PRÁCTICA 1 CONSTANTES ELÁSTICAS

OBJETIVOS:

Determinar experimentalmente del Módulo de Young de una segueta de acero, mediante la Ley de Hooke respecto a la flexión de una segueta de acero.

HIPOTESIS:

El Modulo de Young calculado experimentalmente será muy similar a 0.02 MPa que es valor teórico del acero.

INTRODUCCIÓN:

Un cuerpo se deforma cuando al aplicarle fuerzas éste cambia de forma o de tamaño.

Cuerpo elástico: Aquél que cuando desaparecen las fuerzas o momentos exteriores recuperan su forma o tamaño original.

Cuerpo inelástico: Aquél que cuando desaparecen las fuerzas o momentos no retorna perfectamente a su estado inicial.

La elasticidad es la capacidad de los materiales de recuperar su tamaño y su forma cuando se quitan las fuerzas que les producen deformaciones. Esta propiedad se encuentra en mayor o menor medida en todos los cuerpos sólidos.

Cuando se presiona un trozo de material, éste se deforma. Si la fuerza es suficientemente pequeña, el desplazamiento relativo de los diferentes puntos del material es proporcional a la fuerza. A esto se lo denomina comportamiento elástico. Si se toma un bloque rectangular de material de longitud l , ancho a y altura h, como el de la figura 1, y se le aplica entre los extremos una fuerza F, la longitud aumenta una cantidad ∆l, proporcional a F. A esto se lo conoce como ley de Hooke.

Esfuerzo normal

El esfuerzo es una medida de la fuerza por unidad de área (en la que se aplica) que causa la deformación.

Si la fuerza aplicada no es normal ni paralela a la superficie, siempre puede descomponerse en la suma vectorial de otras dos tal que siempre una sea normal y la otra paralela a la superficie considerada.

Los esfuerzos con dirección normal a la sección, se denotan normalmente como σ (sigma) y se denominan como esfuerzo de tracción o tensión cuando apunta hacia afuera de la sección, tratando de estirar al elemento analizado, y como esfuerzo de compresión cuando apunta hacia la sección, tratando de aplastar al elemento analizado.

El esfuerzo con dirección paralela al área en la que se aplica se denota como τ (tau) y representa un esfuerzo de corte ya que este esfuerzo trata de cortar el elemento analizado, tal como una tijera cuando corta papel.

Las unidades de los esfuerzos son las de fuerza dividida por área (las mismas que para la presión), pero el esfuerzo no es un vector sino un tensor. Las unidades que más se utilizan son: Pascal (Pa) = N/ m2, (S.I.); din/ cm2 (c.g.s.); Kp/m2, (s. Técnico); atmósfera técnica (Kp/cm2); atmósfera (atm); bar.

Se puede flexionar una varilla de distintas formas:

Por ejemplo cuando se flexiona una varilla de sección transversal rectangular apoyada sobre soportes en dos extremos. Si se aplica una fuerza vertical hacia abajo F, en el puto medio de la varilla, la deformación elástica que se experimenta se traduce en un descenso de dicho punto (flecha de flexión o simplemente flexión), s, que por la ley de Hooke, es proporcional a la fuerza aplicada esto es:

S=KF

Siendo K una constante de proporcionalidad, la cual depende de las características geométricas de la varilla y del módulo de Young del material, si dicho modulo se desconoce se puede calcular mediante la siguiente ecuación:

S= 1 L3

4Y ab3F

Sin embargo cuando la flexión se lleva a cabo en una viga en posición horizontal empotrada por un extremo y sometida a una fuerza vertical F en el extremo libre, el desplazamiento de dicha barra es distinto al ejemplo anterior ya que depende de la fuerza aplicada y se determina mediante:

y fL3

3Y IF

Siendo y f el desplazamiento del extremo libre, y es igual al módulo de Young, I se denomina el momento de inercia donde:

I=ab3

12

Al realizar este tipo de flexiones en vigas es de suma importancia considerar lo siguiente:

La relación entre la fuerza F y el alargamiento ∆l viene dada por el coeficiente de rigidez Ks:

El coeficiente de rigidez depende de la geometría del cuerpo, de su temperatura y presión y, en algunos casos, de la dirección en la que se deforma (anisotropía).

Cuerpo isótropo: Tiene las mismas características físicas en todas las direcciones. Anisótropo, cuando depende de la dirección.

Cuerpo homogéneo: Tiene igual densidad. Inhomogéneo: Diferente densidad.

Los cuerpos homogéneos e isótropos tienen definidas sus características elásticas con el módulo de Young y el coeficiente de Poisson.

METODOLOGIA Y RESULTADOS

1. Determinamos la masa de los pesos que utilizamos con ayuda de una balanza

Tabla 1. Masa de los pesos utilizados.

Tamaño de tuercas Peso de las tuercas (g)Alambre 2

Chica 16Mediana 26Grande 120

2. Con ayuda de un soporte universal fijamos dos seguetas en un punto a este, dejando cierta longitud de las seguetas “volada” para posteriormente colocar los pesos en una segueta en la cual

se medirá la flexión, la otra se quedara fija ya que cera nuestro punto de referencia (flexión “0”).

Fig. 1. Flexión de la segueta sostenida Fig.2. Medición de flexión de la en un punto segueta sostenida en un punto

Tabla 2. Resultados de flexión de la segueta sujetada en un punto.# Prueba Tamaño de la

tuercaPeso de la tuerca (g)

Distancia (mm)

1 1 tuerca chica 19 3.72 2 tuercas chicas 36 8.43 2 tuercas chicas

y 1 mediana62 11.3

4 1 tuerca grande 122 22.65 2 tuercas

grandes240 44.6

Nota: los pesos que se anotaron en la tabla 2 contemplan el peso del alambre.

3. Se realizó una segunda prueba de flexión donde esta vez la segueta se fijó en 2 puntos al soporte universal como lo muestra el siguiente esquema.

Al sujetar la segueta en dos puntos, esta no debe estar totalmente tensa, ya que se estarían generando fuerzas que no son de nuestro interés en esta prueba.

4. Al igual que en la primera prueba se colocaron distintos pesos (tuercas), solo que esta vez se trataron de colocar en el punto medio de los puntos en donde fue sujetada la segueta.

Fig. 3. Flexión en una segueta sujetada Fig. 4. Flexión en una segueta en dos puntos con una tuerca pequeña. sujetada en dos puntos con una tuerca grande.

Tabla 3. Resultados de flexión de la segueta sujetada en dos puntos.

# Prueba Tamaño de la tuerca

Peso de la tuerca (g)

Distancia (mm)

1 1 tuerca chica 19 1.82 2 tuercas chicas 36 2.73 2 tuercas chicas

y 1 mediana62 3.6

4 1 tuerca grande 122 4.95 2 tuercas

grandes240 7.5

Nota: los pesos que se anotaron en la tabla 3 contemplan el peso del alambre

5. De los datos obtenidos en la tabla 2 y 3 se realizaron los siguientes gráficos.

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.050

0.5

1

1.5

2

2.5

f(x) = 53.6707066421974 x − 0.0327152043566176R² = 0.998010137593842

Prueba de flexión 1

Desplazamiento (m)

Fuer

za (N

)

Grafico 1. Prueba de flexión de la segueta empotrada en un punto (Fuerza Vs desplazamiento).

0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.0080

0.5

1

1.5

2

2.5

f(x) = 392.648984771574 x − 0.670062837563452R² = 0.983275986713795

Prueba de flexión 2

Desplazamiento (m)

Fuer

za (N

)

Grafico 2. Prueba de flexión de la segueta sujeta en 2 puntos (Fuerza Vs desplazamiento).

6. Con respecto a los gráficos y a las tablas obtenidas, calcular el módulo de Young.

Algoritmo de Calculo Modulo de Young

S= (k ) (F )

S=( 14Y )( L3ab3 )FDonde:

L: longitud de la varilla ¿23.6cm=0.236m

Y: Modulo de Young

a: ancho de la varilla ¿1.24cm=0.0124m

b: altura o grosor de la varilla. ¿0.1cm=1 x10−03m

F= 0,939798 N = Kg.m/s2

S= kF

K= m (pendiente) = 53.67

S= (53.67) (0.939798)=50.438958

Y=( (4 S )

( L3

ab3 )F )−1

Y=( 4 (50.438958 )m

( (0.236m )3

(0.0124m) (1 x10−3m )3 )(0.0939798 Kgms2 ))−1

Y=493767.7748 Pa

yf= L3

3YIF

I=ab3

12

K= m (pendiente) = 392.65

S= (392.65) (0.939798)=369.011

Y=( 4 (369.011 )m

( (0.236m )3

(0.0124m) (1 x10−3m )3 )(0.0939798 Kgms2 ))−1

Y=674915.7087Pa

I=(0.0124m)(1 x10−3m)3

12

I=1.0333 x10−12m4

Y=

(L3 ) (F )yf3 I

Y=

(0.236m3 )(0.939798 Kgms2 )(0.0041m)

3(1.0333 x10−12m4)=9.7193 x1011Pa

Y=

(0.236m3 )(0.939798 Kgms2 )(0.01812m)

3(1.0333 x10−12m4)=2.1991 x1011Pa

Con la pendiente

Y=

(0.236m3 )(0.939798 Kgms2 )(369.011m)

3(1.0333 x10−12m4)=10798999.69 Pa

Y=

(0.236m3 )(0.939798 Kgms2 )(50.4389m)

3(1.0333 x10−12m4)=79005483.38 Pa

ANALISIS DE RESULTADOS

Conforme a los gráficos 1 y 2 podemos decir que el trabajo experimental, en cuanto a las mediciones de los desplazamientos en función de peso resulto ser bastante buena, ya que para el primer caso (grafico 1) tenemos una linealidad de 0.998 casi una línea recta, para el segundo caso (grafico 2) dicha linealidad se desvió un poco más obteniendo un valor de 0.9833 lo cual puede deberse a errores experimentales tales como una mala referencia del punto “0”, una mala lectura del vernier, tomar mal las distancias (inicial y final), etc; sin embargo no están totalmente fuera del rango de linealidad.

Al analizar estos gráficos podemos observar que los desplazamientos son en función del peso, para ambas pruebas encontramos que entre mayor sea la fuerza aplicada en este caso peso, existirá un mayor desplazamiento; sin embargo, existe cierta peculiaridad para cada caso, en la viga que solo se encuentra empotrada en un punto (figura 1) la flexión (desplazamiento) es mayor en comparación con la segueta sostenida en dos puntos (figura 3), considerando el mismo peso para ambas; debido a que la magnitud de las fuerzas internas es distinta, para ambos casos se dan esfuerzos de tracción y de compresión sin embargo, estos esfuerzos son variables para cada sección a lo largo de la longitud de las seguetas, dichos esfuerzos se encuentran delimitados por una línea neutra, de igual manera existen los mementos cortantes que afectan nuestras pruebas, cuyas magnitudes son distintas para cada caso.

Figura 5. Flexión de la segueta sostenida en dos puntos.

Figura 6. Flexión de la segueta empotrada en un punto.

Como podemos observar en las figuras 5 y 6 los esfuerzos generados para ambos tipos de flexión son los mismos sin embargo existe una variante de la cual depende el desplazamiento, la cual es la magnitud de cada uno de estos esfuerzos generados. Dichas fuerzas tanto internas como externas producen fuerzas resistentes que mantienen a la viga en equilibrio, las fuerzas internas son aquellas que se generan para contrarrestar (equilibrar) al material de las fuerzas externas, de este modo el material “aguantara” cierta fuerza, peso, etc. antes de deformarse plásticamente.

En cuanto a la determinación del módulo de Young los valores obtenidos experimentalmente son completamente distintos con los valores teóricos dicha variación puede deberse a que las mediciones de las flexiones no fueron las suficientes lo cual nos hace tener una parte elástica del material errónea ya que la parte elástica equivale a la línea recta en un ensayo de tracción, debido a que en este caso usamos una segueta la cual está hecha de una acero de alto carbono y dentro de sus características se encuentra que posee un alto módulo de Young, el cual es debido al uso que se le da de lo contrario esta se rompería.

Línea neutra

Esfuerzos de compresión

Esfuerzos de tensión

Punto de agarre

Punto de agarre

Punto de agarre Esfuerzos de

tensión

Línea neutra

Esfuerzos de compresión

CONCLUSIONES

Para determinar el módulo de Young de forma experimental es importante tomar adecuadamente las medidas de desplazamiento, determinar adecuadamente la masa de los pesos y realizar las mediciones necesarias para determinar el valor de interés. De igual forma es importante utilizar las fórmulas adecuadas dependiendo del tipo de flexión.

Es importante estudiar y comprender el fenómeno de flexión (esfuerzos internos y externos) tanto teórica como experimentalmente ya que de esta forma podemos relacionarlo con el módulo de Young y los esfuerzos que nuestro material resistirá antes de ceder plásticamente.