presentacion libro hidr notas

UNIDAD I: HIDROSTÁTICA

1.1 PRESION HIDROSTÁTICA

La estática de fluidos estudia las condiciones de equilibrio de los fluidos en

reposo, y cuando se trata sólo de líquidos, se denomina hidrostática. Desde el

punto de vista de ingeniería civil es más importante el estudio de los líquidos en

reposo que de los gases, por lo cual aquí se hará mayor hincapié en los líquidos y,

en particular, en el agua.

En términos generales se puede decir que la presión es una fuerza por

unidad de área, esto es:

En donde: (1.1)

F = fuerza normal al área A

A= área

P = presión media sobre el área A

La ecuación 5.1 da la presión media sobre el área considerada “A”; sin

embargo, si la presión es variable y se desea obtener la presión en un punto

determinado de la superficie total, con área “dA”, se puede emplear la definición

siguiente:

(1.2)

La hidrostática y la aerostática; son las ciencias que en conjunto estudian

los fluidos en reposo, descansan sobre tres principios o leyes básicas, los cuales

son: el principio de Pascal, el principio de Stevin y el principio de Arquímedes.

5

De los tres principios anteriores, los relacionados directamente con la

presión son el Pascal y el de Stevin, los cuales se discuten a continuación:

1.1.1 ECUACIONES BÁSICAS DE LA ESTÁTICA DE FLUIDOS

PRINCIPIO DE PASCAL

Éste principio establece que “en cualquier punto en el interior de un fluido

en reposo la presión es la misma en todas las direcciones.”

Demostración práctica

Si se tiene un recipiente como el mostrado en la figura 1.1, al cual, por

medio del pistón se le aplica una fuerza “F” , entonces el líquido dentro del

recipiente se comprimirá con una presión igual a “FA-1” siendo “A” el área de la

sección transversal del pistón. Al suceder esto se observa que en los tubos

colocados en diferentes partes del recipiente, el líquido sube a la misma altura “h”

en todos ellos, lo cual indica que la presión en cada punto del recipiente es la

misma.

Obviamente, en el experimento anterior, se supone que no existe

escurrimiento del líquido entre las paredes del recipiente y el pistón.

6

Demostración Teórica

Considerando Un Prisma Imaginario con dimensiones elementales ubicado

en el interior de un fluido en reposo (Fig.1.2), se tiene:

Como el fluido está en reposo, se puede establecer que:

Sustituyendo las fuerzas actuantes, de acuerdo con la figura 5.2, se tiene:

(1.3)

Por otra parte, de la figura se obtiene que:

(1.4)

7

Sustituyendo 5.4 en 5.3 queda:

Dividiendo por dxdz, se tiene:

O bien:

(1.5)

De la misma manera, se puede establecer que: (1.6)

Sustituyendo las fuerzas actuantes se tiene:

(1.7)

El segundo término del lado izquierdo de la ecuación anterior representa el

peso del prisma .

De la figura 1.2 se obtiene que:

(1.8)

Sustituyendo 5.8 en 5.7:

Dividiendo por dxdy queda:

El término puede despreciarse, ya que es muy pequeño esto es:

8

Entonces queda:

O bien:

(1.9)

Comparando 1.9 con 1.5 se obtiene finalmente que:

(1.10)

Con lo cual queda demostrado el principio de Pascal.

Para comprobar que Px es también igual a la presión en las otras

direcciones, basta colocar el prisma en alguna otra posición con respecto a los

ejes coordenados.

Aplicación práctica del principio de Pascal (principio de la Prensa

Hidráulica)

En la figura 1.3, presentada a continuación, se muestra un esquema típico

de una prensa Hidráulica.

9

Si se aplica una fuerza F1 al émbolo de la izquierda, ésta provocará una

presión media sobre el líquido en el interior de la prensa igual a:

De acuerdo con el principio de Pascal, la presión de la misma en todas las

direcciones, entonces, la presión P1 transmite a través del líquido y actuará sobre

el pistón de la derecha, es decir, si se tiene en cuenta que las pérdidas por fricción

en el interior de la prensa son despreciables, se tiene que:

P1=P2 (1.12)

Claro que también hay que considerar que las pérdidas por fricción

entre los pistones y los cilindros son despreciables.

La presión P2 a su vez es igual a:

Finalmente, sustituyendo 5.11 y 5.13 en 5.12 queda:

10

(1.13)

F1A1 = F2A2-1 (1.14)

Si se supone, como sucede en la mayoría de los casos prácticos, que las

áreas son circulares, la ecuación anterior se transforma en:

F1D1-2 = F1D1

-2 (1.15)

Las ecuaciones anteriores son las expresiones matemáticas del Principio

de la Prensa Hidráulica, en los cuales:

F1 = Fuerza ejercida sobre el pistón de la izquierda

F2 = Fuerza ejercida sobre el pistón de la derecha

A1 = Área del pistón de la izquierda

A2 = Área del pistón de la derecha

D1 y D2 = Diámetros respectivos (en caso de áreas circulares)

La ecuación 5.14 puede obtenerse de forma alterna si se aplica el principio

de la conservación del trabajo y la energía de la Prensa Hidráulica como se ve en

la figura 1.4

11

En la figura anterior, la línea punteada corresponde a la posición inicial de

los pistones.

Al aplicar una fuerza F1 al pistón de la izquierda, ésta se mueve una

distancia 11, desplazando cierta cantidad de líquido. El trabajo desarrollado por F1

al moverse la distancia 11 vale:

W1 = F111

(1.16)

Sin embargo, el líquido desplazado por el pistón de la izquierda hace que el

émbolo de la derecha suba, moviéndose una distancia 12, la cual, según se ve en

la figura, tiene que ser más pequeña que 11 ya que el diámetro del pistón de la

derecha es mayor.

El trabajo desarrollado por el pistón de la derecha será:

W2 = F212 (1.17)

De acuerdo con el principio de la conservación del trabajo y la energía, y

despreciando las pérdidas por fricción, se puede establecer que:

W1 = W2 (1.18)

Sustituyendo 5.16 y 5.17 en 5.18 queda:

F111 = F212 (1.19)

12

Como los volúmenes desplazados por los pistones son los mismos, ya que

no existe escurrimiento de líquido entre éstos y las paredes interiores de los

cilindros, entonces:

V = A111 =A212

De donde:

(1.20)

Sustituyendo 5.20 en 5.19 y operando álgebra se tiene:

(1.14)

Y, para áreas circulares:

F1D1-2 = F2D2

-2 (1.15)

Las cuales, como pueden verse, son las mismas ecuaciones obtenidas en

las páginas anteriores.

Ahora se analizarán algunas consecuencias prácticas de éste principio;

Suponiendo que D2 sea diez veces mayor que D1, es decir, D2 = 10D1 y que se

aplique una fuerza F1 de 1kg en el pistón de la izquierda. Sustituyendo estos

valores en la ecuación 5.15 se obtiene:

13

Lo cual significa que por cada kilogramo de fuerza que se aplique en el

pistón de la izquierda, la prensa será capaz de levantar o transmitir una fuerza de

100kg al pistón de la derecha. Es obvia la ventaja que tiene la aplicación de éste

principio.

Éste principio a dado lugar a un amplio desarrollo de los controles

hidráulicos para equipo en operación, como gatos hidráulicos, equipo pesado para

mover tierra, montacargas, grúas, superficies de control de aviones, plataformas

elevadoras, básculas, etc.

PRINCIPIO DE STEVIN

Éste principio se enuncia de la siguiente manera:

“la diferencia de presiones entre dos puntos situados a diferente

profundidad en el seno de un líquido en reposo es igual a la diferencia de

profundidad multiplicada por el peso específico del líquido”

Demostración

Considerando un prisma regular imaginario en el interior de un líquido en

reposo, como el mostrado en la figura 1.5

14

Como el líquido está en reposo, es decir, en equilibrio, se puede establecer

que:

Sustituyendo las fuerzas actuantes se tiene que:

(1.21)

Pero, como el prisma es regular se tiene que:

A1 = A2 = A

Sustituyendo en (5.21) y recordando que V = Ah, queda:

Dividiendo por el área de A:

Esto es:

O bien: (1.22`)

Donde:

P1 – P2 = = diferencia de presiones entre los puntos 1 y 2, ubicados en

diferentes profundidades en el seno del líquido

= peso específico del líquido

h = distancias vertical entre los puntos 1 y 2

15

Si se compara esta ecuación con el enunciado del principio, puede verse

que es exactamente lo mismo. La ecuación 1.22 ó 1.22` es, pues, la

representación matemática del principio de Stevin.

Es importante hacer notar que el principio de Stevin, representado

matemáticamente por la ecuación 1.22 ó 1.22`, es válido en el caso de que el

fluido pueda considerarse continuo y homogéneo; en otras palabras que tenga un

peso específico constante.

Éste principio, también es conocido por el nombre de “Teorema general de

la Hidrostática”

Efectuando un análisis de la ecuación 1.22, puede observarse que si h = 0,

entonces P1 = P2; lo cual significa que en cualquier fluido en reposo, la presión en

todos los puntos de un plano horizontal dados es la misma, o visto de otra manera,

en un fluido en reposo, todos los puntos que tienen la misma presión se

encuentran en un plano horizontal común.

Éste principio encuentra múltiples aplicaciones en la práctica, entre otras,

para determinar la presión a que estarán sujetos los cuerpos sumergidos en algún

fluido, seto es particularmente importante en el diseño de submarinos, batiscafos,

equipos de buceo y todo tipo de equipo para operación submarina y/o

subacuática.

Además este principio es básico para manometría, ya que los manómetros

de tubo con líquido, lo utilizan para determinar la presión manométrica y en

algunos casos también la absoluta, como se verá más adelante (sección V.5)

Finalmente, puede decirse que el principio de Stevin es básico, ya que

prácticamente no existe problema hidrostático en que no se involucre ya sea

directamente o en la deducción de alguna ecuación.

16

1.1.2 TIPOS DE PRESIÓN

En esta sección se estudiara tres tipos de presión de uso común en la

práctica en ingeniería que son:

1. Presión atmosférica o manométrica.

2. Presión absoluta.

3. Presión relativa o manométrica.

PRESION ATMOSFERICA.

Esta es la presión debido al peso de los gases de la atmósfera terrestre.

Nosotros vivimos en el fondo de un océano de gases, a la mezcla de los cuales

se les da el nombre de aire. Este aire tiene peso (aproximadamente del peso

del agua en condiciones normales) y, por ende, provoca una presión al actuar

sobre la superficie de la tierra.

En base a lo anterior, es lógico suponer que la presión atmosférica varía

con la altitud sobre el nivel del mar. Un lugar más alto tendrá una columna de aire

menor sobre él, y por tanto, una presión atmosférica menor que un lugar más bajo.

La presión atmosférica que actúa sobre el nivel medio del mar se denomina

“PRESIÓN ATMOSFÉRICA NORMAL O ESTÁNDAR”.

A la presión atmosférica que se ejerce sobre una localidad determinada se

le llama “PRESION ATMOSFERICA LOCAL”.

Por lo tanto, para cualquier lugar de la tierra situado al nivel del mar se tiene

que:

17

PRESION ATMOSFERICA LOCAL ═ PRESION ATMOSFERICA NORMAL

Por otro lado, el término equivale a la presión hidrostática relativa a la

profundidad dentro del líquido.

Esta es una presión relativa debido a que mide el incremento de presión

(debido a la profundidad del punto 1) sobre el valor de la presión atmosférica

local, que es la presión soportada por el punto 1, ubicado en la superficie libre. Por

lo tanto se puede decir que:

Todos estos tipos de presiones y escalas se muestran el la figura 5.6 donde

se observa la relación que guarda la escala absoluta de presiones con la escala

relativa o manométrica.

En la figura 1.6 se grafico del lado izquierdo la escala absoluta de presiones

y en el lado derecho la escala negativa o manométrica. También están graficadas

la presiona atmosférica normal y la presión atmosférica local, tomando encuenta

que la localidad dada no se encuentra a nivel del mar, de tal manera que la

18

presión atmosférica normal sea mayor que la presión atmosférica local. En la

escala absoluta, el cero se muestra en el origen, coincidiendo con la línea

horizontal que equivale al cero absoluto. En la escala relativa de presiones el cero

esta ubicado en la línea correspondiente a la presión atmosférica local; entonces,

para medir dos presiones cualesquiera (P1 y P2), si estas son medidas en escala

absoluta de presiones, ambas serán positivas, como se observa en la figura 5.6,

ya que en las lecturas se efectúan a partir del cero absoluto. Si se quieren medir

estas mismas presiones con la escala relativa de presiones; la presión P2 será

positiva, pero P1 será negativa, ya que se encuentra por debajo del cero de esta

escala, el cual coincide con el valor de la presión atmosférica local.

En este diagrama también se puede ver que el máxima valor negativo que

puede tener una presión medida en la escala relativa de presiones coincide con el

valor de la presión atmosférica local, ya que si fuera mayor (en valor absoluto)

equivaldría a que la presión llegara a ser menor que el 0 absoluto, lo cual es

imposible.

Para encontrar la presión absoluta a partir de la presión leída en un

dispositivo que de la presión relativa, habrá que sumar a la presión leída en ese

dispositivo, la presión atmosférica local, medida exactamente con un barómetro.

Esto puede expresarse matemáticamente como:

Pabs = Patm. Local + Prel (1.23)

Esta ecuación puede comprobarse fácilmente en la figura 1.7

La ecuación anterior, básica en el estudio de presiones, se puede obtener a

partir de la ecuación 1.22 esto es, a partir del principio de Stevin, de la manera

siguiente:

19

Suponiendo que se aplica 1.22 entre dos puntos 1 y 2, situados a cierta

profundidad en un líquido y en la superficie libre de este, respectivamente, como

se muestra en la figura 1.8

La ecuación 5.22 puede escribirse de la manera siguiente:

(1.24)

De acuerdo con la figura 1.8 y con la ecuación 1.22 se tiene que:

P2 = Patm local

Por otro lado, el término equivale a la presión hidrostática relativa a la

profundidad dentro del líquido.

Esta es una presión relativa debido a que mide el incremento de presión

(debido a la profundidad del punto 1) sobre el valor de la presión atmosférica

local, que es la presión soportada por el punto 1, ubicado en la superficie libre. Por

lo tanto se puede decir que:

Finalmente, la presión P1 debe ser la presión absoluta que se tiene en el

punto 1, ya que es la suma de la presione atmosferita local (que actúa sobre la

superficie libre) y del incremento de presión debido al aumento de la

profundidad, esto es: P1 = Pabs

Sustituyendo las tres relaciones anteriores en 5.24 se tiene que:

20

Pabs = Patm. Local + Prel (1.23)

1.1.3 DISTRIBUCIÓN DE PRESIÓN HIDROSTÁTICA

En general, los aparatos para medir presión se llaman manómetros, sin

embargo, en forma particular, según el tipo de presión que miden, adoptan

distintos nombres, los cuales se muestran en el cuadro 5.1

Existen innumerables tipos de aparatos para medir presión; algunos

mecánicos, otros eléctricos y cada uno con grados de precisión muy diversos.

Aquí se hablará solamente del principio de funcionamiento de los instrumentos

más comunes para medir presiones.

Cuadro 5.1 Tipos de presiones con su respectivo aparato de medición

TIPO DE PRESION A MEDIR NOMBRE DEL APARATO

Presión atmosférica Barómetro

Presión absoluta Manómetro de presión

absoluta

Presión relativa (positiva) Manómetro

Presión relativa (negativa) Vacuómetro

Presiones muy pequeñas Micromanómetro

Diferencia de presiones Manómetro diferencial

Como puede verse en el cuadro 5.1, la presión atmosférica se mide con

aparatos llamados barómetros, de los cuales existen varios tipos.

En esta sección solamente se hablará del principio de funcionamiento del

barómetro de mercurio, desarrollado por Evangelista Torricelli, alrededor del año

de 1650, (ver figura 5.8)

21

Torricelli construyó un tubo de vidrio en uno de cuyos extremos había una

esfera soplada. El tubo tenía una longitud de alrededor 120 cm. Este tubo y la

esfera se llenaron completamente con mercurio. Tapando con un dedo el extremo

del tubo, se le dio vuelta y se le introdujo en un recipiente que también contenía

mercurio. Al retirar el dedo, el mercurio bajo de nivel, estabilizándose en una altura

h igual a unos 76 cm. (ver figura 5.8)

De lo anterior se dedujo que la columna de 76 cm. De mercurio, equilibraba

la presión de aire exterior (presión atmosférica), ya que sobre el mercurio dentro

del tubo sólo actúa la presión del vapor del mercurio, lo que, para fines prácticos,

puede considerarse como si estuviera vacío.

La presión atmosférica, puede expresarse en términos de columna de

líquido (unidades de longitud) o en términos coherentes, que son las unidades que

se obtienen al aplicar la ecuación 5.1, es decir, . La ecuación que

relaciona lo anterior, se deriva del principio de Stevin, y es:

(5.25)

Donde:

P = Presión de unidades coherentes .

= Peso específico del líquido

h = Altura de presión en unidades de longitud.

Entonces, la presión atmosférica normal, expresada en términos de altura

de presión vale, según lo encontrado por Torricelli y confirmado posteriormente:

Patm normal = 76 cm. De mercurio =760 mm. De mercurio.

22

En honor a Torricelli, a esta unidad de presión se le dio el nombre de Torr,

esto es:

1 mm de mercurio = 1 Torr

La presión atmosférica normal expresada en unidades coherentes, se

obtiene a partir de la ecuación 5.25 y vale:

P = = (13600 kg m-3)(0.76 m) = 10330 kg m-2

O bien: P = (10330 kg m-2)(104 m2cm-2) = 1.033 kg cm-2

Usualmente, se acostumbra expresar la expresión en términos de altura de

agua, por lo tanto, la presión atmosférica normal de estas unidades valdrá:

En el sistema internacional de unidades S.I. la unidad básica para la

medición de cualquier tipo de presión es el PASCAL, el cual se define como:

1PASCAL = 1 N m-2

Entonces, la presión atmosférica normal, expresada en pascales, valdrá:

23

P = (10330 kg m-2)(9.81 N kg-1) = 101337.3 Pascales.

Sin embargo, el pascal presenta el inconveniente de ser una unidad

bastante pequeña para medir la gran mayoría de las personas usuales en

ingeniería, por lo que se acostumbra usar algún múltiplo de esta como el KPA

(kilopascal = 103 pascales), el MPA (megapascal = 106 pascales).

A pesar de lo anterior, para el caso particular de la presión atmosférica, es

muy usado el BAR, el cual se define como:1 BAR = 105 Pascales

Por lo tanto, la presión atmosférica normal en bares será:

P = (101337.3 Pascales) = 1.01337 bares

En la actualidad, la mayoría de las estaciones meteorológicas del mundo

han estandarizado el milibar como unidad básica para la medición de la presión

atmosférica, entonces:

Patm normal = (1.01337 bares) = 1013.3 Milibares

La obtención del valor de la presión atmosférica normal en el sistema inglés

de unidades, tanto en unidades coherentes (Lo pulg-2 o Lb pie-2), como unidades

de altura (pulg o pies de mercurio o de agua) se deja como ejercicio (ver problema

V.8.1)

Por otra parte, como se dijo anteriormente, la presión atmosférica local

varía principalmente con la altitud sobre el nivel del mar. Existen numerosos

gráficos en donde se puede obtener tal variación, aquí se presenta la figura 5.9, la

24

cual dá la variación de la presión atmosférica con la altitud sobre el nivel del mar,

así como la temperatura de ebullición del agua para el mismo rango de altitudes.

Sin embargo, para fines prácticos, y cuando no se disponga de un grafico

como el de la figura 5.9 conviene recordar la siguiente regla, la cual puede

aplicarse con muy poco margen de error:

La expresión atmosférica local disminuye 25.4 mm (10``) de mercurio por

cada 305 m (1000 pies) sobre el nivel del mar.

Obviamente esta disminución a partir del valor de la presión atmosférica

normal o estándar que, como se vio anteriormente, es de 760 mm de mercurio.

Además, existen algunas fórmulas empíricas bastante confiables, como la

propuesta por la Comisión Internacional de la Navegación Aérea, la cual expresa

que:

P = 1013.2 (5.26) Válida para

Donde:

P= presión atmosférica local en milibares

Z = Altitud sobre el nivel del mar en metros.

25

1.1.4 DISPOSITIVOS DE MEDICIÓN

MEDICION DE LA PRESION RELATIVA Y ABSOLUTA.

En esta selección, se describirá en forma breve, el principio de fundamentos

de los aparatos más comunes para medir la relación relativa y absoluta.

TUBOS PIEZOMETRICOS

26

Este aparato es un tubo transportable de diámetro pequeño (entre 12 y 15

mm.) que se conectan al punto en donde se requiere medir la presión (véase

figura 1.10)

Este dispositivo mide la presión hidrostática de un líquido midiéndolo

la altura allá que asciende el mismo dentro del tubo, por lo tanto, un tubo

piezometrito mide la altura de presión en un líquido, y si se quiere conocer la

presión en unidades de fuerza sobre área hay que aplicar la ecuación 1.25.

Una de las ventajas que este aparato es su gran precisión y si

desventaja principal es que solo sirve para medir presiones pequeñas, ya que de

lo contrario se requeriría que el tubo fuera muy alto, cosa que resultaría

impractica.

Manómetros con líquido

Para medir presiones relativas

27

Los manómetros de líquido consisten simplemente en un tubo en forma de

U el cual contiene en su interior un líquido. El tubo se conecta por uno de sus

brazos al depósito o tubería donde se requiera medir la presión, estando el otro

brazo abierto a la atmósfera (véase Fig. 1.11).

El líquido dentro del tubo se denomina líquido manométrico (color negro,

ver la Fig. 1.11) y es muy común que sea mercurio ya que tiene una densidad muy

alta y un bajo coeficiente de expansión térmica. Son también usados, sobre todo

para medir presiones más pequeñas: El tetracloruro de carbono (Dr = 1.6 a 20ºC) ,

el tetrabromoeato (Dr = 3.43 a 0ºC), el bromuro de etileno (Dr = 2.18 a 0ºC), el

bromorfo (Dr = 3.0 a 0ºC), el tolueno (Dr = 0.87), la parafina (Dr = 0.87), la parafina

(Dr = 0.81) y el agua (Dr = 1.0); éstos tres últimos se utilizan sobre todo cuando la

presión que va a medirse es de un gas.

Este tipo de manómetros pueden medir presiones relativas positivas y

negativas. Esto se muestra en la Fig. 1.11, en la cual se presentan tres casos

posibles. En la Fig. 1.11a se está midiendo una presión relativa positiva, ya que la

28

presión del depósito es mayor que la presión atmosférica local e impulsa al líquido

manométrico hacia el brazo derecho del manómetro.

En la Fig. 1.11b sucede lo contrario, es decir, la presión atmosférica local es

mayor que la presión del depósito y, por consecuencia, el líquido manométrico se

eleva en el tubo conectado al depósito; la presión de este caso será una presión

relativa negativa. Finalmente, en la Fig. 1.11c las presiones del depósito y de la

atmósfera son iguales y, por tanto, el líquido manométrico sube a la misma altura

en ambos brazos, la lectura en este caso sería cero, en la escala relativa de

presiones obviamente.

Para medir presiones absolutas

Este tipo de manómetro puede usarse también para medir presiones

absolutas, sólo que en este caso el brazo derecho del manómetro no debe

encontrarse abierto a la atmósfera, sino que debe estar cerrado y vacío. De esta

manera, todas las presiones que se midan en el depósito o tubería serán

absolutas, ya que son medidas a partir del cero absoluto. Esto se muestra en la

Fig. 1.12

29

Cuando en ambos brazos del manómetro el líquido se encuentre al mismo

nivel (Fig. 1.12b), quiere decir que la presión en el depósito o tubería equivale al

CERO ABSOLUTO, es decir, el depósito está vacío.

Manómetro diferencial

Algunas veces, a los manómetros de tubo en U se les llama manómetros

diferenciales, pues miden la diferencia de presión entre un depósito o tubería y la

atmósfera. Sin embargo, en forma más particular, se acostumbra llamar

manómetro diferencial a un tubo en U que mida la diferencia de presiones entre

dos depósitos o entre dos secciones de un mismo conducto, ver Fig. 1.13

Manómetro de Bourdon

Este tipo de manómetro consta de un tubo que tiene una sección

transversal elíptica, doblado en un aro circular y hueco en su parte interior.

30

El principio de funcionamiento de éste manómetro se muestra en la Fig.

1.14. Cuando la presión atmosférica local (presión relativa cero) prevalece por la

parte exterior del tubo, éste no se reflexiona; para ello, la aguja del manómetro,

está calibrada para leer una presión de cero en la carátula exterior. Cuando se

aplica una presión al manómetro (la cual entra por el interior del tubo elíptico) el

tubo tiende a enderezarse, en forma muy parecida a esos juguetes que se dan en

las fiestas llamados “espanta suegras” que se enderezan cuando se sopla por su

extremo. El extremo del tubo ya conectado a un mecanismo previamente

calibrado, el cual hace que la aguja se mueva e indique la correspondiente presión

en la carátula exterior.

Un manómetro de Bourdon puede medir también presiones absolutas, a

condición de que por la parte exterior del tubo elíptico reine un vacío total. Esto

sólo puede lograse si el interior del manómetro, donde está alojado el tubo elíptico,

se encuentre sellado y vacío; de esta manera, cualquier presión por encima del

cero absoluto que entre el tubo elíptico deformará este, ya que por su parte

exterior la presión equivale al cero absoluto.

Este tipo de manómetro es muy común y es bastante confiable sino se le

somete a excesivas pulsaciones de presión o a choques externos indebidos. Sin

embargo, como ambas condiciones prevalecen a veces en la práctica, es

31

deseable que se instalen amortiguadores de pulsaciones en la línea que conduce

a tales manómetros y que éstos se calibren periódicamente para verificar su

exactitud.

Otros tipos de manómetros

Existen múltiples tipos de manómetros además de los descritos

anteriormente, como son: Manómetros de cubeta, Manómetros diferenciales

tóricos, Manómetros de membrana, Micromanómetros, Manómetros de fuella, de

émbolo, de resorte, combinados, eléctricos, etc. Si el lector se interesa en ellos

puede consultar por ejemplo: Mataix, Claudio (1982), Creus, Antonio (1981) o

Holzbock, Werner (1982)

PRESIÓN DE SATURACIÓN DE VAPOR

Todos los líquidos que se exponen a la atmósfera presentan una superficie

libre. Entre ésta y el aire de la atmósfera (intercara) existe un incesante

movimiento de moléculas que escapan del líquido, esto es, el líquido se evapora.

Un líquido volátil, por ejemplo: se vaporiza completamente al contacto con la

atmósfera. Si la superficie libre está en contacto con su espacio cerrado y vacío

(por ejemplo en el espacio vacío de los manómetros de tubo en U mostrados en la

Fig. 1.12 o en el barómetro de Torricelli, mostrado en la Fig. 1.8) la evaporación se

produce sólo hasta que en espacio se satura de vapor. Éste vapor ejerce una

presión sobre la superficie libre, la cual impide que el líquido se siga evaporando y

cuya magnitud depende únicamente de la temperatura. Esta presión se denomina

Presión de saturación de vapor, y es denotada por Ps.

Debido a lo anterior, la altura a la que se asciende el mercurio en un

barómetro de Torriceli no es simplemente , sino que, como el espacio

vacío dentro del tubo se satura con el vapor de mercurio, entonces la altura real

será:

32

(1.27)

Donde:

= peso específico del mercurio

Lo mismo sucede en los manómetros de presión absoluta como los

mostrados en la Fig. 1.12, los cuales en realidad no están refiriendo sus lecturas al

CERO ABSOLUTO sino al valor de la presión de saturación de vapor del líquido

manométrico a la temperatura que se encuentre.

Sin embargo, como la presión de saturación de vapor de los líquidos

comunes a temperaturas ordinarias (10 a 30ºC) es muy pequeña, en la mayoría de

los casos prácticos puede despreciarse.

A pesar de esto, como la presión de saturación de vapor de un líquido

aumenta con la temperatura, hay que tener cuidado en tomarle en cuenta

principalmente cuando ésta es algo elevada (digamos, mayor de 45ºC en el caso

del agua). Cada líquido tiene sus respectivos valores de presión de saturación en

vapor en función de la temperatura. En la Fig. 1.15 se muestran estos valores para

el agua. Obviamente, según lo explicado anteriormente, la presión de saturación

de vapor, es una PRESIÓN ABSOLUTA.

33

1.2 EMPUJE HIDROSTÁTICO

A Arquímedes de Siracusa (287 – 212 A. de C) que fue uno de los más

grandes hombres de ciencia de la antigua Grecia, se le considera actualmente

como el Padre de la Hidrostática, ya que una de sus mayores aportaciones a la

ciencia es el llamado Principio de Arquímedes, el cual se enuncia como “todo

cuerpo total o parcialmente sumergido en influido experimenta un empuje vertical

hacia arriba que es igual al peso del volumen de fluido desalojado”. Este empuje

actúa en el centro de gravedad de la parte sumergida del cuerpo.

DEMOSTRACIÓN TEÓRICA

Al igual que el principio de Pascal, el de Arquímides tiene varias formas de

demostrarse, tanto teórica como práctica, de las cuales se expondrán algunas a

continuación:

Si sumergimos un prisma regular dentro de un fluido y obtenemos la

resultante de las fuerzas verticales que actúan sobre este prisma por parte del

fluido tenemos:

34

En donde:

A = Área de la sección transversal del prisma

De acuerdo con el principio de Stevin las presiones P1 y P2

valen:

Obviamente, P2 es mayor que P1 ya que el área donde

actúa esta última presión se encuentra a menor profundidad

en el fluido.

Sustituyendo 2 y 3 en 1 tenemos:

Pero hA = volumen del prisma (V), entonces:

El signo positivo indica que el sentido de esta fuerza es vertical hacia arriba,

de acuerdo con la convención de la Fig. 6.1

35

Debido a lo anterior, a esta fuerza se le llama fuerza de empuje o

simplemente empuje y se designa con la letra (E), por lo tanto, la ecuación 5 nos

queda:

La ecuación 6.1 es la representación matemática del principio de

Arquímedes, en donde:

E = empuje sobre el cuerpo

= peso específico del fluido en que se encuentra sumergido el cuerpo

V = volumen desplazado del fluido

Una forma alterna de representar teóricamente el principio de Arquímedes

es debido al principio de la conservación del trabajo y la energía, como se ve

enseguida:

Consideramos que levantamos imaginariamente un cuerpo de volumen (V)

y peso específico ( ) una altura (h), haciéndolo en el vacío y después dentro de

un fluido con peso específico ( ). Para el primer caso hay que efectuar un trabajo

igual a . En el segundo caso, en el cual se despreciará el rozamiento, se

gasta menos energía, ya que al levantar el cuerpo de volumen (V) a la misma

altura (h), un volumen (V) del fluido desciende la misma altura. Por esta razón, el

trabajo necesario para levantar el cuerpo en el segundo caso es igual a:

. Interpretando la cantidad de trabajo que restamos ( ),

podemos decir, que en comparación con el vacío, dentro del fluido actúa una

fuerza complementaria que facilita el ascenso del cuerpo. Esta fuerza es

precisamente el empuje, por lo tanto:

Que es la misma ecuación obtenida anteriormente.

36

Fig. 6.2 Demostración práctica del principio de Arquímides

DEMOSTRACIÓN PRÁCTICA

Se cuelga un cilindro (I) y un cubo (II) de igual volumen del brazo izquierdo

de una balanza. Ambos se equilibran con la carga o contrapeso III. Supongamos

que ahora sumergimos el cilindro (I) dentro de un líquido. Debido a esto, el brazo

izquierdo de la balanza se elevará a causa de la fuerza de empuje que actúa

sobre el cilindro (I) sumergido.

El equilibrio vuelve a lograrse si llenamos el cubo (II) con un volumen de

agua igual al volumen del cilindro (I). Como el volumen de agua es igual al

volumen del cilindro sumergido (I), entonces quiere decir que el empuje

ascendente es igual al peso del líquido que llevaría el espacio ocupado por el

cilindro, (ver Fig. 6.2)

RESUMEN DEL PRINCIPIO DE ARQUÍMIDES

Todos los cuerpos experimentan un empuje vertical hacia arriba al estar

sumergidos en un fluido, nosotros mismos, en este instante, estamos recibiendo

un empuje vertical hacia arriba igual al peso específico del fluido que desalojamos

(aire) por el volumen desalojado (volumen de nuestro cuerpo). Claro, nosotros

estamos acostumbrados a vivir con este empuje, el cual, es despreciable en

comparación con el peso de nuestro cuerpo y es bastante pequeño como para

hacernos flotar en el aire. Por ejemplo, un hombre promedio, con un volumen

37

corporal de 70 lts. Estará recibiendo, por parte del aire que desaloja, un empuje

aproximadamente igual a:

, el cual es bastante pequeño.

Sin embargo, si este mismo hombre se sumerge en agua, entonces el empuje que

recibirá será: , el cual ya no es espreciable, e

incluso, es tan grande que hará que el hombre flote en el agua. De hecho, todos

los seres humanos normales y la mayoría de los animales recibimos por parte del

agua un empuje mayor a nuestro peso, y por lo tanto, al sumergirnos en ella

flotamos.

De la misma manera flotaríamos en cualquier líquido que tuviera un peso

específico mayor que el del agua. Pero si nos sumergimos en un líquido que tenga

un peso específico algo menor que el del agua no flotaríamos (sería menor que

nuestro peso). Sin embargo, nuestro peso aparente dentro de esos líquidos sería

menor.

El empuje, de acuerdo con lo anterior, puede expresarse en forma alterna

como la diferencia del peso del cuerpo en el aire y el peso aparente que tendría al

estar totalmente sumergido en un fluido. Esto es:

E = Wen el aire-Wen el fluido

En donde: E = empuje

Wen el aire = peso del cuerpo en el aire

Wen el fluido = peso del cuerpo sumergido en un fluido

Obviamente la condición para que esta ecuación sea válida es que el

cuerpo se encuentre totalmente sumergido en un fluido.

38

Cualquier material que su peso específico sea menor que el peso

específico del fluido que le rodea (sea líquido o gas), flotará en este.

Por todo de lo que ya estuvimos hablando podemos establecer que:

Cualquier cuerpo que su peso sea menor o igual al peso del volumen

del líquido que puede desplazarse si se sumerge en este FLOTARÁ

Cualquier cuerpo que su peso sea mayor al peso del volumen de líquido

que puede desplazar al sumergirse en éste se HUNDIRÁ

El principio de Arquímedes, a parte de ser la base para la construcción de

barcos tiene múltiples aplicaciones.

1.2.1 RESULTANTE DE LA CUÑA DE PRESIÓN

En este problema vamos a construir una escala para un hidrómetro. Un

hidrómetro es un aparato que se utiliza para medir la densidad de los líquidos

(midiendo directamente la densidad relativa). Éste aparato se muestra en la Fig.

6.3 y consta de un vástago y un bulbo. En el fondo del bulbo y por dentro de este

se colocan pequeñas esferas metálicas (balines) usualmente de plomo, con el fin

de hacer que el centro de gravedad del hidrómetro quede ubicado lo más bajo

posible de éste para que flote verticalmente al sumergirlo en cualquier líquido.

El bulbo siempre se debe quedar sumergido, emergiendo sólo parte del

vástago. Obviamente mientras mas denso sea el líquido emergerá una mayor

altura del vástago (ya que el hidrómetro necesita desplazar un volumen menor de

este líquido para equilibrar su peso) y viceversa.

39

La escala se coloca pues en el vástago y se calibra marcando la posición

de la superficie libre cuando el hidrómetro flota en agua destilada. A este punto

corresponderá una densidad relativa (Dr = 1).

Para trazar la escala a partir de este valor se efectúa lo siguiente:

Sea:

VB = volumen del bulbo

A = área de la sección transversal del vástago

= peso específico del agua

= peso específico del líquido

WH = peso total del hidrómetro

l = profundidad que se sumerge el hidrómetro cuando flota en un líquido x

Cuando el hidrómetro flota en agua se cumple que:

E – WH = 0

E = WH

Y cuando lo hace en otro líquido x

Igualando 1 y 2 tenemos que:

40

Dividiendo por nos queda:

Pero , entonces:

En donde:

Dr = densidad relativa del líquido (x)

Con la ecuación 6.3, conocidos el volumen del bulbo (VB), la sección

transversal del vástago y la longitud l a partir del bulbo a la que se sumerge el

41

Fig. 6.3 Hidrómetro

hidrómetro, se puede calcular cualquier altura lx para líquidos de diferentes

densidades relativas.

Observe que si sustituimos Dr = 1 en la ecuación 6.3 nos queda que:

Si sustituimos una Dr >1 obtendremos que: y sustituimos una Dr < 1

obtenemos que:

Lo anterior puede comprobarse en el laboratorio para cualquier hidrómetro.

1.2.2 CENTROS DE PRESION

Para sumergir totalmente en agua una colchoneta inflable necesitamos

empujarla hacia abajo. Es más fácil sostener un objeto pesado dentro del agua

que fuera de ella. Cuando buceamos pareciera que nos apretaran los tímpanos.

Éstos y muchos otros ejemplos nos indican que un líquido en equilibrio ejerce una

fuerza sobre un cuerpo sumergido. Pero, ¿qué origina esa fuerza?, ¿en qué

dirección actúa?, ¿también el aire en reposo ejerce fuerza sobre los cuerpos?,

¿qué determina que un cuerpo flote o no? Éstas son algunas de las cuestiones

que aborda la estática de fluidos: el estudio del equilibrio en líquidos y gases.

Un fluido en reposo en contacto con la superficie de un sólido ejerce fuerza

sobre todos los puntos de dicha superficie. Si llenamos de agua una botella de

plástico con orificios en sus paredes observamos que los chorritos de agua salen

en dirección perpendicular a las paredes. Esto muestra que la dirección de la

fuerza que el líquido ejerce en cada punto de la pared es siempre perpendicular a

la superficie de contacto.

En el estudio de los fluidos, resulta necesario conocer cómo es la fuerza

que se ejerce en cada punto de las superficies, más que la fuerza en sí misma.

Una persona acostada o parada sobre una colchoneta aplica la misma fuerza en

42

ambos casos (su peso). Sin embargo, la colchoneta se hunde más cuando se

concentra la fuerza sobre la pequeña superficie de los pies. El peso de la persona

se reparte entre los puntos de la superficie de contacto: cuanto menor sea esta

superficie, más fuerza corresponderá a cada punto.

Se define la presión como el cociente entre el módulo de la fuerza ejercida

perpendicularmente a una superficie (F perpendicular) y el área (A) de ésta:

En fórmulas es: p=F/A

La persona parada ejerce una presión mayor sobre la colchoneta que

cuando está acostada sobre ella. La fuerza por unidad de área, en cada caso, es

distinta. Cuando buceamos, la molestia que sentimos en los oídos a una cierta

profundidad no depende de cómo orientemos la cabeza: el líquido ejerce presión

sobre nuestros tímpanos independientemente de la inclinación de los mismos. La

presión se manifiesta como una fuerza perpendicular a la superficie, cualquiera

sea la orientación de ésta.

Densidad y peso específico

La densidad es una magnitud que mide la compactibilidad de los

materiales, es decir, la cantidad de materia ¡contenida en un cierto volumen. Si un

cuerpo está hecho de determinado material, podemos calcular su densidad como

el cociente entre la masa del cuerpo y su volumen: d = m/V

Análogamente, se define el peso específico como el peso de un

determinado volumen del material. Por lo tanto: p=P/V (peso dividido el

volumen, pero el peso es la masa (m) por la aceleración de la gravedad (g)) Se

puede entonces escribir: p=(m.g)/V.

Como vimos antes, m/V es la densidad d, entonces p=d.g

43

Las unidades de presión que se utilizan normalmente son:

Sistema Unidad Nombre

M.K.S. N/m² Pascal (Pa)

TECNICO Kg/m² ---

C.G.S. dina/cm²

Baría

EL PRINCIPIO DE PASCAL

En las figuras se muestran dos situaciones: en la primera se empuja el

líquido contenido en un recipiente mediante un émbolo; en la segunda, se empuja

un bloque sólido. ¿Cuál es el efecto de estas acciones? ¿Qué diferencia un caso

de otro?

La característica estructural de los fluidos hace que en ellos se transmitan

presiones, a diferencia de lo que ocurre en los sólidos, que transmiten fuerzas.

Este comportamiento fue descubierto por el físico francés Blaise Pascal (1623-

1662) , quien estableció el siguiente principio:

44

http://www.portalplanetasedna.com.ar/pascal.htm

http://www.portalplanetasedna.com.ar/pascal.htm

Un cambio de presión aplicado a un fluido en reposo dentro de un recipiente

se transmite sin alteración a través de todo el fluido. Es igual en todas las

direcciones y actúa mediante fuerzas perpendiculares a las paredes que lo

contienen.

El principio de Pascal fundamenta el funcionamiento de las genéricamente

llamadas máquinas hidráulicas: la prensa, el gato, el freno, el ascensor y la grúa,

entre otras.

Cuando apretamos una chinche, la fuerza que el pulgar hace sobre la

cabeza es igual a la que la punta de la chinche ejerce sobre la pared. La gran

superficie de la cabeza alivia la presión sobre el pulgar; la punta afilada permite

que la presión sobre la pared alcance para perforarla.

Cuando caminamos sobre un terreno blando debemos usar zapatos que

cubran una mayor superficie de apoyo de tal manera que la presión sobre el piso

sea la mas pequeña posible. Seria casi imposible para una mujer, inclusive las

mas liviana, camina con tacos altos sobre la arena, porque se hundiría

inexorablemente.

El peso de las estructuras como las casas y edificios se asientan sobre el

terreno a través de zapatas de hormigón o cimientos para conseguir repartir todo

el peso en la mayor cantidad de área para que de este modo la tierra pueda

soportarlo, por ejemplo un terreno normal, la presión admisible es de 1,5 Kg/cm².

La Presa Hidráulica

El principio de Pascal fundamenta el funcionamiento de las genéricamente

llamadas máquinas hidráulicas: la prensa, el gato, el freno, el ascensor y la grúa,

entre otras.

45

Este dispositivo, llamado prensa hidráulica, nos permite prensar, levantar

pesos o estampar metales ejerciendo fuerzas muy pequeñas. Veamos cómo lo

hace.

El recipiente lleno de líquido de la figura consta de dos cuellos de diferente

sección cerrados con sendos tapones ajustados y capaces de res-balar libremente

dentro de los tubos (pistones). Si se ejerce una fuerza (F1) sobre el pistón

pequeño, la presión ejercida se transmite, tal como lo observó Pascal, a todos los

puntos del fluido dentro del recinto y produce fuerzas perpendiculares a las

paredes. En particular, la porción de pared representada por el pistón grande (A2)

siente una fuerza (F2) de manera que mientras el pistón chico baja, el grande

sube. La presión sobre los pistones es la misma, No así la fuerza! Como p1=p2

(porque la presión interna es la misma para todos lo puntos). Entonces: F1/A1 es

igual F2/A2 por lo que despejando un termino se tiene que: F2=F1.(A2/A1)

Si, por ejemplo, la superficie del pistón grande es el cuádruple de la del

chico, entonces el módulo de la fuerza obtenida en él será el cuádruple de la

fuerza ejercida en el pequeño.

46

La prensa hidráulica, al igual que las palancas mecánicas, no multiplica la

energía. El volumen de líquido desplazado por el pistón pequeño se distribuye en

una capa delgada en el pistón grande, de modo que el producto de la fuerza por el

desplazamiento (el trabajo) es igual en ambas ramas. ¡El dentista debe accionar

muchas veces el pedal del sillón para lograr levantar lo suficiente al paciente!

1.2.3 EMPUJES EN SUPERFICIES PLANAS

Se considera un recipiente con un líquido en reposo, donde una de sus

paredes tiene una inclinación respecto a la horizontal, como se indica en la fig.

29. Sobre esta pared se delimita una superficie de área A para la cual se desea

conocer la fuerza resultante debida a la presión hidrostática, así como su punto de

aplicación o centro de presiones.

La fuerza resultante sobre la superficie A será:

es decir, el volumen de a cuña de distribución de presiones abcd está

limitada por el área A. La integral que aparece en la Ec. (2.14) es el momento

47

estático del área respecto de la superficie libre del líquido y se puede expresar en

términos del área A y de la profundidad de su centro de gravedad zG.

El empuje hidrostático es entonces

(2.15)

Las coordenadas ( ) del centro de presiones se obtienen cuando se

iguala la suma de los momentos estáticos de las áreas diferenciales respecto de

los ejes x y y, con el producido por la fuerza resultante.

Para el eje x tenemos que

donde la integral representa el momento estático del volumen de la cuña de

presiones respecto del eje x. De aquí se deduce que coincide con la ordenada

de la proyección K´ del centro de gravedad S, de la cuña.

Se puede dar también una interpretación distinta y para ello se substituye

Z=Y sen θ en la ecuación anterior:

(2.16)

48

Figura 2.9. Empuje hidrostático y centro de presiones sobre una superficie plana e inclinada

donde la integral es el momento de inercia del área A respecto del eje x, el

cual es también

en que es el momento de inercia del área respecto de un eje centroidal

paralelo a x; puede también expresarse como donde es el radio de

giro de A respecto del eje centroidal paralelo a x. Por tanto, si se substituye la Ec.

(215) en la (216), con , resulta:

(2.17)

Obsérvese que el centro de presiones se encuentra por debajo del centro

de gravedad del área. Aunque tiene importancia secundaria, se puede calcular en

forma análoga a :

La integral de esta ecuación representa el producto de inercia , del área

respecto del sistema de ejes x-y; por tanto

Generalmente, las superficies sobre las que se desea calcular el empuje

hidrostático son simétricas respecto de un eje Paralelo a y. Esto hace que y

que el centro de presiones quede sobre dicho eje.

49

Un procedimiento gráfico para determinar yK se presenta en la Fig. 2.9:

sobre G´ se levanta una normal G´M a la superficie de altura ; la intersección de

la perpendicular a la recta O1 M con la superficie señala la posición de K´. Se deja

al lector la demostración del procedimiento.

En la tabla 2.1 se presentan la posición del centro de gravedad, el área y el

radio del giro de las figuras más usuales.

Problema 2.1. Calcular el empuje hidrostático y el centro de presiones sobre

la pared de 2 m de ancho de un tanque de almacenamiento de agua, para los

siguientes casos: a) pared vertical con líquido de un solo lado (Fig. 2.10); b) pared

inclinada con liquido en ambos lados (figura 2.lla); c) pared vertical con líquido en

ambos lados (Fig. 2. llb).

Solución a). En la Fig. 2.10 se muestra la distribución de presiones

hidrostáticas del agua sobre la pared vertical. La presión total para ,

según la Ec. (2.t5), vale

50

Figura 2.10. Distribución de la presión hidrostática sobre una pared vertical.

El empuje hidrostático es igual al volumen de la cuña de distribución de

presiones.

La profundidad del centro de presiones según la Ec. (217) y las

características

indicadas en la Fig. 2.10, vale

51

Este valor también es e! de la profundidad del centro de gravedad de la

cuña de distribución de presiones.

Solución b). La distribución depresiones es lineal en ambos lados y de

sentido contrario, siendo la distribución resultante como se muestra en la Fig. 2.

lla.

En la misma forma que en la solución (a), el empuje hidrostático sobre la

pared es el volumen de la cuña de distribución de presiones de ancho h indicada

con el área sombreada, la cual se puede determinar calculando el área del

triángulo de presiones de la izquierda menos el de la derecha.

Para el triángulo a la izquierda

52

Fig. 2.11 Empuje hidrostático sobre una pared inclinada o vertical con líquido en ambos lados

Aplicada a la distancia , desde el punto A, entonces

Para el triangulo a la derecha, se tiene que

Aplicada a la distancia desde el punto A, resulta

El empuje total esta representado por la cuña sombreada:

Tomando momentos de las fuerzas respecto A, obtenemos

Substituyendo el valor de P, se puede despejar y escribir en la forma

SOLUCIÓN c). Para el caso de la figura 2.11b es suficiente hacer =90º en

lasa ecuaciones anteriores resultando

53

1.2.4 EMPUJES EN SUPERFICIES CURVAS

TEOREMA DE PASCAL

Para sumergir totalmente en agua una colchoneta inflable necesitamos

empujarla hacia abajo. Es más fácil sostener un objeto pesado dentro del agua

que fuera de ella. Cuando buceamos pareciera que nos apretaran los tímpanos.

Éstos y muchos otros ejemplos nos indican que un líquido en equilibrio ejerce una

fuerza sobre un cuerpo sumergido. Pero, ¿qué origina esa fuerza?, ¿en qué

dirección actúa?, ¿también el aire en reposo ejerce fuerza sobre los cuerpos?,

¿qué determina que un cuerpo flote o no? Éstas son algunas de las cuestiones

que aborda la estática de fluidos: el estudio del equilibrio en líquidos y gases.

Un fluido en reposo en contacto con la superficie de un sólido ejerce fuerza

sobre todos los puntos de dicha superficie. Si llenamos de agua una botella de

plástico con orificios en sus paredes observamos que los chorritos de agua salen

en dirección perpendicular a las paredes. Esto muestra que la dirección de la

fuerza que el líquido ejerce en cada punto de la pared es siempre perpendicular a

la superficie de contacto.

En el estudio de los fluidos, resulta necesario conocer cómo es la fuerza

que se ejerce en cada punto de las superficies, más que la fuerza en sí misma.

Una persona acostada o parada sobre una colchoneta aplica la misma fuerza en

ambos casos (su peso). Sin embargo, la colchoneta se hunde más cuando se

concentra la fuerza sobre la pequeña superficie de los pies. El peso de la persona

se reparte entre los puntos de la superficie de contacto: cuanto menor sea esta

superficie, más fuerza corresponderá a cada punto.

Se define la presión como el cociente entre el módulo de la fuerza ejercida

perpendicularmente a una superficie (F perpendicular) y el área (A) de ésta:

En fórmulas es: p=F/A

55

La persona parada ejerce una presión mayor sobre la colchoneta que

cuando está acostada sobre ella. La fuerza por unidad de área, en cada caso, es

distinta.

Cuando buceamos, la molestia que sentimos en los oídos a una cierta

profundidad no depende de cómo orientemos la cabeza: el líquido ejerce presión

sobre nuestros tímpanos independientemente de la inclinación de los mismos. La

presión se manifiesta como una fuerza perpendicular a la superficie, cualquiera

sea la orientación de ésta.

EMPUJES EN SUPERFICIES PLANAS Y CURVAS

El teorema fundamental de la hidrostática

¿Por qué las paredes de un dique van aumentando su espesor hacia el

fondo del lago’? ¿Por qué aparecen las várices en las piernas?

Es un hecho experimental conocido que la presión en el seno de un líquido

aumenta con la profundidad. Busquemos una expresión matemática que nos

permita calcularla. Para ello, consideremos una superficie imaginaria horizontal S,

ubicada a una profundidad h como se muestra en la figura de la derecha.

La presión que ejerce la columna de líquido sobre

la superficie amarilla será:

p = Peso del líquido/Area de la base

Con matemática se escribe: p = P/S = (d . V)/S=(d

. S . h)/S= d . h (porque la S se simplifican)

Donde p es el peso específico del líquido y V es

el volumen de la columna de fluido que descansa sobre

la superficie S.

56

Es decir que la presión que ejerce un líquido en reposo depende del peso

específico (p) del líquido y de la distancia (h) a la superficie libre de éste.

i ahora consideramos dos puntos A y B a diferentes

profundidades de una columna de líquido en equilibrio, el

mismo razonamiento nos permite afirmar que la diferencia de

presión será:

PA —PB = p . hA— d . hB

Este resultado constituye el llamado teorema fundamental de la

hidrostática:

La diferencia de presión entre dos puntos dentro de una misma masa

líquida es el producto del peso específico del líquido por la distancia vertical que

los separa.

Ésta es la razón por la cual dos puntos de un fluido a igual profundidad

estarán a igual presión. Por el contrario, si la presión en ambos puntos no fuera la

misma, existiría una fuerza horizontal desequilibrada y el líquido fluiría hasta hacer

que la presión se igualara, alcanzando una situación de equilibrio.

Hasta aquí sólo hemos encontrado la expresión de la presión que ejerce el

líquido sobre un cuerpo —imaginario o no— sumergido en una determinada

profundidad h. Ahora bien, ¿cuál es la presión total ejercida en el cuerpo? Si

tenemos en cuenta que, probablemente, por encima del líquido hay aire (que

también es un fluido), podemos afirmar que la presión total ejercida sobre el

cuerpo es debida a la presión de la columna del líquido más la presión que ejerce

el aire sobre la columna. Es decir: P = Paire + Plíquido = Patmosférica + d . h

57

Este resultado tiene generalidad y puede ser deducido del teorema

fundamental de la hidrostática. Veamos cómo. Si consideramos que el punto B se

encuentra exactamente en la superficie del líquido, la presión en A es:

PA= PB+ d . Ah = Psuperficie + P. (hA-hB) = Atmosférica + d . h

Los vasos comunicantes son recipientes comunicados entre sí,

generalmente por su base. No importa cuál sea la forma y el tamaño de los

recipientes; en todos ellos, el líquido alcanza la misma altura.

Cuando tenemos un recipiente vertical conteniendo un líquido y le hacemos

perforaciones en sus paredes, las emisiones del líquido de los agujeros de la base

tendrán mayor alcance que las emisiones de arriba, ya que a mayor profundidad

hay mayor presión.

1.3 FLOTACION

El primer requisito para que un barco flote es que cumpla con el principio de

Arquímedes es decir, que se construya de tal forma que:

Desplace más agua que su cuerpo

58

Guardar simetría tanto geométrica, como sobre todo, dinámicamente;

(al estar en agua tranquila el barco guarde una posición horizontal)

Matemáticamente hablando, existen dos fuerzas que afectan la estabilidad

de un barco:

El peso del mismo

El empuje que recibe por porte del agua desalojada.

Por lo que se debe cumplir que:

(Ya que el barco flota)

E – W = 0

Condición de equilibrio

El peso del barco actúa en el centro de gravedad de este (CG) mientras

que el empuje actúa en el centro de gravedad del volumen sumergido del barco, al

cual se le llama centreo de flotabilidad (CF) o de la canela (C).

La Fig. 7.1 muestra un barco en aguas tranquilas, en esta condición el

barco se encuentra estable, con su centro de gravedad situado por encima del

centro de flotabilidad. En este caso, las fuerzas involucradas, es decir, el peso del

barco y el empuje actúan sobre la misma línea de acción.

59

E = W

Sin embargo, cuando el barco se encuentra en altamar sufre cierto

balanceo debido al oleaje y al viento. Para este caso, en la Fig. 7.2 se muestra un

barco sufriendo un cierto balanceo. El centro de gravedad del barco (donde actúa

el peso) sigue estando donde mismo, no así el centro de flotabilidad ya que este

se ha trasladado a la izquierda debido a que la forma del volumen desplazado

cambia por la forma del barco. El barco de esta figura se dice que es un BARCO

ESTABLE, ya que como puede verse, la acción combinada de las dos fuerzas

(peso W y empuje E) provocan un momento tendiente a enderezar el barco.

El barco de la Fig. 7.3 se encuentra ladeado, pero este barco quizá es muy

angosto o tiene su centro de gravedad muy arriba, esto hace que a pesar de que

el centro de flotabilidad se ha desplazado hacia la izquierda a causa de que vació

la forma del volumen desplazado, no fue suficiente para provocar el momento

restaurado en el mismo. Como puede observarse, aquí la acción combinada de las

dos fuerzas (W y E) hará que el barco actúe su balanceo y probablemente hará

que zozobre.

En las figuras 7.2 y 7.3 se encuentra un punto marcado con una (M). A este

punto se le llama METACENTRO, el cual corresponde al punto de intersección de

la línea de acción del empuje con el eje de simetría del barco.

60

La posición del metacentro es de vital importancia para determinar si un

cuerpo flotante es estable o no. En general podemos decir que:

Si M se encuentra por encima del CG el cuerpo es estable

Si M se encuentra por debajo del CG el cuerpo es inestable

Si M y CG coinciden, el cuerpo tiene un equilibrio indiferente

En el caso particular de un barco interesa que se cumpla la primera

condición. Sin embargo, si M se encuentra por encima del CG, pero muy cerca

una de la otra el barco se balanceará lenta y ampliamente y será muy probable

que se hunda en caso de un choque. Si M está muy arriba del CG el barco

regresará bruscamente a la vertical con riesgo de dañar la carga y causar

trastornos a los tripulantes y pasajeros (será a lo que se le denomina BARCO

DURO).

La distancia que existe entre CG y M se llama altura metacéntrica, la cual,

si M está por encima de CG (cuerpo estable) es positiva; si M coincide con CG

(equilibrio indiferente) vale cero y si M se encuentra por debajo del CG es

negativa.

En la práctica un valor confiable de altura metacéntrica para barcos

mercantes modernos totalmente cargados es de un 5% de la manga, es decir, la

parte más ancha del barco.

En el cuadro 7.1 se muestran algunos valores prácticos de altura

metacéntrica para ciertos tipos de embarcaciones.

TIPO DE EMBARCACIÓN ALTURA METACÉNTRICA

61

Barcos de Vela 0.90 a 1.50

Torpederos 0.40 a 0.60

Cruceros 0.80 a 1.20

Cargueros 0.60 a 0.90

De Pasajeros 0.45 a 0.60

A veces, en la práctica, situar el metacentro de una embarcación resulta

muy difícil, sin embargo, existen algunas ecuaciones, como la obtenida por

Duhamel, la cual desarrollaremos enseguida, basándonos en la Fig. 7.4

El volumen desplazado total no cambia en valor por la vuelta a través del

ángulo , pero si cambia en forma debido a la emersión del volumen en forma de

cuña (omn) y a la sumersión de un volumen igual (om´n´)

Estas cuñas representan una pérdida de empuje E2 debido al volumen

emergido (omn) y una ganancia del mismo E1 debido a la sumersión del volumen

(om´n´).

62

Cuadro 7.1 Algunas alturas metacéntricas de tipos diversos de buques

La nueva posición de la fuerza de empuje total (E´) puede considerarse

como la resultante de componer al empuje (E) en su posición original y las fuerzas

desequilibrantes de pérdida y ganancia de empuje (E1 y E2). Como el momento de

una fuerza resultante es igual a la suma algebraica de los momentos de sus

componentes y el centro de flotabilidad original (CF) se seleccionó como centro de

momentos tenemos.

Como E1 = E2 dejamos la ecuación 1 en función de E1, entonces:

Como, de la figura tenemos que: entonces:

Considerando un ángulo pequeño y de acuerdo con la Fig. 7.5 el volumen

del prisma considerado es:

La fuerza de empuje sobre este prisma elemental será:

Y el momento de esta fuerza elemental con respecto a cero será:

La integral de esta ecuación representa el momento de E1 con respecto al

eje “y”. Pero recordando que a lado izquierdo de “y” existe también otro prisma,

sobre el que actúa una fuerza E2. Entonces el momento de la pareja E1 y E2 será

el doble del momento que nos da la integral de la ecuación 6, ya que E1 y E2 son

iguales, entonces:

63

De estática tenemos que: , entonces sustituyendo:

También de estática tenemos que: donde:

= momento de inercia con respecto al eje “y” (eje longitudinal del barco)

del área de la sección transversal del barco en la línea de flotación, en

consecuencia:

Sustituyendo en 3 tenemos:

y como entonces:

Ahora de la Fig. 7.4 tenemos:

Donde: CF·M es la distancia que hay entre el CF y el M. Sustituyendo en 11

nos queda:

Como es pequeño tenemos que entonces la ecuación 13

puede escribirse como:

64

Esta es la llamada ecuación de Duhamel. Como la altura metacéntrica es la

distancia desde el CG hasta el M; se tiene que:

Donde:

+ CG·M = altura metacéntrica

+ = momento de inercia del área que la superficie libre del líquido

intercepta en el cuerpo flotante con relación al eje de inclinación (eje sobre el cual

se supone que el cuerpo pueda girar)

V = volumen del líquido desplazado

NOTA: el signo positivo representa el caso en el que el CG está

debajo del CF.

1.3.1 PRINCIPIO DE ARQUIMEDES

Notable matemático e inventor griego, que escribió importantes obras sobre

geometría plana y del espacio, aritmética y mecánica.

Nació en Siracusa, Sicilia, y se educó en Alejandría, Egipto. En el campo de

las matemáticas puras, se anticipó a muchos de los descubrimientos de la ciencia

moderna, como el cálculo integral, con sus estudios de áreas y volúmenes de

figuras sólidas curvadas y de áreas de figuras planas. Demostró también que el

volumen de una esfera es dos tercios del volumen del cilindro que la circunscribe.

En mecánica, Arquímedes definió la ley de la palanca y se le reconoce

como el inventor de la polea compuesta. Durante su estancia en Egipto inventó el

‘tornillo sin fin’ para elevar el agua de nivel. Arquímedes es conocido sobre todo

por el descubrimiento de la ley de la hidrostática, el llamado principio de

Arquímedes, que establece que todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta

65

http://www.monografias.com/trabajos14/problemadelagua/problemadelagua.shtml

http://www.monografias.com/trabajos4/leyes/leyes.shtml

http://www.monografias.com/trabajos16/ciencia-y-tecnologia/ciencia-y-tecnologia.shtml

http://www.monografias.com/trabajos/culturaegipcia/culturaegipcia.shtml

una pérdida de peso igual al peso del volumen del fluido que desaloja (véase

Mecánica de fluidos). Se dice que este descubrimiento lo hizo mientras se bañaba,

al comprobar cómo el agua se desplazaba y se desbordaba.Arquímedes pasó la

mayor parte de su vida en Sicilia, en Siracusa y sus alrededores, dedicado a la

investigación y los experimentos. Aunque no tuvo ningún cargo público, durante la

conquista de Sicilia por los romanos se puso a disposición de las autoridades de la

ciudad y muchos de sus instrumentos mecánicos se utilizaron en la defensa de

Siracusa. Entre la maquinaria de guerra cuya invención se le atribuye está la

catapulta y un sistema de espejos —quizá legendario— que incendiaba las

embarcaciones enemigas al enfocarlas con los rayos del sol. Al ser conquistada

Siracusa, durante la segunda Guerra Púnica, fue asesinado por un soldado

romano que le encontró dibujando un diagrama matemático en la arena. Se cuenta

que Arquímedes estaba tan absorto en las operaciones que ofendió al intruso al

decirle: "No desordenes mis diagramas". Todavía subsisten muchas de sus obras

sobre matemáticas y mecánica, como el Tratado de los cuerpos flotantes, El

arenario y Sobre la esfera y el cilindro. Todas ellas muestran el rigor y la

imaginación de su pensamiento matemático. El principio de Arquímedes afirma

que todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical y hacia

arriba igual al peso de fluido desalojado.

La explicación del principio de Arquímedes consta de dos partes como se

indica en las figuras:

1. El estudio de las fuerzas sobre una porción de fluido en equilibrio con

el resto del fluido.

2. La sustitución de dicha porción de fluido por un cuerpo sólido de la

misma forma y dimensiones.

66

http://www.monografias.com/trabajos14/genesispensamto/genesispensamto.shtml

http://www.monografias.com/trabajos12/diflu/diflu.shtml

http://www.monografias.com/trabajos6/diop/diop.shtml

http://www.monografias.com/trabajos14/flujograma/flujograma.shtml

http://www.monografias.com/trabajos11/teosis/teosis.shtml

http://www.monografias.com/trabajos11/artguerr/artguerr.shtml

http://www.monografias.com/trabajos10/cuasi/cuasi.shtml

http://www.monografias.com/trabajos11/norma/norma.shtml

Porción de fluido en equilibrio con el resto del fluido.

Consideremos, en primer lugar, las fuerzas sobre una porción de fluido en

equilibrio con el resto de fluido. La fuerza que ejerce la presión del fluido sobre la

superficie de separación es igual a p·dS, donde p solamente depende de la

profundidad y dS es un elemento de superficie.

Puesto que la porción de fluido se encuentra en equilibrio, la resultante de

las fuerzas debidas a la presión se debe anular con el peso de dicha porción de

fluido. A esta resultante la denominamos empuje y su punto de aplicación es el

centro de masa de la porción de fluido, denominado centro de empuje.

De este modo, para una porción de fluido en equilibrio con el resto se

cumple

Empuje=peso=rf·Gv

El peso de la porción de fluido es igual al producto de la densidad del fluido

rf por la aceleración de la gravedad g y por el volumen de dicha porción V.

Se sustituye la porción de fluido por un cuerpo sólido de la misma forma y

dimensiones si sustituimos la porción de fluido por un cuerpo sólido de la misma

forma y dimensiones. Las fuerzas debidas a la presión no cambian, por tanto, su

67

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/fluidos/estatica/ecuacion/ecuacion.htm

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/fluidos/estatica/introduccion/Introduccion.htm#Concepto%20de%20presi%F3n

resultante que hemos denominado empuje es el mismo, y actúa sobre el mismo

punto, es decir, sobre el centro de empuje.

Lo que cambia es el peso del cuerpo y su punto de acción que es su propio

centro de masa que puede o no coincidir con el centro de empuje.

Por tanto, sobre el cuerpo actúan dos fuerzas: el empuje y el peso del

cuerpo, que no tienen en principio el mismo valor ni están aplicadas en el mismo

punto.

En los casos más simples, supondremos que el sólido y el fluido son

homogéneos y por tanto, coincide el centro de masa del cuerpo con el centro de

empuje.

Ejemplo:

Supongamos un cuerpo sumergido de densidad ρ rodeado por un fluido de

densidad ρf. El área de la base del cuerpo es A y su altura h.

68

La presión debida al fluido sobre la base superior es p1= ρfgx, y la presión

debida al fluido en la base inferior es p2= ρfg(x+h). La presión sobre la superficie

lateral es variable y depende de la altura, está comprendida entre p1 y p2.

Las fuerzas debidas a la presión del fluido sobre la superficie lateral se

anulan. Las otras fuerzas sobre el cuerpo son las siguientes:

Peso del cuerpo, mg

Fuerza debida a la presión sobre la base superior, p1·A

Fuerza debida a la presión sobre la base inferior, p2·A

En el equilibrio tendremos que

mg+p1·A= p2·Amg+ρfgx·A= ρfg(x+h)·A

o bien,

mg=ρfh·Ag

El peso del cuerpo mg es igual a la fuerza de empuje ρfh·Ag

Como vemos, la fuerza de empuje tiene su origen en la diferencia de

presión entre la parte superior y la parte inferior del cuerpo sumergido en el fluido.

El principio de Arquímedes se enuncia en muchos textos de Física del siguiente

modo:

Cuando un cuerpo está parcialmente o totalmente sumergido en el

fluido que le rodea, una fuerza de empuje actúa sobre el cuerpo. Dicha

fuerza tiene dirección hacia arriba y su magnitud es igual al peso del fluido

que ha sido desalojado por el cuerpo.

Energía potencial de un cuerpo en el seno de un fluido

69

Cuando un globo de helio asciende en el aire actúan sobre el globo las

siguientes fuerzas:

El peso del globo Fg=–mgj .

El empuje Fe= rfVgj, siendo rf la densidad del fluido (aire).

La fuerza de rozamiento Fr debida a la resistencia del aire

Dada la fuerza conservativa podemos determinar la fórmula de la energía

potencial asociada

La fuerza conservativa peso Fg=–mgj está asociada con la energía

potencial Eg=mg·y.

Por la misma razón, la fuerza conservativa empuje Fe= rVg j está asociada

a la energía potencial

Ee=-rfVg·y.

Dada la energía potencial podemos obtener la fuerza conservativa

70

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/trabajo/energia/energia.htm#Fuerza%20conservativa.%20Energ%C3%ADa%20potencial

http://www.monografias.com/trabajos10/restat/restat.shtml

La energía potencial asociada con las dos fuerzas conservativas es

Ep=(mg- rfVg)y

A medida que el globo asciende en el aire con velocidad constante

experimenta una fuerza de rozamiento Fr debida a la resistencia del aire. La

resultante de las fuerzas que actúan sobre el globo debe ser cero.

rf Vg- mg-Fr=0

Como rfVg> mg a medida que el globo asciende su energía potencial Ep

disminuye.

Empleando el balance de energía obtenemos la misma conclusión

El trabajo de las fuerzas no conservativas Fnc modifica la energía total

(cinética más potencial) de la partícula. Como el trabajo de la fuerza de rozamiento

es negativo y la energía cinética Ek no cambia (velocidad constante), concluimos

que la energía potencial final EpB es menor que la energía potencia inicial EpA. En

la página titulada "movimiento de un cuerpo en el seno de un fluido ideal",

estudiaremos la dinámica del cuerpo y aplicaremos el principio de conservación de

la energía.

EL EMPUJE: PRINCIPIO DE ARQUIMEDES

71

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/fluidos/estatica/movimiento/movimiento.htm#Estudio%20energ%E9tico

http://www.monografias.com/trabajos14/trmnpot/trmnpot.shtml

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/trabajo/energia/energia.htm#Balance%20de%20energ%C3%ADa

Resulta evidente que cada vez que un cuerpo se sumerge en un líquido es

empujado de alguna manera por el fluido. A veces esa fuerza es capaz de sacarlo

a flote y otras sólo logra provocar una aparente pérdida de peso. Pero, ¿cuál es el

origen de esa fuerza de empuje? ¿De qué depende su intensidad?

Sabemos que la presión hidrostática aumenta con la profundidad y

conocemos también que se manifiesta mediante fuerzas perpendiculares a las

superficies sólidas que contacta. Esas fuerzas no sólo se ejercen sobre las

paredes del contenedor del líquido sino también sobre las paredes de cualquier

cuerpo sumergido en él.

Distribución de las fuerzas sobre un cuerpo sumergido

Imaginemos diferentes cuerpos sumergidos en agua y representemos la

distribución de fuerzas sobre sus superficies teniendo en cuenta el teorema

general de la hidrostática. La simetría de la distribución de las fuerzas permite

deducir que la resultante de todas ellas en la dirección horizontal será cero. Pero

en la dirección vertical las fuerzas no se compensan: sobre la parte superior de los

cuerpos actúa una fuerza neta hacia abajo, mientras que sobre la parte inferior,

una fuerza neta hacia arriba. Como la presión crece con la profundidad, resulta

más intensa la fuerza sobre la superficie inferior. Concluimos entonces que: sobre

el cuerpo actúa una resultante vertical hacia arriba que llamamos empuje.

¿Cuál es el valor de dicho empuje?

72

Tomemos el caso del cubo: la fuerza es el peso de la columna de agua

ubicada por arriba de la cara superior (de altura h1). Análogamente, F2

corresponde al peso de la columna que va hasta la cara inferior del cubo (h2). El

empuje resulta ser la diferencia de peso entre estas dos columnas, es decir el

peso de una columna de líquido idéntica en volumen al cubo sumergido.

Concluimos entonces que el módulo del empuje es igual al peso del líquido

desplazado por el cuerpo sumergido.

Con un ejercicio de abstracción podremos generalizar este concepto para

un cuerpo cualquiera. Concentremos nuestra atención en una porción de agua en

reposo dentro de una pileta llena. ¿Por qué nuestra porción de agua no cae al

fondo de la pileta bajo la acción de su propio peso? Evidentemente su entorno la

está sosteniendo ejerciéndole una fuerza equilibrante hacia arriba igual a su propio

peso (el empuje).

Ahora imaginemos que “sacamos” nuestra porción de agua para hacerle

lugar a un cuerpo sólido que ocupa exactamente el mismo volumen. El entorno no

se ha modificado en absoluto, por lo tanto, ejercerá sobre el cuerpo intruso la

misma fuerza que recibía la porción de agua desalojada. Es decir:

Un cuerpo sumergido recibe un empuje vertical y hacia arriba igual al peso

del volumen de líquido desplazado.

E = Peso del líquido desplazado = dlíq . g . Vliq desplazado = dliq . g .

Vcuerpo

73

Es importante señalar que es el volumen del cuerpo, y no su peso, lo que

determina el empuje cuando está totalmente sumergido. Un cuerpo grande

sumergido recibirá un gran empuje; un cuerpo pequeño, un empuje pequeño.

1.3.2 CONDICIONES DE EQUILIBRIO DE CUERPOS EN FLOTACION

¿Como hace un barco para flotar?

Pues bien, el mismo está diseñado de tal manera para que la parte

sumergida desplace un volumen de agua igual al peso del barco, a la vez, el

barco es hueco (no macizo), por lo que se logra una densidad media pequeña. En

el caso de los submarinos, tienen un sistema que le permite incorporar agua y de

esta manera consiguen regular a sus necesidades la densidad media de la nave.

EL PROBLEMA DE LA CORONA DEL REY

El rey Hierón le entregó 2,5 kg de oro a su joyero para la construcción de la

corona real. Si bien ése fue el peso de la corona terminada, el rey sospechó que el

artesano lo había estafado sustituyendo oro por plata en el oculto interior de la

74

corona. Le encomendó entonces a Arquímedes que dilucidara la cuestión sin

dañar la corona.

Con sólo tres experiencias el sabio pudo determinar que al monarca le

habían robado casi un kilo de oro. Veamos cómo lo hizo.

En primer lugar, Arquímedes sumergió una barra de medio kilo de oro puro

y comprobó que desplazaba 25,9 cm3. Por lo tanto, el peso específico del oro es:

Poro = 500 gr/25.3 cm3 =19.3 gr/cm3

Si el joyero hubiera hecho las cosas como le habían indicado, el volumen

de líquido desplazado por la corona real, que pesaba 2,5 kilogramos, debería

haber sido:

Vcorona = 2.500 gr/19.3 gr/cm3=129.5 cm3

A continuación, sumergió la corona real y midió que el volumen de agua

desplazado era de 166 cm3, o sea, mayor del esperado. ¡Hierón había sido

estafado! ¿En cuánto? Para saber qué cantidad de oro había sido reemplazado

por plata, Arquímedes repitió la primera experiencia sumergiendo una barra de un

kilo de plata para conocer su peso específico. Como el volumen desplazado

resultó 95,2 cm3, se tiene que:

Pplata=1000 gr/95.2 gr/cm3=10.5 gr/cm3

Sabemos que el peso total de la corona es 2.500 gr. (el joyero tuvo la

precaución de que así fuera) y su volumen total, de 166 cm3. Entonces:

Vcorona=Voro+Vplata=166 cm3

Vplata=166-Voro

Pcorona=Poro+Pplata=2500 gr.

Si reescribimos la última ecuación en función del peso específico y el

volumen, nos queda que:

75

19.3 gr/cm3 . Voro + 10.5 gr/cm3 . Vplata = 2500 gr

Tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas (Voro y Vplata). Sustituyendo

una ecuación con la otra, se tiene que:

19,3 gr/cm3. Voro + 10.5 gr/cm3. (166 cm3-Voro) = 2.500 g

de donde se despeja la incógnita:

Voro =86cm3

con lo que se deduce que:

Poro =Poro Voro = 19,3 gr/cm3 . 86 cm3 = 1.660 gr

Pplata=Pcorona - Poro =2.500gr -1.660 gr =840 gr

De esta manera, Arquímedes pudo comprobar que al rey le habían

cambiado 840 gr. de oro por plata. Cuenta la leyenda que el joyero no pudo

disfrutar del oro mal habido.

TEOREMA II DE BUCKINGHAM

En 1915, Buckingham demostró que el número de grupos adimensionales

de variables independientes necesarios para relacionar las variables de un

proceso dado es igual a n- m, donde n es el número de variables que intervienen y

m, es el número de dimensiones básicas incluidas en las variables. Por lo tanto, si

la residencia al avance F de una esfera en un fluido es función de la velocidad V,

la densidad , la viscosidad y el diámetro D, tenemos cinco variables

y tres dimensiones fundamentales (L, F, T). Por lo que se tendrá 5 -

3 = 2 grupos básicos de variables que servirán para relacionar los resultados

experimentales.

MAGNITUDES FÍSICAS, UNIDADES Y DIMENSIONES

76

En la descripción y estudio de los fenómenos físicos se han desarrollado (y

se desarrollan) conceptos abstractos muy especiales llamados magnitudes físicas.

Estas magnitudes se definen por medio de un conjunto de operaciones

experimentales que permiten obtener un número como medida de la magnitud en

cualquier situación. Esta definición comprende dos pasos esenciales:

1.-La elección de una unidad de medida con múltiplos y submúltiplos

2.- Un proceso para comparar la magnitud o medir con la unidad de medida

y establecer un número como medida de la magnitud.

Ejemplos de magnitudes físicas: longitud, área, volumen, tiempo, masa,

energía, temperatura, fuerza, potencia, velocidad, aceleración, etc. Una de las

tareas fundamentales de la física consiste en establecer las relaciones que existen

entre las diversas magnitudes que intervienen en un fenómeno determinado. Éstas

relaciones matemáticas definiciones o leyes; permiten asociar la media de una

magnitud con la medida de las otras magnitudes con las cuales están

relacionadas. Por ejemplo: cuando una partícula se mueve en línea recta se define

la velocidad como la longitud recorrida por la partícula en unidad de tiempo y si se

ha definido adecuadamente un sistema de unidades, se escribe , donde

es el tiempo que se toma la partícula en recorrer la magnitud . Asimismo la

aceleración se define como el cambio de velocidad sufrido en una unidad de

tiempo, y se escribe . Por otra parte la segunda ley de Newton establece

que la relación que sufre esta partícula es proporcional a la fuerza neta que actúa

sobre ella; F = ma.

El concepto de dimensión de una magnitud aparece cuando se trata de

construir un sistema de unidades. En principio podría asignársele a cada magnitud

física una unidad de medida para la longitud, otra para el tiempo, otra para le

velocidad, otra independiente para la aceleración t asimismo otra para la fuerza,

77

pero esto nos conduciría a la necesidad de especificar coeficientes que realizarán

las conversiones de unidades y escribiríamos:

Ante la posibilidad de semejante proliferación de coeficientes de conversión

sea establecido un procedimiento general para construir sistemas de unidades; se

adoptan por convención algunas magnitudes físicas como fundamentales y se

eligen arbitrariamente sus respectivas unidades de medida; las magnitudes que no

forman parte de las fundamentales son llamadas magnitudes derivadas y sus

unidades de medida se establecen fijando los valores numéricos de los

coeficientes que figuran en las expresiones matemáticas que relacionan estas

magnitudes con las fundamentales.

Las unidades de medida de la velocidad, aceleración y fuerza quedan

unívocamente determinadas en función de las unidades de medida de las

fundamentales: la unidad de velocidad es entonces el m/s, la unidad de

aceleración es el metro por segundo por segundo m/s2 y la de fuerza es kilogramo

metro por segundo al cuadrado N.

Y es en ese punto donde aparece la noción de dimensión de una magnitud

física.

PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD

78

Corresponde a la noción intuitiva de que solo puedan sumarse o igualarse

cantidades del mismo tipo y que no puede hacerse lo mismo con cantidades de

tipo diferente.

Este principio suministra un método muy eficaz para el control de la

consistencia de las ecuaciones que se manejan en el estudio de algún problema.

Así si en alguna expresión matemática que relacione las magnitudes físicas

pertinentes al problema, los términos que se suman o se igualan, no tienen todas

unas mismas dimensiones, hay un error en alguna parte y se hace preciso revisar.

Pero ¡cuidado! la homogeneidad dimensional no garantiza que la ecuación sea la

correcta, puede haber errores en las constantes o en la concepción del problema.

En consecuencia, las ecuaciones que se manejan en física deben de ser

todas dimensionalmente homogéneas y en el momento de realizar los cálculos

para obtener el valor numérico de una magnitud en términos de los valores

numéricos conocidos de las otras magnitudes, las unidades de medida deben ser

expresadas todas en el mismo sistema de unidades: la homogeneidad

dimensional y la consistencia de las unidades son dos aspectos de una misma

cosa.

SISTEMA DE UNIDADES

Desde 1989, las definiciones de las unidades de medida de las magnitudes

fundamentales fueron establecidas por una organización internacional llamada

Conferencia General de Pesas y Medidas, y cuenta con representantes de la

mayoría de los Países del mundo. El sistema de unidades definido por esta

organización, basado en el sistema métrico decimal y cuyo mas inmediato

antecesor al sistema MKS, se conoce oficialmente desde 1960 como Sistema

Internacional o SI, y su uso tiende a ser adoptado mundialmente.

79

En este Sistema han sido escogidas como magnitudes fundamentales las

siguientes: longitud, tiempo, masa, intensidad de corriente eléctrica, intensidad

luminosa, temperatura y cantidad de sustancia en la tabla siguiente nombramos

las unidades definidas como fundamentales y sus respectivos símbolos.

Magnitud

Fundamental

Unidad de

Medida ( SI )

Símbolo de la

Unidad

Longitud Metro M

Tiempo Segundo S

Masa Kilogramo Kg

Corriente Eléctrica Amperio A

Temperatura Kelvin K

Intensidad

LuminosaCandela Cd

Cantidad de

SustanciaMol Mol

Se hace necesario definir unidades suplementarias para la medida de

ángulos planos y la medida de ángulos sólidos; éstas y un conjunto de unidades SI

muy utilizadas en Mecánica son listadas a continuación. Se incluye también la

fórmula dimensional de cada magnitud.

MAGNITUD

SÍMBOL

O TÍPICO

OFICIAL

UNIDAD

PATRON

INTERNACIONAL

DIMENSIO

N

LONGITUD L Metro, m L

MASA MKilogramo,

KgM

TIEMPO T Segundo, s T

80

VELOCIDAD V m/s L T-1

ACELERACIÓ

Na m/s2 L T-2

ÁNGULO

PLANO

radianes,

rad

Adimension

al

ÁNGULO

SÓLIDO

Estereoradia

n

Adimension

al

VELOCIDAD

ANGULARRad/s T-1

ACELERACIÓ

N ANGULAR rad/s2 T-2

FRECUENCIA v Hertz (s-1) T-1

MOMENTUM-

IMPULSOP Kg m/s M L T-1

FUERZA F Newton N M L T—2

TRABAJO-

ENERGÍAW, E

Joule J (N

m)M L2 T-1

POTENCIA Pot Vatio (Watt) M L2 T-3

MOMENTUM-

ANGULARL Kg m/s M L2 T-2

TORQUE N m M L2

MOMENTO

DE INERCIAI Kg m2 M L-1 T-2

PRESIÓN-

ESFUERZOP,

Pascal Pa

(N/m2)M L-1 T-2

MÓDULO DE

ELASTICIDADY, B, G Pa M-1 L T2

MÓDULO DE

COMPRESIBILIDADX Pa-1 M L-1 T-1

81

VISCOSIDAD Pa s M L2 T2

CALOR Q J M L2 T-2

ENTROPÍA S J/0K

Otro Sistema de unidades de gran importancia en física es el sistema cgs

que define el centímetro, el gramo y el segundo como unidades de medida para la

longitud, la masa y el tiempo respectivamente. Su uso en Mecánica es

relativamente escaso, pero en la teoría electromagnética es de gran importancia.

Las unidades del Sistema Inglés o Británico, en vías de extinción, se definen ahora

oficialmente en función de las unidades SI de la siguiente manera:

Longitud: 1 pulgada = 2.54 cm.

Masa: 1 libra masa = 0.45359237 kg

Tiempo: 1 segundo = 1 s

La libra es la unidad de fuerza en el Sistema Británico, y equivale a

una fuerza igual al peso de una libra masa en condiciones específicas. En Física,

las unidades inglesas sólo se emplean en Mecánica y en Termodinámica, y no

existe un sistema Británico de unidades eléctricas.

Otras unidades de fuerza que, aunque no forman parte de ningún

sistema de unidades, son: el kilogramo fuerza (kgf) y el gramo fuerza (gf): 1 kgf es

el peso de una masa de un kilogramo en la superficie de la tierra; de la expresión f

= ma se deduce que en un sitio donde la aceleración de la gravedad sea 9.8 m/s2,

1 kgf = (1 kg) (9.8 m/s2)

= 9.8 kg m/s2

= 9.8 N

Asimismo, 1 gf es el peso de una masa de 1 g; así,

1 gf = ( 1 g)(980 cm/s2)

= 980 g cm/s2

= 980 dinas

82

PESO ESPECÍFICO ( )

La fuerza gravitacional por unidad de volumen de fluido o simplemente el

peso por unidad de volumen se denomina peso específico y se representa por el

símbolo (gamma), que se determina dividiendo el peso de la sustancia entre el

volumen que ocupa.

Donde:

Pe = peso específico de la sustancia en N/m3; N = kg m/s2

P = Peso de la sustancia en N

v = volumen que ocupa en m3

DENSIDAD

La densidad de una sustancia “P” expresa la masa contenida en la

unidad de volumen. Su valor se determina dividiendo la masa de la sustancia entre

el volumen que ocupa.

Donde: m = kg

v = m3 = litro

DENSIDAD RELATIVA

La relación del peso específico de un líquido dado al peso específico del

agua a una temperatura estándar de referencia se define como densidad relativa.

La temperatura estándar de referencia para el agua a menudo se toma como 40C,

donde el peso específico del agua a presión atmosférica es de 9810 N/m3; con

esta referencia la densidad relativa del mercurio a 200C es:

Ya que la densidad relativa es una relación de pesos específicos, no tiene

dimensiones y por supuesto es independiente del sistema de unidades.

83

VISCOSIDAD

Esta propiedad se origina por el rozamiento de unas partículas con otras

cuando el líquido fluye por tal motivo, la viscosidad se puede definir como una

medida de la resistencia que opone un líquido al fluir. Si un recipiente perforado en

el centro se hacen fluir por separado: miel, leche, agua y alcohol; se observa que

cada líquido fluye con rapidez distinta. Mientras más viscoso es un líquido más

tiempo tarda en fluir.

Al medir el tiempo que el líquido deja de fluir se conoce su viscosidad en el

sistema internacional es el poiseville, definido como la viscosidad que tiene un

fluido cuando su movimiento rectilineo uniforme sobre una superficie plana, es

retardado por una fuerza de un Newton por metro cuadrado de superficie de

contacto con el fluido, cuya velocidad respecto a la superficie es de 1m/s.

PRESIÓN MANOMÈTRICA

En una región, como en el espacio exterior que está virtualmente vacío de

gases, la presión es esencialmente cero. Tal condición puede lograrse en forma

muy aproximada en el laboratorio, donde una bomba de vacío se utiliza para

vaciar una botella. La presión en el vacío se denomina cero absoluto, y todas las

presiones respecto a esta presión cero se llaman presiones absolutas. De ahí que

la presión atmosférica al nivel del mar en un día en particular está dada por 101

kN/m2, que equivale a 760 mm de deflexión en un barómetro de mercurio.

84

Muchos dispositivos medidores de presión no miden presiones absolutas, si

no únicamente diferencias de presión. Por ejemplo; un manómetro consistente en

un tubo de bordón común (fig.3-3) indica tan solo la diferencia entre la presión en

el fluido al cual se conecta y la presión en la atmósfera. En este caso, la presión

de referencia es realmente la presión atmosférica en el indicador. Este tipo de

lectura de presión se llama presión manométrica.

La unidad fundamental de presión en el sistema internacional (SI) es el

pascal (Pa) que equivale a un Newton por metro cuadrado (N/m2). Las presiones

manométrica y absoluta suelen identificarse después de la unidad. Por ejemplo, si

una presión de 50 kPa se midiese con un manómetro respecto a la atmósfera,

absoluta

fuese 100

kPa,

entonces la presión podría expresarse

Siempre que la presión atmosférica se utiliza como referencia (en otras

palabras, cuando se mide la presión manométrica) existe la posibilidad de que la

presión a sí medida pueda ser ya sea positiva o negativa. A las presiones

manométricas negativas se les llama presiones de vacío. De ahí que si un

manómetro se conecta a un tanque e indica una presión de vacío de 31 kPa

absoluta. En la (fig. 3-3) se muestra un ejemplo de este sistema de referencia para

presiones arbitrarias de pA = 200kPa manométrica y pB = 51kPa absoluta con una

presión atmosférica de 101 kPa absoluta.

1 DIFERENCIA ENTRE UN LÍQUIDO Y UN GAS

1. Los líquidos son prácticamente incomprensible, los gases son

compresibles

2. los líquidos ocupan un valor definido y tienen superficies libre,

mientras que los gases ocupan la forma del recipiente que los contienen.

85

P = 50 kPa manométrica

P = 150 kPa absoluta

La densidad ( ρ ) representa la masa de fluido contenida en la unidad de

volumen; en los sistema absoluto y gravitacional sus dimensiones son [ ML³ ] Y

[ FT² L ] respectivamente.

Peso especifico (δ ω) representa el peso de fluido por unidad de volumen

[ FL ³]

δ= ω = Pg δ= ω = w = kg

vol m³

ρr Densidad Relativa = ω sust no tiene dimensiones

ω agua

ω = 1000kg / m³

Densidad Absoluta = ω kg / m³ = kg seg²

g m / seg² m

Viscosidad: la viscosidad de un fluido es una medida de su resistencia a

fluir, como resultado de la interacción y cohesión de sus moléculas.

μ = Viscosidad Absoluta o Dinámica.

Para el sistema absoluto cm–grmasa–seg, la equivalencia es gm/cmseg,

que es utilidad como unidad de viscosidad cinemática, se conoce como poise.

1 poise = 1 gm

cmseg

86

Para el sistema gravitacional es más común la unidad:

1 kgseg = 98.0665 gm

m³ cmseg

En el sistema CGS se emplea la unidad

1 STOKE = 1 cm² =0.001 m²

seg seg

CALCULO DE Ycp

Tomando momentos con respecto al eje X. (el cual se coloca a lo largo del

punto de contacto de la superficie libre del liquido con la pared de la estructura se

tiene:

87

Es mas practico obtener el momento de inercia del área con respecto a un

eje paralelo a “x” que pase por el centro de gravedad de la misma, entonces

recurrimos al teorema de los ejes paralelos, el cual es:

MOMENTOS DE INERCIA DE FIG. GEOMÉTRICAS COMUNES.

Como el momento de inercia de cualquier área es una cantidad positiva, y

observando las EC. (2) y (3) se concluye , Ycp > Ycg y que hcp>hcg se concluye

que el centro de presión del área se encuentra por debajo del centro de gravedad

de la misma.

CALCULO DE Ycp

88

=90º h= Y sen h=Yhcg= Ycg sen hcg=Ycg sen 90º =1hcp= Ycp sen hcp=ycp

De igual forma, pero ahora tomando momentos con respecto al eje “y”

obtenemos:

En la mayoría de los casos las áreas sobre las cuales se calcula la fuerza

hidrostática son simétricas con respecto o por lo menos un eje centroidal

Entonces (4) es.

Ya Ixycg = 0 cuando alguno de los ejes centroidales, a los dos, son ejes de

simetría.

PROBLEMAS

1.-Determinar la localización “Y” de la articulación en la compuerta

rectangular de la Fig. De tal manera que la compuerta se abra cuando el nivel

del liquido alcance la posición mostrada.

89

NOTA: para que la compuerta se abra para alcanzar una altura mayor de 2mts. , es necesario hacer coincidir el punto de aplicación de la fuerza. hidrostática con la articulación, cuando el nivel es exactamente el mostrado.

La compuerta AB tiene un eje de giro en B y su anchura es de 1.5 m. ¿Que

fuerza vertical, aplicada en su centro de gravedad, será necesaria para mantener

la compuerta en equilibrio, si pesa 2,000 Kg?

90

Independientemente del valor de la fuerza, el punto de aplicación es:

F=?

B = Eje de giro

45˚N

W M

A1.5 m

1.5 m

Calculo de FH

FH = Ɣ heg A

heg = 1.5 + 1.5 ÷ 2 = 2.25 m.

Sen 45º = 1.5 ÷ h

A = b h = b (1.5 m. ÷ sen 45º) = 1.5 m. x 2.12 m.

A = 3.18 m.2

FH = Ɣ heg A = (1000 Kg./m.3 )(2.25 m.)(3.18 m.2)

FH = 7155 Kg. Actuara en forma normal

Calculo de N :

cg ץ + cg ץ c p = Іx ÷ A ץ

cg ץ ÷ c g = heg ץ

c g = heg ÷ sen 45º = 3.18 m ץ

І x = (1.5 )(1.5÷sen45º)3 ÷ 12 = 1.191m.4

.c p = 1.191 m.2 ÷ (3.18 m.2)(3.18 m.) + 3.18 m. = 3.297 m ץ

De la Fig. N = 3 m. ÷ sen 45º = ץ cp = 4.242 m. – 3.297

∴ N = 0.9448 m.

Calculo de M : Como F y W actuaran en el C.G. del área A – B, entonces M

será :

M = 1.5 ÷ 2 = 0.75 m.

Haciendo suma de momentos en B y suponiendo que (F) tiene el sentido

indicado, tenemos :

∑MB = 0 = FHN – WM –FM

∴ F = FHN – WM ÷ M

91

F = (7155 Kg.)(0.9448) – (2000 Kg.)(0.75) ÷ 0.75 m

F = 7013.4 Kg.

2.-Calcular el empuje hidráulico y el centro de presiones sobre la

pared de 2 m de ancho de un tanque de almacenamiento de agua, para los

siguientes casos :

a).- Pared vertical con liquido de un solo lado. Fig. (a)

b).- Pared inclinada con líquidos en ambos lados. Fig. (b)

c).- Pared vertical con líquidos en ambos lados. Fig. (c)

A).- Pared vertical con liquido de un solo lado.

Ɣ = 1 Ton. / m.3

P = Ɣ A heg

∴ P = Ɣ b h1 (h1 ÷ 2) = Ɣ b (h2 ÷ 2) = 1 x 2 x 2.42 ÷ 2 = 5.7 Ton.

El empuje hidrostático es igual al volumen de la cuña dist. de presiones.

Ƶk = (h)2(2) ÷ (12)(h) + h ÷ 2 = 2÷ 3 (h) = 1.6 m.

Fig. (a)

B).- Pared inclinada con líquidos en ambos lados.

Triangulo de izquierda – triangulo de derecha

∆ izquierda P = Ɣ h (h2÷2sen ) ∆ derecha P⊖ 2 = Ɣ b x (h2)2 ÷

2sen ⊖

K1 = (2÷2)(h1÷senץ ) ⊖ K2 = (h1 – h2÷3) ÷ (senӨ)ץ

92

ƵK

h1=2.4m.

Ɣ h1

P = P1 – P2 = Ɣ b (h12 – h2

2 ÷ 2senӨ) = 1x2 (2.42 – 1.42 ÷ 2x 0.866) =4.388

Ton.

Tomando momentos de las fuerza respecto al punto A

P = Kץ Ɣ h (h12÷2senӨ) x (2÷3)(h1÷senӨ) – Ɣ b (h2

2÷2senӨ) x (h1 –

h2/3÷senӨ)

Sustituyendo el valor de P, ץK se puede despejar y escribir.

K = (h1÷senӨ) – (1÷3 x senӨ)(h1ץ3 – h2

3 ÷ h12 – h2

2) = 2.4 ÷ 0.866 – 2.916 ÷ 3

x 0.866 = 1.649

Fig. (b)

C).- Pared vertical con líquidos en ambos lados.

P = Ɣ b (h12 – h2

2 ÷ 2) = 1 x 2 (2.42 – 1.42 ÷ 2) = 3.8 Ton.

K = ƵK = h1 – 1 / 3 (h1ץ3 – h2

3 ÷ h12 – h2

2) = 2.4 – 1 / 3 (2.43 – 1.43 ÷ 2.42 –

1.42) = 1.428

Fig. (C)

SISTEMA DE

93

60ºh1 =

2.4

ץK

P

Ɣ h1

h1 = 1.4

Ɣ h2

h1 = 2.4

ƵK

h2 = 1.4 m.

Ɣ (h1 – h2)

Ɣ h2

Ɣ h1

DIEMENCIONES

ME

TR

ICO

DIMENCI

ONES

FLT(TEC

NICO)

MLT(ABSO

LUTO)

FMLT(INCOHE

RENTE)

KGT

FUERZA KG KGM

MASA KG M

LONGITU

D

MLT(ABSO

LUTO) SEG

TIEMPO M S

SEG

ING

LES

LB

FUERZA LBT

MASA LB LBM

LONGITU

D PIE PIE PIE

TIEMPO SEG SEG SEG

94

UNIDAD II: PRINCIPIOS CONSERVATIVOS

2.1 CONSERVACION DE LA MATERIA

Esta ley es una de las tres leyes de conservación de la física - La le y de la

conservación de la masa postulada que esta no se puede crear ni destruir. Este

concepto origina le ecuación de continuidad, la que establece que, dentro de

cualquier sistema hidráulico se debe balancear la descarga que entra, el volumen

que se almacena y la descarga que sale; en otra palabras, se deben considerar

todas las cantidades volumétricas. Como el agua se considera incompresible, se

puede usar a este respecto tanto la masa como el volumen en formas

intercambiable. Para poner el concepto en forma matemática, se puede escribir la

ecuación de cantidad como

Cambio en el almacenamiento

(2.2a)

La ecuación anterior se usa a menudo en el análisis de los depósitos y en el

control de las avenidas de los ríos. Es importante que la escala del tiempo sea la

misma en ambos lados de la ecuación. Por ejemplo, si las descargas están en

, y se desea el cambio en el almacenamiento

por periodos de 6 horas, será necesario introducir un factor de conversión

apropiado.

En el caso de que no sea posible tener cambio alguno en el

almacenamiento, como cuando una tubería está llena, el lado derecho de la

ecuación 2.2 a se deducirá a cero,

0

(2.2b)

95

Lo que significa que lo que entra tiene que salir. En ciertas aplicaciones,

como en los ríos o en las tuberías complejas, se separa el problema en

componentes de menor tamaño que se unen en puntos determinados. En este

caso, se debe cuidado al seleccionar el signo apropiado para cada componente de

descarga. La conversión común de signos a considerar es la que tiene como

positivas las descargas que encuentra a la componente hidráulica, y las que

salen como negativo. en los puntos donde se unen dos componentes hidráulicas,

cambiara el signo de la descarga.

2.1.1 ECUACION DE CONTINUIDAD

La ecuación de continuidad o conservación de masa es una herramienta

muy útil para el análisis de fluidos que fluyen a través de tubos o ductos con

diámetro variable. En estos casos, la velocidad del flujo cambia debido a que el

área transversal varía de una sección del ducto a otra. Si se considera

un fluido con un flujo estable a través de un volumen fijo como un tanque con una

entrada y una salida, la razón con la cual el fluido entra en el volumen debe ser

igual a la razón con la que el fluido sale del volumen para que se cumpla el

principio fundamental de conservación de masa

96

La ecuación de continuidad es empleada para el análisis de boquillas,

toberas, altura de alabes de turbinas y compresores, perfil de los alabes de las

turbinas a reacción entre otros.

1. Nota introductoria:

97

Los siguientes apuntes sobre los "ASPECTOS FÍSICOS ELEMENTALES

DEL VUELO DE LAS COMETAS", son una recopilación de los escritos que

aparecieron en catalán en el Boletín L´Estel del Barcelona Estels Club debidos a

Xavier Soret que bajo el nombre de "Aclarint conceptes" (Aclarando conceptos), se

han ido publicando a lo largo de más de una veintena de números del citado

boletín.

He considerado que tales escritos eran de interés para los que les gustaba

los aspectos más "científicos" de las cometas, pero debido al idioma de

publicación, limitaban mucho la difusión de tal obra, esta fue la razón que me llevo

ha recopilarlos y presentarlos en la forma que tienes en tu mano.

La traducción no es literal, por lo que he cambiado el orden en que fueron

publicados estos artículos, omitiendo conceptos recurrentes y algunos que he

considerado evidentes, todo esto en vías de una mayor claridad expositiva, así

mismo, he añadido algunos conceptos que no aparecían en estos escritos, como

el capítulo dedicado a la Teoría de la Semejanza.

Aunque pueda asustar un poco, si se echa una primera ojeada, no hacen

falta grandes conocimientos físicos-matemáticos para entender lo que sigue, no

van más allá de los estudiados en bachiller, creo yo que es más importante,

poseer una gran curiosidad científica, que otra cosa.

Espero que el lector disfrute con su lectura, lo que yo he disfrutado

redactándolos.

2. Conceptos Elementales De Mecánica De Fluidos

Ecuación De Continuidad

98

http://www.monografias.com/trabajos12/moviunid/moviunid.shtml

http://www.monografias.com/trabajos14/textos-escrit/textos-escrit.shtml

http://www.monografias.com/trabajos4/epistemologia/epistemologia.shtml

http://www.monografias.com/trabajos7/tain/tain.shtml

http://www.viajeros.com/hoteles/barcelona_espana.htm

Consideremos un fluido, que atraviesa dos superficies S1 y S2, las cuales,

son perpendiculares a las direcciones de las líneas de corriente del fluido. Como

entre ambas superficies no existe ninguna fuente ni sumidero de fluido, la masa

que atraviesa las superficies tiene que ser igual, por tanto: M1 = M2

Principio de conservación de la matera.

De acuerdo con este, de la masa de fluido que en la unidad de tiempo

entra a un volumen especificado entro del flujo, una parte se queda almacenada

en su interior y el resto sale del volumen. Si el volumen que se estudia es de forma

y magnitud constante (volumen de control), el almacenaje no puede ser indefinido.

Matemáticamente es preferible tratar con la cantidad neta de masa que sale y que

entra, sumadas algebraicamente; así, el principio de la conservación de la materia,

aplicado a un volumen de control fijo completamente arbitrario dentro del flujo, de

expresa en la formula siguiente:

+ = 0

Este principio se aplica lo mismo a un volumen de control de tamaño

diferencial que a uno finito, de lo cual se deriva la llamada ecuación de

continuidad.

Ecuación diferencial de continuidad

Si bien esta ecuación no tiene mucha aplicación en los problemas de flujo

unidimensional en hidráulica, aquí se presenta su derivación para ser utilizada en

99

Cantidad neta de masa que atraviesa la superficie de frontera del volumen, en la unidad de tiempo.

Rapidez de variación de la masa contenida en el volumen

los problemas de flujo con potencial. Para obtenerla se aplica el principio de

conservación de la materia al volumen de control diferencial, mostrado en la Fig.

4.1 (de lados dx, dy, dz).

En el centro de masa p del volumen

considerado corresponden los valores

p y v como funciones de punto y del

tiempo, o bien, el producto pv como

función vectorial.

Al pasar a las caras normales al eje

x, que limitan al elemento de fluido,

la función pv se incrementa y decre-

menta en la misma cantidad:

Donde el subíndice x indica componente de la función pv según

x. de este modo, considerando positiva la masa que sale del volumen y

negativo la que entra, la cantidad neta de masa que atraviesa estas cara es:

Por un razonamiento semejante, la cantidad neta de masa que atraviesa las

caras normales al eje y es:

100

Y, la que atraviesa a las normales al eje z;

Finalmente, la rapidez de variación de la masa contenida en el volumen

elemental es:

De tal manera que el principio de conservación de la masa establece lo

siguiente:

y, puesto que el volumen elemental escogido no cambia con el tiempo, la

ecuación anterior se puede simplificar y resulta:

O bien, recordando que

La ecuación anterior también se expresa en la forma

101

Las ecs. (4.1ª Y b) son dos formas de expresar la ecuación diferencial de

continuidad, que es la más general para un flujo compresible no permanente;

admite las siguientes simplificaciones:

a) fluido compresible permanente

b) flujo incompresible no permanente (p = constante)

c) flujo incompresible no permanente

Igual que la Ec. (4.3) para un flujo incompresible, sea o no permanente.

Problema 4.1 un flujo incompresible permanente, con simetría axial

respecto del eje z (Fig. 4.2), esta limitado por una superficie sólida (con la misma

simetría) cuya forma esta definida por la ecuación (r, radio medido desde el

eje z, y b una constante) y tiene un campo de velocidades dado por las

componentes en coordenadas cilíndricas:

a) demostrar que se satisface la ecuación diferencial de continuidad.

b) Determinar la expresión para el gasto a través de la sección

horizontal A-A y de la sección cilíndrica B-B

c) Determinar la velocidad en el punto P(r = z =1.5m) cuando Q =

10.64m/seg. (ref. 20)

102

Solución a). El campo de velocidades,

definido en coordenadas cilíndricas,

equivale a las siguientes expresiones

en coordenadas cartesianas.

Resulta entonces que

Esto es, se satisface la ecuación de continuidad (4.3) y se verifica que el

flujo es incompresible.

Para los restantes puntos conviene mas utilizar las coordenadas polares.

Solución b). Para la sección horizontal A-A, el gato es

Para la sección cilíndrica B-B se tiene:

c) para el punto P:

103

Y, considerando el valor de Q, se tiene entonces que

Por tanto, la magnitud de la velocidad en el punto P, es:

ECUACIÓN DE BERNOULLI

En la Fig. 11.1 se presenta un conducto a través del cual existe un

flujo de un fluido incompresible (líquido). Vamos a asumir que el flujo sea

permanente y que no existe transferencia de masa a través de las paredes del

conducto es decir, que la cantidad de fluido que entre por una sección

determinada del conducto es decir, que la cantidad de fluido que entre por una

sección determinada del conducto sea igual a la que sale por otra sección en el

mismo intervalo.

104

Aplicando el principio de la conservación de la energía, el cual dice que:

……….11.1

En donde:

E1 = energías de las partículas del fluido en la sección 1

E2 = idem en la sección 2

105

E1 + W1-2 = E2

W1-2 = trabajo necesario para llevar una partícula de fluido de la sección 1 a

la sección 2.

Como la energía en cada punto se divide en energía cinética y en energía

potencial, tenemos que de acuerdo con la ecuación 11.1

ECIN 1 +EPOT 1 +W1-2 = ECIN 2 +EPOT 2…………………………1

Sabemos que ECIN = 1 / 2 mv2 y que EPOT = mgz

El trabajo de 1 a 2 se puede ver así: en el sentido del flujo actúa la fuerza F1

= P1A1, la cual ayuda a trasladar las partículas del punto 1 al punto 2; la fuerza F2 =

P2A2 actúa en sentido contrario, es decir, trata de impedir que las partículas del

fluido ponen del punto 1 al punto 2. A parte de estas dos fuerzas, existe otra que

trata de impedir el flujo de 1 y 2, esta es la fuerza de rozamiento entre las paredes

del conducto y las partículas del fluido en contacto con ellas.

Sin embargo en el análisis siguiente vamos a considerar despreciable esta

última fuerza.

La fuerza F1, en un instante pequeño de tiempo t mueve ciertas partículas

de fluido una distancia ; como el fluido es incompresible, este movimiento se

transmite hasta el punto 2, en el cual las partículas se desplazan una distancia .

Entonces el trabajo de 1y 2 podemos expresarlo como:

Como las distancias y son pequeños podemos considerar que

y en donde V1 y V2 son los volúmenes desplazados en un instante

pequeño de tiempo (t).

106

Para V1 = V2 ya que el flujo es permanente compresible y sin transferencia

de masa a través de las paredes del conducto, con esto podemos establecer que:

V1 = V2 = V sustituyendo en 2 nos queda:

W1-2 = P1V1 – P2V2 = (P1 – P2)V……………………………….3

Poniendo el volumen en función de la densidad y la masa del fluido

tenemos:

Sustituyendo las energías potencial y cinética en cada punto y el trabajo de

1 a 2 en la ecuación 1 nos queda:

Dividiendo entre mg:

Recordando que pg = y ordenando los términos de acuerdo con su

subíndice a uno y otro lado del signo igual, tenemos:

107

La ecuación anterior se conoce como ecuación de Bernoulli en la cual se

han despreciado las pérdidas de energía por fricción y no se ha considerado la

adición de energía por medios externos al flujo.

Si consideramos las pérdidas por fricción y tenemos algún dispositivo que

añada energía al flujo entre los puntos 1 y 2, la ecuación de Bernoulli tiene la

siguiente forma:

En donde:

V1 = velocidad media del fluido en la sección 1

V2 = idem en la sección 2

Z1 = distancia vertical desde el plano de referencia al punto 1

Z2 = idem en el punto 2

Estas distancias Z son positivas si el punto se encuentra por encima del

plano referencia; son negativas si el punto se encuentra por debajo del plano y son

cero si el punto coincide con dicho plano.

P1 = presión del fluido en el punto 1

P2 = presión del fluido en el punto 2

RECOMENDACIONES PARA LA APLICACIÓN DE LA ECUACIÓN DE

BERNOULLI

Siempre se aplica en la dirección del flujo

108

Generalmente se aplica desde el inicio hasta el final de la instalación

(casi siempre el inicio y el final de una instalación, se considera la superficie libre

del líquido en el deposito de aspiración y de descarga, respectivamente).

Los puntos elegidos como 1 y 2 deben ser puntos en los cuales sea

posible determinar su presión, velocidad y posición (altura) con respecto al plano

de referencia

Si en un problema dado al aplicar la ecuación de Bernoulli nos

quedara más de una incógnita, posiblemente sea necesario aplicar también la

ecuación de continuidad o aplicar nuevamente Bernoulli seleccionando otros

puntos de la instalación.

2.1.2 ECUACION DEL GASTO

GASTO EN MASA O MÁSICO

Se define como la cantidad de fluido, expresada en unidades de masa, que

pasa por una sección determinada en la unidad de tiempo. Es decir:

Ó

GASTO EN PESO (W)

Cantidad de fluido, expresada en unidades de peso, que pasa por una

sección determinada en la unidad de tiempo y se puede expresar como:

En la fig. 3.13, un elemento dA, de la superficie S (limitada por la curva C)

y que contiene al punto cualquiera P, se puede representar por el vector

diferencial de superficie:

dA = dAn

Donde n se define como un vector unitario normal a la superficie en el punto

P, cuyo sentido positivo se establece por convención.

Figura 3.13. Concepto de gasto.

109

La velocidad v que corresponde al punto

P tiene en general una dirección distinta

a la de dA.

En un intervalo dt, el volumen de fluido

que atraviesa el elemento de superficie dA

queda determinado por el producto escalar

de los vectores: el diferencial de arco

ds sobre la línea de corriente que pasa por

P y el vector diferencial de superficie dA.

Entonces, considerando que ds = v dt,

el volumen de fluido que pasa a través del

elemento dA vale:

d v = ds . dA = v . dA dt

El flujo de volumen a través de toda la superficie S queda definido por la

ecuación

Cuyas dimensiones son . Este flujo de volumen se conoce como

gasto o caudal.

110

Si en un flujo la superficie S se escoge de modo que las líneas de corriente

sean normales a ella en cada punto, de la Ec. (3.11) el gasto se puede calcular de

la manera siguiente:

Se llama velocidad media, a través de la superficie S de área A, al promedio

calculado así:

Y equivale a suponer que la velocidad se distribuye uniformemente sobre

toda la superficie, con un valor constante V y en dirección perpendicular a la

misma.

Problema 3.6. En el fluido mencionado en el problema 3.4, determinar el

gasto, por unidad de ancho, del chorro que pasa a través de una superficie

horizontal localizada a y=1.5m y limitada por las abscisas x=-0.50m y x=0.50m

Solución: el vector velocidad para el fluido es

Y el vector diferencial de superficie es

dA=-dxj

Haciendo el producto escalar indicado en la EC. (3.11), esta se escribe

como

Donde los limites de integración corresponden a las abscisas. La

integración efectuada con y=cte, conduce al siguiente resultado:

Y para y=1.5m vale

111

2.2 CONSERVACION DE LA ENERGIA.

Primero procederemos a distinguir entre dos tipos de fuerzas, conservativas

y no conservativas. Consideremos un ejemplo de cada tipo y después discutimos

cada ejemplo, desde varios puntos de vista diferente, pero relacionados.

Imaginemos un resorte con uno de sus extremos asegurado a una pared

rígida, como se muestra en la figura 8-1. Deslicemos, directamente hacia el

resorte, un bloque de masa m con la velocidad v; suponemos en el plano

horizontal no tiene fricción, y que el resto es ideal, es decir, que obedece la ley de

Hooke (Ec.2-7),

(2.3)

Donde F es la magnitud de la fuerza ejercida por el resorte, cuando su

extremo libre se desplaza la distancia x.

Después de que el bloque toca el resorte, la rapidez, y con ella la energía

cinética del bloque decrecen, hasta que finalmente el bloque alcanza el reposo por

la acción de la fuerza del resorte, como en la figura 8-1b. Entonces, cuando se

extiende el resorte comprimido, el bloque invierte su movimiento; gana rapidez y

energía cinética y, cuando pasa de nuevo por la porción del contacto inicial con el

resorte, encontramos que tiene la misma rapidez y energía cinética que la que

tenia originalmente, solo que ha cambiado el sentido del movimiento. El bloque

pierde energía cinética durante parte de su movimiento, pero la gana totalmente

durante la otra parte de su movimiento, cuando regresa a su punto de partida.

112

La energía cinética de un cuerpo se puede interpretar como su capacidad

para hacer trabajos en virtud de su movimiento. Claramente se ve en la figura

anterior, que al completarse al viaje redondo, la capacidad del bloque para hacer

trabajo permanece igual; se ha conservado. La fuerza elástica ejercida por un

resorte ideal y otras fuerzas que actúan en la misma forma, se llama

conservativas. La fuerza de la gravedad también es conservativa; si lanzamos

una pelota verticalmente hacia arriba (si la resistencia del aire es depresiable),

regresa hasta nuestra mano con la misma energía cinética que tenia cuando dejo

nuestra mano.

Si por el contrario, unja partícula sobre la que actúa una o mas fuerzas,

regresa a su posición inicial con mas o menos energía cinética de la que tenia

inicialmente, entonces, en su viaje redondo ha cambiado su capacidad para hacer

trabajos, su capacidad para hacer trabajos no se conserva y cuando menos una

de las fuerzas que actúan se identifican como no conservativas.

La fricción se opone al movimiento del bloque, sin importar en que sentido

se mueve, y se encuentra que el bloque regresa a su punto de partida con menos

113

energia cinetica de la que tenia inicialmente. Decimos que esta fuerza y otras que

se comportan de la misma manera, son no conservativas. La fuerza de inducción

en un betatrón (sec. 32-6), también es una fuerza no conservativa.

En lugar de disipar energía cinética, la produce, de tal manera que un

electrón que se mueva en la órbita circular del betatrón, regresará a su posición

inicial con más energía cinética que la que tenía originalmente.

En un viaje redondo el electrón gana energía cinética, como debe hacerlo,

si el betatrón ha de ser efectivo.

Resumiendo: una fuerza es conservativa si la energía cinética de una

partícula sobre la que actúa, regresa a su valor inicial después de un viaje

redondo. Una fuerza es no conservativa, si la energía cinética de la partícula

cambia después de un viaje redondo. En esta definición suponemos que la fuerza

en cuestión sólo es una de las que hacen trabajo sobre la partícula. Si más de una

fuerza hace trabajo, consideraremos que los efectos atribuibles a cada una de

estas fuerzas se pueden analizar separadamente.

2.2.1 ECUACION DE LA ENERGIA

Ecuación del movimiento

Si no se incluyen los efectos termodinámicos en el flujo ni la adición o

extracción de energía mecánica desde el exterior (bomba o turbina), es posible

derivar las ecuaciones del movimiento- aplicables al flujo de líquidos- a partir de la

segunda ley de Newton. Para ello es necesario considerar las fuerzas que se

oponen al movimiento, las cuales desarrollan un trabajo mecánico equivalente a la

energía disipada al vencer dichas fuerzas.

114

Cuando se aplica la segunda ley de newton a un elemento diferencial de

masa de liquido, en la forma dF=dm a, se obtienen las ecuaciones del movimiento-

a lo largo de una línea de corriente- para el flujo de un liquido real, no

permanente; puede generalizarse para una vena liquida en flujo unidimensional.

La derivación de dicha ecuación corresponde a las condiciones particulares del

movimiento según el sistema natural de coordenadas.

Para el planteo de las ecuaciones es necesario establecer el equilibrio

dinámico de las fuerzas en las direcciones tangencial, normal y binormal, que

actúan sobre el elemento líquido (mostrado en la figura 4.6), con la fuerza de peso

como única fuerza de cuerpo. Dicho elemento encierra al puno o, en el cual

existen los valores (velocidad, presión, densidad, esfuerzo de fricción).

Las componentes de las fuerzas que actúan sobre el elemento en la dirección +s

son las siguientes:

La fuerza de superficie resultante de un gradiente de presiones en la

dirección del movimiento; para la dirección positiva de la coordenada curvilínea s

(fig. 4.6 b) es:

115

La fuerza de superficie, debida a la resistencia al movimiento, se puede

evaluar en términos del esfuerzo tangencial de fricción ּז, el cual varia únicamente

en la dirección n dado que en la inmediata vecindad del puno P no hay variación

de la velocidad en la dirección b. esta fuerza es:

c) la componente de la fuerza de cuerpo, debida al propio peso del

elemento.

Con vale:

116

La segunda ley de newton- aplicada al elemento- establece que la suma de

estas fuerzas es igual a la masa del elemento, multiplicada por la componente

de la aceleración dada por la EC.(3.5ª). Puesto que en todos los términos que

representan fuerzas aparece el volumen del elemento ds dn db, resulta entonces:

Dado que p ds dn db representa la masa del elemento, si los términos de la

ecuación anterior se dividen entre aquella, cada término representara una fuerza

por unidad de masa. Resulta entonces que esta es la primera ecuación diferencial

del movimiento.

NOTA: Las dimensiones del elemento son ds, dn y db, medidas a través de

su centro; v, p, p y 't, los valores medidos en P.

Figura 4.6 b). Componentes de las fuerzas que actúan sobre el elemento.

117

El primer término es debido gradiente de presiones en la dirección la línea

de corriente; el segundo, la fuerza de resistencia causada por la fricción interna y

que induce la disipación de energía; el tercero, la fuerza de peso (todas estas

fuerzas son por unidad de masa); finalmente, el cuarto término (segundo miembro)

es el cambio de energía cinética aceleración convectiva) que experimenta unidad

de masa a lo largo de la línea corriente; y, el último, la aceleración local de la

misma.

La Ec. (4.8a) se ha derivado por simplicidad para un elemento de área

transversal constante. Sin embargo, el mismo resultado se obtiene si el elemento

es divergente

(Ref. 12).

En la misma forma se establece el equilibrio dinámico del elemento, ahora

en la dirección de la normal principal a la línea de corriente, sobre la cual la

componente de la aceleración está dirigida en sentido negativo de n y está

expresada por la Ec. (3.5b) y donde, además, no existe fuerza de fricción. Resulta:

Donde r es el radio local de curvatura de la línea de corriente. Dividiendo

entre p ds dn db, se tiene:

118

La Ec. (4.8b) permite determinar la distribución de la presión en la dirección

de la normal principal de la línea de corriente, si se conoce la distribución de v

sobre la misma. Es válida para el flujo compresible permanente o no y sus

diferentes términos representan a las fuerzas por unidad de masa.

En el caso de que la línea de corriente sea de curvatura despreciable (r=∞),

el segundo termino de la Ec. (4.8 b) vale cero. Finalmente, del equilibrio dinámico

según la dirección de la binormal, resultaría:

Debido a que Ec. (3.5 c). La ecuación (4.8c) es valida para el flujo

permanente o no permanente y sus términos también representan a fuerzas por

unidad de masa.

Si se trata del flujo de líquidos los efectos térmicos no tienen influencia en p

y, además, es común que los cambios de p y , con la posición del punto, sean

más tar p (aun en golpe de ariete). Por tanto, las Ecs. (4.8) para el flujo de líquidos

se pueden escribir en forma:

Todavía más considerando las ecuaciones (3.6) y (3.8), la forma vectorial

de las ecuaciones del movimiento (4.9 a, b, c) es (Ref.12):

119

2.2.2 SOLUCION PARA UNA VENA LIQUIDA

El considerar que los valores de sobre una línea de corriente

ideal que coincidiera con el eje de una vena liquida, fueran representativos de

cada sección, no implicaría un error apreciable y la Ec. (4.12) seria igualmente

valida para la vena liquida. Esta consideración es suficientemente precisa por lo

que respecta a los términos que contienen las cuatro primeras magnitudes, pero

será menos exacta en lo que se refiere a los que contienen a v. En efecto; al

existir una distribución de velocidades en la sección, que además se aparta del

valor medio v (Fig. 4.7), se comete un error en el cálculo de dicho valor medio.

Puesto que en las ecuaciones (4.11) y (4.12) el término representa la

energía cinética que posee la unidad de peso, la que corresponde al peso del

líquido que atraviesa el área dA en la unidad de tiempo será: En la

misma forma, la energía cinética que posee todo el peso del liquido que fluye a

través de una sección de la vena liquida, en la unidad de tiempo, es

donde α corrige el error de considerar el valor medio de la velocidad. Se debe

entonces satisfacer lo siguiente:

120

Puesto que representa el valor medio del peso especifico en toda la

sección, resulta que

Por un razonamiento análogo con el último termino de la Ec. (4.12), se tiene

Los coeficientes se conocen como coeficientes de coriolis y de

boussines que respectivamente. Con estas correcciones la Ec. (4.12) resulta así:

Que es la ecuación diferencial de la energía para una vena liquida, llamada

también ecuación dinámica. Si esta ecuación se integra entre dos secciones, 1 y 2

de la vena líquida, se obtiene:

Es decir, la ecuación general de la energía para una vena liquida, donde

representa la disipación de energía interna del flujo, entre las secciones 1 y 2,

que además, incluye la constante de integración C (t).

Interpretación de la ecuación de la energía

Con el objeto de entender mejor las diferentes aplicaciones de la Ec. (4.19),

es adecuado hacer una interpretación física de los diferentes términos que

intervienen en ella. El análisis de cada uno de sus términos muestra que

corresponden a los de una longitud o carga. El termino z, medido desde un plano

horizontal de referencia, se llama carga de posición; es la carga de presión;

la carga de velocidad; la perdida de carga y la carga

correspondiente al cambio local de la velocidad.

121

La Ec. (4.19) establece las relaciones entre las diferentes transformaciones

de la energía mecánica del líquido, por unidad de peso del mismo . La

carga de posición es la energía correspondiente al trabajo mecánico a la presión;

la carga de velocidad es la energía cinética de toda la vena liquida; la perdida de

carga es la energía transformada en otro tipo de energía (transferencia de calor)

que, en el caso de los líquidos, no es utilizable en el movimiento; y, finalmente, la

carga correspondiente al cambio local de la velocidad es la energía utilizada para

efectuar dicho cambio.

a) Si el flujo es permanente, y la Ec. (4.19) se reduce a la

expresión:

b) Si, además, no hay pérdida de energía, y los coeficientes

, la Ec. (4.20) adopta la forma llamada ecuación de Bernoulli para una

liquida, esto es:

c)

d) Si representa la energía por unidad de peso que tiene

el líquido en una determinada sección, la cual es medida desde el plano horizontal

de referencia, la Ec. (4.20) se simplifica así:

En una determinada sección la energía de un volumen v del líquido,

respecto del plano horizontal de referencia, es:

122

Y, por definición de energía y potencia, en esa sección esta ultima vale:

Donde:

Peso especifico del liquido, en

Energía total respecto del plano de referencia, en m;

Gasto en la sección considerada, en

Potencia del liquido, en

Esto es, si se multiplican ambos miembros de la Ec. (4.22) por , para el

flujo permanente, esta ecuación se puede también expresar en la forma

Una interpretación física de cada uno de los términos de la Ec. (4.19) para

una conducción forzada con escurrimiento no permanente, se muestra en la Fig.

4.8, la cual tendría validez para un instante determinado. Con este esquema se

pueden hacer las siguientes definiciones.

1. La línea de energía une los puntos que indican en cada sección la

energía de la corriente.

2. La línea de cargas pieloométricas o gradiente de cargas de presión, une

los puntos que marcan en cada sección la suma de las cargas por

arriba del y plano de referencia.

De acuerdo con estas definiciones la línea de cargas piezométricas está

separada de la línea de energía, una distancia vertical correspondiente a cada

sección.

123

Al mismo tiempo se pueden hacer las siguientes generalizaciones.

1. La línea de energía no puede ser horizontal o con inclinación ascendente

en la dirección del escurrimiento, si el líquido es real y no adquiere energía

adicional desde el exterior. La diferencia de nivel de la línea de energía en dos

puntos distintos representa la pérdida de carga o disipación de energía por unidad

de peso del líquido fluyente.

2. La línea de energía y la de cargas piezométricas coinciden y quedan al

nivel de la superficie libre para un volumen de líquido en reposo (por ejemplo, un

depósito o un embalse).

3. En el caso de que la línea de cargas piezométricas quede en algún tramo

por debajo del eje de la vena líquida, las presiones locales en ese tramo son

menores que la presión cero de referencia que se utilice (comúnmente la presión

atmosférica).

124

En la Fig. 4.9 se muestra la disposición de las líneas de energía, y de

cargas piezométricas, de una instalación hidroeléctrica donde el flujo es

permanente; la turbina aprovecha la energía disponible Ha., b. En la Fig. 4.10 se

muestra el mismo esquema, pero en este caso se trata de una instalación de

bombeo. Para los dos casos la

Ec. (4.19) se escribe como sigue:

En la instalación hidroeléctrica la turbina queda generalmente muy próxima

a la sección 2 y el término es despreciable.

Por lo que respecta al término Ha., b éste se ha empleado en la Ec. (4.25)

como una energía cedida o añadida al flujo y tiene las dimensiones de una

longitud. En efecto, por definición de potencia (Ec. 4.23) tenemos que:

125

Finalmente, la carga de velocidad se mide desde el nivel de la superficie

libre del agua hasta la línea de energía. En el caso de que sean los ángulos e >

10', la carga de presión es distinta y se evalúa como , en que d

es el tirante y medido en dirección perpendicular a la

plantilla del canal; o bien, siendo y

, donde y es el tirante y medido verticalmente. De este

modo, la suma de las cargas de posición, presión y velocidad es

donde V representa la velocidad media en La sección perpendicular a la

plantilla correspondiente al tirante d.

La pérdida de energía que se produce al escurrir un líquido real puede

deberse no sólo al efecto de fricción entre las partículas del líquido y las fronteras

que confinan a la vena líquida, sino -además- al efecto de separación o

turbulencias inducidas en el movimiento al presentarse obstáculos o cambios

bruscos en la geometría. El primer tipo de perdida se conoce como perdida de

energía por fricción; es proporcional a la longitud de recorrido y suele adquirir gran

importancia en estructuras largas. El segundo tipo de perdida se conoce como

perdida menor y se concentra en el sitio mismo en que se origina.

2.2.3 ANALISIS DE LA ECUACION DE LA ENERGIA

El primer término es debido gradiente de presiones en la dirección la línea

de corriente; el segundo, la fuerza de resistencia causada por la fricción interna y

126

que induce la disipación de energía; el tercero, la fuerza de peso (todas estas

fuerzas son por unidad de masa); finalmente, el cuarto término (segundo miembro)

es el cambio de energía cinética aceleración convectiva) que experimenta unidad

de masa a lo largo de la línea corriente; y, el último, la aceleración local de la

misma.

La Ec. (4.8a) se ha derivado por simplicidad para un elemento de área

transversal constante. Sin embargo, el mismo resultado se obtiene si el elemento

es divergente

(Ref. 12).

En la misma forma se establece el equilibrio dinámico del elemento, ahora

en la dirección de la normal principal a la línea de corriente, sobre la cual la

componente de la aceleración está dirigida en sentido negativo de n y está

expresada por la Ec. (3.5b) y donde, además, no existe fuerza de fricción.

Resulta:

Donde r es el radio local de curvatura de la línea de corriente. Dividiendo

entre p ds dn db, se tiene:

127

La Ec. (4.8b) permite determinar la distribución de la presión en la dirección

de la normal principal de la línea de corriente, si se conoce la distribución de v

sobre la misma. Es válida para el flujo compresible permanente o no y sus

diferentes términos representan a las fuerzas por unidad de masa.

En el caso de que la línea de corriente sea de curvatura despreciable (r=∞),

el segundo termino de la Ec. (4.8 b) vale cero. Finalmente, del equilibrio dinámico

según la dirección de la binormal, resultaría:

Debido a que Ec. (3.5 c). La ecuación (4.8c) es valida para el flujo

permanente o no permanente y sus términos también representan a fuerzas por

unidad de masa.

Si se trata del flujo de líquidos los efectos térmicos no tienen influencia en p

y, además, es común que los cambios de p y , con la posición del punto, sean

más tar p (aun en golpe de ariete).

Por tanto, las Ecs. (4.8) para el flujo de líquidos se pueden escribir en

forma:

Todavía más considerando las ecuaciones (3.6) y (3.8), la forma vectorial

de las ecuaciones del movimiento (4.9 a, b, c) es (Ref.12):

128

2.2.4 LÍNEAS DE ENERGÍA Y LÍNEAS DE CARGAS ISOMÉTRICAS

Es la energía neta por unidad de peso que cede o se transmite al líquido

por efecto de la máquina; tiene signo positivo en la Ec. (4.25) cuando el líquido

cede energía (turbina) o negativo cuando la recibe (bomba). Aún más, si P. es la

potencia nominal de la máquina y 1}su eficiencia, entonces

Si se trata de una turbina; y

si es una bomba.

En el caso de una conducción a superficie libre en escurrimiento continuo

(figura 4.11), con líneas de corriente de curvatura despreciable y paralelas, es más

adecuado medir la carga de posición desde el plano de referencia hasta el punto

más bajo de la sección transversal, esto es, hasta la plantilla del canal. La carga

de presión coincide con el tirante y de la sección, es decir, con el desnivel entre

129

La superficie libre y la plantilla, siempre que sea pequeño el ángulo θ de

inclinación de la plantilla. Esto equivale a considerar que la distribución de

presiones es hidrostática y que no existen componentes de la aceleración

normales a la dirección del flujo.

2.2.5 ECUACION DE POTENCIAS EN BOMBAS Y TURBINAS

Los fluidos son impulsados a través de las tubería y equipos de bombas,

vertedores, sopladores y compresores. Estos aparatos retroalimentan la energía

mecánica de la sustancia, aumentando su velocidad, presión y/o altura.

130

Los aparatos más usados son los que proporcionan energía por

desplazamiento positivo o los que lo hacen por fuerzas centrífugas. Las bombas

se utilizan para mover líquidos, mientras que los vertedores, sopladores y

compresores son empledos para impulsar gases y vapor.

Al usar bombas la densidad del fluido es constante; puede utilizarse para

subir un líquido, forzándolo a entrar a un recipiente o simplemente darles

suficiente presión para que fluya por la tubería.

No importa cual sea el servicio requerido para utilizar la bomba; en todos

los casos se deben tomar encuenta las diferentes formas de energía para

favorecer su trabajo.

En el siguiente diagrama, la bomba instalada en el sistema provee energía

para extraes un líquido del recipiente 1 y descargarlo a flujo constante en 2. El

líquido entra a la conexión de succión de la bomba en el punto A y llega al punto

B. Se puede plantear una ecuación de Bernoulli entre los puntos A y B. Como en

este caso la única fricción es la que se produce dentro de la bomba, esta se mide

con la eficiencia de la misma

Las cantidades entre paréntesis se denominan cabezas, cargas o

columnas. Hay cargas de velocidad. De altura o de presión. La carga total esta

definida por:

131

En las bombas la diferencia de altura entre la succión y la descarga es

despreciable, por lo que Za y Zb pueden no tomarse en consideración. Inclusive la

diferencia entre ub y ua suelen ser despreciables.

Si Ha es la carga de succión Hb es la columna de descarga:

La carga o cabeza se expresa en metros o pies de líquidos (cubicos).

POTENCIA HIDRÁULICA

Es el trabajo requerido para cambiar la posición, presión y velocidad de un

líquido en un tiempo determinado

M = gasto másico ( = ) M

potencia hidráulica (=) E

Potencia

Es la energía consumida por la bomba para dar el trabajo que requiere el

fluido. También recibe el nombre de potencia al freno.

eficiencia ( = ) adimensional también

donde:

Ca = caudal en m3/seg

densidad en Kg/m3

132

potencia en CV

H = carga o cabeza en metros

75 es un factor de conversión de a CV

BOMBAS CENTRÍFUGAS

En esta bomba la energía o cabeza se le aplica líquido por medio de fuerza

centrífuga.

El tipo más común es el de las bombas con cabeza de caracol (véase en la

figura); el líquido entra cerca del eje del impulsor, que gira a alta velocidad, y es

arrastrado rápidamente a través de un espiral que se va haciendo cada vez más

amplia

Figura Las paletas del impulsor son curvas para asegurar el flujo suave del

líquido. La carga de velocidad aplicada al líquido se convierte gradualmente en

carga de presión, al reducirse la unidad del líquido.

133

En la mayoría de las bombas la sección del orificio de admisión es mayor

que el de presión, esta regla casi y en general queda alterada en las bombas de

giro bi-direccional donde ambos orificios presentan el mismo diámetro. La razón

de las diferencias de diámetros anotada, queda justificada por la necesidad de

ingreso de aceite a la bomba al valor más bajo posible (máximo 1,20 metros por

segundo) quedará como consecuencia una mínima pérdida de carga, evitándose

de esta forma el peligro de la cavitación. En ningún caso debe disminuirse por

razones de instalación o reparación el diámetro nominal de esta conexión que

invariablemente esta dirigida al depósito o tanque como así también mantener la

altura entre el nivel mínimo de aceite de este último y la entrada en el cuerpo de la

bomba (Ver Fig. 2.6) de acuerdo al indicado por el fabricante.

Para las bombas a engranajes, paletas y pistones sin válvulas, los

fabricantes dan valores de succión del orden de los 4 a 5 pulgadas de mercurio

cuando ellas operan con aceites minerales, disminuyendo este valor a 3 pulgadas

de mercurio cuando las bombas operan con fluidos sintéticos.

En general podemos decir que la distancia h de la Fig. 2.6. no debe superar

nunca los 80 centímetros. Las bombas de pistones con igual válvula de admisión y

salida no proveen una succión suficiente para elevar el aceite y funcionar sin

cavitación por ello se recurre al llenado o alimentación por gravedad como vemos

en la Fig. 2.7.

134

2.2.6 APLICACIONES

La observación de lo anotado permitirá el funcionamiento correcto de las

bombas instaladas asegurando su eficiencia, mediante una aspiración correcta y

preservando la vida útil de las mismas al limitar las posibilidades de la cavitación

por una altura a excesiva o una sección de aspiración menor es la indicada. Uno

de los problemas que frecuentemente se presentan, es la aspiración de aire por

parte de la bomba, teniendo por consecuencia un funcionamiento deficiente,

perdida de presión, excesivo desgaste y funcionamiento sumamente ruidoso.

Afortunadamente los puntos por los cuales puede ingresar aire a la bomba están

perfectamente localizados. Consideraremos ahora los que se encuentran entre la

bomba propiamente dicha y el tanque.

En la Fig. 2.8 observamos una disposición corriente de una tubería de

succión en ella cada conexión de accesorio es decir 1, 2 , 3 y 4 presenta un

camino propicio para el ingreso de aire si bien esta tubería no soporta presión, el

empaquetado de los accesorios y conexiones señaladas, debe efectuarse con

extremo cuidado para impedir que , por succión de la bomba , se introduzca aire.

135

Cuando la tubería de succión se acopla a la bomba mediante una brida A es

necesario prestar especial atención al aro sello o junta existente entre la brida y el

cuerpo de la bomba, ya que su estado determinará la posibilidad de ingresa de

aire. Un método que si bien es poco ortodoxo resulta rápido y eficiente para el

estado de los puntos A, 1 ,2 ,3 y 4 o similares, es aplicar mediante un pincel

espuma obtenida con agua y detergente. Una rápida aparición de las burbujas nos

indicará el sitio exacto por donde se incorpora aire al circuito.

El extremo de la tubería de succión termina en el tanque, a través de una

coladera o totalmente libre, según el caso, pero en ambos su ubicación debe

quedar 2 pulgadas por debajo del nivel mínimo del tanque, eliminando de esta

forma, la última posibilidad de ingreso de aire.

2.3 CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

La ecuación de la cantidad de movimiento en un cuerpo libre o volumen de

control se deriva de la segunda ley de Newton. Se conoce como la cantidad de

movimiento de un elemento de masa M al producto de esta por su velocidad. Por

lo tanto, la segunda ley de Newton establece lo que sigue.

“La suma vectorial de todas las fuerzas F que actuan sobre una masa de

fluido es igual a la rapidez del cambio del vector lineal cantidad de movimiento de

la masa del fluido”, es decir:

136

Fig. Derivación de la ecuación de la cantidad de movimiento para un

volumen de control.

Las fuerzas externas son de dos tipos:

a) Fuerza de superficie que actúa sobre la masa de fluido y, a su vez,

pueden ser:

Fuerzas Fp, normales a la frontera de la masa, que se pueden evaluar en

términos de las intensidades de presión sobre la misma. Conviene aquí observar

que la presión comprende, además de la presión estática, la dinámica ejercida por

el flujo.

Fuerzas FT, tangenciales a la frontera de la masa, que se pueden medir en

términos del esfuerzo tangencial sobre la misma.

b) Fuerzas de cuerpo Fc, generalmente de precio propio la masa que fluye

en la unidad de tiempo, a través de un elemento de superficie de dA de la que

encierra al volumen de control (mostrado en la fig), es Se recuerda que la

magnitud del vector dA es igual al área del elemento de superficie; su dirección

normal al mismo elemento; y –por convención- positivo si se dirige hacia afuera

del volumen. Por lo tanto, es posible si el fluido sale del volumen, dado

que el producto escalar tendrá ese signo, y negativo en caso contrario.

La variación en el tiempo, de la cantidad de movimiento a través del

elemento dA será entonces

137

En cualquier instante la masa de un elemento diferencial es , donde la

densidad del elemento depende del instante que se considere y de la posición del

mismo dentro del volumen de control. La cantidad de movimiento de dicho

elemento de volumen será entonces: .

2.3.1 IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO

Las fuerzas debido al esfuerzo cortante se consideran como la ecuación de

fricción desde la frontera hacia el líquido y en ocasiones, puede ser difícil de

evacuarlas.

Las fuerzas del cuerpo pueden ser de cualquier tipo pero, en general serán

fuerzas debidas al peso del volumen de control y aplicadas a su centro de

gravedad.

V = representa al vector de velocidad media del gasto Q que atraviesa una

cierta posición de la superficie de control; se considera aplicado en el centro de

gravedad y en la dirección normal a las porciones de área de la Sc. De esta

manera cada producto que integra el término será un vector de la

misma dirección y sentido de V se deberán efectuar cada término con un signo:

posditivos si el gasto sale del volumen de control y negativo en caso contrario.

Finalmente, representa el coeficiente de Buussinesq para corregir el efecto de

considerar una velocidad media en lugar de la verdadera distribución de

velocidades sobre la proporción de área.

2.3.2 FUERZA HIDROSTÁTICA

138

Esta rama de la mecánica de fluidos se ocupa de las leyes de los fluidos en

movimiento; estas leyes son enormemente complejas, y aunque la hidrodinámica

tiene una importancia práctica mayor que la hidrostática, sólo podemos tratar aquí

algunos conceptos básicos.

Euler fue el primero en reconocer que las leyes dinámicas para los fluidos

sólo pueden expresarse de forma relativamente sencilla si se supone que el fluido

es incompresible e ideal, es decir, si se pueden despreciar los efectos del

rozamiento y la viscosidad. Sin embargo, como esto nunca es así en el caso de

los fluidos reales en movimiento, los resultados de dicho análisis sólo pueden

servir como estimación para flujos en los que los efectos de la viscosidad son

pequeños.

a) Flujos incompresibles y sin rozamiento

Estos flujos cumplen el llamado teorema de Bernoulli, que afirma que la

energía mecánica total de un flujo incompresible y no viscoso (sin rozamiento) es

constante a lo largo de una línea de corriente. Las líneas de corriente son líneas

de flujo imaginarias que siempre son paralelas a la dirección del flujo en cada

punto, y en el caso de flujo uniforme coinciden con la trayectoria de las partículas

individuales de fluido. El teorema de Bernoulli implica una relación entre los

efectos de la presión, la velocidad y la gravedad, e indica que la velocidad

aumenta cuando la presión disminuye. Este principio es importante para predecir

la fuerza de sustentación de un ala en vuelo.

Ecuación de continuidad: (para flujo estacionario e incompresible, sin

fuentes ni sumideros, por evaluarse a lo largo de una línea de corriente).

1) Ley de conservación de la masa en la dinámica de los fluidos:

A1.v1 = A2.v2 = cte.

139

Recordar que p = F/A F = p.A

Flujo de volúmen: (caudal).

= A .v [m3/s]

Ecuación de Bernoulli: (principio de conservación de la energía) para flujo

ideal (sin fricción).

p/ = energía de presión por unidad de masa.

g.h = energía potencial por unidad de masa.

v2/2 = energía cinética por unidad de masa.

Ecuación de Bernoulli para flujo en reposo: v1 = v2 = 0

p1 + .g.h1 = p2 + .g.h2

b) Flujos viscosos: movimiento laminar y turbulento

140

Los primeros experimentos cuidadosamente documentados del rozamiento

en flujos de baja velocidad a través de tuberías fueron realizados

independientemente por Poiseuille y por Hagen. El primer intento de incluir los

efectos de la viscosidad en las ecuaciones matemáticas se debió a Navier e,

independientemente, a Stokes, quien perfeccionó las ecuaciones básicas para los

fluidos viscosos incompresibles. Actualmente se las conoce como ecuaciones de

Navier-Stokes, y son tan complejas que sólo se pueden aplicar a flujos sencillos.

Uno de ellos es el de un fluido real que circula a través de una tubería recta.

El teorema de Bernoulli no se puede aplicar aquí, porque parte de la

energía mecánica total se disipa como consecuencia del rozamiento viscoso, lo

que provoca una caída de presión a lo largo de la tubería. Las ecuaciones

sugieren que, dados una tubería y un fluido determinados, esta caída de presión

debería ser proporcional a la velocidad de flujo. Los experimentos demostraron

que esto sólo era cierto para velocidades bajas; para velocidades mayores, la

caída de presión era más bien proporcional al cuadrado de la velocidad.

Este problema se resolvió cuando Reynolds demostró la existencia de dos

tipos de flujo viscoso en tuberías. A velocidades bajas, las partículas del fluido

siguen las líneas de corriente (flujo laminar), y los resultados experimentales

coinciden con las predicciones analíticas. A velocidades más elevadas, surgen

fluctuaciones en la velocidad del flujo, o remolinos (flujo turbulento), en una forma

que ni siquiera en la actualidad se puede predecir completamente.

Reynolds también determinó que la transición del flujo laminar al turbulento

era función de un único parámetro, que desde entonces se conoce como número

de Reynolds. Si el número de Reynolds (que carece de dimensiones y es el

producto de la velocidad, la densidad del fluido y el diámetro de la tubería dividido

entre la viscosidad del fluido) es menor de 2.000, el flujo a través de la tubería es

siempre laminar; cuando los valores son mayores a 3000 el flujo es turbulento. El

141

concepto de número de Reynolds es esencial para gran parte de la moderna

mecánica de fluidos.

Los flujos turbulentos no se pueden evaluar exclusivamente a partir de las

predicciones calculadas, y su análisis depende de una combinación de datos

experimentales y modelos matemáticos; gran parte de la investigación moderna en

mecánica de fluidos está dedicada a una mejor formulación de la turbulencia.

Puede observarse la transición del flujo laminar al turbulento y la complejidad del

flujo turbulento cuando el humo de un cigarrillo asciende en aire muy tranquilo. Al

principio, sube con un movimiento laminar a lo largo de líneas de corriente, pero al

cabo de cierta distancia se hace inestable y se forma un sistema de remolinos

entrelazados.

Ecuación de Bernoulli para flujo real (con fricción)

H0 = perdida de energía por rozamiento desde 1 hasta 2.

c) Flujos de la capa límite

Los flujos pueden separarse en dos regiones principales. La región próxima

a la superficie está formada por una delgada capa límite donde se concentran los

efectos viscosos y en la que puede simplificarse mucho el modelo matemático.

Fuera de esta capa límite, se pueden despreciar los efectos de la viscosidad, y

pueden emplearse las ecuaciones matemáticas más sencillas para flujos no

viscosos.

La teoría de la capa límite ha hecho posible gran parte del desarrollo de las

alas de los aviones modernos y del diseño de turbinas de gas y compresores.

d) Flujos compresibles

142

El interés por los flujos compresibles comenzó con el desarrollo de turbinas

de vapor por el británico Parsons y el sueco Laval. En esos mecanismos se

descubrió por primera vez el flujo rápido de vapor a través de tubos, y la

necesidad de un diseño eficiente de turbinas llevó a una mejora del análisis de los

flujos compresibles. El interés por los flujos de alta velocidad sobre superficies

surgió de forma temprana en los estudios de balística, donde se necesitaba

comprender el movimiento de los proyectiles.

Uno de los principios básicos del flujo compresible es que la densidad de un

gas cambia cuando el gas se ve sometido a grandes cambios de velocidad y

presión. Al mismo tiempo, su temperatura también cambia, lo que lleva a

problemas de análisis más complejos. El comportamiento de flujo de un gas

compresible depende de si la velocidad de flujo es mayor o menor que la

velocidad del sonido.

El sonido es la propagación de una pequeña perturbación, u onda de

presión, dentro de un fluido. Para un gas, la velocidad del sonido es proporcional a

la raíz cuadrada de su temperatura absoluta. La velocidad del sonido en el aire a

20 °C (293 Kelvin en la escala absoluta), es de unos 344 metros por segundo. Si

la velocidad de flujo es menor que la velocidad del sonido (flujo subsónico), las

ondas de presión pueden transmitirse a través de todo el fluido y así adaptar el

flujo que se dirige hacia un objeto. Por tanto, el flujo subsónico que se dirige hacia

el ala de un avión se ajustará con cierta distancia de antelación para fluir

suavemente sobre la superficie. En el flujo supersónico, las ondas de presión no

pueden viajar corriente arriba para adaptar el flujo. Por ello, el aire que se dirige

hacia el ala de un avión en vuelo supersónico no está preparado para la

perturbación que va a causar el ala y tiene que cambiar de dirección

repentinamente en la proximidad del ala, lo que conlleva una compresión intensa u

onda de choque. El ruido asociado con el paso de esta onda de choque sobre los

observadores situados en tierra constituye el estampido sónico de los aviones

supersónicos. Frecuentemente se identifican los flujos supersónicos por su

143

número de Mach, que es el cociente entre la velocidad de flujo y la velocidad del

sonido. Por tanto, los flujos supersónicos tienen un número de Mach superior a

1.

2.3.3 APLICACIONES

La ecuación de la energía y de la cantidad de movimiento se aplica de

manera diferente, si se hace correctamente, ellas describirán el flujo con idénticos

grados de exactitud. Sus principales diferencias se encuentran en su estructura:

mientras la ecuación de la cantidad de movimiento es vectorial y engloba fuerzas

tales y condiciones externas –sin tomar en cuenta los cambios internos de

energía- la ecuación de la energía es por el contrario escalar y toma en cuenta los

cambios internos de energía y no las fuerzas totales y condiciones externas.

En muchos casos, de una de las dos ecuaciones es suficiente para el

análisis de un problema; la elección entre ellas depende que sean las fuerzas

totales o la energía del flujo la que se necesita en la solución. En otros casos, por

el contrario, la naturaleza del problema es tal que resulta necesario usar las dos

ecuaciones simultáneamente para utilizar la opción correcta.

En general, cualquiera que sea el sistema de ecuaciones por usar, este se

deberá plantear entre secciones finales con direcciones de frontera permanentes

definidas, es decir, entre ellas secciones de la conducción en los que se conozcan

con exactitud los valores de la energía de posición, de presión y de la velocidad y,

por lo mismo0 la energía total.

144

UNIDAD III: HIDRÁULICA EXPERIMENTAL

3.1 MODELOS HIDRAÚLICOS

La Hidráulica, hoy en día una ciencia básica de la ingeniería, estuvo durante

mucho tiempo basada en resultados empíricos obtenidos de anteriores obras

hidráulicas. Con el desarrollo paulatino de teorías y técnicas desarrolladas tanto

en modelos reducidos como en modelos matemáticos, ha cambiado esta

orientación empirista. Como muchas veces una descripción matemática de los

fenómenos hidráulicos es muy complicada o imposible al menos por ahora, dado

el estado del conocimiento humano, se hace necesaria la experimentación en

modelos hidráulicos a escala reducida, los que además son útiles para la

calibración de los modelos matemáticos.

El modelo hidráulico es una ayuda importante para el diseño de las obras

hidráulicas difíciles de analizar por medio de un modelo matemático, siempre y

cuando el diseño de un modelo reducido sea correcto, está bien operado y los

resultados sean interpretados con sentido crítico.

El objetivo final de una investigación en un modelo hidráulico es mejorar las

situaciones desfavorables existentes en el prototipo (la estructura hidráulica al

tamaño natural), o ayudar en el diseño de obras hidráulicas para encontrar una

solución, sin riesgos de fallas completas o parciales, de las obras que se van a

construir.

Los costos de la investigación en modelos hidráulicos reducidos no suben

más del 0.75% del costo del proyecto de la realidad, y casi siempre la ejecución

del modelo justifica su mismo valor por disminución de los riesgos en la ejecución

u operación de la obra, por ganancia de tiempo en la ejecución de la misma, por la

comprensión que proporciona del funcionamiento del prototipo, o por las valiosas

recomendaciones que pueden surgir para su diseño.

145

En cuanto a la situación del Laboratorio de la Facultad de minas en el

campo de investigación, se cuenta con los elementos materiales fundamentales,

ya sea en aquél o en otros de la sede, cuando se requieran aparatos de medida

muy complejos, la investigación pura dependería en gran parte de la calidad y de

la mística de los técnicos que hagan parte del laboratorio, y de la relación que

exista entre ellos y los técnicos dedicados a la práctica profesional, pues esos

últimos pueden señalar las necesidades.

Con respecto a la investigación aplicada: dependería en gran parte del

estímulo y oportunidades de trabajo que se den al laboratorio (como elemento que

relaciona a la Universidad con la sociedad), de las entidades oficiales,

semioficiales y de las firmas de ingenieros dedicados a las prácticas de la

ingeniería, tanto en el diseño como en la construcción.

3.1.1 SIMILITUD

Uno de los notables descubrimientos de Newton fue la Ley de la Gravitación

Universal, según la cual si dos cuerpos tienen masa, cuando están cerca uno del

otro hay una fuerza de atracción entre ellos. Así, por ejemplo, la tierra atrae a la

luna y el sol a la tierra. Para estos propósitos, lo importante de esta ley es que nos

indica, en primer lugar, que la fuerza entre los cuerpos depende de la distancia

entre ellos. No da lo mismo tener dos cuerpos muy cercanos uno del otro que muy

separados. Mientras mayor sea la distancia entre los cuerpos menores, será la

fuerza entre ellos, ya que ha medida que las distancia entre dos cuerpos sea

mayor, menor será el efecto que uno ejerza sobre el otro.

3.1.2 LEYES DE SIMILITUD

En segundo lugar, la ley de la gravitación universal nos indica cómo

depende la fuerza de la distancia de un metro y la fuerza tiene determinado valor.

146

Si la distancia entre estos mismos cuerpos aumenta al doble, o sea a 2m,

entonces la fuerza disminuye a la cuarta parte. Si la distancia aumenta el triple, o

sea a 3m, la fuerza disminuye a la novena parte, etc.

La cuarta parte de la fuerza es igual a ¼; pero 4 es igual a 22, o sea, 2

elevado a la potencia 2; por lo que la cuarta parte es igual a ½ 2.

La novena parte de la fuerza es igual a 1/9; pero 9 = 32, o sea, 3 elevado a

la potencia 2; por lo que la novena parte es igual a 1/32, etc. En consecuencia: si la

distancia aumenta 3 veces, la fuerza disminuye 1/32 veces; si la distancia aumenta

4 veces, la fuerza disminuye 1/42veces, etc.

Esto último se expresa diciendo que la disminución del valor de la fuerza es

como el cuadrado de la distancia. En forma abreviada, usando lenguaje

matemático lo anterior se expresa diciendo que la fuerza depende en forma

inversamente proporcional al cuadrado de loa distancia. Inversamente quiere decir

que al aumentar la distancia disminuye la fuerza.

Ahora bien, si en lugar de haber considerado la distancia en la escala de

metros la hubiéramos tomado en la escala de kilómetros, la forma en que varía la

fuerza con la distancia no cambia, sigue disminuyendo en razón al cuadrado de la

distancia. Si se toma una escala de miles o de millones de kilómetros (como

ocurre en el caso del sistema planetario), la dependencia de la fuerza con la

distancia sigue siendo la misma. Por tanto, como el mismo comportamiento ocurre

sin importar la escala, éste fenómeno es auto similar.

Existen otros fenómenos en la naturaleza en los que la dependencia de la

distancia no es como el cuadrado, que acabamos de considerar, sino que

dependen de otra potencia. Además, puede ocurrir que la fuerza no disminuya al

aumentar la distancia. Por ejemplo, podemos considerar un resorte: si este se

estira sabemos entonces que ejerce una fuerza que trata de regresarlo su posición

147

original (se dice de equilibrio). Mientras mayor sea la distancia que se estire,

mayor será la fuerza que el resorte ejerza. Lo mismo ocurre cuando se comprime,

mientras mayor sea la distancia en que se comprima, mayor será la fuerza que

ejerza.

Además, resulta que: si la distancia aumenta al doble, la fuerza aumenta al

doble; si la distancia aumenta a triple, la fuerza aumenta a triple; etc.

O dicho de otra manera: si la distancia aumenta dos veces, la fuerza

aumenta 2 veces, si la distancia aumenta 3 veces, la fuerza aumenta 3 veces, etc.

Vemos ahora que el 2, o el 3, son 21 y 31, respectivamente, cantidades

elevadas a la potencia 1.

En este caso vemos que la fuerza aumenta como la distancia.

Usando lenguaje matemático se abrevia esta información diciendo que la fuerza

es proporcional a la primera potencia de la distancia. En este caso también hay

auto similitud.

Hemos hablado de la relación entre las fuerzas y distancias. Sin embargo,

en muchos fenómenos alguna cantidad depende de una variable (no

necesariamente la distancia), ya sea: inversamente, lo que quiere decir que al

aumentar el valor de la variable disminuye el valor de la cantidad, o bien en forma

proporcional, lo que quiere decir que al aumentar el valor de la variable aumenta el

valor de la cantidad.

Además, la dependencia entre la cantidad y la variable de la que depende

puede usarse por medio de alguna potencia, que no necesariamente tiene que ser

siempre ni 2 (como en la ley de la gravitación universal) ni 1 (como en el resorte).

Puede ser como otro valor numérico, ya sea entero o no.

148

Cuando la dependencia de una cantidad de su variable es como la que

acabamos de explicar se dice que el fenómeno está regido por una ley de

potencias. En todos estos casos existe la auto similitud.

3.2 ORIFICIOS Y COMPUERTAS

Considere un recipiente lleno en un líquido, en cuya pared lateral se ha

practicado un orificio de pequeñas dimensiones (en comparación con su

profundidad H) y cualquier forma, además de un área A. El orificio desgasta un

gasto Q cuya magnitud se desea calcular, para lo cual se supone que el nivel del

agua en el recipiente permanece constante por el efecto de la entrada de un gasto

idéntico a la que sale; o bien porque pose un volumen muy grande. Además, el

único contacto con el líquido y la pared debe ser alrededor de una arista afilada

como se muestra en la figura. esto es, el orificio es de pared delgada. Las

partículas de liquido en la aproximada del orificio se mueve aproximadamente en

dirección al centro del mismo, de modo que, por efecto de su inercia, la deflexión

brusca que sufren produce una contracción del chorro, la cual se alcanza a la

sección 2A se le llama contraída y tiene una área Ac inferior al área A del orificio.

En ella las velocidades de las partículas son prácticamente uniformes y con un

valor medio V.

3.2.1 ECUACIÓN GENERAL DE ORIFICIOS

Suponiendo un plano de referencia que coincida con el centro de gravedad

del orificio, la aplicación de la ecuación de Bernoulli entre las secciones 1 y 2 de

una vena liquida, además de considerar despreciable la velocidad de llagada al

orificio, co0nduce a la expresión;

149

Donde se ha despreciado el desnivel entre los centros de gravedad del

orificio y la sección contraria. De aquí se obtiene

La ecuación llamada de Torricelli y puede obtenerse de la ecuación de

Bernoulli entre dos puntos: uno dentro del recipiente y otro en el centro de

gravedad de la sección contraída. Esto es, la ec .(3.2.1) indica que la velocidad

sigue una ley parabólica con la profundidad y en este caso la velocidad media V,

se calcula con la profundidad media del orificio y corresponde al centro de

gravead, no obstante que las velocidades de las partículas arriba de este punto

son menores y, abajo, mayores. Esto tendrá por supuesto mayor valides a medida

que la sección transversal, no horizontal, del orificio sea mucho menor que la

profundadas H del mismo. Es además, los resultados obtenidos de la ec. . (3.2.1)

concuerda con lo obtenido experimentalmente solo si se corrigen, mediante un

coeficiente Cv llamado de velocidad, en la forma:

(3.2.2)

Donde Cv, coeficiente sin dimensiones muy aproximo a 1, es de tipo

experimental y además corrige el error no considerar la ec. (3.2.1), tanto la

perdida de energía , como los coeficientes a1 y a2.

Si el área de la sección contraída se calcula en términos de la del orificio,

por medio de un coeficiente Cc llamada de contracción (también condiciones), en

la forma;

Ac = CcA

El gasto descargado por el orificio es entonces

150

Q =

O bien con Cd =CvCc (coeficiente de gasto), el gasto se le calcula finalmente

con la ecuación general de un orificio de pared delgada, a saber;

Q =

Conviene calcular que las ecuaciones anteriores se considerado H como el

desnivel entre la superficie libre y el centro de gravedad del orificio. Esto resulto de

suponer que era despreciable la velocidad de llegada del orificio y la presión sobre

la superficie libre corresponde a la atmosférica. Cuando ello no acontece, H

corresponde a la energía total; esto es, a la suma de la profundidad del orificio,

de la carga de velocidad de llegada y de la carga de presión sobre la superficie del

agua:

3.2.2 COEFICIENTE DE VELOCIDAD, CONTRACCIÓN Y GASTO, EN

ORIFICIOS DE PARED DELGADA.

Semiesfera de radio R, traza la figura cuya dirección es radial al centro de

la semiesfera. Los coeficientes de velocidad, contracción y gasto, de un orificio,

son básicamente experimentales. Sin embargo en teoría es posible encontrar la

magnitud del coeficiente de gasto para un orificio circular a partir de la ecuación de

la cantidad del movimiento aplicada sobre un volumen de control limitado por la

frontera del chorro en contacto con el aire. La sección contraída y, dentro del

recipiente, por una superficie semiesférica del radio igual al del orificio como en la

fig. para hacer lo anterior, se designa como V1la velocidad de una partícula sobre

la la superficie de la semiesfera vale:

151

Y corresponde a la sección contraída;

(3.2.7)

De la ecuación de continuidad se obtiene

V1 = V

Sustituyendo en esta ecuación a las Eccs. (3.2.6) y (3.2.7) resulta que

V1 = CcV (3.2.8)

Para aplicar la ecuación de la cantidad de movimiento es necesario conocer

la velocidad media sobre la semiesfera en la dirección del escurrimiento. La

componente paralela al eje del orificio de las velocidades V1, sobre la superficie de

la semiesfera, vale V1 ; es decir, que la variación es según una ley cosenoidal

como se muestra en la figura de este modo, la media de las componentes de la

velocidad, sobre la superficie semiesférica, se obtiene por la igualación del

152

volumen cilíndrico con el volumen encerrado por la

superficie de ley cosenoidal, o sea

Y con cos

Entonces

La integración conduce al resultado siguiente:

Finalmente, se tiene que

(3.2.9)

Sustituyendo la ec. (3.2.8) en la (3.2.9) resulta:

153

Por lo tanto, es posible evaluar los coeficientes que intervienen en la

ecuación de la cantidad de movimiento. Por luna parte, el coeficiente para la

sección contraída vale 1, pues se supone que la distribución de la velocidad

coincide con la media; sin embargo, el coeficiente para la semiesfera tiene un

valor distinto de 1 y resulta de una ecuación a saber;

De la figura 3.3.6,dA=2 r dr y además

Con esta expresión y considerando la ec. 3.2.8 el valor es:

Y la ecuación (3.3.10) resulta entonces que

154

Es necesario conocer la fuerza que impulsan al volumen de agua limitado

por la sección contraída y la sección de la esfera; en un punto E sobre la

semiesfera actúa la presión p. la ecuación de Bernoulli para una línea de

corrientes se aplica en este punto, es

Si se acepta que la carga H es muy grande en comparación con el radio del

orificio, puede entonces desprenderse z y, por tanto, sobre la semiesfera la

presión sera constante y de valor:

Por lo cual la componente en la dirección del movimiento del empuje o

fuerza total, sobre la superficie de la semiesfera, es

(3.2.13)

En la sección contraída actúa la presión atmosférica, por lo que la fuerza

sobre dicha sección será cero. La masa del líquido descargada a través del orificio

es

155

La cual se acelera desde la velocidad media Vs sobre la semiesfera,

expresada por la ecuación (3.2.10), hasta la velocidad media V en la sección

contraída. Así, de acuerdo con las ecuaciones (3.2.8),(3.2.10), (3.2.12) y (3.2.13),

la ecuación de la cantidad de movimiento se expresa como sigue:

Por otra parte, la ec.(3,2,2)se tiene que

Con lo que resulta:

O bien, eliminando la carga de velocidad, se tiene que

Por tanto:

Debido a que Cc debe ser menor que 1, la raíz valida en esta ecuación en la

correspondiente al signo negativo del radial; así, se se obtienen la ecuación

En la tabla 3.2.1 se presentas los valores de Cc y Cd calculados de la ec.

(3.2.14), diferentes valores de Cv y la definición de Cd.

156

TABLA 3.2.1 COEFICIENTES DE GASTO DE LE ECUACUPON 3.2.14

1 0.9

9

0.9

8

0.9

7

0.9

6

0.9

5

0.5

86

0.6

0

0.6

15

0.6

31

0.6

47

0.6

64

0.5

86

0.5

94

0.6

03

0.6

12

0.6

21

0.6

31

Mediante un análisis dimensional se comprueba que los coeficientes de

velocidad, contracción gasto, son funciones exclusivamente del numero de

Reynolds. De acuerdo con los resultados de diferentes investigaciones ,para

orificios circulares subvalores tienen la variación mostrada en la figura 3.2.4 se no

observa que para números de reynolds Re 105, los coeficientes , y son

independientes de dicho numero y adquieren los valores constantes siguientes:

= 0.99

= 0.605

= 0.060

Por definición de coeficiente de contracción, para un orificio circular se

obtiene que

Y con = 0.605,D= 1.285 ; o bien, = 0.778D

157

Cuando se trata de orificios rectangulares de poca altura loa coeficientes

, y son prácticamente los mismos en la figura 3.2.4. en este caso (en lugar

de D) en el numero de Reynolds se utiliza la mínima dirección a del orificios en la

ecuación (3.2.4) corresponde a su área A = ab (b es la dimensión máxima del

orificio ).

Los resultados de la figura 3.2.4 son validos siempre que se tenga una

contracción completa, que se logra si la distancia entre los cuantos del orificio y las

fronteras del recipiente (pared lateral, fondo o superficie libre) es por lo menos 3D

en orificios circulares, o 3a en orificios rectangulares.

3.2.3 APLICACIÓN DE ORIFICIOS

Si al establecer la ecuación de Bernoulli para deducir su ecuación (3.2.1),

se incluye el término de perdida de energía, entonces,

Por otra parte, la ecuación (3.2.2), resulta

Que, substituida en la ecuación anterior, da

La ecuación (3.2.16) indica que la perdida de energía es proporcional a al

carga de velocidad media a la sección contraída. El coeficiente de perdida K no

tiene dimensiones y es función solo del coeficiente de velocidad siguiente:

158

(3.2.17a)

Así, para = 0.99, K= 0-02. de la ecuación (3.2.17a) se tiene también que:

(3.17b)

El perfil de la trayectoria del chorro queda determinado por una ecuación.

3.2.4 APLICACIÓN DE COMPUERTAS

Una compuerta consiste en una placa móvil, plana o curva, que al

levantarse permite graduar la altura del orificio que se va descubriendo, ala vez

que controlar la descarga producida. El orificio generalmente se hace entre el piso

de un canal y el borde inferior de la compuerta, por lo que su ancho coincide con

el del canal; en estas condiciones el flujo puede considerarse bidimensional.

159

El gasto de una compuerta y las características hidráulicas de su descarga

se puede conocer a partir del estudio de una red de flujo obtenida por cualquiera

de los métodos propuestos.

La red de flujo de la compuerta plana en la figura permite explicar con

claridad la contracción que experimenta el chorro descargado por el orificio de

altuta , hasta alcanzar un valor en una distancia L en la que las líneas de

corriente se vuelven horizontales y tiene por ello una distribución hidrostatica de

presiones. Debido al fenómeno de contracción con el piso, se produce una perdida

de carga que influye en el calculo del gasto. La carga de velocidad con

que llega el agua en el canal, agua arriba de la compuerta, tiene mayor

importancia a medida que la relación disminuye.

En el canto interior de la compuerta las líneas de corrientes tienden a unirse

y es ahí donde la velocidad adquiere su máximo valor. Debido a la curvatura de

las líneas de corriente en gran presión actúa sobre la línea de intersección del

plano de la compuerta, razón por la cual se tiene una velocidad pequeña.

Para obtener la ecuación que proporcione al gasto, aquí se considera el

caso mas general de una compuerta plana, con una inclinación respecto a la

horizontal como se muerta en la figura y un ancho b la inclinación es

160

equivalente a la del tangente en el labio de la compuerta radial. De la figura 6.12, y

con = 90° incluye en el caso de la compuerta vertical de la figura 6.11.se

establece la ecuación de la energía entre una sección 1, agua arriba, en la

compuerta y la sección contraída a saber:

(3.22)

Las compuertas son equipos mecánicos utilizados para el control del flujo

del agua y mantenimiento en los diferentes proyectos de ingeniería, tales como

presas, canales y proyectos de irrigación. Existen diferentes tipos y pueden tener

diferentes clasificaciones, según su forma, función y su movimiento.

Las diferentes formas de las compuertas dependen de su aplicación, el tipo

de compuerta a utilizar dependerá principalmente del tamaño y forma del orificio,

de la cabeza estática, del espacio disponible, del mecanismo de apertura y de las

condiciones particulares de operación.

Aplicaciones:

Control de flujos de aguas

Control de inundaciones

Proyectos de irrigación

Crear reservas de agua

Sistemas de drenaje

Proyectos de aprovechamiento de suelos

Plantas de tratamiento de agua

Incrementar capacidad de reserva de las presas

Compuertas Planas Deslizantes

161

Se les llama compuertas deslizantes pues para su accionar se deslizan por

unos rieles guías fijos. Puede ser movida por diferentes tipos de motores.

Estas compuertas pueden ser de acero estructural, madera y en caso de

pequeñas cabeza de hierro, el espesor y el material de la compuerta dependerá

de la presión del agua y el diseño de los sellos. Al trabajar a compresión estas

compuertas tienen buenas adaptaciones a los sellos presentando pequeñas fugas.

Este tipo de compuertas han sido utilizadas para todo tipo de cabezas, pero

resultan ser más económicas para pequeñas cabezas y tamaños moderados pues

necesitan grandes fuerzas para ser movidas.

Compuertas Planas de Rodillos

Las compuertas planas de rodillos están diseñadas especialmente para

controlar el flujo a través de grandes canales donde la economía y la facilidad de

operación sean dos factores preponderantes. Son denominadas compuertas de

rodillos ya que están soportadas en rodillos que recorren guías fijas y

generalmente tienen sellos de caucho para evitar filtraciones a través de los

rodillos. Los rodillos minimizan el efecto de la fricción durante la apertura y el

cierre de las compuertas, como consecuencia de estos se necesita motores de

menor potencia para moverlas. Pueden ser diseñadas para abrirse hacia arriba o

hacia abajo.

Estas compuertas son muy versátiles ya que pueden diseñarse tanto para

trabajar bajo presión en una o ambas caras simultáneamente. Generalmente son

de sección transversal hueca, para disminuir la corrosión e infiltraciones son

rellenadas con materiales inertes como el concreto.

162

Compuertas Radiales (Taintor)

Las compuertas radiales se construyen de acero o combinando acero y

madera. Constan de un segmento cilíndrico que está unido a los cojinetes de los

apoyos por medio de brazos radiales. La superficie cilíndrica se hace concéntrica

con los ejes de los apoyos, de manera que todo el empuje producido por el agua

pasa por ellos; en esta forma sólo se necesita una pequeña cantidad de

movimiento para elevar o bajar la compuerta. Las cargas que es necesario mover

consisten en el peso de la compuerta, los rozamientos entre los cierres laterales,

las pilas, y los rozamientos en los ejes.

Con frecuencia se instalan contrapesos en las compuertas para equilibrar

parcialmente su peso, lo que reduce todavía más la capacidad del mecanismo

elevador.

La ventaja principal de este tipo de compuertas es que la fuerza para

operarlas es pequeña y facilita su operación ya sea manual o automática; lo que

las hace muy versátiles.

Compuertas Flap o Clapetas

Llamadas también clapetas, formadas por un tablero articulado en su arista

de aguas arriba que puede abatirse dando paso al agua. Estas compuertas se

abren automáticamente por un diferencial de presión aguas arriba y se cierran

cuando el nivel aguas abajo supera el nivel aguas arriba o cuando el nivel aguas

arriba alcance el nivel deseado de almacenamiento.

Existen compuertas clapeta de contrapeso, en las que los tableros se

mantenían en su posición elevada por medio de un puntal, hasta que la sobre

elevación del nivel del agua les hacía bascular sobre el extremo superior del

163

puntal; también las hay sin contra peso que son recomendadas para aquellos

casos de poca altura de agua y gran luz de vano.

Compuertas Ataguía

Están compuestas de vigas separadas colocadas unas sobre otras para

formar un muro o ataguía soportado en ranuras en sus extremos. La separación

de las pilas de apoyo depende del material de las vigas, de la carga que obre en

ellas, y de los medios que se disponga para manejarlas, es decir, para quitarlas y

ponerlas.

Compuertas Mariposa

Las compuertas tipo mariposa son utilizadas para controlar el flujo de agua

a través de una gran variedad de aberturas. Aunque pueden ser utilizadas para

controlar el flujo en ambas direcciones la mayoría de las instalaciones sólo las

utilizan para controlar el flujo en una dirección.

Con las compuertas mariposa es posible tener una máxima cabeza de

energía en ambos lados de la compuerta. La cabeza estática se mide desde el eje

horizontal de apertura de la compuerta. La mayoría de estas compuertas son

instaladas en sitios con baja cabeza de presión (menor a 6 metros). Las

secciones transversales de este tipo de compuertas normalmente son cuadradas o

rectangulares; las secciones circulares no son muy comunes ya que estas se

utilizan en válvulas mariposa. Son ideales cuando hay poco espacio disponible ya

que al girar respecto a un eje, no es necesario disponer de espacio para

levantarlas y allí se puede ubicar el mecanismo de apertura. Estas pueden ser

utilizadas como reguladoras de flujo, pues al rotar la hoja cambia el tamaño de la

abertura y se regula el caudal que fluye a través de ella.

164

Compuertas Caterpillar (Tractor)

Son también conocidas como Compuertas de Broome, en honor a su

inventor. Este tipo de compuertas son utilizadas tanto para altas como para bajas

cabezas de presión. Han sido utilizadas con cabezas hasta de 200 pies en varios

proyectos hidroeléctricos y de control de inundaciones.

Ambos extremos de la compuerta están equipados con orugas que facilitan

su desplazamiento a lo largo de ranuras paralelas a los lados de la compuerta. Las

orugas se mueven alrededor de la compuerta mientras la compuerta es movida.

Este tipo de compuertas es movido por medio de cables de acero tirados por

motores, lo que facilita su operación bajo diferentes condiciones de flujo.

Compuertas Cilíndricas

Las compuertas cilíndricas consisten en cilindros sólidos de acero

(generalmente) abiertas en ambos extremos, que funcionan por el balance de las

presiones de agua en las superficies interior y exterior. Este tipo de compuertas

generalmente son levantadas por medio de cables o máquinas hidráulicas; como

la presión del agua siempre se encuentra balanceada, el único peso que debe ser

movido es el equivalente al peso propio de la compuerta.

Mecanismos Complementarios

Por sus grandes dimensiones, peso y cargas que deben soportar, las

compuertas deben ser movidas por sistemas mecánicos (eléctricos, hidráulicos,

manuales). Estos sistemas pueden ser de gran variedad y su utilización depende

de múltiples factores tales como espacio disponible, cargas transmitidas a la

estructura y por supuesto el tipo de compuerta que deben mover. Los sistemas

más comunes son: pórticos, puentes grúa, vigas de alce, servomotores,

contrapesos y malacates.

165

Se deben incluir mecanismos adicionales como: marcos, sellos, rieles,

fuentes de potencia, dispositivos de transporte y sistemas de control para

garantizar su buen funcionamiento

COMPUERTAS PROYECTO HIDROELÉCTRICO PORCE II

Compuertas Para la Captación

Las compuertas serán utilizadas para el cierre de las aducciones de la

estructura de captación, para efectuar la inspección y el mantenimiento del túnel o

de las válvulas de admisión de las turbinas en la casa de máquinas. Las

compuertas serán operadas por medio de grúas polar y una viga de alce. Se

utilizaran cinco compuertas del tipo tablero plano de construcción soldada y con

membrana y sellos en su cara de aguas abajo. Dotada de ruedas principales,

ruedas guía y soporte tipo ballesta para ayudar en el sellado.

Debido a que existe una diferencia entre el nivel del pozo de la captación y

el nivel del embalse, se crea una diferencia de presión originando fuerzas sobre la

compuerta, fuerzas que deberán ser absorbidas durante el cierre por las ruedas

principales.

Características Generales

Ancho: 3.45m

Altura: 4.10m

Presión de Diseño: 241 kPa

Fuerza de Cierre: Cierra por su propio peso bajo condiciones de presión

desbalanceada (el peso de la compuerta deberá ser al menos un 50% superior a

las fuerzas estimadas que se oponen al cierre).

Fugas: < 0.08 l/s

166

Compuertas Radiales para el Vertedero

Se utilizaran dos compuertas radiales sin solapa (laterales) y dos

compuertas radiales con solapa (centrales) para el vertedero, fabricadas de acero

de construcción soldada. Las cuatro compuertas serán operadas hidráulicamente

con tendencia a la apertura con contrapesos. La compuerta y la solapa deberán

ser mantenidas cerradas por medio de servomotores que impedirán la acción de

apertura del contrapeso y la acción de apertura de la presión del agua en la solapa

(las solapas se abren por su propio peso). Es posible cerrar la compuerta y la

solapa mediante condiciones desbalanceadas de presión.


Ancho: libre entre pilas: 11m

Altura: 14m

Radio de la membrana: 14m

Fugas: < 1l/s por metro lineal

Presión de Diseño: La equivalente al nivel máximo del embalse.

Compuerta Auxiliar del Vertedero

Se utiliza una compuerta auxiliar para los cuatro azudes del vertedero. La

compuerta es del tipo ataguía (stoplogs, 12 secciones horizontales) de acero de

fabricación soldada. Esta sirve para cerrar cualquiera de los cuatro azudes del

vertedero, para operar durante la inspección o mantenimiento de la compuerta

radial. Será operada por un carro grúa y una viga de alce, y cerrará por su propio

peso bajo presiones equilibradas. La apertura se efectuará con presiones

balanceadas por medio de un sistema de “bypass” instalado en las pilas

intermedias.


Ancho: libre entre pilas: 11m

Altura: 13.80m

167

Fugas: < 2l/s por metro lineal

Presión de Diseño: Condiciones normales de operación.

Compuerta de Ruedas para la Aducción de la Descarga de Fondo

Se utiliza una compuerta de ruedas con actuador hidráulico para cerrar la

aducción de la descarga de fondo. Operará bajo condiciones de presión

equilibradas y cerrará bajo su propio peso (normalmente cerrada).


Ancho: 2500mm

Altura: 3200mm

Fugas: < .08 l/s

Presión de Diseño. Correspondiente al nivel máximo del embalse.

Otras Compuertas Utilizadas

· Compuerta Deslizante para la Descarga de Fondo

· Compuerta Radial para la Descarga de Fondo

COMPUERTAS Y VERTEDEROS

Son estructuras de control hidráulico. Su función es la de presentar un

obstáculo al libre flujo del agua, con el consiguiente represamiento aguas arriba de

la estructura, y el aumento de la velocidad aguas abajo.

168

Existen diferentes tipos de vertederos que se clasifican de acuerdo con el

espesor de la cresta y con la forma de la sección de flujo. En el primer caso se

habla de vertederos de pared delgada, vertederos de pared gruesa y vertederos

con cresta en perfil de cimacio. En el segundo se clasifican como vertederos

rectangulares, trapezoidales, triangulares, circulares, parabólicos, proporcionales,

etc.

Un caso particular es el vertedero lateral, el cual se instala en una de las

paredes de un canal para derivar hacia otro canal o para descargar excesos de

agua.

Las compuertas a su vez se clasifican como deslizantes y radiales.

Los esquemas y las ecuaciones particulares de los diferentes tipos de

estructuras se encuentran en los Manuales de Hidráulica y en los textos que se

presentan en las Referencias, al final del artículo.

169

http://www.geocities.com/gsilvam/vertedero.htm

UNIDAD IV: FLUJO DE CONDUCTOS DE PRESION

4.1 RESISTENCIA A FLUJOS EN CONDUCTOS DE PRESIÓN

Desde el punto de vista de la mecánica de fluidos, un filtro es un dispositivo

de flujo, en el cual el fluido es forzado a través del filtro al aplicar una diferencia de

presión entre la entrada del fluido sucio y la salida del fluido filtrado.

Durante la filtración los sólidos presentes en el fluido quedan retenidos por

el medio filtrante, formando una capa de partículas a través de la cual el filtrado

debe fluir.

El filtrado a su paso debe vencer tres tipos de resistencias en serie. Estas

resistencias son:

1.- Las resistencias de los conductos que llevan el fluido sucio hacia la torta

y que extraen el filtrado desde el medio filtrante.

2.- La resistencia de la torta.

3.- La resistencia asociada con el medio filtrante.

Como el flujo es en serie, la caída de presión total puede igualarse a la

suma de las caídas individuales.

En un sistema de filtración bien diseñado, las resistencias de los conductos

y conexiones de entrada y salida son muy pequeñas y suelen ser despreciadas en

comparación con las resistencias relacionadas con la torta y el medio filtrante.

En la práctica, la resistencia asociada con el medio filtrante es mayor que la

ofrecida por un medio filtrante limpio al flujo de un fluido limpio. Esto se debe a que

en los primeros instantes del proceso algunas partículas son retenidas en los

170

poros del medio filtrante y en consecuencia se desarrolla una resistencia adicional

al flujo subsiguiente.

La resistencia total ejercida por el medio filtrante y las partículas embebidas

se denomina resistencia del medio filtrante, siendo esta muy importante durante la

etapa inicial de filtración.

La resistencia ofrecida por el conjunto de partículas que conforman la torta

se denomina resistencia de la torta. Esta resistencia es nula al inicio de la filtración

y crece con el tiempo de filtración debido a la continua retención de partículas.

Durante el proceso de lavado, todas las resistencias permanecen

constantes siendo aquí también despreciable (por lo general) la resistencia del

medio filtrante.

Si pa es la presión de entrada, pb es la presión de salida y p' es la presión

en la frontera entre la torta y el medio filtrante

4.1.1 PERDIDAS DE ENERGIA POR FRICCION

Las paredes de la tubería ejercen una resistencia continua al flujo de los

fluidos. En flujo permanente en una tubería uniforme, el esfuerzo constante t en la

zona de contacto del fluido con la tubería, es uniforme a lo largo de la misma y

ésta resistencia produce una rata uniforme de pérdida de energía a lo largo de la

tubería. Las pérdidas de energía a lo largo de una tubería se denominan

comúnmente "pérdidas por fricción" y se denotan por hf. La rata de pérdida de

energía o gradiente de energía se define con L

hS ff

donde:

Sf : Rata de pérdida de energía

171

hf : Pérdidas de energía

L : Longitud de la tubería

Cuando la tubería es de gran longitud, las pérdidas por fricción llegan a ser

tan grandes que a veces pueden despreciarse las demás pérdidas por ser muy

pequeñas comparadas con ella. Las pérdidas por fricción dependen de:

a. El material de que está construido el tubo (hierro, concreto, cobre,

galvanizado..)

b. El estado de la tubería (Nueva, vieja, con incrustaciones,.. etc.)

c. La longitud de la tubería

d. El diámetro de la tubería

e. Velocidad de circulación del fluido en la tubería.

De acuerdo con lo anterior, en las leyes que rigen las pérdidas de carga por

fricción en tuberías intervienen a nivel general los siguientes factores:

1. Es proporcional a la longitud de la tubería

2. Es inversamente proporcional al diámetro de la tubería

3. Es directamente proporcional al cuadrado de la velocidad de

circulación del fluido.

Estas leyes se conocen como las leyes de Chezy, las cuales con la

consideración de que las pérdidas por fricción dependen también del material y del

estado de la tubería, se engloban en una fórmula fundamental para el cálculo de

las pérdidas por fricción en tuberías que fue propuesta por Darcy-Weisbach,

usando un coeficiente l que depende de éstas dos últimas condiciones.

172

4.1.2 PERDIDAS DE ENERGIA POR ACCESORIOS

A medida que un fluido fluye por un conducto, tubo o algún otro dispositivo,

ocurren pérdidas de energía debido a la fricción; tales energías traen como

resultado una disminución de la presión entre dos puntos del sistema de flujo.

Hay tipos de pérdidas que son muy pequeñas en comparación, y por

consiguiente se hace referencia de ellas como pérdidas menores, las cuales

ocurren cuando hay un cambio en la sección cruzada de la trayectoria de flujo o en

la dirección de flujo, o cuando la trayectoria del flujo se encuentra obstruida como

sucede en una válvula.

En este laboratorio se calcularán las magnitudes de dichas pérdidas

ocurridas por estas fuentes mediante datos experimentales.

La ecuación de Darcy se puede utilizar para calcular la pérdida de energía

en secciones largas y rectas de conductos redondos, tanto flujo laminar como

turbulento. La diferencia entre los dos está en la evaluación del factor f, que

carece de dimensiones.

Cuando se tiene un flujo laminar, el flujo parece desplazarse en forma de

varias capas, una sobre la otra. Debido a la viscosidad del fluido, se crea una

tensión de corte entre las capas del fluido.

La pérdida de energía debido a la fricción en un flujo laminar en conductos

circulares se puede calcular a partir de la ecuación:

en la que,

Para un flujo turbulento de fluidos en conductos circulares resulta más

conveniente utilizar la ley de Darcy para calcular la pérdida de energía debido a la

173

fricción. No podemos calcular f mediante un simple cálculo, como se puede hacer

con el flujo laminar, pues el flujo turbulento no se conforma de movimientos

regulares y predecibles. Está cambiando constantemente. Por eso se debe confiar

en los datos experimentales para determinar los valores de f.

Las pruebas han mostrado que el número adimensional f depende de otros

dos números, también adimensionales, el número de Reynolds y la rugosidad

relativa del conducto. La rugosidad puede variar debido a la formación de

depósitos sobre la pared, o debido a la corrosión de los tubos después de que

este ha estado en servicio durante algún tiempo.

Uno de los métodos más extensamente empleados para evaluar el factor de

fricción hace uso del diagrama de Moody.

También se habla de la pérdida de energía cuando hay codos, dilatación o

contracción o a través de una válvula.

Los valores experimentales de pérdidas de energía generalmente se

reportan en términos de un coeficiente de resistencia, K, de la siguiente forma:

hL = K (v2/2g)

Las pruebas han mostrado que el valor del coeficiente de pérdida K

depende tanto de la porción de los tamaños de los dos conductos como de la

magnitud de la velocidad del fluido, ya sea para una dilatación súbita o una

contracción súbita.

Para calcular el valor del coeficiente de fricción en válvulas o junturas se

obtiene con la fórmula:

K = (Le/d)ft

174

4.2. CALCULO DE FLUJO DE TUBERIA

El cálculo del caudal de agua en una tubería viene expresado por la

ecuación de continuidad:

en la que:

Q es el caudal (m³/s)

V es la velocidad (m/s)

S es la sección de la tubería (m²)

Para que el fluido discurra entre dos puntos a lo largo de una línea de flujo,

debe existir una diferencia de energía entre esos dos puntos. Esta diferencia

corresponderá, exactamente, a las pérdidas por rozamiento, que son función de:

la rugosidad del conducto

la viscosidad del fluido

el régimen de funcionamiento (régimen laminar o régimen turbulento)

el caudal circulante, es decir de la velocidad (a más velocidad, más

pérdidas)

El cálculo de caudales se fundamenta en el Principio de Bernoulli que, para

un fluido sin rozamiento, se expresa como:

donde

g es la aceleración de la gravedad

ρ es el peso específico del fluido

P es la presión

175

http://es.wikipedia.org/wiki/Presi%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Peso_espec%C3%ADfico

http://es.wikipedia.org/wiki/Intensidad_de_la_gravedad

http://es.wikipedia.org/wiki/Principio_de_Bernoulli

http://es.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9gimen_turbulento

http://es.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9gimen_laminar

http://es.wikipedia.org/wiki/Viscosidad

http://es.wikipedia.org/wiki/Rugosidad

http://es.wikipedia.org/wiki/Rozamiento

http://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa

http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADnea_de_corriente

http://es.wikipedia.org/wiki/Fluido

http://es.wikipedia.org/wiki/Tuber%C3%ADa

http://es.wikipedia.org/wiki/Velocidad

http://es.wikipedia.org/wiki/Caudal

http://es.wikipedia.org/wiki/Flujo_de_agua_en_tuber%C3%ADa

Se aprecia que los tres sumandos son, dimensionalmente, una longitud, por

lo que el principio normalmente se expresa enunciando que, a lo largo de una

línea de corriente, la suma de la altura geométrica (h) la altura de velocidad ( )y

la altura de presión ( ) se mantiene constante.

Considerando el rozamiento, la ecuación entre dos puntos 1 y 2 se puede

expresar como:

o lo que es igual

,

donde pérdidas(1,2) es la pérdida de energía (o de altura) que sufre el fluido

por rozamiento al circular entre el punto 1 y el punto 2. Esta ecuación es aplicable

por igual al flujo por tuberías como por canales y ríos.

Si L es la distancia entre los puntos 1 y 2 (medidos a lo largo de la

conducción), entonces el cociente (pérdidas (1,2)) / L representa la pérdida de

altura por unidad de longitud de la conducción. A este valor se le llama pendiente

de la línea de energía y se lo denomina J

4.2.1 CONDUCTOS SENCILLOS

El análisis de este tipo de situación se realiza en función de los datos

disponibles. Para el caso como el de la figura 1, en el que tenemos una tubería

horizontal, con estrechamiento y ensanchamiento brusco en su parte intermedia,

176

http://es.wikipedia.org/wiki/R%C3%ADo

http://es.wikipedia.org/wiki/Canal_(hidr%C3%A1ulica)

http://es.wikipedia.org/wiki/Rozamiento

http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADnea_de_corriente

http://es.wikipedia.org/wiki/Longitud

la determinación de los valores de energía perdida en cada uno de los puntos

indicados, puede determinarse mediante la aplicación de la ecuación

de Darcy – Weisbach, las formulas empíricas de Hazen –Williams, o la de

Manning (Mataix, 1992), aunque esta última es empleada con menor frecuencia en

el estudio de conductos cerrados, reservándose generalmente para los cálculos

relacionados con canales abiertos. También los nomogramas, gráficos, tablas y

diagramas, proporcionan una solución rápida aunque con menor precisión en los

resultados desde el punto de vista de la hidráulica, el procedimiento seguido es el

siguiente: conociendo el valor de la energía en el extremo inicial de la tubería, la

energía en la sección 3 será igual a la que tenia en la sección 2 menos la pérdida

entre los puntos 2 y 3 ( H3 = H2 - h2-3 ). Particularizando esta ecuación para cada

tramo elegido en la tubería problema y adoptando la expresión adecuada para

cada tipo de pérdida, se puede determinar los niveles de energía totales en todas

las secciones, luego restando la porción correspondiente a energía cinética se

obtienen los llamados niveles piezométricos.

4.2.2 TUBERIAS EN PARALELOS

Cuando varias cañerías se unen de manera tal que conforman un circuito

en paralelo, es necesario verificar dos condiciones principales: a) el caudal Q se

reparte entre todas las tuberías y b) la presión al comienzo y al final de cada rama

es la misma.

Los casos más comunes son aquellos en los se conoce la pérdida de carga

y se quiere determinar los caudales en cada rama, o cuando se tiene como dato el

caudal total y se desea determinar tanto la pérdida de carga como la distribución

de caudales.

El problema se puede resolver empleando los Métodos del Porcentaje y el

de la Tubería Equivalente (Giles et al., 1996), utilizados especialmente cuando el

177

fluido circulante es agua, o el Método de Ajuste del Número de Reynolds

propuesto por Mataix, 1992 en casos de petróleo como fluido.

El Método del Porcentaje consiste en calcular las pérdidas de carga por

unidad de longitud en cada rama (S ) y los caudales en las mismas. Sumando

estos últimos se obtiene el caudal total que circula por el sistema, valor necesario

para determinar la incidencia porcentual de este parámetro en las diferentes

ramas. Realizando el producto entre el caudal dato y los porcentajes estimados se

determinan los caudales reales. Los resultados se verifican comprobando si la

pérdida de carga es la misma para cada rama. Existe también una variante a este

método, en el que se trabaja con velocidades (v) en lugar de caudales. Se hace

uso de la ecuación de Hazen – Williams para conductos cerrados (4), por lo tanto

deben determinarse además los radios hidráulicos (R ) de cada tubería y

procederse en forma similar al anterior.

v = 0,8492 C R0,63 S 0,54 (4) C : coeficiente de rugosidad de Hazen-

Williams

El Método de la Tubería Equivalente requiere la adopción de una pérdida de

carga cualquiera (H) entre los puntos de bifurcación y unión, para luego calcular

las pérdidas de carga por metro para cada rama. Esto permite encontrar los

caudales correspondientes a esa pérdida de carga, para sumarlos y obtener el

caudal total. Con este valor, se busca la pérdida de carga por metro que se

produciría en una cañería equivalente (a todas las ramas) cuando circula un

caudal igual al determinado. Se supone además para esta tubería un diámetro

idéntico al mayor de las ramas y se determina la longitud equivalente que debería

tener esta cañería para que se produzca una pérdida de carga igual a la adoptada.

A continuación se calcula una nueva pérdida de carga por metro, pero en este

caso, la producida en esta cañería cuando circule el caudal dato. Con este valor

puede determinarse la pérdida de carga total que se produce cuando la tubería

178

tiene una longitud igual a la de la tubería equivalente y utilizando longitudes y

diámetros de cada rama se determinan los caudales correspondientes.

En el Método de Ajuste del Número de Reynolds se aplica la 2da. ecuación

de Karman –Prandtl escrita de la forma (5) para determinar los coeficientes λi de

cada rama, suponiendo que los mismos son solo función del diámetro (D) y de la

rugosidad (K) e independientes del número de Reynolds. Combinando la ecuación

de Darcy con la de Continuidad, se determinan los coeficientes αi , en la que se

tiene en cuenta además la longitud de tubería (L), mediante (6)

Como el caudal total es: QT = _α i H , puede calcularse la pérdida de carga

en cada rama sumando los valores de αi encontrados y utilizando el caudal dato,

para luego, mediante la expresión de Darcy determinar la velocidad del fluido en

cada rama y el numero de Reynolds (Re) correspondiente, el que permitirá ajustar

los valores de λ, mediante las ecuaciones.

Determinados los λ´, se recalculan los αi´, se determinan los Hi´, a

continuación los vi´, y nuevamente los Re´. Si algunos de los valores encontrados

de Re´ es menor a 2000 se procede a un nuevo tanteo. En cambio si se verifica

que el numero de Reynolds en todas las ramas es mayor a 2000 (régimen

turbulento), se realiza una verificación final calculando λ´´, αi´´, Hi´´ , vi´´. Estos

últimos valores son los que corresponden a las velocidades del fluido en cada

rama, por lo tanto pueden usarse para calcular los caudales en las mismas. Si el

procedimiento seguido ha sido el correcto, debe verificarse que la suma de los

caudales salientes es igual al caudal total entrante.

179

Resolución mediante circuito análogo

Una vez transformado el sistema hidráulico en un modelo circuital eléctrico

la resolución se hace sencilla. Considerando despreciables las pérdidas

secundarias se puede conformar el circuito solamente con elementos análogos a

las perdidas por fricción (RF). Si se conoce el valor de la presión en algún punto

de la cañería, se debe evidenciar este mismo efecto incorporando una fuente de

tensión (E) en el circuito eléctrico equivalente (figura 3). En cambio si lo que se

conoce es el caudal total circulante se debe intercalar una fuente de corriente en el

mismo (figura 4). Los datos correspondientes se ingresan al programa respetando

el sistema de unidades elegido para verificar las analogías, por lo cual se debe

tener especial cuidado de proceder a la conversión de las mismas al Sistema

Internacional

4.3 REDES EN TUBERIAS

El cálculo del diámetro de las tuberías se hará teniendo en cuenta el caudal

y las características físicas del fluido portador a la temperatura media de

funcionamiento, las características del material, utilizado (para lo cual se seguirán

las recomendaciones del fabricante) y el tipo de circuito (caudal constante o

variable).

Se procurará que el dimensionado y la disposición de las tuberías de una

red de distribución se realice de tal forma que la diferencia entre los valores

extremos de las presiones diferenciales en las acometidas de las distintas

unidades terminales no sea mayor que el 15% del valor medio.

Cuando la potencia térmica transportada por una red sea mayor que 500

kW, el factor de transporte para cada tipo de circuito será igual o mayor que el

valor correspondiente de la tabla 7.

180

TABLA 7

Factor de transporte para agua o solucionesTIPO DE CIRCUITO FACTOR DE TRANSPORTEbaterías de unidades de tratamiento de aire:

-agua caliente 700-agua refrigerada 150baterías de unidades terminales: -agua caliente 100-agua refrigerada 80redes de calefacción: - sistema bitubular 850- sistema monotubular 250

Para el cálculo de redes de fluidos de temperatura dual se adoptará el

caudal obtenido a partir de la carga correspondiente al régimen de enfriamiento y

se calculará el diferencial de temperatura correspondiente a la carga en régimen

de calefacción o viceversa, de manera que el caudal del fluido portador sea igual

en ambos regímenes de funcionamiento.

Los sistemas de expansión de las redes se calcularán de acuerdo con la

instrucción UNE 100155

4.3.1 REDES ABIERTAS

Se constituye por una sola línea principal de la cual se desprenden las

secundarias y las de servicio tal como se muestra en la Figura 3 (sup.). La poca

inversión inicial necesaria de esta configuración constituye su principal ventaja.

Además, en la red pueden implementarse inclinaciones para la evacuación de

condensados tal como se muestra en la Figura 4. La principal desventaja de este

tipo de redes es su mantenimiento. Ante una reparación es posible que se detenga

el suministro de aire "aguas abajo" del punto de corte lo que implica una detención

de la producción.

181

http://www.monografias.com/trabajos16/estrategia-produccion/estrategia-produccion.shtml

http://www.monografias.com/trabajos12/cntbtres/cntbtres.shtml

http://www.monografias.com/trabajos11/tebas/tebas.shtml

Figura 4. Configuración abierta y su inclinación

4.3.2 REDES CERRADAS

En esta configuración la línea principal constituye un anillo tal como se

muestra en la Figura 3 (medio). La inversión inicial de este tipo de red es mayor

que si fuera abierta. Sin embargo con ella se facilitan las labores de

mantenimiento de manera importante puesto que ciertas partes de ella pueden ser

aisladas sin afectar la producción. Una desventaja importante de este sistema es

la falta de dirección constante del flujo. La dirección del flujo en algún punto de la

red dependerá de las demandas puntuales y por tanto el flujo de aire cambiará de

dirección dependiendo del consumo tal como se muestra en la Figura 5. El

problema de estos cambios radica en que la mayoría de accesorios de una red (p.

ej. Filtros) son diseñados con una entrada y una salida. Por tanto un cambio en el

sentido de flujo los inutilizaría.

182

http://www.monografias.com/trabajos2/mercambiario/mercambiario.shtml

http://www.monografias.com/trabajos14/consumoahorro/consumoahorro.shtml

http://www.monografias.com/trabajos15/direccion/direccion.shtml




http://www.monografias.com/trabajos16/estrategia-produccion/estrategia-produccion.shtml

http://www.monografias.com/trabajos12/cntbtres/cntbtres.shtml

Figura 5. Dirección del flujo en una red cerrada para una demanda

característica

Cabe anotar que otro defecto de la red cerrada es la dificultad de eliminar

los condensados debido a la ausencia de inclinaciones tal como se muestra en la.

Esto hace necesario implementar un sistema de secado mas estricto en el

sistema. Al contrario de lo pensado, Carnicer expone que en dichos sistemas las

caídas de presión no disminuyen. Por tanto la principal razón para implementar

redes cerradas es por su buen mantenimiento.

Figura 6. Configuración Cerrada y su ausencia de inclinación

183



http://www.monografias.com/trabajos10/carso/carso.shtml

http://www.monografias.com/trabajos/ofertaydemanda/ofertaydemanda.shtml

UNIDAD V: GOLPE DE ARIETE

5.1 PRINCIPIO TEÓRICO DE GOLPE DE ARIETE

El fenómeno del golpe de ariete, también denominado transitorio,

consiste en la alternancia de depresiones y sobrepresiones debido al movimiento

oscilatorio del agua en el interior de la tubería, es decir ,básicamente es una

variación de presión, y se puede producir tanto en impulsiones como en

abastecimientos por gravedad. El valor de la sobrepresión debe tenerse en cuenta

a la hora de dimensionar las tuberías, mientras que, en general, el peligro de

rotura debido a la depresión no es importante, más aún si los diámetros son

pequeños. No obstante, si el valor de la depresión iguala a la tensión de vapor del

líquido se producirá cavitación, y al llegar la fase de sobrepresión estas cavidades

de vapor se destruirán bruscamente, pudiendo darse el caso, no muy frecuente,

de que el valor de la sobrepresión producida rebase a la de cálculo, con el

consiguiente riesgo de rotura. Los principales elementos protectores en este caso

serían las ventosas y los calderines, como estudiaremos posteriormente.

Por lo tanto, el correcto estudio del golpe de ariete es fundamental en el

dimensionamiento de las tuberías, ya que un cálculo erróneo puede conducir a:

1. Un sobredimensionamiento de las conducciones, con lo que la instalación

se encarece de forma innecesaria.

2. Tubería calculada por defecto, con el consiguiente riesgo de que se

produzca una rotura.

184

5.1.1 Definición

Si el agua se mueve por una tubería con una velocidad determinada y

mediante una válvula se le corta el paso totalmente, el agua más próxima a la

válvula se detendrá bruscamente y será empujada por la que viene detrás.

Como el agua es algo compresible, empezará a comprimirse en las

proximidades de la válvula, y el resto del líquido comprimirá al que le precede

hasta que se anule su velocidad. Esta compresión se va trasladando hacia el

origen conforme el agua va comprimiendo al límite la que le precede, de manera

que al cabo de un cierto tiempo todo el agua de la tubería está en estas

condiciones, concluyendo la primera etapa del golpe de ariete.

En definitiva, se forma una onda de máxima compresión que se inicia en las

proximidades de la válvula y se traslada al origen. La energía cinética que lleva el

agua se transforma en energía de compresión.

Cuando el agua se detiene, ha agotado su energía cinética y se inicia la

descompresión en el origen de la conducción trasladándose hacia la válvula, y por

la ley pendular esta descompresión no se detiene en el valor de equilibrio, sino

que lo sobrepasa para repetir el ciclo. Esta descompresión supone una depresión,

que retrocede hasta la válvula para volver a transformarse en compresión,

repitiendo el ciclo y originando en el conducto unas variaciones ondulatorias de

presión que constituyen el golpe de ariete.

En definitiva, se producen transformaciones sucesivas de energía cinética

en energía de compresión y viceversa, comportándose el agua como un resorte.

185

5.1.2 TEORIA DE LA COLUMNA RIGIDA

En una impulsión, la parada brusca de motores produce el mismo

fenómeno, pero al contrario, es decir, se inicia una depresión aguas arriba de la

bomba, que se traslada hacia el final para transformarse en compresión que

retrocede a la bomba.

En efecto, cuando se produce la parada del grupo de bombeo, el fluido,

inicialmente circulando con velocidad v, continuará en movimiento a lo largo de la

tubería hasta que la depresión a la salida del grupo ocasionada por la ausencia de

líquido (el que avanza no es repuesto, no es “empujado”), provoque su parada. En

estas condiciones, viaja una onda depresiva hacia el depósito, que además va

deteniendo el fluido, de tal manera que al cabo de un cierto tiempo toda la tubería

está bajo los efectos de una depresión y con el líquido en reposo. Ha concluido la

primera etapa del golpe de ariete.

Como la presión en el depósito es siempre superior a la de la tubería, que

se encuentra bajo los efectos de la depresión, se inicia un retroceso del fluido

hacia la válvula de retención con velocidad -v. Con el agua a velocidad de

régimen, pero en sentido contrario, nuevamente se tiene la presión de partida en

la tubería, de manera que al cabo de un cierto tiempo toda ella estará sometida a

la presión inicial y con el fluido circulando a velocidad -v. El inicio de la tercera fase

es una consecuencia del choque del líquido contra la válvula de retención.

El resultado es un brusco aumento de presión y una detención progresiva

del fluido, de modo que al cabo de un cierto tiempo todo el líquido de la tubería

está en reposo y la conducción sometida a una sobrepresión de la misma

magnitud que la depresión inicial. Esta tercera fase del golpe de ariete en una

impulsión es semejante a la primera fase en el caso de abastecimientos por

gravedad.

186

En la cuarta fase comienza la descompresión, iniciándose de nuevo el

movimiento, por lo que al cabo de un tiempo la situación es idéntica a la que

teníamos al principio. Comienza un nuevo ciclo. Tanto en abastecimientos por

gravedad como en impulsiones, la duración de cada una de estas fases es a L ,

siendo L la longitud de la tubería y a la celeridad.

5.1.3 TEORIA DE LA COLUMNA ELÁSTICA

La celeridad (a) es la velocidad de propagación de la onda de presión a

través del agua contenida en la tubería, por lo que su ecuación de dimensiones es

L. T1. Su valor se determina a partir de la ecuación de continuidad y depende

fundamentalmente de las características geométricas y mecánicas de la

conducción, así como de la compresibilidad del agua. Una expresión práctica

propuesta por Allievi, que permite una evaluación rápida del valor de la celeridad

cuando el fluido circulante es agua, es la siguiente:

Siendo:

K: Coeficiente función del módulo de elasticidad () del material constitutivo

de la tubería, que representa principalmente el efecto de la inercia del grupo

motobomba, cuyo valor es:

187

También se puede hallar el valor de la celeridad consultando las tablas

Siguiente:

188

En el caso de que la conducción esté constituida por tramos de tubos de

diferentes características (diámetro, espesor, timbraje, material, etc.),

La celeridad media se calculará como la media ponderada de la celeridad

de cada tramo. Si L1, L2, L3, ..., son las longitudes de los tramos de distintas

características y a1, a2, a3, ..., las celeridades respectivas, el tiempo total La que

tarda la onda en recorrer la tubería será la suma de los tiempos parciales:

3. Tiempo de cierre de la válvula y tiempo de parada de Bombas. Cierre

lento y cierre rápido.

Se define el tiempo (T) como el intervalo entre el inicio y el término de la

maniobra, sea cierre o apertura, total o parcial, ya que durante este tiempo se

produce la modificación del régimen de movimiento del fluido. Este concepto es

aplicable tanto a conducciones por gravedad como a impulsiones, conociéndose

en el primer caso como tiempo de cierre de la válvula y como tiempo de parada en

el segundo. El tiempo de cierre de una válvula puede medirse con un cronómetro,

es un tiempo físico y real, fácilmente modificable, por ejemplo, con

desmultiplicadores, cambiando la velocidad de giro en válvulas motorizadas, etc.

Por el contrario, en el caso de las bombas, el tiempo de parada no puede

medirse de forma directa y es más difícil de controlar. En resumen, en las

189

conducciones por gravedad, el cierre de la válvula se puede efectuar a diferente

ritmo, y por tanto, el tiempo T es una variable sobre la que se puede actuar, pero

en las impulsiones el tiempo de parada viene impuesto y no es posible actuar

sobre él, salvo adicionando un volante al grupo motobomba o un sistema similar.

Mendiluce propone la siguiente expresión para el cálculo del tiempo de parada:

La altura geométrica o presión estática (Hg) se mide siempre

inmediatamente aguas arriba de la bomba, por lo que la profundidad del agua en

el pozo debe tenerse en cuenta en el caso de bombas sumergidas.

El coeficiente C (ver figura) es función de la pendiente hidráulica (m),

Siendo L H m m . Toma el valor C=1 para pendientes hidráulicas crecientes de

hasta el 20%, y se reduce progresivamente a partir de este valor hasta hacerse

cero para pendientes del 40%. Pendientes superiores al 50% implican paradas

muy rápidas, aconsejándose considerar el golpe de ariete máximo de Allievi en

toda la longitud de la tubería.

190

Valores del coeficiente C según Mendiluce

El coeficiente K depende de la longitud de la tubería y puede obtenerse a

partir de la gráfica o de la tabla siguientes, propuestas por Mendiluce. Este autor

recomienda la utilización de los valores de K redondeados recogidos en la tabla,

ya que ha comprobado que las pequeñas diferencias respecto a la gráfica tienen

una repercusión despreciable en el golpe de ariete y siempre del lado de la

seguridad, y es de más sencillo manejo

Puesto que L es la longitud de la tubería y la celeridad a es la velocidad de

propagación de la onda de presión, será el tiempo que tarda la onda de

presión en dar una oscilación completa. Por lo tanto, es la maniobra ya

habrá concluido cuando se produzca el retorno de la onda de presión y tendremos

un cierre rápido, alcanzándose la sobrepresión máxima en algún punto de la

191

tubería. Sin embargo, si estaremos ante un cierre lento y ningún punto

alcanzará la sobrepresión máxima, ya que la primera onda positiva reflejada

regresa antes de que se genere la última negativa.

Que es la ecuación de Jouguet, establecida en la misma época que de

Michaud, y se deduce analíticamente igualando el impulso que experimenta el

agua en el interior de la tubería a la variación de su cantidad de movimiento.

Y puesto que la presión

Quedaría

En caso de cierre parcial, la velocidad final será menor que la inicial pero no

nula, con lo que v < v. El caso más desfavorable para la conducción se produce

cuando v = v, es decir, cuando la velocidad final es cero, correspondiendo con el

cierre total de la válvula.

192

Entonces:

Que es la fórmula de Jouguet. Sin embargo, Michaud, partiendo de distintos

supuestos, comprobó que la sobrepresión alcanzaba valores del doble de la

establecida por Jouguet.

En realidad, Jouguet se aproxima más al principio de la sobrepresión y

Michaud al final, ya que las disminuciones de la velocidad no son lineales con el

tiempo, decreciendo más suavemente al principio del transitorio que al final, pero

puesto que siempre se alcanzará en algún punto de la tubería un golpe de ariete

igual al dado por Michaud, es ésta la fórmula que habrá que aplicar en el cálculo

de la sobrepresión con un tiempo de cierre lento

b) Cierre rápido.

Como ya comentamos anteriormente, al cerrar la válvula C, el agua se

detiene y comienza a comprimirse en sus proximidades.

193

Si S es la sección transversal de la tubería y P es la presión ejercida por

la rodaja de agua considerada, la fuerza que soporta dicha sección será:

El impulso (I) de dicha fuerza durante el tiempo T que tarda en pararse el

fluido contenido en el segmento BC de tubería, de longitud L, será:

Siendo a la celeridad de la onda de presión. Como el impulso ha de ser

igual a la variación de la cantidad de movimiento

A su vez, la masa (m) de la porción de líquido considerado es:

Luego:

Considerando el caso más peligroso para la tubería, es decir, el cierre total

de la válvula:

194

y como

Llamando H al valor de la sobrepresión, es decir,

se obtiene:

Expresión que dedujo Allievi en 1904, con la que se calcula el valor

máximo del golpe de ariete que puede producirse en una conducción.

Puede observarse cómo el valor de la sobrepresión es independiente de la

longitud de la tubería.

Representando gráficamente las ecuaciones de Allievi y de Michaud, se

observa que, si la conducción es lo suficientemente larga, las dos rectas se cortan

en un punto, denominado punto crítico. La longitud del tramo de tubería regido

por la ecuación de Michaud se conoce como longitud crítica (Lc), y su valor se

obtiene, lógicamente, igualando las fórmulas de Michaud y Allievi.

195

Excepto en el caso de ser la pendiente hidráulica mayor del 50%, en que Se

recomienda considerar la sobrepresión de Allievi en toda la conducción, el Valor

así calculado lo soportará el tramo de tubería de longitud Lm, siendo

Si L<Lc, se trata de una impulsión (conducción) corta, que se

correspondería con un cierre lento, calculándose el golpe de ariete mediante la

fórmula de Michaud.

Si L>Lc, entonces la impulsión (conducción) es larga y el cierre

rápido, siendo el valor del golpe de ariete el dado por Allievi desde la válvula

hasta el punto crítico y por Michaud en el resto.

196

5. Método práctico para el cálculo del golpe de ariete.

Necesitamos calcular previamente la velocidad del agua y, en impulsiones,

la altura manométrica del grupo de bombeo. Se obtiene el tiempo de parada con la

ecuación de Mendiluce. En el caso de abastecimientos por gravedad, el tiempo de

cierre de la válvula será conocido.

Se calcula la celeridad “a” con la fórmula de Allievi o se consultan las tablas

para calcular la sobrepresión mediante la fórmula adecuada.

Se calcula la longitud crítica “Lc”, que es la distancia que separa el final de

la impulsión del punto crítico o de coincidencia de las fórmulas de Michaud y

Allievi. En la Lc rige la fórmula de Michaud.

Se comparan las longitudes L y Lc.

197

El tipo de cierre, lento o rápido, también puede conocerse comparando el

tiempo de parada de la bomba o el de cierre de la válvula con el tiempo que tarda

la onda de presión en dar una oscilación completa, es decir, con

En impulsiones, se colocan las válvulas de retención necesarias para

mantener la línea de sobre presión debida al golpe de ariete por debajo de la línea

piezo métrica. Con las válvulas de retención se desplaza la línea de máximas

presiones del golpe de ariete.

5.2 EFECTOS DEL GOLPE DE ARIETE

Junto a la cavitación, el golpe de ariete o pulso de Joukowski, llamado así

por el ingeniero ruso Nikolay Egorovich Zhukovskiy (Жуковский, Николай

Егорович en ruso), es el principal causante de averías en tuberías e instalaciones

hidráulicas.

El golpe de ariete se origina debido a que el agua es ligeramente elástica

aunque en diversas situaciones se puede considerar como un fluido

incompresible. En consecuencia, cuando se cierra bruscamente una válvula o un

grifo instalado en el extremo de una tubería larga, las partículas de agua que se

han detenido son empujadas por las que vienen inmediatamente detrás y que

siguen aún en movimiento. Esto origina una sobrepresión que se desplaza por la

198

http://es.wikipedia.org/wiki/Presi%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Part%C3%ADcula

http://es.wikipedia.org/wiki/Tuber%C3%ADa

http://es.wikipedia.org/wiki/V%C3%A1lvula

http://es.wikipedia.org/wiki/Fluido

http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_de_elasticidad



http://es.wikipedia.org/wiki/Nikolay_Egorovich_Zhukovskiy

http://es.wikipedia.org/wiki/Cavitaci%C3%B3n

tubería a una velocidad algo menor que la velocidad del sonido en el agua. Esta

sobrepresión tiene dos efectos: primero comprime ligeramente el agua, reduciendo

su volumen, y segundo dilata ligeramente la tubería. Cuando todo el agua que

circulaba en la tubería se ha detenido, cesa el impulso que la comprimía y, por

tanto, ésta tiende a expandirse. Por otro lado, la tubería que se habia ensanchado

ligeramente tiende a retomar su dimensión normal. Conjuntamente, estos efectos

provocan otra onda de presión en el sentido contrario. El agua se desplaza en

dirección contraria pero, al estar la valvula cerrada, se produce una depresión con

respecto a la presión normal de la tubería. Al reducirse la presión, el agua puede

pasar a estado gaseoso formando una burbuja mientras que la tuberia se contrae.

Al alcanzar el otro extremo de la tubería, si la onda no se ve disipada por ejemplo,

en un depósito a presión atmosférica, se reflejará siendo mitigada

progresivamente por la propia resistencia a la compresión del agua y a la

dilatación de la tubería.

El problema del golpe de ariete es uno de los problemas más complejos de

la hidráulica, y es resuelto generalmente mediante modelos matemáticos, que

permites simular el comportamiento del sistema.

Este fenómeno es muy peligroso, ya que la sobrepresión generada puede

llegar a entre 60 y 100 veces la presión normal de la tubería, ocasionando roturas

en los accesorios instalados en los extremos (grifos, válvulas, etc).

La fuerza del golpe de ariete es directamente proporcional a la longitud del

conducto, ya que las ondas de sobrepresión se cargarán de más energía, e

inversamente proporcional al tiempo durante el cual se cierra la llave: cuanto

menos dura el cierre, más fuerte será el golpe.

El golpe de ariete estropea el sistema de abastecimiento de agua, a veces

hace reventar tuberías de hierro colado, ensancha las de plomo, arranca codos

instalados, etc.

199

http://es.wikipedia.org/wiki/Plomo

http://es.wikipedia.org/wiki/Fundici%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa

http://es.wikipedia.org/wiki/Modelo_matem%C3%A1tico

http://es.wikipedia.org/wiki/Presi%C3%B3n_atmosf%C3%A9rica

http://es.wikipedia.org/wiki/Onda_(f%C3%ADsica)

http://es.wikipedia.org/wiki/Gaseoso

http://es.wikipedia.org/wiki/Volumen_(f%C3%ADsica)

http://es.wikipedia.org/wiki/Velocidad_del_sonido

http://es.wikipedia.org/wiki/Velocidad

5.2.1 EN COMPUERTAS

Según el contexto, Compuerta puede referirse a:

Compuerta lógica

Compuertas hidráulicas: Una compuerta es un dispositivo hidráulico -

mecánico destinado a regular el pasaje de agua u otro fluido en una tubería, en un

canal, presas, esclusas, obras de derivación, u otra estructura hidráulica. Los

principales tipos de compuertas son:

Para canales, presas, esclusas y obras hidráulicas de envergadura:

Compuerta tipo Anillo, Basculante, Clapeta, Cilíndrico, Esclusa, Lagarto, Rodante,

Sector, Segmento, Stoney, Tambor, Tejado, Vagón, Vicera, Stop Log.

Para tuberías, también llamadas válvulas: Esféricas, Mariposa, Aguja.

Las compuertas de tipo "Stoney" son utilizadas para tomas en presión para

descargas de fondo o para la toma de una central hidroeléctrica.

200

http://es.wikipedia.org/wiki/Central_hidroel%C3%A9ctrica

http://es.wikipedia.org/wiki/Descarga_de_fondo

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=V%C3%A1lvula_Aguja&action=edit

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=V%C3%A1lvula_mariposa&action=edit

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=V%C3%A1lvula_esf%C3%A9rica&action=edit

http://es.wikipedia.org/wiki/V%C3%A1lvula

http://es.wikipedia.org/wiki/Compuerta_tipo_Stop_Log

http://es.wikipedia.org/wiki/Compuerta_tipo_vicera

http://es.wikipedia.org/wiki/Compuerta_tipo_vag%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Compuerta_tipo_tejado

http://es.wikipedia.org/wiki/Compuerta_tipo_tambor

http://es.wikipedia.org/wiki/Compuerta_tipo_Stoney

http://es.wikipedia.org/wiki/Compuerta_tipo_segmento

http://es.wikipedia.org/wiki/Compuerta_tipo_sector

http://es.wikipedia.org/wiki/Compuerta_tipo_rodante

http://es.wikipedia.org/wiki/Compuerta_tipo_lagarto

http://es.wikipedia.org/wiki/Compuerta_tipo_esclusa

http://es.wikipedia.org/wiki/Compuerta_tipo_cil%C3%ADndro

http://es.wikipedia.org/wiki/Compuerta_tipo_basculante

http://es.wikipedia.org/wiki/Compuerta_tipo_basculante

http://es.wikipedia.org/wiki/Compuerta_tipo_anillo

http://es.wikipedia.org/wiki/Esclusa

http://es.wikipedia.org/wiki/Presa_(hidr%C3%A1ulica)

http://es.wikipedia.org/wiki/Compuerta_l%C3%B3gica

La compuerta tipo "Stop Log, es utilizada en vertederos, descargas de

fondo, tomas para centrales hidroeléctricas de presas y en canales, como una

compuerta auxiliar, para poder hacer el mantenimiento de las compuertas

principales. Generalmente son operadas por una grúa móvil.

201

http://es.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%BAa





http://es.wikipedia.org/wiki/Vertedero

Las compuertas tipo anillo son utilizadas en la cresta de los vertederos tipo

"tulipa", en las presas que están equipadas con este tipo de vertedero.

Compuerta basculante o clapeta puede ser utilizada tanto en la cima del

vertedero de una presa como instalado en el fond de un río o canal

Las compuertas cilíndricas se utilizan para descargas en presión

permitiendo la colocación de la secciòn de toma a cualquier profundidad, en un

embalse. En el mismo pozo se pueden disponer tomas de agua a diversas alturas.

Se acopla fácilmente a una tubería de salida.

202

http://es.wikipedia.org/wiki/Canal_(v%C3%ADa_artificial_de_agua)

http://es.wikipedia.org/wiki/R%C3%ADo

http://es.wikipedia.org/wiki/Presa




Croquis de la compuerta de una esclusa.

Las compuertas tipo esclusa tienen las bisagras verticales, son accionadas

por medios mecánicos, o por pistones hidráulicos. La compuerta se abre para

permitir el pasaje del buque. Solo puede ser abierta cuando los niveles de agua

fuera y dentro de la esclusa se encuentran con pocos centímetros de diferencia.

203

http://es.wikipedia.org/wiki/Esclusa

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Pist%C3%B3n_hidr%C3%A1ulico&action=edit

http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:15_Compuerta_Tipo_Eclusa.jpg

Vista exterior de la compuerta de una Esclusa Miraflores del Canal de

Panamá

Las compuertas tipo "lagarto" son utilizadas para abrir o cerrar tomas en

presión para descargas de fondo o para centrales hidroeléctricas.

La compuerta rodante, utilizada en vertederos de presas, es operado desde

los pilares del vertedero accionando cadenas, una en cada punta. La compuerta,

constituida por un cilindo vacío rueda sobre sí misma al ser elevada o descendida.

Permite liberar totalmente el vano del vertedero, permitiendo la navegación.

Compuerta tipo sector

204





http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Panama_Canal_Miraflores_Locks.jpg

http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Panama_Canal_Miraflores_Locks.jpg

Compuerta utilizada en vertederos de presas, es operado utilizando el

desnivel de agua creado por estas, no requiere de equipo mecánico para su

operación.

La necesidad de contar con una cámara donde se abate la compuerta hase

que el vertedero no pueda tener la forma óptima, lo que incrementa el volumen de

hormigón del mismo.

205

http://es.wikipedia.org/wiki/Hormig%C3%B3n



Las compuertas de segmento son muy utilizadas en la cresta de los

vertederos de las presas. Antiguamente se movian jaladas por cadenas, mediante

dispositivos instalados en los pilares del vertedero. Actualmente son accionadas

mediante pistones hidráulicos o pneumáticos.

Algunas compuertas de este tipo dispones, en la parte superior, de una

parte abatiente, esto permite descargar caudales pequeños, liberar el embalse de

materiales fluctuantes, y llenar la cuenca de disipación del vertedero para mejorar

su funcionamiento en las fases iniciales de grandes descargas.

Croquis de compuerta tipo Tambor

La compuerta tipo tambor es un tipo de compuerta utilizada en vertederos

de presas, es operado utilizando el desnivel de agua creado por estas, no requiere

de equipo mecánico para su operación.




206


http://es.wikipedia.org/wiki/Compuerta

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Pist%C3%B3n_pneum%C3%A1ticos&action=edit




http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:10_Compuerta_Tambor.jpg

Su utilización y características son semejantes a la compuerta tipo sector.

La compuerta tipo tejado es un tipo de compuerta utilizada en vertederos de

presas. Es operado utilizando el desnivel de agua creado por estas y no requiere

de equipo mecánico para su operación.




207





http://es.wikipedia.org/wiki/Compuerta_tipo_sector

La compuerta tipo vagón es un tipo de compuerta utilizada en descargas de

fondos y bocatomas de presas. Es accionada por un pistón hidráulico o neumático

Croquis de compuerta tipo Vicera

La compuerta tipo vicera es un tipo de compuerta utilizada en canales

navegables. Es accionada por un pistón hidráulico o neumático

5.2.2 EN TUBERIA Y DISPOSITIVOS HIDRAULICOS

La situación ideal del flujo en una tubería se establece cuando las capas de

fluido se mueven en forma paralela una a la otra. Esto se denomina "flujo

laminar" figura 1-14. las capas de fluido próximas a las paredes internas de la

tubería se mueven lentamente, mientras que las cercanas al centro lo hacen

rápidamente. Es necesario dimensionar las tuberías de acuerdo al caudal que

circulará por ellas, una tubería de diámetro reducido provocará elevadas

velocidades de circulación y como consecuencia perdidas elevadas por fricción;

una tubería de gran diámetro resultará costosa y difícil de instalar.

Para ver el gráfico seleccione la opción ¨Bajar trabajo¨ del menú superior

208

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Pist%C3%B3n_neum%C3%A1tico&action=edit





http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Pist%C3%B3n_neum%C3%A1tico&action=edit



http://es.wikipedia.org/wiki/Bocatoma




http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:17_Compuerta_tipo_Vicera.jpg

Por lo expuesto recomendamos el uso del gráfico nro. 1 para la elección de

los diámetros adecuados en instalaciones hidráulicas.


En la figura 1-15 vemos una situación de flujo turbulento donde las

partículas de fluido se mueven en forma desordenada con respecto a la dirección

del flujo. La turbulencia es causada por el exceso de velocidad de circulación, por

cambios bruscos del diámetro de la tubería, y por la rugosidad interna de la misma

la turbulencia produce excesiva perdida de presión en los sistemas y

sobrecalentamiento del aceite. A menudo puede ser detectada por el ruido que

produce la circulación por las tuberías. Para prevenir la turbulencia , las tuberías

deben ser de diámetro adecuado, no tener cambios bruscos de diámetro u orificios

restrictotes de bordes filosos que produzcan cambios de velocidad.


En la figura 1-16 vemos una sección de tubería con flujo laminar , las

partículas se mueven a alta velocidad en el centro pero paralelas una a la otra. La

restricción se ha realizado de manera tal que presenta una transición lenta de

velocidades, de esta forma se evita la turbulencia.

Las dos figuras 1-17A y 1-18B muestran qué sucede con la corriente fluida

cuando toma una curva de radio amplio se mantienen las condiciones de flujo

laminar, a la derecha el cambio de dirección es abrupto induciendo un flujo

turbulento.

Tuberías en Aire Comprimido:

Para el transporte del aire comprimido se reconocen tres tipos de

canalizaciones

209

http://www.monografias.com/trabajos/transporte/transporte.shtml

http://www.monografias.com/trabajos/aire/aire.shtml

http://www.monografias.com/trabajos2/mercambiario/mercambiario.shtml

http://www.monografias.com/trabajos13/radio/radio.shtml

http://www.monografias.com/trabajos/contamacus/contamacus.shtml


Cañería principal.

Cañería secundaria.

Cañerías de servicio.

Para ver el gráfico seleccione la opción ¨Bajar trabajo¨ del menú

superior

Se denomina cañería principal a aquella que saliendo del tanque de la

estación compresora conduce la totalidad del caudal de aire. Debe tener una

sección generosa considerando futuras ampliaciones de la misma. En ella no debe

superarse la velocidad de 8 m/segundo.

Cañerías secundarias son la que tomando el aire de la principal se

ramifican cubriendo áreas de trabajo y alimentan a las cañerías de servicio tal

como apreciamos en la figura 1-19.


Cañerías de Servicio.

Estas cañerías o "bajadas" constituyen las alimentaciones a los equipos y

dispositivos y herramientas neumáticas, en sus extremos se disponen

acoplamientos rápidos y equipos de protección integrados por filtros, válvula

reguladora de presión y lubricador neumático. Su dimensión debe realizarse de

forma tal que en ellas no se supere la velocidad de 15 m/segundo.

Cañerías de Interconexión:

El dimensionado de estas tuberías no siempre se tiene en cuenta y esto

ocasiona serios inconvenientes en los equipos, dispositivos y herramientas

neumáticas alimentados por estas líneas. Teniendo en cuenta que estos tramos

de tubería son cortos podemos dimensionarlos para velocidades de circulación

mayores del orden de los 20 m/seg.

210

http://www.monografias.com/trabajos11/contrest/contrest.shtml

http://www.monografias.com/trabajos14/verific-servicios/verific-servicios.shtml

Caída de Presión en tuberías:

Es importante recordar que la perdida de presión en tuberías "solo" se

produce cuando el fluido esta en "movimiento" es decir cuando hay circulación.

Cuando esta cesa, caso de la figura 1-23 las caídas de presión desaparecen y los

tres manómetros darán idéntico valor.


Si al mismo circuito de la figura anterior le retiramos el tapón del extremo

aparecerán perdidas de presión por circulación que podemos leer en los

manómetros de la Fig.1-24. Cuando mas larga sea la tubería y mas severas las

restricciones mayores serán las perdidas de presión.


Si quitamos las restricciones una gran proporción de la perdida de presión

desaparece. En un sistema bien dimensionado, la perdida de presión natural a

través de la tubería y válvulas será realmente pequeña como lo indican los

manómetros de la Fig.1-25.


Caídas de presión en válvulas.

Las válvulas presentan perdidas de presión localizadas, por ello deben ser

correctamente dimensionadas. Una válvula subdimensionada provocará perdidas

de potencia y velocidad, una sobre dimensionada será económicamente cara.

Las recomendaciones precisas figuran en los catálogos de los fabricantes,

pero para establecer una norma general diremos:

211

http://www.monografias.com/trabajos14/trmnpot/trmnpot.shtml

http://www.monografias.com/trabajos11/valvus/valvus.shtml

http://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtml

http://www.monografias.com/trabajos15/kinesiologia-biomecanica/kinesiologia-biomecanica.shtml

Válvulas Hidráulicas: Una velocidad de 4 m/seg. es considerada estándar

para aplicaciones generales. Por ello el tamaño de la válvula puede ser el mismo

que el diámetro de cañería de la tabla para líneas de presión.

En condiciones especiales pueden utilizarse tamaños mayores o menores.

Válvulas Neumáticas.

Una regla similar puede utilizarse aquí. El tamaño de los orificios de

conexión de los cilindros neumáticos es una guía razonable para el tamaño de la

válvula. Como excepción se presentan los siguientes casos:

Cuando una válvula comanda varios cilindros.

Cuando se requieren altas velocidades de operación en un cilindro.

Cuando el cilindro operara siempre a bajas velocidades

5.2.3 EN LINEAS DE DESCARGAS DE BOMBA

Las bombas se clasifican según las consideraciones generales diferentes:

1. La que toma en consideración la características de movimiento de los líquidos.

2. La que se basa en el tipo de aplicación especifica para los cuales se ha

diseñado la bomba.

Clases y tipos.- Hay tres clases de bombas en uso común del presente:

centrífuga, rotatoria y reciprocante. Nótese estos términos se aplican solamente a

la mecánica del movimiento de líquido y no al servicio para el que se a diseñado

una bomba.

En cualquier problema de este tipo, hay que recordar que la columna de

succión no debe exceder el limite máximo recomendado.

212

BOMBAS CENTRÍFUGAS

Bombas de tipo Voluta.- Aquí (Fig. 1-2) el impulsor descarga en una caja

espiral que se expande progresivamente, proporcionada en tal forma que la

velocidad del líquido se reduce en forma gradual. Por este medio, parte de la

energía de velocidad del líquido se convierte en presión estática.

Bombas de Tipo Difusor.- Los álabes direccionales estacionarios (Fig. 1-3)

rodean al rotor o impulsor en. una bomba del tipo de difusor. Esos pasajes con

expansión gradual cambian la dirección del flujo del líquido y convierten la energía

de velocidad a columna de presión.

Bombas de Tipo Turbina.- También se conocen como bombas de vértice,

periféricas y regenerativas; en este tipo se producen remolinos en el líquido por

medio de los álabes a velocidades muy altas dentro del canal anular en el que gira

el impulsor. El líquido va recibiendo impulsos de energía (Fig.1-4). Las bombas del

tipo difusor de pozo profundo, se llaman frecuentemente bombas turbinas. Sin

embargo, asemejan a la bomba turbina regenerativa en ninguna y no deben

confundirse con ella.

Tipos de Flujo Mixto y de Flujo Axial.- Las bombas de flujo mixto desarrollan

su columna parcialmente por fuerza centrifuga y parcialmente. por el impulsor de

los álabes sobre el líquido (Fig. 1-5). El diámetro de descarga de los impulsores es

mayor que el de entrada. Las bombas de flujo axial desarrollan su columna por la

acción de impulso o elevación de las paletas sobre el líquido (Fig. 1-6).

El diámetro de! impulsor es el mismo en el lado de succión y en el de

descarga. Una bomba de impulsor es un tipo de bomba de flujo axial.

Velocidad Especifica.- Éste es un índice del tipo de bomba, que usa la

capacidad de columna que se obtiene en el punto de eficiencia máxima.

213

Determina el perfil o forma general del impulsor. En números, la velocidad

especifica es la velocidad, en revoluciones por minuto a la cual un impulsor deben

girar si su tamaño se reduce para dar un gastó de un litro por segundo contra una

columna de un metro. Los impulsores para columnas altas tienen generalmente

una velocidad específica baja. Los impulsores para columnas reducidas tienen

generalmente una velocidad específica alta.

Según lo indica la Fig. -17, cada diseño de impulsor tiene una región de

velocidad específica para la cual está mejor adaptado. Estas regiones son

aproximadas, sin divisiones bien definidas entre ellas. La Fig. 1-7 da las relaciones

generales entre la forma de impulsor eficiencia y capacidad. Las limitaciones de

succión para las diferentes bombas están relacionadas con la velocidad

específica. Éstas se discutirán después, para las diversas condiciones de

operación.

Curvas Características.- A diferencia de las bombas de desplazamiento

positivo (rotatorias y reciprocantes), una bomba centrifuga que se opera a

velocidad constante puede suministrar cualquier capacidad de cero A un máximo,

dependiendo de la columna, diseño y succión. Las curvas características (Fig. 1-8)

muestran la relación existente entrena de bomba, capacidad, potencia y eficiencia

para un diámetro de impulsor especifico y para un tamaño determinado de

carcasa.

Es habitual dibujar la columna, potencia y eficiencia en función de la

capacidad a velocidad constante, como en la Fig. 1-8. Pero en casos especiales

es. Posible señalar en las gráficas tres variables cualesquiera contra una cuarta.

La curva de capacidad de columna, conocida como HQ (Fig. 1-8), muestra la

relación entre la capacidad de columna total, y puede ser creciente, decreciente,

con gran inclinación o casi horizontal, dependiendo del tipo de impulsor usado y de

su diseño. En A en la Fig. 1-8 la columna desarrollada por la bomba es de 43.80 m

214

de liquido, capacidad de 67 lps A 36.50 m de columna R la capacidad de la bomba

sube a 98.8 lps.

BOMBAS ROTATORIAS

Las bombas rotatorias que generalmente son unidades de desplazamiento

positivo, consisten de una caja fija que contiene engranes, aspas, pistones, levas,

segmentos, tornillos, etc., que operan con un claro mínimo. En lugar de "aventar"

el liquido como en una bomba centrifuga, una bomba rota. toña lo atrapa, lo

empuja contra la caja fija en forma muy similar a como lo hace el pistón de una

bomba reciprocante. Pero, a diferencia de una bomba de pistón, la bomba

rotatoria descarga un flujo continuo. Aunque generalmente se les considera como

bombas para líquidos viscosos, las bombas rotatorias no se limitan a este servicio

sólo. Pueden manejar casi cualquier liquido que esté libre de sólidos abrasivos.

Incluso puede existir la presencia de sólidos duros en el liquido si una chaqueta de

vapor alrededor de la caja de la bomba los puede mantener en condición fluida.

TIPOS DE BOMBAS ROTATORIAS

Bombas de Leva y Pistón. También se llaman bombas de émbolo rotatorio,

y consisten de un excéntrico con un brazo ranurado en la parte superior (Fig. 2-1).

La rotación de la flecha hace que el excéntrico atrape el liquido contra la caja.

Conforme continúa la rotación> el liquido se fuerza de la caja a través de la ranura

a la salida de la bomba.

Bombas de Engranes Externos. Éstas constituyen cl tipo rotatorio más

simple. Conforme los dientes de los engranes se separan en el lado el líquido llena

el espacio, entre ellos.

Éste se conduce en trayectoria circular hacia afuera y es exprimido al

engranar nuevamente los dientes. Los engranes pueden tener dientes simples,

215

dobles, o de involuta. Algunos diseños tienen agujeros de flujo radiales en el

engrane loco, que van de la corona y del fondo de los dientes a la perforación

interna.

Éstos permiten que el liquido se comunique de un diente al siguiente,

evitando 'a formación de presiones excesivas que pudiesen sobrecargar las

chumaceras y causar una operación ruidosa.

Bombas de Engrane Interno. Este tipo (Fig. 2-3) tienen un rotor con dientes

cortados internamente y que encajan en un engrane loco, cortado externamente.

Puede usarse (Fig.2-3)

una partición en forma de luna creciente para evitar que el líquido pase de

nuevo al lado de succión de la bomba.

Bombas Lobulares .- Éstas se asemejan a las bombas del tipo de engranes

en su forma de acción, tienen dos o más rotores cortados con tres, cuatro, o más

lóbulos en cada rotor (Fig.s 2-4 a 2-6).

Los rotores se Sincronizan para obtener una rotación positiva por medio de

engranes externos, Debido a que el líquido se descarga en un número más

reducido de cantidades mayores que en el caso de la bomba de engranes, el flujo

del tipo lobular no es tan constante como en la bomba del tipo de engranes.

Existen también combinaciones de bombas de engrane y lóbulo.

Bombas de Tornillo. Estas bombas (Figs. 2-7 a 2-8) tienen de uno a tres

tornillos roscados convenientemente que giran en una caja fija. Existe un gran

número de diseños apropiados para varias aplicaciones.

Las bombas de un solo tomillo tienen un rotor en forma espiral que gira

excéntricamente en un estator de hélice interna o cubierta. El rotor es de metal y la

216

hélice es generalmente de hule duro o blando, dependiendo del líquido que se

maneje.

Las bombas de dos y tres tornillos tienen uno o dos engranes locos,

respectivamente, el flujo se establece entre las roscas de los tornillos, y a lo largo

del eje de los mismos. Pueden usarse tornillos con roscas opuestas para eliminar

el empuje axial en la bomba.

Bombas de Aspas. Las bombas de. aspas oscilantes (Fig. 2-10) tienen una

serie de aspas articuladas que se balancean conforme gira el rotor, atrapando al

líquido y forzándolo en el tubo de descarga de la bomba. Las bombas de aspas

deslizantes (Fig. 2-11) usan aspas que se presionan contra la carcasa por la

fuerza centrifuga cuando gira el rotor. El liquido atrapado entre las dos aspas se

conduce y fuerza hacia la descarga de la bomba.

Otros Diseños. Las bombas de block de vaivén (Fig. 2-12) tiene un motor

cilíndrico que gira en una carcasa concéntrica. En el interior del rotor se encuentra

en un bloque que cambia en posición de vaivén y un pistón reciprocado por un

perno loco colocado excéntricamente, produciendo succión y descarga.

La bomba de junta universal (Fig. 2-13) tiene un pequeño tramo de flecha en el

extremo libre del rotor, soportado en una chumacera y a 80 grados con la

horizontal. El extremo opuesto del rotor se encuentra unido al motor. Cuando el

rotor gira, cuatro grupos de superficies planas se abren y cierran para producir una

acción de bombeo o cuatro descargas por. revolución.

5.2.4 CONTRARRESTAR EL GOLPE DE ARIETE

Sistemas de bombeo de baja y alta presión: el golpe de ariete tiene mayor

significación en sistemas de baja presión, que en los de alta presión. Las

velocidades de desplazamiento en condiciones estables normales tanto en los

217

sistemas de alta como en los de baja presión son aproximadamente iguales. Sin

embargo, los cambios de presión son proporcionales a la velocidad con que se

cambia la velocidad de la masa de agua contenida dentro de la tubería. Por lo

tanto, dado un cambio de velocidad especifico dentro de la unidad del tiempo, el

cambio de presión que resulta en los sistemas de alta y baja presión es del mismo

orden de magnitud. Por lo tanto, una elevación en la presión por una cantidad

dada, representara un aumento en mayor proporción dentro del sistema de baja

presión, que lo que este mismo aumento de presión representara dentro de un

sistema de alta presión.

Tamaño de la tubería: El diámetro de la tubería se suele determinar en

consideraciones económicas, basadas en condiciones de bombeo en estado

estable. No obstante, los efectos del golpe de ariete en un tubo de descarga de

una bomba se pueden reducir al aumentar el tamaño del tubo de descarga, porque

los cambios de velocidad serán menores en el tubo más grande. Este método de

reducción del golpe de ariete en los tubos de descarga suele ser muy costoso,

pero hay ocasiones en las cuales resulta más costoso utilizar dispositivos de

control que el cambio del diámetro de la tubería.

Efecto de volante ( ): Otro método para reducir los efectos del golpe de

ariete en los tubos de descarga de las bombas, es proveer un efecto de volante

adicional en el elemento rotatorio del motor. En promedio, el motor por lo general

produce alrededor del 90% del efecto del volante combinado de los elementos

rotatorios de la bomba y el motor. Al ocurrir una interrupción de corriente en el

motor, un aumento de la energía cinética de las partes rotatorias, reducirá la

rapidez del cambio de la circulación de agua en el tubo de descarga. En la

mayoría de los casos se puede obtener un aumento del 100% en el de los

motores grandes con un aumento de precio del 20% del costo original del motor.

Ahora bien, un aumento en el no es un método económico para reducir el

golpe de ariete, pero es posible en algunos casos marginales, eliminar otros

dispositivos más costosos para el control de la presión.

218

Numero de bombas: El numero de bombas conectadas en cada tubo de

descarga se suele determinar con los requisitos operacionales de la instalación,

disponibilidad de las bombas y otras consideraciones económicas. No obstante, el

numero y tamaño de las bombas conectadas en cada tubo de descarga tendrán

algún efecto sobre las transitorias del golpe de ariete. Para el arranque de bombas

equipadas con válvulas de retención, cuanto mayor sea el numero de bombas en

cada tubo de descarga, menor será el aumento de la presión. Además, si hay una

falla en una de las bombas o válvulas de retención, seria preferible una instalación

con bombas múltiples en cada tubo de descarga, en vez de una sola bomba,

porque los cambios de circulación en el tubo de descarga producidos por la falla,

serian menores. Cuando ocurre una interrupción simultanea de la corriente en

todos los motores de las bombas, cuanto menor sea el numero de bombas en un

tubo de descarga, menores serán los cambios en la presión y otros fenómenos

hidráulicos transitorios. Para una circulación total dada en un tubo de descarga, un

gran numero de bombas y motores pequeños, tendrá mucha menor energía

cinética total en las partes rotatorias, para mantener la circulación, que un numero

pequeño de bombas. En consecuencia, para el mismo caudal total, los cambios de

velocidad y los efectos del golpe de ariete a consecuencia de la interrupción de la

corriente son mínimos, cuando hay una sola bomba conectada en cada tubo de

descarga.

Velocidad especifica de las bombas: Para una tubería y condiciones dadas

de circulación estable inicial, el aumento máximo en la carga que puede ocurrir en

un tubo de descarga, después de la interrupción de la corriente, cuando la

circulación inversa pasa por la bomba depende, primero, de la magnitud de la

circulación inversa máxima que puede pasar por la bomba durante los periodos de

disipación de energía y de funcionamiento de la turbina y, luego, de la circulación

que puede por la bomba a la velocidad de embalamiento o “desboque” en reversa.

Al ocurrir la interrupción de la corriente, la bomba de flujo radial (alta velocidad

especifica), producirá un poco mas de turbulencia que las bombas de flujo axial y

de flujo mixto. La bomba de flujo radial también producirá el máximo aumento en

219

la carga al ocurrir la interrupción de la corriente, si se permite que la circulación

inversa pase por la bomba. Suele haber muy poco aumento en la carga en las

bombas de flujo mixto y de flujo axial cuando ocurre una interrupción de la

corriente y si no ocurre una separación de la columna de agua en algún otro lugar

de la tubería.

Durante la interrupción de la corriente si no se utilizan válvulas, se llega a

una mayor velocidad inversa en la bomba de flujo axial y a una menor en la bomba

de flujo radial. Por lo tanto, se debe tener cuidado de evitar daños a los motores

de las bombas de mayor velocidad especifica, debido a estas velocidades inversas

más altas. Al arrancar una bomba en contra de una válvula de retención

inicialmente cerrada, la bomba de flujo axial producirá el máximo aumento de

carga en el tubo de descarga porque también tiene la máxima carga de cierre. Al

arrancar la bomba, una bomba de flujo radial producirá un aumento nominal en la

carga; pero, una bomba de flujo axial puede producir un aumento en la carga

varias veces mayor que la carga estática.

ACCESORIOS PARA CONTRARRESTAR EL GOLPE DE ARIETE

Válvulas de retención: estas se pueden agrupar en dos clases: de cierre

rápido y de cierre lento. El requisito más importante de una válvula de retención

es, que al ocurrir la interrupción de la corriente, esta se cierre con una rapidez tal

que no se establezca una circulación inversa apreciable. Si debido a las

características de circulación del sistema y al diseño de la válvula de retención no

se puede cumplir con el anterior objetivo, se tiene que recurrir a unos dispositivos

que sean capaces de amortiguar el cierre de la válvula, ya sea en su totalidad o en

su finalización.

En los sistemas grandes de bombeo, si se utiliza un cierre de una velocidad

para la válvula de descarga, después de la interrupción de la corriente, se limitara

el aumento de la carga en la tubería de descarga, a un valor aceptable. Si se

desea, por otras consideraciones, limitar la velocidad inversa de la bomba, se

220

puede utilizar un cierre de dos velocidades para la válvula, en este caso la válvula

en su mayor parte debe ser cerrada con mucha rapidez, hasta el momento en que

se invierta la circulación en la bomba. Después debe acabar de cerrarse con una

menor velocidad, a fin de limitar el aumento de presión en el tubo de descarga, a

un valor aceptable.

Supresores de fluctuaciones: estos se utilizan, en las plantas de bombeo

para controlar el aumento en la presión que ocurre en los tubos de descarga de

las bombas, después de una interrupción de la corriente. Un supresor de

fluctuaciones consiste en una válvula operada por piloto, la cual abre con rapidez

después de una interrupción de la corriente. Esta válvula produce una abertura

para descargar el agua del tubo de descarga, después esta se cierra con lentitud

debido a la acción de un amortiguador de cierre, a fin de controlar el aumento en

la presión conforme se corta la circulación de agua. Un supresor de fluctuaciones

adecuado y bien ajustado en el campo, puede reducir el aumento en la presión a

cualquier valor deseado, siempre y cuando no ocurra una separación de la

columna de agua en otros lugares de la tubería.

Si el supresor abre con demasiada rapidez, después de la interrupción de la

corriente, la fluctuación descendente de la bomba y de la tubería de descarga

seria mayor que si no hubiera supresor. Como resultado, se puede producir una

separación de la columna de agua en algunos lugares de la tubería, por la

apertura prematura del supresor. Si el supresor cierra con demasiada rapidez

después de establecida la máxima circulación inversa, ocurrirá un gran aumento

en la presión

Cámaras de aire: es un dispositivo eficaz para controlar las fluctuaciones de

presión en una tubería de descarga larga de una bomba. Esta suele encontrarse

en la estación de bombeo o cerca de esta. La parte inferior de esta contiene agua

y la superior aire comprimido. Cuando ocurre una interrupción de la corriente en el

motor de la bomba, la carga producida por la bomba baja con rapidez. El aire

221

comprimido de la cámara se expande y expulsa el agua por el fondo de la cámara

hacia el tubo de descarga, minimizando los efectos de cambio de velocidad y los

efectos del golpe de ariete en el tubo. Cuando la velocidad de la bomba se reduce

a un punto al cual no puede entregar agua en contra de la carga existente,

entonces la válvula de retención en la descarga se cierra con rapidez,

desacelerando la bomba, hasta que esta se detiene. Unos instantes mas tarde, el

agua en el tubo de descarga pierde velocidad y se detiene, se invierte y retorna a

la cámara de aire. Esta entra por un orificio de restricción, disminuyendo el

volumen de aire de la cámara y ocurriendo un aumento en la carga, superior a la

carga de bombeo en la tubería de descarga.

Tanques de compensación de pulsaciones: este es uno de los dispositivos

mas confiables que se pueden utilizar en las estaciones de bombeo para reducir el

golpe de ariete. No tiene piezas móviles que se puedan dañar. Después de la

interrupción en la corriente, el agua en el tanque de compensación constituye una

fuente de energía potencial, que reduce en forma efectiva, la rapidez en el cambio

de circulación y el golpe de ariete en la tubería de descarga. Una de las

desventajas del tanque de compensación es que su parte superior debe estar mas

arriba del gradiente hidráulico para evitar derrames, haciendo así el tanque muy

alto y muy costoso.

En el libro Hidraulic Institute Standards (Bombas centrifugas, rotatorias y

reciprocas), 12a, 1969. Podemos encontrar unas gráficas de fácil manejo de

donde se pueden calcular las fluctuaciones en la tubería ocasionadas por el

arranque o paro súbito de una bomba.

Trinquetes no reversibles: este aparato de uso solo en plantas de bombeo

pequeñas, consiste de un trinquete (cuña) no reversible en el eje de la bomba y

del motor, que evita la rotación inversa de la bomba. Este aparato es eficaz para

controlar el golpe de ariete al ocurrir la interrupción de la corriente, debido a la

gran circulación inversa que puede pasar por el impulsor que esta estacionario.

222

Aunque ha sido útil en bombas pequeñas, su uso en bombas medianas y grandes

ha sido decepcionante, debido a que el choque en el sistema de eje de motor y

bomba por el paro repentino del eje, ocasiono graves problemas mecánicos.

A continuación se mostraran algunas gráficas que ofrecen un método

conveniente para obtener las transitorias hidráulicas en la bomba y en el punto

medio del tubo de descarga, cuando no hay válvulas de control en la bomba.

Aunque las gráficas, en teoría, son aplicables a un grupo particular de bombas de

flujo radial, también son útiles para calcular los efectos del golpe de ariete en

cualquier tubería de descarga equipadas con bombas de flujo radial. Las gráficas

están basadas en dos parámetros independientes: , la constante de la tubería y

una constante que incluye el efecto de la inercia de la bomba del motor y

el tiempo de recorrido de la onda de golpe de ariete en la tubería de descarga

223

UNIDAD VI: MÁQUINAS HIDRÁULICAS

6.1 FUNDAMENTOS

Consiste en incorporar a la parte rotatoria del grupo de impulsión un volante

cuya inercia retarde la pérdida de revoluciones del motor, y en consecuencia,

aumente el tiempo de parada de la bomba, con la consiguiente minoración de las

sobrepresiones.

Este sistema crea una serie de problemas mecánicos, mayores cuantos

mayores sea el peso del volante.

6.1.1 IMPULSO

Consiste en una tubería de diámetro superior al de la tubería, colocada

verticalmente y abierta en su extremo superior a la atmósfera, de tal forma que su

altura sea siempre superior a la presión de la tubería en el punto donde se instala

en régimen permanente.

Este dispositivo facilita la oscilación de la masa de agua, eliminando la

sobrepresión de parada, por lo que sería el mejor sistema de protección si no

fuera pos aspectos constructivos y económicos. Sólo es aplicable en instalaciones

de poca altura de elevación.

6.1.2 REACCION

Consiste en un recipiente metálico parcialmente lleno de aire que se

encuentra comprimido a la presión manométrica. Existen modelos en donde el aire

se encuentra aislado del fluido mediante una vejiga, con lo que se evita su

disolución en el agua.

224

El calderín amortigua las variaciones de presión debido a la expansión

prácticamente adiabática del aire al producirse una depresión en la tubería, y

posteriormente a la compresión, al producirse una sobrepresión en el ciclo de

parada y puesta en marcha de una bomba.

Su colocación se realiza aguas debajo de la válvula de retención de la

bomba. Se instala en derivación y con una válvula de cierre para permitir su

aislamiento.

Cátedra de Ingeniería Rural

Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Agrícola de Ciudad Real

6.1.3 LEYES DE SIMILITUD

Son de dispositivas que permiten de forma automática y casi instantánea la

salida de la cantidad necesaria de agua para que la presión máxima en el interior

de la tubería no exceda un valor límite prefijado.

Suelen proteger una longitud máxima de impulsión el orden de 2 km. Los

fabricantes suelen suministrar las curvas de funcionamiento de estas válvulas,

hecho que facilita su elección en función de las características de la impulsión.

6.2 MAQUINAS DE FUNCIONAMIENTO HIDRÁULICO

Estas válvulas están diseñadas para que se produzca su apertura en el

momento de parada de la bomba y cuando se produce la depresión inicial, de tal

forma que cuando vuelva a la válvula la onda de sobrepresión, ésta se encuentre

totalmente abierta, minimizando al máximo las sobrepresiones que el transitorio

puede originar.

225

6.2.1 BOMBAS

Dependiendo de su función, permiten la eliminación del aire acumulado en

el interior de la tubería, admisión de aire cuando la presión en el interior es menor

que la atmosférica y la eliminación del aire que circula en suspensión en el flujo

bajo presión.

6.2.2 TURBINAS

Estas válvulas funcionan de manera que sólo permiten el flujo de agua en

un sentido, por lo que también se conocen como válvulas anti-retorno.

Entre sus aplicaciones se puede señalar:

En impulsiones, a la salida de la bomba, para impedir que ésta gire en

sentido contrario, proteger la bomba contra las sobrepresiones y evitar que la

tubería de impulsión se vacíe.

En impulsiones, en tramos intermedios para seccionar el golpe de

ariete en tramos y reducir la sobrepresión máxima.

En hidrantes, para impedir que las aguas contaminadas retornen a la

red.

En redes de distribución con ramales ascendentes, para evitar el

vaciado de las mismas al detenerse el flujo.

226

6.3 PROBLEMAS DE OPERACIÓN

Sus limitaciones son:

No se pueden instalar verticalmente cuando la corriente va hacia

abajo.

No funcionan correctamente cuando la velocidad del agua sobrepasa

los 1.5 m/s.

No funcionan correctamente cuando las presiones estáticas empiezan

a ser elevadas. Si se trabaja con más de 3 atmósferas de presión, conviene

asegurarse de la fiabilidad de la válvula de claveta simple que se trate de elegir.

No funcionan correctamente cuando las sobrepresiones del golpe de

ariete empiezan a ser importantes. En ocasiones, la presión estática puede ser

baja, pero una gran longitud de la tubería puede dar lugar a golpes de ariete

excesivos para ciertas válvulas de retención.

No funcionan correctamente cuando los caudales son importantes.

Su funcionamiento es incorrecto cuando se cierran bruscamente,

produciendo vibraciones que pueden dañar las tuberías y otras válvulas.

6.3.1 CAVITACIÓN

Son de fácil construcción. El disco se levanta por acción del agua hasta

unos noventa grados. Su cierre suele ser muy brusco y entonces produce un

golpetazo que repercute en las tuberías y en otros elementos adyacentes y puede

originar un fuerte golpe de ariete.

227

6.3.2 GOLPE DE ARIETE

El caso más desfavorable para la conducción (máximo golpe de ariete) es el

cierre instantáneo (T0). En la práctica esto sólo ocurre en impulsiones de gran

pendiente hidráulica, no siendo lo habitual.

Como a mayor tiempo T menor sobrepresión, si podemos controlar T

limitaremos en gran medida los problemas en tuberías, siendo éste el caso de los

abastecimientos por gravedad.

Cálculo de la sobrepresión producida por el golpe de Ariete. Fórmulas de

Michaud y Allievi.

Una vez conocido el valor del tiempo T y determinado el caso en el que nos

encontramos (cierre lento o cierre rápido), el cálculo del golpe de ariete se

realizará de la forma siguiente:

a) Cierre lento.

A finales del siglo XIX, Michaud propuso la primera fórmula para valorar el

golpe de ariete:

Para deducir esta ecuación, Michaud no tuvo en cuenta ni la

compresibilidad del agua ni la elasticidad de la tubería.

228

El límite mínimo de ∆H se produce cuando L es muy pequeño frente a T, y

entonces:

229

presentacion libro hidr notas

Documents