presentación tesis brito

IntroduccionConceptos basicos

AportesConclusiones

CONJUNTOS DISTANCIA-DOMINANTE

PERFECTA t PDDS [Qs ] En n

JOSE BRITO PINTOUniversidad del Atlantico

Julio 30, 2015

JOSE BRITO PINTO Universidad del Atlantico CONJUNTOS DISTANCIA-DOMINANTE PERFECTA t PDDS[Qs ] En n


AportesConclusiones

Tabla de contenido

1 Introduccion

2 Conceptos basicos

3 Aportes

4 Conclusiones



AportesConclusiones

Una Generalizacion De Los Codigos De Lee [1]

Trabajo de maestra Conjunto Dominante Perfecto en elReticulado Entero [2]

Conjuntos t-distancia dominante perfecta notadot PDDS [Qs ]

n



AportesConclusiones

Definicion

Sea G = (V ,E ) un grafo, para S V , denotamos por [S ] elsubgrafo de G inducido por S .

Dado t un numero natural, un conjunto S V es unconjuntos t-distancia dominante perfecta en G denotadot-PDDS en G , si para cada v V .

1. Existe una unica componente C de [S], tal qued(,C) t.

2. Existe en C un unico vertice tal que d(, ) = d(,C).



AportesConclusiones

Figura: Conjunto Dominante

JOS

E BRITO PINTO Universidad del Atlantico CONJUNTOS DISTANCIA-DOMINANTE PERFECTA t PDDS[Q

s

] En

n


AportesConclusiones

Teorema

Si S es un t-PDDS en n entonces cada componente de S esel producto cartesiano de caminos.



AportesConclusiones

Figura: Conjunto Dominante para t = 1

JOS


s

] En

n


AportesConclusiones

Teorema

Si S es un t-PDDS[H] en n, donde H = (V ,E ), entonces Spuede ser visto como una particion de n por el grafo H

,donde H = { n : d(,H) t}.



AportesConclusiones

Figura: Grafos H y H

JOS


s

] En

n


AportesConclusiones

Figura: Conjunto Dominante 2 PPDS [P

2

P

2

] en

2

JOS


s

] En

n


AportesConclusiones

Teorema

Sea D = (V ,E ) un subgrafo de n. Entonces existe unaparticion reticular de n por copias de D si y solo si existe ungrupo abeliano G de orden |V | y un homomorfismo

: Zn G ,

tal que la restriccion a V es una biyeccion.



AportesConclusiones

Condicion 1Si la funcion : Zn G es un homomorfismo entonces paracualquier a = (a1, . . . , an) tenemos que(a1, . . . , an) = a1(e1) + . . . + an(en).

Condicion 2Si {V + : } es una particion Zn por V entonces existeuna particion de Zn de la forma {W + : } paracualquier copia W de V .



AportesConclusiones

Corolario

Sea t 1, y sea H un subgrafo de n, sea H un subgrafoinducido H de tal manera que un vertice v pertenece a H s ysolo si d(v ,H) t. Sea D = (V ,E ) una copia de H quecontiene los vertices O, e1, . . . , en. Entonces una condicionsuficiente para la existencia de un t PDDS cuyascomponentes son todas isomorfas a H es la existencia de ungrupo abeliano G de orden |V | tal que el homomorfismo : Zn G dado por ((a1, . . . , an)) = a1(e1), . . . , an(en)restringido a V es una biyeccion de V a G .



AportesConclusiones

Figura: Conjunto Dominante para t = 1

JOS


s

] En

n


AportesConclusiones

< e1, e2 >10 1

9 0 3 611 2 5 8

4 7

Cuadro: 1-PDDS [Q2] en 2(Z12)



AportesConclusiones

Teorema

Existe un t-PDDS en 2, tales que sus componentes sonisomorfas a [P2Pk ] existe para cada t 1 y k 1.Sea H el grafo [P2Pk ] y D = (V ,E ) un grafo isomorfo a Hque contiene los vertices re2, e1 + e2; 0 r k 1 de 2.Entonces el grafo H consiste de todos los vertices que estanal menos una distancia t de H , con un tamano |V |.

Para encontrar dicho tamano |V | razonamos de la siguientemanera, para t x 0 se tienen 2(2 + 4 + 6 + . . . + 2t) =2(t2 + t) = 2t(t + 1) vecinos y para 1 x t + 1 se tienenk(2t + 2) vecinos.



AportesConclusiones

Vemos que por la estructura de H, xe1 + ye2 H si y solo si:

t x 0 x t y x + t + k 1. (1)

1 x t + 1 x t 1 y x + k + t. (2)

Construimos el PDDS deseado para el grafo D = (V ,E ) queconsta de dos copias disjuntas de H, una copia y su traslacionpor (t + 1, t + k). Por lo tanto la otra copia de H esta dadapor (xe1 + ye2) H

si y solo si:



AportesConclusiones

1 x t+1 x+t+k+1 y x+t+2k2. (1)t+2 x 2t+2 x+kt2 y x+2k+3t+1. (2)

En conjunto, un vertice xe1 + ye2 H si y solo si:

t x 0 x t y x + t +k1. (1)1 x t+1 x+t+k+1 y x+t+2k2. (2)t+2 x 2t+2 x+kt2 y x+2k+3t+1. (3)



AportesConclusiones

Para construir el PDDS deseado escojamos el grupo AbelianoG = Z2t+2kxZ2t+2 y g1 = (0, 1) y g2 = (1, 0). Por lo tanto,(xe1 + ye2) = (x , y)

Para finalizar nuestra prueba se necesita demostrar que larestriccion es una biyeccion. Mostrando que todos losintervalos son de igual longitud.

Tomando Ix = {y ; xe1 + ye2H}. Entonces, para todo1 x t + 1. (Ix) = Z2t+2kx{x}, como g2 = (1, 0),entonces Ix es un intervalo de longitud 2t + 2k.



AportesConclusiones

Ahora, para todo t + 2 x 2t + 2 basta con darse cuentaqueIx Ix(2t+2) = [(x +(2t+2), x(2t+2)+k + t1)] [(x +kt2,x+2k+3t+1)] = [(x+t+2, xt+k3)][(xt+k2,x +2k +3t+1)] = [(x + t+2,x +2k +3t+1)].

Por tanto, Ix Ix(2t+2) es un intervalo de longitud 2t + 2k.

Ilustramos la prueba con los siguientes ejemplos. Para t = 1,2, 3 y k =1, 2, 3



AportesConclusiones

Ejemplos para t = 1 y k = 1, 2 con G = Z4xZ4 yG = Z6xZ4respectivamente:

3, 0 3, 1 5, 0 5, 10, 3 0, 0 0, 1 0, 2 0, 3 0, 0 0, 1 0, 2

1, 0 1, 1 1, 2 1, 3 1, 3 1, 0 1, 1 1, 22, 1 2, 2 2, 3 2, 0 2, 0 2, 1 2, 2 2, 3

3, 2 3, 3 3, 1 3, 2 3, 3 3, 04, 1 4, 2 4, 3 4, 0

5, 2 5, 3



AportesConclusiones

Figura: 1 PDDS [P

2

P

1

] en

2

JOS


s

] En

n


AportesConclusiones

Figura: 1-PDDS [P

2

P

2

] en

2

JOS


s

] En

n


AportesConclusiones

Ejemplo para t = 1 y k = 3 con G = Z8xZ4:

7,0 7,10,3 0, 0 0, 1 0,21,3 1, 0 1, 1 1,22,3 2, 0 2, 1 2,2

3,0 3,1 3,2 3,34,1 4, 2 4, 3 4,05,1 5, 2 5, 3 5,06,1 6, 2 6, 3 6,0

7,2 7,3



AportesConclusiones

Figura: 1-PDDS [P

2

P

3

] en

2

JOS


s

] En

n


AportesConclusiones


4,0 4,15,5 5,0 5,1 5,2

0,4 0,5 0, 0 0, 1 0,2 0,31,5 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4

2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,53,1 3,2 3, 3 3, 4 3,5 3,0

4,2 4,3 4,4 4,55,3 5,4



AportesConclusiones

Figura: 2-PDDS [P

2

P

1

] en

2

JOS


s

] En

n


AportesConclusiones


6,0 6,17,5 7,0 7,1 7,2

0,4 0,5 0, 0 0, 1 0,2 0,31,4 1,5 1, 0 1, 1 1,2 1,3

2,5 2,0 2,1 2,2 2,3 2,43,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5

4,1 4,2 4, 3 4, 4 4,5 4,05,1 5,2 5, 3 5, 4 5,5 5,0

6,2 6,3 6,4 6,57,3 7,4



AportesConclusiones

Figura: 2 PDDS [P

2

P

2

] en

2

JOS


s

] En

n


AportesConclusiones


8,0 8,19,5 9,0 9,1 9,2

0,4 0,5 0, 0 0, 1 0,2 0,31,4 1,5 1, 0 1, 1 1,2 1,32,4 2,5 2, 0 2, 1 2,2 2,3

3,5 3,0 3,1 3,2 3,3 3,44,0 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5

5,1 5,2 5, 3 5, 4 5,5 5,06,1 6,2 6, 3 6, 4 6,5 6,07,1 7,2 7, 3 7, 4 7,5 7,0

8,2 8,3 8,4 8,59,3 9,4



AportesConclusiones

Figura: 2 PDDS [P

2

P

3

] en

2

JOS


s

] En

n


AportesConclusiones


5,0 5,16,7 6,0 6,1 6,2

7,6 7,7 7,0 7,1 7,2 7,30,5 0,6 0,7 0, 0 0, 1 0,2 0,3 0,4

1,6 1,7 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,52,7 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6

3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,74,1 4,2 4,3 4, 4 4, 5 4,6 4,7 4,0

5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 5,76,3 6,4 6,5 6,6

7,4 7,5



AportesConclusiones

Figura: 3 PDDS [P

2

P

1

] en

2

JOS


s

] En

n


AportesConclusiones


7,0 7,18,7 8,0 8,1 8,2

9,6 9,7 9,0 9,1 9,2 9,30,5 0,6 0,7 0, 0 0, 1 0,2 0,3 0,41,5 1,6 1,7 1, 0 1, 1 1,2 1,3 1,4

2,6 2,7 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,53,7 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6

4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 4,75,1 5,2 5,3 5, 4 5, 5 5,6 5,7 5,06,1 6,2 6,3 6, 4 6, 5 6,6 6,7 6,0

7,2 7,3 7,4 7,5 7,6 7,78,3 8,4 8,5 8,6

9,4 9,5



AportesConclusiones

Figura: 3 PDDS [P2P2] en 2



AportesConclusiones


9,0 9,110,7 10,0 10,1 10,2

11,6 11,7 11,0 11,1 11,2 11,30,5 0,6 0,7 0, 0 0, 1 0,2 0,3 0,41,5 1,6 1,7 1, 0 1, 1 1,2 1,3 1,42,5 2,6 2,7 2, 0 2, 1 2,2 2,3 2,4

3,6 3,7 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,54,7 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6

5,0 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 5,76,1 6,2 6,3 6, 4 6, 5 6,6 6,7 6,07,1 7,2 7,3 7, 4 7, 5 7,6 7,7 7,08,1 8,2 8,3 8, 4 8, 5 8,6 8,7 8,0

9,2 9,3 9,4 9,5 9,6 9,710,3 10,4 10,5 10,6

11,4 11,5



AportesConclusiones

Figura: 3 PDDS [P2P3] en 2



AportesConclusiones

Teorema

Existe un 1-PDDS [Q3] en 3.

Sea H = Q3 y D = (V ,E ) un grafo isomorfo a H de tal

manera que los vertices de V estan formados por 0, e1, e2, e3,e1 + e2, e1 + e3, e2 + e3,y e1 + e2 + e3 de Q3 y sus 24 vecinos.Por lo tanto el tamano de V es |V | = 32 y D contiene losvertices 0 y ei , para i = 1, . . . , n requerido por el corolario.

Escogemos el grupo abeliano G = Z2Z4Z4, los elementosgi de el grupo G que es asignado a los vertices ei , parai = 1, . . . , n, son g1 = (1, 3, 3) ;g2 = (0, 1, 0) y g3 = (0, 0, 1).



AportesConclusiones

Lo biyeccion la demostramos por medio de la siguiente tablaen la cual se observa que todos los valores son distintos yunicos probando que la restriccion es inyectiva y por ser unconjunto finito finaliza la demostracion



AportesConclusiones

e3 e1 e30, 0, 3 1, 3, 2

e2 e3 e1 + e2 e30, 1, 3 1, 0, 2

e2 e1 e20, 3, 0 1, 2, 3

e1 0 e1 2e1 1, 1, 1 0, 0, 0 1, 3, 3 0, 2, 2e2 e1 e2 e1 + e2 2e1 + e2 1, 2, 1 0, 1, 0 1, 0, 3 0, 3, 2

2e2 e1 + 2e20, 2, 0 1, 1, 3

e3 e2 e1 e2 + e30, 3, 1 1, 2, 0

e3 e1 e3 e1 + e3 2e1 + e3 1, 1, 2 0, 0, 1 1, 3, 0 0, 2, 3e2 + e3 e1 e2 + e3 e1 + e2 + e3 2e1 + e2 + e3 1, 2, 2 0, 1, 1 1, 0, 0 0, 3, 3

2e2 + e3 e1 + 2e2 + e30, 2, 1 1, 1, 0

2e3 e1 + 2e30, 0, 2 1, 3, 1

e2 + 2e3 e1 + e2 + 2e30, 1, 2 1, 1, 0

Cuadro: 1-PDDS[Q3] para 3



AportesConclusiones

Teorema

Para n = 3k + 2, donde k 0. Existe un 1-PDDS [Q2] en n.Sea H = Q2, tomemos D = (V ,E ) el grafo isomorfo H

de talmanera que contiene los vertices de V que estan formados por0, e1, e2 y e1 + e2 de el camino Q2 y sus 24k + 8 vecinos,naturalmente e1, 2e1, e2 e1, e2 + 2e1,e2, 2e2, e1 e2,e1 + 2e2 y si k 0, tenemos tambien los vertices ei , e1 ei ,e2 ei y e1 + e2 ei para i = 3, . . . , 3k + 2.

As el tamano de V , es |V | = 24k + 12 y D contiene losvertices 0 y ei para i = 1, . . . , n como se requiere.



AportesConclusiones

Escogemos G = Z24k+12. Los elementos gi del grupo G queson asignados a los vertices ei , para i = 1, . . . , n song1 = 2 + 4k , g2 = 3 + 6k y si k > 0, entoncesg2+i = 2 + 4k + i , g2+k+i = 2 + 4k i yg2+2k+i = 6 + 11k + i , para i = 1, . . . , k .

Para probar la biyeccion basta con comprobar en la tabla deabajo que cada elemento de Z24k+12 pertenece al conjunto(V ).



AportesConclusiones

En la tabla, el intervalo [a, b] representa el conjunto de enteros{a, a+1, a+2, ... ,b} y en todas las celdas de la tabla el indicei se ejecuta a traves del intervalo [1, 12 + 24k], donde12 + 24k 0 en G = Z12+24k y enteros en las columnascorrespondientes a G mostrandose en orden creciente deizquierda a derecha, linea por linea y de arriba a abajo:



AportesConclusiones

V (V ) G V (V ) Ge1 e2+k+i i [1,k] e2 e2+i 1+2k-i [k+1,2k] ...e2 e2+k+i 1+2k+ i [2+2k,1+3k] e2+k+i 2+4k-i [2+3k,1+4k] ...e1+k+i 2+4k+ i [3+4k,2+5k] e1 + e2 e2+i 3+6k-i [3+5k,2+6k] ...

e1 + e2 e2+k+i 3+6k+i [4+6k,3+7k] e1 + e2+k+i 4+8k-i [4+7k,3+8k] ...e1 e2+i 4+8k+i [5+8k,4+9k] e2 + e2+k+i 5+10k-i [5+9k,4+10k] ...e2 e2+i 5+10k+i [6+10k,5+11k] e2+2k+i 5+11k+i [6+11k,5+12k] ...e2+2k+i 7+13k-i [7+12k,6+13k] e1 + e2 + e2+k+i 7+14k-i [7+13k,6+14k] ...

e1 + e2 + e2+i 7+14k+i [8+14k,7+15k] e1 + e2+2k+i 7+15k+i [8+15k,7+16k] ...e2 + e2+k+i 9+17k-i [9+16k,8+17k] e2 + e2+2k+i 8+17k+i [9+17k,8+18k] ...e2 e2+2k+i 10+19k-i [10+18k,9+19k] e2+i 10+20k-i [10+19k,9+20k] ...e2+k+i 10+20k+i [11+20k,10+21k] e1 + e2 + e2+2k+i 10+21k+i [11+21k,10+22k] ...

e1 + e2 e2+k+i 12+23k-i [12+22k,11+23k] e1 e2+i 12+24k-i [12+23k,11+24k] ...



AportesConclusiones

V (V ) G... e2 e1 1+2k 1+2k... e1 2+4k 2+4k... e2 3+6k 3+6k... 2e1 4+8k 4+8k... e1 + e2 5+10k 5+10k... 2e2 6+12k 6+12k... 2e1 + e2 7+14k 7+14k... e1 + 2e2 8+16k 8+16k... e2 9+18k 9+18k... e1 10+20k 10+20k... e1 e2 11+22k 11+22k... 0 12+24k 12+24k

Cuadro: 1-PDDS [Q2] en n



AportesConclusiones

Ilustramos con los siguientes ejemplos para n = 2, 5 y 8.

< e1, e2 >9 11

10 0 2 41 3 5 7

6 8




AportesConclusiones

Figura: 1-PDDS[Q

2

] en

2

JOS


s

] En

n


AportesConclusiones

< e1, e2 > +e3 e3 +e4 e4 +e5 e527 33

30 0 6 12 7 13 29 35 5 11 31 1 17 23 19 253 9 15 21 16 22 2 8 14 20 4 10 26 32 28 34

18 24




AportesConclusiones

< e1, e2 > +e3 e3 +e5 e5 +e7 e745 55

50 0 10 20 11 21 49 59 9 19 51 1 29 39 31 415 15 25 35 26 36 4 14 24 34 6 16 44 54 46 56

30 40+e4 e4 +e6 e6 +e8 e8

12 22 48 58 8 18 52 2 28 38 32 4227 37 3 13 23 33 7 17 43 53 47 57




AportesConclusiones

Por el teorema anterior vimos que podemos encontrar Un1-PDDS [Q2] en n para ciertos n.

Sera posible encontrar 1-PDDS [Q2] en n para todo n?

Primero mostramos la existencia para algunos valoresparticulares y generalizamos la asignacion, presentando loselementos gi de tal designacion.

Se muestra para n = 2



AportesConclusiones

Sean H = Q2, y el grafo D = (V ,E ) isomorfo a H que

consiste de los puntos {0, e1, e2, e1 + e2} y sus ocho vecinos{e1,e2, e1 e2, 2e1, 2e1 + e2, e1 + 2e2, 2e2, e2 e1}.

Entonces el tamano del grafo es |V | = 12 y escogemos elgrupo Abeliano G = Z12 y los elementos g1 = 3 y g2 = 2.



AportesConclusiones

Probemos que la restriccion de la funcion : Z2/V G esuna bijeccion, lo cual es claro verlo mediante la siguiente tabla:

1. (0) = 02. (e1 e2) = 1 = 6n + 13. (e2) = 2 = 4n 64. (e1) = 3 = 2n 15. (2e2) = 4 = 8n 126. (e1 + e2) = 5 = 6n 77. (2e1) = 6 = 4n 28. (e1 + 2e2) = 7 = 10n 139. (2e1 + e2) = 8 = 8n 810. (e1) = 9 = 6n 311. (e2) = 10 = 4n + 212. (e1 + e2) = 11 = 10n 9.



AportesConclusiones

Entonces (V ) = {0, 6n + 1, 4n 6, 2n 1, 8n 12, 6n 7, 4n 2, 10n 13, 8n 8, 6n 3, 4n + 2, 10n 9} = Z12.

Para n = 3:Sean H = Q2, y el grafo D = (V ,E ) isomorfo a H

queconsiste de los puntos {0, e1, e2, e1 + e2, e3} y sus quincevecinos {e1,e2, e1 e2, 2e1, 2e1 + e2, e1 + 2e2, 2e2, e2 e1,e3, e1 + e3, e1 e3, e2 e3, e2 + e3, e1 + e2 e3, e1 + e2 + e3}.

Entonces el orden del grafo es |V | = 20 y escogemos el grupoAbeliano G = Z20 y los elementos g1 = 5, g2 = 6 y g3 = 2.

Probemos que la restriccion de la funcion : Z2/V G esuna bijeccion lo cual es claro verlo mediante la siguiente tabla:



AportesConclusiones

1. (0) = 02. (e2 e1) = 1 = 10n 93. (e3) = 2 = 4n 104. (e1 e3) = 3 = 6n + 55. (e2 e3) = 4 = 8n6. (e1) = 5 = 2n 17. (e2) = 6 = 4n 68. (e1 + e3) = 7 = 6n 119. (e2 + e3) = 8 = 8n 1610. (e1 + e2 e3) = 9 = 2n + 311. (2e1) = 10 = 4n 212. (e1 + e2) = 11 = 6n 7.13. (2e2) = 12 = 8n 1214. (e1 + e2 + e3) = 13 = 10n 17



AportesConclusiones

15. (e2) = 14 = 4n + 216. (e1) = 15 = 6n 317. (2e1 + e2) = 16 = 8n 818. (e1 + 2e2) = 17 = 10n 1319. (e3) = 18 = 4n + 620. (e1 e2) = 19 = 6n + 1.

Entonces(V ) = {0, 10n 9, 4n 10, 6n + 5, 8n, 2n 1, 4n 6, 6n 11, 8n 16, 2n + 3, 4n 2, 6n 7, 8n 12, 10n 17, 4n +2, 6n 3, 8n 8, 10n 13, 4n + 6, 6n + 1} = Z20.



AportesConclusiones

Mostramos los elementos gi :

e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7n = 2 3 2n = 3 5 6 2n = 4 7 10 2 6n = 5 9 14 2 6 10n = 6 11 18 2 6 10 14n = 7 13 22 2 6 10 14 18i = n g1 = 2n 1 g2 = 4n 6 gi = 2 + 4(i 3), con, i = 3, ..., n



AportesConclusiones

En General para cualquier n N se tiene que:

Teorema

Existe un 1-PDDS [Q2] en n.

Sea H = Q2, tomemos D = (V ,E ) el grafo isomorfo H de tal

manera que contiene los vertices de V que estan formados por{0, e1, e2, e1 + e2} del camino Q2 y sus 8n 8 vecinos,naturalmente los vecinos de cero son {ei} con i = 3, ... , n,los vecinos de e1 son {2e1, e1 e2}{e1 ei} con i = 3, ... , n,los vecinos de {e2} son {e1 + e2, 2e2} {e2 ei} coni = 3, ... , n y los vecinos de {e1 + e2} son{2e1 + e2, e1 + 2e2} {e1 + e2 ei} con i = 3, ... , n.

As el tamano de V , |V | = 8n 4 = 4(2n 1).JOSE BRITO PINTO Universidad del Atlantico CONJUNTOS DISTANCIA-DOMINANTE PERFECTA t PDDS[Qs ] En n


AportesConclusiones

Escogemos el grupo Abeliano G = Z8n4 y los elementosg1 = 2n 1, g2 = 4n 6 y los gi del grupo G que sonasignados a los vertices ei , para i = 3, . . . , n songi = 2 + 4(i 3).Ilustramos con los siguientes ejemplos para n = 2, 3, 4, 5 y 6.

< e1, e2 >10 1

9 0 3 611 2 5 8

4 7




AportesConclusiones

< e1, e2 > +e3 e314 19

15 0 5 10 2 7 18 31 6 11 8 13 16 4 9

12 17




AportesConclusiones

< e1, e2 > +e3 e3 +e4 e418 25

21 0 7 14 2 9 26 5 6 13 22 131 10 17 24 12 19 8 15 16 23 4 11

20 27




AportesConclusiones

< e1, e2 > +e3 e3 +e4 e422 31

27 0 9 18 2 11 34 7 6 15 30 35 14 23 23 16 25 12 21 20 29 8 1

28 1+e5 e510 19 26 3524 33 4 13




AportesConclusiones

< e1, e2 > +e3 e3 +e4 e426 37

33 0 11 22 2 13 42 9 6 17 38 57 18 29 40 20 31 16 27 24 35 12 27

36 3+e5 e5 +e6 e610 21 34 1 14 25 30 4128 39 8 19 32 39 4 15




AportesConclusiones

Despues de todo el desarrollo mostrado, queremos terminaresta presentacion afirmando que es posible construirt PDDS [Qs ]; donde Qs es el producto cartesiano de caminosfinitos a traves del metodo desarrollado en el trabajo.

i. Encontrar los valores de n para los cuales existen1 PDDS [Q3] en n.

ii. Existencia de t PDDS [Q2] en 3.

iii. Existencia de 2 PDDS [Q3] en 3.

iv. Existencia de 2 PDDS [Q2] en n.

v. Existencia de t PDDS [Q2] en n.JOSE BRITO PINTO Universidad del Atlantico CONJUNTOS DISTANCIA-DOMINANTE PERFECTA t PDDS[Qs ] En n


AportesConclusiones

MUCHAS GRACIASPOR SU

ATENCION


IntroduccinConceptos bsicosAportesConclusiones

presentación tesis brito

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