polÍgonos -...

Matemática Diseño Industrial Polígonos Ing. Avila – Ing. Moll

POLÍGONOS Para calcular la cantidad de cartón necesaria para armar la pirámide de la siguiente figura necesitamos conocer cómo trabajar con los triángulos que la forman.

Para calcular la cantidad de madera necesaria para construir el apoya libros de la figura siguiente debemos conocer como trabajar con el triángulo, el rectángulo y el pentágono. Para calcular el metal necesario para construir las cuchillas de procesadora de alimentos de la figura, necesitamos conocer cómo trabajar con triángulos. Para realizar los cálculos mencionados debemos utilizar las herramientas que nos brinda la trigonometría y además conocer a fondo estas figuras llamadas polígonos, que a veces tendrán tres lados como en el triángulo, cuatro como en el rectángulo o más lados como veremos en las próximas páginas.

1


POLÍGONOS MULTILÁTERO ABIERTO: Es un conjunto de segmentos consecutivos donde el primer punto (su origen) no coincide con su punto final.

F E

DC

B

A

A no coincide con F MULTILÁTERO CERRADO: es un conjunto de segmentos consecutivos donde el primer punto coincide con el último. (Son solamente los lados, sin incluir el área encerrada por ellos).

DC

B

A

E

F Todo multilátero simple cerrado separa el plano en dos regiones: una región interior y una región exterior.

Un multilátero simple determina un polígono simple. La región interior se llama también polígono abierto.

α

Región exterior

A

B

C

E D

Región interior

La unión del polígono abierto y el multilátero se denomina polígono cerrado.

+ =E D

C

B

A

E D

C

B

A

E D

C

B

A Multilátero ABCDE U polígono abierto ABCDE = polígono cerrado

ABCDE

2


POLÍGONOS SIMPLES CONVEXOS Y CÓNCAVOS Los polígonos simples pueden ser convexos y cóncavos. Polígono convexo: todo segmento determinado por un par de puntos del polígono está incluido en él. B

E D

A

C

Polígono cóncavo: existe algún segmento determinado por un par de puntos del polígono que no está incluido en él.

A

B

C

E

G

F

D MULTILÁTEROS CRUZADOS: Un multilátero cruzado determina más de dos regiones en el plano.

ABCDEF = multilátero cruzado, determina dos regiones interiores y una exterio.

Región interior

Región interior

Región exterior

F

E

D

C

B

A

α

3


Existen otros polígonos “con agujeros” (No son polígonos simples) ELEMENTOS DEL POLÍGONO Consideremos un conjunto ordenado de puntos, tales que no haya tres puntos consecutivos alineados:

A, B, C, D, E, F Si se unen los puntos con segmentos, en el órden dado, y además se une el último con el primero, queda determinado un polígono.

A

E F

D

C B

F E

D

CB

A

Los puntos A, B, C, D, E y F se llaman vértices del polígono. En este ordenamiento distinguimos pares de puntos consecutivos y pares de puntos no consecutivos: (A,B) (B,C) (C,D) (D,E) (E,F) (F,A) son pares de puntos consecutivos. (A,C) (A,D) (B,D) (B,E) (C,E) (C,F) son pares de puntos no consecutivos. Los segmentos determinados por pares de vértices consecutivos se llaman lados del polígono: AB, BC, CD, DE, EF, FA son lados del polígono ABCDEF

4


Los segmentos determinados por pares de vértices no consecutivos se llaman diagonales del polígono.

BB C C ÁNGULOS INTERIORES DE UN POLÍGONO Los ángulos convexos formados por pares de lados consecutivos se llaman ángulos interiores del polígono.

En consecuencia, el polígono convexo ABCDEF puede definirse como la intersección de los ángulos convexos ABC, BCD, CDE, DEF, EFA y FAB.

ÁNGULOS EXTERIORES DE UN POLÍGONO Los ángulos adyacentes a los interiores se llaman ángulos exteriores del polígono.

A D A D

EF F E

B C

A D

E F

A

E

D

C B

F

β γ α

δ η

ε

5


CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS SEGÚN EL NÚMERO DE LADOS Nº de lados Nombre Nº de lados Nombre

3 Triángulo 9 Eneágono 4 Cuadrilátero 10 Decágono 5 Pentágono 11 Undecágono 6 Exágono 12 Dodecágono 7 Eptágono 15 Pentadecágono 8 Octógono 20 Icoságono

POLÍGONOS REGULARES Cuando el polígono tiene todos sus lados iguales y sus ángulos iguales, se llama polígono regular. PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS CONVEXOS Número de diagonales que pasan por un vértice de un polígono

Cada vértice de un polígono determina una diagonal con cada vértice no consecutivo.

A

B

C

D

E En consecuencia, para determinar el número de diagonales que pasan por un vértice A de un polígono de “n” lados, hay que descartar el mismo vértice A y los dos vértices consecutivos a él. Es decir, que queda:

Nº de diagonales por un vértice = n - 3

6


Número de diagonales de un polígono

Por cada vértice pasan n – 3 diagonales. Parece natural pensar que para calcular cuántas diagonales pasan por los n vértices es suficiente multiplicar (n – 3) x n, pero así estaríamos contando dos veces cada diagonal.

A

B

C

D

E

Supongamos un pentángono, será n = 5 (n – 3 ) x n = (5 – 3) x 5 = 10 diagonales

Pero vemos en el dibujo que son solo 5 diagonales, ya que la diagonal que pasa por A hacia C, es la misma que pasa por C; la que pasa por A hacia D, es la misma que pasa por D; de modo que:

2)3( −× nn Nº de diagonales del polígono =

Número de triángulos determinados por las diagonales que pasan por un vértice

A

B

C

D

E

El vértice A determina un triángulo con cada lado del polígono, exceptuando los dos lados que ienen por extremos al vértice A. A con AB A con EA

no determina triángulos

A con BC determina triángulo ABC A con CD determina triángulo ACD A con DE determina triángulo ADE

5 lados – 2 lados = 3 triángulos

En general: Nº de triángulos = n - 2

7


Suma de los ángulos interiores de un polígono

La suma de los ángulos interiores de un polígono es igual a la suma de los ángulos interiores de los triangulos determinados por las diagonales que pasan por un vértice.

A

B

C

D

E La suma de ángulos interiores de un triángulo es 180º, y el Nº de triángulos es (n – 2), por lo tanto:

Suma de ángulos interiores de un polígono = 180º (n – 2) En el caso de un polígono regular:

Áng. Central =n

º360 , en este caso 5

º360

α 1 2

3 5

4

ángulo central

ángulo interior

Como se forman 5 triángulos iguales, cada triángulo tiene 180º como suma de ángulos interiores

2

)º360º180(n

− Ángulo interior de un triángulo: α =

La fórmula vista es para calcular el ángulo interior de un triángulo (α); vemos que un ángulo interior del polígono regular es igual a 2 α. También podemos calcular el valor de un ángulo interior del polígono con la siguiente fórmula:

nn )2(º180 −

ángulo interior del polígono =

8


Suma de os ángulos exteriores de un polígono

Como los ángulos exteriores son adyacentes a los interiores, en cada vértice, la suma de un exterior y el interior corrrespondiente es de 180º (por ser suplementarios).

A B

C

D

E

ángulo exterior

Áng. Int. + Áng. Ext. = 180º en cada vértice

Como el polígono tiene n vértices, será: Suma total de Áng. Interiores + Áng. Exteriores = 180º x n (a) Pero: Suma Áng. Interiores = 180º (n – 2) (b) Restamos (a) – (b): Áng. Interiores + Áng. Exteriores – Áng. Interiores =

= 180º . n – [180º (n – 2)] = = 180º . n [180º . n – 180º . 2] = 180º . n – 180º . n + 360º = 360º = 4 Rectos Vemos que la suma de ángulos exteriores es igual a 4 rectos. De aquí se desprende que en un polígono regular un ángulo exterior es igual a un ángulo central. Perímetro de un polígono Es la suma de los lados del polígono. En el caso de un polígono regular, como todos los lados son iguales, el perímetro es igual a:

Perímetro = n . Lado

9


CONSTRUCCIÓN DE UN POLÍGONO REGULAR Suma de ángulos centrales = 360º

α = n

º360

En el caso de un exágono ( n = 6), será:

º606

º360º360===

nα

A

B

C D

E

F

α

Se parte de un punto cualquiera del círculo, por ejemplo el A, y se traza el radio; luego se gira 60º y se traza otro radio, encontrando así el punto B , luego se gira otros 60º y se traza otro radio, ubicando C y así sucesivamente hasta tener todos los vértices. Finalmente se une los vértices y se tiene construído el exágono, o cualquier polígono regular que se hubiese elegido. Nota: el exágono es el único polígono regular en que el lado es igual al radio. Lado = Radio

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POLÍGONOS INSCRIPTOS O CIRCUNSCRIPTOS A UNA CIRCUNFERENCIA

a

b

cd

e

o R

abcde inscripto en Cf(o;R) mnpqs circunscripto a Cf(o;R)

a

b

c

d

e

m

n

p q

so

R

Consideremos los puntos a, b, c, d, e pertenecientes a la circunferencia de centro o y radio R.: Cf(o;R). 1) Uniendo ordenadamente los puntos se obtiene un polígono convexo cuyos vértices pertenecen a la circunferencia. Se dice que abcde es un polígono inscripto en la circunferencia, o bien que Cf(o;R) es una circunferencia circunscripta al polígono abcde. La distancia del centro a cualquier vértice del polígono es igual al Radio.

Roeodocoboa ===== 2) Si por los puntos a, b, c, d, e se trazan las tangentes a la circunferencia, se obtiene el polígono mnpqs cuyos lados son tangentes a la circunferencia. Se dice que mnpqs es un polígono circunscripto a la circunferencia, o bien que Cf(o;R) es la circunferencia inscripta en el polígono mnpqs. La distancia del centro a cualquier lado del polígono es igual al radio de la circunferencia.

Roeodocoboa =====

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CENTRO, RADIO Y APOTEMA DE UN POLÍGONO Todo polígono regular se puede inscribir en una circunferencia.

A

B

C D

E

F

R

Ap

o

• El centro de la circunferencia se llama centro del polígono regular.

• El radio de la circunferencia se llama radio del polígono regular.

• El centro del polígono regular equidista de los lados.

• La distancia del centro a uno cualquiera de los lados se llama apotema del polígono regular.

ELEMENTOS DE SIMETRÍA DE LOS POLÍGONOS REGULARES Todo polígono regular de n lados tiene n ejes de simetría. Si el número de lados es par los ejes de simetría son las rectas determinadas por los pares de vértices opuestos o por los puntos medios de los lados opuestos. Si el número de lados es impar los ejes de simetría son las rectas determinadas por cada vértice y el punto medio del lado opuesto. Si el número de lados es par, el centro del polígono es centro de simetría.

oa

b c

d

e a

b

c

o

f

3 lados 3 ejes de simetría o no es centro de simetría

6 lados 6 ejes de simetría o es centro de simetría

Un polígono es regular si y solo si el número de ejes de simetría es igual al número de lados.

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ÁNGULO CENTRAL

ω

A

B

C D

E

F

O

El ángulo que tiene por vértice el centro del polígono regular y que abarca un lado del mismo, se llama ángulo central del polígono. Para un polígono regular de n lados el ángulo central es:

Ωn = nn

R º3604=

Ejemplo:

En el hexágono es n = 6 ⇒ ω6 = º606

º360=

CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS REGULARES CON TRANSPORTADOR Para construir un polígono regular de n lados inscripto en una circunferencia, usando el transportador, se construyen n ángulos consecutivos de vértice o, congruentes al ángulo central ω del polígono. Los puntos en que los lados de los ángulos cortan a la circunferencia son los vértices del polígono. Triángulo equilátero Cuadrado Pentágono

o 120º

ω

a

b c

n = 3

º1203

º360==ω

90ºω

o

a

bc

d

n = 4

º904

º360==ω

d c

72º ω

o

a

b e

º725

º360==ω

n = 5

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CÁLCULO DEL LADO Y DEL APOTEMA DEL CUADRADO Cálculo del lado: Usamos el teorema de Pitágoras: L2 = R2 + R2

90º R R

a

b c

d

L

o

Como el triángulo cob es isósceles con ob = Radio de la circunferencia, es entonces: L2 = 2 R2 ⇒ L = 22 2 RR =

Cálculo del apotema: m = punto medio de da om = apotema

mn = 2 x apotema = Lado y lado: L = R 2 ⇒ 2 x ap = R x 2

⇒ ap = 2

2×R

CÁLCULO DEL LADO Y DEL APOTEMA DEL EXÁGONO EN FUNCIÓN DEL LADO Cálculo del lado: 2 α = 180º - 60º = 120º

α = º602

º120=

αsen

Rsen

ab=

º60 ⇒ LR

sensenRab ==×=

º60º60

a

b c

d

L o

m

n

ap

60º

b

c

d e

a

O

α α

R f

14


Cálculo del apotema:

2L

=am R2 = ap2 + 4

)2

(2

22 LapL+=

ap2 = R2 - 4

2L

ap = 4

22 LR −

R

L a m b ap

o

En el exágono es R = L

⇒ ap = 4

22 LR − =

43

44

4

22222 LLLLL =

−=−

⇒ ap = 2

32

3 RL ×=×

CÁLCULO DEL LADO Y DEL APOTEMA DEL TRIÁNGULO EQUILÁTERO EN FUNCIÓN DEL RADIO

La recta que contiene la apotema, determina, en su intersección con la circunferencia, un vértice de un exágono inscripto en la circunferencia. A su vez, forma un triángulo rectángulo de base = lado del exágono (L6) = R

altura = L3

e d

c

b

f

a

R o

90º

L3

L6

Hipotenusa = 2 R

De donde: L3 = 2226

2 4)2( RRLR −=−

L3 = 33 2 RR = Con lo que ya calculamos el lado del triángulo.

15



En un triángulo las medianas convergen en un

punto o, distante 31 de la base y

32 del vértice

opuesto.

ap

a

b

c

m

n

p o

Apotema = om

Radio =

Es decir que bmob32

= y bmom31

=

⇒ obbm23

= ombm ×= 3

igualando: omob ×= 323

⇒ 22

132

3 Robobom ==×

=

Ejercicio: Dado un círculo de radio R, calcular el valor del Lado y del apotema del cuadrado inscripto en él. Cálculo del lado: Aplicando el teorema de Pitágoras es: (R+R)2 = L2 + L2 es decir: 2L2 = (2R)2 = 4R2 a

c d

L R

R o

b L

⇒ L2 = 22

22

4 RR=

⇒ L = 22 2 RR = R

L (=R 2 )

ap


R2 = ap2 + 2)2

( L ⇒ ap2 = R2 - 4

2)2

2()2

(2

2222 RRRRL−=−=

ap2 = 24

24

24 2222 RRRR==

−

⇒ ap = 2

2

2

2

222

2 RRRR=×==

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CÁLCULO DEL ÁREA DE UN POLÍGONO

gEl área total de este exágono la podemos asimilar al área de los seis triángulos que la componen.

ap

Entonces calculamos el área de un triángulo, que por ser el caso de un exágono es equilátero de lado L = Radio

Área de un triángulo = 22apLhBA ×

=×

=∇

Área del polígono = 22

6 apLnapL ××=

××

Y como n x L = perímetro del polígono, será entonces:

Área del polígono = 2

apotemaperímetro×

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Propiedades de los polígonos

Nº de Lados

Nº de Diagona les por un vértice

Nº total de Diago-nales

Nº de Trián-gulos

Suma de ángulos interiores

Suma de ángulos int. Y ext.

Suma de ángulosexteriores

3

0

0

1

2R.1 = 2R

2R.3 = 6R

6R – 2R = 4R

4

1

2

2

2R.2 = 4R

2R.4 = 8R

8R – 4R = 4R

5

2

5

3

2R.3 = 6R

2R.5 = =10R

10R – 6R = 4R

6

3

9

4

2R.4 = 8R

2R.6 = =12R

12R – 8R = 4R

Polígono de “n” lados

n

n - 3

2)3( −nn

N - 2

2R (n - 2)

2R. n

2Rn - 2R (n - 2) = 2R [n- (n - 2)] = 2R (n – n + 2) = 4 R

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POLÍGONOS ESTRELLADOS Si en una circunferencia dividida en un número “n” de partes iguales, se trazan las cuerdas que unen los puntos sucesivos de división, se obtiene un polígono regular de “n” lados (polígono regular convexo). Si en lugar de unir esas divisiones una a una, lo hacemos salteando siempre una, o siempre dos, o el número que elijamos, obtendremos un polígono estrellado (regular). Llamemos p al número de vértices de a tantos que unimos. Si p = 1, unimos consecutivamente todos los puntos, de modo que obtenemos un polígono regular convexo de “n” lados (n = número de divisiones). Si p = 2, unimos los puntos de división salteando siempre uno (es decir unimos de dos en dos). Si la línea poligonal así formada se cierra pasando por todos los puntos de división de la circunferencia, esta línea toma el nombre de polígono regular estrellado de “n” lados de 2a especie.

La estrella pitagórica es un polígono esrellado, es decir, que tiene forma de estrella,

1

2

3 4

5 Un polígono estrellado se construye a partir de un polígono regular, en el caso de una estrella pitagórica se forma al unir todas las diagonales de un pentágono regular. En ocasiones un polígono regular puede formar más de un polígono estrellado.

Dibujemos ahora un Eptágono estrellado. Dividimos al círculo en 7 partes iguales. No es necesario dibujar el eptágono, solo los vértices. Calculo la mitad de 7, o sea 3,5 1

2

3

4 5

6

7

¿Qué números enteros menores que 3,5 son primos relativos con 7? El 7 tiene dos primos relativos menores que 3,5: el 2 y el 3. Nota: dos numeros son primos relativos si su másimo común divisor es 1.

19


En este caso: 7 2

3,5 (no es divisible)

7 32,3 (no es divisible)

7 17 (SI es divisible)

O sea que es divisible solo por 1 ⇒ 2 y 3 son primos relativos con 7. Como 7 tiene 2 primos relativos, se pueden construir dos polígonos estrellados de 7 lados. Primero usaremos el Nº 2. Vamos a unir con líneas rectas los puntos de la siguiente manera: Empezamos por el 1 y vamos uniendo de 2 en 2. Del 1 al 3, del 3 al 5, del 5 al 7, del 7 al 2, del 2 al 4, del 4 al 6 y del 6 al 1. 1

2

3

4 5

6

7

Polígono estrellado de 7 lados Ahora hacemos lo mismo para el Nº 3. Uniremos los puntos de 3 en 3.

Del 1 al 4, del 4 al 7, del 7 al 3, del 3 al 6, del 6 al 2, del 2 al 5 y del 5 al 1.

Polígono estrellado de 7 lado

s

1

2

3

4 5

6

7

20


¿Cuántos octógonos estrellados hay?

Para saberlo calculamos la mitad de 8: 428= y vemos cuántos números

menores que 4 son primos relativos con 8 8 3

20 2,6 (no es divisible)

8 24 (Si es divisible)

2 Solo el 3 es primo relativo con 8 y menor que 4. Solo hay un polígono estrellado de 8 picos. Marcamos en el círculo 8 partes iguales. Unimos con líneas de tres en tres.

2

3

45

6

7

1 8 Del 1 al 4, del 4 al 7, del 7 al 2, del 2 al 5, del 5 al 8, del 8 al 3, del 3 al 6 y del 6 al 1.

Polígono estrellado de 8

lados ¿Existe un polígono estrellado de 6 lados?

Calculo la mitad de 6 326= ¿Qué número entero hay, menor que 3 y que

sea primo relativo con 6? 6 2

3 (Si es divisible) ⇒ no es primo relativo 8 1

6 ( es primo relativo) Pero no utilizo el 1 porque si uno los vértices de 1 en 1 obtendré nuevamente el exágono. Quiere decir que del exágono no obtengo ningún polígono estrellado.

21


Si quisiera hacer eneágonos (9 lados) estrellados:

5,429=

9 4

10 2,2 (es primo)

9 33 (No es primo)

9 210 4,5 ( es primo)

Realizo primero cada 4 vértices:

5

1

2

3

4

6

7

8

9 Uno del 1 al 5, del 5 al 9, del 9 al 4, del 4 al 8, del 8 al 3, del 3 al 7, del 7 al 2, del 2 al 6 y del 6 al 1.

Polígono estrellado de 9 lados

Realizo ahora cada 2 vértices:

1

Uno del 1 al 3, del 3 al 5, del 5 al 7, del 7 al 9, del 9 al 2, del 2 al 4, del 4 al 6, del 6 al 8 y del 8 al 1.

Polígono estrellado de 9 lados (eneágono estrellado)

2

3

4

6

7

8

9

5

22


Si quisiera hacer decágonos (10 lados) estrellados:

Tomo la mitad de 10, es decir 52

10= ¿Cuántos enteros menores que 5 son

primos relativos con 10? 10 4

20 2,5 ( es primo)

10 2 5 ( No es primo)

10 310 3,3 ( es primo)

1

2

3

4

56

7

8

9

10 Pero el 4, a su vez es divisible por 2, de modo que no es primo relativo, y como vemos en la figura no se puede lograr salteando de cuatro en cuatro un polígono estrellado de 10 puntas. Salvo que hagamos un falso polígono estrellado. Por lo tanto solo queda el 3 para construir un polígono estrellado de 10 puntas.

Decágono estrellado con paso cada 3 vértices-

1

2

3

4

56

7

8

9

10

Salteando de a cuatro vértices no obtenemos un decágono estrellado, ya que cuatro también es divisible por 2, por lo tanto no es primo relativo

10

23


1

2

3

4

56

7

8

9

10

Falso polígono estrellado

En el falso decágono estrellado, uno del 1 al 5, del 5 al 9, del 9 al 3, del 3 al 7 y del 7 al 1 cerrando el circuito. Ahora hago una segunda estrella pero partiendo del vértice 2. Uno del 2 al 6, del 6 al 10, del 10 al 4, del 4 al 8 y del 8 al 2.

Un ejemplo de falso polígono estrellado es esta llanta que parte de un polígono de 16 lados, que une vértices cada dos, pero es necesario crear dos estrellados y rotarlos.

24


TRIÁNGULOS

Dados en un plano tres puntos A, B, C no alineados, es decir, que no pertencen a la misma recta, se llama triángulo ABC a la figura formada por los puntos comunes a los ángulos convexos BAC, ABC y BCA, es decir, al conjunto de puntos intersección de los tres ángulos.

A

B

C

α β

γ A

B

C

Los puntos A, B y C se llaman vértices del triángulo. Los segmentos AB, BC y AC se llaman lados. Los ángulos A, B y C se llaman ángulos interiores del triángulo. Los ángulos α, β y γ se llaman ángulos exteriores. CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS Equiláteros: tres lados iguales Según sus lados Isósceles: dos lados iguales Escaleno: tres lados desiguales

equilátero isósceles escaleno

Rectángulos: un ángulo es recto Según sus ángulos Acutángulo: 3 ángulos agudos Oblicuángulos Obtusángulo: 1 ángulo obtuso

Acutángulo Obtusángulo Rectángul o

25


SUMA DE ÁNGULOS INTERIORES DE UN TRIÁNGULO

α β

γ a

b

c α

β γ

a

b

cγ´ α

´ Si trazamos una paralela al lado b, podemos observar que se forman los ángulos α´ = α y γ´ = γ (por ser alternos internos entre paralelas) Si sumamos: α´ + β + γ´ = α + β + γ = 180º ÁNGULOS EXTERIORES

El ángulo exterior γ es adyacente al correspondiente ángulo interior α. La suma de ambos es 180º, por ser ángulos suplementarios. α

γ

• Todo ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes. Siendo ϕ y α adyacentes, son suplementarios, luego: ϕ + α = 180º ⇒ ϕ = 180º - α (1)

αγ β ϕ

A

B

C

Por otra parte: α + β + γ = 180º ⇒ α = 180º - β - γ (2) reemplazando (2) en (1): ϕ = 180º - α = 180º - (180º - β - γ) ϕ = 180º - 180º +β + γ ϕ = β + γ

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PARTES NOTABLES DE UN TRIÁNGULO • ALTURA.: es la distancia del vértice de un triángulo a la recta a que pertenece el lado opuesto.

h hh

Vemos que la altura puede ser interior o exterior al triángulo, depende del tipo de triángulo y qué vértice utilicemos. • En todo triángulo, las rectas que contienen a las alturas del mismo, se intersecan, a veces dentro del triángulo, a veces fuera de él.

h h h h h

h

• MEDIANAS: Se llama mediana correspondiente a un lado al segmento determinado por el punto medio de ese lado y el vértice opuesto.

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Las medianas de un triángulo se cortan en un punto interior al mismo, llamado baricentro. Propiedad: las medianas de un triángulo se cortan en un punto cuya distancia a cada vértice es igual a dos tercios de la mediana correspondiente.

2/3

1/3

BISECTRIZ DE UN TRIÁNGULO Se llaman bisectrices de un triángulo a los segmentos de bisectrices de sus ángulos comprendidos entre el vértice y el lado opuesto.

• • •

Propiedad: Las bisectrices de un triángulo se cortan en un punto que equidista de sus lados y se llama incentro.

El incentro es el centro de una circunferencia inscripta en el triángulo. Los lados del triángulo son tangentes a la circunferencia. Vemos entonces que el incentro equidista de los lados del triángulo.

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• MEDIATRICES DE UN TRIÁNGULO La mediatriz correspondiente a un lado, es la perpendicular a dicho lado, trazada por el punto medio del mismo. Las mediatrices se cortan en un punto llamado circuncentro, y que es centro de una circunferencia circunscripta al triángulo. El circuncentro equidista de los vértices, por ello la distancia del circuncentro al vértice es el radio de la circunferencia. Nota: en un triángulo isósceles, la bisectriz, la mediana y la altura son iguales.

altura = mediana = bi e t i

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CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS DE “n” LADOS • Por A trazo una oblicua que pueda ser dividida en n partes iguales. En nuestro caso 6 partes. • Uno la última división (el punto 6) con el punto B. • Trazo las paralelas al segmento B6 (con eso logro que AB quede dividida en 6 partes iguales). • Con radio = AB y centro primero en A y luego en B trazo los arcos que determinan el punto N. • El punto A será un vértice del exágono. • Luego uno N con 2´ y 4´ ; donde esas rectas cortan al círculo tengo los vértices del polígono. • Traslado los simétricos al eje AB para obtener los vértices del lado derecho.

A

B

1

2

3

4

56

N

A

B

1

2

3

4

5 6

N

A

B

1

2

3

4

56

N

30


1) Para reconocer si un polígono es convexo o cóncavo se puede dar un

criterio particular. Se traza la recta correspondiente a cada lado. Si cada una de estas rectas deja a todos los puntos del polígono en un mismo semiplano, se dice que el polígono es convexo. Si alguna recta divide al polígono de tal modo que queden puntos del mismo en semiplanos opuestos, se dice que el polígono es cóncavo.

cóncavoconvexo

2) ¿Cuántas diagonales puedes trazar en un triángulo? Ninguna, las diagonales unen vértices no consecutivos, lo que no tenemos en el triángulo. Nº de diagonales = Nº de vértices – 3 = 3 – 3 = 0 3) Escribe todo, algún o ningún según corresponda:

a) Algún polígono simple es convexo. b) Algún polígono simple es cóncavo. c) Ningún multilátero cruzado es convexo. d) Todo multilátero cruzado es cóncavo.

4) Indica Verdadero o Falso: Si un polígono es convexo, todos sus ángulos interiores son convexos.

V

Si un polígono es cóncavo, todos sus ángulos interiores son cóncavos.

F

Si un polígono es cóncavo, alguno de sus ángulos interiores es cóncavo.

V

31


5) Te informan que los ángulos exteriores de un polígono son congruentes. ¿Qué puedes decir de ese polígono? Respuesta: que es un polígono regular 6) Calcula el número de diagonales que se pueden trazar por un vértice de un polígono: a) de 9 lados Nº diag. = Nº vert – 3 = 9 – 3 = 6 diagonales b) de 35 lados Nº diag. = Nº vert – 3 = 35 – 3 = 32 diagonales 7) Calcula el número total de diagonales de un polígono:

a) de 7 lados nº diag. = 14228

2)37(7

2)3(

==−

=−nn diagonales

b) de 12 lados nº diag. = 542

1082

)312(122

)3(==

−=

−nn

diagonales 8) Por un vértice de un polígono se pueden trazar 5 diagonales. ¿Cuántos lados tiene el polígono? Nº diag = Nº de vértices – 3 = 5 ⇒ Nº de vert.. = 5 + 3 = 8 vért 8 lados 9) Calcula la suma de los ángulos interiores de un polígono de: a) 5 lados suma áng. Int = 180º (n – 2) = 180º (5 – 2) = 540º b) 8 lados suma áng. Int = 180º (n – 2) = 180º (8 – 2) = 1080º c) 15 lados suma áng. Int = 180º (n – 2) = 180º (15 – 2) = 2340º 10) Calcula el valor de un ángulo interior de un polígono regular de:

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Por ser polígono regular será β = α

Ángulo central =n

º360

Ángulo central

Ángulo interior = 2 α

α α

β

α

a) de 9 lados

ángulo central = º409

º360º360==

n 2 α = α + β = 180º - 40º = 140º

ángulo interior = 2α = 140º α = º702

º140=

b) de 15 lados

ángulo central = º2415

º360º360==

n 2 α = α + β = 180º - 25º = 156º

ángulo interior = 2α = 156º α = º782

º156=

c) de 7 lados

ángulo central = º4285,517

º360º360==

n

2 α = α + β = 180º - 51,4285º = 128,57º

ángulo interior = 2α = 128,57º α = º2857,642

º57,128=

1º 60´

0,57º ´20,341

6057,0=

×

α = 128º 34 ´ 12´´1´ 60´´

0,20´ ´´121

6020,0=

×

33


11) Calcula en cada caso el número de lados del polígono y el valor de un ángulo interior.

Suma de áng. Int = 180º (n – 2) ⇒ n = 2º180+

suma

α = 2

)ºº180(n

suma−

La suma de los ángulos interiores de un polígono regular es de: a) 360º


suma = 2º180º360+ = 4 lados

α = 4

º360 = 90º

b) 900º


suma = 2º180º900+ = 7 lados

α = 7

º900 = 128,57º

c) 1620º


suma = 2º180º1620+ = 11 lados

α = 11

º1620 = 147,27º

12) Calcula el valor de un ángulo exterior de un polígono regular de:

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a) 8 lados Suma ang. ext. = 180º . n – [180 (n – 2)] = 180 x 8 – [180 (8 – 2)] = = 1440 – 1080 = 360º

1 ang. ext. = º458

º360º

==ladosn

suma

b) 20 lados Suma ang. ext. = 180º . n – [180 (n – 2)] = 180 x 20 – [180 (20 – 2)] = = 3600 – 3240 = 360º

1 ang. ext. = º1820

º360º

==ladosn

suma

c) 11 lados Suma ang. ext. = 180º . n – [180 (n – 2)] = 180 x 11 – [180 (11 – 2)] = = 1480 – 1620 = 360º

1 ang. ext. = º7272,3211

º360º

==ladosn

suma

13) Calcula el número de lados de un polígono regular, donde cada ángulo exterior vale: a) 20º

áng. ext. = 18º20º360

..º360º360

===⇒extang

nn

lados

b) 72º

áng. ext. = 5º72º360

..º360º360

===⇒extang

nn

lados

14) Si a, b y c son ángulos de un triángulo, dados a = 35º 12´ y b = 49º 46´ ¿Cuánto vale el ángulo c? a + b + c = 180º ⇒ c = 180º - a – b = 180º - (35º 12´ + 49º 46´) = = 180º - 84º 58´ = 95º 2´ 15) Dado un triángulo abc con:

35


a = 5 α b = 3 α c = 4 α Calcula a, b y c Sabemos que a + b + c = 180º ⇒ 5 α + 3 α + 4 α = 180º

⇒ 12 α = 180º

⇒ α = º1512

º180=

⇒ a = 5 α = 5 x 15º = 75º b = 3 α = 3 x 15º = 45º c = 4 α = 4 x 15º = 60º

16) Dados β = 118º 30´ y γ = 123º 15´ Calcula a, b y c

b + β = 180º ⇒ b = 180º - β =

b = 180º - 118º 30´= 61º30´ c + γ = 180º ⇒ c = 180º - γ =

γ

c a

β b

c = 180º - 123º15´ = 56º 45´ a = 180º - (61º30´ + 56º 45´) =

a = 180º - 118º15´= 61º 45´ 17) Demuestra que la suma de los ángulos exteriores de un triángulo es igual a 4 Rectos. a + b + c = 180º (1) a + α = 180º ⇒ a = 180º - α b + β = 180º ⇒ b = 180º - β c + γ = 180º ⇒ c = 180º - γ c

b

a

γ

β

α c b

a

Reemplazando en (1):

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a + b + c = 180º - α + 180º - β + 180º - γ = 3 x 180º -(α + β + ) = 180º 3 x 180º = 180º + (α +β + γ) 3 x 180º - 180º = α +β + γ 2 x 180º = (α +β + γ) = 360º = 4 Rectos 18) Dados α y β (ángulos exteriores del triángulo), calcular el tercer ángulo exterior γ. α = 54º β = 155º α + β + γ = 360º ⇒ γ = 360º - α - β = 360º - 54º - 155º = 151º 19) Dados a = 48º 22´ 32´´ y b = 3 a – 90º 34´ 35´´ Calcular b, c y β 3 a =

48º 22´ 32´´ x ______3__ 144º 66´96´´ -60´´ _1´ 36´´ 144º 67´ -60´ 145º 07´

c

b

ac

b a

β

145º 07´ 36´´ b = 3 a – 90º 34´ 35´´ 145º 07´ 36´´ 144º 67´

36´´ - 90º 34´ 35´´ - 90º 34´ 35´´

a + b + c = 180º ⇒ c = 180º - (a + b) = 180º - (48º22´32´´ + 54º33´01´´= c = 180º - 102º 55´ 32´´ = 77º 4´28´´ β = 180º - c = 180º - 77º 4´28´´ = 102º 55´32´´

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PREGUNTAS DE AUTOEVALUACIÓN

1) ¿Cómo determinamos si un polígono es convexo o cóncavo? 2) ¿Cuáles son los elementos de un polígono?

3) ¿Qué diferencia hay entre un polígono regular y uno irregular? 4) ¿Cuántas diagonales pasan por un vértice del polígono? 5) ¿Cómo calculo el número total de diagonales de un polígono? 6) ¿Cómo calculo cuántos triángulos determinan las diagonales de un

polígono? 7) ¿Cómo calculo la suma de ángulos interiores de un polígono? 8) ¿Cómo calculo un ángulo interior de un polígono regular? 9) Dibujar un polígono y destacar su centro, apotema y radio.

10) ¿Cómo calculo el ángulo central de un polígono regular?

11) ¿Qué relación hay entre el ángulo central y el ángulo exterior de un

polígono regular?

12) ¿Cómo determino cuántos polígonos estrellados puedo construir a partir de un polígono regular?

13) ¿Qué diferencia hay entre un polígono estrellado falso y uno verdadero?

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Computar el material necesario para fabricar un apoya libros. Pentágono inscripto en circunferencia de 20 cm de diámetro.

b

a = 2 b

La siguiente gráfica nos muestra el esquema de las cuchillas de una procesadora hogareña. Se partió para el diseño de la traza de untriángulo equilátero tal como se muestra en la línea punteada de la figura. El punto de convergencia de los elementos cortantes(zonarayada) es el punto de intersección de las medianas, y la superficie circular de giro es de 12.56637 cm2, se pide:

1- Determinar la superficie de las cuchillas en su conjunto.

2- Determinar el peso del conjunto considerando que las mismas tienen un espesor de 2mm y el material tiene un peso específico de 1,3 kg/m3.

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polÍgonos -...

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