Constantes Parablicas (por Benito Navarro M)

Adems de la unidad parablica d, y la funcin parablica , hay otras constantes notables , tales como : ; ; A continuacin se dan un par de ejemplos. Que para saber de qu va todo esto, sera conveniente leer lo que a continuacin cuenta el Autor: 1) Una parbola, tiene sus propios ejes. 2) Una lnea, curva o recta, o es una lnea circular o se compone de lneas circulares. 3) A toda secante, le pertenece una tangente que va paralela a ella. 4) Una tangente, no es tangente de cualquier curva; sino que solo de una lnea circular (circunferencia).

(fig. 1)

En esta (fig.1), se ha trazado una parbola limitada por (d, x , y) as, como su rectngulo de integracin (2y , 2x), y tambin la tangente t1 ,en v, que corta a x0, en i. Dicha tangente, forma con su radio correspondiente R, un ngulo de 900 grados. As, como su media proporcional (t, R1). El arco parablico a, queda limitado por las secantes: (S, S1, S2), las que forman un tringulo, cuyo ngulo w, al correr v1 , desde cero 0, hasta v, sobre una lnea circular, este, no vara. Dando, la facilidad de igualar la longitud de ambos arcos. Extracto de la (fig. 1): Smbolos, (0, y1) = y1 = b ; 1 = b1. Sacando (b , b1, x1) de la parbola, se tienen las llaves o el cdigo para construir seis parbolas de tal forma ordenadas que, se podra decir que lo que se ha construido es : una turbina.

Se piensa en dos lneas rectas, puestas la una perpendicular sobre la otra, que si las ponemos horizontal y vertical, parece ser que nos quieren decir (transmitir) algo. Que al ver las opciones, se ve que: 1) Al multiplicar b, por b1 y dividir por h, resulta H. o dividir por H resulta h. Si se piensa en un tringulo, este tiene tres alturas; las que se cruzan en un mismo punto. Dicho punto, sera el punto p. Mientras que H, sera la altura del tringulo. Con esto, se tienen dos tringulos, que al dividir H entre h, resulta el exponente de la funcin parablica: ; O sea, , de donde se tienen las tres constantes parablicas: (C , C1 , C2) que son las que dan lugar a la expansin parablica. 2) se pone como ejemplo la (fig.2)

(Das Element) 1 2 (Fig. 2)

En la (fig. 2) se puede probar que : y ; siendo H, la media proporcional de X, de la parbola. Y el extremo p, es igual al punto de conjuncin de las tres alturas del tringulo.Aplicacin de las constantes parablicas: en la (fig. 3) , se observa que: 1) cada tringulo tiene tres alturas y a cada altura le pertenecen dos parbolas que multiplicadas por tres, resultan seis parbolas. 2) En el tringulo (0, 01, 02) , la altura H, es la media proporcional de X. La parcial del tringulo b, multiplicada por C2 , es igual a: (01 , y) = y. La parcial b1 , multiplicada por C2 , es igual a: (02 , -y) = -y ; la parcial (H1 h1) por C2, es igual a: (01 , V) = S ; la parcial (H2 - h2) por C2 , es igual a: S1. Funciones parablicas en el tringulo: Como todo tringulo tiene tres alturas, al ser diferentes, tiene tambin tres funciones. Ejemplo:

; ; . Que son los tres exponentes de las funciones: ; ; ; Que dando valores a la base primera (b, b1) y a la altura h, por ejemplo: b = 4 ; b1 = 3 ; h = 2, se tiene: 4 por 3 igual a: 12. Y, ; Siendo h, la altura del punto de conjuncin de las tres alturas del tringulo (0, 01 , 02).

Constantes parablicas

(fig. 3)

Teniendo a, como primera funcin cuyas constates: ; C1 = 3 ; C2 = 5,196152.X1C = X = 10,392304 ; bC2 = y = 20,784609 y para d = 7,34846922. Y d1 = 8,48528137.

Segunda funcin: ; constantes: C = 1,65054442 ; C1 = 3,5 ; C2 = 5,7769054.Y para d, igual a: d = 7,83173985, ; d1 = 8,2614262.

Tercera funcin: ; constantes: C = 1,8110303 ; C1 = 2,625 ; C2 = 4,75395466. d = 7,4750046 ; d1 = 8,21882047. Desde -y hasta y, hay una longitud determinada igual a: L. Que si hacemos (b, b1) = B, se tiene:BC2 = L. Y operando as, en las tres alturas, se llegara a la figura siguiente: vase la figura 3 y 4.

La figura 4, es casi como la figura 3, pero un poco ms desarrollada. Que si se elige como base al tringulo equiltero, quedan las tres funciones por igual y la figura, tomara la forma de una turbina. Vea s (la fig.5).

(fig.4)

Constantes parablicasVolviendo a la parbola (fig. 1), se puede experimentar que: la primera parbola a, con todos sus componentes , se puede proyectar tanto en direccin de cero como en direccin del infinito. Todo esto, sucede si se multiplica o se divide la parbola a, por la constante C. Considerando que: lo que primero es una secante, se convierte en tangente. Y lo que ahora es tangente, se convierte en secante. O sea que va todo alternativamente ordenado.Las tangentes: (t, t1, t2, t3,....,tan, ... ) , como se puede observar, caen todas paralelas contra cero. Y como a cada tangente le pertenece un radio, estos serian: (R, R1, R2, R3,,Rn,) que tambin caen todos paralelos contra cero. Como las transversales o alturas (X, X1, X3,, xn) as como los ejes:(Y, y1, y3, y). Pero estos ceros, no se Hallan todos en el mismo lugar, sino que se hallan sobre una lnea recta. Lo cual demuestra que: la teora que hay sobre la paralelidad, de que dos lneas rectas paralelas se encuentren en el infinito en el mismo punto, parece ser absurdo. Pues siendo as,todas las paralelas a estas, se cortaran en el mismo punto y todo el Universo seria un punto sin dimensin alguna . En esta (fig. 5) se observa, de que todas las tangentes que parten de v, se hallan en posicin paralela la una con la otra. Y que no se cortan en un punto comn sino que caen sobre una recta a sus distancias correspondientes. Nota: 1) La (fig.1), desciende de la 2); la (3, 4, 5), descienden de la (fig. 2). Pero en la (fig. 5) presenta: que la (fig. 1) ha sido proyectada en direccin de cero. Siendo su filtro de proyeccin: la constante C.En la primera parbola se ve de que su eje (0, y) = y, va dividido en dos partes. Donde la primera es y, y la segunda es: (0, y1 ) = y1. Si se divide (0, y) entre C2, se obtiene (0, y1) = y1. Que seala el punto donde se levanta la media proporcional X1, de X. (fig. 5)

Proporcionalidad: (0, y) = y ; ; y1 = (0, y1) ; y = y ;

Correlacin Proporcional (fig. 5)

; y = y ; ; : d = d

; ; ; ;

; ; ; ;

; ; ; ; . . . . . .

; ; ; ; ;

.

Hexgono parablico

Esta figura, es puramente matemtica y est construida segn la funcin: Que es donde vienen las constantes parablicas: (C , C1 C2 ). Todos los componentes de esta figura, estn de tal forma compactada que no cabe duda alguna en su proporcionalidad que es matemticamente el cdigo de la funcin. Si adems de los componentes estuviese el material tambin codificado por el mismo cdigo, este elemento se podra insertar en un funcionamiento mecnico

(Das Element)

(fig. 5)Donde sera su propia perfeccin. O sea que funcionaria siempre y no se podra corregir, ni para atrs ni para adelante, porque sera todo un error, y el elemento, estara encerrado en su propio futuro.

Se debe el teorema de Pitgoras a una confusin? El autor de esta obra, dice que s.

(fig. 1)

(fig. 2)

(fig. 3)

En la (fig. 1) se halla un rectngulo integrado en su propio rectngulo de integracin. En la (fig. 2) es un paralelogramo el que se halla integrado en un rectngulo de integracin. Y la (fig. 3), es un cuadriltero ordinario cualquiera integrado y limitado por un rectngulo de integracin. Por lo que el teorema de Pitgoras, tena que valer por igual para los tres casos. Lo que aqu no sucede .Pero si elegimos la formula de Benito Navarro, veremos de que esta se refiere a un cuadriltero ordinario cualquiera y dice que: La suma de cuadrados de cada uno de los cuatro lados, menos el cuadrado de la suma de las diferencias axiales, es igual a la suma de los cuadrados de sus dos diagonales. O sea: . Esta frmula es vlida para cualquier cuadriltero igual en qu forma se presente. En la (fig. 3), se han proyectado todos los lados (a, a1, a2, a3) perpendicularmente sobre sus correspondientes (A, A1, A2, A3) que, dando valores, por ejemplo: a2= 200 ; a12 = 52 ; a22 = 49 ; a32 = 73. Suma: 374 ; C2 = 157 ; C12 = 164. Suma: 321. 374 321 = 53. X, queda solo, (X1, X2) se suman. Se elevan al cuadrado y se suman. X2 + (X1 + X2)2 = dif. = 53.

Cuadratura del paralelogramo (por Benito Navarro)

La formula general del paralelogramo es:

F1 + F2 = F + F3

(fig. 4)

Que por ser los lados de dos a dos iguales, se reduce a: 1) . Que sera la frmula para los cuatro cuadrados del paralelogramo ; pero al dividir la formula por dos, resulta lo siguiente: 2) no es igual que: 3) pues la dos, se refiere a un paralelogramo, mientras que, la tres, se refiere a: un tringulo rectngulo.

Cuadratura de un rectngulo

Si la formula de cuadraccin de un rectngulo se divide por dos, queda todo el rectngulo dividido por dos. Que al dividir diagonalmente, queda la formula: . Por ello, en la(fig. 5) se han dividido el cuadrado de cada una de sus diagonales por dos. Si se hubiese cogido solo una diagonal, no coincidira con lo que dice la formula y existira una confusin.

La prueba sobre la cuadratura de Pitgoras

Se pone como primer ejemplo, al cuadrado. Donde sus cuatro lados (a, a1, a2, a3), son iguales. As como sus dos diagonales; que segn la frmula: la que se reduce a: , que al dividir por dos, queda tambin el cuadrado, diagonalmente dividido por dos , que resulta: a2 + a2 = C2. Al dividir C2, perpendicularmente por su mitad, resultan en C2, cuatro sub cuadrados iguales y en cada a2, por medio de plegamiento, resultan otros cuatro cuadrados igual a los de C2. Con esto, queda demostrado el teorema de Pitgoras . Vase (fig. 6) Al dividir C2, entre cuatro, es lo mismo que dividir a2, entre dos y a32 , entre dos. Resultan en total ocho cuadrados iguales. Por lo que la prueba, queda bien definida.

(fig. 6)

La prueba de Pitgoras en un rectngulo cualquiera

En esta prueba, se opera como en una multiplicacin normal, donde C2, sera el penltimo factor y C1, el ultimo. El resultado aparece a izquierda y derecha de las diagonales en los rectngulos franjeados (fig. 7). Al dividir la formula general : por dos, queda la formula de Pitgoras: . Prueba: 1) se introduce uno de los cuadrados de los catetos, en el cuadrado de C2, quedando como resto, los dos rectngulos franjeados y un cuadrado con diagonal C1.

2) Que al transformarlos en un cuadrado, seria: (C a)(C + A) = . O bien: . O por otra parte, C2 C1 = 2 a a1. Quedando el teorema de Pitagoras bien determinado y aclarado; pues un rectngulo, siempre se puede transformar en un cuadrado.

Rectngulo de integracin mximo circunscrito a un cuadrilteroAbajo, se han diseado dos cuadrilteros; el uno convexo impuro y el otro cncavo impuro, todo, por tener en su interior solo un ngulo obtuso. Los lados de un cuadriltero se designan aqu con: (a, a1, a2, a3) y sus diagonales con (C, C1) para todos los cuadrilteros. Y para saber si son convexos o cncavos, se mira si una de las diagonales esta dentro o fuera del cuadriltero, pero tambin, se observa que: un cuadriltero convexo, tiene 8, ngulos en su interior, mientras que los cncavos, tienen solo 6.

(fig. 1)

(fig. 2)

El cuadriltero de la (fig. 2), tiene en su interior un ngulo recto entre (C, a2 ), donde hay que considerar que al proyectar a2, sobre A2, resulta: cero (0). Quedando A2, como diferencia.

Los cuadrilteros: (fig. 3) y (fig. 4), es el mismo; solo que en dos posiciones. El 3, se halla C, vertical sobre la base A1, esta es, la posicin previa antes de alcanzar su rectngulo de integracin mximo. La (fig. 4) est encerrada en su rectngulo de integracin mximo . Lmite entre los ngulosObservaciones: 1), La diagonal C, puede menguar hasta u, crecer hasta C1, y seguir creciendo hasta , sin que variara el rectngulo de integracin mximo. 2) Cuando el extremo cero (0) llega a u, a3, es igual que a. As como: a1, igual que a2. Habiendo aqu, tres limites notables. Tales como: (u, C1, ) de forma que: entre u, y C1, se hallan todos los cuadrilteros cncavos que existen entre u, y C1. Siendo u, y C1, sus lmites. Al crecer C, en direccin de C1, al tocar el extremo 0, a C1, deja el cuadriltero inmediatamente de ser Cncavo y pasa a ser convexo. (fig. 3) Al crecer C, desde u, hasta , al principio es un ngulo puramente cncavo, el que presenta C, como cero, y C1 como constante. Cuando la diagonal C, y el lado a2, forman un ngulo recto, el cuadriltero cambia de puro a impuro o viceversa. Cuando el extremo 0, toca a: C1, el cuadriltero se ha convertido en convexo; y su forma es: un cuadriltero triangular. Por lo que: C1,, se ha convertido en (a2 + a3). Y cuando el extremo 0, toca a: , el (fig.4) cudrilatero se convierte en: cuadriltero convexo puro.

Forma de clculo del rectngulo de integracin mximo: Los cuadrilteros, se dividen principalmente en dos grupos: estos son: convexos y cncavos. Habiendo entre ellos algunas excepciones; tales como: colgantes, que son aquellos que por su posicin, cuando su diagonal ms larga esta puesta a: 450 grados, sobre su base, la mitad de su cuadrado, es mayor que cualquier otra posibilidad. Luego, estn los llamados dragones o simtricos, los que estn integrados en su rectngulo de integracio mximo. Entre otrosEntre los cuadrilteros convexos, hay que distinguir entre convexos puros e impuros; ya que cada uno de ellos, tiene una forma distinta de calculo. Ejemplo: los cuadrilteros (fig. 5 , 6), son cuadrilteros convexos puros . ya que en su interior, entre lados y diagonales, no tienen ningn angulo obtuso.

(fig. 5)

(fig. 6)

Otro ejemplo: el cuadriltero se da de cualquier forma, pero si se quiere que este tenga un rectngulo de integracin minimo, entonces , hay que ponerlo con su lado mas largo tendido sobre el lado base del rectngulo de integracin, como en la (fig. 5). Y si se desea el rectngulo mximo de integracin, aqu, es conveniente poner una de las diagonales, perpendicular sobre la base del rectngulo A.

Los dos cuadrilteros siguientes, son cuadrilteros cncavos puros, por tener dos angulos obtusos en su interior. Calculo de su rectngulo de integracin mximo: 1) se diferencian los angulos (w1 w2), la diferencia se divide por dos, obteniendo as el angulo (w) que es el que se le suma al mayor y se le resta al menor de los angulos (w1 , w2). Y de aqu, la formula siguiente: a[cos(w + w`)] + a1[cos(w3 - w`)] = B` ; a[sen(w + w`)] = H` ; B`H` = F. Vease (fig. 7)F, es la superficie del rectangulo mximo que se pueda circunscribir al cuadriltero cncavo (fig. 7).

(fig. 7)

W3

(fig. 8)

En la (fig. 8) el angulo w2, ha desaparecido, porlo que solo queda w1, el que se divide por dos y se opera como en la (fig. 7).

Algunos ejemplos: la (fig. 9), es un cuadriltero convexo impuro, por tener angulos obtusos en su interior. Nota: los cuadrilteros convexos impuros y los cncavos, tienen la misma forma de calculo para hallar su rectngulo de integracin mximo. O sea: diferenciando los angulos. Estos angulos se hallan entre el lado A1 del rectngulo momentneo de integracin y la diagonal C1. Entre el lado a, y lado A, del rectngulo de integracin .

Calculo del rectngulo de integrcion: ;

; B`H`= F superficie del rectngulo mximo.Nota: En todo cuadriltero, la base momentnea del rectngulo de integracin multiplicada por la altura de la diagonal vertical, es igual que la otra diagonal multiplicada por la base correspondiente cuando esta se halla perpendicular sobre la base.

> <

(fig. 9)

A continuacin, se han trazado dos cuadrilteros convexos puros iguales, donde el de la (fig. 11) se halla integrado en su rectngulo de integracin minimo, por tener el lado mas largo tendido sobre la base del rectngulo. Que parece ser que la (fig. 10), sea mas grande que la (fig. 11); aunque las dos son iguales. Pero este no es el rectngulo de integracin mximo sino que la diagonal C1, tiene que inclinarse la mitad del angulo , hacia la derecha.

(fig. 10)

Calculo: ; ;

; B H = F. Superficie del rectngulo mximo.

(fig. 11) Discusion: Se podra trazar un cuadriltero en su posicin de reposo minima y otro igual que el primero pero integrado en su rectngulo masmo. Donde la distancia del uno al otro, seria: de cero al infinito y del infinito a cero. Pero, esta distancia se podra fijar como si fuese el cdigo de un sistema. De forma que: entre ambos rectngulos, todo lo que entra y sale quedara digitalmente calibrado. Y seria una maquina perfecta para la identificacin.

Cuadriltero integrado en su rectngulo mximoParece ser que cuando echamos una mirada a nuestro alrededor, todo lo que hemos captado estuviese fijamente calibrado por un rectngulo de integracin momentneo el que oscila entre un mnimo y un mximo.

(fig. 12)

Discusin: todo lo que se nos aparece en la naturaleza a lo que le llamamos panorama, tiene una forma. Pero igual que forma sea, esta, est limitada y calibrada por un rectngulo de integracin. O sea que todo lo que existe, no hace falta de integrarlo porque la naturaleza ya lo tiene todo integrado por un rectngulo de integracin, el que oscila entre un mnimo y un mximo.

Cuando echamos la vista a nuestro alrededor, lo primero que vemos es un panorama, el que siempre est limitado y calibrado por un rectngulo llamado rectngulo de integracin. Como motivo tenemos a un cuadriltero el que queda limitado por dicho rectngulo. Cada vez que se mueva el cuadriltero a izquierda o derecha, el rectngulo de integracin vara, oscilando esta variacin entre un mnimo y un mximo.

W1 w Calculo del mximo: (fig.13)

Se diferencian las dos alturas de C1, y la diferencia se divide por la base, A1. Obteniendo la tangente de . . ; BH = F, superficie del rectngulo mximo.

Que nos transmite el tringulo? Es el tringulo, la a, y o de toda la geometra?En la figura siguiente, al oscilar los lados (b , b1) sobre 0, en toda posicin, sin variar dos de los laterales , (b, b1) hay otra posicin en la que encierra la misma superficie.De forma que: conocidos dos lados, (b, b1 y f) y la superficie f, en la formula, aparecen las dos bases: (a, a1).

Das Element

(fig. 1)

(fig. 2) (fig. 3)

(fig. 4)

Frmula: . Siendo aqui los laterales (b, b1) igual a los lados laterales del

La (fig. 2), presenta en el punto p, el punto de conjuncin de las tres alturas del tringulo . H, significa que el producto (bc), lo hemos dividido entre a o h. resultando como altura total del tringulo , H. La fig. 3), significa que: el producto ac, ha sido dividido por h. obteniendo b = H. Y la (fig. 4), el producto ab, ha sido dividido por h, obteniendo la altura H = c. La (fig. 1), significa que: dos vectores consecutivos o alternativos tomados como factores, representan siempre al producto de las dos parciales de la base del tringulo .Das ElementCmo surgi el principio del Universo? Se dice que: al principio no haba nada, ni espacio, ni materia, ni espritu. Osea que el que decidi el inicio, venia de otra parte.

La gran explosin, separ a las placas universales (frig. 5 )

; ; h = sen. R

En la (fig. 5) se ha trazado una circunferencia con radio R, y dimetro d, horizontal. Que representan las dos placas universales. Digamos que si las separamos a una distancia H, del centro cero (0), al multiplicar H por R, se obtiene una constante, la que al dividir por h, o por (sen.R), resulta la longitud de S (diagonal). Y se observa que: h, es siempre una parte de R. De manera que si dividimos R, entre: 2, 4, 8, 16,, n partes, y volvemos a dividir K entre n, resulta para cada n, la longitud de cada S. ahora bien: si consideramos a S como recorrido de una velocidad v, se ve que: cuanto mas pequeo es h, mucho mayor es dicha velocidad. De forma que: en pocos pasos la velocidad seria tan grande que ni el pensamiento podra seguirla y desaparecera en la nada. Que siguiendo con el pensamiento a esa nada,se llegara a un punto donde S,seria igual que L. Dicho punto seria el centro de conjuncin de dos diagonales. Que serian las diagonales de un rectngulo donde L, seria igual que L, e igual que S. Osea: L = L = S. En tal momento se dira que: el extremo de S, habra llegado a medio infinitoY seria S, igual a medio infinito, que seria igual que el infinito partido por dos. Osea: . E igual a cero (0). De manera que: al principio,para formar al universo atraves de una explosin, esta, tuvo que ser tan impetuosa que ni al tiempo le di tiempo a ser tiempo. Osea que, nada se movi de su sitio, donde estaba todo transformado a cero.

Tringulos del AlbailIitroduccin: Atraves del tringulo conocido en todo el Mundo como el tringulo del albail,de lados (3, 4, 5) = (a, b, c). se encuentra uno , con un sistema nuevo trigonomtrico. Donde los angulos ya no van representados en grados segn su abertura, sino que estos vienen ya representados por su valor natural. Un tringulo del albail, es un tringulo rectngulo, de la forma: a2 = b + c. De donde: c a = 1 ;

a - 1 = d. Siendo d, el dimetro de su circunferencia inscrita. De forma que: (1) Si se compara el triangulo del albail con otro triangulo-rectangulo cualquiera, se llega al resultado y definicin, que dice que: en todo triangulo rectngulo, existen dos triangulos del albail. Estos dos triangulos rectngulos por su naturaleza,estan fijados de tal forma que: el producto de los dimetros de sus circunferencias inscritas, es igual a, dos. Con esto, se ha creado la condicin e hiptesis para la formacin de un nuevo sistema trigonomtrico. Donde los angulos , ya no van representados en grados sino que por su valor natural: d . d1 = 2.

Triangulos del albail

En la (fig. 1 y 2), se han trazado dos triangulos del albail,donde (A, B, C) es igual a: (a, b, c). Y D, igual a: d1. De forma que: a2 = b + c. Y Reglas por definicin :(1) Para el entendimiento, se elige d, para el angulo mas pequeo y d1, para el angulo mas grande

(fig. 1) (fig. 2) De donde en un triangulo-rectangulo, al angulo recto se le considera como cero. Su valor, es cero = 0. Calculo parcial de un triangulo rectangulo Un triangulo rectangulo, queda por los puntos de contacto de su circunferencia inscrita de tal forma dividido que: 1) seis son las partes divisibles que forman el triangulo, dos a dos iguales. Si se consideran solo las dos partes que forman la hipotenusa, estas multiplicadas entre si, resulta el area de la superficie del triangulo rectangulo. Vease (vease fig. 3) (fig. 3) 2) Y en combinacin con los trianglos del albail que se hallan en el triangulo rectngulo (A, B, C)resultan las relaciones siguientes:

(1) ; (2) ; (3) ; (4) x . d = B ; (5) y . d1 = A ; (6) x + B A = y ; (7) y B + A = x ; (8) ; (9) ; (10) A + B D = C ; (11) ; (12) ; (13) ; (14) superficie. Relacin entre lados del triangulo rectngulo normal y lados de sus triangulos del albail

(15) ; ; (16) ; (17) ; (18) ; (19)

(20) ; (21) ; (22) ; (23) ; (24) ; (25) (26) ; (27) ; (28) ; (29) ; (30) ; (31) ; (32) ; (33) ; (34) .

Triangulos del albail. (segn fig. 3)

(35) ; (36) ; (37) ; (38) ; (39) ; (40) ; (41) D = d (C B) ; (42) D = A + B C ; (43) ; (44) ; (45) ; (46) ; (47) A . a C = B ; (48) ; (49) B . a1 C = A ; (50) 2(A D)(B D) = D2 ; (51) ; (52) ; (53) ; (54)

; (55) ; (56) rea de la superficie del triangulo rectangulo(A, B, C) (fig. 3).

En la (fig. 4), se ha trazado un triangulo del albail de lados (3, 4, 5). Donde: d, es igual a 1, d = 1.

a = 2 ; y a2 = b + c de donde . Smbolos: (0, v) = b1 ; (v, v1) = C1 ; (0, v1) = a1 ; Si a2, es igual a: C1 + b1, entonces es : d1, el dimetro de la circunferencia mayor inscrita en el triangulo del albail de lados (a1, b1, C1). Que si este tiene un dimetro igual a dos, el otro es igual a uno y por lo tanto sus medidas sern : d = 1 ; d1 = 2 ; a1 = 3 ; b1 = 4 ; y C1 = 5. Hallandose dentro de este, otro triangulo del albail de lados: (a, b, c) siendo d = 1, su circunferencia inscrita.

(fig. 4)

Calculo del triangulo ordinario y sus componentes1) se dan a conocer los tres lados del triangulo (A, B, C), los puntos de contacto de su circunferencia inscrita, (0, 01, 02), divide a estos en seis tangentes dos a dos iguales (2t, 2t1, 2t2). Calculo de las tangentes:

Distribucion: (1) 2t = C + A B ; 2t1 = B + C A ; 2t2 = A + B C. (2) (v, V1) = C ; (v1, v2) = B ; (v, v2) = A ; (3) (v, M) = H ; (v1, M) = H1 ; (v2 , M) = H2 ; (4) (u,v) = h ; (u1, v1) = h1 ; (u2, v2) = h2 ; (5) ; ; ; (6) ; ; ; (7) R2 + t2 = H2 ; ; . Vase (fig. 5).

f, es la superficie del triangulo (A, B, C) y d, es el dimetro de su circunferencia inscrita. Siendo p, el permetro del triangulo(A, B, C).

De forma que: 4 veces la superficie dividida entre el permetro, resulta el dimetro d, de la circunferencia inscrita. : para todas las figuras geomtricas planas.

; Para todas las figuras geomtricas planas.

(fig.5)

Las tangentes del triangulo (A, B, C), (2t, 2t1, 2t2), determinan y marcan los puntos de contacto (0, 01, 02) de la circunferencia inscrita en el triangulo (A, B, C).Con esto, queda el calculo bien determinado y aclarado.

Cortes Geomtricos Notables (por Benito Navarro) Ejemplos: (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).A continuacin se han trazado dos paralelogramos, de los que el primero es un cuadrado con diagonal dividida en dos partes (C, C1) . Si ponemos un punto p, a lo largo de la diagonal, este separa a las dos partes de manera que: al multiplicar la una por la otra, resulta la suma de las dos superficies (f, f1) que aparecen a los dos lados de la diagonal. En el ejemplo 1, se halla el punto p, sobre la diagonal C. Cruzado por dos verticales que caen perpendicular la una sobre la otra, vertical y horizontal. Estas dos verticales, son las que dividen a, A2 en cuatro partes, siendo dos de ellas, cuadrados y las otras dos: rectngulos normales. (ejemplo 2): El ejemplo 2,se trata tambin de un cuadrado pero que podra ser un paralelogramo cualquiera. Definicion: en un paralelogramo cualquiera en cuya superficie, en un lugar cualquiera se ha llevado un punto p, al unir dicho punto con los vectores que parten de los vrtices del paralelogramo, estos, dividen a la superficie del paralelogramo en cuatro triangulos de tal forma que: la superficie de dos triangulos opuestos, es siempre igual a: la mitad de la superficie del paralelogramo.

(ejemplo 1) (ejemplo 2)

Ejemplo 3: en el ejemplo 3, se ha trazado un cubo, donde el punto p, por medio de las diagonales (C, C) se ha llevado al centro del cubo. Que al unir dicho punto con todas las diagonales (C, C) correspondientes, queda el cubo dividido en seis pirmides iguales. Y si corremos el punto p, a otro lugar del cubo, se tienen siempre seis pirmides de forma que: dos pirmides una enfrente de la otra, suman juntas un tercio del volumen total del cubo. Cuando el punto p, toca a una de las superficies del cubo, una de las pirmides opuestas, es coro, siendo la otra igual a un tercio del volumen del cubo.

Ejemplo 4: En el ejemplo 4, se ha trazado un cilindro, donde en un punto p, cuaquiera dentro del volumen, al unir dicho punto co los vectores circulares de las bases, resultan dos conos opuestos de forma que: la suma de volmenes de dichos conos, es siempre igual a: un tercio del volumen del cilindro. Y cuando el punto se halla sobre una de las bases (0, p1) entonces es uno de los conos igual a cero, mientras que el otro es igual a un tercio del volumen total del cilindro.

(Ejemplo 3) ( Ejemplo 4)

En el ejemplo 5, se ha trazado un triangulo con base b, y altura H, asi como su rectngulo correspondiente.

Si la altura H, del rectngulo se divide en tantas partes como se desee, en: 1, 2,3,4,n partes iguales, esto seria : Del rectngulo (distancias desde V1 ) y las correspondientes para el triangulo sern: ; ; ; ; ;.

(Dstancias desde V). Equivalentes a: ; ; ; ; . ; Y en general: si se desea cortar el triangulo por una ensima parte, por ejemplo: , se divide la altura entre 7. Se divide la altura entre la raz cuadrada de 7. O se multiplica la raz cuadrada de un sptimo por la altura H y por b, obteniendo asi (h1 b1). Siendo , superficie pedida.

Ejemplo 5: la superficie del triangulo (0, 01, V), se quiere dividir en tres partes iguales por lneas rectas paralelas a la base b. Siendo: b = 10 unidades. H = 12 unidades. Valor absoluto.

(1o) se le halla la raz cuadrada a: . Esto es: . Se multiplica la raiz, por 10 y por 12, obteniendo asi los valores: de (h1 y b1). altura desde el vrtice V. La transversal o base b1, es: 5,77350. ; .

(2o) se le halla al triangulo (0, 01, V) la razn geomtrica sobre el angulo . Esto es: Se halla el valor de un tercio de b, esto es: 3,333Como al triangulo se le han dado dos cortes para obtener tres partes, se multiplica b, por su tercio y despus por dos, hallndole despus al producto, la raz cuadrada. Siendo este ultimo valor igual a la transversal b2 que se busca. (3o) La transversal b2, se divide por la razn geomtrica, cuyo cociente se resta de H, obteniendo la altura h3 del tercer trapecio contando desde V. La altura para el segundo trapecio,resulta de la diferencia de (h +h3) y H.

; ; Vease el ejemplo de la (fig. 5)

(Ejemplo 5)

El trapecio del ejemplo 7, se quiere dividir en 6 subtrapecios de igual superficie y con bases paralelas a (b, b6). Las magnitudes dadas son: b = 11 ; b6 = 9 ; H = 12. Se opera de la siguiente forma: (1o) el numero de cortes que se dan,es de n 1 = 6 1 = 5.

(2o) se divide b6, entre 6, cuyo cociente es: 1,5. Se divide b, entre 6, cuyo cociente es: 1,8333 (3o) se multiplica b, por y por el numero de cortes. Esto es 11 . 1,8333 . 5 = 100,8333.

(Ejemplo 6)(20) Se divide b6, entre 6, cuyo cociente es: 1,5. Se divide b, entre 6, cuyo cociente es: 1,8333

(30) Se multiplica b, por , y por el numero de cortes 5. Esto es: 11 . 1,83333 . 5 = 100,8333. A este producto se le suma el producto: b6 . , igual a: 9 . 1,5 = 13,5 = .

(40) A la suma de ambos productos, se le halla la raz cuadrada, cuya raz es la segunda transversal b1... Ejemplo: .(50) Si se sabe que cuando un trapecio se divide en partes iguales por lneas rectas paralelas a las bases, estas serian: b, b1, b2, b3,b4,,bn-1. Sus cuadrados forman una progresin aritmtica en ambos sentidos, creciente y decrciente. Asi se facilita la operacin.Ejemplo: b2 = 112 = 121 ; 121 114,333 = 6,6666 = Razon aritmtica. De donde: 121 = b2. Para b = 11121 = b2 b = 11

114,3333 = b1 = 10,6926766

b2 = 10,3762549

b3 = 10,0498756 Transversales

b4 = 9,712534849

b5 = 9,36304792

b6 = 9

(60) Para hallar las alturas de los trapecios pedidos, se opera de la siguiente forma: (a), Se halla la altura del triangulo complementario del trapecio dado. Esta es:

Se divide b, entre H1 osea , 0,166666 es la razn aritmtica o tangente del angulo . La que es una constante K. (b), cada dos transversales vecinas se dividen entre K, cuya diferencia es la altura del trapecio.

Ejemplo: entre (b, b1), la altura es: ;

.El trapecio del ejemplo 7, se desea dividir en subtrapecios de igual superficie y con bases paralelas a la base b. Sea el numero de subtrapecios igual a 10. El numero de cortes que se dan, es: de N - 1 = 10 1 = 9. La altura del trapecio es: 10 ; la base b, 12 y la ultima transversal es: b10 = 8 en valores absolutos. Las operaciones se pueden llevar a cabo en las dos direcciones; de b10 hacia b, y de b hacia b10.

(1o) se marca un decimo sobre b, y un decimo sobre b10.(2o) Se escribe la formula correspondiente a una de las direcciones. Sea la direccin de b10

(ejemplo 7)

Direccion de b: .

Ejemplo: (3o) para hallar la altura de uno de los trapacios, se halla primero el area de la superficie del trapeco origen, se divide en n, partes

iguales, siendo una, igual a f. de forma que la altura entre dos transversales vecinas es: En el ejemplo 8, se ha trazado un triangulo rectangular con su rectngulo correspondiente. Como las dos alturas o catetos del triangulo son tambin tangentes el uno del otro, cuando estos se toman como radios o dimetros de una circunferencia, todas las cuerdas de la semicircunferencia U, son transversales del triangulo rectangular, desde d, hacia 02. Y todas las cuerdas de la semicircunferencia U1, son transversales del mismo triangulo pero desde d1, hacia 01.Ejemplo 8 : Si se desea dividir la superficie del triangulo del ejemplo 8, en dos partes iguales, se marca primero la mitad de d, y de d1. Segundo: Se trazan las alturas h y h1. Tercero: Desde 01, con radio S, se lleva p, sobre d. Esta corta a d, en E. Siendo (01, E) = S. (4o) Se lleva desde 02, con radio S1 p1 sobre d1 cortando a esta en E1. Siendo (02, E1) = S1Si se toma S, como base de un triangulo y S1 como altura, el triangulo resultante, es igual a la mitad del triangulo original. Osea:

, siendo ; y ; Siendo

dx = S2 ; La transversal (E1, i) = es igual que: (01, E) = S. Y la transversal (E, i1), es igual que: (02, E1) = S1.

(Ejemplo 8)

Formacion de la escala triangular

(1o) Se halla el area de la superficie al triangulo (0, 01, 02) del ejemplo 8. Se divide en n partes deseadas. Siendo el primer miembro de la escala : . Que pertenece a la primera columna.

(2o) Se forma la escala. Si se desea con ayuda de las tres columnas. Ejemplo: Si hacemos n = 8 resulta para . Se le halla la raz cuadrada al cociente. Esta es: esta raz, se multiplica por b, y por H, obteniendo los valores para b7 y h7 .

(Ejemplo 8)