platica ing palomera simulink

7/31/2019 Platica Ing Palomera Simulink

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La pltica del da de hoy forma parte de unesfuerzo conjunto que busca, principalmente,el motivar y promover el estudio de lasmatemticas.

El tema a tratar est relacionado con lostemas de ecuaciones diferenciales y el de latranformada de Laplace.

Tu presencia el da de hoy nos motiva a

seguir participando en este esfuerzoconjunto.


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Modelacin y Estudio de lasecuaciones diferenciales l.c.c.c. enel dominio de Laplace (frecuencia)

utilizando MATLAB-SIMULINK

Maestro: Francisco Palomera Palacios

Departamento de Mecatrnica y Automatizacin,

ITESM, Campus Monterrey

[email protected]


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Motivacin Anlisis y estudio intuitivo (no formal) de las

ecuaciones diferenciales lineales c.c.c. a travsde la transformada de Laplace.

Ilustrar el comportamiento de la respuesta desistemas fsicos con la ayuda del programa

computacional MATLAB-SIMULINK.

El que haya personas interesadas en promover,motivar y escuchar sobre el tema de ecuacionesdiferenciales y la Transformada de Laplace.


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Modelacin de Sistemas Dinmicos utilizandoEcuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO)

Sistema

Fsico

Sistema (Fsico)

a modelarFuncin forzante

y(t)u(t)

Respuesta del sistema

-Sistema Mecnico (sistema de suspensin en los autos)

- Sistema Hidrulico (llenado de un tanque)

- Sistema trmico (temperatura en un horno)

-Sistema Elctrico (velocidad de motores)

- Sistema Fisiolgico (efecto de una dosis en el cuerpo h. )

- Sistema Econmico ( inflacin)

- Sistema de produccin (produccin entre mquinas)

Relacin causal


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Para obtener una ecuacin diferencial,podemos utilizar:

Leyes fsicas: que de acuerdo a la naturaleza del sistema,rigen la relacin causal entre las variables de inters.

Pruebas experimentales (anlisis de la respuesta transitoriadel sistema ante una funcin forzante conocida).

Por analogas de comportamientos entre sistemas que guardanun comportamiento similar, a pesar de ser de naturaleza diferente.

Aplicacin de algoritmos y recursos computacionales paraprocesar los datos obtenidos de pruebas experimentales.


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Sistemas fsico: Temperatura en un horno

Horno

Flujo de

Combustible:

qi(t)

Temperatura:

T(t)horno

Temperatura

Flujo de gas

Relacin causal


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Sistema Fsico:Llenado de un tanque

qo(t): Caudal de salida

qi(t): Caudal de entrada

A:

rea del tanque

p(t): seal que regulael caudal hacia el tanque.

h(t): altura del tanque

Rh: resistencia Hidrulica

TanqueCaudal deentrada

qi(t)

Nivel: h(t);

Caudal de

Salida, qo(t)

Relacin causal


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Anlisis de una ecuacin diferenciallineal c. c. c.

2-3t

2

d y(t) dy(t)+ 0.4 + 0.03 y(t) = 1.5 + Sen10t

dtdte

Sistema (Fsico)

a modelar

u(t): Comportamiento deseado

La respuesta y(t) de un sistema

mecnico ante una funcin forzanteu(t) est definida por la ecuacindiferencial; y(0)= 2;y(0) = 0

Funcin forzante

y(t)u(t)

Respuesta del sistema

)()(13.0)(

4.0)(

2

2

tuty

dt

tdy

d

ty

t

d


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Funcin forzante: u(t)

deFun macin e gnituds caln 1.5;

multiplicada porFuncin una expoSenoid nenal cial

-3t= 1.5 + Senu(t) 10te


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Analoga de Sistemas de Primer Orden

R

Cvi(t): fuente

de voltaje

i(t):

vo(t)

vi(t): fuente de voltaje

vo(t): voltaje de salida

C: Capacitor

R: Resistencia



A:rea del tanque

p(t): seal que regula

el caudal hacia el tanque.



i

i

oo

o o

v (t)v (t)

v (t)

v (

d

dt

ddt

v (t) t) )t v (

R.C

dc(t)+ c(t) = .

dt

K u(t) K: Ganancia en estado estable

: Constante de tiempo

qi(t)

0(t)

dq0(t)

q

dt

d

dtqi(t)+ q0(t) =

R.A

q0(t)


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La transformada de Laplace en la

modelacin, estudio y solucinde

las ecuaciones diferenciales.


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Relacin entref(t)y su equivalenteF(s).

{ }f(t) 0-st

df(t) te

{ }1

s 6

-6te

f(t)

tiempoj :Eje Imaginario

: Eje real

F(s)

Plano Complejo:s = +j

16 16

4 822

2 Se{ }

s

t =4

s

n2

2

6s 9 6s4 132

-3t 2 10 10

2 2 2(s+3) s

Sen2t5 =

s

{ } 5e

Ejemplos


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Principales funciones a obtener de unaecuacin diferencial: G(s) y Y(s)

Y(s)

U(s)

Al aplicar la Transformada de Laplace a una ecuacin diferencial, dosexpresiones son de gran inters:

1) Y(S): La funcin respuesta de un sistema. (incluye las c.i. y a lafuncin forzante)

; Funcin de transferencia del sistema (considera c.i.=0yno se sustituye la funcin forzante.

n(s)

n(s) 0;ceros

K( K

K : ganancia

:

d

s a)...;

(s b)(s (s)

d(s) 0;p

c)...

olos

(o)

: (X)

jw

x

o o x

x

Tanto G(s) como Y(s) estan formadas por los trminos:


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G(s) y Y(s)

0.,.2)(

;..8.0)0(

);(2.1)()(

10

tparaideutu

ideuy

tutydt

tdy

ciaTransferendeFuncinss

sGsU

sY

sUyssY

sUsYyssY

tutydt

tdy

ic:

1.0

12.0

110

2.1)(

)(

)(

);()0(10]110)[(

);()()0(10)(10

)}({)}()(

10{

|0..

jw

X

-0.1

Para la ecuacin diferencial

Solucin:

RespuestaFuncin:)1.0()3.0(8.0

)110(4.28)(

4.288

22.1]110)[(

;2

2.1)8.0(10]110)[(

);(2.1)()0(10)(10

)}(2.1{)}()(

10{

sss

ssssY

s

s

sssY

sssY

sUsYyssY

tuty

dt

tdy

jw

o X X

-0.3 -0.1 0

Obtener: a) G(s) y, b) Y(s)


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Obtencin del valor inicial y final de y(t)

RespuestaFuncin:)1.0()3.0(8.0

)110(4.28)(

sss

ssssY

1.0

6.14.2

1.0)( sss

b

s

a

sY

1

8.0

)1.0(

)3.0(8.0

)1.0(

)3.0(8.0.)(.)0(

:

limlimlimlimssss s

s

ss

sssYsy

inicialvalordelTeorema

jw

o X X

-0.3 -0.1 0

4.1.0

)3.0)(8.0(

)1.0(

)3.0(8.0

)1.0(

)3.0(8.0.)(.)(

:finalvalordelTeorema

limlimlim000

s

s

ss

sssYsy

sss

2.4

0.8

t

Polo dominante


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Grfica aproximada de y(t) a partir de Y(s)

1200

1600)(

1600]1200)[(

;0)()0(200)(200

80)0(;0)()(

200

ssY

ssY

sYyssY

Cyty

dt

tdy

80200

1600

1200

1600)()0( limlim

ssssYy

ss

01200

1600)()( limlim

00

s

sssYyss

Un horno que se encuentra a 80C se apaga para su enfriamiento.Considere que la relacin Temperatura-flujo combustible, es representadapor la ecuacin Diferencial: 200y(t) + y(t) = K u(t). Obtenga, y(0) y y( )

Teorema de valor inicial:

Teorema del valor final:

t

80 C

0 C


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Programa MATLAB-SIMULINK (basado enla representacin a bloques)

Para modelar y analizar los elementos de unaecuacin diferencial a partir de las ecuaciones de unsistema fsico.

Obtener la respuesta en el tiempo para una funcinY(s).

Obtener las grficas de las diferentes variables

dentro de mismo sistema fsico, sin requerir obtenersu representacin en el tiempo.


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Modelacin de una ecuacin diferencialmediante Diagrama a bloques.

1

As

o 0iH(s)

(s) H(s) (s , 0)s s)( ;) QQ QA (c. i.Rh

1

Rh

Caudal desalida

Caudal

Acumulado=

Qi(s) +

Qo(s)

H(s) Qo(s)Qi(s)Qo(s)



A:rea del tanque

p(t): seal que regulael caudal hacia el tanque.



Caudal deentrada

)1(......dt

dh(t)AAv(t)(t)(t)(t) qqq

acum0i

(2).....Rh

h(t)(t)q

0


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Simulacin del sistema hidrulicoutilizandola herramienta computacional Matlab-Simulink


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Dos Tanques

dt

tdhAtttt qqqq

acumi

)()()()()(

0201

R

q

Rq

h

h

tht

tht

2

02

101

)()(

;)(

)(

As

1

)()()()()(0201

sHsAssssQQQQ acumi

R

Q

RQ

h

h

sHs

sHs

2

02

101

)()(

;)(

)(

Rh1

1

Rh2

1

H(s)Qi(s) Qi(s)

Q01(s)

Q02(s)

Q01(s)

Q02(s)

-

+

-

h(t)

qi(t)

Rh1Rh2

q01(t)A

p(t)

q02(t)

V1 V2


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Modelacin y simulacin del sistema dedos tanques mediante SIMULINK.


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Grficas de Simulacin(tanque_1entrada_2salidas)

Flujo de salida q02(t)

Flujo de salida q02(t)

h(t): Altura (nivel de llenado) del tanque

Qi(t): Flujo de entrada


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Sistema: Masa-Resorte-Amortiguadoren la suspensin de un auto

Masa: m

AmortiguadorResorte

z(t): desplazamiento

o respuesta del sistema

f(t)entrada: fuerza de entrada

t

dd

tzmmafuerzas

i2

2

1

)(


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Aplicacin del sistema bsico:masa-resorte-amortiguador


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Simulacin mediante SIMULINK

t

d

d

tzmmaFuerzas

2

2)(

dt

dz(t)B

)(

)(

)(

)(

)()(

tf

tf

tftff

oramortiguad

resorte

oramortiguadresortei

tzk

tfuerzas

Z(s)

k

B s

sm2

1Fi(s)

F(s)resorte

F(s)amortiguador

Fi(s) - F(s)resorte F(s)amortiguador = m s2

Z(s)

-

+-

)(

)(

)(

)(

ssZB

sZk

sF

sF

oramortiguad

resorte

fi(t)

z(t)


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Masa-Resorte-Amortiguador con SIMULINK


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Paso por un bache sencillo


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Masa-Resorte-Amortiguador en terrenoscon superficie rugosa.


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Agradecimiento

Agradezco la invitacin a este evento y meuno al esfuerzo y al inters mostrado noslo de los profesores del Departamento de

Matemticas, sino tambin el de los

alumnos de los cursos de ecuacionesdiferenciales, y a los voluntarios proactivos

para la organizacin de este evento.

En lo personal: gracias a los organizadores, y a laaudiencia que nos acompaa, por su tiempo parapermitirme compartir un poco sobre el tema de laTransformada de Laplace.


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Quedo a sus rdenes

Maestro Francisco Palomera Palacios

[email protected]

Departamento de Mecatrnica y

Automatizacin, Campus Monterrey
mailto:[email protected]:[email protected]


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Parte 1: Actividad en equipo(modificar el archivo correspondiente)

Para el caso del tanque con dos vlvulas dedescarga:

1. Justifique el efecto sobre los dos flujos de salidaen ambas vlvulas, si las dos vlvulas estn

igualmente abiertas: Rh1 = Rh2 = 2 2. Considere que Rh1 =1.5 y Rh2 = 3 Cmo se afecta

la altura del llenado del tanque, h(t), si se disminuyeel valor del rea del tanque de un valor A = 4 m2, porel de A = 2 m2?


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Parte 2: actividad

Para la funcin)5)(2(

40210)(

2

sss

ssY s

Obtenga:1) Su expansin en fracciones parciales sin

calcular el valor de los coeficientes.2) A qu funcin en el tiempo corresponde cada

uno de los trmino de la expansin realizadaen el inciso anterior?

3) Obtenga el valor de y(0) y de y( ) a partir de lafuncin Y(s).

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