separata de probabilidades

Ing. Luis Manrique Ing. Nancy Ochoa ESTADISTICA Ing. Enrique Bendezú PROBABILIDADES

INDICE

-Pág.-

INTRODUCCIÓN............................................................................................................................1

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CONTEO................................................................................3

PERMUTACIONES................................................................................................. ......................5

Definición de STIRLINGPermutación con SustituciónPermutación con RepeticiónPermutación Circular

COMBINACIONES..........................................................................................................................8

Definición Combinación con Repetición

PROBABILIDADES........................................................................................................................11

DefinicionesAxiomasPropiedadesEventos Mutuamente ExcluyentesProbabilidad CondicionalTeoría de la MultiplicaciónEventos IndependientesTeorema de Bayes

PROBLEMAS RESUELTOS y PROPUESTOS.............................................................................22


INTRODUCCIÓN

Jacob Bernoulli (1654 - 1705), Abraham de Moivre (1667 - 1754), el reverendo Thomas Bayes (1702 - 1761) y Joseph Lagrange (1736 - 1813) desarrollaron fórmulas y técnicas para el cálculo de la probabilidad. En el siglo XIX, Pierre Simon, marqués de Laplace (1749 - 1827), unificó todas estas primeras ideas y compiló la primera teoría general de la probabilidad.

La teoría de la probabilidad fue aplicada con éxito en las mesas de juego y, lo que es más importante, en problemas sociales y económicos. La industria de seguros requería un conocimiento preciso acerca de los riesgos de pérdida. Muchos centros de aprendizaje estudiaron la probabilidad como una herramienta para el entendimiento de los fenómenos sociales.

Nuestra necesidad de tratar con total incertidumbre nos lleva a estudiar y utilizar la teoría de la probabilidad. Al organizar la información y considerarla de manera sistemática, seremos capaces de reconocer nuestras suposiciones, comunicar nuestro razonamiento a otras personas y tomar una decisión más sólida.

Finalmente, la preparación del siguiente material de estudio es siempre un trabajo en equipo y esperamos contribuir con el mejor aprendizaje de nuestros estudiantes.

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CONTEO


“Si un evento E1 puede realizarse de n1 maneras diferentes y otro evento E2 puede realizarse de n2 maneras; entonces, el número de maneras en que estos eventos pueden realizarse, en el orden indicado es el producto n1 x n2”.

Ejemplo (1) ¿Cuántas cartillas de dupletas diferentes simples se pueden confeccionar, si es la 1ra. y en la 2da carrera intervienen 10 caballos?

Solución Sean los eventos :E1 = (corren 10 caballos en la 1ra. carrera )E2 = (corren 10 caballos en la 2da. carrera )

X = 100

E1 E2

En la 1ra. carrera, puede ganar cualquiera de los 10 caballos que intervienen; asimismo, en la 2da. Por lo tanto, se podrán confeccionar 100 cartillas simples diferentes.

Ejemplo (2) ¿Cuántos números de 3 cifras se pueden formar? (se supone diferentes )a) Las cifras pueden repetirse.b) Las cifras no pueden repetirse.

Solución

a) Con repetición En el primer casillero (centenas) : se pueden ubicar cualquiera de los dígitos (menos cero); esto es de 9 maneras.En el segundo casillero, si se pueden ubicar de 10 maneras (incluido el cero). Asimismo el tercero

= 900

centena decena unidad 1º 2º 3º

Por lo tanto, pueden formarse 900 números diferentes de tres cifras.

b) Sin repeticiónEn el primer casillero, pueden ubicarse 9 dígitos (igual que el ejemplo 1-a). En el segundo casillero: Como los dígitos no pueden repetirse y se ha ubicado uno de ellos en el primero.Entonces quedarían 8 dígitos; pero el cero si puede ir en el segundo (formando números, como por ejemplo: 106, 508, 901, 706, etc.). Y en el tercer casillero: Quedaría cualquiera de los 8 dígitos restantes:

= 648 1º 2º 3º

Entonces, se pueden formar 648 números de 3 cifras.

Ejemplo (3) En el ejemplo anterior. ¿cuántas son:

9 9 8

1 1

9 1 1


a) pares?b) Múltiplos de 5?

SoluciónSin repeticióna) Un número es par, si su ultima cifra es par ó cero. Se recomienda, realizar el cálculo en

forma separada, siempre en cuando se trate de números pares y se incluye el cero.

Terminan en cifra par : 2, 4, 6, 8 En este caso, comenzamos en el casillero Nº.3 y pueden colocarse de 4 formas (cualesquiera de los dígitos pares)

1º 2º 3ºPara el 1er casillero: Se ha colocado un dígito en el 3er. casillero, entonces quedarían 8 dígitos (el cero no va en el 1er. casillero).

= 256 1º 2º 3º

Termina en cero:En el 3er. casillero, puede ir solamente el cero, entonces, puede ir de una sola manera. En el primer casillero se puede colocar cualquiera de los 9 dígitos y en el 2do. casillero, podrán colocarse cualquiera de los 8 dígitos restantes.

Total de números pares:- terminan en cero : 72- terminan en cifra par : 256

328a) Múltiplos de 5 :

= 64 terminan en cinco

= 72 terminan en cero 136

Con repeticióna) Números pares : 450b) Números múltiplos de 5 : 180

Comprobar estos resultados.

Ejemplo (4) En una playa de estacionamiento quedan 10 espacios libres. Si en ese momento llegan 4 autos. ¿De cuántas maneras pueden estacionarse?

= 5,040

1er. 2do. 3er. 4to.

auto auto auto auto

4

8 8 4

88 1

9 8 1

10

9 8 7


PERMUTACIONES

Son arreglos diferentes que pueden ordenarse un conjunto de elementos en un orden definido.

Ejemplo (1) Consideremos los números 4, 5, 6, 7.

a) 4567, 5674, 6547 son permutaciones de los 4 números, tomados todos a la vez.b) 456, 547, 567, son permutaciones de los 4 números, tomados de 3 en 3.c) 45, 56, 74, son permutaciones de los 4 números, tomados de 2 en 2.

Ejemplo (2) Determinar el número de permutaciones de los 4 números del ejemplo 1.

a) Tomados de 4 en 4

4 3 2 1 = 24

En la primera posición pueden colocarse cualquiera de los 4 números. En la segunda, cualquiera de los 3 restantes, . . .

b) Tomados de 3 en 3

4 3 2 = 24

c) Tomados de 2 en 2

4 3 = 12

d) Tomados de 1 en 1

4 = 4

Definición : El número de permutaciones de “n” elementos, tomados de “r en r” se denotará por nPr y es igual a :

. . . . .

1 2 3 4 . . . . . r – 1

r

nPr = n (n – 1) (n – 2) (n – 3) . . . (n – r + 2) (n – r + 1)

nPr = n (n – 1) (n – 2) . . . (n – r + 1) . (n – r)! (n – r)!

n n-1 n-2 n-3 n - r + 2 n – r + 1


r ≤ n

0! = 1

Definición: Factorial de n ó n factorial (n!) es el producto de enteros consecutivos desde 1 hasta n.

n! = 1 x 2 x 3 x 4 x . . . x (n – 2) (n – 1) nn! = n (n – 1) (n – 2) . . . 4 x 3 x 2 x 1

Ejemplo:

5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 206! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 6 x 5! = 7207! = 8 x 7 x 6! = 56 x 720 = 40,320

APROXIMACIÓN DE STIRILING A n!

Cuando “n” es un valor muy grande, se utiliza la aproximación de Stirling

Ejemplo : Calcular 35!

Ejemplo (1) Cuántas permutaciones de 5 letras se pueden formar con A, B, C, D, Y E?n = 5 r = 55P5 = 5! = 120

Ejemplo (2) En una final de 100 metros planos intervienen 6 atletas. De cuántas formas pueden llegar a la meta (descartar la posibilidad de que lleguen 2 ó mas atletas en la misma posición)n = 6 r = 6 6P6 = 6! = 720

PERMUTACIÓN CON SUSTITUCIÓN

El número de permutaciones con sustitución de “n” elementos tomados de “r” (orden r) será :

PERMUTACIONES CON REPETICIÓN

nPr = n ! (n – r) !


El número de permutaciones de “n elementos, de tal manera que: n1 son iguales, n2 son

iguales,....,nk son iguales, y n = n1 + n2 + .....+ nk

n P n1 n2 n3 .... nk = n! . n1! n2! n3! ..nk!

Ejemplo (1) ¿Cuántas permutaciones se pueden formar con las letras de la palabra CABAÑA y de cuántas maneras, si las “aes” deben estar juntas?

A= 3 C=1 B=1 Ñ=1

P = 6! = 120 3! 1! 1! 1!

Si las 3 “aes” deben estar juntas:

A A A C B Ñ P = 4! = 24

1 2 3 4 Ejemplo (2) Hallar el número de permutaciones de los siguientes signos : + - + - + - +( + ) = 4 ( - ) = 3 p = 7! = 35 4! 3!

PERMUTACIÓN CIRCULAR

El número de permutaciones circulares de n elementos, tomados todos a la vez, es igual:

P = ( n - 1 )!

Ejemplo (1) ¿De cuántas maneras se pueden acomodar 4 personas en una reunión en un fila de 4 sillas.P = 4! = 24

alrededor de una mesa redondaP = ( 4 –1)! = 3! = 6

7 C 3 = 7! = 35 3! 4!

Ejemplo (2) Pedro es una de las 7 personas (ejemplo 1). ¿Cuántos comités podrá conformar?

7-1 C 3-1 =

Definición: El número total de combinaciones de “n” elementos tomados de “1 en 1”, “2 en 2” ... “ n en n”.


a) C = n C 1 + n C 2 + .... + n-1 C n + n C n

C= n + n + ...... n + n

1 2 n-1 n

b) C = 2n -1

Ejemplo ¿De cuántas maneras se pueden repartir 6 cartas en grupos, que contengan 1 carta por lo menos?

a) C = ( por lo menos 1) = ( 1 ó más)

C =

C = 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 63

C = 26 - 1 = 64 –1 =63

COMBINACIONES

Es una selección de un conjunto de “n” elementos tomados de “r en r” sin tener en cuenta el orden de los elementos, convirtiéndose en un subconjunto de n.

Ejemplo (1) Las combinaciones que se pueden formar con las letras A, B, C, D, son:

a) de 4 en 4 : ABCD

b) de 3 en 3 : ABC, ABD, ACD, BCD

c) de 2 en 2 : AB, AC, AD, BC, BD, CD

d) de 1 en 1 : A, B, C, D

Ejemplo (2) Del ejemplo anterior comparar la permutaciones y las combinaciones.A B C D .... n = 4 r = 2

4 P2 = 12 4 C 2 = 6 (ver ejemplo 1-c)


Combinación Permutaciones

AB

AC

AD

BC

BD

CD

AB

AC

AD

BC

BD

CD

BA

CA

DA

CB

DB

DC

Combinaciones : NO le interesa el orden.

Permutaciones : SI le interesa el orden.

Cada combinación tiene 2! Permutaciones.

2! 4 C 2 = 4 P 2 4 C 2 = 4 P 2 = 4! x 1 2! 2! 2!

n C r = n! ( n – r )! r!

Ejemplo (1) ¿Cuántos comités de 4 personas se pueden formar con 7?

n = 7 r = 4

Sólo interesa que estén 4 personas, no interesa el orden, por lo tanto se trata de

combinaciones:

a) Con sustitución 8 P 3 = 83 = 512

b) Sin sustitución 8 P 3 = 8! = 336 5!

COMBINACIÓN CON REPETICIÓN = CR

CR = (n-1 + r)! (n-1)! r!

Ejemplo Hallar el número de combinaciones con repetición de las letras A, B, C, D y E.

Tomados de 2 en 2 n = 5 r = 2

5 C R2 = ( 5 -1 +2 )! = 15 2! (5 –1)!


Tomados de 3 en 3

5 C R2 = ( 5 -1 +3 )! = 35 3! (5 –1)!

Algunas propiedades de las combinaciones:

1. combinación complementaria

2. ó

3.

4.

5. = 1

6. = 1

PROBABILIDADES

Experimento Aleatorio Es una operación cuyo resultado no puede predecirse con certeza; pero sí, se puede describir el conjunto de todos los resultados posibles del experimento.Ejemplo:

E1 : Lanzar un dado y observar el número de puntos que aparece en la cara superior.E2 : Lanzar 2 monedas y observar el número de carasE3 :Extraer un artículo de un lote que contiene artículos buenos y defectuosos.

AA AB AC AD AEBB BC BD BE

CC CD CEDD DE

EE

AAA BBB CCC

DDD

EEE

AAB AAC AAD AAE BBABBC BBD BBE CCA CCBCCD CCE DDA DDB DD

CDDE EEA EEB EEC EEDABC ABD ABE ACD ACE


E4: Sacar una muestra de 10 artículos de la producción diaria y determinar el número de artículos defectuosos.

ESPACIO MUESTRAL: (S, )

Es la reunión o conjunto de todos los posibles resultados del experimento. Ejemplo: Para los experimentos anteriores, se tiene:

S1: {(1, 2, 3, 4, 5, 6)} S3 : {(B, D)}S2: {(CC, SS, SC, CS)} S4: {( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)}

SUCESOS O EVENTOS

En un subconjunto del espacio muestral.Ejemplo:A1: {resultado sea par} = (2, 4, 6)A2: {por lo menos una cara } = (CS, SC, CC)A3: {artículo defectuoso} = (D)A4: {obtener como máximo 2 artículos defectuosos} = (0, 1, 2)

PROBABILIDAD

Definición.- Si un evento puede ocurrir de "N" maneras mutuamente exclusivas e igualmente probables (posibles) y si "n" de ellas tienen una característica "E", entonces la probabilidad de ocurrencia de E, es:

p (E) =

Hay una relación natural entre Teoría de Probabilidades y Teoría de Conjuntos. Podemos observar por ejemplo: Espacio Muestral con Conjunto Universal y Evento con subconjunto.Entonces, se puede dar la definición utilizando estos términos: La probabilidad de ocurrencia del evento A es igual al número de muestras posibles que puede suceder A sobre el número de elementos del espacio muestral.

p(A) =

Ejemplo (1) Se lanza un dado. Hallar la probabilidad de obtener a) un resultado par; b) un número de puntos de 4 ó menos.

Solución El espacio muestral será:S : (1, 2, 3, 4, 5, 6) n (S) = 6

6 • 1,6 2,6 3,6 4,6 5,6 6,6

5 • 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5

4 • 1,4 2,4 3,4 4,4 5,4 6,4

3 • 1,3 2,3 3,3 4,3 5,3 6,3

2 • 1,2 2,2 3,2 4,2 5,2 6,2

1 • 1,1 2,1 3,1 4,1 5,1 6,1

• • • • • •

1 2 3 4 5 6


a) A1 : (resultado sea par) = (2, 4, 6) n(A1) = 3 p(A1) = 3/6

b) A2 : (4 ó menos) = (1, 2, 3, 4) n(A2) = 4 p(A2) = 4/6

Ejemplo (2) Se lanzan 2 dados. Calcular la probabilidad de:a) Obtener una suma igual a 5b) Obtener una suma menor de 6c) Que el puntaje del 1er dado sea igual al 2do.d) Que el segundo dado sea 3.

Solución El número de elementos del espacio muestral, se puede calcular utilizando el principio fundamental del conteo.

n(S) = 6 6 = 36

1er 2do dado dado

Pero; es necesario describir el espacio muestral para facilitar los cálculos

Segundo dado

Primer dado

A1: {(suma sea 5)} : {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)} n(A1) = 4 y p(A1) = 4/36

A2: {(suma menor de 6)} n(A2) = 10 y p(A2) = 10/36

A3: {(segundo sea 3)} : n(A4) = 6 y p(A4) = 6/36

A4: {(puntaje 1er. dado igual al puntaje del 2do)} n(A3) = 6 y p(A3) = 6/36

Ejemplo (3) Se tienen los dígitos 0,1,2,3,4,5,6,7,8 y 9, y se forman números de 4 cifras, sin repetición. Se selecciona un número al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que sea un número par?.


Solución El espacio muestral (S) será el total de números de 4 cifras (sin repetición).

n(S) = 9 9 8 7 = 4,536A: {número par}A1: {termina en cifra par}A2: {termina en cero}

Entonces: n(A) = n(A1) + n(A2)

n(A) = 2,296

n (A1) = 9 8 7 1 = 504

n (A2) = 8 8 7 4 = 1,792

p(A) =

AXIOMAS DE PROBABILIDAD

1. Axioma de positividad (No negatividad)O p(A) 1 S

2. Axioma de Certezap(S) = 1

3. Axioma de uniones

i) K Ei = S

i=1 = E1 U E2 U E3 U ... U Ek

kii) Ei = O

i=1 = E1 ∩ E2 ∩ E3 ∩ ... ∩ Ek

k

p( Ei ) =

i=1

De los 3 axiomas se deducen las siguientes propiedades:

1. "La probabilidad del conjunto nulo o vacío es igual a cero".

E1

E2

E3

E4

E5

... ...

...

Ek


p(Ø) = 0

Se sabe que: A U Ø = A p(A U Ø) = p(A) p(A) + p(Ø) = p(A)

p(Ø) = 0

2. "La probabilidad del complemento de A, es igual a uno menos la probabilidad del evento A"

p( ) = 1 - p(A)

A U = S

p(A) + p( ) = p(S) .... A y son disjuntos

p( ) = p(S) - p(A)

p( ) = 1 - p(A)

3. Si A y B son 2 sucesos, entonces:

p(A U B) = p(A) + p(B) - p(A B)

Se puede observar que A-B y B son disjuntos

p(A-B) + p(B) = p(A U B)p(AUB) = [p(A) - p(A∩B)] + p(B)

p(AUB) = p(A) + p(B) - (AB)

4. Sean los eventos A,B y C p(AUBUC) = p(A) + p(B) + p(C) - p(AB) - p(BC) - p(AC) + p(ABC)

A B5. Sean los eventos:

A1, A2, A3, ... An

p(A1 U A2 U A3 U ... U Ak) =

AA

S

A

A∩ B

A B

AB = A ∩ B

A∩ B + = A - B


= - p(Ai ∩ Aj) + p(Ai ∩ Aj ∩ Ak) + (-1)n+1 p(A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An)

6. Si A B p(A) p(B) BObservamos que A y B-A son disjuntos p(B) = p(A) + p(B-A)

donde: p(B-A) 0 p(B) - p(A) 0 p(A) p(B) B - A

Ejemplo 1: Se lanza una moneda y un dado juntos. Calcular la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos:

A1: aparecen caras y un número parA2: aparece número primoA3: aparecen sellos y un número impar

Solución n (S) = 2 6 = 12

Moneda dado

S = {(C,1), (C,2), (C,3), (C,4), (C,5), (C,6), (S,1), (S,2), (S,3), (S,4), (S,5), (S,6)}

A1 : {(C,2), (C,4), C,6)} .....…………………………….... n(A1) = 3A2 : {(C,2), (C,3), (C,5), (S,2), (S,3), (S,5)} ... n(A2) = 6A3 : {(S,1), S,3), (S,5)} ........……………………………. n(A3) = 3

p(A1) = 3/12 p(A2) = 6/12 p(A3) = 3/6

Ejemplo 2: Del ejemplo (1). Calcular:a) P(A1 A2) b) P(A2 A3)c) P(A1 A2 A3) d) P(A1 A2 A3)e) P(A1 Ā2) f) P(A1 A2)g) P(Sólo suceda A2) h) P(suceda A1 pero no A2)

Solución:a) A1 A2 = {(C,2) (C,3) (C,4) (C,5) (C,6) (S,2) (S,3) (S,5)}

P(A1 A2) = 8/12b) A2 A3 = {(S,3) (S,5)}

P(A2 A3) = 2/12c) A1 A2 A3 = {(C,2) (C,3) (C,4) (C,5) (C,6) (S,1) (S,2) (S,3) (S,5)}

P(A1 A2 A3) = 9/12

d) P(A1 A2 A3) = { }P(A1 A2 A3) = 0

C

A


e) P(A1 Ā2) = {(C,2) (C,4) (C,6)} (C,1) (C,4) (S,1) (S,4) (S,6)P(A1 Ā2) = {(C,1) (C,2) (C,4) (C,6) (S,1) (S,4) (S,6)}P(A1 Ā2) = 7/12

SEVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTESDos eventos son M. E. Sí y sólo sí:P(AUB) = P(A) + P(B) A B

Donde A B = (A y B no pueden suceder simultáneamente)

Ejemplo Si se extrae aleatoriamente una carta de una baraja normal de 52 cartas.¿Cuál es la probabilidad de que aparezca un “AS” o una “REINA”?

SoluciónAl extraer una carta, el espacio muestral será: n(S) = 52En una baraja hay 4 “ases” y 4 “reinas”, entonces:n(A) = 4 y P(A) = 4/52n(B) = 4 y P(B) = 4/52 por lo tanto:

P(AUB) = P(A) + P(B) = 4/52 + 4/52 = 8/52La extracción de un “AS” y una “REINA” son mutuamente excluyentes, porque no se pueden obtener un “AS” que sea “REINA” o viceversa.

Ejemplo Se arroja una moneda y un dado. ¿Cuál es la probabilidad de que aparezca sello y un 3 o 4 en el dado?

SoluciónSea A : {que aparezca un sello}

B : {que aparezca un 3 o 4}

Se desea hallar: P(AUB)

El espacio muestral será:

S S,1 S,2 S,3 S,4 S,5 S,6Moneda

C C,1 C,2 C,3 C,4 C,5 C,6

1 2 3 4 5 6 Dado

A : {(S,1) (S,2) (S,3) (S,4) (S,5) (S,6)} n (A) = 6B : {(S,3) (S,4) (C,3) (C,4)} n (B) = 4A B = {(S,3) (S,4)} n (AB) = 2

P(AUB) = P(A) +P(B) – P(AB) = 6/12 + 4/12 - 2/12 = 8/12

PROBABILIDAD CONDICIONAL

A B


La probabilidad condicional de que el evento B ocurra, sabiendo que el evento A ha ocurrido, es:

P(B/A) = P(B A) , P(A) 0 P(A)

Ejemplo 1 Se lanza una moneda y un dado juntos.a) Si la moneda cae cara. Hallar la probabilidad de que el resultado sea par.b) Si la moneda cae cara. Cual es la probabilidad de que el resultado termine en 4:

a) Sea B : {La moneda cae cara} P(B) = 6/12Sea A : {La moneda sea par} P(A) = 6/12

Ver ejemplo anterior:

A B : {(C,2) (C,4) (C,6)} P(AB) = 3/12

P(A/B) : P(A B) = 3/12 = 1 P(B) 6/12 2

b) Sea C = {termine en 4} = {(C,4) (S,4)} P(C) = 2/12B C = {(C,4)} P(BC) = 1/12

P(C/B) = P(C B) = 1/12 = 1 P(B) 6/12 6

TEORIA DE LA MULTIPLICACIÓN

De la probabilidad condicional P(B/A) = P(B A) , P(A) 0 P(A)

Se tiene: P(BA) = P(A) * P(B/A)

“La probabilidad simultánea de A y B es igual al producto de la probabilidad de A por la probabilidad de B, dado que ha sucedido A” ..... igualmente.

P(AB) = P(B) * P(A/B)

GENERALIZANDO:

P(B) = P(A1) * P(B/A1) + P(A2) * P(B/A2) + … + P(An) * P(B/An)

Ejemplo En una caja se tienen 5 tizas: 2 blancas (B) y 3 azules (A). Extraemos 2 tizas alazar. ¿Cuál es la probabilidad de que:a) la primera sea azul y la segunda blanca?b) Sean del mismo color?c) Sean de diferente color?


Solucióna) la primera azul y la segunda blanca

Primera sea azul P(A) = 3/5En la caja quedan 4 tizas 2 B y 2 AAl extraer la segunda y sea blanca la probabilidad será:P(B/A) = 2/4 P(A B) = P(A/B)* P(A) = 2/4 * 3/5 = 3/10

b) del mismo color(primera A y segunda A) ó (primera B y segunda B)

3/5 * 2/4 + 2/5 * 1/4 = 8/20

c) diferentes colores(primera A y segunda B) ó (primera B y segunda A)

3/5 * 2/4 + 2/5 * 3/4 = 12/20

Comentar los resultados de (b) y (c). explicar por qué suman 1.

EVENTOS INDEPENDIENTES

Dos eventos A y B son independientes, si la ocurrencia de A no afecta (no condiciona, no influencia) a la de B, si:

P(B/A) = P(B) , entonces:P(A B) = P(A)* P(B) P(A B) 0

Ejemplo: Se arrojan 2 dados, uno es blanco y el otro es azul.¿Cuál es la probabilidad de obtener que el blanco sea mayor o igual a 5 y el azul menor o igual a 4?

B 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 L 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 A = Blanco 5 P(A) = 12/36A 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 B = Azul 4 P(B) = 24/36N 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 C 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 P(A B) = P(A)* P(B)O 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 = 12/36 * 24/36 = 2/9(B)

AZUL (A)

Se lanzan dos monedas:A1 : 1ra moneda sea cara A2 : 2da moneda sea cara B1 : lra moneda sea sello B2 : 2da moneda sea sello

A1 y A2 A1 y B2 B1 y A2 B1 y B2 son independientes

A1 y B1 A2 y B2 son mutuamente excluyentes


TEOREMA DE BAYESSupongamos que hay “n” eventos: A1 , A2 , .... A² S

a) S = A1 A2 .... An

b) A1 A2 .... An = 0 para cualquier evento BS

donde: 1 k n i = 1, 2, 3, ........., n

P(Ak/B) = P(A k) P(B/ Ak) P(A1)P(B/A1)+P(A2)P(B/A2) + ..... P(An)P(B/An)

P(Ak/B) = P(Ak) P(B/ Ak) P(Ai) P(B/Ai)

i=1

Ejemplo La caja I tiene 5 fichas negras y 5 rojas.La caja II tiene 6 fichas negras y 4 rojas. Se toma un juego de barajas (normal) de 52 cartas. Se saca una carta aleatoriamente y si resulta número impar se saca una ficha de la caja I. De lo contrario se saca de la caja II.a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea negra?b) Si la ficha fue negra ¿Cuál es la probabilidad de tener un número impar?

SoluciónCaja I: impares: 1, 3, 5, 7, 9, J, K 7 cartas P(I) = 7/13Caja II: pares : 2, 4, 6, 8, 10, Q 6 cartas P(II) = 6/13

5 N P(N/I) = 5/10 6 N P(N/II) = 6/105 R 4RCaja I P(R/I) = 5/10 Caja II(R/II) = 4/10

a) nos piden P(negra), que puede ser de I ó II

P(N) = P(I) P(N/I) + P(II) P(N/II) P(I N) + P(II N) = (7/13 * 5/10) + (6/13 * 6/10) 35/130 + 36/130 = 71/130

b) nos piden P(impar.caja I / fue negra)

P(I/N) = P(I N ) = P(I) P(N/I) = 35/130 = 35 P(N) P(N) 71/130 71

s


5/10 R

Impar I 7/13 5/10 N

4/10 R 6/13 Par II

6/10 N

P(R) = (7/13 * 5/10) + (6/13 * 4/10) = 59/130

P(N) = 71/130 P (R) + P(N) = 1

P(I/N) = 35/71 P(II/N) = 6/13 * 6/10 = 36/130 = 36 7/130 71/130 71

P(I/N) + P(II/N) = 35/71 + 36/71 = 1 P(I/R) + P(II/R) = 35/59 + 24/59 = 1


PROBLEMAS RESUELTOS

1. Una caja contiene 4 tubos malos y 6 buenos. Se verifican sacando uno al azar, se prueba y se repite el proceso hasta que se encuentran los 4 tubos malos ¿Cuál es la probabilidad de encontrar el cuarto tubo en la quinta prueba?

Solución

Sea A: {Encontrar el 4to. tubo malo en la 5ta. Prueba}

M M M B 5ta. Prueba y 4to. tubo malo

Permutación con repetición

4P3,1 = 4 ! = 4 ............ n(A) = 4 3 ! 1 !

n(S) = 10C4 = 210

P(A) = 4 / 210

2. 20 artículos, 12 de los cuales son defectuosos y 8 no defectuosos. Se inspeccionan una después de otra. Si esos artículos se escogen al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que los tubos 4º y 5º sean buenos.

Solución = 0 defectuosos

Sea B: {4to. y 5to. tubo no son buenos} = 2 buenos

n(B) =

P(B) = * = 14 95

3. La urna P contiene 4 fichas blancas y 3 rojas. La urna Q contiene 2 blancas y 3 rojas. Se saca una ficha de P y se coloca en Q. Se sacan dos fichas de Q. Dado que las dos fichas de Q resultan blancas. ¿Cuál es la probabilidad de que ficha extraída de P también haya sido blanca?

Solución

P 4B 3R P(R) = 3/7 y P(B) = 4/7

4 M

M

12 defec

8 buenos120

82

120

82

202

6 B


Q 2B 3R

La ficha sacada de P, puede ser blanca P(B) = 4/7 ó puede ser roja P(R) = 3/7.Esta misma ficha debe ser colocada en la urna Q.

P QExtrae una ficha

y colocar en Q

Si es roja P(R) = 3/7 Si es blanca P(B) = 4/7

En Q en Q

P(B1) = 2/6 P(B1) = 3/6P(B2) = 1/5 P(B2) = 2/5

P(BB) : P(las 2 fichas sacadas de Q son blancas)

Roja de P Blanca de P

P(BB) = 3 2 * 1 + 4 3 + 2 7 6 5 7 6 5

= 6/210 + 24/210 = 30/210

P(Bp/BB) = P(la ficha de P es blanca, dado que las 2 fichas extraídas de Q son blancas)

P(Bp/BB) = 24/210 = 2430/210 30

4. De una caja que originalmente contiene 2 fichas azules y una ficha blanca, se realizan dos extracciones. En cada extracción se saca al azar una ficha, se registra su color y luego se le devuelve a la caja junto con dos fichas del mismo color que la extraída. Calcular la probabilidad de obtener exactamente 2 fichas azules si se sabe que hay al menos una ficha blanca.

SoluciónVer gráfico en la página siguiente.Se trata de probabilidad condicional

P(A/B) .... A es la incógnita y B ya ha sucedido; en nuestro caso se tiene:

A = {hay al menos, dos fichas azules} A = { aab, aba, baa }

4 B 3 R

2 B 3 R

2 B

4 R 3 B 3 R


B = {hay al menos una ficha blanca}(1 o + blancas) B = S – {aaa}

Sabiendo que: S = { aaa, aab, aba, abb, baa, bab, bba, bbb }

Si es azul P(a) = 2/3

Si es blanca P(b) = 1/3

a

6/7

4/5 a 1/7 b

a 1/5 b 4/7

2/3 a 3/7 b

a 4/7

1/3 b 2/5 a 3/7 b

a 3/5 b 2/7

5/7 b

A = { 2 azules } : { aaa, aba, baa }P(A) = ( 2/3 4/5 1/7 ) + ( 2/3 1/5 4/7 ) + ( 1/3 2/5 4/7 ) P(A) = 24/105

B : { al menos 1 blanca } : {1 – P(aaa) }

P(B) = 1 – ( 2/3 4/5 6/7 }P(B) = 57/105

Además: A B = A

P(A/B) = P (A B) = 24/105 = 24 P(B) 57/105 57

5. Se tienen dos fichas numeradas con los dígitos 1 y 2. se escoge aleatoriamente una ficha y se lanza un dado tantas veces como indica el número extraído. Hallar la probabilidad de obtener la suma 5.

2aaaaa

1b

6a1b

4a3b

4a1b

4a3b

2a5b

2a3b

2a1b


Solución

S = { 1, 2, 3, 4, 5, (1,1) (1,2) (1,3) ... (2,1) (2,2) .... (6,6) }

Sea E: { obtener la suma 5 }E = { (1,4) (2,3) (3,2) (4,1) 5 }

E1 = { lanzar el dado una vez, obtener la ficha 1 }E2 = { lanzar el dado dos veces, obtener la ficha 2 }

P(E) = P(E1) * P(E/ E1) + P(E2) * P(E/ E2) = ½ * 1/6 + ½ * 4/36 = 5/36

E/ E1 = { 5 } P(E/ E1) = 1/6 E/ E2 = { (1,4) (2,3) (3,2) (4,1) } P(E/ E2 ) = 4/36

6. Del problema N°.5, hallar la probabilidad de que la suma 5, provenga del lanzamiento del dado dos veces.

Solución 1/6 Suma 5

1 vez S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} 1/2 5/6 Suma 5

4/36 Suma 5 1/2 S = { (1,1) (1,2) .... (6,5) (6,6) }

2 veces 32/36 Suma 5

P(E2/E) = 1/2 * 4/36 = 25/36 5

7. Se tienen 5 monedas; 4 normales y una con cara en ambos lados. Se escoge aleatoriamente un a y se lanza dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caras?

Solución 1/4 2 caras: CC P(E/ E1) = 1/4

normal 4/5 3/4 0,1 caras: CS, SC, SS

1/5 no normal 1 2 caras: cc P(E/ E2) = 1/4

E: obtención de dos caras

52

X0

5+x2

51

61

112


E1: obtención de moneda normal : P(E1) = 4/5E2: obtención de moneda anormal : P(E2) = 1/5

P(E) = P(E1) * P(E/ E1) + P(E2) * P(E/ E2)4/5 * ¼ + 1/5 * 1

P(E) = 2/5

8. Una urna contiene 5 fichas negras y “x” fichas blancas. Si al sacar dos fichas al azar, la probabilidad de que ambas sean negras es2/11. Determinar la probabilidad de que las dos fichas sean de diferentes colores.

Solución

5 + X fichas P(NN) = = 2/11

Resolviendo:

X = 6 fichas blancas

P(NB) = = 6/11

9. Se mezclan las letras de la palabra: MAHAMMADDAM y luego son arregladas en algún orden. ¿Cuál es la probabilidad de que de que las 4A y 4M sean consecutivas

Solución M = 4A = 4

M A H A M M A D D A M N° de letras = 11 H = 1D = 2

Espacio muestral: S Se trata de permutaciones con repetición.

11P4,4,2,1 = 11 ! = 34 650 = S 4! 4! 2! 1!

A: 4 A y 4 M consecutivas

4

P(A) = 2!* 4! / 2! . 34 650

5 N

X B

A A A A M M M M

D D H3 2 1


10. En el problema anterior ¿Cuál es la probabilidad de que la 2D estén en los extremos?

Solución 9!

MMMM AAAA H P = 4! 4! 1! = 0.018 4 4 1 34 650 extremos

11. En el problema N°9 ¿Cuál es la probabilidad de que las letras A y M estén en los extremos y las 2D estén juntos?

Solución

Si A y M están en los extremos pueden ordenarse de 2! Maneras. Además, si las 2D están juntas se considerará como si fueran una sola. Entonces (aparte de los extremos) quedarán 8 letras para permutar.

AAA MMM DD H A = 3 M = 3 D = 1 y H = 1 3 3 1 1

2! * 8! extremos : 2! P = 1! 3! 3! 1!

34 650

12. En el problema N°9 ¿Cuál es la probabilidad de que las letras D y H estén en los extremos y las 4A y las 4M estén juntos?

Solución

D y H están en los extremos, podrán ordenarse de 2! Maneras. Las 4M y 4A deben estar juntos, así MMMMAAAA ó AAAAMMMM, entonces pueden ordenarse de 2! Maneras y todo el conjunto se considerará como una sola letra.

D MMMM AAAA A = 3 M = 3 D = 1 y H = 1 2! 1 2

extremos : 2! P = 2! 2! 2! 34 650

13. La caja I tiene 5 fichas negras y 5 rojas. La caja II tiene 6 fichas negras y 4 fichas rojas. Se toma un juego de barajas normal de 52 cartas. Se saca una carta aleatoriamente y si resulta primero impar saca una ficha de la caja I; de lo contrario se saca una de la caja II.

D D

A MD

D HD


a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea negra?b) Si la ficha fue negra ¿Cuál es la probabilidad de haber sido un “AS”?

Solución 5/10 R Sea:

Impar I = seleccionar urna I I II = seleccionar urna II

7/13 5/10 N

N/I = obtener ficha negra de la urna I 4/10 R N/II =obtener ficha negra de la

6/13 II Par N = obtener una ficha negra

6/10 N

P(I) = 7/13 P(II) = 6/13P(N/I) = 5/10 P(N/II) = 6/10

P(N) = P(I) * P(N/I) + P(II) * P(N/II)P(N) = (7/13 * 5/10) + (6/13 * 6/10)P(N) = 35/130 + 36/130 P(N) = 71/130

b) Sea:As/N: obtener un “AS”, dado que la fue seleccionado fue negra

P(As/N) = P(As N) = P(As) * P(N/As)P(N) P(N)

P(As) = 4/52 P(N/As) = 5/10

P(As/N) = 4/52 * 5/10 = 5 71/130 71

14. En una urna hay 5 fichas rojas, 5 fichas blancas, 3 fichas negras, 4 fichas verdes y 3 amarillas. Se eligen 2 fichas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que resulten:a) del mismo colorb) de diferentes colores

15. Resolver el problema anterior si se eligen 3 fichas

16. En una ciudad, el 58% de los votantes están registrados en el partido ABC, el 25% en el partido IJK y el 17% en el partido PQR. Hay 3 candidatos a la Alcaldía. A del partido ABC, I del partido IJK y P del PQR.

El 70% del PQR, 10% del IJK y 20% del PQR votaron por A,El 10% del PQR, 70% del IJK y 18% del PQR votaron por I,El 20% del PQR, 12% del IBK y 70% del PQR votaron por P,


Si se selecciona al azar un votante y declara honestamente que votó por A. ¿Cuál es la probabilidad de que sea del PQR?

0.70 A Sea A1: (un votante determinado votó por A) 0.10 P(A1) = P(ABC)*P(A/ABC)+P(IJK)*P(I/IJK)

ABC I + P(PQR)*P(P/PQR)

0.58 0.20 P P(A1) = 0.58 x 0.70 + 0.25 x 0.12 + 0.17 x 0.18 = 0.4666

0.12 A 0.25 0.70

IJK I P(del PQR/ votó por A) = ??

0.18 P P(PQR/A) = P(PQR) * P(A/PQR) P(A)

0.17 0.18 A 0.12 = 0.17 * 0.18 = 0.0656

PQR I 0.466

0.70 P

¿Cuál es la probabilidad que haya votado por I ?............... ¿Por P?

P(I) = (0.58 * 0.10) + (0.25 * 0.70) + (0.17 * 0.12) P(I) = 0.2534P(P) = (0.58 * 0.20) + (0.25 * 0.18) + (0.17 * 0.70) P(P) = 0.2800

Si otro votante declaró que votó por A. ¿Cuál es la probabilidad que pertenezca a partido ABC?

P(ABC/A) = P(ABC) * P(A/ABC) = 0.58 x 0.70 = 0.8701 P(A) 0.466

17. La probabilidad de que llueva en una ciudad el 15 de marzo es 0.10 de que truene es 0.05 y de llueva y truene es 0.03 ¿Cuál es la probabilidad de que no llueva o no truene ese día?

Solución:Sea A : llueva B : truene A B : llueve y truena

P(A) = 0.10 P(B) = 0.05 P(A B) = 0.03

P(no llueve o no truene) = P( A B ) = ??

Por Morgan: A B = A B, entonces P(A B) = P (A B) = 1 – P(A B)

= 1 – 0.03 = 0.97


¿Cuál es la probabilidad de que llueva o truene ese día?P(llueve o truene) = P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)

= 0.10 + 0.05 - 0.03 = 0.12

¿Cuál es la probabilidad de que llueva o no truene ese día?P(llueve o no truene) = P(A B) = P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)

= P(A) - P(B) - [ P(A) – P(A B)] = P(B) + P(A B) = 1-0.05 + 0.03 = 0.98

18. Una caja contiene 100 tubos de televisión (TV). La probabilidad de que haya al menos un tubo defectuoso es 0.05 y de que haya al menos dos tubos defectuosos es 0.01. ¿Cuál es la probabilidad de que la caja contenga:

a) ningún tubo defectuosob) exactamente un tubo defectuosoc) a lo más un tubo defectuoso

Solución

A = al menos un tubo defectuoso; x ≥ 1 P(x ≥ 1) = 0.05B = al menos 2 tubos defectuosos; x ≥ 2 P (x ≥ 2) = 0.01

a) P(ningún tubo defectuoso) = P(X = 0) = ??

P(S) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + ....... + P(100) = 1

= P(0) + P(x ≥ 1) = 1

Entonces: P(X = 0) = 1 – P(x ≥ 1)1 – 0.05 = 0.95

b) p ( x =1) = ?

p(S) = p(x = 0) + p(x = 1) + p(x 2) = 1

p(x = 1) = 1 – p( x = 0 ) – p( x 2 )

= 1 – 0.95 – 0.01

= 0.04


c) p( a lo más un defectuoso ) = p (x 1 ) =?

p( x 1 ) = 1 – p( x 2 ) = 1 – 0.01 = 0.99

19. La probabilidad de que tres tiradores A,B y C den en el blanco son respectivamente 1/3, 1/4 y 1/5. Cada uno dispara una vez en el blanco.Se pide :

a) Si exactamente dos dan en el blanco. Cuál es la probabilidad de que hayan sido B y C?.

b) Si se ha dado en el blanco. Cuál es la probabilidad que haya dado B ó C?.

p(A) = 1 / 3 p(B) = 1 / 4 p(C) = 1 / 5

p( B y C / 2 dan en el blanco ) = p( X / Y ) =?

p( 2 dan en el blanco ) = p( A BC ) + p( B AC ) + p( C AB)

= p(A) p(B) P(C) + p(A) p(B) p(C) + p(A) p(B) p(C)

= ( 2 / 3 . 1 / 4 . 1 / 5 ) + ( 1 / 3 . 3 / 4 . 3 / 5 ) + ( 1 / 3 . 1 / 4 . 4 / 5 )

= 2 / 60 + 3 / 60 + 4 / 60

= 9 / 60

p( B y C ) = p(A BC ) = 2 / 60

Entonces :

2 / 60 p( X / Y ) = _____________ = 2 / 9

9 / 60

b) p(dar en el blanco ) = 1 – p( no dar en el blanco ) = p(Q) = 1 – p(A B C )

= 1 – ( 2 / 3 . 3 / 4 . 4 / 5 ) = 36 / 60

p( B ó C ) = p(A B C ) + p(ABC) = p( R )

= 2 / 3 . 1 / 4 . 4 / 5 ) + ( 2 / 3 . 3 / 4 . 1 /5 ) = 14 / 60

p ( R ) 14 / 60 p = ___________ = ___________ = 14 / 36 p( Q ) 36 / 60


20. Una urna contiene “X” fichas rojas y “Y” fichas blancas y otra urna II contiene “Z” fichas rojas“W” fichas blancas.

a)Si se escoje una ficha al azar y se saca una ficha. ¿cuál es la probabilidad de que sea roja.?

b)Si se saca una ficha de la urna I y se coloca en la urna II y luego se saca una ficha de la urna II. ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda ficha sea roja?.

21. La urna I contiene 4 fichas blancas y 3 rojas, y la urna II contiene 2 blancas y 5 rojas. Se lanza un dado no cargado. Si resulta 1 ó 2 se sacan 2 fichas sin restitucióm de la urna I, de lo contrario se sacan 2 fichas sin restitución de la urna II

a) Cuál es la probabilidad de que las dos fichas sean blancas?b) Si la dos fichas extraídas son blancas. Cuál es la probabilidad de que hayan sido

elegidas de la urna I?c) Determine la distribución de probabilidades de X, siendo X ( sacar dos fichas ),

previamente lanzando el dado no cargado.

22.- Se tienen las dos urnas del problema anterior. Se saca una ficha de la urna I y se coloca en la urna II, enseguida, se sacan dos fichas de la urna B.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos fichas extraídas de II sean blancas?b) Dado que las dos fichas extraídas de la urna II resultan ser blancas. ¿Cuál es la

probabilidad de que la ficha extraída de la urna I también haya sido blanca?.

23. Cuántas permutaciones distintas se pueden formar con todas las letras de la palabra PARAMPAMPAM si;

a) Las “aes” y las “emes” deben estar en los extremos.b) La R debe estar entre dos “aes”.c) Las “pe..” deben estar siempre en los extremos.d) Una “A” y una “M” deben estar en los extremos .e) La R y las “emes” deben estar en los extremos.

Solución

a) PARAMPAMPAM n = 11 A = 4 P = 3 M = 3 R = 1

2! P = 4 P

1, 3 x 2!

= 4! x 2 = 8 3!

A A A A

P P P M M

4 P 1, 3

4 3


b) 2 3 3

1 2 3 4 5 6 7 8 9

9 P 2, 3,3 = 9! = 5,040

2! 3! 3!

c) 4 3

1 2 3 4 5 6 7 8 9

9 P 4,3 = 9! = 2,520 4! 3!

d)

2!

p = 9! x 2! =10,080 3! 2! 3!

e)

A A

A R A

P P P M M M

P P A A A A

M M M R P

A A A A P P P R M M 1 2 3 4 5 6 7

M

R

A A A A P P P1 2 3 4 5 6 7

M M M

Se considera. como si fuera uno sólo. Entonces hay 9 letras y se repiten : A 2 veces, P tres veces y M tres vecesA R

A

P = 7P 3,4 x 2! = 7! x 2! = 70 4! 3!

3 23


24.- Cuántas permutaciones distintas pueden formarse con todas las letras de la palabra :

a) MANDAMAS b) COCA COLA c) PARAMPAMPAMd) COLO COLO e) ROCOCO d) SELENEIENSE

25.- Determinar el nº de permutaciones de la letras de la palabra : COLOCOLO , si :a) las 4 “oes” deben estar juntos. Rpta: 30b) las dos “eles” deben estar separadas. Rpta: 315c) en este orden, “oes” y “eles” deben ser consecutivos. Rpta: 3d) “oes” y “eles” no deben estar juntos. Rpta: 414e) 4 “oes”, la 2 C y 2 “eles” deben estar juntos. Rpta: 6

26.- Determinar el nª de permutaciones de las palabra : COCACOLA , si :

a) la 3 “C” deben estar separados. Rpta: 1,500b) las 2 “A” y las 2 “O” deben estar juntos. Rpta: 40c) las 3 “C”, 2 “A” y 2 “O” deben ser consecutivas en ese orden. Rpta: 2

27.- En una reunión de 6 personas: a) ¿De cuántas maneras pueden acomodarse?. b) 2 de ellas siempre deben estar juntos.

Resolver este problema si se sientan : en una hilera de sillas , en una mesa redonda.

Hilera de 6 sillas: Mesa redonda n = 6 n =6 a) a) uno de ellos permanece fijo:

6 5 4 3 2 1 = 6! ( 6 – 1 )! = 5! = 120 = 720 b) b) 2! ( 5 – 1)! = 48

5 Sean A,B,C,D y F. Uno de ellos permanece fijo, supongamos F.

A B

_ _ _ _

4 3 2


P = 2! 5! = 240 Quedarian 5. 2 de ellos van juntos ( A y B ) 2! Considerando como uno sólo habran 4...4!

A y B juntos 2!

Como están juntos, considerarlos como si fueran uno solo. Mas los 4 restantes, habrán 5!

28.- Según las estadísticas, en la capital, las probabilidades de que asalten un banco y una casa comercial son 0.40 y 0.55 respectivamente. Asi mismo, las probabilidades en provincias son de 0.30 y 0.45 respectivamente.

Cuál es la probabilidad de que a) Ocurra por lo menos un asalto en la capital?b) Ocurra un asalto por lo menos en provincias?

Solución

A : asaltan banco en la capital. B: asaltan casa comercial en la capital.C: asaltan banco en provincias. D: asaltan casa comercial en provincias.

a) de que ocurra por lo menos un asalto en la capital, significa que puede suceder en un banco (A) ó en una casa comercial (B) ó en los dos al mismo tiempo.

p = p ( A B ) + p ( A B ) + p ( A B ) = ( 0.60 x 0.55 ) + ( 0.40 x 0.45 ) + ( 0.40 x 0.55 ) p = 0.73

b) De que ocurra un asalto en provincias, significa que puede suceder C ó D ó los dos juntos.

p = p (C D ) + p( C D ) + p ( C D ) p = 0.615 c) ¿ Cuál es la probabilidad de que no ocurra asalto alguno? Puede ser en la capital ó en provincias

P = p ( A B ) + p ( C D ) = ( 0.60 x 0.45 ) + ( 0.70 x 0.55) = 0.655

29.- Una baraja normal de 52 cartas. Se extraen 2 cartas rojas, luego se extraen 10 cartas aleatoriamente. Dado que las cartas son del mismo color. ¿Cuál es la probabilidad de que ellas sean del color negra?.

Una baraja tiene 26 cartas rojas y 26 cartas negras. Al sacar 2 cartas rojas, quedan: 24 rojas y 26 negras = 50 cartas. A: 10 cartas del mismo color = (10 N ó 10 R) B: 10 cartas negras

P (B/A) = P ( A B ) = P (B)


P(A) P(A)

24 26 24 26 24 26 P (A) = 10 0 + 0 10 = 10 + 10

50 50 10 10

24 26 26 P (B) = 0 10 = 10

50 50 10 10

26 P (B/A) = 10 = 0.73 24 26

10 + 10

30.- Se tiene la palabra MANAMMADAN y se calcula el nº de permutaciones. Si se escoge una palabra al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que:

a) La 4 A sean consecutivas.b) Las 4 A y 3 M sean consecutivas, en ese orden.c) Las 4 A, 3 M y 2 N sean consecutivas.d) Las “aes” y las “emes” estén juntas.e) Las “aes” , “emes” y “enes” estén juntas.Solución

MANAMMADAN n = 10 letras

A = 4 M = 3 N = 2 D = 1

El número de permutaciones diferentes de 10 letras serán :

10 P 4,3,2,1 = 10! = 12,600 4! 3! 2! 1!a) Cuatros “aes” consecutivas

b) 4 A y 3 M consecutivos

N N D 3 2 1

A = 4 M = 3 5! N = 2 P = 2! . D = 1 12,600

A A A A

M M M N N D6 5 4 3 2 1

M = 3 N = 2 7! .D = 1 P= 3! 2! 1! 1!A = 4 12,600

P = 1/30

7

A A A A M M M 5 4


c) las 4 A , 3 M y 2 N sean consecutivas

4 3 2 1 p = 4! = 1/525 12600

d) Las “aes” y “las “emes” estén juntos

e) aes , emes y enes juntos. Juntos: 3! 1

2

31. Si p(A) = 0.92 p(B) = 0.22 p( A B ) = 0.20. calcular la probabilidad de :a) A Bb) A Bc) A Bd) A Be) A B

Solución

A A A A M M M N N D

A A A A M M M

D = 1N = 2 P = 2! ( 4! / 2! ) = 1 / 525A = 1 12,600M = 1 A A A A M M M

N ND

P = 3! x 2! = 1 / 1,050 12,600

P ( A B ) = P ( A B ) = 1 – P ( A B ) = 1 – 0.20

= 0.80 = 0.80

b) P (A B ) = P (B ) – P ( A B ) = 0.22 – 0.20

= 0.02

c) p( A B ) = p (A ) + p ( B ) – p (A B )

= ( 1 – 0.92 ) + 0.22 – 0.02 = 0.28

N N D

Juntos 3 2 1


d) p ( A B ) = p ( A B ) = 1 – p (A B ) = 1 - P (A ) + p (B) – p (A B )

= 1- 0.92 + 0.22 – 0.20 = 0.06

e) p (A B ) = p (A ) + p(B) - p (A B ) = 0.92 + (1 – 0.22 ) - P (A B ) p (A B ) = p (A ) - p (A B ) =0.92 – 0.20 = 0.72 p (A B ) = 0.92 + 0.78 – 0.72

= 0.98

32. Se lanza un dado 6 veces. Cuál es la probabilidad de obtener tres números iguales en las 6 tiradas?Solución

Suponiendo que salen tres veces “uno” :

1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª

sale “uno” no sale “uno”

Se observa que, no necesariamente el 1ª , 2º y 3º tiro saldrán “uno”, puede ser por ejemplo: en el 1º, 3ª y 4º tiros, ó en el 2º, 4ª y 5º tiros, etc. en 6 tiros, hay 3 que deben ser “uno” sin interesar el orden, esto es : 6 3 = 6C 3 y como son 6 caras, la probabilidad de obtener tres caras

iguales será:

P = 6 C 3 x 6 x ( 1/6 . 1/6 . 1/6. 5/6 . 5/6 . 5/6 ) = 625 / 1944

33. En la UIGV el 4% de hombres y el 1% de mujeres tienen más de 1.80 m de estatura. Además el 60% de los estudiantes son mujeres, seleccionando un estudiante al azar, es más alto que 1.80 m .¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer?. Rpta : 3 /11 = 0.27

34- El 20% de los estudiantes del décimo ciclo son bachilleres, en tanto que el 80% no lo son .

La probabilidad de que un estudiante que tiene el grado de bachiller sea casado es 0.50, en tanto para un estudiante no bachiller es sólo 0.10. se elige un estudiante al azar del decimo ciclo.a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea casado?.b) Dado de que el estudiante elegido es casado. ¿Cuál es la probabilidad de que

sea bachiller?.


Rpta . a) 0.18 b) 5/2

35.- Determinar la probabilidad de obtener un “As” en la siguiente extracción si se retiran

5 “espadas” de una baraja de 52 cartas. Rpta :

1 /13

36. Se va a seleccionar un comité de 3 personas a partir de un grupo de 5, denotados por A,B,C,D y E.a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea seleccionado B?b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea seleccionado A y B?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que no sean seleccionados A y C?

a) 4 1 b) 3 2 P = 2 1 = 3 / 5 P = 1 2

5 5 3 3

c) 3 2 P = 3 0

5 3 37.- Juan es un buen tirador y en c/u de los disparos realizados tiene la probabilidad

de dar en el blanco es 4/5.Suponiendo que realiza 4 disparos en el blanco. Si acierta una vez recibe S/. 600, si acierta 2 veces recibe S/. 3,200, si acierta 3 veces S/. 10,000, si acierta 4 veces S/. 20,000 y tiene que pagar S/. 30,000 sino da en el blanco. Calcular su ganancia esperada.

Solución

Sea X el número de disparos que dan en el blanco.

X = 0,1,2,3,4

P (B) : probabilidad de dar en el blancoP (B) = 4/5 P (B) = 1/5

P (X=0) = P ( BBBB ) = 1 ( 1/5.1/5.1/5.1/5 ) = 1 / 625 P (X=1) = P ( BBBB ) = 4 ( 4/5.1/5.1/5.1/5 ) = 16 / 625P (X=2) = P ( BBBB ) = 6 ( 4/5.4/5.1/5.1/5 ) = 80 / 625

P (X=3) = P ( BBBB ) = 4 ( 4/5.4/5.4/5.1/5 ) = 256 / 625P (X=4) = P ( BBBB ) = 1 ( 4/5.4/5.4/5.4/5 ) = 256 / 625

Sea Y = ganancia obtenida al efectuar disparos.


Y = 300,000 , 600 , 3,200 , 10,000 , 20,000E ( Y ) = ( -30,000 x 1/625 ) + ( 600 x 16/625 ) + ( 3,200 x 80/ 625 ) + ( 10,000 x 256/625 ) + ( 20,000 x 256/625 )

E ( Y ) = S/. 12664.96

38. Se tienen 8 fichas blancas y 4 negras. Se dividen al azar en 4 grupos de tres fichas

cada uno.Calcular la probabilidad de que en cada grupo siempre haya una ficha

negra.

39. Si hay 6 líneas de automóviles entre Ica y Lima, y entre Lima y Huacho 8 líneas.De

cuantas maneras puede una persona ir de Ica a Huaura y regresar en líneas

diferentes ?

40. Cuál es la probabilidad de conseguir números menores de 200 con los dígitos

1,2,3,4 si los dígitos pueden repetirse ?


41. Una urna contiene 16 fichas de las cuales 12 son blancas y 4 negras, se extrae una muestra de tamaño 4 con reemplazo.Hallar la probabilidad de que la muestra contenga exactamente 3 fichas blancas ?

42. Se lanzan 5 dados. cual es la probabilidad de obtener:

a) 3 caras iguales ? (Ejemplo: 3 "unos", etc); b) 2; c) 4; d) 5

a)

b)

c)

d)

43. Cuántos números de 5 cifras son divisibles entre 23?

44. Se va a seleccionar un comité de tres personas a partir de un grupo de 5,

denotados por A,B,C,D y E. Cual es la "p" de que sea:

a) Seleccionado B.


b) Sean seleccionados A Y B.

c) No sean seleccionados A Y C.

45. Se forman números de 4 cifras sin repetición con los dígitos: 0,2,5,7,8,9.Se

escoge uno de estos números al azar. Cuál es la probabilidad de que sea par ?.

46. Se distribuyen al azar 4 bolas diferentes entre tres cajas.

a) Cual es la probabilidad de que la 1ra. caja contenga 4 bolas ?

b) Cual es la probabilidad de que las 3 cajas queden ocupadas?


47. Se mezclan las letras de las palabra:

a) MUHAMMADAN

b) MUHAMMANAN

Y luego son arreglados en algún orden. Cuál es la probabilidad de que las 3 A

Y 3 M sean consecutivas cada una en forma independiente?


48. Se tienen las letras de la palabra MAHATTMMHAM. Cuál es la probabilidad de

tener:

A: Las "M" en los extremos y las "A" juntas ?

B: Las "A" deben estar en los extremos y las "M" juntas

c: Las "A" no deben estar en los extremos ?

D: Las "A" y las "H" deben estar juntas ?


49 En la Universidad N. Federico Villarreal, una encuesta constató lo siguiente: El

5% de estudiantes del último ciclo son simpatizantes del club

"UNIVERSITARIO DE DEPORTES", el 10% de estudiantes del último ciclo son

karatecas y el 10% de karatecas son simpatizantes de la "U". Si se selecciona

un estudiante al azar del último ciclo. Cual es la probabilidad de que sea

karateca o haya pertenecido al club "UNIVERSITARIO DE DEPORTES".

50. Supongamos que la ciencia médica ha desarrollado una prueba para el diagnóstico del cáncer que tiene el 95% de exactitud, tanto en los que tienen cáncer, como entre los que no tienen.

Si 0.005 de la población tienen cáncer.


Calcular la probabilidad de que determinado individuo tenga cáncer, si la prueba dice que

Tiene.

51. En un ómnibus que posee 37 asientos (8 filas de 4 asientos c/u con un pasillo

en el medio y al final 5 asientos juntos) Se desea ubicar 25 pasajeros:

a) de cuántas formas pueden ubicarse ?

b) Si deciden ubicarse en 5 últimos asientos ?

c) Si desean viajar en los últimos asientos ?

d) Si ocupan los 18 asientos que poseen ventanilla ?

b) Si 10 de los pasajeros desean viajar en asientos que poseen ventanilla ?

a) 37 P25 = 37! / 12!


b) Entonces quedan libres 32 asientos:

c) Si van 5 al final, éstos pueden sentarse de 5P5 = 5! maneras. Los 20 restantes pasajeros, se ubicarán en los 32 asientos disponibles; entonces:

d) Hay 18 asientos con ventanilla (2 filas de 8 c/u y los 2 últimos asientos en los

extremos) pueden sentarse de: 25P18 maneras. Los 7 pasajeros restantes se ubican en los (37 – 18) = 19 asientos libres 19P7 maneras. La respuesta será:

e) Los 10 pasajeros que desean ubicarse en los 18 asientos con ventanilla: 18P10

maneras.Los (25 –10) = 15pasajeros restantes se ubicarán en los 37 – 10 asientos disponibles 27P15 maneras la respuesta será:

52. Si se extraen 5 cartas de una baraja normal. Calcular la probabilidad de extraer:

a) Exactamente 2 parejas (dos"4" y dos "5" por ejemplo)

b) "full" (3 iguales y otras dos también iguales), ejemplo = 44433, kkkQQ,AAA33,

etc.

c) "flor" (5 cartas del mismo color)

d) Una corrida (5 cartas, comenzando por el "as" o "dos" o "tres" .....o con el

"diez" ejemplo A2345, 23456, ... 10JQKA.

a)

b)

c)

d)

53. Seis parejas de casados se en un cuarto.

Si se escogen 4 personas al azar. Hallar la probabilidad de que:

1) Sean dos parejas de casados.

2) Ninguna pareja sea casada entre los 4.

3) Haya exactamente una pareja de casado entre los 4.

a. Escoger 4 personas de 12: 12C4

i)

ii)

iii)p( “0” pareja + “1” pareja + “2” parejas) = 1

16 / 33 + p(1) + 1 / 33 = 1

p(1) = 16 / 33

54. Se extraen 6 cartas de una baraja normal de 52 cartas.

Cual es la probabilidad de extraer:

a) Una pareja (2 cuatro, por ejemplo) y cuatro que no forman pareja.

b) 2 parejas y 2 que no forman pareja.

S = 52C6 6 cartas de 52

a)

b) 13C2: 2 parejas de 13 grupos4C2 : Nº de parejas de 4 grupos ( 2 en 2), como son 2 parejas serán:

4C2 4C2

11C2 : 2 cartas diferentes a los 11 grupos restantes4C1: 1 carta por cada grupo, como son 2 grupos será: 4C1 4C1

55. Una urna contiene 5 fichas negras y x fichas blancas. Si la probabilidad de sacar

2 fichas negras es 2/11. Determinar la probabilidad de que las 2 fichas sean de diferentes

colores.

56. Cuántos números de: A)4 B)5 C)3 D)6 dígitos se puedan formar sin repetición,

con los dígitos 0,1,2,3,4,5,7,8,9.

i) Cuantas son múltiplos de 2.

ii) Cuantos son múltiplos de 5.

0, 1, 2, 5, 7, 8, 9 (sin repetición)

Ai) 5 5 4 2 = 200 Aii) 5 5 4 1 = 100 2,8 5

6 5 4 1 = 120 6 5 4 1 = 120 cero 320 cero 220

Bi) 5 5 4 3 2 = 600 Bii) 5 5 4 3 1 = 300

6 5 4 3 1 = 360 6 5 4 3 1 = 360 960 660

Ci) 5 5 4 3 2 2 = 1200 Cii) 5 5 4 3 2 1 = 600

6 5 4 3 2 1 = 720 6 5 4 3 2 1 = 720 1920 1320

Di) 5 5 2 = 50 Dii) 5 5 1 = 25

6 5 1 = 30 6 5 1 = 30 80 55

57. Una persona elige en un montón, las fotos de 3 hombres y 2 mujeres, otra

persona elige del mismo montón otras 2 fotos de hombres y una de mujer, por sorteo se

seleccionan 2 fotos del 1er. Grupo de 5 fotos, que se juntan con las 3 fotos del segundo grupo.

De cuántas maneras se pueden extraer del conjunto final formado, una foto de mujer si se

extraen 3 fotos ?

Junta

Pueden ser

58. De un baraja normal de 52 cartas. Cual es la probabilidad de obtener un "rey"

en la siguiente extracción, si se sacan:

A) tres B) cuatro c) ocho D) seis

Espadas.

Si se han sacado 3 cartas, quedan 49 cartas.Si de las 3 cartas extraídas no está el “rey” de espadas.

Si de las 3 cartas extraídas está el “rey” de espadas.

59. Una caja contiene: 8 fichas blancas, 5 rojas y 3 amarillas. Otra caja

contiene: 6 blancas, 4 rojas y 3 amarillas. Se sacan 3 fichas de la 1ra. caja y se

colocan en la 2da. caja, verificándose que son de diferentes colores. Se

selecciona 3 fichas de la segunda caja.

Cual es la probabilidades de que las 3 fichas sean de diferentes colores.

diferentes colores 1B, 1R,1A.

60. Dos objetos A y B se distribuyen al azar en 3 celdas numeradas. Defina un

espacio muestral adecuado para este experimento. Use sub-índices para

indicar el Nº. de celda, por ejemplo: A2 B3 ---significa--que A está en la celda 2

y B en la celda 3.

Cuál es la probabilidad de que:

a) La celda 2 quede vacía.

b) Dos celdas queden vacías.

A y B en 3 celdas: 1, 2, 3

S = 9

61. Suponga que la máquina A produce el doble de artículos que la máquina B1 se

sabe que el 6% de las ARTICULOS, que produce la máquina A son

defectuosos, mientras que el 3% de los artículos producidos por la máquina B

son defectuosos. Suponga que se juntan las 2 producciones diarias y se toma

una muestra aleatoria de 4 artículos. Calcular la probabilidad de obtener 2

artículos defectuosos.

Produce Defectuosos x + 2x = 1

Maquina 1 2x 6% x = 1 / 3

Maquina 2 x 3%

p(defect.) = 2 / 3(0.06) + 1 / 3(0.03) = 0.05

muestra = 4 p(2 defectuosos) = ?

p = ( 0.05 0.05 0.95 0.95 )defec. defec. no def. no def.

p = ( 24) (0.05)2 (0.95)2 = 0.01354

62. Se lanza una moneda 4 veces. Cual es la probabilidad de obtener el mismo

número de sellos en los 3 primeros lanzamientos Y en el en el último lanzamiento de la

moneda.

Las posibilidades son "0 " y "1" sello

3 primeros últimop(0,0) = ( 1 / 2 1 / 2 1 / 2 ) * 1 / 2 = 1 / 16

s s s s p = 4/16 3

p(1,1) = ( 1 / 2 1 / 2 1 / 2 ) * 1 / 2 1 = 3 / 16

63. Dos equipos A y B se enfrentan en una serie de partidos. Gana la serie del

primer equipo que obtiene 3 victorias. En ningún partido existe la probabilidad de empate.

La probabilidad de que gane A es igual a 2/3, los resultados de los partidos son

independientes entre si.

Calcular la probabilidad de que A gane la serie, si se sabe que B obtuvo dos

victorias.

Si B obtuvo 2 victorias, para que gane la serie A, deberá ganar tres partidos. En total se jugarán 5. Pero el 5º debe ser fijo que gane A

p = B ( B B A A A) = 4

B B A A 4! = 6 2! 2!

p = 6( 1 / 3 x 1 / 3 x 2 / 3 x 2 / 3) p = 16 / 81

64. Para transmitir señales de una isla a la costas, se dispone de seis luces

blancas y 6 rojas, colocadas en los vértices de un hexágono. En cada

vértice no puede haber encendida más que una luz (roja o blanca) y el

número mínimo de luces encendidas es tres. Hallar el Nº. de señales

distintas que se pueden formar.

Puede haber como mínimo 3 luces encendidas.

65. Encontrar la probabilidad de que almenos 2 cartas de 3 extraídas

aleatoriamente, sin reposición de una baraja normal, sean "espadas".

p (al menos 2 de 3) = 1 -

66. Se tienen dos urnas con fichas: Blancas(B), Rojas(R) y Negras(N).

Urna I : 3 B, 3 R, 4N. Urna II : 4R, 4N, 4B

Se lanzan dos dados, si la suma es menor que 7, se saca una ficha de la urna I, de lo contrario se saca de la urna II.Si se escoge una ficha Roja. Cual es la probabilidad de que la suma sea mayor

que 10

mayor que 10 : (5,6) (6,5) (6,6) 3 / 36

p (suma 10 / R) = p( suma mayor que 10 R)p( R )

3 / 36 x 4 / 12 ( 5 /12 x 3 / 10) + (7 / 12 x 4 / 12)

67. Un hombre tiene c/u de los bolsillos 4 fichas. 2 blancas y 2 negras. En qué

caso tiene más probabilidad de sacar 2 fichas blancas

a) sacando una de cada bolsillo.

b) Sacando dos de un bolsillo.

c) Juntando las 8 fichas en un bolsillo y sacando 2.

a) 2 / 4 x 2 / 4 = 0.25

b) 2/ 4 x 1 / 3 = 0.17

c) 4 / 8 x 3 / 7 = 0.21

68. Se sacan 3 bolas de 3 urnas, que tienen c/u bolas numeradas del 1 al 9. Se

forman un número cuyas unidades, decenas y centenas se sacan respectivamente de la

1ra. 2da. y 3ra. urna.

Cuál es la probabilidad de que el número así formado sea múltiplo de 18 ?18 = 9 x 2 termina en par 2,4,6,8

1,6 2,5 3,4 4,3 5,2 6,1 7,9 8,8 9,7 2.....9

1,4 2,3 3,2 4,1 5,9 6,8 7,7 8,6 9,5 4.....9

1,2 2,1 3,9 4,8 5,7 6,6 7,5 8,4 9,3 6.....9

1,9 2,8 3,7 4,6 5,5 6,4 7,3 8,2 9,1 8.....9

69. Se escogen al azar dos dígitos desde el 1 hasta el 9. Si la suma es par.

Hallar la probabilidad de que ambos sean impares ?

a + b = 2 a y b pares : 2, 4, 6, 8 4C2

a y b impares: 1, 3, 5, 7, 9. 5C2

70. Se sabe que un día dado del año pasado las probabilidades de crímenes

mayores y crímenes menores cometidos en el vecindario norte fueron 0.57 y

0.35 respectivamente; y que las mismas probabilidades para el vecindario sur

fueron 0.52 y 0.85 . Cual es la probabilidad de que ocurra:

a) Un crimen de cualquier tipo en un día dado en el vecindario a.i)norte a.ii)sur.

b)Ningún crimen se cometa en cualquiera de los vecindarios en un día dado ?

Norte A: crimen mayor p(A) = 0.57

B: crimen menor p(B) = 0.35

P(AUB) = p(A) + p(B) – p(AnB) = 0.57 +0.35 – (0.57x0.35) = 0.72

Sur C: crimen mayor p(C) = 0.52

D: crimen menor p(D) = 0.85

P(CUD) = p(C) + p(D) – p(CnD) = 0.52 +0.85 – (0.52x0.85) = 0.93

P (AUB) + P(CUD) = 2 - P(AUB) - P(CUD)

= 2 – 0.72 – 0.93 = 0.35

71. Se lanza un dado hasta que aparezca el 4. Cuál es la probabilidad de que

haya que lanzarlo más de seis veces ?

Cual es su función de probabilidad si x es el número de lanzamientos?

P = 1 – [ 1/6 + 1/6 (5/6) + 1/6 (5/6)2 + 1/6 (5/6)3 +1/6 (5/6)4 +1/6 (5/6)5 ]

P = 1 – 1/6 [ 1 + (5/6) + (5/6)2 + (5/6)3 + (5/6)4 + (5/6)5 ]

P = 0.3349

b) f(x) = (1/6) (5/6)x – 1

72. La probabilidad de un lanzamiento exitoso es igual a 0.8. Suponga que se

hacen ensayos de lanzamientos hasta que han ocurrido 3 lanzamientos

exitosos.

Cual es la probabilidad de que sean necesarios menos de 6 intentos ?

p = 0.8 q = 0.2 menos de 6: 3, 4, 5

x = 3 p p p p3 = 0.51200

x = 4 (p p q) p p3 q 3C1 = 0.30720

x = 5 (p p q q) p p3 q2 4C2 = 0.12288

0.94208

73. Un dado tiene una cara roja, dos caras verdes y las 3 restantes negras. Se

lanza un dado una vez, si sale roja gana 200 $, si sale verde 50$.

Cuánto debería pagar Ud, si sale negro, para que el juego sea equitativo

(cuando E(x)=0) ?

p( R) = 1/6 p(V) = 2/6 p(N) = 3/6

R = + 200 V = +50 N = - ??

E(x) = (200 x 1/6) + (50 x 2/6) + (N x 3/6) = 0

N = - 100

74. La probabilidad de un lanzamiento exitoso es igual a 0.7. suponga que se

hacen ensayos de lanzamientos hasta que han ocurrido 4 lanzamientos exitosos.

Cuál es la probabilidad de que sean necesarios más de 6 intentos ?

p = 0.7 p’ = 0.3

x = 3 p p p p3

x = 4 (p p p’) p p3 p’ 3C1

x = 5 (p p p’ p’) p p3 p’2 4C2

p = (0.7)3 + 0.3(0.7)3 x 3C1 + 4C2 x (0.7)3 (0.3)2

75. Se tienen 2 fichas numeradas con los dígitos 1 y 2. Se escoge

aleatoriamente una ficha y se lanza un dado tantas veces como indica el

número extraído. Si se obtiene una suma igual a 5.Cual es la probabilidad

de que provenga del lanzamiento dado 2 veces ?

S = 1, 2, 3, 4, 5, 6 1vez(6)

(1,1) (1,2) ....... (6,6) 2 veces (36)

4,1 2,3 5

1,4 3,2

2 veces 1 vez

p = 1 / 2 (1/6) + 1 / 2 (4 / 36) = 1 / 2 + 4 / 72 = 5/36

1 / 2 x 4 / 36

prob. = = 2 / 5 5 / 36

76. El Gerente General de una cadena Sudamericana de supermercados estima

que la proporción de sus establecimientos que alcanzarán la meta de una venta anual

equivalente al millón de dólares en la forma siguiente:

PROPORCION DE PROBABILIDAD ESTABLECIMIENTO

-------------------------------------

0.60 0.20

0.70 0.50

0.80 0.30

Se selecciona al azar 2 de los negocios.

Dado que ambos alcanzaron la meta. Cual es la probabilidad de que:

a) El 80% de los negocios haya vendido un millón de dólares.

b) Entre el 60 y 70 % de los negocios hayan alcanzado la meta.

P( alcanzar meta) = (0.60)2 0.20 + (0.70)2 0.50 + (0.80)2 0.30 = 0.509

(0.80)2 x 0.30

p = = 192 / 509 0.509

77. La urna P contiene 4 fichas blancas y 3 rojas. La urna Q contiene 2 fichas

blancas y 3 rojas. Se saca una ficha de P y se coloca en Q. Se sacan 2 fichas

de Q. Dado que las 2 fichas de Q resultan blancas, Cuál es la probabilidad de

que la ficha extraída de P también haya sido blanca

1ra 2da P(4B, 3R ) ....... p( R) = 3/7 2B, 4R p(R) = 2/6 4B, 1R p(R ) =

1/5

Q(2B, 3R ) ....... p( B) = 4/7 3B, 3R p(B) = 3/6 2B, 3R p(B ) =

2/5

p(BB) = 3/7 ( 2/6 x 1/5 ) + 4/7 ( 3/6 x 2/5 ) = 30 / 210

24 / 210

p ( Bp / BB ) = = 24 / 30 30 / 210

78. En una caja hay 4 artículos buenos y 8 defectuosos. Se extraen 2 artículos

sin ver si es bueno o defectuoso y se colocan entre otra parte.

a) luego se extrae de la caja un artículo más. Calcular la probabilidad de que

este último sea bueno.

b) Si se sacan 2 artículos más. Cuál es la probabilidad de que sean i)buenos

ii) defectuosos iii)uno bueno y el otro defectuoso.

4B 8D

A1: 0B, 2D

4C0 8C2

p(A1) = = 28 / 66 12C2

Quedan 4B 6D p( B / A1 ) = 4 / 10

A2 ; 1B , 1D

B: 3ra ficha sea buena, al extraer 2 artículos; éstas pueden ser:

2B 8D

p(A2) = 4 C1 8 C1 = 32 QUEDAN p(B/A2) = 3/10. 12 C2 66

A3 ; 2B ,0D

p(A3) = 4 C2 8 C0 = 6 QUEDAN p(B/A3) = 2/10. 12 C2 66

p(B) = 28/66(4/10)+32/66(3/10)+6/66(2/10) =220/660

79. Si P (A) = 0.60, P (B) = 0.50 P(A U B) = 0.10

Calcular:

a)P(A B) b) P(A B)

p(A) = 0.60 p(B) = 0.50

p(AUB)c = 0.10

p(AUB) = 1- p(AUB)c = 1- 0.10 = 0.90

p(AUB) = p(A) + p(B) – p(AB)

0.90 = 0.60 + 0.50 – p(AB) P(AB) = 0.20

En el diagrama : a) p(AcB) = 0.30

b) p(ABc) = 0.40

80. La urna A contiene 4 fichas blancas y 3 rojas. La urna B contiene 2 fichas blancas y 3 rojas. Se saca una ficha de A y se coloca en B, Luego se sacan 2 fichas de B. Dado que las 2 fichas extraídas de B son rojas. Cuál es la probabilidad de que la ficha extraída de A haya sido (a) blanca (b) roja.

a) Ver problema Nº 75 b) p(AR/BB) = 6/210 = 6/30 30/210

81. La probabilidad de que un avión llegue a tiempo de Piura al Cuzco haciendo escala

en Lima, es 0.80, la probabilidad de que llegue a tiempo a Lima y tarde al Cuzco es

0.10.

3B 7D

a.- Cual es la probabilidad de que haya llegado a tiempo a Lima, si se sabe

que llegó tarde al Cuzco ?

b.- Si la probabilidad de llegar a tiempo a Lima es 0.60. Cual es la

probabilidad que llegue a tiempo al Cuzco, si se sabe que llegó a tiempo a

Lima ?

C......llegue a tiempo al Cuzco L......llegue a tiempo a Lima

a) p(C) = 0.80 p(LCC) = 0.10 p(L/CC) = ? p(L/CC) = p(LCC) = 0.10 = 1/2 p(CC) 1- 0.80

b) p(L) = 0.60 p(C/L) = ?

p(C/L) = p(LC) = 0.50 = 5/6 C L

p(L) 0.60

Para hallar p(LC) LCC LCC

Se sabe que : (LC) = L – (LCC)

P(LC) = 0.60 – 0.10 = 0.50

82. Dos bombarderos lanzan alternativamente bombas al blanco hasta el primer impacto, la probabilidad de impacto en el por. el 1er. bombardero es igual a 0.7 y las del 2do. es 0.8. La primera bomba la lanza el primer bombardero. x: No. de bombas lanzadas pro ambos bombarderos.Hallar la función de probabilidad de la variable aleatoria x.

B1 : La bomba lanzada por el 1º bombardero, dá en el blanco

B2 : La bomba lanzada po2º bombardero, dá en el blanco.

S= ( B1 , B1CB2 , B1

CB2C B1 , B1

CB2CB1

C B2 , B1C B2

C B1CB2

CB1 , ............)

P(B1) = 0.7 p(B1C) =0.3 p(B2) = 0.8 p(B2

c) = 0.20

*Cuando B1 dá en el blanco

P(x = 1) = p(B1) = (0.7)

P(x = 3) = p(B1CB2

CB1) = (0.3) (0.2) (0.7)

P(x = 5) = p(B1CB2

CB1C B2) = (0.3)2 (0.2)2 (0.7)

·········· ········· ········

*Cuando B2 dá en el blanco

P(x = 2) = p(B1CB2

C) = (0.3) (0.8)

P(x = 4) = p(B1CB2

CB1C B2) = (0.3)2 (0.2) (0.8)

P(x = 6) = p(B1C B2

C B1CB2

C, B1

CB2 ) = (0.3)3 (0.2)2 (0.8)

Entonces :

P(x) (0.3)x-1/2 (0.2)x-1/2 (0.7) , x = 1, 3, 5, 7........

(0.3)x/2 (0.2)x/2-1 (0.8) , x = 2, 4, 6, 8 .......

83. DEL PROBLEMA ANTERIOR.-

Hallar la probabilidad de que el:

a) 1er. bombardero dé en el blanco en el 5to. lanzamiento.

b) 2do.bombardero dé en el blanco en el 6to. lanzamiento.

a) (xA = 5) = (0.3)2 (0.2)2 (0.7) = 0.998992

b) b) (xB = 6) = (0.3)3 (0.2)3 (0.8) = 0.99978

84. La probabilidad de que llueva en una ciudad un día determinado de marzo es

0.10, de que truene 0.05 y de que llueve y truene es 0.03.

a) Cuál es la probabilidad de que no llueva o no truene ese día ?

b) Cuál es la probabilidad de que llueve o truene ese día?

c) Cuál es la probabilidad de que llueve o no truene ese día ?

A : llueva B : truene AB : llueve y truene

p(A) = 0.10 p(B) = 0.05 p(AB) = 0.03

a) p(no llueva o no truene) = p(ACBC) = ?

p(ACBC) = p(ABC = 1 – p(AB) = 1- 0.03 =0.97

b) p( llueva o truene) = p(AB) = p(A) + P(B) – p(AB)

= 0.10 + 0.05 –0.03 = 0.12

c) p( llueva o no truene) = p(ABC) = p(A) + P(BC) – p(A BC)

= p(A) + 1 – p(B) - p(A) – p(AB)

= 1 + 0.05 + 0.03 = 0.98

85. Se sabe que cierta producción está sujeta a 3 tipos de defectos A, B y C.

Entre mil unidades producidas en un día, el inspector de la línea de

montaje informó de los siguientes resultados.

DEFECTO No. DE PIEZAS

------- -------

------

A

30

B 35 C

20

A Y B

5

A Y C

5

B Y C

4

A Y B Y C

2

Cual es la proporción de artículos defectuosos ?

p(ABC) = p(A) + P(B) + p(C) – p(BC) – p(AC) – p(AB) + p(ABC) = 30 + 35 + 20 – 4 – 5 – 5 + 2 = 0.073

100

86. Una pieza de equipo electrónico tiene 3 partes esenciales. Anteriormente la

parte A ha fallado el 20% del tiempo, la parte B 40% y la parte C el 30% del

tiempo.

La parte A opera independientemente de las partes B y C. Las partes B y C

están interconectadas de tal manera que la falla de cualquiera afecta a la otra;

por cuanto falla la parte C, 2 de cada 3 veces puede fallar también la parte B.

Supongamos que por lo menos 2 de las 3 partes deben operar para permitir el

funcionamiento del equipo.

Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione ?

E: (funcione el equipo) A : (Parte A no falle)

E : (ABC , ABC , ABC , ABC) A : (Parte A falle)

P(A ) = 0.20 p(B) = 0.40 p(C) = 0.30

Falla en C afecta a la parte B :

P(B/C) = 2/3 p(B/C) = 1/3

P(B/C) = p(BC) = 2/3 p (BC) = 2/3 p(C) = 2/3(0.30) = 0.20

P(C)

P(B/C) = p(BC) = 1/3 p(BC) = 1/3 p(C) = 1/3(0.30) = 0.10

P(C)

P(BC) = 1 – p(BC) = 0.20 = 1 – p(B) + p(C) – p(BC)

0.20 = 1 – 0.60 – 0.70 + p(BC) p(BC) = 0.50

p(BC) = p(C) p(B/C) = p(C) 1 –p(B/C) = p(C) 1 – p(BC)/p(C)

= 0.70 ( 1 – 0.50/0.70 )

p(B/C) = 0.20

p(E) = p(ABC) + p(ABC) + p(ABC) + p(ABC)

p(E) = p(A) p(BC) + p(A) p(BC) + p(A) p(BC) + p(A) p(BC)

0.80(0.50) + 0.2(0.50) + 0.8(0.20) + 0.8(0.10)

p(E) = 0.74

87. Una caja contiene 5 focos de 25 w, 3 de 50 y 4 de 100 w (la marca y demás

distintivos fueron borrado totalmente).

Se prueba sucesivamente un foco hasta conseguir la mejor iluminación (100

w).

a) Hallar la función de probabilidad del número de extracciones que hay que

realizar.

b) Encontrar una fórmula para la función de distribución F.

c) Calcular la probabilidad de encontrar el éxito deseado en por lo menos en 3

extracciones.

Sea x: Nº de extracciones que hay que realizar hasta conseguir la mejor iluminació

AN : Probar un foco de 100W en la n-ésima extracción.

X=1 p(A1) = 4/9 = 56/126

X=2 p(A1CA2) = 5/9 x 4/8 = 35/126

X=3 p(A1CA2

CA3) = 5/9 x 4/8 x 4/7 = 20/126

X=4 p(A1CA2

CA3CA4) = 5/9 x 4/8 x 3/7 x 4/6 = 10/126

100W 25 W – 50 W

4 5

X=5 p(A1CA2

CA3CA4

CA5) = 5/9 x 4/8 x 3/7 x 2/6 x 4/5 = 4/126

X=6 p(A1CA2

CA3CA4

CA5CA6) = 5/9 x 4/8 x 3/7 x 2/6 x 1/5 4/4= 1/126

5 f(x) = x - 1 4 9 9 – X + 1 x - 1 x = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

f(x) = p(x X) = x -5 1 4 x -9 1 9 – X + 1

5 !

(x – 1 ) ! ( 6 – x ) ! 4 = 4 (10 – x) 9 ! 10 – x 9 x 8 x 7 x 6 (6 – x) !

(10 – x)! x=1 (x – 1 ) ! ( 10 – x ) !

0 ; x < 14/9 ; 1≤ x ≤ 2

9 – x) (8 – x) (7 – x) F(X) = 2/3 F(X) = 2/3 (2/3+5/12) 2≤ x ≤3

9 8 7 ... ... ... ... ... ...

c) p ( x = 3 ) = 1 – p ( x < 3 ) = 1 - p ( x ≤ 2 )

= 1 – F ( 2 ) = 1 - 2/3 ( 2/3 + 5/12)

p (X ≥ 3 ) = 5/18

88. Una caja contiene 100 tubos de TV. La probabilidad de que haya al menos un tubo defectuoso es 0.05 y de que haya al menos 2 tubos defectuosos es 0.01.Cual es la probabilidad de que la caja contenga:

a) Ningún tubo defectuoso ?

b) Exactamente un tubo defectuoso ?

b) A lo más un tubo defectuoso ?

p (x ≥ 1 ) = 0.05 p (x ≥ 2) = 0.01

a) p (S) = p (x=0) + p (x 1 ) p (x=0) = 1 - 0.05 = 0.95

b) p (S) = p (x=0) + p (x=1) + p ( x ≥ 2 )

x 1 2 3 4 5 6

p(x) 56/126 35/126 20/126 10/126 4/126 1/126

p (x=1) = 1 - p (x=0) - p (x ≥ 2) = 1 - 0.95 - 0.01 = 0.04

c) p (x ≤ 1) = 1 - p ( x ≥ 2 ) = 1 - 0.01 = 0.99

89. La probabilidad de que 3 tiradores A, B y C den en el blanco son

respectivamente 1/3, 1/4 y 1/5, cada uno dispara una vez al blanco. Se pide:

a) si exactamente 2 dan en el blanco. Cuál es la probabilidad de que hayan

sido B y C

b) Si se ha dado en el blanco. Cuál es la probabilidad de que haya sido B o C ?

p(A) = 1/3 p(B) = 1/4 p(C) = 1/5a) p( dar 2 en el blanco) = ? = p

p(A B C) + p (A B C) + p (A B C) =

p =(A) p(B) p(C) + p(A) p(B) p(C) + p(A) p(B) p(C)

p = 2/3 1/4 1/5 + 1/3 3/4 1/5 + 1/3 1/4 4/5

p = 2/60 + 3/60 + 4/60 = 9/60

p (B y C) = p(A) p(B) p(C) = 2/60

2/60p( ByC / 2 exact ) = = 2/9

9/60

b) p(dar en el blanco) = 1 - p (no darle en el blanco) = P

p = 1 - p(ABC) = 1 - 2/3 3/4 4/5 = 36/60

p(B ó C) = p (ABC) + p (ABC) = 2/3 . 1/4 . 4/5 + 2/3 . 3/4 . 1/5 = 14/60 14/60

p( BóC / dar en el blanco) = = 14/36 36/60


90. Hallar el número de palabras de 4 letras que se puedan formar con las letras de la palabra C U A D R O S .

a) Cuántas de ellas contienen solo consonantes ?b) Cuántas empiezan y termina en consonantes ?c) Cuántas empiezan por vocal ?d) Cuántas empiezan y termina por vocal ?e) Cuántas contienen la letra D ? f) Cuántas empiezan por D terminan en C ?g) Cuántas empiezan por A y también contienen O ?h) Cuántas contienen las 3 vocales ?

CUADROS vocales (U, A, O) ......................3 7 LETRAS

Consonantes (C, D, R, S).........4

a) Sólo consonantes : hay 4

4 3 2 1 = 4! = 24

b) Empiezan y terminan en consonantes : Empiezan con 4 y terminan de 3 maneras. La

segunda y tercera letras ; quedan 2 consonantes anteriores, más las 4 vocales serán

5 letras para la segunda y cuatro para la tercera.

45 4 3 = 240

empieza termina

c) Empiezan por vocal : hay 3 vocales (1º letra, que empieza) quedan 2 vocales anteriores,

más 4 consonantes hay 6 letras para la 2º, 5 para la 3º y 4 para la 4º letra.

empieza 3 6 5 4 = 360

d) Empieza y termina por vocal : 3 vocales que empiezan, quedando 2 para terminar. La

vocal restante más 4 consonantes, serán 5 letras para la 2º y 4 para la tercera.

3 5 4 2 = 120

vocal vocal

e) Contienen la letra D: Quiere decir que la letra D puede ubicarse en cualquiera de las 4

poisciones. Quedarían 6 letras para la siguiente posición, 5 en la otra y 4 en la última.

4 6 5 4 = 480

f) Empiezan por D y terminan en C: Empiezan y terminan de una sola forma .

Quedan 5 letras para la 2º y cuatro para la tercera.

112


1 5 4 1 = 20

D C

g) Empiezan por A y tambien contienen O : Empiezan de una manera.

Si contiene la letra O, quedan 3 posiciones cualesquiera, sea la 2º, 3º ó 4º. Suponiendo

la 2º, quedan 5 letras para la 3º y 4 para la 4º.

1 3 5 4 = 60

A

h) Contienen ambas vocales : Las vocales (U, O, A). Una de ellas puede ubicarse en cualesquiera de las posiciones; esto es de 4 formas la otra vocal, en las 3 posiciones restantes y la última en las 2 que queda. La 4º posición quedaría para las 4 consonantes.

4 3 2 4 = 96

91. Un conjunto de Empresas de metalmecánica producen 3 tipos de tornillos,

que son los que más demandas tienen en el mercado. Autorroscantes (A), estobol (E) y

madera (M).

El 30% de la empresas producen A y E.

El 20% de las empresas producen E y M.

El 36% de las empresas producen A y M.

El 9% de las empresas producen A, E Y M.

La producción de tornillos son independientes.

Se elige una Empresa al azar y resulta que ésta produce sólo uno de estos

productos.

Cuál es la probabilidad de que sea autorroscante ?

p (A E) = 0.30 p(A M) = 0.36 p(E M) = 0.20p(A E O M) = 0.09

P = p(produce uno de estos productos) P = p(A E M)+ p (A E M) + p (A E M)

p(AEM)= p(A)p(EM) = 0.09 p(A) = 0.09 = 0.45 0.20

p(AEM)= p(E)p(AM) = 0.09 p(E) = 0.09 = 0.25 0.36

p(AEM)= p(M)p(AE) = 0.09 p(M) = 0.09 = 0.30 0.30

113


p(A EM) = p(A)p(E)p(M) = 0.45x0.75x0.70 = 0.23625p(AEM) = p(A)p(E)p(M) = 0.55x0.25x0.70 = 0.09625p(AEM) = p(A)p(E)p(M) = 0.55x0.75x0.30 = 0.12375

p(uno de estos productos) = 0.23625+0.09625+0.12375 = 0.45625

p(sólo A/uno de los productos) = 0.23625 = 0.5178 0.45625

92. Una compañía de inversiones posee un terreno en los alrededores de una

ciudad, clasificado como sector agrícola. Existe un proyecto de cambio de sector agrícola a

habitacional, si el proyecto se aprueba, el proyecto tendría un valor de un millón de soles,

en cambio si el proyecto es rechazado el valor es de 200 mil soles, antes que el Consejo

Municipal de la ciudad decida sobre el proyecto. Un comprador ha ofrecido 500 mil soles al

contado por el terreno.

a) Debe la compañía de inversiones vender su terreno por ese precio, si la

probabilidad de aprobación del proyecto es de 0.5

b) qué probabilidad debe asignarse a la aprobación del proyecto para que la

compañía no tuviera preferencia por ninguna de las 2 alternativas (vender el

terreno o esperar la decisión municipal).

Aprueba A: 1,000 millones p(A) = 0.50No aprueban: 200 millones p(A) = 0.50

a) La esperanza de lo que se va a obtener:E(x)=1.00(0.50) + 200 (0.50) = 600 millonesComo le ofrecen 500 millones, debe de esperarse la decisión municipal.

b) Sea p: probabilidad de aprobar el proyecto1-p : probabilidad de no aprobarlo500 millones = 1,000 millones (p)+200 millones(1-p)500 = 1000 p + 200 = 200 pp = 360/800 p = 3/8

114


93. De una baraja de 52 cartas se extraen al azar 6 cartas. determinar la probabilidad

de que 3 de ellas sean de oro y 2 de copas.

13 13 26 3 2 1

p = ------------- = 0.02849 52

6

94. Un edificio consta de 7 pisos con 4 departamentos por piso. Determine la

probabilidad de 2 jefes de familia, elegidos al azar, pertenezcan a Dptos. que por lo

menos estén separados por 2 pisos.

28El espacio muestral : son 7 x 4 = 28 Dptos. S =

2

Los jefes elegidos debe pertenecer a departamentos que estén separados como mínimo 2 pisos, la cual

se puede hacer de:

5 formas 2

y para cada uno de estos, se elige un jefe de cada piso elegido, esto se hace de:

4 4 formas 1 1

5 4 4 2 1 1 160

p = ----------------- = ----- 28 378

2

95. Las probabilidades de que 3 tubos se quemen son respectivamente 0.1, 0.2 y 0.3.

Las probabilidades de que un aparato funcione; si uno, dos o tres tubos se

quemen son: 0.25, 0.60 y 0.90 respectivamente. Hallar la probabilidad de que el

aparato funcione.

Sean; p(A) = 0.1 p(B)= 0.2 p(C)= 0.3

P(A) =0.9 p(B)= 0.8 p(C)= 0.7

115


Se quema un tubo:P(ABC) = 0.1x0.8x0.7 =P(ABC) = 0.9x0.2x0.7 = 0.25 = 0.0995P(ABC) = 0.9x0.8x0.3 =Se queman 2 tubos:P(ABC) = 0.1x0.2x0.7 =P(ABC) = 0.1x0.8x0.3 = 0.60 = 0.0552P(ABC) = 0.9x0.2x0.3 =Se quema un tubo:P(ABC) = 0.1x0.2x0.3 = 0.90 = 0.0054

96. Un aparato tiene 4 válvulas que funcionan independientemente, sus

probabilidades de fallas son respectivamente: 0.1, 0.2, 0.3, 0.4 para la 1ra., 2da.,

3ra y 4ta. si dos de estas válvulas han fallado.

Hallar la probabilidad de que hayan fallado:

a) La 1ra. y 2da. válvula.b) la cuarta y la tercera.c) La primera y la tercera.d) La segunda y la tercera.

2 fallan: (A B C D, A B C D, A B C D,A B C D,A B C D,A B C D)p(ABCD)= 0.9 x 0.8 x 0.3 x 0.4 = 0.0864 fallan : 3º y 4º.p(ABCD)= 0.1 x 0.8 x 0.7 x 0.4 = 0.0224 fallan : 1º y 4º.p(ABCD)= 0.1 x 0.2 x 0.7 x 0.6 = 0.0084 fallan : 1º y 2º.p(ABCD)= 0.9 x 0.2 x 0.7 x 0.4 = 0.0588 fallan : 2º y 4º.p(ABCD)= 0.9 x 0.2 x 0.3 x 0.6 = 0.0324 fallan : 2º y 3º.p(ABCD)= 0.1 x 0.8 x 0.3 x 0.6 = 0.0144 fallan : 1º y 3º.

p(fallan 2) = 0.2144

a) p(fallan 1º y 2º/fallan 2) = 0.0084 = 0.0392 0.2144de la misma manera se obtiene:

b) 0.4030 c)0.0672 y d)0.1511

97. En una caja hay 4 bolas, las que han sido colocadas lanzando una moneda 4

veces. Si salió cara se coloca una bola blanca y si salió sello se coloca una bola

roja. de la caja se extrae una bola y resultó ser blanca.

Cual es la probabilidad de que en la caja queden al menos 2 bolas blancas ?.

p(B) =? A:2 ó más blancas monedas, 4 veces: (cccc, cccs, ccss, csss, ssss)

116

P que funcione el aparato 0.1601


cccc ....p = (1/2)4 p(4c) = 4/4 ....1/16 x 4/4=4/64

cccs ....p = 4(1/2)4 p(3c) = 3/4 ....4/16 x 3/4=12/64

ccss ....p = 4 (1/2)4 p(2c) = 2/4 ....6/16 x 2/4=12/642

csss ....p = 4(1/2)4 p(1c) = 1/4 .....4/16 x 1/4=4/64

p(B) =32/64

1/16 x 4/4 + 4/16 x 3/4p(A/B) = ----------------------------- = 1/2

32/64

98. Una urna contiene 3 fichas blancas 4 fichas rojas, se extraen 2 fichas sin ver su

color y se las coloca en otra parte. Luego se extrae una ficha más.

Calcular la probabilidad de que esta última sea blanca.

Problema similar al problema Nº 76. Pudiéndose resolver de la siguiente manera:

----------RR/ 3 B 4 R / ..... sacar 2 fichas:BB----------

RB

BRp(BB y B) = 3/7 x 2/6 x 1/5 = 6/210p(RB y B) = 3/7 x 4/6 x 2/5 =24/210p(BR y B) = 3/7 x 4/6 x 2/5 =24/210 p(B3) = 90/210 = 3/7p(RR y B) = 4/7 x 3/6 x 3/5 =36/210

99. La caja A contiene 6 ampolletas blancas y 4 ampolletas de color. La caja B

contiene una ampolleta blanca y 3 de color. De la caja A se extrae, al azar una

ampolleta y se coloca en la caja B. Se mezclan las ampolletas de la caja B y luego

se extraen, sucesivamente y sin reposición, dos ampolletas. Si se sabe que al

menos hay 1 ampolleta blanca. Cual es la probabilidad de que ambas sean blancas

?.

117


p(al menos 1B) = 1 – p (ninguna Blanca) = 1-p(bcc,ccc)= 1 – (6/10x 3/5 x 2/4) – (4/10x 4/5 x 3/4)= 29/50

p(2B) = 6/10 x 2/5 x 1/4 = 12/200 = 3/50

p(BB/al menos 1B) = 3/50 = 3/29 29/50

100. Cierto insecticida mata la primera aplicación al:

"A" : 90% "B" : 90%

"C" : 80% "D" : 80%

de los mosquitos; pero desarrolla cierta resistencia entre los que sobreviven, de

manera que el porcentaje que muere en una aplicación posterior del insecticida es

la tercera parte del porcentaje que muere en la aplicación inmediatamente anterior.

Cual es la probabilidad de que un mosquito sobreviva ?.

"A" 3 aplicaciones "B" 4 aplicaciones

"C" 3 aplicaciones "D" 4 aplicaciones

1er. 2do.3ro. 4to.

118

6B 4C

2B 3C

1B 4C

6/10

B

C

1B 3C

2B 2C

4C

1B 3C

3/42/4

1

1/4

3/4

4/10

2/5

3/5

1/5

4/5

B

C

BC

2/4

1/4

B

CB

C

B

C

C

BBB

BBCBCB

BCCCBCCCB

CCC


0.90 M

0.30 M0.70 V

0.10V

0.10 M0.10/3 M0.90 V

1-(0.10/3)V

a) p(3 aplicaciones)=0.10x 0.70 x0.90=0.0630b) p(4 aplicaciones)=0.10x 0.70 x0.90x(1-0.10/3)=0.0609 c) 0.1336d) 0.129

101. Suponga que la máquina A produce el triple de artículos que la máquina B. Se sabe que el 6% de los artículos que produce la máquina A, son defectuosos; Mientras que, el 3% de los artículos producidos por la máquina B son defectuosos. Suponga que se juntan las dos producciones diarias y se toma una muestra de:

FILA "A" : 3 artículo FILA "B" : 4 artículo FILA "C" : 5 FILA "D" : 6 artículos.

Cual es la probabilidad de obtener 2 artículos defectuosos.

p(A) + p(B) = 1 === 3p(B) + p(B) = 1 === p(B) = 1/4

p(A) = 3/4

p=3/4 (0.06) + 1/4 (0.03) = 0.0525 p= 0.9465

3a) 0.0525 x 0.0525 x 0.9475 x 1 =

4b) 0.0525 x 0.0525 x 0.9475 x 0.9475 x 2 =

5c) 0.0525 x 0.0525 x 0.9475 x 0.9475 x 0.9475 x 3 =

6d) 0.0525 x 0.0525 x 0.9475 x 0.9475 x 0.9475 x 0.9475x 2 =

102. Cuatro hombres lanzan cada uno un dado: Cual es la probabilidad de que:

119


FILA A: cada uno obtenga un 4.

FILA B: cada uno obtenga un número par de puntos.

FILA C: todos obtengan el mismo número.

FILA D: cada uno obtenga un número impar de puntos.

a)1/6 1/6 1/6 1/6 = 1/64 c) (1/6 1/6 1/6 1/6) 6 = 1/63

b)1/2 1/2 1/2 1/2 = 1/16 d) 1/2 1/2 1/2 1/2 = 1/16

103. Se tiene las letras de la palabra CARCAMO. Hallar el número de permutaciones de

cuatro letras que se pueden formar:

a) Cuántas empiezan por R y también contienen O.

b) Cuántas contienen a las vocales.

c) Cuántas contienen las letras R y M.

d) Cuántas contienen M y terminen en C.

C A R C A M O C=2 A=2 R=1 M=1 O=1a) 1 3 (__ __) Quedan 2 letras, y pueden ubicarse:2C,2A,M R contienen 0 si son: 2C ...1 forma

2A ...1 forma3

diferentes:C,A,M, 3x2 = 6 formas

8 formas ===> Nº permutac. : 8 x 3 = 24 formasb)

_3_ 3CRM

3! x 3 = 9 Quedan C=2 2!

A=2 “0”=1c) 4 3 ___8 ___ contienen / como el caso (a)...8 formas 2C.......1 R y M

2A.......1

C A O........6====> 4 x 3 x 8 = 96

d) _4__ ___ ___ _1__ C=1 A=2 R=1 “O”=1 contienen M C Si van 2A = 1 forma

Si van 4 = 4x3 = 12 formas ===>4x13=52

120

___AAO_ ___


13 formas

104. Se lanzan 6 dados. De cuantas maneras pueden caer:

a) 3 "ases" (1 punto en el dado)

b) 2 "cinco".

c) 4 "duque" (2 puntos en el dado) ("dones", "patos")

d) 3 "cuatro".

a) 1 1 1 5 5 5 x 6! = 6 53

As As As No As 3! 3! 3

b) 1 1 5 5 5 5 x 6! = 6 54

cinco no no no no 4! 2! 4

6 6c)1 x 1 x 1 x 1 x 5 x 5 x 2 = 2 52

6 6d)1 x 1 x 1 x 5 x 5 x 5 x 3 = 3 53

105. Si 10 personas están esperando en una sola cola formada al azar. Las persona son

I, D, B, H, F, A, E, G, C, J.

a) Entre el sr. A y el sr. B. de cuántas maneras habrán exactamente 3 personas.

b) Entre el sr. J y el sr. I. De cuántas maneras habrán exactamente 4 personas.

A x x x B x x x x x 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º

El nº de maneras en que A ocupa 1er. y B el 5to. lugar es igual a las permutaciones de las 8

restantes: 8!

Pero pueden ser: 1º y 5º, 3º y 7º, 5º y 9º, 2º y 6º, 4º y 8º, 6º y 10º.........6 maneras como no se aclara quien está primero en la cola (AB y BA): 2 maneras =====> Nº = 8! X 6 x 2 b) 8! X 5 x 2

121


106. De cuantas maneras puede un profesor escoger uno o mas estudiantes de 6

elegibles ?.

Puede escoger 1 en 1,2 en 2,... , 6 en 6====> 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 63

1 2 3 4 5 6

26 = 1 = 63

107. De una baraja normal de 52 cartas se extraen 5, de cuantas maneras pueden salir :

a) 3 del mismo palo y 2 de palos diferentes.

b) todos del mismo palo.

a) 4 13 3 13 131 3 2 1 1

escoger 3 de 13 diferentes

escoger escoger 2 palos de1 palo(4 palos) 3 restantesse escogió porqueanteriormente palos escoger 5 de

13b) 4 5

108. se extraen 6 cartas aleatoriamente de una baraja de 36 cartas. De cuántas maneras

la suma de los puntos puede ser 21. si la Jota (J) se consideran como 2 puntos, el

caballo (Q) como 3 puntos, el rey (k) como 4 puntos, el As (A) como 11 puntos.

(solo se utilizan : 6,7,8,9,10,J,Q,K y A).

6 7 8 3 8 10 -----2 8 11 4 6 11 3 9 9 -------2 9 10 4 7 10 6 6 9 7 7 73 7 11 4 8 9 ----- ---------------------- 2 iguales 3 iguales diferentes

Nº = 8 4 4 4 + 2 4 4 + 3 1 1 1 2 1 4 = 564

122


109. Se distribuyen 8 fichas entre 4 cajas. De cuantas maneras pueden quedar las

cuatro cajas ocupadas.

41ra. 2da. 3ra. 4ta. 3 = 4----------------------- 4!___= 12 5 1 1 1 4!___= 6 2! 1! 1! 4 1 1 2 2! 2! 4!___ = 12 3 1 1 3 2! 1! 1! 3 2 1 2 -----------------------

8 8 8 8 8

N= 2,2,2,2 + 4 5,1,1,1 + 12 4,1,1,2 + 6 3,1,1,3 + 12 3,2,1,2

110.En una playa de estacionamiento hay 10 espacios para aparcar. De cuantas

maneras pueden aparcar, si:

a) 3 de ellos no deben estar juntos y otros 2 deben estar en los extremos.

b) 3 de ellos en los extremos y 2 no deben estar juntos.

c) 2 de ellos deben estar separados y otros 3 en los extremos.

d) 4 juntos y 3 siempre en los extremos.

a) A 1 2 3 4 5 6 7 8 B_ B A

Extremos 2 ( 8! – 3! 6!)

No juntos

b) A 1 2 3 4 5 6 7 B C_ AB C AC B B AC A B C BA C CA B B CA

BC A A BC C BA

CB A A CB C AB2x 3! (7! – 2! 6!)

c) 2 x 3! (7! –2!6!) 2(_3 2 1)=d) 2 x 3! (6! –4!3!) 2 x 3!

111. Se tienen 2 urnas: U1 y U2 se extrae al azar una bola de U1 y se pasa a U2. Luego

se extrae una bola de U2 y se pasa a U1. Finalmente se extrae al azar 2 bolas de U1

y resultan ser blanca y negra. Determinar la probabilidad de que U1 no tenga

ninguna bola roja.

123

3B 2N


FILA "A" : 2 blancas (2B) y 3 negras (3N)......U1

2 blancas (2B) y 3 rojas (3R)......U2

FILA "B" : 3B Y 2N....U1 3R Y 2 Blancas...U2

FILA "C" : 4B Y 3N....U1 4R Y 2 Blancas...U2

FILA "D" : 4B Y 4N....U1 5R Y 3B..........U2

a) U2 1/2 U1 2/5 U1 2/5 x1/2 (2/5x3/4)

2/5 B B =6/100

U1 B R 1/2 U1 no ti U1 no tiene roja

2/5x1/2x(1/5x3/4) =3/10

N B 2/6U1 no tiene roja

3/5 R 3/6 U1

N 1/6 3/5x3/6x(2/5x2/4) = 6/100

N

U1

3/5x1/6x(2/5x3/4) = 3/100

6/100 + 6/100 + 3/100no tiene roja

p = ---------------------- = 15/24 ---------------24/100

24/100

124

2B 3N

3B 3R

1B 3N 1R

2B 3N

2B 3N2B 2N 1R

1N 2B 3N


U2 1/2b) 3/7

U1 U1

B 3/5 x 1/2 x (3/5x2/4)=27/300

3/5 R no tiene roja

4/7 B 4/7 U1

1/2 3/5x1/2x(2/5x2/4)=18/300

2/7 U1

N 2/6 B 3/7 2/5x2/6x(4/5x1/4) =8/300 2/5 R 4/7

no tiene roja

3/6 U1

N 2/5x3/6x(3/5X1/4) =9/300

1/7 1/6

U1

2/5x1/6x(3/5X2/4)

27/300 + 8/300 + 6/300 no tiene roja = 6/300p =------ ------------------------ = 41/68

----------- 68/300

68/300

c) 4/7 x 3/7 x (4/7 x 3/6) = 24 / 343

4/7 x 4/7 x (3/7 x 3/6) = 24 / 343 24/343+10/343+6/343

125

3B 3R

2B 2N 1R

4B 3N

3R 2B 3B 1N 1R

4B 1N

3B 2N

1N

3B 2N


3/7 x 2/7 x (5/7 x 2/6) = 10 / 343 p = --------------------------3/7 x 4/7 x (4/7 x 2/6) = 16 / 343 80/3433/7 x 1/7 x (4/7 x 3/6) = 6 / 343 p = 1/2

80 / 343

d) 1/2 x 4/9 x (4/8 x 4/7) = 64/10081/2 x 5/9 x (4/8 x 3/7) = 60/1008 64 + 45 + 161/2 x 3/9 x (5/8 x 3/7) = 45/1008 p= 1008 = 25/291/2 x 5/9 x (4/8 x 3/7) = 60/1008 245/10081/2 x 1/9 x (4/8 x 4/7) = 16/1008

245/1008

112. Dos tubos defectuosos se confunden con dos buenos. Los tubos se prueban uno

por uno hasta encontrar los buenos. Cuál es la probabilidad de encontrar el último

tubo bueno:

a)En la segunda prueba. c)En la cuarta prueba.

c)En la tercera prueba.

S = (1,2,3,4,5,6, (1,1), (1,2),... , (6,6))

E1 = (lanzar el dado 1 vez, obtener ficha 1)

E2 = (lanzar el dado 2 veces, obtener ficha 2)

E = Obtener suma 5

a) p(E) = p(E1) p (E/E1) + p(E2) p(E/E2) = 1/2 x 1/6 + 1/2x4/36p(E) = 5/36

b) 1/2 x 4/36 p(E2/E) = ------------- = 2/5

5/36

113. El Gerente General está a la espera de las llamadas telefónicas de sus clientes para efectuar un negocio. La probabilidad es que lo llame cualquiera de ellos es 0.2 (llamadas de los clientes son eventos independientes). La probabilidad de efectuar un negocio es 0.10 si recibe el llamado de un cliente; 0.30 si recibe la llamada de 2 clientes y 0.7 si recibe la llamada de 3. Cual es la

126


probabilidad de que el Gerente haga el negocio ?. Cuantas llamadas de clientes es más probable que haya recibido el Gerente si sabe que realizo el negocio ?.

E1 : Recibir una llamada

E2 : Recibir 2 llamadas

E3 : Recibir 3 llamadas

P(E) = p(E1) p(E/E1)+ p(E2) p(E/E2)+ p(E3) p(E/E3)= 0.2(0.1) + (0.2)2x0.3 + (0.2)3 x 0.7

P(E) = 0.0376p(E1/E)= 0.2 x 0.1/0.0376 = 0.532 ..... mayor; entonces:p(E2/E)= (0.2)2 x 0.3/0.0376 = 0.319 más probables es una

llamadap(E3/E)= (0.2)3 x 0.7/0.0376 = 0.149

114. un número binario está compuesto sólo de dos dígitos cero o uno (por

ejemplo: 1011, 1100, ect.) esos números juegan un papel importante en el uso de los

computadores electrónicos supóngase que un binario está formado por 4 dígitos y

que la probabilidad de que aparezca un dígito incorrecto es 0.90 y que los errores en

dígitos diferentes son independientes uno de otro. ¿ Cual es la probabilidad de

formar un número incorrecto ?.

A: crimen mayor p(A) = 0.57 A y B son independientes

B: crimen menor p(B) = 0.35

P(AUB) = p(A) + p(B) – p(AB)=0.57 + 0.35-(0.57x0.35)=0.72

b)UN CRIMEN DE CUALQUIER TIPO EN EL VECINDARIO SUR EN UN DIA DADO?

C:crimen mayor B:crimen menor CyD son independientes

p(CUD) =p(C)+p(D)-p(CD)=0.52 + 0.85 –(0.52x0.85)=0.93

c)NINGUN CRIMEN SE COMETA EN CUALQUIERA DE LOS VECINDARIOS EN UN DIA

DADO?

p(AUB)+p(CUD) = 1 – p(AUB) + 1 – p (CUD)

127


= 2 – 0.72 – 0.93 = 0.35

115. De una caja que originalmente contiene dos fichas azules y una ficha blanca, se

registra su color y luego se le devuelve a la caja junto con 2 fichas del mismo color

que la extraída. Calcule la probabilidad de obtener exactamente 2 fichas azules; Si

se sabe que hay al menos una ficha blanca?.

Ver diagrama en la página siguiente

p=(2 azules) = (aab, aba, baa)

6/7 a

A 4/5 2/3 1/7 b

A B 4/7 a

1/5

3/7 b B a A 2/5 4/7

1/3 3/7 b

a

B 3/52/7

b

5/7

p(2 azules)=(aab, aba, baa) 2 4 1 2 1 4 1 2 4 = - - - + - - - + - - - = 24/105 3 5 7 3 5 7 3 5 7

Q: al menos 1 blanca; S = (aaa)p(Q) = 1 - 2/3.4/5.6/7 = 57/105

P Q = P

128

2A1B

4A 1B6A 1B

4A 3B

4A 3B2A 3B

2A 5B


24/105P(P/Q) = -------- = 24/57 = 8/19

57/105

116. Nueve pasajeros abordan un tren de 3 carretas. cada pasajero escoge

aleatoriamente el carruaje para sentarse. Cuál es la probabilidad que:

a) Haya 3 personas en el primer carruaje.

b) Haya 3 persona en cada carruaje.

c) Haya 2 personas en un carro, tres en el otro y cuatro en el carro restante ?.

S=39 (9 personas en 3 carretas)

a) 9 quedan 2 carretas para 6 personas 3 26

------------ 39

b) 9! -------- 3! 3! 3! ------------ 39

9 7 4 9 6 4 9 5 3c) 3! 2 3 4 o 3! 3 2 4 ó 3! 4 3 3 -------------------- 39

117. Un hombre tiene 2 carros viejos "a" y "b" entre ellos tienen problemas

para arrancar en las mañanas frías. La probabilidad de que ambos arranquen es 0.10, La

probabilidad de que ninguno arranque es 0.4; la probabilidad que arranque "b" y "a" no

es 0.20:

129


a) Hallar la probabilidad que el carro "a" arranque.

b) Hallar la probabilidad que arranque "a", dado que arrancó "b".

c) Hallar la probabilidad que arranque "b", dado que "a" no arrancó.

a) p(b a) = 0.2 p(b a)=0.1 p( a b )= 0.4 p(a) = p(a b) + p(a b) así mismo p(a) = p( a b) + p( a b) = 0.4 + 0.2 = 0.6 p(a) = 1 -p(a) = 1-0.6=0.4

b) p(ab) p(ab) 0.1 p(a/b)=------ = -------------------= ------------= 1/3 p(b) p( ba) + p(ba ) 0.1 + 0.2

c) p(b a) 0.2 p( b/a )=------ = --------= 1/3 p(a) 1 - 0.4

118. De una urna que contiene 12 bolas, de las cuales 8 son blancas se extrae una

muestra de tamaño 4 con reemplazo (sin reemplazo) Encuentre la probabilidad de

que la bola observada en la tercera extracción haya sido blanca, dado que la

muestra contiene exactamente 3 bolas blancas.

A = La muestra contiene 3 bolas blancas.

B = La bola extraída en la tercera extracción, haya sido blanca.

p(A B)p(B/A) = ---------

p(A) SIN REEMPLAZO 4 de 8 escoger 3 3 8P3 4 que no son blancas

p(A) = ------------ 12P4

3 2 8P3

p(A B) = ----------------*4 12P4

3 4* 2 8P3 / 12P4

-------------------- = 3/4 4 8P3 *4 / 12P4

CON REMPLAZO 4 3

130


3 83 4 2 83 4p(A) = ------------ p(AB) = ----------

124 124

3 2 83 4/124

p(B/A) = ------------------ = 3/4 4

3 83 4/124

119. Seis parejas de casados se encuentran en una reunión:

a) Al azar se escogen 2 personas. Hallar la probabilidad de que sean:

i) casados y ii) uno sea hombre y el otro mujer.

b) Si se escogen 4 personas al azar, hallar la probabilidad de que:

i) se escojan 2 parejas de casados ii) ninguna pareja sean casados entre los 4

iii) haya exactamente una pareja de casados entre los 4.

c) Si las 12 personas se reparten en 6 parejas. Hallar la probabilidad de que: i)

cada pareja sean casados

ii) cada pareja forme un hombre y una mujer.

a) Se escogen 2 personas

H M 6 parejas 6 6 x 6 36

i) p = --------------- = ------ ii) p = -------- = ---- 12 66 12C2 66

2c) Se escogen 4 personas

6 escoger 2 parejas de las 6 2i) p = ------- = 2/66

12 4

6 x2 x2 x2 x2 escoger 4 parejas de las 6 y hay 2 4 formas de escoger una persona de cada pareja ii)p = --------------- = 32/66

12 4

6 5 x2 x2 escoger una pareja de 6 y de las 5 1 2 parejas restantes hay que escoger iii)p = ----------------- = 32/66 2 diferentes personas

12 C4

131


c) 12 personas se reparte en 6 parejas 12! p = ----------------- = 7´484,400

2! 2! 2! 2! 2! 2!

i) hay 6 parejas......6! = 720

1/16 1 B 4P4,0/24

= 1/16

3/4

B 4P3.1/24 = 4/16

5/16

6/16 2/4

B 4P2,2/24

4/16

1/4 B 4P1,3/24 = 4/16

1/16

0 B 4P0,4/24 = 1/16

p(B) = (1x1/16)+(3/4x4/16)+(2/4x6/16)+(1/4x4/16)+(0x1/16)=1/16+ 3/16+3/16+1/16p(B) = 8/16 1/16 x 3/16p = --------------- = 1/2 8/16

132

4BB

Al sacar una B pueden quedar al menos 2B

2B 2R

3B 1R

1B 3R

0B 4R


121. La urna I contiene una ficha negra y un número determinado de fichas blancas. La

urna III contiene 2 fichas blancas y 2 negras. La urna 3 contiene x fichas blancas.

se escoge una al azar una urna y de ella se extrae una ficha que resulta ser blanca.

Si la probabilidad de que dicha ficha provenga de la urna III es 4/9. Determinar:

Cuántas fichas blancas hay en la urna I ?.

b/1+b Blanca

p(B)=1/3xb/1+b+1/3x2/A

1/3x1

NegraI 1/1+b

1/3B p(B)=b/3(1+b)+ 1/6+1/3

2/4 b 3

1/3 IIp(B)= ----- = -----

3(1+b) 6

2/4N1/3

III

1

B P(B III) 1/3x1 4

p(III/B) =-------------- = ------------ = ----- - P(B) b + 3 9 3(1+b) 6 donde b=3hay 3 fichas blancas

122. Hay 18 tiradores clasificados en 4 grupos. En el primero hay 5 tiradores con la

probabilidad de 0.2 de dar en el blanco, en el segundo hay 7 con P=0.4, en el tercer

grupo hay 4 con P=0.3 y en el último hay 2 con P=0.5.

133


Se elige un tirador al azar, dispara y no da en el blanco. A que grupo es mas

probable que pertenezca ?.

Ti = tirador del grupo i, i = 1,2,3,4 N = No dar en el blanco p(N) = p(T1) p(N/T1)+p(T2) p(N/T2) + p(T3) p(N/T3)+p(T4)p(N/T4) Donde:

p(T1)=5/18 p(T2)=7/18 p(T3)=4/18 (T4)=2/18p(N/T1)=0.2 p(N/T2)=0.4 p(N/T3)=0.3 p(N/T4) =0.5p(N)=5/12x0.2 + 7/18x0.4 + 4/18x0.3+2/18 x 0.5 = 1/3probabilidad de no dar en el blanco

a) QUE sea del primer grupo p(T1) p(N/T1) 5/18 x 0.2

P(T1/N) = -------------------- = -------------- = 3/18 P(N) 1/3

b) Que sea del segundo grupop(T2) p(N/T2) 7/18 x 0.4

P(T2/N) = -------------------- = ------------- -- = 8.4/18 P(N) 1/3

4/18 x 0.3c) p(T3/N) = -------------- = 3.6/18

1/3

2/18 x 0.5d) p(T4/N) = -------------- = 3/18

1/3

Es más probable que pertenezca al segundo grupo por tener mayor probabilidad.

Utilizando el diagrama de árbol.

0.2 N (5/18 x 0.2)1/3 = 3/18

5/18 T1

0.8N 0.4N (7/18 x 0.4)(1/3) =2.8/18x3

134


7/18 T2

=8.4/18 0.6 N 0.3 N (4/18 x 0.3)

(1/3)=1.2/18x3 4/18 T3

=3.6/18 0.7N 0.5N (2/18 x 0.5)(1/3)=3/18

2/18 T4

0.5 N

123. Un generador tiene 6 componentes disipadores de corriente eléctrica. La probabilidad de que ocurra una avería que desconecte el primer disipador es 0.6; para el segundo 0.2 y 0.3 para cada uno de los 4 restantes. Determinar la probabilidad de que el generador esté completamente desconectado. si:

a) Todos los disipadores están conectados en serie.

b) Los disipadores están conectados en serie-paralelo como se observa en la figura.

Di: El didipador i(i=1,2,3,4,5,6) está

desconectadoD: El

generador está desconectadop(D1)=0.6

p(D2)=0.2 p(D3)=P(D4)=p(D5) = p(D6) = 0.30

a) p(D) = 1 – p (D1 D2 D3 D4 D5 D6)= 1 - p(D1) p(D2) p(D3) p(D4) p(D5) p(D6)= 1 – (0.4) (0.8) (0.7)4 = 0.9232

b) Para que el generador esté desconectado, cada una de las conexiones en paralelo deben estar desconectados.

Fi : la conexión en paralelo (i=1, 2,3) está desconectado.D = F1 F2 F3 P(D) = p(F1) p(F2) p (F3)P(F1) = 1- p(D1) p (D2) p(F2) = 1 – p(D3) p(D4)

135

1 2

3 4

5 6


= 1 – (0.4) (0.8) = 1 – (0.7)(0.7) = 0.68 = 0.51

p(F3) = 1 – p(D5) p(D6) = 1 – (0.7)(0.7) =0.51p(D) = 0.68 x 0.51 x 0.51 = 0.1769

124. Una máquina presenta un sistema de 2 componentes A y B dispuestos en serie,

las confiabilidades de que las componentes trabajan correctamente son 0.70 y 0.80

respectivamente. Supongan que A y B funcionan independientemente y ambas

componentes del sistema deben funcionar correctamente para la máquina lo haga.

Para incrementar la confiabilidad del sistema se emplea una componente similar en paralelo, a fin de formar el sistema S que se observa en la figura. La máquina funcionará siempre que por lo menos uno de los componentes (subsistemas) trabajen correctamente. Calcular la confiabilidad del sistema S.

A:Componente A funciona correctamente E:Sistema S funciona B:Componente B funciona correctamente Correctamente.

A BCs: Confiabilidad del sistema

E = AB AB Cs = p(E) = p (AB AB) = p (AB) + p(AB) – (AB AB)

A B= 2 p(AB) – [p(AB)]2 = p (AB) 2-p(AB)= p (A) p(B) 2 – p(A) p(B)

= 0.70 (0.80) 2 –(0.7)(0.8)= 0.8064

Este problema puede resolverse además, de la siguiente manera: F: S funciona correctamente Cs = 1 – p(F)El sistema S falla, si las 2 componentes en paralelo fallan, es decir, sí :F1 : falla la 1ra componente en serieF2 : falla la 2da componente en serie

F = F1 F2 P (F) = p(F1) p(F2) = [1 – p(F1)] [ 1-p(F2)]

= (1 – 0.70 x 0.80) (1-0.70 x 0.80) = 0.1936 Cs = 1 p(F) = 1-0.1936 = 0.8064

125. Se tiene el siguiente circuito:

Fi : Falla el componente i ( i =1,2,3,4,5,6) del circuito F : Falla el circuito.

p(Fi) = 0.3 p(Fi) = 0.7

136

5


El circuito falla en los siguientes casos :- Falla los 6 componentes :

F1 F2 F3 F4 F5 F6 ……(0.3)6 0

L

- Falla los 3 primeros o 3 últimos componentes

F1F2F3F4F5F6 F1F2F3F4 F5 F6 .... 2 (0.3)3 (0.7)3

- Falla los 3 primeros y 2 de los 3 últimos componentes o Fallan los 3 últimos y 2 de los primeros.F1F2F3F4F5F6 F1 F2F3F4 F5 F6 F1F2F3F4 F5 F6

...6(0.3)4 (0.7)2

F1F2F3F4F5F6 F1F2F3F4 F5 F6 F1F2F3F4 F5 F6

- Fallan los 3 primeros y 1 de los 3 últimos componentes o fallan los 3 últimos y 1 de los 3 primeros

F1F2F3F4F5F6 F1F2F3F4 F5 F6 F1F2F3F4F5F6 6(0.3)5 (0.7)1

F1F2F3F4F5F6 F1F2F3F4 F5 F6 F1F2F3F4 F5 F6

p(F) = (0.3)6 + 2(0.3)3 (0.7)3 + 6 (0.3)4 (0.7)2 + 6 (0.3)5 (0.7)1

p(F) = 0.053271

Halle la probabilidad de que el circuito falle (no pase la corriente de O a I ); siendo 0.3, la

probabilidad de falla de cualquiera de los 6 componentes del circuito.

126. En las figuras, (a) y (b) se supone que la probabilidad de casa relé esté cerrado es

"P" y cada relé se habré independientemente de cualquier otro. Encontrar en cada

caso la probabilidad de que la corriente pase de I a D.

Sea Ai el suceso que represente(relé i cerrado) i = 1,2,3,4,5

E: La corriente para de I D E: (A1A2) (A1A3A5) (A4A3A2) (A4A5)

P(E) = p (A1A2) (A1A3A5) p (A4A5) p(A4A3A2)

137

1

2

3

4

6


= p(A1A2)+(A1A3A5) p (A4A5) + p(A4A3A2)– p(A1A2A3A5)-p(A1A2A3A4)–p(A1A2A4A5)–p(A1A3A5A4)– p(A1A3A5A4A2) + -p(A4A5A3A2)+p(A1A2A3A5A4)+p(A1A2A3A5A4)+p(A1A2A4A5A3)+

p(A1A3A5A4A2) – p(A1A2A3A4A5)

p(E) = P2 + p3 + P2 + p3- p4 - p4 - p4 - p4 -P5 - p4 + p5 +p5 + p5 + p5 - p5

p (E) = 2p2 + 2p3 + 2p5 – 5p4

b) E : A1 A2 A3 A2 A4 A5A61 2

I 3

D

4 5

1 2

I D

3 4

5 6

p(E)=p(A1A2) + p(A2A3)+p(A4)+p(A5A6)-p(A1A2A3)-p(A1A2A4)-

p(A1A2A5A6)-p(A2A3A4)-p(A2A3A5A6)-p(A4A5A6)+p(A1A2A3A4)+

p(A1A2A3A5A6)+p(A1A2A4A5A6)+p(A2A3A4A5A6)-p(A1A2A3A4A5A6)

p(E)=p2+p2+p+p2-p3-p3-p4-p3-p4-p3+p4+p5+p5+p5-p6

p(E)=p + 3p2 - 4p3 - p4 + 3p5-p6

127. En el circuito, La probabilidad de que cada uno de los relés esté cerrado es P y

todos los relés funcionan independientemente. Cuál es la probabilidad de que

exista una corriente entre los terminales I y D ?.

Ai: relé i está cerrado

138


i= 1,2,3,4,5

1 2

E: corriente pasa de I a D

5

E:(A1A2) U (A5) U (A3A4)

p(E)=p(A1A2)+p(A5)+p(A3A4) 3

4

-p(A3A4A5)-p(A3A4A1A2)-p(A1A2A5)+p(A1A2A3A4A5)

p(E)=p2 + p + p2 – p3 – p4 – p3 + p5

p(E)=p + 2p2 – 2p3 – p4 + p5

128. Para que funcione adecuadamente un equipo electrónico debe tener las 2

componentes conectadas que aparecen en el diagrama en correcto

funcionamiento.

El diagrama muestra que A debe funcionar Y lo mismo algunos de los 2 B.

Suponga que los componentes A, B1 y B2 funcionan independientemente una de

otra.

Si P(A) = 0.90 y P(B1) = P(B2) = 0.80

Calcular la confiabilidad del equipo ?

El equipo electrónico funcionaráen los siguientes casos:B1

A B1 ó A B2 ó A B1 B2

A

C=p(A) p(B1) + p(A) p(B2) –p(A)p(B1)p(B2)

B2

=P.9(0.8) + 0.9(0.8) – 0.9(0.8)(0.8) = 0.864

129. Un componente juega un papel esencial en el funcionamiento de un determinado

equipo. Si en lugar de instalar un componente, se utiliza un sistema idéntico con

varios en paralelo, aumenta la confiabilidad del equipo ya que seguirá funcionando

siempre y cuando uno de los componentes esté funcionando. El corrector

funcionamiento de una nave espacial depende de un mecanismo cuya

confiabilidad es de 95%. Cuantos de estos mecanismos deben incorporarse al

139


sistema para que la seguridad que el mecanismo funcione en forma satisfactoria

sea: a) 99% b) 99.9% c) 99.99%.

p=0.95 si son independientes:

A1 U A2 = 1 – (A1 A2)

A1 U A2 U A3 = 1 – (A1A2A3)

Si: p(A1) =p(A2) =... = p(An)

n n

P(U Ai) = 1 - p(Ai)n = 1 – p(A1) p(A2)...p(An) 1=1 i=1

a) Cs = 0.99 p=0.95 p=0.05 Cs = 0.99 = 1 – (0.05)n n= 1.53

Se necesitan 2 mecanismos

b) Cs = 0.999 1 – (0.05)n

n = 2.30Se necesitan 3 mecanismos

c) Cs = 0.9999 1 – (0.05)n

n = 3.07Se necesitan 4 mecanismos

130. se tiene 10 urnas : A1, A2, A3 ......A10 con fichas Sea B: {ficha blanca} y

P(B/Ai) =i/10, i= 1,2,3,4....,10. Se elige aleatoriamente una urna de la que se extraen 2

fichas una a una con reposición, sabiendo que resultaron blancas, hallar la

probabilidad de que la urna elegida fuese A10.

p(A1) = p(A2)=...=p(A10) = 1/10p(B/Ai) === probabilidad de obtener 2 fichas blancas en la extracción de 2 fichas con

reposición en c/u de las urnas.

P(B/A1) =1/10 x1/10 = 1/100 P(B/A6) =6/10x6/10 = 36/100

P(B/A2) =2/10 x2/10 = 4/100 P(B/A7) =7/10x7/10 = 49/100

140


P(B/A3) =3/10 x3/10 = 9/100 P(B/A8) =8/10x8/10 = 64/100

P(B/A4) =4/10 x4/10 =16/100 P(B/A9) =9/10x9/10 = 81/100

P(B/A5) =5/10 x5/10 =25/100 P(B/A10) =10/100x10/100=100/100

10

p(B) = p(Ai) p(B/Ai)

i=1

p(B) = 1/10 (1/100 + 4/100 + 9/100 + 16/100 + 25/100 + 36/100 +

49/100 + 64/100 + 81/100 + 100/100) = 1/10(385/100)

= 0.385

p(A10) p(B/A10) 1/10 x 100/100

p(A10/B) = ------------------- =---------------------- = 0.26

p(B) 0.385

131. Demostrar que:

P[(AB') U (A B)] = P(A) + p(B) - 2P(AB)

"exactamente uno de los sucesos A o B ocurra"

(a) p (AB´)U(A´B) = p(AB´) + p(A´B)-p (AB´)(A´B)(b) pero: (AB´) (A´B)= puesto que A A´=

y B B´=

=

(c) p(AB´) (A´B) =

(d) p(AB´) U (A´B) = p(A B´) + p(A´ B)

(e) Se sabe: A = AB + AB´

141

A B


+ =

A B = A - A B...... p(A B`) + p(A) - p(A B)

(f) Así mismo :P(B A`) = p (B) - p (A B)

(g) Reemplazando (f) y (e) en d) :

P (A B`) U (B A`) = p(A)- p(A B) + p(B)- p(A B) = p (A) + p (B) - 2 (A B)

132. En un seminario se inscriben 9 alumnos (5 hombre, 4 mujeres). De

acuerdo a una evaluación pre-seminarial los alumnos se distribuyen en 3 grupos A,

B y C, en la forma siguiente:

Grupo A: 3 alumnos (solo hombres)

Grupo B: 4 alumnos (2 hombres, 2 mujeres)

Grupo c: 2 alumnos (solo mujeres)

Un alumno del grupo A tiene la probabilidad 9/10 de aprobar, uno de B, 8/10 y uno

del grupo C, 7/10. concluido el seminario se elige al azar un alumno:

a) Si el alumno elegido resulta estar desaprobado. Cual es la probabilidad de que

pertenezca al grupo B ?.

b) Si el alumno elegido es mujer y está desaprobada. cual es la probabilidad de

que pertenezca al grupo C ?.

A 3/9p(D) = 1/10 x 3/9+2/10x4/9+3/10x2 /9

1/10 = 3/90 + 8/90 + 6/90 = 17/90

2/10 p(B/D)= 3/90 = 8/17

Desaprobado B 4/9 17/90

142

A B BAA B


p(C/D M) = 6/90 = 6/10

3/1010/90

C 2/9

C … son mujeres

p(DD M)2/10 x 2/9 + 3/10 x 2/9 = 10/90

133. Se realiza un estudio de las posibilidades de que un accidente en una planta

nuclear traiga con sigo escapes radioactivos. se considera que los únicos tipos

posibles de accidentes en el reactor son incendio, desgaste del material y error

humano y que 2 o más accidentes no ocurrirán juntos.

Si hubiera una falla mecánica, el escape de radiación ocurrirá en 40% de las veces

y si hubiera error humano el escape de radiación ocurrirá un 5% de las veces. y si

hubiera un incendio el escape de radiación ocurrirá el 10% de las veces. La

probabilidad de que el incendio y el escape radiactivo ocurrirán juntos es el

0.0005.

La probabilidad de que el error humano el escape radiactivo ocurrirán juntos es de

0.0007, y de que la falla mecánica y escape radiactivo es de 0.0010.

a) cuales son las probabilidades respectivas de tener un incendio, una falla

mecánica y un error humano bajo las cuales se basaron las probabilidades

anteriores?

b) Cual es la probabilidad de un escape radiactivo ?

c) Cuales son las probabilidades respectivas de que un escape radiactivo sea

causado por un incendio, una falla mecánica o un error humano ?.

R “escape radioactivo D: Desgaste de material I : Incendio E : Error humano

p(R/I) = 0.10 p (R I) = 0.0005p(R/D) = 0.40 p (R D) = 0.0010p(R/E) = 0.05 p (R E) = 0.0007(a)p(I) =? p(D)=? p(E)=?P(R/L) = p(R I) / p(I) p(I)=(R I) = 0.0005 = 0.005

p(R/ I) 0.1000

143


Así mismo :

p(D) = p(R/ D) = 0.0010 =0.0025 p(E)= p(R/E)=0.0007=0.0140 p(R/ D) 0.4000 p(R/E) 0.0500

p(R) = p(I) p(R/I) + p(D) p (R/D) + p(E) p (R/E) = p(R /I) + p(R/D) + p(R /E) = 0.0005 + 0.0010 + 0.0007

p(R) = 0.0022

134. Cierto tipo de motores presentan 2 defectos:

La mala carburación ocurre 5% de las veces y la rotura de la correa del ventilados

ocurre el 10% de las veces, y ambos defectos el 3% de las veces.

a) Cual es la probabilidad de que un motor tenga el defecto de la correa si

tiene el defecto del carburador?

b) Cual es la probabilidad de que un motor tenga un defecto en el carburador si

tiene un problema en la correa ?.

A : mala carburación B : rotura de la correap(A) = 0.05 p(B)=0.10 p(A B) = 0.03

a) p(P/A) = p (A B) = 0.03 = 0.60 p(A) 0.05

b) p(A/B) = p(A B) = 0.03 = 0.30 p(B) 0.10

135. Si P(A) = 0.92 P(B) = 0.22

P(A U B) = 0.20

Calcular la probabilidad de:

a) A' U B' b) A' U B c) A'U B' d) A' U B' e) A U B'

144

B

0.06

A 0.72

0.20 0.02


(a) p(A U B) = p (AB) = 1 - p(AB) = 1 – 0.20

= 0.80

(b) p(AB) = p(B) – p (AB)= 0.22–0.20 = 0.02 (c) p(AB) = p(A) - p(AB)

= (1-0.92)+ 0.22 – 0.02 = 0.28

(d) p (AB)= p (AB)= 1-p(AB) = 1 - P(A) +p(B)-p(AB)

= 1- 0.92 + 0.22 –0.20 =0.06

(e) p(AB) = p(A) + p(B) – p(AB) = 0.92 + 1-0.22 –p(AB) p(AB)=p(A)–p(AB)=0.92-0.20=0.72

p(AB)=0.92+0.78-0.72=0.98

136. Según las estadísticas las probabilidades de que asalten un Banco y una casa

comercial son 0.40 y 0.55 respectivamente. Así mismo las probabilidades en

provincias son de 0.30 y 0.45 respectivamente. Cual es la probabilidad de que:

145

A B

AB


a) Ocurra por lo menos un asalto en la capital.

b) ocurra por lo menos un asalto en provincias.

c) No ocurra asalto alguno.

A : Asaltan Banco en la Capital P(A) = 0.40B : Asaltan Casa Comercial en la Capital p(B) = 0.55 C : Asaltan Casa Comercial en Provincias p(C)= 0.30D : Asaltan Casa Comercial en Provincias p(D) = 0.45A y B son independientes. Así mismo C y Da. Ocurra un asalto en la capital p= p(AB) + p(AB) + p(AB) p= (0.60x0.55) +(0.40x0.45) + 0.40x0.55) p= 0.73

b. Ocurra un asalto en Provincias p= p(CD) + p(CD) + p(CD) p= 0.70 x 0.45 + 0.30x0.55 + 0.30x0.45 p= 0.615c. No ocurra crimen alguno (Capital o Provincia) p = p (A B) + p(C D) = 0.60 x 0.45 + 0.70x0.55 = 0.655

137. Una moneda está cargada (aumentada de peso) la proporción de probabilidad de

salir cara y sello es 2 : 3 respectivamente.

Calcular la probabilidad de obtener:

a) Por lo menos una cara al lanzar 3 monedas:

b) Más sellos que caras.

2p + 3p = 5p p(cara) = 2/5 p(sello) = 3/5cara sello.En el lanzamiento de 3 monedas el espacio muestral será : S: (CCC, CCS,CSC,CSS,SSC,SSC,SSS)

a) Al menos 1 cara = 1 ó más caras P = 1 - p(ninguna cara) = 1 – p (SSS) = 1 - 3 3 3 = 98/125

5 5 5

b) Mas sellos que carasP(CSS,SCS,SSC,SSS) = 3 2 3 3 + 3 3 3 = 81/125

5 5 5 5 5 5

138.

a) De cuántas maneras 3 niños y 2 niñas pueden sentarse en una fila ?

146


b) De cuántas maneras pueden sentarse si los niños se sientan juntos y las niñas

también.

c) de cuántas maneras pueden sentarse en fila si justamente las niñas se sientan

juntas.

A) 5 4 3 2 1 = 120

B) 2 3 2 1 2 1 = 24 C) 2 1 4 3 2 = 48 niños niñas niñas

139. cuál es la probabilidad de que al ordenarse 10 hojas de exámenes de distintas

calificativos la hoja mejor contestada y la peor, no queden juntos ?

Nº Total de ordenaciones : 10!Sean los calificativos de menor a mayor:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 Si 1 y 10 están juntos (menor mayor).

1 10 2,3,4,5,6,7,8,9, se pueden ordenar

de 2 x 9! P(1 y 10 juntos) = 2 X 9! = 0.20 10

p (separado) = 1 – p (1 y 10 juntos) = 1 – 0.20 = 0.80

140. Para transmitir señales de día, se dispone de 4 banderas triangulares, compuestas

cada uno por 9 banderas rectangulares, distintas entre si. Cada señal debe

consistir en una bandera triangular, seguida de 3, 2, 1 o ninguna rectangular; Se

desea saber que número de señales distintas pueden hacerse.

4 y 4 diferentesLos triángulos pueden colocarse de 4 formas:

A) Señales de la forma

4 9 9 9 = 2,916

147


B) Señales de la forma

4 9 9 = 32

C) Señales de la forma 4 9 = 36

D) Señales de la forma

4 = 4 4 Total = 3280

141. Sean 6 celdas numeradas de I a VI. 6 bolillas numeradas de 1 a 6. cada bolilla es

ubicada en una celda de acuerdo al resultado de un tiro de dado. Indicar la

probabilidad de que en cada celda hay una bolilla ?.

Cada bolilla debe caer en un casillero vacío.Para la 1ra. Bolilla las 6 posibilidades que da el dado sirven, la probabilidad de que quede bien ubicada es:

P1 = 6/6

Para la segunda bolilla, sirven todos los casilleros menos el que ocupa la 1ra. Bolilla p2 = 5/6Así mismo: p3 = 4/6 p4 = 3/6 p5 = 2/6 p6 = 1/6La probabilidad de que quede una en cada casillero será:P =6/6 5/6 4/6 3/6 2/6 1/6 = 6/66 = 0.015

142. Cual es la probabilidad de que las fechas de nacimiento de 6 personas tomadas al

azar caigan en 2 meses cualesquiera, separados entre si por otros 2 meses ?.

La probabilidad de que una persona cumpla años en un mes determinado es 1/12.La probabilidad de que 6 personas cumplan años en meses determinados será; (1/12)6

Si tomamos primeramente sólo dos meses. Por ejemplo Enero y Abril, las maneras que hay de que esas 6 personas cumplan los años en Enero y Abril serán:

1 persona cumple en enero y 5 personas en Abril....... 6

1

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2 personas cumplen en enero y 4 personas en Abril..... 62


3


5 personas cumplen en enero y 1 persona en Abril...... 65

La probabilidad de que 6 personas cumplan en Enero y Abril será: 5P (E y A) = (1/12)6 6 i=1 i

Hay 12 grupos de 2 meses separados por 2 meses:Enero Abril Febrero Mayo-..........Diciembre MarzoLa probabilidad pedida será:

5P = 12 (1/12)6 6 = 1/125 (62) i=1 i

1.- Un dado normal se lanza 5 veces ¿Cuál es la probabilidad de que:a.- En cada lanzamiento produzca un resultado diferente?b.- Aparezcan 2 números iguales y el resto diferentes?c.- Las 6 caras iguales

Rpta. a.-) 0.015 b.-) 0.015 c.-) 1/6-5

2.- Se toman 3 muestras aleatorias independientes, sobre los dígitos 0, 1,2,....9. Determinar la probabilidad de que el mismo dígito aparezca más de una vez en las 3 muestras.Rpta. 0.280

3.- Si se distribuyen aleatoriamente 4 bolas en 4 cajas. Determinar la probabilidad de quea) cada caja contenga exactamente una bolab) la primera caja tenga 2 bolas

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Rpta: a) 0.09375 b) 0.21

4.- Se distribuyen aleatoriamente “N” bolas en “M” cajas ¿cuál es la probabilidad de que una caja determinada contenga “K” bolas.

5.- En un estante hay 12 pares de libros (Análisis Matemático I y II, Estadística I y II, Física I y II, Química I Y II,.....). Si se seleccionan aleatoriamente 6 libros. Calcular la probabilidad de que formen

a) ningunab) unac) dosd) tres parejas de libros

Rpta: a) 0.4394 b) 0.4707 c) 0.0883 d) 0.0016

6.- De una baraja normal se sacan 6 cartas en forma aleatoria. El número de maneras que pueda suceder es 52C6 = 20358,520. Indicar todos los resultados posibles y calcular la probabilidad de cada uno. Ejemplo:Un par y 4 diferentes.............AA2345Un par y un trío..................AA2225Un par y 4 iguales................AA22226 cartas diferentes...............A23456etc...............................etc.

7.- En una clase hay 12 estudiantes ¿De cuántas maneras los 12 estudiantes pueden presentar 3 pruebas diferentes si a cada prueba le corresponden 4 estudiantes?

Rpta: 34650 8.- De cuántas maneras 12 estudiantes pueden repartirse en 3 equipos A, B, C, de suerte que cada equipo conste de 4 estudiantes

Rpta: 5775

9.- Se tienen las letras de la palabra i) AMARRARAS ii) LLANTALLA Se colocan en algún orden ¿Cuál es la probabilidad de que a) Las “R” y las “A” no queden juntas b) Las “R” y las “A” deben estar en los extremos

Rpta: a) En bloque (AAAA) (RRR) 0.995

En cualquier orden 0.250

b) 1/630

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10.- Un estudiante tiene que contestar 8 de 10 preguntas en un examen. a) ¿Cuántas maneras de escoger tiene?

b) ¿Cuántas maneras, si las 3 primeras preguntas son obligatorias? c) ¿Cuántas, si tiene que contestar por lo menos 4 de las 5 primeras?

Rpta: a) 45 b) 21 c) 35

11.- Dos personas tiran una moneda “4” veces cada uno. Calcular la probabilidad de que obtengan igual cantidad de “caras”

Rpta 0.27

12.- Una urna contiene 16 fichas de las cuales 12 son blancas y 4 negras. Se extrae una muestra de tamaño 4 con reemplazo. Calcular la probabilidad de que la muestra contenga exactamente 3 fichas blancas

Rpta: 3/1024

13.- Un caballero entra a una tienda que tiene en exhibición 12 corbatas diferentes, a saber: 5 de tipo italiano, 4 de tipo inglés, y 3 de tipo nacional ¿Cuántas compras diferentes puede hacer, si desea llevar como mínimo una corbata del tipo italiano y una del tipo inglés.

Rpta: 3720

14.- En una biblioteca hay 8 libros de geometría, 14 de Álgebra, 10 de Física y 5 de Química. ¿De cuántas maneras puede un estudiante seleccionar 4 libros de manera que haya por lo menos un libro de

a) Geometría b).- Álgebra c) Física d) Química

Rpta: a) 1, 585,080 b) 1,372.560 c) 1, 163,880 d) 722,040

15.- Un operario inspecciona alternativamente los productos A y B hasta encontrar el primer defectuoso. La probabilidad de encontrar el primer artículo defectuoso A p(A) es igual a 0.10 y la del segundo artículo es p (B) = 0.15Calcular la probabilidad de encontrar el primer artículo defectuoso en el cuarto artículo inspeccionado.

Rpta: 0.4148

16.- Una caja I contiene 8 fichas rojas y 7 fichas blancas. Otra caja II, tiene 7 fichas rojas y 8 fichas blancas. Se sacan 2 fichas de la caja I en forma sucesiva y sin reposición colocándolos en la caja II y luego de verifica que son de:

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a) Diferentes colores b) igual color

Se seleccionan 2 fichas de la Caja II ¿Cuál es la probabilidad de que ambas fichas sean del mismo color?

Rpta: a) 8/17 b) 81/136

17.- En una dependencia pública el 20% de los hombres y el 10% de las mujeres están aptos para jubilarse. El 70% de los empleados son hombres. Si se presentan dos solicitudes de jubilación y cumplen con los requisitos ¿Cuál es la probabilidad de que una de las solicitudes sea de un hombre y la otra de mujer?

Rpta: 0.17

18.- Una urna contiene cierto número de bolas blancas y una negra. La urna II contiene 2 bolas blancas y 2 negras y la urna III contiene 3 bolas blancas. Se escoge una urna al azar y de ella se extrae una bola, que resulta ser blanca. Si la probabilidad de que dicha bola , provenga de la urna II es 4/9 Determinar ¿Cuántas bolas blancas hay en la urna I?

Rpta: 3

19.- Las probabilidades de que 3 tubos se quemen son respectivamente 0.20, 0.30 y 0.40. Las probabilidades de que un aparato funciones, si uno , dos o tres tubos se quemen son : 0.20, 0.60 y 0.90 respectivamente . Hallar la probabilidad de que el aparato funciones.

Rpta: 0.1992

20.- En una bolsa que contiene 2 monedas de s/ 1 sol, 3 monedas de s/. 2 soles y 4 monedas de s/. 5soles. Se extrae sucesivamente una moneda hasta obtener la moneda de máxima denominación (5 soles). Calcular la probabilidad de encontrar el éxito deseado (moneda de 5 soles) al realizar como máximo 3 extracciones.

Rpta:37/42

21.- La probabilidad de encontrar un artículo defectuoso es de 0.07, suponga que se verifica uno a uno hasta obtener 4 artículos defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de que sean necesarios verificar más de 6 artículos?

(dejar indicado , hacer el planteamiento)

22.-Se lanzan 2 monedas. Si aparece por lo menos una cara. Se extraen 2 fichas aleatoriamente de la urna I que contiene 2 fichas rojas y 3 verdes; de lo contrario, se extraen 2 fichas de la urna II que contienen 3 rojas y 2 verdes.

a) Cual es la probabilidad de obtener dos fichas de igual color?b) Si se han obtenido dos fichas de diferentes colores ¿cuál es la probabilidad de que en

las monedas hayan aparecido 2 caras.

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Rpta: a) 2/5 b) 1/4

23.- Las unidades producidas en una empresa que se encuentra defectuosa es del 5%, cuando el proceso de fabricación se encuentra bajo control . La probabilidad de encontrar un artículo defectuoso es de 0.075 y la probabilidad de que el proceso esté bajo control, sabiendo que se obtuvo un artículo defectuoso es 0.60. Si se escoge aleatoriamente un artículo, se pide determinar la probabilidad de:

a) Encontrar un artículo no defectuoso, sabiendo que el proceso no está bajo control.b) Si un artículo no es defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que el proceso no esté

bajo control?

Rpta: a) 0.70 b) 0.076

BIBLIOGRAFÍA

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2.- Lipschutz, Seymour Probabilidad 1999 Ed. McGraw-Hill México

3.- Manrique, L y Ochoa, N Probabilidad FIIS-UNFV 1997 – Lima - 1ª Edición

4.- Mayhuasca, V. Estadística Aplicada 1980- Lima

5. –Mendenhall y Sincich Probabilidad y Estadística para Ingenieria y Ciencias 1997. Ed. Prentice Hall – México

6.- Moya, R. Y Saravia, A. Probabilidad e Inferencia Estadística Ed. San Marcos - Lima

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separata de probabilidades

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