Análisis de Propiedades sistemas multivariables (lineales)

Antonio Sala Piqueras

Notas sobre control de sistemas complejos

DISA-AI² Universitat Politécnica de València

Video-presentación disponible en: http://personales.upv.es/asala/videos/propstodo.html

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Análisis de propiedadesIntroducción, JustificaciónEquilibrioEstabilidadGananciaTiempo de EstablecimientoOscilacionesRespuesta en frecuenciaPropiedades en bucle cerrado.

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Ingeniería de Control (SEA). (3) Análisis de propiedades. A. Sala. DISA-UPV

Workflow ingeniero de controlFase de proyecto:◦ Modelar un sistema◦ Analizar sus propiedades (estáticas,

dinámicas)Proceso ya existente◦ Analizar sus propiedades

experimentalmente◦ Compararlas con modelo (si existe) para

poder evaluar la validez de éste para futuras simulaciones.

Si propiedades no son correctas:◦ Rediseñar el proceso◦ Introducir instrumentación de control

3 A. Sala. DISA-UPV

Conceptos previos Se supone conocidos conceptos de sistemas y

señales y modelado de sistemas físicos… Sistemas y Señales http://personales.upv.es/asala/videos/mod1ss.html

Modelos bien planteados http://personales.upv.es/asala/videos/mod2.html

Modelado sistemas físicos en Ecuaciones algebraico-diferenciales y paso a EDO http://personales.upv.es/asala/videos/mod3dae.html

Circuito Electrico con 2 fuentes de alimentacion http://personales.upv.es/asala/videos/cir1.html

Sistema engranajes y poleas. Modelado y Función de transferencia http://personales.upv.es/asala/videos/ep1.html

Sistema engranajes y poleas: representación en variables de estado http://personales.upv.es/asala/videos/ep2.html

7- Representación en variables de estado y respuesta temporal de un transformador no ideal http://personales.upv.es/asala/videos/tni.html

Simulación radiador no lineal y comparación con modelo linealizado http://personales.upv.es/asala/videos/lin1.html

Y de ecuaciones diferenciales, exponencial, función de transferencia, sistemas de primer y segundo orden, diagramas de bloques.

4 A. Sala. DISA-UPV

EquilibrioDisponemos de

dx/dt=f(x,u) y=h(x,u) Ecuaciones equilibrio

0=f(xeq,ueq) yeq=h(xeq,ueq)Linealizamosdx/dt =Ax+Bu y=Cx+DuA=df/dx evaluado en xeq,ueqB=df/du, C=dh/dx, D=dh/duMdT G(s)=C(sI-A)-1B+D

5 A. Sala. DISA-UPV

Análisis de Propiedades de un sistema linealEstabilidadGananciaTiempo de EstablecimientoOscilacionesRespuesta en Frecuencia

6A. Sala. DISA-UPV

EstabilidadDeterminado por los POLOS del sistema◦ MdT: raíces del denominador

El problema de la multiplicidad

Tiene 1, 2, 3 o 4 polos?

◦ Representación interna: valores propios de A de la realización mínima eig(minreal(ss(G)))◦ Realiz. no mínima: un “polo” aparece

también en el numerador de TODAS las fdt de la matriz y se cancela.

7A. Sala. DISA-UPV

EstabilidadSistema continuo:

Estable: polos ESTRICTAMENTE semiplano izquierdo

(in)estabilidad marginal: polos de parte real igual a cero (continuo),

8A. Sala. DISA-UPV

EstabilidadSistema Discreto:

polos estrictamente dentro círculo radio unidad (módulo < 1)

(in)estabilidad marginal: polos de parte real cero (continuo), polos de módulo 1 (discreto)

9A. Sala. DISA-UPV

Estabilidad discretoX(k+1)=Ax(k)X(1)=Ax(0)X(2)=Ax(1)=A^2*x(0)…X(k)=A^k*x(0)

A=inv(V)*diag*VA^2=inv(V)*diag*V*inv(V)*diag*V

A^k=inv(V)*diag^k*VA. Sala. DISA-UPV 10

GananciaContinuo s=0, G(0), C*inv(-A)*B+DDiscreto z=1, G(1), C*inv(I-A)*B+DGanancia máxima/ mínima

– Valores Singulares [teorema http://personales.upv.es/asala/videos/ svd1.html

; propiedades de utilidad http://personales.upv.es/asala/videos/ svd2.html]

◦ Calcular la raíz cuadrada del máximo/mínimo valor propio de ATA comando svd en Matlab.

11A. Sala. DISA-UPV

Ganancia (ejemplo)El sistema con ganancia:◦ Gg=[1 -2;-4 4]

Tiene una ganancia máxima/mínima que se obtiene con:

sqrt(eig(gg'*gg)) 0.6615 6.0467

En efecto:◦ Gg*[-0.68;0.74]=[-2.15 ; 5.65], ganancia 6◦ Gg*[-0.74;-0.67]=[-0.62;0.24], ganancia 0.66

A. Sala. DISA-UPV 12

Tiempo de establecimientoContinuo: Se calcula con la parte real

de los polos (r), es 3/r (5%) o 4/r (2%).Discreto: x(k+1)=r*xk resulta en xk=x0rk

rk=0.05 resulta en -3/ln(r), 0.02: -4/ln(r).

Es aproximado (fórmula 1er orden). Revisar en simulación.

13A. Sala. DISA-UPV

OscilacionesEl sistema es oscilatorio si

existen polos complejosContinuo: La parte imaginaria de los

polos es la frecuencia de las oscilaciones

Discreto: la frecuencia de las oscilaciones se obtiene del argumento de los polos (detalles omitidos por brevedad)

Revisar temas asignaturas previas…

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Respuesta en FrecuenciaSe debe determinar ◦ G(jw) en sistemas continuos◦ en sistemas discretos

Es la “matriz de respuesta en frecuencia”

Ganancia máxima/mínima en frecuencia: diagrama de valores singulares ◦ Comando sigma en Matlab

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Otras propiedadesNorma 2 de un sistema:

– raíz de la suma de varianzas (desv. Típica “media”) cuando entrada es ruido blanco de vza 1.

– Integral de la norma de respuesta impulsional; raíz de integral del módulo² de resp. En frec.

Norma infinito de un sistema:– Pico de la respuesta SVD en

frecuencia.

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Otras propiedadesCEROS de un sistema MIMO

– Raices de la ecuación

det([sI-A B; C D])=0 o valores que G(s) pierde rango

– Entradas no nulas exponenciales que causan salida nula.

– Puede haber ceros y polos en el mismo sitio sin cancelarse (diferentes “direcciones”)

– Si son de parte real >0, respuesta inicial inversa, limitaciones en inversión/desacoplamiento, etc. 17 A. Sala. DISA-UPV

EjemploRepr. Interna sistema mecánico: 2

masas, 2 muelles, 2 fricción, entradas x0 y F.

Analizar propiedades, respuesta en frecuencia.

18A. Sala. DISA-UPV

Propiedades en bucle cerradoDiagrama de bloquesIgual que en caso monovariable,

pero el ORDEN de los productos es importante.

Una vez simplificado, se obtienen las propiedades como en bucle abierto.

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