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5/7/2018 Probabilidades - slidepdf.com

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REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

UNIVERSIDAD VALLE DEL MOMBOY

FACULTAD DE INGENIERIA

ELEMENTOS DE LA TEORIA DE PROBABILIDADES

Carlos Ramírez C.I #19.644.013

Enyerber González C.I #15.827.017

Profesor: Sergio Díaz

Carvajal, Abril 2011



2

INTRODUCCION

Toda ciencia se desarrolla como respuesta a problemas que le llegan del

exterior o como respuesta a problemas que ella misma crea a medida que va

progresando.

En relación con los problemas que provienen del exterior, la Estadística ha

de dar respuesta, entre otros, a los planteados por las necesidades económicas

que emanan de los medios de producción y de organización del Estado.

Se suele argumentar que fueron los juegos de azar los que animaron aimportantes pensadores a estudiar este tipo de sucesos; omitiéndose que la

auténtica motivación que consolidó el Cálculo de Probabilidades fue el sustrato de

aleatoriedad que encontraron en las observaciones económicas y en los

problemas relativos a los seguros, pensiones anuales y, estadísticas de la

población.

Diferenciamos dos aspectos de la Estadística: el nacimiento de laEstadística con la elaboración de estadísticas por los Estados, diseño de los

modelos aleatorios y,

génesis de la probabilidad.



3

1. TEORIA DE PROBABILIDADES

Orígen

El concepto de probabilidad nace con el deseo del hombre de conocer con

certeza los eventos futuros. Es por ello que el estudio de probabilidades surge

como una herramienta utilizada por los nobles para ganar en los juegos y

pasatiempos de la época. El desarrollo de estas herramientas fue asignado a los

matemáticos de la corte.

Con el tiempo estas técnicas matemáticas se perfeccionaron y encontraron

otros usos muy diferentes para la que fueron creadas. Actualmente se continúo

con el estudio de nuevas metodologías que permitan maximizar el uso de la

computación en el estudio de las probabilidades disminuyendo, de este modo, los

márgenes de error en los cálculos.

A través de la historia se han desarrollado tres enfoques conceptuales

diferentes para definir la probabilidad y determinar los valores de probabilidad:

El enfoque clásico

Dice que si hay x posibles resultados favorables a la ocurrencia de un

evento A y z posibles resultados desfavorables a la ocurrencia de A, y todos los

resultados son igualmente posibles y mutuamente excluyente (no pueden ocurrir

los dos al mismo tiempo), entonces la probabilidad de que ocurra A es:



4

El enfoque clásico de la probabilidad se basa en la suposición de que cada

resultado sea igualmente posible.

Este enfoque es llamado enfoque a priori porque permite, (en caso de que

pueda aplicarse) calcular el valor de probabilidad antes de observar cualquier evento de muestra.

Ejemplo:

Si tenemos en una caja 15 piedras verdes y 9 piedras rojas. La probabilidad

de sacar una piedra roja en un intento es:

El enfoque de frecuencia relativa

También llamado Enfoque Empírico, determina la probabilidad sobre la

base de la proporción de veces que ocurre un evento favorable en un numero de

observaciones. En este enfoque no ese utiliza la suposición previa de

aleatoriedad. Porque la determinación de los valores de probabilidad se basa en la

observación y recopilación de datos.

Ejemplo:

Se ha observado que 9 de cada 50 vehículos que pasan por una esquina no

tienen cinturón de seguridad. Si un vigilante de transito se para en esa misma

esquina un ida cualquiera ¿Cuál será la probabilidad de que detenga un vehículo

sin cinturón de seguridad?



5

Tanto el enfoque clásico como el enfoque empírico conducen a valores

objetivos de probabilidad, en el sentido de que los valores de probabilidad indican

al largo plazo la tasa relativa de ocurrencia del evento.

El enfoque subjetivo

Dice que la probabilidad de ocurrencia de un evento es el grado de creencia

por parte de un individuo de que un evento ocurra, basado en toda la evidencia a

su disposición. Bajo esta premisa se puede decir que este enfoque es adecuado

cuando solo hay una oportunidad de ocurrencia del evento. Es decir, que el evento

ocurrirá o no ocurrirá esa sola vez. El valor de probabilidad bajo este enfoque es

un juicio personal.

2. DEFINICION CLASICA DE LA PROBABILIDAD SEGÚN LAPLACE

Esta definición clásica de probabilidad fue una de las primeras que se dieron

en 1900 y se atribuye a Laplace. Eminente matemático francés de la última mitad

del siglo XVIII y principios del XIX, describía la teoría de la probabilidad como ³el

sentido común reducido al cálculo; también se conoce con el nombre de

³Probabilidad a priori´´ pues, para calcularla, es necesario conocer, antes de

realizar el experimento aleatorio, el espacio muestral y el número de resultados o

sucesos elementales que entran a formar parte del sucesoEsta definición de Laplace, reza lo siguiente:

³Sea un experimento aleatorio cuyo correspondiente espacio muestral E está

formado por un número n finito de posibles resultados distintos y con la misma

probabilidad de ocurrir {e1, e2, « , en} Si n1 resultados constituyen el subconjunto



6

o suceso A1, n2 resultados constituyen el subconjunto o suceso A2 y, en general,

nk resultados constituyen el subconjunto o suceso Ak de tal forma que: es decir,

que la probabilidad de cualquier suceso A es igual al cociente entre el número de

casos favorables que integran el suceso A

Regla

La regla de Laplace para E finitos y el número de casos posibles del

espacio muestral E. Para que se pueda aplicar la regla de Laplace es necesario

que todos los sucesos elementales sean equiprobables, es decir: Siendo A= La

probabilidad verifica las siguientes condiciones: La probabilidad de cualquier

suceso es siempre un número no negativo entre 0 y 1. La probabilidad del suceso

seguro E vale 1, la probabilidad del suceso imposible es 0. la probabilidad de launión de varios sucesos incompatibles o excluyentes A1, A1,«, Ar es igual a la

suma de probabilidades de cada uno de ellos

Aplicación

La aplicación de la definición clásica de probabilidad puede presentar

dificultades de aplicación cuando el espacio muestral es infinito o cuando los

posibles resultados de un experimento no son equiprobables.

Ejemplo

En un proceso de fabricación de piezas puede haber algunas defectuosas y

si queremos determinar la probabilidad de que una pieza sea defectuosa no

podemos utilizar la definición clásica pues necesitaríamos conocer previamente el

resultado del proceso de fabricación. Para resolver estos casos, se hace una

extensión de la definición de probabilidad, de manera que se pueda aplicar con

menos restricciones, llegando así a la definición frecuentista de probabilidad.



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3. EXPERIMENTOS ALEATORIOS

Son los que pueden dar lugar a varios resultados sin que pueda ser previsible

enunciar con certeza cuál de estos pueda ser observado en la realización del

experimento.

La vida cotidiana está plagada de sucesos aleatorios muchos de ellos, de tipo

sociológicos (viajes, accidentes, número de personas que acudirán a un gran

almacén o que se matricularan en una carrera) aunque son suma de muchas

decisiones individuales, pueden ser estudiados ventajosamente como aleatorios.

Suceso aleatorio: es un acontecimiento que ocurrirá o no dependiendo del azar.



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4. DEFINICION MODERNA DE LA PROBABILIDAD

La definición moderna de probabilidad basada en la axiomática de Kolmogorov

(presentada anteriormente) es relativamente reciente. Históricamente hubo otros

intentos previos de definir el escurridizo concepto de probabilidad, descartados por diferentes razones. Sin embargo conviene destacar aquí algunas ideas que

aparecen en la antigua definición basada en la frecuencia relativa, ya que permiten

intuir algunas profundas propiedades de la probabilidad.

Recordemos antes que si en un experimento que se ha repetido n veces un

determinado suceso A se ha observado en k de estas repeticiones, la frecuencia

relativa f r del suceso A es:

f r = k /n

El interés por la frecuencia relativa y su relación con el concepto de

probabilidad aparece a lo largo de los siglos XVIII a XX al observar el

comportamiento de numerosas repeticiones de experimentos reales.

A título de ejemplo de un experimento de este tipo, supongamos que se

dispone de una moneda ideal perfectamente equilibrada. Aplicando directamentela regla de Laplace resulta claro que el suceso A = obtener cara tiene probabilidad:

p(A) = 1/2 = 0,5

En el cuadro siguiente se simula por ordenador el comportamiento de la

frecuencia relativa del suceso A = obtener cara. El cuadro inicia la simulación con

el lanzamiento consecutivo de la moneda veinte veces, calculando la frecuencia

relativa de cara y comparándolo con la p(A) = 0.5. Aunque no es imposible quecoincidan, la mayoría de veces f r será diferente.

El lector puede manipular el cuadro para observar qué ocurre con rachas

entre n = 1 y n = 1000 lanzamientos. También puede empezarse una nueva racha

de lanzamientos con el botón Reiniciar .



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5. AXIOMAS

La definición axiomática de probabilidad es quizás la más simple de todas las

definiciones y ciertamente la menos controvertida ya que, esencialmente, es una

definición basada en un conjunto de axiomas que establecen los requisitosmínimos para dar una definición de probabilidad. La ventaja fundamental de la

definición axiomática de la probabilidad es que nos permite llegar a un desarrollo

riguroso y matemático de la probabilidad. Esta aproximación axiomática de la

probabilidad fue introducida inicialmente, por el matemático ruso A.N. Kolmogorov

y posteriormente por estadísticos y matemáticos en general.

Dado el espacio medible (, S ) , diremos que una función P: S , es una

probabilidad si satisface los siguientes axiomas de Kolomogorov:

Axioma 1 : Se cumple para todo evento E en S : 0 = P(E) =1

Axioma 2 : P(S) = 1

Axioma 3:Si E1 y E2 son eventos que se excluyen mutuamente en S entoncesP(E1 U E2)= P(E1) + P(E2) .

6. TEOREMA FUNDAMENTALES

a.- Teorema Aditivo

Si se desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene formas alternativas para ser

realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M

maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas

..... y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas,

entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de,

M + N + .........+ W maneras o formas



10

Ejemplos:

Una persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cuál ha pensado

que puede seleccionar de entre las marcas Whirpool, Easy y General Electric,

cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W sepresenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en cuatro colores diferentes y

puede ser automática o semiautomática, mientras que la lavadora de la marca E,

se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores

diferentes y puede ser automática o semiautomática y la lavadora de la marca GE,

se presenta en solo un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores

diferentes y solo hay semiautomática. ¿Cuántas maneras tiene esta persona de

comprar una lavadora?

Solución:

M = Número de maneras de seleccionar una lavadora Whirpool

N = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca Easy

W = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca General

Electric

M = 2 x 4 x 2 = 16 maneras

N = 3 x 2 x 2 = 12 maneras

W = 1 x 2 x 1 = 2 maneras

M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneras de seleccionar una lavadora

b.- Teorema del Producto

Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer pasode la actividad a realizar puede ser llevado a cabo de N1 maneras o formas, elsegundo paso de N2 maneras o formas y el r-ésimo paso de Nr maneras o formas,entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de;



11

N 1 x N 2 x ..........x N r maneras o formas

El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad debenser llevados a efecto, uno tras otro.

Ejemplo: Una persona desea construir su casa, para lo cuál considera que puede

construir los cimientos de su casa de cualquiera de dos maneras (concreto o block

de cemento), mientras que las paredes las puede hacer de adobe, adobón o

ladrillo, el techo puede ser de concreto o lámina galvanizada y por último los

acabados los puede realizar de una sola manera ¿cuántas maneras tiene esta

persona de construir su casa?

Solución:

Considerando que r = 4 pasos

N1= maneras de hacer cimientos = 2

N2= maneras de construir paredes = 3

N3= maneras de hacer techos = 2

N4= maneras de hacer acabados = 1

N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 maneras de construir la casa

El principio multiplicativo, el aditivo y las técnicas de conteo que posteriormente se

tratarán nos proporcionan todas las maneras o formas posibles de como se puede

llevar a cabo una actividad cualquiera



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7. SUCESOS COMPATIBLES E INCOMPATIBLES

Sucesos compatibles

Dos sucesos, A y B, son compatibles cuando tienen algún suceso elemental

común.

Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 3, A y B

son compatibles porque el 6 es un suceso elemental común.

Sucesos incompatibles

Dos sucesos, A y B, son incompatibles cuando no tienen ningún elemento en

común.

Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 5, A y B

son incompatibles.

8. SUCESOS INDEPENDIENTES Y DEPENDIENTES

Sucesos independientes

Dos sucesos, A y B, son independientes cuando la probabilidad de que suceda Ano se ve afectada porque haya sucedido o no B.

Al lazar dos dados los resultados son independientes.

Sucesos dependientes

Dos sucesos, A y B, son dependientes cuando la probabilidad de que suceda A seve afectada porque haya sucedido o no B.

Extraer dos cartas de una baraja, sin reposición, son sucesos dependientes.



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9. DISTRIBUCIONES PROBABILISTICAS: DISTRIBUCION BINOMIAL

Características:

En los experimentos que tienen este tipo de distribución, siempre se

esperan dos tipos de resultados, ejem. Defectuoso, no defectuoso, pasa, no pasa,

etc, etc., denominados arbitrariamente ³éxito´ (que es lo que se espera que ocurra)

o ³fracaso´ (lo contrario del éxito).

Las probabilidades asociadas a cada uno de estos resultados son constantes, es

decir no cambian.

Cada uno de los ensayos o repeticiones del experimento son independientes entre

sí.

El número de ensayos o repeticiones del experimento (n) es constante.

A partir de un ejemplo. Desarrollaremos una fórmula que nos permita cualquier

problema que tenga este tipo de distribución.

Ejemplo:

Se lanza al aire una moneda normal 3 veces, determine la probabilidad de que

aparezcan 2 águilas.

Solución:

Antes de empezar a resolver este problema, lo primero que hay que hacer

es identificarlo como un problema que tiene una distribución binomial, y podemos

decir que efectivamente así es, ya que se trata de un experimento en donde solose pueden esperar dos tipos de resultados al lanzar la moneda, águila o sello,

cutas probabilidades de ocurrencia son constantes, cada uno de los lanzamientos

es independiente de los demás y el número de ensayos o repeticiones del

experimento son constantes, n = 3.



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Para dar solución a este problema, lo primero que hay que hacer es un

diagrama de árbol, en donde representaremos los tres lanzamientos, de ahí se

obtendrá el espacio muestral y posteriormente la probabilidad pedida, usando la

fórmula correspondiente.

Función de la distribución binomial

La distribución binomial se encuentra tabulada por lo que es fácil calcular

probabilidades sin necesidad de hacer demasiadas cuentas. Para usar las tablas

de la distribución binomial es necesario conocer:

- El número de veces que se realiza el experimento (n).

- La probabilidad de éxito (p).- El numero de éxitos (k).

La probabilidad p se busca en la primera fila (valores desde 0¶01 hasta 0¶5).

El número de veces que se realiza el experimento, en la primera columna (valores

desde 2 a 10) y el número de exitos a su lado.

Por ejemplo en el caso anterior, Bin (6;0¶5) , p(X=2), la columna p=0¶5 es laúltima, y cuando n=6 y k=2 encontramos 0¶2344, el valor que habamos calculado.

N ota importante: El caso en que p > 0 _5, no se encuentra tabulado.

La razon es bien sencilla. Si p > 0 _5, entonces q < 0 _5 y basta intercambiar los

papeles de exito y fracaso para que podamos utilizar la tabla.

10. DISTRIBUCION NORMAL O DE GAUSS

Características:

a) Es generada por una variable de tipo continuo, denominada x;

-¥< x < ¥



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b) La función que nos define esta distribución es:

-¥< x < ¥

Al dar a la función los valores de m , s2 y valores a x, obtendremos la

distribución en cuestión, la que tiene forma de campana, por lo que también se le

conoce como campana de Gauss. Hay un número infinito de funciones de

densidad Normal, una para cada combinación de m y s. La media m mide la

ubicación de la distribución y la desviación estándar s mide su dispersión.

c) Es simétrica con respecto a su eje vertical.

d) Es asintótica con respecto a su eje horizontal; esto quiere decir que jamás va a

tocar el eje de las equis.

e) El área total bajo la curva es 1.

f) Sí sumamos a m ± s, se observará que aproximadamente el 68.26% de los

datos se encuentran bajo la curva, si sumamos a m ± 2s, el 95.44% de los datos

estará entre esos límites y si sumamos a m ± 3s, entonces el 99.74% de los datos

caerá dentro de esos límites. Esta característica es a la vez una forma empírica y

rápida de demostrar si los datos que se analizan tienen una distribución Normal;

ya que para trabajar los datos con esta distribución, debe verificarse que

efectivamente así se distribuyen, ya que de no hacerlo, las decisiones que en un

momento dado se tomarán de un análisis de los datos con la distribución Normal,

serían erróneas.

¿Cómo se determinan probabilidades con la distribución Normal?

De acuerdo a como se trataron las distribuciones de probabilidad continuas

en la unidad III, lo más lógico es que la función f(x, m, s2), se integre entre los

límites de la variable x; esto es,



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11. FUNCION DENSIDAD DE LA DISTRICION NORMAL

Se dice que una variable aleatoria continua X sigue una distribución normal de

parámetros y y se denota X~N( , ) si su función de densidad está dada por:

Por tanto, la función de distribución de la normal estándar es:



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12. USO DE LA TABLA DE PROBABILIDAD



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Ejemplo: Hallar la probabilidad p (z 0,45)

z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,090,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359

0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753

0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141

0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517

0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879

En la 1ª columna buscamos el valor de las unidades y las décimas.

En la 1ª fila el valor de las centésimas.

Basta buscar 0,4 en la columna y 0,05 en la fila. Su intersección nos da la

probabilidad.

Leemos y nos da 0,6736. p (z 0,45) = 0,6736.

DEFINICIÓN FORMAL DE LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON.

Sea X una variable aleatoria discreta que puede tomar los valores 0,1,2,.. tal que

la función de probabilidad de X esté dada por:



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donde es una constante positiva dada. Esta distribución se llama Distribución de

Poisson (en memoria de S.D. Poisson, quien la descubrió a principios del siglo

XIX) y una variable aleatoria con esta distribución se dice que está distribuida con

la distribución de Poisson.

Los valores de f(x) en la ecuación pueden obtenerse usando la siguiente tabla,

que da los valores de para diferentes valores de , o utilizando logaritmos.

13. CARACTERISTICAS DE LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON.

o El número de resultados que ocurren en un intervalo o región especifica es

independiente del número que ocurre en cualquier otro intervalo o región

del especio disjunto. De esta forma vemos que el proceso de Poisson no

tiene memoria.

o La probabilidad de que ocurra un solo resultado durante un intervalo muy

corto o en una región pequeña es proporcional a la longitud del intervalo o

al tamaño de la región y no depende del número de resultados que ocurren

fuera de este intervalo o región.

o La probabilidad de que ocurre más de un resultado en tal intervalo corto o

que caiga en tal región pequeña es insignificante.

14. TABLA DE DISTRIBUCION POISSON

La tabla entrega valores de la función de distribución (probabilidad acumulada), es

decir, valores de F ( x ) = xy =0 p(y ). La cuantila x toma valores desde 0 hasta que los

términos se hacen cero al nivel de precisión de la tabla.

El parámetro toma valores de 0.01 a 0.04 variando en 0.01; de 0.06 a 0.20

variando en 0.02; de 0.25 a 1.00 variando en 0.05; de 1.1 a 3.5 variando en 0.1; de

4 a 18 variando en 0.5; de 19 a 41 variando en 1.



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15. PRUEBA DE LA CHI CUADRADO PARA MEDIR LA BONDAD

La prueba de independencia Chi-cuadrado, nos permite determinar si existe

una relación entre dos variables categóricas. Es necesario resaltar que esta

prueba nos indica si existe o no una relación entre las variables, pero no indica el

grado o el tipo de relación; es decir, no indica el porcentaje de influencia de una

variable sobre la otra o la variable que causa la influencia.

A manera de ejemplo crearemos un prueba Chi-cuadrado para las variables

Género y Estado civil ; desde luego para crear la prueba es necesario realizar la

tabla, por lo que debemos volver al generador de tablas y ubicar en la lista la

variable género e ingresarla a las columnas, sucesivamente ubicamos la variable

Estado civil y la ingresamos a las Filas. Una vez ubicadas la variables en las

dimensiones, activamos (Hacer clic) la pestaña Estadísticos de contraste, con lo

que aparecen en el cuadro las pruebas estadísticas disponibles



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16. USO DE LA TABLA CHI CUADRADO

El procedimiento T ablas personalizadas, nos permite realizar tres diferentes

pruebas estadísticas para determinar la relación existente entre las variables de

fila y columna. A través de la pestaña Estadísticos de contraste se puede solicitar para las variables que se ingresen en la dimensión de filas y columnas, las

pruebas de relación / independencia, comparación de medias o la comparación de

porcentajes.

Para facilitar la interpretación de estos procedimientos generaremos

algunos ejemplos de cada una de ella. Debemos resaltar que las pruebas

estadísticas aquí mencionadas hacen parte del análisis de inferencia y por lo tantono serán exploradas a profundidad, sino que las anexamos con el propósito de

familiarizarnos con los objetivos de cada prueba, como un preámbulo al estudio de

la estadística de inferencia.



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17. EJERCICIOS

1. De un naipe inglés de 52 cartas se sacan dos al azar. Se pide:

y Probabilidad de que ambas sean trébol (A).

y Probabilidad de que una sea trébol y el otro corazón. (B)

Solución:

1° Dos cartas de una totalidad de 52, se pueden tomar de (52 a 2) maneras, luego la

medida del espacio muestra es:

m ( S ) = 52 = 52 × 51 / 1 × 2 = 1326

2

2° Dos cartas trébol de una totalidad de13 cartas trébol. Se puede tomar de 13

maneras, luego la medida de A es: 2

m ( A ) = 13 = 13 × 12 / 1 × 2 = 7

2

P ( A ) = 78 / 1326 = 1 / 17 = 0.0588

3° Carta trébol se toma de 13 disponibles, de 13 maneras y10 propio ocurre con

una de coraz6n. Luego la pareja: una de trébol y una de coraz6n se puede tomar

de: 13 x 13 maneras, así:

P ( B ) = 13 × 13 / 1326 = 13 / 102 = 0.12745

2. En una caja hay 80 tuercas de las cuales 12 son defectuosas. Se

Toma 6 de ellas al azar. Se pide:

y Probabilidad de que las 6 sean buenas (A)



23

y Probabilidad de que hayan2 defectuosas (B).

Solución:

1° La medida del espacio muestra es:

m ( S ) = 80

6

2° Para tomar6 tuercas buenas, ellas se tomaran de las (80 12 = 68) buenas,

luego:

m ( A ) = 68 y P ( A ) = 68 / 80

6 6 6

3° Para que en las 6 tuercas tomadas haya 4 buenas y 2 defectuosas las 4

buenas se tornaran de 68 buenas y las 2 defectuosas se tornaran de las 12

defectuosas, luego la medida de B es:

m ( B ) = 68 × 12 y P ( B ) = 68 × 80 / 80

4 2 4 6 6

3. En una rifa de 100 números hay 3 números premiados. Una persona compra

5 números. Probabilidad de saque un premio a lo menos.

Solución:

1° La medida de los casos posibles es:

m ( S ) = 100



24

5

2° Sea A el suceso sacar un premio a lo menos. Entonces Aº es el suceso: no

sacar ningún premio.

3° Calcularemos P ( Aº ). Para no sacar ningún premio tomaremos los 5 números

entre los 97 no premiados, luego:

P ( Aº ) = 97 / 100 = 97 × 96 × 95 × 94 × 93 = 0.556

5 5 100 × 99 × 98 × 97 × 96

4° Finalmente la probabilidad de sacar un premio a lo menos es:

P ( A ) = 1 P ( Aº ) = 1 0.556 = 0.144

4. Una caja contiene 60 pernos y 140 tuercas. Veinte pernos están dañados y 10

mismo ocurre con 50 tuercas. Se toma un Ítem al azar. Se pide: calcular

probabilidad que sea perno o este dañado.

Solución:

a° Sea A el acontecimiento, la pieza tomada es perno, entonces:

P ( A ) = 60 / 200 = 3 / 10

b° Sea B el suceso el Ítem está dañado, entonces:



25

P ( B ) = 70 / 200 = 7 / 20

c° Nosotros buscamos: P ( AUB ) y sabemos que:

P ( AUB ) = P ( A ) + P ( B ) P ( A B )

P ( AUB ) = 6 / 20 + 7 / 20 20 / 200 = 11 / 20 = 0.55

5. Una rifa consta de 100 boletos entre los cuales hay dos premiados.

Determinar el menor número de boletos que es necesario comprar para que

la probabilidad de ganar a10 menos un premio sea mayor a 4/5.

Solución:

a° Sea A el suceso: ganar un premio a lo menos. Entonces Aº es el suceso no

ganar ningún premio.

b° Sea n el número de boletos a comprar, entonces:

P ( Aº ) = ( 98 a n ) / ( 100 a n ) = n ² - 199n + 9900 =

9900

Luego:

P ( A ) = 1 - P ( Aº ) = n ² - 199n + 9900 > 4 / 5

9900

De donde:

n ² - 199n + 7920 < 0



26

(n - 55) ( n - 144) < 0

Luego el menor número de boletos a comprar es: 56

6. Una caja contiene n fichas. Se saca al azar un puñado de ellas.Probabilidad de extraer un número par de ellas.

Solución:

a° AI sacar un puñado de fichas al azar, este puede traer: 1,2, 3,.....n fichas luego la

medida de los casos posibles es:

m ( S ) = ( n a 1 ) + ( n a 2 ) + ««««. + ( n a n ) = 2 - 1

b° Llamando A al acontecimiento sacar un numero par de fichas, el se verifica,

sacando: 2 o 4 o 6,...etc., luego la medida de A es:

m ( a ) = ( n a 2 ) + ( n a 4 ) + ( n a 6 ) + ««««. = 2 ¹ - 1

y entonces la probabilidad pedida es :

P ( A ) = 2 ¹ - 1

2 - 1

7. Se toma al azar dos números comprendidos entre 0 y 1. Determine la

probabilidad que la suma de ellos no supere 1 y que su producto no sea

mayor que 2/9

Solución:

a° Llamando x e y los números tomados, tenemos:



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S = { ( x, y ) / x + Y < 1 ^ x y < 2 / 9}

m ( s ) = 1 x 1 = 1

b° EI suceso: x + y< 1 es el triangulo: OAC = S

c° EI suceso: x y < 2 / 9 queda expresado por el área S2 bajo la hipérbola x y

= 2 / 9 y el acontecimiento A, cuya probabilidad se busca, está en el área: S1nS2, donde fácilmente se encuentra: Xd = 1/3 y Xe = 2/3.

La medida de ( S1n S2 ) está dada por:

² » ²

m ( S1 S2 ) = 1 / 3 + 2 / 9 �dx / x = 1 / 3 + 2 / 9 ln 2¹ » ³

Finalmente:

P ( A ) = m ( S1 S2 ) = 0.487

m ( S )



28

8. Dos personas Pedro y Juan deciden juntarse en un determinado lugar entre

las12 M Y la1 PM Y acuerdan esperar15 minutos. Determinar la probabilidad

de que se encuentren.

Solución:

aº Sea x el instante en que Ilega Pedro e y el instante en que lIega Juan.

Entonces el espacio muestra del experimento es:

S = { ( x,y ) / 0 � x � 60 y 0 � y � 60 } y m ( 8 ) = 60 x 60 minutos².

b° Sea A el suceso Pedro y Juan se encuentran, entonces:

A = { ( x,y ) / I y x I � 15 }

Pero

l y - x l � 15



29

Implica

-15 � y x � 15

O bien:

x - 15 � y � x +15

Así A es la región comprendida entre las rectas:

y = x - 15 e y = x + 15

Y como:

m (A)= 60 x 60 - 45 x 45

La probabilidad buscada es

P ( A ) = m ( A ) = 1 45 × 45 = 7 / 16 = 0.4375

m ( B ) 60 × 60

9. En el cuadrado S = { (x, y) / I x I < 1 y I y I < 1}. Se toma al azar un punto M =

(a, b). Determinar la probabilidad que las raíces de la ecuación: x² + 2ax + b=

0 sean complejas.

Solución:

a° Graficado el espacio muestra, su medida es: m ( S )= 4



30

b° Como las raíces de la ecuación son:

X = -a ± a² - b

Ellas serán complejas cuando: a²- b < o.

10. Tabulaciones sobre mortalidad indican que la probabilidad que una persona

muera entre T1 y T2 años es:

¹

P ( T1 T T2 ) = � Q ( T) dt

²

Siendo

3 x 10 - T² ( 100 ± T )² para T � 0

Q ( T ) =

0 para T 0



31

Determinar:

a) Probabilidad que una persona viva 100 arias.

b) Probabilidad que una persona muera entre los 60 y 70 años, si ella ya

tiene 40 años.

Solución:

1º De inmediato

99

P ( 99 T � 100 ) = 3 x 10 - � T² ( 100 T )² dt = 0

100

2º Para la segunda pregunta, tenemos:

P ( 60 T � 70 I T �40 ) = P[( 60 T � 70 ) ( T � 40 )] = P [( 60 T � 70 )]

P ( T � 40 ) P ( T � 40 )

Y como

70

P ( 60 T � 70 ) = 3 x 10 - � T² ( 100 T )² dt = 0.1543

60

P ( T � 40 ) = 1 - P( T � 40 ) = 0.2050

Luego:

P ( 60 T � 70 I 40 ) = 0.1543 = 0.075

0.2050



32

i) P(A) � 0 A S

ii) P( ) = 1

iii) Dada una sucesión numerable de sucesos incompatibles, se verifica que

la probabilidad de la unión es la suma de las probabilidades, esto

La terna ( , S , P) recibe el nombre de espacio probabilístico.



33

CONCLUSION

Esperamos que con esta breve pero intensa aportación, haya conseguido que

ahora ya sí podamos contestar algunas de las preguntas planteadas en el título de

la exposición. En este corto pero exhausto recorrido por la historia de laprobabilidad somos consciente que hemos dejado en el camino las aportaciones

de otros autores, que si bien es verdad, no los considero tan relevantes como los

mencionados, no por ello debemos hacer de menos sus trabajos. Puesto que, si

alguna conclusión debemos extraer de esta exposición es que la Moderna Teoría

de la Probabilidad, es el resultado de la unión de muchos y continuos esfuerzos

materializados en pequeños y grandes trabajos.



34

BIBLIOGRAFIA

o WILLIAM J. STEVENSON, ESTADISTICA PARA ADMINISTRACION Y

ECONOMIA: Conceptos y Aplicaciones

o JAY L. DEVORE, PROBABILIDAD Y ESTADISTICA PARA INGENIERIA Y

CIENCIAS: Sexta Edicion

o MIGUEL ANGEL GOMEZ VILLEGAS, INFERENCIA ESTADISTICA

o ANTONIO VARGAS SABADIAS, ESTADISTICA DESCRIPTIVA



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URLs DE INTERES

o http://www.uv.es/zuniga/09_La_distribucion_de_Poisson.pdf

o http://www.hrc.es/bioest/Probabilidad_14.html

o http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/28/matematicas-28.html

o http://www.dm.uba.ar/materias/estadistica_Q/2011/1/EstadQuimProbabilida

d.pdf

probabilidades

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