12 lim lim 12 12
h h
h h
hf h ffh h
hh
rarr rarr
rarr rarr
+ minus minus minus+ minus= =
= = =
Ejemplo 5
Sea ( ) 0f x x x= gt Encuentre ( )f x
Derivada de f La derivada de una funcioacuten f en un punto c es otra funcioacuten a la
que llamaremos ldquo f prima rdquo y denotaremos por f siempre
que se cumpla
0
( ) ( )( ) lim
h
f c h f cf chrarr
+ minus= Existe
En este caso el liacutemite se designa por ( )f c y recibe el nombre de
derivada de f en c
Decimos tambieacuten que f es derivable si f es derivable en c para
todo c del dominio de f
Solucioacuten
Empleando la definicioacuten de derivada tenemos
( )
0
0
0
0
0
0
( ) ( )( ) lim
= lim
lim
= lim
= lim
1 1 = lim
2
h
h
h
h
h
h
f x h f xf xh
x h xh
x h x x h xh x h x
x h xx h x
h
h x h x
x h x x
rarr
rarr
rarr
rarr
rarr
rarr
+ minus=
+ minus
+ minus + +=
+ + + minus
+ +
+ +
=+ +
7 FORMAS EQUIVALENTES DE LA DERIVADA Purcell (2003) hace mencioacuten a dos formas equivalentes de la derivada de ( )f x en el punto c asiacute la primera forma es
Graacuteficamente podemos ver
0
( ) ( )( ) limh
f c h f cf chrarr
+ minus=
Fig13
Para la segunda forma x toma el lugar de c h+ y por lo tanto reemplazando h tenemos
Graacuteficamente podemos ver
Fig14
otimes
otimes
c c h+
( ) ( )f c h f c+ minus
h( ( ))c f c
( ( ))c h f c h+ +
X
Y
otimes
otimes
c x
( ) ( )f x f cminus
x cminus( ( ))c f c
( ( ))x f x
X
Y
( ) ( )( ) limx c
f x f cf cx crarr
minus=
minus
Graacutefico de la funcioacuten ( )f x en los puntos c y c h+ empleado para la primera forma de definir la derivada
Graacutefico de la funcioacuten ( )f x en los puntos c y x empleado para la segunda forma de definir la derivada
Como podemos apreciar las dos formas de expresar la definicioacuten de la derivada son equivalente aun cuando la notacioacuten empleada no es la misma ya que como hemos podido apreciar en una el limite esta expliacutecitamente en teacuterminos del incremento h luego en el liacutemite h tiende a cero En la otra no aparece h pero cuando el limite indica que x tiende a c impliacutecitamente estaacute indicando que el incremento (h) tiende a cero En el ejemplo siguiente se intenta que los alumnos utilicen la segunda forma de la definicioacuten de la derivada a fin de practicarla pero que establezcan las diferencias en la notacioacuten y significado en relacioacuten a la definicioacuten primera Ejemplo 6
Utilice la segunda forma de representa la derivada para determinar
( )g c si 1( )
4g x
xminus
=+
1 14 4( ) x cg cx c
minus minusminus
+ +=minus
Solucioacuten
( )( )
( )( )
( )( )( )
( )( )
( )2
4 44 4
( ) lim
4 4 lim
4 4 lim
1 lim4 4
1 ( )4
x c
x c
x c
x c
c xx c
g cx cc x
x cx cx c
x cx c
x c
g cc
rarr
rarr
rarr
rarr
minus minus + ++ +
=minus
minus ++ +
minusminus
+ +
minus
+ +
there4 =+
Demostracioacuten-
Espinoza (2002 456) demuestra este teorema de la siguiente manera ldquoPor hipoacutetesis se tiene que f es diferenciable en
0x esto quiere
decir que 0
( )f xexist y
0 00 0
0 0
( ) ( )lim ( ) ( ) lim h h
f x h f xf x h f x h
hrarr rarr
+ minus+ minus =
0 00
0 0
( ) ( )lim lim ( )0 0h h
f x h f xh f x
hrarr rarr
+ minus= = =
Entonces 0 0 0 0
0 0 0
0 00
lim ( ) ( ) 0 lim ( ) lim ( ) 0
lim ( ) ( )h h h
h
f x h f x f x h f x
f x h f xrarr rarr rarr
rarr
+ minus = rArr + minus =
+ =
0f es continua en xthere4 rdquo
ldquoEs muy importante recordar el teorema 1 e igualmente importante recordar que el reciacuteproco no se cumple Una funcioacuten derivable es continua pero una funcioacuten continua no es necesariamente derivablerdquo Spivak (1992 213)
Con los siguientes ejemplos se pretende analizar diferenciabilidad en un punto estudiando el comportamiento de la derivada a ambos lados del punto seleccionado
TEOREMA 1 Sea f una funcioacuten y
0 fx Disin si f es diferenciable en
0x entonces f es continua en
0x
(Espinoza 2002 456)
Ejemplo 7
Estudiar si la funcioacuten ( )f x x= es diferenciable en 0x =
Solucioacuten
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0(0 ) (0)
0 0(0 ) (0) lim lim lim lim 1
0 0(0 ) (0) lim lim lim lim 1
h h h h
h h h h
h hf h fh h h
Asiacuteh hf h f h
h h h hh hf h f h
h h h h
+ + + +
minus minus minus minus
rarr rarr rarr rarr
rarr rarr rarr rarr
+ minus+ minus= =
+ minus+ minus= = = =
+ minus+ minus minus= = = = minus
Seguacuten Spivak (1992 210) ldquoEstos dos liacutemites son llamados a veces derivada por la derecha y derivada por la izquierdardquo en nuestro caso son diferentes
0
(0 ) (0)lim
h
f h fhrarr
+ minus
No existe Por tanto (0)f no existe Graacuteficamente podemos ver la funcioacuten ( )f x x=
Fig 15
Graacutefico de la funcioacuten valor absoluto ( )f x x= Para estudiar la derivada en x=0
Ahora veamos la graacutefica de su derivada
Fig 16 Ejemplo 8
Analizar la derivada de la funcioacuten en el punto 0x = siendo 2 0( )
0x xf xx x
le= gt
Solucioacuten
2
0
0
0( ) (0) 1 0
( ) (0) lim 0
( ) (0) lim 1
h
h
h h hf h f hh h h
hAsiacute
f h fh
f h fh
+
minus
rarr
rarr
= ltminus =
= gt
minus=
minus=
Podemos concluir entonces que (0)f no existe f no es derivable en 0
Graacutefico de la derivada de la funcioacuten valor absoluto 1 0
( )1 0
xf x
xgt
= minus lt
Sin embargo la derivada existe para 0x ne calculeacutemosla
( )2 2 2( ) ( ) 2 2c h cf c h f c ch h c h
h h h+ minus+ minus +
= = = + Aplicando liacutemite
cuando 0h minusrarr tenemos ( ) 2f c c= de una forma similar calculamos
el liacutemite cuando 0h +rarr y obtenemos ( ) 1f c = Graacuteficamente podemos ver
Fig17
Fig 18
Graacutefico de la funcioacuten valor absoluto 2 0( )
0x xf xx x
le= gt
Para estudiar la
derivada en x=0
Graacutefico de la derivada de la funcioacuten 1 0
( )2 0
xf x
x xge
= lt
Purcell (2003) demuestra graacuteficamente cualquier punto donde la graacutefica de una funcioacuten continua tenga una esquina o un veacutertice la funcioacuten no es diferenciable Y esto lo podemos constatar de nuestros ejemplos anteriores Asiacute mismo este autor nos muestra una graacutefica donde se pueden apreciar algunas situaciones para que una funcioacuten no sea diferenciable en un punto
Fig 19
Fuente Tomado del libro de Purcell 2003 111
En esta graacutefica afirmamos que la derivada el c no existe por que
0
( ) ( )( ) lim
h
f c h f cf xhrarr
+ minus= = infin
Esto corresponde al hecho de que la pendiente vertical no estaacute definida El trabajo praacutectico dado a continuacioacuten pretender que el alumno se familiarice con las dos formas empleadas para definir la derivada Otra objetivo es el estudiar la diferenciabilidad de funciones en algunos puntos en particular
Graacutefico de posibles situaciones de funcioacuten diferenciable en un punto
Trabajo Praacutectico Nordm 3 Derivada7
Ejercicio 1
Utilice la definicioacuten de Derivada 0
( ) ( )( ) limh
f x h f xf xhrarr
+ minus= para
determinar la derivada en x de las siguientes funciones
a) ( ) 2 1f x x= + b) 2 1( )4
xg xxminus
=minus
c) 4 2( )h x x x= +
Ejercicio 2
Empleando la segunda forma para definir la derivada ( ) ( )
( ) limx c
f x f cf cx crarr
minus=
minus determine las derivadas de las siguientes
funciones
a) 3( ) xf xx+
= b) 3( ) 5f x x x= +
Ejercicio 3
A continuacioacuten te presento cuatro liacutemites los cuales corresponden a las derivadas de algunas funciones iquestPodriacuteas ayudarnos a determinar a queacute funciones se refieren
a) ( ) ( )3 3
0
2 5 2 5limh
hhrarr
+ minus
b) ( )2
0
3 2(3 ) 15limh
h hhrarr
+ + + minus
c) limx y
senx senyx yrarr
minusminus
d)
2 2
limx t
x tx trarr
minus
minus
7 Los ejercicios han sido tomados del texto de Calculo Diferencial de Purcell (2003 111-112) y Espinoza (2002 514 -515)
Ejercicio 4
Describa los valores x para los que f es derivable A B
Fig 20 Fig 21
Ejercicio 5
Determinar cuales de las funciones siguientes son derivables en los nuacutemeros dados por
0x
1 0
4( ) 42( 8) 4
x xf x xx x
le= =minus gt
2 2
2
2 0
( ) 2 2 0 2
4 2 2
x x
f x x x
x x x
+ lt
= minus le lt
minus + ge
0 0x = y 0 2x =
minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4
minus3
minus2
minus1
1
2
3
4
x
y
y=1(x+1)
minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
minus1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
abs(x^2-9)
Graacutefico de la funcioacuten 2( ) 9f x x= minus Graacutefico de la funcioacuten 1
( )1
f xx
=+
Ejercicio 6
Calcular los valores de y a b c para que la funcioacuten
2
4 2( ) sea continua en x=-2 y diferenciable en x=2
2
si xxf x
ax bx c si x
ge= + + lt
Ejercicio 7
Hallar los valores de a y b de manera que la funcioacuten 2 1
( ) 1 1
ax b si xf x
si xx
+ le= gt
sea derivable en todo su dominio
8 REGLAS DE DERIVACIOacuteN
Para Spivak (1992) el proceso de derivacioacuten es generalmente laborioso y que si no recordamos la definicioacuten de derivada estariacuteamos expuestos a no poder calcularla Sin embargo nos dice que existen algunos teoremas que nos permitiriacutea de una forma un tanto mecaacutenica derivar una clase de funciones muy amplia Asiacute veremos algunas reglas de derivacioacuten que Espinoza (2002) presenta ademaacutes de su demostracioacuten empleando la definicioacuten la notacioacuten de Leibniz8
1) La derivada de una constante es cero-
( ) 0dysi y f x Cdx
= = rArr =
Demostracioacuten
0 0
( ) ( )lim lim 0 0h h
dy f x h f x c c dydx h h dxrarr rarr
+ minus minus= = = there4 =
8 La notacioacuten
dydx
corresponde a Leibniz
2) La derivada de la funcioacuten identidad-
( ) 1dysi y f x xdx
= = rArr =
Demostracioacuten
0 0 0 0
( ) ( )lim lim lim lim 1 1 1h h h h
dy f x h f x x h x h dydx h h h dxrarr rarr rarr rarr
+ minus + minus= = = = = there4 =
3) La derivada de la funcioacuten potencia simple- 1( ) n ndysi y f x x nx
dxminus= = rArr =
Demostracioacuten
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 01 2 2 1
0
1 2 2 1 10
1
( ) ( )lim lim
lim
lim
n n
h hn n n n
h
n n n n nh
n
x h xd y f x h f x para ndx h h
x h x h x x h x xx h x
h
x h x h x x h x x n x
dy nxdx
+
rarr rarrminus minus minus minus
rarr
minus minus minus minus minus
rarr
minus
+ minus+ minus= = isin
+ + + + + + + = + minus
= + + + + + + + =
there4 =
4) La derivada del producto de una funcioacuten por un escalar-
( ) ( )dysi y kf x kf xdx
= rArr =
Demostracioacuten ( ) ( )( )
( )0 0
0
( )( )lim lim
( )lim ( ) ( )
h h
h
k f x h f xkf x h kf xdydx h h
f x h f x dyk kf x kf xh dx
rarr rarr
rarr
+ minus+ minus= =
+ minus= = there4 =
5) La derivada de la suma o diferencia de dos funciones-
( ) ( ) ( ) ( )dysi y f x g x f x g xdx
= plusmn rArr = plusmn
Demostracioacuten ( )( )
( ) ( )
( )( ) ( )( )
0
0
0
( )( )lim
( ( ) ( ))lim
( ) ( )lim
h
h
h
f g x h f g xdydx h
f x h g x h f x g xh
f x h f x g x h g xh
rarr
rarr
rarr
plusmn + minus plusmn=
+ plusmn + minus plusmn=
+ minus plusmn + minus=
( )( ) ( )( )0
( ) ( )lim
( ) ( ) ( ) ( )
h
f x h f x g x h g xh h
dyf x g x f x g xdx
rarr
+ minus + minus= plusmn
= + there4 = +
6) La derivada del producto de dos funciones-
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dysi y f x g x f x g x f x g xdx
= sdot rArr = +
Demostracioacuten
0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim limh h
d y f x h f x f x h g x h f x g xdx h hrarr rarr
+ minus + + minus= =
Ahora sumamos y restamos ( ) ( )f x h g x+ en el numerador
0
0
0 0
0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim
( )( ( ) ( )) ( ( ) ( ))lim ( )
( )( ( ) ( )) ( ( ) ( ))lim lim ( )
( ( ) (lim ( ) lim
h
h
h h
h h
d y f x h g x h f x h g x f x g x f x h g xdx h
f x h g x h g x f x h f xg xh h
f x h g x h g x f x h f xg xh h
g x h gf x h
rarr
rarr
rarr rarr
rarr rarr
+ + minus + minus + +=
+ + minus + minus = + + + minus + minus = +
+ minus= +
0 0
)) ( ( ) ( ))lim ( ) lim
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
h h
x f x h f xg xh h
f x g x g x f xdy f x g x g x f xdx
rarr rarr
+ minus + = +
there4 = +
7) La derivada del cociente de dos funciones-
[ ]2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0( ) ( )
f x d y f x g x f x g xsi y g xg x dx g x
minus= rArr = ne
Demostracioacuten
0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim limh h
d y f x h f x f x h g x h f x g xdx h hrarr rarr
+ minus + + minus= =
0
( ) ( ) ( ) ( )lim( ) ( )h
g x f x h f x g x hh gx g x hrarr
+ minus +=
+
Ahora sumando y restando ( ) ( )f x g x en el numerador se tiene
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim( ) ( )h
g x f x h f x g x f x g x h f x g xh gx g x hrarr
+ minus minus + +=
+
0
2
2
( )( ( ) ( )) ( )( ( ) ( ))
lim( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( 0) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( )
h
g x f x h f x f x g x h g xh h
g x g x hg x f x f x g x g x f x f x g x
g x g x g xdy g x f x f x g xdx g x
rarr
+ minus + +minus
=+
minus minus= =
+
minusthere4 =
Resumiendo
1) ( ) 0dysi y f x Cdx
= = rArr =
2) ( ) 1dysi y f x xdx
= = rArr =
3) 1( ) n ndysi y f x x nxdx
minus= = rArr =
4) ( ) ( )dysi y kf x kf xdx
= rArr =
5) ( ) ( ) ( ) ( )dysi y f x g x f x g xdx
= plusmn rArr = plusmn
6) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dysi y f x g x f x g x f x g xdx
= sdot rArr = +
7) [ ]2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0( ) ( )
f x d y f x g x f x g xsi y g xg x dx g x
minus= rArr = ne
El primer grupo de ejercicios de este trabajo intenta que el alumno fortalezca una habilidad para el caacutelculo de derivadas empleando reglas de derivacioacuten el apartado B es para recordar la aplicacioacuten de la recta tangente a una curva y el apartado C es para trabajar con problemas de aplicacioacuten a diversas aacutereas Trabajo Praacutectico Nordm 4 Reglas de Derivacioacuten9
A Encontrar la derivada de las siguientes funciones
1) ( ) 365f x =
2) 4 3 2( ) 4 3 7f x x x= minus +
3) 5 15
9 3( )f xx x
= minus
4) 3 4 6 31( ) 2 8 16
f x x x x x= minus + minus +
5) 3 2
4 32 7( ) x xf x
x x x+ +
=+ +
6) 2
22( )
4 1
x xf xxminus
=+
7) ( )( )( ) 5 1 2 1f x x x= minus +
8) 2 4 2( )
3x xf x
x+ +
=+
9 Ejercicios tomados de STTan (1998 528-529-530-543-544)
9) 13( ) 9f x x=
10) 3 24 3( ) x xf x
xminus +
=
11) 2 132 3( )f xx x
= minus
12) 2 3( ) 2f x x x= +
13) ( )32
1( ) 2 1 2f x x xx
= + + +
14) 2 1( ) xf x
x+
=
15) 3( )3 1
x xf xx+
=minus
16) 1 2
3 21 2( )1
xf xx
+=
+
17) ( )( )2( ) 1 2 3f x x x= + +
18) ( )( )21 1
( )2
x xf x
x
+ +=
minus
C Encuentre la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva graficada a
continuacioacuten en el punto indicado Punto ( 23)Q minus
Fig 22
Graacutefico de la funcioacuten 3
( )1
f xxminus
=+
D Resolver los siguientes problemas
1 Crecimiento de un tumor canceroso El volumen de un tumor canceroso esfeacuterico estaacute dado por la funcioacuten
34( )3
v r rπ= donde r es el radio del tumor en centiacutemetros
Indique la razoacuten de cambio en el volumen del tumor cuando
a) 23
r cm= b) 54
r cm=
2 Eficiencia de un obrero Un estudio de eficiencia realizado
por la compantildeiacutea de aparatos electroacutenicos Electra mostroacute que el nuacutemero de walkie-talkies ldquoComando espacialrdquo ensamblados por un obrero promedio t horas despueacutes del inicio de labores a las 8 am estaacute dado por 3 2( ) 6 15N t t t t= minus + + a) Encuentre la razoacuten con que el obrero promedio ensambla
los dispositivos t horas despueacutes de iniciar su trabajo b) iquestCon queacute razoacuten los estaraacute ensamblando a las 10 am y a
las 11 am c) iquestCuaacutentos ensamblaraacute entre las 10 y las 11 am
3 Crecimiento de poblaciones Un estudio preparado por la caacutemara de comercio de cierta comunidad ha proyectado que la poblacioacuten de dicha comunidad creceraacute durante los proacuteximos tres antildeos conforme a al regla 3 2( ) 50000 30 20P t t t= + + donde ( )P t denota la poblacioacuten dentro de t meses iquestCon queacute rapidez creceraacute la poblacioacuten dentro de nueve y 16 meses
4 Conservacioacuten de especies Una especie de tortuga estaacute en
peligro de extincioacuten debido a que ciertas personas recogen grandes cantidades de huevos para venderlos como afrodisiacuteacos Despueacutes de implantar severas medidas de conservacioacuten se espera que la poblacioacuten de tortugas crezca de acuerdo con la regla 3 2( ) 2 3 4 1000 0 10N t t t t t= + minus + le le donde ( )N t denota la poblacioacuten al final de antildeo t Encuentre la tasa de crecimiento de poblacioacuten de tortugas cuando 2t = y
8t = iquestCuaacutel seraacute la poblacioacuten diez antildeos despueacutes de la implantacioacuten de las medidas de conservacioacuten
Continuaremos trabajando las reglas de derivacioacuten y ahora estudiaremos las derivadas de las funciones trigonomeacutetricas sus inversas la funcioacuten logariacutetmica y exponencial tomando como referencia las demostraciones presentadas en Smith (2000) y a Piskunov (1973) incluimos tambieacuten algunos ejemplos de aplicacioacuten directa de las reglas de derivacioacuten 8) La derivada de la funcioacuten seno-
( ) cosdysi y f x senx xdx
= = rArr =
Demostracioacuten
0
0
0 0
0 0
( ) ( )lim
cosh cos lim
cosh cos = lim lim
(cosh 1) = lim cos lim
(0) cos (1)
cos
h
h
h h
h h
dy sen x h sen xdx h
senx senh x senxh
senx senx senh xh h
senhsenx xh h
senx xdy xdx
rarr
rarr
rarr rarr
rarr rarr
+ minus=
+ minus=
minus+
minus+
= +
there4 =
9) La derivada de la funcioacuten coseno-
( ) cos dysi y f x x senxdx
= = rArr = minus
La demostracioacuten de este teorema se deja como ejercicio
10) La derivada de la funcioacuten tangente-
2( ) tan secdysi y f x x xdx
= = rArr =
Demostracioacuten
Para ( ) tan senxf x xcosx
= = por regla de cociente se tiene que
( ) ( )2
(cos ) cos
cos
senx x senx xdydx x
minus=
( ) ( )2
cos (cos )
cos
x x senx senxdydx x
+=
2 2
2cos
cosdy x sen xdx x
+=
22
1 seccos
dy xdx x
= =
2secdy xdx
there4 =
Las demostraciones de las derivadas de las funciones trigonomeacutetricas restantes se dejan como ejercicio Resumiendo
8) cosdysi y senx xdx
= rArr =
9) cos dysi y x senxdx
= rArr = minus
10) 2tan secdysi y x xdx
= rArr =
11) 2cosdysi y ctgx ec xdx
= rArr = minus
12) sec sec tandysi y x x xdx
= rArr =
13) sec sec dysi y co x co x ctgxdx
= rArr = minus
Ejemplo 9
Calcular las derivadas de las siguientes funciones a) 2( ) 4 3tanf x x x= minus
b) ( ) senxf xx
=
Solucioacuten
a) trabajamos con la derivada de una diferencia de funciones
( ) 2
2
4 2 3sec
8 3sec
dy x xdxdy x xdx
= minus
= minus
b) Aplicando la derivada de un cociente tenemos ( )
( )2
2
( )
cos
senx x senx xdydx x
x x senxdydx x
minus=
minus=
14) La derivada de la funcioacuten logaritmo-
1( ) log log
a adysi y f x x edx x
= = rArr =
Demostracioacuten
Utilizando la definicioacuten de derivada tendremos
0
0
0
log ( ) log ( )lim
( )log = lim
( )log = lim
a ah
a
h
a
h
x h xdydx h
x hx
hx h
xh
rarr
rarr
rarr
+ minus=
+
+
( )
( )
( )
0
0
0
0
0 0
log (1 ) = lim
log 11 = limx1 = lim log 1x1 = log lim 1x1 = log base de los logaritmos neperianosx
at
at
tat
ta t
a
hhaciendo t cuando h tx
t
txt
t
t
t
e donde e
rarr
rarr
rarr
rarr
= rarr rArr rarr
+
+
+
+
=
ln 11 1 ( ) ln ln
si a e edyEn particular y f x x edx x x
= rArr =
= = rArr = =
1ln dysi y x
dx xthere4 = rArr =
15) La derivada de la funcioacuten logaritmo neperiano-
1( ) ln dysi y f x xdx x
= = rArr =
16) La derivada de la funcioacuten exponencial-
( ) logx xdysi y f x a a adx
= = rArr =
Demostracioacuten
Tomando logaritmos en la igualdad xy a= se tiene ln lny x a= derivando la igualdad obtenida y considerando y en funcioacuten de x tenemos
1 ln
ln lnx
y ay
y y a a a
=
= =
En particular si la base es a e= rarr ln 1e = y obtenemos
( ) x xdff x e edx
= rarr =
17) La derivada de la funcioacuten exponencial con base e-
( ) x xdfsi y f x e edx
= = rarr =
Ejemplo 10
Calcular la derivada de la siguiente funcioacuten
2( ) 3 ln xf x x x e= +
Solucioacuten
( )
( )
2 16 ln 3
6 ln 3
x
x
dy x x x edx x
dy x x x edx
= + +
there4 = + +
Resumiendo
14) 1( ) log loga a
dysi y f x x edx x
= = rArr =
15) 1ln dysi y xdx x
= rArr =
16) ( ) logx xdysi y f x a a adx
= = rArr =
17) ( ) x xdfsi f x e edx
= rArr =
Tomando como referencia a Piskunov (1973) estudiaremos ahora un segundo teorema el cual nos daraacute acceso a la demostracioacuten de la derivada de las funciones trigonomeacutetricas inversas Note ademaacutes que en algunos casos usaremos la notacioacuten y
Teorema 3
Demostracioacuten
Dando a y un incremento y∆ de la igualdad (2) deducimos ( ) ( )x y y yϕ ϕ∆ = + ∆ minus
Como ( )yϕ es una funcioacuten monoacutetona se tiene 0x∆ ne Escribamos la identidad
1yxxy
∆=∆∆∆
Por ser continua la funcioacuten ( )yϕ 0x∆ rarr cuando 0y∆ rarr
Si para la funcioacuten ( )y f x= hellip(1)
Existe una funcioacuten inversa ( )x yϕ= hellip(2)
Tal que en un punto y dado tenga una derivada ( )yϕ distinta de cero entonces la funcioacuten ( )y f x= tiene en el punto
correspondiente x una derivada ( )f x igual a 1( )yϕ
es decir
se verifica la foacutermula 1( )( )
f xyϕ
=
Asiacute pues la derivada de una de las funciones reciacuteprocamente inversas es igual a la inversa de la derivada de la otra funcioacuten para los correspondientes valores de x e y
(Piskunov 1973 92)
Tomando liacutemites cuando 0y∆ rarr en ambos miembros de la uacuteltima
identidad obtenemos 1xy
yx
=
Por lo tanto 1( )( )
f xyϕ
=
(Piskunov 1973 93)
18) La derivada de la funcioacuten arco seno-
2
1( )1
dysi y f x arcsenxdx x
= = rArr =minus
Demostracioacuten
Si y arcsenx= se tiene 2
1
1
dydx x
=minus
Seguacuten la igualdad (1) tenemos cosy
x y= y conforme a la regla
para derivar la funcioacuten inversa se tendraacute 1 1 cosxy
yx y
= =
Pero 2 2cos 1 1 y sen y x= minus = minus luego 2
11
yx
=minus
La raiacutez se toma con el signo positivo porque la funcioacuten
y arcsenx= se define en el intervalo 2 2
yπ πminus le le y por
consiguiente 0y ge (Piskunov 1973 95)
Ejemplo 11
Calcular la derivada de la siguiente funcioacuten
1( )2
xf x arcsen + =
Solucioacuten
( ) ( )
( )
2 2 2
22
1 1 1
1 2 111 12 22
1 2 2 12 2 1
2
dfdx x xx
x xx x
= = =+ minus ++ minus minus
= =minus minus +minus + +
19) La derivada de la funcioacuten arco coseno-
2
1( ) arccos1
dysi y f x xdx x
minus= = rArr =
minus
Demostracioacuten La demostracioacuten se deja como trabajo 20) La derivada de la funcioacuten arco tangente-
21( ) arc t
1dysi y f x gxdx x
= = rArr =+
Demostracioacuten
Si y arctgx= se tiene 21
1dydx x
=+
si consideramos que x tgy=
tenemos
21
cosyx
y=
Por tanto 21 cos xy
y yx
= =
Pero 22 2
1 1cossec 1
yy tg y
= =+
Y puesto que tgy x= tenemos en definitiva 21
1dydx x
=+
Ejemplo 12
Calcular la derivada de la siguiente funcioacuten ( )2( ) (1 )f x x arctg x= +
Solucioacuten
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
22
(1 ) (1 )
1 = 2 (1 )1
= 2 1
df x arctg x x arctg xdx
x arctg x xx
df x arctg xdx
= + + +
+ ++
there4 +
21) La derivada de la funcioacuten arco cotangente-
21( ) arc t
1dysi y f x co gxdx x
minus= = rArr =
+
La demostracioacuten se deja como trabajo asiacute como las demostraciones de las funciones inversas restantes
22) La derivada de la funcioacuten arco secante-
2
1( ) arcsec1
dysi y f x xdx x x
= = rArr =minus
23) La derivada de la funcioacuten arco cosecante-
2
1( ) arc sec1
dysi y f x co xdx x x
minus= = rArr =
minus
Resumiendo
18) 2
1( )1
dysi y f x arcsenxdx x
= = rArr =minus
19) 2
1( ) arccos1
dysi y f x xdx x
minus= = rArr =
minus
20) 2
1( ) arc t1
dysi y f x gxdx x
= = rArr =+
21) 2
1( ) arc t1
dysi y f x co gxdx x
minus= = rArr =
+
22) 2
1( ) arcsec1
dysi y f x xdx x x
= = rArr =minus
23) 2
1( ) arc sec1
dysi y f x co xdx x x
minus= = rArr =
minus
9 REGLA DE LA CADENA
Veamos a continuacioacuten como Smith (2000) presenta y demuestra el teorema de la regla de la cadena un teorema para el caacutelculo de derivadas su utilidad radica en el hecho de que nos permitiraacute derivar funciones compuestas las mismas que se encuentran presentes en la mayoriacutea de modelos matemaacuteticos
Teorema 3
El teorema es cierto incluso si Demostracioacuten
( ) 0g x = pero la demostracioacuten requiere ( ) 0g x ne Sea ( ) ( ( ))F x f g x= Entonces
Regla de la Cadena- Si g es derivable en x y f es derivable en ( )g x entonces
[ ( ( ))] ( ( )) ( )d f g x f g x g xdx
=
(Smith 2000 228)
0
0
0
0
[ ( ( ))] ( ) ( )( ) lim
( ( )) ( ( )) = lim
( ( )) ( ( )) ( ) ( ) = lim ( ) ( )
( ( )) ( ( )) = lim ( )
h
h
h
h
d f g x F x h F xF xdx h
f g x h f g xh
f g x h f g x g x h g xh g x h g x
f g x h f g xg x h
rarr
rarr
rarr
rarr
+ minus= =
+ minus
+ minus + minus+ minus
+ minus+ 0
( ) ( ) 0
( ) ( ) lim( )
( ( )) ( ( )) ( ) ( ) = lim lim ( ) ( )
= ( ( )) ( )
h
g x h g x h
g x h g xg x h
f g x h f g x g x h g xg x h g x h
f g x g x
rarr
+ rarr rarr
+ minusminus
+ minus + minus+ minus
Ahora presentamos la regla de la cadena en teacuterminos de la notacioacuten de Leibniz ldquoSi ( )y f u= y ( )u g x= entonces ( ( ))y f g x= la regla
de la cadena expresa que du dy dudx du dx
= rdquo Smith (2000 228)
Ejemplo 13
Calcular la derivada de la siguiente funcioacuten a) 3 3( ) ( 1)f x x x= + minus
b) 6( ) xf x eminus=
c) 2( ) cos 1f x x= +
Solucioacuten
a) Siendo 3 3( ) ( 1)f x x x= + minus podemos hacer el siguiente cambio 3 1u x x= + minus asiacute 3 3( ) ( 1)f u u y u x x= = + minus Luego la
derivada es
( )33
2 2
1( )
=3 (3 1)
df df dudx du dx
d x xd udu dx
u x
=
+ minus=
+
3 2
5 3 2
5 3 2
=3( 1)(3 1)
= 9 12 9 3 3
=3(3 4 3 1)
x x x
x x x xdf x x x xdx
+ minus +
+ minus + minus
there4 + minus + minus
b) si 6( ) xf x eminus= entonces 6xu minus
= luego
( )
6( ) =
u
df df dudx du dx
d xd edu dx
=
minus
6
1= 6
1 = -6
u
x
e
df edx
minus
minus
there4
c) Sea 2 1u x= + se tiene en la funcioacuten lo siguiente 2( ) cos 1f u u donde u v y v x= = = + luego la derivada seraacute
( ) ( ) ( )
( )
2
1 2
2 2 1 2
1 22 2
1cos
1 = ( ) (2 )2
1 = 1 ( 1) (2 )2
= - 1 1
df df du dvdx du dv dx
d xd vd udu dv dx
senu v x
sen x x x
df x x sen xdx
minus
minus
minus
=
+=
minus
minus + +
there4 + +
Los ejercicios propuestos en este trabajo tienen por finalidad que alumno conozca y aplique las reglas de derivacioacuten asiacute como trabajar reforzar su habilidad para factorizar expresiones algebraicas
Trabajo Praacutectico Nordm 5 Reglas de Derivacioacuten y Regla de la Cadena10
1 Encontrar la derivada de las siguientes funciones
1 ( )( )f x a x a x= + minus
2 1( )1
xf xx
+=
minus
3 3 2( ) 1f x x x= + +
4 ( )f x x x x= + + 5 ( ) 2 3cos3f x senx x= +
6 ( )cos
senxf xa x
=+
7 1( ) ln1
senxf xsenx
+= minus
8 ( ) ( )co s( )f x sen a x x a= + +
9 ( )2( ) f x x ctgx=
10 ( )23
( ) logf x x senx= minus
11 2( ) ln 1f x x x = + +
12 22( )
1xf x arctgx
= minus
13 ( ) arctgxf x e=
14 ( )
( )2
x xe ef x arctg
minusminus=
15 4( )3 5cos
senxf x arctgx
= +
16 2
2 21 2 2( ) ln 21 2 1
x x xf x arctgx x x
+ += + minus + minus
10 Ejercicios tomados de N Piskunov (1973 136-137)
17 2 2( ) (7 4) 49 56 7 9ln(7 4 49 56 7)f x x x x x x x= + + + minus + + + +
18 ( ) ( ) ( ) ( )2( ) 1 1 ln 1 1f x x x x x = + minus minus minus +
19 ( ) 2 5 6( ) 5 6 60 36 21 42
xf x x x x arcsen minus = minus minus minus +
20 ( )2( ) 2 sec 2 8 1 2f x xarc x x arcsen x= + minus
21 2( ) 6 3arccos 13xf x x x = minus minus + minus
22 3( ) (3 2 2cos 2 )xf x e sen x x= minus
23 ( ) ( ) 2( ) 5 3 sec 5 3 ln 5 3 9 30 24f x x arc x x x x = minus minus minus minus + minus +
10 FUNCIONES IMPLICITAS
El siguiente punto que vamos a estudiar corresponde a la derivacioacuten de funciones impliacutecitas Laacutezaro (2000) define una funcioacuten impliacutecita como
DEFINICIOacuteN 9
Asiacute podemos citar como ejemplos a) 2( ) 4f x y x y= minus b) 2 2( ) 2 6f x y x x xy y= minus minus +
El autor nos presenta dos meacutetodos para derivar una funcioacuten impliacutecita ambos meacutetodos seraacuten presentados a continuacioacuten
Funcioacuten Impliacutecita Si tenemos una ecuacioacuten de la forma ( ) 0f x y = con ( )y f x= en el cual la variable dependiente y no estaacute ldquodespejadardquo en teacuterminos de x entonces y se llama funcioacuten impliacutecita de x
(Laacutezaro 2000 53)
1er Meacutetodo
Aplicando en amos miembros de la ecuacioacuten ( ) 0f x y = el
operador ddx
(derivada con respecto a x ) y usando todas las reglas de
derivacioacuten para finalmente despejar y 2do Meacutetodo
Usando derivadas parciales en la foacutermula
fdy x
fdxy
partpart= minuspartpart
Donde
fxpartpart
es la ldquoDERIVADA PARCIAL DE f CON RESPECTO A x rdquo en
este caso consideramos soacutelo a x como variable y el resto de letras se consideran como constantes
fxpartpart
es la ldquoDERIVADA PARCIAL DE f CON RESPECTO A y rdquo en
este caso consideramos soacutelo a y como variable y el resto de letras se consideran como constantes
(Laacutezaro 2000 53)
Ahora apliquemos los dos meacutetodos revisados y reflexionemos acerca de las ventajas de emplearlos Ejemplo 14
En la ecuacioacuten
3 3 3 0x y axy+ minus = donde ( )y f x= hallar dy
dx
Solucioacuten
Empleando el primer meacutetodo
Derivando ambos miembros de la ecuacioacuten tenemos
( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 3
3 3
2 2
2 2
2
2
3 0
3 0
3 3 3 0
3 3 3 3 0
d dx y axydx dx
d d dx y axydx dx dx
dx dy dy dxx y a x ydx dx dx dx
dy dyx y ax aydx dx
dydespejando
dx
dy ay xdx y ax
+ minus =
+ minus =
+ minus + =
+ minus minus =
minus=
minus
Empleando el segundo meacutetodo
3 3
2 2
2
2
( ) 3
3 0 3 y 3 0 3
3x 3 =-
3
Como f x y x y axy obtenemos
f fx ay y axx y
fdy xluego
dfdxdy
ay
y ax
= + minus
part part= + minus = + minus
part part
partpart= minus
minus
minus
Ejemplo 15En la ecuacioacuten
23 23 23 ( ) tanx y a y f x a es cons te+ = =
hallar dydx
Solucioacuten
Empleando el primer meacutetodo
2 3 23 23
13 13
133
13
( ) ( )
20
3
d dx y adx dx
dyx ydx
dy x ydx xy
minus minus
minus
minus
+ =
+ =
= minus = minus
Empleando el segundo meacutetodo 2 3 23 23
13 13
13 13
13
313
( )
2 20 0
3 3
2 2 0 0
3 3
23Asiacute 23
De f x y x y a
obtenemos
f x xx
f y yy
xdy ydx xy
minus minus
minus minus
minus
minus
= + minus
part= + minus =
part
part= + minus =
part
= minus = minus
11 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
Laacutezaro (2000) nos muestra a partir de una notacioacuten la definicioacuten de las derivadas de orden superior
NOTACIOacuteN SE LEE
dy ydx
= La 1ordf derivada de y con respecto
a x
2
2
d dy d y ydx dx dx
= =
2 3
2 3
d d y d y ydx dx dx
= =
3 4(4)
3 4d d y d y ydx dx dx
= =
( 1)
( )( 1)
n nn
n nd d y d y ydx dx dx
minus
minus
= =
La 2ordf derivada de y con respecto
a x
La 3ordf derivada de y con respecto a x
La 4ordf derivada de y con respecto
a x
La n-eacutesima derivada de y con respecto a x
(Laacutezaro 2000 73)
Tabla Nordm 5
La intencioacuten de estos dos ejemplos es de ejercitar la capacidad del alumno para aplicar derivacioacuten sucesiva y simplificacioacuten algebraica Ejemplo 16
Si kxy eminus= Hallar ny Solucioacuten
( )
2 3
( )
etc hasta la n-eacutesima derivada
Luego 1
kx kx kx
nn n kx
y ke y k e y k e
y k e n
minus minus minus
minus +
= minus = = minus
= minus isin
Ejemplo 17
Hallar ( ) (0)nf si 1( ) ln
1f x
x=
minus
Solucioacuten
Pero
1
2 2
3 3
(4) 4 4
(5) 5
1( ) ln ln(1) ln(1 )
1
( ) ln(1 )
1( ) (1 )
1
( ) 1(1 ) ( 1) (1 )
( ) 2(1 ) ( 1) 2(1 )
( ) 2( 3)(1 ) ( 1) 23 (1 )
( ) 23( 4)(1 ) ( 1) 234(1 )
f x xx
f x x
derivando
f x xx
f x x x
f x x x
f x x x
f x x x
minus
minus minus
minus minus
minus minus
minus
= = minus minusminus
= minus minus
minus= minus = minus
minus
= minus minus minus = minus
= minus minus minus = minus
= minus minus minus = minus
= minus minus minus = minus 5
( )
( )
( ) ( 1)(1 )
(0) ( 1)
n n
n
f x n x
luego
f n
minus
minus= minus minus
= minus
12 REGLA DE LrsquoHOSPITAL PARA EL CAacuteLCULO DE LIacuteMITES
INDETERMINADOS DE LAS FORMAS 00
e infininfin
Teorema 4
Regla de LrsquoHospital- Supongamos que lim ( ) 0 lim ( ) 0
x a x af x g x
rarr rarr= and = y supongamos
tambieacuten que existe ( )lim( )x a
f xg xrarr
Entonces existe ( )lim( )x a
f xg xrarr
y
( ) ( )lim lim( ) ( )x a x a
f x f xg x g xrarr rarr
=
(Laacutezaro 2000 48)
Observaciones
La regla de LrsquoHospital se puede aplicar tambieacuten para las siguientes formas indeterminadas
i) ( )lim( )x a
f xg xrarr
infin=infin
ii) ( )lim( )x
f xg xrarrinfin
infin=infin
iii) lim ( ) 0 lim ( ) lim ( ) ( ) 0
( ) 0 ( ) 0 = lim lim1 10 0( ) ( )
x a x a x a
x a x a
f x g x entonces f x g x
f x g x
g x f x
rarr rarr rarr
rarr rarr
= and = infin = infin
= or =
iv) Si lim ( ) lim ( )
x a x af x g x
rarr rarr=infin and = infin ademaacutes
lim [ ( ) ( )]x a
f x g xrarr
minus = infin minusinfin entonces se hace la transformacioacuten
siguiente
( )lim [ ( ) ( )] lim ( )[1 ]
( )x a x a
g xf x g x f x
f xrarr rarrminus = minus pero si ( )
lim 1( )x a
g xf xrarr
=
entonces se hace
( )10( )lim
1 0( )
x a
g xf x
f xrarr
minus=
v) Los liacutemites indeterminados 0 01 0 infin infin se determinan buscando
previamente sus logaritmos y hallando el liacutemite del logaritmo de la expresioacuten [ ] ( )( ) g xf x
Los ejemplos resueltos a continuacioacuten intentan mostrar al alumno algunos casos en los que el liacutemite se puede calcular empleando regla de LrsquoHospital
Ejemplo 18
Calcular los siguientes liacutemites
a) 30
coslimx
x x senxxrarr
minus b) 0
limcot
2x
xxg
π
πrarr
c) 0
limx
tgx senxx senxrarr
minusminus
d) 0
lim 0xx
xrarr
=
e) ( )1
20
lim 1 xx
xrarr
+
Solucioacuten
a) 30
cos 0lim0x
x x senxxrarr
minus= entonces derivando numerador y
denominador tenemos
( )
( )( )( )
20 03
2 0 0 0
cos cos coslim lim3
cos 1lim lim lim3 33 3
x x
x x x
x x senx x xsenx xxx
senxxsenx xx x
rarr rarr
rarr rarr rarr
minus minus minus=
minusminus minus= = = = minus
b) 0
limcot
2x
xxg
π
πrarr
infin=infin
entonces
2
0
0 0 2
lim1 10 2cot lim lim
2 sec2 2 2 2
x
x x
xx xx g
x xtg
ππ π π π π
ππ π π π
rarr
rarr rarr
= = = = =infin
c) 0
0lim
0x
tgx senxx senxrarr
minus=
minus entonces
2
0
sec cos 0lim
1 cos 0x
x xxrarr
minus=
minus luego
2
0 0
2sec sec 2sec 0lim lim
0x x
x xtgx senx x tgx senxsenx senxrarr rarr
+ += =
derivando otra vez 2 4
0
2 2sec sec coslim 3
cosx
x tgx x x
xrarr
+ + =
d)
0lim 0xx
xrarr
=
Hagamos xy x=
Tomemos logaritmos ln lny x x= Ahora apliquemos liacutemites [ ] [ ]
0 0lim ln lim lnx x
y x xrarr rarr
=
Pero0
ln lim 0x
yrarr
= infin entonces expresemos la funcioacuten como
0
lnlim
1x
x
xrarr
infin=infin
por LrsquoHospital 0 0
2
1
lim lim 01x x
x x
xrarr rarr
= minus =minus
O sea
0 0 0 0ln lim 0 lim 1 lim 1 lim 1x
x x x xy y y x
rarr rarr rarr rarr
= rArr = rArr = rArr =
e) ( )1
20
lim 1 1xx
x infin
rarr+ =
Hacer ( )1
21 xy x= +
( )
( )
2
20 0
1ln ln 1
1lim ln lim ln 1x x
y xx
y xxrarr rarr
= +
= +
( )20
= 0
1Pero = lim ln 1
xx
xrarr
infin
+
2
0
21 = lim
1x
xx
rarr
+
( )0 0 0
0 =
1
lim ln 0 ln( lim ) 0 lim 1x x x
y luego y finalmente yrarr rarr rarr
= = =
El siguiente grupo de ejercicios pretende que el alumno afiance sus habilidades para el manejo de reglas de derivacioacuten ademaacutes mejore el manejo de expresiones algebraicas
Trabajo Praacutectico Nordm 6 Derivacioacuten Impliacutecita- Derivada de
Orden Superior11
Ejercicio 1
Halle las derivadas de las siguientes funciones impliacutecitas
1 1
ln( ) 0x xyy
minus minus =
2 3 2 35 3 ln 0x x y yminus minus =
3 ye xy e+ =
4 ln 0x x yyminus + =
5 2 35 2xy y y xy+ = + 6 ( ) 1xy sen xy+ =
11 Ejercicios tomados de N Piskunov (1973 136-137)
7 1 1x y xy+ = +
8 2 2cos( )xy y x= +
9 2 2cos( ) 3 4y xy x+ + =
10 2 3 23 5x yminus = Ejercicio 2
Encuentra la derivada del orden indicado en cada caso 1 3 22 5 1y x x x= minus + minus Hallar y
2 5 3y x= Hallar y
3 6y x= Hallar (6)y
4 ncy
x= Hallar y
5 2 2y a x= minus Hallar y
6 2y x= Hallar y
7 2
x xa aay e e
minus = +
Hallar y
Ejercicio 3
Empleando regla de la cadena derivar las siguientes funciones
1 2
23
3 1ln 1
3
xy x arctgxx
minus= + + +
2 2
221 2 2
ln 211 2
x x xy arctgxx x
+ += +
minusminus +
3 2
21
cos1
n
nxy arcx
minus=
+
4 23 5cos
senxy arctgx
=+
5 y arcsen senx=
6 2 2 2 xy x a x a arcsena
= minus +
13 MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCIOacuteN
Para determinar los maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten es necesario conocer algunas caracteriacutesticas de ella como por ejemplo cuando es creciente o decreciente Basaacutendonos en la bibliografiacutea de Laacutezaro Carrioacuten (2000 108) podemos observar las definiciones siguientes
DEFINICIOacuteN 10
DEFINICIOacuteN 11
131 CRITERIOS PARA EXTREMOS RELATIVOS
Laacutezaro (200 113-114) nos muestra los criterios de la primera y segunda derivada para encontrar los maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten
Una funcioacuten ( )f x es creciente sobre un intervalo I cuando se cumple que
1 2 1 2 1 2( ) ( ) si x x f x f x x x Ilt rArr lt forall isin
(Laacutezaro 2000 108)
Una funcioacuten ( )f x es decreciente sobre un intervalo I cuando se cumple que
1 2 1 2 1 2( ) ( ) si x x f x f x x x Ilt rArr gt forall isin
(Laacutezaro 2000 108)
1 CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA
Sea c un punto criacutetico de ( )f x donde ( ) 0f x = oacute ( )f c no existe Si existe una vecindad de ( ) c V c c cδ δ δ= minus + donde ( )f x es continua en ( )V cδ y derivable en ( )V cδ excepto tal vez en c 1 Si ( ) 0 ( ) 0 f x x c c f x x c cδ δgt forall isin minus and lt forall isin + ( )f crArr
es un maacuteximo relativo de f 2 Si ( ) 0 ( ) 0 f x x c c f x x c cδ δlt forall isin minus and gt forall isin + ( )f crArr
es un maacuteximo relativo de f
3 si ( ) 0 ( ) 0 f x x c c f x x c cδ δgt forall isin minus and gt forall isin + or
( ) 0 ( ) 0 f x x c c f x x c cδ δlt forall isin minus and lt forall isin + ( )f crArr
no es maacuteximo ni miacutenimo relativo de f
Veamos algunos ejemplos que son de aplicacioacuten del criterio dado Ejemplo 19
Sea la funcioacuten
( )
5 3
5
3 5 54 2( ) 2 4 2 2 5
5 5x
x x xf x x x
x e xminus
minus + + lt= minus minus + le lt
minus ge
Hallar los maacuteximos y miacutenimos de esta funcioacuten Solucioacuten
( )Dom f =real ( )f x real es continua en todo definiendo el valor absoluto en f tenemos lo siguiente
5 3
5
3 5 54 22( 4) 2 2 4
( )2( 4) 2 4 5
(5 ) 5x
x x xx x
f xx x
x e xminus
minus + + lt
minus + le lt= minus minus + le lt minus ge
ahora encontramos la derivada de
la funcioacuten ( )f x
2
5
15 ( 1)( 1) 22 2 4
( )2 4 5
( 6) 5x
x x x xx
f xx
x e xminus
minus minus + lt
le lt= minus le lt minus ge
Encontrando los puntos criacuteticos tenemos 0 112456minus Luego de evaluar algunos puntos en los intervalos generados con los puntos criacuteticos de la funcioacuten tenemos que
( 1) 52f minus = es miacutenimo relativo ( )f x (0) 54f = no es maacuteximo ni miacutenimo de ( )f x (1) 56f = es un maacuteximo relativo de ( )f x (2) 2f = minus es miacutenimo relativo ( )f x (4) 2f = es un maacuteximo relativo de ( )f x (5) 0f = no es maacuteximo ni miacutenimo de ( )f x
1(6)f
e= es miacutenimo relativo ( )f x
2 CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA Sea ( )f x una funcioacuten derivable en un entorno de c Si ( ) 0f c = and si ( )f c existe entonces 1) Si ( ) 0 ( ) es un maacuteximo relativo de f c f c flt rarr
2) Si ( ) 0 ( ) es un miacutenimo relativo de f c f c fgt rarr El siguiente ejemplo muestra la funcionalidad del criterio y se espera que el alumno reflexione acerca de las diferencias entre la aplicacioacuten de ambos
Ejemplo 20
Sea la funcioacuten ( ) 2cos cos 2 f x x x x= minus isinreal encontrar los maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten Solucioacuten
Derivando la funcioacuten se tiene
( ) 2 2 2 2 (1 2cos )f x senx sen x senx x= minus + = minus minus luego los puntos singulares (criacuteticos) son De ( ) 0f x = se tiene 2 (1 2cos ) 0senx xminus minus = resolviendo la
ecuacioacuten tenemos que 0 ( 1) 0ordmnsi senx x n nπ π= rarr = + minus = ademaacutes
( ) 11 2cos 0 arccos
2si x x minus = rarr =
52 2
3 3siendo x n x nπ π
π π= plusmn or = plusmn
Luego los puntos criacuteticos son 5 2 2
3 3n n nπ ππ π π + +
La segunda derivada es 2( ) 2 4cos cos 2f x x x= minus minus
Se cumplen a) ( ) 0f n fπ gt rarr tiene miacutenimos relativos en x nπ=
b) ( 2 ) 03
f n fππ+ lt rarr tiene maacuteximos relativos en 2
3x nπ
π= +
c) 5( 2 ) 0
3f n fπ
π+ lt rarr tiene maacuteximos relativos en 52
3x nπ
π= +
El trabajo de aplicaciones que se deja a continuacioacuten tiene la finalidad de aplicar los criterios para hallar maacuteximos y miacutenimos pero es necesario indicar sin restarle mayor importancia a lo anterior que es una bueno oportunidad para que el alumno ponga en praacutectica el trabajo de cambio de registros
Trabajo Praacutectico Nordm 7 Aplicaciones de las derivadas a los Maacuteximos y Miacutenimos de una funcioacuten
Costo Miacutenimo- Una plataforma petroliacutefera estaacute 2 Km mar adentro y la refineriacutea 4 Km costa abajo Si el costo del metro del oleoducto es doble en el mar que en la tierra firme iquestQueacute trayecto debe tener el oleoducto para minimizar el costo
Ejercicio 1
Beneficio Maacuteximo- El beneficio de cierta empresa es Ejercicio 2
21230 20
2P s s= + minus donde s es la cantidad (en cientos de doacutelares)
gastada en publicidad iquestQueacute valor de s hace maacuteximo el beneficio
Cierta empresa de material fotograacutefico oferta una maacutequina que es capaz de revelar y pasar a papel 155 fotografiacuteas por minuto Sin embargo sus cualidades se van deteriorando con el tiempo de forma que el nuacutemero de fotografiacuteas por minuto seraacute funcioacuten de la antiguumledad de la maacutequina de acuerdo a la siguiente expresioacuten (
Ejercicio 3
( )f x representa el nuacutemero de fotografiacuteas por minuto cuando la maacutequina tiene x antildeos)
155 11 0 5( ) 5 45
52
x x si xf x x si x
x
minus le le= +
gt +
a) Estudiar la continuidad de la funcioacuten ( )f x
b) Comprobar que el nuacutemero de fotografiacuteas por minuto decrece con la antiguumledad de la maacutequina Justificar que si tiene maacutes de 5 antildeos revelaraacute menos de 10 fotografiacuteas por minuto
c) Justificar que por muy vieja que sea la maacutequina no revelaraacute menos de 5 fotografiacuteas por minuto
Se ha construido una presa de almacenamiento de agua cuyos costes de mantenimiento diarios son una funcioacuten de la cantidad de agua que la misma tiene almacenada Tales costes (en doacutelares) vienen dados por la siguiente expresioacuten (
Ejercicio 4
( )C x representa el coste si el volumen de agua en millones de metros cuacutebicos es x )
3 2( ) 8 73C x x x x= + minus + a) encontrar el volumen diario de agua oacuteptimo que debe mantenerse para minimizar costes b) calcular el coste miacutenimo diario que supone el mantenimiento de la instalacioacuten Si un diacutea la presa tiene almacenados 3 millones de metros cuacutebicos de agua iquestcuaacutento se ha gastado de maacutes respecto del coste miacutenimo
Un taller artesanal estaacute especializado en la produccioacuten de cierto tipo de juguetes Los costos de fabricacioacuten
Ejercicio 5
( )C x en soles estaacuten relacionados con el nuacutemero de juguetes fabricados x a traveacutes de la siguiente expresioacuten 2( ) 10 2000 250000c x x x= + + El precio de venta de 8000 soles a) Plantear la funcioacuten de ingreso que obtiene el taller con la venta de
los juguetes producidos b) Plantear la funcioacuten de beneficio entendidos como diferencia entre
ingresos y costos de fabricacioacuten c) iquestCuaacutentos juguetes debe fabricar para maximizar beneficios iquestA
cuanto ascenderaacuten estos beneficios
Se ha investigado el tiempo (T en minutos) que se tarda en realizar cierta prueba de atletismo en funcioacuten del tiempo de entrenamiento de los deportistas (x en diacuteas) obtenieacutendose que
Ejercicio 6
3000 30
30( )1125
2 30( 5)( 15)
si xxT x
xx x
le le += + gt minus minus
a) Justificar que la funcioacuten T es continua en todo su dominio b) iquestSe puede afirmar que cuaacutento maacutes se entrene un deportista
menor seraacute el tiempo en realizar la prueba iquestAlguacuten deportista tardaraacute maacutes de 10 minutos en finalizar la prueba
c) Por mucho que se entrene un deportista iquestseraacute capaz de hacer la prueba en menos de 1 minuto iquestY en menos de 2
Un individuo ha invertido en acciones de cierta compantildeiacutea durante los uacuteltimos 10 antildeos El valor de su cartera a lo largo del tiempo (dinero invertido maacutes beneficios obtenidos en miles) viene dado por la siguiente expresioacuten (x en antildeos)
Ejercicio 7
2( ) ( 2) (1 2 ) 252 116 0 10f x x x x si x= minus minus + + le le a) Determinar los intervalos de tiempo en que la cartera crecioacute y
aquellos en que decrecioacute b) El individuo retira sus ingresos transcurridos 10 antildeos iquestCuaacutel hubiera
sido el mejor momento para haberlo hecho iquestCuaacutento pierde por no haberlo retirado en el momento oacuteptimo
El rendimiento (medido de 0 a 10) de cierto producto en funcioacuten del tiempo de uso (x en antildeos) viene dado por la siguiente expresioacuten
Ejercicio 8
2
3( ) 85 0
1
xf x xx
= + ge+
a) iquestHay intervalos de tiempo en los que el rendimiento crece iquestY en queacute decrece iquestCuaacuteles son
b) iquestEn queacute punto se alcanza el rendimiento maacuteximo iquestCuaacutento vale c) Por mucho que pase el tiempo iquestpuede llegar a ser el rendimiento
inferior al que el producto teniacutea cuando era nuevo
El peso que una plancha de cierto material es capaz de soportar depende de la edad de la misma seguacuten la siguiente funcioacuten (el peso P en toneladas t representa la edad en antildeos de la plancha)
Ejercicio 9
250 0 3( ) 20
56 31
t tP t t t
t
minus le le=
minus gt +
a) iquestEs el peso una funcioacuten continua con la edad Seguacuten vaya pasando el tiempo iquestla plancha cada vez aguantaraacute menos peso
b) Dicen que por mucho tiempo que transcurra la plancha siempre aguantaraacute maacutes de 40 toneladas iquestEstaacutes de acuerdo
c) Esboza un dibujo de la graacutefica de P (t) cuidando la concavidad y convexidad de la funcioacuten
El servicio de traumatologiacutea de un hospital va a implantar un nuevo sistema que pretende reducir a corto plazo las listas de espera Se preveacute que a partir de ahora la siguiente funcioacuten indicaraacute en cada momento (t en meses) el porcentaje de pacientes que podraacute ser operado sin necesidad de entrar en lista de espera
Ejercicio 10
2 8 50 0 10( ) 38 100
1004
t t si tp t t si t
t
minus + le le= minus
gt
a) iquestA partir de queacute momento creceraacute este porcentaje Por mucho tiempo que pase iquesta queacute porcentaje no se llegaraacute nunca
b) Haz un esbozo de la graacutefica de la funcioacuten P a lo largo del tiempo 24 LA INFORMAacuteTICA COMO RECURSO
La informaacutetica vista como recurso y no como fin contribuye en la ensentildeanza de la Matemaacutetica a una reconceptualizacioacuten de los planes y programas de estudio para pasar de un modelo masivo unidireccional centrado en el profesor a un modelo mas individualizado centrado en el estudiante
Esto facilita el desarrollo del pensamiento creador de los estudiantes ya que bull Las operaciones automaacuteticas los ayudan a realizar tareas
conceptuales maacutes importantes bull No tienen que ser necesariamente buenos algebraicamente para
dominar el pensamiento abstracto
bull Se le desarrollan gran cantidad de habilidades a traveacutes de la ejercitacioacuten
bull Se le facilita el trabajo independiente bull Pueden dar respuestas maacutes raacutepidas precisas y veraces a los
problemas de la especialidad que se le presenten en el transcurso de sus estudios
bull Tienen la posibilidad de dedicar maacutes tiempo a la modelacioacuten matemaacutetica y al anaacutelisis de la solucioacuten de los diversos problemas a resolver
El grupo experimental es de la Escuela de Ingenieriacutea Industrial y podemos decir que para ellos la computacioacuten no es una herramienta fundamental de trabajo para resolver problemas matemaacuteticos Aquiacute los estudiantes realizaraacuten acciones con la computadora que les reporten beneficios en ahorro de tiempo confiabilidad en los resultados matemaacuteticos ahorro de esfuerzo productividad etc En la competencia del siacutelabo se puede leer Interpreta formula y resuelve problemas de contexto real utilizando definiciones teacutecnicas y aplicaciones del caacutelculo Diferencial desarrollando comunicacioacuten investigacioacuten razonamiento y manifestando confianza flexibilidad y perseverancia De aquiacute se desprende la idea de utilizar programas en esta carrera especiacuteficamente ldquoDERIVErdquo Utilizando este paquete el estudiante puede resolver problemas de aplicacioacuten con mayor precisioacuten y rapidez obteniendo respuestas oacuteptimas y asiacute influir positivamente en la toma de decisiones Por esta razoacuten es necesario un replanteamiento en la ensentildeanza de la matemaacutetica donde lo primordial seraacute
1 Asimilacioacuten de conceptos y definiciones por parte de los estudiantes para aplicarlos a la modelacioacuten de problemas
2 Reduccioacuten sensible de los caacutelculos manuales en elementos del calculo diferencial lo que posibilita impartir mayor cantidad de conocimientos en menor tiempo
3 Elaboracioacuten de pruebas parciales y finales donde el estudiante modele problemas y luego los resuelva usando empleando DERIVE
Esto no significa de ninguna manera que el estudiante no tenga que resolver ejercicios donde aplique los conocimientos adquiridos sin
usar la computacioacuten Pues si lo haraacute y un grado de complejidad donde no sea necesario el uso de los medios de computo En la vida praacutectica el ingeniero se encuentra con situaciones problema inherente a su campo de accioacuten algunas de las cuales pueden ser modeladas con ayuda de un software matemaacutetico Dado un problema se debe 1 Analizarlo profundamente con la finalidad de recoger la mayor cantidad de informacioacuten posible 2 Hacer el planteamiento del problema en cuestioacuten teniendo en cuenta el punto 1 3 Modelarla usando un modelo que se ajuste a la situacioacuten 4 Solucionarla Para ello se puede usar
- Tablas matemaacuteticas - Calculadoras de mano - Computadoras
5 Interpretar los resultados 6 Tomar una decisioacuten Como se puede observar faacutecilmente los puntos del 1 al 6 con excepcioacuten del 4 responden al pensamiento creador y el 4 corresponde al uso del computador De todas formas esto no resta importancia al creciente uso de la computacioacuten en la matemaacutetica Ambos aspectos estaacuten muy vinculados La computacioacuten como herramienta ahorra el tiempo que el estudiante puede utilizar sin liacutemites para desarrollar el pensamiento creador En general se han realizado varias actividades con el uso del ldquoDeriverdquo que han fortalecido el proceso de ensentildeanza-aprendizaje en la especialidad entre las cuales se pueden mencionar 1 Clases praacutecticas en el laboratorio de la Escuela donde la
profesora guiacutea el proceso 2 Clases praacutecticas donde soacutelo se modela el problema y el
estudiante lo resuelve en tiempo extra con la ayuda de la maacutequina
3 Tareas donde el estudiante se ve precisado a utilizar la maacutequina para obtener respuestas raacutepidas y eficientes
4 Tareas sistemaacuteticas de problemas de cierta complejidad los cuales se les hariacutea muy difiacutecil resolverlos manualmente
5 Pruebas integradoras de Matemaacutetica y Computacioacuten donde la matemaacutetica ofrece el modelo para resolverla y la computacioacuten ofrece el paquete para encontrar una solucioacuten oacuteptima
6 Talleres donde la solucioacuten de los problemas es con ayuda de la computadora En estos talleres se puede observar que el estudiante tiene la necesidad de aplicar conceptos estudiados en clases para modelar e interpretar los problemas que se le presentan que en ocasiones son de caraacutecter integrador pues tienen que aplicar conceptos matemaacuteticos como Liacutemite Derivada entre otros para modelar uno soacutelo de ellos por lo tanto el uso del Derive en este caso fue esencial y muy provechoso
241 EL SOFTWARE EDUCATIVO EN EL PROCESO DE
ENSENtildeANZA APRENDIZAJE
El efecto del uso de software educativos en el proceso de ensentildeanza aprendizaje se manifiesta en un cambio de paradigma pedagoacutegico centrado en el aprendizaje maacutes que en la ensentildeanza donde el trabajo del docente prioriza la organizacioacuten y disposicioacuten de los contenidos de aprendizaje asiacute como la organizacioacuten del aprendizaje de los alumnos mediante tareas individuales y en grupo con un permanente seguimiento por parte del docente Es un modelo de formacioacuten centrado en problemas en el que los alumnos no son receptores pasivos de informacioacuten sino que deben resolver problemas utilizando para ello los contenidos adquiridos El uso del software educativo haraacute de la clase un lugar privilegiado de ensentildeanza ya que se convertiraacute en un conjunto muacuteltiple de entornos en aprendizajes en los que el alumnado pueda desarrollar y adquirir el conjunto de habilidades saberes y actitudes necesarias para vivir en sociedad Este hecho conlleva la necesidad de generar nuevos saberes pedagoacutegicos en relacioacuten con la planificacioacuten y el seguimiento del aprendizaje del alumnado en situaciones diversas
242 LA INTRODUCCION DE SOFTWARE DE
MATEMATICA EN LA EDUCACION MATEMATICA
Uno de los propoacutesitos de la educacioacuten matemaacutetica es formar al estudiante para que adquiera fluidez representacional
entendida esta como la representacioacuten verbal graacutefica geomeacutetrica tabular icoacutenica algebraica pictoacuterica mediante la que exprese conceptos y procedimientos matemaacuteticos El aprendizaje significativo se da traveacutes de la solucioacuten de situaciones problema donde el estudiante aprende cuando domina diferentes sistemas de representacioacuten Hoy en diacutea las nuevas tecnologiacuteas han cambiado profundamente el mundo de las matemaacuteticas y el de las ciencias ya que no soacutelo han afectado las preocupaciones propias de su campo y la perspectiva como eacuteste se ve sino tambieacuten el modo en que las ciencias y las matemaacuteticas se hacen se ensentildean y se transmiten Como sentildeala Zabalza (2003) ldquoLa incorporacioacuten de las nuevas tecnologiacuteas a la didaacutectica universitaria situacutea a los docentes ante el enorme desafioacute de las nuevas modalidades de ensentildeanzardquo Introducir la tecnologiacutea en el campo de la educacioacuten definitivamente aumenta las posibilidades de mejorar el rendimiento acadeacutemico en particular en la educacioacuten matemaacutetica se incrementa la manera de representar los conceptos matemaacuteticos pero es necesario considerar que ello podriacutea incrementar el riesgo de los problemas de comunicacioacuten pues los alumnos podriacutean estar expuestos a tomar la notacioacuten del software que emplean como notacioacuten algebraica formal a pesar que se les pida que consideraran que cada software tienen diferentes maneras de expresar los conceptos matemaacuteticos parece que ayudariacutea que las notaciones que usa la tecnologiacutea se fueran ajustando maacutes a las usadas en el aacutelgebra Esto es un riesgo que vale la pena tomar en cuenta al momento de hacer nuestras programaciones y que no debe hacernos desistir de emplear este recurso para lograr los objetivos propuestos El Derive es una potente herramienta computacional para el desarrollo del pensamiento variacional pensamiento que estaacute relacionado con los demaacutes pensamientos matemaacuteticos permite al estudiante concentrar esfuerzos en el razonar solucionar y formular problemas asiacute como en verificar teoremas y propiedades matemaacuteticas y geomeacutetricas
243 EL PROGRAMA CIENTIacuteFICO DERIVE
DERIVE es un programa de matemaacuteticas capaz de procesar variables expresiones ecuaciones funciones vectores y matrices Al igual que una calculadora cientiacutefica sirve para trabajar con nuacutemeros Puede realizar caacutelculos numeacutericos y simboacutelicos con aacutelgebra trigonometriacutea y anaacutelisis ademaacutes de representaciones graacuteficas en dos y tres dimensiones El aspecto maacutes sobresaliente de Derive es su trabajo simboacutelico unido a sus capacidades graacuteficas Es una herramienta excelente para hacer y aplicar matemaacuteticas y para aprender y ensentildear matemaacuteticas Esto lo convierte en un paquete matemaacutetico idoacuteneo para los primeros cursos de la carrera DERIVE es uno de esos programas de caacutelculo simboacutelico quizaacute el maacutes difundido y popular porque en su modalidad maacutes sencilla funcionaba en cualquier PC sin necesidad de que tuviera disco duro y ocupaba soacutelo un diskette Hoy Derive sigue siendo un pequentildeo programa que ocupa poco maacutes de 3 Mb y que sigue siendo muy accesible e intuitivo
244 CAPACIDADES DEL PROGRAMA DERIVE
Conocer las capacidades del programa nos serviraacute para pensar en sus aplicaciones docentes Cuanto mejor se conozca el programa incluyendo sus novedades tanto mejor se puede incorporar a diversos aspectos de la ensentildeanza Derive como una herramienta computacional permite bull La construccioacuten exploracioacuten manipulacioacuten directa y
dinaacutemica de objetos en pantalla que conducen en un nivel bajo a la elaboracioacuten de conjeturas en un nivel medio a la argumentacioacuten y un nivel superior a la realizacioacuten de demostraciones
bull Las representaciones cuantitativas geomeacutetricas tabulares algebraicas y graacuteficas en forma dinaacutemica es decir que al variar un elemento o argumento en la expresioacuten original se produce una variacioacuten de dependencia entre las variables posibilitando asiacute el anaacutelisis y la generalizacioacuten de conceptos
bull La representacioacuten graacutefica en dos y tres dimensiones dando la posibilidad de realizar transformaciones y de asociar figuras con objetos fiacutesicos para pasar a un nivel de conceptualizacioacuten maacutes elevado
bull Problematizar lo visual de tal forma que surja la necesidad de examinar conjeturar predecir y verificar es decir da al estudiante la posibilidad de pensar y de preguntar sobre el porque de determinados hechos llevaacutendolo a la exploracioacuten de otras situaciones
bull La correlacioacuten de lo geomeacutetrico con lo algebraico
En el plan de Estudios de las asignaturas de Loacutegico Matemaacutetica Matemaacutetica I y Matemaacutetica II de la Universidad Cesar Vallejo se desarrollan temas en los cuales el uso de derive seria de mucha ayuda desde este punto puedo mencionar que derive permite trabajar bull Operaciones con vectores matrices y determinantes bull Resolucioacuten de ecuaciones y de sistemas de ecuaciones bull Calculo de Liacutemites derivadas integrales (definidas e
indefinidas) series liacutemites polinomios de Taylor bull Representacioacuten graacutefica de funciones en forma expliacutecita
impliacutecita parameacutetrica y en coordenadas polares Asiacute como la representacioacuten de funciones de dos variable
bull Operaciones con polinomios y fracciones algebraicas y muchas otras
bull Ademaacutes es posible programar funciones que usen las distintas capacidades del programa de modo que aumenta asiacute sensiblemente el espectro de sus aplicaciones DERIVE se suministra con varios ficheros de funciones para propoacutesitos diversos como resolver ecuaciones diferenciales trabajar en Aacutelgebra Lineal etc
245 LABORATORIOS PARA EL APRENDIZAJE DEL
CALCULO DIFERENCIAL EMPLEANDO DERIVE
El contenido de las praacutecticas de laboratorio es ldquoautosuficienterdquo en el sentido que no son precisos conocimientos previos de informaacutetica por parte del alumno
CAPIacuteTULO III
METODOLOGIacuteA DE LA INVESTIGACIOacuteN
31 PARADIGMA DE INVESTIGACIOacuteN
El paradigma de esta investigacioacuten es de tipo positivista tambieacuten denominado (Arnal 1996) paradigma cuantitativo empiacuterico-analiacutetico racionalista Basado en la escuela filosoacutefica del positivismo (Arnal 1996) y que presenta Arnal (199641) citando a Koetting (1994 296) las siguientes caracteriacutesticas 1 Su intereacutes es explicar controlar y predecir 2 La naturaleza de su realidad es dada tangible fragmentada
convergente 3 La relacioacuten sujetoobjeto es independiente neutral libre de
valores 4 Su propoacutesito es la generalizacioacuten libre de contexto con
explicaciones centradas en deducciones y centradas sobre semejanzas
5 la explicacioacuten de la causalidad refiera a causas reales Arnal (1996 41) nos dice ldquoEste paradigma lleva asociado el peligro de reduccionismo al aplicarse al aacutembito educativo Si bien permite satisfacer ciertos criterios de rigor metodoloacutegico sacrifica el estudio de otras dimensiones sustantivas del hecho educativo como realidad humana sociocultural e incluso poliacutetica e ideoloacutegicardquo
32 TIPO DE INVESTIGACIOacuteN
Positivista ndash experimental 33 POBLACIOacuteN
Poblacioacuten Los alumnos de la asignatura de Matemaacutetica I de la Universidad Ceacutesar Vallejo durante el segundo semestre 2006 Son en total 46 alumnos Se tomaraacute en cuenta el promedio final al terminar cada ciclo Semestre 2006 ndash II
34 HIPOacuteTESIS ESTADIacuteSTICAS
0 M MH micro micro= (Hipoacutetesis Nula)
1 M MH micro microne (Hipoacutetesis de la investigacioacuten) Donde
Mmicro Nota promedio de los alumnos de la asignatura de Matemaacutetica I Seccioacuten A aula 412 del semestre 2006 II que emplearon el software DERIVE
Mmicro Nota promedio de los alumnos de la asignatura de Matemaacutetica I Seccioacuten B aula 413 del semestre 2006 II que no que emplearon el software DERIVE
35 VARIABLES
Variable Independiente Programa DERIVE Variable Dependiente Rendimiento acadeacutemico de los alumnos Variables Intervinientes Asistencia a clases horarios tipo de contenidos
36 DISENtildeO DE INVESTIGACIOacuteN
El presente trabajo de investigacioacuten se desarrollaraacute en los ambientes de la Universidad Cesar Vallejo en la Escuela de Ingenieriacutea Industrial y de Sistemas en la asignatura de Matemaacutetica I Ademaacutes se emplearaacute el laboratorio de coacutemputo 305 donde se ha instalado el software DERIVE
El disentildeo empleado es de tipo experimental Hernaacutendez Sampieri (2003 188) nos dice ldquoLa esencia de esta concepcioacuten de ldquoexperimentordquo es que requiere la manipulacioacuten intencional de una accioacuten para analizar sus posibles efectosrdquo Bajo esta idea se tiene la presencia de dos variables una independiente la cual consiste en el uso del software DERIVE como recurso didaacutectico para mejorar el rendimiento acadeacutemico de los alumnos de Ingenieriacutea de Sistemas y la otra llamada dependiente que en este caso es el rendimiento acadeacutemico El disentildeo implica ademaacutes la presencia de dos grupos de los cuales soacutelo uno seraacute expuesto a la presencia de la variable independiente a este grupo le llamaremos grupo experimental y estaraacute formado por los alumnos de la Escuela de Ingenieriacutea Industrial (aula 412) el otro recibiraacute el nombre de grupo de control y lo conformaraacute los alumnos de la Escuela de Ingenieriacutea Sistemas (Aula 413) Al finalizar el proceso de investigacioacuten se compararaacuten ambos para determinar si el grupo que ha sido expuesto a la variable independiente difiere del otro Basada en la tipologiacutea de Cambell y Stanley (1966) empleareacute la simbologiacutea de un disentildeo cuasiexperimental con una preprueba - posprueba y grupo de control siendo el esquema el siguiente
1 1 2
2 3 4
0 0
0 _ 0
G X
G
Para el caso de este trabajo el resultado de la preprueba consiste en el promedio de la primera unidad ya que la investigacioacuten se realizaraacute en la segunda unidad del curso de manera que las notas de la primera unidad seraacuten de importancia en el inicio de esta investigacioacuten
37 TEacuteCNICAS E INSTRUMENTOS DE RECOLECCIOacuteN DE
DATOS
En los estudios experimeacutentales la teacutecnica se encuentra limitada al procedimiento para desarrollar una actividad especiacutefica y los instrumentos son las herramientas que serviraacuten para manipular el objeto de estudio La teacutecnica consiste en el desarrollo de sesiones de laboratorio usando el software DERIVE las cuales se realizaraacuten dentro de la
jornada de clases debo indicar que las clases son una vez a la semana en bloque de 5 horas iniciaacutendose a las 730 am y finalizando a las 1200 am contando con un descanso de 20 minutos a las 1000 am Cada sesioacuten con el grupo experimental seraacute trabajado en el laboratorio de computo el cual esta totalmente equipado para realizar la clase y los alumnos contaran con una guiacutea de trabajo la misma que se les entregaraacute al empezar la clase en el laboratorio Todas las guiacuteas de trabajo se encuentran en el Anexo 3 En el caso del grupo de control no hay asistencia al laboratorio los alumnos trabajaraacuten siempre en el aula y la clase se desarrollara empleando la clase magistral y el trabajo en pareja o en grupo Para la recoleccioacuten de datos he empleado praacutecticas calificadas las cuales disentildeeacute basaacutendome en la taxonomiacutea de Bloom mencionada anteriormente en el Capiacutetulo II del fundamento teoacuterico y cuyas tablas de especificaciones se encuentran en el Anexo 5 aquiacute se pueden apreciar en detalle las habilidades cognitivas y los ejes temaacuteticos que se ha evaluado asiacute como el nuacutemero de preguntas por eje temaacutetico y habilidad que se intenta evaluar luego las practicas calificadas estaacuten se encuentran en el Anexo 6
38 TEacuteCNICAS DE PROCESAMIENTO DE DATOS
Para la seleccioacuten de la teacutecnica para la prueba de hipoacutetesis se utilizaraacute la ldquo t ndashstudentrdquo
( )1 21 22 2
1 2
2p p
x xt t n n
s sn n
minus= asymp + minus
+
Donde 1n es el tamantildeo de muestra de la primera poblacioacuten 2n es el tamantildeo de muestra de la segunda poblacioacuten
11
1
n
ii
xx
n==sum
Media muestral para la muestra nuacutemero 1
12
2
n
ii
xx
n==sum
Media muestral para la muestra nuacutemero 2
( ) ( )2 21 1 2 22
1 2
1 12p
n s n ss
n nminus + minus
=+ minus
Donde
La varianza muestral de la muestra 1 es ( )
12
12 11
1 1
n
ii
x xs
n=
minus
=minus
sum
La varianza muestral de la muestra 2 es ( )
22
22 12
2 1
n
ii
x xs
n=
minus
=minus
sum
39 PROCESO DE LA INVESTIGACIOacuteN
391 DIFICULTADES EN EL APRENDIZAJE DEL CAacuteLCULO DIFERENCIAL
Para este trabajo de investigacioacuten he tomado dos grupos uno corresponde a la Escuela de Ingenieriacutea Industrial al que llamareacute Grupo Experimental y el otro corresponde a la Escuela de Ingenieriacutea de Sistemas al que llamareacute Grupo de Control Es importante que mencione que aun cuando los dos grupos corresponden al segundo ciclo y esta asignatura sea igual para ambas escuelas sus planes de estudio no son los mismos Una dificultad que presentan los alumnos se encuentra en la base de los contenidos que traen consigo realizan algunos errores al emplear fundamentos algebraicos lo cual es necesario para el trabajo con funciones liacutemites y derivadas esto no me permite desarrollar los contenidos de acuerdo a las fechas que se programan en el siacutelabo y por lo general debe reprogramar mis clases o trabajar algunas horas aparte de las asignadas al menos en la primera parte del curso donde se trabaja mucho con funciones y sus graacuteficas
392 RENDIMIENTO ACADEacuteMICO
Respecto al rendimiento acadeacutemico considero necesario presentar en el Anexo 2 el registro de evaluaciones de la primera unidad donde se puede apreciar el rendimiento de los alumnos El grupo de Ingenieriacutea de Sistemas consta de los 32 alumnos de los cuales siete se han retirado del curso reservando su matriacutecula En el grupo de Ingenieriacutea Industrial consta de 19 alumnos de los cuales solo una alumna se retiro del curso Este antildeo es el primero para la escuela de Ingenieriacutea Industrial en la filial de Piura este grupo corresponde a la primera promocioacuten menciono esto porque es la primera vez que dicto el curso para alumnos de esta especialidad
393 PROPUESTA DIDAacuteCTICA
1 TEMA Caacutelculo Diferencial 2 TIEMPO 4 semanas 3 Nordm DE HORAS SEMANALES 5 horas 4 COMPETENCIA Interpreta formula analiza y resuelve problemas de
contexto real utilizando definiciones teacutecnicas y aplicaciones del Caacutelculo Diferencial desarrollando comunicacioacuten investigacioacuten razonamiento y manifestando confianza flexibilidad y perseverancia
5 CAPACIDADES bull Refuerza empleando DERIVE el tema de Razoacuten de
Cambio en una funcioacuten bull Utiliza el software para visualizar y estudiar a traveacutes
de un pequentildeo programa el problema de la Recta Tangente
bull Observa analiza e interpreta el comportamiento de las funciones y sus derivadas a traveacutes de graacuteficas elaboradas en DERIVE
bull Resuelve problemas de aplicacioacuten de la derivada (Maacuteximos y Miacutenimos) al estudio de problemas naturales econoacutemicos sociales y tecnoloacutegicos
bull Desarrollar la capacidad de anaacutelisis criacutetico de las informaciones recibidas
6 ACTITUDES
bull Valora la importancia de la precisioacuten en el trabajo de programacioacuten
bull Demuestra seguridad orden y claridad en su trabajo bull Manifiesta la importancia de la derivada para
explicar y analizar el comportamiento de un fenoacutemeno
7 METODOLOGIacuteA DE LAS SESIONES DE CLASE La metodologiacutea consiste en explicar el fundamento teoacuterico empleando diversos recursos como diapositivas pizarra ndash plumoacuten proyector multimedia y paralelamente trabajar el laboratorio Al planificar estas sesiones se tendraacute en cuenta la competencia y las capacidades que se espera desarrollar en los alumnos Se ha insistido en la necesidad de lograr que el alumno realice un aprendizaje significativo y desempentildee un rol activo para lo cual utilizaremos guiacuteas de trabajo para el tratamiento de los contenidos programados asiacute como hojas de Evaluacioacuten de Laboratorio
8 RECURSOS HUMANOS bull Profesora de Matemaacuteticas bull Grupo Experimental Alumnos del segundo ciclo
de la Escuela de Ingenieriacutea Industrial bull Grupo de Control Alumnos del segundo ciclo de
la Escuela de Ingenieriacutea de Sistemas 9 MATERIALES
bull Centro de Coacutemputo bull Guiacuteas de Trabajo bull Hojas de Evaluacioacuten
10 PLANES DE CLASE Elaborar un plan de clase se ha convertido en una tarea importante al momento de planificar nuestras asignaturas hemos recibido algunos cursos de capacitacioacuten con la finalidad de que todos los docentes podamos manejar este instrumento que nos ayude a organizar mejor nuestro tiempo y a dosificar los
contenidos de acuerdo al tiempo establecido para cada uno de ellos en la programacioacuten oficial Manejamos el formato que presento en el Anexo 4 y en cada clase llevamos uno en nuestra carpeta docente Para este trabajo de investigacioacuten se elaboraron 4 planes de clase los cuales se pueden apreciar en el Anexo 4 Consideramos importante al momento de planificar una sesioacuten de clase conocer los diferentes tipos de actividades a desarrollar los cuales son la parte medular de la clase y los procedimientos a utilizar en cada una de ellas En nuestros planes de clase consideramos las siguientes actividades bull Actividades Iniciales
Preparan el ambiente para el aprendizaje y estimulan el intereacutes por los nuevos contenidos y facilitan su relacioacuten con los conocimientos previos de los estudiantes Tienen como propoacutesito captar la atencioacuten de los alumnos hacia las principales ideas estudiadas Se utiliza como introduccioacuten donde se sentildealan los aspectos a estudiar para despertar el intereacutes de los alumnos por el tema y desarrollar una buena disposicioacuten por temas subsiguientes Tambieacuten puede incluir una evaluacioacuten previa o diagnoacutestica del conocimiento actual las actitudes y niveles de destreza de los alumnos En este mismo sentido se puede plantear una secuencia de experiencias de aprendizajes puede incluir diferentes tipos de actividades entre las cuales se encuentran las Actividades Introductorias o de Exploracioacuten Evidencian diagnoacutestico introduccioacuten o
descubrimiento Son orientadoras Despiertan el intereacutes y la motivacioacuten A continuacioacuten se ofrecen algunos ejemplos de actividades iniciales Hacer una encuesta de las actitudes de los alumnos hacia un tema determinado y colocar los resultados en el pizarroacuten
Mostrar una peliacutecula de corto metraje Pedir a los estudiantes que entrevisten a personas que laboran en una empresa acerca del tema estudiado y discutan sus hallazgos en clase Sostener una discusioacuten en clase que muestre la forma en que se relacionan las experiencias actuales de los alumnos con lo que va a ser estudiado
bull Actividades de Proceso
Dan secuencia a las estrategias y teacutecnicas de aprendizaje para lograr los objetivos propuestos Son las estrategias de aprendizaje y teacutecnicas que ayudan a los estudiantes a extender su pensamiento acerca de un problema o tema y practicar sus destrezas recieacuten aprendidas Estas son el corazoacuten de la Unidad y ocupan la mayor parte del tiempo y la energiacutea de los estudiantes Aquiacute podemos hablar de actividades de desarrollo anaacutelisis y estudio las cuales son actividades destinadas a desarrollar diferentes aspectos del contenido para el logro de los objetivos Incluyen actividades de estudio y ejercitacioacuten Dentro de eacutesta clasificacioacuten se encuentran tambieacuten las denominadas por Taba actividades de generalizacioacuten que incluyen actividades que permiten generalizar o reconstruir lo aprendido Ejemplos de actividades de Desarrollo Solicitar a los estudiantes elaboren mapas
tablas graacuteficas modelos o secuencias cronoloacutegicas
Asignar actividades de redaccioacuten de resentildeas de libros temas cartas o informes de investigacioacuten
Invitar a especialistas sobre el tema a dar una charla
Solicitar a los estudiantes que recaben su propia informacioacuten a traveacutes de entrevistas o cuestionarios
Utilizar peliacuteculas diapositivas transparencias u otros materiales visuales
Organizar grupos pequentildeos de trabajo para que los estudiantes compartan informacioacuten Mostrar a los estudiantes la forma de desarrollar habilidades especiacuteficas y proveer actividades para la praacutectica
bull Actividades Finales Agregan y relacionan las Unidades de Aprendizaje con otras experiencias educativas y aplicaciones a situaciones nuevas Estas actividades favorecen la integracioacuten con resuacutemenes que ayuden a los estudiantes a identificar las ideas maacutes importantes de la Unidad Una actividad de culminacioacuten tambieacuten podriacutea brindar la oportunidad para que los alumnos practiquen o utilicen de forma conjunta los conocimientos habilidades y actitudes desarrolladas en unidades anteriores Aquiacute podemos mencionar a las actividades de aplicacioacuten resumen o culminacioacuten que son aquellas que propician la aplicacioacuten de lo aprendido y sirven para medir o evaluar el nivel de logro Algunos ejemplos de actividades de culminacioacuten
son Planear una puesta en comuacuten para que los estudiantes resuman lo que han aprendido en la Unidad Estimular a los estudiantes a realizar un proyecto que deacute respuesta a problemas particulares de una empresa de su trabajo o de su comunidad Producir material audiovisual presentacioacuten de grabaciones transparencias o cintas de viacutedeo en clase
11 CRITERIOS DE EVALUACIOacuteN Los criterios de evaluacioacuten corresponden a la Taxonomiacutea de Bloom seguacuten la cual se evaluacutea de acuerdo a los criterios de conocimiento comprensioacuten
aplicacioacuten anaacutelisis siacutentesis y evaluacioacuten Asiacute en las evaluaciones presentadas en el Anexo 5 presentamos las tablas de especificaciones de acuerdo a esta taxonomiacutea y a los ejes temaacuteticos que se desarrollaron en cada sesioacuten de clase y en el Anexo 6 se muestran los instrumentos de evaluacioacuten donde se ha tenido el cuidado necesario en la redaccioacuten de cada iacutetem a fin de que logre medir las capacidades sentildealadas en los planes de clase y este de acuerdo a los criterios fijados en la tabla de especificaciones
12 METODOLOGIA DE CLASE
En cuanto a la metodologiacutea indicamos que se trabaja por bloques de cinco horas pedagoacutegicas con un descanso de 20 minutos Las clases se dictan una vez a la semana y se inicia en el turno de la mantildeana de 730am hasta las 1000am en que se da lugar al descanso de veinte minutos para retomar a las 1020am y terminar a las 1200 am Debido a la jornada de trabajo que se tiene es que el eacutexito de una sesioacuten de clases depende en parte de la habilidad del docente para programar su clase haciendo un buen uso del tiempo a fin de hacer de su clase una jornada de trabajo productivo con los alumnos Generalmente distribuyo mi tiempo entre exposicioacuten los contenidos y resolucioacuten de ejercicios en la pizarra tambieacuten invito a los alumnos a participar resolviendo algunos ejercicios y problemas para luego explicar lo que han trabajado a sus compantildeeros Otras de las estrategias empleadas es la solucioacuten de Trabajos Praacutectico en clase y de forma grupal despueacutes de ello siempre se presentan las soluciones a todo el grupo He dejado un trabajo encargados en la primera unidad que mas que ser un trabajo de investigacioacuten de alguacuten contenido matemaacutetico se refirioacute a la lectura de la novela ldquoCriacutemenes Imperceptiblesrdquo de Guillermo Martiacutenez Matemaacutetico y escritor argentino esta novela posee un contenido matemaacutetico y en su momento
sirvioacute para reconocer que en las matemaacuteticas no todo es solucioacuten de ejercicios y problemas Con el grupo experimental trabajeacute sesiones de laboratorio incluidas dentro de las horas de clase PRIMERA CLASE
Esta es la primera clase sobre Derivadas con el grupo de control aquiacute el desarrollo de la clase se hace siguiendo el meacutetodo de la clase magistral en la cual muestro a los alumnos el concepto de razoacuten de cambio con ayuda de diapositivas y graacuteficos elaborados en la pizarra es importante mencionar que toda la informacioacuten ellos la tienen presente en una separata disentildeada para esta clase y entregada para esa sesioacuten
Luego de la explicacioacuten en la cual los alumnos
intervienen con sus preguntas se procede a trabajar por parejas en la solucioacuten del primer trabajo praacutectico que aparece en la separata para esto se asigna a cada pareja formada un problema un tiempo de 15rsquo para resolverlo y entregarlo para su posterior correccioacuten en plenaria A continuacioacuten los alumnos exponen la solucioacuten de los 4 problemas en la pizarra
Luego empleando nuevamente el meacutetodo expositivo dando lugar a las preguntas de los alumnos y haciendo a la vez algunas interrogantes para comprobar su comprensioacuten presente los contenidos referidos a a) Razoacuten de cambio y el problema de la recta tangente a una curva b) Definicioacuten de derivada c) Presentacioacuten de graacuteficos de funciones y sus derivadas Resolvimos algunos ejercicios de los trabajos praacutecticos Nordm2 y Nordm3 en la pizarra y los demaacutes quedaron para trabajar en casa La solucioacuten de dichos ejercicios seria expuesta en la siguiente clase de forma voluntaria
Para la sesioacuten con el grupo experimental la clase se desarrollo con un inicio similar a la clase del grupo
de control mostrando las diapositivas y trabajando con ellos trabajando con ellos sobre la ideas de Razoacuten de cambio Recta tangente a una curva caacutelculo de la derivada de una funcioacuten empleando la definiciones De los Trabajos Praacutecticos Nordm1 Nordm2 y Nordm3 resolviacute en la pizarra algunos ejercicios quedando los otros como trabajo para la siguiente clase Para la sesioacuten de laboratorio prepare una guiacutea de trabajo la cual estaacute dividida en dos temas los cuales se denominan bull Razoacuten de cambio y problema de la recta tangente bull Caacutelculo y grafica de la derivada de una funcioacuten Esta guiacutea de trabajo usa el programa DERIVE y pretende reforzar los conocimientos adquiridos en las clases acerca de los temas de razoacuten de cambio recta secante y tangente a una curva ademaacutes del caacutelculo de la derivada empleando la definicioacuten y el uso de los comandos Lim (liacutemite) y DIF (derivada) propios de DERIVE Considero importante comentar que el uso de programa permitioacute a los alumnos recordar la teoriacutea de graacutefico de funciones estudiada en la primera unidad la cual les sirvioacute de base para comprender el comportamiento de las graacuteficas de las funciones y sus derivadas ademaacutes se dieron indicaciones sobre el uso de sentencias loacutegica como IF ndash THEN para elaborar pequentildeos programas usando DERIVE pues una de las tareas era elaborar un pequentildeo programa que les permitiera ingresar una funcioacuten y un intervalo y que de como resultado la grafica de todas las rectas secantes en un intervalo establecido hasta llegar a la tangente en un punto extremo del intervalo o en cualquier punto del mismo SEGUNDA CLASE
Con el grupo de control el meacutetodo empleado es deductivo las estrategias para el desarrollo de la clase se combinaron entre la exposicioacuten y participacioacuten activa de los alumnos para tratar de deducir algunos conceptos o ideas y luego a traveacutes de la solucioacuten de
ejercicios reforzar los conocimientos Los ejercicios se trabajan en parejas Se presentoacute las primeras reglas de derivacioacuten y luego se resolvieron ejercicios de caacutelculo de derivadas empleando las reglas Ademaacutes de calcular derivadas de orden superior Se continuoacute con el anaacutelisis de las derivadas de algunas funciones sencillas por la facilidad para realizar sus graacuteficas A los alumnos se les dejoacute como tarea la solucioacuten de los trabajos praacutecticos Nordm 4 Con respecto al grupo experimental se presentaron los mismos contenidos y en la parte del laboratorio sirvioacute baacutesicamente para trabajar el anaacutelisis graacutefico de funciones y adelantando un poco gracias el manejo del programa calculamos no solo la primera sino tambieacuten las segundas terceras entre otras derivadas de algunas funciones El trabajar con las graacuteficas de la primera y segunda derivada permitioacute a los alumnos ir teniendo ideas sobre la relacioacuten entre la derivada de una funcioacuten y su graacutefica lo cual seraacute el tema de la siguiente sesioacuten Asiacute mismo recordamos conceptos estudiados en la primera parte del curso como son el de funcioacuten creciente y decreciente ademaacutes de relacionar los signos de la derivada para comprobar que una funcioacuten sea o no creciente TERCERA CLASE
Esta clase tanto para el grupo de control como para el grupo experimental es la misma no incluye el desarrollo de un laboratorio para el grupo experimental y la razoacuten es porque en esta sesioacuten se concluye con la presentacioacuten de todas las reglas de derivacioacuten se trabajaron los temas de derivadas de funciones trigonomeacutetricas sus inversas exponenciales y logariacutetmicas Ademaacutes regla de cadena funciones impliacutecitas derivadas de orden superior
Esta clase tiene la mayor parte del tiempo destinada a la praacutectica en clase pues los ejercicios que
se plantean tienen como finalidad que el alumno aprenda a distinguir las reglas de derivacioacuten y sobre todo reconozca cuando emplearlas
CUARTA CLASE
Con ambos grupos se trabajaron los temas de Regla de LrsquoHospital y aplicaciones de las Derivadas el caacutelculo de Maacuteximos y Miacutenimos de una funcioacuten en el caso del grupo de control se invierte el tiempo en resolver ejercicios y problemas de forma individual grupal y en presentar la solucioacuten de los problemas en la pizarra
Con el grupo experimental si hubo laboratorio aquiacute se presentan problemas diversos de aplicacioacuten para encontrar maacuteximos y miacutenimos de funciones que quizaacutes manualmente seriacutea laboriosos derivar pero con ayuda de programa podemos hacerlo de forma inmediata dando asiacute el tiempo necesario para trabajar la interpretacioacuten de resultados y el anaacutelisis e maacuteximos y miacutenimos
En cuanto a la evaluacioacuten debo indicar que durante el tiempo que duro la experiencia se aplicaron 3 praacutecticas calificadas y un examen parcial Entonces los alumnos presentan en esta segunda unidad tres notas de praacutectica maacutes la calificacioacuten del examen parcial
13 LA EVALUACION
Al finalizar las praacutecticas con DERIVE se realizoacute un examen para evaluar los conocimientos adquiridos por los estudiantes Estos exaacutemenes fueron tres y contando con el examen parcial se pudo obtener el promedio de la segunda unidad en la asignatura
Para la realizacioacuten de los exaacutemenes y con la finalidad de que no haya diferencia en las evaluaciones se aplico el mismo examen ademaacutes fueron aplicados en un horario fuera de las horas de clase y a los dos grupos por igual y al mismo tiempo
Las praacutecticas calificadas se elaboraron de acuerdo a la tabla de especificaciones y la taxonomiacutea de Bloom La prueba tiene una duracioacuten de dos horas
El construir la tabla de especificaciones me sirvioacute para un mayor orden al momento de elaborar el banco de reactivos que evalueacute en cada uno de los temas seguacuten la importancia y el tiempo que se le dedicaron en clase
Para desarrollar esta tabla fue necesario tener en
cuenta
a) La lista de temas desarrollados b) La lista de capacidades especificas que marco cada
tema c) Una revisioacuten previa de todo el contenido Tomeacute en cuenta los niveles taxonoacutemicos de Bloom 1 Conocimiento 2 Comprensioacuten 3 Aplicacioacuten 4 Anaacutelisis - Siacutentesis ndash Evaluacioacuten
Con respecto al porcentaje este fue asignado seguacuten la importancia de los contenidos Las tablas de especificaciones para las tres praacutecticas calificadas asiacute como algunas notas sobre la taxonomiacutea de Bloom se encuentran en Anexo 5
CAPIacuteTULO IV
ANAacuteLISIS E INTERPRETACIOacuteN DE RESULTADOS
41 ANAacuteLISIS ESTADIacuteSTICO
421 RESULTADOS DEL RENDIMIENTO ACADEacuteMICO DE LOS GRUPOS EXPERIMENTAL Y DE CONTROL
El grupo Experimental inicio el semestre acadeacutemico con 19 alumnos El nuacutemero de alumnos es muy pequentildeo y me atrevo a suponer se deba al hecho de ser una especialidad nueva en la Universidad esto en comparacioacuten a la especialidad de Ingenieriacutea de Sistemas de tiene mayor tiempo Del grupo de Control que inicio el semestre con 19 alumnos el alumno 6 se retiro en la segunda unidad por problemas de salud El nuacutemero de alumnos registrados en el grupo de Control es de 32 De los 32 alumnos registrados se retiraron 7 cinco de ellos se retiraron desde la primera unidad y los otros dos en la segunda unidad Las razones del retiro de la asignatura de estos alumnos fueron de caraacutecter econoacutemico y en otros por motivos familiares y de salud
Observemos las calificaciones del promedio de la segunda unidad en ambos grupos
CALIFICACIONES DE LA SEGUNDA UNIDAD
GRUPO EXPERIMENTAL
Tabla 6
R E G I S T R O D E A S I S T E N C I A Y E V A L U A C I Oacute N
Semestre 2006 II Seccioacuten A Escuela Ingenieriacutea Industrial Aula 412
Asignatura Matemaacutetica I
Profesora Lic Diana Quintana S
E v a l u a c i o n e s 2ordm U n i d a d
Prom Ex Prom NF NP Observaciones
Nordm Apellidos y Nombres
Prac
tica
Nordm 1
Prac
tica
Nordm 2
Prac
tica
Nordm 3
Fina
l
2 Sust 2
1 Alumno 1 11 8 9 9 92 2 Alumno 2 18 17 18 20 186 3 Alumno 3 19 18 18 20 19 4 Alumno 4 13 13 12 14 132 5 Alumno 5 15 17 15 15 154 6 Alumno 6 0 0 0 0 0 Retirado 7 Alumno 7 14 9 12 12 118 8 Alumno 8 14 13 13 14 136 9 Alumno 9 12 13 10 13 122
10 Alumno 10 14 11 15 13 132 11 Alumno 11 16 18 15 15 158 12 Alumno 12 10 14 11 11 114 13 Alumno 13 8 7 7 7 72 14 Alumno 14 16 14 12 14 14 15 Alumno 15 13 12 12 14 13 16 Alumno 16 11 10 10 12 11 17 Alumno 17 11 12 11 9 104 18 Alumno 18 9 8 7 11 92 19 Alumno 19 18 13 8 17 146 20
CALIFICACIONES DE LA SEGUNDA UNIDAD
R E G I S T R O D E A S I S T E N C I A Y E V A L U A C I Oacute N
GRUPO DE CONTROL
Semestre 2006 II Seccioacuten B Escuela Ingenieriacutea de Sistemas Aula 413
Asignatura Matemaacutetica I Profesora Lic Diana Quintana S
E v a l u a c i o n e s 2ordm U n i d a d Prom Ex Prom NF NP Observaciones
Nordm Apellidos y Nombres
Prac
tica
Nordm1
Prac
tica
Nordm2
Prac
tica
Nordm3
Fina
l
2 Sust 2
1 Alumno 1 Retirado 2 Alumno 2 5 8 10 11 9 3 Alumno 3 14 6 5 10 9 4 Alumno 4 14 12 13 12 126 5 Alumno 5 0 11 5 13 84 6 Alumno 6 14 18 18 16 164 7 Alumno 7 14 15 12 13 134 8 Alumno 8 0 10 6 11 76 9 Alumno 9 0 10 6 12 8
10 Alumno 10 Retirada 11 Alumno 11 14 10 6 12 108 12 Alumno 12 14 8 6 11 10 13 Alumno 13 11 11 10 7 92 14 Alumno 14 13 10 6 10 98 15 Alumno 15 14 7 6 12 102 16 Alumno 16 12 11 13 8 104 17 Alumno 17 14 12 7 12 114 18 Alumno 18 18 18 20 18 184 19 Alumno 19 Retirada 20 Alumno 20 14 10 12 11 116 21 Alumno 21 14 10 6 11 104 22 Alumno 22 14 13 12 13 13 23 Alumno 23 Retirado 24 Alumno 24 8 20 11 11 122 25 Alumno 25 Retirado 26 Alumno 26 14 16 7 11 118
Tabla 7
Despueacutes de finalizada la investigacioacuten el grupo experimental resulto con el mayor nuacutemero de
alumnos aprobados lo cual me permite conjeturar que hipoacutetesis de la investigacioacuten si se ha logrado Pero se necesitan pruebas concretas por lo cual he empleado el software STATGRAPHICS para procesar los resultados obtenidos y de esta manera tener una mayor certeza de mis suposiciones
42 ANAacuteLISIS INFERENCIAL
421 COMPARACIOacuteN DE MEDIAS
Una medida estadiacutestica de tendencia central se utiliza para indicar un valor que tiende a tipificar o a ser el maacutes representativo de un conjunto de nuacutemeros La media es una medida de tendencia central y se define como
DEFINICIOacuteN
27 Alumno 27 14 20 5 12 126 28 Alumno 28 13 0 7 11 84 30 Alumno 29 Retirado 31 Alumno 30 14 15 9 12 124 32 Alumno 31 Retirado 33 Alumno 32 14 12 12 11 12 34
Media Aritmeacutetica La media aritmeacutetica es a veces denominada simplemente media es la suma de los valores observados de la variable dividido por el nuacutemero de observaciones
(Coacuterdova 1995 31)
Dados n valores 1 2 nx x x de la variable cuantitativa X observados en una muestra su media aritmeacutetica se calcula
utilizando la expresioacuten
n
ii
xx
n=sum
422 TABLAS DE FRECUENCIA DEL PRE TEST Y POST TEST
Presento los resultados de las pruebas Pre Test y Post Test para el grupo Experimental
RESULTADOS PRE TEST Y POST TEST
GRUPO EXPERIMENTAL
Tabla 8
Del total de 19 alumnos inscritos los cuales representan el 100 hubieron 12 desaprobados que en porcentaje representan el 632 Eacuteste porcentaje es mayor que en el otro grupo lo cual me hace decidir por este grupo de alumnos para que sea el grupo experimental Los resultados de las pruebas Pre Test y Post Test para el grupo de control son
RESULTADOS PRE TEST Y POST TEST
GRUPO DE CONTROL
Nordm Apellidos y Nombres Pre Test Post Test 1 Alumno 1 98 92 2 Alumno 2 14 186 3 Alumno 3 136 19 4 Alumno 4 102 132 5 Alumno 5 132 154 6 Alumno 6 54 RETIRADA 7 Alumno 7 10 118 8 Alumno 8 88 136 9 Alumno 9 84 122 10 Alumno 10 124 132 11 Alumno 11 13 158 12 Alumno 12 92 114 13 Alumno 13 62 72 14 Alumno 14 116 14 15 Alumno 15 102 13 16 Alumno 16 88 11 17 Alumno 17 08 104 18 Alumno 18 82 92 19 Alumno 19 114 146 Nordm Apellidos y Nombres Pre Test Post Test 1 Alumno 1 RETIRADO 2 Alumno 2 9 9 3 Alumno 3 88 9
Tabla 9
Del total de 27
alumnos inscritos los cuales representan el 100 hubieron 16 desaprobados que en porcentaje representan el 593
4 Alumno 4 136 126 5 Alumno 5 96 84 6 Alumno 6 146 164 7 Alumno 7 138 134 8 Alumno 8 74 76 9 Alumno 9 86 8 10 Alumno 10 RETIRADO 11 Alumno 11 87 108 12 Alumno 12 86 10 13 Alumno 13 86 92 14 Alumno 14 84 98 15 Alumno 15 84 102 16 Alumno 16 82 104 17 Alumno 17 11 114 18 Alumno 18 174 184 19 Alumno 19 RETIRADO 20 Alumno 20 86 116 21 Alumno 21 7 104 22 Alumno 22 122 13 23 Alumno 23 80 RETIRADO 24 Alumno 24 108 122 25 Alumno 25 8 RETIRADO 26 Alumno 26 11 118 27 Alumno 27 138 126 28 Alumno 28 8 84 29 Alumno 29 RETIRADO 30 Alumno 30 108 124 31 Alumno 31 RETIRADO 32 Alumno 32 108 12
423 RESULTADOS DEL PRE TEST ndash POST TEST CONSIDERANDO LA COMPARACIOacuteN DE MEDIAS Y LA PRUEBA t- STUDENT
Recordemos que en nuestra investigacioacuten manejamos dos hipoacutetesis estadiacutesticas las cuales son
HIPOacuteTESIS ESTADIacuteSTICAS
0 M MH micro micro= (Hipoacutetesis Nula)
1 M MH micro microne (Hipoacutetesis de la investigacioacuten o Hipoacutetesis Alternativa)
Donde
Mmicro Nota promedio de los alumnos de la asignatura de Matemaacutetica I Seccioacuten A aula 412 del semestre 2006 II que emplearon el software DERIVE
Mmicro Nota promedio de los alumnos de la asignatura de
Matemaacutetica I Seccioacuten B aula 413 del semestre 2006 II que no que emplearon el software DERIVE
Los resultados del Pre Test son las notas obtenidas en la primera unidad durante las primeras 7 semanas de clase siendo octava semana donde se realizan las evaluaciones parciales Para obtener la nota de la primera unidad los alumnos deben presentar tres praacutecticas calificadas y un examen parcial de estas notas se obtiene un promedio ponderado donde el examen parcial tiene peso 2 y las praacutecticas calificadas tienen peso 1 En cuanto a los resultados del Post Test estos son los promedios de la segunda unidad que corresponden a las siete siguientes semanas pues en la octava semana de esta segunda Unidad se aplican los exaacutemenes finales luego el promedio de ambas notas daraacute la nota del curso En ambos grupos los resultados de Pre Test se obtuvieron aplicando las mismas estrategias ya que hasta ese momento no se habiacutea iniciado la parte aplicativa de la investigacioacuten
Las evaluaciones fueron disentildeadas considerando la taxonomia de Bloom Asiacute encontraremos en ellas preguntas de conocimiento comprensioacuten aplicacioacuten anaacutelisis siacutentesis y evaluacioacuten Las praacutecticas calificadas se encuentran en los anexos A continuacioacuten presento los resultados Pre Test y Post Test tanto del grupo experimental como del grupo de control indicando que ambos grupos fueron sometidos a las mismas practicas calificadas en el mismo horario el cual estuvo programado fuera de las horas de clase semanales
RESULTADOS DE PRUEBAS PRE TEST EN LOS GRUPOS
EXPERIMENTAL Y DE CONTROL
RESUMEN ESTADIacuteSTICO
EXPERIMENTAL CONTROL ---------------------------------------------------------------------- Frecuencia 18 25 Media 107333 10156 Varianza 409412 69284 Desviacioacuten tiacutepica 202339 263219 Coef de variacioacuten 188515 259175 ----------------------------------------------------------------------
Suponiendo varianzas iguales t = 0778652 P-Valor = 0440656
Tabla 10
En el cuadro Nordm 1 se puede observar que la nota promedio en el grupo de Experimental en la evaluacioacuten Pre- Test fue de 107333 y para el grupo de Control la evaluacioacuten Pre-Test fue de 10156 lo cual indica que no existe una gran diferencia entre las notas de ambos grupos Despueacutes de aplicar la prueba ldquotrdquo Student se encontroacute que el valor experimental fue de 0778652 un valor de p=0440656 lo cual indica que no existe mayor diferencia entre las medias del rendimiento de ambos grupos
RESULTADOS DE PRUEBAS POST TEST EN LOS GRUPOS
EXPERIMENTAL Y DE CONTROL
RESUMEN ESTADIacuteSTICO
EXPERIMENTAL CONTROL ---------------------------------------------------------------------- Frecuencia 18 25 Media 129333 1116 Varianza 957647 637 Desviacioacuten tiacutepica 309459 252389 Coef de variacioacuten 239272 226155 ----------------------------------------------------------------------
Suponiendo varianzas iguales t = 206743 P-Valor = 00450448
Tabla 11 En el cuadro Nordm 2 se puede observar que la nota promedio en el grupo de Experimental en la evaluacioacuten Post- Test fue de 129333 y para el grupo de Control la evaluacioacuten Post-Test
fue de 1116 lo cual indica que existe diferencia entre las notas de ambos grupos Despueacutes de aplicar la prueba ldquotrdquo Student se encontroacute que el valor experimental fue de 206743 un valor de p=00450448 y puesto que el p-valor calculado es inferior a 005 podemos rechazar la hipoacutetesis nula a favor de la hipoacutetesis alternativa
424 ACEPTACIOacuteN O RECHAZO DE LA HIPOacuteTESIS
NULA Y ALTERNATIVA
Observados los resultados de la evaluacioacuten y su proceso a traveacutes del software STATGRAPHICS se resuelve rechazar la hipoacutetesis nula a favor de la hipoacutetesis alternativa
43 DISCUCIOacuteN DE LOS RESULTADOS
Con respecto a la discusioacuten de los resultados quisiera empezar indicando Esta investigacioacuten se ha centrado en la parte del Calculo Diferencial y cuando la empezamos partimos de una primera preocupacioacuten la cual era que los alumnos muchas veces no comprenden totalmente la definicioacuten de derivada En ella se mencionan varios objetos matemaacuteticos como funcioacuten razoacuten de cambio instantaacutenea liacutemite entre otros que estaacuten impliacutecitos o que van saliendo a la luz cuando se recurre por ejemplo a la interpretacioacuten geomeacutetrica como es el caso de graacutefica de funciones y el de pendiente de recta Ademaacutes se observar que los alumnos auacuten tienen cierta inseguridad para manejar estos objetos pesar de que han sido trabajados en temas preliminares al caacutelculo diferencial las dudas con frecuencia son acerca de coacutemo interpretarlos o si son uacutetiles para alguna tarea en especiacutefico Asiacute que un primer trabajo es recordar los conceptos preliminares mencionados y un recurso para tal fin fue el examen parcial que rindieron una semana antes a la ejecucioacuten de esta investigacioacuten En la praacutectica docente siempre me habiacutea sucedido que al momento de dar la definicioacuten de derivada y ayudaacutendome de algunos grafico ilustrativos quedaban dudas en algunos estudiante de manera que penseacute que trabajando con Derive podriacutea
solucionar este problema pues podiacutea graficar todo tipo de funciones y aunque solo necesitaba conocer instrucciones sobre el programa luego graficar no seriacutea un gran problema por el contrario comenzaron a graficar diferentes tipos de funciones con lo que conseguiacute ahorra el tiempo que demandariacutea graficar manualmente e invertirlo en analizar el comportamiento de grafico de las misma Los alumnos aclararon dudas de manteniacutea de los temas anteriores como por ejemplo el comportamiento de las graficas cuando estaacuten cerca de sus asiacutentotas contrastaron los dominios verdaderos con los que ellos en alguacuten momento habiacutean supuesto entre otras conjeturas Con ayuda de DERIVE pude lograr que visualizaran por ejemplo la razoacuten de cambio en un intervalo y la razoacuten de cambio instantaacutenea las relacionaran y diferenciaran Logrado lo anterior se sigue con la interpretacioacuten geomeacutetrica de la derivada y que se asocia con el problemas de la recta tangente DERIVE facilita no solo la parte graacutefica sino tambieacuten algebraica por cuanto en algunos casos haya que hacer alguna redefinicioacuten de la funcioacuten y sabiendo que se puede determinar una razoacuten de cambio en cada punto de la curva faacutecilmente se puede entender que esa razoacuten de cambio sea la pendiente de la recta tangente a cualquier punto de la curva de modo que ahora es posible hallar la ecuacioacuten de una recta que sea tangente en cualquier punto de la curva A modo de una aplicacioacuten se comprueba para otras funciones y resolver problemas en otros contextos ajenos a geomeacutetrico DERIVE con su comando DIF permite encontrar la derivada de cualquier orden de una funcioacuten esto no se oculto a los alumnos pero se indico que era preferible que ellos supieran la reglas de derivacioacuten y las aplicaran correctamente Considero que al poder visualizar la graacutefica de la derivada de una funcioacuten los alumnos comprendieron mejor lo que en teoriacutea se dice acerca de que la derivada de una funcioacuten es otra funcioacuten hicieron comparacioacuten de las graacuteficas de funciones y graacuteficas de sus primeras y segundas derivadas Otro logro obtenido se refiere a la parte conceptual de las aplicaciones de la derivada hallar maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de funciones saber en queacute intervalos en creciente decreciente o constante Sin derive solo analizaacutebamos funciones
sencillas pues teniacuteamos que graficar esto tomaba tiempo asiacute que lograacutebamos unos 3 ejemplos a lo maacutes Con DERIVE ahorraacutebamos el tiempo que demanda graficar y derivar y lo invertiacuteamos en analizar la funcioacuten pues con soacutelo ver la graacutefica sabiacuteamos si ella tiene maacuteximos yo miacutenimos punto de inflexioacuten y determinar cuaacutendo es creciente decreciente o constante pero con la ventana algebraica podiacuteamos derivar y determinar con exactitud donde se encontraban dichos puntos Finalmente mencionado la teoriacutea de registros se les hizo maacutes faacutecil la tarea de pasar de un registro semioacutetico a otro pues teniacutean herramientas para ello y creo que eso contribuyoacute a conceptualizar mejor los contenidos ya que como plantea en su teoriacutea Raymond Duval si no conoce al menos dos formas distintas de expresar o representar un contenido matemaacutetico formas a las que eacutel llama ldquoRegistro de Representacionesrdquo y ldquoRegistros Semioacuteticosrdquo no parece posible aprender y comprender dicho contenido Como ejemplo indico que al ser la derivada en un punto un valor numeacuterico se deja de lado que es tambieacuten una funcioacuten entonces se confunde un objeto matemaacutetico que en este caso es la funcioacuten derivada con una de sus representaciones que viene a ser en esta caso el nuacutemero esta confusioacuten entre un objeto y su representacioacuten en un plazo maacutes o menos amplia provocaba una peacuterdida de la comprensioacuten A esto es necesario antildeadir el hecho de que la pluralidad de sistemas semioacuteticos permite una diversificacioacuten tal de las representaciones de un mismo objeto que aumenta las capacidades cognitivas de los sujetos y por tanto sus representaciones mentales De las clases de laboratorio especiacuteficamente de los diaacutelogos que sostuvimos durante las clases pude comprobar que en ellos trasladar un registros no es algo espontaacuteneamente Y que el pensamiento de un alumno puede movilizar un solo registro de representacioacuten a la vez En este caso hemos manejado en la parte conceptual y la parte practica tres tipos de registros el graacutefico algebraico y la lengua natural
CONCLUSIONES
1 De acuerdo a los resultados obtenidos a traveacutes de las praacutecticas
calificadas administradas suponiendo medias iguales empleando la t- estudent se determina que el programa DERIVE es eficiente en el proceso de ensentildeanza- aprendizaje del Caacutelculo Diferencial
2 De las referencias bibliograacuteficas revisadas en el presente trabajo
en relacioacuten a la definicioacuten de Derivada (N Piskunov 1973 68 Spivak 1967 201 Purcell 2003 107) se concluye en una definicioacuten a mi consideracioacuten maacutes didaacutectica para los alumnos que abarca todos los aportes de cada una de las definiciones leiacutedas y el uso de una notacioacuten maacutes manejable
3 Se logro disentildear y presentar una propuesta metodoloacutegica compuesta por un moacutedulo de trabajo guiacuteas y actividades de laboratorio que fueron aplicadas al grupo experimental y que permitieron mejorar las calificaciones de los alumnos
4 El uso del DERIVE como recurso en las clases de Caacutelculo
Diferencial permitioacute motivar en los alumnos el desarrollo de capacidades como las de observar discernir analizar e interpretar
5 El alumno tiene la disposicioacuten de aprender soacutelo aquello que le
encuentra sentido o loacutegica Por ello el autentico aprendizaje es el aprendizaje significativo Cualquier otro seriacutea puramente mecaacutenico coyuntural o memoriacutestico Ademaacutes este trabajo significativo puede ser estimulado con las tecnologiacuteas de informacioacuten y comunicacioacuten tales como el programa DERIVE
6 Es importante sentildealar que la clase magistral sigue siendo
importante y por tanto nada puede reemplazar al profesor pero el uso de alguacuten recurso tecnoloacutegico tal como el que se propone complementariacutea esta labor ya que se le pueden presentar al alumno situaciones (didaacutecticas) no puramente algebraicas sino tambieacuten intuitivas graacuteficas numeacutericas por lo cual lo aprendido se vea fortalecido
7 el utilizar simultaacuteneamente diferentes representaciones favorece
el establecimiento de conexiones entre ellas siendo estas conexiones las que marcan las diferentes etapas del aprendizaje de los estudiantes Aquiacute es donde el programa DERIVE juega un papel importante debido a su potencia visual que ayuda a la formacioacuten y transformacioacuten de intuiciones y a la creacioacuten de imaacutegenes del concepto y debido tambieacuten a la facilidad para realizar caacutelculos eximiendo al estudiante de esta tediosa labor De esta forma el estudiante puede concentrarse en la exploracioacuten y discusioacuten de los conceptos Los errores cometidos por los estudiantes sirven para acrecentar su aprendizaje y completar asiacute sus imaacutegenes del concepto
RECOMENDACIONES
1
Desde el punto de vista institucional la creacioacuten de una red de investigacioacuten y desarrollo es de fundamental importancia pues mejora la comunicacioacuten la sinergia la discusioacuten y aumenta la cantidad de profesores que pueden provocar el cambio de ensentildeanza lo cual implica un mayor impacto del Proyecto en la Universidad Se sigue la tendencia universal de no realizar investigaciones en grupos reducidos y aislados sino de compartir experiencias aumentar la masa criacutetica de investigadores y aprender de la sinergia creada
2 Desde el punto de vista metodoloacutegico se propone pasar de la forma claacutesica de la ensentildeanza de la matemaacutetica con tiza y pizarra a una forma efectiva dinaacutemica y multimedial de adquirir los conceptos matemaacuteticos baacutesicos Se incorporan procesos de
caacutelculo y de representacioacuten graacutefica maacutes veloces y maacutes precisos que la operatoria personal Se libera al docente y al alumno de tareas no auteacutenticas para hacer hincapieacute en la reflexioacuten y buacutesqueda de otros procedimientos de resolucioacuten de problemas Se busca aplicar un procedimiento que provea un resultado aventajado en calidad y eficiencia que el que puede proveer el profesor con soacutelo tiza y pizarra La metodologiacutea propuesta permite acercarse maacutes a la realidad de los conceptos baacutesicos matemaacuteticos abstractos por su naturaleza a traveacutes de la visualizacioacuten interactiva y la experimentacioacuten con diferentes objetos matemaacuteticos datos con caracteriacutesticas determinadas
3 De acuerdo al os puntos anteriores desde el punto de vista del
aprendizaje se logra a) Una mejor aprehensioacuten de conceptos para su aplicacioacuten en la
resolucioacuten de problemas utilizando Sistemas Exploratorios de Aprendizaje
b) Una mejor aprehensioacuten de los conceptos por medio de los sistemas graacuteficos provistos por los Sistemas de Computacioacuten Algebraica (visualizacioacuten objetivacioacuten interactividad del software numeacuterico y simboacutelico)
c) En los alumnos la promocioacuten de la actitud y aptitud para conjeturar y desarrollar el sentido criacutetico y la reflexioacuten
d) El reconocimiento experimentacioacuten y aplicacioacuten de modelos matemaacuteticos
e) El experimentar conjeturar y descubrir propiedades sobre objetos matemaacuteticos mediante problemas asegura el intereacutes y compromiso del alumno
Las actividades que se realizaron en el laboratorio se presentan en el Anexo son tres y corresponden a los temas de 1 Definicioacuten de Derivada Razoacuten de Cambio y Problema de
la recta tangente 2 Anaacutelisis graacutefico de funciones y sus derivadas
3 Criterio de la primera y segunda derivada para hallar
maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten asiacute como los puntos de inflexioacuten
4 Resolucioacuten de Problemas de Maacuteximos y Miacutenimos
La finalidad de trabajar el tema de Derivadas es que los alumnos manipulen la definicioacuten que emplee el programa para experimentar usando diferentes funciones la variacioacuten de la razoacuten de cambio en intervalos de diferente amplitud La ayuda que brinda el programa es que grafica cualquier funcioacuten y realiza los caacutelculos de forma inmediata de esta manera los alumnos pueden analizar el comportamiento de las funciones y concentrar mayor atencioacuten en la variaciones de las razones de cambio a lo largo de toda la curva Es necesario resaltar que dado que el programa esta disentildeado para realizar graficas los alumnos dispondraacuten de mayor tiempo para hacer el anaacutelisis del comportamiento de la funcioacuten estudiando su variacioacuten sus maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten asiacute mismo conociendo la interpretacioacuten que reciben estos contenidos matemaacuteticos en los diferentes campos de aplicacioacuten Los laboratorios se pueden encontrar en el anexo de este trabajo
BIBLIOGRAFIacuteA
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2 Calero Perez Mavilo (1998) Hacia la excelencia de la
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Matemaacuteticas Escolares Editorial Grupo Editorial Iberoameacuterica Bogotaacute
7 Hasser Norman (1976) Anaacutelisis Matemaacutetico I Editorial Trillas
Meacutexico
8 Helfgott M (1998) Historia y Pedagogiacutea de la Matemaacutetica Editorial Hozlo SRL Lima
9 Lages Lima E (1998) Mi Profesor de Matemaacutetica y otras
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10 Lages Lima E Pinto Carvalho P (2000) La Matemaacutetica de la Ensentildeanza Media Editorial Hozlo SRL Lima
11 Latorre A Del Rincoacuten D Y Arnal J (1997) Bases
Metodoloacutegicas de la Investigacioacuten Educativa Hurtado Ediciones Barcelona Espantildea
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13 Manning Smith R(1989) Estadiacutestica PrenticendashHall Hispanoamericana S A Meacutexico
14 Menin O (2001) Pedagogiacutea y Universidad Curriacuteculum
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15 Piskunov N (1973) Caacutelculo Diferencial e Integral Montaner y
Simon SA Espantildea
16 Purcell E Varberg D Rigdon S(2003) Caacutelculo Diferencial e Integral Editorial Pearson Meacutexico
17 Shabunin M Chejlov V(1989) Problemas de Anaacutelisis
Matemaacutetico Editorial Mir Moscuacute
18 Smith R Minton R (2000) Caacutelculo Editorial Mc Graw Hill Colombia
19 Spivack M (1992) Calculus Editorial Reverteacute SA Barcelona
Espantildea
20 Sullivan M (1997) Precaacutelculo PrenticendashHall Hispanoamericana S A Meacutexico
21 Tan S (1998) Matemaacutetica para Administracioacuten y Economiacutea
Editorial Thomson
22 Toranzos F(1963) Ensentildeanza de la Matemaacutetica Editorial Kapelusz
23 Wenzelburger Elfriede(1993) Didaacutectica del Caacutelculo
Diferencial Grupo Editorial Iberoameacuterica
24 Zabalza M (2003) Competencias docentes del profesorado universitario Calidad y desarrollo profesional Narcea SA de Ediciones Madrid Espantildea
ANEXO 1
SILABO DE LA ASIGNATURA
UNIVERSIDAD CEacuteSAR VALLEJO ndash PIURA
FACULTAD DE INGENIERIacuteA ESCUELA DE INGENIERIacuteA DE SISTEMAS Y
ESCUELA DE INGENIERIacuteA INDUSTRIAL
SIacuteLABO DE MATEMATICA I
1 DATOS GENERALES Coacutedigo del curso HT 32 Aacuterea curricular Formacioacuten Baacutesica Ciclo II Semestre Acadeacutemico 2006-II Duracioacuten 16 Semanas Pre-Requisito Loacutegico Matemaacutetica Creacuteditos 5 Horas Semanales 05 (03 de Teoriacutea 02 de Praacutectica) Docente Lic Diana J Quintana de Mejiacutea Correo electroacutenico dianaquintanaucvedupe
dianaquintana2hotmailcom
2 FUNDAMENTACIOacuteN El Desarrollo de esta asignatura pretende potenciar en el estudiante capacidades propias del aacuterea de Matemaacutetica como el razonamiento y demostracioacuten la interpretacioacuten de graacuteficos y expresiones simboacutelicas y la resolucioacuten de problemas Asiacute como presentar los medios necesarios para la adquisicioacuten de ciertas destrezas como anaacutelisis interpretacioacuten y aplicacioacuten de fundamentos teoacutericos Finalmente el logro de los objetivos de esta asignatura se veraacute reflejado y podraacute ser evaluado en la eficiencia que demuestren los alumnos al resolver situaciones reales
3 COMPETENCIAS
31 Representa y modela a traveacutes de foacutermulas algebraicas las funciones elementales aplicadas a situaciones de la vida cotidiana fenoacutemenos fiacutesicos quiacutemicos econoacutemicos y tecnoloacutegicos reconociendo la relacioacuten entre el lenguaje graacutefico y el numeacuterico para una mejor comprensioacuten de la realidad
32 Resuelve problemas aplicando concepto de liacutemite y continuidad para el estudio de fenoacutemenos naturales presentados en diversos problemas demostrando precisioacuten en los resultados
33 Interpreta formula y resuelve problemas de contexto real utilizando definiciones teacutecnicas y aplicaciones del caacutelculo Diferencial desarrollando comunicacioacuten investigacioacuten
razonamiento y manifestando confianza flexibilidad y perseverancia
4 PROGRAMACIOacuteN ACADEacuteMICA
41 PRIMERA UNIDAD FUNCIONES Y LIMITES
CAPACIDADES
1 Comprende el concepto de funcioacuten reconoce las clases de funciones
2 Grafica adecuadamente funciones reconociendo sus caracteriacutesticas como parte de la resolucioacuten de problemas de aplicacioacuten
3 Emplea procedimientos analiacuteticos y experimentales para generar modelos que expresen situaciones reales interpretando finalmente sus graficas
4 Entiende intuitivamente la nocioacuten de liacutemites 5 Calcula liacutemites laterales finitos e infinitos
ACTITUDES 1 Demuestra precisioacuten orden y claridad en el tratamiento de
datos 2 Valora la importancia de las funciones en el anaacutelisis de
situaciones reales 3 Reconoce la importancia del concepto de liacutemite en el anaacutelisis
de hechos naturales fiacutesicos econoacutemicos y tecnoloacutegicos
COMPORTAMIENTOS OBSERVABLES 1 Desarrolla su trabajo de manera clara y ordenada demostrando
precisioacuten en sus respuestas 2 Realiza comentarios sobre la importancia de las funciones en la
comprensioacuten y anaacutelisis de hechos naturales econoacutemicos fiacutesicos tecnoloacutegicos etc
3 Manifiesta verbalmente la importancia del concepto de liacutemite para una mejor comprensioacuten de la realidad
NIVELES MIacuteNIMOS DE LOGROS 1 Al menos conoce y emplea tres tipos de funciones importantes en La solucioacuten de problemas
2 Dada una situacioacuten real explica si esta puede ser modelada por Una funcioacuten 3 Resuelve al menos tres liacutemites de mediana complejidad
CONTENIDOS
SEMANA CONTENIDOS FECHA
01
bull Funciones definicioacuten dominio y rango bull Clases de Funciones
Polinoacutemicas Racionales bull Lectura
httpaulaelmundoesaulalaminasnumeropdf
bull Trabajo Individual bull Lectura ldquoLos criacutemenes Imperceptiblesrdquo
Guillermo Martiacutenez
Del 4 al 8 de Sept
02
bull Graficas de Funciones con asiacutentotas funcioacuten exponencial y Logariacutetmica
bull Laboratorio Nordm 1 bull Grafico de funciones con valor absoluto bull Presentacioacuten de investigacioacuten sobre la
lectura
Del 11 al 15 de Sept
03
bull Grafica de funciones polinoacutemicas bull Funcioacuten Signo y Mayor entero Ejercicios bull Teacutecnicas de graficacioacuten bull Presentacioacuten de solucioacuten de problemas
sobre funciones bull Informe sobre novela
Del 18 al 22 de Sept
04
bull Aplicaciones de las Funciones bull Laboratorio Nordm 2 bull Evaluacioacuten de Funciones (parte teoacuterica) bull Trabajo Individual
Del 25 al 29 de Sept
05 bull Evaluacioacuten de Funciones (parte praacutectica) bull Laboratorio Nordm 3
Del 2 al 6 de Oct
06 bull Liacutemites Liacutemite Finito- Teoremas bull Caacutelculo de Liacutemites
Del 9 al 13 de Oct
07 bull Praacutectica de caacutelculo de liacutemites bull Laboratorio Nordm 4
Del 16 al 20 de Oct
08 Examen parcial Del 23 al 27 de Oct
42 SEGUNDA UNIDAD CONTINUIDAD Y DERIVADAS
CAPACIDADES
1 Entiende el concepto de continuidad y clasifica los tipos de continuidad
2 Aplicas las propiedades fundamentales de las funciones continuas a la solucioacuten de problemas reales
3 Utiliza correctamente las foacutermulas de derivacioacuten 4 Aplica el caacutelculo diferencial al estudio de fenoacutemenos naturales
econoacutemicos sociales y tecnoloacutegicos ACTITUDES
1 Valora de manera criacutetica la importancia de la exactitud y orden
en el caacutelculo de liacutemites analizando la continuidad en algunos casos
2 Demuestra precisioacuten orden y claridad en sus caacutelculos 3 Aplica los conceptos a hechos reales y concretos
COMPORTAMIENTOS OBSERVABLES
1 Trabaja de manera ordenada y exacta en los momentos correspondientes a praacutecticas y exaacutemenes
2 Manifiesta la importancia de la derivada para explicar y analizar hechos reales en las diferentes aacutereas
NIVELES MIacuteNIMOS DE LOGROS 1 Aplica a situaciones reales el concepto de liacutemite y de
continuidad 2 Dado el graacutefico de una funcioacuten explica con sus propias palabras
el concepto de derivada puntual utilizando argumentos geomeacutetricos
3 Dada una funcioacuten halla la derivada utilizando reglas de derivacioacuten
4 Emplea derivadas para calcular maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten
CONTENIDOS
SEMANA CONTENIDOS FECHA
09 bull Liacutemite al Infinito
Del 30 de Oct Al 3 de
bull Liacutemites de funciones Trigonomeacutetricas bull Taller de ejercicios
Nov
10
bull Evaluacioacuten del tema anterior bull Continuidad y Discontinuidad removible
de una funcioacuten
Del 6 al 10 de Nov
11
bull Evaluacioacuten de Continuidad bull Trabajo en aula sobre problemas de
liacutemites
Del 13 al 17 de Nov
12
La Derivada bull Razoacuten de cambio promedio e
instantaacutenea bull Taller de ejercicios bull Laboratorio Nordm2
Del 20 al 24 de Nov
13
bull Definicioacuten e Interpretacioacuten Geomeacutetrica bull Reglas de derivacioacuten bull Regla de la Cadena bull Evaluacioacuten
Del 27 de Nov Al 1 de Dic
14
bull Derivada de una funcioacuten impliacutecita bull Derivada de orden superior bull Laboratorio Nordm 3
Del 4 al 8 de Dic
15
bull Regla de Hrsquoospital bull Aplicacioacuten de la derivada Maacuteximos y
miacutenimos de una funcioacuten bull Laboratorio Nordm 4 bull Evaluacioacuten
Del 11 al 15 de Dic
16 Examen final Del 18 al 22 de Dic
5 ESTRATEGIAS METODOLOacuteGICAS Uso de metodologiacutea activa empleando principalmente los meacutetodos 1 Magistral 2 Trabajo Autoacutenomo de los alumnos (Investigacioacuten Individual) 3 Trabajo de grupo 4 Expositiva - Interactiva 5 Experimental 6 Debate
7 Demostracioacuten
6 MEDIOS Y MATERIALES
1 Software matemaacutetico DERIVE 2 Texto de biblioteca 3 Separata resumen 4 Direcciones electroacutenicas 5 Ejercicios Aplicacioacuten 6 Casos 7 Presentacioacuten multimedia
7 EVALUACIOacuteN
71 CRITERIOS DE EVALUACIOacuteN
El Promedio Final (PF) del curso seraacute obtenido de la siguiente manera PU1+PU2 PF = 2 Siendo PU1 y PU2
los promedios de la primera y segunda unidad de aprendizaje respectivamente El promedio de cada unidad de aprendizaje se calcula como
PC+TI+CL+LB+2EP PU1 6
=
Donde PC+TI+CL+LB Son los Promedios de praacutecticas calificadas
Trabajo de Investigacioacuten control de lectura laboratorios
EP Examen parcial
La nota se consideraraacute con un decimal en los promedios parcial y final La nota miacutenima aprobatoria es 105 y se redondearaacute al entero inferior o superior seguacuten corresponda
72 CONDICIONES DE EVALUACIOacuteN
El 30 de inasistencias INHABILITA del curso
La justificacioacuten de una inasistencia seraacute uacutenicamente con certificado meacutedico
8 CRONOGRAMA ACADEMICO
UNIDAD ACTIVIDADES FECHA
Primera Inicio del Ciclo Examen Parcial
4 de Septiembre de 2006 23 al 28 de Octubre
Segunda Examen Final Teacutermino del Ciclo Exaacutemenes Extemporaacuteneos
Del 18 al 22 de Diciembre 23 de Diciembre
9 REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
LIBROS EN BIBLIOTECA DE LA UNIVERSIDAD CEacuteSAR VALLEJO
1 AUDRY SANCHEZ Javier Caacutelculo Diferencial e Integral Trillas (
MAT- 01768 ) 2 ESPINOZA RAMOS Eduardo Anaacutelisis Matemaacutetico para Ingenieros
Impreso en Peruacute2002 723pg 3 FILLOY YAGUE Eugenio Geometriacutea Analiacutetica Iberoamericana (
MAT-0532 )
4 GROSSMAN Stanley Algebra Lineal Mc Graw- Hill Edicioacuten 1996 Meacutexico ( MAT- 558 )
5 LEITHOLD Louis El Caacutelculo Oxford University Meacutexico 1996 (
MAT- 0545 )
6 PURCELL Edwin Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica Prentice Hispanoamericana Meacutexico 1993( MAT- 0542)
7 SMITH Robert Caacutelculo Mc Graw- Hill Interamericana Colombia 2001 Tomo I y II ( MAT- 0547 ) Y ( MAT-0548 )
ANEXO 2
REGISTRO DE EVALUACIONES
8 STEWART JAMES Caacutelculo Diferencial e Integral Thomson 1989 ( MAT- 02796 )
9 TOMAS George E Caacutelculo Infinitesimal y Geometriacutea Analiacutetica
Aguilar 1989 ( MAT- 01119 )
LIBROS DE PROPIEDAD DEL DOCENTE
1 AYRES Frank Caacutelculo Diferencial e Integral McGraw-Hill1992
2 DEMIDOVICH B Problemas de Anaacutelisis Matemaacutetico MIR Moscuacute 1981
3 HASSER Norman et al Anaacutelisis Matemaacutetico Trillas 1985 Meacutexico
810pg
4 KITCHEN Joseph Caacutelculo McGraw-Hill1992 Espantildea 863pg
5 KONG Maynard Caacutelculo Diferencial Pontificia Universidad Catoacutelica del Peruacute 1995 Peruacute548 pg
6 LAZARO CARRIOacuteN Moiseacutes Caacutelculo Diferencial Moshera SRL
Peruacute 225 pg
7 MONTOYA VALDERRAMA Manuel Liacutemites Continuidad y Derivadas
8 PISKUNOV N Caacutelculo Diferencial e Integral Montaner y Simon
SA Barcelona19731019pg
9 PURCELL Edwin J et al Caacutelculo Diferencial e Integral Pearson 2003 Meacutexico480 pg
PAacuteGINAS WEB (No menor de 5 y pertinentes al curso) httpwwwdivulgamatcom httpwwwsectormatematicaclcontenidoshtm httpwwwedutekaorg httpwwweswikipediaorg
ANEXO 3
GUIAS METODOLOGICAS APLICANDO EL SOFTWARE DERIVE
APRENDIENDO CALCULO DIFERENCIAL CON DERIVE
SESION Nordm 1
TEMA RAZON DE CAMBIO Y PROBLEMA DE LA RECTA
TANGENTE CAPACIDAD Emplea definicioacuten de razoacuten de cambio para
resolver ejercicios sobre recta tangente
A RAZON DE CAMBIO
Empezaremos por trabajar el concepto matemaacutetico fundamental del caacutelculo sobre el cual se sustenta la teoriacutea de derivadas Este es Razoacuten de Cambio media Recordemos que Hoffmann (1985 Paacuteg 82) la define de la siguiente manera
Consideraremos la segunda definicioacuten de la separata por cuanto es maacutes directa en el anaacutelisis de los cambios o variaciones Ahora sigamos las instrucciones siguientes bull Utilice DERIVE para ingresar la funcioacuten 2( ) 6 2f x x x= minus + y estudiar
sus caracteriacutesticas bull Una vez definida ( )f x construya otra funcioacuten que calcule la Razoacuten de
Cambio Media o Razoacuten de Cambio Promedio de ( )f x para el intervalo [ ]a b
( ) ( )( ) f b f aRCP a bb aminus
=minus
( ) ( ) ( ) ( ) ( )RCP a b f b f a b a= minus minus bull Para probar su funcionamiento encuentre la razoacuten de cambio en el intervalo
[ ]0 3 (03)RCP
bull Halla la RCP de ( )f x en los intervalos [1 2] [1 3] [1 4] [1 11] [1 101]
bull Considera tambieacuten la misma expresioacuten para hallar la RCP en funcioacuten de un valor x a= y un incremento h
( ) ( )( ) f x h f xRCP x hh
+ minus=
( ) ( ) ( ) ( ) RCP x h f x h f x h= + minus
Razoacuten de Cambio Media Suponga que y es una funcioacuten de x ( )y f x= correspondiendo a un cambio de x a x x+ ∆ la variable y
cambia en una cantidad ( ) ( )y f x x f x∆ = + ∆ minus Asiacute el cociente de diferencias
( ) ( )Cambio de x x f x x f xCambio de y y x
∆ + ∆ minus= =∆ ∆
Representa la razoacuten de cambio de y con respecto a x (Hoffmann 1985 82)
bull Halla la RCP de ( )f x en los intervalos para los valores de a) 2x = con un incremento de 4 b) 2x = con un incremento de 3 c) 2x = con un incremento de 2 d) 2x = con un incremento de 1
EJERCICIOS
1 RAZONAMIENTO GRAacuteFICO Utiliza DERIVE para graficar la funcioacuten razoacuten de cambio de 3 2( ) 2 1f x x x= + minus y su funcioacuten razoacuten de cambio
( 001) ( )( )
001f x f xg x + minus
= en una misma ventana Calcule algunos
valores empleando la opcioacuten vector 2 Halla la RCP de la funcioacuten 2( ) ln(( 1) ( 3))f x x x= minus minus + en los
intervalos [556] [ 546] [ 536] [ 526] [ 516] 3 Halla el liacutemite cuando h rarr 0 de ( ( ) ( )) f x h f x h+ minus en la pregunta
anterior Para ello situacutea el cursor sobre dicho resultado para resaltarlo y
pulsa el icono
B RECTA TANGENTE 1 Elabore un programa que permita ingresar una funcioacuten un intervalo
[ ]a b y grafique las rectas secantes en ese intervalo hasta la recta tangente en el punto a Complete la hoja con los datos que vaya realizando Utilice la funcioacuten 3 2( ) 5 3 4f x x x x= minus + minus y el intervalo [ ]23
2 Una vez realizado el trabajo anterior comprueba que se obtiene la misma solucioacuten con el comando TANGENT ( )0 y x x que DERIVE proporciona
3 Ahora puedes resolver algunos problemas del Trabajo Practico Nordm 2 de tu separata empleando el comando TANGENT ( )0 y x x
4 Utiliza las formas equivalentes de la derivada (pag39) y resuelve algunos ejercicios empleando tus propias funciones y el comando derivada que te ofrece DERIVE asiacute podraacutes comprobar tus resultados
TEMA CAacuteLCULO Y GRAFICA DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIOacuteN
En esta parte de nuestro primer laboratorio vamos a ingresar diversas funciones calcularemos sus derivadas empleando la definicioacuten de derivada y empleando tambieacuten el comando DIF
1 Dada la funcioacuten 2 0
( ) 0
x xf x
x x le
= gt
bull Graficarla ademaacutes construir la funcioacuten derivada de dos formas la primera empleando definicioacuten de LIM((f(x+h)-f(x))h h 0 -1) para calcular la derivada por izquierda y LIM((f(x+h)-f(x))h h 0 1)para calcular la derivada por derecha y la segunda forma es empleando el comando DIF (f(x) x) que ofrece DERIVE
bull Observa las graficas de la funcioacuten y su derivada y responde a las
siguientes preguntas
iquestQueacute sucede con la derivada en el punto x=0 iquestQueacute representa la graacutefica de la funcioacuten derivada
2 Introduce la siguiente funcioacuten definida ldquoa trozosrdquo f(x)=IF(xlt4 x^2-5
2x+3)
bull Calcular las derivadas laterales en x = 4 bull Representa la funcioacuten f(x) Observa que se trata de una funcioacuten
continua pero no derivable bull Prueba con otras definiciones de f(x) y otros valores distintos de x = 4
3 Ingresa la funcioacuten 2 1 0
( )0 0
x sen xh x x
x
ne = =
y calcula su derivada en el
punto cero Ademaacutes elabora las graficas 4 Considera f(x)= 4-x^2 en x = 2 y halla las derivadas laterales iquestPuedes
explicar que ocurre 5 Considera tambieacuten f(x) = 1x en x = 0
CAPACIDAD Grafica funciones y encuentra su primera derivada empleando comando propios de DERIVE
6 Demostrar usando DERIVE que la funcioacuten 3 2 1cos 0
( )0 0
x xf x x
x
gt = le
es derivable en cero
7 Calcular y graficar las derivadas de las siguientes funciones empleando derive
a) 2
2( ) xf x sen
xsensenx
=
b) cos( )cos
senx xf xsenx x
minus=
+
c) 1( )2
f xa
x senx
=minus
+
d) 6 2( ) (1 cos 2 )f x x x= minus e) ( ) lnf x x=
APRENDIENDO CALCULO DIFERENCIAL CON DERIVE
SESION Nordm 2
C RELACION ENTRE LA GRAFICA DE UNA FUNCION Y SU
PRIMERA DERIVADA
PROBLEMA- (Caraacutecter creciente o decreciente de una funcioacuten) iquestPuede la primera derivada de una funcioacuten proporcionar informacioacuten acerca del caraacutecter creciente o decreciente de una funcioacuten ( )f x
Empezaremos recordando una serie de conceptos que debemos tener en cuenta para abordar esta sesioacuten
Se dice que una funcioacuten es positiva en la regioacuten en que su graacutefica se encuentra arriba del eje de las abscisas Asiacute use DERIVE y describa en que intervalos las siguientes funciones son positivas
o ( ) 3cosf x x= o ( ) 3 3f x x= minus o ( ) 8 4f x x= minus
o ( )2( ) 2 5f x x= + minus
CAPACIDAD Infiere mediante un anaacutelisis grafico las relaciones existentes entre la graacutefica de una funcioacuten y su primera derivada signo de la primera derivada asociado con crecimiento o decrecimiento de la funcioacuten y derivada nula con puntos criacuteticos
o ( )2( ) 3 2f x xminus minus +
Se dice que una funcioacuten es negativa en la regioacuten en que su grafica se encuentra abajo del eje de las abscisas Emplea DERIVE y describe en que intervalos la siguientes funciones son negativas
o ( ) 5 3f x x= minus
o ( ) 62xf x minus
= +
o 2( ) 4 4f x x x= + minus o 2( ) 6 9f x x x= minus + +
Una funcioacuten es creciente en una regioacuten si y soacutelo si al aumentar los valores de la variable independiente x aumentan tambieacuten los valores de la funcioacuten Es decir
( )f x es creciente en una regioacuten si para dos puntos cualesquiera 1x y
2x siempre que 1 2x xlt necesariamente 1 2( ) ( )f x f xlt y viceversa
Geomeacutetricamente una funcioacuten es creciente en la regioacuten en que su graacutefica sube a medida que recorremos el eje X de izquierda a derecha Grafica empleando derive la funcioacuten 3 2( ) 3 3f x x x= minus + y completa lo siguiente bull La funcioacuten mostrada es decreciente en intervalos que empiezan
inmediatamente despueacutes de _____ y termina inmediatamente antes de _____ Es decir ( )f x es decreciente en el intervalo abierto iquestPor queacute intervalo abierto
bull En cambio la misma funcioacuten es creciente en dos regiones desde menos infinito hasta _______ sin llegar a cero a sea en el intervalo y en el intervalo
bull iquestPodriacuteas dar una justificacioacuten del porqueacute los valores 0 y 2 estaacuten excluidos de las tres regiones
bull La funcioacuten graficada es positiva en los intervalos __________ __________
bull La funcioacuten graficada es negativa en los intervalos __________ __________
Tambieacuten hemos trabajado las siguientes ideas Completa lo que falta
bull Hemos afirmado el hecho de que en un punto del dominio la
pendiente de una curva es igual a la pendiente de la recta ________ en ese punto
Sabemos que bull Cuando una recta es creciente su _________ es positiva bull Cuando una recta es decreciente su ___________ es decreciente bull Cuando una recta es paralela al eje X su __________es
_________________ bull La pendiente de la recta tangente a la grafica de una funcioacuten
( )f x en cualquier punto del dominio es precisamente la primera ____________ de la funcioacuten
bull Elabora las graficas de la funcioacuten 3 2( ) 3 3f x x x= minus + y de su primera derivada empleando DERIVE
bull Haremos un anaacutelisis comparativo de estas graacuteficas bull La funcioacuten ( )f x es decreciente en el intervalo ( )02 iquestCoacutemo es
su derivada ( )f x en ese intervalo_________________ bull La funcioacuten ( )f x es creciente en el intervalo ( )0minusinfin iquestCoacutemo es
su derivada ( )f x en ese intervalo_________________
bull La funcioacuten ( )f x es creciente en el intervalo ( )2infin iquestCoacutemo es su derivada ( )f x en ese intervalo_________________
bull La funcioacuten ( )f x es constante en los puntos 0x = y 2x = iquestCoacutemo es su derivada ( )f x en esos puntos_________________
bull Los hechos que acabas de observar no son una coincidencia ni un hecho aislado corresponde a una relacioacuten muy importante entre una funcioacuten y su primera derivada
bull Considerando tus respuestas tenemos todos lo necesario par construir los siguientes criterios de caracterizacioacuten
bull Para toda funcioacuten ( )f x derivable en un intervalo ( )a b
bull Si acute( ) 0f x gt para todo valor x en ( )a b ( )f x es creciente en
( )a b
bull Si acute( ) 0f x lt para todo valor x en ( )a b ( )f x es decreciente en
( )a b
bull Si acute( ) 0f x = para todo valor x en ( )a b ( )f x es constante en
( )a b Este caso nos seraacute particularmente uacutetil en el caso en que el intervalo conste de un solo punto
bull A cada valor de x en el que acute( ) 0f x = se le llama punto criacutetico bull Problema 1 Empleando DERIVE encuentra los intervalos donde
la funcioacuten 3 2( ) 3 3f x x x= minus + creciente y decreciente y los puntos donde es constante Luego compara tus hallazgos y completa la informacioacuten
bull acute( )f x = ________ ( )f x seraacute creciente donde acute( ) 0f x gt es decir
donde 23 6 0x xminus gt factorizando 3x obtenemos ( )3 0x gt recuerda que el producto de dos factores es mayor que cero soacutelo si ambos son positivos o ambos son negativos
1 3 0 2 0x y xgt minus gt
0 2x y xgt gt
Siempre que 2x gt se cumple tambieacuten que 0x gt No al reveacutes ( )f xthere4 es creciente en ( )2infin
2 3 0 2 0x y xlt minus lt 0 2x y xlt lt
Siempre que 0x lt se cumple tambieacuten que 2x lt No al reveacutes ( )f xthere4 es creciente en ( )0minusinfin
bull ( )f x seraacute decreciente donde acute( ) 0f x lt es decir donde
23 6 0x xminus lt bull ( )3 0x lt ahora recordemos que el producto de dos factores es
negativo si y solo si________________o ____________________-
1 3 0 2 0x y xgt minus lt
0 2x y xgt lt ( )f xthere4 es decreciente en ( )02
2 3 0 2 0x y xlt minus gt 0 2x y xlt gt
iexclImposible No hay valores de x que sean menores que cero y al mismo tiempo mayores que 2
( )f x seraacute constante es decir estaraacute momentaacuteneamente horizontal su
tangente seraacute paralela al eje X donde acute( ) 0f x = ( )3 2 0x x minus = si 0 2x y x= =
Estos son los dos valores de x donde la funcioacuten es constante a los que llamamos ldquopuntos criacuteticosrdquo Otra forma de encontrar los valores de x donde la funcioacuten es creciente o decreciente sin tener que resolver desigualdades es la siguiente Se encuentran los valores de x donde acute( )f x vale cero resolviendo la ecuacioacuten acute( ) 0f x =
Los n valores de x obtenidos al resolver la ecuacioacuten anterior nos permiten dividir el eje X en 1n + intervalos ajenos
Se construye una tabla en la que los a x valores en cada intervalo y analizando el signo que toma acute( )f x en cada uno de ellos podemos decidir si ( )f x es creciente o decreciente con base en el criterio al que arribamos antes Trabajando en esta forma con 3 2( ) 3 3f x x x= minus +
2acute( ) 3 6f x x x= minus 23 6 0x xminus = 3 ( 2) 0x x minus = si 3 0x = 0x = si 2 0x minus = 2x =
( )f x es constante en 0x = y en 2x = Los valores 0 y 2 dividen al eje X en tres intervalos ( )0minusinfin ( )02 ( )2infin
La tabla que construiremos seraacute del tipo
Intervalo ( )0minusinfin ( )02 ( )2infin
Valor de x en el intervalo -1 1 3
Valor de acute( )f x en el intervalo
9 -3 9
Signo de acute( )f x + - + Caraacutecter de ( )f x en el
intervalo Creciente Decreciente Creciente
Por lo tanto ( )f x es creciente en los intervalos ( )0minusinfin y ( )2infin
mientras que es decreciente en el intervalo ( )02 Problema 2 Empleando DERIVE encuentra los intervalos donde la
funcioacuten 1( )f x xx
= + es creciente y decreciente asiacute como los puntos
donde es constante Observa que esta funcioacuten no estaacute definida en 0x =
Problema 3 Utiliza DERIVE y encuentra las regiones donde cada una de las siguientes funciones es creciente decreciente o constante
bull 2 2( )1
x xf xx
minus minus=
minus
bull 22( )
1xf x
x=
+
bull 4 2( ) 6 5f x x x= + minus bull 3( ) 1f x x= minus
bull 26( )
3f x
x=
+
D RELACION ENTRE LA GRAFICA DE UNA FUNCION Y SU SEGUNDA DERIVADA
PROBLEMA 1- (Concavidad de una funcioacuten) iquestPuede la segunda derivada de una funcioacuten proporcionar informacioacuten acerca del tipo de concavidad que presenta una funcioacuten primitiva ( )f x
Emplea DERIVE y grafica la funcioacuten 2( ) ( 3) 4f x x= minus + ademaacutes determina las ecuaciones y graficas de las rectas tangentes a la curva en los puntos 0x = y 5x = Empleando nuevamente DERIVE grafica la funcioacuten
2( ) ( 7) 1f x x= minus + minus ademaacutes determina las ecuaciones y graacuteficas de las rectas tangentes a la curva en los puntos 10x = minus y 5x = minus Observaciones
CAPACIDAD Infiere por medio de un anaacutelisis grafico las relaciones existentes entre la graacutefica de una funcioacuten y su segunda derivada signo de la segunda derivada asociado con concavidad de la funcioacuten y segunda derivada nula con un posible cambio de concavidad
Observa en principio que donde la curva es coacutencava hacia arriba sus tangentes estaacuten pro debajo de la curva y en caso de ser coacutencava hacia abajo sus tangentes estaacuten por arriba de ella Pero donde la curva no es coacutencava la tangente la atraviesa
Una funcioacuten que presenta los dos tipos de concavidad posibles hacia abajo y hacia arriba es 3 2( ) 3 3f x x x= minus + Empleando DERIVE calcula su primera y segunda derivada y graficas todas las funciones en un mismo plano Localiza con cuidado cada grafica colorea con un color diferente asiacute podraacutes identificarlas faacutecilmente en el siguiente anaacutelisis En el intervalo ( )1minusinfin
( )f x es coacutencava hacia abajo ( )f x que representa las pendientes de las rectas tangentes a ( )f x es decreciente No deja de bajar desde minusinfin hasta
1x = ( )f x que representa las pendientes de las rectas tangentes a ( )f x es negativa porque ( )f x es decreciente
Exactamente en 1x =
o ( )f x cambia de concavidad Deja de ser coacutencava hacia abajo
pero aun no es coacutencava hacia arriba o ( )f x es constante tiene un punto criacutetico porque ( ) 0f x = o ( )f x corta al eje X vale cero Dejoacute de ser negativa y auacuten no
es positiva En el intervalo ( )1infin
o ( )f x es coacutencava hacia arriba o ( )f x es creciente o ( )f x es positiva
Una vez mas lo que has observado no es una coincidencia o un caso aislado nuevamente corresponde a una importante relacioacuten entre una funcioacuten y su segunda derivada Conclusioacuten
bull Para toda funcioacuten ( )f x cuya segunda derivada existe en el intervalo ( )a b
bull Si ( ) 0f x gt para todo valor x en ( )a b la graacutefica de ( )f x es
coacutencava hacia arriba en ( )a b
bull Si ( ) 0f x lt para todo valor x en ( )a b la graacutefica de ( )f x es
coacutencava hacia abajo en ( )a b Definicioacuten- Se llama punto de inflexioacuten al punto donde la grafica de la funcioacuten cambia de ser coacutencava hacia abajo a coacutencava hacia arriba o viceversa si existe la tangente en ese punto La funcioacuten que analizamos antes 3 2( ) 3 3f x x x= minus + tiene un punto de inflexioacuten en 1x = porque (1) 0f = Ejercicios Estudia si tiene la funcioacuten 4( )f x x= punto de inflexioacuten en 0x = Con ayuda de DERIVE halla los intervalos donde la funcioacuten es coacutencava hacia arriba yo hacia abajo asiacute como las coordenadas de los puntos de inflexioacuten si existen Elaborar las graficas necesarias
o 23( )
3f x
x=
+
o 3 2( ) 6 9 1f x x x x= minus + +
o 4
2( ) 24xf x x= minus
o 2 4( ) 6f x x x= minus
APRENDIENDO CALCULO DIFERENCIAL CON DERIVE
SESION Nordm 3
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION A CLASIFICACION DE LOS PUNTOS CRITICOS DE UNA FUNCIOacuteN RECORDEMOS Localiza en la graacutefica de la figura 1 el punto(s) m miacutenimo(s) y da sus coordenadas Figura 1 Si observas la graacutefica notaraacutes que existen dos puntos maacutes bajo que todos los demaacutes donde la curva es coacutencava hacia arriba a los que llamaremos miacutenimos locales Las coordenadas de esos puntos en la grafica son
1( )m y 2 ( )m Localiza en la graacutefica de la figura 2 el punto M maacuteximo y da sus coordenadas Figura 2
2
21( ) 1f xx
= minus
( ) ( 2)( 4)( 6)f x x x x x= + minus minus
CAPACIDAD Determina los puntos criacuteticos de una funcioacuten y los clasifica en maacuteximos miacutenimos o de inflexiones
Si observas la grafica de la funcioacuten encontraras que alcanza un punto maacutes alto en la regioacuten donde es coacutencava hacia abajo Las coordenadas de ese punto son ( )M A un punto como este que se encuentra en la cima de una regioacuten donde la curva es coacutencava hacia abajo se le llama maacuteximo local por que en efecto es el punto mas alto aunque no de toda la curva sino de una regioacuten Pregunta iquestQueacute coincidencias y queacute diferencias hay donde ( )f x tiene maacuteximo y donde tiene miacutenimo Coincidencias __________________________________________________________ Diferencias __________________________________________________________ Para determinar los valores extremos de una funcioacuten en un primer acercamiento se requiere
1 Obtener la primera derivada de la funcioacuten para investigar doacutende ( )f x es constante
2 Igualar a cero la primera derivada ( ) 0f x = 3 Resolver la ecuacioacuten resultante para encontrar los puntos criacuteticos
de 1 2( ) f x x x donde podriacutea tener un maacuteximo un miacutenimo o un punto de inflexioacuten
4 Bosquejar la graacutefica de la funcioacuten 5 Elabora una conjetura acerca del caraacutecter de cada punto criacutetico
maacuteximo miacutenimo o punto de inflexioacuten Emplea DERIVE y en cada funcioacuten de los siguientes ejemplos determina los puntos criacuteticos bosqueja una graacutefica y elabora una conjetura acerca del caraacutecter de cada punto criacutetico
A los valores maacuteximos o miacutenimos los llamaremos valores extremos
Ejercicio Ndeg 1
Graficar la funcioacuten 2
21( ) 1f xx
= minus
y completar la informacioacuten
1 ( )f x = 2 ( ) 0f x = de donde 1x = ( )f xthere4 tiene un punto criacutetico 3 iquestQueacute sucede con la graacutefica de la primera derivada en los puntos
criacuteticos de la funcioacuten 4 Mostrar la graacutefica y determinar que tipo de punto es 1x 5 Determinar la segunda derivada y analizar su comportamiento
grafico Ejercicio Ndeg 2 Graficar la funcioacuten ( ) ( 2)( 4)( 6)f x x x x x= + minus minus y completar la informacioacuten
1 ( )f x = 2 ( ) 0f x = de donde 1 2 3 x x x= = = ( )f xthere4 tiene tres
puntos criacuteticos 3 iquestQueacute sucede con la graacutefica de la primera derivada en los puntos
criacuteticos de la funcioacuten 4 Mostrar la graacutefica y determinar que tipo de puntos criacuteticos tiene 5 Determinar la segunda derivada y analizar su comportamiento
grafico Ejercicio Ndeg 3 Graficar la funcioacuten 3 2( ) 3 3f x x x= minus + y completar la informacioacuten
1 ( )f x = 2 23 6 3 ( ) 0x x xminus = minus = de donde 1 2x y x= = ( )f xthere4
tiene dos puntos criacuteticos 3 Indicar el maacuteximo y el miacutenimo 6 iquestQueacute sucede con la graacutefica de la primera derivada en los puntos
criacuteticos de la funcioacuten 4 Mostrar una graacutefica
5 Grafique la primera derivada y determine si el signo de ella antes y despueacutes del punto criacutetico coincide con la propiedad de la funcioacuten de ser creciente o decreciente en los intervalos formados
6 Grafique la segunda derivada y analice la informacioacuten que representa
Ejercicio N deg4 (trabajo)
Graficar la funcioacuten 23( )
3f x
x=
+ y completar la informacioacuten
1 ( )f x =
2 ( )22
6 03
x
x
minus=
+
3 Puesto que ( )22 3x + siempre seraacute mayor que cero la uacutenica
posibilidad de que ( )22
6 03
x
x
minus=
+es que 6 0xminus = luego 0x =
( )f xthere4 tiene soacutelo un punto criacutetico 4 Determine a traveacutes de la graacutefica si se trata de un maacuteximo o
miacutenimo 5 Grafique la primera derivada y determine si el signo de ella antes
y despueacutes del punto criacutetico coincide con la propiedad de la funcioacuten de ser creciente o decreciente en los intervalos formados
6 Grafique la segunda derivada y analice la informacioacuten que representa
B CRITERIO DE LA PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA PARA ENCONTRAR VALORES EXTREMOS DE UNA FUNCION
iquestExiste un procedimiento formal para determinar los valores extremos de una funcioacuten En el punto anterior pudimos determinar los valores criacuteticos de una funcioacuten y decidir si se trataba de un maacuteximo o miacutenimo o un punto de inflexioacuten Pero tuvimos las siguientes limitaciones bull Nuestra decisioacuten quedoacute a nivel de conjetura porque para tomarla
n os apoyamos en una grafica y eso le quita formalidad y precisioacuten al procedimiento
bull No obtuvimos el valor del maacuteximo o miacutenimo de la funcioacuten ni las coordenadas en el caso del punto de inflexioacuten
En esta sesioacuten trabajaremos en laacutepiz y papel el procedimiento formal para obtener los valores extremos de una funcioacuten asiacute como sus puntos de inflexioacuten y resolveremos los ejercicios usando derive asiacute podemos comparar entre el trabajo analiacutetico y los caacutelculos que podemos hacer empleando DERIVE
RECORDAR
Criterio de la primera derivada Hipoacutetesis Si ( )f x es una funcioacuten continua en un Intervalo ( )a b
1x es el uacutenico punto criacutetico en ese intervalo y ( )f x es derivable en
( )a b Entonces Tesis el punto criacutetico ( )1 1 ( )x f x se puede clasificar de acuerdo a la siguiente tabla
CAPACIDAD Comprende y aplica el criterio de la primera y segunda derivada para encontrar valores extremos de una funcioacuten
Signo de ( )f x en ( )1a x
Signo de ( )f x en ( )1 x b Decisioacuten
+ - 1( )f x es un maacuteximo
- + 1( )f x es un miacutenimo
+ + 1( )f x es un posible punto de inflexioacuten
- - 1( )f x es un posible punto de inflexioacuten
Criterio de la segunda derivada Hipoacutetesis Si ( )f x es una funcioacuten que tiene primera y segunda derivadas en un intervalo ( )a b y tiene un punto criacutetico en 1x Tesis el punto criacutetico ( )1 1 ( )x f x se puede clasificar de acuerdo con el siguiente criterio bull Si ( ) 0 ( )f x f xgt tendraacute un maacuteximo en 1x porque es coacutencava hacia arriba bull Si ( ) 0 ( )f x f xlt tendraacute un miacutenimo en 1x porque es coacutencava hacia abajo bull Si ( ) 0 ( )f x f x= podriacutea tener un punto de inflexioacuten 1x si estaacute cambiando la concavidad
Ejercicio Ndeg 1 Determina los maacuteximos y miacutenimos de la siguiente funcioacuten
3 2( ) 3 3f x x x= minus + completa la informacioacuten que se pide y luego compara tus resultados con los obtenidos empleando DERIVE
1 ( )f x = 2 23 6 0x xminus =
3 ( )23 6 3 ____ ____ 0x x xminus = minus = de donde 1 ____x = y
2 ____x = 4 Los valores 0 y 2 dividen al eje X en los intervalos ajenos
( ) ( ) ( )0 0 2 2minusinfin infin 5 Elaboramos una tabla para dar valores a x Completa el valor y el
signo de ( )f x
Intervalo ( )0minusinfin ( )02 ( )2infin
Valor de x -1 1 3
Valor de ( )f x
Signo de ( )f x
6 De acuerdo con el criterio de la primera derivada
a) En 1 0x = ( )f x tiene un ___________ porque ( )f x _____________
b) En 2 2x = ( )f x tiene un ___________ porque ( )f x ____________
7 El valor maacuteximo de ( )f x en _____ es_____ 8 El valor miacutenimo de ( )f x en _____ es_____
Ejercicio Ndeg 2 Determina los maacuteximos y miacutenimos de la siguiente funcioacuten
2
3( )3
f xx
=+
completa la informacioacuten que se pide y luego compara tus
resultados con los obtenidos empleando DERIVE 1 ( )f x =
2 ( )22
6 03
x
x
minus=
+
3 Puesto que ( )22 3x + siempre seraacute mayor que cero la uacutenica
posibilidad de que ( )22
6 03
x
x
minus=
+es que 1 ____x =
4 El valor de z divide al eje X en 2 intervalos ( ) ( )0 0minusinfin infin iquestQueacute sucede en el punto cero
5 Elaboramos una tabla para dar valores a x Completa el valor y el signo de ( )f x
Intervalo ( )0minusinfin ( )0infin
Valor de x -1 1
Valor de ( )f x
Signo de ( )f x
6 ( )f x presenta un _______________en _____ Ejercicio Ndeg 3 Empleando Derive y el criterio de la segunda derivada determina los maacuteximos y miacutenimos de la siguiente funcioacuten ( )3( ) 4 10f x x= minus + ademaacutes completar la informacioacuten y anexa la grafica de las funcioacuten para verificar las validez de tus resultados
1 ( )f x =
2 ( )23 4 0x minus =
3 23( 8 16) 0x xminus + = de donde 1 ____x =
4 ( )f x = 5 (4)f =0 ( )f xthere4 tiene un___________ 6 Las coordenadas de ese punto son ( )4 (4)f es decir ( )4
7 (2)f =_____________gt0 ( )f xthere4 tiene un___________
Trabajo en casa Ejercicio Ndeg 1 Determina los maacuteximos y miacutenimos de la siguiente funcioacuten
( )3( ) 4f x x= minus completa la informacioacuten que se pide y luego compara tus resultados con los obtenidos empleando DERIVE
1 ( )f x =
2 ( )23 4 0x minus =
3 23( 8 16) 0x xminus + = de donde 1 ____x = 4 El valor 4 divide al eje X en dos intervalos ajenos
( ) ( ) 4 4minusinfin infin 5 Elaboramos una tabla para dar valores a x Completa el valor y el
signo de ( )f x
Intervalo ( ) 4minusinfin ( )4infin
Valor de x 2 5
Valor de ( )f x
Signo de ( )f x
6 De acuerdo con el criterio de la primera derivada En 1 4x = ( )f x presenta __________________________
Ejercicio Ndeg 2 Determina los maacuteximos y miacutenimos de la siguiente funcioacuten
1( )f x xx
= + completa la informacioacuten que se pide y luego compara tus
resultados con los obtenidos empleando DERIVE
1 ( )f x =
2 2
11 0x
minus =
3 2
11 0x
minus = 2
11x
= 2 1x = de donde 1 ____x = y 2 ____x =
4 Los valores 1 y -1 dividen al eje X en 3 intervalos ajenos ( ) ( ) ( ) 1 11 1minusinfin minus minus infin iquestQueacute sucede en el punto cero
5 Elaboramos una tabla para dar valores a x Completa el valor y el signo de ( )f x
Intervalo ( ) 1minusinfin minus ( )10minus ( )01 ( )1infin
Valor de x -2 -12 frac12 3
Valor de ( )f x
Signo de ( )f x
6 El valor maacuteximo de ( )f x en _____ es_____ 7 El valor miacutenimo de ( )f x en _____ es_____
Ejercicio Ndeg 3 Empleando Derive y el criterio de la segunda derivada determina los
maacuteximos y miacutenimos de la siguiente funcioacuten 1( )f x xx
= + ademaacutes
completar la informacioacuten y anexa la grafica de las funcioacuten para verificar las validez de tus resultados
1 ( )f x =
2 2
11 0x
minus =
3 2
11 0x
minus = 2
11x
= 2 1x = de donde 1 ____x = y 2 ____x =
4 ( )f x = 5 (1)f = ____gt0 ( )f xthere4 tiene un___________ 6 Las coordenadas de ese punto son ( )1 (1)f es decir ( )1 7 ( 1)f minus = _____________lt0 ( )f xthere4 tiene un___________ 8 Las coordenadas de ese punto son ( )1 ( 1)fminus minus es decir ( )1minus
Ejercicio Ndeg 4 Calcula los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de las siguientes funciones
1 2 4
( )2 16x xf x = minus
2 23( )
1xf x
x=
minus
3 2( )4
xf xx
=minus
4 2 2( )1
x xf xx
minus minus=
minus
Representa las graacuteficas para comprobarlo C PROBLEMAS DE OPTIMIZACIOacuteN
Has aprendido a encontrar valores extremos de una funcioacuten por medio de dos criterios el de la primera derivada y el de la segunda derivada Lo que haremos ahora constituye una de las principales aplicaciones del caacutelculo diferencial utilizado en muy diversas aacutereas del conocimiento Con frecuencia en los procesos industriales cientiacuteficos y tecnoloacutegicos se busca optimizar las condiciones en que se llevan a cabo asiacute como los resultados que se obtienen Por ejemplo se pretende envasar el mayor volumen de un producto empleando la menor cantidad posible de material obtener el mejor efecto de un medicamento con la menor dosis administrada encontrar el nuacutemero de artiacuteculos que deben venderse para obtener la maacutexima ganancia Todo esto es optimizar un proceso y el caacutelculo es una herramienta muy uacutetil para lograrlo
CAPACIDAD Resuelve problemas que involucran maacuteximos o miacutenimos de una funcioacuten empleando derive
Para resolver un problema de optimizacioacuten baacutesicamente debemos proceder de la siguiente manera
1 A partir del enunciado del problema obtener la funcioacuten que queremos optimizar de modo que dependa de una sola variable
2 aplicar uno de los criterios para encontrar los valores extremos de una funcioacuten
3 interpretar los resultados con base en la naturaleza del problema planteado
PROBLEMA 1 Cuando alguien tose la traquea se contrae violentamente lo que afecta de modo directo a la velocidad del aire expulsado a traveacutes de ella Si la velocidad del aire durante la tosida se puede expresar como
2( ) ( )v r k p r r= minus donde k es una constante positiva que depende de la persona p es el radio normal de la traquea y r el radio durante el golpe de tos
a) Utilice una escala apropiada para mostrar la grafica de la velocidad del aire durante la tosida Utilice los valores de K=1 y p=3
b) Determina el dominio apropiado para estudiar esta funcioacuten c) iquestQueacute valor del radio r producir la maacutexima velocidad del aire
expulsado iquestCuaacutel es la velocidad
Solucioacuten
1 Siendo la funcioacuten a maximizar 2 2 3( ) ( ) ( )v r k p r r k p r r= minus = minus
2 La primera derivada es dvdr
=
3 Los puntos criacuteticos son 1 2______ _______r y r= =
4 luego la velocidad del aire expulsado tiene un maacuteximo cuando r =
PROBLEMA 2 Se quiere fabricar latas de refresco cuyo contenido sea 33cl de manera que el costo de la chapa sea miacutenimo Hallar las dimensiones que ha de
ANEXO 4
PLANES DE CLASE
Los planes de clase en general son los mismos para ambos grupos pero si difieren del lugar donde se trabajan pues el grupo experimental recibiraacute clases en el laboratorio de coacutemputo mientras que el grupo de control trabajara sus sesiones de clase en el aula Debo indicar tambieacuten que solo la tercera clase de ambos grupos seraacute en el saloacuten de clases pues se deben trabajar las derivadas de funciones trigonomeacutetricas logariacutetmicas impliacutecitas regla de L`Hospital El modelo de plan de clase que presento a continuacioacuten es el que manejamos en la universidad para nuestra carpeta docente Fue disentildeado por los docentes de la Escuela de Educacioacuten y lo trabajamos en todas las escuelas Presento cuatro planes de clase que corresponde a las 4 sesiones que tuvimos para resolver el capiacutetulo de Derivadas
P L A N D E S E S I Oacute N D E A P R E N D I Z A J E 2 0 0 6- II ESCUELA DE INGENIERIacuteA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS
ASIGNATURA
Ciclo Seccioacuten
Semana Ndeg Sesioacuten
DOCENTE
COMPETENCIA
TIacuteTULO CAPACIDAD
ACTIVIDADES TIEMPO INDICADORES INICIALES DestrezaHabilidad Contenido Producto Iacutetems
PROCESO
FINALES Actitudes
METODO AYUDAS TEacuteCNICAS E INSTRUMENTOS DE EVALUACIOacuteN
Expositivas-Interactivas
Investigacioacuten Individual
Debate
Proyecto
Demostracioacuten
Investigacioacuten por equipos
Otros
Texto Separatas-resumen Transparencias- Diapositivas
Ejercicios Aplicacioacuten Casos Presentacioacuten Multimedia
Otros
Observacioacuten Situacioacuten Ejercicio Praacutectico Pruebas Escritas Situacioacuten Oral
de Evaluacioacuten
Pruebas de Desempentildeo
Examen Temaacutetico
Ejercicios Interpretativos
Pruebas Objetivas
Mapa mental
Mapa Conceptual
Estudios de Casos Praacutecticas- Laboratorio
Proyecto
Portafolio
Ensayos
Otros (Indicar)
Exposicioacuten Diaacutelogo Debate Examen
Oral
Lista de cotejo
Registro anecdoacutetico
Escala de actitud
Otros(Indicar)
Bibliografiacutea
Paacuteginas Web
P L A N D E S E S I Oacute N D E A P R E N D I Z A J E 2 0 0 6- II ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS
ASIGNATURA MATEMATICA I
Ciclo II Seccioacuten A B
Semana 12 Nordm Sesioacuten 1
DOCENTE Lic Diana Quintana Saacutenchez
COMPETENCIA Interpreta formula analiza y resuelve problemas de contexto real utilizando definiciones teacutecnicas y aplicaciones del Caacutelculo Diferencial desarrollando
comunicacioacuten investigacioacuten razonamiento y manifestando confianza flexibilidad y perseverancia
CONTENIDO Derivadas
CAPACIDAD Resuelve problemas sobre razoacuten de cambio recta tangente y grafico de funciones y sus derivadas
ACTIVIDADES TIEMPO INDICADORES INICIALES
15rsquo
DestrezaHabilidad Contenido Producto Iacutetems bull Saludo bull Para esta clase he preparado un relato sobre la historia del
caacutelculo diferencial La historia de Newton y Leibnitz
Resuelve Encuentra Calcula Grafica
Razoacuten de cambio Dos Problemas con un mismo tema Definicioacuten de Derivada Resolucioacuten de problema empleando derivadas Elaboracioacuten de graficas de funciones y sus derivadas
Opinioacuten sobre los protagonistas de la Historia de Calculo Presentacioacuten de ejercicios propuestos en clase
1 Resuelve problemas de
aplicacioacuten de razoacuten de cambio 2 Encuentra la derivada de
funciones ( )f x 3 Calcula la derivada de funciones
( )f x empleando la definicioacuten de derivada
4 Grafica funciones y su
derivadas
ACTIVIDADES DE PROCESO
2h15rsquo break 1h30rsquo
bull Se expone el fundamento teoacuterico sobre la definicioacuten de
derivada y se entrega el material didaacutectico bull Se resuelve en parejas en la solucioacuten del primer trabajo
praacutectico bull Los alumnos exponen en la pizarra la solucioacuten de los
problemas bull Con el grupo experimental se trabaja la guiacutea de laboratorio
ACTIVIDADES FINALES
10rsquo
Actitudes Valora de manera criacutetica la importancia de la historia del calculo asiacute mismo muestra orden e intereacutes por aprender
bull Presentar en la siguiente clase la solucioacuten de los ejercicios
propuestos en la separata
METODO AYUDAS TEacuteCNICAS E INSTRUMENTOS DE EVALUACIOacuteN
x Expositivas-Interactivas
Investigacioacuten Individual
Debate
Proyecto
Demostracioacuten
x Investigacioacuten por equipos
Otros
Texto Separatas-resumen x Transparencias- Diapositivas
Ejercicios Aplicacioacuten x Casos Presentacioacuten Multimedia
x
Otros
Observacioacuten Situacioacuten Ejercicio Praacutectico Pruebas Escritas Situacioacuten Oral
de Evaluacioacuten
Pruebas de Desempentildeo
Examen Temaacutetico
x Ejercicios Interpretativos
Pruebas Objetivas
Mapa mental
Mapa Conceptual
x Estudios de Casos x Praacutecticas- Laboratorio
Proyecto
Portafolio
Ensayos
Otros (Indicar)
x Exposicioacuten x Diaacutelogo Debate Examen
Oral
Lista de cotejo
x Registro anecdoacutetico
Escala de actitud
Otros(Indicar)
Bibliografiacutea Anaacutelisis Matemaacutetico I Eduardo Espinoza Ramos Anaacutelisis Matemaacutetico Maacuteximo Mittac Meza
Paacutegina Web wwwucvpiuraedupe (aula virtual)
P L A N D E S E S I Oacute N D E A P R E N D I Z A J E 2 0 0 6- II
ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS
ASIGNATURA MATEMATICA I
Ciclo II Seccioacuten A
Semana 13 Nordm Sesioacuten 1
DOCENTE Lic Diana Quintana Saacutenchez
COMPETENCIA Interpreta formula analiza y resuelve problemas de contexto real utilizando definiciones teacutecnicas y aplicaciones del Caacutelculo Diferencial desarrollando comunicacioacuten investigacioacuten razonamiento y manifestando confianza flexibilidad y perseverancia
CONTENIDO Derivadas
CAPACIDAD Infiere mediante un anaacutelisis grafico las relaciones existentes entre la graacutefica de una funcioacuten y su primera derivada signo de la primera derivada asociado con crecimiento o decrecimiento de la funcioacuten y derivada nula con puntos criacuteticos
ACTIVIDADES TIEMPO
INDICADORES INICIALES
15rsquo
Destreza Habilidad
Contenido Producto Iacutetems
bull Saludo bull Esta clase se inicia con una lluvia de ideas sobre lo trabajado en
la clase anterior
Calcula Determina Analiza
Reglas de Derivacioacuten Derivadas de orden superior Anaacutelisis graacutefico de funciones y su primera derivada
Solucioacuten de ejercicios sobre derivadas Anaacutelisis de grafico de funciones y su primera derivada Ejemplos de primera y segunda derivada
5 Calcule la derivada de las
siguientes funciones 6 Encuentra derivada de orden
superior de funciones ( )f x 7 Analiza las graficas de
funciones y su derivada
ACTIVIDADES DE PROCESO
2h15rsquo
break 1h30rsquo
bull Para esta sesioacuten los alumnos han descargado el material del aula
virtual Pero para el grupo experimental la guiacutea se entrega en clase
bull Se presenta el contenido y se trabaja dando espacios para las posibles preguntas de los alumnos Ademaacutes se presentan ejemplos
bull Se solicita a los alumnos que voluntariamente expongan sus soluciones
ACTIVIDADES FINALES
10rsquo
Actitudes Valora la importancia de conocer el comportamiento grafico de una funcioacuten y su derivada
bull Presentar en la siguiente clase la solucioacuten del trabajo
praacutectico Nordm 4 METODO AYUDAS TEacuteCNICAS E INSTRUMENTOS DE EVALUACIOacuteN
x Expositivas-Interactivas
Investigacioacuten Individual
Debate
Proyecto
Demostracioacuten
Investigacioacuten por parejas
Otros
Texto Separatas-resumen x Transparencias- Diapositivas
Ejercicios Aplicacioacuten x Casos Presentacioacuten Multimedia
Otros
Observacioacuten Situacioacuten Ejercicio Praacutectico Pruebas Escritas Situacioacuten Oral de Evaluacioacuten
Pruebas de Desempentildeo
Examen Temaacutetico
x Ejercicios Interpretativos
Pruebas Objetivas
Mapa mental
Mapa Conceptual
Estudios de Casos x Praacutecticas- Laboratorio
Proyecto
Portafolio
Ensayos
Otros (Indicar)
x Exposicioacuten x Diaacutelogo Debate Examen
Oral
Lista de cotejo
x Registro anecdoacutetico
Escala de actitud
Otros(Indicar)
Bibliografiacutea Anaacutelisis Matemaacutetico I Eduardo Espinoza Ramos Anaacutelisis Matemaacutetico Maacuteximo Mittac Meza
Paacutegina Web wwwucvpiuraedupe (aula virtual)
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ASIGNATURA MATEMATICA I
Ciclo II Seccioacuten A B
Semana 14 Nordm Sesioacuten 1
DOCENTE Lic Diana Quintana Saacutenchez
COMPETENCIA Interpreta formula analiza y resuelve problemas de contexto real utilizando definiciones teacutecnicas y aplicaciones del Caacutelculo Diferencial desarrollando comunicacioacuten investigacioacuten razonamiento y manifestando confianza flexibilidad y perseverancia CONTENIDO Derivadas
CAPACIDAD Determina los puntos criacuteticos de una funcioacuten y los clasifica en maacuteximos miacutenimos o de inflexiones
ACTIVIDADES TIEMPO INDICADORES
INICIALES
15rsquo
Destreza Habilidad
Contenido Producto Iacutetems
bull Saludo bull Esta clase se inicia con la presentacioacuten de un problema el cual
implica derivar una funcioacuten trascendente la intencioacuten es generar el desequilibrio cognitivo
Identifica Demuestra Emplea
Reglas de Derivacioacuten de funciones Trigonometricas Trigonometricas Inversas Exponenciales Logariacutetmicas Reglas de Derivacioacuten de funciones Impliacutecitas Derivadas de orden superior
Solucioacuten de ejercicios y problemas de la separata referidos a derivadas
bull Identifica las reglas de derivacioacuten
que empleara para resolver determinados ejercicios
bull Demuestra empleando meacutetodos de
derivacioacuten que las derivadas de funciones impliacutecita se pueden calcular
bull Emplea derivacioacuten de orden
superior para resolver problemas
ACTIVIDADES DE PROCESO
2h15rsquo break 1h30rsquo
bull Para esta sesioacuten los alumnos han descargado el material del aula
virtual bull La clase se desarrolla empleando el meacutetodo expositivo dando
espacios para las posibles preguntas de los alumnos Ademaacutes se presentan ejemplos y la solucioacuten del problema planteando al inicio de la clase
bull Con el grupo experimental no hubo laboratorio bull Se resuelve de forma individual los ejercicios del trabajo praacutectico bull Se solicita a los alumnos que voluntariamente expongan sus
soluciones ACTIVIDADES FINALES
10rsquo Actitudes Intereacutes por conocer fundamentos teoacutericos que le permitan resolver ejercicios y problemas
bull Presentar en la siguiente clase la solucioacuten del trabajo praacutectico de la separata
METODO AYUDAS TEacuteCNICAS E INSTRUMENTOS DE EVALUACIOacuteN
x Expositivas-Interactivas
Investigacioacuten Individual
Debate Proyecto Demostracioacuten Investigacioacuten
por parejas Otros
Texto Separatas-resumen x Transparencias- Diapositivas
Ejercicios Aplicacioacuten x Casos Presentacioacuten Multimedia
Otros
Observacioacuten Situacioacuten Ejercicio Praacutectico Pruebas Escritas Situacioacuten Oral de Evaluacioacuten
Pruebas de Desempentildeo
Examen Temaacutetico
x Ejercicios Interpretativos
Pruebas Objetivas
Mapa mental Mapa Conceptual Estudios de Casos x Praacutecticas- Laboratorio Proyecto Portafolio Ensayos Otros (Indicar)
x Exposicioacuten x Diaacutelogo Debate Examen
Oral
Lista de cotejo x Registro
anecdoacutetico Escala de actitud Otros(Indicar)
Bibliografiacutea Anaacutelisis Matemaacutetico I Eduardo Espinoza Ramos Anaacutelisis Matemaacutetico Maacuteximo Mittac Meza
Paacutegina Web wwwucvpiuraedupe (aula virtual)
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ASIGNATURA MATEMATICA I
Ciclo II Seccioacuten B
Semana 15 Nordm Sesioacuten 1
DOCENTE Lic Diana Quintana Saacutenchez
COMPETENCIA Interpreta formula analiza y resuelve problemas de contexto real utilizando definiciones teacutecnicas y aplicaciones del Caacutelculo Diferencial desarrollando comunicacioacuten investigacioacuten razonamiento y manifestando confianza flexibilidad y perseverancia CONTENIDO Derivadas CAPACIDAD Emplea criterios de primera y segunda derivada para resolver problemas de maacuteximos y miacutenimos
ACTIVIDADES TIEMPO INDICADORES INICIALES DestrezaHabilidad Contenido Producto Iacutetems
bull Saludo bull Esta clase se inicia con la participacioacuten de los
alumnos en un pequentildeo dialogo sobre los contenidos estudiados en la clase anterior
15rsquo
Calcula Aplica Resuelve
Reglas de LrsquoHospital Criterio de la Primera y segunda derivada Problemas de Maacuteximos y Miacutenimos
Opinioacuten sobre los protagonistas de la Historia de Calculo Presentacioacuten de ejercicios propuestos en clase
8 Calcula liacutemites empleando la
regla de LrsquoHospital 9 Aplica el criterio de la primera y
segunda derivada para resolver ejercicios
10 Resuelve problemas de
maacuteximos y miacutenimos
ACTIVIDADES DE PROCESO
2h15rsquo break 1h30rsquo
bull Se expone el fundamento teoacuterico sobre la definicioacuten
de derivada y se entrega el material didaacutectico bull Se resuelve en parejas en la solucioacuten del primer
trabajo praacutectico bull Los alumnos exponen en la pizarra la solucioacuten de los
problemas ACTIVIDADES FINALES
10rsquo
Actitudes Valora de manera criacutetica la importancia de la historia del caacutelculo asiacute mismo muestra orden e intereacutes por aprender
bull Resolver y exponer la solucioacuten de los ejercicios de la
separata
METODO AYUDAS TEacuteCNICAS E INSTRUMENTOS DE EVALUACIOacuteN
x Expositivas-Interactivas
Investigacioacuten Individual
Debate
Proyecto
Demostracioacuten
x Investigacioacuten por equipos
Otros
Texto Separatas-resumen x Transparencias- Diapositivas
Ejercicios Aplicacioacuten x Casos Presentacioacuten Multimedia
x
Otros
Observacioacuten Situacioacuten Ejercicio Praacutectico Pruebas Escritas Situacioacuten Oral
de Evaluacioacuten
Pruebas de Desempentildeo
Examen Temaacutetico
x Ejercicios Interpretativos
Pruebas Objetivas
Mapa mental
Mapa Conceptual
Estudios de Casos x Praacutecticas- Laboratorio
Proyecto
Portafolio
Ensayos
Otros (Indicar)
x Exposicioacuten x Diaacutelogo Debate Examen
Oral
Lista de cotejo
x Registro anecdoacutetico
Escala de actitud
Otros(Indicar)
Bibliografiacutea Anaacutelisis Matemaacutetico I Eduardo Espinoza Ramos Anaacutelisis Matemaacutetico Maacuteximo Mittac Meza
Paacutegina Web wwwucvpiuraedupe (aula virtual)
tener la lata es decir el radio y la altura Calcula tambieacuten el valor de la superficie de la chapa miacutenima PROBLEMA 3 Calcula el valor de los coeficientes a y b para que la funcioacuten
3( )f x ax bx= + tenga un maacuteximo relativo en P (12) PROBLEMA 4 Calcular el polinomio de tercer grado que pasa por el origen de coordenadas O (00) tiene un maacuteximo relativo en el punto P (-24) y un punto de inflexioacuten en el punto Q (-12)
ANEXO 5
TABLAS DE ESPECIFICACIONES
Preg horas Razon de Cambio- Problema de la recta tangente 1 0 0 0 1 1 20
TOTAL 2 2 1 2 7 5 100
TOTAL
TABLA DE ESPECIFICACIONESPRUEBA DE MATEMATICA I
PRACTICA 1
Conocimiento Comprensioacuten Aplicacioacuten
Definicion de Derivada 1 0 1 0 2 1 20
Graacutefico de Funciones y suderivada 0 2 0 2 4 3 60
Ejes Temaacuteticos
HabilidadesCognitivas Anaacutelisis
Siacutentesis y Evaluacioacuten
Preg horas Calculo de Derivadas de orden Superior 0 2 0 1 3 3 60Primera y segunda Derivada de una Funcioacuten 0 0 2 2 4 2 40TOTAL 0 2 2 3 7 5 100
Conocimiento Comprensioacuten Aplicacioacuten
TABLA DE ESPECIFICACIONESPRUEBA DE MATEMATICA I
PRACTICA 2
TOTAL
Ejes Temaacuteticos
HabilidadesCognitivas Anaacutelisis
Siacutentesis y Evaluacioacuten
Preg horas Grafico de funciones y sus derivadas y propiedades de las funciones
1 0 1 1 3 2 40
Problemas de Optimizacion 1 0 2 0 3 3 60TOTAL 2 0 3 1 6 5 100
TABLA DE ESPECIFICACIONESPRUEBA DE MATEMATICA I
PRACTICA 3
Conocimiento Comprensioacuten AplicacioacutenTOTAL
Ejes Temaacuteticos
HabilidadesCognitivas Anaacutelisis
Siacutentesis y Evaluacioacuten
Preg horas SEGUNDA UNIDAD 1 0 3 1 5 20 100TOTAL 1 0 3 1 5 20 100
TABLA DE ESPECIFICACIONESEXAMEN FINAL DE MATEMATICA I
Conocimiento Comprensioacuten AplicacioacutenTOTAL
Ejes Temaacuteticos
HabilidadesCognitivas Anaacutelisis
Siacutentesis y Evaluacioacuten
ANEXO 6
INSTRUMENTOS DE EVALUACION
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS ASIGNATURA MATEMATICA I TIEMPO 2 HORAS
PRACTICA CALIFICADA Nordm 1 INDICACIONES Cuide la redaccioacuten de sus respuestas y trabaje en forma ordenada evitando los borrones CONOCIMIENTO (2 ptos cada una)
1 Identifica el concepto de razoacuten de cambio en el problema de la recta tangente
2 Menciona las dos formas equivalentes de la derivada y explica su diferencia simboacutelica
COMPRENCION (2 ptos cada una)
3 En la siguiente figura se dan las graacuteficas de una funcioacuten f y su derivada f sobre unos ejes comunes Explicar en un breve paacuterrafo dichas graacuteficas
4 Empareja cada funcioacuten de la columna izquierda con la grafica de su derivada en la columna derecha
a) A)
b) B) c) C) APLICACIOacuteN (4 ptos)
5 Usar la definicioacuten de derivada para hallar ( )f x Siendo
3 2( )f x x x= + ANALISIS SINTESIS Y EVALUACIOacuteN (4 ptos cada una)
6 Analiza la situacioacuten en el punto 0x = para la funcioacuten ( )f x y su derivada asiacute mismo elabora una grafica de dichas funciones
2
2
4 0( )
4 0
x xf x
x x
minus gt= minus le
7 Evaluacutee las funciones 2( ) 1f x x= + y ( ) 1g x x= + simultaacuteneamente
en la cercaniacutea del punto (01) y responda iquestQueacute se observa iquestQueacute funcioacuten es derivable en ese punto
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS ASIGNATURA MATEMATICA I TIEMPO 2 HORAS
PRACTICA CALIFICADA Nordm 2 INDICACIONES Cuide la redaccioacuten de sus respuestas y trabaje en forma ordenada evitando los borrones COMPRENCION (3 ptos cada una)
1 Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas En caso de que sea falsa explica por queacute o da un ejemplo que muestre su falsedad
a) Si ( ) ( )y f x g x= entonces ( ) ( )dy f x g xdx
=
b) Si ( 1)( 2)( 3)( 4)y x x x x= + + + + entonces 5
5 0d ydx
=
c) La segunda derivada representa el ritmo de cambio de la primera
2 Sean f y g funciones cuyas primeras y segundas derivadas existen en un intervalo I Sentildeala iquestCuaacutel de estas formulas es correcta a) ( ) fg f g fg f gminus = minus b) ( ) fg f g fg+ =
APLICACIOacuteN (25 ptos)
3 Soluciona el siguiente problema El costo C de pedido y transporte de
las componentes utilizadas en la fabricacioacuten de un producto es 200100 1
30xC x
x x = + le +
donde C se mide en miles doacutelares y
x es el tamantildeo del pedido Hallar el ritmo de cambio de C con respecto a x cuando 10 15x x= =
4 Usa la graacutefica de f para esbozar la de f y f
ANALISIS SINTESIS Y EVALUACIOacuteN (3 cada una)
5 Hallar la derivada de f para 1234n = y usar los resultados para proponer una foacutermula general para ( )f x en teacuterminos de n
6 Selecciona y graacutefica de una funcioacuten derivable f tal que 0f gt y
0f lt para todos los nuacutemeros reales x
7 Evaluacutea la derivada de la funcioacuten en el punto que se indica 1 cos1 cos
ecxyecx
+=
minusen 3
6π minus
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS ASIGNATURA MATEMATICA I TIEMPO 2 HORAS
PRACTICA CALIFICADA Nordm 3 INDICACIONES Cuide la redaccioacuten de sus respuestas y trabaje en forma ordenada evitando los borrones CONOCIMIENTO (15 pto cada una)
1 La graacutefica de ( )f x viene dada en la figura adjunta Indica a) iquestEn queacute valores de x es ( )f x cero positiva o negativa b) iquestEn queacute intervalo es f creciente
2 Describa el criterio de la segunda Derivada para hallar maacuteximos y
miacutenimos de una funcioacuten APLICACIOacuteN (45 cada una) Soluciona los siguientes problemas
3 El rendimiento (medido de 0 a 10) de cierto producto en funcioacuten del
tiempo de uso ( x en antildeos) viene dado por la siguiente expresioacuten
2
3( ) 85 0
1
xf x xx
= + ge+
a) iquestHay intervalos de tiempo en los que el rendimiento crece iquestY en que decrece iquestCuaacuteles son
b) iquestEn queacute punto se alcanza el rendimiento maacuteximo iquestCuaacutento vale
4 Se ha construido una presa de almacenamiento de agua cuyos costos de mantenimiento diarios son una funcioacuten de la cantidad de agua que la misma tiene almacenada Tales costos (en doacutelares) vienen dados por la siguiente expresioacuten ( ( )C x representa el costo si el volumen de agua en millones de metros cuacutebicos es x )
3 2( ) 8 73C x x x x= + minus + a) encontrar el volumen diario de agua oacuteptimo que debe mantenerse para minimizar costos b) calcular el costo miacutenimo diario que supone el mantenimiento de la instalacioacuten Si un diacutea la presa tiene almacenados 3 millones de metros cuacutebicos de agua iquestcuaacutento se ha gastado de maacutes respecto del costo miacutenimo
5 Proponga y dibuje una funcioacuten cuya derivada sea siempre negativa ANALISIS SINTESIS Y EVALUACIOacuteN (35 ptos)
6 Las graacuteficas de f f f se muestran en los mismos ejes iquestPodriacuteas decir cuaacutel es cuaacutel
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS ASIGNATURA MATEMATICA I TIEMPO 2 HORAS
EXAMEN FINAL
INDICACIONES Cuide la redaccioacuten de sus respuestas y trabaje en forma ordenada evitando los borrones CONOCIMIENTO (2 ptos)
1 Demostrar usando la definicioacuten que (cos )d x senx
dx= minus
APLICACIOacuteN (4 ptos cada una)
2 Emplea las reglas de derivacioacuten para encontrar la derivada de la
siguiente funcioacuten coscos
senx xy arctgsenx x
+ = minus
3 Calcular la primera derivada de la funcioacuten impliacutecita 2 34 6xy y y xy+ = +
4 Encontrar la derivada de la siguiente funcioacuten reduciendo en lo posible dicha derivada a su miacutenima expresioacuten
1 1 1( ) ln 2
11 1
x x xf x arctg
xx x
+ minus minus minus= +
++ + minus
ANALISIS SINTESIS Y EVALUACIOacuteN (6 ptos)
5 Lee atentamente el siguiente enunciado y responde a las preguntas La puntuacioacuten obtenida por un estudiante en un examen depende del tiempo que haya dedicado a su preparacioacuten ( x expresado en horas) en los siguientes teacuterminos
0 153( )2
1502 3
x si xg x
x si xx
le le= lt +
a) Si un estudiante ha dedicado menos de 15 horas a preparar el examen justificar que no aprobaraacute esto es que obtendraacute menos de 5 puntos
b) Justificar que la puntuacioacuten nunca puede ser superior a 10 puntos
AGRADECIMIENTOS
Esta tesis si bien ha requerido de esfuerzo y mucha dedicacioacuten por parte de la autora y su asesor de tesis no hubiese sido posible su finalizacioacuten sin la cooperacioacuten desinteresada de todas y cada una de las personas que a continuacioacuten citareacute Primero y antes que nada dar gracias a Dios por estar conmigo en cada paso que doy por fortalecer mi corazoacuten e iluminar mi mente y por haber puesto en mi camino a aquellas personas que han sido mi soporte y compantildeiacutea durante todo este tiempo A mis padres Alejandro y Carmen por estar siempre a mi lado por el apoyo que siempre me han brindado A Luis mi buen esposo porque en su compantildeiacutea las cosas malas se convierten en buenas por su amor paciencia y comprensioacuten A mis hijos Luis Sebastiaacuten Esteban Hipoacutelito y Renzo Alejandro por ser el regalo maacutes grande de Dios y ser el estiacutemulo para seguir adelante
IacuteNDICE
PAacuteGINA
Introduccioacuten 1 Capiacutetulo I
Problematizacioacuten 2 11 Planteamiento del Problema 2 111 Antecedentes 2 112 Formulacioacuten del Problema 8 113 Justificacioacuten 9 114 Hipoacutetesis 10 115 Variables 10 116 Poblacioacuten 11 12 Objetivos de la Investigacioacuten 11 121 Objetivo General 11 122 Objetivos Especiacuteficos 11
Capiacutetulo II 12 Fundamento Teoacuterico 12 21 Disentildeo Curricular de la Asignatura de matemaacutetica I 12 211 Siacutelabo de la Asignatura de Matemaacutetica I 12 22 Didaacutectica de la Matemaacutetica 13 221 Registros de Representacioacuten Semioacutetica
Raymod Duval 14 222 Taxonomiacutea de Bloom y los niveles en que Se pueden clasificar los objetivos de
Aprendizaje 15 23 Desarrollo de la parte conceptual de la Derivada 19
24 La informaacutetica como recurso 92 241 El Software Educativo en el proceso de ensentildeanza Aprendizaje 94 242 La introduccioacuten del software de Matemaacutetica en la educacioacuten Matemaacutetica 94 243 El programa Derive 96 244 Capacidades del programa Derive 96 245 Laboratorios para el aprendizaje del Caacutelculo diferencial empleando Derive 97
Capiacutetulo III 99
Metodologiacutea de la Investigacioacuten 99 31 Paradigma de Investigacioacuten 99 32 Tipo de Investigacioacuten 100 33 Poblacioacuten 100 34 Hipoacutetesis Estadiacutesticas 100 35 Variables 100 36 Disentildeo de Investigacioacuten 100 37 Teacutecnicas e instrumentos de recoleccioacuten de datos 101 38 Teacutecnica de Procesamiento de Datos 102 39 Proceso de Investigacioacuten 103 391 Dificultades en el aprendizaje del
Calculo Diferencial 103 392 Rendimiento Acadeacutemico 104 393 Propuesta Didaacutectica 104
Capiacutetulo IV 115
Anaacutelisis e Interpretacioacuten de Resultados 115 41 Anaacutelisis Estadiacutestico
411 Resultados del rendimiento acadeacutemico 115 Los grupos experimental y de control
42 Anaacutelisis Inferencial 118 421 Comparacioacuten de Medias 118 422 Tablas de frecuencia del Pre-Test y Post-Test 119
423 Resultados del Pre-Test y Post-Test Considerando la comparacioacuten de medias y la Prueba t-student 121 424 Aceptacioacuten o rechazo de la hipoacutetesis nula o Alternativa 124 43 Discusioacuten de los resultados 125
Conclusiones 128 Recomendaciones 130 Bibliografiacutea 132
IacuteNDICE DE TABLAS
PAacuteGINA
1 Tabla Nordm1 Precio de artiacuteculo por meses 23 2 Tabla Nordm2 Razoacuten de cambio en el 2do 3er y 4to mes 27 3 Tabla Nordm3 Temperatura de un paciente seguacuten
transcurren las horas 29 4 Tabla Nordm4 Relacioacuten de Temperatura Graacutefica y Razoacuten
de Cambio 29 5 Tabla Nordm5 Derivadas de orden superior 78 6 Tabla Nordm6 Calificaciones de la Segunda Unidad
- Grupo Experimental 117 7 Tabla Nordm7 Calificaciones de la Segunda Unidad
- Grupo de Control 118 8 Tabla Nordm8 Resultados Pre Test y Post Test - Grupo Experimental 120 9 Tabla Nordm9 Resultados Pre Test y Post Test ndash Grupo de Control 122 10 Tabla Nordm10 Resumen estadiacutestico de pruebas Pre Test
de los grupos experimental y de control 124 11 Tabla Nordm11 Resumen estadiacutestico de pruebas Post Test
de los grupos experimental y de control 125
IacuteNDICE DE GRAacuteFICOS
PAacuteGINA
1 Figura 1 Graacutefica del precio dado en soles en el primer y tercer mes 24 2 Figura 2 Grafica del Supuesto crecimiento lineal de precio entre el primer y tercer mes 24 3 Figura 3 Graacutefica del descuento del 30 en el precio 24 4 Figura 4 Comportamiento no lineal entre tiempo y precio 26 5 Figura 5 Comportamiento no lineal entre tiempo y precio 26 6 Figura 6 Grafico del peso promedio de un bebeacute desde su nacimiento Hasta los dos antildeos 30 7 Figura 7 Graacutefico del valor de madera producida en funcioacuten del tiempo 31 8 Figura 8 Graacutefico del porcentaje de habitante en Estados Unidos que ven televisioacuten durante las 24 horas del diacutea 32 9 Figura 9 Graacutefica de las rectas secante y tangentes a una curva desde El punto Q hasta el punto P 33 10 Figura 10 Graacutefico de las posiciones de una recta secante a una curva en los puntos P y Q y su aproximacioacuten a la recta tangente 34 11 Figura 11 Graacutefica de la distancia recorrida por el objeto en
funcioacuten del tiempo 36
12 Figura 12 Graacutefica de la funcioacuten 1( )f xx
= y su recta
tangente en el Punto ( )21 2 39
13 Figura 13 Graacutefica de la funcioacuten ( )f x en los puntos c y c h+ empleando la primera forma de derivar 45 14 Figura 14 Graacutefica de la funcioacuten ( )f x en los puntos c y c h+ empleando la primera forma de derivar 45
15 Figura 15 Graacutefico de la funcioacuten valor absoluto para estudiar la derivada en cero 48 16 Figura 16 Graacutefico de la derivada de la funcioacuten valor absoluto 49
17 Figura 17 Graacutefico de la funcioacuten 2 0( )
0x xf xx x
le=
gt para
Estudiar la derivada en cero 50
18 Figura 18 Graacutefico de la funcioacuten 1 0( )
2 0x
f xx x
ge= lt
50
19 Figura 19 Graacutefico de posibles situaciones de funcioacuten Diferenciable en un punto 51
20 Figura 20 Grafico de la funcioacuten 2( ) 9f x x= minus 53
21 Figura 21 Graacutefico de la funcioacuten 1( )
1f x
x=
+ 53
22 Figura 22 Graacutefico de la funcioacuten 3( )
1f x
xminus
=+
59
IacuteNDICE DE ANEXOS
CONTENIDO PAacuteGINA
1 ANEXO 1 Siacutelabo de la Asignatura 135 2 ANEXO 2 Registro de Evaluaciones 144
3 ANEXO 3 Guiacuteas Metodoloacutegicas Aplicando
El Software DERIVE 145
4 ANEXO 4 Planes de Clase 171 5 ANEXO 5 Tabla de Especificaciones 177
6 ANEXO 6 Instrumentos de Evaluacioacuten 186
7 ANEXO 7 Laboratorios en DERIVE 195
INTRODUCCIOacuteN El presente trabajo se ha realizado en la asignatura Matemaacutetica I del segundo ciclo en las Escuelas de Ingenieriacutea Industrial e Ingenieriacutea de Sistemas y fue motivado por la necesidad de mejorar mi praacutectica docente y brindar a los alumnos herramientas para mejorar el aprendizaje de esta asignatura Lo abstracto de las matemaacuteticas no permite que los alumnos puedan ver y manipular entes matemaacuteticos generaacutendose confusiones y problemas para interpretar la informacioacuten que un determinado elemento pueda proporcionar Siendo asiacute con mayor dificultad podraacuten emplear los resultados obtenidos para predecir alguna situacioacuten Pensando en esta problemaacutetica es que penseacute en incorporar al trabajo en clase el uso de Software DERIVE para desarrollar el capiacutetulo de derivadas Elegiacute este software por su faacutecil manejo de esta forma los alumnos no demorariacutean en aprenderlo y podriacutean usarlo sin complicaciones Para esta investigacioacuten se elaboroacute un moacutedulo dando un tratamiento didaacutectico a las definiciones teoremas propiedades de la derivada apoyaacutendonos en la teoriacutea de Registros Semioacuteticos ademaacutes de guiacuteas de laboratorio y praacutecticas calificadas apoyaacutendonos para su elaboracioacuten en la Taxonomiacutea de Bloom Los grupos con los que se trabajo la investigacioacuten fueron dos uno experimental y otro de Control Asiacute iniciamos un estudio en que planteamos la posibilidad de que los estudiantes alcancen un aprendizaje del Caacutelculo Diferencial maacutes efectivo empleando DERIVE que permita mejorar el resultado del rendimiento de la asignatura de Matemaacutetica I y por ende mejorar su calidad educativa
CAPIacuteTULO I
PROBLEMATIZACIOacuteN
11PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 111 ANTECEDENTES
Algunos de los trabajos encontrados con ayuda del buscador REDEMAT son los que presento a continuacioacuten estos trabajos de investigacioacuten se han realizado empleando software educativos y desarrollando temas como Funciones Matrices Geometriacutea en los niveles de secundaria bachillerato y universidad
1 TITULO DERIVE UNA HERRAMIENTA PARA EL
APRENDIZAJE DE LAS MATEMAacuteTICAS AUTOR FRANCISCO CABO GARCIA BONIFACIO LLAMAZARES RODRIacuteGUEZ MARIA TERESA PENtildeA GARCIA LUGAR DEPARTAMENTO DE ECONOMIacuteA APLICADA (MATEMAacuteTICA) UNIVERSIDAD DE VALLADOLID
Los autores muestran en este trabajo su experiencia docente con el programa DERIVE en la asignatura Matemaacutetica de las Licenciaturas en Economiacutea y en Administracioacuten y Direccioacuten de Empresas
El objetivo es complementar el curso con una herramienta que les permita a los alumnos visualizar situaciones matemaacuteticas difiacuteciles o muy laboriosas de trabajar manualmente pero que tiene mucha interpretacioacuten en la Economiacutea Este equipo de docentes ha elaborado una guiacutea dividida en tres capiacutetulos El primero describe los menuacutes y los botones de cada una de las ventanas del programa los dos siguiente se dedican al estudio del Algebra y Caacutelculo asiacute como a programar algunas funciones para facilitar la resolucioacuten de ejercicios La conclusioacuten de esta investigacioacuten es que el uso de recursos informaacuteticos permite un mayor acercamiento del alumno a las asignaturas que como matemaacuteticas no gozan de mucha simpatiacutea entre los estudiantes Ademaacutes de desarrollar en el alumno una mayor destreza en las praacutecticas informaacuteticas ya que este curso corresponde a los primeros ciclos
2 TITULO UNA PROPUESTA METODOLOacuteGICA DE
INTRODUCCIOacuteN TEMPRANA DEL CONCEPTO DE APROXIMACIOacuteN LOCAL EN SU MANIFESTACIOacuteN DE RECTA TANGENTE VIacuteA EL ASISTENTE MATEMAacuteTICO
AUTOR PEDRO VICENTE ESTABAN DUARTE
PEDRO PEREZ CARRERA LUGAR UNIVERSIDAD POLITECNICA DE VALENCIA
ESPANtildeA
Los mapas conceptuales tienen por objeto representar relaciones significativas entre conceptos en forma de proposiciones facilitando el anaacutelisis del lenguaje empleado en su construccioacuten y poniendo de manifiesto la integracioacuten que los aprendices tienen entre los conceptos empleados para su elaboracioacuten En el modelo educativo de Van Hiele es considerado el lenguaje como una de sus caracteriacutesticas fundamentales en el proceso de aprendizaje de un concepto geomeacutetrico o matemaacutetico y es una de los indicadores del nivel de razonamiento en el cual un alumno se encuentra El modelo de Van Hiele esta compuesto por cinco niveles de razonamiento cinco fases del aprendizaje y el insight o definido tambieacuten como comprensioacuten A partir del anaacutelisis del leguaje se pueden disentildear experiencias de aprendizaje
significativas para potenciar el progreso de un alumno a traveacutes de los niveles de razonamiento postulados por dicho modelo El propoacutesito de esta investigacioacuten es exponer una metodologiacutea basada en el Modelo Educativo de Van Hiele para ensentildear el concepto de aproximacioacuten local en su manifestacioacuten de recta tangente a una curva plana en un punto a partir de la visualizacioacuten que se obtiene del haz de secantes entendieacutendolo como conjunto de rectas que pasan todas por un punto fijo de la curva y por otros sobre la curva dada cada vez maacutes cercanos al punto dado Dicha visualizacioacuten que se propone se obtiene con la ayuda del asistente matemaacutetico DERIVE y no requiere de manipulaciones algebraicas que entorpezcan el razonamiento que los alumnos deben desarrollar y exhibir a lo largo del proceso Se elabora un material disentildeado para ser cubierto en una clase en la cual el profesor sirva de orientador formulando preguntas y respondiendo inquietudes en el momento oportuno Como conclusiones de esta investigacioacuten se tiene que para la asimilacioacuten efectiva de un concepto matemaacutetico se deben tener en cuenta dos fases una primera de proporcionar una visualizacioacuten adecuada del concepto a estudiar en la que los alumnos tienen un primer acercamiento al concepto sin manipulaciones algebraicas La segunda es la formalizacioacuten del concepto en la cual la docencia tradicional centra todos sus esfuerzos La ensentildeanza centrada en esta segunda fase hace maacutes difiacutecil que los alumnos progresen en su razonamiento y logren integrar y desarrollar relaciones con los demaacutes conceptos estudiados Su propuesta metodoloacutegica esta dirigida a la primera fase es decir a la construccioacuten de un concepto ndash definicioacuten cuando se disponga de la madurez algebraica y loacutegico deductivo necesarias Su experiencia educativa siguiendo el modelo de Van Hiele aplicado al concepto de aproximacioacuten local del cual esta propuesta metodoloacutegica es su fruto les permite asegurar que el 90 de los alumnos sometidos al proceso descrito pueden verbalizar una definicioacuten correcta de recta tangente a una curva en uno de sus puntos partiendo del haz de secantes y solo el 5 de los alumnos que siguen el curso de anaacutelisis con
una metodologiacutea tradicional dan una definicioacuten de tangente a una curva en un punto a partir del concepto de derivada
3 TITULO ALGUNAS CONSECUENCIAS DEL USO HABITUAL
DEL ORDENADOR EN LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS
AUTOR JCARIAS
LUGAR SIMPOSIO- MADRID 11 DE DICIEMBRE DE 2003
En esta ponencia se hace una reflexioacuten acerca del uso del programa DERIVE 6 en la ensentildeanza de las matemaacuteticas Se inicia con una breve incidencia en las nuevas posibilidades del programa respecto a su predecesor DERIVE 5 Se propone el uso cotidiano incorporado a todas las fases del proceso de ensentildeanza aprendizaje la idea de que ldquoLos meacutetodos con los que los estudiantes han de ser introducidos para resolver los problemas han de tener en cuenta lo que las nuevas tecnologiacuteas son capaces de hacerrdquo le lleva a concluir que no se pueden cambiar los programas curriculares pero que se pueden aprovechar todas las potencialidades que ofrece DERIVE para hacer de el una herramienta capaz de contribuir en la formacioacuten de conocimiento en el alumno Respecto a la evaluacioacuten explica que no se trata de poner exaacutemenes especiales para evaluar unas praacutecticas con ordenador maacutes o menos ocasionales Menos todaviacutea de modificar los contenidos de las asignaturas para adaptarlos a las posibilidades del software al contrario en esta experiencia se plantea valorar las consecuencias de permitir el uso del ordenador en los exaacutemenes entendidos estos como los exaacutemenes de siempre los mismos que se hubiesen propuestos si no se contase con el ordenador Como conclusioacuten se menciona la elaboracioacuten de exaacutemenes donde el alumno plantea el problema pero las cuentas las hace el programa por tanto hay una subida de nivel por que nos centramos maacutes en los problemas (frente a los ejercicios) y por que la economiacutea de tiempo permite abarcar maacutes materias en el examen Como primera consecuencia los resultados acadeacutemicos mejoran pues hay mayor motivacioacuten en el estudiante como
consecuencia de la introduccioacuten de la tecnologiacutea y como consecuencia del mismo planteamiento de la iniciativa que lleva a restar importancia a habilidades algebraicas mal adquiridas La llamada falta de base se cintildee demasiadas veces a una mera deficiencia en esas habilidades que no necesariamente llevan unida una deficiencia en la capacidad de razonar matemaacuteticamente Como segunda consecuencia se tiene que el uso del ordenador implica cambios en los contenidos no con ello perdiendo el rigor que las matemaacuteticas requieren Pero si permitiendo dejar de ser esclavos de las limitaciones del caacutelculo y trabajando ejemplos realistas que solo con ayuda de un ordenador podriacutean visualizarse en el menor tiempo posible permitiendo de esta manera el invertir el tiempo disponible en el anaacutelisis y comprensioacuten de conceptos
4 TITULOCURSO DE CAacuteLCULO DIFERENCIAL POR
COMPUTADORA AUTOR JOSE HUMBERTO GIRALDO
LUGAR DEPARTAMENTO DE MATEMAacuteTICAS- UNIVERSIDAD DE LOS ANDES-BOGOTA- COLOMBIA
SEMINARIO I
En este seminario se expone el proyecto piloto de ensentildeanza de caacutelculo diferencial con computadoras que se esta desarrollando en la Universidad de los Andes En la primera fase del proyecto participan cuatro profesores del departamento estos profesores ensentildean aproximadamente en cuatro secciones diferentes de aproximadamente 130 estudiantes cada una Al principio del semestre cada estudiante recibe un CD que contiene la informacioacuten del curso y que incluye todas las guiacuteas que se usaran durante el semestre Estas guiacuteas tiene un formato especial despueacutes de discutir un determinado concepto el estudiante esta obligado a resolver determinados problemas relacionados con el tema que se ha explorado
Ademaacutes se trabaja para que el estudiante aprenda a encontrar conexioacuten entre la parte algebraica y la parte grafico geomeacutetrica La evaluacioacuten continua del estudiante tambieacuten se contempla como un componente de la estructura del curso El estudiante tiene un quiz semanal que se publica en la web El objetivo es tener al estudiante trabajando todo el tiempo en los conceptos y darle informacioacuten al profesor sobre como se estaacuten asimilando dichos conceptos El profesor Giraldo no obstante expreso que las computadoras no van a reemplazar a los profesores porque los estudiantes siempre van a querer salir de sus casas para socializarse alejarse de sus familias e ir a la universidad Finalmente algunas reflexiones son 1 A pesar de lo atractivo y novedosos que resultan estas metodologiacuteas no se puede perder de vista lo que es esencial en un curso de matemaacuteticas a saber hacer que el estudiante adquiera una forma de pensar precisa coherente y exhaustiva ensentildearle de una manera clara los conceptos y los argumentos loacutegico que los sustentan darle herramientas metodoloacutegicas para solucionar problemas transmitirle una pasioacuten por el mundo de las matemaacuteticas hacerle apreciar su elegancia y su utilidad 2 No cabe duda de que las computadoras con sus caacutelculos agiliacutesimos y sus estupendas animaciones y sus graacuteficas pueden ayudar a cumplir los objetivos mencionados anteriormente pues permite explicar con mucha claridad y entender con gran facilidad las nociones matemaacuteticas maacutes intriacutensecas
5 TIacuteTULO MATEMAacuteTICAS CON DERIVE EN EL SALOacuteN DE CLASES
AUTOR HECTOR AEGUETA VILLAMAR MARIA JUANA LINARES ALTAMIRANO LUGAR DIRECCIOacuteN GENERAL DE SERVICIOS DE
COacuteMPUTO ACADEacuteMICO UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MEacuteXICO
El objetivo de este trabajo es mostrar diversas aplicaciones del programa Derive para PC en el proceso de ensentildeanza de las matemaacuteticas en los niveles de secundaria y medio superior Derive es un asistente matemaacutetico que permite realizar caacutelculos numeacutericos y caacutelculos simboacutelicos El programa puede trabajar con distintos tipos de precisioacuten para los caacutelculos 31416 141 271 etc entonces puede utilizar la precisioacuten exacta Con Derive es posible trabajar una amplia gama de temas matemaacuteticos como Aritmeacutetica de nuacutemeros reales y complejos Algebra Sistemas de Ecuaciones Funciones Caacutelculo Diferencial e Integral Vectores y Matrices Graficacioacuten en dos y tres dimensiones en coordenadas cartesianas y polares etc Derive cuenta ademaacutes con algunas posibilidades de programacioacuten con las que el usuario puede definir sus propias funciones puede trabajar con operadores booleanos y con el operador condicional If tambieacuten puede crear funciones recursivas y de iteracioacuten entre otras Esto uacuteltimo permite al usuario crear sus propias aplicaciones para resolver una diversidad de problemas El programa incluye algunos archivos llamados de aplicacioacuten de gran utilidad para resolver Ecuaciones Diferenciales Transformada de Laplace Integrales Eliacutepticas y para Graficar Curvas y Superficies Parameacutetricas en tres dimensiones etc Ademaacutes de su contenido matemaacutetico la gran virtud de Derive es que corre praacutecticamente en cualquier computadora e inclusive puede correr desde el diskette que lo contenga Ademaacutes DERIVE presenta como anexos ilustraciones de algunos de los documentos que trabajaron en el Taller
112 FORMULACIOacuteN DEL PROBLEMA
Durante el tiempo que he ensentildeado la asignatura de Matemaacutetica I he notado algunas dificultades comunes en los alumnos con respecto al tema del caacutelculo diferencial Este suceso me ha permitido fijar la atencioacuten y reflexionar sobre la idea de trabajar
con alguacuten recurso que me lleve a mejorar mi praacutectica docente Asiacute planteo el siguiente problema
iquestEn queacute medida la aplicacioacuten del programa DERIVE contribuye a mejorar el aprendizaje del Caacutelculo Diferencial en los alumnos de la asignatura de Matemaacutetica I de la Escuela de Ingenieriacutea Industrial y de Sistemas de la Universidad Ceacutesar Vallejo 2006
113 JUSTIFICACIOacuteN
En el desarrollo de nuestra labor como docentes del aacuterea de matemaacutetica nos encontramos con grupos de estudiantes que presentan dificultades en su rendimiento acadeacutemico El nuacutemero de desaprobados en la asignatura incrementa conforme el curso se desarrolla y su retiro de la asignatura es una consecuencia que no tarda en aparecer
Esta situacioacuten se debe a diversas causas entre ellas podemos mencionar el empleo de estrategias instruccionales inadecuadas el desconocimiento por parte de los docentes de los conocimientos previos que tienen los alumnos y un conjunto de factores como lo son lo relacionado con el curriacuteculo el docente el estudiante las tareas acadeacutemicas el contexto socio cultural y las estrategias tanto instruccionales como de aprendizaje
Por otro lado la tecnologiacutea ha afectado a nuestras vidas de muchas maneras Es imposible que ella no afecte la educacioacuten ya que despueacutes de todo uno de los objetivos de la educacioacuten es el de preparar al individuo para que se desenvuelva en la sociedad y la sociedad estaacute imbuida de tecnologiacutea
La complejidad de esta problemaacutetica lleva a la necesidad de plantear alternativas que contribuyan a mejorar los procesos de la ensentildeanza- aprendizaje en tal sentido considerareacute el uso de un programa matemaacutetico DERIVE
Asiacute siendo profesora de la asignatura de Matemaacutetica I inicio un estudio en que planteo la posibilidad de que los estudiantes alcancen un aprendizaje del Caacutelculo Diferencial maacutes efectivo empleando DERIVE que permita mejorar el resultado del rendimiento de la asignatura de Matemaacutetica I y por ende mejorar su calidad educativa
Normalmente este trabajo de investigacioacuten no debe detenerse en la mera descripcioacuten de los problemas sino que como resultado del anaacutelisis de su origen debe desembocar en propuestas tal como la que planteo que contribuyan a superarlos o al menos que la mayoriacutea de estudiantes los superen
114 HIPOacuteTESIS
Hipoacutetesis de la Investigacioacuten
1H Los estudiantes de la asignatura de Matemaacutetica I Seccioacuten A aula 412 del semestre 2006 II de Ingenieriacutea Industrial que usan el software DERIVE obtienen un mejor rendimiento acadeacutemico que los alumnos de la asignatura de Matemaacutetica I Seccioacuten B aula 413 del semestre 2006 II de Ingenieriacutea de Sistemas que no utilizan esta herramienta informaacutetica
Hipoacutetesis Nula
0H Los estudiantes de la asignatura de Matemaacutetica I Seccioacuten A aula 412 del semestre 2006 II que usan el software DERIVE de Ingenieriacutea Industrial no obtienen un mejor rendimiento acadeacutemico que los alumnos de la asignatura de Matemaacutetica I Seccioacuten B aula 413 del semestre 2006 II de Ingenieriacutea de Sistemas que no utilizan esta herramienta informaacutetica
115 VARIABLES
Variable Independiente Uso del programa DERIVE Variable Dependiente Rendimiento acadeacutemico de los alumnos Variables Intervinientes Asistencia a clases horarios tipo de contenidos grado de motivacioacuten de los alumnos
116 POBLACIOacuteN
Los alumnos de la asignatura de Matemaacutetica I de la Escuela de Ingenieriacutea Industrial y de Sistemas de la Universidad Ceacutesar Vallejo durante el segundo semestre 2006 Son en total 51 alumnos Se tomaraacute en cuenta el promedio final al terminar cada ciclo Semestre 2006 ndash II
12OBJETIVOS DE LA INVESTIGACIOacuteN 121 OBJETIVO GENERAL
Evaluar la eficacia del programa DERIVE como recurso didaacutectico en el proceso de ensentildeanza ndash aprendizaje del Caacutelculo Diferencial en los alumnos de la asignatura de Matemaacutetica I de la Escuela de Ingenieriacutea Industrial y de Sistemas de la Universidad Ceacutesar Vallejo
122 OBJETIVOS ESPECIacuteFICOS
1 Disentildear la propuesta de ensentildeanza en sus aspectos conceptuales y praacutecticos
2 Fomentar en los alumnos las capacidades de observar discernir analizar e interpretar
3 Proponer guiacuteas y actividades de aprendizaje que conlleven al alumno al aprendizaje significativo
CAPIacuteTULO II
FUNDAMENTO TEOacuteRICO
INTRODUCCIOacuteN
Iniciamos este capiacutetulo refirieacutendonos a silabo de Matemaacutetica I a continuacioacuten abordaremos los contenidos matemaacuteticos necesarios para la investigacioacuten ademaacutes de la propuesta de trabajar con el programa DERIVE 21 DISENtildeO CURRICULAR DE LA ASIGNATURA DE
MATEMAacuteTICA I
211 SIacuteLABO DE LA ASIGNATURA DE MATEMAacuteTICA I La asignatura que ensentildeo en la Universidad Cesar Vallejo en las Escuelas de Ingenieriacutea de Sistemas e Ingenieriacutea Industrial es Matemaacutetica I El siacutelabo se ha elaborado en base a los temas que indica el plan de estudios enviado por la Facultad de Ingenieriacutea de la Universidad Cesar Vallejo de Trujillo y es el mismo para ambas escuelas sentildealo ademaacutes que en ambas escuelas tiene como pre-requisito la asignatura de loacutegico matemaacutetica curso donde se desarrollan temas como Loacutegica Matemaacutetica Fundamentos de Algebra Matrices y Determinantes y Geometriacutea Analiacutetica
El siacutelabo de esta asignatura se presenta en Anexo 1 pero a continuacioacuten describireacute sus contenidos empezando por mencionar que se deben trabajar tres capiacutetulos los cuales son 1 Funciones 2 Liacutemites y Continuidad 3 Caacutelculo Diferencial El Desarrollo de esta asignatura estaacute orientado a lograr potenciar en el estudiante capacidades propias del aacuterea de Matemaacutetica como el razonamiento y demostracioacuten la interpretacioacuten de graacuteficos y expresiones simboacutelicas y la resolucioacuten de problemas Asiacute como presentar los medios necesarios para la adquisicioacuten de ciertas destrezas como anaacutelisis interpretacioacuten y aplicacioacuten de fundamentos teoacutericos Finalmente el logro de los objetivos de esta asignatura se veraacute reflejado y podraacute ser evaluado en la eficiencia que demuestren los alumnos al resolver situaciones reales
22 DIDAacuteCTICA DE LA MATEMAacuteTICA
Sabemos que la didaacutectica de las matemaacuteticas es la ciencia del estudio y de la ayuda al estudio de las matemaacuteticas Su objetivo es llegar a describir y caracterizar los procesos de estudio ndash o procesos didaacutecticos ndash de cara a proponer explicaciones y respuestas soacutelidas a las dificultades con que se encuentran todos aquellos que estudian matemaacuteticas1
Didaacutectica de las Matemaacuteticas no es un recetario didaacutectico ni un modelo para la ensentildeanza sino un intento de transmitir algunas reflexiones producto de la experiencia y de la lectura de especialistas en el tema
Tal vez lo que se pretenda lograr es estimular ldquola sorpresa matemaacuteticardquo en el viacutenculo con nuestros alumnos Esta sorpresa se basa en provocar conceptos demostraciones elementales con intereacutes reflexioacuten intriga o admiracioacuten Es responsabilidad del docente proponer una situacioacuten adecuada mediante una pregunta que motive las distintas situaciones de
1 BROUSSEAU GUY ldquoLos Diferentes roles del maestrordquo Paidoacutes 1994
aprendizaje con conocimientos anteriores que el alumno deberaacute acomodar y adecuar a las nuevas situaciones Luego modificar el conocimiento como respuesta al medio y no como deseo del maestro es una necesidad que se convierte en una obligacioacuten es nuestra tarea No se pretende en este trabajo abordar toda la problemaacutetica (referido en este caso al caacutelculo diferencial) con la que el profesor se enfrenta en su quehacer diario ya que eacutesta es muy compleja y tiene varias aristas que el docente debe conocer como conocimientos y teoriacuteas epistemoloacutegicas Al respecto conocemos que se han desarrollado diferentes teoriacuteas como Registros de representacioacuten semioacutetica de Raymond Duval teoriacutea de Situaciones Didaacutectica de Guy Brousseau Teoriacutea Socio epistemoloacutegica y el enfoque Ontosemioacutetico de la Cognicioacuten e Instruccioacuten Matemaacutetica Y para este trabajo de investigacioacuten se ha considerado tomar como referencia la Teoriacutea de Registros de Representacioacuten Semioacutetica y la Taxonomiacutea de Raymond Duval para la parte de la evaluacioacuten
221 REGISTROS DE REPRESENTACIOacuteN SEMIOacuteTICA
RAYMOND DUVAL Raymond Duval se ha interesado por los problemas de manipulacioacuten de representantes dentro de un sistema matemaacutetico de signos y sobre los problemas de conversioacuten de representaciones entre dos o maacutes sistemas de un mismo objeto matemaacutetico generando una nueva nocioacuten que es la de Registro de representacioacuten Un registro es un signo en el sentido maacutes amplio de la palabra trazos iacuteconos siacutembolos etc Los registros son medios de expresioacuten y de representacioacuten caracterizados precisamente por sus respectivos sistemas semioacuteticos El aprendizaje de las matemaacuteticas constituye un campo de estudio privilegiado para el anaacutelisis de las actividades cognitivas fundamentales como la conceptualizacioacuten el razonamiento la resolucioacuten de problemas y la comprensioacuten de textos La particularidad del aprendizaje de las matemaacuteticas hace que estas actividades cognitivas requieran de la utilizacioacuten de sistemas de
expresioacuten y de representacioacuten distinta a los del lenguaje natural o de las imaacutegenes Bajo estas ideas se puede considerar el hecho de que no puede haber comprensioacuten matemaacutetica si no se distingue un objeto de su representacioacuten y es que no podemos confundir los objetos matemaacuteticos como lo son por ejemplo los nuacutemeros las funciones las rectas con sus representaciones es decir las escrituras decimales o fraccionarias los siacutembolos los graacuteficos los trazos de las figuras Pues un mismo objeto matemaacutetico puede darse a traveacutes de representaciones muy distintas y debemos tener claro como docentes que toda confusioacuten entre el objeto y su representacioacuten provoca en un plazo maacutes o menos amplio una perdida en la comprensioacuten En esta teoriacutea se sentildeala primer lugar que cuando hablamos de representaciones es necesario considerar los siguientes aspectos 1 El sistema por el cual se produce la representacioacuten- Cualquier representacioacuten se produce a traveacutes de un sistema en particular El contenido de la representacioacuten de un objeto cambia de acuerdo con el sistema de representacioacuten que se utiliza para su produccioacuten El pensamiento humano requiere la movilizacioacuten de varios sistemas de representacioacuten de produccioacuten y su coordinacioacuten 2 La relacioacuten entre la representacioacuten y el objeto representado 3 La posibilidad de un acceso al objeto representado aparte de la representacioacuten semioacutetica 4 La razoacuten por la que el uso de la representacioacuten es necesaria El tema de derivadas se puede aplicar como un ejemplo de esta teoriacutea por cuanto los alumnos tienen siempre problemas para pasar de una forma de representacioacuten a otra 222 TAXONOMIA DE BLOOM Y LOS NIVELES EN
QUE SE PUEDEN CLASIFICAR LOS OBJETIVOS DE APRENDIZAJE
En el propoacutesito de mejorar la calidad y eficiencias de la educacioacuten debemos buscar que los alumnos elementos esenciales de nuestra tarea logren los maacutes altos niveles de aprendizaje Asiacute con ayuda de la taxonomiacutea de Bloom especificareacute objetivos seleccionareacute los contenidos y disentildeareacute los instrumentos de evaluacioacuten
En el dominio cognoscitivo en lugar de contentarnos con la memorizacioacuten de conocimientos primer escaloacuten debemos hacer que logren el nivel maacutes alto Dichos niveles son los siguientes 1 CONOCIMIENTO Se refiere a la capacidad de recordar hechos especiacuteficos y universales meacutetodos y procesos esquemas estructuras o marcos de referencia sin elaboracioacuten de ninguna especie puesto que cualquier cambio ya implica un proceso de nivel superior Requiere que el alumno repita alguacuten dato teoriacutea o principio en su forma original bull Terminologiacutea (palabras teacuterminos teacutecnicos etc) bull Hechos especiacuteficos (fechas partes de algo acontecimientos
etc) bull Convencionalismos (formas de tratar ideas dentro de un campo
de estudio foacutermulas) bull Corrientes y sucesiones (tendencias y secuencias) bull Clasificaciones y categoriacuteas (clases grupos divisiones etc)
criterios (para juzgar o comprobar hechos principios opiniones y tipos de conducta)
bull Metodologiacutea (meacutetodos de investigacioacuten teacutecnicas y procedimientos)
bull Principios y generalizaciones (abstracciones particulares para explicar describir predecir o determinar acciones)
bull Teoriacuteas y estructuras (evocacioacuten de teoriacuteas interrelaciones de los principios y generalizaciones)
Verbos que se usan con frecuencia para redactar objetivos de este nivel Definir - Sentildealar ndash Describir - Nombrar ndash Identificar ndash Narrar ndash Indicar ndash Mencionar 2 COMPRENSIOacuteN Se refiere a la capacidad de comprender o aprehender en donde el estudiante sabe queacute se le estaacute comunicando y hace uso de los materiales o ideas que se le presentan sin tener que relacionarlos con otros materiales o percibir la totalidad de sus implicaciones El material requiere de un proceso de transferencia y
generalizacioacuten lo que demanda una mayor capacidad de pensamiento abstracto Requiere que el alumno explique las relaciones entre los datos o los principios que rigen las clasificaciones dimensiones o arreglos en una determinada materia conocimiento de los criterios fundamentales que rigen la evaluacioacuten de hechos o principios y conocimientos de la metodologiacutea principios y generalizaciones bull Traduccioacuten (parafrasear habilidad para comprender
afirmaciones no literales como simbolismos metaacuteforas traducir material matemaacutetico simboacutelico etc)
bull Interpretacioacuten (explicacioacuten o resumen implica reordenamiento o nuevos arreglos de puntos de vista)
bull Extrapolacioacuten (implicaciones consecuencias corolarios efectos prediccioacuten etc)
Verbos que se usan con frecuencia para redactar objetivos de este nivel Traducir ndash Resumir ndash Expresar ndash Parafrasear ndash Discutir 3 APLICACIOacuteN
Se guiacutea por los mismos principios de la comprensioacuten y la uacutenica diferencia perceptible es la cantidad de elementos novedosos en la tarea por realizar Requiere el uso de abstracciones en situaciones particulares y concretas Pueden presentarse en forma de ideas generales reglas de procedimiento o meacutetodos generalizados y pueden ser tambieacuten principios ideas y teoriacuteas que deben recordarse de memoria y aplicarse
bull Solucioacuten de problemas en situaciones particulares y concretas (utilizacioacuten de abstracciones en tipos de conducta y tipos de problemas)
Verbos que se usan con frecuencia para redactar objetivos de este nivel Demostrar- Practicar ndash Emplear ndash Solucionar ndash Aplicar ndash Operar ndash Usar 4 ANAacuteLISIS
Consiste en descomponer un problema dado en sus partes y descubrir las relaciones existentes entre ellas En general la eventual solucioacuten se desprende de las relaciones que se descubren
entre los elementos constituyentes Implica el fraccionamiento de una comunicacioacuten en sus elementos constitutivos de tal modo que aparezca claramente la jerarquiacutea relativa de las ideas y se exprese expliacutecitamente la relacioacuten existente entre eacutestas
bull Anaacutelisis de elementos (reconocer supuestos no expresados distinguir entre hechos e hipoacutetesis)
bull Identificacioacuten de relaciones entre los elementos (conexiones e interacciones entre elementos comprobacioacuten de la consistencia de las hipoacutetesis con informaciones y suposiciones dadas)
bull Reconocimiento de los principios de organizacioacuten de la situacioacuten problemaacutetica (estructura expliacutecita e impliacutecita reconocimiento de formas y modelos teacutecnicas generales utilizadas etc)
bull Identificacioacuten de conclusiones y fundamentacioacuten de enunciados
Verbos que se usan con frecuencia para redactar objetivos de este nivel Diferenciar- Distinguir- Discriminar- Contrastar- Criticar- Analizar- Inferir 5 SIacuteNTESIS
Es el proceso de trabajar con fragmentos partes elementos organizarlos ordenarlos y combinarlos para formar un todo un esquema o estructura que antes no estaba presente de manera clara Requiere la reunioacuten de los elementos y las partes para formar un todo
bull Elaboracioacuten de un plan o conjunto de actos planeados (habilidad para proponer formas de comprobar las hipoacutetesis)
bull Desarrollo de conjuntos de relaciones para clasificar o explicar datos
bull Deduccioacuten de proposiciones y relaciones (de un grupo de proposiciones baacutesicas o de representaciones simboacutelicas)
bull Construccioacuten de un modelo o estructura bull Reordenacioacuten de las partes en una secuencia loacutegica Verbos que se usan con frecuencia para redactar objetivos de este nivel Organizar- Reconstruir- Proponer- Reordenar
6 EVALUACIOacuteN Se refiere a la capacidad para evaluar se mide a traveacutes de los procesos de anaacutelisis y siacutentesis Requiere formular juicios sobre el valor de materiales y meacutetodos de acuerdo con determinados propoacutesitos Incluye los juicios cuantitativos y cualitativos de acuerdo a los criterios que se sugieran (los cuales son asignados) bull Juicios en funcioacuten de evidencia interna (de exactitud loacutegica
consistencia o criterio interno) bull Juicios en funcioacuten de criterios externos (criterios
seleccionados comparacioacuten de teoriacuteas comparacioacuten de un trabajo con respeto a normas etc)
Verbos que se usan con frecuencia para redactar objetivos de este nivel Juzgar- Evaluar- Apreciar ndash Revisar- Corregir- Seleccionar ndash Justificar- Valoriza
23 DESARROLLO DE LA PARTE CONCEPTUAL DE LA DERIVADA
En este apartado desarrollaremos los contenidos matemaacuteticos que se presentan en el silabo de Matemaacutetica I y que son parte de la investigacioacuten para lo cual hemos revisado bibliografiacutea de autores nacionales y extranjeros especialistas en el tema del caacutelculo diferencial
1 LA IDEA FUNDAMENTAL DEL CAacuteLCULO
Si observamos a nuestro alrededor podremos ver que nuestro mundo se caracteriza por cambios continuos de alliacute la inquietud de desarrollar meacutetodos matemaacuteticos para cuantificar describir y pronosticar estos cambios Para Wenzelburger (1993) es justamente este el propoacutesito del Caacutelculo Diferencial y presenta el concepto de razoacuten de cambio como fundamental Veamos a continuacioacuten dos definiciones del teacutermino Razoacuten de Cambio media o Promedio
DEFINICIOacuteN 1
DEFINICIOacuteN 2
Ambas definiciones muestran la misma idea pero la definicioacuten que presenta Hasser (1976) es muy cuidadosa al determinar las variables que intervienen en ella asiacute da lugar a pensar en ejemplos inmediatos de aplicacioacuten como por ejemplo la relacioacuten entre la cantidad demandada de un bien
dQ y su precio unitario
por periacuteodo de tiempo a traveacutes de la funcioacuten ( )d
Q f p=
Respecto a la segunda definicioacuten es maacutes directa no menciona que x y t sean magnitudes fiacutesicas y analiza directamente los cambios
o variaciones
Razoacuten Promedio de Cambio Sean ( )o ox x t= y ( )o oy y t= ox y oy son valores de las magnitudes fiacutesicas
en alguacuten instante ot Supongamos que ox cambia en la cantidad x∆ El cambio correspondiente y∆ en oy es
( )( )o oy f x x f x∆ = + ∆ minus Y la razoacuten promedio de cambio de y con respecto a x es
( ) ( )( )
0 o of x x f xy xx x
+ ∆ minus∆= ∆ ne
∆ ∆ (Hasser 1976 401)
Razoacuten de Cambio Media Suponga que y es una funcioacuten de x ( )y f x= correspondiendo a un cambio de x a x x+ ∆ la variable y cambia en una cantidad
( ) ( )y f x x f x∆ = + ∆ minus Asiacute el cociente de diferencias
( ) ( )Cambio de x x f x x f xCambio de y y x
∆ + ∆ minus= =∆ ∆
Representa la razoacuten de cambio de y con respecto a x (Hoffmann 1985 82)
Wenzelburger (1993 4) nos dice ldquoDeterminar razones de cambio de procesos continuos es muchas veces maacutes importante que estudiar estos procesos Siempre que dos magnitudes (variables) estaacuten conectadas mediante una relacioacuten funcional (funcioacuten) se puede estudiar el cambio relativo de una de las magnitudes con respecto a la otrardquo Como ejemplos de lo anterior podemos citar a la velocidad que es la razoacuten (el cociente) entre una distancia y un tiempo y describe el cambio en la posicioacuten de un cuerpo con respecto al tiempo transcurrido
Ciertas razones de cambio tienen nombres especiales por ejemplo bull La velocidad es solo uno de las muchas razones de cambio que seraacuten importantes en este capiacutetulo es la razoacuten de cambio de la distancia con respecto al tiempo bull Densidad de un alambre es igual a la razoacuten de cambio de la masa respecto la distancia bull Ingreso Marginal es igual a la razoacuten de cambio del ingreso respecto nuacutemero de artiacuteculo producidos bull Corriente es igual a la razoacuten de cambio de la Carga eleacutectrica respecto al tiempo Asiacute mismo Wenzelburger (1993) menciona dos aspectos importantes al estudiar el Caacutelculo Diferencial los cuales son 1- La continuidad que significa que la relacioacuten es completa no tiene saltos bruscos ni interrupciones y que graacuteficamente se expresa como segmentos de liacuteneas o curvas y no como una coleccioacuten de puntos aislados 2- La determinacioacuten de la pendiente Todos tenemos nociones intuitivas acerca de pendientes y coacutemo comparar las inclinaciones de varias pendientes Por ejemplo sabemos que cuesta maacutes trabajo subir una montantildea maacutes empinada (pendiente grande) o que el agua de un riacuteo corre maacutes raacutepido si este tiene mucha pendiente Lo que hay que explorar entre otras cosas es la manera en la cual la medida de una pendiente de una curva estaacute relacionada con el concepto de razoacuten de cambio
2 LA RELACIOacuteN ENTRE LAS RAZONES DE CAMBIO Y PENDIENTES DE RECTAS
DEFINICIOacuteN 3
Los dos ejemplos que estudiaremos a continuacioacuten tiene por objetivo reforzar la definicioacuten dada asiacute como dar el primer paso en el intento por comprobar si los alumnos pueden comprender un tipo de registro semioacutetico como lo es el lenguaje escrito y luego trabajar lo concerniente a pasar de un registro a otro como lo seriacutea el paso de lo enunciado a la grafica Ejemplo 1
ldquoSuponga que sabemos que el precio de un artiacuteculo en un primer mes era de 600 soles y en el tercer mes subioacute a 1200 soles
MES PRECIO 1 600 Soles 3 1200 Soles
Tabla Nordm 1
Podemos graficar estos datos Fig1 y suponer que el incremento del precio ocurrioacute como en la Fig2
La pendiente de una recta en un sistema de coordenadas ( x y ) es una medida de la razoacuten de cambio de la variable y con respecto al cambio de la variable x (Wenzelburger 1993 9)
La razoacuten de cambio del precio se define de la siguiente manera
se calcula el cambio en direccioacuten vertical y se divide por el cambio en direccioacuten horizontal Asiacute la razoacuten de cambio para los meses uno y tres es
Fig3
500
1000
1500
2000
1 2 3
(1600)
(31200)
Mes
Precio Y
(4840)
4
x
500
1000
1500
2000
1 2 3
(1600)
(31200)
Mes
Precio Y
Fig1
MesFig2
Precio
500
1000
1500
2000
1 2 3
(1600)
(31200)
Y
(2900)
Graacutefica del precio dado en soles en el primer y tercer
mes
Graacutefica del supuesto crecimiento lineal de precio entre el primer y
tercer mes
Graacutefico de la situacioacuten anterior con un descuento del 30 en el precio
Razoacuten de cambio = 600 3002
solesmes
= hellip (1)
Este valor numeacuterico caracteriza el incremento del precio En el cuarto mes se ofrecioacute el producto con un 30 de descuento como promocioacuten (Fig3) La razoacuten de cambio en este mes es
Razoacuten de cambio= 840 1200 3601
solesmes
minus = minus hellip (2)
Ahora consideremos un valor intermedio
Razoacuten de cambio= 900 600 300 3002 1 1
solesmes
minus = = minus hellip (3)
Resumimos lo observado en (1) (2) y (3) Una razoacuten de cambio caracteriacutestica para una graacutefica en forma de segmentos de liacutenea recta soacutelo cambia si hay variacioacuten en la pendiente de eacutesta Si crece la graacutefica la razoacuten de cambio y la pendiente son positivas Si decrece la graacutefica la razoacuten de cambio y la pendiente son negativas Para calcular la razoacuten de cambio entre dos puntos de una graacutefica se sigue el trazo de la curva y se ven los valores primero el punto de la abscisa (valor en el eje horizontal) maacutes grande y despueacutes el punto en la abscisa maacutes pequentildea Despueacutes se forma el cociente entre la diferencia vertical y la horizontalrdquo
3 RAZONES DE CAMBIO ENTRE DOS PUNTOS DE UNA
CURVA
La diferencia entre una relacioacuten lineal de una no lineal radica en que la razoacuten de cambio para una relacioacuten no lineal varia a lo largo de la curva mientras que en una relacioacuten lineal es constante para todos los puntos de la funcioacuten Sobre el ejemplo anterior Wenzelburger (1993) nos dice ldquoes factible que los precios no subieran siguiendo una relacioacuten lineal por ejemplo ver las figuras 4 y 5
De acuerdo a la figura 4 el precio al principio del segundo mes parece ser de 800 soles Como la razoacuten de cambio entre el precio al final del primer mes y del segundo mes (de 600 soles a 800 soles) tenemos
Razoacuten de cambio= 800 600 2001
solesmes
minus = hellip (1)
Ahora calculamos la razoacuten de cambio para el tercer mes
Razoacuten de cambio= 1200 800 4003 2
solesmes
minus = minus hellip (2)
El valor de la razoacuten de cambio en 1 y 2 es diferente Si repetimos el procedimiento para otros pares de puntos vamos a obtener muchos valores diferentes La diferencia entre una curva y una liacutenea recta es la variacioacuten continua de la razoacuten de cambio a lo largo de la curva Si suponemos ahora que los precios cambiaron de acuerdo a la figura 5 podemos observar en la tabla las razones de cambio calculadas para intervalos de 1 mes
500
1000
1500
2000
1 2 3
(1600)
(31200)
Mes
Pesos Y
4
x
(2800)
Fig4
500
1000
1500
2000
1 2 3
(1600)
(31200)
Mes
Pesos Y
4
x
(4800)
Fig5
Las figuras 4 y 5 corresponden al ejemplo1 donde se supone un comportamiento no lineal entre el tiempo y el precio
2do Mes 3er Mes 4to Mes
Razoacuten de cambio en
pesosmes
100 6001
400
minus
1200 10001
200
minus
840 12001360
minus
minus
Tabla Nordm 2
Estos valores describen a grandes rasgos el comportamiento de
la curva precio en funcioacuten del tiempo En el segundo mes el precio sube maacutes raacutepido que en el tercer mes Si calculamos la razoacuten de cambio total del segundo al cuarto mes
Razoacuten de cambio= 840 600 240 803 3
solesmes
minus = = hellip (3)
Obtenemos una informacioacuten equivocada un valor positivo
pequentildeo que no refleja la variacioacuten real del precio Por eso concluimos que es necesario calcular razones de cambio para intervalos pequentildeos debido a que intervalos grandes no dan valores representativos para la descripcioacuten del cambio de una funcioacuten a lo largo de la curvardquo
Observaciones sobre la definicioacuten bull La letra griega delta (∆ ) representa la diferencia o el cambio
bull El cociente yx
∆∆
tambieacuten se llama razoacuten de cambio promedio y
representa graacuteficamente la pendiente de una recta bull El adjetivo promedio es nombre popular pero inexacto porque en
este contexto promedio significa aproximado bull La razoacuten de cambio es suficiente para describir funciones lineales
mas no para graacuteficas curvas
4 LA TRANSFORMACIOacuteN DE LA RAZOacuteN DE CAMBIO PROMEDIO A LA RAZOacuteN DE CAMBIO INSTANTAacuteNEA
Al calcular razones promedio de cambio cada una de ellas no
representa la razoacuten de cambio al principio o al final de un intervalo x∆ sino es un valor promedio que se toma por constante en todo el
intervalo Siendo asiacute es necesario desarrollar un meacutetodo que permita
calcular la razoacuten de cambio de la funcioacuten original praacutecticamente en cada instante es decir para cada valor de x queremos conocer la razoacuten de cambio ( )f x A esta razoacuten de cambio se llama la razoacuten de cambio instantaacutenea Es importante mencionar que una razoacuten de cambio instantaacutenea es mayormente conocida con tasa de cambio Wenzelburger (1993) nos dice
Para ldquola forma de yx
∆∆
2 1
2 1
y yyx x x
minus∆=
∆ minus
Podriacutea proponerse que los puntos 2x y 1x coincidan lo cual implicariacutea tomar 2 1 0x xminus = Entonces la razoacuten de cambio seriacutea instantaacutenea puesto que se tratariacutea de un punto
Es obvio que este intento de solucioacuten fracasa Ya que para 0x∆ = no estaacute definida la razoacuten de cambio Por lo cual aceptaremos
el siguiente principio fundamental para la razoacuten de cambio instantaacutenea
El valor de 2 1x xminus seraacute siempre un nuacutemero que pueda hacerse maacutes pequentildeo que un nuacutemero muy pequentildeo arbitrario pero fijo Debido a que un nuacutemero de esta naturaleza no es igual a cero no estamos considerando un intervalo de longitud cero sino que x∆ se hace cada vez maacutes pequentildeo Esto se expresa como 0x∆ rarr
El valor numeacuterico al cual se aproxima yx
∆∆
cuando 0x∆ rarr es la
razoacuten de cambio instantaacuteneardquo Los problemas del 1 al 4 propuestos a continuacioacuten tienen por finalidad reforzar el conocimiento del alumno sobre razoacuten de cambio promedio e instantaacutenea pendiente ademaacutes interiorizar la relacioacuten que existe entre ambos conceptos asiacute mismo poner en praacutectica el trabajo de cambio de registros semioacuteticos pues se presentan problemas que
hacen uso de los tres tipos de registro y deberaacuten ser convertidos de uno a otro registro para mejorar su comprensioacuten y llegar a una solucioacuten Trabajo Praacutectico Nordm1 Razoacuten de cambio Promedio e Instantaacutenea Problema 12
Una enfermera controla la temperatura a un paciente y registra los resultados
Horas 1500 1600 1700 1800 1900 2000 2100 2200 2300 Temp 36 37 372 378 379 40 40 40 375
Tabla Nordm3
Tareas y Preguntas
a iquestCuaacutel es el cambio de temperatura entre las 1600 y las 1700 horas las 1900 y las 2200 y las 2200horas y las 2300
b Trazar la curva de fiebre del paciente c Calcular la razoacuten de cambio entre las 1500 y las 2300 horas para
intervalos de una hora d Graficar los valores obtenidos en c e Completar la tabla siguiente
Temperatura Graacutefica Razoacuten de Cambio Sube Sube positiva
Queda igual Baja
Tabla Nordm 4
2 El problema 1 se ha tomado del libro de Wenzelburger Didaacutectica del Caacutelculo Diferencial 1993 36
Problema 23
Peso Promedio de un bebeacute- La siguiente graacutefica muestra el peso de un bebeacute promedio desde el instante del nacimiento ( )0t = hasta la
edad de dos antildeos ( )24t = Calcule las pendientes de las rectas tangentes respectivas para estimar la razoacuten promedio de cambio del peso del bebeacute promedio cuando 3t = y cuando 18t = iquestCuaacutel es la razoacuten promedio de cambio en el peso de un bebeacute promedio durante el primer antildeo de vida
Fig6
Fuente Tomado de Thomson Matemaacuteticas para Administracioacuten y Economiacutea 1998 515
Problema 34
Selvicultura- La siguiente graacutefica muestra el volumen de madera producida en un bosque con una uacutenica especie En este caso ( )f t se
3 El problema 2 se ha tomado del libro de Thomson Matemaacuteticas para Administracioacuten y Economiacutea 1998 Paacuteg 515 4 El problema 3 se ha tomado del libro de Thomson Matemaacuteticas para Administracioacuten y Economiacutea 1998 Paacuteg 515
Graacutefico del peso promedio de un bebeacute desde su nacimiento hasta los dos antildeos
mide en metros cuacutebicos por hectaacutereas y t en antildeos Calcule las pendientes de las rectas tangentes respectivas y estime la razoacuten con que el incremento de madera estaacute cambiando al inicio del deacutecimo antildeo y al inicio del antildeo 30
Fig 7 Fuente Tomado de Thomson Matemaacuteticas para Administracioacuten y Economiacutea 1998 515
Problema 45
Patrones de observacioacuten de la televisioacuten- La siguiente graacutefica basada en datos de la compantildeiacutea AC Nielsen muestra el porcentaje de habitantes de Estados Unidos que ven televisioacuten durante un periacuteodo de 24 horas en un diacutea haacutebil ( 0t = corresponde a las 6 am) Calcule las pendientes de las rectas tangentes respectivas y estime la razoacuten de cambio del porcentaje de habitantes que ven televisioacuten entre las 4pm y las 11pm
5 El problema 4 se ha tomado del libro de Thomson Matemaacuteticas para Administracioacuten y Economiacutea 1998 Paacuteg 516
Graacutefico del valor de la madera producida en 3m en funcioacuten del tiempo
Fig8 Fuente Tomado de Thompson Matemaacuteticas para Administracioacuten y Economiacutea 1998 516
5 ALGO SOBRE HISTORIA DE LA DERIVADA
Hasta este momento hemos hablado sobre razones de cambio y como aproximamos una razoacuten de cambio promedio a una razoacuten de cambio instantaacutenea Ahora conoceremos como dos problemas trabajados en eacutepocas de la historia diferentes nos llevaron a la misma solucioacuten La derivada En esta parte hablaremos de razones de cambio e introducireacute las nociones de liacutemites para su resolucioacuten
51 DOS PROBLEMA CON UN MISMO TEMA Los problemas que trataremos a continuacioacuten corresponden a eacutepocas diferentes el primer problema es muy antiguo se remota a la eacutepoca del gran cientiacutefico griego Arquiacutemedes (287-212 aC) Se trata del problema de la pendiente de la recta tangente El segundo problema es maacutes reciente Crecioacute con los intentos de Kepler Galileo Newton y otros para describir la velocidad de un cuerpo en movimiento Es el problema de la velocidad instantaacutenea Los dos problemas uno geomeacutetrico y el otro mecaacutenico parecen no estar muy relacionados En este caso las apariencias engantildean Los dos problemas son gemelos ideacutenticos
Graacutefico del porcentaje de habitantes en Estados Unidos que ven televisioacuten durante las 24 horas de un diacutea
A LA RECTA TANGENTE La descripcioacuten de este problema ha sido tomada de Purcell (2003 99) ldquoSea P un punto de la curva y sea Q un punto moacutevil cercano a P en esa curva Considere la recta que pasa por P y Q llamada recta secante La recta tangente en P es la posicioacuten liacutemite (si esta existe) de la recta secante cuando Q se mueve hacia P a lo largo de la curva
Fig9 Suponga que la curva es la graacutefica de la ecuacioacuten ( )y f x= Entonces P tiene coordenadas ( ) ( )c f c un punto cercano a Q tiene
coordenadas ( ) ( )c h f c h+ + y la recta secante de P a Q tiene pendiente secm dada por
sec( ) ( )f c h f cm
h+ minus
=
Como el objetivo es hallar la recta tangente a la curva ( )f x en el punto P entonces intentaremos aproximar el punto Q a P para ello utilizaremos el concepto de liacutemite con el fin de determinar la pendiente de la recta tangenterdquo
P
Rectas secantes
Recta tangenteQ
Q
Q
La recta tangente es la posicioacuten liacutemite de la recta secante
x
y
Graacutefica de las rectas secantes y tangentes a una curva desde el punto Q hasta el punto P
Fig10
DEFINICIOacuteN 4
Recta Tangente La recta tangente a la curva ( )y f x= en el punto ( ) ( )P c f c es aquella recta que pasa por P con pendiente
tan sec0 0
( ) ( )lim limh h
f c h f cm mhrarr rarr
+ minus= =
Siempre y cuando este liacutemite exista y no sea oinfin minusinfin
(Purcell 2003 101)
P
Q
x
y Liacutenea secante
Liacutenea tangente
( ) ( )c h f c h+ +
( ) ( )f c h f c+ minus
c c h+
( ) ( )c f c
h( )f c
( )f c h+
tan sec0
limh
m mrarr
=
Graacutefico de las posiciones de una recta secante a una curva en los puntos P y Q y su aproximacioacuten a la recta tangente en P
A continuacioacuten veremos un ejemplo que tiene por objetivo que el alumno se familiarice con la definicioacuten la aplique y compruebe que es funcional Ejemplo2Encuentre la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva
( )23 1y x= + minus
en el punto ( )224
Solucioacuten
Encontraremos primero la pendiente de la recta tangente a la curva la cual estaraacute
Dada por
( ) ( )( )2 2
0
3 1 3 1limh
c h c
hrarr
+ + minus minus + minus
( ) ( ) ( )
( )
( )
2 22
2
3 2 3 1 3 1
2 3
2 3
c c h h ch
c h hh
c h
+ + + + minus minus + +
+ +
+ +
Luego aplicando liacutemites tendremos
( )0
lim 2 3 2( 3)h
c h crarr
+ + = +
En el punto 2 la pendiente es 10m = finalmente la ecuacioacuten de la recta en ( )224 es ( )10 2 24 oacute 10 4y x y x= minus + = +
B VELOCIDAD PROMEDIO Y VELOCIDAD INSTANTAacuteNEA
En un contexto referido a la fiacutesica se propone la siguiente situacioacuten con la finalidad de trabajar una solucioacuten y de comprobar que ella tiene mucho en comuacuten la solucioacuten del problema de la recta tangente Si viajamos de una ciudad a otra que estaacute a 80 km En 2 horas nuestra velocidad promedio es de 40 Km por hora Determinamos una velocidad promedio como la distancia de la primera posicioacuten a la segunda posicioacuten dividida entre el tiempo empleado Pero durante el viaje la lectura del velociacutemetro con frecuencia fue diferente de 40 Al principio registroacute 0 a veces hasta 57 al final regresoacute a 0 otra vez iquestQueacute es lo que mide el velociacutemetro Ciertamente no indica la velocidad promedio Purcell (2003 101-103) ldquoConsidere el ejemplo maacutes preciso de un objeto P que cae en el vaciacuteo El experimento muestra que si inicioacute desde el reposo P cae 216t pies en t segundos Por tanto cae 16 pies en el primer segundo 64 pies en el 2do segundo Observemos el diagrama del tiempo empleado y la graacutefica de la relacioacuten tiempoespacio recorrido
Fig11
Ahora analicemos la velocidad promedio en algunos intervalos
Graacutefica de la Distancia recorrida por el objeto en funcioacuten del tiempo
1 2 3 4
50
100
150
200
250
Dis
tanc
ia re
corr
ida
t
( )
( )
( )
2
2
2
16 00 1 16 1 064 161 2 48
2 1
16 15 161 15 40
15 1
16 11 161 11 336
11 1
16 101 161 101 3216
101 1
prom
prom
prom
prom
prom
t t v p s
t t v p s
t t v p s
t t v p s
t t v p s
minus= rarr = = =
minusminus
= rarr = = =minus
minus= rarr = = =
minus
minus= rarr = = =
minus
minus= rarr = = =
minus
Lo que hemos hecho es calcular la velocidad promedio en intervalos de tiempo cada vez maacutes pequentildeos cada uno iniciando en 1t = Entre maacutes breve es el intervalo de tiempo mejor aproximamos la velocidad instantaacutenea en 1t = Seamos maacutes precisos Suponga que un objeto P se mueve a lo largo de un eje coordenado de modo que su posicioacuten en el instante t estaacute dado por ( )S f t= En el instante c el objeto estaacute en ( )f c en el instante cercano c h+ estaacute en ( )f c h+ Asiacute la velocidad promedio en este intervalo es
( ) ( )prom
f c h f cvh
+ minus=
Ahora podemos definir la velocidad instantaacutenea
DEFINICIOacuteN 5
Velocidad Instantaacutenea-Si un objeto se mueve a lo largo de un eje coordenado con funcioacuten de posicioacuten ( )S f t= entonces su velocidad instantaacutenea en el instante c es
0 0
( ) ( )lim limpromh h
f c h f cv vhrarr rarr
+ minus= =
Siempre que el liacutemite exista y no sea oinfin minusinfin (Edwin Purcell2003)
En el caso donde 2( ) 16f t t pies= la velocidad instantaacutenea en 1t = es
2
0 0 0 0
(1 ) (1) 16(1 ) 16lim lim lim lim 32 16 32promh h h h
f h f hv v hh hrarr rarr rarr rarr
+ minus + minus= = = = + =
ldquoAhora podemos ver porqueacute llamamos a la pendiente de la recta tangente y a la velocidad instantaacutenea gemelos ideacutenticosrdquo Este ejemplo tiene por objetivo que el alumno vaya haciendo al mismo tiempo que resuelve los apartados de esta pregunta un verificacioacuten de la teoriacutea por cuando al ir hallando la velocidad promedio en un intervalo considerablemente grande como lo es de 2 a 3 y luego pase a calcular una velocidad promedio en un intervalo lo suficientemente pequentildeo como lo es de 2 a 2003 y finalmente calcule la velocidad instantaacutenea en 2 notaraacuten como se aproxima una variacioacuten una otra hasta llegar a la variacioacuten en un punto Ejemplo 3
Un objeto viaja a lo largo de una recta de modo que su posicioacuten S es 2 1S t= + metros despueacutes de t segundos
a) iquestCuaacutel es su velocidad promedio en el intervalo 2 3tle le b) iquestCuaacutel es su velocidad promedio en el intervalo 2 2003tle le c) iquestCuaacutel es su velocidad promedio en el intervalo 2 2t hle le + d) Encuentre la velocidad instantaacutenea en t = 2
Solucioacuten
La velocidad promedio estaraacute dada por
( ) ( )
promf c h f cv
h+ minus
=
a) La velocidad promedio en el intervalo 2 3tle le seraacute
( ) ( )2 23 1 2 1 10 5 5 3 2 1promv m s
+ minus + minus= = =
minus
b) La velocidad promedio en el intervalo 2 2003tle le seraacute
( ) ( )2 22003 1 2 1 5012009 5 4003 2003 2 0003promv m s+ minus + minus
= = =minus
c) La velocidad promedio en el intervalo 2 2t hle le + seraacute ( )( ) ( )2 2 22 1 2 1 4 4 prom
h h hv h m sh h
+ + minus + += = = +
d) La velocidad instantaacutenea en 2t = seraacute
( )( ) ( )2 2 22 1 2 1 4 4 prom
h h hv h m sh h
+ + minus + += = = + luego en
2t = es 6 Los problemas propuestos en este apartado tienen un objetivo similar al planteado en el ejemplo anterior es decir contrastar en la praacutectica lo que en la teoriacutea se describe a la vez potenciar su habilidad para el cambio de registros ya que como se puede apreciar en los enunciados se piden encontrar ecuaciones dadas algunas graacuteficas y datos elaborar graacuteficas dadas algunas foacutermulas interpretar informacioacuten presentada en ecuaciones graacuteficas referidos a casos de aplicacioacuten en aacutereas como fiacutesica y biologiacutea Trabajo Praacutectico Nordm2 Recta Tangente y Velocidad Instantaacutenea6
Encuentre la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva Ejercicio 1
1yx
= en el
punto ( )21 2
Fig12
6 Los ejercicio se han tomado del libro de Purcell Caacutelculo Diferencial2003
05 1 15 2 25 3
05
1
15
2
25
3
1yx
=
y
x
Graacutefico de la funcioacuten 1( )f x
x= y su recta tangente en el punto (2 frac12)
Considere Ejercicio 2
3 1y x= minus a) Haga un bosquejo de su graacutefica tan detallado como sea posible b) Dibuje la recta tangente en (27) c) Calcule la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos
(27) y ( )3201 (201) 1minus
d) Utilizando el proceso de liacutemite encuentre la pendiente de la recta tangente en (27)
Encuentre las pendientes de las rectas tangentes a la curva Ejercicio 3
2 1y x= minus en los puntos de abscisas -2-1 0 1 2
Haga un bosquejo de la graacutefica de
Ejercicio 4 1
1y
x=
+ luego encuentre la
ecuacioacuten de la recta tangente en (1 12)
Encuentre la ecuacioacuten de la recta tangente a
Ejercicio 5 1
1y
x=
minus en (0-1)
Un experimento sugiere que un cuerpo que cae descenderaacute aproximadamente
Ejercicio 6
216t metros en t segundos a) iquestCuaacutento caeraacute entre t = 0 y t = 1 b) iquestCuaacutento caeraacute entre t = 1 y t = 2 c) iquestCuaacutel es su velocidad promedio en el intervalo 2 3tle le d) iquestCuaacutel es su velocidad promedio en el intervalo 3 301tle le e) Encuentre la velocidad instantaacutenea en t = 3
Un objeto viaja a lo largo de un eje coordenado de modo que su distancia dirigida medida desde el origen despueacutes de t segundos es
Ejercicio 7
2 1t metros+ a) Encuentre la velocidad instantaacutenea en t = 2
b) iquestCuaacutendo alcanzaraacute una velocidad de 12 pies por segundo
Si una partiacutecula se mueve a lo largo de un eje coordenado de modo que su distancia dirigida medida desde el origen despueacutes de
Ejercicio 8
t segundos es ( )2 4t t metrosminus + iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute
momentaacuteneamente detenida Es decir en iquestqueacute momento su velocidad es cero
Cierto cultivo de bacterias crece de modo que tiene una masa de Ejercicio 9
21 12
t gramos +
despueacutes de t horas
a) iquestCuaacutento creceraacute durante el intervalo 2 201tle le b) iquestCuaacutel seraacute la tasa promedio de crecimiento durante el intervalo
2 201tle le c) iquestCuaacutel fue la tasa instantaacutenea de crecimiento en t = 2
6 LA DERIVADA
Revisemos ahora algunas definiciones seguacuten los siguientes autores
DEFINICIOacuteN 6
Si la funcioacuten ( )y f x= tiene derivada en el punto 0
x x= es
decir si existe el
0 00 0
( ) ( )lim limx x
f x x f xyx x∆ rarr ∆ rarr
+ ∆ minus∆=
∆ ∆
Se dice que para el valor dado 0
x x= la funcioacuten es derivable o
lo que es lo mismo tiene derivada en dicho punto
Si la funcioacuten tiene derivada en cada punto de un intervalo ( )a b
se dice que es derivable en dicho intervalo
(N Piskunov 1973 68)
DEFINICIOacuteN 7
DEFINICIOacuteN 8
Como podemos observar la definicioacuten 6 trabaja con la notacioacuten delta a la cual los alumnos se encuentran familiarizados desde el concepto de razoacuten de cambio mientras que en las otras dos definiciones se trabaja con una letra h la cual reemplaza al x∆ La definicioacuten 8 asiacute como la 7 muestran la idea de designar con el teacutermino de derivable en un punto a la funcioacuten cuando esta tenga derivada en dicho punto y de derivable cuando la derivada exista en cada punto de su dominio En cuanto a la definicioacuten 8 presenta a la derivada como una funcioacuten
f a la que lee como ldquof primardquo Uniendo las tres definiciones anteriores podemos presentar la siguiente
La funcioacuten f es derivable en a si
0
( ) ( )limh
f a h f ahrarr
+ minus Existe
En este caso el liacutemite se designa por ( )f a y recibe el nombre de
derivada de f en a (Decimos tambieacuten que f es derivable si
f es derivable en a para todo a del dominio de f )
(Spivak 1967 201)
La derivada de una funcioacuten f es otra funcioacuten f (leacutease ldquof primardquo) cuyo valor en cualquier nuacutemero c es
0
( ) ( )( ) lim
h
f c h f cf chrarr
+ minus=
Siempre que este liacutemite exista y no sea oinfin minusinfin
(Purcell 2003 107)
Veamos los siguientes ejemplos los cuales pretenden familiarizar a los alumnos con la definicioacuten de derivada y a manera de repaso recordar los algoritmos empleados en el caacutelculo de liacutemites como por ejemplo el proceso de racionalizacioacuten Ejemplo 4
Sea ( ) 12 3f x x= minus Encuentre ( ) 4f
Solucioacuten
Empleando la definicioacuten de derivada tenemos [ ] [ ]
0 0
0 0
12(4 ) 3 12(4) 3(4 ) (4)(4) lim lim
12 lim lim 12 12
h h
h h
hf h ffh h
hh
rarr rarr
rarr rarr
+ minus minus minus+ minus= =
= = =
Ejemplo 5
Sea ( ) 0f x x x= gt Encuentre ( )f x
Derivada de f La derivada de una funcioacuten f en un punto c es otra funcioacuten a la
que llamaremos ldquo f prima rdquo y denotaremos por f siempre
que se cumpla
0
( ) ( )( ) lim
h
f c h f cf chrarr
+ minus= Existe
En este caso el liacutemite se designa por ( )f c y recibe el nombre de
derivada de f en c
Decimos tambieacuten que f es derivable si f es derivable en c para
todo c del dominio de f
Solucioacuten
Empleando la definicioacuten de derivada tenemos
( )
0
0
0
0
0
0
( ) ( )( ) lim
= lim
lim
= lim
= lim
1 1 = lim
2
h
h
h
h
h
h
f x h f xf xh
x h xh
x h x x h xh x h x
x h xx h x
h
h x h x
x h x x
rarr
rarr
rarr
rarr
rarr
rarr
+ minus=
+ minus
+ minus + +=
+ + + minus
+ +
+ +
=+ +
7 FORMAS EQUIVALENTES DE LA DERIVADA Purcell (2003) hace mencioacuten a dos formas equivalentes de la derivada de ( )f x en el punto c asiacute la primera forma es
Graacuteficamente podemos ver
0
( ) ( )( ) limh
f c h f cf chrarr
+ minus=
Fig13
Para la segunda forma x toma el lugar de c h+ y por lo tanto reemplazando h tenemos
Graacuteficamente podemos ver
Fig14
otimes
otimes
c c h+
( ) ( )f c h f c+ minus
h( ( ))c f c
( ( ))c h f c h+ +
X
Y
otimes
otimes
c x
( ) ( )f x f cminus
x cminus( ( ))c f c
( ( ))x f x
X
Y
( ) ( )( ) limx c
f x f cf cx crarr
minus=
minus
Graacutefico de la funcioacuten ( )f x en los puntos c y c h+ empleado para la primera forma de definir la derivada
Graacutefico de la funcioacuten ( )f x en los puntos c y x empleado para la segunda forma de definir la derivada
Como podemos apreciar las dos formas de expresar la definicioacuten de la derivada son equivalente aun cuando la notacioacuten empleada no es la misma ya que como hemos podido apreciar en una el limite esta expliacutecitamente en teacuterminos del incremento h luego en el liacutemite h tiende a cero En la otra no aparece h pero cuando el limite indica que x tiende a c impliacutecitamente estaacute indicando que el incremento (h) tiende a cero En el ejemplo siguiente se intenta que los alumnos utilicen la segunda forma de la definicioacuten de la derivada a fin de practicarla pero que establezcan las diferencias en la notacioacuten y significado en relacioacuten a la definicioacuten primera Ejemplo 6
Utilice la segunda forma de representa la derivada para determinar
( )g c si 1( )
4g x
xminus
=+
1 14 4( ) x cg cx c
minus minusminus
+ +=minus
Solucioacuten
( )( )
( )( )
( )( )( )
( )( )
( )2
4 44 4
( ) lim
4 4 lim
4 4 lim
1 lim4 4
1 ( )4
x c
x c
x c
x c
c xx c
g cx cc x
x cx cx c
x cx c
x c
g cc
rarr
rarr
rarr
rarr
minus minus + ++ +
=minus
minus ++ +
minusminus
+ +
minus
+ +
there4 =+
Demostracioacuten-
Espinoza (2002 456) demuestra este teorema de la siguiente manera ldquoPor hipoacutetesis se tiene que f es diferenciable en
0x esto quiere
decir que 0
( )f xexist y
0 00 0
0 0
( ) ( )lim ( ) ( ) lim h h
f x h f xf x h f x h
hrarr rarr
+ minus+ minus =
0 00
0 0
( ) ( )lim lim ( )0 0h h
f x h f xh f x
hrarr rarr
+ minus= = =
Entonces 0 0 0 0
0 0 0
0 00
lim ( ) ( ) 0 lim ( ) lim ( ) 0
lim ( ) ( )h h h
h
f x h f x f x h f x
f x h f xrarr rarr rarr
rarr
+ minus = rArr + minus =
+ =
0f es continua en xthere4 rdquo
ldquoEs muy importante recordar el teorema 1 e igualmente importante recordar que el reciacuteproco no se cumple Una funcioacuten derivable es continua pero una funcioacuten continua no es necesariamente derivablerdquo Spivak (1992 213)
Con los siguientes ejemplos se pretende analizar diferenciabilidad en un punto estudiando el comportamiento de la derivada a ambos lados del punto seleccionado
TEOREMA 1 Sea f una funcioacuten y
0 fx Disin si f es diferenciable en
0x entonces f es continua en
0x
(Espinoza 2002 456)
Ejemplo 7
Estudiar si la funcioacuten ( )f x x= es diferenciable en 0x =
Solucioacuten
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0(0 ) (0)
0 0(0 ) (0) lim lim lim lim 1
0 0(0 ) (0) lim lim lim lim 1
h h h h
h h h h
h hf h fh h h
Asiacuteh hf h f h
h h h hh hf h f h
h h h h
+ + + +
minus minus minus minus
rarr rarr rarr rarr
rarr rarr rarr rarr
+ minus+ minus= =
+ minus+ minus= = = =
+ minus+ minus minus= = = = minus
Seguacuten Spivak (1992 210) ldquoEstos dos liacutemites son llamados a veces derivada por la derecha y derivada por la izquierdardquo en nuestro caso son diferentes
0
(0 ) (0)lim
h
f h fhrarr
+ minus
No existe Por tanto (0)f no existe Graacuteficamente podemos ver la funcioacuten ( )f x x=
Fig 15
Graacutefico de la funcioacuten valor absoluto ( )f x x= Para estudiar la derivada en x=0
Ahora veamos la graacutefica de su derivada
Fig 16 Ejemplo 8
Analizar la derivada de la funcioacuten en el punto 0x = siendo 2 0( )
0x xf xx x
le= gt
Solucioacuten
2
0
0
0( ) (0) 1 0
( ) (0) lim 0
( ) (0) lim 1
h
h
h h hf h f hh h h
hAsiacute
f h fh
f h fh
+
minus
rarr
rarr
= ltminus =
= gt
minus=
minus=
Podemos concluir entonces que (0)f no existe f no es derivable en 0
Graacutefico de la derivada de la funcioacuten valor absoluto 1 0
( )1 0
xf x
xgt
= minus lt
Sin embargo la derivada existe para 0x ne calculeacutemosla
( )2 2 2( ) ( ) 2 2c h cf c h f c ch h c h
h h h+ minus+ minus +
= = = + Aplicando liacutemite
cuando 0h minusrarr tenemos ( ) 2f c c= de una forma similar calculamos
el liacutemite cuando 0h +rarr y obtenemos ( ) 1f c = Graacuteficamente podemos ver
Fig17
Fig 18
Graacutefico de la funcioacuten valor absoluto 2 0( )
0x xf xx x
le= gt
Para estudiar la
derivada en x=0
Graacutefico de la derivada de la funcioacuten 1 0
( )2 0
xf x
x xge
= lt
Purcell (2003) demuestra graacuteficamente cualquier punto donde la graacutefica de una funcioacuten continua tenga una esquina o un veacutertice la funcioacuten no es diferenciable Y esto lo podemos constatar de nuestros ejemplos anteriores Asiacute mismo este autor nos muestra una graacutefica donde se pueden apreciar algunas situaciones para que una funcioacuten no sea diferenciable en un punto
Fig 19
Fuente Tomado del libro de Purcell 2003 111
En esta graacutefica afirmamos que la derivada el c no existe por que
0
( ) ( )( ) lim
h
f c h f cf xhrarr
+ minus= = infin
Esto corresponde al hecho de que la pendiente vertical no estaacute definida El trabajo praacutectico dado a continuacioacuten pretender que el alumno se familiarice con las dos formas empleadas para definir la derivada Otra objetivo es el estudiar la diferenciabilidad de funciones en algunos puntos en particular
Graacutefico de posibles situaciones de funcioacuten diferenciable en un punto
Trabajo Praacutectico Nordm 3 Derivada7
Ejercicio 1
Utilice la definicioacuten de Derivada 0
( ) ( )( ) limh
f x h f xf xhrarr
+ minus= para
determinar la derivada en x de las siguientes funciones
a) ( ) 2 1f x x= + b) 2 1( )4
xg xxminus
=minus
c) 4 2( )h x x x= +
Ejercicio 2
Empleando la segunda forma para definir la derivada ( ) ( )
( ) limx c
f x f cf cx crarr
minus=
minus determine las derivadas de las siguientes
funciones
a) 3( ) xf xx+
= b) 3( ) 5f x x x= +
Ejercicio 3
A continuacioacuten te presento cuatro liacutemites los cuales corresponden a las derivadas de algunas funciones iquestPodriacuteas ayudarnos a determinar a queacute funciones se refieren
a) ( ) ( )3 3
0
2 5 2 5limh
hhrarr
+ minus
b) ( )2
0
3 2(3 ) 15limh
h hhrarr
+ + + minus
c) limx y
senx senyx yrarr
minusminus
d)
2 2
limx t
x tx trarr
minus
minus
7 Los ejercicios han sido tomados del texto de Calculo Diferencial de Purcell (2003 111-112) y Espinoza (2002 514 -515)
Ejercicio 4
Describa los valores x para los que f es derivable A B
Fig 20 Fig 21
Ejercicio 5
Determinar cuales de las funciones siguientes son derivables en los nuacutemeros dados por
0x
1 0
4( ) 42( 8) 4
x xf x xx x
le= =minus gt
2 2
2
2 0
( ) 2 2 0 2
4 2 2
x x
f x x x
x x x
+ lt
= minus le lt
minus + ge
0 0x = y 0 2x =
minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4
minus3
minus2
minus1
1
2
3
4
x
y
y=1(x+1)
minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
minus1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
abs(x^2-9)
Graacutefico de la funcioacuten 2( ) 9f x x= minus Graacutefico de la funcioacuten 1
( )1
f xx
=+
Ejercicio 6
Calcular los valores de y a b c para que la funcioacuten
2
4 2( ) sea continua en x=-2 y diferenciable en x=2
2
si xxf x
ax bx c si x
ge= + + lt
Ejercicio 7
Hallar los valores de a y b de manera que la funcioacuten 2 1
( ) 1 1
ax b si xf x
si xx
+ le= gt
sea derivable en todo su dominio
8 REGLAS DE DERIVACIOacuteN
Para Spivak (1992) el proceso de derivacioacuten es generalmente laborioso y que si no recordamos la definicioacuten de derivada estariacuteamos expuestos a no poder calcularla Sin embargo nos dice que existen algunos teoremas que nos permitiriacutea de una forma un tanto mecaacutenica derivar una clase de funciones muy amplia Asiacute veremos algunas reglas de derivacioacuten que Espinoza (2002) presenta ademaacutes de su demostracioacuten empleando la definicioacuten la notacioacuten de Leibniz8
1) La derivada de una constante es cero-
( ) 0dysi y f x Cdx
= = rArr =
Demostracioacuten
0 0
( ) ( )lim lim 0 0h h
dy f x h f x c c dydx h h dxrarr rarr
+ minus minus= = = there4 =
8 La notacioacuten
dydx
corresponde a Leibniz
2) La derivada de la funcioacuten identidad-
( ) 1dysi y f x xdx
= = rArr =
Demostracioacuten
0 0 0 0
( ) ( )lim lim lim lim 1 1 1h h h h
dy f x h f x x h x h dydx h h h dxrarr rarr rarr rarr
+ minus + minus= = = = = there4 =
3) La derivada de la funcioacuten potencia simple- 1( ) n ndysi y f x x nx
dxminus= = rArr =
Demostracioacuten
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 01 2 2 1
0
1 2 2 1 10
1
( ) ( )lim lim
lim
lim
n n
h hn n n n
h
n n n n nh
n
x h xd y f x h f x para ndx h h
x h x h x x h x xx h x
h
x h x h x x h x x n x
dy nxdx
+
rarr rarrminus minus minus minus
rarr
minus minus minus minus minus
rarr
minus
+ minus+ minus= = isin
+ + + + + + + = + minus
= + + + + + + + =
there4 =
4) La derivada del producto de una funcioacuten por un escalar-
( ) ( )dysi y kf x kf xdx
= rArr =
Demostracioacuten ( ) ( )( )
( )0 0
0
( )( )lim lim
( )lim ( ) ( )
h h
h
k f x h f xkf x h kf xdydx h h
f x h f x dyk kf x kf xh dx
rarr rarr
rarr
+ minus+ minus= =
+ minus= = there4 =
5) La derivada de la suma o diferencia de dos funciones-
( ) ( ) ( ) ( )dysi y f x g x f x g xdx
= plusmn rArr = plusmn
Demostracioacuten ( )( )
( ) ( )
( )( ) ( )( )
0
0
0
( )( )lim
( ( ) ( ))lim
( ) ( )lim
h
h
h
f g x h f g xdydx h
f x h g x h f x g xh
f x h f x g x h g xh
rarr
rarr
rarr
plusmn + minus plusmn=
+ plusmn + minus plusmn=
+ minus plusmn + minus=
( )( ) ( )( )0
( ) ( )lim
( ) ( ) ( ) ( )
h
f x h f x g x h g xh h
dyf x g x f x g xdx
rarr
+ minus + minus= plusmn
= + there4 = +
6) La derivada del producto de dos funciones-
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dysi y f x g x f x g x f x g xdx
= sdot rArr = +
Demostracioacuten
0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim limh h
d y f x h f x f x h g x h f x g xdx h hrarr rarr
+ minus + + minus= =
Ahora sumamos y restamos ( ) ( )f x h g x+ en el numerador
0
0
0 0
0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim
( )( ( ) ( )) ( ( ) ( ))lim ( )
( )( ( ) ( )) ( ( ) ( ))lim lim ( )
( ( ) (lim ( ) lim
h
h
h h
h h
d y f x h g x h f x h g x f x g x f x h g xdx h
f x h g x h g x f x h f xg xh h
f x h g x h g x f x h f xg xh h
g x h gf x h
rarr
rarr
rarr rarr
rarr rarr
+ + minus + minus + +=
+ + minus + minus = + + + minus + minus = +
+ minus= +
0 0
)) ( ( ) ( ))lim ( ) lim
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
h h
x f x h f xg xh h
f x g x g x f xdy f x g x g x f xdx
rarr rarr
+ minus + = +
there4 = +
7) La derivada del cociente de dos funciones-
[ ]2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0( ) ( )
f x d y f x g x f x g xsi y g xg x dx g x
minus= rArr = ne
Demostracioacuten
0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim limh h
d y f x h f x f x h g x h f x g xdx h hrarr rarr
+ minus + + minus= =
0
( ) ( ) ( ) ( )lim( ) ( )h
g x f x h f x g x hh gx g x hrarr
+ minus +=
+
Ahora sumando y restando ( ) ( )f x g x en el numerador se tiene
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim( ) ( )h
g x f x h f x g x f x g x h f x g xh gx g x hrarr
+ minus minus + +=
+
0
2
2
( )( ( ) ( )) ( )( ( ) ( ))
lim( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( 0) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( )
h
g x f x h f x f x g x h g xh h
g x g x hg x f x f x g x g x f x f x g x
g x g x g xdy g x f x f x g xdx g x
rarr
+ minus + +minus
=+
minus minus= =
+
minusthere4 =
Resumiendo
1) ( ) 0dysi y f x Cdx
= = rArr =
2) ( ) 1dysi y f x xdx
= = rArr =
3) 1( ) n ndysi y f x x nxdx
minus= = rArr =
4) ( ) ( )dysi y kf x kf xdx
= rArr =
5) ( ) ( ) ( ) ( )dysi y f x g x f x g xdx
= plusmn rArr = plusmn
6) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dysi y f x g x f x g x f x g xdx
= sdot rArr = +
7) [ ]2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0( ) ( )
f x d y f x g x f x g xsi y g xg x dx g x
minus= rArr = ne
El primer grupo de ejercicios de este trabajo intenta que el alumno fortalezca una habilidad para el caacutelculo de derivadas empleando reglas de derivacioacuten el apartado B es para recordar la aplicacioacuten de la recta tangente a una curva y el apartado C es para trabajar con problemas de aplicacioacuten a diversas aacutereas Trabajo Praacutectico Nordm 4 Reglas de Derivacioacuten9
A Encontrar la derivada de las siguientes funciones
1) ( ) 365f x =
2) 4 3 2( ) 4 3 7f x x x= minus +
3) 5 15
9 3( )f xx x
= minus
4) 3 4 6 31( ) 2 8 16
f x x x x x= minus + minus +
5) 3 2
4 32 7( ) x xf x
x x x+ +
=+ +
6) 2
22( )
4 1
x xf xxminus
=+
7) ( )( )( ) 5 1 2 1f x x x= minus +
8) 2 4 2( )
3x xf x
x+ +
=+
9 Ejercicios tomados de STTan (1998 528-529-530-543-544)
9) 13( ) 9f x x=
10) 3 24 3( ) x xf x
xminus +
=
11) 2 132 3( )f xx x
= minus
12) 2 3( ) 2f x x x= +
13) ( )32
1( ) 2 1 2f x x xx
= + + +
14) 2 1( ) xf x
x+
=
15) 3( )3 1
x xf xx+
=minus
16) 1 2
3 21 2( )1
xf xx
+=
+
17) ( )( )2( ) 1 2 3f x x x= + +
18) ( )( )21 1
( )2
x xf x
x
+ +=
minus
C Encuentre la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva graficada a
continuacioacuten en el punto indicado Punto ( 23)Q minus
Fig 22
Graacutefico de la funcioacuten 3
( )1
f xxminus
=+
D Resolver los siguientes problemas
1 Crecimiento de un tumor canceroso El volumen de un tumor canceroso esfeacuterico estaacute dado por la funcioacuten
34( )3
v r rπ= donde r es el radio del tumor en centiacutemetros
Indique la razoacuten de cambio en el volumen del tumor cuando
a) 23
r cm= b) 54
r cm=
2 Eficiencia de un obrero Un estudio de eficiencia realizado
por la compantildeiacutea de aparatos electroacutenicos Electra mostroacute que el nuacutemero de walkie-talkies ldquoComando espacialrdquo ensamblados por un obrero promedio t horas despueacutes del inicio de labores a las 8 am estaacute dado por 3 2( ) 6 15N t t t t= minus + + a) Encuentre la razoacuten con que el obrero promedio ensambla
los dispositivos t horas despueacutes de iniciar su trabajo b) iquestCon queacute razoacuten los estaraacute ensamblando a las 10 am y a
las 11 am c) iquestCuaacutentos ensamblaraacute entre las 10 y las 11 am
3 Crecimiento de poblaciones Un estudio preparado por la caacutemara de comercio de cierta comunidad ha proyectado que la poblacioacuten de dicha comunidad creceraacute durante los proacuteximos tres antildeos conforme a al regla 3 2( ) 50000 30 20P t t t= + + donde ( )P t denota la poblacioacuten dentro de t meses iquestCon queacute rapidez creceraacute la poblacioacuten dentro de nueve y 16 meses
4 Conservacioacuten de especies Una especie de tortuga estaacute en
peligro de extincioacuten debido a que ciertas personas recogen grandes cantidades de huevos para venderlos como afrodisiacuteacos Despueacutes de implantar severas medidas de conservacioacuten se espera que la poblacioacuten de tortugas crezca de acuerdo con la regla 3 2( ) 2 3 4 1000 0 10N t t t t t= + minus + le le donde ( )N t denota la poblacioacuten al final de antildeo t Encuentre la tasa de crecimiento de poblacioacuten de tortugas cuando 2t = y
8t = iquestCuaacutel seraacute la poblacioacuten diez antildeos despueacutes de la implantacioacuten de las medidas de conservacioacuten
Continuaremos trabajando las reglas de derivacioacuten y ahora estudiaremos las derivadas de las funciones trigonomeacutetricas sus inversas la funcioacuten logariacutetmica y exponencial tomando como referencia las demostraciones presentadas en Smith (2000) y a Piskunov (1973) incluimos tambieacuten algunos ejemplos de aplicacioacuten directa de las reglas de derivacioacuten 8) La derivada de la funcioacuten seno-
( ) cosdysi y f x senx xdx
= = rArr =
Demostracioacuten
0
0
0 0
0 0
( ) ( )lim
cosh cos lim
cosh cos = lim lim
(cosh 1) = lim cos lim
(0) cos (1)
cos
h
h
h h
h h
dy sen x h sen xdx h
senx senh x senxh
senx senx senh xh h
senhsenx xh h
senx xdy xdx
rarr
rarr
rarr rarr
rarr rarr
+ minus=
+ minus=
minus+
minus+
= +
there4 =
9) La derivada de la funcioacuten coseno-
( ) cos dysi y f x x senxdx
= = rArr = minus
La demostracioacuten de este teorema se deja como ejercicio
10) La derivada de la funcioacuten tangente-
2( ) tan secdysi y f x x xdx
= = rArr =
Demostracioacuten
Para ( ) tan senxf x xcosx
= = por regla de cociente se tiene que
( ) ( )2
(cos ) cos
cos
senx x senx xdydx x
minus=
( ) ( )2
cos (cos )
cos
x x senx senxdydx x
+=
2 2
2cos
cosdy x sen xdx x
+=
22
1 seccos
dy xdx x
= =
2secdy xdx
there4 =
Las demostraciones de las derivadas de las funciones trigonomeacutetricas restantes se dejan como ejercicio Resumiendo
8) cosdysi y senx xdx
= rArr =
9) cos dysi y x senxdx
= rArr = minus
10) 2tan secdysi y x xdx
= rArr =
11) 2cosdysi y ctgx ec xdx
= rArr = minus
12) sec sec tandysi y x x xdx
= rArr =
13) sec sec dysi y co x co x ctgxdx
= rArr = minus
Ejemplo 9
Calcular las derivadas de las siguientes funciones a) 2( ) 4 3tanf x x x= minus
b) ( ) senxf xx
=
Solucioacuten
a) trabajamos con la derivada de una diferencia de funciones
( ) 2
2
4 2 3sec
8 3sec
dy x xdxdy x xdx
= minus
= minus
b) Aplicando la derivada de un cociente tenemos ( )
( )2
2
( )
cos
senx x senx xdydx x
x x senxdydx x
minus=
minus=
14) La derivada de la funcioacuten logaritmo-
1( ) log log
a adysi y f x x edx x
= = rArr =
Demostracioacuten
Utilizando la definicioacuten de derivada tendremos
0
0
0
log ( ) log ( )lim
( )log = lim
( )log = lim
a ah
a
h
a
h
x h xdydx h
x hx
hx h
xh
rarr
rarr
rarr
+ minus=
+
+
( )
( )
( )
0
0
0
0
0 0
log (1 ) = lim
log 11 = limx1 = lim log 1x1 = log lim 1x1 = log base de los logaritmos neperianosx
at
at
tat
ta t
a
hhaciendo t cuando h tx
t
txt
t
t
t
e donde e
rarr
rarr
rarr
rarr
= rarr rArr rarr
+
+
+
+
=
ln 11 1 ( ) ln ln
si a e edyEn particular y f x x edx x x
= rArr =
= = rArr = =
1ln dysi y x
dx xthere4 = rArr =
15) La derivada de la funcioacuten logaritmo neperiano-
1( ) ln dysi y f x xdx x
= = rArr =
16) La derivada de la funcioacuten exponencial-
( ) logx xdysi y f x a a adx
= = rArr =
Demostracioacuten
Tomando logaritmos en la igualdad xy a= se tiene ln lny x a= derivando la igualdad obtenida y considerando y en funcioacuten de x tenemos
1 ln
ln lnx
y ay
y y a a a
=
= =
En particular si la base es a e= rarr ln 1e = y obtenemos
( ) x xdff x e edx
= rarr =
17) La derivada de la funcioacuten exponencial con base e-
( ) x xdfsi y f x e edx
= = rarr =
Ejemplo 10
Calcular la derivada de la siguiente funcioacuten
2( ) 3 ln xf x x x e= +
Solucioacuten
( )
( )
2 16 ln 3
6 ln 3
x
x
dy x x x edx x
dy x x x edx
= + +
there4 = + +
Resumiendo
14) 1( ) log loga a
dysi y f x x edx x
= = rArr =
15) 1ln dysi y xdx x
= rArr =
16) ( ) logx xdysi y f x a a adx
= = rArr =
17) ( ) x xdfsi f x e edx
= rArr =
Tomando como referencia a Piskunov (1973) estudiaremos ahora un segundo teorema el cual nos daraacute acceso a la demostracioacuten de la derivada de las funciones trigonomeacutetricas inversas Note ademaacutes que en algunos casos usaremos la notacioacuten y
Teorema 3
Demostracioacuten
Dando a y un incremento y∆ de la igualdad (2) deducimos ( ) ( )x y y yϕ ϕ∆ = + ∆ minus
Como ( )yϕ es una funcioacuten monoacutetona se tiene 0x∆ ne Escribamos la identidad
1yxxy
∆=∆∆∆
Por ser continua la funcioacuten ( )yϕ 0x∆ rarr cuando 0y∆ rarr
Si para la funcioacuten ( )y f x= hellip(1)
Existe una funcioacuten inversa ( )x yϕ= hellip(2)
Tal que en un punto y dado tenga una derivada ( )yϕ distinta de cero entonces la funcioacuten ( )y f x= tiene en el punto
correspondiente x una derivada ( )f x igual a 1( )yϕ
es decir
se verifica la foacutermula 1( )( )
f xyϕ
=
Asiacute pues la derivada de una de las funciones reciacuteprocamente inversas es igual a la inversa de la derivada de la otra funcioacuten para los correspondientes valores de x e y
(Piskunov 1973 92)
Tomando liacutemites cuando 0y∆ rarr en ambos miembros de la uacuteltima
identidad obtenemos 1xy
yx
=
Por lo tanto 1( )( )
f xyϕ
=
(Piskunov 1973 93)
18) La derivada de la funcioacuten arco seno-
2
1( )1
dysi y f x arcsenxdx x
= = rArr =minus
Demostracioacuten
Si y arcsenx= se tiene 2
1
1
dydx x
=minus
Seguacuten la igualdad (1) tenemos cosy
x y= y conforme a la regla
para derivar la funcioacuten inversa se tendraacute 1 1 cosxy
yx y
= =
Pero 2 2cos 1 1 y sen y x= minus = minus luego 2
11
yx
=minus
La raiacutez se toma con el signo positivo porque la funcioacuten
y arcsenx= se define en el intervalo 2 2
yπ πminus le le y por
consiguiente 0y ge (Piskunov 1973 95)
Ejemplo 11
Calcular la derivada de la siguiente funcioacuten
1( )2
xf x arcsen + =
Solucioacuten
( ) ( )
( )
2 2 2
22
1 1 1
1 2 111 12 22
1 2 2 12 2 1
2
dfdx x xx
x xx x
= = =+ minus ++ minus minus
= =minus minus +minus + +
19) La derivada de la funcioacuten arco coseno-
2
1( ) arccos1
dysi y f x xdx x
minus= = rArr =
minus
Demostracioacuten La demostracioacuten se deja como trabajo 20) La derivada de la funcioacuten arco tangente-
21( ) arc t
1dysi y f x gxdx x
= = rArr =+
Demostracioacuten
Si y arctgx= se tiene 21
1dydx x
=+
si consideramos que x tgy=
tenemos
21
cosyx
y=
Por tanto 21 cos xy
y yx
= =
Pero 22 2
1 1cossec 1
yy tg y
= =+
Y puesto que tgy x= tenemos en definitiva 21
1dydx x
=+
Ejemplo 12
Calcular la derivada de la siguiente funcioacuten ( )2( ) (1 )f x x arctg x= +
Solucioacuten
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
22
(1 ) (1 )
1 = 2 (1 )1
= 2 1
df x arctg x x arctg xdx
x arctg x xx
df x arctg xdx
= + + +
+ ++
there4 +
21) La derivada de la funcioacuten arco cotangente-
21( ) arc t
1dysi y f x co gxdx x
minus= = rArr =
+
La demostracioacuten se deja como trabajo asiacute como las demostraciones de las funciones inversas restantes
22) La derivada de la funcioacuten arco secante-
2
1( ) arcsec1
dysi y f x xdx x x
= = rArr =minus
23) La derivada de la funcioacuten arco cosecante-
2
1( ) arc sec1
dysi y f x co xdx x x
minus= = rArr =
minus
Resumiendo
18) 2
1( )1
dysi y f x arcsenxdx x
= = rArr =minus
19) 2
1( ) arccos1
dysi y f x xdx x
minus= = rArr =
minus
20) 2
1( ) arc t1
dysi y f x gxdx x
= = rArr =+
21) 2
1( ) arc t1
dysi y f x co gxdx x
minus= = rArr =
+
22) 2
1( ) arcsec1
dysi y f x xdx x x
= = rArr =minus
23) 2
1( ) arc sec1
dysi y f x co xdx x x
minus= = rArr =
minus
9 REGLA DE LA CADENA
Veamos a continuacioacuten como Smith (2000) presenta y demuestra el teorema de la regla de la cadena un teorema para el caacutelculo de derivadas su utilidad radica en el hecho de que nos permitiraacute derivar funciones compuestas las mismas que se encuentran presentes en la mayoriacutea de modelos matemaacuteticos
Teorema 3
El teorema es cierto incluso si Demostracioacuten
( ) 0g x = pero la demostracioacuten requiere ( ) 0g x ne Sea ( ) ( ( ))F x f g x= Entonces
Regla de la Cadena- Si g es derivable en x y f es derivable en ( )g x entonces
[ ( ( ))] ( ( )) ( )d f g x f g x g xdx
=
(Smith 2000 228)
0
0
0
0
[ ( ( ))] ( ) ( )( ) lim
( ( )) ( ( )) = lim
( ( )) ( ( )) ( ) ( ) = lim ( ) ( )
( ( )) ( ( )) = lim ( )
h
h
h
h
d f g x F x h F xF xdx h
f g x h f g xh
f g x h f g x g x h g xh g x h g x
f g x h f g xg x h
rarr
rarr
rarr
rarr
+ minus= =
+ minus
+ minus + minus+ minus
+ minus+ 0
( ) ( ) 0
( ) ( ) lim( )
( ( )) ( ( )) ( ) ( ) = lim lim ( ) ( )
= ( ( )) ( )
h
g x h g x h
g x h g xg x h
f g x h f g x g x h g xg x h g x h
f g x g x
rarr
+ rarr rarr
+ minusminus
+ minus + minus+ minus
Ahora presentamos la regla de la cadena en teacuterminos de la notacioacuten de Leibniz ldquoSi ( )y f u= y ( )u g x= entonces ( ( ))y f g x= la regla
de la cadena expresa que du dy dudx du dx
= rdquo Smith (2000 228)
Ejemplo 13
Calcular la derivada de la siguiente funcioacuten a) 3 3( ) ( 1)f x x x= + minus
b) 6( ) xf x eminus=
c) 2( ) cos 1f x x= +
Solucioacuten
a) Siendo 3 3( ) ( 1)f x x x= + minus podemos hacer el siguiente cambio 3 1u x x= + minus asiacute 3 3( ) ( 1)f u u y u x x= = + minus Luego la
derivada es
( )33
2 2
1( )
=3 (3 1)
df df dudx du dx
d x xd udu dx
u x
=
+ minus=
+
3 2
5 3 2
5 3 2
=3( 1)(3 1)
= 9 12 9 3 3
=3(3 4 3 1)
x x x
x x x xdf x x x xdx
+ minus +
+ minus + minus
there4 + minus + minus
b) si 6( ) xf x eminus= entonces 6xu minus
= luego
( )
6( ) =
u
df df dudx du dx
d xd edu dx
=
minus
6
1= 6
1 = -6
u
x
e
df edx
minus
minus
there4
c) Sea 2 1u x= + se tiene en la funcioacuten lo siguiente 2( ) cos 1f u u donde u v y v x= = = + luego la derivada seraacute
( ) ( ) ( )
( )
2
1 2
2 2 1 2
1 22 2
1cos
1 = ( ) (2 )2
1 = 1 ( 1) (2 )2
= - 1 1
df df du dvdx du dv dx
d xd vd udu dv dx
senu v x
sen x x x
df x x sen xdx
minus
minus
minus
=
+=
minus
minus + +
there4 + +
Los ejercicios propuestos en este trabajo tienen por finalidad que alumno conozca y aplique las reglas de derivacioacuten asiacute como trabajar reforzar su habilidad para factorizar expresiones algebraicas
Trabajo Praacutectico Nordm 5 Reglas de Derivacioacuten y Regla de la Cadena10
1 Encontrar la derivada de las siguientes funciones
1 ( )( )f x a x a x= + minus
2 1( )1
xf xx
+=
minus
3 3 2( ) 1f x x x= + +
4 ( )f x x x x= + + 5 ( ) 2 3cos3f x senx x= +
6 ( )cos
senxf xa x
=+
7 1( ) ln1
senxf xsenx
+= minus
8 ( ) ( )co s( )f x sen a x x a= + +
9 ( )2( ) f x x ctgx=
10 ( )23
( ) logf x x senx= minus
11 2( ) ln 1f x x x = + +
12 22( )
1xf x arctgx
= minus
13 ( ) arctgxf x e=
14 ( )
( )2
x xe ef x arctg
minusminus=
15 4( )3 5cos
senxf x arctgx
= +
16 2
2 21 2 2( ) ln 21 2 1
x x xf x arctgx x x
+ += + minus + minus
10 Ejercicios tomados de N Piskunov (1973 136-137)
17 2 2( ) (7 4) 49 56 7 9ln(7 4 49 56 7)f x x x x x x x= + + + minus + + + +
18 ( ) ( ) ( ) ( )2( ) 1 1 ln 1 1f x x x x x = + minus minus minus +
19 ( ) 2 5 6( ) 5 6 60 36 21 42
xf x x x x arcsen minus = minus minus minus +
20 ( )2( ) 2 sec 2 8 1 2f x xarc x x arcsen x= + minus
21 2( ) 6 3arccos 13xf x x x = minus minus + minus
22 3( ) (3 2 2cos 2 )xf x e sen x x= minus
23 ( ) ( ) 2( ) 5 3 sec 5 3 ln 5 3 9 30 24f x x arc x x x x = minus minus minus minus + minus +
10 FUNCIONES IMPLICITAS
El siguiente punto que vamos a estudiar corresponde a la derivacioacuten de funciones impliacutecitas Laacutezaro (2000) define una funcioacuten impliacutecita como
DEFINICIOacuteN 9
Asiacute podemos citar como ejemplos a) 2( ) 4f x y x y= minus b) 2 2( ) 2 6f x y x x xy y= minus minus +
El autor nos presenta dos meacutetodos para derivar una funcioacuten impliacutecita ambos meacutetodos seraacuten presentados a continuacioacuten
Funcioacuten Impliacutecita Si tenemos una ecuacioacuten de la forma ( ) 0f x y = con ( )y f x= en el cual la variable dependiente y no estaacute ldquodespejadardquo en teacuterminos de x entonces y se llama funcioacuten impliacutecita de x
(Laacutezaro 2000 53)
1er Meacutetodo
Aplicando en amos miembros de la ecuacioacuten ( ) 0f x y = el
operador ddx
(derivada con respecto a x ) y usando todas las reglas de
derivacioacuten para finalmente despejar y 2do Meacutetodo
Usando derivadas parciales en la foacutermula
fdy x
fdxy
partpart= minuspartpart
Donde
fxpartpart
es la ldquoDERIVADA PARCIAL DE f CON RESPECTO A x rdquo en
este caso consideramos soacutelo a x como variable y el resto de letras se consideran como constantes
fxpartpart
es la ldquoDERIVADA PARCIAL DE f CON RESPECTO A y rdquo en
este caso consideramos soacutelo a y como variable y el resto de letras se consideran como constantes
(Laacutezaro 2000 53)
Ahora apliquemos los dos meacutetodos revisados y reflexionemos acerca de las ventajas de emplearlos Ejemplo 14
En la ecuacioacuten
3 3 3 0x y axy+ minus = donde ( )y f x= hallar dy
dx
Solucioacuten
Empleando el primer meacutetodo
Derivando ambos miembros de la ecuacioacuten tenemos
( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 3
3 3
2 2
2 2
2
2
3 0
3 0
3 3 3 0
3 3 3 3 0
d dx y axydx dx
d d dx y axydx dx dx
dx dy dy dxx y a x ydx dx dx dx
dy dyx y ax aydx dx
dydespejando
dx
dy ay xdx y ax
+ minus =
+ minus =
+ minus + =
+ minus minus =
minus=
minus
Empleando el segundo meacutetodo
3 3
2 2
2
2
( ) 3
3 0 3 y 3 0 3
3x 3 =-
3
Como f x y x y axy obtenemos
f fx ay y axx y
fdy xluego
dfdxdy
ay
y ax
= + minus
part part= + minus = + minus
part part
partpart= minus
minus
minus
Ejemplo 15En la ecuacioacuten
23 23 23 ( ) tanx y a y f x a es cons te+ = =
hallar dydx
Solucioacuten
Empleando el primer meacutetodo
2 3 23 23
13 13
133
13
( ) ( )
20
3
d dx y adx dx
dyx ydx
dy x ydx xy
minus minus
minus
minus
+ =
+ =
= minus = minus
Empleando el segundo meacutetodo 2 3 23 23
13 13
13 13
13
313
( )
2 20 0
3 3
2 2 0 0
3 3
23Asiacute 23
De f x y x y a
obtenemos
f x xx
f y yy
xdy ydx xy
minus minus
minus minus
minus
minus
= + minus
part= + minus =
part
part= + minus =
part
= minus = minus
11 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
Laacutezaro (2000) nos muestra a partir de una notacioacuten la definicioacuten de las derivadas de orden superior
NOTACIOacuteN SE LEE
dy ydx
= La 1ordf derivada de y con respecto
a x
2
2
d dy d y ydx dx dx
= =
2 3
2 3
d d y d y ydx dx dx
= =
3 4(4)
3 4d d y d y ydx dx dx
= =
( 1)
( )( 1)
n nn
n nd d y d y ydx dx dx
minus
minus
= =
La 2ordf derivada de y con respecto
a x
La 3ordf derivada de y con respecto a x
La 4ordf derivada de y con respecto
a x
La n-eacutesima derivada de y con respecto a x
(Laacutezaro 2000 73)
Tabla Nordm 5
La intencioacuten de estos dos ejemplos es de ejercitar la capacidad del alumno para aplicar derivacioacuten sucesiva y simplificacioacuten algebraica Ejemplo 16
Si kxy eminus= Hallar ny Solucioacuten
( )
2 3
( )
etc hasta la n-eacutesima derivada
Luego 1
kx kx kx
nn n kx
y ke y k e y k e
y k e n
minus minus minus
minus +
= minus = = minus
= minus isin
Ejemplo 17
Hallar ( ) (0)nf si 1( ) ln
1f x
x=
minus
Solucioacuten
Pero
1
2 2
3 3
(4) 4 4
(5) 5
1( ) ln ln(1) ln(1 )
1
( ) ln(1 )
1( ) (1 )
1
( ) 1(1 ) ( 1) (1 )
( ) 2(1 ) ( 1) 2(1 )
( ) 2( 3)(1 ) ( 1) 23 (1 )
( ) 23( 4)(1 ) ( 1) 234(1 )
f x xx
f x x
derivando
f x xx
f x x x
f x x x
f x x x
f x x x
minus
minus minus
minus minus
minus minus
minus
= = minus minusminus
= minus minus
minus= minus = minus
minus
= minus minus minus = minus
= minus minus minus = minus
= minus minus minus = minus
= minus minus minus = minus 5
( )
( )
( ) ( 1)(1 )
(0) ( 1)
n n
n
f x n x
luego
f n
minus
minus= minus minus
= minus
12 REGLA DE LrsquoHOSPITAL PARA EL CAacuteLCULO DE LIacuteMITES
INDETERMINADOS DE LAS FORMAS 00
e infininfin
Teorema 4
Regla de LrsquoHospital- Supongamos que lim ( ) 0 lim ( ) 0
x a x af x g x
rarr rarr= and = y supongamos
tambieacuten que existe ( )lim( )x a
f xg xrarr
Entonces existe ( )lim( )x a
f xg xrarr
y
( ) ( )lim lim( ) ( )x a x a
f x f xg x g xrarr rarr
=
(Laacutezaro 2000 48)
Observaciones
La regla de LrsquoHospital se puede aplicar tambieacuten para las siguientes formas indeterminadas
i) ( )lim( )x a
f xg xrarr
infin=infin
ii) ( )lim( )x
f xg xrarrinfin
infin=infin
iii) lim ( ) 0 lim ( ) lim ( ) ( ) 0
( ) 0 ( ) 0 = lim lim1 10 0( ) ( )
x a x a x a
x a x a
f x g x entonces f x g x
f x g x
g x f x
rarr rarr rarr
rarr rarr
= and = infin = infin
= or =
iv) Si lim ( ) lim ( )
x a x af x g x
rarr rarr=infin and = infin ademaacutes
lim [ ( ) ( )]x a
f x g xrarr
minus = infin minusinfin entonces se hace la transformacioacuten
siguiente
( )lim [ ( ) ( )] lim ( )[1 ]
( )x a x a
g xf x g x f x
f xrarr rarrminus = minus pero si ( )
lim 1( )x a
g xf xrarr
=
entonces se hace
( )10( )lim
1 0( )
x a
g xf x
f xrarr
minus=
v) Los liacutemites indeterminados 0 01 0 infin infin se determinan buscando
previamente sus logaritmos y hallando el liacutemite del logaritmo de la expresioacuten [ ] ( )( ) g xf x
Los ejemplos resueltos a continuacioacuten intentan mostrar al alumno algunos casos en los que el liacutemite se puede calcular empleando regla de LrsquoHospital
Ejemplo 18
Calcular los siguientes liacutemites
a) 30
coslimx
x x senxxrarr
minus b) 0
limcot
2x
xxg
π
πrarr
c) 0
limx
tgx senxx senxrarr
minusminus
d) 0
lim 0xx
xrarr
=
e) ( )1
20
lim 1 xx
xrarr
+
Solucioacuten
a) 30
cos 0lim0x
x x senxxrarr
minus= entonces derivando numerador y
denominador tenemos
( )
( )( )( )
20 03
2 0 0 0
cos cos coslim lim3
cos 1lim lim lim3 33 3
x x
x x x
x x senx x xsenx xxx
senxxsenx xx x
rarr rarr
rarr rarr rarr
minus minus minus=
minusminus minus= = = = minus
b) 0
limcot
2x
xxg
π
πrarr
infin=infin
entonces
2
0
0 0 2
lim1 10 2cot lim lim
2 sec2 2 2 2
x
x x
xx xx g
x xtg
ππ π π π π
ππ π π π
rarr
rarr rarr
= = = = =infin
c) 0
0lim
0x
tgx senxx senxrarr
minus=
minus entonces
2
0
sec cos 0lim
1 cos 0x
x xxrarr
minus=
minus luego
2
0 0
2sec sec 2sec 0lim lim
0x x
x xtgx senx x tgx senxsenx senxrarr rarr
+ += =
derivando otra vez 2 4
0
2 2sec sec coslim 3
cosx
x tgx x x
xrarr
+ + =
d)
0lim 0xx
xrarr
=
Hagamos xy x=
Tomemos logaritmos ln lny x x= Ahora apliquemos liacutemites [ ] [ ]
0 0lim ln lim lnx x
y x xrarr rarr
=
Pero0
ln lim 0x
yrarr
= infin entonces expresemos la funcioacuten como
0
lnlim
1x
x
xrarr
infin=infin
por LrsquoHospital 0 0
2
1
lim lim 01x x
x x
xrarr rarr
= minus =minus
O sea
0 0 0 0ln lim 0 lim 1 lim 1 lim 1x
x x x xy y y x
rarr rarr rarr rarr
= rArr = rArr = rArr =
e) ( )1
20
lim 1 1xx
x infin
rarr+ =
Hacer ( )1
21 xy x= +
( )
( )
2
20 0
1ln ln 1
1lim ln lim ln 1x x
y xx
y xxrarr rarr
= +
= +
( )20
= 0
1Pero = lim ln 1
xx
xrarr
infin
+
2
0
21 = lim
1x
xx
rarr
+
( )0 0 0
0 =
1
lim ln 0 ln( lim ) 0 lim 1x x x
y luego y finalmente yrarr rarr rarr
= = =
El siguiente grupo de ejercicios pretende que el alumno afiance sus habilidades para el manejo de reglas de derivacioacuten ademaacutes mejore el manejo de expresiones algebraicas
Trabajo Praacutectico Nordm 6 Derivacioacuten Impliacutecita- Derivada de
Orden Superior11
Ejercicio 1
Halle las derivadas de las siguientes funciones impliacutecitas
1 1
ln( ) 0x xyy
minus minus =
2 3 2 35 3 ln 0x x y yminus minus =
3 ye xy e+ =
4 ln 0x x yyminus + =
5 2 35 2xy y y xy+ = + 6 ( ) 1xy sen xy+ =
11 Ejercicios tomados de N Piskunov (1973 136-137)
7 1 1x y xy+ = +
8 2 2cos( )xy y x= +
9 2 2cos( ) 3 4y xy x+ + =
10 2 3 23 5x yminus = Ejercicio 2
Encuentra la derivada del orden indicado en cada caso 1 3 22 5 1y x x x= minus + minus Hallar y
2 5 3y x= Hallar y
3 6y x= Hallar (6)y
4 ncy
x= Hallar y
5 2 2y a x= minus Hallar y
6 2y x= Hallar y
7 2
x xa aay e e
minus = +
Hallar y
Ejercicio 3
Empleando regla de la cadena derivar las siguientes funciones
1 2
23
3 1ln 1
3
xy x arctgxx
minus= + + +
2 2
221 2 2
ln 211 2
x x xy arctgxx x
+ += +
minusminus +
3 2
21
cos1
n
nxy arcx
minus=
+
4 23 5cos
senxy arctgx
=+
5 y arcsen senx=
6 2 2 2 xy x a x a arcsena
= minus +
13 MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCIOacuteN
Para determinar los maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten es necesario conocer algunas caracteriacutesticas de ella como por ejemplo cuando es creciente o decreciente Basaacutendonos en la bibliografiacutea de Laacutezaro Carrioacuten (2000 108) podemos observar las definiciones siguientes
DEFINICIOacuteN 10
DEFINICIOacuteN 11
131 CRITERIOS PARA EXTREMOS RELATIVOS
Laacutezaro (200 113-114) nos muestra los criterios de la primera y segunda derivada para encontrar los maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten
Una funcioacuten ( )f x es creciente sobre un intervalo I cuando se cumple que
1 2 1 2 1 2( ) ( ) si x x f x f x x x Ilt rArr lt forall isin
(Laacutezaro 2000 108)
Una funcioacuten ( )f x es decreciente sobre un intervalo I cuando se cumple que
1 2 1 2 1 2( ) ( ) si x x f x f x x x Ilt rArr gt forall isin
(Laacutezaro 2000 108)
1 CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA
Sea c un punto criacutetico de ( )f x donde ( ) 0f x = oacute ( )f c no existe Si existe una vecindad de ( ) c V c c cδ δ δ= minus + donde ( )f x es continua en ( )V cδ y derivable en ( )V cδ excepto tal vez en c 1 Si ( ) 0 ( ) 0 f x x c c f x x c cδ δgt forall isin minus and lt forall isin + ( )f crArr
es un maacuteximo relativo de f 2 Si ( ) 0 ( ) 0 f x x c c f x x c cδ δlt forall isin minus and gt forall isin + ( )f crArr
es un maacuteximo relativo de f
3 si ( ) 0 ( ) 0 f x x c c f x x c cδ δgt forall isin minus and gt forall isin + or
( ) 0 ( ) 0 f x x c c f x x c cδ δlt forall isin minus and lt forall isin + ( )f crArr
no es maacuteximo ni miacutenimo relativo de f
Veamos algunos ejemplos que son de aplicacioacuten del criterio dado Ejemplo 19
Sea la funcioacuten
( )
5 3
5
3 5 54 2( ) 2 4 2 2 5
5 5x
x x xf x x x
x e xminus
minus + + lt= minus minus + le lt
minus ge
Hallar los maacuteximos y miacutenimos de esta funcioacuten Solucioacuten
( )Dom f =real ( )f x real es continua en todo definiendo el valor absoluto en f tenemos lo siguiente
5 3
5
3 5 54 22( 4) 2 2 4
( )2( 4) 2 4 5
(5 ) 5x
x x xx x
f xx x
x e xminus
minus + + lt
minus + le lt= minus minus + le lt minus ge
ahora encontramos la derivada de
la funcioacuten ( )f x
2
5
15 ( 1)( 1) 22 2 4
( )2 4 5
( 6) 5x
x x x xx
f xx
x e xminus
minus minus + lt
le lt= minus le lt minus ge
Encontrando los puntos criacuteticos tenemos 0 112456minus Luego de evaluar algunos puntos en los intervalos generados con los puntos criacuteticos de la funcioacuten tenemos que
( 1) 52f minus = es miacutenimo relativo ( )f x (0) 54f = no es maacuteximo ni miacutenimo de ( )f x (1) 56f = es un maacuteximo relativo de ( )f x (2) 2f = minus es miacutenimo relativo ( )f x (4) 2f = es un maacuteximo relativo de ( )f x (5) 0f = no es maacuteximo ni miacutenimo de ( )f x
1(6)f
e= es miacutenimo relativo ( )f x
2 CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA Sea ( )f x una funcioacuten derivable en un entorno de c Si ( ) 0f c = and si ( )f c existe entonces 1) Si ( ) 0 ( ) es un maacuteximo relativo de f c f c flt rarr
2) Si ( ) 0 ( ) es un miacutenimo relativo de f c f c fgt rarr El siguiente ejemplo muestra la funcionalidad del criterio y se espera que el alumno reflexione acerca de las diferencias entre la aplicacioacuten de ambos
Ejemplo 20
Sea la funcioacuten ( ) 2cos cos 2 f x x x x= minus isinreal encontrar los maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten Solucioacuten
Derivando la funcioacuten se tiene
( ) 2 2 2 2 (1 2cos )f x senx sen x senx x= minus + = minus minus luego los puntos singulares (criacuteticos) son De ( ) 0f x = se tiene 2 (1 2cos ) 0senx xminus minus = resolviendo la
ecuacioacuten tenemos que 0 ( 1) 0ordmnsi senx x n nπ π= rarr = + minus = ademaacutes
( ) 11 2cos 0 arccos
2si x x minus = rarr =
52 2
3 3siendo x n x nπ π
π π= plusmn or = plusmn
Luego los puntos criacuteticos son 5 2 2
3 3n n nπ ππ π π + +
La segunda derivada es 2( ) 2 4cos cos 2f x x x= minus minus
Se cumplen a) ( ) 0f n fπ gt rarr tiene miacutenimos relativos en x nπ=
b) ( 2 ) 03
f n fππ+ lt rarr tiene maacuteximos relativos en 2
3x nπ
π= +
c) 5( 2 ) 0
3f n fπ
π+ lt rarr tiene maacuteximos relativos en 52
3x nπ
π= +
El trabajo de aplicaciones que se deja a continuacioacuten tiene la finalidad de aplicar los criterios para hallar maacuteximos y miacutenimos pero es necesario indicar sin restarle mayor importancia a lo anterior que es una bueno oportunidad para que el alumno ponga en praacutectica el trabajo de cambio de registros
Trabajo Praacutectico Nordm 7 Aplicaciones de las derivadas a los Maacuteximos y Miacutenimos de una funcioacuten
Costo Miacutenimo- Una plataforma petroliacutefera estaacute 2 Km mar adentro y la refineriacutea 4 Km costa abajo Si el costo del metro del oleoducto es doble en el mar que en la tierra firme iquestQueacute trayecto debe tener el oleoducto para minimizar el costo
Ejercicio 1
Beneficio Maacuteximo- El beneficio de cierta empresa es Ejercicio 2
21230 20
2P s s= + minus donde s es la cantidad (en cientos de doacutelares)
gastada en publicidad iquestQueacute valor de s hace maacuteximo el beneficio
Cierta empresa de material fotograacutefico oferta una maacutequina que es capaz de revelar y pasar a papel 155 fotografiacuteas por minuto Sin embargo sus cualidades se van deteriorando con el tiempo de forma que el nuacutemero de fotografiacuteas por minuto seraacute funcioacuten de la antiguumledad de la maacutequina de acuerdo a la siguiente expresioacuten (
Ejercicio 3
( )f x representa el nuacutemero de fotografiacuteas por minuto cuando la maacutequina tiene x antildeos)
155 11 0 5( ) 5 45
52
x x si xf x x si x
x
minus le le= +
gt +
a) Estudiar la continuidad de la funcioacuten ( )f x
b) Comprobar que el nuacutemero de fotografiacuteas por minuto decrece con la antiguumledad de la maacutequina Justificar que si tiene maacutes de 5 antildeos revelaraacute menos de 10 fotografiacuteas por minuto
c) Justificar que por muy vieja que sea la maacutequina no revelaraacute menos de 5 fotografiacuteas por minuto
Se ha construido una presa de almacenamiento de agua cuyos costes de mantenimiento diarios son una funcioacuten de la cantidad de agua que la misma tiene almacenada Tales costes (en doacutelares) vienen dados por la siguiente expresioacuten (
Ejercicio 4
( )C x representa el coste si el volumen de agua en millones de metros cuacutebicos es x )
3 2( ) 8 73C x x x x= + minus + a) encontrar el volumen diario de agua oacuteptimo que debe mantenerse para minimizar costes b) calcular el coste miacutenimo diario que supone el mantenimiento de la instalacioacuten Si un diacutea la presa tiene almacenados 3 millones de metros cuacutebicos de agua iquestcuaacutento se ha gastado de maacutes respecto del coste miacutenimo
Un taller artesanal estaacute especializado en la produccioacuten de cierto tipo de juguetes Los costos de fabricacioacuten
Ejercicio 5
( )C x en soles estaacuten relacionados con el nuacutemero de juguetes fabricados x a traveacutes de la siguiente expresioacuten 2( ) 10 2000 250000c x x x= + + El precio de venta de 8000 soles a) Plantear la funcioacuten de ingreso que obtiene el taller con la venta de
los juguetes producidos b) Plantear la funcioacuten de beneficio entendidos como diferencia entre
ingresos y costos de fabricacioacuten c) iquestCuaacutentos juguetes debe fabricar para maximizar beneficios iquestA
cuanto ascenderaacuten estos beneficios
Se ha investigado el tiempo (T en minutos) que se tarda en realizar cierta prueba de atletismo en funcioacuten del tiempo de entrenamiento de los deportistas (x en diacuteas) obtenieacutendose que
Ejercicio 6
3000 30
30( )1125
2 30( 5)( 15)
si xxT x
xx x
le le += + gt minus minus
a) Justificar que la funcioacuten T es continua en todo su dominio b) iquestSe puede afirmar que cuaacutento maacutes se entrene un deportista
menor seraacute el tiempo en realizar la prueba iquestAlguacuten deportista tardaraacute maacutes de 10 minutos en finalizar la prueba
c) Por mucho que se entrene un deportista iquestseraacute capaz de hacer la prueba en menos de 1 minuto iquestY en menos de 2
Un individuo ha invertido en acciones de cierta compantildeiacutea durante los uacuteltimos 10 antildeos El valor de su cartera a lo largo del tiempo (dinero invertido maacutes beneficios obtenidos en miles) viene dado por la siguiente expresioacuten (x en antildeos)
Ejercicio 7
2( ) ( 2) (1 2 ) 252 116 0 10f x x x x si x= minus minus + + le le a) Determinar los intervalos de tiempo en que la cartera crecioacute y
aquellos en que decrecioacute b) El individuo retira sus ingresos transcurridos 10 antildeos iquestCuaacutel hubiera
sido el mejor momento para haberlo hecho iquestCuaacutento pierde por no haberlo retirado en el momento oacuteptimo
El rendimiento (medido de 0 a 10) de cierto producto en funcioacuten del tiempo de uso (x en antildeos) viene dado por la siguiente expresioacuten
Ejercicio 8
2
3( ) 85 0
1
xf x xx
= + ge+
a) iquestHay intervalos de tiempo en los que el rendimiento crece iquestY en queacute decrece iquestCuaacuteles son
b) iquestEn queacute punto se alcanza el rendimiento maacuteximo iquestCuaacutento vale c) Por mucho que pase el tiempo iquestpuede llegar a ser el rendimiento
inferior al que el producto teniacutea cuando era nuevo
El peso que una plancha de cierto material es capaz de soportar depende de la edad de la misma seguacuten la siguiente funcioacuten (el peso P en toneladas t representa la edad en antildeos de la plancha)
Ejercicio 9
250 0 3( ) 20
56 31
t tP t t t
t
minus le le=
minus gt +
a) iquestEs el peso una funcioacuten continua con la edad Seguacuten vaya pasando el tiempo iquestla plancha cada vez aguantaraacute menos peso
b) Dicen que por mucho tiempo que transcurra la plancha siempre aguantaraacute maacutes de 40 toneladas iquestEstaacutes de acuerdo
c) Esboza un dibujo de la graacutefica de P (t) cuidando la concavidad y convexidad de la funcioacuten
El servicio de traumatologiacutea de un hospital va a implantar un nuevo sistema que pretende reducir a corto plazo las listas de espera Se preveacute que a partir de ahora la siguiente funcioacuten indicaraacute en cada momento (t en meses) el porcentaje de pacientes que podraacute ser operado sin necesidad de entrar en lista de espera
Ejercicio 10
2 8 50 0 10( ) 38 100
1004
t t si tp t t si t
t
minus + le le= minus
gt
a) iquestA partir de queacute momento creceraacute este porcentaje Por mucho tiempo que pase iquesta queacute porcentaje no se llegaraacute nunca
b) Haz un esbozo de la graacutefica de la funcioacuten P a lo largo del tiempo 24 LA INFORMAacuteTICA COMO RECURSO
La informaacutetica vista como recurso y no como fin contribuye en la ensentildeanza de la Matemaacutetica a una reconceptualizacioacuten de los planes y programas de estudio para pasar de un modelo masivo unidireccional centrado en el profesor a un modelo mas individualizado centrado en el estudiante
Esto facilita el desarrollo del pensamiento creador de los estudiantes ya que bull Las operaciones automaacuteticas los ayudan a realizar tareas
conceptuales maacutes importantes bull No tienen que ser necesariamente buenos algebraicamente para
dominar el pensamiento abstracto
bull Se le desarrollan gran cantidad de habilidades a traveacutes de la ejercitacioacuten
bull Se le facilita el trabajo independiente bull Pueden dar respuestas maacutes raacutepidas precisas y veraces a los
problemas de la especialidad que se le presenten en el transcurso de sus estudios
bull Tienen la posibilidad de dedicar maacutes tiempo a la modelacioacuten matemaacutetica y al anaacutelisis de la solucioacuten de los diversos problemas a resolver
El grupo experimental es de la Escuela de Ingenieriacutea Industrial y podemos decir que para ellos la computacioacuten no es una herramienta fundamental de trabajo para resolver problemas matemaacuteticos Aquiacute los estudiantes realizaraacuten acciones con la computadora que les reporten beneficios en ahorro de tiempo confiabilidad en los resultados matemaacuteticos ahorro de esfuerzo productividad etc En la competencia del siacutelabo se puede leer Interpreta formula y resuelve problemas de contexto real utilizando definiciones teacutecnicas y aplicaciones del caacutelculo Diferencial desarrollando comunicacioacuten investigacioacuten razonamiento y manifestando confianza flexibilidad y perseverancia De aquiacute se desprende la idea de utilizar programas en esta carrera especiacuteficamente ldquoDERIVErdquo Utilizando este paquete el estudiante puede resolver problemas de aplicacioacuten con mayor precisioacuten y rapidez obteniendo respuestas oacuteptimas y asiacute influir positivamente en la toma de decisiones Por esta razoacuten es necesario un replanteamiento en la ensentildeanza de la matemaacutetica donde lo primordial seraacute
1 Asimilacioacuten de conceptos y definiciones por parte de los estudiantes para aplicarlos a la modelacioacuten de problemas
2 Reduccioacuten sensible de los caacutelculos manuales en elementos del calculo diferencial lo que posibilita impartir mayor cantidad de conocimientos en menor tiempo
3 Elaboracioacuten de pruebas parciales y finales donde el estudiante modele problemas y luego los resuelva usando empleando DERIVE
Esto no significa de ninguna manera que el estudiante no tenga que resolver ejercicios donde aplique los conocimientos adquiridos sin
usar la computacioacuten Pues si lo haraacute y un grado de complejidad donde no sea necesario el uso de los medios de computo En la vida praacutectica el ingeniero se encuentra con situaciones problema inherente a su campo de accioacuten algunas de las cuales pueden ser modeladas con ayuda de un software matemaacutetico Dado un problema se debe 1 Analizarlo profundamente con la finalidad de recoger la mayor cantidad de informacioacuten posible 2 Hacer el planteamiento del problema en cuestioacuten teniendo en cuenta el punto 1 3 Modelarla usando un modelo que se ajuste a la situacioacuten 4 Solucionarla Para ello se puede usar
- Tablas matemaacuteticas - Calculadoras de mano - Computadoras
5 Interpretar los resultados 6 Tomar una decisioacuten Como se puede observar faacutecilmente los puntos del 1 al 6 con excepcioacuten del 4 responden al pensamiento creador y el 4 corresponde al uso del computador De todas formas esto no resta importancia al creciente uso de la computacioacuten en la matemaacutetica Ambos aspectos estaacuten muy vinculados La computacioacuten como herramienta ahorra el tiempo que el estudiante puede utilizar sin liacutemites para desarrollar el pensamiento creador En general se han realizado varias actividades con el uso del ldquoDeriverdquo que han fortalecido el proceso de ensentildeanza-aprendizaje en la especialidad entre las cuales se pueden mencionar 1 Clases praacutecticas en el laboratorio de la Escuela donde la
profesora guiacutea el proceso 2 Clases praacutecticas donde soacutelo se modela el problema y el
estudiante lo resuelve en tiempo extra con la ayuda de la maacutequina
3 Tareas donde el estudiante se ve precisado a utilizar la maacutequina para obtener respuestas raacutepidas y eficientes
4 Tareas sistemaacuteticas de problemas de cierta complejidad los cuales se les hariacutea muy difiacutecil resolverlos manualmente
5 Pruebas integradoras de Matemaacutetica y Computacioacuten donde la matemaacutetica ofrece el modelo para resolverla y la computacioacuten ofrece el paquete para encontrar una solucioacuten oacuteptima
6 Talleres donde la solucioacuten de los problemas es con ayuda de la computadora En estos talleres se puede observar que el estudiante tiene la necesidad de aplicar conceptos estudiados en clases para modelar e interpretar los problemas que se le presentan que en ocasiones son de caraacutecter integrador pues tienen que aplicar conceptos matemaacuteticos como Liacutemite Derivada entre otros para modelar uno soacutelo de ellos por lo tanto el uso del Derive en este caso fue esencial y muy provechoso
241 EL SOFTWARE EDUCATIVO EN EL PROCESO DE
ENSENtildeANZA APRENDIZAJE
El efecto del uso de software educativos en el proceso de ensentildeanza aprendizaje se manifiesta en un cambio de paradigma pedagoacutegico centrado en el aprendizaje maacutes que en la ensentildeanza donde el trabajo del docente prioriza la organizacioacuten y disposicioacuten de los contenidos de aprendizaje asiacute como la organizacioacuten del aprendizaje de los alumnos mediante tareas individuales y en grupo con un permanente seguimiento por parte del docente Es un modelo de formacioacuten centrado en problemas en el que los alumnos no son receptores pasivos de informacioacuten sino que deben resolver problemas utilizando para ello los contenidos adquiridos El uso del software educativo haraacute de la clase un lugar privilegiado de ensentildeanza ya que se convertiraacute en un conjunto muacuteltiple de entornos en aprendizajes en los que el alumnado pueda desarrollar y adquirir el conjunto de habilidades saberes y actitudes necesarias para vivir en sociedad Este hecho conlleva la necesidad de generar nuevos saberes pedagoacutegicos en relacioacuten con la planificacioacuten y el seguimiento del aprendizaje del alumnado en situaciones diversas
242 LA INTRODUCCION DE SOFTWARE DE
MATEMATICA EN LA EDUCACION MATEMATICA
Uno de los propoacutesitos de la educacioacuten matemaacutetica es formar al estudiante para que adquiera fluidez representacional
entendida esta como la representacioacuten verbal graacutefica geomeacutetrica tabular icoacutenica algebraica pictoacuterica mediante la que exprese conceptos y procedimientos matemaacuteticos El aprendizaje significativo se da traveacutes de la solucioacuten de situaciones problema donde el estudiante aprende cuando domina diferentes sistemas de representacioacuten Hoy en diacutea las nuevas tecnologiacuteas han cambiado profundamente el mundo de las matemaacuteticas y el de las ciencias ya que no soacutelo han afectado las preocupaciones propias de su campo y la perspectiva como eacuteste se ve sino tambieacuten el modo en que las ciencias y las matemaacuteticas se hacen se ensentildean y se transmiten Como sentildeala Zabalza (2003) ldquoLa incorporacioacuten de las nuevas tecnologiacuteas a la didaacutectica universitaria situacutea a los docentes ante el enorme desafioacute de las nuevas modalidades de ensentildeanzardquo Introducir la tecnologiacutea en el campo de la educacioacuten definitivamente aumenta las posibilidades de mejorar el rendimiento acadeacutemico en particular en la educacioacuten matemaacutetica se incrementa la manera de representar los conceptos matemaacuteticos pero es necesario considerar que ello podriacutea incrementar el riesgo de los problemas de comunicacioacuten pues los alumnos podriacutean estar expuestos a tomar la notacioacuten del software que emplean como notacioacuten algebraica formal a pesar que se les pida que consideraran que cada software tienen diferentes maneras de expresar los conceptos matemaacuteticos parece que ayudariacutea que las notaciones que usa la tecnologiacutea se fueran ajustando maacutes a las usadas en el aacutelgebra Esto es un riesgo que vale la pena tomar en cuenta al momento de hacer nuestras programaciones y que no debe hacernos desistir de emplear este recurso para lograr los objetivos propuestos El Derive es una potente herramienta computacional para el desarrollo del pensamiento variacional pensamiento que estaacute relacionado con los demaacutes pensamientos matemaacuteticos permite al estudiante concentrar esfuerzos en el razonar solucionar y formular problemas asiacute como en verificar teoremas y propiedades matemaacuteticas y geomeacutetricas
243 EL PROGRAMA CIENTIacuteFICO DERIVE
DERIVE es un programa de matemaacuteticas capaz de procesar variables expresiones ecuaciones funciones vectores y matrices Al igual que una calculadora cientiacutefica sirve para trabajar con nuacutemeros Puede realizar caacutelculos numeacutericos y simboacutelicos con aacutelgebra trigonometriacutea y anaacutelisis ademaacutes de representaciones graacuteficas en dos y tres dimensiones El aspecto maacutes sobresaliente de Derive es su trabajo simboacutelico unido a sus capacidades graacuteficas Es una herramienta excelente para hacer y aplicar matemaacuteticas y para aprender y ensentildear matemaacuteticas Esto lo convierte en un paquete matemaacutetico idoacuteneo para los primeros cursos de la carrera DERIVE es uno de esos programas de caacutelculo simboacutelico quizaacute el maacutes difundido y popular porque en su modalidad maacutes sencilla funcionaba en cualquier PC sin necesidad de que tuviera disco duro y ocupaba soacutelo un diskette Hoy Derive sigue siendo un pequentildeo programa que ocupa poco maacutes de 3 Mb y que sigue siendo muy accesible e intuitivo
244 CAPACIDADES DEL PROGRAMA DERIVE
Conocer las capacidades del programa nos serviraacute para pensar en sus aplicaciones docentes Cuanto mejor se conozca el programa incluyendo sus novedades tanto mejor se puede incorporar a diversos aspectos de la ensentildeanza Derive como una herramienta computacional permite bull La construccioacuten exploracioacuten manipulacioacuten directa y
dinaacutemica de objetos en pantalla que conducen en un nivel bajo a la elaboracioacuten de conjeturas en un nivel medio a la argumentacioacuten y un nivel superior a la realizacioacuten de demostraciones
bull Las representaciones cuantitativas geomeacutetricas tabulares algebraicas y graacuteficas en forma dinaacutemica es decir que al variar un elemento o argumento en la expresioacuten original se produce una variacioacuten de dependencia entre las variables posibilitando asiacute el anaacutelisis y la generalizacioacuten de conceptos
bull La representacioacuten graacutefica en dos y tres dimensiones dando la posibilidad de realizar transformaciones y de asociar figuras con objetos fiacutesicos para pasar a un nivel de conceptualizacioacuten maacutes elevado
bull Problematizar lo visual de tal forma que surja la necesidad de examinar conjeturar predecir y verificar es decir da al estudiante la posibilidad de pensar y de preguntar sobre el porque de determinados hechos llevaacutendolo a la exploracioacuten de otras situaciones
bull La correlacioacuten de lo geomeacutetrico con lo algebraico
En el plan de Estudios de las asignaturas de Loacutegico Matemaacutetica Matemaacutetica I y Matemaacutetica II de la Universidad Cesar Vallejo se desarrollan temas en los cuales el uso de derive seria de mucha ayuda desde este punto puedo mencionar que derive permite trabajar bull Operaciones con vectores matrices y determinantes bull Resolucioacuten de ecuaciones y de sistemas de ecuaciones bull Calculo de Liacutemites derivadas integrales (definidas e
indefinidas) series liacutemites polinomios de Taylor bull Representacioacuten graacutefica de funciones en forma expliacutecita
impliacutecita parameacutetrica y en coordenadas polares Asiacute como la representacioacuten de funciones de dos variable
bull Operaciones con polinomios y fracciones algebraicas y muchas otras
bull Ademaacutes es posible programar funciones que usen las distintas capacidades del programa de modo que aumenta asiacute sensiblemente el espectro de sus aplicaciones DERIVE se suministra con varios ficheros de funciones para propoacutesitos diversos como resolver ecuaciones diferenciales trabajar en Aacutelgebra Lineal etc
245 LABORATORIOS PARA EL APRENDIZAJE DEL
CALCULO DIFERENCIAL EMPLEANDO DERIVE
El contenido de las praacutecticas de laboratorio es ldquoautosuficienterdquo en el sentido que no son precisos conocimientos previos de informaacutetica por parte del alumno
CAPIacuteTULO III
METODOLOGIacuteA DE LA INVESTIGACIOacuteN
31 PARADIGMA DE INVESTIGACIOacuteN
El paradigma de esta investigacioacuten es de tipo positivista tambieacuten denominado (Arnal 1996) paradigma cuantitativo empiacuterico-analiacutetico racionalista Basado en la escuela filosoacutefica del positivismo (Arnal 1996) y que presenta Arnal (199641) citando a Koetting (1994 296) las siguientes caracteriacutesticas 1 Su intereacutes es explicar controlar y predecir 2 La naturaleza de su realidad es dada tangible fragmentada
convergente 3 La relacioacuten sujetoobjeto es independiente neutral libre de
valores 4 Su propoacutesito es la generalizacioacuten libre de contexto con
explicaciones centradas en deducciones y centradas sobre semejanzas
5 la explicacioacuten de la causalidad refiera a causas reales Arnal (1996 41) nos dice ldquoEste paradigma lleva asociado el peligro de reduccionismo al aplicarse al aacutembito educativo Si bien permite satisfacer ciertos criterios de rigor metodoloacutegico sacrifica el estudio de otras dimensiones sustantivas del hecho educativo como realidad humana sociocultural e incluso poliacutetica e ideoloacutegicardquo
32 TIPO DE INVESTIGACIOacuteN
Positivista ndash experimental 33 POBLACIOacuteN
Poblacioacuten Los alumnos de la asignatura de Matemaacutetica I de la Universidad Ceacutesar Vallejo durante el segundo semestre 2006 Son en total 46 alumnos Se tomaraacute en cuenta el promedio final al terminar cada ciclo Semestre 2006 ndash II
34 HIPOacuteTESIS ESTADIacuteSTICAS
0 M MH micro micro= (Hipoacutetesis Nula)
1 M MH micro microne (Hipoacutetesis de la investigacioacuten) Donde
Mmicro Nota promedio de los alumnos de la asignatura de Matemaacutetica I Seccioacuten A aula 412 del semestre 2006 II que emplearon el software DERIVE
Mmicro Nota promedio de los alumnos de la asignatura de Matemaacutetica I Seccioacuten B aula 413 del semestre 2006 II que no que emplearon el software DERIVE
35 VARIABLES
Variable Independiente Programa DERIVE Variable Dependiente Rendimiento acadeacutemico de los alumnos Variables Intervinientes Asistencia a clases horarios tipo de contenidos
36 DISENtildeO DE INVESTIGACIOacuteN
El presente trabajo de investigacioacuten se desarrollaraacute en los ambientes de la Universidad Cesar Vallejo en la Escuela de Ingenieriacutea Industrial y de Sistemas en la asignatura de Matemaacutetica I Ademaacutes se emplearaacute el laboratorio de coacutemputo 305 donde se ha instalado el software DERIVE
El disentildeo empleado es de tipo experimental Hernaacutendez Sampieri (2003 188) nos dice ldquoLa esencia de esta concepcioacuten de ldquoexperimentordquo es que requiere la manipulacioacuten intencional de una accioacuten para analizar sus posibles efectosrdquo Bajo esta idea se tiene la presencia de dos variables una independiente la cual consiste en el uso del software DERIVE como recurso didaacutectico para mejorar el rendimiento acadeacutemico de los alumnos de Ingenieriacutea de Sistemas y la otra llamada dependiente que en este caso es el rendimiento acadeacutemico El disentildeo implica ademaacutes la presencia de dos grupos de los cuales soacutelo uno seraacute expuesto a la presencia de la variable independiente a este grupo le llamaremos grupo experimental y estaraacute formado por los alumnos de la Escuela de Ingenieriacutea Industrial (aula 412) el otro recibiraacute el nombre de grupo de control y lo conformaraacute los alumnos de la Escuela de Ingenieriacutea Sistemas (Aula 413) Al finalizar el proceso de investigacioacuten se compararaacuten ambos para determinar si el grupo que ha sido expuesto a la variable independiente difiere del otro Basada en la tipologiacutea de Cambell y Stanley (1966) empleareacute la simbologiacutea de un disentildeo cuasiexperimental con una preprueba - posprueba y grupo de control siendo el esquema el siguiente
1 1 2
2 3 4
0 0
0 _ 0
G X
G
Para el caso de este trabajo el resultado de la preprueba consiste en el promedio de la primera unidad ya que la investigacioacuten se realizaraacute en la segunda unidad del curso de manera que las notas de la primera unidad seraacuten de importancia en el inicio de esta investigacioacuten
37 TEacuteCNICAS E INSTRUMENTOS DE RECOLECCIOacuteN DE
DATOS
En los estudios experimeacutentales la teacutecnica se encuentra limitada al procedimiento para desarrollar una actividad especiacutefica y los instrumentos son las herramientas que serviraacuten para manipular el objeto de estudio La teacutecnica consiste en el desarrollo de sesiones de laboratorio usando el software DERIVE las cuales se realizaraacuten dentro de la
jornada de clases debo indicar que las clases son una vez a la semana en bloque de 5 horas iniciaacutendose a las 730 am y finalizando a las 1200 am contando con un descanso de 20 minutos a las 1000 am Cada sesioacuten con el grupo experimental seraacute trabajado en el laboratorio de computo el cual esta totalmente equipado para realizar la clase y los alumnos contaran con una guiacutea de trabajo la misma que se les entregaraacute al empezar la clase en el laboratorio Todas las guiacuteas de trabajo se encuentran en el Anexo 3 En el caso del grupo de control no hay asistencia al laboratorio los alumnos trabajaraacuten siempre en el aula y la clase se desarrollara empleando la clase magistral y el trabajo en pareja o en grupo Para la recoleccioacuten de datos he empleado praacutecticas calificadas las cuales disentildeeacute basaacutendome en la taxonomiacutea de Bloom mencionada anteriormente en el Capiacutetulo II del fundamento teoacuterico y cuyas tablas de especificaciones se encuentran en el Anexo 5 aquiacute se pueden apreciar en detalle las habilidades cognitivas y los ejes temaacuteticos que se ha evaluado asiacute como el nuacutemero de preguntas por eje temaacutetico y habilidad que se intenta evaluar luego las practicas calificadas estaacuten se encuentran en el Anexo 6
38 TEacuteCNICAS DE PROCESAMIENTO DE DATOS
Para la seleccioacuten de la teacutecnica para la prueba de hipoacutetesis se utilizaraacute la ldquo t ndashstudentrdquo
( )1 21 22 2
1 2
2p p
x xt t n n
s sn n
minus= asymp + minus
+
Donde 1n es el tamantildeo de muestra de la primera poblacioacuten 2n es el tamantildeo de muestra de la segunda poblacioacuten
11
1
n
ii
xx
n==sum
Media muestral para la muestra nuacutemero 1
12
2
n
ii
xx
n==sum
Media muestral para la muestra nuacutemero 2
( ) ( )2 21 1 2 22
1 2
1 12p
n s n ss
n nminus + minus
=+ minus
Donde
La varianza muestral de la muestra 1 es ( )
12
12 11
1 1
n
ii
x xs
n=
minus
=minus
sum
La varianza muestral de la muestra 2 es ( )
22
22 12
2 1
n
ii
x xs
n=
minus
=minus
sum
39 PROCESO DE LA INVESTIGACIOacuteN
391 DIFICULTADES EN EL APRENDIZAJE DEL CAacuteLCULO DIFERENCIAL
Para este trabajo de investigacioacuten he tomado dos grupos uno corresponde a la Escuela de Ingenieriacutea Industrial al que llamareacute Grupo Experimental y el otro corresponde a la Escuela de Ingenieriacutea de Sistemas al que llamareacute Grupo de Control Es importante que mencione que aun cuando los dos grupos corresponden al segundo ciclo y esta asignatura sea igual para ambas escuelas sus planes de estudio no son los mismos Una dificultad que presentan los alumnos se encuentra en la base de los contenidos que traen consigo realizan algunos errores al emplear fundamentos algebraicos lo cual es necesario para el trabajo con funciones liacutemites y derivadas esto no me permite desarrollar los contenidos de acuerdo a las fechas que se programan en el siacutelabo y por lo general debe reprogramar mis clases o trabajar algunas horas aparte de las asignadas al menos en la primera parte del curso donde se trabaja mucho con funciones y sus graacuteficas
392 RENDIMIENTO ACADEacuteMICO
Respecto al rendimiento acadeacutemico considero necesario presentar en el Anexo 2 el registro de evaluaciones de la primera unidad donde se puede apreciar el rendimiento de los alumnos El grupo de Ingenieriacutea de Sistemas consta de los 32 alumnos de los cuales siete se han retirado del curso reservando su matriacutecula En el grupo de Ingenieriacutea Industrial consta de 19 alumnos de los cuales solo una alumna se retiro del curso Este antildeo es el primero para la escuela de Ingenieriacutea Industrial en la filial de Piura este grupo corresponde a la primera promocioacuten menciono esto porque es la primera vez que dicto el curso para alumnos de esta especialidad
393 PROPUESTA DIDAacuteCTICA
1 TEMA Caacutelculo Diferencial 2 TIEMPO 4 semanas 3 Nordm DE HORAS SEMANALES 5 horas 4 COMPETENCIA Interpreta formula analiza y resuelve problemas de
contexto real utilizando definiciones teacutecnicas y aplicaciones del Caacutelculo Diferencial desarrollando comunicacioacuten investigacioacuten razonamiento y manifestando confianza flexibilidad y perseverancia
5 CAPACIDADES bull Refuerza empleando DERIVE el tema de Razoacuten de
Cambio en una funcioacuten bull Utiliza el software para visualizar y estudiar a traveacutes
de un pequentildeo programa el problema de la Recta Tangente
bull Observa analiza e interpreta el comportamiento de las funciones y sus derivadas a traveacutes de graacuteficas elaboradas en DERIVE
bull Resuelve problemas de aplicacioacuten de la derivada (Maacuteximos y Miacutenimos) al estudio de problemas naturales econoacutemicos sociales y tecnoloacutegicos
bull Desarrollar la capacidad de anaacutelisis criacutetico de las informaciones recibidas
6 ACTITUDES
bull Valora la importancia de la precisioacuten en el trabajo de programacioacuten
bull Demuestra seguridad orden y claridad en su trabajo bull Manifiesta la importancia de la derivada para
explicar y analizar el comportamiento de un fenoacutemeno
7 METODOLOGIacuteA DE LAS SESIONES DE CLASE La metodologiacutea consiste en explicar el fundamento teoacuterico empleando diversos recursos como diapositivas pizarra ndash plumoacuten proyector multimedia y paralelamente trabajar el laboratorio Al planificar estas sesiones se tendraacute en cuenta la competencia y las capacidades que se espera desarrollar en los alumnos Se ha insistido en la necesidad de lograr que el alumno realice un aprendizaje significativo y desempentildee un rol activo para lo cual utilizaremos guiacuteas de trabajo para el tratamiento de los contenidos programados asiacute como hojas de Evaluacioacuten de Laboratorio
8 RECURSOS HUMANOS bull Profesora de Matemaacuteticas bull Grupo Experimental Alumnos del segundo ciclo
de la Escuela de Ingenieriacutea Industrial bull Grupo de Control Alumnos del segundo ciclo de
la Escuela de Ingenieriacutea de Sistemas 9 MATERIALES
bull Centro de Coacutemputo bull Guiacuteas de Trabajo bull Hojas de Evaluacioacuten
10 PLANES DE CLASE Elaborar un plan de clase se ha convertido en una tarea importante al momento de planificar nuestras asignaturas hemos recibido algunos cursos de capacitacioacuten con la finalidad de que todos los docentes podamos manejar este instrumento que nos ayude a organizar mejor nuestro tiempo y a dosificar los
contenidos de acuerdo al tiempo establecido para cada uno de ellos en la programacioacuten oficial Manejamos el formato que presento en el Anexo 4 y en cada clase llevamos uno en nuestra carpeta docente Para este trabajo de investigacioacuten se elaboraron 4 planes de clase los cuales se pueden apreciar en el Anexo 4 Consideramos importante al momento de planificar una sesioacuten de clase conocer los diferentes tipos de actividades a desarrollar los cuales son la parte medular de la clase y los procedimientos a utilizar en cada una de ellas En nuestros planes de clase consideramos las siguientes actividades bull Actividades Iniciales
Preparan el ambiente para el aprendizaje y estimulan el intereacutes por los nuevos contenidos y facilitan su relacioacuten con los conocimientos previos de los estudiantes Tienen como propoacutesito captar la atencioacuten de los alumnos hacia las principales ideas estudiadas Se utiliza como introduccioacuten donde se sentildealan los aspectos a estudiar para despertar el intereacutes de los alumnos por el tema y desarrollar una buena disposicioacuten por temas subsiguientes Tambieacuten puede incluir una evaluacioacuten previa o diagnoacutestica del conocimiento actual las actitudes y niveles de destreza de los alumnos En este mismo sentido se puede plantear una secuencia de experiencias de aprendizajes puede incluir diferentes tipos de actividades entre las cuales se encuentran las Actividades Introductorias o de Exploracioacuten Evidencian diagnoacutestico introduccioacuten o
descubrimiento Son orientadoras Despiertan el intereacutes y la motivacioacuten A continuacioacuten se ofrecen algunos ejemplos de actividades iniciales Hacer una encuesta de las actitudes de los alumnos hacia un tema determinado y colocar los resultados en el pizarroacuten
Mostrar una peliacutecula de corto metraje Pedir a los estudiantes que entrevisten a personas que laboran en una empresa acerca del tema estudiado y discutan sus hallazgos en clase Sostener una discusioacuten en clase que muestre la forma en que se relacionan las experiencias actuales de los alumnos con lo que va a ser estudiado
bull Actividades de Proceso
Dan secuencia a las estrategias y teacutecnicas de aprendizaje para lograr los objetivos propuestos Son las estrategias de aprendizaje y teacutecnicas que ayudan a los estudiantes a extender su pensamiento acerca de un problema o tema y practicar sus destrezas recieacuten aprendidas Estas son el corazoacuten de la Unidad y ocupan la mayor parte del tiempo y la energiacutea de los estudiantes Aquiacute podemos hablar de actividades de desarrollo anaacutelisis y estudio las cuales son actividades destinadas a desarrollar diferentes aspectos del contenido para el logro de los objetivos Incluyen actividades de estudio y ejercitacioacuten Dentro de eacutesta clasificacioacuten se encuentran tambieacuten las denominadas por Taba actividades de generalizacioacuten que incluyen actividades que permiten generalizar o reconstruir lo aprendido Ejemplos de actividades de Desarrollo Solicitar a los estudiantes elaboren mapas
tablas graacuteficas modelos o secuencias cronoloacutegicas
Asignar actividades de redaccioacuten de resentildeas de libros temas cartas o informes de investigacioacuten
Invitar a especialistas sobre el tema a dar una charla
Solicitar a los estudiantes que recaben su propia informacioacuten a traveacutes de entrevistas o cuestionarios
Utilizar peliacuteculas diapositivas transparencias u otros materiales visuales
Organizar grupos pequentildeos de trabajo para que los estudiantes compartan informacioacuten Mostrar a los estudiantes la forma de desarrollar habilidades especiacuteficas y proveer actividades para la praacutectica
bull Actividades Finales Agregan y relacionan las Unidades de Aprendizaje con otras experiencias educativas y aplicaciones a situaciones nuevas Estas actividades favorecen la integracioacuten con resuacutemenes que ayuden a los estudiantes a identificar las ideas maacutes importantes de la Unidad Una actividad de culminacioacuten tambieacuten podriacutea brindar la oportunidad para que los alumnos practiquen o utilicen de forma conjunta los conocimientos habilidades y actitudes desarrolladas en unidades anteriores Aquiacute podemos mencionar a las actividades de aplicacioacuten resumen o culminacioacuten que son aquellas que propician la aplicacioacuten de lo aprendido y sirven para medir o evaluar el nivel de logro Algunos ejemplos de actividades de culminacioacuten
son Planear una puesta en comuacuten para que los estudiantes resuman lo que han aprendido en la Unidad Estimular a los estudiantes a realizar un proyecto que deacute respuesta a problemas particulares de una empresa de su trabajo o de su comunidad Producir material audiovisual presentacioacuten de grabaciones transparencias o cintas de viacutedeo en clase
11 CRITERIOS DE EVALUACIOacuteN Los criterios de evaluacioacuten corresponden a la Taxonomiacutea de Bloom seguacuten la cual se evaluacutea de acuerdo a los criterios de conocimiento comprensioacuten
aplicacioacuten anaacutelisis siacutentesis y evaluacioacuten Asiacute en las evaluaciones presentadas en el Anexo 5 presentamos las tablas de especificaciones de acuerdo a esta taxonomiacutea y a los ejes temaacuteticos que se desarrollaron en cada sesioacuten de clase y en el Anexo 6 se muestran los instrumentos de evaluacioacuten donde se ha tenido el cuidado necesario en la redaccioacuten de cada iacutetem a fin de que logre medir las capacidades sentildealadas en los planes de clase y este de acuerdo a los criterios fijados en la tabla de especificaciones
12 METODOLOGIA DE CLASE
En cuanto a la metodologiacutea indicamos que se trabaja por bloques de cinco horas pedagoacutegicas con un descanso de 20 minutos Las clases se dictan una vez a la semana y se inicia en el turno de la mantildeana de 730am hasta las 1000am en que se da lugar al descanso de veinte minutos para retomar a las 1020am y terminar a las 1200 am Debido a la jornada de trabajo que se tiene es que el eacutexito de una sesioacuten de clases depende en parte de la habilidad del docente para programar su clase haciendo un buen uso del tiempo a fin de hacer de su clase una jornada de trabajo productivo con los alumnos Generalmente distribuyo mi tiempo entre exposicioacuten los contenidos y resolucioacuten de ejercicios en la pizarra tambieacuten invito a los alumnos a participar resolviendo algunos ejercicios y problemas para luego explicar lo que han trabajado a sus compantildeeros Otras de las estrategias empleadas es la solucioacuten de Trabajos Praacutectico en clase y de forma grupal despueacutes de ello siempre se presentan las soluciones a todo el grupo He dejado un trabajo encargados en la primera unidad que mas que ser un trabajo de investigacioacuten de alguacuten contenido matemaacutetico se refirioacute a la lectura de la novela ldquoCriacutemenes Imperceptiblesrdquo de Guillermo Martiacutenez Matemaacutetico y escritor argentino esta novela posee un contenido matemaacutetico y en su momento
sirvioacute para reconocer que en las matemaacuteticas no todo es solucioacuten de ejercicios y problemas Con el grupo experimental trabajeacute sesiones de laboratorio incluidas dentro de las horas de clase PRIMERA CLASE
Esta es la primera clase sobre Derivadas con el grupo de control aquiacute el desarrollo de la clase se hace siguiendo el meacutetodo de la clase magistral en la cual muestro a los alumnos el concepto de razoacuten de cambio con ayuda de diapositivas y graacuteficos elaborados en la pizarra es importante mencionar que toda la informacioacuten ellos la tienen presente en una separata disentildeada para esta clase y entregada para esa sesioacuten
Luego de la explicacioacuten en la cual los alumnos
intervienen con sus preguntas se procede a trabajar por parejas en la solucioacuten del primer trabajo praacutectico que aparece en la separata para esto se asigna a cada pareja formada un problema un tiempo de 15rsquo para resolverlo y entregarlo para su posterior correccioacuten en plenaria A continuacioacuten los alumnos exponen la solucioacuten de los 4 problemas en la pizarra
Luego empleando nuevamente el meacutetodo expositivo dando lugar a las preguntas de los alumnos y haciendo a la vez algunas interrogantes para comprobar su comprensioacuten presente los contenidos referidos a a) Razoacuten de cambio y el problema de la recta tangente a una curva b) Definicioacuten de derivada c) Presentacioacuten de graacuteficos de funciones y sus derivadas Resolvimos algunos ejercicios de los trabajos praacutecticos Nordm2 y Nordm3 en la pizarra y los demaacutes quedaron para trabajar en casa La solucioacuten de dichos ejercicios seria expuesta en la siguiente clase de forma voluntaria
Para la sesioacuten con el grupo experimental la clase se desarrollo con un inicio similar a la clase del grupo
de control mostrando las diapositivas y trabajando con ellos trabajando con ellos sobre la ideas de Razoacuten de cambio Recta tangente a una curva caacutelculo de la derivada de una funcioacuten empleando la definiciones De los Trabajos Praacutecticos Nordm1 Nordm2 y Nordm3 resolviacute en la pizarra algunos ejercicios quedando los otros como trabajo para la siguiente clase Para la sesioacuten de laboratorio prepare una guiacutea de trabajo la cual estaacute dividida en dos temas los cuales se denominan bull Razoacuten de cambio y problema de la recta tangente bull Caacutelculo y grafica de la derivada de una funcioacuten Esta guiacutea de trabajo usa el programa DERIVE y pretende reforzar los conocimientos adquiridos en las clases acerca de los temas de razoacuten de cambio recta secante y tangente a una curva ademaacutes del caacutelculo de la derivada empleando la definicioacuten y el uso de los comandos Lim (liacutemite) y DIF (derivada) propios de DERIVE Considero importante comentar que el uso de programa permitioacute a los alumnos recordar la teoriacutea de graacutefico de funciones estudiada en la primera unidad la cual les sirvioacute de base para comprender el comportamiento de las graacuteficas de las funciones y sus derivadas ademaacutes se dieron indicaciones sobre el uso de sentencias loacutegica como IF ndash THEN para elaborar pequentildeos programas usando DERIVE pues una de las tareas era elaborar un pequentildeo programa que les permitiera ingresar una funcioacuten y un intervalo y que de como resultado la grafica de todas las rectas secantes en un intervalo establecido hasta llegar a la tangente en un punto extremo del intervalo o en cualquier punto del mismo SEGUNDA CLASE
Con el grupo de control el meacutetodo empleado es deductivo las estrategias para el desarrollo de la clase se combinaron entre la exposicioacuten y participacioacuten activa de los alumnos para tratar de deducir algunos conceptos o ideas y luego a traveacutes de la solucioacuten de
ejercicios reforzar los conocimientos Los ejercicios se trabajan en parejas Se presentoacute las primeras reglas de derivacioacuten y luego se resolvieron ejercicios de caacutelculo de derivadas empleando las reglas Ademaacutes de calcular derivadas de orden superior Se continuoacute con el anaacutelisis de las derivadas de algunas funciones sencillas por la facilidad para realizar sus graacuteficas A los alumnos se les dejoacute como tarea la solucioacuten de los trabajos praacutecticos Nordm 4 Con respecto al grupo experimental se presentaron los mismos contenidos y en la parte del laboratorio sirvioacute baacutesicamente para trabajar el anaacutelisis graacutefico de funciones y adelantando un poco gracias el manejo del programa calculamos no solo la primera sino tambieacuten las segundas terceras entre otras derivadas de algunas funciones El trabajar con las graacuteficas de la primera y segunda derivada permitioacute a los alumnos ir teniendo ideas sobre la relacioacuten entre la derivada de una funcioacuten y su graacutefica lo cual seraacute el tema de la siguiente sesioacuten Asiacute mismo recordamos conceptos estudiados en la primera parte del curso como son el de funcioacuten creciente y decreciente ademaacutes de relacionar los signos de la derivada para comprobar que una funcioacuten sea o no creciente TERCERA CLASE
Esta clase tanto para el grupo de control como para el grupo experimental es la misma no incluye el desarrollo de un laboratorio para el grupo experimental y la razoacuten es porque en esta sesioacuten se concluye con la presentacioacuten de todas las reglas de derivacioacuten se trabajaron los temas de derivadas de funciones trigonomeacutetricas sus inversas exponenciales y logariacutetmicas Ademaacutes regla de cadena funciones impliacutecitas derivadas de orden superior
Esta clase tiene la mayor parte del tiempo destinada a la praacutectica en clase pues los ejercicios que
se plantean tienen como finalidad que el alumno aprenda a distinguir las reglas de derivacioacuten y sobre todo reconozca cuando emplearlas
CUARTA CLASE
Con ambos grupos se trabajaron los temas de Regla de LrsquoHospital y aplicaciones de las Derivadas el caacutelculo de Maacuteximos y Miacutenimos de una funcioacuten en el caso del grupo de control se invierte el tiempo en resolver ejercicios y problemas de forma individual grupal y en presentar la solucioacuten de los problemas en la pizarra
Con el grupo experimental si hubo laboratorio aquiacute se presentan problemas diversos de aplicacioacuten para encontrar maacuteximos y miacutenimos de funciones que quizaacutes manualmente seriacutea laboriosos derivar pero con ayuda de programa podemos hacerlo de forma inmediata dando asiacute el tiempo necesario para trabajar la interpretacioacuten de resultados y el anaacutelisis e maacuteximos y miacutenimos
En cuanto a la evaluacioacuten debo indicar que durante el tiempo que duro la experiencia se aplicaron 3 praacutecticas calificadas y un examen parcial Entonces los alumnos presentan en esta segunda unidad tres notas de praacutectica maacutes la calificacioacuten del examen parcial
13 LA EVALUACION
Al finalizar las praacutecticas con DERIVE se realizoacute un examen para evaluar los conocimientos adquiridos por los estudiantes Estos exaacutemenes fueron tres y contando con el examen parcial se pudo obtener el promedio de la segunda unidad en la asignatura
Para la realizacioacuten de los exaacutemenes y con la finalidad de que no haya diferencia en las evaluaciones se aplico el mismo examen ademaacutes fueron aplicados en un horario fuera de las horas de clase y a los dos grupos por igual y al mismo tiempo
Las praacutecticas calificadas se elaboraron de acuerdo a la tabla de especificaciones y la taxonomiacutea de Bloom La prueba tiene una duracioacuten de dos horas
El construir la tabla de especificaciones me sirvioacute para un mayor orden al momento de elaborar el banco de reactivos que evalueacute en cada uno de los temas seguacuten la importancia y el tiempo que se le dedicaron en clase
Para desarrollar esta tabla fue necesario tener en
cuenta
a) La lista de temas desarrollados b) La lista de capacidades especificas que marco cada
tema c) Una revisioacuten previa de todo el contenido Tomeacute en cuenta los niveles taxonoacutemicos de Bloom 1 Conocimiento 2 Comprensioacuten 3 Aplicacioacuten 4 Anaacutelisis - Siacutentesis ndash Evaluacioacuten
Con respecto al porcentaje este fue asignado seguacuten la importancia de los contenidos Las tablas de especificaciones para las tres praacutecticas calificadas asiacute como algunas notas sobre la taxonomiacutea de Bloom se encuentran en Anexo 5
CAPIacuteTULO IV
ANAacuteLISIS E INTERPRETACIOacuteN DE RESULTADOS
41 ANAacuteLISIS ESTADIacuteSTICO
421 RESULTADOS DEL RENDIMIENTO ACADEacuteMICO DE LOS GRUPOS EXPERIMENTAL Y DE CONTROL
El grupo Experimental inicio el semestre acadeacutemico con 19 alumnos El nuacutemero de alumnos es muy pequentildeo y me atrevo a suponer se deba al hecho de ser una especialidad nueva en la Universidad esto en comparacioacuten a la especialidad de Ingenieriacutea de Sistemas de tiene mayor tiempo Del grupo de Control que inicio el semestre con 19 alumnos el alumno 6 se retiro en la segunda unidad por problemas de salud El nuacutemero de alumnos registrados en el grupo de Control es de 32 De los 32 alumnos registrados se retiraron 7 cinco de ellos se retiraron desde la primera unidad y los otros dos en la segunda unidad Las razones del retiro de la asignatura de estos alumnos fueron de caraacutecter econoacutemico y en otros por motivos familiares y de salud
Observemos las calificaciones del promedio de la segunda unidad en ambos grupos
CALIFICACIONES DE LA SEGUNDA UNIDAD
GRUPO EXPERIMENTAL
Tabla 6
R E G I S T R O D E A S I S T E N C I A Y E V A L U A C I Oacute N
Semestre 2006 II Seccioacuten A Escuela Ingenieriacutea Industrial Aula 412
Asignatura Matemaacutetica I
Profesora Lic Diana Quintana S
E v a l u a c i o n e s 2ordm U n i d a d
Prom Ex Prom NF NP Observaciones
Nordm Apellidos y Nombres
Prac
tica
Nordm 1
Prac
tica
Nordm 2
Prac
tica
Nordm 3
Fina
l
2 Sust 2
1 Alumno 1 11 8 9 9 92 2 Alumno 2 18 17 18 20 186 3 Alumno 3 19 18 18 20 19 4 Alumno 4 13 13 12 14 132 5 Alumno 5 15 17 15 15 154 6 Alumno 6 0 0 0 0 0 Retirado 7 Alumno 7 14 9 12 12 118 8 Alumno 8 14 13 13 14 136 9 Alumno 9 12 13 10 13 122
10 Alumno 10 14 11 15 13 132 11 Alumno 11 16 18 15 15 158 12 Alumno 12 10 14 11 11 114 13 Alumno 13 8 7 7 7 72 14 Alumno 14 16 14 12 14 14 15 Alumno 15 13 12 12 14 13 16 Alumno 16 11 10 10 12 11 17 Alumno 17 11 12 11 9 104 18 Alumno 18 9 8 7 11 92 19 Alumno 19 18 13 8 17 146 20
CALIFICACIONES DE LA SEGUNDA UNIDAD
R E G I S T R O D E A S I S T E N C I A Y E V A L U A C I Oacute N
GRUPO DE CONTROL
Semestre 2006 II Seccioacuten B Escuela Ingenieriacutea de Sistemas Aula 413
Asignatura Matemaacutetica I Profesora Lic Diana Quintana S
E v a l u a c i o n e s 2ordm U n i d a d Prom Ex Prom NF NP Observaciones
Nordm Apellidos y Nombres
Prac
tica
Nordm1
Prac
tica
Nordm2
Prac
tica
Nordm3
Fina
l
2 Sust 2
1 Alumno 1 Retirado 2 Alumno 2 5 8 10 11 9 3 Alumno 3 14 6 5 10 9 4 Alumno 4 14 12 13 12 126 5 Alumno 5 0 11 5 13 84 6 Alumno 6 14 18 18 16 164 7 Alumno 7 14 15 12 13 134 8 Alumno 8 0 10 6 11 76 9 Alumno 9 0 10 6 12 8
10 Alumno 10 Retirada 11 Alumno 11 14 10 6 12 108 12 Alumno 12 14 8 6 11 10 13 Alumno 13 11 11 10 7 92 14 Alumno 14 13 10 6 10 98 15 Alumno 15 14 7 6 12 102 16 Alumno 16 12 11 13 8 104 17 Alumno 17 14 12 7 12 114 18 Alumno 18 18 18 20 18 184 19 Alumno 19 Retirada 20 Alumno 20 14 10 12 11 116 21 Alumno 21 14 10 6 11 104 22 Alumno 22 14 13 12 13 13 23 Alumno 23 Retirado 24 Alumno 24 8 20 11 11 122 25 Alumno 25 Retirado 26 Alumno 26 14 16 7 11 118
Tabla 7
Despueacutes de finalizada la investigacioacuten el grupo experimental resulto con el mayor nuacutemero de
alumnos aprobados lo cual me permite conjeturar que hipoacutetesis de la investigacioacuten si se ha logrado Pero se necesitan pruebas concretas por lo cual he empleado el software STATGRAPHICS para procesar los resultados obtenidos y de esta manera tener una mayor certeza de mis suposiciones
42 ANAacuteLISIS INFERENCIAL
421 COMPARACIOacuteN DE MEDIAS
Una medida estadiacutestica de tendencia central se utiliza para indicar un valor que tiende a tipificar o a ser el maacutes representativo de un conjunto de nuacutemeros La media es una medida de tendencia central y se define como
DEFINICIOacuteN
27 Alumno 27 14 20 5 12 126 28 Alumno 28 13 0 7 11 84 30 Alumno 29 Retirado 31 Alumno 30 14 15 9 12 124 32 Alumno 31 Retirado 33 Alumno 32 14 12 12 11 12 34
Media Aritmeacutetica La media aritmeacutetica es a veces denominada simplemente media es la suma de los valores observados de la variable dividido por el nuacutemero de observaciones
(Coacuterdova 1995 31)
Dados n valores 1 2 nx x x de la variable cuantitativa X observados en una muestra su media aritmeacutetica se calcula
utilizando la expresioacuten
n
ii
xx
n=sum
422 TABLAS DE FRECUENCIA DEL PRE TEST Y POST TEST
Presento los resultados de las pruebas Pre Test y Post Test para el grupo Experimental
RESULTADOS PRE TEST Y POST TEST
GRUPO EXPERIMENTAL
Tabla 8
Del total de 19 alumnos inscritos los cuales representan el 100 hubieron 12 desaprobados que en porcentaje representan el 632 Eacuteste porcentaje es mayor que en el otro grupo lo cual me hace decidir por este grupo de alumnos para que sea el grupo experimental Los resultados de las pruebas Pre Test y Post Test para el grupo de control son
RESULTADOS PRE TEST Y POST TEST
GRUPO DE CONTROL
Nordm Apellidos y Nombres Pre Test Post Test 1 Alumno 1 98 92 2 Alumno 2 14 186 3 Alumno 3 136 19 4 Alumno 4 102 132 5 Alumno 5 132 154 6 Alumno 6 54 RETIRADA 7 Alumno 7 10 118 8 Alumno 8 88 136 9 Alumno 9 84 122 10 Alumno 10 124 132 11 Alumno 11 13 158 12 Alumno 12 92 114 13 Alumno 13 62 72 14 Alumno 14 116 14 15 Alumno 15 102 13 16 Alumno 16 88 11 17 Alumno 17 08 104 18 Alumno 18 82 92 19 Alumno 19 114 146 Nordm Apellidos y Nombres Pre Test Post Test 1 Alumno 1 RETIRADO 2 Alumno 2 9 9 3 Alumno 3 88 9
Tabla 9
Del total de 27
alumnos inscritos los cuales representan el 100 hubieron 16 desaprobados que en porcentaje representan el 593
4 Alumno 4 136 126 5 Alumno 5 96 84 6 Alumno 6 146 164 7 Alumno 7 138 134 8 Alumno 8 74 76 9 Alumno 9 86 8 10 Alumno 10 RETIRADO 11 Alumno 11 87 108 12 Alumno 12 86 10 13 Alumno 13 86 92 14 Alumno 14 84 98 15 Alumno 15 84 102 16 Alumno 16 82 104 17 Alumno 17 11 114 18 Alumno 18 174 184 19 Alumno 19 RETIRADO 20 Alumno 20 86 116 21 Alumno 21 7 104 22 Alumno 22 122 13 23 Alumno 23 80 RETIRADO 24 Alumno 24 108 122 25 Alumno 25 8 RETIRADO 26 Alumno 26 11 118 27 Alumno 27 138 126 28 Alumno 28 8 84 29 Alumno 29 RETIRADO 30 Alumno 30 108 124 31 Alumno 31 RETIRADO 32 Alumno 32 108 12
423 RESULTADOS DEL PRE TEST ndash POST TEST CONSIDERANDO LA COMPARACIOacuteN DE MEDIAS Y LA PRUEBA t- STUDENT
Recordemos que en nuestra investigacioacuten manejamos dos hipoacutetesis estadiacutesticas las cuales son
HIPOacuteTESIS ESTADIacuteSTICAS
0 M MH micro micro= (Hipoacutetesis Nula)
1 M MH micro microne (Hipoacutetesis de la investigacioacuten o Hipoacutetesis Alternativa)
Donde
Mmicro Nota promedio de los alumnos de la asignatura de Matemaacutetica I Seccioacuten A aula 412 del semestre 2006 II que emplearon el software DERIVE
Mmicro Nota promedio de los alumnos de la asignatura de
Matemaacutetica I Seccioacuten B aula 413 del semestre 2006 II que no que emplearon el software DERIVE
Los resultados del Pre Test son las notas obtenidas en la primera unidad durante las primeras 7 semanas de clase siendo octava semana donde se realizan las evaluaciones parciales Para obtener la nota de la primera unidad los alumnos deben presentar tres praacutecticas calificadas y un examen parcial de estas notas se obtiene un promedio ponderado donde el examen parcial tiene peso 2 y las praacutecticas calificadas tienen peso 1 En cuanto a los resultados del Post Test estos son los promedios de la segunda unidad que corresponden a las siete siguientes semanas pues en la octava semana de esta segunda Unidad se aplican los exaacutemenes finales luego el promedio de ambas notas daraacute la nota del curso En ambos grupos los resultados de Pre Test se obtuvieron aplicando las mismas estrategias ya que hasta ese momento no se habiacutea iniciado la parte aplicativa de la investigacioacuten
Las evaluaciones fueron disentildeadas considerando la taxonomia de Bloom Asiacute encontraremos en ellas preguntas de conocimiento comprensioacuten aplicacioacuten anaacutelisis siacutentesis y evaluacioacuten Las praacutecticas calificadas se encuentran en los anexos A continuacioacuten presento los resultados Pre Test y Post Test tanto del grupo experimental como del grupo de control indicando que ambos grupos fueron sometidos a las mismas practicas calificadas en el mismo horario el cual estuvo programado fuera de las horas de clase semanales
RESULTADOS DE PRUEBAS PRE TEST EN LOS GRUPOS
EXPERIMENTAL Y DE CONTROL
RESUMEN ESTADIacuteSTICO
EXPERIMENTAL CONTROL ---------------------------------------------------------------------- Frecuencia 18 25 Media 107333 10156 Varianza 409412 69284 Desviacioacuten tiacutepica 202339 263219 Coef de variacioacuten 188515 259175 ----------------------------------------------------------------------
Suponiendo varianzas iguales t = 0778652 P-Valor = 0440656
Tabla 10
En el cuadro Nordm 1 se puede observar que la nota promedio en el grupo de Experimental en la evaluacioacuten Pre- Test fue de 107333 y para el grupo de Control la evaluacioacuten Pre-Test fue de 10156 lo cual indica que no existe una gran diferencia entre las notas de ambos grupos Despueacutes de aplicar la prueba ldquotrdquo Student se encontroacute que el valor experimental fue de 0778652 un valor de p=0440656 lo cual indica que no existe mayor diferencia entre las medias del rendimiento de ambos grupos
RESULTADOS DE PRUEBAS POST TEST EN LOS GRUPOS
EXPERIMENTAL Y DE CONTROL
RESUMEN ESTADIacuteSTICO
EXPERIMENTAL CONTROL ---------------------------------------------------------------------- Frecuencia 18 25 Media 129333 1116 Varianza 957647 637 Desviacioacuten tiacutepica 309459 252389 Coef de variacioacuten 239272 226155 ----------------------------------------------------------------------
Suponiendo varianzas iguales t = 206743 P-Valor = 00450448
Tabla 11 En el cuadro Nordm 2 se puede observar que la nota promedio en el grupo de Experimental en la evaluacioacuten Post- Test fue de 129333 y para el grupo de Control la evaluacioacuten Post-Test
fue de 1116 lo cual indica que existe diferencia entre las notas de ambos grupos Despueacutes de aplicar la prueba ldquotrdquo Student se encontroacute que el valor experimental fue de 206743 un valor de p=00450448 y puesto que el p-valor calculado es inferior a 005 podemos rechazar la hipoacutetesis nula a favor de la hipoacutetesis alternativa
424 ACEPTACIOacuteN O RECHAZO DE LA HIPOacuteTESIS
NULA Y ALTERNATIVA
Observados los resultados de la evaluacioacuten y su proceso a traveacutes del software STATGRAPHICS se resuelve rechazar la hipoacutetesis nula a favor de la hipoacutetesis alternativa
43 DISCUCIOacuteN DE LOS RESULTADOS
Con respecto a la discusioacuten de los resultados quisiera empezar indicando Esta investigacioacuten se ha centrado en la parte del Calculo Diferencial y cuando la empezamos partimos de una primera preocupacioacuten la cual era que los alumnos muchas veces no comprenden totalmente la definicioacuten de derivada En ella se mencionan varios objetos matemaacuteticos como funcioacuten razoacuten de cambio instantaacutenea liacutemite entre otros que estaacuten impliacutecitos o que van saliendo a la luz cuando se recurre por ejemplo a la interpretacioacuten geomeacutetrica como es el caso de graacutefica de funciones y el de pendiente de recta Ademaacutes se observar que los alumnos auacuten tienen cierta inseguridad para manejar estos objetos pesar de que han sido trabajados en temas preliminares al caacutelculo diferencial las dudas con frecuencia son acerca de coacutemo interpretarlos o si son uacutetiles para alguna tarea en especiacutefico Asiacute que un primer trabajo es recordar los conceptos preliminares mencionados y un recurso para tal fin fue el examen parcial que rindieron una semana antes a la ejecucioacuten de esta investigacioacuten En la praacutectica docente siempre me habiacutea sucedido que al momento de dar la definicioacuten de derivada y ayudaacutendome de algunos grafico ilustrativos quedaban dudas en algunos estudiante de manera que penseacute que trabajando con Derive podriacutea
solucionar este problema pues podiacutea graficar todo tipo de funciones y aunque solo necesitaba conocer instrucciones sobre el programa luego graficar no seriacutea un gran problema por el contrario comenzaron a graficar diferentes tipos de funciones con lo que conseguiacute ahorra el tiempo que demandariacutea graficar manualmente e invertirlo en analizar el comportamiento de grafico de las misma Los alumnos aclararon dudas de manteniacutea de los temas anteriores como por ejemplo el comportamiento de las graficas cuando estaacuten cerca de sus asiacutentotas contrastaron los dominios verdaderos con los que ellos en alguacuten momento habiacutean supuesto entre otras conjeturas Con ayuda de DERIVE pude lograr que visualizaran por ejemplo la razoacuten de cambio en un intervalo y la razoacuten de cambio instantaacutenea las relacionaran y diferenciaran Logrado lo anterior se sigue con la interpretacioacuten geomeacutetrica de la derivada y que se asocia con el problemas de la recta tangente DERIVE facilita no solo la parte graacutefica sino tambieacuten algebraica por cuanto en algunos casos haya que hacer alguna redefinicioacuten de la funcioacuten y sabiendo que se puede determinar una razoacuten de cambio en cada punto de la curva faacutecilmente se puede entender que esa razoacuten de cambio sea la pendiente de la recta tangente a cualquier punto de la curva de modo que ahora es posible hallar la ecuacioacuten de una recta que sea tangente en cualquier punto de la curva A modo de una aplicacioacuten se comprueba para otras funciones y resolver problemas en otros contextos ajenos a geomeacutetrico DERIVE con su comando DIF permite encontrar la derivada de cualquier orden de una funcioacuten esto no se oculto a los alumnos pero se indico que era preferible que ellos supieran la reglas de derivacioacuten y las aplicaran correctamente Considero que al poder visualizar la graacutefica de la derivada de una funcioacuten los alumnos comprendieron mejor lo que en teoriacutea se dice acerca de que la derivada de una funcioacuten es otra funcioacuten hicieron comparacioacuten de las graacuteficas de funciones y graacuteficas de sus primeras y segundas derivadas Otro logro obtenido se refiere a la parte conceptual de las aplicaciones de la derivada hallar maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de funciones saber en queacute intervalos en creciente decreciente o constante Sin derive solo analizaacutebamos funciones
sencillas pues teniacuteamos que graficar esto tomaba tiempo asiacute que lograacutebamos unos 3 ejemplos a lo maacutes Con DERIVE ahorraacutebamos el tiempo que demanda graficar y derivar y lo invertiacuteamos en analizar la funcioacuten pues con soacutelo ver la graacutefica sabiacuteamos si ella tiene maacuteximos yo miacutenimos punto de inflexioacuten y determinar cuaacutendo es creciente decreciente o constante pero con la ventana algebraica podiacuteamos derivar y determinar con exactitud donde se encontraban dichos puntos Finalmente mencionado la teoriacutea de registros se les hizo maacutes faacutecil la tarea de pasar de un registro semioacutetico a otro pues teniacutean herramientas para ello y creo que eso contribuyoacute a conceptualizar mejor los contenidos ya que como plantea en su teoriacutea Raymond Duval si no conoce al menos dos formas distintas de expresar o representar un contenido matemaacutetico formas a las que eacutel llama ldquoRegistro de Representacionesrdquo y ldquoRegistros Semioacuteticosrdquo no parece posible aprender y comprender dicho contenido Como ejemplo indico que al ser la derivada en un punto un valor numeacuterico se deja de lado que es tambieacuten una funcioacuten entonces se confunde un objeto matemaacutetico que en este caso es la funcioacuten derivada con una de sus representaciones que viene a ser en esta caso el nuacutemero esta confusioacuten entre un objeto y su representacioacuten en un plazo maacutes o menos amplia provocaba una peacuterdida de la comprensioacuten A esto es necesario antildeadir el hecho de que la pluralidad de sistemas semioacuteticos permite una diversificacioacuten tal de las representaciones de un mismo objeto que aumenta las capacidades cognitivas de los sujetos y por tanto sus representaciones mentales De las clases de laboratorio especiacuteficamente de los diaacutelogos que sostuvimos durante las clases pude comprobar que en ellos trasladar un registros no es algo espontaacuteneamente Y que el pensamiento de un alumno puede movilizar un solo registro de representacioacuten a la vez En este caso hemos manejado en la parte conceptual y la parte practica tres tipos de registros el graacutefico algebraico y la lengua natural
CONCLUSIONES
1 De acuerdo a los resultados obtenidos a traveacutes de las praacutecticas
calificadas administradas suponiendo medias iguales empleando la t- estudent se determina que el programa DERIVE es eficiente en el proceso de ensentildeanza- aprendizaje del Caacutelculo Diferencial
2 De las referencias bibliograacuteficas revisadas en el presente trabajo
en relacioacuten a la definicioacuten de Derivada (N Piskunov 1973 68 Spivak 1967 201 Purcell 2003 107) se concluye en una definicioacuten a mi consideracioacuten maacutes didaacutectica para los alumnos que abarca todos los aportes de cada una de las definiciones leiacutedas y el uso de una notacioacuten maacutes manejable
3 Se logro disentildear y presentar una propuesta metodoloacutegica compuesta por un moacutedulo de trabajo guiacuteas y actividades de laboratorio que fueron aplicadas al grupo experimental y que permitieron mejorar las calificaciones de los alumnos
4 El uso del DERIVE como recurso en las clases de Caacutelculo
Diferencial permitioacute motivar en los alumnos el desarrollo de capacidades como las de observar discernir analizar e interpretar
5 El alumno tiene la disposicioacuten de aprender soacutelo aquello que le
encuentra sentido o loacutegica Por ello el autentico aprendizaje es el aprendizaje significativo Cualquier otro seriacutea puramente mecaacutenico coyuntural o memoriacutestico Ademaacutes este trabajo significativo puede ser estimulado con las tecnologiacuteas de informacioacuten y comunicacioacuten tales como el programa DERIVE
6 Es importante sentildealar que la clase magistral sigue siendo
importante y por tanto nada puede reemplazar al profesor pero el uso de alguacuten recurso tecnoloacutegico tal como el que se propone complementariacutea esta labor ya que se le pueden presentar al alumno situaciones (didaacutecticas) no puramente algebraicas sino tambieacuten intuitivas graacuteficas numeacutericas por lo cual lo aprendido se vea fortalecido
7 el utilizar simultaacuteneamente diferentes representaciones favorece
el establecimiento de conexiones entre ellas siendo estas conexiones las que marcan las diferentes etapas del aprendizaje de los estudiantes Aquiacute es donde el programa DERIVE juega un papel importante debido a su potencia visual que ayuda a la formacioacuten y transformacioacuten de intuiciones y a la creacioacuten de imaacutegenes del concepto y debido tambieacuten a la facilidad para realizar caacutelculos eximiendo al estudiante de esta tediosa labor De esta forma el estudiante puede concentrarse en la exploracioacuten y discusioacuten de los conceptos Los errores cometidos por los estudiantes sirven para acrecentar su aprendizaje y completar asiacute sus imaacutegenes del concepto
RECOMENDACIONES
1
Desde el punto de vista institucional la creacioacuten de una red de investigacioacuten y desarrollo es de fundamental importancia pues mejora la comunicacioacuten la sinergia la discusioacuten y aumenta la cantidad de profesores que pueden provocar el cambio de ensentildeanza lo cual implica un mayor impacto del Proyecto en la Universidad Se sigue la tendencia universal de no realizar investigaciones en grupos reducidos y aislados sino de compartir experiencias aumentar la masa criacutetica de investigadores y aprender de la sinergia creada
2 Desde el punto de vista metodoloacutegico se propone pasar de la forma claacutesica de la ensentildeanza de la matemaacutetica con tiza y pizarra a una forma efectiva dinaacutemica y multimedial de adquirir los conceptos matemaacuteticos baacutesicos Se incorporan procesos de
caacutelculo y de representacioacuten graacutefica maacutes veloces y maacutes precisos que la operatoria personal Se libera al docente y al alumno de tareas no auteacutenticas para hacer hincapieacute en la reflexioacuten y buacutesqueda de otros procedimientos de resolucioacuten de problemas Se busca aplicar un procedimiento que provea un resultado aventajado en calidad y eficiencia que el que puede proveer el profesor con soacutelo tiza y pizarra La metodologiacutea propuesta permite acercarse maacutes a la realidad de los conceptos baacutesicos matemaacuteticos abstractos por su naturaleza a traveacutes de la visualizacioacuten interactiva y la experimentacioacuten con diferentes objetos matemaacuteticos datos con caracteriacutesticas determinadas
3 De acuerdo al os puntos anteriores desde el punto de vista del
aprendizaje se logra a) Una mejor aprehensioacuten de conceptos para su aplicacioacuten en la
resolucioacuten de problemas utilizando Sistemas Exploratorios de Aprendizaje
b) Una mejor aprehensioacuten de los conceptos por medio de los sistemas graacuteficos provistos por los Sistemas de Computacioacuten Algebraica (visualizacioacuten objetivacioacuten interactividad del software numeacuterico y simboacutelico)
c) En los alumnos la promocioacuten de la actitud y aptitud para conjeturar y desarrollar el sentido criacutetico y la reflexioacuten
d) El reconocimiento experimentacioacuten y aplicacioacuten de modelos matemaacuteticos
e) El experimentar conjeturar y descubrir propiedades sobre objetos matemaacuteticos mediante problemas asegura el intereacutes y compromiso del alumno
Las actividades que se realizaron en el laboratorio se presentan en el Anexo son tres y corresponden a los temas de 1 Definicioacuten de Derivada Razoacuten de Cambio y Problema de
la recta tangente 2 Anaacutelisis graacutefico de funciones y sus derivadas
3 Criterio de la primera y segunda derivada para hallar
maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten asiacute como los puntos de inflexioacuten
4 Resolucioacuten de Problemas de Maacuteximos y Miacutenimos
La finalidad de trabajar el tema de Derivadas es que los alumnos manipulen la definicioacuten que emplee el programa para experimentar usando diferentes funciones la variacioacuten de la razoacuten de cambio en intervalos de diferente amplitud La ayuda que brinda el programa es que grafica cualquier funcioacuten y realiza los caacutelculos de forma inmediata de esta manera los alumnos pueden analizar el comportamiento de las funciones y concentrar mayor atencioacuten en la variaciones de las razones de cambio a lo largo de toda la curva Es necesario resaltar que dado que el programa esta disentildeado para realizar graficas los alumnos dispondraacuten de mayor tiempo para hacer el anaacutelisis del comportamiento de la funcioacuten estudiando su variacioacuten sus maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten asiacute mismo conociendo la interpretacioacuten que reciben estos contenidos matemaacuteticos en los diferentes campos de aplicacioacuten Los laboratorios se pueden encontrar en el anexo de este trabajo
BIBLIOGRAFIacuteA
1 Benazic R (2004) Toacutepicos de Historia de la Matemaacutetica Editorial Hozlo SRL Lima
2 Calero Perez Mavilo (1998) Hacia la excelencia de la
educacioacuten Editorial San Marcos Peruacute
3 Colas Pilar (1994) Investigacioacuten Educativa Editorial ALFAR Sevilla
4 Ezpinoza Ramos E(2002) Anaacutelisis Matemaacutetico I Impreso en
Peruacute
5 Galvez B(1999) Didaacutectica de las Matemaacuteticas Editorial PAIDOS Buenos Aires
6 Goacutemez P Y Perry P (1996) La Problemaacutetica de las
Matemaacuteticas Escolares Editorial Grupo Editorial Iberoameacuterica Bogotaacute
7 Hasser Norman (1976) Anaacutelisis Matemaacutetico I Editorial Trillas
Meacutexico
8 Helfgott M (1998) Historia y Pedagogiacutea de la Matemaacutetica Editorial Hozlo SRL Lima
9 Lages Lima E (1998) Mi Profesor de Matemaacutetica y otras
historias Editorial Hozlo SRL Riacuteo de Janeiro
10 Lages Lima E Pinto Carvalho P (2000) La Matemaacutetica de la Ensentildeanza Media Editorial Hozlo SRL Lima
11 Latorre A Del Rincoacuten D Y Arnal J (1997) Bases
Metodoloacutegicas de la Investigacioacuten Educativa Hurtado Ediciones Barcelona Espantildea
12 Lazaro C M (2000) Caacutelculo Diferencial Publicaciones
Moshera
13 Manning Smith R(1989) Estadiacutestica PrenticendashHall Hispanoamericana S A Meacutexico
14 Menin O (2001) Pedagogiacutea y Universidad Curriacuteculum
didaacutectica y evaluacioacuten Editorial Homo Sapiens Ediciones Argentina
15 Piskunov N (1973) Caacutelculo Diferencial e Integral Montaner y
Simon SA Espantildea
16 Purcell E Varberg D Rigdon S(2003) Caacutelculo Diferencial e Integral Editorial Pearson Meacutexico
17 Shabunin M Chejlov V(1989) Problemas de Anaacutelisis
Matemaacutetico Editorial Mir Moscuacute
18 Smith R Minton R (2000) Caacutelculo Editorial Mc Graw Hill Colombia
19 Spivack M (1992) Calculus Editorial Reverteacute SA Barcelona
Espantildea
20 Sullivan M (1997) Precaacutelculo PrenticendashHall Hispanoamericana S A Meacutexico
21 Tan S (1998) Matemaacutetica para Administracioacuten y Economiacutea
Editorial Thomson
22 Toranzos F(1963) Ensentildeanza de la Matemaacutetica Editorial Kapelusz
23 Wenzelburger Elfriede(1993) Didaacutectica del Caacutelculo
Diferencial Grupo Editorial Iberoameacuterica
24 Zabalza M (2003) Competencias docentes del profesorado universitario Calidad y desarrollo profesional Narcea SA de Ediciones Madrid Espantildea
ANEXO 1
SILABO DE LA ASIGNATURA
UNIVERSIDAD CEacuteSAR VALLEJO ndash PIURA
FACULTAD DE INGENIERIacuteA ESCUELA DE INGENIERIacuteA DE SISTEMAS Y
ESCUELA DE INGENIERIacuteA INDUSTRIAL
SIacuteLABO DE MATEMATICA I
1 DATOS GENERALES Coacutedigo del curso HT 32 Aacuterea curricular Formacioacuten Baacutesica Ciclo II Semestre Acadeacutemico 2006-II Duracioacuten 16 Semanas Pre-Requisito Loacutegico Matemaacutetica Creacuteditos 5 Horas Semanales 05 (03 de Teoriacutea 02 de Praacutectica) Docente Lic Diana J Quintana de Mejiacutea Correo electroacutenico dianaquintanaucvedupe
dianaquintana2hotmailcom
2 FUNDAMENTACIOacuteN El Desarrollo de esta asignatura pretende potenciar en el estudiante capacidades propias del aacuterea de Matemaacutetica como el razonamiento y demostracioacuten la interpretacioacuten de graacuteficos y expresiones simboacutelicas y la resolucioacuten de problemas Asiacute como presentar los medios necesarios para la adquisicioacuten de ciertas destrezas como anaacutelisis interpretacioacuten y aplicacioacuten de fundamentos teoacutericos Finalmente el logro de los objetivos de esta asignatura se veraacute reflejado y podraacute ser evaluado en la eficiencia que demuestren los alumnos al resolver situaciones reales
3 COMPETENCIAS
31 Representa y modela a traveacutes de foacutermulas algebraicas las funciones elementales aplicadas a situaciones de la vida cotidiana fenoacutemenos fiacutesicos quiacutemicos econoacutemicos y tecnoloacutegicos reconociendo la relacioacuten entre el lenguaje graacutefico y el numeacuterico para una mejor comprensioacuten de la realidad
32 Resuelve problemas aplicando concepto de liacutemite y continuidad para el estudio de fenoacutemenos naturales presentados en diversos problemas demostrando precisioacuten en los resultados
33 Interpreta formula y resuelve problemas de contexto real utilizando definiciones teacutecnicas y aplicaciones del caacutelculo Diferencial desarrollando comunicacioacuten investigacioacuten
razonamiento y manifestando confianza flexibilidad y perseverancia
4 PROGRAMACIOacuteN ACADEacuteMICA
41 PRIMERA UNIDAD FUNCIONES Y LIMITES
CAPACIDADES
1 Comprende el concepto de funcioacuten reconoce las clases de funciones
2 Grafica adecuadamente funciones reconociendo sus caracteriacutesticas como parte de la resolucioacuten de problemas de aplicacioacuten
3 Emplea procedimientos analiacuteticos y experimentales para generar modelos que expresen situaciones reales interpretando finalmente sus graficas
4 Entiende intuitivamente la nocioacuten de liacutemites 5 Calcula liacutemites laterales finitos e infinitos
ACTITUDES 1 Demuestra precisioacuten orden y claridad en el tratamiento de
datos 2 Valora la importancia de las funciones en el anaacutelisis de
situaciones reales 3 Reconoce la importancia del concepto de liacutemite en el anaacutelisis
de hechos naturales fiacutesicos econoacutemicos y tecnoloacutegicos
COMPORTAMIENTOS OBSERVABLES 1 Desarrolla su trabajo de manera clara y ordenada demostrando
precisioacuten en sus respuestas 2 Realiza comentarios sobre la importancia de las funciones en la
comprensioacuten y anaacutelisis de hechos naturales econoacutemicos fiacutesicos tecnoloacutegicos etc
3 Manifiesta verbalmente la importancia del concepto de liacutemite para una mejor comprensioacuten de la realidad
NIVELES MIacuteNIMOS DE LOGROS 1 Al menos conoce y emplea tres tipos de funciones importantes en La solucioacuten de problemas
2 Dada una situacioacuten real explica si esta puede ser modelada por Una funcioacuten 3 Resuelve al menos tres liacutemites de mediana complejidad
CONTENIDOS
SEMANA CONTENIDOS FECHA
01
bull Funciones definicioacuten dominio y rango bull Clases de Funciones
Polinoacutemicas Racionales bull Lectura
httpaulaelmundoesaulalaminasnumeropdf
bull Trabajo Individual bull Lectura ldquoLos criacutemenes Imperceptiblesrdquo
Guillermo Martiacutenez
Del 4 al 8 de Sept
02
bull Graficas de Funciones con asiacutentotas funcioacuten exponencial y Logariacutetmica
bull Laboratorio Nordm 1 bull Grafico de funciones con valor absoluto bull Presentacioacuten de investigacioacuten sobre la
lectura
Del 11 al 15 de Sept
03
bull Grafica de funciones polinoacutemicas bull Funcioacuten Signo y Mayor entero Ejercicios bull Teacutecnicas de graficacioacuten bull Presentacioacuten de solucioacuten de problemas
sobre funciones bull Informe sobre novela
Del 18 al 22 de Sept
04
bull Aplicaciones de las Funciones bull Laboratorio Nordm 2 bull Evaluacioacuten de Funciones (parte teoacuterica) bull Trabajo Individual
Del 25 al 29 de Sept
05 bull Evaluacioacuten de Funciones (parte praacutectica) bull Laboratorio Nordm 3
Del 2 al 6 de Oct
06 bull Liacutemites Liacutemite Finito- Teoremas bull Caacutelculo de Liacutemites
Del 9 al 13 de Oct
07 bull Praacutectica de caacutelculo de liacutemites bull Laboratorio Nordm 4
Del 16 al 20 de Oct
08 Examen parcial Del 23 al 27 de Oct
42 SEGUNDA UNIDAD CONTINUIDAD Y DERIVADAS
CAPACIDADES
1 Entiende el concepto de continuidad y clasifica los tipos de continuidad
2 Aplicas las propiedades fundamentales de las funciones continuas a la solucioacuten de problemas reales
3 Utiliza correctamente las foacutermulas de derivacioacuten 4 Aplica el caacutelculo diferencial al estudio de fenoacutemenos naturales
econoacutemicos sociales y tecnoloacutegicos ACTITUDES
1 Valora de manera criacutetica la importancia de la exactitud y orden
en el caacutelculo de liacutemites analizando la continuidad en algunos casos
2 Demuestra precisioacuten orden y claridad en sus caacutelculos 3 Aplica los conceptos a hechos reales y concretos
COMPORTAMIENTOS OBSERVABLES
1 Trabaja de manera ordenada y exacta en los momentos correspondientes a praacutecticas y exaacutemenes
2 Manifiesta la importancia de la derivada para explicar y analizar hechos reales en las diferentes aacutereas
NIVELES MIacuteNIMOS DE LOGROS 1 Aplica a situaciones reales el concepto de liacutemite y de
continuidad 2 Dado el graacutefico de una funcioacuten explica con sus propias palabras
el concepto de derivada puntual utilizando argumentos geomeacutetricos
3 Dada una funcioacuten halla la derivada utilizando reglas de derivacioacuten
4 Emplea derivadas para calcular maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten
CONTENIDOS
SEMANA CONTENIDOS FECHA
09 bull Liacutemite al Infinito
Del 30 de Oct Al 3 de
bull Liacutemites de funciones Trigonomeacutetricas bull Taller de ejercicios
Nov
10
bull Evaluacioacuten del tema anterior bull Continuidad y Discontinuidad removible
de una funcioacuten
Del 6 al 10 de Nov
11
bull Evaluacioacuten de Continuidad bull Trabajo en aula sobre problemas de
liacutemites
Del 13 al 17 de Nov
12
La Derivada bull Razoacuten de cambio promedio e
instantaacutenea bull Taller de ejercicios bull Laboratorio Nordm2
Del 20 al 24 de Nov
13
bull Definicioacuten e Interpretacioacuten Geomeacutetrica bull Reglas de derivacioacuten bull Regla de la Cadena bull Evaluacioacuten
Del 27 de Nov Al 1 de Dic
14
bull Derivada de una funcioacuten impliacutecita bull Derivada de orden superior bull Laboratorio Nordm 3
Del 4 al 8 de Dic
15
bull Regla de Hrsquoospital bull Aplicacioacuten de la derivada Maacuteximos y
miacutenimos de una funcioacuten bull Laboratorio Nordm 4 bull Evaluacioacuten
Del 11 al 15 de Dic
16 Examen final Del 18 al 22 de Dic
5 ESTRATEGIAS METODOLOacuteGICAS Uso de metodologiacutea activa empleando principalmente los meacutetodos 1 Magistral 2 Trabajo Autoacutenomo de los alumnos (Investigacioacuten Individual) 3 Trabajo de grupo 4 Expositiva - Interactiva 5 Experimental 6 Debate
7 Demostracioacuten
6 MEDIOS Y MATERIALES
1 Software matemaacutetico DERIVE 2 Texto de biblioteca 3 Separata resumen 4 Direcciones electroacutenicas 5 Ejercicios Aplicacioacuten 6 Casos 7 Presentacioacuten multimedia
7 EVALUACIOacuteN
71 CRITERIOS DE EVALUACIOacuteN
El Promedio Final (PF) del curso seraacute obtenido de la siguiente manera PU1+PU2 PF = 2 Siendo PU1 y PU2
los promedios de la primera y segunda unidad de aprendizaje respectivamente El promedio de cada unidad de aprendizaje se calcula como
PC+TI+CL+LB+2EP PU1 6
=
Donde PC+TI+CL+LB Son los Promedios de praacutecticas calificadas
Trabajo de Investigacioacuten control de lectura laboratorios
EP Examen parcial
La nota se consideraraacute con un decimal en los promedios parcial y final La nota miacutenima aprobatoria es 105 y se redondearaacute al entero inferior o superior seguacuten corresponda
72 CONDICIONES DE EVALUACIOacuteN
El 30 de inasistencias INHABILITA del curso
La justificacioacuten de una inasistencia seraacute uacutenicamente con certificado meacutedico
8 CRONOGRAMA ACADEMICO
UNIDAD ACTIVIDADES FECHA
Primera Inicio del Ciclo Examen Parcial
4 de Septiembre de 2006 23 al 28 de Octubre
Segunda Examen Final Teacutermino del Ciclo Exaacutemenes Extemporaacuteneos
Del 18 al 22 de Diciembre 23 de Diciembre
9 REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
LIBROS EN BIBLIOTECA DE LA UNIVERSIDAD CEacuteSAR VALLEJO
1 AUDRY SANCHEZ Javier Caacutelculo Diferencial e Integral Trillas (
MAT- 01768 ) 2 ESPINOZA RAMOS Eduardo Anaacutelisis Matemaacutetico para Ingenieros
Impreso en Peruacute2002 723pg 3 FILLOY YAGUE Eugenio Geometriacutea Analiacutetica Iberoamericana (
MAT-0532 )
4 GROSSMAN Stanley Algebra Lineal Mc Graw- Hill Edicioacuten 1996 Meacutexico ( MAT- 558 )
5 LEITHOLD Louis El Caacutelculo Oxford University Meacutexico 1996 (
MAT- 0545 )
6 PURCELL Edwin Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica Prentice Hispanoamericana Meacutexico 1993( MAT- 0542)
7 SMITH Robert Caacutelculo Mc Graw- Hill Interamericana Colombia 2001 Tomo I y II ( MAT- 0547 ) Y ( MAT-0548 )
ANEXO 2
REGISTRO DE EVALUACIONES
8 STEWART JAMES Caacutelculo Diferencial e Integral Thomson 1989 ( MAT- 02796 )
9 TOMAS George E Caacutelculo Infinitesimal y Geometriacutea Analiacutetica
Aguilar 1989 ( MAT- 01119 )
LIBROS DE PROPIEDAD DEL DOCENTE
1 AYRES Frank Caacutelculo Diferencial e Integral McGraw-Hill1992
2 DEMIDOVICH B Problemas de Anaacutelisis Matemaacutetico MIR Moscuacute 1981
3 HASSER Norman et al Anaacutelisis Matemaacutetico Trillas 1985 Meacutexico
810pg
4 KITCHEN Joseph Caacutelculo McGraw-Hill1992 Espantildea 863pg
5 KONG Maynard Caacutelculo Diferencial Pontificia Universidad Catoacutelica del Peruacute 1995 Peruacute548 pg
6 LAZARO CARRIOacuteN Moiseacutes Caacutelculo Diferencial Moshera SRL
Peruacute 225 pg
7 MONTOYA VALDERRAMA Manuel Liacutemites Continuidad y Derivadas
8 PISKUNOV N Caacutelculo Diferencial e Integral Montaner y Simon
SA Barcelona19731019pg
9 PURCELL Edwin J et al Caacutelculo Diferencial e Integral Pearson 2003 Meacutexico480 pg
PAacuteGINAS WEB (No menor de 5 y pertinentes al curso) httpwwwdivulgamatcom httpwwwsectormatematicaclcontenidoshtm httpwwwedutekaorg httpwwweswikipediaorg
ANEXO 3
GUIAS METODOLOGICAS APLICANDO EL SOFTWARE DERIVE
APRENDIENDO CALCULO DIFERENCIAL CON DERIVE
SESION Nordm 1
TEMA RAZON DE CAMBIO Y PROBLEMA DE LA RECTA
TANGENTE CAPACIDAD Emplea definicioacuten de razoacuten de cambio para
resolver ejercicios sobre recta tangente
A RAZON DE CAMBIO
Empezaremos por trabajar el concepto matemaacutetico fundamental del caacutelculo sobre el cual se sustenta la teoriacutea de derivadas Este es Razoacuten de Cambio media Recordemos que Hoffmann (1985 Paacuteg 82) la define de la siguiente manera
Consideraremos la segunda definicioacuten de la separata por cuanto es maacutes directa en el anaacutelisis de los cambios o variaciones Ahora sigamos las instrucciones siguientes bull Utilice DERIVE para ingresar la funcioacuten 2( ) 6 2f x x x= minus + y estudiar
sus caracteriacutesticas bull Una vez definida ( )f x construya otra funcioacuten que calcule la Razoacuten de
Cambio Media o Razoacuten de Cambio Promedio de ( )f x para el intervalo [ ]a b
( ) ( )( ) f b f aRCP a bb aminus
=minus
( ) ( ) ( ) ( ) ( )RCP a b f b f a b a= minus minus bull Para probar su funcionamiento encuentre la razoacuten de cambio en el intervalo
[ ]0 3 (03)RCP
bull Halla la RCP de ( )f x en los intervalos [1 2] [1 3] [1 4] [1 11] [1 101]
bull Considera tambieacuten la misma expresioacuten para hallar la RCP en funcioacuten de un valor x a= y un incremento h
( ) ( )( ) f x h f xRCP x hh
+ minus=
( ) ( ) ( ) ( ) RCP x h f x h f x h= + minus
Razoacuten de Cambio Media Suponga que y es una funcioacuten de x ( )y f x= correspondiendo a un cambio de x a x x+ ∆ la variable y
cambia en una cantidad ( ) ( )y f x x f x∆ = + ∆ minus Asiacute el cociente de diferencias
( ) ( )Cambio de x x f x x f xCambio de y y x
∆ + ∆ minus= =∆ ∆
Representa la razoacuten de cambio de y con respecto a x (Hoffmann 1985 82)
bull Halla la RCP de ( )f x en los intervalos para los valores de a) 2x = con un incremento de 4 b) 2x = con un incremento de 3 c) 2x = con un incremento de 2 d) 2x = con un incremento de 1
EJERCICIOS
1 RAZONAMIENTO GRAacuteFICO Utiliza DERIVE para graficar la funcioacuten razoacuten de cambio de 3 2( ) 2 1f x x x= + minus y su funcioacuten razoacuten de cambio
( 001) ( )( )
001f x f xg x + minus
= en una misma ventana Calcule algunos
valores empleando la opcioacuten vector 2 Halla la RCP de la funcioacuten 2( ) ln(( 1) ( 3))f x x x= minus minus + en los
intervalos [556] [ 546] [ 536] [ 526] [ 516] 3 Halla el liacutemite cuando h rarr 0 de ( ( ) ( )) f x h f x h+ minus en la pregunta
anterior Para ello situacutea el cursor sobre dicho resultado para resaltarlo y
pulsa el icono
B RECTA TANGENTE 1 Elabore un programa que permita ingresar una funcioacuten un intervalo
[ ]a b y grafique las rectas secantes en ese intervalo hasta la recta tangente en el punto a Complete la hoja con los datos que vaya realizando Utilice la funcioacuten 3 2( ) 5 3 4f x x x x= minus + minus y el intervalo [ ]23
2 Una vez realizado el trabajo anterior comprueba que se obtiene la misma solucioacuten con el comando TANGENT ( )0 y x x que DERIVE proporciona
3 Ahora puedes resolver algunos problemas del Trabajo Practico Nordm 2 de tu separata empleando el comando TANGENT ( )0 y x x
4 Utiliza las formas equivalentes de la derivada (pag39) y resuelve algunos ejercicios empleando tus propias funciones y el comando derivada que te ofrece DERIVE asiacute podraacutes comprobar tus resultados
TEMA CAacuteLCULO Y GRAFICA DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIOacuteN
En esta parte de nuestro primer laboratorio vamos a ingresar diversas funciones calcularemos sus derivadas empleando la definicioacuten de derivada y empleando tambieacuten el comando DIF
1 Dada la funcioacuten 2 0
( ) 0
x xf x
x x le
= gt
bull Graficarla ademaacutes construir la funcioacuten derivada de dos formas la primera empleando definicioacuten de LIM((f(x+h)-f(x))h h 0 -1) para calcular la derivada por izquierda y LIM((f(x+h)-f(x))h h 0 1)para calcular la derivada por derecha y la segunda forma es empleando el comando DIF (f(x) x) que ofrece DERIVE
bull Observa las graficas de la funcioacuten y su derivada y responde a las
siguientes preguntas
iquestQueacute sucede con la derivada en el punto x=0 iquestQueacute representa la graacutefica de la funcioacuten derivada
2 Introduce la siguiente funcioacuten definida ldquoa trozosrdquo f(x)=IF(xlt4 x^2-5
2x+3)
bull Calcular las derivadas laterales en x = 4 bull Representa la funcioacuten f(x) Observa que se trata de una funcioacuten
continua pero no derivable bull Prueba con otras definiciones de f(x) y otros valores distintos de x = 4
3 Ingresa la funcioacuten 2 1 0
( )0 0
x sen xh x x
x
ne = =
y calcula su derivada en el
punto cero Ademaacutes elabora las graficas 4 Considera f(x)= 4-x^2 en x = 2 y halla las derivadas laterales iquestPuedes
explicar que ocurre 5 Considera tambieacuten f(x) = 1x en x = 0
CAPACIDAD Grafica funciones y encuentra su primera derivada empleando comando propios de DERIVE
6 Demostrar usando DERIVE que la funcioacuten 3 2 1cos 0
( )0 0
x xf x x
x
gt = le
es derivable en cero
7 Calcular y graficar las derivadas de las siguientes funciones empleando derive
a) 2
2( ) xf x sen
xsensenx
=
b) cos( )cos
senx xf xsenx x
minus=
+
c) 1( )2
f xa
x senx
=minus
+
d) 6 2( ) (1 cos 2 )f x x x= minus e) ( ) lnf x x=
APRENDIENDO CALCULO DIFERENCIAL CON DERIVE
SESION Nordm 2
C RELACION ENTRE LA GRAFICA DE UNA FUNCION Y SU
PRIMERA DERIVADA
PROBLEMA- (Caraacutecter creciente o decreciente de una funcioacuten) iquestPuede la primera derivada de una funcioacuten proporcionar informacioacuten acerca del caraacutecter creciente o decreciente de una funcioacuten ( )f x
Empezaremos recordando una serie de conceptos que debemos tener en cuenta para abordar esta sesioacuten
Se dice que una funcioacuten es positiva en la regioacuten en que su graacutefica se encuentra arriba del eje de las abscisas Asiacute use DERIVE y describa en que intervalos las siguientes funciones son positivas
o ( ) 3cosf x x= o ( ) 3 3f x x= minus o ( ) 8 4f x x= minus
o ( )2( ) 2 5f x x= + minus
CAPACIDAD Infiere mediante un anaacutelisis grafico las relaciones existentes entre la graacutefica de una funcioacuten y su primera derivada signo de la primera derivada asociado con crecimiento o decrecimiento de la funcioacuten y derivada nula con puntos criacuteticos
o ( )2( ) 3 2f x xminus minus +
Se dice que una funcioacuten es negativa en la regioacuten en que su grafica se encuentra abajo del eje de las abscisas Emplea DERIVE y describe en que intervalos la siguientes funciones son negativas
o ( ) 5 3f x x= minus
o ( ) 62xf x minus
= +
o 2( ) 4 4f x x x= + minus o 2( ) 6 9f x x x= minus + +
Una funcioacuten es creciente en una regioacuten si y soacutelo si al aumentar los valores de la variable independiente x aumentan tambieacuten los valores de la funcioacuten Es decir
( )f x es creciente en una regioacuten si para dos puntos cualesquiera 1x y
2x siempre que 1 2x xlt necesariamente 1 2( ) ( )f x f xlt y viceversa
Geomeacutetricamente una funcioacuten es creciente en la regioacuten en que su graacutefica sube a medida que recorremos el eje X de izquierda a derecha Grafica empleando derive la funcioacuten 3 2( ) 3 3f x x x= minus + y completa lo siguiente bull La funcioacuten mostrada es decreciente en intervalos que empiezan
inmediatamente despueacutes de _____ y termina inmediatamente antes de _____ Es decir ( )f x es decreciente en el intervalo abierto iquestPor queacute intervalo abierto
bull En cambio la misma funcioacuten es creciente en dos regiones desde menos infinito hasta _______ sin llegar a cero a sea en el intervalo y en el intervalo
bull iquestPodriacuteas dar una justificacioacuten del porqueacute los valores 0 y 2 estaacuten excluidos de las tres regiones
bull La funcioacuten graficada es positiva en los intervalos __________ __________
bull La funcioacuten graficada es negativa en los intervalos __________ __________
Tambieacuten hemos trabajado las siguientes ideas Completa lo que falta
bull Hemos afirmado el hecho de que en un punto del dominio la
pendiente de una curva es igual a la pendiente de la recta ________ en ese punto
Sabemos que bull Cuando una recta es creciente su _________ es positiva bull Cuando una recta es decreciente su ___________ es decreciente bull Cuando una recta es paralela al eje X su __________es
_________________ bull La pendiente de la recta tangente a la grafica de una funcioacuten
( )f x en cualquier punto del dominio es precisamente la primera ____________ de la funcioacuten
bull Elabora las graficas de la funcioacuten 3 2( ) 3 3f x x x= minus + y de su primera derivada empleando DERIVE
bull Haremos un anaacutelisis comparativo de estas graacuteficas bull La funcioacuten ( )f x es decreciente en el intervalo ( )02 iquestCoacutemo es
su derivada ( )f x en ese intervalo_________________ bull La funcioacuten ( )f x es creciente en el intervalo ( )0minusinfin iquestCoacutemo es
su derivada ( )f x en ese intervalo_________________
bull La funcioacuten ( )f x es creciente en el intervalo ( )2infin iquestCoacutemo es su derivada ( )f x en ese intervalo_________________
bull La funcioacuten ( )f x es constante en los puntos 0x = y 2x = iquestCoacutemo es su derivada ( )f x en esos puntos_________________
bull Los hechos que acabas de observar no son una coincidencia ni un hecho aislado corresponde a una relacioacuten muy importante entre una funcioacuten y su primera derivada
bull Considerando tus respuestas tenemos todos lo necesario par construir los siguientes criterios de caracterizacioacuten
bull Para toda funcioacuten ( )f x derivable en un intervalo ( )a b
bull Si acute( ) 0f x gt para todo valor x en ( )a b ( )f x es creciente en
( )a b
bull Si acute( ) 0f x lt para todo valor x en ( )a b ( )f x es decreciente en
( )a b
bull Si acute( ) 0f x = para todo valor x en ( )a b ( )f x es constante en
( )a b Este caso nos seraacute particularmente uacutetil en el caso en que el intervalo conste de un solo punto
bull A cada valor de x en el que acute( ) 0f x = se le llama punto criacutetico bull Problema 1 Empleando DERIVE encuentra los intervalos donde
la funcioacuten 3 2( ) 3 3f x x x= minus + creciente y decreciente y los puntos donde es constante Luego compara tus hallazgos y completa la informacioacuten
bull acute( )f x = ________ ( )f x seraacute creciente donde acute( ) 0f x gt es decir
donde 23 6 0x xminus gt factorizando 3x obtenemos ( )3 0x gt recuerda que el producto de dos factores es mayor que cero soacutelo si ambos son positivos o ambos son negativos
1 3 0 2 0x y xgt minus gt
0 2x y xgt gt
Siempre que 2x gt se cumple tambieacuten que 0x gt No al reveacutes ( )f xthere4 es creciente en ( )2infin
2 3 0 2 0x y xlt minus lt 0 2x y xlt lt
Siempre que 0x lt se cumple tambieacuten que 2x lt No al reveacutes ( )f xthere4 es creciente en ( )0minusinfin
bull ( )f x seraacute decreciente donde acute( ) 0f x lt es decir donde
23 6 0x xminus lt bull ( )3 0x lt ahora recordemos que el producto de dos factores es
negativo si y solo si________________o ____________________-
1 3 0 2 0x y xgt minus lt
0 2x y xgt lt ( )f xthere4 es decreciente en ( )02
2 3 0 2 0x y xlt minus gt 0 2x y xlt gt
iexclImposible No hay valores de x que sean menores que cero y al mismo tiempo mayores que 2
( )f x seraacute constante es decir estaraacute momentaacuteneamente horizontal su
tangente seraacute paralela al eje X donde acute( ) 0f x = ( )3 2 0x x minus = si 0 2x y x= =
Estos son los dos valores de x donde la funcioacuten es constante a los que llamamos ldquopuntos criacuteticosrdquo Otra forma de encontrar los valores de x donde la funcioacuten es creciente o decreciente sin tener que resolver desigualdades es la siguiente Se encuentran los valores de x donde acute( )f x vale cero resolviendo la ecuacioacuten acute( ) 0f x =
Los n valores de x obtenidos al resolver la ecuacioacuten anterior nos permiten dividir el eje X en 1n + intervalos ajenos
Se construye una tabla en la que los a x valores en cada intervalo y analizando el signo que toma acute( )f x en cada uno de ellos podemos decidir si ( )f x es creciente o decreciente con base en el criterio al que arribamos antes Trabajando en esta forma con 3 2( ) 3 3f x x x= minus +
2acute( ) 3 6f x x x= minus 23 6 0x xminus = 3 ( 2) 0x x minus = si 3 0x = 0x = si 2 0x minus = 2x =
( )f x es constante en 0x = y en 2x = Los valores 0 y 2 dividen al eje X en tres intervalos ( )0minusinfin ( )02 ( )2infin
La tabla que construiremos seraacute del tipo
Intervalo ( )0minusinfin ( )02 ( )2infin
Valor de x en el intervalo -1 1 3
Valor de acute( )f x en el intervalo
9 -3 9
Signo de acute( )f x + - + Caraacutecter de ( )f x en el
intervalo Creciente Decreciente Creciente
Por lo tanto ( )f x es creciente en los intervalos ( )0minusinfin y ( )2infin
mientras que es decreciente en el intervalo ( )02 Problema 2 Empleando DERIVE encuentra los intervalos donde la
funcioacuten 1( )f x xx
= + es creciente y decreciente asiacute como los puntos
donde es constante Observa que esta funcioacuten no estaacute definida en 0x =
Problema 3 Utiliza DERIVE y encuentra las regiones donde cada una de las siguientes funciones es creciente decreciente o constante
bull 2 2( )1
x xf xx
minus minus=
minus
bull 22( )
1xf x
x=
+
bull 4 2( ) 6 5f x x x= + minus bull 3( ) 1f x x= minus
bull 26( )
3f x
x=
+
D RELACION ENTRE LA GRAFICA DE UNA FUNCION Y SU SEGUNDA DERIVADA
PROBLEMA 1- (Concavidad de una funcioacuten) iquestPuede la segunda derivada de una funcioacuten proporcionar informacioacuten acerca del tipo de concavidad que presenta una funcioacuten primitiva ( )f x
Emplea DERIVE y grafica la funcioacuten 2( ) ( 3) 4f x x= minus + ademaacutes determina las ecuaciones y graficas de las rectas tangentes a la curva en los puntos 0x = y 5x = Empleando nuevamente DERIVE grafica la funcioacuten
2( ) ( 7) 1f x x= minus + minus ademaacutes determina las ecuaciones y graacuteficas de las rectas tangentes a la curva en los puntos 10x = minus y 5x = minus Observaciones
CAPACIDAD Infiere por medio de un anaacutelisis grafico las relaciones existentes entre la graacutefica de una funcioacuten y su segunda derivada signo de la segunda derivada asociado con concavidad de la funcioacuten y segunda derivada nula con un posible cambio de concavidad
Observa en principio que donde la curva es coacutencava hacia arriba sus tangentes estaacuten pro debajo de la curva y en caso de ser coacutencava hacia abajo sus tangentes estaacuten por arriba de ella Pero donde la curva no es coacutencava la tangente la atraviesa
Una funcioacuten que presenta los dos tipos de concavidad posibles hacia abajo y hacia arriba es 3 2( ) 3 3f x x x= minus + Empleando DERIVE calcula su primera y segunda derivada y graficas todas las funciones en un mismo plano Localiza con cuidado cada grafica colorea con un color diferente asiacute podraacutes identificarlas faacutecilmente en el siguiente anaacutelisis En el intervalo ( )1minusinfin
( )f x es coacutencava hacia abajo ( )f x que representa las pendientes de las rectas tangentes a ( )f x es decreciente No deja de bajar desde minusinfin hasta
1x = ( )f x que representa las pendientes de las rectas tangentes a ( )f x es negativa porque ( )f x es decreciente
Exactamente en 1x =
o ( )f x cambia de concavidad Deja de ser coacutencava hacia abajo
pero aun no es coacutencava hacia arriba o ( )f x es constante tiene un punto criacutetico porque ( ) 0f x = o ( )f x corta al eje X vale cero Dejoacute de ser negativa y auacuten no
es positiva En el intervalo ( )1infin
o ( )f x es coacutencava hacia arriba o ( )f x es creciente o ( )f x es positiva
Una vez mas lo que has observado no es una coincidencia o un caso aislado nuevamente corresponde a una importante relacioacuten entre una funcioacuten y su segunda derivada Conclusioacuten
bull Para toda funcioacuten ( )f x cuya segunda derivada existe en el intervalo ( )a b
bull Si ( ) 0f x gt para todo valor x en ( )a b la graacutefica de ( )f x es
coacutencava hacia arriba en ( )a b
bull Si ( ) 0f x lt para todo valor x en ( )a b la graacutefica de ( )f x es
coacutencava hacia abajo en ( )a b Definicioacuten- Se llama punto de inflexioacuten al punto donde la grafica de la funcioacuten cambia de ser coacutencava hacia abajo a coacutencava hacia arriba o viceversa si existe la tangente en ese punto La funcioacuten que analizamos antes 3 2( ) 3 3f x x x= minus + tiene un punto de inflexioacuten en 1x = porque (1) 0f = Ejercicios Estudia si tiene la funcioacuten 4( )f x x= punto de inflexioacuten en 0x = Con ayuda de DERIVE halla los intervalos donde la funcioacuten es coacutencava hacia arriba yo hacia abajo asiacute como las coordenadas de los puntos de inflexioacuten si existen Elaborar las graficas necesarias
o 23( )
3f x
x=
+
o 3 2( ) 6 9 1f x x x x= minus + +
o 4
2( ) 24xf x x= minus
o 2 4( ) 6f x x x= minus
APRENDIENDO CALCULO DIFERENCIAL CON DERIVE
SESION Nordm 3
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION A CLASIFICACION DE LOS PUNTOS CRITICOS DE UNA FUNCIOacuteN RECORDEMOS Localiza en la graacutefica de la figura 1 el punto(s) m miacutenimo(s) y da sus coordenadas Figura 1 Si observas la graacutefica notaraacutes que existen dos puntos maacutes bajo que todos los demaacutes donde la curva es coacutencava hacia arriba a los que llamaremos miacutenimos locales Las coordenadas de esos puntos en la grafica son
1( )m y 2 ( )m Localiza en la graacutefica de la figura 2 el punto M maacuteximo y da sus coordenadas Figura 2
2
21( ) 1f xx
= minus
( ) ( 2)( 4)( 6)f x x x x x= + minus minus
CAPACIDAD Determina los puntos criacuteticos de una funcioacuten y los clasifica en maacuteximos miacutenimos o de inflexiones
Si observas la grafica de la funcioacuten encontraras que alcanza un punto maacutes alto en la regioacuten donde es coacutencava hacia abajo Las coordenadas de ese punto son ( )M A un punto como este que se encuentra en la cima de una regioacuten donde la curva es coacutencava hacia abajo se le llama maacuteximo local por que en efecto es el punto mas alto aunque no de toda la curva sino de una regioacuten Pregunta iquestQueacute coincidencias y queacute diferencias hay donde ( )f x tiene maacuteximo y donde tiene miacutenimo Coincidencias __________________________________________________________ Diferencias __________________________________________________________ Para determinar los valores extremos de una funcioacuten en un primer acercamiento se requiere
1 Obtener la primera derivada de la funcioacuten para investigar doacutende ( )f x es constante
2 Igualar a cero la primera derivada ( ) 0f x = 3 Resolver la ecuacioacuten resultante para encontrar los puntos criacuteticos
de 1 2( ) f x x x donde podriacutea tener un maacuteximo un miacutenimo o un punto de inflexioacuten
4 Bosquejar la graacutefica de la funcioacuten 5 Elabora una conjetura acerca del caraacutecter de cada punto criacutetico
maacuteximo miacutenimo o punto de inflexioacuten Emplea DERIVE y en cada funcioacuten de los siguientes ejemplos determina los puntos criacuteticos bosqueja una graacutefica y elabora una conjetura acerca del caraacutecter de cada punto criacutetico
A los valores maacuteximos o miacutenimos los llamaremos valores extremos
Ejercicio Ndeg 1
Graficar la funcioacuten 2
21( ) 1f xx
= minus
y completar la informacioacuten
1 ( )f x = 2 ( ) 0f x = de donde 1x = ( )f xthere4 tiene un punto criacutetico 3 iquestQueacute sucede con la graacutefica de la primera derivada en los puntos
criacuteticos de la funcioacuten 4 Mostrar la graacutefica y determinar que tipo de punto es 1x 5 Determinar la segunda derivada y analizar su comportamiento
grafico Ejercicio Ndeg 2 Graficar la funcioacuten ( ) ( 2)( 4)( 6)f x x x x x= + minus minus y completar la informacioacuten
1 ( )f x = 2 ( ) 0f x = de donde 1 2 3 x x x= = = ( )f xthere4 tiene tres
puntos criacuteticos 3 iquestQueacute sucede con la graacutefica de la primera derivada en los puntos
criacuteticos de la funcioacuten 4 Mostrar la graacutefica y determinar que tipo de puntos criacuteticos tiene 5 Determinar la segunda derivada y analizar su comportamiento
grafico Ejercicio Ndeg 3 Graficar la funcioacuten 3 2( ) 3 3f x x x= minus + y completar la informacioacuten
1 ( )f x = 2 23 6 3 ( ) 0x x xminus = minus = de donde 1 2x y x= = ( )f xthere4
tiene dos puntos criacuteticos 3 Indicar el maacuteximo y el miacutenimo 6 iquestQueacute sucede con la graacutefica de la primera derivada en los puntos
criacuteticos de la funcioacuten 4 Mostrar una graacutefica
5 Grafique la primera derivada y determine si el signo de ella antes y despueacutes del punto criacutetico coincide con la propiedad de la funcioacuten de ser creciente o decreciente en los intervalos formados
6 Grafique la segunda derivada y analice la informacioacuten que representa
Ejercicio N deg4 (trabajo)
Graficar la funcioacuten 23( )
3f x
x=
+ y completar la informacioacuten
1 ( )f x =
2 ( )22
6 03
x
x
minus=
+
3 Puesto que ( )22 3x + siempre seraacute mayor que cero la uacutenica
posibilidad de que ( )22
6 03
x
x
minus=
+es que 6 0xminus = luego 0x =
( )f xthere4 tiene soacutelo un punto criacutetico 4 Determine a traveacutes de la graacutefica si se trata de un maacuteximo o
miacutenimo 5 Grafique la primera derivada y determine si el signo de ella antes
y despueacutes del punto criacutetico coincide con la propiedad de la funcioacuten de ser creciente o decreciente en los intervalos formados
6 Grafique la segunda derivada y analice la informacioacuten que representa
B CRITERIO DE LA PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA PARA ENCONTRAR VALORES EXTREMOS DE UNA FUNCION
iquestExiste un procedimiento formal para determinar los valores extremos de una funcioacuten En el punto anterior pudimos determinar los valores criacuteticos de una funcioacuten y decidir si se trataba de un maacuteximo o miacutenimo o un punto de inflexioacuten Pero tuvimos las siguientes limitaciones bull Nuestra decisioacuten quedoacute a nivel de conjetura porque para tomarla
n os apoyamos en una grafica y eso le quita formalidad y precisioacuten al procedimiento
bull No obtuvimos el valor del maacuteximo o miacutenimo de la funcioacuten ni las coordenadas en el caso del punto de inflexioacuten
En esta sesioacuten trabajaremos en laacutepiz y papel el procedimiento formal para obtener los valores extremos de una funcioacuten asiacute como sus puntos de inflexioacuten y resolveremos los ejercicios usando derive asiacute podemos comparar entre el trabajo analiacutetico y los caacutelculos que podemos hacer empleando DERIVE
RECORDAR
Criterio de la primera derivada Hipoacutetesis Si ( )f x es una funcioacuten continua en un Intervalo ( )a b
1x es el uacutenico punto criacutetico en ese intervalo y ( )f x es derivable en
( )a b Entonces Tesis el punto criacutetico ( )1 1 ( )x f x se puede clasificar de acuerdo a la siguiente tabla
CAPACIDAD Comprende y aplica el criterio de la primera y segunda derivada para encontrar valores extremos de una funcioacuten
Signo de ( )f x en ( )1a x
Signo de ( )f x en ( )1 x b Decisioacuten
+ - 1( )f x es un maacuteximo
- + 1( )f x es un miacutenimo
+ + 1( )f x es un posible punto de inflexioacuten
- - 1( )f x es un posible punto de inflexioacuten
Criterio de la segunda derivada Hipoacutetesis Si ( )f x es una funcioacuten que tiene primera y segunda derivadas en un intervalo ( )a b y tiene un punto criacutetico en 1x Tesis el punto criacutetico ( )1 1 ( )x f x se puede clasificar de acuerdo con el siguiente criterio bull Si ( ) 0 ( )f x f xgt tendraacute un maacuteximo en 1x porque es coacutencava hacia arriba bull Si ( ) 0 ( )f x f xlt tendraacute un miacutenimo en 1x porque es coacutencava hacia abajo bull Si ( ) 0 ( )f x f x= podriacutea tener un punto de inflexioacuten 1x si estaacute cambiando la concavidad
Ejercicio Ndeg 1 Determina los maacuteximos y miacutenimos de la siguiente funcioacuten
3 2( ) 3 3f x x x= minus + completa la informacioacuten que se pide y luego compara tus resultados con los obtenidos empleando DERIVE
1 ( )f x = 2 23 6 0x xminus =
3 ( )23 6 3 ____ ____ 0x x xminus = minus = de donde 1 ____x = y
2 ____x = 4 Los valores 0 y 2 dividen al eje X en los intervalos ajenos
( ) ( ) ( )0 0 2 2minusinfin infin 5 Elaboramos una tabla para dar valores a x Completa el valor y el
signo de ( )f x
Intervalo ( )0minusinfin ( )02 ( )2infin
Valor de x -1 1 3
Valor de ( )f x
Signo de ( )f x
6 De acuerdo con el criterio de la primera derivada
a) En 1 0x = ( )f x tiene un ___________ porque ( )f x _____________
b) En 2 2x = ( )f x tiene un ___________ porque ( )f x ____________
7 El valor maacuteximo de ( )f x en _____ es_____ 8 El valor miacutenimo de ( )f x en _____ es_____
Ejercicio Ndeg 2 Determina los maacuteximos y miacutenimos de la siguiente funcioacuten
2
3( )3
f xx
=+
completa la informacioacuten que se pide y luego compara tus
resultados con los obtenidos empleando DERIVE 1 ( )f x =
2 ( )22
6 03
x
x
minus=
+
3 Puesto que ( )22 3x + siempre seraacute mayor que cero la uacutenica
posibilidad de que ( )22
6 03
x
x
minus=
+es que 1 ____x =
4 El valor de z divide al eje X en 2 intervalos ( ) ( )0 0minusinfin infin iquestQueacute sucede en el punto cero
5 Elaboramos una tabla para dar valores a x Completa el valor y el signo de ( )f x
Intervalo ( )0minusinfin ( )0infin
Valor de x -1 1
Valor de ( )f x
Signo de ( )f x
6 ( )f x presenta un _______________en _____ Ejercicio Ndeg 3 Empleando Derive y el criterio de la segunda derivada determina los maacuteximos y miacutenimos de la siguiente funcioacuten ( )3( ) 4 10f x x= minus + ademaacutes completar la informacioacuten y anexa la grafica de las funcioacuten para verificar las validez de tus resultados
1 ( )f x =
2 ( )23 4 0x minus =
3 23( 8 16) 0x xminus + = de donde 1 ____x =
4 ( )f x = 5 (4)f =0 ( )f xthere4 tiene un___________ 6 Las coordenadas de ese punto son ( )4 (4)f es decir ( )4
7 (2)f =_____________gt0 ( )f xthere4 tiene un___________
Trabajo en casa Ejercicio Ndeg 1 Determina los maacuteximos y miacutenimos de la siguiente funcioacuten
( )3( ) 4f x x= minus completa la informacioacuten que se pide y luego compara tus resultados con los obtenidos empleando DERIVE
1 ( )f x =
2 ( )23 4 0x minus =
3 23( 8 16) 0x xminus + = de donde 1 ____x = 4 El valor 4 divide al eje X en dos intervalos ajenos
( ) ( ) 4 4minusinfin infin 5 Elaboramos una tabla para dar valores a x Completa el valor y el
signo de ( )f x
Intervalo ( ) 4minusinfin ( )4infin
Valor de x 2 5
Valor de ( )f x
Signo de ( )f x
6 De acuerdo con el criterio de la primera derivada En 1 4x = ( )f x presenta __________________________
Ejercicio Ndeg 2 Determina los maacuteximos y miacutenimos de la siguiente funcioacuten
1( )f x xx
= + completa la informacioacuten que se pide y luego compara tus
resultados con los obtenidos empleando DERIVE
1 ( )f x =
2 2
11 0x
minus =
3 2
11 0x
minus = 2
11x
= 2 1x = de donde 1 ____x = y 2 ____x =
4 Los valores 1 y -1 dividen al eje X en 3 intervalos ajenos ( ) ( ) ( ) 1 11 1minusinfin minus minus infin iquestQueacute sucede en el punto cero
5 Elaboramos una tabla para dar valores a x Completa el valor y el signo de ( )f x
Intervalo ( ) 1minusinfin minus ( )10minus ( )01 ( )1infin
Valor de x -2 -12 frac12 3
Valor de ( )f x
Signo de ( )f x
6 El valor maacuteximo de ( )f x en _____ es_____ 7 El valor miacutenimo de ( )f x en _____ es_____
Ejercicio Ndeg 3 Empleando Derive y el criterio de la segunda derivada determina los
maacuteximos y miacutenimos de la siguiente funcioacuten 1( )f x xx
= + ademaacutes
completar la informacioacuten y anexa la grafica de las funcioacuten para verificar las validez de tus resultados
1 ( )f x =
2 2
11 0x
minus =
3 2
11 0x
minus = 2
11x
= 2 1x = de donde 1 ____x = y 2 ____x =
4 ( )f x = 5 (1)f = ____gt0 ( )f xthere4 tiene un___________ 6 Las coordenadas de ese punto son ( )1 (1)f es decir ( )1 7 ( 1)f minus = _____________lt0 ( )f xthere4 tiene un___________ 8 Las coordenadas de ese punto son ( )1 ( 1)fminus minus es decir ( )1minus
Ejercicio Ndeg 4 Calcula los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de las siguientes funciones
1 2 4
( )2 16x xf x = minus
2 23( )
1xf x
x=
minus
3 2( )4
xf xx
=minus
4 2 2( )1
x xf xx
minus minus=
minus
Representa las graacuteficas para comprobarlo C PROBLEMAS DE OPTIMIZACIOacuteN
Has aprendido a encontrar valores extremos de una funcioacuten por medio de dos criterios el de la primera derivada y el de la segunda derivada Lo que haremos ahora constituye una de las principales aplicaciones del caacutelculo diferencial utilizado en muy diversas aacutereas del conocimiento Con frecuencia en los procesos industriales cientiacuteficos y tecnoloacutegicos se busca optimizar las condiciones en que se llevan a cabo asiacute como los resultados que se obtienen Por ejemplo se pretende envasar el mayor volumen de un producto empleando la menor cantidad posible de material obtener el mejor efecto de un medicamento con la menor dosis administrada encontrar el nuacutemero de artiacuteculos que deben venderse para obtener la maacutexima ganancia Todo esto es optimizar un proceso y el caacutelculo es una herramienta muy uacutetil para lograrlo
CAPACIDAD Resuelve problemas que involucran maacuteximos o miacutenimos de una funcioacuten empleando derive
Para resolver un problema de optimizacioacuten baacutesicamente debemos proceder de la siguiente manera
1 A partir del enunciado del problema obtener la funcioacuten que queremos optimizar de modo que dependa de una sola variable
2 aplicar uno de los criterios para encontrar los valores extremos de una funcioacuten
3 interpretar los resultados con base en la naturaleza del problema planteado
PROBLEMA 1 Cuando alguien tose la traquea se contrae violentamente lo que afecta de modo directo a la velocidad del aire expulsado a traveacutes de ella Si la velocidad del aire durante la tosida se puede expresar como
2( ) ( )v r k p r r= minus donde k es una constante positiva que depende de la persona p es el radio normal de la traquea y r el radio durante el golpe de tos
a) Utilice una escala apropiada para mostrar la grafica de la velocidad del aire durante la tosida Utilice los valores de K=1 y p=3
b) Determina el dominio apropiado para estudiar esta funcioacuten c) iquestQueacute valor del radio r producir la maacutexima velocidad del aire
expulsado iquestCuaacutel es la velocidad
Solucioacuten
1 Siendo la funcioacuten a maximizar 2 2 3( ) ( ) ( )v r k p r r k p r r= minus = minus
2 La primera derivada es dvdr
=
3 Los puntos criacuteticos son 1 2______ _______r y r= =
4 luego la velocidad del aire expulsado tiene un maacuteximo cuando r =
PROBLEMA 2 Se quiere fabricar latas de refresco cuyo contenido sea 33cl de manera que el costo de la chapa sea miacutenimo Hallar las dimensiones que ha de
ANEXO 4
PLANES DE CLASE
Los planes de clase en general son los mismos para ambos grupos pero si difieren del lugar donde se trabajan pues el grupo experimental recibiraacute clases en el laboratorio de coacutemputo mientras que el grupo de control trabajara sus sesiones de clase en el aula Debo indicar tambieacuten que solo la tercera clase de ambos grupos seraacute en el saloacuten de clases pues se deben trabajar las derivadas de funciones trigonomeacutetricas logariacutetmicas impliacutecitas regla de L`Hospital El modelo de plan de clase que presento a continuacioacuten es el que manejamos en la universidad para nuestra carpeta docente Fue disentildeado por los docentes de la Escuela de Educacioacuten y lo trabajamos en todas las escuelas Presento cuatro planes de clase que corresponde a las 4 sesiones que tuvimos para resolver el capiacutetulo de Derivadas
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ASIGNATURA
Ciclo Seccioacuten
Semana Ndeg Sesioacuten
DOCENTE
COMPETENCIA
TIacuteTULO CAPACIDAD
ACTIVIDADES TIEMPO INDICADORES INICIALES DestrezaHabilidad Contenido Producto Iacutetems
PROCESO
FINALES Actitudes
METODO AYUDAS TEacuteCNICAS E INSTRUMENTOS DE EVALUACIOacuteN
Expositivas-Interactivas
Investigacioacuten Individual
Debate
Proyecto
Demostracioacuten
Investigacioacuten por equipos
Otros
Texto Separatas-resumen Transparencias- Diapositivas
Ejercicios Aplicacioacuten Casos Presentacioacuten Multimedia
Otros
Observacioacuten Situacioacuten Ejercicio Praacutectico Pruebas Escritas Situacioacuten Oral
de Evaluacioacuten
Pruebas de Desempentildeo
Examen Temaacutetico
Ejercicios Interpretativos
Pruebas Objetivas
Mapa mental
Mapa Conceptual
Estudios de Casos Praacutecticas- Laboratorio
Proyecto
Portafolio
Ensayos
Otros (Indicar)
Exposicioacuten Diaacutelogo Debate Examen
Oral
Lista de cotejo
Registro anecdoacutetico
Escala de actitud
Otros(Indicar)
Bibliografiacutea
Paacuteginas Web
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ASIGNATURA MATEMATICA I
Ciclo II Seccioacuten A B
Semana 12 Nordm Sesioacuten 1
DOCENTE Lic Diana Quintana Saacutenchez
COMPETENCIA Interpreta formula analiza y resuelve problemas de contexto real utilizando definiciones teacutecnicas y aplicaciones del Caacutelculo Diferencial desarrollando
comunicacioacuten investigacioacuten razonamiento y manifestando confianza flexibilidad y perseverancia
CONTENIDO Derivadas
CAPACIDAD Resuelve problemas sobre razoacuten de cambio recta tangente y grafico de funciones y sus derivadas
ACTIVIDADES TIEMPO INDICADORES INICIALES
15rsquo
DestrezaHabilidad Contenido Producto Iacutetems bull Saludo bull Para esta clase he preparado un relato sobre la historia del
caacutelculo diferencial La historia de Newton y Leibnitz
Resuelve Encuentra Calcula Grafica
Razoacuten de cambio Dos Problemas con un mismo tema Definicioacuten de Derivada Resolucioacuten de problema empleando derivadas Elaboracioacuten de graficas de funciones y sus derivadas
Opinioacuten sobre los protagonistas de la Historia de Calculo Presentacioacuten de ejercicios propuestos en clase
1 Resuelve problemas de
aplicacioacuten de razoacuten de cambio 2 Encuentra la derivada de
funciones ( )f x 3 Calcula la derivada de funciones
( )f x empleando la definicioacuten de derivada
4 Grafica funciones y su
derivadas
ACTIVIDADES DE PROCESO
2h15rsquo break 1h30rsquo
bull Se expone el fundamento teoacuterico sobre la definicioacuten de
derivada y se entrega el material didaacutectico bull Se resuelve en parejas en la solucioacuten del primer trabajo
praacutectico bull Los alumnos exponen en la pizarra la solucioacuten de los
problemas bull Con el grupo experimental se trabaja la guiacutea de laboratorio
ACTIVIDADES FINALES
10rsquo
Actitudes Valora de manera criacutetica la importancia de la historia del calculo asiacute mismo muestra orden e intereacutes por aprender
bull Presentar en la siguiente clase la solucioacuten de los ejercicios
propuestos en la separata
METODO AYUDAS TEacuteCNICAS E INSTRUMENTOS DE EVALUACIOacuteN
x Expositivas-Interactivas
Investigacioacuten Individual
Debate
Proyecto
Demostracioacuten
x Investigacioacuten por equipos
Otros
Texto Separatas-resumen x Transparencias- Diapositivas
Ejercicios Aplicacioacuten x Casos Presentacioacuten Multimedia
x
Otros
Observacioacuten Situacioacuten Ejercicio Praacutectico Pruebas Escritas Situacioacuten Oral
de Evaluacioacuten
Pruebas de Desempentildeo
Examen Temaacutetico
x Ejercicios Interpretativos
Pruebas Objetivas
Mapa mental
Mapa Conceptual
x Estudios de Casos x Praacutecticas- Laboratorio
Proyecto
Portafolio
Ensayos
Otros (Indicar)
x Exposicioacuten x Diaacutelogo Debate Examen
Oral
Lista de cotejo
x Registro anecdoacutetico
Escala de actitud
Otros(Indicar)
Bibliografiacutea Anaacutelisis Matemaacutetico I Eduardo Espinoza Ramos Anaacutelisis Matemaacutetico Maacuteximo Mittac Meza
Paacutegina Web wwwucvpiuraedupe (aula virtual)
P L A N D E S E S I Oacute N D E A P R E N D I Z A J E 2 0 0 6- II
ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS
ASIGNATURA MATEMATICA I
Ciclo II Seccioacuten A
Semana 13 Nordm Sesioacuten 1
DOCENTE Lic Diana Quintana Saacutenchez
COMPETENCIA Interpreta formula analiza y resuelve problemas de contexto real utilizando definiciones teacutecnicas y aplicaciones del Caacutelculo Diferencial desarrollando comunicacioacuten investigacioacuten razonamiento y manifestando confianza flexibilidad y perseverancia
CONTENIDO Derivadas
CAPACIDAD Infiere mediante un anaacutelisis grafico las relaciones existentes entre la graacutefica de una funcioacuten y su primera derivada signo de la primera derivada asociado con crecimiento o decrecimiento de la funcioacuten y derivada nula con puntos criacuteticos
ACTIVIDADES TIEMPO
INDICADORES INICIALES
15rsquo
Destreza Habilidad
Contenido Producto Iacutetems
bull Saludo bull Esta clase se inicia con una lluvia de ideas sobre lo trabajado en
la clase anterior
Calcula Determina Analiza
Reglas de Derivacioacuten Derivadas de orden superior Anaacutelisis graacutefico de funciones y su primera derivada
Solucioacuten de ejercicios sobre derivadas Anaacutelisis de grafico de funciones y su primera derivada Ejemplos de primera y segunda derivada
5 Calcule la derivada de las
siguientes funciones 6 Encuentra derivada de orden
superior de funciones ( )f x 7 Analiza las graficas de
funciones y su derivada
ACTIVIDADES DE PROCESO
2h15rsquo
break 1h30rsquo
bull Para esta sesioacuten los alumnos han descargado el material del aula
virtual Pero para el grupo experimental la guiacutea se entrega en clase
bull Se presenta el contenido y se trabaja dando espacios para las posibles preguntas de los alumnos Ademaacutes se presentan ejemplos
bull Se solicita a los alumnos que voluntariamente expongan sus soluciones
ACTIVIDADES FINALES
10rsquo
Actitudes Valora la importancia de conocer el comportamiento grafico de una funcioacuten y su derivada
bull Presentar en la siguiente clase la solucioacuten del trabajo
praacutectico Nordm 4 METODO AYUDAS TEacuteCNICAS E INSTRUMENTOS DE EVALUACIOacuteN
x Expositivas-Interactivas
Investigacioacuten Individual
Debate
Proyecto
Demostracioacuten
Investigacioacuten por parejas
Otros
Texto Separatas-resumen x Transparencias- Diapositivas
Ejercicios Aplicacioacuten x Casos Presentacioacuten Multimedia
Otros
Observacioacuten Situacioacuten Ejercicio Praacutectico Pruebas Escritas Situacioacuten Oral de Evaluacioacuten
Pruebas de Desempentildeo
Examen Temaacutetico
x Ejercicios Interpretativos
Pruebas Objetivas
Mapa mental
Mapa Conceptual
Estudios de Casos x Praacutecticas- Laboratorio
Proyecto
Portafolio
Ensayos
Otros (Indicar)
x Exposicioacuten x Diaacutelogo Debate Examen
Oral
Lista de cotejo
x Registro anecdoacutetico
Escala de actitud
Otros(Indicar)
Bibliografiacutea Anaacutelisis Matemaacutetico I Eduardo Espinoza Ramos Anaacutelisis Matemaacutetico Maacuteximo Mittac Meza
Paacutegina Web wwwucvpiuraedupe (aula virtual)
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ASIGNATURA MATEMATICA I
Ciclo II Seccioacuten A B
Semana 14 Nordm Sesioacuten 1
DOCENTE Lic Diana Quintana Saacutenchez
COMPETENCIA Interpreta formula analiza y resuelve problemas de contexto real utilizando definiciones teacutecnicas y aplicaciones del Caacutelculo Diferencial desarrollando comunicacioacuten investigacioacuten razonamiento y manifestando confianza flexibilidad y perseverancia CONTENIDO Derivadas
CAPACIDAD Determina los puntos criacuteticos de una funcioacuten y los clasifica en maacuteximos miacutenimos o de inflexiones
ACTIVIDADES TIEMPO INDICADORES
INICIALES
15rsquo
Destreza Habilidad
Contenido Producto Iacutetems
bull Saludo bull Esta clase se inicia con la presentacioacuten de un problema el cual
implica derivar una funcioacuten trascendente la intencioacuten es generar el desequilibrio cognitivo
Identifica Demuestra Emplea
Reglas de Derivacioacuten de funciones Trigonometricas Trigonometricas Inversas Exponenciales Logariacutetmicas Reglas de Derivacioacuten de funciones Impliacutecitas Derivadas de orden superior
Solucioacuten de ejercicios y problemas de la separata referidos a derivadas
bull Identifica las reglas de derivacioacuten
que empleara para resolver determinados ejercicios
bull Demuestra empleando meacutetodos de
derivacioacuten que las derivadas de funciones impliacutecita se pueden calcular
bull Emplea derivacioacuten de orden
superior para resolver problemas
ACTIVIDADES DE PROCESO
2h15rsquo break 1h30rsquo
bull Para esta sesioacuten los alumnos han descargado el material del aula
virtual bull La clase se desarrolla empleando el meacutetodo expositivo dando
espacios para las posibles preguntas de los alumnos Ademaacutes se presentan ejemplos y la solucioacuten del problema planteando al inicio de la clase
bull Con el grupo experimental no hubo laboratorio bull Se resuelve de forma individual los ejercicios del trabajo praacutectico bull Se solicita a los alumnos que voluntariamente expongan sus
soluciones ACTIVIDADES FINALES
10rsquo Actitudes Intereacutes por conocer fundamentos teoacutericos que le permitan resolver ejercicios y problemas
bull Presentar en la siguiente clase la solucioacuten del trabajo praacutectico de la separata
METODO AYUDAS TEacuteCNICAS E INSTRUMENTOS DE EVALUACIOacuteN
x Expositivas-Interactivas
Investigacioacuten Individual
Debate Proyecto Demostracioacuten Investigacioacuten
por parejas Otros
Texto Separatas-resumen x Transparencias- Diapositivas
Ejercicios Aplicacioacuten x Casos Presentacioacuten Multimedia
Otros
Observacioacuten Situacioacuten Ejercicio Praacutectico Pruebas Escritas Situacioacuten Oral de Evaluacioacuten
Pruebas de Desempentildeo
Examen Temaacutetico
x Ejercicios Interpretativos
Pruebas Objetivas
Mapa mental Mapa Conceptual Estudios de Casos x Praacutecticas- Laboratorio Proyecto Portafolio Ensayos Otros (Indicar)
x Exposicioacuten x Diaacutelogo Debate Examen
Oral
Lista de cotejo x Registro
anecdoacutetico Escala de actitud Otros(Indicar)
Bibliografiacutea Anaacutelisis Matemaacutetico I Eduardo Espinoza Ramos Anaacutelisis Matemaacutetico Maacuteximo Mittac Meza
Paacutegina Web wwwucvpiuraedupe (aula virtual)
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ASIGNATURA MATEMATICA I
Ciclo II Seccioacuten B
Semana 15 Nordm Sesioacuten 1
DOCENTE Lic Diana Quintana Saacutenchez
COMPETENCIA Interpreta formula analiza y resuelve problemas de contexto real utilizando definiciones teacutecnicas y aplicaciones del Caacutelculo Diferencial desarrollando comunicacioacuten investigacioacuten razonamiento y manifestando confianza flexibilidad y perseverancia CONTENIDO Derivadas CAPACIDAD Emplea criterios de primera y segunda derivada para resolver problemas de maacuteximos y miacutenimos
ACTIVIDADES TIEMPO INDICADORES INICIALES DestrezaHabilidad Contenido Producto Iacutetems
bull Saludo bull Esta clase se inicia con la participacioacuten de los
alumnos en un pequentildeo dialogo sobre los contenidos estudiados en la clase anterior
15rsquo
Calcula Aplica Resuelve
Reglas de LrsquoHospital Criterio de la Primera y segunda derivada Problemas de Maacuteximos y Miacutenimos
Opinioacuten sobre los protagonistas de la Historia de Calculo Presentacioacuten de ejercicios propuestos en clase
8 Calcula liacutemites empleando la
regla de LrsquoHospital 9 Aplica el criterio de la primera y
segunda derivada para resolver ejercicios
10 Resuelve problemas de
maacuteximos y miacutenimos
ACTIVIDADES DE PROCESO
2h15rsquo break 1h30rsquo
bull Se expone el fundamento teoacuterico sobre la definicioacuten
de derivada y se entrega el material didaacutectico bull Se resuelve en parejas en la solucioacuten del primer
trabajo praacutectico bull Los alumnos exponen en la pizarra la solucioacuten de los
problemas ACTIVIDADES FINALES
10rsquo
Actitudes Valora de manera criacutetica la importancia de la historia del caacutelculo asiacute mismo muestra orden e intereacutes por aprender
bull Resolver y exponer la solucioacuten de los ejercicios de la
separata
METODO AYUDAS TEacuteCNICAS E INSTRUMENTOS DE EVALUACIOacuteN
x Expositivas-Interactivas
Investigacioacuten Individual
Debate
Proyecto
Demostracioacuten
x Investigacioacuten por equipos
Otros
Texto Separatas-resumen x Transparencias- Diapositivas
Ejercicios Aplicacioacuten x Casos Presentacioacuten Multimedia
x
Otros
Observacioacuten Situacioacuten Ejercicio Praacutectico Pruebas Escritas Situacioacuten Oral
de Evaluacioacuten
Pruebas de Desempentildeo
Examen Temaacutetico
x Ejercicios Interpretativos
Pruebas Objetivas
Mapa mental
Mapa Conceptual
Estudios de Casos x Praacutecticas- Laboratorio
Proyecto
Portafolio
Ensayos
Otros (Indicar)
x Exposicioacuten x Diaacutelogo Debate Examen
Oral
Lista de cotejo
x Registro anecdoacutetico
Escala de actitud
Otros(Indicar)
Bibliografiacutea Anaacutelisis Matemaacutetico I Eduardo Espinoza Ramos Anaacutelisis Matemaacutetico Maacuteximo Mittac Meza
Paacutegina Web wwwucvpiuraedupe (aula virtual)
tener la lata es decir el radio y la altura Calcula tambieacuten el valor de la superficie de la chapa miacutenima PROBLEMA 3 Calcula el valor de los coeficientes a y b para que la funcioacuten
3( )f x ax bx= + tenga un maacuteximo relativo en P (12) PROBLEMA 4 Calcular el polinomio de tercer grado que pasa por el origen de coordenadas O (00) tiene un maacuteximo relativo en el punto P (-24) y un punto de inflexioacuten en el punto Q (-12)
ANEXO 5
TABLAS DE ESPECIFICACIONES
Preg horas Razon de Cambio- Problema de la recta tangente 1 0 0 0 1 1 20
TOTAL 2 2 1 2 7 5 100
TOTAL
TABLA DE ESPECIFICACIONESPRUEBA DE MATEMATICA I
PRACTICA 1
Conocimiento Comprensioacuten Aplicacioacuten
Definicion de Derivada 1 0 1 0 2 1 20
Graacutefico de Funciones y suderivada 0 2 0 2 4 3 60
Ejes Temaacuteticos
HabilidadesCognitivas Anaacutelisis
Siacutentesis y Evaluacioacuten
Preg horas Calculo de Derivadas de orden Superior 0 2 0 1 3 3 60Primera y segunda Derivada de una Funcioacuten 0 0 2 2 4 2 40TOTAL 0 2 2 3 7 5 100
Conocimiento Comprensioacuten Aplicacioacuten
TABLA DE ESPECIFICACIONESPRUEBA DE MATEMATICA I
PRACTICA 2
TOTAL
Ejes Temaacuteticos
HabilidadesCognitivas Anaacutelisis
Siacutentesis y Evaluacioacuten
Preg horas Grafico de funciones y sus derivadas y propiedades de las funciones
1 0 1 1 3 2 40
Problemas de Optimizacion 1 0 2 0 3 3 60TOTAL 2 0 3 1 6 5 100
TABLA DE ESPECIFICACIONESPRUEBA DE MATEMATICA I
PRACTICA 3
Conocimiento Comprensioacuten AplicacioacutenTOTAL
Ejes Temaacuteticos
HabilidadesCognitivas Anaacutelisis
Siacutentesis y Evaluacioacuten
Preg horas SEGUNDA UNIDAD 1 0 3 1 5 20 100TOTAL 1 0 3 1 5 20 100
TABLA DE ESPECIFICACIONESEXAMEN FINAL DE MATEMATICA I
Conocimiento Comprensioacuten AplicacioacutenTOTAL
Ejes Temaacuteticos
HabilidadesCognitivas Anaacutelisis
Siacutentesis y Evaluacioacuten
ANEXO 6
INSTRUMENTOS DE EVALUACION
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS ASIGNATURA MATEMATICA I TIEMPO 2 HORAS
PRACTICA CALIFICADA Nordm 1 INDICACIONES Cuide la redaccioacuten de sus respuestas y trabaje en forma ordenada evitando los borrones CONOCIMIENTO (2 ptos cada una)
1 Identifica el concepto de razoacuten de cambio en el problema de la recta tangente
2 Menciona las dos formas equivalentes de la derivada y explica su diferencia simboacutelica
COMPRENCION (2 ptos cada una)
3 En la siguiente figura se dan las graacuteficas de una funcioacuten f y su derivada f sobre unos ejes comunes Explicar en un breve paacuterrafo dichas graacuteficas
4 Empareja cada funcioacuten de la columna izquierda con la grafica de su derivada en la columna derecha
a) A)
b) B) c) C) APLICACIOacuteN (4 ptos)
5 Usar la definicioacuten de derivada para hallar ( )f x Siendo
3 2( )f x x x= + ANALISIS SINTESIS Y EVALUACIOacuteN (4 ptos cada una)
6 Analiza la situacioacuten en el punto 0x = para la funcioacuten ( )f x y su derivada asiacute mismo elabora una grafica de dichas funciones
2
2
4 0( )
4 0
x xf x
x x
minus gt= minus le
7 Evaluacutee las funciones 2( ) 1f x x= + y ( ) 1g x x= + simultaacuteneamente
en la cercaniacutea del punto (01) y responda iquestQueacute se observa iquestQueacute funcioacuten es derivable en ese punto
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS ASIGNATURA MATEMATICA I TIEMPO 2 HORAS
PRACTICA CALIFICADA Nordm 2 INDICACIONES Cuide la redaccioacuten de sus respuestas y trabaje en forma ordenada evitando los borrones COMPRENCION (3 ptos cada una)
1 Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas En caso de que sea falsa explica por queacute o da un ejemplo que muestre su falsedad
a) Si ( ) ( )y f x g x= entonces ( ) ( )dy f x g xdx
=
b) Si ( 1)( 2)( 3)( 4)y x x x x= + + + + entonces 5
5 0d ydx
=
c) La segunda derivada representa el ritmo de cambio de la primera
2 Sean f y g funciones cuyas primeras y segundas derivadas existen en un intervalo I Sentildeala iquestCuaacutel de estas formulas es correcta a) ( ) fg f g fg f gminus = minus b) ( ) fg f g fg+ =
APLICACIOacuteN (25 ptos)
3 Soluciona el siguiente problema El costo C de pedido y transporte de
las componentes utilizadas en la fabricacioacuten de un producto es 200100 1
30xC x
x x = + le +
donde C se mide en miles doacutelares y
x es el tamantildeo del pedido Hallar el ritmo de cambio de C con respecto a x cuando 10 15x x= =
4 Usa la graacutefica de f para esbozar la de f y f
ANALISIS SINTESIS Y EVALUACIOacuteN (3 cada una)
5 Hallar la derivada de f para 1234n = y usar los resultados para proponer una foacutermula general para ( )f x en teacuterminos de n
6 Selecciona y graacutefica de una funcioacuten derivable f tal que 0f gt y
0f lt para todos los nuacutemeros reales x
7 Evaluacutea la derivada de la funcioacuten en el punto que se indica 1 cos1 cos
ecxyecx
+=
minusen 3
6π minus
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS ASIGNATURA MATEMATICA I TIEMPO 2 HORAS
PRACTICA CALIFICADA Nordm 3 INDICACIONES Cuide la redaccioacuten de sus respuestas y trabaje en forma ordenada evitando los borrones CONOCIMIENTO (15 pto cada una)
1 La graacutefica de ( )f x viene dada en la figura adjunta Indica a) iquestEn queacute valores de x es ( )f x cero positiva o negativa b) iquestEn queacute intervalo es f creciente
2 Describa el criterio de la segunda Derivada para hallar maacuteximos y
miacutenimos de una funcioacuten APLICACIOacuteN (45 cada una) Soluciona los siguientes problemas
3 El rendimiento (medido de 0 a 10) de cierto producto en funcioacuten del
tiempo de uso ( x en antildeos) viene dado por la siguiente expresioacuten
2
3( ) 85 0
1
xf x xx
= + ge+
a) iquestHay intervalos de tiempo en los que el rendimiento crece iquestY en que decrece iquestCuaacuteles son
b) iquestEn queacute punto se alcanza el rendimiento maacuteximo iquestCuaacutento vale
4 Se ha construido una presa de almacenamiento de agua cuyos costos de mantenimiento diarios son una funcioacuten de la cantidad de agua que la misma tiene almacenada Tales costos (en doacutelares) vienen dados por la siguiente expresioacuten ( ( )C x representa el costo si el volumen de agua en millones de metros cuacutebicos es x )
3 2( ) 8 73C x x x x= + minus + a) encontrar el volumen diario de agua oacuteptimo que debe mantenerse para minimizar costos b) calcular el costo miacutenimo diario que supone el mantenimiento de la instalacioacuten Si un diacutea la presa tiene almacenados 3 millones de metros cuacutebicos de agua iquestcuaacutento se ha gastado de maacutes respecto del costo miacutenimo
5 Proponga y dibuje una funcioacuten cuya derivada sea siempre negativa ANALISIS SINTESIS Y EVALUACIOacuteN (35 ptos)
6 Las graacuteficas de f f f se muestran en los mismos ejes iquestPodriacuteas decir cuaacutel es cuaacutel
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS ASIGNATURA MATEMATICA I TIEMPO 2 HORAS
EXAMEN FINAL
INDICACIONES Cuide la redaccioacuten de sus respuestas y trabaje en forma ordenada evitando los borrones CONOCIMIENTO (2 ptos)
1 Demostrar usando la definicioacuten que (cos )d x senx
dx= minus
APLICACIOacuteN (4 ptos cada una)
2 Emplea las reglas de derivacioacuten para encontrar la derivada de la
siguiente funcioacuten coscos
senx xy arctgsenx x
+ = minus
3 Calcular la primera derivada de la funcioacuten impliacutecita 2 34 6xy y y xy+ = +
4 Encontrar la derivada de la siguiente funcioacuten reduciendo en lo posible dicha derivada a su miacutenima expresioacuten
1 1 1( ) ln 2
11 1
x x xf x arctg
xx x
+ minus minus minus= +
++ + minus
ANALISIS SINTESIS Y EVALUACIOacuteN (6 ptos)
5 Lee atentamente el siguiente enunciado y responde a las preguntas La puntuacioacuten obtenida por un estudiante en un examen depende del tiempo que haya dedicado a su preparacioacuten ( x expresado en horas) en los siguientes teacuterminos
0 153( )2
1502 3
x si xg x
x si xx
le le= lt +
a) Si un estudiante ha dedicado menos de 15 horas a preparar el examen justificar que no aprobaraacute esto es que obtendraacute menos de 5 puntos
b) Justificar que la puntuacioacuten nunca puede ser superior a 10 puntos
IacuteNDICE
PAacuteGINA
Introduccioacuten 1 Capiacutetulo I
Problematizacioacuten 2 11 Planteamiento del Problema 2 111 Antecedentes 2 112 Formulacioacuten del Problema 8 113 Justificacioacuten 9 114 Hipoacutetesis 10 115 Variables 10 116 Poblacioacuten 11 12 Objetivos de la Investigacioacuten 11 121 Objetivo General 11 122 Objetivos Especiacuteficos 11
Capiacutetulo II 12 Fundamento Teoacuterico 12 21 Disentildeo Curricular de la Asignatura de matemaacutetica I 12 211 Siacutelabo de la Asignatura de Matemaacutetica I 12 22 Didaacutectica de la Matemaacutetica 13 221 Registros de Representacioacuten Semioacutetica
Raymod Duval 14 222 Taxonomiacutea de Bloom y los niveles en que Se pueden clasificar los objetivos de
Aprendizaje 15 23 Desarrollo de la parte conceptual de la Derivada 19
24 La informaacutetica como recurso 92 241 El Software Educativo en el proceso de ensentildeanza Aprendizaje 94 242 La introduccioacuten del software de Matemaacutetica en la educacioacuten Matemaacutetica 94 243 El programa Derive 96 244 Capacidades del programa Derive 96 245 Laboratorios para el aprendizaje del Caacutelculo diferencial empleando Derive 97
Capiacutetulo III 99
Metodologiacutea de la Investigacioacuten 99 31 Paradigma de Investigacioacuten 99 32 Tipo de Investigacioacuten 100 33 Poblacioacuten 100 34 Hipoacutetesis Estadiacutesticas 100 35 Variables 100 36 Disentildeo de Investigacioacuten 100 37 Teacutecnicas e instrumentos de recoleccioacuten de datos 101 38 Teacutecnica de Procesamiento de Datos 102 39 Proceso de Investigacioacuten 103 391 Dificultades en el aprendizaje del
Calculo Diferencial 103 392 Rendimiento Acadeacutemico 104 393 Propuesta Didaacutectica 104
Capiacutetulo IV 115
Anaacutelisis e Interpretacioacuten de Resultados 115 41 Anaacutelisis Estadiacutestico
411 Resultados del rendimiento acadeacutemico 115 Los grupos experimental y de control
42 Anaacutelisis Inferencial 118 421 Comparacioacuten de Medias 118 422 Tablas de frecuencia del Pre-Test y Post-Test 119
423 Resultados del Pre-Test y Post-Test Considerando la comparacioacuten de medias y la Prueba t-student 121 424 Aceptacioacuten o rechazo de la hipoacutetesis nula o Alternativa 124 43 Discusioacuten de los resultados 125
Conclusiones 128 Recomendaciones 130 Bibliografiacutea 132
IacuteNDICE DE TABLAS
PAacuteGINA
1 Tabla Nordm1 Precio de artiacuteculo por meses 23 2 Tabla Nordm2 Razoacuten de cambio en el 2do 3er y 4to mes 27 3 Tabla Nordm3 Temperatura de un paciente seguacuten
transcurren las horas 29 4 Tabla Nordm4 Relacioacuten de Temperatura Graacutefica y Razoacuten
de Cambio 29 5 Tabla Nordm5 Derivadas de orden superior 78 6 Tabla Nordm6 Calificaciones de la Segunda Unidad
- Grupo Experimental 117 7 Tabla Nordm7 Calificaciones de la Segunda Unidad
- Grupo de Control 118 8 Tabla Nordm8 Resultados Pre Test y Post Test - Grupo Experimental 120 9 Tabla Nordm9 Resultados Pre Test y Post Test ndash Grupo de Control 122 10 Tabla Nordm10 Resumen estadiacutestico de pruebas Pre Test
de los grupos experimental y de control 124 11 Tabla Nordm11 Resumen estadiacutestico de pruebas Post Test
de los grupos experimental y de control 125
IacuteNDICE DE GRAacuteFICOS
PAacuteGINA
1 Figura 1 Graacutefica del precio dado en soles en el primer y tercer mes 24 2 Figura 2 Grafica del Supuesto crecimiento lineal de precio entre el primer y tercer mes 24 3 Figura 3 Graacutefica del descuento del 30 en el precio 24 4 Figura 4 Comportamiento no lineal entre tiempo y precio 26 5 Figura 5 Comportamiento no lineal entre tiempo y precio 26 6 Figura 6 Grafico del peso promedio de un bebeacute desde su nacimiento Hasta los dos antildeos 30 7 Figura 7 Graacutefico del valor de madera producida en funcioacuten del tiempo 31 8 Figura 8 Graacutefico del porcentaje de habitante en Estados Unidos que ven televisioacuten durante las 24 horas del diacutea 32 9 Figura 9 Graacutefica de las rectas secante y tangentes a una curva desde El punto Q hasta el punto P 33 10 Figura 10 Graacutefico de las posiciones de una recta secante a una curva en los puntos P y Q y su aproximacioacuten a la recta tangente 34 11 Figura 11 Graacutefica de la distancia recorrida por el objeto en
funcioacuten del tiempo 36
12 Figura 12 Graacutefica de la funcioacuten 1( )f xx
= y su recta
tangente en el Punto ( )21 2 39
13 Figura 13 Graacutefica de la funcioacuten ( )f x en los puntos c y c h+ empleando la primera forma de derivar 45 14 Figura 14 Graacutefica de la funcioacuten ( )f x en los puntos c y c h+ empleando la primera forma de derivar 45
15 Figura 15 Graacutefico de la funcioacuten valor absoluto para estudiar la derivada en cero 48 16 Figura 16 Graacutefico de la derivada de la funcioacuten valor absoluto 49
17 Figura 17 Graacutefico de la funcioacuten 2 0( )
0x xf xx x
le=
gt para
Estudiar la derivada en cero 50
18 Figura 18 Graacutefico de la funcioacuten 1 0( )
2 0x
f xx x
ge= lt
50
19 Figura 19 Graacutefico de posibles situaciones de funcioacuten Diferenciable en un punto 51
20 Figura 20 Grafico de la funcioacuten 2( ) 9f x x= minus 53
21 Figura 21 Graacutefico de la funcioacuten 1( )
1f x
x=
+ 53
22 Figura 22 Graacutefico de la funcioacuten 3( )
1f x
xminus
=+
59
IacuteNDICE DE ANEXOS
CONTENIDO PAacuteGINA
1 ANEXO 1 Siacutelabo de la Asignatura 135 2 ANEXO 2 Registro de Evaluaciones 144
3 ANEXO 3 Guiacuteas Metodoloacutegicas Aplicando
El Software DERIVE 145
4 ANEXO 4 Planes de Clase 171 5 ANEXO 5 Tabla de Especificaciones 177
6 ANEXO 6 Instrumentos de Evaluacioacuten 186
7 ANEXO 7 Laboratorios en DERIVE 195
INTRODUCCIOacuteN El presente trabajo se ha realizado en la asignatura Matemaacutetica I del segundo ciclo en las Escuelas de Ingenieriacutea Industrial e Ingenieriacutea de Sistemas y fue motivado por la necesidad de mejorar mi praacutectica docente y brindar a los alumnos herramientas para mejorar el aprendizaje de esta asignatura Lo abstracto de las matemaacuteticas no permite que los alumnos puedan ver y manipular entes matemaacuteticos generaacutendose confusiones y problemas para interpretar la informacioacuten que un determinado elemento pueda proporcionar Siendo asiacute con mayor dificultad podraacuten emplear los resultados obtenidos para predecir alguna situacioacuten Pensando en esta problemaacutetica es que penseacute en incorporar al trabajo en clase el uso de Software DERIVE para desarrollar el capiacutetulo de derivadas Elegiacute este software por su faacutecil manejo de esta forma los alumnos no demorariacutean en aprenderlo y podriacutean usarlo sin complicaciones Para esta investigacioacuten se elaboroacute un moacutedulo dando un tratamiento didaacutectico a las definiciones teoremas propiedades de la derivada apoyaacutendonos en la teoriacutea de Registros Semioacuteticos ademaacutes de guiacuteas de laboratorio y praacutecticas calificadas apoyaacutendonos para su elaboracioacuten en la Taxonomiacutea de Bloom Los grupos con los que se trabajo la investigacioacuten fueron dos uno experimental y otro de Control Asiacute iniciamos un estudio en que planteamos la posibilidad de que los estudiantes alcancen un aprendizaje del Caacutelculo Diferencial maacutes efectivo empleando DERIVE que permita mejorar el resultado del rendimiento de la asignatura de Matemaacutetica I y por ende mejorar su calidad educativa
CAPIacuteTULO I
PROBLEMATIZACIOacuteN
11PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 111 ANTECEDENTES
Algunos de los trabajos encontrados con ayuda del buscador REDEMAT son los que presento a continuacioacuten estos trabajos de investigacioacuten se han realizado empleando software educativos y desarrollando temas como Funciones Matrices Geometriacutea en los niveles de secundaria bachillerato y universidad
1 TITULO DERIVE UNA HERRAMIENTA PARA EL
APRENDIZAJE DE LAS MATEMAacuteTICAS AUTOR FRANCISCO CABO GARCIA BONIFACIO LLAMAZARES RODRIacuteGUEZ MARIA TERESA PENtildeA GARCIA LUGAR DEPARTAMENTO DE ECONOMIacuteA APLICADA (MATEMAacuteTICA) UNIVERSIDAD DE VALLADOLID
Los autores muestran en este trabajo su experiencia docente con el programa DERIVE en la asignatura Matemaacutetica de las Licenciaturas en Economiacutea y en Administracioacuten y Direccioacuten de Empresas
El objetivo es complementar el curso con una herramienta que les permita a los alumnos visualizar situaciones matemaacuteticas difiacuteciles o muy laboriosas de trabajar manualmente pero que tiene mucha interpretacioacuten en la Economiacutea Este equipo de docentes ha elaborado una guiacutea dividida en tres capiacutetulos El primero describe los menuacutes y los botones de cada una de las ventanas del programa los dos siguiente se dedican al estudio del Algebra y Caacutelculo asiacute como a programar algunas funciones para facilitar la resolucioacuten de ejercicios La conclusioacuten de esta investigacioacuten es que el uso de recursos informaacuteticos permite un mayor acercamiento del alumno a las asignaturas que como matemaacuteticas no gozan de mucha simpatiacutea entre los estudiantes Ademaacutes de desarrollar en el alumno una mayor destreza en las praacutecticas informaacuteticas ya que este curso corresponde a los primeros ciclos
2 TITULO UNA PROPUESTA METODOLOacuteGICA DE
INTRODUCCIOacuteN TEMPRANA DEL CONCEPTO DE APROXIMACIOacuteN LOCAL EN SU MANIFESTACIOacuteN DE RECTA TANGENTE VIacuteA EL ASISTENTE MATEMAacuteTICO
AUTOR PEDRO VICENTE ESTABAN DUARTE
PEDRO PEREZ CARRERA LUGAR UNIVERSIDAD POLITECNICA DE VALENCIA
ESPANtildeA
Los mapas conceptuales tienen por objeto representar relaciones significativas entre conceptos en forma de proposiciones facilitando el anaacutelisis del lenguaje empleado en su construccioacuten y poniendo de manifiesto la integracioacuten que los aprendices tienen entre los conceptos empleados para su elaboracioacuten En el modelo educativo de Van Hiele es considerado el lenguaje como una de sus caracteriacutesticas fundamentales en el proceso de aprendizaje de un concepto geomeacutetrico o matemaacutetico y es una de los indicadores del nivel de razonamiento en el cual un alumno se encuentra El modelo de Van Hiele esta compuesto por cinco niveles de razonamiento cinco fases del aprendizaje y el insight o definido tambieacuten como comprensioacuten A partir del anaacutelisis del leguaje se pueden disentildear experiencias de aprendizaje
significativas para potenciar el progreso de un alumno a traveacutes de los niveles de razonamiento postulados por dicho modelo El propoacutesito de esta investigacioacuten es exponer una metodologiacutea basada en el Modelo Educativo de Van Hiele para ensentildear el concepto de aproximacioacuten local en su manifestacioacuten de recta tangente a una curva plana en un punto a partir de la visualizacioacuten que se obtiene del haz de secantes entendieacutendolo como conjunto de rectas que pasan todas por un punto fijo de la curva y por otros sobre la curva dada cada vez maacutes cercanos al punto dado Dicha visualizacioacuten que se propone se obtiene con la ayuda del asistente matemaacutetico DERIVE y no requiere de manipulaciones algebraicas que entorpezcan el razonamiento que los alumnos deben desarrollar y exhibir a lo largo del proceso Se elabora un material disentildeado para ser cubierto en una clase en la cual el profesor sirva de orientador formulando preguntas y respondiendo inquietudes en el momento oportuno Como conclusiones de esta investigacioacuten se tiene que para la asimilacioacuten efectiva de un concepto matemaacutetico se deben tener en cuenta dos fases una primera de proporcionar una visualizacioacuten adecuada del concepto a estudiar en la que los alumnos tienen un primer acercamiento al concepto sin manipulaciones algebraicas La segunda es la formalizacioacuten del concepto en la cual la docencia tradicional centra todos sus esfuerzos La ensentildeanza centrada en esta segunda fase hace maacutes difiacutecil que los alumnos progresen en su razonamiento y logren integrar y desarrollar relaciones con los demaacutes conceptos estudiados Su propuesta metodoloacutegica esta dirigida a la primera fase es decir a la construccioacuten de un concepto ndash definicioacuten cuando se disponga de la madurez algebraica y loacutegico deductivo necesarias Su experiencia educativa siguiendo el modelo de Van Hiele aplicado al concepto de aproximacioacuten local del cual esta propuesta metodoloacutegica es su fruto les permite asegurar que el 90 de los alumnos sometidos al proceso descrito pueden verbalizar una definicioacuten correcta de recta tangente a una curva en uno de sus puntos partiendo del haz de secantes y solo el 5 de los alumnos que siguen el curso de anaacutelisis con
una metodologiacutea tradicional dan una definicioacuten de tangente a una curva en un punto a partir del concepto de derivada
3 TITULO ALGUNAS CONSECUENCIAS DEL USO HABITUAL
DEL ORDENADOR EN LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS
AUTOR JCARIAS
LUGAR SIMPOSIO- MADRID 11 DE DICIEMBRE DE 2003
En esta ponencia se hace una reflexioacuten acerca del uso del programa DERIVE 6 en la ensentildeanza de las matemaacuteticas Se inicia con una breve incidencia en las nuevas posibilidades del programa respecto a su predecesor DERIVE 5 Se propone el uso cotidiano incorporado a todas las fases del proceso de ensentildeanza aprendizaje la idea de que ldquoLos meacutetodos con los que los estudiantes han de ser introducidos para resolver los problemas han de tener en cuenta lo que las nuevas tecnologiacuteas son capaces de hacerrdquo le lleva a concluir que no se pueden cambiar los programas curriculares pero que se pueden aprovechar todas las potencialidades que ofrece DERIVE para hacer de el una herramienta capaz de contribuir en la formacioacuten de conocimiento en el alumno Respecto a la evaluacioacuten explica que no se trata de poner exaacutemenes especiales para evaluar unas praacutecticas con ordenador maacutes o menos ocasionales Menos todaviacutea de modificar los contenidos de las asignaturas para adaptarlos a las posibilidades del software al contrario en esta experiencia se plantea valorar las consecuencias de permitir el uso del ordenador en los exaacutemenes entendidos estos como los exaacutemenes de siempre los mismos que se hubiesen propuestos si no se contase con el ordenador Como conclusioacuten se menciona la elaboracioacuten de exaacutemenes donde el alumno plantea el problema pero las cuentas las hace el programa por tanto hay una subida de nivel por que nos centramos maacutes en los problemas (frente a los ejercicios) y por que la economiacutea de tiempo permite abarcar maacutes materias en el examen Como primera consecuencia los resultados acadeacutemicos mejoran pues hay mayor motivacioacuten en el estudiante como
consecuencia de la introduccioacuten de la tecnologiacutea y como consecuencia del mismo planteamiento de la iniciativa que lleva a restar importancia a habilidades algebraicas mal adquiridas La llamada falta de base se cintildee demasiadas veces a una mera deficiencia en esas habilidades que no necesariamente llevan unida una deficiencia en la capacidad de razonar matemaacuteticamente Como segunda consecuencia se tiene que el uso del ordenador implica cambios en los contenidos no con ello perdiendo el rigor que las matemaacuteticas requieren Pero si permitiendo dejar de ser esclavos de las limitaciones del caacutelculo y trabajando ejemplos realistas que solo con ayuda de un ordenador podriacutean visualizarse en el menor tiempo posible permitiendo de esta manera el invertir el tiempo disponible en el anaacutelisis y comprensioacuten de conceptos
4 TITULOCURSO DE CAacuteLCULO DIFERENCIAL POR
COMPUTADORA AUTOR JOSE HUMBERTO GIRALDO
LUGAR DEPARTAMENTO DE MATEMAacuteTICAS- UNIVERSIDAD DE LOS ANDES-BOGOTA- COLOMBIA
SEMINARIO I
En este seminario se expone el proyecto piloto de ensentildeanza de caacutelculo diferencial con computadoras que se esta desarrollando en la Universidad de los Andes En la primera fase del proyecto participan cuatro profesores del departamento estos profesores ensentildean aproximadamente en cuatro secciones diferentes de aproximadamente 130 estudiantes cada una Al principio del semestre cada estudiante recibe un CD que contiene la informacioacuten del curso y que incluye todas las guiacuteas que se usaran durante el semestre Estas guiacuteas tiene un formato especial despueacutes de discutir un determinado concepto el estudiante esta obligado a resolver determinados problemas relacionados con el tema que se ha explorado
Ademaacutes se trabaja para que el estudiante aprenda a encontrar conexioacuten entre la parte algebraica y la parte grafico geomeacutetrica La evaluacioacuten continua del estudiante tambieacuten se contempla como un componente de la estructura del curso El estudiante tiene un quiz semanal que se publica en la web El objetivo es tener al estudiante trabajando todo el tiempo en los conceptos y darle informacioacuten al profesor sobre como se estaacuten asimilando dichos conceptos El profesor Giraldo no obstante expreso que las computadoras no van a reemplazar a los profesores porque los estudiantes siempre van a querer salir de sus casas para socializarse alejarse de sus familias e ir a la universidad Finalmente algunas reflexiones son 1 A pesar de lo atractivo y novedosos que resultan estas metodologiacuteas no se puede perder de vista lo que es esencial en un curso de matemaacuteticas a saber hacer que el estudiante adquiera una forma de pensar precisa coherente y exhaustiva ensentildearle de una manera clara los conceptos y los argumentos loacutegico que los sustentan darle herramientas metodoloacutegicas para solucionar problemas transmitirle una pasioacuten por el mundo de las matemaacuteticas hacerle apreciar su elegancia y su utilidad 2 No cabe duda de que las computadoras con sus caacutelculos agiliacutesimos y sus estupendas animaciones y sus graacuteficas pueden ayudar a cumplir los objetivos mencionados anteriormente pues permite explicar con mucha claridad y entender con gran facilidad las nociones matemaacuteticas maacutes intriacutensecas
5 TIacuteTULO MATEMAacuteTICAS CON DERIVE EN EL SALOacuteN DE CLASES
AUTOR HECTOR AEGUETA VILLAMAR MARIA JUANA LINARES ALTAMIRANO LUGAR DIRECCIOacuteN GENERAL DE SERVICIOS DE
COacuteMPUTO ACADEacuteMICO UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MEacuteXICO
El objetivo de este trabajo es mostrar diversas aplicaciones del programa Derive para PC en el proceso de ensentildeanza de las matemaacuteticas en los niveles de secundaria y medio superior Derive es un asistente matemaacutetico que permite realizar caacutelculos numeacutericos y caacutelculos simboacutelicos El programa puede trabajar con distintos tipos de precisioacuten para los caacutelculos 31416 141 271 etc entonces puede utilizar la precisioacuten exacta Con Derive es posible trabajar una amplia gama de temas matemaacuteticos como Aritmeacutetica de nuacutemeros reales y complejos Algebra Sistemas de Ecuaciones Funciones Caacutelculo Diferencial e Integral Vectores y Matrices Graficacioacuten en dos y tres dimensiones en coordenadas cartesianas y polares etc Derive cuenta ademaacutes con algunas posibilidades de programacioacuten con las que el usuario puede definir sus propias funciones puede trabajar con operadores booleanos y con el operador condicional If tambieacuten puede crear funciones recursivas y de iteracioacuten entre otras Esto uacuteltimo permite al usuario crear sus propias aplicaciones para resolver una diversidad de problemas El programa incluye algunos archivos llamados de aplicacioacuten de gran utilidad para resolver Ecuaciones Diferenciales Transformada de Laplace Integrales Eliacutepticas y para Graficar Curvas y Superficies Parameacutetricas en tres dimensiones etc Ademaacutes de su contenido matemaacutetico la gran virtud de Derive es que corre praacutecticamente en cualquier computadora e inclusive puede correr desde el diskette que lo contenga Ademaacutes DERIVE presenta como anexos ilustraciones de algunos de los documentos que trabajaron en el Taller
112 FORMULACIOacuteN DEL PROBLEMA
Durante el tiempo que he ensentildeado la asignatura de Matemaacutetica I he notado algunas dificultades comunes en los alumnos con respecto al tema del caacutelculo diferencial Este suceso me ha permitido fijar la atencioacuten y reflexionar sobre la idea de trabajar
con alguacuten recurso que me lleve a mejorar mi praacutectica docente Asiacute planteo el siguiente problema
iquestEn queacute medida la aplicacioacuten del programa DERIVE contribuye a mejorar el aprendizaje del Caacutelculo Diferencial en los alumnos de la asignatura de Matemaacutetica I de la Escuela de Ingenieriacutea Industrial y de Sistemas de la Universidad Ceacutesar Vallejo 2006
113 JUSTIFICACIOacuteN
En el desarrollo de nuestra labor como docentes del aacuterea de matemaacutetica nos encontramos con grupos de estudiantes que presentan dificultades en su rendimiento acadeacutemico El nuacutemero de desaprobados en la asignatura incrementa conforme el curso se desarrolla y su retiro de la asignatura es una consecuencia que no tarda en aparecer
Esta situacioacuten se debe a diversas causas entre ellas podemos mencionar el empleo de estrategias instruccionales inadecuadas el desconocimiento por parte de los docentes de los conocimientos previos que tienen los alumnos y un conjunto de factores como lo son lo relacionado con el curriacuteculo el docente el estudiante las tareas acadeacutemicas el contexto socio cultural y las estrategias tanto instruccionales como de aprendizaje
Por otro lado la tecnologiacutea ha afectado a nuestras vidas de muchas maneras Es imposible que ella no afecte la educacioacuten ya que despueacutes de todo uno de los objetivos de la educacioacuten es el de preparar al individuo para que se desenvuelva en la sociedad y la sociedad estaacute imbuida de tecnologiacutea
La complejidad de esta problemaacutetica lleva a la necesidad de plantear alternativas que contribuyan a mejorar los procesos de la ensentildeanza- aprendizaje en tal sentido considerareacute el uso de un programa matemaacutetico DERIVE
Asiacute siendo profesora de la asignatura de Matemaacutetica I inicio un estudio en que planteo la posibilidad de que los estudiantes alcancen un aprendizaje del Caacutelculo Diferencial maacutes efectivo empleando DERIVE que permita mejorar el resultado del rendimiento de la asignatura de Matemaacutetica I y por ende mejorar su calidad educativa
Normalmente este trabajo de investigacioacuten no debe detenerse en la mera descripcioacuten de los problemas sino que como resultado del anaacutelisis de su origen debe desembocar en propuestas tal como la que planteo que contribuyan a superarlos o al menos que la mayoriacutea de estudiantes los superen
114 HIPOacuteTESIS
Hipoacutetesis de la Investigacioacuten
1H Los estudiantes de la asignatura de Matemaacutetica I Seccioacuten A aula 412 del semestre 2006 II de Ingenieriacutea Industrial que usan el software DERIVE obtienen un mejor rendimiento acadeacutemico que los alumnos de la asignatura de Matemaacutetica I Seccioacuten B aula 413 del semestre 2006 II de Ingenieriacutea de Sistemas que no utilizan esta herramienta informaacutetica
Hipoacutetesis Nula
0H Los estudiantes de la asignatura de Matemaacutetica I Seccioacuten A aula 412 del semestre 2006 II que usan el software DERIVE de Ingenieriacutea Industrial no obtienen un mejor rendimiento acadeacutemico que los alumnos de la asignatura de Matemaacutetica I Seccioacuten B aula 413 del semestre 2006 II de Ingenieriacutea de Sistemas que no utilizan esta herramienta informaacutetica
115 VARIABLES
Variable Independiente Uso del programa DERIVE Variable Dependiente Rendimiento acadeacutemico de los alumnos Variables Intervinientes Asistencia a clases horarios tipo de contenidos grado de motivacioacuten de los alumnos
116 POBLACIOacuteN
Los alumnos de la asignatura de Matemaacutetica I de la Escuela de Ingenieriacutea Industrial y de Sistemas de la Universidad Ceacutesar Vallejo durante el segundo semestre 2006 Son en total 51 alumnos Se tomaraacute en cuenta el promedio final al terminar cada ciclo Semestre 2006 ndash II
12OBJETIVOS DE LA INVESTIGACIOacuteN 121 OBJETIVO GENERAL
Evaluar la eficacia del programa DERIVE como recurso didaacutectico en el proceso de ensentildeanza ndash aprendizaje del Caacutelculo Diferencial en los alumnos de la asignatura de Matemaacutetica I de la Escuela de Ingenieriacutea Industrial y de Sistemas de la Universidad Ceacutesar Vallejo
122 OBJETIVOS ESPECIacuteFICOS
1 Disentildear la propuesta de ensentildeanza en sus aspectos conceptuales y praacutecticos
2 Fomentar en los alumnos las capacidades de observar discernir analizar e interpretar
3 Proponer guiacuteas y actividades de aprendizaje que conlleven al alumno al aprendizaje significativo
CAPIacuteTULO II
FUNDAMENTO TEOacuteRICO
INTRODUCCIOacuteN
Iniciamos este capiacutetulo refirieacutendonos a silabo de Matemaacutetica I a continuacioacuten abordaremos los contenidos matemaacuteticos necesarios para la investigacioacuten ademaacutes de la propuesta de trabajar con el programa DERIVE 21 DISENtildeO CURRICULAR DE LA ASIGNATURA DE
MATEMAacuteTICA I
211 SIacuteLABO DE LA ASIGNATURA DE MATEMAacuteTICA I La asignatura que ensentildeo en la Universidad Cesar Vallejo en las Escuelas de Ingenieriacutea de Sistemas e Ingenieriacutea Industrial es Matemaacutetica I El siacutelabo se ha elaborado en base a los temas que indica el plan de estudios enviado por la Facultad de Ingenieriacutea de la Universidad Cesar Vallejo de Trujillo y es el mismo para ambas escuelas sentildealo ademaacutes que en ambas escuelas tiene como pre-requisito la asignatura de loacutegico matemaacutetica curso donde se desarrollan temas como Loacutegica Matemaacutetica Fundamentos de Algebra Matrices y Determinantes y Geometriacutea Analiacutetica
El siacutelabo de esta asignatura se presenta en Anexo 1 pero a continuacioacuten describireacute sus contenidos empezando por mencionar que se deben trabajar tres capiacutetulos los cuales son 1 Funciones 2 Liacutemites y Continuidad 3 Caacutelculo Diferencial El Desarrollo de esta asignatura estaacute orientado a lograr potenciar en el estudiante capacidades propias del aacuterea de Matemaacutetica como el razonamiento y demostracioacuten la interpretacioacuten de graacuteficos y expresiones simboacutelicas y la resolucioacuten de problemas Asiacute como presentar los medios necesarios para la adquisicioacuten de ciertas destrezas como anaacutelisis interpretacioacuten y aplicacioacuten de fundamentos teoacutericos Finalmente el logro de los objetivos de esta asignatura se veraacute reflejado y podraacute ser evaluado en la eficiencia que demuestren los alumnos al resolver situaciones reales
22 DIDAacuteCTICA DE LA MATEMAacuteTICA
Sabemos que la didaacutectica de las matemaacuteticas es la ciencia del estudio y de la ayuda al estudio de las matemaacuteticas Su objetivo es llegar a describir y caracterizar los procesos de estudio ndash o procesos didaacutecticos ndash de cara a proponer explicaciones y respuestas soacutelidas a las dificultades con que se encuentran todos aquellos que estudian matemaacuteticas1
Didaacutectica de las Matemaacuteticas no es un recetario didaacutectico ni un modelo para la ensentildeanza sino un intento de transmitir algunas reflexiones producto de la experiencia y de la lectura de especialistas en el tema
Tal vez lo que se pretenda lograr es estimular ldquola sorpresa matemaacuteticardquo en el viacutenculo con nuestros alumnos Esta sorpresa se basa en provocar conceptos demostraciones elementales con intereacutes reflexioacuten intriga o admiracioacuten Es responsabilidad del docente proponer una situacioacuten adecuada mediante una pregunta que motive las distintas situaciones de
1 BROUSSEAU GUY ldquoLos Diferentes roles del maestrordquo Paidoacutes 1994
aprendizaje con conocimientos anteriores que el alumno deberaacute acomodar y adecuar a las nuevas situaciones Luego modificar el conocimiento como respuesta al medio y no como deseo del maestro es una necesidad que se convierte en una obligacioacuten es nuestra tarea No se pretende en este trabajo abordar toda la problemaacutetica (referido en este caso al caacutelculo diferencial) con la que el profesor se enfrenta en su quehacer diario ya que eacutesta es muy compleja y tiene varias aristas que el docente debe conocer como conocimientos y teoriacuteas epistemoloacutegicas Al respecto conocemos que se han desarrollado diferentes teoriacuteas como Registros de representacioacuten semioacutetica de Raymond Duval teoriacutea de Situaciones Didaacutectica de Guy Brousseau Teoriacutea Socio epistemoloacutegica y el enfoque Ontosemioacutetico de la Cognicioacuten e Instruccioacuten Matemaacutetica Y para este trabajo de investigacioacuten se ha considerado tomar como referencia la Teoriacutea de Registros de Representacioacuten Semioacutetica y la Taxonomiacutea de Raymond Duval para la parte de la evaluacioacuten
221 REGISTROS DE REPRESENTACIOacuteN SEMIOacuteTICA
RAYMOND DUVAL Raymond Duval se ha interesado por los problemas de manipulacioacuten de representantes dentro de un sistema matemaacutetico de signos y sobre los problemas de conversioacuten de representaciones entre dos o maacutes sistemas de un mismo objeto matemaacutetico generando una nueva nocioacuten que es la de Registro de representacioacuten Un registro es un signo en el sentido maacutes amplio de la palabra trazos iacuteconos siacutembolos etc Los registros son medios de expresioacuten y de representacioacuten caracterizados precisamente por sus respectivos sistemas semioacuteticos El aprendizaje de las matemaacuteticas constituye un campo de estudio privilegiado para el anaacutelisis de las actividades cognitivas fundamentales como la conceptualizacioacuten el razonamiento la resolucioacuten de problemas y la comprensioacuten de textos La particularidad del aprendizaje de las matemaacuteticas hace que estas actividades cognitivas requieran de la utilizacioacuten de sistemas de
expresioacuten y de representacioacuten distinta a los del lenguaje natural o de las imaacutegenes Bajo estas ideas se puede considerar el hecho de que no puede haber comprensioacuten matemaacutetica si no se distingue un objeto de su representacioacuten y es que no podemos confundir los objetos matemaacuteticos como lo son por ejemplo los nuacutemeros las funciones las rectas con sus representaciones es decir las escrituras decimales o fraccionarias los siacutembolos los graacuteficos los trazos de las figuras Pues un mismo objeto matemaacutetico puede darse a traveacutes de representaciones muy distintas y debemos tener claro como docentes que toda confusioacuten entre el objeto y su representacioacuten provoca en un plazo maacutes o menos amplio una perdida en la comprensioacuten En esta teoriacutea se sentildeala primer lugar que cuando hablamos de representaciones es necesario considerar los siguientes aspectos 1 El sistema por el cual se produce la representacioacuten- Cualquier representacioacuten se produce a traveacutes de un sistema en particular El contenido de la representacioacuten de un objeto cambia de acuerdo con el sistema de representacioacuten que se utiliza para su produccioacuten El pensamiento humano requiere la movilizacioacuten de varios sistemas de representacioacuten de produccioacuten y su coordinacioacuten 2 La relacioacuten entre la representacioacuten y el objeto representado 3 La posibilidad de un acceso al objeto representado aparte de la representacioacuten semioacutetica 4 La razoacuten por la que el uso de la representacioacuten es necesaria El tema de derivadas se puede aplicar como un ejemplo de esta teoriacutea por cuanto los alumnos tienen siempre problemas para pasar de una forma de representacioacuten a otra 222 TAXONOMIA DE BLOOM Y LOS NIVELES EN
QUE SE PUEDEN CLASIFICAR LOS OBJETIVOS DE APRENDIZAJE
En el propoacutesito de mejorar la calidad y eficiencias de la educacioacuten debemos buscar que los alumnos elementos esenciales de nuestra tarea logren los maacutes altos niveles de aprendizaje Asiacute con ayuda de la taxonomiacutea de Bloom especificareacute objetivos seleccionareacute los contenidos y disentildeareacute los instrumentos de evaluacioacuten
En el dominio cognoscitivo en lugar de contentarnos con la memorizacioacuten de conocimientos primer escaloacuten debemos hacer que logren el nivel maacutes alto Dichos niveles son los siguientes 1 CONOCIMIENTO Se refiere a la capacidad de recordar hechos especiacuteficos y universales meacutetodos y procesos esquemas estructuras o marcos de referencia sin elaboracioacuten de ninguna especie puesto que cualquier cambio ya implica un proceso de nivel superior Requiere que el alumno repita alguacuten dato teoriacutea o principio en su forma original bull Terminologiacutea (palabras teacuterminos teacutecnicos etc) bull Hechos especiacuteficos (fechas partes de algo acontecimientos
etc) bull Convencionalismos (formas de tratar ideas dentro de un campo
de estudio foacutermulas) bull Corrientes y sucesiones (tendencias y secuencias) bull Clasificaciones y categoriacuteas (clases grupos divisiones etc)
criterios (para juzgar o comprobar hechos principios opiniones y tipos de conducta)
bull Metodologiacutea (meacutetodos de investigacioacuten teacutecnicas y procedimientos)
bull Principios y generalizaciones (abstracciones particulares para explicar describir predecir o determinar acciones)
bull Teoriacuteas y estructuras (evocacioacuten de teoriacuteas interrelaciones de los principios y generalizaciones)
Verbos que se usan con frecuencia para redactar objetivos de este nivel Definir - Sentildealar ndash Describir - Nombrar ndash Identificar ndash Narrar ndash Indicar ndash Mencionar 2 COMPRENSIOacuteN Se refiere a la capacidad de comprender o aprehender en donde el estudiante sabe queacute se le estaacute comunicando y hace uso de los materiales o ideas que se le presentan sin tener que relacionarlos con otros materiales o percibir la totalidad de sus implicaciones El material requiere de un proceso de transferencia y
generalizacioacuten lo que demanda una mayor capacidad de pensamiento abstracto Requiere que el alumno explique las relaciones entre los datos o los principios que rigen las clasificaciones dimensiones o arreglos en una determinada materia conocimiento de los criterios fundamentales que rigen la evaluacioacuten de hechos o principios y conocimientos de la metodologiacutea principios y generalizaciones bull Traduccioacuten (parafrasear habilidad para comprender
afirmaciones no literales como simbolismos metaacuteforas traducir material matemaacutetico simboacutelico etc)
bull Interpretacioacuten (explicacioacuten o resumen implica reordenamiento o nuevos arreglos de puntos de vista)
bull Extrapolacioacuten (implicaciones consecuencias corolarios efectos prediccioacuten etc)
Verbos que se usan con frecuencia para redactar objetivos de este nivel Traducir ndash Resumir ndash Expresar ndash Parafrasear ndash Discutir 3 APLICACIOacuteN
Se guiacutea por los mismos principios de la comprensioacuten y la uacutenica diferencia perceptible es la cantidad de elementos novedosos en la tarea por realizar Requiere el uso de abstracciones en situaciones particulares y concretas Pueden presentarse en forma de ideas generales reglas de procedimiento o meacutetodos generalizados y pueden ser tambieacuten principios ideas y teoriacuteas que deben recordarse de memoria y aplicarse
bull Solucioacuten de problemas en situaciones particulares y concretas (utilizacioacuten de abstracciones en tipos de conducta y tipos de problemas)
Verbos que se usan con frecuencia para redactar objetivos de este nivel Demostrar- Practicar ndash Emplear ndash Solucionar ndash Aplicar ndash Operar ndash Usar 4 ANAacuteLISIS
Consiste en descomponer un problema dado en sus partes y descubrir las relaciones existentes entre ellas En general la eventual solucioacuten se desprende de las relaciones que se descubren
entre los elementos constituyentes Implica el fraccionamiento de una comunicacioacuten en sus elementos constitutivos de tal modo que aparezca claramente la jerarquiacutea relativa de las ideas y se exprese expliacutecitamente la relacioacuten existente entre eacutestas
bull Anaacutelisis de elementos (reconocer supuestos no expresados distinguir entre hechos e hipoacutetesis)
bull Identificacioacuten de relaciones entre los elementos (conexiones e interacciones entre elementos comprobacioacuten de la consistencia de las hipoacutetesis con informaciones y suposiciones dadas)
bull Reconocimiento de los principios de organizacioacuten de la situacioacuten problemaacutetica (estructura expliacutecita e impliacutecita reconocimiento de formas y modelos teacutecnicas generales utilizadas etc)
bull Identificacioacuten de conclusiones y fundamentacioacuten de enunciados
Verbos que se usan con frecuencia para redactar objetivos de este nivel Diferenciar- Distinguir- Discriminar- Contrastar- Criticar- Analizar- Inferir 5 SIacuteNTESIS
Es el proceso de trabajar con fragmentos partes elementos organizarlos ordenarlos y combinarlos para formar un todo un esquema o estructura que antes no estaba presente de manera clara Requiere la reunioacuten de los elementos y las partes para formar un todo
bull Elaboracioacuten de un plan o conjunto de actos planeados (habilidad para proponer formas de comprobar las hipoacutetesis)
bull Desarrollo de conjuntos de relaciones para clasificar o explicar datos
bull Deduccioacuten de proposiciones y relaciones (de un grupo de proposiciones baacutesicas o de representaciones simboacutelicas)
bull Construccioacuten de un modelo o estructura bull Reordenacioacuten de las partes en una secuencia loacutegica Verbos que se usan con frecuencia para redactar objetivos de este nivel Organizar- Reconstruir- Proponer- Reordenar
6 EVALUACIOacuteN Se refiere a la capacidad para evaluar se mide a traveacutes de los procesos de anaacutelisis y siacutentesis Requiere formular juicios sobre el valor de materiales y meacutetodos de acuerdo con determinados propoacutesitos Incluye los juicios cuantitativos y cualitativos de acuerdo a los criterios que se sugieran (los cuales son asignados) bull Juicios en funcioacuten de evidencia interna (de exactitud loacutegica
consistencia o criterio interno) bull Juicios en funcioacuten de criterios externos (criterios
seleccionados comparacioacuten de teoriacuteas comparacioacuten de un trabajo con respeto a normas etc)
Verbos que se usan con frecuencia para redactar objetivos de este nivel Juzgar- Evaluar- Apreciar ndash Revisar- Corregir- Seleccionar ndash Justificar- Valoriza
23 DESARROLLO DE LA PARTE CONCEPTUAL DE LA DERIVADA
En este apartado desarrollaremos los contenidos matemaacuteticos que se presentan en el silabo de Matemaacutetica I y que son parte de la investigacioacuten para lo cual hemos revisado bibliografiacutea de autores nacionales y extranjeros especialistas en el tema del caacutelculo diferencial
1 LA IDEA FUNDAMENTAL DEL CAacuteLCULO
Si observamos a nuestro alrededor podremos ver que nuestro mundo se caracteriza por cambios continuos de alliacute la inquietud de desarrollar meacutetodos matemaacuteticos para cuantificar describir y pronosticar estos cambios Para Wenzelburger (1993) es justamente este el propoacutesito del Caacutelculo Diferencial y presenta el concepto de razoacuten de cambio como fundamental Veamos a continuacioacuten dos definiciones del teacutermino Razoacuten de Cambio media o Promedio
DEFINICIOacuteN 1
DEFINICIOacuteN 2
Ambas definiciones muestran la misma idea pero la definicioacuten que presenta Hasser (1976) es muy cuidadosa al determinar las variables que intervienen en ella asiacute da lugar a pensar en ejemplos inmediatos de aplicacioacuten como por ejemplo la relacioacuten entre la cantidad demandada de un bien
dQ y su precio unitario
por periacuteodo de tiempo a traveacutes de la funcioacuten ( )d
Q f p=
Respecto a la segunda definicioacuten es maacutes directa no menciona que x y t sean magnitudes fiacutesicas y analiza directamente los cambios
o variaciones
Razoacuten Promedio de Cambio Sean ( )o ox x t= y ( )o oy y t= ox y oy son valores de las magnitudes fiacutesicas
en alguacuten instante ot Supongamos que ox cambia en la cantidad x∆ El cambio correspondiente y∆ en oy es
( )( )o oy f x x f x∆ = + ∆ minus Y la razoacuten promedio de cambio de y con respecto a x es
( ) ( )( )
0 o of x x f xy xx x
+ ∆ minus∆= ∆ ne
∆ ∆ (Hasser 1976 401)
Razoacuten de Cambio Media Suponga que y es una funcioacuten de x ( )y f x= correspondiendo a un cambio de x a x x+ ∆ la variable y cambia en una cantidad
( ) ( )y f x x f x∆ = + ∆ minus Asiacute el cociente de diferencias
( ) ( )Cambio de x x f x x f xCambio de y y x
∆ + ∆ minus= =∆ ∆
Representa la razoacuten de cambio de y con respecto a x (Hoffmann 1985 82)
Wenzelburger (1993 4) nos dice ldquoDeterminar razones de cambio de procesos continuos es muchas veces maacutes importante que estudiar estos procesos Siempre que dos magnitudes (variables) estaacuten conectadas mediante una relacioacuten funcional (funcioacuten) se puede estudiar el cambio relativo de una de las magnitudes con respecto a la otrardquo Como ejemplos de lo anterior podemos citar a la velocidad que es la razoacuten (el cociente) entre una distancia y un tiempo y describe el cambio en la posicioacuten de un cuerpo con respecto al tiempo transcurrido
Ciertas razones de cambio tienen nombres especiales por ejemplo bull La velocidad es solo uno de las muchas razones de cambio que seraacuten importantes en este capiacutetulo es la razoacuten de cambio de la distancia con respecto al tiempo bull Densidad de un alambre es igual a la razoacuten de cambio de la masa respecto la distancia bull Ingreso Marginal es igual a la razoacuten de cambio del ingreso respecto nuacutemero de artiacuteculo producidos bull Corriente es igual a la razoacuten de cambio de la Carga eleacutectrica respecto al tiempo Asiacute mismo Wenzelburger (1993) menciona dos aspectos importantes al estudiar el Caacutelculo Diferencial los cuales son 1- La continuidad que significa que la relacioacuten es completa no tiene saltos bruscos ni interrupciones y que graacuteficamente se expresa como segmentos de liacuteneas o curvas y no como una coleccioacuten de puntos aislados 2- La determinacioacuten de la pendiente Todos tenemos nociones intuitivas acerca de pendientes y coacutemo comparar las inclinaciones de varias pendientes Por ejemplo sabemos que cuesta maacutes trabajo subir una montantildea maacutes empinada (pendiente grande) o que el agua de un riacuteo corre maacutes raacutepido si este tiene mucha pendiente Lo que hay que explorar entre otras cosas es la manera en la cual la medida de una pendiente de una curva estaacute relacionada con el concepto de razoacuten de cambio
2 LA RELACIOacuteN ENTRE LAS RAZONES DE CAMBIO Y PENDIENTES DE RECTAS
DEFINICIOacuteN 3
Los dos ejemplos que estudiaremos a continuacioacuten tiene por objetivo reforzar la definicioacuten dada asiacute como dar el primer paso en el intento por comprobar si los alumnos pueden comprender un tipo de registro semioacutetico como lo es el lenguaje escrito y luego trabajar lo concerniente a pasar de un registro a otro como lo seriacutea el paso de lo enunciado a la grafica Ejemplo 1
ldquoSuponga que sabemos que el precio de un artiacuteculo en un primer mes era de 600 soles y en el tercer mes subioacute a 1200 soles
MES PRECIO 1 600 Soles 3 1200 Soles
Tabla Nordm 1
Podemos graficar estos datos Fig1 y suponer que el incremento del precio ocurrioacute como en la Fig2
La pendiente de una recta en un sistema de coordenadas ( x y ) es una medida de la razoacuten de cambio de la variable y con respecto al cambio de la variable x (Wenzelburger 1993 9)
La razoacuten de cambio del precio se define de la siguiente manera
se calcula el cambio en direccioacuten vertical y se divide por el cambio en direccioacuten horizontal Asiacute la razoacuten de cambio para los meses uno y tres es
Fig3
500
1000
1500
2000
1 2 3
(1600)
(31200)
Mes
Precio Y
(4840)
4
x
500
1000
1500
2000
1 2 3
(1600)
(31200)
Mes
Precio Y
Fig1
MesFig2
Precio
500
1000
1500
2000
1 2 3
(1600)
(31200)
Y
(2900)
Graacutefica del precio dado en soles en el primer y tercer
mes
Graacutefica del supuesto crecimiento lineal de precio entre el primer y
tercer mes
Graacutefico de la situacioacuten anterior con un descuento del 30 en el precio
Razoacuten de cambio = 600 3002
solesmes
= hellip (1)
Este valor numeacuterico caracteriza el incremento del precio En el cuarto mes se ofrecioacute el producto con un 30 de descuento como promocioacuten (Fig3) La razoacuten de cambio en este mes es
Razoacuten de cambio= 840 1200 3601
solesmes
minus = minus hellip (2)
Ahora consideremos un valor intermedio
Razoacuten de cambio= 900 600 300 3002 1 1
solesmes
minus = = minus hellip (3)
Resumimos lo observado en (1) (2) y (3) Una razoacuten de cambio caracteriacutestica para una graacutefica en forma de segmentos de liacutenea recta soacutelo cambia si hay variacioacuten en la pendiente de eacutesta Si crece la graacutefica la razoacuten de cambio y la pendiente son positivas Si decrece la graacutefica la razoacuten de cambio y la pendiente son negativas Para calcular la razoacuten de cambio entre dos puntos de una graacutefica se sigue el trazo de la curva y se ven los valores primero el punto de la abscisa (valor en el eje horizontal) maacutes grande y despueacutes el punto en la abscisa maacutes pequentildea Despueacutes se forma el cociente entre la diferencia vertical y la horizontalrdquo
3 RAZONES DE CAMBIO ENTRE DOS PUNTOS DE UNA
CURVA
La diferencia entre una relacioacuten lineal de una no lineal radica en que la razoacuten de cambio para una relacioacuten no lineal varia a lo largo de la curva mientras que en una relacioacuten lineal es constante para todos los puntos de la funcioacuten Sobre el ejemplo anterior Wenzelburger (1993) nos dice ldquoes factible que los precios no subieran siguiendo una relacioacuten lineal por ejemplo ver las figuras 4 y 5
De acuerdo a la figura 4 el precio al principio del segundo mes parece ser de 800 soles Como la razoacuten de cambio entre el precio al final del primer mes y del segundo mes (de 600 soles a 800 soles) tenemos
Razoacuten de cambio= 800 600 2001
solesmes
minus = hellip (1)
Ahora calculamos la razoacuten de cambio para el tercer mes
Razoacuten de cambio= 1200 800 4003 2
solesmes
minus = minus hellip (2)
El valor de la razoacuten de cambio en 1 y 2 es diferente Si repetimos el procedimiento para otros pares de puntos vamos a obtener muchos valores diferentes La diferencia entre una curva y una liacutenea recta es la variacioacuten continua de la razoacuten de cambio a lo largo de la curva Si suponemos ahora que los precios cambiaron de acuerdo a la figura 5 podemos observar en la tabla las razones de cambio calculadas para intervalos de 1 mes
500
1000
1500
2000
1 2 3
(1600)
(31200)
Mes
Pesos Y
4
x
(2800)
Fig4
500
1000
1500
2000
1 2 3
(1600)
(31200)
Mes
Pesos Y
4
x
(4800)
Fig5
Las figuras 4 y 5 corresponden al ejemplo1 donde se supone un comportamiento no lineal entre el tiempo y el precio
2do Mes 3er Mes 4to Mes
Razoacuten de cambio en
pesosmes
100 6001
400
minus
1200 10001
200
minus
840 12001360
minus
minus
Tabla Nordm 2
Estos valores describen a grandes rasgos el comportamiento de
la curva precio en funcioacuten del tiempo En el segundo mes el precio sube maacutes raacutepido que en el tercer mes Si calculamos la razoacuten de cambio total del segundo al cuarto mes
Razoacuten de cambio= 840 600 240 803 3
solesmes
minus = = hellip (3)
Obtenemos una informacioacuten equivocada un valor positivo
pequentildeo que no refleja la variacioacuten real del precio Por eso concluimos que es necesario calcular razones de cambio para intervalos pequentildeos debido a que intervalos grandes no dan valores representativos para la descripcioacuten del cambio de una funcioacuten a lo largo de la curvardquo
Observaciones sobre la definicioacuten bull La letra griega delta (∆ ) representa la diferencia o el cambio
bull El cociente yx
∆∆
tambieacuten se llama razoacuten de cambio promedio y
representa graacuteficamente la pendiente de una recta bull El adjetivo promedio es nombre popular pero inexacto porque en
este contexto promedio significa aproximado bull La razoacuten de cambio es suficiente para describir funciones lineales
mas no para graacuteficas curvas
4 LA TRANSFORMACIOacuteN DE LA RAZOacuteN DE CAMBIO PROMEDIO A LA RAZOacuteN DE CAMBIO INSTANTAacuteNEA
Al calcular razones promedio de cambio cada una de ellas no
representa la razoacuten de cambio al principio o al final de un intervalo x∆ sino es un valor promedio que se toma por constante en todo el
intervalo Siendo asiacute es necesario desarrollar un meacutetodo que permita
calcular la razoacuten de cambio de la funcioacuten original praacutecticamente en cada instante es decir para cada valor de x queremos conocer la razoacuten de cambio ( )f x A esta razoacuten de cambio se llama la razoacuten de cambio instantaacutenea Es importante mencionar que una razoacuten de cambio instantaacutenea es mayormente conocida con tasa de cambio Wenzelburger (1993) nos dice
Para ldquola forma de yx
∆∆
2 1
2 1
y yyx x x
minus∆=
∆ minus
Podriacutea proponerse que los puntos 2x y 1x coincidan lo cual implicariacutea tomar 2 1 0x xminus = Entonces la razoacuten de cambio seriacutea instantaacutenea puesto que se tratariacutea de un punto
Es obvio que este intento de solucioacuten fracasa Ya que para 0x∆ = no estaacute definida la razoacuten de cambio Por lo cual aceptaremos
el siguiente principio fundamental para la razoacuten de cambio instantaacutenea
El valor de 2 1x xminus seraacute siempre un nuacutemero que pueda hacerse maacutes pequentildeo que un nuacutemero muy pequentildeo arbitrario pero fijo Debido a que un nuacutemero de esta naturaleza no es igual a cero no estamos considerando un intervalo de longitud cero sino que x∆ se hace cada vez maacutes pequentildeo Esto se expresa como 0x∆ rarr
El valor numeacuterico al cual se aproxima yx
∆∆
cuando 0x∆ rarr es la
razoacuten de cambio instantaacuteneardquo Los problemas del 1 al 4 propuestos a continuacioacuten tienen por finalidad reforzar el conocimiento del alumno sobre razoacuten de cambio promedio e instantaacutenea pendiente ademaacutes interiorizar la relacioacuten que existe entre ambos conceptos asiacute mismo poner en praacutectica el trabajo de cambio de registros semioacuteticos pues se presentan problemas que
hacen uso de los tres tipos de registro y deberaacuten ser convertidos de uno a otro registro para mejorar su comprensioacuten y llegar a una solucioacuten Trabajo Praacutectico Nordm1 Razoacuten de cambio Promedio e Instantaacutenea Problema 12
Una enfermera controla la temperatura a un paciente y registra los resultados
Horas 1500 1600 1700 1800 1900 2000 2100 2200 2300 Temp 36 37 372 378 379 40 40 40 375
Tabla Nordm3
Tareas y Preguntas
a iquestCuaacutel es el cambio de temperatura entre las 1600 y las 1700 horas las 1900 y las 2200 y las 2200horas y las 2300
b Trazar la curva de fiebre del paciente c Calcular la razoacuten de cambio entre las 1500 y las 2300 horas para
intervalos de una hora d Graficar los valores obtenidos en c e Completar la tabla siguiente
Temperatura Graacutefica Razoacuten de Cambio Sube Sube positiva
Queda igual Baja
Tabla Nordm 4
2 El problema 1 se ha tomado del libro de Wenzelburger Didaacutectica del Caacutelculo Diferencial 1993 36
Problema 23
Peso Promedio de un bebeacute- La siguiente graacutefica muestra el peso de un bebeacute promedio desde el instante del nacimiento ( )0t = hasta la
edad de dos antildeos ( )24t = Calcule las pendientes de las rectas tangentes respectivas para estimar la razoacuten promedio de cambio del peso del bebeacute promedio cuando 3t = y cuando 18t = iquestCuaacutel es la razoacuten promedio de cambio en el peso de un bebeacute promedio durante el primer antildeo de vida
Fig6
Fuente Tomado de Thomson Matemaacuteticas para Administracioacuten y Economiacutea 1998 515
Problema 34
Selvicultura- La siguiente graacutefica muestra el volumen de madera producida en un bosque con una uacutenica especie En este caso ( )f t se
3 El problema 2 se ha tomado del libro de Thomson Matemaacuteticas para Administracioacuten y Economiacutea 1998 Paacuteg 515 4 El problema 3 se ha tomado del libro de Thomson Matemaacuteticas para Administracioacuten y Economiacutea 1998 Paacuteg 515
Graacutefico del peso promedio de un bebeacute desde su nacimiento hasta los dos antildeos
mide en metros cuacutebicos por hectaacutereas y t en antildeos Calcule las pendientes de las rectas tangentes respectivas y estime la razoacuten con que el incremento de madera estaacute cambiando al inicio del deacutecimo antildeo y al inicio del antildeo 30
Fig 7 Fuente Tomado de Thomson Matemaacuteticas para Administracioacuten y Economiacutea 1998 515
Problema 45
Patrones de observacioacuten de la televisioacuten- La siguiente graacutefica basada en datos de la compantildeiacutea AC Nielsen muestra el porcentaje de habitantes de Estados Unidos que ven televisioacuten durante un periacuteodo de 24 horas en un diacutea haacutebil ( 0t = corresponde a las 6 am) Calcule las pendientes de las rectas tangentes respectivas y estime la razoacuten de cambio del porcentaje de habitantes que ven televisioacuten entre las 4pm y las 11pm
5 El problema 4 se ha tomado del libro de Thomson Matemaacuteticas para Administracioacuten y Economiacutea 1998 Paacuteg 516
Graacutefico del valor de la madera producida en 3m en funcioacuten del tiempo
Fig8 Fuente Tomado de Thompson Matemaacuteticas para Administracioacuten y Economiacutea 1998 516
5 ALGO SOBRE HISTORIA DE LA DERIVADA
Hasta este momento hemos hablado sobre razones de cambio y como aproximamos una razoacuten de cambio promedio a una razoacuten de cambio instantaacutenea Ahora conoceremos como dos problemas trabajados en eacutepocas de la historia diferentes nos llevaron a la misma solucioacuten La derivada En esta parte hablaremos de razones de cambio e introducireacute las nociones de liacutemites para su resolucioacuten
51 DOS PROBLEMA CON UN MISMO TEMA Los problemas que trataremos a continuacioacuten corresponden a eacutepocas diferentes el primer problema es muy antiguo se remota a la eacutepoca del gran cientiacutefico griego Arquiacutemedes (287-212 aC) Se trata del problema de la pendiente de la recta tangente El segundo problema es maacutes reciente Crecioacute con los intentos de Kepler Galileo Newton y otros para describir la velocidad de un cuerpo en movimiento Es el problema de la velocidad instantaacutenea Los dos problemas uno geomeacutetrico y el otro mecaacutenico parecen no estar muy relacionados En este caso las apariencias engantildean Los dos problemas son gemelos ideacutenticos
Graacutefico del porcentaje de habitantes en Estados Unidos que ven televisioacuten durante las 24 horas de un diacutea
A LA RECTA TANGENTE La descripcioacuten de este problema ha sido tomada de Purcell (2003 99) ldquoSea P un punto de la curva y sea Q un punto moacutevil cercano a P en esa curva Considere la recta que pasa por P y Q llamada recta secante La recta tangente en P es la posicioacuten liacutemite (si esta existe) de la recta secante cuando Q se mueve hacia P a lo largo de la curva
Fig9 Suponga que la curva es la graacutefica de la ecuacioacuten ( )y f x= Entonces P tiene coordenadas ( ) ( )c f c un punto cercano a Q tiene
coordenadas ( ) ( )c h f c h+ + y la recta secante de P a Q tiene pendiente secm dada por
sec( ) ( )f c h f cm
h+ minus
=
Como el objetivo es hallar la recta tangente a la curva ( )f x en el punto P entonces intentaremos aproximar el punto Q a P para ello utilizaremos el concepto de liacutemite con el fin de determinar la pendiente de la recta tangenterdquo
P
Rectas secantes
Recta tangenteQ
Q
Q
La recta tangente es la posicioacuten liacutemite de la recta secante
x
y
Graacutefica de las rectas secantes y tangentes a una curva desde el punto Q hasta el punto P
Fig10
DEFINICIOacuteN 4
Recta Tangente La recta tangente a la curva ( )y f x= en el punto ( ) ( )P c f c es aquella recta que pasa por P con pendiente
tan sec0 0
( ) ( )lim limh h
f c h f cm mhrarr rarr
+ minus= =
Siempre y cuando este liacutemite exista y no sea oinfin minusinfin
(Purcell 2003 101)
P
Q
x
y Liacutenea secante
Liacutenea tangente
( ) ( )c h f c h+ +
( ) ( )f c h f c+ minus
c c h+
( ) ( )c f c
h( )f c
( )f c h+
tan sec0
limh
m mrarr
=
Graacutefico de las posiciones de una recta secante a una curva en los puntos P y Q y su aproximacioacuten a la recta tangente en P
A continuacioacuten veremos un ejemplo que tiene por objetivo que el alumno se familiarice con la definicioacuten la aplique y compruebe que es funcional Ejemplo2Encuentre la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva
( )23 1y x= + minus
en el punto ( )224
Solucioacuten
Encontraremos primero la pendiente de la recta tangente a la curva la cual estaraacute
Dada por
( ) ( )( )2 2
0
3 1 3 1limh
c h c
hrarr
+ + minus minus + minus
( ) ( ) ( )
( )
( )
2 22
2
3 2 3 1 3 1
2 3
2 3
c c h h ch
c h hh
c h
+ + + + minus minus + +
+ +
+ +
Luego aplicando liacutemites tendremos
( )0
lim 2 3 2( 3)h
c h crarr
+ + = +
En el punto 2 la pendiente es 10m = finalmente la ecuacioacuten de la recta en ( )224 es ( )10 2 24 oacute 10 4y x y x= minus + = +
B VELOCIDAD PROMEDIO Y VELOCIDAD INSTANTAacuteNEA
En un contexto referido a la fiacutesica se propone la siguiente situacioacuten con la finalidad de trabajar una solucioacuten y de comprobar que ella tiene mucho en comuacuten la solucioacuten del problema de la recta tangente Si viajamos de una ciudad a otra que estaacute a 80 km En 2 horas nuestra velocidad promedio es de 40 Km por hora Determinamos una velocidad promedio como la distancia de la primera posicioacuten a la segunda posicioacuten dividida entre el tiempo empleado Pero durante el viaje la lectura del velociacutemetro con frecuencia fue diferente de 40 Al principio registroacute 0 a veces hasta 57 al final regresoacute a 0 otra vez iquestQueacute es lo que mide el velociacutemetro Ciertamente no indica la velocidad promedio Purcell (2003 101-103) ldquoConsidere el ejemplo maacutes preciso de un objeto P que cae en el vaciacuteo El experimento muestra que si inicioacute desde el reposo P cae 216t pies en t segundos Por tanto cae 16 pies en el primer segundo 64 pies en el 2do segundo Observemos el diagrama del tiempo empleado y la graacutefica de la relacioacuten tiempoespacio recorrido
Fig11
Ahora analicemos la velocidad promedio en algunos intervalos
Graacutefica de la Distancia recorrida por el objeto en funcioacuten del tiempo
1 2 3 4
50
100
150
200
250
Dis
tanc
ia re
corr
ida
t
( )
( )
( )
2
2
2
16 00 1 16 1 064 161 2 48
2 1
16 15 161 15 40
15 1
16 11 161 11 336
11 1
16 101 161 101 3216
101 1
prom
prom
prom
prom
prom
t t v p s
t t v p s
t t v p s
t t v p s
t t v p s
minus= rarr = = =
minusminus
= rarr = = =minus
minus= rarr = = =
minus
minus= rarr = = =
minus
minus= rarr = = =
minus
Lo que hemos hecho es calcular la velocidad promedio en intervalos de tiempo cada vez maacutes pequentildeos cada uno iniciando en 1t = Entre maacutes breve es el intervalo de tiempo mejor aproximamos la velocidad instantaacutenea en 1t = Seamos maacutes precisos Suponga que un objeto P se mueve a lo largo de un eje coordenado de modo que su posicioacuten en el instante t estaacute dado por ( )S f t= En el instante c el objeto estaacute en ( )f c en el instante cercano c h+ estaacute en ( )f c h+ Asiacute la velocidad promedio en este intervalo es
( ) ( )prom
f c h f cvh
+ minus=
Ahora podemos definir la velocidad instantaacutenea
DEFINICIOacuteN 5
Velocidad Instantaacutenea-Si un objeto se mueve a lo largo de un eje coordenado con funcioacuten de posicioacuten ( )S f t= entonces su velocidad instantaacutenea en el instante c es
0 0
( ) ( )lim limpromh h
f c h f cv vhrarr rarr
+ minus= =
Siempre que el liacutemite exista y no sea oinfin minusinfin (Edwin Purcell2003)
En el caso donde 2( ) 16f t t pies= la velocidad instantaacutenea en 1t = es
2
0 0 0 0
(1 ) (1) 16(1 ) 16lim lim lim lim 32 16 32promh h h h
f h f hv v hh hrarr rarr rarr rarr
+ minus + minus= = = = + =
ldquoAhora podemos ver porqueacute llamamos a la pendiente de la recta tangente y a la velocidad instantaacutenea gemelos ideacutenticosrdquo Este ejemplo tiene por objetivo que el alumno vaya haciendo al mismo tiempo que resuelve los apartados de esta pregunta un verificacioacuten de la teoriacutea por cuando al ir hallando la velocidad promedio en un intervalo considerablemente grande como lo es de 2 a 3 y luego pase a calcular una velocidad promedio en un intervalo lo suficientemente pequentildeo como lo es de 2 a 2003 y finalmente calcule la velocidad instantaacutenea en 2 notaraacuten como se aproxima una variacioacuten una otra hasta llegar a la variacioacuten en un punto Ejemplo 3
Un objeto viaja a lo largo de una recta de modo que su posicioacuten S es 2 1S t= + metros despueacutes de t segundos
a) iquestCuaacutel es su velocidad promedio en el intervalo 2 3tle le b) iquestCuaacutel es su velocidad promedio en el intervalo 2 2003tle le c) iquestCuaacutel es su velocidad promedio en el intervalo 2 2t hle le + d) Encuentre la velocidad instantaacutenea en t = 2
Solucioacuten
La velocidad promedio estaraacute dada por
( ) ( )
promf c h f cv
h+ minus
=
a) La velocidad promedio en el intervalo 2 3tle le seraacute
( ) ( )2 23 1 2 1 10 5 5 3 2 1promv m s
+ minus + minus= = =
minus
b) La velocidad promedio en el intervalo 2 2003tle le seraacute
( ) ( )2 22003 1 2 1 5012009 5 4003 2003 2 0003promv m s+ minus + minus
= = =minus
c) La velocidad promedio en el intervalo 2 2t hle le + seraacute ( )( ) ( )2 2 22 1 2 1 4 4 prom
h h hv h m sh h
+ + minus + += = = +
d) La velocidad instantaacutenea en 2t = seraacute
( )( ) ( )2 2 22 1 2 1 4 4 prom
h h hv h m sh h
+ + minus + += = = + luego en
2t = es 6 Los problemas propuestos en este apartado tienen un objetivo similar al planteado en el ejemplo anterior es decir contrastar en la praacutectica lo que en la teoriacutea se describe a la vez potenciar su habilidad para el cambio de registros ya que como se puede apreciar en los enunciados se piden encontrar ecuaciones dadas algunas graacuteficas y datos elaborar graacuteficas dadas algunas foacutermulas interpretar informacioacuten presentada en ecuaciones graacuteficas referidos a casos de aplicacioacuten en aacutereas como fiacutesica y biologiacutea Trabajo Praacutectico Nordm2 Recta Tangente y Velocidad Instantaacutenea6
Encuentre la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva Ejercicio 1
1yx
= en el
punto ( )21 2
Fig12
6 Los ejercicio se han tomado del libro de Purcell Caacutelculo Diferencial2003
05 1 15 2 25 3
05
1
15
2
25
3
1yx
=
y
x
Graacutefico de la funcioacuten 1( )f x
x= y su recta tangente en el punto (2 frac12)
Considere Ejercicio 2
3 1y x= minus a) Haga un bosquejo de su graacutefica tan detallado como sea posible b) Dibuje la recta tangente en (27) c) Calcule la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos
(27) y ( )3201 (201) 1minus
d) Utilizando el proceso de liacutemite encuentre la pendiente de la recta tangente en (27)
Encuentre las pendientes de las rectas tangentes a la curva Ejercicio 3
2 1y x= minus en los puntos de abscisas -2-1 0 1 2
Haga un bosquejo de la graacutefica de
Ejercicio 4 1
1y
x=
+ luego encuentre la
ecuacioacuten de la recta tangente en (1 12)
Encuentre la ecuacioacuten de la recta tangente a
Ejercicio 5 1
1y
x=
minus en (0-1)
Un experimento sugiere que un cuerpo que cae descenderaacute aproximadamente
Ejercicio 6
216t metros en t segundos a) iquestCuaacutento caeraacute entre t = 0 y t = 1 b) iquestCuaacutento caeraacute entre t = 1 y t = 2 c) iquestCuaacutel es su velocidad promedio en el intervalo 2 3tle le d) iquestCuaacutel es su velocidad promedio en el intervalo 3 301tle le e) Encuentre la velocidad instantaacutenea en t = 3
Un objeto viaja a lo largo de un eje coordenado de modo que su distancia dirigida medida desde el origen despueacutes de t segundos es
Ejercicio 7
2 1t metros+ a) Encuentre la velocidad instantaacutenea en t = 2
b) iquestCuaacutendo alcanzaraacute una velocidad de 12 pies por segundo
Si una partiacutecula se mueve a lo largo de un eje coordenado de modo que su distancia dirigida medida desde el origen despueacutes de
Ejercicio 8
t segundos es ( )2 4t t metrosminus + iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute
momentaacuteneamente detenida Es decir en iquestqueacute momento su velocidad es cero
Cierto cultivo de bacterias crece de modo que tiene una masa de Ejercicio 9
21 12
t gramos +
despueacutes de t horas
a) iquestCuaacutento creceraacute durante el intervalo 2 201tle le b) iquestCuaacutel seraacute la tasa promedio de crecimiento durante el intervalo
2 201tle le c) iquestCuaacutel fue la tasa instantaacutenea de crecimiento en t = 2
6 LA DERIVADA
Revisemos ahora algunas definiciones seguacuten los siguientes autores
DEFINICIOacuteN 6
Si la funcioacuten ( )y f x= tiene derivada en el punto 0
x x= es
decir si existe el
0 00 0
( ) ( )lim limx x
f x x f xyx x∆ rarr ∆ rarr
+ ∆ minus∆=
∆ ∆
Se dice que para el valor dado 0
x x= la funcioacuten es derivable o
lo que es lo mismo tiene derivada en dicho punto
Si la funcioacuten tiene derivada en cada punto de un intervalo ( )a b
se dice que es derivable en dicho intervalo
(N Piskunov 1973 68)
DEFINICIOacuteN 7
DEFINICIOacuteN 8
Como podemos observar la definicioacuten 6 trabaja con la notacioacuten delta a la cual los alumnos se encuentran familiarizados desde el concepto de razoacuten de cambio mientras que en las otras dos definiciones se trabaja con una letra h la cual reemplaza al x∆ La definicioacuten 8 asiacute como la 7 muestran la idea de designar con el teacutermino de derivable en un punto a la funcioacuten cuando esta tenga derivada en dicho punto y de derivable cuando la derivada exista en cada punto de su dominio En cuanto a la definicioacuten 8 presenta a la derivada como una funcioacuten
f a la que lee como ldquof primardquo Uniendo las tres definiciones anteriores podemos presentar la siguiente
La funcioacuten f es derivable en a si
0
( ) ( )limh
f a h f ahrarr
+ minus Existe
En este caso el liacutemite se designa por ( )f a y recibe el nombre de
derivada de f en a (Decimos tambieacuten que f es derivable si
f es derivable en a para todo a del dominio de f )
(Spivak 1967 201)
La derivada de una funcioacuten f es otra funcioacuten f (leacutease ldquof primardquo) cuyo valor en cualquier nuacutemero c es
0
( ) ( )( ) lim
h
f c h f cf chrarr
+ minus=
Siempre que este liacutemite exista y no sea oinfin minusinfin
(Purcell 2003 107)
Veamos los siguientes ejemplos los cuales pretenden familiarizar a los alumnos con la definicioacuten de derivada y a manera de repaso recordar los algoritmos empleados en el caacutelculo de liacutemites como por ejemplo el proceso de racionalizacioacuten Ejemplo 4
Sea ( ) 12 3f x x= minus Encuentre ( ) 4f
Solucioacuten
Empleando la definicioacuten de derivada tenemos [ ] [ ]
0 0
0 0
12(4 ) 3 12(4) 3(4 ) (4)(4) lim lim
12 lim lim 12 12
h h
h h
hf h ffh h
hh
rarr rarr
rarr rarr
+ minus minus minus+ minus= =
= = =
Ejemplo 5
Sea ( ) 0f x x x= gt Encuentre ( )f x
Derivada de f La derivada de una funcioacuten f en un punto c es otra funcioacuten a la
que llamaremos ldquo f prima rdquo y denotaremos por f siempre
que se cumpla
0
( ) ( )( ) lim
h
f c h f cf chrarr
+ minus= Existe
En este caso el liacutemite se designa por ( )f c y recibe el nombre de
derivada de f en c
Decimos tambieacuten que f es derivable si f es derivable en c para
todo c del dominio de f
Solucioacuten
Empleando la definicioacuten de derivada tenemos
( )
0
0
0
0
0
0
( ) ( )( ) lim
= lim
lim
= lim
= lim
1 1 = lim
2
h
h
h
h
h
h
f x h f xf xh
x h xh
x h x x h xh x h x
x h xx h x
h
h x h x
x h x x
rarr
rarr
rarr
rarr
rarr
rarr
+ minus=
+ minus
+ minus + +=
+ + + minus
+ +
+ +
=+ +
7 FORMAS EQUIVALENTES DE LA DERIVADA Purcell (2003) hace mencioacuten a dos formas equivalentes de la derivada de ( )f x en el punto c asiacute la primera forma es
Graacuteficamente podemos ver
0
( ) ( )( ) limh
f c h f cf chrarr
+ minus=
Fig13
Para la segunda forma x toma el lugar de c h+ y por lo tanto reemplazando h tenemos
Graacuteficamente podemos ver
Fig14
otimes
otimes
c c h+
( ) ( )f c h f c+ minus
h( ( ))c f c
( ( ))c h f c h+ +
X
Y
otimes
otimes
c x
( ) ( )f x f cminus
x cminus( ( ))c f c
( ( ))x f x
X
Y
( ) ( )( ) limx c
f x f cf cx crarr
minus=
minus
Graacutefico de la funcioacuten ( )f x en los puntos c y c h+ empleado para la primera forma de definir la derivada
Graacutefico de la funcioacuten ( )f x en los puntos c y x empleado para la segunda forma de definir la derivada
Como podemos apreciar las dos formas de expresar la definicioacuten de la derivada son equivalente aun cuando la notacioacuten empleada no es la misma ya que como hemos podido apreciar en una el limite esta expliacutecitamente en teacuterminos del incremento h luego en el liacutemite h tiende a cero En la otra no aparece h pero cuando el limite indica que x tiende a c impliacutecitamente estaacute indicando que el incremento (h) tiende a cero En el ejemplo siguiente se intenta que los alumnos utilicen la segunda forma de la definicioacuten de la derivada a fin de practicarla pero que establezcan las diferencias en la notacioacuten y significado en relacioacuten a la definicioacuten primera Ejemplo 6
Utilice la segunda forma de representa la derivada para determinar
( )g c si 1( )
4g x
xminus
=+
1 14 4( ) x cg cx c
minus minusminus
+ +=minus
Solucioacuten
( )( )
( )( )
( )( )( )
( )( )
( )2
4 44 4
( ) lim
4 4 lim
4 4 lim
1 lim4 4
1 ( )4
x c
x c
x c
x c
c xx c
g cx cc x
x cx cx c
x cx c
x c
g cc
rarr
rarr
rarr
rarr
minus minus + ++ +
=minus
minus ++ +
minusminus
+ +
minus
+ +
there4 =+
Demostracioacuten-
Espinoza (2002 456) demuestra este teorema de la siguiente manera ldquoPor hipoacutetesis se tiene que f es diferenciable en
0x esto quiere
decir que 0
( )f xexist y
0 00 0
0 0
( ) ( )lim ( ) ( ) lim h h
f x h f xf x h f x h
hrarr rarr
+ minus+ minus =
0 00
0 0
( ) ( )lim lim ( )0 0h h
f x h f xh f x
hrarr rarr
+ minus= = =
Entonces 0 0 0 0
0 0 0
0 00
lim ( ) ( ) 0 lim ( ) lim ( ) 0
lim ( ) ( )h h h
h
f x h f x f x h f x
f x h f xrarr rarr rarr
rarr
+ minus = rArr + minus =
+ =
0f es continua en xthere4 rdquo
ldquoEs muy importante recordar el teorema 1 e igualmente importante recordar que el reciacuteproco no se cumple Una funcioacuten derivable es continua pero una funcioacuten continua no es necesariamente derivablerdquo Spivak (1992 213)
Con los siguientes ejemplos se pretende analizar diferenciabilidad en un punto estudiando el comportamiento de la derivada a ambos lados del punto seleccionado
TEOREMA 1 Sea f una funcioacuten y
0 fx Disin si f es diferenciable en
0x entonces f es continua en
0x
(Espinoza 2002 456)
Ejemplo 7
Estudiar si la funcioacuten ( )f x x= es diferenciable en 0x =
Solucioacuten
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0(0 ) (0)
0 0(0 ) (0) lim lim lim lim 1
0 0(0 ) (0) lim lim lim lim 1
h h h h
h h h h
h hf h fh h h
Asiacuteh hf h f h
h h h hh hf h f h
h h h h
+ + + +
minus minus minus minus
rarr rarr rarr rarr
rarr rarr rarr rarr
+ minus+ minus= =
+ minus+ minus= = = =
+ minus+ minus minus= = = = minus
Seguacuten Spivak (1992 210) ldquoEstos dos liacutemites son llamados a veces derivada por la derecha y derivada por la izquierdardquo en nuestro caso son diferentes
0
(0 ) (0)lim
h
f h fhrarr
+ minus
No existe Por tanto (0)f no existe Graacuteficamente podemos ver la funcioacuten ( )f x x=
Fig 15
Graacutefico de la funcioacuten valor absoluto ( )f x x= Para estudiar la derivada en x=0
Ahora veamos la graacutefica de su derivada
Fig 16 Ejemplo 8
Analizar la derivada de la funcioacuten en el punto 0x = siendo 2 0( )
0x xf xx x
le= gt
Solucioacuten
2
0
0
0( ) (0) 1 0
( ) (0) lim 0
( ) (0) lim 1
h
h
h h hf h f hh h h
hAsiacute
f h fh
f h fh
+
minus
rarr
rarr
= ltminus =
= gt
minus=
minus=
Podemos concluir entonces que (0)f no existe f no es derivable en 0
Graacutefico de la derivada de la funcioacuten valor absoluto 1 0
( )1 0
xf x
xgt
= minus lt
Sin embargo la derivada existe para 0x ne calculeacutemosla
( )2 2 2( ) ( ) 2 2c h cf c h f c ch h c h
h h h+ minus+ minus +
= = = + Aplicando liacutemite
cuando 0h minusrarr tenemos ( ) 2f c c= de una forma similar calculamos
el liacutemite cuando 0h +rarr y obtenemos ( ) 1f c = Graacuteficamente podemos ver
Fig17
Fig 18
Graacutefico de la funcioacuten valor absoluto 2 0( )
0x xf xx x
le= gt
Para estudiar la
derivada en x=0
Graacutefico de la derivada de la funcioacuten 1 0
( )2 0
xf x
x xge
= lt
Purcell (2003) demuestra graacuteficamente cualquier punto donde la graacutefica de una funcioacuten continua tenga una esquina o un veacutertice la funcioacuten no es diferenciable Y esto lo podemos constatar de nuestros ejemplos anteriores Asiacute mismo este autor nos muestra una graacutefica donde se pueden apreciar algunas situaciones para que una funcioacuten no sea diferenciable en un punto
Fig 19
Fuente Tomado del libro de Purcell 2003 111
En esta graacutefica afirmamos que la derivada el c no existe por que
0
( ) ( )( ) lim
h
f c h f cf xhrarr
+ minus= = infin
Esto corresponde al hecho de que la pendiente vertical no estaacute definida El trabajo praacutectico dado a continuacioacuten pretender que el alumno se familiarice con las dos formas empleadas para definir la derivada Otra objetivo es el estudiar la diferenciabilidad de funciones en algunos puntos en particular
Graacutefico de posibles situaciones de funcioacuten diferenciable en un punto
Trabajo Praacutectico Nordm 3 Derivada7
Ejercicio 1
Utilice la definicioacuten de Derivada 0
( ) ( )( ) limh
f x h f xf xhrarr
+ minus= para
determinar la derivada en x de las siguientes funciones
a) ( ) 2 1f x x= + b) 2 1( )4
xg xxminus
=minus
c) 4 2( )h x x x= +
Ejercicio 2
Empleando la segunda forma para definir la derivada ( ) ( )
( ) limx c
f x f cf cx crarr
minus=
minus determine las derivadas de las siguientes
funciones
a) 3( ) xf xx+
= b) 3( ) 5f x x x= +
Ejercicio 3
A continuacioacuten te presento cuatro liacutemites los cuales corresponden a las derivadas de algunas funciones iquestPodriacuteas ayudarnos a determinar a queacute funciones se refieren
a) ( ) ( )3 3
0
2 5 2 5limh
hhrarr
+ minus
b) ( )2
0
3 2(3 ) 15limh
h hhrarr
+ + + minus
c) limx y
senx senyx yrarr
minusminus
d)
2 2
limx t
x tx trarr
minus
minus
7 Los ejercicios han sido tomados del texto de Calculo Diferencial de Purcell (2003 111-112) y Espinoza (2002 514 -515)
Ejercicio 4
Describa los valores x para los que f es derivable A B
Fig 20 Fig 21
Ejercicio 5
Determinar cuales de las funciones siguientes son derivables en los nuacutemeros dados por
0x
1 0
4( ) 42( 8) 4
x xf x xx x
le= =minus gt
2 2
2
2 0
( ) 2 2 0 2
4 2 2
x x
f x x x
x x x
+ lt
= minus le lt
minus + ge
0 0x = y 0 2x =
minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4
minus3
minus2
minus1
1
2
3
4
x
y
y=1(x+1)
minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
minus1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
abs(x^2-9)
Graacutefico de la funcioacuten 2( ) 9f x x= minus Graacutefico de la funcioacuten 1
( )1
f xx
=+
Ejercicio 6
Calcular los valores de y a b c para que la funcioacuten
2
4 2( ) sea continua en x=-2 y diferenciable en x=2
2
si xxf x
ax bx c si x
ge= + + lt
Ejercicio 7
Hallar los valores de a y b de manera que la funcioacuten 2 1
( ) 1 1
ax b si xf x
si xx
+ le= gt
sea derivable en todo su dominio
8 REGLAS DE DERIVACIOacuteN
Para Spivak (1992) el proceso de derivacioacuten es generalmente laborioso y que si no recordamos la definicioacuten de derivada estariacuteamos expuestos a no poder calcularla Sin embargo nos dice que existen algunos teoremas que nos permitiriacutea de una forma un tanto mecaacutenica derivar una clase de funciones muy amplia Asiacute veremos algunas reglas de derivacioacuten que Espinoza (2002) presenta ademaacutes de su demostracioacuten empleando la definicioacuten la notacioacuten de Leibniz8
1) La derivada de una constante es cero-
( ) 0dysi y f x Cdx
= = rArr =
Demostracioacuten
0 0
( ) ( )lim lim 0 0h h
dy f x h f x c c dydx h h dxrarr rarr
+ minus minus= = = there4 =
8 La notacioacuten
dydx
corresponde a Leibniz
2) La derivada de la funcioacuten identidad-
( ) 1dysi y f x xdx
= = rArr =
Demostracioacuten
0 0 0 0
( ) ( )lim lim lim lim 1 1 1h h h h
dy f x h f x x h x h dydx h h h dxrarr rarr rarr rarr
+ minus + minus= = = = = there4 =
3) La derivada de la funcioacuten potencia simple- 1( ) n ndysi y f x x nx
dxminus= = rArr =
Demostracioacuten
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 01 2 2 1
0
1 2 2 1 10
1
( ) ( )lim lim
lim
lim
n n
h hn n n n
h
n n n n nh
n
x h xd y f x h f x para ndx h h
x h x h x x h x xx h x
h
x h x h x x h x x n x
dy nxdx
+
rarr rarrminus minus minus minus
rarr
minus minus minus minus minus
rarr
minus
+ minus+ minus= = isin
+ + + + + + + = + minus
= + + + + + + + =
there4 =
4) La derivada del producto de una funcioacuten por un escalar-
( ) ( )dysi y kf x kf xdx
= rArr =
Demostracioacuten ( ) ( )( )
( )0 0
0
( )( )lim lim
( )lim ( ) ( )
h h
h
k f x h f xkf x h kf xdydx h h
f x h f x dyk kf x kf xh dx
rarr rarr
rarr
+ minus+ minus= =
+ minus= = there4 =
5) La derivada de la suma o diferencia de dos funciones-
( ) ( ) ( ) ( )dysi y f x g x f x g xdx
= plusmn rArr = plusmn
Demostracioacuten ( )( )
( ) ( )
( )( ) ( )( )
0
0
0
( )( )lim
( ( ) ( ))lim
( ) ( )lim
h
h
h
f g x h f g xdydx h
f x h g x h f x g xh
f x h f x g x h g xh
rarr
rarr
rarr
plusmn + minus plusmn=
+ plusmn + minus plusmn=
+ minus plusmn + minus=
( )( ) ( )( )0
( ) ( )lim
( ) ( ) ( ) ( )
h
f x h f x g x h g xh h
dyf x g x f x g xdx
rarr
+ minus + minus= plusmn
= + there4 = +
6) La derivada del producto de dos funciones-
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dysi y f x g x f x g x f x g xdx
= sdot rArr = +
Demostracioacuten
0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim limh h
d y f x h f x f x h g x h f x g xdx h hrarr rarr
+ minus + + minus= =
Ahora sumamos y restamos ( ) ( )f x h g x+ en el numerador
0
0
0 0
0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim
( )( ( ) ( )) ( ( ) ( ))lim ( )
( )( ( ) ( )) ( ( ) ( ))lim lim ( )
( ( ) (lim ( ) lim
h
h
h h
h h
d y f x h g x h f x h g x f x g x f x h g xdx h
f x h g x h g x f x h f xg xh h
f x h g x h g x f x h f xg xh h
g x h gf x h
rarr
rarr
rarr rarr
rarr rarr
+ + minus + minus + +=
+ + minus + minus = + + + minus + minus = +
+ minus= +
0 0
)) ( ( ) ( ))lim ( ) lim
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
h h
x f x h f xg xh h
f x g x g x f xdy f x g x g x f xdx
rarr rarr
+ minus + = +
there4 = +
7) La derivada del cociente de dos funciones-
[ ]2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0( ) ( )
f x d y f x g x f x g xsi y g xg x dx g x
minus= rArr = ne
Demostracioacuten
0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim limh h
d y f x h f x f x h g x h f x g xdx h hrarr rarr
+ minus + + minus= =
0
( ) ( ) ( ) ( )lim( ) ( )h
g x f x h f x g x hh gx g x hrarr
+ minus +=
+
Ahora sumando y restando ( ) ( )f x g x en el numerador se tiene
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim( ) ( )h
g x f x h f x g x f x g x h f x g xh gx g x hrarr
+ minus minus + +=
+
0
2
2
( )( ( ) ( )) ( )( ( ) ( ))
lim( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( 0) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( )
h
g x f x h f x f x g x h g xh h
g x g x hg x f x f x g x g x f x f x g x
g x g x g xdy g x f x f x g xdx g x
rarr
+ minus + +minus
=+
minus minus= =
+
minusthere4 =
Resumiendo
1) ( ) 0dysi y f x Cdx
= = rArr =
2) ( ) 1dysi y f x xdx
= = rArr =
3) 1( ) n ndysi y f x x nxdx
minus= = rArr =
4) ( ) ( )dysi y kf x kf xdx
= rArr =
5) ( ) ( ) ( ) ( )dysi y f x g x f x g xdx
= plusmn rArr = plusmn
6) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dysi y f x g x f x g x f x g xdx
= sdot rArr = +
7) [ ]2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0( ) ( )
f x d y f x g x f x g xsi y g xg x dx g x
minus= rArr = ne
El primer grupo de ejercicios de este trabajo intenta que el alumno fortalezca una habilidad para el caacutelculo de derivadas empleando reglas de derivacioacuten el apartado B es para recordar la aplicacioacuten de la recta tangente a una curva y el apartado C es para trabajar con problemas de aplicacioacuten a diversas aacutereas Trabajo Praacutectico Nordm 4 Reglas de Derivacioacuten9
A Encontrar la derivada de las siguientes funciones
1) ( ) 365f x =
2) 4 3 2( ) 4 3 7f x x x= minus +
3) 5 15
9 3( )f xx x
= minus
4) 3 4 6 31( ) 2 8 16
f x x x x x= minus + minus +
5) 3 2
4 32 7( ) x xf x
x x x+ +
=+ +
6) 2
22( )
4 1
x xf xxminus
=+
7) ( )( )( ) 5 1 2 1f x x x= minus +
8) 2 4 2( )
3x xf x
x+ +
=+
9 Ejercicios tomados de STTan (1998 528-529-530-543-544)
9) 13( ) 9f x x=
10) 3 24 3( ) x xf x
xminus +
=
11) 2 132 3( )f xx x
= minus
12) 2 3( ) 2f x x x= +
13) ( )32
1( ) 2 1 2f x x xx
= + + +
14) 2 1( ) xf x
x+
=
15) 3( )3 1
x xf xx+
=minus
16) 1 2
3 21 2( )1
xf xx
+=
+
17) ( )( )2( ) 1 2 3f x x x= + +
18) ( )( )21 1
( )2
x xf x
x
+ +=
minus
C Encuentre la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva graficada a
continuacioacuten en el punto indicado Punto ( 23)Q minus
Fig 22
Graacutefico de la funcioacuten 3
( )1
f xxminus
=+
D Resolver los siguientes problemas
1 Crecimiento de un tumor canceroso El volumen de un tumor canceroso esfeacuterico estaacute dado por la funcioacuten
34( )3
v r rπ= donde r es el radio del tumor en centiacutemetros
Indique la razoacuten de cambio en el volumen del tumor cuando
a) 23
r cm= b) 54
r cm=
2 Eficiencia de un obrero Un estudio de eficiencia realizado
por la compantildeiacutea de aparatos electroacutenicos Electra mostroacute que el nuacutemero de walkie-talkies ldquoComando espacialrdquo ensamblados por un obrero promedio t horas despueacutes del inicio de labores a las 8 am estaacute dado por 3 2( ) 6 15N t t t t= minus + + a) Encuentre la razoacuten con que el obrero promedio ensambla
los dispositivos t horas despueacutes de iniciar su trabajo b) iquestCon queacute razoacuten los estaraacute ensamblando a las 10 am y a
las 11 am c) iquestCuaacutentos ensamblaraacute entre las 10 y las 11 am
3 Crecimiento de poblaciones Un estudio preparado por la caacutemara de comercio de cierta comunidad ha proyectado que la poblacioacuten de dicha comunidad creceraacute durante los proacuteximos tres antildeos conforme a al regla 3 2( ) 50000 30 20P t t t= + + donde ( )P t denota la poblacioacuten dentro de t meses iquestCon queacute rapidez creceraacute la poblacioacuten dentro de nueve y 16 meses
4 Conservacioacuten de especies Una especie de tortuga estaacute en
peligro de extincioacuten debido a que ciertas personas recogen grandes cantidades de huevos para venderlos como afrodisiacuteacos Despueacutes de implantar severas medidas de conservacioacuten se espera que la poblacioacuten de tortugas crezca de acuerdo con la regla 3 2( ) 2 3 4 1000 0 10N t t t t t= + minus + le le donde ( )N t denota la poblacioacuten al final de antildeo t Encuentre la tasa de crecimiento de poblacioacuten de tortugas cuando 2t = y
8t = iquestCuaacutel seraacute la poblacioacuten diez antildeos despueacutes de la implantacioacuten de las medidas de conservacioacuten
Continuaremos trabajando las reglas de derivacioacuten y ahora estudiaremos las derivadas de las funciones trigonomeacutetricas sus inversas la funcioacuten logariacutetmica y exponencial tomando como referencia las demostraciones presentadas en Smith (2000) y a Piskunov (1973) incluimos tambieacuten algunos ejemplos de aplicacioacuten directa de las reglas de derivacioacuten 8) La derivada de la funcioacuten seno-
( ) cosdysi y f x senx xdx
= = rArr =
Demostracioacuten
0
0
0 0
0 0
( ) ( )lim
cosh cos lim
cosh cos = lim lim
(cosh 1) = lim cos lim
(0) cos (1)
cos
h
h
h h
h h
dy sen x h sen xdx h
senx senh x senxh
senx senx senh xh h
senhsenx xh h
senx xdy xdx
rarr
rarr
rarr rarr
rarr rarr
+ minus=
+ minus=
minus+
minus+
= +
there4 =
9) La derivada de la funcioacuten coseno-
( ) cos dysi y f x x senxdx
= = rArr = minus
La demostracioacuten de este teorema se deja como ejercicio
10) La derivada de la funcioacuten tangente-
2( ) tan secdysi y f x x xdx
= = rArr =
Demostracioacuten
Para ( ) tan senxf x xcosx
= = por regla de cociente se tiene que
( ) ( )2
(cos ) cos
cos
senx x senx xdydx x
minus=
( ) ( )2
cos (cos )
cos
x x senx senxdydx x
+=
2 2
2cos
cosdy x sen xdx x
+=
22
1 seccos
dy xdx x
= =
2secdy xdx
there4 =
Las demostraciones de las derivadas de las funciones trigonomeacutetricas restantes se dejan como ejercicio Resumiendo
8) cosdysi y senx xdx
= rArr =
9) cos dysi y x senxdx
= rArr = minus
10) 2tan secdysi y x xdx
= rArr =
11) 2cosdysi y ctgx ec xdx
= rArr = minus
12) sec sec tandysi y x x xdx
= rArr =
13) sec sec dysi y co x co x ctgxdx
= rArr = minus
Ejemplo 9
Calcular las derivadas de las siguientes funciones a) 2( ) 4 3tanf x x x= minus
b) ( ) senxf xx
=
Solucioacuten
a) trabajamos con la derivada de una diferencia de funciones
( ) 2
2
4 2 3sec
8 3sec
dy x xdxdy x xdx
= minus
= minus
b) Aplicando la derivada de un cociente tenemos ( )
( )2
2
( )
cos
senx x senx xdydx x
x x senxdydx x
minus=
minus=
14) La derivada de la funcioacuten logaritmo-
1( ) log log
a adysi y f x x edx x
= = rArr =
Demostracioacuten
Utilizando la definicioacuten de derivada tendremos
0
0
0
log ( ) log ( )lim
( )log = lim
( )log = lim
a ah
a
h
a
h
x h xdydx h
x hx
hx h
xh
rarr
rarr
rarr
+ minus=
+
+
( )
( )
( )
0
0
0
0
0 0
log (1 ) = lim
log 11 = limx1 = lim log 1x1 = log lim 1x1 = log base de los logaritmos neperianosx
at
at
tat
ta t
a
hhaciendo t cuando h tx
t
txt
t
t
t
e donde e
rarr
rarr
rarr
rarr
= rarr rArr rarr
+
+
+
+
=
ln 11 1 ( ) ln ln
si a e edyEn particular y f x x edx x x
= rArr =
= = rArr = =
1ln dysi y x
dx xthere4 = rArr =
15) La derivada de la funcioacuten logaritmo neperiano-
1( ) ln dysi y f x xdx x
= = rArr =
16) La derivada de la funcioacuten exponencial-
( ) logx xdysi y f x a a adx
= = rArr =
Demostracioacuten
Tomando logaritmos en la igualdad xy a= se tiene ln lny x a= derivando la igualdad obtenida y considerando y en funcioacuten de x tenemos
1 ln
ln lnx
y ay
y y a a a
=
= =
En particular si la base es a e= rarr ln 1e = y obtenemos
( ) x xdff x e edx
= rarr =
17) La derivada de la funcioacuten exponencial con base e-
( ) x xdfsi y f x e edx
= = rarr =
Ejemplo 10
Calcular la derivada de la siguiente funcioacuten
2( ) 3 ln xf x x x e= +
Solucioacuten
( )
( )
2 16 ln 3
6 ln 3
x
x
dy x x x edx x
dy x x x edx
= + +
there4 = + +
Resumiendo
14) 1( ) log loga a
dysi y f x x edx x
= = rArr =
15) 1ln dysi y xdx x
= rArr =
16) ( ) logx xdysi y f x a a adx
= = rArr =
17) ( ) x xdfsi f x e edx
= rArr =
Tomando como referencia a Piskunov (1973) estudiaremos ahora un segundo teorema el cual nos daraacute acceso a la demostracioacuten de la derivada de las funciones trigonomeacutetricas inversas Note ademaacutes que en algunos casos usaremos la notacioacuten y
Teorema 3
Demostracioacuten
Dando a y un incremento y∆ de la igualdad (2) deducimos ( ) ( )x y y yϕ ϕ∆ = + ∆ minus
Como ( )yϕ es una funcioacuten monoacutetona se tiene 0x∆ ne Escribamos la identidad
1yxxy
∆=∆∆∆
Por ser continua la funcioacuten ( )yϕ 0x∆ rarr cuando 0y∆ rarr
Si para la funcioacuten ( )y f x= hellip(1)
Existe una funcioacuten inversa ( )x yϕ= hellip(2)
Tal que en un punto y dado tenga una derivada ( )yϕ distinta de cero entonces la funcioacuten ( )y f x= tiene en el punto
correspondiente x una derivada ( )f x igual a 1( )yϕ
es decir
se verifica la foacutermula 1( )( )
f xyϕ
=
Asiacute pues la derivada de una de las funciones reciacuteprocamente inversas es igual a la inversa de la derivada de la otra funcioacuten para los correspondientes valores de x e y
(Piskunov 1973 92)
Tomando liacutemites cuando 0y∆ rarr en ambos miembros de la uacuteltima
identidad obtenemos 1xy
yx
=
Por lo tanto 1( )( )
f xyϕ
=
(Piskunov 1973 93)
18) La derivada de la funcioacuten arco seno-
2
1( )1
dysi y f x arcsenxdx x
= = rArr =minus
Demostracioacuten
Si y arcsenx= se tiene 2
1
1
dydx x
=minus
Seguacuten la igualdad (1) tenemos cosy
x y= y conforme a la regla
para derivar la funcioacuten inversa se tendraacute 1 1 cosxy
yx y
= =
Pero 2 2cos 1 1 y sen y x= minus = minus luego 2
11
yx
=minus
La raiacutez se toma con el signo positivo porque la funcioacuten
y arcsenx= se define en el intervalo 2 2
yπ πminus le le y por
consiguiente 0y ge (Piskunov 1973 95)
Ejemplo 11
Calcular la derivada de la siguiente funcioacuten
1( )2
xf x arcsen + =
Solucioacuten
( ) ( )
( )
2 2 2
22
1 1 1
1 2 111 12 22
1 2 2 12 2 1
2
dfdx x xx
x xx x
= = =+ minus ++ minus minus
= =minus minus +minus + +
19) La derivada de la funcioacuten arco coseno-
2
1( ) arccos1
dysi y f x xdx x
minus= = rArr =
minus
Demostracioacuten La demostracioacuten se deja como trabajo 20) La derivada de la funcioacuten arco tangente-
21( ) arc t
1dysi y f x gxdx x
= = rArr =+
Demostracioacuten
Si y arctgx= se tiene 21
1dydx x
=+
si consideramos que x tgy=
tenemos
21
cosyx
y=
Por tanto 21 cos xy
y yx
= =
Pero 22 2
1 1cossec 1
yy tg y
= =+
Y puesto que tgy x= tenemos en definitiva 21
1dydx x
=+
Ejemplo 12
Calcular la derivada de la siguiente funcioacuten ( )2( ) (1 )f x x arctg x= +
Solucioacuten
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
22
(1 ) (1 )
1 = 2 (1 )1
= 2 1
df x arctg x x arctg xdx
x arctg x xx
df x arctg xdx
= + + +
+ ++
there4 +
21) La derivada de la funcioacuten arco cotangente-
21( ) arc t
1dysi y f x co gxdx x
minus= = rArr =
+
La demostracioacuten se deja como trabajo asiacute como las demostraciones de las funciones inversas restantes
22) La derivada de la funcioacuten arco secante-
2
1( ) arcsec1
dysi y f x xdx x x
= = rArr =minus
23) La derivada de la funcioacuten arco cosecante-
2
1( ) arc sec1
dysi y f x co xdx x x
minus= = rArr =
minus
Resumiendo
18) 2
1( )1
dysi y f x arcsenxdx x
= = rArr =minus
19) 2
1( ) arccos1
dysi y f x xdx x
minus= = rArr =
minus
20) 2
1( ) arc t1
dysi y f x gxdx x
= = rArr =+
21) 2
1( ) arc t1
dysi y f x co gxdx x
minus= = rArr =
+
22) 2
1( ) arcsec1
dysi y f x xdx x x
= = rArr =minus
23) 2
1( ) arc sec1
dysi y f x co xdx x x
minus= = rArr =
minus
9 REGLA DE LA CADENA
Veamos a continuacioacuten como Smith (2000) presenta y demuestra el teorema de la regla de la cadena un teorema para el caacutelculo de derivadas su utilidad radica en el hecho de que nos permitiraacute derivar funciones compuestas las mismas que se encuentran presentes en la mayoriacutea de modelos matemaacuteticos
Teorema 3
El teorema es cierto incluso si Demostracioacuten
( ) 0g x = pero la demostracioacuten requiere ( ) 0g x ne Sea ( ) ( ( ))F x f g x= Entonces
Regla de la Cadena- Si g es derivable en x y f es derivable en ( )g x entonces
[ ( ( ))] ( ( )) ( )d f g x f g x g xdx
=
(Smith 2000 228)
0
0
0
0
[ ( ( ))] ( ) ( )( ) lim
( ( )) ( ( )) = lim
( ( )) ( ( )) ( ) ( ) = lim ( ) ( )
( ( )) ( ( )) = lim ( )
h
h
h
h
d f g x F x h F xF xdx h
f g x h f g xh
f g x h f g x g x h g xh g x h g x
f g x h f g xg x h
rarr
rarr
rarr
rarr
+ minus= =
+ minus
+ minus + minus+ minus
+ minus+ 0
( ) ( ) 0
( ) ( ) lim( )
( ( )) ( ( )) ( ) ( ) = lim lim ( ) ( )
= ( ( )) ( )
h
g x h g x h
g x h g xg x h
f g x h f g x g x h g xg x h g x h
f g x g x
rarr
+ rarr rarr
+ minusminus
+ minus + minus+ minus
Ahora presentamos la regla de la cadena en teacuterminos de la notacioacuten de Leibniz ldquoSi ( )y f u= y ( )u g x= entonces ( ( ))y f g x= la regla
de la cadena expresa que du dy dudx du dx
= rdquo Smith (2000 228)
Ejemplo 13
Calcular la derivada de la siguiente funcioacuten a) 3 3( ) ( 1)f x x x= + minus
b) 6( ) xf x eminus=
c) 2( ) cos 1f x x= +
Solucioacuten
a) Siendo 3 3( ) ( 1)f x x x= + minus podemos hacer el siguiente cambio 3 1u x x= + minus asiacute 3 3( ) ( 1)f u u y u x x= = + minus Luego la
derivada es
( )33
2 2
1( )
=3 (3 1)
df df dudx du dx
d x xd udu dx
u x
=
+ minus=
+
3 2
5 3 2
5 3 2
=3( 1)(3 1)
= 9 12 9 3 3
=3(3 4 3 1)
x x x
x x x xdf x x x xdx
+ minus +
+ minus + minus
there4 + minus + minus
b) si 6( ) xf x eminus= entonces 6xu minus
= luego
( )
6( ) =
u
df df dudx du dx
d xd edu dx
=
minus
6
1= 6
1 = -6
u
x
e
df edx
minus
minus
there4
c) Sea 2 1u x= + se tiene en la funcioacuten lo siguiente 2( ) cos 1f u u donde u v y v x= = = + luego la derivada seraacute
( ) ( ) ( )
( )
2
1 2
2 2 1 2
1 22 2
1cos
1 = ( ) (2 )2
1 = 1 ( 1) (2 )2
= - 1 1
df df du dvdx du dv dx
d xd vd udu dv dx
senu v x
sen x x x
df x x sen xdx
minus
minus
minus
=
+=
minus
minus + +
there4 + +
Los ejercicios propuestos en este trabajo tienen por finalidad que alumno conozca y aplique las reglas de derivacioacuten asiacute como trabajar reforzar su habilidad para factorizar expresiones algebraicas
Trabajo Praacutectico Nordm 5 Reglas de Derivacioacuten y Regla de la Cadena10
1 Encontrar la derivada de las siguientes funciones
1 ( )( )f x a x a x= + minus
2 1( )1
xf xx
+=
minus
3 3 2( ) 1f x x x= + +
4 ( )f x x x x= + + 5 ( ) 2 3cos3f x senx x= +
6 ( )cos
senxf xa x
=+
7 1( ) ln1
senxf xsenx
+= minus
8 ( ) ( )co s( )f x sen a x x a= + +
9 ( )2( ) f x x ctgx=
10 ( )23
( ) logf x x senx= minus
11 2( ) ln 1f x x x = + +
12 22( )
1xf x arctgx
= minus
13 ( ) arctgxf x e=
14 ( )
( )2
x xe ef x arctg
minusminus=
15 4( )3 5cos
senxf x arctgx
= +
16 2
2 21 2 2( ) ln 21 2 1
x x xf x arctgx x x
+ += + minus + minus
10 Ejercicios tomados de N Piskunov (1973 136-137)
17 2 2( ) (7 4) 49 56 7 9ln(7 4 49 56 7)f x x x x x x x= + + + minus + + + +
18 ( ) ( ) ( ) ( )2( ) 1 1 ln 1 1f x x x x x = + minus minus minus +
19 ( ) 2 5 6( ) 5 6 60 36 21 42
xf x x x x arcsen minus = minus minus minus +
20 ( )2( ) 2 sec 2 8 1 2f x xarc x x arcsen x= + minus
21 2( ) 6 3arccos 13xf x x x = minus minus + minus
22 3( ) (3 2 2cos 2 )xf x e sen x x= minus
23 ( ) ( ) 2( ) 5 3 sec 5 3 ln 5 3 9 30 24f x x arc x x x x = minus minus minus minus + minus +
10 FUNCIONES IMPLICITAS
El siguiente punto que vamos a estudiar corresponde a la derivacioacuten de funciones impliacutecitas Laacutezaro (2000) define una funcioacuten impliacutecita como
DEFINICIOacuteN 9
Asiacute podemos citar como ejemplos a) 2( ) 4f x y x y= minus b) 2 2( ) 2 6f x y x x xy y= minus minus +
El autor nos presenta dos meacutetodos para derivar una funcioacuten impliacutecita ambos meacutetodos seraacuten presentados a continuacioacuten
Funcioacuten Impliacutecita Si tenemos una ecuacioacuten de la forma ( ) 0f x y = con ( )y f x= en el cual la variable dependiente y no estaacute ldquodespejadardquo en teacuterminos de x entonces y se llama funcioacuten impliacutecita de x
(Laacutezaro 2000 53)
1er Meacutetodo
Aplicando en amos miembros de la ecuacioacuten ( ) 0f x y = el
operador ddx
(derivada con respecto a x ) y usando todas las reglas de
derivacioacuten para finalmente despejar y 2do Meacutetodo
Usando derivadas parciales en la foacutermula
fdy x
fdxy
partpart= minuspartpart
Donde
fxpartpart
es la ldquoDERIVADA PARCIAL DE f CON RESPECTO A x rdquo en
este caso consideramos soacutelo a x como variable y el resto de letras se consideran como constantes
fxpartpart
es la ldquoDERIVADA PARCIAL DE f CON RESPECTO A y rdquo en
este caso consideramos soacutelo a y como variable y el resto de letras se consideran como constantes
(Laacutezaro 2000 53)
Ahora apliquemos los dos meacutetodos revisados y reflexionemos acerca de las ventajas de emplearlos Ejemplo 14
En la ecuacioacuten
3 3 3 0x y axy+ minus = donde ( )y f x= hallar dy
dx
Solucioacuten
Empleando el primer meacutetodo
Derivando ambos miembros de la ecuacioacuten tenemos
( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 3
3 3
2 2
2 2
2
2
3 0
3 0
3 3 3 0
3 3 3 3 0
d dx y axydx dx
d d dx y axydx dx dx
dx dy dy dxx y a x ydx dx dx dx
dy dyx y ax aydx dx
dydespejando
dx
dy ay xdx y ax
+ minus =
+ minus =
+ minus + =
+ minus minus =
minus=
minus
Empleando el segundo meacutetodo
3 3
2 2
2
2
( ) 3
3 0 3 y 3 0 3
3x 3 =-
3
Como f x y x y axy obtenemos
f fx ay y axx y
fdy xluego
dfdxdy
ay
y ax
= + minus
part part= + minus = + minus
part part
partpart= minus
minus
minus
Ejemplo 15En la ecuacioacuten
23 23 23 ( ) tanx y a y f x a es cons te+ = =
hallar dydx
Solucioacuten
Empleando el primer meacutetodo
2 3 23 23
13 13
133
13
( ) ( )
20
3
d dx y adx dx
dyx ydx
dy x ydx xy
minus minus
minus
minus
+ =
+ =
= minus = minus
Empleando el segundo meacutetodo 2 3 23 23
13 13
13 13
13
313
( )
2 20 0
3 3
2 2 0 0
3 3
23Asiacute 23
De f x y x y a
obtenemos
f x xx
f y yy
xdy ydx xy
minus minus
minus minus
minus
minus
= + minus
part= + minus =
part
part= + minus =
part
= minus = minus
11 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
Laacutezaro (2000) nos muestra a partir de una notacioacuten la definicioacuten de las derivadas de orden superior
NOTACIOacuteN SE LEE
dy ydx
= La 1ordf derivada de y con respecto
a x
2
2
d dy d y ydx dx dx
= =
2 3
2 3
d d y d y ydx dx dx
= =
3 4(4)
3 4d d y d y ydx dx dx
= =
( 1)
( )( 1)
n nn
n nd d y d y ydx dx dx
minus
minus
= =
La 2ordf derivada de y con respecto
a x
La 3ordf derivada de y con respecto a x
La 4ordf derivada de y con respecto
a x
La n-eacutesima derivada de y con respecto a x
(Laacutezaro 2000 73)
Tabla Nordm 5
La intencioacuten de estos dos ejemplos es de ejercitar la capacidad del alumno para aplicar derivacioacuten sucesiva y simplificacioacuten algebraica Ejemplo 16
Si kxy eminus= Hallar ny Solucioacuten
( )
2 3
( )
etc hasta la n-eacutesima derivada
Luego 1
kx kx kx
nn n kx
y ke y k e y k e
y k e n
minus minus minus
minus +
= minus = = minus
= minus isin
Ejemplo 17
Hallar ( ) (0)nf si 1( ) ln
1f x
x=
minus
Solucioacuten
Pero
1
2 2
3 3
(4) 4 4
(5) 5
1( ) ln ln(1) ln(1 )
1
( ) ln(1 )
1( ) (1 )
1
( ) 1(1 ) ( 1) (1 )
( ) 2(1 ) ( 1) 2(1 )
( ) 2( 3)(1 ) ( 1) 23 (1 )
( ) 23( 4)(1 ) ( 1) 234(1 )
f x xx
f x x
derivando
f x xx
f x x x
f x x x
f x x x
f x x x
minus
minus minus
minus minus
minus minus
minus
= = minus minusminus
= minus minus
minus= minus = minus
minus
= minus minus minus = minus
= minus minus minus = minus
= minus minus minus = minus
= minus minus minus = minus 5
( )
( )
( ) ( 1)(1 )
(0) ( 1)
n n
n
f x n x
luego
f n
minus
minus= minus minus
= minus
12 REGLA DE LrsquoHOSPITAL PARA EL CAacuteLCULO DE LIacuteMITES
INDETERMINADOS DE LAS FORMAS 00
e infininfin
Teorema 4
Regla de LrsquoHospital- Supongamos que lim ( ) 0 lim ( ) 0
x a x af x g x
rarr rarr= and = y supongamos
tambieacuten que existe ( )lim( )x a
f xg xrarr
Entonces existe ( )lim( )x a
f xg xrarr
y
( ) ( )lim lim( ) ( )x a x a
f x f xg x g xrarr rarr
=
(Laacutezaro 2000 48)
Observaciones
La regla de LrsquoHospital se puede aplicar tambieacuten para las siguientes formas indeterminadas
i) ( )lim( )x a
f xg xrarr
infin=infin
ii) ( )lim( )x
f xg xrarrinfin
infin=infin
iii) lim ( ) 0 lim ( ) lim ( ) ( ) 0
( ) 0 ( ) 0 = lim lim1 10 0( ) ( )
x a x a x a
x a x a
f x g x entonces f x g x
f x g x
g x f x
rarr rarr rarr
rarr rarr
= and = infin = infin
= or =
iv) Si lim ( ) lim ( )
x a x af x g x
rarr rarr=infin and = infin ademaacutes
lim [ ( ) ( )]x a
f x g xrarr
minus = infin minusinfin entonces se hace la transformacioacuten
siguiente
( )lim [ ( ) ( )] lim ( )[1 ]
( )x a x a
g xf x g x f x
f xrarr rarrminus = minus pero si ( )
lim 1( )x a
g xf xrarr
=
entonces se hace
( )10( )lim
1 0( )
x a
g xf x
f xrarr
minus=
v) Los liacutemites indeterminados 0 01 0 infin infin se determinan buscando
previamente sus logaritmos y hallando el liacutemite del logaritmo de la expresioacuten [ ] ( )( ) g xf x
Los ejemplos resueltos a continuacioacuten intentan mostrar al alumno algunos casos en los que el liacutemite se puede calcular empleando regla de LrsquoHospital
Ejemplo 18
Calcular los siguientes liacutemites
a) 30
coslimx
x x senxxrarr
minus b) 0
limcot
2x
xxg
π
πrarr
c) 0
limx
tgx senxx senxrarr
minusminus
d) 0
lim 0xx
xrarr
=
e) ( )1
20
lim 1 xx
xrarr
+
Solucioacuten
a) 30
cos 0lim0x
x x senxxrarr
minus= entonces derivando numerador y
denominador tenemos
( )
( )( )( )
20 03
2 0 0 0
cos cos coslim lim3
cos 1lim lim lim3 33 3
x x
x x x
x x senx x xsenx xxx
senxxsenx xx x
rarr rarr
rarr rarr rarr
minus minus minus=
minusminus minus= = = = minus
b) 0
limcot
2x
xxg
π
πrarr
infin=infin
entonces
2
0
0 0 2
lim1 10 2cot lim lim
2 sec2 2 2 2
x
x x
xx xx g
x xtg
ππ π π π π
ππ π π π
rarr
rarr rarr
= = = = =infin
c) 0
0lim
0x
tgx senxx senxrarr
minus=
minus entonces
2
0
sec cos 0lim
1 cos 0x
x xxrarr
minus=
minus luego
2
0 0
2sec sec 2sec 0lim lim
0x x
x xtgx senx x tgx senxsenx senxrarr rarr
+ += =
derivando otra vez 2 4
0
2 2sec sec coslim 3
cosx
x tgx x x
xrarr
+ + =
d)
0lim 0xx
xrarr
=
Hagamos xy x=
Tomemos logaritmos ln lny x x= Ahora apliquemos liacutemites [ ] [ ]
0 0lim ln lim lnx x
y x xrarr rarr
=
Pero0
ln lim 0x
yrarr
= infin entonces expresemos la funcioacuten como
0
lnlim
1x
x
xrarr
infin=infin
por LrsquoHospital 0 0
2
1
lim lim 01x x
x x
xrarr rarr
= minus =minus
O sea
0 0 0 0ln lim 0 lim 1 lim 1 lim 1x
x x x xy y y x
rarr rarr rarr rarr
= rArr = rArr = rArr =
e) ( )1
20
lim 1 1xx
x infin
rarr+ =
Hacer ( )1
21 xy x= +
( )
( )
2
20 0
1ln ln 1
1lim ln lim ln 1x x
y xx
y xxrarr rarr
= +
= +
( )20
= 0
1Pero = lim ln 1
xx
xrarr
infin
+
2
0
21 = lim
1x
xx
rarr
+
( )0 0 0
0 =
1
lim ln 0 ln( lim ) 0 lim 1x x x
y luego y finalmente yrarr rarr rarr
= = =
El siguiente grupo de ejercicios pretende que el alumno afiance sus habilidades para el manejo de reglas de derivacioacuten ademaacutes mejore el manejo de expresiones algebraicas
Trabajo Praacutectico Nordm 6 Derivacioacuten Impliacutecita- Derivada de
Orden Superior11
Ejercicio 1
Halle las derivadas de las siguientes funciones impliacutecitas
1 1
ln( ) 0x xyy
minus minus =
2 3 2 35 3 ln 0x x y yminus minus =
3 ye xy e+ =
4 ln 0x x yyminus + =
5 2 35 2xy y y xy+ = + 6 ( ) 1xy sen xy+ =
11 Ejercicios tomados de N Piskunov (1973 136-137)
7 1 1x y xy+ = +
8 2 2cos( )xy y x= +
9 2 2cos( ) 3 4y xy x+ + =
10 2 3 23 5x yminus = Ejercicio 2
Encuentra la derivada del orden indicado en cada caso 1 3 22 5 1y x x x= minus + minus Hallar y
2 5 3y x= Hallar y
3 6y x= Hallar (6)y
4 ncy
x= Hallar y
5 2 2y a x= minus Hallar y
6 2y x= Hallar y
7 2
x xa aay e e
minus = +
Hallar y
Ejercicio 3
Empleando regla de la cadena derivar las siguientes funciones
1 2
23
3 1ln 1
3
xy x arctgxx
minus= + + +
2 2
221 2 2
ln 211 2
x x xy arctgxx x
+ += +
minusminus +
3 2
21
cos1
n
nxy arcx
minus=
+
4 23 5cos
senxy arctgx
=+
5 y arcsen senx=
6 2 2 2 xy x a x a arcsena
= minus +
13 MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCIOacuteN
Para determinar los maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten es necesario conocer algunas caracteriacutesticas de ella como por ejemplo cuando es creciente o decreciente Basaacutendonos en la bibliografiacutea de Laacutezaro Carrioacuten (2000 108) podemos observar las definiciones siguientes
DEFINICIOacuteN 10
DEFINICIOacuteN 11
131 CRITERIOS PARA EXTREMOS RELATIVOS
Laacutezaro (200 113-114) nos muestra los criterios de la primera y segunda derivada para encontrar los maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten
Una funcioacuten ( )f x es creciente sobre un intervalo I cuando se cumple que
1 2 1 2 1 2( ) ( ) si x x f x f x x x Ilt rArr lt forall isin
(Laacutezaro 2000 108)
Una funcioacuten ( )f x es decreciente sobre un intervalo I cuando se cumple que
1 2 1 2 1 2( ) ( ) si x x f x f x x x Ilt rArr gt forall isin
(Laacutezaro 2000 108)
1 CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA
Sea c un punto criacutetico de ( )f x donde ( ) 0f x = oacute ( )f c no existe Si existe una vecindad de ( ) c V c c cδ δ δ= minus + donde ( )f x es continua en ( )V cδ y derivable en ( )V cδ excepto tal vez en c 1 Si ( ) 0 ( ) 0 f x x c c f x x c cδ δgt forall isin minus and lt forall isin + ( )f crArr
es un maacuteximo relativo de f 2 Si ( ) 0 ( ) 0 f x x c c f x x c cδ δlt forall isin minus and gt forall isin + ( )f crArr
es un maacuteximo relativo de f
3 si ( ) 0 ( ) 0 f x x c c f x x c cδ δgt forall isin minus and gt forall isin + or
( ) 0 ( ) 0 f x x c c f x x c cδ δlt forall isin minus and lt forall isin + ( )f crArr
no es maacuteximo ni miacutenimo relativo de f
Veamos algunos ejemplos que son de aplicacioacuten del criterio dado Ejemplo 19
Sea la funcioacuten
( )
5 3
5
3 5 54 2( ) 2 4 2 2 5
5 5x
x x xf x x x
x e xminus
minus + + lt= minus minus + le lt
minus ge
Hallar los maacuteximos y miacutenimos de esta funcioacuten Solucioacuten
( )Dom f =real ( )f x real es continua en todo definiendo el valor absoluto en f tenemos lo siguiente
5 3
5
3 5 54 22( 4) 2 2 4
( )2( 4) 2 4 5
(5 ) 5x
x x xx x
f xx x
x e xminus
minus + + lt
minus + le lt= minus minus + le lt minus ge
ahora encontramos la derivada de
la funcioacuten ( )f x
2
5
15 ( 1)( 1) 22 2 4
( )2 4 5
( 6) 5x
x x x xx
f xx
x e xminus
minus minus + lt
le lt= minus le lt minus ge
Encontrando los puntos criacuteticos tenemos 0 112456minus Luego de evaluar algunos puntos en los intervalos generados con los puntos criacuteticos de la funcioacuten tenemos que
( 1) 52f minus = es miacutenimo relativo ( )f x (0) 54f = no es maacuteximo ni miacutenimo de ( )f x (1) 56f = es un maacuteximo relativo de ( )f x (2) 2f = minus es miacutenimo relativo ( )f x (4) 2f = es un maacuteximo relativo de ( )f x (5) 0f = no es maacuteximo ni miacutenimo de ( )f x
1(6)f
e= es miacutenimo relativo ( )f x
2 CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA Sea ( )f x una funcioacuten derivable en un entorno de c Si ( ) 0f c = and si ( )f c existe entonces 1) Si ( ) 0 ( ) es un maacuteximo relativo de f c f c flt rarr
2) Si ( ) 0 ( ) es un miacutenimo relativo de f c f c fgt rarr El siguiente ejemplo muestra la funcionalidad del criterio y se espera que el alumno reflexione acerca de las diferencias entre la aplicacioacuten de ambos
Ejemplo 20
Sea la funcioacuten ( ) 2cos cos 2 f x x x x= minus isinreal encontrar los maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten Solucioacuten
Derivando la funcioacuten se tiene
( ) 2 2 2 2 (1 2cos )f x senx sen x senx x= minus + = minus minus luego los puntos singulares (criacuteticos) son De ( ) 0f x = se tiene 2 (1 2cos ) 0senx xminus minus = resolviendo la
ecuacioacuten tenemos que 0 ( 1) 0ordmnsi senx x n nπ π= rarr = + minus = ademaacutes
( ) 11 2cos 0 arccos
2si x x minus = rarr =
52 2
3 3siendo x n x nπ π
π π= plusmn or = plusmn
Luego los puntos criacuteticos son 5 2 2
3 3n n nπ ππ π π + +
La segunda derivada es 2( ) 2 4cos cos 2f x x x= minus minus
Se cumplen a) ( ) 0f n fπ gt rarr tiene miacutenimos relativos en x nπ=
b) ( 2 ) 03
f n fππ+ lt rarr tiene maacuteximos relativos en 2
3x nπ
π= +
c) 5( 2 ) 0
3f n fπ
π+ lt rarr tiene maacuteximos relativos en 52
3x nπ
π= +
El trabajo de aplicaciones que se deja a continuacioacuten tiene la finalidad de aplicar los criterios para hallar maacuteximos y miacutenimos pero es necesario indicar sin restarle mayor importancia a lo anterior que es una bueno oportunidad para que el alumno ponga en praacutectica el trabajo de cambio de registros
Trabajo Praacutectico Nordm 7 Aplicaciones de las derivadas a los Maacuteximos y Miacutenimos de una funcioacuten
Costo Miacutenimo- Una plataforma petroliacutefera estaacute 2 Km mar adentro y la refineriacutea 4 Km costa abajo Si el costo del metro del oleoducto es doble en el mar que en la tierra firme iquestQueacute trayecto debe tener el oleoducto para minimizar el costo
Ejercicio 1
Beneficio Maacuteximo- El beneficio de cierta empresa es Ejercicio 2
21230 20
2P s s= + minus donde s es la cantidad (en cientos de doacutelares)
gastada en publicidad iquestQueacute valor de s hace maacuteximo el beneficio
Cierta empresa de material fotograacutefico oferta una maacutequina que es capaz de revelar y pasar a papel 155 fotografiacuteas por minuto Sin embargo sus cualidades se van deteriorando con el tiempo de forma que el nuacutemero de fotografiacuteas por minuto seraacute funcioacuten de la antiguumledad de la maacutequina de acuerdo a la siguiente expresioacuten (
Ejercicio 3
( )f x representa el nuacutemero de fotografiacuteas por minuto cuando la maacutequina tiene x antildeos)
155 11 0 5( ) 5 45
52
x x si xf x x si x
x
minus le le= +
gt +
a) Estudiar la continuidad de la funcioacuten ( )f x
b) Comprobar que el nuacutemero de fotografiacuteas por minuto decrece con la antiguumledad de la maacutequina Justificar que si tiene maacutes de 5 antildeos revelaraacute menos de 10 fotografiacuteas por minuto
c) Justificar que por muy vieja que sea la maacutequina no revelaraacute menos de 5 fotografiacuteas por minuto
Se ha construido una presa de almacenamiento de agua cuyos costes de mantenimiento diarios son una funcioacuten de la cantidad de agua que la misma tiene almacenada Tales costes (en doacutelares) vienen dados por la siguiente expresioacuten (
Ejercicio 4
( )C x representa el coste si el volumen de agua en millones de metros cuacutebicos es x )
3 2( ) 8 73C x x x x= + minus + a) encontrar el volumen diario de agua oacuteptimo que debe mantenerse para minimizar costes b) calcular el coste miacutenimo diario que supone el mantenimiento de la instalacioacuten Si un diacutea la presa tiene almacenados 3 millones de metros cuacutebicos de agua iquestcuaacutento se ha gastado de maacutes respecto del coste miacutenimo
Un taller artesanal estaacute especializado en la produccioacuten de cierto tipo de juguetes Los costos de fabricacioacuten
Ejercicio 5
( )C x en soles estaacuten relacionados con el nuacutemero de juguetes fabricados x a traveacutes de la siguiente expresioacuten 2( ) 10 2000 250000c x x x= + + El precio de venta de 8000 soles a) Plantear la funcioacuten de ingreso que obtiene el taller con la venta de
los juguetes producidos b) Plantear la funcioacuten de beneficio entendidos como diferencia entre
ingresos y costos de fabricacioacuten c) iquestCuaacutentos juguetes debe fabricar para maximizar beneficios iquestA
cuanto ascenderaacuten estos beneficios
Se ha investigado el tiempo (T en minutos) que se tarda en realizar cierta prueba de atletismo en funcioacuten del tiempo de entrenamiento de los deportistas (x en diacuteas) obtenieacutendose que
Ejercicio 6
3000 30
30( )1125
2 30( 5)( 15)
si xxT x
xx x
le le += + gt minus minus
a) Justificar que la funcioacuten T es continua en todo su dominio b) iquestSe puede afirmar que cuaacutento maacutes se entrene un deportista
menor seraacute el tiempo en realizar la prueba iquestAlguacuten deportista tardaraacute maacutes de 10 minutos en finalizar la prueba
c) Por mucho que se entrene un deportista iquestseraacute capaz de hacer la prueba en menos de 1 minuto iquestY en menos de 2
Un individuo ha invertido en acciones de cierta compantildeiacutea durante los uacuteltimos 10 antildeos El valor de su cartera a lo largo del tiempo (dinero invertido maacutes beneficios obtenidos en miles) viene dado por la siguiente expresioacuten (x en antildeos)
Ejercicio 7
2( ) ( 2) (1 2 ) 252 116 0 10f x x x x si x= minus minus + + le le a) Determinar los intervalos de tiempo en que la cartera crecioacute y
aquellos en que decrecioacute b) El individuo retira sus ingresos transcurridos 10 antildeos iquestCuaacutel hubiera
sido el mejor momento para haberlo hecho iquestCuaacutento pierde por no haberlo retirado en el momento oacuteptimo
El rendimiento (medido de 0 a 10) de cierto producto en funcioacuten del tiempo de uso (x en antildeos) viene dado por la siguiente expresioacuten
Ejercicio 8
2
3( ) 85 0
1
xf x xx
= + ge+
a) iquestHay intervalos de tiempo en los que el rendimiento crece iquestY en queacute decrece iquestCuaacuteles son
b) iquestEn queacute punto se alcanza el rendimiento maacuteximo iquestCuaacutento vale c) Por mucho que pase el tiempo iquestpuede llegar a ser el rendimiento
inferior al que el producto teniacutea cuando era nuevo
El peso que una plancha de cierto material es capaz de soportar depende de la edad de la misma seguacuten la siguiente funcioacuten (el peso P en toneladas t representa la edad en antildeos de la plancha)
Ejercicio 9
250 0 3( ) 20
56 31
t tP t t t
t
minus le le=
minus gt +
a) iquestEs el peso una funcioacuten continua con la edad Seguacuten vaya pasando el tiempo iquestla plancha cada vez aguantaraacute menos peso
b) Dicen que por mucho tiempo que transcurra la plancha siempre aguantaraacute maacutes de 40 toneladas iquestEstaacutes de acuerdo
c) Esboza un dibujo de la graacutefica de P (t) cuidando la concavidad y convexidad de la funcioacuten
El servicio de traumatologiacutea de un hospital va a implantar un nuevo sistema que pretende reducir a corto plazo las listas de espera Se preveacute que a partir de ahora la siguiente funcioacuten indicaraacute en cada momento (t en meses) el porcentaje de pacientes que podraacute ser operado sin necesidad de entrar en lista de espera
Ejercicio 10
2 8 50 0 10( ) 38 100
1004
t t si tp t t si t
t
minus + le le= minus
gt
a) iquestA partir de queacute momento creceraacute este porcentaje Por mucho tiempo que pase iquesta queacute porcentaje no se llegaraacute nunca
b) Haz un esbozo de la graacutefica de la funcioacuten P a lo largo del tiempo 24 LA INFORMAacuteTICA COMO RECURSO
La informaacutetica vista como recurso y no como fin contribuye en la ensentildeanza de la Matemaacutetica a una reconceptualizacioacuten de los planes y programas de estudio para pasar de un modelo masivo unidireccional centrado en el profesor a un modelo mas individualizado centrado en el estudiante
Esto facilita el desarrollo del pensamiento creador de los estudiantes ya que bull Las operaciones automaacuteticas los ayudan a realizar tareas
conceptuales maacutes importantes bull No tienen que ser necesariamente buenos algebraicamente para
dominar el pensamiento abstracto
bull Se le desarrollan gran cantidad de habilidades a traveacutes de la ejercitacioacuten
bull Se le facilita el trabajo independiente bull Pueden dar respuestas maacutes raacutepidas precisas y veraces a los
problemas de la especialidad que se le presenten en el transcurso de sus estudios
bull Tienen la posibilidad de dedicar maacutes tiempo a la modelacioacuten matemaacutetica y al anaacutelisis de la solucioacuten de los diversos problemas a resolver
El grupo experimental es de la Escuela de Ingenieriacutea Industrial y podemos decir que para ellos la computacioacuten no es una herramienta fundamental de trabajo para resolver problemas matemaacuteticos Aquiacute los estudiantes realizaraacuten acciones con la computadora que les reporten beneficios en ahorro de tiempo confiabilidad en los resultados matemaacuteticos ahorro de esfuerzo productividad etc En la competencia del siacutelabo se puede leer Interpreta formula y resuelve problemas de contexto real utilizando definiciones teacutecnicas y aplicaciones del caacutelculo Diferencial desarrollando comunicacioacuten investigacioacuten razonamiento y manifestando confianza flexibilidad y perseverancia De aquiacute se desprende la idea de utilizar programas en esta carrera especiacuteficamente ldquoDERIVErdquo Utilizando este paquete el estudiante puede resolver problemas de aplicacioacuten con mayor precisioacuten y rapidez obteniendo respuestas oacuteptimas y asiacute influir positivamente en la toma de decisiones Por esta razoacuten es necesario un replanteamiento en la ensentildeanza de la matemaacutetica donde lo primordial seraacute
1 Asimilacioacuten de conceptos y definiciones por parte de los estudiantes para aplicarlos a la modelacioacuten de problemas
2 Reduccioacuten sensible de los caacutelculos manuales en elementos del calculo diferencial lo que posibilita impartir mayor cantidad de conocimientos en menor tiempo
3 Elaboracioacuten de pruebas parciales y finales donde el estudiante modele problemas y luego los resuelva usando empleando DERIVE
Esto no significa de ninguna manera que el estudiante no tenga que resolver ejercicios donde aplique los conocimientos adquiridos sin
usar la computacioacuten Pues si lo haraacute y un grado de complejidad donde no sea necesario el uso de los medios de computo En la vida praacutectica el ingeniero se encuentra con situaciones problema inherente a su campo de accioacuten algunas de las cuales pueden ser modeladas con ayuda de un software matemaacutetico Dado un problema se debe 1 Analizarlo profundamente con la finalidad de recoger la mayor cantidad de informacioacuten posible 2 Hacer el planteamiento del problema en cuestioacuten teniendo en cuenta el punto 1 3 Modelarla usando un modelo que se ajuste a la situacioacuten 4 Solucionarla Para ello se puede usar
- Tablas matemaacuteticas - Calculadoras de mano - Computadoras
5 Interpretar los resultados 6 Tomar una decisioacuten Como se puede observar faacutecilmente los puntos del 1 al 6 con excepcioacuten del 4 responden al pensamiento creador y el 4 corresponde al uso del computador De todas formas esto no resta importancia al creciente uso de la computacioacuten en la matemaacutetica Ambos aspectos estaacuten muy vinculados La computacioacuten como herramienta ahorra el tiempo que el estudiante puede utilizar sin liacutemites para desarrollar el pensamiento creador En general se han realizado varias actividades con el uso del ldquoDeriverdquo que han fortalecido el proceso de ensentildeanza-aprendizaje en la especialidad entre las cuales se pueden mencionar 1 Clases praacutecticas en el laboratorio de la Escuela donde la
profesora guiacutea el proceso 2 Clases praacutecticas donde soacutelo se modela el problema y el
estudiante lo resuelve en tiempo extra con la ayuda de la maacutequina
3 Tareas donde el estudiante se ve precisado a utilizar la maacutequina para obtener respuestas raacutepidas y eficientes
4 Tareas sistemaacuteticas de problemas de cierta complejidad los cuales se les hariacutea muy difiacutecil resolverlos manualmente
5 Pruebas integradoras de Matemaacutetica y Computacioacuten donde la matemaacutetica ofrece el modelo para resolverla y la computacioacuten ofrece el paquete para encontrar una solucioacuten oacuteptima
6 Talleres donde la solucioacuten de los problemas es con ayuda de la computadora En estos talleres se puede observar que el estudiante tiene la necesidad de aplicar conceptos estudiados en clases para modelar e interpretar los problemas que se le presentan que en ocasiones son de caraacutecter integrador pues tienen que aplicar conceptos matemaacuteticos como Liacutemite Derivada entre otros para modelar uno soacutelo de ellos por lo tanto el uso del Derive en este caso fue esencial y muy provechoso
241 EL SOFTWARE EDUCATIVO EN EL PROCESO DE
ENSENtildeANZA APRENDIZAJE
El efecto del uso de software educativos en el proceso de ensentildeanza aprendizaje se manifiesta en un cambio de paradigma pedagoacutegico centrado en el aprendizaje maacutes que en la ensentildeanza donde el trabajo del docente prioriza la organizacioacuten y disposicioacuten de los contenidos de aprendizaje asiacute como la organizacioacuten del aprendizaje de los alumnos mediante tareas individuales y en grupo con un permanente seguimiento por parte del docente Es un modelo de formacioacuten centrado en problemas en el que los alumnos no son receptores pasivos de informacioacuten sino que deben resolver problemas utilizando para ello los contenidos adquiridos El uso del software educativo haraacute de la clase un lugar privilegiado de ensentildeanza ya que se convertiraacute en un conjunto muacuteltiple de entornos en aprendizajes en los que el alumnado pueda desarrollar y adquirir el conjunto de habilidades saberes y actitudes necesarias para vivir en sociedad Este hecho conlleva la necesidad de generar nuevos saberes pedagoacutegicos en relacioacuten con la planificacioacuten y el seguimiento del aprendizaje del alumnado en situaciones diversas
242 LA INTRODUCCION DE SOFTWARE DE
MATEMATICA EN LA EDUCACION MATEMATICA
Uno de los propoacutesitos de la educacioacuten matemaacutetica es formar al estudiante para que adquiera fluidez representacional
entendida esta como la representacioacuten verbal graacutefica geomeacutetrica tabular icoacutenica algebraica pictoacuterica mediante la que exprese conceptos y procedimientos matemaacuteticos El aprendizaje significativo se da traveacutes de la solucioacuten de situaciones problema donde el estudiante aprende cuando domina diferentes sistemas de representacioacuten Hoy en diacutea las nuevas tecnologiacuteas han cambiado profundamente el mundo de las matemaacuteticas y el de las ciencias ya que no soacutelo han afectado las preocupaciones propias de su campo y la perspectiva como eacuteste se ve sino tambieacuten el modo en que las ciencias y las matemaacuteticas se hacen se ensentildean y se transmiten Como sentildeala Zabalza (2003) ldquoLa incorporacioacuten de las nuevas tecnologiacuteas a la didaacutectica universitaria situacutea a los docentes ante el enorme desafioacute de las nuevas modalidades de ensentildeanzardquo Introducir la tecnologiacutea en el campo de la educacioacuten definitivamente aumenta las posibilidades de mejorar el rendimiento acadeacutemico en particular en la educacioacuten matemaacutetica se incrementa la manera de representar los conceptos matemaacuteticos pero es necesario considerar que ello podriacutea incrementar el riesgo de los problemas de comunicacioacuten pues los alumnos podriacutean estar expuestos a tomar la notacioacuten del software que emplean como notacioacuten algebraica formal a pesar que se les pida que consideraran que cada software tienen diferentes maneras de expresar los conceptos matemaacuteticos parece que ayudariacutea que las notaciones que usa la tecnologiacutea se fueran ajustando maacutes a las usadas en el aacutelgebra Esto es un riesgo que vale la pena tomar en cuenta al momento de hacer nuestras programaciones y que no debe hacernos desistir de emplear este recurso para lograr los objetivos propuestos El Derive es una potente herramienta computacional para el desarrollo del pensamiento variacional pensamiento que estaacute relacionado con los demaacutes pensamientos matemaacuteticos permite al estudiante concentrar esfuerzos en el razonar solucionar y formular problemas asiacute como en verificar teoremas y propiedades matemaacuteticas y geomeacutetricas
243 EL PROGRAMA CIENTIacuteFICO DERIVE
DERIVE es un programa de matemaacuteticas capaz de procesar variables expresiones ecuaciones funciones vectores y matrices Al igual que una calculadora cientiacutefica sirve para trabajar con nuacutemeros Puede realizar caacutelculos numeacutericos y simboacutelicos con aacutelgebra trigonometriacutea y anaacutelisis ademaacutes de representaciones graacuteficas en dos y tres dimensiones El aspecto maacutes sobresaliente de Derive es su trabajo simboacutelico unido a sus capacidades graacuteficas Es una herramienta excelente para hacer y aplicar matemaacuteticas y para aprender y ensentildear matemaacuteticas Esto lo convierte en un paquete matemaacutetico idoacuteneo para los primeros cursos de la carrera DERIVE es uno de esos programas de caacutelculo simboacutelico quizaacute el maacutes difundido y popular porque en su modalidad maacutes sencilla funcionaba en cualquier PC sin necesidad de que tuviera disco duro y ocupaba soacutelo un diskette Hoy Derive sigue siendo un pequentildeo programa que ocupa poco maacutes de 3 Mb y que sigue siendo muy accesible e intuitivo
244 CAPACIDADES DEL PROGRAMA DERIVE
Conocer las capacidades del programa nos serviraacute para pensar en sus aplicaciones docentes Cuanto mejor se conozca el programa incluyendo sus novedades tanto mejor se puede incorporar a diversos aspectos de la ensentildeanza Derive como una herramienta computacional permite bull La construccioacuten exploracioacuten manipulacioacuten directa y
dinaacutemica de objetos en pantalla que conducen en un nivel bajo a la elaboracioacuten de conjeturas en un nivel medio a la argumentacioacuten y un nivel superior a la realizacioacuten de demostraciones
bull Las representaciones cuantitativas geomeacutetricas tabulares algebraicas y graacuteficas en forma dinaacutemica es decir que al variar un elemento o argumento en la expresioacuten original se produce una variacioacuten de dependencia entre las variables posibilitando asiacute el anaacutelisis y la generalizacioacuten de conceptos
bull La representacioacuten graacutefica en dos y tres dimensiones dando la posibilidad de realizar transformaciones y de asociar figuras con objetos fiacutesicos para pasar a un nivel de conceptualizacioacuten maacutes elevado
bull Problematizar lo visual de tal forma que surja la necesidad de examinar conjeturar predecir y verificar es decir da al estudiante la posibilidad de pensar y de preguntar sobre el porque de determinados hechos llevaacutendolo a la exploracioacuten de otras situaciones
bull La correlacioacuten de lo geomeacutetrico con lo algebraico
En el plan de Estudios de las asignaturas de Loacutegico Matemaacutetica Matemaacutetica I y Matemaacutetica II de la Universidad Cesar Vallejo se desarrollan temas en los cuales el uso de derive seria de mucha ayuda desde este punto puedo mencionar que derive permite trabajar bull Operaciones con vectores matrices y determinantes bull Resolucioacuten de ecuaciones y de sistemas de ecuaciones bull Calculo de Liacutemites derivadas integrales (definidas e
indefinidas) series liacutemites polinomios de Taylor bull Representacioacuten graacutefica de funciones en forma expliacutecita
impliacutecita parameacutetrica y en coordenadas polares Asiacute como la representacioacuten de funciones de dos variable
bull Operaciones con polinomios y fracciones algebraicas y muchas otras
bull Ademaacutes es posible programar funciones que usen las distintas capacidades del programa de modo que aumenta asiacute sensiblemente el espectro de sus aplicaciones DERIVE se suministra con varios ficheros de funciones para propoacutesitos diversos como resolver ecuaciones diferenciales trabajar en Aacutelgebra Lineal etc
245 LABORATORIOS PARA EL APRENDIZAJE DEL
CALCULO DIFERENCIAL EMPLEANDO DERIVE
El contenido de las praacutecticas de laboratorio es ldquoautosuficienterdquo en el sentido que no son precisos conocimientos previos de informaacutetica por parte del alumno
CAPIacuteTULO III
METODOLOGIacuteA DE LA INVESTIGACIOacuteN
31 PARADIGMA DE INVESTIGACIOacuteN
El paradigma de esta investigacioacuten es de tipo positivista tambieacuten denominado (Arnal 1996) paradigma cuantitativo empiacuterico-analiacutetico racionalista Basado en la escuela filosoacutefica del positivismo (Arnal 1996) y que presenta Arnal (199641) citando a Koetting (1994 296) las siguientes caracteriacutesticas 1 Su intereacutes es explicar controlar y predecir 2 La naturaleza de su realidad es dada tangible fragmentada
convergente 3 La relacioacuten sujetoobjeto es independiente neutral libre de
valores 4 Su propoacutesito es la generalizacioacuten libre de contexto con
explicaciones centradas en deducciones y centradas sobre semejanzas
5 la explicacioacuten de la causalidad refiera a causas reales Arnal (1996 41) nos dice ldquoEste paradigma lleva asociado el peligro de reduccionismo al aplicarse al aacutembito educativo Si bien permite satisfacer ciertos criterios de rigor metodoloacutegico sacrifica el estudio de otras dimensiones sustantivas del hecho educativo como realidad humana sociocultural e incluso poliacutetica e ideoloacutegicardquo
32 TIPO DE INVESTIGACIOacuteN
Positivista ndash experimental 33 POBLACIOacuteN
Poblacioacuten Los alumnos de la asignatura de Matemaacutetica I de la Universidad Ceacutesar Vallejo durante el segundo semestre 2006 Son en total 46 alumnos Se tomaraacute en cuenta el promedio final al terminar cada ciclo Semestre 2006 ndash II
34 HIPOacuteTESIS ESTADIacuteSTICAS
0 M MH micro micro= (Hipoacutetesis Nula)
1 M MH micro microne (Hipoacutetesis de la investigacioacuten) Donde
Mmicro Nota promedio de los alumnos de la asignatura de Matemaacutetica I Seccioacuten A aula 412 del semestre 2006 II que emplearon el software DERIVE
Mmicro Nota promedio de los alumnos de la asignatura de Matemaacutetica I Seccioacuten B aula 413 del semestre 2006 II que no que emplearon el software DERIVE
35 VARIABLES
Variable Independiente Programa DERIVE Variable Dependiente Rendimiento acadeacutemico de los alumnos Variables Intervinientes Asistencia a clases horarios tipo de contenidos
36 DISENtildeO DE INVESTIGACIOacuteN
El presente trabajo de investigacioacuten se desarrollaraacute en los ambientes de la Universidad Cesar Vallejo en la Escuela de Ingenieriacutea Industrial y de Sistemas en la asignatura de Matemaacutetica I Ademaacutes se emplearaacute el laboratorio de coacutemputo 305 donde se ha instalado el software DERIVE
El disentildeo empleado es de tipo experimental Hernaacutendez Sampieri (2003 188) nos dice ldquoLa esencia de esta concepcioacuten de ldquoexperimentordquo es que requiere la manipulacioacuten intencional de una accioacuten para analizar sus posibles efectosrdquo Bajo esta idea se tiene la presencia de dos variables una independiente la cual consiste en el uso del software DERIVE como recurso didaacutectico para mejorar el rendimiento acadeacutemico de los alumnos de Ingenieriacutea de Sistemas y la otra llamada dependiente que en este caso es el rendimiento acadeacutemico El disentildeo implica ademaacutes la presencia de dos grupos de los cuales soacutelo uno seraacute expuesto a la presencia de la variable independiente a este grupo le llamaremos grupo experimental y estaraacute formado por los alumnos de la Escuela de Ingenieriacutea Industrial (aula 412) el otro recibiraacute el nombre de grupo de control y lo conformaraacute los alumnos de la Escuela de Ingenieriacutea Sistemas (Aula 413) Al finalizar el proceso de investigacioacuten se compararaacuten ambos para determinar si el grupo que ha sido expuesto a la variable independiente difiere del otro Basada en la tipologiacutea de Cambell y Stanley (1966) empleareacute la simbologiacutea de un disentildeo cuasiexperimental con una preprueba - posprueba y grupo de control siendo el esquema el siguiente
1 1 2
2 3 4
0 0
0 _ 0
G X
G
Para el caso de este trabajo el resultado de la preprueba consiste en el promedio de la primera unidad ya que la investigacioacuten se realizaraacute en la segunda unidad del curso de manera que las notas de la primera unidad seraacuten de importancia en el inicio de esta investigacioacuten
37 TEacuteCNICAS E INSTRUMENTOS DE RECOLECCIOacuteN DE
DATOS
En los estudios experimeacutentales la teacutecnica se encuentra limitada al procedimiento para desarrollar una actividad especiacutefica y los instrumentos son las herramientas que serviraacuten para manipular el objeto de estudio La teacutecnica consiste en el desarrollo de sesiones de laboratorio usando el software DERIVE las cuales se realizaraacuten dentro de la
jornada de clases debo indicar que las clases son una vez a la semana en bloque de 5 horas iniciaacutendose a las 730 am y finalizando a las 1200 am contando con un descanso de 20 minutos a las 1000 am Cada sesioacuten con el grupo experimental seraacute trabajado en el laboratorio de computo el cual esta totalmente equipado para realizar la clase y los alumnos contaran con una guiacutea de trabajo la misma que se les entregaraacute al empezar la clase en el laboratorio Todas las guiacuteas de trabajo se encuentran en el Anexo 3 En el caso del grupo de control no hay asistencia al laboratorio los alumnos trabajaraacuten siempre en el aula y la clase se desarrollara empleando la clase magistral y el trabajo en pareja o en grupo Para la recoleccioacuten de datos he empleado praacutecticas calificadas las cuales disentildeeacute basaacutendome en la taxonomiacutea de Bloom mencionada anteriormente en el Capiacutetulo II del fundamento teoacuterico y cuyas tablas de especificaciones se encuentran en el Anexo 5 aquiacute se pueden apreciar en detalle las habilidades cognitivas y los ejes temaacuteticos que se ha evaluado asiacute como el nuacutemero de preguntas por eje temaacutetico y habilidad que se intenta evaluar luego las practicas calificadas estaacuten se encuentran en el Anexo 6
38 TEacuteCNICAS DE PROCESAMIENTO DE DATOS
Para la seleccioacuten de la teacutecnica para la prueba de hipoacutetesis se utilizaraacute la ldquo t ndashstudentrdquo
( )1 21 22 2
1 2
2p p
x xt t n n
s sn n
minus= asymp + minus
+
Donde 1n es el tamantildeo de muestra de la primera poblacioacuten 2n es el tamantildeo de muestra de la segunda poblacioacuten
11
1
n
ii
xx
n==sum
Media muestral para la muestra nuacutemero 1
12
2
n
ii
xx
n==sum
Media muestral para la muestra nuacutemero 2
( ) ( )2 21 1 2 22
1 2
1 12p
n s n ss
n nminus + minus
=+ minus
Donde
La varianza muestral de la muestra 1 es ( )
12
12 11
1 1
n
ii
x xs
n=
minus
=minus
sum
La varianza muestral de la muestra 2 es ( )
22
22 12
2 1
n
ii
x xs
n=
minus
=minus
sum
39 PROCESO DE LA INVESTIGACIOacuteN
391 DIFICULTADES EN EL APRENDIZAJE DEL CAacuteLCULO DIFERENCIAL
Para este trabajo de investigacioacuten he tomado dos grupos uno corresponde a la Escuela de Ingenieriacutea Industrial al que llamareacute Grupo Experimental y el otro corresponde a la Escuela de Ingenieriacutea de Sistemas al que llamareacute Grupo de Control Es importante que mencione que aun cuando los dos grupos corresponden al segundo ciclo y esta asignatura sea igual para ambas escuelas sus planes de estudio no son los mismos Una dificultad que presentan los alumnos se encuentra en la base de los contenidos que traen consigo realizan algunos errores al emplear fundamentos algebraicos lo cual es necesario para el trabajo con funciones liacutemites y derivadas esto no me permite desarrollar los contenidos de acuerdo a las fechas que se programan en el siacutelabo y por lo general debe reprogramar mis clases o trabajar algunas horas aparte de las asignadas al menos en la primera parte del curso donde se trabaja mucho con funciones y sus graacuteficas
392 RENDIMIENTO ACADEacuteMICO
Respecto al rendimiento acadeacutemico considero necesario presentar en el Anexo 2 el registro de evaluaciones de la primera unidad donde se puede apreciar el rendimiento de los alumnos El grupo de Ingenieriacutea de Sistemas consta de los 32 alumnos de los cuales siete se han retirado del curso reservando su matriacutecula En el grupo de Ingenieriacutea Industrial consta de 19 alumnos de los cuales solo una alumna se retiro del curso Este antildeo es el primero para la escuela de Ingenieriacutea Industrial en la filial de Piura este grupo corresponde a la primera promocioacuten menciono esto porque es la primera vez que dicto el curso para alumnos de esta especialidad
393 PROPUESTA DIDAacuteCTICA
1 TEMA Caacutelculo Diferencial 2 TIEMPO 4 semanas 3 Nordm DE HORAS SEMANALES 5 horas 4 COMPETENCIA Interpreta formula analiza y resuelve problemas de
contexto real utilizando definiciones teacutecnicas y aplicaciones del Caacutelculo Diferencial desarrollando comunicacioacuten investigacioacuten razonamiento y manifestando confianza flexibilidad y perseverancia
5 CAPACIDADES bull Refuerza empleando DERIVE el tema de Razoacuten de
Cambio en una funcioacuten bull Utiliza el software para visualizar y estudiar a traveacutes
de un pequentildeo programa el problema de la Recta Tangente
bull Observa analiza e interpreta el comportamiento de las funciones y sus derivadas a traveacutes de graacuteficas elaboradas en DERIVE
bull Resuelve problemas de aplicacioacuten de la derivada (Maacuteximos y Miacutenimos) al estudio de problemas naturales econoacutemicos sociales y tecnoloacutegicos
bull Desarrollar la capacidad de anaacutelisis criacutetico de las informaciones recibidas
6 ACTITUDES
bull Valora la importancia de la precisioacuten en el trabajo de programacioacuten
bull Demuestra seguridad orden y claridad en su trabajo bull Manifiesta la importancia de la derivada para
explicar y analizar el comportamiento de un fenoacutemeno
7 METODOLOGIacuteA DE LAS SESIONES DE CLASE La metodologiacutea consiste en explicar el fundamento teoacuterico empleando diversos recursos como diapositivas pizarra ndash plumoacuten proyector multimedia y paralelamente trabajar el laboratorio Al planificar estas sesiones se tendraacute en cuenta la competencia y las capacidades que se espera desarrollar en los alumnos Se ha insistido en la necesidad de lograr que el alumno realice un aprendizaje significativo y desempentildee un rol activo para lo cual utilizaremos guiacuteas de trabajo para el tratamiento de los contenidos programados asiacute como hojas de Evaluacioacuten de Laboratorio
8 RECURSOS HUMANOS bull Profesora de Matemaacuteticas bull Grupo Experimental Alumnos del segundo ciclo
de la Escuela de Ingenieriacutea Industrial bull Grupo de Control Alumnos del segundo ciclo de
la Escuela de Ingenieriacutea de Sistemas 9 MATERIALES
bull Centro de Coacutemputo bull Guiacuteas de Trabajo bull Hojas de Evaluacioacuten
10 PLANES DE CLASE Elaborar un plan de clase se ha convertido en una tarea importante al momento de planificar nuestras asignaturas hemos recibido algunos cursos de capacitacioacuten con la finalidad de que todos los docentes podamos manejar este instrumento que nos ayude a organizar mejor nuestro tiempo y a dosificar los
contenidos de acuerdo al tiempo establecido para cada uno de ellos en la programacioacuten oficial Manejamos el formato que presento en el Anexo 4 y en cada clase llevamos uno en nuestra carpeta docente Para este trabajo de investigacioacuten se elaboraron 4 planes de clase los cuales se pueden apreciar en el Anexo 4 Consideramos importante al momento de planificar una sesioacuten de clase conocer los diferentes tipos de actividades a desarrollar los cuales son la parte medular de la clase y los procedimientos a utilizar en cada una de ellas En nuestros planes de clase consideramos las siguientes actividades bull Actividades Iniciales
Preparan el ambiente para el aprendizaje y estimulan el intereacutes por los nuevos contenidos y facilitan su relacioacuten con los conocimientos previos de los estudiantes Tienen como propoacutesito captar la atencioacuten de los alumnos hacia las principales ideas estudiadas Se utiliza como introduccioacuten donde se sentildealan los aspectos a estudiar para despertar el intereacutes de los alumnos por el tema y desarrollar una buena disposicioacuten por temas subsiguientes Tambieacuten puede incluir una evaluacioacuten previa o diagnoacutestica del conocimiento actual las actitudes y niveles de destreza de los alumnos En este mismo sentido se puede plantear una secuencia de experiencias de aprendizajes puede incluir diferentes tipos de actividades entre las cuales se encuentran las Actividades Introductorias o de Exploracioacuten Evidencian diagnoacutestico introduccioacuten o
descubrimiento Son orientadoras Despiertan el intereacutes y la motivacioacuten A continuacioacuten se ofrecen algunos ejemplos de actividades iniciales Hacer una encuesta de las actitudes de los alumnos hacia un tema determinado y colocar los resultados en el pizarroacuten
Mostrar una peliacutecula de corto metraje Pedir a los estudiantes que entrevisten a personas que laboran en una empresa acerca del tema estudiado y discutan sus hallazgos en clase Sostener una discusioacuten en clase que muestre la forma en que se relacionan las experiencias actuales de los alumnos con lo que va a ser estudiado
bull Actividades de Proceso
Dan secuencia a las estrategias y teacutecnicas de aprendizaje para lograr los objetivos propuestos Son las estrategias de aprendizaje y teacutecnicas que ayudan a los estudiantes a extender su pensamiento acerca de un problema o tema y practicar sus destrezas recieacuten aprendidas Estas son el corazoacuten de la Unidad y ocupan la mayor parte del tiempo y la energiacutea de los estudiantes Aquiacute podemos hablar de actividades de desarrollo anaacutelisis y estudio las cuales son actividades destinadas a desarrollar diferentes aspectos del contenido para el logro de los objetivos Incluyen actividades de estudio y ejercitacioacuten Dentro de eacutesta clasificacioacuten se encuentran tambieacuten las denominadas por Taba actividades de generalizacioacuten que incluyen actividades que permiten generalizar o reconstruir lo aprendido Ejemplos de actividades de Desarrollo Solicitar a los estudiantes elaboren mapas
tablas graacuteficas modelos o secuencias cronoloacutegicas
Asignar actividades de redaccioacuten de resentildeas de libros temas cartas o informes de investigacioacuten
Invitar a especialistas sobre el tema a dar una charla
Solicitar a los estudiantes que recaben su propia informacioacuten a traveacutes de entrevistas o cuestionarios
Utilizar peliacuteculas diapositivas transparencias u otros materiales visuales
Organizar grupos pequentildeos de trabajo para que los estudiantes compartan informacioacuten Mostrar a los estudiantes la forma de desarrollar habilidades especiacuteficas y proveer actividades para la praacutectica
bull Actividades Finales Agregan y relacionan las Unidades de Aprendizaje con otras experiencias educativas y aplicaciones a situaciones nuevas Estas actividades favorecen la integracioacuten con resuacutemenes que ayuden a los estudiantes a identificar las ideas maacutes importantes de la Unidad Una actividad de culminacioacuten tambieacuten podriacutea brindar la oportunidad para que los alumnos practiquen o utilicen de forma conjunta los conocimientos habilidades y actitudes desarrolladas en unidades anteriores Aquiacute podemos mencionar a las actividades de aplicacioacuten resumen o culminacioacuten que son aquellas que propician la aplicacioacuten de lo aprendido y sirven para medir o evaluar el nivel de logro Algunos ejemplos de actividades de culminacioacuten
son Planear una puesta en comuacuten para que los estudiantes resuman lo que han aprendido en la Unidad Estimular a los estudiantes a realizar un proyecto que deacute respuesta a problemas particulares de una empresa de su trabajo o de su comunidad Producir material audiovisual presentacioacuten de grabaciones transparencias o cintas de viacutedeo en clase
11 CRITERIOS DE EVALUACIOacuteN Los criterios de evaluacioacuten corresponden a la Taxonomiacutea de Bloom seguacuten la cual se evaluacutea de acuerdo a los criterios de conocimiento comprensioacuten
aplicacioacuten anaacutelisis siacutentesis y evaluacioacuten Asiacute en las evaluaciones presentadas en el Anexo 5 presentamos las tablas de especificaciones de acuerdo a esta taxonomiacutea y a los ejes temaacuteticos que se desarrollaron en cada sesioacuten de clase y en el Anexo 6 se muestran los instrumentos de evaluacioacuten donde se ha tenido el cuidado necesario en la redaccioacuten de cada iacutetem a fin de que logre medir las capacidades sentildealadas en los planes de clase y este de acuerdo a los criterios fijados en la tabla de especificaciones
12 METODOLOGIA DE CLASE
En cuanto a la metodologiacutea indicamos que se trabaja por bloques de cinco horas pedagoacutegicas con un descanso de 20 minutos Las clases se dictan una vez a la semana y se inicia en el turno de la mantildeana de 730am hasta las 1000am en que se da lugar al descanso de veinte minutos para retomar a las 1020am y terminar a las 1200 am Debido a la jornada de trabajo que se tiene es que el eacutexito de una sesioacuten de clases depende en parte de la habilidad del docente para programar su clase haciendo un buen uso del tiempo a fin de hacer de su clase una jornada de trabajo productivo con los alumnos Generalmente distribuyo mi tiempo entre exposicioacuten los contenidos y resolucioacuten de ejercicios en la pizarra tambieacuten invito a los alumnos a participar resolviendo algunos ejercicios y problemas para luego explicar lo que han trabajado a sus compantildeeros Otras de las estrategias empleadas es la solucioacuten de Trabajos Praacutectico en clase y de forma grupal despueacutes de ello siempre se presentan las soluciones a todo el grupo He dejado un trabajo encargados en la primera unidad que mas que ser un trabajo de investigacioacuten de alguacuten contenido matemaacutetico se refirioacute a la lectura de la novela ldquoCriacutemenes Imperceptiblesrdquo de Guillermo Martiacutenez Matemaacutetico y escritor argentino esta novela posee un contenido matemaacutetico y en su momento
sirvioacute para reconocer que en las matemaacuteticas no todo es solucioacuten de ejercicios y problemas Con el grupo experimental trabajeacute sesiones de laboratorio incluidas dentro de las horas de clase PRIMERA CLASE
Esta es la primera clase sobre Derivadas con el grupo de control aquiacute el desarrollo de la clase se hace siguiendo el meacutetodo de la clase magistral en la cual muestro a los alumnos el concepto de razoacuten de cambio con ayuda de diapositivas y graacuteficos elaborados en la pizarra es importante mencionar que toda la informacioacuten ellos la tienen presente en una separata disentildeada para esta clase y entregada para esa sesioacuten
Luego de la explicacioacuten en la cual los alumnos
intervienen con sus preguntas se procede a trabajar por parejas en la solucioacuten del primer trabajo praacutectico que aparece en la separata para esto se asigna a cada pareja formada un problema un tiempo de 15rsquo para resolverlo y entregarlo para su posterior correccioacuten en plenaria A continuacioacuten los alumnos exponen la solucioacuten de los 4 problemas en la pizarra
Luego empleando nuevamente el meacutetodo expositivo dando lugar a las preguntas de los alumnos y haciendo a la vez algunas interrogantes para comprobar su comprensioacuten presente los contenidos referidos a a) Razoacuten de cambio y el problema de la recta tangente a una curva b) Definicioacuten de derivada c) Presentacioacuten de graacuteficos de funciones y sus derivadas Resolvimos algunos ejercicios de los trabajos praacutecticos Nordm2 y Nordm3 en la pizarra y los demaacutes quedaron para trabajar en casa La solucioacuten de dichos ejercicios seria expuesta en la siguiente clase de forma voluntaria
Para la sesioacuten con el grupo experimental la clase se desarrollo con un inicio similar a la clase del grupo
de control mostrando las diapositivas y trabajando con ellos trabajando con ellos sobre la ideas de Razoacuten de cambio Recta tangente a una curva caacutelculo de la derivada de una funcioacuten empleando la definiciones De los Trabajos Praacutecticos Nordm1 Nordm2 y Nordm3 resolviacute en la pizarra algunos ejercicios quedando los otros como trabajo para la siguiente clase Para la sesioacuten de laboratorio prepare una guiacutea de trabajo la cual estaacute dividida en dos temas los cuales se denominan bull Razoacuten de cambio y problema de la recta tangente bull Caacutelculo y grafica de la derivada de una funcioacuten Esta guiacutea de trabajo usa el programa DERIVE y pretende reforzar los conocimientos adquiridos en las clases acerca de los temas de razoacuten de cambio recta secante y tangente a una curva ademaacutes del caacutelculo de la derivada empleando la definicioacuten y el uso de los comandos Lim (liacutemite) y DIF (derivada) propios de DERIVE Considero importante comentar que el uso de programa permitioacute a los alumnos recordar la teoriacutea de graacutefico de funciones estudiada en la primera unidad la cual les sirvioacute de base para comprender el comportamiento de las graacuteficas de las funciones y sus derivadas ademaacutes se dieron indicaciones sobre el uso de sentencias loacutegica como IF ndash THEN para elaborar pequentildeos programas usando DERIVE pues una de las tareas era elaborar un pequentildeo programa que les permitiera ingresar una funcioacuten y un intervalo y que de como resultado la grafica de todas las rectas secantes en un intervalo establecido hasta llegar a la tangente en un punto extremo del intervalo o en cualquier punto del mismo SEGUNDA CLASE
Con el grupo de control el meacutetodo empleado es deductivo las estrategias para el desarrollo de la clase se combinaron entre la exposicioacuten y participacioacuten activa de los alumnos para tratar de deducir algunos conceptos o ideas y luego a traveacutes de la solucioacuten de
ejercicios reforzar los conocimientos Los ejercicios se trabajan en parejas Se presentoacute las primeras reglas de derivacioacuten y luego se resolvieron ejercicios de caacutelculo de derivadas empleando las reglas Ademaacutes de calcular derivadas de orden superior Se continuoacute con el anaacutelisis de las derivadas de algunas funciones sencillas por la facilidad para realizar sus graacuteficas A los alumnos se les dejoacute como tarea la solucioacuten de los trabajos praacutecticos Nordm 4 Con respecto al grupo experimental se presentaron los mismos contenidos y en la parte del laboratorio sirvioacute baacutesicamente para trabajar el anaacutelisis graacutefico de funciones y adelantando un poco gracias el manejo del programa calculamos no solo la primera sino tambieacuten las segundas terceras entre otras derivadas de algunas funciones El trabajar con las graacuteficas de la primera y segunda derivada permitioacute a los alumnos ir teniendo ideas sobre la relacioacuten entre la derivada de una funcioacuten y su graacutefica lo cual seraacute el tema de la siguiente sesioacuten Asiacute mismo recordamos conceptos estudiados en la primera parte del curso como son el de funcioacuten creciente y decreciente ademaacutes de relacionar los signos de la derivada para comprobar que una funcioacuten sea o no creciente TERCERA CLASE
Esta clase tanto para el grupo de control como para el grupo experimental es la misma no incluye el desarrollo de un laboratorio para el grupo experimental y la razoacuten es porque en esta sesioacuten se concluye con la presentacioacuten de todas las reglas de derivacioacuten se trabajaron los temas de derivadas de funciones trigonomeacutetricas sus inversas exponenciales y logariacutetmicas Ademaacutes regla de cadena funciones impliacutecitas derivadas de orden superior
Esta clase tiene la mayor parte del tiempo destinada a la praacutectica en clase pues los ejercicios que
se plantean tienen como finalidad que el alumno aprenda a distinguir las reglas de derivacioacuten y sobre todo reconozca cuando emplearlas
CUARTA CLASE
Con ambos grupos se trabajaron los temas de Regla de LrsquoHospital y aplicaciones de las Derivadas el caacutelculo de Maacuteximos y Miacutenimos de una funcioacuten en el caso del grupo de control se invierte el tiempo en resolver ejercicios y problemas de forma individual grupal y en presentar la solucioacuten de los problemas en la pizarra
Con el grupo experimental si hubo laboratorio aquiacute se presentan problemas diversos de aplicacioacuten para encontrar maacuteximos y miacutenimos de funciones que quizaacutes manualmente seriacutea laboriosos derivar pero con ayuda de programa podemos hacerlo de forma inmediata dando asiacute el tiempo necesario para trabajar la interpretacioacuten de resultados y el anaacutelisis e maacuteximos y miacutenimos
En cuanto a la evaluacioacuten debo indicar que durante el tiempo que duro la experiencia se aplicaron 3 praacutecticas calificadas y un examen parcial Entonces los alumnos presentan en esta segunda unidad tres notas de praacutectica maacutes la calificacioacuten del examen parcial
13 LA EVALUACION
Al finalizar las praacutecticas con DERIVE se realizoacute un examen para evaluar los conocimientos adquiridos por los estudiantes Estos exaacutemenes fueron tres y contando con el examen parcial se pudo obtener el promedio de la segunda unidad en la asignatura
Para la realizacioacuten de los exaacutemenes y con la finalidad de que no haya diferencia en las evaluaciones se aplico el mismo examen ademaacutes fueron aplicados en un horario fuera de las horas de clase y a los dos grupos por igual y al mismo tiempo
Las praacutecticas calificadas se elaboraron de acuerdo a la tabla de especificaciones y la taxonomiacutea de Bloom La prueba tiene una duracioacuten de dos horas
El construir la tabla de especificaciones me sirvioacute para un mayor orden al momento de elaborar el banco de reactivos que evalueacute en cada uno de los temas seguacuten la importancia y el tiempo que se le dedicaron en clase
Para desarrollar esta tabla fue necesario tener en
cuenta
a) La lista de temas desarrollados b) La lista de capacidades especificas que marco cada
tema c) Una revisioacuten previa de todo el contenido Tomeacute en cuenta los niveles taxonoacutemicos de Bloom 1 Conocimiento 2 Comprensioacuten 3 Aplicacioacuten 4 Anaacutelisis - Siacutentesis ndash Evaluacioacuten
Con respecto al porcentaje este fue asignado seguacuten la importancia de los contenidos Las tablas de especificaciones para las tres praacutecticas calificadas asiacute como algunas notas sobre la taxonomiacutea de Bloom se encuentran en Anexo 5
CAPIacuteTULO IV
ANAacuteLISIS E INTERPRETACIOacuteN DE RESULTADOS
41 ANAacuteLISIS ESTADIacuteSTICO
421 RESULTADOS DEL RENDIMIENTO ACADEacuteMICO DE LOS GRUPOS EXPERIMENTAL Y DE CONTROL
El grupo Experimental inicio el semestre acadeacutemico con 19 alumnos El nuacutemero de alumnos es muy pequentildeo y me atrevo a suponer se deba al hecho de ser una especialidad nueva en la Universidad esto en comparacioacuten a la especialidad de Ingenieriacutea de Sistemas de tiene mayor tiempo Del grupo de Control que inicio el semestre con 19 alumnos el alumno 6 se retiro en la segunda unidad por problemas de salud El nuacutemero de alumnos registrados en el grupo de Control es de 32 De los 32 alumnos registrados se retiraron 7 cinco de ellos se retiraron desde la primera unidad y los otros dos en la segunda unidad Las razones del retiro de la asignatura de estos alumnos fueron de caraacutecter econoacutemico y en otros por motivos familiares y de salud
Observemos las calificaciones del promedio de la segunda unidad en ambos grupos
CALIFICACIONES DE LA SEGUNDA UNIDAD
GRUPO EXPERIMENTAL
Tabla 6
R E G I S T R O D E A S I S T E N C I A Y E V A L U A C I Oacute N
Semestre 2006 II Seccioacuten A Escuela Ingenieriacutea Industrial Aula 412
Asignatura Matemaacutetica I
Profesora Lic Diana Quintana S
E v a l u a c i o n e s 2ordm U n i d a d
Prom Ex Prom NF NP Observaciones
Nordm Apellidos y Nombres
Prac
tica
Nordm 1
Prac
tica
Nordm 2
Prac
tica
Nordm 3
Fina
l
2 Sust 2
1 Alumno 1 11 8 9 9 92 2 Alumno 2 18 17 18 20 186 3 Alumno 3 19 18 18 20 19 4 Alumno 4 13 13 12 14 132 5 Alumno 5 15 17 15 15 154 6 Alumno 6 0 0 0 0 0 Retirado 7 Alumno 7 14 9 12 12 118 8 Alumno 8 14 13 13 14 136 9 Alumno 9 12 13 10 13 122
10 Alumno 10 14 11 15 13 132 11 Alumno 11 16 18 15 15 158 12 Alumno 12 10 14 11 11 114 13 Alumno 13 8 7 7 7 72 14 Alumno 14 16 14 12 14 14 15 Alumno 15 13 12 12 14 13 16 Alumno 16 11 10 10 12 11 17 Alumno 17 11 12 11 9 104 18 Alumno 18 9 8 7 11 92 19 Alumno 19 18 13 8 17 146 20
CALIFICACIONES DE LA SEGUNDA UNIDAD
R E G I S T R O D E A S I S T E N C I A Y E V A L U A C I Oacute N
GRUPO DE CONTROL
Semestre 2006 II Seccioacuten B Escuela Ingenieriacutea de Sistemas Aula 413
Asignatura Matemaacutetica I Profesora Lic Diana Quintana S
E v a l u a c i o n e s 2ordm U n i d a d Prom Ex Prom NF NP Observaciones
Nordm Apellidos y Nombres
Prac
tica
Nordm1
Prac
tica
Nordm2
Prac
tica
Nordm3
Fina
l
2 Sust 2
1 Alumno 1 Retirado 2 Alumno 2 5 8 10 11 9 3 Alumno 3 14 6 5 10 9 4 Alumno 4 14 12 13 12 126 5 Alumno 5 0 11 5 13 84 6 Alumno 6 14 18 18 16 164 7 Alumno 7 14 15 12 13 134 8 Alumno 8 0 10 6 11 76 9 Alumno 9 0 10 6 12 8
10 Alumno 10 Retirada 11 Alumno 11 14 10 6 12 108 12 Alumno 12 14 8 6 11 10 13 Alumno 13 11 11 10 7 92 14 Alumno 14 13 10 6 10 98 15 Alumno 15 14 7 6 12 102 16 Alumno 16 12 11 13 8 104 17 Alumno 17 14 12 7 12 114 18 Alumno 18 18 18 20 18 184 19 Alumno 19 Retirada 20 Alumno 20 14 10 12 11 116 21 Alumno 21 14 10 6 11 104 22 Alumno 22 14 13 12 13 13 23 Alumno 23 Retirado 24 Alumno 24 8 20 11 11 122 25 Alumno 25 Retirado 26 Alumno 26 14 16 7 11 118
Tabla 7
Despueacutes de finalizada la investigacioacuten el grupo experimental resulto con el mayor nuacutemero de
alumnos aprobados lo cual me permite conjeturar que hipoacutetesis de la investigacioacuten si se ha logrado Pero se necesitan pruebas concretas por lo cual he empleado el software STATGRAPHICS para procesar los resultados obtenidos y de esta manera tener una mayor certeza de mis suposiciones
42 ANAacuteLISIS INFERENCIAL
421 COMPARACIOacuteN DE MEDIAS
Una medida estadiacutestica de tendencia central se utiliza para indicar un valor que tiende a tipificar o a ser el maacutes representativo de un conjunto de nuacutemeros La media es una medida de tendencia central y se define como
DEFINICIOacuteN
27 Alumno 27 14 20 5 12 126 28 Alumno 28 13 0 7 11 84 30 Alumno 29 Retirado 31 Alumno 30 14 15 9 12 124 32 Alumno 31 Retirado 33 Alumno 32 14 12 12 11 12 34
Media Aritmeacutetica La media aritmeacutetica es a veces denominada simplemente media es la suma de los valores observados de la variable dividido por el nuacutemero de observaciones
(Coacuterdova 1995 31)
Dados n valores 1 2 nx x x de la variable cuantitativa X observados en una muestra su media aritmeacutetica se calcula
utilizando la expresioacuten
n
ii
xx
n=sum
422 TABLAS DE FRECUENCIA DEL PRE TEST Y POST TEST
Presento los resultados de las pruebas Pre Test y Post Test para el grupo Experimental
RESULTADOS PRE TEST Y POST TEST
GRUPO EXPERIMENTAL
Tabla 8
Del total de 19 alumnos inscritos los cuales representan el 100 hubieron 12 desaprobados que en porcentaje representan el 632 Eacuteste porcentaje es mayor que en el otro grupo lo cual me hace decidir por este grupo de alumnos para que sea el grupo experimental Los resultados de las pruebas Pre Test y Post Test para el grupo de control son
RESULTADOS PRE TEST Y POST TEST
GRUPO DE CONTROL
Nordm Apellidos y Nombres Pre Test Post Test 1 Alumno 1 98 92 2 Alumno 2 14 186 3 Alumno 3 136 19 4 Alumno 4 102 132 5 Alumno 5 132 154 6 Alumno 6 54 RETIRADA 7 Alumno 7 10 118 8 Alumno 8 88 136 9 Alumno 9 84 122 10 Alumno 10 124 132 11 Alumno 11 13 158 12 Alumno 12 92 114 13 Alumno 13 62 72 14 Alumno 14 116 14 15 Alumno 15 102 13 16 Alumno 16 88 11 17 Alumno 17 08 104 18 Alumno 18 82 92 19 Alumno 19 114 146 Nordm Apellidos y Nombres Pre Test Post Test 1 Alumno 1 RETIRADO 2 Alumno 2 9 9 3 Alumno 3 88 9
Tabla 9
Del total de 27
alumnos inscritos los cuales representan el 100 hubieron 16 desaprobados que en porcentaje representan el 593
4 Alumno 4 136 126 5 Alumno 5 96 84 6 Alumno 6 146 164 7 Alumno 7 138 134 8 Alumno 8 74 76 9 Alumno 9 86 8 10 Alumno 10 RETIRADO 11 Alumno 11 87 108 12 Alumno 12 86 10 13 Alumno 13 86 92 14 Alumno 14 84 98 15 Alumno 15 84 102 16 Alumno 16 82 104 17 Alumno 17 11 114 18 Alumno 18 174 184 19 Alumno 19 RETIRADO 20 Alumno 20 86 116 21 Alumno 21 7 104 22 Alumno 22 122 13 23 Alumno 23 80 RETIRADO 24 Alumno 24 108 122 25 Alumno 25 8 RETIRADO 26 Alumno 26 11 118 27 Alumno 27 138 126 28 Alumno 28 8 84 29 Alumno 29 RETIRADO 30 Alumno 30 108 124 31 Alumno 31 RETIRADO 32 Alumno 32 108 12
423 RESULTADOS DEL PRE TEST ndash POST TEST CONSIDERANDO LA COMPARACIOacuteN DE MEDIAS Y LA PRUEBA t- STUDENT
Recordemos que en nuestra investigacioacuten manejamos dos hipoacutetesis estadiacutesticas las cuales son
HIPOacuteTESIS ESTADIacuteSTICAS
0 M MH micro micro= (Hipoacutetesis Nula)
1 M MH micro microne (Hipoacutetesis de la investigacioacuten o Hipoacutetesis Alternativa)
Donde
Mmicro Nota promedio de los alumnos de la asignatura de Matemaacutetica I Seccioacuten A aula 412 del semestre 2006 II que emplearon el software DERIVE
Mmicro Nota promedio de los alumnos de la asignatura de
Matemaacutetica I Seccioacuten B aula 413 del semestre 2006 II que no que emplearon el software DERIVE
Los resultados del Pre Test son las notas obtenidas en la primera unidad durante las primeras 7 semanas de clase siendo octava semana donde se realizan las evaluaciones parciales Para obtener la nota de la primera unidad los alumnos deben presentar tres praacutecticas calificadas y un examen parcial de estas notas se obtiene un promedio ponderado donde el examen parcial tiene peso 2 y las praacutecticas calificadas tienen peso 1 En cuanto a los resultados del Post Test estos son los promedios de la segunda unidad que corresponden a las siete siguientes semanas pues en la octava semana de esta segunda Unidad se aplican los exaacutemenes finales luego el promedio de ambas notas daraacute la nota del curso En ambos grupos los resultados de Pre Test se obtuvieron aplicando las mismas estrategias ya que hasta ese momento no se habiacutea iniciado la parte aplicativa de la investigacioacuten
Las evaluaciones fueron disentildeadas considerando la taxonomia de Bloom Asiacute encontraremos en ellas preguntas de conocimiento comprensioacuten aplicacioacuten anaacutelisis siacutentesis y evaluacioacuten Las praacutecticas calificadas se encuentran en los anexos A continuacioacuten presento los resultados Pre Test y Post Test tanto del grupo experimental como del grupo de control indicando que ambos grupos fueron sometidos a las mismas practicas calificadas en el mismo horario el cual estuvo programado fuera de las horas de clase semanales
RESULTADOS DE PRUEBAS PRE TEST EN LOS GRUPOS
EXPERIMENTAL Y DE CONTROL
RESUMEN ESTADIacuteSTICO
EXPERIMENTAL CONTROL ---------------------------------------------------------------------- Frecuencia 18 25 Media 107333 10156 Varianza 409412 69284 Desviacioacuten tiacutepica 202339 263219 Coef de variacioacuten 188515 259175 ----------------------------------------------------------------------
Suponiendo varianzas iguales t = 0778652 P-Valor = 0440656
Tabla 10
En el cuadro Nordm 1 se puede observar que la nota promedio en el grupo de Experimental en la evaluacioacuten Pre- Test fue de 107333 y para el grupo de Control la evaluacioacuten Pre-Test fue de 10156 lo cual indica que no existe una gran diferencia entre las notas de ambos grupos Despueacutes de aplicar la prueba ldquotrdquo Student se encontroacute que el valor experimental fue de 0778652 un valor de p=0440656 lo cual indica que no existe mayor diferencia entre las medias del rendimiento de ambos grupos
RESULTADOS DE PRUEBAS POST TEST EN LOS GRUPOS
EXPERIMENTAL Y DE CONTROL
RESUMEN ESTADIacuteSTICO
EXPERIMENTAL CONTROL ---------------------------------------------------------------------- Frecuencia 18 25 Media 129333 1116 Varianza 957647 637 Desviacioacuten tiacutepica 309459 252389 Coef de variacioacuten 239272 226155 ----------------------------------------------------------------------
Suponiendo varianzas iguales t = 206743 P-Valor = 00450448
Tabla 11 En el cuadro Nordm 2 se puede observar que la nota promedio en el grupo de Experimental en la evaluacioacuten Post- Test fue de 129333 y para el grupo de Control la evaluacioacuten Post-Test
fue de 1116 lo cual indica que existe diferencia entre las notas de ambos grupos Despueacutes de aplicar la prueba ldquotrdquo Student se encontroacute que el valor experimental fue de 206743 un valor de p=00450448 y puesto que el p-valor calculado es inferior a 005 podemos rechazar la hipoacutetesis nula a favor de la hipoacutetesis alternativa
424 ACEPTACIOacuteN O RECHAZO DE LA HIPOacuteTESIS
NULA Y ALTERNATIVA
Observados los resultados de la evaluacioacuten y su proceso a traveacutes del software STATGRAPHICS se resuelve rechazar la hipoacutetesis nula a favor de la hipoacutetesis alternativa
43 DISCUCIOacuteN DE LOS RESULTADOS
Con respecto a la discusioacuten de los resultados quisiera empezar indicando Esta investigacioacuten se ha centrado en la parte del Calculo Diferencial y cuando la empezamos partimos de una primera preocupacioacuten la cual era que los alumnos muchas veces no comprenden totalmente la definicioacuten de derivada En ella se mencionan varios objetos matemaacuteticos como funcioacuten razoacuten de cambio instantaacutenea liacutemite entre otros que estaacuten impliacutecitos o que van saliendo a la luz cuando se recurre por ejemplo a la interpretacioacuten geomeacutetrica como es el caso de graacutefica de funciones y el de pendiente de recta Ademaacutes se observar que los alumnos auacuten tienen cierta inseguridad para manejar estos objetos pesar de que han sido trabajados en temas preliminares al caacutelculo diferencial las dudas con frecuencia son acerca de coacutemo interpretarlos o si son uacutetiles para alguna tarea en especiacutefico Asiacute que un primer trabajo es recordar los conceptos preliminares mencionados y un recurso para tal fin fue el examen parcial que rindieron una semana antes a la ejecucioacuten de esta investigacioacuten En la praacutectica docente siempre me habiacutea sucedido que al momento de dar la definicioacuten de derivada y ayudaacutendome de algunos grafico ilustrativos quedaban dudas en algunos estudiante de manera que penseacute que trabajando con Derive podriacutea
solucionar este problema pues podiacutea graficar todo tipo de funciones y aunque solo necesitaba conocer instrucciones sobre el programa luego graficar no seriacutea un gran problema por el contrario comenzaron a graficar diferentes tipos de funciones con lo que conseguiacute ahorra el tiempo que demandariacutea graficar manualmente e invertirlo en analizar el comportamiento de grafico de las misma Los alumnos aclararon dudas de manteniacutea de los temas anteriores como por ejemplo el comportamiento de las graficas cuando estaacuten cerca de sus asiacutentotas contrastaron los dominios verdaderos con los que ellos en alguacuten momento habiacutean supuesto entre otras conjeturas Con ayuda de DERIVE pude lograr que visualizaran por ejemplo la razoacuten de cambio en un intervalo y la razoacuten de cambio instantaacutenea las relacionaran y diferenciaran Logrado lo anterior se sigue con la interpretacioacuten geomeacutetrica de la derivada y que se asocia con el problemas de la recta tangente DERIVE facilita no solo la parte graacutefica sino tambieacuten algebraica por cuanto en algunos casos haya que hacer alguna redefinicioacuten de la funcioacuten y sabiendo que se puede determinar una razoacuten de cambio en cada punto de la curva faacutecilmente se puede entender que esa razoacuten de cambio sea la pendiente de la recta tangente a cualquier punto de la curva de modo que ahora es posible hallar la ecuacioacuten de una recta que sea tangente en cualquier punto de la curva A modo de una aplicacioacuten se comprueba para otras funciones y resolver problemas en otros contextos ajenos a geomeacutetrico DERIVE con su comando DIF permite encontrar la derivada de cualquier orden de una funcioacuten esto no se oculto a los alumnos pero se indico que era preferible que ellos supieran la reglas de derivacioacuten y las aplicaran correctamente Considero que al poder visualizar la graacutefica de la derivada de una funcioacuten los alumnos comprendieron mejor lo que en teoriacutea se dice acerca de que la derivada de una funcioacuten es otra funcioacuten hicieron comparacioacuten de las graacuteficas de funciones y graacuteficas de sus primeras y segundas derivadas Otro logro obtenido se refiere a la parte conceptual de las aplicaciones de la derivada hallar maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de funciones saber en queacute intervalos en creciente decreciente o constante Sin derive solo analizaacutebamos funciones
sencillas pues teniacuteamos que graficar esto tomaba tiempo asiacute que lograacutebamos unos 3 ejemplos a lo maacutes Con DERIVE ahorraacutebamos el tiempo que demanda graficar y derivar y lo invertiacuteamos en analizar la funcioacuten pues con soacutelo ver la graacutefica sabiacuteamos si ella tiene maacuteximos yo miacutenimos punto de inflexioacuten y determinar cuaacutendo es creciente decreciente o constante pero con la ventana algebraica podiacuteamos derivar y determinar con exactitud donde se encontraban dichos puntos Finalmente mencionado la teoriacutea de registros se les hizo maacutes faacutecil la tarea de pasar de un registro semioacutetico a otro pues teniacutean herramientas para ello y creo que eso contribuyoacute a conceptualizar mejor los contenidos ya que como plantea en su teoriacutea Raymond Duval si no conoce al menos dos formas distintas de expresar o representar un contenido matemaacutetico formas a las que eacutel llama ldquoRegistro de Representacionesrdquo y ldquoRegistros Semioacuteticosrdquo no parece posible aprender y comprender dicho contenido Como ejemplo indico que al ser la derivada en un punto un valor numeacuterico se deja de lado que es tambieacuten una funcioacuten entonces se confunde un objeto matemaacutetico que en este caso es la funcioacuten derivada con una de sus representaciones que viene a ser en esta caso el nuacutemero esta confusioacuten entre un objeto y su representacioacuten en un plazo maacutes o menos amplia provocaba una peacuterdida de la comprensioacuten A esto es necesario antildeadir el hecho de que la pluralidad de sistemas semioacuteticos permite una diversificacioacuten tal de las representaciones de un mismo objeto que aumenta las capacidades cognitivas de los sujetos y por tanto sus representaciones mentales De las clases de laboratorio especiacuteficamente de los diaacutelogos que sostuvimos durante las clases pude comprobar que en ellos trasladar un registros no es algo espontaacuteneamente Y que el pensamiento de un alumno puede movilizar un solo registro de representacioacuten a la vez En este caso hemos manejado en la parte conceptual y la parte practica tres tipos de registros el graacutefico algebraico y la lengua natural
CONCLUSIONES
1 De acuerdo a los resultados obtenidos a traveacutes de las praacutecticas
calificadas administradas suponiendo medias iguales empleando la t- estudent se determina que el programa DERIVE es eficiente en el proceso de ensentildeanza- aprendizaje del Caacutelculo Diferencial
2 De las referencias bibliograacuteficas revisadas en el presente trabajo
en relacioacuten a la definicioacuten de Derivada (N Piskunov 1973 68 Spivak 1967 201 Purcell 2003 107) se concluye en una definicioacuten a mi consideracioacuten maacutes didaacutectica para los alumnos que abarca todos los aportes de cada una de las definiciones leiacutedas y el uso de una notacioacuten maacutes manejable
3 Se logro disentildear y presentar una propuesta metodoloacutegica compuesta por un moacutedulo de trabajo guiacuteas y actividades de laboratorio que fueron aplicadas al grupo experimental y que permitieron mejorar las calificaciones de los alumnos
4 El uso del DERIVE como recurso en las clases de Caacutelculo
Diferencial permitioacute motivar en los alumnos el desarrollo de capacidades como las de observar discernir analizar e interpretar
5 El alumno tiene la disposicioacuten de aprender soacutelo aquello que le
encuentra sentido o loacutegica Por ello el autentico aprendizaje es el aprendizaje significativo Cualquier otro seriacutea puramente mecaacutenico coyuntural o memoriacutestico Ademaacutes este trabajo significativo puede ser estimulado con las tecnologiacuteas de informacioacuten y comunicacioacuten tales como el programa DERIVE
6 Es importante sentildealar que la clase magistral sigue siendo
importante y por tanto nada puede reemplazar al profesor pero el uso de alguacuten recurso tecnoloacutegico tal como el que se propone complementariacutea esta labor ya que se le pueden presentar al alumno situaciones (didaacutecticas) no puramente algebraicas sino tambieacuten intuitivas graacuteficas numeacutericas por lo cual lo aprendido se vea fortalecido
7 el utilizar simultaacuteneamente diferentes representaciones favorece
el establecimiento de conexiones entre ellas siendo estas conexiones las que marcan las diferentes etapas del aprendizaje de los estudiantes Aquiacute es donde el programa DERIVE juega un papel importante debido a su potencia visual que ayuda a la formacioacuten y transformacioacuten de intuiciones y a la creacioacuten de imaacutegenes del concepto y debido tambieacuten a la facilidad para realizar caacutelculos eximiendo al estudiante de esta tediosa labor De esta forma el estudiante puede concentrarse en la exploracioacuten y discusioacuten de los conceptos Los errores cometidos por los estudiantes sirven para acrecentar su aprendizaje y completar asiacute sus imaacutegenes del concepto
RECOMENDACIONES
1
Desde el punto de vista institucional la creacioacuten de una red de investigacioacuten y desarrollo es de fundamental importancia pues mejora la comunicacioacuten la sinergia la discusioacuten y aumenta la cantidad de profesores que pueden provocar el cambio de ensentildeanza lo cual implica un mayor impacto del Proyecto en la Universidad Se sigue la tendencia universal de no realizar investigaciones en grupos reducidos y aislados sino de compartir experiencias aumentar la masa criacutetica de investigadores y aprender de la sinergia creada
2 Desde el punto de vista metodoloacutegico se propone pasar de la forma claacutesica de la ensentildeanza de la matemaacutetica con tiza y pizarra a una forma efectiva dinaacutemica y multimedial de adquirir los conceptos matemaacuteticos baacutesicos Se incorporan procesos de
caacutelculo y de representacioacuten graacutefica maacutes veloces y maacutes precisos que la operatoria personal Se libera al docente y al alumno de tareas no auteacutenticas para hacer hincapieacute en la reflexioacuten y buacutesqueda de otros procedimientos de resolucioacuten de problemas Se busca aplicar un procedimiento que provea un resultado aventajado en calidad y eficiencia que el que puede proveer el profesor con soacutelo tiza y pizarra La metodologiacutea propuesta permite acercarse maacutes a la realidad de los conceptos baacutesicos matemaacuteticos abstractos por su naturaleza a traveacutes de la visualizacioacuten interactiva y la experimentacioacuten con diferentes objetos matemaacuteticos datos con caracteriacutesticas determinadas
3 De acuerdo al os puntos anteriores desde el punto de vista del
aprendizaje se logra a) Una mejor aprehensioacuten de conceptos para su aplicacioacuten en la
resolucioacuten de problemas utilizando Sistemas Exploratorios de Aprendizaje
b) Una mejor aprehensioacuten de los conceptos por medio de los sistemas graacuteficos provistos por los Sistemas de Computacioacuten Algebraica (visualizacioacuten objetivacioacuten interactividad del software numeacuterico y simboacutelico)
c) En los alumnos la promocioacuten de la actitud y aptitud para conjeturar y desarrollar el sentido criacutetico y la reflexioacuten
d) El reconocimiento experimentacioacuten y aplicacioacuten de modelos matemaacuteticos
e) El experimentar conjeturar y descubrir propiedades sobre objetos matemaacuteticos mediante problemas asegura el intereacutes y compromiso del alumno
Las actividades que se realizaron en el laboratorio se presentan en el Anexo son tres y corresponden a los temas de 1 Definicioacuten de Derivada Razoacuten de Cambio y Problema de
la recta tangente 2 Anaacutelisis graacutefico de funciones y sus derivadas
3 Criterio de la primera y segunda derivada para hallar
maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten asiacute como los puntos de inflexioacuten
4 Resolucioacuten de Problemas de Maacuteximos y Miacutenimos
La finalidad de trabajar el tema de Derivadas es que los alumnos manipulen la definicioacuten que emplee el programa para experimentar usando diferentes funciones la variacioacuten de la razoacuten de cambio en intervalos de diferente amplitud La ayuda que brinda el programa es que grafica cualquier funcioacuten y realiza los caacutelculos de forma inmediata de esta manera los alumnos pueden analizar el comportamiento de las funciones y concentrar mayor atencioacuten en la variaciones de las razones de cambio a lo largo de toda la curva Es necesario resaltar que dado que el programa esta disentildeado para realizar graficas los alumnos dispondraacuten de mayor tiempo para hacer el anaacutelisis del comportamiento de la funcioacuten estudiando su variacioacuten sus maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten asiacute mismo conociendo la interpretacioacuten que reciben estos contenidos matemaacuteticos en los diferentes campos de aplicacioacuten Los laboratorios se pueden encontrar en el anexo de este trabajo
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ANEXO 1
SILABO DE LA ASIGNATURA
UNIVERSIDAD CEacuteSAR VALLEJO ndash PIURA
FACULTAD DE INGENIERIacuteA ESCUELA DE INGENIERIacuteA DE SISTEMAS Y
ESCUELA DE INGENIERIacuteA INDUSTRIAL
SIacuteLABO DE MATEMATICA I
1 DATOS GENERALES Coacutedigo del curso HT 32 Aacuterea curricular Formacioacuten Baacutesica Ciclo II Semestre Acadeacutemico 2006-II Duracioacuten 16 Semanas Pre-Requisito Loacutegico Matemaacutetica Creacuteditos 5 Horas Semanales 05 (03 de Teoriacutea 02 de Praacutectica) Docente Lic Diana J Quintana de Mejiacutea Correo electroacutenico dianaquintanaucvedupe
dianaquintana2hotmailcom
2 FUNDAMENTACIOacuteN El Desarrollo de esta asignatura pretende potenciar en el estudiante capacidades propias del aacuterea de Matemaacutetica como el razonamiento y demostracioacuten la interpretacioacuten de graacuteficos y expresiones simboacutelicas y la resolucioacuten de problemas Asiacute como presentar los medios necesarios para la adquisicioacuten de ciertas destrezas como anaacutelisis interpretacioacuten y aplicacioacuten de fundamentos teoacutericos Finalmente el logro de los objetivos de esta asignatura se veraacute reflejado y podraacute ser evaluado en la eficiencia que demuestren los alumnos al resolver situaciones reales
3 COMPETENCIAS
31 Representa y modela a traveacutes de foacutermulas algebraicas las funciones elementales aplicadas a situaciones de la vida cotidiana fenoacutemenos fiacutesicos quiacutemicos econoacutemicos y tecnoloacutegicos reconociendo la relacioacuten entre el lenguaje graacutefico y el numeacuterico para una mejor comprensioacuten de la realidad
32 Resuelve problemas aplicando concepto de liacutemite y continuidad para el estudio de fenoacutemenos naturales presentados en diversos problemas demostrando precisioacuten en los resultados
33 Interpreta formula y resuelve problemas de contexto real utilizando definiciones teacutecnicas y aplicaciones del caacutelculo Diferencial desarrollando comunicacioacuten investigacioacuten
razonamiento y manifestando confianza flexibilidad y perseverancia
4 PROGRAMACIOacuteN ACADEacuteMICA
41 PRIMERA UNIDAD FUNCIONES Y LIMITES
CAPACIDADES
1 Comprende el concepto de funcioacuten reconoce las clases de funciones
2 Grafica adecuadamente funciones reconociendo sus caracteriacutesticas como parte de la resolucioacuten de problemas de aplicacioacuten
3 Emplea procedimientos analiacuteticos y experimentales para generar modelos que expresen situaciones reales interpretando finalmente sus graficas
4 Entiende intuitivamente la nocioacuten de liacutemites 5 Calcula liacutemites laterales finitos e infinitos
ACTITUDES 1 Demuestra precisioacuten orden y claridad en el tratamiento de
datos 2 Valora la importancia de las funciones en el anaacutelisis de
situaciones reales 3 Reconoce la importancia del concepto de liacutemite en el anaacutelisis
de hechos naturales fiacutesicos econoacutemicos y tecnoloacutegicos
COMPORTAMIENTOS OBSERVABLES 1 Desarrolla su trabajo de manera clara y ordenada demostrando
precisioacuten en sus respuestas 2 Realiza comentarios sobre la importancia de las funciones en la
comprensioacuten y anaacutelisis de hechos naturales econoacutemicos fiacutesicos tecnoloacutegicos etc
3 Manifiesta verbalmente la importancia del concepto de liacutemite para una mejor comprensioacuten de la realidad
NIVELES MIacuteNIMOS DE LOGROS 1 Al menos conoce y emplea tres tipos de funciones importantes en La solucioacuten de problemas
2 Dada una situacioacuten real explica si esta puede ser modelada por Una funcioacuten 3 Resuelve al menos tres liacutemites de mediana complejidad
CONTENIDOS
SEMANA CONTENIDOS FECHA
01
bull Funciones definicioacuten dominio y rango bull Clases de Funciones
Polinoacutemicas Racionales bull Lectura
httpaulaelmundoesaulalaminasnumeropdf
bull Trabajo Individual bull Lectura ldquoLos criacutemenes Imperceptiblesrdquo
Guillermo Martiacutenez
Del 4 al 8 de Sept
02
bull Graficas de Funciones con asiacutentotas funcioacuten exponencial y Logariacutetmica
bull Laboratorio Nordm 1 bull Grafico de funciones con valor absoluto bull Presentacioacuten de investigacioacuten sobre la
lectura
Del 11 al 15 de Sept
03
bull Grafica de funciones polinoacutemicas bull Funcioacuten Signo y Mayor entero Ejercicios bull Teacutecnicas de graficacioacuten bull Presentacioacuten de solucioacuten de problemas
sobre funciones bull Informe sobre novela
Del 18 al 22 de Sept
04
bull Aplicaciones de las Funciones bull Laboratorio Nordm 2 bull Evaluacioacuten de Funciones (parte teoacuterica) bull Trabajo Individual
Del 25 al 29 de Sept
05 bull Evaluacioacuten de Funciones (parte praacutectica) bull Laboratorio Nordm 3
Del 2 al 6 de Oct
06 bull Liacutemites Liacutemite Finito- Teoremas bull Caacutelculo de Liacutemites
Del 9 al 13 de Oct
07 bull Praacutectica de caacutelculo de liacutemites bull Laboratorio Nordm 4
Del 16 al 20 de Oct
08 Examen parcial Del 23 al 27 de Oct
42 SEGUNDA UNIDAD CONTINUIDAD Y DERIVADAS
CAPACIDADES
1 Entiende el concepto de continuidad y clasifica los tipos de continuidad
2 Aplicas las propiedades fundamentales de las funciones continuas a la solucioacuten de problemas reales
3 Utiliza correctamente las foacutermulas de derivacioacuten 4 Aplica el caacutelculo diferencial al estudio de fenoacutemenos naturales
econoacutemicos sociales y tecnoloacutegicos ACTITUDES
1 Valora de manera criacutetica la importancia de la exactitud y orden
en el caacutelculo de liacutemites analizando la continuidad en algunos casos
2 Demuestra precisioacuten orden y claridad en sus caacutelculos 3 Aplica los conceptos a hechos reales y concretos
COMPORTAMIENTOS OBSERVABLES
1 Trabaja de manera ordenada y exacta en los momentos correspondientes a praacutecticas y exaacutemenes
2 Manifiesta la importancia de la derivada para explicar y analizar hechos reales en las diferentes aacutereas
NIVELES MIacuteNIMOS DE LOGROS 1 Aplica a situaciones reales el concepto de liacutemite y de
continuidad 2 Dado el graacutefico de una funcioacuten explica con sus propias palabras
el concepto de derivada puntual utilizando argumentos geomeacutetricos
3 Dada una funcioacuten halla la derivada utilizando reglas de derivacioacuten
4 Emplea derivadas para calcular maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten
CONTENIDOS
SEMANA CONTENIDOS FECHA
09 bull Liacutemite al Infinito
Del 30 de Oct Al 3 de
bull Liacutemites de funciones Trigonomeacutetricas bull Taller de ejercicios
Nov
10
bull Evaluacioacuten del tema anterior bull Continuidad y Discontinuidad removible
de una funcioacuten
Del 6 al 10 de Nov
11
bull Evaluacioacuten de Continuidad bull Trabajo en aula sobre problemas de
liacutemites
Del 13 al 17 de Nov
12
La Derivada bull Razoacuten de cambio promedio e
instantaacutenea bull Taller de ejercicios bull Laboratorio Nordm2
Del 20 al 24 de Nov
13
bull Definicioacuten e Interpretacioacuten Geomeacutetrica bull Reglas de derivacioacuten bull Regla de la Cadena bull Evaluacioacuten
Del 27 de Nov Al 1 de Dic
14
bull Derivada de una funcioacuten impliacutecita bull Derivada de orden superior bull Laboratorio Nordm 3
Del 4 al 8 de Dic
15
bull Regla de Hrsquoospital bull Aplicacioacuten de la derivada Maacuteximos y
miacutenimos de una funcioacuten bull Laboratorio Nordm 4 bull Evaluacioacuten
Del 11 al 15 de Dic
16 Examen final Del 18 al 22 de Dic
5 ESTRATEGIAS METODOLOacuteGICAS Uso de metodologiacutea activa empleando principalmente los meacutetodos 1 Magistral 2 Trabajo Autoacutenomo de los alumnos (Investigacioacuten Individual) 3 Trabajo de grupo 4 Expositiva - Interactiva 5 Experimental 6 Debate
7 Demostracioacuten
6 MEDIOS Y MATERIALES
1 Software matemaacutetico DERIVE 2 Texto de biblioteca 3 Separata resumen 4 Direcciones electroacutenicas 5 Ejercicios Aplicacioacuten 6 Casos 7 Presentacioacuten multimedia
7 EVALUACIOacuteN
71 CRITERIOS DE EVALUACIOacuteN
El Promedio Final (PF) del curso seraacute obtenido de la siguiente manera PU1+PU2 PF = 2 Siendo PU1 y PU2
los promedios de la primera y segunda unidad de aprendizaje respectivamente El promedio de cada unidad de aprendizaje se calcula como
PC+TI+CL+LB+2EP PU1 6
=
Donde PC+TI+CL+LB Son los Promedios de praacutecticas calificadas
Trabajo de Investigacioacuten control de lectura laboratorios
EP Examen parcial
La nota se consideraraacute con un decimal en los promedios parcial y final La nota miacutenima aprobatoria es 105 y se redondearaacute al entero inferior o superior seguacuten corresponda
72 CONDICIONES DE EVALUACIOacuteN
El 30 de inasistencias INHABILITA del curso
La justificacioacuten de una inasistencia seraacute uacutenicamente con certificado meacutedico
8 CRONOGRAMA ACADEMICO
UNIDAD ACTIVIDADES FECHA
Primera Inicio del Ciclo Examen Parcial
4 de Septiembre de 2006 23 al 28 de Octubre
Segunda Examen Final Teacutermino del Ciclo Exaacutemenes Extemporaacuteneos
Del 18 al 22 de Diciembre 23 de Diciembre
9 REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
LIBROS EN BIBLIOTECA DE LA UNIVERSIDAD CEacuteSAR VALLEJO
1 AUDRY SANCHEZ Javier Caacutelculo Diferencial e Integral Trillas (
MAT- 01768 ) 2 ESPINOZA RAMOS Eduardo Anaacutelisis Matemaacutetico para Ingenieros
Impreso en Peruacute2002 723pg 3 FILLOY YAGUE Eugenio Geometriacutea Analiacutetica Iberoamericana (
MAT-0532 )
4 GROSSMAN Stanley Algebra Lineal Mc Graw- Hill Edicioacuten 1996 Meacutexico ( MAT- 558 )
5 LEITHOLD Louis El Caacutelculo Oxford University Meacutexico 1996 (
MAT- 0545 )
6 PURCELL Edwin Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica Prentice Hispanoamericana Meacutexico 1993( MAT- 0542)
7 SMITH Robert Caacutelculo Mc Graw- Hill Interamericana Colombia 2001 Tomo I y II ( MAT- 0547 ) Y ( MAT-0548 )
ANEXO 2
REGISTRO DE EVALUACIONES
8 STEWART JAMES Caacutelculo Diferencial e Integral Thomson 1989 ( MAT- 02796 )
9 TOMAS George E Caacutelculo Infinitesimal y Geometriacutea Analiacutetica
Aguilar 1989 ( MAT- 01119 )
LIBROS DE PROPIEDAD DEL DOCENTE
1 AYRES Frank Caacutelculo Diferencial e Integral McGraw-Hill1992
2 DEMIDOVICH B Problemas de Anaacutelisis Matemaacutetico MIR Moscuacute 1981
3 HASSER Norman et al Anaacutelisis Matemaacutetico Trillas 1985 Meacutexico
810pg
4 KITCHEN Joseph Caacutelculo McGraw-Hill1992 Espantildea 863pg
5 KONG Maynard Caacutelculo Diferencial Pontificia Universidad Catoacutelica del Peruacute 1995 Peruacute548 pg
6 LAZARO CARRIOacuteN Moiseacutes Caacutelculo Diferencial Moshera SRL
Peruacute 225 pg
7 MONTOYA VALDERRAMA Manuel Liacutemites Continuidad y Derivadas
8 PISKUNOV N Caacutelculo Diferencial e Integral Montaner y Simon
SA Barcelona19731019pg
9 PURCELL Edwin J et al Caacutelculo Diferencial e Integral Pearson 2003 Meacutexico480 pg
PAacuteGINAS WEB (No menor de 5 y pertinentes al curso) httpwwwdivulgamatcom httpwwwsectormatematicaclcontenidoshtm httpwwwedutekaorg httpwwweswikipediaorg
ANEXO 3
GUIAS METODOLOGICAS APLICANDO EL SOFTWARE DERIVE
APRENDIENDO CALCULO DIFERENCIAL CON DERIVE
SESION Nordm 1
TEMA RAZON DE CAMBIO Y PROBLEMA DE LA RECTA
TANGENTE CAPACIDAD Emplea definicioacuten de razoacuten de cambio para
resolver ejercicios sobre recta tangente
A RAZON DE CAMBIO
Empezaremos por trabajar el concepto matemaacutetico fundamental del caacutelculo sobre el cual se sustenta la teoriacutea de derivadas Este es Razoacuten de Cambio media Recordemos que Hoffmann (1985 Paacuteg 82) la define de la siguiente manera
Consideraremos la segunda definicioacuten de la separata por cuanto es maacutes directa en el anaacutelisis de los cambios o variaciones Ahora sigamos las instrucciones siguientes bull Utilice DERIVE para ingresar la funcioacuten 2( ) 6 2f x x x= minus + y estudiar
sus caracteriacutesticas bull Una vez definida ( )f x construya otra funcioacuten que calcule la Razoacuten de
Cambio Media o Razoacuten de Cambio Promedio de ( )f x para el intervalo [ ]a b
( ) ( )( ) f b f aRCP a bb aminus
=minus
( ) ( ) ( ) ( ) ( )RCP a b f b f a b a= minus minus bull Para probar su funcionamiento encuentre la razoacuten de cambio en el intervalo
[ ]0 3 (03)RCP
bull Halla la RCP de ( )f x en los intervalos [1 2] [1 3] [1 4] [1 11] [1 101]
bull Considera tambieacuten la misma expresioacuten para hallar la RCP en funcioacuten de un valor x a= y un incremento h
( ) ( )( ) f x h f xRCP x hh
+ minus=
( ) ( ) ( ) ( ) RCP x h f x h f x h= + minus
Razoacuten de Cambio Media Suponga que y es una funcioacuten de x ( )y f x= correspondiendo a un cambio de x a x x+ ∆ la variable y
cambia en una cantidad ( ) ( )y f x x f x∆ = + ∆ minus Asiacute el cociente de diferencias
( ) ( )Cambio de x x f x x f xCambio de y y x
∆ + ∆ minus= =∆ ∆
Representa la razoacuten de cambio de y con respecto a x (Hoffmann 1985 82)
bull Halla la RCP de ( )f x en los intervalos para los valores de a) 2x = con un incremento de 4 b) 2x = con un incremento de 3 c) 2x = con un incremento de 2 d) 2x = con un incremento de 1
EJERCICIOS
1 RAZONAMIENTO GRAacuteFICO Utiliza DERIVE para graficar la funcioacuten razoacuten de cambio de 3 2( ) 2 1f x x x= + minus y su funcioacuten razoacuten de cambio
( 001) ( )( )
001f x f xg x + minus
= en una misma ventana Calcule algunos
valores empleando la opcioacuten vector 2 Halla la RCP de la funcioacuten 2( ) ln(( 1) ( 3))f x x x= minus minus + en los
intervalos [556] [ 546] [ 536] [ 526] [ 516] 3 Halla el liacutemite cuando h rarr 0 de ( ( ) ( )) f x h f x h+ minus en la pregunta
anterior Para ello situacutea el cursor sobre dicho resultado para resaltarlo y
pulsa el icono
B RECTA TANGENTE 1 Elabore un programa que permita ingresar una funcioacuten un intervalo
[ ]a b y grafique las rectas secantes en ese intervalo hasta la recta tangente en el punto a Complete la hoja con los datos que vaya realizando Utilice la funcioacuten 3 2( ) 5 3 4f x x x x= minus + minus y el intervalo [ ]23
2 Una vez realizado el trabajo anterior comprueba que se obtiene la misma solucioacuten con el comando TANGENT ( )0 y x x que DERIVE proporciona
3 Ahora puedes resolver algunos problemas del Trabajo Practico Nordm 2 de tu separata empleando el comando TANGENT ( )0 y x x
4 Utiliza las formas equivalentes de la derivada (pag39) y resuelve algunos ejercicios empleando tus propias funciones y el comando derivada que te ofrece DERIVE asiacute podraacutes comprobar tus resultados
TEMA CAacuteLCULO Y GRAFICA DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIOacuteN
En esta parte de nuestro primer laboratorio vamos a ingresar diversas funciones calcularemos sus derivadas empleando la definicioacuten de derivada y empleando tambieacuten el comando DIF
1 Dada la funcioacuten 2 0
( ) 0
x xf x
x x le
= gt
bull Graficarla ademaacutes construir la funcioacuten derivada de dos formas la primera empleando definicioacuten de LIM((f(x+h)-f(x))h h 0 -1) para calcular la derivada por izquierda y LIM((f(x+h)-f(x))h h 0 1)para calcular la derivada por derecha y la segunda forma es empleando el comando DIF (f(x) x) que ofrece DERIVE
bull Observa las graficas de la funcioacuten y su derivada y responde a las
siguientes preguntas
iquestQueacute sucede con la derivada en el punto x=0 iquestQueacute representa la graacutefica de la funcioacuten derivada
2 Introduce la siguiente funcioacuten definida ldquoa trozosrdquo f(x)=IF(xlt4 x^2-5
2x+3)
bull Calcular las derivadas laterales en x = 4 bull Representa la funcioacuten f(x) Observa que se trata de una funcioacuten
continua pero no derivable bull Prueba con otras definiciones de f(x) y otros valores distintos de x = 4
3 Ingresa la funcioacuten 2 1 0
( )0 0
x sen xh x x
x
ne = =
y calcula su derivada en el
punto cero Ademaacutes elabora las graficas 4 Considera f(x)= 4-x^2 en x = 2 y halla las derivadas laterales iquestPuedes
explicar que ocurre 5 Considera tambieacuten f(x) = 1x en x = 0
CAPACIDAD Grafica funciones y encuentra su primera derivada empleando comando propios de DERIVE
6 Demostrar usando DERIVE que la funcioacuten 3 2 1cos 0
( )0 0
x xf x x
x
gt = le
es derivable en cero
7 Calcular y graficar las derivadas de las siguientes funciones empleando derive
a) 2
2( ) xf x sen
xsensenx
=
b) cos( )cos
senx xf xsenx x
minus=
+
c) 1( )2
f xa
x senx
=minus
+
d) 6 2( ) (1 cos 2 )f x x x= minus e) ( ) lnf x x=
APRENDIENDO CALCULO DIFERENCIAL CON DERIVE
SESION Nordm 2
C RELACION ENTRE LA GRAFICA DE UNA FUNCION Y SU
PRIMERA DERIVADA
PROBLEMA- (Caraacutecter creciente o decreciente de una funcioacuten) iquestPuede la primera derivada de una funcioacuten proporcionar informacioacuten acerca del caraacutecter creciente o decreciente de una funcioacuten ( )f x
Empezaremos recordando una serie de conceptos que debemos tener en cuenta para abordar esta sesioacuten
Se dice que una funcioacuten es positiva en la regioacuten en que su graacutefica se encuentra arriba del eje de las abscisas Asiacute use DERIVE y describa en que intervalos las siguientes funciones son positivas
o ( ) 3cosf x x= o ( ) 3 3f x x= minus o ( ) 8 4f x x= minus
o ( )2( ) 2 5f x x= + minus
CAPACIDAD Infiere mediante un anaacutelisis grafico las relaciones existentes entre la graacutefica de una funcioacuten y su primera derivada signo de la primera derivada asociado con crecimiento o decrecimiento de la funcioacuten y derivada nula con puntos criacuteticos
o ( )2( ) 3 2f x xminus minus +
Se dice que una funcioacuten es negativa en la regioacuten en que su grafica se encuentra abajo del eje de las abscisas Emplea DERIVE y describe en que intervalos la siguientes funciones son negativas
o ( ) 5 3f x x= minus
o ( ) 62xf x minus
= +
o 2( ) 4 4f x x x= + minus o 2( ) 6 9f x x x= minus + +
Una funcioacuten es creciente en una regioacuten si y soacutelo si al aumentar los valores de la variable independiente x aumentan tambieacuten los valores de la funcioacuten Es decir
( )f x es creciente en una regioacuten si para dos puntos cualesquiera 1x y
2x siempre que 1 2x xlt necesariamente 1 2( ) ( )f x f xlt y viceversa
Geomeacutetricamente una funcioacuten es creciente en la regioacuten en que su graacutefica sube a medida que recorremos el eje X de izquierda a derecha Grafica empleando derive la funcioacuten 3 2( ) 3 3f x x x= minus + y completa lo siguiente bull La funcioacuten mostrada es decreciente en intervalos que empiezan
inmediatamente despueacutes de _____ y termina inmediatamente antes de _____ Es decir ( )f x es decreciente en el intervalo abierto iquestPor queacute intervalo abierto
bull En cambio la misma funcioacuten es creciente en dos regiones desde menos infinito hasta _______ sin llegar a cero a sea en el intervalo y en el intervalo
bull iquestPodriacuteas dar una justificacioacuten del porqueacute los valores 0 y 2 estaacuten excluidos de las tres regiones
bull La funcioacuten graficada es positiva en los intervalos __________ __________
bull La funcioacuten graficada es negativa en los intervalos __________ __________
Tambieacuten hemos trabajado las siguientes ideas Completa lo que falta
bull Hemos afirmado el hecho de que en un punto del dominio la
pendiente de una curva es igual a la pendiente de la recta ________ en ese punto
Sabemos que bull Cuando una recta es creciente su _________ es positiva bull Cuando una recta es decreciente su ___________ es decreciente bull Cuando una recta es paralela al eje X su __________es
_________________ bull La pendiente de la recta tangente a la grafica de una funcioacuten
( )f x en cualquier punto del dominio es precisamente la primera ____________ de la funcioacuten
bull Elabora las graficas de la funcioacuten 3 2( ) 3 3f x x x= minus + y de su primera derivada empleando DERIVE
bull Haremos un anaacutelisis comparativo de estas graacuteficas bull La funcioacuten ( )f x es decreciente en el intervalo ( )02 iquestCoacutemo es
su derivada ( )f x en ese intervalo_________________ bull La funcioacuten ( )f x es creciente en el intervalo ( )0minusinfin iquestCoacutemo es
su derivada ( )f x en ese intervalo_________________
bull La funcioacuten ( )f x es creciente en el intervalo ( )2infin iquestCoacutemo es su derivada ( )f x en ese intervalo_________________
bull La funcioacuten ( )f x es constante en los puntos 0x = y 2x = iquestCoacutemo es su derivada ( )f x en esos puntos_________________
bull Los hechos que acabas de observar no son una coincidencia ni un hecho aislado corresponde a una relacioacuten muy importante entre una funcioacuten y su primera derivada
bull Considerando tus respuestas tenemos todos lo necesario par construir los siguientes criterios de caracterizacioacuten
bull Para toda funcioacuten ( )f x derivable en un intervalo ( )a b
bull Si acute( ) 0f x gt para todo valor x en ( )a b ( )f x es creciente en
( )a b
bull Si acute( ) 0f x lt para todo valor x en ( )a b ( )f x es decreciente en
( )a b
bull Si acute( ) 0f x = para todo valor x en ( )a b ( )f x es constante en
( )a b Este caso nos seraacute particularmente uacutetil en el caso en que el intervalo conste de un solo punto
bull A cada valor de x en el que acute( ) 0f x = se le llama punto criacutetico bull Problema 1 Empleando DERIVE encuentra los intervalos donde
la funcioacuten 3 2( ) 3 3f x x x= minus + creciente y decreciente y los puntos donde es constante Luego compara tus hallazgos y completa la informacioacuten
bull acute( )f x = ________ ( )f x seraacute creciente donde acute( ) 0f x gt es decir
donde 23 6 0x xminus gt factorizando 3x obtenemos ( )3 0x gt recuerda que el producto de dos factores es mayor que cero soacutelo si ambos son positivos o ambos son negativos
1 3 0 2 0x y xgt minus gt
0 2x y xgt gt
Siempre que 2x gt se cumple tambieacuten que 0x gt No al reveacutes ( )f xthere4 es creciente en ( )2infin
2 3 0 2 0x y xlt minus lt 0 2x y xlt lt
Siempre que 0x lt se cumple tambieacuten que 2x lt No al reveacutes ( )f xthere4 es creciente en ( )0minusinfin
bull ( )f x seraacute decreciente donde acute( ) 0f x lt es decir donde
23 6 0x xminus lt bull ( )3 0x lt ahora recordemos que el producto de dos factores es
negativo si y solo si________________o ____________________-
1 3 0 2 0x y xgt minus lt
0 2x y xgt lt ( )f xthere4 es decreciente en ( )02
2 3 0 2 0x y xlt minus gt 0 2x y xlt gt
iexclImposible No hay valores de x que sean menores que cero y al mismo tiempo mayores que 2
( )f x seraacute constante es decir estaraacute momentaacuteneamente horizontal su
tangente seraacute paralela al eje X donde acute( ) 0f x = ( )3 2 0x x minus = si 0 2x y x= =
Estos son los dos valores de x donde la funcioacuten es constante a los que llamamos ldquopuntos criacuteticosrdquo Otra forma de encontrar los valores de x donde la funcioacuten es creciente o decreciente sin tener que resolver desigualdades es la siguiente Se encuentran los valores de x donde acute( )f x vale cero resolviendo la ecuacioacuten acute( ) 0f x =
Los n valores de x obtenidos al resolver la ecuacioacuten anterior nos permiten dividir el eje X en 1n + intervalos ajenos
Se construye una tabla en la que los a x valores en cada intervalo y analizando el signo que toma acute( )f x en cada uno de ellos podemos decidir si ( )f x es creciente o decreciente con base en el criterio al que arribamos antes Trabajando en esta forma con 3 2( ) 3 3f x x x= minus +
2acute( ) 3 6f x x x= minus 23 6 0x xminus = 3 ( 2) 0x x minus = si 3 0x = 0x = si 2 0x minus = 2x =
( )f x es constante en 0x = y en 2x = Los valores 0 y 2 dividen al eje X en tres intervalos ( )0minusinfin ( )02 ( )2infin
La tabla que construiremos seraacute del tipo
Intervalo ( )0minusinfin ( )02 ( )2infin
Valor de x en el intervalo -1 1 3
Valor de acute( )f x en el intervalo
9 -3 9
Signo de acute( )f x + - + Caraacutecter de ( )f x en el
intervalo Creciente Decreciente Creciente
Por lo tanto ( )f x es creciente en los intervalos ( )0minusinfin y ( )2infin
mientras que es decreciente en el intervalo ( )02 Problema 2 Empleando DERIVE encuentra los intervalos donde la
funcioacuten 1( )f x xx
= + es creciente y decreciente asiacute como los puntos
donde es constante Observa que esta funcioacuten no estaacute definida en 0x =
Problema 3 Utiliza DERIVE y encuentra las regiones donde cada una de las siguientes funciones es creciente decreciente o constante
bull 2 2( )1
x xf xx
minus minus=
minus
bull 22( )
1xf x
x=
+
bull 4 2( ) 6 5f x x x= + minus bull 3( ) 1f x x= minus
bull 26( )
3f x
x=
+
D RELACION ENTRE LA GRAFICA DE UNA FUNCION Y SU SEGUNDA DERIVADA
PROBLEMA 1- (Concavidad de una funcioacuten) iquestPuede la segunda derivada de una funcioacuten proporcionar informacioacuten acerca del tipo de concavidad que presenta una funcioacuten primitiva ( )f x
Emplea DERIVE y grafica la funcioacuten 2( ) ( 3) 4f x x= minus + ademaacutes determina las ecuaciones y graficas de las rectas tangentes a la curva en los puntos 0x = y 5x = Empleando nuevamente DERIVE grafica la funcioacuten
2( ) ( 7) 1f x x= minus + minus ademaacutes determina las ecuaciones y graacuteficas de las rectas tangentes a la curva en los puntos 10x = minus y 5x = minus Observaciones
CAPACIDAD Infiere por medio de un anaacutelisis grafico las relaciones existentes entre la graacutefica de una funcioacuten y su segunda derivada signo de la segunda derivada asociado con concavidad de la funcioacuten y segunda derivada nula con un posible cambio de concavidad
Observa en principio que donde la curva es coacutencava hacia arriba sus tangentes estaacuten pro debajo de la curva y en caso de ser coacutencava hacia abajo sus tangentes estaacuten por arriba de ella Pero donde la curva no es coacutencava la tangente la atraviesa
Una funcioacuten que presenta los dos tipos de concavidad posibles hacia abajo y hacia arriba es 3 2( ) 3 3f x x x= minus + Empleando DERIVE calcula su primera y segunda derivada y graficas todas las funciones en un mismo plano Localiza con cuidado cada grafica colorea con un color diferente asiacute podraacutes identificarlas faacutecilmente en el siguiente anaacutelisis En el intervalo ( )1minusinfin
( )f x es coacutencava hacia abajo ( )f x que representa las pendientes de las rectas tangentes a ( )f x es decreciente No deja de bajar desde minusinfin hasta
1x = ( )f x que representa las pendientes de las rectas tangentes a ( )f x es negativa porque ( )f x es decreciente
Exactamente en 1x =
o ( )f x cambia de concavidad Deja de ser coacutencava hacia abajo
pero aun no es coacutencava hacia arriba o ( )f x es constante tiene un punto criacutetico porque ( ) 0f x = o ( )f x corta al eje X vale cero Dejoacute de ser negativa y auacuten no
es positiva En el intervalo ( )1infin
o ( )f x es coacutencava hacia arriba o ( )f x es creciente o ( )f x es positiva
Una vez mas lo que has observado no es una coincidencia o un caso aislado nuevamente corresponde a una importante relacioacuten entre una funcioacuten y su segunda derivada Conclusioacuten
bull Para toda funcioacuten ( )f x cuya segunda derivada existe en el intervalo ( )a b
bull Si ( ) 0f x gt para todo valor x en ( )a b la graacutefica de ( )f x es
coacutencava hacia arriba en ( )a b
bull Si ( ) 0f x lt para todo valor x en ( )a b la graacutefica de ( )f x es
coacutencava hacia abajo en ( )a b Definicioacuten- Se llama punto de inflexioacuten al punto donde la grafica de la funcioacuten cambia de ser coacutencava hacia abajo a coacutencava hacia arriba o viceversa si existe la tangente en ese punto La funcioacuten que analizamos antes 3 2( ) 3 3f x x x= minus + tiene un punto de inflexioacuten en 1x = porque (1) 0f = Ejercicios Estudia si tiene la funcioacuten 4( )f x x= punto de inflexioacuten en 0x = Con ayuda de DERIVE halla los intervalos donde la funcioacuten es coacutencava hacia arriba yo hacia abajo asiacute como las coordenadas de los puntos de inflexioacuten si existen Elaborar las graficas necesarias
o 23( )
3f x
x=
+
o 3 2( ) 6 9 1f x x x x= minus + +
o 4
2( ) 24xf x x= minus
o 2 4( ) 6f x x x= minus
APRENDIENDO CALCULO DIFERENCIAL CON DERIVE
SESION Nordm 3
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION A CLASIFICACION DE LOS PUNTOS CRITICOS DE UNA FUNCIOacuteN RECORDEMOS Localiza en la graacutefica de la figura 1 el punto(s) m miacutenimo(s) y da sus coordenadas Figura 1 Si observas la graacutefica notaraacutes que existen dos puntos maacutes bajo que todos los demaacutes donde la curva es coacutencava hacia arriba a los que llamaremos miacutenimos locales Las coordenadas de esos puntos en la grafica son
1( )m y 2 ( )m Localiza en la graacutefica de la figura 2 el punto M maacuteximo y da sus coordenadas Figura 2
2
21( ) 1f xx
= minus
( ) ( 2)( 4)( 6)f x x x x x= + minus minus
CAPACIDAD Determina los puntos criacuteticos de una funcioacuten y los clasifica en maacuteximos miacutenimos o de inflexiones
Si observas la grafica de la funcioacuten encontraras que alcanza un punto maacutes alto en la regioacuten donde es coacutencava hacia abajo Las coordenadas de ese punto son ( )M A un punto como este que se encuentra en la cima de una regioacuten donde la curva es coacutencava hacia abajo se le llama maacuteximo local por que en efecto es el punto mas alto aunque no de toda la curva sino de una regioacuten Pregunta iquestQueacute coincidencias y queacute diferencias hay donde ( )f x tiene maacuteximo y donde tiene miacutenimo Coincidencias __________________________________________________________ Diferencias __________________________________________________________ Para determinar los valores extremos de una funcioacuten en un primer acercamiento se requiere
1 Obtener la primera derivada de la funcioacuten para investigar doacutende ( )f x es constante
2 Igualar a cero la primera derivada ( ) 0f x = 3 Resolver la ecuacioacuten resultante para encontrar los puntos criacuteticos
de 1 2( ) f x x x donde podriacutea tener un maacuteximo un miacutenimo o un punto de inflexioacuten
4 Bosquejar la graacutefica de la funcioacuten 5 Elabora una conjetura acerca del caraacutecter de cada punto criacutetico
maacuteximo miacutenimo o punto de inflexioacuten Emplea DERIVE y en cada funcioacuten de los siguientes ejemplos determina los puntos criacuteticos bosqueja una graacutefica y elabora una conjetura acerca del caraacutecter de cada punto criacutetico
A los valores maacuteximos o miacutenimos los llamaremos valores extremos
Ejercicio Ndeg 1
Graficar la funcioacuten 2
21( ) 1f xx
= minus
y completar la informacioacuten
1 ( )f x = 2 ( ) 0f x = de donde 1x = ( )f xthere4 tiene un punto criacutetico 3 iquestQueacute sucede con la graacutefica de la primera derivada en los puntos
criacuteticos de la funcioacuten 4 Mostrar la graacutefica y determinar que tipo de punto es 1x 5 Determinar la segunda derivada y analizar su comportamiento
grafico Ejercicio Ndeg 2 Graficar la funcioacuten ( ) ( 2)( 4)( 6)f x x x x x= + minus minus y completar la informacioacuten
1 ( )f x = 2 ( ) 0f x = de donde 1 2 3 x x x= = = ( )f xthere4 tiene tres
puntos criacuteticos 3 iquestQueacute sucede con la graacutefica de la primera derivada en los puntos
criacuteticos de la funcioacuten 4 Mostrar la graacutefica y determinar que tipo de puntos criacuteticos tiene 5 Determinar la segunda derivada y analizar su comportamiento
grafico Ejercicio Ndeg 3 Graficar la funcioacuten 3 2( ) 3 3f x x x= minus + y completar la informacioacuten
1 ( )f x = 2 23 6 3 ( ) 0x x xminus = minus = de donde 1 2x y x= = ( )f xthere4
tiene dos puntos criacuteticos 3 Indicar el maacuteximo y el miacutenimo 6 iquestQueacute sucede con la graacutefica de la primera derivada en los puntos
criacuteticos de la funcioacuten 4 Mostrar una graacutefica
5 Grafique la primera derivada y determine si el signo de ella antes y despueacutes del punto criacutetico coincide con la propiedad de la funcioacuten de ser creciente o decreciente en los intervalos formados
6 Grafique la segunda derivada y analice la informacioacuten que representa
Ejercicio N deg4 (trabajo)
Graficar la funcioacuten 23( )
3f x
x=
+ y completar la informacioacuten
1 ( )f x =
2 ( )22
6 03
x
x
minus=
+
3 Puesto que ( )22 3x + siempre seraacute mayor que cero la uacutenica
posibilidad de que ( )22
6 03
x
x
minus=
+es que 6 0xminus = luego 0x =
( )f xthere4 tiene soacutelo un punto criacutetico 4 Determine a traveacutes de la graacutefica si se trata de un maacuteximo o
miacutenimo 5 Grafique la primera derivada y determine si el signo de ella antes
y despueacutes del punto criacutetico coincide con la propiedad de la funcioacuten de ser creciente o decreciente en los intervalos formados
6 Grafique la segunda derivada y analice la informacioacuten que representa
B CRITERIO DE LA PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA PARA ENCONTRAR VALORES EXTREMOS DE UNA FUNCION
iquestExiste un procedimiento formal para determinar los valores extremos de una funcioacuten En el punto anterior pudimos determinar los valores criacuteticos de una funcioacuten y decidir si se trataba de un maacuteximo o miacutenimo o un punto de inflexioacuten Pero tuvimos las siguientes limitaciones bull Nuestra decisioacuten quedoacute a nivel de conjetura porque para tomarla
n os apoyamos en una grafica y eso le quita formalidad y precisioacuten al procedimiento
bull No obtuvimos el valor del maacuteximo o miacutenimo de la funcioacuten ni las coordenadas en el caso del punto de inflexioacuten
En esta sesioacuten trabajaremos en laacutepiz y papel el procedimiento formal para obtener los valores extremos de una funcioacuten asiacute como sus puntos de inflexioacuten y resolveremos los ejercicios usando derive asiacute podemos comparar entre el trabajo analiacutetico y los caacutelculos que podemos hacer empleando DERIVE
RECORDAR
Criterio de la primera derivada Hipoacutetesis Si ( )f x es una funcioacuten continua en un Intervalo ( )a b
1x es el uacutenico punto criacutetico en ese intervalo y ( )f x es derivable en
( )a b Entonces Tesis el punto criacutetico ( )1 1 ( )x f x se puede clasificar de acuerdo a la siguiente tabla
CAPACIDAD Comprende y aplica el criterio de la primera y segunda derivada para encontrar valores extremos de una funcioacuten
Signo de ( )f x en ( )1a x
Signo de ( )f x en ( )1 x b Decisioacuten
+ - 1( )f x es un maacuteximo
- + 1( )f x es un miacutenimo
+ + 1( )f x es un posible punto de inflexioacuten
- - 1( )f x es un posible punto de inflexioacuten
Criterio de la segunda derivada Hipoacutetesis Si ( )f x es una funcioacuten que tiene primera y segunda derivadas en un intervalo ( )a b y tiene un punto criacutetico en 1x Tesis el punto criacutetico ( )1 1 ( )x f x se puede clasificar de acuerdo con el siguiente criterio bull Si ( ) 0 ( )f x f xgt tendraacute un maacuteximo en 1x porque es coacutencava hacia arriba bull Si ( ) 0 ( )f x f xlt tendraacute un miacutenimo en 1x porque es coacutencava hacia abajo bull Si ( ) 0 ( )f x f x= podriacutea tener un punto de inflexioacuten 1x si estaacute cambiando la concavidad
Ejercicio Ndeg 1 Determina los maacuteximos y miacutenimos de la siguiente funcioacuten
3 2( ) 3 3f x x x= minus + completa la informacioacuten que se pide y luego compara tus resultados con los obtenidos empleando DERIVE
1 ( )f x = 2 23 6 0x xminus =
3 ( )23 6 3 ____ ____ 0x x xminus = minus = de donde 1 ____x = y
2 ____x = 4 Los valores 0 y 2 dividen al eje X en los intervalos ajenos
( ) ( ) ( )0 0 2 2minusinfin infin 5 Elaboramos una tabla para dar valores a x Completa el valor y el
signo de ( )f x
Intervalo ( )0minusinfin ( )02 ( )2infin
Valor de x -1 1 3
Valor de ( )f x
Signo de ( )f x
6 De acuerdo con el criterio de la primera derivada
a) En 1 0x = ( )f x tiene un ___________ porque ( )f x _____________
b) En 2 2x = ( )f x tiene un ___________ porque ( )f x ____________
7 El valor maacuteximo de ( )f x en _____ es_____ 8 El valor miacutenimo de ( )f x en _____ es_____
Ejercicio Ndeg 2 Determina los maacuteximos y miacutenimos de la siguiente funcioacuten
2
3( )3
f xx
=+
completa la informacioacuten que se pide y luego compara tus
resultados con los obtenidos empleando DERIVE 1 ( )f x =
2 ( )22
6 03
x
x
minus=
+
3 Puesto que ( )22 3x + siempre seraacute mayor que cero la uacutenica
posibilidad de que ( )22
6 03
x
x
minus=
+es que 1 ____x =
4 El valor de z divide al eje X en 2 intervalos ( ) ( )0 0minusinfin infin iquestQueacute sucede en el punto cero
5 Elaboramos una tabla para dar valores a x Completa el valor y el signo de ( )f x
Intervalo ( )0minusinfin ( )0infin
Valor de x -1 1
Valor de ( )f x
Signo de ( )f x
6 ( )f x presenta un _______________en _____ Ejercicio Ndeg 3 Empleando Derive y el criterio de la segunda derivada determina los maacuteximos y miacutenimos de la siguiente funcioacuten ( )3( ) 4 10f x x= minus + ademaacutes completar la informacioacuten y anexa la grafica de las funcioacuten para verificar las validez de tus resultados
1 ( )f x =
2 ( )23 4 0x minus =
3 23( 8 16) 0x xminus + = de donde 1 ____x =
4 ( )f x = 5 (4)f =0 ( )f xthere4 tiene un___________ 6 Las coordenadas de ese punto son ( )4 (4)f es decir ( )4
7 (2)f =_____________gt0 ( )f xthere4 tiene un___________
Trabajo en casa Ejercicio Ndeg 1 Determina los maacuteximos y miacutenimos de la siguiente funcioacuten
( )3( ) 4f x x= minus completa la informacioacuten que se pide y luego compara tus resultados con los obtenidos empleando DERIVE
1 ( )f x =
2 ( )23 4 0x minus =
3 23( 8 16) 0x xminus + = de donde 1 ____x = 4 El valor 4 divide al eje X en dos intervalos ajenos
( ) ( ) 4 4minusinfin infin 5 Elaboramos una tabla para dar valores a x Completa el valor y el
signo de ( )f x
Intervalo ( ) 4minusinfin ( )4infin
Valor de x 2 5
Valor de ( )f x
Signo de ( )f x
6 De acuerdo con el criterio de la primera derivada En 1 4x = ( )f x presenta __________________________
Ejercicio Ndeg 2 Determina los maacuteximos y miacutenimos de la siguiente funcioacuten
1( )f x xx
= + completa la informacioacuten que se pide y luego compara tus
resultados con los obtenidos empleando DERIVE
1 ( )f x =
2 2
11 0x
minus =
3 2
11 0x
minus = 2
11x
= 2 1x = de donde 1 ____x = y 2 ____x =
4 Los valores 1 y -1 dividen al eje X en 3 intervalos ajenos ( ) ( ) ( ) 1 11 1minusinfin minus minus infin iquestQueacute sucede en el punto cero
5 Elaboramos una tabla para dar valores a x Completa el valor y el signo de ( )f x
Intervalo ( ) 1minusinfin minus ( )10minus ( )01 ( )1infin
Valor de x -2 -12 frac12 3
Valor de ( )f x
Signo de ( )f x
6 El valor maacuteximo de ( )f x en _____ es_____ 7 El valor miacutenimo de ( )f x en _____ es_____
Ejercicio Ndeg 3 Empleando Derive y el criterio de la segunda derivada determina los
maacuteximos y miacutenimos de la siguiente funcioacuten 1( )f x xx
= + ademaacutes
completar la informacioacuten y anexa la grafica de las funcioacuten para verificar las validez de tus resultados
1 ( )f x =
2 2
11 0x
minus =
3 2
11 0x
minus = 2
11x
= 2 1x = de donde 1 ____x = y 2 ____x =
4 ( )f x = 5 (1)f = ____gt0 ( )f xthere4 tiene un___________ 6 Las coordenadas de ese punto son ( )1 (1)f es decir ( )1 7 ( 1)f minus = _____________lt0 ( )f xthere4 tiene un___________ 8 Las coordenadas de ese punto son ( )1 ( 1)fminus minus es decir ( )1minus
Ejercicio Ndeg 4 Calcula los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de las siguientes funciones
1 2 4
( )2 16x xf x = minus
2 23( )
1xf x
x=
minus
3 2( )4
xf xx
=minus
4 2 2( )1
x xf xx
minus minus=
minus
Representa las graacuteficas para comprobarlo C PROBLEMAS DE OPTIMIZACIOacuteN
Has aprendido a encontrar valores extremos de una funcioacuten por medio de dos criterios el de la primera derivada y el de la segunda derivada Lo que haremos ahora constituye una de las principales aplicaciones del caacutelculo diferencial utilizado en muy diversas aacutereas del conocimiento Con frecuencia en los procesos industriales cientiacuteficos y tecnoloacutegicos se busca optimizar las condiciones en que se llevan a cabo asiacute como los resultados que se obtienen Por ejemplo se pretende envasar el mayor volumen de un producto empleando la menor cantidad posible de material obtener el mejor efecto de un medicamento con la menor dosis administrada encontrar el nuacutemero de artiacuteculos que deben venderse para obtener la maacutexima ganancia Todo esto es optimizar un proceso y el caacutelculo es una herramienta muy uacutetil para lograrlo
CAPACIDAD Resuelve problemas que involucran maacuteximos o miacutenimos de una funcioacuten empleando derive
Para resolver un problema de optimizacioacuten baacutesicamente debemos proceder de la siguiente manera
1 A partir del enunciado del problema obtener la funcioacuten que queremos optimizar de modo que dependa de una sola variable
2 aplicar uno de los criterios para encontrar los valores extremos de una funcioacuten
3 interpretar los resultados con base en la naturaleza del problema planteado
PROBLEMA 1 Cuando alguien tose la traquea se contrae violentamente lo que afecta de modo directo a la velocidad del aire expulsado a traveacutes de ella Si la velocidad del aire durante la tosida se puede expresar como
2( ) ( )v r k p r r= minus donde k es una constante positiva que depende de la persona p es el radio normal de la traquea y r el radio durante el golpe de tos
a) Utilice una escala apropiada para mostrar la grafica de la velocidad del aire durante la tosida Utilice los valores de K=1 y p=3
b) Determina el dominio apropiado para estudiar esta funcioacuten c) iquestQueacute valor del radio r producir la maacutexima velocidad del aire
expulsado iquestCuaacutel es la velocidad
Solucioacuten
1 Siendo la funcioacuten a maximizar 2 2 3( ) ( ) ( )v r k p r r k p r r= minus = minus
2 La primera derivada es dvdr
=
3 Los puntos criacuteticos son 1 2______ _______r y r= =
4 luego la velocidad del aire expulsado tiene un maacuteximo cuando r =
PROBLEMA 2 Se quiere fabricar latas de refresco cuyo contenido sea 33cl de manera que el costo de la chapa sea miacutenimo Hallar las dimensiones que ha de
ANEXO 4
PLANES DE CLASE
Los planes de clase en general son los mismos para ambos grupos pero si difieren del lugar donde se trabajan pues el grupo experimental recibiraacute clases en el laboratorio de coacutemputo mientras que el grupo de control trabajara sus sesiones de clase en el aula Debo indicar tambieacuten que solo la tercera clase de ambos grupos seraacute en el saloacuten de clases pues se deben trabajar las derivadas de funciones trigonomeacutetricas logariacutetmicas impliacutecitas regla de L`Hospital El modelo de plan de clase que presento a continuacioacuten es el que manejamos en la universidad para nuestra carpeta docente Fue disentildeado por los docentes de la Escuela de Educacioacuten y lo trabajamos en todas las escuelas Presento cuatro planes de clase que corresponde a las 4 sesiones que tuvimos para resolver el capiacutetulo de Derivadas
P L A N D E S E S I Oacute N D E A P R E N D I Z A J E 2 0 0 6- II ESCUELA DE INGENIERIacuteA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS
ASIGNATURA
Ciclo Seccioacuten
Semana Ndeg Sesioacuten
DOCENTE
COMPETENCIA
TIacuteTULO CAPACIDAD
ACTIVIDADES TIEMPO INDICADORES INICIALES DestrezaHabilidad Contenido Producto Iacutetems
PROCESO
FINALES Actitudes
METODO AYUDAS TEacuteCNICAS E INSTRUMENTOS DE EVALUACIOacuteN
Expositivas-Interactivas
Investigacioacuten Individual
Debate
Proyecto
Demostracioacuten
Investigacioacuten por equipos
Otros
Texto Separatas-resumen Transparencias- Diapositivas
Ejercicios Aplicacioacuten Casos Presentacioacuten Multimedia
Otros
Observacioacuten Situacioacuten Ejercicio Praacutectico Pruebas Escritas Situacioacuten Oral
de Evaluacioacuten
Pruebas de Desempentildeo
Examen Temaacutetico
Ejercicios Interpretativos
Pruebas Objetivas
Mapa mental
Mapa Conceptual
Estudios de Casos Praacutecticas- Laboratorio
Proyecto
Portafolio
Ensayos
Otros (Indicar)
Exposicioacuten Diaacutelogo Debate Examen
Oral
Lista de cotejo
Registro anecdoacutetico
Escala de actitud
Otros(Indicar)
Bibliografiacutea
Paacuteginas Web
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ASIGNATURA MATEMATICA I
Ciclo II Seccioacuten A B
Semana 12 Nordm Sesioacuten 1
DOCENTE Lic Diana Quintana Saacutenchez
COMPETENCIA Interpreta formula analiza y resuelve problemas de contexto real utilizando definiciones teacutecnicas y aplicaciones del Caacutelculo Diferencial desarrollando
comunicacioacuten investigacioacuten razonamiento y manifestando confianza flexibilidad y perseverancia
CONTENIDO Derivadas
CAPACIDAD Resuelve problemas sobre razoacuten de cambio recta tangente y grafico de funciones y sus derivadas
ACTIVIDADES TIEMPO INDICADORES INICIALES
15rsquo
DestrezaHabilidad Contenido Producto Iacutetems bull Saludo bull Para esta clase he preparado un relato sobre la historia del
caacutelculo diferencial La historia de Newton y Leibnitz
Resuelve Encuentra Calcula Grafica
Razoacuten de cambio Dos Problemas con un mismo tema Definicioacuten de Derivada Resolucioacuten de problema empleando derivadas Elaboracioacuten de graficas de funciones y sus derivadas
Opinioacuten sobre los protagonistas de la Historia de Calculo Presentacioacuten de ejercicios propuestos en clase
1 Resuelve problemas de
aplicacioacuten de razoacuten de cambio 2 Encuentra la derivada de
funciones ( )f x 3 Calcula la derivada de funciones
( )f x empleando la definicioacuten de derivada
4 Grafica funciones y su
derivadas
ACTIVIDADES DE PROCESO
2h15rsquo break 1h30rsquo
bull Se expone el fundamento teoacuterico sobre la definicioacuten de
derivada y se entrega el material didaacutectico bull Se resuelve en parejas en la solucioacuten del primer trabajo
praacutectico bull Los alumnos exponen en la pizarra la solucioacuten de los
problemas bull Con el grupo experimental se trabaja la guiacutea de laboratorio
ACTIVIDADES FINALES
10rsquo
Actitudes Valora de manera criacutetica la importancia de la historia del calculo asiacute mismo muestra orden e intereacutes por aprender
bull Presentar en la siguiente clase la solucioacuten de los ejercicios
propuestos en la separata
METODO AYUDAS TEacuteCNICAS E INSTRUMENTOS DE EVALUACIOacuteN
x Expositivas-Interactivas
Investigacioacuten Individual
Debate
Proyecto
Demostracioacuten
x Investigacioacuten por equipos
Otros
Texto Separatas-resumen x Transparencias- Diapositivas
Ejercicios Aplicacioacuten x Casos Presentacioacuten Multimedia
x
Otros
Observacioacuten Situacioacuten Ejercicio Praacutectico Pruebas Escritas Situacioacuten Oral
de Evaluacioacuten
Pruebas de Desempentildeo
Examen Temaacutetico
x Ejercicios Interpretativos
Pruebas Objetivas
Mapa mental
Mapa Conceptual
x Estudios de Casos x Praacutecticas- Laboratorio
Proyecto
Portafolio
Ensayos
Otros (Indicar)
x Exposicioacuten x Diaacutelogo Debate Examen
Oral
Lista de cotejo
x Registro anecdoacutetico
Escala de actitud
Otros(Indicar)
Bibliografiacutea Anaacutelisis Matemaacutetico I Eduardo Espinoza Ramos Anaacutelisis Matemaacutetico Maacuteximo Mittac Meza
Paacutegina Web wwwucvpiuraedupe (aula virtual)
P L A N D E S E S I Oacute N D E A P R E N D I Z A J E 2 0 0 6- II
ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS
ASIGNATURA MATEMATICA I
Ciclo II Seccioacuten A
Semana 13 Nordm Sesioacuten 1
DOCENTE Lic Diana Quintana Saacutenchez
COMPETENCIA Interpreta formula analiza y resuelve problemas de contexto real utilizando definiciones teacutecnicas y aplicaciones del Caacutelculo Diferencial desarrollando comunicacioacuten investigacioacuten razonamiento y manifestando confianza flexibilidad y perseverancia
CONTENIDO Derivadas
CAPACIDAD Infiere mediante un anaacutelisis grafico las relaciones existentes entre la graacutefica de una funcioacuten y su primera derivada signo de la primera derivada asociado con crecimiento o decrecimiento de la funcioacuten y derivada nula con puntos criacuteticos
ACTIVIDADES TIEMPO
INDICADORES INICIALES
15rsquo
Destreza Habilidad
Contenido Producto Iacutetems
bull Saludo bull Esta clase se inicia con una lluvia de ideas sobre lo trabajado en
la clase anterior
Calcula Determina Analiza
Reglas de Derivacioacuten Derivadas de orden superior Anaacutelisis graacutefico de funciones y su primera derivada
Solucioacuten de ejercicios sobre derivadas Anaacutelisis de grafico de funciones y su primera derivada Ejemplos de primera y segunda derivada
5 Calcule la derivada de las
siguientes funciones 6 Encuentra derivada de orden
superior de funciones ( )f x 7 Analiza las graficas de
funciones y su derivada
ACTIVIDADES DE PROCESO
2h15rsquo
break 1h30rsquo
bull Para esta sesioacuten los alumnos han descargado el material del aula
virtual Pero para el grupo experimental la guiacutea se entrega en clase
bull Se presenta el contenido y se trabaja dando espacios para las posibles preguntas de los alumnos Ademaacutes se presentan ejemplos
bull Se solicita a los alumnos que voluntariamente expongan sus soluciones
ACTIVIDADES FINALES
10rsquo
Actitudes Valora la importancia de conocer el comportamiento grafico de una funcioacuten y su derivada
bull Presentar en la siguiente clase la solucioacuten del trabajo
praacutectico Nordm 4 METODO AYUDAS TEacuteCNICAS E INSTRUMENTOS DE EVALUACIOacuteN
x Expositivas-Interactivas
Investigacioacuten Individual
Debate
Proyecto
Demostracioacuten
Investigacioacuten por parejas
Otros
Texto Separatas-resumen x Transparencias- Diapositivas
Ejercicios Aplicacioacuten x Casos Presentacioacuten Multimedia
Otros
Observacioacuten Situacioacuten Ejercicio Praacutectico Pruebas Escritas Situacioacuten Oral de Evaluacioacuten
Pruebas de Desempentildeo
Examen Temaacutetico
x Ejercicios Interpretativos
Pruebas Objetivas
Mapa mental
Mapa Conceptual
Estudios de Casos x Praacutecticas- Laboratorio
Proyecto
Portafolio
Ensayos
Otros (Indicar)
x Exposicioacuten x Diaacutelogo Debate Examen
Oral
Lista de cotejo
x Registro anecdoacutetico
Escala de actitud
Otros(Indicar)
Bibliografiacutea Anaacutelisis Matemaacutetico I Eduardo Espinoza Ramos Anaacutelisis Matemaacutetico Maacuteximo Mittac Meza
Paacutegina Web wwwucvpiuraedupe (aula virtual)
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ASIGNATURA MATEMATICA I
Ciclo II Seccioacuten A B
Semana 14 Nordm Sesioacuten 1
DOCENTE Lic Diana Quintana Saacutenchez
COMPETENCIA Interpreta formula analiza y resuelve problemas de contexto real utilizando definiciones teacutecnicas y aplicaciones del Caacutelculo Diferencial desarrollando comunicacioacuten investigacioacuten razonamiento y manifestando confianza flexibilidad y perseverancia CONTENIDO Derivadas
CAPACIDAD Determina los puntos criacuteticos de una funcioacuten y los clasifica en maacuteximos miacutenimos o de inflexiones
ACTIVIDADES TIEMPO INDICADORES
INICIALES
15rsquo
Destreza Habilidad
Contenido Producto Iacutetems
bull Saludo bull Esta clase se inicia con la presentacioacuten de un problema el cual
implica derivar una funcioacuten trascendente la intencioacuten es generar el desequilibrio cognitivo
Identifica Demuestra Emplea
Reglas de Derivacioacuten de funciones Trigonometricas Trigonometricas Inversas Exponenciales Logariacutetmicas Reglas de Derivacioacuten de funciones Impliacutecitas Derivadas de orden superior
Solucioacuten de ejercicios y problemas de la separata referidos a derivadas
bull Identifica las reglas de derivacioacuten
que empleara para resolver determinados ejercicios
bull Demuestra empleando meacutetodos de
derivacioacuten que las derivadas de funciones impliacutecita se pueden calcular
bull Emplea derivacioacuten de orden
superior para resolver problemas
ACTIVIDADES DE PROCESO
2h15rsquo break 1h30rsquo
bull Para esta sesioacuten los alumnos han descargado el material del aula
virtual bull La clase se desarrolla empleando el meacutetodo expositivo dando
espacios para las posibles preguntas de los alumnos Ademaacutes se presentan ejemplos y la solucioacuten del problema planteando al inicio de la clase
bull Con el grupo experimental no hubo laboratorio bull Se resuelve de forma individual los ejercicios del trabajo praacutectico bull Se solicita a los alumnos que voluntariamente expongan sus
soluciones ACTIVIDADES FINALES
10rsquo Actitudes Intereacutes por conocer fundamentos teoacutericos que le permitan resolver ejercicios y problemas
bull Presentar en la siguiente clase la solucioacuten del trabajo praacutectico de la separata
METODO AYUDAS TEacuteCNICAS E INSTRUMENTOS DE EVALUACIOacuteN
x Expositivas-Interactivas
Investigacioacuten Individual
Debate Proyecto Demostracioacuten Investigacioacuten
por parejas Otros
Texto Separatas-resumen x Transparencias- Diapositivas
Ejercicios Aplicacioacuten x Casos Presentacioacuten Multimedia
Otros
Observacioacuten Situacioacuten Ejercicio Praacutectico Pruebas Escritas Situacioacuten Oral de Evaluacioacuten
Pruebas de Desempentildeo
Examen Temaacutetico
x Ejercicios Interpretativos
Pruebas Objetivas
Mapa mental Mapa Conceptual Estudios de Casos x Praacutecticas- Laboratorio Proyecto Portafolio Ensayos Otros (Indicar)
x Exposicioacuten x Diaacutelogo Debate Examen
Oral
Lista de cotejo x Registro
anecdoacutetico Escala de actitud Otros(Indicar)
Bibliografiacutea Anaacutelisis Matemaacutetico I Eduardo Espinoza Ramos Anaacutelisis Matemaacutetico Maacuteximo Mittac Meza
Paacutegina Web wwwucvpiuraedupe (aula virtual)
P L A N D E S E S I Oacute N D E A P R E N D I Z A J E 2 0 0 6- II ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS
ASIGNATURA MATEMATICA I
Ciclo II Seccioacuten B
Semana 15 Nordm Sesioacuten 1
DOCENTE Lic Diana Quintana Saacutenchez
COMPETENCIA Interpreta formula analiza y resuelve problemas de contexto real utilizando definiciones teacutecnicas y aplicaciones del Caacutelculo Diferencial desarrollando comunicacioacuten investigacioacuten razonamiento y manifestando confianza flexibilidad y perseverancia CONTENIDO Derivadas CAPACIDAD Emplea criterios de primera y segunda derivada para resolver problemas de maacuteximos y miacutenimos
ACTIVIDADES TIEMPO INDICADORES INICIALES DestrezaHabilidad Contenido Producto Iacutetems
bull Saludo bull Esta clase se inicia con la participacioacuten de los
alumnos en un pequentildeo dialogo sobre los contenidos estudiados en la clase anterior
15rsquo
Calcula Aplica Resuelve
Reglas de LrsquoHospital Criterio de la Primera y segunda derivada Problemas de Maacuteximos y Miacutenimos
Opinioacuten sobre los protagonistas de la Historia de Calculo Presentacioacuten de ejercicios propuestos en clase
8 Calcula liacutemites empleando la
regla de LrsquoHospital 9 Aplica el criterio de la primera y
segunda derivada para resolver ejercicios
10 Resuelve problemas de
maacuteximos y miacutenimos
ACTIVIDADES DE PROCESO
2h15rsquo break 1h30rsquo
bull Se expone el fundamento teoacuterico sobre la definicioacuten
de derivada y se entrega el material didaacutectico bull Se resuelve en parejas en la solucioacuten del primer
trabajo praacutectico bull Los alumnos exponen en la pizarra la solucioacuten de los
problemas ACTIVIDADES FINALES
10rsquo
Actitudes Valora de manera criacutetica la importancia de la historia del caacutelculo asiacute mismo muestra orden e intereacutes por aprender
bull Resolver y exponer la solucioacuten de los ejercicios de la
separata
METODO AYUDAS TEacuteCNICAS E INSTRUMENTOS DE EVALUACIOacuteN
x Expositivas-Interactivas
Investigacioacuten Individual
Debate
Proyecto
Demostracioacuten
x Investigacioacuten por equipos
Otros
Texto Separatas-resumen x Transparencias- Diapositivas
Ejercicios Aplicacioacuten x Casos Presentacioacuten Multimedia
x
Otros
Observacioacuten Situacioacuten Ejercicio Praacutectico Pruebas Escritas Situacioacuten Oral
de Evaluacioacuten
Pruebas de Desempentildeo
Examen Temaacutetico
x Ejercicios Interpretativos
Pruebas Objetivas
Mapa mental
Mapa Conceptual
Estudios de Casos x Praacutecticas- Laboratorio
Proyecto
Portafolio
Ensayos
Otros (Indicar)
x Exposicioacuten x Diaacutelogo Debate Examen
Oral
Lista de cotejo
x Registro anecdoacutetico
Escala de actitud
Otros(Indicar)
Bibliografiacutea Anaacutelisis Matemaacutetico I Eduardo Espinoza Ramos Anaacutelisis Matemaacutetico Maacuteximo Mittac Meza
Paacutegina Web wwwucvpiuraedupe (aula virtual)
tener la lata es decir el radio y la altura Calcula tambieacuten el valor de la superficie de la chapa miacutenima PROBLEMA 3 Calcula el valor de los coeficientes a y b para que la funcioacuten
3( )f x ax bx= + tenga un maacuteximo relativo en P (12) PROBLEMA 4 Calcular el polinomio de tercer grado que pasa por el origen de coordenadas O (00) tiene un maacuteximo relativo en el punto P (-24) y un punto de inflexioacuten en el punto Q (-12)
ANEXO 5
TABLAS DE ESPECIFICACIONES
Preg horas Razon de Cambio- Problema de la recta tangente 1 0 0 0 1 1 20
TOTAL 2 2 1 2 7 5 100
TOTAL
TABLA DE ESPECIFICACIONESPRUEBA DE MATEMATICA I
PRACTICA 1
Conocimiento Comprensioacuten Aplicacioacuten
Definicion de Derivada 1 0 1 0 2 1 20
Graacutefico de Funciones y suderivada 0 2 0 2 4 3 60
Ejes Temaacuteticos
HabilidadesCognitivas Anaacutelisis
Siacutentesis y Evaluacioacuten
Preg horas Calculo de Derivadas de orden Superior 0 2 0 1 3 3 60Primera y segunda Derivada de una Funcioacuten 0 0 2 2 4 2 40TOTAL 0 2 2 3 7 5 100
Conocimiento Comprensioacuten Aplicacioacuten
TABLA DE ESPECIFICACIONESPRUEBA DE MATEMATICA I
PRACTICA 2
TOTAL
Ejes Temaacuteticos
HabilidadesCognitivas Anaacutelisis
Siacutentesis y Evaluacioacuten
Preg horas Grafico de funciones y sus derivadas y propiedades de las funciones
1 0 1 1 3 2 40
Problemas de Optimizacion 1 0 2 0 3 3 60TOTAL 2 0 3 1 6 5 100
TABLA DE ESPECIFICACIONESPRUEBA DE MATEMATICA I
PRACTICA 3
Conocimiento Comprensioacuten AplicacioacutenTOTAL
Ejes Temaacuteticos
HabilidadesCognitivas Anaacutelisis
Siacutentesis y Evaluacioacuten
Preg horas SEGUNDA UNIDAD 1 0 3 1 5 20 100TOTAL 1 0 3 1 5 20 100
TABLA DE ESPECIFICACIONESEXAMEN FINAL DE MATEMATICA I
Conocimiento Comprensioacuten AplicacioacutenTOTAL
Ejes Temaacuteticos
HabilidadesCognitivas Anaacutelisis
Siacutentesis y Evaluacioacuten
ANEXO 6
INSTRUMENTOS DE EVALUACION
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS ASIGNATURA MATEMATICA I TIEMPO 2 HORAS
PRACTICA CALIFICADA Nordm 1 INDICACIONES Cuide la redaccioacuten de sus respuestas y trabaje en forma ordenada evitando los borrones CONOCIMIENTO (2 ptos cada una)
1 Identifica el concepto de razoacuten de cambio en el problema de la recta tangente
2 Menciona las dos formas equivalentes de la derivada y explica su diferencia simboacutelica
COMPRENCION (2 ptos cada una)
3 En la siguiente figura se dan las graacuteficas de una funcioacuten f y su derivada f sobre unos ejes comunes Explicar en un breve paacuterrafo dichas graacuteficas
4 Empareja cada funcioacuten de la columna izquierda con la grafica de su derivada en la columna derecha
a) A)
b) B) c) C) APLICACIOacuteN (4 ptos)
5 Usar la definicioacuten de derivada para hallar ( )f x Siendo
3 2( )f x x x= + ANALISIS SINTESIS Y EVALUACIOacuteN (4 ptos cada una)
6 Analiza la situacioacuten en el punto 0x = para la funcioacuten ( )f x y su derivada asiacute mismo elabora una grafica de dichas funciones
2
2
4 0( )
4 0
x xf x
x x
minus gt= minus le
7 Evaluacutee las funciones 2( ) 1f x x= + y ( ) 1g x x= + simultaacuteneamente
en la cercaniacutea del punto (01) y responda iquestQueacute se observa iquestQueacute funcioacuten es derivable en ese punto
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS ASIGNATURA MATEMATICA I TIEMPO 2 HORAS
PRACTICA CALIFICADA Nordm 2 INDICACIONES Cuide la redaccioacuten de sus respuestas y trabaje en forma ordenada evitando los borrones COMPRENCION (3 ptos cada una)
1 Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas En caso de que sea falsa explica por queacute o da un ejemplo que muestre su falsedad
a) Si ( ) ( )y f x g x= entonces ( ) ( )dy f x g xdx
=
b) Si ( 1)( 2)( 3)( 4)y x x x x= + + + + entonces 5
5 0d ydx
=
c) La segunda derivada representa el ritmo de cambio de la primera
2 Sean f y g funciones cuyas primeras y segundas derivadas existen en un intervalo I Sentildeala iquestCuaacutel de estas formulas es correcta a) ( ) fg f g fg f gminus = minus b) ( ) fg f g fg+ =
APLICACIOacuteN (25 ptos)
3 Soluciona el siguiente problema El costo C de pedido y transporte de
las componentes utilizadas en la fabricacioacuten de un producto es 200100 1
30xC x
x x = + le +
donde C se mide en miles doacutelares y
x es el tamantildeo del pedido Hallar el ritmo de cambio de C con respecto a x cuando 10 15x x= =
4 Usa la graacutefica de f para esbozar la de f y f
ANALISIS SINTESIS Y EVALUACIOacuteN (3 cada una)
5 Hallar la derivada de f para 1234n = y usar los resultados para proponer una foacutermula general para ( )f x en teacuterminos de n
6 Selecciona y graacutefica de una funcioacuten derivable f tal que 0f gt y
0f lt para todos los nuacutemeros reales x
7 Evaluacutea la derivada de la funcioacuten en el punto que se indica 1 cos1 cos
ecxyecx
+=
minusen 3
6π minus
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS ASIGNATURA MATEMATICA I TIEMPO 2 HORAS
PRACTICA CALIFICADA Nordm 3 INDICACIONES Cuide la redaccioacuten de sus respuestas y trabaje en forma ordenada evitando los borrones CONOCIMIENTO (15 pto cada una)
1 La graacutefica de ( )f x viene dada en la figura adjunta Indica a) iquestEn queacute valores de x es ( )f x cero positiva o negativa b) iquestEn queacute intervalo es f creciente
2 Describa el criterio de la segunda Derivada para hallar maacuteximos y
miacutenimos de una funcioacuten APLICACIOacuteN (45 cada una) Soluciona los siguientes problemas
3 El rendimiento (medido de 0 a 10) de cierto producto en funcioacuten del
tiempo de uso ( x en antildeos) viene dado por la siguiente expresioacuten
2
3( ) 85 0
1
xf x xx
= + ge+
a) iquestHay intervalos de tiempo en los que el rendimiento crece iquestY en que decrece iquestCuaacuteles son
b) iquestEn queacute punto se alcanza el rendimiento maacuteximo iquestCuaacutento vale
4 Se ha construido una presa de almacenamiento de agua cuyos costos de mantenimiento diarios son una funcioacuten de la cantidad de agua que la misma tiene almacenada Tales costos (en doacutelares) vienen dados por la siguiente expresioacuten ( ( )C x representa el costo si el volumen de agua en millones de metros cuacutebicos es x )
3 2( ) 8 73C x x x x= + minus + a) encontrar el volumen diario de agua oacuteptimo que debe mantenerse para minimizar costos b) calcular el costo miacutenimo diario que supone el mantenimiento de la instalacioacuten Si un diacutea la presa tiene almacenados 3 millones de metros cuacutebicos de agua iquestcuaacutento se ha gastado de maacutes respecto del costo miacutenimo
5 Proponga y dibuje una funcioacuten cuya derivada sea siempre negativa ANALISIS SINTESIS Y EVALUACIOacuteN (35 ptos)
6 Las graacuteficas de f f f se muestran en los mismos ejes iquestPodriacuteas decir cuaacutel es cuaacutel
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS ASIGNATURA MATEMATICA I TIEMPO 2 HORAS
EXAMEN FINAL
INDICACIONES Cuide la redaccioacuten de sus respuestas y trabaje en forma ordenada evitando los borrones CONOCIMIENTO (2 ptos)
1 Demostrar usando la definicioacuten que (cos )d x senx
dx= minus
APLICACIOacuteN (4 ptos cada una)
2 Emplea las reglas de derivacioacuten para encontrar la derivada de la
siguiente funcioacuten coscos
senx xy arctgsenx x
+ = minus
3 Calcular la primera derivada de la funcioacuten impliacutecita 2 34 6xy y y xy+ = +
4 Encontrar la derivada de la siguiente funcioacuten reduciendo en lo posible dicha derivada a su miacutenima expresioacuten
1 1 1( ) ln 2
11 1
x x xf x arctg
xx x
+ minus minus minus= +
++ + minus
ANALISIS SINTESIS Y EVALUACIOacuteN (6 ptos)
5 Lee atentamente el siguiente enunciado y responde a las preguntas La puntuacioacuten obtenida por un estudiante en un examen depende del tiempo que haya dedicado a su preparacioacuten ( x expresado en horas) en los siguientes teacuterminos
0 153( )2
1502 3
x si xg x
x si xx
le le= lt +
a) Si un estudiante ha dedicado menos de 15 horas a preparar el examen justificar que no aprobaraacute esto es que obtendraacute menos de 5 puntos
b) Justificar que la puntuacioacuten nunca puede ser superior a 10 puntos
Aprendizaje 15 23 Desarrollo de la parte conceptual de la Derivada 19
24 La informaacutetica como recurso 92 241 El Software Educativo en el proceso de ensentildeanza Aprendizaje 94 242 La introduccioacuten del software de Matemaacutetica en la educacioacuten Matemaacutetica 94 243 El programa Derive 96 244 Capacidades del programa Derive 96 245 Laboratorios para el aprendizaje del Caacutelculo diferencial empleando Derive 97
Capiacutetulo III 99
Metodologiacutea de la Investigacioacuten 99 31 Paradigma de Investigacioacuten 99 32 Tipo de Investigacioacuten 100 33 Poblacioacuten 100 34 Hipoacutetesis Estadiacutesticas 100 35 Variables 100 36 Disentildeo de Investigacioacuten 100 37 Teacutecnicas e instrumentos de recoleccioacuten de datos 101 38 Teacutecnica de Procesamiento de Datos 102 39 Proceso de Investigacioacuten 103 391 Dificultades en el aprendizaje del
Calculo Diferencial 103 392 Rendimiento Acadeacutemico 104 393 Propuesta Didaacutectica 104
Capiacutetulo IV 115
Anaacutelisis e Interpretacioacuten de Resultados 115 41 Anaacutelisis Estadiacutestico
411 Resultados del rendimiento acadeacutemico 115 Los grupos experimental y de control
42 Anaacutelisis Inferencial 118 421 Comparacioacuten de Medias 118 422 Tablas de frecuencia del Pre-Test y Post-Test 119
423 Resultados del Pre-Test y Post-Test Considerando la comparacioacuten de medias y la Prueba t-student 121 424 Aceptacioacuten o rechazo de la hipoacutetesis nula o Alternativa 124 43 Discusioacuten de los resultados 125
Conclusiones 128 Recomendaciones 130 Bibliografiacutea 132
IacuteNDICE DE TABLAS
PAacuteGINA
1 Tabla Nordm1 Precio de artiacuteculo por meses 23 2 Tabla Nordm2 Razoacuten de cambio en el 2do 3er y 4to mes 27 3 Tabla Nordm3 Temperatura de un paciente seguacuten
transcurren las horas 29 4 Tabla Nordm4 Relacioacuten de Temperatura Graacutefica y Razoacuten
de Cambio 29 5 Tabla Nordm5 Derivadas de orden superior 78 6 Tabla Nordm6 Calificaciones de la Segunda Unidad
- Grupo Experimental 117 7 Tabla Nordm7 Calificaciones de la Segunda Unidad
- Grupo de Control 118 8 Tabla Nordm8 Resultados Pre Test y Post Test - Grupo Experimental 120 9 Tabla Nordm9 Resultados Pre Test y Post Test ndash Grupo de Control 122 10 Tabla Nordm10 Resumen estadiacutestico de pruebas Pre Test
de los grupos experimental y de control 124 11 Tabla Nordm11 Resumen estadiacutestico de pruebas Post Test
de los grupos experimental y de control 125
IacuteNDICE DE GRAacuteFICOS
PAacuteGINA
1 Figura 1 Graacutefica del precio dado en soles en el primer y tercer mes 24 2 Figura 2 Grafica del Supuesto crecimiento lineal de precio entre el primer y tercer mes 24 3 Figura 3 Graacutefica del descuento del 30 en el precio 24 4 Figura 4 Comportamiento no lineal entre tiempo y precio 26 5 Figura 5 Comportamiento no lineal entre tiempo y precio 26 6 Figura 6 Grafico del peso promedio de un bebeacute desde su nacimiento Hasta los dos antildeos 30 7 Figura 7 Graacutefico del valor de madera producida en funcioacuten del tiempo 31 8 Figura 8 Graacutefico del porcentaje de habitante en Estados Unidos que ven televisioacuten durante las 24 horas del diacutea 32 9 Figura 9 Graacutefica de las rectas secante y tangentes a una curva desde El punto Q hasta el punto P 33 10 Figura 10 Graacutefico de las posiciones de una recta secante a una curva en los puntos P y Q y su aproximacioacuten a la recta tangente 34 11 Figura 11 Graacutefica de la distancia recorrida por el objeto en
funcioacuten del tiempo 36
12 Figura 12 Graacutefica de la funcioacuten 1( )f xx
= y su recta
tangente en el Punto ( )21 2 39
13 Figura 13 Graacutefica de la funcioacuten ( )f x en los puntos c y c h+ empleando la primera forma de derivar 45 14 Figura 14 Graacutefica de la funcioacuten ( )f x en los puntos c y c h+ empleando la primera forma de derivar 45
15 Figura 15 Graacutefico de la funcioacuten valor absoluto para estudiar la derivada en cero 48 16 Figura 16 Graacutefico de la derivada de la funcioacuten valor absoluto 49
17 Figura 17 Graacutefico de la funcioacuten 2 0( )
0x xf xx x
le=
gt para
Estudiar la derivada en cero 50
18 Figura 18 Graacutefico de la funcioacuten 1 0( )
2 0x
f xx x
ge= lt
50
19 Figura 19 Graacutefico de posibles situaciones de funcioacuten Diferenciable en un punto 51
20 Figura 20 Grafico de la funcioacuten 2( ) 9f x x= minus 53
21 Figura 21 Graacutefico de la funcioacuten 1( )
1f x
x=
+ 53
22 Figura 22 Graacutefico de la funcioacuten 3( )
1f x
xminus
=+
59
IacuteNDICE DE ANEXOS
CONTENIDO PAacuteGINA
1 ANEXO 1 Siacutelabo de la Asignatura 135 2 ANEXO 2 Registro de Evaluaciones 144
3 ANEXO 3 Guiacuteas Metodoloacutegicas Aplicando
El Software DERIVE 145
4 ANEXO 4 Planes de Clase 171 5 ANEXO 5 Tabla de Especificaciones 177
6 ANEXO 6 Instrumentos de Evaluacioacuten 186
7 ANEXO 7 Laboratorios en DERIVE 195
INTRODUCCIOacuteN El presente trabajo se ha realizado en la asignatura Matemaacutetica I del segundo ciclo en las Escuelas de Ingenieriacutea Industrial e Ingenieriacutea de Sistemas y fue motivado por la necesidad de mejorar mi praacutectica docente y brindar a los alumnos herramientas para mejorar el aprendizaje de esta asignatura Lo abstracto de las matemaacuteticas no permite que los alumnos puedan ver y manipular entes matemaacuteticos generaacutendose confusiones y problemas para interpretar la informacioacuten que un determinado elemento pueda proporcionar Siendo asiacute con mayor dificultad podraacuten emplear los resultados obtenidos para predecir alguna situacioacuten Pensando en esta problemaacutetica es que penseacute en incorporar al trabajo en clase el uso de Software DERIVE para desarrollar el capiacutetulo de derivadas Elegiacute este software por su faacutecil manejo de esta forma los alumnos no demorariacutean en aprenderlo y podriacutean usarlo sin complicaciones Para esta investigacioacuten se elaboroacute un moacutedulo dando un tratamiento didaacutectico a las definiciones teoremas propiedades de la derivada apoyaacutendonos en la teoriacutea de Registros Semioacuteticos ademaacutes de guiacuteas de laboratorio y praacutecticas calificadas apoyaacutendonos para su elaboracioacuten en la Taxonomiacutea de Bloom Los grupos con los que se trabajo la investigacioacuten fueron dos uno experimental y otro de Control Asiacute iniciamos un estudio en que planteamos la posibilidad de que los estudiantes alcancen un aprendizaje del Caacutelculo Diferencial maacutes efectivo empleando DERIVE que permita mejorar el resultado del rendimiento de la asignatura de Matemaacutetica I y por ende mejorar su calidad educativa
CAPIacuteTULO I
PROBLEMATIZACIOacuteN
11PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 111 ANTECEDENTES
Algunos de los trabajos encontrados con ayuda del buscador REDEMAT son los que presento a continuacioacuten estos trabajos de investigacioacuten se han realizado empleando software educativos y desarrollando temas como Funciones Matrices Geometriacutea en los niveles de secundaria bachillerato y universidad
1 TITULO DERIVE UNA HERRAMIENTA PARA EL
APRENDIZAJE DE LAS MATEMAacuteTICAS AUTOR FRANCISCO CABO GARCIA BONIFACIO LLAMAZARES RODRIacuteGUEZ MARIA TERESA PENtildeA GARCIA LUGAR DEPARTAMENTO DE ECONOMIacuteA APLICADA (MATEMAacuteTICA) UNIVERSIDAD DE VALLADOLID
Los autores muestran en este trabajo su experiencia docente con el programa DERIVE en la asignatura Matemaacutetica de las Licenciaturas en Economiacutea y en Administracioacuten y Direccioacuten de Empresas
El objetivo es complementar el curso con una herramienta que les permita a los alumnos visualizar situaciones matemaacuteticas difiacuteciles o muy laboriosas de trabajar manualmente pero que tiene mucha interpretacioacuten en la Economiacutea Este equipo de docentes ha elaborado una guiacutea dividida en tres capiacutetulos El primero describe los menuacutes y los botones de cada una de las ventanas del programa los dos siguiente se dedican al estudio del Algebra y Caacutelculo asiacute como a programar algunas funciones para facilitar la resolucioacuten de ejercicios La conclusioacuten de esta investigacioacuten es que el uso de recursos informaacuteticos permite un mayor acercamiento del alumno a las asignaturas que como matemaacuteticas no gozan de mucha simpatiacutea entre los estudiantes Ademaacutes de desarrollar en el alumno una mayor destreza en las praacutecticas informaacuteticas ya que este curso corresponde a los primeros ciclos
2 TITULO UNA PROPUESTA METODOLOacuteGICA DE
INTRODUCCIOacuteN TEMPRANA DEL CONCEPTO DE APROXIMACIOacuteN LOCAL EN SU MANIFESTACIOacuteN DE RECTA TANGENTE VIacuteA EL ASISTENTE MATEMAacuteTICO
AUTOR PEDRO VICENTE ESTABAN DUARTE
PEDRO PEREZ CARRERA LUGAR UNIVERSIDAD POLITECNICA DE VALENCIA
ESPANtildeA
Los mapas conceptuales tienen por objeto representar relaciones significativas entre conceptos en forma de proposiciones facilitando el anaacutelisis del lenguaje empleado en su construccioacuten y poniendo de manifiesto la integracioacuten que los aprendices tienen entre los conceptos empleados para su elaboracioacuten En el modelo educativo de Van Hiele es considerado el lenguaje como una de sus caracteriacutesticas fundamentales en el proceso de aprendizaje de un concepto geomeacutetrico o matemaacutetico y es una de los indicadores del nivel de razonamiento en el cual un alumno se encuentra El modelo de Van Hiele esta compuesto por cinco niveles de razonamiento cinco fases del aprendizaje y el insight o definido tambieacuten como comprensioacuten A partir del anaacutelisis del leguaje se pueden disentildear experiencias de aprendizaje
significativas para potenciar el progreso de un alumno a traveacutes de los niveles de razonamiento postulados por dicho modelo El propoacutesito de esta investigacioacuten es exponer una metodologiacutea basada en el Modelo Educativo de Van Hiele para ensentildear el concepto de aproximacioacuten local en su manifestacioacuten de recta tangente a una curva plana en un punto a partir de la visualizacioacuten que se obtiene del haz de secantes entendieacutendolo como conjunto de rectas que pasan todas por un punto fijo de la curva y por otros sobre la curva dada cada vez maacutes cercanos al punto dado Dicha visualizacioacuten que se propone se obtiene con la ayuda del asistente matemaacutetico DERIVE y no requiere de manipulaciones algebraicas que entorpezcan el razonamiento que los alumnos deben desarrollar y exhibir a lo largo del proceso Se elabora un material disentildeado para ser cubierto en una clase en la cual el profesor sirva de orientador formulando preguntas y respondiendo inquietudes en el momento oportuno Como conclusiones de esta investigacioacuten se tiene que para la asimilacioacuten efectiva de un concepto matemaacutetico se deben tener en cuenta dos fases una primera de proporcionar una visualizacioacuten adecuada del concepto a estudiar en la que los alumnos tienen un primer acercamiento al concepto sin manipulaciones algebraicas La segunda es la formalizacioacuten del concepto en la cual la docencia tradicional centra todos sus esfuerzos La ensentildeanza centrada en esta segunda fase hace maacutes difiacutecil que los alumnos progresen en su razonamiento y logren integrar y desarrollar relaciones con los demaacutes conceptos estudiados Su propuesta metodoloacutegica esta dirigida a la primera fase es decir a la construccioacuten de un concepto ndash definicioacuten cuando se disponga de la madurez algebraica y loacutegico deductivo necesarias Su experiencia educativa siguiendo el modelo de Van Hiele aplicado al concepto de aproximacioacuten local del cual esta propuesta metodoloacutegica es su fruto les permite asegurar que el 90 de los alumnos sometidos al proceso descrito pueden verbalizar una definicioacuten correcta de recta tangente a una curva en uno de sus puntos partiendo del haz de secantes y solo el 5 de los alumnos que siguen el curso de anaacutelisis con
una metodologiacutea tradicional dan una definicioacuten de tangente a una curva en un punto a partir del concepto de derivada
3 TITULO ALGUNAS CONSECUENCIAS DEL USO HABITUAL
DEL ORDENADOR EN LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS
AUTOR JCARIAS
LUGAR SIMPOSIO- MADRID 11 DE DICIEMBRE DE 2003
En esta ponencia se hace una reflexioacuten acerca del uso del programa DERIVE 6 en la ensentildeanza de las matemaacuteticas Se inicia con una breve incidencia en las nuevas posibilidades del programa respecto a su predecesor DERIVE 5 Se propone el uso cotidiano incorporado a todas las fases del proceso de ensentildeanza aprendizaje la idea de que ldquoLos meacutetodos con los que los estudiantes han de ser introducidos para resolver los problemas han de tener en cuenta lo que las nuevas tecnologiacuteas son capaces de hacerrdquo le lleva a concluir que no se pueden cambiar los programas curriculares pero que se pueden aprovechar todas las potencialidades que ofrece DERIVE para hacer de el una herramienta capaz de contribuir en la formacioacuten de conocimiento en el alumno Respecto a la evaluacioacuten explica que no se trata de poner exaacutemenes especiales para evaluar unas praacutecticas con ordenador maacutes o menos ocasionales Menos todaviacutea de modificar los contenidos de las asignaturas para adaptarlos a las posibilidades del software al contrario en esta experiencia se plantea valorar las consecuencias de permitir el uso del ordenador en los exaacutemenes entendidos estos como los exaacutemenes de siempre los mismos que se hubiesen propuestos si no se contase con el ordenador Como conclusioacuten se menciona la elaboracioacuten de exaacutemenes donde el alumno plantea el problema pero las cuentas las hace el programa por tanto hay una subida de nivel por que nos centramos maacutes en los problemas (frente a los ejercicios) y por que la economiacutea de tiempo permite abarcar maacutes materias en el examen Como primera consecuencia los resultados acadeacutemicos mejoran pues hay mayor motivacioacuten en el estudiante como
consecuencia de la introduccioacuten de la tecnologiacutea y como consecuencia del mismo planteamiento de la iniciativa que lleva a restar importancia a habilidades algebraicas mal adquiridas La llamada falta de base se cintildee demasiadas veces a una mera deficiencia en esas habilidades que no necesariamente llevan unida una deficiencia en la capacidad de razonar matemaacuteticamente Como segunda consecuencia se tiene que el uso del ordenador implica cambios en los contenidos no con ello perdiendo el rigor que las matemaacuteticas requieren Pero si permitiendo dejar de ser esclavos de las limitaciones del caacutelculo y trabajando ejemplos realistas que solo con ayuda de un ordenador podriacutean visualizarse en el menor tiempo posible permitiendo de esta manera el invertir el tiempo disponible en el anaacutelisis y comprensioacuten de conceptos
4 TITULOCURSO DE CAacuteLCULO DIFERENCIAL POR
COMPUTADORA AUTOR JOSE HUMBERTO GIRALDO
LUGAR DEPARTAMENTO DE MATEMAacuteTICAS- UNIVERSIDAD DE LOS ANDES-BOGOTA- COLOMBIA
SEMINARIO I
En este seminario se expone el proyecto piloto de ensentildeanza de caacutelculo diferencial con computadoras que se esta desarrollando en la Universidad de los Andes En la primera fase del proyecto participan cuatro profesores del departamento estos profesores ensentildean aproximadamente en cuatro secciones diferentes de aproximadamente 130 estudiantes cada una Al principio del semestre cada estudiante recibe un CD que contiene la informacioacuten del curso y que incluye todas las guiacuteas que se usaran durante el semestre Estas guiacuteas tiene un formato especial despueacutes de discutir un determinado concepto el estudiante esta obligado a resolver determinados problemas relacionados con el tema que se ha explorado
Ademaacutes se trabaja para que el estudiante aprenda a encontrar conexioacuten entre la parte algebraica y la parte grafico geomeacutetrica La evaluacioacuten continua del estudiante tambieacuten se contempla como un componente de la estructura del curso El estudiante tiene un quiz semanal que se publica en la web El objetivo es tener al estudiante trabajando todo el tiempo en los conceptos y darle informacioacuten al profesor sobre como se estaacuten asimilando dichos conceptos El profesor Giraldo no obstante expreso que las computadoras no van a reemplazar a los profesores porque los estudiantes siempre van a querer salir de sus casas para socializarse alejarse de sus familias e ir a la universidad Finalmente algunas reflexiones son 1 A pesar de lo atractivo y novedosos que resultan estas metodologiacuteas no se puede perder de vista lo que es esencial en un curso de matemaacuteticas a saber hacer que el estudiante adquiera una forma de pensar precisa coherente y exhaustiva ensentildearle de una manera clara los conceptos y los argumentos loacutegico que los sustentan darle herramientas metodoloacutegicas para solucionar problemas transmitirle una pasioacuten por el mundo de las matemaacuteticas hacerle apreciar su elegancia y su utilidad 2 No cabe duda de que las computadoras con sus caacutelculos agiliacutesimos y sus estupendas animaciones y sus graacuteficas pueden ayudar a cumplir los objetivos mencionados anteriormente pues permite explicar con mucha claridad y entender con gran facilidad las nociones matemaacuteticas maacutes intriacutensecas
5 TIacuteTULO MATEMAacuteTICAS CON DERIVE EN EL SALOacuteN DE CLASES
AUTOR HECTOR AEGUETA VILLAMAR MARIA JUANA LINARES ALTAMIRANO LUGAR DIRECCIOacuteN GENERAL DE SERVICIOS DE
COacuteMPUTO ACADEacuteMICO UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MEacuteXICO
El objetivo de este trabajo es mostrar diversas aplicaciones del programa Derive para PC en el proceso de ensentildeanza de las matemaacuteticas en los niveles de secundaria y medio superior Derive es un asistente matemaacutetico que permite realizar caacutelculos numeacutericos y caacutelculos simboacutelicos El programa puede trabajar con distintos tipos de precisioacuten para los caacutelculos 31416 141 271 etc entonces puede utilizar la precisioacuten exacta Con Derive es posible trabajar una amplia gama de temas matemaacuteticos como Aritmeacutetica de nuacutemeros reales y complejos Algebra Sistemas de Ecuaciones Funciones Caacutelculo Diferencial e Integral Vectores y Matrices Graficacioacuten en dos y tres dimensiones en coordenadas cartesianas y polares etc Derive cuenta ademaacutes con algunas posibilidades de programacioacuten con las que el usuario puede definir sus propias funciones puede trabajar con operadores booleanos y con el operador condicional If tambieacuten puede crear funciones recursivas y de iteracioacuten entre otras Esto uacuteltimo permite al usuario crear sus propias aplicaciones para resolver una diversidad de problemas El programa incluye algunos archivos llamados de aplicacioacuten de gran utilidad para resolver Ecuaciones Diferenciales Transformada de Laplace Integrales Eliacutepticas y para Graficar Curvas y Superficies Parameacutetricas en tres dimensiones etc Ademaacutes de su contenido matemaacutetico la gran virtud de Derive es que corre praacutecticamente en cualquier computadora e inclusive puede correr desde el diskette que lo contenga Ademaacutes DERIVE presenta como anexos ilustraciones de algunos de los documentos que trabajaron en el Taller
112 FORMULACIOacuteN DEL PROBLEMA
Durante el tiempo que he ensentildeado la asignatura de Matemaacutetica I he notado algunas dificultades comunes en los alumnos con respecto al tema del caacutelculo diferencial Este suceso me ha permitido fijar la atencioacuten y reflexionar sobre la idea de trabajar
con alguacuten recurso que me lleve a mejorar mi praacutectica docente Asiacute planteo el siguiente problema
iquestEn queacute medida la aplicacioacuten del programa DERIVE contribuye a mejorar el aprendizaje del Caacutelculo Diferencial en los alumnos de la asignatura de Matemaacutetica I de la Escuela de Ingenieriacutea Industrial y de Sistemas de la Universidad Ceacutesar Vallejo 2006
113 JUSTIFICACIOacuteN
En el desarrollo de nuestra labor como docentes del aacuterea de matemaacutetica nos encontramos con grupos de estudiantes que presentan dificultades en su rendimiento acadeacutemico El nuacutemero de desaprobados en la asignatura incrementa conforme el curso se desarrolla y su retiro de la asignatura es una consecuencia que no tarda en aparecer
Esta situacioacuten se debe a diversas causas entre ellas podemos mencionar el empleo de estrategias instruccionales inadecuadas el desconocimiento por parte de los docentes de los conocimientos previos que tienen los alumnos y un conjunto de factores como lo son lo relacionado con el curriacuteculo el docente el estudiante las tareas acadeacutemicas el contexto socio cultural y las estrategias tanto instruccionales como de aprendizaje
Por otro lado la tecnologiacutea ha afectado a nuestras vidas de muchas maneras Es imposible que ella no afecte la educacioacuten ya que despueacutes de todo uno de los objetivos de la educacioacuten es el de preparar al individuo para que se desenvuelva en la sociedad y la sociedad estaacute imbuida de tecnologiacutea
La complejidad de esta problemaacutetica lleva a la necesidad de plantear alternativas que contribuyan a mejorar los procesos de la ensentildeanza- aprendizaje en tal sentido considerareacute el uso de un programa matemaacutetico DERIVE
Asiacute siendo profesora de la asignatura de Matemaacutetica I inicio un estudio en que planteo la posibilidad de que los estudiantes alcancen un aprendizaje del Caacutelculo Diferencial maacutes efectivo empleando DERIVE que permita mejorar el resultado del rendimiento de la asignatura de Matemaacutetica I y por ende mejorar su calidad educativa
Normalmente este trabajo de investigacioacuten no debe detenerse en la mera descripcioacuten de los problemas sino que como resultado del anaacutelisis de su origen debe desembocar en propuestas tal como la que planteo que contribuyan a superarlos o al menos que la mayoriacutea de estudiantes los superen
114 HIPOacuteTESIS
Hipoacutetesis de la Investigacioacuten
1H Los estudiantes de la asignatura de Matemaacutetica I Seccioacuten A aula 412 del semestre 2006 II de Ingenieriacutea Industrial que usan el software DERIVE obtienen un mejor rendimiento acadeacutemico que los alumnos de la asignatura de Matemaacutetica I Seccioacuten B aula 413 del semestre 2006 II de Ingenieriacutea de Sistemas que no utilizan esta herramienta informaacutetica
Hipoacutetesis Nula
0H Los estudiantes de la asignatura de Matemaacutetica I Seccioacuten A aula 412 del semestre 2006 II que usan el software DERIVE de Ingenieriacutea Industrial no obtienen un mejor rendimiento acadeacutemico que los alumnos de la asignatura de Matemaacutetica I Seccioacuten B aula 413 del semestre 2006 II de Ingenieriacutea de Sistemas que no utilizan esta herramienta informaacutetica
115 VARIABLES
Variable Independiente Uso del programa DERIVE Variable Dependiente Rendimiento acadeacutemico de los alumnos Variables Intervinientes Asistencia a clases horarios tipo de contenidos grado de motivacioacuten de los alumnos
116 POBLACIOacuteN
Los alumnos de la asignatura de Matemaacutetica I de la Escuela de Ingenieriacutea Industrial y de Sistemas de la Universidad Ceacutesar Vallejo durante el segundo semestre 2006 Son en total 51 alumnos Se tomaraacute en cuenta el promedio final al terminar cada ciclo Semestre 2006 ndash II
12OBJETIVOS DE LA INVESTIGACIOacuteN 121 OBJETIVO GENERAL
Evaluar la eficacia del programa DERIVE como recurso didaacutectico en el proceso de ensentildeanza ndash aprendizaje del Caacutelculo Diferencial en los alumnos de la asignatura de Matemaacutetica I de la Escuela de Ingenieriacutea Industrial y de Sistemas de la Universidad Ceacutesar Vallejo
122 OBJETIVOS ESPECIacuteFICOS
1 Disentildear la propuesta de ensentildeanza en sus aspectos conceptuales y praacutecticos
2 Fomentar en los alumnos las capacidades de observar discernir analizar e interpretar
3 Proponer guiacuteas y actividades de aprendizaje que conlleven al alumno al aprendizaje significativo
CAPIacuteTULO II
FUNDAMENTO TEOacuteRICO
INTRODUCCIOacuteN
Iniciamos este capiacutetulo refirieacutendonos a silabo de Matemaacutetica I a continuacioacuten abordaremos los contenidos matemaacuteticos necesarios para la investigacioacuten ademaacutes de la propuesta de trabajar con el programa DERIVE 21 DISENtildeO CURRICULAR DE LA ASIGNATURA DE
MATEMAacuteTICA I
211 SIacuteLABO DE LA ASIGNATURA DE MATEMAacuteTICA I La asignatura que ensentildeo en la Universidad Cesar Vallejo en las Escuelas de Ingenieriacutea de Sistemas e Ingenieriacutea Industrial es Matemaacutetica I El siacutelabo se ha elaborado en base a los temas que indica el plan de estudios enviado por la Facultad de Ingenieriacutea de la Universidad Cesar Vallejo de Trujillo y es el mismo para ambas escuelas sentildealo ademaacutes que en ambas escuelas tiene como pre-requisito la asignatura de loacutegico matemaacutetica curso donde se desarrollan temas como Loacutegica Matemaacutetica Fundamentos de Algebra Matrices y Determinantes y Geometriacutea Analiacutetica
El siacutelabo de esta asignatura se presenta en Anexo 1 pero a continuacioacuten describireacute sus contenidos empezando por mencionar que se deben trabajar tres capiacutetulos los cuales son 1 Funciones 2 Liacutemites y Continuidad 3 Caacutelculo Diferencial El Desarrollo de esta asignatura estaacute orientado a lograr potenciar en el estudiante capacidades propias del aacuterea de Matemaacutetica como el razonamiento y demostracioacuten la interpretacioacuten de graacuteficos y expresiones simboacutelicas y la resolucioacuten de problemas Asiacute como presentar los medios necesarios para la adquisicioacuten de ciertas destrezas como anaacutelisis interpretacioacuten y aplicacioacuten de fundamentos teoacutericos Finalmente el logro de los objetivos de esta asignatura se veraacute reflejado y podraacute ser evaluado en la eficiencia que demuestren los alumnos al resolver situaciones reales
22 DIDAacuteCTICA DE LA MATEMAacuteTICA
Sabemos que la didaacutectica de las matemaacuteticas es la ciencia del estudio y de la ayuda al estudio de las matemaacuteticas Su objetivo es llegar a describir y caracterizar los procesos de estudio ndash o procesos didaacutecticos ndash de cara a proponer explicaciones y respuestas soacutelidas a las dificultades con que se encuentran todos aquellos que estudian matemaacuteticas1
Didaacutectica de las Matemaacuteticas no es un recetario didaacutectico ni un modelo para la ensentildeanza sino un intento de transmitir algunas reflexiones producto de la experiencia y de la lectura de especialistas en el tema
Tal vez lo que se pretenda lograr es estimular ldquola sorpresa matemaacuteticardquo en el viacutenculo con nuestros alumnos Esta sorpresa se basa en provocar conceptos demostraciones elementales con intereacutes reflexioacuten intriga o admiracioacuten Es responsabilidad del docente proponer una situacioacuten adecuada mediante una pregunta que motive las distintas situaciones de
1 BROUSSEAU GUY ldquoLos Diferentes roles del maestrordquo Paidoacutes 1994
aprendizaje con conocimientos anteriores que el alumno deberaacute acomodar y adecuar a las nuevas situaciones Luego modificar el conocimiento como respuesta al medio y no como deseo del maestro es una necesidad que se convierte en una obligacioacuten es nuestra tarea No se pretende en este trabajo abordar toda la problemaacutetica (referido en este caso al caacutelculo diferencial) con la que el profesor se enfrenta en su quehacer diario ya que eacutesta es muy compleja y tiene varias aristas que el docente debe conocer como conocimientos y teoriacuteas epistemoloacutegicas Al respecto conocemos que se han desarrollado diferentes teoriacuteas como Registros de representacioacuten semioacutetica de Raymond Duval teoriacutea de Situaciones Didaacutectica de Guy Brousseau Teoriacutea Socio epistemoloacutegica y el enfoque Ontosemioacutetico de la Cognicioacuten e Instruccioacuten Matemaacutetica Y para este trabajo de investigacioacuten se ha considerado tomar como referencia la Teoriacutea de Registros de Representacioacuten Semioacutetica y la Taxonomiacutea de Raymond Duval para la parte de la evaluacioacuten
221 REGISTROS DE REPRESENTACIOacuteN SEMIOacuteTICA
RAYMOND DUVAL Raymond Duval se ha interesado por los problemas de manipulacioacuten de representantes dentro de un sistema matemaacutetico de signos y sobre los problemas de conversioacuten de representaciones entre dos o maacutes sistemas de un mismo objeto matemaacutetico generando una nueva nocioacuten que es la de Registro de representacioacuten Un registro es un signo en el sentido maacutes amplio de la palabra trazos iacuteconos siacutembolos etc Los registros son medios de expresioacuten y de representacioacuten caracterizados precisamente por sus respectivos sistemas semioacuteticos El aprendizaje de las matemaacuteticas constituye un campo de estudio privilegiado para el anaacutelisis de las actividades cognitivas fundamentales como la conceptualizacioacuten el razonamiento la resolucioacuten de problemas y la comprensioacuten de textos La particularidad del aprendizaje de las matemaacuteticas hace que estas actividades cognitivas requieran de la utilizacioacuten de sistemas de
expresioacuten y de representacioacuten distinta a los del lenguaje natural o de las imaacutegenes Bajo estas ideas se puede considerar el hecho de que no puede haber comprensioacuten matemaacutetica si no se distingue un objeto de su representacioacuten y es que no podemos confundir los objetos matemaacuteticos como lo son por ejemplo los nuacutemeros las funciones las rectas con sus representaciones es decir las escrituras decimales o fraccionarias los siacutembolos los graacuteficos los trazos de las figuras Pues un mismo objeto matemaacutetico puede darse a traveacutes de representaciones muy distintas y debemos tener claro como docentes que toda confusioacuten entre el objeto y su representacioacuten provoca en un plazo maacutes o menos amplio una perdida en la comprensioacuten En esta teoriacutea se sentildeala primer lugar que cuando hablamos de representaciones es necesario considerar los siguientes aspectos 1 El sistema por el cual se produce la representacioacuten- Cualquier representacioacuten se produce a traveacutes de un sistema en particular El contenido de la representacioacuten de un objeto cambia de acuerdo con el sistema de representacioacuten que se utiliza para su produccioacuten El pensamiento humano requiere la movilizacioacuten de varios sistemas de representacioacuten de produccioacuten y su coordinacioacuten 2 La relacioacuten entre la representacioacuten y el objeto representado 3 La posibilidad de un acceso al objeto representado aparte de la representacioacuten semioacutetica 4 La razoacuten por la que el uso de la representacioacuten es necesaria El tema de derivadas se puede aplicar como un ejemplo de esta teoriacutea por cuanto los alumnos tienen siempre problemas para pasar de una forma de representacioacuten a otra 222 TAXONOMIA DE BLOOM Y LOS NIVELES EN
QUE SE PUEDEN CLASIFICAR LOS OBJETIVOS DE APRENDIZAJE
En el propoacutesito de mejorar la calidad y eficiencias de la educacioacuten debemos buscar que los alumnos elementos esenciales de nuestra tarea logren los maacutes altos niveles de aprendizaje Asiacute con ayuda de la taxonomiacutea de Bloom especificareacute objetivos seleccionareacute los contenidos y disentildeareacute los instrumentos de evaluacioacuten
En el dominio cognoscitivo en lugar de contentarnos con la memorizacioacuten de conocimientos primer escaloacuten debemos hacer que logren el nivel maacutes alto Dichos niveles son los siguientes 1 CONOCIMIENTO Se refiere a la capacidad de recordar hechos especiacuteficos y universales meacutetodos y procesos esquemas estructuras o marcos de referencia sin elaboracioacuten de ninguna especie puesto que cualquier cambio ya implica un proceso de nivel superior Requiere que el alumno repita alguacuten dato teoriacutea o principio en su forma original bull Terminologiacutea (palabras teacuterminos teacutecnicos etc) bull Hechos especiacuteficos (fechas partes de algo acontecimientos
etc) bull Convencionalismos (formas de tratar ideas dentro de un campo
de estudio foacutermulas) bull Corrientes y sucesiones (tendencias y secuencias) bull Clasificaciones y categoriacuteas (clases grupos divisiones etc)
criterios (para juzgar o comprobar hechos principios opiniones y tipos de conducta)
bull Metodologiacutea (meacutetodos de investigacioacuten teacutecnicas y procedimientos)
bull Principios y generalizaciones (abstracciones particulares para explicar describir predecir o determinar acciones)
bull Teoriacuteas y estructuras (evocacioacuten de teoriacuteas interrelaciones de los principios y generalizaciones)
Verbos que se usan con frecuencia para redactar objetivos de este nivel Definir - Sentildealar ndash Describir - Nombrar ndash Identificar ndash Narrar ndash Indicar ndash Mencionar 2 COMPRENSIOacuteN Se refiere a la capacidad de comprender o aprehender en donde el estudiante sabe queacute se le estaacute comunicando y hace uso de los materiales o ideas que se le presentan sin tener que relacionarlos con otros materiales o percibir la totalidad de sus implicaciones El material requiere de un proceso de transferencia y
generalizacioacuten lo que demanda una mayor capacidad de pensamiento abstracto Requiere que el alumno explique las relaciones entre los datos o los principios que rigen las clasificaciones dimensiones o arreglos en una determinada materia conocimiento de los criterios fundamentales que rigen la evaluacioacuten de hechos o principios y conocimientos de la metodologiacutea principios y generalizaciones bull Traduccioacuten (parafrasear habilidad para comprender
afirmaciones no literales como simbolismos metaacuteforas traducir material matemaacutetico simboacutelico etc)
bull Interpretacioacuten (explicacioacuten o resumen implica reordenamiento o nuevos arreglos de puntos de vista)
bull Extrapolacioacuten (implicaciones consecuencias corolarios efectos prediccioacuten etc)
Verbos que se usan con frecuencia para redactar objetivos de este nivel Traducir ndash Resumir ndash Expresar ndash Parafrasear ndash Discutir 3 APLICACIOacuteN
Se guiacutea por los mismos principios de la comprensioacuten y la uacutenica diferencia perceptible es la cantidad de elementos novedosos en la tarea por realizar Requiere el uso de abstracciones en situaciones particulares y concretas Pueden presentarse en forma de ideas generales reglas de procedimiento o meacutetodos generalizados y pueden ser tambieacuten principios ideas y teoriacuteas que deben recordarse de memoria y aplicarse
bull Solucioacuten de problemas en situaciones particulares y concretas (utilizacioacuten de abstracciones en tipos de conducta y tipos de problemas)
Verbos que se usan con frecuencia para redactar objetivos de este nivel Demostrar- Practicar ndash Emplear ndash Solucionar ndash Aplicar ndash Operar ndash Usar 4 ANAacuteLISIS
Consiste en descomponer un problema dado en sus partes y descubrir las relaciones existentes entre ellas En general la eventual solucioacuten se desprende de las relaciones que se descubren
entre los elementos constituyentes Implica el fraccionamiento de una comunicacioacuten en sus elementos constitutivos de tal modo que aparezca claramente la jerarquiacutea relativa de las ideas y se exprese expliacutecitamente la relacioacuten existente entre eacutestas
bull Anaacutelisis de elementos (reconocer supuestos no expresados distinguir entre hechos e hipoacutetesis)
bull Identificacioacuten de relaciones entre los elementos (conexiones e interacciones entre elementos comprobacioacuten de la consistencia de las hipoacutetesis con informaciones y suposiciones dadas)
bull Reconocimiento de los principios de organizacioacuten de la situacioacuten problemaacutetica (estructura expliacutecita e impliacutecita reconocimiento de formas y modelos teacutecnicas generales utilizadas etc)
bull Identificacioacuten de conclusiones y fundamentacioacuten de enunciados
Verbos que se usan con frecuencia para redactar objetivos de este nivel Diferenciar- Distinguir- Discriminar- Contrastar- Criticar- Analizar- Inferir 5 SIacuteNTESIS
Es el proceso de trabajar con fragmentos partes elementos organizarlos ordenarlos y combinarlos para formar un todo un esquema o estructura que antes no estaba presente de manera clara Requiere la reunioacuten de los elementos y las partes para formar un todo
bull Elaboracioacuten de un plan o conjunto de actos planeados (habilidad para proponer formas de comprobar las hipoacutetesis)
bull Desarrollo de conjuntos de relaciones para clasificar o explicar datos
bull Deduccioacuten de proposiciones y relaciones (de un grupo de proposiciones baacutesicas o de representaciones simboacutelicas)
bull Construccioacuten de un modelo o estructura bull Reordenacioacuten de las partes en una secuencia loacutegica Verbos que se usan con frecuencia para redactar objetivos de este nivel Organizar- Reconstruir- Proponer- Reordenar
6 EVALUACIOacuteN Se refiere a la capacidad para evaluar se mide a traveacutes de los procesos de anaacutelisis y siacutentesis Requiere formular juicios sobre el valor de materiales y meacutetodos de acuerdo con determinados propoacutesitos Incluye los juicios cuantitativos y cualitativos de acuerdo a los criterios que se sugieran (los cuales son asignados) bull Juicios en funcioacuten de evidencia interna (de exactitud loacutegica
consistencia o criterio interno) bull Juicios en funcioacuten de criterios externos (criterios
seleccionados comparacioacuten de teoriacuteas comparacioacuten de un trabajo con respeto a normas etc)
Verbos que se usan con frecuencia para redactar objetivos de este nivel Juzgar- Evaluar- Apreciar ndash Revisar- Corregir- Seleccionar ndash Justificar- Valoriza
23 DESARROLLO DE LA PARTE CONCEPTUAL DE LA DERIVADA
En este apartado desarrollaremos los contenidos matemaacuteticos que se presentan en el silabo de Matemaacutetica I y que son parte de la investigacioacuten para lo cual hemos revisado bibliografiacutea de autores nacionales y extranjeros especialistas en el tema del caacutelculo diferencial
1 LA IDEA FUNDAMENTAL DEL CAacuteLCULO
Si observamos a nuestro alrededor podremos ver que nuestro mundo se caracteriza por cambios continuos de alliacute la inquietud de desarrollar meacutetodos matemaacuteticos para cuantificar describir y pronosticar estos cambios Para Wenzelburger (1993) es justamente este el propoacutesito del Caacutelculo Diferencial y presenta el concepto de razoacuten de cambio como fundamental Veamos a continuacioacuten dos definiciones del teacutermino Razoacuten de Cambio media o Promedio
DEFINICIOacuteN 1
DEFINICIOacuteN 2
Ambas definiciones muestran la misma idea pero la definicioacuten que presenta Hasser (1976) es muy cuidadosa al determinar las variables que intervienen en ella asiacute da lugar a pensar en ejemplos inmediatos de aplicacioacuten como por ejemplo la relacioacuten entre la cantidad demandada de un bien
dQ y su precio unitario
por periacuteodo de tiempo a traveacutes de la funcioacuten ( )d
Q f p=
Respecto a la segunda definicioacuten es maacutes directa no menciona que x y t sean magnitudes fiacutesicas y analiza directamente los cambios
o variaciones
Razoacuten Promedio de Cambio Sean ( )o ox x t= y ( )o oy y t= ox y oy son valores de las magnitudes fiacutesicas
en alguacuten instante ot Supongamos que ox cambia en la cantidad x∆ El cambio correspondiente y∆ en oy es
( )( )o oy f x x f x∆ = + ∆ minus Y la razoacuten promedio de cambio de y con respecto a x es
( ) ( )( )
0 o of x x f xy xx x
+ ∆ minus∆= ∆ ne
∆ ∆ (Hasser 1976 401)
Razoacuten de Cambio Media Suponga que y es una funcioacuten de x ( )y f x= correspondiendo a un cambio de x a x x+ ∆ la variable y cambia en una cantidad
( ) ( )y f x x f x∆ = + ∆ minus Asiacute el cociente de diferencias
( ) ( )Cambio de x x f x x f xCambio de y y x
∆ + ∆ minus= =∆ ∆
Representa la razoacuten de cambio de y con respecto a x (Hoffmann 1985 82)
Wenzelburger (1993 4) nos dice ldquoDeterminar razones de cambio de procesos continuos es muchas veces maacutes importante que estudiar estos procesos Siempre que dos magnitudes (variables) estaacuten conectadas mediante una relacioacuten funcional (funcioacuten) se puede estudiar el cambio relativo de una de las magnitudes con respecto a la otrardquo Como ejemplos de lo anterior podemos citar a la velocidad que es la razoacuten (el cociente) entre una distancia y un tiempo y describe el cambio en la posicioacuten de un cuerpo con respecto al tiempo transcurrido
Ciertas razones de cambio tienen nombres especiales por ejemplo bull La velocidad es solo uno de las muchas razones de cambio que seraacuten importantes en este capiacutetulo es la razoacuten de cambio de la distancia con respecto al tiempo bull Densidad de un alambre es igual a la razoacuten de cambio de la masa respecto la distancia bull Ingreso Marginal es igual a la razoacuten de cambio del ingreso respecto nuacutemero de artiacuteculo producidos bull Corriente es igual a la razoacuten de cambio de la Carga eleacutectrica respecto al tiempo Asiacute mismo Wenzelburger (1993) menciona dos aspectos importantes al estudiar el Caacutelculo Diferencial los cuales son 1- La continuidad que significa que la relacioacuten es completa no tiene saltos bruscos ni interrupciones y que graacuteficamente se expresa como segmentos de liacuteneas o curvas y no como una coleccioacuten de puntos aislados 2- La determinacioacuten de la pendiente Todos tenemos nociones intuitivas acerca de pendientes y coacutemo comparar las inclinaciones de varias pendientes Por ejemplo sabemos que cuesta maacutes trabajo subir una montantildea maacutes empinada (pendiente grande) o que el agua de un riacuteo corre maacutes raacutepido si este tiene mucha pendiente Lo que hay que explorar entre otras cosas es la manera en la cual la medida de una pendiente de una curva estaacute relacionada con el concepto de razoacuten de cambio
2 LA RELACIOacuteN ENTRE LAS RAZONES DE CAMBIO Y PENDIENTES DE RECTAS
DEFINICIOacuteN 3
Los dos ejemplos que estudiaremos a continuacioacuten tiene por objetivo reforzar la definicioacuten dada asiacute como dar el primer paso en el intento por comprobar si los alumnos pueden comprender un tipo de registro semioacutetico como lo es el lenguaje escrito y luego trabajar lo concerniente a pasar de un registro a otro como lo seriacutea el paso de lo enunciado a la grafica Ejemplo 1
ldquoSuponga que sabemos que el precio de un artiacuteculo en un primer mes era de 600 soles y en el tercer mes subioacute a 1200 soles
MES PRECIO 1 600 Soles 3 1200 Soles
Tabla Nordm 1
Podemos graficar estos datos Fig1 y suponer que el incremento del precio ocurrioacute como en la Fig2
La pendiente de una recta en un sistema de coordenadas ( x y ) es una medida de la razoacuten de cambio de la variable y con respecto al cambio de la variable x (Wenzelburger 1993 9)
La razoacuten de cambio del precio se define de la siguiente manera
se calcula el cambio en direccioacuten vertical y se divide por el cambio en direccioacuten horizontal Asiacute la razoacuten de cambio para los meses uno y tres es
Fig3
500
1000
1500
2000
1 2 3
(1600)
(31200)
Mes
Precio Y
(4840)
4
x
500
1000
1500
2000
1 2 3
(1600)
(31200)
Mes
Precio Y
Fig1
MesFig2
Precio
500
1000
1500
2000
1 2 3
(1600)
(31200)
Y
(2900)
Graacutefica del precio dado en soles en el primer y tercer
mes
Graacutefica del supuesto crecimiento lineal de precio entre el primer y
tercer mes
Graacutefico de la situacioacuten anterior con un descuento del 30 en el precio
Razoacuten de cambio = 600 3002
solesmes
= hellip (1)
Este valor numeacuterico caracteriza el incremento del precio En el cuarto mes se ofrecioacute el producto con un 30 de descuento como promocioacuten (Fig3) La razoacuten de cambio en este mes es
Razoacuten de cambio= 840 1200 3601
solesmes
minus = minus hellip (2)
Ahora consideremos un valor intermedio
Razoacuten de cambio= 900 600 300 3002 1 1
solesmes
minus = = minus hellip (3)
Resumimos lo observado en (1) (2) y (3) Una razoacuten de cambio caracteriacutestica para una graacutefica en forma de segmentos de liacutenea recta soacutelo cambia si hay variacioacuten en la pendiente de eacutesta Si crece la graacutefica la razoacuten de cambio y la pendiente son positivas Si decrece la graacutefica la razoacuten de cambio y la pendiente son negativas Para calcular la razoacuten de cambio entre dos puntos de una graacutefica se sigue el trazo de la curva y se ven los valores primero el punto de la abscisa (valor en el eje horizontal) maacutes grande y despueacutes el punto en la abscisa maacutes pequentildea Despueacutes se forma el cociente entre la diferencia vertical y la horizontalrdquo
3 RAZONES DE CAMBIO ENTRE DOS PUNTOS DE UNA
CURVA
La diferencia entre una relacioacuten lineal de una no lineal radica en que la razoacuten de cambio para una relacioacuten no lineal varia a lo largo de la curva mientras que en una relacioacuten lineal es constante para todos los puntos de la funcioacuten Sobre el ejemplo anterior Wenzelburger (1993) nos dice ldquoes factible que los precios no subieran siguiendo una relacioacuten lineal por ejemplo ver las figuras 4 y 5
De acuerdo a la figura 4 el precio al principio del segundo mes parece ser de 800 soles Como la razoacuten de cambio entre el precio al final del primer mes y del segundo mes (de 600 soles a 800 soles) tenemos
Razoacuten de cambio= 800 600 2001
solesmes
minus = hellip (1)
Ahora calculamos la razoacuten de cambio para el tercer mes
Razoacuten de cambio= 1200 800 4003 2
solesmes
minus = minus hellip (2)
El valor de la razoacuten de cambio en 1 y 2 es diferente Si repetimos el procedimiento para otros pares de puntos vamos a obtener muchos valores diferentes La diferencia entre una curva y una liacutenea recta es la variacioacuten continua de la razoacuten de cambio a lo largo de la curva Si suponemos ahora que los precios cambiaron de acuerdo a la figura 5 podemos observar en la tabla las razones de cambio calculadas para intervalos de 1 mes
500
1000
1500
2000
1 2 3
(1600)
(31200)
Mes
Pesos Y
4
x
(2800)
Fig4
500
1000
1500
2000
1 2 3
(1600)
(31200)
Mes
Pesos Y
4
x
(4800)
Fig5
Las figuras 4 y 5 corresponden al ejemplo1 donde se supone un comportamiento no lineal entre el tiempo y el precio
2do Mes 3er Mes 4to Mes
Razoacuten de cambio en
pesosmes
100 6001
400
minus
1200 10001
200
minus
840 12001360
minus
minus
Tabla Nordm 2
Estos valores describen a grandes rasgos el comportamiento de
la curva precio en funcioacuten del tiempo En el segundo mes el precio sube maacutes raacutepido que en el tercer mes Si calculamos la razoacuten de cambio total del segundo al cuarto mes
Razoacuten de cambio= 840 600 240 803 3
solesmes
minus = = hellip (3)
Obtenemos una informacioacuten equivocada un valor positivo
pequentildeo que no refleja la variacioacuten real del precio Por eso concluimos que es necesario calcular razones de cambio para intervalos pequentildeos debido a que intervalos grandes no dan valores representativos para la descripcioacuten del cambio de una funcioacuten a lo largo de la curvardquo
Observaciones sobre la definicioacuten bull La letra griega delta (∆ ) representa la diferencia o el cambio
bull El cociente yx
∆∆
tambieacuten se llama razoacuten de cambio promedio y
representa graacuteficamente la pendiente de una recta bull El adjetivo promedio es nombre popular pero inexacto porque en
este contexto promedio significa aproximado bull La razoacuten de cambio es suficiente para describir funciones lineales
mas no para graacuteficas curvas
4 LA TRANSFORMACIOacuteN DE LA RAZOacuteN DE CAMBIO PROMEDIO A LA RAZOacuteN DE CAMBIO INSTANTAacuteNEA
Al calcular razones promedio de cambio cada una de ellas no
representa la razoacuten de cambio al principio o al final de un intervalo x∆ sino es un valor promedio que se toma por constante en todo el
intervalo Siendo asiacute es necesario desarrollar un meacutetodo que permita
calcular la razoacuten de cambio de la funcioacuten original praacutecticamente en cada instante es decir para cada valor de x queremos conocer la razoacuten de cambio ( )f x A esta razoacuten de cambio se llama la razoacuten de cambio instantaacutenea Es importante mencionar que una razoacuten de cambio instantaacutenea es mayormente conocida con tasa de cambio Wenzelburger (1993) nos dice
Para ldquola forma de yx
∆∆
2 1
2 1
y yyx x x
minus∆=
∆ minus
Podriacutea proponerse que los puntos 2x y 1x coincidan lo cual implicariacutea tomar 2 1 0x xminus = Entonces la razoacuten de cambio seriacutea instantaacutenea puesto que se tratariacutea de un punto
Es obvio que este intento de solucioacuten fracasa Ya que para 0x∆ = no estaacute definida la razoacuten de cambio Por lo cual aceptaremos
el siguiente principio fundamental para la razoacuten de cambio instantaacutenea
El valor de 2 1x xminus seraacute siempre un nuacutemero que pueda hacerse maacutes pequentildeo que un nuacutemero muy pequentildeo arbitrario pero fijo Debido a que un nuacutemero de esta naturaleza no es igual a cero no estamos considerando un intervalo de longitud cero sino que x∆ se hace cada vez maacutes pequentildeo Esto se expresa como 0x∆ rarr
El valor numeacuterico al cual se aproxima yx
∆∆
cuando 0x∆ rarr es la
razoacuten de cambio instantaacuteneardquo Los problemas del 1 al 4 propuestos a continuacioacuten tienen por finalidad reforzar el conocimiento del alumno sobre razoacuten de cambio promedio e instantaacutenea pendiente ademaacutes interiorizar la relacioacuten que existe entre ambos conceptos asiacute mismo poner en praacutectica el trabajo de cambio de registros semioacuteticos pues se presentan problemas que
hacen uso de los tres tipos de registro y deberaacuten ser convertidos de uno a otro registro para mejorar su comprensioacuten y llegar a una solucioacuten Trabajo Praacutectico Nordm1 Razoacuten de cambio Promedio e Instantaacutenea Problema 12
Una enfermera controla la temperatura a un paciente y registra los resultados
Horas 1500 1600 1700 1800 1900 2000 2100 2200 2300 Temp 36 37 372 378 379 40 40 40 375
Tabla Nordm3
Tareas y Preguntas
a iquestCuaacutel es el cambio de temperatura entre las 1600 y las 1700 horas las 1900 y las 2200 y las 2200horas y las 2300
b Trazar la curva de fiebre del paciente c Calcular la razoacuten de cambio entre las 1500 y las 2300 horas para
intervalos de una hora d Graficar los valores obtenidos en c e Completar la tabla siguiente
Temperatura Graacutefica Razoacuten de Cambio Sube Sube positiva
Queda igual Baja
Tabla Nordm 4
2 El problema 1 se ha tomado del libro de Wenzelburger Didaacutectica del Caacutelculo Diferencial 1993 36
Problema 23
Peso Promedio de un bebeacute- La siguiente graacutefica muestra el peso de un bebeacute promedio desde el instante del nacimiento ( )0t = hasta la
edad de dos antildeos ( )24t = Calcule las pendientes de las rectas tangentes respectivas para estimar la razoacuten promedio de cambio del peso del bebeacute promedio cuando 3t = y cuando 18t = iquestCuaacutel es la razoacuten promedio de cambio en el peso de un bebeacute promedio durante el primer antildeo de vida
Fig6
Fuente Tomado de Thomson Matemaacuteticas para Administracioacuten y Economiacutea 1998 515
Problema 34
Selvicultura- La siguiente graacutefica muestra el volumen de madera producida en un bosque con una uacutenica especie En este caso ( )f t se
3 El problema 2 se ha tomado del libro de Thomson Matemaacuteticas para Administracioacuten y Economiacutea 1998 Paacuteg 515 4 El problema 3 se ha tomado del libro de Thomson Matemaacuteticas para Administracioacuten y Economiacutea 1998 Paacuteg 515
Graacutefico del peso promedio de un bebeacute desde su nacimiento hasta los dos antildeos
mide en metros cuacutebicos por hectaacutereas y t en antildeos Calcule las pendientes de las rectas tangentes respectivas y estime la razoacuten con que el incremento de madera estaacute cambiando al inicio del deacutecimo antildeo y al inicio del antildeo 30
Fig 7 Fuente Tomado de Thomson Matemaacuteticas para Administracioacuten y Economiacutea 1998 515
Problema 45
Patrones de observacioacuten de la televisioacuten- La siguiente graacutefica basada en datos de la compantildeiacutea AC Nielsen muestra el porcentaje de habitantes de Estados Unidos que ven televisioacuten durante un periacuteodo de 24 horas en un diacutea haacutebil ( 0t = corresponde a las 6 am) Calcule las pendientes de las rectas tangentes respectivas y estime la razoacuten de cambio del porcentaje de habitantes que ven televisioacuten entre las 4pm y las 11pm
5 El problema 4 se ha tomado del libro de Thomson Matemaacuteticas para Administracioacuten y Economiacutea 1998 Paacuteg 516
Graacutefico del valor de la madera producida en 3m en funcioacuten del tiempo
Fig8 Fuente Tomado de Thompson Matemaacuteticas para Administracioacuten y Economiacutea 1998 516
5 ALGO SOBRE HISTORIA DE LA DERIVADA
Hasta este momento hemos hablado sobre razones de cambio y como aproximamos una razoacuten de cambio promedio a una razoacuten de cambio instantaacutenea Ahora conoceremos como dos problemas trabajados en eacutepocas de la historia diferentes nos llevaron a la misma solucioacuten La derivada En esta parte hablaremos de razones de cambio e introducireacute las nociones de liacutemites para su resolucioacuten
51 DOS PROBLEMA CON UN MISMO TEMA Los problemas que trataremos a continuacioacuten corresponden a eacutepocas diferentes el primer problema es muy antiguo se remota a la eacutepoca del gran cientiacutefico griego Arquiacutemedes (287-212 aC) Se trata del problema de la pendiente de la recta tangente El segundo problema es maacutes reciente Crecioacute con los intentos de Kepler Galileo Newton y otros para describir la velocidad de un cuerpo en movimiento Es el problema de la velocidad instantaacutenea Los dos problemas uno geomeacutetrico y el otro mecaacutenico parecen no estar muy relacionados En este caso las apariencias engantildean Los dos problemas son gemelos ideacutenticos
Graacutefico del porcentaje de habitantes en Estados Unidos que ven televisioacuten durante las 24 horas de un diacutea
A LA RECTA TANGENTE La descripcioacuten de este problema ha sido tomada de Purcell (2003 99) ldquoSea P un punto de la curva y sea Q un punto moacutevil cercano a P en esa curva Considere la recta que pasa por P y Q llamada recta secante La recta tangente en P es la posicioacuten liacutemite (si esta existe) de la recta secante cuando Q se mueve hacia P a lo largo de la curva
Fig9 Suponga que la curva es la graacutefica de la ecuacioacuten ( )y f x= Entonces P tiene coordenadas ( ) ( )c f c un punto cercano a Q tiene
coordenadas ( ) ( )c h f c h+ + y la recta secante de P a Q tiene pendiente secm dada por
sec( ) ( )f c h f cm
h+ minus
=
Como el objetivo es hallar la recta tangente a la curva ( )f x en el punto P entonces intentaremos aproximar el punto Q a P para ello utilizaremos el concepto de liacutemite con el fin de determinar la pendiente de la recta tangenterdquo
P
Rectas secantes
Recta tangenteQ
Q
Q
La recta tangente es la posicioacuten liacutemite de la recta secante
x
y
Graacutefica de las rectas secantes y tangentes a una curva desde el punto Q hasta el punto P
Fig10
DEFINICIOacuteN 4
Recta Tangente La recta tangente a la curva ( )y f x= en el punto ( ) ( )P c f c es aquella recta que pasa por P con pendiente
tan sec0 0
( ) ( )lim limh h
f c h f cm mhrarr rarr
+ minus= =
Siempre y cuando este liacutemite exista y no sea oinfin minusinfin
(Purcell 2003 101)
P
Q
x
y Liacutenea secante
Liacutenea tangente
( ) ( )c h f c h+ +
( ) ( )f c h f c+ minus
c c h+
( ) ( )c f c
h( )f c
( )f c h+
tan sec0
limh
m mrarr
=
Graacutefico de las posiciones de una recta secante a una curva en los puntos P y Q y su aproximacioacuten a la recta tangente en P
A continuacioacuten veremos un ejemplo que tiene por objetivo que el alumno se familiarice con la definicioacuten la aplique y compruebe que es funcional Ejemplo2Encuentre la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva
( )23 1y x= + minus
en el punto ( )224
Solucioacuten
Encontraremos primero la pendiente de la recta tangente a la curva la cual estaraacute
Dada por
( ) ( )( )2 2
0
3 1 3 1limh
c h c
hrarr
+ + minus minus + minus
( ) ( ) ( )
( )
( )
2 22
2
3 2 3 1 3 1
2 3
2 3
c c h h ch
c h hh
c h
+ + + + minus minus + +
+ +
+ +
Luego aplicando liacutemites tendremos
( )0
lim 2 3 2( 3)h
c h crarr
+ + = +
En el punto 2 la pendiente es 10m = finalmente la ecuacioacuten de la recta en ( )224 es ( )10 2 24 oacute 10 4y x y x= minus + = +
B VELOCIDAD PROMEDIO Y VELOCIDAD INSTANTAacuteNEA
En un contexto referido a la fiacutesica se propone la siguiente situacioacuten con la finalidad de trabajar una solucioacuten y de comprobar que ella tiene mucho en comuacuten la solucioacuten del problema de la recta tangente Si viajamos de una ciudad a otra que estaacute a 80 km En 2 horas nuestra velocidad promedio es de 40 Km por hora Determinamos una velocidad promedio como la distancia de la primera posicioacuten a la segunda posicioacuten dividida entre el tiempo empleado Pero durante el viaje la lectura del velociacutemetro con frecuencia fue diferente de 40 Al principio registroacute 0 a veces hasta 57 al final regresoacute a 0 otra vez iquestQueacute es lo que mide el velociacutemetro Ciertamente no indica la velocidad promedio Purcell (2003 101-103) ldquoConsidere el ejemplo maacutes preciso de un objeto P que cae en el vaciacuteo El experimento muestra que si inicioacute desde el reposo P cae 216t pies en t segundos Por tanto cae 16 pies en el primer segundo 64 pies en el 2do segundo Observemos el diagrama del tiempo empleado y la graacutefica de la relacioacuten tiempoespacio recorrido
Fig11
Ahora analicemos la velocidad promedio en algunos intervalos
Graacutefica de la Distancia recorrida por el objeto en funcioacuten del tiempo
1 2 3 4
50
100
150
200
250
Dis
tanc
ia re
corr
ida
t
( )
( )
( )
2
2
2
16 00 1 16 1 064 161 2 48
2 1
16 15 161 15 40
15 1
16 11 161 11 336
11 1
16 101 161 101 3216
101 1
prom
prom
prom
prom
prom
t t v p s
t t v p s
t t v p s
t t v p s
t t v p s
minus= rarr = = =
minusminus
= rarr = = =minus
minus= rarr = = =
minus
minus= rarr = = =
minus
minus= rarr = = =
minus
Lo que hemos hecho es calcular la velocidad promedio en intervalos de tiempo cada vez maacutes pequentildeos cada uno iniciando en 1t = Entre maacutes breve es el intervalo de tiempo mejor aproximamos la velocidad instantaacutenea en 1t = Seamos maacutes precisos Suponga que un objeto P se mueve a lo largo de un eje coordenado de modo que su posicioacuten en el instante t estaacute dado por ( )S f t= En el instante c el objeto estaacute en ( )f c en el instante cercano c h+ estaacute en ( )f c h+ Asiacute la velocidad promedio en este intervalo es
( ) ( )prom
f c h f cvh
+ minus=
Ahora podemos definir la velocidad instantaacutenea
DEFINICIOacuteN 5
Velocidad Instantaacutenea-Si un objeto se mueve a lo largo de un eje coordenado con funcioacuten de posicioacuten ( )S f t= entonces su velocidad instantaacutenea en el instante c es
0 0
( ) ( )lim limpromh h
f c h f cv vhrarr rarr
+ minus= =
Siempre que el liacutemite exista y no sea oinfin minusinfin (Edwin Purcell2003)
En el caso donde 2( ) 16f t t pies= la velocidad instantaacutenea en 1t = es
2
0 0 0 0
(1 ) (1) 16(1 ) 16lim lim lim lim 32 16 32promh h h h
f h f hv v hh hrarr rarr rarr rarr
+ minus + minus= = = = + =
ldquoAhora podemos ver porqueacute llamamos a la pendiente de la recta tangente y a la velocidad instantaacutenea gemelos ideacutenticosrdquo Este ejemplo tiene por objetivo que el alumno vaya haciendo al mismo tiempo que resuelve los apartados de esta pregunta un verificacioacuten de la teoriacutea por cuando al ir hallando la velocidad promedio en un intervalo considerablemente grande como lo es de 2 a 3 y luego pase a calcular una velocidad promedio en un intervalo lo suficientemente pequentildeo como lo es de 2 a 2003 y finalmente calcule la velocidad instantaacutenea en 2 notaraacuten como se aproxima una variacioacuten una otra hasta llegar a la variacioacuten en un punto Ejemplo 3
Un objeto viaja a lo largo de una recta de modo que su posicioacuten S es 2 1S t= + metros despueacutes de t segundos
a) iquestCuaacutel es su velocidad promedio en el intervalo 2 3tle le b) iquestCuaacutel es su velocidad promedio en el intervalo 2 2003tle le c) iquestCuaacutel es su velocidad promedio en el intervalo 2 2t hle le + d) Encuentre la velocidad instantaacutenea en t = 2
Solucioacuten
La velocidad promedio estaraacute dada por
( ) ( )
promf c h f cv
h+ minus
=
a) La velocidad promedio en el intervalo 2 3tle le seraacute
( ) ( )2 23 1 2 1 10 5 5 3 2 1promv m s
+ minus + minus= = =
minus
b) La velocidad promedio en el intervalo 2 2003tle le seraacute
( ) ( )2 22003 1 2 1 5012009 5 4003 2003 2 0003promv m s+ minus + minus
= = =minus
c) La velocidad promedio en el intervalo 2 2t hle le + seraacute ( )( ) ( )2 2 22 1 2 1 4 4 prom
h h hv h m sh h
+ + minus + += = = +
d) La velocidad instantaacutenea en 2t = seraacute
( )( ) ( )2 2 22 1 2 1 4 4 prom
h h hv h m sh h
+ + minus + += = = + luego en
2t = es 6 Los problemas propuestos en este apartado tienen un objetivo similar al planteado en el ejemplo anterior es decir contrastar en la praacutectica lo que en la teoriacutea se describe a la vez potenciar su habilidad para el cambio de registros ya que como se puede apreciar en los enunciados se piden encontrar ecuaciones dadas algunas graacuteficas y datos elaborar graacuteficas dadas algunas foacutermulas interpretar informacioacuten presentada en ecuaciones graacuteficas referidos a casos de aplicacioacuten en aacutereas como fiacutesica y biologiacutea Trabajo Praacutectico Nordm2 Recta Tangente y Velocidad Instantaacutenea6
Encuentre la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva Ejercicio 1
1yx
= en el
punto ( )21 2
Fig12
6 Los ejercicio se han tomado del libro de Purcell Caacutelculo Diferencial2003
05 1 15 2 25 3
05
1
15
2
25
3
1yx
=
y
x
Graacutefico de la funcioacuten 1( )f x
x= y su recta tangente en el punto (2 frac12)
Considere Ejercicio 2
3 1y x= minus a) Haga un bosquejo de su graacutefica tan detallado como sea posible b) Dibuje la recta tangente en (27) c) Calcule la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos
(27) y ( )3201 (201) 1minus
d) Utilizando el proceso de liacutemite encuentre la pendiente de la recta tangente en (27)
Encuentre las pendientes de las rectas tangentes a la curva Ejercicio 3
2 1y x= minus en los puntos de abscisas -2-1 0 1 2
Haga un bosquejo de la graacutefica de
Ejercicio 4 1
1y
x=
+ luego encuentre la
ecuacioacuten de la recta tangente en (1 12)
Encuentre la ecuacioacuten de la recta tangente a
Ejercicio 5 1
1y
x=
minus en (0-1)
Un experimento sugiere que un cuerpo que cae descenderaacute aproximadamente
Ejercicio 6
216t metros en t segundos a) iquestCuaacutento caeraacute entre t = 0 y t = 1 b) iquestCuaacutento caeraacute entre t = 1 y t = 2 c) iquestCuaacutel es su velocidad promedio en el intervalo 2 3tle le d) iquestCuaacutel es su velocidad promedio en el intervalo 3 301tle le e) Encuentre la velocidad instantaacutenea en t = 3
Un objeto viaja a lo largo de un eje coordenado de modo que su distancia dirigida medida desde el origen despueacutes de t segundos es
Ejercicio 7
2 1t metros+ a) Encuentre la velocidad instantaacutenea en t = 2
b) iquestCuaacutendo alcanzaraacute una velocidad de 12 pies por segundo
Si una partiacutecula se mueve a lo largo de un eje coordenado de modo que su distancia dirigida medida desde el origen despueacutes de
Ejercicio 8
t segundos es ( )2 4t t metrosminus + iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute
momentaacuteneamente detenida Es decir en iquestqueacute momento su velocidad es cero
Cierto cultivo de bacterias crece de modo que tiene una masa de Ejercicio 9
21 12
t gramos +
despueacutes de t horas
a) iquestCuaacutento creceraacute durante el intervalo 2 201tle le b) iquestCuaacutel seraacute la tasa promedio de crecimiento durante el intervalo
2 201tle le c) iquestCuaacutel fue la tasa instantaacutenea de crecimiento en t = 2
6 LA DERIVADA
Revisemos ahora algunas definiciones seguacuten los siguientes autores
DEFINICIOacuteN 6
Si la funcioacuten ( )y f x= tiene derivada en el punto 0
x x= es
decir si existe el
0 00 0
( ) ( )lim limx x
f x x f xyx x∆ rarr ∆ rarr
+ ∆ minus∆=
∆ ∆
Se dice que para el valor dado 0
x x= la funcioacuten es derivable o
lo que es lo mismo tiene derivada en dicho punto
Si la funcioacuten tiene derivada en cada punto de un intervalo ( )a b
se dice que es derivable en dicho intervalo
(N Piskunov 1973 68)
DEFINICIOacuteN 7
DEFINICIOacuteN 8
Como podemos observar la definicioacuten 6 trabaja con la notacioacuten delta a la cual los alumnos se encuentran familiarizados desde el concepto de razoacuten de cambio mientras que en las otras dos definiciones se trabaja con una letra h la cual reemplaza al x∆ La definicioacuten 8 asiacute como la 7 muestran la idea de designar con el teacutermino de derivable en un punto a la funcioacuten cuando esta tenga derivada en dicho punto y de derivable cuando la derivada exista en cada punto de su dominio En cuanto a la definicioacuten 8 presenta a la derivada como una funcioacuten
f a la que lee como ldquof primardquo Uniendo las tres definiciones anteriores podemos presentar la siguiente
La funcioacuten f es derivable en a si
0
( ) ( )limh
f a h f ahrarr
+ minus Existe
En este caso el liacutemite se designa por ( )f a y recibe el nombre de
derivada de f en a (Decimos tambieacuten que f es derivable si
f es derivable en a para todo a del dominio de f )
(Spivak 1967 201)
La derivada de una funcioacuten f es otra funcioacuten f (leacutease ldquof primardquo) cuyo valor en cualquier nuacutemero c es
0
( ) ( )( ) lim
h
f c h f cf chrarr
+ minus=
Siempre que este liacutemite exista y no sea oinfin minusinfin
(Purcell 2003 107)
Veamos los siguientes ejemplos los cuales pretenden familiarizar a los alumnos con la definicioacuten de derivada y a manera de repaso recordar los algoritmos empleados en el caacutelculo de liacutemites como por ejemplo el proceso de racionalizacioacuten Ejemplo 4
Sea ( ) 12 3f x x= minus Encuentre ( ) 4f
Solucioacuten
Empleando la definicioacuten de derivada tenemos [ ] [ ]
0 0
0 0
12(4 ) 3 12(4) 3(4 ) (4)(4) lim lim
12 lim lim 12 12
h h
h h
hf h ffh h
hh
rarr rarr
rarr rarr
+ minus minus minus+ minus= =
= = =
Ejemplo 5
Sea ( ) 0f x x x= gt Encuentre ( )f x
Derivada de f La derivada de una funcioacuten f en un punto c es otra funcioacuten a la
que llamaremos ldquo f prima rdquo y denotaremos por f siempre
que se cumpla
0
( ) ( )( ) lim
h
f c h f cf chrarr
+ minus= Existe
En este caso el liacutemite se designa por ( )f c y recibe el nombre de
derivada de f en c
Decimos tambieacuten que f es derivable si f es derivable en c para
todo c del dominio de f
Solucioacuten
Empleando la definicioacuten de derivada tenemos
( )
0
0
0
0
0
0
( ) ( )( ) lim
= lim
lim
= lim
= lim
1 1 = lim
2
h
h
h
h
h
h
f x h f xf xh
x h xh
x h x x h xh x h x
x h xx h x
h
h x h x
x h x x
rarr
rarr
rarr
rarr
rarr
rarr
+ minus=
+ minus
+ minus + +=
+ + + minus
+ +
+ +
=+ +
7 FORMAS EQUIVALENTES DE LA DERIVADA Purcell (2003) hace mencioacuten a dos formas equivalentes de la derivada de ( )f x en el punto c asiacute la primera forma es
Graacuteficamente podemos ver
0
( ) ( )( ) limh
f c h f cf chrarr
+ minus=
Fig13
Para la segunda forma x toma el lugar de c h+ y por lo tanto reemplazando h tenemos
Graacuteficamente podemos ver
Fig14
otimes
otimes
c c h+
( ) ( )f c h f c+ minus
h( ( ))c f c
( ( ))c h f c h+ +
X
Y
otimes
otimes
c x
( ) ( )f x f cminus
x cminus( ( ))c f c
( ( ))x f x
X
Y
( ) ( )( ) limx c
f x f cf cx crarr
minus=
minus
Graacutefico de la funcioacuten ( )f x en los puntos c y c h+ empleado para la primera forma de definir la derivada
Graacutefico de la funcioacuten ( )f x en los puntos c y x empleado para la segunda forma de definir la derivada
Como podemos apreciar las dos formas de expresar la definicioacuten de la derivada son equivalente aun cuando la notacioacuten empleada no es la misma ya que como hemos podido apreciar en una el limite esta expliacutecitamente en teacuterminos del incremento h luego en el liacutemite h tiende a cero En la otra no aparece h pero cuando el limite indica que x tiende a c impliacutecitamente estaacute indicando que el incremento (h) tiende a cero En el ejemplo siguiente se intenta que los alumnos utilicen la segunda forma de la definicioacuten de la derivada a fin de practicarla pero que establezcan las diferencias en la notacioacuten y significado en relacioacuten a la definicioacuten primera Ejemplo 6
Utilice la segunda forma de representa la derivada para determinar
( )g c si 1( )
4g x
xminus
=+
1 14 4( ) x cg cx c
minus minusminus
+ +=minus
Solucioacuten
( )( )
( )( )
( )( )( )
( )( )
( )2
4 44 4
( ) lim
4 4 lim
4 4 lim
1 lim4 4
1 ( )4
x c
x c
x c
x c
c xx c
g cx cc x
x cx cx c
x cx c
x c
g cc
rarr
rarr
rarr
rarr
minus minus + ++ +
=minus
minus ++ +
minusminus
+ +
minus
+ +
there4 =+
Demostracioacuten-
Espinoza (2002 456) demuestra este teorema de la siguiente manera ldquoPor hipoacutetesis se tiene que f es diferenciable en
0x esto quiere
decir que 0
( )f xexist y
0 00 0
0 0
( ) ( )lim ( ) ( ) lim h h
f x h f xf x h f x h
hrarr rarr
+ minus+ minus =
0 00
0 0
( ) ( )lim lim ( )0 0h h
f x h f xh f x
hrarr rarr
+ minus= = =
Entonces 0 0 0 0
0 0 0
0 00
lim ( ) ( ) 0 lim ( ) lim ( ) 0
lim ( ) ( )h h h
h
f x h f x f x h f x
f x h f xrarr rarr rarr
rarr
+ minus = rArr + minus =
+ =
0f es continua en xthere4 rdquo
ldquoEs muy importante recordar el teorema 1 e igualmente importante recordar que el reciacuteproco no se cumple Una funcioacuten derivable es continua pero una funcioacuten continua no es necesariamente derivablerdquo Spivak (1992 213)
Con los siguientes ejemplos se pretende analizar diferenciabilidad en un punto estudiando el comportamiento de la derivada a ambos lados del punto seleccionado
TEOREMA 1 Sea f una funcioacuten y
0 fx Disin si f es diferenciable en
0x entonces f es continua en
0x
(Espinoza 2002 456)
Ejemplo 7
Estudiar si la funcioacuten ( )f x x= es diferenciable en 0x =
Solucioacuten
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0(0 ) (0)
0 0(0 ) (0) lim lim lim lim 1
0 0(0 ) (0) lim lim lim lim 1
h h h h
h h h h
h hf h fh h h
Asiacuteh hf h f h
h h h hh hf h f h
h h h h
+ + + +
minus minus minus minus
rarr rarr rarr rarr
rarr rarr rarr rarr
+ minus+ minus= =
+ minus+ minus= = = =
+ minus+ minus minus= = = = minus
Seguacuten Spivak (1992 210) ldquoEstos dos liacutemites son llamados a veces derivada por la derecha y derivada por la izquierdardquo en nuestro caso son diferentes
0
(0 ) (0)lim
h
f h fhrarr
+ minus
No existe Por tanto (0)f no existe Graacuteficamente podemos ver la funcioacuten ( )f x x=
Fig 15
Graacutefico de la funcioacuten valor absoluto ( )f x x= Para estudiar la derivada en x=0
Ahora veamos la graacutefica de su derivada
Fig 16 Ejemplo 8
Analizar la derivada de la funcioacuten en el punto 0x = siendo 2 0( )
0x xf xx x
le= gt
Solucioacuten
2
0
0
0( ) (0) 1 0
( ) (0) lim 0
( ) (0) lim 1
h
h
h h hf h f hh h h
hAsiacute
f h fh
f h fh
+
minus
rarr
rarr
= ltminus =
= gt
minus=
minus=
Podemos concluir entonces que (0)f no existe f no es derivable en 0
Graacutefico de la derivada de la funcioacuten valor absoluto 1 0
( )1 0
xf x
xgt
= minus lt
Sin embargo la derivada existe para 0x ne calculeacutemosla
( )2 2 2( ) ( ) 2 2c h cf c h f c ch h c h
h h h+ minus+ minus +
= = = + Aplicando liacutemite
cuando 0h minusrarr tenemos ( ) 2f c c= de una forma similar calculamos
el liacutemite cuando 0h +rarr y obtenemos ( ) 1f c = Graacuteficamente podemos ver
Fig17
Fig 18
Graacutefico de la funcioacuten valor absoluto 2 0( )
0x xf xx x
le= gt
Para estudiar la
derivada en x=0
Graacutefico de la derivada de la funcioacuten 1 0
( )2 0
xf x
x xge
= lt
Purcell (2003) demuestra graacuteficamente cualquier punto donde la graacutefica de una funcioacuten continua tenga una esquina o un veacutertice la funcioacuten no es diferenciable Y esto lo podemos constatar de nuestros ejemplos anteriores Asiacute mismo este autor nos muestra una graacutefica donde se pueden apreciar algunas situaciones para que una funcioacuten no sea diferenciable en un punto
Fig 19
Fuente Tomado del libro de Purcell 2003 111
En esta graacutefica afirmamos que la derivada el c no existe por que
0
( ) ( )( ) lim
h
f c h f cf xhrarr
+ minus= = infin
Esto corresponde al hecho de que la pendiente vertical no estaacute definida El trabajo praacutectico dado a continuacioacuten pretender que el alumno se familiarice con las dos formas empleadas para definir la derivada Otra objetivo es el estudiar la diferenciabilidad de funciones en algunos puntos en particular
Graacutefico de posibles situaciones de funcioacuten diferenciable en un punto
Trabajo Praacutectico Nordm 3 Derivada7
Ejercicio 1
Utilice la definicioacuten de Derivada 0
( ) ( )( ) limh
f x h f xf xhrarr
+ minus= para
determinar la derivada en x de las siguientes funciones
a) ( ) 2 1f x x= + b) 2 1( )4
xg xxminus
=minus
c) 4 2( )h x x x= +
Ejercicio 2
Empleando la segunda forma para definir la derivada ( ) ( )
( ) limx c
f x f cf cx crarr
minus=
minus determine las derivadas de las siguientes
funciones
a) 3( ) xf xx+
= b) 3( ) 5f x x x= +
Ejercicio 3
A continuacioacuten te presento cuatro liacutemites los cuales corresponden a las derivadas de algunas funciones iquestPodriacuteas ayudarnos a determinar a queacute funciones se refieren
a) ( ) ( )3 3
0
2 5 2 5limh
hhrarr
+ minus
b) ( )2
0
3 2(3 ) 15limh
h hhrarr
+ + + minus
c) limx y
senx senyx yrarr
minusminus
d)
2 2
limx t
x tx trarr
minus
minus
7 Los ejercicios han sido tomados del texto de Calculo Diferencial de Purcell (2003 111-112) y Espinoza (2002 514 -515)
Ejercicio 4
Describa los valores x para los que f es derivable A B
Fig 20 Fig 21
Ejercicio 5
Determinar cuales de las funciones siguientes son derivables en los nuacutemeros dados por
0x
1 0
4( ) 42( 8) 4
x xf x xx x
le= =minus gt
2 2
2
2 0
( ) 2 2 0 2
4 2 2
x x
f x x x
x x x
+ lt
= minus le lt
minus + ge
0 0x = y 0 2x =
minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4
minus3
minus2
minus1
1
2
3
4
x
y
y=1(x+1)
minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
minus1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
abs(x^2-9)
Graacutefico de la funcioacuten 2( ) 9f x x= minus Graacutefico de la funcioacuten 1
( )1
f xx
=+
Ejercicio 6
Calcular los valores de y a b c para que la funcioacuten
2
4 2( ) sea continua en x=-2 y diferenciable en x=2
2
si xxf x
ax bx c si x
ge= + + lt
Ejercicio 7
Hallar los valores de a y b de manera que la funcioacuten 2 1
( ) 1 1
ax b si xf x
si xx
+ le= gt
sea derivable en todo su dominio
8 REGLAS DE DERIVACIOacuteN
Para Spivak (1992) el proceso de derivacioacuten es generalmente laborioso y que si no recordamos la definicioacuten de derivada estariacuteamos expuestos a no poder calcularla Sin embargo nos dice que existen algunos teoremas que nos permitiriacutea de una forma un tanto mecaacutenica derivar una clase de funciones muy amplia Asiacute veremos algunas reglas de derivacioacuten que Espinoza (2002) presenta ademaacutes de su demostracioacuten empleando la definicioacuten la notacioacuten de Leibniz8
1) La derivada de una constante es cero-
( ) 0dysi y f x Cdx
= = rArr =
Demostracioacuten
0 0
( ) ( )lim lim 0 0h h
dy f x h f x c c dydx h h dxrarr rarr
+ minus minus= = = there4 =
8 La notacioacuten
dydx
corresponde a Leibniz
2) La derivada de la funcioacuten identidad-
( ) 1dysi y f x xdx
= = rArr =
Demostracioacuten
0 0 0 0
( ) ( )lim lim lim lim 1 1 1h h h h
dy f x h f x x h x h dydx h h h dxrarr rarr rarr rarr
+ minus + minus= = = = = there4 =
3) La derivada de la funcioacuten potencia simple- 1( ) n ndysi y f x x nx
dxminus= = rArr =
Demostracioacuten
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 01 2 2 1
0
1 2 2 1 10
1
( ) ( )lim lim
lim
lim
n n
h hn n n n
h
n n n n nh
n
x h xd y f x h f x para ndx h h
x h x h x x h x xx h x
h
x h x h x x h x x n x
dy nxdx
+
rarr rarrminus minus minus minus
rarr
minus minus minus minus minus
rarr
minus
+ minus+ minus= = isin
+ + + + + + + = + minus
= + + + + + + + =
there4 =
4) La derivada del producto de una funcioacuten por un escalar-
( ) ( )dysi y kf x kf xdx
= rArr =
Demostracioacuten ( ) ( )( )
( )0 0
0
( )( )lim lim
( )lim ( ) ( )
h h
h
k f x h f xkf x h kf xdydx h h
f x h f x dyk kf x kf xh dx
rarr rarr
rarr
+ minus+ minus= =
+ minus= = there4 =
5) La derivada de la suma o diferencia de dos funciones-
( ) ( ) ( ) ( )dysi y f x g x f x g xdx
= plusmn rArr = plusmn
Demostracioacuten ( )( )
( ) ( )
( )( ) ( )( )
0
0
0
( )( )lim
( ( ) ( ))lim
( ) ( )lim
h
h
h
f g x h f g xdydx h
f x h g x h f x g xh
f x h f x g x h g xh
rarr
rarr
rarr
plusmn + minus plusmn=
+ plusmn + minus plusmn=
+ minus plusmn + minus=
( )( ) ( )( )0
( ) ( )lim
( ) ( ) ( ) ( )
h
f x h f x g x h g xh h
dyf x g x f x g xdx
rarr
+ minus + minus= plusmn
= + there4 = +
6) La derivada del producto de dos funciones-
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dysi y f x g x f x g x f x g xdx
= sdot rArr = +
Demostracioacuten
0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim limh h
d y f x h f x f x h g x h f x g xdx h hrarr rarr
+ minus + + minus= =
Ahora sumamos y restamos ( ) ( )f x h g x+ en el numerador
0
0
0 0
0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim
( )( ( ) ( )) ( ( ) ( ))lim ( )
( )( ( ) ( )) ( ( ) ( ))lim lim ( )
( ( ) (lim ( ) lim
h
h
h h
h h
d y f x h g x h f x h g x f x g x f x h g xdx h
f x h g x h g x f x h f xg xh h
f x h g x h g x f x h f xg xh h
g x h gf x h
rarr
rarr
rarr rarr
rarr rarr
+ + minus + minus + +=
+ + minus + minus = + + + minus + minus = +
+ minus= +
0 0
)) ( ( ) ( ))lim ( ) lim
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
h h
x f x h f xg xh h
f x g x g x f xdy f x g x g x f xdx
rarr rarr
+ minus + = +
there4 = +
7) La derivada del cociente de dos funciones-
[ ]2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0( ) ( )
f x d y f x g x f x g xsi y g xg x dx g x
minus= rArr = ne
Demostracioacuten
0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim limh h
d y f x h f x f x h g x h f x g xdx h hrarr rarr
+ minus + + minus= =
0
( ) ( ) ( ) ( )lim( ) ( )h
g x f x h f x g x hh gx g x hrarr
+ minus +=
+
Ahora sumando y restando ( ) ( )f x g x en el numerador se tiene
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim( ) ( )h
g x f x h f x g x f x g x h f x g xh gx g x hrarr
+ minus minus + +=
+
0
2
2
( )( ( ) ( )) ( )( ( ) ( ))
lim( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( 0) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( )
h
g x f x h f x f x g x h g xh h
g x g x hg x f x f x g x g x f x f x g x
g x g x g xdy g x f x f x g xdx g x
rarr
+ minus + +minus
=+
minus minus= =
+
minusthere4 =
Resumiendo
1) ( ) 0dysi y f x Cdx
= = rArr =
2) ( ) 1dysi y f x xdx
= = rArr =
3) 1( ) n ndysi y f x x nxdx
minus= = rArr =
4) ( ) ( )dysi y kf x kf xdx
= rArr =
5) ( ) ( ) ( ) ( )dysi y f x g x f x g xdx
= plusmn rArr = plusmn
6) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dysi y f x g x f x g x f x g xdx
= sdot rArr = +
7) [ ]2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0( ) ( )
f x d y f x g x f x g xsi y g xg x dx g x
minus= rArr = ne
El primer grupo de ejercicios de este trabajo intenta que el alumno fortalezca una habilidad para el caacutelculo de derivadas empleando reglas de derivacioacuten el apartado B es para recordar la aplicacioacuten de la recta tangente a una curva y el apartado C es para trabajar con problemas de aplicacioacuten a diversas aacutereas Trabajo Praacutectico Nordm 4 Reglas de Derivacioacuten9
A Encontrar la derivada de las siguientes funciones
1) ( ) 365f x =
2) 4 3 2( ) 4 3 7f x x x= minus +
3) 5 15
9 3( )f xx x
= minus
4) 3 4 6 31( ) 2 8 16
f x x x x x= minus + minus +
5) 3 2
4 32 7( ) x xf x
x x x+ +
=+ +
6) 2
22( )
4 1
x xf xxminus
=+
7) ( )( )( ) 5 1 2 1f x x x= minus +
8) 2 4 2( )
3x xf x
x+ +
=+
9 Ejercicios tomados de STTan (1998 528-529-530-543-544)
9) 13( ) 9f x x=
10) 3 24 3( ) x xf x
xminus +
=
11) 2 132 3( )f xx x
= minus
12) 2 3( ) 2f x x x= +
13) ( )32
1( ) 2 1 2f x x xx
= + + +
14) 2 1( ) xf x
x+
=
15) 3( )3 1
x xf xx+
=minus
16) 1 2
3 21 2( )1
xf xx
+=
+
17) ( )( )2( ) 1 2 3f x x x= + +
18) ( )( )21 1
( )2
x xf x
x
+ +=
minus
C Encuentre la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva graficada a
continuacioacuten en el punto indicado Punto ( 23)Q minus
Fig 22
Graacutefico de la funcioacuten 3
( )1
f xxminus
=+
D Resolver los siguientes problemas
1 Crecimiento de un tumor canceroso El volumen de un tumor canceroso esfeacuterico estaacute dado por la funcioacuten
34( )3
v r rπ= donde r es el radio del tumor en centiacutemetros
Indique la razoacuten de cambio en el volumen del tumor cuando
a) 23
r cm= b) 54
r cm=
2 Eficiencia de un obrero Un estudio de eficiencia realizado
por la compantildeiacutea de aparatos electroacutenicos Electra mostroacute que el nuacutemero de walkie-talkies ldquoComando espacialrdquo ensamblados por un obrero promedio t horas despueacutes del inicio de labores a las 8 am estaacute dado por 3 2( ) 6 15N t t t t= minus + + a) Encuentre la razoacuten con que el obrero promedio ensambla
los dispositivos t horas despueacutes de iniciar su trabajo b) iquestCon queacute razoacuten los estaraacute ensamblando a las 10 am y a
las 11 am c) iquestCuaacutentos ensamblaraacute entre las 10 y las 11 am
3 Crecimiento de poblaciones Un estudio preparado por la caacutemara de comercio de cierta comunidad ha proyectado que la poblacioacuten de dicha comunidad creceraacute durante los proacuteximos tres antildeos conforme a al regla 3 2( ) 50000 30 20P t t t= + + donde ( )P t denota la poblacioacuten dentro de t meses iquestCon queacute rapidez creceraacute la poblacioacuten dentro de nueve y 16 meses
4 Conservacioacuten de especies Una especie de tortuga estaacute en
peligro de extincioacuten debido a que ciertas personas recogen grandes cantidades de huevos para venderlos como afrodisiacuteacos Despueacutes de implantar severas medidas de conservacioacuten se espera que la poblacioacuten de tortugas crezca de acuerdo con la regla 3 2( ) 2 3 4 1000 0 10N t t t t t= + minus + le le donde ( )N t denota la poblacioacuten al final de antildeo t Encuentre la tasa de crecimiento de poblacioacuten de tortugas cuando 2t = y
8t = iquestCuaacutel seraacute la poblacioacuten diez antildeos despueacutes de la implantacioacuten de las medidas de conservacioacuten
Continuaremos trabajando las reglas de derivacioacuten y ahora estudiaremos las derivadas de las funciones trigonomeacutetricas sus inversas la funcioacuten logariacutetmica y exponencial tomando como referencia las demostraciones presentadas en Smith (2000) y a Piskunov (1973) incluimos tambieacuten algunos ejemplos de aplicacioacuten directa de las reglas de derivacioacuten 8) La derivada de la funcioacuten seno-
( ) cosdysi y f x senx xdx
= = rArr =
Demostracioacuten
0
0
0 0
0 0
( ) ( )lim
cosh cos lim
cosh cos = lim lim
(cosh 1) = lim cos lim
(0) cos (1)
cos
h
h
h h
h h
dy sen x h sen xdx h
senx senh x senxh
senx senx senh xh h
senhsenx xh h
senx xdy xdx
rarr
rarr
rarr rarr
rarr rarr
+ minus=
+ minus=
minus+
minus+
= +
there4 =
9) La derivada de la funcioacuten coseno-
( ) cos dysi y f x x senxdx
= = rArr = minus
La demostracioacuten de este teorema se deja como ejercicio
10) La derivada de la funcioacuten tangente-
2( ) tan secdysi y f x x xdx
= = rArr =
Demostracioacuten
Para ( ) tan senxf x xcosx
= = por regla de cociente se tiene que
( ) ( )2
(cos ) cos
cos
senx x senx xdydx x
minus=
( ) ( )2
cos (cos )
cos
x x senx senxdydx x
+=
2 2
2cos
cosdy x sen xdx x
+=
22
1 seccos
dy xdx x
= =
2secdy xdx
there4 =
Las demostraciones de las derivadas de las funciones trigonomeacutetricas restantes se dejan como ejercicio Resumiendo
8) cosdysi y senx xdx
= rArr =
9) cos dysi y x senxdx
= rArr = minus
10) 2tan secdysi y x xdx
= rArr =
11) 2cosdysi y ctgx ec xdx
= rArr = minus
12) sec sec tandysi y x x xdx
= rArr =
13) sec sec dysi y co x co x ctgxdx
= rArr = minus
Ejemplo 9
Calcular las derivadas de las siguientes funciones a) 2( ) 4 3tanf x x x= minus
b) ( ) senxf xx
=
Solucioacuten
a) trabajamos con la derivada de una diferencia de funciones
( ) 2
2
4 2 3sec
8 3sec
dy x xdxdy x xdx
= minus
= minus
b) Aplicando la derivada de un cociente tenemos ( )
( )2
2
( )
cos
senx x senx xdydx x
x x senxdydx x
minus=
minus=
14) La derivada de la funcioacuten logaritmo-
1( ) log log
a adysi y f x x edx x
= = rArr =
Demostracioacuten
Utilizando la definicioacuten de derivada tendremos
0
0
0
log ( ) log ( )lim
( )log = lim
( )log = lim
a ah
a
h
a
h
x h xdydx h
x hx
hx h
xh
rarr
rarr
rarr
+ minus=
+
+
( )
( )
( )
0
0
0
0
0 0
log (1 ) = lim
log 11 = limx1 = lim log 1x1 = log lim 1x1 = log base de los logaritmos neperianosx
at
at
tat
ta t
a
hhaciendo t cuando h tx
t
txt
t
t
t
e donde e
rarr
rarr
rarr
rarr
= rarr rArr rarr
+
+
+
+
=
ln 11 1 ( ) ln ln
si a e edyEn particular y f x x edx x x
= rArr =
= = rArr = =
1ln dysi y x
dx xthere4 = rArr =
15) La derivada de la funcioacuten logaritmo neperiano-
1( ) ln dysi y f x xdx x
= = rArr =
16) La derivada de la funcioacuten exponencial-
( ) logx xdysi y f x a a adx
= = rArr =
Demostracioacuten
Tomando logaritmos en la igualdad xy a= se tiene ln lny x a= derivando la igualdad obtenida y considerando y en funcioacuten de x tenemos
1 ln
ln lnx
y ay
y y a a a
=
= =
En particular si la base es a e= rarr ln 1e = y obtenemos
( ) x xdff x e edx
= rarr =
17) La derivada de la funcioacuten exponencial con base e-
( ) x xdfsi y f x e edx
= = rarr =
Ejemplo 10
Calcular la derivada de la siguiente funcioacuten
2( ) 3 ln xf x x x e= +
Solucioacuten
( )
( )
2 16 ln 3
6 ln 3
x
x
dy x x x edx x
dy x x x edx
= + +
there4 = + +
Resumiendo
14) 1( ) log loga a
dysi y f x x edx x
= = rArr =
15) 1ln dysi y xdx x
= rArr =
16) ( ) logx xdysi y f x a a adx
= = rArr =
17) ( ) x xdfsi f x e edx
= rArr =
Tomando como referencia a Piskunov (1973) estudiaremos ahora un segundo teorema el cual nos daraacute acceso a la demostracioacuten de la derivada de las funciones trigonomeacutetricas inversas Note ademaacutes que en algunos casos usaremos la notacioacuten y
Teorema 3
Demostracioacuten
Dando a y un incremento y∆ de la igualdad (2) deducimos ( ) ( )x y y yϕ ϕ∆ = + ∆ minus
Como ( )yϕ es una funcioacuten monoacutetona se tiene 0x∆ ne Escribamos la identidad
1yxxy
∆=∆∆∆
Por ser continua la funcioacuten ( )yϕ 0x∆ rarr cuando 0y∆ rarr
Si para la funcioacuten ( )y f x= hellip(1)
Existe una funcioacuten inversa ( )x yϕ= hellip(2)
Tal que en un punto y dado tenga una derivada ( )yϕ distinta de cero entonces la funcioacuten ( )y f x= tiene en el punto
correspondiente x una derivada ( )f x igual a 1( )yϕ
es decir
se verifica la foacutermula 1( )( )
f xyϕ
=
Asiacute pues la derivada de una de las funciones reciacuteprocamente inversas es igual a la inversa de la derivada de la otra funcioacuten para los correspondientes valores de x e y
(Piskunov 1973 92)
Tomando liacutemites cuando 0y∆ rarr en ambos miembros de la uacuteltima
identidad obtenemos 1xy
yx
=
Por lo tanto 1( )( )
f xyϕ
=
(Piskunov 1973 93)
18) La derivada de la funcioacuten arco seno-
2
1( )1
dysi y f x arcsenxdx x
= = rArr =minus
Demostracioacuten
Si y arcsenx= se tiene 2
1
1
dydx x
=minus
Seguacuten la igualdad (1) tenemos cosy
x y= y conforme a la regla
para derivar la funcioacuten inversa se tendraacute 1 1 cosxy
yx y
= =
Pero 2 2cos 1 1 y sen y x= minus = minus luego 2
11
yx
=minus
La raiacutez se toma con el signo positivo porque la funcioacuten
y arcsenx= se define en el intervalo 2 2
yπ πminus le le y por
consiguiente 0y ge (Piskunov 1973 95)
Ejemplo 11
Calcular la derivada de la siguiente funcioacuten
1( )2
xf x arcsen + =
Solucioacuten
( ) ( )
( )
2 2 2
22
1 1 1
1 2 111 12 22
1 2 2 12 2 1
2
dfdx x xx
x xx x
= = =+ minus ++ minus minus
= =minus minus +minus + +
19) La derivada de la funcioacuten arco coseno-
2
1( ) arccos1
dysi y f x xdx x
minus= = rArr =
minus
Demostracioacuten La demostracioacuten se deja como trabajo 20) La derivada de la funcioacuten arco tangente-
21( ) arc t
1dysi y f x gxdx x
= = rArr =+
Demostracioacuten
Si y arctgx= se tiene 21
1dydx x
=+
si consideramos que x tgy=
tenemos
21
cosyx
y=
Por tanto 21 cos xy
y yx
= =
Pero 22 2
1 1cossec 1
yy tg y
= =+
Y puesto que tgy x= tenemos en definitiva 21
1dydx x
=+
Ejemplo 12
Calcular la derivada de la siguiente funcioacuten ( )2( ) (1 )f x x arctg x= +
Solucioacuten
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
22
(1 ) (1 )
1 = 2 (1 )1
= 2 1
df x arctg x x arctg xdx
x arctg x xx
df x arctg xdx
= + + +
+ ++
there4 +
21) La derivada de la funcioacuten arco cotangente-
21( ) arc t
1dysi y f x co gxdx x
minus= = rArr =
+
La demostracioacuten se deja como trabajo asiacute como las demostraciones de las funciones inversas restantes
22) La derivada de la funcioacuten arco secante-
2
1( ) arcsec1
dysi y f x xdx x x
= = rArr =minus
23) La derivada de la funcioacuten arco cosecante-
2
1( ) arc sec1
dysi y f x co xdx x x
minus= = rArr =
minus
Resumiendo
18) 2
1( )1
dysi y f x arcsenxdx x
= = rArr =minus
19) 2
1( ) arccos1
dysi y f x xdx x
minus= = rArr =
minus
20) 2
1( ) arc t1
dysi y f x gxdx x
= = rArr =+
21) 2
1( ) arc t1
dysi y f x co gxdx x
minus= = rArr =
+
22) 2
1( ) arcsec1
dysi y f x xdx x x
= = rArr =minus
23) 2
1( ) arc sec1
dysi y f x co xdx x x
minus= = rArr =
minus
9 REGLA DE LA CADENA
Veamos a continuacioacuten como Smith (2000) presenta y demuestra el teorema de la regla de la cadena un teorema para el caacutelculo de derivadas su utilidad radica en el hecho de que nos permitiraacute derivar funciones compuestas las mismas que se encuentran presentes en la mayoriacutea de modelos matemaacuteticos
Teorema 3
El teorema es cierto incluso si Demostracioacuten
( ) 0g x = pero la demostracioacuten requiere ( ) 0g x ne Sea ( ) ( ( ))F x f g x= Entonces
Regla de la Cadena- Si g es derivable en x y f es derivable en ( )g x entonces
[ ( ( ))] ( ( )) ( )d f g x f g x g xdx
=
(Smith 2000 228)
0
0
0
0
[ ( ( ))] ( ) ( )( ) lim
( ( )) ( ( )) = lim
( ( )) ( ( )) ( ) ( ) = lim ( ) ( )
( ( )) ( ( )) = lim ( )
h
h
h
h
d f g x F x h F xF xdx h
f g x h f g xh
f g x h f g x g x h g xh g x h g x
f g x h f g xg x h
rarr
rarr
rarr
rarr
+ minus= =
+ minus
+ minus + minus+ minus
+ minus+ 0
( ) ( ) 0
( ) ( ) lim( )
( ( )) ( ( )) ( ) ( ) = lim lim ( ) ( )
= ( ( )) ( )
h
g x h g x h
g x h g xg x h
f g x h f g x g x h g xg x h g x h
f g x g x
rarr
+ rarr rarr
+ minusminus
+ minus + minus+ minus
Ahora presentamos la regla de la cadena en teacuterminos de la notacioacuten de Leibniz ldquoSi ( )y f u= y ( )u g x= entonces ( ( ))y f g x= la regla
de la cadena expresa que du dy dudx du dx
= rdquo Smith (2000 228)
Ejemplo 13
Calcular la derivada de la siguiente funcioacuten a) 3 3( ) ( 1)f x x x= + minus
b) 6( ) xf x eminus=
c) 2( ) cos 1f x x= +
Solucioacuten
a) Siendo 3 3( ) ( 1)f x x x= + minus podemos hacer el siguiente cambio 3 1u x x= + minus asiacute 3 3( ) ( 1)f u u y u x x= = + minus Luego la
derivada es
( )33
2 2
1( )
=3 (3 1)
df df dudx du dx
d x xd udu dx
u x
=
+ minus=
+
3 2
5 3 2
5 3 2
=3( 1)(3 1)
= 9 12 9 3 3
=3(3 4 3 1)
x x x
x x x xdf x x x xdx
+ minus +
+ minus + minus
there4 + minus + minus
b) si 6( ) xf x eminus= entonces 6xu minus
= luego
( )
6( ) =
u
df df dudx du dx
d xd edu dx
=
minus
6
1= 6
1 = -6
u
x
e
df edx
minus
minus
there4
c) Sea 2 1u x= + se tiene en la funcioacuten lo siguiente 2( ) cos 1f u u donde u v y v x= = = + luego la derivada seraacute
( ) ( ) ( )
( )
2
1 2
2 2 1 2
1 22 2
1cos
1 = ( ) (2 )2
1 = 1 ( 1) (2 )2
= - 1 1
df df du dvdx du dv dx
d xd vd udu dv dx
senu v x
sen x x x
df x x sen xdx
minus
minus
minus
=
+=
minus
minus + +
there4 + +
Los ejercicios propuestos en este trabajo tienen por finalidad que alumno conozca y aplique las reglas de derivacioacuten asiacute como trabajar reforzar su habilidad para factorizar expresiones algebraicas
Trabajo Praacutectico Nordm 5 Reglas de Derivacioacuten y Regla de la Cadena10
1 Encontrar la derivada de las siguientes funciones
1 ( )( )f x a x a x= + minus
2 1( )1
xf xx
+=
minus
3 3 2( ) 1f x x x= + +
4 ( )f x x x x= + + 5 ( ) 2 3cos3f x senx x= +
6 ( )cos
senxf xa x
=+
7 1( ) ln1
senxf xsenx
+= minus
8 ( ) ( )co s( )f x sen a x x a= + +
9 ( )2( ) f x x ctgx=
10 ( )23
( ) logf x x senx= minus
11 2( ) ln 1f x x x = + +
12 22( )
1xf x arctgx
= minus
13 ( ) arctgxf x e=
14 ( )
( )2
x xe ef x arctg
minusminus=
15 4( )3 5cos
senxf x arctgx
= +
16 2
2 21 2 2( ) ln 21 2 1
x x xf x arctgx x x
+ += + minus + minus
10 Ejercicios tomados de N Piskunov (1973 136-137)
17 2 2( ) (7 4) 49 56 7 9ln(7 4 49 56 7)f x x x x x x x= + + + minus + + + +
18 ( ) ( ) ( ) ( )2( ) 1 1 ln 1 1f x x x x x = + minus minus minus +
19 ( ) 2 5 6( ) 5 6 60 36 21 42
xf x x x x arcsen minus = minus minus minus +
20 ( )2( ) 2 sec 2 8 1 2f x xarc x x arcsen x= + minus
21 2( ) 6 3arccos 13xf x x x = minus minus + minus
22 3( ) (3 2 2cos 2 )xf x e sen x x= minus
23 ( ) ( ) 2( ) 5 3 sec 5 3 ln 5 3 9 30 24f x x arc x x x x = minus minus minus minus + minus +
10 FUNCIONES IMPLICITAS
El siguiente punto que vamos a estudiar corresponde a la derivacioacuten de funciones impliacutecitas Laacutezaro (2000) define una funcioacuten impliacutecita como
DEFINICIOacuteN 9
Asiacute podemos citar como ejemplos a) 2( ) 4f x y x y= minus b) 2 2( ) 2 6f x y x x xy y= minus minus +
El autor nos presenta dos meacutetodos para derivar una funcioacuten impliacutecita ambos meacutetodos seraacuten presentados a continuacioacuten
Funcioacuten Impliacutecita Si tenemos una ecuacioacuten de la forma ( ) 0f x y = con ( )y f x= en el cual la variable dependiente y no estaacute ldquodespejadardquo en teacuterminos de x entonces y se llama funcioacuten impliacutecita de x
(Laacutezaro 2000 53)
1er Meacutetodo
Aplicando en amos miembros de la ecuacioacuten ( ) 0f x y = el
operador ddx
(derivada con respecto a x ) y usando todas las reglas de
derivacioacuten para finalmente despejar y 2do Meacutetodo
Usando derivadas parciales en la foacutermula
fdy x
fdxy
partpart= minuspartpart
Donde
fxpartpart
es la ldquoDERIVADA PARCIAL DE f CON RESPECTO A x rdquo en
este caso consideramos soacutelo a x como variable y el resto de letras se consideran como constantes
fxpartpart
es la ldquoDERIVADA PARCIAL DE f CON RESPECTO A y rdquo en
este caso consideramos soacutelo a y como variable y el resto de letras se consideran como constantes
(Laacutezaro 2000 53)
Ahora apliquemos los dos meacutetodos revisados y reflexionemos acerca de las ventajas de emplearlos Ejemplo 14
En la ecuacioacuten
3 3 3 0x y axy+ minus = donde ( )y f x= hallar dy
dx
Solucioacuten
Empleando el primer meacutetodo
Derivando ambos miembros de la ecuacioacuten tenemos
( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 3
3 3
2 2
2 2
2
2
3 0
3 0
3 3 3 0
3 3 3 3 0
d dx y axydx dx
d d dx y axydx dx dx
dx dy dy dxx y a x ydx dx dx dx
dy dyx y ax aydx dx
dydespejando
dx
dy ay xdx y ax
+ minus =
+ minus =
+ minus + =
+ minus minus =
minus=
minus
Empleando el segundo meacutetodo
3 3
2 2
2
2
( ) 3
3 0 3 y 3 0 3
3x 3 =-
3
Como f x y x y axy obtenemos
f fx ay y axx y
fdy xluego
dfdxdy
ay
y ax
= + minus
part part= + minus = + minus
part part
partpart= minus
minus
minus
Ejemplo 15En la ecuacioacuten
23 23 23 ( ) tanx y a y f x a es cons te+ = =
hallar dydx
Solucioacuten
Empleando el primer meacutetodo
2 3 23 23
13 13
133
13
( ) ( )
20
3
d dx y adx dx
dyx ydx
dy x ydx xy
minus minus
minus
minus
+ =
+ =
= minus = minus
Empleando el segundo meacutetodo 2 3 23 23
13 13
13 13
13
313
( )
2 20 0
3 3
2 2 0 0
3 3
23Asiacute 23
De f x y x y a
obtenemos
f x xx
f y yy
xdy ydx xy
minus minus
minus minus
minus
minus
= + minus
part= + minus =
part
part= + minus =
part
= minus = minus
11 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
Laacutezaro (2000) nos muestra a partir de una notacioacuten la definicioacuten de las derivadas de orden superior
NOTACIOacuteN SE LEE
dy ydx
= La 1ordf derivada de y con respecto
a x
2
2
d dy d y ydx dx dx
= =
2 3
2 3
d d y d y ydx dx dx
= =
3 4(4)
3 4d d y d y ydx dx dx
= =
( 1)
( )( 1)
n nn
n nd d y d y ydx dx dx
minus
minus
= =
La 2ordf derivada de y con respecto
a x
La 3ordf derivada de y con respecto a x
La 4ordf derivada de y con respecto
a x
La n-eacutesima derivada de y con respecto a x
(Laacutezaro 2000 73)
Tabla Nordm 5
La intencioacuten de estos dos ejemplos es de ejercitar la capacidad del alumno para aplicar derivacioacuten sucesiva y simplificacioacuten algebraica Ejemplo 16
Si kxy eminus= Hallar ny Solucioacuten
( )
2 3
( )
etc hasta la n-eacutesima derivada
Luego 1
kx kx kx
nn n kx
y ke y k e y k e
y k e n
minus minus minus
minus +
= minus = = minus
= minus isin
Ejemplo 17
Hallar ( ) (0)nf si 1( ) ln
1f x
x=
minus
Solucioacuten
Pero
1
2 2
3 3
(4) 4 4
(5) 5
1( ) ln ln(1) ln(1 )
1
( ) ln(1 )
1( ) (1 )
1
( ) 1(1 ) ( 1) (1 )
( ) 2(1 ) ( 1) 2(1 )
( ) 2( 3)(1 ) ( 1) 23 (1 )
( ) 23( 4)(1 ) ( 1) 234(1 )
f x xx
f x x
derivando
f x xx
f x x x
f x x x
f x x x
f x x x
minus
minus minus
minus minus
minus minus
minus
= = minus minusminus
= minus minus
minus= minus = minus
minus
= minus minus minus = minus
= minus minus minus = minus
= minus minus minus = minus
= minus minus minus = minus 5
( )
( )
( ) ( 1)(1 )
(0) ( 1)
n n
n
f x n x
luego
f n
minus
minus= minus minus
= minus
12 REGLA DE LrsquoHOSPITAL PARA EL CAacuteLCULO DE LIacuteMITES
INDETERMINADOS DE LAS FORMAS 00
e infininfin
Teorema 4
Regla de LrsquoHospital- Supongamos que lim ( ) 0 lim ( ) 0
x a x af x g x
rarr rarr= and = y supongamos
tambieacuten que existe ( )lim( )x a
f xg xrarr
Entonces existe ( )lim( )x a
f xg xrarr
y
( ) ( )lim lim( ) ( )x a x a
f x f xg x g xrarr rarr
=
(Laacutezaro 2000 48)
Observaciones
La regla de LrsquoHospital se puede aplicar tambieacuten para las siguientes formas indeterminadas
i) ( )lim( )x a
f xg xrarr
infin=infin
ii) ( )lim( )x
f xg xrarrinfin
infin=infin
iii) lim ( ) 0 lim ( ) lim ( ) ( ) 0
( ) 0 ( ) 0 = lim lim1 10 0( ) ( )
x a x a x a
x a x a
f x g x entonces f x g x
f x g x
g x f x
rarr rarr rarr
rarr rarr
= and = infin = infin
= or =
iv) Si lim ( ) lim ( )
x a x af x g x
rarr rarr=infin and = infin ademaacutes
lim [ ( ) ( )]x a
f x g xrarr
minus = infin minusinfin entonces se hace la transformacioacuten
siguiente
( )lim [ ( ) ( )] lim ( )[1 ]
( )x a x a
g xf x g x f x
f xrarr rarrminus = minus pero si ( )
lim 1( )x a
g xf xrarr
=
entonces se hace
( )10( )lim
1 0( )
x a
g xf x
f xrarr
minus=
v) Los liacutemites indeterminados 0 01 0 infin infin se determinan buscando
previamente sus logaritmos y hallando el liacutemite del logaritmo de la expresioacuten [ ] ( )( ) g xf x
Los ejemplos resueltos a continuacioacuten intentan mostrar al alumno algunos casos en los que el liacutemite se puede calcular empleando regla de LrsquoHospital
Ejemplo 18
Calcular los siguientes liacutemites
a) 30
coslimx
x x senxxrarr
minus b) 0
limcot
2x
xxg
π
πrarr
c) 0
limx
tgx senxx senxrarr
minusminus
d) 0
lim 0xx
xrarr
=
e) ( )1
20
lim 1 xx
xrarr
+
Solucioacuten
a) 30
cos 0lim0x
x x senxxrarr
minus= entonces derivando numerador y
denominador tenemos
( )
( )( )( )
20 03
2 0 0 0
cos cos coslim lim3
cos 1lim lim lim3 33 3
x x
x x x
x x senx x xsenx xxx
senxxsenx xx x
rarr rarr
rarr rarr rarr
minus minus minus=
minusminus minus= = = = minus
b) 0
limcot
2x
xxg
π
πrarr
infin=infin
entonces
2
0
0 0 2
lim1 10 2cot lim lim
2 sec2 2 2 2
x
x x
xx xx g
x xtg
ππ π π π π
ππ π π π
rarr
rarr rarr
= = = = =infin
c) 0
0lim
0x
tgx senxx senxrarr
minus=
minus entonces
2
0
sec cos 0lim
1 cos 0x
x xxrarr
minus=
minus luego
2
0 0
2sec sec 2sec 0lim lim
0x x
x xtgx senx x tgx senxsenx senxrarr rarr
+ += =
derivando otra vez 2 4
0
2 2sec sec coslim 3
cosx
x tgx x x
xrarr
+ + =
d)
0lim 0xx
xrarr
=
Hagamos xy x=
Tomemos logaritmos ln lny x x= Ahora apliquemos liacutemites [ ] [ ]
0 0lim ln lim lnx x
y x xrarr rarr
=
Pero0
ln lim 0x
yrarr
= infin entonces expresemos la funcioacuten como
0
lnlim
1x
x
xrarr
infin=infin
por LrsquoHospital 0 0
2
1
lim lim 01x x
x x
xrarr rarr
= minus =minus
O sea
0 0 0 0ln lim 0 lim 1 lim 1 lim 1x
x x x xy y y x
rarr rarr rarr rarr
= rArr = rArr = rArr =
e) ( )1
20
lim 1 1xx
x infin
rarr+ =
Hacer ( )1
21 xy x= +
( )
( )
2
20 0
1ln ln 1
1lim ln lim ln 1x x
y xx
y xxrarr rarr
= +
= +
( )20
= 0
1Pero = lim ln 1
xx
xrarr
infin
+
2
0
21 = lim
1x
xx
rarr
+
( )0 0 0
0 =
1
lim ln 0 ln( lim ) 0 lim 1x x x
y luego y finalmente yrarr rarr rarr
= = =
El siguiente grupo de ejercicios pretende que el alumno afiance sus habilidades para el manejo de reglas de derivacioacuten ademaacutes mejore el manejo de expresiones algebraicas
Trabajo Praacutectico Nordm 6 Derivacioacuten Impliacutecita- Derivada de
Orden Superior11
Ejercicio 1
Halle las derivadas de las siguientes funciones impliacutecitas
1 1
ln( ) 0x xyy
minus minus =
2 3 2 35 3 ln 0x x y yminus minus =
3 ye xy e+ =
4 ln 0x x yyminus + =
5 2 35 2xy y y xy+ = + 6 ( ) 1xy sen xy+ =
11 Ejercicios tomados de N Piskunov (1973 136-137)
7 1 1x y xy+ = +
8 2 2cos( )xy y x= +
9 2 2cos( ) 3 4y xy x+ + =
10 2 3 23 5x yminus = Ejercicio 2
Encuentra la derivada del orden indicado en cada caso 1 3 22 5 1y x x x= minus + minus Hallar y
2 5 3y x= Hallar y
3 6y x= Hallar (6)y
4 ncy
x= Hallar y
5 2 2y a x= minus Hallar y
6 2y x= Hallar y
7 2
x xa aay e e
minus = +
Hallar y
Ejercicio 3
Empleando regla de la cadena derivar las siguientes funciones
1 2
23
3 1ln 1
3
xy x arctgxx
minus= + + +
2 2
221 2 2
ln 211 2
x x xy arctgxx x
+ += +
minusminus +
3 2
21
cos1
n
nxy arcx
minus=
+
4 23 5cos
senxy arctgx
=+
5 y arcsen senx=
6 2 2 2 xy x a x a arcsena
= minus +
13 MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCIOacuteN
Para determinar los maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten es necesario conocer algunas caracteriacutesticas de ella como por ejemplo cuando es creciente o decreciente Basaacutendonos en la bibliografiacutea de Laacutezaro Carrioacuten (2000 108) podemos observar las definiciones siguientes
DEFINICIOacuteN 10
DEFINICIOacuteN 11
131 CRITERIOS PARA EXTREMOS RELATIVOS
Laacutezaro (200 113-114) nos muestra los criterios de la primera y segunda derivada para encontrar los maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten
Una funcioacuten ( )f x es creciente sobre un intervalo I cuando se cumple que
1 2 1 2 1 2( ) ( ) si x x f x f x x x Ilt rArr lt forall isin
(Laacutezaro 2000 108)
Una funcioacuten ( )f x es decreciente sobre un intervalo I cuando se cumple que
1 2 1 2 1 2( ) ( ) si x x f x f x x x Ilt rArr gt forall isin
(Laacutezaro 2000 108)
1 CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA
Sea c un punto criacutetico de ( )f x donde ( ) 0f x = oacute ( )f c no existe Si existe una vecindad de ( ) c V c c cδ δ δ= minus + donde ( )f x es continua en ( )V cδ y derivable en ( )V cδ excepto tal vez en c 1 Si ( ) 0 ( ) 0 f x x c c f x x c cδ δgt forall isin minus and lt forall isin + ( )f crArr
es un maacuteximo relativo de f 2 Si ( ) 0 ( ) 0 f x x c c f x x c cδ δlt forall isin minus and gt forall isin + ( )f crArr
es un maacuteximo relativo de f
3 si ( ) 0 ( ) 0 f x x c c f x x c cδ δgt forall isin minus and gt forall isin + or
( ) 0 ( ) 0 f x x c c f x x c cδ δlt forall isin minus and lt forall isin + ( )f crArr
no es maacuteximo ni miacutenimo relativo de f
Veamos algunos ejemplos que son de aplicacioacuten del criterio dado Ejemplo 19
Sea la funcioacuten
( )
5 3
5
3 5 54 2( ) 2 4 2 2 5
5 5x
x x xf x x x
x e xminus
minus + + lt= minus minus + le lt
minus ge
Hallar los maacuteximos y miacutenimos de esta funcioacuten Solucioacuten
( )Dom f =real ( )f x real es continua en todo definiendo el valor absoluto en f tenemos lo siguiente
5 3
5
3 5 54 22( 4) 2 2 4
( )2( 4) 2 4 5
(5 ) 5x
x x xx x
f xx x
x e xminus
minus + + lt
minus + le lt= minus minus + le lt minus ge
ahora encontramos la derivada de
la funcioacuten ( )f x
2
5
15 ( 1)( 1) 22 2 4
( )2 4 5
( 6) 5x
x x x xx
f xx
x e xminus
minus minus + lt
le lt= minus le lt minus ge
Encontrando los puntos criacuteticos tenemos 0 112456minus Luego de evaluar algunos puntos en los intervalos generados con los puntos criacuteticos de la funcioacuten tenemos que
( 1) 52f minus = es miacutenimo relativo ( )f x (0) 54f = no es maacuteximo ni miacutenimo de ( )f x (1) 56f = es un maacuteximo relativo de ( )f x (2) 2f = minus es miacutenimo relativo ( )f x (4) 2f = es un maacuteximo relativo de ( )f x (5) 0f = no es maacuteximo ni miacutenimo de ( )f x
1(6)f
e= es miacutenimo relativo ( )f x
2 CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA Sea ( )f x una funcioacuten derivable en un entorno de c Si ( ) 0f c = and si ( )f c existe entonces 1) Si ( ) 0 ( ) es un maacuteximo relativo de f c f c flt rarr
2) Si ( ) 0 ( ) es un miacutenimo relativo de f c f c fgt rarr El siguiente ejemplo muestra la funcionalidad del criterio y se espera que el alumno reflexione acerca de las diferencias entre la aplicacioacuten de ambos
Ejemplo 20
Sea la funcioacuten ( ) 2cos cos 2 f x x x x= minus isinreal encontrar los maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten Solucioacuten
Derivando la funcioacuten se tiene
( ) 2 2 2 2 (1 2cos )f x senx sen x senx x= minus + = minus minus luego los puntos singulares (criacuteticos) son De ( ) 0f x = se tiene 2 (1 2cos ) 0senx xminus minus = resolviendo la
ecuacioacuten tenemos que 0 ( 1) 0ordmnsi senx x n nπ π= rarr = + minus = ademaacutes
( ) 11 2cos 0 arccos
2si x x minus = rarr =
52 2
3 3siendo x n x nπ π
π π= plusmn or = plusmn
Luego los puntos criacuteticos son 5 2 2
3 3n n nπ ππ π π + +
La segunda derivada es 2( ) 2 4cos cos 2f x x x= minus minus
Se cumplen a) ( ) 0f n fπ gt rarr tiene miacutenimos relativos en x nπ=
b) ( 2 ) 03
f n fππ+ lt rarr tiene maacuteximos relativos en 2
3x nπ
π= +
c) 5( 2 ) 0
3f n fπ
π+ lt rarr tiene maacuteximos relativos en 52
3x nπ
π= +
El trabajo de aplicaciones que se deja a continuacioacuten tiene la finalidad de aplicar los criterios para hallar maacuteximos y miacutenimos pero es necesario indicar sin restarle mayor importancia a lo anterior que es una bueno oportunidad para que el alumno ponga en praacutectica el trabajo de cambio de registros
Trabajo Praacutectico Nordm 7 Aplicaciones de las derivadas a los Maacuteximos y Miacutenimos de una funcioacuten
Costo Miacutenimo- Una plataforma petroliacutefera estaacute 2 Km mar adentro y la refineriacutea 4 Km costa abajo Si el costo del metro del oleoducto es doble en el mar que en la tierra firme iquestQueacute trayecto debe tener el oleoducto para minimizar el costo
Ejercicio 1
Beneficio Maacuteximo- El beneficio de cierta empresa es Ejercicio 2
21230 20
2P s s= + minus donde s es la cantidad (en cientos de doacutelares)
gastada en publicidad iquestQueacute valor de s hace maacuteximo el beneficio
Cierta empresa de material fotograacutefico oferta una maacutequina que es capaz de revelar y pasar a papel 155 fotografiacuteas por minuto Sin embargo sus cualidades se van deteriorando con el tiempo de forma que el nuacutemero de fotografiacuteas por minuto seraacute funcioacuten de la antiguumledad de la maacutequina de acuerdo a la siguiente expresioacuten (
Ejercicio 3
( )f x representa el nuacutemero de fotografiacuteas por minuto cuando la maacutequina tiene x antildeos)
155 11 0 5( ) 5 45
52
x x si xf x x si x
x
minus le le= +
gt +
a) Estudiar la continuidad de la funcioacuten ( )f x
b) Comprobar que el nuacutemero de fotografiacuteas por minuto decrece con la antiguumledad de la maacutequina Justificar que si tiene maacutes de 5 antildeos revelaraacute menos de 10 fotografiacuteas por minuto
c) Justificar que por muy vieja que sea la maacutequina no revelaraacute menos de 5 fotografiacuteas por minuto
Se ha construido una presa de almacenamiento de agua cuyos costes de mantenimiento diarios son una funcioacuten de la cantidad de agua que la misma tiene almacenada Tales costes (en doacutelares) vienen dados por la siguiente expresioacuten (
Ejercicio 4
( )C x representa el coste si el volumen de agua en millones de metros cuacutebicos es x )
3 2( ) 8 73C x x x x= + minus + a) encontrar el volumen diario de agua oacuteptimo que debe mantenerse para minimizar costes b) calcular el coste miacutenimo diario que supone el mantenimiento de la instalacioacuten Si un diacutea la presa tiene almacenados 3 millones de metros cuacutebicos de agua iquestcuaacutento se ha gastado de maacutes respecto del coste miacutenimo
Un taller artesanal estaacute especializado en la produccioacuten de cierto tipo de juguetes Los costos de fabricacioacuten
Ejercicio 5
( )C x en soles estaacuten relacionados con el nuacutemero de juguetes fabricados x a traveacutes de la siguiente expresioacuten 2( ) 10 2000 250000c x x x= + + El precio de venta de 8000 soles a) Plantear la funcioacuten de ingreso que obtiene el taller con la venta de
los juguetes producidos b) Plantear la funcioacuten de beneficio entendidos como diferencia entre
ingresos y costos de fabricacioacuten c) iquestCuaacutentos juguetes debe fabricar para maximizar beneficios iquestA
cuanto ascenderaacuten estos beneficios
Se ha investigado el tiempo (T en minutos) que se tarda en realizar cierta prueba de atletismo en funcioacuten del tiempo de entrenamiento de los deportistas (x en diacuteas) obtenieacutendose que
Ejercicio 6
3000 30
30( )1125
2 30( 5)( 15)
si xxT x
xx x
le le += + gt minus minus
a) Justificar que la funcioacuten T es continua en todo su dominio b) iquestSe puede afirmar que cuaacutento maacutes se entrene un deportista
menor seraacute el tiempo en realizar la prueba iquestAlguacuten deportista tardaraacute maacutes de 10 minutos en finalizar la prueba
c) Por mucho que se entrene un deportista iquestseraacute capaz de hacer la prueba en menos de 1 minuto iquestY en menos de 2
Un individuo ha invertido en acciones de cierta compantildeiacutea durante los uacuteltimos 10 antildeos El valor de su cartera a lo largo del tiempo (dinero invertido maacutes beneficios obtenidos en miles) viene dado por la siguiente expresioacuten (x en antildeos)
Ejercicio 7
2( ) ( 2) (1 2 ) 252 116 0 10f x x x x si x= minus minus + + le le a) Determinar los intervalos de tiempo en que la cartera crecioacute y
aquellos en que decrecioacute b) El individuo retira sus ingresos transcurridos 10 antildeos iquestCuaacutel hubiera
sido el mejor momento para haberlo hecho iquestCuaacutento pierde por no haberlo retirado en el momento oacuteptimo
El rendimiento (medido de 0 a 10) de cierto producto en funcioacuten del tiempo de uso (x en antildeos) viene dado por la siguiente expresioacuten
Ejercicio 8
2
3( ) 85 0
1
xf x xx
= + ge+
a) iquestHay intervalos de tiempo en los que el rendimiento crece iquestY en queacute decrece iquestCuaacuteles son
b) iquestEn queacute punto se alcanza el rendimiento maacuteximo iquestCuaacutento vale c) Por mucho que pase el tiempo iquestpuede llegar a ser el rendimiento
inferior al que el producto teniacutea cuando era nuevo
El peso que una plancha de cierto material es capaz de soportar depende de la edad de la misma seguacuten la siguiente funcioacuten (el peso P en toneladas t representa la edad en antildeos de la plancha)
Ejercicio 9
250 0 3( ) 20
56 31
t tP t t t
t
minus le le=
minus gt +
a) iquestEs el peso una funcioacuten continua con la edad Seguacuten vaya pasando el tiempo iquestla plancha cada vez aguantaraacute menos peso
b) Dicen que por mucho tiempo que transcurra la plancha siempre aguantaraacute maacutes de 40 toneladas iquestEstaacutes de acuerdo
c) Esboza un dibujo de la graacutefica de P (t) cuidando la concavidad y convexidad de la funcioacuten
El servicio de traumatologiacutea de un hospital va a implantar un nuevo sistema que pretende reducir a corto plazo las listas de espera Se preveacute que a partir de ahora la siguiente funcioacuten indicaraacute en cada momento (t en meses) el porcentaje de pacientes que podraacute ser operado sin necesidad de entrar en lista de espera
Ejercicio 10
2 8 50 0 10( ) 38 100
1004
t t si tp t t si t
t
minus + le le= minus
gt
a) iquestA partir de queacute momento creceraacute este porcentaje Por mucho tiempo que pase iquesta queacute porcentaje no se llegaraacute nunca
b) Haz un esbozo de la graacutefica de la funcioacuten P a lo largo del tiempo 24 LA INFORMAacuteTICA COMO RECURSO
La informaacutetica vista como recurso y no como fin contribuye en la ensentildeanza de la Matemaacutetica a una reconceptualizacioacuten de los planes y programas de estudio para pasar de un modelo masivo unidireccional centrado en el profesor a un modelo mas individualizado centrado en el estudiante
Esto facilita el desarrollo del pensamiento creador de los estudiantes ya que bull Las operaciones automaacuteticas los ayudan a realizar tareas
conceptuales maacutes importantes bull No tienen que ser necesariamente buenos algebraicamente para
dominar el pensamiento abstracto
bull Se le desarrollan gran cantidad de habilidades a traveacutes de la ejercitacioacuten
bull Se le facilita el trabajo independiente bull Pueden dar respuestas maacutes raacutepidas precisas y veraces a los
problemas de la especialidad que se le presenten en el transcurso de sus estudios
bull Tienen la posibilidad de dedicar maacutes tiempo a la modelacioacuten matemaacutetica y al anaacutelisis de la solucioacuten de los diversos problemas a resolver
El grupo experimental es de la Escuela de Ingenieriacutea Industrial y podemos decir que para ellos la computacioacuten no es una herramienta fundamental de trabajo para resolver problemas matemaacuteticos Aquiacute los estudiantes realizaraacuten acciones con la computadora que les reporten beneficios en ahorro de tiempo confiabilidad en los resultados matemaacuteticos ahorro de esfuerzo productividad etc En la competencia del siacutelabo se puede leer Interpreta formula y resuelve problemas de contexto real utilizando definiciones teacutecnicas y aplicaciones del caacutelculo Diferencial desarrollando comunicacioacuten investigacioacuten razonamiento y manifestando confianza flexibilidad y perseverancia De aquiacute se desprende la idea de utilizar programas en esta carrera especiacuteficamente ldquoDERIVErdquo Utilizando este paquete el estudiante puede resolver problemas de aplicacioacuten con mayor precisioacuten y rapidez obteniendo respuestas oacuteptimas y asiacute influir positivamente en la toma de decisiones Por esta razoacuten es necesario un replanteamiento en la ensentildeanza de la matemaacutetica donde lo primordial seraacute
1 Asimilacioacuten de conceptos y definiciones por parte de los estudiantes para aplicarlos a la modelacioacuten de problemas
2 Reduccioacuten sensible de los caacutelculos manuales en elementos del calculo diferencial lo que posibilita impartir mayor cantidad de conocimientos en menor tiempo
3 Elaboracioacuten de pruebas parciales y finales donde el estudiante modele problemas y luego los resuelva usando empleando DERIVE
Esto no significa de ninguna manera que el estudiante no tenga que resolver ejercicios donde aplique los conocimientos adquiridos sin
usar la computacioacuten Pues si lo haraacute y un grado de complejidad donde no sea necesario el uso de los medios de computo En la vida praacutectica el ingeniero se encuentra con situaciones problema inherente a su campo de accioacuten algunas de las cuales pueden ser modeladas con ayuda de un software matemaacutetico Dado un problema se debe 1 Analizarlo profundamente con la finalidad de recoger la mayor cantidad de informacioacuten posible 2 Hacer el planteamiento del problema en cuestioacuten teniendo en cuenta el punto 1 3 Modelarla usando un modelo que se ajuste a la situacioacuten 4 Solucionarla Para ello se puede usar
- Tablas matemaacuteticas - Calculadoras de mano - Computadoras
5 Interpretar los resultados 6 Tomar una decisioacuten Como se puede observar faacutecilmente los puntos del 1 al 6 con excepcioacuten del 4 responden al pensamiento creador y el 4 corresponde al uso del computador De todas formas esto no resta importancia al creciente uso de la computacioacuten en la matemaacutetica Ambos aspectos estaacuten muy vinculados La computacioacuten como herramienta ahorra el tiempo que el estudiante puede utilizar sin liacutemites para desarrollar el pensamiento creador En general se han realizado varias actividades con el uso del ldquoDeriverdquo que han fortalecido el proceso de ensentildeanza-aprendizaje en la especialidad entre las cuales se pueden mencionar 1 Clases praacutecticas en el laboratorio de la Escuela donde la
profesora guiacutea el proceso 2 Clases praacutecticas donde soacutelo se modela el problema y el
estudiante lo resuelve en tiempo extra con la ayuda de la maacutequina
3 Tareas donde el estudiante se ve precisado a utilizar la maacutequina para obtener respuestas raacutepidas y eficientes
4 Tareas sistemaacuteticas de problemas de cierta complejidad los cuales se les hariacutea muy difiacutecil resolverlos manualmente
5 Pruebas integradoras de Matemaacutetica y Computacioacuten donde la matemaacutetica ofrece el modelo para resolverla y la computacioacuten ofrece el paquete para encontrar una solucioacuten oacuteptima
6 Talleres donde la solucioacuten de los problemas es con ayuda de la computadora En estos talleres se puede observar que el estudiante tiene la necesidad de aplicar conceptos estudiados en clases para modelar e interpretar los problemas que se le presentan que en ocasiones son de caraacutecter integrador pues tienen que aplicar conceptos matemaacuteticos como Liacutemite Derivada entre otros para modelar uno soacutelo de ellos por lo tanto el uso del Derive en este caso fue esencial y muy provechoso
241 EL SOFTWARE EDUCATIVO EN EL PROCESO DE
ENSENtildeANZA APRENDIZAJE
El efecto del uso de software educativos en el proceso de ensentildeanza aprendizaje se manifiesta en un cambio de paradigma pedagoacutegico centrado en el aprendizaje maacutes que en la ensentildeanza donde el trabajo del docente prioriza la organizacioacuten y disposicioacuten de los contenidos de aprendizaje asiacute como la organizacioacuten del aprendizaje de los alumnos mediante tareas individuales y en grupo con un permanente seguimiento por parte del docente Es un modelo de formacioacuten centrado en problemas en el que los alumnos no son receptores pasivos de informacioacuten sino que deben resolver problemas utilizando para ello los contenidos adquiridos El uso del software educativo haraacute de la clase un lugar privilegiado de ensentildeanza ya que se convertiraacute en un conjunto muacuteltiple de entornos en aprendizajes en los que el alumnado pueda desarrollar y adquirir el conjunto de habilidades saberes y actitudes necesarias para vivir en sociedad Este hecho conlleva la necesidad de generar nuevos saberes pedagoacutegicos en relacioacuten con la planificacioacuten y el seguimiento del aprendizaje del alumnado en situaciones diversas
242 LA INTRODUCCION DE SOFTWARE DE
MATEMATICA EN LA EDUCACION MATEMATICA
Uno de los propoacutesitos de la educacioacuten matemaacutetica es formar al estudiante para que adquiera fluidez representacional
entendida esta como la representacioacuten verbal graacutefica geomeacutetrica tabular icoacutenica algebraica pictoacuterica mediante la que exprese conceptos y procedimientos matemaacuteticos El aprendizaje significativo se da traveacutes de la solucioacuten de situaciones problema donde el estudiante aprende cuando domina diferentes sistemas de representacioacuten Hoy en diacutea las nuevas tecnologiacuteas han cambiado profundamente el mundo de las matemaacuteticas y el de las ciencias ya que no soacutelo han afectado las preocupaciones propias de su campo y la perspectiva como eacuteste se ve sino tambieacuten el modo en que las ciencias y las matemaacuteticas se hacen se ensentildean y se transmiten Como sentildeala Zabalza (2003) ldquoLa incorporacioacuten de las nuevas tecnologiacuteas a la didaacutectica universitaria situacutea a los docentes ante el enorme desafioacute de las nuevas modalidades de ensentildeanzardquo Introducir la tecnologiacutea en el campo de la educacioacuten definitivamente aumenta las posibilidades de mejorar el rendimiento acadeacutemico en particular en la educacioacuten matemaacutetica se incrementa la manera de representar los conceptos matemaacuteticos pero es necesario considerar que ello podriacutea incrementar el riesgo de los problemas de comunicacioacuten pues los alumnos podriacutean estar expuestos a tomar la notacioacuten del software que emplean como notacioacuten algebraica formal a pesar que se les pida que consideraran que cada software tienen diferentes maneras de expresar los conceptos matemaacuteticos parece que ayudariacutea que las notaciones que usa la tecnologiacutea se fueran ajustando maacutes a las usadas en el aacutelgebra Esto es un riesgo que vale la pena tomar en cuenta al momento de hacer nuestras programaciones y que no debe hacernos desistir de emplear este recurso para lograr los objetivos propuestos El Derive es una potente herramienta computacional para el desarrollo del pensamiento variacional pensamiento que estaacute relacionado con los demaacutes pensamientos matemaacuteticos permite al estudiante concentrar esfuerzos en el razonar solucionar y formular problemas asiacute como en verificar teoremas y propiedades matemaacuteticas y geomeacutetricas
243 EL PROGRAMA CIENTIacuteFICO DERIVE
DERIVE es un programa de matemaacuteticas capaz de procesar variables expresiones ecuaciones funciones vectores y matrices Al igual que una calculadora cientiacutefica sirve para trabajar con nuacutemeros Puede realizar caacutelculos numeacutericos y simboacutelicos con aacutelgebra trigonometriacutea y anaacutelisis ademaacutes de representaciones graacuteficas en dos y tres dimensiones El aspecto maacutes sobresaliente de Derive es su trabajo simboacutelico unido a sus capacidades graacuteficas Es una herramienta excelente para hacer y aplicar matemaacuteticas y para aprender y ensentildear matemaacuteticas Esto lo convierte en un paquete matemaacutetico idoacuteneo para los primeros cursos de la carrera DERIVE es uno de esos programas de caacutelculo simboacutelico quizaacute el maacutes difundido y popular porque en su modalidad maacutes sencilla funcionaba en cualquier PC sin necesidad de que tuviera disco duro y ocupaba soacutelo un diskette Hoy Derive sigue siendo un pequentildeo programa que ocupa poco maacutes de 3 Mb y que sigue siendo muy accesible e intuitivo
244 CAPACIDADES DEL PROGRAMA DERIVE
Conocer las capacidades del programa nos serviraacute para pensar en sus aplicaciones docentes Cuanto mejor se conozca el programa incluyendo sus novedades tanto mejor se puede incorporar a diversos aspectos de la ensentildeanza Derive como una herramienta computacional permite bull La construccioacuten exploracioacuten manipulacioacuten directa y
dinaacutemica de objetos en pantalla que conducen en un nivel bajo a la elaboracioacuten de conjeturas en un nivel medio a la argumentacioacuten y un nivel superior a la realizacioacuten de demostraciones
bull Las representaciones cuantitativas geomeacutetricas tabulares algebraicas y graacuteficas en forma dinaacutemica es decir que al variar un elemento o argumento en la expresioacuten original se produce una variacioacuten de dependencia entre las variables posibilitando asiacute el anaacutelisis y la generalizacioacuten de conceptos
bull La representacioacuten graacutefica en dos y tres dimensiones dando la posibilidad de realizar transformaciones y de asociar figuras con objetos fiacutesicos para pasar a un nivel de conceptualizacioacuten maacutes elevado
bull Problematizar lo visual de tal forma que surja la necesidad de examinar conjeturar predecir y verificar es decir da al estudiante la posibilidad de pensar y de preguntar sobre el porque de determinados hechos llevaacutendolo a la exploracioacuten de otras situaciones
bull La correlacioacuten de lo geomeacutetrico con lo algebraico
En el plan de Estudios de las asignaturas de Loacutegico Matemaacutetica Matemaacutetica I y Matemaacutetica II de la Universidad Cesar Vallejo se desarrollan temas en los cuales el uso de derive seria de mucha ayuda desde este punto puedo mencionar que derive permite trabajar bull Operaciones con vectores matrices y determinantes bull Resolucioacuten de ecuaciones y de sistemas de ecuaciones bull Calculo de Liacutemites derivadas integrales (definidas e
indefinidas) series liacutemites polinomios de Taylor bull Representacioacuten graacutefica de funciones en forma expliacutecita
impliacutecita parameacutetrica y en coordenadas polares Asiacute como la representacioacuten de funciones de dos variable
bull Operaciones con polinomios y fracciones algebraicas y muchas otras
bull Ademaacutes es posible programar funciones que usen las distintas capacidades del programa de modo que aumenta asiacute sensiblemente el espectro de sus aplicaciones DERIVE se suministra con varios ficheros de funciones para propoacutesitos diversos como resolver ecuaciones diferenciales trabajar en Aacutelgebra Lineal etc
245 LABORATORIOS PARA EL APRENDIZAJE DEL
CALCULO DIFERENCIAL EMPLEANDO DERIVE
El contenido de las praacutecticas de laboratorio es ldquoautosuficienterdquo en el sentido que no son precisos conocimientos previos de informaacutetica por parte del alumno
CAPIacuteTULO III
METODOLOGIacuteA DE LA INVESTIGACIOacuteN
31 PARADIGMA DE INVESTIGACIOacuteN
El paradigma de esta investigacioacuten es de tipo positivista tambieacuten denominado (Arnal 1996) paradigma cuantitativo empiacuterico-analiacutetico racionalista Basado en la escuela filosoacutefica del positivismo (Arnal 1996) y que presenta Arnal (199641) citando a Koetting (1994 296) las siguientes caracteriacutesticas 1 Su intereacutes es explicar controlar y predecir 2 La naturaleza de su realidad es dada tangible fragmentada
convergente 3 La relacioacuten sujetoobjeto es independiente neutral libre de
valores 4 Su propoacutesito es la generalizacioacuten libre de contexto con
explicaciones centradas en deducciones y centradas sobre semejanzas
5 la explicacioacuten de la causalidad refiera a causas reales Arnal (1996 41) nos dice ldquoEste paradigma lleva asociado el peligro de reduccionismo al aplicarse al aacutembito educativo Si bien permite satisfacer ciertos criterios de rigor metodoloacutegico sacrifica el estudio de otras dimensiones sustantivas del hecho educativo como realidad humana sociocultural e incluso poliacutetica e ideoloacutegicardquo
32 TIPO DE INVESTIGACIOacuteN
Positivista ndash experimental 33 POBLACIOacuteN
Poblacioacuten Los alumnos de la asignatura de Matemaacutetica I de la Universidad Ceacutesar Vallejo durante el segundo semestre 2006 Son en total 46 alumnos Se tomaraacute en cuenta el promedio final al terminar cada ciclo Semestre 2006 ndash II
34 HIPOacuteTESIS ESTADIacuteSTICAS
0 M MH micro micro= (Hipoacutetesis Nula)
1 M MH micro microne (Hipoacutetesis de la investigacioacuten) Donde
Mmicro Nota promedio de los alumnos de la asignatura de Matemaacutetica I Seccioacuten A aula 412 del semestre 2006 II que emplearon el software DERIVE
Mmicro Nota promedio de los alumnos de la asignatura de Matemaacutetica I Seccioacuten B aula 413 del semestre 2006 II que no que emplearon el software DERIVE
35 VARIABLES
Variable Independiente Programa DERIVE Variable Dependiente Rendimiento acadeacutemico de los alumnos Variables Intervinientes Asistencia a clases horarios tipo de contenidos
36 DISENtildeO DE INVESTIGACIOacuteN
El presente trabajo de investigacioacuten se desarrollaraacute en los ambientes de la Universidad Cesar Vallejo en la Escuela de Ingenieriacutea Industrial y de Sistemas en la asignatura de Matemaacutetica I Ademaacutes se emplearaacute el laboratorio de coacutemputo 305 donde se ha instalado el software DERIVE
El disentildeo empleado es de tipo experimental Hernaacutendez Sampieri (2003 188) nos dice ldquoLa esencia de esta concepcioacuten de ldquoexperimentordquo es que requiere la manipulacioacuten intencional de una accioacuten para analizar sus posibles efectosrdquo Bajo esta idea se tiene la presencia de dos variables una independiente la cual consiste en el uso del software DERIVE como recurso didaacutectico para mejorar el rendimiento acadeacutemico de los alumnos de Ingenieriacutea de Sistemas y la otra llamada dependiente que en este caso es el rendimiento acadeacutemico El disentildeo implica ademaacutes la presencia de dos grupos de los cuales soacutelo uno seraacute expuesto a la presencia de la variable independiente a este grupo le llamaremos grupo experimental y estaraacute formado por los alumnos de la Escuela de Ingenieriacutea Industrial (aula 412) el otro recibiraacute el nombre de grupo de control y lo conformaraacute los alumnos de la Escuela de Ingenieriacutea Sistemas (Aula 413) Al finalizar el proceso de investigacioacuten se compararaacuten ambos para determinar si el grupo que ha sido expuesto a la variable independiente difiere del otro Basada en la tipologiacutea de Cambell y Stanley (1966) empleareacute la simbologiacutea de un disentildeo cuasiexperimental con una preprueba - posprueba y grupo de control siendo el esquema el siguiente
1 1 2
2 3 4
0 0
0 _ 0
G X
G
Para el caso de este trabajo el resultado de la preprueba consiste en el promedio de la primera unidad ya que la investigacioacuten se realizaraacute en la segunda unidad del curso de manera que las notas de la primera unidad seraacuten de importancia en el inicio de esta investigacioacuten
37 TEacuteCNICAS E INSTRUMENTOS DE RECOLECCIOacuteN DE
DATOS
En los estudios experimeacutentales la teacutecnica se encuentra limitada al procedimiento para desarrollar una actividad especiacutefica y los instrumentos son las herramientas que serviraacuten para manipular el objeto de estudio La teacutecnica consiste en el desarrollo de sesiones de laboratorio usando el software DERIVE las cuales se realizaraacuten dentro de la
jornada de clases debo indicar que las clases son una vez a la semana en bloque de 5 horas iniciaacutendose a las 730 am y finalizando a las 1200 am contando con un descanso de 20 minutos a las 1000 am Cada sesioacuten con el grupo experimental seraacute trabajado en el laboratorio de computo el cual esta totalmente equipado para realizar la clase y los alumnos contaran con una guiacutea de trabajo la misma que se les entregaraacute al empezar la clase en el laboratorio Todas las guiacuteas de trabajo se encuentran en el Anexo 3 En el caso del grupo de control no hay asistencia al laboratorio los alumnos trabajaraacuten siempre en el aula y la clase se desarrollara empleando la clase magistral y el trabajo en pareja o en grupo Para la recoleccioacuten de datos he empleado praacutecticas calificadas las cuales disentildeeacute basaacutendome en la taxonomiacutea de Bloom mencionada anteriormente en el Capiacutetulo II del fundamento teoacuterico y cuyas tablas de especificaciones se encuentran en el Anexo 5 aquiacute se pueden apreciar en detalle las habilidades cognitivas y los ejes temaacuteticos que se ha evaluado asiacute como el nuacutemero de preguntas por eje temaacutetico y habilidad que se intenta evaluar luego las practicas calificadas estaacuten se encuentran en el Anexo 6
38 TEacuteCNICAS DE PROCESAMIENTO DE DATOS
Para la seleccioacuten de la teacutecnica para la prueba de hipoacutetesis se utilizaraacute la ldquo t ndashstudentrdquo
( )1 21 22 2
1 2
2p p
x xt t n n
s sn n
minus= asymp + minus
+
Donde 1n es el tamantildeo de muestra de la primera poblacioacuten 2n es el tamantildeo de muestra de la segunda poblacioacuten
11
1
n
ii
xx
n==sum
Media muestral para la muestra nuacutemero 1
12
2
n
ii
xx
n==sum
Media muestral para la muestra nuacutemero 2
( ) ( )2 21 1 2 22
1 2
1 12p
n s n ss
n nminus + minus
=+ minus
Donde
La varianza muestral de la muestra 1 es ( )
12
12 11
1 1
n
ii
x xs
n=
minus
=minus
sum
La varianza muestral de la muestra 2 es ( )
22
22 12
2 1
n
ii
x xs
n=
minus
=minus
sum
39 PROCESO DE LA INVESTIGACIOacuteN
391 DIFICULTADES EN EL APRENDIZAJE DEL CAacuteLCULO DIFERENCIAL
Para este trabajo de investigacioacuten he tomado dos grupos uno corresponde a la Escuela de Ingenieriacutea Industrial al que llamareacute Grupo Experimental y el otro corresponde a la Escuela de Ingenieriacutea de Sistemas al que llamareacute Grupo de Control Es importante que mencione que aun cuando los dos grupos corresponden al segundo ciclo y esta asignatura sea igual para ambas escuelas sus planes de estudio no son los mismos Una dificultad que presentan los alumnos se encuentra en la base de los contenidos que traen consigo realizan algunos errores al emplear fundamentos algebraicos lo cual es necesario para el trabajo con funciones liacutemites y derivadas esto no me permite desarrollar los contenidos de acuerdo a las fechas que se programan en el siacutelabo y por lo general debe reprogramar mis clases o trabajar algunas horas aparte de las asignadas al menos en la primera parte del curso donde se trabaja mucho con funciones y sus graacuteficas
392 RENDIMIENTO ACADEacuteMICO
Respecto al rendimiento acadeacutemico considero necesario presentar en el Anexo 2 el registro de evaluaciones de la primera unidad donde se puede apreciar el rendimiento de los alumnos El grupo de Ingenieriacutea de Sistemas consta de los 32 alumnos de los cuales siete se han retirado del curso reservando su matriacutecula En el grupo de Ingenieriacutea Industrial consta de 19 alumnos de los cuales solo una alumna se retiro del curso Este antildeo es el primero para la escuela de Ingenieriacutea Industrial en la filial de Piura este grupo corresponde a la primera promocioacuten menciono esto porque es la primera vez que dicto el curso para alumnos de esta especialidad
393 PROPUESTA DIDAacuteCTICA
1 TEMA Caacutelculo Diferencial 2 TIEMPO 4 semanas 3 Nordm DE HORAS SEMANALES 5 horas 4 COMPETENCIA Interpreta formula analiza y resuelve problemas de
contexto real utilizando definiciones teacutecnicas y aplicaciones del Caacutelculo Diferencial desarrollando comunicacioacuten investigacioacuten razonamiento y manifestando confianza flexibilidad y perseverancia
5 CAPACIDADES bull Refuerza empleando DERIVE el tema de Razoacuten de
Cambio en una funcioacuten bull Utiliza el software para visualizar y estudiar a traveacutes
de un pequentildeo programa el problema de la Recta Tangente
bull Observa analiza e interpreta el comportamiento de las funciones y sus derivadas a traveacutes de graacuteficas elaboradas en DERIVE
bull Resuelve problemas de aplicacioacuten de la derivada (Maacuteximos y Miacutenimos) al estudio de problemas naturales econoacutemicos sociales y tecnoloacutegicos
bull Desarrollar la capacidad de anaacutelisis criacutetico de las informaciones recibidas
6 ACTITUDES
bull Valora la importancia de la precisioacuten en el trabajo de programacioacuten
bull Demuestra seguridad orden y claridad en su trabajo bull Manifiesta la importancia de la derivada para
explicar y analizar el comportamiento de un fenoacutemeno
7 METODOLOGIacuteA DE LAS SESIONES DE CLASE La metodologiacutea consiste en explicar el fundamento teoacuterico empleando diversos recursos como diapositivas pizarra ndash plumoacuten proyector multimedia y paralelamente trabajar el laboratorio Al planificar estas sesiones se tendraacute en cuenta la competencia y las capacidades que se espera desarrollar en los alumnos Se ha insistido en la necesidad de lograr que el alumno realice un aprendizaje significativo y desempentildee un rol activo para lo cual utilizaremos guiacuteas de trabajo para el tratamiento de los contenidos programados asiacute como hojas de Evaluacioacuten de Laboratorio
8 RECURSOS HUMANOS bull Profesora de Matemaacuteticas bull Grupo Experimental Alumnos del segundo ciclo
de la Escuela de Ingenieriacutea Industrial bull Grupo de Control Alumnos del segundo ciclo de
la Escuela de Ingenieriacutea de Sistemas 9 MATERIALES
bull Centro de Coacutemputo bull Guiacuteas de Trabajo bull Hojas de Evaluacioacuten
10 PLANES DE CLASE Elaborar un plan de clase se ha convertido en una tarea importante al momento de planificar nuestras asignaturas hemos recibido algunos cursos de capacitacioacuten con la finalidad de que todos los docentes podamos manejar este instrumento que nos ayude a organizar mejor nuestro tiempo y a dosificar los
contenidos de acuerdo al tiempo establecido para cada uno de ellos en la programacioacuten oficial Manejamos el formato que presento en el Anexo 4 y en cada clase llevamos uno en nuestra carpeta docente Para este trabajo de investigacioacuten se elaboraron 4 planes de clase los cuales se pueden apreciar en el Anexo 4 Consideramos importante al momento de planificar una sesioacuten de clase conocer los diferentes tipos de actividades a desarrollar los cuales son la parte medular de la clase y los procedimientos a utilizar en cada una de ellas En nuestros planes de clase consideramos las siguientes actividades bull Actividades Iniciales
Preparan el ambiente para el aprendizaje y estimulan el intereacutes por los nuevos contenidos y facilitan su relacioacuten con los conocimientos previos de los estudiantes Tienen como propoacutesito captar la atencioacuten de los alumnos hacia las principales ideas estudiadas Se utiliza como introduccioacuten donde se sentildealan los aspectos a estudiar para despertar el intereacutes de los alumnos por el tema y desarrollar una buena disposicioacuten por temas subsiguientes Tambieacuten puede incluir una evaluacioacuten previa o diagnoacutestica del conocimiento actual las actitudes y niveles de destreza de los alumnos En este mismo sentido se puede plantear una secuencia de experiencias de aprendizajes puede incluir diferentes tipos de actividades entre las cuales se encuentran las Actividades Introductorias o de Exploracioacuten Evidencian diagnoacutestico introduccioacuten o
descubrimiento Son orientadoras Despiertan el intereacutes y la motivacioacuten A continuacioacuten se ofrecen algunos ejemplos de actividades iniciales Hacer una encuesta de las actitudes de los alumnos hacia un tema determinado y colocar los resultados en el pizarroacuten
Mostrar una peliacutecula de corto metraje Pedir a los estudiantes que entrevisten a personas que laboran en una empresa acerca del tema estudiado y discutan sus hallazgos en clase Sostener una discusioacuten en clase que muestre la forma en que se relacionan las experiencias actuales de los alumnos con lo que va a ser estudiado
bull Actividades de Proceso
Dan secuencia a las estrategias y teacutecnicas de aprendizaje para lograr los objetivos propuestos Son las estrategias de aprendizaje y teacutecnicas que ayudan a los estudiantes a extender su pensamiento acerca de un problema o tema y practicar sus destrezas recieacuten aprendidas Estas son el corazoacuten de la Unidad y ocupan la mayor parte del tiempo y la energiacutea de los estudiantes Aquiacute podemos hablar de actividades de desarrollo anaacutelisis y estudio las cuales son actividades destinadas a desarrollar diferentes aspectos del contenido para el logro de los objetivos Incluyen actividades de estudio y ejercitacioacuten Dentro de eacutesta clasificacioacuten se encuentran tambieacuten las denominadas por Taba actividades de generalizacioacuten que incluyen actividades que permiten generalizar o reconstruir lo aprendido Ejemplos de actividades de Desarrollo Solicitar a los estudiantes elaboren mapas
tablas graacuteficas modelos o secuencias cronoloacutegicas
Asignar actividades de redaccioacuten de resentildeas de libros temas cartas o informes de investigacioacuten
Invitar a especialistas sobre el tema a dar una charla
Solicitar a los estudiantes que recaben su propia informacioacuten a traveacutes de entrevistas o cuestionarios
Utilizar peliacuteculas diapositivas transparencias u otros materiales visuales
Organizar grupos pequentildeos de trabajo para que los estudiantes compartan informacioacuten Mostrar a los estudiantes la forma de desarrollar habilidades especiacuteficas y proveer actividades para la praacutectica
bull Actividades Finales Agregan y relacionan las Unidades de Aprendizaje con otras experiencias educativas y aplicaciones a situaciones nuevas Estas actividades favorecen la integracioacuten con resuacutemenes que ayuden a los estudiantes a identificar las ideas maacutes importantes de la Unidad Una actividad de culminacioacuten tambieacuten podriacutea brindar la oportunidad para que los alumnos practiquen o utilicen de forma conjunta los conocimientos habilidades y actitudes desarrolladas en unidades anteriores Aquiacute podemos mencionar a las actividades de aplicacioacuten resumen o culminacioacuten que son aquellas que propician la aplicacioacuten de lo aprendido y sirven para medir o evaluar el nivel de logro Algunos ejemplos de actividades de culminacioacuten
son Planear una puesta en comuacuten para que los estudiantes resuman lo que han aprendido en la Unidad Estimular a los estudiantes a realizar un proyecto que deacute respuesta a problemas particulares de una empresa de su trabajo o de su comunidad Producir material audiovisual presentacioacuten de grabaciones transparencias o cintas de viacutedeo en clase
11 CRITERIOS DE EVALUACIOacuteN Los criterios de evaluacioacuten corresponden a la Taxonomiacutea de Bloom seguacuten la cual se evaluacutea de acuerdo a los criterios de conocimiento comprensioacuten
aplicacioacuten anaacutelisis siacutentesis y evaluacioacuten Asiacute en las evaluaciones presentadas en el Anexo 5 presentamos las tablas de especificaciones de acuerdo a esta taxonomiacutea y a los ejes temaacuteticos que se desarrollaron en cada sesioacuten de clase y en el Anexo 6 se muestran los instrumentos de evaluacioacuten donde se ha tenido el cuidado necesario en la redaccioacuten de cada iacutetem a fin de que logre medir las capacidades sentildealadas en los planes de clase y este de acuerdo a los criterios fijados en la tabla de especificaciones
12 METODOLOGIA DE CLASE
En cuanto a la metodologiacutea indicamos que se trabaja por bloques de cinco horas pedagoacutegicas con un descanso de 20 minutos Las clases se dictan una vez a la semana y se inicia en el turno de la mantildeana de 730am hasta las 1000am en que se da lugar al descanso de veinte minutos para retomar a las 1020am y terminar a las 1200 am Debido a la jornada de trabajo que se tiene es que el eacutexito de una sesioacuten de clases depende en parte de la habilidad del docente para programar su clase haciendo un buen uso del tiempo a fin de hacer de su clase una jornada de trabajo productivo con los alumnos Generalmente distribuyo mi tiempo entre exposicioacuten los contenidos y resolucioacuten de ejercicios en la pizarra tambieacuten invito a los alumnos a participar resolviendo algunos ejercicios y problemas para luego explicar lo que han trabajado a sus compantildeeros Otras de las estrategias empleadas es la solucioacuten de Trabajos Praacutectico en clase y de forma grupal despueacutes de ello siempre se presentan las soluciones a todo el grupo He dejado un trabajo encargados en la primera unidad que mas que ser un trabajo de investigacioacuten de alguacuten contenido matemaacutetico se refirioacute a la lectura de la novela ldquoCriacutemenes Imperceptiblesrdquo de Guillermo Martiacutenez Matemaacutetico y escritor argentino esta novela posee un contenido matemaacutetico y en su momento
sirvioacute para reconocer que en las matemaacuteticas no todo es solucioacuten de ejercicios y problemas Con el grupo experimental trabajeacute sesiones de laboratorio incluidas dentro de las horas de clase PRIMERA CLASE
Esta es la primera clase sobre Derivadas con el grupo de control aquiacute el desarrollo de la clase se hace siguiendo el meacutetodo de la clase magistral en la cual muestro a los alumnos el concepto de razoacuten de cambio con ayuda de diapositivas y graacuteficos elaborados en la pizarra es importante mencionar que toda la informacioacuten ellos la tienen presente en una separata disentildeada para esta clase y entregada para esa sesioacuten
Luego de la explicacioacuten en la cual los alumnos
intervienen con sus preguntas se procede a trabajar por parejas en la solucioacuten del primer trabajo praacutectico que aparece en la separata para esto se asigna a cada pareja formada un problema un tiempo de 15rsquo para resolverlo y entregarlo para su posterior correccioacuten en plenaria A continuacioacuten los alumnos exponen la solucioacuten de los 4 problemas en la pizarra
Luego empleando nuevamente el meacutetodo expositivo dando lugar a las preguntas de los alumnos y haciendo a la vez algunas interrogantes para comprobar su comprensioacuten presente los contenidos referidos a a) Razoacuten de cambio y el problema de la recta tangente a una curva b) Definicioacuten de derivada c) Presentacioacuten de graacuteficos de funciones y sus derivadas Resolvimos algunos ejercicios de los trabajos praacutecticos Nordm2 y Nordm3 en la pizarra y los demaacutes quedaron para trabajar en casa La solucioacuten de dichos ejercicios seria expuesta en la siguiente clase de forma voluntaria
Para la sesioacuten con el grupo experimental la clase se desarrollo con un inicio similar a la clase del grupo
de control mostrando las diapositivas y trabajando con ellos trabajando con ellos sobre la ideas de Razoacuten de cambio Recta tangente a una curva caacutelculo de la derivada de una funcioacuten empleando la definiciones De los Trabajos Praacutecticos Nordm1 Nordm2 y Nordm3 resolviacute en la pizarra algunos ejercicios quedando los otros como trabajo para la siguiente clase Para la sesioacuten de laboratorio prepare una guiacutea de trabajo la cual estaacute dividida en dos temas los cuales se denominan bull Razoacuten de cambio y problema de la recta tangente bull Caacutelculo y grafica de la derivada de una funcioacuten Esta guiacutea de trabajo usa el programa DERIVE y pretende reforzar los conocimientos adquiridos en las clases acerca de los temas de razoacuten de cambio recta secante y tangente a una curva ademaacutes del caacutelculo de la derivada empleando la definicioacuten y el uso de los comandos Lim (liacutemite) y DIF (derivada) propios de DERIVE Considero importante comentar que el uso de programa permitioacute a los alumnos recordar la teoriacutea de graacutefico de funciones estudiada en la primera unidad la cual les sirvioacute de base para comprender el comportamiento de las graacuteficas de las funciones y sus derivadas ademaacutes se dieron indicaciones sobre el uso de sentencias loacutegica como IF ndash THEN para elaborar pequentildeos programas usando DERIVE pues una de las tareas era elaborar un pequentildeo programa que les permitiera ingresar una funcioacuten y un intervalo y que de como resultado la grafica de todas las rectas secantes en un intervalo establecido hasta llegar a la tangente en un punto extremo del intervalo o en cualquier punto del mismo SEGUNDA CLASE
Con el grupo de control el meacutetodo empleado es deductivo las estrategias para el desarrollo de la clase se combinaron entre la exposicioacuten y participacioacuten activa de los alumnos para tratar de deducir algunos conceptos o ideas y luego a traveacutes de la solucioacuten de
ejercicios reforzar los conocimientos Los ejercicios se trabajan en parejas Se presentoacute las primeras reglas de derivacioacuten y luego se resolvieron ejercicios de caacutelculo de derivadas empleando las reglas Ademaacutes de calcular derivadas de orden superior Se continuoacute con el anaacutelisis de las derivadas de algunas funciones sencillas por la facilidad para realizar sus graacuteficas A los alumnos se les dejoacute como tarea la solucioacuten de los trabajos praacutecticos Nordm 4 Con respecto al grupo experimental se presentaron los mismos contenidos y en la parte del laboratorio sirvioacute baacutesicamente para trabajar el anaacutelisis graacutefico de funciones y adelantando un poco gracias el manejo del programa calculamos no solo la primera sino tambieacuten las segundas terceras entre otras derivadas de algunas funciones El trabajar con las graacuteficas de la primera y segunda derivada permitioacute a los alumnos ir teniendo ideas sobre la relacioacuten entre la derivada de una funcioacuten y su graacutefica lo cual seraacute el tema de la siguiente sesioacuten Asiacute mismo recordamos conceptos estudiados en la primera parte del curso como son el de funcioacuten creciente y decreciente ademaacutes de relacionar los signos de la derivada para comprobar que una funcioacuten sea o no creciente TERCERA CLASE
Esta clase tanto para el grupo de control como para el grupo experimental es la misma no incluye el desarrollo de un laboratorio para el grupo experimental y la razoacuten es porque en esta sesioacuten se concluye con la presentacioacuten de todas las reglas de derivacioacuten se trabajaron los temas de derivadas de funciones trigonomeacutetricas sus inversas exponenciales y logariacutetmicas Ademaacutes regla de cadena funciones impliacutecitas derivadas de orden superior
Esta clase tiene la mayor parte del tiempo destinada a la praacutectica en clase pues los ejercicios que
se plantean tienen como finalidad que el alumno aprenda a distinguir las reglas de derivacioacuten y sobre todo reconozca cuando emplearlas
CUARTA CLASE
Con ambos grupos se trabajaron los temas de Regla de LrsquoHospital y aplicaciones de las Derivadas el caacutelculo de Maacuteximos y Miacutenimos de una funcioacuten en el caso del grupo de control se invierte el tiempo en resolver ejercicios y problemas de forma individual grupal y en presentar la solucioacuten de los problemas en la pizarra
Con el grupo experimental si hubo laboratorio aquiacute se presentan problemas diversos de aplicacioacuten para encontrar maacuteximos y miacutenimos de funciones que quizaacutes manualmente seriacutea laboriosos derivar pero con ayuda de programa podemos hacerlo de forma inmediata dando asiacute el tiempo necesario para trabajar la interpretacioacuten de resultados y el anaacutelisis e maacuteximos y miacutenimos
En cuanto a la evaluacioacuten debo indicar que durante el tiempo que duro la experiencia se aplicaron 3 praacutecticas calificadas y un examen parcial Entonces los alumnos presentan en esta segunda unidad tres notas de praacutectica maacutes la calificacioacuten del examen parcial
13 LA EVALUACION
Al finalizar las praacutecticas con DERIVE se realizoacute un examen para evaluar los conocimientos adquiridos por los estudiantes Estos exaacutemenes fueron tres y contando con el examen parcial se pudo obtener el promedio de la segunda unidad en la asignatura
Para la realizacioacuten de los exaacutemenes y con la finalidad de que no haya diferencia en las evaluaciones se aplico el mismo examen ademaacutes fueron aplicados en un horario fuera de las horas de clase y a los dos grupos por igual y al mismo tiempo
Las praacutecticas calificadas se elaboraron de acuerdo a la tabla de especificaciones y la taxonomiacutea de Bloom La prueba tiene una duracioacuten de dos horas
El construir la tabla de especificaciones me sirvioacute para un mayor orden al momento de elaborar el banco de reactivos que evalueacute en cada uno de los temas seguacuten la importancia y el tiempo que se le dedicaron en clase
Para desarrollar esta tabla fue necesario tener en
cuenta
a) La lista de temas desarrollados b) La lista de capacidades especificas que marco cada
tema c) Una revisioacuten previa de todo el contenido Tomeacute en cuenta los niveles taxonoacutemicos de Bloom 1 Conocimiento 2 Comprensioacuten 3 Aplicacioacuten 4 Anaacutelisis - Siacutentesis ndash Evaluacioacuten
Con respecto al porcentaje este fue asignado seguacuten la importancia de los contenidos Las tablas de especificaciones para las tres praacutecticas calificadas asiacute como algunas notas sobre la taxonomiacutea de Bloom se encuentran en Anexo 5
CAPIacuteTULO IV
ANAacuteLISIS E INTERPRETACIOacuteN DE RESULTADOS
41 ANAacuteLISIS ESTADIacuteSTICO
421 RESULTADOS DEL RENDIMIENTO ACADEacuteMICO DE LOS GRUPOS EXPERIMENTAL Y DE CONTROL
El grupo Experimental inicio el semestre acadeacutemico con 19 alumnos El nuacutemero de alumnos es muy pequentildeo y me atrevo a suponer se deba al hecho de ser una especialidad nueva en la Universidad esto en comparacioacuten a la especialidad de Ingenieriacutea de Sistemas de tiene mayor tiempo Del grupo de Control que inicio el semestre con 19 alumnos el alumno 6 se retiro en la segunda unidad por problemas de salud El nuacutemero de alumnos registrados en el grupo de Control es de 32 De los 32 alumnos registrados se retiraron 7 cinco de ellos se retiraron desde la primera unidad y los otros dos en la segunda unidad Las razones del retiro de la asignatura de estos alumnos fueron de caraacutecter econoacutemico y en otros por motivos familiares y de salud
Observemos las calificaciones del promedio de la segunda unidad en ambos grupos
CALIFICACIONES DE LA SEGUNDA UNIDAD
GRUPO EXPERIMENTAL
Tabla 6
R E G I S T R O D E A S I S T E N C I A Y E V A L U A C I Oacute N
Semestre 2006 II Seccioacuten A Escuela Ingenieriacutea Industrial Aula 412
Asignatura Matemaacutetica I
Profesora Lic Diana Quintana S
E v a l u a c i o n e s 2ordm U n i d a d
Prom Ex Prom NF NP Observaciones
Nordm Apellidos y Nombres
Prac
tica
Nordm 1
Prac
tica
Nordm 2
Prac
tica
Nordm 3
Fina
l
2 Sust 2
1 Alumno 1 11 8 9 9 92 2 Alumno 2 18 17 18 20 186 3 Alumno 3 19 18 18 20 19 4 Alumno 4 13 13 12 14 132 5 Alumno 5 15 17 15 15 154 6 Alumno 6 0 0 0 0 0 Retirado 7 Alumno 7 14 9 12 12 118 8 Alumno 8 14 13 13 14 136 9 Alumno 9 12 13 10 13 122
10 Alumno 10 14 11 15 13 132 11 Alumno 11 16 18 15 15 158 12 Alumno 12 10 14 11 11 114 13 Alumno 13 8 7 7 7 72 14 Alumno 14 16 14 12 14 14 15 Alumno 15 13 12 12 14 13 16 Alumno 16 11 10 10 12 11 17 Alumno 17 11 12 11 9 104 18 Alumno 18 9 8 7 11 92 19 Alumno 19 18 13 8 17 146 20
CALIFICACIONES DE LA SEGUNDA UNIDAD
R E G I S T R O D E A S I S T E N C I A Y E V A L U A C I Oacute N
GRUPO DE CONTROL
Semestre 2006 II Seccioacuten B Escuela Ingenieriacutea de Sistemas Aula 413
Asignatura Matemaacutetica I Profesora Lic Diana Quintana S
E v a l u a c i o n e s 2ordm U n i d a d Prom Ex Prom NF NP Observaciones
Nordm Apellidos y Nombres
Prac
tica
Nordm1
Prac
tica
Nordm2
Prac
tica
Nordm3
Fina
l
2 Sust 2
1 Alumno 1 Retirado 2 Alumno 2 5 8 10 11 9 3 Alumno 3 14 6 5 10 9 4 Alumno 4 14 12 13 12 126 5 Alumno 5 0 11 5 13 84 6 Alumno 6 14 18 18 16 164 7 Alumno 7 14 15 12 13 134 8 Alumno 8 0 10 6 11 76 9 Alumno 9 0 10 6 12 8
10 Alumno 10 Retirada 11 Alumno 11 14 10 6 12 108 12 Alumno 12 14 8 6 11 10 13 Alumno 13 11 11 10 7 92 14 Alumno 14 13 10 6 10 98 15 Alumno 15 14 7 6 12 102 16 Alumno 16 12 11 13 8 104 17 Alumno 17 14 12 7 12 114 18 Alumno 18 18 18 20 18 184 19 Alumno 19 Retirada 20 Alumno 20 14 10 12 11 116 21 Alumno 21 14 10 6 11 104 22 Alumno 22 14 13 12 13 13 23 Alumno 23 Retirado 24 Alumno 24 8 20 11 11 122 25 Alumno 25 Retirado 26 Alumno 26 14 16 7 11 118
Tabla 7
Despueacutes de finalizada la investigacioacuten el grupo experimental resulto con el mayor nuacutemero de
alumnos aprobados lo cual me permite conjeturar que hipoacutetesis de la investigacioacuten si se ha logrado Pero se necesitan pruebas concretas por lo cual he empleado el software STATGRAPHICS para procesar los resultados obtenidos y de esta manera tener una mayor certeza de mis suposiciones
42 ANAacuteLISIS INFERENCIAL
421 COMPARACIOacuteN DE MEDIAS
Una medida estadiacutestica de tendencia central se utiliza para indicar un valor que tiende a tipificar o a ser el maacutes representativo de un conjunto de nuacutemeros La media es una medida de tendencia central y se define como
DEFINICIOacuteN
27 Alumno 27 14 20 5 12 126 28 Alumno 28 13 0 7 11 84 30 Alumno 29 Retirado 31 Alumno 30 14 15 9 12 124 32 Alumno 31 Retirado 33 Alumno 32 14 12 12 11 12 34
Media Aritmeacutetica La media aritmeacutetica es a veces denominada simplemente media es la suma de los valores observados de la variable dividido por el nuacutemero de observaciones
(Coacuterdova 1995 31)
Dados n valores 1 2 nx x x de la variable cuantitativa X observados en una muestra su media aritmeacutetica se calcula
utilizando la expresioacuten
n
ii
xx
n=sum
422 TABLAS DE FRECUENCIA DEL PRE TEST Y POST TEST
Presento los resultados de las pruebas Pre Test y Post Test para el grupo Experimental
RESULTADOS PRE TEST Y POST TEST
GRUPO EXPERIMENTAL
Tabla 8
Del total de 19 alumnos inscritos los cuales representan el 100 hubieron 12 desaprobados que en porcentaje representan el 632 Eacuteste porcentaje es mayor que en el otro grupo lo cual me hace decidir por este grupo de alumnos para que sea el grupo experimental Los resultados de las pruebas Pre Test y Post Test para el grupo de control son
RESULTADOS PRE TEST Y POST TEST
GRUPO DE CONTROL
Nordm Apellidos y Nombres Pre Test Post Test 1 Alumno 1 98 92 2 Alumno 2 14 186 3 Alumno 3 136 19 4 Alumno 4 102 132 5 Alumno 5 132 154 6 Alumno 6 54 RETIRADA 7 Alumno 7 10 118 8 Alumno 8 88 136 9 Alumno 9 84 122 10 Alumno 10 124 132 11 Alumno 11 13 158 12 Alumno 12 92 114 13 Alumno 13 62 72 14 Alumno 14 116 14 15 Alumno 15 102 13 16 Alumno 16 88 11 17 Alumno 17 08 104 18 Alumno 18 82 92 19 Alumno 19 114 146 Nordm Apellidos y Nombres Pre Test Post Test 1 Alumno 1 RETIRADO 2 Alumno 2 9 9 3 Alumno 3 88 9
Tabla 9
Del total de 27
alumnos inscritos los cuales representan el 100 hubieron 16 desaprobados que en porcentaje representan el 593
4 Alumno 4 136 126 5 Alumno 5 96 84 6 Alumno 6 146 164 7 Alumno 7 138 134 8 Alumno 8 74 76 9 Alumno 9 86 8 10 Alumno 10 RETIRADO 11 Alumno 11 87 108 12 Alumno 12 86 10 13 Alumno 13 86 92 14 Alumno 14 84 98 15 Alumno 15 84 102 16 Alumno 16 82 104 17 Alumno 17 11 114 18 Alumno 18 174 184 19 Alumno 19 RETIRADO 20 Alumno 20 86 116 21 Alumno 21 7 104 22 Alumno 22 122 13 23 Alumno 23 80 RETIRADO 24 Alumno 24 108 122 25 Alumno 25 8 RETIRADO 26 Alumno 26 11 118 27 Alumno 27 138 126 28 Alumno 28 8 84 29 Alumno 29 RETIRADO 30 Alumno 30 108 124 31 Alumno 31 RETIRADO 32 Alumno 32 108 12
423 RESULTADOS DEL PRE TEST ndash POST TEST CONSIDERANDO LA COMPARACIOacuteN DE MEDIAS Y LA PRUEBA t- STUDENT
Recordemos que en nuestra investigacioacuten manejamos dos hipoacutetesis estadiacutesticas las cuales son
HIPOacuteTESIS ESTADIacuteSTICAS
0 M MH micro micro= (Hipoacutetesis Nula)
1 M MH micro microne (Hipoacutetesis de la investigacioacuten o Hipoacutetesis Alternativa)
Donde
Mmicro Nota promedio de los alumnos de la asignatura de Matemaacutetica I Seccioacuten A aula 412 del semestre 2006 II que emplearon el software DERIVE
Mmicro Nota promedio de los alumnos de la asignatura de
Matemaacutetica I Seccioacuten B aula 413 del semestre 2006 II que no que emplearon el software DERIVE
Los resultados del Pre Test son las notas obtenidas en la primera unidad durante las primeras 7 semanas de clase siendo octava semana donde se realizan las evaluaciones parciales Para obtener la nota de la primera unidad los alumnos deben presentar tres praacutecticas calificadas y un examen parcial de estas notas se obtiene un promedio ponderado donde el examen parcial tiene peso 2 y las praacutecticas calificadas tienen peso 1 En cuanto a los resultados del Post Test estos son los promedios de la segunda unidad que corresponden a las siete siguientes semanas pues en la octava semana de esta segunda Unidad se aplican los exaacutemenes finales luego el promedio de ambas notas daraacute la nota del curso En ambos grupos los resultados de Pre Test se obtuvieron aplicando las mismas estrategias ya que hasta ese momento no se habiacutea iniciado la parte aplicativa de la investigacioacuten
Las evaluaciones fueron disentildeadas considerando la taxonomia de Bloom Asiacute encontraremos en ellas preguntas de conocimiento comprensioacuten aplicacioacuten anaacutelisis siacutentesis y evaluacioacuten Las praacutecticas calificadas se encuentran en los anexos A continuacioacuten presento los resultados Pre Test y Post Test tanto del grupo experimental como del grupo de control indicando que ambos grupos fueron sometidos a las mismas practicas calificadas en el mismo horario el cual estuvo programado fuera de las horas de clase semanales
RESULTADOS DE PRUEBAS PRE TEST EN LOS GRUPOS
EXPERIMENTAL Y DE CONTROL
RESUMEN ESTADIacuteSTICO
EXPERIMENTAL CONTROL ---------------------------------------------------------------------- Frecuencia 18 25 Media 107333 10156 Varianza 409412 69284 Desviacioacuten tiacutepica 202339 263219 Coef de variacioacuten 188515 259175 ----------------------------------------------------------------------
Suponiendo varianzas iguales t = 0778652 P-Valor = 0440656
Tabla 10
En el cuadro Nordm 1 se puede observar que la nota promedio en el grupo de Experimental en la evaluacioacuten Pre- Test fue de 107333 y para el grupo de Control la evaluacioacuten Pre-Test fue de 10156 lo cual indica que no existe una gran diferencia entre las notas de ambos grupos Despueacutes de aplicar la prueba ldquotrdquo Student se encontroacute que el valor experimental fue de 0778652 un valor de p=0440656 lo cual indica que no existe mayor diferencia entre las medias del rendimiento de ambos grupos
RESULTADOS DE PRUEBAS POST TEST EN LOS GRUPOS
EXPERIMENTAL Y DE CONTROL
RESUMEN ESTADIacuteSTICO
EXPERIMENTAL CONTROL ---------------------------------------------------------------------- Frecuencia 18 25 Media 129333 1116 Varianza 957647 637 Desviacioacuten tiacutepica 309459 252389 Coef de variacioacuten 239272 226155 ----------------------------------------------------------------------
Suponiendo varianzas iguales t = 206743 P-Valor = 00450448
Tabla 11 En el cuadro Nordm 2 se puede observar que la nota promedio en el grupo de Experimental en la evaluacioacuten Post- Test fue de 129333 y para el grupo de Control la evaluacioacuten Post-Test
fue de 1116 lo cual indica que existe diferencia entre las notas de ambos grupos Despueacutes de aplicar la prueba ldquotrdquo Student se encontroacute que el valor experimental fue de 206743 un valor de p=00450448 y puesto que el p-valor calculado es inferior a 005 podemos rechazar la hipoacutetesis nula a favor de la hipoacutetesis alternativa
424 ACEPTACIOacuteN O RECHAZO DE LA HIPOacuteTESIS
NULA Y ALTERNATIVA
Observados los resultados de la evaluacioacuten y su proceso a traveacutes del software STATGRAPHICS se resuelve rechazar la hipoacutetesis nula a favor de la hipoacutetesis alternativa
43 DISCUCIOacuteN DE LOS RESULTADOS
Con respecto a la discusioacuten de los resultados quisiera empezar indicando Esta investigacioacuten se ha centrado en la parte del Calculo Diferencial y cuando la empezamos partimos de una primera preocupacioacuten la cual era que los alumnos muchas veces no comprenden totalmente la definicioacuten de derivada En ella se mencionan varios objetos matemaacuteticos como funcioacuten razoacuten de cambio instantaacutenea liacutemite entre otros que estaacuten impliacutecitos o que van saliendo a la luz cuando se recurre por ejemplo a la interpretacioacuten geomeacutetrica como es el caso de graacutefica de funciones y el de pendiente de recta Ademaacutes se observar que los alumnos auacuten tienen cierta inseguridad para manejar estos objetos pesar de que han sido trabajados en temas preliminares al caacutelculo diferencial las dudas con frecuencia son acerca de coacutemo interpretarlos o si son uacutetiles para alguna tarea en especiacutefico Asiacute que un primer trabajo es recordar los conceptos preliminares mencionados y un recurso para tal fin fue el examen parcial que rindieron una semana antes a la ejecucioacuten de esta investigacioacuten En la praacutectica docente siempre me habiacutea sucedido que al momento de dar la definicioacuten de derivada y ayudaacutendome de algunos grafico ilustrativos quedaban dudas en algunos estudiante de manera que penseacute que trabajando con Derive podriacutea
solucionar este problema pues podiacutea graficar todo tipo de funciones y aunque solo necesitaba conocer instrucciones sobre el programa luego graficar no seriacutea un gran problema por el contrario comenzaron a graficar diferentes tipos de funciones con lo que conseguiacute ahorra el tiempo que demandariacutea graficar manualmente e invertirlo en analizar el comportamiento de grafico de las misma Los alumnos aclararon dudas de manteniacutea de los temas anteriores como por ejemplo el comportamiento de las graficas cuando estaacuten cerca de sus asiacutentotas contrastaron los dominios verdaderos con los que ellos en alguacuten momento habiacutean supuesto entre otras conjeturas Con ayuda de DERIVE pude lograr que visualizaran por ejemplo la razoacuten de cambio en un intervalo y la razoacuten de cambio instantaacutenea las relacionaran y diferenciaran Logrado lo anterior se sigue con la interpretacioacuten geomeacutetrica de la derivada y que se asocia con el problemas de la recta tangente DERIVE facilita no solo la parte graacutefica sino tambieacuten algebraica por cuanto en algunos casos haya que hacer alguna redefinicioacuten de la funcioacuten y sabiendo que se puede determinar una razoacuten de cambio en cada punto de la curva faacutecilmente se puede entender que esa razoacuten de cambio sea la pendiente de la recta tangente a cualquier punto de la curva de modo que ahora es posible hallar la ecuacioacuten de una recta que sea tangente en cualquier punto de la curva A modo de una aplicacioacuten se comprueba para otras funciones y resolver problemas en otros contextos ajenos a geomeacutetrico DERIVE con su comando DIF permite encontrar la derivada de cualquier orden de una funcioacuten esto no se oculto a los alumnos pero se indico que era preferible que ellos supieran la reglas de derivacioacuten y las aplicaran correctamente Considero que al poder visualizar la graacutefica de la derivada de una funcioacuten los alumnos comprendieron mejor lo que en teoriacutea se dice acerca de que la derivada de una funcioacuten es otra funcioacuten hicieron comparacioacuten de las graacuteficas de funciones y graacuteficas de sus primeras y segundas derivadas Otro logro obtenido se refiere a la parte conceptual de las aplicaciones de la derivada hallar maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de funciones saber en queacute intervalos en creciente decreciente o constante Sin derive solo analizaacutebamos funciones
sencillas pues teniacuteamos que graficar esto tomaba tiempo asiacute que lograacutebamos unos 3 ejemplos a lo maacutes Con DERIVE ahorraacutebamos el tiempo que demanda graficar y derivar y lo invertiacuteamos en analizar la funcioacuten pues con soacutelo ver la graacutefica sabiacuteamos si ella tiene maacuteximos yo miacutenimos punto de inflexioacuten y determinar cuaacutendo es creciente decreciente o constante pero con la ventana algebraica podiacuteamos derivar y determinar con exactitud donde se encontraban dichos puntos Finalmente mencionado la teoriacutea de registros se les hizo maacutes faacutecil la tarea de pasar de un registro semioacutetico a otro pues teniacutean herramientas para ello y creo que eso contribuyoacute a conceptualizar mejor los contenidos ya que como plantea en su teoriacutea Raymond Duval si no conoce al menos dos formas distintas de expresar o representar un contenido matemaacutetico formas a las que eacutel llama ldquoRegistro de Representacionesrdquo y ldquoRegistros Semioacuteticosrdquo no parece posible aprender y comprender dicho contenido Como ejemplo indico que al ser la derivada en un punto un valor numeacuterico se deja de lado que es tambieacuten una funcioacuten entonces se confunde un objeto matemaacutetico que en este caso es la funcioacuten derivada con una de sus representaciones que viene a ser en esta caso el nuacutemero esta confusioacuten entre un objeto y su representacioacuten en un plazo maacutes o menos amplia provocaba una peacuterdida de la comprensioacuten A esto es necesario antildeadir el hecho de que la pluralidad de sistemas semioacuteticos permite una diversificacioacuten tal de las representaciones de un mismo objeto que aumenta las capacidades cognitivas de los sujetos y por tanto sus representaciones mentales De las clases de laboratorio especiacuteficamente de los diaacutelogos que sostuvimos durante las clases pude comprobar que en ellos trasladar un registros no es algo espontaacuteneamente Y que el pensamiento de un alumno puede movilizar un solo registro de representacioacuten a la vez En este caso hemos manejado en la parte conceptual y la parte practica tres tipos de registros el graacutefico algebraico y la lengua natural
CONCLUSIONES
1 De acuerdo a los resultados obtenidos a traveacutes de las praacutecticas
calificadas administradas suponiendo medias iguales empleando la t- estudent se determina que el programa DERIVE es eficiente en el proceso de ensentildeanza- aprendizaje del Caacutelculo Diferencial
2 De las referencias bibliograacuteficas revisadas en el presente trabajo
en relacioacuten a la definicioacuten de Derivada (N Piskunov 1973 68 Spivak 1967 201 Purcell 2003 107) se concluye en una definicioacuten a mi consideracioacuten maacutes didaacutectica para los alumnos que abarca todos los aportes de cada una de las definiciones leiacutedas y el uso de una notacioacuten maacutes manejable
3 Se logro disentildear y presentar una propuesta metodoloacutegica compuesta por un moacutedulo de trabajo guiacuteas y actividades de laboratorio que fueron aplicadas al grupo experimental y que permitieron mejorar las calificaciones de los alumnos
4 El uso del DERIVE como recurso en las clases de Caacutelculo
Diferencial permitioacute motivar en los alumnos el desarrollo de capacidades como las de observar discernir analizar e interpretar
5 El alumno tiene la disposicioacuten de aprender soacutelo aquello que le
encuentra sentido o loacutegica Por ello el autentico aprendizaje es el aprendizaje significativo Cualquier otro seriacutea puramente mecaacutenico coyuntural o memoriacutestico Ademaacutes este trabajo significativo puede ser estimulado con las tecnologiacuteas de informacioacuten y comunicacioacuten tales como el programa DERIVE
6 Es importante sentildealar que la clase magistral sigue siendo
importante y por tanto nada puede reemplazar al profesor pero el uso de alguacuten recurso tecnoloacutegico tal como el que se propone complementariacutea esta labor ya que se le pueden presentar al alumno situaciones (didaacutecticas) no puramente algebraicas sino tambieacuten intuitivas graacuteficas numeacutericas por lo cual lo aprendido se vea fortalecido
7 el utilizar simultaacuteneamente diferentes representaciones favorece
el establecimiento de conexiones entre ellas siendo estas conexiones las que marcan las diferentes etapas del aprendizaje de los estudiantes Aquiacute es donde el programa DERIVE juega un papel importante debido a su potencia visual que ayuda a la formacioacuten y transformacioacuten de intuiciones y a la creacioacuten de imaacutegenes del concepto y debido tambieacuten a la facilidad para realizar caacutelculos eximiendo al estudiante de esta tediosa labor De esta forma el estudiante puede concentrarse en la exploracioacuten y discusioacuten de los conceptos Los errores cometidos por los estudiantes sirven para acrecentar su aprendizaje y completar asiacute sus imaacutegenes del concepto
RECOMENDACIONES
1
Desde el punto de vista institucional la creacioacuten de una red de investigacioacuten y desarrollo es de fundamental importancia pues mejora la comunicacioacuten la sinergia la discusioacuten y aumenta la cantidad de profesores que pueden provocar el cambio de ensentildeanza lo cual implica un mayor impacto del Proyecto en la Universidad Se sigue la tendencia universal de no realizar investigaciones en grupos reducidos y aislados sino de compartir experiencias aumentar la masa criacutetica de investigadores y aprender de la sinergia creada
2 Desde el punto de vista metodoloacutegico se propone pasar de la forma claacutesica de la ensentildeanza de la matemaacutetica con tiza y pizarra a una forma efectiva dinaacutemica y multimedial de adquirir los conceptos matemaacuteticos baacutesicos Se incorporan procesos de
caacutelculo y de representacioacuten graacutefica maacutes veloces y maacutes precisos que la operatoria personal Se libera al docente y al alumno de tareas no auteacutenticas para hacer hincapieacute en la reflexioacuten y buacutesqueda de otros procedimientos de resolucioacuten de problemas Se busca aplicar un procedimiento que provea un resultado aventajado en calidad y eficiencia que el que puede proveer el profesor con soacutelo tiza y pizarra La metodologiacutea propuesta permite acercarse maacutes a la realidad de los conceptos baacutesicos matemaacuteticos abstractos por su naturaleza a traveacutes de la visualizacioacuten interactiva y la experimentacioacuten con diferentes objetos matemaacuteticos datos con caracteriacutesticas determinadas
3 De acuerdo al os puntos anteriores desde el punto de vista del
aprendizaje se logra a) Una mejor aprehensioacuten de conceptos para su aplicacioacuten en la
resolucioacuten de problemas utilizando Sistemas Exploratorios de Aprendizaje
b) Una mejor aprehensioacuten de los conceptos por medio de los sistemas graacuteficos provistos por los Sistemas de Computacioacuten Algebraica (visualizacioacuten objetivacioacuten interactividad del software numeacuterico y simboacutelico)
c) En los alumnos la promocioacuten de la actitud y aptitud para conjeturar y desarrollar el sentido criacutetico y la reflexioacuten
d) El reconocimiento experimentacioacuten y aplicacioacuten de modelos matemaacuteticos
e) El experimentar conjeturar y descubrir propiedades sobre objetos matemaacuteticos mediante problemas asegura el intereacutes y compromiso del alumno
Las actividades que se realizaron en el laboratorio se presentan en el Anexo son tres y corresponden a los temas de 1 Definicioacuten de Derivada Razoacuten de Cambio y Problema de
la recta tangente 2 Anaacutelisis graacutefico de funciones y sus derivadas
3 Criterio de la primera y segunda derivada para hallar
maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten asiacute como los puntos de inflexioacuten
4 Resolucioacuten de Problemas de Maacuteximos y Miacutenimos
La finalidad de trabajar el tema de Derivadas es que los alumnos manipulen la definicioacuten que emplee el programa para experimentar usando diferentes funciones la variacioacuten de la razoacuten de cambio en intervalos de diferente amplitud La ayuda que brinda el programa es que grafica cualquier funcioacuten y realiza los caacutelculos de forma inmediata de esta manera los alumnos pueden analizar el comportamiento de las funciones y concentrar mayor atencioacuten en la variaciones de las razones de cambio a lo largo de toda la curva Es necesario resaltar que dado que el programa esta disentildeado para realizar graficas los alumnos dispondraacuten de mayor tiempo para hacer el anaacutelisis del comportamiento de la funcioacuten estudiando su variacioacuten sus maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten asiacute mismo conociendo la interpretacioacuten que reciben estos contenidos matemaacuteticos en los diferentes campos de aplicacioacuten Los laboratorios se pueden encontrar en el anexo de este trabajo
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24 Zabalza M (2003) Competencias docentes del profesorado universitario Calidad y desarrollo profesional Narcea SA de Ediciones Madrid Espantildea
ANEXO 1
SILABO DE LA ASIGNATURA
UNIVERSIDAD CEacuteSAR VALLEJO ndash PIURA
FACULTAD DE INGENIERIacuteA ESCUELA DE INGENIERIacuteA DE SISTEMAS Y
ESCUELA DE INGENIERIacuteA INDUSTRIAL
SIacuteLABO DE MATEMATICA I
1 DATOS GENERALES Coacutedigo del curso HT 32 Aacuterea curricular Formacioacuten Baacutesica Ciclo II Semestre Acadeacutemico 2006-II Duracioacuten 16 Semanas Pre-Requisito Loacutegico Matemaacutetica Creacuteditos 5 Horas Semanales 05 (03 de Teoriacutea 02 de Praacutectica) Docente Lic Diana J Quintana de Mejiacutea Correo electroacutenico dianaquintanaucvedupe
dianaquintana2hotmailcom
2 FUNDAMENTACIOacuteN El Desarrollo de esta asignatura pretende potenciar en el estudiante capacidades propias del aacuterea de Matemaacutetica como el razonamiento y demostracioacuten la interpretacioacuten de graacuteficos y expresiones simboacutelicas y la resolucioacuten de problemas Asiacute como presentar los medios necesarios para la adquisicioacuten de ciertas destrezas como anaacutelisis interpretacioacuten y aplicacioacuten de fundamentos teoacutericos Finalmente el logro de los objetivos de esta asignatura se veraacute reflejado y podraacute ser evaluado en la eficiencia que demuestren los alumnos al resolver situaciones reales
3 COMPETENCIAS
31 Representa y modela a traveacutes de foacutermulas algebraicas las funciones elementales aplicadas a situaciones de la vida cotidiana fenoacutemenos fiacutesicos quiacutemicos econoacutemicos y tecnoloacutegicos reconociendo la relacioacuten entre el lenguaje graacutefico y el numeacuterico para una mejor comprensioacuten de la realidad
32 Resuelve problemas aplicando concepto de liacutemite y continuidad para el estudio de fenoacutemenos naturales presentados en diversos problemas demostrando precisioacuten en los resultados
33 Interpreta formula y resuelve problemas de contexto real utilizando definiciones teacutecnicas y aplicaciones del caacutelculo Diferencial desarrollando comunicacioacuten investigacioacuten
razonamiento y manifestando confianza flexibilidad y perseverancia
4 PROGRAMACIOacuteN ACADEacuteMICA
41 PRIMERA UNIDAD FUNCIONES Y LIMITES
CAPACIDADES
1 Comprende el concepto de funcioacuten reconoce las clases de funciones
2 Grafica adecuadamente funciones reconociendo sus caracteriacutesticas como parte de la resolucioacuten de problemas de aplicacioacuten
3 Emplea procedimientos analiacuteticos y experimentales para generar modelos que expresen situaciones reales interpretando finalmente sus graficas
4 Entiende intuitivamente la nocioacuten de liacutemites 5 Calcula liacutemites laterales finitos e infinitos
ACTITUDES 1 Demuestra precisioacuten orden y claridad en el tratamiento de
datos 2 Valora la importancia de las funciones en el anaacutelisis de
situaciones reales 3 Reconoce la importancia del concepto de liacutemite en el anaacutelisis
de hechos naturales fiacutesicos econoacutemicos y tecnoloacutegicos
COMPORTAMIENTOS OBSERVABLES 1 Desarrolla su trabajo de manera clara y ordenada demostrando
precisioacuten en sus respuestas 2 Realiza comentarios sobre la importancia de las funciones en la
comprensioacuten y anaacutelisis de hechos naturales econoacutemicos fiacutesicos tecnoloacutegicos etc
3 Manifiesta verbalmente la importancia del concepto de liacutemite para una mejor comprensioacuten de la realidad
NIVELES MIacuteNIMOS DE LOGROS 1 Al menos conoce y emplea tres tipos de funciones importantes en La solucioacuten de problemas
2 Dada una situacioacuten real explica si esta puede ser modelada por Una funcioacuten 3 Resuelve al menos tres liacutemites de mediana complejidad
CONTENIDOS
SEMANA CONTENIDOS FECHA
01
bull Funciones definicioacuten dominio y rango bull Clases de Funciones
Polinoacutemicas Racionales bull Lectura
httpaulaelmundoesaulalaminasnumeropdf
bull Trabajo Individual bull Lectura ldquoLos criacutemenes Imperceptiblesrdquo
Guillermo Martiacutenez
Del 4 al 8 de Sept
02
bull Graficas de Funciones con asiacutentotas funcioacuten exponencial y Logariacutetmica
bull Laboratorio Nordm 1 bull Grafico de funciones con valor absoluto bull Presentacioacuten de investigacioacuten sobre la
lectura
Del 11 al 15 de Sept
03
bull Grafica de funciones polinoacutemicas bull Funcioacuten Signo y Mayor entero Ejercicios bull Teacutecnicas de graficacioacuten bull Presentacioacuten de solucioacuten de problemas
sobre funciones bull Informe sobre novela
Del 18 al 22 de Sept
04
bull Aplicaciones de las Funciones bull Laboratorio Nordm 2 bull Evaluacioacuten de Funciones (parte teoacuterica) bull Trabajo Individual
Del 25 al 29 de Sept
05 bull Evaluacioacuten de Funciones (parte praacutectica) bull Laboratorio Nordm 3
Del 2 al 6 de Oct
06 bull Liacutemites Liacutemite Finito- Teoremas bull Caacutelculo de Liacutemites
Del 9 al 13 de Oct
07 bull Praacutectica de caacutelculo de liacutemites bull Laboratorio Nordm 4
Del 16 al 20 de Oct
08 Examen parcial Del 23 al 27 de Oct
42 SEGUNDA UNIDAD CONTINUIDAD Y DERIVADAS
CAPACIDADES
1 Entiende el concepto de continuidad y clasifica los tipos de continuidad
2 Aplicas las propiedades fundamentales de las funciones continuas a la solucioacuten de problemas reales
3 Utiliza correctamente las foacutermulas de derivacioacuten 4 Aplica el caacutelculo diferencial al estudio de fenoacutemenos naturales
econoacutemicos sociales y tecnoloacutegicos ACTITUDES
1 Valora de manera criacutetica la importancia de la exactitud y orden
en el caacutelculo de liacutemites analizando la continuidad en algunos casos
2 Demuestra precisioacuten orden y claridad en sus caacutelculos 3 Aplica los conceptos a hechos reales y concretos
COMPORTAMIENTOS OBSERVABLES
1 Trabaja de manera ordenada y exacta en los momentos correspondientes a praacutecticas y exaacutemenes
2 Manifiesta la importancia de la derivada para explicar y analizar hechos reales en las diferentes aacutereas
NIVELES MIacuteNIMOS DE LOGROS 1 Aplica a situaciones reales el concepto de liacutemite y de
continuidad 2 Dado el graacutefico de una funcioacuten explica con sus propias palabras
el concepto de derivada puntual utilizando argumentos geomeacutetricos
3 Dada una funcioacuten halla la derivada utilizando reglas de derivacioacuten
4 Emplea derivadas para calcular maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten
CONTENIDOS
SEMANA CONTENIDOS FECHA
09 bull Liacutemite al Infinito
Del 30 de Oct Al 3 de
bull Liacutemites de funciones Trigonomeacutetricas bull Taller de ejercicios
Nov
10
bull Evaluacioacuten del tema anterior bull Continuidad y Discontinuidad removible
de una funcioacuten
Del 6 al 10 de Nov
11
bull Evaluacioacuten de Continuidad bull Trabajo en aula sobre problemas de
liacutemites
Del 13 al 17 de Nov
12
La Derivada bull Razoacuten de cambio promedio e
instantaacutenea bull Taller de ejercicios bull Laboratorio Nordm2
Del 20 al 24 de Nov
13
bull Definicioacuten e Interpretacioacuten Geomeacutetrica bull Reglas de derivacioacuten bull Regla de la Cadena bull Evaluacioacuten
Del 27 de Nov Al 1 de Dic
14
bull Derivada de una funcioacuten impliacutecita bull Derivada de orden superior bull Laboratorio Nordm 3
Del 4 al 8 de Dic
15
bull Regla de Hrsquoospital bull Aplicacioacuten de la derivada Maacuteximos y
miacutenimos de una funcioacuten bull Laboratorio Nordm 4 bull Evaluacioacuten
Del 11 al 15 de Dic
16 Examen final Del 18 al 22 de Dic
5 ESTRATEGIAS METODOLOacuteGICAS Uso de metodologiacutea activa empleando principalmente los meacutetodos 1 Magistral 2 Trabajo Autoacutenomo de los alumnos (Investigacioacuten Individual) 3 Trabajo de grupo 4 Expositiva - Interactiva 5 Experimental 6 Debate
7 Demostracioacuten
6 MEDIOS Y MATERIALES
1 Software matemaacutetico DERIVE 2 Texto de biblioteca 3 Separata resumen 4 Direcciones electroacutenicas 5 Ejercicios Aplicacioacuten 6 Casos 7 Presentacioacuten multimedia
7 EVALUACIOacuteN
71 CRITERIOS DE EVALUACIOacuteN
El Promedio Final (PF) del curso seraacute obtenido de la siguiente manera PU1+PU2 PF = 2 Siendo PU1 y PU2
los promedios de la primera y segunda unidad de aprendizaje respectivamente El promedio de cada unidad de aprendizaje se calcula como
PC+TI+CL+LB+2EP PU1 6
=
Donde PC+TI+CL+LB Son los Promedios de praacutecticas calificadas
Trabajo de Investigacioacuten control de lectura laboratorios
EP Examen parcial
La nota se consideraraacute con un decimal en los promedios parcial y final La nota miacutenima aprobatoria es 105 y se redondearaacute al entero inferior o superior seguacuten corresponda
72 CONDICIONES DE EVALUACIOacuteN
El 30 de inasistencias INHABILITA del curso
La justificacioacuten de una inasistencia seraacute uacutenicamente con certificado meacutedico
8 CRONOGRAMA ACADEMICO
UNIDAD ACTIVIDADES FECHA
Primera Inicio del Ciclo Examen Parcial
4 de Septiembre de 2006 23 al 28 de Octubre
Segunda Examen Final Teacutermino del Ciclo Exaacutemenes Extemporaacuteneos
Del 18 al 22 de Diciembre 23 de Diciembre
9 REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
LIBROS EN BIBLIOTECA DE LA UNIVERSIDAD CEacuteSAR VALLEJO
1 AUDRY SANCHEZ Javier Caacutelculo Diferencial e Integral Trillas (
MAT- 01768 ) 2 ESPINOZA RAMOS Eduardo Anaacutelisis Matemaacutetico para Ingenieros
Impreso en Peruacute2002 723pg 3 FILLOY YAGUE Eugenio Geometriacutea Analiacutetica Iberoamericana (
MAT-0532 )
4 GROSSMAN Stanley Algebra Lineal Mc Graw- Hill Edicioacuten 1996 Meacutexico ( MAT- 558 )
5 LEITHOLD Louis El Caacutelculo Oxford University Meacutexico 1996 (
MAT- 0545 )
6 PURCELL Edwin Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica Prentice Hispanoamericana Meacutexico 1993( MAT- 0542)
7 SMITH Robert Caacutelculo Mc Graw- Hill Interamericana Colombia 2001 Tomo I y II ( MAT- 0547 ) Y ( MAT-0548 )
ANEXO 2
REGISTRO DE EVALUACIONES
8 STEWART JAMES Caacutelculo Diferencial e Integral Thomson 1989 ( MAT- 02796 )
9 TOMAS George E Caacutelculo Infinitesimal y Geometriacutea Analiacutetica
Aguilar 1989 ( MAT- 01119 )
LIBROS DE PROPIEDAD DEL DOCENTE
1 AYRES Frank Caacutelculo Diferencial e Integral McGraw-Hill1992
2 DEMIDOVICH B Problemas de Anaacutelisis Matemaacutetico MIR Moscuacute 1981
3 HASSER Norman et al Anaacutelisis Matemaacutetico Trillas 1985 Meacutexico
810pg
4 KITCHEN Joseph Caacutelculo McGraw-Hill1992 Espantildea 863pg
5 KONG Maynard Caacutelculo Diferencial Pontificia Universidad Catoacutelica del Peruacute 1995 Peruacute548 pg
6 LAZARO CARRIOacuteN Moiseacutes Caacutelculo Diferencial Moshera SRL
Peruacute 225 pg
7 MONTOYA VALDERRAMA Manuel Liacutemites Continuidad y Derivadas
8 PISKUNOV N Caacutelculo Diferencial e Integral Montaner y Simon
SA Barcelona19731019pg
9 PURCELL Edwin J et al Caacutelculo Diferencial e Integral Pearson 2003 Meacutexico480 pg
PAacuteGINAS WEB (No menor de 5 y pertinentes al curso) httpwwwdivulgamatcom httpwwwsectormatematicaclcontenidoshtm httpwwwedutekaorg httpwwweswikipediaorg
ANEXO 3
GUIAS METODOLOGICAS APLICANDO EL SOFTWARE DERIVE
APRENDIENDO CALCULO DIFERENCIAL CON DERIVE
SESION Nordm 1
TEMA RAZON DE CAMBIO Y PROBLEMA DE LA RECTA
TANGENTE CAPACIDAD Emplea definicioacuten de razoacuten de cambio para
resolver ejercicios sobre recta tangente
A RAZON DE CAMBIO
Empezaremos por trabajar el concepto matemaacutetico fundamental del caacutelculo sobre el cual se sustenta la teoriacutea de derivadas Este es Razoacuten de Cambio media Recordemos que Hoffmann (1985 Paacuteg 82) la define de la siguiente manera
Consideraremos la segunda definicioacuten de la separata por cuanto es maacutes directa en el anaacutelisis de los cambios o variaciones Ahora sigamos las instrucciones siguientes bull Utilice DERIVE para ingresar la funcioacuten 2( ) 6 2f x x x= minus + y estudiar
sus caracteriacutesticas bull Una vez definida ( )f x construya otra funcioacuten que calcule la Razoacuten de
Cambio Media o Razoacuten de Cambio Promedio de ( )f x para el intervalo [ ]a b
( ) ( )( ) f b f aRCP a bb aminus
=minus
( ) ( ) ( ) ( ) ( )RCP a b f b f a b a= minus minus bull Para probar su funcionamiento encuentre la razoacuten de cambio en el intervalo
[ ]0 3 (03)RCP
bull Halla la RCP de ( )f x en los intervalos [1 2] [1 3] [1 4] [1 11] [1 101]
bull Considera tambieacuten la misma expresioacuten para hallar la RCP en funcioacuten de un valor x a= y un incremento h
( ) ( )( ) f x h f xRCP x hh
+ minus=
( ) ( ) ( ) ( ) RCP x h f x h f x h= + minus
Razoacuten de Cambio Media Suponga que y es una funcioacuten de x ( )y f x= correspondiendo a un cambio de x a x x+ ∆ la variable y
cambia en una cantidad ( ) ( )y f x x f x∆ = + ∆ minus Asiacute el cociente de diferencias
( ) ( )Cambio de x x f x x f xCambio de y y x
∆ + ∆ minus= =∆ ∆
Representa la razoacuten de cambio de y con respecto a x (Hoffmann 1985 82)
bull Halla la RCP de ( )f x en los intervalos para los valores de a) 2x = con un incremento de 4 b) 2x = con un incremento de 3 c) 2x = con un incremento de 2 d) 2x = con un incremento de 1
EJERCICIOS
1 RAZONAMIENTO GRAacuteFICO Utiliza DERIVE para graficar la funcioacuten razoacuten de cambio de 3 2( ) 2 1f x x x= + minus y su funcioacuten razoacuten de cambio
( 001) ( )( )
001f x f xg x + minus
= en una misma ventana Calcule algunos
valores empleando la opcioacuten vector 2 Halla la RCP de la funcioacuten 2( ) ln(( 1) ( 3))f x x x= minus minus + en los
intervalos [556] [ 546] [ 536] [ 526] [ 516] 3 Halla el liacutemite cuando h rarr 0 de ( ( ) ( )) f x h f x h+ minus en la pregunta
anterior Para ello situacutea el cursor sobre dicho resultado para resaltarlo y
pulsa el icono
B RECTA TANGENTE 1 Elabore un programa que permita ingresar una funcioacuten un intervalo
[ ]a b y grafique las rectas secantes en ese intervalo hasta la recta tangente en el punto a Complete la hoja con los datos que vaya realizando Utilice la funcioacuten 3 2( ) 5 3 4f x x x x= minus + minus y el intervalo [ ]23
2 Una vez realizado el trabajo anterior comprueba que se obtiene la misma solucioacuten con el comando TANGENT ( )0 y x x que DERIVE proporciona
3 Ahora puedes resolver algunos problemas del Trabajo Practico Nordm 2 de tu separata empleando el comando TANGENT ( )0 y x x
4 Utiliza las formas equivalentes de la derivada (pag39) y resuelve algunos ejercicios empleando tus propias funciones y el comando derivada que te ofrece DERIVE asiacute podraacutes comprobar tus resultados
TEMA CAacuteLCULO Y GRAFICA DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIOacuteN
En esta parte de nuestro primer laboratorio vamos a ingresar diversas funciones calcularemos sus derivadas empleando la definicioacuten de derivada y empleando tambieacuten el comando DIF
1 Dada la funcioacuten 2 0
( ) 0
x xf x
x x le
= gt
bull Graficarla ademaacutes construir la funcioacuten derivada de dos formas la primera empleando definicioacuten de LIM((f(x+h)-f(x))h h 0 -1) para calcular la derivada por izquierda y LIM((f(x+h)-f(x))h h 0 1)para calcular la derivada por derecha y la segunda forma es empleando el comando DIF (f(x) x) que ofrece DERIVE
bull Observa las graficas de la funcioacuten y su derivada y responde a las
siguientes preguntas
iquestQueacute sucede con la derivada en el punto x=0 iquestQueacute representa la graacutefica de la funcioacuten derivada
2 Introduce la siguiente funcioacuten definida ldquoa trozosrdquo f(x)=IF(xlt4 x^2-5
2x+3)
bull Calcular las derivadas laterales en x = 4 bull Representa la funcioacuten f(x) Observa que se trata de una funcioacuten
continua pero no derivable bull Prueba con otras definiciones de f(x) y otros valores distintos de x = 4
3 Ingresa la funcioacuten 2 1 0
( )0 0
x sen xh x x
x
ne = =
y calcula su derivada en el
punto cero Ademaacutes elabora las graficas 4 Considera f(x)= 4-x^2 en x = 2 y halla las derivadas laterales iquestPuedes
explicar que ocurre 5 Considera tambieacuten f(x) = 1x en x = 0
CAPACIDAD Grafica funciones y encuentra su primera derivada empleando comando propios de DERIVE
6 Demostrar usando DERIVE que la funcioacuten 3 2 1cos 0
( )0 0
x xf x x
x
gt = le
es derivable en cero
7 Calcular y graficar las derivadas de las siguientes funciones empleando derive
a) 2
2( ) xf x sen
xsensenx
=
b) cos( )cos
senx xf xsenx x
minus=
+
c) 1( )2
f xa
x senx
=minus
+
d) 6 2( ) (1 cos 2 )f x x x= minus e) ( ) lnf x x=
APRENDIENDO CALCULO DIFERENCIAL CON DERIVE
SESION Nordm 2
C RELACION ENTRE LA GRAFICA DE UNA FUNCION Y SU
PRIMERA DERIVADA
PROBLEMA- (Caraacutecter creciente o decreciente de una funcioacuten) iquestPuede la primera derivada de una funcioacuten proporcionar informacioacuten acerca del caraacutecter creciente o decreciente de una funcioacuten ( )f x
Empezaremos recordando una serie de conceptos que debemos tener en cuenta para abordar esta sesioacuten
Se dice que una funcioacuten es positiva en la regioacuten en que su graacutefica se encuentra arriba del eje de las abscisas Asiacute use DERIVE y describa en que intervalos las siguientes funciones son positivas
o ( ) 3cosf x x= o ( ) 3 3f x x= minus o ( ) 8 4f x x= minus
o ( )2( ) 2 5f x x= + minus
CAPACIDAD Infiere mediante un anaacutelisis grafico las relaciones existentes entre la graacutefica de una funcioacuten y su primera derivada signo de la primera derivada asociado con crecimiento o decrecimiento de la funcioacuten y derivada nula con puntos criacuteticos
o ( )2( ) 3 2f x xminus minus +
Se dice que una funcioacuten es negativa en la regioacuten en que su grafica se encuentra abajo del eje de las abscisas Emplea DERIVE y describe en que intervalos la siguientes funciones son negativas
o ( ) 5 3f x x= minus
o ( ) 62xf x minus
= +
o 2( ) 4 4f x x x= + minus o 2( ) 6 9f x x x= minus + +
Una funcioacuten es creciente en una regioacuten si y soacutelo si al aumentar los valores de la variable independiente x aumentan tambieacuten los valores de la funcioacuten Es decir
( )f x es creciente en una regioacuten si para dos puntos cualesquiera 1x y
2x siempre que 1 2x xlt necesariamente 1 2( ) ( )f x f xlt y viceversa
Geomeacutetricamente una funcioacuten es creciente en la regioacuten en que su graacutefica sube a medida que recorremos el eje X de izquierda a derecha Grafica empleando derive la funcioacuten 3 2( ) 3 3f x x x= minus + y completa lo siguiente bull La funcioacuten mostrada es decreciente en intervalos que empiezan
inmediatamente despueacutes de _____ y termina inmediatamente antes de _____ Es decir ( )f x es decreciente en el intervalo abierto iquestPor queacute intervalo abierto
bull En cambio la misma funcioacuten es creciente en dos regiones desde menos infinito hasta _______ sin llegar a cero a sea en el intervalo y en el intervalo
bull iquestPodriacuteas dar una justificacioacuten del porqueacute los valores 0 y 2 estaacuten excluidos de las tres regiones
bull La funcioacuten graficada es positiva en los intervalos __________ __________
bull La funcioacuten graficada es negativa en los intervalos __________ __________
Tambieacuten hemos trabajado las siguientes ideas Completa lo que falta
bull Hemos afirmado el hecho de que en un punto del dominio la
pendiente de una curva es igual a la pendiente de la recta ________ en ese punto
Sabemos que bull Cuando una recta es creciente su _________ es positiva bull Cuando una recta es decreciente su ___________ es decreciente bull Cuando una recta es paralela al eje X su __________es
_________________ bull La pendiente de la recta tangente a la grafica de una funcioacuten
( )f x en cualquier punto del dominio es precisamente la primera ____________ de la funcioacuten
bull Elabora las graficas de la funcioacuten 3 2( ) 3 3f x x x= minus + y de su primera derivada empleando DERIVE
bull Haremos un anaacutelisis comparativo de estas graacuteficas bull La funcioacuten ( )f x es decreciente en el intervalo ( )02 iquestCoacutemo es
su derivada ( )f x en ese intervalo_________________ bull La funcioacuten ( )f x es creciente en el intervalo ( )0minusinfin iquestCoacutemo es
su derivada ( )f x en ese intervalo_________________
bull La funcioacuten ( )f x es creciente en el intervalo ( )2infin iquestCoacutemo es su derivada ( )f x en ese intervalo_________________
bull La funcioacuten ( )f x es constante en los puntos 0x = y 2x = iquestCoacutemo es su derivada ( )f x en esos puntos_________________
bull Los hechos que acabas de observar no son una coincidencia ni un hecho aislado corresponde a una relacioacuten muy importante entre una funcioacuten y su primera derivada
bull Considerando tus respuestas tenemos todos lo necesario par construir los siguientes criterios de caracterizacioacuten
bull Para toda funcioacuten ( )f x derivable en un intervalo ( )a b
bull Si acute( ) 0f x gt para todo valor x en ( )a b ( )f x es creciente en
( )a b
bull Si acute( ) 0f x lt para todo valor x en ( )a b ( )f x es decreciente en
( )a b
bull Si acute( ) 0f x = para todo valor x en ( )a b ( )f x es constante en
( )a b Este caso nos seraacute particularmente uacutetil en el caso en que el intervalo conste de un solo punto
bull A cada valor de x en el que acute( ) 0f x = se le llama punto criacutetico bull Problema 1 Empleando DERIVE encuentra los intervalos donde
la funcioacuten 3 2( ) 3 3f x x x= minus + creciente y decreciente y los puntos donde es constante Luego compara tus hallazgos y completa la informacioacuten
bull acute( )f x = ________ ( )f x seraacute creciente donde acute( ) 0f x gt es decir
donde 23 6 0x xminus gt factorizando 3x obtenemos ( )3 0x gt recuerda que el producto de dos factores es mayor que cero soacutelo si ambos son positivos o ambos son negativos
1 3 0 2 0x y xgt minus gt
0 2x y xgt gt
Siempre que 2x gt se cumple tambieacuten que 0x gt No al reveacutes ( )f xthere4 es creciente en ( )2infin
2 3 0 2 0x y xlt minus lt 0 2x y xlt lt
Siempre que 0x lt se cumple tambieacuten que 2x lt No al reveacutes ( )f xthere4 es creciente en ( )0minusinfin
bull ( )f x seraacute decreciente donde acute( ) 0f x lt es decir donde
23 6 0x xminus lt bull ( )3 0x lt ahora recordemos que el producto de dos factores es
negativo si y solo si________________o ____________________-
1 3 0 2 0x y xgt minus lt
0 2x y xgt lt ( )f xthere4 es decreciente en ( )02
2 3 0 2 0x y xlt minus gt 0 2x y xlt gt
iexclImposible No hay valores de x que sean menores que cero y al mismo tiempo mayores que 2
( )f x seraacute constante es decir estaraacute momentaacuteneamente horizontal su
tangente seraacute paralela al eje X donde acute( ) 0f x = ( )3 2 0x x minus = si 0 2x y x= =
Estos son los dos valores de x donde la funcioacuten es constante a los que llamamos ldquopuntos criacuteticosrdquo Otra forma de encontrar los valores de x donde la funcioacuten es creciente o decreciente sin tener que resolver desigualdades es la siguiente Se encuentran los valores de x donde acute( )f x vale cero resolviendo la ecuacioacuten acute( ) 0f x =
Los n valores de x obtenidos al resolver la ecuacioacuten anterior nos permiten dividir el eje X en 1n + intervalos ajenos
Se construye una tabla en la que los a x valores en cada intervalo y analizando el signo que toma acute( )f x en cada uno de ellos podemos decidir si ( )f x es creciente o decreciente con base en el criterio al que arribamos antes Trabajando en esta forma con 3 2( ) 3 3f x x x= minus +
2acute( ) 3 6f x x x= minus 23 6 0x xminus = 3 ( 2) 0x x minus = si 3 0x = 0x = si 2 0x minus = 2x =
( )f x es constante en 0x = y en 2x = Los valores 0 y 2 dividen al eje X en tres intervalos ( )0minusinfin ( )02 ( )2infin
La tabla que construiremos seraacute del tipo
Intervalo ( )0minusinfin ( )02 ( )2infin
Valor de x en el intervalo -1 1 3
Valor de acute( )f x en el intervalo
9 -3 9
Signo de acute( )f x + - + Caraacutecter de ( )f x en el
intervalo Creciente Decreciente Creciente
Por lo tanto ( )f x es creciente en los intervalos ( )0minusinfin y ( )2infin
mientras que es decreciente en el intervalo ( )02 Problema 2 Empleando DERIVE encuentra los intervalos donde la
funcioacuten 1( )f x xx
= + es creciente y decreciente asiacute como los puntos
donde es constante Observa que esta funcioacuten no estaacute definida en 0x =
Problema 3 Utiliza DERIVE y encuentra las regiones donde cada una de las siguientes funciones es creciente decreciente o constante
bull 2 2( )1
x xf xx
minus minus=
minus
bull 22( )
1xf x
x=
+
bull 4 2( ) 6 5f x x x= + minus bull 3( ) 1f x x= minus
bull 26( )
3f x
x=
+
D RELACION ENTRE LA GRAFICA DE UNA FUNCION Y SU SEGUNDA DERIVADA
PROBLEMA 1- (Concavidad de una funcioacuten) iquestPuede la segunda derivada de una funcioacuten proporcionar informacioacuten acerca del tipo de concavidad que presenta una funcioacuten primitiva ( )f x
Emplea DERIVE y grafica la funcioacuten 2( ) ( 3) 4f x x= minus + ademaacutes determina las ecuaciones y graficas de las rectas tangentes a la curva en los puntos 0x = y 5x = Empleando nuevamente DERIVE grafica la funcioacuten
2( ) ( 7) 1f x x= minus + minus ademaacutes determina las ecuaciones y graacuteficas de las rectas tangentes a la curva en los puntos 10x = minus y 5x = minus Observaciones
CAPACIDAD Infiere por medio de un anaacutelisis grafico las relaciones existentes entre la graacutefica de una funcioacuten y su segunda derivada signo de la segunda derivada asociado con concavidad de la funcioacuten y segunda derivada nula con un posible cambio de concavidad
Observa en principio que donde la curva es coacutencava hacia arriba sus tangentes estaacuten pro debajo de la curva y en caso de ser coacutencava hacia abajo sus tangentes estaacuten por arriba de ella Pero donde la curva no es coacutencava la tangente la atraviesa
Una funcioacuten que presenta los dos tipos de concavidad posibles hacia abajo y hacia arriba es 3 2( ) 3 3f x x x= minus + Empleando DERIVE calcula su primera y segunda derivada y graficas todas las funciones en un mismo plano Localiza con cuidado cada grafica colorea con un color diferente asiacute podraacutes identificarlas faacutecilmente en el siguiente anaacutelisis En el intervalo ( )1minusinfin
( )f x es coacutencava hacia abajo ( )f x que representa las pendientes de las rectas tangentes a ( )f x es decreciente No deja de bajar desde minusinfin hasta
1x = ( )f x que representa las pendientes de las rectas tangentes a ( )f x es negativa porque ( )f x es decreciente
Exactamente en 1x =
o ( )f x cambia de concavidad Deja de ser coacutencava hacia abajo
pero aun no es coacutencava hacia arriba o ( )f x es constante tiene un punto criacutetico porque ( ) 0f x = o ( )f x corta al eje X vale cero Dejoacute de ser negativa y auacuten no
es positiva En el intervalo ( )1infin
o ( )f x es coacutencava hacia arriba o ( )f x es creciente o ( )f x es positiva
Una vez mas lo que has observado no es una coincidencia o un caso aislado nuevamente corresponde a una importante relacioacuten entre una funcioacuten y su segunda derivada Conclusioacuten
bull Para toda funcioacuten ( )f x cuya segunda derivada existe en el intervalo ( )a b
bull Si ( ) 0f x gt para todo valor x en ( )a b la graacutefica de ( )f x es
coacutencava hacia arriba en ( )a b
bull Si ( ) 0f x lt para todo valor x en ( )a b la graacutefica de ( )f x es
coacutencava hacia abajo en ( )a b Definicioacuten- Se llama punto de inflexioacuten al punto donde la grafica de la funcioacuten cambia de ser coacutencava hacia abajo a coacutencava hacia arriba o viceversa si existe la tangente en ese punto La funcioacuten que analizamos antes 3 2( ) 3 3f x x x= minus + tiene un punto de inflexioacuten en 1x = porque (1) 0f = Ejercicios Estudia si tiene la funcioacuten 4( )f x x= punto de inflexioacuten en 0x = Con ayuda de DERIVE halla los intervalos donde la funcioacuten es coacutencava hacia arriba yo hacia abajo asiacute como las coordenadas de los puntos de inflexioacuten si existen Elaborar las graficas necesarias
o 23( )
3f x
x=
+
o 3 2( ) 6 9 1f x x x x= minus + +
o 4
2( ) 24xf x x= minus
o 2 4( ) 6f x x x= minus
APRENDIENDO CALCULO DIFERENCIAL CON DERIVE
SESION Nordm 3
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION A CLASIFICACION DE LOS PUNTOS CRITICOS DE UNA FUNCIOacuteN RECORDEMOS Localiza en la graacutefica de la figura 1 el punto(s) m miacutenimo(s) y da sus coordenadas Figura 1 Si observas la graacutefica notaraacutes que existen dos puntos maacutes bajo que todos los demaacutes donde la curva es coacutencava hacia arriba a los que llamaremos miacutenimos locales Las coordenadas de esos puntos en la grafica son
1( )m y 2 ( )m Localiza en la graacutefica de la figura 2 el punto M maacuteximo y da sus coordenadas Figura 2
2
21( ) 1f xx
= minus
( ) ( 2)( 4)( 6)f x x x x x= + minus minus
CAPACIDAD Determina los puntos criacuteticos de una funcioacuten y los clasifica en maacuteximos miacutenimos o de inflexiones
Si observas la grafica de la funcioacuten encontraras que alcanza un punto maacutes alto en la regioacuten donde es coacutencava hacia abajo Las coordenadas de ese punto son ( )M A un punto como este que se encuentra en la cima de una regioacuten donde la curva es coacutencava hacia abajo se le llama maacuteximo local por que en efecto es el punto mas alto aunque no de toda la curva sino de una regioacuten Pregunta iquestQueacute coincidencias y queacute diferencias hay donde ( )f x tiene maacuteximo y donde tiene miacutenimo Coincidencias __________________________________________________________ Diferencias __________________________________________________________ Para determinar los valores extremos de una funcioacuten en un primer acercamiento se requiere
1 Obtener la primera derivada de la funcioacuten para investigar doacutende ( )f x es constante
2 Igualar a cero la primera derivada ( ) 0f x = 3 Resolver la ecuacioacuten resultante para encontrar los puntos criacuteticos
de 1 2( ) f x x x donde podriacutea tener un maacuteximo un miacutenimo o un punto de inflexioacuten
4 Bosquejar la graacutefica de la funcioacuten 5 Elabora una conjetura acerca del caraacutecter de cada punto criacutetico
maacuteximo miacutenimo o punto de inflexioacuten Emplea DERIVE y en cada funcioacuten de los siguientes ejemplos determina los puntos criacuteticos bosqueja una graacutefica y elabora una conjetura acerca del caraacutecter de cada punto criacutetico
A los valores maacuteximos o miacutenimos los llamaremos valores extremos
Ejercicio Ndeg 1
Graficar la funcioacuten 2
21( ) 1f xx
= minus
y completar la informacioacuten
1 ( )f x = 2 ( ) 0f x = de donde 1x = ( )f xthere4 tiene un punto criacutetico 3 iquestQueacute sucede con la graacutefica de la primera derivada en los puntos
criacuteticos de la funcioacuten 4 Mostrar la graacutefica y determinar que tipo de punto es 1x 5 Determinar la segunda derivada y analizar su comportamiento
grafico Ejercicio Ndeg 2 Graficar la funcioacuten ( ) ( 2)( 4)( 6)f x x x x x= + minus minus y completar la informacioacuten
1 ( )f x = 2 ( ) 0f x = de donde 1 2 3 x x x= = = ( )f xthere4 tiene tres
puntos criacuteticos 3 iquestQueacute sucede con la graacutefica de la primera derivada en los puntos
criacuteticos de la funcioacuten 4 Mostrar la graacutefica y determinar que tipo de puntos criacuteticos tiene 5 Determinar la segunda derivada y analizar su comportamiento
grafico Ejercicio Ndeg 3 Graficar la funcioacuten 3 2( ) 3 3f x x x= minus + y completar la informacioacuten
1 ( )f x = 2 23 6 3 ( ) 0x x xminus = minus = de donde 1 2x y x= = ( )f xthere4
tiene dos puntos criacuteticos 3 Indicar el maacuteximo y el miacutenimo 6 iquestQueacute sucede con la graacutefica de la primera derivada en los puntos
criacuteticos de la funcioacuten 4 Mostrar una graacutefica
5 Grafique la primera derivada y determine si el signo de ella antes y despueacutes del punto criacutetico coincide con la propiedad de la funcioacuten de ser creciente o decreciente en los intervalos formados
6 Grafique la segunda derivada y analice la informacioacuten que representa
Ejercicio N deg4 (trabajo)
Graficar la funcioacuten 23( )
3f x
x=
+ y completar la informacioacuten
1 ( )f x =
2 ( )22
6 03
x
x
minus=
+
3 Puesto que ( )22 3x + siempre seraacute mayor que cero la uacutenica
posibilidad de que ( )22
6 03
x
x
minus=
+es que 6 0xminus = luego 0x =
( )f xthere4 tiene soacutelo un punto criacutetico 4 Determine a traveacutes de la graacutefica si se trata de un maacuteximo o
miacutenimo 5 Grafique la primera derivada y determine si el signo de ella antes
y despueacutes del punto criacutetico coincide con la propiedad de la funcioacuten de ser creciente o decreciente en los intervalos formados
6 Grafique la segunda derivada y analice la informacioacuten que representa
B CRITERIO DE LA PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA PARA ENCONTRAR VALORES EXTREMOS DE UNA FUNCION
iquestExiste un procedimiento formal para determinar los valores extremos de una funcioacuten En el punto anterior pudimos determinar los valores criacuteticos de una funcioacuten y decidir si se trataba de un maacuteximo o miacutenimo o un punto de inflexioacuten Pero tuvimos las siguientes limitaciones bull Nuestra decisioacuten quedoacute a nivel de conjetura porque para tomarla
n os apoyamos en una grafica y eso le quita formalidad y precisioacuten al procedimiento
bull No obtuvimos el valor del maacuteximo o miacutenimo de la funcioacuten ni las coordenadas en el caso del punto de inflexioacuten
En esta sesioacuten trabajaremos en laacutepiz y papel el procedimiento formal para obtener los valores extremos de una funcioacuten asiacute como sus puntos de inflexioacuten y resolveremos los ejercicios usando derive asiacute podemos comparar entre el trabajo analiacutetico y los caacutelculos que podemos hacer empleando DERIVE
RECORDAR
Criterio de la primera derivada Hipoacutetesis Si ( )f x es una funcioacuten continua en un Intervalo ( )a b
1x es el uacutenico punto criacutetico en ese intervalo y ( )f x es derivable en
( )a b Entonces Tesis el punto criacutetico ( )1 1 ( )x f x se puede clasificar de acuerdo a la siguiente tabla
CAPACIDAD Comprende y aplica el criterio de la primera y segunda derivada para encontrar valores extremos de una funcioacuten
Signo de ( )f x en ( )1a x
Signo de ( )f x en ( )1 x b Decisioacuten
+ - 1( )f x es un maacuteximo
- + 1( )f x es un miacutenimo
+ + 1( )f x es un posible punto de inflexioacuten
- - 1( )f x es un posible punto de inflexioacuten
Criterio de la segunda derivada Hipoacutetesis Si ( )f x es una funcioacuten que tiene primera y segunda derivadas en un intervalo ( )a b y tiene un punto criacutetico en 1x Tesis el punto criacutetico ( )1 1 ( )x f x se puede clasificar de acuerdo con el siguiente criterio bull Si ( ) 0 ( )f x f xgt tendraacute un maacuteximo en 1x porque es coacutencava hacia arriba bull Si ( ) 0 ( )f x f xlt tendraacute un miacutenimo en 1x porque es coacutencava hacia abajo bull Si ( ) 0 ( )f x f x= podriacutea tener un punto de inflexioacuten 1x si estaacute cambiando la concavidad
Ejercicio Ndeg 1 Determina los maacuteximos y miacutenimos de la siguiente funcioacuten
3 2( ) 3 3f x x x= minus + completa la informacioacuten que se pide y luego compara tus resultados con los obtenidos empleando DERIVE
1 ( )f x = 2 23 6 0x xminus =
3 ( )23 6 3 ____ ____ 0x x xminus = minus = de donde 1 ____x = y
2 ____x = 4 Los valores 0 y 2 dividen al eje X en los intervalos ajenos
( ) ( ) ( )0 0 2 2minusinfin infin 5 Elaboramos una tabla para dar valores a x Completa el valor y el
signo de ( )f x
Intervalo ( )0minusinfin ( )02 ( )2infin
Valor de x -1 1 3
Valor de ( )f x
Signo de ( )f x
6 De acuerdo con el criterio de la primera derivada
a) En 1 0x = ( )f x tiene un ___________ porque ( )f x _____________
b) En 2 2x = ( )f x tiene un ___________ porque ( )f x ____________
7 El valor maacuteximo de ( )f x en _____ es_____ 8 El valor miacutenimo de ( )f x en _____ es_____
Ejercicio Ndeg 2 Determina los maacuteximos y miacutenimos de la siguiente funcioacuten
2
3( )3
f xx
=+
completa la informacioacuten que se pide y luego compara tus
resultados con los obtenidos empleando DERIVE 1 ( )f x =
2 ( )22
6 03
x
x
minus=
+
3 Puesto que ( )22 3x + siempre seraacute mayor que cero la uacutenica
posibilidad de que ( )22
6 03
x
x
minus=
+es que 1 ____x =
4 El valor de z divide al eje X en 2 intervalos ( ) ( )0 0minusinfin infin iquestQueacute sucede en el punto cero
5 Elaboramos una tabla para dar valores a x Completa el valor y el signo de ( )f x
Intervalo ( )0minusinfin ( )0infin
Valor de x -1 1
Valor de ( )f x
Signo de ( )f x
6 ( )f x presenta un _______________en _____ Ejercicio Ndeg 3 Empleando Derive y el criterio de la segunda derivada determina los maacuteximos y miacutenimos de la siguiente funcioacuten ( )3( ) 4 10f x x= minus + ademaacutes completar la informacioacuten y anexa la grafica de las funcioacuten para verificar las validez de tus resultados
1 ( )f x =
2 ( )23 4 0x minus =
3 23( 8 16) 0x xminus + = de donde 1 ____x =
4 ( )f x = 5 (4)f =0 ( )f xthere4 tiene un___________ 6 Las coordenadas de ese punto son ( )4 (4)f es decir ( )4
7 (2)f =_____________gt0 ( )f xthere4 tiene un___________
Trabajo en casa Ejercicio Ndeg 1 Determina los maacuteximos y miacutenimos de la siguiente funcioacuten
( )3( ) 4f x x= minus completa la informacioacuten que se pide y luego compara tus resultados con los obtenidos empleando DERIVE
1 ( )f x =
2 ( )23 4 0x minus =
3 23( 8 16) 0x xminus + = de donde 1 ____x = 4 El valor 4 divide al eje X en dos intervalos ajenos
( ) ( ) 4 4minusinfin infin 5 Elaboramos una tabla para dar valores a x Completa el valor y el
signo de ( )f x
Intervalo ( ) 4minusinfin ( )4infin
Valor de x 2 5
Valor de ( )f x
Signo de ( )f x
6 De acuerdo con el criterio de la primera derivada En 1 4x = ( )f x presenta __________________________
Ejercicio Ndeg 2 Determina los maacuteximos y miacutenimos de la siguiente funcioacuten
1( )f x xx
= + completa la informacioacuten que se pide y luego compara tus
resultados con los obtenidos empleando DERIVE
1 ( )f x =
2 2
11 0x
minus =
3 2
11 0x
minus = 2
11x
= 2 1x = de donde 1 ____x = y 2 ____x =
4 Los valores 1 y -1 dividen al eje X en 3 intervalos ajenos ( ) ( ) ( ) 1 11 1minusinfin minus minus infin iquestQueacute sucede en el punto cero
5 Elaboramos una tabla para dar valores a x Completa el valor y el signo de ( )f x
Intervalo ( ) 1minusinfin minus ( )10minus ( )01 ( )1infin
Valor de x -2 -12 frac12 3
Valor de ( )f x
Signo de ( )f x
6 El valor maacuteximo de ( )f x en _____ es_____ 7 El valor miacutenimo de ( )f x en _____ es_____
Ejercicio Ndeg 3 Empleando Derive y el criterio de la segunda derivada determina los
maacuteximos y miacutenimos de la siguiente funcioacuten 1( )f x xx
= + ademaacutes
completar la informacioacuten y anexa la grafica de las funcioacuten para verificar las validez de tus resultados
1 ( )f x =
2 2
11 0x
minus =
3 2
11 0x
minus = 2
11x
= 2 1x = de donde 1 ____x = y 2 ____x =
4 ( )f x = 5 (1)f = ____gt0 ( )f xthere4 tiene un___________ 6 Las coordenadas de ese punto son ( )1 (1)f es decir ( )1 7 ( 1)f minus = _____________lt0 ( )f xthere4 tiene un___________ 8 Las coordenadas de ese punto son ( )1 ( 1)fminus minus es decir ( )1minus
Ejercicio Ndeg 4 Calcula los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de las siguientes funciones
1 2 4
( )2 16x xf x = minus
2 23( )
1xf x
x=
minus
3 2( )4
xf xx
=minus
4 2 2( )1
x xf xx
minus minus=
minus
Representa las graacuteficas para comprobarlo C PROBLEMAS DE OPTIMIZACIOacuteN
Has aprendido a encontrar valores extremos de una funcioacuten por medio de dos criterios el de la primera derivada y el de la segunda derivada Lo que haremos ahora constituye una de las principales aplicaciones del caacutelculo diferencial utilizado en muy diversas aacutereas del conocimiento Con frecuencia en los procesos industriales cientiacuteficos y tecnoloacutegicos se busca optimizar las condiciones en que se llevan a cabo asiacute como los resultados que se obtienen Por ejemplo se pretende envasar el mayor volumen de un producto empleando la menor cantidad posible de material obtener el mejor efecto de un medicamento con la menor dosis administrada encontrar el nuacutemero de artiacuteculos que deben venderse para obtener la maacutexima ganancia Todo esto es optimizar un proceso y el caacutelculo es una herramienta muy uacutetil para lograrlo
CAPACIDAD Resuelve problemas que involucran maacuteximos o miacutenimos de una funcioacuten empleando derive
Para resolver un problema de optimizacioacuten baacutesicamente debemos proceder de la siguiente manera
1 A partir del enunciado del problema obtener la funcioacuten que queremos optimizar de modo que dependa de una sola variable
2 aplicar uno de los criterios para encontrar los valores extremos de una funcioacuten
3 interpretar los resultados con base en la naturaleza del problema planteado
PROBLEMA 1 Cuando alguien tose la traquea se contrae violentamente lo que afecta de modo directo a la velocidad del aire expulsado a traveacutes de ella Si la velocidad del aire durante la tosida se puede expresar como
2( ) ( )v r k p r r= minus donde k es una constante positiva que depende de la persona p es el radio normal de la traquea y r el radio durante el golpe de tos
a) Utilice una escala apropiada para mostrar la grafica de la velocidad del aire durante la tosida Utilice los valores de K=1 y p=3
b) Determina el dominio apropiado para estudiar esta funcioacuten c) iquestQueacute valor del radio r producir la maacutexima velocidad del aire
expulsado iquestCuaacutel es la velocidad
Solucioacuten
1 Siendo la funcioacuten a maximizar 2 2 3( ) ( ) ( )v r k p r r k p r r= minus = minus
2 La primera derivada es dvdr
=
3 Los puntos criacuteticos son 1 2______ _______r y r= =
4 luego la velocidad del aire expulsado tiene un maacuteximo cuando r =
PROBLEMA 2 Se quiere fabricar latas de refresco cuyo contenido sea 33cl de manera que el costo de la chapa sea miacutenimo Hallar las dimensiones que ha de
ANEXO 4
PLANES DE CLASE
Los planes de clase en general son los mismos para ambos grupos pero si difieren del lugar donde se trabajan pues el grupo experimental recibiraacute clases en el laboratorio de coacutemputo mientras que el grupo de control trabajara sus sesiones de clase en el aula Debo indicar tambieacuten que solo la tercera clase de ambos grupos seraacute en el saloacuten de clases pues se deben trabajar las derivadas de funciones trigonomeacutetricas logariacutetmicas impliacutecitas regla de L`Hospital El modelo de plan de clase que presento a continuacioacuten es el que manejamos en la universidad para nuestra carpeta docente Fue disentildeado por los docentes de la Escuela de Educacioacuten y lo trabajamos en todas las escuelas Presento cuatro planes de clase que corresponde a las 4 sesiones que tuvimos para resolver el capiacutetulo de Derivadas
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ASIGNATURA
Ciclo Seccioacuten
Semana Ndeg Sesioacuten
DOCENTE
COMPETENCIA
TIacuteTULO CAPACIDAD
ACTIVIDADES TIEMPO INDICADORES INICIALES DestrezaHabilidad Contenido Producto Iacutetems
PROCESO
FINALES Actitudes
METODO AYUDAS TEacuteCNICAS E INSTRUMENTOS DE EVALUACIOacuteN
Expositivas-Interactivas
Investigacioacuten Individual
Debate
Proyecto
Demostracioacuten
Investigacioacuten por equipos
Otros
Texto Separatas-resumen Transparencias- Diapositivas
Ejercicios Aplicacioacuten Casos Presentacioacuten Multimedia
Otros
Observacioacuten Situacioacuten Ejercicio Praacutectico Pruebas Escritas Situacioacuten Oral
de Evaluacioacuten
Pruebas de Desempentildeo
Examen Temaacutetico
Ejercicios Interpretativos
Pruebas Objetivas
Mapa mental
Mapa Conceptual
Estudios de Casos Praacutecticas- Laboratorio
Proyecto
Portafolio
Ensayos
Otros (Indicar)
Exposicioacuten Diaacutelogo Debate Examen
Oral
Lista de cotejo
Registro anecdoacutetico
Escala de actitud
Otros(Indicar)
Bibliografiacutea
Paacuteginas Web
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ASIGNATURA MATEMATICA I
Ciclo II Seccioacuten A B
Semana 12 Nordm Sesioacuten 1
DOCENTE Lic Diana Quintana Saacutenchez
COMPETENCIA Interpreta formula analiza y resuelve problemas de contexto real utilizando definiciones teacutecnicas y aplicaciones del Caacutelculo Diferencial desarrollando
comunicacioacuten investigacioacuten razonamiento y manifestando confianza flexibilidad y perseverancia
CONTENIDO Derivadas
CAPACIDAD Resuelve problemas sobre razoacuten de cambio recta tangente y grafico de funciones y sus derivadas
ACTIVIDADES TIEMPO INDICADORES INICIALES
15rsquo
DestrezaHabilidad Contenido Producto Iacutetems bull Saludo bull Para esta clase he preparado un relato sobre la historia del
caacutelculo diferencial La historia de Newton y Leibnitz
Resuelve Encuentra Calcula Grafica
Razoacuten de cambio Dos Problemas con un mismo tema Definicioacuten de Derivada Resolucioacuten de problema empleando derivadas Elaboracioacuten de graficas de funciones y sus derivadas
Opinioacuten sobre los protagonistas de la Historia de Calculo Presentacioacuten de ejercicios propuestos en clase
1 Resuelve problemas de
aplicacioacuten de razoacuten de cambio 2 Encuentra la derivada de
funciones ( )f x 3 Calcula la derivada de funciones
( )f x empleando la definicioacuten de derivada
4 Grafica funciones y su
derivadas
ACTIVIDADES DE PROCESO
2h15rsquo break 1h30rsquo
bull Se expone el fundamento teoacuterico sobre la definicioacuten de
derivada y se entrega el material didaacutectico bull Se resuelve en parejas en la solucioacuten del primer trabajo
praacutectico bull Los alumnos exponen en la pizarra la solucioacuten de los
problemas bull Con el grupo experimental se trabaja la guiacutea de laboratorio
ACTIVIDADES FINALES
10rsquo
Actitudes Valora de manera criacutetica la importancia de la historia del calculo asiacute mismo muestra orden e intereacutes por aprender
bull Presentar en la siguiente clase la solucioacuten de los ejercicios
propuestos en la separata
METODO AYUDAS TEacuteCNICAS E INSTRUMENTOS DE EVALUACIOacuteN
x Expositivas-Interactivas
Investigacioacuten Individual
Debate
Proyecto
Demostracioacuten
x Investigacioacuten por equipos
Otros
Texto Separatas-resumen x Transparencias- Diapositivas
Ejercicios Aplicacioacuten x Casos Presentacioacuten Multimedia
x
Otros
Observacioacuten Situacioacuten Ejercicio Praacutectico Pruebas Escritas Situacioacuten Oral
de Evaluacioacuten
Pruebas de Desempentildeo
Examen Temaacutetico
x Ejercicios Interpretativos
Pruebas Objetivas
Mapa mental
Mapa Conceptual
x Estudios de Casos x Praacutecticas- Laboratorio
Proyecto
Portafolio
Ensayos
Otros (Indicar)
x Exposicioacuten x Diaacutelogo Debate Examen
Oral
Lista de cotejo
x Registro anecdoacutetico
Escala de actitud
Otros(Indicar)
Bibliografiacutea Anaacutelisis Matemaacutetico I Eduardo Espinoza Ramos Anaacutelisis Matemaacutetico Maacuteximo Mittac Meza
Paacutegina Web wwwucvpiuraedupe (aula virtual)
P L A N D E S E S I Oacute N D E A P R E N D I Z A J E 2 0 0 6- II
ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS
ASIGNATURA MATEMATICA I
Ciclo II Seccioacuten A
Semana 13 Nordm Sesioacuten 1
DOCENTE Lic Diana Quintana Saacutenchez
COMPETENCIA Interpreta formula analiza y resuelve problemas de contexto real utilizando definiciones teacutecnicas y aplicaciones del Caacutelculo Diferencial desarrollando comunicacioacuten investigacioacuten razonamiento y manifestando confianza flexibilidad y perseverancia
CONTENIDO Derivadas
CAPACIDAD Infiere mediante un anaacutelisis grafico las relaciones existentes entre la graacutefica de una funcioacuten y su primera derivada signo de la primera derivada asociado con crecimiento o decrecimiento de la funcioacuten y derivada nula con puntos criacuteticos
ACTIVIDADES TIEMPO
INDICADORES INICIALES
15rsquo
Destreza Habilidad
Contenido Producto Iacutetems
bull Saludo bull Esta clase se inicia con una lluvia de ideas sobre lo trabajado en
la clase anterior
Calcula Determina Analiza
Reglas de Derivacioacuten Derivadas de orden superior Anaacutelisis graacutefico de funciones y su primera derivada
Solucioacuten de ejercicios sobre derivadas Anaacutelisis de grafico de funciones y su primera derivada Ejemplos de primera y segunda derivada
5 Calcule la derivada de las
siguientes funciones 6 Encuentra derivada de orden
superior de funciones ( )f x 7 Analiza las graficas de
funciones y su derivada
ACTIVIDADES DE PROCESO
2h15rsquo
break 1h30rsquo
bull Para esta sesioacuten los alumnos han descargado el material del aula
virtual Pero para el grupo experimental la guiacutea se entrega en clase
bull Se presenta el contenido y se trabaja dando espacios para las posibles preguntas de los alumnos Ademaacutes se presentan ejemplos
bull Se solicita a los alumnos que voluntariamente expongan sus soluciones
ACTIVIDADES FINALES
10rsquo
Actitudes Valora la importancia de conocer el comportamiento grafico de una funcioacuten y su derivada
bull Presentar en la siguiente clase la solucioacuten del trabajo
praacutectico Nordm 4 METODO AYUDAS TEacuteCNICAS E INSTRUMENTOS DE EVALUACIOacuteN
x Expositivas-Interactivas
Investigacioacuten Individual
Debate
Proyecto
Demostracioacuten
Investigacioacuten por parejas
Otros
Texto Separatas-resumen x Transparencias- Diapositivas
Ejercicios Aplicacioacuten x Casos Presentacioacuten Multimedia
Otros
Observacioacuten Situacioacuten Ejercicio Praacutectico Pruebas Escritas Situacioacuten Oral de Evaluacioacuten
Pruebas de Desempentildeo
Examen Temaacutetico
x Ejercicios Interpretativos
Pruebas Objetivas
Mapa mental
Mapa Conceptual
Estudios de Casos x Praacutecticas- Laboratorio
Proyecto
Portafolio
Ensayos
Otros (Indicar)
x Exposicioacuten x Diaacutelogo Debate Examen
Oral
Lista de cotejo
x Registro anecdoacutetico
Escala de actitud
Otros(Indicar)
Bibliografiacutea Anaacutelisis Matemaacutetico I Eduardo Espinoza Ramos Anaacutelisis Matemaacutetico Maacuteximo Mittac Meza
Paacutegina Web wwwucvpiuraedupe (aula virtual)
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ASIGNATURA MATEMATICA I
Ciclo II Seccioacuten A B
Semana 14 Nordm Sesioacuten 1
DOCENTE Lic Diana Quintana Saacutenchez
COMPETENCIA Interpreta formula analiza y resuelve problemas de contexto real utilizando definiciones teacutecnicas y aplicaciones del Caacutelculo Diferencial desarrollando comunicacioacuten investigacioacuten razonamiento y manifestando confianza flexibilidad y perseverancia CONTENIDO Derivadas
CAPACIDAD Determina los puntos criacuteticos de una funcioacuten y los clasifica en maacuteximos miacutenimos o de inflexiones
ACTIVIDADES TIEMPO INDICADORES
INICIALES
15rsquo
Destreza Habilidad
Contenido Producto Iacutetems
bull Saludo bull Esta clase se inicia con la presentacioacuten de un problema el cual
implica derivar una funcioacuten trascendente la intencioacuten es generar el desequilibrio cognitivo
Identifica Demuestra Emplea
Reglas de Derivacioacuten de funciones Trigonometricas Trigonometricas Inversas Exponenciales Logariacutetmicas Reglas de Derivacioacuten de funciones Impliacutecitas Derivadas de orden superior
Solucioacuten de ejercicios y problemas de la separata referidos a derivadas
bull Identifica las reglas de derivacioacuten
que empleara para resolver determinados ejercicios
bull Demuestra empleando meacutetodos de
derivacioacuten que las derivadas de funciones impliacutecita se pueden calcular
bull Emplea derivacioacuten de orden
superior para resolver problemas
ACTIVIDADES DE PROCESO
2h15rsquo break 1h30rsquo
bull Para esta sesioacuten los alumnos han descargado el material del aula
virtual bull La clase se desarrolla empleando el meacutetodo expositivo dando
espacios para las posibles preguntas de los alumnos Ademaacutes se presentan ejemplos y la solucioacuten del problema planteando al inicio de la clase
bull Con el grupo experimental no hubo laboratorio bull Se resuelve de forma individual los ejercicios del trabajo praacutectico bull Se solicita a los alumnos que voluntariamente expongan sus
soluciones ACTIVIDADES FINALES
10rsquo Actitudes Intereacutes por conocer fundamentos teoacutericos que le permitan resolver ejercicios y problemas
bull Presentar en la siguiente clase la solucioacuten del trabajo praacutectico de la separata
METODO AYUDAS TEacuteCNICAS E INSTRUMENTOS DE EVALUACIOacuteN
x Expositivas-Interactivas
Investigacioacuten Individual
Debate Proyecto Demostracioacuten Investigacioacuten
por parejas Otros
Texto Separatas-resumen x Transparencias- Diapositivas
Ejercicios Aplicacioacuten x Casos Presentacioacuten Multimedia
Otros
Observacioacuten Situacioacuten Ejercicio Praacutectico Pruebas Escritas Situacioacuten Oral de Evaluacioacuten
Pruebas de Desempentildeo
Examen Temaacutetico
x Ejercicios Interpretativos
Pruebas Objetivas
Mapa mental Mapa Conceptual Estudios de Casos x Praacutecticas- Laboratorio Proyecto Portafolio Ensayos Otros (Indicar)
x Exposicioacuten x Diaacutelogo Debate Examen
Oral
Lista de cotejo x Registro
anecdoacutetico Escala de actitud Otros(Indicar)
Bibliografiacutea Anaacutelisis Matemaacutetico I Eduardo Espinoza Ramos Anaacutelisis Matemaacutetico Maacuteximo Mittac Meza
Paacutegina Web wwwucvpiuraedupe (aula virtual)
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ASIGNATURA MATEMATICA I
Ciclo II Seccioacuten B
Semana 15 Nordm Sesioacuten 1
DOCENTE Lic Diana Quintana Saacutenchez
COMPETENCIA Interpreta formula analiza y resuelve problemas de contexto real utilizando definiciones teacutecnicas y aplicaciones del Caacutelculo Diferencial desarrollando comunicacioacuten investigacioacuten razonamiento y manifestando confianza flexibilidad y perseverancia CONTENIDO Derivadas CAPACIDAD Emplea criterios de primera y segunda derivada para resolver problemas de maacuteximos y miacutenimos
ACTIVIDADES TIEMPO INDICADORES INICIALES DestrezaHabilidad Contenido Producto Iacutetems
bull Saludo bull Esta clase se inicia con la participacioacuten de los
alumnos en un pequentildeo dialogo sobre los contenidos estudiados en la clase anterior
15rsquo
Calcula Aplica Resuelve
Reglas de LrsquoHospital Criterio de la Primera y segunda derivada Problemas de Maacuteximos y Miacutenimos
Opinioacuten sobre los protagonistas de la Historia de Calculo Presentacioacuten de ejercicios propuestos en clase
8 Calcula liacutemites empleando la
regla de LrsquoHospital 9 Aplica el criterio de la primera y
segunda derivada para resolver ejercicios
10 Resuelve problemas de
maacuteximos y miacutenimos
ACTIVIDADES DE PROCESO
2h15rsquo break 1h30rsquo
bull Se expone el fundamento teoacuterico sobre la definicioacuten
de derivada y se entrega el material didaacutectico bull Se resuelve en parejas en la solucioacuten del primer
trabajo praacutectico bull Los alumnos exponen en la pizarra la solucioacuten de los
problemas ACTIVIDADES FINALES
10rsquo
Actitudes Valora de manera criacutetica la importancia de la historia del caacutelculo asiacute mismo muestra orden e intereacutes por aprender
bull Resolver y exponer la solucioacuten de los ejercicios de la
separata
METODO AYUDAS TEacuteCNICAS E INSTRUMENTOS DE EVALUACIOacuteN
x Expositivas-Interactivas
Investigacioacuten Individual
Debate
Proyecto
Demostracioacuten
x Investigacioacuten por equipos
Otros
Texto Separatas-resumen x Transparencias- Diapositivas
Ejercicios Aplicacioacuten x Casos Presentacioacuten Multimedia
x
Otros
Observacioacuten Situacioacuten Ejercicio Praacutectico Pruebas Escritas Situacioacuten Oral
de Evaluacioacuten
Pruebas de Desempentildeo
Examen Temaacutetico
x Ejercicios Interpretativos
Pruebas Objetivas
Mapa mental
Mapa Conceptual
Estudios de Casos x Praacutecticas- Laboratorio
Proyecto
Portafolio
Ensayos
Otros (Indicar)
x Exposicioacuten x Diaacutelogo Debate Examen
Oral
Lista de cotejo
x Registro anecdoacutetico
Escala de actitud
Otros(Indicar)
Bibliografiacutea Anaacutelisis Matemaacutetico I Eduardo Espinoza Ramos Anaacutelisis Matemaacutetico Maacuteximo Mittac Meza
Paacutegina Web wwwucvpiuraedupe (aula virtual)
tener la lata es decir el radio y la altura Calcula tambieacuten el valor de la superficie de la chapa miacutenima PROBLEMA 3 Calcula el valor de los coeficientes a y b para que la funcioacuten
3( )f x ax bx= + tenga un maacuteximo relativo en P (12) PROBLEMA 4 Calcular el polinomio de tercer grado que pasa por el origen de coordenadas O (00) tiene un maacuteximo relativo en el punto P (-24) y un punto de inflexioacuten en el punto Q (-12)
ANEXO 5
TABLAS DE ESPECIFICACIONES
Preg horas Razon de Cambio- Problema de la recta tangente 1 0 0 0 1 1 20
TOTAL 2 2 1 2 7 5 100
TOTAL
TABLA DE ESPECIFICACIONESPRUEBA DE MATEMATICA I
PRACTICA 1
Conocimiento Comprensioacuten Aplicacioacuten
Definicion de Derivada 1 0 1 0 2 1 20
Graacutefico de Funciones y suderivada 0 2 0 2 4 3 60
Ejes Temaacuteticos
HabilidadesCognitivas Anaacutelisis
Siacutentesis y Evaluacioacuten
Preg horas Calculo de Derivadas de orden Superior 0 2 0 1 3 3 60Primera y segunda Derivada de una Funcioacuten 0 0 2 2 4 2 40TOTAL 0 2 2 3 7 5 100
Conocimiento Comprensioacuten Aplicacioacuten
TABLA DE ESPECIFICACIONESPRUEBA DE MATEMATICA I
PRACTICA 2
TOTAL
Ejes Temaacuteticos
HabilidadesCognitivas Anaacutelisis
Siacutentesis y Evaluacioacuten
Preg horas Grafico de funciones y sus derivadas y propiedades de las funciones
1 0 1 1 3 2 40
Problemas de Optimizacion 1 0 2 0 3 3 60TOTAL 2 0 3 1 6 5 100
TABLA DE ESPECIFICACIONESPRUEBA DE MATEMATICA I
PRACTICA 3
Conocimiento Comprensioacuten AplicacioacutenTOTAL
Ejes Temaacuteticos
HabilidadesCognitivas Anaacutelisis
Siacutentesis y Evaluacioacuten
Preg horas SEGUNDA UNIDAD 1 0 3 1 5 20 100TOTAL 1 0 3 1 5 20 100
TABLA DE ESPECIFICACIONESEXAMEN FINAL DE MATEMATICA I
Conocimiento Comprensioacuten AplicacioacutenTOTAL
Ejes Temaacuteticos
HabilidadesCognitivas Anaacutelisis
Siacutentesis y Evaluacioacuten
ANEXO 6
INSTRUMENTOS DE EVALUACION
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS ASIGNATURA MATEMATICA I TIEMPO 2 HORAS
PRACTICA CALIFICADA Nordm 1 INDICACIONES Cuide la redaccioacuten de sus respuestas y trabaje en forma ordenada evitando los borrones CONOCIMIENTO (2 ptos cada una)
1 Identifica el concepto de razoacuten de cambio en el problema de la recta tangente
2 Menciona las dos formas equivalentes de la derivada y explica su diferencia simboacutelica
COMPRENCION (2 ptos cada una)
3 En la siguiente figura se dan las graacuteficas de una funcioacuten f y su derivada f sobre unos ejes comunes Explicar en un breve paacuterrafo dichas graacuteficas
4 Empareja cada funcioacuten de la columna izquierda con la grafica de su derivada en la columna derecha
a) A)
b) B) c) C) APLICACIOacuteN (4 ptos)
5 Usar la definicioacuten de derivada para hallar ( )f x Siendo
3 2( )f x x x= + ANALISIS SINTESIS Y EVALUACIOacuteN (4 ptos cada una)
6 Analiza la situacioacuten en el punto 0x = para la funcioacuten ( )f x y su derivada asiacute mismo elabora una grafica de dichas funciones
2
2
4 0( )
4 0
x xf x
x x
minus gt= minus le
7 Evaluacutee las funciones 2( ) 1f x x= + y ( ) 1g x x= + simultaacuteneamente
en la cercaniacutea del punto (01) y responda iquestQueacute se observa iquestQueacute funcioacuten es derivable en ese punto
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS ASIGNATURA MATEMATICA I TIEMPO 2 HORAS
PRACTICA CALIFICADA Nordm 2 INDICACIONES Cuide la redaccioacuten de sus respuestas y trabaje en forma ordenada evitando los borrones COMPRENCION (3 ptos cada una)
1 Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas En caso de que sea falsa explica por queacute o da un ejemplo que muestre su falsedad
a) Si ( ) ( )y f x g x= entonces ( ) ( )dy f x g xdx
=
b) Si ( 1)( 2)( 3)( 4)y x x x x= + + + + entonces 5
5 0d ydx
=
c) La segunda derivada representa el ritmo de cambio de la primera
2 Sean f y g funciones cuyas primeras y segundas derivadas existen en un intervalo I Sentildeala iquestCuaacutel de estas formulas es correcta a) ( ) fg f g fg f gminus = minus b) ( ) fg f g fg+ =
APLICACIOacuteN (25 ptos)
3 Soluciona el siguiente problema El costo C de pedido y transporte de
las componentes utilizadas en la fabricacioacuten de un producto es 200100 1
30xC x
x x = + le +
donde C se mide en miles doacutelares y
x es el tamantildeo del pedido Hallar el ritmo de cambio de C con respecto a x cuando 10 15x x= =
4 Usa la graacutefica de f para esbozar la de f y f
ANALISIS SINTESIS Y EVALUACIOacuteN (3 cada una)
5 Hallar la derivada de f para 1234n = y usar los resultados para proponer una foacutermula general para ( )f x en teacuterminos de n
6 Selecciona y graacutefica de una funcioacuten derivable f tal que 0f gt y
0f lt para todos los nuacutemeros reales x
7 Evaluacutea la derivada de la funcioacuten en el punto que se indica 1 cos1 cos
ecxyecx
+=
minusen 3
6π minus
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS ASIGNATURA MATEMATICA I TIEMPO 2 HORAS
PRACTICA CALIFICADA Nordm 3 INDICACIONES Cuide la redaccioacuten de sus respuestas y trabaje en forma ordenada evitando los borrones CONOCIMIENTO (15 pto cada una)
1 La graacutefica de ( )f x viene dada en la figura adjunta Indica a) iquestEn queacute valores de x es ( )f x cero positiva o negativa b) iquestEn queacute intervalo es f creciente
2 Describa el criterio de la segunda Derivada para hallar maacuteximos y
miacutenimos de una funcioacuten APLICACIOacuteN (45 cada una) Soluciona los siguientes problemas
3 El rendimiento (medido de 0 a 10) de cierto producto en funcioacuten del
tiempo de uso ( x en antildeos) viene dado por la siguiente expresioacuten
2
3( ) 85 0
1
xf x xx
= + ge+
a) iquestHay intervalos de tiempo en los que el rendimiento crece iquestY en que decrece iquestCuaacuteles son
b) iquestEn queacute punto se alcanza el rendimiento maacuteximo iquestCuaacutento vale
4 Se ha construido una presa de almacenamiento de agua cuyos costos de mantenimiento diarios son una funcioacuten de la cantidad de agua que la misma tiene almacenada Tales costos (en doacutelares) vienen dados por la siguiente expresioacuten ( ( )C x representa el costo si el volumen de agua en millones de metros cuacutebicos es x )
3 2( ) 8 73C x x x x= + minus + a) encontrar el volumen diario de agua oacuteptimo que debe mantenerse para minimizar costos b) calcular el costo miacutenimo diario que supone el mantenimiento de la instalacioacuten Si un diacutea la presa tiene almacenados 3 millones de metros cuacutebicos de agua iquestcuaacutento se ha gastado de maacutes respecto del costo miacutenimo
5 Proponga y dibuje una funcioacuten cuya derivada sea siempre negativa ANALISIS SINTESIS Y EVALUACIOacuteN (35 ptos)
6 Las graacuteficas de f f f se muestran en los mismos ejes iquestPodriacuteas decir cuaacutel es cuaacutel
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS ASIGNATURA MATEMATICA I TIEMPO 2 HORAS
EXAMEN FINAL
INDICACIONES Cuide la redaccioacuten de sus respuestas y trabaje en forma ordenada evitando los borrones CONOCIMIENTO (2 ptos)
1 Demostrar usando la definicioacuten que (cos )d x senx
dx= minus
APLICACIOacuteN (4 ptos cada una)
2 Emplea las reglas de derivacioacuten para encontrar la derivada de la
siguiente funcioacuten coscos
senx xy arctgsenx x
+ = minus
3 Calcular la primera derivada de la funcioacuten impliacutecita 2 34 6xy y y xy+ = +
4 Encontrar la derivada de la siguiente funcioacuten reduciendo en lo posible dicha derivada a su miacutenima expresioacuten
1 1 1( ) ln 2
11 1
x x xf x arctg
xx x
+ minus minus minus= +
++ + minus
ANALISIS SINTESIS Y EVALUACIOacuteN (6 ptos)
5 Lee atentamente el siguiente enunciado y responde a las preguntas La puntuacioacuten obtenida por un estudiante en un examen depende del tiempo que haya dedicado a su preparacioacuten ( x expresado en horas) en los siguientes teacuterminos
0 153( )2
1502 3
x si xg x
x si xx
le le= lt +
a) Si un estudiante ha dedicado menos de 15 horas a preparar el examen justificar que no aprobaraacute esto es que obtendraacute menos de 5 puntos
b) Justificar que la puntuacioacuten nunca puede ser superior a 10 puntos
423 Resultados del Pre-Test y Post-Test Considerando la comparacioacuten de medias y la Prueba t-student 121 424 Aceptacioacuten o rechazo de la hipoacutetesis nula o Alternativa 124 43 Discusioacuten de los resultados 125
Conclusiones 128 Recomendaciones 130 Bibliografiacutea 132
IacuteNDICE DE TABLAS
PAacuteGINA
1 Tabla Nordm1 Precio de artiacuteculo por meses 23 2 Tabla Nordm2 Razoacuten de cambio en el 2do 3er y 4to mes 27 3 Tabla Nordm3 Temperatura de un paciente seguacuten
transcurren las horas 29 4 Tabla Nordm4 Relacioacuten de Temperatura Graacutefica y Razoacuten
de Cambio 29 5 Tabla Nordm5 Derivadas de orden superior 78 6 Tabla Nordm6 Calificaciones de la Segunda Unidad
- Grupo Experimental 117 7 Tabla Nordm7 Calificaciones de la Segunda Unidad
- Grupo de Control 118 8 Tabla Nordm8 Resultados Pre Test y Post Test - Grupo Experimental 120 9 Tabla Nordm9 Resultados Pre Test y Post Test ndash Grupo de Control 122 10 Tabla Nordm10 Resumen estadiacutestico de pruebas Pre Test
de los grupos experimental y de control 124 11 Tabla Nordm11 Resumen estadiacutestico de pruebas Post Test
de los grupos experimental y de control 125
IacuteNDICE DE GRAacuteFICOS
PAacuteGINA
1 Figura 1 Graacutefica del precio dado en soles en el primer y tercer mes 24 2 Figura 2 Grafica del Supuesto crecimiento lineal de precio entre el primer y tercer mes 24 3 Figura 3 Graacutefica del descuento del 30 en el precio 24 4 Figura 4 Comportamiento no lineal entre tiempo y precio 26 5 Figura 5 Comportamiento no lineal entre tiempo y precio 26 6 Figura 6 Grafico del peso promedio de un bebeacute desde su nacimiento Hasta los dos antildeos 30 7 Figura 7 Graacutefico del valor de madera producida en funcioacuten del tiempo 31 8 Figura 8 Graacutefico del porcentaje de habitante en Estados Unidos que ven televisioacuten durante las 24 horas del diacutea 32 9 Figura 9 Graacutefica de las rectas secante y tangentes a una curva desde El punto Q hasta el punto P 33 10 Figura 10 Graacutefico de las posiciones de una recta secante a una curva en los puntos P y Q y su aproximacioacuten a la recta tangente 34 11 Figura 11 Graacutefica de la distancia recorrida por el objeto en
funcioacuten del tiempo 36
12 Figura 12 Graacutefica de la funcioacuten 1( )f xx
= y su recta
tangente en el Punto ( )21 2 39
13 Figura 13 Graacutefica de la funcioacuten ( )f x en los puntos c y c h+ empleando la primera forma de derivar 45 14 Figura 14 Graacutefica de la funcioacuten ( )f x en los puntos c y c h+ empleando la primera forma de derivar 45
15 Figura 15 Graacutefico de la funcioacuten valor absoluto para estudiar la derivada en cero 48 16 Figura 16 Graacutefico de la derivada de la funcioacuten valor absoluto 49
17 Figura 17 Graacutefico de la funcioacuten 2 0( )
0x xf xx x
le=
gt para
Estudiar la derivada en cero 50
18 Figura 18 Graacutefico de la funcioacuten 1 0( )
2 0x
f xx x
ge= lt
50
19 Figura 19 Graacutefico de posibles situaciones de funcioacuten Diferenciable en un punto 51
20 Figura 20 Grafico de la funcioacuten 2( ) 9f x x= minus 53
21 Figura 21 Graacutefico de la funcioacuten 1( )
1f x
x=
+ 53
22 Figura 22 Graacutefico de la funcioacuten 3( )
1f x
xminus
=+
59
IacuteNDICE DE ANEXOS
CONTENIDO PAacuteGINA
1 ANEXO 1 Siacutelabo de la Asignatura 135 2 ANEXO 2 Registro de Evaluaciones 144
3 ANEXO 3 Guiacuteas Metodoloacutegicas Aplicando
El Software DERIVE 145
4 ANEXO 4 Planes de Clase 171 5 ANEXO 5 Tabla de Especificaciones 177
6 ANEXO 6 Instrumentos de Evaluacioacuten 186
7 ANEXO 7 Laboratorios en DERIVE 195
INTRODUCCIOacuteN El presente trabajo se ha realizado en la asignatura Matemaacutetica I del segundo ciclo en las Escuelas de Ingenieriacutea Industrial e Ingenieriacutea de Sistemas y fue motivado por la necesidad de mejorar mi praacutectica docente y brindar a los alumnos herramientas para mejorar el aprendizaje de esta asignatura Lo abstracto de las matemaacuteticas no permite que los alumnos puedan ver y manipular entes matemaacuteticos generaacutendose confusiones y problemas para interpretar la informacioacuten que un determinado elemento pueda proporcionar Siendo asiacute con mayor dificultad podraacuten emplear los resultados obtenidos para predecir alguna situacioacuten Pensando en esta problemaacutetica es que penseacute en incorporar al trabajo en clase el uso de Software DERIVE para desarrollar el capiacutetulo de derivadas Elegiacute este software por su faacutecil manejo de esta forma los alumnos no demorariacutean en aprenderlo y podriacutean usarlo sin complicaciones Para esta investigacioacuten se elaboroacute un moacutedulo dando un tratamiento didaacutectico a las definiciones teoremas propiedades de la derivada apoyaacutendonos en la teoriacutea de Registros Semioacuteticos ademaacutes de guiacuteas de laboratorio y praacutecticas calificadas apoyaacutendonos para su elaboracioacuten en la Taxonomiacutea de Bloom Los grupos con los que se trabajo la investigacioacuten fueron dos uno experimental y otro de Control Asiacute iniciamos un estudio en que planteamos la posibilidad de que los estudiantes alcancen un aprendizaje del Caacutelculo Diferencial maacutes efectivo empleando DERIVE que permita mejorar el resultado del rendimiento de la asignatura de Matemaacutetica I y por ende mejorar su calidad educativa
CAPIacuteTULO I
PROBLEMATIZACIOacuteN
11PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 111 ANTECEDENTES
Algunos de los trabajos encontrados con ayuda del buscador REDEMAT son los que presento a continuacioacuten estos trabajos de investigacioacuten se han realizado empleando software educativos y desarrollando temas como Funciones Matrices Geometriacutea en los niveles de secundaria bachillerato y universidad
1 TITULO DERIVE UNA HERRAMIENTA PARA EL
APRENDIZAJE DE LAS MATEMAacuteTICAS AUTOR FRANCISCO CABO GARCIA BONIFACIO LLAMAZARES RODRIacuteGUEZ MARIA TERESA PENtildeA GARCIA LUGAR DEPARTAMENTO DE ECONOMIacuteA APLICADA (MATEMAacuteTICA) UNIVERSIDAD DE VALLADOLID
Los autores muestran en este trabajo su experiencia docente con el programa DERIVE en la asignatura Matemaacutetica de las Licenciaturas en Economiacutea y en Administracioacuten y Direccioacuten de Empresas
El objetivo es complementar el curso con una herramienta que les permita a los alumnos visualizar situaciones matemaacuteticas difiacuteciles o muy laboriosas de trabajar manualmente pero que tiene mucha interpretacioacuten en la Economiacutea Este equipo de docentes ha elaborado una guiacutea dividida en tres capiacutetulos El primero describe los menuacutes y los botones de cada una de las ventanas del programa los dos siguiente se dedican al estudio del Algebra y Caacutelculo asiacute como a programar algunas funciones para facilitar la resolucioacuten de ejercicios La conclusioacuten de esta investigacioacuten es que el uso de recursos informaacuteticos permite un mayor acercamiento del alumno a las asignaturas que como matemaacuteticas no gozan de mucha simpatiacutea entre los estudiantes Ademaacutes de desarrollar en el alumno una mayor destreza en las praacutecticas informaacuteticas ya que este curso corresponde a los primeros ciclos
2 TITULO UNA PROPUESTA METODOLOacuteGICA DE
INTRODUCCIOacuteN TEMPRANA DEL CONCEPTO DE APROXIMACIOacuteN LOCAL EN SU MANIFESTACIOacuteN DE RECTA TANGENTE VIacuteA EL ASISTENTE MATEMAacuteTICO
AUTOR PEDRO VICENTE ESTABAN DUARTE
PEDRO PEREZ CARRERA LUGAR UNIVERSIDAD POLITECNICA DE VALENCIA
ESPANtildeA
Los mapas conceptuales tienen por objeto representar relaciones significativas entre conceptos en forma de proposiciones facilitando el anaacutelisis del lenguaje empleado en su construccioacuten y poniendo de manifiesto la integracioacuten que los aprendices tienen entre los conceptos empleados para su elaboracioacuten En el modelo educativo de Van Hiele es considerado el lenguaje como una de sus caracteriacutesticas fundamentales en el proceso de aprendizaje de un concepto geomeacutetrico o matemaacutetico y es una de los indicadores del nivel de razonamiento en el cual un alumno se encuentra El modelo de Van Hiele esta compuesto por cinco niveles de razonamiento cinco fases del aprendizaje y el insight o definido tambieacuten como comprensioacuten A partir del anaacutelisis del leguaje se pueden disentildear experiencias de aprendizaje
significativas para potenciar el progreso de un alumno a traveacutes de los niveles de razonamiento postulados por dicho modelo El propoacutesito de esta investigacioacuten es exponer una metodologiacutea basada en el Modelo Educativo de Van Hiele para ensentildear el concepto de aproximacioacuten local en su manifestacioacuten de recta tangente a una curva plana en un punto a partir de la visualizacioacuten que se obtiene del haz de secantes entendieacutendolo como conjunto de rectas que pasan todas por un punto fijo de la curva y por otros sobre la curva dada cada vez maacutes cercanos al punto dado Dicha visualizacioacuten que se propone se obtiene con la ayuda del asistente matemaacutetico DERIVE y no requiere de manipulaciones algebraicas que entorpezcan el razonamiento que los alumnos deben desarrollar y exhibir a lo largo del proceso Se elabora un material disentildeado para ser cubierto en una clase en la cual el profesor sirva de orientador formulando preguntas y respondiendo inquietudes en el momento oportuno Como conclusiones de esta investigacioacuten se tiene que para la asimilacioacuten efectiva de un concepto matemaacutetico se deben tener en cuenta dos fases una primera de proporcionar una visualizacioacuten adecuada del concepto a estudiar en la que los alumnos tienen un primer acercamiento al concepto sin manipulaciones algebraicas La segunda es la formalizacioacuten del concepto en la cual la docencia tradicional centra todos sus esfuerzos La ensentildeanza centrada en esta segunda fase hace maacutes difiacutecil que los alumnos progresen en su razonamiento y logren integrar y desarrollar relaciones con los demaacutes conceptos estudiados Su propuesta metodoloacutegica esta dirigida a la primera fase es decir a la construccioacuten de un concepto ndash definicioacuten cuando se disponga de la madurez algebraica y loacutegico deductivo necesarias Su experiencia educativa siguiendo el modelo de Van Hiele aplicado al concepto de aproximacioacuten local del cual esta propuesta metodoloacutegica es su fruto les permite asegurar que el 90 de los alumnos sometidos al proceso descrito pueden verbalizar una definicioacuten correcta de recta tangente a una curva en uno de sus puntos partiendo del haz de secantes y solo el 5 de los alumnos que siguen el curso de anaacutelisis con
una metodologiacutea tradicional dan una definicioacuten de tangente a una curva en un punto a partir del concepto de derivada
3 TITULO ALGUNAS CONSECUENCIAS DEL USO HABITUAL
DEL ORDENADOR EN LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS
AUTOR JCARIAS
LUGAR SIMPOSIO- MADRID 11 DE DICIEMBRE DE 2003
En esta ponencia se hace una reflexioacuten acerca del uso del programa DERIVE 6 en la ensentildeanza de las matemaacuteticas Se inicia con una breve incidencia en las nuevas posibilidades del programa respecto a su predecesor DERIVE 5 Se propone el uso cotidiano incorporado a todas las fases del proceso de ensentildeanza aprendizaje la idea de que ldquoLos meacutetodos con los que los estudiantes han de ser introducidos para resolver los problemas han de tener en cuenta lo que las nuevas tecnologiacuteas son capaces de hacerrdquo le lleva a concluir que no se pueden cambiar los programas curriculares pero que se pueden aprovechar todas las potencialidades que ofrece DERIVE para hacer de el una herramienta capaz de contribuir en la formacioacuten de conocimiento en el alumno Respecto a la evaluacioacuten explica que no se trata de poner exaacutemenes especiales para evaluar unas praacutecticas con ordenador maacutes o menos ocasionales Menos todaviacutea de modificar los contenidos de las asignaturas para adaptarlos a las posibilidades del software al contrario en esta experiencia se plantea valorar las consecuencias de permitir el uso del ordenador en los exaacutemenes entendidos estos como los exaacutemenes de siempre los mismos que se hubiesen propuestos si no se contase con el ordenador Como conclusioacuten se menciona la elaboracioacuten de exaacutemenes donde el alumno plantea el problema pero las cuentas las hace el programa por tanto hay una subida de nivel por que nos centramos maacutes en los problemas (frente a los ejercicios) y por que la economiacutea de tiempo permite abarcar maacutes materias en el examen Como primera consecuencia los resultados acadeacutemicos mejoran pues hay mayor motivacioacuten en el estudiante como
consecuencia de la introduccioacuten de la tecnologiacutea y como consecuencia del mismo planteamiento de la iniciativa que lleva a restar importancia a habilidades algebraicas mal adquiridas La llamada falta de base se cintildee demasiadas veces a una mera deficiencia en esas habilidades que no necesariamente llevan unida una deficiencia en la capacidad de razonar matemaacuteticamente Como segunda consecuencia se tiene que el uso del ordenador implica cambios en los contenidos no con ello perdiendo el rigor que las matemaacuteticas requieren Pero si permitiendo dejar de ser esclavos de las limitaciones del caacutelculo y trabajando ejemplos realistas que solo con ayuda de un ordenador podriacutean visualizarse en el menor tiempo posible permitiendo de esta manera el invertir el tiempo disponible en el anaacutelisis y comprensioacuten de conceptos
4 TITULOCURSO DE CAacuteLCULO DIFERENCIAL POR
COMPUTADORA AUTOR JOSE HUMBERTO GIRALDO
LUGAR DEPARTAMENTO DE MATEMAacuteTICAS- UNIVERSIDAD DE LOS ANDES-BOGOTA- COLOMBIA
SEMINARIO I
En este seminario se expone el proyecto piloto de ensentildeanza de caacutelculo diferencial con computadoras que se esta desarrollando en la Universidad de los Andes En la primera fase del proyecto participan cuatro profesores del departamento estos profesores ensentildean aproximadamente en cuatro secciones diferentes de aproximadamente 130 estudiantes cada una Al principio del semestre cada estudiante recibe un CD que contiene la informacioacuten del curso y que incluye todas las guiacuteas que se usaran durante el semestre Estas guiacuteas tiene un formato especial despueacutes de discutir un determinado concepto el estudiante esta obligado a resolver determinados problemas relacionados con el tema que se ha explorado
Ademaacutes se trabaja para que el estudiante aprenda a encontrar conexioacuten entre la parte algebraica y la parte grafico geomeacutetrica La evaluacioacuten continua del estudiante tambieacuten se contempla como un componente de la estructura del curso El estudiante tiene un quiz semanal que se publica en la web El objetivo es tener al estudiante trabajando todo el tiempo en los conceptos y darle informacioacuten al profesor sobre como se estaacuten asimilando dichos conceptos El profesor Giraldo no obstante expreso que las computadoras no van a reemplazar a los profesores porque los estudiantes siempre van a querer salir de sus casas para socializarse alejarse de sus familias e ir a la universidad Finalmente algunas reflexiones son 1 A pesar de lo atractivo y novedosos que resultan estas metodologiacuteas no se puede perder de vista lo que es esencial en un curso de matemaacuteticas a saber hacer que el estudiante adquiera una forma de pensar precisa coherente y exhaustiva ensentildearle de una manera clara los conceptos y los argumentos loacutegico que los sustentan darle herramientas metodoloacutegicas para solucionar problemas transmitirle una pasioacuten por el mundo de las matemaacuteticas hacerle apreciar su elegancia y su utilidad 2 No cabe duda de que las computadoras con sus caacutelculos agiliacutesimos y sus estupendas animaciones y sus graacuteficas pueden ayudar a cumplir los objetivos mencionados anteriormente pues permite explicar con mucha claridad y entender con gran facilidad las nociones matemaacuteticas maacutes intriacutensecas
5 TIacuteTULO MATEMAacuteTICAS CON DERIVE EN EL SALOacuteN DE CLASES
AUTOR HECTOR AEGUETA VILLAMAR MARIA JUANA LINARES ALTAMIRANO LUGAR DIRECCIOacuteN GENERAL DE SERVICIOS DE
COacuteMPUTO ACADEacuteMICO UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MEacuteXICO
El objetivo de este trabajo es mostrar diversas aplicaciones del programa Derive para PC en el proceso de ensentildeanza de las matemaacuteticas en los niveles de secundaria y medio superior Derive es un asistente matemaacutetico que permite realizar caacutelculos numeacutericos y caacutelculos simboacutelicos El programa puede trabajar con distintos tipos de precisioacuten para los caacutelculos 31416 141 271 etc entonces puede utilizar la precisioacuten exacta Con Derive es posible trabajar una amplia gama de temas matemaacuteticos como Aritmeacutetica de nuacutemeros reales y complejos Algebra Sistemas de Ecuaciones Funciones Caacutelculo Diferencial e Integral Vectores y Matrices Graficacioacuten en dos y tres dimensiones en coordenadas cartesianas y polares etc Derive cuenta ademaacutes con algunas posibilidades de programacioacuten con las que el usuario puede definir sus propias funciones puede trabajar con operadores booleanos y con el operador condicional If tambieacuten puede crear funciones recursivas y de iteracioacuten entre otras Esto uacuteltimo permite al usuario crear sus propias aplicaciones para resolver una diversidad de problemas El programa incluye algunos archivos llamados de aplicacioacuten de gran utilidad para resolver Ecuaciones Diferenciales Transformada de Laplace Integrales Eliacutepticas y para Graficar Curvas y Superficies Parameacutetricas en tres dimensiones etc Ademaacutes de su contenido matemaacutetico la gran virtud de Derive es que corre praacutecticamente en cualquier computadora e inclusive puede correr desde el diskette que lo contenga Ademaacutes DERIVE presenta como anexos ilustraciones de algunos de los documentos que trabajaron en el Taller
112 FORMULACIOacuteN DEL PROBLEMA
Durante el tiempo que he ensentildeado la asignatura de Matemaacutetica I he notado algunas dificultades comunes en los alumnos con respecto al tema del caacutelculo diferencial Este suceso me ha permitido fijar la atencioacuten y reflexionar sobre la idea de trabajar
con alguacuten recurso que me lleve a mejorar mi praacutectica docente Asiacute planteo el siguiente problema
iquestEn queacute medida la aplicacioacuten del programa DERIVE contribuye a mejorar el aprendizaje del Caacutelculo Diferencial en los alumnos de la asignatura de Matemaacutetica I de la Escuela de Ingenieriacutea Industrial y de Sistemas de la Universidad Ceacutesar Vallejo 2006
113 JUSTIFICACIOacuteN
En el desarrollo de nuestra labor como docentes del aacuterea de matemaacutetica nos encontramos con grupos de estudiantes que presentan dificultades en su rendimiento acadeacutemico El nuacutemero de desaprobados en la asignatura incrementa conforme el curso se desarrolla y su retiro de la asignatura es una consecuencia que no tarda en aparecer
Esta situacioacuten se debe a diversas causas entre ellas podemos mencionar el empleo de estrategias instruccionales inadecuadas el desconocimiento por parte de los docentes de los conocimientos previos que tienen los alumnos y un conjunto de factores como lo son lo relacionado con el curriacuteculo el docente el estudiante las tareas acadeacutemicas el contexto socio cultural y las estrategias tanto instruccionales como de aprendizaje
Por otro lado la tecnologiacutea ha afectado a nuestras vidas de muchas maneras Es imposible que ella no afecte la educacioacuten ya que despueacutes de todo uno de los objetivos de la educacioacuten es el de preparar al individuo para que se desenvuelva en la sociedad y la sociedad estaacute imbuida de tecnologiacutea
La complejidad de esta problemaacutetica lleva a la necesidad de plantear alternativas que contribuyan a mejorar los procesos de la ensentildeanza- aprendizaje en tal sentido considerareacute el uso de un programa matemaacutetico DERIVE
Asiacute siendo profesora de la asignatura de Matemaacutetica I inicio un estudio en que planteo la posibilidad de que los estudiantes alcancen un aprendizaje del Caacutelculo Diferencial maacutes efectivo empleando DERIVE que permita mejorar el resultado del rendimiento de la asignatura de Matemaacutetica I y por ende mejorar su calidad educativa
Normalmente este trabajo de investigacioacuten no debe detenerse en la mera descripcioacuten de los problemas sino que como resultado del anaacutelisis de su origen debe desembocar en propuestas tal como la que planteo que contribuyan a superarlos o al menos que la mayoriacutea de estudiantes los superen
114 HIPOacuteTESIS
Hipoacutetesis de la Investigacioacuten
1H Los estudiantes de la asignatura de Matemaacutetica I Seccioacuten A aula 412 del semestre 2006 II de Ingenieriacutea Industrial que usan el software DERIVE obtienen un mejor rendimiento acadeacutemico que los alumnos de la asignatura de Matemaacutetica I Seccioacuten B aula 413 del semestre 2006 II de Ingenieriacutea de Sistemas que no utilizan esta herramienta informaacutetica
Hipoacutetesis Nula
0H Los estudiantes de la asignatura de Matemaacutetica I Seccioacuten A aula 412 del semestre 2006 II que usan el software DERIVE de Ingenieriacutea Industrial no obtienen un mejor rendimiento acadeacutemico que los alumnos de la asignatura de Matemaacutetica I Seccioacuten B aula 413 del semestre 2006 II de Ingenieriacutea de Sistemas que no utilizan esta herramienta informaacutetica
115 VARIABLES
Variable Independiente Uso del programa DERIVE Variable Dependiente Rendimiento acadeacutemico de los alumnos Variables Intervinientes Asistencia a clases horarios tipo de contenidos grado de motivacioacuten de los alumnos
116 POBLACIOacuteN
Los alumnos de la asignatura de Matemaacutetica I de la Escuela de Ingenieriacutea Industrial y de Sistemas de la Universidad Ceacutesar Vallejo durante el segundo semestre 2006 Son en total 51 alumnos Se tomaraacute en cuenta el promedio final al terminar cada ciclo Semestre 2006 ndash II
12OBJETIVOS DE LA INVESTIGACIOacuteN 121 OBJETIVO GENERAL
Evaluar la eficacia del programa DERIVE como recurso didaacutectico en el proceso de ensentildeanza ndash aprendizaje del Caacutelculo Diferencial en los alumnos de la asignatura de Matemaacutetica I de la Escuela de Ingenieriacutea Industrial y de Sistemas de la Universidad Ceacutesar Vallejo
122 OBJETIVOS ESPECIacuteFICOS
1 Disentildear la propuesta de ensentildeanza en sus aspectos conceptuales y praacutecticos
2 Fomentar en los alumnos las capacidades de observar discernir analizar e interpretar
3 Proponer guiacuteas y actividades de aprendizaje que conlleven al alumno al aprendizaje significativo
CAPIacuteTULO II
FUNDAMENTO TEOacuteRICO
INTRODUCCIOacuteN
Iniciamos este capiacutetulo refirieacutendonos a silabo de Matemaacutetica I a continuacioacuten abordaremos los contenidos matemaacuteticos necesarios para la investigacioacuten ademaacutes de la propuesta de trabajar con el programa DERIVE 21 DISENtildeO CURRICULAR DE LA ASIGNATURA DE
MATEMAacuteTICA I
211 SIacuteLABO DE LA ASIGNATURA DE MATEMAacuteTICA I La asignatura que ensentildeo en la Universidad Cesar Vallejo en las Escuelas de Ingenieriacutea de Sistemas e Ingenieriacutea Industrial es Matemaacutetica I El siacutelabo se ha elaborado en base a los temas que indica el plan de estudios enviado por la Facultad de Ingenieriacutea de la Universidad Cesar Vallejo de Trujillo y es el mismo para ambas escuelas sentildealo ademaacutes que en ambas escuelas tiene como pre-requisito la asignatura de loacutegico matemaacutetica curso donde se desarrollan temas como Loacutegica Matemaacutetica Fundamentos de Algebra Matrices y Determinantes y Geometriacutea Analiacutetica
El siacutelabo de esta asignatura se presenta en Anexo 1 pero a continuacioacuten describireacute sus contenidos empezando por mencionar que se deben trabajar tres capiacutetulos los cuales son 1 Funciones 2 Liacutemites y Continuidad 3 Caacutelculo Diferencial El Desarrollo de esta asignatura estaacute orientado a lograr potenciar en el estudiante capacidades propias del aacuterea de Matemaacutetica como el razonamiento y demostracioacuten la interpretacioacuten de graacuteficos y expresiones simboacutelicas y la resolucioacuten de problemas Asiacute como presentar los medios necesarios para la adquisicioacuten de ciertas destrezas como anaacutelisis interpretacioacuten y aplicacioacuten de fundamentos teoacutericos Finalmente el logro de los objetivos de esta asignatura se veraacute reflejado y podraacute ser evaluado en la eficiencia que demuestren los alumnos al resolver situaciones reales
22 DIDAacuteCTICA DE LA MATEMAacuteTICA
Sabemos que la didaacutectica de las matemaacuteticas es la ciencia del estudio y de la ayuda al estudio de las matemaacuteticas Su objetivo es llegar a describir y caracterizar los procesos de estudio ndash o procesos didaacutecticos ndash de cara a proponer explicaciones y respuestas soacutelidas a las dificultades con que se encuentran todos aquellos que estudian matemaacuteticas1
Didaacutectica de las Matemaacuteticas no es un recetario didaacutectico ni un modelo para la ensentildeanza sino un intento de transmitir algunas reflexiones producto de la experiencia y de la lectura de especialistas en el tema
Tal vez lo que se pretenda lograr es estimular ldquola sorpresa matemaacuteticardquo en el viacutenculo con nuestros alumnos Esta sorpresa se basa en provocar conceptos demostraciones elementales con intereacutes reflexioacuten intriga o admiracioacuten Es responsabilidad del docente proponer una situacioacuten adecuada mediante una pregunta que motive las distintas situaciones de
1 BROUSSEAU GUY ldquoLos Diferentes roles del maestrordquo Paidoacutes 1994
aprendizaje con conocimientos anteriores que el alumno deberaacute acomodar y adecuar a las nuevas situaciones Luego modificar el conocimiento como respuesta al medio y no como deseo del maestro es una necesidad que se convierte en una obligacioacuten es nuestra tarea No se pretende en este trabajo abordar toda la problemaacutetica (referido en este caso al caacutelculo diferencial) con la que el profesor se enfrenta en su quehacer diario ya que eacutesta es muy compleja y tiene varias aristas que el docente debe conocer como conocimientos y teoriacuteas epistemoloacutegicas Al respecto conocemos que se han desarrollado diferentes teoriacuteas como Registros de representacioacuten semioacutetica de Raymond Duval teoriacutea de Situaciones Didaacutectica de Guy Brousseau Teoriacutea Socio epistemoloacutegica y el enfoque Ontosemioacutetico de la Cognicioacuten e Instruccioacuten Matemaacutetica Y para este trabajo de investigacioacuten se ha considerado tomar como referencia la Teoriacutea de Registros de Representacioacuten Semioacutetica y la Taxonomiacutea de Raymond Duval para la parte de la evaluacioacuten
221 REGISTROS DE REPRESENTACIOacuteN SEMIOacuteTICA
RAYMOND DUVAL Raymond Duval se ha interesado por los problemas de manipulacioacuten de representantes dentro de un sistema matemaacutetico de signos y sobre los problemas de conversioacuten de representaciones entre dos o maacutes sistemas de un mismo objeto matemaacutetico generando una nueva nocioacuten que es la de Registro de representacioacuten Un registro es un signo en el sentido maacutes amplio de la palabra trazos iacuteconos siacutembolos etc Los registros son medios de expresioacuten y de representacioacuten caracterizados precisamente por sus respectivos sistemas semioacuteticos El aprendizaje de las matemaacuteticas constituye un campo de estudio privilegiado para el anaacutelisis de las actividades cognitivas fundamentales como la conceptualizacioacuten el razonamiento la resolucioacuten de problemas y la comprensioacuten de textos La particularidad del aprendizaje de las matemaacuteticas hace que estas actividades cognitivas requieran de la utilizacioacuten de sistemas de
expresioacuten y de representacioacuten distinta a los del lenguaje natural o de las imaacutegenes Bajo estas ideas se puede considerar el hecho de que no puede haber comprensioacuten matemaacutetica si no se distingue un objeto de su representacioacuten y es que no podemos confundir los objetos matemaacuteticos como lo son por ejemplo los nuacutemeros las funciones las rectas con sus representaciones es decir las escrituras decimales o fraccionarias los siacutembolos los graacuteficos los trazos de las figuras Pues un mismo objeto matemaacutetico puede darse a traveacutes de representaciones muy distintas y debemos tener claro como docentes que toda confusioacuten entre el objeto y su representacioacuten provoca en un plazo maacutes o menos amplio una perdida en la comprensioacuten En esta teoriacutea se sentildeala primer lugar que cuando hablamos de representaciones es necesario considerar los siguientes aspectos 1 El sistema por el cual se produce la representacioacuten- Cualquier representacioacuten se produce a traveacutes de un sistema en particular El contenido de la representacioacuten de un objeto cambia de acuerdo con el sistema de representacioacuten que se utiliza para su produccioacuten El pensamiento humano requiere la movilizacioacuten de varios sistemas de representacioacuten de produccioacuten y su coordinacioacuten 2 La relacioacuten entre la representacioacuten y el objeto representado 3 La posibilidad de un acceso al objeto representado aparte de la representacioacuten semioacutetica 4 La razoacuten por la que el uso de la representacioacuten es necesaria El tema de derivadas se puede aplicar como un ejemplo de esta teoriacutea por cuanto los alumnos tienen siempre problemas para pasar de una forma de representacioacuten a otra 222 TAXONOMIA DE BLOOM Y LOS NIVELES EN
QUE SE PUEDEN CLASIFICAR LOS OBJETIVOS DE APRENDIZAJE
En el propoacutesito de mejorar la calidad y eficiencias de la educacioacuten debemos buscar que los alumnos elementos esenciales de nuestra tarea logren los maacutes altos niveles de aprendizaje Asiacute con ayuda de la taxonomiacutea de Bloom especificareacute objetivos seleccionareacute los contenidos y disentildeareacute los instrumentos de evaluacioacuten
En el dominio cognoscitivo en lugar de contentarnos con la memorizacioacuten de conocimientos primer escaloacuten debemos hacer que logren el nivel maacutes alto Dichos niveles son los siguientes 1 CONOCIMIENTO Se refiere a la capacidad de recordar hechos especiacuteficos y universales meacutetodos y procesos esquemas estructuras o marcos de referencia sin elaboracioacuten de ninguna especie puesto que cualquier cambio ya implica un proceso de nivel superior Requiere que el alumno repita alguacuten dato teoriacutea o principio en su forma original bull Terminologiacutea (palabras teacuterminos teacutecnicos etc) bull Hechos especiacuteficos (fechas partes de algo acontecimientos
etc) bull Convencionalismos (formas de tratar ideas dentro de un campo
de estudio foacutermulas) bull Corrientes y sucesiones (tendencias y secuencias) bull Clasificaciones y categoriacuteas (clases grupos divisiones etc)
criterios (para juzgar o comprobar hechos principios opiniones y tipos de conducta)
bull Metodologiacutea (meacutetodos de investigacioacuten teacutecnicas y procedimientos)
bull Principios y generalizaciones (abstracciones particulares para explicar describir predecir o determinar acciones)
bull Teoriacuteas y estructuras (evocacioacuten de teoriacuteas interrelaciones de los principios y generalizaciones)
Verbos que se usan con frecuencia para redactar objetivos de este nivel Definir - Sentildealar ndash Describir - Nombrar ndash Identificar ndash Narrar ndash Indicar ndash Mencionar 2 COMPRENSIOacuteN Se refiere a la capacidad de comprender o aprehender en donde el estudiante sabe queacute se le estaacute comunicando y hace uso de los materiales o ideas que se le presentan sin tener que relacionarlos con otros materiales o percibir la totalidad de sus implicaciones El material requiere de un proceso de transferencia y
generalizacioacuten lo que demanda una mayor capacidad de pensamiento abstracto Requiere que el alumno explique las relaciones entre los datos o los principios que rigen las clasificaciones dimensiones o arreglos en una determinada materia conocimiento de los criterios fundamentales que rigen la evaluacioacuten de hechos o principios y conocimientos de la metodologiacutea principios y generalizaciones bull Traduccioacuten (parafrasear habilidad para comprender
afirmaciones no literales como simbolismos metaacuteforas traducir material matemaacutetico simboacutelico etc)
bull Interpretacioacuten (explicacioacuten o resumen implica reordenamiento o nuevos arreglos de puntos de vista)
bull Extrapolacioacuten (implicaciones consecuencias corolarios efectos prediccioacuten etc)
Verbos que se usan con frecuencia para redactar objetivos de este nivel Traducir ndash Resumir ndash Expresar ndash Parafrasear ndash Discutir 3 APLICACIOacuteN
Se guiacutea por los mismos principios de la comprensioacuten y la uacutenica diferencia perceptible es la cantidad de elementos novedosos en la tarea por realizar Requiere el uso de abstracciones en situaciones particulares y concretas Pueden presentarse en forma de ideas generales reglas de procedimiento o meacutetodos generalizados y pueden ser tambieacuten principios ideas y teoriacuteas que deben recordarse de memoria y aplicarse
bull Solucioacuten de problemas en situaciones particulares y concretas (utilizacioacuten de abstracciones en tipos de conducta y tipos de problemas)
Verbos que se usan con frecuencia para redactar objetivos de este nivel Demostrar- Practicar ndash Emplear ndash Solucionar ndash Aplicar ndash Operar ndash Usar 4 ANAacuteLISIS
Consiste en descomponer un problema dado en sus partes y descubrir las relaciones existentes entre ellas En general la eventual solucioacuten se desprende de las relaciones que se descubren
entre los elementos constituyentes Implica el fraccionamiento de una comunicacioacuten en sus elementos constitutivos de tal modo que aparezca claramente la jerarquiacutea relativa de las ideas y se exprese expliacutecitamente la relacioacuten existente entre eacutestas
bull Anaacutelisis de elementos (reconocer supuestos no expresados distinguir entre hechos e hipoacutetesis)
bull Identificacioacuten de relaciones entre los elementos (conexiones e interacciones entre elementos comprobacioacuten de la consistencia de las hipoacutetesis con informaciones y suposiciones dadas)
bull Reconocimiento de los principios de organizacioacuten de la situacioacuten problemaacutetica (estructura expliacutecita e impliacutecita reconocimiento de formas y modelos teacutecnicas generales utilizadas etc)
bull Identificacioacuten de conclusiones y fundamentacioacuten de enunciados
Verbos que se usan con frecuencia para redactar objetivos de este nivel Diferenciar- Distinguir- Discriminar- Contrastar- Criticar- Analizar- Inferir 5 SIacuteNTESIS
Es el proceso de trabajar con fragmentos partes elementos organizarlos ordenarlos y combinarlos para formar un todo un esquema o estructura que antes no estaba presente de manera clara Requiere la reunioacuten de los elementos y las partes para formar un todo
bull Elaboracioacuten de un plan o conjunto de actos planeados (habilidad para proponer formas de comprobar las hipoacutetesis)
bull Desarrollo de conjuntos de relaciones para clasificar o explicar datos
bull Deduccioacuten de proposiciones y relaciones (de un grupo de proposiciones baacutesicas o de representaciones simboacutelicas)
bull Construccioacuten de un modelo o estructura bull Reordenacioacuten de las partes en una secuencia loacutegica Verbos que se usan con frecuencia para redactar objetivos de este nivel Organizar- Reconstruir- Proponer- Reordenar
6 EVALUACIOacuteN Se refiere a la capacidad para evaluar se mide a traveacutes de los procesos de anaacutelisis y siacutentesis Requiere formular juicios sobre el valor de materiales y meacutetodos de acuerdo con determinados propoacutesitos Incluye los juicios cuantitativos y cualitativos de acuerdo a los criterios que se sugieran (los cuales son asignados) bull Juicios en funcioacuten de evidencia interna (de exactitud loacutegica
consistencia o criterio interno) bull Juicios en funcioacuten de criterios externos (criterios
seleccionados comparacioacuten de teoriacuteas comparacioacuten de un trabajo con respeto a normas etc)
Verbos que se usan con frecuencia para redactar objetivos de este nivel Juzgar- Evaluar- Apreciar ndash Revisar- Corregir- Seleccionar ndash Justificar- Valoriza
23 DESARROLLO DE LA PARTE CONCEPTUAL DE LA DERIVADA
En este apartado desarrollaremos los contenidos matemaacuteticos que se presentan en el silabo de Matemaacutetica I y que son parte de la investigacioacuten para lo cual hemos revisado bibliografiacutea de autores nacionales y extranjeros especialistas en el tema del caacutelculo diferencial
1 LA IDEA FUNDAMENTAL DEL CAacuteLCULO
Si observamos a nuestro alrededor podremos ver que nuestro mundo se caracteriza por cambios continuos de alliacute la inquietud de desarrollar meacutetodos matemaacuteticos para cuantificar describir y pronosticar estos cambios Para Wenzelburger (1993) es justamente este el propoacutesito del Caacutelculo Diferencial y presenta el concepto de razoacuten de cambio como fundamental Veamos a continuacioacuten dos definiciones del teacutermino Razoacuten de Cambio media o Promedio
DEFINICIOacuteN 1
DEFINICIOacuteN 2
Ambas definiciones muestran la misma idea pero la definicioacuten que presenta Hasser (1976) es muy cuidadosa al determinar las variables que intervienen en ella asiacute da lugar a pensar en ejemplos inmediatos de aplicacioacuten como por ejemplo la relacioacuten entre la cantidad demandada de un bien
dQ y su precio unitario
por periacuteodo de tiempo a traveacutes de la funcioacuten ( )d
Q f p=
Respecto a la segunda definicioacuten es maacutes directa no menciona que x y t sean magnitudes fiacutesicas y analiza directamente los cambios
o variaciones
Razoacuten Promedio de Cambio Sean ( )o ox x t= y ( )o oy y t= ox y oy son valores de las magnitudes fiacutesicas
en alguacuten instante ot Supongamos que ox cambia en la cantidad x∆ El cambio correspondiente y∆ en oy es
( )( )o oy f x x f x∆ = + ∆ minus Y la razoacuten promedio de cambio de y con respecto a x es
( ) ( )( )
0 o of x x f xy xx x
+ ∆ minus∆= ∆ ne
∆ ∆ (Hasser 1976 401)
Razoacuten de Cambio Media Suponga que y es una funcioacuten de x ( )y f x= correspondiendo a un cambio de x a x x+ ∆ la variable y cambia en una cantidad
( ) ( )y f x x f x∆ = + ∆ minus Asiacute el cociente de diferencias
( ) ( )Cambio de x x f x x f xCambio de y y x
∆ + ∆ minus= =∆ ∆
Representa la razoacuten de cambio de y con respecto a x (Hoffmann 1985 82)
Wenzelburger (1993 4) nos dice ldquoDeterminar razones de cambio de procesos continuos es muchas veces maacutes importante que estudiar estos procesos Siempre que dos magnitudes (variables) estaacuten conectadas mediante una relacioacuten funcional (funcioacuten) se puede estudiar el cambio relativo de una de las magnitudes con respecto a la otrardquo Como ejemplos de lo anterior podemos citar a la velocidad que es la razoacuten (el cociente) entre una distancia y un tiempo y describe el cambio en la posicioacuten de un cuerpo con respecto al tiempo transcurrido
Ciertas razones de cambio tienen nombres especiales por ejemplo bull La velocidad es solo uno de las muchas razones de cambio que seraacuten importantes en este capiacutetulo es la razoacuten de cambio de la distancia con respecto al tiempo bull Densidad de un alambre es igual a la razoacuten de cambio de la masa respecto la distancia bull Ingreso Marginal es igual a la razoacuten de cambio del ingreso respecto nuacutemero de artiacuteculo producidos bull Corriente es igual a la razoacuten de cambio de la Carga eleacutectrica respecto al tiempo Asiacute mismo Wenzelburger (1993) menciona dos aspectos importantes al estudiar el Caacutelculo Diferencial los cuales son 1- La continuidad que significa que la relacioacuten es completa no tiene saltos bruscos ni interrupciones y que graacuteficamente se expresa como segmentos de liacuteneas o curvas y no como una coleccioacuten de puntos aislados 2- La determinacioacuten de la pendiente Todos tenemos nociones intuitivas acerca de pendientes y coacutemo comparar las inclinaciones de varias pendientes Por ejemplo sabemos que cuesta maacutes trabajo subir una montantildea maacutes empinada (pendiente grande) o que el agua de un riacuteo corre maacutes raacutepido si este tiene mucha pendiente Lo que hay que explorar entre otras cosas es la manera en la cual la medida de una pendiente de una curva estaacute relacionada con el concepto de razoacuten de cambio
2 LA RELACIOacuteN ENTRE LAS RAZONES DE CAMBIO Y PENDIENTES DE RECTAS
DEFINICIOacuteN 3
Los dos ejemplos que estudiaremos a continuacioacuten tiene por objetivo reforzar la definicioacuten dada asiacute como dar el primer paso en el intento por comprobar si los alumnos pueden comprender un tipo de registro semioacutetico como lo es el lenguaje escrito y luego trabajar lo concerniente a pasar de un registro a otro como lo seriacutea el paso de lo enunciado a la grafica Ejemplo 1
ldquoSuponga que sabemos que el precio de un artiacuteculo en un primer mes era de 600 soles y en el tercer mes subioacute a 1200 soles
MES PRECIO 1 600 Soles 3 1200 Soles
Tabla Nordm 1
Podemos graficar estos datos Fig1 y suponer que el incremento del precio ocurrioacute como en la Fig2
La pendiente de una recta en un sistema de coordenadas ( x y ) es una medida de la razoacuten de cambio de la variable y con respecto al cambio de la variable x (Wenzelburger 1993 9)
La razoacuten de cambio del precio se define de la siguiente manera
se calcula el cambio en direccioacuten vertical y se divide por el cambio en direccioacuten horizontal Asiacute la razoacuten de cambio para los meses uno y tres es
Fig3
500
1000
1500
2000
1 2 3
(1600)
(31200)
Mes
Precio Y
(4840)
4
x
500
1000
1500
2000
1 2 3
(1600)
(31200)
Mes
Precio Y
Fig1
MesFig2
Precio
500
1000
1500
2000
1 2 3
(1600)
(31200)
Y
(2900)
Graacutefica del precio dado en soles en el primer y tercer
mes
Graacutefica del supuesto crecimiento lineal de precio entre el primer y
tercer mes
Graacutefico de la situacioacuten anterior con un descuento del 30 en el precio
Razoacuten de cambio = 600 3002
solesmes
= hellip (1)
Este valor numeacuterico caracteriza el incremento del precio En el cuarto mes se ofrecioacute el producto con un 30 de descuento como promocioacuten (Fig3) La razoacuten de cambio en este mes es
Razoacuten de cambio= 840 1200 3601
solesmes
minus = minus hellip (2)
Ahora consideremos un valor intermedio
Razoacuten de cambio= 900 600 300 3002 1 1
solesmes
minus = = minus hellip (3)
Resumimos lo observado en (1) (2) y (3) Una razoacuten de cambio caracteriacutestica para una graacutefica en forma de segmentos de liacutenea recta soacutelo cambia si hay variacioacuten en la pendiente de eacutesta Si crece la graacutefica la razoacuten de cambio y la pendiente son positivas Si decrece la graacutefica la razoacuten de cambio y la pendiente son negativas Para calcular la razoacuten de cambio entre dos puntos de una graacutefica se sigue el trazo de la curva y se ven los valores primero el punto de la abscisa (valor en el eje horizontal) maacutes grande y despueacutes el punto en la abscisa maacutes pequentildea Despueacutes se forma el cociente entre la diferencia vertical y la horizontalrdquo
3 RAZONES DE CAMBIO ENTRE DOS PUNTOS DE UNA
CURVA
La diferencia entre una relacioacuten lineal de una no lineal radica en que la razoacuten de cambio para una relacioacuten no lineal varia a lo largo de la curva mientras que en una relacioacuten lineal es constante para todos los puntos de la funcioacuten Sobre el ejemplo anterior Wenzelburger (1993) nos dice ldquoes factible que los precios no subieran siguiendo una relacioacuten lineal por ejemplo ver las figuras 4 y 5
De acuerdo a la figura 4 el precio al principio del segundo mes parece ser de 800 soles Como la razoacuten de cambio entre el precio al final del primer mes y del segundo mes (de 600 soles a 800 soles) tenemos
Razoacuten de cambio= 800 600 2001
solesmes
minus = hellip (1)
Ahora calculamos la razoacuten de cambio para el tercer mes
Razoacuten de cambio= 1200 800 4003 2
solesmes
minus = minus hellip (2)
El valor de la razoacuten de cambio en 1 y 2 es diferente Si repetimos el procedimiento para otros pares de puntos vamos a obtener muchos valores diferentes La diferencia entre una curva y una liacutenea recta es la variacioacuten continua de la razoacuten de cambio a lo largo de la curva Si suponemos ahora que los precios cambiaron de acuerdo a la figura 5 podemos observar en la tabla las razones de cambio calculadas para intervalos de 1 mes
500
1000
1500
2000
1 2 3
(1600)
(31200)
Mes
Pesos Y
4
x
(2800)
Fig4
500
1000
1500
2000
1 2 3
(1600)
(31200)
Mes
Pesos Y
4
x
(4800)
Fig5
Las figuras 4 y 5 corresponden al ejemplo1 donde se supone un comportamiento no lineal entre el tiempo y el precio
2do Mes 3er Mes 4to Mes
Razoacuten de cambio en
pesosmes
100 6001
400
minus
1200 10001
200
minus
840 12001360
minus
minus
Tabla Nordm 2
Estos valores describen a grandes rasgos el comportamiento de
la curva precio en funcioacuten del tiempo En el segundo mes el precio sube maacutes raacutepido que en el tercer mes Si calculamos la razoacuten de cambio total del segundo al cuarto mes
Razoacuten de cambio= 840 600 240 803 3
solesmes
minus = = hellip (3)
Obtenemos una informacioacuten equivocada un valor positivo
pequentildeo que no refleja la variacioacuten real del precio Por eso concluimos que es necesario calcular razones de cambio para intervalos pequentildeos debido a que intervalos grandes no dan valores representativos para la descripcioacuten del cambio de una funcioacuten a lo largo de la curvardquo
Observaciones sobre la definicioacuten bull La letra griega delta (∆ ) representa la diferencia o el cambio
bull El cociente yx
∆∆
tambieacuten se llama razoacuten de cambio promedio y
representa graacuteficamente la pendiente de una recta bull El adjetivo promedio es nombre popular pero inexacto porque en
este contexto promedio significa aproximado bull La razoacuten de cambio es suficiente para describir funciones lineales
mas no para graacuteficas curvas
4 LA TRANSFORMACIOacuteN DE LA RAZOacuteN DE CAMBIO PROMEDIO A LA RAZOacuteN DE CAMBIO INSTANTAacuteNEA
Al calcular razones promedio de cambio cada una de ellas no
representa la razoacuten de cambio al principio o al final de un intervalo x∆ sino es un valor promedio que se toma por constante en todo el
intervalo Siendo asiacute es necesario desarrollar un meacutetodo que permita
calcular la razoacuten de cambio de la funcioacuten original praacutecticamente en cada instante es decir para cada valor de x queremos conocer la razoacuten de cambio ( )f x A esta razoacuten de cambio se llama la razoacuten de cambio instantaacutenea Es importante mencionar que una razoacuten de cambio instantaacutenea es mayormente conocida con tasa de cambio Wenzelburger (1993) nos dice
Para ldquola forma de yx
∆∆
2 1
2 1
y yyx x x
minus∆=
∆ minus
Podriacutea proponerse que los puntos 2x y 1x coincidan lo cual implicariacutea tomar 2 1 0x xminus = Entonces la razoacuten de cambio seriacutea instantaacutenea puesto que se tratariacutea de un punto
Es obvio que este intento de solucioacuten fracasa Ya que para 0x∆ = no estaacute definida la razoacuten de cambio Por lo cual aceptaremos
el siguiente principio fundamental para la razoacuten de cambio instantaacutenea
El valor de 2 1x xminus seraacute siempre un nuacutemero que pueda hacerse maacutes pequentildeo que un nuacutemero muy pequentildeo arbitrario pero fijo Debido a que un nuacutemero de esta naturaleza no es igual a cero no estamos considerando un intervalo de longitud cero sino que x∆ se hace cada vez maacutes pequentildeo Esto se expresa como 0x∆ rarr
El valor numeacuterico al cual se aproxima yx
∆∆
cuando 0x∆ rarr es la
razoacuten de cambio instantaacuteneardquo Los problemas del 1 al 4 propuestos a continuacioacuten tienen por finalidad reforzar el conocimiento del alumno sobre razoacuten de cambio promedio e instantaacutenea pendiente ademaacutes interiorizar la relacioacuten que existe entre ambos conceptos asiacute mismo poner en praacutectica el trabajo de cambio de registros semioacuteticos pues se presentan problemas que
hacen uso de los tres tipos de registro y deberaacuten ser convertidos de uno a otro registro para mejorar su comprensioacuten y llegar a una solucioacuten Trabajo Praacutectico Nordm1 Razoacuten de cambio Promedio e Instantaacutenea Problema 12
Una enfermera controla la temperatura a un paciente y registra los resultados
Horas 1500 1600 1700 1800 1900 2000 2100 2200 2300 Temp 36 37 372 378 379 40 40 40 375
Tabla Nordm3
Tareas y Preguntas
a iquestCuaacutel es el cambio de temperatura entre las 1600 y las 1700 horas las 1900 y las 2200 y las 2200horas y las 2300
b Trazar la curva de fiebre del paciente c Calcular la razoacuten de cambio entre las 1500 y las 2300 horas para
intervalos de una hora d Graficar los valores obtenidos en c e Completar la tabla siguiente
Temperatura Graacutefica Razoacuten de Cambio Sube Sube positiva
Queda igual Baja
Tabla Nordm 4
2 El problema 1 se ha tomado del libro de Wenzelburger Didaacutectica del Caacutelculo Diferencial 1993 36
Problema 23
Peso Promedio de un bebeacute- La siguiente graacutefica muestra el peso de un bebeacute promedio desde el instante del nacimiento ( )0t = hasta la
edad de dos antildeos ( )24t = Calcule las pendientes de las rectas tangentes respectivas para estimar la razoacuten promedio de cambio del peso del bebeacute promedio cuando 3t = y cuando 18t = iquestCuaacutel es la razoacuten promedio de cambio en el peso de un bebeacute promedio durante el primer antildeo de vida
Fig6
Fuente Tomado de Thomson Matemaacuteticas para Administracioacuten y Economiacutea 1998 515
Problema 34
Selvicultura- La siguiente graacutefica muestra el volumen de madera producida en un bosque con una uacutenica especie En este caso ( )f t se
3 El problema 2 se ha tomado del libro de Thomson Matemaacuteticas para Administracioacuten y Economiacutea 1998 Paacuteg 515 4 El problema 3 se ha tomado del libro de Thomson Matemaacuteticas para Administracioacuten y Economiacutea 1998 Paacuteg 515
Graacutefico del peso promedio de un bebeacute desde su nacimiento hasta los dos antildeos
mide en metros cuacutebicos por hectaacutereas y t en antildeos Calcule las pendientes de las rectas tangentes respectivas y estime la razoacuten con que el incremento de madera estaacute cambiando al inicio del deacutecimo antildeo y al inicio del antildeo 30
Fig 7 Fuente Tomado de Thomson Matemaacuteticas para Administracioacuten y Economiacutea 1998 515
Problema 45
Patrones de observacioacuten de la televisioacuten- La siguiente graacutefica basada en datos de la compantildeiacutea AC Nielsen muestra el porcentaje de habitantes de Estados Unidos que ven televisioacuten durante un periacuteodo de 24 horas en un diacutea haacutebil ( 0t = corresponde a las 6 am) Calcule las pendientes de las rectas tangentes respectivas y estime la razoacuten de cambio del porcentaje de habitantes que ven televisioacuten entre las 4pm y las 11pm
5 El problema 4 se ha tomado del libro de Thomson Matemaacuteticas para Administracioacuten y Economiacutea 1998 Paacuteg 516
Graacutefico del valor de la madera producida en 3m en funcioacuten del tiempo
Fig8 Fuente Tomado de Thompson Matemaacuteticas para Administracioacuten y Economiacutea 1998 516
5 ALGO SOBRE HISTORIA DE LA DERIVADA
Hasta este momento hemos hablado sobre razones de cambio y como aproximamos una razoacuten de cambio promedio a una razoacuten de cambio instantaacutenea Ahora conoceremos como dos problemas trabajados en eacutepocas de la historia diferentes nos llevaron a la misma solucioacuten La derivada En esta parte hablaremos de razones de cambio e introducireacute las nociones de liacutemites para su resolucioacuten
51 DOS PROBLEMA CON UN MISMO TEMA Los problemas que trataremos a continuacioacuten corresponden a eacutepocas diferentes el primer problema es muy antiguo se remota a la eacutepoca del gran cientiacutefico griego Arquiacutemedes (287-212 aC) Se trata del problema de la pendiente de la recta tangente El segundo problema es maacutes reciente Crecioacute con los intentos de Kepler Galileo Newton y otros para describir la velocidad de un cuerpo en movimiento Es el problema de la velocidad instantaacutenea Los dos problemas uno geomeacutetrico y el otro mecaacutenico parecen no estar muy relacionados En este caso las apariencias engantildean Los dos problemas son gemelos ideacutenticos
Graacutefico del porcentaje de habitantes en Estados Unidos que ven televisioacuten durante las 24 horas de un diacutea
A LA RECTA TANGENTE La descripcioacuten de este problema ha sido tomada de Purcell (2003 99) ldquoSea P un punto de la curva y sea Q un punto moacutevil cercano a P en esa curva Considere la recta que pasa por P y Q llamada recta secante La recta tangente en P es la posicioacuten liacutemite (si esta existe) de la recta secante cuando Q se mueve hacia P a lo largo de la curva
Fig9 Suponga que la curva es la graacutefica de la ecuacioacuten ( )y f x= Entonces P tiene coordenadas ( ) ( )c f c un punto cercano a Q tiene
coordenadas ( ) ( )c h f c h+ + y la recta secante de P a Q tiene pendiente secm dada por
sec( ) ( )f c h f cm
h+ minus
=
Como el objetivo es hallar la recta tangente a la curva ( )f x en el punto P entonces intentaremos aproximar el punto Q a P para ello utilizaremos el concepto de liacutemite con el fin de determinar la pendiente de la recta tangenterdquo
P
Rectas secantes
Recta tangenteQ
Q
Q
La recta tangente es la posicioacuten liacutemite de la recta secante
x
y
Graacutefica de las rectas secantes y tangentes a una curva desde el punto Q hasta el punto P
Fig10
DEFINICIOacuteN 4
Recta Tangente La recta tangente a la curva ( )y f x= en el punto ( ) ( )P c f c es aquella recta que pasa por P con pendiente
tan sec0 0
( ) ( )lim limh h
f c h f cm mhrarr rarr
+ minus= =
Siempre y cuando este liacutemite exista y no sea oinfin minusinfin
(Purcell 2003 101)
P
Q
x
y Liacutenea secante
Liacutenea tangente
( ) ( )c h f c h+ +
( ) ( )f c h f c+ minus
c c h+
( ) ( )c f c
h( )f c
( )f c h+
tan sec0
limh
m mrarr
=
Graacutefico de las posiciones de una recta secante a una curva en los puntos P y Q y su aproximacioacuten a la recta tangente en P
A continuacioacuten veremos un ejemplo que tiene por objetivo que el alumno se familiarice con la definicioacuten la aplique y compruebe que es funcional Ejemplo2Encuentre la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva
( )23 1y x= + minus
en el punto ( )224
Solucioacuten
Encontraremos primero la pendiente de la recta tangente a la curva la cual estaraacute
Dada por
( ) ( )( )2 2
0
3 1 3 1limh
c h c
hrarr
+ + minus minus + minus
( ) ( ) ( )
( )
( )
2 22
2
3 2 3 1 3 1
2 3
2 3
c c h h ch
c h hh
c h
+ + + + minus minus + +
+ +
+ +
Luego aplicando liacutemites tendremos
( )0
lim 2 3 2( 3)h
c h crarr
+ + = +
En el punto 2 la pendiente es 10m = finalmente la ecuacioacuten de la recta en ( )224 es ( )10 2 24 oacute 10 4y x y x= minus + = +
B VELOCIDAD PROMEDIO Y VELOCIDAD INSTANTAacuteNEA
En un contexto referido a la fiacutesica se propone la siguiente situacioacuten con la finalidad de trabajar una solucioacuten y de comprobar que ella tiene mucho en comuacuten la solucioacuten del problema de la recta tangente Si viajamos de una ciudad a otra que estaacute a 80 km En 2 horas nuestra velocidad promedio es de 40 Km por hora Determinamos una velocidad promedio como la distancia de la primera posicioacuten a la segunda posicioacuten dividida entre el tiempo empleado Pero durante el viaje la lectura del velociacutemetro con frecuencia fue diferente de 40 Al principio registroacute 0 a veces hasta 57 al final regresoacute a 0 otra vez iquestQueacute es lo que mide el velociacutemetro Ciertamente no indica la velocidad promedio Purcell (2003 101-103) ldquoConsidere el ejemplo maacutes preciso de un objeto P que cae en el vaciacuteo El experimento muestra que si inicioacute desde el reposo P cae 216t pies en t segundos Por tanto cae 16 pies en el primer segundo 64 pies en el 2do segundo Observemos el diagrama del tiempo empleado y la graacutefica de la relacioacuten tiempoespacio recorrido
Fig11
Ahora analicemos la velocidad promedio en algunos intervalos
Graacutefica de la Distancia recorrida por el objeto en funcioacuten del tiempo
1 2 3 4
50
100
150
200
250
Dis
tanc
ia re
corr
ida
t
( )
( )
( )
2
2
2
16 00 1 16 1 064 161 2 48
2 1
16 15 161 15 40
15 1
16 11 161 11 336
11 1
16 101 161 101 3216
101 1
prom
prom
prom
prom
prom
t t v p s
t t v p s
t t v p s
t t v p s
t t v p s
minus= rarr = = =
minusminus
= rarr = = =minus
minus= rarr = = =
minus
minus= rarr = = =
minus
minus= rarr = = =
minus
Lo que hemos hecho es calcular la velocidad promedio en intervalos de tiempo cada vez maacutes pequentildeos cada uno iniciando en 1t = Entre maacutes breve es el intervalo de tiempo mejor aproximamos la velocidad instantaacutenea en 1t = Seamos maacutes precisos Suponga que un objeto P se mueve a lo largo de un eje coordenado de modo que su posicioacuten en el instante t estaacute dado por ( )S f t= En el instante c el objeto estaacute en ( )f c en el instante cercano c h+ estaacute en ( )f c h+ Asiacute la velocidad promedio en este intervalo es
( ) ( )prom
f c h f cvh
+ minus=
Ahora podemos definir la velocidad instantaacutenea
DEFINICIOacuteN 5
Velocidad Instantaacutenea-Si un objeto se mueve a lo largo de un eje coordenado con funcioacuten de posicioacuten ( )S f t= entonces su velocidad instantaacutenea en el instante c es
0 0
( ) ( )lim limpromh h
f c h f cv vhrarr rarr
+ minus= =
Siempre que el liacutemite exista y no sea oinfin minusinfin (Edwin Purcell2003)
En el caso donde 2( ) 16f t t pies= la velocidad instantaacutenea en 1t = es
2
0 0 0 0
(1 ) (1) 16(1 ) 16lim lim lim lim 32 16 32promh h h h
f h f hv v hh hrarr rarr rarr rarr
+ minus + minus= = = = + =
ldquoAhora podemos ver porqueacute llamamos a la pendiente de la recta tangente y a la velocidad instantaacutenea gemelos ideacutenticosrdquo Este ejemplo tiene por objetivo que el alumno vaya haciendo al mismo tiempo que resuelve los apartados de esta pregunta un verificacioacuten de la teoriacutea por cuando al ir hallando la velocidad promedio en un intervalo considerablemente grande como lo es de 2 a 3 y luego pase a calcular una velocidad promedio en un intervalo lo suficientemente pequentildeo como lo es de 2 a 2003 y finalmente calcule la velocidad instantaacutenea en 2 notaraacuten como se aproxima una variacioacuten una otra hasta llegar a la variacioacuten en un punto Ejemplo 3
Un objeto viaja a lo largo de una recta de modo que su posicioacuten S es 2 1S t= + metros despueacutes de t segundos
a) iquestCuaacutel es su velocidad promedio en el intervalo 2 3tle le b) iquestCuaacutel es su velocidad promedio en el intervalo 2 2003tle le c) iquestCuaacutel es su velocidad promedio en el intervalo 2 2t hle le + d) Encuentre la velocidad instantaacutenea en t = 2
Solucioacuten
La velocidad promedio estaraacute dada por
( ) ( )
promf c h f cv
h+ minus
=
a) La velocidad promedio en el intervalo 2 3tle le seraacute
( ) ( )2 23 1 2 1 10 5 5 3 2 1promv m s
+ minus + minus= = =
minus
b) La velocidad promedio en el intervalo 2 2003tle le seraacute
( ) ( )2 22003 1 2 1 5012009 5 4003 2003 2 0003promv m s+ minus + minus
= = =minus
c) La velocidad promedio en el intervalo 2 2t hle le + seraacute ( )( ) ( )2 2 22 1 2 1 4 4 prom
h h hv h m sh h
+ + minus + += = = +
d) La velocidad instantaacutenea en 2t = seraacute
( )( ) ( )2 2 22 1 2 1 4 4 prom
h h hv h m sh h
+ + minus + += = = + luego en
2t = es 6 Los problemas propuestos en este apartado tienen un objetivo similar al planteado en el ejemplo anterior es decir contrastar en la praacutectica lo que en la teoriacutea se describe a la vez potenciar su habilidad para el cambio de registros ya que como se puede apreciar en los enunciados se piden encontrar ecuaciones dadas algunas graacuteficas y datos elaborar graacuteficas dadas algunas foacutermulas interpretar informacioacuten presentada en ecuaciones graacuteficas referidos a casos de aplicacioacuten en aacutereas como fiacutesica y biologiacutea Trabajo Praacutectico Nordm2 Recta Tangente y Velocidad Instantaacutenea6
Encuentre la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva Ejercicio 1
1yx
= en el
punto ( )21 2
Fig12
6 Los ejercicio se han tomado del libro de Purcell Caacutelculo Diferencial2003
05 1 15 2 25 3
05
1
15
2
25
3
1yx
=
y
x
Graacutefico de la funcioacuten 1( )f x
x= y su recta tangente en el punto (2 frac12)
Considere Ejercicio 2
3 1y x= minus a) Haga un bosquejo de su graacutefica tan detallado como sea posible b) Dibuje la recta tangente en (27) c) Calcule la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos
(27) y ( )3201 (201) 1minus
d) Utilizando el proceso de liacutemite encuentre la pendiente de la recta tangente en (27)
Encuentre las pendientes de las rectas tangentes a la curva Ejercicio 3
2 1y x= minus en los puntos de abscisas -2-1 0 1 2
Haga un bosquejo de la graacutefica de
Ejercicio 4 1
1y
x=
+ luego encuentre la
ecuacioacuten de la recta tangente en (1 12)
Encuentre la ecuacioacuten de la recta tangente a
Ejercicio 5 1
1y
x=
minus en (0-1)
Un experimento sugiere que un cuerpo que cae descenderaacute aproximadamente
Ejercicio 6
216t metros en t segundos a) iquestCuaacutento caeraacute entre t = 0 y t = 1 b) iquestCuaacutento caeraacute entre t = 1 y t = 2 c) iquestCuaacutel es su velocidad promedio en el intervalo 2 3tle le d) iquestCuaacutel es su velocidad promedio en el intervalo 3 301tle le e) Encuentre la velocidad instantaacutenea en t = 3
Un objeto viaja a lo largo de un eje coordenado de modo que su distancia dirigida medida desde el origen despueacutes de t segundos es
Ejercicio 7
2 1t metros+ a) Encuentre la velocidad instantaacutenea en t = 2
b) iquestCuaacutendo alcanzaraacute una velocidad de 12 pies por segundo
Si una partiacutecula se mueve a lo largo de un eje coordenado de modo que su distancia dirigida medida desde el origen despueacutes de
Ejercicio 8
t segundos es ( )2 4t t metrosminus + iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute
momentaacuteneamente detenida Es decir en iquestqueacute momento su velocidad es cero
Cierto cultivo de bacterias crece de modo que tiene una masa de Ejercicio 9
21 12
t gramos +
despueacutes de t horas
a) iquestCuaacutento creceraacute durante el intervalo 2 201tle le b) iquestCuaacutel seraacute la tasa promedio de crecimiento durante el intervalo
2 201tle le c) iquestCuaacutel fue la tasa instantaacutenea de crecimiento en t = 2
6 LA DERIVADA
Revisemos ahora algunas definiciones seguacuten los siguientes autores
DEFINICIOacuteN 6
Si la funcioacuten ( )y f x= tiene derivada en el punto 0
x x= es
decir si existe el
0 00 0
( ) ( )lim limx x
f x x f xyx x∆ rarr ∆ rarr
+ ∆ minus∆=
∆ ∆
Se dice que para el valor dado 0
x x= la funcioacuten es derivable o
lo que es lo mismo tiene derivada en dicho punto
Si la funcioacuten tiene derivada en cada punto de un intervalo ( )a b
se dice que es derivable en dicho intervalo
(N Piskunov 1973 68)
DEFINICIOacuteN 7
DEFINICIOacuteN 8
Como podemos observar la definicioacuten 6 trabaja con la notacioacuten delta a la cual los alumnos se encuentran familiarizados desde el concepto de razoacuten de cambio mientras que en las otras dos definiciones se trabaja con una letra h la cual reemplaza al x∆ La definicioacuten 8 asiacute como la 7 muestran la idea de designar con el teacutermino de derivable en un punto a la funcioacuten cuando esta tenga derivada en dicho punto y de derivable cuando la derivada exista en cada punto de su dominio En cuanto a la definicioacuten 8 presenta a la derivada como una funcioacuten
f a la que lee como ldquof primardquo Uniendo las tres definiciones anteriores podemos presentar la siguiente
La funcioacuten f es derivable en a si
0
( ) ( )limh
f a h f ahrarr
+ minus Existe
En este caso el liacutemite se designa por ( )f a y recibe el nombre de
derivada de f en a (Decimos tambieacuten que f es derivable si
f es derivable en a para todo a del dominio de f )
(Spivak 1967 201)
La derivada de una funcioacuten f es otra funcioacuten f (leacutease ldquof primardquo) cuyo valor en cualquier nuacutemero c es
0
( ) ( )( ) lim
h
f c h f cf chrarr
+ minus=
Siempre que este liacutemite exista y no sea oinfin minusinfin
(Purcell 2003 107)
Veamos los siguientes ejemplos los cuales pretenden familiarizar a los alumnos con la definicioacuten de derivada y a manera de repaso recordar los algoritmos empleados en el caacutelculo de liacutemites como por ejemplo el proceso de racionalizacioacuten Ejemplo 4
Sea ( ) 12 3f x x= minus Encuentre ( ) 4f
Solucioacuten
Empleando la definicioacuten de derivada tenemos [ ] [ ]
0 0
0 0
12(4 ) 3 12(4) 3(4 ) (4)(4) lim lim
12 lim lim 12 12
h h
h h
hf h ffh h
hh
rarr rarr
rarr rarr
+ minus minus minus+ minus= =
= = =
Ejemplo 5
Sea ( ) 0f x x x= gt Encuentre ( )f x
Derivada de f La derivada de una funcioacuten f en un punto c es otra funcioacuten a la
que llamaremos ldquo f prima rdquo y denotaremos por f siempre
que se cumpla
0
( ) ( )( ) lim
h
f c h f cf chrarr
+ minus= Existe
En este caso el liacutemite se designa por ( )f c y recibe el nombre de
derivada de f en c
Decimos tambieacuten que f es derivable si f es derivable en c para
todo c del dominio de f
Solucioacuten
Empleando la definicioacuten de derivada tenemos
( )
0
0
0
0
0
0
( ) ( )( ) lim
= lim
lim
= lim
= lim
1 1 = lim
2
h
h
h
h
h
h
f x h f xf xh
x h xh
x h x x h xh x h x
x h xx h x
h
h x h x
x h x x
rarr
rarr
rarr
rarr
rarr
rarr
+ minus=
+ minus
+ minus + +=
+ + + minus
+ +
+ +
=+ +
7 FORMAS EQUIVALENTES DE LA DERIVADA Purcell (2003) hace mencioacuten a dos formas equivalentes de la derivada de ( )f x en el punto c asiacute la primera forma es
Graacuteficamente podemos ver
0
( ) ( )( ) limh
f c h f cf chrarr
+ minus=
Fig13
Para la segunda forma x toma el lugar de c h+ y por lo tanto reemplazando h tenemos
Graacuteficamente podemos ver
Fig14
otimes
otimes
c c h+
( ) ( )f c h f c+ minus
h( ( ))c f c
( ( ))c h f c h+ +
X
Y
otimes
otimes
c x
( ) ( )f x f cminus
x cminus( ( ))c f c
( ( ))x f x
X
Y
( ) ( )( ) limx c
f x f cf cx crarr
minus=
minus
Graacutefico de la funcioacuten ( )f x en los puntos c y c h+ empleado para la primera forma de definir la derivada
Graacutefico de la funcioacuten ( )f x en los puntos c y x empleado para la segunda forma de definir la derivada
Como podemos apreciar las dos formas de expresar la definicioacuten de la derivada son equivalente aun cuando la notacioacuten empleada no es la misma ya que como hemos podido apreciar en una el limite esta expliacutecitamente en teacuterminos del incremento h luego en el liacutemite h tiende a cero En la otra no aparece h pero cuando el limite indica que x tiende a c impliacutecitamente estaacute indicando que el incremento (h) tiende a cero En el ejemplo siguiente se intenta que los alumnos utilicen la segunda forma de la definicioacuten de la derivada a fin de practicarla pero que establezcan las diferencias en la notacioacuten y significado en relacioacuten a la definicioacuten primera Ejemplo 6
Utilice la segunda forma de representa la derivada para determinar
( )g c si 1( )
4g x
xminus
=+
1 14 4( ) x cg cx c
minus minusminus
+ +=minus
Solucioacuten
( )( )
( )( )
( )( )( )
( )( )
( )2
4 44 4
( ) lim
4 4 lim
4 4 lim
1 lim4 4
1 ( )4
x c
x c
x c
x c
c xx c
g cx cc x
x cx cx c
x cx c
x c
g cc
rarr
rarr
rarr
rarr
minus minus + ++ +
=minus
minus ++ +
minusminus
+ +
minus
+ +
there4 =+
Demostracioacuten-
Espinoza (2002 456) demuestra este teorema de la siguiente manera ldquoPor hipoacutetesis se tiene que f es diferenciable en
0x esto quiere
decir que 0
( )f xexist y
0 00 0
0 0
( ) ( )lim ( ) ( ) lim h h
f x h f xf x h f x h
hrarr rarr
+ minus+ minus =
0 00
0 0
( ) ( )lim lim ( )0 0h h
f x h f xh f x
hrarr rarr
+ minus= = =
Entonces 0 0 0 0
0 0 0
0 00
lim ( ) ( ) 0 lim ( ) lim ( ) 0
lim ( ) ( )h h h
h
f x h f x f x h f x
f x h f xrarr rarr rarr
rarr
+ minus = rArr + minus =
+ =
0f es continua en xthere4 rdquo
ldquoEs muy importante recordar el teorema 1 e igualmente importante recordar que el reciacuteproco no se cumple Una funcioacuten derivable es continua pero una funcioacuten continua no es necesariamente derivablerdquo Spivak (1992 213)
Con los siguientes ejemplos se pretende analizar diferenciabilidad en un punto estudiando el comportamiento de la derivada a ambos lados del punto seleccionado
TEOREMA 1 Sea f una funcioacuten y
0 fx Disin si f es diferenciable en
0x entonces f es continua en
0x
(Espinoza 2002 456)
Ejemplo 7
Estudiar si la funcioacuten ( )f x x= es diferenciable en 0x =
Solucioacuten
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0(0 ) (0)
0 0(0 ) (0) lim lim lim lim 1
0 0(0 ) (0) lim lim lim lim 1
h h h h
h h h h
h hf h fh h h
Asiacuteh hf h f h
h h h hh hf h f h
h h h h
+ + + +
minus minus minus minus
rarr rarr rarr rarr
rarr rarr rarr rarr
+ minus+ minus= =
+ minus+ minus= = = =
+ minus+ minus minus= = = = minus
Seguacuten Spivak (1992 210) ldquoEstos dos liacutemites son llamados a veces derivada por la derecha y derivada por la izquierdardquo en nuestro caso son diferentes
0
(0 ) (0)lim
h
f h fhrarr
+ minus
No existe Por tanto (0)f no existe Graacuteficamente podemos ver la funcioacuten ( )f x x=
Fig 15
Graacutefico de la funcioacuten valor absoluto ( )f x x= Para estudiar la derivada en x=0
Ahora veamos la graacutefica de su derivada
Fig 16 Ejemplo 8
Analizar la derivada de la funcioacuten en el punto 0x = siendo 2 0( )
0x xf xx x
le= gt
Solucioacuten
2
0
0
0( ) (0) 1 0
( ) (0) lim 0
( ) (0) lim 1
h
h
h h hf h f hh h h
hAsiacute
f h fh
f h fh
+
minus
rarr
rarr
= ltminus =
= gt
minus=
minus=
Podemos concluir entonces que (0)f no existe f no es derivable en 0
Graacutefico de la derivada de la funcioacuten valor absoluto 1 0
( )1 0
xf x
xgt
= minus lt
Sin embargo la derivada existe para 0x ne calculeacutemosla
( )2 2 2( ) ( ) 2 2c h cf c h f c ch h c h
h h h+ minus+ minus +
= = = + Aplicando liacutemite
cuando 0h minusrarr tenemos ( ) 2f c c= de una forma similar calculamos
el liacutemite cuando 0h +rarr y obtenemos ( ) 1f c = Graacuteficamente podemos ver
Fig17
Fig 18
Graacutefico de la funcioacuten valor absoluto 2 0( )
0x xf xx x
le= gt
Para estudiar la
derivada en x=0
Graacutefico de la derivada de la funcioacuten 1 0
( )2 0
xf x
x xge
= lt
Purcell (2003) demuestra graacuteficamente cualquier punto donde la graacutefica de una funcioacuten continua tenga una esquina o un veacutertice la funcioacuten no es diferenciable Y esto lo podemos constatar de nuestros ejemplos anteriores Asiacute mismo este autor nos muestra una graacutefica donde se pueden apreciar algunas situaciones para que una funcioacuten no sea diferenciable en un punto
Fig 19
Fuente Tomado del libro de Purcell 2003 111
En esta graacutefica afirmamos que la derivada el c no existe por que
0
( ) ( )( ) lim
h
f c h f cf xhrarr
+ minus= = infin
Esto corresponde al hecho de que la pendiente vertical no estaacute definida El trabajo praacutectico dado a continuacioacuten pretender que el alumno se familiarice con las dos formas empleadas para definir la derivada Otra objetivo es el estudiar la diferenciabilidad de funciones en algunos puntos en particular
Graacutefico de posibles situaciones de funcioacuten diferenciable en un punto
Trabajo Praacutectico Nordm 3 Derivada7
Ejercicio 1
Utilice la definicioacuten de Derivada 0
( ) ( )( ) limh
f x h f xf xhrarr
+ minus= para
determinar la derivada en x de las siguientes funciones
a) ( ) 2 1f x x= + b) 2 1( )4
xg xxminus
=minus
c) 4 2( )h x x x= +
Ejercicio 2
Empleando la segunda forma para definir la derivada ( ) ( )
( ) limx c
f x f cf cx crarr
minus=
minus determine las derivadas de las siguientes
funciones
a) 3( ) xf xx+
= b) 3( ) 5f x x x= +
Ejercicio 3
A continuacioacuten te presento cuatro liacutemites los cuales corresponden a las derivadas de algunas funciones iquestPodriacuteas ayudarnos a determinar a queacute funciones se refieren
a) ( ) ( )3 3
0
2 5 2 5limh
hhrarr
+ minus
b) ( )2
0
3 2(3 ) 15limh
h hhrarr
+ + + minus
c) limx y
senx senyx yrarr
minusminus
d)
2 2
limx t
x tx trarr
minus
minus
7 Los ejercicios han sido tomados del texto de Calculo Diferencial de Purcell (2003 111-112) y Espinoza (2002 514 -515)
Ejercicio 4
Describa los valores x para los que f es derivable A B
Fig 20 Fig 21
Ejercicio 5
Determinar cuales de las funciones siguientes son derivables en los nuacutemeros dados por
0x
1 0
4( ) 42( 8) 4
x xf x xx x
le= =minus gt
2 2
2
2 0
( ) 2 2 0 2
4 2 2
x x
f x x x
x x x
+ lt
= minus le lt
minus + ge
0 0x = y 0 2x =
minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4
minus3
minus2
minus1
1
2
3
4
x
y
y=1(x+1)
minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
minus1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
abs(x^2-9)
Graacutefico de la funcioacuten 2( ) 9f x x= minus Graacutefico de la funcioacuten 1
( )1
f xx
=+
Ejercicio 6
Calcular los valores de y a b c para que la funcioacuten
2
4 2( ) sea continua en x=-2 y diferenciable en x=2
2
si xxf x
ax bx c si x
ge= + + lt
Ejercicio 7
Hallar los valores de a y b de manera que la funcioacuten 2 1
( ) 1 1
ax b si xf x
si xx
+ le= gt
sea derivable en todo su dominio
8 REGLAS DE DERIVACIOacuteN
Para Spivak (1992) el proceso de derivacioacuten es generalmente laborioso y que si no recordamos la definicioacuten de derivada estariacuteamos expuestos a no poder calcularla Sin embargo nos dice que existen algunos teoremas que nos permitiriacutea de una forma un tanto mecaacutenica derivar una clase de funciones muy amplia Asiacute veremos algunas reglas de derivacioacuten que Espinoza (2002) presenta ademaacutes de su demostracioacuten empleando la definicioacuten la notacioacuten de Leibniz8
1) La derivada de una constante es cero-
( ) 0dysi y f x Cdx
= = rArr =
Demostracioacuten
0 0
( ) ( )lim lim 0 0h h
dy f x h f x c c dydx h h dxrarr rarr
+ minus minus= = = there4 =
8 La notacioacuten
dydx
corresponde a Leibniz
2) La derivada de la funcioacuten identidad-
( ) 1dysi y f x xdx
= = rArr =
Demostracioacuten
0 0 0 0
( ) ( )lim lim lim lim 1 1 1h h h h
dy f x h f x x h x h dydx h h h dxrarr rarr rarr rarr
+ minus + minus= = = = = there4 =
3) La derivada de la funcioacuten potencia simple- 1( ) n ndysi y f x x nx
dxminus= = rArr =
Demostracioacuten
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 01 2 2 1
0
1 2 2 1 10
1
( ) ( )lim lim
lim
lim
n n
h hn n n n
h
n n n n nh
n
x h xd y f x h f x para ndx h h
x h x h x x h x xx h x
h
x h x h x x h x x n x
dy nxdx
+
rarr rarrminus minus minus minus
rarr
minus minus minus minus minus
rarr
minus
+ minus+ minus= = isin
+ + + + + + + = + minus
= + + + + + + + =
there4 =
4) La derivada del producto de una funcioacuten por un escalar-
( ) ( )dysi y kf x kf xdx
= rArr =
Demostracioacuten ( ) ( )( )
( )0 0
0
( )( )lim lim
( )lim ( ) ( )
h h
h
k f x h f xkf x h kf xdydx h h
f x h f x dyk kf x kf xh dx
rarr rarr
rarr
+ minus+ minus= =
+ minus= = there4 =
5) La derivada de la suma o diferencia de dos funciones-
( ) ( ) ( ) ( )dysi y f x g x f x g xdx
= plusmn rArr = plusmn
Demostracioacuten ( )( )
( ) ( )
( )( ) ( )( )
0
0
0
( )( )lim
( ( ) ( ))lim
( ) ( )lim
h
h
h
f g x h f g xdydx h
f x h g x h f x g xh
f x h f x g x h g xh
rarr
rarr
rarr
plusmn + minus plusmn=
+ plusmn + minus plusmn=
+ minus plusmn + minus=
( )( ) ( )( )0
( ) ( )lim
( ) ( ) ( ) ( )
h
f x h f x g x h g xh h
dyf x g x f x g xdx
rarr
+ minus + minus= plusmn
= + there4 = +
6) La derivada del producto de dos funciones-
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dysi y f x g x f x g x f x g xdx
= sdot rArr = +
Demostracioacuten
0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim limh h
d y f x h f x f x h g x h f x g xdx h hrarr rarr
+ minus + + minus= =
Ahora sumamos y restamos ( ) ( )f x h g x+ en el numerador
0
0
0 0
0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim
( )( ( ) ( )) ( ( ) ( ))lim ( )
( )( ( ) ( )) ( ( ) ( ))lim lim ( )
( ( ) (lim ( ) lim
h
h
h h
h h
d y f x h g x h f x h g x f x g x f x h g xdx h
f x h g x h g x f x h f xg xh h
f x h g x h g x f x h f xg xh h
g x h gf x h
rarr
rarr
rarr rarr
rarr rarr
+ + minus + minus + +=
+ + minus + minus = + + + minus + minus = +
+ minus= +
0 0
)) ( ( ) ( ))lim ( ) lim
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
h h
x f x h f xg xh h
f x g x g x f xdy f x g x g x f xdx
rarr rarr
+ minus + = +
there4 = +
7) La derivada del cociente de dos funciones-
[ ]2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0( ) ( )
f x d y f x g x f x g xsi y g xg x dx g x
minus= rArr = ne
Demostracioacuten
0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim limh h
d y f x h f x f x h g x h f x g xdx h hrarr rarr
+ minus + + minus= =
0
( ) ( ) ( ) ( )lim( ) ( )h
g x f x h f x g x hh gx g x hrarr
+ minus +=
+
Ahora sumando y restando ( ) ( )f x g x en el numerador se tiene
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim( ) ( )h
g x f x h f x g x f x g x h f x g xh gx g x hrarr
+ minus minus + +=
+
0
2
2
( )( ( ) ( )) ( )( ( ) ( ))
lim( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( 0) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( )
h
g x f x h f x f x g x h g xh h
g x g x hg x f x f x g x g x f x f x g x
g x g x g xdy g x f x f x g xdx g x
rarr
+ minus + +minus
=+
minus minus= =
+
minusthere4 =
Resumiendo
1) ( ) 0dysi y f x Cdx
= = rArr =
2) ( ) 1dysi y f x xdx
= = rArr =
3) 1( ) n ndysi y f x x nxdx
minus= = rArr =
4) ( ) ( )dysi y kf x kf xdx
= rArr =
5) ( ) ( ) ( ) ( )dysi y f x g x f x g xdx
= plusmn rArr = plusmn
6) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dysi y f x g x f x g x f x g xdx
= sdot rArr = +
7) [ ]2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0( ) ( )
f x d y f x g x f x g xsi y g xg x dx g x
minus= rArr = ne
El primer grupo de ejercicios de este trabajo intenta que el alumno fortalezca una habilidad para el caacutelculo de derivadas empleando reglas de derivacioacuten el apartado B es para recordar la aplicacioacuten de la recta tangente a una curva y el apartado C es para trabajar con problemas de aplicacioacuten a diversas aacutereas Trabajo Praacutectico Nordm 4 Reglas de Derivacioacuten9
A Encontrar la derivada de las siguientes funciones
1) ( ) 365f x =
2) 4 3 2( ) 4 3 7f x x x= minus +
3) 5 15
9 3( )f xx x
= minus
4) 3 4 6 31( ) 2 8 16
f x x x x x= minus + minus +
5) 3 2
4 32 7( ) x xf x
x x x+ +
=+ +
6) 2
22( )
4 1
x xf xxminus
=+
7) ( )( )( ) 5 1 2 1f x x x= minus +
8) 2 4 2( )
3x xf x
x+ +
=+
9 Ejercicios tomados de STTan (1998 528-529-530-543-544)
9) 13( ) 9f x x=
10) 3 24 3( ) x xf x
xminus +
=
11) 2 132 3( )f xx x
= minus
12) 2 3( ) 2f x x x= +
13) ( )32
1( ) 2 1 2f x x xx
= + + +
14) 2 1( ) xf x
x+
=
15) 3( )3 1
x xf xx+
=minus
16) 1 2
3 21 2( )1
xf xx
+=
+
17) ( )( )2( ) 1 2 3f x x x= + +
18) ( )( )21 1
( )2
x xf x
x
+ +=
minus
C Encuentre la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva graficada a
continuacioacuten en el punto indicado Punto ( 23)Q minus
Fig 22
Graacutefico de la funcioacuten 3
( )1
f xxminus
=+
D Resolver los siguientes problemas
1 Crecimiento de un tumor canceroso El volumen de un tumor canceroso esfeacuterico estaacute dado por la funcioacuten
34( )3
v r rπ= donde r es el radio del tumor en centiacutemetros
Indique la razoacuten de cambio en el volumen del tumor cuando
a) 23
r cm= b) 54
r cm=
2 Eficiencia de un obrero Un estudio de eficiencia realizado
por la compantildeiacutea de aparatos electroacutenicos Electra mostroacute que el nuacutemero de walkie-talkies ldquoComando espacialrdquo ensamblados por un obrero promedio t horas despueacutes del inicio de labores a las 8 am estaacute dado por 3 2( ) 6 15N t t t t= minus + + a) Encuentre la razoacuten con que el obrero promedio ensambla
los dispositivos t horas despueacutes de iniciar su trabajo b) iquestCon queacute razoacuten los estaraacute ensamblando a las 10 am y a
las 11 am c) iquestCuaacutentos ensamblaraacute entre las 10 y las 11 am
3 Crecimiento de poblaciones Un estudio preparado por la caacutemara de comercio de cierta comunidad ha proyectado que la poblacioacuten de dicha comunidad creceraacute durante los proacuteximos tres antildeos conforme a al regla 3 2( ) 50000 30 20P t t t= + + donde ( )P t denota la poblacioacuten dentro de t meses iquestCon queacute rapidez creceraacute la poblacioacuten dentro de nueve y 16 meses
4 Conservacioacuten de especies Una especie de tortuga estaacute en
peligro de extincioacuten debido a que ciertas personas recogen grandes cantidades de huevos para venderlos como afrodisiacuteacos Despueacutes de implantar severas medidas de conservacioacuten se espera que la poblacioacuten de tortugas crezca de acuerdo con la regla 3 2( ) 2 3 4 1000 0 10N t t t t t= + minus + le le donde ( )N t denota la poblacioacuten al final de antildeo t Encuentre la tasa de crecimiento de poblacioacuten de tortugas cuando 2t = y
8t = iquestCuaacutel seraacute la poblacioacuten diez antildeos despueacutes de la implantacioacuten de las medidas de conservacioacuten
Continuaremos trabajando las reglas de derivacioacuten y ahora estudiaremos las derivadas de las funciones trigonomeacutetricas sus inversas la funcioacuten logariacutetmica y exponencial tomando como referencia las demostraciones presentadas en Smith (2000) y a Piskunov (1973) incluimos tambieacuten algunos ejemplos de aplicacioacuten directa de las reglas de derivacioacuten 8) La derivada de la funcioacuten seno-
( ) cosdysi y f x senx xdx
= = rArr =
Demostracioacuten
0
0
0 0
0 0
( ) ( )lim
cosh cos lim
cosh cos = lim lim
(cosh 1) = lim cos lim
(0) cos (1)
cos
h
h
h h
h h
dy sen x h sen xdx h
senx senh x senxh
senx senx senh xh h
senhsenx xh h
senx xdy xdx
rarr
rarr
rarr rarr
rarr rarr
+ minus=
+ minus=
minus+
minus+
= +
there4 =
9) La derivada de la funcioacuten coseno-
( ) cos dysi y f x x senxdx
= = rArr = minus
La demostracioacuten de este teorema se deja como ejercicio
10) La derivada de la funcioacuten tangente-
2( ) tan secdysi y f x x xdx
= = rArr =
Demostracioacuten
Para ( ) tan senxf x xcosx
= = por regla de cociente se tiene que
( ) ( )2
(cos ) cos
cos
senx x senx xdydx x
minus=
( ) ( )2
cos (cos )
cos
x x senx senxdydx x
+=
2 2
2cos
cosdy x sen xdx x
+=
22
1 seccos
dy xdx x
= =
2secdy xdx
there4 =
Las demostraciones de las derivadas de las funciones trigonomeacutetricas restantes se dejan como ejercicio Resumiendo
8) cosdysi y senx xdx
= rArr =
9) cos dysi y x senxdx
= rArr = minus
10) 2tan secdysi y x xdx
= rArr =
11) 2cosdysi y ctgx ec xdx
= rArr = minus
12) sec sec tandysi y x x xdx
= rArr =
13) sec sec dysi y co x co x ctgxdx
= rArr = minus
Ejemplo 9
Calcular las derivadas de las siguientes funciones a) 2( ) 4 3tanf x x x= minus
b) ( ) senxf xx
=
Solucioacuten
a) trabajamos con la derivada de una diferencia de funciones
( ) 2
2
4 2 3sec
8 3sec
dy x xdxdy x xdx
= minus
= minus
b) Aplicando la derivada de un cociente tenemos ( )
( )2
2
( )
cos
senx x senx xdydx x
x x senxdydx x
minus=
minus=
14) La derivada de la funcioacuten logaritmo-
1( ) log log
a adysi y f x x edx x
= = rArr =
Demostracioacuten
Utilizando la definicioacuten de derivada tendremos
0
0
0
log ( ) log ( )lim
( )log = lim
( )log = lim
a ah
a
h
a
h
x h xdydx h
x hx
hx h
xh
rarr
rarr
rarr
+ minus=
+
+
( )
( )
( )
0
0
0
0
0 0
log (1 ) = lim
log 11 = limx1 = lim log 1x1 = log lim 1x1 = log base de los logaritmos neperianosx
at
at
tat
ta t
a
hhaciendo t cuando h tx
t
txt
t
t
t
e donde e
rarr
rarr
rarr
rarr
= rarr rArr rarr
+
+
+
+
=
ln 11 1 ( ) ln ln
si a e edyEn particular y f x x edx x x
= rArr =
= = rArr = =
1ln dysi y x
dx xthere4 = rArr =
15) La derivada de la funcioacuten logaritmo neperiano-
1( ) ln dysi y f x xdx x
= = rArr =
16) La derivada de la funcioacuten exponencial-
( ) logx xdysi y f x a a adx
= = rArr =
Demostracioacuten
Tomando logaritmos en la igualdad xy a= se tiene ln lny x a= derivando la igualdad obtenida y considerando y en funcioacuten de x tenemos
1 ln
ln lnx
y ay
y y a a a
=
= =
En particular si la base es a e= rarr ln 1e = y obtenemos
( ) x xdff x e edx
= rarr =
17) La derivada de la funcioacuten exponencial con base e-
( ) x xdfsi y f x e edx
= = rarr =
Ejemplo 10
Calcular la derivada de la siguiente funcioacuten
2( ) 3 ln xf x x x e= +
Solucioacuten
( )
( )
2 16 ln 3
6 ln 3
x
x
dy x x x edx x
dy x x x edx
= + +
there4 = + +
Resumiendo
14) 1( ) log loga a
dysi y f x x edx x
= = rArr =
15) 1ln dysi y xdx x
= rArr =
16) ( ) logx xdysi y f x a a adx
= = rArr =
17) ( ) x xdfsi f x e edx
= rArr =
Tomando como referencia a Piskunov (1973) estudiaremos ahora un segundo teorema el cual nos daraacute acceso a la demostracioacuten de la derivada de las funciones trigonomeacutetricas inversas Note ademaacutes que en algunos casos usaremos la notacioacuten y
Teorema 3
Demostracioacuten
Dando a y un incremento y∆ de la igualdad (2) deducimos ( ) ( )x y y yϕ ϕ∆ = + ∆ minus
Como ( )yϕ es una funcioacuten monoacutetona se tiene 0x∆ ne Escribamos la identidad
1yxxy
∆=∆∆∆
Por ser continua la funcioacuten ( )yϕ 0x∆ rarr cuando 0y∆ rarr
Si para la funcioacuten ( )y f x= hellip(1)
Existe una funcioacuten inversa ( )x yϕ= hellip(2)
Tal que en un punto y dado tenga una derivada ( )yϕ distinta de cero entonces la funcioacuten ( )y f x= tiene en el punto
correspondiente x una derivada ( )f x igual a 1( )yϕ
es decir
se verifica la foacutermula 1( )( )
f xyϕ
=
Asiacute pues la derivada de una de las funciones reciacuteprocamente inversas es igual a la inversa de la derivada de la otra funcioacuten para los correspondientes valores de x e y
(Piskunov 1973 92)
Tomando liacutemites cuando 0y∆ rarr en ambos miembros de la uacuteltima
identidad obtenemos 1xy
yx
=
Por lo tanto 1( )( )
f xyϕ
=
(Piskunov 1973 93)
18) La derivada de la funcioacuten arco seno-
2
1( )1
dysi y f x arcsenxdx x
= = rArr =minus
Demostracioacuten
Si y arcsenx= se tiene 2
1
1
dydx x
=minus
Seguacuten la igualdad (1) tenemos cosy
x y= y conforme a la regla
para derivar la funcioacuten inversa se tendraacute 1 1 cosxy
yx y
= =
Pero 2 2cos 1 1 y sen y x= minus = minus luego 2
11
yx
=minus
La raiacutez se toma con el signo positivo porque la funcioacuten
y arcsenx= se define en el intervalo 2 2
yπ πminus le le y por
consiguiente 0y ge (Piskunov 1973 95)
Ejemplo 11
Calcular la derivada de la siguiente funcioacuten
1( )2
xf x arcsen + =
Solucioacuten
( ) ( )
( )
2 2 2
22
1 1 1
1 2 111 12 22
1 2 2 12 2 1
2
dfdx x xx
x xx x
= = =+ minus ++ minus minus
= =minus minus +minus + +
19) La derivada de la funcioacuten arco coseno-
2
1( ) arccos1
dysi y f x xdx x
minus= = rArr =
minus
Demostracioacuten La demostracioacuten se deja como trabajo 20) La derivada de la funcioacuten arco tangente-
21( ) arc t
1dysi y f x gxdx x
= = rArr =+
Demostracioacuten
Si y arctgx= se tiene 21
1dydx x
=+
si consideramos que x tgy=
tenemos
21
cosyx
y=
Por tanto 21 cos xy
y yx
= =
Pero 22 2
1 1cossec 1
yy tg y
= =+
Y puesto que tgy x= tenemos en definitiva 21
1dydx x
=+
Ejemplo 12
Calcular la derivada de la siguiente funcioacuten ( )2( ) (1 )f x x arctg x= +
Solucioacuten
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
22
(1 ) (1 )
1 = 2 (1 )1
= 2 1
df x arctg x x arctg xdx
x arctg x xx
df x arctg xdx
= + + +
+ ++
there4 +
21) La derivada de la funcioacuten arco cotangente-
21( ) arc t
1dysi y f x co gxdx x
minus= = rArr =
+
La demostracioacuten se deja como trabajo asiacute como las demostraciones de las funciones inversas restantes
22) La derivada de la funcioacuten arco secante-
2
1( ) arcsec1
dysi y f x xdx x x
= = rArr =minus
23) La derivada de la funcioacuten arco cosecante-
2
1( ) arc sec1
dysi y f x co xdx x x
minus= = rArr =
minus
Resumiendo
18) 2
1( )1
dysi y f x arcsenxdx x
= = rArr =minus
19) 2
1( ) arccos1
dysi y f x xdx x
minus= = rArr =
minus
20) 2
1( ) arc t1
dysi y f x gxdx x
= = rArr =+
21) 2
1( ) arc t1
dysi y f x co gxdx x
minus= = rArr =
+
22) 2
1( ) arcsec1
dysi y f x xdx x x
= = rArr =minus
23) 2
1( ) arc sec1
dysi y f x co xdx x x
minus= = rArr =
minus
9 REGLA DE LA CADENA
Veamos a continuacioacuten como Smith (2000) presenta y demuestra el teorema de la regla de la cadena un teorema para el caacutelculo de derivadas su utilidad radica en el hecho de que nos permitiraacute derivar funciones compuestas las mismas que se encuentran presentes en la mayoriacutea de modelos matemaacuteticos
Teorema 3
El teorema es cierto incluso si Demostracioacuten
( ) 0g x = pero la demostracioacuten requiere ( ) 0g x ne Sea ( ) ( ( ))F x f g x= Entonces
Regla de la Cadena- Si g es derivable en x y f es derivable en ( )g x entonces
[ ( ( ))] ( ( )) ( )d f g x f g x g xdx
=
(Smith 2000 228)
0
0
0
0
[ ( ( ))] ( ) ( )( ) lim
( ( )) ( ( )) = lim
( ( )) ( ( )) ( ) ( ) = lim ( ) ( )
( ( )) ( ( )) = lim ( )
h
h
h
h
d f g x F x h F xF xdx h
f g x h f g xh
f g x h f g x g x h g xh g x h g x
f g x h f g xg x h
rarr
rarr
rarr
rarr
+ minus= =
+ minus
+ minus + minus+ minus
+ minus+ 0
( ) ( ) 0
( ) ( ) lim( )
( ( )) ( ( )) ( ) ( ) = lim lim ( ) ( )
= ( ( )) ( )
h
g x h g x h
g x h g xg x h
f g x h f g x g x h g xg x h g x h
f g x g x
rarr
+ rarr rarr
+ minusminus
+ minus + minus+ minus
Ahora presentamos la regla de la cadena en teacuterminos de la notacioacuten de Leibniz ldquoSi ( )y f u= y ( )u g x= entonces ( ( ))y f g x= la regla
de la cadena expresa que du dy dudx du dx
= rdquo Smith (2000 228)
Ejemplo 13
Calcular la derivada de la siguiente funcioacuten a) 3 3( ) ( 1)f x x x= + minus
b) 6( ) xf x eminus=
c) 2( ) cos 1f x x= +
Solucioacuten
a) Siendo 3 3( ) ( 1)f x x x= + minus podemos hacer el siguiente cambio 3 1u x x= + minus asiacute 3 3( ) ( 1)f u u y u x x= = + minus Luego la
derivada es
( )33
2 2
1( )
=3 (3 1)
df df dudx du dx
d x xd udu dx
u x
=
+ minus=
+
3 2
5 3 2
5 3 2
=3( 1)(3 1)
= 9 12 9 3 3
=3(3 4 3 1)
x x x
x x x xdf x x x xdx
+ minus +
+ minus + minus
there4 + minus + minus
b) si 6( ) xf x eminus= entonces 6xu minus
= luego
( )
6( ) =
u
df df dudx du dx
d xd edu dx
=
minus
6
1= 6
1 = -6
u
x
e
df edx
minus
minus
there4
c) Sea 2 1u x= + se tiene en la funcioacuten lo siguiente 2( ) cos 1f u u donde u v y v x= = = + luego la derivada seraacute
( ) ( ) ( )
( )
2
1 2
2 2 1 2
1 22 2
1cos
1 = ( ) (2 )2
1 = 1 ( 1) (2 )2
= - 1 1
df df du dvdx du dv dx
d xd vd udu dv dx
senu v x
sen x x x
df x x sen xdx
minus
minus
minus
=
+=
minus
minus + +
there4 + +
Los ejercicios propuestos en este trabajo tienen por finalidad que alumno conozca y aplique las reglas de derivacioacuten asiacute como trabajar reforzar su habilidad para factorizar expresiones algebraicas
Trabajo Praacutectico Nordm 5 Reglas de Derivacioacuten y Regla de la Cadena10
1 Encontrar la derivada de las siguientes funciones
1 ( )( )f x a x a x= + minus
2 1( )1
xf xx
+=
minus
3 3 2( ) 1f x x x= + +
4 ( )f x x x x= + + 5 ( ) 2 3cos3f x senx x= +
6 ( )cos
senxf xa x
=+
7 1( ) ln1
senxf xsenx
+= minus
8 ( ) ( )co s( )f x sen a x x a= + +
9 ( )2( ) f x x ctgx=
10 ( )23
( ) logf x x senx= minus
11 2( ) ln 1f x x x = + +
12 22( )
1xf x arctgx
= minus
13 ( ) arctgxf x e=
14 ( )
( )2
x xe ef x arctg
minusminus=
15 4( )3 5cos
senxf x arctgx
= +
16 2
2 21 2 2( ) ln 21 2 1
x x xf x arctgx x x
+ += + minus + minus
10 Ejercicios tomados de N Piskunov (1973 136-137)
17 2 2( ) (7 4) 49 56 7 9ln(7 4 49 56 7)f x x x x x x x= + + + minus + + + +
18 ( ) ( ) ( ) ( )2( ) 1 1 ln 1 1f x x x x x = + minus minus minus +
19 ( ) 2 5 6( ) 5 6 60 36 21 42
xf x x x x arcsen minus = minus minus minus +
20 ( )2( ) 2 sec 2 8 1 2f x xarc x x arcsen x= + minus
21 2( ) 6 3arccos 13xf x x x = minus minus + minus
22 3( ) (3 2 2cos 2 )xf x e sen x x= minus
23 ( ) ( ) 2( ) 5 3 sec 5 3 ln 5 3 9 30 24f x x arc x x x x = minus minus minus minus + minus +
10 FUNCIONES IMPLICITAS
El siguiente punto que vamos a estudiar corresponde a la derivacioacuten de funciones impliacutecitas Laacutezaro (2000) define una funcioacuten impliacutecita como
DEFINICIOacuteN 9
Asiacute podemos citar como ejemplos a) 2( ) 4f x y x y= minus b) 2 2( ) 2 6f x y x x xy y= minus minus +
El autor nos presenta dos meacutetodos para derivar una funcioacuten impliacutecita ambos meacutetodos seraacuten presentados a continuacioacuten
Funcioacuten Impliacutecita Si tenemos una ecuacioacuten de la forma ( ) 0f x y = con ( )y f x= en el cual la variable dependiente y no estaacute ldquodespejadardquo en teacuterminos de x entonces y se llama funcioacuten impliacutecita de x
(Laacutezaro 2000 53)
1er Meacutetodo
Aplicando en amos miembros de la ecuacioacuten ( ) 0f x y = el
operador ddx
(derivada con respecto a x ) y usando todas las reglas de
derivacioacuten para finalmente despejar y 2do Meacutetodo
Usando derivadas parciales en la foacutermula
fdy x
fdxy
partpart= minuspartpart
Donde
fxpartpart
es la ldquoDERIVADA PARCIAL DE f CON RESPECTO A x rdquo en
este caso consideramos soacutelo a x como variable y el resto de letras se consideran como constantes
fxpartpart
es la ldquoDERIVADA PARCIAL DE f CON RESPECTO A y rdquo en
este caso consideramos soacutelo a y como variable y el resto de letras se consideran como constantes
(Laacutezaro 2000 53)
Ahora apliquemos los dos meacutetodos revisados y reflexionemos acerca de las ventajas de emplearlos Ejemplo 14
En la ecuacioacuten
3 3 3 0x y axy+ minus = donde ( )y f x= hallar dy
dx
Solucioacuten
Empleando el primer meacutetodo
Derivando ambos miembros de la ecuacioacuten tenemos
( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 3
3 3
2 2
2 2
2
2
3 0
3 0
3 3 3 0
3 3 3 3 0
d dx y axydx dx
d d dx y axydx dx dx
dx dy dy dxx y a x ydx dx dx dx
dy dyx y ax aydx dx
dydespejando
dx
dy ay xdx y ax
+ minus =
+ minus =
+ minus + =
+ minus minus =
minus=
minus
Empleando el segundo meacutetodo
3 3
2 2
2
2
( ) 3
3 0 3 y 3 0 3
3x 3 =-
3
Como f x y x y axy obtenemos
f fx ay y axx y
fdy xluego
dfdxdy
ay
y ax
= + minus
part part= + minus = + minus
part part
partpart= minus
minus
minus
Ejemplo 15En la ecuacioacuten
23 23 23 ( ) tanx y a y f x a es cons te+ = =
hallar dydx
Solucioacuten
Empleando el primer meacutetodo
2 3 23 23
13 13
133
13
( ) ( )
20
3
d dx y adx dx
dyx ydx
dy x ydx xy
minus minus
minus
minus
+ =
+ =
= minus = minus
Empleando el segundo meacutetodo 2 3 23 23
13 13
13 13
13
313
( )
2 20 0
3 3
2 2 0 0
3 3
23Asiacute 23
De f x y x y a
obtenemos
f x xx
f y yy
xdy ydx xy
minus minus
minus minus
minus
minus
= + minus
part= + minus =
part
part= + minus =
part
= minus = minus
11 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
Laacutezaro (2000) nos muestra a partir de una notacioacuten la definicioacuten de las derivadas de orden superior
NOTACIOacuteN SE LEE
dy ydx
= La 1ordf derivada de y con respecto
a x
2
2
d dy d y ydx dx dx
= =
2 3
2 3
d d y d y ydx dx dx
= =
3 4(4)
3 4d d y d y ydx dx dx
= =
( 1)
( )( 1)
n nn
n nd d y d y ydx dx dx
minus
minus
= =
La 2ordf derivada de y con respecto
a x
La 3ordf derivada de y con respecto a x
La 4ordf derivada de y con respecto
a x
La n-eacutesima derivada de y con respecto a x
(Laacutezaro 2000 73)
Tabla Nordm 5
La intencioacuten de estos dos ejemplos es de ejercitar la capacidad del alumno para aplicar derivacioacuten sucesiva y simplificacioacuten algebraica Ejemplo 16
Si kxy eminus= Hallar ny Solucioacuten
( )
2 3
( )
etc hasta la n-eacutesima derivada
Luego 1
kx kx kx
nn n kx
y ke y k e y k e
y k e n
minus minus minus
minus +
= minus = = minus
= minus isin
Ejemplo 17
Hallar ( ) (0)nf si 1( ) ln
1f x
x=
minus
Solucioacuten
Pero
1
2 2
3 3
(4) 4 4
(5) 5
1( ) ln ln(1) ln(1 )
1
( ) ln(1 )
1( ) (1 )
1
( ) 1(1 ) ( 1) (1 )
( ) 2(1 ) ( 1) 2(1 )
( ) 2( 3)(1 ) ( 1) 23 (1 )
( ) 23( 4)(1 ) ( 1) 234(1 )
f x xx
f x x
derivando
f x xx
f x x x
f x x x
f x x x
f x x x
minus
minus minus
minus minus
minus minus
minus
= = minus minusminus
= minus minus
minus= minus = minus
minus
= minus minus minus = minus
= minus minus minus = minus
= minus minus minus = minus
= minus minus minus = minus 5
( )
( )
( ) ( 1)(1 )
(0) ( 1)
n n
n
f x n x
luego
f n
minus
minus= minus minus
= minus
12 REGLA DE LrsquoHOSPITAL PARA EL CAacuteLCULO DE LIacuteMITES
INDETERMINADOS DE LAS FORMAS 00
e infininfin
Teorema 4
Regla de LrsquoHospital- Supongamos que lim ( ) 0 lim ( ) 0
x a x af x g x
rarr rarr= and = y supongamos
tambieacuten que existe ( )lim( )x a
f xg xrarr
Entonces existe ( )lim( )x a
f xg xrarr
y
( ) ( )lim lim( ) ( )x a x a
f x f xg x g xrarr rarr
=
(Laacutezaro 2000 48)
Observaciones
La regla de LrsquoHospital se puede aplicar tambieacuten para las siguientes formas indeterminadas
i) ( )lim( )x a
f xg xrarr
infin=infin
ii) ( )lim( )x
f xg xrarrinfin
infin=infin
iii) lim ( ) 0 lim ( ) lim ( ) ( ) 0
( ) 0 ( ) 0 = lim lim1 10 0( ) ( )
x a x a x a
x a x a
f x g x entonces f x g x
f x g x
g x f x
rarr rarr rarr
rarr rarr
= and = infin = infin
= or =
iv) Si lim ( ) lim ( )
x a x af x g x
rarr rarr=infin and = infin ademaacutes
lim [ ( ) ( )]x a
f x g xrarr
minus = infin minusinfin entonces se hace la transformacioacuten
siguiente
( )lim [ ( ) ( )] lim ( )[1 ]
( )x a x a
g xf x g x f x
f xrarr rarrminus = minus pero si ( )
lim 1( )x a
g xf xrarr
=
entonces se hace
( )10( )lim
1 0( )
x a
g xf x
f xrarr
minus=
v) Los liacutemites indeterminados 0 01 0 infin infin se determinan buscando
previamente sus logaritmos y hallando el liacutemite del logaritmo de la expresioacuten [ ] ( )( ) g xf x
Los ejemplos resueltos a continuacioacuten intentan mostrar al alumno algunos casos en los que el liacutemite se puede calcular empleando regla de LrsquoHospital
Ejemplo 18
Calcular los siguientes liacutemites
a) 30
coslimx
x x senxxrarr
minus b) 0
limcot
2x
xxg
π
πrarr
c) 0
limx
tgx senxx senxrarr
minusminus
d) 0
lim 0xx
xrarr
=
e) ( )1
20
lim 1 xx
xrarr
+
Solucioacuten
a) 30
cos 0lim0x
x x senxxrarr
minus= entonces derivando numerador y
denominador tenemos
( )
( )( )( )
20 03
2 0 0 0
cos cos coslim lim3
cos 1lim lim lim3 33 3
x x
x x x
x x senx x xsenx xxx
senxxsenx xx x
rarr rarr
rarr rarr rarr
minus minus minus=
minusminus minus= = = = minus
b) 0
limcot
2x
xxg
π
πrarr
infin=infin
entonces
2
0
0 0 2
lim1 10 2cot lim lim
2 sec2 2 2 2
x
x x
xx xx g
x xtg
ππ π π π π
ππ π π π
rarr
rarr rarr
= = = = =infin
c) 0
0lim
0x
tgx senxx senxrarr
minus=
minus entonces
2
0
sec cos 0lim
1 cos 0x
x xxrarr
minus=
minus luego
2
0 0
2sec sec 2sec 0lim lim
0x x
x xtgx senx x tgx senxsenx senxrarr rarr
+ += =
derivando otra vez 2 4
0
2 2sec sec coslim 3
cosx
x tgx x x
xrarr
+ + =
d)
0lim 0xx
xrarr
=
Hagamos xy x=
Tomemos logaritmos ln lny x x= Ahora apliquemos liacutemites [ ] [ ]
0 0lim ln lim lnx x
y x xrarr rarr
=
Pero0
ln lim 0x
yrarr
= infin entonces expresemos la funcioacuten como
0
lnlim
1x
x
xrarr
infin=infin
por LrsquoHospital 0 0
2
1
lim lim 01x x
x x
xrarr rarr
= minus =minus
O sea
0 0 0 0ln lim 0 lim 1 lim 1 lim 1x
x x x xy y y x
rarr rarr rarr rarr
= rArr = rArr = rArr =
e) ( )1
20
lim 1 1xx
x infin
rarr+ =
Hacer ( )1
21 xy x= +
( )
( )
2
20 0
1ln ln 1
1lim ln lim ln 1x x
y xx
y xxrarr rarr
= +
= +
( )20
= 0
1Pero = lim ln 1
xx
xrarr
infin
+
2
0
21 = lim
1x
xx
rarr
+
( )0 0 0
0 =
1
lim ln 0 ln( lim ) 0 lim 1x x x
y luego y finalmente yrarr rarr rarr
= = =
El siguiente grupo de ejercicios pretende que el alumno afiance sus habilidades para el manejo de reglas de derivacioacuten ademaacutes mejore el manejo de expresiones algebraicas
Trabajo Praacutectico Nordm 6 Derivacioacuten Impliacutecita- Derivada de
Orden Superior11
Ejercicio 1
Halle las derivadas de las siguientes funciones impliacutecitas
1 1
ln( ) 0x xyy
minus minus =
2 3 2 35 3 ln 0x x y yminus minus =
3 ye xy e+ =
4 ln 0x x yyminus + =
5 2 35 2xy y y xy+ = + 6 ( ) 1xy sen xy+ =
11 Ejercicios tomados de N Piskunov (1973 136-137)
7 1 1x y xy+ = +
8 2 2cos( )xy y x= +
9 2 2cos( ) 3 4y xy x+ + =
10 2 3 23 5x yminus = Ejercicio 2
Encuentra la derivada del orden indicado en cada caso 1 3 22 5 1y x x x= minus + minus Hallar y
2 5 3y x= Hallar y
3 6y x= Hallar (6)y
4 ncy
x= Hallar y
5 2 2y a x= minus Hallar y
6 2y x= Hallar y
7 2
x xa aay e e
minus = +
Hallar y
Ejercicio 3
Empleando regla de la cadena derivar las siguientes funciones
1 2
23
3 1ln 1
3
xy x arctgxx
minus= + + +
2 2
221 2 2
ln 211 2
x x xy arctgxx x
+ += +
minusminus +
3 2
21
cos1
n
nxy arcx
minus=
+
4 23 5cos
senxy arctgx
=+
5 y arcsen senx=
6 2 2 2 xy x a x a arcsena
= minus +
13 MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCIOacuteN
Para determinar los maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten es necesario conocer algunas caracteriacutesticas de ella como por ejemplo cuando es creciente o decreciente Basaacutendonos en la bibliografiacutea de Laacutezaro Carrioacuten (2000 108) podemos observar las definiciones siguientes
DEFINICIOacuteN 10
DEFINICIOacuteN 11
131 CRITERIOS PARA EXTREMOS RELATIVOS
Laacutezaro (200 113-114) nos muestra los criterios de la primera y segunda derivada para encontrar los maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten
Una funcioacuten ( )f x es creciente sobre un intervalo I cuando se cumple que
1 2 1 2 1 2( ) ( ) si x x f x f x x x Ilt rArr lt forall isin
(Laacutezaro 2000 108)
Una funcioacuten ( )f x es decreciente sobre un intervalo I cuando se cumple que
1 2 1 2 1 2( ) ( ) si x x f x f x x x Ilt rArr gt forall isin
(Laacutezaro 2000 108)
1 CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA
Sea c un punto criacutetico de ( )f x donde ( ) 0f x = oacute ( )f c no existe Si existe una vecindad de ( ) c V c c cδ δ δ= minus + donde ( )f x es continua en ( )V cδ y derivable en ( )V cδ excepto tal vez en c 1 Si ( ) 0 ( ) 0 f x x c c f x x c cδ δgt forall isin minus and lt forall isin + ( )f crArr
es un maacuteximo relativo de f 2 Si ( ) 0 ( ) 0 f x x c c f x x c cδ δlt forall isin minus and gt forall isin + ( )f crArr
es un maacuteximo relativo de f
3 si ( ) 0 ( ) 0 f x x c c f x x c cδ δgt forall isin minus and gt forall isin + or
( ) 0 ( ) 0 f x x c c f x x c cδ δlt forall isin minus and lt forall isin + ( )f crArr
no es maacuteximo ni miacutenimo relativo de f
Veamos algunos ejemplos que son de aplicacioacuten del criterio dado Ejemplo 19
Sea la funcioacuten
( )
5 3
5
3 5 54 2( ) 2 4 2 2 5
5 5x
x x xf x x x
x e xminus
minus + + lt= minus minus + le lt
minus ge
Hallar los maacuteximos y miacutenimos de esta funcioacuten Solucioacuten
( )Dom f =real ( )f x real es continua en todo definiendo el valor absoluto en f tenemos lo siguiente
5 3
5
3 5 54 22( 4) 2 2 4
( )2( 4) 2 4 5
(5 ) 5x
x x xx x
f xx x
x e xminus
minus + + lt
minus + le lt= minus minus + le lt minus ge
ahora encontramos la derivada de
la funcioacuten ( )f x
2
5
15 ( 1)( 1) 22 2 4
( )2 4 5
( 6) 5x
x x x xx
f xx
x e xminus
minus minus + lt
le lt= minus le lt minus ge
Encontrando los puntos criacuteticos tenemos 0 112456minus Luego de evaluar algunos puntos en los intervalos generados con los puntos criacuteticos de la funcioacuten tenemos que
( 1) 52f minus = es miacutenimo relativo ( )f x (0) 54f = no es maacuteximo ni miacutenimo de ( )f x (1) 56f = es un maacuteximo relativo de ( )f x (2) 2f = minus es miacutenimo relativo ( )f x (4) 2f = es un maacuteximo relativo de ( )f x (5) 0f = no es maacuteximo ni miacutenimo de ( )f x
1(6)f
e= es miacutenimo relativo ( )f x
2 CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA Sea ( )f x una funcioacuten derivable en un entorno de c Si ( ) 0f c = and si ( )f c existe entonces 1) Si ( ) 0 ( ) es un maacuteximo relativo de f c f c flt rarr
2) Si ( ) 0 ( ) es un miacutenimo relativo de f c f c fgt rarr El siguiente ejemplo muestra la funcionalidad del criterio y se espera que el alumno reflexione acerca de las diferencias entre la aplicacioacuten de ambos
Ejemplo 20
Sea la funcioacuten ( ) 2cos cos 2 f x x x x= minus isinreal encontrar los maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten Solucioacuten
Derivando la funcioacuten se tiene
( ) 2 2 2 2 (1 2cos )f x senx sen x senx x= minus + = minus minus luego los puntos singulares (criacuteticos) son De ( ) 0f x = se tiene 2 (1 2cos ) 0senx xminus minus = resolviendo la
ecuacioacuten tenemos que 0 ( 1) 0ordmnsi senx x n nπ π= rarr = + minus = ademaacutes
( ) 11 2cos 0 arccos
2si x x minus = rarr =
52 2
3 3siendo x n x nπ π
π π= plusmn or = plusmn
Luego los puntos criacuteticos son 5 2 2
3 3n n nπ ππ π π + +
La segunda derivada es 2( ) 2 4cos cos 2f x x x= minus minus
Se cumplen a) ( ) 0f n fπ gt rarr tiene miacutenimos relativos en x nπ=
b) ( 2 ) 03
f n fππ+ lt rarr tiene maacuteximos relativos en 2
3x nπ
π= +
c) 5( 2 ) 0
3f n fπ
π+ lt rarr tiene maacuteximos relativos en 52
3x nπ
π= +
El trabajo de aplicaciones que se deja a continuacioacuten tiene la finalidad de aplicar los criterios para hallar maacuteximos y miacutenimos pero es necesario indicar sin restarle mayor importancia a lo anterior que es una bueno oportunidad para que el alumno ponga en praacutectica el trabajo de cambio de registros
Trabajo Praacutectico Nordm 7 Aplicaciones de las derivadas a los Maacuteximos y Miacutenimos de una funcioacuten
Costo Miacutenimo- Una plataforma petroliacutefera estaacute 2 Km mar adentro y la refineriacutea 4 Km costa abajo Si el costo del metro del oleoducto es doble en el mar que en la tierra firme iquestQueacute trayecto debe tener el oleoducto para minimizar el costo
Ejercicio 1
Beneficio Maacuteximo- El beneficio de cierta empresa es Ejercicio 2
21230 20
2P s s= + minus donde s es la cantidad (en cientos de doacutelares)
gastada en publicidad iquestQueacute valor de s hace maacuteximo el beneficio
Cierta empresa de material fotograacutefico oferta una maacutequina que es capaz de revelar y pasar a papel 155 fotografiacuteas por minuto Sin embargo sus cualidades se van deteriorando con el tiempo de forma que el nuacutemero de fotografiacuteas por minuto seraacute funcioacuten de la antiguumledad de la maacutequina de acuerdo a la siguiente expresioacuten (
Ejercicio 3
( )f x representa el nuacutemero de fotografiacuteas por minuto cuando la maacutequina tiene x antildeos)
155 11 0 5( ) 5 45
52
x x si xf x x si x
x
minus le le= +
gt +
a) Estudiar la continuidad de la funcioacuten ( )f x
b) Comprobar que el nuacutemero de fotografiacuteas por minuto decrece con la antiguumledad de la maacutequina Justificar que si tiene maacutes de 5 antildeos revelaraacute menos de 10 fotografiacuteas por minuto
c) Justificar que por muy vieja que sea la maacutequina no revelaraacute menos de 5 fotografiacuteas por minuto
Se ha construido una presa de almacenamiento de agua cuyos costes de mantenimiento diarios son una funcioacuten de la cantidad de agua que la misma tiene almacenada Tales costes (en doacutelares) vienen dados por la siguiente expresioacuten (
Ejercicio 4
( )C x representa el coste si el volumen de agua en millones de metros cuacutebicos es x )
3 2( ) 8 73C x x x x= + minus + a) encontrar el volumen diario de agua oacuteptimo que debe mantenerse para minimizar costes b) calcular el coste miacutenimo diario que supone el mantenimiento de la instalacioacuten Si un diacutea la presa tiene almacenados 3 millones de metros cuacutebicos de agua iquestcuaacutento se ha gastado de maacutes respecto del coste miacutenimo
Un taller artesanal estaacute especializado en la produccioacuten de cierto tipo de juguetes Los costos de fabricacioacuten
Ejercicio 5
( )C x en soles estaacuten relacionados con el nuacutemero de juguetes fabricados x a traveacutes de la siguiente expresioacuten 2( ) 10 2000 250000c x x x= + + El precio de venta de 8000 soles a) Plantear la funcioacuten de ingreso que obtiene el taller con la venta de
los juguetes producidos b) Plantear la funcioacuten de beneficio entendidos como diferencia entre
ingresos y costos de fabricacioacuten c) iquestCuaacutentos juguetes debe fabricar para maximizar beneficios iquestA
cuanto ascenderaacuten estos beneficios
Se ha investigado el tiempo (T en minutos) que se tarda en realizar cierta prueba de atletismo en funcioacuten del tiempo de entrenamiento de los deportistas (x en diacuteas) obtenieacutendose que
Ejercicio 6
3000 30
30( )1125
2 30( 5)( 15)
si xxT x
xx x
le le += + gt minus minus
a) Justificar que la funcioacuten T es continua en todo su dominio b) iquestSe puede afirmar que cuaacutento maacutes se entrene un deportista
menor seraacute el tiempo en realizar la prueba iquestAlguacuten deportista tardaraacute maacutes de 10 minutos en finalizar la prueba
c) Por mucho que se entrene un deportista iquestseraacute capaz de hacer la prueba en menos de 1 minuto iquestY en menos de 2
Un individuo ha invertido en acciones de cierta compantildeiacutea durante los uacuteltimos 10 antildeos El valor de su cartera a lo largo del tiempo (dinero invertido maacutes beneficios obtenidos en miles) viene dado por la siguiente expresioacuten (x en antildeos)
Ejercicio 7
2( ) ( 2) (1 2 ) 252 116 0 10f x x x x si x= minus minus + + le le a) Determinar los intervalos de tiempo en que la cartera crecioacute y
aquellos en que decrecioacute b) El individuo retira sus ingresos transcurridos 10 antildeos iquestCuaacutel hubiera
sido el mejor momento para haberlo hecho iquestCuaacutento pierde por no haberlo retirado en el momento oacuteptimo
El rendimiento (medido de 0 a 10) de cierto producto en funcioacuten del tiempo de uso (x en antildeos) viene dado por la siguiente expresioacuten
Ejercicio 8
2
3( ) 85 0
1
xf x xx
= + ge+
a) iquestHay intervalos de tiempo en los que el rendimiento crece iquestY en queacute decrece iquestCuaacuteles son
b) iquestEn queacute punto se alcanza el rendimiento maacuteximo iquestCuaacutento vale c) Por mucho que pase el tiempo iquestpuede llegar a ser el rendimiento
inferior al que el producto teniacutea cuando era nuevo
El peso que una plancha de cierto material es capaz de soportar depende de la edad de la misma seguacuten la siguiente funcioacuten (el peso P en toneladas t representa la edad en antildeos de la plancha)
Ejercicio 9
250 0 3( ) 20
56 31
t tP t t t
t
minus le le=
minus gt +
a) iquestEs el peso una funcioacuten continua con la edad Seguacuten vaya pasando el tiempo iquestla plancha cada vez aguantaraacute menos peso
b) Dicen que por mucho tiempo que transcurra la plancha siempre aguantaraacute maacutes de 40 toneladas iquestEstaacutes de acuerdo
c) Esboza un dibujo de la graacutefica de P (t) cuidando la concavidad y convexidad de la funcioacuten
El servicio de traumatologiacutea de un hospital va a implantar un nuevo sistema que pretende reducir a corto plazo las listas de espera Se preveacute que a partir de ahora la siguiente funcioacuten indicaraacute en cada momento (t en meses) el porcentaje de pacientes que podraacute ser operado sin necesidad de entrar en lista de espera
Ejercicio 10
2 8 50 0 10( ) 38 100
1004
t t si tp t t si t
t
minus + le le= minus
gt
a) iquestA partir de queacute momento creceraacute este porcentaje Por mucho tiempo que pase iquesta queacute porcentaje no se llegaraacute nunca
b) Haz un esbozo de la graacutefica de la funcioacuten P a lo largo del tiempo 24 LA INFORMAacuteTICA COMO RECURSO
La informaacutetica vista como recurso y no como fin contribuye en la ensentildeanza de la Matemaacutetica a una reconceptualizacioacuten de los planes y programas de estudio para pasar de un modelo masivo unidireccional centrado en el profesor a un modelo mas individualizado centrado en el estudiante
Esto facilita el desarrollo del pensamiento creador de los estudiantes ya que bull Las operaciones automaacuteticas los ayudan a realizar tareas
conceptuales maacutes importantes bull No tienen que ser necesariamente buenos algebraicamente para
dominar el pensamiento abstracto
bull Se le desarrollan gran cantidad de habilidades a traveacutes de la ejercitacioacuten
bull Se le facilita el trabajo independiente bull Pueden dar respuestas maacutes raacutepidas precisas y veraces a los
problemas de la especialidad que se le presenten en el transcurso de sus estudios
bull Tienen la posibilidad de dedicar maacutes tiempo a la modelacioacuten matemaacutetica y al anaacutelisis de la solucioacuten de los diversos problemas a resolver
El grupo experimental es de la Escuela de Ingenieriacutea Industrial y podemos decir que para ellos la computacioacuten no es una herramienta fundamental de trabajo para resolver problemas matemaacuteticos Aquiacute los estudiantes realizaraacuten acciones con la computadora que les reporten beneficios en ahorro de tiempo confiabilidad en los resultados matemaacuteticos ahorro de esfuerzo productividad etc En la competencia del siacutelabo se puede leer Interpreta formula y resuelve problemas de contexto real utilizando definiciones teacutecnicas y aplicaciones del caacutelculo Diferencial desarrollando comunicacioacuten investigacioacuten razonamiento y manifestando confianza flexibilidad y perseverancia De aquiacute se desprende la idea de utilizar programas en esta carrera especiacuteficamente ldquoDERIVErdquo Utilizando este paquete el estudiante puede resolver problemas de aplicacioacuten con mayor precisioacuten y rapidez obteniendo respuestas oacuteptimas y asiacute influir positivamente en la toma de decisiones Por esta razoacuten es necesario un replanteamiento en la ensentildeanza de la matemaacutetica donde lo primordial seraacute
1 Asimilacioacuten de conceptos y definiciones por parte de los estudiantes para aplicarlos a la modelacioacuten de problemas
2 Reduccioacuten sensible de los caacutelculos manuales en elementos del calculo diferencial lo que posibilita impartir mayor cantidad de conocimientos en menor tiempo
3 Elaboracioacuten de pruebas parciales y finales donde el estudiante modele problemas y luego los resuelva usando empleando DERIVE
Esto no significa de ninguna manera que el estudiante no tenga que resolver ejercicios donde aplique los conocimientos adquiridos sin
usar la computacioacuten Pues si lo haraacute y un grado de complejidad donde no sea necesario el uso de los medios de computo En la vida praacutectica el ingeniero se encuentra con situaciones problema inherente a su campo de accioacuten algunas de las cuales pueden ser modeladas con ayuda de un software matemaacutetico Dado un problema se debe 1 Analizarlo profundamente con la finalidad de recoger la mayor cantidad de informacioacuten posible 2 Hacer el planteamiento del problema en cuestioacuten teniendo en cuenta el punto 1 3 Modelarla usando un modelo que se ajuste a la situacioacuten 4 Solucionarla Para ello se puede usar
- Tablas matemaacuteticas - Calculadoras de mano - Computadoras
5 Interpretar los resultados 6 Tomar una decisioacuten Como se puede observar faacutecilmente los puntos del 1 al 6 con excepcioacuten del 4 responden al pensamiento creador y el 4 corresponde al uso del computador De todas formas esto no resta importancia al creciente uso de la computacioacuten en la matemaacutetica Ambos aspectos estaacuten muy vinculados La computacioacuten como herramienta ahorra el tiempo que el estudiante puede utilizar sin liacutemites para desarrollar el pensamiento creador En general se han realizado varias actividades con el uso del ldquoDeriverdquo que han fortalecido el proceso de ensentildeanza-aprendizaje en la especialidad entre las cuales se pueden mencionar 1 Clases praacutecticas en el laboratorio de la Escuela donde la
profesora guiacutea el proceso 2 Clases praacutecticas donde soacutelo se modela el problema y el
estudiante lo resuelve en tiempo extra con la ayuda de la maacutequina
3 Tareas donde el estudiante se ve precisado a utilizar la maacutequina para obtener respuestas raacutepidas y eficientes
4 Tareas sistemaacuteticas de problemas de cierta complejidad los cuales se les hariacutea muy difiacutecil resolverlos manualmente
5 Pruebas integradoras de Matemaacutetica y Computacioacuten donde la matemaacutetica ofrece el modelo para resolverla y la computacioacuten ofrece el paquete para encontrar una solucioacuten oacuteptima
6 Talleres donde la solucioacuten de los problemas es con ayuda de la computadora En estos talleres se puede observar que el estudiante tiene la necesidad de aplicar conceptos estudiados en clases para modelar e interpretar los problemas que se le presentan que en ocasiones son de caraacutecter integrador pues tienen que aplicar conceptos matemaacuteticos como Liacutemite Derivada entre otros para modelar uno soacutelo de ellos por lo tanto el uso del Derive en este caso fue esencial y muy provechoso
241 EL SOFTWARE EDUCATIVO EN EL PROCESO DE
ENSENtildeANZA APRENDIZAJE
El efecto del uso de software educativos en el proceso de ensentildeanza aprendizaje se manifiesta en un cambio de paradigma pedagoacutegico centrado en el aprendizaje maacutes que en la ensentildeanza donde el trabajo del docente prioriza la organizacioacuten y disposicioacuten de los contenidos de aprendizaje asiacute como la organizacioacuten del aprendizaje de los alumnos mediante tareas individuales y en grupo con un permanente seguimiento por parte del docente Es un modelo de formacioacuten centrado en problemas en el que los alumnos no son receptores pasivos de informacioacuten sino que deben resolver problemas utilizando para ello los contenidos adquiridos El uso del software educativo haraacute de la clase un lugar privilegiado de ensentildeanza ya que se convertiraacute en un conjunto muacuteltiple de entornos en aprendizajes en los que el alumnado pueda desarrollar y adquirir el conjunto de habilidades saberes y actitudes necesarias para vivir en sociedad Este hecho conlleva la necesidad de generar nuevos saberes pedagoacutegicos en relacioacuten con la planificacioacuten y el seguimiento del aprendizaje del alumnado en situaciones diversas
242 LA INTRODUCCION DE SOFTWARE DE
MATEMATICA EN LA EDUCACION MATEMATICA
Uno de los propoacutesitos de la educacioacuten matemaacutetica es formar al estudiante para que adquiera fluidez representacional
entendida esta como la representacioacuten verbal graacutefica geomeacutetrica tabular icoacutenica algebraica pictoacuterica mediante la que exprese conceptos y procedimientos matemaacuteticos El aprendizaje significativo se da traveacutes de la solucioacuten de situaciones problema donde el estudiante aprende cuando domina diferentes sistemas de representacioacuten Hoy en diacutea las nuevas tecnologiacuteas han cambiado profundamente el mundo de las matemaacuteticas y el de las ciencias ya que no soacutelo han afectado las preocupaciones propias de su campo y la perspectiva como eacuteste se ve sino tambieacuten el modo en que las ciencias y las matemaacuteticas se hacen se ensentildean y se transmiten Como sentildeala Zabalza (2003) ldquoLa incorporacioacuten de las nuevas tecnologiacuteas a la didaacutectica universitaria situacutea a los docentes ante el enorme desafioacute de las nuevas modalidades de ensentildeanzardquo Introducir la tecnologiacutea en el campo de la educacioacuten definitivamente aumenta las posibilidades de mejorar el rendimiento acadeacutemico en particular en la educacioacuten matemaacutetica se incrementa la manera de representar los conceptos matemaacuteticos pero es necesario considerar que ello podriacutea incrementar el riesgo de los problemas de comunicacioacuten pues los alumnos podriacutean estar expuestos a tomar la notacioacuten del software que emplean como notacioacuten algebraica formal a pesar que se les pida que consideraran que cada software tienen diferentes maneras de expresar los conceptos matemaacuteticos parece que ayudariacutea que las notaciones que usa la tecnologiacutea se fueran ajustando maacutes a las usadas en el aacutelgebra Esto es un riesgo que vale la pena tomar en cuenta al momento de hacer nuestras programaciones y que no debe hacernos desistir de emplear este recurso para lograr los objetivos propuestos El Derive es una potente herramienta computacional para el desarrollo del pensamiento variacional pensamiento que estaacute relacionado con los demaacutes pensamientos matemaacuteticos permite al estudiante concentrar esfuerzos en el razonar solucionar y formular problemas asiacute como en verificar teoremas y propiedades matemaacuteticas y geomeacutetricas
243 EL PROGRAMA CIENTIacuteFICO DERIVE
DERIVE es un programa de matemaacuteticas capaz de procesar variables expresiones ecuaciones funciones vectores y matrices Al igual que una calculadora cientiacutefica sirve para trabajar con nuacutemeros Puede realizar caacutelculos numeacutericos y simboacutelicos con aacutelgebra trigonometriacutea y anaacutelisis ademaacutes de representaciones graacuteficas en dos y tres dimensiones El aspecto maacutes sobresaliente de Derive es su trabajo simboacutelico unido a sus capacidades graacuteficas Es una herramienta excelente para hacer y aplicar matemaacuteticas y para aprender y ensentildear matemaacuteticas Esto lo convierte en un paquete matemaacutetico idoacuteneo para los primeros cursos de la carrera DERIVE es uno de esos programas de caacutelculo simboacutelico quizaacute el maacutes difundido y popular porque en su modalidad maacutes sencilla funcionaba en cualquier PC sin necesidad de que tuviera disco duro y ocupaba soacutelo un diskette Hoy Derive sigue siendo un pequentildeo programa que ocupa poco maacutes de 3 Mb y que sigue siendo muy accesible e intuitivo
244 CAPACIDADES DEL PROGRAMA DERIVE
Conocer las capacidades del programa nos serviraacute para pensar en sus aplicaciones docentes Cuanto mejor se conozca el programa incluyendo sus novedades tanto mejor se puede incorporar a diversos aspectos de la ensentildeanza Derive como una herramienta computacional permite bull La construccioacuten exploracioacuten manipulacioacuten directa y
dinaacutemica de objetos en pantalla que conducen en un nivel bajo a la elaboracioacuten de conjeturas en un nivel medio a la argumentacioacuten y un nivel superior a la realizacioacuten de demostraciones
bull Las representaciones cuantitativas geomeacutetricas tabulares algebraicas y graacuteficas en forma dinaacutemica es decir que al variar un elemento o argumento en la expresioacuten original se produce una variacioacuten de dependencia entre las variables posibilitando asiacute el anaacutelisis y la generalizacioacuten de conceptos
bull La representacioacuten graacutefica en dos y tres dimensiones dando la posibilidad de realizar transformaciones y de asociar figuras con objetos fiacutesicos para pasar a un nivel de conceptualizacioacuten maacutes elevado
bull Problematizar lo visual de tal forma que surja la necesidad de examinar conjeturar predecir y verificar es decir da al estudiante la posibilidad de pensar y de preguntar sobre el porque de determinados hechos llevaacutendolo a la exploracioacuten de otras situaciones
bull La correlacioacuten de lo geomeacutetrico con lo algebraico
En el plan de Estudios de las asignaturas de Loacutegico Matemaacutetica Matemaacutetica I y Matemaacutetica II de la Universidad Cesar Vallejo se desarrollan temas en los cuales el uso de derive seria de mucha ayuda desde este punto puedo mencionar que derive permite trabajar bull Operaciones con vectores matrices y determinantes bull Resolucioacuten de ecuaciones y de sistemas de ecuaciones bull Calculo de Liacutemites derivadas integrales (definidas e
indefinidas) series liacutemites polinomios de Taylor bull Representacioacuten graacutefica de funciones en forma expliacutecita
impliacutecita parameacutetrica y en coordenadas polares Asiacute como la representacioacuten de funciones de dos variable
bull Operaciones con polinomios y fracciones algebraicas y muchas otras
bull Ademaacutes es posible programar funciones que usen las distintas capacidades del programa de modo que aumenta asiacute sensiblemente el espectro de sus aplicaciones DERIVE se suministra con varios ficheros de funciones para propoacutesitos diversos como resolver ecuaciones diferenciales trabajar en Aacutelgebra Lineal etc
245 LABORATORIOS PARA EL APRENDIZAJE DEL
CALCULO DIFERENCIAL EMPLEANDO DERIVE
El contenido de las praacutecticas de laboratorio es ldquoautosuficienterdquo en el sentido que no son precisos conocimientos previos de informaacutetica por parte del alumno
CAPIacuteTULO III
METODOLOGIacuteA DE LA INVESTIGACIOacuteN
31 PARADIGMA DE INVESTIGACIOacuteN
El paradigma de esta investigacioacuten es de tipo positivista tambieacuten denominado (Arnal 1996) paradigma cuantitativo empiacuterico-analiacutetico racionalista Basado en la escuela filosoacutefica del positivismo (Arnal 1996) y que presenta Arnal (199641) citando a Koetting (1994 296) las siguientes caracteriacutesticas 1 Su intereacutes es explicar controlar y predecir 2 La naturaleza de su realidad es dada tangible fragmentada
convergente 3 La relacioacuten sujetoobjeto es independiente neutral libre de
valores 4 Su propoacutesito es la generalizacioacuten libre de contexto con
explicaciones centradas en deducciones y centradas sobre semejanzas
5 la explicacioacuten de la causalidad refiera a causas reales Arnal (1996 41) nos dice ldquoEste paradigma lleva asociado el peligro de reduccionismo al aplicarse al aacutembito educativo Si bien permite satisfacer ciertos criterios de rigor metodoloacutegico sacrifica el estudio de otras dimensiones sustantivas del hecho educativo como realidad humana sociocultural e incluso poliacutetica e ideoloacutegicardquo
32 TIPO DE INVESTIGACIOacuteN
Positivista ndash experimental 33 POBLACIOacuteN
Poblacioacuten Los alumnos de la asignatura de Matemaacutetica I de la Universidad Ceacutesar Vallejo durante el segundo semestre 2006 Son en total 46 alumnos Se tomaraacute en cuenta el promedio final al terminar cada ciclo Semestre 2006 ndash II
34 HIPOacuteTESIS ESTADIacuteSTICAS
0 M MH micro micro= (Hipoacutetesis Nula)
1 M MH micro microne (Hipoacutetesis de la investigacioacuten) Donde
Mmicro Nota promedio de los alumnos de la asignatura de Matemaacutetica I Seccioacuten A aula 412 del semestre 2006 II que emplearon el software DERIVE
Mmicro Nota promedio de los alumnos de la asignatura de Matemaacutetica I Seccioacuten B aula 413 del semestre 2006 II que no que emplearon el software DERIVE
35 VARIABLES
Variable Independiente Programa DERIVE Variable Dependiente Rendimiento acadeacutemico de los alumnos Variables Intervinientes Asistencia a clases horarios tipo de contenidos
36 DISENtildeO DE INVESTIGACIOacuteN
El presente trabajo de investigacioacuten se desarrollaraacute en los ambientes de la Universidad Cesar Vallejo en la Escuela de Ingenieriacutea Industrial y de Sistemas en la asignatura de Matemaacutetica I Ademaacutes se emplearaacute el laboratorio de coacutemputo 305 donde se ha instalado el software DERIVE
El disentildeo empleado es de tipo experimental Hernaacutendez Sampieri (2003 188) nos dice ldquoLa esencia de esta concepcioacuten de ldquoexperimentordquo es que requiere la manipulacioacuten intencional de una accioacuten para analizar sus posibles efectosrdquo Bajo esta idea se tiene la presencia de dos variables una independiente la cual consiste en el uso del software DERIVE como recurso didaacutectico para mejorar el rendimiento acadeacutemico de los alumnos de Ingenieriacutea de Sistemas y la otra llamada dependiente que en este caso es el rendimiento acadeacutemico El disentildeo implica ademaacutes la presencia de dos grupos de los cuales soacutelo uno seraacute expuesto a la presencia de la variable independiente a este grupo le llamaremos grupo experimental y estaraacute formado por los alumnos de la Escuela de Ingenieriacutea Industrial (aula 412) el otro recibiraacute el nombre de grupo de control y lo conformaraacute los alumnos de la Escuela de Ingenieriacutea Sistemas (Aula 413) Al finalizar el proceso de investigacioacuten se compararaacuten ambos para determinar si el grupo que ha sido expuesto a la variable independiente difiere del otro Basada en la tipologiacutea de Cambell y Stanley (1966) empleareacute la simbologiacutea de un disentildeo cuasiexperimental con una preprueba - posprueba y grupo de control siendo el esquema el siguiente
1 1 2
2 3 4
0 0
0 _ 0
G X
G
Para el caso de este trabajo el resultado de la preprueba consiste en el promedio de la primera unidad ya que la investigacioacuten se realizaraacute en la segunda unidad del curso de manera que las notas de la primera unidad seraacuten de importancia en el inicio de esta investigacioacuten
37 TEacuteCNICAS E INSTRUMENTOS DE RECOLECCIOacuteN DE
DATOS
En los estudios experimeacutentales la teacutecnica se encuentra limitada al procedimiento para desarrollar una actividad especiacutefica y los instrumentos son las herramientas que serviraacuten para manipular el objeto de estudio La teacutecnica consiste en el desarrollo de sesiones de laboratorio usando el software DERIVE las cuales se realizaraacuten dentro de la
jornada de clases debo indicar que las clases son una vez a la semana en bloque de 5 horas iniciaacutendose a las 730 am y finalizando a las 1200 am contando con un descanso de 20 minutos a las 1000 am Cada sesioacuten con el grupo experimental seraacute trabajado en el laboratorio de computo el cual esta totalmente equipado para realizar la clase y los alumnos contaran con una guiacutea de trabajo la misma que se les entregaraacute al empezar la clase en el laboratorio Todas las guiacuteas de trabajo se encuentran en el Anexo 3 En el caso del grupo de control no hay asistencia al laboratorio los alumnos trabajaraacuten siempre en el aula y la clase se desarrollara empleando la clase magistral y el trabajo en pareja o en grupo Para la recoleccioacuten de datos he empleado praacutecticas calificadas las cuales disentildeeacute basaacutendome en la taxonomiacutea de Bloom mencionada anteriormente en el Capiacutetulo II del fundamento teoacuterico y cuyas tablas de especificaciones se encuentran en el Anexo 5 aquiacute se pueden apreciar en detalle las habilidades cognitivas y los ejes temaacuteticos que se ha evaluado asiacute como el nuacutemero de preguntas por eje temaacutetico y habilidad que se intenta evaluar luego las practicas calificadas estaacuten se encuentran en el Anexo 6
38 TEacuteCNICAS DE PROCESAMIENTO DE DATOS
Para la seleccioacuten de la teacutecnica para la prueba de hipoacutetesis se utilizaraacute la ldquo t ndashstudentrdquo
( )1 21 22 2
1 2
2p p
x xt t n n
s sn n
minus= asymp + minus
+
Donde 1n es el tamantildeo de muestra de la primera poblacioacuten 2n es el tamantildeo de muestra de la segunda poblacioacuten
11
1
n
ii
xx
n==sum
Media muestral para la muestra nuacutemero 1
12
2
n
ii
xx
n==sum
Media muestral para la muestra nuacutemero 2
( ) ( )2 21 1 2 22
1 2
1 12p
n s n ss
n nminus + minus
=+ minus
Donde
La varianza muestral de la muestra 1 es ( )
12
12 11
1 1
n
ii
x xs
n=
minus
=minus
sum
La varianza muestral de la muestra 2 es ( )
22
22 12
2 1
n
ii
x xs
n=
minus
=minus
sum
39 PROCESO DE LA INVESTIGACIOacuteN
391 DIFICULTADES EN EL APRENDIZAJE DEL CAacuteLCULO DIFERENCIAL
Para este trabajo de investigacioacuten he tomado dos grupos uno corresponde a la Escuela de Ingenieriacutea Industrial al que llamareacute Grupo Experimental y el otro corresponde a la Escuela de Ingenieriacutea de Sistemas al que llamareacute Grupo de Control Es importante que mencione que aun cuando los dos grupos corresponden al segundo ciclo y esta asignatura sea igual para ambas escuelas sus planes de estudio no son los mismos Una dificultad que presentan los alumnos se encuentra en la base de los contenidos que traen consigo realizan algunos errores al emplear fundamentos algebraicos lo cual es necesario para el trabajo con funciones liacutemites y derivadas esto no me permite desarrollar los contenidos de acuerdo a las fechas que se programan en el siacutelabo y por lo general debe reprogramar mis clases o trabajar algunas horas aparte de las asignadas al menos en la primera parte del curso donde se trabaja mucho con funciones y sus graacuteficas
392 RENDIMIENTO ACADEacuteMICO
Respecto al rendimiento acadeacutemico considero necesario presentar en el Anexo 2 el registro de evaluaciones de la primera unidad donde se puede apreciar el rendimiento de los alumnos El grupo de Ingenieriacutea de Sistemas consta de los 32 alumnos de los cuales siete se han retirado del curso reservando su matriacutecula En el grupo de Ingenieriacutea Industrial consta de 19 alumnos de los cuales solo una alumna se retiro del curso Este antildeo es el primero para la escuela de Ingenieriacutea Industrial en la filial de Piura este grupo corresponde a la primera promocioacuten menciono esto porque es la primera vez que dicto el curso para alumnos de esta especialidad
393 PROPUESTA DIDAacuteCTICA
1 TEMA Caacutelculo Diferencial 2 TIEMPO 4 semanas 3 Nordm DE HORAS SEMANALES 5 horas 4 COMPETENCIA Interpreta formula analiza y resuelve problemas de
contexto real utilizando definiciones teacutecnicas y aplicaciones del Caacutelculo Diferencial desarrollando comunicacioacuten investigacioacuten razonamiento y manifestando confianza flexibilidad y perseverancia
5 CAPACIDADES bull Refuerza empleando DERIVE el tema de Razoacuten de
Cambio en una funcioacuten bull Utiliza el software para visualizar y estudiar a traveacutes
de un pequentildeo programa el problema de la Recta Tangente
bull Observa analiza e interpreta el comportamiento de las funciones y sus derivadas a traveacutes de graacuteficas elaboradas en DERIVE
bull Resuelve problemas de aplicacioacuten de la derivada (Maacuteximos y Miacutenimos) al estudio de problemas naturales econoacutemicos sociales y tecnoloacutegicos
bull Desarrollar la capacidad de anaacutelisis criacutetico de las informaciones recibidas
6 ACTITUDES
bull Valora la importancia de la precisioacuten en el trabajo de programacioacuten
bull Demuestra seguridad orden y claridad en su trabajo bull Manifiesta la importancia de la derivada para
explicar y analizar el comportamiento de un fenoacutemeno
7 METODOLOGIacuteA DE LAS SESIONES DE CLASE La metodologiacutea consiste en explicar el fundamento teoacuterico empleando diversos recursos como diapositivas pizarra ndash plumoacuten proyector multimedia y paralelamente trabajar el laboratorio Al planificar estas sesiones se tendraacute en cuenta la competencia y las capacidades que se espera desarrollar en los alumnos Se ha insistido en la necesidad de lograr que el alumno realice un aprendizaje significativo y desempentildee un rol activo para lo cual utilizaremos guiacuteas de trabajo para el tratamiento de los contenidos programados asiacute como hojas de Evaluacioacuten de Laboratorio
8 RECURSOS HUMANOS bull Profesora de Matemaacuteticas bull Grupo Experimental Alumnos del segundo ciclo
de la Escuela de Ingenieriacutea Industrial bull Grupo de Control Alumnos del segundo ciclo de
la Escuela de Ingenieriacutea de Sistemas 9 MATERIALES
bull Centro de Coacutemputo bull Guiacuteas de Trabajo bull Hojas de Evaluacioacuten
10 PLANES DE CLASE Elaborar un plan de clase se ha convertido en una tarea importante al momento de planificar nuestras asignaturas hemos recibido algunos cursos de capacitacioacuten con la finalidad de que todos los docentes podamos manejar este instrumento que nos ayude a organizar mejor nuestro tiempo y a dosificar los
contenidos de acuerdo al tiempo establecido para cada uno de ellos en la programacioacuten oficial Manejamos el formato que presento en el Anexo 4 y en cada clase llevamos uno en nuestra carpeta docente Para este trabajo de investigacioacuten se elaboraron 4 planes de clase los cuales se pueden apreciar en el Anexo 4 Consideramos importante al momento de planificar una sesioacuten de clase conocer los diferentes tipos de actividades a desarrollar los cuales son la parte medular de la clase y los procedimientos a utilizar en cada una de ellas En nuestros planes de clase consideramos las siguientes actividades bull Actividades Iniciales
Preparan el ambiente para el aprendizaje y estimulan el intereacutes por los nuevos contenidos y facilitan su relacioacuten con los conocimientos previos de los estudiantes Tienen como propoacutesito captar la atencioacuten de los alumnos hacia las principales ideas estudiadas Se utiliza como introduccioacuten donde se sentildealan los aspectos a estudiar para despertar el intereacutes de los alumnos por el tema y desarrollar una buena disposicioacuten por temas subsiguientes Tambieacuten puede incluir una evaluacioacuten previa o diagnoacutestica del conocimiento actual las actitudes y niveles de destreza de los alumnos En este mismo sentido se puede plantear una secuencia de experiencias de aprendizajes puede incluir diferentes tipos de actividades entre las cuales se encuentran las Actividades Introductorias o de Exploracioacuten Evidencian diagnoacutestico introduccioacuten o
descubrimiento Son orientadoras Despiertan el intereacutes y la motivacioacuten A continuacioacuten se ofrecen algunos ejemplos de actividades iniciales Hacer una encuesta de las actitudes de los alumnos hacia un tema determinado y colocar los resultados en el pizarroacuten
Mostrar una peliacutecula de corto metraje Pedir a los estudiantes que entrevisten a personas que laboran en una empresa acerca del tema estudiado y discutan sus hallazgos en clase Sostener una discusioacuten en clase que muestre la forma en que se relacionan las experiencias actuales de los alumnos con lo que va a ser estudiado
bull Actividades de Proceso
Dan secuencia a las estrategias y teacutecnicas de aprendizaje para lograr los objetivos propuestos Son las estrategias de aprendizaje y teacutecnicas que ayudan a los estudiantes a extender su pensamiento acerca de un problema o tema y practicar sus destrezas recieacuten aprendidas Estas son el corazoacuten de la Unidad y ocupan la mayor parte del tiempo y la energiacutea de los estudiantes Aquiacute podemos hablar de actividades de desarrollo anaacutelisis y estudio las cuales son actividades destinadas a desarrollar diferentes aspectos del contenido para el logro de los objetivos Incluyen actividades de estudio y ejercitacioacuten Dentro de eacutesta clasificacioacuten se encuentran tambieacuten las denominadas por Taba actividades de generalizacioacuten que incluyen actividades que permiten generalizar o reconstruir lo aprendido Ejemplos de actividades de Desarrollo Solicitar a los estudiantes elaboren mapas
tablas graacuteficas modelos o secuencias cronoloacutegicas
Asignar actividades de redaccioacuten de resentildeas de libros temas cartas o informes de investigacioacuten
Invitar a especialistas sobre el tema a dar una charla
Solicitar a los estudiantes que recaben su propia informacioacuten a traveacutes de entrevistas o cuestionarios
Utilizar peliacuteculas diapositivas transparencias u otros materiales visuales
Organizar grupos pequentildeos de trabajo para que los estudiantes compartan informacioacuten Mostrar a los estudiantes la forma de desarrollar habilidades especiacuteficas y proveer actividades para la praacutectica
bull Actividades Finales Agregan y relacionan las Unidades de Aprendizaje con otras experiencias educativas y aplicaciones a situaciones nuevas Estas actividades favorecen la integracioacuten con resuacutemenes que ayuden a los estudiantes a identificar las ideas maacutes importantes de la Unidad Una actividad de culminacioacuten tambieacuten podriacutea brindar la oportunidad para que los alumnos practiquen o utilicen de forma conjunta los conocimientos habilidades y actitudes desarrolladas en unidades anteriores Aquiacute podemos mencionar a las actividades de aplicacioacuten resumen o culminacioacuten que son aquellas que propician la aplicacioacuten de lo aprendido y sirven para medir o evaluar el nivel de logro Algunos ejemplos de actividades de culminacioacuten
son Planear una puesta en comuacuten para que los estudiantes resuman lo que han aprendido en la Unidad Estimular a los estudiantes a realizar un proyecto que deacute respuesta a problemas particulares de una empresa de su trabajo o de su comunidad Producir material audiovisual presentacioacuten de grabaciones transparencias o cintas de viacutedeo en clase
11 CRITERIOS DE EVALUACIOacuteN Los criterios de evaluacioacuten corresponden a la Taxonomiacutea de Bloom seguacuten la cual se evaluacutea de acuerdo a los criterios de conocimiento comprensioacuten
aplicacioacuten anaacutelisis siacutentesis y evaluacioacuten Asiacute en las evaluaciones presentadas en el Anexo 5 presentamos las tablas de especificaciones de acuerdo a esta taxonomiacutea y a los ejes temaacuteticos que se desarrollaron en cada sesioacuten de clase y en el Anexo 6 se muestran los instrumentos de evaluacioacuten donde se ha tenido el cuidado necesario en la redaccioacuten de cada iacutetem a fin de que logre medir las capacidades sentildealadas en los planes de clase y este de acuerdo a los criterios fijados en la tabla de especificaciones
12 METODOLOGIA DE CLASE
En cuanto a la metodologiacutea indicamos que se trabaja por bloques de cinco horas pedagoacutegicas con un descanso de 20 minutos Las clases se dictan una vez a la semana y se inicia en el turno de la mantildeana de 730am hasta las 1000am en que se da lugar al descanso de veinte minutos para retomar a las 1020am y terminar a las 1200 am Debido a la jornada de trabajo que se tiene es que el eacutexito de una sesioacuten de clases depende en parte de la habilidad del docente para programar su clase haciendo un buen uso del tiempo a fin de hacer de su clase una jornada de trabajo productivo con los alumnos Generalmente distribuyo mi tiempo entre exposicioacuten los contenidos y resolucioacuten de ejercicios en la pizarra tambieacuten invito a los alumnos a participar resolviendo algunos ejercicios y problemas para luego explicar lo que han trabajado a sus compantildeeros Otras de las estrategias empleadas es la solucioacuten de Trabajos Praacutectico en clase y de forma grupal despueacutes de ello siempre se presentan las soluciones a todo el grupo He dejado un trabajo encargados en la primera unidad que mas que ser un trabajo de investigacioacuten de alguacuten contenido matemaacutetico se refirioacute a la lectura de la novela ldquoCriacutemenes Imperceptiblesrdquo de Guillermo Martiacutenez Matemaacutetico y escritor argentino esta novela posee un contenido matemaacutetico y en su momento
sirvioacute para reconocer que en las matemaacuteticas no todo es solucioacuten de ejercicios y problemas Con el grupo experimental trabajeacute sesiones de laboratorio incluidas dentro de las horas de clase PRIMERA CLASE
Esta es la primera clase sobre Derivadas con el grupo de control aquiacute el desarrollo de la clase se hace siguiendo el meacutetodo de la clase magistral en la cual muestro a los alumnos el concepto de razoacuten de cambio con ayuda de diapositivas y graacuteficos elaborados en la pizarra es importante mencionar que toda la informacioacuten ellos la tienen presente en una separata disentildeada para esta clase y entregada para esa sesioacuten
Luego de la explicacioacuten en la cual los alumnos
intervienen con sus preguntas se procede a trabajar por parejas en la solucioacuten del primer trabajo praacutectico que aparece en la separata para esto se asigna a cada pareja formada un problema un tiempo de 15rsquo para resolverlo y entregarlo para su posterior correccioacuten en plenaria A continuacioacuten los alumnos exponen la solucioacuten de los 4 problemas en la pizarra
Luego empleando nuevamente el meacutetodo expositivo dando lugar a las preguntas de los alumnos y haciendo a la vez algunas interrogantes para comprobar su comprensioacuten presente los contenidos referidos a a) Razoacuten de cambio y el problema de la recta tangente a una curva b) Definicioacuten de derivada c) Presentacioacuten de graacuteficos de funciones y sus derivadas Resolvimos algunos ejercicios de los trabajos praacutecticos Nordm2 y Nordm3 en la pizarra y los demaacutes quedaron para trabajar en casa La solucioacuten de dichos ejercicios seria expuesta en la siguiente clase de forma voluntaria
Para la sesioacuten con el grupo experimental la clase se desarrollo con un inicio similar a la clase del grupo
de control mostrando las diapositivas y trabajando con ellos trabajando con ellos sobre la ideas de Razoacuten de cambio Recta tangente a una curva caacutelculo de la derivada de una funcioacuten empleando la definiciones De los Trabajos Praacutecticos Nordm1 Nordm2 y Nordm3 resolviacute en la pizarra algunos ejercicios quedando los otros como trabajo para la siguiente clase Para la sesioacuten de laboratorio prepare una guiacutea de trabajo la cual estaacute dividida en dos temas los cuales se denominan bull Razoacuten de cambio y problema de la recta tangente bull Caacutelculo y grafica de la derivada de una funcioacuten Esta guiacutea de trabajo usa el programa DERIVE y pretende reforzar los conocimientos adquiridos en las clases acerca de los temas de razoacuten de cambio recta secante y tangente a una curva ademaacutes del caacutelculo de la derivada empleando la definicioacuten y el uso de los comandos Lim (liacutemite) y DIF (derivada) propios de DERIVE Considero importante comentar que el uso de programa permitioacute a los alumnos recordar la teoriacutea de graacutefico de funciones estudiada en la primera unidad la cual les sirvioacute de base para comprender el comportamiento de las graacuteficas de las funciones y sus derivadas ademaacutes se dieron indicaciones sobre el uso de sentencias loacutegica como IF ndash THEN para elaborar pequentildeos programas usando DERIVE pues una de las tareas era elaborar un pequentildeo programa que les permitiera ingresar una funcioacuten y un intervalo y que de como resultado la grafica de todas las rectas secantes en un intervalo establecido hasta llegar a la tangente en un punto extremo del intervalo o en cualquier punto del mismo SEGUNDA CLASE
Con el grupo de control el meacutetodo empleado es deductivo las estrategias para el desarrollo de la clase se combinaron entre la exposicioacuten y participacioacuten activa de los alumnos para tratar de deducir algunos conceptos o ideas y luego a traveacutes de la solucioacuten de
ejercicios reforzar los conocimientos Los ejercicios se trabajan en parejas Se presentoacute las primeras reglas de derivacioacuten y luego se resolvieron ejercicios de caacutelculo de derivadas empleando las reglas Ademaacutes de calcular derivadas de orden superior Se continuoacute con el anaacutelisis de las derivadas de algunas funciones sencillas por la facilidad para realizar sus graacuteficas A los alumnos se les dejoacute como tarea la solucioacuten de los trabajos praacutecticos Nordm 4 Con respecto al grupo experimental se presentaron los mismos contenidos y en la parte del laboratorio sirvioacute baacutesicamente para trabajar el anaacutelisis graacutefico de funciones y adelantando un poco gracias el manejo del programa calculamos no solo la primera sino tambieacuten las segundas terceras entre otras derivadas de algunas funciones El trabajar con las graacuteficas de la primera y segunda derivada permitioacute a los alumnos ir teniendo ideas sobre la relacioacuten entre la derivada de una funcioacuten y su graacutefica lo cual seraacute el tema de la siguiente sesioacuten Asiacute mismo recordamos conceptos estudiados en la primera parte del curso como son el de funcioacuten creciente y decreciente ademaacutes de relacionar los signos de la derivada para comprobar que una funcioacuten sea o no creciente TERCERA CLASE
Esta clase tanto para el grupo de control como para el grupo experimental es la misma no incluye el desarrollo de un laboratorio para el grupo experimental y la razoacuten es porque en esta sesioacuten se concluye con la presentacioacuten de todas las reglas de derivacioacuten se trabajaron los temas de derivadas de funciones trigonomeacutetricas sus inversas exponenciales y logariacutetmicas Ademaacutes regla de cadena funciones impliacutecitas derivadas de orden superior
Esta clase tiene la mayor parte del tiempo destinada a la praacutectica en clase pues los ejercicios que
se plantean tienen como finalidad que el alumno aprenda a distinguir las reglas de derivacioacuten y sobre todo reconozca cuando emplearlas
CUARTA CLASE
Con ambos grupos se trabajaron los temas de Regla de LrsquoHospital y aplicaciones de las Derivadas el caacutelculo de Maacuteximos y Miacutenimos de una funcioacuten en el caso del grupo de control se invierte el tiempo en resolver ejercicios y problemas de forma individual grupal y en presentar la solucioacuten de los problemas en la pizarra
Con el grupo experimental si hubo laboratorio aquiacute se presentan problemas diversos de aplicacioacuten para encontrar maacuteximos y miacutenimos de funciones que quizaacutes manualmente seriacutea laboriosos derivar pero con ayuda de programa podemos hacerlo de forma inmediata dando asiacute el tiempo necesario para trabajar la interpretacioacuten de resultados y el anaacutelisis e maacuteximos y miacutenimos
En cuanto a la evaluacioacuten debo indicar que durante el tiempo que duro la experiencia se aplicaron 3 praacutecticas calificadas y un examen parcial Entonces los alumnos presentan en esta segunda unidad tres notas de praacutectica maacutes la calificacioacuten del examen parcial
13 LA EVALUACION
Al finalizar las praacutecticas con DERIVE se realizoacute un examen para evaluar los conocimientos adquiridos por los estudiantes Estos exaacutemenes fueron tres y contando con el examen parcial se pudo obtener el promedio de la segunda unidad en la asignatura
Para la realizacioacuten de los exaacutemenes y con la finalidad de que no haya diferencia en las evaluaciones se aplico el mismo examen ademaacutes fueron aplicados en un horario fuera de las horas de clase y a los dos grupos por igual y al mismo tiempo
Las praacutecticas calificadas se elaboraron de acuerdo a la tabla de especificaciones y la taxonomiacutea de Bloom La prueba tiene una duracioacuten de dos horas
El construir la tabla de especificaciones me sirvioacute para un mayor orden al momento de elaborar el banco de reactivos que evalueacute en cada uno de los temas seguacuten la importancia y el tiempo que se le dedicaron en clase
Para desarrollar esta tabla fue necesario tener en
cuenta
a) La lista de temas desarrollados b) La lista de capacidades especificas que marco cada
tema c) Una revisioacuten previa de todo el contenido Tomeacute en cuenta los niveles taxonoacutemicos de Bloom 1 Conocimiento 2 Comprensioacuten 3 Aplicacioacuten 4 Anaacutelisis - Siacutentesis ndash Evaluacioacuten
Con respecto al porcentaje este fue asignado seguacuten la importancia de los contenidos Las tablas de especificaciones para las tres praacutecticas calificadas asiacute como algunas notas sobre la taxonomiacutea de Bloom se encuentran en Anexo 5
CAPIacuteTULO IV
ANAacuteLISIS E INTERPRETACIOacuteN DE RESULTADOS
41 ANAacuteLISIS ESTADIacuteSTICO
421 RESULTADOS DEL RENDIMIENTO ACADEacuteMICO DE LOS GRUPOS EXPERIMENTAL Y DE CONTROL
El grupo Experimental inicio el semestre acadeacutemico con 19 alumnos El nuacutemero de alumnos es muy pequentildeo y me atrevo a suponer se deba al hecho de ser una especialidad nueva en la Universidad esto en comparacioacuten a la especialidad de Ingenieriacutea de Sistemas de tiene mayor tiempo Del grupo de Control que inicio el semestre con 19 alumnos el alumno 6 se retiro en la segunda unidad por problemas de salud El nuacutemero de alumnos registrados en el grupo de Control es de 32 De los 32 alumnos registrados se retiraron 7 cinco de ellos se retiraron desde la primera unidad y los otros dos en la segunda unidad Las razones del retiro de la asignatura de estos alumnos fueron de caraacutecter econoacutemico y en otros por motivos familiares y de salud
Observemos las calificaciones del promedio de la segunda unidad en ambos grupos
CALIFICACIONES DE LA SEGUNDA UNIDAD
GRUPO EXPERIMENTAL
Tabla 6
R E G I S T R O D E A S I S T E N C I A Y E V A L U A C I Oacute N
Semestre 2006 II Seccioacuten A Escuela Ingenieriacutea Industrial Aula 412
Asignatura Matemaacutetica I
Profesora Lic Diana Quintana S
E v a l u a c i o n e s 2ordm U n i d a d
Prom Ex Prom NF NP Observaciones
Nordm Apellidos y Nombres
Prac
tica
Nordm 1
Prac
tica
Nordm 2
Prac
tica
Nordm 3
Fina
l
2 Sust 2
1 Alumno 1 11 8 9 9 92 2 Alumno 2 18 17 18 20 186 3 Alumno 3 19 18 18 20 19 4 Alumno 4 13 13 12 14 132 5 Alumno 5 15 17 15 15 154 6 Alumno 6 0 0 0 0 0 Retirado 7 Alumno 7 14 9 12 12 118 8 Alumno 8 14 13 13 14 136 9 Alumno 9 12 13 10 13 122
10 Alumno 10 14 11 15 13 132 11 Alumno 11 16 18 15 15 158 12 Alumno 12 10 14 11 11 114 13 Alumno 13 8 7 7 7 72 14 Alumno 14 16 14 12 14 14 15 Alumno 15 13 12 12 14 13 16 Alumno 16 11 10 10 12 11 17 Alumno 17 11 12 11 9 104 18 Alumno 18 9 8 7 11 92 19 Alumno 19 18 13 8 17 146 20
CALIFICACIONES DE LA SEGUNDA UNIDAD
R E G I S T R O D E A S I S T E N C I A Y E V A L U A C I Oacute N
GRUPO DE CONTROL
Semestre 2006 II Seccioacuten B Escuela Ingenieriacutea de Sistemas Aula 413
Asignatura Matemaacutetica I Profesora Lic Diana Quintana S
E v a l u a c i o n e s 2ordm U n i d a d Prom Ex Prom NF NP Observaciones
Nordm Apellidos y Nombres
Prac
tica
Nordm1
Prac
tica
Nordm2
Prac
tica
Nordm3
Fina
l
2 Sust 2
1 Alumno 1 Retirado 2 Alumno 2 5 8 10 11 9 3 Alumno 3 14 6 5 10 9 4 Alumno 4 14 12 13 12 126 5 Alumno 5 0 11 5 13 84 6 Alumno 6 14 18 18 16 164 7 Alumno 7 14 15 12 13 134 8 Alumno 8 0 10 6 11 76 9 Alumno 9 0 10 6 12 8
10 Alumno 10 Retirada 11 Alumno 11 14 10 6 12 108 12 Alumno 12 14 8 6 11 10 13 Alumno 13 11 11 10 7 92 14 Alumno 14 13 10 6 10 98 15 Alumno 15 14 7 6 12 102 16 Alumno 16 12 11 13 8 104 17 Alumno 17 14 12 7 12 114 18 Alumno 18 18 18 20 18 184 19 Alumno 19 Retirada 20 Alumno 20 14 10 12 11 116 21 Alumno 21 14 10 6 11 104 22 Alumno 22 14 13 12 13 13 23 Alumno 23 Retirado 24 Alumno 24 8 20 11 11 122 25 Alumno 25 Retirado 26 Alumno 26 14 16 7 11 118
Tabla 7
Despueacutes de finalizada la investigacioacuten el grupo experimental resulto con el mayor nuacutemero de
alumnos aprobados lo cual me permite conjeturar que hipoacutetesis de la investigacioacuten si se ha logrado Pero se necesitan pruebas concretas por lo cual he empleado el software STATGRAPHICS para procesar los resultados obtenidos y de esta manera tener una mayor certeza de mis suposiciones
42 ANAacuteLISIS INFERENCIAL
421 COMPARACIOacuteN DE MEDIAS
Una medida estadiacutestica de tendencia central se utiliza para indicar un valor que tiende a tipificar o a ser el maacutes representativo de un conjunto de nuacutemeros La media es una medida de tendencia central y se define como
DEFINICIOacuteN
27 Alumno 27 14 20 5 12 126 28 Alumno 28 13 0 7 11 84 30 Alumno 29 Retirado 31 Alumno 30 14 15 9 12 124 32 Alumno 31 Retirado 33 Alumno 32 14 12 12 11 12 34
Media Aritmeacutetica La media aritmeacutetica es a veces denominada simplemente media es la suma de los valores observados de la variable dividido por el nuacutemero de observaciones
(Coacuterdova 1995 31)
Dados n valores 1 2 nx x x de la variable cuantitativa X observados en una muestra su media aritmeacutetica se calcula
utilizando la expresioacuten
n
ii
xx
n=sum
422 TABLAS DE FRECUENCIA DEL PRE TEST Y POST TEST
Presento los resultados de las pruebas Pre Test y Post Test para el grupo Experimental
RESULTADOS PRE TEST Y POST TEST
GRUPO EXPERIMENTAL
Tabla 8
Del total de 19 alumnos inscritos los cuales representan el 100 hubieron 12 desaprobados que en porcentaje representan el 632 Eacuteste porcentaje es mayor que en el otro grupo lo cual me hace decidir por este grupo de alumnos para que sea el grupo experimental Los resultados de las pruebas Pre Test y Post Test para el grupo de control son
RESULTADOS PRE TEST Y POST TEST
GRUPO DE CONTROL
Nordm Apellidos y Nombres Pre Test Post Test 1 Alumno 1 98 92 2 Alumno 2 14 186 3 Alumno 3 136 19 4 Alumno 4 102 132 5 Alumno 5 132 154 6 Alumno 6 54 RETIRADA 7 Alumno 7 10 118 8 Alumno 8 88 136 9 Alumno 9 84 122 10 Alumno 10 124 132 11 Alumno 11 13 158 12 Alumno 12 92 114 13 Alumno 13 62 72 14 Alumno 14 116 14 15 Alumno 15 102 13 16 Alumno 16 88 11 17 Alumno 17 08 104 18 Alumno 18 82 92 19 Alumno 19 114 146 Nordm Apellidos y Nombres Pre Test Post Test 1 Alumno 1 RETIRADO 2 Alumno 2 9 9 3 Alumno 3 88 9
Tabla 9
Del total de 27
alumnos inscritos los cuales representan el 100 hubieron 16 desaprobados que en porcentaje representan el 593
4 Alumno 4 136 126 5 Alumno 5 96 84 6 Alumno 6 146 164 7 Alumno 7 138 134 8 Alumno 8 74 76 9 Alumno 9 86 8 10 Alumno 10 RETIRADO 11 Alumno 11 87 108 12 Alumno 12 86 10 13 Alumno 13 86 92 14 Alumno 14 84 98 15 Alumno 15 84 102 16 Alumno 16 82 104 17 Alumno 17 11 114 18 Alumno 18 174 184 19 Alumno 19 RETIRADO 20 Alumno 20 86 116 21 Alumno 21 7 104 22 Alumno 22 122 13 23 Alumno 23 80 RETIRADO 24 Alumno 24 108 122 25 Alumno 25 8 RETIRADO 26 Alumno 26 11 118 27 Alumno 27 138 126 28 Alumno 28 8 84 29 Alumno 29 RETIRADO 30 Alumno 30 108 124 31 Alumno 31 RETIRADO 32 Alumno 32 108 12
423 RESULTADOS DEL PRE TEST ndash POST TEST CONSIDERANDO LA COMPARACIOacuteN DE MEDIAS Y LA PRUEBA t- STUDENT
Recordemos que en nuestra investigacioacuten manejamos dos hipoacutetesis estadiacutesticas las cuales son
HIPOacuteTESIS ESTADIacuteSTICAS
0 M MH micro micro= (Hipoacutetesis Nula)
1 M MH micro microne (Hipoacutetesis de la investigacioacuten o Hipoacutetesis Alternativa)
Donde
Mmicro Nota promedio de los alumnos de la asignatura de Matemaacutetica I Seccioacuten A aula 412 del semestre 2006 II que emplearon el software DERIVE
Mmicro Nota promedio de los alumnos de la asignatura de
Matemaacutetica I Seccioacuten B aula 413 del semestre 2006 II que no que emplearon el software DERIVE
Los resultados del Pre Test son las notas obtenidas en la primera unidad durante las primeras 7 semanas de clase siendo octava semana donde se realizan las evaluaciones parciales Para obtener la nota de la primera unidad los alumnos deben presentar tres praacutecticas calificadas y un examen parcial de estas notas se obtiene un promedio ponderado donde el examen parcial tiene peso 2 y las praacutecticas calificadas tienen peso 1 En cuanto a los resultados del Post Test estos son los promedios de la segunda unidad que corresponden a las siete siguientes semanas pues en la octava semana de esta segunda Unidad se aplican los exaacutemenes finales luego el promedio de ambas notas daraacute la nota del curso En ambos grupos los resultados de Pre Test se obtuvieron aplicando las mismas estrategias ya que hasta ese momento no se habiacutea iniciado la parte aplicativa de la investigacioacuten
Las evaluaciones fueron disentildeadas considerando la taxonomia de Bloom Asiacute encontraremos en ellas preguntas de conocimiento comprensioacuten aplicacioacuten anaacutelisis siacutentesis y evaluacioacuten Las praacutecticas calificadas se encuentran en los anexos A continuacioacuten presento los resultados Pre Test y Post Test tanto del grupo experimental como del grupo de control indicando que ambos grupos fueron sometidos a las mismas practicas calificadas en el mismo horario el cual estuvo programado fuera de las horas de clase semanales
RESULTADOS DE PRUEBAS PRE TEST EN LOS GRUPOS
EXPERIMENTAL Y DE CONTROL
RESUMEN ESTADIacuteSTICO
EXPERIMENTAL CONTROL ---------------------------------------------------------------------- Frecuencia 18 25 Media 107333 10156 Varianza 409412 69284 Desviacioacuten tiacutepica 202339 263219 Coef de variacioacuten 188515 259175 ----------------------------------------------------------------------
Suponiendo varianzas iguales t = 0778652 P-Valor = 0440656
Tabla 10
En el cuadro Nordm 1 se puede observar que la nota promedio en el grupo de Experimental en la evaluacioacuten Pre- Test fue de 107333 y para el grupo de Control la evaluacioacuten Pre-Test fue de 10156 lo cual indica que no existe una gran diferencia entre las notas de ambos grupos Despueacutes de aplicar la prueba ldquotrdquo Student se encontroacute que el valor experimental fue de 0778652 un valor de p=0440656 lo cual indica que no existe mayor diferencia entre las medias del rendimiento de ambos grupos
RESULTADOS DE PRUEBAS POST TEST EN LOS GRUPOS
EXPERIMENTAL Y DE CONTROL
RESUMEN ESTADIacuteSTICO
EXPERIMENTAL CONTROL ---------------------------------------------------------------------- Frecuencia 18 25 Media 129333 1116 Varianza 957647 637 Desviacioacuten tiacutepica 309459 252389 Coef de variacioacuten 239272 226155 ----------------------------------------------------------------------
Suponiendo varianzas iguales t = 206743 P-Valor = 00450448
Tabla 11 En el cuadro Nordm 2 se puede observar que la nota promedio en el grupo de Experimental en la evaluacioacuten Post- Test fue de 129333 y para el grupo de Control la evaluacioacuten Post-Test
fue de 1116 lo cual indica que existe diferencia entre las notas de ambos grupos Despueacutes de aplicar la prueba ldquotrdquo Student se encontroacute que el valor experimental fue de 206743 un valor de p=00450448 y puesto que el p-valor calculado es inferior a 005 podemos rechazar la hipoacutetesis nula a favor de la hipoacutetesis alternativa
424 ACEPTACIOacuteN O RECHAZO DE LA HIPOacuteTESIS
NULA Y ALTERNATIVA
Observados los resultados de la evaluacioacuten y su proceso a traveacutes del software STATGRAPHICS se resuelve rechazar la hipoacutetesis nula a favor de la hipoacutetesis alternativa
43 DISCUCIOacuteN DE LOS RESULTADOS
Con respecto a la discusioacuten de los resultados quisiera empezar indicando Esta investigacioacuten se ha centrado en la parte del Calculo Diferencial y cuando la empezamos partimos de una primera preocupacioacuten la cual era que los alumnos muchas veces no comprenden totalmente la definicioacuten de derivada En ella se mencionan varios objetos matemaacuteticos como funcioacuten razoacuten de cambio instantaacutenea liacutemite entre otros que estaacuten impliacutecitos o que van saliendo a la luz cuando se recurre por ejemplo a la interpretacioacuten geomeacutetrica como es el caso de graacutefica de funciones y el de pendiente de recta Ademaacutes se observar que los alumnos auacuten tienen cierta inseguridad para manejar estos objetos pesar de que han sido trabajados en temas preliminares al caacutelculo diferencial las dudas con frecuencia son acerca de coacutemo interpretarlos o si son uacutetiles para alguna tarea en especiacutefico Asiacute que un primer trabajo es recordar los conceptos preliminares mencionados y un recurso para tal fin fue el examen parcial que rindieron una semana antes a la ejecucioacuten de esta investigacioacuten En la praacutectica docente siempre me habiacutea sucedido que al momento de dar la definicioacuten de derivada y ayudaacutendome de algunos grafico ilustrativos quedaban dudas en algunos estudiante de manera que penseacute que trabajando con Derive podriacutea
solucionar este problema pues podiacutea graficar todo tipo de funciones y aunque solo necesitaba conocer instrucciones sobre el programa luego graficar no seriacutea un gran problema por el contrario comenzaron a graficar diferentes tipos de funciones con lo que conseguiacute ahorra el tiempo que demandariacutea graficar manualmente e invertirlo en analizar el comportamiento de grafico de las misma Los alumnos aclararon dudas de manteniacutea de los temas anteriores como por ejemplo el comportamiento de las graficas cuando estaacuten cerca de sus asiacutentotas contrastaron los dominios verdaderos con los que ellos en alguacuten momento habiacutean supuesto entre otras conjeturas Con ayuda de DERIVE pude lograr que visualizaran por ejemplo la razoacuten de cambio en un intervalo y la razoacuten de cambio instantaacutenea las relacionaran y diferenciaran Logrado lo anterior se sigue con la interpretacioacuten geomeacutetrica de la derivada y que se asocia con el problemas de la recta tangente DERIVE facilita no solo la parte graacutefica sino tambieacuten algebraica por cuanto en algunos casos haya que hacer alguna redefinicioacuten de la funcioacuten y sabiendo que se puede determinar una razoacuten de cambio en cada punto de la curva faacutecilmente se puede entender que esa razoacuten de cambio sea la pendiente de la recta tangente a cualquier punto de la curva de modo que ahora es posible hallar la ecuacioacuten de una recta que sea tangente en cualquier punto de la curva A modo de una aplicacioacuten se comprueba para otras funciones y resolver problemas en otros contextos ajenos a geomeacutetrico DERIVE con su comando DIF permite encontrar la derivada de cualquier orden de una funcioacuten esto no se oculto a los alumnos pero se indico que era preferible que ellos supieran la reglas de derivacioacuten y las aplicaran correctamente Considero que al poder visualizar la graacutefica de la derivada de una funcioacuten los alumnos comprendieron mejor lo que en teoriacutea se dice acerca de que la derivada de una funcioacuten es otra funcioacuten hicieron comparacioacuten de las graacuteficas de funciones y graacuteficas de sus primeras y segundas derivadas Otro logro obtenido se refiere a la parte conceptual de las aplicaciones de la derivada hallar maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de funciones saber en queacute intervalos en creciente decreciente o constante Sin derive solo analizaacutebamos funciones
sencillas pues teniacuteamos que graficar esto tomaba tiempo asiacute que lograacutebamos unos 3 ejemplos a lo maacutes Con DERIVE ahorraacutebamos el tiempo que demanda graficar y derivar y lo invertiacuteamos en analizar la funcioacuten pues con soacutelo ver la graacutefica sabiacuteamos si ella tiene maacuteximos yo miacutenimos punto de inflexioacuten y determinar cuaacutendo es creciente decreciente o constante pero con la ventana algebraica podiacuteamos derivar y determinar con exactitud donde se encontraban dichos puntos Finalmente mencionado la teoriacutea de registros se les hizo maacutes faacutecil la tarea de pasar de un registro semioacutetico a otro pues teniacutean herramientas para ello y creo que eso contribuyoacute a conceptualizar mejor los contenidos ya que como plantea en su teoriacutea Raymond Duval si no conoce al menos dos formas distintas de expresar o representar un contenido matemaacutetico formas a las que eacutel llama ldquoRegistro de Representacionesrdquo y ldquoRegistros Semioacuteticosrdquo no parece posible aprender y comprender dicho contenido Como ejemplo indico que al ser la derivada en un punto un valor numeacuterico se deja de lado que es tambieacuten una funcioacuten entonces se confunde un objeto matemaacutetico que en este caso es la funcioacuten derivada con una de sus representaciones que viene a ser en esta caso el nuacutemero esta confusioacuten entre un objeto y su representacioacuten en un plazo maacutes o menos amplia provocaba una peacuterdida de la comprensioacuten A esto es necesario antildeadir el hecho de que la pluralidad de sistemas semioacuteticos permite una diversificacioacuten tal de las representaciones de un mismo objeto que aumenta las capacidades cognitivas de los sujetos y por tanto sus representaciones mentales De las clases de laboratorio especiacuteficamente de los diaacutelogos que sostuvimos durante las clases pude comprobar que en ellos trasladar un registros no es algo espontaacuteneamente Y que el pensamiento de un alumno puede movilizar un solo registro de representacioacuten a la vez En este caso hemos manejado en la parte conceptual y la parte practica tres tipos de registros el graacutefico algebraico y la lengua natural
CONCLUSIONES
1 De acuerdo a los resultados obtenidos a traveacutes de las praacutecticas
calificadas administradas suponiendo medias iguales empleando la t- estudent se determina que el programa DERIVE es eficiente en el proceso de ensentildeanza- aprendizaje del Caacutelculo Diferencial
2 De las referencias bibliograacuteficas revisadas en el presente trabajo
en relacioacuten a la definicioacuten de Derivada (N Piskunov 1973 68 Spivak 1967 201 Purcell 2003 107) se concluye en una definicioacuten a mi consideracioacuten maacutes didaacutectica para los alumnos que abarca todos los aportes de cada una de las definiciones leiacutedas y el uso de una notacioacuten maacutes manejable
3 Se logro disentildear y presentar una propuesta metodoloacutegica compuesta por un moacutedulo de trabajo guiacuteas y actividades de laboratorio que fueron aplicadas al grupo experimental y que permitieron mejorar las calificaciones de los alumnos
4 El uso del DERIVE como recurso en las clases de Caacutelculo
Diferencial permitioacute motivar en los alumnos el desarrollo de capacidades como las de observar discernir analizar e interpretar
5 El alumno tiene la disposicioacuten de aprender soacutelo aquello que le
encuentra sentido o loacutegica Por ello el autentico aprendizaje es el aprendizaje significativo Cualquier otro seriacutea puramente mecaacutenico coyuntural o memoriacutestico Ademaacutes este trabajo significativo puede ser estimulado con las tecnologiacuteas de informacioacuten y comunicacioacuten tales como el programa DERIVE
6 Es importante sentildealar que la clase magistral sigue siendo
importante y por tanto nada puede reemplazar al profesor pero el uso de alguacuten recurso tecnoloacutegico tal como el que se propone complementariacutea esta labor ya que se le pueden presentar al alumno situaciones (didaacutecticas) no puramente algebraicas sino tambieacuten intuitivas graacuteficas numeacutericas por lo cual lo aprendido se vea fortalecido
7 el utilizar simultaacuteneamente diferentes representaciones favorece
el establecimiento de conexiones entre ellas siendo estas conexiones las que marcan las diferentes etapas del aprendizaje de los estudiantes Aquiacute es donde el programa DERIVE juega un papel importante debido a su potencia visual que ayuda a la formacioacuten y transformacioacuten de intuiciones y a la creacioacuten de imaacutegenes del concepto y debido tambieacuten a la facilidad para realizar caacutelculos eximiendo al estudiante de esta tediosa labor De esta forma el estudiante puede concentrarse en la exploracioacuten y discusioacuten de los conceptos Los errores cometidos por los estudiantes sirven para acrecentar su aprendizaje y completar asiacute sus imaacutegenes del concepto
RECOMENDACIONES
1
Desde el punto de vista institucional la creacioacuten de una red de investigacioacuten y desarrollo es de fundamental importancia pues mejora la comunicacioacuten la sinergia la discusioacuten y aumenta la cantidad de profesores que pueden provocar el cambio de ensentildeanza lo cual implica un mayor impacto del Proyecto en la Universidad Se sigue la tendencia universal de no realizar investigaciones en grupos reducidos y aislados sino de compartir experiencias aumentar la masa criacutetica de investigadores y aprender de la sinergia creada
2 Desde el punto de vista metodoloacutegico se propone pasar de la forma claacutesica de la ensentildeanza de la matemaacutetica con tiza y pizarra a una forma efectiva dinaacutemica y multimedial de adquirir los conceptos matemaacuteticos baacutesicos Se incorporan procesos de
caacutelculo y de representacioacuten graacutefica maacutes veloces y maacutes precisos que la operatoria personal Se libera al docente y al alumno de tareas no auteacutenticas para hacer hincapieacute en la reflexioacuten y buacutesqueda de otros procedimientos de resolucioacuten de problemas Se busca aplicar un procedimiento que provea un resultado aventajado en calidad y eficiencia que el que puede proveer el profesor con soacutelo tiza y pizarra La metodologiacutea propuesta permite acercarse maacutes a la realidad de los conceptos baacutesicos matemaacuteticos abstractos por su naturaleza a traveacutes de la visualizacioacuten interactiva y la experimentacioacuten con diferentes objetos matemaacuteticos datos con caracteriacutesticas determinadas
3 De acuerdo al os puntos anteriores desde el punto de vista del
aprendizaje se logra a) Una mejor aprehensioacuten de conceptos para su aplicacioacuten en la
resolucioacuten de problemas utilizando Sistemas Exploratorios de Aprendizaje
b) Una mejor aprehensioacuten de los conceptos por medio de los sistemas graacuteficos provistos por los Sistemas de Computacioacuten Algebraica (visualizacioacuten objetivacioacuten interactividad del software numeacuterico y simboacutelico)
c) En los alumnos la promocioacuten de la actitud y aptitud para conjeturar y desarrollar el sentido criacutetico y la reflexioacuten
d) El reconocimiento experimentacioacuten y aplicacioacuten de modelos matemaacuteticos
e) El experimentar conjeturar y descubrir propiedades sobre objetos matemaacuteticos mediante problemas asegura el intereacutes y compromiso del alumno
Las actividades que se realizaron en el laboratorio se presentan en el Anexo son tres y corresponden a los temas de 1 Definicioacuten de Derivada Razoacuten de Cambio y Problema de
la recta tangente 2 Anaacutelisis graacutefico de funciones y sus derivadas
3 Criterio de la primera y segunda derivada para hallar
maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten asiacute como los puntos de inflexioacuten
4 Resolucioacuten de Problemas de Maacuteximos y Miacutenimos
La finalidad de trabajar el tema de Derivadas es que los alumnos manipulen la definicioacuten que emplee el programa para experimentar usando diferentes funciones la variacioacuten de la razoacuten de cambio en intervalos de diferente amplitud La ayuda que brinda el programa es que grafica cualquier funcioacuten y realiza los caacutelculos de forma inmediata de esta manera los alumnos pueden analizar el comportamiento de las funciones y concentrar mayor atencioacuten en la variaciones de las razones de cambio a lo largo de toda la curva Es necesario resaltar que dado que el programa esta disentildeado para realizar graficas los alumnos dispondraacuten de mayor tiempo para hacer el anaacutelisis del comportamiento de la funcioacuten estudiando su variacioacuten sus maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten asiacute mismo conociendo la interpretacioacuten que reciben estos contenidos matemaacuteticos en los diferentes campos de aplicacioacuten Los laboratorios se pueden encontrar en el anexo de este trabajo
BIBLIOGRAFIacuteA
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2 Calero Perez Mavilo (1998) Hacia la excelencia de la
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8 Helfgott M (1998) Historia y Pedagogiacutea de la Matemaacutetica Editorial Hozlo SRL Lima
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10 Lages Lima E Pinto Carvalho P (2000) La Matemaacutetica de la Ensentildeanza Media Editorial Hozlo SRL Lima
11 Latorre A Del Rincoacuten D Y Arnal J (1997) Bases
Metodoloacutegicas de la Investigacioacuten Educativa Hurtado Ediciones Barcelona Espantildea
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15 Piskunov N (1973) Caacutelculo Diferencial e Integral Montaner y
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16 Purcell E Varberg D Rigdon S(2003) Caacutelculo Diferencial e Integral Editorial Pearson Meacutexico
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19 Spivack M (1992) Calculus Editorial Reverteacute SA Barcelona
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20 Sullivan M (1997) Precaacutelculo PrenticendashHall Hispanoamericana S A Meacutexico
21 Tan S (1998) Matemaacutetica para Administracioacuten y Economiacutea
Editorial Thomson
22 Toranzos F(1963) Ensentildeanza de la Matemaacutetica Editorial Kapelusz
23 Wenzelburger Elfriede(1993) Didaacutectica del Caacutelculo
Diferencial Grupo Editorial Iberoameacuterica
24 Zabalza M (2003) Competencias docentes del profesorado universitario Calidad y desarrollo profesional Narcea SA de Ediciones Madrid Espantildea
ANEXO 1
SILABO DE LA ASIGNATURA
UNIVERSIDAD CEacuteSAR VALLEJO ndash PIURA
FACULTAD DE INGENIERIacuteA ESCUELA DE INGENIERIacuteA DE SISTEMAS Y
ESCUELA DE INGENIERIacuteA INDUSTRIAL
SIacuteLABO DE MATEMATICA I
1 DATOS GENERALES Coacutedigo del curso HT 32 Aacuterea curricular Formacioacuten Baacutesica Ciclo II Semestre Acadeacutemico 2006-II Duracioacuten 16 Semanas Pre-Requisito Loacutegico Matemaacutetica Creacuteditos 5 Horas Semanales 05 (03 de Teoriacutea 02 de Praacutectica) Docente Lic Diana J Quintana de Mejiacutea Correo electroacutenico dianaquintanaucvedupe
dianaquintana2hotmailcom
2 FUNDAMENTACIOacuteN El Desarrollo de esta asignatura pretende potenciar en el estudiante capacidades propias del aacuterea de Matemaacutetica como el razonamiento y demostracioacuten la interpretacioacuten de graacuteficos y expresiones simboacutelicas y la resolucioacuten de problemas Asiacute como presentar los medios necesarios para la adquisicioacuten de ciertas destrezas como anaacutelisis interpretacioacuten y aplicacioacuten de fundamentos teoacutericos Finalmente el logro de los objetivos de esta asignatura se veraacute reflejado y podraacute ser evaluado en la eficiencia que demuestren los alumnos al resolver situaciones reales
3 COMPETENCIAS
31 Representa y modela a traveacutes de foacutermulas algebraicas las funciones elementales aplicadas a situaciones de la vida cotidiana fenoacutemenos fiacutesicos quiacutemicos econoacutemicos y tecnoloacutegicos reconociendo la relacioacuten entre el lenguaje graacutefico y el numeacuterico para una mejor comprensioacuten de la realidad
32 Resuelve problemas aplicando concepto de liacutemite y continuidad para el estudio de fenoacutemenos naturales presentados en diversos problemas demostrando precisioacuten en los resultados
33 Interpreta formula y resuelve problemas de contexto real utilizando definiciones teacutecnicas y aplicaciones del caacutelculo Diferencial desarrollando comunicacioacuten investigacioacuten
razonamiento y manifestando confianza flexibilidad y perseverancia
4 PROGRAMACIOacuteN ACADEacuteMICA
41 PRIMERA UNIDAD FUNCIONES Y LIMITES
CAPACIDADES
1 Comprende el concepto de funcioacuten reconoce las clases de funciones
2 Grafica adecuadamente funciones reconociendo sus caracteriacutesticas como parte de la resolucioacuten de problemas de aplicacioacuten
3 Emplea procedimientos analiacuteticos y experimentales para generar modelos que expresen situaciones reales interpretando finalmente sus graficas
4 Entiende intuitivamente la nocioacuten de liacutemites 5 Calcula liacutemites laterales finitos e infinitos
ACTITUDES 1 Demuestra precisioacuten orden y claridad en el tratamiento de
datos 2 Valora la importancia de las funciones en el anaacutelisis de
situaciones reales 3 Reconoce la importancia del concepto de liacutemite en el anaacutelisis
de hechos naturales fiacutesicos econoacutemicos y tecnoloacutegicos
COMPORTAMIENTOS OBSERVABLES 1 Desarrolla su trabajo de manera clara y ordenada demostrando
precisioacuten en sus respuestas 2 Realiza comentarios sobre la importancia de las funciones en la
comprensioacuten y anaacutelisis de hechos naturales econoacutemicos fiacutesicos tecnoloacutegicos etc
3 Manifiesta verbalmente la importancia del concepto de liacutemite para una mejor comprensioacuten de la realidad
NIVELES MIacuteNIMOS DE LOGROS 1 Al menos conoce y emplea tres tipos de funciones importantes en La solucioacuten de problemas
2 Dada una situacioacuten real explica si esta puede ser modelada por Una funcioacuten 3 Resuelve al menos tres liacutemites de mediana complejidad
CONTENIDOS
SEMANA CONTENIDOS FECHA
01
bull Funciones definicioacuten dominio y rango bull Clases de Funciones
Polinoacutemicas Racionales bull Lectura
httpaulaelmundoesaulalaminasnumeropdf
bull Trabajo Individual bull Lectura ldquoLos criacutemenes Imperceptiblesrdquo
Guillermo Martiacutenez
Del 4 al 8 de Sept
02
bull Graficas de Funciones con asiacutentotas funcioacuten exponencial y Logariacutetmica
bull Laboratorio Nordm 1 bull Grafico de funciones con valor absoluto bull Presentacioacuten de investigacioacuten sobre la
lectura
Del 11 al 15 de Sept
03
bull Grafica de funciones polinoacutemicas bull Funcioacuten Signo y Mayor entero Ejercicios bull Teacutecnicas de graficacioacuten bull Presentacioacuten de solucioacuten de problemas
sobre funciones bull Informe sobre novela
Del 18 al 22 de Sept
04
bull Aplicaciones de las Funciones bull Laboratorio Nordm 2 bull Evaluacioacuten de Funciones (parte teoacuterica) bull Trabajo Individual
Del 25 al 29 de Sept
05 bull Evaluacioacuten de Funciones (parte praacutectica) bull Laboratorio Nordm 3
Del 2 al 6 de Oct
06 bull Liacutemites Liacutemite Finito- Teoremas bull Caacutelculo de Liacutemites
Del 9 al 13 de Oct
07 bull Praacutectica de caacutelculo de liacutemites bull Laboratorio Nordm 4
Del 16 al 20 de Oct
08 Examen parcial Del 23 al 27 de Oct
42 SEGUNDA UNIDAD CONTINUIDAD Y DERIVADAS
CAPACIDADES
1 Entiende el concepto de continuidad y clasifica los tipos de continuidad
2 Aplicas las propiedades fundamentales de las funciones continuas a la solucioacuten de problemas reales
3 Utiliza correctamente las foacutermulas de derivacioacuten 4 Aplica el caacutelculo diferencial al estudio de fenoacutemenos naturales
econoacutemicos sociales y tecnoloacutegicos ACTITUDES
1 Valora de manera criacutetica la importancia de la exactitud y orden
en el caacutelculo de liacutemites analizando la continuidad en algunos casos
2 Demuestra precisioacuten orden y claridad en sus caacutelculos 3 Aplica los conceptos a hechos reales y concretos
COMPORTAMIENTOS OBSERVABLES
1 Trabaja de manera ordenada y exacta en los momentos correspondientes a praacutecticas y exaacutemenes
2 Manifiesta la importancia de la derivada para explicar y analizar hechos reales en las diferentes aacutereas
NIVELES MIacuteNIMOS DE LOGROS 1 Aplica a situaciones reales el concepto de liacutemite y de
continuidad 2 Dado el graacutefico de una funcioacuten explica con sus propias palabras
el concepto de derivada puntual utilizando argumentos geomeacutetricos
3 Dada una funcioacuten halla la derivada utilizando reglas de derivacioacuten
4 Emplea derivadas para calcular maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten
CONTENIDOS
SEMANA CONTENIDOS FECHA
09 bull Liacutemite al Infinito
Del 30 de Oct Al 3 de
bull Liacutemites de funciones Trigonomeacutetricas bull Taller de ejercicios
Nov
10
bull Evaluacioacuten del tema anterior bull Continuidad y Discontinuidad removible
de una funcioacuten
Del 6 al 10 de Nov
11
bull Evaluacioacuten de Continuidad bull Trabajo en aula sobre problemas de
liacutemites
Del 13 al 17 de Nov
12
La Derivada bull Razoacuten de cambio promedio e
instantaacutenea bull Taller de ejercicios bull Laboratorio Nordm2
Del 20 al 24 de Nov
13
bull Definicioacuten e Interpretacioacuten Geomeacutetrica bull Reglas de derivacioacuten bull Regla de la Cadena bull Evaluacioacuten
Del 27 de Nov Al 1 de Dic
14
bull Derivada de una funcioacuten impliacutecita bull Derivada de orden superior bull Laboratorio Nordm 3
Del 4 al 8 de Dic
15
bull Regla de Hrsquoospital bull Aplicacioacuten de la derivada Maacuteximos y
miacutenimos de una funcioacuten bull Laboratorio Nordm 4 bull Evaluacioacuten
Del 11 al 15 de Dic
16 Examen final Del 18 al 22 de Dic
5 ESTRATEGIAS METODOLOacuteGICAS Uso de metodologiacutea activa empleando principalmente los meacutetodos 1 Magistral 2 Trabajo Autoacutenomo de los alumnos (Investigacioacuten Individual) 3 Trabajo de grupo 4 Expositiva - Interactiva 5 Experimental 6 Debate
7 Demostracioacuten
6 MEDIOS Y MATERIALES
1 Software matemaacutetico DERIVE 2 Texto de biblioteca 3 Separata resumen 4 Direcciones electroacutenicas 5 Ejercicios Aplicacioacuten 6 Casos 7 Presentacioacuten multimedia
7 EVALUACIOacuteN
71 CRITERIOS DE EVALUACIOacuteN
El Promedio Final (PF) del curso seraacute obtenido de la siguiente manera PU1+PU2 PF = 2 Siendo PU1 y PU2
los promedios de la primera y segunda unidad de aprendizaje respectivamente El promedio de cada unidad de aprendizaje se calcula como
PC+TI+CL+LB+2EP PU1 6
=
Donde PC+TI+CL+LB Son los Promedios de praacutecticas calificadas
Trabajo de Investigacioacuten control de lectura laboratorios
EP Examen parcial
La nota se consideraraacute con un decimal en los promedios parcial y final La nota miacutenima aprobatoria es 105 y se redondearaacute al entero inferior o superior seguacuten corresponda
72 CONDICIONES DE EVALUACIOacuteN
El 30 de inasistencias INHABILITA del curso
La justificacioacuten de una inasistencia seraacute uacutenicamente con certificado meacutedico
8 CRONOGRAMA ACADEMICO
UNIDAD ACTIVIDADES FECHA
Primera Inicio del Ciclo Examen Parcial
4 de Septiembre de 2006 23 al 28 de Octubre
Segunda Examen Final Teacutermino del Ciclo Exaacutemenes Extemporaacuteneos
Del 18 al 22 de Diciembre 23 de Diciembre
9 REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
LIBROS EN BIBLIOTECA DE LA UNIVERSIDAD CEacuteSAR VALLEJO
1 AUDRY SANCHEZ Javier Caacutelculo Diferencial e Integral Trillas (
MAT- 01768 ) 2 ESPINOZA RAMOS Eduardo Anaacutelisis Matemaacutetico para Ingenieros
Impreso en Peruacute2002 723pg 3 FILLOY YAGUE Eugenio Geometriacutea Analiacutetica Iberoamericana (
MAT-0532 )
4 GROSSMAN Stanley Algebra Lineal Mc Graw- Hill Edicioacuten 1996 Meacutexico ( MAT- 558 )
5 LEITHOLD Louis El Caacutelculo Oxford University Meacutexico 1996 (
MAT- 0545 )
6 PURCELL Edwin Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica Prentice Hispanoamericana Meacutexico 1993( MAT- 0542)
7 SMITH Robert Caacutelculo Mc Graw- Hill Interamericana Colombia 2001 Tomo I y II ( MAT- 0547 ) Y ( MAT-0548 )
ANEXO 2
REGISTRO DE EVALUACIONES
8 STEWART JAMES Caacutelculo Diferencial e Integral Thomson 1989 ( MAT- 02796 )
9 TOMAS George E Caacutelculo Infinitesimal y Geometriacutea Analiacutetica
Aguilar 1989 ( MAT- 01119 )
LIBROS DE PROPIEDAD DEL DOCENTE
1 AYRES Frank Caacutelculo Diferencial e Integral McGraw-Hill1992
2 DEMIDOVICH B Problemas de Anaacutelisis Matemaacutetico MIR Moscuacute 1981
3 HASSER Norman et al Anaacutelisis Matemaacutetico Trillas 1985 Meacutexico
810pg
4 KITCHEN Joseph Caacutelculo McGraw-Hill1992 Espantildea 863pg
5 KONG Maynard Caacutelculo Diferencial Pontificia Universidad Catoacutelica del Peruacute 1995 Peruacute548 pg
6 LAZARO CARRIOacuteN Moiseacutes Caacutelculo Diferencial Moshera SRL
Peruacute 225 pg
7 MONTOYA VALDERRAMA Manuel Liacutemites Continuidad y Derivadas
8 PISKUNOV N Caacutelculo Diferencial e Integral Montaner y Simon
SA Barcelona19731019pg
9 PURCELL Edwin J et al Caacutelculo Diferencial e Integral Pearson 2003 Meacutexico480 pg
PAacuteGINAS WEB (No menor de 5 y pertinentes al curso) httpwwwdivulgamatcom httpwwwsectormatematicaclcontenidoshtm httpwwwedutekaorg httpwwweswikipediaorg
ANEXO 3
GUIAS METODOLOGICAS APLICANDO EL SOFTWARE DERIVE
APRENDIENDO CALCULO DIFERENCIAL CON DERIVE
SESION Nordm 1
TEMA RAZON DE CAMBIO Y PROBLEMA DE LA RECTA
TANGENTE CAPACIDAD Emplea definicioacuten de razoacuten de cambio para
resolver ejercicios sobre recta tangente
A RAZON DE CAMBIO
Empezaremos por trabajar el concepto matemaacutetico fundamental del caacutelculo sobre el cual se sustenta la teoriacutea de derivadas Este es Razoacuten de Cambio media Recordemos que Hoffmann (1985 Paacuteg 82) la define de la siguiente manera
Consideraremos la segunda definicioacuten de la separata por cuanto es maacutes directa en el anaacutelisis de los cambios o variaciones Ahora sigamos las instrucciones siguientes bull Utilice DERIVE para ingresar la funcioacuten 2( ) 6 2f x x x= minus + y estudiar
sus caracteriacutesticas bull Una vez definida ( )f x construya otra funcioacuten que calcule la Razoacuten de
Cambio Media o Razoacuten de Cambio Promedio de ( )f x para el intervalo [ ]a b
( ) ( )( ) f b f aRCP a bb aminus
=minus
( ) ( ) ( ) ( ) ( )RCP a b f b f a b a= minus minus bull Para probar su funcionamiento encuentre la razoacuten de cambio en el intervalo
[ ]0 3 (03)RCP
bull Halla la RCP de ( )f x en los intervalos [1 2] [1 3] [1 4] [1 11] [1 101]
bull Considera tambieacuten la misma expresioacuten para hallar la RCP en funcioacuten de un valor x a= y un incremento h
( ) ( )( ) f x h f xRCP x hh
+ minus=
( ) ( ) ( ) ( ) RCP x h f x h f x h= + minus
Razoacuten de Cambio Media Suponga que y es una funcioacuten de x ( )y f x= correspondiendo a un cambio de x a x x+ ∆ la variable y
cambia en una cantidad ( ) ( )y f x x f x∆ = + ∆ minus Asiacute el cociente de diferencias
( ) ( )Cambio de x x f x x f xCambio de y y x
∆ + ∆ minus= =∆ ∆
Representa la razoacuten de cambio de y con respecto a x (Hoffmann 1985 82)
bull Halla la RCP de ( )f x en los intervalos para los valores de a) 2x = con un incremento de 4 b) 2x = con un incremento de 3 c) 2x = con un incremento de 2 d) 2x = con un incremento de 1
EJERCICIOS
1 RAZONAMIENTO GRAacuteFICO Utiliza DERIVE para graficar la funcioacuten razoacuten de cambio de 3 2( ) 2 1f x x x= + minus y su funcioacuten razoacuten de cambio
( 001) ( )( )
001f x f xg x + minus
= en una misma ventana Calcule algunos
valores empleando la opcioacuten vector 2 Halla la RCP de la funcioacuten 2( ) ln(( 1) ( 3))f x x x= minus minus + en los
intervalos [556] [ 546] [ 536] [ 526] [ 516] 3 Halla el liacutemite cuando h rarr 0 de ( ( ) ( )) f x h f x h+ minus en la pregunta
anterior Para ello situacutea el cursor sobre dicho resultado para resaltarlo y
pulsa el icono
B RECTA TANGENTE 1 Elabore un programa que permita ingresar una funcioacuten un intervalo
[ ]a b y grafique las rectas secantes en ese intervalo hasta la recta tangente en el punto a Complete la hoja con los datos que vaya realizando Utilice la funcioacuten 3 2( ) 5 3 4f x x x x= minus + minus y el intervalo [ ]23
2 Una vez realizado el trabajo anterior comprueba que se obtiene la misma solucioacuten con el comando TANGENT ( )0 y x x que DERIVE proporciona
3 Ahora puedes resolver algunos problemas del Trabajo Practico Nordm 2 de tu separata empleando el comando TANGENT ( )0 y x x
4 Utiliza las formas equivalentes de la derivada (pag39) y resuelve algunos ejercicios empleando tus propias funciones y el comando derivada que te ofrece DERIVE asiacute podraacutes comprobar tus resultados
TEMA CAacuteLCULO Y GRAFICA DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIOacuteN
En esta parte de nuestro primer laboratorio vamos a ingresar diversas funciones calcularemos sus derivadas empleando la definicioacuten de derivada y empleando tambieacuten el comando DIF
1 Dada la funcioacuten 2 0
( ) 0
x xf x
x x le
= gt
bull Graficarla ademaacutes construir la funcioacuten derivada de dos formas la primera empleando definicioacuten de LIM((f(x+h)-f(x))h h 0 -1) para calcular la derivada por izquierda y LIM((f(x+h)-f(x))h h 0 1)para calcular la derivada por derecha y la segunda forma es empleando el comando DIF (f(x) x) que ofrece DERIVE
bull Observa las graficas de la funcioacuten y su derivada y responde a las
siguientes preguntas
iquestQueacute sucede con la derivada en el punto x=0 iquestQueacute representa la graacutefica de la funcioacuten derivada
2 Introduce la siguiente funcioacuten definida ldquoa trozosrdquo f(x)=IF(xlt4 x^2-5
2x+3)
bull Calcular las derivadas laterales en x = 4 bull Representa la funcioacuten f(x) Observa que se trata de una funcioacuten
continua pero no derivable bull Prueba con otras definiciones de f(x) y otros valores distintos de x = 4
3 Ingresa la funcioacuten 2 1 0
( )0 0
x sen xh x x
x
ne = =
y calcula su derivada en el
punto cero Ademaacutes elabora las graficas 4 Considera f(x)= 4-x^2 en x = 2 y halla las derivadas laterales iquestPuedes
explicar que ocurre 5 Considera tambieacuten f(x) = 1x en x = 0
CAPACIDAD Grafica funciones y encuentra su primera derivada empleando comando propios de DERIVE
6 Demostrar usando DERIVE que la funcioacuten 3 2 1cos 0
( )0 0
x xf x x
x
gt = le
es derivable en cero
7 Calcular y graficar las derivadas de las siguientes funciones empleando derive
a) 2
2( ) xf x sen
xsensenx
=
b) cos( )cos
senx xf xsenx x
minus=
+
c) 1( )2
f xa
x senx
=minus
+
d) 6 2( ) (1 cos 2 )f x x x= minus e) ( ) lnf x x=
APRENDIENDO CALCULO DIFERENCIAL CON DERIVE
SESION Nordm 2
C RELACION ENTRE LA GRAFICA DE UNA FUNCION Y SU
PRIMERA DERIVADA
PROBLEMA- (Caraacutecter creciente o decreciente de una funcioacuten) iquestPuede la primera derivada de una funcioacuten proporcionar informacioacuten acerca del caraacutecter creciente o decreciente de una funcioacuten ( )f x
Empezaremos recordando una serie de conceptos que debemos tener en cuenta para abordar esta sesioacuten
Se dice que una funcioacuten es positiva en la regioacuten en que su graacutefica se encuentra arriba del eje de las abscisas Asiacute use DERIVE y describa en que intervalos las siguientes funciones son positivas
o ( ) 3cosf x x= o ( ) 3 3f x x= minus o ( ) 8 4f x x= minus
o ( )2( ) 2 5f x x= + minus
CAPACIDAD Infiere mediante un anaacutelisis grafico las relaciones existentes entre la graacutefica de una funcioacuten y su primera derivada signo de la primera derivada asociado con crecimiento o decrecimiento de la funcioacuten y derivada nula con puntos criacuteticos
o ( )2( ) 3 2f x xminus minus +
Se dice que una funcioacuten es negativa en la regioacuten en que su grafica se encuentra abajo del eje de las abscisas Emplea DERIVE y describe en que intervalos la siguientes funciones son negativas
o ( ) 5 3f x x= minus
o ( ) 62xf x minus
= +
o 2( ) 4 4f x x x= + minus o 2( ) 6 9f x x x= minus + +
Una funcioacuten es creciente en una regioacuten si y soacutelo si al aumentar los valores de la variable independiente x aumentan tambieacuten los valores de la funcioacuten Es decir
( )f x es creciente en una regioacuten si para dos puntos cualesquiera 1x y
2x siempre que 1 2x xlt necesariamente 1 2( ) ( )f x f xlt y viceversa
Geomeacutetricamente una funcioacuten es creciente en la regioacuten en que su graacutefica sube a medida que recorremos el eje X de izquierda a derecha Grafica empleando derive la funcioacuten 3 2( ) 3 3f x x x= minus + y completa lo siguiente bull La funcioacuten mostrada es decreciente en intervalos que empiezan
inmediatamente despueacutes de _____ y termina inmediatamente antes de _____ Es decir ( )f x es decreciente en el intervalo abierto iquestPor queacute intervalo abierto
bull En cambio la misma funcioacuten es creciente en dos regiones desde menos infinito hasta _______ sin llegar a cero a sea en el intervalo y en el intervalo
bull iquestPodriacuteas dar una justificacioacuten del porqueacute los valores 0 y 2 estaacuten excluidos de las tres regiones
bull La funcioacuten graficada es positiva en los intervalos __________ __________
bull La funcioacuten graficada es negativa en los intervalos __________ __________
Tambieacuten hemos trabajado las siguientes ideas Completa lo que falta
bull Hemos afirmado el hecho de que en un punto del dominio la
pendiente de una curva es igual a la pendiente de la recta ________ en ese punto
Sabemos que bull Cuando una recta es creciente su _________ es positiva bull Cuando una recta es decreciente su ___________ es decreciente bull Cuando una recta es paralela al eje X su __________es
_________________ bull La pendiente de la recta tangente a la grafica de una funcioacuten
( )f x en cualquier punto del dominio es precisamente la primera ____________ de la funcioacuten
bull Elabora las graficas de la funcioacuten 3 2( ) 3 3f x x x= minus + y de su primera derivada empleando DERIVE
bull Haremos un anaacutelisis comparativo de estas graacuteficas bull La funcioacuten ( )f x es decreciente en el intervalo ( )02 iquestCoacutemo es
su derivada ( )f x en ese intervalo_________________ bull La funcioacuten ( )f x es creciente en el intervalo ( )0minusinfin iquestCoacutemo es
su derivada ( )f x en ese intervalo_________________
bull La funcioacuten ( )f x es creciente en el intervalo ( )2infin iquestCoacutemo es su derivada ( )f x en ese intervalo_________________
bull La funcioacuten ( )f x es constante en los puntos 0x = y 2x = iquestCoacutemo es su derivada ( )f x en esos puntos_________________
bull Los hechos que acabas de observar no son una coincidencia ni un hecho aislado corresponde a una relacioacuten muy importante entre una funcioacuten y su primera derivada
bull Considerando tus respuestas tenemos todos lo necesario par construir los siguientes criterios de caracterizacioacuten
bull Para toda funcioacuten ( )f x derivable en un intervalo ( )a b
bull Si acute( ) 0f x gt para todo valor x en ( )a b ( )f x es creciente en
( )a b
bull Si acute( ) 0f x lt para todo valor x en ( )a b ( )f x es decreciente en
( )a b
bull Si acute( ) 0f x = para todo valor x en ( )a b ( )f x es constante en
( )a b Este caso nos seraacute particularmente uacutetil en el caso en que el intervalo conste de un solo punto
bull A cada valor de x en el que acute( ) 0f x = se le llama punto criacutetico bull Problema 1 Empleando DERIVE encuentra los intervalos donde
la funcioacuten 3 2( ) 3 3f x x x= minus + creciente y decreciente y los puntos donde es constante Luego compara tus hallazgos y completa la informacioacuten
bull acute( )f x = ________ ( )f x seraacute creciente donde acute( ) 0f x gt es decir
donde 23 6 0x xminus gt factorizando 3x obtenemos ( )3 0x gt recuerda que el producto de dos factores es mayor que cero soacutelo si ambos son positivos o ambos son negativos
1 3 0 2 0x y xgt minus gt
0 2x y xgt gt
Siempre que 2x gt se cumple tambieacuten que 0x gt No al reveacutes ( )f xthere4 es creciente en ( )2infin
2 3 0 2 0x y xlt minus lt 0 2x y xlt lt
Siempre que 0x lt se cumple tambieacuten que 2x lt No al reveacutes ( )f xthere4 es creciente en ( )0minusinfin
bull ( )f x seraacute decreciente donde acute( ) 0f x lt es decir donde
23 6 0x xminus lt bull ( )3 0x lt ahora recordemos que el producto de dos factores es
negativo si y solo si________________o ____________________-
1 3 0 2 0x y xgt minus lt
0 2x y xgt lt ( )f xthere4 es decreciente en ( )02
2 3 0 2 0x y xlt minus gt 0 2x y xlt gt
iexclImposible No hay valores de x que sean menores que cero y al mismo tiempo mayores que 2
( )f x seraacute constante es decir estaraacute momentaacuteneamente horizontal su
tangente seraacute paralela al eje X donde acute( ) 0f x = ( )3 2 0x x minus = si 0 2x y x= =
Estos son los dos valores de x donde la funcioacuten es constante a los que llamamos ldquopuntos criacuteticosrdquo Otra forma de encontrar los valores de x donde la funcioacuten es creciente o decreciente sin tener que resolver desigualdades es la siguiente Se encuentran los valores de x donde acute( )f x vale cero resolviendo la ecuacioacuten acute( ) 0f x =
Los n valores de x obtenidos al resolver la ecuacioacuten anterior nos permiten dividir el eje X en 1n + intervalos ajenos
Se construye una tabla en la que los a x valores en cada intervalo y analizando el signo que toma acute( )f x en cada uno de ellos podemos decidir si ( )f x es creciente o decreciente con base en el criterio al que arribamos antes Trabajando en esta forma con 3 2( ) 3 3f x x x= minus +
2acute( ) 3 6f x x x= minus 23 6 0x xminus = 3 ( 2) 0x x minus = si 3 0x = 0x = si 2 0x minus = 2x =
( )f x es constante en 0x = y en 2x = Los valores 0 y 2 dividen al eje X en tres intervalos ( )0minusinfin ( )02 ( )2infin
La tabla que construiremos seraacute del tipo
Intervalo ( )0minusinfin ( )02 ( )2infin
Valor de x en el intervalo -1 1 3
Valor de acute( )f x en el intervalo
9 -3 9
Signo de acute( )f x + - + Caraacutecter de ( )f x en el
intervalo Creciente Decreciente Creciente
Por lo tanto ( )f x es creciente en los intervalos ( )0minusinfin y ( )2infin
mientras que es decreciente en el intervalo ( )02 Problema 2 Empleando DERIVE encuentra los intervalos donde la
funcioacuten 1( )f x xx
= + es creciente y decreciente asiacute como los puntos
donde es constante Observa que esta funcioacuten no estaacute definida en 0x =
Problema 3 Utiliza DERIVE y encuentra las regiones donde cada una de las siguientes funciones es creciente decreciente o constante
bull 2 2( )1
x xf xx
minus minus=
minus
bull 22( )
1xf x
x=
+
bull 4 2( ) 6 5f x x x= + minus bull 3( ) 1f x x= minus
bull 26( )
3f x
x=
+
D RELACION ENTRE LA GRAFICA DE UNA FUNCION Y SU SEGUNDA DERIVADA
PROBLEMA 1- (Concavidad de una funcioacuten) iquestPuede la segunda derivada de una funcioacuten proporcionar informacioacuten acerca del tipo de concavidad que presenta una funcioacuten primitiva ( )f x
Emplea DERIVE y grafica la funcioacuten 2( ) ( 3) 4f x x= minus + ademaacutes determina las ecuaciones y graficas de las rectas tangentes a la curva en los puntos 0x = y 5x = Empleando nuevamente DERIVE grafica la funcioacuten
2( ) ( 7) 1f x x= minus + minus ademaacutes determina las ecuaciones y graacuteficas de las rectas tangentes a la curva en los puntos 10x = minus y 5x = minus Observaciones
CAPACIDAD Infiere por medio de un anaacutelisis grafico las relaciones existentes entre la graacutefica de una funcioacuten y su segunda derivada signo de la segunda derivada asociado con concavidad de la funcioacuten y segunda derivada nula con un posible cambio de concavidad
Observa en principio que donde la curva es coacutencava hacia arriba sus tangentes estaacuten pro debajo de la curva y en caso de ser coacutencava hacia abajo sus tangentes estaacuten por arriba de ella Pero donde la curva no es coacutencava la tangente la atraviesa
Una funcioacuten que presenta los dos tipos de concavidad posibles hacia abajo y hacia arriba es 3 2( ) 3 3f x x x= minus + Empleando DERIVE calcula su primera y segunda derivada y graficas todas las funciones en un mismo plano Localiza con cuidado cada grafica colorea con un color diferente asiacute podraacutes identificarlas faacutecilmente en el siguiente anaacutelisis En el intervalo ( )1minusinfin
( )f x es coacutencava hacia abajo ( )f x que representa las pendientes de las rectas tangentes a ( )f x es decreciente No deja de bajar desde minusinfin hasta
1x = ( )f x que representa las pendientes de las rectas tangentes a ( )f x es negativa porque ( )f x es decreciente
Exactamente en 1x =
o ( )f x cambia de concavidad Deja de ser coacutencava hacia abajo
pero aun no es coacutencava hacia arriba o ( )f x es constante tiene un punto criacutetico porque ( ) 0f x = o ( )f x corta al eje X vale cero Dejoacute de ser negativa y auacuten no
es positiva En el intervalo ( )1infin
o ( )f x es coacutencava hacia arriba o ( )f x es creciente o ( )f x es positiva
Una vez mas lo que has observado no es una coincidencia o un caso aislado nuevamente corresponde a una importante relacioacuten entre una funcioacuten y su segunda derivada Conclusioacuten
bull Para toda funcioacuten ( )f x cuya segunda derivada existe en el intervalo ( )a b
bull Si ( ) 0f x gt para todo valor x en ( )a b la graacutefica de ( )f x es
coacutencava hacia arriba en ( )a b
bull Si ( ) 0f x lt para todo valor x en ( )a b la graacutefica de ( )f x es
coacutencava hacia abajo en ( )a b Definicioacuten- Se llama punto de inflexioacuten al punto donde la grafica de la funcioacuten cambia de ser coacutencava hacia abajo a coacutencava hacia arriba o viceversa si existe la tangente en ese punto La funcioacuten que analizamos antes 3 2( ) 3 3f x x x= minus + tiene un punto de inflexioacuten en 1x = porque (1) 0f = Ejercicios Estudia si tiene la funcioacuten 4( )f x x= punto de inflexioacuten en 0x = Con ayuda de DERIVE halla los intervalos donde la funcioacuten es coacutencava hacia arriba yo hacia abajo asiacute como las coordenadas de los puntos de inflexioacuten si existen Elaborar las graficas necesarias
o 23( )
3f x
x=
+
o 3 2( ) 6 9 1f x x x x= minus + +
o 4
2( ) 24xf x x= minus
o 2 4( ) 6f x x x= minus
APRENDIENDO CALCULO DIFERENCIAL CON DERIVE
SESION Nordm 3
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION A CLASIFICACION DE LOS PUNTOS CRITICOS DE UNA FUNCIOacuteN RECORDEMOS Localiza en la graacutefica de la figura 1 el punto(s) m miacutenimo(s) y da sus coordenadas Figura 1 Si observas la graacutefica notaraacutes que existen dos puntos maacutes bajo que todos los demaacutes donde la curva es coacutencava hacia arriba a los que llamaremos miacutenimos locales Las coordenadas de esos puntos en la grafica son
1( )m y 2 ( )m Localiza en la graacutefica de la figura 2 el punto M maacuteximo y da sus coordenadas Figura 2
2
21( ) 1f xx
= minus
( ) ( 2)( 4)( 6)f x x x x x= + minus minus
CAPACIDAD Determina los puntos criacuteticos de una funcioacuten y los clasifica en maacuteximos miacutenimos o de inflexiones
Si observas la grafica de la funcioacuten encontraras que alcanza un punto maacutes alto en la regioacuten donde es coacutencava hacia abajo Las coordenadas de ese punto son ( )M A un punto como este que se encuentra en la cima de una regioacuten donde la curva es coacutencava hacia abajo se le llama maacuteximo local por que en efecto es el punto mas alto aunque no de toda la curva sino de una regioacuten Pregunta iquestQueacute coincidencias y queacute diferencias hay donde ( )f x tiene maacuteximo y donde tiene miacutenimo Coincidencias __________________________________________________________ Diferencias __________________________________________________________ Para determinar los valores extremos de una funcioacuten en un primer acercamiento se requiere
1 Obtener la primera derivada de la funcioacuten para investigar doacutende ( )f x es constante
2 Igualar a cero la primera derivada ( ) 0f x = 3 Resolver la ecuacioacuten resultante para encontrar los puntos criacuteticos
de 1 2( ) f x x x donde podriacutea tener un maacuteximo un miacutenimo o un punto de inflexioacuten
4 Bosquejar la graacutefica de la funcioacuten 5 Elabora una conjetura acerca del caraacutecter de cada punto criacutetico
maacuteximo miacutenimo o punto de inflexioacuten Emplea DERIVE y en cada funcioacuten de los siguientes ejemplos determina los puntos criacuteticos bosqueja una graacutefica y elabora una conjetura acerca del caraacutecter de cada punto criacutetico
A los valores maacuteximos o miacutenimos los llamaremos valores extremos
Ejercicio Ndeg 1
Graficar la funcioacuten 2
21( ) 1f xx
= minus
y completar la informacioacuten
1 ( )f x = 2 ( ) 0f x = de donde 1x = ( )f xthere4 tiene un punto criacutetico 3 iquestQueacute sucede con la graacutefica de la primera derivada en los puntos
criacuteticos de la funcioacuten 4 Mostrar la graacutefica y determinar que tipo de punto es 1x 5 Determinar la segunda derivada y analizar su comportamiento
grafico Ejercicio Ndeg 2 Graficar la funcioacuten ( ) ( 2)( 4)( 6)f x x x x x= + minus minus y completar la informacioacuten
1 ( )f x = 2 ( ) 0f x = de donde 1 2 3 x x x= = = ( )f xthere4 tiene tres
puntos criacuteticos 3 iquestQueacute sucede con la graacutefica de la primera derivada en los puntos
criacuteticos de la funcioacuten 4 Mostrar la graacutefica y determinar que tipo de puntos criacuteticos tiene 5 Determinar la segunda derivada y analizar su comportamiento
grafico Ejercicio Ndeg 3 Graficar la funcioacuten 3 2( ) 3 3f x x x= minus + y completar la informacioacuten
1 ( )f x = 2 23 6 3 ( ) 0x x xminus = minus = de donde 1 2x y x= = ( )f xthere4
tiene dos puntos criacuteticos 3 Indicar el maacuteximo y el miacutenimo 6 iquestQueacute sucede con la graacutefica de la primera derivada en los puntos
criacuteticos de la funcioacuten 4 Mostrar una graacutefica
5 Grafique la primera derivada y determine si el signo de ella antes y despueacutes del punto criacutetico coincide con la propiedad de la funcioacuten de ser creciente o decreciente en los intervalos formados
6 Grafique la segunda derivada y analice la informacioacuten que representa
Ejercicio N deg4 (trabajo)
Graficar la funcioacuten 23( )
3f x
x=
+ y completar la informacioacuten
1 ( )f x =
2 ( )22
6 03
x
x
minus=
+
3 Puesto que ( )22 3x + siempre seraacute mayor que cero la uacutenica
posibilidad de que ( )22
6 03
x
x
minus=
+es que 6 0xminus = luego 0x =
( )f xthere4 tiene soacutelo un punto criacutetico 4 Determine a traveacutes de la graacutefica si se trata de un maacuteximo o
miacutenimo 5 Grafique la primera derivada y determine si el signo de ella antes
y despueacutes del punto criacutetico coincide con la propiedad de la funcioacuten de ser creciente o decreciente en los intervalos formados
6 Grafique la segunda derivada y analice la informacioacuten que representa
B CRITERIO DE LA PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA PARA ENCONTRAR VALORES EXTREMOS DE UNA FUNCION
iquestExiste un procedimiento formal para determinar los valores extremos de una funcioacuten En el punto anterior pudimos determinar los valores criacuteticos de una funcioacuten y decidir si se trataba de un maacuteximo o miacutenimo o un punto de inflexioacuten Pero tuvimos las siguientes limitaciones bull Nuestra decisioacuten quedoacute a nivel de conjetura porque para tomarla
n os apoyamos en una grafica y eso le quita formalidad y precisioacuten al procedimiento
bull No obtuvimos el valor del maacuteximo o miacutenimo de la funcioacuten ni las coordenadas en el caso del punto de inflexioacuten
En esta sesioacuten trabajaremos en laacutepiz y papel el procedimiento formal para obtener los valores extremos de una funcioacuten asiacute como sus puntos de inflexioacuten y resolveremos los ejercicios usando derive asiacute podemos comparar entre el trabajo analiacutetico y los caacutelculos que podemos hacer empleando DERIVE
RECORDAR
Criterio de la primera derivada Hipoacutetesis Si ( )f x es una funcioacuten continua en un Intervalo ( )a b
1x es el uacutenico punto criacutetico en ese intervalo y ( )f x es derivable en
( )a b Entonces Tesis el punto criacutetico ( )1 1 ( )x f x se puede clasificar de acuerdo a la siguiente tabla
CAPACIDAD Comprende y aplica el criterio de la primera y segunda derivada para encontrar valores extremos de una funcioacuten
Signo de ( )f x en ( )1a x
Signo de ( )f x en ( )1 x b Decisioacuten
+ - 1( )f x es un maacuteximo
- + 1( )f x es un miacutenimo
+ + 1( )f x es un posible punto de inflexioacuten
- - 1( )f x es un posible punto de inflexioacuten
Criterio de la segunda derivada Hipoacutetesis Si ( )f x es una funcioacuten que tiene primera y segunda derivadas en un intervalo ( )a b y tiene un punto criacutetico en 1x Tesis el punto criacutetico ( )1 1 ( )x f x se puede clasificar de acuerdo con el siguiente criterio bull Si ( ) 0 ( )f x f xgt tendraacute un maacuteximo en 1x porque es coacutencava hacia arriba bull Si ( ) 0 ( )f x f xlt tendraacute un miacutenimo en 1x porque es coacutencava hacia abajo bull Si ( ) 0 ( )f x f x= podriacutea tener un punto de inflexioacuten 1x si estaacute cambiando la concavidad
Ejercicio Ndeg 1 Determina los maacuteximos y miacutenimos de la siguiente funcioacuten
3 2( ) 3 3f x x x= minus + completa la informacioacuten que se pide y luego compara tus resultados con los obtenidos empleando DERIVE
1 ( )f x = 2 23 6 0x xminus =
3 ( )23 6 3 ____ ____ 0x x xminus = minus = de donde 1 ____x = y
2 ____x = 4 Los valores 0 y 2 dividen al eje X en los intervalos ajenos
( ) ( ) ( )0 0 2 2minusinfin infin 5 Elaboramos una tabla para dar valores a x Completa el valor y el
signo de ( )f x
Intervalo ( )0minusinfin ( )02 ( )2infin
Valor de x -1 1 3
Valor de ( )f x
Signo de ( )f x
6 De acuerdo con el criterio de la primera derivada
a) En 1 0x = ( )f x tiene un ___________ porque ( )f x _____________
b) En 2 2x = ( )f x tiene un ___________ porque ( )f x ____________
7 El valor maacuteximo de ( )f x en _____ es_____ 8 El valor miacutenimo de ( )f x en _____ es_____
Ejercicio Ndeg 2 Determina los maacuteximos y miacutenimos de la siguiente funcioacuten
2
3( )3
f xx
=+
completa la informacioacuten que se pide y luego compara tus
resultados con los obtenidos empleando DERIVE 1 ( )f x =
2 ( )22
6 03
x
x
minus=
+
3 Puesto que ( )22 3x + siempre seraacute mayor que cero la uacutenica
posibilidad de que ( )22
6 03
x
x
minus=
+es que 1 ____x =
4 El valor de z divide al eje X en 2 intervalos ( ) ( )0 0minusinfin infin iquestQueacute sucede en el punto cero
5 Elaboramos una tabla para dar valores a x Completa el valor y el signo de ( )f x
Intervalo ( )0minusinfin ( )0infin
Valor de x -1 1
Valor de ( )f x
Signo de ( )f x
6 ( )f x presenta un _______________en _____ Ejercicio Ndeg 3 Empleando Derive y el criterio de la segunda derivada determina los maacuteximos y miacutenimos de la siguiente funcioacuten ( )3( ) 4 10f x x= minus + ademaacutes completar la informacioacuten y anexa la grafica de las funcioacuten para verificar las validez de tus resultados
1 ( )f x =
2 ( )23 4 0x minus =
3 23( 8 16) 0x xminus + = de donde 1 ____x =
4 ( )f x = 5 (4)f =0 ( )f xthere4 tiene un___________ 6 Las coordenadas de ese punto son ( )4 (4)f es decir ( )4
7 (2)f =_____________gt0 ( )f xthere4 tiene un___________
Trabajo en casa Ejercicio Ndeg 1 Determina los maacuteximos y miacutenimos de la siguiente funcioacuten
( )3( ) 4f x x= minus completa la informacioacuten que se pide y luego compara tus resultados con los obtenidos empleando DERIVE
1 ( )f x =
2 ( )23 4 0x minus =
3 23( 8 16) 0x xminus + = de donde 1 ____x = 4 El valor 4 divide al eje X en dos intervalos ajenos
( ) ( ) 4 4minusinfin infin 5 Elaboramos una tabla para dar valores a x Completa el valor y el
signo de ( )f x
Intervalo ( ) 4minusinfin ( )4infin
Valor de x 2 5
Valor de ( )f x
Signo de ( )f x
6 De acuerdo con el criterio de la primera derivada En 1 4x = ( )f x presenta __________________________
Ejercicio Ndeg 2 Determina los maacuteximos y miacutenimos de la siguiente funcioacuten
1( )f x xx
= + completa la informacioacuten que se pide y luego compara tus
resultados con los obtenidos empleando DERIVE
1 ( )f x =
2 2
11 0x
minus =
3 2
11 0x
minus = 2
11x
= 2 1x = de donde 1 ____x = y 2 ____x =
4 Los valores 1 y -1 dividen al eje X en 3 intervalos ajenos ( ) ( ) ( ) 1 11 1minusinfin minus minus infin iquestQueacute sucede en el punto cero
5 Elaboramos una tabla para dar valores a x Completa el valor y el signo de ( )f x
Intervalo ( ) 1minusinfin minus ( )10minus ( )01 ( )1infin
Valor de x -2 -12 frac12 3
Valor de ( )f x
Signo de ( )f x
6 El valor maacuteximo de ( )f x en _____ es_____ 7 El valor miacutenimo de ( )f x en _____ es_____
Ejercicio Ndeg 3 Empleando Derive y el criterio de la segunda derivada determina los
maacuteximos y miacutenimos de la siguiente funcioacuten 1( )f x xx
= + ademaacutes
completar la informacioacuten y anexa la grafica de las funcioacuten para verificar las validez de tus resultados
1 ( )f x =
2 2
11 0x
minus =
3 2
11 0x
minus = 2
11x
= 2 1x = de donde 1 ____x = y 2 ____x =
4 ( )f x = 5 (1)f = ____gt0 ( )f xthere4 tiene un___________ 6 Las coordenadas de ese punto son ( )1 (1)f es decir ( )1 7 ( 1)f minus = _____________lt0 ( )f xthere4 tiene un___________ 8 Las coordenadas de ese punto son ( )1 ( 1)fminus minus es decir ( )1minus
Ejercicio Ndeg 4 Calcula los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de las siguientes funciones
1 2 4
( )2 16x xf x = minus
2 23( )
1xf x
x=
minus
3 2( )4
xf xx
=minus
4 2 2( )1
x xf xx
minus minus=
minus
Representa las graacuteficas para comprobarlo C PROBLEMAS DE OPTIMIZACIOacuteN
Has aprendido a encontrar valores extremos de una funcioacuten por medio de dos criterios el de la primera derivada y el de la segunda derivada Lo que haremos ahora constituye una de las principales aplicaciones del caacutelculo diferencial utilizado en muy diversas aacutereas del conocimiento Con frecuencia en los procesos industriales cientiacuteficos y tecnoloacutegicos se busca optimizar las condiciones en que se llevan a cabo asiacute como los resultados que se obtienen Por ejemplo se pretende envasar el mayor volumen de un producto empleando la menor cantidad posible de material obtener el mejor efecto de un medicamento con la menor dosis administrada encontrar el nuacutemero de artiacuteculos que deben venderse para obtener la maacutexima ganancia Todo esto es optimizar un proceso y el caacutelculo es una herramienta muy uacutetil para lograrlo
CAPACIDAD Resuelve problemas que involucran maacuteximos o miacutenimos de una funcioacuten empleando derive
Para resolver un problema de optimizacioacuten baacutesicamente debemos proceder de la siguiente manera
1 A partir del enunciado del problema obtener la funcioacuten que queremos optimizar de modo que dependa de una sola variable
2 aplicar uno de los criterios para encontrar los valores extremos de una funcioacuten
3 interpretar los resultados con base en la naturaleza del problema planteado
PROBLEMA 1 Cuando alguien tose la traquea se contrae violentamente lo que afecta de modo directo a la velocidad del aire expulsado a traveacutes de ella Si la velocidad del aire durante la tosida se puede expresar como
2( ) ( )v r k p r r= minus donde k es una constante positiva que depende de la persona p es el radio normal de la traquea y r el radio durante el golpe de tos
a) Utilice una escala apropiada para mostrar la grafica de la velocidad del aire durante la tosida Utilice los valores de K=1 y p=3
b) Determina el dominio apropiado para estudiar esta funcioacuten c) iquestQueacute valor del radio r producir la maacutexima velocidad del aire
expulsado iquestCuaacutel es la velocidad
Solucioacuten
1 Siendo la funcioacuten a maximizar 2 2 3( ) ( ) ( )v r k p r r k p r r= minus = minus
2 La primera derivada es dvdr
=
3 Los puntos criacuteticos son 1 2______ _______r y r= =
4 luego la velocidad del aire expulsado tiene un maacuteximo cuando r =
PROBLEMA 2 Se quiere fabricar latas de refresco cuyo contenido sea 33cl de manera que el costo de la chapa sea miacutenimo Hallar las dimensiones que ha de
ANEXO 4
PLANES DE CLASE
Los planes de clase en general son los mismos para ambos grupos pero si difieren del lugar donde se trabajan pues el grupo experimental recibiraacute clases en el laboratorio de coacutemputo mientras que el grupo de control trabajara sus sesiones de clase en el aula Debo indicar tambieacuten que solo la tercera clase de ambos grupos seraacute en el saloacuten de clases pues se deben trabajar las derivadas de funciones trigonomeacutetricas logariacutetmicas impliacutecitas regla de L`Hospital El modelo de plan de clase que presento a continuacioacuten es el que manejamos en la universidad para nuestra carpeta docente Fue disentildeado por los docentes de la Escuela de Educacioacuten y lo trabajamos en todas las escuelas Presento cuatro planes de clase que corresponde a las 4 sesiones que tuvimos para resolver el capiacutetulo de Derivadas
P L A N D E S E S I Oacute N D E A P R E N D I Z A J E 2 0 0 6- II ESCUELA DE INGENIERIacuteA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS
ASIGNATURA
Ciclo Seccioacuten
Semana Ndeg Sesioacuten
DOCENTE
COMPETENCIA
TIacuteTULO CAPACIDAD
ACTIVIDADES TIEMPO INDICADORES INICIALES DestrezaHabilidad Contenido Producto Iacutetems
PROCESO
FINALES Actitudes
METODO AYUDAS TEacuteCNICAS E INSTRUMENTOS DE EVALUACIOacuteN
Expositivas-Interactivas
Investigacioacuten Individual
Debate
Proyecto
Demostracioacuten
Investigacioacuten por equipos
Otros
Texto Separatas-resumen Transparencias- Diapositivas
Ejercicios Aplicacioacuten Casos Presentacioacuten Multimedia
Otros
Observacioacuten Situacioacuten Ejercicio Praacutectico Pruebas Escritas Situacioacuten Oral
de Evaluacioacuten
Pruebas de Desempentildeo
Examen Temaacutetico
Ejercicios Interpretativos
Pruebas Objetivas
Mapa mental
Mapa Conceptual
Estudios de Casos Praacutecticas- Laboratorio
Proyecto
Portafolio
Ensayos
Otros (Indicar)
Exposicioacuten Diaacutelogo Debate Examen
Oral
Lista de cotejo
Registro anecdoacutetico
Escala de actitud
Otros(Indicar)
Bibliografiacutea
Paacuteginas Web
P L A N D E S E S I Oacute N D E A P R E N D I Z A J E 2 0 0 6- II ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS
ASIGNATURA MATEMATICA I
Ciclo II Seccioacuten A B
Semana 12 Nordm Sesioacuten 1
DOCENTE Lic Diana Quintana Saacutenchez
COMPETENCIA Interpreta formula analiza y resuelve problemas de contexto real utilizando definiciones teacutecnicas y aplicaciones del Caacutelculo Diferencial desarrollando
comunicacioacuten investigacioacuten razonamiento y manifestando confianza flexibilidad y perseverancia
CONTENIDO Derivadas
CAPACIDAD Resuelve problemas sobre razoacuten de cambio recta tangente y grafico de funciones y sus derivadas
ACTIVIDADES TIEMPO INDICADORES INICIALES
15rsquo
DestrezaHabilidad Contenido Producto Iacutetems bull Saludo bull Para esta clase he preparado un relato sobre la historia del
caacutelculo diferencial La historia de Newton y Leibnitz
Resuelve Encuentra Calcula Grafica
Razoacuten de cambio Dos Problemas con un mismo tema Definicioacuten de Derivada Resolucioacuten de problema empleando derivadas Elaboracioacuten de graficas de funciones y sus derivadas
Opinioacuten sobre los protagonistas de la Historia de Calculo Presentacioacuten de ejercicios propuestos en clase
1 Resuelve problemas de
aplicacioacuten de razoacuten de cambio 2 Encuentra la derivada de
funciones ( )f x 3 Calcula la derivada de funciones
( )f x empleando la definicioacuten de derivada
4 Grafica funciones y su
derivadas
ACTIVIDADES DE PROCESO
2h15rsquo break 1h30rsquo
bull Se expone el fundamento teoacuterico sobre la definicioacuten de
derivada y se entrega el material didaacutectico bull Se resuelve en parejas en la solucioacuten del primer trabajo
praacutectico bull Los alumnos exponen en la pizarra la solucioacuten de los
problemas bull Con el grupo experimental se trabaja la guiacutea de laboratorio
ACTIVIDADES FINALES
10rsquo
Actitudes Valora de manera criacutetica la importancia de la historia del calculo asiacute mismo muestra orden e intereacutes por aprender
bull Presentar en la siguiente clase la solucioacuten de los ejercicios
propuestos en la separata
METODO AYUDAS TEacuteCNICAS E INSTRUMENTOS DE EVALUACIOacuteN
x Expositivas-Interactivas
Investigacioacuten Individual
Debate
Proyecto
Demostracioacuten
x Investigacioacuten por equipos
Otros
Texto Separatas-resumen x Transparencias- Diapositivas
Ejercicios Aplicacioacuten x Casos Presentacioacuten Multimedia
x
Otros
Observacioacuten Situacioacuten Ejercicio Praacutectico Pruebas Escritas Situacioacuten Oral
de Evaluacioacuten
Pruebas de Desempentildeo
Examen Temaacutetico
x Ejercicios Interpretativos
Pruebas Objetivas
Mapa mental
Mapa Conceptual
x Estudios de Casos x Praacutecticas- Laboratorio
Proyecto
Portafolio
Ensayos
Otros (Indicar)
x Exposicioacuten x Diaacutelogo Debate Examen
Oral
Lista de cotejo
x Registro anecdoacutetico
Escala de actitud
Otros(Indicar)
Bibliografiacutea Anaacutelisis Matemaacutetico I Eduardo Espinoza Ramos Anaacutelisis Matemaacutetico Maacuteximo Mittac Meza
Paacutegina Web wwwucvpiuraedupe (aula virtual)
P L A N D E S E S I Oacute N D E A P R E N D I Z A J E 2 0 0 6- II
ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS
ASIGNATURA MATEMATICA I
Ciclo II Seccioacuten A
Semana 13 Nordm Sesioacuten 1
DOCENTE Lic Diana Quintana Saacutenchez
COMPETENCIA Interpreta formula analiza y resuelve problemas de contexto real utilizando definiciones teacutecnicas y aplicaciones del Caacutelculo Diferencial desarrollando comunicacioacuten investigacioacuten razonamiento y manifestando confianza flexibilidad y perseverancia
CONTENIDO Derivadas
CAPACIDAD Infiere mediante un anaacutelisis grafico las relaciones existentes entre la graacutefica de una funcioacuten y su primera derivada signo de la primera derivada asociado con crecimiento o decrecimiento de la funcioacuten y derivada nula con puntos criacuteticos
ACTIVIDADES TIEMPO
INDICADORES INICIALES
15rsquo
Destreza Habilidad
Contenido Producto Iacutetems
bull Saludo bull Esta clase se inicia con una lluvia de ideas sobre lo trabajado en
la clase anterior
Calcula Determina Analiza
Reglas de Derivacioacuten Derivadas de orden superior Anaacutelisis graacutefico de funciones y su primera derivada
Solucioacuten de ejercicios sobre derivadas Anaacutelisis de grafico de funciones y su primera derivada Ejemplos de primera y segunda derivada
5 Calcule la derivada de las
siguientes funciones 6 Encuentra derivada de orden
superior de funciones ( )f x 7 Analiza las graficas de
funciones y su derivada
ACTIVIDADES DE PROCESO
2h15rsquo
break 1h30rsquo
bull Para esta sesioacuten los alumnos han descargado el material del aula
virtual Pero para el grupo experimental la guiacutea se entrega en clase
bull Se presenta el contenido y se trabaja dando espacios para las posibles preguntas de los alumnos Ademaacutes se presentan ejemplos
bull Se solicita a los alumnos que voluntariamente expongan sus soluciones
ACTIVIDADES FINALES
10rsquo
Actitudes Valora la importancia de conocer el comportamiento grafico de una funcioacuten y su derivada
bull Presentar en la siguiente clase la solucioacuten del trabajo
praacutectico Nordm 4 METODO AYUDAS TEacuteCNICAS E INSTRUMENTOS DE EVALUACIOacuteN
x Expositivas-Interactivas
Investigacioacuten Individual
Debate
Proyecto
Demostracioacuten
Investigacioacuten por parejas
Otros
Texto Separatas-resumen x Transparencias- Diapositivas
Ejercicios Aplicacioacuten x Casos Presentacioacuten Multimedia
Otros
Observacioacuten Situacioacuten Ejercicio Praacutectico Pruebas Escritas Situacioacuten Oral de Evaluacioacuten
Pruebas de Desempentildeo
Examen Temaacutetico
x Ejercicios Interpretativos
Pruebas Objetivas
Mapa mental
Mapa Conceptual
Estudios de Casos x Praacutecticas- Laboratorio
Proyecto
Portafolio
Ensayos
Otros (Indicar)
x Exposicioacuten x Diaacutelogo Debate Examen
Oral
Lista de cotejo
x Registro anecdoacutetico
Escala de actitud
Otros(Indicar)
Bibliografiacutea Anaacutelisis Matemaacutetico I Eduardo Espinoza Ramos Anaacutelisis Matemaacutetico Maacuteximo Mittac Meza
Paacutegina Web wwwucvpiuraedupe (aula virtual)
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ASIGNATURA MATEMATICA I
Ciclo II Seccioacuten A B
Semana 14 Nordm Sesioacuten 1
DOCENTE Lic Diana Quintana Saacutenchez
COMPETENCIA Interpreta formula analiza y resuelve problemas de contexto real utilizando definiciones teacutecnicas y aplicaciones del Caacutelculo Diferencial desarrollando comunicacioacuten investigacioacuten razonamiento y manifestando confianza flexibilidad y perseverancia CONTENIDO Derivadas
CAPACIDAD Determina los puntos criacuteticos de una funcioacuten y los clasifica en maacuteximos miacutenimos o de inflexiones
ACTIVIDADES TIEMPO INDICADORES
INICIALES
15rsquo
Destreza Habilidad
Contenido Producto Iacutetems
bull Saludo bull Esta clase se inicia con la presentacioacuten de un problema el cual
implica derivar una funcioacuten trascendente la intencioacuten es generar el desequilibrio cognitivo
Identifica Demuestra Emplea
Reglas de Derivacioacuten de funciones Trigonometricas Trigonometricas Inversas Exponenciales Logariacutetmicas Reglas de Derivacioacuten de funciones Impliacutecitas Derivadas de orden superior
Solucioacuten de ejercicios y problemas de la separata referidos a derivadas
bull Identifica las reglas de derivacioacuten
que empleara para resolver determinados ejercicios
bull Demuestra empleando meacutetodos de
derivacioacuten que las derivadas de funciones impliacutecita se pueden calcular
bull Emplea derivacioacuten de orden
superior para resolver problemas
ACTIVIDADES DE PROCESO
2h15rsquo break 1h30rsquo
bull Para esta sesioacuten los alumnos han descargado el material del aula
virtual bull La clase se desarrolla empleando el meacutetodo expositivo dando
espacios para las posibles preguntas de los alumnos Ademaacutes se presentan ejemplos y la solucioacuten del problema planteando al inicio de la clase
bull Con el grupo experimental no hubo laboratorio bull Se resuelve de forma individual los ejercicios del trabajo praacutectico bull Se solicita a los alumnos que voluntariamente expongan sus
soluciones ACTIVIDADES FINALES
10rsquo Actitudes Intereacutes por conocer fundamentos teoacutericos que le permitan resolver ejercicios y problemas
bull Presentar en la siguiente clase la solucioacuten del trabajo praacutectico de la separata
METODO AYUDAS TEacuteCNICAS E INSTRUMENTOS DE EVALUACIOacuteN
x Expositivas-Interactivas
Investigacioacuten Individual
Debate Proyecto Demostracioacuten Investigacioacuten
por parejas Otros
Texto Separatas-resumen x Transparencias- Diapositivas
Ejercicios Aplicacioacuten x Casos Presentacioacuten Multimedia
Otros
Observacioacuten Situacioacuten Ejercicio Praacutectico Pruebas Escritas Situacioacuten Oral de Evaluacioacuten
Pruebas de Desempentildeo
Examen Temaacutetico
x Ejercicios Interpretativos
Pruebas Objetivas
Mapa mental Mapa Conceptual Estudios de Casos x Praacutecticas- Laboratorio Proyecto Portafolio Ensayos Otros (Indicar)
x Exposicioacuten x Diaacutelogo Debate Examen
Oral
Lista de cotejo x Registro
anecdoacutetico Escala de actitud Otros(Indicar)
Bibliografiacutea Anaacutelisis Matemaacutetico I Eduardo Espinoza Ramos Anaacutelisis Matemaacutetico Maacuteximo Mittac Meza
Paacutegina Web wwwucvpiuraedupe (aula virtual)
P L A N D E S E S I Oacute N D E A P R E N D I Z A J E 2 0 0 6- II ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS
ASIGNATURA MATEMATICA I
Ciclo II Seccioacuten B
Semana 15 Nordm Sesioacuten 1
DOCENTE Lic Diana Quintana Saacutenchez
COMPETENCIA Interpreta formula analiza y resuelve problemas de contexto real utilizando definiciones teacutecnicas y aplicaciones del Caacutelculo Diferencial desarrollando comunicacioacuten investigacioacuten razonamiento y manifestando confianza flexibilidad y perseverancia CONTENIDO Derivadas CAPACIDAD Emplea criterios de primera y segunda derivada para resolver problemas de maacuteximos y miacutenimos
ACTIVIDADES TIEMPO INDICADORES INICIALES DestrezaHabilidad Contenido Producto Iacutetems
bull Saludo bull Esta clase se inicia con la participacioacuten de los
alumnos en un pequentildeo dialogo sobre los contenidos estudiados en la clase anterior
15rsquo
Calcula Aplica Resuelve
Reglas de LrsquoHospital Criterio de la Primera y segunda derivada Problemas de Maacuteximos y Miacutenimos
Opinioacuten sobre los protagonistas de la Historia de Calculo Presentacioacuten de ejercicios propuestos en clase
8 Calcula liacutemites empleando la
regla de LrsquoHospital 9 Aplica el criterio de la primera y
segunda derivada para resolver ejercicios
10 Resuelve problemas de
maacuteximos y miacutenimos
ACTIVIDADES DE PROCESO
2h15rsquo break 1h30rsquo
bull Se expone el fundamento teoacuterico sobre la definicioacuten
de derivada y se entrega el material didaacutectico bull Se resuelve en parejas en la solucioacuten del primer
trabajo praacutectico bull Los alumnos exponen en la pizarra la solucioacuten de los
problemas ACTIVIDADES FINALES
10rsquo
Actitudes Valora de manera criacutetica la importancia de la historia del caacutelculo asiacute mismo muestra orden e intereacutes por aprender
bull Resolver y exponer la solucioacuten de los ejercicios de la
separata
METODO AYUDAS TEacuteCNICAS E INSTRUMENTOS DE EVALUACIOacuteN
x Expositivas-Interactivas
Investigacioacuten Individual
Debate
Proyecto
Demostracioacuten
x Investigacioacuten por equipos
Otros
Texto Separatas-resumen x Transparencias- Diapositivas
Ejercicios Aplicacioacuten x Casos Presentacioacuten Multimedia
x
Otros
Observacioacuten Situacioacuten Ejercicio Praacutectico Pruebas Escritas Situacioacuten Oral
de Evaluacioacuten
Pruebas de Desempentildeo
Examen Temaacutetico
x Ejercicios Interpretativos
Pruebas Objetivas
Mapa mental
Mapa Conceptual
Estudios de Casos x Praacutecticas- Laboratorio
Proyecto
Portafolio
Ensayos
Otros (Indicar)
x Exposicioacuten x Diaacutelogo Debate Examen
Oral
Lista de cotejo
x Registro anecdoacutetico
Escala de actitud
Otros(Indicar)
Bibliografiacutea Anaacutelisis Matemaacutetico I Eduardo Espinoza Ramos Anaacutelisis Matemaacutetico Maacuteximo Mittac Meza
Paacutegina Web wwwucvpiuraedupe (aula virtual)
tener la lata es decir el radio y la altura Calcula tambieacuten el valor de la superficie de la chapa miacutenima PROBLEMA 3 Calcula el valor de los coeficientes a y b para que la funcioacuten
3( )f x ax bx= + tenga un maacuteximo relativo en P (12) PROBLEMA 4 Calcular el polinomio de tercer grado que pasa por el origen de coordenadas O (00) tiene un maacuteximo relativo en el punto P (-24) y un punto de inflexioacuten en el punto Q (-12)
ANEXO 5
TABLAS DE ESPECIFICACIONES
Preg horas Razon de Cambio- Problema de la recta tangente 1 0 0 0 1 1 20
TOTAL 2 2 1 2 7 5 100
TOTAL
TABLA DE ESPECIFICACIONESPRUEBA DE MATEMATICA I
PRACTICA 1
Conocimiento Comprensioacuten Aplicacioacuten
Definicion de Derivada 1 0 1 0 2 1 20
Graacutefico de Funciones y suderivada 0 2 0 2 4 3 60
Ejes Temaacuteticos
HabilidadesCognitivas Anaacutelisis
Siacutentesis y Evaluacioacuten
Preg horas Calculo de Derivadas de orden Superior 0 2 0 1 3 3 60Primera y segunda Derivada de una Funcioacuten 0 0 2 2 4 2 40TOTAL 0 2 2 3 7 5 100
Conocimiento Comprensioacuten Aplicacioacuten
TABLA DE ESPECIFICACIONESPRUEBA DE MATEMATICA I
PRACTICA 2
TOTAL
Ejes Temaacuteticos
HabilidadesCognitivas Anaacutelisis
Siacutentesis y Evaluacioacuten
Preg horas Grafico de funciones y sus derivadas y propiedades de las funciones
1 0 1 1 3 2 40
Problemas de Optimizacion 1 0 2 0 3 3 60TOTAL 2 0 3 1 6 5 100
TABLA DE ESPECIFICACIONESPRUEBA DE MATEMATICA I
PRACTICA 3
Conocimiento Comprensioacuten AplicacioacutenTOTAL
Ejes Temaacuteticos
HabilidadesCognitivas Anaacutelisis
Siacutentesis y Evaluacioacuten
Preg horas SEGUNDA UNIDAD 1 0 3 1 5 20 100TOTAL 1 0 3 1 5 20 100
TABLA DE ESPECIFICACIONESEXAMEN FINAL DE MATEMATICA I
Conocimiento Comprensioacuten AplicacioacutenTOTAL
Ejes Temaacuteticos
HabilidadesCognitivas Anaacutelisis
Siacutentesis y Evaluacioacuten
ANEXO 6
INSTRUMENTOS DE EVALUACION
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS ASIGNATURA MATEMATICA I TIEMPO 2 HORAS
PRACTICA CALIFICADA Nordm 1 INDICACIONES Cuide la redaccioacuten de sus respuestas y trabaje en forma ordenada evitando los borrones CONOCIMIENTO (2 ptos cada una)
1 Identifica el concepto de razoacuten de cambio en el problema de la recta tangente
2 Menciona las dos formas equivalentes de la derivada y explica su diferencia simboacutelica
COMPRENCION (2 ptos cada una)
3 En la siguiente figura se dan las graacuteficas de una funcioacuten f y su derivada f sobre unos ejes comunes Explicar en un breve paacuterrafo dichas graacuteficas
4 Empareja cada funcioacuten de la columna izquierda con la grafica de su derivada en la columna derecha
a) A)
b) B) c) C) APLICACIOacuteN (4 ptos)
5 Usar la definicioacuten de derivada para hallar ( )f x Siendo
3 2( )f x x x= + ANALISIS SINTESIS Y EVALUACIOacuteN (4 ptos cada una)
6 Analiza la situacioacuten en el punto 0x = para la funcioacuten ( )f x y su derivada asiacute mismo elabora una grafica de dichas funciones
2
2
4 0( )
4 0
x xf x
x x
minus gt= minus le
7 Evaluacutee las funciones 2( ) 1f x x= + y ( ) 1g x x= + simultaacuteneamente
en la cercaniacutea del punto (01) y responda iquestQueacute se observa iquestQueacute funcioacuten es derivable en ese punto
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS ASIGNATURA MATEMATICA I TIEMPO 2 HORAS
PRACTICA CALIFICADA Nordm 2 INDICACIONES Cuide la redaccioacuten de sus respuestas y trabaje en forma ordenada evitando los borrones COMPRENCION (3 ptos cada una)
1 Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas En caso de que sea falsa explica por queacute o da un ejemplo que muestre su falsedad
a) Si ( ) ( )y f x g x= entonces ( ) ( )dy f x g xdx
=
b) Si ( 1)( 2)( 3)( 4)y x x x x= + + + + entonces 5
5 0d ydx
=
c) La segunda derivada representa el ritmo de cambio de la primera
2 Sean f y g funciones cuyas primeras y segundas derivadas existen en un intervalo I Sentildeala iquestCuaacutel de estas formulas es correcta a) ( ) fg f g fg f gminus = minus b) ( ) fg f g fg+ =
APLICACIOacuteN (25 ptos)
3 Soluciona el siguiente problema El costo C de pedido y transporte de
las componentes utilizadas en la fabricacioacuten de un producto es 200100 1
30xC x
x x = + le +
donde C se mide en miles doacutelares y
x es el tamantildeo del pedido Hallar el ritmo de cambio de C con respecto a x cuando 10 15x x= =
4 Usa la graacutefica de f para esbozar la de f y f
ANALISIS SINTESIS Y EVALUACIOacuteN (3 cada una)
5 Hallar la derivada de f para 1234n = y usar los resultados para proponer una foacutermula general para ( )f x en teacuterminos de n
6 Selecciona y graacutefica de una funcioacuten derivable f tal que 0f gt y
0f lt para todos los nuacutemeros reales x
7 Evaluacutea la derivada de la funcioacuten en el punto que se indica 1 cos1 cos
ecxyecx
+=
minusen 3
6π minus
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS ASIGNATURA MATEMATICA I TIEMPO 2 HORAS
PRACTICA CALIFICADA Nordm 3 INDICACIONES Cuide la redaccioacuten de sus respuestas y trabaje en forma ordenada evitando los borrones CONOCIMIENTO (15 pto cada una)
1 La graacutefica de ( )f x viene dada en la figura adjunta Indica a) iquestEn queacute valores de x es ( )f x cero positiva o negativa b) iquestEn queacute intervalo es f creciente
2 Describa el criterio de la segunda Derivada para hallar maacuteximos y
miacutenimos de una funcioacuten APLICACIOacuteN (45 cada una) Soluciona los siguientes problemas
3 El rendimiento (medido de 0 a 10) de cierto producto en funcioacuten del
tiempo de uso ( x en antildeos) viene dado por la siguiente expresioacuten
2
3( ) 85 0
1
xf x xx
= + ge+
a) iquestHay intervalos de tiempo en los que el rendimiento crece iquestY en que decrece iquestCuaacuteles son
b) iquestEn queacute punto se alcanza el rendimiento maacuteximo iquestCuaacutento vale
4 Se ha construido una presa de almacenamiento de agua cuyos costos de mantenimiento diarios son una funcioacuten de la cantidad de agua que la misma tiene almacenada Tales costos (en doacutelares) vienen dados por la siguiente expresioacuten ( ( )C x representa el costo si el volumen de agua en millones de metros cuacutebicos es x )
3 2( ) 8 73C x x x x= + minus + a) encontrar el volumen diario de agua oacuteptimo que debe mantenerse para minimizar costos b) calcular el costo miacutenimo diario que supone el mantenimiento de la instalacioacuten Si un diacutea la presa tiene almacenados 3 millones de metros cuacutebicos de agua iquestcuaacutento se ha gastado de maacutes respecto del costo miacutenimo
5 Proponga y dibuje una funcioacuten cuya derivada sea siempre negativa ANALISIS SINTESIS Y EVALUACIOacuteN (35 ptos)
6 Las graacuteficas de f f f se muestran en los mismos ejes iquestPodriacuteas decir cuaacutel es cuaacutel
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS ASIGNATURA MATEMATICA I TIEMPO 2 HORAS
EXAMEN FINAL
INDICACIONES Cuide la redaccioacuten de sus respuestas y trabaje en forma ordenada evitando los borrones CONOCIMIENTO (2 ptos)
1 Demostrar usando la definicioacuten que (cos )d x senx
dx= minus
APLICACIOacuteN (4 ptos cada una)
2 Emplea las reglas de derivacioacuten para encontrar la derivada de la
siguiente funcioacuten coscos
senx xy arctgsenx x
+ = minus
3 Calcular la primera derivada de la funcioacuten impliacutecita 2 34 6xy y y xy+ = +
4 Encontrar la derivada de la siguiente funcioacuten reduciendo en lo posible dicha derivada a su miacutenima expresioacuten
1 1 1( ) ln 2
11 1
x x xf x arctg
xx x
+ minus minus minus= +
++ + minus
ANALISIS SINTESIS Y EVALUACIOacuteN (6 ptos)
5 Lee atentamente el siguiente enunciado y responde a las preguntas La puntuacioacuten obtenida por un estudiante en un examen depende del tiempo que haya dedicado a su preparacioacuten ( x expresado en horas) en los siguientes teacuterminos
0 153( )2
1502 3
x si xg x
x si xx
le le= lt +
a) Si un estudiante ha dedicado menos de 15 horas a preparar el examen justificar que no aprobaraacute esto es que obtendraacute menos de 5 puntos
b) Justificar que la puntuacioacuten nunca puede ser superior a 10 puntos
IacuteNDICE DE TABLAS
PAacuteGINA
1 Tabla Nordm1 Precio de artiacuteculo por meses 23 2 Tabla Nordm2 Razoacuten de cambio en el 2do 3er y 4to mes 27 3 Tabla Nordm3 Temperatura de un paciente seguacuten
transcurren las horas 29 4 Tabla Nordm4 Relacioacuten de Temperatura Graacutefica y Razoacuten
de Cambio 29 5 Tabla Nordm5 Derivadas de orden superior 78 6 Tabla Nordm6 Calificaciones de la Segunda Unidad
- Grupo Experimental 117 7 Tabla Nordm7 Calificaciones de la Segunda Unidad
- Grupo de Control 118 8 Tabla Nordm8 Resultados Pre Test y Post Test - Grupo Experimental 120 9 Tabla Nordm9 Resultados Pre Test y Post Test ndash Grupo de Control 122 10 Tabla Nordm10 Resumen estadiacutestico de pruebas Pre Test
de los grupos experimental y de control 124 11 Tabla Nordm11 Resumen estadiacutestico de pruebas Post Test
de los grupos experimental y de control 125
IacuteNDICE DE GRAacuteFICOS
PAacuteGINA
1 Figura 1 Graacutefica del precio dado en soles en el primer y tercer mes 24 2 Figura 2 Grafica del Supuesto crecimiento lineal de precio entre el primer y tercer mes 24 3 Figura 3 Graacutefica del descuento del 30 en el precio 24 4 Figura 4 Comportamiento no lineal entre tiempo y precio 26 5 Figura 5 Comportamiento no lineal entre tiempo y precio 26 6 Figura 6 Grafico del peso promedio de un bebeacute desde su nacimiento Hasta los dos antildeos 30 7 Figura 7 Graacutefico del valor de madera producida en funcioacuten del tiempo 31 8 Figura 8 Graacutefico del porcentaje de habitante en Estados Unidos que ven televisioacuten durante las 24 horas del diacutea 32 9 Figura 9 Graacutefica de las rectas secante y tangentes a una curva desde El punto Q hasta el punto P 33 10 Figura 10 Graacutefico de las posiciones de una recta secante a una curva en los puntos P y Q y su aproximacioacuten a la recta tangente 34 11 Figura 11 Graacutefica de la distancia recorrida por el objeto en
funcioacuten del tiempo 36
12 Figura 12 Graacutefica de la funcioacuten 1( )f xx
= y su recta
tangente en el Punto ( )21 2 39
13 Figura 13 Graacutefica de la funcioacuten ( )f x en los puntos c y c h+ empleando la primera forma de derivar 45 14 Figura 14 Graacutefica de la funcioacuten ( )f x en los puntos c y c h+ empleando la primera forma de derivar 45
15 Figura 15 Graacutefico de la funcioacuten valor absoluto para estudiar la derivada en cero 48 16 Figura 16 Graacutefico de la derivada de la funcioacuten valor absoluto 49
17 Figura 17 Graacutefico de la funcioacuten 2 0( )
0x xf xx x
le=
gt para
Estudiar la derivada en cero 50
18 Figura 18 Graacutefico de la funcioacuten 1 0( )
2 0x
f xx x
ge= lt
50
19 Figura 19 Graacutefico de posibles situaciones de funcioacuten Diferenciable en un punto 51
20 Figura 20 Grafico de la funcioacuten 2( ) 9f x x= minus 53
21 Figura 21 Graacutefico de la funcioacuten 1( )
1f x
x=
+ 53
22 Figura 22 Graacutefico de la funcioacuten 3( )
1f x
xminus
=+
59
IacuteNDICE DE ANEXOS
CONTENIDO PAacuteGINA
1 ANEXO 1 Siacutelabo de la Asignatura 135 2 ANEXO 2 Registro de Evaluaciones 144
3 ANEXO 3 Guiacuteas Metodoloacutegicas Aplicando
El Software DERIVE 145
4 ANEXO 4 Planes de Clase 171 5 ANEXO 5 Tabla de Especificaciones 177
6 ANEXO 6 Instrumentos de Evaluacioacuten 186
7 ANEXO 7 Laboratorios en DERIVE 195
INTRODUCCIOacuteN El presente trabajo se ha realizado en la asignatura Matemaacutetica I del segundo ciclo en las Escuelas de Ingenieriacutea Industrial e Ingenieriacutea de Sistemas y fue motivado por la necesidad de mejorar mi praacutectica docente y brindar a los alumnos herramientas para mejorar el aprendizaje de esta asignatura Lo abstracto de las matemaacuteticas no permite que los alumnos puedan ver y manipular entes matemaacuteticos generaacutendose confusiones y problemas para interpretar la informacioacuten que un determinado elemento pueda proporcionar Siendo asiacute con mayor dificultad podraacuten emplear los resultados obtenidos para predecir alguna situacioacuten Pensando en esta problemaacutetica es que penseacute en incorporar al trabajo en clase el uso de Software DERIVE para desarrollar el capiacutetulo de derivadas Elegiacute este software por su faacutecil manejo de esta forma los alumnos no demorariacutean en aprenderlo y podriacutean usarlo sin complicaciones Para esta investigacioacuten se elaboroacute un moacutedulo dando un tratamiento didaacutectico a las definiciones teoremas propiedades de la derivada apoyaacutendonos en la teoriacutea de Registros Semioacuteticos ademaacutes de guiacuteas de laboratorio y praacutecticas calificadas apoyaacutendonos para su elaboracioacuten en la Taxonomiacutea de Bloom Los grupos con los que se trabajo la investigacioacuten fueron dos uno experimental y otro de Control Asiacute iniciamos un estudio en que planteamos la posibilidad de que los estudiantes alcancen un aprendizaje del Caacutelculo Diferencial maacutes efectivo empleando DERIVE que permita mejorar el resultado del rendimiento de la asignatura de Matemaacutetica I y por ende mejorar su calidad educativa
CAPIacuteTULO I
PROBLEMATIZACIOacuteN
11PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 111 ANTECEDENTES
Algunos de los trabajos encontrados con ayuda del buscador REDEMAT son los que presento a continuacioacuten estos trabajos de investigacioacuten se han realizado empleando software educativos y desarrollando temas como Funciones Matrices Geometriacutea en los niveles de secundaria bachillerato y universidad
1 TITULO DERIVE UNA HERRAMIENTA PARA EL
APRENDIZAJE DE LAS MATEMAacuteTICAS AUTOR FRANCISCO CABO GARCIA BONIFACIO LLAMAZARES RODRIacuteGUEZ MARIA TERESA PENtildeA GARCIA LUGAR DEPARTAMENTO DE ECONOMIacuteA APLICADA (MATEMAacuteTICA) UNIVERSIDAD DE VALLADOLID
Los autores muestran en este trabajo su experiencia docente con el programa DERIVE en la asignatura Matemaacutetica de las Licenciaturas en Economiacutea y en Administracioacuten y Direccioacuten de Empresas
El objetivo es complementar el curso con una herramienta que les permita a los alumnos visualizar situaciones matemaacuteticas difiacuteciles o muy laboriosas de trabajar manualmente pero que tiene mucha interpretacioacuten en la Economiacutea Este equipo de docentes ha elaborado una guiacutea dividida en tres capiacutetulos El primero describe los menuacutes y los botones de cada una de las ventanas del programa los dos siguiente se dedican al estudio del Algebra y Caacutelculo asiacute como a programar algunas funciones para facilitar la resolucioacuten de ejercicios La conclusioacuten de esta investigacioacuten es que el uso de recursos informaacuteticos permite un mayor acercamiento del alumno a las asignaturas que como matemaacuteticas no gozan de mucha simpatiacutea entre los estudiantes Ademaacutes de desarrollar en el alumno una mayor destreza en las praacutecticas informaacuteticas ya que este curso corresponde a los primeros ciclos
2 TITULO UNA PROPUESTA METODOLOacuteGICA DE
INTRODUCCIOacuteN TEMPRANA DEL CONCEPTO DE APROXIMACIOacuteN LOCAL EN SU MANIFESTACIOacuteN DE RECTA TANGENTE VIacuteA EL ASISTENTE MATEMAacuteTICO
AUTOR PEDRO VICENTE ESTABAN DUARTE
PEDRO PEREZ CARRERA LUGAR UNIVERSIDAD POLITECNICA DE VALENCIA
ESPANtildeA
Los mapas conceptuales tienen por objeto representar relaciones significativas entre conceptos en forma de proposiciones facilitando el anaacutelisis del lenguaje empleado en su construccioacuten y poniendo de manifiesto la integracioacuten que los aprendices tienen entre los conceptos empleados para su elaboracioacuten En el modelo educativo de Van Hiele es considerado el lenguaje como una de sus caracteriacutesticas fundamentales en el proceso de aprendizaje de un concepto geomeacutetrico o matemaacutetico y es una de los indicadores del nivel de razonamiento en el cual un alumno se encuentra El modelo de Van Hiele esta compuesto por cinco niveles de razonamiento cinco fases del aprendizaje y el insight o definido tambieacuten como comprensioacuten A partir del anaacutelisis del leguaje se pueden disentildear experiencias de aprendizaje
significativas para potenciar el progreso de un alumno a traveacutes de los niveles de razonamiento postulados por dicho modelo El propoacutesito de esta investigacioacuten es exponer una metodologiacutea basada en el Modelo Educativo de Van Hiele para ensentildear el concepto de aproximacioacuten local en su manifestacioacuten de recta tangente a una curva plana en un punto a partir de la visualizacioacuten que se obtiene del haz de secantes entendieacutendolo como conjunto de rectas que pasan todas por un punto fijo de la curva y por otros sobre la curva dada cada vez maacutes cercanos al punto dado Dicha visualizacioacuten que se propone se obtiene con la ayuda del asistente matemaacutetico DERIVE y no requiere de manipulaciones algebraicas que entorpezcan el razonamiento que los alumnos deben desarrollar y exhibir a lo largo del proceso Se elabora un material disentildeado para ser cubierto en una clase en la cual el profesor sirva de orientador formulando preguntas y respondiendo inquietudes en el momento oportuno Como conclusiones de esta investigacioacuten se tiene que para la asimilacioacuten efectiva de un concepto matemaacutetico se deben tener en cuenta dos fases una primera de proporcionar una visualizacioacuten adecuada del concepto a estudiar en la que los alumnos tienen un primer acercamiento al concepto sin manipulaciones algebraicas La segunda es la formalizacioacuten del concepto en la cual la docencia tradicional centra todos sus esfuerzos La ensentildeanza centrada en esta segunda fase hace maacutes difiacutecil que los alumnos progresen en su razonamiento y logren integrar y desarrollar relaciones con los demaacutes conceptos estudiados Su propuesta metodoloacutegica esta dirigida a la primera fase es decir a la construccioacuten de un concepto ndash definicioacuten cuando se disponga de la madurez algebraica y loacutegico deductivo necesarias Su experiencia educativa siguiendo el modelo de Van Hiele aplicado al concepto de aproximacioacuten local del cual esta propuesta metodoloacutegica es su fruto les permite asegurar que el 90 de los alumnos sometidos al proceso descrito pueden verbalizar una definicioacuten correcta de recta tangente a una curva en uno de sus puntos partiendo del haz de secantes y solo el 5 de los alumnos que siguen el curso de anaacutelisis con
una metodologiacutea tradicional dan una definicioacuten de tangente a una curva en un punto a partir del concepto de derivada
3 TITULO ALGUNAS CONSECUENCIAS DEL USO HABITUAL
DEL ORDENADOR EN LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS
AUTOR JCARIAS
LUGAR SIMPOSIO- MADRID 11 DE DICIEMBRE DE 2003
En esta ponencia se hace una reflexioacuten acerca del uso del programa DERIVE 6 en la ensentildeanza de las matemaacuteticas Se inicia con una breve incidencia en las nuevas posibilidades del programa respecto a su predecesor DERIVE 5 Se propone el uso cotidiano incorporado a todas las fases del proceso de ensentildeanza aprendizaje la idea de que ldquoLos meacutetodos con los que los estudiantes han de ser introducidos para resolver los problemas han de tener en cuenta lo que las nuevas tecnologiacuteas son capaces de hacerrdquo le lleva a concluir que no se pueden cambiar los programas curriculares pero que se pueden aprovechar todas las potencialidades que ofrece DERIVE para hacer de el una herramienta capaz de contribuir en la formacioacuten de conocimiento en el alumno Respecto a la evaluacioacuten explica que no se trata de poner exaacutemenes especiales para evaluar unas praacutecticas con ordenador maacutes o menos ocasionales Menos todaviacutea de modificar los contenidos de las asignaturas para adaptarlos a las posibilidades del software al contrario en esta experiencia se plantea valorar las consecuencias de permitir el uso del ordenador en los exaacutemenes entendidos estos como los exaacutemenes de siempre los mismos que se hubiesen propuestos si no se contase con el ordenador Como conclusioacuten se menciona la elaboracioacuten de exaacutemenes donde el alumno plantea el problema pero las cuentas las hace el programa por tanto hay una subida de nivel por que nos centramos maacutes en los problemas (frente a los ejercicios) y por que la economiacutea de tiempo permite abarcar maacutes materias en el examen Como primera consecuencia los resultados acadeacutemicos mejoran pues hay mayor motivacioacuten en el estudiante como
consecuencia de la introduccioacuten de la tecnologiacutea y como consecuencia del mismo planteamiento de la iniciativa que lleva a restar importancia a habilidades algebraicas mal adquiridas La llamada falta de base se cintildee demasiadas veces a una mera deficiencia en esas habilidades que no necesariamente llevan unida una deficiencia en la capacidad de razonar matemaacuteticamente Como segunda consecuencia se tiene que el uso del ordenador implica cambios en los contenidos no con ello perdiendo el rigor que las matemaacuteticas requieren Pero si permitiendo dejar de ser esclavos de las limitaciones del caacutelculo y trabajando ejemplos realistas que solo con ayuda de un ordenador podriacutean visualizarse en el menor tiempo posible permitiendo de esta manera el invertir el tiempo disponible en el anaacutelisis y comprensioacuten de conceptos
4 TITULOCURSO DE CAacuteLCULO DIFERENCIAL POR
COMPUTADORA AUTOR JOSE HUMBERTO GIRALDO
LUGAR DEPARTAMENTO DE MATEMAacuteTICAS- UNIVERSIDAD DE LOS ANDES-BOGOTA- COLOMBIA
SEMINARIO I
En este seminario se expone el proyecto piloto de ensentildeanza de caacutelculo diferencial con computadoras que se esta desarrollando en la Universidad de los Andes En la primera fase del proyecto participan cuatro profesores del departamento estos profesores ensentildean aproximadamente en cuatro secciones diferentes de aproximadamente 130 estudiantes cada una Al principio del semestre cada estudiante recibe un CD que contiene la informacioacuten del curso y que incluye todas las guiacuteas que se usaran durante el semestre Estas guiacuteas tiene un formato especial despueacutes de discutir un determinado concepto el estudiante esta obligado a resolver determinados problemas relacionados con el tema que se ha explorado
Ademaacutes se trabaja para que el estudiante aprenda a encontrar conexioacuten entre la parte algebraica y la parte grafico geomeacutetrica La evaluacioacuten continua del estudiante tambieacuten se contempla como un componente de la estructura del curso El estudiante tiene un quiz semanal que se publica en la web El objetivo es tener al estudiante trabajando todo el tiempo en los conceptos y darle informacioacuten al profesor sobre como se estaacuten asimilando dichos conceptos El profesor Giraldo no obstante expreso que las computadoras no van a reemplazar a los profesores porque los estudiantes siempre van a querer salir de sus casas para socializarse alejarse de sus familias e ir a la universidad Finalmente algunas reflexiones son 1 A pesar de lo atractivo y novedosos que resultan estas metodologiacuteas no se puede perder de vista lo que es esencial en un curso de matemaacuteticas a saber hacer que el estudiante adquiera una forma de pensar precisa coherente y exhaustiva ensentildearle de una manera clara los conceptos y los argumentos loacutegico que los sustentan darle herramientas metodoloacutegicas para solucionar problemas transmitirle una pasioacuten por el mundo de las matemaacuteticas hacerle apreciar su elegancia y su utilidad 2 No cabe duda de que las computadoras con sus caacutelculos agiliacutesimos y sus estupendas animaciones y sus graacuteficas pueden ayudar a cumplir los objetivos mencionados anteriormente pues permite explicar con mucha claridad y entender con gran facilidad las nociones matemaacuteticas maacutes intriacutensecas
5 TIacuteTULO MATEMAacuteTICAS CON DERIVE EN EL SALOacuteN DE CLASES
AUTOR HECTOR AEGUETA VILLAMAR MARIA JUANA LINARES ALTAMIRANO LUGAR DIRECCIOacuteN GENERAL DE SERVICIOS DE
COacuteMPUTO ACADEacuteMICO UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MEacuteXICO
El objetivo de este trabajo es mostrar diversas aplicaciones del programa Derive para PC en el proceso de ensentildeanza de las matemaacuteticas en los niveles de secundaria y medio superior Derive es un asistente matemaacutetico que permite realizar caacutelculos numeacutericos y caacutelculos simboacutelicos El programa puede trabajar con distintos tipos de precisioacuten para los caacutelculos 31416 141 271 etc entonces puede utilizar la precisioacuten exacta Con Derive es posible trabajar una amplia gama de temas matemaacuteticos como Aritmeacutetica de nuacutemeros reales y complejos Algebra Sistemas de Ecuaciones Funciones Caacutelculo Diferencial e Integral Vectores y Matrices Graficacioacuten en dos y tres dimensiones en coordenadas cartesianas y polares etc Derive cuenta ademaacutes con algunas posibilidades de programacioacuten con las que el usuario puede definir sus propias funciones puede trabajar con operadores booleanos y con el operador condicional If tambieacuten puede crear funciones recursivas y de iteracioacuten entre otras Esto uacuteltimo permite al usuario crear sus propias aplicaciones para resolver una diversidad de problemas El programa incluye algunos archivos llamados de aplicacioacuten de gran utilidad para resolver Ecuaciones Diferenciales Transformada de Laplace Integrales Eliacutepticas y para Graficar Curvas y Superficies Parameacutetricas en tres dimensiones etc Ademaacutes de su contenido matemaacutetico la gran virtud de Derive es que corre praacutecticamente en cualquier computadora e inclusive puede correr desde el diskette que lo contenga Ademaacutes DERIVE presenta como anexos ilustraciones de algunos de los documentos que trabajaron en el Taller
112 FORMULACIOacuteN DEL PROBLEMA
Durante el tiempo que he ensentildeado la asignatura de Matemaacutetica I he notado algunas dificultades comunes en los alumnos con respecto al tema del caacutelculo diferencial Este suceso me ha permitido fijar la atencioacuten y reflexionar sobre la idea de trabajar
con alguacuten recurso que me lleve a mejorar mi praacutectica docente Asiacute planteo el siguiente problema
iquestEn queacute medida la aplicacioacuten del programa DERIVE contribuye a mejorar el aprendizaje del Caacutelculo Diferencial en los alumnos de la asignatura de Matemaacutetica I de la Escuela de Ingenieriacutea Industrial y de Sistemas de la Universidad Ceacutesar Vallejo 2006
113 JUSTIFICACIOacuteN
En el desarrollo de nuestra labor como docentes del aacuterea de matemaacutetica nos encontramos con grupos de estudiantes que presentan dificultades en su rendimiento acadeacutemico El nuacutemero de desaprobados en la asignatura incrementa conforme el curso se desarrolla y su retiro de la asignatura es una consecuencia que no tarda en aparecer
Esta situacioacuten se debe a diversas causas entre ellas podemos mencionar el empleo de estrategias instruccionales inadecuadas el desconocimiento por parte de los docentes de los conocimientos previos que tienen los alumnos y un conjunto de factores como lo son lo relacionado con el curriacuteculo el docente el estudiante las tareas acadeacutemicas el contexto socio cultural y las estrategias tanto instruccionales como de aprendizaje
Por otro lado la tecnologiacutea ha afectado a nuestras vidas de muchas maneras Es imposible que ella no afecte la educacioacuten ya que despueacutes de todo uno de los objetivos de la educacioacuten es el de preparar al individuo para que se desenvuelva en la sociedad y la sociedad estaacute imbuida de tecnologiacutea
La complejidad de esta problemaacutetica lleva a la necesidad de plantear alternativas que contribuyan a mejorar los procesos de la ensentildeanza- aprendizaje en tal sentido considerareacute el uso de un programa matemaacutetico DERIVE
Asiacute siendo profesora de la asignatura de Matemaacutetica I inicio un estudio en que planteo la posibilidad de que los estudiantes alcancen un aprendizaje del Caacutelculo Diferencial maacutes efectivo empleando DERIVE que permita mejorar el resultado del rendimiento de la asignatura de Matemaacutetica I y por ende mejorar su calidad educativa
Normalmente este trabajo de investigacioacuten no debe detenerse en la mera descripcioacuten de los problemas sino que como resultado del anaacutelisis de su origen debe desembocar en propuestas tal como la que planteo que contribuyan a superarlos o al menos que la mayoriacutea de estudiantes los superen
114 HIPOacuteTESIS
Hipoacutetesis de la Investigacioacuten
1H Los estudiantes de la asignatura de Matemaacutetica I Seccioacuten A aula 412 del semestre 2006 II de Ingenieriacutea Industrial que usan el software DERIVE obtienen un mejor rendimiento acadeacutemico que los alumnos de la asignatura de Matemaacutetica I Seccioacuten B aula 413 del semestre 2006 II de Ingenieriacutea de Sistemas que no utilizan esta herramienta informaacutetica
Hipoacutetesis Nula
0H Los estudiantes de la asignatura de Matemaacutetica I Seccioacuten A aula 412 del semestre 2006 II que usan el software DERIVE de Ingenieriacutea Industrial no obtienen un mejor rendimiento acadeacutemico que los alumnos de la asignatura de Matemaacutetica I Seccioacuten B aula 413 del semestre 2006 II de Ingenieriacutea de Sistemas que no utilizan esta herramienta informaacutetica
115 VARIABLES
Variable Independiente Uso del programa DERIVE Variable Dependiente Rendimiento acadeacutemico de los alumnos Variables Intervinientes Asistencia a clases horarios tipo de contenidos grado de motivacioacuten de los alumnos
116 POBLACIOacuteN
Los alumnos de la asignatura de Matemaacutetica I de la Escuela de Ingenieriacutea Industrial y de Sistemas de la Universidad Ceacutesar Vallejo durante el segundo semestre 2006 Son en total 51 alumnos Se tomaraacute en cuenta el promedio final al terminar cada ciclo Semestre 2006 ndash II
12OBJETIVOS DE LA INVESTIGACIOacuteN 121 OBJETIVO GENERAL
Evaluar la eficacia del programa DERIVE como recurso didaacutectico en el proceso de ensentildeanza ndash aprendizaje del Caacutelculo Diferencial en los alumnos de la asignatura de Matemaacutetica I de la Escuela de Ingenieriacutea Industrial y de Sistemas de la Universidad Ceacutesar Vallejo
122 OBJETIVOS ESPECIacuteFICOS
1 Disentildear la propuesta de ensentildeanza en sus aspectos conceptuales y praacutecticos
2 Fomentar en los alumnos las capacidades de observar discernir analizar e interpretar
3 Proponer guiacuteas y actividades de aprendizaje que conlleven al alumno al aprendizaje significativo
CAPIacuteTULO II
FUNDAMENTO TEOacuteRICO
INTRODUCCIOacuteN
Iniciamos este capiacutetulo refirieacutendonos a silabo de Matemaacutetica I a continuacioacuten abordaremos los contenidos matemaacuteticos necesarios para la investigacioacuten ademaacutes de la propuesta de trabajar con el programa DERIVE 21 DISENtildeO CURRICULAR DE LA ASIGNATURA DE
MATEMAacuteTICA I
211 SIacuteLABO DE LA ASIGNATURA DE MATEMAacuteTICA I La asignatura que ensentildeo en la Universidad Cesar Vallejo en las Escuelas de Ingenieriacutea de Sistemas e Ingenieriacutea Industrial es Matemaacutetica I El siacutelabo se ha elaborado en base a los temas que indica el plan de estudios enviado por la Facultad de Ingenieriacutea de la Universidad Cesar Vallejo de Trujillo y es el mismo para ambas escuelas sentildealo ademaacutes que en ambas escuelas tiene como pre-requisito la asignatura de loacutegico matemaacutetica curso donde se desarrollan temas como Loacutegica Matemaacutetica Fundamentos de Algebra Matrices y Determinantes y Geometriacutea Analiacutetica
El siacutelabo de esta asignatura se presenta en Anexo 1 pero a continuacioacuten describireacute sus contenidos empezando por mencionar que se deben trabajar tres capiacutetulos los cuales son 1 Funciones 2 Liacutemites y Continuidad 3 Caacutelculo Diferencial El Desarrollo de esta asignatura estaacute orientado a lograr potenciar en el estudiante capacidades propias del aacuterea de Matemaacutetica como el razonamiento y demostracioacuten la interpretacioacuten de graacuteficos y expresiones simboacutelicas y la resolucioacuten de problemas Asiacute como presentar los medios necesarios para la adquisicioacuten de ciertas destrezas como anaacutelisis interpretacioacuten y aplicacioacuten de fundamentos teoacutericos Finalmente el logro de los objetivos de esta asignatura se veraacute reflejado y podraacute ser evaluado en la eficiencia que demuestren los alumnos al resolver situaciones reales
22 DIDAacuteCTICA DE LA MATEMAacuteTICA
Sabemos que la didaacutectica de las matemaacuteticas es la ciencia del estudio y de la ayuda al estudio de las matemaacuteticas Su objetivo es llegar a describir y caracterizar los procesos de estudio ndash o procesos didaacutecticos ndash de cara a proponer explicaciones y respuestas soacutelidas a las dificultades con que se encuentran todos aquellos que estudian matemaacuteticas1
Didaacutectica de las Matemaacuteticas no es un recetario didaacutectico ni un modelo para la ensentildeanza sino un intento de transmitir algunas reflexiones producto de la experiencia y de la lectura de especialistas en el tema
Tal vez lo que se pretenda lograr es estimular ldquola sorpresa matemaacuteticardquo en el viacutenculo con nuestros alumnos Esta sorpresa se basa en provocar conceptos demostraciones elementales con intereacutes reflexioacuten intriga o admiracioacuten Es responsabilidad del docente proponer una situacioacuten adecuada mediante una pregunta que motive las distintas situaciones de
1 BROUSSEAU GUY ldquoLos Diferentes roles del maestrordquo Paidoacutes 1994
aprendizaje con conocimientos anteriores que el alumno deberaacute acomodar y adecuar a las nuevas situaciones Luego modificar el conocimiento como respuesta al medio y no como deseo del maestro es una necesidad que se convierte en una obligacioacuten es nuestra tarea No se pretende en este trabajo abordar toda la problemaacutetica (referido en este caso al caacutelculo diferencial) con la que el profesor se enfrenta en su quehacer diario ya que eacutesta es muy compleja y tiene varias aristas que el docente debe conocer como conocimientos y teoriacuteas epistemoloacutegicas Al respecto conocemos que se han desarrollado diferentes teoriacuteas como Registros de representacioacuten semioacutetica de Raymond Duval teoriacutea de Situaciones Didaacutectica de Guy Brousseau Teoriacutea Socio epistemoloacutegica y el enfoque Ontosemioacutetico de la Cognicioacuten e Instruccioacuten Matemaacutetica Y para este trabajo de investigacioacuten se ha considerado tomar como referencia la Teoriacutea de Registros de Representacioacuten Semioacutetica y la Taxonomiacutea de Raymond Duval para la parte de la evaluacioacuten
221 REGISTROS DE REPRESENTACIOacuteN SEMIOacuteTICA
RAYMOND DUVAL Raymond Duval se ha interesado por los problemas de manipulacioacuten de representantes dentro de un sistema matemaacutetico de signos y sobre los problemas de conversioacuten de representaciones entre dos o maacutes sistemas de un mismo objeto matemaacutetico generando una nueva nocioacuten que es la de Registro de representacioacuten Un registro es un signo en el sentido maacutes amplio de la palabra trazos iacuteconos siacutembolos etc Los registros son medios de expresioacuten y de representacioacuten caracterizados precisamente por sus respectivos sistemas semioacuteticos El aprendizaje de las matemaacuteticas constituye un campo de estudio privilegiado para el anaacutelisis de las actividades cognitivas fundamentales como la conceptualizacioacuten el razonamiento la resolucioacuten de problemas y la comprensioacuten de textos La particularidad del aprendizaje de las matemaacuteticas hace que estas actividades cognitivas requieran de la utilizacioacuten de sistemas de
expresioacuten y de representacioacuten distinta a los del lenguaje natural o de las imaacutegenes Bajo estas ideas se puede considerar el hecho de que no puede haber comprensioacuten matemaacutetica si no se distingue un objeto de su representacioacuten y es que no podemos confundir los objetos matemaacuteticos como lo son por ejemplo los nuacutemeros las funciones las rectas con sus representaciones es decir las escrituras decimales o fraccionarias los siacutembolos los graacuteficos los trazos de las figuras Pues un mismo objeto matemaacutetico puede darse a traveacutes de representaciones muy distintas y debemos tener claro como docentes que toda confusioacuten entre el objeto y su representacioacuten provoca en un plazo maacutes o menos amplio una perdida en la comprensioacuten En esta teoriacutea se sentildeala primer lugar que cuando hablamos de representaciones es necesario considerar los siguientes aspectos 1 El sistema por el cual se produce la representacioacuten- Cualquier representacioacuten se produce a traveacutes de un sistema en particular El contenido de la representacioacuten de un objeto cambia de acuerdo con el sistema de representacioacuten que se utiliza para su produccioacuten El pensamiento humano requiere la movilizacioacuten de varios sistemas de representacioacuten de produccioacuten y su coordinacioacuten 2 La relacioacuten entre la representacioacuten y el objeto representado 3 La posibilidad de un acceso al objeto representado aparte de la representacioacuten semioacutetica 4 La razoacuten por la que el uso de la representacioacuten es necesaria El tema de derivadas se puede aplicar como un ejemplo de esta teoriacutea por cuanto los alumnos tienen siempre problemas para pasar de una forma de representacioacuten a otra 222 TAXONOMIA DE BLOOM Y LOS NIVELES EN
QUE SE PUEDEN CLASIFICAR LOS OBJETIVOS DE APRENDIZAJE
En el propoacutesito de mejorar la calidad y eficiencias de la educacioacuten debemos buscar que los alumnos elementos esenciales de nuestra tarea logren los maacutes altos niveles de aprendizaje Asiacute con ayuda de la taxonomiacutea de Bloom especificareacute objetivos seleccionareacute los contenidos y disentildeareacute los instrumentos de evaluacioacuten
En el dominio cognoscitivo en lugar de contentarnos con la memorizacioacuten de conocimientos primer escaloacuten debemos hacer que logren el nivel maacutes alto Dichos niveles son los siguientes 1 CONOCIMIENTO Se refiere a la capacidad de recordar hechos especiacuteficos y universales meacutetodos y procesos esquemas estructuras o marcos de referencia sin elaboracioacuten de ninguna especie puesto que cualquier cambio ya implica un proceso de nivel superior Requiere que el alumno repita alguacuten dato teoriacutea o principio en su forma original bull Terminologiacutea (palabras teacuterminos teacutecnicos etc) bull Hechos especiacuteficos (fechas partes de algo acontecimientos
etc) bull Convencionalismos (formas de tratar ideas dentro de un campo
de estudio foacutermulas) bull Corrientes y sucesiones (tendencias y secuencias) bull Clasificaciones y categoriacuteas (clases grupos divisiones etc)
criterios (para juzgar o comprobar hechos principios opiniones y tipos de conducta)
bull Metodologiacutea (meacutetodos de investigacioacuten teacutecnicas y procedimientos)
bull Principios y generalizaciones (abstracciones particulares para explicar describir predecir o determinar acciones)
bull Teoriacuteas y estructuras (evocacioacuten de teoriacuteas interrelaciones de los principios y generalizaciones)
Verbos que se usan con frecuencia para redactar objetivos de este nivel Definir - Sentildealar ndash Describir - Nombrar ndash Identificar ndash Narrar ndash Indicar ndash Mencionar 2 COMPRENSIOacuteN Se refiere a la capacidad de comprender o aprehender en donde el estudiante sabe queacute se le estaacute comunicando y hace uso de los materiales o ideas que se le presentan sin tener que relacionarlos con otros materiales o percibir la totalidad de sus implicaciones El material requiere de un proceso de transferencia y
generalizacioacuten lo que demanda una mayor capacidad de pensamiento abstracto Requiere que el alumno explique las relaciones entre los datos o los principios que rigen las clasificaciones dimensiones o arreglos en una determinada materia conocimiento de los criterios fundamentales que rigen la evaluacioacuten de hechos o principios y conocimientos de la metodologiacutea principios y generalizaciones bull Traduccioacuten (parafrasear habilidad para comprender
afirmaciones no literales como simbolismos metaacuteforas traducir material matemaacutetico simboacutelico etc)
bull Interpretacioacuten (explicacioacuten o resumen implica reordenamiento o nuevos arreglos de puntos de vista)
bull Extrapolacioacuten (implicaciones consecuencias corolarios efectos prediccioacuten etc)
Verbos que se usan con frecuencia para redactar objetivos de este nivel Traducir ndash Resumir ndash Expresar ndash Parafrasear ndash Discutir 3 APLICACIOacuteN
Se guiacutea por los mismos principios de la comprensioacuten y la uacutenica diferencia perceptible es la cantidad de elementos novedosos en la tarea por realizar Requiere el uso de abstracciones en situaciones particulares y concretas Pueden presentarse en forma de ideas generales reglas de procedimiento o meacutetodos generalizados y pueden ser tambieacuten principios ideas y teoriacuteas que deben recordarse de memoria y aplicarse
bull Solucioacuten de problemas en situaciones particulares y concretas (utilizacioacuten de abstracciones en tipos de conducta y tipos de problemas)
Verbos que se usan con frecuencia para redactar objetivos de este nivel Demostrar- Practicar ndash Emplear ndash Solucionar ndash Aplicar ndash Operar ndash Usar 4 ANAacuteLISIS
Consiste en descomponer un problema dado en sus partes y descubrir las relaciones existentes entre ellas En general la eventual solucioacuten se desprende de las relaciones que se descubren
entre los elementos constituyentes Implica el fraccionamiento de una comunicacioacuten en sus elementos constitutivos de tal modo que aparezca claramente la jerarquiacutea relativa de las ideas y se exprese expliacutecitamente la relacioacuten existente entre eacutestas
bull Anaacutelisis de elementos (reconocer supuestos no expresados distinguir entre hechos e hipoacutetesis)
bull Identificacioacuten de relaciones entre los elementos (conexiones e interacciones entre elementos comprobacioacuten de la consistencia de las hipoacutetesis con informaciones y suposiciones dadas)
bull Reconocimiento de los principios de organizacioacuten de la situacioacuten problemaacutetica (estructura expliacutecita e impliacutecita reconocimiento de formas y modelos teacutecnicas generales utilizadas etc)
bull Identificacioacuten de conclusiones y fundamentacioacuten de enunciados
Verbos que se usan con frecuencia para redactar objetivos de este nivel Diferenciar- Distinguir- Discriminar- Contrastar- Criticar- Analizar- Inferir 5 SIacuteNTESIS
Es el proceso de trabajar con fragmentos partes elementos organizarlos ordenarlos y combinarlos para formar un todo un esquema o estructura que antes no estaba presente de manera clara Requiere la reunioacuten de los elementos y las partes para formar un todo
bull Elaboracioacuten de un plan o conjunto de actos planeados (habilidad para proponer formas de comprobar las hipoacutetesis)
bull Desarrollo de conjuntos de relaciones para clasificar o explicar datos
bull Deduccioacuten de proposiciones y relaciones (de un grupo de proposiciones baacutesicas o de representaciones simboacutelicas)
bull Construccioacuten de un modelo o estructura bull Reordenacioacuten de las partes en una secuencia loacutegica Verbos que se usan con frecuencia para redactar objetivos de este nivel Organizar- Reconstruir- Proponer- Reordenar
6 EVALUACIOacuteN Se refiere a la capacidad para evaluar se mide a traveacutes de los procesos de anaacutelisis y siacutentesis Requiere formular juicios sobre el valor de materiales y meacutetodos de acuerdo con determinados propoacutesitos Incluye los juicios cuantitativos y cualitativos de acuerdo a los criterios que se sugieran (los cuales son asignados) bull Juicios en funcioacuten de evidencia interna (de exactitud loacutegica
consistencia o criterio interno) bull Juicios en funcioacuten de criterios externos (criterios
seleccionados comparacioacuten de teoriacuteas comparacioacuten de un trabajo con respeto a normas etc)
Verbos que se usan con frecuencia para redactar objetivos de este nivel Juzgar- Evaluar- Apreciar ndash Revisar- Corregir- Seleccionar ndash Justificar- Valoriza
23 DESARROLLO DE LA PARTE CONCEPTUAL DE LA DERIVADA
En este apartado desarrollaremos los contenidos matemaacuteticos que se presentan en el silabo de Matemaacutetica I y que son parte de la investigacioacuten para lo cual hemos revisado bibliografiacutea de autores nacionales y extranjeros especialistas en el tema del caacutelculo diferencial
1 LA IDEA FUNDAMENTAL DEL CAacuteLCULO
Si observamos a nuestro alrededor podremos ver que nuestro mundo se caracteriza por cambios continuos de alliacute la inquietud de desarrollar meacutetodos matemaacuteticos para cuantificar describir y pronosticar estos cambios Para Wenzelburger (1993) es justamente este el propoacutesito del Caacutelculo Diferencial y presenta el concepto de razoacuten de cambio como fundamental Veamos a continuacioacuten dos definiciones del teacutermino Razoacuten de Cambio media o Promedio
DEFINICIOacuteN 1
DEFINICIOacuteN 2
Ambas definiciones muestran la misma idea pero la definicioacuten que presenta Hasser (1976) es muy cuidadosa al determinar las variables que intervienen en ella asiacute da lugar a pensar en ejemplos inmediatos de aplicacioacuten como por ejemplo la relacioacuten entre la cantidad demandada de un bien
dQ y su precio unitario
por periacuteodo de tiempo a traveacutes de la funcioacuten ( )d
Q f p=
Respecto a la segunda definicioacuten es maacutes directa no menciona que x y t sean magnitudes fiacutesicas y analiza directamente los cambios
o variaciones
Razoacuten Promedio de Cambio Sean ( )o ox x t= y ( )o oy y t= ox y oy son valores de las magnitudes fiacutesicas
en alguacuten instante ot Supongamos que ox cambia en la cantidad x∆ El cambio correspondiente y∆ en oy es
( )( )o oy f x x f x∆ = + ∆ minus Y la razoacuten promedio de cambio de y con respecto a x es
( ) ( )( )
0 o of x x f xy xx x
+ ∆ minus∆= ∆ ne
∆ ∆ (Hasser 1976 401)
Razoacuten de Cambio Media Suponga que y es una funcioacuten de x ( )y f x= correspondiendo a un cambio de x a x x+ ∆ la variable y cambia en una cantidad
( ) ( )y f x x f x∆ = + ∆ minus Asiacute el cociente de diferencias
( ) ( )Cambio de x x f x x f xCambio de y y x
∆ + ∆ minus= =∆ ∆
Representa la razoacuten de cambio de y con respecto a x (Hoffmann 1985 82)
Wenzelburger (1993 4) nos dice ldquoDeterminar razones de cambio de procesos continuos es muchas veces maacutes importante que estudiar estos procesos Siempre que dos magnitudes (variables) estaacuten conectadas mediante una relacioacuten funcional (funcioacuten) se puede estudiar el cambio relativo de una de las magnitudes con respecto a la otrardquo Como ejemplos de lo anterior podemos citar a la velocidad que es la razoacuten (el cociente) entre una distancia y un tiempo y describe el cambio en la posicioacuten de un cuerpo con respecto al tiempo transcurrido
Ciertas razones de cambio tienen nombres especiales por ejemplo bull La velocidad es solo uno de las muchas razones de cambio que seraacuten importantes en este capiacutetulo es la razoacuten de cambio de la distancia con respecto al tiempo bull Densidad de un alambre es igual a la razoacuten de cambio de la masa respecto la distancia bull Ingreso Marginal es igual a la razoacuten de cambio del ingreso respecto nuacutemero de artiacuteculo producidos bull Corriente es igual a la razoacuten de cambio de la Carga eleacutectrica respecto al tiempo Asiacute mismo Wenzelburger (1993) menciona dos aspectos importantes al estudiar el Caacutelculo Diferencial los cuales son 1- La continuidad que significa que la relacioacuten es completa no tiene saltos bruscos ni interrupciones y que graacuteficamente se expresa como segmentos de liacuteneas o curvas y no como una coleccioacuten de puntos aislados 2- La determinacioacuten de la pendiente Todos tenemos nociones intuitivas acerca de pendientes y coacutemo comparar las inclinaciones de varias pendientes Por ejemplo sabemos que cuesta maacutes trabajo subir una montantildea maacutes empinada (pendiente grande) o que el agua de un riacuteo corre maacutes raacutepido si este tiene mucha pendiente Lo que hay que explorar entre otras cosas es la manera en la cual la medida de una pendiente de una curva estaacute relacionada con el concepto de razoacuten de cambio
2 LA RELACIOacuteN ENTRE LAS RAZONES DE CAMBIO Y PENDIENTES DE RECTAS
DEFINICIOacuteN 3
Los dos ejemplos que estudiaremos a continuacioacuten tiene por objetivo reforzar la definicioacuten dada asiacute como dar el primer paso en el intento por comprobar si los alumnos pueden comprender un tipo de registro semioacutetico como lo es el lenguaje escrito y luego trabajar lo concerniente a pasar de un registro a otro como lo seriacutea el paso de lo enunciado a la grafica Ejemplo 1
ldquoSuponga que sabemos que el precio de un artiacuteculo en un primer mes era de 600 soles y en el tercer mes subioacute a 1200 soles
MES PRECIO 1 600 Soles 3 1200 Soles
Tabla Nordm 1
Podemos graficar estos datos Fig1 y suponer que el incremento del precio ocurrioacute como en la Fig2
La pendiente de una recta en un sistema de coordenadas ( x y ) es una medida de la razoacuten de cambio de la variable y con respecto al cambio de la variable x (Wenzelburger 1993 9)
La razoacuten de cambio del precio se define de la siguiente manera
se calcula el cambio en direccioacuten vertical y se divide por el cambio en direccioacuten horizontal Asiacute la razoacuten de cambio para los meses uno y tres es
Fig3
500
1000
1500
2000
1 2 3
(1600)
(31200)
Mes
Precio Y
(4840)
4
x
500
1000
1500
2000
1 2 3
(1600)
(31200)
Mes
Precio Y
Fig1
MesFig2
Precio
500
1000
1500
2000
1 2 3
(1600)
(31200)
Y
(2900)
Graacutefica del precio dado en soles en el primer y tercer
mes
Graacutefica del supuesto crecimiento lineal de precio entre el primer y
tercer mes
Graacutefico de la situacioacuten anterior con un descuento del 30 en el precio
Razoacuten de cambio = 600 3002
solesmes
= hellip (1)
Este valor numeacuterico caracteriza el incremento del precio En el cuarto mes se ofrecioacute el producto con un 30 de descuento como promocioacuten (Fig3) La razoacuten de cambio en este mes es
Razoacuten de cambio= 840 1200 3601
solesmes
minus = minus hellip (2)
Ahora consideremos un valor intermedio
Razoacuten de cambio= 900 600 300 3002 1 1
solesmes
minus = = minus hellip (3)
Resumimos lo observado en (1) (2) y (3) Una razoacuten de cambio caracteriacutestica para una graacutefica en forma de segmentos de liacutenea recta soacutelo cambia si hay variacioacuten en la pendiente de eacutesta Si crece la graacutefica la razoacuten de cambio y la pendiente son positivas Si decrece la graacutefica la razoacuten de cambio y la pendiente son negativas Para calcular la razoacuten de cambio entre dos puntos de una graacutefica se sigue el trazo de la curva y se ven los valores primero el punto de la abscisa (valor en el eje horizontal) maacutes grande y despueacutes el punto en la abscisa maacutes pequentildea Despueacutes se forma el cociente entre la diferencia vertical y la horizontalrdquo
3 RAZONES DE CAMBIO ENTRE DOS PUNTOS DE UNA
CURVA
La diferencia entre una relacioacuten lineal de una no lineal radica en que la razoacuten de cambio para una relacioacuten no lineal varia a lo largo de la curva mientras que en una relacioacuten lineal es constante para todos los puntos de la funcioacuten Sobre el ejemplo anterior Wenzelburger (1993) nos dice ldquoes factible que los precios no subieran siguiendo una relacioacuten lineal por ejemplo ver las figuras 4 y 5
De acuerdo a la figura 4 el precio al principio del segundo mes parece ser de 800 soles Como la razoacuten de cambio entre el precio al final del primer mes y del segundo mes (de 600 soles a 800 soles) tenemos
Razoacuten de cambio= 800 600 2001
solesmes
minus = hellip (1)
Ahora calculamos la razoacuten de cambio para el tercer mes
Razoacuten de cambio= 1200 800 4003 2
solesmes
minus = minus hellip (2)
El valor de la razoacuten de cambio en 1 y 2 es diferente Si repetimos el procedimiento para otros pares de puntos vamos a obtener muchos valores diferentes La diferencia entre una curva y una liacutenea recta es la variacioacuten continua de la razoacuten de cambio a lo largo de la curva Si suponemos ahora que los precios cambiaron de acuerdo a la figura 5 podemos observar en la tabla las razones de cambio calculadas para intervalos de 1 mes
500
1000
1500
2000
1 2 3
(1600)
(31200)
Mes
Pesos Y
4
x
(2800)
Fig4
500
1000
1500
2000
1 2 3
(1600)
(31200)
Mes
Pesos Y
4
x
(4800)
Fig5
Las figuras 4 y 5 corresponden al ejemplo1 donde se supone un comportamiento no lineal entre el tiempo y el precio
2do Mes 3er Mes 4to Mes
Razoacuten de cambio en
pesosmes
100 6001
400
minus
1200 10001
200
minus
840 12001360
minus
minus
Tabla Nordm 2
Estos valores describen a grandes rasgos el comportamiento de
la curva precio en funcioacuten del tiempo En el segundo mes el precio sube maacutes raacutepido que en el tercer mes Si calculamos la razoacuten de cambio total del segundo al cuarto mes
Razoacuten de cambio= 840 600 240 803 3
solesmes
minus = = hellip (3)
Obtenemos una informacioacuten equivocada un valor positivo
pequentildeo que no refleja la variacioacuten real del precio Por eso concluimos que es necesario calcular razones de cambio para intervalos pequentildeos debido a que intervalos grandes no dan valores representativos para la descripcioacuten del cambio de una funcioacuten a lo largo de la curvardquo
Observaciones sobre la definicioacuten bull La letra griega delta (∆ ) representa la diferencia o el cambio
bull El cociente yx
∆∆
tambieacuten se llama razoacuten de cambio promedio y
representa graacuteficamente la pendiente de una recta bull El adjetivo promedio es nombre popular pero inexacto porque en
este contexto promedio significa aproximado bull La razoacuten de cambio es suficiente para describir funciones lineales
mas no para graacuteficas curvas
4 LA TRANSFORMACIOacuteN DE LA RAZOacuteN DE CAMBIO PROMEDIO A LA RAZOacuteN DE CAMBIO INSTANTAacuteNEA
Al calcular razones promedio de cambio cada una de ellas no
representa la razoacuten de cambio al principio o al final de un intervalo x∆ sino es un valor promedio que se toma por constante en todo el
intervalo Siendo asiacute es necesario desarrollar un meacutetodo que permita
calcular la razoacuten de cambio de la funcioacuten original praacutecticamente en cada instante es decir para cada valor de x queremos conocer la razoacuten de cambio ( )f x A esta razoacuten de cambio se llama la razoacuten de cambio instantaacutenea Es importante mencionar que una razoacuten de cambio instantaacutenea es mayormente conocida con tasa de cambio Wenzelburger (1993) nos dice
Para ldquola forma de yx
∆∆
2 1
2 1
y yyx x x
minus∆=
∆ minus
Podriacutea proponerse que los puntos 2x y 1x coincidan lo cual implicariacutea tomar 2 1 0x xminus = Entonces la razoacuten de cambio seriacutea instantaacutenea puesto que se tratariacutea de un punto
Es obvio que este intento de solucioacuten fracasa Ya que para 0x∆ = no estaacute definida la razoacuten de cambio Por lo cual aceptaremos
el siguiente principio fundamental para la razoacuten de cambio instantaacutenea
El valor de 2 1x xminus seraacute siempre un nuacutemero que pueda hacerse maacutes pequentildeo que un nuacutemero muy pequentildeo arbitrario pero fijo Debido a que un nuacutemero de esta naturaleza no es igual a cero no estamos considerando un intervalo de longitud cero sino que x∆ se hace cada vez maacutes pequentildeo Esto se expresa como 0x∆ rarr
El valor numeacuterico al cual se aproxima yx
∆∆
cuando 0x∆ rarr es la
razoacuten de cambio instantaacuteneardquo Los problemas del 1 al 4 propuestos a continuacioacuten tienen por finalidad reforzar el conocimiento del alumno sobre razoacuten de cambio promedio e instantaacutenea pendiente ademaacutes interiorizar la relacioacuten que existe entre ambos conceptos asiacute mismo poner en praacutectica el trabajo de cambio de registros semioacuteticos pues se presentan problemas que
hacen uso de los tres tipos de registro y deberaacuten ser convertidos de uno a otro registro para mejorar su comprensioacuten y llegar a una solucioacuten Trabajo Praacutectico Nordm1 Razoacuten de cambio Promedio e Instantaacutenea Problema 12
Una enfermera controla la temperatura a un paciente y registra los resultados
Horas 1500 1600 1700 1800 1900 2000 2100 2200 2300 Temp 36 37 372 378 379 40 40 40 375
Tabla Nordm3
Tareas y Preguntas
a iquestCuaacutel es el cambio de temperatura entre las 1600 y las 1700 horas las 1900 y las 2200 y las 2200horas y las 2300
b Trazar la curva de fiebre del paciente c Calcular la razoacuten de cambio entre las 1500 y las 2300 horas para
intervalos de una hora d Graficar los valores obtenidos en c e Completar la tabla siguiente
Temperatura Graacutefica Razoacuten de Cambio Sube Sube positiva
Queda igual Baja
Tabla Nordm 4
2 El problema 1 se ha tomado del libro de Wenzelburger Didaacutectica del Caacutelculo Diferencial 1993 36
Problema 23
Peso Promedio de un bebeacute- La siguiente graacutefica muestra el peso de un bebeacute promedio desde el instante del nacimiento ( )0t = hasta la
edad de dos antildeos ( )24t = Calcule las pendientes de las rectas tangentes respectivas para estimar la razoacuten promedio de cambio del peso del bebeacute promedio cuando 3t = y cuando 18t = iquestCuaacutel es la razoacuten promedio de cambio en el peso de un bebeacute promedio durante el primer antildeo de vida
Fig6
Fuente Tomado de Thomson Matemaacuteticas para Administracioacuten y Economiacutea 1998 515
Problema 34
Selvicultura- La siguiente graacutefica muestra el volumen de madera producida en un bosque con una uacutenica especie En este caso ( )f t se
3 El problema 2 se ha tomado del libro de Thomson Matemaacuteticas para Administracioacuten y Economiacutea 1998 Paacuteg 515 4 El problema 3 se ha tomado del libro de Thomson Matemaacuteticas para Administracioacuten y Economiacutea 1998 Paacuteg 515
Graacutefico del peso promedio de un bebeacute desde su nacimiento hasta los dos antildeos
mide en metros cuacutebicos por hectaacutereas y t en antildeos Calcule las pendientes de las rectas tangentes respectivas y estime la razoacuten con que el incremento de madera estaacute cambiando al inicio del deacutecimo antildeo y al inicio del antildeo 30
Fig 7 Fuente Tomado de Thomson Matemaacuteticas para Administracioacuten y Economiacutea 1998 515
Problema 45
Patrones de observacioacuten de la televisioacuten- La siguiente graacutefica basada en datos de la compantildeiacutea AC Nielsen muestra el porcentaje de habitantes de Estados Unidos que ven televisioacuten durante un periacuteodo de 24 horas en un diacutea haacutebil ( 0t = corresponde a las 6 am) Calcule las pendientes de las rectas tangentes respectivas y estime la razoacuten de cambio del porcentaje de habitantes que ven televisioacuten entre las 4pm y las 11pm
5 El problema 4 se ha tomado del libro de Thomson Matemaacuteticas para Administracioacuten y Economiacutea 1998 Paacuteg 516
Graacutefico del valor de la madera producida en 3m en funcioacuten del tiempo
Fig8 Fuente Tomado de Thompson Matemaacuteticas para Administracioacuten y Economiacutea 1998 516
5 ALGO SOBRE HISTORIA DE LA DERIVADA
Hasta este momento hemos hablado sobre razones de cambio y como aproximamos una razoacuten de cambio promedio a una razoacuten de cambio instantaacutenea Ahora conoceremos como dos problemas trabajados en eacutepocas de la historia diferentes nos llevaron a la misma solucioacuten La derivada En esta parte hablaremos de razones de cambio e introducireacute las nociones de liacutemites para su resolucioacuten
51 DOS PROBLEMA CON UN MISMO TEMA Los problemas que trataremos a continuacioacuten corresponden a eacutepocas diferentes el primer problema es muy antiguo se remota a la eacutepoca del gran cientiacutefico griego Arquiacutemedes (287-212 aC) Se trata del problema de la pendiente de la recta tangente El segundo problema es maacutes reciente Crecioacute con los intentos de Kepler Galileo Newton y otros para describir la velocidad de un cuerpo en movimiento Es el problema de la velocidad instantaacutenea Los dos problemas uno geomeacutetrico y el otro mecaacutenico parecen no estar muy relacionados En este caso las apariencias engantildean Los dos problemas son gemelos ideacutenticos
Graacutefico del porcentaje de habitantes en Estados Unidos que ven televisioacuten durante las 24 horas de un diacutea
A LA RECTA TANGENTE La descripcioacuten de este problema ha sido tomada de Purcell (2003 99) ldquoSea P un punto de la curva y sea Q un punto moacutevil cercano a P en esa curva Considere la recta que pasa por P y Q llamada recta secante La recta tangente en P es la posicioacuten liacutemite (si esta existe) de la recta secante cuando Q se mueve hacia P a lo largo de la curva
Fig9 Suponga que la curva es la graacutefica de la ecuacioacuten ( )y f x= Entonces P tiene coordenadas ( ) ( )c f c un punto cercano a Q tiene
coordenadas ( ) ( )c h f c h+ + y la recta secante de P a Q tiene pendiente secm dada por
sec( ) ( )f c h f cm
h+ minus
=
Como el objetivo es hallar la recta tangente a la curva ( )f x en el punto P entonces intentaremos aproximar el punto Q a P para ello utilizaremos el concepto de liacutemite con el fin de determinar la pendiente de la recta tangenterdquo
P
Rectas secantes
Recta tangenteQ
Q
Q
La recta tangente es la posicioacuten liacutemite de la recta secante
x
y
Graacutefica de las rectas secantes y tangentes a una curva desde el punto Q hasta el punto P
Fig10
DEFINICIOacuteN 4
Recta Tangente La recta tangente a la curva ( )y f x= en el punto ( ) ( )P c f c es aquella recta que pasa por P con pendiente
tan sec0 0
( ) ( )lim limh h
f c h f cm mhrarr rarr
+ minus= =
Siempre y cuando este liacutemite exista y no sea oinfin minusinfin
(Purcell 2003 101)
P
Q
x
y Liacutenea secante
Liacutenea tangente
( ) ( )c h f c h+ +
( ) ( )f c h f c+ minus
c c h+
( ) ( )c f c
h( )f c
( )f c h+
tan sec0
limh
m mrarr
=
Graacutefico de las posiciones de una recta secante a una curva en los puntos P y Q y su aproximacioacuten a la recta tangente en P
A continuacioacuten veremos un ejemplo que tiene por objetivo que el alumno se familiarice con la definicioacuten la aplique y compruebe que es funcional Ejemplo2Encuentre la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva
( )23 1y x= + minus
en el punto ( )224
Solucioacuten
Encontraremos primero la pendiente de la recta tangente a la curva la cual estaraacute
Dada por
( ) ( )( )2 2
0
3 1 3 1limh
c h c
hrarr
+ + minus minus + minus
( ) ( ) ( )
( )
( )
2 22
2
3 2 3 1 3 1
2 3
2 3
c c h h ch
c h hh
c h
+ + + + minus minus + +
+ +
+ +
Luego aplicando liacutemites tendremos
( )0
lim 2 3 2( 3)h
c h crarr
+ + = +
En el punto 2 la pendiente es 10m = finalmente la ecuacioacuten de la recta en ( )224 es ( )10 2 24 oacute 10 4y x y x= minus + = +
B VELOCIDAD PROMEDIO Y VELOCIDAD INSTANTAacuteNEA
En un contexto referido a la fiacutesica se propone la siguiente situacioacuten con la finalidad de trabajar una solucioacuten y de comprobar que ella tiene mucho en comuacuten la solucioacuten del problema de la recta tangente Si viajamos de una ciudad a otra que estaacute a 80 km En 2 horas nuestra velocidad promedio es de 40 Km por hora Determinamos una velocidad promedio como la distancia de la primera posicioacuten a la segunda posicioacuten dividida entre el tiempo empleado Pero durante el viaje la lectura del velociacutemetro con frecuencia fue diferente de 40 Al principio registroacute 0 a veces hasta 57 al final regresoacute a 0 otra vez iquestQueacute es lo que mide el velociacutemetro Ciertamente no indica la velocidad promedio Purcell (2003 101-103) ldquoConsidere el ejemplo maacutes preciso de un objeto P que cae en el vaciacuteo El experimento muestra que si inicioacute desde el reposo P cae 216t pies en t segundos Por tanto cae 16 pies en el primer segundo 64 pies en el 2do segundo Observemos el diagrama del tiempo empleado y la graacutefica de la relacioacuten tiempoespacio recorrido
Fig11
Ahora analicemos la velocidad promedio en algunos intervalos
Graacutefica de la Distancia recorrida por el objeto en funcioacuten del tiempo
1 2 3 4
50
100
150
200
250
Dis
tanc
ia re
corr
ida
t
( )
( )
( )
2
2
2
16 00 1 16 1 064 161 2 48
2 1
16 15 161 15 40
15 1
16 11 161 11 336
11 1
16 101 161 101 3216
101 1
prom
prom
prom
prom
prom
t t v p s
t t v p s
t t v p s
t t v p s
t t v p s
minus= rarr = = =
minusminus
= rarr = = =minus
minus= rarr = = =
minus
minus= rarr = = =
minus
minus= rarr = = =
minus
Lo que hemos hecho es calcular la velocidad promedio en intervalos de tiempo cada vez maacutes pequentildeos cada uno iniciando en 1t = Entre maacutes breve es el intervalo de tiempo mejor aproximamos la velocidad instantaacutenea en 1t = Seamos maacutes precisos Suponga que un objeto P se mueve a lo largo de un eje coordenado de modo que su posicioacuten en el instante t estaacute dado por ( )S f t= En el instante c el objeto estaacute en ( )f c en el instante cercano c h+ estaacute en ( )f c h+ Asiacute la velocidad promedio en este intervalo es
( ) ( )prom
f c h f cvh
+ minus=
Ahora podemos definir la velocidad instantaacutenea
DEFINICIOacuteN 5
Velocidad Instantaacutenea-Si un objeto se mueve a lo largo de un eje coordenado con funcioacuten de posicioacuten ( )S f t= entonces su velocidad instantaacutenea en el instante c es
0 0
( ) ( )lim limpromh h
f c h f cv vhrarr rarr
+ minus= =
Siempre que el liacutemite exista y no sea oinfin minusinfin (Edwin Purcell2003)
En el caso donde 2( ) 16f t t pies= la velocidad instantaacutenea en 1t = es
2
0 0 0 0
(1 ) (1) 16(1 ) 16lim lim lim lim 32 16 32promh h h h
f h f hv v hh hrarr rarr rarr rarr
+ minus + minus= = = = + =
ldquoAhora podemos ver porqueacute llamamos a la pendiente de la recta tangente y a la velocidad instantaacutenea gemelos ideacutenticosrdquo Este ejemplo tiene por objetivo que el alumno vaya haciendo al mismo tiempo que resuelve los apartados de esta pregunta un verificacioacuten de la teoriacutea por cuando al ir hallando la velocidad promedio en un intervalo considerablemente grande como lo es de 2 a 3 y luego pase a calcular una velocidad promedio en un intervalo lo suficientemente pequentildeo como lo es de 2 a 2003 y finalmente calcule la velocidad instantaacutenea en 2 notaraacuten como se aproxima una variacioacuten una otra hasta llegar a la variacioacuten en un punto Ejemplo 3
Un objeto viaja a lo largo de una recta de modo que su posicioacuten S es 2 1S t= + metros despueacutes de t segundos
a) iquestCuaacutel es su velocidad promedio en el intervalo 2 3tle le b) iquestCuaacutel es su velocidad promedio en el intervalo 2 2003tle le c) iquestCuaacutel es su velocidad promedio en el intervalo 2 2t hle le + d) Encuentre la velocidad instantaacutenea en t = 2
Solucioacuten
La velocidad promedio estaraacute dada por
( ) ( )
promf c h f cv
h+ minus
=
a) La velocidad promedio en el intervalo 2 3tle le seraacute
( ) ( )2 23 1 2 1 10 5 5 3 2 1promv m s
+ minus + minus= = =
minus
b) La velocidad promedio en el intervalo 2 2003tle le seraacute
( ) ( )2 22003 1 2 1 5012009 5 4003 2003 2 0003promv m s+ minus + minus
= = =minus
c) La velocidad promedio en el intervalo 2 2t hle le + seraacute ( )( ) ( )2 2 22 1 2 1 4 4 prom
h h hv h m sh h
+ + minus + += = = +
d) La velocidad instantaacutenea en 2t = seraacute
( )( ) ( )2 2 22 1 2 1 4 4 prom
h h hv h m sh h
+ + minus + += = = + luego en
2t = es 6 Los problemas propuestos en este apartado tienen un objetivo similar al planteado en el ejemplo anterior es decir contrastar en la praacutectica lo que en la teoriacutea se describe a la vez potenciar su habilidad para el cambio de registros ya que como se puede apreciar en los enunciados se piden encontrar ecuaciones dadas algunas graacuteficas y datos elaborar graacuteficas dadas algunas foacutermulas interpretar informacioacuten presentada en ecuaciones graacuteficas referidos a casos de aplicacioacuten en aacutereas como fiacutesica y biologiacutea Trabajo Praacutectico Nordm2 Recta Tangente y Velocidad Instantaacutenea6
Encuentre la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva Ejercicio 1
1yx
= en el
punto ( )21 2
Fig12
6 Los ejercicio se han tomado del libro de Purcell Caacutelculo Diferencial2003
05 1 15 2 25 3
05
1
15
2
25
3
1yx
=
y
x
Graacutefico de la funcioacuten 1( )f x
x= y su recta tangente en el punto (2 frac12)
Considere Ejercicio 2
3 1y x= minus a) Haga un bosquejo de su graacutefica tan detallado como sea posible b) Dibuje la recta tangente en (27) c) Calcule la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos
(27) y ( )3201 (201) 1minus
d) Utilizando el proceso de liacutemite encuentre la pendiente de la recta tangente en (27)
Encuentre las pendientes de las rectas tangentes a la curva Ejercicio 3
2 1y x= minus en los puntos de abscisas -2-1 0 1 2
Haga un bosquejo de la graacutefica de
Ejercicio 4 1
1y
x=
+ luego encuentre la
ecuacioacuten de la recta tangente en (1 12)
Encuentre la ecuacioacuten de la recta tangente a
Ejercicio 5 1
1y
x=
minus en (0-1)
Un experimento sugiere que un cuerpo que cae descenderaacute aproximadamente
Ejercicio 6
216t metros en t segundos a) iquestCuaacutento caeraacute entre t = 0 y t = 1 b) iquestCuaacutento caeraacute entre t = 1 y t = 2 c) iquestCuaacutel es su velocidad promedio en el intervalo 2 3tle le d) iquestCuaacutel es su velocidad promedio en el intervalo 3 301tle le e) Encuentre la velocidad instantaacutenea en t = 3
Un objeto viaja a lo largo de un eje coordenado de modo que su distancia dirigida medida desde el origen despueacutes de t segundos es
Ejercicio 7
2 1t metros+ a) Encuentre la velocidad instantaacutenea en t = 2
b) iquestCuaacutendo alcanzaraacute una velocidad de 12 pies por segundo
Si una partiacutecula se mueve a lo largo de un eje coordenado de modo que su distancia dirigida medida desde el origen despueacutes de
Ejercicio 8
t segundos es ( )2 4t t metrosminus + iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute
momentaacuteneamente detenida Es decir en iquestqueacute momento su velocidad es cero
Cierto cultivo de bacterias crece de modo que tiene una masa de Ejercicio 9
21 12
t gramos +
despueacutes de t horas
a) iquestCuaacutento creceraacute durante el intervalo 2 201tle le b) iquestCuaacutel seraacute la tasa promedio de crecimiento durante el intervalo
2 201tle le c) iquestCuaacutel fue la tasa instantaacutenea de crecimiento en t = 2
6 LA DERIVADA
Revisemos ahora algunas definiciones seguacuten los siguientes autores
DEFINICIOacuteN 6
Si la funcioacuten ( )y f x= tiene derivada en el punto 0
x x= es
decir si existe el
0 00 0
( ) ( )lim limx x
f x x f xyx x∆ rarr ∆ rarr
+ ∆ minus∆=
∆ ∆
Se dice que para el valor dado 0
x x= la funcioacuten es derivable o
lo que es lo mismo tiene derivada en dicho punto
Si la funcioacuten tiene derivada en cada punto de un intervalo ( )a b
se dice que es derivable en dicho intervalo
(N Piskunov 1973 68)
DEFINICIOacuteN 7
DEFINICIOacuteN 8
Como podemos observar la definicioacuten 6 trabaja con la notacioacuten delta a la cual los alumnos se encuentran familiarizados desde el concepto de razoacuten de cambio mientras que en las otras dos definiciones se trabaja con una letra h la cual reemplaza al x∆ La definicioacuten 8 asiacute como la 7 muestran la idea de designar con el teacutermino de derivable en un punto a la funcioacuten cuando esta tenga derivada en dicho punto y de derivable cuando la derivada exista en cada punto de su dominio En cuanto a la definicioacuten 8 presenta a la derivada como una funcioacuten
f a la que lee como ldquof primardquo Uniendo las tres definiciones anteriores podemos presentar la siguiente
La funcioacuten f es derivable en a si
0
( ) ( )limh
f a h f ahrarr
+ minus Existe
En este caso el liacutemite se designa por ( )f a y recibe el nombre de
derivada de f en a (Decimos tambieacuten que f es derivable si
f es derivable en a para todo a del dominio de f )
(Spivak 1967 201)
La derivada de una funcioacuten f es otra funcioacuten f (leacutease ldquof primardquo) cuyo valor en cualquier nuacutemero c es
0
( ) ( )( ) lim
h
f c h f cf chrarr
+ minus=
Siempre que este liacutemite exista y no sea oinfin minusinfin
(Purcell 2003 107)
Veamos los siguientes ejemplos los cuales pretenden familiarizar a los alumnos con la definicioacuten de derivada y a manera de repaso recordar los algoritmos empleados en el caacutelculo de liacutemites como por ejemplo el proceso de racionalizacioacuten Ejemplo 4
Sea ( ) 12 3f x x= minus Encuentre ( ) 4f
Solucioacuten
Empleando la definicioacuten de derivada tenemos [ ] [ ]
0 0
0 0
12(4 ) 3 12(4) 3(4 ) (4)(4) lim lim
12 lim lim 12 12
h h
h h
hf h ffh h
hh
rarr rarr
rarr rarr
+ minus minus minus+ minus= =
= = =
Ejemplo 5
Sea ( ) 0f x x x= gt Encuentre ( )f x
Derivada de f La derivada de una funcioacuten f en un punto c es otra funcioacuten a la
que llamaremos ldquo f prima rdquo y denotaremos por f siempre
que se cumpla
0
( ) ( )( ) lim
h
f c h f cf chrarr
+ minus= Existe
En este caso el liacutemite se designa por ( )f c y recibe el nombre de
derivada de f en c
Decimos tambieacuten que f es derivable si f es derivable en c para
todo c del dominio de f
Solucioacuten
Empleando la definicioacuten de derivada tenemos
( )
0
0
0
0
0
0
( ) ( )( ) lim
= lim
lim
= lim
= lim
1 1 = lim
2
h
h
h
h
h
h
f x h f xf xh
x h xh
x h x x h xh x h x
x h xx h x
h
h x h x
x h x x
rarr
rarr
rarr
rarr
rarr
rarr
+ minus=
+ minus
+ minus + +=
+ + + minus
+ +
+ +
=+ +
7 FORMAS EQUIVALENTES DE LA DERIVADA Purcell (2003) hace mencioacuten a dos formas equivalentes de la derivada de ( )f x en el punto c asiacute la primera forma es
Graacuteficamente podemos ver
0
( ) ( )( ) limh
f c h f cf chrarr
+ minus=
Fig13
Para la segunda forma x toma el lugar de c h+ y por lo tanto reemplazando h tenemos
Graacuteficamente podemos ver
Fig14
otimes
otimes
c c h+
( ) ( )f c h f c+ minus
h( ( ))c f c
( ( ))c h f c h+ +
X
Y
otimes
otimes
c x
( ) ( )f x f cminus
x cminus( ( ))c f c
( ( ))x f x
X
Y
( ) ( )( ) limx c
f x f cf cx crarr
minus=
minus
Graacutefico de la funcioacuten ( )f x en los puntos c y c h+ empleado para la primera forma de definir la derivada
Graacutefico de la funcioacuten ( )f x en los puntos c y x empleado para la segunda forma de definir la derivada
Como podemos apreciar las dos formas de expresar la definicioacuten de la derivada son equivalente aun cuando la notacioacuten empleada no es la misma ya que como hemos podido apreciar en una el limite esta expliacutecitamente en teacuterminos del incremento h luego en el liacutemite h tiende a cero En la otra no aparece h pero cuando el limite indica que x tiende a c impliacutecitamente estaacute indicando que el incremento (h) tiende a cero En el ejemplo siguiente se intenta que los alumnos utilicen la segunda forma de la definicioacuten de la derivada a fin de practicarla pero que establezcan las diferencias en la notacioacuten y significado en relacioacuten a la definicioacuten primera Ejemplo 6
Utilice la segunda forma de representa la derivada para determinar
( )g c si 1( )
4g x
xminus
=+
1 14 4( ) x cg cx c
minus minusminus
+ +=minus
Solucioacuten
( )( )
( )( )
( )( )( )
( )( )
( )2
4 44 4
( ) lim
4 4 lim
4 4 lim
1 lim4 4
1 ( )4
x c
x c
x c
x c
c xx c
g cx cc x
x cx cx c
x cx c
x c
g cc
rarr
rarr
rarr
rarr
minus minus + ++ +
=minus
minus ++ +
minusminus
+ +
minus
+ +
there4 =+
Demostracioacuten-
Espinoza (2002 456) demuestra este teorema de la siguiente manera ldquoPor hipoacutetesis se tiene que f es diferenciable en
0x esto quiere
decir que 0
( )f xexist y
0 00 0
0 0
( ) ( )lim ( ) ( ) lim h h
f x h f xf x h f x h
hrarr rarr
+ minus+ minus =
0 00
0 0
( ) ( )lim lim ( )0 0h h
f x h f xh f x
hrarr rarr
+ minus= = =
Entonces 0 0 0 0
0 0 0
0 00
lim ( ) ( ) 0 lim ( ) lim ( ) 0
lim ( ) ( )h h h
h
f x h f x f x h f x
f x h f xrarr rarr rarr
rarr
+ minus = rArr + minus =
+ =
0f es continua en xthere4 rdquo
ldquoEs muy importante recordar el teorema 1 e igualmente importante recordar que el reciacuteproco no se cumple Una funcioacuten derivable es continua pero una funcioacuten continua no es necesariamente derivablerdquo Spivak (1992 213)
Con los siguientes ejemplos se pretende analizar diferenciabilidad en un punto estudiando el comportamiento de la derivada a ambos lados del punto seleccionado
TEOREMA 1 Sea f una funcioacuten y
0 fx Disin si f es diferenciable en
0x entonces f es continua en
0x
(Espinoza 2002 456)
Ejemplo 7
Estudiar si la funcioacuten ( )f x x= es diferenciable en 0x =
Solucioacuten
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0(0 ) (0)
0 0(0 ) (0) lim lim lim lim 1
0 0(0 ) (0) lim lim lim lim 1
h h h h
h h h h
h hf h fh h h
Asiacuteh hf h f h
h h h hh hf h f h
h h h h
+ + + +
minus minus minus minus
rarr rarr rarr rarr
rarr rarr rarr rarr
+ minus+ minus= =
+ minus+ minus= = = =
+ minus+ minus minus= = = = minus
Seguacuten Spivak (1992 210) ldquoEstos dos liacutemites son llamados a veces derivada por la derecha y derivada por la izquierdardquo en nuestro caso son diferentes
0
(0 ) (0)lim
h
f h fhrarr
+ minus
No existe Por tanto (0)f no existe Graacuteficamente podemos ver la funcioacuten ( )f x x=
Fig 15
Graacutefico de la funcioacuten valor absoluto ( )f x x= Para estudiar la derivada en x=0
Ahora veamos la graacutefica de su derivada
Fig 16 Ejemplo 8
Analizar la derivada de la funcioacuten en el punto 0x = siendo 2 0( )
0x xf xx x
le= gt
Solucioacuten
2
0
0
0( ) (0) 1 0
( ) (0) lim 0
( ) (0) lim 1
h
h
h h hf h f hh h h
hAsiacute
f h fh
f h fh
+
minus
rarr
rarr
= ltminus =
= gt
minus=
minus=
Podemos concluir entonces que (0)f no existe f no es derivable en 0
Graacutefico de la derivada de la funcioacuten valor absoluto 1 0
( )1 0
xf x
xgt
= minus lt
Sin embargo la derivada existe para 0x ne calculeacutemosla
( )2 2 2( ) ( ) 2 2c h cf c h f c ch h c h
h h h+ minus+ minus +
= = = + Aplicando liacutemite
cuando 0h minusrarr tenemos ( ) 2f c c= de una forma similar calculamos
el liacutemite cuando 0h +rarr y obtenemos ( ) 1f c = Graacuteficamente podemos ver
Fig17
Fig 18
Graacutefico de la funcioacuten valor absoluto 2 0( )
0x xf xx x
le= gt
Para estudiar la
derivada en x=0
Graacutefico de la derivada de la funcioacuten 1 0
( )2 0
xf x
x xge
= lt
Purcell (2003) demuestra graacuteficamente cualquier punto donde la graacutefica de una funcioacuten continua tenga una esquina o un veacutertice la funcioacuten no es diferenciable Y esto lo podemos constatar de nuestros ejemplos anteriores Asiacute mismo este autor nos muestra una graacutefica donde se pueden apreciar algunas situaciones para que una funcioacuten no sea diferenciable en un punto
Fig 19
Fuente Tomado del libro de Purcell 2003 111
En esta graacutefica afirmamos que la derivada el c no existe por que
0
( ) ( )( ) lim
h
f c h f cf xhrarr
+ minus= = infin
Esto corresponde al hecho de que la pendiente vertical no estaacute definida El trabajo praacutectico dado a continuacioacuten pretender que el alumno se familiarice con las dos formas empleadas para definir la derivada Otra objetivo es el estudiar la diferenciabilidad de funciones en algunos puntos en particular
Graacutefico de posibles situaciones de funcioacuten diferenciable en un punto
Trabajo Praacutectico Nordm 3 Derivada7
Ejercicio 1
Utilice la definicioacuten de Derivada 0
( ) ( )( ) limh
f x h f xf xhrarr
+ minus= para
determinar la derivada en x de las siguientes funciones
a) ( ) 2 1f x x= + b) 2 1( )4
xg xxminus
=minus
c) 4 2( )h x x x= +
Ejercicio 2
Empleando la segunda forma para definir la derivada ( ) ( )
( ) limx c
f x f cf cx crarr
minus=
minus determine las derivadas de las siguientes
funciones
a) 3( ) xf xx+
= b) 3( ) 5f x x x= +
Ejercicio 3
A continuacioacuten te presento cuatro liacutemites los cuales corresponden a las derivadas de algunas funciones iquestPodriacuteas ayudarnos a determinar a queacute funciones se refieren
a) ( ) ( )3 3
0
2 5 2 5limh
hhrarr
+ minus
b) ( )2
0
3 2(3 ) 15limh
h hhrarr
+ + + minus
c) limx y
senx senyx yrarr
minusminus
d)
2 2
limx t
x tx trarr
minus
minus
7 Los ejercicios han sido tomados del texto de Calculo Diferencial de Purcell (2003 111-112) y Espinoza (2002 514 -515)
Ejercicio 4
Describa los valores x para los que f es derivable A B
Fig 20 Fig 21
Ejercicio 5
Determinar cuales de las funciones siguientes son derivables en los nuacutemeros dados por
0x
1 0
4( ) 42( 8) 4
x xf x xx x
le= =minus gt
2 2
2
2 0
( ) 2 2 0 2
4 2 2
x x
f x x x
x x x
+ lt
= minus le lt
minus + ge
0 0x = y 0 2x =
minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4
minus3
minus2
minus1
1
2
3
4
x
y
y=1(x+1)
minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
minus1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
abs(x^2-9)
Graacutefico de la funcioacuten 2( ) 9f x x= minus Graacutefico de la funcioacuten 1
( )1
f xx
=+
Ejercicio 6
Calcular los valores de y a b c para que la funcioacuten
2
4 2( ) sea continua en x=-2 y diferenciable en x=2
2
si xxf x
ax bx c si x
ge= + + lt
Ejercicio 7
Hallar los valores de a y b de manera que la funcioacuten 2 1
( ) 1 1
ax b si xf x
si xx
+ le= gt
sea derivable en todo su dominio
8 REGLAS DE DERIVACIOacuteN
Para Spivak (1992) el proceso de derivacioacuten es generalmente laborioso y que si no recordamos la definicioacuten de derivada estariacuteamos expuestos a no poder calcularla Sin embargo nos dice que existen algunos teoremas que nos permitiriacutea de una forma un tanto mecaacutenica derivar una clase de funciones muy amplia Asiacute veremos algunas reglas de derivacioacuten que Espinoza (2002) presenta ademaacutes de su demostracioacuten empleando la definicioacuten la notacioacuten de Leibniz8
1) La derivada de una constante es cero-
( ) 0dysi y f x Cdx
= = rArr =
Demostracioacuten
0 0
( ) ( )lim lim 0 0h h
dy f x h f x c c dydx h h dxrarr rarr
+ minus minus= = = there4 =
8 La notacioacuten
dydx
corresponde a Leibniz
2) La derivada de la funcioacuten identidad-
( ) 1dysi y f x xdx
= = rArr =
Demostracioacuten
0 0 0 0
( ) ( )lim lim lim lim 1 1 1h h h h
dy f x h f x x h x h dydx h h h dxrarr rarr rarr rarr
+ minus + minus= = = = = there4 =
3) La derivada de la funcioacuten potencia simple- 1( ) n ndysi y f x x nx
dxminus= = rArr =
Demostracioacuten
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 01 2 2 1
0
1 2 2 1 10
1
( ) ( )lim lim
lim
lim
n n
h hn n n n
h
n n n n nh
n
x h xd y f x h f x para ndx h h
x h x h x x h x xx h x
h
x h x h x x h x x n x
dy nxdx
+
rarr rarrminus minus minus minus
rarr
minus minus minus minus minus
rarr
minus
+ minus+ minus= = isin
+ + + + + + + = + minus
= + + + + + + + =
there4 =
4) La derivada del producto de una funcioacuten por un escalar-
( ) ( )dysi y kf x kf xdx
= rArr =
Demostracioacuten ( ) ( )( )
( )0 0
0
( )( )lim lim
( )lim ( ) ( )
h h
h
k f x h f xkf x h kf xdydx h h
f x h f x dyk kf x kf xh dx
rarr rarr
rarr
+ minus+ minus= =
+ minus= = there4 =
5) La derivada de la suma o diferencia de dos funciones-
( ) ( ) ( ) ( )dysi y f x g x f x g xdx
= plusmn rArr = plusmn
Demostracioacuten ( )( )
( ) ( )
( )( ) ( )( )
0
0
0
( )( )lim
( ( ) ( ))lim
( ) ( )lim
h
h
h
f g x h f g xdydx h
f x h g x h f x g xh
f x h f x g x h g xh
rarr
rarr
rarr
plusmn + minus plusmn=
+ plusmn + minus plusmn=
+ minus plusmn + minus=
( )( ) ( )( )0
( ) ( )lim
( ) ( ) ( ) ( )
h
f x h f x g x h g xh h
dyf x g x f x g xdx
rarr
+ minus + minus= plusmn
= + there4 = +
6) La derivada del producto de dos funciones-
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dysi y f x g x f x g x f x g xdx
= sdot rArr = +
Demostracioacuten
0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim limh h
d y f x h f x f x h g x h f x g xdx h hrarr rarr
+ minus + + minus= =
Ahora sumamos y restamos ( ) ( )f x h g x+ en el numerador
0
0
0 0
0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim
( )( ( ) ( )) ( ( ) ( ))lim ( )
( )( ( ) ( )) ( ( ) ( ))lim lim ( )
( ( ) (lim ( ) lim
h
h
h h
h h
d y f x h g x h f x h g x f x g x f x h g xdx h
f x h g x h g x f x h f xg xh h
f x h g x h g x f x h f xg xh h
g x h gf x h
rarr
rarr
rarr rarr
rarr rarr
+ + minus + minus + +=
+ + minus + minus = + + + minus + minus = +
+ minus= +
0 0
)) ( ( ) ( ))lim ( ) lim
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
h h
x f x h f xg xh h
f x g x g x f xdy f x g x g x f xdx
rarr rarr
+ minus + = +
there4 = +
7) La derivada del cociente de dos funciones-
[ ]2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0( ) ( )
f x d y f x g x f x g xsi y g xg x dx g x
minus= rArr = ne
Demostracioacuten
0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim limh h
d y f x h f x f x h g x h f x g xdx h hrarr rarr
+ minus + + minus= =
0
( ) ( ) ( ) ( )lim( ) ( )h
g x f x h f x g x hh gx g x hrarr
+ minus +=
+
Ahora sumando y restando ( ) ( )f x g x en el numerador se tiene
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim( ) ( )h
g x f x h f x g x f x g x h f x g xh gx g x hrarr
+ minus minus + +=
+
0
2
2
( )( ( ) ( )) ( )( ( ) ( ))
lim( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( 0) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( )
h
g x f x h f x f x g x h g xh h
g x g x hg x f x f x g x g x f x f x g x
g x g x g xdy g x f x f x g xdx g x
rarr
+ minus + +minus
=+
minus minus= =
+
minusthere4 =
Resumiendo
1) ( ) 0dysi y f x Cdx
= = rArr =
2) ( ) 1dysi y f x xdx
= = rArr =
3) 1( ) n ndysi y f x x nxdx
minus= = rArr =
4) ( ) ( )dysi y kf x kf xdx
= rArr =
5) ( ) ( ) ( ) ( )dysi y f x g x f x g xdx
= plusmn rArr = plusmn
6) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dysi y f x g x f x g x f x g xdx
= sdot rArr = +
7) [ ]2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0( ) ( )
f x d y f x g x f x g xsi y g xg x dx g x
minus= rArr = ne
El primer grupo de ejercicios de este trabajo intenta que el alumno fortalezca una habilidad para el caacutelculo de derivadas empleando reglas de derivacioacuten el apartado B es para recordar la aplicacioacuten de la recta tangente a una curva y el apartado C es para trabajar con problemas de aplicacioacuten a diversas aacutereas Trabajo Praacutectico Nordm 4 Reglas de Derivacioacuten9
A Encontrar la derivada de las siguientes funciones
1) ( ) 365f x =
2) 4 3 2( ) 4 3 7f x x x= minus +
3) 5 15
9 3( )f xx x
= minus
4) 3 4 6 31( ) 2 8 16
f x x x x x= minus + minus +
5) 3 2
4 32 7( ) x xf x
x x x+ +
=+ +
6) 2
22( )
4 1
x xf xxminus
=+
7) ( )( )( ) 5 1 2 1f x x x= minus +
8) 2 4 2( )
3x xf x
x+ +
=+
9 Ejercicios tomados de STTan (1998 528-529-530-543-544)
9) 13( ) 9f x x=
10) 3 24 3( ) x xf x
xminus +
=
11) 2 132 3( )f xx x
= minus
12) 2 3( ) 2f x x x= +
13) ( )32
1( ) 2 1 2f x x xx
= + + +
14) 2 1( ) xf x
x+
=
15) 3( )3 1
x xf xx+
=minus
16) 1 2
3 21 2( )1
xf xx
+=
+
17) ( )( )2( ) 1 2 3f x x x= + +
18) ( )( )21 1
( )2
x xf x
x
+ +=
minus
C Encuentre la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva graficada a
continuacioacuten en el punto indicado Punto ( 23)Q minus
Fig 22
Graacutefico de la funcioacuten 3
( )1
f xxminus
=+
D Resolver los siguientes problemas
1 Crecimiento de un tumor canceroso El volumen de un tumor canceroso esfeacuterico estaacute dado por la funcioacuten
34( )3
v r rπ= donde r es el radio del tumor en centiacutemetros
Indique la razoacuten de cambio en el volumen del tumor cuando
a) 23
r cm= b) 54
r cm=
2 Eficiencia de un obrero Un estudio de eficiencia realizado
por la compantildeiacutea de aparatos electroacutenicos Electra mostroacute que el nuacutemero de walkie-talkies ldquoComando espacialrdquo ensamblados por un obrero promedio t horas despueacutes del inicio de labores a las 8 am estaacute dado por 3 2( ) 6 15N t t t t= minus + + a) Encuentre la razoacuten con que el obrero promedio ensambla
los dispositivos t horas despueacutes de iniciar su trabajo b) iquestCon queacute razoacuten los estaraacute ensamblando a las 10 am y a
las 11 am c) iquestCuaacutentos ensamblaraacute entre las 10 y las 11 am
3 Crecimiento de poblaciones Un estudio preparado por la caacutemara de comercio de cierta comunidad ha proyectado que la poblacioacuten de dicha comunidad creceraacute durante los proacuteximos tres antildeos conforme a al regla 3 2( ) 50000 30 20P t t t= + + donde ( )P t denota la poblacioacuten dentro de t meses iquestCon queacute rapidez creceraacute la poblacioacuten dentro de nueve y 16 meses
4 Conservacioacuten de especies Una especie de tortuga estaacute en
peligro de extincioacuten debido a que ciertas personas recogen grandes cantidades de huevos para venderlos como afrodisiacuteacos Despueacutes de implantar severas medidas de conservacioacuten se espera que la poblacioacuten de tortugas crezca de acuerdo con la regla 3 2( ) 2 3 4 1000 0 10N t t t t t= + minus + le le donde ( )N t denota la poblacioacuten al final de antildeo t Encuentre la tasa de crecimiento de poblacioacuten de tortugas cuando 2t = y
8t = iquestCuaacutel seraacute la poblacioacuten diez antildeos despueacutes de la implantacioacuten de las medidas de conservacioacuten
Continuaremos trabajando las reglas de derivacioacuten y ahora estudiaremos las derivadas de las funciones trigonomeacutetricas sus inversas la funcioacuten logariacutetmica y exponencial tomando como referencia las demostraciones presentadas en Smith (2000) y a Piskunov (1973) incluimos tambieacuten algunos ejemplos de aplicacioacuten directa de las reglas de derivacioacuten 8) La derivada de la funcioacuten seno-
( ) cosdysi y f x senx xdx
= = rArr =
Demostracioacuten
0
0
0 0
0 0
( ) ( )lim
cosh cos lim
cosh cos = lim lim
(cosh 1) = lim cos lim
(0) cos (1)
cos
h
h
h h
h h
dy sen x h sen xdx h
senx senh x senxh
senx senx senh xh h
senhsenx xh h
senx xdy xdx
rarr
rarr
rarr rarr
rarr rarr
+ minus=
+ minus=
minus+
minus+
= +
there4 =
9) La derivada de la funcioacuten coseno-
( ) cos dysi y f x x senxdx
= = rArr = minus
La demostracioacuten de este teorema se deja como ejercicio
10) La derivada de la funcioacuten tangente-
2( ) tan secdysi y f x x xdx
= = rArr =
Demostracioacuten
Para ( ) tan senxf x xcosx
= = por regla de cociente se tiene que
( ) ( )2
(cos ) cos
cos
senx x senx xdydx x
minus=
( ) ( )2
cos (cos )
cos
x x senx senxdydx x
+=
2 2
2cos
cosdy x sen xdx x
+=
22
1 seccos
dy xdx x
= =
2secdy xdx
there4 =
Las demostraciones de las derivadas de las funciones trigonomeacutetricas restantes se dejan como ejercicio Resumiendo
8) cosdysi y senx xdx
= rArr =
9) cos dysi y x senxdx
= rArr = minus
10) 2tan secdysi y x xdx
= rArr =
11) 2cosdysi y ctgx ec xdx
= rArr = minus
12) sec sec tandysi y x x xdx
= rArr =
13) sec sec dysi y co x co x ctgxdx
= rArr = minus
Ejemplo 9
Calcular las derivadas de las siguientes funciones a) 2( ) 4 3tanf x x x= minus
b) ( ) senxf xx
=
Solucioacuten
a) trabajamos con la derivada de una diferencia de funciones
( ) 2
2
4 2 3sec
8 3sec
dy x xdxdy x xdx
= minus
= minus
b) Aplicando la derivada de un cociente tenemos ( )
( )2
2
( )
cos
senx x senx xdydx x
x x senxdydx x
minus=
minus=
14) La derivada de la funcioacuten logaritmo-
1( ) log log
a adysi y f x x edx x
= = rArr =
Demostracioacuten
Utilizando la definicioacuten de derivada tendremos
0
0
0
log ( ) log ( )lim
( )log = lim
( )log = lim
a ah
a
h
a
h
x h xdydx h
x hx
hx h
xh
rarr
rarr
rarr
+ minus=
+
+
( )
( )
( )
0
0
0
0
0 0
log (1 ) = lim
log 11 = limx1 = lim log 1x1 = log lim 1x1 = log base de los logaritmos neperianosx
at
at
tat
ta t
a
hhaciendo t cuando h tx
t
txt
t
t
t
e donde e
rarr
rarr
rarr
rarr
= rarr rArr rarr
+
+
+
+
=
ln 11 1 ( ) ln ln
si a e edyEn particular y f x x edx x x
= rArr =
= = rArr = =
1ln dysi y x
dx xthere4 = rArr =
15) La derivada de la funcioacuten logaritmo neperiano-
1( ) ln dysi y f x xdx x
= = rArr =
16) La derivada de la funcioacuten exponencial-
( ) logx xdysi y f x a a adx
= = rArr =
Demostracioacuten
Tomando logaritmos en la igualdad xy a= se tiene ln lny x a= derivando la igualdad obtenida y considerando y en funcioacuten de x tenemos
1 ln
ln lnx
y ay
y y a a a
=
= =
En particular si la base es a e= rarr ln 1e = y obtenemos
( ) x xdff x e edx
= rarr =
17) La derivada de la funcioacuten exponencial con base e-
( ) x xdfsi y f x e edx
= = rarr =
Ejemplo 10
Calcular la derivada de la siguiente funcioacuten
2( ) 3 ln xf x x x e= +
Solucioacuten
( )
( )
2 16 ln 3
6 ln 3
x
x
dy x x x edx x
dy x x x edx
= + +
there4 = + +
Resumiendo
14) 1( ) log loga a
dysi y f x x edx x
= = rArr =
15) 1ln dysi y xdx x
= rArr =
16) ( ) logx xdysi y f x a a adx
= = rArr =
17) ( ) x xdfsi f x e edx
= rArr =
Tomando como referencia a Piskunov (1973) estudiaremos ahora un segundo teorema el cual nos daraacute acceso a la demostracioacuten de la derivada de las funciones trigonomeacutetricas inversas Note ademaacutes que en algunos casos usaremos la notacioacuten y
Teorema 3
Demostracioacuten
Dando a y un incremento y∆ de la igualdad (2) deducimos ( ) ( )x y y yϕ ϕ∆ = + ∆ minus
Como ( )yϕ es una funcioacuten monoacutetona se tiene 0x∆ ne Escribamos la identidad
1yxxy
∆=∆∆∆
Por ser continua la funcioacuten ( )yϕ 0x∆ rarr cuando 0y∆ rarr
Si para la funcioacuten ( )y f x= hellip(1)
Existe una funcioacuten inversa ( )x yϕ= hellip(2)
Tal que en un punto y dado tenga una derivada ( )yϕ distinta de cero entonces la funcioacuten ( )y f x= tiene en el punto
correspondiente x una derivada ( )f x igual a 1( )yϕ
es decir
se verifica la foacutermula 1( )( )
f xyϕ
=
Asiacute pues la derivada de una de las funciones reciacuteprocamente inversas es igual a la inversa de la derivada de la otra funcioacuten para los correspondientes valores de x e y
(Piskunov 1973 92)
Tomando liacutemites cuando 0y∆ rarr en ambos miembros de la uacuteltima
identidad obtenemos 1xy
yx
=
Por lo tanto 1( )( )
f xyϕ
=
(Piskunov 1973 93)
18) La derivada de la funcioacuten arco seno-
2
1( )1
dysi y f x arcsenxdx x
= = rArr =minus
Demostracioacuten
Si y arcsenx= se tiene 2
1
1
dydx x
=minus
Seguacuten la igualdad (1) tenemos cosy
x y= y conforme a la regla
para derivar la funcioacuten inversa se tendraacute 1 1 cosxy
yx y
= =
Pero 2 2cos 1 1 y sen y x= minus = minus luego 2
11
yx
=minus
La raiacutez se toma con el signo positivo porque la funcioacuten
y arcsenx= se define en el intervalo 2 2
yπ πminus le le y por
consiguiente 0y ge (Piskunov 1973 95)
Ejemplo 11
Calcular la derivada de la siguiente funcioacuten
1( )2
xf x arcsen + =
Solucioacuten
( ) ( )
( )
2 2 2
22
1 1 1
1 2 111 12 22
1 2 2 12 2 1
2
dfdx x xx
x xx x
= = =+ minus ++ minus minus
= =minus minus +minus + +
19) La derivada de la funcioacuten arco coseno-
2
1( ) arccos1
dysi y f x xdx x
minus= = rArr =
minus
Demostracioacuten La demostracioacuten se deja como trabajo 20) La derivada de la funcioacuten arco tangente-
21( ) arc t
1dysi y f x gxdx x
= = rArr =+
Demostracioacuten
Si y arctgx= se tiene 21
1dydx x
=+
si consideramos que x tgy=
tenemos
21
cosyx
y=
Por tanto 21 cos xy
y yx
= =
Pero 22 2
1 1cossec 1
yy tg y
= =+
Y puesto que tgy x= tenemos en definitiva 21
1dydx x
=+
Ejemplo 12
Calcular la derivada de la siguiente funcioacuten ( )2( ) (1 )f x x arctg x= +
Solucioacuten
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
22
(1 ) (1 )
1 = 2 (1 )1
= 2 1
df x arctg x x arctg xdx
x arctg x xx
df x arctg xdx
= + + +
+ ++
there4 +
21) La derivada de la funcioacuten arco cotangente-
21( ) arc t
1dysi y f x co gxdx x
minus= = rArr =
+
La demostracioacuten se deja como trabajo asiacute como las demostraciones de las funciones inversas restantes
22) La derivada de la funcioacuten arco secante-
2
1( ) arcsec1
dysi y f x xdx x x
= = rArr =minus
23) La derivada de la funcioacuten arco cosecante-
2
1( ) arc sec1
dysi y f x co xdx x x
minus= = rArr =
minus
Resumiendo
18) 2
1( )1
dysi y f x arcsenxdx x
= = rArr =minus
19) 2
1( ) arccos1
dysi y f x xdx x
minus= = rArr =
minus
20) 2
1( ) arc t1
dysi y f x gxdx x
= = rArr =+
21) 2
1( ) arc t1
dysi y f x co gxdx x
minus= = rArr =
+
22) 2
1( ) arcsec1
dysi y f x xdx x x
= = rArr =minus
23) 2
1( ) arc sec1
dysi y f x co xdx x x
minus= = rArr =
minus
9 REGLA DE LA CADENA
Veamos a continuacioacuten como Smith (2000) presenta y demuestra el teorema de la regla de la cadena un teorema para el caacutelculo de derivadas su utilidad radica en el hecho de que nos permitiraacute derivar funciones compuestas las mismas que se encuentran presentes en la mayoriacutea de modelos matemaacuteticos
Teorema 3
El teorema es cierto incluso si Demostracioacuten
( ) 0g x = pero la demostracioacuten requiere ( ) 0g x ne Sea ( ) ( ( ))F x f g x= Entonces
Regla de la Cadena- Si g es derivable en x y f es derivable en ( )g x entonces
[ ( ( ))] ( ( )) ( )d f g x f g x g xdx
=
(Smith 2000 228)
0
0
0
0
[ ( ( ))] ( ) ( )( ) lim
( ( )) ( ( )) = lim
( ( )) ( ( )) ( ) ( ) = lim ( ) ( )
( ( )) ( ( )) = lim ( )
h
h
h
h
d f g x F x h F xF xdx h
f g x h f g xh
f g x h f g x g x h g xh g x h g x
f g x h f g xg x h
rarr
rarr
rarr
rarr
+ minus= =
+ minus
+ minus + minus+ minus
+ minus+ 0
( ) ( ) 0
( ) ( ) lim( )
( ( )) ( ( )) ( ) ( ) = lim lim ( ) ( )
= ( ( )) ( )
h
g x h g x h
g x h g xg x h
f g x h f g x g x h g xg x h g x h
f g x g x
rarr
+ rarr rarr
+ minusminus
+ minus + minus+ minus
Ahora presentamos la regla de la cadena en teacuterminos de la notacioacuten de Leibniz ldquoSi ( )y f u= y ( )u g x= entonces ( ( ))y f g x= la regla
de la cadena expresa que du dy dudx du dx
= rdquo Smith (2000 228)
Ejemplo 13
Calcular la derivada de la siguiente funcioacuten a) 3 3( ) ( 1)f x x x= + minus
b) 6( ) xf x eminus=
c) 2( ) cos 1f x x= +
Solucioacuten
a) Siendo 3 3( ) ( 1)f x x x= + minus podemos hacer el siguiente cambio 3 1u x x= + minus asiacute 3 3( ) ( 1)f u u y u x x= = + minus Luego la
derivada es
( )33
2 2
1( )
=3 (3 1)
df df dudx du dx
d x xd udu dx
u x
=
+ minus=
+
3 2
5 3 2
5 3 2
=3( 1)(3 1)
= 9 12 9 3 3
=3(3 4 3 1)
x x x
x x x xdf x x x xdx
+ minus +
+ minus + minus
there4 + minus + minus
b) si 6( ) xf x eminus= entonces 6xu minus
= luego
( )
6( ) =
u
df df dudx du dx
d xd edu dx
=
minus
6
1= 6
1 = -6
u
x
e
df edx
minus
minus
there4
c) Sea 2 1u x= + se tiene en la funcioacuten lo siguiente 2( ) cos 1f u u donde u v y v x= = = + luego la derivada seraacute
( ) ( ) ( )
( )
2
1 2
2 2 1 2
1 22 2
1cos
1 = ( ) (2 )2
1 = 1 ( 1) (2 )2
= - 1 1
df df du dvdx du dv dx
d xd vd udu dv dx
senu v x
sen x x x
df x x sen xdx
minus
minus
minus
=
+=
minus
minus + +
there4 + +
Los ejercicios propuestos en este trabajo tienen por finalidad que alumno conozca y aplique las reglas de derivacioacuten asiacute como trabajar reforzar su habilidad para factorizar expresiones algebraicas
Trabajo Praacutectico Nordm 5 Reglas de Derivacioacuten y Regla de la Cadena10
1 Encontrar la derivada de las siguientes funciones
1 ( )( )f x a x a x= + minus
2 1( )1
xf xx
+=
minus
3 3 2( ) 1f x x x= + +
4 ( )f x x x x= + + 5 ( ) 2 3cos3f x senx x= +
6 ( )cos
senxf xa x
=+
7 1( ) ln1
senxf xsenx
+= minus
8 ( ) ( )co s( )f x sen a x x a= + +
9 ( )2( ) f x x ctgx=
10 ( )23
( ) logf x x senx= minus
11 2( ) ln 1f x x x = + +
12 22( )
1xf x arctgx
= minus
13 ( ) arctgxf x e=
14 ( )
( )2
x xe ef x arctg
minusminus=
15 4( )3 5cos
senxf x arctgx
= +
16 2
2 21 2 2( ) ln 21 2 1
x x xf x arctgx x x
+ += + minus + minus
10 Ejercicios tomados de N Piskunov (1973 136-137)
17 2 2( ) (7 4) 49 56 7 9ln(7 4 49 56 7)f x x x x x x x= + + + minus + + + +
18 ( ) ( ) ( ) ( )2( ) 1 1 ln 1 1f x x x x x = + minus minus minus +
19 ( ) 2 5 6( ) 5 6 60 36 21 42
xf x x x x arcsen minus = minus minus minus +
20 ( )2( ) 2 sec 2 8 1 2f x xarc x x arcsen x= + minus
21 2( ) 6 3arccos 13xf x x x = minus minus + minus
22 3( ) (3 2 2cos 2 )xf x e sen x x= minus
23 ( ) ( ) 2( ) 5 3 sec 5 3 ln 5 3 9 30 24f x x arc x x x x = minus minus minus minus + minus +
10 FUNCIONES IMPLICITAS
El siguiente punto que vamos a estudiar corresponde a la derivacioacuten de funciones impliacutecitas Laacutezaro (2000) define una funcioacuten impliacutecita como
DEFINICIOacuteN 9
Asiacute podemos citar como ejemplos a) 2( ) 4f x y x y= minus b) 2 2( ) 2 6f x y x x xy y= minus minus +
El autor nos presenta dos meacutetodos para derivar una funcioacuten impliacutecita ambos meacutetodos seraacuten presentados a continuacioacuten
Funcioacuten Impliacutecita Si tenemos una ecuacioacuten de la forma ( ) 0f x y = con ( )y f x= en el cual la variable dependiente y no estaacute ldquodespejadardquo en teacuterminos de x entonces y se llama funcioacuten impliacutecita de x
(Laacutezaro 2000 53)
1er Meacutetodo
Aplicando en amos miembros de la ecuacioacuten ( ) 0f x y = el
operador ddx
(derivada con respecto a x ) y usando todas las reglas de
derivacioacuten para finalmente despejar y 2do Meacutetodo
Usando derivadas parciales en la foacutermula
fdy x
fdxy
partpart= minuspartpart
Donde
fxpartpart
es la ldquoDERIVADA PARCIAL DE f CON RESPECTO A x rdquo en
este caso consideramos soacutelo a x como variable y el resto de letras se consideran como constantes
fxpartpart
es la ldquoDERIVADA PARCIAL DE f CON RESPECTO A y rdquo en
este caso consideramos soacutelo a y como variable y el resto de letras se consideran como constantes
(Laacutezaro 2000 53)
Ahora apliquemos los dos meacutetodos revisados y reflexionemos acerca de las ventajas de emplearlos Ejemplo 14
En la ecuacioacuten
3 3 3 0x y axy+ minus = donde ( )y f x= hallar dy
dx
Solucioacuten
Empleando el primer meacutetodo
Derivando ambos miembros de la ecuacioacuten tenemos
( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 3
3 3
2 2
2 2
2
2
3 0
3 0
3 3 3 0
3 3 3 3 0
d dx y axydx dx
d d dx y axydx dx dx
dx dy dy dxx y a x ydx dx dx dx
dy dyx y ax aydx dx
dydespejando
dx
dy ay xdx y ax
+ minus =
+ minus =
+ minus + =
+ minus minus =
minus=
minus
Empleando el segundo meacutetodo
3 3
2 2
2
2
( ) 3
3 0 3 y 3 0 3
3x 3 =-
3
Como f x y x y axy obtenemos
f fx ay y axx y
fdy xluego
dfdxdy
ay
y ax
= + minus
part part= + minus = + minus
part part
partpart= minus
minus
minus
Ejemplo 15En la ecuacioacuten
23 23 23 ( ) tanx y a y f x a es cons te+ = =
hallar dydx
Solucioacuten
Empleando el primer meacutetodo
2 3 23 23
13 13
133
13
( ) ( )
20
3
d dx y adx dx
dyx ydx
dy x ydx xy
minus minus
minus
minus
+ =
+ =
= minus = minus
Empleando el segundo meacutetodo 2 3 23 23
13 13
13 13
13
313
( )
2 20 0
3 3
2 2 0 0
3 3
23Asiacute 23
De f x y x y a
obtenemos
f x xx
f y yy
xdy ydx xy
minus minus
minus minus
minus
minus
= + minus
part= + minus =
part
part= + minus =
part
= minus = minus
11 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
Laacutezaro (2000) nos muestra a partir de una notacioacuten la definicioacuten de las derivadas de orden superior
NOTACIOacuteN SE LEE
dy ydx
= La 1ordf derivada de y con respecto
a x
2
2
d dy d y ydx dx dx
= =
2 3
2 3
d d y d y ydx dx dx
= =
3 4(4)
3 4d d y d y ydx dx dx
= =
( 1)
( )( 1)
n nn
n nd d y d y ydx dx dx
minus
minus
= =
La 2ordf derivada de y con respecto
a x
La 3ordf derivada de y con respecto a x
La 4ordf derivada de y con respecto
a x
La n-eacutesima derivada de y con respecto a x
(Laacutezaro 2000 73)
Tabla Nordm 5
La intencioacuten de estos dos ejemplos es de ejercitar la capacidad del alumno para aplicar derivacioacuten sucesiva y simplificacioacuten algebraica Ejemplo 16
Si kxy eminus= Hallar ny Solucioacuten
( )
2 3
( )
etc hasta la n-eacutesima derivada
Luego 1
kx kx kx
nn n kx
y ke y k e y k e
y k e n
minus minus minus
minus +
= minus = = minus
= minus isin
Ejemplo 17
Hallar ( ) (0)nf si 1( ) ln
1f x
x=
minus
Solucioacuten
Pero
1
2 2
3 3
(4) 4 4
(5) 5
1( ) ln ln(1) ln(1 )
1
( ) ln(1 )
1( ) (1 )
1
( ) 1(1 ) ( 1) (1 )
( ) 2(1 ) ( 1) 2(1 )
( ) 2( 3)(1 ) ( 1) 23 (1 )
( ) 23( 4)(1 ) ( 1) 234(1 )
f x xx
f x x
derivando
f x xx
f x x x
f x x x
f x x x
f x x x
minus
minus minus
minus minus
minus minus
minus
= = minus minusminus
= minus minus
minus= minus = minus
minus
= minus minus minus = minus
= minus minus minus = minus
= minus minus minus = minus
= minus minus minus = minus 5
( )
( )
( ) ( 1)(1 )
(0) ( 1)
n n
n
f x n x
luego
f n
minus
minus= minus minus
= minus
12 REGLA DE LrsquoHOSPITAL PARA EL CAacuteLCULO DE LIacuteMITES
INDETERMINADOS DE LAS FORMAS 00
e infininfin
Teorema 4
Regla de LrsquoHospital- Supongamos que lim ( ) 0 lim ( ) 0
x a x af x g x
rarr rarr= and = y supongamos
tambieacuten que existe ( )lim( )x a
f xg xrarr
Entonces existe ( )lim( )x a
f xg xrarr
y
( ) ( )lim lim( ) ( )x a x a
f x f xg x g xrarr rarr
=
(Laacutezaro 2000 48)
Observaciones
La regla de LrsquoHospital se puede aplicar tambieacuten para las siguientes formas indeterminadas
i) ( )lim( )x a
f xg xrarr
infin=infin
ii) ( )lim( )x
f xg xrarrinfin
infin=infin
iii) lim ( ) 0 lim ( ) lim ( ) ( ) 0
( ) 0 ( ) 0 = lim lim1 10 0( ) ( )
x a x a x a
x a x a
f x g x entonces f x g x
f x g x
g x f x
rarr rarr rarr
rarr rarr
= and = infin = infin
= or =
iv) Si lim ( ) lim ( )
x a x af x g x
rarr rarr=infin and = infin ademaacutes
lim [ ( ) ( )]x a
f x g xrarr
minus = infin minusinfin entonces se hace la transformacioacuten
siguiente
( )lim [ ( ) ( )] lim ( )[1 ]
( )x a x a
g xf x g x f x
f xrarr rarrminus = minus pero si ( )
lim 1( )x a
g xf xrarr
=
entonces se hace
( )10( )lim
1 0( )
x a
g xf x
f xrarr
minus=
v) Los liacutemites indeterminados 0 01 0 infin infin se determinan buscando
previamente sus logaritmos y hallando el liacutemite del logaritmo de la expresioacuten [ ] ( )( ) g xf x
Los ejemplos resueltos a continuacioacuten intentan mostrar al alumno algunos casos en los que el liacutemite se puede calcular empleando regla de LrsquoHospital
Ejemplo 18
Calcular los siguientes liacutemites
a) 30
coslimx
x x senxxrarr
minus b) 0
limcot
2x
xxg
π
πrarr
c) 0
limx
tgx senxx senxrarr
minusminus
d) 0
lim 0xx
xrarr
=
e) ( )1
20
lim 1 xx
xrarr
+
Solucioacuten
a) 30
cos 0lim0x
x x senxxrarr
minus= entonces derivando numerador y
denominador tenemos
( )
( )( )( )
20 03
2 0 0 0
cos cos coslim lim3
cos 1lim lim lim3 33 3
x x
x x x
x x senx x xsenx xxx
senxxsenx xx x
rarr rarr
rarr rarr rarr
minus minus minus=
minusminus minus= = = = minus
b) 0
limcot
2x
xxg
π
πrarr
infin=infin
entonces
2
0
0 0 2
lim1 10 2cot lim lim
2 sec2 2 2 2
x
x x
xx xx g
x xtg
ππ π π π π
ππ π π π
rarr
rarr rarr
= = = = =infin
c) 0
0lim
0x
tgx senxx senxrarr
minus=
minus entonces
2
0
sec cos 0lim
1 cos 0x
x xxrarr
minus=
minus luego
2
0 0
2sec sec 2sec 0lim lim
0x x
x xtgx senx x tgx senxsenx senxrarr rarr
+ += =
derivando otra vez 2 4
0
2 2sec sec coslim 3
cosx
x tgx x x
xrarr
+ + =
d)
0lim 0xx
xrarr
=
Hagamos xy x=
Tomemos logaritmos ln lny x x= Ahora apliquemos liacutemites [ ] [ ]
0 0lim ln lim lnx x
y x xrarr rarr
=
Pero0
ln lim 0x
yrarr
= infin entonces expresemos la funcioacuten como
0
lnlim
1x
x
xrarr
infin=infin
por LrsquoHospital 0 0
2
1
lim lim 01x x
x x
xrarr rarr
= minus =minus
O sea
0 0 0 0ln lim 0 lim 1 lim 1 lim 1x
x x x xy y y x
rarr rarr rarr rarr
= rArr = rArr = rArr =
e) ( )1
20
lim 1 1xx
x infin
rarr+ =
Hacer ( )1
21 xy x= +
( )
( )
2
20 0
1ln ln 1
1lim ln lim ln 1x x
y xx
y xxrarr rarr
= +
= +
( )20
= 0
1Pero = lim ln 1
xx
xrarr
infin
+
2
0
21 = lim
1x
xx
rarr
+
( )0 0 0
0 =
1
lim ln 0 ln( lim ) 0 lim 1x x x
y luego y finalmente yrarr rarr rarr
= = =
El siguiente grupo de ejercicios pretende que el alumno afiance sus habilidades para el manejo de reglas de derivacioacuten ademaacutes mejore el manejo de expresiones algebraicas
Trabajo Praacutectico Nordm 6 Derivacioacuten Impliacutecita- Derivada de
Orden Superior11
Ejercicio 1
Halle las derivadas de las siguientes funciones impliacutecitas
1 1
ln( ) 0x xyy
minus minus =
2 3 2 35 3 ln 0x x y yminus minus =
3 ye xy e+ =
4 ln 0x x yyminus + =
5 2 35 2xy y y xy+ = + 6 ( ) 1xy sen xy+ =
11 Ejercicios tomados de N Piskunov (1973 136-137)
7 1 1x y xy+ = +
8 2 2cos( )xy y x= +
9 2 2cos( ) 3 4y xy x+ + =
10 2 3 23 5x yminus = Ejercicio 2
Encuentra la derivada del orden indicado en cada caso 1 3 22 5 1y x x x= minus + minus Hallar y
2 5 3y x= Hallar y
3 6y x= Hallar (6)y
4 ncy
x= Hallar y
5 2 2y a x= minus Hallar y
6 2y x= Hallar y
7 2
x xa aay e e
minus = +
Hallar y
Ejercicio 3
Empleando regla de la cadena derivar las siguientes funciones
1 2
23
3 1ln 1
3
xy x arctgxx
minus= + + +
2 2
221 2 2
ln 211 2
x x xy arctgxx x
+ += +
minusminus +
3 2
21
cos1
n
nxy arcx
minus=
+
4 23 5cos
senxy arctgx
=+
5 y arcsen senx=
6 2 2 2 xy x a x a arcsena
= minus +
13 MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCIOacuteN
Para determinar los maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten es necesario conocer algunas caracteriacutesticas de ella como por ejemplo cuando es creciente o decreciente Basaacutendonos en la bibliografiacutea de Laacutezaro Carrioacuten (2000 108) podemos observar las definiciones siguientes
DEFINICIOacuteN 10
DEFINICIOacuteN 11
131 CRITERIOS PARA EXTREMOS RELATIVOS
Laacutezaro (200 113-114) nos muestra los criterios de la primera y segunda derivada para encontrar los maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten
Una funcioacuten ( )f x es creciente sobre un intervalo I cuando se cumple que
1 2 1 2 1 2( ) ( ) si x x f x f x x x Ilt rArr lt forall isin
(Laacutezaro 2000 108)
Una funcioacuten ( )f x es decreciente sobre un intervalo I cuando se cumple que
1 2 1 2 1 2( ) ( ) si x x f x f x x x Ilt rArr gt forall isin
(Laacutezaro 2000 108)
1 CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA
Sea c un punto criacutetico de ( )f x donde ( ) 0f x = oacute ( )f c no existe Si existe una vecindad de ( ) c V c c cδ δ δ= minus + donde ( )f x es continua en ( )V cδ y derivable en ( )V cδ excepto tal vez en c 1 Si ( ) 0 ( ) 0 f x x c c f x x c cδ δgt forall isin minus and lt forall isin + ( )f crArr
es un maacuteximo relativo de f 2 Si ( ) 0 ( ) 0 f x x c c f x x c cδ δlt forall isin minus and gt forall isin + ( )f crArr
es un maacuteximo relativo de f
3 si ( ) 0 ( ) 0 f x x c c f x x c cδ δgt forall isin minus and gt forall isin + or
( ) 0 ( ) 0 f x x c c f x x c cδ δlt forall isin minus and lt forall isin + ( )f crArr
no es maacuteximo ni miacutenimo relativo de f
Veamos algunos ejemplos que son de aplicacioacuten del criterio dado Ejemplo 19
Sea la funcioacuten
( )
5 3
5
3 5 54 2( ) 2 4 2 2 5
5 5x
x x xf x x x
x e xminus
minus + + lt= minus minus + le lt
minus ge
Hallar los maacuteximos y miacutenimos de esta funcioacuten Solucioacuten
( )Dom f =real ( )f x real es continua en todo definiendo el valor absoluto en f tenemos lo siguiente
5 3
5
3 5 54 22( 4) 2 2 4
( )2( 4) 2 4 5
(5 ) 5x
x x xx x
f xx x
x e xminus
minus + + lt
minus + le lt= minus minus + le lt minus ge
ahora encontramos la derivada de
la funcioacuten ( )f x
2
5
15 ( 1)( 1) 22 2 4
( )2 4 5
( 6) 5x
x x x xx
f xx
x e xminus
minus minus + lt
le lt= minus le lt minus ge
Encontrando los puntos criacuteticos tenemos 0 112456minus Luego de evaluar algunos puntos en los intervalos generados con los puntos criacuteticos de la funcioacuten tenemos que
( 1) 52f minus = es miacutenimo relativo ( )f x (0) 54f = no es maacuteximo ni miacutenimo de ( )f x (1) 56f = es un maacuteximo relativo de ( )f x (2) 2f = minus es miacutenimo relativo ( )f x (4) 2f = es un maacuteximo relativo de ( )f x (5) 0f = no es maacuteximo ni miacutenimo de ( )f x
1(6)f
e= es miacutenimo relativo ( )f x
2 CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA Sea ( )f x una funcioacuten derivable en un entorno de c Si ( ) 0f c = and si ( )f c existe entonces 1) Si ( ) 0 ( ) es un maacuteximo relativo de f c f c flt rarr
2) Si ( ) 0 ( ) es un miacutenimo relativo de f c f c fgt rarr El siguiente ejemplo muestra la funcionalidad del criterio y se espera que el alumno reflexione acerca de las diferencias entre la aplicacioacuten de ambos
Ejemplo 20
Sea la funcioacuten ( ) 2cos cos 2 f x x x x= minus isinreal encontrar los maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten Solucioacuten
Derivando la funcioacuten se tiene
( ) 2 2 2 2 (1 2cos )f x senx sen x senx x= minus + = minus minus luego los puntos singulares (criacuteticos) son De ( ) 0f x = se tiene 2 (1 2cos ) 0senx xminus minus = resolviendo la
ecuacioacuten tenemos que 0 ( 1) 0ordmnsi senx x n nπ π= rarr = + minus = ademaacutes
( ) 11 2cos 0 arccos
2si x x minus = rarr =
52 2
3 3siendo x n x nπ π
π π= plusmn or = plusmn
Luego los puntos criacuteticos son 5 2 2
3 3n n nπ ππ π π + +
La segunda derivada es 2( ) 2 4cos cos 2f x x x= minus minus
Se cumplen a) ( ) 0f n fπ gt rarr tiene miacutenimos relativos en x nπ=
b) ( 2 ) 03
f n fππ+ lt rarr tiene maacuteximos relativos en 2
3x nπ
π= +
c) 5( 2 ) 0
3f n fπ
π+ lt rarr tiene maacuteximos relativos en 52
3x nπ
π= +
El trabajo de aplicaciones que se deja a continuacioacuten tiene la finalidad de aplicar los criterios para hallar maacuteximos y miacutenimos pero es necesario indicar sin restarle mayor importancia a lo anterior que es una bueno oportunidad para que el alumno ponga en praacutectica el trabajo de cambio de registros
Trabajo Praacutectico Nordm 7 Aplicaciones de las derivadas a los Maacuteximos y Miacutenimos de una funcioacuten
Costo Miacutenimo- Una plataforma petroliacutefera estaacute 2 Km mar adentro y la refineriacutea 4 Km costa abajo Si el costo del metro del oleoducto es doble en el mar que en la tierra firme iquestQueacute trayecto debe tener el oleoducto para minimizar el costo
Ejercicio 1
Beneficio Maacuteximo- El beneficio de cierta empresa es Ejercicio 2
21230 20
2P s s= + minus donde s es la cantidad (en cientos de doacutelares)
gastada en publicidad iquestQueacute valor de s hace maacuteximo el beneficio
Cierta empresa de material fotograacutefico oferta una maacutequina que es capaz de revelar y pasar a papel 155 fotografiacuteas por minuto Sin embargo sus cualidades se van deteriorando con el tiempo de forma que el nuacutemero de fotografiacuteas por minuto seraacute funcioacuten de la antiguumledad de la maacutequina de acuerdo a la siguiente expresioacuten (
Ejercicio 3
( )f x representa el nuacutemero de fotografiacuteas por minuto cuando la maacutequina tiene x antildeos)
155 11 0 5( ) 5 45
52
x x si xf x x si x
x
minus le le= +
gt +
a) Estudiar la continuidad de la funcioacuten ( )f x
b) Comprobar que el nuacutemero de fotografiacuteas por minuto decrece con la antiguumledad de la maacutequina Justificar que si tiene maacutes de 5 antildeos revelaraacute menos de 10 fotografiacuteas por minuto
c) Justificar que por muy vieja que sea la maacutequina no revelaraacute menos de 5 fotografiacuteas por minuto
Se ha construido una presa de almacenamiento de agua cuyos costes de mantenimiento diarios son una funcioacuten de la cantidad de agua que la misma tiene almacenada Tales costes (en doacutelares) vienen dados por la siguiente expresioacuten (
Ejercicio 4
( )C x representa el coste si el volumen de agua en millones de metros cuacutebicos es x )
3 2( ) 8 73C x x x x= + minus + a) encontrar el volumen diario de agua oacuteptimo que debe mantenerse para minimizar costes b) calcular el coste miacutenimo diario que supone el mantenimiento de la instalacioacuten Si un diacutea la presa tiene almacenados 3 millones de metros cuacutebicos de agua iquestcuaacutento se ha gastado de maacutes respecto del coste miacutenimo
Un taller artesanal estaacute especializado en la produccioacuten de cierto tipo de juguetes Los costos de fabricacioacuten
Ejercicio 5
( )C x en soles estaacuten relacionados con el nuacutemero de juguetes fabricados x a traveacutes de la siguiente expresioacuten 2( ) 10 2000 250000c x x x= + + El precio de venta de 8000 soles a) Plantear la funcioacuten de ingreso que obtiene el taller con la venta de
los juguetes producidos b) Plantear la funcioacuten de beneficio entendidos como diferencia entre
ingresos y costos de fabricacioacuten c) iquestCuaacutentos juguetes debe fabricar para maximizar beneficios iquestA
cuanto ascenderaacuten estos beneficios
Se ha investigado el tiempo (T en minutos) que se tarda en realizar cierta prueba de atletismo en funcioacuten del tiempo de entrenamiento de los deportistas (x en diacuteas) obtenieacutendose que
Ejercicio 6
3000 30
30( )1125
2 30( 5)( 15)
si xxT x
xx x
le le += + gt minus minus
a) Justificar que la funcioacuten T es continua en todo su dominio b) iquestSe puede afirmar que cuaacutento maacutes se entrene un deportista
menor seraacute el tiempo en realizar la prueba iquestAlguacuten deportista tardaraacute maacutes de 10 minutos en finalizar la prueba
c) Por mucho que se entrene un deportista iquestseraacute capaz de hacer la prueba en menos de 1 minuto iquestY en menos de 2
Un individuo ha invertido en acciones de cierta compantildeiacutea durante los uacuteltimos 10 antildeos El valor de su cartera a lo largo del tiempo (dinero invertido maacutes beneficios obtenidos en miles) viene dado por la siguiente expresioacuten (x en antildeos)
Ejercicio 7
2( ) ( 2) (1 2 ) 252 116 0 10f x x x x si x= minus minus + + le le a) Determinar los intervalos de tiempo en que la cartera crecioacute y
aquellos en que decrecioacute b) El individuo retira sus ingresos transcurridos 10 antildeos iquestCuaacutel hubiera
sido el mejor momento para haberlo hecho iquestCuaacutento pierde por no haberlo retirado en el momento oacuteptimo
El rendimiento (medido de 0 a 10) de cierto producto en funcioacuten del tiempo de uso (x en antildeos) viene dado por la siguiente expresioacuten
Ejercicio 8
2
3( ) 85 0
1
xf x xx
= + ge+
a) iquestHay intervalos de tiempo en los que el rendimiento crece iquestY en queacute decrece iquestCuaacuteles son
b) iquestEn queacute punto se alcanza el rendimiento maacuteximo iquestCuaacutento vale c) Por mucho que pase el tiempo iquestpuede llegar a ser el rendimiento
inferior al que el producto teniacutea cuando era nuevo
El peso que una plancha de cierto material es capaz de soportar depende de la edad de la misma seguacuten la siguiente funcioacuten (el peso P en toneladas t representa la edad en antildeos de la plancha)
Ejercicio 9
250 0 3( ) 20
56 31
t tP t t t
t
minus le le=
minus gt +
a) iquestEs el peso una funcioacuten continua con la edad Seguacuten vaya pasando el tiempo iquestla plancha cada vez aguantaraacute menos peso
b) Dicen que por mucho tiempo que transcurra la plancha siempre aguantaraacute maacutes de 40 toneladas iquestEstaacutes de acuerdo
c) Esboza un dibujo de la graacutefica de P (t) cuidando la concavidad y convexidad de la funcioacuten
El servicio de traumatologiacutea de un hospital va a implantar un nuevo sistema que pretende reducir a corto plazo las listas de espera Se preveacute que a partir de ahora la siguiente funcioacuten indicaraacute en cada momento (t en meses) el porcentaje de pacientes que podraacute ser operado sin necesidad de entrar en lista de espera
Ejercicio 10
2 8 50 0 10( ) 38 100
1004
t t si tp t t si t
t
minus + le le= minus
gt
a) iquestA partir de queacute momento creceraacute este porcentaje Por mucho tiempo que pase iquesta queacute porcentaje no se llegaraacute nunca
b) Haz un esbozo de la graacutefica de la funcioacuten P a lo largo del tiempo 24 LA INFORMAacuteTICA COMO RECURSO
La informaacutetica vista como recurso y no como fin contribuye en la ensentildeanza de la Matemaacutetica a una reconceptualizacioacuten de los planes y programas de estudio para pasar de un modelo masivo unidireccional centrado en el profesor a un modelo mas individualizado centrado en el estudiante
Esto facilita el desarrollo del pensamiento creador de los estudiantes ya que bull Las operaciones automaacuteticas los ayudan a realizar tareas
conceptuales maacutes importantes bull No tienen que ser necesariamente buenos algebraicamente para
dominar el pensamiento abstracto
bull Se le desarrollan gran cantidad de habilidades a traveacutes de la ejercitacioacuten
bull Se le facilita el trabajo independiente bull Pueden dar respuestas maacutes raacutepidas precisas y veraces a los
problemas de la especialidad que se le presenten en el transcurso de sus estudios
bull Tienen la posibilidad de dedicar maacutes tiempo a la modelacioacuten matemaacutetica y al anaacutelisis de la solucioacuten de los diversos problemas a resolver
El grupo experimental es de la Escuela de Ingenieriacutea Industrial y podemos decir que para ellos la computacioacuten no es una herramienta fundamental de trabajo para resolver problemas matemaacuteticos Aquiacute los estudiantes realizaraacuten acciones con la computadora que les reporten beneficios en ahorro de tiempo confiabilidad en los resultados matemaacuteticos ahorro de esfuerzo productividad etc En la competencia del siacutelabo se puede leer Interpreta formula y resuelve problemas de contexto real utilizando definiciones teacutecnicas y aplicaciones del caacutelculo Diferencial desarrollando comunicacioacuten investigacioacuten razonamiento y manifestando confianza flexibilidad y perseverancia De aquiacute se desprende la idea de utilizar programas en esta carrera especiacuteficamente ldquoDERIVErdquo Utilizando este paquete el estudiante puede resolver problemas de aplicacioacuten con mayor precisioacuten y rapidez obteniendo respuestas oacuteptimas y asiacute influir positivamente en la toma de decisiones Por esta razoacuten es necesario un replanteamiento en la ensentildeanza de la matemaacutetica donde lo primordial seraacute
1 Asimilacioacuten de conceptos y definiciones por parte de los estudiantes para aplicarlos a la modelacioacuten de problemas
2 Reduccioacuten sensible de los caacutelculos manuales en elementos del calculo diferencial lo que posibilita impartir mayor cantidad de conocimientos en menor tiempo
3 Elaboracioacuten de pruebas parciales y finales donde el estudiante modele problemas y luego los resuelva usando empleando DERIVE
Esto no significa de ninguna manera que el estudiante no tenga que resolver ejercicios donde aplique los conocimientos adquiridos sin
usar la computacioacuten Pues si lo haraacute y un grado de complejidad donde no sea necesario el uso de los medios de computo En la vida praacutectica el ingeniero se encuentra con situaciones problema inherente a su campo de accioacuten algunas de las cuales pueden ser modeladas con ayuda de un software matemaacutetico Dado un problema se debe 1 Analizarlo profundamente con la finalidad de recoger la mayor cantidad de informacioacuten posible 2 Hacer el planteamiento del problema en cuestioacuten teniendo en cuenta el punto 1 3 Modelarla usando un modelo que se ajuste a la situacioacuten 4 Solucionarla Para ello se puede usar
- Tablas matemaacuteticas - Calculadoras de mano - Computadoras
5 Interpretar los resultados 6 Tomar una decisioacuten Como se puede observar faacutecilmente los puntos del 1 al 6 con excepcioacuten del 4 responden al pensamiento creador y el 4 corresponde al uso del computador De todas formas esto no resta importancia al creciente uso de la computacioacuten en la matemaacutetica Ambos aspectos estaacuten muy vinculados La computacioacuten como herramienta ahorra el tiempo que el estudiante puede utilizar sin liacutemites para desarrollar el pensamiento creador En general se han realizado varias actividades con el uso del ldquoDeriverdquo que han fortalecido el proceso de ensentildeanza-aprendizaje en la especialidad entre las cuales se pueden mencionar 1 Clases praacutecticas en el laboratorio de la Escuela donde la
profesora guiacutea el proceso 2 Clases praacutecticas donde soacutelo se modela el problema y el
estudiante lo resuelve en tiempo extra con la ayuda de la maacutequina
3 Tareas donde el estudiante se ve precisado a utilizar la maacutequina para obtener respuestas raacutepidas y eficientes
4 Tareas sistemaacuteticas de problemas de cierta complejidad los cuales se les hariacutea muy difiacutecil resolverlos manualmente
5 Pruebas integradoras de Matemaacutetica y Computacioacuten donde la matemaacutetica ofrece el modelo para resolverla y la computacioacuten ofrece el paquete para encontrar una solucioacuten oacuteptima
6 Talleres donde la solucioacuten de los problemas es con ayuda de la computadora En estos talleres se puede observar que el estudiante tiene la necesidad de aplicar conceptos estudiados en clases para modelar e interpretar los problemas que se le presentan que en ocasiones son de caraacutecter integrador pues tienen que aplicar conceptos matemaacuteticos como Liacutemite Derivada entre otros para modelar uno soacutelo de ellos por lo tanto el uso del Derive en este caso fue esencial y muy provechoso
241 EL SOFTWARE EDUCATIVO EN EL PROCESO DE
ENSENtildeANZA APRENDIZAJE
El efecto del uso de software educativos en el proceso de ensentildeanza aprendizaje se manifiesta en un cambio de paradigma pedagoacutegico centrado en el aprendizaje maacutes que en la ensentildeanza donde el trabajo del docente prioriza la organizacioacuten y disposicioacuten de los contenidos de aprendizaje asiacute como la organizacioacuten del aprendizaje de los alumnos mediante tareas individuales y en grupo con un permanente seguimiento por parte del docente Es un modelo de formacioacuten centrado en problemas en el que los alumnos no son receptores pasivos de informacioacuten sino que deben resolver problemas utilizando para ello los contenidos adquiridos El uso del software educativo haraacute de la clase un lugar privilegiado de ensentildeanza ya que se convertiraacute en un conjunto muacuteltiple de entornos en aprendizajes en los que el alumnado pueda desarrollar y adquirir el conjunto de habilidades saberes y actitudes necesarias para vivir en sociedad Este hecho conlleva la necesidad de generar nuevos saberes pedagoacutegicos en relacioacuten con la planificacioacuten y el seguimiento del aprendizaje del alumnado en situaciones diversas
242 LA INTRODUCCION DE SOFTWARE DE
MATEMATICA EN LA EDUCACION MATEMATICA
Uno de los propoacutesitos de la educacioacuten matemaacutetica es formar al estudiante para que adquiera fluidez representacional
entendida esta como la representacioacuten verbal graacutefica geomeacutetrica tabular icoacutenica algebraica pictoacuterica mediante la que exprese conceptos y procedimientos matemaacuteticos El aprendizaje significativo se da traveacutes de la solucioacuten de situaciones problema donde el estudiante aprende cuando domina diferentes sistemas de representacioacuten Hoy en diacutea las nuevas tecnologiacuteas han cambiado profundamente el mundo de las matemaacuteticas y el de las ciencias ya que no soacutelo han afectado las preocupaciones propias de su campo y la perspectiva como eacuteste se ve sino tambieacuten el modo en que las ciencias y las matemaacuteticas se hacen se ensentildean y se transmiten Como sentildeala Zabalza (2003) ldquoLa incorporacioacuten de las nuevas tecnologiacuteas a la didaacutectica universitaria situacutea a los docentes ante el enorme desafioacute de las nuevas modalidades de ensentildeanzardquo Introducir la tecnologiacutea en el campo de la educacioacuten definitivamente aumenta las posibilidades de mejorar el rendimiento acadeacutemico en particular en la educacioacuten matemaacutetica se incrementa la manera de representar los conceptos matemaacuteticos pero es necesario considerar que ello podriacutea incrementar el riesgo de los problemas de comunicacioacuten pues los alumnos podriacutean estar expuestos a tomar la notacioacuten del software que emplean como notacioacuten algebraica formal a pesar que se les pida que consideraran que cada software tienen diferentes maneras de expresar los conceptos matemaacuteticos parece que ayudariacutea que las notaciones que usa la tecnologiacutea se fueran ajustando maacutes a las usadas en el aacutelgebra Esto es un riesgo que vale la pena tomar en cuenta al momento de hacer nuestras programaciones y que no debe hacernos desistir de emplear este recurso para lograr los objetivos propuestos El Derive es una potente herramienta computacional para el desarrollo del pensamiento variacional pensamiento que estaacute relacionado con los demaacutes pensamientos matemaacuteticos permite al estudiante concentrar esfuerzos en el razonar solucionar y formular problemas asiacute como en verificar teoremas y propiedades matemaacuteticas y geomeacutetricas
243 EL PROGRAMA CIENTIacuteFICO DERIVE
DERIVE es un programa de matemaacuteticas capaz de procesar variables expresiones ecuaciones funciones vectores y matrices Al igual que una calculadora cientiacutefica sirve para trabajar con nuacutemeros Puede realizar caacutelculos numeacutericos y simboacutelicos con aacutelgebra trigonometriacutea y anaacutelisis ademaacutes de representaciones graacuteficas en dos y tres dimensiones El aspecto maacutes sobresaliente de Derive es su trabajo simboacutelico unido a sus capacidades graacuteficas Es una herramienta excelente para hacer y aplicar matemaacuteticas y para aprender y ensentildear matemaacuteticas Esto lo convierte en un paquete matemaacutetico idoacuteneo para los primeros cursos de la carrera DERIVE es uno de esos programas de caacutelculo simboacutelico quizaacute el maacutes difundido y popular porque en su modalidad maacutes sencilla funcionaba en cualquier PC sin necesidad de que tuviera disco duro y ocupaba soacutelo un diskette Hoy Derive sigue siendo un pequentildeo programa que ocupa poco maacutes de 3 Mb y que sigue siendo muy accesible e intuitivo
244 CAPACIDADES DEL PROGRAMA DERIVE
Conocer las capacidades del programa nos serviraacute para pensar en sus aplicaciones docentes Cuanto mejor se conozca el programa incluyendo sus novedades tanto mejor se puede incorporar a diversos aspectos de la ensentildeanza Derive como una herramienta computacional permite bull La construccioacuten exploracioacuten manipulacioacuten directa y
dinaacutemica de objetos en pantalla que conducen en un nivel bajo a la elaboracioacuten de conjeturas en un nivel medio a la argumentacioacuten y un nivel superior a la realizacioacuten de demostraciones
bull Las representaciones cuantitativas geomeacutetricas tabulares algebraicas y graacuteficas en forma dinaacutemica es decir que al variar un elemento o argumento en la expresioacuten original se produce una variacioacuten de dependencia entre las variables posibilitando asiacute el anaacutelisis y la generalizacioacuten de conceptos
bull La representacioacuten graacutefica en dos y tres dimensiones dando la posibilidad de realizar transformaciones y de asociar figuras con objetos fiacutesicos para pasar a un nivel de conceptualizacioacuten maacutes elevado
bull Problematizar lo visual de tal forma que surja la necesidad de examinar conjeturar predecir y verificar es decir da al estudiante la posibilidad de pensar y de preguntar sobre el porque de determinados hechos llevaacutendolo a la exploracioacuten de otras situaciones
bull La correlacioacuten de lo geomeacutetrico con lo algebraico
En el plan de Estudios de las asignaturas de Loacutegico Matemaacutetica Matemaacutetica I y Matemaacutetica II de la Universidad Cesar Vallejo se desarrollan temas en los cuales el uso de derive seria de mucha ayuda desde este punto puedo mencionar que derive permite trabajar bull Operaciones con vectores matrices y determinantes bull Resolucioacuten de ecuaciones y de sistemas de ecuaciones bull Calculo de Liacutemites derivadas integrales (definidas e
indefinidas) series liacutemites polinomios de Taylor bull Representacioacuten graacutefica de funciones en forma expliacutecita
impliacutecita parameacutetrica y en coordenadas polares Asiacute como la representacioacuten de funciones de dos variable
bull Operaciones con polinomios y fracciones algebraicas y muchas otras
bull Ademaacutes es posible programar funciones que usen las distintas capacidades del programa de modo que aumenta asiacute sensiblemente el espectro de sus aplicaciones DERIVE se suministra con varios ficheros de funciones para propoacutesitos diversos como resolver ecuaciones diferenciales trabajar en Aacutelgebra Lineal etc
245 LABORATORIOS PARA EL APRENDIZAJE DEL
CALCULO DIFERENCIAL EMPLEANDO DERIVE
El contenido de las praacutecticas de laboratorio es ldquoautosuficienterdquo en el sentido que no son precisos conocimientos previos de informaacutetica por parte del alumno
CAPIacuteTULO III
METODOLOGIacuteA DE LA INVESTIGACIOacuteN
31 PARADIGMA DE INVESTIGACIOacuteN
El paradigma de esta investigacioacuten es de tipo positivista tambieacuten denominado (Arnal 1996) paradigma cuantitativo empiacuterico-analiacutetico racionalista Basado en la escuela filosoacutefica del positivismo (Arnal 1996) y que presenta Arnal (199641) citando a Koetting (1994 296) las siguientes caracteriacutesticas 1 Su intereacutes es explicar controlar y predecir 2 La naturaleza de su realidad es dada tangible fragmentada
convergente 3 La relacioacuten sujetoobjeto es independiente neutral libre de
valores 4 Su propoacutesito es la generalizacioacuten libre de contexto con
explicaciones centradas en deducciones y centradas sobre semejanzas
5 la explicacioacuten de la causalidad refiera a causas reales Arnal (1996 41) nos dice ldquoEste paradigma lleva asociado el peligro de reduccionismo al aplicarse al aacutembito educativo Si bien permite satisfacer ciertos criterios de rigor metodoloacutegico sacrifica el estudio de otras dimensiones sustantivas del hecho educativo como realidad humana sociocultural e incluso poliacutetica e ideoloacutegicardquo
32 TIPO DE INVESTIGACIOacuteN
Positivista ndash experimental 33 POBLACIOacuteN
Poblacioacuten Los alumnos de la asignatura de Matemaacutetica I de la Universidad Ceacutesar Vallejo durante el segundo semestre 2006 Son en total 46 alumnos Se tomaraacute en cuenta el promedio final al terminar cada ciclo Semestre 2006 ndash II
34 HIPOacuteTESIS ESTADIacuteSTICAS
0 M MH micro micro= (Hipoacutetesis Nula)
1 M MH micro microne (Hipoacutetesis de la investigacioacuten) Donde
Mmicro Nota promedio de los alumnos de la asignatura de Matemaacutetica I Seccioacuten A aula 412 del semestre 2006 II que emplearon el software DERIVE
Mmicro Nota promedio de los alumnos de la asignatura de Matemaacutetica I Seccioacuten B aula 413 del semestre 2006 II que no que emplearon el software DERIVE
35 VARIABLES
Variable Independiente Programa DERIVE Variable Dependiente Rendimiento acadeacutemico de los alumnos Variables Intervinientes Asistencia a clases horarios tipo de contenidos
36 DISENtildeO DE INVESTIGACIOacuteN
El presente trabajo de investigacioacuten se desarrollaraacute en los ambientes de la Universidad Cesar Vallejo en la Escuela de Ingenieriacutea Industrial y de Sistemas en la asignatura de Matemaacutetica I Ademaacutes se emplearaacute el laboratorio de coacutemputo 305 donde se ha instalado el software DERIVE
El disentildeo empleado es de tipo experimental Hernaacutendez Sampieri (2003 188) nos dice ldquoLa esencia de esta concepcioacuten de ldquoexperimentordquo es que requiere la manipulacioacuten intencional de una accioacuten para analizar sus posibles efectosrdquo Bajo esta idea se tiene la presencia de dos variables una independiente la cual consiste en el uso del software DERIVE como recurso didaacutectico para mejorar el rendimiento acadeacutemico de los alumnos de Ingenieriacutea de Sistemas y la otra llamada dependiente que en este caso es el rendimiento acadeacutemico El disentildeo implica ademaacutes la presencia de dos grupos de los cuales soacutelo uno seraacute expuesto a la presencia de la variable independiente a este grupo le llamaremos grupo experimental y estaraacute formado por los alumnos de la Escuela de Ingenieriacutea Industrial (aula 412) el otro recibiraacute el nombre de grupo de control y lo conformaraacute los alumnos de la Escuela de Ingenieriacutea Sistemas (Aula 413) Al finalizar el proceso de investigacioacuten se compararaacuten ambos para determinar si el grupo que ha sido expuesto a la variable independiente difiere del otro Basada en la tipologiacutea de Cambell y Stanley (1966) empleareacute la simbologiacutea de un disentildeo cuasiexperimental con una preprueba - posprueba y grupo de control siendo el esquema el siguiente
1 1 2
2 3 4
0 0
0 _ 0
G X
G
Para el caso de este trabajo el resultado de la preprueba consiste en el promedio de la primera unidad ya que la investigacioacuten se realizaraacute en la segunda unidad del curso de manera que las notas de la primera unidad seraacuten de importancia en el inicio de esta investigacioacuten
37 TEacuteCNICAS E INSTRUMENTOS DE RECOLECCIOacuteN DE
DATOS
En los estudios experimeacutentales la teacutecnica se encuentra limitada al procedimiento para desarrollar una actividad especiacutefica y los instrumentos son las herramientas que serviraacuten para manipular el objeto de estudio La teacutecnica consiste en el desarrollo de sesiones de laboratorio usando el software DERIVE las cuales se realizaraacuten dentro de la
jornada de clases debo indicar que las clases son una vez a la semana en bloque de 5 horas iniciaacutendose a las 730 am y finalizando a las 1200 am contando con un descanso de 20 minutos a las 1000 am Cada sesioacuten con el grupo experimental seraacute trabajado en el laboratorio de computo el cual esta totalmente equipado para realizar la clase y los alumnos contaran con una guiacutea de trabajo la misma que se les entregaraacute al empezar la clase en el laboratorio Todas las guiacuteas de trabajo se encuentran en el Anexo 3 En el caso del grupo de control no hay asistencia al laboratorio los alumnos trabajaraacuten siempre en el aula y la clase se desarrollara empleando la clase magistral y el trabajo en pareja o en grupo Para la recoleccioacuten de datos he empleado praacutecticas calificadas las cuales disentildeeacute basaacutendome en la taxonomiacutea de Bloom mencionada anteriormente en el Capiacutetulo II del fundamento teoacuterico y cuyas tablas de especificaciones se encuentran en el Anexo 5 aquiacute se pueden apreciar en detalle las habilidades cognitivas y los ejes temaacuteticos que se ha evaluado asiacute como el nuacutemero de preguntas por eje temaacutetico y habilidad que se intenta evaluar luego las practicas calificadas estaacuten se encuentran en el Anexo 6
38 TEacuteCNICAS DE PROCESAMIENTO DE DATOS
Para la seleccioacuten de la teacutecnica para la prueba de hipoacutetesis se utilizaraacute la ldquo t ndashstudentrdquo
( )1 21 22 2
1 2
2p p
x xt t n n
s sn n
minus= asymp + minus
+
Donde 1n es el tamantildeo de muestra de la primera poblacioacuten 2n es el tamantildeo de muestra de la segunda poblacioacuten
11
1
n
ii
xx
n==sum
Media muestral para la muestra nuacutemero 1
12
2
n
ii
xx
n==sum
Media muestral para la muestra nuacutemero 2
( ) ( )2 21 1 2 22
1 2
1 12p
n s n ss
n nminus + minus
=+ minus
Donde
La varianza muestral de la muestra 1 es ( )
12
12 11
1 1
n
ii
x xs
n=
minus
=minus
sum
La varianza muestral de la muestra 2 es ( )
22
22 12
2 1
n
ii
x xs
n=
minus
=minus
sum
39 PROCESO DE LA INVESTIGACIOacuteN
391 DIFICULTADES EN EL APRENDIZAJE DEL CAacuteLCULO DIFERENCIAL
Para este trabajo de investigacioacuten he tomado dos grupos uno corresponde a la Escuela de Ingenieriacutea Industrial al que llamareacute Grupo Experimental y el otro corresponde a la Escuela de Ingenieriacutea de Sistemas al que llamareacute Grupo de Control Es importante que mencione que aun cuando los dos grupos corresponden al segundo ciclo y esta asignatura sea igual para ambas escuelas sus planes de estudio no son los mismos Una dificultad que presentan los alumnos se encuentra en la base de los contenidos que traen consigo realizan algunos errores al emplear fundamentos algebraicos lo cual es necesario para el trabajo con funciones liacutemites y derivadas esto no me permite desarrollar los contenidos de acuerdo a las fechas que se programan en el siacutelabo y por lo general debe reprogramar mis clases o trabajar algunas horas aparte de las asignadas al menos en la primera parte del curso donde se trabaja mucho con funciones y sus graacuteficas
392 RENDIMIENTO ACADEacuteMICO
Respecto al rendimiento acadeacutemico considero necesario presentar en el Anexo 2 el registro de evaluaciones de la primera unidad donde se puede apreciar el rendimiento de los alumnos El grupo de Ingenieriacutea de Sistemas consta de los 32 alumnos de los cuales siete se han retirado del curso reservando su matriacutecula En el grupo de Ingenieriacutea Industrial consta de 19 alumnos de los cuales solo una alumna se retiro del curso Este antildeo es el primero para la escuela de Ingenieriacutea Industrial en la filial de Piura este grupo corresponde a la primera promocioacuten menciono esto porque es la primera vez que dicto el curso para alumnos de esta especialidad
393 PROPUESTA DIDAacuteCTICA
1 TEMA Caacutelculo Diferencial 2 TIEMPO 4 semanas 3 Nordm DE HORAS SEMANALES 5 horas 4 COMPETENCIA Interpreta formula analiza y resuelve problemas de
contexto real utilizando definiciones teacutecnicas y aplicaciones del Caacutelculo Diferencial desarrollando comunicacioacuten investigacioacuten razonamiento y manifestando confianza flexibilidad y perseverancia
5 CAPACIDADES bull Refuerza empleando DERIVE el tema de Razoacuten de
Cambio en una funcioacuten bull Utiliza el software para visualizar y estudiar a traveacutes
de un pequentildeo programa el problema de la Recta Tangente
bull Observa analiza e interpreta el comportamiento de las funciones y sus derivadas a traveacutes de graacuteficas elaboradas en DERIVE
bull Resuelve problemas de aplicacioacuten de la derivada (Maacuteximos y Miacutenimos) al estudio de problemas naturales econoacutemicos sociales y tecnoloacutegicos
bull Desarrollar la capacidad de anaacutelisis criacutetico de las informaciones recibidas
6 ACTITUDES
bull Valora la importancia de la precisioacuten en el trabajo de programacioacuten
bull Demuestra seguridad orden y claridad en su trabajo bull Manifiesta la importancia de la derivada para
explicar y analizar el comportamiento de un fenoacutemeno
7 METODOLOGIacuteA DE LAS SESIONES DE CLASE La metodologiacutea consiste en explicar el fundamento teoacuterico empleando diversos recursos como diapositivas pizarra ndash plumoacuten proyector multimedia y paralelamente trabajar el laboratorio Al planificar estas sesiones se tendraacute en cuenta la competencia y las capacidades que se espera desarrollar en los alumnos Se ha insistido en la necesidad de lograr que el alumno realice un aprendizaje significativo y desempentildee un rol activo para lo cual utilizaremos guiacuteas de trabajo para el tratamiento de los contenidos programados asiacute como hojas de Evaluacioacuten de Laboratorio
8 RECURSOS HUMANOS bull Profesora de Matemaacuteticas bull Grupo Experimental Alumnos del segundo ciclo
de la Escuela de Ingenieriacutea Industrial bull Grupo de Control Alumnos del segundo ciclo de
la Escuela de Ingenieriacutea de Sistemas 9 MATERIALES
bull Centro de Coacutemputo bull Guiacuteas de Trabajo bull Hojas de Evaluacioacuten
10 PLANES DE CLASE Elaborar un plan de clase se ha convertido en una tarea importante al momento de planificar nuestras asignaturas hemos recibido algunos cursos de capacitacioacuten con la finalidad de que todos los docentes podamos manejar este instrumento que nos ayude a organizar mejor nuestro tiempo y a dosificar los
contenidos de acuerdo al tiempo establecido para cada uno de ellos en la programacioacuten oficial Manejamos el formato que presento en el Anexo 4 y en cada clase llevamos uno en nuestra carpeta docente Para este trabajo de investigacioacuten se elaboraron 4 planes de clase los cuales se pueden apreciar en el Anexo 4 Consideramos importante al momento de planificar una sesioacuten de clase conocer los diferentes tipos de actividades a desarrollar los cuales son la parte medular de la clase y los procedimientos a utilizar en cada una de ellas En nuestros planes de clase consideramos las siguientes actividades bull Actividades Iniciales
Preparan el ambiente para el aprendizaje y estimulan el intereacutes por los nuevos contenidos y facilitan su relacioacuten con los conocimientos previos de los estudiantes Tienen como propoacutesito captar la atencioacuten de los alumnos hacia las principales ideas estudiadas Se utiliza como introduccioacuten donde se sentildealan los aspectos a estudiar para despertar el intereacutes de los alumnos por el tema y desarrollar una buena disposicioacuten por temas subsiguientes Tambieacuten puede incluir una evaluacioacuten previa o diagnoacutestica del conocimiento actual las actitudes y niveles de destreza de los alumnos En este mismo sentido se puede plantear una secuencia de experiencias de aprendizajes puede incluir diferentes tipos de actividades entre las cuales se encuentran las Actividades Introductorias o de Exploracioacuten Evidencian diagnoacutestico introduccioacuten o
descubrimiento Son orientadoras Despiertan el intereacutes y la motivacioacuten A continuacioacuten se ofrecen algunos ejemplos de actividades iniciales Hacer una encuesta de las actitudes de los alumnos hacia un tema determinado y colocar los resultados en el pizarroacuten
Mostrar una peliacutecula de corto metraje Pedir a los estudiantes que entrevisten a personas que laboran en una empresa acerca del tema estudiado y discutan sus hallazgos en clase Sostener una discusioacuten en clase que muestre la forma en que se relacionan las experiencias actuales de los alumnos con lo que va a ser estudiado
bull Actividades de Proceso
Dan secuencia a las estrategias y teacutecnicas de aprendizaje para lograr los objetivos propuestos Son las estrategias de aprendizaje y teacutecnicas que ayudan a los estudiantes a extender su pensamiento acerca de un problema o tema y practicar sus destrezas recieacuten aprendidas Estas son el corazoacuten de la Unidad y ocupan la mayor parte del tiempo y la energiacutea de los estudiantes Aquiacute podemos hablar de actividades de desarrollo anaacutelisis y estudio las cuales son actividades destinadas a desarrollar diferentes aspectos del contenido para el logro de los objetivos Incluyen actividades de estudio y ejercitacioacuten Dentro de eacutesta clasificacioacuten se encuentran tambieacuten las denominadas por Taba actividades de generalizacioacuten que incluyen actividades que permiten generalizar o reconstruir lo aprendido Ejemplos de actividades de Desarrollo Solicitar a los estudiantes elaboren mapas
tablas graacuteficas modelos o secuencias cronoloacutegicas
Asignar actividades de redaccioacuten de resentildeas de libros temas cartas o informes de investigacioacuten
Invitar a especialistas sobre el tema a dar una charla
Solicitar a los estudiantes que recaben su propia informacioacuten a traveacutes de entrevistas o cuestionarios
Utilizar peliacuteculas diapositivas transparencias u otros materiales visuales
Organizar grupos pequentildeos de trabajo para que los estudiantes compartan informacioacuten Mostrar a los estudiantes la forma de desarrollar habilidades especiacuteficas y proveer actividades para la praacutectica
bull Actividades Finales Agregan y relacionan las Unidades de Aprendizaje con otras experiencias educativas y aplicaciones a situaciones nuevas Estas actividades favorecen la integracioacuten con resuacutemenes que ayuden a los estudiantes a identificar las ideas maacutes importantes de la Unidad Una actividad de culminacioacuten tambieacuten podriacutea brindar la oportunidad para que los alumnos practiquen o utilicen de forma conjunta los conocimientos habilidades y actitudes desarrolladas en unidades anteriores Aquiacute podemos mencionar a las actividades de aplicacioacuten resumen o culminacioacuten que son aquellas que propician la aplicacioacuten de lo aprendido y sirven para medir o evaluar el nivel de logro Algunos ejemplos de actividades de culminacioacuten
son Planear una puesta en comuacuten para que los estudiantes resuman lo que han aprendido en la Unidad Estimular a los estudiantes a realizar un proyecto que deacute respuesta a problemas particulares de una empresa de su trabajo o de su comunidad Producir material audiovisual presentacioacuten de grabaciones transparencias o cintas de viacutedeo en clase
11 CRITERIOS DE EVALUACIOacuteN Los criterios de evaluacioacuten corresponden a la Taxonomiacutea de Bloom seguacuten la cual se evaluacutea de acuerdo a los criterios de conocimiento comprensioacuten
aplicacioacuten anaacutelisis siacutentesis y evaluacioacuten Asiacute en las evaluaciones presentadas en el Anexo 5 presentamos las tablas de especificaciones de acuerdo a esta taxonomiacutea y a los ejes temaacuteticos que se desarrollaron en cada sesioacuten de clase y en el Anexo 6 se muestran los instrumentos de evaluacioacuten donde se ha tenido el cuidado necesario en la redaccioacuten de cada iacutetem a fin de que logre medir las capacidades sentildealadas en los planes de clase y este de acuerdo a los criterios fijados en la tabla de especificaciones
12 METODOLOGIA DE CLASE
En cuanto a la metodologiacutea indicamos que se trabaja por bloques de cinco horas pedagoacutegicas con un descanso de 20 minutos Las clases se dictan una vez a la semana y se inicia en el turno de la mantildeana de 730am hasta las 1000am en que se da lugar al descanso de veinte minutos para retomar a las 1020am y terminar a las 1200 am Debido a la jornada de trabajo que se tiene es que el eacutexito de una sesioacuten de clases depende en parte de la habilidad del docente para programar su clase haciendo un buen uso del tiempo a fin de hacer de su clase una jornada de trabajo productivo con los alumnos Generalmente distribuyo mi tiempo entre exposicioacuten los contenidos y resolucioacuten de ejercicios en la pizarra tambieacuten invito a los alumnos a participar resolviendo algunos ejercicios y problemas para luego explicar lo que han trabajado a sus compantildeeros Otras de las estrategias empleadas es la solucioacuten de Trabajos Praacutectico en clase y de forma grupal despueacutes de ello siempre se presentan las soluciones a todo el grupo He dejado un trabajo encargados en la primera unidad que mas que ser un trabajo de investigacioacuten de alguacuten contenido matemaacutetico se refirioacute a la lectura de la novela ldquoCriacutemenes Imperceptiblesrdquo de Guillermo Martiacutenez Matemaacutetico y escritor argentino esta novela posee un contenido matemaacutetico y en su momento
sirvioacute para reconocer que en las matemaacuteticas no todo es solucioacuten de ejercicios y problemas Con el grupo experimental trabajeacute sesiones de laboratorio incluidas dentro de las horas de clase PRIMERA CLASE
Esta es la primera clase sobre Derivadas con el grupo de control aquiacute el desarrollo de la clase se hace siguiendo el meacutetodo de la clase magistral en la cual muestro a los alumnos el concepto de razoacuten de cambio con ayuda de diapositivas y graacuteficos elaborados en la pizarra es importante mencionar que toda la informacioacuten ellos la tienen presente en una separata disentildeada para esta clase y entregada para esa sesioacuten
Luego de la explicacioacuten en la cual los alumnos
intervienen con sus preguntas se procede a trabajar por parejas en la solucioacuten del primer trabajo praacutectico que aparece en la separata para esto se asigna a cada pareja formada un problema un tiempo de 15rsquo para resolverlo y entregarlo para su posterior correccioacuten en plenaria A continuacioacuten los alumnos exponen la solucioacuten de los 4 problemas en la pizarra
Luego empleando nuevamente el meacutetodo expositivo dando lugar a las preguntas de los alumnos y haciendo a la vez algunas interrogantes para comprobar su comprensioacuten presente los contenidos referidos a a) Razoacuten de cambio y el problema de la recta tangente a una curva b) Definicioacuten de derivada c) Presentacioacuten de graacuteficos de funciones y sus derivadas Resolvimos algunos ejercicios de los trabajos praacutecticos Nordm2 y Nordm3 en la pizarra y los demaacutes quedaron para trabajar en casa La solucioacuten de dichos ejercicios seria expuesta en la siguiente clase de forma voluntaria
Para la sesioacuten con el grupo experimental la clase se desarrollo con un inicio similar a la clase del grupo
de control mostrando las diapositivas y trabajando con ellos trabajando con ellos sobre la ideas de Razoacuten de cambio Recta tangente a una curva caacutelculo de la derivada de una funcioacuten empleando la definiciones De los Trabajos Praacutecticos Nordm1 Nordm2 y Nordm3 resolviacute en la pizarra algunos ejercicios quedando los otros como trabajo para la siguiente clase Para la sesioacuten de laboratorio prepare una guiacutea de trabajo la cual estaacute dividida en dos temas los cuales se denominan bull Razoacuten de cambio y problema de la recta tangente bull Caacutelculo y grafica de la derivada de una funcioacuten Esta guiacutea de trabajo usa el programa DERIVE y pretende reforzar los conocimientos adquiridos en las clases acerca de los temas de razoacuten de cambio recta secante y tangente a una curva ademaacutes del caacutelculo de la derivada empleando la definicioacuten y el uso de los comandos Lim (liacutemite) y DIF (derivada) propios de DERIVE Considero importante comentar que el uso de programa permitioacute a los alumnos recordar la teoriacutea de graacutefico de funciones estudiada en la primera unidad la cual les sirvioacute de base para comprender el comportamiento de las graacuteficas de las funciones y sus derivadas ademaacutes se dieron indicaciones sobre el uso de sentencias loacutegica como IF ndash THEN para elaborar pequentildeos programas usando DERIVE pues una de las tareas era elaborar un pequentildeo programa que les permitiera ingresar una funcioacuten y un intervalo y que de como resultado la grafica de todas las rectas secantes en un intervalo establecido hasta llegar a la tangente en un punto extremo del intervalo o en cualquier punto del mismo SEGUNDA CLASE
Con el grupo de control el meacutetodo empleado es deductivo las estrategias para el desarrollo de la clase se combinaron entre la exposicioacuten y participacioacuten activa de los alumnos para tratar de deducir algunos conceptos o ideas y luego a traveacutes de la solucioacuten de
ejercicios reforzar los conocimientos Los ejercicios se trabajan en parejas Se presentoacute las primeras reglas de derivacioacuten y luego se resolvieron ejercicios de caacutelculo de derivadas empleando las reglas Ademaacutes de calcular derivadas de orden superior Se continuoacute con el anaacutelisis de las derivadas de algunas funciones sencillas por la facilidad para realizar sus graacuteficas A los alumnos se les dejoacute como tarea la solucioacuten de los trabajos praacutecticos Nordm 4 Con respecto al grupo experimental se presentaron los mismos contenidos y en la parte del laboratorio sirvioacute baacutesicamente para trabajar el anaacutelisis graacutefico de funciones y adelantando un poco gracias el manejo del programa calculamos no solo la primera sino tambieacuten las segundas terceras entre otras derivadas de algunas funciones El trabajar con las graacuteficas de la primera y segunda derivada permitioacute a los alumnos ir teniendo ideas sobre la relacioacuten entre la derivada de una funcioacuten y su graacutefica lo cual seraacute el tema de la siguiente sesioacuten Asiacute mismo recordamos conceptos estudiados en la primera parte del curso como son el de funcioacuten creciente y decreciente ademaacutes de relacionar los signos de la derivada para comprobar que una funcioacuten sea o no creciente TERCERA CLASE
Esta clase tanto para el grupo de control como para el grupo experimental es la misma no incluye el desarrollo de un laboratorio para el grupo experimental y la razoacuten es porque en esta sesioacuten se concluye con la presentacioacuten de todas las reglas de derivacioacuten se trabajaron los temas de derivadas de funciones trigonomeacutetricas sus inversas exponenciales y logariacutetmicas Ademaacutes regla de cadena funciones impliacutecitas derivadas de orden superior
Esta clase tiene la mayor parte del tiempo destinada a la praacutectica en clase pues los ejercicios que
se plantean tienen como finalidad que el alumno aprenda a distinguir las reglas de derivacioacuten y sobre todo reconozca cuando emplearlas
CUARTA CLASE
Con ambos grupos se trabajaron los temas de Regla de LrsquoHospital y aplicaciones de las Derivadas el caacutelculo de Maacuteximos y Miacutenimos de una funcioacuten en el caso del grupo de control se invierte el tiempo en resolver ejercicios y problemas de forma individual grupal y en presentar la solucioacuten de los problemas en la pizarra
Con el grupo experimental si hubo laboratorio aquiacute se presentan problemas diversos de aplicacioacuten para encontrar maacuteximos y miacutenimos de funciones que quizaacutes manualmente seriacutea laboriosos derivar pero con ayuda de programa podemos hacerlo de forma inmediata dando asiacute el tiempo necesario para trabajar la interpretacioacuten de resultados y el anaacutelisis e maacuteximos y miacutenimos
En cuanto a la evaluacioacuten debo indicar que durante el tiempo que duro la experiencia se aplicaron 3 praacutecticas calificadas y un examen parcial Entonces los alumnos presentan en esta segunda unidad tres notas de praacutectica maacutes la calificacioacuten del examen parcial
13 LA EVALUACION
Al finalizar las praacutecticas con DERIVE se realizoacute un examen para evaluar los conocimientos adquiridos por los estudiantes Estos exaacutemenes fueron tres y contando con el examen parcial se pudo obtener el promedio de la segunda unidad en la asignatura
Para la realizacioacuten de los exaacutemenes y con la finalidad de que no haya diferencia en las evaluaciones se aplico el mismo examen ademaacutes fueron aplicados en un horario fuera de las horas de clase y a los dos grupos por igual y al mismo tiempo
Las praacutecticas calificadas se elaboraron de acuerdo a la tabla de especificaciones y la taxonomiacutea de Bloom La prueba tiene una duracioacuten de dos horas
El construir la tabla de especificaciones me sirvioacute para un mayor orden al momento de elaborar el banco de reactivos que evalueacute en cada uno de los temas seguacuten la importancia y el tiempo que se le dedicaron en clase
Para desarrollar esta tabla fue necesario tener en
cuenta
a) La lista de temas desarrollados b) La lista de capacidades especificas que marco cada
tema c) Una revisioacuten previa de todo el contenido Tomeacute en cuenta los niveles taxonoacutemicos de Bloom 1 Conocimiento 2 Comprensioacuten 3 Aplicacioacuten 4 Anaacutelisis - Siacutentesis ndash Evaluacioacuten
Con respecto al porcentaje este fue asignado seguacuten la importancia de los contenidos Las tablas de especificaciones para las tres praacutecticas calificadas asiacute como algunas notas sobre la taxonomiacutea de Bloom se encuentran en Anexo 5
CAPIacuteTULO IV
ANAacuteLISIS E INTERPRETACIOacuteN DE RESULTADOS
41 ANAacuteLISIS ESTADIacuteSTICO
421 RESULTADOS DEL RENDIMIENTO ACADEacuteMICO DE LOS GRUPOS EXPERIMENTAL Y DE CONTROL
El grupo Experimental inicio el semestre acadeacutemico con 19 alumnos El nuacutemero de alumnos es muy pequentildeo y me atrevo a suponer se deba al hecho de ser una especialidad nueva en la Universidad esto en comparacioacuten a la especialidad de Ingenieriacutea de Sistemas de tiene mayor tiempo Del grupo de Control que inicio el semestre con 19 alumnos el alumno 6 se retiro en la segunda unidad por problemas de salud El nuacutemero de alumnos registrados en el grupo de Control es de 32 De los 32 alumnos registrados se retiraron 7 cinco de ellos se retiraron desde la primera unidad y los otros dos en la segunda unidad Las razones del retiro de la asignatura de estos alumnos fueron de caraacutecter econoacutemico y en otros por motivos familiares y de salud
Observemos las calificaciones del promedio de la segunda unidad en ambos grupos
CALIFICACIONES DE LA SEGUNDA UNIDAD
GRUPO EXPERIMENTAL
Tabla 6
R E G I S T R O D E A S I S T E N C I A Y E V A L U A C I Oacute N
Semestre 2006 II Seccioacuten A Escuela Ingenieriacutea Industrial Aula 412
Asignatura Matemaacutetica I
Profesora Lic Diana Quintana S
E v a l u a c i o n e s 2ordm U n i d a d
Prom Ex Prom NF NP Observaciones
Nordm Apellidos y Nombres
Prac
tica
Nordm 1
Prac
tica
Nordm 2
Prac
tica
Nordm 3
Fina
l
2 Sust 2
1 Alumno 1 11 8 9 9 92 2 Alumno 2 18 17 18 20 186 3 Alumno 3 19 18 18 20 19 4 Alumno 4 13 13 12 14 132 5 Alumno 5 15 17 15 15 154 6 Alumno 6 0 0 0 0 0 Retirado 7 Alumno 7 14 9 12 12 118 8 Alumno 8 14 13 13 14 136 9 Alumno 9 12 13 10 13 122
10 Alumno 10 14 11 15 13 132 11 Alumno 11 16 18 15 15 158 12 Alumno 12 10 14 11 11 114 13 Alumno 13 8 7 7 7 72 14 Alumno 14 16 14 12 14 14 15 Alumno 15 13 12 12 14 13 16 Alumno 16 11 10 10 12 11 17 Alumno 17 11 12 11 9 104 18 Alumno 18 9 8 7 11 92 19 Alumno 19 18 13 8 17 146 20
CALIFICACIONES DE LA SEGUNDA UNIDAD
R E G I S T R O D E A S I S T E N C I A Y E V A L U A C I Oacute N
GRUPO DE CONTROL
Semestre 2006 II Seccioacuten B Escuela Ingenieriacutea de Sistemas Aula 413
Asignatura Matemaacutetica I Profesora Lic Diana Quintana S
E v a l u a c i o n e s 2ordm U n i d a d Prom Ex Prom NF NP Observaciones
Nordm Apellidos y Nombres
Prac
tica
Nordm1
Prac
tica
Nordm2
Prac
tica
Nordm3
Fina
l
2 Sust 2
1 Alumno 1 Retirado 2 Alumno 2 5 8 10 11 9 3 Alumno 3 14 6 5 10 9 4 Alumno 4 14 12 13 12 126 5 Alumno 5 0 11 5 13 84 6 Alumno 6 14 18 18 16 164 7 Alumno 7 14 15 12 13 134 8 Alumno 8 0 10 6 11 76 9 Alumno 9 0 10 6 12 8
10 Alumno 10 Retirada 11 Alumno 11 14 10 6 12 108 12 Alumno 12 14 8 6 11 10 13 Alumno 13 11 11 10 7 92 14 Alumno 14 13 10 6 10 98 15 Alumno 15 14 7 6 12 102 16 Alumno 16 12 11 13 8 104 17 Alumno 17 14 12 7 12 114 18 Alumno 18 18 18 20 18 184 19 Alumno 19 Retirada 20 Alumno 20 14 10 12 11 116 21 Alumno 21 14 10 6 11 104 22 Alumno 22 14 13 12 13 13 23 Alumno 23 Retirado 24 Alumno 24 8 20 11 11 122 25 Alumno 25 Retirado 26 Alumno 26 14 16 7 11 118
Tabla 7
Despueacutes de finalizada la investigacioacuten el grupo experimental resulto con el mayor nuacutemero de
alumnos aprobados lo cual me permite conjeturar que hipoacutetesis de la investigacioacuten si se ha logrado Pero se necesitan pruebas concretas por lo cual he empleado el software STATGRAPHICS para procesar los resultados obtenidos y de esta manera tener una mayor certeza de mis suposiciones
42 ANAacuteLISIS INFERENCIAL
421 COMPARACIOacuteN DE MEDIAS
Una medida estadiacutestica de tendencia central se utiliza para indicar un valor que tiende a tipificar o a ser el maacutes representativo de un conjunto de nuacutemeros La media es una medida de tendencia central y se define como
DEFINICIOacuteN
27 Alumno 27 14 20 5 12 126 28 Alumno 28 13 0 7 11 84 30 Alumno 29 Retirado 31 Alumno 30 14 15 9 12 124 32 Alumno 31 Retirado 33 Alumno 32 14 12 12 11 12 34
Media Aritmeacutetica La media aritmeacutetica es a veces denominada simplemente media es la suma de los valores observados de la variable dividido por el nuacutemero de observaciones
(Coacuterdova 1995 31)
Dados n valores 1 2 nx x x de la variable cuantitativa X observados en una muestra su media aritmeacutetica se calcula
utilizando la expresioacuten
n
ii
xx
n=sum
422 TABLAS DE FRECUENCIA DEL PRE TEST Y POST TEST
Presento los resultados de las pruebas Pre Test y Post Test para el grupo Experimental
RESULTADOS PRE TEST Y POST TEST
GRUPO EXPERIMENTAL
Tabla 8
Del total de 19 alumnos inscritos los cuales representan el 100 hubieron 12 desaprobados que en porcentaje representan el 632 Eacuteste porcentaje es mayor que en el otro grupo lo cual me hace decidir por este grupo de alumnos para que sea el grupo experimental Los resultados de las pruebas Pre Test y Post Test para el grupo de control son
RESULTADOS PRE TEST Y POST TEST
GRUPO DE CONTROL
Nordm Apellidos y Nombres Pre Test Post Test 1 Alumno 1 98 92 2 Alumno 2 14 186 3 Alumno 3 136 19 4 Alumno 4 102 132 5 Alumno 5 132 154 6 Alumno 6 54 RETIRADA 7 Alumno 7 10 118 8 Alumno 8 88 136 9 Alumno 9 84 122 10 Alumno 10 124 132 11 Alumno 11 13 158 12 Alumno 12 92 114 13 Alumno 13 62 72 14 Alumno 14 116 14 15 Alumno 15 102 13 16 Alumno 16 88 11 17 Alumno 17 08 104 18 Alumno 18 82 92 19 Alumno 19 114 146 Nordm Apellidos y Nombres Pre Test Post Test 1 Alumno 1 RETIRADO 2 Alumno 2 9 9 3 Alumno 3 88 9
Tabla 9
Del total de 27
alumnos inscritos los cuales representan el 100 hubieron 16 desaprobados que en porcentaje representan el 593
4 Alumno 4 136 126 5 Alumno 5 96 84 6 Alumno 6 146 164 7 Alumno 7 138 134 8 Alumno 8 74 76 9 Alumno 9 86 8 10 Alumno 10 RETIRADO 11 Alumno 11 87 108 12 Alumno 12 86 10 13 Alumno 13 86 92 14 Alumno 14 84 98 15 Alumno 15 84 102 16 Alumno 16 82 104 17 Alumno 17 11 114 18 Alumno 18 174 184 19 Alumno 19 RETIRADO 20 Alumno 20 86 116 21 Alumno 21 7 104 22 Alumno 22 122 13 23 Alumno 23 80 RETIRADO 24 Alumno 24 108 122 25 Alumno 25 8 RETIRADO 26 Alumno 26 11 118 27 Alumno 27 138 126 28 Alumno 28 8 84 29 Alumno 29 RETIRADO 30 Alumno 30 108 124 31 Alumno 31 RETIRADO 32 Alumno 32 108 12
423 RESULTADOS DEL PRE TEST ndash POST TEST CONSIDERANDO LA COMPARACIOacuteN DE MEDIAS Y LA PRUEBA t- STUDENT
Recordemos que en nuestra investigacioacuten manejamos dos hipoacutetesis estadiacutesticas las cuales son
HIPOacuteTESIS ESTADIacuteSTICAS
0 M MH micro micro= (Hipoacutetesis Nula)
1 M MH micro microne (Hipoacutetesis de la investigacioacuten o Hipoacutetesis Alternativa)
Donde
Mmicro Nota promedio de los alumnos de la asignatura de Matemaacutetica I Seccioacuten A aula 412 del semestre 2006 II que emplearon el software DERIVE
Mmicro Nota promedio de los alumnos de la asignatura de
Matemaacutetica I Seccioacuten B aula 413 del semestre 2006 II que no que emplearon el software DERIVE
Los resultados del Pre Test son las notas obtenidas en la primera unidad durante las primeras 7 semanas de clase siendo octava semana donde se realizan las evaluaciones parciales Para obtener la nota de la primera unidad los alumnos deben presentar tres praacutecticas calificadas y un examen parcial de estas notas se obtiene un promedio ponderado donde el examen parcial tiene peso 2 y las praacutecticas calificadas tienen peso 1 En cuanto a los resultados del Post Test estos son los promedios de la segunda unidad que corresponden a las siete siguientes semanas pues en la octava semana de esta segunda Unidad se aplican los exaacutemenes finales luego el promedio de ambas notas daraacute la nota del curso En ambos grupos los resultados de Pre Test se obtuvieron aplicando las mismas estrategias ya que hasta ese momento no se habiacutea iniciado la parte aplicativa de la investigacioacuten
Las evaluaciones fueron disentildeadas considerando la taxonomia de Bloom Asiacute encontraremos en ellas preguntas de conocimiento comprensioacuten aplicacioacuten anaacutelisis siacutentesis y evaluacioacuten Las praacutecticas calificadas se encuentran en los anexos A continuacioacuten presento los resultados Pre Test y Post Test tanto del grupo experimental como del grupo de control indicando que ambos grupos fueron sometidos a las mismas practicas calificadas en el mismo horario el cual estuvo programado fuera de las horas de clase semanales
RESULTADOS DE PRUEBAS PRE TEST EN LOS GRUPOS
EXPERIMENTAL Y DE CONTROL
RESUMEN ESTADIacuteSTICO
EXPERIMENTAL CONTROL ---------------------------------------------------------------------- Frecuencia 18 25 Media 107333 10156 Varianza 409412 69284 Desviacioacuten tiacutepica 202339 263219 Coef de variacioacuten 188515 259175 ----------------------------------------------------------------------
Suponiendo varianzas iguales t = 0778652 P-Valor = 0440656
Tabla 10
En el cuadro Nordm 1 se puede observar que la nota promedio en el grupo de Experimental en la evaluacioacuten Pre- Test fue de 107333 y para el grupo de Control la evaluacioacuten Pre-Test fue de 10156 lo cual indica que no existe una gran diferencia entre las notas de ambos grupos Despueacutes de aplicar la prueba ldquotrdquo Student se encontroacute que el valor experimental fue de 0778652 un valor de p=0440656 lo cual indica que no existe mayor diferencia entre las medias del rendimiento de ambos grupos
RESULTADOS DE PRUEBAS POST TEST EN LOS GRUPOS
EXPERIMENTAL Y DE CONTROL
RESUMEN ESTADIacuteSTICO
EXPERIMENTAL CONTROL ---------------------------------------------------------------------- Frecuencia 18 25 Media 129333 1116 Varianza 957647 637 Desviacioacuten tiacutepica 309459 252389 Coef de variacioacuten 239272 226155 ----------------------------------------------------------------------
Suponiendo varianzas iguales t = 206743 P-Valor = 00450448
Tabla 11 En el cuadro Nordm 2 se puede observar que la nota promedio en el grupo de Experimental en la evaluacioacuten Post- Test fue de 129333 y para el grupo de Control la evaluacioacuten Post-Test
fue de 1116 lo cual indica que existe diferencia entre las notas de ambos grupos Despueacutes de aplicar la prueba ldquotrdquo Student se encontroacute que el valor experimental fue de 206743 un valor de p=00450448 y puesto que el p-valor calculado es inferior a 005 podemos rechazar la hipoacutetesis nula a favor de la hipoacutetesis alternativa
424 ACEPTACIOacuteN O RECHAZO DE LA HIPOacuteTESIS
NULA Y ALTERNATIVA
Observados los resultados de la evaluacioacuten y su proceso a traveacutes del software STATGRAPHICS se resuelve rechazar la hipoacutetesis nula a favor de la hipoacutetesis alternativa
43 DISCUCIOacuteN DE LOS RESULTADOS
Con respecto a la discusioacuten de los resultados quisiera empezar indicando Esta investigacioacuten se ha centrado en la parte del Calculo Diferencial y cuando la empezamos partimos de una primera preocupacioacuten la cual era que los alumnos muchas veces no comprenden totalmente la definicioacuten de derivada En ella se mencionan varios objetos matemaacuteticos como funcioacuten razoacuten de cambio instantaacutenea liacutemite entre otros que estaacuten impliacutecitos o que van saliendo a la luz cuando se recurre por ejemplo a la interpretacioacuten geomeacutetrica como es el caso de graacutefica de funciones y el de pendiente de recta Ademaacutes se observar que los alumnos auacuten tienen cierta inseguridad para manejar estos objetos pesar de que han sido trabajados en temas preliminares al caacutelculo diferencial las dudas con frecuencia son acerca de coacutemo interpretarlos o si son uacutetiles para alguna tarea en especiacutefico Asiacute que un primer trabajo es recordar los conceptos preliminares mencionados y un recurso para tal fin fue el examen parcial que rindieron una semana antes a la ejecucioacuten de esta investigacioacuten En la praacutectica docente siempre me habiacutea sucedido que al momento de dar la definicioacuten de derivada y ayudaacutendome de algunos grafico ilustrativos quedaban dudas en algunos estudiante de manera que penseacute que trabajando con Derive podriacutea
solucionar este problema pues podiacutea graficar todo tipo de funciones y aunque solo necesitaba conocer instrucciones sobre el programa luego graficar no seriacutea un gran problema por el contrario comenzaron a graficar diferentes tipos de funciones con lo que conseguiacute ahorra el tiempo que demandariacutea graficar manualmente e invertirlo en analizar el comportamiento de grafico de las misma Los alumnos aclararon dudas de manteniacutea de los temas anteriores como por ejemplo el comportamiento de las graficas cuando estaacuten cerca de sus asiacutentotas contrastaron los dominios verdaderos con los que ellos en alguacuten momento habiacutean supuesto entre otras conjeturas Con ayuda de DERIVE pude lograr que visualizaran por ejemplo la razoacuten de cambio en un intervalo y la razoacuten de cambio instantaacutenea las relacionaran y diferenciaran Logrado lo anterior se sigue con la interpretacioacuten geomeacutetrica de la derivada y que se asocia con el problemas de la recta tangente DERIVE facilita no solo la parte graacutefica sino tambieacuten algebraica por cuanto en algunos casos haya que hacer alguna redefinicioacuten de la funcioacuten y sabiendo que se puede determinar una razoacuten de cambio en cada punto de la curva faacutecilmente se puede entender que esa razoacuten de cambio sea la pendiente de la recta tangente a cualquier punto de la curva de modo que ahora es posible hallar la ecuacioacuten de una recta que sea tangente en cualquier punto de la curva A modo de una aplicacioacuten se comprueba para otras funciones y resolver problemas en otros contextos ajenos a geomeacutetrico DERIVE con su comando DIF permite encontrar la derivada de cualquier orden de una funcioacuten esto no se oculto a los alumnos pero se indico que era preferible que ellos supieran la reglas de derivacioacuten y las aplicaran correctamente Considero que al poder visualizar la graacutefica de la derivada de una funcioacuten los alumnos comprendieron mejor lo que en teoriacutea se dice acerca de que la derivada de una funcioacuten es otra funcioacuten hicieron comparacioacuten de las graacuteficas de funciones y graacuteficas de sus primeras y segundas derivadas Otro logro obtenido se refiere a la parte conceptual de las aplicaciones de la derivada hallar maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de funciones saber en queacute intervalos en creciente decreciente o constante Sin derive solo analizaacutebamos funciones
sencillas pues teniacuteamos que graficar esto tomaba tiempo asiacute que lograacutebamos unos 3 ejemplos a lo maacutes Con DERIVE ahorraacutebamos el tiempo que demanda graficar y derivar y lo invertiacuteamos en analizar la funcioacuten pues con soacutelo ver la graacutefica sabiacuteamos si ella tiene maacuteximos yo miacutenimos punto de inflexioacuten y determinar cuaacutendo es creciente decreciente o constante pero con la ventana algebraica podiacuteamos derivar y determinar con exactitud donde se encontraban dichos puntos Finalmente mencionado la teoriacutea de registros se les hizo maacutes faacutecil la tarea de pasar de un registro semioacutetico a otro pues teniacutean herramientas para ello y creo que eso contribuyoacute a conceptualizar mejor los contenidos ya que como plantea en su teoriacutea Raymond Duval si no conoce al menos dos formas distintas de expresar o representar un contenido matemaacutetico formas a las que eacutel llama ldquoRegistro de Representacionesrdquo y ldquoRegistros Semioacuteticosrdquo no parece posible aprender y comprender dicho contenido Como ejemplo indico que al ser la derivada en un punto un valor numeacuterico se deja de lado que es tambieacuten una funcioacuten entonces se confunde un objeto matemaacutetico que en este caso es la funcioacuten derivada con una de sus representaciones que viene a ser en esta caso el nuacutemero esta confusioacuten entre un objeto y su representacioacuten en un plazo maacutes o menos amplia provocaba una peacuterdida de la comprensioacuten A esto es necesario antildeadir el hecho de que la pluralidad de sistemas semioacuteticos permite una diversificacioacuten tal de las representaciones de un mismo objeto que aumenta las capacidades cognitivas de los sujetos y por tanto sus representaciones mentales De las clases de laboratorio especiacuteficamente de los diaacutelogos que sostuvimos durante las clases pude comprobar que en ellos trasladar un registros no es algo espontaacuteneamente Y que el pensamiento de un alumno puede movilizar un solo registro de representacioacuten a la vez En este caso hemos manejado en la parte conceptual y la parte practica tres tipos de registros el graacutefico algebraico y la lengua natural
CONCLUSIONES
1 De acuerdo a los resultados obtenidos a traveacutes de las praacutecticas
calificadas administradas suponiendo medias iguales empleando la t- estudent se determina que el programa DERIVE es eficiente en el proceso de ensentildeanza- aprendizaje del Caacutelculo Diferencial
2 De las referencias bibliograacuteficas revisadas en el presente trabajo
en relacioacuten a la definicioacuten de Derivada (N Piskunov 1973 68 Spivak 1967 201 Purcell 2003 107) se concluye en una definicioacuten a mi consideracioacuten maacutes didaacutectica para los alumnos que abarca todos los aportes de cada una de las definiciones leiacutedas y el uso de una notacioacuten maacutes manejable
3 Se logro disentildear y presentar una propuesta metodoloacutegica compuesta por un moacutedulo de trabajo guiacuteas y actividades de laboratorio que fueron aplicadas al grupo experimental y que permitieron mejorar las calificaciones de los alumnos
4 El uso del DERIVE como recurso en las clases de Caacutelculo
Diferencial permitioacute motivar en los alumnos el desarrollo de capacidades como las de observar discernir analizar e interpretar
5 El alumno tiene la disposicioacuten de aprender soacutelo aquello que le
encuentra sentido o loacutegica Por ello el autentico aprendizaje es el aprendizaje significativo Cualquier otro seriacutea puramente mecaacutenico coyuntural o memoriacutestico Ademaacutes este trabajo significativo puede ser estimulado con las tecnologiacuteas de informacioacuten y comunicacioacuten tales como el programa DERIVE
6 Es importante sentildealar que la clase magistral sigue siendo
importante y por tanto nada puede reemplazar al profesor pero el uso de alguacuten recurso tecnoloacutegico tal como el que se propone complementariacutea esta labor ya que se le pueden presentar al alumno situaciones (didaacutecticas) no puramente algebraicas sino tambieacuten intuitivas graacuteficas numeacutericas por lo cual lo aprendido se vea fortalecido
7 el utilizar simultaacuteneamente diferentes representaciones favorece
el establecimiento de conexiones entre ellas siendo estas conexiones las que marcan las diferentes etapas del aprendizaje de los estudiantes Aquiacute es donde el programa DERIVE juega un papel importante debido a su potencia visual que ayuda a la formacioacuten y transformacioacuten de intuiciones y a la creacioacuten de imaacutegenes del concepto y debido tambieacuten a la facilidad para realizar caacutelculos eximiendo al estudiante de esta tediosa labor De esta forma el estudiante puede concentrarse en la exploracioacuten y discusioacuten de los conceptos Los errores cometidos por los estudiantes sirven para acrecentar su aprendizaje y completar asiacute sus imaacutegenes del concepto
RECOMENDACIONES
1
Desde el punto de vista institucional la creacioacuten de una red de investigacioacuten y desarrollo es de fundamental importancia pues mejora la comunicacioacuten la sinergia la discusioacuten y aumenta la cantidad de profesores que pueden provocar el cambio de ensentildeanza lo cual implica un mayor impacto del Proyecto en la Universidad Se sigue la tendencia universal de no realizar investigaciones en grupos reducidos y aislados sino de compartir experiencias aumentar la masa criacutetica de investigadores y aprender de la sinergia creada
2 Desde el punto de vista metodoloacutegico se propone pasar de la forma claacutesica de la ensentildeanza de la matemaacutetica con tiza y pizarra a una forma efectiva dinaacutemica y multimedial de adquirir los conceptos matemaacuteticos baacutesicos Se incorporan procesos de
caacutelculo y de representacioacuten graacutefica maacutes veloces y maacutes precisos que la operatoria personal Se libera al docente y al alumno de tareas no auteacutenticas para hacer hincapieacute en la reflexioacuten y buacutesqueda de otros procedimientos de resolucioacuten de problemas Se busca aplicar un procedimiento que provea un resultado aventajado en calidad y eficiencia que el que puede proveer el profesor con soacutelo tiza y pizarra La metodologiacutea propuesta permite acercarse maacutes a la realidad de los conceptos baacutesicos matemaacuteticos abstractos por su naturaleza a traveacutes de la visualizacioacuten interactiva y la experimentacioacuten con diferentes objetos matemaacuteticos datos con caracteriacutesticas determinadas
3 De acuerdo al os puntos anteriores desde el punto de vista del
aprendizaje se logra a) Una mejor aprehensioacuten de conceptos para su aplicacioacuten en la
resolucioacuten de problemas utilizando Sistemas Exploratorios de Aprendizaje
b) Una mejor aprehensioacuten de los conceptos por medio de los sistemas graacuteficos provistos por los Sistemas de Computacioacuten Algebraica (visualizacioacuten objetivacioacuten interactividad del software numeacuterico y simboacutelico)
c) En los alumnos la promocioacuten de la actitud y aptitud para conjeturar y desarrollar el sentido criacutetico y la reflexioacuten
d) El reconocimiento experimentacioacuten y aplicacioacuten de modelos matemaacuteticos
e) El experimentar conjeturar y descubrir propiedades sobre objetos matemaacuteticos mediante problemas asegura el intereacutes y compromiso del alumno
Las actividades que se realizaron en el laboratorio se presentan en el Anexo son tres y corresponden a los temas de 1 Definicioacuten de Derivada Razoacuten de Cambio y Problema de
la recta tangente 2 Anaacutelisis graacutefico de funciones y sus derivadas
3 Criterio de la primera y segunda derivada para hallar
maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten asiacute como los puntos de inflexioacuten
4 Resolucioacuten de Problemas de Maacuteximos y Miacutenimos
La finalidad de trabajar el tema de Derivadas es que los alumnos manipulen la definicioacuten que emplee el programa para experimentar usando diferentes funciones la variacioacuten de la razoacuten de cambio en intervalos de diferente amplitud La ayuda que brinda el programa es que grafica cualquier funcioacuten y realiza los caacutelculos de forma inmediata de esta manera los alumnos pueden analizar el comportamiento de las funciones y concentrar mayor atencioacuten en la variaciones de las razones de cambio a lo largo de toda la curva Es necesario resaltar que dado que el programa esta disentildeado para realizar graficas los alumnos dispondraacuten de mayor tiempo para hacer el anaacutelisis del comportamiento de la funcioacuten estudiando su variacioacuten sus maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten asiacute mismo conociendo la interpretacioacuten que reciben estos contenidos matemaacuteticos en los diferentes campos de aplicacioacuten Los laboratorios se pueden encontrar en el anexo de este trabajo
BIBLIOGRAFIacuteA
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2 Calero Perez Mavilo (1998) Hacia la excelencia de la
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5 Galvez B(1999) Didaacutectica de las Matemaacuteticas Editorial PAIDOS Buenos Aires
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Matemaacuteticas Escolares Editorial Grupo Editorial Iberoameacuterica Bogotaacute
7 Hasser Norman (1976) Anaacutelisis Matemaacutetico I Editorial Trillas
Meacutexico
8 Helfgott M (1998) Historia y Pedagogiacutea de la Matemaacutetica Editorial Hozlo SRL Lima
9 Lages Lima E (1998) Mi Profesor de Matemaacutetica y otras
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10 Lages Lima E Pinto Carvalho P (2000) La Matemaacutetica de la Ensentildeanza Media Editorial Hozlo SRL Lima
11 Latorre A Del Rincoacuten D Y Arnal J (1997) Bases
Metodoloacutegicas de la Investigacioacuten Educativa Hurtado Ediciones Barcelona Espantildea
12 Lazaro C M (2000) Caacutelculo Diferencial Publicaciones
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13 Manning Smith R(1989) Estadiacutestica PrenticendashHall Hispanoamericana S A Meacutexico
14 Menin O (2001) Pedagogiacutea y Universidad Curriacuteculum
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15 Piskunov N (1973) Caacutelculo Diferencial e Integral Montaner y
Simon SA Espantildea
16 Purcell E Varberg D Rigdon S(2003) Caacutelculo Diferencial e Integral Editorial Pearson Meacutexico
17 Shabunin M Chejlov V(1989) Problemas de Anaacutelisis
Matemaacutetico Editorial Mir Moscuacute
18 Smith R Minton R (2000) Caacutelculo Editorial Mc Graw Hill Colombia
19 Spivack M (1992) Calculus Editorial Reverteacute SA Barcelona
Espantildea
20 Sullivan M (1997) Precaacutelculo PrenticendashHall Hispanoamericana S A Meacutexico
21 Tan S (1998) Matemaacutetica para Administracioacuten y Economiacutea
Editorial Thomson
22 Toranzos F(1963) Ensentildeanza de la Matemaacutetica Editorial Kapelusz
23 Wenzelburger Elfriede(1993) Didaacutectica del Caacutelculo
Diferencial Grupo Editorial Iberoameacuterica
24 Zabalza M (2003) Competencias docentes del profesorado universitario Calidad y desarrollo profesional Narcea SA de Ediciones Madrid Espantildea
ANEXO 1
SILABO DE LA ASIGNATURA
UNIVERSIDAD CEacuteSAR VALLEJO ndash PIURA
FACULTAD DE INGENIERIacuteA ESCUELA DE INGENIERIacuteA DE SISTEMAS Y
ESCUELA DE INGENIERIacuteA INDUSTRIAL
SIacuteLABO DE MATEMATICA I
1 DATOS GENERALES Coacutedigo del curso HT 32 Aacuterea curricular Formacioacuten Baacutesica Ciclo II Semestre Acadeacutemico 2006-II Duracioacuten 16 Semanas Pre-Requisito Loacutegico Matemaacutetica Creacuteditos 5 Horas Semanales 05 (03 de Teoriacutea 02 de Praacutectica) Docente Lic Diana J Quintana de Mejiacutea Correo electroacutenico dianaquintanaucvedupe
dianaquintana2hotmailcom
2 FUNDAMENTACIOacuteN El Desarrollo de esta asignatura pretende potenciar en el estudiante capacidades propias del aacuterea de Matemaacutetica como el razonamiento y demostracioacuten la interpretacioacuten de graacuteficos y expresiones simboacutelicas y la resolucioacuten de problemas Asiacute como presentar los medios necesarios para la adquisicioacuten de ciertas destrezas como anaacutelisis interpretacioacuten y aplicacioacuten de fundamentos teoacutericos Finalmente el logro de los objetivos de esta asignatura se veraacute reflejado y podraacute ser evaluado en la eficiencia que demuestren los alumnos al resolver situaciones reales
3 COMPETENCIAS
31 Representa y modela a traveacutes de foacutermulas algebraicas las funciones elementales aplicadas a situaciones de la vida cotidiana fenoacutemenos fiacutesicos quiacutemicos econoacutemicos y tecnoloacutegicos reconociendo la relacioacuten entre el lenguaje graacutefico y el numeacuterico para una mejor comprensioacuten de la realidad
32 Resuelve problemas aplicando concepto de liacutemite y continuidad para el estudio de fenoacutemenos naturales presentados en diversos problemas demostrando precisioacuten en los resultados
33 Interpreta formula y resuelve problemas de contexto real utilizando definiciones teacutecnicas y aplicaciones del caacutelculo Diferencial desarrollando comunicacioacuten investigacioacuten
razonamiento y manifestando confianza flexibilidad y perseverancia
4 PROGRAMACIOacuteN ACADEacuteMICA
41 PRIMERA UNIDAD FUNCIONES Y LIMITES
CAPACIDADES
1 Comprende el concepto de funcioacuten reconoce las clases de funciones
2 Grafica adecuadamente funciones reconociendo sus caracteriacutesticas como parte de la resolucioacuten de problemas de aplicacioacuten
3 Emplea procedimientos analiacuteticos y experimentales para generar modelos que expresen situaciones reales interpretando finalmente sus graficas
4 Entiende intuitivamente la nocioacuten de liacutemites 5 Calcula liacutemites laterales finitos e infinitos
ACTITUDES 1 Demuestra precisioacuten orden y claridad en el tratamiento de
datos 2 Valora la importancia de las funciones en el anaacutelisis de
situaciones reales 3 Reconoce la importancia del concepto de liacutemite en el anaacutelisis
de hechos naturales fiacutesicos econoacutemicos y tecnoloacutegicos
COMPORTAMIENTOS OBSERVABLES 1 Desarrolla su trabajo de manera clara y ordenada demostrando
precisioacuten en sus respuestas 2 Realiza comentarios sobre la importancia de las funciones en la
comprensioacuten y anaacutelisis de hechos naturales econoacutemicos fiacutesicos tecnoloacutegicos etc
3 Manifiesta verbalmente la importancia del concepto de liacutemite para una mejor comprensioacuten de la realidad
NIVELES MIacuteNIMOS DE LOGROS 1 Al menos conoce y emplea tres tipos de funciones importantes en La solucioacuten de problemas
2 Dada una situacioacuten real explica si esta puede ser modelada por Una funcioacuten 3 Resuelve al menos tres liacutemites de mediana complejidad
CONTENIDOS
SEMANA CONTENIDOS FECHA
01
bull Funciones definicioacuten dominio y rango bull Clases de Funciones
Polinoacutemicas Racionales bull Lectura
httpaulaelmundoesaulalaminasnumeropdf
bull Trabajo Individual bull Lectura ldquoLos criacutemenes Imperceptiblesrdquo
Guillermo Martiacutenez
Del 4 al 8 de Sept
02
bull Graficas de Funciones con asiacutentotas funcioacuten exponencial y Logariacutetmica
bull Laboratorio Nordm 1 bull Grafico de funciones con valor absoluto bull Presentacioacuten de investigacioacuten sobre la
lectura
Del 11 al 15 de Sept
03
bull Grafica de funciones polinoacutemicas bull Funcioacuten Signo y Mayor entero Ejercicios bull Teacutecnicas de graficacioacuten bull Presentacioacuten de solucioacuten de problemas
sobre funciones bull Informe sobre novela
Del 18 al 22 de Sept
04
bull Aplicaciones de las Funciones bull Laboratorio Nordm 2 bull Evaluacioacuten de Funciones (parte teoacuterica) bull Trabajo Individual
Del 25 al 29 de Sept
05 bull Evaluacioacuten de Funciones (parte praacutectica) bull Laboratorio Nordm 3
Del 2 al 6 de Oct
06 bull Liacutemites Liacutemite Finito- Teoremas bull Caacutelculo de Liacutemites
Del 9 al 13 de Oct
07 bull Praacutectica de caacutelculo de liacutemites bull Laboratorio Nordm 4
Del 16 al 20 de Oct
08 Examen parcial Del 23 al 27 de Oct
42 SEGUNDA UNIDAD CONTINUIDAD Y DERIVADAS
CAPACIDADES
1 Entiende el concepto de continuidad y clasifica los tipos de continuidad
2 Aplicas las propiedades fundamentales de las funciones continuas a la solucioacuten de problemas reales
3 Utiliza correctamente las foacutermulas de derivacioacuten 4 Aplica el caacutelculo diferencial al estudio de fenoacutemenos naturales
econoacutemicos sociales y tecnoloacutegicos ACTITUDES
1 Valora de manera criacutetica la importancia de la exactitud y orden
en el caacutelculo de liacutemites analizando la continuidad en algunos casos
2 Demuestra precisioacuten orden y claridad en sus caacutelculos 3 Aplica los conceptos a hechos reales y concretos
COMPORTAMIENTOS OBSERVABLES
1 Trabaja de manera ordenada y exacta en los momentos correspondientes a praacutecticas y exaacutemenes
2 Manifiesta la importancia de la derivada para explicar y analizar hechos reales en las diferentes aacutereas
NIVELES MIacuteNIMOS DE LOGROS 1 Aplica a situaciones reales el concepto de liacutemite y de
continuidad 2 Dado el graacutefico de una funcioacuten explica con sus propias palabras
el concepto de derivada puntual utilizando argumentos geomeacutetricos
3 Dada una funcioacuten halla la derivada utilizando reglas de derivacioacuten
4 Emplea derivadas para calcular maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten
CONTENIDOS
SEMANA CONTENIDOS FECHA
09 bull Liacutemite al Infinito
Del 30 de Oct Al 3 de
bull Liacutemites de funciones Trigonomeacutetricas bull Taller de ejercicios
Nov
10
bull Evaluacioacuten del tema anterior bull Continuidad y Discontinuidad removible
de una funcioacuten
Del 6 al 10 de Nov
11
bull Evaluacioacuten de Continuidad bull Trabajo en aula sobre problemas de
liacutemites
Del 13 al 17 de Nov
12
La Derivada bull Razoacuten de cambio promedio e
instantaacutenea bull Taller de ejercicios bull Laboratorio Nordm2
Del 20 al 24 de Nov
13
bull Definicioacuten e Interpretacioacuten Geomeacutetrica bull Reglas de derivacioacuten bull Regla de la Cadena bull Evaluacioacuten
Del 27 de Nov Al 1 de Dic
14
bull Derivada de una funcioacuten impliacutecita bull Derivada de orden superior bull Laboratorio Nordm 3
Del 4 al 8 de Dic
15
bull Regla de Hrsquoospital bull Aplicacioacuten de la derivada Maacuteximos y
miacutenimos de una funcioacuten bull Laboratorio Nordm 4 bull Evaluacioacuten
Del 11 al 15 de Dic
16 Examen final Del 18 al 22 de Dic
5 ESTRATEGIAS METODOLOacuteGICAS Uso de metodologiacutea activa empleando principalmente los meacutetodos 1 Magistral 2 Trabajo Autoacutenomo de los alumnos (Investigacioacuten Individual) 3 Trabajo de grupo 4 Expositiva - Interactiva 5 Experimental 6 Debate
7 Demostracioacuten
6 MEDIOS Y MATERIALES
1 Software matemaacutetico DERIVE 2 Texto de biblioteca 3 Separata resumen 4 Direcciones electroacutenicas 5 Ejercicios Aplicacioacuten 6 Casos 7 Presentacioacuten multimedia
7 EVALUACIOacuteN
71 CRITERIOS DE EVALUACIOacuteN
El Promedio Final (PF) del curso seraacute obtenido de la siguiente manera PU1+PU2 PF = 2 Siendo PU1 y PU2
los promedios de la primera y segunda unidad de aprendizaje respectivamente El promedio de cada unidad de aprendizaje se calcula como
PC+TI+CL+LB+2EP PU1 6
=
Donde PC+TI+CL+LB Son los Promedios de praacutecticas calificadas
Trabajo de Investigacioacuten control de lectura laboratorios
EP Examen parcial
La nota se consideraraacute con un decimal en los promedios parcial y final La nota miacutenima aprobatoria es 105 y se redondearaacute al entero inferior o superior seguacuten corresponda
72 CONDICIONES DE EVALUACIOacuteN
El 30 de inasistencias INHABILITA del curso
La justificacioacuten de una inasistencia seraacute uacutenicamente con certificado meacutedico
8 CRONOGRAMA ACADEMICO
UNIDAD ACTIVIDADES FECHA
Primera Inicio del Ciclo Examen Parcial
4 de Septiembre de 2006 23 al 28 de Octubre
Segunda Examen Final Teacutermino del Ciclo Exaacutemenes Extemporaacuteneos
Del 18 al 22 de Diciembre 23 de Diciembre
9 REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
LIBROS EN BIBLIOTECA DE LA UNIVERSIDAD CEacuteSAR VALLEJO
1 AUDRY SANCHEZ Javier Caacutelculo Diferencial e Integral Trillas (
MAT- 01768 ) 2 ESPINOZA RAMOS Eduardo Anaacutelisis Matemaacutetico para Ingenieros
Impreso en Peruacute2002 723pg 3 FILLOY YAGUE Eugenio Geometriacutea Analiacutetica Iberoamericana (
MAT-0532 )
4 GROSSMAN Stanley Algebra Lineal Mc Graw- Hill Edicioacuten 1996 Meacutexico ( MAT- 558 )
5 LEITHOLD Louis El Caacutelculo Oxford University Meacutexico 1996 (
MAT- 0545 )
6 PURCELL Edwin Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica Prentice Hispanoamericana Meacutexico 1993( MAT- 0542)
7 SMITH Robert Caacutelculo Mc Graw- Hill Interamericana Colombia 2001 Tomo I y II ( MAT- 0547 ) Y ( MAT-0548 )
ANEXO 2
REGISTRO DE EVALUACIONES
8 STEWART JAMES Caacutelculo Diferencial e Integral Thomson 1989 ( MAT- 02796 )
9 TOMAS George E Caacutelculo Infinitesimal y Geometriacutea Analiacutetica
Aguilar 1989 ( MAT- 01119 )
LIBROS DE PROPIEDAD DEL DOCENTE
1 AYRES Frank Caacutelculo Diferencial e Integral McGraw-Hill1992
2 DEMIDOVICH B Problemas de Anaacutelisis Matemaacutetico MIR Moscuacute 1981
3 HASSER Norman et al Anaacutelisis Matemaacutetico Trillas 1985 Meacutexico
810pg
4 KITCHEN Joseph Caacutelculo McGraw-Hill1992 Espantildea 863pg
5 KONG Maynard Caacutelculo Diferencial Pontificia Universidad Catoacutelica del Peruacute 1995 Peruacute548 pg
6 LAZARO CARRIOacuteN Moiseacutes Caacutelculo Diferencial Moshera SRL
Peruacute 225 pg
7 MONTOYA VALDERRAMA Manuel Liacutemites Continuidad y Derivadas
8 PISKUNOV N Caacutelculo Diferencial e Integral Montaner y Simon
SA Barcelona19731019pg
9 PURCELL Edwin J et al Caacutelculo Diferencial e Integral Pearson 2003 Meacutexico480 pg
PAacuteGINAS WEB (No menor de 5 y pertinentes al curso) httpwwwdivulgamatcom httpwwwsectormatematicaclcontenidoshtm httpwwwedutekaorg httpwwweswikipediaorg
ANEXO 3
GUIAS METODOLOGICAS APLICANDO EL SOFTWARE DERIVE
APRENDIENDO CALCULO DIFERENCIAL CON DERIVE
SESION Nordm 1
TEMA RAZON DE CAMBIO Y PROBLEMA DE LA RECTA
TANGENTE CAPACIDAD Emplea definicioacuten de razoacuten de cambio para
resolver ejercicios sobre recta tangente
A RAZON DE CAMBIO
Empezaremos por trabajar el concepto matemaacutetico fundamental del caacutelculo sobre el cual se sustenta la teoriacutea de derivadas Este es Razoacuten de Cambio media Recordemos que Hoffmann (1985 Paacuteg 82) la define de la siguiente manera
Consideraremos la segunda definicioacuten de la separata por cuanto es maacutes directa en el anaacutelisis de los cambios o variaciones Ahora sigamos las instrucciones siguientes bull Utilice DERIVE para ingresar la funcioacuten 2( ) 6 2f x x x= minus + y estudiar
sus caracteriacutesticas bull Una vez definida ( )f x construya otra funcioacuten que calcule la Razoacuten de
Cambio Media o Razoacuten de Cambio Promedio de ( )f x para el intervalo [ ]a b
( ) ( )( ) f b f aRCP a bb aminus
=minus
( ) ( ) ( ) ( ) ( )RCP a b f b f a b a= minus minus bull Para probar su funcionamiento encuentre la razoacuten de cambio en el intervalo
[ ]0 3 (03)RCP
bull Halla la RCP de ( )f x en los intervalos [1 2] [1 3] [1 4] [1 11] [1 101]
bull Considera tambieacuten la misma expresioacuten para hallar la RCP en funcioacuten de un valor x a= y un incremento h
( ) ( )( ) f x h f xRCP x hh
+ minus=
( ) ( ) ( ) ( ) RCP x h f x h f x h= + minus
Razoacuten de Cambio Media Suponga que y es una funcioacuten de x ( )y f x= correspondiendo a un cambio de x a x x+ ∆ la variable y
cambia en una cantidad ( ) ( )y f x x f x∆ = + ∆ minus Asiacute el cociente de diferencias
( ) ( )Cambio de x x f x x f xCambio de y y x
∆ + ∆ minus= =∆ ∆
Representa la razoacuten de cambio de y con respecto a x (Hoffmann 1985 82)
bull Halla la RCP de ( )f x en los intervalos para los valores de a) 2x = con un incremento de 4 b) 2x = con un incremento de 3 c) 2x = con un incremento de 2 d) 2x = con un incremento de 1
EJERCICIOS
1 RAZONAMIENTO GRAacuteFICO Utiliza DERIVE para graficar la funcioacuten razoacuten de cambio de 3 2( ) 2 1f x x x= + minus y su funcioacuten razoacuten de cambio
( 001) ( )( )
001f x f xg x + minus
= en una misma ventana Calcule algunos
valores empleando la opcioacuten vector 2 Halla la RCP de la funcioacuten 2( ) ln(( 1) ( 3))f x x x= minus minus + en los
intervalos [556] [ 546] [ 536] [ 526] [ 516] 3 Halla el liacutemite cuando h rarr 0 de ( ( ) ( )) f x h f x h+ minus en la pregunta
anterior Para ello situacutea el cursor sobre dicho resultado para resaltarlo y
pulsa el icono
B RECTA TANGENTE 1 Elabore un programa que permita ingresar una funcioacuten un intervalo
[ ]a b y grafique las rectas secantes en ese intervalo hasta la recta tangente en el punto a Complete la hoja con los datos que vaya realizando Utilice la funcioacuten 3 2( ) 5 3 4f x x x x= minus + minus y el intervalo [ ]23
2 Una vez realizado el trabajo anterior comprueba que se obtiene la misma solucioacuten con el comando TANGENT ( )0 y x x que DERIVE proporciona
3 Ahora puedes resolver algunos problemas del Trabajo Practico Nordm 2 de tu separata empleando el comando TANGENT ( )0 y x x
4 Utiliza las formas equivalentes de la derivada (pag39) y resuelve algunos ejercicios empleando tus propias funciones y el comando derivada que te ofrece DERIVE asiacute podraacutes comprobar tus resultados
TEMA CAacuteLCULO Y GRAFICA DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIOacuteN
En esta parte de nuestro primer laboratorio vamos a ingresar diversas funciones calcularemos sus derivadas empleando la definicioacuten de derivada y empleando tambieacuten el comando DIF
1 Dada la funcioacuten 2 0
( ) 0
x xf x
x x le
= gt
bull Graficarla ademaacutes construir la funcioacuten derivada de dos formas la primera empleando definicioacuten de LIM((f(x+h)-f(x))h h 0 -1) para calcular la derivada por izquierda y LIM((f(x+h)-f(x))h h 0 1)para calcular la derivada por derecha y la segunda forma es empleando el comando DIF (f(x) x) que ofrece DERIVE
bull Observa las graficas de la funcioacuten y su derivada y responde a las
siguientes preguntas
iquestQueacute sucede con la derivada en el punto x=0 iquestQueacute representa la graacutefica de la funcioacuten derivada
2 Introduce la siguiente funcioacuten definida ldquoa trozosrdquo f(x)=IF(xlt4 x^2-5
2x+3)
bull Calcular las derivadas laterales en x = 4 bull Representa la funcioacuten f(x) Observa que se trata de una funcioacuten
continua pero no derivable bull Prueba con otras definiciones de f(x) y otros valores distintos de x = 4
3 Ingresa la funcioacuten 2 1 0
( )0 0
x sen xh x x
x
ne = =
y calcula su derivada en el
punto cero Ademaacutes elabora las graficas 4 Considera f(x)= 4-x^2 en x = 2 y halla las derivadas laterales iquestPuedes
explicar que ocurre 5 Considera tambieacuten f(x) = 1x en x = 0
CAPACIDAD Grafica funciones y encuentra su primera derivada empleando comando propios de DERIVE
6 Demostrar usando DERIVE que la funcioacuten 3 2 1cos 0
( )0 0
x xf x x
x
gt = le
es derivable en cero
7 Calcular y graficar las derivadas de las siguientes funciones empleando derive
a) 2
2( ) xf x sen
xsensenx
=
b) cos( )cos
senx xf xsenx x
minus=
+
c) 1( )2
f xa
x senx
=minus
+
d) 6 2( ) (1 cos 2 )f x x x= minus e) ( ) lnf x x=
APRENDIENDO CALCULO DIFERENCIAL CON DERIVE
SESION Nordm 2
C RELACION ENTRE LA GRAFICA DE UNA FUNCION Y SU
PRIMERA DERIVADA
PROBLEMA- (Caraacutecter creciente o decreciente de una funcioacuten) iquestPuede la primera derivada de una funcioacuten proporcionar informacioacuten acerca del caraacutecter creciente o decreciente de una funcioacuten ( )f x
Empezaremos recordando una serie de conceptos que debemos tener en cuenta para abordar esta sesioacuten
Se dice que una funcioacuten es positiva en la regioacuten en que su graacutefica se encuentra arriba del eje de las abscisas Asiacute use DERIVE y describa en que intervalos las siguientes funciones son positivas
o ( ) 3cosf x x= o ( ) 3 3f x x= minus o ( ) 8 4f x x= minus
o ( )2( ) 2 5f x x= + minus
CAPACIDAD Infiere mediante un anaacutelisis grafico las relaciones existentes entre la graacutefica de una funcioacuten y su primera derivada signo de la primera derivada asociado con crecimiento o decrecimiento de la funcioacuten y derivada nula con puntos criacuteticos
o ( )2( ) 3 2f x xminus minus +
Se dice que una funcioacuten es negativa en la regioacuten en que su grafica se encuentra abajo del eje de las abscisas Emplea DERIVE y describe en que intervalos la siguientes funciones son negativas
o ( ) 5 3f x x= minus
o ( ) 62xf x minus
= +
o 2( ) 4 4f x x x= + minus o 2( ) 6 9f x x x= minus + +
Una funcioacuten es creciente en una regioacuten si y soacutelo si al aumentar los valores de la variable independiente x aumentan tambieacuten los valores de la funcioacuten Es decir
( )f x es creciente en una regioacuten si para dos puntos cualesquiera 1x y
2x siempre que 1 2x xlt necesariamente 1 2( ) ( )f x f xlt y viceversa
Geomeacutetricamente una funcioacuten es creciente en la regioacuten en que su graacutefica sube a medida que recorremos el eje X de izquierda a derecha Grafica empleando derive la funcioacuten 3 2( ) 3 3f x x x= minus + y completa lo siguiente bull La funcioacuten mostrada es decreciente en intervalos que empiezan
inmediatamente despueacutes de _____ y termina inmediatamente antes de _____ Es decir ( )f x es decreciente en el intervalo abierto iquestPor queacute intervalo abierto
bull En cambio la misma funcioacuten es creciente en dos regiones desde menos infinito hasta _______ sin llegar a cero a sea en el intervalo y en el intervalo
bull iquestPodriacuteas dar una justificacioacuten del porqueacute los valores 0 y 2 estaacuten excluidos de las tres regiones
bull La funcioacuten graficada es positiva en los intervalos __________ __________
bull La funcioacuten graficada es negativa en los intervalos __________ __________
Tambieacuten hemos trabajado las siguientes ideas Completa lo que falta
bull Hemos afirmado el hecho de que en un punto del dominio la
pendiente de una curva es igual a la pendiente de la recta ________ en ese punto
Sabemos que bull Cuando una recta es creciente su _________ es positiva bull Cuando una recta es decreciente su ___________ es decreciente bull Cuando una recta es paralela al eje X su __________es
_________________ bull La pendiente de la recta tangente a la grafica de una funcioacuten
( )f x en cualquier punto del dominio es precisamente la primera ____________ de la funcioacuten
bull Elabora las graficas de la funcioacuten 3 2( ) 3 3f x x x= minus + y de su primera derivada empleando DERIVE
bull Haremos un anaacutelisis comparativo de estas graacuteficas bull La funcioacuten ( )f x es decreciente en el intervalo ( )02 iquestCoacutemo es
su derivada ( )f x en ese intervalo_________________ bull La funcioacuten ( )f x es creciente en el intervalo ( )0minusinfin iquestCoacutemo es
su derivada ( )f x en ese intervalo_________________
bull La funcioacuten ( )f x es creciente en el intervalo ( )2infin iquestCoacutemo es su derivada ( )f x en ese intervalo_________________
bull La funcioacuten ( )f x es constante en los puntos 0x = y 2x = iquestCoacutemo es su derivada ( )f x en esos puntos_________________
bull Los hechos que acabas de observar no son una coincidencia ni un hecho aislado corresponde a una relacioacuten muy importante entre una funcioacuten y su primera derivada
bull Considerando tus respuestas tenemos todos lo necesario par construir los siguientes criterios de caracterizacioacuten
bull Para toda funcioacuten ( )f x derivable en un intervalo ( )a b
bull Si acute( ) 0f x gt para todo valor x en ( )a b ( )f x es creciente en
( )a b
bull Si acute( ) 0f x lt para todo valor x en ( )a b ( )f x es decreciente en
( )a b
bull Si acute( ) 0f x = para todo valor x en ( )a b ( )f x es constante en
( )a b Este caso nos seraacute particularmente uacutetil en el caso en que el intervalo conste de un solo punto
bull A cada valor de x en el que acute( ) 0f x = se le llama punto criacutetico bull Problema 1 Empleando DERIVE encuentra los intervalos donde
la funcioacuten 3 2( ) 3 3f x x x= minus + creciente y decreciente y los puntos donde es constante Luego compara tus hallazgos y completa la informacioacuten
bull acute( )f x = ________ ( )f x seraacute creciente donde acute( ) 0f x gt es decir
donde 23 6 0x xminus gt factorizando 3x obtenemos ( )3 0x gt recuerda que el producto de dos factores es mayor que cero soacutelo si ambos son positivos o ambos son negativos
1 3 0 2 0x y xgt minus gt
0 2x y xgt gt
Siempre que 2x gt se cumple tambieacuten que 0x gt No al reveacutes ( )f xthere4 es creciente en ( )2infin
2 3 0 2 0x y xlt minus lt 0 2x y xlt lt
Siempre que 0x lt se cumple tambieacuten que 2x lt No al reveacutes ( )f xthere4 es creciente en ( )0minusinfin
bull ( )f x seraacute decreciente donde acute( ) 0f x lt es decir donde
23 6 0x xminus lt bull ( )3 0x lt ahora recordemos que el producto de dos factores es
negativo si y solo si________________o ____________________-
1 3 0 2 0x y xgt minus lt
0 2x y xgt lt ( )f xthere4 es decreciente en ( )02
2 3 0 2 0x y xlt minus gt 0 2x y xlt gt
iexclImposible No hay valores de x que sean menores que cero y al mismo tiempo mayores que 2
( )f x seraacute constante es decir estaraacute momentaacuteneamente horizontal su
tangente seraacute paralela al eje X donde acute( ) 0f x = ( )3 2 0x x minus = si 0 2x y x= =
Estos son los dos valores de x donde la funcioacuten es constante a los que llamamos ldquopuntos criacuteticosrdquo Otra forma de encontrar los valores de x donde la funcioacuten es creciente o decreciente sin tener que resolver desigualdades es la siguiente Se encuentran los valores de x donde acute( )f x vale cero resolviendo la ecuacioacuten acute( ) 0f x =
Los n valores de x obtenidos al resolver la ecuacioacuten anterior nos permiten dividir el eje X en 1n + intervalos ajenos
Se construye una tabla en la que los a x valores en cada intervalo y analizando el signo que toma acute( )f x en cada uno de ellos podemos decidir si ( )f x es creciente o decreciente con base en el criterio al que arribamos antes Trabajando en esta forma con 3 2( ) 3 3f x x x= minus +
2acute( ) 3 6f x x x= minus 23 6 0x xminus = 3 ( 2) 0x x minus = si 3 0x = 0x = si 2 0x minus = 2x =
( )f x es constante en 0x = y en 2x = Los valores 0 y 2 dividen al eje X en tres intervalos ( )0minusinfin ( )02 ( )2infin
La tabla que construiremos seraacute del tipo
Intervalo ( )0minusinfin ( )02 ( )2infin
Valor de x en el intervalo -1 1 3
Valor de acute( )f x en el intervalo
9 -3 9
Signo de acute( )f x + - + Caraacutecter de ( )f x en el
intervalo Creciente Decreciente Creciente
Por lo tanto ( )f x es creciente en los intervalos ( )0minusinfin y ( )2infin
mientras que es decreciente en el intervalo ( )02 Problema 2 Empleando DERIVE encuentra los intervalos donde la
funcioacuten 1( )f x xx
= + es creciente y decreciente asiacute como los puntos
donde es constante Observa que esta funcioacuten no estaacute definida en 0x =
Problema 3 Utiliza DERIVE y encuentra las regiones donde cada una de las siguientes funciones es creciente decreciente o constante
bull 2 2( )1
x xf xx
minus minus=
minus
bull 22( )
1xf x
x=
+
bull 4 2( ) 6 5f x x x= + minus bull 3( ) 1f x x= minus
bull 26( )
3f x
x=
+
D RELACION ENTRE LA GRAFICA DE UNA FUNCION Y SU SEGUNDA DERIVADA
PROBLEMA 1- (Concavidad de una funcioacuten) iquestPuede la segunda derivada de una funcioacuten proporcionar informacioacuten acerca del tipo de concavidad que presenta una funcioacuten primitiva ( )f x
Emplea DERIVE y grafica la funcioacuten 2( ) ( 3) 4f x x= minus + ademaacutes determina las ecuaciones y graficas de las rectas tangentes a la curva en los puntos 0x = y 5x = Empleando nuevamente DERIVE grafica la funcioacuten
2( ) ( 7) 1f x x= minus + minus ademaacutes determina las ecuaciones y graacuteficas de las rectas tangentes a la curva en los puntos 10x = minus y 5x = minus Observaciones
CAPACIDAD Infiere por medio de un anaacutelisis grafico las relaciones existentes entre la graacutefica de una funcioacuten y su segunda derivada signo de la segunda derivada asociado con concavidad de la funcioacuten y segunda derivada nula con un posible cambio de concavidad
Observa en principio que donde la curva es coacutencava hacia arriba sus tangentes estaacuten pro debajo de la curva y en caso de ser coacutencava hacia abajo sus tangentes estaacuten por arriba de ella Pero donde la curva no es coacutencava la tangente la atraviesa
Una funcioacuten que presenta los dos tipos de concavidad posibles hacia abajo y hacia arriba es 3 2( ) 3 3f x x x= minus + Empleando DERIVE calcula su primera y segunda derivada y graficas todas las funciones en un mismo plano Localiza con cuidado cada grafica colorea con un color diferente asiacute podraacutes identificarlas faacutecilmente en el siguiente anaacutelisis En el intervalo ( )1minusinfin
( )f x es coacutencava hacia abajo ( )f x que representa las pendientes de las rectas tangentes a ( )f x es decreciente No deja de bajar desde minusinfin hasta
1x = ( )f x que representa las pendientes de las rectas tangentes a ( )f x es negativa porque ( )f x es decreciente
Exactamente en 1x =
o ( )f x cambia de concavidad Deja de ser coacutencava hacia abajo
pero aun no es coacutencava hacia arriba o ( )f x es constante tiene un punto criacutetico porque ( ) 0f x = o ( )f x corta al eje X vale cero Dejoacute de ser negativa y auacuten no
es positiva En el intervalo ( )1infin
o ( )f x es coacutencava hacia arriba o ( )f x es creciente o ( )f x es positiva
Una vez mas lo que has observado no es una coincidencia o un caso aislado nuevamente corresponde a una importante relacioacuten entre una funcioacuten y su segunda derivada Conclusioacuten
bull Para toda funcioacuten ( )f x cuya segunda derivada existe en el intervalo ( )a b
bull Si ( ) 0f x gt para todo valor x en ( )a b la graacutefica de ( )f x es
coacutencava hacia arriba en ( )a b
bull Si ( ) 0f x lt para todo valor x en ( )a b la graacutefica de ( )f x es
coacutencava hacia abajo en ( )a b Definicioacuten- Se llama punto de inflexioacuten al punto donde la grafica de la funcioacuten cambia de ser coacutencava hacia abajo a coacutencava hacia arriba o viceversa si existe la tangente en ese punto La funcioacuten que analizamos antes 3 2( ) 3 3f x x x= minus + tiene un punto de inflexioacuten en 1x = porque (1) 0f = Ejercicios Estudia si tiene la funcioacuten 4( )f x x= punto de inflexioacuten en 0x = Con ayuda de DERIVE halla los intervalos donde la funcioacuten es coacutencava hacia arriba yo hacia abajo asiacute como las coordenadas de los puntos de inflexioacuten si existen Elaborar las graficas necesarias
o 23( )
3f x
x=
+
o 3 2( ) 6 9 1f x x x x= minus + +
o 4
2( ) 24xf x x= minus
o 2 4( ) 6f x x x= minus
APRENDIENDO CALCULO DIFERENCIAL CON DERIVE
SESION Nordm 3
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION A CLASIFICACION DE LOS PUNTOS CRITICOS DE UNA FUNCIOacuteN RECORDEMOS Localiza en la graacutefica de la figura 1 el punto(s) m miacutenimo(s) y da sus coordenadas Figura 1 Si observas la graacutefica notaraacutes que existen dos puntos maacutes bajo que todos los demaacutes donde la curva es coacutencava hacia arriba a los que llamaremos miacutenimos locales Las coordenadas de esos puntos en la grafica son
1( )m y 2 ( )m Localiza en la graacutefica de la figura 2 el punto M maacuteximo y da sus coordenadas Figura 2
2
21( ) 1f xx
= minus
( ) ( 2)( 4)( 6)f x x x x x= + minus minus
CAPACIDAD Determina los puntos criacuteticos de una funcioacuten y los clasifica en maacuteximos miacutenimos o de inflexiones
Si observas la grafica de la funcioacuten encontraras que alcanza un punto maacutes alto en la regioacuten donde es coacutencava hacia abajo Las coordenadas de ese punto son ( )M A un punto como este que se encuentra en la cima de una regioacuten donde la curva es coacutencava hacia abajo se le llama maacuteximo local por que en efecto es el punto mas alto aunque no de toda la curva sino de una regioacuten Pregunta iquestQueacute coincidencias y queacute diferencias hay donde ( )f x tiene maacuteximo y donde tiene miacutenimo Coincidencias __________________________________________________________ Diferencias __________________________________________________________ Para determinar los valores extremos de una funcioacuten en un primer acercamiento se requiere
1 Obtener la primera derivada de la funcioacuten para investigar doacutende ( )f x es constante
2 Igualar a cero la primera derivada ( ) 0f x = 3 Resolver la ecuacioacuten resultante para encontrar los puntos criacuteticos
de 1 2( ) f x x x donde podriacutea tener un maacuteximo un miacutenimo o un punto de inflexioacuten
4 Bosquejar la graacutefica de la funcioacuten 5 Elabora una conjetura acerca del caraacutecter de cada punto criacutetico
maacuteximo miacutenimo o punto de inflexioacuten Emplea DERIVE y en cada funcioacuten de los siguientes ejemplos determina los puntos criacuteticos bosqueja una graacutefica y elabora una conjetura acerca del caraacutecter de cada punto criacutetico
A los valores maacuteximos o miacutenimos los llamaremos valores extremos
Ejercicio Ndeg 1
Graficar la funcioacuten 2
21( ) 1f xx
= minus
y completar la informacioacuten
1 ( )f x = 2 ( ) 0f x = de donde 1x = ( )f xthere4 tiene un punto criacutetico 3 iquestQueacute sucede con la graacutefica de la primera derivada en los puntos
criacuteticos de la funcioacuten 4 Mostrar la graacutefica y determinar que tipo de punto es 1x 5 Determinar la segunda derivada y analizar su comportamiento
grafico Ejercicio Ndeg 2 Graficar la funcioacuten ( ) ( 2)( 4)( 6)f x x x x x= + minus minus y completar la informacioacuten
1 ( )f x = 2 ( ) 0f x = de donde 1 2 3 x x x= = = ( )f xthere4 tiene tres
puntos criacuteticos 3 iquestQueacute sucede con la graacutefica de la primera derivada en los puntos
criacuteticos de la funcioacuten 4 Mostrar la graacutefica y determinar que tipo de puntos criacuteticos tiene 5 Determinar la segunda derivada y analizar su comportamiento
grafico Ejercicio Ndeg 3 Graficar la funcioacuten 3 2( ) 3 3f x x x= minus + y completar la informacioacuten
1 ( )f x = 2 23 6 3 ( ) 0x x xminus = minus = de donde 1 2x y x= = ( )f xthere4
tiene dos puntos criacuteticos 3 Indicar el maacuteximo y el miacutenimo 6 iquestQueacute sucede con la graacutefica de la primera derivada en los puntos
criacuteticos de la funcioacuten 4 Mostrar una graacutefica
5 Grafique la primera derivada y determine si el signo de ella antes y despueacutes del punto criacutetico coincide con la propiedad de la funcioacuten de ser creciente o decreciente en los intervalos formados
6 Grafique la segunda derivada y analice la informacioacuten que representa
Ejercicio N deg4 (trabajo)
Graficar la funcioacuten 23( )
3f x
x=
+ y completar la informacioacuten
1 ( )f x =
2 ( )22
6 03
x
x
minus=
+
3 Puesto que ( )22 3x + siempre seraacute mayor que cero la uacutenica
posibilidad de que ( )22
6 03
x
x
minus=
+es que 6 0xminus = luego 0x =
( )f xthere4 tiene soacutelo un punto criacutetico 4 Determine a traveacutes de la graacutefica si se trata de un maacuteximo o
miacutenimo 5 Grafique la primera derivada y determine si el signo de ella antes
y despueacutes del punto criacutetico coincide con la propiedad de la funcioacuten de ser creciente o decreciente en los intervalos formados
6 Grafique la segunda derivada y analice la informacioacuten que representa
B CRITERIO DE LA PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA PARA ENCONTRAR VALORES EXTREMOS DE UNA FUNCION
iquestExiste un procedimiento formal para determinar los valores extremos de una funcioacuten En el punto anterior pudimos determinar los valores criacuteticos de una funcioacuten y decidir si se trataba de un maacuteximo o miacutenimo o un punto de inflexioacuten Pero tuvimos las siguientes limitaciones bull Nuestra decisioacuten quedoacute a nivel de conjetura porque para tomarla
n os apoyamos en una grafica y eso le quita formalidad y precisioacuten al procedimiento
bull No obtuvimos el valor del maacuteximo o miacutenimo de la funcioacuten ni las coordenadas en el caso del punto de inflexioacuten
En esta sesioacuten trabajaremos en laacutepiz y papel el procedimiento formal para obtener los valores extremos de una funcioacuten asiacute como sus puntos de inflexioacuten y resolveremos los ejercicios usando derive asiacute podemos comparar entre el trabajo analiacutetico y los caacutelculos que podemos hacer empleando DERIVE
RECORDAR
Criterio de la primera derivada Hipoacutetesis Si ( )f x es una funcioacuten continua en un Intervalo ( )a b
1x es el uacutenico punto criacutetico en ese intervalo y ( )f x es derivable en
( )a b Entonces Tesis el punto criacutetico ( )1 1 ( )x f x se puede clasificar de acuerdo a la siguiente tabla
CAPACIDAD Comprende y aplica el criterio de la primera y segunda derivada para encontrar valores extremos de una funcioacuten
Signo de ( )f x en ( )1a x
Signo de ( )f x en ( )1 x b Decisioacuten
+ - 1( )f x es un maacuteximo
- + 1( )f x es un miacutenimo
+ + 1( )f x es un posible punto de inflexioacuten
- - 1( )f x es un posible punto de inflexioacuten
Criterio de la segunda derivada Hipoacutetesis Si ( )f x es una funcioacuten que tiene primera y segunda derivadas en un intervalo ( )a b y tiene un punto criacutetico en 1x Tesis el punto criacutetico ( )1 1 ( )x f x se puede clasificar de acuerdo con el siguiente criterio bull Si ( ) 0 ( )f x f xgt tendraacute un maacuteximo en 1x porque es coacutencava hacia arriba bull Si ( ) 0 ( )f x f xlt tendraacute un miacutenimo en 1x porque es coacutencava hacia abajo bull Si ( ) 0 ( )f x f x= podriacutea tener un punto de inflexioacuten 1x si estaacute cambiando la concavidad
Ejercicio Ndeg 1 Determina los maacuteximos y miacutenimos de la siguiente funcioacuten
3 2( ) 3 3f x x x= minus + completa la informacioacuten que se pide y luego compara tus resultados con los obtenidos empleando DERIVE
1 ( )f x = 2 23 6 0x xminus =
3 ( )23 6 3 ____ ____ 0x x xminus = minus = de donde 1 ____x = y
2 ____x = 4 Los valores 0 y 2 dividen al eje X en los intervalos ajenos
( ) ( ) ( )0 0 2 2minusinfin infin 5 Elaboramos una tabla para dar valores a x Completa el valor y el
signo de ( )f x
Intervalo ( )0minusinfin ( )02 ( )2infin
Valor de x -1 1 3
Valor de ( )f x
Signo de ( )f x
6 De acuerdo con el criterio de la primera derivada
a) En 1 0x = ( )f x tiene un ___________ porque ( )f x _____________
b) En 2 2x = ( )f x tiene un ___________ porque ( )f x ____________
7 El valor maacuteximo de ( )f x en _____ es_____ 8 El valor miacutenimo de ( )f x en _____ es_____
Ejercicio Ndeg 2 Determina los maacuteximos y miacutenimos de la siguiente funcioacuten
2
3( )3
f xx
=+
completa la informacioacuten que se pide y luego compara tus
resultados con los obtenidos empleando DERIVE 1 ( )f x =
2 ( )22
6 03
x
x
minus=
+
3 Puesto que ( )22 3x + siempre seraacute mayor que cero la uacutenica
posibilidad de que ( )22
6 03
x
x
minus=
+es que 1 ____x =
4 El valor de z divide al eje X en 2 intervalos ( ) ( )0 0minusinfin infin iquestQueacute sucede en el punto cero
5 Elaboramos una tabla para dar valores a x Completa el valor y el signo de ( )f x
Intervalo ( )0minusinfin ( )0infin
Valor de x -1 1
Valor de ( )f x
Signo de ( )f x
6 ( )f x presenta un _______________en _____ Ejercicio Ndeg 3 Empleando Derive y el criterio de la segunda derivada determina los maacuteximos y miacutenimos de la siguiente funcioacuten ( )3( ) 4 10f x x= minus + ademaacutes completar la informacioacuten y anexa la grafica de las funcioacuten para verificar las validez de tus resultados
1 ( )f x =
2 ( )23 4 0x minus =
3 23( 8 16) 0x xminus + = de donde 1 ____x =
4 ( )f x = 5 (4)f =0 ( )f xthere4 tiene un___________ 6 Las coordenadas de ese punto son ( )4 (4)f es decir ( )4
7 (2)f =_____________gt0 ( )f xthere4 tiene un___________
Trabajo en casa Ejercicio Ndeg 1 Determina los maacuteximos y miacutenimos de la siguiente funcioacuten
( )3( ) 4f x x= minus completa la informacioacuten que se pide y luego compara tus resultados con los obtenidos empleando DERIVE
1 ( )f x =
2 ( )23 4 0x minus =
3 23( 8 16) 0x xminus + = de donde 1 ____x = 4 El valor 4 divide al eje X en dos intervalos ajenos
( ) ( ) 4 4minusinfin infin 5 Elaboramos una tabla para dar valores a x Completa el valor y el
signo de ( )f x
Intervalo ( ) 4minusinfin ( )4infin
Valor de x 2 5
Valor de ( )f x
Signo de ( )f x
6 De acuerdo con el criterio de la primera derivada En 1 4x = ( )f x presenta __________________________
Ejercicio Ndeg 2 Determina los maacuteximos y miacutenimos de la siguiente funcioacuten
1( )f x xx
= + completa la informacioacuten que se pide y luego compara tus
resultados con los obtenidos empleando DERIVE
1 ( )f x =
2 2
11 0x
minus =
3 2
11 0x
minus = 2
11x
= 2 1x = de donde 1 ____x = y 2 ____x =
4 Los valores 1 y -1 dividen al eje X en 3 intervalos ajenos ( ) ( ) ( ) 1 11 1minusinfin minus minus infin iquestQueacute sucede en el punto cero
5 Elaboramos una tabla para dar valores a x Completa el valor y el signo de ( )f x
Intervalo ( ) 1minusinfin minus ( )10minus ( )01 ( )1infin
Valor de x -2 -12 frac12 3
Valor de ( )f x
Signo de ( )f x
6 El valor maacuteximo de ( )f x en _____ es_____ 7 El valor miacutenimo de ( )f x en _____ es_____
Ejercicio Ndeg 3 Empleando Derive y el criterio de la segunda derivada determina los
maacuteximos y miacutenimos de la siguiente funcioacuten 1( )f x xx
= + ademaacutes
completar la informacioacuten y anexa la grafica de las funcioacuten para verificar las validez de tus resultados
1 ( )f x =
2 2
11 0x
minus =
3 2
11 0x
minus = 2
11x
= 2 1x = de donde 1 ____x = y 2 ____x =
4 ( )f x = 5 (1)f = ____gt0 ( )f xthere4 tiene un___________ 6 Las coordenadas de ese punto son ( )1 (1)f es decir ( )1 7 ( 1)f minus = _____________lt0 ( )f xthere4 tiene un___________ 8 Las coordenadas de ese punto son ( )1 ( 1)fminus minus es decir ( )1minus
Ejercicio Ndeg 4 Calcula los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de las siguientes funciones
1 2 4
( )2 16x xf x = minus
2 23( )
1xf x
x=
minus
3 2( )4
xf xx
=minus
4 2 2( )1
x xf xx
minus minus=
minus
Representa las graacuteficas para comprobarlo C PROBLEMAS DE OPTIMIZACIOacuteN
Has aprendido a encontrar valores extremos de una funcioacuten por medio de dos criterios el de la primera derivada y el de la segunda derivada Lo que haremos ahora constituye una de las principales aplicaciones del caacutelculo diferencial utilizado en muy diversas aacutereas del conocimiento Con frecuencia en los procesos industriales cientiacuteficos y tecnoloacutegicos se busca optimizar las condiciones en que se llevan a cabo asiacute como los resultados que se obtienen Por ejemplo se pretende envasar el mayor volumen de un producto empleando la menor cantidad posible de material obtener el mejor efecto de un medicamento con la menor dosis administrada encontrar el nuacutemero de artiacuteculos que deben venderse para obtener la maacutexima ganancia Todo esto es optimizar un proceso y el caacutelculo es una herramienta muy uacutetil para lograrlo
CAPACIDAD Resuelve problemas que involucran maacuteximos o miacutenimos de una funcioacuten empleando derive
Para resolver un problema de optimizacioacuten baacutesicamente debemos proceder de la siguiente manera
1 A partir del enunciado del problema obtener la funcioacuten que queremos optimizar de modo que dependa de una sola variable
2 aplicar uno de los criterios para encontrar los valores extremos de una funcioacuten
3 interpretar los resultados con base en la naturaleza del problema planteado
PROBLEMA 1 Cuando alguien tose la traquea se contrae violentamente lo que afecta de modo directo a la velocidad del aire expulsado a traveacutes de ella Si la velocidad del aire durante la tosida se puede expresar como
2( ) ( )v r k p r r= minus donde k es una constante positiva que depende de la persona p es el radio normal de la traquea y r el radio durante el golpe de tos
a) Utilice una escala apropiada para mostrar la grafica de la velocidad del aire durante la tosida Utilice los valores de K=1 y p=3
b) Determina el dominio apropiado para estudiar esta funcioacuten c) iquestQueacute valor del radio r producir la maacutexima velocidad del aire
expulsado iquestCuaacutel es la velocidad
Solucioacuten
1 Siendo la funcioacuten a maximizar 2 2 3( ) ( ) ( )v r k p r r k p r r= minus = minus
2 La primera derivada es dvdr
=
3 Los puntos criacuteticos son 1 2______ _______r y r= =
4 luego la velocidad del aire expulsado tiene un maacuteximo cuando r =
PROBLEMA 2 Se quiere fabricar latas de refresco cuyo contenido sea 33cl de manera que el costo de la chapa sea miacutenimo Hallar las dimensiones que ha de
ANEXO 4
PLANES DE CLASE
Los planes de clase en general son los mismos para ambos grupos pero si difieren del lugar donde se trabajan pues el grupo experimental recibiraacute clases en el laboratorio de coacutemputo mientras que el grupo de control trabajara sus sesiones de clase en el aula Debo indicar tambieacuten que solo la tercera clase de ambos grupos seraacute en el saloacuten de clases pues se deben trabajar las derivadas de funciones trigonomeacutetricas logariacutetmicas impliacutecitas regla de L`Hospital El modelo de plan de clase que presento a continuacioacuten es el que manejamos en la universidad para nuestra carpeta docente Fue disentildeado por los docentes de la Escuela de Educacioacuten y lo trabajamos en todas las escuelas Presento cuatro planes de clase que corresponde a las 4 sesiones que tuvimos para resolver el capiacutetulo de Derivadas
P L A N D E S E S I Oacute N D E A P R E N D I Z A J E 2 0 0 6- II ESCUELA DE INGENIERIacuteA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS
ASIGNATURA
Ciclo Seccioacuten
Semana Ndeg Sesioacuten
DOCENTE
COMPETENCIA
TIacuteTULO CAPACIDAD
ACTIVIDADES TIEMPO INDICADORES INICIALES DestrezaHabilidad Contenido Producto Iacutetems
PROCESO
FINALES Actitudes
METODO AYUDAS TEacuteCNICAS E INSTRUMENTOS DE EVALUACIOacuteN
Expositivas-Interactivas
Investigacioacuten Individual
Debate
Proyecto
Demostracioacuten
Investigacioacuten por equipos
Otros
Texto Separatas-resumen Transparencias- Diapositivas
Ejercicios Aplicacioacuten Casos Presentacioacuten Multimedia
Otros
Observacioacuten Situacioacuten Ejercicio Praacutectico Pruebas Escritas Situacioacuten Oral
de Evaluacioacuten
Pruebas de Desempentildeo
Examen Temaacutetico
Ejercicios Interpretativos
Pruebas Objetivas
Mapa mental
Mapa Conceptual
Estudios de Casos Praacutecticas- Laboratorio
Proyecto
Portafolio
Ensayos
Otros (Indicar)
Exposicioacuten Diaacutelogo Debate Examen
Oral
Lista de cotejo
Registro anecdoacutetico
Escala de actitud
Otros(Indicar)
Bibliografiacutea
Paacuteginas Web
P L A N D E S E S I Oacute N D E A P R E N D I Z A J E 2 0 0 6- II ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS
ASIGNATURA MATEMATICA I
Ciclo II Seccioacuten A B
Semana 12 Nordm Sesioacuten 1
DOCENTE Lic Diana Quintana Saacutenchez
COMPETENCIA Interpreta formula analiza y resuelve problemas de contexto real utilizando definiciones teacutecnicas y aplicaciones del Caacutelculo Diferencial desarrollando
comunicacioacuten investigacioacuten razonamiento y manifestando confianza flexibilidad y perseverancia
CONTENIDO Derivadas
CAPACIDAD Resuelve problemas sobre razoacuten de cambio recta tangente y grafico de funciones y sus derivadas
ACTIVIDADES TIEMPO INDICADORES INICIALES
15rsquo
DestrezaHabilidad Contenido Producto Iacutetems bull Saludo bull Para esta clase he preparado un relato sobre la historia del
caacutelculo diferencial La historia de Newton y Leibnitz
Resuelve Encuentra Calcula Grafica
Razoacuten de cambio Dos Problemas con un mismo tema Definicioacuten de Derivada Resolucioacuten de problema empleando derivadas Elaboracioacuten de graficas de funciones y sus derivadas
Opinioacuten sobre los protagonistas de la Historia de Calculo Presentacioacuten de ejercicios propuestos en clase
1 Resuelve problemas de
aplicacioacuten de razoacuten de cambio 2 Encuentra la derivada de
funciones ( )f x 3 Calcula la derivada de funciones
( )f x empleando la definicioacuten de derivada
4 Grafica funciones y su
derivadas
ACTIVIDADES DE PROCESO
2h15rsquo break 1h30rsquo
bull Se expone el fundamento teoacuterico sobre la definicioacuten de
derivada y se entrega el material didaacutectico bull Se resuelve en parejas en la solucioacuten del primer trabajo
praacutectico bull Los alumnos exponen en la pizarra la solucioacuten de los
problemas bull Con el grupo experimental se trabaja la guiacutea de laboratorio
ACTIVIDADES FINALES
10rsquo
Actitudes Valora de manera criacutetica la importancia de la historia del calculo asiacute mismo muestra orden e intereacutes por aprender
bull Presentar en la siguiente clase la solucioacuten de los ejercicios
propuestos en la separata
METODO AYUDAS TEacuteCNICAS E INSTRUMENTOS DE EVALUACIOacuteN
x Expositivas-Interactivas
Investigacioacuten Individual
Debate
Proyecto
Demostracioacuten
x Investigacioacuten por equipos
Otros
Texto Separatas-resumen x Transparencias- Diapositivas
Ejercicios Aplicacioacuten x Casos Presentacioacuten Multimedia
x
Otros
Observacioacuten Situacioacuten Ejercicio Praacutectico Pruebas Escritas Situacioacuten Oral
de Evaluacioacuten
Pruebas de Desempentildeo
Examen Temaacutetico
x Ejercicios Interpretativos
Pruebas Objetivas
Mapa mental
Mapa Conceptual
x Estudios de Casos x Praacutecticas- Laboratorio
Proyecto
Portafolio
Ensayos
Otros (Indicar)
x Exposicioacuten x Diaacutelogo Debate Examen
Oral
Lista de cotejo
x Registro anecdoacutetico
Escala de actitud
Otros(Indicar)
Bibliografiacutea Anaacutelisis Matemaacutetico I Eduardo Espinoza Ramos Anaacutelisis Matemaacutetico Maacuteximo Mittac Meza
Paacutegina Web wwwucvpiuraedupe (aula virtual)
P L A N D E S E S I Oacute N D E A P R E N D I Z A J E 2 0 0 6- II
ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS
ASIGNATURA MATEMATICA I
Ciclo II Seccioacuten A
Semana 13 Nordm Sesioacuten 1
DOCENTE Lic Diana Quintana Saacutenchez
COMPETENCIA Interpreta formula analiza y resuelve problemas de contexto real utilizando definiciones teacutecnicas y aplicaciones del Caacutelculo Diferencial desarrollando comunicacioacuten investigacioacuten razonamiento y manifestando confianza flexibilidad y perseverancia
CONTENIDO Derivadas
CAPACIDAD Infiere mediante un anaacutelisis grafico las relaciones existentes entre la graacutefica de una funcioacuten y su primera derivada signo de la primera derivada asociado con crecimiento o decrecimiento de la funcioacuten y derivada nula con puntos criacuteticos
ACTIVIDADES TIEMPO
INDICADORES INICIALES
15rsquo
Destreza Habilidad
Contenido Producto Iacutetems
bull Saludo bull Esta clase se inicia con una lluvia de ideas sobre lo trabajado en
la clase anterior
Calcula Determina Analiza
Reglas de Derivacioacuten Derivadas de orden superior Anaacutelisis graacutefico de funciones y su primera derivada
Solucioacuten de ejercicios sobre derivadas Anaacutelisis de grafico de funciones y su primera derivada Ejemplos de primera y segunda derivada
5 Calcule la derivada de las
siguientes funciones 6 Encuentra derivada de orden
superior de funciones ( )f x 7 Analiza las graficas de
funciones y su derivada
ACTIVIDADES DE PROCESO
2h15rsquo
break 1h30rsquo
bull Para esta sesioacuten los alumnos han descargado el material del aula
virtual Pero para el grupo experimental la guiacutea se entrega en clase
bull Se presenta el contenido y se trabaja dando espacios para las posibles preguntas de los alumnos Ademaacutes se presentan ejemplos
bull Se solicita a los alumnos que voluntariamente expongan sus soluciones
ACTIVIDADES FINALES
10rsquo
Actitudes Valora la importancia de conocer el comportamiento grafico de una funcioacuten y su derivada
bull Presentar en la siguiente clase la solucioacuten del trabajo
praacutectico Nordm 4 METODO AYUDAS TEacuteCNICAS E INSTRUMENTOS DE EVALUACIOacuteN
x Expositivas-Interactivas
Investigacioacuten Individual
Debate
Proyecto
Demostracioacuten
Investigacioacuten por parejas
Otros
Texto Separatas-resumen x Transparencias- Diapositivas
Ejercicios Aplicacioacuten x Casos Presentacioacuten Multimedia
Otros
Observacioacuten Situacioacuten Ejercicio Praacutectico Pruebas Escritas Situacioacuten Oral de Evaluacioacuten
Pruebas de Desempentildeo
Examen Temaacutetico
x Ejercicios Interpretativos
Pruebas Objetivas
Mapa mental
Mapa Conceptual
Estudios de Casos x Praacutecticas- Laboratorio
Proyecto
Portafolio
Ensayos
Otros (Indicar)
x Exposicioacuten x Diaacutelogo Debate Examen
Oral
Lista de cotejo
x Registro anecdoacutetico
Escala de actitud
Otros(Indicar)
Bibliografiacutea Anaacutelisis Matemaacutetico I Eduardo Espinoza Ramos Anaacutelisis Matemaacutetico Maacuteximo Mittac Meza
Paacutegina Web wwwucvpiuraedupe (aula virtual)
P L A N D E S E S I Oacute N D E A P R E N D I Z A J E 2 0 0 6- II ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS
ASIGNATURA MATEMATICA I
Ciclo II Seccioacuten A B
Semana 14 Nordm Sesioacuten 1
DOCENTE Lic Diana Quintana Saacutenchez
COMPETENCIA Interpreta formula analiza y resuelve problemas de contexto real utilizando definiciones teacutecnicas y aplicaciones del Caacutelculo Diferencial desarrollando comunicacioacuten investigacioacuten razonamiento y manifestando confianza flexibilidad y perseverancia CONTENIDO Derivadas
CAPACIDAD Determina los puntos criacuteticos de una funcioacuten y los clasifica en maacuteximos miacutenimos o de inflexiones
ACTIVIDADES TIEMPO INDICADORES
INICIALES
15rsquo
Destreza Habilidad
Contenido Producto Iacutetems
bull Saludo bull Esta clase se inicia con la presentacioacuten de un problema el cual
implica derivar una funcioacuten trascendente la intencioacuten es generar el desequilibrio cognitivo
Identifica Demuestra Emplea
Reglas de Derivacioacuten de funciones Trigonometricas Trigonometricas Inversas Exponenciales Logariacutetmicas Reglas de Derivacioacuten de funciones Impliacutecitas Derivadas de orden superior
Solucioacuten de ejercicios y problemas de la separata referidos a derivadas
bull Identifica las reglas de derivacioacuten
que empleara para resolver determinados ejercicios
bull Demuestra empleando meacutetodos de
derivacioacuten que las derivadas de funciones impliacutecita se pueden calcular
bull Emplea derivacioacuten de orden
superior para resolver problemas
ACTIVIDADES DE PROCESO
2h15rsquo break 1h30rsquo
bull Para esta sesioacuten los alumnos han descargado el material del aula
virtual bull La clase se desarrolla empleando el meacutetodo expositivo dando
espacios para las posibles preguntas de los alumnos Ademaacutes se presentan ejemplos y la solucioacuten del problema planteando al inicio de la clase
bull Con el grupo experimental no hubo laboratorio bull Se resuelve de forma individual los ejercicios del trabajo praacutectico bull Se solicita a los alumnos que voluntariamente expongan sus
soluciones ACTIVIDADES FINALES
10rsquo Actitudes Intereacutes por conocer fundamentos teoacutericos que le permitan resolver ejercicios y problemas
bull Presentar en la siguiente clase la solucioacuten del trabajo praacutectico de la separata
METODO AYUDAS TEacuteCNICAS E INSTRUMENTOS DE EVALUACIOacuteN
x Expositivas-Interactivas
Investigacioacuten Individual
Debate Proyecto Demostracioacuten Investigacioacuten
por parejas Otros
Texto Separatas-resumen x Transparencias- Diapositivas
Ejercicios Aplicacioacuten x Casos Presentacioacuten Multimedia
Otros
Observacioacuten Situacioacuten Ejercicio Praacutectico Pruebas Escritas Situacioacuten Oral de Evaluacioacuten
Pruebas de Desempentildeo
Examen Temaacutetico
x Ejercicios Interpretativos
Pruebas Objetivas
Mapa mental Mapa Conceptual Estudios de Casos x Praacutecticas- Laboratorio Proyecto Portafolio Ensayos Otros (Indicar)
x Exposicioacuten x Diaacutelogo Debate Examen
Oral
Lista de cotejo x Registro
anecdoacutetico Escala de actitud Otros(Indicar)
Bibliografiacutea Anaacutelisis Matemaacutetico I Eduardo Espinoza Ramos Anaacutelisis Matemaacutetico Maacuteximo Mittac Meza
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ASIGNATURA MATEMATICA I
Ciclo II Seccioacuten B
Semana 15 Nordm Sesioacuten 1
DOCENTE Lic Diana Quintana Saacutenchez
COMPETENCIA Interpreta formula analiza y resuelve problemas de contexto real utilizando definiciones teacutecnicas y aplicaciones del Caacutelculo Diferencial desarrollando comunicacioacuten investigacioacuten razonamiento y manifestando confianza flexibilidad y perseverancia CONTENIDO Derivadas CAPACIDAD Emplea criterios de primera y segunda derivada para resolver problemas de maacuteximos y miacutenimos
ACTIVIDADES TIEMPO INDICADORES INICIALES DestrezaHabilidad Contenido Producto Iacutetems
bull Saludo bull Esta clase se inicia con la participacioacuten de los
alumnos en un pequentildeo dialogo sobre los contenidos estudiados en la clase anterior
15rsquo
Calcula Aplica Resuelve
Reglas de LrsquoHospital Criterio de la Primera y segunda derivada Problemas de Maacuteximos y Miacutenimos
Opinioacuten sobre los protagonistas de la Historia de Calculo Presentacioacuten de ejercicios propuestos en clase
8 Calcula liacutemites empleando la
regla de LrsquoHospital 9 Aplica el criterio de la primera y
segunda derivada para resolver ejercicios
10 Resuelve problemas de
maacuteximos y miacutenimos
ACTIVIDADES DE PROCESO
2h15rsquo break 1h30rsquo
bull Se expone el fundamento teoacuterico sobre la definicioacuten
de derivada y se entrega el material didaacutectico bull Se resuelve en parejas en la solucioacuten del primer
trabajo praacutectico bull Los alumnos exponen en la pizarra la solucioacuten de los
problemas ACTIVIDADES FINALES
10rsquo
Actitudes Valora de manera criacutetica la importancia de la historia del caacutelculo asiacute mismo muestra orden e intereacutes por aprender
bull Resolver y exponer la solucioacuten de los ejercicios de la
separata
METODO AYUDAS TEacuteCNICAS E INSTRUMENTOS DE EVALUACIOacuteN
x Expositivas-Interactivas
Investigacioacuten Individual
Debate
Proyecto
Demostracioacuten
x Investigacioacuten por equipos
Otros
Texto Separatas-resumen x Transparencias- Diapositivas
Ejercicios Aplicacioacuten x Casos Presentacioacuten Multimedia
x
Otros
Observacioacuten Situacioacuten Ejercicio Praacutectico Pruebas Escritas Situacioacuten Oral
de Evaluacioacuten
Pruebas de Desempentildeo
Examen Temaacutetico
x Ejercicios Interpretativos
Pruebas Objetivas
Mapa mental
Mapa Conceptual
Estudios de Casos x Praacutecticas- Laboratorio
Proyecto
Portafolio
Ensayos
Otros (Indicar)
x Exposicioacuten x Diaacutelogo Debate Examen
Oral
Lista de cotejo
x Registro anecdoacutetico
Escala de actitud
Otros(Indicar)
Bibliografiacutea Anaacutelisis Matemaacutetico I Eduardo Espinoza Ramos Anaacutelisis Matemaacutetico Maacuteximo Mittac Meza
Paacutegina Web wwwucvpiuraedupe (aula virtual)
tener la lata es decir el radio y la altura Calcula tambieacuten el valor de la superficie de la chapa miacutenima PROBLEMA 3 Calcula el valor de los coeficientes a y b para que la funcioacuten
3( )f x ax bx= + tenga un maacuteximo relativo en P (12) PROBLEMA 4 Calcular el polinomio de tercer grado que pasa por el origen de coordenadas O (00) tiene un maacuteximo relativo en el punto P (-24) y un punto de inflexioacuten en el punto Q (-12)
ANEXO 5
TABLAS DE ESPECIFICACIONES
Preg horas Razon de Cambio- Problema de la recta tangente 1 0 0 0 1 1 20
TOTAL 2 2 1 2 7 5 100
TOTAL
TABLA DE ESPECIFICACIONESPRUEBA DE MATEMATICA I
PRACTICA 1
Conocimiento Comprensioacuten Aplicacioacuten
Definicion de Derivada 1 0 1 0 2 1 20
Graacutefico de Funciones y suderivada 0 2 0 2 4 3 60
Ejes Temaacuteticos
HabilidadesCognitivas Anaacutelisis
Siacutentesis y Evaluacioacuten
Preg horas Calculo de Derivadas de orden Superior 0 2 0 1 3 3 60Primera y segunda Derivada de una Funcioacuten 0 0 2 2 4 2 40TOTAL 0 2 2 3 7 5 100
Conocimiento Comprensioacuten Aplicacioacuten
TABLA DE ESPECIFICACIONESPRUEBA DE MATEMATICA I
PRACTICA 2
TOTAL
Ejes Temaacuteticos
HabilidadesCognitivas Anaacutelisis
Siacutentesis y Evaluacioacuten
Preg horas Grafico de funciones y sus derivadas y propiedades de las funciones
1 0 1 1 3 2 40
Problemas de Optimizacion 1 0 2 0 3 3 60TOTAL 2 0 3 1 6 5 100
TABLA DE ESPECIFICACIONESPRUEBA DE MATEMATICA I
PRACTICA 3
Conocimiento Comprensioacuten AplicacioacutenTOTAL
Ejes Temaacuteticos
HabilidadesCognitivas Anaacutelisis
Siacutentesis y Evaluacioacuten
Preg horas SEGUNDA UNIDAD 1 0 3 1 5 20 100TOTAL 1 0 3 1 5 20 100
TABLA DE ESPECIFICACIONESEXAMEN FINAL DE MATEMATICA I
Conocimiento Comprensioacuten AplicacioacutenTOTAL
Ejes Temaacuteticos
HabilidadesCognitivas Anaacutelisis
Siacutentesis y Evaluacioacuten
ANEXO 6
INSTRUMENTOS DE EVALUACION
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS ASIGNATURA MATEMATICA I TIEMPO 2 HORAS
PRACTICA CALIFICADA Nordm 1 INDICACIONES Cuide la redaccioacuten de sus respuestas y trabaje en forma ordenada evitando los borrones CONOCIMIENTO (2 ptos cada una)
1 Identifica el concepto de razoacuten de cambio en el problema de la recta tangente
2 Menciona las dos formas equivalentes de la derivada y explica su diferencia simboacutelica
COMPRENCION (2 ptos cada una)
3 En la siguiente figura se dan las graacuteficas de una funcioacuten f y su derivada f sobre unos ejes comunes Explicar en un breve paacuterrafo dichas graacuteficas
4 Empareja cada funcioacuten de la columna izquierda con la grafica de su derivada en la columna derecha
a) A)
b) B) c) C) APLICACIOacuteN (4 ptos)
5 Usar la definicioacuten de derivada para hallar ( )f x Siendo
3 2( )f x x x= + ANALISIS SINTESIS Y EVALUACIOacuteN (4 ptos cada una)
6 Analiza la situacioacuten en el punto 0x = para la funcioacuten ( )f x y su derivada asiacute mismo elabora una grafica de dichas funciones
2
2
4 0( )
4 0
x xf x
x x
minus gt= minus le
7 Evaluacutee las funciones 2( ) 1f x x= + y ( ) 1g x x= + simultaacuteneamente
en la cercaniacutea del punto (01) y responda iquestQueacute se observa iquestQueacute funcioacuten es derivable en ese punto
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS ASIGNATURA MATEMATICA I TIEMPO 2 HORAS
PRACTICA CALIFICADA Nordm 2 INDICACIONES Cuide la redaccioacuten de sus respuestas y trabaje en forma ordenada evitando los borrones COMPRENCION (3 ptos cada una)
1 Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas En caso de que sea falsa explica por queacute o da un ejemplo que muestre su falsedad
a) Si ( ) ( )y f x g x= entonces ( ) ( )dy f x g xdx
=
b) Si ( 1)( 2)( 3)( 4)y x x x x= + + + + entonces 5
5 0d ydx
=
c) La segunda derivada representa el ritmo de cambio de la primera
2 Sean f y g funciones cuyas primeras y segundas derivadas existen en un intervalo I Sentildeala iquestCuaacutel de estas formulas es correcta a) ( ) fg f g fg f gminus = minus b) ( ) fg f g fg+ =
APLICACIOacuteN (25 ptos)
3 Soluciona el siguiente problema El costo C de pedido y transporte de
las componentes utilizadas en la fabricacioacuten de un producto es 200100 1
30xC x
x x = + le +
donde C se mide en miles doacutelares y
x es el tamantildeo del pedido Hallar el ritmo de cambio de C con respecto a x cuando 10 15x x= =
4 Usa la graacutefica de f para esbozar la de f y f
ANALISIS SINTESIS Y EVALUACIOacuteN (3 cada una)
5 Hallar la derivada de f para 1234n = y usar los resultados para proponer una foacutermula general para ( )f x en teacuterminos de n
6 Selecciona y graacutefica de una funcioacuten derivable f tal que 0f gt y
0f lt para todos los nuacutemeros reales x
7 Evaluacutea la derivada de la funcioacuten en el punto que se indica 1 cos1 cos
ecxyecx
+=
minusen 3
6π minus
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS ASIGNATURA MATEMATICA I TIEMPO 2 HORAS
PRACTICA CALIFICADA Nordm 3 INDICACIONES Cuide la redaccioacuten de sus respuestas y trabaje en forma ordenada evitando los borrones CONOCIMIENTO (15 pto cada una)
1 La graacutefica de ( )f x viene dada en la figura adjunta Indica a) iquestEn queacute valores de x es ( )f x cero positiva o negativa b) iquestEn queacute intervalo es f creciente
2 Describa el criterio de la segunda Derivada para hallar maacuteximos y
miacutenimos de una funcioacuten APLICACIOacuteN (45 cada una) Soluciona los siguientes problemas
3 El rendimiento (medido de 0 a 10) de cierto producto en funcioacuten del
tiempo de uso ( x en antildeos) viene dado por la siguiente expresioacuten
2
3( ) 85 0
1
xf x xx
= + ge+
a) iquestHay intervalos de tiempo en los que el rendimiento crece iquestY en que decrece iquestCuaacuteles son
b) iquestEn queacute punto se alcanza el rendimiento maacuteximo iquestCuaacutento vale
4 Se ha construido una presa de almacenamiento de agua cuyos costos de mantenimiento diarios son una funcioacuten de la cantidad de agua que la misma tiene almacenada Tales costos (en doacutelares) vienen dados por la siguiente expresioacuten ( ( )C x representa el costo si el volumen de agua en millones de metros cuacutebicos es x )
3 2( ) 8 73C x x x x= + minus + a) encontrar el volumen diario de agua oacuteptimo que debe mantenerse para minimizar costos b) calcular el costo miacutenimo diario que supone el mantenimiento de la instalacioacuten Si un diacutea la presa tiene almacenados 3 millones de metros cuacutebicos de agua iquestcuaacutento se ha gastado de maacutes respecto del costo miacutenimo
5 Proponga y dibuje una funcioacuten cuya derivada sea siempre negativa ANALISIS SINTESIS Y EVALUACIOacuteN (35 ptos)
6 Las graacuteficas de f f f se muestran en los mismos ejes iquestPodriacuteas decir cuaacutel es cuaacutel
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS ASIGNATURA MATEMATICA I TIEMPO 2 HORAS
EXAMEN FINAL
INDICACIONES Cuide la redaccioacuten de sus respuestas y trabaje en forma ordenada evitando los borrones CONOCIMIENTO (2 ptos)
1 Demostrar usando la definicioacuten que (cos )d x senx
dx= minus
APLICACIOacuteN (4 ptos cada una)
2 Emplea las reglas de derivacioacuten para encontrar la derivada de la
siguiente funcioacuten coscos
senx xy arctgsenx x
+ = minus
3 Calcular la primera derivada de la funcioacuten impliacutecita 2 34 6xy y y xy+ = +
4 Encontrar la derivada de la siguiente funcioacuten reduciendo en lo posible dicha derivada a su miacutenima expresioacuten
1 1 1( ) ln 2
11 1
x x xf x arctg
xx x
+ minus minus minus= +
++ + minus
ANALISIS SINTESIS Y EVALUACIOacuteN (6 ptos)
5 Lee atentamente el siguiente enunciado y responde a las preguntas La puntuacioacuten obtenida por un estudiante en un examen depende del tiempo que haya dedicado a su preparacioacuten ( x expresado en horas) en los siguientes teacuterminos
0 153( )2
1502 3
x si xg x
x si xx
le le= lt +
a) Si un estudiante ha dedicado menos de 15 horas a preparar el examen justificar que no aprobaraacute esto es que obtendraacute menos de 5 puntos
b) Justificar que la puntuacioacuten nunca puede ser superior a 10 puntos
