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7/31/2019 Platica Ing Palomera Simulink
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La pltica del da de hoy forma parte de unesfuerzo conjunto que busca, principalmente,el motivar y promover el estudio de lasmatemticas.
El tema a tratar est relacionado con lostemas de ecuaciones diferenciales y el de latranformada de Laplace.
Tu presencia el da de hoy nos motiva a
seguir participando en este esfuerzoconjunto.
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Modelacin y Estudio de lasecuaciones diferenciales l.c.c.c. enel dominio de Laplace (frecuencia)
utilizando MATLAB-SIMULINK
Maestro: Francisco Palomera Palacios
Departamento de Mecatrnica y Automatizacin,
ITESM, Campus Monterrey
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Motivacin Anlisis y estudio intuitivo (no formal) de las
ecuaciones diferenciales lineales c.c.c. a travsde la transformada de Laplace.
Ilustrar el comportamiento de la respuesta desistemas fsicos con la ayuda del programa
computacional MATLAB-SIMULINK.
El que haya personas interesadas en promover,motivar y escuchar sobre el tema de ecuacionesdiferenciales y la Transformada de Laplace.
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Modelacin de Sistemas Dinmicos utilizandoEcuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO)
Sistema
Fsico
Sistema (Fsico)
a modelarFuncin forzante
y(t)u(t)
Respuesta del sistema
-Sistema Mecnico (sistema de suspensin en los autos)
- Sistema Hidrulico (llenado de un tanque)
- Sistema trmico (temperatura en un horno)
-Sistema Elctrico (velocidad de motores)
- Sistema Fisiolgico (efecto de una dosis en el cuerpo h. )
- Sistema Econmico ( inflacin)
- Sistema de produccin (produccin entre mquinas)
Relacin causal
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Para obtener una ecuacin diferencial,podemos utilizar:
Leyes fsicas: que de acuerdo a la naturaleza del sistema,rigen la relacin causal entre las variables de inters.
Pruebas experimentales (anlisis de la respuesta transitoriadel sistema ante una funcin forzante conocida).
Por analogas de comportamientos entre sistemas que guardanun comportamiento similar, a pesar de ser de naturaleza diferente.
Aplicacin de algoritmos y recursos computacionales paraprocesar los datos obtenidos de pruebas experimentales.
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Sistemas fsico: Temperatura en un horno
Horno
Flujo de
Combustible:
qi(t)
Temperatura:
T(t)horno
Temperatura
Flujo de gas
Relacin causal
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Sistema Fsico:Llenado de un tanque
qo(t): Caudal de salida
qi(t): Caudal de entrada
A:
rea del tanque
p(t): seal que regulael caudal hacia el tanque.
h(t): altura del tanque
Rh: resistencia Hidrulica
TanqueCaudal deentrada
qi(t)
Nivel: h(t);
Caudal de
Salida, qo(t)
Relacin causal
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Anlisis de una ecuacin diferenciallineal c. c. c.
2-3t
2
d y(t) dy(t)+ 0.4 + 0.03 y(t) = 1.5 + Sen10t
dtdte
Sistema (Fsico)
a modelar
u(t): Comportamiento deseado
La respuesta y(t) de un sistema
mecnico ante una funcin forzanteu(t) est definida por la ecuacindiferencial; y(0)= 2;y(0) = 0
Funcin forzante
y(t)u(t)
Respuesta del sistema
)()(13.0)(
4.0)(
2
2
tuty
dt
tdy
d
ty
t
d
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Funcin forzante: u(t)
deFun macin e gnituds caln 1.5;
multiplicada porFuncin una expoSenoid nenal cial
-3t= 1.5 + Senu(t) 10te
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Analoga de Sistemas de Primer Orden
R
Cvi(t): fuente
de voltaje
i(t):
vo(t)
vi(t): fuente de voltaje
vo(t): voltaje de salida
C: Capacitor
R: Resistencia
qo(t): Caudal de salida
qi(t): Caudal de entrada
A:rea del tanque
p(t): seal que regula
el caudal hacia el tanque.
h(t): altura del tanque
Rh: resistencia Hidrulica
i
i
oo
o o
v (t)v (t)
v (t)
v (
d
dt
ddt
v (t) t) )t v (
R.C
dc(t)+ c(t) = .
dt
K u(t) K: Ganancia en estado estable
: Constante de tiempo
qi(t)
0(t)
dq0(t)
q
dt
d
dtqi(t)+ q0(t) =
R.A
q0(t)
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La transformada de Laplace en la
modelacin, estudio y solucinde
las ecuaciones diferenciales.
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Relacin entref(t)y su equivalenteF(s).
{ }f(t) 0-st
df(t) te
{ }1
s 6
-6te
f(t)
tiempoj :Eje Imaginario
: Eje real
F(s)
Plano Complejo:s = +j
16 16
4 822
2 Se{ }
s
t =4
s
n2
2
6s 9 6s4 132
-3t 2 10 10
2 2 2(s+3) s
Sen2t5 =
s
{ } 5e
Ejemplos
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Principales funciones a obtener de unaecuacin diferencial: G(s) y Y(s)
Y(s)
U(s)
Al aplicar la Transformada de Laplace a una ecuacin diferencial, dosexpresiones son de gran inters:
1) Y(S): La funcin respuesta de un sistema. (incluye las c.i. y a lafuncin forzante)
; Funcin de transferencia del sistema (considera c.i.=0yno se sustituye la funcin forzante.
n(s)
n(s) 0;ceros
K( K
K : ganancia
:
d
s a)...;
(s b)(s (s)
d(s) 0;p
c)...
olos
(o)
: (X)
jw
x
o o x
x
Tanto G(s) como Y(s) estan formadas por los trminos:
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G(s) y Y(s)
0.,.2)(
;..8.0)0(
);(2.1)()(
10
tparaideutu
ideuy
tutydt
tdy
ciaTransferendeFuncinss
sGsU
sY
sUyssY
sUsYyssY
tutydt
tdy
ic:
1.0
12.0
110
2.1)(
)(
)(
);()0(10]110)[(
);()()0(10)(10
)}({)}()(
10{
|0..
jw
X
-0.1
Para la ecuacin diferencial
Solucin:
RespuestaFuncin:)1.0()3.0(8.0
)110(4.28)(
4.288
22.1]110)[(
;2
2.1)8.0(10]110)[(
);(2.1)()0(10)(10
)}(2.1{)}()(
10{
sss
ssssY
s
s
sssY
sssY
sUsYyssY
tuty
dt
tdy
jw
o X X
-0.3 -0.1 0
Obtener: a) G(s) y, b) Y(s)
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Obtencin del valor inicial y final de y(t)
RespuestaFuncin:)1.0()3.0(8.0
)110(4.28)(
sss
ssssY
1.0
6.14.2
1.0)( sss
b
s
a
sY
1
8.0
)1.0(
)3.0(8.0
)1.0(
)3.0(8.0.)(.)0(
:
limlimlimlimssss s
s
ss
sssYsy
inicialvalordelTeorema
jw
o X X
-0.3 -0.1 0
4.1.0
)3.0)(8.0(
)1.0(
)3.0(8.0
)1.0(
)3.0(8.0.)(.)(
:finalvalordelTeorema
limlimlim000
s
s
ss
sssYsy
sss
2.4
0.8
t
Polo dominante
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Grfica aproximada de y(t) a partir de Y(s)
1200
1600)(
1600]1200)[(
;0)()0(200)(200
80)0(;0)()(
200
ssY
ssY
sYyssY
Cyty
dt
tdy
80200
1600
1200
1600)()0( limlim
ssssYy
ss
01200
1600)()( limlim
00
s
sssYyss
Un horno que se encuentra a 80C se apaga para su enfriamiento.Considere que la relacin Temperatura-flujo combustible, es representadapor la ecuacin Diferencial: 200y(t) + y(t) = K u(t). Obtenga, y(0) y y( )
Teorema de valor inicial:
Teorema del valor final:
t
80 C
0 C
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Programa MATLAB-SIMULINK (basado enla representacin a bloques)
Para modelar y analizar los elementos de unaecuacin diferencial a partir de las ecuaciones de unsistema fsico.
Obtener la respuesta en el tiempo para una funcinY(s).
Obtener las grficas de las diferentes variables
dentro de mismo sistema fsico, sin requerir obtenersu representacin en el tiempo.
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Modelacin de una ecuacin diferencialmediante Diagrama a bloques.
1
As
o 0iH(s)
(s) H(s) (s , 0)s s)( ;) QQ QA (c. i.Rh
1
Rh
Caudal desalida
Caudal
Acumulado=
Qi(s) +
Qo(s)
H(s) Qo(s)Qi(s)Qo(s)
qo(t): Caudal de salida
qi(t): Caudal de entrada
A:rea del tanque
p(t): seal que regulael caudal hacia el tanque.
h(t): altura del tanque
Rh: resistencia Hidrulica
Caudal deentrada
)1(......dt
dh(t)AAv(t)(t)(t)(t) qqq
acum0i
(2).....Rh
h(t)(t)q
0
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Simulacin del sistema hidrulicoutilizandola herramienta computacional Matlab-Simulink
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Dos Tanques
dt
tdhAtttt qqqq
acumi
)()()()()(
0201
R
q
Rq
h
h
tht
tht
2
02
101
)()(
;)(
)(
As
1
)()()()()(0201
sHsAssssQQQQ acumi
R
Q
RQ
h
h
sHs
sHs
2
02
101
)()(
;)(
)(
Rh1
1
Rh2
1
H(s)Qi(s) Qi(s)
Q01(s)
Q02(s)
Q01(s)
Q02(s)
-
+
-
h(t)
qi(t)
Rh1Rh2
q01(t)A
p(t)
q02(t)
V1 V2
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Modelacin y simulacin del sistema dedos tanques mediante SIMULINK.
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Grficas de Simulacin(tanque_1entrada_2salidas)
Flujo de salida q02(t)
Flujo de salida q02(t)
h(t): Altura (nivel de llenado) del tanque
Qi(t): Flujo de entrada
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Sistema: Masa-Resorte-Amortiguadoren la suspensin de un auto
Masa: m
AmortiguadorResorte
z(t): desplazamiento
o respuesta del sistema
f(t)entrada: fuerza de entrada
t
dd
tzmmafuerzas
i2
2
1
)(
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Aplicacin del sistema bsico:masa-resorte-amortiguador
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Simulacin mediante SIMULINK
t
d
d
tzmmaFuerzas
2
2)(
dt
dz(t)B
)(
)(
)(
)(
)()(
tf
tf
tftff
oramortiguad
resorte
oramortiguadresortei
tzk
tfuerzas
Z(s)
k
B s
sm2
1Fi(s)
F(s)resorte
F(s)amortiguador
Fi(s) - F(s)resorte F(s)amortiguador = m s2
Z(s)
-
+-
)(
)(
)(
)(
ssZB
sZk
sF
sF
oramortiguad
resorte
fi(t)
z(t)
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Masa-Resorte-Amortiguador con SIMULINK
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Paso por un bache sencillo
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Masa-Resorte-Amortiguador en terrenoscon superficie rugosa.
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Agradecimiento
Agradezco la invitacin a este evento y meuno al esfuerzo y al inters mostrado noslo de los profesores del Departamento de
Matemticas, sino tambin el de los
alumnos de los cursos de ecuacionesdiferenciales, y a los voluntarios proactivos
para la organizacin de este evento.
En lo personal: gracias a los organizadores, y a laaudiencia que nos acompaa, por su tiempo parapermitirme compartir un poco sobre el tema de laTransformada de Laplace.
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Quedo a sus rdenes
Maestro Francisco Palomera Palacios
Departamento de Mecatrnica y
Automatizacin, Campus Monterrey
mailto:[email protected]:[email protected] -
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Parte 1: Actividad en equipo(modificar el archivo correspondiente)
Para el caso del tanque con dos vlvulas dedescarga:
1. Justifique el efecto sobre los dos flujos de salidaen ambas vlvulas, si las dos vlvulas estn
igualmente abiertas: Rh1 = Rh2 = 2 2. Considere que Rh1 =1.5 y Rh2 = 3 Cmo se afecta
la altura del llenado del tanque, h(t), si se disminuyeel valor del rea del tanque de un valor A = 4 m2, porel de A = 2 m2?
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Parte 2: actividad
Para la funcin)5)(2(
40210)(
2
sss
ssY s
Obtenga:1) Su expansin en fracciones parciales sin
calcular el valor de los coeficientes.2) A qu funcin en el tiempo corresponde cada
uno de los trmino de la expansin realizadaen el inciso anterior?
3) Obtenga el valor de y(0) y de y( ) a partir de lafuncin Y(s).