propiedades de los sistemas

PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS

3 de mayo

• PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS

SISTEMAS VISTOS COMO INTERCONEXIONES DE OPERACIONES

En términos matemáticos, un sistema puede verse como una interconexión de operaciones que transforma una señal de entrada en una señal de salida con propiedades diferentes de las de la señal de entrada.

Operador H denota la acción de un sistemaRepresentación en diagrama de bloques del

operador H.


La aplicación de una señal en tiempo continuo x(t) y en tiempo discreto x[n] en la entrada del sistema produce la señal de salida descrita:


El operador de corrimiento en el tiempo discreto : Denota un sistema que recorre la entrada x[n] en k unidades de tiempo para producir una señal salida igual a x[n-k]



Ejemplo: Considere un sistema en tiempo discreto cuya señal de salida y[n] es el promedio de los tres valores más recientes de la señal de entrada x[n]:

Formule el operador H para este sistema y en consecuencia, genere una representación de diagrama de bloques para él.



Solución:



Problema: Exprese el operador que describe la relación entrada-salida

En términos del operador de corrimiento en el tiempo S.

Solución:


Las propiedades de un sistema describen las características del operador H que representa al sistema.

Entre las propiedades más básicas de los sistemas tenemos:

Estabilidad Memoria Causalidad Invertibilidad Invariancia con el tiempo Linealidad


Estabilidad: Se dice que un sistema es estable de entrada acotada (BIBO – Bounded input, bounded output) si y sólo si toda entrada acotada origina una salida acotada.

La salida de tal sistema no diverge si la entrada no diverge.


Desde la perspectiva de ingeniería, es importante que un sistema de interés permanezca estable bajo todas las posibles condiciones de operación. Sólo en ese caso el sistema garantiza producir una salida acotada para una entrada acotada.

Los sistemas inestables suelen evitarse, a menos que algún mecanismo pueda encontrarse para estabilizarlos.


Ejemplo: Demuestre que el sistema de promedio móvil es BIBO estable.

Solución: Suponga

Puede escribirse:


(

Consecuentemente el valor absoluto de la señal de salida y[n] siempre es menor que el valor absoluto de la señal de entrada x[n] para todo n, lo cual demuestra que el sistema de promedio móvil es estable.


Ejercicio: Considere un sistema en tiempo discreto cuya relación-entrada salida está definida por:

Donde r>1. Demuestre que este sistema es inestable.


Memoria: Un sistema posee memoria si la señal de salida depende de los valores pasados de la señal de entrada. La extensión temporal de los valores pasados sobre los cuales la salida depende define qué tan lejos se extiende la memoria en el pasado.

En contraste, se dice que un sistema no tiene memoria si su señal de salida depende sólo del valor presente de la señal de entrada.


Ejercicio: ¿Qué tanto la memoria del sistema promedio móvil descrito por la relación entrada-salida

Se extiende en el pasado?


Causalidad: Un sistema será causal si el valor presente de la señal de salida depende sólo de los valores presente y/o pasado de la señal de entrada.

En contraste, la señal de salida de un sistema no causal depende de los valores futuros de la señal de entrada.

Es causal

No es causal

Invertibilidad: Un sistema es invertible si la entrada del sistema puede recuperarse de la salida del sistema

Considere que la señal de salida y(t) se aplica a un segundo sistema en tiempo continuo representado por el operador



Donde I denota el operador identidad.El operador se denomina el operador inverso, y el sistema asociado recibe el nombre de sistema inverso.

La propiedad de invertibilidad es de particular importancia en el diseño de sistemas de comunicación.


Ejercicio: Un inductor se describe por medio de la relación entrada-salida

Encuentre la operación que representa el inverso

Respuesta:


Invariancia con el tiempo: Un sistema es invariante con el tiempo si un retraso de tiempo o un adelanto de tiempo de la señal de entrada lleva a un corrimiento en el tiempo idéntico en la señal de salida.

Esto implica, que un sistema invariante con el tiempo responde en forma idéntica sin importar cuando se aplica la señal de entrada.

De otro modo se dice que el sistema es variante con el tiempo.


Considere un sistema en tiempo continuo cuya relación entrada-salida se describe:

Suponga x(t) se recorre en el tiempo to segundos:

Sea yi(t) la señal de salida producida por la entrada x(t-to):


Ahora suponemos a y0(t) representa la salida del sistema original corrido en el tiempo to segundos:


El sistema es invariante en el tiempo si las salidas yi(t) y yo(t) son iguales para cualquier señal de entrada idéntica x(t):

Para que un sistema descrito por el operador H sea invariante con el tiempo, el operador del sistema H y el operador de corrimiento en el tiempo deben conmutar entre sí para todo to.


Linealidad: Se afirma que un sistema es lineal si satisface el principio de superposición.

Es decir, la respuesta de un sistema lineal a una suma ponderada de señales de entrada es igual a la misma suma ponderada de las señales de salida, siendo asociada cada señal de salida con una señal de entrada particular que actúa sobre el sistema independientemente de todas las demás señales de entrada.


Sea el operador H un sistema en tiempo continuo:

Si el sistema es lineal, se puede expresar la salida como:

BIBLIOGRAFIA[1]Haykin Simon, Van Veen Barry. “Señales y Sistemas”. Limusa

Wiley. 2001.[2]MJ Roberts. “Señales y Sistemas”. Mc Graw Hill.

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