estática estructural. análisis de estructuras método de los nodos

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Asignatura: Esttica Estructural

Cdigo: CBES01/G03/Anlisis de Estructuras. Mtodo de los Nodos

Direccin de Construccin Pgina 1

Unidad de Aprendizaje N4:

Anlisis de Estructuras.

Aprendizajes Esperados

1. Analizar a travs del mtodo de los nodos las fuerzas transmitidas en cada elemento que

componen una armadura de una construccin.

1. OBJETIVOS.

El objetivo de esta actividad es:

- Determinar las fuerzas en los miembros de una estructura usando el mtodo de nodos.

- Analizar las fuerzas que actan en los miembros de armazones y bastidores compuestos

de miembros conectados.

2. ANTECEDENTES GENERALES.

La definicin literal de la palabra estructura est asociada a la disposicin y orden de las partes

dentro de un todo.

En la construccin una estructura se define como un conjunto de elementos estructurales

previamente dispuestos y unidos entre s para soportar las cargas.

Las cargas son todas aquellas acciones que afectan a las estructuras, produciendo tensiones,

deformaciones y desplazamientos, que incluso pueden llegar a la ruptura.

Elementos de Unin o de Apoyo.

Se denomina apoyo a todo dispositivo destinado a unir una estructura al medio de sustentacin.

Los apoyos cumplen las dobles funciones de impedir o limitar los movimientos de las estructuras y

de trasmitir las cargas que estas soportan al medio de sustentacin.

Dado que una seccin de una pieza de plano medio tiene tres grados de libertad, dos traslaciones

independientes en el plano medio y un giro perpendicular a este, existen varios apoyos, segn

limiten uno, dos o los tres grados de libertad de la seccin de apoyo.

Por cada grado de libertad limitado el apoyo transmite a la estructura una reaccin que impide el

movimiento. Estas reacciones son, naturalmente, iguales y de sentidos opuestos a las fuerzas que

la estructura trasmite al medio de sustentacin.

Apoyos simples o articulados mviles

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Este tipo de apoyos solo limita el movimiento de la seccin de apoyo en una direccin,

permitiendo la traslacin en la direccin perpendicular y el giro de la seccin de apoyo.

La reaccin que produce es una fuerza perpendicular a la direccin de rodadura, o sea, al

movimiento permitido. Asociada a un apoyo simple se introduce, por tanto, una sola incgnita, el

mdulo de la reaccin, ya que su posicin y direccin son conocidas.

Apoyos fijos o articulacin

Este tipo de apoyo impide totalmente el movimiento de traslacin de la seccin de apoyo, pero

permite el giro.

La reaccin que produce es una fuerza de direccin y modulo desconocidos, se introducen, pues,

dos incgnitas: las componentes de la reaccin respecto a dos ejes perpendiculares cualesquiera.

Empotramiento

Este tipo de apoyo impide todo movimiento de la seccin de apoyo, tanto de traslacin como de

giro.

La reaccin que se produce es una fuerza de posicin, direccin y modulo desconocido. Se

introducen, pues tres incgnitas: dos componentes de la direccin y el momento sobre la seccin

de apoyo.

Uniones.

Se llama unin o nudo a todo dispositivo destinado a unir entre s las diferentes piezas que forman

una estructura. Las uniones cumplen la doble funcin de impedir o limitar los movimientos

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relativos de unas piezas respecto a otras, y de transmitir las cargas que unas soportan a las dems.

Por cada grado de libertad cortado a la seccin de enlace, este transmite a las piezas concurrentes

una reaccin interna. Estas reacciones son iguales y de sentidos opuestos en las dos piezas que se

unen en la seccin de enlace.

Unin deslizante

Este enlace solo limita el movimiento relativo en una direccin, permitiendo la traslacin en la

direccin perpendicular y el giro de la seccin de enlace. La reaccin que produce es un par de

fuerzas, iguales y opuestas, perpendiculares al movimiento permitido. Se introduce, por tanto, una

sola incgnita: el mdulo de las reacciones.

Articulacin o nudo articulado

Este tipo de unin impide totalmente la traslacin relativa de la seccin de enlace, pero permite el

giro relativo de la misma.

La reaccin que produce es un par de fuerzas de direccin y modulo desconocidos. En una

articulacin interna se introducen, pues, dos incgnitas: las componentes de la reaccin respecto a

dos ejes perpendiculares cualesquiera. El momento flector es necesariamente nulo en una

articulacin.

Empotramiento o nudo rgido

Este tipo de unin impide todo movimiento de la seccin de enlace, tanto de traslacin como de

giro. La reaccin que produce es un par de fuerzas de posicin, direccin y modulo desconocido.

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En un nudo rgido se introducen, por tanto, tres incgnitas: dos componentes de la reaccin y el

momento de la seccin de enlace.

Estructuras Simples.

Una estructura simple est compuesta de elementos delgados unidos entre s por sus extremos.

Ejemplo la estructura de techumbre mostrada en la figura A.

Este es un tipo de estructuras planas, que se emplea para el soporte de techumbres y puentes.

La carga del techo se transmite a la estructura por una serie de tirantes o largueros (costaneras).

Figura A. Estructura de Techumbre.

Las armaduras planas se sitan en un solo plano y como las cargas de la armadura actan en el

mismo plano el anlisis de las fuerzas desarrolladas en los elementos de la armadura ser

bidimensional.

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Supuestos para el diseo.

Para disear los elementos y las conexiones de una armadura, es necesario determinar primero la

fuerza desarrollada en cada elemento cuando la armadura est sometida a una carga dada.

Para esto, haremos dos supuestos importantes:

- Todas las cargas se aplican en los nodos. En la mayora de las situaciones, como en

armaduras de puentes y de techos, este supuesto se cumple. A menudo se pasa por alto el

peso de los elementos, ya que Ia fuerza soportada por cada elemento suele ser mucho

ms grande que su peso. Sin embargo, si el peso debe ser incluido en el anlisis, por lo

general es satisfactorio aplicarlo como una fuerza vertical con la mitad de su magnitud

aplicada a cada extremo del elemento,

- Los elementos estn unidos entre s mediante pasadores lisos. Por lo general, las

conexiones de los nodos se forman empernando o soldando los extremos de los

elementos a una placa comn, llama da placa de unin, como se muestra en la figura B, o

simplemente pasando un perno o pasador largo a travs de cada uno de los elementos,

figura C. Podemos suponer que estas conexiones actan como pasadores siempre que las

lneas centrales de los elementos unidos sean concurrentes.

Figura B. Figura C.

Debido a estos dos supuestos, cada elemento de la armadura actuar como un elemento de dos

fuerzas, y por lo tanto, la fuerza que acte en cada extremo del elemento debe estar dirigida a lo

largo del eje del elemento.

Si la fuerza tiende a alargar el elemento, es una fuerza de tensin (Traccin), mientras que si

tiende a acortar el elemento, es una fuerza de compresin (C).

En el diseo real de una armadura es importante establecer si la naturaleza de Ia fuerza es de

tensin o de compresin.

A menudo, los elementos a compresin deben ser ms gruesos que los elementos a tensin

debido al efecto de pandeo o de columna que ocurre cuando un elemento est en compresin.

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Armadura simple.

Si tres elementos se conectan entre s mediante pasadores en sus extremos, forman una armadura

triangular que ser rgida. Al unir dos elementos ms y conectar estos elementos a una nueva

junta D se forma una armadura ms grande. Este procedimiento puede repetirse todas las veces

que se desee para formar una armadura an ms grande.

Si una armadura se puede construir expandiendo de este modo la armadura triangular bsica, se

denomina una armadura simple.

Mtodo de los Nodos.

Para analizar o disear una armadura, es necesario determinar la fuerza en cada uno de sus

elementos. Una forma de hacer esto consiste en emplear el mtodo de nodos. Este mtodo se

basa en el hecho de que toda la armadura est en equilibrio, entonces cada uno de sus nodos

tambin est en equilibrio. Por lo tanto, si se traza el diagrama de cuerpo libre en cada nodo, se

pueden usar las ecuaciones de equilibrio de fuerzas para obtener las fuerzas de los elementos que

actan sobre cada nodo. Como los elementos de una armadura plana son elementos rectos dc dos

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fuerzas que se encuentran en el mismo plano, cada nodo est sometido a un sistema de fuerzas

que es coplanar y concurrente.

En consecuencia, slo es necesario satisfacer las ecuaciones = 0 = 0 para garantizar

cl equilibrio.

Ejemplo

Considerar el pasador situado en el nodo B, de la armadura que aparece en la figura.

Sobre el pasador actan tres fuerzas, a saber, la fuerza de 500 N y las fuerzas ejercidas por los

elementos BA y BC.

El diagrama de cuerpo libre se muestra que , esta traccionando el pasador, lo que significa que

el elemento BA est en traccin; mientras que esta empujando el pasador, y en consecuencia, el

elemento BC est en compresin.

Estos efectos se demuestran claramente al aislar el nodo con pequeos segmentos del elemento

conectado al pasador. El jaln o el empujn sobre esos pequeos segmentos indican el efecto del

elemento que est en compresin o en tensin.

Cuando se usa el mtodo de los nodos, siempre se debe comenzar en un nodo que tenga por lo

menos una tuerza conocida y cuando mucho dos fuerzas desconocidas. De esta manera, la

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aplicacin de = 0 = 0 resulta en dos ecuaciones algebraicas de las cuales se pueden

despejar las dos incgnitas.

AI aplicar esas ecuaciones, el sentido correcto de una fuerza de elemento desconocida puede

determinarse con uno de dos posibles mtodos.

El sentido correcto de la direccin de una fuerza desconocida de un elemento puede determinarse

en muchos casos, por inspeccin.

Por ejemplo. , en la figura, debe empujar sobre el pasador (compresin) ya que su

componente horizontal, sen 45, debe equilibrar la fuerza de 500 N ( = 0).

De la misma manera, FBA es una fuerza de tensin ya que equilibra a la componente vertical,

cos 45 ( = 0).

En casos ms complicados, el sentido de la fuerza desconocida de un elemento puede suponerse

luego, despus de aplicar las ecuaciones de equilibrio, el sentido supuesto puede verificarse a

partir de los resultados numricos.

Una respuesta positiva indica que el sentido es correcto, mientras que una respuesta negativa

indica que el sentido mostrado en el diagrama de cuerpo libre se debe invertir.

Suponga siempre que las fuerzas desconocidas en los elementos que actan en el diagrama de

cuerpo libre del nodo estn en tensin; es decir, las fuerzas jalan el pasador.

Si se hace as, entonces la solucin numrica de las ecuaciones de equilibrio darn escalares

positivos para elementos en tensin y escalares negativos para elementos en compresin. Una vez

que se encuentre la fuerza desconocida de un elemento, aplique su magnitud y su sentido

correctos (T o C) en los subsecuentes diagramas de cuerpo libre de los nodos.

Procedimiento proporciona un medio para analizar una armadura con el mtodo de nodos.

- Trazar el diagrama de cuerpo libre de un nodo que tenga por lo menos una fuerza

conocida y cuando mucho dos fuerzas des conocidas. (Si este nodo est en uno de los

soportes, entonces puede ser necesario calcular las reacciones externas en los soportes de

la armadura).

- Use uno de los dos mtodos descritos antes para establecer el sentido de una fuerza

desconocida.

Procedimiento para el anlisis

- Oriente los ejes x e y de manera que Ias fuerzas en el diagrama de cuerpo libre puedan

descomponerse fcilmente en sus componentes x y y, y luego aplique Ias dos ecuaciones

de equilibrio de fuerzas = 0 = 0 .

- Despeje Ias dos fuerzas de elemento desconocidas y verifique su sentido correcto.

- Con los resultados obtenidos, contine con el anlisis de cada uno de los otros nodos.

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- Recuerde que un elemento en compresin empuja el nodo y un elemento en tensin

jala el nodo.

- Adems, asegrese de seleccionar un nodo que tenga cuando mucho dos incgnitas y por

lo menos una fuerza conocida.

Ejemplo de Clculo.

Determine la fuerza sobre cada miembro de la estructura e indique si los miembros estn en

tensin o compresin.

Solucin.

Como no debemos tener ms de dos incgnitas en el nodo y por lo menos contar con una fuerza

conocida actuando ah, comenzamos el anlisis por el nodo B.

Nodo B. Aplicando las ecuaciones de equilibrio en el nodo B, obtenemos.

= 0 500 ( sin 45) = 0 = 707,1 ()

= 0 ( sin 45) = 0 = 500 ()

Una vez calculada la fuerza en el elemento BC, es posible calcular la fuerza en el elemento CA,

mediante el anlisis del nodo C.

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= 0 + 707,1 cos 45 = 0 = 500 ()

= 0 707,1 sin 45 = 0 = 500

Aunque no es necesario, es posible determinar las componentes de las reacciones del soporte en

el nodo A, a partir del diagrama de cuerpo libre.

Nodo A.

= 0 500 = 0 = 500

= 0 500 = 0 = 500

El diagrama de cuerpo libre DCL, muestra los efectos de todos los miembros conectados y todas

las fuerzas externas aplicadas a cada unin, el DCL de cada miembro muestra solo el efecto de las

uniones en cada miembro.

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Ejemplo.

La siguiente armadura, est compuesta de barras de 2 metros de longitud y soporta cargas en B y

D.

Determinar las reacciones.

Al identificar los apoyos, determinamos:

- Apoyo articulado fijo.(dos reacciones)

- Apoyo articulado mvil (rodillo)( una reaccin)

Dibujamos el diagrama de cuerpo libre.

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Aplicamos las ecuaciones de equilibrio en el Nodo A.

Si desarrollamos una sumatoria de momentos igual a cero en el Nodo A, podemos obtener la

reaccin Ey.

= 0

[400 (1 )] [800 (2 + 1)] + [ (2 + 2)] = 0

= [400 (1 )] + [800 (2 + 1)]

4 = 700

De la misma forma podemos realizar la misma operacin en E, para determinar la reaccin Ay.

= 0

[400 (2 + 1)] + [800 (1)] [ (2 + 2)] = 0

= [400 (3 )] + [800 (1)]

4 = 500

Para simplificar los clculos consideraremos:

60 = 3

2 cos 60 =

1

2

El siguiente paso es elegir una junta y dibujar su diagrama de cuerpo libre.

Aislamos la junta A cortando las barras AB y AC. Los trminos TAB y TAC son las fuerzas axiales en

las barras AB y AC respectivamente. Aunque las direcciones de las flechas que representan las

fuerzas axiales desconocidas se pueden escoger arbitrariamente, observe que las hemos elegido

de manera que una barra estar a tensin, si obtenemos un valor positivo para la fuerza axial.

Las ecuaciones de equilibrio en A sern.

2

= 1

=

3

Conociendo Ay (500N), podemos determinar

= 2

3=

500 2

3= 577,35 ()

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= 1

3=

500 1

3= 288,67 ()

NUDO B

Luego obtenemos un diagrama de la junta B cortando las barras AB, BC y BD.

sin 60 =

cos 60 =

= sin 60 = cos 60

= 577,35 3

2= 500 = 577,35

1

2= 288,67

De igual forma:

3

2=

1

2=

= 1

2 =

3

2

Sumatoria de fuerzas en y, en el punto B.

= 0 = 0

400 = 0 - + + = 0

= 500 400 = 100 = 1

2= 57,73

=

32

=100

32

= 115,47

= 339,4

= +

= 288,67 + 57,73 = 346,4

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NUDO D

Luego obtenemos un diagrama de la junta D cortando las barras BD, DC y DE. De las ecuaciones de

equilibrio para la junta D.

Desarrollando equilibrio de fuerzas en D.

= 0

+ = 0

Ya sabemos que = 346,4 N (Compresin)

Por lo que obtenemos:

= 346,4 N

Si desarrollamos:

= 0

800 + + = 0

+ = 800

Pero:

= 1

2

= 1

2

Entonces:

1

2

1

2 = 346,4 N

3

2+

3

2= 800

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Estableciendo una resolucin de ecuaciones.

Multiplicando la primera ecuacin por 3.

3

2

3

2 = 600 N

3

2+

3

2= 800

Sumando las ecuaciones:

Obtenemos:

2 3

2 = 1400 N

=1400 2

2 3= 808,23

Ahora obtenemos

3

2+

3

2= 800

= 800

32

32

= 800 700

0,866 = 115,47 N

Para comprobar verificamos que = = 115,47

3. DESARROLLO

Ejercicios Propuestos.

1. Determinar las fuerzas axiales en los elementos estructurales de la siguiente armadura,

indicando cuales estn en traccin y cuales en compresin.

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2. Empleando el Mtodo de los nodos, determine las fuerzas en cada elemento de la

estructura, especificando su estado de solicitacin (Traccin o compresin).



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4. INSUMOS

5. EQUIPAMIENTO

6. BIBLIOGRAFA.

- www.portaleso.com

- Mecnica Vectorial para Ingenieros. Esttica 10 edicin. R. C. Hibbeler.

- Fsica Tomo I, SERWAY, Cuarta Edicin. McGRAW HILL

- Mecnica Vectorial para Ingenieros. Esttica. Beer Johnston.

- Problemas de Esttica. Martn J.

- Mecnica para Ingeniera. Esttica. Bedford F.

Materiales. Unidad. Cantidad. # Alumnos.

Papel Bond resma 0,25 20

Equipos. CANTIDAD N MAX

ALUMNOS

Data Show. 1 20

Computador 1 20

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