pre grado profesores acosta ramírez, salomón ciro …

Estadiacutestica (MA86) ciclo 2013-1

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Authors Laines Blanca

Publisher Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC)

Download date 16072022 083921

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PRE GRADO

PROFESORES Acosta Ramiacuterez Salomoacuten Ciro

Caacuterdenas Bonilla Edgard Eusebio

Caacuterdenas Soliacutes Celia Hermelinda

Laines Lozano Blanca Luz

Osorio Martinez Miluska Elena

Ramiacuterez Infante Rauacutel Roberto

Vargas Paredes Ana Cecilia

TIacuteTULO CUADERNO DE TRABAJO

FECHA Marzo del 2013

CURSO ESTADIacuteSTICA

COacuteDIGO MA86

AacuteREA CIENCIAS

CICLO 2013-1

Estadiacutestica (CivilElectroacutenicaTelecomunicaciones)UPC 2013-01 2

Iacutendice

Unidad 1 Organizacioacuten de datos 4

11 Definiciones 4 12 Tipos de datos 5 13 Variables 5 14 Meacutetodos graacuteficos para describir datos cualitativos 8 15 Meacutetodos graacuteficos para describir datos cuantitativos 13

Unidad 2 Medidas de resumen 19

21 Meacutetodos numeacutericos para describir datos cuantitativos 19 22 Medidas de posicioacuten 19 23 Medidas de tendencia central 22 24 Medidas de variacioacuten 27

Unidad 3 Probabilidad 35

31 Experimento aleatorio () 35

32 Espacio muestral (oacute S) 35 33 Evento 37 34 Probabilidad 37 35 Definicioacuten claacutesica de la probabilidad de un evento 38 36 Operaciones con eventos 40 37 Eventos complementarios 40 38 Probabilidad condicional 41 39 Reglas de probabilidad para uniones e intersecciones 42 310 Eventos independientes 43 311 Probabilidad Total y el Teorema de Bayes 44

Unidad 4 Variable aleatoria y distribucioacuten de probabilidad 47 41 Variable aleatoria 47 42 Variables aleatorias discretas 48 43 Variables aleatorias continuas 53 44 Principales variables discretas 57 45 Principales variables continuas 63 46 Otras distribuciones continuas 69

Unidad 5 Estadiacutestica Inferencial Estimacioacuten y prueba de hipoacutetesis 74

51 Estimacioacuten puntual 74 52 Estimacioacuten por intervalos 75 53 Intervalo de confianza para la media 75 54 Intervalo de confianza para la proporcioacuten poblacional 85 55 Prueba de hipoacutetesis 89 56 Prueba de hipoacutetesis para una media poblacional 90 57 Pruebas de hipoacutetesis para una proporcioacuten poblacional 94 58 Prueba de hipoacutetesis para una varianza poblacional 95


59 Pruebas de hipoacutetesis para dos varianzas poblacionales 97 510 Pruebas de hipoacutetesis para dos medias poblacionales 98 511 Prueba de hipoacutetesis para dos proporciones poblacionales 101

Unidad 6 Pruebas chi-cuadrado 103

61 Bondad de ajuste 103

62 Pruebas de normalidad de Kolmogorov 107 63 Prueba de independencia 108

Unidad 7 Anaacutelisis de regresioacuten y correlacioacuten 111

71 Regresioacuten lineal 111 72 Inferencia estadiacutestica para los coeficientes del modelo 120 73 Pronoacutesticos para un valor medio y para un valor individual 120

Unidad 8 Anaacutelisis de regresioacuten no lineal 127

81 Modelos linealizables 127 82 Regresioacuten cuadraacutetica 127


Unidad 1 Organizacioacuten de datos

Logro de la unidad

Al finalizar la unidad el alumno organiza adecuadamente las observaciones o datos para facilitar la

comprensioacuten de los mismos con ayuda del programa Minitab

11 Definiciones

Estadiacutestica

Es la ciencia de los datos implica la coleccioacuten clasificacioacuten siacutentesis organizacioacuten anaacutelisis e

interpretacioacuten de los datos

Elemento o unidad elemental

Es cada una de las entidades acerca de las cuales se reuacutenen los datos

Poblacioacuten

Es un conjunto de elementos (personas objetos etc) que tienen una o maacutes caracteriacutesticas

observables que se pueden medir en ellos

Ejemplo

Para conocer la opinioacuten que tienen los estudiantes de ingenieriacutea sobre el servicio que ofrece el

Centro de Informacioacuten se puede considerar como poblacioacuten a todos los estudiantes de ingenieriacutea de

la UPC matriculados en el semestre 2012-2

Muestra

Se denomina muestra a una parte de la poblacioacuten

Estadiacutestica descriptiva

Es la rama de la Estadiacutestica que se dedica al anaacutelisis descripcioacuten y representacioacuten de un

conjunto de datos Obtenieacutendose conclusiones sobre las caracteriacutesticas de dicho conjunto

Estadiacutestica inferencial

Es la rama de la Estadiacutestica que desarrolla los procesos de estimacioacuten anaacutelisis y pruebas de

hipoacutetesis de un conjunto de datos extraiacutedos de una nuestra con el propoacutesito de llegar a tener

conclusiones acerca de una poblacioacuten


12 Tipos de datos

Cuantitativos son los que representan la cantidad o el nuacutemero de algo

Cualitativos o categoacutericos son los que no tienen una interpretacioacuten cuantitativa soacutelo pueden

clasificarse en categoriacuteas

13 Variables

Variable es una caracteriacutestica de intereacutes de los elementos

Ejercicio

Se realiza un estudio para determinar la temperatura diaria promedio en la UPC al medio diacutea

durante los meses de enero febrero y marzo Determine la poblacioacuten una muestra un elemento y

la(s) variable(s) del estudio

Escalas de medicioacuten de las variables

La escala de medicioacuten permite determinar la cantidad de informacioacuten que contienen los datos e

indica el resumen de estos y el anaacutelisis estadiacutestico maacutes apropiado

Nominal

Una variable estaacute medida en escala nominal cuando los datos son etiquetas o nombres que se

emplean para definir un atributo del elemento

Por ejemplo el geacutenero de las personas el estado civil el nuacutemero del celular etc

Ordinal

Una variable estaacute medida en escala ordinal cuando pueden ordenarse de acuerdo a alguacuten criterio Se

pueden ordenar en forma ascendente o descendente Tambieacuten pueden registrarse por medio de un

coacutedigo numeacuterico

Por ejemplo el orden de meacuterito de los alumnos en el curso de Estadiacutestica el grado de instruccioacuten de

los clientes de un banco nivel socioeconoacutemico de los alumnos de la universidad

Intervalo

Una variable estaacute medida en escala de intervalo si los datos tienen propiedades de datos ordinales y

el intervalo entre observaciones se expresa en teacuterminos de una unidad fija de medida Los datos de

intervalo siempre son numeacutericos En esta escala el cero es relativo es decir no indica la ausencia

de la caracteriacutestica medida

Por ejemplo las temperaturas en grados centiacutegrados o en grados Fahrenheit


Razoacuten

Una variable estaacute medida en escala de razoacuten si los datos tienen todas las propiedades de los datos de

intervalo y el cociente de los dos valores es significativo En esta escala el cero indica la ausencia

de caracteriacutestica de la medida

Por ejemplo el sueldo de los empleados de una empresa el peso de los alumnos de la UPC

Clasificacioacuten de variables

Variable cualitativa

Es la caracteriacutestica cuyos valores se expresan en escala nominal u ordinal Por ejemplo carreras

universitarias materiales de construccioacuten y tipos de resistencias

Variable cuantitativa

Es la caracteriacutestica cuyos valores se expresan en escala de intervalo o de razoacuten Se dividen en

Discretas

Continuas

Variable discreta

Es aquella variable cuyo resultado soacutelo puede tomar un nuacutemero finito o infinito numerable de

valores Estos valores surgen de un proceso de conteo

Por ejemplo nuacutemero de artiacuteculos defectuosos producidos diariamente o nuacutemero de columnas de

concreto necesarias en la construccioacuten de un puente

Variable continua

Es aquella variable cuyo resultado puede tomar infinitos valores entre dos valores cualesquiera

Estos valores surgen de un proceso de medicioacuten

Por ejemplo temperatura de ignicioacuten de un gas resistencia del concreto a la compresioacuten o

tiempo de corte de un torno corriente

Ejercicio

ComputerSoft es una compantildeiacutea dedicada a brindar servicios informaacuteticos a empresas que deseen

tener una presencia firme y contundente en la red Estacompantildeiacutea se dedica al tendido de redes LAN

instalacioacuten de equipos servidores y toda una gama de productos tecnoloacutegicos que puedan resultar

imprescindibles para una empresa Como parte de un estudio realizado por ComputerSoft se analiza

la informacioacuten correspondiente a una muestra de 30 empresas en la ciudad de Lima a las que se les

brindoacute los servicios informaacuteticos de la compantildeiacutea

Identifique el tipo y escala de medicioacuten de las variables consideradas en dicho estudio

Variable Tipo de variable Escala de medicioacuten

Lenguajes de programacioacuten (Cobol Java etc)

Cantidad de servidores por empresa

Costo de las licencias de software (en doacutelares)

Antildeo de instalacioacuten del software


Ejercicios propuestos

1 En un estudio se recaboacute los datos para una muestra de secciones de tuberiacuteas de agua Indique si

las variables son cuantitativas o cualitativas discretas o continuas y su escala de medicioacuten


Diaacutemetro de la tuberiacutea (pulgadas)

Material de la tuberiacutea

Edad (antildeo de instalacioacuten)

Ubicacioacuten (subterraacutenea aeacuterea)

Longitud de la tuberiacutea (pies)

Estabilidad del suelo circundante (inestable moderadamente estable o estable)

Corrosividad del suelo circundante (corrosivo o no corrosivo)

2 El gobierno estaacute preocupado por la ocurrencia de un sismo de alta intensidad en el

departamento de Lima y por las consecuencias que esto podriacutea generar especialmente en

algunos distritos como el Cercado de Lima Por esta razoacuten Defensa Civil realizoacute un diagnoacutestico

de la situacioacuten de las viviendas en el mencionado distrito a traveacutes de una muestra de 1200

viviendas seleccionadas al azar Se registraron las siguientes variables

I Antildeo de construccioacuten

II Tipo de vivienda(1 = Cemento 2 = Adobe 3 = Quincha 4 Material prefabricado)

III Nuacutemero de habitaciones por vivienda

IV Aacuterea del terreno en donde se construyoacute la vivienda

a De acuerdo al enunciado anterior identifique la poblacioacuten y la muestra

b Identifique el tipo y escala de medicioacuten de las variables mencionadas

3 La empresa de investigacioacuten de mercados AlphaDatum SA realizoacute un estudio para evaluar el

efecto de la caiacuteda de la bolsa de valores de Lima (BVL) en las administradoras de fondos de

pensiones (AFP) En este estudio se tomoacute una muestra de 300 afiliados entre 25 y 35 antildeos en

Lima seleccionados al azar Se registraron las siguientes variables

I AFP a la que pertenece el afiliado (1 = Futuro Soacutelido 2 = Siempre Contigo 3 = Forever)

II Monto del fondo del afiliado (en nuevos soles)

III Edad del afiliado (en antildeos)

IV Tipo de fondo seguacuten riesgo (1 = Bajo riesgo 2 = Riesgo moderado 3 = Alto riesgo)




14 Meacutetodos graacuteficos para describir datos cualitativos

Frecuencia absoluta (fi) de la categoriacutea

La frecuencia absoluta(fi) de una categoriacutea estaacute dada por el nuacutemero de repeticiones en las

observaciones que presenta esta categoriacutea

Frecuencia relativa (hi) de la categoriacutea

La frecuencia relativa (hi)de una categoriacutea estaacute dada por la proporcioacuten del nuacutemero total de

observaciones que caen en esa categoriacutea

Ejemplo

Se tiene informacioacuten para una muestra sobre los dominios de segundo nivel registrados bajo la

categoriacutea pe

Dominio f h p

compe 285 0570 570

orgpe 106 0212 212

edupe 64 0128 128

gobpe 26 0052 52

netpe 3 0006 06

Otros 16 0032 32

Total 500

Graacutefico de barras y sectores circulares

Para representar graacuteficamente la distribucioacuten de frecuencias de una variable cualitativa se

utilizan las barras y los sectores circulares

Si trabajamos con variables nominales las categoriacuteas pueden ser colocadas en cualquier orden

En el caso de escala ordinal las categoriacuteas deberaacuten ser colocadas en orden

Ejercicio

Hallar el graacutefico de barras y circular para el ejercicio anterior


Frecuencia relativa acumulada (Hi) de una categoriacutea

La frecuencia relativa acumulada de una categoriacutea estaacute dada por la proporcioacuten del nuacutemero total de

observaciones que caen hasta esa categoriacutea

Graacutefico de Pareto

El diagrama de Pareto es un graacutefico de barras ordenado por frecuencia en orden descendente

Ejemplo

La siguiente tabla muestra informacioacuten sobre los defectos observados con mayor frecuencia en los

puentes vecinales construidos en estructura de madera de cierta localidad del interior del paiacutes

Defectos observados fi

Pandeos y rajaduras 40

Pudrimiento de las piezas de madera 30

Efectos del desgaste mecaacutenico 20

Otros 5

Deformaciones 15

Ataques de insectos y crustaacuteceos 10

Accioacuten de fuego 5

Construya el diagrama de Pareto para poder identificar los principales defectos en este tipo de

puentes Comente sus resultados



4 Un estudio presentado porldquoPC Review ndash Peruacuterdquo realizados entre directores de empresas de la

ciudad de Lima usuarios de Microsoft Office En una muestra a 500 directores se les preguntoacute

cuaacutel de los programas de Office usaba con mayor frecuencia Las respuestas obtenidas se

resumen a continuacioacuten

Programa de Microsoft de uso maacutes frecuente Cantidad de directores de empresas

MS Word 250

MS Excel 80

MS Power Point 75

Access 30

Outlook 10

Otros 55

Total 500

Construya el diagrama de barras y sectores circulares para la informacioacuten anterior

5 En la tabla se presenta el nuacutemero de trabajadores contratados (hombres y mujeres) y el

porcentaje de mujeres empleadas en diferentes ocupaciones enla construccioacuten de un hotel

Ocupaciones enla construccioacuten Nuacutemero de trabajadores Porcentajede mujeres

Ladrilladores canteros 284 20

Carpinteros 1057 13

Instaladores de alfombras 73 21

Acabadores de concreto piso veneciano 113 60

Instaladores de pared seca 143 10

Electricistas 548 17

Vidrieros 42 14

Instaladores de mosaico 28 20

Trabajadores de aislamiento 70 15

Pintores tapizadores construccioacuten y mantenimiento 453 10

Plomeros tuberos montadores de calderas de vapor 379 45

Instaladores de techos 138 37

Trabajadores con metal 80 25

a Construya un graacutefico de barras considerando la frecuencia relativa del nuacutemero de

empleados contratados en las diferentes ocupaciones de la construccioacuten

b Construya una tabla de frecuencia del nuacutemero de mujeres empleadas en las diferentes

ocupaciones de la construccioacuten


6 La informacioacuten es una muestra de las quejas de los clientes de la empresa de telefoniacutea

Quejas hi

Cambios sin consentimiento 0492

Tarifas y servicios 0212

Forzamiento al cambio 0058

Marketing 0148

Llamadas internacionales 0029

Otros 0025

Servicio de operadora 0036

Construya el diagrama de Pareto de las quejas de los clientes

7 A continuacioacuten se presenta el cuadro de ingreso del presupuesto institucional referencial para el

antildeo 2006 (en miles de soles) de una municipalidad

Descripcioacuten Cantidad

Impuestos 12042

Tasas 26530

Contribuciones 120

Venta de bienes 845

Prestacioacuten de Servicios 1400

Renta de la Propiedad 1135

Multas y Sanciones 593

Transferencias 734

Otros 1132

Elabore el graacutefico de Pareto y comente lo obtenido

8 En la siguiente tabla se muestran los resultados obtenidos en un estudio realizado en la ciudad

de Ica por un grupo de profesionales de la UPC de la facultad de Ingenieriacutea sobre las fallas

estructurales en las edificaciones debido al uacuteltimo sismo que tuvo como epicentro la ciudad de

Nazca

Fallas estructurales Porcentaje

Columnas cortas 10

Configuracioacuten del edificio 45

Problemas geoteacutecnicos 30

Otros 10

Piso blando 5

Construya un diagrama de Pareto para identificar las fallas estructurales que tienen mayor

incidencia en las edificaciones en la ciudad de Ica debido al uacuteltimo sismo mencionado


9 BetaSystemsSA es una empresa dedicada a la importacioacuten y venta de monitores Suponga que

usted es el encargado de analizar los datos registrados correspondientes a las marcas de los

monitores vendidos el nuacutemero de monitores con fallas el monto de venta diario (en cientos de

nuevos soles) y el costo de mantenimiento (en nuevos soles) Parte de la informacioacuten procesada

se muestra a continuacioacuten

Construya el diagrama de Pareto parapoder identificar la estrategia de ventas maacutes conveniente

para la empresa Comente sus resultados


15 Meacutetodos graacuteficos para describir datos cuantitativos

Frecuencia acumulada (Fi)

Representa el nuacutemero de observaciones que caen hasta esa categoriacutea

Ejemplo

Construir la distribucioacuten de frecuencias del nuacutemero de trabajadores ausentes observados en una

muestra de 30 diacuteas laborables

2 3 3 0 1 2 1 2 2 4 3 2 0 1 2

1 3 3 2 1 0 1 2 3 2 4 1 0 1 2

Distribucioacuten del nuacutemero de trabajadores que se ausentaron

X fi hi Fi Hi

Graacutefico de bastones

Es un graacutefico para variables cuantitativas discretas donde se representan cada valor de la

variable y su frecuencia absoluta o relativa

Ejercicio

Realice el graacutefico de bastones del ejercicio anterior


Distribucioacuten de frecuencias para datos continuos

Calcule

1) El rango (R) o recorrido R = dato maacuteximo ndash dato miacutenimo

2) El nuacutemero de intervalos nk 10log32231 (redondeado al entero maacutes proacuteximo)

3) La amplitud del intervalo w = Rk (redondeado por exceso y con el mismo nuacutemero de

decimales que tienen los datos)

4) Las frecuencias absolutas y relativas

Marca de clase

Es el promedio de los liacutemites inferior y superior de una determinada clase o intervalo

2

SupLiacutemInfLiacutem ii

ix

Ejercicio

Se ha llevado a cabo un estudio para evaluar el tiempo (en horas) que utiliza cada trabajador de una

planta hidroeleacutectrica para verificar el normal funcionamiento de la tuberiacutea de presioacuten y las vaacutelvulas

de control Para ello se eligieron al azar a 30 de ellos

008 015 019 071 075 082 084 092 096 116 117 119 123 14 147

159 161 201 216 238 242 307 322 353 376 394 45 459 475 541

Calcule el rango (R) o recorrido

R =

Determine el nuacutemero de intervalos (k)

k =

Determine el tamantildeo del intervalo de clase (w)

w =

Tabla de frecuencias de los tiempos de verificacioacuten (en horas)

i Intervalo xrsquoi fi hi Fi Hi

1 ndash

2 ndash

3 ndash

4 ndash

5 ndash

6 ndash


Histograma poliacutegono y ojiva

Son graacuteficas que representan las observaciones obtenidas de las variables continuas

En el histograma se grafican los intervalos de clase y las frecuencias relativas mientras que para

la ojiva se grafican las frecuencias acumuladas

El histograma es una graacutefica de barras cuyas categoriacuteas son los intervalos de clase Ademaacutes la

altura de las barras estaacute determinada por las frecuencias relativas de los intervalos de clase

Seguacuten el intereacutes del estudio se pueden considerar tambieacuten las frecuencias absolutas

Ejercicio

Elabore el histograma poliacutegono y la ojiva usando la tabla del ejercicio anterior



10 Investigadores del Massachussets Institute of Technology (MIT) estudiaron las propiedades

espectroscoacutepicas de asteroides de la franja principal con un diaacutemetro menor a los 100

kiloacutemetros Los asteroides se observaron con el telescopio Hiltner del observatorio de MIT se

registroacute el nuacutemero de exposiciones de imagen espectral independiente para cada observacioacuten

Aquiacute se presentan los datos de 40 observaciones de asteroides obtenidas de Science (9 de abril

de 1993)

Nuacutemero de exposiciones de imagen espectral independientes para 40observaciones de asteroides

3 4 3 3 1 4 1 3 2 3

1 1 4 2 3 3 2 6 1 1

3 3 2 2 2 2 1 3 2 1

6 3 1 2 2 3 2 2 4 2

Construir un graacutefico de bastones para el nuacutemero de exposiciones de imagen espectral

11 Complete la tabla y elabore un graacutefico apropiado usando las frecuencias porcentuales para

representar la informacioacuten de la tabla siguiente Luego interprete en teacuterminos del enunciado f2 y

H3

i Nuacutemero de monitores

con fallas fi pi Hi

1 0 30

2 1 10

3 2 5

4 3 3

5 4 2

12 Use la regla de Sturges para construir la tabla de distribucioacuten de frecuencias del monto de venta

diario (en cientos de nuevos soles) de la empresa BetaSystemsSA

520 947 951 975 1025 1041 1060 1252 1256 1460

1468 1586 1587 1626 1662 1662 1662 1662 1682 1697

1960 2049 2049 2049 2049 2083 2152 2175 2181 2181

2181 2181 2209 2262 2350 2397 2422 2596 2616 2772

2865 2870 2978 3139 3150 3162 3386 3599 3631 3983


13 En la siguiente tabla se muestra la distribucioacuten del tiempo (en horas) de duracioacuten de los

componentes electroacutenicos de las marcas Gamma y Delta sometidos a un trabajo continuo

Marca Gamma Marca Delta

i LimInf LimSup f h f h

1 0 100 2 12

2 100 200 4 16

3 200 300 22 25

4 300 400 26 10

5 400 500 20 4

6 500 600 5 2

7 600 700 1 1

Construya un graacutefico que permita comparar el tiempo de duracioacuten de los componentes

mencionados Comente sus resultados

14 La Harris Corporation y la University of Florida emprendieron un estudio para determinar si un

proceso de fabricacioacuten efectuado en un lugar lejano se podriacutea establecer localmente como un

nuevo proceso Se instalaron dispositivos de prueba (pilotos) tanto en la ubicacioacuten antigua

como en la nueva y se tomaron lecturas de voltaje del proceso Se considera un proceso

ldquobuenordquo produce lecturas de por lo menos 92 volts (y las lecturas mayores son mejores que las

menores) La tabla contiene lecturas de voltaje para 30 series de produccioacuten en cada lugar

Antiguo proceso en la ubicacioacuten antigua Nuevo proceso en la nueva ubicacioacuten

998 984 1003 919 935 964

805 984 1005 851 936 970

872 987 1005 865 937 975

872 987 1012 868 939 985

880 995 1015 882 943 1001

955 997 1015 882 948 1003

970 998 1026 883 949 1005

973 1000 1026 887 954 1009

980 1001 1029 914 960 1010

980 1002 1055 927 963 1012

a Construya una tabla de frecuencias para las lecturas de voltaje del antiguo y nuevo proceso

Use la regla de Sturges considerando para el caacutelculo del rango la diferencia entre el dato

maacutes grande y maacutes pequentildeo de ambas muestras

b Construya un poliacutegono de frecuencias relativas para las lecturas de voltaje del antiguo y

nuevo proceso Use los intervalos comunes obtenidos en la pregunta anterior

c Compare las graacuteficas de la pregunta anterior iquestCree factible que el proceso de fabricacioacuten se

pueda establecer en la nueva ubicacioacuten es decir iquestel nuevo proceso es tan bueno o mejor

como el antiguo proceso


15 Las ventas mensuales de una compantildeiacutea durante 50 meses son dadas en el siguiente graacutefico

286266246226206186166

50

40

30

20

10

0

Ventas

Fre

cu

en

cia

acu

mu

lad

a

5049

45

36

8

2

Distribucioacuten de las ventas mensuales (miles de soles)

a iquestEn cuantos meses las ventas estuvieron entre 20600 y 24600 soles

b iquestQueacute porcentaje de los meses las ventas fueron maacutes de 22600 soles

c iquestQueacute porcentaje de los meses las ventas fueron maacutes de 21600 soles

d iquestQueacute venta estaacute por encima del 72 de las ventas de los 50 meses

e iquestQueacute venta estaacute por debajo del 10 de las ventas de los 50 meses


1 Hallar la posicioacuten que ocupa el percentil Pk en la

lista de datos ordenados que estaacute determinada por

la expresioacuten

2

Unidad 2 Medidas de Resumen

Logro de la unidad

Al finalizar la unidad el alumno seraacute capaz de describir el comportamiento de un conjunto de datos

a traveacutes de las medidas estadiacutesticas de centro posicioacuten variabilidad y forma aplicado a problemas

de su especialidad

21 Meacutetodos numeacutericos para describir datos cuantitativos

Definiciones

Estadiacutestico

Es una medida descriptiva numeacuterica calculada a partir de datos de una muestra Por ejemplo el

promedio muestral

Paraacutemetro

Es una medida descriptiva numeacuterica de una poblacioacuten Por ejemplo el promedio poblacional

Ejemplo

Con la realizacioacuten del uacuteltimo censo en nuestro paiacutes se ha sabido cuaacutel es el nuacutemero promedio de

personas por vivienda Ese nuacutemero calculado es un paraacutemetro porque estaacute calculado sobre toda la

poblacioacuten Por el contrario cuando se realiza la encuesta de aprobacioacuten presidencial y nos informan

que la aprobacioacuten presidencial estaacute en 43 este nuacutemero es un estadiacutestico pues es calculado sobre

los datos de una muestra

22 Medidas de posicioacuten

Cuantiles

Percentil

El percentil k (Pk) es el valor por debajo del cual se encuentra el k de las observaciones y por

encima el (100-k) de las observaciones

Para datos no agrupados

Primero debe ordenarse los datos en orden creciente o decreciente Luego para hallar el

percentil Pk se sugiere los siguientes pasos

Luego donde E parte entera

d parte decimal

Decil

Se denomina asiacute a cada uno de los nueve percentiles 10P 20P 30P y 90P

Cuartil

)(0 )()1()( EEEk XXdXP

dEnk

i 100

)1(


Es cada uno de los tres percentiles 25P 50P y 75P

El 25P se llama primer cuartil y se denota por Q1

El 50P se llama segundo cuartil y se denota por Q2

El 75P se llama tercer cuartil y se denota por Q3

Ejemplo

Calcule el percentil 20 y 50 del siguiente conjunto de edades 21 35 51 26 18 20 20 31 28 19

23 y 24

Ejemplo

Una muestra de 30 trabajadores de una plataforma petrolera marina formoacute parte de un ejercicio de

escape del aacuterea Para ello se registraron los siguientes tiempos (en minutos) empleados en la

evacuacioacuten

315 325 325 334 339 340 356 356 359 359

363 364 369 370 373 373 374 375 380 389

392 393 394 397 402 403 415 424 428 445

a iquestCuaacutel es el tiempo miacutenimo registrado por el 18 de trabajadores que emplearon maacutes tiempo en

la evacuacioacuten de la plataforma

b iquestCuaacutel es tiempo maacuteximo empleado por el 28 de trabajadores que emplearon menos tiempo en




16 Con base en un ceacutelebre experimento Henry Cavendish (1731 -1810) ofrecioacute evidencias directas

de la ley de la gravitacioacuten universal de Newton En el experimento se determinoacute el peso de

masas de objetos la medida de la fuerza de atraccioacuten se usoacute para calcular la densidad de la

Tierra Los valores de la densidad de la Tierra en orden temporal por filas son

536 529 558 565 557 553 562 529 544 534 579 510

527 539 542 547 563 534 546 530 575 568 585

Calcule e interprete el valor de los cuartiles (FuentePhilosophilTransactions 17 (1798) 469)

17 Los ingresos mensuales de una muestra de pequentildeos comerciantes se tabularon en una

distribucioacuten de frecuencias simeacutetrica de 5 intervalos de igual amplitud resultando que el ingreso

miacutenimo es de 125 doacutelares y la marca de clase del cuarto intervalo es de 300 doacutelares Si el 8 de

los ingresos son menores que 175 doacutelares y el 70 de los ingresos son menores a 275 doacutelares

a Determine las frecuencias relativas de cada intervalo

b iquestQueacute porcentaje de ingresos son superiores a $ 285

18 Zinder y Crisis (1990) presentaron un algoritmo hiacutebrido para resolver un problema de

programacioacuten matemaacutetica polinomial cero-uno El algoritmo incorpora una combinacioacuten de

conceptos pseudo booleanos y procedimientos de enumeracioacuten impliacutecitos probados y

comprobados Se resolvieron 52 problemas al azar utilizando el algoritmo hiacutebrido los tiempos

de resolucioacuten (tiempos de CPU en segundos) se listan en la siguiente tabla

0045 0036 0045 0049 0064 007 0079 0088 0091 0118 013 0136

0136 0136 0145 0179 0182 0182 0194 0209 0209 0227 0242 0258

0258 0258 0291 0327 0333 0336 0361 0379 0394 0412 0445 0506

0554 0567 0579 06 067 0912 1055 107 1267 1639 1894 3046

3888 3985 417 8788

a iquestCuaacutel es el tiempo maacuteximo de resolucioacuten de un problema para ser considerado dentro del

10 de los maacutes raacutepidos

b iquestCuaacutel es el tiempo miacutenimo de resolucioacuten de un problema para ser considerado dentro del

20 de los menos raacutepidos


23 Medidas de tendencia central

Media aritmeacutetica

La media llamada tambieacuten promedio se define como el cociente de la suma de los valores

observados de la variable en estudio y el nuacutemero de observaciones

Para datos simples (no agrupados) se calcula por n

x

x

n

i

i 1

Para datos discretos (agrupados) se calcula por n

xf

x

k

i

ii 1

Para datos continuos (agrupados) se calcula por

1

k

i i

i

f x

xn

Ejercicio

Los siguientes datos son medidas de la resistencia al rompimiento (en onzas) de una muestra de

hilos de lino

152 158 162 185 194 206 212 219 254 273 283 295 325 337 369

La media se calcula por

Ejercicio

Calcule la media para el nuacutemero de hijos obtenida a partir de una muestra de 35 familias

x fi fixi

0 13

1 6

2 8

3 6

4 2


Ejercicio

Calcule el tiempo promedio de verificacioacuten (en horas) para una muestra de trabajadores

Intervalo fi xrsquoi fix

rsquoi

1 [002 - 081[ 6

2 [081 - 160[ 13

3 [160 - 239[ 4

4 [239 - 318[ 3

5 [318 - 397[ 2

6 [397 - 476] 2

Mediana

Es el percentil 50 es decir es el valor que tiene la propiedad que el 50 (la mitad) de las

observaciones son menores o iguales a eacutel

Ejemplo

Los datos corresponden a una muestra de lecturas de voltaje (en voltios) Calcule la mediana

984 998 998 999 1000 1000 1005 1012 1026 2500


Ejemplo

Los siguientes datos corresponden a la distribucioacuten del nuacutemero de piezas defectuosas producidas en

una muestra de 150 diacuteas Calcule la mediana

Nuacutemero de piezas de defectuosas

Nuacutemero de diacuteas Fi

0 50

1 60

2 25

3 10

4 5

Moda

La moda de un conjunto de datos es aquel valor que se repite con mayor frecuencia

Ejemplo

En el siguiente conjunto de edades calcule la moda

10 10 10 10 10 12 12 12 12 12 12 12 12 14 14 15 15 15 18 18


Relaciones entre la media mediana y moda

Si la distribucioacuten de frecuencias es simeacutetrica

Si la distribucioacuten es asimeacutetrica cola a la derecha

Si la distribucioacuten es asimeacutetrica cola a la izquierda

Media=Mediana=Moda

Modalt Medianalt Media

MedialtMedianaltModa



19 Investigadores del MassachussetsInstitute of Technology (MIT) estudiaron las propiedades



registroacute el nuacutemero N de exposiciones de imagen espectral independiente para cada observacioacuten


de 1993)

Nuacutemero de exposiciones de imagen espectral independientes para 40 observaciones de asteroides

3 4 3 3 1 4 1 3 2 3

1 1 4 2 3 3 2 6 1 1

3 3 2 2 2 2 1 3 2 1

6 3 1 2 2 3 2 2 4 2

Calcule las medidas de tendencia central e interprete los resultados

20 Cientiacuteficos de la India experimentaron con el crecimiento de nanopartiacuteculas de cobre dentro de

un medio viacutetreo (Journal of AppliedPhysics septiembre de 1993) Una ceraacutemica viacutetrea se

sometioacute a una reaccioacuten de intercambio ioacutenico metal alcalino cobre seguida de un tratamiento

reductor en hidroacutegeno Despueacutes del secado se extrajo una muestra de 255 partiacuteculas de cobre de

la superficie del vidrio Se midioacute el diaacutemetro de las partiacuteculas y los resultados se describieron

con el siguiente histograma de frecuencia

a) Construya la tabla de distribucioacuten de frecuencias

b) Calcule e interprete la media aritmeacutetica

35

130

70

155

0

20

40

60

80

100

120

140

2 4 6 8 10 12 14

Diaacutemetro (nanoacutemetros)

Nuacute

mero

de p

art

iacutecu

las


24 Medidas de variacioacuten

Rango

El rango es una medida de variacioacuten de un conjunto de datos y se define como la diferencia

entre el valor maacuteximo y el valor miacutenimo

Es una medida de la variabilidad no muy utilizada debido a que soacutelo depende de dos valores

Varianza

Es una medida del grado de dispersioacuten o variacioacuten de los valores de una variable con respecto a

su media aritmeacutetica

La varianza de una muestra se denota por s2 mientras que la de una poblacioacuten se denota por

2

Varianza poblacional

N

xN

i

i

1

2

2

Varianza muestral para datos simples

1

1

2

2

n

xx

s

n

i

i

Varianza muestral para datos agrupados discretos y continuos

2

2 1

1

k

i i

i

f x x

sn

2

2 1

1

k

i i

i

f x x

sn

Desviacioacuten estaacutendar

La desviacioacuten estaacutendar es la raiacutez cuadrada positiva de la varianza

Se denota por s cuando es calculada de una muestra y por cuando es poblacional

Ejemplo

Calcule el rango la varianza y la desviacioacuten estaacutendar para la cantidad de plomo en una muestra de

agua potable (en miligramos por litro)

35 73 30 15 36 60 47 19 15 38 10 35 31 21 22 20


Ejemplo

Calcule la varianza y desviacioacuten estaacutendar del nuacutemero de accidentes automoviliacutesticos en un amuestra

de 100 diacuteas

xi fi

0 10

1 15

2 30

3 35

4 10

100

Ejemplo

Calcule la varianza y desviacioacuten estaacutendar de los siguientes tiempos de exposicioacuten (en minutos) de

un metal a una sustancia quiacutemica en una muestra de 66 reacciones

i Intervalos fi xli fi x

li fi( x

lindash Media)

2

1 [152 ndash 172[ 12 162 1944 16133

2 [172 ndash 192[ 13 182 2366 3611

3 [192 ndash 212[ 20 202 4040 222

4 [212 ndash 232[ 16 222 3552 8711

5 [232 ndash 252] 5 242 1210 9389

66 13112 38067

Calcule la varianza y desviacioacuten estaacutendar


Coeficiente de variacioacuten

Es una medida de dispersioacuten relativa que proporciona una estimacioacuten de la magnitud de las

desviaciones con respecto a la magnitud de la media

100s

CVx

Es uacutetil para comparar la variabilidad de dos o maacutes series de datos que tengan distintas unidades

de medida yo distintas medias aritmeacuteticas

Ejemplo

A continuacioacuten se presentan dos muestras del tiempo de transmisioacuten (en segundos) de un archivo

bajo condiciones similares evaluados en empresas que adoptaron la Tecnologiacutea WAN y la

Tecnologiacutea LAN

Tecnologiacutea WAN 125 126 125 124 119 119 127 110 119 125 123 124 126 126 129

Determine para queacute tipo de Tecnologiacutea utilizada los tiempos de transmisioacuten de datos son maacutes

homogeacuteneos Justifique numeacutericamente su respuesta

Tecnologiacutea LAN Frecuencia

108 111 3

111 114 35

114 117 66

117 120 57

120 123 29

123 126 16

126 129 9

129 132 3

132 135 2

Total 220




21 La empresa Electroler opera 200 tiendas en diferentes lugares del paiacutes para la venta de

artefactos electroacutenicos para el hogar Los uacuteltimos informes indican que la curva de ventas

mensuales ha descendido a tal punto que se ha tenido que cerrar algunas de las tiendas que

regenta

El gerente con el fin de enfrentar el problema que ha ocasionado el descenso en las ventas ha

determinado que es necesario un estudio estadiacutestico de las ventas semanales (en miles de

nuevos soles) de un producto electroacutenico en tres de las tiendas Aptao Azufral y Brento Las

muestran tomadas arrojaron

Ventas Aptao Nuacutemero de semanas

100 ndash 200 5

200 ndash 300 14

300 ndash 400 21

400 ndash 500 7

500 ndash 600 3

Total 50

Ventas Brento Nuacutemero de semanas

20 2

40 8

60 25

80 20

100 8

Total 63

Ventas Azufral 120 200 100 50 45 120 100 100 90 75 100 210 100 50 120

a Calcule la media y la varianza de las ventas en Azufral Aptao y en Brento

b Determine en cuaacutel de las tiendas las ventas realizadas es maacutes homogeacutenea Justifique

numeacutericamente su respuesta

22 En el medio local hay dos plantas (Planta 1 y Planta 2) que se dedican a la fabricacioacuten de barras

de acero para la construccioacuten Las empresas proveedoras de barras de acero para la

construccioacuten que abastecen al mercado constructor desean averiguar acerca de la resistencia

media a la traccioacuten y la desviacioacuten estaacutendar para ello se tomaron muestras aleatorias en ambas

plantasy la informacioacutenregistrada acerca de la resistencia a la traccioacuten(en Kgcm2) se muestra

en las siguientes tablas

Resistencia a la traccioacuten (Planta 1) fi

[ 69220 ndash 70436 [ 14

[ 70436 ndash 71652 [ 5

[ 71652 ndash 72868 [ 6

[ 72868 ndash 74084 [ 8

[ 74084 ndash 75300 [ 7

[ 75300 ndash 76516 [ 17

[ 76516 ndash 77732 [ 5

Total 62

Estadiacutesticas descriptivas Resistencia a la traccioacuten (Planta 2)

Variable n Media DesvEst Varianza Miacutenimo Maacuteximo

Traccioacuten 62 64520 2983 8899 61220 69856

Realice el anaacutelisis adecuado para la dispersioacuten y responda iquestqueacute planta es maacutes heterogeacutenea en

las resistencias a la traccioacuten Sustente su respuesta estadiacutesticamente


Meacutetodos para detectar datos atiacutepicos

Una observacioacuten que es usualmente grande o pequentildea en relacioacuten con los demaacutes valores de un

conjunto de datos se denomina valor atiacutepico Estos valores por lo general son atribuibles a una de

las siguientes causas

La determinacioacuten se observa registra o introduce en la computadora incorrectamente

La determinacioacuten proviene de una poblacioacuten distinta

La determinacioacuten es correcta pero representa un suceso poco comuacuten (fortuito)

Rango intercuartil

257513 PP QQRIC

Regla empiacuterica para detectar datos atiacutepicos

Diagrama de cajas o boxplot

Se traza un rectaacutengulo con los extremos en el primer y tercer cuartil En la caja se traza una

recta vertical en el lugar de la mediana Asiacute la liacutenea de la mediana divide los datos en dos partes

porcentualmente iguales

Se ubican los liacutemites mediante el rango intercuartil El liacutemite superior estaacute a 15(RIC) arriba (o a

la derecha) de 3Q El liacutemite inferior estaacute a 15(RIC) debajo (o a la izquierda) de 1Q

Se trazan los bigotes desde los extremos de las cajas hasta los valores miacutenimo y maacuteximo dentro

de los liacutemites inferior y superior

Se considera dato atiacutepico a cualquier punto que esteacute a maacutes de 15(RIC) por arriba (o a la

derecha) del tercer cuartil y a maacutes de 15(RIC) por debajo (o a la izquierda) del primer cuartil

Se marcan con un asterisco () las localizaciones de los valores atiacutepicos



23 Los habitantes de ciudades antiguas en EEUU ingeriacutean cantidades pequentildeas pero dantildeinas de

plomo introducido en su agua potable por el empleo de las tuberiacuteas forradas de plomo que se

instalaron en los primeros sistemas de agua Los datos en la tabla son el contenido medio de

plomo cobre y hierro (miligramos por litro) de muestras de agua recolectadas diariamente

durante 23 diacuteas del sistema de agua de Boston Los datos se recabaron en 1977 despueacutes de que

se instaloacute un sistema de tratamiento de aguas con hidroacutexido de sodio Cada media se basa en

cerca de 40 determinaciones realizadas en diferentes puntos del sistema de agua de Boston

donde se seguiacutean usando tuberiacuteas de plomo

Plomo Cobre Hierro

0010 0022 0039 004 007 009 011 014 018

0015 0030 0043 004 007 01 011 015 019

0015 0031 0047 004 007 01 012 015 020

0016 0031 0049 004 007 012 012 016 022

0016 0035 0055 004 007 014 013 017 023

0019 0035 0060 005 008 016 013 017 025

0020 0036 0073 005 008 018 014 017 033

0021 0038 005 008 014 017

a Calcule las medidas de tendencia central y de variacioacuten en cada una de las muestras

b Construya en un solo graacutefico los diagramas de caja para cada una de las muestras

c iquestExisten valores atiacutepicos en alguna de las muestras

24 Las ventas en miles de soles durante 50 semanas de los productos principales A y B de una

compantildeiacutea poseen las siguientes distribuciones de frecuencias

Ventas A Nuacutemero de semanas Ventas B Nuacutemero de semanas

10 ndash 20 2 2 - 4 5

20 ndash 30 8 4 - 6 14

30 ndash 40 25 6 - 8 21

40 ndash 50 9 8 - 10 7

50 ndash 60 6 10 - 12 3

iquestQueacute producto tiene un nivel de ventas maacutes homogeacuteneo


25 En un proyecto de construccioacuten se midioacute la resistencia del concreto (en MNm2) en dos plantas

diferentes Se ha determinado que la resistencia miacutenima del concreto para el tipo de trabajo que

se esta realizando es 280 MNm2 Los resultados obtenidos se presentan a continuacioacuten

a Comente acerca de la resistencia miacutenima en ambas plantas

b Interprete en teacuterminos del enunciado del problema el valor atiacutepico de la planta 1


Unidad 3 Probabilidad

Logro de la unidad

Comprende los diferentes conceptos relacionados con probabilidades y los utiliza adecuadamente

en la solucioacuten de casos relacionados con su especialidad

31 Experimento aleatorio ()

Es todo proceso que genera resultados bien definidos que cumple con las siguientes caracteriacutesticas

Se puede repetir indefinidamente donde los resultados dependen del azar por lo que no se

pueden predecir con certeza

Se puede describir el conjunto de todos los resultados posibles

Cuando se repite un gran nuacutemero de veces aparece un modelo definido de regularidad

Ejemplos

1Lanzar un dado

2 Se lanzan dos monedas y se registra el resultado obtenido

3 Seleccionar un dispositivo electroacutenico y registrar si es defectuoso o no

4 Observar el tiempo de vida de un artefacto eleacutectrico

32 Espacio muestral (oacute S)

Es el conjunto que constaraacute de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio Este

conjunto representa nuestro universo o totalidad de resultados del experimento A un elemento

cualquiera de este conjunto se le llama punto muestral y se le denota con w

Ejemplos

1= 123456

2= cccsscss

3 = defectuoso no defectuoso

4 = t t ge 0


Ejercicio

Se realiza el siguiente experimento aleatorio el lanzamiento de dos dados de seis caras

Determine el espacio muestral

Ejercicio

Se realiza el siguiente experimento aleatorio lanzar primero un dado para despueacutes lanzar una

moneda siempre y cuando el nuacutemero del dado sea par Si el resultado del dado es impar la moneda

se lanza dos veces Determine el espacio muestral


33 Evento

Se denomina evento a todo subconjuto del espacio muestral y representa cierta caracteriacutestica de ella

Para denotar a los eventos usaremos las primeras letras del alfabeto en mayuacutesculas esto es

ABCetc

Evento simple

Un evento se llama simple si consta de soacutelo un punto muestral

Ejemplos

Si 1= 123456 entonces 123456 son eventos simples

Si 2= cccsscss entoncescccsscss son eventos simples

Si 3 = defectuoso no defectuoso entonces defectuosono defectuoso son eventos simples

Evento compuesto

Es una coleccioacuten especiacutefica de puntos muestrales

Ejemplos

Si 1= 123456 entonces A = 1 3 5 oacute A Obtener un nuacutemero impar

Es un evento compuesto

Si 2= cccsscss entonces B= cssc oacute B obtener dos valores diferentes en las caras

superiores de las dos monedas


34 Probabilidad

Sea un experimento aleatorio con su correspondiente espacio muestral y sea A un evento

definido en entonces la probabilidad del evento A es la medida del grado de posibilidad de

ocurrencia del evento A cuando se realiza una vez el experimento La probabilidad de un evento A

seraacute un nuacutemero que denotaremos por P(A)

Con el objeto de satisfacer la definicioacuten de probabilidad el nuacutemero P(A) asignado debe cumplir el

siguiente axioma

0 le P(A)le 1

Si P(A) tiende a 0 es poco probable que el evento A ocurra

Si P(A) tiende a 1 es un muy probable que el evento A ocurra

En un espacio muestral finito la suma de las probabilidades de todos los eventos simples Ei

debe ser igual a 1

kPr(E )=1 i=123k

ii=1


35 Definicioacuten claacutesica de la probabilidad de un evento

Sea un experimento aleatorio cuyo correspondiente espacio muestral estaacute formado por un nuacutemero

n finito de posibles resultados distintos y con la misma probabilidad de ocurrir entonces definimos

la probabilidad de un evento A como sigue

Ejercicio

Si se lanza dos dados calcular la probabilidad de que la suma de las caras superiores sea mayor a 7

Ejercicio

Se lanza un dado trucado tal que los nuacutemeros pares tienen el doble de probabilidad de aparecer en

cada lanzamiento con respecto a los nuacutemeros impares

a Asigne las probabilidades seguacuten el problema a los eventos simples

b Determine la probabilidad de obtener un nuacutemero par en el siguiente lanzamiento

c iquestCuaacutel es la probabilidad de obtener un nuacutemero cuadrado perfecto en cualquier lanzamiento

( )

n A nuacutemero de casos favorables al evento AP A

n nuacutemero total de casos



26 Un experimento consiste en lanzar dos dados Calcular la probabilidad de que la resta del

nuacutemero mayor menos el nuacutemero menor sea mayor a dos

27 Una caja de resistencias contiene 24 resistencias con etiqueta negra y 24 con etiqueta roja de

los de etiqueta negra cinco son de 5 ohmios y el resto de 8ohmios mientras que los de etiqueta

roja doce son de 10 ohmios y el resto de 20ohmios Se selecciona una resistencia al azar

a) Calcule la probabilidad que la resistencia sea de 8 ohmios

b) Calcule la probabilidad que la resistencia sea de 5 ohmios o etiqueta roja

28 Se lanza un dado trucado tal que la probabilidad de obtener x es el doble de la probabilidad de

obtener 1x ( 1x )

a Asigne probabilidades seguacuten el problema a los eventos simples



29 Dos ingenieros civiles denominados A y B se distribuyen al azar en tres oficinas enumeradas

con 1 2 y 3 respectivamente pudiendo estar ambos en una misma oficina

a) Indique los elementos del espacio muestral de este experimento

b) iquestCuaacutel es la probabilidad de que dos oficinas se queden vaciacuteas

30 En una competencia para construir una pared participan cuatro obreros A B C y D Uno de

ellos necesariamente debe ganar Si la probabilidad de que gane A es el doble de la de B la de b

es la mitad de C y la de D es el triple de A iquestcuaacutel es la probabilidad que gane A

31 Un ingeniero civil estaacute jugando a lanzar un dado si eacutel lanza el dado 5 veces iquestcuaacutel es la

probabilidad de que las 5 caras que aparecen sean diferentes

32 Una caja (I) contiene un microprocesador Intel y 3 AMD la caja (II) contiene 3

microprocesador Intel y 2 AMD y la caja (III) contiene 4 microprocesador AMD y 8 de otra

marca Una caja se escoge aleatoriamente y de ella se extrae un microprocesador Calcule la

probabilidad que el microprocesador elegido sea AMD

33 En una caja hay 90 tarjetas numeradas en forma correlativa del 10 al 99 Al sacar una tarjeta al

azar iquestcuaacutel es la probabilidad de que la suma de sus diacutegitos sea 4

34 El diacutea de mayor venta el gerente de una tienda que vende equipos informaacuteticos recibe dos lotes

de tarjetas de dos proveedores XL y ZM Se sabe que se recibieron del proveedor XL 5 tarjetas

de video de la marca A y 3 de la marca B y del proveedor ZM 7 tarjetas de video de la marca A

y 5 de la marca B el gerente decide escoger al azar una tarjeta de video del lote del proveedor

XL y la reuacutene con el grupo de tarjetas del proveedor ZM luego extrae al azar una tarjeta del

lote del proveedor ZM iquestcuaacutel es la probabilidad que la tarjeta extraiacuteda del lote ZM sea de la

marca A


36 Operaciones con eventos

Interseccioacuten

La interseccioacuten de dos eventos A y B es el evento que ocurre si tanto A como B ocurren en una

sola realizacioacuten del experimento La interseccioacuten de los eventos A y B se denota mediante el

siacutembolo BA

Unioacuten

La unioacuten de dos eventosA y B es el evento que ocurre si A o B o ambos ocurren en una sola

realizacioacuten del experimento La unioacuten de los eventos A y B se denota mediante el siacutembolo

BA

Ejemplo

Se lanza un dado y se registra los resultados posibles = 123456

Sean los eventos

A Resulta un nuacutemero menor que 5 B Resulta un nuacutemero par

Halle la interseccioacuten y la unioacuten de los eventos A y B

37 Eventos complementarios

El complemento de un evento A es el evento en el que A no ocurre es decir el evento formado

por todos los eventos simples que no estaacuten en el evento A El complemento del evento A se

denota mediante el siacutembolo Ac

cA A =Ω

La suma de las probabilidades complementarias es igual a 1

P( ) P( ) 1cA A


38 Probabilidad condicional

Para determinar la probabilidad de que el evento A ocurra dado que ocurre el evento B divida

la probabilidad de que ocurra tanto AyB entre la probabilidad de que ocurra B

P( )P( ) 0

P( )P

0 P( ) 0

A BB

BA B

B

Ejemplo

Para ocupar un puesto de trabajo en el departamento de disentildeo de ingenieriacutea de una compantildeiacutea

constructora de barcos se han presentado postulantes cuyas principales caracteriacutesticas se resumen

en el siguiente cuadro

Antildeos de experiencia Egresado de ingenieriacutea No egresado de

universidad (N) Total

Mecaacutenica (M) Industrial (I)

Al menos tres antildeos de experiencia (A) 14 4 9 27

Menos de tres antildeos de experiencia (B) 25 11 27 63

Total 39 15 36 90

El orden en que el gerente de la estacioacuten entrevista a los aspirantes es aleatorio Determine la

probabilidad de que el primer entrevistado por el gerente no sea egresado de universidad si se sabe

que tiene menos de tres antildeos de experiencia


39 Reglas de probabilidad para uniones e intersecciones

Regla aditiva de la probabilidad

La probabilidad de la unioacuten de los eventos A y B es la suma de las probabilidades de los eventos

A y B menos la probabilidad de la interseccioacuten de los eventos A y B

P( ) P( ) P( ) P( )A B A B A B

Ejercicio

Si A y B son eventos tal queP(A)=02P(B) = 05 y P(AB) = 01 Calcule P(AB) y P(AcB)

Eventos mutuamente excluyentes

Los eventos A y B son mutuamente excluyentes si la interseccioacuten de los eventos A y B no

contiene eventos simples

Regla aditiva para eventos mutuamente excluyentes

Si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes la probabilidad de la unioacuten de A y B es igual

a la suma de las probabilidades de A y B

P( ) P( ) P( )A B A B

Ejercicio

Si A y B son eventos mutuamente excluyentes tales que P(A) = 02 y P(B) = 05 Calcule P(AB) y

P(AcB)


Regla multiplicativa de la probabilidad

P( ) P( | )P( ) P( )P( )A B A B B B A A

Ejercicio

Si A y B son eventos tales que P(A) = 04P(B) = 02 y P(AB) = 05 Calcule P(AB) y P(AcB)

310 Eventos independientes

Los eventos A y B son independientes si la ocurrencia de B no altera la probabilidad de que haya

ocurrido A es decir los eventos A y B son independientes si

P( ) P( )A B A

Si dos eventos no son independientes se dice que son dependientes

Regla multiplicativa para eventos independientes

Si los eventos A y B son independientes la probabilidad de la interseccioacuten de A y B es igual al

producto de las probabilidades de A y B es decir

P( ) P( )P( )A B A B

Generalizando para los eventos independientes kEEE 21

1 2 1 2P( ) P( )P( ) P( )k kE E E E E E

Ejemplo

Cuatro ingenieros realizan parte de un proyecto de forma independiente para luego juntarse la

uacuteltima semana del proyecto Se sabe que el ingeniero 1 se equivoca en el 15 de los casos el

ingeniero 2 en el 20 de los casos el ingeniero 3 en el 10 y el ingeniero 4 en el 6 Si se llega a

la uacuteltima semana con una o maacutes partes con error se desecha el proyecto Calcule la probabilidad de

que se deseche el proyecto


311 Probabilidad Total y el Teorema de Bayes

Probabilidad Total

Dado k eventos mutuamente excluyentes y exhaustivos kAAA 21 que constituyen una particioacuten

del espacio muestral entonces para cualquier eventoEde se cumple

Donde a laP(E) se le conoce comola probabilidad total

Teorema de Bayes

Si losk eventos kAAA 21 constituyen una particioacuten del espacio muestral entonces para

cualquier evento E de la P(Ai|E)es

P( )P( | )

P( )

ii

A EA E

E

para ki 21

1 1 2 2

P( )P( )P( | )

P( )P( ) P( )P( ) P( )P( )

i ii

k k

A E AA E

A E A A E A A E A

Ejercicio

Una empresa se encuentra estudiando la posibilidad de importar para el proacuteximo antildeo un nuevo

modelo de celular de uacuteltima generacioacuten Al estudiar la situacioacuten econoacutemica del proacuteximo antildeo se

contemplan tres posibilidades inflacioacuten estabilidad o crecimiento estimando dichas alternativas

con las siguientes probabilidades 055 035 y 010 respectivamente La probabilidad de importar el

nuevo modelo de celular es 025 si existiera inflacioacuten 040 si existiera estabilidad y 065 si existiera

crecimiento

a iquestCuaacutel es la probabilidad de importar el nuevo modelo de celular para el proacuteximo antildeo

1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k kP E P A P E A P A P E A P A P E A


b Asumiendo que la empresa decidioacute importar el nuevo modelo de celular iquestcuaacutel es la

probabilidad que existiera inflacioacuten en la economiacutea


35 Una empresa vende tres tipos de maquinaria pesada para la industria textil A B y C El 70 de

las maacutequinas son del tipo A el 20 del tipo B y el 10 son del tipo C Las maacutequinas A tienen

una probabilidad de 01 de producir una pieza defectuosa a lo largo de un antildeo las maacutequinas B

tienen una probabilidad de 03 y las maacutequinas C tienen una probabilidad 06 de producir una de

tales piezas defectuosas a lo largo de un antildeo Una de estas maacutequinas ha estado funcionando

durante un antildeo de prueba y ha producido una pieza defectuosa iquestDe cuaacutel tipo de maacutequina es

maacutes probable que provenga la pieza defectuosa

36 Un lote contiene 8 artiacuteculos buenos y 4 defectuosos Si se extraen al azar 6 artiacuteculos de una sola

vez calcule la probabilidad de obtener por lo menos un defectuoso

37 Se tienen observaciones del tiempo de transmisioacuten en segundos para el enviacuteo de un mismo

archivo por tipo de tecnologiacutea y medio fiacutesico adoptado en diferentes empresas atendidas por

ElectronicSystemsCompany que brinda soporte especializado Los resultados se muestran a

continuacioacuten

Tecnologiacutea

LAN WAN

Medio Fiacutesico de transporte 110 115 120 125 110 115 120 125 Total

Cables de cobre de par trenzado 5 9 4 2 8 12 7 5 52

Cables coaxiales 12 12 22 10 14 14 24 12 120

Fibras oacutepticas 20 25 10 5 15 18 15 22 130

Aire 3 4 4 3 3 6 4 1 28

Total 40 50 40 20 40 50 50 40 330

Si de la tabla mostrada se selecciona un enviacuteo calcule

a La probabilidad que corresponda a un tiempo mayor a 115 segundos y utilice cables

coaxiales

b La probabilidad que no utilice fibras oacutepticas o que utilice la Tecnologiacutea WAN

c La probabilidad que tarde como maacuteximo 120 segundos si se sabe que utiliza la Tecnologiacutea

LAN

d De los enviacuteos que tardan 115rdquo y tienen como medio fiacutesico de transporte el Aire se

seleccionan al azar 5 enviacuteos Determine la probabilidad que 2 de ellos usen Tecnologiacutea

LAN y 3 utilicen Tecnologiacutea WAN


38 Durante la eacutepoca de exaacutemenes en cierto colegio soacutelo 25 de los profesores advierten por

escrito a sus alumnos que no estaacute permitido levantarse a preguntar durante la prueba No

obstante se ha observado que a pesar de esa advertencia 20 de los estudiantes lo hacen Para

los mentores que no establecen dicha advertencia la cifra correspondiente es de 70 Si

durante una prueba a cargo del profesor Jaime de pronto irrumpe un inspector en el saloacuten y

observa que hay alumnos que quebrantan la regla iquestcuaacutel es la probabilidad de que ese profesor

no haya advertido por escrito que se prohiacutebe hacer preguntas en los exaacutemenes

39 Consideremos que tres maacutequinas Alpha Beta y Gamma producen respectivamente el 50 el

30 y el 20 del nuacutemero total de artiacuteculos de una faacutebrica Si la proporcioacuten de artiacuteculos

defectuosos que produce cada una de estas maacutequinas es 003 004 y 005 respectivamente y se

selecciona un artiacuteculo aleatoriamente

a Calcular la probabilidad de que el artiacuteculo sea defectuoso

b Calcular la probabilidad de que el artiacuteculo seleccionado al azar haya sido producido por la

maacutequina Alpha o la maacutequina Beta si se sabe que este es defectuoso

40 Electronic Systems Company que brinda soporte especializado en la instalacioacuten de redes con

Tecnologiacutea LAN o WAN en diferentes empresas sabe que el 15 de las empresas prefieren

como medio fiacutesico de transporte los cables de cobre de par trenzado el 35 prefiere los cables

coaxiales el 40 fibras oacutepticas y 10 el aire Ademaacutes si la empresa elige los cables de cobre

de par trenzado como medio fiacutesico la probabilidad que elija la Tecnologiacutea WAN es 062 las

empresas que eligen cables coaxiales tienen una probabilidad de 045 de elegir la Tecnologiacutea

LAN las empresas que eligen la fibra oacuteptica tiene una probabilidad de 055 de elegir la

Tecnologiacutea WAN y las empresas que eligen el aire como medio fiacutesico de transporte tienen una

probabilidad de 05 de elegir la Tecnologiacutea LAN

a Calcule la probabilidad que una empresa elija para su Red la Tecnologiacutea LAN

b Si se selecciona al azar una empresa que utiliza Tecnologiacutea WAN iquestcuaacutel es la probabilidad

que utilice como medio fiacutesico de transporte cables de cobre de par trenzado

41 Aplicacioacuten al anaacutelisis de confiabilidad el anaacutelisis de confiabilidad constituye la rama de la

ingenieriacutea que se dedica al caacutelculo de las tasas de fallas de los sistemas

a Un sistema contiene dos componentes

A y B conectados en serie como se

muestra en el diagrama siguiente

El sistema funcionaraacute soacutelo si ambos

componentes funcionan El componente A funciona con una probabilidad de 098 y el

componente B funciona con una probabilidad de 095 Suponga que A y B funcionan de manera

independiente Determine la probabilidad que el sistema

funcione

b Un sistema contiene dos componentes C y D

conectados en paralelo como se muestra en el

diagrama siguiente

El sistema funcionaraacute si alguno C o D funcionan Los

componentes C y D funcionan con una probabilidad de 090 y 085 respectivamente Suponga

que C y D funcionan de manera independiente Determine la probabilidad de que el sistema

funcione

42 Un sistema estaacute conformado por cinco componentes que funcionan independientemente La

probabilidad de que un componente funcione correctamente es 070

a Calcule la probabilidad de que al menos un componente funcione correctamente

b Calcule la probabilidad de que al menos un componente no funcione correctamente


Unidad 4 Variable aleatoria y distribucioacuten de probabilidad

Logro de la unidad

Al finalizar la unidad el alumno seraacute capaz de modelar las diferentes distribuciones de probabilidad

discretas y continuas que sean de utilidad para su especialidad

Aleksandr Liapunov (1857ndash1918) el primero que usoacute

sistemaacuteticamente el teacutermino lsquovariable aleatoriarsquo

Liapunov estudioacute en el Departamento de Fiacutesica y Matemaacuteticas

de la Universidad de San Petersburgo donde conocioacute a

AndreacuteiMaacuterkov Al principio asistioacute a las clases de Mendeleacuteyev

sobre quiacutemica

En 1885 fue nombrado profesor asociado de la Universidad de

Jaacuterkov en la caacutetedra de mecaacutenica Las clases de Liapunov

versaron sobre mecaacutenica teoacuterica integrales de ecuaciones

diferenciales y teoriacutea de la probabilidad El contenido de estas

clases nunca fue publicado y soacutelo se mantiene en los apuntes

de los alumnos Sus clases sobre mecaacutenica se distribuyeron en

seis aacutereas cinemaacutetica la dinaacutemica de una partiacutecula la

dinaacutemica de sistemas de partiacuteculas la teoriacutea de las fuerzas

atractivas la teoriacutea de la deformacioacuten de cuerpos soacutelidos y la

hidrostaacutetica

Tomado de copy 2012 Zeably Inc

41 Variable aleatoria

Una variable aleatoria es una funcioacuten con valor numeacuterico definida sobre un espacio muestral

Ejemplo

Al lanzar dos monedas para registrar los posibles resultados se obtiene el espacio muestral

siguiente

S=cc cs sc ss

Si ahora definimos la variable X como nuacutemero de caras que se obtiene entonces a cada resultado

de S es posible asignarle un nuacutemero real de la siguiente manera

cc se le asigna el nuacutemero real 0

cs se le asigna el nuacutemero real 1

sc se le asigna el nuacutemero real 1

ss se le asigna el nuacutemero real 2


42 Variables aleatorias discretas

Una variable aleatoria es discreta si toma una cantidad de valores susceptible de contarse

Funcioacuten de probabilidad de una variable aleatoria discreta

La probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor geneacuterico igual a x se denotaraacute de la

siguiente manera

)( xXPxf

La funcioacuten de probabilidad debe cumplir las siguientes condiciones

1)(0 xf

1)(Rango

X

xf

Ejercicio

Se lanza un dado y sea X la variable aleatoria definida como el nuacutemero obtenido en la cara superior

Determine y grafique la funcioacuten de probabilidad de X

bullbullCCCC

bullbullCS CS

bullbullSC SC

bullbullSSSS00

11

22

SSRR

bullbullCCCC

bullbullCS CS

bullbullSC SC

bullbullSSSS00

11

22bullbullCCCC

bullbullCS CS

bullbullSC SC

bullbullSSSS00

11

22

00

11

22

SSRR


Ejercicio

Una compantildeiacutea constructora usa drywall para la ampliacioacuten de una casa Su nombre significa ldquomuro

secordquo ya que los materiales que lo componen no requieren mezclas huacutemedas Si la compantildeiacutea en su

almaceacuten tiene 25 drywall de los cuales se sabe que 3 tienen defectos y se toma una muestra al azar

de 5 de ellos Determine y grafique la funcioacuten de probabilidad del nuacutemero dedrywall defectuosos

elegidos en la muestra

Ejercicios

43 El nuacutemero de llamadas telefoacutenicas que llegan a una central telefoacutenica automaacutetica en 5 minutos

obedece a la funcioacuten de probabilidad

x 0 2 4 6

f(x) 025 k 010 050

a) Determine el valor de k

b) Calcule Pr(Xlt 4) y Pr(X 2)

44 Seguacuten el departamento de control decalidad de una empresa fabricante de tornillos el nuacutemero

de fallas superficiales en los tornilloscorresponde a una variable aleatoria X con E (X) = 088

por tornillo Ademaacutes sesabe que la funcioacuten de probabilidad estaacute dada por

x 0 1 2 3 4

f(x) a 037 016 b 001

a) iquestCuaacutel es la probabilidad de que un tornillo presente al menos 2 fallas

b) Calcule la varianza y el coeficiente de variacioacuten de X

45 Un contratista debe elegir entre dos obras la primera promete una ganancia de 2rsquo400000 soles

con probabilidad 075 o una peacuterdida de 600000 soles (debido a huelgas y otras demoras) con

probabilidad de 025 la segunda promete una ganancia de 3rsquo000000 soles con probabilidad

050 o una peacuterdida de 900000 soles con probabilidad 05

a) iquestCuaacutel obra debe elegir el contratista si se quiere maximizar la ganancia esperada

b) iquestCuaacutel es el valor miacutenimo de probabilidad que debe asignar a una posible ganancia para que

el contratista se decida por la segunda obra


46 Encuentre la distribucioacuten de probabilidad para el nuacutemero de CD de muacutesica claacutesica cuando 4 CD

se seleccionan al azar de una coleccioacuten que consiste de 5 CD de muacutesica claacutesica 2 de salsa y 3

de rock

47 Considere un grupo de 5 donantes de sangre de los cuales soacutelo dos tienen sangre ORh+ Se

obtiene 5 muestras de sangre una de cada individuo y en forma aleatoria son analizadas una por

una hasta identificar una muestra ORh+ Suponga que se quiere calcular la probabilidad de

encontrar una muestra de dicho tipo de sangre luego de una cantidad de pruebas Defina la

variable aleatoria y construya la tabla de distribucioacuten de probabilidades

48 Un estudio de las tendencias a lo largo de cinco antildeos en los sistemas de informacioacuten logiacutestica de

las industrias reveloacute que los mayores avances en la computarizacioacuten tuvieron lugar en el

transporte Actualmente 90 de todas las industrias contiene archivos de pedidos abiertos de

embarque en su base de datos computarizada En una muestra aleatoria de 10 industrias sea X

el nuacutemero de ellas que incluyen archivos de pedidos abiertos de embarque en su base de datos

computarizada

a) Determine la distribucioacuten de probabilidad de X

b) iquestCuaacutel es la probabilidad de que al menos 8 industrias incluyan archivos de pedidos abiertos

de embarque en su base de datos computarizada

49 El 60 de los estudiantes de la promocioacuten del colegio ldquoAlfonso Ugarterdquo aproboacute el curso de

Matemaacuteticas el 65 aproboacute el curso de Historia y el 40 aproboacute ambos cursos Determine la

distribucioacuten de probabilidad del nuacutemero de cursos aprobados

50 Carola tiene un llavero con tres llaves ideacutenticas de las cuales soacutelo una abre un armario

Determine la distribucioacuten de probabilidad para el nuacutemero de intentos que debe realizar Carola

hasta abrir el armario

Esperado de una variable aleatoria discreta

Sea X una variable aleatoria discreta con funcioacuten de probabilidad f(x) Entonces el valor

esperado o medio de X es

x

xxfXERango

)()(

Esperado de una funcioacuten de X

Sea X una variable aleatoria discreta con funcioacuten de probabilidad f(x) y sea g(x) una funcioacuten de

la variable X Entonces el valor esperado o medio de g(x) es

x

xfxgxgERango

)()()(

Algunos teoremas uacutetiles del esperado

Sea X una variable discreta con funcioacuten de probabilidad f(x) y sea c una constante

ccE

XcEcXE

Sean )()(1 xgxg k funciones de X E[g1(x)+ hellip+ gk(x)] = E[g1(x)]+ hellip+ E[gk(x)]

Varianza de una variable aleatoria

Sea X una variable discreta con funcioacuten de probabilidad f(x) Entonces la varianza de X es

222 )( XE


La desviacioacuten estaacutendar de X es la raiacutez cuadrada positiva de la varianza de X

2

Ejercicio

La cantidad de llamadas telefoacutenicas que llegan a una central telefoacutenica automaacutetica en 5 minutos


x 0 2 4 6

f(x) 025 k 010 050

Calcular el valor esperado y varianza de X

Ejercicios

51 El tiempo necesario (en meses) para la construccioacuten de un puente se considera una variable

aleatoria Una empresa constructora ha determinado que dicha variable tiene la siguiente

distribucioacuten de probabilidades

x 5 6 7 8 9 10

f(x) 005 015 030 025 020 005

a Calcule e interprete el valor esperado

b Suponga que se decide contratar a la empresa constructora mencionada acordaacutendose pagarle

20000 doacutelarespor la construccioacuten del puente en un tiempo maacuteximo de 10 meses Sin

embargo si se terminara antes del tiempo pactado la empresa recibe5000 doacutelares adicionales

por cada mes ahorrado Calcule el valor esperado y la desviacioacuten estaacutendar del pago

obtenido por la empresa por la construccioacuten del puente

52 Una libreriacutea necesita hacer el pedido semanal de una revista especializada de ingenieriacutea Por

registros histoacutericos se sabe que las frecuencias relativas de vender una cantidad de ejemplares

es la siguiente

Demanda de ejemplares 1 2 3 4 5 6

Frecuencia relativa 115 215 315 415 315 215

a Calcule la media y varianza de la demanda de ejemplares

b Pagan S 5 por cada ejemplar y lo venden a S 10 De mantenerse las condiciones bajo las

que se registraron los datos y si las revistas que quedan no tienen valor de recuperacioacuten

iquestcuaacutentos ejemplares de revista se deberiacutea solicitar


53 Enigma SA produce artiacuteculos perecibles A continuacioacuten se presenta una tabla con los datos

histoacutericos de las demandas semanales obtenidas en las uacuteltimas 50 semanas y el nuacutemero de

semanas de ocurrencia

Nuacutemero de productos demandados 2 000 3 000 4 000 5 000

Nuacutemero de semanas 15 20 10 5

a Si la compantildeiacutea decide programar la produccioacuten de dicho artiacuteculo tomando exactamente el

valor esperado de la demanda iquestcuaacutentas unidades de dicho artiacuteculo debe producir la

compantildeiacutea semanalmente

b Si cada unidad tiene un costo de S 5 y se vende a S 10 Si el producto no se vende

durante la semana siguiente a la producida se debe rematar a un precio de S 25 Todos

los productos ofrecidos en remate se venden iquestcuaacutentas unidades debe producirse

semanalmente la compantildeiacutea para maximizar su utilidad esperada

54 Un contratista debe elegir entre dos trabajos El primero promete un beneficio de S 80 000 con

una probabilidad de 075 oacute una peacuterdida de S 20 000 con una probabilidad de 025 El segundo

trabajo promete un beneficio de S 120 000 con una probabilidad de 05 oacute una peacuterdida de S 30

000 con una probabilidad de 05

a iquestQueacute trabajo recomendariacutea al contratista si eacuteste quiere maximizar su beneficio

b iquestQueacute trabajo deberiacutea elegir el contratista si su negocios van mal y para no quebrar necesita

un beneficio miacutenimo de S 100 000 en el siguiente trabajo

55 La distribucioacuten de probabilidad de X el nuacutemero de imperfecciones por 10 metros de una tela

sinteacutetica en rollos continuos de ancho uniforme estaacute dada por

X 0 1 2 3 4

f(x) 041 037 k 005 001

a Construya la distribucioacuten acumulada de X A partir de la funcioacuten acumulada calcule la

probabilidad de que el nuacutemero de imperfecciones sea mayor que 2 pero como maacuteximo 4

b Si el nuacutemero de imperfecciones por 10 metros de tela es al menos 1 calcule la

probabilidad de que el nuacutemero de imperfecciones sea menor que 3

c Si un rollo de 10 metros de tela tiene como maacuteximo una imperfeccioacuten al vender dicho

rollo se gana S35 de lo contrario se ganaraacute soacutelo S10 calcule la ganancia esperada por

rollo

56 La siguiente tabla representa la distribucioacuten del nuacutemero de fallas (X) de energiacutea

eleacutectrica que afectan a cierta regioacuten en cualquier antildeo dado

X 0 1 2 3

P(X = x) 038 024 k 008

a Calcule e interprete el valor esperado de X

b Si por cada falla eleacutectrica se estima que la regioacuten pierde aproximadamente 14300

doacutelares iquestcuaacutel es la peacuterdida esperada


43 Variables aleatorias continuas Una variable aleatoria es continua si puede tomar cualquiera de los valores de un intervalo

Ejemplo

En el caso de los estudiantes de la universidad si a cada alumno le hace corresponder su talla en

centiacutemetros entonces estaremos hablando de una variable aleatoria continua

Ejemplo 2

Del registro de trabajadores de la empresa Mercurio se elige un trabajador al azar y se le asigna su

peso

La variable X que a cada trabajador le hace corresponder el peso en kilos es una variable

aleatoria

La variable Y que a cada trabajador le hace corresponder su talla en centiacutemetros es una variable

aleatoria

Funcioacuten de densidad de una variable continua

Se denomina funcioacuten de densidad f(x) de una variable aleatoria continua Xa la funcioacuten que satisface

0)( xf

1)( dxxf

b

a

dxxfbXaP )()(

Ejercicio

Sea cuna constante positiva y consideremos la funcioacuten de densidad

casootro

xcxxf

0

33)(

Calcule el valor de c y luego P(Xgt 0)

f(x)

a b

f(x)

a b


Funcioacuten de distribucioacuten acumulada

La funcioacuten de distribucioacuten acumulativa F(x) para una variable aleatoria X es igual a la

probabilidad

x

dttfxXPxF )()(

Si F(x) es la funcioacuten de distribucioacuten acumulativa para una variable aleatoria continua X

entonces la funcioacuten de densidad f(x) para X es

dx

xdFxf

)()(

Ejercicio

Sea c una constante y consideremos la funcioacuten de densidad

casootro

xcxxf

0

30)(

Graficar F(x) y calcule P(Xgt1)


Esperado de una variable aleatoria continua

Sea X una variable aleatoria continua con funcioacuten de densidad f(x) y sea g(x) cualquier funcioacuten de

X los valores esperados de X y g(x) son

dxxxfXE )(

( ) ( )E g x g x f x dx

Propiedades del esperado

Sea X una variable aleatoria continua

E(c) = c donde c es una constante

E(cX)= cE(X)

Sea X una variable aleatoria continua y sean g1(x) hellip gk(x) funciones de X

E[g1(x)+ hellip+ gk(x)] = E[g1(x)]+ hellip+ E[gk(x)]

Varianza de una variable aleatoria continua

Sea X una variable aleatoria continua con funcioacuten de densidad f(x) Entonces la varianza de X

es

222 )( XE

Ejemplo

El tiempo en minutos que un tren suburbano se retrasa es una variable aleatoria continua X con

densidad

0

55)25(500

3

)(

2

cc

xxxf

Calcule el valor esperado y la varianza de X


Ejercicios

57 Sea c una constante y consideremos la funcioacuten de densidad

0

20)(

cc

xcxxf

a) Calcule el valor de c

b) Calcule la funcioacuten de distribucioacuten acumulada F(x)

c) Calcule la P(1ltXlt15)

d) Calcule el valor esperado y la varianza

e) Calcule el valor esperado de 2X

58 Se tiene que construir una casa y para terminar la construccioacuten previamente se necesita llevar a

cabo determinado trabajo clave El trabajo clave tiene un tiempo de ejecucioacuten (en diacuteas) cuya

funcioacuten de densidad de probabilidad es

0

08

1

)(8

cc

xexf

x

a iquestCuaacutel es la probabilidad de que el trabajo clave demore menos de ocho diacuteas

b La utilidad producto de la venta de la casa (en miles de doacutelares) es una funcioacuten del tiempo

de ejecucioacuten del trabajo clave

823)(

2xxxU

Calcule la utilidad esperada por la venta de la casa

59 Sondeos de mercado realizados por un fabricante sobre la demanda de un producto indican que

la demanda proyectada debe considerarse una variable aleatoria X con valores entre 0 y 25

toneladas La funcioacuten de densidad de X es

25x025

x3)x(f

3

2

a Construir la funcioacuten de distribucioacuten acumulada de X

b iquestCuaacutel es la probabilidad de tener una demanda entre 10 y 20 toneladas

c Hallar la demanda esperada Interprete

60 Las utilidades netas en miles de soles de los propietarios de stands en una galeriacutea comercial es

una variable aleatoria con funcioacuten de densidad

casootro0

4x08

x)x(f

a iquestEstariacutea usted en condiciones de afirmar que maacutes de la mitad de los propietarios tiene

utilidades superiores al promedio Justifique

b Calcule la variacioacuten relativa de las utilidades


44 Principales variables discretas

Distribucioacuten Bernoulli

Considere una prueba de Bernoulli donde

)(fracasounocurresi0

)(eacutexitounocurresi1

F

EX

La funcioacuten de probabilidad de X es

10)( 1 xqpxf xx

La media y varianza de Xson respectivamente

qppqXVpXE 12

Distribucioacuten binomial

El experimento consiste de n pruebas ideacutenticas de Bernoulli Cada prueba tiene uacutenicamente dos

resultados eacutexito o fracaso P(eacutexito)=p y P(fracaso)=1-p se mantiene constante a lo largo de

todas las pruebas

Las pruebas son independientes

La variable aleatoria binomial X es el nuacutemero de eacutexitos en n pruebas


( ) 1 01 2 n xn x

xf x P X x C p p x n

Se denota X ~B (n p)


2 1E X np V X np p

Ejemplo

El supervisor de la zona A ha determinado que un coordinador entrega los pedidos a tiempo

alrededor del 90 de las veces El supervisor ha hecho 12 pedidos a ese coordinador Calcular la

probabilidad de que el coordinador entregue por lo menos 11 pedidos a tiempo


Distribucioacuten hipergeomeacutetrica

El experimento consiste en extraer al azar y sin restitucioacuten n elementos de un conjunto de N

elementos r de los cuales son eacutexitos y (N -r) son fracasos

La variable aleatoria hipergeomeacutetrica es el nuacutemero de eacutexitos en la muestra de n elementos


( ) max[0 ( )]min( )r N r

x n x

N

n

C Cf x P X x x n N r r n

C

Se dice que la variable aleatoria X sigue una distribucioacuten hipergeomeacutetrica con paraacutemetros N r y

n

Se denotaX ~H (N nr)

Media N

rnXE

Varianza

112

N

nN

N

r

N

rnXV

Ejercicio

Si se tiene en almaceacuten 20 taladros de mano de los cuales 5 estaacuten descompuestos Si se escogen al

azar 7 de ellos calcular la probabilidad de escoger maacutes de 2 taladros defectuosos


Distribucioacuten Poisson

El experimento consiste en contar el nuacutemero X de veces que ocurre un evento en particular

durante una unidad de tiempo dado o un aacuterea o volumen (o peso distancia o cualquier otra

unidad de medida) dada

La probabilidad de que un evento ocurra en una unidad dada de tiempo aacuterea etc es la misma

para todas las unidades

El nuacutemero de eventos que ocurren en una unidad de tiempo aacuterea volumen es independiente del

nuacutemero de los que ocurren en otras unidades


3210

)(

xx

exXPxf

x

La media y la varianza son respectivamente

XVXE 2

Ejercicio

En la interseccioacuten de una calle en una zona de la ciudad de Lima se determinoacute que en promedio se

produce un accidente automoviliacutestico cada dos meses siguiendo un proceso de Poisson Calcule la

probabilidad de que en un antildeo se produzcan maacutes de tres accidentes


Ejercicio

Una panaderiacutea produce seis pasteles especiales cada diacutea Si el pastel no se vende dentro del diacutea

debe descartarse El panadero sabe que la demanda diaria de pasteles especiales es una variable

aleatoria Poisson con media 5 Por cada pastel vendido se obtiene una ganancia de 30 soles y por

cada pastel descartado se pierde 10 soles Calcular la utilidad esperada diaria en pasteles especiales


Ejercicios

61 El nuacutemero de fallas que presentan los teleacutefonos conectados a la central de un sistema privado de

telecomunicaciones sigue una distribucioacuten de Poisson con una tasa de 10 fallas diarias Calcule

la probabilidad que en los siguientes 5 diacuteas se presenten exactamente 48 fallas

62 En un proceso de fabricacioacuten se intenta producir unidades precoladas con un porcentaje

pequentildeo de unidades defectuosas Todos los diacuteas se someten a prueba 10 unidades

seleccionadas al azar de la produccioacuten diaria Si existen fallas en una o maacutes de estas unidades se

detiene el proceso de produccioacuten y se las somete a un examen cuidadoso iquestCuaacutel es la

probabilidad de detener el proceso si el porcentaje de unidades defectuosas producidas es del

1

63 Un cierto sistema mecaacutenico contiene 10 componentes Suponga que la probabilidad de que

cualquier componente individual falle es de 007 y que los componentes fallan independientes

unos de otros

a) iquestCuaacutel es la probabilidad de que falle al menos uno de los componentes

b) iquestCuaacutel es la probabilidad de que fallen exactamente 2 componentes

c) iquestCuaacutel es la probabilidad de que fallen entre 2 y 5 componentes

d) Halle E(X) y V(X)

64 La empresa Nacional Oil Company se dedica a operaciones de perforacioacuten exploratoria en el

sureste de los Estados Unidos Para financiar su funcionamiento los inversionistas forman

sociedades que proporcionan financiamiento para perforar una cantidad fija de pozos petroleros

La experiencia en este tipo de exploraciones indica que el 15 de los pozos perforados fueron

productivos Una sociedad recieacuten formada proporciona el financiamiento para realizar

perforaciones exploratorias en 12 lugares Para hacer rentable la sociedad por lo menos tres de

los pozos de exploracioacuten deben ser productivos iquestCuaacutel es la probabilidad que el negocio sea

rentable

65 Un fabricante de piezas para automoacuteviles garantiza que cada caja de piezas fabricadas por su

empresa contiene como maacuteximo 3 piezas defectuosas Si cada caja contiene un total de 20

piezas y la experiencia ha mostrado que en el proceso de manufactura se produce el 2 de las

piezas defectuosas iquestCuaacutel es la probabilidad de que cada caja de piezas satisfaga esta garantiacutea

66 Cierto tipo de azulejo puede tener un nuacutemero X de puntos defectuosos con media de 3 puntos

defectuosos por azulejo

a) Calcule la probabilidad de que haya 5 defectos en un azulejo elegido al azar

b) El precio del azulejo es $15 si el azulejo no tiene ninguacuten defecto si tiene uno a dos fallas

se vende en $090 y si tiene maacutes de dos defectos se remata en $020 Calcule el precio

esperado por azulejo

67 El nuacutemero de averiacuteas semanales de una cierta maacutequina de una faacutebrica es una variable aleatoria

con distribucioacuten de Poisson con media 03

a) iquestCuaacutel es la probabilidad de que la maacutequina tenga a lo maacutes dos averiacuteas en una semana

b) Si se tienen 5 de estas maacutequinasiquestCuaacutel es la probabilidad de que al menos 2 de estas no

tengan averiacuteas en dos semanas

68 Con la finalidad de disentildear un nuevo sistema de control de traacutefico un ingeniero recoge

informacioacuten sobre el nuacutemero de automoacuteviles que llegan a una interseccioacuten Se sabe que el

nuacutemero promedio de automoacuteviles que llegan a una interseccioacuten por minuto es uno seguacuten un

proceso de Poisson

a) iquestQueacute probabilidad hay de que en un minuto dado el nuacutemero de llegadas sea de tres o maacutes

b) Para los siguientes cuatro minutos iquestqueacute tan probable es que lleguen seis automoacuteviles


69 Si el nuacutemero de automoacuteviles que pasan por una interseccioacuten es 2 por segundo siguiendo un

proceso de Poisson

a) iquestCuaacutel es la probabilidad de que en el siguiente segundo pase al menos 3 automoacuteviles

b) iquestCuaacutel es la probabilidad de que en los siguientes 2 minutos pasen por la interseccioacuten 20

automoacuteviles

70 En un estudio del traacutensito en cierta interseccioacuten se determinoacute que el numero de automoacuteviles

que llegan a un ovalo tiene distribucioacuten de Poisson con media igual a 5 automoacuteviles por

segundo

a) iquestCuaacutel es la probabilidad de que en un segundo lleguen al ovalo maacutes de dos automoacuteviles

b) Calcule la probabilidad de que en los siguientes 10 segundos lleguen al ovalo 40

automoacuteviles

c) Suponga que el 90 de vehiacuteculos que llegan diariamente al ovalo mencionado son de

transporte privado Para los siguientes 5 diacuteas calcule la probabilidad de que lleguenal ovalo

por lo menos tres vehiacuteculos de transporte privado

71 Un comerciante recibe para su venta cierto tipo de artiacuteculo en cajas que contienen 10 unidades

de los cuales 3 artiacuteculos son defectuosos El control de calidad por caja consiste en extraer una

muestra de 4 artiacuteculos uno por uno sin reposicioacuten y aceptar la caja si la muestra contiene a lo

maacutes un defectuoso Calcular la probabilidad de rechazar una caja

72 Lotes de 100 artiacuteculos El control de calidad por lote consiste en escoger una muestra al azar de

10 artiacuteculos uno por uno sin reposicioacuten y aceptar el lote si en la muestra se encuentra a lo maacutes

un defectuoso Calcular la probabilidad de rechazar un lote que contiene 10 artiacuteculos

defectuosos

73 En un lote de 8 productos soacutelo 5 de eacutestos cumplen con las especificaciones teacutecnicas requeridas

Si de ese lote se escogen 3 productos al azar y sin reposicioacuten calcule la probabilidad de que 2

cumplan con las especificaciones teacutecnicas

74 Un distribuidor mayorista recibe diariamente un lote de 20 refrigeradoras de las cuales ocho son

de color blanco y las restantes de color plata Un comerciante minorista le solicita tambieacuten

diariamente seis refrigeradoras Suponiendo que las refrigeradoras se seleccionan al azar

a) iquestCuaacutel es la probabilidad de que en un diacutea cualquiera el nuacutemero de refrigeradoras de color

blanco seleccionadas sea maacutes de tres

b) iquestCuaacutel es la probabilidad que para los siguientes cinco diacuteas como maacuteximo en dos diacuteas el

minorista reciba exactamente tres refrigeradoras de color plata Suponer independencia

75 En un almaceacuten de aparatos electroacutenicos se almacenan 10 tostadoras para su distribucioacuten 4 de la

marca A y el resto de marcas menos conocidas Si un empleado selecciona al azar 5 tostadoras

para llevarlas por encargo a una tienda para su comercializacioacuten calcular la probabilidad de que

en las 5 tostadoras seleccionadas

a) Haya exactamente 2 de la marca A

b) A lo sumo haya una tostadora de las marcas menos conocidas


45 Principales variables continuas

Distribucioacuten uniforme

Se dice que una variable aleatoria continua X tiene distribucioacuten uniforme en [a b] si su funcioacuten

de densidad es

bxaab

xf

1

Se denota por X~U [a b]

Si [cd] [ab] la probabilidad de que X tome valores en el intervalo [cd] es

ab

cddXcP

)(


2

baXE

y

12

2

2 abXV

Ejemplo

Se sabe que en una compantildeiacutea constructora los antildeos de experiencia de los trabajadores tienen una

distribucioacuten uniforme con un miacutenimo de 0 y un maacuteximo de 125 antildeos Si se elige un trabajador al

azar determine la probabilidad de que esta persona tenga entre 25 y 75 antildeos de experiencia en la

compantildeiacutea Tambieacuten calcule el promedio y la varianza de los antildeos de experiencia

f(x)

f (x)

0 a k1 k2 b x

1 (b-a)

f(x)

f (x)

0 a k1 k2 b x

1 (b-a)


Distribucioacuten normal

ldquoEn 1987 varias empresas de salvamento

propusieron planes para rescatar al Titanic

del fondo del oceacuteano Uno de los planes

consistiacutea en llenar varios compartimientos

con pelotas de tenis de mesa las cuales

creariacutean un vaciacuteo que hariacutea que el barco

subiera a la superficie Los caacutelculos

estadiacutesticos se basaban en que las

propiedades de flotacioacuten de las pelotas

seguiacutean una distribucioacuten normal en todo el

espacio Asiacute fue faacutecil determinar el nuacutemero

preciso de pelotas que se deberiacutean utilizar

Pero los esfuerzos para rescatar el barco se

suspendieron despueacutes como muestra de

respeto hacia las maacutes de 1500 personas que

perdieron la vida en ese desastre de 1912rdquo1

Esta distribucioacuten se aproxima a las distribuciones de frecuencias observadas de muchas medidas

naturales y fiacutesicas como es el caso de pesos alturas ventas vida uacutetil de produccioacuten coeficiente

intelectual etc

La variable aleatoria X es normal si su funcioacuten de densidad se define de la siguiente manera

xexf

x2

2

1

2

1)(

La curva normal tiene forma de campana y es simeacutetrica con respecto a su media

La media la mediana y la moda son iguales y se encuentran en x = y la desviacioacuten estaacutendar es

Distribucioacuten normal estaacutendar

La distribucioacuten normal estaacutendar es una distribucioacuten de una variable aleatoria continua denotada

con la letra Z que tiene media 0 y desviacioacuten estaacutendar 1

Una variable aleatoria con distribucioacuten normal se puede convertir en una distribucioacuten normal

estaacutendar si se realiza la siguiente transformacioacuten llamada de estandarizacioacuten o de tipificacioacuten

XZ

X es la variable aleatoria de intereacutes

media de la distribucioacuten

desviacioacuten estaacutendar de la distribucioacuten

1 Tomado de Estadiacutestica aplicada a la empresa y a la Economiacutea AllenWebster pg 275


Ejercicio

Un fabricante de televisores asegura que el tiempo medio de funcionamiento sin fallas de los

aparatos es de 2 antildeos con una desviacioacuten estaacutendar de 025 antildeos Si el tiempo de vida de los aparatos

sigue una distribucioacuten normal

a iquestCuaacutel es la probabilidad de que el tiempo de buen funcionamiento sea menor que 25 antildeos

b El fabricante garantiza que remplazaraacute gratis cualquier aparato de TV cuya duracioacuten sin fallas

sea menor que k antildeos Aproximar k de tal modo que soacutelo el 1 de los aparatos vendidos tenga

que ser reemplazado


Propiedad reproductiva de la normal

Si X1 X2 X3Xk son k variables aleatorias independientes tales que Xi ~ 2 iiN para cada

i=1 2 3 k entonces la variable aleatoria

1 1 2 2 k kY c X c X c X

dondec1 c2 c3 ck son constantes entonces

222

1

2

111 ~ kkkk ccccNY

Ejercicio

SeanX1 ~ N(1 1

2

1 6) y X2 ~ N(2 4

2

2 10) variables aleatorias independientes Calcular

la distribucioacuten de

Y = X1 + X2

Y = X1 ndash X2

Y = 4X1 ndash 6 X2

Ejercicio

En la inspeccioacuten final de la calidad con la que se introducen al mercado los televisores con pantallas

LCD se ha determinado dos tareas claves las cuales se realizan una despueacutes de la otra

El tiempo que se emplea para la primera tarea es una variable aleatoria normal con promedio 10

minutos y desviacioacuten estaacutendar de 15 minutos

El tiempo que se emplea para la segunda tarea es una variable normal con promedio 15 minutos

y desviacioacuten estaacutendar 2 minutos

a Si se elige al azar un televisor determine la probabilidad que su tiempo de inspeccioacuten sea

menor de 20 minutos

b Si se elige al azar 12 de estos televisores que estaacuten en el mercado determine la probabilidad

que el tiempo total de inspeccioacuten haya sido de por lo menos 310 minutos


Ejercicios

76 Si una persona llega a su centro de labores entre las 900 y las 915 de la mantildeana podraacute

considerarse que es igualmente probable que llegue por ejemplo entre las 905 y 910 o entre

las 906 y las 911 iquestCuaacutel es la probabilidad de que llegue entre las 908 y 913

77 En ciertos experimentos el error cometido en la determinacioacuten de la solubilidad de una

sustancia es una variable aleatoria con densidad uniforme en el intervalo [-0025 0025]

a) Calcule la media y la varianza para el error cometido

b) iquestCuaacutel es la probabilidad de que el error esteacute entre -0012 y 0012

78 El tiempo que un trabajador de construccioacuten civil utiliza durante su refrigerio para ir a la

cafeteriacutea almorzar y regresar a su puesto de trabajo es una variable aleatoria con distribucioacuten

uniforme en el intervalo de 0 a 25 minutos Si el horario de refrigerio de los trabajadores

empieza al mediodiacutea y en ese momento Juan decide ir a la cafeteriacutea Calcular la probabilidad

que Juan este de vuelta a su puesto de trabajo en menos de un cuarto de hora

79 El Departamento de Transporte (DOT) de cierto paiacutes ha determinado que el monto de la

licitacioacuten ganadora X (en doacutelares) por contratos de construccioacuten de carreteras tiene una

distribucioacuten uniforme con funcioacuten de densidad de probabilidad

cc0

d2x5

d2si

d8

5

)x(f

donde ldquodrdquo es la estimacioacuten que hace el DOT del costo del trabajo

a) iquestCuaacutel es el monto esperado de la licitacioacuten ganadora

b) iquestQueacute fraccioacuten de las licitaciones ganadoras por contratos de construccioacuten de carreteras

estaacuten por encima de la estimacioacuten del DOT

80 Una maacutequina automaacutetica para el llenado de paquetes de arroz puede regularse de modo que la

cantidad media de arroz llenado sea la que se desee Si la cantidad de arroz depositada se

distribuye normalmente con desviacioacuten estaacutendar igual a 10 gramos iquestcuaacutel debe ser la regulacioacuten

media de modo que soacutelo el 1 de los paquetes tengan un peso neto inferior a 990 gramos

81 En un taller de la Industria Sideromecaacutenica se fabrican aacuterboles de leva para darles uso en

motores de gasolina Despueacutes de investigaciones realizadas se ha llegado a la conclusioacuten de que

la excentricidad de estos aacuterboles de leva es una variable aleatoria normalmente distribuida con

media de 102 pulgadas y desviacioacuten estaacutendar de 044 pulgadas Calcule la probabilidad de que

al seleccionar un aacuterbol de leva aleatoriamente este tenga una excentricidad

a Menor de 1 pulgada

b Al menos 105 pulgadas

c iquestCuaacutel es el valor de la excentricidad por debajo del cual se encuentra el 70 de los aacuterboles

de leva

d iquestCuaacutel es el valor de la excentricidad por encima del cual se encuentra el 80 de los aacuterboles

de leva

e Si se seleccionan 10 aacuterboles de leva aleatoriamente iquestCuaacutel es la probabilidad de que

exactamente 2 de estos tengan una excentricidad menor que 1 pulgada

82 El consumo de los clientes de cierto restaurante es una variable aleatoria con distribucioacuten

normal con una media de 25 nuevos soles y una desviacioacuten estaacutendar de 5 nuevos soles Se

acerca fin de mes y el administrador del restaurante debe pagar una factura atrasada de 5000

nuevos soles Suponiendo que los consumos de los clientes del restaurante son independientes


a iquestCuaacutel es la probabilidad que el consumo de los proacuteximos 195 clientes no sea suficiente para

superar el monto de la factura atrasada

b iquestCuaacutentos clientes se requieren para que su consumo promedio supere los 26 nuevos soles

con una probabilidad del 4

83 La duracioacuten de las llamadas telefoacutenicas de larga distancia realizadas desde una central

telefoacutenica tiene distribucioacuten aproximadamente normal con media y desviacioacuten estaacutendar iguales

a 130 segundos y 30 segundos respectivamente

a iquestCuaacutel es la probabilidad que una llamada realizada desde la central telefoacutenica haya durado

entre 90 y 170 segundos

b Si en un diacutea cualquiera se realizan 500 llamadas telefoacutenicas desde esta central iquestCuaacutel es la

probabilidad que la duracioacuten total de estas llamadas supere las 18 horas

84 Un consultor estaacute investigando el tiempo que emplean los obreros de una planta automotriz en

montar una parte especiacutefica despueacutes de haber seguido un periodo de entrenamiento El

consultor determinoacute que el tiempo en segundos empleados por los obreros en dicha tarea se

distribuye normalmente con una media de 75 segundos y una desviacioacuten estaacutendar de 6

segundos

a Si seleccionamos un obrero al azar encuentre la probabilidad de que dicho obrero complete

su tarea en maacutes de 62 segundos pero menos de 69 segundos

b Si seleccionamos tres obreros al azar calcule la probabilidad de que el tiempo total que les

demanda realizar el mismo tipo de tarea sea menor de 250 segundos Asuma que los

tiempos para realizar dicha tarea son independientes

85 Un tubo fluorescente tiene una duracioacuten distribuida normalmente con una media de 7000 horas

y una desviacioacuten estaacutendar de 1000 horas Un competidor ha inventado un sistema de

iluminacioacuten fluorescente compacto que se puede insertar en los receptaacuteculos de laacutemparas

incandescentes El competidor asegura que el nuevo tubo compacto tiene una duracioacuten

distribuida normalmente con una media de 7500 horas y una desviacioacuten estaacutendar de 1200 horas

iquestCuaacutel tubo fluorescente tiene mayor probabilidad de tener una duracioacuten mayor que 9000 horas

86 Una maacutequina llena recipientes con determinado producto Se sabe que el peso de llenado de

dicho producto tiene distribucioacuten normal Se sabe de acuerdo con los datos histoacutericos que la

media es 2023 y la desviacioacuten estaacutendar de pesos de llenado es de 06 onzas

a) Se dice que la maacutequina funciona correctamente si el peso de llenado del producto estaacute entre

1903 y 2143 iquestqueacute tan probable es que la maacutequina funcione correctamente

b) iquestCuaacutel es la probabilidad de que el peso de llenado sea menor que el promedio Si se sabe

que la maacutequina funciona correctamente iquestcuaacutel es la probabilidad de que el peso de llenado

sea menor que el promedio Estas dos probabilidades encontradas iquestson iguales Explique

el resultado obtenido

87 Un contratista de construccioacuten afirma que elaborar un proyecto de construccioacuten demora en

promedio 35 horas de trabajo y el 975 de los proyectos demandan como maacuteximo 3892

horas Considerando que los tiempos para completar proyectos similares se distribuyen

normalmente

a) iquestCuaacutel es la probabilidad de que un proyecto demande menos de 32 horas

b) Si el contratista demora maacutes de 48 horas deberaacute devolver 2 del costo de dicho proyecto si

en cambio demora menos de 295 horas recibiraacute un incentivo de 5 del costo del proyecto

iquestcuaacutento esperariacutea recibir de incentivo


46 Otras distribuciones continuas

Distribucioacuten gamma

La funcioacuten de densidad de probabilidad para un variable aleatoria tipo gamma estaacute dada por

0

0)()(

1

cc

xex

xf

x


22 XVXE

Distribucioacuten exponencial

Una variable aleatoria Xes exponencial con paraacutemetro 0 si su funcioacuten de densidad es

casootro 0

0 e1

)(

1

xβxf

x

Se denota X~exp( )


22 XVXE

f(x)

0 x

f(x)

0 x


Ejemplo

La duracioacuten (en miles de millas) que obtienen los duentildeos de automoacuteviles con cierto tipo de

neumaacutetico es una variable aleatoria con densidad de probabilidad

0 si 0

0 si e20

1

)(20

1

x

xxf

x

Determine la probabilidad de que uno de estos neumaacuteticos dure

a) Como maacuteximo10 000 millas

b) entre 16 000 y 24 000 millas

c) al menos 30 000 millas

d) si el neumaacutetico recorrioacute 10 000 millas y auacuten sigue en buen estado calcule la probabilidad de

que dure al menos 8 000 millas maacutes


Distribucioacuten Weibull

La funcioacuten de densidad de probabilidad para una variable aleatoria tipo Weibull estaacute dada por

0

0)(

1

cc

xexxf

x

La funcioacuten de probabilidad acumulada es

01)( xexXPxF x


12

1

222 XV

XE

Ejemplo

La duracioacuten (en horas) de una broca de taladro que se emplea en una operacioacuten de fabricacioacuten tiene

una distribucioacuten Weibull con 2 y 100

a Calcule la probabilidad de que la broca de taladro falle antes de las 80 horas de uso

b Calcule la vida media de la broca de taladro


Ejercicios

88 Se tiene que construir dos casas y para terminar cada una se necesita llevar a cabo determinado

trabajo clave El trabajo clave tiene un tiempo de ejecucioacuten cuya funcioacuten de densidad de

probabilidad es

0

012

1

)(12

cc

xexf

x

Si se supone que los tiempos de terminacioacuten de los trabajos son independientes calcule la

probabilidad de que el tiempo de ejecucioacuten de ambos trabajos demande menos de 10 horas

89 Suponga que la vida uacutetil (en horas) de cierta marca de foco electroacutenico es una variable aleatoria

X cuya funcioacuten de densidad de probabilidad es

0

0)(8000

cc

xcexf

x

a) Calcule el valor de la constante c para que f(x) sea funcioacuten de densidad Si se selecciona un

foco electroacutenico al azar calcule la probabilidad de dure mas de 10 000 horas

b) Si el costo C en doacutelares por cada foco estaacute dado por

2

2

80002

400020

XXC

Determine el costo esperado e interprete

c) Si se selecciona ocho focos electroacutenicos calcule la probabilidad de que por lo menos dos de

ellos duren maacutes de 10 000 horas

90 La vida (en horas) de un dispositivo electroacutenico es una variable aleatoria que tiene la siguiente

funcioacuten de densidad

0xparae50

1)x(f

x50

1

a) Calcule e interprete la mediana Si un lote tiene 20 de estos dispositivos iquestcuaacutentos se

esperariacutea que duren maacutes que la mediana

b) Si el dispositivo duroacute 80 horas iquestcuaacutel es la probabilidad de que dure 25 horas maacutes

c) Se escoge aleatoriamente de un lote 5 dispositivos electroacutenicos iquestcuaacutel es la probabilidad de

que al menos uno dure maacutes de 35 horas

91 El tiempo de duracioacuten X en meses de un tipo de resistencia eleacutectrica tiene funcioacuten de densidad

de probabilidad

casootroen

xsiexf

x

0

050)(

50

a) Si se prueban 10 resistencias eleacutectricas iquestcuaacutel es la probabilidad de que al menos dos de

ellas duren maacutes de 4 meses

b) Si el costo de produccioacuten de una resistencia es C(x) = 2+ 3x iquestcuaacutento es el valor esperado

del costo

92 La importancia de modelar correctamente el tiempo inactivo de maacutequina en los estudios de

simulacioacuten se analizoacute en Industrial Engineering (agosto de 1990) El artiacuteculo presentoacute


resultados de simulaciones para un sistema de una sola maacutequina herramienta con las siguientes

propiedades

Los tiempos entre llegadas de los trabajos tienen una distribucioacuten exponencial con una

media de 125 minutos

El tiempo que la maacutequina opera antes de descomponerse estaacute distribuido exponencialmente

con una media de 540 minutos

a) Calcule la probabilidad de que dos trabajos llegaraacuten para ser procesados con una diferencia

de cuando maacutes un minuto

b) Calcule la probabilidad de que la maacutequina opere durante maacutes de 12 horas antes de

descomponerse si viene operando 5 horas sin descomponerse

93 Con base en un gran nuacutemero de pruebas un fabricante de lavadoras piensa que la distribucioacuten

del tiempo (en antildeos) antes de que necesite una reparacioacuten mayor tiene una distribucioacuten de

Weibull con paraacutemetros 2 y 4 Si el fabricante garantiza todas las maacutequinas contra

reparaciones mayores durante dos antildeos iquestqueacute porcentaje de todas las lavadoras nuevas tendraacuten

que ser reparadas durante la vigencia de la garantiacutea

94 El tiempo (en meses despueacutes del mantenimiento) antes de falla del equipo de vigilancia por

televisioacuten de un banco tiene una distribucioacuten de Weibull con 60βy2α Si el banco

quiere que la probabilidad de una descompostura antes del siguiente mantenimiento

programado sea de 005 iquestcon queacute frecuencia deberaacute recibir mantenimiento perioacutedico el equipo

95 El fabricante de cierto equipo electroacutenico afirma que el tiempo en meses antes de que falla

tiene distribucioacuten Weibull con 5y3 Si el fabricante garantiza todos los equipos

contra reparaciones mayores durante tres antildeos iquestCuaacutel es la probabilidad que 3 equipos de un

total de 6 equipos nuevos no tengan que ser reparados durante la vigencia de la garantiacutea

96 Los modelos de viento se utilizan en disentildeo de ingenieriacutea para anaacutelisis de energiacutea del viento y

liacutemites de disentildeo para la velocidad del viento Un modelo muy utilizado para la velocidad del

viento Y (en millas por hora) es la funcioacuten de densidad de Weibull con paraacutemetros 1 y

2 donde (la velocidad caracteriacutestica) es el percentil 6321 de la distribucioacuten de la

velocidad del viento (Atmospheric Environment vol 18 nuacutem 10 1984) Se sabe que en cierto

lugar de Gran Bretantildea la velocidad caracteriacutestica del viento es 311 millas por hora Utilice

el modelo de viento Weibull para calcular la probabilidad de que la velocidad del viento sea

mayor que 7 millas por hora


Unidad 5 Estadiacutestica Inferencial Estimacioacuten y prueba de hipoacutetesis

Logro de la unidad

Al final de la unidad el estudiante seraacute capaz de realizar estimaciones de

paraacutemetros desconocidos y verificar hipoacutetesis sobre estos paraacutemetros asiacute

como distinguir las diferentes teacutecnicas a utilizar de acuerdo al tipo de

variable (cualitativa o cuantitativa) y de acuerdo al intereacutes del

investigador de modo que pueda modelar satisfactoriamente problemas

relacionados con su especialidad reconociendo la importancia de eacutesta

herramienta en la toma de decisiones

51 Estimacioacuten puntual

Es la estimacioacuten del valor del paraacutemetro por medio de un uacutenico valor obtenido mediante el

caacutelculo o evaluacioacuten de un estimador para una muestra especiacutefica

El estimador se expresa mediante una foacutermula

Por ejemplo la media de la muestra

n

i

iXn

X1

1es un posible estimador puntual de la media

poblacional

Los paraacutemetros con sus correspondientes estimadores puntuales son

Paraacutemetro Estimador puntual

x

2 2s

p p

21 21 xx

2

2

2

1 22

21 ss

21 pp 21ˆˆ pp


52 Estimacioacuten por intervalos

Objetivo Estimar paraacutemetros desconocidos mediante un rango de valores donde con cierta probabilidad se espera se encuentre dicho paraacutemetro

El intervalo de confianza del 100 (1-α) para estimar el paraacutemetro θ es dado por

IC(θ)=(LI LS)

De modo que P(LIltθltLS) = 1-α a 1-α se le llama el nivel de confianza

53 Intervalo de confianza para la media

El intervalo de confianza del 100(1-α) para estimar micro es (LI LS) tal que

P(LI lt micro lt LS)= 1- α

Donde los limites LI y LS son intervalos aleatorios pues dependen de la muestra

Por ejemplo un intervalo de 95 de confianza para estimar micro se entiende de la siguiente manera

Si se toman 100 muestras de tamantildeo n

Muestra 1

Muestra 2

Muestra 3

Muestra 4

hellip

Muestra 100

Se espera que cinco de las muestras nos lleven a construir intervalos que no contienen a micro y las 95

restantes si nos daraacuten intervalos que contienen a micro

Por ejemplo si se desea estimar la resistencia promedio de un bloque de

concreto se elegiraacute una muestra de 20 bloques y mediante

una prueba en laboratorio se determinaraacute la resistencia de

estos 20 bloques de concreto

micro

iquestCuaacutel es la variable en estudio

iquestCuaacutel es el tipo de variable y la escala adecuada para

la variable bajo estudio

iquestQueacute paraacutemetro deseamos estimar iquestPor queacute

iquestCuaacutel es el procedimiento para hacer la estimacioacuten


Varianza poblacional conocida

X

Si X es la media de una muestra aleatoria de tamantildeo n de una poblacioacuten con varianza 2

conocida el intervalo de confianza de (1 ndash )100 para estaacute dado por

nzx

nzx

2121

donde 21z es el valor que deja un aacuterea de 1 ndash 2 a la izquierda

04

03

02

01

00

De

nsid

ad

0

Graacutefica de distribucioacutenNormal Media=0 DesvEst=1

El nivel de confianza 1-α nos lleva a determinar el valor de la funcioacuten inversa de Z como

se muestra en la figura

El error es la diferencia entre el valor del paraacutemetro micro y su estimacioacuten | |

El maacuteximo error que se comete al estimar micro mediante la muestra con el valor de es

denotado por ME= n

z

)21(

Luego

NOTA Si X no tiene una distribucioacuten normal entonces el tamantildeo de la muestra debe ser mayor o igual que 30 (nge30) por el Teorema el Liacutemite Central de modo

que la X se aproxima a una distribucioacuten normal

1-α

α2 α2 Z(1-α2)

Z(α2)

zo -zo

X

micro desconocida

conocida

n

ME ME

X LI= X - ME LI= X + ME

Este intervalo puede contener a micro o no contenerlo

Se construye el ME con una probabilidad (nivel de

confianza) de que este intervalo contenga a micro


Ejemplo

Una maacutequina produce piezas metaacutelicas de forma ciliacutendrica que son almacenadas en lotes Del

histoacuterico se conoce que los diaacutemetros de eacutestas piezas siguen una distribucioacuten aproximadamente

normal con desviacioacuten estaacutendar igual a 003 centiacutemetros El ingeniero de calidad desea estimar el

diaacutemetro medio de las piezas producidas por esta maacutequina Por lo tanto toma una muestra al azar

de nueve piezas de uno de los lotes y mide sus diaacutemetros Los resultados obtenidos son 101 097

103 104 099 098 099 101 y 103 centiacutemetros

a) Realice la estimacioacuten correspondiente con una confianza del 95 Interprete

b) Si la especificacioacuten para el diaacutemetro es 1plusmn002 cm iquestLa muestra obtenida indica que se estaacute

cumpliendo con las especificaciones Justifique su respuesta


c) Realice la estimacioacuten correspondiente con una confianza del 99 iquestEl intervalo hallado es maacutes

amplio o maacutes angosto iquestla muestra obtenida indica que se estaacute cumpliendo con las

especificaciones Justifique su respuesta

d) iquestQueacute intervalo es maacutes preciso para estimar el diaacutemetro promedio al 95 o al 99


Varianza poblacional desconocida

X S

Si X y S son la media y la desviacioacuten estaacutendar de una muestra aleatoria de tamantildeo n

desconocida el intervalo de confianza de (1 ndash )100 para estaacute dado por

n

Stx

n

Stx nn 1212

donde 12 nt es el valor t con (n ndash 1) grados de libertad que deja un aacuterea de 2 a la derecha

04

03

02

01

00

De

nsid

ad

-to to0

Graacutefica de distribucioacutenT gl = n-1

T(1-α2 n-1)

α2 α2 T(α2 n-1)

X

micro desconocida

desconocida

n

ME ME






Ejemplo

Una maacutequina produce piezas metaacutelicas de forma ciliacutendrica que son almacenadas en lotes El

ingeniero de calidad desea estimar el diaacutemetro medio de las piezas producidas por esta maacutequina

Por lo tanto toma una muestra al azar de nueve piezas de uno de los lotes y mide sus diaacutemetros Los

resultados obtenidos son 101 097 103 104 099 098 099 101 y 103 centiacutemetros Suponga

que los diaacutemetros de las piezas tienen una distribucioacuten aproximadamente normal Realice la

estimacioacuten correspondiente con una confianza del 95

Ejemplo

Los siguientes datos corresponden al contenido de plomo (miligramos por litro) de una muestra

recolectada diariamente durante 70 diacuteas en un sistema de agua

009678 007149 002216 002844 000509 002346 006387

003786 006458 007758 005297 003282 006952 008588

005720 000085 007407 002497 004557 003753 004897

003336 009612 009007 005633 007776 007836 007373

008864 004475 002384 002123 005981 003668 000019

008866 003658 005978 003543 003159 007735 006618

006675 001867 003198 007262 001231 004838 001650

008083 002441 005767 00797 006182 005700 008941

005175 007922 000943 003686 001097 008949 000264

007271 007979 001333 002791 008812 006969 004160

donde 0272005130 sx Asumiendo normalidad en la cantidad de plomo


a) Estime el contenido promedio de plomo con una confianza del 96

b) Si la verdadera desviacioacuten estaacutendar de la cantidad de plomo en el agua es 002 construya un

intervalo de confianza de 98 para el contenido promedio de plomo


Tamantildeo de muestra cuando la varianza poblacional es conocida

Suponga que un ingeniero civil desea estimar la resistencia media de un

cilindro de concreto para lo cual realizaraacute pruebas en el laboratorio sobre

la resistencia de este tipo de cilindros iquestCuaacutentos especiacutemenes debe

probar

Para esto el ingeniero debe decidir dos cosas

iquestCon queacute precisioacuten debe trabajar Error maacuteximo (e)

iquestCon queacute confianza Nivel de confianza (1-α)

Si X se usa como estimacioacuten de podemos tener (1-)x100 de confianza de que el error no

exceda una cantidad especiacutefica e cuando el tamantildeo de la muestra es

2

21

e

zn

2

21

e

Szn

Si el valor del tamantildeo de muestra es decimal se debe redondear al siguiente nuacutemero entero

Ejemplo

Si el ingeniero desea estimar la resistencia promedio de cilindros de concreto iquestDe queacute tamantildeo

necesita que sea la muestra si desea tener 97 de confianza y un margen de error de 50 psi Asuma

que la desviacioacuten estaacutendar poblacional es 100 psi

Solucioacuten

Ejemplo

Un ingeniero desea estimar la resistencia promedio de cilindros de concreto como no tiene idea de

la variabilidad selecciona una muestra piloto de 10 especiacutemenes y realiza la prueba obteniendo los

siguientes resultados

2980 3120 3100 3059 2985 2998 3020 3100 2988 3010

iquestDe queacute tamantildeo necesita que sea la una muestra si desea tener 98 de confianza y un margen de

error de 50 psi


Ejercicios

97 Se afirma que la resistencia de un tipo de alambre tiene distribucioacuten normal con desviacioacuten

estaacutendar iguala 005 ohmios Los datos siguientes corresponden a una muestra de dichos

alambres

0140 0138 0143 0142 0144 0137 0135 0140 0136 0142 0138 0140

a) Estimar la resistencia promedio de este tipo de alambres mediante un intervalo de 98 de

confianza Interprete

b) Si la especificacioacuten para este tipo de alambre es 015plusmn005 De la estimacioacuten hallada en a

iquestse puede decir que el alambre cumple con la especificacioacuten Explique

98 Un ingeniero de una planta de purificacioacuten de agua mide el contenido de cloro diariamente en

una muestra de tamantildeo 25 En la uacuteltima muestra se obtuvo una media de 48 mg de cloro por

litro con una desviacioacuten estaacutendar de 12 mg de cloro por litro

a) Halle e interprete un intervalo del 96 de confianza para estimar el contenido promedio de

cloro del agua Suponga que el contenido de cloro en el agua tiene distribucioacuten normal

b) Si el contenido promedio de cloro por litro de agua no debe exceder de 5 mg puesto que

seriacutea dantildeino para el organismo iquestEsta muestra nos indica que no hay de queacute preocuparse

99 Para estimar el tiempo promedio que lleva ensamblar cierto componente de una computadora

el supervisor de una empresa electroacutenica tomoacute el tiempo que 25 teacutecnicos tardaban en ejecutar

esta tarea obtenieacutendose una media de 1273 minutos y una desviacioacuten estaacutendar de 206

minutos

a) Con una confianza del 99 calcular el error maacuteximo de estimacioacuten del tiempo promedio

que lleva ensamblar el componente de la computadora

b) Construya e interprete un intervalo de confianza de 95 para estimar el tiempo promedio


c) Si esta muestra se considera una muestra piloto iquestqueacute tamantildeo de muestra es necesario de

modo que el error de estimacioacuten disminuya es un 30

100 Una agencia de control ambiental ha reunido datos de mediciones de DL50 (dosis letal es decir

mata al 50 de los animales de prueba en un determinado intervalo de tiempo) para

determinadas sustancias quiacutemicas que se encuentran probablemente en riacuteos y lagos de agua

dulce Para determinada especie de pescado las mediciones de DL50 para el DDT en 12

experimentos dieron los siguientes resultados (en partes por milloacuten)

16 5 21 19 10 5 8 2 7 2 4 9

Suponiendo que estas determinaciones de DL50 tiene una distribucioacuten aproximadamente

normal estimar la DL50 promedio para el DDT con un nivel de confianza igual a 090


101 En un estudio de contaminacioacuten del aire realizado en una estacioacuten experimental de 12 muestras

diferentes de aire se obtuvieron los siguientes montos de materia orgaacutenica suspendida soluble

en benceno (en microorganismos por metro cuacutebico)

2212 1839 3152 2608 2456 2747 2913 1265 2346 2333 1909 2333

Suponiendo que la poblacioacuten muestreada es normal

a) Estime con una confianza de 95 el nuacutemero promedio de microrganismos por m3 de aire

b) iquestDe queacute tamantildeo debe ser la muestra para estimar el nuacutemero promedio de microrganismos

por m3 con un error de 008 microorganismos por metro cuacutebico y con 95 de confianza

102 iquestQueacute tan grande se requiere que sea una muestra para que proporcione una estimacioacuten con

95 de confianza y un error de 08 antildeos de la edad promedio que se graduacutean los estudiantes de

ingenieriacutea civil de una universidad si una muestra piloto reporta una edad promedio de 253

antildeos con un coeficiente de variacioacuten de 0207


54 Intervalo de confianza para la proporcioacuten poblacional

x eacutexitos n

xp ˆ

Si p es la proporcioacuten de eacutexitos en una muestra aleatoria de tamantildeo n un intervalo de confianza

de (1 ndash )100 para estimar p estaacute dado por

n

ppzpp

n

ppzp

)ˆ1(ˆˆ

)ˆ1(ˆˆ

2121

donde21 z es el valor z que deja un aacuterea de 1 ndash 2 a la izquierda

04

03

02

01

00

De

nsid

ad

0




El valor de n debe ser grande (nge50)

El error es la diferencia entre el valor del paraacutemetro p y su estimacioacuten | |

El maacuteximo error que se comete al estimar p mediante la muestra con el valor de es

denotado por ME= n

ppz

)ˆ1(ˆ)21(

Luego y

Poblacioacuten dicotoacutemica

n

ME ME

p LI= p

- ME

Este intervalo puede contener a p o no contenerlo


confianza) de que este intervalo contenga a p

Nuacutemero de

eacutexitos

Nuacutemero de

fracasos

P=Proporcioacuten de

eacutexitos=XN (desconocido)

LI= p

+ ME

1-α

α2 α2 Z(1-α2)

Z(α2)

zo -zo


Ejemplo

Las distorsiones que ocurren en la pantalla de una terminal para graacuteficos por computadora con

frecuencia se deben a peacuterdida de datos en el proceso de enlace de comunicacioacuten El fabricante de un

nuevo controlador de errores de comunicacioacuten asegura que la proporcioacuten de procesos en los que se

pierden datos cuando su controlador estaacute operando se reduce significativamente De una muestra de

120 procesos de enlace de comunicacioacuten entre el terminal y la computadora se observoacute los


Siacute Siacute Siacute No No Siacute Siacute Siacute Siacute Siacute

No No No Siacute Siacute No No No No No

No Siacute Siacute Siacute Siacute No No Siacute Siacute Siacute

No Siacute No Siacute Siacute No No No No Siacute

No Siacute No Siacute Siacute No No Siacute Siacute Siacute

No No No No Siacute No No No No No

No Siacute No Siacute Siacute No No Siacute Siacute No

No Siacute No No No No No No Siacute No


Siacute Siacute No No Siacute No No No Siacute No

Siacute Siacute No Siacute Siacute No No Siacute Siacute No

No No No No No No No Siacute Siacute Siacute

Siacute Se produjo peacuterdida de datos en el

proceso de enlace de comunicacioacuten

entre la terminal y la computadora No No se produjo peacuterdida de datos en el


entre la terminal y la computadora

SiacuteNo

70

60

50

40

30

20

10

0

Co

nte

o

53

67

iquestEl proceso pierde datos

Calcule e interprete un intervalo del 97 de confianza para estimar la proporcioacuten de procesos en los

que no se produjo peacuterdida de datos usando el controlador del fabricante


Tamantildeo de muestra para estimar una proporcioacuten

Si p es la proporcioacuten de eacutexitos en una muestra aleatoria de tamantildeo n podemos tener una

confianza del (1 ndash )100 que el error seraacute menor de una cantidad especiacutefica e cuando el

tamantildeo de la muestra es

2

2

21 1

e

ppzn

Tamantildeo de muestra para estimar una proporcioacuten sin usar informacioacuten muestral

El valor de pp 1 se hace maacuteximo cuando 50p por lo tanto la foacutermula para calcular el

tamantildeo de muestra queda de la siguiente manera

2

2

21

4e

zn

Ejemplo

Se lleva a cabo un estudio para estimar el porcentaje de ciudadanos de una ciudad que estaacuten a favor

de tener agua fluorada iquestQueacute tan grande se necesita que sea la muestra si se desea tener una

confianza de 95 de que la estimacioacuten esteacute dentro del 1 del porcentaje real

Ejemplo

Se desea hacer una encuesta para determinar la proporcioacuten de familias que carecen de medios

econoacutemicos para tener casa propia De estudios anteriores se conoce que esta proporcioacuten estaacute

proacutexima a 07 Se desea determinar con un intervalo de confianza del 95 y con un error de

estimacioacuten de 005 iquestDe queacute tamantildeo debe tomarse la muestra

Preguntas

iquestQueacute hariacutea si no conoce el posible valor de p iquestla muestra aumenta o disminuye

iquestQueacute sucede con el tamantildeo de la muestra si el error de estimacioacuten disminuye iquesthay maacutes precisioacuten


Ejercicios

103 Se desea estimar con 95 de confianza y con un error de estimacioacuten no mayor de 35 el

porcentaje de todos los conductores que exceden el liacutemite de velocidad de 90 kiloacutemetros por

hora encierto tramo del camino iquestDe queacute tamantildeo se necesita tomar la muestra

104 Si se desea estimar la proporcioacuten real de unidades defectuosas en un embarque muy grande de

ladrillos de adobe y se quiere estar al menos 98 seguros de que el error es a lo maacutes 004

iquestQueacute tan grande deberaacute ser la muestra si

a) No se tiene idea de cuaacutel es la proporcioacuten real

b) Si la proporcioacuten real es 012

105 Una empresa desea estimar la proporcioacuten de trabajadores de la liacutenea de produccioacuten que estaacuten a

favor de que se corrija el programa de aseguramiento de la calidad La estimacioacuten debe quedar a

menos de 005 de la proporcioacuten verdadera de los que favorecen el programa con un nivel de

confianza del 98

106 Se desea estimar la proporcioacuten de componentes electroacutenicas que fallan antes de cumplir su vida

uacutetil de dos antildeos Para esto un ingeniero electroacutenico selecciona al azar 150 componentes y

encuentra que 6 fallan antes de cumplir su vida uacutetil

a) Realice la estimacioacuten con una confianza del 94 Interprete

b) Si el fabricante garantiza que a lo maacutes el 5 de sus componentes no cumplen con el tiempo

de vida uacutetil de dos antildeos iquestla informacioacuten obtenida en a pone en duda tal afirmacioacuten

Explique

107 A continuacioacuten se muestran el nuacutemero de hurtos que han ocurrido en la uacuteltima semana de un

centro comercial El administrador de este centro desea estimar la proporcioacuten de hurtos que se

deben a la seccioacuten de joyeriacutea con una confianza del 98 Realice la estimacioacuten e interprete el

resultado

Joyeriacutea 62

Deportes 50

Muacutesica 47

Ropa 16 Hogar 10

Nuacutemero de hurtos en las secciones de un centro comercial


55 Prueba de hipoacutetesis

Conceptos generales

La prueba de hipoacutetesis involucra una suposicioacuten elaborada sobre alguacuten paraacutemetro de la

poblacioacuten Despueacutes tomaremos una muestra para ver si la hipoacutetesis podriacutea ser correcta La

hipoacutetesis que contrastamos se llama hipoacutetesis nula (Ho) La hipoacutetesis nula se contrasta con la

hipoacutetesis alternativa (H1)

Luego a partir de los resultados obtenidos de la muestra o bien rechazamos la hipoacutetesis nula a

favor de la alternativa o bien no rechazamos la hipoacutetesis nula y suponemos que nuestra

estimacioacuten inicial del paraacutemetro poblacional podriacutea ser correcta

El hecho de no rechazar la hipoacutetesis nula no implica que eacutesta sea cierta Significa simplemente

que los datos de la muestra son insuficientes para inducir un rechazo de la hipoacutetesis nula

Contraste de hipoacutetesis

La hipoacutetesis que se contrasta es rechazada o no en funcioacuten de la informacioacuten muestral La

hipoacutetesis alternativa se especifica como opcioacuten posible si se rechaza la nula

Tipos de errores

Informacioacuten muestral

No rechazar H0 Rechazar H0

La realidad H0 es cierta No hay error Error tipo I

H0 es falsa Error tipo II No hay error

Error tipo I

Ocurre cuando se rechaza una hipoacutetesis H0 que es verdadera La probabilidad de cometer error

tipo I viene a ser la probabilidad de rechazar H0 cuando eacutesta es cierta

ciertaesHoHoRechazarPrItipoerrorCometerPr

El valor es fijado por la persona que realiza la investigacioacuten Por lo general 1 5 o 10

Error tipo II

Ocurre cuando se acepta una hipoacutetesis H0 que es falsa la probabilidad de cometer error tipo II

es la probabilidad de no rechazar H0 cuando eacutesta es falsa

falsaesHoHorechazar NoPrIItipoerrorCometerPr

Debido a que el valor real del paraacutemetro es desconocido este error no puede ser fijado

Ejercicio

Un paracaidista cree que el paracaiacutedas que acaba de armar estaacute en buenas condiciones para el salto

(H0) Indique cuaacutel de los dos errores tendriacutea peor consecuencia si lo cometemos


Pasos a seguir en una prueba de hipoacutetesis

Paso 1 Plantear hipoacutetesis

Sea el paraacutemetro que representa )( 2

2

2

2121

21 ppp

01

00

01

00

01

00

H

H

H

H

H

H

Paso 2 Fijar el nivel de significacioacuten

Paso 3 Escoger el estadiacutestico de prueba adecuado

Paso 4 Establecer las regiones criacuteticas

Paso 5 Calcular el valor del estadiacutestico de prueba

Paso 6 Dar las conclusiones

56 Prueba de hipoacutetesis para una media poblacional

Caso 1 Cuando la varianza poblacional es conocida

Hipoacutetesis

Unilateral izquierda Bilateral Unilateral derecha

00 H 00 H 00 H

01 H 01 H 01 H

Estadiacutestico de prueba

Zn

xz ~

0

c

Caso 2 Cuando la varianza poblacional es desconocida

Hipoacutetesis


00 H 00 H 00 H

01 H 01 H 01 H


1

0

c ~

nt

nS

xt


Ejercicio

Una empresa eleacutectrica fabrica focos cuya duracioacuten se distribuye de forma aproximadamente normal

con media de 800 horas y desviacioacuten estaacutendar de 40 horas Pruebe la hipoacutetesis que la duracioacuten

promedio es diferente de las 800 horas si una muestra aleatoria de 28 focos tiene una duracioacuten

promedio de 790 horas Utilice un nivel de significacioacuten de 005


Ejercicio

Se sabe que el rendimiento promedio (en porcentaje) de un proceso quiacutemico es 12 Sin embargo

uacuteltimamente se observa muchos valores menores Para comprobar que efectivamente el rendimiento

promedio ha disminuido se toma una muestra aleatoria de un lote de materia prima y se registra las

siguientes observaciones

97 128 87 134 83 117 107 81 91 105

Suponiendo normalidad y a partir de la informacioacuten recogida verifique si efectivamente el

rendimiento promedio ha disminuido Use 040


Ejercicios

108 Cierto fabricante de motocicletas anuncia en un comercial de televisioacuten que su vehiacuteculo rendiraacute

en promedio 87 millas por galoacuten y desviacioacuten estaacutendar 2 millas Los millajes (recorrido en

millas) en ocho viajes prolongados fueron 88 82 81 87 80 78 79 89 Al nivel de

significacioacuten del 5 iquestel millaje medio es menor que el anunciado

109 Un quiacutemico ha desarrollado un material plaacutestico que seguacuten eacutel tiene una resistencia media a la

ruptura de 29 onzas por pulgada cuadrada Para comprobar la bondad del meacutetodo se tomaron 20

laacuteminas de plaacutestico en mencioacuten hallaacutendose que en cada una de eacutestas la resistencia a la ruptura

es respectivamente

301

327

225

275

289

277

298

289

314

304

270

312

243

264

228

294

223

291

334

235

Al nivel de significacioacuten 060 y suponiendo normalidad iquestse admite la hipoacutetesis del

quiacutemico


57 Pruebas de hipoacutetesis para una proporcioacuten poblacional

Hipoacutetesis


00 H pp 00 H pp 00 H pp

01 H pp 01 H pp 01 H pp


Z

n

pp

ppz ~

)1(

ˆ

00

0c

Ejercicio


frecuencia se deben a peacuterdida de datos en el proceso de enlace de comunicacioacuten entre la terminal y

la computadora El fabricante de un nuevo controlador de errores de comunicacioacuten asegura que la

proporcioacuten de procesos en los que se pierden datos cuando su controlador estaacute operando es menor

de 010 A fin de probar esta aseveracioacuten se vigila el enlace de comunicacioacuten entre una terminal de

graacuteficos y una computadora con el controlador de errores funcionando De una muestra de 300

elementos se observoacute los siguientes resultados

Se perdieron datos cuando el controlador del fabricante esta operando Total

Siacute No

10 290 300

iquestLa informacioacuten recolectada refuta la aseveracioacuten del fabricante Use 030


Ejercicios

110 Un fabricante sostiene que al menos el 95 de los equipos que envioacute a una faacutebrica estaacute acorde

con las especificaciones teacutecnicas Una revisioacuten de una muestra de 200 piezas reveloacute que 18 eran

defectuosas Pruebe la afirmacioacuten del fabricante al nivel de significancia de 1

111 En cierta universidad se estima que menos 25 de los estudiantes van a bicicleta a la

universidad iquestEsta parece ser una estimacioacuten vaacutelida si en una muestra aleatoria de 90

estudiantes universitarios se encuentra que 28 van en bicicleta a la universidad Utilice un

nivel de significancia de 005

58 Prueba de hipoacutetesis para una varianza poblacional

Hipoacutetesis


2

0

2

0 H 2

0

2

0 H 2

0

2

0 H

2

0

2

1 H 2

0

2

1 H 2

0

2

1 H


2

12

0

22

c ~)1(

n

Sn

Ejemplo

En un proceso de fabricacioacuten de filamentos se desea contrastar que la varianza del grosor de los

filamentos es 4 miliacutemetros2 Para ello se toma una muestra de 28 filamentos que arroja una varianza

de 35 miliacutemetros2 Realice la prueba respectiva con 5 de nivel de significacioacuten Asuma

normalidad en los grosores de los filamentos


Ejercicio

112 Se reporta que la desviacioacuten estaacutendar de la resistencia al rompimiento de ciertos cables

producidos por una compantildeiacutea es 240 lb Despueacutes de que se introdujo un cambio en el proceso

de produccioacuten de estos cables la resistencia al rompimiento de una muestra de 8 cables mostroacute

una desviacioacuten estaacutendar de 300 lb Investigue la significacioacuten del aumento aparente en la

variacioacuten usando un nivel de significacioacuten de 005

113 Dos fabricantes de tarjetas de sonido A y B compiten en el mercado local Dichos fabricantes

se dividen el referido mercado y no hay posibilidad de que en un futuro proacuteximo se presente un

nuevo competidor El fabricante A ha desarrollado una nueva tarjeta de sonido y desea

introducirla en el mercado Su objetivo es conservar la mayor parte posible del mercado local

porque tiene un gran potencial de crecimiento Por ahora dicho fabricante controla el 85 de

este mercado El gerente de marketing de la firma sospecha que retendraacute la mencionada parte de

dicho mercado si no introduce su nuevo producto (la nueva tarjeta de sonido) y disminuiraacute si lo

hace Informacioacuten reciente basada en una muestra aleatoria de tamantildeo 100 le indica al gerente

de marketing de la firma A que el 80 de los encuestados prefieren la nueva tarjeta de sonido

Con la informacioacuten proporcionada iquestse puede afirmar que la sospecha del gerente de la marca A

es correcta Use un nivel de significacioacuten del 4

114 Cierto proceso de produccioacuten estaacute disentildeado para dar como resultado tornillos con una longitud

media de 3 plg Planteacuteese las hipoacutetesis para cada una de las siguientes situaciones

a El gerente de produccioacuten desea determinar si la longitud promedio ha disminuido

b Desea determinar si la longitud promedio ha aumentado

c Desea determinar si la longitud promedio ha cambiado

115 Una compantildeiacutea que procesa fibras naturales afirma que sus fibras tienen una resistencia media a

la ruptura de 40 lb y una desviacioacuten tiacutepica de 8 lb Un comprador sospecha que la resistencia

media a la ruptura es de solamente 37 lb Una muestra aleatoria de 64 fibras proporciona una

media de 38 lb iquestDeberaacute rechazar el comprador H

116 Un fabricante de medias estaacute considerando reemplazar una vieja maacutequina de coser por una

nueva La vieja maacutequina produce cuando maacutes un promedio de 300 pares de medias por hora

con una desviacioacuten estaacutendar de 30 pares Se considera que la produccioacuten por hora de tales

maacutequinas de coser tiene una distribucioacuten normal El vendedor de la nueva maacutequina afirma que

su produccioacuten promedio por hora es de maacutes de 300 pares La nueva maacutequina se prueba durante

un periodo de 25 h y se determina su produccioacuten promedio por hora como 310 pares si el nivel

de significacioacuten es de 005 iquestdeberiacutea rechazarse la hipoacutetesis nula


59 Pruebas de hipoacutetesis para dos varianzas poblacionales

Hipoacutetesis


2

2

2

10 H 2

2

2

10 H 2

2

2

10 H

2

2

2

11 H 2

2

2

11 H 2

2

2

11 H


112

2

2

1c 21

~ nnFS

SF

Ejercicio

Estos son los tiempos de secado (minutos) de 10 y 8 hojas cubiertas de poliuretano bajo dos

condiciones ambientales diferentes

Condicioacuten ambiental 1 504 543 556 558 559 561 585 599 618 634

Condicioacuten ambiental 2 556 561 618 559 514 599 543 628

Condicioacuten ambiental 1 Condicioacuten ambiental 2

Media 5717 57225

Varianza 1451566667 1533071429

Observaciones 10 8

Grados de libertad 9 7

iquestExiste heteregoneidad de varianzas Use un nivel de significacioacuten de 2


510 Pruebas de hipoacutetesis para dos medias poblacionales

Caso 1 Varianzas poblacionales desconocidas e iguales

Hipoacutetesis


k 210 H k 210 H k 210 H

k 211 H k 211 H k 211 H


2

21

2

21

21~

11

nn

p

c t

nnS

kxxt

2

)1()1(

21

2

22

2

112

nn

SnSnS p

Ejercicio

Se desea determinar si un proceso de fabricacioacuten que se efectuacutea en un lugar remoto se puede

establecer localmente a esta conclusioacuten se llega si las lecturas de voltaje promedio en ambos

lugares son iguales Se instalaron dispositivos de prueba (pilotos) en ambos lugares y se tomaron

las lecturas de voltaje en 10 series de produccioacuten de ambos lugares Los datos se muestran a

continuacioacuten

Lugar antiguo 998 1026 1005 1029 1003 905 1055 1026 997 987

Lugar nuevo 919 963 1010 970 1009 960 1005 1012 949 937

Prueba de varianzas iguales Lugar antiguo Lugar nuevo Intervalos de confianza de Bonferroni de 95 para desviaciones estaacutendares

N Inferior DesvEst Superior

Lugar antiguo 10 0261312 0399484 0804423

Lugar nuevo 10 0221012 0337876 0680364

Prueba F (distribucioacuten normal)

Estadiacutestica de prueba = 140 valor p = 0626

Prueba de Levene (cualquier distribucioacuten continua)


Prueba T e IC de dos muestras Lugar antiguo Lugar nuevo T de dos muestras para Lugar antiguo vs Lugar nuevo

Media del

Error

N Media DesvEst estaacutendar

Lugar antiguo 10 10031 0399 013

Lugar nuevo 10 9734 0338 011


Diferencia = mu (Lugar antiguo) - mu (Lugar nuevo)

Estimado de la diferencia 0297

IC de 95 para la diferencia (-0051 0645)

Prueba T de diferencia = 0 (vs no =) Valor T = 180 Valor P = 0089 GL = 18

Ambos utilizan DesvEst agrupada = 03700

Asuma que las lecturas de voltaje tienen comportamiento normal Con 5 de nivel de significacioacuten

iquestse puede afirmar que las lecturas promedio de voltaje presentan diferencias significativas en ambos

lugares


Caso 2 Varianzas poblacionales desconocidas y diferentes

Hipoacutetesis


k 210 H k 210 H k 210 H

k 211 H k 211 H k 211 H


t

n

S

n

S

kxxtc ~

2

2

2

1

2

1

21

11 2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

2

2

2

1

2

1

n

n

S

n

n

S

n

S

n

S

Ejercicio

Los siguientes datos corresponden a la resistencia a la compresioacuten a los 28 diacuteas (en kgcm2)

reportados por dos laboratorios

Laboratorio 1 2870 2382 3143 3659 3620 3887 2929 2903

Laboratorio 2 3076 3380 3494 3074 3162 3269

Con 5 de nivel de significacioacuten iquestlos laboratorios reportan resultados en promedio similares

Asuma poblaciones normales

Prueba de varianzas iguales Laboratorio 1 Laboratorio 2 Intervalos de confianza de Bonferroni de 95 para desviaciones estaacutendares


Laboratorio 1 8 316945 506616 116039

Laboratorio 2 6 100006 170561 48797



Prueba T e IC de dos muestras Laboratorio 1 Laboratorio 2 T de dos muestras para Laboratorio 1 vs Laboratorio 2

Media del

Error


Laboratorio 1 8 3174 507 18


Diferencia = mu (Laboratorio 1) - mu (Laboratorio 2)

Estimado de la diferencia -68


Prueba T de diferencia = 0 (vs no =) Valor T = -036 Valor P = 0731 GL = 8


511 Prueba de hipoacutetesis para dos proporciones poblacionales

Hipoacutetesis


210 H pp 210 H pp 210 H pp

210 H pp 210 H pp 210 H pp


Z

nnpp

ppzc

21

21

111

ˆˆ

21

21

21

2211ˆˆ

nn

xx

nn

pnpnp

Ejercicio

Se eligieron muestras de dos tipos de materiales 1 y 2 para ser expuestos a cambios extremos de

temperatura Los resultados se presentan a continuacioacuten

Desintegrados Permanecieron intactos Total

Material 1 45 185 230

Material 2 32 88 120


Con 5 de nivel de significacioacuten iquestel material 1 es maacutes resistente que el material 2 a los cambios

extremos de la temperatura

Ejercicio

117 El empleo de equipo de coacutemputo en las empresas estaacute creciendo con una rapidez vertiginosa

Un estudio reciente en la que participaron 15 empresas del sector industrial reveloacute que 184 de

616 adultos trabajan utilizando con regularidad una computadora personal una

microcomputadora un terminal de computadora o un procesador de texto en su trabajo Se

seleccionoacute otra muestra de 450 adultos de 10 empresas del sector salud en la muestra se

obtuvo que 105 adultos utilizan con regularidad una computadora persona una

microcomputadora un terminal de computadora o un procesador de texto en su trabajo iquestExiste

diferencias significativas entre los porcentajes de adultos de las empresas del sector industria y

de salud que utilizan alguacuten equipo de coacutemputo en su trabajo Use = 005

118 Una faacutebrica produce dos tipos de productos en dos turnos diferentes y se desea observar el

nuacutemero de productos defectuosos en ambos turnos Para esto se toman dos muestras

independientes una de cada turno de trabajo y se determinoacute la cantidad de artiacuteculos

defectuosos y el tipo de producto producido los resultados se muestran en la siguiente tabla

TURNO

PRODUCTO

A B

Defectuosos Buenos Defectuosos Buenos

Mantildeana 20 200 50 300

Tarde 5 150 25 200

a) Podemos afirmar que el turno de la tarde se producen artiacuteculos con un menor porcentaje de

unidades defectuosas Use = 005

b) Podemos afirmar que en el turno de tarde la proporcioacuten de defectuoso del producto B es

mayor que la proporcioacuten de defectuosos del turno de la mantildeana en maacutes de 004 Use = 005


Unidad 6 Pruebas chi-cuadrado

Logro de la unidad

Comprende y utiliza apropiadamente las pruebas chicuadrado para verificar la distribucioacuten teoacuterica

de procedencia de un conjunto de datos Asimismo verifica si dos variables categoacutericas se

relacionan

61 Bondad de ajuste

La prueba de bondad de ajuste se utiliza para probar una hipoacutetesis acerca de la distribucioacuten de

una variable Se compara una distribucioacuten de frecuencias observadas con los valores

correspondientes de una distribucioacuten esperada o teoacuterica

La estadiacutestica de prueba es

2

2 2

( 1)

1

~k

i i

c k m

i i

o e

e

i ie np

io frecuencia observada para la categoriacutea i

ie frecuencia esperada para la categoriacutea i

k nuacutemero de categoriacuteas

m nuacutemero de paraacutemetros a estimar

Las frecuencias esperadas deben ser todas mayores o iguales a cinco

Caso 1 Poblacioacuten Uniforme

Ejemplo

Se lanza 180 veces un dado con los siguientes resultados

X 1 2 3 4 5 6

O 28 36 36 30 27 23

iquestEs un dado balanceado Utilice un nivel de significancia de 001


Caso 2 Distribucioacuten de Poisson

Hipoacutetesis

oH La poblacioacuten tiene distribucioacuten de probabilidad de Poisson

1 H La poblacioacuten no tiene distribucioacuten de probabilidad de Poisson

Ejemplo

Se cree que el nuacutemero de accidentes automoviliacutesticos diarios en determinada ciudad tiene una

distribucioacuten de Poisson En una muestra de 100 diacuteas del antildeo pasado se obtuvieron los datos de la

tabla adjunta iquestApoyan estos datos la hipoacutetesis de que el nuacutemero diario de accidentes tiene una

distribucioacuten de Poisson Use 050

Nuacutemero deaccidentes X

Frecuencia

observada io X io Probabilidad

Frecuencia

esperada ie

2

i i

i

o e

e

0 24

1 35

2 21

3 10

4 5

5 5

Total


Caso 3 Distribucioacuten Binomial

Hipoacutetesis

oH La poblacioacuten tiene distribucioacuten de probabilidad Binomial

1 H La poblacioacuten no tiene distribucioacuten de probabilidad Binomial

Ejemplo

Seis monedas fueron lanzadas 1200 veces Las frecuencias del nuacutemero de caras se muestran en la

siguiente tabla iquestLos datos se ajustan a una distribucioacuten binomial Use α = 005

Ndeg caras X Frecuencia

Observada io

Xio Probabilidad Frecuencia

esperada ie

2

i i

i

o e

e

0

1

2

3

4

5

6

Total


Ejercicios

119 Durante mucho tiempo un fabricante de televisores ha tenido el 40 de sus ventas en aparatos

de pantalla pequentildea (menos de 14 pulgadas) 40 de pantalla mediana (de 14 a19 pulgadas) y

el 20 de pantalla grande (de 21 pulgadas a maacutes) Para fijar los programas de produccioacuten para

el mes siguiente se toma una muestra aleatoria de 100 ventas durante el periodo actual y se

encuentra que 55 de los televisores vendidos fueron de pantalla pequentildea 35 de pantalla

mediana y 10 de pantalla grande Probar si el patroacuten histoacuterico de ventas ha cambiado usando un

nivel de significacioacuten del 5

120 En una empresa se tiene intereacutes en estudiar la distribucioacuten del nuacutemero de accidentes de los

operarios ocurridos en un diacutea de trabajo Los resultados obtenidos a partir de una muestra de

registros diarios de estos accidentes se muestran a continuacioacuten

Accidentes 0 1 2 3 4 5

Frecuencia 140 270 280 180 90 40

iquestSe puede afirmar que el nuacutemero de accidentes de los operarios ocurridos en un diacutea de trabajo

tiene distribucioacuten de Poisson con paraacutemetro igual a 2 Use un nivel de significacioacuten del 2

121 Un vendedor diariamente realiza cuatro llamadas Una muestra de 140 diacuteas da como resultado

las frecuencias de ventas que se muestran a continuacioacuten

Nuacutemero de ventas 0 1 2 3 4

Nuacutemero de diacuteas 25 35 66 12 2

Se puede afirmar que el nuacutemero de ventas que se realiza diariamente sigue una distribucioacuten

Binomial Use un nivel de significacioacuten del 5

122 El analista de un banco estaacute interesado en determinar a que distribucioacuten se ajusta el nuacutemero de

transacciones bancarias que realiza un cliente dentro de las oficinas del banco Para tal fin

recoge la informacioacuten de 100 clientes del banco Esta se muestra en la siguiente tabla use un

nivel de significacioacuten del 5 para la prueba respectiva

Ndeg transacciones 0 1 2 3 4 5 6

Clientes 20 15 12 8 11 16 18

123 En una pizzeriacutea se reciben los pedidos en cuatro turnos el gerente cree que la proporcioacuten de los

pedidos es de 30 40 20 10 respectivamente en los cuatro turnos Para probar esta

hipoacutetesis toma una muestra de 500 pedidos y los clasifica seguacuten el horario en que se hicieron lo

cual se muestra en la siguiente tabla

Turno 1 2 3 4

Ndeg pedidos 100 280 80 40

Pruebe la hipoacutetesis del gerente al nivel de significacioacuten del 5

124 La compantildeiacutea NEWPC se dedica a la comercializacioacuten de hardware para computadoras

personales La compantildeiacutea compra placas de memoria RAM en cajas de 5 unidades En un

estudio realizado sobre las uacuteltimas cajas compradas por la empresa se encontraron los siguientes

resultados

Ndeg placas defectuosas 0 1 2 3 4 5

Ndeg cajas 20 140 260 300 200 80

iquestQueacute distribucioacuten sigue el nuacutemero de placas defectuosas Use un nivel de significacioacuten del 5


62 Pruebas de normalidad de Kolmogorov

Hipoacutetesis

oH La poblacioacuten sigue una distribucioacuten Normal

1 H La poblacioacuten no sigue una distribucioacuten Normal

Ejemplo

Pruebe que si las siguientes edades provienen de una distribucioacuten normal Use un nivel de

significacioacuten del 1

12 15 16 18 19 14 10 15 16 14

225200175150125100

99

95

90

80

70

60

50

40

30

20

10

5

1

C1

Po

rce

nta

je

Media 149

DesvEst 2644

N 10

KS 0117

Valor P gt0150

Graacutefica de probabilidad KolmogorovNormal


63 Prueba de independencia

Una de las pruebas donde se utiliza la distribucioacuten chi cuadrado es cuando se desea probar que

dos variables categoacutericas son independientes entre siacute

Estas variables categoacutericas reciben el nombre de factores El factor 1 o factor fila tiene r

categoriacuteas y el factor 2 o factor que se muestra en la columna tiene c categoriacuteas

Tabla de contingencia

La tabla que muestra los factores 1 y 2 con sus respectivas categoriacuteas se conoce como tabla de

contingenciartimesc


r

i

c

j

cr

ij

ijij

ce

eo

1 1

2

11

2

2 ~)(

n

nne

ji

ij

Factor 2

Columna 1 Columna 2 Columna c

Factor 1

Fila 1

Fila 2

Filar

Hipoacutetesis

oH Las variables X e Y son independientes

1 H Las variables X e Y no son independientes esto es las variables X e Y estaacuten relacionadas

Ejercicio

Para determinar si en realidad existe una relacioacuten entre el aprovechamiento de un empleado en el

programa de capacitacioacuten y su rendimiento real en el trabajo consideramos una muestra de 400

casos de sus archivos y obtenemos las frecuencias observadas que se presentan en la siguiente tabla

de contingencia 3 times 3

Calificacioacuten en el programa de capacitacioacuten

Total Debajo del promedio

Promedio Sobre el

promedio

Rendimiento real en el trabajo (calificacioacuten del empleador)

Deficiente 23 60 29 112

Promedio 28 79 60 167

Muy bueno 9 49 63 121

Total 60 188 152 400


Con un nivel de significacioacuten del 001 iquestla calificacioacuten del rendimiento del trabajador estaacute asociada

a la calificacioacuten en el programa de capacitacioacuten

Valores esperados

Calificacioacuten en el programa de capacitacioacuten Total Debajo del

promedio Promedio

Sobre el promedio


Deficiente 60112400 hellip 112

Promedio 60167400 167

Muy bueno hellip 152121400 121

Total 60 188 152 400


Ejercicios

125 Pruebas sobre la fidelidad y la selectividad de 190 radios produjeron los resultados que se

muestran en la siguiente tabla

Selectividad

Fidelidad

Baja Promedio Alta

Baja 7 12 31

Promedio 35 54 18

Alta 15 13 5

Use le nivel 001 de significancia para verificar que la fidelidad es independiente de la

selectividad

126 Un criminalista realizoacute una investigacioacuten para determinar si la incidencia de ciertos tipos de

criacutemenes variacutean de una parte a otra en una ciudad grande Los criacutemenes particulares de intereacutes

son asalto robo hurto y homicidio La siguiente tabla muestra el nuacutemero de criacutemenes

cometidos en tres aacutereas de la ciudad durante el antildeo pasado

Frecuencias absolutas

Tipo de crimen

Distrito

I II III

Asalto 162 310 258

Robo 118 196 193

Hurto 451 996 458

Homicidio 18 25 10

iquestSe puede concluir a partir de estos datos con un nivel de significancia de 001 que la

ocurrencia de estos tipos de crimen no es independiente del distrito de la ciudad


Unidad 7 Anaacutelisis de regresioacuten y correlacioacuten

Logro de la unidad

Al final la unidad el alumno seraacute capaz de modelar adecuadamente la relacioacuten existente entre dos

variables cuantitativas con el fin de predecir una de ellas Y (variable respuesta o dependiente) en

funcioacuten de otra variable X (regresora o independiente) mediante una funcioacuten lineal o no lineal en el

aacutembito de su especialidad y utilizando el software estadiacutestico Minitab

71 Regresioacuten lineal

iquestEl tiempo de falla de los equipos electroacutenicos dependeraacute de la resistencia de los resistores iquestel

sueldo dependeraacute del grado de instruccioacuten iquestel tiempo de procesamiento de trabajos estaraacute

relacionado con el nuacutemero de trabajos por diacutea iquestLa temperatura estaacute relacionada con la presioacuten

sobre el rendimiento de un producto quiacutemico

Estas preguntas surgen cuando queremos estudiar dos variables de una poblacioacuten con el fin de

examinar la relacioacuten existente entre ellas Las dos variables en estudio son variables

cuantitativas que nos permitiraacute construir una ecuacioacuten lineal que modela la relacioacuten existente

entre estas dos variables

En el anaacutelisis de regresioacuten la ecuacioacuten lineal puede usarse para estimar o predecir los valores de

una variable dependiente llamada Y cuando se conocen o se suponen conocidos los valores de

otra variable variable independiente llamada X

El anaacutelisis de correlacioacuten permite determinar el grado de relacioacuten lineal existente entre dos

variables Es uacutetil en un trabajo exploratorio cuando el investigador desea encontrar el grado o la

fuerza de esa relacioacuten

iquestQueacute es el anaacutelisis de

regresioacuten lineal

Es modelar la dependencia de la

variable Y en funcioacuten de la variable

X a traveacutes de la ecuacioacuten de una

recta

0 1i i iY X e

Variable respuesta

(dependiente) Variable predictora

(independiente)

i = 1 2hellip n


711 Diagrama de dispersioacuten

El primer paso en el anaacutelisis de regresioacuten es registrar simultaacuteneamente los valores de las dos

variables asociadas (X Y) en una graacutefica bidimensional para ver si existe una tendencia lineal

que podriacutea explicar la relacioacuten entre estas dos variables

3025201510

9

8

7

6

5

4

X

Y

X vs Y

1614121008060402

1600

1400

1200

1000

800

600

400

200

0

X

Y

X vs Y

50454035302520

60

50

40

30

20

X

Y

X vs Y

12001000800600400200

140

130

120

110

100

90

80

70

60

50

X

Y

X vs Y

Ejercicio

Los siguientes datos se refieren a la resistencia (ohms) y al tiempo de falla (minutos) de ciertos

resistores sobrecargados

Resistencia x 22 21 31 34 37 43 34 34 42 51 56 59

Tiempo de falla y 20 22 26 28 30 32 33 35 37 42 45 47

Utilizando el Minitab el diagrama de dispersioacuten para estas dos variables es

Cuando X crece

Y crece

Modelo lineal

Buen ajuste

Modelo lineal

Buen ajuste

Cuando X crece

Y decrece

Variables no

relacionadas

Variables no

relacionadas


6050403020

50

45

40

35

30

25

20

Resistencia(X)

Tie

mp

o (

Y)

Graacutefica de dispersioacuten de Tiempo(Y) vs Resistencia(X)

Comente el diagrama de dispersioacuten de estas variables

712 Meacutetodo de los miacutenimos cuadrados

Mediante este meacutetodo es posible seleccionar la recta que se ajuste mejor a los datos La recta

resultante tiene dos caracteriacutesticas importantes

La suma de las desviaciones verticales de los puntos con relacioacuten a la recta es cero y

La suma de los cuadrados de las desviaciones es miacutenima (es decir ninguna otra recta dariacutea

una menor suma de cuadrados de tales desviaciones)

Es decir

n

i

ii yy1

2)ˆ( es miacutenima

Los valores de0 y 1 que minimizan la suma de los cuadrados de las desviaciones son las

soluciones de las llamadas ecuaciones normales de la recta de regresioacuten

n

i

i

n

i

ii

n

i

i

n

i

i

n

i

i

xxyx

xny

1

2

1

1

0

1

1

10

1

Este meacutetodo nos permite estimar los paraacutemetros del modelo de regresioacuten Resolviendo las

ecuaciones simultaacuteneas para 0 y 1 tenemos


2

11

2

111

1ˆ

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

n

i

i

xxn

yxyxn

y xy 10ˆˆ

713 Recta de regresioacuten

La ecuacioacuten lineal es ii xy 10ˆˆˆ

donde

1 es la pendiente de la recta

0 es la ordenada o intercepto de la recta

Ejercicio

Interprete los coeficientes de regresioacuten estimados del ejemplo anterior

Anaacutelisis de regresioacuten Tiempo (Y) versus Resistencia(X) La ecuacioacuten de regresioacuten es

Tiempo (Y) = 680 + 0680 Resistencia(X)

Coef

Predictor Coef de EE T P

Constante 6797 2652 256 0028

Resistencia(X) 067983 006570 1035 0000

S = 263819 R-cuad = 915 R-cuad(ajustado) = 906

1

0


714 Anaacutelisis de varianza

El anaacutelisis de varianza es la descomposicioacuten de la variacioacuten total en sus fuentes de variacioacuten

regresioacuten y error (residual)

Fuente de variacioacuten Grados de libertad Suma de cuadrados Cuadrado medio Estadiacutestico de prueba

Regresioacuten 1 SCReg CMReg (1) Fc = (1) (2)

Error (residual) n ndash 2 SCE CME (2)

Total n ndash 1 SCTot

Este anaacutelisis permite realizar la prueba de hipoacutetesis para validar el modelo de regresioacuten obtenido a

un nivel de significacioacuten α

1

2 α (nivel de significacioacuten)

3 Prueba estadiacutestica

4 Criterios de decisioacuten

Si Fcal gt Fcrit (α 1 n-2) entonces se rechaza Ho por lo tanto el modelo es vaacutelido

o

Si Fcal le Fcrit (α 1 n-2) entonces se acepta Ho por lo tanto el modelo no es vaacutelido

Del ejercicio anterior valide el modelo de regresioacuten lineal a un nivel de significacioacuten del

5

Con el software estadiacutestico Minitab se obtiene

Anaacutelisis de Varianza

Fuente GL SC CM F P

Regresioacuten 1 74532 74532 10709 0000

Error residual 10 6960 696

Total 11 81492

0H

0H

11

10

CMError

CMRegFcal

09

08

07

06

05

04

03

02

01

00

X

De

nsit

y

0

Distribution PlotF df1=15 df2=23

α ZNR

A

ZR

Fcrit


715 Coeficiente de determinacioacuten

Es una medida de bondad de ajuste del modelo Nos indica que tan bueno es el modelo para

explicar el porcentaje de variabilidad de la variable dependiente Y

El coeficiente de determinacioacuten 2R indica el porcentaje de la variabilidad de la variable

dependiente Y que es explicada por el modelo de regresioacuten lineal

Tambieacuten nos ayuda a saber la precisioacuten con la que se puede predecir o pronosticar el valor de

una variable si se conocen o suponen valores para la otra variable

El coeficiente de determinacioacuten 2R se calcula de la siguiente manera

2 SCReg100

SCTotR

Ejercicio

Interprete el coeficiente de determinacioacuten

Salida del Minitab

Coef


Constante 6797 2652 256 0028

Resistencia(X) 06798 00657 1035 0000

S = _______ R-cuad = _____ R-cuad(ajustado) = 906

R2

716 Error estaacutendar de la estimacioacuten

El error estaacutendar de la estimacioacuten mide la variabilidad o dispersioacuten de los valores de Y

alrededor del plano de regresioacuten Actuacutea como la desviacioacuten estaacutendar es una medida promedio

de la diferencia del valor observado y el valor estimado de Y

CMEn

SCES

2

Ejercicio

Ubique e identifique el valor del error estaacutendar de estimacioacuten en la salida del Minitab

S


717 Coeficiente de correlacioacuten

El coeficiente de correlacioacuten expresa el grado de asociacioacuten lineal que existe entre dos variables

Xe Y

Se calcula como la raiacutez cuadrada del coeficiente de determinacioacuten

Si el coeficiente de correlacioacutenesta cerca de cero entonces indicaraacute que no existe relacioacuten lineal

significativa entre las dos variables

Si el coeficiente de correlacioacuten se acerca a 1 o a -1 indicaraacute que existe una relacioacuten lineal fuerte

pudiendo ser directa o inversa

Relacioacuten lineal No existe Relacioacuten lineal

fuerte e Relacioacuten fuerte y

inversa Lineal directa

-10 -065 -02 02 065 10

Su valor varia dentro del intervalo de -1 y 1

Ejercicio

Calcule e interprete el coeficiente de correlacioacuten del ejemplo anterior

r

Ejercicio de aplicacioacuten 1

Una empresa dedicada a la fabricacioacuten de equipos de telecomunicacioacuten considera que la vida uacutetil de

los equipos estaacute relacionada linealmente con la temperatura del ambiente en el que trabaja Para

establecer dicha relacioacuten se tomoacute una muestra de 11 datos los cuales se muestran en la tabla

siguiente

Temperatura(ordmC) 24 20 18 16 10 12 11 28 16 15 23

Vida uacutetil(en antildeos) 80 64 55 46 38 39 76 65 66 45 88

0ˆsi

0ˆsi

1

2

1

2

R

Rr


Salida del Minitab

Anaacutelisis de regresioacuten Vida uacutetil versus Temperatura La ecuacioacuten de regresioacuten es

Vida uacutetil = 298 + 0173 Temperatura

Coef


Constante 2976 1473 202 0074

Temperatura 0173 0080

S = 145281 R-Cuad = 342 R-Cuad(ajustado) = 269

Anaacutelisis of Varianza

Fuente GL SC CM F P

Regresioacuten 1 9880

Error residual ___ ______ 2111

Total ___ 28876

Responda las siguientes preguntas

a Comente el diagrama de dispersioacuten de estas variables

3025201510

9

8

7

6

5

4

Temperatura

Vid

a u

til

Diagrama de dispersion de Vida util vs Temperatura


b Interprete los coeficientes de regresioacuten estimados

1

0

c Valide el modelo de regresioacuten al 1 de nivel de significacioacuten

Ho

H1

d Interprete el coeficiente de determinacioacuten y el coeficiente de correlacioacuten

R2

r


72 Inferencia estadiacutestica para los coeficientes del modelo

721 Intervalo de confianza

El intervalo de confianza al 1001 es

0 2 2 0 0 0 2 2 0ˆ ˆ ˆ ÊE EEn nt t

1 2 2 1 0 1 2 2 1ˆ ˆ ˆ ÊE EEn nt t

722 Prueba de hipoacutetesis para 1

El estadiacutestico de prueba es

1

( 2)

1

ˆ~

ÊEn

kt t

73 Pronoacutesticos para un valor medio y para un valor individual

El intervalo de confianza al 1001 para un valor medio es

xx

nXYxx

nS

xx

nSty

S

xx

nSty

2

0

)22(0

2

0

)22(0

1ˆ

1ˆ

0

El intervalo de confianza al 1001 para un valor individual es

xx

nXYxx

nS

xx

nSty

S

xx

nSty

2

0

)22(0ˆ

2

0

)22(0

11ˆ

11ˆ

0

Ejercicios de aplicacioacuten 2

Para la construccioacuten de carreteras que experimentan heladas intensas es importante que la densidad

del concreto (Kgm2) seleccionado tenga un valor bajo de conductividad teacutermica para reducir al

miacutenimo los dantildeos provocados por cambios de temperatura Suponga que se toman 12 trozos al azar

de diferentes densidades de concreto y se registra la conductividad El registro se muestra a

continuacioacuten en la siguiente tabla

Densidad del concreto

300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1400 1600

Conductividad teacutermica

0065 008 0095 0115 013 015 0175 0205 023 027 0346 0436


Anaacutelisis de regresioacuten Conductividad versus Densidad

1600140012001000800600400200

045

040

035

030

025

020

015

010

005

Densidad

Co

nd

ucti

vid

ad

Diagrama de dispersioacuten de Conductividad vs Densidad

La ecuacioacuten de regresioacuten es

Conductividad = - 00494 + 0000275 Densidad

Coef


Constante -0049 001726 -286 0017

Densidad 00003 000002 1524



Fuente GL SC CM F P

Regresioacuten 1


Total 11 014085

a Comente el diagrama de dispersioacuten

b Interprete la pendiente de la recta

1


c Interprete el coeficiente de determinacioacuten y correlacioacuten

R2

r

d Valide el modelo de regresioacuten Use un nivel de significacioacuten de 001

e iquestSe puede afirmar que por cada Kgm2adicional de densidad del concreto la conductividad

teacutermica aumenta en maacutes de 000017 Use un nivel de significacioacuten del 5


f Pronostique con 95 de confianza la conductividad teacutermica promedio cuando la densidad del

concreto es de 650 Kgm2

g Pruebe el supuesto de normalidad para los errores del modelo

005000250000-0025-0050

99

95

90

80

70

60

50

40

30

20

10

5

1

RESI

Po

rce

nta

je

Mean -462593E-18

StDev 002298

N 12

KS 0182

P-Value gt0150

Grafica de probabilidad de RESINormal



Se desea verificar si la temperatura y el tiempo de operacioacuten (en horas) de un dispositivo estaacuten

relacionados Para ello se realiza un experimento estadiacutestico cuyos resultados son los

siguientes

Temperatura (oC) 18 18 18 22 22 26 30 30 34

Tiempo de operacioacuten 1200 1215 1150 1000 974 810 583 612 240

Anaacutelisis de regresioacuten Tiempo vs Temperatura (degC)


Tiempo = 2184 - 545 Temperatura (degC)

Coef


Constante 218400 7502 2911 0000

Temperatura (degC) -54459 3015 -1806 0000


Anaacutelisis de varianza

Fuente GL SC MC F P

Regresioacuten 1 864685 864685 32623 0000


Total 8 883239

Observaciones poco comunes

Temperatura Ajuste Residuo

Obs (degC) Tiempo Ajuste SE Residuo estaacutendar

9 340 2400 3324 341 -924 -240R

R denota una observacioacuten con un residuo estandarizado grande

Valores pronosticados para nuevas observaciones

Nueva Ajuste

Obs Ajuste SE IC de 95 PI de 95

1 8225 173 (7816 8635) (6941 9510)

Valores de predictores para nuevas observaciones

Nueva Temperatura

Obs (degC)

1 250

a Interprete el coeficiente de regresioacuten de la variable independiente

1


b Interprete el coeficiente de determinacioacuten y correlacioacuten

R2

r

c Valide el modelo de regresioacuten Use un nivel de significacioacuten del 5

d iquestSe puede afirmar que por cada ordmC adicional de temperatura el tiempo de operacioacuten del

dispositivo disminuye en maacutes de 55 horas Use un nivel de significacioacuten del 3


e Pronostique con 95 de confianza el tiempo de operacioacuten hasta el fallo cuando la

temperatura es 25ordmC

f Pruebe el supuesto de normalidad para los errores del modelo

100500-50-100

99

95

90

80

70

60

50

40

30

20

10

5

1

RESI

Po

rce

nta

je

Mean -353692E-13

StDev 4816

N 9

KS 0180

P-Value gt0150



Unidad 8 Anaacutelisis de regresioacuten no lineal

Logro de la unidad

Identifica otros tipos de relaciones no lineales entre variables modela regresioacuten no lineal utilizando

informacioacuten de su carrera mediante el software estadiacutestico Minitab y reconoce la importancia del

uso de esta herramienta para la toma de decisiones

81 Modelos linealizables

Cuando dos variables X e Y no se ajustan a una regresioacuten lineal simple los modelos de

regresioacuten no lineal permiten modelar la relacioacuten entre estas dos variables

Muchas relaciones de este tipo a pesar de su naturaleza no lineal pueden ser linealizados

aplicando alguna transformacioacuten sobre una de las variables o sobre ambas Las

transformaciones pueden ser de diferente tipo y dependeraacuten del modelo inicial considerado para

el anaacutelisis

Entre los modelos de regresioacuten no lineal maacutes conocidos tenemos

1

0

XY e (modelo exponencial)

1

0 XY (modelo potencia)

82 Regresioacuten cuadraacutetica

Si ninguno de los modelos no lineales anteriores es satisfactorio otra alternativa consiste en

extender el modelo de regresioacuten lineal simple agregando un teacutermino que corresponde al valor de

la variable independiente al cuadrado El modelo resultante es

120100806040200

400

350

300

250

200

150

100

50

X

Y

Diagrama de dispersioacuten de X e Y

2

0 1 2Y X X

A este modelo se le conoce como modelo de regresioacuten cuadraacutetico


Ejemplo de aplicacioacuten 1

Se realiza una prueba de frenado de un automoacutevil nuevo midiendo la distancia de parada de

acuerdo a la rapidez del vehiacuteculo al momento de aplicar los frenos obtenieacutendose los siguientes

resultados

Rapidez(Kmh) 35 50 55 60 65 80 95 110

Distancia(Metros) 16 26 27 30 41 62 88 119

Ajuste una funcioacuten que explique la distancia de parada en funcioacuten de la rapidez del

vehiacuteculo

Anaacutelisis de regresioacuten polinomial Diacuteas vs Tiempo


DISTANCIA = 171 - 0510 RAPIDEZ + 00131 RAPIDEZ2

Coef


Constante 17064 8107 210 0089

RAPIDEZ -05103 02357 -216 0083

RAPIDEZ2 0013139 0001584 830 0000



Fuente GL SC CM F P

Regresioacuten 2 90539 45269 83846 0000


Total 7 90809

Anaacutelisis de varianza secuencial

Fuente GL SC CM F P

RAPIDEZ 1 86823 2530 4687 0083

RAPIDEZ2 1 3716 37160 68827 0000

1 Realice el proceso de validacioacuten del modelo cuadraacutetico usando un nivel de significacioacuten del 5

2 Si la rapidez registrada es de 42 Kmh iquestcuaacutel seraacute la distancia (en metros) estimada



Un motor de turbina se fabrica ensamblando dos tipos de cargas propulsoras un mecanismo de

ignicioacuten y un soporte Se ha observado que la resistencia al corte (psi) de la unidad ensamblada estaacute

en funcioacuten de la antiguumledad (semanas) de la carga propulsora cuando se moldea el motor Para

realizar un estudio a cargo del ingeniero de turno se tomoacute una muestra de 10 observaciones las

cuales se registraron en la siguiente tabla

Resistencia Antiguumledad

216520 1300

239955 375

177980 2500

233675 975

176530 2200

205350 1800

241440 600

220050 1250

265420 200

175370 2150

iquestSe podriacutea afirmar que un modelo de regresioacuten cuadraacutetica ajustariacutea mejor los datos Use un nivel de


Anaacutelisis de regresioacuten polinomial Resistencia versus Antiguumledad La ecuacioacuten de regresioacuten es

Resistencia = 2649 - 363 Antiguumledad - 0050 Antiguedad2

Coef


Constante 264858 8125 3260 0000

Antiguumledad -3630 1450 -250 0041

Antiguedad2 -00495 05265 -009 0928



Fuente GL SC CM F P

Regresioacuten 2 831630 415815 6648 0000


Total 9 875413



Fuente GL SC CM F P

Lineal 1 831575 39184 62647 004

Cuadraacutetica 1 55 55 00088 093

FOacuteRMULAS ESTADIacuteSTICAS

ESTIMACIOacuteN Y PRUEBA DE HIPOTESIS

Paraacutemetro Intervalos de Confianza Estadiacutestico de Prueba

Varianza conocida Varianza desconocida

)10(N~n

xz

_

)1n(

_

t~nS

xt

nz x)(IC 21

_

n

st x)(IC 21n(

_

2 2

)2-1 1n(

22

2

)2 1n(

22 S)1n(

)(LSCS)1n(

)(LIC

2

)1n(2

22 X~

S)1n(

p p1qn

)p1(pzp)p(IC )21(

)10(N~

n

)p1(p

ppz

21

Varianzas conocidas

2

2

2

1

2

1)21(2121

nnz)xx()(IC

)10(N~

nn

)()xx(z

2

22

1

21

2121

Varianzas desconocidas pero iguales

2nn

S)1n(S)1n(Sdonde

n

1

n

1St)xx()(IC

21

2

22

2

112

p

21

2

p)2 2nn(

_

2

_

1 2121

)2nn(

21

2

p

21

_

2

_

1

21t~

n

1

n

1S

)()xx(t

Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas

Estadiacutestica (CivilElectroacutenicaTelecomunicaciones) 2009-02 132

Varianzas desconocidas y diferentes

2

2

2

1

2

1

)2v(

_

2

_

1n

S

n

St)xx()(IC

21 )v(

2

22

1

21

2121 t~

n

S

n

S

)()xx(t

1n

n

S

1n

n

S

n

S

n

S

v

2

2

2

22

1

2

1

21

2

2

22

1

21

D n

st d)D(IC d

)21n( 1n

d

t~nS

Ddt


22

2 1 )vv2(2

2

212

221

)vv2(22

212

221

12

21

fS

S)(LSC

f

1

S

S)(LIC

1nv 11 1nv 22

11

2

2

2

1

2

2

2

1

21~

1 nnF

S

SF

21 pp

22

11

2

22

1

11

212121

2

22

1

11

212121

p1q

p1q

donde

n

qp

n

qpzpp)pp(LSC

n

qp

n

qpzpp)pp(LIC

a) 0ppH 210

)10(N~

n

1

n

1)p1(p

ppz

21

21

83 21

2211

nn

pnpnpdonde

b) KppH 210 y K 0

)10(N~

n

qp

n

qp

K)pp(z

2

22

1

11

21



PRUEBA JI CUADRADO

k

1i

2)1c)(1r(

i

2ii2 X

e

)eo(X

lg)1mk(vconX~e

)eo(X 2

k

1i i

2

ii2

k = de clases m = paraacutemetros desconocidos

k

1i

2

i

2

ii2 Xe

50eoX

DISTRIBUCIONES IMPORTANTES

Binomial )pn(B~X n10x)p1(pC)xX(P xnxn

x np)X(E )p1(np)X(V

Poisson )(P~X 210xx

e)xX(P

x

)X(E )X(V

ANAacuteLISIS DE REGRESIOacuteN

xˆyˆ

xxn

yxyxn

ˆ

10

2n

1i

i

n

1i

2i

n

1i

i

n

1i

ii

n

1i

i

1

Coeficiente de correlacioacuten

n

1i

2i

n

1i

2i

n

1i

ii

)yy(n

1)xx(

n

1

)yy)(xx(n

1

SS

)YXcov(r

yx

Cuadrados medios

pn

SSECME

1p

SSRCMR

donde

p Ndeg de paraacutemetros a estimar (p = k + 1)

k Ndeg de variables independientes

Prueba conjunta

)1(~ pnpFCME

CMRF

Inferencia para 0

xx

2i

20nS

xstˆ

)2(

2

00 ~ˆ

n

xx

i

t

nS

xs

t

Prueba de hipoacutetesis para el coeficiente de correlacioacuten lineal

a) 0H0

)2n(2

t~r1

2nrt

b) 00 H

)10(N~)1)(r1(

)1)(r1(ln

2

3nZ

0

0



Suma de cuadrados

SSRSSTSSE

n

xxˆSSR

n

yySST

2

i2i

21

2

i2i

Coeficiente de determinacioacuten

SST

SSRr 2

Coeficiente de determinacioacuten corregido

pn

1n)r1(1rr 222

correg

Inferencia para 1

xx

nS

st 221

ˆ

)(1111 ~

ˆˆ

1

pn

b

xx

tS

S

st

donde

2

2

1

2

2

2

1ˆ

)(

xxx

i

i

ixx

SnSSR

S

xxn

xxS

CMEpn

SSEsss xye

Pronoacutesticos

Valor medio

xx

20

)22n(0S

)xx(

n

1sty

Valor individual

xx

20

)22n(0S

)xx(

n

11sty

Modelos no lineales

Potencia LnxLnLnyoxy 1001

Exponencial xLnLnyoey 10x

01

Polinomio de grado m m

m

2

210 xˆxˆxˆˆy~

Tabla Ndeg 21

TABLA DE LA DISTRIBUCION NORMAL

Aacuterea bajo la curva normal P Z z

Z -009 -008 -007 -006 -005 -004 -003 -002 -001 -000

-39 0000033 0000034 0000036 0000037 0000039 0000041 0000042 0000044 0000046 0000048

-38 0000050 0000052 0000054 0000057 0000059 0000062 0000064 0000067 0000069 0000072

-37 0000075 0000078 0000082 0000085 0000088 0000092 0000096 0000100 0000104 0000108

-36 0000112 0000117 0000121 0000126 0000131 0000136 0000142 0000147 0000153 0000159

-35 0000165 0000172 0000178 0000185 0000193 0000200 0000208 0000216 0000224 0000233

-34 0000242 0000251 0000260 0000270 0000280 0000291 0000302 0000313 0000325 0000337

-33 0000349 0000362 0000376 0000390 0000404 0000419 0000434 0000450 0000466 0000483

-32 0000501 0000519 0000538 0000557 0000577 0000598 0000619 0000641 0000664 0000687

-31 0000711 0000736 0000762 0000789 0000816 0000845 0000874 0000904 0000935 0000968

-30 0001001 0001035 0001070 0001107 0001144 0001183 0001223 0001264 0001306 0001350

-29 000139 000144 000149 000154 000159 000164 000169 000175 000181 000187

-28 000193 000199 000205 000212 000219 000226 000233 000240 000248 000256

-27 000264 000272 000280 000289 000298 000307 000317 000326 000336 000347

-26 000357 000368 000379 000391 000402 000415 000427 000440 000453 000466

-25 000480 000494 000508 000523 000539 000554 000570 000587 000604 000621

-24 000639 000657 000676 000695 000714 000734 000755 000776 000798 000820

-23 000842 000866 000889 000914 000939 000964 000990 001017 001044 001072

-22 001101 001130 001160 001191 001222 001255 001287 001321 001355 001390

-21 001426 001463 001500 001539 001578 001618 001659 001700 001743 001786

-20 001831 001876 001923 001970 002018 002068 002118 002169 002222 002275

-19 002330 002385 002442 002500 002559 002619 002680 002743 002807 002872

-18 002938 003005 003074 003144 003216 003288 003362 003438 003515 003593

-17 003673 003754 003836 003920 004006 004093 004182 004272 004363 004457

-16 004551 004648 004746 004846 004947 005050 005155 005262 005370 005480

-15 005592 005705 005821 005938 006057 006178 006301 006426 006552 006681

-14 006811 006944 007078 007215 007353 007493 007636 007780 007927 008076

-13 008226 008379 008534 008691 008851 009012 009176 009342 009510 009680

-12 009853 010027 010204 010383 010565 010749 010935 011123 011314 011507

-11 011702 011900 012100 012302 012507 012714 012924 013136 013350 013567

-10 013786 014007 014231 014457 014686 014917 015151 015386 015625 015866

-09 016109 016354 016602 016853 017106 017361 017619 017879 018141 018406

-08 018673 018943 019215 019489 019766 020045 020327 020611 020897 021186

-07 021476 021770 022065 022363 022663 022965 023270 023576 023885 024196

-06 024510 024825 025143 025463 025785 026109 026435 026763 027093 027425

-05 027760 028096 028434 028774 029116 029460 029806 030153 030503 030854

-04 031207 031561 031918 032276 032636 032997 033360 033724 034090 034458

-03 034827 035197 035569 035942 036317 036693 037070 037448 037828 038209

-02 038591 038974 039358 039743 040129 040517 040905 041294 041683 042074

-01 042465 042858 043251 043644 044038 044433 044828 045224 045620 046017

-00 046414 046812 047210 047608 048006 048405 048803 049202 049601 050000



Tabla Ndeg 22



Z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009

00 050000 050399 050798 051197 051595 051994 052392 052790 053188 053586

01 053983 054380 054776 055172 055567 055962 056356 056749 057142 057535

02 057926 058317 058706 059095 059483 059871 060257 060642 061026 061409

03 061791 062172 062552 062930 063307 063683 064058 064431 064803 065173

04 065542 065910 066276 066640 067003 067364 067724 068082 068439 068793

05 069146 069497 069847 070194 070540 070884 071226 071566 071904 072240

06 072575 072907 073237 073565 073891 074215 074537 074857 075175 075490

07 075804 076115 076424 076730 077035 077337 077637 077935 078230 078524

08 078814 079103 079389 079673 079955 080234 080511 080785 081057 081327

09 081594 081859 082121 082381 082639 082894 083147 083398 083646 083891

10 084134 084375 084614 084849 085083 085314 085543 085769 085993 086214

11 086433 086650 086864 087076 087286 087493 087698 087900 088100 088298

12 088493 088686 088877 089065 089251 089435 089617 089796 089973 090147

13 090320 090490 090658 090824 090988 091149 091309 091466 091621 091774

14 091924 092073 092220 092364 092507 092647 092785 092922 093056 093189

15 093319 093448 093574 093699 093822 093943 094062 094179 094295 094408

16 094520 094630 094738 094845 094950 095053 095154 095254 095352 095449

17 095543 095637 095728 095818 095907 095994 096080 096164 096246 096327

18 096407 096485 096562 096638 096712 096784 096856 096926 096995 097062

19 097128 097193 097257 097320 097381 097441 097500 097558 097615 097670

20 097725 097778 097831 097882 097932 097982 098030 098077 098124 098169

21 098214 098257 098300 098341 098382 098422 098461 098500 098537 098574

22 098610 098645 098679 098713 098745 098778 098809 098840 098870 098899

23 098928 098956 098983 099010 099036 099061 099086 099111 099134 099158

24 099180 099202 099224 099245 099266 099286 099305 099324 099343 099361

25 099379 099396 099413 099430 099446 099461 099477 099492 099506 099520

26 099534 099547 099560 099573 099585 099598 099609 099621 099632 099643

27 099653 099664 099674 099683 099693 099702 099711 099720 099728 099736

28 099744 099752 099760 099767 099774 099781 099788 099795 099801 099807

29 099813 099819 099825 099831 099836 099841 099846 099851 099856 099861

30 0998650 0998694 0998736 0998777 0998817 0998856 0998893 0998930 0998965 0998999

31 0999032 0999065 0999096 0999126 0999155 0999184 0999211 0999238 0999264 0999289

32 0999313 0999336 0999359 0999381 0999402 0999423 0999443 0999462 0999481 0999499

33 0999517 0999534 0999550 0999566 0999581 0999596 0999610 0999624 0999638 0999651

34 0999663 0999675 0999687 0999698 0999709 0999720 0999730 0999740 0999749 0999758

35 0999767 0999776 0999784 0999792 0999800 0999807 0999815 0999822 0999828 0999835

36 0999841 0999847 0999853 0999858 0999864 0999869 0999874 0999879 0999883 0999888

37 0999892 0999896 0999900 0999904 0999908 0999912 0999915 0999918 0999922 0999925

38 0999928 0999931 0999933 0999936 0999938 0999941 0999943 0999946 0999948 0999950

39 0999952 0999954 0999956 0999958 0999959 0999961 0999963 0999964 0999966 0999967



Tabla Nordm 31

TABLA DE LA DISTRIBUCION T-STUDENT

Aacuterea bajo la curva P T c

04 03 02 015 01 005 004 003 0025 002 0015 001 0005

1 032492 072654 137638 196261 307768 631375 791582 1057889 127062 1589454 2120495 3182052 6365674 1

2 028868 061721 106066 138621 188562 291999 331976 389643 430265 484873 564278 696456 992484 2

3 027667 058439 097847 124978 163774 235336 260543 295051 318245 348191 389605 45407 584091 3

4 027072 056865 094096 118957 153321 213185 233287 260076 277645 299853 329763 374695 460409 4

5 026718 055943 091954 115577 147588 201505 219096 242158 257058 275651 300287 336493 403214 5

6 026483 055338 09057 113416 143976 194318 210431 231326 244691 261224 282893 314267 370743 6

7 026317 054911 089603 111916 141492 189458 204601 224088 236462 251675 271457 299795 349948 7

8 026192 054593 088889 110815 139682 185955 200415 218915 2306 244898 263381 289646 335539 8

9 026096 054348 08834 109972 138303 183311 197265 215038 226216 239844 25738 282144 324984 9

10 026018 054153 087906 109306 137218 181246 19481 212023 222814 235931 252748 276377 316927 10

11 025956 053994 087553 108767 136343 179588 192843 209614 220099 232814 249066 271808 310581 11

12 025903 053862 087261 108321 135622 178229 191231 207644 217881 230272 24607 2681 305454 12

13 025859 05375 087015 107947 135017 177093 189887 206004 216037 22816 243585 265031 301228 13

14 025821 053655 086805 107628 134503 176131 18875 204617 214479 226378 24149 262449 297684 14

15 025789 053573 086624 107353 134061 175305 187774 203429 213145 224854 239701 260248 294671 15

16 02576 053501 086467 107114 133676 174588 186928 2024 211991 223536 238155 258349 292078 16

17 025735 053438 086328 106903 133338 173961 186187 2015 210982 222385 236805 256693 289823 17

18 025712 053382 086205 106717 133039 173406 185534 200707 210092 22137 235618 255238 287844 18

19 025692 053331 086095 106551 132773 172913 184953 200002 209302 22047 234565 253948 286093 19

20 025674 053286 085996 106402 132534 172472 184433 199371 208596 219666 233624 252798 284534 20

21 025658 053246 085907 106267 132319 172074 183965 198804 207961 218943 232779 251765 283136 21

22 025643 053208 085827 106145 132124 171714 183542 198291 207387 218289 232016 250832 281876 22

23 02563 053175 085753 106034 131946 171387 183157 197825 206866 217696 231323 249987 280734 23

24 025617 053144 085686 105932 131784 171088 182805 197399 20639 217154 230691 249216 279694 24

25 025606 053115 085624 105838 131635 170814 182483 19701 205954 216659 230113 248511 278744 25

26 025595 053089 085567 105752 131497 170562 182186 196651 205553 216203 229581 247863 277871 26

27 025586 053065 085514 105673 13137 170329 181913 19632 205183 215782 229091 247266 277068 27

28 025577 053042 085465 105599 131253 170113 181659 196014 204841 215393 228638 246714 276326 28

29 025568 053021 085419 10553 131143 169913 181424 195729 204523 215033 228217 246202 275639 29

30 025561 053002 085377 105466 131042 169726 181205 195465 204227 214697 227826 245726 275000 30

31 025553 052984 085337 105406 130946 169552 181 195218 203951 214383 227461 245282 274404 31

32 025546 052967 0853 10535 130857 169389 180809 194987 203693 21409 22712 244868 273848 32

33 02554 05295 085265 105298 130774 169236 180629 19477 203452 213816 226801 244479 273328 33

34 025534 052935 085232 105248 130695 169092 180461 194567 203224 213558 226501 244115 272839 34

35 025528 052921 085201 105202 130621 168957 180302 194375 203011 213316 226219 243772 272381 35

36 025523 052908 085172 105158 130551 16883 180153 194195 202809 213087 225953 243449 271948 36

37 025518 052895 085144 105117 130485 168709 180012 194024 202619 212871 225702 243145 271541 37

38 025513 052883 085118 105077 130423 168595 179878 193863 202439 212667 225465 242857 271156 38

39 025508 052871 085094 10504 130364 168488 179751 193711 202269 212474 22524 242584 270791 39

40 025504 052861 08507 105005 130308 168385 179631 193566 202108 212291 225027 242326 270446 40



Tabla Nordm 32



v

α

v 04 03 02 015 01 005 004 003 0025 002 0015 001 0005

41 0255 05285 085048 104971 130254 168288 179517 193428 201954 212117 224825 24208 270118 41

42 025496 05284 085026 104939 130204 168195 179409 193298 201808 211952 224633 241847 269807 42

43 025492 052831 085006 104908 130155 168107 179305 193173 201669 211794 224449 241625 269510 43

44 025488 052822 084987 104879 130109 168023 179207 193054 201537 211644 224275 241413 269228 44

45 025485 052814 084968 104852 130065 167943 179113 192941 20141 2115 224108 241212 268959 45

46 025482 052805 084951 104825 130023 167866 179023 192833 20129 211364 223949 241019 268701 46

47 025479 052798 084934 1048 129982 167793 178937 192729 201174 211233 223797 240835 268456 47

48 025476 05279 084917 104775 129944 167722 178855 19263 201063 211107 223652 240658 268220 48

49 025473 052783 084902 104752 129907 167655 178776 192535 200958 210987 223512 240489 267995 49

50 02547 052776 084887 104729 129871 167591 1787 192444 200856 210872 223379 240327 267779 50

51 025467 052769 084873 104708 129837 167528 178627 192356 200758 210762 22325 240172 267572 51

52 025465 052763 084859 104687 129805 167469 178558 192272 200665 210655 223127 240022 267373 52

53 025462 052757 084846 104667 129773 167412 178491 192191 200575 210553 223009 239879 267182 53

54 02546 052751 084833 104648 129743 167356 178426 192114 200488 210455 222895 239741 266998 54

55 025458 052745 084821 10463 129713 167303 178364 192039 200404 210361 222785 239608 266822 55

56 025455 05274 084809 104612 129685 167252 178304 191967 200324 21027 222679 23948 266651 56

57 025453 052735 084797 104595 129658 167203 178246 191897 200247 210182 222577 239357 266487 57

58 025451 05273 084786 104578 129632 167155 17819 19183 200172 210097 222479 239238 266329 58

59 025449 052725 084776 104562 129607 167109 178137 191765 2001 210015 222384 239123 266176 59

60 025447 05272 084765 104547 129582 167065 178085 191703 20003 209936 222292 239012 266028 60

61 025445 052715 084755 104532 129558 167022 178034 191642 199962 20986 222204 238905 265886 61

62 025444 052711 084746 104518 129536 16698 177986 191584 199897 209786 222118 238801 265748 62

63 025442 052706 084736 104504 129513 16694 177939 191527 199834 209715 222035 238701 265615 63

64 02544 052702 084727 10449 129492 166901 177893 191472 199773 209645 221955 238604 265485 64

65 025439 052698 084719 104477 129471 166864 177849 191419 199714 209578 221877 23851 265360 65

66 025437 052694 08471 104464 129451 166827 177806 191368 199656 209514 221802 238419 265239 66

67 025436 05269 084702 104452 129432 166792 177765 191318 199601 209451 221729 23833 265122 67

68 025434 052687 084694 10444 129413 166757 177724 191269 199547 20939 221658 238245 265008 68

69 025433 052683 084686 104428 129394 166724 177685 191222 199495 20933 221589 238161 264898 69

70 025431 05268 084679 104417 129376 166691 177647 191177 199444 209273 221523 238081 264790 70

75 025425 052664 084644 104365 129294 166543 177473 190967 19921 209008 221216 23771 264298 75

80 025419 05265 084614 10432 129222 166412 177321 190784 199006 208778 220949 237387 263869 80

85 025414 052637 084587 10428 129159 166298 177187 190623 198827 208574 220713 237102 263491 85

90 02541 052626 084563 104244 129103 166196 177068 19048 198667 208394 220504 23685 263157 90

95 025406 052616 084542 104212 129053 166105 176961 190352 198525 208233 220317 236624 262858 95

100 025402 052608 084523 104184 129007 166023 176866 190237 198397 208088 22015 236422 262589 100

105 025399 0526 084506 104158 128967 16595 176779 190133 198282 207958 219998 236239 262347 105

110 025396 052592 08449 104134 12893 165882 176701 190039 198177 207839 219861 236073 262126 110

120 025391 05258 084463 104093 128865 165765 176564 189874 197993 207631 21962 235782 261742 120

infin 025335 05244 084162 103643 128156 164484 175069 188079 195997 205375 217009 232635 257583 infin



Tabla Ndeg41

TABLA DE LA DISTRIBUCIOacuteN JI-CUADRADO

Aacutereas bajo la curva )c(P 2

v

0995 0990 0980 0975 0960 0950 0900 0800 0700 0600 0500

1 0000 0000 0001 0001 0003 0004 0016 0064 0148 0275 0455

2 0010 0020 0040 0051 0082 0103 0211 0446 0713 1022 1386

3 0072 0115 0185 0216 0300 0352 0584 1005 1424 1869 2366

4 0207 0297 0429 0484 0627 0711 1064 1649 2195 2753 3357

5 0412 0554 0752 0831 1031 1145 1610 2343 3000 3656 4351

6 0676 0872 1134 1237 1492 1635 2204 3070 3828 4570 5348

7 0989 1239 1564 1690 1997 2167 2833 3822 4671 5493 6346

8 1344 1647 2032 2180 2537 2733 3490 4594 5527 6423 7344

9 1735 2088 2532 2700 3105 3325 4168 5380 6393 7357 8343

10 2156 2558 3059 3247 3697 3940 4865 6179 7267 8295 9342

11 2603 3053 3609 3816 4309 4575 5578 6989 8148 9237 10341

12 3074 3571 4178 4404 4939 5226 6304 7807 9034 10182 11340

13 3565 4107 4765 5009 5584 5892 7041 8634 9926 11129 12340

14 4075 4660 5368 5629 6243 6571 7790 9467 10821 12078 13339

15 4601 5229 5985 6262 6914 7261 8547 10307 11721 13030 14339

16 5142 5812 6614 6908 7596 7962 9312 11152 12624 13983 15338

17 5697 6408 7255 7564 8288 8672 10085 12002 13531 14937 16338

18 6265 7015 7906 8231 8989 9390 10865 12857 14440 15893 17338

19 6844 7633 8567 8907 9698 10117 11651 13716 15352 16850 18338

20 7434 8260 9237 9591 10415 10851 12443 14578 16266 17809 19337

21 8034 8897 9915 10283 11140 11591 13240 15445 17182 18768 20337

22 8643 9542 10600 10982 11870 12338 14041 16314 18101 19729 21337

23 9260 10196 11293 11689 12607 13091 14848 17187 19021 20690 22337

24 9886 10856 11992 12401 13350 13848 15659 18062 19943 21652 23337

25 10520 11524 12697 13120 14098 14611 16473 18940 20867 22616 24337

26 11160 12198 13409 13844 14851 15379 17292 19820 21792 23579 25336

27 11808 12878 14125 14573 15609 16151 18114 20703 22719 24544 26336

28 12461 13565 14847 15308 16371 16928 18939 21588 23647 25509 27336

29 13121 14256 15574 16047 17138 17708 19768 22475 24577 26475 28336

30 13787 14953 16306 16791 17908 18493 20599 23364 25508 27442 29336

31 14458 15655 17042 17539 18683 19281 21434 24255 26440 28409 30336

60 35534 37485 39699 40482 42266 43188 46459 50641 53809 56620 59335

70 43275 45442 47893 48758 50724 51739 55329 59898 63346 66396 69334

120 83852 86923 90367 91573 94303 95705 100624 106806 111419 115465 119334



Tabla Ndeg42



v

0250 0200 0150 0125 0100 0050 0025 0020 0010 0005

1 1323 1642 2072 2354 2706 3841 5024 5412 6635 7879

2 2773 3219 3794 4159 4605 5991 7378 7824 9210 10597

3 4108 4642 5317 5739 6251 7815 9348 9837 11345 12838

4 5385 5989 6745 7214 7779 9488 11143 11668 13277 14860

5 6626 7289 8115 8625 9236 11070 12832 13388 15086 16750

6 7841 8558 9446 9992 10645 12592 14449 15033 16812 18548

7 9037 9803 10748 11326 12017 14067 16013 16622 18475 20278

8 10219 11030 12027 12636 13362 15507 17535 18168 20090 21955

9 11389 12242 13288 13926 14684 16919 19023 19679 21666 23589

10 12549 13442 14534 15198 15987 18307 20483 21161 23209 25188

11 13701 14631 15767 16457 17275 19675 21920 22618 24725 26757

12 14845 15812 16989 17703 18549 21026 23337 24054 26217 28300

13 15984 16985 18202 18939 19812 22362 24736 25471 27688 29819

14 17117 18151 19406 20166 21064 23685 26119 26873 29141 31319

15 18245 19311 20603 21384 22307 24996 27488 28259 30578 32801

16 19369 20465 21793 22595 23542 26296 28845 29633 32000 34267

17 20489 21615 22977 23799 24769 27587 30191 30995 33409 35718

18 21605 22760 24155 24997 25989 28869 31526 32346 34805 37156

19 22718 23900 25329 26189 27204 30144 32852 33687 36191 38582

20 23828 25038 26498 27376 28412 31410 34170 35020 37566 39997

21 24935 26171 27662 28559 29615 32671 35479 36343 38932 41401

22 26039 27301 28822 29737 30813 33924 36781 37659 40289 42796

23 27141 28429 29979 30911 32007 35172 38076 38968 41638 44181

24 28241 29553 31132 32081 33196 36415 39364 40270 42980 45558

25 29339 30675 32282 33247 34382 37652 40646 41566 44314 46928

26 30435 31795 33429 34410 35563 38885 41923 42856 45642 48290

27 31528 32912 34574 35570 36741 40113 43195 44140 46963 49645

28 32620 34027 35715 36727 37916 41337 44461 45419 48278 50994

29 33711 35139 36854 37881 39087 42557 45722 46693 49588 52335

30 34800 36250 37990 39033 40256 43773 46979 47962 50892 53672

31 35887 37359 39124 40181 41422 44985 48232 49226 52191 55002

60 66981 68972 71341 72751 74397 79082 83298 84580 88379 91952

70 77577 79715 82255 83765 85527 90531 95023 96387 100425 104215

120 130055 132806 136062 137990 140233 146567 152211 153918 158950 163648



Tabla Ndeg51

TABLA DE LA DISTRIBUCIOacuteN F

Aacutereas bajo la curva )cF(P

v1

v2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0050 1 16145 19950 21571 22458 23016 23399 23677 23888 24054 24188

0025 64779 79948 86415 89960 92183 93711 94820 95664 96328 96863

0010 405218 499934 540353 562426 576396 585895 592833 598095 602240 605593

0005 1621246 1999736 2161413 2250075 2305582 2343953 2371520 2392381 2409145 2422184

0050 2 1851 1900 1916 1925 1930 1933 1935 1937 1938 1940

0025 3851 3900 3917 3925 3930 3933 3936 3937 3939 3940

0010 9850 9900 9916 9925 9930 9933 9936 9938 9939 9940

0005 19850 19901 19916 19924 19930 19933 19936 19938 19939 19939

0050 3 1013 955 928 912 901 894 889 885 881 879

0025 1744 1604 1544 1510 1488 1473 1462 1454 1447 1442

0010 3412 3082 2946 2871 2824 2791 2767 2749 2734 2723

0005 5555 4980 4747 4620 4539 4484 4443 4413 4388 4368

0050 4 771 694 659 639 626 616 609 604 600 596

0025 1222 1065 998 960 936 920 907 898 890 884

0010 2120 1800 1669 1598 1552 1521 1498 1480 1466 1455

0005 3133 2628 2426 2315 2246 2198 2162 2135 2114 2097

0050 5 661 579 541 519 505 495 488 482 477 474

0025 1001 843 776 739 715 698 685 676 668 662

0010 1626 1327 1206 1139 1097 1067 1046 1029 1016 1005

0005 2278 1831 1653 1556 1494 1451 1420 1396 1377 1362

0050 6 599 514 476 453 439 428 421 415 410 406

0025 881 726 660 623 599 582 570 560 552 546

0010 1375 1092 978 915 875 847 826 810 798 787

0005 1863 1454 1292 1203 1146 1107 1079 1057 1039 1025

0050 7 559 474 435 412 397 387 379 373 368 364

0025 807 654 589 552 529 512 499 490 482 476

0010 1225 955 845 785 746 719 699 684 672 662

0005 1624 1240 1088 1005 952 916 889 868 851 838

0050 8 532 446 407 384 369 358 350 344 339 335

0025 757 606 542 505 482 465 453 443 436 430

0010 1126 865 759 701 663 637 618 603 591 581

0005 1469 1104 960 881 830 795 769 750 734 721

0050 9 512 426 386 363 348 337 329 323 318 314

0025 721 571 508 472 448 432 420 410 403 396

0010 1056 802 699 642 606 580 561 547 535 526

0005 1361 1011 872 796 747 713 688 669 654 642

0050 10 496 410 371 348 333 322 314 307 302 298

0025 694 546 483 447 424 407 395 385 378 372

0010 1004 756 655 599 564 539 520 506 494 485

0005 1283 943 808 734 687 654 630 612 597 585

0050 11 484 398 359 336 320 309 301 295 290 285

0025 672 526 463 428 404 388 376 366 359 353

0010 965 721 622 567 532 507 489 474 463 454

0005 1223 891 760 688 642 610 586 568 554 542

0050 12 475 389 349 326 311 300 291 285 280 275

0025 655 510 447 412 389 373 361 351 344 337

0010 933 693 595 541 506 482 464 450 439 430

0005 1175 851 723 652 607 576 552 535 520 509



Tabla Ndeg52



v1

v2 12 15 20 24 30 40 50 60 70 120

0050 1 24390 24595 24802 24905 25010 25114 25177 25220 25250 25325

0025 97672 98487 99308 99727 100140 100560 100810 100979 101101 101404

0010 610668 615697 620866 623427 626035 628643 630226 631297 632089 633951

0005 2442673 2463162 2483651 2493709 2504140 2514571 2521276 2525374 2528355 2535805

0050 2 1941 1943 1945 1945 1946 1947 1948 1948 1948 1949

0025 3941 3943 3945 3946 3946 3947 3948 3948 3948 3949

0010 9942 9943 9945 9946 9947 9948 9948 9948 9948 9949

0005 19942 19943 19945 19945 19948 19948 19948 19948 19948 19949

0050 3 874 870 866 864 862 859 858 857 857 855

0025 1434 1425 1417 1412 1408 1404 1401 1399 1398 1395

0010 2705 2687 2669 2660 2650 2641 2635 2632 2629 2622

0005 4339 4308 4278 4262 4247 4231 4221 4215 4210 4199

0050 4 591 586 580 577 575 572 570 569 568 566

0025 875 866 856 851 846 841 838 836 835 831

0010 1437 1420 1402 1393 1384 1375 1369 1365 1363 1356

0005 2070 2044 2017 2003 1989 1975 1967 1961 1957 1947

0050 5 468 462 456 453 450 446 444 443 442 440

0025 652 643 633 628 623 618 614 612 611 607

0010 989 972 955 947 938 929 924 920 918 911

0005 1338 1315 1290 1278 1266 1253 1245 1240 1237 1227

0050 6 400 394 387 384 381 377 375 374 373 370

0025 537 527 517 512 507 501 498 496 494 490

0010 772 756 740 731 723 714 709 706 703 697

0005 1003 981 959 947 936 924 917 912 909 900

0050 7 357 351 344 341 338 334 332 330 329 327

0025 467 457 447 441 436 431 428 425 424 420

0010 647 631 616 607 599 591 586 582 580 574

0005 818 797 775 764 753 742 735 731 728 719

0050 8 328 322 315 312 308 304 302 301 299 297

0025 420 410 400 395 389 384 381 378 377 373

0010 567 552 536 528 520 512 507 503 501 495

0005 701 681 661 650 640 629 622 618 615 606

0050 9 307 301 294 290 286 283 280 279 278 275

0025 387 377 367 361 356 351 347 345 343 339

0010 511 496 481 473 465 457 452 448 446 440

0005 623 603 583 573 562 552 545 541 538 530

0050 10 291 285 277 274 270 266 264 262 261 258

0025 362 352 342 337 331 326 322 320 318 314

0010 471 456 441 433 425 417 412 408 406 400

0005 566 547 527 517 507 497 490 486 483 475

0050 11 279 272 265 261 257 253 251 249 248 245

0025 343 333 323 317 312 306 303 300 299 294

0010 440 425 410 402 394 386 381 378 375 369

0005 524 505 486 476 465 455 449 445 441 434

0050 12 269 262 254 251 247 243 240 238 237 234

0025 328 318 307 302 296 291 287 285 283 279

0010 416 401 386 378 370 362 357 354 351 345

0005 491 472 453 443 433 423 417 412 409 401



Tabla Ndeg53



v1

v2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0050 13 47 38 34 32 30 29 28 28 27 27

0025 64 50 43 40 38 36 35 34 33 32

0010 91 67 57 52 49 46 44 43 42 41

0005 114 82 69 62 58 55 53 51 49 48

0050 14 460 374 334 311 296 285 276 270 265 260

0025 630 486 424 389 366 350 338 329 321 315

0010 886 651 556 504 469 446 428 414 403 394

0005 1106 792 668 600 556 526 503 486 472 460

0050 15 454 368 329 306 290 279 271 264 259 254

0025 620 477 415 380 358 341 329 320 312 306

0010 868 636 542 489 456 432 414 400 389 380

0005 1080 770 648 580 537 507 485 467 454 442

0050 20 435 349 310 287 271 260 251 245 239 235

0025 587 446 386 351 329 313 301 291 284 277

0010 810 585 494 443 410 387 370 356 346 337

0005 994 699 582 517 476 447 426 409 396 385

0050 24 426 340 301 278 262 251 242 236 230 225

0025 572 432 372 338 315 299 287 278 270 264

0010 782 561 472 422 390 367 350 336 326 317

0005 955 666 552 489 449 420 399 383 369 359

0050 30 417 332 292 269 253 242 233 227 221 216

0025 557 418 359 325 303 287 275 265 257 251

0010 756 539 451 402 370 347 330 317 307 298

0005 918 635 524 462 423 395 374 358 345 334

0050 40 408 323 284 261 245 234 225 218 212 208

0025 542 405 346 313 290 274 262 253 245 239

0010 731 518 431 383 351 329 312 299 289 280

0005 883 607 498 437 399 371 351 335 322 312

0050 45 406 320 281 258 242 231 222 215 210 205

0025 538 401 342 309 286 270 258 249 241 235

0010 723 511 425 377 345 323 307 294 283 274

0005 871 597 489 429 391 364 343 328 315 304

0050 50 403 318 279 256 240 229 220 213 207 203

0025 534 397 339 305 283 267 255 246 238 232

0010 717 506 420 372 341 319 302 289 278 270

0005 863 590 483 423 385 358 338 322 309 299

0050 60 400 315 276 253 237 225 217 210 204 199

0025 529 393 334 301 279 263 251 241 233 227

0010 708 498 413 365 334 312 295 282 272 263

0005 849 579 473 414 376 349 329 313 301 290

0050 70 398 313 274 250 235 223 214 207 202 197

0025 525 389 331 297 275 259 247 238 230 224

0010 701 492 407 360 329 307 291 278 267 259

0005 840 572 466 408 370 343 323 308 295 285

0050 120 392 307 268 245 229 218 209 202 196 191

0025 515 380 323 289 267 252 239 230 222 216

0010 685 479 395 348 317 296 279 266 256 247

0005 818 554 450 392 355 328 309 293 281 271



Tabla Ndeg54



v1

v2 12 15 20 24 30 40 50 60 70 120

0050 13 26 25 25 24 24 23 23 23 23 23

0025 32 31 29 29 28 28 27 27 27 27

0010 40 38 37 36 35 34 34 33 33 33

0005 46 45 43 42 41 40 39 39 38 38

0050 14 253 246 239 235 231 227 224 222 221 218

0025 305 295 284 279 273 267 264 261 260 255

0010 380 366 351 343 335 327 322 318 316 309

0005 443 425 406 396 386 376 370 366 362 355

0050 15 248 240 233 229 225 220 218 216 215 211

0025 296 286 276 270 264 259 255 252 251 246

0010 367 352 337 329 321 313 308 305 302 296

0005 425 407 388 379 369 359 352 348 345 337

0050 20 228 220 212 208 204 199 197 195 193 190

0025 268 257 246 241 235 229 225 222 220 216

0010 323 309 294 286 278 269 264 261 258 252

0005 368 350 332 322 312 302 296 292 288 281

0050 24 218 211 203 198 194 189 186 184 183 179

0025 254 244 233 227 221 215 211 208 206 201

0010 303 289 274 266 258 249 244 240 238 231

0005 342 325 306 297 287 277 270 266 263 255

0050 30 209 201 193 189 184 179 176 174 172 168

0025 241 231 220 214 207 201 197 194 192 187

0010 284 270 255 247 239 230 225 221 218 211

0005 318 301 282 273 263 252 246 242 238 230

0050 40 200 192 184 179 174 169 166 164 162 158

0025 229 218 207 201 194 188 183 180 178 172

0010 266 252 237 229 220 211 206 202 199 192

0005 295 278 260 250 240 230 223 218 215 206

0050 45 197 189 181 176 171 166 163 160 159 154

0025 225 214 203 196 190 183 179 176 174 168

0010 261 246 231 223 214 205 200 196 193 185

0005 288 271 253 243 233 222 216 211 208 199

0050 50 195 187 178 174 169 163 160 158 156 151

0025 222 211 199 193 187 180 175 172 170 164

0010 256 242 227 218 210 201 195 191 188 180

0005 282 265 247 237 227 216 210 205 202 193

0050 60 192 184 175 170 165 159 156 153 152 147

0025 217 206 194 188 182 174 170 167 164 158

0010 250 235 220 212 203 194 188 184 181 173

0005 274 257 239 229 219 208 201 196 193 183

0050 70 189 181 172 167 162 157 153 150 149 144

0025 214 203 191 185 178 171 166 163 160 154

0010 245 231 215 207 198 189 183 178 175 167

0005 268 251 233 223 213 202 195 190 186 177

0050 120 183 175 166 161 155 150 146 143 141 135

0025 205 194 182 176 169 161 156 153 150 143

0010 234 219 203 195 186 176 170 166 162 153

0005 254 237 219 209 198 187 180 175 171 161



PLAN CALENDARIO PARA EL CICLO 2013-1

COacuteDIGO MA86 CURSO ESTADIacuteSTICA (Civil Electroacutenica y Telecomunicaciones) HORAS 4 HORAS SEMANALES DE TEORIacuteA 2 QUINCENALES DE LABORATORIO CREacuteDITOS 4 PROFESORES DE TODAS LAS SECCIONES

Sem Fecha Sesioacuten 1 (2 horas)

Sesioacuten 2 (2 horas)

Sesioacuten laboratorio (2 horas)

1 18-03-13 23-03-13 Definiciones Estadiacutestica muestra variables tipos de variables Organizacioacuten de datos cualitativos Diagrama de barras circular

Diagrama de Pareto Organizacioacuten de datos cuantitativos Diagrama de bastones histograma poliacutegono y ojiva

Laboratorio 1 Organizacioacuten de datos y graacuteficos

2 25-03-13 30-03-13 Medidas de tendencia central media mediana y moda Percentiles

Medidas de dispersioacuten varianza desviacioacuten estaacutendar y coeficiente de variacioacuten Diagrama de cajas Deteccioacuten de valores atiacutepicos Simetriacutea y asimetriacutea

3 01-04-13 06-04-13 Experimento aleatorio espacio muestral eventos Probabilidad de un evento Probabilidad condicional

Teorema de la probabilidad total y Bayes Eventos independientes

Laboratorio 2 Medidas de resumen Diagrama de Cajas

4 08-04-13 13-04-13 Problemas de aplicacioacuten Praacutectica calificada 1

(Hasta simetriacutea y asimetriacutea)

5 15-04-13 20-04-13 Variable aleatoria discreta Variable aleatoria continua Esperanza y varianza

Principales distribuciones discretas binomial hipergeomeacutetrica y Poisson

Laboratorio 3 Distribuciones discretas

6 22-04-13 27-04-13 Principales distribuciones continuas uniforme normal

Principales distribuciones continuas gamma exponencial y Weibull


(Hasta Weibull )

Laboratorio 4 Distribuciones continuas

8 06-05-13 11-05-13

9 13-05-13 18-05-13 Inferencia estadiacutestica Estimacioacuten de paraacutemetros mediante intervalo de confianza para una media tamantildeo de muestra

Inferencia estadiacutestica Estimacioacuten de paraacutemetros mediante intervalo de confianza para una proporcioacuten tamantildeo de muestra

10 20-05-13 25-05-13 Inferencia estadiacutestica Prueba de hipoacutetesis Conceptos Prueba de hipoacutetesis para una media

Prueba de hipoacutetesis para una varianza y proporcioacuten

Laboratorio 5 Intervalos de confianza y prueba de hipoacutetesis

11 27-05-13 01-06-13 Prueba de hipoacutetesis para dos varianzas Prueba de hipoacutetesis para dos medias

Prueba de hipoacutetesis para dos proporciones Prueba de independencia

12 03-06-13 08-06-13 Pruebas de bondad de ajuste Prueba de Normalidad

Praacutectica calificada 3

(Hasta PH de dos proporciones)

Laboratorio 6 Pruebas de hipoacutetesis Pruebas Chi-cuadrado

13 10-06-13 15-06-13 Anaacutelisis de regresioacuten lineal simple Coeficiente de determinacioacuten y de correlacioacuten

Prueba de hipoacutetesis para los coeficientes del modelo Anaacutelisis de supuestos

14 17-06-13 22-06-13 Pronoacutesticos para un valor medio y un valor individual Regresioacuten no lineal


(Hasta Prueba Chicuadrado)

15 24-06-13 29-06-13 Presentacioacuten y exposicioacuten del trabajo encargado

Seminario taller

16 01-07-13 06-07-13 Semana de Exaacutemenes Finales

SISTEMA DE EVALUACIOacuteN

PF = 12 (PC1) + 14 (PC2) + 14 (PC3) + 15 (PC4) + 20 (TF1) + 25 (EB)

donde PC praacutectica calificada EB evaluacioacuten final TF1 trabajo final

PRE GRADO

PROFESORES Acosta Ramiacuterez Salomoacuten Ciro

Caacuterdenas Bonilla Edgard Eusebio

Caacuterdenas Soliacutes Celia Hermelinda

Laines Lozano Blanca Luz

Osorio Martinez Miluska Elena

Ramiacuterez Infante Rauacutel Roberto

Vargas Paredes Ana Cecilia

TIacuteTULO CUADERNO DE TRABAJO

FECHA Marzo del 2013

CURSO ESTADIacuteSTICA

COacuteDIGO MA86

AacuteREA CIENCIAS

CICLO 2013-1


Iacutendice






















Logro de la unidad



11 Definiciones

Estadiacutestica





Poblacioacuten



Ejemplo




Muestra










12 Tipos de datos




13 Variables


Ejercicio







Nominal




Ordinal






Intervalo







Razoacuten











Discretas

Continuas

Variable discreta





Variable continua





Ejercicio






















































Ejemplo


categoriacutea pe

Dominio f h p

compe 285 0570 570

orgpe 106 0212 212

edupe 64 0128 128

gobpe 26 0052 52

netpe 3 0006 06

Otros 16 0032 32

Total 500






Ejercicio








Ejemplo







Otros 5

Deformaciones 15












MS Word 250

MS Excel 80

MS Power Point 75

Access 30

Outlook 10

Otros 55

Total 500






Carpinteros 1057 13





Vidrieros 42 14













Quejas hi




Marketing 0148


Otros 0025






Impuestos 12042

Tasas 26530

Contribuciones 120

Venta de bienes 845




Transferencias 734

Otros 1132





Nazca


Columnas cortas 10



Otros 10

Piso blando 5















Ejemplo



2 3 3 0 1 2 1 2 2 4 3 2 0 1 2

1 3 3 2 1 0 1 2 3 2 4 1 0 1 2


X fi hi Fi Hi




Ejercicio




Calcule






Marca de clase


2


ix

Ejercicio




008 015 019 071 075 082 084 092 096 116 117 119 123 14 147

159 161 201 216 238 242 307 322 353 376 394 45 459 475 541


R =


k =


w =



1 ndash

2 ndash

3 ndash

4 ndash

5 ndash

6 ndash









Ejercicio









de 1993)


3 4 3 3 1 4 1 3 2 3

1 1 4 2 3 3 2 6 1 1

3 3 2 2 2 2 1 3 2 1

6 3 1 2 2 3 2 2 4 2




H3


con fallas fi pi Hi

1 0 30

2 1 10

3 2 5

4 3 3

5 4 2



520 947 951 975 1025 1041 1060 1252 1256 1460

1468 1586 1587 1626 1662 1662 1662 1662 1682 1697

1960 2049 2049 2049 2049 2083 2152 2175 2181 2181

2181 2181 2209 2262 2350 2397 2422 2596 2616 2772

2865 2870 2978 3139 3150 3162 3386 3599 3631 3983






1 0 100 2 12

2 100 200 4 16

3 200 300 22 25

4 300 400 26 10

5 400 500 20 4

6 500 600 5 2

7 600 700 1 1










998 984 1003 919 935 964

805 984 1005 851 936 970

872 987 1005 865 937 975

872 987 1012 868 939 985

880 995 1015 882 943 1001

955 997 1015 882 948 1003

970 998 1026 883 949 1005

973 1000 1026 887 954 1009

980 1001 1029 914 960 1010

980 1002 1055 927 963 1012











286266246226206186166

50

40

30

20

10

0

Ventas

Fre

cu

en

cia

acu

mu

lad

a

5049

45

36

8

2










la expresioacuten

2


Logro de la unidad



de su especialidad


Definiciones

Estadiacutestico


promedio muestral

Paraacutemetro


Ejemplo







Cuantiles

Percentil







d parte decimal

Decil


Cuartil


dEnk

i 100

)1(






Ejemplo


23 y 24

Ejemplo



evacuacioacuten

315 325 325 334 339 340 356 356 359 359

363 364 369 370 373 373 374 375 380 389

392 393 394 397 402 403 415 424 428 445











536 529 558 565 557 553 562 529 544 534 579 510

527 539 542 547 563 534 546 530 575 568 585













0045 0036 0045 0049 0064 007 0079 0088 0091 0118 013 0136

0136 0136 0145 0179 0182 0182 0194 0209 0209 0227 0242 0258

0258 0258 0291 0327 0333 0336 0361 0379 0394 0412 0445 0506

0554 0567 0579 06 067 0912 1055 107 1267 1639 1894 3046

3888 3985 417 8788











x

x

n

i

i 1


xf

x

k

i

ii 1


1

k

i i

i

f x

xn

Ejercicio


hilos de lino

152 158 162 185 194 206 212 219 254 273 283 295 325 337 369


Ejercicio


x fi fixi

0 13

1 6

2 8

3 6

4 2


Ejercicio



rsquoi

1 [002 - 081[ 6

2 [081 - 160[ 13

3 [160 - 239[ 4

4 [239 - 318[ 3

5 [318 - 397[ 2

6 [397 - 476] 2

Mediana



Ejemplo


984 998 998 999 1000 1000 1005 1012 1026 2500


Ejemplo





0 50

1 60

2 25

3 10

4 5

Moda


Ejemplo


10 10 10 10 10 12 12 12 12 12 12 12 12 14 14 15 15 15 18 18






Media=Mediana=Moda










de 1993)


3 4 3 3 1 4 1 3 2 3

1 1 4 2 3 3 2 6 1 1

3 3 2 2 2 2 1 3 2 1

6 3 1 2 2 3 2 2 4 2










35

130

70

155

0

20

40

60

80

100

120

140

2 4 6 8 10 12 14


Nuacute

mero

de p

art

iacutecu

las



Rango




Varianza




2


N

xN

i

i

1

2

2


1

1

2

2

n

xx

s

n

i

i


2

2 1

1

k

i i

i

f x x

sn

2

2 1

1

k

i i

i

f x x

sn




Ejemplo



35 73 30 15 36 60 47 19 15 38 10 35 31 21 22 20


Ejemplo


de 100 diacuteas

xi fi

0 10

1 15

2 30

3 35

4 10

100

Ejemplo




li fi( x

lindash Media)

2

1 [152 ndash 172[ 12 162 1944 16133

2 [172 ndash 192[ 13 182 2366 3611

3 [192 ndash 212[ 20 202 4040 222

4 [212 ndash 232[ 16 222 3552 8711

5 [232 ndash 252] 5 242 1210 9389

66 13112 38067






100s

CVx



Ejemplo



Tecnologiacutea LAN





108 111 3

111 114 35

114 117 66

117 120 57

120 123 29

123 126 16

126 129 9

129 132 3

132 135 2

Total 220







regenta






100 ndash 200 5

200 ndash 300 14

300 ndash 400 21

400 ndash 500 7

500 ndash 600 3

Total 50


20 2

40 8

60 25

80 20

100 8

Total 63

Ventas Azufral 120 200 100 50 45 120 100 100 90 75 100 210 100 50 120











[ 69220 ndash 70436 [ 14

[ 70436 ndash 71652 [ 5

[ 71652 ndash 72868 [ 6

[ 72868 ndash 74084 [ 8

[ 74084 ndash 75300 [ 7

[ 75300 ndash 76516 [ 17

[ 76516 ndash 77732 [ 5

Total 62



Traccioacuten 62 64520 2983 8899 61220 69856











Rango intercuartil

257513 PP QQRIC























Plomo Cobre Hierro

0010 0022 0039 004 007 009 011 014 018

0015 0030 0043 004 007 01 011 015 019

0015 0031 0047 004 007 01 012 015 020

0016 0031 0049 004 007 012 012 016 022

0016 0035 0055 004 007 014 013 017 023

0019 0035 0060 005 008 016 013 017 025

0020 0036 0073 005 008 018 014 017 033

0021 0038 005 008 014 017







10 ndash 20 2 2 - 4 5

20 ndash 30 8 4 - 6 14

30 ndash 40 25 6 - 8 21

40 ndash 50 9 8 - 10 7

50 ndash 60 6 10 - 12 3










Logro de la unidad









Ejemplos

1Lanzar un dado








Ejemplos

1= 123456

2= cccsscss


4 = t t ge 0


Ejercicio



Ejercicio





33 Evento



ABCetc

Evento simple


Ejemplos




Evento compuesto


Ejemplos






34 Probabilidad






siguiente axioma

0 le P(A)le 1




debe ser igual a 1

kPr(E )=1 i=123k

ii=1






Ejercicio


Ejercicio






( )













obtener 1x ( 1x )

























marca A



Interseccioacuten



siacutembolo BA

Unioacuten



BA

Ejemplo


Sean los eventos







cA A =Ω


P( ) P( ) 1cA A





P( )P( ) 0

P( )P

0 P( ) 0

A BB

BA B

B

Ejemplo









Total 39 15 36 90









P( ) P( ) P( ) P( )A B A B A B

Ejercicio








P( ) P( ) P( )A B A B

Ejercicio


P(AcB)



P( ) P( | )P( ) P( )P( )A B A B B B A A

Ejercicio





P( ) P( )A B A





P( ) P( )P( )A B A B


1 2 1 2P( ) P( )P( ) P( )k kE E E E E E

Ejemplo








Probabilidad Total




Teorema de Bayes



P( )P( | )

P( )

ii

A EA E

E

para ki 21

1 1 2 2

P( )P( )P( | )

P( )P( ) P( )P( ) P( )P( )

i ii

k k

A E AA E

A E A A E A A E A

Ejercicio






crecimiento



















continuacioacuten

Tecnologiacutea

LAN WAN





Aire 3 4 4 3 3 6 4 1 28

Total 40 50 40 20 40 50 50 40 330



coaxiales



LAN








































funcione



diagrama siguiente




funcione







Logro de la unidad








sobre quiacutemica










hidrostaacutetica




Ejemplo


siguiente

S=cc cs sc ss












siguiente manera

)( xXPxf


1)(0 xf

1)(Rango

X

xf

Ejercicio



bullbullCCCC

bullbullCS CS

bullbullSC SC

bullbullSSSS00

11

22

SSRR

bullbullCCCC

bullbullCS CS

bullbullSC SC

bullbullSSSS00

11

22bullbullCCCC

bullbullCS CS

bullbullSC SC

bullbullSSSS00

11

22

00

11

22

SSRR


Ejercicio






Ejercicios



x 0 2 4 6

f(x) 025 k 010 050






x 0 1 2 3 4

f(x) a 037 016 b 001













de rock











computarizada













x

xxfXERango

)()(




x

xfxgxgERango

)()()(



ccE

XcEcXE




222 )( XE



2

Ejercicio



x 0 2 4 6

f(x) 025 k 010 050


Ejercicios




x 5 6 7 8 9 10

f(x) 005 015 030 025 020 005









es la siguiente





























X 0 1 2 3 4

f(x) 041 037 k 005 001







rollo



X 0 1 2 3

P(X = x) 038 024 k 008






Ejemplo



Ejemplo 2


peso


aleatoria


aleatoria



0)( xf

1)( dxxf

b

a

dxxfbXaP )()(

Ejercicio


casootro

xcxxf

0

33)(


f(x)

a b

f(x)

a b




probabilidad

x

dttfxXPxF )()(



dx

xdFxf

)()(

Ejercicio


casootro

xcxxf

0

30)(






dxxxfXE )(

( ) ( )E g x g x f x dx




E(cX)= cE(X)





es

222 )( XE

Ejemplo


densidad

0

55)25(500

3

)(

2

cc

xxxf



Ejercicios


0

20)(

cc

xcxxf









0

08

1

)(8

cc

xexf

x




823)(

2xxxU





25x025

x3)x(f

3

2






casootro0

4x08

x)x(f










F

EX


10)( 1 xqpxf xx


qppqXVpXE 12




todas las pruebas




( ) 1 01 2 n xn x




2 1E X np V X np p

Ejemplo










( ) max[0 ( )]min( )r N r

x n x

N

n


C


n


Media N

rnXE

Varianza

112

N

nN

N

r

N

rnXV

Ejercicio













3210

)(

xx

exXPxf

x


XVXE 2

Ejercicio





Ejercicio






Ejercicios









1



unos de otros












rentable



















proceso de Poisson





proceso de Poisson



automoacuteviles



segundo



automoacuteviles











defectuosos





















de densidad es

bxaab

xf

1



ab

cddXcP

)(


2

baXE

y

12

2

2 abXV

Ejemplo





f(x)

f (x)

0 a k1 k2 b x

1 (b-a)

f(x)

f (x)

0 a k1 k2 b x

1 (b-a)





















intelectual etc


xexf

x2

2

1

2

1)(








XZ






Ejercicio







que ser reemplazado





1 1 2 2 k kY c X c X c X


222

1

2

111 ~ kkkk ccccNY

Ejercicio

SeanX1 ~ N(1 1

2

1 6) y X2 ~ N(2 4

2



Y = X1 + X2

Y = X1 ndash X2

Y = 4X1 ndash 6 X2

Ejercicio








menor de 20 minutos




Ejercicios
















cc0

d2x5

d2si

d8

5

)x(f

















de leva


de leva























segundos
























normalmente









0

0)()(

1

cc

xex

xf

x


22 XVXE



casootro 0

0 e1

)(

1

xβxf

x

Se denota X~exp( )


22 XVXE

f(x)

0 x

f(x)

0 x


Ejemplo



0 si 0

0 si e20

1

)(20

1

x

xxf

x










0

0)(

1

cc

xexxf

x


01)( xexXPxF x


12

1

222 XV

XE

Ejemplo






Ejercicios



probabilidad es

0

012

1

)(12

cc

xexf

x





0

0)(8000

cc

xcexf

x




2

2

80002

400020

XXC






0xparae50

1)x(f

x50

1







de probabilidad

casootroen

xsiexf

x

0

050)(

50




del costo





propiedades
































Logro de la unidad













n

i

iXn

X1


poblacional



x

2 2s

p p

21 21 xx

2

2

2

1 22

21 ss

21 pp 21ˆˆ pp





IC(θ)=(LI LS)








Muestra 1

Muestra 2

Muestra 3

Muestra 4

hellip

Muestra 100







micro








X



nzx

nzx

2121


04

03

02

01

00

De

nsid

ad

0






denotado por ME= n

z

)21(

Luego



1-α

α2 α2 Z(1-α2)

Z(α2)

zo -zo

X

micro desconocida

conocida

n

ME ME






Ejemplo

















X S



n

Stx

n

Stx nn 1212


04

03

02

01

00

De

nsid

ad

-to to0


T(1-α2 n-1)

α2 α2 T(α2 n-1)

X

micro desconocida

desconocida

n

ME ME






Ejemplo







Ejemplo



009678 007149 002216 002844 000509 002346 006387

003786 006458 007758 005297 003282 006952 008588

005720 000085 007407 002497 004557 003753 004897

003336 009612 009007 005633 007776 007836 007373

008864 004475 002384 002123 005981 003668 000019

008866 003658 005978 003543 003159 007735 006618

006675 001867 003198 007262 001231 004838 001650

008083 002441 005767 00797 006182 005700 008941

005175 007922 000943 003686 001097 008949 000264

007271 007979 001333 002791 008812 006969 004160











probar






2

21

e

zn

2

21

e

Szn


Ejemplo




Solucioacuten

Ejemplo




2980 3120 3100 3059 2985 2998 3020 3100 2988 3010


error de 50 psi


Ejercicios



alambres

0140 0138 0143 0142 0144 0137 0135 0140 0136 0142 0138 0140















minutos












16 5 21 19 10 5 8 2 7 2 4 9







2212 1839 3152 2608 2456 2747 2913 1265 2346 2333 1909 2333











x eacutexitos n

xp ˆ



n

ppzpp

n

ppzp

)ˆ1(ˆˆ

)ˆ1(ˆˆ

2121


04

03

02

01

00

De

nsid

ad

0







denotado por ME= n

ppz

)ˆ1(ˆ)21(

Luego y


n

ME ME

p LI= p

- ME




Nuacutemero de

eacutexitos

Nuacutemero de

fracasos



LI= p

+ ME

1-α

α2 α2 Z(1-α2)

Z(α2)

zo -zo


Ejemplo
























SiacuteNo

70

60

50

40

30

20

10

0

Co

nte

o

53

67









2

2

21 1

e

ppzn




2

2

21

4e

zn

Ejemplo




Ejemplo





Preguntas




Ejercicios












confianza del 98







Explique




resultado

Joyeriacutea 62

Deportes 50

Muacutesica 47

Ropa 16 Hogar 10




Conceptos generales













Tipos de errores





Error tipo I





Error tipo II





Ejercicio







2

2

2121

21 ppp

01

00

01

00

01

00

H

H

H

H

H

H








Hipoacutetesis


00 H 00 H 00 H

01 H 01 H 01 H


Zn

xz ~

0

c


Hipoacutetesis


00 H 00 H 00 H

01 H 01 H 01 H


1

0

c ~

nt

nS

xt


Ejercicio






Ejercicio





97 128 87 134 83 117 107 81 91 105




Ejercicios








es respectivamente

301

327

225

275

289

277

298

289

314

304

270

312

243

264

228

294

223

291

334

235


quiacutemico



Hipoacutetesis


00 H pp 00 H pp 00 H pp

01 H pp 01 H pp 01 H pp


Z

n

pp

ppz ~

)1(

ˆ

00

0c

Ejercicio









Siacute No

10 290 300



Ejercicios









Hipoacutetesis


2

0

2

0 H 2

0

2

0 H 2

0

2

0 H

2

0

2

1 H 2

0

2

1 H 2

0

2

1 H


2

12

0

22

c ~)1(

n

Sn

Ejemplo






Ejercicio



































Hipoacutetesis


2

2

2

10 H 2

2

2

10 H 2

2

2

10 H

2

2

2

11 H 2

2

2

11 H 2

2

2

11 H


112

2

2

1c 21

~ nnFS

SF

Ejercicio






Media 5717 57225

Varianza 1451566667 1533071429

Observaciones 10 8






Hipoacutetesis


k 210 H k 210 H k 210 H

k 211 H k 211 H k 211 H


2

21

2

21

21~

11

nn

p

c t

nnS

kxxt

2

)1()1(

21

2

22

2

112

nn

SnSnS p

Ejercicio





continuacioacuten

Lugar antiguo 998 1026 1005 1029 1003 905 1055 1026 997 987

Lugar nuevo 919 963 1010 970 1009 960 1005 1012 949 937



Lugar antiguo 10 0261312 0399484 0804423

Lugar nuevo 10 0221012 0337876 0680364






Media del

Error


Lugar antiguo 10 10031 0399 013

Lugar nuevo 10 9734 0338 011









lugares



Hipoacutetesis


k 210 H k 210 H k 210 H

k 211 H k 211 H k 211 H


t

n

S

n

S

kxxtc ~

2

2

2

1

2

1

21

11 2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

2

2

2

1

2

1

n

n

S

n

n

S

n

S

n

S

Ejercicio



Laboratorio 1 2870 2382 3143 3659 3620 3887 2929 2903

Laboratorio 2 3076 3380 3494 3074 3162 3269





Laboratorio 1 8 316945 506616 116039

Laboratorio 2 6 100006 170561 48797




Media del

Error










Hipoacutetesis


210 H pp 210 H pp 210 H pp

210 H pp 210 H pp 210 H pp


Z

nnpp

ppzc

21

21

111

ˆˆ

21

21

21

2211ˆˆ

nn

xx

nn

pnpnp

Ejercicio




Material 1 45 185 230





Ejercicio














TURNO

PRODUCTO

A B



Tarde 5 150 25 200







Logro de la unidad



relacionan

61 Bondad de ajuste





2

2 2

( 1)

1

~k

i i

c k m

i i

o e

e

i ie np







Ejemplo


X 1 2 3 4 5 6

O 28 36 36 30 27 23




Hipoacutetesis



Ejemplo






Frecuencia


Frecuencia

esperada ie

2

i i

i

o e

e

0 24

1 35

2 21

3 10

4 5

5 5

Total



Hipoacutetesis



Ejemplo




Observada io


esperada ie

2

i i

i

o e

e

0

1

2

3

4

5

6

Total


Ejercicios












Frecuencia 140 270 280 180 90 40














Clientes 20 15 12 8 11 16 18





Turno 1 2 3 4






resultados


Ndeg cajas 20 140 260 300 200 80




Hipoacutetesis



Ejemplo



12 15 16 18 19 14 10 15 16 14

225200175150125100

99

95

90

80

70

60

50

40

30

20

10

5

1

C1

Po

rce

nta

je

Media 149

DesvEst 2644

N 10

KS 0117

Valor P gt0150










contingenciartimesc


r

i

c

j

cr

ij

ijij

ce

eo

1 1

2

11

2

2 ~)(

n

nne

ji

ij

Factor 2


Factor 1

Fila 1

Fila 2

Filar

Hipoacutetesis



Ejercicio







Promedio Sobre el

promedio



Promedio 28 79 60 167

Muy bueno 9 49 63 121

Total 60 188 152 400




Valores esperados


promedio Promedio

Sobre el promedio



Promedio 60167400 167


Total 60 188 152 400


Ejercicios



Selectividad

Fidelidad

Baja Promedio Alta

Baja 7 12 31

Promedio 35 54 18

Alta 15 13 5


selectividad






Tipo de crimen

Distrito

I II III

Asalto 162 310 258

Robo 118 196 193

Hurto 451 996 458

Homicidio 18 25 10





Logro de la unidad

























recta

0 1i i iY X e

Variable respuesta


(independiente)

i = 1 2hellip n






3025201510

9

8

7

6

5

4

X

Y

X vs Y

1614121008060402

1600

1400

1200

1000

800

600

400

200

0

X

Y

X vs Y

50454035302520

60

50

40

30

20

X

Y

X vs Y

12001000800600400200

140

130

120

110

100

90

80

70

60

50

X

Y

X vs Y

Ejercicio



Resistencia x 22 21 31 34 37 43 34 34 42 51 56 59

Tiempo de falla y 20 22 26 28 30 32 33 35 37 42 45 47


Cuando X crece

Y crece

Modelo lineal

Buen ajuste

Modelo lineal

Buen ajuste

Cuando X crece

Y decrece

Variables no

relacionadas

Variables no

relacionadas


6050403020

50

45

40

35

30

25

20

Resistencia(X)

Tie

mp

o (

Y)









Es decir

n

i

ii yy1




n

i

i

n

i

ii

n

i

i

n

i

i

n

i

i

xxyx

xny

1

2

1

1

0

1

1

10

1




2

11

2

111

1ˆ

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

n

i

i

xxn

yxyxn

y xy 10ˆˆ



donde



Ejercicio




Coef


Constante 6797 2652 256 0028

Resistencia(X) 067983 006570 1035 0000


1

0











1





o



5



Fuente GL SC CM F P

Regresioacuten 1 74532 74532 10709 0000


Total 11 81492

0H

0H

11

10

CMError

CMRegFcal

09

08

07

06

05

04

03

02

01

00

X

De

nsit

y

0


α ZNR

A

ZR

Fcrit










2 SCReg100

SCTotR

Ejercicio


Salida del Minitab

Coef


Constante 6797 2652 256 0028

Resistencia(X) 06798 00657 1035 0000


R2





CMEn

SCES

2

Ejercicio


S




Xe Y









-10 -065 -02 02 065 10


Ejercicio


r





siguiente



0ˆsi

0ˆsi

1

2

1

2

R

Rr


Salida del Minitab



Coef


Constante 2976 1473 202 0074




Fuente GL SC CM F P



Total ___ 28876



3025201510

9

8

7

6

5

4

Temperatura

Vid

a u

til




1

0


Ho

H1


R2

r





0 2 2 0 0 0 2 2 0ˆ ˆ ˆ ÊE EEn nt t

1 2 2 1 0 1 2 2 1ˆ ˆ ˆ ÊE EEn nt t



1

( 2)

1

ˆ~

ÊEn

kt t



xx

nXYxx

nS

xx

nSty

S

xx

nSty

2

0

)22(0

2

0

)22(0

1ˆ

1ˆ

0


xx

nXYxx

nS

xx

nSty

S

xx

nSty

2

0

)22(0ˆ

2

0

)22(0

11ˆ

11ˆ

0








300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1400 1600


0065 008 0095 0115 013 015 0175 0205 023 027 0346 0436



1600140012001000800600400200

045

040

035

030

025

020

015

010

005

Densidad

Co

nd

ucti

vid

ad




Coef


Constante -0049 001726 -286 0017

Densidad 00003 000002 1524



Fuente GL SC CM F P

Regresioacuten 1


Total 11 014085



1



R2

r








005000250000-0025-0050

99

95

90

80

70

60

50

40

30

20

10

5

1

RESI

Po

rce

nta

je

Mean -462593E-18

StDev 002298

N 12

KS 0182

P-Value gt0150






siguientes

Temperatura (oC) 18 18 18 22 22 26 30 30 34





Coef


Constante 218400 7502 2911 0000




Fuente GL SC MC F P

Regresioacuten 1 864685 864685 32623 0000


Total 8 883239




9 340 2400 3324 341 -924 -240R



Nueva Ajuste


1 8225 173 (7816 8635) (6941 9510)


Nueva Temperatura

Obs (degC)

1 250


1



R2

r








100500-50-100

99

95

90

80

70

60

50

40

30

20

10

5

1

RESI

Po

rce

nta

je

Mean -353692E-13

StDev 4816

N 9

KS 0180

P-Value gt0150




Logro de la unidad










el anaacutelisis


1

0


1






120100806040200

400

350

300

250

200

150

100

50

X

Y


2

0 1 2Y X X






resultados

Rapidez(Kmh) 35 50 55 60 65 80 95 110



vehiacuteculo




Coef


Constante 17064 8107 210 0089

RAPIDEZ -05103 02357 -216 0083

RAPIDEZ2 0013139 0001584 830 0000



Fuente GL SC CM F P

Regresioacuten 2 90539 45269 83846 0000


Total 7 90809


Fuente GL SC CM F P

RAPIDEZ 1 86823 2530 4687 0083

RAPIDEZ2 1 3716 37160 68827 0000











216520 1300

239955 375

177980 2500

233675 975

176530 2200

205350 1800

241440 600

220050 1250

265420 200

175370 2150





Coef


Constante 264858 8125 3260 0000

Antiguumledad -3630 1450 -250 0041

Antiguedad2 -00495 05265 -009 0928



Fuente GL SC CM F P

Regresioacuten 2 831630 415815 6648 0000


Total 9 875413



Fuente GL SC CM F P

Lineal 1 831575 39184 62647 004






)10(N~n

xz

_

)1n(

_

t~nS

xt

nz x)(IC 21

_

n

st x)(IC 21n(

_

2 2

)2-1 1n(

22

2

)2 1n(

22 S)1n(

)(LSCS)1n(

)(LIC

2

)1n(2

22 X~

S)1n(

p p1qn

)p1(pzp)p(IC )21(

)10(N~

n

)p1(p

ppz

21

Varianzas conocidas

2

2

2

1

2

1)21(2121

nnz)xx()(IC

)10(N~

nn

)()xx(z

2

22

1

21

2121


2nn

S)1n(S)1n(Sdonde

n

1

n

1St)xx()(IC

21

2

22

2

112

p

21

2

p)2 2nn(

_

2

_

1 2121

)2nn(

21

2

p

21

_

2

_

1

21t~

n

1

n

1S

)()xx(t




2

2

2

1

2

1

)2v(

_

2

_

1n

S

n

St)xx()(IC

21 )v(

2

22

1

21

2121 t~

n

S

n

S

)()xx(t

1n

n

S

1n

n

S

n

S

n

S

v

2

2

2

22

1

2

1

21

2

2

22

1

21

D n

st d)D(IC d

)21n( 1n

d

t~nS

Ddt


22

2 1 )vv2(2

2

212

221

)vv2(22

212

221

12

21

fS

S)(LSC

f

1

S

S)(LIC

1nv 11 1nv 22

11

2

2

2

1

2

2

2

1

21~

1 nnF

S

SF

21 pp

22

11

2

22

1

11

212121

2

22

1

11

212121

p1q

p1q

donde

n

qp

n

qpzpp)pp(LSC

n

qp

n

qpzpp)pp(LIC

a) 0ppH 210

)10(N~

n

1

n

1)p1(p

ppz

21

21

83 21

2211

nn

pnpnpdonde

b) KppH 210 y K 0

)10(N~

n

qp

n

qp

K)pp(z

2

22

1

11

21



PRUEBA JI CUADRADO

k

1i

2)1c)(1r(

i

2ii2 X

e

)eo(X

lg)1mk(vconX~e

)eo(X 2

k

1i i

2

ii2


k

1i

2

i

2

ii2 Xe

50eoX



x np)X(E )p1(np)X(V

Poisson )(P~X 210xx

e)xX(P

x

)X(E )X(V


xˆyˆ

xxn

yxyxn

ˆ

10

2n

1i

i

n

1i

2i

n

1i

i

n

1i

ii

n

1i

i

1


n

1i

2i

n

1i

2i

n

1i

ii

)yy(n

1)xx(

n

1

)yy)(xx(n

1

SS

)YXcov(r

yx

Cuadrados medios

pn

SSECME

1p

SSRCMR

donde



Prueba conjunta

)1(~ pnpFCME

CMRF

Inferencia para 0

xx

2i

20nS

xstˆ

)2(

2

00 ~ˆ

n

xx

i

t

nS

xs

t


a) 0H0

)2n(2

t~r1

2nrt

b) 00 H

)10(N~)1)(r1(

)1)(r1(ln

2

3nZ

0

0



Suma de cuadrados

SSRSSTSSE

n

xxˆSSR

n

yySST

2

i2i

21

2

i2i


SST

SSRr 2


pn

1n)r1(1rr 222

correg

Inferencia para 1

xx

nS

st 221

ˆ

)(1111 ~

ˆˆ

1

pn

b

xx

tS

S

st

donde

2

2

1

2

2

2

1ˆ

)(

xxx

i

i

ixx

SnSSR

S

xxn

xxS

CMEpn

SSEsss xye

Pronoacutesticos

Valor medio

xx

20

)22n(0S

)xx(

n

1sty

Valor individual

xx

20

)22n(0S

)xx(

n

11sty

Modelos no lineales



01


m

2

210 xˆxˆxˆˆy~

Tabla Ndeg 21



Z -009 -008 -007 -006 -005 -004 -003 -002 -001 -000

-39 0000033 0000034 0000036 0000037 0000039 0000041 0000042 0000044 0000046 0000048

-38 0000050 0000052 0000054 0000057 0000059 0000062 0000064 0000067 0000069 0000072

-37 0000075 0000078 0000082 0000085 0000088 0000092 0000096 0000100 0000104 0000108

-36 0000112 0000117 0000121 0000126 0000131 0000136 0000142 0000147 0000153 0000159

-35 0000165 0000172 0000178 0000185 0000193 0000200 0000208 0000216 0000224 0000233

-34 0000242 0000251 0000260 0000270 0000280 0000291 0000302 0000313 0000325 0000337

-33 0000349 0000362 0000376 0000390 0000404 0000419 0000434 0000450 0000466 0000483

-32 0000501 0000519 0000538 0000557 0000577 0000598 0000619 0000641 0000664 0000687

-31 0000711 0000736 0000762 0000789 0000816 0000845 0000874 0000904 0000935 0000968

-30 0001001 0001035 0001070 0001107 0001144 0001183 0001223 0001264 0001306 0001350

-29 000139 000144 000149 000154 000159 000164 000169 000175 000181 000187

-28 000193 000199 000205 000212 000219 000226 000233 000240 000248 000256

-27 000264 000272 000280 000289 000298 000307 000317 000326 000336 000347

-26 000357 000368 000379 000391 000402 000415 000427 000440 000453 000466

-25 000480 000494 000508 000523 000539 000554 000570 000587 000604 000621

-24 000639 000657 000676 000695 000714 000734 000755 000776 000798 000820

-23 000842 000866 000889 000914 000939 000964 000990 001017 001044 001072

-22 001101 001130 001160 001191 001222 001255 001287 001321 001355 001390

-21 001426 001463 001500 001539 001578 001618 001659 001700 001743 001786

-20 001831 001876 001923 001970 002018 002068 002118 002169 002222 002275

-19 002330 002385 002442 002500 002559 002619 002680 002743 002807 002872

-18 002938 003005 003074 003144 003216 003288 003362 003438 003515 003593

-17 003673 003754 003836 003920 004006 004093 004182 004272 004363 004457

-16 004551 004648 004746 004846 004947 005050 005155 005262 005370 005480

-15 005592 005705 005821 005938 006057 006178 006301 006426 006552 006681

-14 006811 006944 007078 007215 007353 007493 007636 007780 007927 008076

-13 008226 008379 008534 008691 008851 009012 009176 009342 009510 009680

-12 009853 010027 010204 010383 010565 010749 010935 011123 011314 011507

-11 011702 011900 012100 012302 012507 012714 012924 013136 013350 013567

-10 013786 014007 014231 014457 014686 014917 015151 015386 015625 015866

-09 016109 016354 016602 016853 017106 017361 017619 017879 018141 018406

-08 018673 018943 019215 019489 019766 020045 020327 020611 020897 021186

-07 021476 021770 022065 022363 022663 022965 023270 023576 023885 024196

-06 024510 024825 025143 025463 025785 026109 026435 026763 027093 027425

-05 027760 028096 028434 028774 029116 029460 029806 030153 030503 030854

-04 031207 031561 031918 032276 032636 032997 033360 033724 034090 034458

-03 034827 035197 035569 035942 036317 036693 037070 037448 037828 038209

-02 038591 038974 039358 039743 040129 040517 040905 041294 041683 042074

-01 042465 042858 043251 043644 044038 044433 044828 045224 045620 046017

-00 046414 046812 047210 047608 048006 048405 048803 049202 049601 050000



Tabla Ndeg 22



Z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009

00 050000 050399 050798 051197 051595 051994 052392 052790 053188 053586

01 053983 054380 054776 055172 055567 055962 056356 056749 057142 057535

02 057926 058317 058706 059095 059483 059871 060257 060642 061026 061409

03 061791 062172 062552 062930 063307 063683 064058 064431 064803 065173

04 065542 065910 066276 066640 067003 067364 067724 068082 068439 068793

05 069146 069497 069847 070194 070540 070884 071226 071566 071904 072240

06 072575 072907 073237 073565 073891 074215 074537 074857 075175 075490

07 075804 076115 076424 076730 077035 077337 077637 077935 078230 078524

08 078814 079103 079389 079673 079955 080234 080511 080785 081057 081327

09 081594 081859 082121 082381 082639 082894 083147 083398 083646 083891

10 084134 084375 084614 084849 085083 085314 085543 085769 085993 086214

11 086433 086650 086864 087076 087286 087493 087698 087900 088100 088298

12 088493 088686 088877 089065 089251 089435 089617 089796 089973 090147

13 090320 090490 090658 090824 090988 091149 091309 091466 091621 091774

14 091924 092073 092220 092364 092507 092647 092785 092922 093056 093189

15 093319 093448 093574 093699 093822 093943 094062 094179 094295 094408

16 094520 094630 094738 094845 094950 095053 095154 095254 095352 095449

17 095543 095637 095728 095818 095907 095994 096080 096164 096246 096327

18 096407 096485 096562 096638 096712 096784 096856 096926 096995 097062

19 097128 097193 097257 097320 097381 097441 097500 097558 097615 097670

20 097725 097778 097831 097882 097932 097982 098030 098077 098124 098169

21 098214 098257 098300 098341 098382 098422 098461 098500 098537 098574

22 098610 098645 098679 098713 098745 098778 098809 098840 098870 098899

23 098928 098956 098983 099010 099036 099061 099086 099111 099134 099158

24 099180 099202 099224 099245 099266 099286 099305 099324 099343 099361

25 099379 099396 099413 099430 099446 099461 099477 099492 099506 099520

26 099534 099547 099560 099573 099585 099598 099609 099621 099632 099643

27 099653 099664 099674 099683 099693 099702 099711 099720 099728 099736

28 099744 099752 099760 099767 099774 099781 099788 099795 099801 099807

29 099813 099819 099825 099831 099836 099841 099846 099851 099856 099861

30 0998650 0998694 0998736 0998777 0998817 0998856 0998893 0998930 0998965 0998999

31 0999032 0999065 0999096 0999126 0999155 0999184 0999211 0999238 0999264 0999289

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38 0999928 0999931 0999933 0999936 0999938 0999941 0999943 0999946 0999948 0999950

39 0999952 0999954 0999956 0999958 0999959 0999961 0999963 0999964 0999966 0999967



Tabla Nordm 31



04 03 02 015 01 005 004 003 0025 002 0015 001 0005

1 032492 072654 137638 196261 307768 631375 791582 1057889 127062 1589454 2120495 3182052 6365674 1

2 028868 061721 106066 138621 188562 291999 331976 389643 430265 484873 564278 696456 992484 2

3 027667 058439 097847 124978 163774 235336 260543 295051 318245 348191 389605 45407 584091 3

4 027072 056865 094096 118957 153321 213185 233287 260076 277645 299853 329763 374695 460409 4

5 026718 055943 091954 115577 147588 201505 219096 242158 257058 275651 300287 336493 403214 5

6 026483 055338 09057 113416 143976 194318 210431 231326 244691 261224 282893 314267 370743 6

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8 026192 054593 088889 110815 139682 185955 200415 218915 2306 244898 263381 289646 335539 8

9 026096 054348 08834 109972 138303 183311 197265 215038 226216 239844 25738 282144 324984 9

10 026018 054153 087906 109306 137218 181246 19481 212023 222814 235931 252748 276377 316927 10

11 025956 053994 087553 108767 136343 179588 192843 209614 220099 232814 249066 271808 310581 11

12 025903 053862 087261 108321 135622 178229 191231 207644 217881 230272 24607 2681 305454 12

13 025859 05375 087015 107947 135017 177093 189887 206004 216037 22816 243585 265031 301228 13

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16 02576 053501 086467 107114 133676 174588 186928 2024 211991 223536 238155 258349 292078 16

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35 025528 052921 085201 105202 130621 168957 180302 194375 203011 213316 226219 243772 272381 35

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38 025513 052883 085118 105077 130423 168595 179878 193863 202439 212667 225465 242857 271156 38

39 025508 052871 085094 10504 130364 168488 179751 193711 202269 212474 22524 242584 270791 39

40 025504 052861 08507 105005 130308 168385 179631 193566 202108 212291 225027 242326 270446 40



Tabla Nordm 32



v

α

v 04 03 02 015 01 005 004 003 0025 002 0015 001 0005

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44 025488 052822 084987 104879 130109 168023 179207 193054 201537 211644 224275 241413 269228 44

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85 025414 052637 084587 10428 129159 166298 177187 190623 198827 208574 220713 237102 263491 85

90 02541 052626 084563 104244 129103 166196 177068 19048 198667 208394 220504 23685 263157 90

95 025406 052616 084542 104212 129053 166105 176961 190352 198525 208233 220317 236624 262858 95

100 025402 052608 084523 104184 129007 166023 176866 190237 198397 208088 22015 236422 262589 100

105 025399 0526 084506 104158 128967 16595 176779 190133 198282 207958 219998 236239 262347 105

110 025396 052592 08449 104134 12893 165882 176701 190039 198177 207839 219861 236073 262126 110

120 025391 05258 084463 104093 128865 165765 176564 189874 197993 207631 21962 235782 261742 120

infin 025335 05244 084162 103643 128156 164484 175069 188079 195997 205375 217009 232635 257583 infin



Tabla Ndeg41



v

0995 0990 0980 0975 0960 0950 0900 0800 0700 0600 0500

1 0000 0000 0001 0001 0003 0004 0016 0064 0148 0275 0455

2 0010 0020 0040 0051 0082 0103 0211 0446 0713 1022 1386

3 0072 0115 0185 0216 0300 0352 0584 1005 1424 1869 2366

4 0207 0297 0429 0484 0627 0711 1064 1649 2195 2753 3357

5 0412 0554 0752 0831 1031 1145 1610 2343 3000 3656 4351

6 0676 0872 1134 1237 1492 1635 2204 3070 3828 4570 5348

7 0989 1239 1564 1690 1997 2167 2833 3822 4671 5493 6346

8 1344 1647 2032 2180 2537 2733 3490 4594 5527 6423 7344

9 1735 2088 2532 2700 3105 3325 4168 5380 6393 7357 8343

10 2156 2558 3059 3247 3697 3940 4865 6179 7267 8295 9342

11 2603 3053 3609 3816 4309 4575 5578 6989 8148 9237 10341

12 3074 3571 4178 4404 4939 5226 6304 7807 9034 10182 11340

13 3565 4107 4765 5009 5584 5892 7041 8634 9926 11129 12340

14 4075 4660 5368 5629 6243 6571 7790 9467 10821 12078 13339

15 4601 5229 5985 6262 6914 7261 8547 10307 11721 13030 14339

16 5142 5812 6614 6908 7596 7962 9312 11152 12624 13983 15338

17 5697 6408 7255 7564 8288 8672 10085 12002 13531 14937 16338

18 6265 7015 7906 8231 8989 9390 10865 12857 14440 15893 17338

19 6844 7633 8567 8907 9698 10117 11651 13716 15352 16850 18338

20 7434 8260 9237 9591 10415 10851 12443 14578 16266 17809 19337

21 8034 8897 9915 10283 11140 11591 13240 15445 17182 18768 20337

22 8643 9542 10600 10982 11870 12338 14041 16314 18101 19729 21337

23 9260 10196 11293 11689 12607 13091 14848 17187 19021 20690 22337

24 9886 10856 11992 12401 13350 13848 15659 18062 19943 21652 23337

25 10520 11524 12697 13120 14098 14611 16473 18940 20867 22616 24337

26 11160 12198 13409 13844 14851 15379 17292 19820 21792 23579 25336

27 11808 12878 14125 14573 15609 16151 18114 20703 22719 24544 26336

28 12461 13565 14847 15308 16371 16928 18939 21588 23647 25509 27336

29 13121 14256 15574 16047 17138 17708 19768 22475 24577 26475 28336

30 13787 14953 16306 16791 17908 18493 20599 23364 25508 27442 29336

31 14458 15655 17042 17539 18683 19281 21434 24255 26440 28409 30336

60 35534 37485 39699 40482 42266 43188 46459 50641 53809 56620 59335

70 43275 45442 47893 48758 50724 51739 55329 59898 63346 66396 69334

120 83852 86923 90367 91573 94303 95705 100624 106806 111419 115465 119334



Tabla Ndeg42



v

0250 0200 0150 0125 0100 0050 0025 0020 0010 0005

1 1323 1642 2072 2354 2706 3841 5024 5412 6635 7879

2 2773 3219 3794 4159 4605 5991 7378 7824 9210 10597

3 4108 4642 5317 5739 6251 7815 9348 9837 11345 12838

4 5385 5989 6745 7214 7779 9488 11143 11668 13277 14860

5 6626 7289 8115 8625 9236 11070 12832 13388 15086 16750

6 7841 8558 9446 9992 10645 12592 14449 15033 16812 18548

7 9037 9803 10748 11326 12017 14067 16013 16622 18475 20278

8 10219 11030 12027 12636 13362 15507 17535 18168 20090 21955

9 11389 12242 13288 13926 14684 16919 19023 19679 21666 23589

10 12549 13442 14534 15198 15987 18307 20483 21161 23209 25188

11 13701 14631 15767 16457 17275 19675 21920 22618 24725 26757

12 14845 15812 16989 17703 18549 21026 23337 24054 26217 28300

13 15984 16985 18202 18939 19812 22362 24736 25471 27688 29819

14 17117 18151 19406 20166 21064 23685 26119 26873 29141 31319

15 18245 19311 20603 21384 22307 24996 27488 28259 30578 32801

16 19369 20465 21793 22595 23542 26296 28845 29633 32000 34267

17 20489 21615 22977 23799 24769 27587 30191 30995 33409 35718

18 21605 22760 24155 24997 25989 28869 31526 32346 34805 37156

19 22718 23900 25329 26189 27204 30144 32852 33687 36191 38582

20 23828 25038 26498 27376 28412 31410 34170 35020 37566 39997

21 24935 26171 27662 28559 29615 32671 35479 36343 38932 41401

22 26039 27301 28822 29737 30813 33924 36781 37659 40289 42796

23 27141 28429 29979 30911 32007 35172 38076 38968 41638 44181

24 28241 29553 31132 32081 33196 36415 39364 40270 42980 45558

25 29339 30675 32282 33247 34382 37652 40646 41566 44314 46928

26 30435 31795 33429 34410 35563 38885 41923 42856 45642 48290

27 31528 32912 34574 35570 36741 40113 43195 44140 46963 49645

28 32620 34027 35715 36727 37916 41337 44461 45419 48278 50994

29 33711 35139 36854 37881 39087 42557 45722 46693 49588 52335

30 34800 36250 37990 39033 40256 43773 46979 47962 50892 53672

31 35887 37359 39124 40181 41422 44985 48232 49226 52191 55002

60 66981 68972 71341 72751 74397 79082 83298 84580 88379 91952

70 77577 79715 82255 83765 85527 90531 95023 96387 100425 104215

120 130055 132806 136062 137990 140233 146567 152211 153918 158950 163648



Tabla Ndeg51



v1

v2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0050 1 16145 19950 21571 22458 23016 23399 23677 23888 24054 24188

0025 64779 79948 86415 89960 92183 93711 94820 95664 96328 96863

0010 405218 499934 540353 562426 576396 585895 592833 598095 602240 605593

0005 1621246 1999736 2161413 2250075 2305582 2343953 2371520 2392381 2409145 2422184

0050 2 1851 1900 1916 1925 1930 1933 1935 1937 1938 1940

0025 3851 3900 3917 3925 3930 3933 3936 3937 3939 3940

0010 9850 9900 9916 9925 9930 9933 9936 9938 9939 9940

0005 19850 19901 19916 19924 19930 19933 19936 19938 19939 19939

0050 3 1013 955 928 912 901 894 889 885 881 879

0025 1744 1604 1544 1510 1488 1473 1462 1454 1447 1442

0010 3412 3082 2946 2871 2824 2791 2767 2749 2734 2723

0005 5555 4980 4747 4620 4539 4484 4443 4413 4388 4368

0050 4 771 694 659 639 626 616 609 604 600 596

0025 1222 1065 998 960 936 920 907 898 890 884

0010 2120 1800 1669 1598 1552 1521 1498 1480 1466 1455

0005 3133 2628 2426 2315 2246 2198 2162 2135 2114 2097

0050 5 661 579 541 519 505 495 488 482 477 474

0025 1001 843 776 739 715 698 685 676 668 662

0010 1626 1327 1206 1139 1097 1067 1046 1029 1016 1005

0005 2278 1831 1653 1556 1494 1451 1420 1396 1377 1362

0050 6 599 514 476 453 439 428 421 415 410 406

0025 881 726 660 623 599 582 570 560 552 546

0010 1375 1092 978 915 875 847 826 810 798 787

0005 1863 1454 1292 1203 1146 1107 1079 1057 1039 1025

0050 7 559 474 435 412 397 387 379 373 368 364

0025 807 654 589 552 529 512 499 490 482 476

0010 1225 955 845 785 746 719 699 684 672 662

0005 1624 1240 1088 1005 952 916 889 868 851 838

0050 8 532 446 407 384 369 358 350 344 339 335

0025 757 606 542 505 482 465 453 443 436 430

0010 1126 865 759 701 663 637 618 603 591 581

0005 1469 1104 960 881 830 795 769 750 734 721

0050 9 512 426 386 363 348 337 329 323 318 314

0025 721 571 508 472 448 432 420 410 403 396

0010 1056 802 699 642 606 580 561 547 535 526

0005 1361 1011 872 796 747 713 688 669 654 642

0050 10 496 410 371 348 333 322 314 307 302 298

0025 694 546 483 447 424 407 395 385 378 372

0010 1004 756 655 599 564 539 520 506 494 485

0005 1283 943 808 734 687 654 630 612 597 585

0050 11 484 398 359 336 320 309 301 295 290 285

0025 672 526 463 428 404 388 376 366 359 353

0010 965 721 622 567 532 507 489 474 463 454

0005 1223 891 760 688 642 610 586 568 554 542

0050 12 475 389 349 326 311 300 291 285 280 275

0025 655 510 447 412 389 373 361 351 344 337

0010 933 693 595 541 506 482 464 450 439 430

0005 1175 851 723 652 607 576 552 535 520 509



Tabla Ndeg52



v1

v2 12 15 20 24 30 40 50 60 70 120

0050 1 24390 24595 24802 24905 25010 25114 25177 25220 25250 25325

0025 97672 98487 99308 99727 100140 100560 100810 100979 101101 101404

0010 610668 615697 620866 623427 626035 628643 630226 631297 632089 633951

0005 2442673 2463162 2483651 2493709 2504140 2514571 2521276 2525374 2528355 2535805

0050 2 1941 1943 1945 1945 1946 1947 1948 1948 1948 1949

0025 3941 3943 3945 3946 3946 3947 3948 3948 3948 3949

0010 9942 9943 9945 9946 9947 9948 9948 9948 9948 9949

0005 19942 19943 19945 19945 19948 19948 19948 19948 19948 19949

0050 3 874 870 866 864 862 859 858 857 857 855

0025 1434 1425 1417 1412 1408 1404 1401 1399 1398 1395

0010 2705 2687 2669 2660 2650 2641 2635 2632 2629 2622

0005 4339 4308 4278 4262 4247 4231 4221 4215 4210 4199

0050 4 591 586 580 577 575 572 570 569 568 566

0025 875 866 856 851 846 841 838 836 835 831

0010 1437 1420 1402 1393 1384 1375 1369 1365 1363 1356

0005 2070 2044 2017 2003 1989 1975 1967 1961 1957 1947

0050 5 468 462 456 453 450 446 444 443 442 440

0025 652 643 633 628 623 618 614 612 611 607

0010 989 972 955 947 938 929 924 920 918 911

0005 1338 1315 1290 1278 1266 1253 1245 1240 1237 1227

0050 6 400 394 387 384 381 377 375 374 373 370

0025 537 527 517 512 507 501 498 496 494 490

0010 772 756 740 731 723 714 709 706 703 697

0005 1003 981 959 947 936 924 917 912 909 900

0050 7 357 351 344 341 338 334 332 330 329 327

0025 467 457 447 441 436 431 428 425 424 420

0010 647 631 616 607 599 591 586 582 580 574

0005 818 797 775 764 753 742 735 731 728 719

0050 8 328 322 315 312 308 304 302 301 299 297

0025 420 410 400 395 389 384 381 378 377 373

0010 567 552 536 528 520 512 507 503 501 495

0005 701 681 661 650 640 629 622 618 615 606

0050 9 307 301 294 290 286 283 280 279 278 275

0025 387 377 367 361 356 351 347 345 343 339

0010 511 496 481 473 465 457 452 448 446 440

0005 623 603 583 573 562 552 545 541 538 530

0050 10 291 285 277 274 270 266 264 262 261 258

0025 362 352 342 337 331 326 322 320 318 314

0010 471 456 441 433 425 417 412 408 406 400

0005 566 547 527 517 507 497 490 486 483 475

0050 11 279 272 265 261 257 253 251 249 248 245

0025 343 333 323 317 312 306 303 300 299 294

0010 440 425 410 402 394 386 381 378 375 369

0005 524 505 486 476 465 455 449 445 441 434

0050 12 269 262 254 251 247 243 240 238 237 234

0025 328 318 307 302 296 291 287 285 283 279

0010 416 401 386 378 370 362 357 354 351 345

0005 491 472 453 443 433 423 417 412 409 401



Tabla Ndeg53



v1

v2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0050 13 47 38 34 32 30 29 28 28 27 27

0025 64 50 43 40 38 36 35 34 33 32

0010 91 67 57 52 49 46 44 43 42 41

0005 114 82 69 62 58 55 53 51 49 48

0050 14 460 374 334 311 296 285 276 270 265 260

0025 630 486 424 389 366 350 338 329 321 315

0010 886 651 556 504 469 446 428 414 403 394

0005 1106 792 668 600 556 526 503 486 472 460

0050 15 454 368 329 306 290 279 271 264 259 254

0025 620 477 415 380 358 341 329 320 312 306

0010 868 636 542 489 456 432 414 400 389 380

0005 1080 770 648 580 537 507 485 467 454 442

0050 20 435 349 310 287 271 260 251 245 239 235

0025 587 446 386 351 329 313 301 291 284 277

0010 810 585 494 443 410 387 370 356 346 337

0005 994 699 582 517 476 447 426 409 396 385

0050 24 426 340 301 278 262 251 242 236 230 225

0025 572 432 372 338 315 299 287 278 270 264

0010 782 561 472 422 390 367 350 336 326 317

0005 955 666 552 489 449 420 399 383 369 359

0050 30 417 332 292 269 253 242 233 227 221 216

0025 557 418 359 325 303 287 275 265 257 251

0010 756 539 451 402 370 347 330 317 307 298

0005 918 635 524 462 423 395 374 358 345 334

0050 40 408 323 284 261 245 234 225 218 212 208

0025 542 405 346 313 290 274 262 253 245 239

0010 731 518 431 383 351 329 312 299 289 280

0005 883 607 498 437 399 371 351 335 322 312

0050 45 406 320 281 258 242 231 222 215 210 205

0025 538 401 342 309 286 270 258 249 241 235

0010 723 511 425 377 345 323 307 294 283 274

0005 871 597 489 429 391 364 343 328 315 304

0050 50 403 318 279 256 240 229 220 213 207 203

0025 534 397 339 305 283 267 255 246 238 232

0010 717 506 420 372 341 319 302 289 278 270

0005 863 590 483 423 385 358 338 322 309 299

0050 60 400 315 276 253 237 225 217 210 204 199

0025 529 393 334 301 279 263 251 241 233 227

0010 708 498 413 365 334 312 295 282 272 263

0005 849 579 473 414 376 349 329 313 301 290

0050 70 398 313 274 250 235 223 214 207 202 197

0025 525 389 331 297 275 259 247 238 230 224

0010 701 492 407 360 329 307 291 278 267 259

0005 840 572 466 408 370 343 323 308 295 285

0050 120 392 307 268 245 229 218 209 202 196 191

0025 515 380 323 289 267 252 239 230 222 216

0010 685 479 395 348 317 296 279 266 256 247

0005 818 554 450 392 355 328 309 293 281 271



Tabla Ndeg54



v1

v2 12 15 20 24 30 40 50 60 70 120

0050 13 26 25 25 24 24 23 23 23 23 23

0025 32 31 29 29 28 28 27 27 27 27

0010 40 38 37 36 35 34 34 33 33 33

0005 46 45 43 42 41 40 39 39 38 38

0050 14 253 246 239 235 231 227 224 222 221 218

0025 305 295 284 279 273 267 264 261 260 255

0010 380 366 351 343 335 327 322 318 316 309

0005 443 425 406 396 386 376 370 366 362 355

0050 15 248 240 233 229 225 220 218 216 215 211

0025 296 286 276 270 264 259 255 252 251 246

0010 367 352 337 329 321 313 308 305 302 296

0005 425 407 388 379 369 359 352 348 345 337

0050 20 228 220 212 208 204 199 197 195 193 190

0025 268 257 246 241 235 229 225 222 220 216

0010 323 309 294 286 278 269 264 261 258 252

0005 368 350 332 322 312 302 296 292 288 281

0050 24 218 211 203 198 194 189 186 184 183 179

0025 254 244 233 227 221 215 211 208 206 201

0010 303 289 274 266 258 249 244 240 238 231

0005 342 325 306 297 287 277 270 266 263 255

0050 30 209 201 193 189 184 179 176 174 172 168

0025 241 231 220 214 207 201 197 194 192 187

0010 284 270 255 247 239 230 225 221 218 211

0005 318 301 282 273 263 252 246 242 238 230

0050 40 200 192 184 179 174 169 166 164 162 158

0025 229 218 207 201 194 188 183 180 178 172

0010 266 252 237 229 220 211 206 202 199 192

0005 295 278 260 250 240 230 223 218 215 206

0050 45 197 189 181 176 171 166 163 160 159 154

0025 225 214 203 196 190 183 179 176 174 168

0010 261 246 231 223 214 205 200 196 193 185

0005 288 271 253 243 233 222 216 211 208 199

0050 50 195 187 178 174 169 163 160 158 156 151

0025 222 211 199 193 187 180 175 172 170 164

0010 256 242 227 218 210 201 195 191 188 180

0005 282 265 247 237 227 216 210 205 202 193

0050 60 192 184 175 170 165 159 156 153 152 147

0025 217 206 194 188 182 174 170 167 164 158

0010 250 235 220 212 203 194 188 184 181 173

0005 274 257 239 229 219 208 201 196 193 183

0050 70 189 181 172 167 162 157 153 150 149 144

0025 214 203 191 185 178 171 166 163 160 154

0010 245 231 215 207 198 189 183 178 175 167

0005 268 251 233 223 213 202 195 190 186 177

0050 120 183 175 166 161 155 150 146 143 141 135

0025 205 194 182 176 169 161 156 153 150 143

0010 234 219 203 195 186 176 170 166 162 153

0005 254 237 219 209 198 187 180 175 171 161
























(Hasta Weibull )


8 06-05-13 11-05-13


















Seminario taller



PF = 12 (PC1) + 14 (PC2) + 14 (PC3) + 15 (PC4) + 20 (TF1) + 25 (EB)



Iacutendice






















Logro de la unidad



11 Definiciones

Estadiacutestica





Poblacioacuten



Ejemplo




Muestra










12 Tipos de datos




13 Variables


Ejercicio







Nominal




Ordinal






Intervalo







Razoacuten











Discretas

Continuas

Variable discreta





Variable continua





Ejercicio






















































Ejemplo


categoriacutea pe

Dominio f h p

compe 285 0570 570

orgpe 106 0212 212

edupe 64 0128 128

gobpe 26 0052 52

netpe 3 0006 06

Otros 16 0032 32

Total 500






Ejercicio








Ejemplo







Otros 5

Deformaciones 15












MS Word 250

MS Excel 80

MS Power Point 75

Access 30

Outlook 10

Otros 55

Total 500






Carpinteros 1057 13





Vidrieros 42 14













Quejas hi




Marketing 0148


Otros 0025






Impuestos 12042

Tasas 26530

Contribuciones 120

Venta de bienes 845




Transferencias 734

Otros 1132





Nazca


Columnas cortas 10



Otros 10

Piso blando 5















Ejemplo



2 3 3 0 1 2 1 2 2 4 3 2 0 1 2

1 3 3 2 1 0 1 2 3 2 4 1 0 1 2


X fi hi Fi Hi




Ejercicio




Calcule






Marca de clase


2


ix

Ejercicio




008 015 019 071 075 082 084 092 096 116 117 119 123 14 147

159 161 201 216 238 242 307 322 353 376 394 45 459 475 541


R =


k =


w =



1 ndash

2 ndash

3 ndash

4 ndash

5 ndash

6 ndash









Ejercicio









de 1993)


3 4 3 3 1 4 1 3 2 3

1 1 4 2 3 3 2 6 1 1

3 3 2 2 2 2 1 3 2 1

6 3 1 2 2 3 2 2 4 2




H3


con fallas fi pi Hi

1 0 30

2 1 10

3 2 5

4 3 3

5 4 2



520 947 951 975 1025 1041 1060 1252 1256 1460

1468 1586 1587 1626 1662 1662 1662 1662 1682 1697

1960 2049 2049 2049 2049 2083 2152 2175 2181 2181

2181 2181 2209 2262 2350 2397 2422 2596 2616 2772

2865 2870 2978 3139 3150 3162 3386 3599 3631 3983






1 0 100 2 12

2 100 200 4 16

3 200 300 22 25

4 300 400 26 10

5 400 500 20 4

6 500 600 5 2

7 600 700 1 1










998 984 1003 919 935 964

805 984 1005 851 936 970

872 987 1005 865 937 975

872 987 1012 868 939 985

880 995 1015 882 943 1001

955 997 1015 882 948 1003

970 998 1026 883 949 1005

973 1000 1026 887 954 1009

980 1001 1029 914 960 1010

980 1002 1055 927 963 1012











286266246226206186166

50

40

30

20

10

0

Ventas

Fre

cu

en

cia

acu

mu

lad

a

5049

45

36

8

2










la expresioacuten

2


Logro de la unidad



de su especialidad


Definiciones

Estadiacutestico


promedio muestral

Paraacutemetro


Ejemplo







Cuantiles

Percentil







d parte decimal

Decil


Cuartil


dEnk

i 100

)1(






Ejemplo


23 y 24

Ejemplo



evacuacioacuten

315 325 325 334 339 340 356 356 359 359

363 364 369 370 373 373 374 375 380 389

392 393 394 397 402 403 415 424 428 445











536 529 558 565 557 553 562 529 544 534 579 510

527 539 542 547 563 534 546 530 575 568 585













0045 0036 0045 0049 0064 007 0079 0088 0091 0118 013 0136

0136 0136 0145 0179 0182 0182 0194 0209 0209 0227 0242 0258

0258 0258 0291 0327 0333 0336 0361 0379 0394 0412 0445 0506

0554 0567 0579 06 067 0912 1055 107 1267 1639 1894 3046

3888 3985 417 8788











x

x

n

i

i 1


xf

x

k

i

ii 1


1

k

i i

i

f x

xn

Ejercicio


hilos de lino

152 158 162 185 194 206 212 219 254 273 283 295 325 337 369


Ejercicio


x fi fixi

0 13

1 6

2 8

3 6

4 2


Ejercicio



rsquoi

1 [002 - 081[ 6

2 [081 - 160[ 13

3 [160 - 239[ 4

4 [239 - 318[ 3

5 [318 - 397[ 2

6 [397 - 476] 2

Mediana



Ejemplo


984 998 998 999 1000 1000 1005 1012 1026 2500


Ejemplo





0 50

1 60

2 25

3 10

4 5

Moda


Ejemplo


10 10 10 10 10 12 12 12 12 12 12 12 12 14 14 15 15 15 18 18






Media=Mediana=Moda










de 1993)


3 4 3 3 1 4 1 3 2 3

1 1 4 2 3 3 2 6 1 1

3 3 2 2 2 2 1 3 2 1

6 3 1 2 2 3 2 2 4 2










35

130

70

155

0

20

40

60

80

100

120

140

2 4 6 8 10 12 14


Nuacute

mero

de p

art

iacutecu

las



Rango




Varianza




2


N

xN

i

i

1

2

2


1

1

2

2

n

xx

s

n

i

i


2

2 1

1

k

i i

i

f x x

sn

2

2 1

1

k

i i

i

f x x

sn




Ejemplo



35 73 30 15 36 60 47 19 15 38 10 35 31 21 22 20


Ejemplo


de 100 diacuteas

xi fi

0 10

1 15

2 30

3 35

4 10

100

Ejemplo




li fi( x

lindash Media)

2

1 [152 ndash 172[ 12 162 1944 16133

2 [172 ndash 192[ 13 182 2366 3611

3 [192 ndash 212[ 20 202 4040 222

4 [212 ndash 232[ 16 222 3552 8711

5 [232 ndash 252] 5 242 1210 9389

66 13112 38067






100s

CVx



Ejemplo



Tecnologiacutea LAN





108 111 3

111 114 35

114 117 66

117 120 57

120 123 29

123 126 16

126 129 9

129 132 3

132 135 2

Total 220







regenta






100 ndash 200 5

200 ndash 300 14

300 ndash 400 21

400 ndash 500 7

500 ndash 600 3

Total 50


20 2

40 8

60 25

80 20

100 8

Total 63

Ventas Azufral 120 200 100 50 45 120 100 100 90 75 100 210 100 50 120











[ 69220 ndash 70436 [ 14

[ 70436 ndash 71652 [ 5

[ 71652 ndash 72868 [ 6

[ 72868 ndash 74084 [ 8

[ 74084 ndash 75300 [ 7

[ 75300 ndash 76516 [ 17

[ 76516 ndash 77732 [ 5

Total 62



Traccioacuten 62 64520 2983 8899 61220 69856











Rango intercuartil

257513 PP QQRIC























Plomo Cobre Hierro

0010 0022 0039 004 007 009 011 014 018

0015 0030 0043 004 007 01 011 015 019

0015 0031 0047 004 007 01 012 015 020

0016 0031 0049 004 007 012 012 016 022

0016 0035 0055 004 007 014 013 017 023

0019 0035 0060 005 008 016 013 017 025

0020 0036 0073 005 008 018 014 017 033

0021 0038 005 008 014 017







10 ndash 20 2 2 - 4 5

20 ndash 30 8 4 - 6 14

30 ndash 40 25 6 - 8 21

40 ndash 50 9 8 - 10 7

50 ndash 60 6 10 - 12 3










Logro de la unidad









Ejemplos

1Lanzar un dado








Ejemplos

1= 123456

2= cccsscss


4 = t t ge 0


Ejercicio



Ejercicio





33 Evento



ABCetc

Evento simple


Ejemplos




Evento compuesto


Ejemplos






34 Probabilidad






siguiente axioma

0 le P(A)le 1




debe ser igual a 1

kPr(E )=1 i=123k

ii=1






Ejercicio


Ejercicio






( )













obtener 1x ( 1x )

























marca A



Interseccioacuten



siacutembolo BA

Unioacuten



BA

Ejemplo


Sean los eventos







cA A =Ω


P( ) P( ) 1cA A





P( )P( ) 0

P( )P

0 P( ) 0

A BB

BA B

B

Ejemplo









Total 39 15 36 90









P( ) P( ) P( ) P( )A B A B A B

Ejercicio








P( ) P( ) P( )A B A B

Ejercicio


P(AcB)



P( ) P( | )P( ) P( )P( )A B A B B B A A

Ejercicio





P( ) P( )A B A





P( ) P( )P( )A B A B


1 2 1 2P( ) P( )P( ) P( )k kE E E E E E

Ejemplo








Probabilidad Total




Teorema de Bayes



P( )P( | )

P( )

ii

A EA E

E

para ki 21

1 1 2 2

P( )P( )P( | )

P( )P( ) P( )P( ) P( )P( )

i ii

k k

A E AA E

A E A A E A A E A

Ejercicio






crecimiento



















continuacioacuten

Tecnologiacutea

LAN WAN





Aire 3 4 4 3 3 6 4 1 28

Total 40 50 40 20 40 50 50 40 330



coaxiales



LAN








































funcione



diagrama siguiente




funcione







Logro de la unidad








sobre quiacutemica










hidrostaacutetica




Ejemplo


siguiente

S=cc cs sc ss












siguiente manera

)( xXPxf


1)(0 xf

1)(Rango

X

xf

Ejercicio



bullbullCCCC

bullbullCS CS

bullbullSC SC

bullbullSSSS00

11

22

SSRR

bullbullCCCC

bullbullCS CS

bullbullSC SC

bullbullSSSS00

11

22bullbullCCCC

bullbullCS CS

bullbullSC SC

bullbullSSSS00

11

22

00

11

22

SSRR


Ejercicio






Ejercicios



x 0 2 4 6

f(x) 025 k 010 050






x 0 1 2 3 4

f(x) a 037 016 b 001













de rock











computarizada













x

xxfXERango

)()(




x

xfxgxgERango

)()()(



ccE

XcEcXE




222 )( XE



2

Ejercicio



x 0 2 4 6

f(x) 025 k 010 050


Ejercicios




x 5 6 7 8 9 10

f(x) 005 015 030 025 020 005









es la siguiente





























X 0 1 2 3 4

f(x) 041 037 k 005 001







rollo



X 0 1 2 3

P(X = x) 038 024 k 008






Ejemplo



Ejemplo 2


peso


aleatoria


aleatoria



0)( xf

1)( dxxf

b

a

dxxfbXaP )()(

Ejercicio


casootro

xcxxf

0

33)(


f(x)

a b

f(x)

a b




probabilidad

x

dttfxXPxF )()(



dx

xdFxf

)()(

Ejercicio


casootro

xcxxf

0

30)(






dxxxfXE )(

( ) ( )E g x g x f x dx




E(cX)= cE(X)





es

222 )( XE

Ejemplo


densidad

0

55)25(500

3

)(

2

cc

xxxf



Ejercicios


0

20)(

cc

xcxxf









0

08

1

)(8

cc

xexf

x




823)(

2xxxU





25x025

x3)x(f

3

2






casootro0

4x08

x)x(f










F

EX


10)( 1 xqpxf xx


qppqXVpXE 12




todas las pruebas




( ) 1 01 2 n xn x




2 1E X np V X np p

Ejemplo










( ) max[0 ( )]min( )r N r

x n x

N

n


C


n


Media N

rnXE

Varianza

112

N

nN

N

r

N

rnXV

Ejercicio













3210

)(

xx

exXPxf

x


XVXE 2

Ejercicio





Ejercicio






Ejercicios









1



unos de otros












rentable



















proceso de Poisson





proceso de Poisson



automoacuteviles



segundo



automoacuteviles











defectuosos





















de densidad es

bxaab

xf

1



ab

cddXcP

)(


2

baXE

y

12

2

2 abXV

Ejemplo





f(x)

f (x)

0 a k1 k2 b x

1 (b-a)

f(x)

f (x)

0 a k1 k2 b x

1 (b-a)





















intelectual etc


xexf

x2

2

1

2

1)(








XZ






Ejercicio







que ser reemplazado





1 1 2 2 k kY c X c X c X


222

1

2

111 ~ kkkk ccccNY

Ejercicio

SeanX1 ~ N(1 1

2

1 6) y X2 ~ N(2 4

2



Y = X1 + X2

Y = X1 ndash X2

Y = 4X1 ndash 6 X2

Ejercicio








menor de 20 minutos




Ejercicios
















cc0

d2x5

d2si

d8

5

)x(f

















de leva


de leva























segundos
























normalmente









0

0)()(

1

cc

xex

xf

x


22 XVXE



casootro 0

0 e1

)(

1

xβxf

x

Se denota X~exp( )


22 XVXE

f(x)

0 x

f(x)

0 x


Ejemplo



0 si 0

0 si e20

1

)(20

1

x

xxf

x










0

0)(

1

cc

xexxf

x


01)( xexXPxF x


12

1

222 XV

XE

Ejemplo






Ejercicios



probabilidad es

0

012

1

)(12

cc

xexf

x





0

0)(8000

cc

xcexf

x




2

2

80002

400020

XXC






0xparae50

1)x(f

x50

1







de probabilidad

casootroen

xsiexf

x

0

050)(

50




del costo





propiedades
































Logro de la unidad













n

i

iXn

X1


poblacional



x

2 2s

p p

21 21 xx

2

2

2

1 22

21 ss

21 pp 21ˆˆ pp





IC(θ)=(LI LS)








Muestra 1

Muestra 2

Muestra 3

Muestra 4

hellip

Muestra 100







micro








X



nzx

nzx

2121


04

03

02

01

00

De

nsid

ad

0






denotado por ME= n

z

)21(

Luego



1-α

α2 α2 Z(1-α2)

Z(α2)

zo -zo

X

micro desconocida

conocida

n

ME ME






Ejemplo

















X S



n

Stx

n

Stx nn 1212


04

03

02

01

00

De

nsid

ad

-to to0


T(1-α2 n-1)

α2 α2 T(α2 n-1)

X

micro desconocida

desconocida

n

ME ME






Ejemplo







Ejemplo



009678 007149 002216 002844 000509 002346 006387

003786 006458 007758 005297 003282 006952 008588

005720 000085 007407 002497 004557 003753 004897

003336 009612 009007 005633 007776 007836 007373

008864 004475 002384 002123 005981 003668 000019

008866 003658 005978 003543 003159 007735 006618

006675 001867 003198 007262 001231 004838 001650

008083 002441 005767 00797 006182 005700 008941

005175 007922 000943 003686 001097 008949 000264

007271 007979 001333 002791 008812 006969 004160











probar






2

21

e

zn

2

21

e

Szn


Ejemplo




Solucioacuten

Ejemplo




2980 3120 3100 3059 2985 2998 3020 3100 2988 3010


error de 50 psi


Ejercicios



alambres

0140 0138 0143 0142 0144 0137 0135 0140 0136 0142 0138 0140















minutos












16 5 21 19 10 5 8 2 7 2 4 9







2212 1839 3152 2608 2456 2747 2913 1265 2346 2333 1909 2333











x eacutexitos n

xp ˆ



n

ppzpp

n

ppzp

)ˆ1(ˆˆ

)ˆ1(ˆˆ

2121


04

03

02

01

00

De

nsid

ad

0







denotado por ME= n

ppz

)ˆ1(ˆ)21(

Luego y


n

ME ME

p LI= p

- ME




Nuacutemero de

eacutexitos

Nuacutemero de

fracasos



LI= p

+ ME

1-α

α2 α2 Z(1-α2)

Z(α2)

zo -zo


Ejemplo
























SiacuteNo

70

60

50

40

30

20

10

0

Co

nte

o

53

67









2

2

21 1

e

ppzn




2

2

21

4e

zn

Ejemplo




Ejemplo





Preguntas




Ejercicios












confianza del 98







Explique




resultado

Joyeriacutea 62

Deportes 50

Muacutesica 47

Ropa 16 Hogar 10




Conceptos generales













Tipos de errores





Error tipo I





Error tipo II





Ejercicio







2

2

2121

21 ppp

01

00

01

00

01

00

H

H

H

H

H

H








Hipoacutetesis


00 H 00 H 00 H

01 H 01 H 01 H


Zn

xz ~

0

c


Hipoacutetesis


00 H 00 H 00 H

01 H 01 H 01 H


1

0

c ~

nt

nS

xt


Ejercicio






Ejercicio





97 128 87 134 83 117 107 81 91 105




Ejercicios








es respectivamente

301

327

225

275

289

277

298

289

314

304

270

312

243

264

228

294

223

291

334

235


quiacutemico



Hipoacutetesis


00 H pp 00 H pp 00 H pp

01 H pp 01 H pp 01 H pp


Z

n

pp

ppz ~

)1(

ˆ

00

0c

Ejercicio









Siacute No

10 290 300



Ejercicios









Hipoacutetesis


2

0

2

0 H 2

0

2

0 H 2

0

2

0 H

2

0

2

1 H 2

0

2

1 H 2

0

2

1 H


2

12

0

22

c ~)1(

n

Sn

Ejemplo






Ejercicio



































Hipoacutetesis


2

2

2

10 H 2

2

2

10 H 2

2

2

10 H

2

2

2

11 H 2

2

2

11 H 2

2

2

11 H


112

2

2

1c 21

~ nnFS

SF

Ejercicio






Media 5717 57225

Varianza 1451566667 1533071429

Observaciones 10 8






Hipoacutetesis


k 210 H k 210 H k 210 H

k 211 H k 211 H k 211 H


2

21

2

21

21~

11

nn

p

c t

nnS

kxxt

2

)1()1(

21

2

22

2

112

nn

SnSnS p

Ejercicio





continuacioacuten

Lugar antiguo 998 1026 1005 1029 1003 905 1055 1026 997 987

Lugar nuevo 919 963 1010 970 1009 960 1005 1012 949 937



Lugar antiguo 10 0261312 0399484 0804423

Lugar nuevo 10 0221012 0337876 0680364






Media del

Error


Lugar antiguo 10 10031 0399 013

Lugar nuevo 10 9734 0338 011









lugares



Hipoacutetesis


k 210 H k 210 H k 210 H

k 211 H k 211 H k 211 H


t

n

S

n

S

kxxtc ~

2

2

2

1

2

1

21

11 2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

2

2

2

1

2

1

n

n

S

n

n

S

n

S

n

S

Ejercicio



Laboratorio 1 2870 2382 3143 3659 3620 3887 2929 2903

Laboratorio 2 3076 3380 3494 3074 3162 3269





Laboratorio 1 8 316945 506616 116039

Laboratorio 2 6 100006 170561 48797




Media del

Error










Hipoacutetesis


210 H pp 210 H pp 210 H pp

210 H pp 210 H pp 210 H pp


Z

nnpp

ppzc

21

21

111

ˆˆ

21

21

21

2211ˆˆ

nn

xx

nn

pnpnp

Ejercicio




Material 1 45 185 230





Ejercicio














TURNO

PRODUCTO

A B



Tarde 5 150 25 200







Logro de la unidad



relacionan

61 Bondad de ajuste





2

2 2

( 1)

1

~k

i i

c k m

i i

o e

e

i ie np







Ejemplo


X 1 2 3 4 5 6

O 28 36 36 30 27 23




Hipoacutetesis



Ejemplo






Frecuencia


Frecuencia

esperada ie

2

i i

i

o e

e

0 24

1 35

2 21

3 10

4 5

5 5

Total



Hipoacutetesis



Ejemplo




Observada io


esperada ie

2

i i

i

o e

e

0

1

2

3

4

5

6

Total


Ejercicios












Frecuencia 140 270 280 180 90 40














Clientes 20 15 12 8 11 16 18





Turno 1 2 3 4






resultados


Ndeg cajas 20 140 260 300 200 80




Hipoacutetesis



Ejemplo



12 15 16 18 19 14 10 15 16 14

225200175150125100

99

95

90

80

70

60

50

40

30

20

10

5

1

C1

Po

rce

nta

je

Media 149

DesvEst 2644

N 10

KS 0117

Valor P gt0150










contingenciartimesc


r

i

c

j

cr

ij

ijij

ce

eo

1 1

2

11

2

2 ~)(

n

nne

ji

ij

Factor 2


Factor 1

Fila 1

Fila 2

Filar

Hipoacutetesis



Ejercicio







Promedio Sobre el

promedio



Promedio 28 79 60 167

Muy bueno 9 49 63 121

Total 60 188 152 400




Valores esperados


promedio Promedio

Sobre el promedio



Promedio 60167400 167


Total 60 188 152 400


Ejercicios



Selectividad

Fidelidad

Baja Promedio Alta

Baja 7 12 31

Promedio 35 54 18

Alta 15 13 5


selectividad






Tipo de crimen

Distrito

I II III

Asalto 162 310 258

Robo 118 196 193

Hurto 451 996 458

Homicidio 18 25 10





Logro de la unidad

























recta

0 1i i iY X e

Variable respuesta


(independiente)

i = 1 2hellip n






3025201510

9

8

7

6

5

4

X

Y

X vs Y

1614121008060402

1600

1400

1200

1000

800

600

400

200

0

X

Y

X vs Y

50454035302520

60

50

40

30

20

X

Y

X vs Y

12001000800600400200

140

130

120

110

100

90

80

70

60

50

X

Y

X vs Y

Ejercicio



Resistencia x 22 21 31 34 37 43 34 34 42 51 56 59

Tiempo de falla y 20 22 26 28 30 32 33 35 37 42 45 47


Cuando X crece

Y crece

Modelo lineal

Buen ajuste

Modelo lineal

Buen ajuste

Cuando X crece

Y decrece

Variables no

relacionadas

Variables no

relacionadas


6050403020

50

45

40

35

30

25

20

Resistencia(X)

Tie

mp

o (

Y)









Es decir

n

i

ii yy1




n

i

i

n

i

ii

n

i

i

n

i

i

n

i

i

xxyx

xny

1

2

1

1

0

1

1

10

1




2

11

2

111

1ˆ

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

n

i

i

xxn

yxyxn

y xy 10ˆˆ



donde



Ejercicio




Coef


Constante 6797 2652 256 0028

Resistencia(X) 067983 006570 1035 0000


1

0











1





o



5



Fuente GL SC CM F P

Regresioacuten 1 74532 74532 10709 0000


Total 11 81492

0H

0H

11

10

CMError

CMRegFcal

09

08

07

06

05

04

03

02

01

00

X

De

nsit

y

0


α ZNR

A

ZR

Fcrit










2 SCReg100

SCTotR

Ejercicio


Salida del Minitab

Coef


Constante 6797 2652 256 0028

Resistencia(X) 06798 00657 1035 0000


R2





CMEn

SCES

2

Ejercicio


S




Xe Y









-10 -065 -02 02 065 10


Ejercicio


r





siguiente



0ˆsi

0ˆsi

1

2

1

2

R

Rr


Salida del Minitab



Coef


Constante 2976 1473 202 0074




Fuente GL SC CM F P



Total ___ 28876



3025201510

9

8

7

6

5

4

Temperatura

Vid

a u

til




1

0


Ho

H1


R2

r





0 2 2 0 0 0 2 2 0ˆ ˆ ˆ ÊE EEn nt t

1 2 2 1 0 1 2 2 1ˆ ˆ ˆ ÊE EEn nt t



1

( 2)

1

ˆ~

ÊEn

kt t



xx

nXYxx

nS

xx

nSty

S

xx

nSty

2

0

)22(0

2

0

)22(0

1ˆ

1ˆ

0


xx

nXYxx

nS

xx

nSty

S

xx

nSty

2

0

)22(0ˆ

2

0

)22(0

11ˆ

11ˆ

0








300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1400 1600


0065 008 0095 0115 013 015 0175 0205 023 027 0346 0436



1600140012001000800600400200

045

040

035

030

025

020

015

010

005

Densidad

Co

nd

ucti

vid

ad




Coef


Constante -0049 001726 -286 0017

Densidad 00003 000002 1524



Fuente GL SC CM F P

Regresioacuten 1


Total 11 014085



1



R2

r








005000250000-0025-0050

99

95

90

80

70

60

50

40

30

20

10

5

1

RESI

Po

rce

nta

je

Mean -462593E-18

StDev 002298

N 12

KS 0182

P-Value gt0150






siguientes

Temperatura (oC) 18 18 18 22 22 26 30 30 34





Coef


Constante 218400 7502 2911 0000




Fuente GL SC MC F P

Regresioacuten 1 864685 864685 32623 0000


Total 8 883239




9 340 2400 3324 341 -924 -240R



Nueva Ajuste


1 8225 173 (7816 8635) (6941 9510)


Nueva Temperatura

Obs (degC)

1 250


1



R2

r








100500-50-100

99

95

90

80

70

60

50

40

30

20

10

5

1

RESI

Po

rce

nta

je

Mean -353692E-13

StDev 4816

N 9

KS 0180

P-Value gt0150




Logro de la unidad










el anaacutelisis


1

0


1






120100806040200

400

350

300

250

200

150

100

50

X

Y


2

0 1 2Y X X






resultados

Rapidez(Kmh) 35 50 55 60 65 80 95 110



vehiacuteculo




Coef


Constante 17064 8107 210 0089

RAPIDEZ -05103 02357 -216 0083

RAPIDEZ2 0013139 0001584 830 0000



Fuente GL SC CM F P

Regresioacuten 2 90539 45269 83846 0000


Total 7 90809


Fuente GL SC CM F P

RAPIDEZ 1 86823 2530 4687 0083

RAPIDEZ2 1 3716 37160 68827 0000











216520 1300

239955 375

177980 2500

233675 975

176530 2200

205350 1800

241440 600

220050 1250

265420 200

175370 2150





Coef


Constante 264858 8125 3260 0000

Antiguumledad -3630 1450 -250 0041

Antiguedad2 -00495 05265 -009 0928



Fuente GL SC CM F P

Regresioacuten 2 831630 415815 6648 0000


Total 9 875413



Fuente GL SC CM F P

Lineal 1 831575 39184 62647 004






)10(N~n

xz

_

)1n(

_

t~nS

xt

nz x)(IC 21

_

n

st x)(IC 21n(

_

2 2

)2-1 1n(

22

2

)2 1n(

22 S)1n(

)(LSCS)1n(

)(LIC

2

)1n(2

22 X~

S)1n(

p p1qn

)p1(pzp)p(IC )21(

)10(N~

n

)p1(p

ppz

21

Varianzas conocidas

2

2

2

1

2

1)21(2121

nnz)xx()(IC

)10(N~

nn

)()xx(z

2

22

1

21

2121


2nn

S)1n(S)1n(Sdonde

n

1

n

1St)xx()(IC

21

2

22

2

112

p

21

2

p)2 2nn(

_

2

_

1 2121

)2nn(

21

2

p

21

_

2

_

1

21t~

n

1

n

1S

)()xx(t




2

2

2

1

2

1

)2v(

_

2

_

1n

S

n

St)xx()(IC

21 )v(

2

22

1

21

2121 t~

n

S

n

S

)()xx(t

1n

n

S

1n

n

S

n

S

n

S

v

2

2

2

22

1

2

1

21

2

2

22

1

21

D n

st d)D(IC d

)21n( 1n

d

t~nS

Ddt


22

2 1 )vv2(2

2

212

221

)vv2(22

212

221

12

21

fS

S)(LSC

f

1

S

S)(LIC

1nv 11 1nv 22

11

2

2

2

1

2

2

2

1

21~

1 nnF

S

SF

21 pp

22

11

2

22

1

11

212121

2

22

1

11

212121

p1q

p1q

donde

n

qp

n

qpzpp)pp(LSC

n

qp

n

qpzpp)pp(LIC

a) 0ppH 210

)10(N~

n

1

n

1)p1(p

ppz

21

21

83 21

2211

nn

pnpnpdonde

b) KppH 210 y K 0

)10(N~

n

qp

n

qp

K)pp(z

2

22

1

11

21



PRUEBA JI CUADRADO

k

1i

2)1c)(1r(

i

2ii2 X

e

)eo(X

lg)1mk(vconX~e

)eo(X 2

k

1i i

2

ii2


k

1i

2

i

2

ii2 Xe

50eoX



x np)X(E )p1(np)X(V

Poisson )(P~X 210xx

e)xX(P

x

)X(E )X(V


xˆyˆ

xxn

yxyxn

ˆ

10

2n

1i

i

n

1i

2i

n

1i

i

n

1i

ii

n

1i

i

1


n

1i

2i

n

1i

2i

n

1i

ii

)yy(n

1)xx(

n

1

)yy)(xx(n

1

SS

)YXcov(r

yx

Cuadrados medios

pn

SSECME

1p

SSRCMR

donde



Prueba conjunta

)1(~ pnpFCME

CMRF

Inferencia para 0

xx

2i

20nS

xstˆ

)2(

2

00 ~ˆ

n

xx

i

t

nS

xs

t


a) 0H0

)2n(2

t~r1

2nrt

b) 00 H

)10(N~)1)(r1(

)1)(r1(ln

2

3nZ

0

0



Suma de cuadrados

SSRSSTSSE

n

xxˆSSR

n

yySST

2

i2i

21

2

i2i


SST

SSRr 2


pn

1n)r1(1rr 222

correg

Inferencia para 1

xx

nS

st 221

ˆ

)(1111 ~

ˆˆ

1

pn

b

xx

tS

S

st

donde

2

2

1

2

2

2

1ˆ

)(

xxx

i

i

ixx

SnSSR

S

xxn

xxS

CMEpn

SSEsss xye

Pronoacutesticos

Valor medio

xx

20

)22n(0S

)xx(

n

1sty

Valor individual

xx

20

)22n(0S

)xx(

n

11sty

Modelos no lineales



01


m

2

210 xˆxˆxˆˆy~

Tabla Ndeg 21



Z -009 -008 -007 -006 -005 -004 -003 -002 -001 -000

-39 0000033 0000034 0000036 0000037 0000039 0000041 0000042 0000044 0000046 0000048

-38 0000050 0000052 0000054 0000057 0000059 0000062 0000064 0000067 0000069 0000072

-37 0000075 0000078 0000082 0000085 0000088 0000092 0000096 0000100 0000104 0000108

-36 0000112 0000117 0000121 0000126 0000131 0000136 0000142 0000147 0000153 0000159

-35 0000165 0000172 0000178 0000185 0000193 0000200 0000208 0000216 0000224 0000233

-34 0000242 0000251 0000260 0000270 0000280 0000291 0000302 0000313 0000325 0000337

-33 0000349 0000362 0000376 0000390 0000404 0000419 0000434 0000450 0000466 0000483

-32 0000501 0000519 0000538 0000557 0000577 0000598 0000619 0000641 0000664 0000687

-31 0000711 0000736 0000762 0000789 0000816 0000845 0000874 0000904 0000935 0000968

-30 0001001 0001035 0001070 0001107 0001144 0001183 0001223 0001264 0001306 0001350

-29 000139 000144 000149 000154 000159 000164 000169 000175 000181 000187

-28 000193 000199 000205 000212 000219 000226 000233 000240 000248 000256

-27 000264 000272 000280 000289 000298 000307 000317 000326 000336 000347

-26 000357 000368 000379 000391 000402 000415 000427 000440 000453 000466

-25 000480 000494 000508 000523 000539 000554 000570 000587 000604 000621

-24 000639 000657 000676 000695 000714 000734 000755 000776 000798 000820

-23 000842 000866 000889 000914 000939 000964 000990 001017 001044 001072

-22 001101 001130 001160 001191 001222 001255 001287 001321 001355 001390

-21 001426 001463 001500 001539 001578 001618 001659 001700 001743 001786

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Tabla Ndeg 22



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Tabla Nordm 31



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33 02554 05295 085265 105298 130774 169236 180629 19477 203452 213816 226801 244479 273328 33

34 025534 052935 085232 105248 130695 169092 180461 194567 203224 213558 226501 244115 272839 34

35 025528 052921 085201 105202 130621 168957 180302 194375 203011 213316 226219 243772 272381 35

36 025523 052908 085172 105158 130551 16883 180153 194195 202809 213087 225953 243449 271948 36

37 025518 052895 085144 105117 130485 168709 180012 194024 202619 212871 225702 243145 271541 37

38 025513 052883 085118 105077 130423 168595 179878 193863 202439 212667 225465 242857 271156 38

39 025508 052871 085094 10504 130364 168488 179751 193711 202269 212474 22524 242584 270791 39

40 025504 052861 08507 105005 130308 168385 179631 193566 202108 212291 225027 242326 270446 40



Tabla Nordm 32



v

α

v 04 03 02 015 01 005 004 003 0025 002 0015 001 0005

41 0255 05285 085048 104971 130254 168288 179517 193428 201954 212117 224825 24208 270118 41

42 025496 05284 085026 104939 130204 168195 179409 193298 201808 211952 224633 241847 269807 42

43 025492 052831 085006 104908 130155 168107 179305 193173 201669 211794 224449 241625 269510 43

44 025488 052822 084987 104879 130109 168023 179207 193054 201537 211644 224275 241413 269228 44

45 025485 052814 084968 104852 130065 167943 179113 192941 20141 2115 224108 241212 268959 45

46 025482 052805 084951 104825 130023 167866 179023 192833 20129 211364 223949 241019 268701 46

47 025479 052798 084934 1048 129982 167793 178937 192729 201174 211233 223797 240835 268456 47

48 025476 05279 084917 104775 129944 167722 178855 19263 201063 211107 223652 240658 268220 48

49 025473 052783 084902 104752 129907 167655 178776 192535 200958 210987 223512 240489 267995 49

50 02547 052776 084887 104729 129871 167591 1787 192444 200856 210872 223379 240327 267779 50

51 025467 052769 084873 104708 129837 167528 178627 192356 200758 210762 22325 240172 267572 51

52 025465 052763 084859 104687 129805 167469 178558 192272 200665 210655 223127 240022 267373 52

53 025462 052757 084846 104667 129773 167412 178491 192191 200575 210553 223009 239879 267182 53

54 02546 052751 084833 104648 129743 167356 178426 192114 200488 210455 222895 239741 266998 54

55 025458 052745 084821 10463 129713 167303 178364 192039 200404 210361 222785 239608 266822 55

56 025455 05274 084809 104612 129685 167252 178304 191967 200324 21027 222679 23948 266651 56

57 025453 052735 084797 104595 129658 167203 178246 191897 200247 210182 222577 239357 266487 57

58 025451 05273 084786 104578 129632 167155 17819 19183 200172 210097 222479 239238 266329 58

59 025449 052725 084776 104562 129607 167109 178137 191765 2001 210015 222384 239123 266176 59

60 025447 05272 084765 104547 129582 167065 178085 191703 20003 209936 222292 239012 266028 60

61 025445 052715 084755 104532 129558 167022 178034 191642 199962 20986 222204 238905 265886 61

62 025444 052711 084746 104518 129536 16698 177986 191584 199897 209786 222118 238801 265748 62

63 025442 052706 084736 104504 129513 16694 177939 191527 199834 209715 222035 238701 265615 63

64 02544 052702 084727 10449 129492 166901 177893 191472 199773 209645 221955 238604 265485 64

65 025439 052698 084719 104477 129471 166864 177849 191419 199714 209578 221877 23851 265360 65

66 025437 052694 08471 104464 129451 166827 177806 191368 199656 209514 221802 238419 265239 66

67 025436 05269 084702 104452 129432 166792 177765 191318 199601 209451 221729 23833 265122 67

68 025434 052687 084694 10444 129413 166757 177724 191269 199547 20939 221658 238245 265008 68

69 025433 052683 084686 104428 129394 166724 177685 191222 199495 20933 221589 238161 264898 69

70 025431 05268 084679 104417 129376 166691 177647 191177 199444 209273 221523 238081 264790 70

75 025425 052664 084644 104365 129294 166543 177473 190967 19921 209008 221216 23771 264298 75

80 025419 05265 084614 10432 129222 166412 177321 190784 199006 208778 220949 237387 263869 80

85 025414 052637 084587 10428 129159 166298 177187 190623 198827 208574 220713 237102 263491 85

90 02541 052626 084563 104244 129103 166196 177068 19048 198667 208394 220504 23685 263157 90

95 025406 052616 084542 104212 129053 166105 176961 190352 198525 208233 220317 236624 262858 95

100 025402 052608 084523 104184 129007 166023 176866 190237 198397 208088 22015 236422 262589 100

105 025399 0526 084506 104158 128967 16595 176779 190133 198282 207958 219998 236239 262347 105

110 025396 052592 08449 104134 12893 165882 176701 190039 198177 207839 219861 236073 262126 110

120 025391 05258 084463 104093 128865 165765 176564 189874 197993 207631 21962 235782 261742 120

infin 025335 05244 084162 103643 128156 164484 175069 188079 195997 205375 217009 232635 257583 infin



Tabla Ndeg41



v

0995 0990 0980 0975 0960 0950 0900 0800 0700 0600 0500

1 0000 0000 0001 0001 0003 0004 0016 0064 0148 0275 0455

2 0010 0020 0040 0051 0082 0103 0211 0446 0713 1022 1386

3 0072 0115 0185 0216 0300 0352 0584 1005 1424 1869 2366

4 0207 0297 0429 0484 0627 0711 1064 1649 2195 2753 3357

5 0412 0554 0752 0831 1031 1145 1610 2343 3000 3656 4351

6 0676 0872 1134 1237 1492 1635 2204 3070 3828 4570 5348

7 0989 1239 1564 1690 1997 2167 2833 3822 4671 5493 6346

8 1344 1647 2032 2180 2537 2733 3490 4594 5527 6423 7344

9 1735 2088 2532 2700 3105 3325 4168 5380 6393 7357 8343

10 2156 2558 3059 3247 3697 3940 4865 6179 7267 8295 9342

11 2603 3053 3609 3816 4309 4575 5578 6989 8148 9237 10341

12 3074 3571 4178 4404 4939 5226 6304 7807 9034 10182 11340

13 3565 4107 4765 5009 5584 5892 7041 8634 9926 11129 12340

14 4075 4660 5368 5629 6243 6571 7790 9467 10821 12078 13339

15 4601 5229 5985 6262 6914 7261 8547 10307 11721 13030 14339

16 5142 5812 6614 6908 7596 7962 9312 11152 12624 13983 15338

17 5697 6408 7255 7564 8288 8672 10085 12002 13531 14937 16338

18 6265 7015 7906 8231 8989 9390 10865 12857 14440 15893 17338

19 6844 7633 8567 8907 9698 10117 11651 13716 15352 16850 18338

20 7434 8260 9237 9591 10415 10851 12443 14578 16266 17809 19337

21 8034 8897 9915 10283 11140 11591 13240 15445 17182 18768 20337

22 8643 9542 10600 10982 11870 12338 14041 16314 18101 19729 21337

23 9260 10196 11293 11689 12607 13091 14848 17187 19021 20690 22337

24 9886 10856 11992 12401 13350 13848 15659 18062 19943 21652 23337

25 10520 11524 12697 13120 14098 14611 16473 18940 20867 22616 24337

26 11160 12198 13409 13844 14851 15379 17292 19820 21792 23579 25336

27 11808 12878 14125 14573 15609 16151 18114 20703 22719 24544 26336

28 12461 13565 14847 15308 16371 16928 18939 21588 23647 25509 27336

29 13121 14256 15574 16047 17138 17708 19768 22475 24577 26475 28336

30 13787 14953 16306 16791 17908 18493 20599 23364 25508 27442 29336

31 14458 15655 17042 17539 18683 19281 21434 24255 26440 28409 30336

60 35534 37485 39699 40482 42266 43188 46459 50641 53809 56620 59335

70 43275 45442 47893 48758 50724 51739 55329 59898 63346 66396 69334

120 83852 86923 90367 91573 94303 95705 100624 106806 111419 115465 119334



Tabla Ndeg42



v

0250 0200 0150 0125 0100 0050 0025 0020 0010 0005

1 1323 1642 2072 2354 2706 3841 5024 5412 6635 7879

2 2773 3219 3794 4159 4605 5991 7378 7824 9210 10597

3 4108 4642 5317 5739 6251 7815 9348 9837 11345 12838

4 5385 5989 6745 7214 7779 9488 11143 11668 13277 14860

5 6626 7289 8115 8625 9236 11070 12832 13388 15086 16750

6 7841 8558 9446 9992 10645 12592 14449 15033 16812 18548

7 9037 9803 10748 11326 12017 14067 16013 16622 18475 20278

8 10219 11030 12027 12636 13362 15507 17535 18168 20090 21955

9 11389 12242 13288 13926 14684 16919 19023 19679 21666 23589

10 12549 13442 14534 15198 15987 18307 20483 21161 23209 25188

11 13701 14631 15767 16457 17275 19675 21920 22618 24725 26757

12 14845 15812 16989 17703 18549 21026 23337 24054 26217 28300

13 15984 16985 18202 18939 19812 22362 24736 25471 27688 29819

14 17117 18151 19406 20166 21064 23685 26119 26873 29141 31319

15 18245 19311 20603 21384 22307 24996 27488 28259 30578 32801

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18 21605 22760 24155 24997 25989 28869 31526 32346 34805 37156

19 22718 23900 25329 26189 27204 30144 32852 33687 36191 38582

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120 130055 132806 136062 137990 140233 146567 152211 153918 158950 163648



Tabla Ndeg51



v1

v2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

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0050 2 1851 1900 1916 1925 1930 1933 1935 1937 1938 1940

0025 3851 3900 3917 3925 3930 3933 3936 3937 3939 3940

0010 9850 9900 9916 9925 9930 9933 9936 9938 9939 9940

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0010 965 721 622 567 532 507 489 474 463 454

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0050 12 475 389 349 326 311 300 291 285 280 275

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Tabla Ndeg52



v1

v2 12 15 20 24 30 40 50 60 70 120

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0005 623 603 583 573 562 552 545 541 538 530

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0050 11 279 272 265 261 257 253 251 249 248 245

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0005 491 472 453 443 433 423 417 412 409 401



Tabla Ndeg53



v1

v2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0050 13 47 38 34 32 30 29 28 28 27 27

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0025 534 397 339 305 283 267 255 246 238 232

0010 717 506 420 372 341 319 302 289 278 270

0005 863 590 483 423 385 358 338 322 309 299

0050 60 400 315 276 253 237 225 217 210 204 199

0025 529 393 334 301 279 263 251 241 233 227

0010 708 498 413 365 334 312 295 282 272 263

0005 849 579 473 414 376 349 329 313 301 290

0050 70 398 313 274 250 235 223 214 207 202 197

0025 525 389 331 297 275 259 247 238 230 224

0010 701 492 407 360 329 307 291 278 267 259

0005 840 572 466 408 370 343 323 308 295 285

0050 120 392 307 268 245 229 218 209 202 196 191

0025 515 380 323 289 267 252 239 230 222 216

0010 685 479 395 348 317 296 279 266 256 247

0005 818 554 450 392 355 328 309 293 281 271



Tabla Ndeg54



v1

v2 12 15 20 24 30 40 50 60 70 120

0050 13 26 25 25 24 24 23 23 23 23 23

0025 32 31 29 29 28 28 27 27 27 27

0010 40 38 37 36 35 34 34 33 33 33

0005 46 45 43 42 41 40 39 39 38 38

0050 14 253 246 239 235 231 227 224 222 221 218

0025 305 295 284 279 273 267 264 261 260 255

0010 380 366 351 343 335 327 322 318 316 309

0005 443 425 406 396 386 376 370 366 362 355

0050 15 248 240 233 229 225 220 218 216 215 211

0025 296 286 276 270 264 259 255 252 251 246

0010 367 352 337 329 321 313 308 305 302 296

0005 425 407 388 379 369 359 352 348 345 337

0050 20 228 220 212 208 204 199 197 195 193 190

0025 268 257 246 241 235 229 225 222 220 216

0010 323 309 294 286 278 269 264 261 258 252

0005 368 350 332 322 312 302 296 292 288 281

0050 24 218 211 203 198 194 189 186 184 183 179

0025 254 244 233 227 221 215 211 208 206 201

0010 303 289 274 266 258 249 244 240 238 231

0005 342 325 306 297 287 277 270 266 263 255

0050 30 209 201 193 189 184 179 176 174 172 168

0025 241 231 220 214 207 201 197 194 192 187

0010 284 270 255 247 239 230 225 221 218 211

0005 318 301 282 273 263 252 246 242 238 230

0050 40 200 192 184 179 174 169 166 164 162 158

0025 229 218 207 201 194 188 183 180 178 172

0010 266 252 237 229 220 211 206 202 199 192

0005 295 278 260 250 240 230 223 218 215 206

0050 45 197 189 181 176 171 166 163 160 159 154

0025 225 214 203 196 190 183 179 176 174 168

0010 261 246 231 223 214 205 200 196 193 185

0005 288 271 253 243 233 222 216 211 208 199

0050 50 195 187 178 174 169 163 160 158 156 151

0025 222 211 199 193 187 180 175 172 170 164

0010 256 242 227 218 210 201 195 191 188 180

0005 282 265 247 237 227 216 210 205 202 193

0050 60 192 184 175 170 165 159 156 153 152 147

0025 217 206 194 188 182 174 170 167 164 158

0010 250 235 220 212 203 194 188 184 181 173

0005 274 257 239 229 219 208 201 196 193 183

0050 70 189 181 172 167 162 157 153 150 149 144

0025 214 203 191 185 178 171 166 163 160 154

0010 245 231 215 207 198 189 183 178 175 167

0005 268 251 233 223 213 202 195 190 186 177

0050 120 183 175 166 161 155 150 146 143 141 135

0025 205 194 182 176 169 161 156 153 150 143

0010 234 219 203 195 186 176 170 166 162 153

0005 254 237 219 209 198 187 180 175 171 161
























(Hasta Weibull )


8 06-05-13 11-05-13


















Seminario taller



PF = 12 (PC1) + 14 (PC2) + 14 (PC3) + 15 (PC4) + 20 (TF1) + 25 (EB)













Logro de la unidad



11 Definiciones

Estadiacutestica





Poblacioacuten



Ejemplo




Muestra










12 Tipos de datos




13 Variables


Ejercicio







Nominal




Ordinal






Intervalo







Razoacuten











Discretas

Continuas

Variable discreta





Variable continua





Ejercicio






















































Ejemplo


categoriacutea pe

Dominio f h p

compe 285 0570 570

orgpe 106 0212 212

edupe 64 0128 128

gobpe 26 0052 52

netpe 3 0006 06

Otros 16 0032 32

Total 500






Ejercicio








Ejemplo







Otros 5

Deformaciones 15












MS Word 250

MS Excel 80

MS Power Point 75

Access 30

Outlook 10

Otros 55

Total 500






Carpinteros 1057 13





Vidrieros 42 14













Quejas hi




Marketing 0148


Otros 0025






Impuestos 12042

Tasas 26530

Contribuciones 120

Venta de bienes 845




Transferencias 734

Otros 1132





Nazca


Columnas cortas 10



Otros 10

Piso blando 5















Ejemplo



2 3 3 0 1 2 1 2 2 4 3 2 0 1 2

1 3 3 2 1 0 1 2 3 2 4 1 0 1 2


X fi hi Fi Hi




Ejercicio




Calcule






Marca de clase


2


ix

Ejercicio




008 015 019 071 075 082 084 092 096 116 117 119 123 14 147

159 161 201 216 238 242 307 322 353 376 394 45 459 475 541


R =


k =


w =



1 ndash

2 ndash

3 ndash

4 ndash

5 ndash

6 ndash









Ejercicio









de 1993)


3 4 3 3 1 4 1 3 2 3

1 1 4 2 3 3 2 6 1 1

3 3 2 2 2 2 1 3 2 1

6 3 1 2 2 3 2 2 4 2




H3


con fallas fi pi Hi

1 0 30

2 1 10

3 2 5

4 3 3

5 4 2



520 947 951 975 1025 1041 1060 1252 1256 1460

1468 1586 1587 1626 1662 1662 1662 1662 1682 1697

1960 2049 2049 2049 2049 2083 2152 2175 2181 2181

2181 2181 2209 2262 2350 2397 2422 2596 2616 2772

2865 2870 2978 3139 3150 3162 3386 3599 3631 3983






1 0 100 2 12

2 100 200 4 16

3 200 300 22 25

4 300 400 26 10

5 400 500 20 4

6 500 600 5 2

7 600 700 1 1










998 984 1003 919 935 964

805 984 1005 851 936 970

872 987 1005 865 937 975

872 987 1012 868 939 985

880 995 1015 882 943 1001

955 997 1015 882 948 1003

970 998 1026 883 949 1005

973 1000 1026 887 954 1009

980 1001 1029 914 960 1010

980 1002 1055 927 963 1012











286266246226206186166

50

40

30

20

10

0

Ventas

Fre

cu

en

cia

acu

mu

lad

a

5049

45

36

8

2










la expresioacuten

2


Logro de la unidad



de su especialidad


Definiciones

Estadiacutestico


promedio muestral

Paraacutemetro


Ejemplo







Cuantiles

Percentil







d parte decimal

Decil


Cuartil


dEnk

i 100

)1(






Ejemplo


23 y 24

Ejemplo



evacuacioacuten

315 325 325 334 339 340 356 356 359 359

363 364 369 370 373 373 374 375 380 389

392 393 394 397 402 403 415 424 428 445











536 529 558 565 557 553 562 529 544 534 579 510

527 539 542 547 563 534 546 530 575 568 585













0045 0036 0045 0049 0064 007 0079 0088 0091 0118 013 0136

0136 0136 0145 0179 0182 0182 0194 0209 0209 0227 0242 0258

0258 0258 0291 0327 0333 0336 0361 0379 0394 0412 0445 0506

0554 0567 0579 06 067 0912 1055 107 1267 1639 1894 3046

3888 3985 417 8788











x

x

n

i

i 1


xf

x

k

i

ii 1


1

k

i i

i

f x

xn

Ejercicio


hilos de lino

152 158 162 185 194 206 212 219 254 273 283 295 325 337 369


Ejercicio


x fi fixi

0 13

1 6

2 8

3 6

4 2


Ejercicio



rsquoi

1 [002 - 081[ 6

2 [081 - 160[ 13

3 [160 - 239[ 4

4 [239 - 318[ 3

5 [318 - 397[ 2

6 [397 - 476] 2

Mediana



Ejemplo


984 998 998 999 1000 1000 1005 1012 1026 2500


Ejemplo





0 50

1 60

2 25

3 10

4 5

Moda


Ejemplo


10 10 10 10 10 12 12 12 12 12 12 12 12 14 14 15 15 15 18 18






Media=Mediana=Moda










de 1993)


3 4 3 3 1 4 1 3 2 3

1 1 4 2 3 3 2 6 1 1

3 3 2 2 2 2 1 3 2 1

6 3 1 2 2 3 2 2 4 2










35

130

70

155

0

20

40

60

80

100

120

140

2 4 6 8 10 12 14


Nuacute

mero

de p

art

iacutecu

las



Rango




Varianza




2


N

xN

i

i

1

2

2


1

1

2

2

n

xx

s

n

i

i


2

2 1

1

k

i i

i

f x x

sn

2

2 1

1

k

i i

i

f x x

sn




Ejemplo



35 73 30 15 36 60 47 19 15 38 10 35 31 21 22 20


Ejemplo


de 100 diacuteas

xi fi

0 10

1 15

2 30

3 35

4 10

100

Ejemplo




li fi( x

lindash Media)

2

1 [152 ndash 172[ 12 162 1944 16133

2 [172 ndash 192[ 13 182 2366 3611

3 [192 ndash 212[ 20 202 4040 222

4 [212 ndash 232[ 16 222 3552 8711

5 [232 ndash 252] 5 242 1210 9389

66 13112 38067






100s

CVx



Ejemplo



Tecnologiacutea LAN





108 111 3

111 114 35

114 117 66

117 120 57

120 123 29

123 126 16

126 129 9

129 132 3

132 135 2

Total 220







regenta






100 ndash 200 5

200 ndash 300 14

300 ndash 400 21

400 ndash 500 7

500 ndash 600 3

Total 50


20 2

40 8

60 25

80 20

100 8

Total 63

Ventas Azufral 120 200 100 50 45 120 100 100 90 75 100 210 100 50 120











[ 69220 ndash 70436 [ 14

[ 70436 ndash 71652 [ 5

[ 71652 ndash 72868 [ 6

[ 72868 ndash 74084 [ 8

[ 74084 ndash 75300 [ 7

[ 75300 ndash 76516 [ 17

[ 76516 ndash 77732 [ 5

Total 62



Traccioacuten 62 64520 2983 8899 61220 69856











Rango intercuartil

257513 PP QQRIC























Plomo Cobre Hierro

0010 0022 0039 004 007 009 011 014 018

0015 0030 0043 004 007 01 011 015 019

0015 0031 0047 004 007 01 012 015 020

0016 0031 0049 004 007 012 012 016 022

0016 0035 0055 004 007 014 013 017 023

0019 0035 0060 005 008 016 013 017 025

0020 0036 0073 005 008 018 014 017 033

0021 0038 005 008 014 017







10 ndash 20 2 2 - 4 5

20 ndash 30 8 4 - 6 14

30 ndash 40 25 6 - 8 21

40 ndash 50 9 8 - 10 7

50 ndash 60 6 10 - 12 3










Logro de la unidad









Ejemplos

1Lanzar un dado








Ejemplos

1= 123456

2= cccsscss


4 = t t ge 0


Ejercicio



Ejercicio





33 Evento



ABCetc

Evento simple


Ejemplos




Evento compuesto


Ejemplos






34 Probabilidad






siguiente axioma

0 le P(A)le 1




debe ser igual a 1

kPr(E )=1 i=123k

ii=1






Ejercicio


Ejercicio






( )













obtener 1x ( 1x )

























marca A



Interseccioacuten



siacutembolo BA

Unioacuten



BA

Ejemplo


Sean los eventos







cA A =Ω


P( ) P( ) 1cA A





P( )P( ) 0

P( )P

0 P( ) 0

A BB

BA B

B

Ejemplo









Total 39 15 36 90









P( ) P( ) P( ) P( )A B A B A B

Ejercicio








P( ) P( ) P( )A B A B

Ejercicio


P(AcB)



P( ) P( | )P( ) P( )P( )A B A B B B A A

Ejercicio





P( ) P( )A B A





P( ) P( )P( )A B A B


1 2 1 2P( ) P( )P( ) P( )k kE E E E E E

Ejemplo








Probabilidad Total




Teorema de Bayes



P( )P( | )

P( )

ii

A EA E

E

para ki 21

1 1 2 2

P( )P( )P( | )

P( )P( ) P( )P( ) P( )P( )

i ii

k k

A E AA E

A E A A E A A E A

Ejercicio






crecimiento



















continuacioacuten

Tecnologiacutea

LAN WAN





Aire 3 4 4 3 3 6 4 1 28

Total 40 50 40 20 40 50 50 40 330



coaxiales



LAN








































funcione



diagrama siguiente




funcione







Logro de la unidad








sobre quiacutemica










hidrostaacutetica




Ejemplo


siguiente

S=cc cs sc ss












siguiente manera

)( xXPxf


1)(0 xf

1)(Rango

X

xf

Ejercicio



bullbullCCCC

bullbullCS CS

bullbullSC SC

bullbullSSSS00

11

22

SSRR

bullbullCCCC

bullbullCS CS

bullbullSC SC

bullbullSSSS00

11

22bullbullCCCC

bullbullCS CS

bullbullSC SC

bullbullSSSS00

11

22

00

11

22

SSRR


Ejercicio






Ejercicios



x 0 2 4 6

f(x) 025 k 010 050






x 0 1 2 3 4

f(x) a 037 016 b 001













de rock











computarizada













x

xxfXERango

)()(




x

xfxgxgERango

)()()(



ccE

XcEcXE




222 )( XE



2

Ejercicio



x 0 2 4 6

f(x) 025 k 010 050


Ejercicios




x 5 6 7 8 9 10

f(x) 005 015 030 025 020 005









es la siguiente





























X 0 1 2 3 4

f(x) 041 037 k 005 001







rollo



X 0 1 2 3

P(X = x) 038 024 k 008






Ejemplo



Ejemplo 2


peso


aleatoria


aleatoria



0)( xf

1)( dxxf

b

a

dxxfbXaP )()(

Ejercicio


casootro

xcxxf

0

33)(


f(x)

a b

f(x)

a b




probabilidad

x

dttfxXPxF )()(



dx

xdFxf

)()(

Ejercicio


casootro

xcxxf

0

30)(






dxxxfXE )(

( ) ( )E g x g x f x dx




E(cX)= cE(X)





es

222 )( XE

Ejemplo


densidad

0

55)25(500

3

)(

2

cc

xxxf



Ejercicios


0

20)(

cc

xcxxf









0

08

1

)(8

cc

xexf

x




823)(

2xxxU





25x025

x3)x(f

3

2






casootro0

4x08

x)x(f










F

EX


10)( 1 xqpxf xx


qppqXVpXE 12




todas las pruebas




( ) 1 01 2 n xn x




2 1E X np V X np p

Ejemplo










( ) max[0 ( )]min( )r N r

x n x

N

n


C


n


Media N

rnXE

Varianza

112

N

nN

N

r

N

rnXV

Ejercicio













3210

)(

xx

exXPxf

x


XVXE 2

Ejercicio





Ejercicio






Ejercicios









1



unos de otros












rentable



















proceso de Poisson





proceso de Poisson



automoacuteviles



segundo



automoacuteviles











defectuosos





















de densidad es

bxaab

xf

1



ab

cddXcP

)(


2

baXE

y

12

2

2 abXV

Ejemplo





f(x)

f (x)

0 a k1 k2 b x

1 (b-a)

f(x)

f (x)

0 a k1 k2 b x

1 (b-a)





















intelectual etc


xexf

x2

2

1

2

1)(








XZ






Ejercicio







que ser reemplazado





1 1 2 2 k kY c X c X c X


222

1

2

111 ~ kkkk ccccNY

Ejercicio

SeanX1 ~ N(1 1

2

1 6) y X2 ~ N(2 4

2



Y = X1 + X2

Y = X1 ndash X2

Y = 4X1 ndash 6 X2

Ejercicio








menor de 20 minutos




Ejercicios
















cc0

d2x5

d2si

d8

5

)x(f

















de leva


de leva























segundos
























normalmente









0

0)()(

1

cc

xex

xf

x


22 XVXE



casootro 0

0 e1

)(

1

xβxf

x

Se denota X~exp( )


22 XVXE

f(x)

0 x

f(x)

0 x


Ejemplo



0 si 0

0 si e20

1

)(20

1

x

xxf

x










0

0)(

1

cc

xexxf

x


01)( xexXPxF x


12

1

222 XV

XE

Ejemplo






Ejercicios



probabilidad es

0

012

1

)(12

cc

xexf

x





0

0)(8000

cc

xcexf

x




2

2

80002

400020

XXC






0xparae50

1)x(f

x50

1







de probabilidad

casootroen

xsiexf

x

0

050)(

50




del costo





propiedades
































Logro de la unidad













n

i

iXn

X1


poblacional



x

2 2s

p p

21 21 xx

2

2

2

1 22

21 ss

21 pp 21ˆˆ pp





IC(θ)=(LI LS)








Muestra 1

Muestra 2

Muestra 3

Muestra 4

hellip

Muestra 100







micro








X



nzx

nzx

2121


04

03

02

01

00

De

nsid

ad

0






denotado por ME= n

z

)21(

Luego



1-α

α2 α2 Z(1-α2)

Z(α2)

zo -zo

X

micro desconocida

conocida

n

ME ME






Ejemplo

















X S



n

Stx

n

Stx nn 1212


04

03

02

01

00

De

nsid

ad

-to to0


T(1-α2 n-1)

α2 α2 T(α2 n-1)

X

micro desconocida

desconocida

n

ME ME






Ejemplo







Ejemplo



009678 007149 002216 002844 000509 002346 006387

003786 006458 007758 005297 003282 006952 008588

005720 000085 007407 002497 004557 003753 004897

003336 009612 009007 005633 007776 007836 007373

008864 004475 002384 002123 005981 003668 000019

008866 003658 005978 003543 003159 007735 006618

006675 001867 003198 007262 001231 004838 001650

008083 002441 005767 00797 006182 005700 008941

005175 007922 000943 003686 001097 008949 000264

007271 007979 001333 002791 008812 006969 004160











probar






2

21

e

zn

2

21

e

Szn


Ejemplo




Solucioacuten

Ejemplo




2980 3120 3100 3059 2985 2998 3020 3100 2988 3010


error de 50 psi


Ejercicios



alambres

0140 0138 0143 0142 0144 0137 0135 0140 0136 0142 0138 0140















minutos












16 5 21 19 10 5 8 2 7 2 4 9







2212 1839 3152 2608 2456 2747 2913 1265 2346 2333 1909 2333











x eacutexitos n

xp ˆ



n

ppzpp

n

ppzp

)ˆ1(ˆˆ

)ˆ1(ˆˆ

2121


04

03

02

01

00

De

nsid

ad

0







denotado por ME= n

ppz

)ˆ1(ˆ)21(

Luego y


n

ME ME

p LI= p

- ME




Nuacutemero de

eacutexitos

Nuacutemero de

fracasos



LI= p

+ ME

1-α

α2 α2 Z(1-α2)

Z(α2)

zo -zo


Ejemplo
























SiacuteNo

70

60

50

40

30

20

10

0

Co

nte

o

53

67









2

2

21 1

e

ppzn




2

2

21

4e

zn

Ejemplo




Ejemplo





Preguntas




Ejercicios












confianza del 98







Explique




resultado

Joyeriacutea 62

Deportes 50

Muacutesica 47

Ropa 16 Hogar 10




Conceptos generales













Tipos de errores





Error tipo I





Error tipo II





Ejercicio







2

2

2121

21 ppp

01

00

01

00

01

00

H

H

H

H

H

H








Hipoacutetesis


00 H 00 H 00 H

01 H 01 H 01 H


Zn

xz ~

0

c


Hipoacutetesis


00 H 00 H 00 H

01 H 01 H 01 H


1

0

c ~

nt

nS

xt


Ejercicio






Ejercicio





97 128 87 134 83 117 107 81 91 105




Ejercicios








es respectivamente

301

327

225

275

289

277

298

289

314

304

270

312

243

264

228

294

223

291

334

235


quiacutemico



Hipoacutetesis


00 H pp 00 H pp 00 H pp

01 H pp 01 H pp 01 H pp


Z

n

pp

ppz ~

)1(

ˆ

00

0c

Ejercicio









Siacute No

10 290 300



Ejercicios









Hipoacutetesis


2

0

2

0 H 2

0

2

0 H 2

0

2

0 H

2

0

2

1 H 2

0

2

1 H 2

0

2

1 H


2

12

0

22

c ~)1(

n

Sn

Ejemplo






Ejercicio



































Hipoacutetesis


2

2

2

10 H 2

2

2

10 H 2

2

2

10 H

2

2

2

11 H 2

2

2

11 H 2

2

2

11 H


112

2

2

1c 21

~ nnFS

SF

Ejercicio






Media 5717 57225

Varianza 1451566667 1533071429

Observaciones 10 8






Hipoacutetesis


k 210 H k 210 H k 210 H

k 211 H k 211 H k 211 H


2

21

2

21

21~

11

nn

p

c t

nnS

kxxt

2

)1()1(

21

2

22

2

112

nn

SnSnS p

Ejercicio





continuacioacuten

Lugar antiguo 998 1026 1005 1029 1003 905 1055 1026 997 987

Lugar nuevo 919 963 1010 970 1009 960 1005 1012 949 937



Lugar antiguo 10 0261312 0399484 0804423

Lugar nuevo 10 0221012 0337876 0680364






Media del

Error


Lugar antiguo 10 10031 0399 013

Lugar nuevo 10 9734 0338 011









lugares



Hipoacutetesis


k 210 H k 210 H k 210 H

k 211 H k 211 H k 211 H


t

n

S

n

S

kxxtc ~

2

2

2

1

2

1

21

11 2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

2

2

2

1

2

1

n

n

S

n

n

S

n

S

n

S

Ejercicio



Laboratorio 1 2870 2382 3143 3659 3620 3887 2929 2903

Laboratorio 2 3076 3380 3494 3074 3162 3269





Laboratorio 1 8 316945 506616 116039

Laboratorio 2 6 100006 170561 48797




Media del

Error










Hipoacutetesis


210 H pp 210 H pp 210 H pp

210 H pp 210 H pp 210 H pp


Z

nnpp

ppzc

21

21

111

ˆˆ

21

21

21

2211ˆˆ

nn

xx

nn

pnpnp

Ejercicio




Material 1 45 185 230





Ejercicio














TURNO

PRODUCTO

A B



Tarde 5 150 25 200







Logro de la unidad



relacionan

61 Bondad de ajuste





2

2 2

( 1)

1

~k

i i

c k m

i i

o e

e

i ie np







Ejemplo


X 1 2 3 4 5 6

O 28 36 36 30 27 23




Hipoacutetesis



Ejemplo






Frecuencia


Frecuencia

esperada ie

2

i i

i

o e

e

0 24

1 35

2 21

3 10

4 5

5 5

Total



Hipoacutetesis



Ejemplo




Observada io


esperada ie

2

i i

i

o e

e

0

1

2

3

4

5

6

Total


Ejercicios












Frecuencia 140 270 280 180 90 40














Clientes 20 15 12 8 11 16 18





Turno 1 2 3 4






resultados


Ndeg cajas 20 140 260 300 200 80




Hipoacutetesis



Ejemplo



12 15 16 18 19 14 10 15 16 14

225200175150125100

99

95

90

80

70

60

50

40

30

20

10

5

1

C1

Po

rce

nta

je

Media 149

DesvEst 2644

N 10

KS 0117

Valor P gt0150










contingenciartimesc


r

i

c

j

cr

ij

ijij

ce

eo

1 1

2

11

2

2 ~)(

n

nne

ji

ij

Factor 2


Factor 1

Fila 1

Fila 2

Filar

Hipoacutetesis



Ejercicio







Promedio Sobre el

promedio



Promedio 28 79 60 167

Muy bueno 9 49 63 121

Total 60 188 152 400




Valores esperados


promedio Promedio

Sobre el promedio



Promedio 60167400 167


Total 60 188 152 400


Ejercicios



Selectividad

Fidelidad

Baja Promedio Alta

Baja 7 12 31

Promedio 35 54 18

Alta 15 13 5


selectividad






Tipo de crimen

Distrito

I II III

Asalto 162 310 258

Robo 118 196 193

Hurto 451 996 458

Homicidio 18 25 10





Logro de la unidad

























recta

0 1i i iY X e

Variable respuesta


(independiente)

i = 1 2hellip n






3025201510

9

8

7

6

5

4

X

Y

X vs Y

1614121008060402

1600

1400

1200

1000

800

600

400

200

0

X

Y

X vs Y

50454035302520

60

50

40

30

20

X

Y

X vs Y

12001000800600400200

140

130

120

110

100

90

80

70

60

50

X

Y

X vs Y

Ejercicio



Resistencia x 22 21 31 34 37 43 34 34 42 51 56 59

Tiempo de falla y 20 22 26 28 30 32 33 35 37 42 45 47


Cuando X crece

Y crece

Modelo lineal

Buen ajuste

Modelo lineal

Buen ajuste

Cuando X crece

Y decrece

Variables no

relacionadas

Variables no

relacionadas


6050403020

50

45

40

35

30

25

20

Resistencia(X)

Tie

mp

o (

Y)









Es decir

n

i

ii yy1




n

i

i

n

i

ii

n

i

i

n

i

i

n

i

i

xxyx

xny

1

2

1

1

0

1

1

10

1




2

11

2

111

1ˆ

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

n

i

i

xxn

yxyxn

y xy 10ˆˆ



donde



Ejercicio




Coef


Constante 6797 2652 256 0028

Resistencia(X) 067983 006570 1035 0000


1

0











1





o



5



Fuente GL SC CM F P

Regresioacuten 1 74532 74532 10709 0000


Total 11 81492

0H

0H

11

10

CMError

CMRegFcal

09

08

07

06

05

04

03

02

01

00

X

De

nsit

y

0


α ZNR

A

ZR

Fcrit










2 SCReg100

SCTotR

Ejercicio


Salida del Minitab

Coef


Constante 6797 2652 256 0028

Resistencia(X) 06798 00657 1035 0000


R2





CMEn

SCES

2

Ejercicio


S




Xe Y









-10 -065 -02 02 065 10


Ejercicio


r





siguiente



0ˆsi

0ˆsi

1

2

1

2

R

Rr


Salida del Minitab



Coef


Constante 2976 1473 202 0074




Fuente GL SC CM F P



Total ___ 28876



3025201510

9

8

7

6

5

4

Temperatura

Vid

a u

til




1

0


Ho

H1


R2

r





0 2 2 0 0 0 2 2 0ˆ ˆ ˆ ÊE EEn nt t

1 2 2 1 0 1 2 2 1ˆ ˆ ˆ ÊE EEn nt t



1

( 2)

1

ˆ~

ÊEn

kt t



xx

nXYxx

nS

xx

nSty

S

xx

nSty

2

0

)22(0

2

0

)22(0

1ˆ

1ˆ

0


xx

nXYxx

nS

xx

nSty

S

xx

nSty

2

0

)22(0ˆ

2

0

)22(0

11ˆ

11ˆ

0








300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1400 1600


0065 008 0095 0115 013 015 0175 0205 023 027 0346 0436



1600140012001000800600400200

045

040

035

030

025

020

015

010

005

Densidad

Co

nd

ucti

vid

ad




Coef


Constante -0049 001726 -286 0017

Densidad 00003 000002 1524



Fuente GL SC CM F P

Regresioacuten 1


Total 11 014085



1



R2

r








005000250000-0025-0050

99

95

90

80

70

60

50

40

30

20

10

5

1

RESI

Po

rce

nta

je

Mean -462593E-18

StDev 002298

N 12

KS 0182

P-Value gt0150






siguientes

Temperatura (oC) 18 18 18 22 22 26 30 30 34





Coef


Constante 218400 7502 2911 0000




Fuente GL SC MC F P

Regresioacuten 1 864685 864685 32623 0000


Total 8 883239




9 340 2400 3324 341 -924 -240R



Nueva Ajuste


1 8225 173 (7816 8635) (6941 9510)


Nueva Temperatura

Obs (degC)

1 250


1



R2

r








100500-50-100

99

95

90

80

70

60

50

40

30

20

10

5

1

RESI

Po

rce

nta

je

Mean -353692E-13

StDev 4816

N 9

KS 0180

P-Value gt0150




Logro de la unidad










el anaacutelisis


1

0


1






120100806040200

400

350

300

250

200

150

100

50

X

Y


2

0 1 2Y X X






resultados

Rapidez(Kmh) 35 50 55 60 65 80 95 110



vehiacuteculo




Coef


Constante 17064 8107 210 0089

RAPIDEZ -05103 02357 -216 0083

RAPIDEZ2 0013139 0001584 830 0000



Fuente GL SC CM F P

Regresioacuten 2 90539 45269 83846 0000


Total 7 90809


Fuente GL SC CM F P

RAPIDEZ 1 86823 2530 4687 0083

RAPIDEZ2 1 3716 37160 68827 0000











216520 1300

239955 375

177980 2500

233675 975

176530 2200

205350 1800

241440 600

220050 1250

265420 200

175370 2150





Coef


Constante 264858 8125 3260 0000

Antiguumledad -3630 1450 -250 0041

Antiguedad2 -00495 05265 -009 0928



Fuente GL SC CM F P

Regresioacuten 2 831630 415815 6648 0000


Total 9 875413



Fuente GL SC CM F P

Lineal 1 831575 39184 62647 004






)10(N~n

xz

_

)1n(

_

t~nS

xt

nz x)(IC 21

_

n

st x)(IC 21n(

_

2 2

)2-1 1n(

22

2

)2 1n(

22 S)1n(

)(LSCS)1n(

)(LIC

2

)1n(2

22 X~

S)1n(

p p1qn

)p1(pzp)p(IC )21(

)10(N~

n

)p1(p

ppz

21

Varianzas conocidas

2

2

2

1

2

1)21(2121

nnz)xx()(IC

)10(N~

nn

)()xx(z

2

22

1

21

2121


2nn

S)1n(S)1n(Sdonde

n

1

n

1St)xx()(IC

21

2

22

2

112

p

21

2

p)2 2nn(

_

2

_

1 2121

)2nn(

21

2

p

21

_

2

_

1

21t~

n

1

n

1S

)()xx(t




2

2

2

1

2

1

)2v(

_

2

_

1n

S

n

St)xx()(IC

21 )v(

2

22

1

21

2121 t~

n

S

n

S

)()xx(t

1n

n

S

1n

n

S

n

S

n

S

v

2

2

2

22

1

2

1

21

2

2

22

1

21

D n

st d)D(IC d

)21n( 1n

d

t~nS

Ddt


22

2 1 )vv2(2

2

212

221

)vv2(22

212

221

12

21

fS

S)(LSC

f

1

S

S)(LIC

1nv 11 1nv 22

11

2

2

2

1

2

2

2

1

21~

1 nnF

S

SF

21 pp

22

11

2

22

1

11

212121

2

22

1

11

212121

p1q

p1q

donde

n

qp

n

qpzpp)pp(LSC

n

qp

n

qpzpp)pp(LIC

a) 0ppH 210

)10(N~

n

1

n

1)p1(p

ppz

21

21

83 21

2211

nn

pnpnpdonde

b) KppH 210 y K 0

)10(N~

n

qp

n

qp

K)pp(z

2

22

1

11

21



PRUEBA JI CUADRADO

k

1i

2)1c)(1r(

i

2ii2 X

e

)eo(X

lg)1mk(vconX~e

)eo(X 2

k

1i i

2

ii2


k

1i

2

i

2

ii2 Xe

50eoX



x np)X(E )p1(np)X(V

Poisson )(P~X 210xx

e)xX(P

x

)X(E )X(V


xˆyˆ

xxn

yxyxn

ˆ

10

2n

1i

i

n

1i

2i

n

1i

i

n

1i

ii

n

1i

i

1


n

1i

2i

n

1i

2i

n

1i

ii

)yy(n

1)xx(

n

1

)yy)(xx(n

1

SS

)YXcov(r

yx

Cuadrados medios

pn

SSECME

1p

SSRCMR

donde



Prueba conjunta

)1(~ pnpFCME

CMRF

Inferencia para 0

xx

2i

20nS

xstˆ

)2(

2

00 ~ˆ

n

xx

i

t

nS

xs

t


a) 0H0

)2n(2

t~r1

2nrt

b) 00 H

)10(N~)1)(r1(

)1)(r1(ln

2

3nZ

0

0



Suma de cuadrados

SSRSSTSSE

n

xxˆSSR

n

yySST

2

i2i

21

2

i2i


SST

SSRr 2


pn

1n)r1(1rr 222

correg

Inferencia para 1

xx

nS

st 221

ˆ

)(1111 ~

ˆˆ

1

pn

b

xx

tS

S

st

donde

2

2

1

2

2

2

1ˆ

)(

xxx

i

i

ixx

SnSSR

S

xxn

xxS

CMEpn

SSEsss xye

Pronoacutesticos

Valor medio

xx

20

)22n(0S

)xx(

n

1sty

Valor individual

xx

20

)22n(0S

)xx(

n

11sty

Modelos no lineales



01


m

2

210 xˆxˆxˆˆy~

Tabla Ndeg 21



Z -009 -008 -007 -006 -005 -004 -003 -002 -001 -000

-39 0000033 0000034 0000036 0000037 0000039 0000041 0000042 0000044 0000046 0000048

-38 0000050 0000052 0000054 0000057 0000059 0000062 0000064 0000067 0000069 0000072

-37 0000075 0000078 0000082 0000085 0000088 0000092 0000096 0000100 0000104 0000108

-36 0000112 0000117 0000121 0000126 0000131 0000136 0000142 0000147 0000153 0000159

-35 0000165 0000172 0000178 0000185 0000193 0000200 0000208 0000216 0000224 0000233

-34 0000242 0000251 0000260 0000270 0000280 0000291 0000302 0000313 0000325 0000337

-33 0000349 0000362 0000376 0000390 0000404 0000419 0000434 0000450 0000466 0000483

-32 0000501 0000519 0000538 0000557 0000577 0000598 0000619 0000641 0000664 0000687

-31 0000711 0000736 0000762 0000789 0000816 0000845 0000874 0000904 0000935 0000968

-30 0001001 0001035 0001070 0001107 0001144 0001183 0001223 0001264 0001306 0001350

-29 000139 000144 000149 000154 000159 000164 000169 000175 000181 000187

-28 000193 000199 000205 000212 000219 000226 000233 000240 000248 000256

-27 000264 000272 000280 000289 000298 000307 000317 000326 000336 000347

-26 000357 000368 000379 000391 000402 000415 000427 000440 000453 000466

-25 000480 000494 000508 000523 000539 000554 000570 000587 000604 000621

-24 000639 000657 000676 000695 000714 000734 000755 000776 000798 000820

-23 000842 000866 000889 000914 000939 000964 000990 001017 001044 001072

-22 001101 001130 001160 001191 001222 001255 001287 001321 001355 001390

-21 001426 001463 001500 001539 001578 001618 001659 001700 001743 001786

-20 001831 001876 001923 001970 002018 002068 002118 002169 002222 002275

-19 002330 002385 002442 002500 002559 002619 002680 002743 002807 002872

-18 002938 003005 003074 003144 003216 003288 003362 003438 003515 003593

-17 003673 003754 003836 003920 004006 004093 004182 004272 004363 004457

-16 004551 004648 004746 004846 004947 005050 005155 005262 005370 005480

-15 005592 005705 005821 005938 006057 006178 006301 006426 006552 006681

-14 006811 006944 007078 007215 007353 007493 007636 007780 007927 008076

-13 008226 008379 008534 008691 008851 009012 009176 009342 009510 009680

-12 009853 010027 010204 010383 010565 010749 010935 011123 011314 011507

-11 011702 011900 012100 012302 012507 012714 012924 013136 013350 013567

-10 013786 014007 014231 014457 014686 014917 015151 015386 015625 015866

-09 016109 016354 016602 016853 017106 017361 017619 017879 018141 018406

-08 018673 018943 019215 019489 019766 020045 020327 020611 020897 021186

-07 021476 021770 022065 022363 022663 022965 023270 023576 023885 024196

-06 024510 024825 025143 025463 025785 026109 026435 026763 027093 027425

-05 027760 028096 028434 028774 029116 029460 029806 030153 030503 030854

-04 031207 031561 031918 032276 032636 032997 033360 033724 034090 034458

-03 034827 035197 035569 035942 036317 036693 037070 037448 037828 038209

-02 038591 038974 039358 039743 040129 040517 040905 041294 041683 042074

-01 042465 042858 043251 043644 044038 044433 044828 045224 045620 046017

-00 046414 046812 047210 047608 048006 048405 048803 049202 049601 050000



Tabla Ndeg 22



Z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009

00 050000 050399 050798 051197 051595 051994 052392 052790 053188 053586

01 053983 054380 054776 055172 055567 055962 056356 056749 057142 057535

02 057926 058317 058706 059095 059483 059871 060257 060642 061026 061409

03 061791 062172 062552 062930 063307 063683 064058 064431 064803 065173

04 065542 065910 066276 066640 067003 067364 067724 068082 068439 068793

05 069146 069497 069847 070194 070540 070884 071226 071566 071904 072240

06 072575 072907 073237 073565 073891 074215 074537 074857 075175 075490

07 075804 076115 076424 076730 077035 077337 077637 077935 078230 078524

08 078814 079103 079389 079673 079955 080234 080511 080785 081057 081327

09 081594 081859 082121 082381 082639 082894 083147 083398 083646 083891

10 084134 084375 084614 084849 085083 085314 085543 085769 085993 086214

11 086433 086650 086864 087076 087286 087493 087698 087900 088100 088298

12 088493 088686 088877 089065 089251 089435 089617 089796 089973 090147

13 090320 090490 090658 090824 090988 091149 091309 091466 091621 091774

14 091924 092073 092220 092364 092507 092647 092785 092922 093056 093189

15 093319 093448 093574 093699 093822 093943 094062 094179 094295 094408

16 094520 094630 094738 094845 094950 095053 095154 095254 095352 095449

17 095543 095637 095728 095818 095907 095994 096080 096164 096246 096327

18 096407 096485 096562 096638 096712 096784 096856 096926 096995 097062

19 097128 097193 097257 097320 097381 097441 097500 097558 097615 097670

20 097725 097778 097831 097882 097932 097982 098030 098077 098124 098169

21 098214 098257 098300 098341 098382 098422 098461 098500 098537 098574

22 098610 098645 098679 098713 098745 098778 098809 098840 098870 098899

23 098928 098956 098983 099010 099036 099061 099086 099111 099134 099158

24 099180 099202 099224 099245 099266 099286 099305 099324 099343 099361

25 099379 099396 099413 099430 099446 099461 099477 099492 099506 099520

26 099534 099547 099560 099573 099585 099598 099609 099621 099632 099643

27 099653 099664 099674 099683 099693 099702 099711 099720 099728 099736

28 099744 099752 099760 099767 099774 099781 099788 099795 099801 099807

29 099813 099819 099825 099831 099836 099841 099846 099851 099856 099861

30 0998650 0998694 0998736 0998777 0998817 0998856 0998893 0998930 0998965 0998999

31 0999032 0999065 0999096 0999126 0999155 0999184 0999211 0999238 0999264 0999289

32 0999313 0999336 0999359 0999381 0999402 0999423 0999443 0999462 0999481 0999499

33 0999517 0999534 0999550 0999566 0999581 0999596 0999610 0999624 0999638 0999651

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35 0999767 0999776 0999784 0999792 0999800 0999807 0999815 0999822 0999828 0999835

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38 0999928 0999931 0999933 0999936 0999938 0999941 0999943 0999946 0999948 0999950

39 0999952 0999954 0999956 0999958 0999959 0999961 0999963 0999964 0999966 0999967



Tabla Nordm 31



04 03 02 015 01 005 004 003 0025 002 0015 001 0005

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2 028868 061721 106066 138621 188562 291999 331976 389643 430265 484873 564278 696456 992484 2

3 027667 058439 097847 124978 163774 235336 260543 295051 318245 348191 389605 45407 584091 3

4 027072 056865 094096 118957 153321 213185 233287 260076 277645 299853 329763 374695 460409 4

5 026718 055943 091954 115577 147588 201505 219096 242158 257058 275651 300287 336493 403214 5

6 026483 055338 09057 113416 143976 194318 210431 231326 244691 261224 282893 314267 370743 6

7 026317 054911 089603 111916 141492 189458 204601 224088 236462 251675 271457 299795 349948 7

8 026192 054593 088889 110815 139682 185955 200415 218915 2306 244898 263381 289646 335539 8

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10 026018 054153 087906 109306 137218 181246 19481 212023 222814 235931 252748 276377 316927 10

11 025956 053994 087553 108767 136343 179588 192843 209614 220099 232814 249066 271808 310581 11

12 025903 053862 087261 108321 135622 178229 191231 207644 217881 230272 24607 2681 305454 12

13 025859 05375 087015 107947 135017 177093 189887 206004 216037 22816 243585 265031 301228 13

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16 02576 053501 086467 107114 133676 174588 186928 2024 211991 223536 238155 258349 292078 16

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29 025568 053021 085419 10553 131143 169913 181424 195729 204523 215033 228217 246202 275639 29

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35 025528 052921 085201 105202 130621 168957 180302 194375 203011 213316 226219 243772 272381 35

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37 025518 052895 085144 105117 130485 168709 180012 194024 202619 212871 225702 243145 271541 37

38 025513 052883 085118 105077 130423 168595 179878 193863 202439 212667 225465 242857 271156 38

39 025508 052871 085094 10504 130364 168488 179751 193711 202269 212474 22524 242584 270791 39

40 025504 052861 08507 105005 130308 168385 179631 193566 202108 212291 225027 242326 270446 40



Tabla Nordm 32



v

α

v 04 03 02 015 01 005 004 003 0025 002 0015 001 0005

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95 025406 052616 084542 104212 129053 166105 176961 190352 198525 208233 220317 236624 262858 95

100 025402 052608 084523 104184 129007 166023 176866 190237 198397 208088 22015 236422 262589 100

105 025399 0526 084506 104158 128967 16595 176779 190133 198282 207958 219998 236239 262347 105

110 025396 052592 08449 104134 12893 165882 176701 190039 198177 207839 219861 236073 262126 110

120 025391 05258 084463 104093 128865 165765 176564 189874 197993 207631 21962 235782 261742 120

infin 025335 05244 084162 103643 128156 164484 175069 188079 195997 205375 217009 232635 257583 infin



Tabla Ndeg41



v

0995 0990 0980 0975 0960 0950 0900 0800 0700 0600 0500

1 0000 0000 0001 0001 0003 0004 0016 0064 0148 0275 0455

2 0010 0020 0040 0051 0082 0103 0211 0446 0713 1022 1386

3 0072 0115 0185 0216 0300 0352 0584 1005 1424 1869 2366

4 0207 0297 0429 0484 0627 0711 1064 1649 2195 2753 3357

5 0412 0554 0752 0831 1031 1145 1610 2343 3000 3656 4351

6 0676 0872 1134 1237 1492 1635 2204 3070 3828 4570 5348

7 0989 1239 1564 1690 1997 2167 2833 3822 4671 5493 6346

8 1344 1647 2032 2180 2537 2733 3490 4594 5527 6423 7344

9 1735 2088 2532 2700 3105 3325 4168 5380 6393 7357 8343

10 2156 2558 3059 3247 3697 3940 4865 6179 7267 8295 9342

11 2603 3053 3609 3816 4309 4575 5578 6989 8148 9237 10341

12 3074 3571 4178 4404 4939 5226 6304 7807 9034 10182 11340

13 3565 4107 4765 5009 5584 5892 7041 8634 9926 11129 12340

14 4075 4660 5368 5629 6243 6571 7790 9467 10821 12078 13339

15 4601 5229 5985 6262 6914 7261 8547 10307 11721 13030 14339

16 5142 5812 6614 6908 7596 7962 9312 11152 12624 13983 15338

17 5697 6408 7255 7564 8288 8672 10085 12002 13531 14937 16338

18 6265 7015 7906 8231 8989 9390 10865 12857 14440 15893 17338

19 6844 7633 8567 8907 9698 10117 11651 13716 15352 16850 18338

20 7434 8260 9237 9591 10415 10851 12443 14578 16266 17809 19337

21 8034 8897 9915 10283 11140 11591 13240 15445 17182 18768 20337

22 8643 9542 10600 10982 11870 12338 14041 16314 18101 19729 21337

23 9260 10196 11293 11689 12607 13091 14848 17187 19021 20690 22337

24 9886 10856 11992 12401 13350 13848 15659 18062 19943 21652 23337

25 10520 11524 12697 13120 14098 14611 16473 18940 20867 22616 24337

26 11160 12198 13409 13844 14851 15379 17292 19820 21792 23579 25336

27 11808 12878 14125 14573 15609 16151 18114 20703 22719 24544 26336

28 12461 13565 14847 15308 16371 16928 18939 21588 23647 25509 27336

29 13121 14256 15574 16047 17138 17708 19768 22475 24577 26475 28336

30 13787 14953 16306 16791 17908 18493 20599 23364 25508 27442 29336

31 14458 15655 17042 17539 18683 19281 21434 24255 26440 28409 30336

60 35534 37485 39699 40482 42266 43188 46459 50641 53809 56620 59335

70 43275 45442 47893 48758 50724 51739 55329 59898 63346 66396 69334

120 83852 86923 90367 91573 94303 95705 100624 106806 111419 115465 119334



Tabla Ndeg42



v

0250 0200 0150 0125 0100 0050 0025 0020 0010 0005

1 1323 1642 2072 2354 2706 3841 5024 5412 6635 7879

2 2773 3219 3794 4159 4605 5991 7378 7824 9210 10597

3 4108 4642 5317 5739 6251 7815 9348 9837 11345 12838

4 5385 5989 6745 7214 7779 9488 11143 11668 13277 14860

5 6626 7289 8115 8625 9236 11070 12832 13388 15086 16750

6 7841 8558 9446 9992 10645 12592 14449 15033 16812 18548

7 9037 9803 10748 11326 12017 14067 16013 16622 18475 20278

8 10219 11030 12027 12636 13362 15507 17535 18168 20090 21955

9 11389 12242 13288 13926 14684 16919 19023 19679 21666 23589

10 12549 13442 14534 15198 15987 18307 20483 21161 23209 25188

11 13701 14631 15767 16457 17275 19675 21920 22618 24725 26757

12 14845 15812 16989 17703 18549 21026 23337 24054 26217 28300

13 15984 16985 18202 18939 19812 22362 24736 25471 27688 29819

14 17117 18151 19406 20166 21064 23685 26119 26873 29141 31319

15 18245 19311 20603 21384 22307 24996 27488 28259 30578 32801

16 19369 20465 21793 22595 23542 26296 28845 29633 32000 34267

17 20489 21615 22977 23799 24769 27587 30191 30995 33409 35718

18 21605 22760 24155 24997 25989 28869 31526 32346 34805 37156

19 22718 23900 25329 26189 27204 30144 32852 33687 36191 38582

20 23828 25038 26498 27376 28412 31410 34170 35020 37566 39997

21 24935 26171 27662 28559 29615 32671 35479 36343 38932 41401

22 26039 27301 28822 29737 30813 33924 36781 37659 40289 42796

23 27141 28429 29979 30911 32007 35172 38076 38968 41638 44181

24 28241 29553 31132 32081 33196 36415 39364 40270 42980 45558

25 29339 30675 32282 33247 34382 37652 40646 41566 44314 46928

26 30435 31795 33429 34410 35563 38885 41923 42856 45642 48290

27 31528 32912 34574 35570 36741 40113 43195 44140 46963 49645

28 32620 34027 35715 36727 37916 41337 44461 45419 48278 50994

29 33711 35139 36854 37881 39087 42557 45722 46693 49588 52335

30 34800 36250 37990 39033 40256 43773 46979 47962 50892 53672

31 35887 37359 39124 40181 41422 44985 48232 49226 52191 55002

60 66981 68972 71341 72751 74397 79082 83298 84580 88379 91952

70 77577 79715 82255 83765 85527 90531 95023 96387 100425 104215

120 130055 132806 136062 137990 140233 146567 152211 153918 158950 163648



Tabla Ndeg51



v1

v2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0050 1 16145 19950 21571 22458 23016 23399 23677 23888 24054 24188

0025 64779 79948 86415 89960 92183 93711 94820 95664 96328 96863

0010 405218 499934 540353 562426 576396 585895 592833 598095 602240 605593

0005 1621246 1999736 2161413 2250075 2305582 2343953 2371520 2392381 2409145 2422184

0050 2 1851 1900 1916 1925 1930 1933 1935 1937 1938 1940

0025 3851 3900 3917 3925 3930 3933 3936 3937 3939 3940

0010 9850 9900 9916 9925 9930 9933 9936 9938 9939 9940

0005 19850 19901 19916 19924 19930 19933 19936 19938 19939 19939

0050 3 1013 955 928 912 901 894 889 885 881 879

0025 1744 1604 1544 1510 1488 1473 1462 1454 1447 1442

0010 3412 3082 2946 2871 2824 2791 2767 2749 2734 2723

0005 5555 4980 4747 4620 4539 4484 4443 4413 4388 4368

0050 4 771 694 659 639 626 616 609 604 600 596

0025 1222 1065 998 960 936 920 907 898 890 884

0010 2120 1800 1669 1598 1552 1521 1498 1480 1466 1455

0005 3133 2628 2426 2315 2246 2198 2162 2135 2114 2097

0050 5 661 579 541 519 505 495 488 482 477 474

0025 1001 843 776 739 715 698 685 676 668 662

0010 1626 1327 1206 1139 1097 1067 1046 1029 1016 1005

0005 2278 1831 1653 1556 1494 1451 1420 1396 1377 1362

0050 6 599 514 476 453 439 428 421 415 410 406

0025 881 726 660 623 599 582 570 560 552 546

0010 1375 1092 978 915 875 847 826 810 798 787

0005 1863 1454 1292 1203 1146 1107 1079 1057 1039 1025

0050 7 559 474 435 412 397 387 379 373 368 364

0025 807 654 589 552 529 512 499 490 482 476

0010 1225 955 845 785 746 719 699 684 672 662

0005 1624 1240 1088 1005 952 916 889 868 851 838

0050 8 532 446 407 384 369 358 350 344 339 335

0025 757 606 542 505 482 465 453 443 436 430

0010 1126 865 759 701 663 637 618 603 591 581

0005 1469 1104 960 881 830 795 769 750 734 721

0050 9 512 426 386 363 348 337 329 323 318 314

0025 721 571 508 472 448 432 420 410 403 396

0010 1056 802 699 642 606 580 561 547 535 526

0005 1361 1011 872 796 747 713 688 669 654 642

0050 10 496 410 371 348 333 322 314 307 302 298

0025 694 546 483 447 424 407 395 385 378 372

0010 1004 756 655 599 564 539 520 506 494 485

0005 1283 943 808 734 687 654 630 612 597 585

0050 11 484 398 359 336 320 309 301 295 290 285

0025 672 526 463 428 404 388 376 366 359 353

0010 965 721 622 567 532 507 489 474 463 454

0005 1223 891 760 688 642 610 586 568 554 542

0050 12 475 389 349 326 311 300 291 285 280 275

0025 655 510 447 412 389 373 361 351 344 337

0010 933 693 595 541 506 482 464 450 439 430

0005 1175 851 723 652 607 576 552 535 520 509



Tabla Ndeg52



v1

v2 12 15 20 24 30 40 50 60 70 120

0050 1 24390 24595 24802 24905 25010 25114 25177 25220 25250 25325

0025 97672 98487 99308 99727 100140 100560 100810 100979 101101 101404

0010 610668 615697 620866 623427 626035 628643 630226 631297 632089 633951

0005 2442673 2463162 2483651 2493709 2504140 2514571 2521276 2525374 2528355 2535805

0050 2 1941 1943 1945 1945 1946 1947 1948 1948 1948 1949

0025 3941 3943 3945 3946 3946 3947 3948 3948 3948 3949

0010 9942 9943 9945 9946 9947 9948 9948 9948 9948 9949

0005 19942 19943 19945 19945 19948 19948 19948 19948 19948 19949

0050 3 874 870 866 864 862 859 858 857 857 855

0025 1434 1425 1417 1412 1408 1404 1401 1399 1398 1395

0010 2705 2687 2669 2660 2650 2641 2635 2632 2629 2622

0005 4339 4308 4278 4262 4247 4231 4221 4215 4210 4199

0050 4 591 586 580 577 575 572 570 569 568 566

0025 875 866 856 851 846 841 838 836 835 831

0010 1437 1420 1402 1393 1384 1375 1369 1365 1363 1356

0005 2070 2044 2017 2003 1989 1975 1967 1961 1957 1947

0050 5 468 462 456 453 450 446 444 443 442 440

0025 652 643 633 628 623 618 614 612 611 607

0010 989 972 955 947 938 929 924 920 918 911

0005 1338 1315 1290 1278 1266 1253 1245 1240 1237 1227

0050 6 400 394 387 384 381 377 375 374 373 370

0025 537 527 517 512 507 501 498 496 494 490

0010 772 756 740 731 723 714 709 706 703 697

0005 1003 981 959 947 936 924 917 912 909 900

0050 7 357 351 344 341 338 334 332 330 329 327

0025 467 457 447 441 436 431 428 425 424 420

0010 647 631 616 607 599 591 586 582 580 574

0005 818 797 775 764 753 742 735 731 728 719

0050 8 328 322 315 312 308 304 302 301 299 297

0025 420 410 400 395 389 384 381 378 377 373

0010 567 552 536 528 520 512 507 503 501 495

0005 701 681 661 650 640 629 622 618 615 606

0050 9 307 301 294 290 286 283 280 279 278 275

0025 387 377 367 361 356 351 347 345 343 339

0010 511 496 481 473 465 457 452 448 446 440

0005 623 603 583 573 562 552 545 541 538 530

0050 10 291 285 277 274 270 266 264 262 261 258

0025 362 352 342 337 331 326 322 320 318 314

0010 471 456 441 433 425 417 412 408 406 400

0005 566 547 527 517 507 497 490 486 483 475

0050 11 279 272 265 261 257 253 251 249 248 245

0025 343 333 323 317 312 306 303 300 299 294

0010 440 425 410 402 394 386 381 378 375 369

0005 524 505 486 476 465 455 449 445 441 434

0050 12 269 262 254 251 247 243 240 238 237 234

0025 328 318 307 302 296 291 287 285 283 279

0010 416 401 386 378 370 362 357 354 351 345

0005 491 472 453 443 433 423 417 412 409 401



Tabla Ndeg53



v1

v2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0050 13 47 38 34 32 30 29 28 28 27 27

0025 64 50 43 40 38 36 35 34 33 32

0010 91 67 57 52 49 46 44 43 42 41

0005 114 82 69 62 58 55 53 51 49 48

0050 14 460 374 334 311 296 285 276 270 265 260

0025 630 486 424 389 366 350 338 329 321 315

0010 886 651 556 504 469 446 428 414 403 394

0005 1106 792 668 600 556 526 503 486 472 460

0050 15 454 368 329 306 290 279 271 264 259 254

0025 620 477 415 380 358 341 329 320 312 306

0010 868 636 542 489 456 432 414 400 389 380

0005 1080 770 648 580 537 507 485 467 454 442

0050 20 435 349 310 287 271 260 251 245 239 235

0025 587 446 386 351 329 313 301 291 284 277

0010 810 585 494 443 410 387 370 356 346 337

0005 994 699 582 517 476 447 426 409 396 385

0050 24 426 340 301 278 262 251 242 236 230 225

0025 572 432 372 338 315 299 287 278 270 264

0010 782 561 472 422 390 367 350 336 326 317

0005 955 666 552 489 449 420 399 383 369 359

0050 30 417 332 292 269 253 242 233 227 221 216

0025 557 418 359 325 303 287 275 265 257 251

0010 756 539 451 402 370 347 330 317 307 298

0005 918 635 524 462 423 395 374 358 345 334

0050 40 408 323 284 261 245 234 225 218 212 208

0025 542 405 346 313 290 274 262 253 245 239

0010 731 518 431 383 351 329 312 299 289 280

0005 883 607 498 437 399 371 351 335 322 312

0050 45 406 320 281 258 242 231 222 215 210 205

0025 538 401 342 309 286 270 258 249 241 235

0010 723 511 425 377 345 323 307 294 283 274

0005 871 597 489 429 391 364 343 328 315 304

0050 50 403 318 279 256 240 229 220 213 207 203

0025 534 397 339 305 283 267 255 246 238 232

0010 717 506 420 372 341 319 302 289 278 270

0005 863 590 483 423 385 358 338 322 309 299

0050 60 400 315 276 253 237 225 217 210 204 199

0025 529 393 334 301 279 263 251 241 233 227

0010 708 498 413 365 334 312 295 282 272 263

0005 849 579 473 414 376 349 329 313 301 290

0050 70 398 313 274 250 235 223 214 207 202 197

0025 525 389 331 297 275 259 247 238 230 224

0010 701 492 407 360 329 307 291 278 267 259

0005 840 572 466 408 370 343 323 308 295 285

0050 120 392 307 268 245 229 218 209 202 196 191

0025 515 380 323 289 267 252 239 230 222 216

0010 685 479 395 348 317 296 279 266 256 247

0005 818 554 450 392 355 328 309 293 281 271



Tabla Ndeg54



v1

v2 12 15 20 24 30 40 50 60 70 120

0050 13 26 25 25 24 24 23 23 23 23 23

0025 32 31 29 29 28 28 27 27 27 27

0010 40 38 37 36 35 34 34 33 33 33

0005 46 45 43 42 41 40 39 39 38 38

0050 14 253 246 239 235 231 227 224 222 221 218

0025 305 295 284 279 273 267 264 261 260 255

0010 380 366 351 343 335 327 322 318 316 309

0005 443 425 406 396 386 376 370 366 362 355

0050 15 248 240 233 229 225 220 218 216 215 211

0025 296 286 276 270 264 259 255 252 251 246

0010 367 352 337 329 321 313 308 305 302 296

0005 425 407 388 379 369 359 352 348 345 337

0050 20 228 220 212 208 204 199 197 195 193 190

0025 268 257 246 241 235 229 225 222 220 216

0010 323 309 294 286 278 269 264 261 258 252

0005 368 350 332 322 312 302 296 292 288 281

0050 24 218 211 203 198 194 189 186 184 183 179

0025 254 244 233 227 221 215 211 208 206 201

0010 303 289 274 266 258 249 244 240 238 231

0005 342 325 306 297 287 277 270 266 263 255

0050 30 209 201 193 189 184 179 176 174 172 168

0025 241 231 220 214 207 201 197 194 192 187

0010 284 270 255 247 239 230 225 221 218 211

0005 318 301 282 273 263 252 246 242 238 230

0050 40 200 192 184 179 174 169 166 164 162 158

0025 229 218 207 201 194 188 183 180 178 172

0010 266 252 237 229 220 211 206 202 199 192

0005 295 278 260 250 240 230 223 218 215 206

0050 45 197 189 181 176 171 166 163 160 159 154

0025 225 214 203 196 190 183 179 176 174 168

0010 261 246 231 223 214 205 200 196 193 185

0005 288 271 253 243 233 222 216 211 208 199

0050 50 195 187 178 174 169 163 160 158 156 151

0025 222 211 199 193 187 180 175 172 170 164

0010 256 242 227 218 210 201 195 191 188 180

0005 282 265 247 237 227 216 210 205 202 193

0050 60 192 184 175 170 165 159 156 153 152 147

0025 217 206 194 188 182 174 170 167 164 158

0010 250 235 220 212 203 194 188 184 181 173

0005 274 257 239 229 219 208 201 196 193 183

0050 70 189 181 172 167 162 157 153 150 149 144

0025 214 203 191 185 178 171 166 163 160 154

0010 245 231 215 207 198 189 183 178 175 167

0005 268 251 233 223 213 202 195 190 186 177

0050 120 183 175 166 161 155 150 146 143 141 135

0025 205 194 182 176 169 161 156 153 150 143

0010 234 219 203 195 186 176 170 166 162 153

0005 254 237 219 209 198 187 180 175 171 161
























(Hasta Weibull )


8 06-05-13 11-05-13


















Seminario taller



PF = 12 (PC1) + 14 (PC2) + 14 (PC3) + 15 (PC4) + 20 (TF1) + 25 (EB)



12 Tipos de datos




13 Variables


Ejercicio







Nominal




Ordinal






Intervalo







Razoacuten











Discretas

Continuas

Variable discreta





Variable continua





Ejercicio






















































Ejemplo


categoriacutea pe

Dominio f h p

compe 285 0570 570

orgpe 106 0212 212

edupe 64 0128 128

gobpe 26 0052 52

netpe 3 0006 06

Otros 16 0032 32

Total 500






Ejercicio








Ejemplo







Otros 5

Deformaciones 15












MS Word 250

MS Excel 80

MS Power Point 75

Access 30

Outlook 10

Otros 55

Total 500






Carpinteros 1057 13





Vidrieros 42 14













Quejas hi




Marketing 0148


Otros 0025






Impuestos 12042

Tasas 26530

Contribuciones 120

Venta de bienes 845




Transferencias 734

Otros 1132





Nazca


Columnas cortas 10



Otros 10

Piso blando 5















Ejemplo



2 3 3 0 1 2 1 2 2 4 3 2 0 1 2

1 3 3 2 1 0 1 2 3 2 4 1 0 1 2


X fi hi Fi Hi




Ejercicio




Calcule






Marca de clase


2


ix

Ejercicio




008 015 019 071 075 082 084 092 096 116 117 119 123 14 147

159 161 201 216 238 242 307 322 353 376 394 45 459 475 541


R =


k =


w =



1 ndash

2 ndash

3 ndash

4 ndash

5 ndash

6 ndash









Ejercicio









de 1993)


3 4 3 3 1 4 1 3 2 3

1 1 4 2 3 3 2 6 1 1

3 3 2 2 2 2 1 3 2 1

6 3 1 2 2 3 2 2 4 2




H3


con fallas fi pi Hi

1 0 30

2 1 10

3 2 5

4 3 3

5 4 2



520 947 951 975 1025 1041 1060 1252 1256 1460

1468 1586 1587 1626 1662 1662 1662 1662 1682 1697

1960 2049 2049 2049 2049 2083 2152 2175 2181 2181

2181 2181 2209 2262 2350 2397 2422 2596 2616 2772

2865 2870 2978 3139 3150 3162 3386 3599 3631 3983






1 0 100 2 12

2 100 200 4 16

3 200 300 22 25

4 300 400 26 10

5 400 500 20 4

6 500 600 5 2

7 600 700 1 1










998 984 1003 919 935 964

805 984 1005 851 936 970

872 987 1005 865 937 975

872 987 1012 868 939 985

880 995 1015 882 943 1001

955 997 1015 882 948 1003

970 998 1026 883 949 1005

973 1000 1026 887 954 1009

980 1001 1029 914 960 1010

980 1002 1055 927 963 1012











286266246226206186166

50

40

30

20

10

0

Ventas

Fre

cu

en

cia

acu

mu

lad

a

5049

45

36

8

2










la expresioacuten

2


Logro de la unidad



de su especialidad


Definiciones

Estadiacutestico


promedio muestral

Paraacutemetro


Ejemplo







Cuantiles

Percentil







d parte decimal

Decil


Cuartil


dEnk

i 100

)1(






Ejemplo


23 y 24

Ejemplo



evacuacioacuten

315 325 325 334 339 340 356 356 359 359

363 364 369 370 373 373 374 375 380 389

392 393 394 397 402 403 415 424 428 445











536 529 558 565 557 553 562 529 544 534 579 510

527 539 542 547 563 534 546 530 575 568 585













0045 0036 0045 0049 0064 007 0079 0088 0091 0118 013 0136

0136 0136 0145 0179 0182 0182 0194 0209 0209 0227 0242 0258

0258 0258 0291 0327 0333 0336 0361 0379 0394 0412 0445 0506

0554 0567 0579 06 067 0912 1055 107 1267 1639 1894 3046

3888 3985 417 8788











x

x

n

i

i 1


xf

x

k

i

ii 1


1

k

i i

i

f x

xn

Ejercicio


hilos de lino

152 158 162 185 194 206 212 219 254 273 283 295 325 337 369


Ejercicio


x fi fixi

0 13

1 6

2 8

3 6

4 2


Ejercicio



rsquoi

1 [002 - 081[ 6

2 [081 - 160[ 13

3 [160 - 239[ 4

4 [239 - 318[ 3

5 [318 - 397[ 2

6 [397 - 476] 2

Mediana



Ejemplo


984 998 998 999 1000 1000 1005 1012 1026 2500


Ejemplo





0 50

1 60

2 25

3 10

4 5

Moda


Ejemplo


10 10 10 10 10 12 12 12 12 12 12 12 12 14 14 15 15 15 18 18






Media=Mediana=Moda










de 1993)


3 4 3 3 1 4 1 3 2 3

1 1 4 2 3 3 2 6 1 1

3 3 2 2 2 2 1 3 2 1

6 3 1 2 2 3 2 2 4 2










35

130

70

155

0

20

40

60

80

100

120

140

2 4 6 8 10 12 14


Nuacute

mero

de p

art

iacutecu

las



Rango




Varianza




2


N

xN

i

i

1

2

2


1

1

2

2

n

xx

s

n

i

i


2

2 1

1

k

i i

i

f x x

sn

2

2 1

1

k

i i

i

f x x

sn




Ejemplo



35 73 30 15 36 60 47 19 15 38 10 35 31 21 22 20


Ejemplo


de 100 diacuteas

xi fi

0 10

1 15

2 30

3 35

4 10

100

Ejemplo




li fi( x

lindash Media)

2

1 [152 ndash 172[ 12 162 1944 16133

2 [172 ndash 192[ 13 182 2366 3611

3 [192 ndash 212[ 20 202 4040 222

4 [212 ndash 232[ 16 222 3552 8711

5 [232 ndash 252] 5 242 1210 9389

66 13112 38067






100s

CVx



Ejemplo



Tecnologiacutea LAN





108 111 3

111 114 35

114 117 66

117 120 57

120 123 29

123 126 16

126 129 9

129 132 3

132 135 2

Total 220







regenta






100 ndash 200 5

200 ndash 300 14

300 ndash 400 21

400 ndash 500 7

500 ndash 600 3

Total 50


20 2

40 8

60 25

80 20

100 8

Total 63

Ventas Azufral 120 200 100 50 45 120 100 100 90 75 100 210 100 50 120











[ 69220 ndash 70436 [ 14

[ 70436 ndash 71652 [ 5

[ 71652 ndash 72868 [ 6

[ 72868 ndash 74084 [ 8

[ 74084 ndash 75300 [ 7

[ 75300 ndash 76516 [ 17

[ 76516 ndash 77732 [ 5

Total 62



Traccioacuten 62 64520 2983 8899 61220 69856











Rango intercuartil

257513 PP QQRIC























Plomo Cobre Hierro

0010 0022 0039 004 007 009 011 014 018

0015 0030 0043 004 007 01 011 015 019

0015 0031 0047 004 007 01 012 015 020

0016 0031 0049 004 007 012 012 016 022

0016 0035 0055 004 007 014 013 017 023

0019 0035 0060 005 008 016 013 017 025

0020 0036 0073 005 008 018 014 017 033

0021 0038 005 008 014 017







10 ndash 20 2 2 - 4 5

20 ndash 30 8 4 - 6 14

30 ndash 40 25 6 - 8 21

40 ndash 50 9 8 - 10 7

50 ndash 60 6 10 - 12 3










Logro de la unidad









Ejemplos

1Lanzar un dado








Ejemplos

1= 123456

2= cccsscss


4 = t t ge 0


Ejercicio



Ejercicio





33 Evento



ABCetc

Evento simple


Ejemplos




Evento compuesto


Ejemplos






34 Probabilidad






siguiente axioma

0 le P(A)le 1




debe ser igual a 1

kPr(E )=1 i=123k

ii=1






Ejercicio


Ejercicio






( )













obtener 1x ( 1x )

























marca A



Interseccioacuten



siacutembolo BA

Unioacuten



BA

Ejemplo


Sean los eventos







cA A =Ω


P( ) P( ) 1cA A





P( )P( ) 0

P( )P

0 P( ) 0

A BB

BA B

B

Ejemplo









Total 39 15 36 90









P( ) P( ) P( ) P( )A B A B A B

Ejercicio








P( ) P( ) P( )A B A B

Ejercicio


P(AcB)



P( ) P( | )P( ) P( )P( )A B A B B B A A

Ejercicio





P( ) P( )A B A





P( ) P( )P( )A B A B


1 2 1 2P( ) P( )P( ) P( )k kE E E E E E

Ejemplo








Probabilidad Total




Teorema de Bayes



P( )P( | )

P( )

ii

A EA E

E

para ki 21

1 1 2 2

P( )P( )P( | )

P( )P( ) P( )P( ) P( )P( )

i ii

k k

A E AA E

A E A A E A A E A

Ejercicio






crecimiento



















continuacioacuten

Tecnologiacutea

LAN WAN





Aire 3 4 4 3 3 6 4 1 28

Total 40 50 40 20 40 50 50 40 330



coaxiales



LAN








































funcione



diagrama siguiente




funcione







Logro de la unidad








sobre quiacutemica










hidrostaacutetica




Ejemplo


siguiente

S=cc cs sc ss












siguiente manera

)( xXPxf


1)(0 xf

1)(Rango

X

xf

Ejercicio



bullbullCCCC

bullbullCS CS

bullbullSC SC

bullbullSSSS00

11

22

SSRR

bullbullCCCC

bullbullCS CS

bullbullSC SC

bullbullSSSS00

11

22bullbullCCCC

bullbullCS CS

bullbullSC SC

bullbullSSSS00

11

22

00

11

22

SSRR


Ejercicio






Ejercicios



x 0 2 4 6

f(x) 025 k 010 050






x 0 1 2 3 4

f(x) a 037 016 b 001













de rock











computarizada













x

xxfXERango

)()(




x

xfxgxgERango

)()()(



ccE

XcEcXE




222 )( XE



2

Ejercicio



x 0 2 4 6

f(x) 025 k 010 050


Ejercicios




x 5 6 7 8 9 10

f(x) 005 015 030 025 020 005









es la siguiente





























X 0 1 2 3 4

f(x) 041 037 k 005 001







rollo



X 0 1 2 3

P(X = x) 038 024 k 008






Ejemplo



Ejemplo 2


peso


aleatoria


aleatoria



0)( xf

1)( dxxf

b

a

dxxfbXaP )()(

Ejercicio


casootro

xcxxf

0

33)(


f(x)

a b

f(x)

a b




probabilidad

x

dttfxXPxF )()(



dx

xdFxf

)()(

Ejercicio


casootro

xcxxf

0

30)(






dxxxfXE )(

( ) ( )E g x g x f x dx




E(cX)= cE(X)





es

222 )( XE

Ejemplo


densidad

0

55)25(500

3

)(

2

cc

xxxf



Ejercicios


0

20)(

cc

xcxxf









0

08

1

)(8

cc

xexf

x




823)(

2xxxU





25x025

x3)x(f

3

2






casootro0

4x08

x)x(f










F

EX


10)( 1 xqpxf xx


qppqXVpXE 12




todas las pruebas




( ) 1 01 2 n xn x




2 1E X np V X np p

Ejemplo










( ) max[0 ( )]min( )r N r

x n x

N

n


C


n


Media N

rnXE

Varianza

112

N

nN

N

r

N

rnXV

Ejercicio













3210

)(

xx

exXPxf

x


XVXE 2

Ejercicio





Ejercicio






Ejercicios









1



unos de otros












rentable



















proceso de Poisson





proceso de Poisson



automoacuteviles



segundo



automoacuteviles











defectuosos





















de densidad es

bxaab

xf

1



ab

cddXcP

)(


2

baXE

y

12

2

2 abXV

Ejemplo





f(x)

f (x)

0 a k1 k2 b x

1 (b-a)

f(x)

f (x)

0 a k1 k2 b x

1 (b-a)





















intelectual etc


xexf

x2

2

1

2

1)(








XZ






Ejercicio







que ser reemplazado





1 1 2 2 k kY c X c X c X


222

1

2

111 ~ kkkk ccccNY

Ejercicio

SeanX1 ~ N(1 1

2

1 6) y X2 ~ N(2 4

2



Y = X1 + X2

Y = X1 ndash X2

Y = 4X1 ndash 6 X2

Ejercicio








menor de 20 minutos




Ejercicios
















cc0

d2x5

d2si

d8

5

)x(f

















de leva


de leva























segundos
























normalmente









0

0)()(

1

cc

xex

xf

x


22 XVXE



casootro 0

0 e1

)(

1

xβxf

x

Se denota X~exp( )


22 XVXE

f(x)

0 x

f(x)

0 x


Ejemplo



0 si 0

0 si e20

1

)(20

1

x

xxf

x










0

0)(

1

cc

xexxf

x


01)( xexXPxF x


12

1

222 XV

XE

Ejemplo






Ejercicios



probabilidad es

0

012

1

)(12

cc

xexf

x





0

0)(8000

cc

xcexf

x




2

2

80002

400020

XXC






0xparae50

1)x(f

x50

1







de probabilidad

casootroen

xsiexf

x

0

050)(

50




del costo





propiedades
































Logro de la unidad













n

i

iXn

X1


poblacional



x

2 2s

p p

21 21 xx

2

2

2

1 22

21 ss

21 pp 21ˆˆ pp





IC(θ)=(LI LS)








Muestra 1

Muestra 2

Muestra 3

Muestra 4

hellip

Muestra 100







micro








X



nzx

nzx

2121


04

03

02

01

00

De

nsid

ad

0






denotado por ME= n

z

)21(

Luego



1-α

α2 α2 Z(1-α2)

Z(α2)

zo -zo

X

micro desconocida

conocida

n

ME ME






Ejemplo

















X S



n

Stx

n

Stx nn 1212


04

03

02

01

00

De

nsid

ad

-to to0


T(1-α2 n-1)

α2 α2 T(α2 n-1)

X

micro desconocida

desconocida

n

ME ME






Ejemplo







Ejemplo



009678 007149 002216 002844 000509 002346 006387

003786 006458 007758 005297 003282 006952 008588

005720 000085 007407 002497 004557 003753 004897

003336 009612 009007 005633 007776 007836 007373

008864 004475 002384 002123 005981 003668 000019

008866 003658 005978 003543 003159 007735 006618

006675 001867 003198 007262 001231 004838 001650

008083 002441 005767 00797 006182 005700 008941

005175 007922 000943 003686 001097 008949 000264

007271 007979 001333 002791 008812 006969 004160











probar






2

21

e

zn

2

21

e

Szn


Ejemplo




Solucioacuten

Ejemplo




2980 3120 3100 3059 2985 2998 3020 3100 2988 3010


error de 50 psi


Ejercicios



alambres

0140 0138 0143 0142 0144 0137 0135 0140 0136 0142 0138 0140















minutos












16 5 21 19 10 5 8 2 7 2 4 9







2212 1839 3152 2608 2456 2747 2913 1265 2346 2333 1909 2333











x eacutexitos n

xp ˆ



n

ppzpp

n

ppzp

)ˆ1(ˆˆ

)ˆ1(ˆˆ

2121


04

03

02

01

00

De

nsid

ad

0







denotado por ME= n

ppz

)ˆ1(ˆ)21(

Luego y


n

ME ME

p LI= p

- ME




Nuacutemero de

eacutexitos

Nuacutemero de

fracasos



LI= p

+ ME

1-α

α2 α2 Z(1-α2)

Z(α2)

zo -zo


Ejemplo
























SiacuteNo

70

60

50

40

30

20

10

0

Co

nte

o

53

67









2

2

21 1

e

ppzn




2

2

21

4e

zn

Ejemplo




Ejemplo





Preguntas




Ejercicios












confianza del 98







Explique




resultado

Joyeriacutea 62

Deportes 50

Muacutesica 47

Ropa 16 Hogar 10




Conceptos generales













Tipos de errores





Error tipo I





Error tipo II





Ejercicio







2

2

2121

21 ppp

01

00

01

00

01

00

H

H

H

H

H

H








Hipoacutetesis


00 H 00 H 00 H

01 H 01 H 01 H


Zn

xz ~

0

c


Hipoacutetesis


00 H 00 H 00 H

01 H 01 H 01 H


1

0

c ~

nt

nS

xt


Ejercicio






Ejercicio





97 128 87 134 83 117 107 81 91 105




Ejercicios








es respectivamente

301

327

225

275

289

277

298

289

314

304

270

312

243

264

228

294

223

291

334

235


quiacutemico



Hipoacutetesis


00 H pp 00 H pp 00 H pp

01 H pp 01 H pp 01 H pp


Z

n

pp

ppz ~

)1(

ˆ

00

0c

Ejercicio









Siacute No

10 290 300



Ejercicios









Hipoacutetesis


2

0

2

0 H 2

0

2

0 H 2

0

2

0 H

2

0

2

1 H 2

0

2

1 H 2

0

2

1 H


2

12

0

22

c ~)1(

n

Sn

Ejemplo






Ejercicio



































Hipoacutetesis


2

2

2

10 H 2

2

2

10 H 2

2

2

10 H

2

2

2

11 H 2

2

2

11 H 2

2

2

11 H


112

2

2

1c 21

~ nnFS

SF

Ejercicio






Media 5717 57225

Varianza 1451566667 1533071429

Observaciones 10 8






Hipoacutetesis


k 210 H k 210 H k 210 H

k 211 H k 211 H k 211 H


2

21

2

21

21~

11

nn

p

c t

nnS

kxxt

2

)1()1(

21

2

22

2

112

nn

SnSnS p

Ejercicio





continuacioacuten

Lugar antiguo 998 1026 1005 1029 1003 905 1055 1026 997 987

Lugar nuevo 919 963 1010 970 1009 960 1005 1012 949 937



Lugar antiguo 10 0261312 0399484 0804423

Lugar nuevo 10 0221012 0337876 0680364






Media del

Error


Lugar antiguo 10 10031 0399 013

Lugar nuevo 10 9734 0338 011









lugares



Hipoacutetesis


k 210 H k 210 H k 210 H

k 211 H k 211 H k 211 H


t

n

S

n

S

kxxtc ~

2

2

2

1

2

1

21

11 2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

2

2

2

1

2

1

n

n

S

n

n

S

n

S

n

S

Ejercicio



Laboratorio 1 2870 2382 3143 3659 3620 3887 2929 2903

Laboratorio 2 3076 3380 3494 3074 3162 3269





Laboratorio 1 8 316945 506616 116039

Laboratorio 2 6 100006 170561 48797




Media del

Error










Hipoacutetesis


210 H pp 210 H pp 210 H pp

210 H pp 210 H pp 210 H pp


Z

nnpp

ppzc

21

21

111

ˆˆ

21

21

21

2211ˆˆ

nn

xx

nn

pnpnp

Ejercicio




Material 1 45 185 230





Ejercicio














TURNO

PRODUCTO

A B



Tarde 5 150 25 200







Logro de la unidad



relacionan

61 Bondad de ajuste





2

2 2

( 1)

1

~k

i i

c k m

i i

o e

e

i ie np







Ejemplo


X 1 2 3 4 5 6

O 28 36 36 30 27 23




Hipoacutetesis



Ejemplo






Frecuencia


Frecuencia

esperada ie

2

i i

i

o e

e

0 24

1 35

2 21

3 10

4 5

5 5

Total



Hipoacutetesis



Ejemplo




Observada io


esperada ie

2

i i

i

o e

e

0

1

2

3

4

5

6

Total


Ejercicios












Frecuencia 140 270 280 180 90 40














Clientes 20 15 12 8 11 16 18





Turno 1 2 3 4






resultados


Ndeg cajas 20 140 260 300 200 80




Hipoacutetesis



Ejemplo



12 15 16 18 19 14 10 15 16 14

225200175150125100

99

95

90

80

70

60

50

40

30

20

10

5

1

C1

Po

rce

nta

je

Media 149

DesvEst 2644

N 10

KS 0117

Valor P gt0150










contingenciartimesc


r

i

c

j

cr

ij

ijij

ce

eo

1 1

2

11

2

2 ~)(

n

nne

ji

ij

Factor 2


Factor 1

Fila 1

Fila 2

Filar

Hipoacutetesis



Ejercicio







Promedio Sobre el

promedio



Promedio 28 79 60 167

Muy bueno 9 49 63 121

Total 60 188 152 400




Valores esperados


promedio Promedio

Sobre el promedio



Promedio 60167400 167


Total 60 188 152 400


Ejercicios



Selectividad

Fidelidad

Baja Promedio Alta

Baja 7 12 31

Promedio 35 54 18

Alta 15 13 5


selectividad






Tipo de crimen

Distrito

I II III

Asalto 162 310 258

Robo 118 196 193

Hurto 451 996 458

Homicidio 18 25 10





Logro de la unidad

























recta

0 1i i iY X e

Variable respuesta


(independiente)

i = 1 2hellip n






3025201510

9

8

7

6

5

4

X

Y

X vs Y

1614121008060402

1600

1400

1200

1000

800

600

400

200

0

X

Y

X vs Y

50454035302520

60

50

40

30

20

X

Y

X vs Y

12001000800600400200

140

130

120

110

100

90

80

70

60

50

X

Y

X vs Y

Ejercicio



Resistencia x 22 21 31 34 37 43 34 34 42 51 56 59

Tiempo de falla y 20 22 26 28 30 32 33 35 37 42 45 47


Cuando X crece

Y crece

Modelo lineal

Buen ajuste

Modelo lineal

Buen ajuste

Cuando X crece

Y decrece

Variables no

relacionadas

Variables no

relacionadas


6050403020

50

45

40

35

30

25

20

Resistencia(X)

Tie

mp

o (

Y)









Es decir

n

i

ii yy1




n

i

i

n

i

ii

n

i

i

n

i

i

n

i

i

xxyx

xny

1

2

1

1

0

1

1

10

1




2

11

2

111

1ˆ

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

n

i

i

xxn

yxyxn

y xy 10ˆˆ



donde



Ejercicio




Coef


Constante 6797 2652 256 0028

Resistencia(X) 067983 006570 1035 0000


1

0











1





o



5



Fuente GL SC CM F P

Regresioacuten 1 74532 74532 10709 0000


Total 11 81492

0H

0H

11

10

CMError

CMRegFcal

09

08

07

06

05

04

03

02

01

00

X

De

nsit

y

0


α ZNR

A

ZR

Fcrit










2 SCReg100

SCTotR

Ejercicio


Salida del Minitab

Coef


Constante 6797 2652 256 0028

Resistencia(X) 06798 00657 1035 0000


R2





CMEn

SCES

2

Ejercicio


S




Xe Y









-10 -065 -02 02 065 10


Ejercicio


r





siguiente



0ˆsi

0ˆsi

1

2

1

2

R

Rr


Salida del Minitab



Coef


Constante 2976 1473 202 0074




Fuente GL SC CM F P



Total ___ 28876



3025201510

9

8

7

6

5

4

Temperatura

Vid

a u

til




1

0


Ho

H1


R2

r





0 2 2 0 0 0 2 2 0ˆ ˆ ˆ ÊE EEn nt t

1 2 2 1 0 1 2 2 1ˆ ˆ ˆ ÊE EEn nt t



1

( 2)

1

ˆ~

ÊEn

kt t



xx

nXYxx

nS

xx

nSty

S

xx

nSty

2

0

)22(0

2

0

)22(0

1ˆ

1ˆ

0


xx

nXYxx

nS

xx

nSty

S

xx

nSty

2

0

)22(0ˆ

2

0

)22(0

11ˆ

11ˆ

0








300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1400 1600


0065 008 0095 0115 013 015 0175 0205 023 027 0346 0436



1600140012001000800600400200

045

040

035

030

025

020

015

010

005

Densidad

Co

nd

ucti

vid

ad




Coef


Constante -0049 001726 -286 0017

Densidad 00003 000002 1524



Fuente GL SC CM F P

Regresioacuten 1


Total 11 014085



1



R2

r








005000250000-0025-0050

99

95

90

80

70

60

50

40

30

20

10

5

1

RESI

Po

rce

nta

je

Mean -462593E-18

StDev 002298

N 12

KS 0182

P-Value gt0150






siguientes

Temperatura (oC) 18 18 18 22 22 26 30 30 34





Coef


Constante 218400 7502 2911 0000




Fuente GL SC MC F P

Regresioacuten 1 864685 864685 32623 0000


Total 8 883239




9 340 2400 3324 341 -924 -240R



Nueva Ajuste


1 8225 173 (7816 8635) (6941 9510)


Nueva Temperatura

Obs (degC)

1 250


1



R2

r








100500-50-100

99

95

90

80

70

60

50

40

30

20

10

5

1

RESI

Po

rce

nta

je

Mean -353692E-13

StDev 4816

N 9

KS 0180

P-Value gt0150




Logro de la unidad










el anaacutelisis


1

0


1






120100806040200

400

350

300

250

200

150

100

50

X

Y


2

0 1 2Y X X






resultados

Rapidez(Kmh) 35 50 55 60 65 80 95 110



vehiacuteculo




Coef


Constante 17064 8107 210 0089

RAPIDEZ -05103 02357 -216 0083

RAPIDEZ2 0013139 0001584 830 0000



Fuente GL SC CM F P

Regresioacuten 2 90539 45269 83846 0000


Total 7 90809


Fuente GL SC CM F P

RAPIDEZ 1 86823 2530 4687 0083

RAPIDEZ2 1 3716 37160 68827 0000











216520 1300

239955 375

177980 2500

233675 975

176530 2200

205350 1800

241440 600

220050 1250

265420 200

175370 2150





Coef


Constante 264858 8125 3260 0000

Antiguumledad -3630 1450 -250 0041

Antiguedad2 -00495 05265 -009 0928



Fuente GL SC CM F P

Regresioacuten 2 831630 415815 6648 0000


Total 9 875413



Fuente GL SC CM F P

Lineal 1 831575 39184 62647 004






)10(N~n

xz

_

)1n(

_

t~nS

xt

nz x)(IC 21

_

n

st x)(IC 21n(

_

2 2

)2-1 1n(

22

2

)2 1n(

22 S)1n(

)(LSCS)1n(

)(LIC

2

)1n(2

22 X~

S)1n(

p p1qn

)p1(pzp)p(IC )21(

)10(N~

n

)p1(p

ppz

21

Varianzas conocidas

2

2

2

1

2

1)21(2121

nnz)xx()(IC

)10(N~

nn

)()xx(z

2

22

1

21

2121


2nn

S)1n(S)1n(Sdonde

n

1

n

1St)xx()(IC

21

2

22

2

112

p

21

2

p)2 2nn(

_

2

_

1 2121

)2nn(

21

2

p

21

_

2

_

1

21t~

n

1

n

1S

)()xx(t




2

2

2

1

2

1

)2v(

_

2

_

1n

S

n

St)xx()(IC

21 )v(

2

22

1

21

2121 t~

n

S

n

S

)()xx(t

1n

n

S

1n

n

S

n

S

n

S

v

2

2

2

22

1

2

1

21

2

2

22

1

21

D n

st d)D(IC d

)21n( 1n

d

t~nS

Ddt


22

2 1 )vv2(2

2

212

221

)vv2(22

212

221

12

21

fS

S)(LSC

f

1

S

S)(LIC

1nv 11 1nv 22

11

2

2

2

1

2

2

2

1

21~

1 nnF

S

SF

21 pp

22

11

2

22

1

11

212121

2

22

1

11

212121

p1q

p1q

donde

n

qp

n

qpzpp)pp(LSC

n

qp

n

qpzpp)pp(LIC

a) 0ppH 210

)10(N~

n

1

n

1)p1(p

ppz

21

21

83 21

2211

nn

pnpnpdonde

b) KppH 210 y K 0

)10(N~

n

qp

n

qp

K)pp(z

2

22

1

11

21



PRUEBA JI CUADRADO

k

1i

2)1c)(1r(

i

2ii2 X

e

)eo(X

lg)1mk(vconX~e

)eo(X 2

k

1i i

2

ii2


k

1i

2

i

2

ii2 Xe

50eoX



x np)X(E )p1(np)X(V

Poisson )(P~X 210xx

e)xX(P

x

)X(E )X(V


xˆyˆ

xxn

yxyxn

ˆ

10

2n

1i

i

n

1i

2i

n

1i

i

n

1i

ii

n

1i

i

1


n

1i

2i

n

1i

2i

n

1i

ii

)yy(n

1)xx(

n

1

)yy)(xx(n

1

SS

)YXcov(r

yx

Cuadrados medios

pn

SSECME

1p

SSRCMR

donde



Prueba conjunta

)1(~ pnpFCME

CMRF

Inferencia para 0

xx

2i

20nS

xstˆ

)2(

2

00 ~ˆ

n

xx

i

t

nS

xs

t


a) 0H0

)2n(2

t~r1

2nrt

b) 00 H

)10(N~)1)(r1(

)1)(r1(ln

2

3nZ

0

0



Suma de cuadrados

SSRSSTSSE

n

xxˆSSR

n

yySST

2

i2i

21

2

i2i


SST

SSRr 2


pn

1n)r1(1rr 222

correg

Inferencia para 1

xx

nS

st 221

ˆ

)(1111 ~

ˆˆ

1

pn

b

xx

tS

S

st

donde

2

2

1

2

2

2

1ˆ

)(

xxx

i

i

ixx

SnSSR

S

xxn

xxS

CMEpn

SSEsss xye

Pronoacutesticos

Valor medio

xx

20

)22n(0S

)xx(

n

1sty

Valor individual

xx

20

)22n(0S

)xx(

n

11sty

Modelos no lineales



01


m

2

210 xˆxˆxˆˆy~

Tabla Ndeg 21



Z -009 -008 -007 -006 -005 -004 -003 -002 -001 -000

-39 0000033 0000034 0000036 0000037 0000039 0000041 0000042 0000044 0000046 0000048

-38 0000050 0000052 0000054 0000057 0000059 0000062 0000064 0000067 0000069 0000072

-37 0000075 0000078 0000082 0000085 0000088 0000092 0000096 0000100 0000104 0000108

-36 0000112 0000117 0000121 0000126 0000131 0000136 0000142 0000147 0000153 0000159

-35 0000165 0000172 0000178 0000185 0000193 0000200 0000208 0000216 0000224 0000233

-34 0000242 0000251 0000260 0000270 0000280 0000291 0000302 0000313 0000325 0000337

-33 0000349 0000362 0000376 0000390 0000404 0000419 0000434 0000450 0000466 0000483

-32 0000501 0000519 0000538 0000557 0000577 0000598 0000619 0000641 0000664 0000687

-31 0000711 0000736 0000762 0000789 0000816 0000845 0000874 0000904 0000935 0000968

-30 0001001 0001035 0001070 0001107 0001144 0001183 0001223 0001264 0001306 0001350

-29 000139 000144 000149 000154 000159 000164 000169 000175 000181 000187

-28 000193 000199 000205 000212 000219 000226 000233 000240 000248 000256

-27 000264 000272 000280 000289 000298 000307 000317 000326 000336 000347

-26 000357 000368 000379 000391 000402 000415 000427 000440 000453 000466

-25 000480 000494 000508 000523 000539 000554 000570 000587 000604 000621

-24 000639 000657 000676 000695 000714 000734 000755 000776 000798 000820

-23 000842 000866 000889 000914 000939 000964 000990 001017 001044 001072

-22 001101 001130 001160 001191 001222 001255 001287 001321 001355 001390

-21 001426 001463 001500 001539 001578 001618 001659 001700 001743 001786

-20 001831 001876 001923 001970 002018 002068 002118 002169 002222 002275

-19 002330 002385 002442 002500 002559 002619 002680 002743 002807 002872

-18 002938 003005 003074 003144 003216 003288 003362 003438 003515 003593

-17 003673 003754 003836 003920 004006 004093 004182 004272 004363 004457

-16 004551 004648 004746 004846 004947 005050 005155 005262 005370 005480

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Tabla Ndeg 22



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Tabla Nordm 31



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38 025513 052883 085118 105077 130423 168595 179878 193863 202439 212667 225465 242857 271156 38

39 025508 052871 085094 10504 130364 168488 179751 193711 202269 212474 22524 242584 270791 39

40 025504 052861 08507 105005 130308 168385 179631 193566 202108 212291 225027 242326 270446 40



Tabla Nordm 32



v

α

v 04 03 02 015 01 005 004 003 0025 002 0015 001 0005

41 0255 05285 085048 104971 130254 168288 179517 193428 201954 212117 224825 24208 270118 41

42 025496 05284 085026 104939 130204 168195 179409 193298 201808 211952 224633 241847 269807 42

43 025492 052831 085006 104908 130155 168107 179305 193173 201669 211794 224449 241625 269510 43

44 025488 052822 084987 104879 130109 168023 179207 193054 201537 211644 224275 241413 269228 44

45 025485 052814 084968 104852 130065 167943 179113 192941 20141 2115 224108 241212 268959 45

46 025482 052805 084951 104825 130023 167866 179023 192833 20129 211364 223949 241019 268701 46

47 025479 052798 084934 1048 129982 167793 178937 192729 201174 211233 223797 240835 268456 47

48 025476 05279 084917 104775 129944 167722 178855 19263 201063 211107 223652 240658 268220 48

49 025473 052783 084902 104752 129907 167655 178776 192535 200958 210987 223512 240489 267995 49

50 02547 052776 084887 104729 129871 167591 1787 192444 200856 210872 223379 240327 267779 50

51 025467 052769 084873 104708 129837 167528 178627 192356 200758 210762 22325 240172 267572 51

52 025465 052763 084859 104687 129805 167469 178558 192272 200665 210655 223127 240022 267373 52

53 025462 052757 084846 104667 129773 167412 178491 192191 200575 210553 223009 239879 267182 53

54 02546 052751 084833 104648 129743 167356 178426 192114 200488 210455 222895 239741 266998 54

55 025458 052745 084821 10463 129713 167303 178364 192039 200404 210361 222785 239608 266822 55

56 025455 05274 084809 104612 129685 167252 178304 191967 200324 21027 222679 23948 266651 56

57 025453 052735 084797 104595 129658 167203 178246 191897 200247 210182 222577 239357 266487 57

58 025451 05273 084786 104578 129632 167155 17819 19183 200172 210097 222479 239238 266329 58

59 025449 052725 084776 104562 129607 167109 178137 191765 2001 210015 222384 239123 266176 59

60 025447 05272 084765 104547 129582 167065 178085 191703 20003 209936 222292 239012 266028 60

61 025445 052715 084755 104532 129558 167022 178034 191642 199962 20986 222204 238905 265886 61

62 025444 052711 084746 104518 129536 16698 177986 191584 199897 209786 222118 238801 265748 62

63 025442 052706 084736 104504 129513 16694 177939 191527 199834 209715 222035 238701 265615 63

64 02544 052702 084727 10449 129492 166901 177893 191472 199773 209645 221955 238604 265485 64

65 025439 052698 084719 104477 129471 166864 177849 191419 199714 209578 221877 23851 265360 65

66 025437 052694 08471 104464 129451 166827 177806 191368 199656 209514 221802 238419 265239 66

67 025436 05269 084702 104452 129432 166792 177765 191318 199601 209451 221729 23833 265122 67

68 025434 052687 084694 10444 129413 166757 177724 191269 199547 20939 221658 238245 265008 68

69 025433 052683 084686 104428 129394 166724 177685 191222 199495 20933 221589 238161 264898 69

70 025431 05268 084679 104417 129376 166691 177647 191177 199444 209273 221523 238081 264790 70

75 025425 052664 084644 104365 129294 166543 177473 190967 19921 209008 221216 23771 264298 75

80 025419 05265 084614 10432 129222 166412 177321 190784 199006 208778 220949 237387 263869 80

85 025414 052637 084587 10428 129159 166298 177187 190623 198827 208574 220713 237102 263491 85

90 02541 052626 084563 104244 129103 166196 177068 19048 198667 208394 220504 23685 263157 90

95 025406 052616 084542 104212 129053 166105 176961 190352 198525 208233 220317 236624 262858 95

100 025402 052608 084523 104184 129007 166023 176866 190237 198397 208088 22015 236422 262589 100

105 025399 0526 084506 104158 128967 16595 176779 190133 198282 207958 219998 236239 262347 105

110 025396 052592 08449 104134 12893 165882 176701 190039 198177 207839 219861 236073 262126 110

120 025391 05258 084463 104093 128865 165765 176564 189874 197993 207631 21962 235782 261742 120

infin 025335 05244 084162 103643 128156 164484 175069 188079 195997 205375 217009 232635 257583 infin



Tabla Ndeg41



v

0995 0990 0980 0975 0960 0950 0900 0800 0700 0600 0500

1 0000 0000 0001 0001 0003 0004 0016 0064 0148 0275 0455

2 0010 0020 0040 0051 0082 0103 0211 0446 0713 1022 1386

3 0072 0115 0185 0216 0300 0352 0584 1005 1424 1869 2366

4 0207 0297 0429 0484 0627 0711 1064 1649 2195 2753 3357

5 0412 0554 0752 0831 1031 1145 1610 2343 3000 3656 4351

6 0676 0872 1134 1237 1492 1635 2204 3070 3828 4570 5348

7 0989 1239 1564 1690 1997 2167 2833 3822 4671 5493 6346

8 1344 1647 2032 2180 2537 2733 3490 4594 5527 6423 7344

9 1735 2088 2532 2700 3105 3325 4168 5380 6393 7357 8343

10 2156 2558 3059 3247 3697 3940 4865 6179 7267 8295 9342

11 2603 3053 3609 3816 4309 4575 5578 6989 8148 9237 10341

12 3074 3571 4178 4404 4939 5226 6304 7807 9034 10182 11340

13 3565 4107 4765 5009 5584 5892 7041 8634 9926 11129 12340

14 4075 4660 5368 5629 6243 6571 7790 9467 10821 12078 13339

15 4601 5229 5985 6262 6914 7261 8547 10307 11721 13030 14339

16 5142 5812 6614 6908 7596 7962 9312 11152 12624 13983 15338

17 5697 6408 7255 7564 8288 8672 10085 12002 13531 14937 16338

18 6265 7015 7906 8231 8989 9390 10865 12857 14440 15893 17338

19 6844 7633 8567 8907 9698 10117 11651 13716 15352 16850 18338

20 7434 8260 9237 9591 10415 10851 12443 14578 16266 17809 19337

21 8034 8897 9915 10283 11140 11591 13240 15445 17182 18768 20337

22 8643 9542 10600 10982 11870 12338 14041 16314 18101 19729 21337

23 9260 10196 11293 11689 12607 13091 14848 17187 19021 20690 22337

24 9886 10856 11992 12401 13350 13848 15659 18062 19943 21652 23337

25 10520 11524 12697 13120 14098 14611 16473 18940 20867 22616 24337

26 11160 12198 13409 13844 14851 15379 17292 19820 21792 23579 25336

27 11808 12878 14125 14573 15609 16151 18114 20703 22719 24544 26336

28 12461 13565 14847 15308 16371 16928 18939 21588 23647 25509 27336

29 13121 14256 15574 16047 17138 17708 19768 22475 24577 26475 28336

30 13787 14953 16306 16791 17908 18493 20599 23364 25508 27442 29336

31 14458 15655 17042 17539 18683 19281 21434 24255 26440 28409 30336

60 35534 37485 39699 40482 42266 43188 46459 50641 53809 56620 59335

70 43275 45442 47893 48758 50724 51739 55329 59898 63346 66396 69334

120 83852 86923 90367 91573 94303 95705 100624 106806 111419 115465 119334



Tabla Ndeg42



v

0250 0200 0150 0125 0100 0050 0025 0020 0010 0005

1 1323 1642 2072 2354 2706 3841 5024 5412 6635 7879

2 2773 3219 3794 4159 4605 5991 7378 7824 9210 10597

3 4108 4642 5317 5739 6251 7815 9348 9837 11345 12838

4 5385 5989 6745 7214 7779 9488 11143 11668 13277 14860

5 6626 7289 8115 8625 9236 11070 12832 13388 15086 16750

6 7841 8558 9446 9992 10645 12592 14449 15033 16812 18548

7 9037 9803 10748 11326 12017 14067 16013 16622 18475 20278

8 10219 11030 12027 12636 13362 15507 17535 18168 20090 21955

9 11389 12242 13288 13926 14684 16919 19023 19679 21666 23589

10 12549 13442 14534 15198 15987 18307 20483 21161 23209 25188

11 13701 14631 15767 16457 17275 19675 21920 22618 24725 26757

12 14845 15812 16989 17703 18549 21026 23337 24054 26217 28300

13 15984 16985 18202 18939 19812 22362 24736 25471 27688 29819

14 17117 18151 19406 20166 21064 23685 26119 26873 29141 31319

15 18245 19311 20603 21384 22307 24996 27488 28259 30578 32801

16 19369 20465 21793 22595 23542 26296 28845 29633 32000 34267

17 20489 21615 22977 23799 24769 27587 30191 30995 33409 35718

18 21605 22760 24155 24997 25989 28869 31526 32346 34805 37156

19 22718 23900 25329 26189 27204 30144 32852 33687 36191 38582

20 23828 25038 26498 27376 28412 31410 34170 35020 37566 39997

21 24935 26171 27662 28559 29615 32671 35479 36343 38932 41401

22 26039 27301 28822 29737 30813 33924 36781 37659 40289 42796

23 27141 28429 29979 30911 32007 35172 38076 38968 41638 44181

24 28241 29553 31132 32081 33196 36415 39364 40270 42980 45558

25 29339 30675 32282 33247 34382 37652 40646 41566 44314 46928

26 30435 31795 33429 34410 35563 38885 41923 42856 45642 48290

27 31528 32912 34574 35570 36741 40113 43195 44140 46963 49645

28 32620 34027 35715 36727 37916 41337 44461 45419 48278 50994

29 33711 35139 36854 37881 39087 42557 45722 46693 49588 52335

30 34800 36250 37990 39033 40256 43773 46979 47962 50892 53672

31 35887 37359 39124 40181 41422 44985 48232 49226 52191 55002

60 66981 68972 71341 72751 74397 79082 83298 84580 88379 91952

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120 130055 132806 136062 137990 140233 146567 152211 153918 158950 163648



Tabla Ndeg51



v1

v2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

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0005 1621246 1999736 2161413 2250075 2305582 2343953 2371520 2392381 2409145 2422184

0050 2 1851 1900 1916 1925 1930 1933 1935 1937 1938 1940

0025 3851 3900 3917 3925 3930 3933 3936 3937 3939 3940

0010 9850 9900 9916 9925 9930 9933 9936 9938 9939 9940

0005 19850 19901 19916 19924 19930 19933 19936 19938 19939 19939

0050 3 1013 955 928 912 901 894 889 885 881 879

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0050 11 484 398 359 336 320 309 301 295 290 285

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0010 965 721 622 567 532 507 489 474 463 454

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0050 12 475 389 349 326 311 300 291 285 280 275

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0005 1175 851 723 652 607 576 552 535 520 509



Tabla Ndeg52



v1

v2 12 15 20 24 30 40 50 60 70 120

0050 1 24390 24595 24802 24905 25010 25114 25177 25220 25250 25325

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0010 9942 9943 9945 9946 9947 9948 9948 9948 9948 9949

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0005 491 472 453 443 433 423 417 412 409 401



Tabla Ndeg53



v1

v2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0050 13 47 38 34 32 30 29 28 28 27 27

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0025 525 389 331 297 275 259 247 238 230 224

0010 701 492 407 360 329 307 291 278 267 259

0005 840 572 466 408 370 343 323 308 295 285

0050 120 392 307 268 245 229 218 209 202 196 191

0025 515 380 323 289 267 252 239 230 222 216

0010 685 479 395 348 317 296 279 266 256 247

0005 818 554 450 392 355 328 309 293 281 271



Tabla Ndeg54



v1

v2 12 15 20 24 30 40 50 60 70 120

0050 13 26 25 25 24 24 23 23 23 23 23

0025 32 31 29 29 28 28 27 27 27 27

0010 40 38 37 36 35 34 34 33 33 33

0005 46 45 43 42 41 40 39 39 38 38

0050 14 253 246 239 235 231 227 224 222 221 218

0025 305 295 284 279 273 267 264 261 260 255

0010 380 366 351 343 335 327 322 318 316 309

0005 443 425 406 396 386 376 370 366 362 355

0050 15 248 240 233 229 225 220 218 216 215 211

0025 296 286 276 270 264 259 255 252 251 246

0010 367 352 337 329 321 313 308 305 302 296

0005 425 407 388 379 369 359 352 348 345 337

0050 20 228 220 212 208 204 199 197 195 193 190

0025 268 257 246 241 235 229 225 222 220 216

0010 323 309 294 286 278 269 264 261 258 252

0005 368 350 332 322 312 302 296 292 288 281

0050 24 218 211 203 198 194 189 186 184 183 179

0025 254 244 233 227 221 215 211 208 206 201

0010 303 289 274 266 258 249 244 240 238 231

0005 342 325 306 297 287 277 270 266 263 255

0050 30 209 201 193 189 184 179 176 174 172 168

0025 241 231 220 214 207 201 197 194 192 187

0010 284 270 255 247 239 230 225 221 218 211

0005 318 301 282 273 263 252 246 242 238 230

0050 40 200 192 184 179 174 169 166 164 162 158

0025 229 218 207 201 194 188 183 180 178 172

0010 266 252 237 229 220 211 206 202 199 192

0005 295 278 260 250 240 230 223 218 215 206

0050 45 197 189 181 176 171 166 163 160 159 154

0025 225 214 203 196 190 183 179 176 174 168

0010 261 246 231 223 214 205 200 196 193 185

0005 288 271 253 243 233 222 216 211 208 199

0050 50 195 187 178 174 169 163 160 158 156 151

0025 222 211 199 193 187 180 175 172 170 164

0010 256 242 227 218 210 201 195 191 188 180

0005 282 265 247 237 227 216 210 205 202 193

0050 60 192 184 175 170 165 159 156 153 152 147

0025 217 206 194 188 182 174 170 167 164 158

0010 250 235 220 212 203 194 188 184 181 173

0005 274 257 239 229 219 208 201 196 193 183

0050 70 189 181 172 167 162 157 153 150 149 144

0025 214 203 191 185 178 171 166 163 160 154

0010 245 231 215 207 198 189 183 178 175 167

0005 268 251 233 223 213 202 195 190 186 177

0050 120 183 175 166 161 155 150 146 143 141 135

0025 205 194 182 176 169 161 156 153 150 143

0010 234 219 203 195 186 176 170 166 162 153

0005 254 237 219 209 198 187 180 175 171 161
























(Hasta Weibull )


8 06-05-13 11-05-13


















Seminario taller



PF = 12 (PC1) + 14 (PC2) + 14 (PC3) + 15 (PC4) + 20 (TF1) + 25 (EB)



Razoacuten











Discretas

Continuas

Variable discreta





Variable continua





Ejercicio






















































Ejemplo


categoriacutea pe

Dominio f h p

compe 285 0570 570

orgpe 106 0212 212

edupe 64 0128 128

gobpe 26 0052 52

netpe 3 0006 06

Otros 16 0032 32

Total 500






Ejercicio








Ejemplo







Otros 5

Deformaciones 15












MS Word 250

MS Excel 80

MS Power Point 75

Access 30

Outlook 10

Otros 55

Total 500






Carpinteros 1057 13





Vidrieros 42 14













Quejas hi




Marketing 0148


Otros 0025






Impuestos 12042

Tasas 26530

Contribuciones 120

Venta de bienes 845




Transferencias 734

Otros 1132





Nazca


Columnas cortas 10



Otros 10

Piso blando 5















Ejemplo



2 3 3 0 1 2 1 2 2 4 3 2 0 1 2

1 3 3 2 1 0 1 2 3 2 4 1 0 1 2


X fi hi Fi Hi




Ejercicio




Calcule






Marca de clase


2


ix

Ejercicio




008 015 019 071 075 082 084 092 096 116 117 119 123 14 147

159 161 201 216 238 242 307 322 353 376 394 45 459 475 541


R =


k =


w =



1 ndash

2 ndash

3 ndash

4 ndash

5 ndash

6 ndash









Ejercicio









de 1993)


3 4 3 3 1 4 1 3 2 3

1 1 4 2 3 3 2 6 1 1

3 3 2 2 2 2 1 3 2 1

6 3 1 2 2 3 2 2 4 2




H3


con fallas fi pi Hi

1 0 30

2 1 10

3 2 5

4 3 3

5 4 2



520 947 951 975 1025 1041 1060 1252 1256 1460

1468 1586 1587 1626 1662 1662 1662 1662 1682 1697

1960 2049 2049 2049 2049 2083 2152 2175 2181 2181

2181 2181 2209 2262 2350 2397 2422 2596 2616 2772

2865 2870 2978 3139 3150 3162 3386 3599 3631 3983






1 0 100 2 12

2 100 200 4 16

3 200 300 22 25

4 300 400 26 10

5 400 500 20 4

6 500 600 5 2

7 600 700 1 1










998 984 1003 919 935 964

805 984 1005 851 936 970

872 987 1005 865 937 975

872 987 1012 868 939 985

880 995 1015 882 943 1001

955 997 1015 882 948 1003

970 998 1026 883 949 1005

973 1000 1026 887 954 1009

980 1001 1029 914 960 1010

980 1002 1055 927 963 1012











286266246226206186166

50

40

30

20

10

0

Ventas

Fre

cu

en

cia

acu

mu

lad

a

5049

45

36

8

2










la expresioacuten

2


Logro de la unidad



de su especialidad


Definiciones

Estadiacutestico


promedio muestral

Paraacutemetro


Ejemplo







Cuantiles

Percentil







d parte decimal

Decil


Cuartil


dEnk

i 100

)1(






Ejemplo


23 y 24

Ejemplo



evacuacioacuten

315 325 325 334 339 340 356 356 359 359

363 364 369 370 373 373 374 375 380 389

392 393 394 397 402 403 415 424 428 445











536 529 558 565 557 553 562 529 544 534 579 510

527 539 542 547 563 534 546 530 575 568 585













0045 0036 0045 0049 0064 007 0079 0088 0091 0118 013 0136

0136 0136 0145 0179 0182 0182 0194 0209 0209 0227 0242 0258

0258 0258 0291 0327 0333 0336 0361 0379 0394 0412 0445 0506

0554 0567 0579 06 067 0912 1055 107 1267 1639 1894 3046

3888 3985 417 8788











x

x

n

i

i 1


xf

x

k

i

ii 1


1

k

i i

i

f x

xn

Ejercicio


hilos de lino

152 158 162 185 194 206 212 219 254 273 283 295 325 337 369


Ejercicio


x fi fixi

0 13

1 6

2 8

3 6

4 2


Ejercicio



rsquoi

1 [002 - 081[ 6

2 [081 - 160[ 13

3 [160 - 239[ 4

4 [239 - 318[ 3

5 [318 - 397[ 2

6 [397 - 476] 2

Mediana



Ejemplo


984 998 998 999 1000 1000 1005 1012 1026 2500


Ejemplo





0 50

1 60

2 25

3 10

4 5

Moda


Ejemplo


10 10 10 10 10 12 12 12 12 12 12 12 12 14 14 15 15 15 18 18






Media=Mediana=Moda










de 1993)


3 4 3 3 1 4 1 3 2 3

1 1 4 2 3 3 2 6 1 1

3 3 2 2 2 2 1 3 2 1

6 3 1 2 2 3 2 2 4 2










35

130

70

155

0

20

40

60

80

100

120

140

2 4 6 8 10 12 14


Nuacute

mero

de p

art

iacutecu

las



Rango




Varianza




2


N

xN

i

i

1

2

2


1

1

2

2

n

xx

s

n

i

i


2

2 1

1

k

i i

i

f x x

sn

2

2 1

1

k

i i

i

f x x

sn




Ejemplo



35 73 30 15 36 60 47 19 15 38 10 35 31 21 22 20


Ejemplo


de 100 diacuteas

xi fi

0 10

1 15

2 30

3 35

4 10

100

Ejemplo




li fi( x

lindash Media)

2

1 [152 ndash 172[ 12 162 1944 16133

2 [172 ndash 192[ 13 182 2366 3611

3 [192 ndash 212[ 20 202 4040 222

4 [212 ndash 232[ 16 222 3552 8711

5 [232 ndash 252] 5 242 1210 9389

66 13112 38067






100s

CVx



Ejemplo



Tecnologiacutea LAN





108 111 3

111 114 35

114 117 66

117 120 57

120 123 29

123 126 16

126 129 9

129 132 3

132 135 2

Total 220







regenta






100 ndash 200 5

200 ndash 300 14

300 ndash 400 21

400 ndash 500 7

500 ndash 600 3

Total 50


20 2

40 8

60 25

80 20

100 8

Total 63

Ventas Azufral 120 200 100 50 45 120 100 100 90 75 100 210 100 50 120











[ 69220 ndash 70436 [ 14

[ 70436 ndash 71652 [ 5

[ 71652 ndash 72868 [ 6

[ 72868 ndash 74084 [ 8

[ 74084 ndash 75300 [ 7

[ 75300 ndash 76516 [ 17

[ 76516 ndash 77732 [ 5

Total 62



Traccioacuten 62 64520 2983 8899 61220 69856











Rango intercuartil

257513 PP QQRIC























Plomo Cobre Hierro

0010 0022 0039 004 007 009 011 014 018

0015 0030 0043 004 007 01 011 015 019

0015 0031 0047 004 007 01 012 015 020

0016 0031 0049 004 007 012 012 016 022

0016 0035 0055 004 007 014 013 017 023

0019 0035 0060 005 008 016 013 017 025

0020 0036 0073 005 008 018 014 017 033

0021 0038 005 008 014 017







10 ndash 20 2 2 - 4 5

20 ndash 30 8 4 - 6 14

30 ndash 40 25 6 - 8 21

40 ndash 50 9 8 - 10 7

50 ndash 60 6 10 - 12 3










Logro de la unidad









Ejemplos

1Lanzar un dado








Ejemplos

1= 123456

2= cccsscss


4 = t t ge 0


Ejercicio



Ejercicio





33 Evento



ABCetc

Evento simple


Ejemplos




Evento compuesto


Ejemplos






34 Probabilidad






siguiente axioma

0 le P(A)le 1




debe ser igual a 1

kPr(E )=1 i=123k

ii=1






Ejercicio


Ejercicio






( )













obtener 1x ( 1x )

























marca A



Interseccioacuten



siacutembolo BA

Unioacuten



BA

Ejemplo


Sean los eventos







cA A =Ω


P( ) P( ) 1cA A





P( )P( ) 0

P( )P

0 P( ) 0

A BB

BA B

B

Ejemplo









Total 39 15 36 90









P( ) P( ) P( ) P( )A B A B A B

Ejercicio








P( ) P( ) P( )A B A B

Ejercicio


P(AcB)



P( ) P( | )P( ) P( )P( )A B A B B B A A

Ejercicio





P( ) P( )A B A





P( ) P( )P( )A B A B


1 2 1 2P( ) P( )P( ) P( )k kE E E E E E

Ejemplo








Probabilidad Total




Teorema de Bayes



P( )P( | )

P( )

ii

A EA E

E

para ki 21

1 1 2 2

P( )P( )P( | )

P( )P( ) P( )P( ) P( )P( )

i ii

k k

A E AA E

A E A A E A A E A

Ejercicio






crecimiento



















continuacioacuten

Tecnologiacutea

LAN WAN





Aire 3 4 4 3 3 6 4 1 28

Total 40 50 40 20 40 50 50 40 330



coaxiales



LAN








































funcione



diagrama siguiente




funcione







Logro de la unidad








sobre quiacutemica










hidrostaacutetica




Ejemplo


siguiente

S=cc cs sc ss












siguiente manera

)( xXPxf


1)(0 xf

1)(Rango

X

xf

Ejercicio



bullbullCCCC

bullbullCS CS

bullbullSC SC

bullbullSSSS00

11

22

SSRR

bullbullCCCC

bullbullCS CS

bullbullSC SC

bullbullSSSS00

11

22bullbullCCCC

bullbullCS CS

bullbullSC SC

bullbullSSSS00

11

22

00

11

22

SSRR


Ejercicio






Ejercicios



x 0 2 4 6

f(x) 025 k 010 050






x 0 1 2 3 4

f(x) a 037 016 b 001













de rock











computarizada













x

xxfXERango

)()(




x

xfxgxgERango

)()()(



ccE

XcEcXE




222 )( XE



2

Ejercicio



x 0 2 4 6

f(x) 025 k 010 050


Ejercicios




x 5 6 7 8 9 10

f(x) 005 015 030 025 020 005









es la siguiente





























X 0 1 2 3 4

f(x) 041 037 k 005 001







rollo



X 0 1 2 3

P(X = x) 038 024 k 008






Ejemplo



Ejemplo 2


peso


aleatoria


aleatoria



0)( xf

1)( dxxf

b

a

dxxfbXaP )()(

Ejercicio


casootro

xcxxf

0

33)(


f(x)

a b

f(x)

a b




probabilidad

x

dttfxXPxF )()(



dx

xdFxf

)()(

Ejercicio


casootro

xcxxf

0

30)(






dxxxfXE )(

( ) ( )E g x g x f x dx




E(cX)= cE(X)





es

222 )( XE

Ejemplo


densidad

0

55)25(500

3

)(

2

cc

xxxf



Ejercicios


0

20)(

cc

xcxxf









0

08

1

)(8

cc

xexf

x




823)(

2xxxU





25x025

x3)x(f

3

2






casootro0

4x08

x)x(f










F

EX


10)( 1 xqpxf xx


qppqXVpXE 12




todas las pruebas




( ) 1 01 2 n xn x




2 1E X np V X np p

Ejemplo










( ) max[0 ( )]min( )r N r

x n x

N

n


C


n


Media N

rnXE

Varianza

112

N

nN

N

r

N

rnXV

Ejercicio













3210

)(

xx

exXPxf

x


XVXE 2

Ejercicio





Ejercicio






Ejercicios









1



unos de otros












rentable



















proceso de Poisson





proceso de Poisson



automoacuteviles



segundo



automoacuteviles











defectuosos





















de densidad es

bxaab

xf

1



ab

cddXcP

)(


2

baXE

y

12

2

2 abXV

Ejemplo





f(x)

f (x)

0 a k1 k2 b x

1 (b-a)

f(x)

f (x)

0 a k1 k2 b x

1 (b-a)





















intelectual etc


xexf

x2

2

1

2

1)(








XZ






Ejercicio







que ser reemplazado





1 1 2 2 k kY c X c X c X


222

1

2

111 ~ kkkk ccccNY

Ejercicio

SeanX1 ~ N(1 1

2

1 6) y X2 ~ N(2 4

2



Y = X1 + X2

Y = X1 ndash X2

Y = 4X1 ndash 6 X2

Ejercicio








menor de 20 minutos




Ejercicios
















cc0

d2x5

d2si

d8

5

)x(f

















de leva


de leva























segundos
























normalmente









0

0)()(

1

cc

xex

xf

x


22 XVXE



casootro 0

0 e1

)(

1

xβxf

x

Se denota X~exp( )


22 XVXE

f(x)

0 x

f(x)

0 x


Ejemplo



0 si 0

0 si e20

1

)(20

1

x

xxf

x










0

0)(

1

cc

xexxf

x


01)( xexXPxF x


12

1

222 XV

XE

Ejemplo






Ejercicios



probabilidad es

0

012

1

)(12

cc

xexf

x





0

0)(8000

cc

xcexf

x




2

2

80002

400020

XXC






0xparae50

1)x(f

x50

1







de probabilidad

casootroen

xsiexf

x

0

050)(

50




del costo





propiedades
































Logro de la unidad













n

i

iXn

X1


poblacional



x

2 2s

p p

21 21 xx

2

2

2

1 22

21 ss

21 pp 21ˆˆ pp





IC(θ)=(LI LS)








Muestra 1

Muestra 2

Muestra 3

Muestra 4

hellip

Muestra 100







micro








X



nzx

nzx

2121


04

03

02

01

00

De

nsid

ad

0






denotado por ME= n

z

)21(

Luego



1-α

α2 α2 Z(1-α2)

Z(α2)

zo -zo

X

micro desconocida

conocida

n

ME ME






Ejemplo

















X S



n

Stx

n

Stx nn 1212


04

03

02

01

00

De

nsid

ad

-to to0


T(1-α2 n-1)

α2 α2 T(α2 n-1)

X

micro desconocida

desconocida

n

ME ME






Ejemplo







Ejemplo



009678 007149 002216 002844 000509 002346 006387

003786 006458 007758 005297 003282 006952 008588

005720 000085 007407 002497 004557 003753 004897

003336 009612 009007 005633 007776 007836 007373

008864 004475 002384 002123 005981 003668 000019

008866 003658 005978 003543 003159 007735 006618

006675 001867 003198 007262 001231 004838 001650

008083 002441 005767 00797 006182 005700 008941

005175 007922 000943 003686 001097 008949 000264

007271 007979 001333 002791 008812 006969 004160











probar






2

21

e

zn

2

21

e

Szn


Ejemplo




Solucioacuten

Ejemplo




2980 3120 3100 3059 2985 2998 3020 3100 2988 3010


error de 50 psi


Ejercicios



alambres

0140 0138 0143 0142 0144 0137 0135 0140 0136 0142 0138 0140















minutos












16 5 21 19 10 5 8 2 7 2 4 9







2212 1839 3152 2608 2456 2747 2913 1265 2346 2333 1909 2333











x eacutexitos n

xp ˆ



n

ppzpp

n

ppzp

)ˆ1(ˆˆ

)ˆ1(ˆˆ

2121


04

03

02

01

00

De

nsid

ad

0







denotado por ME= n

ppz

)ˆ1(ˆ)21(

Luego y


n

ME ME

p LI= p

- ME




Nuacutemero de

eacutexitos

Nuacutemero de

fracasos



LI= p

+ ME

1-α

α2 α2 Z(1-α2)

Z(α2)

zo -zo


Ejemplo
























SiacuteNo

70

60

50

40

30

20

10

0

Co

nte

o

53

67









2

2

21 1

e

ppzn




2

2

21

4e

zn

Ejemplo




Ejemplo





Preguntas




Ejercicios












confianza del 98







Explique




resultado

Joyeriacutea 62

Deportes 50

Muacutesica 47

Ropa 16 Hogar 10




Conceptos generales













Tipos de errores





Error tipo I





Error tipo II





Ejercicio







2

2

2121

21 ppp

01

00

01

00

01

00

H

H

H

H

H

H








Hipoacutetesis


00 H 00 H 00 H

01 H 01 H 01 H


Zn

xz ~

0

c


Hipoacutetesis


00 H 00 H 00 H

01 H 01 H 01 H


1

0

c ~

nt

nS

xt


Ejercicio






Ejercicio





97 128 87 134 83 117 107 81 91 105




Ejercicios








es respectivamente

301

327

225

275

289

277

298

289

314

304

270

312

243

264

228

294

223

291

334

235


quiacutemico



Hipoacutetesis


00 H pp 00 H pp 00 H pp

01 H pp 01 H pp 01 H pp


Z

n

pp

ppz ~

)1(

ˆ

00

0c

Ejercicio









Siacute No

10 290 300



Ejercicios









Hipoacutetesis


2

0

2

0 H 2

0

2

0 H 2

0

2

0 H

2

0

2

1 H 2

0

2

1 H 2

0

2

1 H


2

12

0

22

c ~)1(

n

Sn

Ejemplo






Ejercicio



































Hipoacutetesis


2

2

2

10 H 2

2

2

10 H 2

2

2

10 H

2

2

2

11 H 2

2

2

11 H 2

2

2

11 H


112

2

2

1c 21

~ nnFS

SF

Ejercicio






Media 5717 57225

Varianza 1451566667 1533071429

Observaciones 10 8






Hipoacutetesis


k 210 H k 210 H k 210 H

k 211 H k 211 H k 211 H


2

21

2

21

21~

11

nn

p

c t

nnS

kxxt

2

)1()1(

21

2

22

2

112

nn

SnSnS p

Ejercicio





continuacioacuten

Lugar antiguo 998 1026 1005 1029 1003 905 1055 1026 997 987

Lugar nuevo 919 963 1010 970 1009 960 1005 1012 949 937



Lugar antiguo 10 0261312 0399484 0804423

Lugar nuevo 10 0221012 0337876 0680364






Media del

Error


Lugar antiguo 10 10031 0399 013

Lugar nuevo 10 9734 0338 011









lugares



Hipoacutetesis


k 210 H k 210 H k 210 H

k 211 H k 211 H k 211 H


t

n

S

n

S

kxxtc ~

2

2

2

1

2

1

21

11 2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

2

2

2

1

2

1

n

n

S

n

n

S

n

S

n

S

Ejercicio



Laboratorio 1 2870 2382 3143 3659 3620 3887 2929 2903

Laboratorio 2 3076 3380 3494 3074 3162 3269





Laboratorio 1 8 316945 506616 116039

Laboratorio 2 6 100006 170561 48797




Media del

Error










Hipoacutetesis


210 H pp 210 H pp 210 H pp

210 H pp 210 H pp 210 H pp


Z

nnpp

ppzc

21

21

111

ˆˆ

21

21

21

2211ˆˆ

nn

xx

nn

pnpnp

Ejercicio




Material 1 45 185 230





Ejercicio














TURNO

PRODUCTO

A B



Tarde 5 150 25 200







Logro de la unidad



relacionan

61 Bondad de ajuste





2

2 2

( 1)

1

~k

i i

c k m

i i

o e

e

i ie np







Ejemplo


X 1 2 3 4 5 6

O 28 36 36 30 27 23




Hipoacutetesis



Ejemplo






Frecuencia


Frecuencia

esperada ie

2

i i

i

o e

e

0 24

1 35

2 21

3 10

4 5

5 5

Total



Hipoacutetesis



Ejemplo




Observada io


esperada ie

2

i i

i

o e

e

0

1

2

3

4

5

6

Total


Ejercicios












Frecuencia 140 270 280 180 90 40














Clientes 20 15 12 8 11 16 18





Turno 1 2 3 4






resultados


Ndeg cajas 20 140 260 300 200 80




Hipoacutetesis



Ejemplo



12 15 16 18 19 14 10 15 16 14

225200175150125100

99

95

90

80

70

60

50

40

30

20

10

5

1

C1

Po

rce

nta

je

Media 149

DesvEst 2644

N 10

KS 0117

Valor P gt0150










contingenciartimesc


r

i

c

j

cr

ij

ijij

ce

eo

1 1

2

11

2

2 ~)(

n

nne

ji

ij

Factor 2


Factor 1

Fila 1

Fila 2

Filar

Hipoacutetesis



Ejercicio







Promedio Sobre el

promedio



Promedio 28 79 60 167

Muy bueno 9 49 63 121

Total 60 188 152 400




Valores esperados


promedio Promedio

Sobre el promedio



Promedio 60167400 167


Total 60 188 152 400


Ejercicios



Selectividad

Fidelidad

Baja Promedio Alta

Baja 7 12 31

Promedio 35 54 18

Alta 15 13 5


selectividad






Tipo de crimen

Distrito

I II III

Asalto 162 310 258

Robo 118 196 193

Hurto 451 996 458

Homicidio 18 25 10





Logro de la unidad

























recta

0 1i i iY X e

Variable respuesta


(independiente)

i = 1 2hellip n






3025201510

9

8

7

6

5

4

X

Y

X vs Y

1614121008060402

1600

1400

1200

1000

800

600

400

200

0

X

Y

X vs Y

50454035302520

60

50

40

30

20

X

Y

X vs Y

12001000800600400200

140

130

120

110

100

90

80

70

60

50

X

Y

X vs Y

Ejercicio



Resistencia x 22 21 31 34 37 43 34 34 42 51 56 59

Tiempo de falla y 20 22 26 28 30 32 33 35 37 42 45 47


Cuando X crece

Y crece

Modelo lineal

Buen ajuste

Modelo lineal

Buen ajuste

Cuando X crece

Y decrece

Variables no

relacionadas

Variables no

relacionadas


6050403020

50

45

40

35

30

25

20

Resistencia(X)

Tie

mp

o (

Y)









Es decir

n

i

ii yy1




n

i

i

n

i

ii

n

i

i

n

i

i

n

i

i

xxyx

xny

1

2

1

1

0

1

1

10

1




2

11

2

111

1ˆ

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

n

i

i

xxn

yxyxn

y xy 10ˆˆ



donde



Ejercicio




Coef


Constante 6797 2652 256 0028

Resistencia(X) 067983 006570 1035 0000


1

0











1





o



5



Fuente GL SC CM F P

Regresioacuten 1 74532 74532 10709 0000


Total 11 81492

0H

0H

11

10

CMError

CMRegFcal

09

08

07

06

05

04

03

02

01

00

X

De

nsit

y

0


α ZNR

A

ZR

Fcrit










2 SCReg100

SCTotR

Ejercicio


Salida del Minitab

Coef


Constante 6797 2652 256 0028

Resistencia(X) 06798 00657 1035 0000


R2





CMEn

SCES

2

Ejercicio


S




Xe Y









-10 -065 -02 02 065 10


Ejercicio


r





siguiente



0ˆsi

0ˆsi

1

2

1

2

R

Rr


Salida del Minitab



Coef


Constante 2976 1473 202 0074




Fuente GL SC CM F P



Total ___ 28876



3025201510

9

8

7

6

5

4

Temperatura

Vid

a u

til




1

0


Ho

H1


R2

r





0 2 2 0 0 0 2 2 0ˆ ˆ ˆ ÊE EEn nt t

1 2 2 1 0 1 2 2 1ˆ ˆ ˆ ÊE EEn nt t



1

( 2)

1

ˆ~

ÊEn

kt t



xx

nXYxx

nS

xx

nSty

S

xx

nSty

2

0

)22(0

2

0

)22(0

1ˆ

1ˆ

0


xx

nXYxx

nS

xx

nSty

S

xx

nSty

2

0

)22(0ˆ

2

0

)22(0

11ˆ

11ˆ

0








300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1400 1600


0065 008 0095 0115 013 015 0175 0205 023 027 0346 0436



1600140012001000800600400200

045

040

035

030

025

020

015

010

005

Densidad

Co

nd

ucti

vid

ad




Coef


Constante -0049 001726 -286 0017

Densidad 00003 000002 1524



Fuente GL SC CM F P

Regresioacuten 1


Total 11 014085



1



R2

r








005000250000-0025-0050

99

95

90

80

70

60

50

40

30

20

10

5

1

RESI

Po

rce

nta

je

Mean -462593E-18

StDev 002298

N 12

KS 0182

P-Value gt0150






siguientes

Temperatura (oC) 18 18 18 22 22 26 30 30 34





Coef


Constante 218400 7502 2911 0000




Fuente GL SC MC F P

Regresioacuten 1 864685 864685 32623 0000


Total 8 883239




9 340 2400 3324 341 -924 -240R



Nueva Ajuste


1 8225 173 (7816 8635) (6941 9510)


Nueva Temperatura

Obs (degC)

1 250


1



R2

r








100500-50-100

99

95

90

80

70

60

50

40

30

20

10

5

1

RESI

Po

rce

nta

je

Mean -353692E-13

StDev 4816

N 9

KS 0180

P-Value gt0150




Logro de la unidad










el anaacutelisis


1

0


1






120100806040200

400

350

300

250

200

150

100

50

X

Y


2

0 1 2Y X X






resultados

Rapidez(Kmh) 35 50 55 60 65 80 95 110



vehiacuteculo




Coef


Constante 17064 8107 210 0089

RAPIDEZ -05103 02357 -216 0083

RAPIDEZ2 0013139 0001584 830 0000



Fuente GL SC CM F P

Regresioacuten 2 90539 45269 83846 0000


Total 7 90809


Fuente GL SC CM F P

RAPIDEZ 1 86823 2530 4687 0083

RAPIDEZ2 1 3716 37160 68827 0000











216520 1300

239955 375

177980 2500

233675 975

176530 2200

205350 1800

241440 600

220050 1250

265420 200

175370 2150





Coef


Constante 264858 8125 3260 0000

Antiguumledad -3630 1450 -250 0041

Antiguedad2 -00495 05265 -009 0928



Fuente GL SC CM F P

Regresioacuten 2 831630 415815 6648 0000


Total 9 875413



Fuente GL SC CM F P

Lineal 1 831575 39184 62647 004






)10(N~n

xz

_

)1n(

_

t~nS

xt

nz x)(IC 21

_

n

st x)(IC 21n(

_

2 2

)2-1 1n(

22

2

)2 1n(

22 S)1n(

)(LSCS)1n(

)(LIC

2

)1n(2

22 X~

S)1n(

p p1qn

)p1(pzp)p(IC )21(

)10(N~

n

)p1(p

ppz

21

Varianzas conocidas

2

2

2

1

2

1)21(2121

nnz)xx()(IC

)10(N~

nn

)()xx(z

2

22

1

21

2121


2nn

S)1n(S)1n(Sdonde

n

1

n

1St)xx()(IC

21

2

22

2

112

p

21

2

p)2 2nn(

_

2

_

1 2121

)2nn(

21

2

p

21

_

2

_

1

21t~

n

1

n

1S

)()xx(t




2

2

2

1

2

1

)2v(

_

2

_

1n

S

n

St)xx()(IC

21 )v(

2

22

1

21

2121 t~

n

S

n

S

)()xx(t

1n

n

S

1n

n

S

n

S

n

S

v

2

2

2

22

1

2

1

21

2

2

22

1

21

D n

st d)D(IC d

)21n( 1n

d

t~nS

Ddt


22

2 1 )vv2(2

2

212

221

)vv2(22

212

221

12

21

fS

S)(LSC

f

1

S

S)(LIC

1nv 11 1nv 22

11

2

2

2

1

2

2

2

1

21~

1 nnF

S

SF

21 pp

22

11

2

22

1

11

212121

2

22

1

11

212121

p1q

p1q

donde

n

qp

n

qpzpp)pp(LSC

n

qp

n

qpzpp)pp(LIC

a) 0ppH 210

)10(N~

n

1

n

1)p1(p

ppz

21

21

83 21

2211

nn

pnpnpdonde

b) KppH 210 y K 0

)10(N~

n

qp

n

qp

K)pp(z

2

22

1

11

21



PRUEBA JI CUADRADO

k

1i

2)1c)(1r(

i

2ii2 X

e

)eo(X

lg)1mk(vconX~e

)eo(X 2

k

1i i

2

ii2


k

1i

2

i

2

ii2 Xe

50eoX



x np)X(E )p1(np)X(V

Poisson )(P~X 210xx

e)xX(P

x

)X(E )X(V


xˆyˆ

xxn

yxyxn

ˆ

10

2n

1i

i

n

1i

2i

n

1i

i

n

1i

ii

n

1i

i

1


n

1i

2i

n

1i

2i

n

1i

ii

)yy(n

1)xx(

n

1

)yy)(xx(n

1

SS

)YXcov(r

yx

Cuadrados medios

pn

SSECME

1p

SSRCMR

donde



Prueba conjunta

)1(~ pnpFCME

CMRF

Inferencia para 0

xx

2i

20nS

xstˆ

)2(

2

00 ~ˆ

n

xx

i

t

nS

xs

t


a) 0H0

)2n(2

t~r1

2nrt

b) 00 H

)10(N~)1)(r1(

)1)(r1(ln

2

3nZ

0

0



Suma de cuadrados

SSRSSTSSE

n

xxˆSSR

n

yySST

2

i2i

21

2

i2i


SST

SSRr 2


pn

1n)r1(1rr 222

correg

Inferencia para 1

xx

nS

st 221

ˆ

)(1111 ~

ˆˆ

1

pn

b

xx

tS

S

st

donde

2

2

1

2

2

2

1ˆ

)(

xxx

i

i

ixx

SnSSR

S

xxn

xxS

CMEpn

SSEsss xye

Pronoacutesticos

Valor medio

xx

20

)22n(0S

)xx(

n

1sty

Valor individual

xx

20

)22n(0S

)xx(

n

11sty

Modelos no lineales



01


m

2

210 xˆxˆxˆˆy~

Tabla Ndeg 21



Z -009 -008 -007 -006 -005 -004 -003 -002 -001 -000

-39 0000033 0000034 0000036 0000037 0000039 0000041 0000042 0000044 0000046 0000048

-38 0000050 0000052 0000054 0000057 0000059 0000062 0000064 0000067 0000069 0000072

-37 0000075 0000078 0000082 0000085 0000088 0000092 0000096 0000100 0000104 0000108

-36 0000112 0000117 0000121 0000126 0000131 0000136 0000142 0000147 0000153 0000159

-35 0000165 0000172 0000178 0000185 0000193 0000200 0000208 0000216 0000224 0000233

-34 0000242 0000251 0000260 0000270 0000280 0000291 0000302 0000313 0000325 0000337

-33 0000349 0000362 0000376 0000390 0000404 0000419 0000434 0000450 0000466 0000483

-32 0000501 0000519 0000538 0000557 0000577 0000598 0000619 0000641 0000664 0000687

-31 0000711 0000736 0000762 0000789 0000816 0000845 0000874 0000904 0000935 0000968

-30 0001001 0001035 0001070 0001107 0001144 0001183 0001223 0001264 0001306 0001350

-29 000139 000144 000149 000154 000159 000164 000169 000175 000181 000187

-28 000193 000199 000205 000212 000219 000226 000233 000240 000248 000256

-27 000264 000272 000280 000289 000298 000307 000317 000326 000336 000347

-26 000357 000368 000379 000391 000402 000415 000427 000440 000453 000466

-25 000480 000494 000508 000523 000539 000554 000570 000587 000604 000621

-24 000639 000657 000676 000695 000714 000734 000755 000776 000798 000820

-23 000842 000866 000889 000914 000939 000964 000990 001017 001044 001072

-22 001101 001130 001160 001191 001222 001255 001287 001321 001355 001390

-21 001426 001463 001500 001539 001578 001618 001659 001700 001743 001786

-20 001831 001876 001923 001970 002018 002068 002118 002169 002222 002275

-19 002330 002385 002442 002500 002559 002619 002680 002743 002807 002872

-18 002938 003005 003074 003144 003216 003288 003362 003438 003515 003593

-17 003673 003754 003836 003920 004006 004093 004182 004272 004363 004457

-16 004551 004648 004746 004846 004947 005050 005155 005262 005370 005480

-15 005592 005705 005821 005938 006057 006178 006301 006426 006552 006681

-14 006811 006944 007078 007215 007353 007493 007636 007780 007927 008076

-13 008226 008379 008534 008691 008851 009012 009176 009342 009510 009680

-12 009853 010027 010204 010383 010565 010749 010935 011123 011314 011507

-11 011702 011900 012100 012302 012507 012714 012924 013136 013350 013567

-10 013786 014007 014231 014457 014686 014917 015151 015386 015625 015866

-09 016109 016354 016602 016853 017106 017361 017619 017879 018141 018406

-08 018673 018943 019215 019489 019766 020045 020327 020611 020897 021186

-07 021476 021770 022065 022363 022663 022965 023270 023576 023885 024196

-06 024510 024825 025143 025463 025785 026109 026435 026763 027093 027425

-05 027760 028096 028434 028774 029116 029460 029806 030153 030503 030854

-04 031207 031561 031918 032276 032636 032997 033360 033724 034090 034458

-03 034827 035197 035569 035942 036317 036693 037070 037448 037828 038209

-02 038591 038974 039358 039743 040129 040517 040905 041294 041683 042074

-01 042465 042858 043251 043644 044038 044433 044828 045224 045620 046017

-00 046414 046812 047210 047608 048006 048405 048803 049202 049601 050000



Tabla Ndeg 22



Z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009

00 050000 050399 050798 051197 051595 051994 052392 052790 053188 053586

01 053983 054380 054776 055172 055567 055962 056356 056749 057142 057535

02 057926 058317 058706 059095 059483 059871 060257 060642 061026 061409

03 061791 062172 062552 062930 063307 063683 064058 064431 064803 065173

04 065542 065910 066276 066640 067003 067364 067724 068082 068439 068793

05 069146 069497 069847 070194 070540 070884 071226 071566 071904 072240

06 072575 072907 073237 073565 073891 074215 074537 074857 075175 075490

07 075804 076115 076424 076730 077035 077337 077637 077935 078230 078524

08 078814 079103 079389 079673 079955 080234 080511 080785 081057 081327

09 081594 081859 082121 082381 082639 082894 083147 083398 083646 083891

10 084134 084375 084614 084849 085083 085314 085543 085769 085993 086214

11 086433 086650 086864 087076 087286 087493 087698 087900 088100 088298

12 088493 088686 088877 089065 089251 089435 089617 089796 089973 090147

13 090320 090490 090658 090824 090988 091149 091309 091466 091621 091774

14 091924 092073 092220 092364 092507 092647 092785 092922 093056 093189

15 093319 093448 093574 093699 093822 093943 094062 094179 094295 094408

16 094520 094630 094738 094845 094950 095053 095154 095254 095352 095449

17 095543 095637 095728 095818 095907 095994 096080 096164 096246 096327

18 096407 096485 096562 096638 096712 096784 096856 096926 096995 097062

19 097128 097193 097257 097320 097381 097441 097500 097558 097615 097670

20 097725 097778 097831 097882 097932 097982 098030 098077 098124 098169

21 098214 098257 098300 098341 098382 098422 098461 098500 098537 098574

22 098610 098645 098679 098713 098745 098778 098809 098840 098870 098899

23 098928 098956 098983 099010 099036 099061 099086 099111 099134 099158

24 099180 099202 099224 099245 099266 099286 099305 099324 099343 099361

25 099379 099396 099413 099430 099446 099461 099477 099492 099506 099520

26 099534 099547 099560 099573 099585 099598 099609 099621 099632 099643

27 099653 099664 099674 099683 099693 099702 099711 099720 099728 099736

28 099744 099752 099760 099767 099774 099781 099788 099795 099801 099807

29 099813 099819 099825 099831 099836 099841 099846 099851 099856 099861

30 0998650 0998694 0998736 0998777 0998817 0998856 0998893 0998930 0998965 0998999

31 0999032 0999065 0999096 0999126 0999155 0999184 0999211 0999238 0999264 0999289

32 0999313 0999336 0999359 0999381 0999402 0999423 0999443 0999462 0999481 0999499

33 0999517 0999534 0999550 0999566 0999581 0999596 0999610 0999624 0999638 0999651

34 0999663 0999675 0999687 0999698 0999709 0999720 0999730 0999740 0999749 0999758

35 0999767 0999776 0999784 0999792 0999800 0999807 0999815 0999822 0999828 0999835

36 0999841 0999847 0999853 0999858 0999864 0999869 0999874 0999879 0999883 0999888

37 0999892 0999896 0999900 0999904 0999908 0999912 0999915 0999918 0999922 0999925

38 0999928 0999931 0999933 0999936 0999938 0999941 0999943 0999946 0999948 0999950

39 0999952 0999954 0999956 0999958 0999959 0999961 0999963 0999964 0999966 0999967



Tabla Nordm 31



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38 025513 052883 085118 105077 130423 168595 179878 193863 202439 212667 225465 242857 271156 38

39 025508 052871 085094 10504 130364 168488 179751 193711 202269 212474 22524 242584 270791 39

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Tabla Nordm 32



v

α

v 04 03 02 015 01 005 004 003 0025 002 0015 001 0005

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120 025391 05258 084463 104093 128865 165765 176564 189874 197993 207631 21962 235782 261742 120

infin 025335 05244 084162 103643 128156 164484 175069 188079 195997 205375 217009 232635 257583 infin



Tabla Ndeg41



v

0995 0990 0980 0975 0960 0950 0900 0800 0700 0600 0500

1 0000 0000 0001 0001 0003 0004 0016 0064 0148 0275 0455

2 0010 0020 0040 0051 0082 0103 0211 0446 0713 1022 1386

3 0072 0115 0185 0216 0300 0352 0584 1005 1424 1869 2366

4 0207 0297 0429 0484 0627 0711 1064 1649 2195 2753 3357

5 0412 0554 0752 0831 1031 1145 1610 2343 3000 3656 4351

6 0676 0872 1134 1237 1492 1635 2204 3070 3828 4570 5348

7 0989 1239 1564 1690 1997 2167 2833 3822 4671 5493 6346

8 1344 1647 2032 2180 2537 2733 3490 4594 5527 6423 7344

9 1735 2088 2532 2700 3105 3325 4168 5380 6393 7357 8343

10 2156 2558 3059 3247 3697 3940 4865 6179 7267 8295 9342

11 2603 3053 3609 3816 4309 4575 5578 6989 8148 9237 10341

12 3074 3571 4178 4404 4939 5226 6304 7807 9034 10182 11340

13 3565 4107 4765 5009 5584 5892 7041 8634 9926 11129 12340

14 4075 4660 5368 5629 6243 6571 7790 9467 10821 12078 13339

15 4601 5229 5985 6262 6914 7261 8547 10307 11721 13030 14339

16 5142 5812 6614 6908 7596 7962 9312 11152 12624 13983 15338

17 5697 6408 7255 7564 8288 8672 10085 12002 13531 14937 16338

18 6265 7015 7906 8231 8989 9390 10865 12857 14440 15893 17338

19 6844 7633 8567 8907 9698 10117 11651 13716 15352 16850 18338

20 7434 8260 9237 9591 10415 10851 12443 14578 16266 17809 19337

21 8034 8897 9915 10283 11140 11591 13240 15445 17182 18768 20337

22 8643 9542 10600 10982 11870 12338 14041 16314 18101 19729 21337

23 9260 10196 11293 11689 12607 13091 14848 17187 19021 20690 22337

24 9886 10856 11992 12401 13350 13848 15659 18062 19943 21652 23337

25 10520 11524 12697 13120 14098 14611 16473 18940 20867 22616 24337

26 11160 12198 13409 13844 14851 15379 17292 19820 21792 23579 25336

27 11808 12878 14125 14573 15609 16151 18114 20703 22719 24544 26336

28 12461 13565 14847 15308 16371 16928 18939 21588 23647 25509 27336

29 13121 14256 15574 16047 17138 17708 19768 22475 24577 26475 28336

30 13787 14953 16306 16791 17908 18493 20599 23364 25508 27442 29336

31 14458 15655 17042 17539 18683 19281 21434 24255 26440 28409 30336

60 35534 37485 39699 40482 42266 43188 46459 50641 53809 56620 59335

70 43275 45442 47893 48758 50724 51739 55329 59898 63346 66396 69334

120 83852 86923 90367 91573 94303 95705 100624 106806 111419 115465 119334



Tabla Ndeg42



v

0250 0200 0150 0125 0100 0050 0025 0020 0010 0005

1 1323 1642 2072 2354 2706 3841 5024 5412 6635 7879

2 2773 3219 3794 4159 4605 5991 7378 7824 9210 10597

3 4108 4642 5317 5739 6251 7815 9348 9837 11345 12838

4 5385 5989 6745 7214 7779 9488 11143 11668 13277 14860

5 6626 7289 8115 8625 9236 11070 12832 13388 15086 16750

6 7841 8558 9446 9992 10645 12592 14449 15033 16812 18548

7 9037 9803 10748 11326 12017 14067 16013 16622 18475 20278

8 10219 11030 12027 12636 13362 15507 17535 18168 20090 21955

9 11389 12242 13288 13926 14684 16919 19023 19679 21666 23589

10 12549 13442 14534 15198 15987 18307 20483 21161 23209 25188

11 13701 14631 15767 16457 17275 19675 21920 22618 24725 26757

12 14845 15812 16989 17703 18549 21026 23337 24054 26217 28300

13 15984 16985 18202 18939 19812 22362 24736 25471 27688 29819

14 17117 18151 19406 20166 21064 23685 26119 26873 29141 31319

15 18245 19311 20603 21384 22307 24996 27488 28259 30578 32801

16 19369 20465 21793 22595 23542 26296 28845 29633 32000 34267

17 20489 21615 22977 23799 24769 27587 30191 30995 33409 35718

18 21605 22760 24155 24997 25989 28869 31526 32346 34805 37156

19 22718 23900 25329 26189 27204 30144 32852 33687 36191 38582

20 23828 25038 26498 27376 28412 31410 34170 35020 37566 39997

21 24935 26171 27662 28559 29615 32671 35479 36343 38932 41401

22 26039 27301 28822 29737 30813 33924 36781 37659 40289 42796

23 27141 28429 29979 30911 32007 35172 38076 38968 41638 44181

24 28241 29553 31132 32081 33196 36415 39364 40270 42980 45558

25 29339 30675 32282 33247 34382 37652 40646 41566 44314 46928

26 30435 31795 33429 34410 35563 38885 41923 42856 45642 48290

27 31528 32912 34574 35570 36741 40113 43195 44140 46963 49645

28 32620 34027 35715 36727 37916 41337 44461 45419 48278 50994

29 33711 35139 36854 37881 39087 42557 45722 46693 49588 52335

30 34800 36250 37990 39033 40256 43773 46979 47962 50892 53672

31 35887 37359 39124 40181 41422 44985 48232 49226 52191 55002

60 66981 68972 71341 72751 74397 79082 83298 84580 88379 91952

70 77577 79715 82255 83765 85527 90531 95023 96387 100425 104215

120 130055 132806 136062 137990 140233 146567 152211 153918 158950 163648



Tabla Ndeg51



v1

v2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0050 1 16145 19950 21571 22458 23016 23399 23677 23888 24054 24188

0025 64779 79948 86415 89960 92183 93711 94820 95664 96328 96863

0010 405218 499934 540353 562426 576396 585895 592833 598095 602240 605593

0005 1621246 1999736 2161413 2250075 2305582 2343953 2371520 2392381 2409145 2422184

0050 2 1851 1900 1916 1925 1930 1933 1935 1937 1938 1940

0025 3851 3900 3917 3925 3930 3933 3936 3937 3939 3940

0010 9850 9900 9916 9925 9930 9933 9936 9938 9939 9940

0005 19850 19901 19916 19924 19930 19933 19936 19938 19939 19939

0050 3 1013 955 928 912 901 894 889 885 881 879

0025 1744 1604 1544 1510 1488 1473 1462 1454 1447 1442

0010 3412 3082 2946 2871 2824 2791 2767 2749 2734 2723

0005 5555 4980 4747 4620 4539 4484 4443 4413 4388 4368

0050 4 771 694 659 639 626 616 609 604 600 596

0025 1222 1065 998 960 936 920 907 898 890 884

0010 2120 1800 1669 1598 1552 1521 1498 1480 1466 1455

0005 3133 2628 2426 2315 2246 2198 2162 2135 2114 2097

0050 5 661 579 541 519 505 495 488 482 477 474

0025 1001 843 776 739 715 698 685 676 668 662

0010 1626 1327 1206 1139 1097 1067 1046 1029 1016 1005

0005 2278 1831 1653 1556 1494 1451 1420 1396 1377 1362

0050 6 599 514 476 453 439 428 421 415 410 406

0025 881 726 660 623 599 582 570 560 552 546

0010 1375 1092 978 915 875 847 826 810 798 787

0005 1863 1454 1292 1203 1146 1107 1079 1057 1039 1025

0050 7 559 474 435 412 397 387 379 373 368 364

0025 807 654 589 552 529 512 499 490 482 476

0010 1225 955 845 785 746 719 699 684 672 662

0005 1624 1240 1088 1005 952 916 889 868 851 838

0050 8 532 446 407 384 369 358 350 344 339 335

0025 757 606 542 505 482 465 453 443 436 430

0010 1126 865 759 701 663 637 618 603 591 581

0005 1469 1104 960 881 830 795 769 750 734 721

0050 9 512 426 386 363 348 337 329 323 318 314

0025 721 571 508 472 448 432 420 410 403 396

0010 1056 802 699 642 606 580 561 547 535 526

0005 1361 1011 872 796 747 713 688 669 654 642

0050 10 496 410 371 348 333 322 314 307 302 298

0025 694 546 483 447 424 407 395 385 378 372

0010 1004 756 655 599 564 539 520 506 494 485

0005 1283 943 808 734 687 654 630 612 597 585

0050 11 484 398 359 336 320 309 301 295 290 285

0025 672 526 463 428 404 388 376 366 359 353

0010 965 721 622 567 532 507 489 474 463 454

0005 1223 891 760 688 642 610 586 568 554 542

0050 12 475 389 349 326 311 300 291 285 280 275

0025 655 510 447 412 389 373 361 351 344 337

0010 933 693 595 541 506 482 464 450 439 430

0005 1175 851 723 652 607 576 552 535 520 509



Tabla Ndeg52



v1

v2 12 15 20 24 30 40 50 60 70 120

0050 1 24390 24595 24802 24905 25010 25114 25177 25220 25250 25325

0025 97672 98487 99308 99727 100140 100560 100810 100979 101101 101404

0010 610668 615697 620866 623427 626035 628643 630226 631297 632089 633951

0005 2442673 2463162 2483651 2493709 2504140 2514571 2521276 2525374 2528355 2535805

0050 2 1941 1943 1945 1945 1946 1947 1948 1948 1948 1949

0025 3941 3943 3945 3946 3946 3947 3948 3948 3948 3949

0010 9942 9943 9945 9946 9947 9948 9948 9948 9948 9949

0005 19942 19943 19945 19945 19948 19948 19948 19948 19948 19949

0050 3 874 870 866 864 862 859 858 857 857 855

0025 1434 1425 1417 1412 1408 1404 1401 1399 1398 1395

0010 2705 2687 2669 2660 2650 2641 2635 2632 2629 2622

0005 4339 4308 4278 4262 4247 4231 4221 4215 4210 4199

0050 4 591 586 580 577 575 572 570 569 568 566

0025 875 866 856 851 846 841 838 836 835 831

0010 1437 1420 1402 1393 1384 1375 1369 1365 1363 1356

0005 2070 2044 2017 2003 1989 1975 1967 1961 1957 1947

0050 5 468 462 456 453 450 446 444 443 442 440

0025 652 643 633 628 623 618 614 612 611 607

0010 989 972 955 947 938 929 924 920 918 911

0005 1338 1315 1290 1278 1266 1253 1245 1240 1237 1227

0050 6 400 394 387 384 381 377 375 374 373 370

0025 537 527 517 512 507 501 498 496 494 490

0010 772 756 740 731 723 714 709 706 703 697

0005 1003 981 959 947 936 924 917 912 909 900

0050 7 357 351 344 341 338 334 332 330 329 327

0025 467 457 447 441 436 431 428 425 424 420

0010 647 631 616 607 599 591 586 582 580 574

0005 818 797 775 764 753 742 735 731 728 719

0050 8 328 322 315 312 308 304 302 301 299 297

0025 420 410 400 395 389 384 381 378 377 373

0010 567 552 536 528 520 512 507 503 501 495

0005 701 681 661 650 640 629 622 618 615 606

0050 9 307 301 294 290 286 283 280 279 278 275

0025 387 377 367 361 356 351 347 345 343 339

0010 511 496 481 473 465 457 452 448 446 440

0005 623 603 583 573 562 552 545 541 538 530

0050 10 291 285 277 274 270 266 264 262 261 258

0025 362 352 342 337 331 326 322 320 318 314

0010 471 456 441 433 425 417 412 408 406 400

0005 566 547 527 517 507 497 490 486 483 475

0050 11 279 272 265 261 257 253 251 249 248 245

0025 343 333 323 317 312 306 303 300 299 294

0010 440 425 410 402 394 386 381 378 375 369

0005 524 505 486 476 465 455 449 445 441 434

0050 12 269 262 254 251 247 243 240 238 237 234

0025 328 318 307 302 296 291 287 285 283 279

0010 416 401 386 378 370 362 357 354 351 345

0005 491 472 453 443 433 423 417 412 409 401



Tabla Ndeg53



v1

v2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0050 13 47 38 34 32 30 29 28 28 27 27

0025 64 50 43 40 38 36 35 34 33 32

0010 91 67 57 52 49 46 44 43 42 41

0005 114 82 69 62 58 55 53 51 49 48

0050 14 460 374 334 311 296 285 276 270 265 260

0025 630 486 424 389 366 350 338 329 321 315

0010 886 651 556 504 469 446 428 414 403 394

0005 1106 792 668 600 556 526 503 486 472 460

0050 15 454 368 329 306 290 279 271 264 259 254

0025 620 477 415 380 358 341 329 320 312 306

0010 868 636 542 489 456 432 414 400 389 380

0005 1080 770 648 580 537 507 485 467 454 442

0050 20 435 349 310 287 271 260 251 245 239 235

0025 587 446 386 351 329 313 301 291 284 277

0010 810 585 494 443 410 387 370 356 346 337

0005 994 699 582 517 476 447 426 409 396 385

0050 24 426 340 301 278 262 251 242 236 230 225

0025 572 432 372 338 315 299 287 278 270 264

0010 782 561 472 422 390 367 350 336 326 317

0005 955 666 552 489 449 420 399 383 369 359

0050 30 417 332 292 269 253 242 233 227 221 216

0025 557 418 359 325 303 287 275 265 257 251

0010 756 539 451 402 370 347 330 317 307 298

0005 918 635 524 462 423 395 374 358 345 334

0050 40 408 323 284 261 245 234 225 218 212 208

0025 542 405 346 313 290 274 262 253 245 239

0010 731 518 431 383 351 329 312 299 289 280

0005 883 607 498 437 399 371 351 335 322 312

0050 45 406 320 281 258 242 231 222 215 210 205

0025 538 401 342 309 286 270 258 249 241 235

0010 723 511 425 377 345 323 307 294 283 274

0005 871 597 489 429 391 364 343 328 315 304

0050 50 403 318 279 256 240 229 220 213 207 203

0025 534 397 339 305 283 267 255 246 238 232

0010 717 506 420 372 341 319 302 289 278 270

0005 863 590 483 423 385 358 338 322 309 299

0050 60 400 315 276 253 237 225 217 210 204 199

0025 529 393 334 301 279 263 251 241 233 227

0010 708 498 413 365 334 312 295 282 272 263

0005 849 579 473 414 376 349 329 313 301 290

0050 70 398 313 274 250 235 223 214 207 202 197

0025 525 389 331 297 275 259 247 238 230 224

0010 701 492 407 360 329 307 291 278 267 259

0005 840 572 466 408 370 343 323 308 295 285

0050 120 392 307 268 245 229 218 209 202 196 191

0025 515 380 323 289 267 252 239 230 222 216

0010 685 479 395 348 317 296 279 266 256 247

0005 818 554 450 392 355 328 309 293 281 271



Tabla Ndeg54



v1

v2 12 15 20 24 30 40 50 60 70 120

0050 13 26 25 25 24 24 23 23 23 23 23

0025 32 31 29 29 28 28 27 27 27 27

0010 40 38 37 36 35 34 34 33 33 33

0005 46 45 43 42 41 40 39 39 38 38

0050 14 253 246 239 235 231 227 224 222 221 218

0025 305 295 284 279 273 267 264 261 260 255

0010 380 366 351 343 335 327 322 318 316 309

0005 443 425 406 396 386 376 370 366 362 355

0050 15 248 240 233 229 225 220 218 216 215 211

0025 296 286 276 270 264 259 255 252 251 246

0010 367 352 337 329 321 313 308 305 302 296

0005 425 407 388 379 369 359 352 348 345 337

0050 20 228 220 212 208 204 199 197 195 193 190

0025 268 257 246 241 235 229 225 222 220 216

0010 323 309 294 286 278 269 264 261 258 252

0005 368 350 332 322 312 302 296 292 288 281

0050 24 218 211 203 198 194 189 186 184 183 179

0025 254 244 233 227 221 215 211 208 206 201

0010 303 289 274 266 258 249 244 240 238 231

0005 342 325 306 297 287 277 270 266 263 255

0050 30 209 201 193 189 184 179 176 174 172 168

0025 241 231 220 214 207 201 197 194 192 187

0010 284 270 255 247 239 230 225 221 218 211

0005 318 301 282 273 263 252 246 242 238 230

0050 40 200 192 184 179 174 169 166 164 162 158

0025 229 218 207 201 194 188 183 180 178 172

0010 266 252 237 229 220 211 206 202 199 192

0005 295 278 260 250 240 230 223 218 215 206

0050 45 197 189 181 176 171 166 163 160 159 154

0025 225 214 203 196 190 183 179 176 174 168

0010 261 246 231 223 214 205 200 196 193 185

0005 288 271 253 243 233 222 216 211 208 199

0050 50 195 187 178 174 169 163 160 158 156 151

0025 222 211 199 193 187 180 175 172 170 164

0010 256 242 227 218 210 201 195 191 188 180

0005 282 265 247 237 227 216 210 205 202 193

0050 60 192 184 175 170 165 159 156 153 152 147

0025 217 206 194 188 182 174 170 167 164 158

0010 250 235 220 212 203 194 188 184 181 173

0005 274 257 239 229 219 208 201 196 193 183

0050 70 189 181 172 167 162 157 153 150 149 144

0025 214 203 191 185 178 171 166 163 160 154

0010 245 231 215 207 198 189 183 178 175 167

0005 268 251 233 223 213 202 195 190 186 177

0050 120 183 175 166 161 155 150 146 143 141 135

0025 205 194 182 176 169 161 156 153 150 143

0010 234 219 203 195 186 176 170 166 162 153

0005 254 237 219 209 198 187 180 175 171 161
























(Hasta Weibull )


8 06-05-13 11-05-13


















Seminario taller



PF = 12 (PC1) + 14 (PC2) + 14 (PC3) + 15 (PC4) + 20 (TF1) + 25 (EB)











































Ejemplo


categoriacutea pe

Dominio f h p

compe 285 0570 570

orgpe 106 0212 212

edupe 64 0128 128

gobpe 26 0052 52

netpe 3 0006 06

Otros 16 0032 32

Total 500






Ejercicio








Ejemplo







Otros 5

Deformaciones 15












MS Word 250

MS Excel 80

MS Power Point 75

Access 30

Outlook 10

Otros 55

Total 500






Carpinteros 1057 13





Vidrieros 42 14













Quejas hi




Marketing 0148


Otros 0025






Impuestos 12042

Tasas 26530

Contribuciones 120

Venta de bienes 845




Transferencias 734

Otros 1132





Nazca


Columnas cortas 10



Otros 10

Piso blando 5















Ejemplo



2 3 3 0 1 2 1 2 2 4 3 2 0 1 2

1 3 3 2 1 0 1 2 3 2 4 1 0 1 2


X fi hi Fi Hi




Ejercicio




Calcule






Marca de clase


2


ix

Ejercicio




008 015 019 071 075 082 084 092 096 116 117 119 123 14 147

159 161 201 216 238 242 307 322 353 376 394 45 459 475 541


R =


k =


w =



1 ndash

2 ndash

3 ndash

4 ndash

5 ndash

6 ndash









Ejercicio









de 1993)


3 4 3 3 1 4 1 3 2 3

1 1 4 2 3 3 2 6 1 1

3 3 2 2 2 2 1 3 2 1

6 3 1 2 2 3 2 2 4 2




H3


con fallas fi pi Hi

1 0 30

2 1 10

3 2 5

4 3 3

5 4 2



520 947 951 975 1025 1041 1060 1252 1256 1460

1468 1586 1587 1626 1662 1662 1662 1662 1682 1697

1960 2049 2049 2049 2049 2083 2152 2175 2181 2181

2181 2181 2209 2262 2350 2397 2422 2596 2616 2772

2865 2870 2978 3139 3150 3162 3386 3599 3631 3983






1 0 100 2 12

2 100 200 4 16

3 200 300 22 25

4 300 400 26 10

5 400 500 20 4

6 500 600 5 2

7 600 700 1 1










998 984 1003 919 935 964

805 984 1005 851 936 970

872 987 1005 865 937 975

872 987 1012 868 939 985

880 995 1015 882 943 1001

955 997 1015 882 948 1003

970 998 1026 883 949 1005

973 1000 1026 887 954 1009

980 1001 1029 914 960 1010

980 1002 1055 927 963 1012











286266246226206186166

50

40

30

20

10

0

Ventas

Fre

cu

en

cia

acu

mu

lad

a

5049

45

36

8

2










la expresioacuten

2


Logro de la unidad



de su especialidad


Definiciones

Estadiacutestico


promedio muestral

Paraacutemetro


Ejemplo







Cuantiles

Percentil







d parte decimal

Decil


Cuartil


dEnk

i 100

)1(






Ejemplo


23 y 24

Ejemplo



evacuacioacuten

315 325 325 334 339 340 356 356 359 359

363 364 369 370 373 373 374 375 380 389

392 393 394 397 402 403 415 424 428 445











536 529 558 565 557 553 562 529 544 534 579 510

527 539 542 547 563 534 546 530 575 568 585













0045 0036 0045 0049 0064 007 0079 0088 0091 0118 013 0136

0136 0136 0145 0179 0182 0182 0194 0209 0209 0227 0242 0258

0258 0258 0291 0327 0333 0336 0361 0379 0394 0412 0445 0506

0554 0567 0579 06 067 0912 1055 107 1267 1639 1894 3046

3888 3985 417 8788











x

x

n

i

i 1


xf

x

k

i

ii 1


1

k

i i

i

f x

xn

Ejercicio


hilos de lino

152 158 162 185 194 206 212 219 254 273 283 295 325 337 369


Ejercicio


x fi fixi

0 13

1 6

2 8

3 6

4 2


Ejercicio



rsquoi

1 [002 - 081[ 6

2 [081 - 160[ 13

3 [160 - 239[ 4

4 [239 - 318[ 3

5 [318 - 397[ 2

6 [397 - 476] 2

Mediana



Ejemplo


984 998 998 999 1000 1000 1005 1012 1026 2500


Ejemplo





0 50

1 60

2 25

3 10

4 5

Moda


Ejemplo


10 10 10 10 10 12 12 12 12 12 12 12 12 14 14 15 15 15 18 18






Media=Mediana=Moda










de 1993)


3 4 3 3 1 4 1 3 2 3

1 1 4 2 3 3 2 6 1 1

3 3 2 2 2 2 1 3 2 1

6 3 1 2 2 3 2 2 4 2










35

130

70

155

0

20

40

60

80

100

120

140

2 4 6 8 10 12 14


Nuacute

mero

de p

art

iacutecu

las



Rango




Varianza




2


N

xN

i

i

1

2

2


1

1

2

2

n

xx

s

n

i

i


2

2 1

1

k

i i

i

f x x

sn

2

2 1

1

k

i i

i

f x x

sn




Ejemplo



35 73 30 15 36 60 47 19 15 38 10 35 31 21 22 20


Ejemplo


de 100 diacuteas

xi fi

0 10

1 15

2 30

3 35

4 10

100

Ejemplo




li fi( x

lindash Media)

2

1 [152 ndash 172[ 12 162 1944 16133

2 [172 ndash 192[ 13 182 2366 3611

3 [192 ndash 212[ 20 202 4040 222

4 [212 ndash 232[ 16 222 3552 8711

5 [232 ndash 252] 5 242 1210 9389

66 13112 38067






100s

CVx



Ejemplo



Tecnologiacutea LAN





108 111 3

111 114 35

114 117 66

117 120 57

120 123 29

123 126 16

126 129 9

129 132 3

132 135 2

Total 220







regenta






100 ndash 200 5

200 ndash 300 14

300 ndash 400 21

400 ndash 500 7

500 ndash 600 3

Total 50


20 2

40 8

60 25

80 20

100 8

Total 63

Ventas Azufral 120 200 100 50 45 120 100 100 90 75 100 210 100 50 120











[ 69220 ndash 70436 [ 14

[ 70436 ndash 71652 [ 5

[ 71652 ndash 72868 [ 6

[ 72868 ndash 74084 [ 8

[ 74084 ndash 75300 [ 7

[ 75300 ndash 76516 [ 17

[ 76516 ndash 77732 [ 5

Total 62



Traccioacuten 62 64520 2983 8899 61220 69856











Rango intercuartil

257513 PP QQRIC























Plomo Cobre Hierro

0010 0022 0039 004 007 009 011 014 018

0015 0030 0043 004 007 01 011 015 019

0015 0031 0047 004 007 01 012 015 020

0016 0031 0049 004 007 012 012 016 022

0016 0035 0055 004 007 014 013 017 023

0019 0035 0060 005 008 016 013 017 025

0020 0036 0073 005 008 018 014 017 033

0021 0038 005 008 014 017







10 ndash 20 2 2 - 4 5

20 ndash 30 8 4 - 6 14

30 ndash 40 25 6 - 8 21

40 ndash 50 9 8 - 10 7

50 ndash 60 6 10 - 12 3










Logro de la unidad









Ejemplos

1Lanzar un dado








Ejemplos

1= 123456

2= cccsscss


4 = t t ge 0


Ejercicio



Ejercicio





33 Evento



ABCetc

Evento simple


Ejemplos




Evento compuesto


Ejemplos






34 Probabilidad






siguiente axioma

0 le P(A)le 1




debe ser igual a 1

kPr(E )=1 i=123k

ii=1






Ejercicio


Ejercicio






( )













obtener 1x ( 1x )

























marca A



Interseccioacuten



siacutembolo BA

Unioacuten



BA

Ejemplo


Sean los eventos







cA A =Ω


P( ) P( ) 1cA A





P( )P( ) 0

P( )P

0 P( ) 0

A BB

BA B

B

Ejemplo









Total 39 15 36 90









P( ) P( ) P( ) P( )A B A B A B

Ejercicio








P( ) P( ) P( )A B A B

Ejercicio


P(AcB)



P( ) P( | )P( ) P( )P( )A B A B B B A A

Ejercicio





P( ) P( )A B A





P( ) P( )P( )A B A B


1 2 1 2P( ) P( )P( ) P( )k kE E E E E E

Ejemplo








Probabilidad Total




Teorema de Bayes



P( )P( | )

P( )

ii

A EA E

E

para ki 21

1 1 2 2

P( )P( )P( | )

P( )P( ) P( )P( ) P( )P( )

i ii

k k

A E AA E

A E A A E A A E A

Ejercicio






crecimiento



















continuacioacuten

Tecnologiacutea

LAN WAN





Aire 3 4 4 3 3 6 4 1 28

Total 40 50 40 20 40 50 50 40 330



coaxiales



LAN








































funcione



diagrama siguiente




funcione







Logro de la unidad








sobre quiacutemica










hidrostaacutetica




Ejemplo


siguiente

S=cc cs sc ss












siguiente manera

)( xXPxf


1)(0 xf

1)(Rango

X

xf

Ejercicio



bullbullCCCC

bullbullCS CS

bullbullSC SC

bullbullSSSS00

11

22

SSRR

bullbullCCCC

bullbullCS CS

bullbullSC SC

bullbullSSSS00

11

22bullbullCCCC

bullbullCS CS

bullbullSC SC

bullbullSSSS00

11

22

00

11

22

SSRR


Ejercicio






Ejercicios



x 0 2 4 6

f(x) 025 k 010 050






x 0 1 2 3 4

f(x) a 037 016 b 001













de rock











computarizada













x

xxfXERango

)()(




x

xfxgxgERango

)()()(



ccE

XcEcXE




222 )( XE



2

Ejercicio



x 0 2 4 6

f(x) 025 k 010 050


Ejercicios




x 5 6 7 8 9 10

f(x) 005 015 030 025 020 005









es la siguiente





























X 0 1 2 3 4

f(x) 041 037 k 005 001







rollo



X 0 1 2 3

P(X = x) 038 024 k 008






Ejemplo



Ejemplo 2


peso


aleatoria


aleatoria



0)( xf

1)( dxxf

b

a

dxxfbXaP )()(

Ejercicio


casootro

xcxxf

0

33)(


f(x)

a b

f(x)

a b




probabilidad

x

dttfxXPxF )()(



dx

xdFxf

)()(

Ejercicio


casootro

xcxxf

0

30)(






dxxxfXE )(

( ) ( )E g x g x f x dx




E(cX)= cE(X)





es

222 )( XE

Ejemplo


densidad

0

55)25(500

3

)(

2

cc

xxxf



Ejercicios


0

20)(

cc

xcxxf









0

08

1

)(8

cc

xexf

x




823)(

2xxxU





25x025

x3)x(f

3

2






casootro0

4x08

x)x(f










F

EX


10)( 1 xqpxf xx


qppqXVpXE 12




todas las pruebas




( ) 1 01 2 n xn x




2 1E X np V X np p

Ejemplo










( ) max[0 ( )]min( )r N r

x n x

N

n


C


n


Media N

rnXE

Varianza

112

N

nN

N

r

N

rnXV

Ejercicio













3210

)(

xx

exXPxf

x


XVXE 2

Ejercicio





Ejercicio






Ejercicios









1



unos de otros












rentable



















proceso de Poisson





proceso de Poisson



automoacuteviles



segundo



automoacuteviles











defectuosos





















de densidad es

bxaab

xf

1



ab

cddXcP

)(


2

baXE

y

12

2

2 abXV

Ejemplo





f(x)

f (x)

0 a k1 k2 b x

1 (b-a)

f(x)

f (x)

0 a k1 k2 b x

1 (b-a)





















intelectual etc


xexf

x2

2

1

2

1)(








XZ






Ejercicio







que ser reemplazado





1 1 2 2 k kY c X c X c X


222

1

2

111 ~ kkkk ccccNY

Ejercicio

SeanX1 ~ N(1 1

2

1 6) y X2 ~ N(2 4

2



Y = X1 + X2

Y = X1 ndash X2

Y = 4X1 ndash 6 X2

Ejercicio








menor de 20 minutos




Ejercicios
















cc0

d2x5

d2si

d8

5

)x(f

















de leva


de leva























segundos
























normalmente









0

0)()(

1

cc

xex

xf

x


22 XVXE



casootro 0

0 e1

)(

1

xβxf

x

Se denota X~exp( )


22 XVXE

f(x)

0 x

f(x)

0 x


Ejemplo



0 si 0

0 si e20

1

)(20

1

x

xxf

x










0

0)(

1

cc

xexxf

x


01)( xexXPxF x


12

1

222 XV

XE

Ejemplo






Ejercicios



probabilidad es

0

012

1

)(12

cc

xexf

x





0

0)(8000

cc

xcexf

x




2

2

80002

400020

XXC






0xparae50

1)x(f

x50

1







de probabilidad

casootroen

xsiexf

x

0

050)(

50




del costo





propiedades
































Logro de la unidad













n

i

iXn

X1


poblacional



x

2 2s

p p

21 21 xx

2

2

2

1 22

21 ss

21 pp 21ˆˆ pp





IC(θ)=(LI LS)








Muestra 1

Muestra 2

Muestra 3

Muestra 4

hellip

Muestra 100







micro








X



nzx

nzx

2121


04

03

02

01

00

De

nsid

ad

0






denotado por ME= n

z

)21(

Luego



1-α

α2 α2 Z(1-α2)

Z(α2)

zo -zo

X

micro desconocida

conocida

n

ME ME






Ejemplo

















X S



n

Stx

n

Stx nn 1212


04

03

02

01

00

De

nsid

ad

-to to0


T(1-α2 n-1)

α2 α2 T(α2 n-1)

X

micro desconocida

desconocida

n

ME ME






Ejemplo







Ejemplo



009678 007149 002216 002844 000509 002346 006387

003786 006458 007758 005297 003282 006952 008588

005720 000085 007407 002497 004557 003753 004897

003336 009612 009007 005633 007776 007836 007373

008864 004475 002384 002123 005981 003668 000019

008866 003658 005978 003543 003159 007735 006618

006675 001867 003198 007262 001231 004838 001650

008083 002441 005767 00797 006182 005700 008941

005175 007922 000943 003686 001097 008949 000264

007271 007979 001333 002791 008812 006969 004160











probar






2

21

e

zn

2

21

e

Szn


Ejemplo




Solucioacuten

Ejemplo




2980 3120 3100 3059 2985 2998 3020 3100 2988 3010


error de 50 psi


Ejercicios



alambres

0140 0138 0143 0142 0144 0137 0135 0140 0136 0142 0138 0140















minutos












16 5 21 19 10 5 8 2 7 2 4 9







2212 1839 3152 2608 2456 2747 2913 1265 2346 2333 1909 2333











x eacutexitos n

xp ˆ



n

ppzpp

n

ppzp

)ˆ1(ˆˆ

)ˆ1(ˆˆ

2121


04

03

02

01

00

De

nsid

ad

0







denotado por ME= n

ppz

)ˆ1(ˆ)21(

Luego y


n

ME ME

p LI= p

- ME




Nuacutemero de

eacutexitos

Nuacutemero de

fracasos



LI= p

+ ME

1-α

α2 α2 Z(1-α2)

Z(α2)

zo -zo


Ejemplo
























SiacuteNo

70

60

50

40

30

20

10

0

Co

nte

o

53

67









2

2

21 1

e

ppzn




2

2

21

4e

zn

Ejemplo




Ejemplo





Preguntas




Ejercicios












confianza del 98







Explique




resultado

Joyeriacutea 62

Deportes 50

Muacutesica 47

Ropa 16 Hogar 10




Conceptos generales













Tipos de errores





Error tipo I





Error tipo II





Ejercicio







2

2

2121

21 ppp

01

00

01

00

01

00

H

H

H

H

H

H








Hipoacutetesis


00 H 00 H 00 H

01 H 01 H 01 H


Zn

xz ~

0

c


Hipoacutetesis


00 H 00 H 00 H

01 H 01 H 01 H


1

0

c ~

nt

nS

xt


Ejercicio






Ejercicio





97 128 87 134 83 117 107 81 91 105




Ejercicios








es respectivamente

301

327

225

275

289

277

298

289

314

304

270

312

243

264

228

294

223

291

334

235


quiacutemico



Hipoacutetesis


00 H pp 00 H pp 00 H pp

01 H pp 01 H pp 01 H pp


Z

n

pp

ppz ~

)1(

ˆ

00

0c

Ejercicio









Siacute No

10 290 300



Ejercicios









Hipoacutetesis


2

0

2

0 H 2

0

2

0 H 2

0

2

0 H

2

0

2

1 H 2

0

2

1 H 2

0

2

1 H


2

12

0

22

c ~)1(

n

Sn

Ejemplo






Ejercicio



































Hipoacutetesis


2

2

2

10 H 2

2

2

10 H 2

2

2

10 H

2

2

2

11 H 2

2

2

11 H 2

2

2

11 H


112

2

2

1c 21

~ nnFS

SF

Ejercicio






Media 5717 57225

Varianza 1451566667 1533071429

Observaciones 10 8






Hipoacutetesis


k 210 H k 210 H k 210 H

k 211 H k 211 H k 211 H


2

21

2

21

21~

11

nn

p

c t

nnS

kxxt

2

)1()1(

21

2

22

2

112

nn

SnSnS p

Ejercicio





continuacioacuten

Lugar antiguo 998 1026 1005 1029 1003 905 1055 1026 997 987

Lugar nuevo 919 963 1010 970 1009 960 1005 1012 949 937



Lugar antiguo 10 0261312 0399484 0804423

Lugar nuevo 10 0221012 0337876 0680364






Media del

Error


Lugar antiguo 10 10031 0399 013

Lugar nuevo 10 9734 0338 011









lugares



Hipoacutetesis


k 210 H k 210 H k 210 H

k 211 H k 211 H k 211 H


t

n

S

n

S

kxxtc ~

2

2

2

1

2

1

21

11 2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

2

2

2

1

2

1

n

n

S

n

n

S

n

S

n

S

Ejercicio



Laboratorio 1 2870 2382 3143 3659 3620 3887 2929 2903

Laboratorio 2 3076 3380 3494 3074 3162 3269





Laboratorio 1 8 316945 506616 116039

Laboratorio 2 6 100006 170561 48797




Media del

Error










Hipoacutetesis


210 H pp 210 H pp 210 H pp

210 H pp 210 H pp 210 H pp


Z

nnpp

ppzc

21

21

111

ˆˆ

21

21

21

2211ˆˆ

nn

xx

nn

pnpnp

Ejercicio




Material 1 45 185 230





Ejercicio














TURNO

PRODUCTO

A B



Tarde 5 150 25 200







Logro de la unidad



relacionan

61 Bondad de ajuste





2

2 2

( 1)

1

~k

i i

c k m

i i

o e

e

i ie np







Ejemplo


X 1 2 3 4 5 6

O 28 36 36 30 27 23




Hipoacutetesis



Ejemplo






Frecuencia


Frecuencia

esperada ie

2

i i

i

o e

e

0 24

1 35

2 21

3 10

4 5

5 5

Total



Hipoacutetesis



Ejemplo




Observada io


esperada ie

2

i i

i

o e

e

0

1

2

3

4

5

6

Total


Ejercicios












Frecuencia 140 270 280 180 90 40














Clientes 20 15 12 8 11 16 18





Turno 1 2 3 4






resultados


Ndeg cajas 20 140 260 300 200 80




Hipoacutetesis



Ejemplo



12 15 16 18 19 14 10 15 16 14

225200175150125100

99

95

90

80

70

60

50

40

30

20

10

5

1

C1

Po

rce

nta

je

Media 149

DesvEst 2644

N 10

KS 0117

Valor P gt0150










contingenciartimesc


r

i

c

j

cr

ij

ijij

ce

eo

1 1

2

11

2

2 ~)(

n

nne

ji

ij

Factor 2


Factor 1

Fila 1

Fila 2

Filar

Hipoacutetesis



Ejercicio







Promedio Sobre el

promedio



Promedio 28 79 60 167

Muy bueno 9 49 63 121

Total 60 188 152 400




Valores esperados


promedio Promedio

Sobre el promedio



Promedio 60167400 167


Total 60 188 152 400


Ejercicios



Selectividad

Fidelidad

Baja Promedio Alta

Baja 7 12 31

Promedio 35 54 18

Alta 15 13 5


selectividad






Tipo de crimen

Distrito

I II III

Asalto 162 310 258

Robo 118 196 193

Hurto 451 996 458

Homicidio 18 25 10





Logro de la unidad

























recta

0 1i i iY X e

Variable respuesta


(independiente)

i = 1 2hellip n






3025201510

9

8

7

6

5

4

X

Y

X vs Y

1614121008060402

1600

1400

1200

1000

800

600

400

200

0

X

Y

X vs Y

50454035302520

60

50

40

30

20

X

Y

X vs Y

12001000800600400200

140

130

120

110

100

90

80

70

60

50

X

Y

X vs Y

Ejercicio



Resistencia x 22 21 31 34 37 43 34 34 42 51 56 59

Tiempo de falla y 20 22 26 28 30 32 33 35 37 42 45 47


Cuando X crece

Y crece

Modelo lineal

Buen ajuste

Modelo lineal

Buen ajuste

Cuando X crece

Y decrece

Variables no

relacionadas

Variables no

relacionadas


6050403020

50

45

40

35

30

25

20

Resistencia(X)

Tie

mp

o (

Y)









Es decir

n

i

ii yy1




n

i

i

n

i

ii

n

i

i

n

i

i

n

i

i

xxyx

xny

1

2

1

1

0

1

1

10

1




2

11

2

111

1ˆ

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

n

i

i

xxn

yxyxn

y xy 10ˆˆ



donde



Ejercicio




Coef


Constante 6797 2652 256 0028

Resistencia(X) 067983 006570 1035 0000


1

0











1





o



5



Fuente GL SC CM F P

Regresioacuten 1 74532 74532 10709 0000


Total 11 81492

0H

0H

11

10

CMError

CMRegFcal

09

08

07

06

05

04

03

02

01

00

X

De

nsit

y

0


α ZNR

A

ZR

Fcrit










2 SCReg100

SCTotR

Ejercicio


Salida del Minitab

Coef


Constante 6797 2652 256 0028

Resistencia(X) 06798 00657 1035 0000


R2





CMEn

SCES

2

Ejercicio


S




Xe Y









-10 -065 -02 02 065 10


Ejercicio


r





siguiente



0ˆsi

0ˆsi

1

2

1

2

R

Rr


Salida del Minitab



Coef


Constante 2976 1473 202 0074




Fuente GL SC CM F P



Total ___ 28876



3025201510

9

8

7

6

5

4

Temperatura

Vid

a u

til




1

0


Ho

H1


R2

r





0 2 2 0 0 0 2 2 0ˆ ˆ ˆ ÊE EEn nt t

1 2 2 1 0 1 2 2 1ˆ ˆ ˆ ÊE EEn nt t



1

( 2)

1

ˆ~

ÊEn

kt t



xx

nXYxx

nS

xx

nSty

S

xx

nSty

2

0

)22(0

2

0

)22(0

1ˆ

1ˆ

0


xx

nXYxx

nS

xx

nSty

S

xx

nSty

2

0

)22(0ˆ

2

0

)22(0

11ˆ

11ˆ

0








300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1400 1600


0065 008 0095 0115 013 015 0175 0205 023 027 0346 0436



1600140012001000800600400200

045

040

035

030

025

020

015

010

005

Densidad

Co

nd

ucti

vid

ad




Coef


Constante -0049 001726 -286 0017

Densidad 00003 000002 1524



Fuente GL SC CM F P

Regresioacuten 1


Total 11 014085



1



R2

r








005000250000-0025-0050

99

95

90

80

70

60

50

40

30

20

10

5

1

RESI

Po

rce

nta

je

Mean -462593E-18

StDev 002298

N 12

KS 0182

P-Value gt0150






siguientes

Temperatura (oC) 18 18 18 22 22 26 30 30 34





Coef


Constante 218400 7502 2911 0000




Fuente GL SC MC F P

Regresioacuten 1 864685 864685 32623 0000


Total 8 883239




9 340 2400 3324 341 -924 -240R



Nueva Ajuste


1 8225 173 (7816 8635) (6941 9510)


Nueva Temperatura

Obs (degC)

1 250


1



R2

r








100500-50-100

99

95

90

80

70

60

50

40

30

20

10

5

1

RESI

Po

rce

nta

je

Mean -353692E-13

StDev 4816

N 9

KS 0180

P-Value gt0150




Logro de la unidad










el anaacutelisis


1

0


1






120100806040200

400

350

300

250

200

150

100

50

X

Y


2

0 1 2Y X X






resultados

Rapidez(Kmh) 35 50 55 60 65 80 95 110



vehiacuteculo




Coef


Constante 17064 8107 210 0089

RAPIDEZ -05103 02357 -216 0083

RAPIDEZ2 0013139 0001584 830 0000



Fuente GL SC CM F P

Regresioacuten 2 90539 45269 83846 0000


Total 7 90809


Fuente GL SC CM F P

RAPIDEZ 1 86823 2530 4687 0083

RAPIDEZ2 1 3716 37160 68827 0000











216520 1300

239955 375

177980 2500

233675 975

176530 2200

205350 1800

241440 600

220050 1250

265420 200

175370 2150





Coef


Constante 264858 8125 3260 0000

Antiguumledad -3630 1450 -250 0041

Antiguedad2 -00495 05265 -009 0928



Fuente GL SC CM F P

Regresioacuten 2 831630 415815 6648 0000


Total 9 875413



Fuente GL SC CM F P

Lineal 1 831575 39184 62647 004






)10(N~n

xz

_

)1n(

_

t~nS

xt

nz x)(IC 21

_

n

st x)(IC 21n(

_

2 2

)2-1 1n(

22

2

)2 1n(

22 S)1n(

)(LSCS)1n(

)(LIC

2

)1n(2

22 X~

S)1n(

p p1qn

)p1(pzp)p(IC )21(

)10(N~

n

)p1(p

ppz

21

Varianzas conocidas

2

2

2

1

2

1)21(2121

nnz)xx()(IC

)10(N~

nn

)()xx(z

2

22

1

21

2121


2nn

S)1n(S)1n(Sdonde

n

1

n

1St)xx()(IC

21

2

22

2

112

p

21

2

p)2 2nn(

_

2

_

1 2121

)2nn(

21

2

p

21

_

2

_

1

21t~

n

1

n

1S

)()xx(t




2

2

2

1

2

1

)2v(

_

2

_

1n

S

n

St)xx()(IC

21 )v(

2

22

1

21

2121 t~

n

S

n

S

)()xx(t

1n

n

S

1n

n

S

n

S

n

S

v

2

2

2

22

1

2

1

21

2

2

22

1

21

D n

st d)D(IC d

)21n( 1n

d

t~nS

Ddt


22

2 1 )vv2(2

2

212

221

)vv2(22

212

221

12

21

fS

S)(LSC

f

1

S

S)(LIC

1nv 11 1nv 22

11

2

2

2

1

2

2

2

1

21~

1 nnF

S

SF

21 pp

22

11

2

22

1

11

212121

2

22

1

11

212121

p1q

p1q

donde

n

qp

n

qpzpp)pp(LSC

n

qp

n

qpzpp)pp(LIC

a) 0ppH 210

)10(N~

n

1

n

1)p1(p

ppz

21

21

83 21

2211

nn

pnpnpdonde

b) KppH 210 y K 0

)10(N~

n

qp

n

qp

K)pp(z

2

22

1

11

21



PRUEBA JI CUADRADO

k

1i

2)1c)(1r(

i

2ii2 X

e

)eo(X

lg)1mk(vconX~e

)eo(X 2

k

1i i

2

ii2


k

1i

2

i

2

ii2 Xe

50eoX



x np)X(E )p1(np)X(V

Poisson )(P~X 210xx

e)xX(P

x

)X(E )X(V


xˆyˆ

xxn

yxyxn

ˆ

10

2n

1i

i

n

1i

2i

n

1i

i

n

1i

ii

n

1i

i

1


n

1i

2i

n

1i

2i

n

1i

ii

)yy(n

1)xx(

n

1

)yy)(xx(n

1

SS

)YXcov(r

yx

Cuadrados medios

pn

SSECME

1p

SSRCMR

donde



Prueba conjunta

)1(~ pnpFCME

CMRF

Inferencia para 0

xx

2i

20nS

xstˆ

)2(

2

00 ~ˆ

n

xx

i

t

nS

xs

t


a) 0H0

)2n(2

t~r1

2nrt

b) 00 H

)10(N~)1)(r1(

)1)(r1(ln

2

3nZ

0

0



Suma de cuadrados

SSRSSTSSE

n

xxˆSSR

n

yySST

2

i2i

21

2

i2i


SST

SSRr 2


pn

1n)r1(1rr 222

correg

Inferencia para 1

xx

nS

st 221

ˆ

)(1111 ~

ˆˆ

1

pn

b

xx

tS

S

st

donde

2

2

1

2

2

2

1ˆ

)(

xxx

i

i

ixx

SnSSR

S

xxn

xxS

CMEpn

SSEsss xye

Pronoacutesticos

Valor medio

xx

20

)22n(0S

)xx(

n

1sty

Valor individual

xx

20

)22n(0S

)xx(

n

11sty

Modelos no lineales



01


m

2

210 xˆxˆxˆˆy~

Tabla Ndeg 21



Z -009 -008 -007 -006 -005 -004 -003 -002 -001 -000

-39 0000033 0000034 0000036 0000037 0000039 0000041 0000042 0000044 0000046 0000048

-38 0000050 0000052 0000054 0000057 0000059 0000062 0000064 0000067 0000069 0000072

-37 0000075 0000078 0000082 0000085 0000088 0000092 0000096 0000100 0000104 0000108

-36 0000112 0000117 0000121 0000126 0000131 0000136 0000142 0000147 0000153 0000159

-35 0000165 0000172 0000178 0000185 0000193 0000200 0000208 0000216 0000224 0000233

-34 0000242 0000251 0000260 0000270 0000280 0000291 0000302 0000313 0000325 0000337

-33 0000349 0000362 0000376 0000390 0000404 0000419 0000434 0000450 0000466 0000483

-32 0000501 0000519 0000538 0000557 0000577 0000598 0000619 0000641 0000664 0000687

-31 0000711 0000736 0000762 0000789 0000816 0000845 0000874 0000904 0000935 0000968

-30 0001001 0001035 0001070 0001107 0001144 0001183 0001223 0001264 0001306 0001350

-29 000139 000144 000149 000154 000159 000164 000169 000175 000181 000187

-28 000193 000199 000205 000212 000219 000226 000233 000240 000248 000256

-27 000264 000272 000280 000289 000298 000307 000317 000326 000336 000347

-26 000357 000368 000379 000391 000402 000415 000427 000440 000453 000466

-25 000480 000494 000508 000523 000539 000554 000570 000587 000604 000621

-24 000639 000657 000676 000695 000714 000734 000755 000776 000798 000820

-23 000842 000866 000889 000914 000939 000964 000990 001017 001044 001072

-22 001101 001130 001160 001191 001222 001255 001287 001321 001355 001390

-21 001426 001463 001500 001539 001578 001618 001659 001700 001743 001786

-20 001831 001876 001923 001970 002018 002068 002118 002169 002222 002275

-19 002330 002385 002442 002500 002559 002619 002680 002743 002807 002872

-18 002938 003005 003074 003144 003216 003288 003362 003438 003515 003593

-17 003673 003754 003836 003920 004006 004093 004182 004272 004363 004457

-16 004551 004648 004746 004846 004947 005050 005155 005262 005370 005480

-15 005592 005705 005821 005938 006057 006178 006301 006426 006552 006681

-14 006811 006944 007078 007215 007353 007493 007636 007780 007927 008076

-13 008226 008379 008534 008691 008851 009012 009176 009342 009510 009680

-12 009853 010027 010204 010383 010565 010749 010935 011123 011314 011507

-11 011702 011900 012100 012302 012507 012714 012924 013136 013350 013567

-10 013786 014007 014231 014457 014686 014917 015151 015386 015625 015866

-09 016109 016354 016602 016853 017106 017361 017619 017879 018141 018406

-08 018673 018943 019215 019489 019766 020045 020327 020611 020897 021186

-07 021476 021770 022065 022363 022663 022965 023270 023576 023885 024196

-06 024510 024825 025143 025463 025785 026109 026435 026763 027093 027425

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Tabla Ndeg 22



Z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009

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34 0999663 0999675 0999687 0999698 0999709 0999720 0999730 0999740 0999749 0999758

35 0999767 0999776 0999784 0999792 0999800 0999807 0999815 0999822 0999828 0999835

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38 0999928 0999931 0999933 0999936 0999938 0999941 0999943 0999946 0999948 0999950

39 0999952 0999954 0999956 0999958 0999959 0999961 0999963 0999964 0999966 0999967



Tabla Nordm 31



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3 027667 058439 097847 124978 163774 235336 260543 295051 318245 348191 389605 45407 584091 3

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5 026718 055943 091954 115577 147588 201505 219096 242158 257058 275651 300287 336493 403214 5

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12 025903 053862 087261 108321 135622 178229 191231 207644 217881 230272 24607 2681 305454 12

13 025859 05375 087015 107947 135017 177093 189887 206004 216037 22816 243585 265031 301228 13

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16 02576 053501 086467 107114 133676 174588 186928 2024 211991 223536 238155 258349 292078 16

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24 025617 053144 085686 105932 131784 171088 182805 197399 20639 217154 230691 249216 279694 24

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34 025534 052935 085232 105248 130695 169092 180461 194567 203224 213558 226501 244115 272839 34

35 025528 052921 085201 105202 130621 168957 180302 194375 203011 213316 226219 243772 272381 35

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38 025513 052883 085118 105077 130423 168595 179878 193863 202439 212667 225465 242857 271156 38

39 025508 052871 085094 10504 130364 168488 179751 193711 202269 212474 22524 242584 270791 39

40 025504 052861 08507 105005 130308 168385 179631 193566 202108 212291 225027 242326 270446 40



Tabla Nordm 32



v

α

v 04 03 02 015 01 005 004 003 0025 002 0015 001 0005

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43 025492 052831 085006 104908 130155 168107 179305 193173 201669 211794 224449 241625 269510 43

44 025488 052822 084987 104879 130109 168023 179207 193054 201537 211644 224275 241413 269228 44

45 025485 052814 084968 104852 130065 167943 179113 192941 20141 2115 224108 241212 268959 45

46 025482 052805 084951 104825 130023 167866 179023 192833 20129 211364 223949 241019 268701 46

47 025479 052798 084934 1048 129982 167793 178937 192729 201174 211233 223797 240835 268456 47

48 025476 05279 084917 104775 129944 167722 178855 19263 201063 211107 223652 240658 268220 48

49 025473 052783 084902 104752 129907 167655 178776 192535 200958 210987 223512 240489 267995 49

50 02547 052776 084887 104729 129871 167591 1787 192444 200856 210872 223379 240327 267779 50

51 025467 052769 084873 104708 129837 167528 178627 192356 200758 210762 22325 240172 267572 51

52 025465 052763 084859 104687 129805 167469 178558 192272 200665 210655 223127 240022 267373 52

53 025462 052757 084846 104667 129773 167412 178491 192191 200575 210553 223009 239879 267182 53

54 02546 052751 084833 104648 129743 167356 178426 192114 200488 210455 222895 239741 266998 54

55 025458 052745 084821 10463 129713 167303 178364 192039 200404 210361 222785 239608 266822 55

56 025455 05274 084809 104612 129685 167252 178304 191967 200324 21027 222679 23948 266651 56

57 025453 052735 084797 104595 129658 167203 178246 191897 200247 210182 222577 239357 266487 57

58 025451 05273 084786 104578 129632 167155 17819 19183 200172 210097 222479 239238 266329 58

59 025449 052725 084776 104562 129607 167109 178137 191765 2001 210015 222384 239123 266176 59

60 025447 05272 084765 104547 129582 167065 178085 191703 20003 209936 222292 239012 266028 60

61 025445 052715 084755 104532 129558 167022 178034 191642 199962 20986 222204 238905 265886 61

62 025444 052711 084746 104518 129536 16698 177986 191584 199897 209786 222118 238801 265748 62

63 025442 052706 084736 104504 129513 16694 177939 191527 199834 209715 222035 238701 265615 63

64 02544 052702 084727 10449 129492 166901 177893 191472 199773 209645 221955 238604 265485 64

65 025439 052698 084719 104477 129471 166864 177849 191419 199714 209578 221877 23851 265360 65

66 025437 052694 08471 104464 129451 166827 177806 191368 199656 209514 221802 238419 265239 66

67 025436 05269 084702 104452 129432 166792 177765 191318 199601 209451 221729 23833 265122 67

68 025434 052687 084694 10444 129413 166757 177724 191269 199547 20939 221658 238245 265008 68

69 025433 052683 084686 104428 129394 166724 177685 191222 199495 20933 221589 238161 264898 69

70 025431 05268 084679 104417 129376 166691 177647 191177 199444 209273 221523 238081 264790 70

75 025425 052664 084644 104365 129294 166543 177473 190967 19921 209008 221216 23771 264298 75

80 025419 05265 084614 10432 129222 166412 177321 190784 199006 208778 220949 237387 263869 80

85 025414 052637 084587 10428 129159 166298 177187 190623 198827 208574 220713 237102 263491 85

90 02541 052626 084563 104244 129103 166196 177068 19048 198667 208394 220504 23685 263157 90

95 025406 052616 084542 104212 129053 166105 176961 190352 198525 208233 220317 236624 262858 95

100 025402 052608 084523 104184 129007 166023 176866 190237 198397 208088 22015 236422 262589 100

105 025399 0526 084506 104158 128967 16595 176779 190133 198282 207958 219998 236239 262347 105

110 025396 052592 08449 104134 12893 165882 176701 190039 198177 207839 219861 236073 262126 110

120 025391 05258 084463 104093 128865 165765 176564 189874 197993 207631 21962 235782 261742 120

infin 025335 05244 084162 103643 128156 164484 175069 188079 195997 205375 217009 232635 257583 infin



Tabla Ndeg41



v

0995 0990 0980 0975 0960 0950 0900 0800 0700 0600 0500

1 0000 0000 0001 0001 0003 0004 0016 0064 0148 0275 0455

2 0010 0020 0040 0051 0082 0103 0211 0446 0713 1022 1386

3 0072 0115 0185 0216 0300 0352 0584 1005 1424 1869 2366

4 0207 0297 0429 0484 0627 0711 1064 1649 2195 2753 3357

5 0412 0554 0752 0831 1031 1145 1610 2343 3000 3656 4351

6 0676 0872 1134 1237 1492 1635 2204 3070 3828 4570 5348

7 0989 1239 1564 1690 1997 2167 2833 3822 4671 5493 6346

8 1344 1647 2032 2180 2537 2733 3490 4594 5527 6423 7344

9 1735 2088 2532 2700 3105 3325 4168 5380 6393 7357 8343

10 2156 2558 3059 3247 3697 3940 4865 6179 7267 8295 9342

11 2603 3053 3609 3816 4309 4575 5578 6989 8148 9237 10341

12 3074 3571 4178 4404 4939 5226 6304 7807 9034 10182 11340

13 3565 4107 4765 5009 5584 5892 7041 8634 9926 11129 12340

14 4075 4660 5368 5629 6243 6571 7790 9467 10821 12078 13339

15 4601 5229 5985 6262 6914 7261 8547 10307 11721 13030 14339

16 5142 5812 6614 6908 7596 7962 9312 11152 12624 13983 15338

17 5697 6408 7255 7564 8288 8672 10085 12002 13531 14937 16338

18 6265 7015 7906 8231 8989 9390 10865 12857 14440 15893 17338

19 6844 7633 8567 8907 9698 10117 11651 13716 15352 16850 18338

20 7434 8260 9237 9591 10415 10851 12443 14578 16266 17809 19337

21 8034 8897 9915 10283 11140 11591 13240 15445 17182 18768 20337

22 8643 9542 10600 10982 11870 12338 14041 16314 18101 19729 21337

23 9260 10196 11293 11689 12607 13091 14848 17187 19021 20690 22337

24 9886 10856 11992 12401 13350 13848 15659 18062 19943 21652 23337

25 10520 11524 12697 13120 14098 14611 16473 18940 20867 22616 24337

26 11160 12198 13409 13844 14851 15379 17292 19820 21792 23579 25336

27 11808 12878 14125 14573 15609 16151 18114 20703 22719 24544 26336

28 12461 13565 14847 15308 16371 16928 18939 21588 23647 25509 27336

29 13121 14256 15574 16047 17138 17708 19768 22475 24577 26475 28336

30 13787 14953 16306 16791 17908 18493 20599 23364 25508 27442 29336

31 14458 15655 17042 17539 18683 19281 21434 24255 26440 28409 30336

60 35534 37485 39699 40482 42266 43188 46459 50641 53809 56620 59335

70 43275 45442 47893 48758 50724 51739 55329 59898 63346 66396 69334

120 83852 86923 90367 91573 94303 95705 100624 106806 111419 115465 119334



Tabla Ndeg42



v

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1 1323 1642 2072 2354 2706 3841 5024 5412 6635 7879

2 2773 3219 3794 4159 4605 5991 7378 7824 9210 10597

3 4108 4642 5317 5739 6251 7815 9348 9837 11345 12838

4 5385 5989 6745 7214 7779 9488 11143 11668 13277 14860

5 6626 7289 8115 8625 9236 11070 12832 13388 15086 16750

6 7841 8558 9446 9992 10645 12592 14449 15033 16812 18548

7 9037 9803 10748 11326 12017 14067 16013 16622 18475 20278

8 10219 11030 12027 12636 13362 15507 17535 18168 20090 21955

9 11389 12242 13288 13926 14684 16919 19023 19679 21666 23589

10 12549 13442 14534 15198 15987 18307 20483 21161 23209 25188

11 13701 14631 15767 16457 17275 19675 21920 22618 24725 26757

12 14845 15812 16989 17703 18549 21026 23337 24054 26217 28300

13 15984 16985 18202 18939 19812 22362 24736 25471 27688 29819

14 17117 18151 19406 20166 21064 23685 26119 26873 29141 31319

15 18245 19311 20603 21384 22307 24996 27488 28259 30578 32801

16 19369 20465 21793 22595 23542 26296 28845 29633 32000 34267

17 20489 21615 22977 23799 24769 27587 30191 30995 33409 35718

18 21605 22760 24155 24997 25989 28869 31526 32346 34805 37156

19 22718 23900 25329 26189 27204 30144 32852 33687 36191 38582

20 23828 25038 26498 27376 28412 31410 34170 35020 37566 39997

21 24935 26171 27662 28559 29615 32671 35479 36343 38932 41401

22 26039 27301 28822 29737 30813 33924 36781 37659 40289 42796

23 27141 28429 29979 30911 32007 35172 38076 38968 41638 44181

24 28241 29553 31132 32081 33196 36415 39364 40270 42980 45558

25 29339 30675 32282 33247 34382 37652 40646 41566 44314 46928

26 30435 31795 33429 34410 35563 38885 41923 42856 45642 48290

27 31528 32912 34574 35570 36741 40113 43195 44140 46963 49645

28 32620 34027 35715 36727 37916 41337 44461 45419 48278 50994

29 33711 35139 36854 37881 39087 42557 45722 46693 49588 52335

30 34800 36250 37990 39033 40256 43773 46979 47962 50892 53672

31 35887 37359 39124 40181 41422 44985 48232 49226 52191 55002

60 66981 68972 71341 72751 74397 79082 83298 84580 88379 91952

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Tabla Ndeg51



v1

v2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

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0050 2 1851 1900 1916 1925 1930 1933 1935 1937 1938 1940

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0050 11 484 398 359 336 320 309 301 295 290 285

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0010 965 721 622 567 532 507 489 474 463 454

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0050 12 475 389 349 326 311 300 291 285 280 275

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Tabla Ndeg52



v1

v2 12 15 20 24 30 40 50 60 70 120

0050 1 24390 24595 24802 24905 25010 25114 25177 25220 25250 25325

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Tabla Ndeg53



v1

v2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0050 13 47 38 34 32 30 29 28 28 27 27

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0005 849 579 473 414 376 349 329 313 301 290

0050 70 398 313 274 250 235 223 214 207 202 197

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0005 840 572 466 408 370 343 323 308 295 285

0050 120 392 307 268 245 229 218 209 202 196 191

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0010 685 479 395 348 317 296 279 266 256 247

0005 818 554 450 392 355 328 309 293 281 271



Tabla Ndeg54



v1

v2 12 15 20 24 30 40 50 60 70 120

0050 13 26 25 25 24 24 23 23 23 23 23

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0010 40 38 37 36 35 34 34 33 33 33

0005 46 45 43 42 41 40 39 39 38 38

0050 14 253 246 239 235 231 227 224 222 221 218

0025 305 295 284 279 273 267 264 261 260 255

0010 380 366 351 343 335 327 322 318 316 309

0005 443 425 406 396 386 376 370 366 362 355

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0010 284 270 255 247 239 230 225 221 218 211

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0025 205 194 182 176 169 161 156 153 150 143

0010 234 219 203 195 186 176 170 166 162 153

0005 254 237 219 209 198 187 180 175 171 161
























(Hasta Weibull )


8 06-05-13 11-05-13


















Seminario taller



PF = 12 (PC1) + 14 (PC2) + 14 (PC3) + 15 (PC4) + 20 (TF1) + 25 (EB)


pre grado profesores acosta ramírez, salomón ciro …

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