1

PROBLEMASPROPIEDADES MAGNÉTICAS DE LA MATERIA

Magnetismo

Electricidad

y

Antonio J BarberoDepartamento de Física Aplicada

UCLM

2

H

M

Campo magnético aplicado

Imanación del material

Material imanado hasta saturación por alineación

de dominios

El material ferromagnético sigue una curva no lineal cuando se

imana desde campo cero

El ciclo de histéresis muestra que la imanación de un material ferromagnético depende de su

historia previa. Una vez se ha llevado el material a saturación el campo aplicado H puede ser

reducido a cero pero el material retiene buena parte de su imanación (“recuerda su historia”).

Cuando el campo magnético aplicado cae a cero, sigue existiendo magnetismo remanente (esto tiene utilidad para

almacenamiento magnético de datos)

El campo magnético aplicado debe invertirse y alcanzar un valor llamado

campo coercitivo para que la imanación vuelva a ser nula

Saturación en sentido opuesto

HISTÉRESIS MAGNÉTICA

En el eje de ordenadas puede representarse bien la imanación M o bien el campo B

INTRODUCCIÓN

Magnetismo

Electricidad

y

3

Líneas de campo B

MBH

0

Líneas de campo H

0B

H

H

M

0B

En el espacio libre

Dentro del material ferromagnético

MATERIALES FERROMAGNÉTICOS. LÍNEAS DE CAMPO

M

Magnetismo

Electricidad

y

INTRODUCCIÓN (2)

4

ESFERA FERROMAGNÉTICA UNIFORMEMENTE IMANADA

zuMM 0Imanación

Z

MRm 3

34

R

r

sincos23 3

30 uurRMH re

3

sincos3

0 MuuMH ri

MMMHMB ii

000 3

23

sincos23 3

30

0 uurRMB re

Fuera de la esfera uniformemente imanada

El mismo campo que produciría un dipolo magnético centrado en la esferaMRm

3

34

Dentro de la esfera uniformemente imanada

Campos uniformes. El campo H tiene sentido opuesto a la imanación (campo desimanador)

Magnetismo

Electricidad

y

INTRODUCCIÓN (3)

5

Magnetismo

Electricidad

y

Líneas de campo B

Líneas de campo H

Z Z

zuMM 0Imanación

ESFERA FERROMAGNÉTICA UNIFORMEMENTE IMANADA (Cont)

INTRODUCCIÓN (4)

6

Dos conductores indefinidos coaxiales de radios a y b transportan corrientes iguales +I y –I (igual magnitud y sentidos contrarios). En un sector del volumen comprendido entre ambos existe un material lineal de permeabilidad , subtendidendo un ángulo (véase corte transversal en la figura). Se pide:

PROBLEMA 1

a) Los campos H y B entre ambos conductores si no existiese entre ellos ningún material magnético.b) Los campos H, B y M en la situación planteada en el enunciado.

a

b

Si no existiese ningún material magnético

r

Ampère: IldH

ld

H

Suponemos saliente la corriente del

conductor interno

a

b

u

rIH

2

u

rIB

20

IrHrH 20

Existiendo material magnético

a

b

rld

0H

ld

H

IldH

Las componentes del campo B normales a las superficies de separación de ambos medios han de ser continuas.

uBn

uBn

0

nn BB 0

HH 00

000 HBn HBn

Magnetismo

Electricidad

y

7

HH 00

IrHrH 20 IrHrH 2 0

00

r

IH 2 0

0

u

rIH

2 00

u

rIH

2 0

0

000 HB

u

rI

2 0

0

HB

ur

I 2 0

0

El campo B es el mismo en ambos casos

Imanación en el material magnético

MBH

0

HBM

0

ur

IM

2 0

0

PROBLEMA 1 (Continuación)

Magnetismo

Electricidad

y

8

r1

a b

I

Un filamento rectilíneo indefinido que transporta una corriente I es el eje de un tubo cilíndrico también indefinido, de radios interior y exterior a y b respectivamente, hecho de un material magnético lineal de permeabilidad relativa r. Determine:

PROBLEMA 2

a) Los campos H, B y M alrededor del filamento.b) Las corrientes de imanación en el tubo.

Cálculo de los campos: se distinguen tres regiones alrededor del filamento

Región 1. r1 < a Aplicamos el teorema de Ampère a una circunferencia centrada en el hilo de radio r1

IldH

1

u

Por la simetría del problema, el campo H está en cada punto en la dirección del unitario u

IrH 11 2 u

rIH

11 2

urIHB

1

0101 2

01 M

Región 2. a r2 b

r2

1. r1 < a2. a r2 b3. r3 > b

Dentro del material magnético

IldH

2 IrH 22 2

u

rIHB r

r

2

0202 2

u

rIH

22 2

20

22 MBH

ur

IM r

22 2

1

Magnetismo

Electricidad

y

9

Magnetismo

Electricidad

ya b

r1

r2

r3

I

Región 3. r3 > b

PROBLEMA 2 (Continuación)

u

IldH

3

IrH 33 2 u

rIH

33 2

u

rIHB

3

0303 2 03 M

Corrientes de imanaciónMJm

nm uMK

(A/m2) (A/m)

rz

zrzr

Mr

rMr

ur

Mz

Muz

MMr

uM 11

2

22 21)(r

IrfM r

Véase que en la región 2 la forma de M es

02 rM 02 zM

Los términos tachados con aspa son nulos porque M2 no tiene componentes r ni z.

El término tachado con flecha inclinada a la derecha es nulo porque la derivada de M2 respecto a z es cero.

El término tachado con flecha inclinada a la izquierda es nulo porque rM2 es constante y su derivada respecto a r es cero.

Véase que 0 MJm

No hay corrientes volumétricas de imanación

10

PROBLEMA 2 (Continuación)

Densidades de corrientes superficiales de imanación nm uMK

a b

I

En r2 = a rn uu

rr

narm uua

IuarMK

21)( 22

2

z

r ua

I 21

ruu

zu

Sobre la cara interna r2 = a

ruu

zu

Sobre la cara externa r2 = b

En r2 = b rn uu

r

rnbrm uu

bIubrMK

21)( 22

2

zr u

bI

21

Corrientes de imanación

Superficie interna I

aIaaI r

rm 1

21 2)(

Superficie externa I

aIbaI r

rm 1

21 2)(

Pregunta adicional: ¿podrían obtenerse los valores de los campos B2 y B3 usando el resultado recién obtenido?

Magnetismo

Electricidad

y

11

d

RNIldH

NIdHdRH dm 2

mB

dB

0 SdB

md HH 0

Un toroide de material magnético lineal de permeabilidad r = 100 tiene un radio medio R = 20 cm. El toroide tiene un entrehierro d = 1 cm y un bobinado de 500 espiras, por el que se hace circular una corriente de 1075 mA. Determine los campos B y H en el entrehierro.

PROBLEMA 3

N = 500

I = 1.075 A

Ecuación campo H

Los campos H y B están confinados en el interior del material y en el entrehierro, por la simetría del problema sus direcciones son tangentes a la circunferencia en todos los puntos de la misma.

material entrehierro

Ecuación campo B

En las paredes laterales del tubo el flujo de B es nulo, sólo hay flujo en las bases. Por tanto la condición de flujo nulo a través de la superficie cerrada da: md BB

NIdHdRH dm 2

dmrm HHH 00

NIdHdRH mrm 2

dRNIH

rm 12

dRNIHHH

r

rmrmd 120

dRNIHB

rdd 120

A/m 23925

T 030.0

B

B

B

H

H

HMagnetismo

Electricidad

ymd BB

12

R

MATERIAL LINEAL

MATERIAL FERROMAGNÉTICO

Un circuito magnético consiste en un toroide de radio medio R y sección recta S formado por dos sectores: 1. Un material ferromagnético imanado que cubre un ángulo , y cuya curva de desimanación se presenta en la figura adjunta, y 2. El resto del toroide formado por material magnéticamente lineal cuya permeabilidad relativa es r. Usando los valores numéricos dados en el apartado de datos, determine la imanación de los dos materiales.

S

-0,06 -0,05 -0,04 -0,03 -0,02 -0,01 0,000,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

B (T

)

0 H (T)

Datos: = 30º; r = 100; R = 20 cm

PROBLEMA 4

Magnetismo

Electricidad

y

13

Ecuaciones del circuito magnético (para H y para B)

0 ldH

(La trayectoria de integración para H es la línea punteada de radio igual al radio medio R)

MATERIAL LINEAL

R

MATERIAL FERROMAGNÉTICO

S

Datos: = 60º; r = 100; R = 20 cm

020 RHRH f Subíndice 0 para el material lineal; subíndice f para el ferromagnético

0H

fH

0H

0B

fB

0B

0BB f El campo B no tiene discontinuidades al pasar de un material a otro

20

fHH

0 SdB

Relación entre H0 y B0 en el material lineal

000 HB r

20f

rH

200

frf

HBB

20

r

f

f

HB

Relación entre Bf y Hf en el material ferromagnético

Esta es una relación lineal donde Bf se expresa en función de 0Hf, y el punto de corte de la misma con la curva de desimanación nos permitirá calcular la imanación del material ferromagnético (véase transparencia siguiente).

Valor numérico (véase que es independiente de R) 203/23/100

0

f

f

HB

PROBLEMA 4 (Continuación)

Magnetismo

Electricidad

y

14

ff HB 020

-0,06 -0,05 -0,04 -0,03 -0,02 -0,01 0,000,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

B (T

)

0 H (T)

(0, 0)

(-0.05, 1)

-0.044 T

0.89 T

T 044.00 fH

A/m 1050.3104044.0 4

7

fH

ff

f MB

H

0 f

ff H

BM

0

A/m 1043.71050.310489.0 44

7

fM

000 HBB rf 0

00 r

BH

A/m 1008.7104100

89.0 370

H

00

00 MBH

00

00 HBM

A/m 1001.71008.7

10489.0 53

7

PROBLEMA 4 (Continuación)

Magnetismo

Electricidad

y

15

Magnetismo

Electricidad

y

PROBLEMA 5

Una placa cuadrada de lado L y espesor e (L >>e) está uniformemente imanada en la dirección del eje Z (M0 A/m) y tiene en su centro un hueco de radio R. Determinar aproximadamente el campo magnético en el centro del hueco.

X

Y

ZL

LR

zuMM

0

e

Corriente de imanación volumétricaEl material imanado puede describirse en términos de corrientes

volumétricas y superficiales equivalentes

Corrientes superficiales de imanación

MJm

nm uMK

zuM 0

Puesto que la imanación es uniforme y no depende de las coordenadas, su rotacional es nulo y no hay densidad de corriente volumétrica.

0

En las superficies laterales externas de la placa cuadrada y en la superficie lateral interna del hueco aparecen corrientes que hay que calcular

(unitario normal a cada superficie)

16

X

Y

ZL

LR

zuMM

0

e

e

e

2/Lx

2/Ly

yu

xu 2/LxmK

2/LymK

yxzm uMuuMK Lx

002/

2/Lx

nm uMK Corrientes superficiales

Borde anterior

xyzm uMuuMK Ly

002/

2/Ly Borde lateral derecho

yxzm uMuuMK Lx

002/

2/Lx Borde posterior

Lados no representados en la figura

xyzm uMuuMK Ly

002/

2/Ly Borde lateral izquierdoPuesto que el espesor de la placa es mucho más pequeño que la longitud del lado, vamos a aproximar el campo magnético en el centro por el de una espira cuadrada de lado L que conduce en sentido antihorario una corriente eMIL 0

zL uL

eMB 00 22

Véase cálculo de este campo magnético aquí

Campo de la espira cuadrada:

PROBLEMA 5 (Continuación)

Magnetismo

Electricidad

y

17

PROBLEMA 5 (Continuación)

Z

ru

RmK

zuMM 0

La superficie lateral del hueco central equivale a una espira circular de radio R que lleva una corriente en sentido horario, ya que en este caso rn uu

uMuuMuMK rznm

00Corriente M0 e en sentido antihorario

Campo magnético en el centro de la espira circular (radio R)

zR uR

eMB

2

00

Campo magnético total en el centro de la espira:

zR uR

eMB

200

zL uL

eMB

00 22

zuRL

eMB

21

22 00

Esta aproximación solamente es válida en la medida que e sea lo bastante pequeño para considerar que la corriente es filamental.

Magnetismo

Electricidad

y

18

Magnetismo

Electricidad

y

RELUCTANCIA MAGNÉTICA

Reluctancia de un material magnético o de circuito magnético es la resistencia que opone al paso del flujo magnético. Cuando el material o circuito son uniformes se puede calcular como

SlR

Reluctancia (A/Wb o A v/Wb (amperios-vuelta/Wb)

Longitud (m)

Área sección

recta (m2)Permeabilidad

magnética(H/m)

La energía requerida para establecer un flujo magnético a través de un material es tanto mayor cuanto mayor es su reluctancia.

FUERZA MAGNETOMOTRIZLa fuerza magnetomotriz (fmm) es la causa que produce y mantiene el flujo a través de un circuito magnético. Para que exista flujo magnético es preciso que haya corrientes que lo originen por lo que la fuerza magnetomotriz se expresa en términos de intensidad: INfmm ·

I

I

espiras N

La fmm se expresa en Amperios·vuelta (Av)

FUERZA MAGNETOMOTRIZ y FLUJO MAGNÉTICO

· Rfmm

Fuerza magnetomotriz = Reluctancia · Flujo magnético

Analogía circuitos eléctricos

IRfem ·

fem = Resistencia · Intensidad

MAGNITUDES EN CIRCUITOS MAGNÉTICOS

19

Magnetismo

Electricidad

y

El contorno exterior del doble cuadro de la figura está formado por un material de permeabilidad relativa 5024 cuya longitud media (línea discontinua abcdefa) es 40 cm. El material del separador central tiene una permeabilidad relativa de 3024, y su longitud es 5 cm. El arrollamiento de la parte izquierda está formado por 100 espiras, por las que se hace circular una corriente de 1.2 A. Determinar el flujo magnético , el campo B y el campo H en las tres ramas del doble cuadro. (Pueden despreciarse las pérdidas de flujo).Datos: Permeabilidad magnética del vacío: 0 = 4·10-7 H/m. El área de sección recta del doble cuadro es S = 10 cm2.

Solución. Veamos el circuito magnético equivalente

A 2.1I

A 2.1I

a b c

def

a b c

def

cm 5

A 2.1I

A 2.1I

1 2 3

1RRefab

2RRbe 3RRbcde

SLRR efab

2/11

SLRR be

1

2

SLRR bcde

2/13

100N

INfmm ·

b

e

Rama Longitud Propiedades magnéticasH/m 10·31.65024 m 20.02/ 1 3

0 abcdefaefab LLL

H/m 10·80.30243 m 05.0 2 30

beLLH/m 10·31.65024 m 20.02/ 3 3

0 abcdefabcde LLL

Av/Wb 10 · 17.3 4

Reluctancias del circuito magnético

Av/Wb 10 · 17.3 4

Av/Wb 10 · 32.1 4

EJEMPLO

Rama 1 Rama 3

Ram

a 2

20

Magnetismo

Electricidad

yAv 120· INfmm

1 2 3

1RRefab

2RRbe 3RRbcde

SLRR efab

2/11

SLRR be

1

2

SLRR bcde

2/13

INfmm ·

b

e

Av/Wb 10 · 17.3 4

Reluctancias del circuito magnético

Av/Wb 10 · 17.3 4

Av/Wb 10 · 32.1 4

Asociación de reluctancias en paralelo R2//R3

1

2

1RRefab

INfmm ·

b

e

32

3232

·//RR

RRRR

321

Av/Wb 10 · 30.9 3

Reluctancia equivalente del circuito: serie + paralelo R1 + (R2//R3)

Fuerza magnetomotriz:

Ecuación del circuito: 3211 // · RRRfmm

Av/Wb 10 · 10.4 4

3211 // RRR

fmm

Wb10 · 93.2 3

Flujo en el bobinado:

Cálculos de flujo en ramas 2 y 3: hay un “divisor de flujo” similar al divisor de corriente en un circuito eléctrico.

3

2R 3R

1

1

12

322

//

RRR 22321 ·// · RRR

13

323

//

RRR 33321 ·// · RRR

Wb10 · 07.2 3

Wb10 · 59.8 4

EJEMPLO (Cont. 1)

21

Magnetismo

Electricidad

y

EJEMPLO (Cont. 2)

a b c

def

A 2.1I

A 2.1I

100N1

2 3

Wb10 · 93.2 31

Wb10 · 07.2 32

Wb10 · 59.8 43

Cálculos de campos B S

B

SB 1

1

SB 2

2

SB 3

3

T 93.2

T 07.2

T 86.0

Campos B en el interior

Cálculos de campos H BH

1

1BH

2

2BH

3

3BH

A/m 87.463

A/m 51.544

A/m 13.136

1B

2B3B

1H

2H3H

a b c

def

Comprobación de Ampère bucle izquierdo, camino efabe

A/m 120·· 21 LHLH

m 05.0 m 20.0 LL be efab bcde

(hay fmm)A 2.1I

A 2.1I

Comprobación de Ampère bucle derecho, camino bcdeb

0·· 23 LHLH (no hay fmm)

Comprobación de Ampère bucle exterior, camino efabcde

A/m 120·· 31 LHLH (hay fmm)

23 m 10S

22

PROBLEMA 5. Apéndice: campo magnético de un conductor rectilíneo en un punto arbitrario.

ldI

r

h

ru

Bd

90

sincos

20

4 rulIdBd r

El campo magnético debido a cada elemento de corriente en un punto como el indicado en el esquema tiene sentido entrante (a la derecha del conductor tiene sentido saliente, aunque esto no se muestra en la figura)

Cálculo del campo por Biot y Savart:

uIdlulId r

sen

Vector unitario perpendicular al plano de la figura, entrante a la izquierda y saliente a la derecha de la misma

uIdl cos

urIdl

cos4 2

0

tghl

dhdl 2cos

l

d

hhI

rIdldB cos

cos/cos/

4cos

4 22

20

20

coshr

dhI

rIdldB cos

4cos

40

20

Módulo dB

2

1

cos4

0

dhIB

ldI

h

ru

Bd

r1

2

120 sensen

4

hI 21

0 sensen4

hI

VOLVER

CASO PARTICULAR: En nuestro problema hay cuatro conductores formando un cuadrado de lado L por donde circula la corriente I = M0e, y se pide el campo en el centro, por lo que los ángulos 1 y 2 son ambos 45º. El valor de h es

2/Lh

2/Lh

El campo total esL

eML

eMBL

0000 22

22

22

2/44

(Sentido saliente)

Magnetismo

Electricidad

y