1. ANÁLISIS Y REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES:◦ Polinómicas◦ Racionales.◦ Problemas con condiciones

2. APLICACIONES DE LA DERIVADA:◦ En distintas áreas: Economía, Medicina, Ingeniería, Física,

etc.◦ En problemas de optimización.

Corte con los ejes

Dominio y Continuidad

Tipo de función

Periodicidad

Simetría

Asíntotas

Máximos y mínimos

Monotonía

Puntos de inf lexión

Curvatura

1. ANÁLISIS DE UNA FUNCIÓN:

ANÁLISIS DE UNA FUNCIÓN:

Tipo de función

Polinómica

Racional

Irracional

Exponenciales y logarít imicas

Trigonométricas

ANÁLISIS DE UNA FUNCIÓN:

DominioConjunto de valores que toman

la variable independiente x.

Una función es continua si se puede dibujar sin levantar el lápiz

del papel

Una función es periódica si se repite en intervalos iguales

DominioContinuidad

Periodicidad

)()( Txfxf +=

ANÁLISIS DE UNA FUNCIÓN:

Simetría

Par

Impar

)()( xfxf −=

)()( xfxf −−=

2xy =

3xy =

ANÁLISIS DE FUNCIONES

Asíntotas

Oblicuas

Horizontales

Verticales

Polinómicas

Racionales

NO

NO

NO SI o NO

SI o NO

SI o NO

Asíntota vertical

Resolver la ecuación que se obtiene al igualar a cero el denominador;

Se toman solo las raíces del denominador que no lo son del

numerador

ANÁLISIS DE FUNCIONES◦ Racionales

Kx =

3

52)(

−−=

x

xxf Se

estudia:

)(lim xfKx −→

)(lim xfKx +→

Asíntota vertical

Resolver la ecuación que se obtiene al igualar a cero el denominador;

Se toman solo las raíces del denominador que no lo son del

numerador

ANÁLISIS DE FUNCIONES◦ Racionales

Kx =

1

6)(

2 −=x

xxf Se

estudia:

)(lim xfKx −→

)(lim xfKx +→

Asíntota vertical

Resolver la ecuación que se obtiene al igualar a cero el denominador;

Se toman solo las raíces del denominador que no lo son del

numerador

ANÁLISIS DE FUNCIONES◦ Racionales

Kx =

1)(

2 +=x

xxf Se

estudia:

)(lim xfKx −→

)(lim xfKx +→

Asíntota Horizontal Se hal la:

Cy =

1)(

2 +=x

xxf

ANÁLISIS DE FUNCIONES◦ Funciones racionales

)(lim xfCx ±∞→

=

1

6)(

2

2

−=x

xxf

1)(

2

−=x

xxf

Asíntota Oblicua

1)(

2 +=x

xxf

ANÁLISIS DE FUNCIONES◦ Funciones racionales

1)(

2

23

−+=x

xxxf

1)(

2

−=x

xxf

Asíntota en y=mx+b, siempre que el grado numerador sea una unidad mayor que el de

denominador:

y=mx+b es el cociente

123)(

2

24

+−+−=

xx

xxxxf

ANÁLISIS DE FUNCIONES ¿Para que se utilizan las derivadas en el análisis de

funciones?.Máximos y mínimos relat ivos

Monotonía (crecimiento y decrecimiento) de una función

Calcular los puntos de inf lexión

Curvatura (concavidad o convexidad ) de una

función∪

∩

1. ANÁLISIS Y REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES:1ª Derivada Calcula la pendiente (m) de la recta

tangente a cualquier punto de la curva

La recta tangente algún punto de la curva es: )( 00 xxmyy −⋅=−

1. ANÁLISIS Y REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES:Derivada

Máximos y mínimos relativos

1º- Se calcula la 1ª derivada, f´(x)

2º- Se resuelve la ecuación, f´(x)=0

3º- Se calcula la 2ª derivada, f´´(x)

4º- Calcular f´´(punto candidato)

Las soluciones de f´(x)=0 son los candidatos a ser

máximos o mínimos

f´´(pto. candidato)<0, Pto. candidato es

MÁXIMO

f´´(pto. candidato)>0, Pto candidato es

MÍNIMO5º- Calcular f(punto candidato)

1. ANÁLISIS Y REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES:Máximos y mínimos

relat ivos1º- Se calcula la 1ª derivada, f´(x)

2º- Se resuelve la ecuación, f´(x)=0

3º- Se calcula la 2ª derivada, f´´(x)

4º- Calcular f´´(punto candidato)

f´´(pto. Cand.)<0, Pto. candidato es

MÁXIMO

f´´(pto. Cand.)>0, Pto candidato es

MÍNIMO

5º- Calcular f(punto candidato)

Las soluciones de f´(x)=0 son los candidatos a ser máximos o

mínimos

15)( 23 −+= xxxf

1. ANÁLISIS Y REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES:Máximos y mínimos

relat ivos1º- Se calcula la 1ª derivada, f´(x)2º- Se resuelve la ecuación, f´(x)=0

3º- Se calcula la 2ª derivada, f´´(x)

4º- Calcular f´´(punto candidato)

f´´(pto. Cand.)<0, Pto. candidato es

MÁXIMO

f´´(pto. Cand.)>0, Pto candidato es

MÍNIMO

5º- Calcular f(punto candidato)

Las soluciones de f´(x)=0 son los candidatos a ser máximos o

mínimos

1

5)(

2

−+=x

xxf

1. ANÁLISIS Y REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES:

1

96)(

2

−+−=

x

xxxg

MonotoníaMáximos y mínimos

Puntos no pertenecen al

dominio

Definen los

intervalos

Evaluar el signo de la 1ª

derivada

0)( <xg I 0)( >xg I

Función g(x) decrece Función g(x) crece

),3[]1,( +∞∪−−∞]3,1()1,1[ ∪−

2

2

)1(

32)(

−−−=

x

xxxg I

1. ANÁLISIS Y REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES:Puntos de inf lexión

1º- Se calcula la 2ª derivada, f´´(x)

2º- Se resuelve la ecuación, f´´(x)=0

3º- Se calcula la 3ª derivada, f´´´(x)

4º- Calcular f´´´(punto candidato)

f ´´´(pto. Cand.) es dist into de cero. Pto. Candidato es punto de Inf lexión

Las soluciones de f´´(x)=0 son los candidatos a ser punto inf lexión

Punto donde se produce el cambio de concavo a convexo, o

viceversa.15)( 23 −+= xxxf

Puntos no pertenecen al

dominio

Definen los

intervalos

Evaluar el signo de la 2ª derivada

0)( <xf II 0)( >xf II

Función g(x) concava

Función g(x) convexa

Punto inflexión

Curvatura

1. ANÁLISIS Y REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES:

xxxxf 43)( 23 +−=

Puntos no pertenecen al

dominio

Definen los

intervalos

Evaluar el signo de la

2ª derivada

0)( <xf II 0)( >xf II

Función g(x) concava

Función g(x) convexa

Punto inflexión

Curvatura

1. ANÁLISIS Y REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES:

1

96)(

2

−+−=

x

xxxg

)1,(−∞ ),1( ∞