Teoría de Juegos

Teoría de Juegos

Teoría de Juegos• Definición de la Teoría de Juegos:

Área de la matemática aplicada que utiliza modelos.

Herramienta pata entender el comportamiento de la economía.

Se formalizó a partir de los trabajos de John von Neumann y Oskar Morgenstern.

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Representación de Juegos

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Forma Extensiva de un Juego

Forma Normal de un Juego

Teoría de Juegos

Tipos de

Juegos

Juegos Simétricos y Asimétricos

Juegos de Suma Cero y de Suma

No Cero

Juegos Cooperativos

Juegos Simultáneos y Secuenciales

Juegos de Información

Perfecta

Juegos de Longitud Infinita

Aplicaciones de la Teoría de Juegos

Teoría de Juegos

Psicología

Ciencias Políticas

Investigación Operativa

Informática

Estrategia Militar

Entre Otros

Biología EvolutivaCiencias Económicas

Matriz de Pagos• Matriz que resume la información dada por las funciones de pago de un juego rectangular o extensivo.

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Matriz de pagosMatriz de pagos para juegos bipersonales de suma cero:

-La ganancia de un jugador es igual a la pérdida del otro.-Cada entrada en la matriz se define como:

aij=v1((i),(j))

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Matriz de pagosMatriz de pagos para juegos bipersonales de suma cero:

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Matriz de pagosMatriz de pagos para juegos bipersonales de suma cero:Supóngase que estoy jugando con un oponente y cada vez que jugamos apostamos un colón…

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Piedra Papel Tijera

Piedra 0 -1 +1

Papel +1 0 -1

Tijera -1 +1 0

YO

OPONENTE:

Matriz de pagosMatriz de pagos para juegos bipersonales de suma DIFERENTE de cero:Supóngase que estoy jugando con un oponente pero en este caso una persona externa paga un colón al ganador, el perdedor no gana nada.

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Piedra Papel Tijera

Piedra 0,0 0,1 1,0

Papel 1,0 0,0 0,1

Tijera 0,1 1,0 0,0

En realidad se representa asi:

Matriz de pagosEjemplo del dilema del prisionero:

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Un policía arresta a dos sospechosos. No hay pruebas suficientes para condenarlos y tras haberlos separado les ofrece a los dos el mismo trato. Si uno confiesa y el otro no, el cómplice será condenado a la pena total, diez años, y el primero será liberado. Mismo caso si pasa lo contrario. Si ambos confiesan, ambos serán condenados a seis años. Si ambos lo niegan, todo lo que podrían hacer es encerrarlos durante seis meses por un cargo menor….

Cuál es el dilema?

Matriz de pagosEjemplo del dilema del prisionero:

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  Tu confiesas Tu lo niegas

El confiesaAmbos son

condenados a 6 aňos

El sale libre, tu eres condenado a 10

aňos

El lo niegaEl es condenado a 10

aňos, tu sales libre

Ambos son condenados a 6

meses

Matriz de pagosMatrices de pago y equilibrios Nash:

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• John Forbes Nash, en su tesis de doctorado (1951) demuestra que cualquier juego con número finito de estrategias tiene a menos un equilibrio Nash en estrategias mixtas.

• Un equilibrio Nash es un punto en el cual aunque usted cambie de estrategia, su ganancia no va a mejorar si su oponente no cambia de estrategia…

Matriz de pagosMatrices de pago y equilibrios Nash:

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• Juego de coordinación al conducir: Las opciones son, conducir por la derecha o por la izquierda. 100 significa que no se produce choque y 0 significa que si, la matriz de pagos seria:

  Conducir por la izquierda Conducir por la derecha

Conducir por la izquierda 100,100 0,0

Conducir por la derecha 0,0 100,100

• Donde están los equilibrios Nash?• Hay un equilibrio Nash en el dilema del prisionero?

Estrategia Pura

¿Qué es una estrategia pura?

Simplemente es una decisión a priori del jugador sobre que jugar ante cada situación del juego. Podemos considerar que un juego es una sucesión de movidas, y que jugar consiste en elegir nuestras movidas.

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Estategia Pura

Definición formal

• Recordemos que un juego rectangular consta de un conjunto N, de una colección de conjuntos y de una colección de funciones donde

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Estrategia Pura

• Equilibrios de Nash

• El concepto del equilibrio de Nash comienza su desarrollo con Antoine Cournot en su trabajo sobre oligopolios en este se plantea el modelo de varias empresas compitiendo por el mercado de un mismo bien y que pueden elegir cuanto producir para intentar maximizar su ganancia.

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Estrategia Pura

• Cournot encuentra comportamientos de equilibrio para el juego los cuales coinciden con los equilibrios de Nash en estrategias puras.

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Estrategia Pura

• Ejemplo • Dilema del prisionero:

• Callar y salir libre si el otro hace lo mismo;• Callar y ser condenado si el otro escoge

denunciarlo;• Denunciar al otro y salir libre, ganándose una

recompensa si el otro se calla;• Denunciar al otro y quedarse en prisión por

un tiempo si el otro decide de la misma manera la delación.

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Estrategia Pura

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EL PROBLEMA DEL PRESENTADOR

Estrategia Mixta• Es una generalización de las estrategias puras.• Usada para describir la selección aleatoria de

entre varias posibles estrategias puras.• Lo que determina siempre una distribución de

probabilidad sobre el vector de estrategias de cada jugador.

• En general una estrategia mixta es una distribución de probabilidad entre las opciones que tenemos.

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, y

Ejemplo: Competencia entre empresas

Consideremos una empresa que tiene el monopolio de un producto y una recién llegada que quiere entrar a competir por dicho mercado. Justo antes de que la nueva empresa entre al mercado, el monopolio decide lanzar una campaña de publicidad, para la cual existen tres opciones: Regalar productos (con un costo x), anunciarse en la prensa escrita (con un costo y) o anunciarse en medios electrónicos (con un costo z). La nueva empresa solo tiene dos opciones: entrar a competir o no entrar. Teoría de Juegos

Ejemplo: Competencia entre empresas

Si el monopolio jugara en estrategias puras dedicaría todo el capital disponible para una de las estrategias. Podemos pensar en cambio que el monopolio tiene la opción de no hacerse publicidad en un solo medio, sino repartir el dinero disponible en dos o más de las estrategias. Por ejemplo, la estrategia mixta (1/2,1/4,1/4) significa que el monopolio gastó x/2 en regalar muestras, y/4 en medios escritos y z/4 en medios electrónicos. Podemos entonces usar las estrategias mixtas para encontrar la mejor respuesta del monopolio ante la amenaza del competidor. Teoría de Juegos

Ejemplo: Lanzamiento de penal

Digamos que el jugador y el arquero sólo pueden ir a la izquierda o a la derecha, y que si ambos eligen el mismo lado gana el arquero. Si el arquero (o el jugador) tiene una rutina establecida, una estrategia pura que le dice a dónde debe patear, y el otro la descubre, entonces es fácil anticiparse.En estos casos se dice que hay que emplear una estrategia mixta, que será una combinación de las dos estrategias disponibles: patear a la derecha, patear a la izquierda. Sólo falta decidir con qué frecuencia hay que hacerlo a cada lado, pero eso dependerá de nuestra habilidad. Si nos da lo mismo izquierda o derecha, se repartirán un 50% para cada dirección (por ejemplo tirando una moneda antes de cada tiro), pero si nuestra habilidad es mayor en una dirección que en otra, entonces habrá que buscar la proporción justa de tiros entre ambas.

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