propiedades magnÉticas de la materia
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PROPIEDADES MAGNÉTICAS DE LA MATERIA. RESUMEN FUNDAMENTOS PROBLEMA 1. CABLE COAXIAL PROBLEMA 2. TOROIDE MATERIAL FERROMAGNÉTICO PROBLEMA 3. IMÁN PERMANENTE PROBLEMA 4. CÁLCULO INDUCTANCIA PROBLEMA 5. CIRCUITO MAGNÉTICO. Antonio J. Barbero Dpto. Física Aplicada UCLM C.A. UNED Albacete. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
1
PROPIEDADES MAGNÉTICAS DE LA MATERIA
Antonio J. BarberoDpto. Física Aplicada UCLM
C.A. UNED Albacete
RESUMEN FUNDAMENTOS
PROBLEMA 1. CABLE COAXIALPROBLEMA 2. TOROIDE MATERIAL FERROMAGNÉTICO
PROBLEMA 3. IMÁN PERMANENTEPROBLEMA 4. CÁLCULO INDUCTANCIAPROBLEMA 5. CIRCUITO MAGNÉTICO
2
RESUMEN FUNDAMENTOS
Vd
rrrrrMrA 3
0
4
Potencial magnético vector debido a corrientes de imanación
Imanación (magnetización)
Vd
m
Vd
M
mV
MV
1lim0
NuSIm
m
I
S
Nu
S.I. A·m2
S.I. A·m-1
Momento magnético (corriente I)
S.I. Wb·m-1
Vd
rr
rMrrrrrrrMrB 3
2
0 ·34
AB
S.I. T (= Wb·m-2)X
Y
Z
Vd
rM
rr r
r
rA
Material imanado
3
RESUMEN FUNDAMENTOS / 2
Corrientes de imanación
MJm
Nm uMK
Volumétrica
Superficial
S.I. A·m-2
S.I. A·m-1
Potencial magnético vector en función de densidades de corrientes de imanación
SdrrrKVd
rrrJrA mm
4400
S.I. Wb·m-1
MBH
0
0· B mf JJB
0
Corrientes libresCorrientes de
imanación
Ecuaciones de la magnetostática en medios materiales
Campo H S.I. A·m-1
MBH
0
·· MH
··
Densidad de “carga
magnética”
MBH
0MB
0
1
J
fJH
Corrientes
libres
m
Condiciones en los límitescampo B: sus componentes normales son continuas
1B
2B
NB2
NB1
NN BB 21
Medio 1
Medio 2
Condiciones en los límites campo H: Si no hay corrientes superficiales sus componentes tangenciales son continuas
1H
2H
tH1
tH2
tt HH 21
Medio 1
Medio 2
Si hay corrientes superficiales K
1H
2H
tH1
tH2
KHH tt 12
Medio 1
Medio 2K
4
RESUMEN FUNDAMENTOS / 3
MEDIOS MAGNÉTICOS LINEALES
La imanación M es proporcional al campo H HM m
m
Susceptibilidad magnética
(adimensional)
El campo B también: MHB
0 HB m
10
rm 1 m10 Permeabilidad magnética del medio Permeabilidad relativa
MEDIOS DIAMAGNÉTICOS
En casi todos ellos0mSusceptibilidad negativa 1m 0
MEDIOS PARAMAGNÉTICOS
En muchos casos0mSusceptibilidad positiva 1m 0
INDUCTANCIA
SB
I
El flujo magnético debido a la corriente que circula por un circuito es proporcional al valor de dicha corriente
IL
IL Coeficiente de proporcionalidad entre
flujo y corriente L autoinducción Unidades S.I. H
Si se trata del flujo magnético inducido en un circuito (1) por la corriente que circula por otro circuito (2) inducción mutua
2
112 I
M
1
221 I
M 2112 MM Unidades S.I. H
5
H
M
Campo magnético aplicado
Imanación del material
Material imanado hasta saturación por alineación
de dominios
Curva de primera imanación cuando el material ferromagnético se imana
desde campo cero
El ciclo de histéresis muestra que la imanación de un material ferromagnético depende de su
historia previa. Una vez se ha llevado el material a saturación el campo aplicado H puede ser
reducido a cero pero el material retiene buena parte de su imanación (“recuerda su historia”).
Cuando el campo magnético aplicado cae a cero, sigue existiendo magnetismo remanente (esto tiene utilidad para
almacenamiento magnético de datos)
El campo magnético aplicado debe invertirse y alcanzar un valor llamado
campo coercitivo para que la imanación vuelva a ser nula
Saturación en sentido opuesto
MATERIALES FERROMAGNÉTICOS. CICLO DE HISTÉRESIS
En el eje de ordenadas puede representarse bien la imanación M o bien el campo B
RESUMEN FUNDAMENTOS / 4
6
RESUMEN FUNDAMENTOS / 5
CIRCUITOS MAGNÉTICOSCuando la permeabilidad de los materiales que intervienen es alta, puede suponerse que las líneas de campo magnético permanecen confinadas dentro del material, y que el flujo magnético no se dispersa. En esas condiciones el flujo desempeña un papel análogo al de la intensidad de corriente y puede procederse por analogía con un circuito eléctrico y resolver el problema considerando las equivalencias entre magnitudes eléctricas y magnéticas que se indican a continuación.
0I
0I
0N
Wb
A·v/Wb R
SLR
R 0
1
00 INfmm A I
V
R
RI
Fuerza electromotriz (fem)
Ley de OhmL = longitud media del
circuito (línea discontinua)
r = permeabilidad relativa del material del circuito
Circuito eléctrico Circuito magnéticoCircuito magnético equivalente
A·v fmm
Fuerza magnetomotriz (fmm)
Reluctancia (A·v/Wb)
S = área de la sección recta del circuito
La reluctancia magnética de un medio depende de su permeabilidad r0, su longitud L y del área de su sección recta S.
SLR
1
La resistencia eléctrica de un conductor depende de su conductividad , su longitud L y del área de su sección recta S.
fmm femflujo magnético intensidad I
reluctancia resistencia Rfmm
Equivalente ley de Ohm para circuitos
magnéticos
Equivalencias
7
PROBLEMAS RESUELTOS
88
El modelo de cable coaxial consiste en un conductor cilíndrico no magnético infinitamente largo, de radio a, rodeado por una funda exterior conductora de radio b > a y grosor infinitesimal, la cual lleva la corriente de retorno. Entre ambos conductores hay un material magnético no conductor, homogéneo y lineal de susceptibilidad m. Por el conductor interior circula una densidad de corriente uniforme J0 A·m-2.
P1. CABLE COAXIAL
Explicar cómo está distribuida la corriente de retorno en el conductor exterior y calcular los valores de los vectores magnéticos H, M y B en todos los puntos del espacio.
20 A·m ZuJJ
(A) 200 aJI
12
000 A·m
2
2
baJ
bIK
Densidad de corriente
Intensidad = flujo densidad de corriente
La corriente de retorno transporta la misma intensidad distribuida en una película muy fina sobre la superficie del conductor exterior: se trata de una densidad superficial de corriente cuyo sentido es contrario al del vector J del conductor interno.
Y
Z
ZuJJ 0
X
b
a
Material magnético no conductor m
Conductor interior no magnético
Conductor exterior (funda de grosor infinitesimal)
ZuKK
0
9
Conductor interno arr 1
Ley de Ampère: IldHC
1
·
IrHdlHudluHCC
1111 2····
11
C1 es la circunferencia centrada en el origen y de radio r1 e I es la corriente encerrada por C1.
Y
X
1r1H
a
Vista desde arriba, eje Z salienteConductor interno
ZuJJ
0Densidad de corriente
u
La corriente libre I genera un campo que sólo tiene componente
1HH
u
ya que J
sólo tiene componente Z.
1C
2
212
0 araJ
urJH
10
1 2
2
21
0 arI
arr 1
Válido en
Campo B
Campo M
La susceptibilidad del conductor interior es (material no magnético) 01 m0111 HM m
10
1 HB
101 HB
urJB
10
01 2
Campos H, M, B
Y
Z
X
ZuJJ
0
ZuKK 0
b
a 1r
1C
1H
u
P1. Cable coaxial / 2
101010
Material magnético bra 2
Ley de Ampère: IldHC
1
·
Y
Z
X
ZuJJ
0
b
a
ZuKK 0
IrHdlHudluHCC
2222 2····
22
C2 es la circunferencia centrada en el origen y de radio r2 e I es la corriente encerrada por C2.
20 aJ u
raJH
1
2 2
20
2 0I bra 2
Válido en
Campo B
Campo M
La susceptibilidad del material magnético es mm 2 ur
aJHM mm
2
20
221
2
220
2 MHB
202 1 HB m
Y
X
2r2Hb
Vista desde arriba, eje Z salienteMaterial magnético
ZuJJ
0Densidad de corriente
u
La corriente libre I genera un campo que sólo tiene componente
2HH
u
ya que J
sólo tiene componente Z.
2Cradio a
2 1 Hm
Material magnético
lineal
ur
aJB m
12
12
20
02
Campos H, M, B
2C
2r u2H
P1. Cable coaxial / 3
11
Zona exterior br 3 Campos H, M, B
Y
Z
X
b
a
ZuKK 0
ZuJJ
0
Densidad de corrienteVista desde arriba, eje Z saliente
Material magnético
ZuJJ
0
Y
X
3rb
2Cradio a
3C
3ru
3H
Ley de Ampère: IldHC
3
· C3 es la circunferencia centrada
en el origen y de radio r3 e I es la corriente encerrada por C3.
Como la línea C3 abraza la corriente I0 del conductor interno y la corriente –I0 del conductor externo, la corriente neta que abarca es nula, y por tanto el campo H es igual a cero para r > rb. Además, al estar fuera del material magnético, M también es igual a cero, y por tanto también B es igual a cero. Fuera del cable coaxial todos los campos son nulos.
P1. Cable coaxial / 4
12
a b r
baJ 1
2
20
aaJ 1
2
20
H
arrJ
20
brar
aJ 1
2
20
br 0
H
a b
r
aaJ 1
2
20
0
baJ 1
2
20
aaJ 1
2
20
B
ar 0
brar
aJm 1
2
20
br 0
M
a b
r
baJ
m1
2
20
aaJ
m1
2
20
M
brar
aJ 1
2
20
m 10
arrJ
20
0
br 0
B
Gráficas campos H, M, B
ZuJJ
0
ZuKK
0
No hay discontinuidad en H porque en la superficie del conductor interior r = a no hay densidad superficial de corriente libre.
La densidad de corriente libre superficial K en r = b es la causa de la discontinuidad de H.
Las densidades de corrientes superficiales de imanación Km‘s son la causa de la discontinuidad de M en r = a y en r = b.
El campo B sólo tiene componentes tangentes, aparecen discontinuidades en r = a y en r = b.
Cálculo de corrientes de imanación en
transparencia siguiente
P1. Cable coaxial / 5
13
ar 0
brar
aJm 1
2
20
br 0
M
a b
r
baJ
m1
2
20
aaJ
m1
2
20
M
a
b
Z
Nm uMK
Nu
dirigido desde dentro del material magnético hacia fuera
rmm uuaJaK
20
Zm uaJ 20
Zr uuu
rmm uub
aJbK
12
20 Zm u
baJ
1
2
20
Corriente superficial de imanación
Zr uuu
uaM
ubM
rN uau
rN ubu
Y
Z
X
ba
ZuJJ
0 bruKK Z en 0
Zmm uaJaK
20
Zmm ub
aJbK
1
2
20
Densidades corriente superficial
Libre:
De imanación:
CORRIENTES SUPERFICIALES DE IMANACIÓNP1. Cable coaxial / 6
1414
Un toroide de material ferromagnético de espesor muy pequeño comparado con su diámetro tiene un entrehierro d = 2 mm. Sobre él se enrollan N = 517 espiras por las que se hace pasar una corriente I = 2 A. La circunferencia completa de la sección central del toroide mide L = 942 mm (línea discontinua en la figura). La gráfica es la curva de primera imanación del material ferromagnético. Determinar el campo magnético en el entrehierro. ¿Cuál es la permeabilidad de este material ferromagnético en las condiciones de operación indicadas?
N
I
d
0 200 400 600 800 1000 1200 14000
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
1A·m H
T B Solución: Ley de Ampère aplicada a lo largo de la línea discontinua:
B
fH
0H
fH
INdHdLH f 0
Continuidad componente normal de B:0BB f 00H
ff Hd
dLd
INB
00
ff HB 410 · 91.565.0
65.0 0 :1 ff BHP0 1100 :2 ff BHP
Subíndices: f, ferromag; 0, entrehierro
1P
2P
T 38.00 B
157
0
00 A·m 10 · 02.3
10 · 438.0
BH
d
fBB
0
INdB
dLH ff
0
Permeabilidad del materialf
fff H
BBH
711
0
r
14 H·m 10 · 94.825438.0
1A·m 425 fH
P2. TOROIDE MATERIAL FERROMAGNÉTICO
15
Determinar el campo magnético en el eje de un cilindro recto imanado de radio R y altura L, cuya imanación constante es Representar gráficamente.zuMM
0
'z
zuMM 0
L
R
(0,0,z)
'dz
X
Y
Z
ruzu u
ruzu
u
rs uMJ
rz uuM 0 uM 0
2/3220
20
)'(2
'
Rzz
udzMRBd z
zuRz
IRB 2/322
20
2
El cilindro imanado se comporta como una lámina cilíndrica por la que circula una corriente superficial Js cuyo módulo es M0 (A/m)
sJ
Las fuentes del campo B son las cintas de altura dz’ que transportan la corriente superficial Js. Cada una de esas cintas se encuentra a una altura z’ sobre el plano XY, y cada punto de la cinta situada en z’ se encuentra a una distancia del punto donde hay que determinar el campo magnético.
22)'( Rzz
El campo magnético de una espira circular (radio R) que transporta la corriente I en un punto z de su eje es
Análogamente el campo creado en z por cada una de las cintas que transportan la corriente M0dz’ es
P3. IMAN PERMANENTE
L
z
Rzz
udzMRBdB0
2/3 220
20
)'(2
' zu
RLzLz
RzzM
222200
)(2
22222
0
2/3 22
1
)'(
'
RLz
LzRz
zRRzz
dzL
16
Representación gráfica del módulo del campo B frente a z/L para distintos valores de R/L
2222
00
)(2 RLzLz
RzzMB
2222
00
1
1
2
LR
Lz
Lz
LR
Lz
Lz
M
-3 -2 -1 0 1 2 3 40,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
B (u
nida
des 0
M0)
z/L-3 -2 -1 0 1 2 3 4
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
B (u
nida
des 0
M0)
z/L-3 -2 -1 0 1 2 3 4
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
B (u
nida
des 0
M0)
z/L-3 -2 -1 0 1 2 3 4
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
B (u
nida
des 0
M0)
z/L
1LR
5.0LR
2LR
10LR
P3. IMAN PERMANENTE / 2
17
Partiendo del resultado anterior, determinar el campo magnético H en el eje de un cilindro recto imanado de radio R y altura L, cuya imanación constante es: Representar gráficamente para R/L = 0.25
zuMM 0
zuRLz
Lz
Rz
zMB
222200
)(2
zu
LR
Lz
Lz
LR
Lz
Lz
M
1
1
2 222200
MHB
0
MBH
0
1
1
1
21
22220
LR
Lz
Lz
LR
Lz
Lz
uM z
Dentro del imán 0 z/L 1
Fuera del imán
0BH
zu
LR
Lz
Lz
LR
Lz
Lz
M
1
1
2 22220
-0.50 -0.30 -0.10 0.10 0.30 0.50 0.70 0.90 1.10 1.30 1.50
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6 H
B
Lz /
25.0/ LR
Fuera del imán H tiene el mismo sentido que B; dentro tiene sentido contrario.
0 unidades M
P3bis. IMAN PERMANENTE / 3
18
P4. CÁLCULO INDUCTANCIA
xd x
a2a2
X
Y
1 2
dx
l
dxldS
I I
dx
1B
2BVista en
perspectiva
xIB 2 0
1
xdIB
2 0
2
Zona donde hay que calcular el flujo magnético
1B
2B
xdx
IBBB 112
021
ax adx
X
Z
Y
a2
d
lI
IS
Campo total:
Flujo:
adx
axS
dxlxdx
ISdB · 112
· 0
adx
ax
adxax xd
xlIxdxlI
ln · 2
lnln · 2
00
a
adlIad
aa
adlI
ln · lnln · 2
00
Relación flujo / autoinducción IL
dadadlI
aadlIIL
ln · ln · 00
Coeficiente de autoinducción por unidad de longitud: H/m ln 0
ad
lL
Calcular la inductancia por unidad de longitud de una línea bifilar de cables paralelos de radio a cuyos centros están separados en el vacío una distancia d (d >> a).
Campo magnético creado por cada conductor a la distancia x de su respectivo centro (ley de Ampère)
19
P5. RESOLUCIÓN CIRCUITO MAGNÉTICO
El contorno exterior del doble cuadro de la figura está formado por un material de permeabilidad relativa 5024 cuya longitud media (línea discontinua abcdefa) es 40 cm. El material del separador central tiene una permeabilidad relativa de 3024, y su longitud es 5 cm. El arrollamiento de la parte izquierda está formado por 100 espiras, por las que se hace circular una corriente de 1.2 A. Determinar el flujo magnético , el campo B y el campo H en las tres ramas del doble cuadro. (Pueden despreciarse las pérdidas de flujo).Datos: Permeabilidad magnética del vacío: 0 = 4·10-7 H/m. El área de sección recta del doble cuadro es S = 10 cm2.
Solución. Veamos el circuito magnético equivalente
A 2.1I
A 2.1I
a b c
def
a b c
def
cm 5
A 2.1I
A 2.1I
1 2 3
1RRefab
2RRbe 3RRbcde
SLRR efab
2/11
SLRR be
1
2
SLRR bcde
2/13
100N
INfmm ·
b
e
Rama Longitud Propiedades magnéticasH/m 10·31.65024 m 20.02/ 1 3
0 abcdefaefab LLL
H/m 10·80.30243 m 05.0 2 30
beLLH/m 10·31.65024 m 20.02/ 3 3
0 abcdefabcde LLL
Av/Wb 10 · 17.3 4
Reluctancias del circuito magnético
Av/Wb 10 · 17.3 4
Av/Wb 10 · 32.1 4
Rama 1 Rama 3
Ram
a 2
20
P5. RESOLUCIÓN CIRCUITO MAGNÉTICO /2
Av 120· INfmm
1 2 3
1RRefab
2RRbe 3RRbcde
SLRR efab
2/11
SLRR be
1
2
SLRR bcde
2/13
INfmm ·
b
e
Av/Wb 10 · 17.3 4
Reluctancias del circuito magnético
Av/Wb 10 · 17.3 4
Av/Wb 10 · 32.1 4
Asociación de reluctancias en paralelo R2//R3
1
2
1RRefab
INfmm ·
b
e
32
3232
·//RR
RRRR
321
Av/Wb 10 · 30.9 3
Reluctancia equivalente del circuito: serie + paralelo R1 + (R2//R3)
Fuerza magnetomotriz:
Ecuación del circuito: 3211 // · RRRfmm 3211 // RRR
fmm
Wb10 · 93.2 3
Flujo en el bobinado:
Cálculos de flujo en ramas 2 y 3: hay un “divisor de flujo” similar al divisor de corriente en un circuito eléctrico.
3
2R 3R
1
1
12
322
//
RRR 22321 ·// · RRR
13
323
//
RRR 33321 ·// · RRR
Wb10 · 07.2 3
Wb10 · 59.8 4
21
a b c
def
A 2.1I
A 2.1I
100N1
2 3
Wb10 · 93.2 31
Wb10 · 07.2 32
Wb10 · 59.8 43
Cálculos de campos B S
B
SB 1
1
SB 2
2
SB 3
3
T 93.2
T 07.2
T 86.0
Campos B en el interior
Cálculos de campos H BH
1
1BH
2
2BH
3
3BH
A/m 87.463
A/m 51.544
A/m 13.136
1B
2B3B
1H
2H3H
a b c
def
Comprobación de Ampère bucle izquierdo, camino efabe
A/m 120·· 21 LHLH
m 05.0 m 20.0 LL be efab bcde
(hay fmm)A 2.1I
A 2.1I
Comprobación de Ampère bucle derecho, camino bcdeb
0·· 23 LHLH (no hay fmm)
Comprobación de Ampère bucle exterior, camino efabcde
A/m 120·· 31 LHLH (hay fmm)
23 m 10S
P5. RESOLUCIÓN CIRCUITO MAGNÉTICO /3
BIBLIOGRAFÍA
LIBROS1. Kraus J.D. Electromagnetismo, 3ª edición. Caps. 5 y 6. McGraw-Hill2. Wangsness R.K. Campos electromagnéticos. Cap. 20. Limusa.3. Cheng D.K. Fundamentos de electromagnetismo para ingeniería. Cap. 5. Addison-Wesley.4. Ulaby F.T. et al. Fundamentals of Applied Electromagnetics. Chapter 5. 6th Ed. Prentice-Hall.
http://www.uclm.es/profesorado/ajbarbero/EMO2.htm
RECURSOS EN LA RED
http://scienceworld.wolfram.com/physics/topics/Electromagnetism.html
22
http://laplace.us.es/wiki/index.php/Materiales_magn%C3%A9ticos