programación de un método para encontrar las ybus en una red de n nodos,

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL.

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y

ELÉCTRICA. UNIDAD ZACATENCO.

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA.

10

PROYECTO 1. Formación de matriz de admitancia nodal Ybus.

LABORATORIO DE COMPUTACIÓN APLICADA A SISTEMAS A

SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA.

PROFR: DR. GERMÁN ROSAS ORTIZ

ALUMNO: NÁJERA GUTIÉRREZ WILLIAMS.

BOLETA: 2007301998.

GRUPO: 9E2M.

MEXICO DF, 17 DE NOVIEMBRE 2010.


2

Contenido.

ÍNDICE DE FIGURAS. ............................................................................................................................................. 3

ÍNDICE DE TABLAS. ............................................................................................................................................... 3

OBJETIVOS...................................................................................................................................................................... 4

RESUMEN. ...................................................................................................................................................................... 5

INTRODUCCIÓN TEÓRICA. ...................................................................................................................................... 6

FORMACIÓN DE MATRICES PARA ESTUDIOS ELÉCTRICOS. ................................................................ 6

FORMACIÓN DE LA MATRIZ DE ADMITANCIAS [Y]. ................................................................................ 6

APLICACIÓN DE LA LEY DE CORRIENTES DE KIRCHHOFF. .................................................................. 6

FORMACIÓN POR INSPECCIÓN DE LA MATRIZ DE ADMITANCIAS. ............................................... 11

FORMACIÓN DE LA MATRIZ DE ADMITANCIAS POR TRANSFORMACIONES SINGULARES. 13

FORMACIÓN DE LA MATRIZ DE IMPEDANCIAS Zbus. ......................................................................... 16

INVERSIÓN DE MATRICES POR MÉTODO DE GAUSS-JORDAN. ....................................................... 19

DESARROLLO. ............................................................................................................................................................ 21

EJEMPLO 1. ............................................................................................................................................................. 24

EJEMPLO 2. ............................................................................................................................................................. 27

EJEMPLO 3. ............................................................................................................................................................. 31

CONCLUSIONES. ........................................................................................................................................................ 35

REFERENCIAS. ........................................................................................................................................................... 36


3

ÍNDICE DE FIGURAS. Figura 1.Red eléctrica de tres nodos. 7

Figura 2. Nodo uno mostrando las corrientes que salen y entra a él. 7

Figura 3.Nodo dos mostrando las corrientes que entran y salen de él. 8

Figura 4.Nodo tres mostrando las corrientes que entran y salen del nodo 3. 9

Figura 5.Red para formar la matriz de admitancias por transformaciones singulares. 13

Figura 6.Red orientada. 14

Figura 7.Sistema de dos nodos. 17

Figura 8.Circuito para calcular z11 18

Figura 9.a) Circuito original, b) circuito de nodos.. 24

Figura 10.a) Equivalente de Thevenin, b) equivalente de Norton. 26

Figura 11.Circuito de análisis. 27

Figura 12.Circuito de nodos para análisis. 28


Figura 14.Circuito de análisis. 31

Figura 15.Circuito de nodos para análisis. 31


ÍNDICE DE TABLAS. Tabla 1.Información de interconexión de la red. 11

Tabla 2.Valores de incidencia de corrientes. 14

Tabla 3.Matriz B resultante. 14

Tabla 4.Matriz de incidencias. 15

Tabla 5.Valores de impedancia para el circuito de análisis. 24

Tabla 6.Matriz de incidencia. 25






4

OBJETIVOS.

Conocer las diversas metodologías para el cálculo de la matriz Ybus en sistemas eléctricos de potencia.

Desarrollar un algoritmo para la obtención de Ybus para el análisis de redes.

Realizar un algoritmo para la obtención de la inversa de una matriz por medio de MatLab.


5

RESUMEN.

El presente trabajo se centra en la obtención de la matriz Ybus en tres redes de sistemas

eléctricos de potencia. El método utilizado para la solución de dichas redes es el de

transformaciones singulares.

Para conocer como se obtiene la Ybus a lo largo del desarrollo de este trabajo, se inicia con

una introducción teórica, describiendo conceptos como formación de matrices para estudios

eléctricos, matriz de admitancias describiendo los 4 tipos de obtención de la Ybus. Sin

embargo, se hace énfasis en el método de transformaciones singulares, el cual es utilizado

para la solución de redes en este trabajo, por lo que los demás métodos son con fines

introductorios. Se define también como obtener la matriz de impedancias Zbus para obtener

otros parámetros de interés dentro de la red de análisis.

Durante el desarrollo se analizan tres redes propuestas en el proyecto. Se presenta el código

de Matlab utilizado para la solución. La descripción de los códigos principales empleados se

realiza solamente en el archivo .m (anexo a la carpeta .zip del correo) debido a la falta de

espacio en las hojas de Word. A lo largo de cada solución de red se describe con texto e

imágenes el método empleado hasta llegar a los resultados por el algoritmo de Matlab.

Se cierra el trabajo con un aglomerado de conclusiones obtenidas durante la realización de

este proyecto.


6

INTRODUCCIÓN TEÓRICA.

FORMACIÓN DE MATRICES PARA ESTUDIOS ELÉCTRICOS. En el análisis de sistemas eléctricos es necesario disponer de todos los datos para llevar a

cabo una gran cantidad de estudios que permiten determinar sus condiciones de operación

tanto en estado estacionario como en estado transitorio. Para ello es importante conocer las

matrices de impedancias y admitancias de la red, debido a que así es posible, mediante

estudios de flujos de potencia calcular los voltajes de cada nodo de la red, así como la potencia

real y reactiva que circula a través de los sistemas de transmisión, o al llevar a cabo un estudio

de corto circuito, para determinar la corriente en puntos determinados con la finalidad de

coordinar adecuadamente los dispositivos de protección y aislar los puntos fallados.

En el estudio de sistemas eléctricos, es indispensable conocer las impedancias de secuencia de

cada uno de los componentes que forman parte de él, esto es; transformadores, generadores,

grandes motores, así como la impedancia de los sistemas de transmisión y distribución. Todos

estos datos son necesarios debido a que cada uno de ellos forma parte de las matrices de

impedancias y admitancias de la red y realizar así una gran cantidad de estudios en la red

eléctrica. Se presentan diferentes formas de calcular la matriz de impedancias y la matriz de

admitancias de una red eléctrica.

FORMACIÓN DE LA MATRIZ DE ADMITANCIAS [Y]. La matriz de admitancias del sistema eléctrico se nombra de diferentes formas, tales como

Ybus, Ybarra, o Ynodo, en realidad no interesa tanto el nombre, lo importante es tener pleno

conocimiento de cómo formarla y en que estudios es utilizada. Por el momento se le

denominara simplemente la matriz de ij, admitancias Y, y los elementos de la misma como y

siendo i, y j la fila y columna correspondiente de la matriz. La matriz de admitancias puede

formarse de diferentes maneras, entre las cuales se encuentran las siguientes:

1.- Aplicación de la ley de corrientes de Kirchhoff,

2.- Por inspección de la red,

3.- Por la aplicación de matrices de transformaciones singulares.

4.- Aplicación de un algoritmo de formación de la matriz de admitancias.

Se analizan a continuación los tres primeros de ellos.

APLICACIÓN DE LA LEY DE CORRIENTES DE KIRCHHOFF. Se aplica inicialmente este método debido a que la ley de corrientes de Kirchhoff es el

concepto importante para la formación de la matriz de admitancias de la red [1, 2, 3]. La ley de

corrientes establece que:

La suma algebraica de las corrientes que entran a un nodo es igual a cero.

Se expresa matemáticamente por medio de la ecuación siguiente:


7

ik

n

k=1= 0

Así, en una red de tres nodos más el de referencia como la ilustrada en la Figura 1 en la que se

han etiquetado todos los puntos nodales, se tiene la matriz de admitancias que a continuación

se describe:

Figura 1.Red eléctrica de tres nodos.

Transformando las fuentes de voltaje en serie con sus impedancias a fuentes de corriente en

paralelo con sus respectivas impedancias, y se analiza cada nodo por separado, se tiene para

el nodo uno la representación mostrada en la Figura 2.

Figura 2. Nodo uno mostrando las corrientes que salen y entra a él.

En la Figura 2, se han dibujado las corrientes que entran y salen del nodo, haciendo uso de la

notación con doble subíndice para indicar que el primero tiene un potencial mayor que el

segundo y que la corriente se supone que fluye en la dirección mostrada en la Figura del nodo

uno con los demás nodos con los cuales tiene conexión. Así, la aplicación de la ley de

corrientes de Kirchhoff aplicada al nodo uno permite establecer la ecuación siguiente:


8

Recordando que el fasor corriente I se expresa también como la diferencia de potencial V

sobre la impedancia entre el nodo i y el nodo j, la ecuación anterior se escribe de la forma

siguiente:

Factorizando términos, se tiene que:

Aplicando la ley de corrientes al nodo dos, como se muestra en la Figura 3.

Figura 3.Nodo dos mostrando las corrientes que entran y salen de él.

Se tiene que:

Que es igual a:

Factorizando términos, se establece la ecuación:

Para el nodo tres, después de transformar la fuente de voltaje en serie con la impedancia de

j0.8, a una fuente de corriente en paralelo con la misma impedancia, se tiene la representación

mostrada en la Figura 4.


9

Figura 4.Nodo tres mostrando las corrientes que entran y salen del nodo 3.

Aplicando la ley de corrientes de Kirchhoff, se tiene la ecuación:

En términos de voltajes e impedancias es igual a:

Agrupando términos semejantes, se tiene:

Las variables a determinar son los voltajes de los nodos 1,2, y 3, por lo que se pueden

relacionar matricialmente de la forma siguiente:

En forma compacta se acostumbra a escribir la ecuación anterior de la forma:

En dónde:

o [Y] Es la matriz de admitancias.

o V es el vector de voltajes nodales.

o I es el vector de corrientes aplicadas a cada nodo.


10

Así, para el sistema de tres nodos de la Figura 1, se puede expresar en general de la forma

siguiente:

Los elementos y de la matriz de admitancias de la ecuación (13), son conocidos como:

Admitancias propias cuando i = j, esto es; y11, y22, y33, y44.

Admitancias mutuas cuando i ≠ j, esto es; y12, y13 , y21 y23 , y31 , y32

Sustituyendo valores en la matriz se tiene:

Resolviendo por Matlab, se tiene:

a = [-5.5i 2.5i 2i;2.5i -8i 5i;2i 5i -8.25i]

a =

0 - 5.5000i 0 + 2.5000i 0 + 2.0000i

0 + 2.5000i 0 - 8.0000i 0 + 5.0000i

0 + 2.0000i 0 + 5.0000i 0 - 8.2500i

» b = [0.6-1.0392i;0;0.2778-1.5757i]

b =

0.6000 - 1.0392i

0

0.2778 - 1.5757i

» a1 = inv(a)

a1 =

0 + 0.4460i 0 + 0.3331i 0 + 0.3100i

0 + 0.3331i 0 + 0.4500i 0 + 0.3535i

0 + 0.3100i 0 + 0.3535i 0 + 0.4106i

» v=a1*b

El vector solución es: v =

0.9519 + 0.3537i

0.9032 + 0.2981i

0.9691 + 0.3001i


11

FORMACIÓN POR INSPECCIÓN DE LA MATRIZ DE ADMITANCIAS. Los sistemas eléctricos reales normalmente están formados por un considerable número de

nodos, por lo que no es cómodo establecer para cada uno la ley de corrientes de Kirchhoff y

encontrar una relación semejante a las ecuaciones (4), (6) u (8), en su lugar se acostumbra a

tener la información de la red como se muestra en la tabla 1.

Tabla 1.Información de interconexión de la red.

En la tabla 1, se muestra toda la información necesaria de la red para la formación sistemática

de admitancias, la cual es aplicable independientemente del tamaño del sistema. El método de

formación de la matriz de admitancias se denomina así, debido a que únicamente es necesario

observar detenidamente la red o los datos para determinar el valor de los elementos de [Y] de

la ecuación (13).

El método es aplicable de la forma siguiente:

Analizando la tabla 1, sin considerar el nodo de referencia (0), la admitancia propia del nodo 1

está formada por los elementos 1, 2, y 3. De tal manera que:

De igual manera, para el nodo dos, la admitancia y está formada por los elementos 2, 4, y 5, y

es igual a:

Finalmente, para el nodo tres, su admitancia está formada por los elementos 3, 5, y 6, y es

igual a:

Los elementos y de la matriz de admitancias se obtienen por la observación de los datos en la tabla 1, basta con analizar las columnas P y Q sin considerar el elemento cuando Q=0. Así,

para el elemento dos en el que P=1 y Q=2, se tiene que:


12

En el elemento tres, se tiene P=1, y Q=3, por lo que:

En el elemento cinco, se tiene P=2, y Q=3, por lo que:

El signo negativo en las admitancias es debido a que la corriente entre el nodo i y el nodo j,

queda determinada por la diferencia del voltaje del nodo i y el nodo j, de donde aparece el

término -Vj/Zij. La matriz de admitancias pertenece a una red bilateral lineal en donde se

cumple que; y21 =y12, y 31=y13 , y32= y23.

Una forma sistemática y rápida para encontrar la matriz de admitancias por inspección a

partir de los datos de la tabla 1 es la siguiente:

Para los elementos de la diagonal principal, la admitancia propia es igual a:

En dónde:

Ei Es en número de elementos conectados al nodo i,

Zk es la impedancia conectada al nodo i,

Yii y es la admitancia propia del nodo i.

En palabras ”La admitancia propia de cada nodo i de la matriz [Y], es igual a la suma de los

inversos de las impedancias de los elementos conectados a ese nodo”.

Las admitancias colocadas fuera de la diagonal principal de la matriz de admitancias se

obtienen a partir de la relación siguiente:

En dónde:

o Los nodos P y Q deben ser diferentes al nodo de referencia,

o P es el índice del nodo de inicio,

o Q es el nodo final.

o yij es la admitancia mutua entre el nodo i y el nodo j .

De esta forma, la ecuación establece que:” La admitancia mutua entre el nodo i y el nodo j, es

igual al negativo del inverso de la impedancia entre eso nodos1. ***


13

FORMACIÓN DE LA MATRIZ DE ADMITANCIAS POR TRANSFORMACIONES

SINGULARES. Una forma alternativa de encontrar la matriz de admitancias de un sistema eléctrico es por

medio de la formación de una matriz transformación. Esta matriz tiene la particularidad de no

tener inversa, de donde proviene el nombre del método. Para formar esta matriz de

transformación, únicamente se hace uso de la interconexión de la red asignando una

referencia al nodo de envió y al nodo de recepción, mismos que son designado de manera

convencional por quien utiliza el método.

Para formar la matriz de admitancias por transformaciones singulares, se requiere formar la

matriz A, y la matriz de admitancias primitiva, mismas que se utilizan en la ecuación

siguiente2:

Siendo:

[Ybus] La matriz de admitancias nodales,

[A] La matriz de incidencia elemento bus,

[AT ] La transpuesta de la matriz de incidencia elemento bus,

[y prim ] La matriz de admitancias primitiva (el inverso de la impedancia de cada

elemento).

La matriz [y prim] y la matriz [A], se generan de la manera que se describe a continuación.

Tomando como referencia la red 3de la Figura 6, misma que se repite por conveniencia en la

Figura 1. La matriz A, se determina formando a partir de la red de la siguiente figura una

gráfica orientada en la que se numeran los nodos y se etiquetan los elementos de una manera

sistemática, misma que se describe a continuación.

Figura 5.Red para formar la matriz de admitancias por transformaciones singulares.

Primero, se genera la gráfica orientada a partir de la red original, misma que se muestra en la

siguiente figura.


14

Figura 6.Red orientada.

La orientación de la red generalmente se hace tomado como punto de partida el nodo de

referencia. Se inicia con el nodo (0), en este caso y se numeran progresivamente los elementos

conectados a los demás nodos. El inicio de la numeración de los elementos es arbitrario, pero

es importante seguir el etiquetado de los elementos siguiendo el orden el que se encuentran

numerados los nodos. En la siguiente figura, se muestra el numerado de los elementos para

formar la matriz de incidencia elemento nodo.

A partir de la gráfica orientada y tomando como referencia que si un elemento sale de un nodo

le asignamos un 1, y si entra al nodo le asignamos un –1, formamos una tabla que relaciona

todos los nodos y elementos de la red. En la tabla 3, se muestra la incidencia de los elementos

a cada nodo de la red.

Tabla 2.Valores de incidencia de corrientes.

Con la tabla 3, se forma la matriz de incidencia elemento nodo:

Tabla 3.Matriz B resultante.


15

La matriz de incidencia elemento bus, se obtiene cancelando la columna del nodo de

referencia, y es la siguiente:

Tabla 4.Matriz de incidencias.

Expresada en forma matricial, se tiene entonces:

La transpuesta de la matriz A, es:

En este caso la matriz y será de 6x6, e igual a:

Realizando la multiplicación de matrices se tiene:


16

Multiplicando por la matriz transpuesta se tiene:

En esta ecuación se observa que los elementos diagonales de la matriz resultante son la suma

del inverso de las impedancias conectadas a cada nodo, de la misma manera en la que se

suman los elementos en la formación por inspección de la red como se hizo en el párrafo

anterior. La matriz Yprim considera el inverso de las impedancias individuales de cada

elemento de la red, y dependiendo de la cantidad de ellos en el sistema, será el orden de esta.

Generalmente, es esta una de las desventajas de la formación de la matriz de admitancias

nodales por medio de las transformaciones singulares. Existe un método que es más adecuado

cuando se trata de incluir el efecto de dos líneas de transmisión que se encuentran acopladas

magnéticamente. Este método es conocido como formación por algoritmo de la matriz de

admitancias.

FORMACIÓN DE LA MATRIZ DE IMPEDANCIAS Zbus. La formación de la matriz de impedancias de una red eléctrica es importante para realizar una

gran cantidad de estudios y conocer su comportamiento bajo diferentes condiciones de

operación. Es importante para determinar las corrientes de corto circuito que se presentan en

diferentes partes de la red y establecer las características de los interruptores que protegerán

al sistema ante una eventualidad como estas. Al igual que la matriz de admitancias, existen

varias maneras de formar la matriz de impedancias, entre ellas se encuentran:

PROYECTO 1. Simulación de disturbios en Sistemas Eléctricos de Potencia.

17

1. Formación de la matriz de impedancias Z por inversión de la matriz de admitancias,

2. Formación de la matriz de impedancias Z por reducción de la red,

3. Formación de la matriz de impedancias Z por algoritmo,

4. Formación de la matriz de impedancias Z por inversión de columna de Ybus.

En la formación de la matriz de impedancias por inversión de la matriz Ybus, simplemente se

hace uso de algún paquete comercial tal como Matlab, Mathcad, y se obtiene Zbus. Este método

no es muy adecuado sobre todo cuando la matriz de admitancias es grande, debido a la gran

cantidad de datos que se deben de procesar y a la lentitud misma del método de inversión.

Este método se aplica cuando la matriz de admitancias es pequeña principalmente.

El segundo método es principalmente académico debido a que con este se conocen los

fundamentos

bus importantes que hay en la formación de la matriz Z , y la utilidad que tiene cada uno de los

elementos cuando se analiza un sistema eléctrico de potencia. Para aplicar este método

inicialmente se va hacer uso de un sistema de dos nodos, como el mostrado en la figura.

Figura 7.Sistema de dos nodos.

El sistema de ecuaciones que se genera a partir de la formulación nodal es el siguiente:

Misma que en términos de impedancia se puede escribir de la forma:

En forma compacta se escribe como:


18

Siendo:

Zbus la matriz de impedancias,

Zbus el vector de corrientes, y

Zbus el vector de voltajes de nodo.

Que en forma desarrollada es igual a:

Las impedancias z y z reciben el nombre de impedancias propias, y las impedancias Z21y Z21

reciben bus el nombre de impedancias mutuas3. Para determinar los valores de las

impedancias de la matriz Z se sigue el procedimiento que a continuación se describe.

Para el cálculo de las impedancias propias z y z se establecen las ecuaciones siguientes:

Para el nodo uno, el circuito se puede dibujar como se muestra:

Figura 8.Circuito para calcular z11

Los demás nodos, se pueden calcular a manera de analogía de Z11.


19

INVERSIÓN DE MATRICES POR MÉTODO DE GAUSS-JORDAN. Este es un método muy empleado para la solución de inversas en matrices, que para este

método, son invertibles para sistemas cuadrados únicamente. Existen otros métodos como el

de matriz adjunta con matriz determinante, que no se abordan a lo largo del trabajo, debido a

su nulo uso para el desarrollo del proyecto.

Sea A = (ai j ) una matriz cuadrada de coeficientes orden n. Para calcular la matriz inversa

de A, que denotaremos como A-14, seguiremos los siguientes pasos:

Paso 1. Construir la matriz n ´ 2n M = (A I ) esto es, A está en la mitad izquierda de M

y la matriz identidad I en la derecha.

Paso 2. Se deja tal y como está la primera fila de M, y debajo del primer término de la

diagonal principal, a11, que llamaremos pivote, ponemos ceros. Luego se opera como

se indica en el siguiente ejemplo.

Ejemplo:

Consideremos una matriz 3 ´ 3 arbitraria

Paso 1.

Paso 2.

De esta forma, supongamos que queremos encontrar la inversa de


20

La mitad izquierda de M está en forma triangular, por consiguiente, A es invertible. Si hubiera

quedado toda una fila con ceros en la mitad A de M, la operación habría terminado (A no es

invertible). A continuación, cogemos como pivote a33, ponemos ceros encima de éste y

seguimos operando hasta que nos quede una matriz diagonal.

,

,

,

La matriz que ha quedado en la mitad derecha de M es precisamente la matriz inversa de A:

Para comprobar si el resultado es correcto, se procede a multiplicar AA-1, teniendo que dar

como resultado la matriz identidad I.

por =


21

DESARROLLO. DESARROLLE EL CÓDIGO QUE REALICE LA LECTURA DE DATOS DE ENTRADA (IMPEDANCIAS DE RAMA Y EN DERIVACIÓN) PARA PROCESARLOS Y OBTENER LA MATRIZ DE ADMITANCIAS NODAL YBUS CON ALGUNA METODOLOGÍA DISTINTA DE LA VISTA EN CLASE. Para la solución a los sistemas se realiza el siguiente programa. (Las instrucciones se explican sólo en el documento “proylab.m” debido al espacio en Word). clear all clc disp(['OBTENCIÓN DE Ybus POR TRANSFORMACIONES SINGULARES']) f=input('Dame el numero de impedancias= '); disp(['f=' num2str(f)]); c=input('dame el numero de nodos= '); disp(['c=' num2str(c)]); disp(['FORMACIÓN DE LA MATRIZ DE INDICENCIA']) disp([' Si el elemento sale coloca -1']) disp([' Si el elemento entra coloca 1']) disp([' Si no hay elemento coloca 0']) for m= 1:f for n= 1:c sprintf('El elemento A[%d %d.]es', m,n) valor1=input(' ') disp(['valor2=' num2str(valor1)]); A(m,n)=valor1 n=n+1; end m= m+1; end disp(['La matriz de indicencia es']) A B=A'; disp(['La matriz transpuesta es']) B disp(['FORMACIÓN DE LA MATRIZ DE ADMITANCIAS PRIMITIVA']) P=eye(f); for k= 1:f j=k; sprintf('Dame el valor de la impedancia Z%d.', k) valor3=input(' ') valor4=1/valor3; disp(['Matriz Admitancias Primitiva=' num2str(valor4)]); P(k,j)=valor4 k= k+1; end disp(['La matriz de admitancias primitiva es']) P

Y=B*P*A; disp(['La matriz Ybus es']) Y disp(['CREACIÓN DE LA MATRIZ Zbus']) I=eye(c) for k=1:c


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for j=1:k if(k==j) diag=Y(k,j); for t=1:c Y(k,t)=Y(k,t)/diag; I(k,t)=I(k,t)/diag; end else if(Y(k,j)~=0) diag=Y(k,j); for t=1:c Y(k,t)=(-1*diag*Y(j,t))+Y(k,t); I(k,t)=(-1*diag*I(j,t))+I(k,t); end end end end end for k=1:c for j=(k+1):c if(Y(k,j)~=0) diag=Y(k,j); for t=1:c Y(k,t)=(-1*diag*Y(j,t))+Y(k,t); I(k,t)=(-1*diag*I(j,t))+I(k,t); end end end end disp(['LA MATRIZ ZBUS ES:']) Zbus=I; Zbus disp(['FUENTES DE CORRIENTE EN LA RED:']) disp(['Dame los elementos de la matriz de corrientes en coordenadas

rectangulares']) disp(['Indica si la fuente entra (+) o si sale (-) al nodo

correspondiente']) for l=1:c sprintf('El elemento de corriente del nodo %d. es',l) valor6= input(' ') D(l,1) = valor6 end Vbus=Zbus*D; disp(['LA MATRIZ Vbus ES:']) Vbus


23

Inicio

Dame el número de nodos: C Dame el número de impedancias: f

Matriz Y bus:

Formación de matriz de incidencia. 1:entra -1¨sale 0:no hay

for m= 1:f

for n= 1:c

El elemento A [%d %d.] es

valor1=input(' ')

A(m,n)=valor1

n=n+1

m=m+1

La matriz de incidencia es A.

La matriz traspuesta es A’.

Formación de matriz de admitancias.primitiva.

P=eye(f)

for k= 1:f

j=k

Dame el valor de la

impedancia Z%d

valor4=1/valor3

P(k,j)=valor4

k= k+1

La matriz de

admitancias primitiva es

Y=B*P*A

LA MATRIZ Ybus ES: Y

for k=1:c

for j=1:k

for t=1:c

Y(k,t)=Y(k,t)/diag

I(k,t)=I(k,t)/diag

Y(k,t)=(-1*diag*Y(j,t))+Y(k,t)

I(k,t)=(-1*diag*I(j,t))+I(k,t)

for k=1:c

for j=(k+1):c

for t=1:c

Y(k,t)=(1*diag*Y(j,t))+Y(k,t)

I(k,t)=(-1*diag*I(j,t))+I(k,t)

LA MATRIZ Zbus ES:

Zbus=I

Dame los elementos de la matriz de corrientes en coordenadas rectangulares

for l=1:c

El elemento de corriente del nodo %d. es

valor6= input(' ')

D(l,1) = valor6

Matrix corrientes . D

Vbus=Zbus*D

LA MATRIZ Vbus ES:

Vbus

Fin


24

EJEMPLO 1.

UTILICE LOS DATOS DEL SISTEMA DE POTENCIA DE PRUEBA VISTO EN CLASE PARA EJECUTARLOS EN SU PROGRAMA Y VERIFIQUE RESULTADOS CON LOS OBTENIDOS DEL PROGRAMA DESARROLLADO EN CLASE. Para la solución de este sistema, se utilizó el método de transformaciones singulares. Para esto, se tiene la siguiente red.

a) b) Figura 9.a) Circuito original, b) circuito de nodos.

Como puede verse en la figura anterior, para la técnica de transformaciones singulares, se necesitan proponer corrientes en forma arbitraria, tomando en cuenta el origen desde el nodo de tierra. Las impedancias utilizadas en la figura b, son analogía de la figura a. Estas se muestran en la siguiente tabla.

Tabla 5.Valores de impedancia para el circuito de análisis.

No. Impedancia Valor

Z1 j1.25

Z2 j0.4

Z3 j0.25

Z4 j1.25

Z5 j0.25

Z6 j0.125

Z7 j0.2

Conforme a las corrientes mostradas en la figura 10, se realiza una matriz de incidencias. En esta se colocan 1 para las corrientes que entran en cada nodo desde las impedancias, o -1 para las corrientes que salen desde las impedancias. Se coloca cero en caso de no existir. Esto con el fin de construir la operación básica para la obtención de Ybus y que se ha tratado en la introducción teórica.


25

Tabla 6.Matriz de incidencia.

Nodos

Impedancias. 1 2 3 4 Z1 0 0 0 1 Z2 1 0 0 -1 Z3 1 0 -1 0 Z4 0 0 1 0 Z5 0 1 -1 0 Z6 1 -1 0 0 Z7 0 1 0 -1

De esta forma, se obtiene la siguiente matriz de incidencias, que de orden mxn, donde m=número de impedancias, y n= número de nodos.

𝐼𝑛𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 =

0 0 0 11 0 0 −11 0 −1 00 0 1 00 1 −1 01 −1 0 00 1 0 −1

La matriz de incidencias es vaciada en el programa mediante un ciclo for. Con la matriz anterior se busca la matriz transpuesta:

𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎 =

0 1 1 0 0 1 00 0 0 0 1 −1 10 0 −1 1 −1 0 01 −1 0 0 0 0 −1

La matriz anterior es calculada por el programa. Por último se busca la matriz de admitancias primitiva, compuesta por una matriz similar a la matriz identidad, con la variante de colocar en ella las inversas de cada impedancia. Sus dimensiones son jxk, donde j=k=f, es decir, se limita por el número de impedancias contenidas en la red.

𝑌𝑝𝑟𝑖𝑚 =

1/𝑗1.25 0 0 0 0 0 00 1/𝑗0.4 0 0 0 0 00 0 1/𝑗0.25 0 0 0 00 0 0 1/𝑗1.25 0 0 00 0 0 0 1/𝑗0.25 0 00 0 0 0 0 1/𝑗0.125 00 0 0 0 0 0 1/𝑗0.2

Durante el programa, se introducen los valores de impedancia. Los valores de admitancia son calculados. La multiplicación de estas tres matrices, se obtiene la matriz de admitancias de orden cxc, limitada por el número de nodos en la red. Durante el programa, se necesitarán también los valores de corriente y calcular así los valores de tensión en cada nodo.


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En base a la figura 10, se hace una transformación de la fuente, de un equivalente de Thevenin a un equivalente de Norton y llegar a la fuente de corriente deseada.

𝑌𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜 =1

𝑗0.1 + 𝑗1.15= −𝑗0.8

𝐼 = 𝑉𝑔𝑌𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜

𝐼3 = 1.25∠0º) −𝑗0.8) = 1∠ − 90º 𝐼4 = 0.85∠− 45º) −𝑗0.8) = 0.68∠ − 135º

a) b) Figura 10.a) Equivalente de Thevenin, b) equivalente de Norton.

De esta forma se ingresan los datos al programa arrojando los siguientes resultados. La matriz Ybus es Y = 0 -14.5000i 0 + 8.0000i 0 + 4.0000i 0 + 2.5000i 0 + 8.0000i 0 -17.0000i 0 + 4.0000i 0 + 5.0000i 0 + 4.0000i 0 + 4.0000i 0 - 8.8000i 0 0 + 2.5000i 0 + 5.0000i 0 0 - 8.3000i LA MATRIZ ZBUS ES: Zbus = 0 + 0.7187i 0 + 0.6688i 0 + 0.6307i 0 + 0.6193i 0 + 0.6688i 0 + 0.7045i 0 + 0.6242i 0 + 0.6258i 0 + 0.6307i 0 + 0.6242i 0 + 0.6840i 0 + 0.5660i 0 + 0.6193i 0 + 0.6258i 0 + 0.5660i 0 + 0.6840i


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LA MATRIZ Vbus ES: Vbus = 0.9279 - 0.2973i 0.9246 - 0.3004i 0.9557 - 0.2717i 0.8943 - 0.3283i Que son los valores obtenidos en clase. La inversión de la matriz Ybus, se realizó por medio del método de Gauss-Jordan. Para la realización del programa, se definen ciclos for, para la obtención de ceros debajo de la diagonal, así como de la transformación de la propia diagonal en 1. Estas operaciones fueron simultáneas para las matrices de Ybus (Y en el programa) y la matriz identidad generada (I en el programa). Se utiliza un segundo conjunto de ciclos for para transformar en ceros los elementos localizados arriba de la diagonal. La transformación resultante en la matriz identidad, será la matriz inversa buscada de Ybus. Al comparar los resultados obtenidos son los mismos a los obtenidos con la función “inv )” de Matlab. Sin embargo, debido a la estructura del programa, los valores de corriente son introducidos en forma rectangular, lo cual establece error de decimales al introducirse los valores, lo cual se refleja en el resultado final de Vbus. Sin embargo, la transformación de coordenadas polares a rectangulares del valor de las fuentes de corriente, afecta muy poco al resultado, pues los valores de tensión fallaron por apenas milésimas, lo cual es bastante aceptable.

EJEMPLO 2. UTILICE EL PROGRAMA DE CÁLCULO DE YBUS QUE DESARROLLO PARA OBTENER LA MATRIZ DE ADMITANCIAS NODAL DEL SISTEMA DE POTENCIA MOSTRADO EN LA FIGURA 11 (VALORES DE REACTANCIA Y VOLTAJES EN P.U.)

Figura 11.Circuito de análisis.


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Para la solución del circuito anterior, también se utilizará la técnica de transformaciones singulares. Se necesitan proponer corrientes en forma arbitraria como se hizo en el primer ejemplo, tomando en cuenta el origen desde el nodo de tierra. Como puede observarse en la figura 12, los sentidos de corriente no se cambian para formar rápidamente la matriz de incidencias.

Figura 12.Circuito de nodos para análisis.

Las impedancias utilizadas en la figura anterior, se muestran en la siguiente tabla.



Z1 j1.25

Z2 j0.4

Z3 j0.55

Z4 j1.39

Z5 j0.25

Z6 j0.125

Z7 j0.35

Conforme a las corrientes mostradas en la figura x, se realiza una matriz de incidencias. En esta se colocan 1 para las corrientes que entran en cada nodo desde las impedancias, o -1 para las corrientes que entran desde las impedancias. Se coloca cero de no existir. Esto con el fin de construir la operación básica para la obtención de Ybus y que se ha tratado en la introducción teórica. La peculiaridad de este caso, radica en que la red es la misma que en el ejemplo anterior, y al mantener los mismos sentidos de corriente, la matriz de incidencia no cambia.


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Nodos

Impedancias. 1 2 3 4 Z1 0 0 0 1 Z2 1 0 0 -1 Z3 1 0 -1 0 Z4 0 0 1 0 Z5 0 1 -1 0 Z6 1 -1 0 0 Z7 0 1 0 -1

De esta forma, se obtiene la siguiente matriz de incidencias, que de orden mxn, donde m=número de impedancias, y n= número de nodos, y que es idéntico al ejemplo anterior.


0 0 0 11 0 0 −11 0 −1 00 0 1 00 1 −1 01 −1 0 00 1 0 −1

La matriz de incidencias es vaciada en el programa mediante un ciclo for. Con la matriz anterior se obtiene la matriz transpuesta:


0 1 1 0 0 1 00 0 0 0 1 −1 10 0 −1 1 −1 0 01 −1 0 0 0 0 −1

La matriz anterior es calculada por el programa. Por último se busca la matriz de admitancias primitiva, compuesta por una matriz similar a la matriz identidad, con la variante de colocar en ella las inversas de cada impedancia. Sus dimensiones son jxk, donde j=k=f, es decir, se limita por el número de impedancias contenidas en la red, cuyos valores sí cambian, debido a los diferentes valores de reactancias para esta red.


1/𝑗1.25 0 0 0 0 0 00 1/𝑗0.4 0 0 0 0 00 0 1/𝑗0.55 0 0 0 00 0 0 1/𝑗1.39 0 0 00 0 0 0 1/𝑗0.25 0 00 0 0 0 0 1/𝑗0.125 00 0 0 0 0 0 1/𝑗0.35

Durante el programa, solamente se introducen los valores de impedancia. Los valores de admitancia son calculados automáticamente. La multiplicación de estas tres matrices, se obtiene la matriz de admitancias de orden cxc, limitada por el número de nodos en la red.


30

Durante el programa, se necesitarán también los valores de corriente y calcular así los valores de tensión en cada nodo. En base a la figura x, se hace una transformación de la fuente, de un equivalente de Thevenin a un equivalente de Norton y llegar a la fuente de corriente deseada.

𝑌𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜 3 =1

𝑗1.25+𝑗0.14= −𝑗0.7194


𝑗1.15 + 𝑗0.1= −𝑗0.8


𝐼3 = 1.25∠0º) −𝑗0.7194) = 0.8992∠ − 90º 𝐼4 = 0.88∠ − 50º) −𝑗0.8) = 0.704∠ − 140º


De esta forma se ingresan los datos al programa arrojando los siguientes resultados. La matriz Ybus es Y = 0 -12.3182i 0 + 8.0000i 0 + 1.8182i 0 + 2.5000i 0 + 8.0000i 0 -14.8571i 0 + 4.0000i 0 + 2.8571i 0 + 1.8182i 0 + 4.0000i 0 - 6.5376i 0 0 + 2.5000i 0 + 2.8571i 0 0 - 6.1571i LA MATRIZ ZBUS ES: Zbus = 0 + 0.7831i 0 + 0.7258i 0 + 0.6619i 0 + 0.6548i 0 + 0.7258i 0 + 0.7629i 0 + 0.6686i 0 + 0.6487i 0 + 0.6619i 0 + 0.6686i 0 + 0.7461i 0 + 0.5790i 0 + 0.6548i 0 + 0.6487i 0 + 0.5790i 0 + 0.7293i


31

LA MATRIZ Vbus ES: Vbus = 0.8915 - 0.3531i 0.8948 - 0.3498i 0.9329 - 0.3122i 0.8507 - 0.3932i

EJEMPLO 3. QUÉ EFECTO TIENE EN LA FORMACIÓN DE LA MATRIZ Ybus SI AL SISTEMA ANTERIOR SE LE AGREGA UNA RAMA EN PARALELO ENTRE LOS NODOS ① Y ③ COMO SE MUESTRA EN LA FIGURA 14. CALCULE LA MATRIZ YBUS, ZBUS Y VOLTAJES NODALES, COMPARE RESULTADOS CON LOS OBTENIDOS EN EL PUNTO ANTERIOR

Figura 14.Circuito de análisis.

Para la solución del circuito anterior, se necesitan proponer corrientes en forma arbitraria como se hizo en el primer ejemplo, tomando en cuenta el origen desde el nodo de tierra. Estas corrientes se muestran en la figura 15.

Figura 15.Circuito de nodos para análisis.


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Las impedancias utilizadas en la figura anterior, se muestran en la siguiente tabla. Es importante mencionar, que un valor más de impedancia en el sistema, incrementa también las matrices.



Z1 j1.25

Z2 j0.4

Z3 j0.55

Z4 j1.39

Z5 j0.25

Z6 j0.125

Z7 j0.35

Z8 J0.55

Conforme a las corrientes mostradas en la figura 15, se realiza una matriz de incidencias. En esta se colocan 1 para las corrientes que entran en cada nodo desde las impedancias, o -1 para las corrientes que entran desde las impedancias. Se coloca cero de no existir. Esto con el fin de construir la operación básica para la obtención de Ybus y que se ha tratado en la introducción teórica.


Nodos

Impedancias. 1 2 3 4 Z1 0 0 0 1 Z2 1 0 0 -1 Z3 1 0 -1 0 Z4 0 0 1 0 Z5 0 1 -1 0 Z6 1 -1 0 0 Z7 0 1 0 -1 Z8 1 0 -1 0

De esta forma, se obtiene la siguiente matriz de incidencias, que de orden mxn, donde m=número de impedancias, y n= número de nodos, y que es idéntico al ejemplo anterior.


0 0 0 11 0 0 −11 0 −1 00 0 1 00 1 −1 01 −1 0 00 1 0 −11 0 −1 0

La matriz de incidencias es vaciada en el programa mediante un ciclo for. Con la matriz anterior se obtiene la matriz transpuesta:


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0 1 1 0 0 1 0 10 0 0 0 1 −1 1 00 0 −1 1 −1 0 0 −11 −1 0 0 0 0 −1 0

La matriz anterior es calculada por el programa. Por último se busca la matriz de admitancias primitiva, compuesta por una matriz similar a la matriz identidad, con la variante de colocar en ella las inversas de cada impedancia. Sus dimensiones son jxk, donde j=k=f, es decir, se limita por el número de impedancias contenidas en la red, cuyos valores sí cambian, debido a los diferentes valores de reactancias para esta red.


1/𝑗1.25 0 0 0 0 0 0 00 1/𝑗0.4 0 0 0 0 0 00 0 1/𝑗0.55 0 0 0 0 00 0 0 1/𝑗1.39 0 0 0 00 0 0 0 1/𝑗0.25 0 0 00 0 0 0 0 1/𝑗0.125 0 00 0 0 0 0 0 1/𝑗0.35 00 0 0 0 0 0 0 1/0.55

Durante el programa, solamente se introducen los valores de impedancia. Los valores de admitancia son calculados automáticamente. La multiplicación de estas tres matrices, se obtiene la matriz de admitancias de orden cxc, limitada por el número de nodos en la red. Durante el programa, se necesitarán también los valores de corriente y calcular así los valores de tensión en cada nodo. En base a la figura 14 se hace una transformación de la fuente, de un equivalente de Thevenin a un equivalente de Norton y llegar a la fuente de corriente deseada.


𝑗1.25+𝑗0.14= −𝑗0.7194


𝑗1.15 + 𝑗0.1= −𝑗0.8


𝐼3 = 1.25∠0º) −𝑗0.7194) = 0.8992∠ − 90º 𝐼4 = 0.88∠ − 50º) −𝑗0.8) = 0.704∠ − 140º

Como se nota, los valores de corriente son los mismos. La presencia de una impedancia en paralelo entre el nodo3 y 1, no afecta el valor de las fuentes.


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De esta forma se ingresan los datos al programa arrojando los siguientes resultados. LA MATRIZ Ybus ES Y = 0 -14.1364i 0 + 8.0000i 0 + 3.6364i 0 + 2.5000i 0 + 8.0000i 0 -14.8571i 0 + 4.0000i 0 + 2.8571i 0 + 3.6364i 0 + 4.0000i 0 - 8.3558i 0 0 + 2.5000i 0 + 2.8571i 0 0 - 6.1571i LA MATRIZ ZBUS ES: Zbus = 0 + 0.7637i 0 + 0.7166i 0 + 0.6754i 0 + 0.6426i 0 + 0.7166i 0 + 0.7586i 0 + 0.6750i 0 + 0.6430i 0 + 0.6754i 0 + 0.6750i 0 + 0.7367i 0 + 0.5875i 0 + 0.6426i 0 + 0.6430i 0 + 0.5875i 0 + 0.7217i LA MATRIZ Vbus ES: Vbus = 0.8981 - 0.3465i 0.8979 - 0.3467i 0.9283 - 0.3168i 0.8548 - 0.3891i Como puede verse, las tensiones en los nodos han cambiado, respecto a lo establecido en el ejemplo anterior (sin presencia de impedancia paralelo). Sin embargo, la variación entre resultados es muy pequeña. Una matriz en paralelo en una de las ramas no varía mucho a los valores de la red inicial.


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CONCLUSIONES.

Con la realización del trabajo se realizó el análisis de tensiones en los nodos de una red.

Se estudiaron los diferentes métodos de obtención de la matriz Ybus. Para el caso particular del trabajo, se utilizó la técnica de Transformaciones singulares, cuyo método era desconocido para el alumno antes de la realización del trabajo. Esto amplía el acervo de técnicas para resolución de la matriz Ybus. Esta técnica en particular puede llegar a ser laboriosa para redes de gran tamaño, debido a la formación de la matriz de incidencias, así como de la transpuesta de la misma. Sin embargo, este procedimiento simboliza casi el 50% del procedimiento, pues el resto es de operación rápida.

Con la construcción del logaritmo para invertir la matriz se pudo conocer cómo ejecuta MatLab la función “Inv )”. Esto nos da una idea de lo importante que es el conocimiento de la herramienta de MatLab para soluciones más rápidas en análisis de ingeniería.

La eficiencia del programa se puede mostrar en el sistema del ejemplo 2, cuyos valores cambian y el programa trabaja sin problema. Para el ejemplo 3, se incrementa una impedancia, modificándose automáticamente el número de ciclos for para incrementar la dimensión en la matriz. Esto demuestra que el programa funciona para matrices de orden indeterminado.

Como puede verse para el ejemplo 3, las tensiones en los nodos han cambiado, respecto a lo establecido en el ejemplo anterior (sin presencia de impedancia paralelo). El valor ha cambiado ligeramente. La presencia de la impedancia en paralelo afecta a los nodos a los cuales está conectado, disminuyendo su valor de tensión. Esto se nota para el nodo 1, pasando de 0.952∠-21 a 0.9626∠-22.6, cuyo ángulo ha variado debido a la reactancia paralelo. Lo mismo sucede para la tensión del nodo 3, cuya tensión desciende de 0.9837∠-18.53 a 0.98086∠-18.84. Los demás nodos se mantienen casi iguales descendiendo de 0.972∠-18 a 0.9607∠-21.3 para el nodo 1 y de 0.937∠-24.8 a 0.9534∠-20.17 para el nodo 4, mostrando un muy ligero cambio. Lo anterior se puede deber a que la impedancia en paralelo demanda más corriente, pues el equivalente entre nodos 1 y 3 es j0.275, cuyo valor inicial fue de j0.55. al principio. De esta manera, fluye más corriente, pero disminuye la tensión por el lazo modificado.


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REFERENCIAS. 1 “Métodos computacionales en Sistemas Eléctricos de Potencia”,Stagg and El-.Abiad, Mc-

Graw-Hill, 1998. 2 “Análisis Moderno de Sistemas Eléctricos de Potencia”, Gilberto Enriquez Harper,

Limusa, 1992. 3 “Métodos Numéricos Aplicados con Software”, Shoichiro Nakamura, Prentice-Hall,

1992. 4 Matriz inversa, http://148.216.10.84/matematicas/inversa.htm, noviembre, 2010.

programación de un método para encontrar las ybus en una red de n nodos,

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