1

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE LA FUERZA ARMADA BOLIVARIANA (UNEFAB)

VICERRECTORADO ACADÉMICO NUCLEO GUÁRICO-SEDE TUCUPIDO

PROBLEMARIO DE MATEMÁTICA II

2

INDICE

Métodos de Integración

Integración por sustitución……………………………………………………………………………………………..03

Integración por partes…………………………………………………………………………………………………….07

Aplicaciones de la Integral Definida

Integral definida……………………………………………………………………………………………………………..10

Área de una región plana………………………………………………………………………………………………..12

Área entre dos funciones………………………………………………………………………………………………..14

Área de volumen de un sólido en revolución…………………………………………………………………..18

Método de Capas Cilíndricas……………………………………………………………………………………….....20

Integrales impropias

Definiciones……………………………………………………………………………………………………………..……..23

Funciones de Varias Variables

Definiciones…………………………………………………………………………………………………………………….33

Límites con Varias Variables…………………………………………………………………………………………….33

Derivadas Parciales………………………………………………………………………………………………………….36

Gradientes y derivadas direccionales………………………………………………………………………………38

Teorema del Gradiente……………………………………………………………………………………………………39

Derivadas direccionales…………………………………………………………………………………………………..39

3

Métodos y técnicas de integración

(1º) Integración por sustitución o cambio de variable:

En muchas ocasiones, cuando la integración directa no es tan obvia, es posible resolver la

integral simplemente con hacer un cambio de variable adecuado; este procedimiento se

conoce como integración por sustitución o cambio de variable.

4

5

Ejemplo Nº 4 ∫(𝒙 + 𝟐)𝒔𝒆𝒏(𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟔)𝒅𝒙

Ejercicio Nº 5 ∫𝟑𝒕𝒅𝒕

√𝒕𝟐+𝟑𝟑

EJERCICIOS PROPUESTOS Usando esencialmente la técnica de integración por sustitución, encontrar las siguientes integrales:

1. ∫ 𝒆𝒙. 𝒄𝒐𝒔 𝒆𝒙 𝒅𝒙 R: 𝒔𝒆𝒏(𝒆𝒙) + 𝒄

2. ∫𝒄𝒐𝒔(𝒍𝒏𝒙)

𝒙𝒅𝒙 R: sen(lnx)+x

3. ∫ √𝟏 − 𝟒𝒚𝒅𝒚 R: 𝟏

𝟔(𝟏 − 𝟒𝒚)𝟑/𝟐 + 𝑪

4. ∫ 𝒙𝟐(𝒙𝟑 − 𝟏)𝟏𝟎𝒅𝒙 R: 𝟏

𝟑𝟑(𝒙𝟑 − 𝟏)𝟏𝟏 + 𝒄

5. ∫ 𝒙√𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙 R: 𝟐

𝟓(𝒙 + 𝟏)

𝟓

𝟐 −𝟐

𝟑(𝒙 + 𝟏)

𝟑

𝟐 + 𝑪

6

6. ∫ 𝒄𝒐𝒔𝒙(𝟐 + 𝒔𝒆𝒏𝒙)𝟓𝒅𝒙 R: 𝟏

𝟔(𝟐 + 𝒔𝒆𝒏𝒙)𝟐 + 𝒄

7. 𝟐 ∫ 𝒔𝒆𝒏𝒙. √𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒙𝟑

𝒅𝒙 R: 𝟑

𝟐(𝟏 + 𝒄𝒐𝒔)

𝟒𝟑⁄ + 𝒄

8. ∫(𝒚+𝟑

(𝟑−𝒚)𝟐

𝟑⁄)𝒅𝒚 R:

𝟑

𝟒(𝟑 − 𝒚)

𝟒𝟑⁄ − 𝟏𝟖(𝟑 − 𝒚)

𝟏𝟑⁄ + 𝒄

9. ∫𝒆

𝟏𝒙𝟐⁄

𝒙𝟑𝒅𝒙 R: −

𝟏

𝟐𝒆

𝟏𝒙𝟐⁄ + 𝒄

10. ∫(𝒆𝒙 + 𝟏)𝟐𝒆𝒙 R: (𝒆𝒙+𝟏)𝟑

𝟑+ 𝒄

11.

12.

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

18. .

19. .

INTEGRACION POR PARTES

7

Integración por Partes El método de integración por partes permite calcular la integral de un producto de dos funciones aplicando la fórmula:

El problema es elegir u y dv, por lo cual es útil la siguiente identificación: I: Función trigonométrica inversa L: Función logarítmica A: Función algebraica T: Función trigonométrica E: Función Exponencial Se usa de la manera siguiente:

Ejercicios:

1. Encontrar ∫ 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥

2. Encontrar ∫(𝑥2 + 5𝑥 + 6)𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥

8

3. Encontrar ∫ 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥

EJERCICIOS PROPUESTOS

Ejercicios Respuestas

1

2

3

4

5

6

7

9

8

9

10

10

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

Integral Definida:

Dada una función f(x) y un intervalo [a,b], la integral definida es igual al

área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales

x = a y x = b.

La integral definida se representa por .

∫ es el signo de integración.

a l ímite inferior de la integración.

b l ímite superior de la integración.

f(x) es el integrando o función a integrar.

dx es diferencial de x , e indica cuál es la variable de la función que

se integra.

Ejemplos:

1. Calcular

11

Solución:

2. .

EJERCICIOS PROPUESTOS

Calcule las siguientes integrales definidas:

Ejercicios Respuestas

1

2

3 −𝟗𝟖

𝟗

4

5

6

7

8

9

10

12

CALCULO DE ÁREA DE UNA REGION PLANA

13

EJERCICIOS RESUELTOS

1. Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 9 − x 2 y el eje OX.

En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje OX para

representar la curva y conocer los límites de integración.

Como la parábola es simétrica respecto al eje OY, el área será igual al

doble del área comprendida entre x = 0 y x = 3.

14

2. .

´

AREA COMPRANDIDA ENTRE DOS FUNCIONES

El área comprendida entre dos funciones es igual al área de la función que

está situada por encima menos el área de la función que está situada por

debajo.

Ç

15

Ejercicios:

1. Calcular el área del recinto limitado por la parábola y = x 2 + 2 y la recta

que pasa por los puntos (−1, 0) y (1, 4).

2 Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones y 2 = 4x e y =

x2.

16

17

EJERCICIOS PROPUESTOS

1 Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 4x − x 2 y el eje OX.

S:

2 Hallar el área de la región del plano encerrada por la curva y = ln x entre el

punto de corte con el eje OX y el punto de abscisa x = e.

S:

3 Hallar el área limitada por la recta x + y = 10, el eje OX y las ordenadas de x

= 2 y x = 8. S:

4 Calcular el área limitada por la curva y = 6x 2 − 3x3 y el eje de abscisas.

S:

5 Calcular el área de las regiones del plano limitada por la curva f(x) = x 3 − 6x2 +

8x y el eje OX. S:

6 Calcular el área limitada por la curva y = x 2 -5x + 6 y la recta y = 2x.

S:

7 Calcular el área limitada por la parábola y 2 = 4x y la recta y = x.

S:

8 Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones 3y =x2 e y = −x2 +

4x. S:

9 Calcula el área de la figura plana limitada por las parábolas y= x 2 − 2x, y =

−x2 + 4x. S:

18

AREA DE VOLUMEN DE UN SOLIDO EN REVOLUCIÓN

El volumen del cuerpo de revolución engendrado al girar la curva f(x)

alrededor del eje OX y limitado por x = a y x = b, viene dado p or:

Ejercicios Resueltos

19

2). Hallar el volumen del tronco de cono engendrado por la rotación

alrededor OX del área limitada por y = 6 − x, y = 0, x = 0, x = 4.

3).

20

METODO DE LAS CAPAS CILINDRICAS

21

EJERCICIOS PROPUESTOS

1 Hallar el volumen engendrado por las superficies limitadas por las curvas y

las rectas dadas al girar en torno al eje OX:

y = sen xx = 0x = π

S:

2 Calcular el volumen del cilindro engendrado por el rectángulo limitado por

las rectas y = 2, x = 1 y x = 4, y el eje OX al girar alrededor de este eje.

S:

3 Hallar el volumen del tronco de cono engendrado por el trapecio que limita

el eje de abscisas, la recta y = x + 2 y las coordenadas correspondientes a x = 4

y x = 10, al girar alrededor de OX. S:

4 Calcular el volumen engendrado al girar alrededor del eje OX el recinto

limitado por las gráficas de y = 2x − x 2, y = −x + 2. S:

22

5 Calcular el volumen engendrado por la rotación del área limitada por la

parábola y2/8 = x y la recta x = 2, alrededor del eje OY. S:

6 Calcular el volumen de la esfera de radio r.

S:

7 Hallar el volumen del elipsoide engendrado por la elipse 16x 2 + 25y2 = 400,

al girar:

1 Alrededor de su eje mayor.

2 Alrededor de su eje menor.

V1

V2

23

INTEGRALES IMPROPIAS

24

25

26

27

28

29

30

31

EJERCICIOS PROPUESTOS

2

3.

4.

5. .

6. .

32

7.

8.

9.

10.

33

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Funciones de varias variables

Una función de valor real, f, de x, y, z, ... es una regla para obtener un nuevo número, que

se escribe como f(x, y, z, ...), a partir de los valores de una secuencia de variables

independientes (x, y, z, ...).

La función f se llama una función de valor real de dos variables si hay dos variables

independientes, una función de valor real de tres variables si hay tres variables

independientes, y así sucesivamente.

Como las funciones de una variable, funciones de varias variables se pueden representar en

forma numérica (por medio de una tabla de valores), en forma algebraica (por medio de

una formula), y en forma gráfica (por medio de una gráfica).

Ejemplos

f(x, y) = x - y Función de dos variables

f(1, 2) = 1 - 2 = -1 Sustituya x por 1 y y por 2

f(2, -1) = 2 - (-1) = 3 Sustituya x por 2 y y por -1

f(y, x) = y - x Sustituya x por y y y por x

Límite de una función de varias variables

Sea una función de dos variables definida en un disco abierto centrado en ,

excepto quizás en el punto , y sea L un número real. Entonces,

si para cada existe un tal que

siempre que

Gráficamente, esta definición de límite implica que para cualquier

punto en el disco de radio , el valor de esta entre y .

34

35

Ejemplo:

(0,0), dos maneras de aproximarse a (0,0) son a lo largo del eje x (y=0) y a lo largo del eje y

(x=0). En y=0 se tiene:

Por definición Si f (x, y) no se aproxima al mismo número L por dos trayectorias diferentes a (a, b), entonces el límite no existe.

EJERCICIOS PROPUESTOS

Evaluar el límite dado si existe:

36

DERIVADAS PARCIALES

Guías para la diferenciación parcial

37

Ejemplo 2: Dada la función definida por Halla y .

Solución:

Considerando como una constante, tenemos:

Considerando como una constante, tenemos:

EJERCICIOS PROPUESOS

Encuentre las primeras derivadas parciales de la función dada: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11)

38

39

40

Ejemplos:

3.

41

4. .

42