TRABAJO (FUERZA)(DISTANCIA )

W F(b a)

Sea f una función continua en el intervalo [a,b] y f(x) unidades la fuerza que actúa sobre un objeto en el punto x del eje x. Si w unidades es el trabajo realizado por la fuerza conforme el objeto se desplaza de a hacia b, entonces

b

a

W f(x)dx

3

EJEMPLO

una partícula se mueve a lo largo del eje x debido a la

acción de una fuerza de f(x) newton cuando la partícula

está a x metros del origen. Si f(x)= x 2,calcule el tra-

bajo realizado conforme l

a partícula se mueve del punto

donde x=2 hasta el punto donde x=4.

43

2

44

2

SOLUCIÓN

W (x 2)dx

xW 2x

4

W 56Nm

LEY DE HOOKELlamada así en honor del matemático británico Robert Hooke (1635- 1703). La ley de Hooke establece que si un resorte se estira más allá de su longitud natural, sin llegar a su límite de elasticidad, se contrae con una fuerza igual a kx unidades, donde k es la constante que depende del material y del tamaño del resorte.

Ley de Hooke:

kxFs

FuerzaRestauradora

Desplazamiento

Constante del Resorte

b

a

dxkxW

F

F

EJEMPLO

Un resorte tiene una longitud natural de 10m y una fuerza de 30 N lo estira 1,5m. Determinar el trabajo realizado al estirar el resorte de 12m a 14m.

2

22

00

a)w de 10m a 12m

W (20x)dx 10x 40 W 40Nm

N30N k(1,5m) k 20

m

4

42

22

b) W de 12m a 14m

W (20x)dx 10x 120 W 120Nm

TRABAJO EN BOMBEO DE UN LÍQUIDO

EJEMPLO

Un tanque de agua en forma de un cono circular recto, mide 20m de diámetro en la parte superior y 15m de profundidad, si la superficie del agua está a 5m por debajo de la tapa del tanque. Encuentre el trabajo realizado al bombear el agua hasta la superficie del tanque.

soluciónFuerza=peso del agua

Fuerza=(peso específico del agua)(volumen)

2 3i i i3

NF(x ) 9810 f (x ) x m

m

152

5

W 9810 f (x) xdx

i i iw F(x )x

f(x) es la recta que pasa por los puntos (0;10) y (15;0). Es decir:

215

5

2W 9810 x 10 x dx

3

2 2f (x ) (x 15) x 10

3 3

154 32 5

5

x 40xW 1090 50x 1875 109 10

9 3