polígonos en la formación docente: una descripción de las
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LICENCIATURA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
“Polígonos en la formación docente: una descripción de
las praxeologías matemáticas desde la Teoría
Antropológica de lo Didáctico”
Núcleo de Investigación en Educación en Ciencia y Tecnología
NIECyT
Departamento de Formación Docente Facultad de Ciencias
Exactas
Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos Aires
UNCPBA
2017
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“Polígonos en la formación docente: una descripción de
las praxeologías matemáticas desde la Teoría
Antropológica de lo Didáctico”
Profesora Ana María Piacente
Tesis de Licenciatura realizada
bajo la dirección de la Magíster
Diana Patricia Salgado presentada
en la Facultad de Ciencias Exactas
de la Universidad Nacional del
Centro de la Provincia de Buenos
Aires, como requisito parcial para
la obtención del título de
Licenciada en Educación
Matemática. Tandil – Marzo 2017
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Quiero agradecer:
A la Universidad Nacional del Centro y a la Facultad de Ciencias Exactas por apoyarme
en mi formación profesional.
A mi directora Magíster Diana Patricia Salgado por su paciencia, confianza y por su
acompañamiento a lo largo del desarrollo de la investigación y redacción de la tesis.
A mis padres por festejar conmigo cada etapa superada.
Al abuelo Tito por estar siempre.
A mi familia, Humberto, Augusto, Martina y Sofía por su apoyo incondicional.
A mis compañeras y colegas Graciela y Lidia por su aliento constante.
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Índice: Página:
Resumen -------------------------------------------------------------------------------- 5
Organización de la presentación ---------------------------------------------------- 6
Capítulo I: Introducción
1. Presentación del problema ------------------------------------------------------- 7
2. Antecedentes del problema de investigación---------------------------------- 8
3. Objetivos de la investigación ---------------------------------------------------- 10
4. Preguntas de la investigación ---------------------------------------------------- 10
Capítulo II: Marco Teórico
1. La Teoría Antropológica de lo Didáctico -------------------------------------- 11
2. Praxeologías matemáticas ------------------------------------------------------- 12
3. Objetos ostensivos y no-ostensivos--------------------------------------------- 14
4. El Paradigma del Cuestionamiento del Mundo ------------------------------- 15
Capítulo III: Metodología de la investigación ---------------------------------- 17
Capítulo IV: Diseño de la Secuencia
1. Presentación de las actividades ------------------------------------------------- 18
2. Descripción de las praxeologías a enseñar ------------------------------------ 21
3. Objetos ostensivos y no ostensivos de cada actividad ---------------------- 27
4. Posibles preguntas derivadas de cada actividad ------------------------------ 31
5. Breve análisis ---------------------------------------------------------------------- 35
Capítulo V: Conclusiones y trabajo futuro ------------------------------------- 36
Capítulo VI: Referencias ------------------------------------------------------------ 37
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Resumen
Tanto el Diseño curricular de la Formación Docente como el Diseño Curricular
del Nivel Primario de la Provincia de Río Negro destacan la necesidad de la enseñanza
de la Geometría, prevaleciendo como metodología la utilización de la Geometría
sintética (Gascón, 2002) sobre la analítica.
Con fundamento en la Teoría Antropológica de lo Didáctico (TAD), en este
trabajo se plantea una secuencia de actividades con el propósito de realizar una
descripción y posterior análisis de las praxeologías matemáticas que construyen los
estudiantes que ingresan al primer año de la formación docente para el nivel primario en
torno a la definición, caracterización y clasificación de polígonos. Esta descripción se
realiza desde tres puntos de vista.
En primer lugar, se señalan cuáles son las praxeologías que se desarrollan en
cada una de las actividades de la secuencia presentada referida a la definición,
caracterización y clasificación de de polígonos.
A continuación, recurriendo al concepto de objetos ostensivos y no ostensivos
de la actividad matemática (Chevallard, 1994), se puntualizan cuáles serían estos
objetos en las actividades presentadas.
Por último, atendiendo al paradigma del Cuestionamiento del Mundo
(Chevallard, 2012, 2013), se observa que de cada actividad propuesta se desprende una
serie de posibles preguntas que orientarán a la enseñanza de una Organización
Matemática, en torno a la definición, caracterización y clasificación de polígonos, hacia
una resignificación de ella, para luego convertirse en objeto de enseñanza para el nivel
primario.
Palabras Claves: Polígonos – Geometría – Praxeología matemática – Nivel primario –
Formación docente
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Organización de la presentación
En el Capítulo I se delimita y justifica el problema de investigación. Se presentan los
antecedentes sobre el tema, se definen los objetivos generales y particulares de la
investigación y se plantean las preguntas que dan origen a la misma.
En el Capítulo II se describe brevemente la Teoría Antropológica de lo Didáctico
(TAD) de Yves Chevallard que sirve de marco teórico a esta investigación. Se describen
la noción de praxeología, de objeto ostensivo y no ostensivo, como elementos
constitutivos del saber matemático, y se detallan algunas cuestiones referidas al nuevo
paradigma: La pedagogía del Cuestionamiento del Mundo.
En el Capítulo III se caracteriza la metodología que se utilizará en el momento que se
realice la investigación. En esta etapa solo se plantea el Diseño de la Investigación.
En el Capítulo IV se presentan las actividades junto con la descripción de las
praxeologías matemáticas que podrán ser generadas por los alumnos de la formación
docente en lo que se refiere a la definición, caracterización y clasificación de los
polígonos.
El Capítulo V corresponde a las conclusiones y proyección del trabajo, se reflexiona
sobre el aporte de esta investigación a la enseñanza de la Geometría en el nivel
primario.
En el Capítulo VI se detallan las referencias bibliográficas utilizadas.
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Capítulo I: Introducción
1. Presentación del problema
La matemática en el marco teórico de la TAD, es concebida como una actividad
humana que se construye como respuesta al estudio de problemas en el seno de una
institución (Chevallard, 1999).
La construcción de un saber matemático se hace a través de un proceso de
estudio, para ello la TAD propone la noción de Organización Matemática (OM) y
Organización Didáctica (OD). Cada práctica docente en un aula dentro de una
institución refleja una praxeología u organización didáctica particular, que se ve
impregnada también de la biografía escolar del docente que la lleva a cabo.
En la TAD se postula que las OD y las OM se estructuran mediante una sucesión
de niveles de codeterminación, si en alguno de estos niveles se produce una
desconexión el resultado es una ausencia de sentido del conocimiento matemático en
juego y desaparece entonces la razón de ser de esa OM. Esto daría lugar a una
diversidad de fenómenos que se originan según el nivel en el que se produce ese
quiebre. El autismo temático por ejemplo surge como consecuencia de la desconexión
entre los niveles Tema – Cuestión, este fenómeno produce la desaparición de la razón
de ser de la OM en un nivel temático (Chevallard, 2001). El hecho de que se construya
esta jerarquía no garantiza el estudio con sentido de un saber matemático, para ello es
necesario tener en cuenta la legitimidad cultural o social, legitimidad matemática
(“situaciones umbilicales de la matemática”) y legitimidad funcional (Gascón, 2003).
Cuando una OM es presentada en la escuela como un objeto ya creado, como
una obra de arte, y solo se invita a los alumnos a visitarla, se produce también un
fenómeno llamado monumentalización de las OM escolares (Chevallard, 2004b), esta
pedagogía se presenta hoy como la dominante en los sistemas de enseñanza actuales.
Todas estas realidades hacen que se observe un rechazo por parte de los jóvenes
para entrar en las obras propuestas por la escuela, siendo considerada por ellos como
nada atractivas, en especial la Obra Matemática (Chevallard, Bosh, Gascón, 1997).
Otra cuestión importante a tener en cuenta, específicamente en lo que respecta a
la Geometría, es la excesiva algebrización que se incorpora en las aulas a partir de las
Matemáticas Modernas, que deja de lado los métodos Euclidianos, dándole un mayor
lugar al trabajo algebraico y numérico por sobre el estudio del espacio y las formas
(Lluis, 1982), esto provoca el desinterés de los alumnos por esta rama de la matemática
que impide el desarrollo de habilidades de razonamiento lógico.
Estas prácticas vividas en las instituciones escolares conforman una manera de
hacer y concebir la matemática, y en particular la Geometría, en los alumnos que
ingresan al profesorado de nivel primario. Los estudiantes, futuros docentes, tienen que
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poder analizar, reflexionar y desarrollar praxeologías matemáticas y didácticas sobre las
prácticas de esta disciplina, en particular sobre la definición, caracterización y
clasificación de polígonos, con miras a reconocer su alcance y razón de ser para luego
ser enseñadas en el nivel primario.
Es por este motivo que surge la necesidad de realizar esta investigación, cuyo
diseño presentamos en esta tesis y que pretende describir las praxeologías que los
estudiantes del profesorado de nivel primario son capaces de construir o reconstruir ante
la propuesta de clasificar los polígonos, para luego poder desarrollar las praxeologías
didácticas.
Este trabajo presenta el Diseño de la Investigación que se llevará a cabo con
posterioridad en el Instituto de Formación Docente de la localidad de Luis Beltrán de la
Provincia de Río Negro, con alumnos ingresantes al Profesorado de Nivel Primario, en
la cátedra “La Matemática y su didáctica I”.
Se trata de un diseño descriptivo que consta de una secuencia de cuatro
actividades que serán presentadas oportunamente a los alumnos para su realización. El
análisis a posteriori permitirá describir las praxeologías matemáticas que construirán los
alumnos, los objetos ostensivos y no ostensivos involucrados en la secuencia y también
detectar las posibles preguntas que surjan de la realización de estas actividades y que
den origen a la construcción de al menos una OM.
2. Antecedentes del problema de investigación
No existe duda sobre la necesidad de que la Geometría forme parte del
curriculum del nivel medio, por sus aportes al razonamiento lógico y por el interés que
en general despierta en los alumnos el desafío de resolver situaciones relacionadas con
esta disciplina. El auge de las matemáticas modernas dio lugar a una excesiva
algebrización de la Geometría, que anula por completo la intuición (Lluis, 1982). Esta
moda pedagógica llega a las aulas, el álgebra se va metiendo en su terreno, instalándose
con un “No” a los métodos Euclidianos y un “Sí” al álgebra lineal. El auge de las
matemáticas modernas dio lugar a un mayor trabajo algebraico y numérico dejando
relegado el estudio del espacio y formas geométricas, desechando el interés que éste
puede producir en los alumnos y las habilidades de razonamiento que podrían
desarrollar (Navarro y Sgreccia, 2010).
Se hace difícil erradicar de las aulas la fuerte influencia de las matemáticas
modernas, la presencia de la Geometría Euclidiana en los programas de matemática fue
siendo reemplazada por una utilización del algebra lineal. En los curriculums de la
Escolaridad General Básica (EGB) de Sevilla se suprimieron los contenidos referidos a
las propiedades de las figuras, sus posiciones en el plano y espacio, así también las
transformaciones geométricas y las medidas de área y volumen (Sánchez Vásquez,
1997).
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Por otra parte, según Rey, una dificultad que suelen tener los alumnos en la
comprensión de los conocimientos geométricos, se encuentra en el lenguaje matemático
que difiere del lenguaje natural, y en la elaboración conceptual que deben hacer de los
mismos, en lo que se refiere al uso de símbolos, notaciones diferentes y a los del tipo
visual (cuando se trata de la utilización de dibujos y gráficos) en el campo de la
Geometría. Con la intención de mejorar la comprensión de ciertos conceptos
geométricos se recurre muchas veces a modelos que se convierten en obstaculizadores
para una construcción adecuada del concepto (Rey, 2004).
A pesar de que la Geometría está presente en el currículum escolar, diversos
autores manifiestan en sus investigaciones que es relegada al final del año lectivo,
priorizando el trabajo del número y operaciones (Abrate, Delgado y Puchulu, 2006;
Espinoza, Barbé, Mitrovich, Rojas, 2007).
Por su parte Huerta (1996), hace un recorrido histórico referido al estudio de la
clasificación de cuadriláteros convexos. El análisis fue realizado a través de textos
escolares influyentes en España perteneciente a los siglos XIX y XX, en los que se
muestra cómo el contenido geométrico estaba organizado, y cómo esta organización ha
perdurado a través del tiempo, planteando una única manera posible de clasificar los
cuadriláteros convexos. Esta tradición ha permanecido en la enseñanza de la Geometría,
como un producto acabado y estático, que solo permite su contemplación.
En el marco de la TAD, Gascón (2003) realiza un análisis de las consecuencias
didácticas provocadas por el autismo temático en la enseñanza de la matemática en la
escuela secundaria, señala cómo se pierde el sentido del estudio de la geometría cuando
se separa el ámbito matemático del pedagógico. Utilizando como contenido la
clasificación de cuadriláteros convexos, arriba a la conclusión que tal como se enseña
este conocimiento en el nivel secundario, queda desconectado de los problemas que le
dan sentido, en referencia a las cuestiones relativas a la construcción y clasificación de
esta clase de figuras.
Según los investigadores Gamboa y Ballesteros (2010), en la educación
secundaria los conocimientos de Geometría son presentados generalmente como un
producto acabado, esto se corresponde con el llamado Paradigma de la
monumentalización de los saberes (Chevallard, 2004b), según el cual las organizaciones
matemáticas se presentan como monumentos que deben ser visitados por los alumnos.
Esto conlleva además a una ausencia de aquellas cuestiones que dan origen al estudio de
esas organizaciones matemáticas.
Existe, según lo plantean Barrantes y Blanco (2005), una disociación entre la
cultura de la que proceden los estudiantes y la cultura actual, que tiene una mirada
mayormente constructivista. La experiencia adquirida en la enseñanza y aprendizaje de
la Geometría a lo largo de los distintos niveles de escolaridad de los estudiantes del
profesorado se convierte en un filtro a la hora de la adquisición de los conocimientos
generales en didáctica de la matemática, y en particular a lo concerniente a la didáctica
de la Geometría. Es necesario tenerlo en cuenta en el proceso de la formación inicial de
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los estudiantes del profesorado para producir cambios en sus futuras prácticas en el
marco de estas nuevas propuestas curriculares.
3. Objetivos de la investigación
Se detallan a continuación los objetivos generales y particulares que presenta esta
investigación.
Objetivo general
Identificar y describir las praxeologías matemáticas que construyen o
reconstruyen los estudiantes del primer año de la formación docente del nivel primario
para definir, caracterizar y clasificar polígonos con el fin de que se conviertan en
aportes para la enseñanza de este contenido en los niveles de escolaridad primaria y
secundaria.
Objetivos particulares
Diseñar un instrumento que permita describir las praxeologías matemáticas
construidas por los estudiantes del profesorado de enseñanza primaria.
Identificar los posibles objetos ostensivos y no ostensivos presentes en la
realización de las actividades propuestas.
Anticipar las preguntas o cuestionamientos que surgirán de los alumnos a partir
del desarrollo de las actividades, respecto de la definición, caracterización y
clasificación de los polígonos.
4. Preguntas de la investigación
Se presentan las siguientes preguntas de investigación:
¿Cuáles son y qué características tienen las praxeologías matemáticas que
construyen los alumnos del profesorado en la realización de las actividades
introducidas?
¿Cómo se pueden describir dichas praxeologías matemáticas?
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Capítulo II: Marco teórico
1. La Teoría Antropológica de lo Didáctico
La Teoría Antropológica de lo Didáctico (TAD) desarrollada por Yves
Chevallard (1999), concibe la matemática como una actividad humana en la que el
conocimiento es proceso y es producto de dicha actividad. El conocimiento se construye
como respuesta al estudio de problemas y es el resultado de dicho estudio dentro de una
institución, con todos los componentes sociales y culturales propios.
Como medio para la descripción del saber matemático, la TAD propone la
noción de Organización Matemática (Organización Praxeológica Matemática o
Praxeología Matemática), la misma involucra no solo los problemas a resolver sino
también las Técnicas que se utilizan en la resolución, construyéndose también
argumentos sólidos y eficaces que sostengan su validez. Etimológicamente la palabra
praxeología se compone de la palabra “praxis” (saber-hacer) que hace referencia a los
tipos de tareas, los problemas y las técnicas para resolverlos y “logos” que refiere a los
argumentos que fundamentan y describen las técnicas que se utilizan, que recibe el
nombre de Tecnologías. Del fundamento de la producción de estas nuevas Técnicas
surgen las Teorías, que serían las “tecnologías de las tecnologías”. Podemos decir
entonces que los elementos que constituyen una praxeología son: Tipos de tareas,
Técnicas, Tecnologías y Teorías.
Con respecto a los componentes de las praxeologías, Chevallard (1999)
distingue cuatro niveles según el grado de complejidad de los mismos:
Praxeologías Puntuales: Si están generadas por un único tipo de tareas, con al
menos una técnica y con tecnologías y teorías que la constituyen.
Praxeologías Locales: resultan de la integración de diversas praxeologías
puntuales. Cada una de ellas se caracteriza por una tecnología que sirve para
justificarlas, explicarlas y relacionarlas entre si y producir las técnicas del
conjunto de praxeologías puntuales que la integran.
Praxeologías regionales: Se obtienen mediante la coordinación, articulación y
posterior integración de un conjunto de praxeologías locales, con una teoría
matemática común que las integra.
Praxeologías globales: surgen por la combinación de varias praxeologías
regionales a partir de la integración de diferentes teorías.
Cuando se hace referencia al estudio de una OM se pone en juego una
praxeología didáctica, de esta forma se dice que toda praxeología matemática tiene al
menos una praxeología didáctica y toda praxeología didáctica tiene al menos una
praxeología matemática. Una praxeología didáctica surge cada vez que una persona
estudia una OM.
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La TAD identifica lo didáctico con todo lo relativo al estudio. Se habla de
estudio para referirse a todo aquello que se hace en una determinada institución para
aportar respuestas a las cuestiones que se plantean. Todo proceso de estudio, en cuanto a
actividad humana, puede ser modelizado mediante una praxeología, que se denomina
Praxeología u Organizacion Didáctica (OD) y como toda praxeología, estará compuesta
por un conjunto de tareas, técnicas, tecnologías y teorías didácticas que las expliquen y
las justifiquen.
En el marco de la TAD, se postula que las OD y las OM se estructuran mediante
una sucesión de niveles que determinan la interdependencia, esto es entre las formas de
estructurar los conocimientos matemáticos a estudiar y las maneras de organizar su
estudio en las escuelas. Comenzando del más genérico al más específico Chevallard
(2001) presenta la siguiente escala que denomina Escala de niveles de codeterminación
didáctica:
Humanidad - Civilización – Sociedad – Escuela – Pedagogía – Disciplina –
Dominio– Tema – Cuestión
La estructura de una OM condiciona las posibles formas de ser estudiada y de la
misma forma los dispositivos didácticos utilizados en una institución escolar determinan
en gran parte la OM que podrá ser reconstruida en dicha institución. Si en alguno de
estos niveles se produce una desconexión, se obtiene como resultado una ausencia de
sentido de la OM y desaparece la razón de ser de esa OM.
2. Praxeologías matemáticas
Los estudiantes que cursan en el Instituto de Formación Docente, se preparan
para la enseñanza de la matemática en el marco que propone el Diseño Curricular de
Nivel Primario y el Diseño Curricular de la Formación Docente de la Provincia de Río
Negro. Por eso el campo de conocimiento que se aborda en la formación docente se
entrelaza con su enseñanza en el contexto de la escuela primaria. Los ejes que se
proponen son los mismos que los de la escolaridad primaria.
El Estudio de las formas geométricas en este grupo de estudiantes, según los
diseños curriculares citados, se basa en situaciones que implican la clasificación (por
semejanzas y diferencias), reproducciones con modelos presentes, construcciones
geométricas, descripciones que involucran las propiedades, relaciones entre las formas y
entre elementos de una misma forma y representaciones gráficas convencionales. Estas
actividades se planifican con la intención de que el pensamiento geométrico de los
alumnos del nivel primario evolucione preparándolos para una geometría más formal.
Además, se fomentan propuestas para que los alumnos dibujen a mano alzada y
con instrumentos de geometría; se incorporan procedimientos de plegado, armado de
rompecabezas, modelado, etc., así como también diversos programas de computadora
que son valiosos a la hora de explorar y verificar propiedades espaciales y geométricas.
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Por otra parte, la comunicación también es una habilidad que debe trabajarse
para lograr que los alumnos puedan leer, interpretar y comunicar en forma oral y escrita
información geométrica, usando vocabulario y símbolos del lenguaje geométrico en
forma adecuada.
Se puede observar según lo expresado anteriormente que la geometría que se
desarrolla en este nivel corresponde a una “geometría sintética clásica”, propia del
modelo euclidiano. Esta geometría deberá luego conectarse con la que corresponde al
nivel secundario, con técnicas analíticas, justamente porque las limitaciones de las
técnicas sintéticas son las que le dan sentido a las técnicas analíticas, permitiendo así
una conexión entre ambas. Gascón (2002) en su trabajo señala la necesidad de mostrar
que diversos problemas deben ser resueltos primeramente de una manera más “natural”
a través de técnicas sintéticas para luego requerir de técnicas analíticas y ver así la
complementariedad entre ambos tipos de técnicas.
En el marco de la TAD, toda actividad, y se hace referencia fundamentalmente a
la actividad matemática, se identifica con la puesta en práctica de una Técnica (uno de
los elementos de la praxeología matemática), que para este trabajo se le dará un sentido
más amplio, el de “una manera de hacer”. Los objetos de una actividad son elementos
constitutivos de una técnica, el uso de dispositivos y el gesto que se genera en su
utilización también forman parte de esta técnica, por ejemplo en geometría los
dispositivos serían una regla y un compás que se utilizan para la construcción de figuras
y el gesto sería la mano tomando estos instrumentos y el movimiento que es necesario
realizar para que se produzca el dibujo.
Entonces se puede decir que dentro de las prácticas matemáticas que se
desarrollan en el seno de una institución se encuentran los objetos1 y las relaciones entre
ellos, estas prácticas se componen no solo de los gestos sino también de los dispositivos
que posibilitan dichos gestos. Todo este sistema de objetos, articulados en una técnica
entra en la categoría de medios de la actividad. Pues entonces las técnicas, los gestos y
los dispositivos se convierten en el componente “concreto” de la actividad, de los
objetos y relaciones que se activan.
Cuando una praxeología existe en una institución para dar respuesta a algún
problema matemático no solo se pone en marcha una técnica sino también surge la
necesidad de una tecnología que justifique y explique dicha técnica y la posibilidad de
invocar una teoría que garantice la validez de esa tecnología. Esta elección que se
realiza dentro de la institución es lo que le permite poder controlar la actividad que debe
desarrollarse, le otorga inteligibilidad a las prácticas institucionales y conlleva a una
normalización de las técnicas utilizadas en la institución. La Tecnología, la Teoría y el
universo de objetos forman parte del sistema de medios institucionales que condicionan
y posibilitan la realización de la Tarea en la institución.
1Según la TAD, se define objeto como las cosas materiales, como pueden ser las ideas, conceptos, las
personas, las instituciones todo aquello que conforma el “material de base”.
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En este trabajo las actividades planteadas en la secuencia conducen al estudio de
una praxeología puntual, por eso para responder a cada una de las preguntas (Q) que se
presentan en cada actividad, se genera un único tipo de tarea y una única técnica. La
técnica utilizada para realizar cada tarea es determinar si cumple con los requisitos que
exige la definición que sustenta cada actividad. Las tareas corresponden a identificar,
caracterizar y clasificar polígonos.
3. Objetos o stensivos y no-ostensivos
Si se considera la actividad matemática como una más dentro de las actividades
humanas, los símbolos que se utilizan en ella son instrumentos específicos de esta
actividad, por ende no deben dejarse de lado otros instrumentos sensibles de la actividad
matemática como lo son el habla y las palabras. También es necesario pensar en otros
elementos constitutivos del quehacer matemático y que viven y se pueden observar en el
seno del trabajo del matemático, como lo son las notaciones específicas, las figuras,
grafismos, gestos, etc., objetos perceptibles a los que recurre el matemático y se deben
hacer valer junto a los registros de lo oral y de lo escrito. Para poder designar estos
objetos referidos anteriormente Chevallard (1994) utiliza el nombre de objetos
ostensivos (los que se pueden mostrar, manipular, forman parte de una realidad
perceptible) y las ideas, conceptos, nociones serán los objetos no-ostensivos (se
presentan como lo opuesto a los objetos ostensivos).
La relación de un sujeto a un objeto dentro de una institución dada, emerge
entonces del sistema de prácticas en el que dicho sujeto y objeto se ven involucrados.
Los sujetos y objetos no viven aislados, siempre se constituyen en un universo de
objetos (o ecosistema), y el sentido que tiene un objeto para ese sujeto se puede deducir
como lo que emerge de la manipulación de objetos ostensivos.
Al considerar como ostensivo todo aquel objeto manipulable, se puede decir que
la ostensividad de los objetos es lo que hace que su manipulación sea efectiva, por lo
tanto se convierte en la condición mínima para que un objeto se considere manipulable.
Cabe aclarar que cuando se habla de la ostensividad de un objeto se hace referencia al
conjunto de los sentidos (vista, oído, tacto, etc.) que se ponen en juego. Un objeto no-
ostensivo (una noción, un concepto, una idea) podrá entonces ser evocado mediante la
manipulación de ciertos objetos ostensivos asociados.
Esta posibilidad de invocar un objeto no-ostensible a partir de ciertos objetos
ostensivos (nombres, gráficos, gestos, etc.) nos lleva a caracterizar los objetos no-
ostensivos de ostensibles. Un objeto no-ostensivo solo existe si puede vivir asociado a
otros objetos ostensivos que permiten evocarlos e integrarlos en diversas actividades, y
esto lo hace ostensible.
Para la realización de una actividad humana y matemática más precisamente se
requiere de una pluralidad de registros ostensivos: el registro de la oralidad, el del trazo
o del grafismo, el registro de la gestualidad y todos aquellos ostensivos materiales que
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no se encuadran en ninguna de las categorías anteriores, los cuales integran un complejo
de objetos ostensivos que funcionan de manera integrada. Es importante destacar que
aunque los objetos ostensivos puedan parecer más arbitrarios y contingentes que los
objetos no-ostensivos, no son menos esenciales en el desarrollo y gestión de la actividad
matemática.
Siguiendo a Bosch (2003) se puede decir que los objetos ostensivos funcionan
como signo de otros objetos generalmente no ostensivos pudiendo evocarlos o
representarlos según el tipo de actividad. Se llama valencia semiótica a esta función de
los ostensivos, considerando que lo representado no es únicamente un no ostensivo
(concepto, idea o noción), sino que está formado siempre por un complejo de objetos
ostensivos y no ostensivos vinculados por una OM más o menos amplia.
La TAD atribuye a los objetos ostensivos junto a su valencia semiótica, una
valencia Instrumental, por la capacidad que ellos poseen para integrarse en las técnicas,
tecnología y teorías de un conjunto de tareas en una actividad matemática. Ellos se
presentan como instrumentos de la actividad matemática, considerándose herramientas
materiales fundamentales de las tareas, técnicas, teorías y tecnologías sin las cuales no
se podría llevar a cabo una actividad.
Para las actividades que se proponen en este trabajo, que servirán para describir
las praxeologías de los alumnos del Instituto de Formación Docente en la definición,
caracterización y clasificación de polígonos, es fundamental rescatar la importancia de
los ostensivos orales, especialmente en la Geometría elemental. En cualquier actividad
matemática existe una preocupación en la “manera de hablar” que es al mismo tiempo
una “manera de hacer”. En la enseñanza de las figuras geométricas en el nivel primario,
por ejemplo, el discurso se apoya en objetos gráficos (los dibujos o representaciones
gráficas de dichas figuras), por este motivo existe la necesidad de construir instrumentos
lingüísticos y retóricos para cubrir las necesidades del trabajo oral.
4. El Paradigma del Cuestionamiento del Mundo
En el marco de la TAD, Yves Chevallard plantea un nuevo paradigma que
podría resolver los problemas ocasionados por el Paradigma de la visita de obras: las
obras matemáticas visitadas como obras maestras por los alumnos que deberán
admirarlas y observarlas descontextualizadas de aquello que le dio su razón de ser
(Chevallard, 2013).
El nuevo paradigma que se presenta, el del cuestionamiento del mundo, aparece
no como un contra paradigma del anteriormente mencionado, sino que mantiene puntos
de contacto. Chevallard marca algunos principios que lo diferencian del anterior: se
concibe la educación como un proceso que dura toda la vida, el esfuerzo didáctico está
dirigido a todo individuo perteneciente a una sociedad, la pregunta clave es ¿qué puede
aprender un sujeto determinado? y no solo conocer lo que la gente sabe.
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Otro principio central de este nuevo paradigma consiste en que aprender algo
sobre alguna obra implica estudiar esa obra, a menudo con ayuda de otro, actualmente
las personas no avanzan sobre el estudio de algún contenido si no pueden acceder a la
respuesta inmediata ante la resolución de un problema.
En este paradigma del cuestionamiento del mundo, Chevallard sostiene que
conlleva una actitud “pro cognitiva” ante el conocimiento, esto quiere decir que existe
una actitud de conquista de ese conocimiento, un conocimiento que debe descubrirse o
redescubrirse, y conquistarse nuevamente, a diferencia de una actitud que él llama “retro
cognitiva” que significa conocer hacia atrás, implica retrotraerse a un conocimiento que
ya se conoce y que es propio del paradigma de visitar obras.
Investigar una pregunta implica que la persona reúna la suficiente bibliografía
que le permita llegar a la respuesta o solución del problema planteado y por otro lado
lleva al sujeto a evaluar el conjunto de respuestas para saber si son relevantes, podemos
decir entonces que en este paradigma el plan de estudios está definido en términos de
preguntas Q, por ende el estudio de una obra es la consecuencia de la investigación de
esas preguntas. Quiere decir que Q es central en la definición de un plan de estudios. Se
da comienzo por la definición de un conjunto de preguntas que Chevallard define como
“primarias”, en definitiva el plan de estudios en juego incluirá las preguntas Q, sus
respuestas A y las obras en juego O.
Cualquier pregunta Q puede complementarse con una serie de preguntas que se
desprenden que permitirá controlar la calidad, meticulosidad y profundidad requeridos
para dar respuesta a esa pregunta generadora Q, esto determinará la utilidad de estudiar
algunas obras que nos permitan dar respuestas a esa pregunta y profundizar en ella.
A partir de las actividades que en este trabajo se presentan, en el Capítulo IV, se
desea que los alumnos puedan formular preguntas que les permita seguir un camino de
investigación y construcción de las praxeologías matemáticas relacionadas con la
definición, caracterización y clasificación de polígonos, detectándose así una señal de
la presencia de la pedagogía de la investigación y del cuestionamiento del mundo.
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Capítulo III: Metodología de la
investigación
Esta investigación se llevará a cabo con alumnos del 1° año del Profesorado de
Enseñanza Primaria del Instituto de Formación Docente de Luis Beltrán (Valle Medio
de la Provincia de Río Negro) que cursen por primera vez la cátedra de “Enseñanza de
la Matemática y su Didáctica I”. Esta selección se fundamenta en la idea de que los
estudiantes no hayan recibido ningún tipo de instrucción en lo que respecta a la
enseñanza de la Geometría dentro de la institución.
El diseño de investigación se enmarca en un diseño descriptivo, ya que se intenta
realizar una descripción de las praxeologías matemáticas construidas por los estudiantes
del profesorado respecto de la definición, caracterización y clasificación de polígonos, a
partir de la implementación de una serie de actividades. Al tratarse de actividades
abiertas, es natural que surjan preguntas y/o cuestionamientos que refieran a los saberes
involucrados en la definición, caracterización y clasificación de polígonos.
Esta investigación se encuadra dentro de un Estudio de Caso como estrategia de
Diseño de Investigación y se utilizará para la identificación de las unidades de análisis
un criterio temático (según las maneras de resolver las situaciones propuestas a los
estudiantes).
Se realizará observación participante a través de una propuesta de trabajo escrito
en el aula que permitirá recabar información sobre la manera en que los alumnos
resuelven las situaciones relacionadas con la definición, caracterización y clasificación
de polígonos.
En este trabajo solo se presenta el instrumento que servirá para, en un futuro,
analizar los datos recabados en función de las respuestas obtenidas de los alumnos, con
el objetivo de poder realizar a posteriori una descripción y análisis de las praxeologías
matemáticas involucradas.
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Capítulo IV: Diseño de la secuencia
1. Presentación de las Actividades
Las actividades que se proponen para el análisis de las praxeologías matemáticas
se basan en las figuras geométricas (polígonos) que constituyen los primeros ostensivos
que representan formas pertenecientes al mundo social no-matemático, por ejemplo, un
objeto no-ostensivo como “triángulo” al que se le asocian ciertos objetos ostensivos que
podemos trazar o ver. Las figuras triangulares modelizan los triángulos de la vida
corriente, pero las manipulaciones que se realizan sobre ellos generan un nuevo objeto
no-ostensivo que corresponde al “concepto” matemático de triángulo.
Estas actividades se relacionan con las que plantea el Diseño Curricular del
Nivel Primario de la Provincia de Río Negro para la enseñanza de las figuras
geométricas, entre las que se encuentran también el dibujo a mano alzada, el uso de
instrumentos de geometría, plegado, rompecabezas, modelado e incluso el uso de
software para computadora.
Es esencial considerar también un instrumento primordial como lo es el lenguaje
que permite la producción de un discurso que fundamenta y demuestra. Este discurso
recurre a la lengua corriente que debe ir enriqueciéndose con términos propios de la
Geometría. Se puede decir entonces que la Geometría euclídea se construye con figuras
y discursos sobre la manipulación de estas figuras, este lenguaje enriquecido con los
ostensivos verbales permite evocar los objetos del universo geométrico.
Introduciremos ahora una serie de actividades que servirán para describir las
praxeologías matemáticas que podrían construir o reconstruir los estudiantes de la
formación docente de nivel primario, praxeologías relacionadas con la definición,
caracterización y clasificación de polígonos. Se trata de actividades abiertas que da
lugar a la discusión, confrontación de ideas, surgimiento de preguntas y estrategias
varias de resolución.
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Actividad 1: Aquí tenemos una variedad de figuras. ¿Cuál de ellas es un polígono?
Actividad 2: ¿Cuáles de todos estos polígonos son convexos y cuáles no lo son?
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Actividad 3: ¿Cuáles de todos estos polígonos son regulares y cuáles no lo son?
Actividad 4: Con todos los polígonos presentados en las actividades anteriores plantear
una nueva agrupación utilizando como criterio el número de lados.
¿Cómo podríamos clasificar los polígonos según el número de lados?
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2. Descripción de las praxeologías a enseñar
En esta sección se realiza una descripción de las praxeologías que se podrían
llegar a construir en las actividades propuestas. Se muestra que cada una de estas
actividades conduciría al estudio de una praxeología puntual. Se detallan los tipos de
tarea, la técnica, la tecnología y la teoría para cada actividad.
Actividad 1: Aquí tenemos una variedad de figuras. ¿Cuál de ellas es un polígono?
La pregunta Q1: ¿cuál de ellas es un polígono? conduce al tipo de tarea siguiente:
T1: Identificar si una figura es un polígono
y al sub-tipo de tarea
T11: Identificar si la figura i-ésima es un polígono, con i=1,…12.
Para decidir si una figura es o no un polígono, basta con determinar si cumple
con la definición de este concepto. Si se considera la definición siguiente2:
Una curva simple que está formada por segmentos unidos por sus extremos se dice que
es una curva poligonal. Si dicha curva es cerrada se dice que es un polígono: a los
segmentos que la forman se llaman lados y a los extremos de esos segmentos, vértices.
La técnica utilizada para realizar el tipo de tarea T11 es determinar si cumple con
los requerimientos que exige la definición de polígono. En el hacer de T11 se genera un
2 Definición extraída de “Matemáticas y su Didáctica para Maestros” de Godino, J. (2004, 463). Extraído
de http://www.ugr.es/~jgodino/edumat-maestros/manual/4_Geometria.pdf
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entorno tecnológico que justifica una única técnica t1: determinar si la figura cumple
con la definición.
Sean por ejemplo, las figuras 1, 2, 4, 5, 6, 7, 9 y 12, al cumplir con las
condiciones que se plantean en la definición, podemos identificarlas como polígonos.
En cambio, las figuras 3, 8, 10 y 11, contienen al menos un lado curvo, con lo
cual no cumplen con las condiciones para identificarlas como polígonos.
Como para responder la pregunta Q1 se genera un único tipo de tarea y una única
técnica, se dice que esta praxeología corresponde a una praxeología puntual.
Actividad 2: ¿Cuáles de todos estos polígonos son convexos y cuáles no lo son?
La pregunta Q2: ¿Cuáles de todos estos polígonos son convexos y cuáles no lo
son? conduce al tipo de tarea siguiente:
T2: Identificar si un polígono es convexo
y al sub-tipo de tarea
T21: Identificar si la figura i-ésima es un polígono convexo, con i=1,..8.
Para decidir si un polígono es convexo o no, basta con determinar si cumple con
alguna de las dos definiciones siguientes:
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Definición 13: (Esta definición refiere a cualquier figura, sea polígono o no).
Una figura se dice que es convexa, si y sólo si, contiene el segmento PQ para cada par
de puntos P y Q contenidos en la figura. Las figuras no convexas se dice que son
cóncavas.
Definición 24: (Esta definición refiere solo a polígonos)
Los polígonos cóncavos son aquellos en los cuales al menos uno de sus ángulos
interiores mide más de 180 grados (π radianes).
La técnica utilizada para realizar el tipo de tarea T21 es determinar si cumple con
los requerimientos que exige alguna de las dos definiciones de polígono convexo o
cóncavo. En el hacer de T21 se genera un entorno tecnológico que justifica una única
técnica t2: determinar si la figura cumple con la definición de polígono convexo.
Sean por ejemplo, las figuras 2, 6 y 7, al cumplir con las condiciones que se
plantean en la definición 1 y al no poseer ningún ángulo interior superior a 180°
(definición 2), podemos identificarlas como polígonos convexos.
En cambio, las figuras 1, 3, 4, 5, y 8 contienen al menos un ángulo interior
superior a 180° según definición 2 y no cumplen con las condiciones planteadas en la
definición 1 para ser polígonos convexos, con lo cual podemos identificarlas como
polígonos cóncavos.
Como para responder la pregunta Q2 se genera un único tipo de tarea y una
única técnica, se dice que la praxeología construida corresponde a una praxeología
puntual.
3 Definición extraída de “Matemáticas y su Didáctica para Maestros” de Godino, J. (2004, 463). Extraído
de http://www.ugr.es/~jgodino/edumat-maestros/manual/4_Geometria.pdf 4 Extraído de Wikipedia
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Actividad 3: ¿Cuáles de todos estos polígonos son regulares y cuáles no lo son?
La pregunta Q3: ¿Cuáles de todos estos polígonos son regulares y cuáles no lo
son? conduce al tipo de tarea siguiente:
T3: Identificar si un polígono es regular
y al sub-tipo de tarea
T31: Identificar si la figura i-ésima es un polígono regular, con i=1,..11.
Para decidir si un polígono es regular o no, basta con determinar si cumple con
la definición siguiente5:
1. Un polígono que tiene todos sus lados iguales se dice que es equilátero (todos
sus lados son congruentes).
2. Un polígono convexo cuyos ángulos interiores son todos congruentes se dice
que es equiángulo.
3. Un polígono convexo que tiene sus lados y sus ángulos iguales se dice que es
regular.
5 Definición extraída de “Matemáticas y su Didáctica para Maestros” de Godino, J. (2004, 464). Extraído
de http://www.ugr.es/~jgodino/edumat-maestros/manual/4_Geometria.pdf
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La técnica utilizada para realizar el tipo de tarea T31 es determinar si cumple con
los requerimientos que exige la definición de polígono regular. En el hacer de T31 se
genera un entorno tecnológico que justifica una única técnica t3: determinar si la figura
cumple con la definición de polígono regular.
Sean por ejemplo, las figuras 4, 5, 9, 10 al cumplir con las condiciones 1 y 2 que
se plantean en la definición podemos identificarlas como polígonos regulares.
La figura 3 cumple con la condición 1 pero no cumple con la 2 (el polígono es
un rombo) con lo cual podemos identificarlas como un polígono no regular. La
figura11, no cumple con la condición 1 pero sí con la condición 2 (el polígono es un
rectángulo), por lo tanto concluimos que no es un polígono regular.
En cambio las figuras 1, 2, 6, 7 y 8 no cumplen con ninguna de las dos
condiciones, ni la 1 ni la 2, por lo tanto no podemos clasificarlos como polígonos
regulares.
Como para responder la pregunta Q3 se genera un único tipo de tarea y una única
técnica, se dice que la praxeología desarrollada corresponde a una praxeología puntual.
Actividad 4: Con todos los polígonos presentados en las actividades anteriores plantear
una nueva agrupación utilizando como criterio el número de lados.
¿Cómo podríamos clasificar los polígonos según el número de lados?
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La pregunta Q4: ¿Cómo podríamos clasificar los polígonos según el número de lados?
conduce al tipo de tarea siguiente:
T4: Clasificar las figuras según el número de lados
y al sub-tipo de tarea:
T41: Identificar si la figura i-ésima es un polígono de n-lados, con i=1,…19.
Para decidir a qué grupo de polígonos pertenece el polígono i-ésimo, basta con
considerar la siguiente clasificación6:
Los polígonos se clasifican según el número de lados o vértices que tienen:
1. Triángulo (polígono de tres lados)
2. Cuadrilátero (polígono de cuatro lados)
3. Pentágono (polígono de 5 lados)
4. Hexágono (polígono de 6 lados)
5. Heptágono (polígono de 7 lados)
6. Octógono(polígono de 8 lados)
7. Eneágono (polígono de 9 lados)
8. Decágono (polígono de 10 lados)
9. Etc.
La técnica utilizada para realizar el tipo de tarea T41 es contar la cantidad de
lados de cada polígono para luego determinar a qué grupo pertenece. En el hacer de T41
se genera un entorno tecnológico que justifica una única técnica t4: determinar si una
figura pertenece a alguno de los grupos mencionados contando la cantidad de lados.
Por ejemplo, las figuras 5, 6 y 15 pertenecen al grupo de los triángulos según el
ítem 1 del cuadro anterior.
La figuras 1, 2, 3, 8, 9 y 12 son cuadriláteros porque se ajustan al ítem número 2
del cuadro anterior.
Las figuras 13, 14 y 16 son pentágonos según lo indica el ítem número 3.
Las figuras 10 y 11 son hexágonos de acuerdo al ítem número 4.
La figura 18 es un heptágono tal como se plantea en el ítem número 5.
Las figuras 4 y 7 son octógonos tal como lo señala el ítem número 6.
La figura 17 es un decágono según lo referido en el ítem número 8.
Como para responder la pregunta Q4 se genera un único tipo de tarea y una única
técnica, se dice que la praxeología construida corresponde a una praxeología puntual.
6 Definición extraída de “Matemáticas y su Didáctica para Maestros” de Godino, J. (2004, 464). Extraído
de http://www.ugr.es/~jgodino/edumat-maestros/manual/4_Geometria.pdf
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3. Objetos ostensivos y no ostensivos de cada actividad
Como parte del análisis a priori de la implementación de la secuencia didáctica,
se detallan qué objetos ostensivos verbales y/o escritos utilizarían los estudiantes en
cada una de las actividades y si estos objetos dan cuenta de los conceptos (objetos no-
ostensivos) que se involucran en cada situación. Consideraremos los siguientes
ostensivos:
Los ostensivos gráficos en todas las actividades, son las formas geométricas
que se encuentran dibujadas en papel (en la fotocopia).
Los ostensivos orales y/o escritos corresponden a las descripciones,
conceptos o ideas (objetos no-ostensivos) que realicen los alumnos
respondiendo a las consignas de cada actividad.
Actividad 1: Aquí tenemos una variedad de figuras. ¿Cuál de ellas es un polígono?
Esta actividad pretende conocer si los alumnos pueden distinguir de las diversas
figuras presentadas, cuáles son polígonos y cuáles no.
Sobre el concepto de polígono (objeto no-ostensivo) los alumnos podrían llegar
a reconocer y decir en forma verbal o escrita (objeto ostensivo) los siguientes
enunciados que corresponden a una serie de definiciones e ideas (objetos no-ostensivos)
que describen a una figura poligonal:
- Se necesitan tres o más segmentos para formar una figura poligonal cerrada.
- Los polígonos tienen lados rectilíneos, no curvos.
- Los segmentos (lados) de un polígono deben ser no-colineales.
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- Los polígonos son figuras cerradas.
- Los lados de un polígono no se pueden intersecar.
Actividad 2: ¿Cuáles de todos estos polígonos son convexos y cuáles no lo son?
Dada esta variedad de polígonos el sentido de esta actividad es poder conocer si
los alumnos pueden identificar cuál de ellas corresponde a un polígono convexo y
cuáles no lo son.
Sobre el concepto de polígono convexo (objeto no-ostensivo) los alumnos
podrían llegar a reconocer y decir en forma verbal o escrita (objeto ostensivo) los
siguientes enunciados que corresponden a una serie de definiciones e ideas (objetos no-
ostensivos) que describen a una figura poligonal convexa:
- Los ángulos interiores de un polígono son elementos que lo constituyen.
- El sistema sexagesimal se utiliza para estimar o medir un ángulo.
- El ángulo de 180° se lo denomina ángulo Llano.
- Si un polígono tiene todos sus ángulos interiores menores a un ángulo llano, se
dice que es un polígono convexo.
- Si un polígono tiene al menos un ángulo interior mayor a 180° se trata de un
polígono no convexo (cóncavo).
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Actividad 3: ¿Cuáles de todos estos polígonos son regulares y cuáles no lo son?
Esta actividad se propone para saber si los alumnos reconocen las características
que poseen los polígonos regulares.
Sobre el concepto de polígono regular (objeto no-ostensivo) los alumnos podrían
llegar a reconocer y decir en forma verbal o escrita (objeto ostensivo) los siguientes
enunciados que corresponden a una serie de definiciones e ideas (objeto no-ostensivo)
que describen a una figura poligonal regular:
- Son elementos de un polígono los segmentos que constituyen sus lados.
- Son elementos de un polígono sus ángulos interiores
- Un polígono es convexo si todos sus ángulos interiores son menores a un ángulo
llano.
- Un polígono es regular cuando es convexo y sus lados y ángulos interiores son
congruentes.
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Actividad 4: Con todos los polígonos presentados en las actividades anteriores plantear
una nueva agrupación utilizando como criterio el número de lados.
¿Cómo podríamos clasificar los polígonos según el número de lados?
Esta actividad pretende conocer si los alumnos pueden considerar otro criterio de
clasificación de los polígonos, por ejemplo según su número de lados.
Con respecto a la clasificación de los polígonos, los alumnos podrían lograr
distinguir y expresar en forma verbal o escrita (objeto ostensivo) los siguientes
enunciados que corresponden a una serie de definiciones e ideas (objetos no-ostensivos)
respecto de cómo se pueden agrupar los polígonos según su cantidad de lados:
- Los lados de un polígono son los segmentos consecutivos que lo delimitan.
- Los puntos en los que se intersectan los lados de un polígono se llaman vértices.
- En un polígono la cantidad de lados coincide con la cantidad de vértices y
ángulos interiores.
- Los polígonos pueden agruparse según la cantidad de lados en: triángulos,
cuadriláteros, pentágonos, hexágonos, etc.
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4. Posibles preguntas derivadas de cada actividad
Cada actividad propuesta permitirá a los alumnos realizar un estudio y análisis
de las praxeologías matemáticas relacionadas con los polígonos y su clasificación. Este
estudio dará origen a una diversidad de preguntas que permitirá seguir un camino de
construcción de estas praxeologías, detectándose de esta manera la presencia del
paradigma de la investigación. A continuación, se detallan las preguntas que podrían
surgir en cada actividad.
Actividad 1: Aquí tenemos una variedad de figuras. ¿Cuál de ellas es un polígono?
Posibles preguntas que surgen de la actividad 1:
¿Qué características debe tener una figura para que esta sea un polígono?
¿Qué formas tienen los polígonos?
¿Qué cuestiones hacen que una figura sea un polígono o no lo sea?
¿Qué significa la palabra polígono?
¿Qué elementos son los que determinan que una figura sea un polígono?
¿Cómo tienen que ser los lados de una figura para que esta sea un polígono?
¿Qué cantidad mínima de lados tiene que tener una figura para que sea un polígono?
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Actividad 2: ¿Cuáles de todos estos polígonos son convexos y cuáles no lo son?
Posibles preguntas que surgen de la actividad 2:
¿Qué quiere decir que un polígono sea convexo?
¿Qué condiciones deben cumplirse para qué un polígono sea convexo?
¿Cuáles son los elementos que determinan que un polígono sea convexo?
¿Cómo se denominan los polígonos que no son convexos?
¿Todos los segmentos determinados por dos puntos interiores de un polígono siempre se
encuentran dentro del polígono? ¿En qué casos no?
¿Qué relación tiene la medida de los ángulos interiores de un polígono con el hecho de
que dicha figura sea convexa o no?
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Actividad 3: ¿Cuáles de todos estos polígonos son regulares y cuáles no lo son?
Posibles preguntas que surgen de la actividad 3:
¿Qué quiere decir que un polígono sea regular?
¿Qué condiciones deben cumplirse para que un polígono sea regular?
¿Qué elementos de un polígono determinan que sea regular?
¿Cómo deben ser los lados de un polígono para que este sea regular?
¿Cómo deben ser los ángulos interiores de un polígono para que este sea regular?
Si todos los ángulos interiores de un polígono son congruentes ¿podemos decir que ese
polígono es regular?
Si la longitud de todos los lados de un polígono es la misma ¿podemos decir que ese
polígono es regular?
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Actividad 4: Con todos los polígonos presentados en las actividades anteriores plantear
una nueva agrupación utilizando como criterio el número de lados.
¿Cómo podríamos clasificar los polígonos según el número de lados?
Posibles preguntas que surgen de la actividad 4:
¿Qué cantidad mínima de lados determinan un polígono?
¿Cómo podrían agruparse los polígonos por su cantidad de lados?
A medida que agregamos un lado a un polígono ¿qué ocurre con la cantidad de ángulos
interiores del polígono? ¿Y con los vértices?
¿Qué cantidad de ángulos interiores tiene un polígono de n lados?
¿Qué cantidad de vértices tiene un polígono de n lados?
¿Qué nombres reciben los polígonos según su cantidad de lados?
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5. Breve análisis
Las actividades que aquí se presentan son abiertas, en el sentido que pueden ser
resueltas por los estudiantes de diferentes maneras, aplicando distintas técnicas, lo que
permite poder realizar una descripción y análisis de las praxeologías matemáticas que
construyen o reconstruyen al intentar resolverlas. Esta secuencia conduce al estudio de
al menos una organización matemática permitiéndose el reingreso a ella en nuevas
situaciones.
Al intentar responder las preguntas presentes en cada actividad, surgen
naturalmente nuevas preguntas en cuyas respuestas se manipulan un complejo de
objetos ostensivos y no ostensivos, los que funcionan como signos de la actividad
matemática desplegada por los estudiantes.
Se consideran en este trabajo algunos constructos teóricos pertenecientes al
modelo epistemológico propuesto por la TAD como son las nociones de praxeología u
organización matemática, los objetos ostensivos y no ostensivos que componen los
distintos elementos de las organizaciones matemáticas. Así también se hacen presentes
algunos rasgos de la pedagogía de la investigación y del cuestionamiento del mundo que
favorecerán un camino de construcción de las praxeologías matemáticas.
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Capítulo V: Conclusiones y trabajo
futuro En esta tesis se presenta el diseño de una secuencia de actividades con el fin de
poder realizar una descripción y posterior análisis de las praxeologías matemáticas que
construyen o reconstruyen los estudiantes del primer año de la Formación Docente de
Nivel Primario, en torno a la definición, caracterización y clasificación de polígonos.
Esta investigación tiene como propósito fundamental hacer un aporte a la
enseñanza de la Geometría tanto para el nivel primario como secundario, por la escasez
de investigaciones que existen en este campo en el marco de la TAD. Por otra parte este
trabajo podría utilizarse como disparador para la enseñanza de la Geometría sintética,
que tal como lo plantea Gascón (2002), es necesaria como escalón para pasar a una
Geometría analítica.
Además la secuencia de actividades propuesta es analizada desde distintos
tópicos de la TAD. En primer lugar, se identifican los componentes de las praxeologías
matemáticas puntuales (Tarea, Técnica, Tecnología y Teoría) que podrían llegar a
abordarse en cada una de las actividades.
Luego se detallan los posibles objetos ostensivos y no ostensivos orales y/o
escritos presentes en la resolución de las distintas situaciones planteadas para una futura
implementación.
Por último, considerando el nuevo paradigma, el de la investigación y del
cuestionamiento del mundo, que intenta introducir una enseñanza basada en preguntas,
se formulan posibles interrogantes que puedan surgir de cada actividad como medio
para propiciar en los estudiantes una enseñanza sobre polígonos mucho más
significativa.
Esta propuesta intenta introducir una perspectiva diferente de la enseñanza de la
matemática y en particular de la Geometría en la formación docente, para que pueda
también introducirse en las aulas del nivel primario y secundario.
Se requiere de más investigaciones que aborden la enseñanza de la Geometría
incorporando gestos de una nueva pedagogía, que otorgue sentido a la matemática
enseñada en todos los niveles educativos.
Pag. 37
Capítulo VI: Referencias
Abrate, R., Delgado,G., Puchulu, M. (2006). “Caracterización de las actividades de
Geometría que proponen los textos de Matemática”. Revista Iberoamericana de
Educación [en línea], 39 (1). Recuperado el 14 de Mayo de 2016,
dehttp://www.rieoei.org/deloslectores/1290Abrate.pdf
Barrantes, M. y Blanco, L. J. (2005). “Análisis de las concepciones de los profesores en
formación sobre la enseñanza y aprendizaje de la geometría”. Números, 62. Recuperado
el 24 de Mayo del 2014, de
http://www.sinewton.org/numeros/numeros/62/Articulo02.pdf
Bosch, M. (1994). “La dimensión ostensiva en la actividad matemática. El caso de la
proporcionalidad”. Tesis doctoral. España: Universidad Autónoma de Barcelona.
Bosch, M. (2003). “Un punto de vista antropológico: la evolución de los "instrumentos
de representación" en la actividad matemática”. En N. de los Ángeles, C. Rodríguez, L.
C. Contreras González, y J. Carrillo Yáñez (coord.): Cuarto Simposio de la Sociedad
Española de Investigación en Educación Matemática., (pp. 15-28). España: SEIEM.
Universidad de Huelva.
Bosch, M y Chevallard, Y. (1999). “La sensibilité de l´activité mathématique aux
ostensifs”. Objet d´étude et problématique, Recherches en Didactique des
Mathématiques 19(1), 77-123. Recuperado el 12 de agosto de 2016, de
http://yves.chevallard.free.fr/spip/spip/IMG/pdf/Sensibilite_aux_ostensifs.pdf
Bosch, M. y Gascón, J. (2009). “Aportaciones de la Teoría Antropológica de lo
Didáctico a la formación del profesorado de matemáticas de secundaria”. En M.J.
González, M.T. González & J. Murillo (Eds.), Investigación en Educación Matemática
XIII (pp. 89- 113). Santander: SEIEM. Recuperado el 29 de Junio del 2015 de
http://www.seiem.es/docs/actas/13/SEIEMXIII-BoschGascon.pdf
Chevallard, Y. (1994) Ostensifs et non-ostensifs dans l’activité mathématique,
Intervention au Séminaire de l’Associazione Mathesis (Turin, 3 février 1994). Texte
paru dans les Actes du Séminaire pour l’année 1993-1994, p. 190-200. Recuperado el
12 de agosto de 2016, de
http://yves.chevallard.free.fr/spip/spip/IMG/pdf/Ostensifs_et_non-ostensifs.pdf
Pag. 38
Chevallard, Y. (1999). “El análisis de las prácticas docentes en la teoría antropológica
de lo didáctico”. Rechearches en Didactique des Mathématiques Vol. 19 (2) pp. 221-
266. Grenoble: La Pensée Sauvage-Éditions. Traducción de Ricardo Barroso Campos.
Universidad de Sevilla.
Chevallard, Y., Bosch, M. y Gascón, J. (1997). “Estudiar Matemáticas. El eslabón
perdido entre enseñanza y aprendizaje.” ICE-Horsori. Universidad de Barcelona.
Segunda edición: diciembre 2000.
Chevallard, Y. (2001). “Aspectos problemáticos de la formación docente”. Recuperado
el 24 de Mayo del 2014 de
http://yves.chevallard.free.fr/spip/spip/article.php3?id_article=15
Chevallard, Y. (2004a). “Hacia una didáctica de la codisciplinariedad. Notas sobre una
nueva epistemología escolar”. France, IUFM d’Aix-Marseille& UMR ADEF.
Traducción realizada por la Doctora Verónica Parra NIECyT. UNCPBA.
Chevallard, Y. (2004b). “Pasado y presente de la Teoría Antropológica de lo
Didáctico”. Primer Traducción, 2008 de Parra Verónica. Revisión completa y
corrección: Año 2011, Llanos, Carolina y Parra, Verónica. CONICET-NIECyT,
Facultad de Ciencias Exactas-UNCPBA.
Chevallard, Y. (2012). “Instrumentos para una nueva Instrucción pública”. France,
EAM ADEF, Aix-Marseille Université.Traducción realizada por la Doctora Verónica
Parra NIECyT. UNCPBA.
Chevallard, Y. (2013). “Enseñar Matemática en la sociedad del mañana: Alegato a favor
de un contraparadigma emergente”. Journal of Research in Mathematics Education, 2
(2), 1 61 -1 82. Recuperado el 10 de Julio del 2015 de
http://hipatiapress.com/hpjournals/index.php/redimat/article/viewFile/631/pdf
Diseño Curricular Nivel Primario. Ministerio de Educación de la Provincia de Río
Negro. Recuperado de file:///C:/Users/Usuario/Downloads/diseno_nivel_primario.pdf
Diseño Curricular Jurisdiccional. Profesorado de Educación. Ministerio de Educación
de la Provincia de Río Negro. Recuperado de
http://ifdbeltran.rng.infd.edu.ar/sitio/upload/PROFESORADO_PRIMARIA.pdf
Pag. 39
Espinoza, L.; Barbé, J.; Dinko, D. (2007). “El problema de la enseñanza de la geometría
en la Educación General Básica chilena y una propuesta para su enseñanza en aula”.
Recuperado el 01 de Noviembre de 2012, de
http://www4.ujaen.es/~aestepa/TAD_II/Comunicaciones_TAD_II/34%20-
%20Espinoza_Barbe_congres_TAD_2.pdf
Gamboa, R.; Ballestero, E. (2010). “La enseñanza y aprendizaje de la geometría en
secundaria, la perspectiva de los estudiantes”. Revista Electrónica Educaré [En línea],
14 (2),]. Recuperado el 14 de Mayo de 2016, de
http://www.revistas.una.ac.cr/index.php/EDUCARE/article/view/906.
Gascón J. (2002). “Geometría sintética en la ESO y analítica en el bachillerato. ¿Dos
mundos completamente separados?. Suma, 39. Recuperado el 14 de Mayo de 2016, de
https://revistasuma.es/IMG/pdf/39/013-025.pdf
Gascón J. (2003). “Efectos del autismo temático sobre el estudio de la Geometría en
secundaria I. Desaparición escolar de la razón de ser de la Geometría”. Suma, 44.
Recuperado el 24 de Mayo del 2014, de http://revistasuma.es/IMG/pdf/44/025-034.pdf
Gascón J. (2004). “Efectos del autismo temático sobre el estudio de la Geometría en
secundaria II. La clasificación de los cuadriláteros convexos”. Suma, 45. Recuperado el
24 de Mayo del 2014, de http://revistasuma.es/IMG/pdf/45/041-052.pdf
Huerta M. P. (1996). “Los cuadriláteros a comienzos del siglo XIX, a comienzos del
siglo XX y a finales del siglo XX, ¿qué ha cambiado?”. Suma, 21. Recuperado el 24 de
Mayo del 2014, de http://revistasuma.es/IMG/pdf/21/055-062.pdf
Lluis, Emilio (1982). “La Geometría en la enseñanza: notas de una conferencia”.
Números, 3. Recuperado el 24 de Mayo del 2014, de
http://www.sinewton.org/numeros/numeros/03/Articulo01.pdf
Navarro V. y Sgreccia N. (2010). “¿Cuál es la presencia real de la geometría en los dos
primeros años de la escuela secundaria? Análisis de la situación en las dos escuelas de
una localidad santafesina”. Premisa, 12(46). Recuperado el 24 de Mayo del 2014, de
http://www.soarem.org.ar/Documentos/46%20Navarro.pdf
Pag. 40
Rey, J. L. (2004). “Dificultades conceptuales generadas por los prototipos geométricos
o cuando los modelos ayudan, pero no tanto”. Premisa, 6(22). Recuperado el 24 de
Mayo del 2014, de http://www.soarem.org.ar/Documentos/22%20Rey.pdf
Sánchez Vázquez G. (1997). “La enseñanza de la Geometría en el momento actual y en
el futuro inmediato”. Suma, 25. Extraído el 24 de Mayo del 2014, de
http://revistasuma.es/IMG/pdf/25/017-022.pdf