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Abstract— A través del uso de herramientas deprogramación, como MATLAB se pueden encontraraproximaciones a soluciones de ecuaciones. En esta práctica elobjetivo es encontrar raíces de ecuaciones no lineales,utilizando métodos numéricos abiertos, principalmente elmétodo de bisección, aunque también se mencionan losfundamentos del método de la Regla Falsa.

Palabras clave— Algoritmo Bisección, Convergencia, ReglaFalsa, Regula Falsi, Teorema de Bolzano.

[1] INTRODUCCIÓN

OS métodos numéricos son herramientas útiles paraaproximaciones de soluciones a problemasmatemáticos. La resolución de ecuaciones por

medio de métodos numéricos se divide en dos categoríasprincipales: abiertos y cerrados.

LLos métodos abiertos son el algoritmo de bisección y

regla falsa, que se analizarán a continuación. Estos métodosson utilizados para encontrar raíces en ecuaciones. Sufuncionamiento es similar, aunque el método de bisecciónes menos complejo que el método de regla falsa (RegulaFalsi).

Algunos historiadores aseguran que el método RegulaFalsi es el más antiguo de estos, teniendo sus orígenes enChina, durante el segundo siglo B.C.

Curiosamente también apareció en diferentes épocas decivilizaciones posteriores, como Egipto alrededor de 2000B.C. y después en Italia alrededor del año 1200 [1].

El método de bisección también tiene historia ya que haestado en uso por siglos. Este método nos permite encontrarel punto de interés, o bien, la raíz, dentro de un intervalo.De esta manera podemos encontrar la raíz de una funcióncontinua, por ejemplo.

Este método es el más sencillo, además de que laconvergencia es asegurada y lineal. Se basa en el Teoremade los Valores Intermedios, indicando la siguiente función:

y = f (x)

La práctica fue realizada el día 2 de septiembre del 2015, dentro de la salade computadoras del DIA, con apoyo de la profesora María de los ÁngelesCosío León, y el uso del programa MATLAB, versión 2009a.

Fig. 1 Ilustración de función incontinua

Fig. 2 Ilustración de función continua con el método de bisección

En la figura anterior vemos que la función es continua enel punto x = c cuando existe un límite de la función y dicholímite es f(c). Para que f(x) sea continuo, entonces debe deexistir en un segmento.

Si f es una función continua con un intervalo de a-b,entonces existe al menos una c dentro de [a,b] tal que f (c)sea igual a u.

El método de valores intermedios a veces se hacereferencia, denominándolo como Teorema de Bolzano. Esteteorema es nombrado en honor al matemático alemán,Bernhard Bolzano, conocido como el renovador del análisis.

El Teorema de Bolzano contiene dos requisitos. Si f(x) escontinua en [a,b] y además el signo de f(a) y el signo def(b) es diferente, entonces debe existir al menos un c dentrode [a,b], f(c) = 0. Al ser así, entonces c es una raíz de lafunción.

Algoritmo de Bisecciones y Regla Falsa(Septiembre 2015)

Selma Julieta Padilla Padilla

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En el caso del método de la regla falsa, el estimado de cse encuentra por medio de una interpolación lineal entre lospuntos (b, f(b)) y (a, f(a)).

La estimación de la raíz se hace a través de la siguienteformula:

Si el producto de f(a) y f(b) es igual a cero entonces se haencontrado la raíz. Si no es así, entonces debemos encontrarla nueva aproximación a la raíz [2].

A través de esta práctica veremos la utilidad,principalmente del método de bisección. Al seguir elmétodo podremos resolver una ecuación no-lineal pormedio de la aproximación del valor de su raíz.

[2] ALGORITMO

Método de Bisecciones.

1. Datos de entrada:

a. extremos a y b, correspondientes al intervalo

b. tolerancia (t)

c. número máximo de iteraciones (n)

2. Salida: arrojar valor de aproximación de raíz (p) o mensaje de error.

3. Tomar i = 1

4. Mientras i <= n, entonces pasos:

a. (calcular pi).

b. si f(p) = 0 ó < t,

entonces SALIDA (p);

PARAR.

c. Tomar i = i + 1

d. Si f(a)*f(b)>0 tomar a = p, si no, tomar b = p (calcular ai, bi)

5. SALIDA; (indicar p, o mensaje de error)6. PARAR;

[3] PSEUDOCÓDIGO

Declarar funciónInput aInput bInput tInput nInput función

i = 1, mientras que i<=np=(a + (b-a)/2);

si f(p) = 0 o ((b-a)/2) <t, i=n+1

display p

i = i+1;si (f(a)*f(p))>0 entonces a=p; si no es así, entonces b=p,

y calcular de nuevo ai, bi

display 'el metodo fracaso despues de no iteraciones = ' display(p)

fin

[4] CÓDIGO

function y = biseccion1() %pedir las variables - información al usuario

a = input('Ingresa el valor de a: ')b = input('Ingresa el valor de b: ')t = input('Ingresa valor de tolerancia: ')n = input('Ingresa numer max. de iteraciones: ')

funcion = input('Ingresa la funcion: ')f = inline(funcion);

i = 1;while i<=n p=(a + (b-a)/2); %p es el punto medio if (f(p) == 0) | (((b-a)/2) <t)

3 %para detener el ciclo entonces itiene que ser n+1 i=n+1 disp (p) end i = i+1;if (f(a)*f(p))>0 a=p; else b=p;end disp('el metodo fracaso despues de no iteraciones = ') disp (p)end

end

[5] RESULTADOS

Fig. 3 Ingreso de datos de entrada en MATLAB

[6] CONCLUSIÓN

En esta práctica pudimos ver la utilidad que tienen ambosmétodos, aunque nos enfocamos principalmente en elalgoritmo de bisección. El método de bisección utiliza elteorema de valores intermedios para realizar iteraciones quenos llevan a aproximar la raíz.

El método de bisección corta el intervalo en dos mitadespara verificar cuál mitad contiene la raíz de la función.Después de esto continúa cortando las mitadas hasta que elintervalo resultante es muy pequeño. La raíz es entonces elvalor equivalente a cualquier valor dentro de este intervalomuy pequeño.

MATLAB nos permite adaptar el código a nuestrasnecesidades, de tal forma que podemos cambiar la canitdadde iteraciones que se requieren.

REFERENCIAS

[1] J. M. McNamee and V. Pan, “Bisection and Interpolation Methods,”in Numerical Methods for Roots of Polynomials, Part 2. , vol. 16,Academic Press, 2013.

[2] A. Quarteroni and F. Saleri, “A Geometric Aproach to Rootfinding,”in Numerical Mathematics, 2nd ed., New York, NY: SpringerScience & Business Media, 2010, pp. 250–251. Disponible:https://books.google.com.mx/books?id=m-bHBAAAQBAJ&printsec=frontcover&hl=es&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false

[3] R. Butt, “Solutions of nonlinear equations,” in Introduction toNumerical Analysis Using MATLAB®, Infinity Science Series.,Jones & Bartlett Learning, 2009.