M. Misas A. 1

Econometría de Variable Dependiente Limitada

Módulo 2

Pontificia Universidad Javeriana

Cortes Transversales

En este módulo se consideran dos tipos de modelo de regresión:

•Regresión con variable dependiente observada de manera incompleta

•Regresión con variable dependiente observada en una muestra seleccionada,

que no representa a la población.

Variables Dependientes Limitadas

Datos truncados: algunas observaciones tanto de la variable dependiente como

de los regresores no están disponibles.

Ejemplo: el ingreso como variable dependiente y solo individuos con bajos

ingresos son incluidos en la muestra.

Datos censurados: la información sobre la variable dependiente no está disponible,

lo cual no ocurre en el caso de la información de los regresores.

Ejemplo: Individuos de todos los niveles de ingreso pueden estar incluidos en la

muestra, pero por razones de confiabilidad, el ingreso de los individuos

de alto ingreso que exceden a un umbral se reporta tan solo como un valor.

Truncamiento

El efecto de truncamiento se tiene cuando la muestra se toma de un subconjunto de

una población de interés.

Ejemplo: Estudios de ingresos basados en una muestra de personas por encima de la

línea de pobreza. De poca utilidad para llevar a cabo inferencia sobre la

población total.

Inferir las características de una población, basados en una muestra tomada de

un subconjunto restringido de la población.

Distribución Truncada

•Una distribución truncada es una parte de una distribución no truncada. Se refiere a

una parte seleccionada por encima o por debajo de algún valor particular.

•El truncamiento es esencialmente una característica de la distribución de donde la

muestra ha sido extraída.

Objetivo:

Inferir las características de la población total

con base en una muestra tomada de una parte

restringida de la población.

Ejemplo: En Colombia:

Estudiar los salarios de una población mediante una encuesta

cuyos participantes tienen un salario anual mínimo de treinta

millones de pesos.

Este estudio permitirá inferir sobre el colombiano promedio?

:X Variable aleatoria discreta ,,,, 21 nxxx L

( )( )

si 0

si

≠

===

j

jj

X xX

xXxXPxf

Puntos de masa

Frecuencia de la masa de probabilidad o función de densidad de probabilidad

[ ]0,1 :Recorrido

:Dominio ℜ

:X Variable aleatoria continua

( ) xf X Función de densidad de probabilidad si:

( ) ( )∫∞−

=x

XX duufxF[ )∞ℜ

,0 :Recorrido

:Dominio

Algunas ideas acerca de la función de densidad de probabilidad

( ) 0≥xf X

( ) 1=∫∞

∞−

dxxf X

Distribución Normal

Distribución Normal truncada

Densidad de una variable aleatoria truncada

X Variable aleatoria continua

( )xf Función de densidad de probabilidad

ℜ∈a

( ) ( )( )

:f X

f X X aprob X a

> =>

Función de densidad truncada

Puntos de truncamiento

Ejemplo

( )( )

( )

~ 0,1

1 0 x 1

1 1 32213

33

X U

f X

f Xf X X

prob X

= ≤ ≤

> = = = >

( ) ( ) [ ]( )xIab

baxfxf baXX ,

1,;

−==

Distribución Uniforme: Función de densidad

[ ]

[ ] ( )2

12

2

abXVAR

baXE

−=

+=

Función de densidad de la Distribución Normal:

( ) ( ) ( )

−−

=−

2

2

21

2

2

1exp2 µ

σπσ ttf

( ) ( )

−=

−=

− 221

2

1exp2 zz

tz

πφ

σµ

Función de densidad de la Distribución Normal estándar:

Distribución Normal Truncada

En una gran cantidad de aplicaciones se utiliza la distribución normal truncada

X Variable aleatoria continua que sigue una distribución normal

( )2~ ,X N µ σ

( )( )

1

1

aprob X a

µσ

α

− > = −Φ

= −Φσµ

α−

=a

siendo

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )

( )

1

/1/

1

2

122

2/2/12

ασµφσ

απσ

ασµ

Φ−−

=

Φ−=

Φ−=>

−−−

x

e

xfaxxf

x

Valor esperado y varianza de una distribución truncada

( ) a

E X X a Xf X dX

∞

> = ∫

Ejempo:

( )1

13

2

31 3 2

3 2

2 2 3

E X X X dX

X

> =

= =

∫1

31

Una variable distribuida uniforme entre y varianza truncada:LU ( ) ( )12

var

2LU

axx−

=>

( )2111 13var

3 12 27X X

− > = =

Momentos de una distribución normal truncada

( )2~ ,X N µ σ

( )( )( )2

1

E X Truncamiento

VAR X Truncamiento

µ σ λ ασ δ α

= + = −

Función Hazard

( ) ( )( )

( ) ( )( )ααφ

αλ

ααφ

αλ

Φ−=

Φ−=1

Si el truncamiento es:

Si el truncamiento es:

X a>

X a<

( ) ( ) ( )( )ααλαλαδ −=

Razón inversa de Mills

Dos resultados:

1. Si el truncamiento es “mayor que” implica que la media de la variable truncada es

mayor que la variable original.

2. El truncamiento disminuye la varianza

σµ

α−

=a

Modelo de Regresión Truncada

Sea parte determinística del modelo de regresión clásicaβµ '

iX=

Sea variable dependiente y un conjunto de variables independientes,

relacionadas con a través de la siguiente relación: iy

iy

iX

( )2'

,0~ σε

εβ

N

Xy

i

iii +=

•En este caso, se habla de una muestra truncada si sabemos de antemano que las

observaciones provienen de una parte restringida de la distribución poblacional

subyacente iy

Muestra truncada y análisis de regresión

•Algunos hogares pueden desear comprar un carro nuevo pero encontrar que

este es muy costoso, en cuyo caso no lo comprarán y no harán parte de la data

observada. El efecto de este truncamiento deberá ser tenido en cuenta,

por ejemplo, si se desea predecir las ventas potenciales de un nuevo tipo de carro

muy económico, debido a que los compradores potenciales no hacen parte de la

muestra observada.

Objetivo: Estudio sobre venta de carros nuevos

iy Precio del carro

iX Características del comprador: edad, ingreso, ocupación, etc.

Ninguna observación para puede estar por debajo del precio correspondiente

al auto más barato. iy

Ejemplo:

ayy

ayXyy

ii

iiiii

≤

>+==*

*'*

si observado no es

si εβ

Que sucede si se está interesado en la distribución de

dado que es mayor que un punto de truncamiento:iy

iy a

[ ] ( )( )( )

−Φ−

−

+=

Φ−+=

+=>

σβ

σβ

φσβ

ααφ

σβ

ασλβ

'

'

'

'

'

1

1

i

i

i

i

ii

iiii

Xa

Xa

X

X

XayyE

Función no lineal en σβ ,,, aX

Matriz de diseño de información

( )( )2'

2

'

,~

,0~

σβ

σε

εβ

iii

i

iii

XNXy

N

Xy +=

Regresión que incorpora el truncamiento de la muestra:

Efectos marginales en la subpoblación:

[ ] ( )

donde '

i

'

σβ

αασλβ iiiii

XaXayyE

−=+=>

[ ] ( )

X

ayyEX

i

i

iii ∂

∂∂∂

+=>∂∂ α

ααλ

σβ

( ) ( )( )

( )

( )( )

( ) ( )[ ] ( ) ( )( )( )[ ]( )( )[ ]

( )( )

11

1

1

1

1

2

2

2

2

iii

i

ii

i

i

i

iiiii

i

i

i

i

ii

ii

λαλ

ααφα

ααφ

ααφαφααφα

ααφ

α

αλαα

αφαλ

−

=Φ−

−Φ−

=Φ−

−−Φ−−

=

Φ−∂∂

=∂∂

⇒Φ−

=

1. 2.

σβα

−=∂∂X

i

Nota:

− 2

2

1exp

2

1iαπ

[ ] ( )

[ ]( )

( ) ( )[ ]( )

( )( )( )

1

2

i

i

iii

iii

iiiii ayyEX

αδβ

αβδβσβ

ααλαλσβ

σβ

αλλσβ

σβ

λαλσβ

−=

−=

−−+=

−−+=

−−+=>∂∂

Así:

•Para cada elemento de , el efecto marginal es menor que el correspondiente

coeficienteX

[ ] ( )( )iii ayyVar αδσ −=> 12

•En la subpoblación , la varianza de la regresión es:ayi >

Atenuación de la varianza

•El interés sobre el efecto marginal y el dependerá de la intención de

inferencia sobre la población total. Si solo se desea la subpoblación

[ ] ( ) '

iiii XayyE ασλβ +=> Es de gran importancia

β

Si se desea llevar a cabo inferencia a la población es de interés β

Estimación

•Mínimos Cuadrados Ordinarios

Como lo presenta Greene, la primera inclinación es utilizar MCO para llevar a cabo

la estimación de

Para cada individuo de la subpoblación de la cual se extrajo la información se tiene:

[ ]( ) iii

iiiii

eX

eayyEayy

++=

+>=>

ασλβ'

( ) ( )( )( )iii

iieVar

αλλσ

αδσ

+−=

−=22

2

1

1

Proceso heteroscedástico en el término de

perturbación

Debido a que , en una regresión de frente a y una estimación

MCO se omitiría el término no lineal se produce una estimación sesgada

como consecuencia de una variable omitida. Heckman (1979) “Specification error”

( )ii Xf=λ Y X

iλ

β

•Máxima Verosimilitud

( )( )

( )

−Φ−

−

=>

σβ

σβ

φσ

'

'

1

1

i

ii

iiXa

Xy

ayyf

( )( ) ( ) ( )∑∑==

−Φ−−−−+

−=

T

i

iT

iii

XaXy

T

1

'

1

2'

2

2 1ln2

1ln2ln

2L ln

σβ

βσ

σπ

Función de verosimilitud total: el log de la función de verosimilitud es la suma de

los logaritmos de las siguientes densidades:

Condiciones de primer orden:

i

T

i

iii XXyL

∑=

−

−=

∂∂

12

' ln

σλ

σβ

βIgualada

0

( ) ( )∑=

−−+−

=∂∂ T

i

iiii Xy

TL

12

2'

422 22

1

2

ln

σαλα

βσσσ

Igualada0

Resolución a través de un

Método de Optimización no

lineal

( )

( )

2

2

12 22

1 1 1exp

221

2 exp2

i i

i

φ α ασ πσ

πσ α−

− =

− =

Tarea: segundas derivadas

Censuramiento

Una variable dependiente es censurada si todos los valores de cierto rango son

transformados a un valor simple.

•Gastos del hogar en bienes durables

•Número de relaciones extramatrimoniales

•Número de arrestos después de salir de prisión

•Gastos en vacaciones

Cada uno de estos estudios analiza una variable dependiente que es cero para

una fracción significativa de observaciones

Distribución Normal Censurada

( )2~ ,Y N µ σ

Se supone como el punto de censura0

•Truncamiento: solo la parte de la distribución por encima de sería relevante para

el análisis.

Para hacer que la distribución integre a se reescala por la probabilidad de que una

observación de la población no truncada caiga en el rango de interés

0=y

1

•Censuramiento: la distribución que aplica a la muestra es una mezcla de

distribuciones discreta y continua

Se define una nueva variable aleatoria a partir de la original y *y

0 si 0 si 0

**

*

>=≤=

yyyyy

Si la distribución que aplica es: ( )2* ,~ σµNy ( ) ( )

Φ−=

−Φ=≤==σµ

σµ

100 *yprobyprob

Si conserva la densidad de( )2* ,~0 σµNyy ⇒> *y

Se parte del supuesto de normalidad

Mezcla de distribuciones

La distribución es una mezcla de partes discreta y

continua. La probabilidad total es 1 y en este caso no se

reescala la segunda parte , simplemente se asigna la

probabilidad total en la región censurada al punto de

censura, en este caso 0

Capacidad

Capacidad Tiquetes vendidos

Sillas demandadas

•Se quiere conocer el número de

boletas demandadas para cierto

evento.

•La única medición existente es el

número de boletas vendidas

•Se sabe que al vender toda la

boletería, el número demandado es

mayor que el número vendido

•El número de boletas demandadas

es censurado cuando este es

transformado para obtener el

número de boletas vendidas.

Ejemplo:

Momentos de una variable normal censurada

Si ( )

ayyy

ayay

Ny

>=

≤=**

*

2*

si

si

,~ σµ [ ] ( )( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )

λαλδ

φλ

ασµ

λαδσ

σλµ

−=Φ−

=

Φ=≤=Φ=

−Φ

Φ−+−Φ−=

+Φ−+Φ=

2

*

22

1

11

1

ayproba

yVAR

ayE

Demostración:

[ ] ( ) ( )( ) ( )( )( )

( ) ( )( ) ( )( )

* * * *

x x

x x

1

1

E y prob y a E y y a prob y a E y y a

prob y a a prob y a E y y a

Φa

Φ a

µ σλ

α α µ σλ α

= = = + > > = ≤ + > >

= + −Φ +

⇓= + −Φ +

1.

2. [ ] [ ] [ ]lcondicionamediaVarlcondicionaEyVar varianza +=

[ ] [ ] ( ) [ ]( ) [ ]

( ) ( )δσ −Φ−=>Φ−+Φ=

>Φ−+=Φ=

11

10

1 varianza

2

** ayyVar

ayyVarayyVarlcondicionaE

[ ] [ ] [ ]{ } ( ) [ ] [ ]{ }( )( ){ } ( ) ( ) ( )( ){ }

( )( ){ } ( ) ( ){ }22

22

22

1 1

111

1

σλµσλµ

σλµσλµσλµ

−−Φ−Φ−+−−Φ−Φ=

+Φ−−Φ−+Φ−++Φ−−Φ−Φ=

−>Φ−+−=Φ=

aa

aaa

yEayyEyEayyElcondicionamediaVar

Haciendo σαµ =−a

[ ] ( ) ( ){ } ( )( ) ( )22

2222

1

11

λασ

λασ

−Φ−Φ=

−ΦΦ−+Φ−Φ=lcondicionamediaVar

Así, [ ] ( ) ( ) ( )[ ]Φ−+−Φ−= 22 11 λαδσyVar

Si 0=a

[ ] ( )

Φ

=

+

Φ==

σµσµ

φλ

σλµσµ

0ayE

Resultado del truncamiento

Modelo de regresión censurada Modelo Tobit

La regresión es obtenida haciendo que la media definida anteriormente

corresponda al modelo clásico de regresión

La formulación general es usualmente dada en términos de una función índicadora:

0 si

0 0

**

*

'*

>=

≤=

+=

iii

ii

iii

yyy

ysiy

Xy εβHay potencialmente tres funciones condicionales

para la media, depende del interés del estudio

•Para la variable índicadora, algunas veces llamada variable latente: [ ] β'*

iii XXyE =

Sin embargo, si los datos están siempre censurados este resultado no es muy útil

1.

2.

3.

1.

•Siguiendo los momentos de una distribución normal censurada , para una

observación muestreada aleatoriamente de una población, la cual puede o no ser

Censurada se tiene:

[ ] ( )iii

ii XX

XyE σλβσβ

+

Φ= '

'

Φ

=

σβ

σβφ

λ'

'

i

i

iX

X

•Si el propósito son las observaciones no censurados se está en el caso de

regresión truncada.

2.

3.

Efectos marginales

1. Considerando la variable índicadora se tiene[ ]

β=∂

∂

i

ii

X

XyE *

Este resultado no es de gran interés por ser la variable

no observada

2. Considerando la variable observada ,dado el censuramiento, se tiene:y

[ ] ( )

'

'

'

'

'

∂∂

+

Φ

∂∂

=

+

Φ

∂∂

=∂∂

σβ

σφβσβ

σλβσβ

i

i

i

i

i

i

i

i

ii

i

X

XX

X

X

XX

XXyE

X

1 2

( )

( )

( )

'

'

''

'

''

''

'

βσβ

σβ

αφβ

βσβα

αα

β

βσβ

σβ

ββσβ

Φ+

−=

Φ+

∂

∂Φ

∂∂

=

∂∂

Φ+

Φ

∂∂

=

Φ

∂∂

i

ii

i

i

i

i

i

i

i

i

ii

i

ii

i

i

XX

X

XX

XX

XX

XXX

X

X

1.

2. ( )

( )( )

( )

--

ii

ii

'

αβφασβ

αφασ

ααασφ

σβ

σφ

=

=

∂

∂

∂

∂=

∂∂

i

i

i

ii

i X

X

X

[ ] ( ) ( )

( )

( ){ }

'

ii

'

i

'

i

'

ii

'

'

βσβ

βαβααφβσβ

βασββ

αφβσβ

αβφαβσβ

σβ

αφβ

Φ=

+−+

Φ=

+−

+

Φ=

+

Φ+

−=∂∂

i

i

i

ii

i

iiii

i

X

X

XX

XXXyE

XDonde:

McDonald y Moffitt (1980) sugieren una descomposición útil:

[ ] ( )( ) ( )[ ]iiiiiii

i

ii

X

XyEλαφλαλβ +++−Φ=

∂

∂1

( )iii

Xα

σβ

Φ=

Φ=Φ

'

Si se tiene el siguiente modelo censurado:

( )( )

2

'

y varianza 0 mediacon continua aleatoria variable

CDF

densidad defunción

contrario casoen

constantes ,

si

si

σε

ε

ε

εβ

→

→

→

=

≥=

≤=

+=

∗

∗

∗

∗

i

i

i

ii

ii

ii

iii

F

f

yy

ba

byby

ayay

Xy

[ ] [ ]byaX

XyEi

i

ii <<=∂

∂ ∗prob β

Se tiene:

Doble censura:

Demostración:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( ) ( )( ) ( ) ( )( ) [ ]iii

iiiiiiiiiii

XbyayEaFbFbFbaaF

XbyayEXbyaXbybXayaXyE

<<−+−+=

<<<<+≥+≤=

∗∗

∗∗∗∗∗

1

probprob prob

Dado que la media condicional es igual a:( )

−+=∗

∗

σβσβ'

' iiii

XyXy

[ ]

( ) ( )( ) ( )

−

+=

−<

−<

−−+=<<

∫

∗∗∗∗

σεσ

εσε

σβ

σβ

σβ

σβ

σβ

σβ

α

α

daFbF

fX

XbXyXaXyEXXbyayE

b

a

i

iiiiiiiiii

'

'''''

Recolectando términos se tiene:

[ ] ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

+−+−+= ∫ σε

σε

σε

σβα

α

dfXaFbFbFbaaFXyEb

a

iii

'1

Aplicando el teorema de Leibnitz y el hecho de que no depende de ( )εf X

Tarea

[ ] ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )( )βσβ

αασσβ

ββσβ

σβ

aFbF

afbfafbfXaFbFbbfaafXyEX

abiii

i

−=

−−+

−−+−+

−−

−=∂∂

'

Estimación

La estimación de este modelo es similar al modelo de regresión truncada.

1. Función de verosimilitud:

( ) ( )( )

=

>= ∗

∗

ayXaF

ayXyfXyf

i

ii

i si

si

=

>=

ay

ayd

si 0

si 1 ( ) ( ) ( ) d

i

d

ii XyFXyfXyf−∗∗=1

* *

*

si si

y y y ay a y a= >= ≤

Si la distribución condicional de dado un conjunto de regresores es especificada,

entonces los parámetros de la distribución pueden ser consistente y eficientemente

estimados a través de ML basados en la distribución condicinal censurada o

truncada de la variable

*y X

y

( )( )

if y X

F a X

∗

∗

Función de densidad

Función de distribución acumulada

*y

( )*y g y=

La función de densidad de es una mexcla de la pdf y la cdf de *yy

Para observaciones independientes, la máxima verosimilitud censurada maximiza:T

( ) ( ) ( ) ( ){ }∑=

∗∗ −+=T

i

iiiii XaFdXyfdL1

,ln1,lnln θθθ

Donde parámetros de la distribución de θ∗y

0 si

0 0

**

*

'*

>=

≤=

+=

iii

ii

iii

yyy

ysiy

Xy εβ ( )2,0~ σε Ni

Dado el siguiente modelo Tobit y :

( ) [ ]2' ,σβii XNyf ≡∗

0=a

( ) ( )( )

Φ=

−Φ=

≤+=

≤= ∗∗

σβ

σβ

εβ

'

'

'

1

0Prob

0Prob0

i

i

ii

i

X-

X

X

yF

Densidad censurada:

( ) ( )1

''

22

1 1exp 1

22

dd

ii i i i

Xf y X y X

ββ

σ σπσ

− = − − −Φ

El estimador MLE maximiza la siguiente función de verosimilitud censurada:( )2ˆ,ˆˆ σβθ =

( ) ( ) ( )∑=

Φ−−+

−−−−=T

i

iiiii

XdXydL

1

'2'

2

22 1ln12

1ln

2

12ln

2

1,ln

σβ

βσ

σπσβ

Condiciones de primer orden:

( ) ( )( )

01

11ln '

12

=

Φ−−−−=

∂∂

∑=

i

i

iiiii

T

i

XdXydL σφ

βσβ

( ) ( )( )∑

=

=

Φ−−+

−+−=

∂∂ T

i i

iii

iii

Xd

Xyd

L

13

'

4

2'

220

211

22

1ln

σβφ

σβ

σσ

Optimizador no lineal

Tarea

( ) ( ) ( )∑∑=>

Φ−+

−++−=

0

'

02

2'2 1lnln2ln

2

1ln

ii y

i

y

ii XXyL

σβ

σβ

σπ

Las dos partes corresponden a:

(1) la regresión clásica para observaciones ilimitadas

(2) Probabilidad relevante para observaciones limitadas

Mezcla de distribuciónes:

discreta y continua

Amemiya (1973): la estimación

Se puede llevar a cabo a través

de MLE

(1) (2)

2. Otra forma de la función de verosimilitud

Reparametrización de Olsen (1978):

σθ

σβ

γ1

, ==Definiendo:

Función de verosimilitud:

( ) ( )[ ] ( )[ ]∑∑=>

Φ−+−+−−=0

'2'2

0

1lnln2ln2

1ln

ii y

iii

y

XXyL γγθθπMayor similitud con la

regresión truncada

•Un algoritmo de optimización lineal converge de manera rápida dado que su

matriz Hessiana es siempre definida negativa.

•Después de la convergencia, los parámetros originales se pueden recuperar a

partir de:

θσβ

θγ 1

, ==