Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño ”

Porlamar - Estado Nueva Esparta

Sección: 4A

Geometría Analítica

Plano y Recta en el Espacio

Realizado por:

Elvys Sucre

Geometría en el Espacio

Es la rama de la geometría que se ocupa de las

propiedades y medidas de figuras geométricas en el

espacio tridimensional. Entre estas figuras, también

llamadas sólidos, se encuentran el cono, el cubo, el

cilindro, la pirámide, la esfera y el prisma.

Base de la Geometría en el Espacio

Esta amplía y refuerza las proposiciones de la

geometría plana, y es la base fundamental de la

trigonometría esférica, la geometría analítica del

espacio, la geometría descriptiva y otras ramas de

las matemáticas. Se usa ampliamente en

matemáticas, en ingeniería y en ciencias naturales

Definiciones

PUNTO: Es la marca que deja

un lápiz sobre una hoja, la

intersección de dos rectas, etc.

PLANO: Una porción de

espacio.

RECTA: Línea que pasa por dos

puntos cualesquiera

Espacio Es el conjunto de puntos en el cual hay algunos

subconjuntos llamados rectas y otros subconjuntos llamados planos.

Características de los subconjuntos llamados

rectas •Dos puntos determinan una recta y solo una. •Por un punto pasan infinitas rectas. •El conjunto de puntos de una recta se puede poner en correspondencia biunívoca con el conjunto de los números reales, de manera que se conserva el orden. •Si dos rectas tienen dos puntos en común son coincidentes.

Características de los subconjuntos llamados planos

•Por tres puntos del espacio, no situados en línea recta, pasa

un plano y solo uno.

•Si dos planos tienen un punto en común, entonces tienen una

recta común que contiene a ese punto (recta de intersección).

•Si una recta tiene dos puntos en un plano, entonces están

contenida en dicho plano.

Plano Un plano está determinado por:

•Tres puntos no alineados.

•Dos rectas que se cortan determinan un plano y solo uno.

•Dos rectas paralelas.

•Una recta y un punto exterior a esta.

Rectas y planos •Una recta y un plano son paralelas si no se intersecan.

•Una recta es paralela a un plano si es paralela a una recta contenida

en dicho plano (Criterio de paralelismo de recta y plano).

•La recta es perpendicular a todas las rectas del plano que pasan por

su punto de intersección.

•La recta es perpendicular, al menos, a una de las rectas que pasan

por su punto de intersección.

Rectas en el espacio Dos rectas en el espacio son paralelas si y solo si están

contenidas en un plano, y son paralelas en ese plano.

Dos rectas en el espacio pueden no ser paralelas y no

cortarse; en general, son posibles las relaciones siguientes:

•Las rectas están en un plano y entonces se cortan, o son

paralelas.

•Las rectas no están en un plano y entonces no se cortan. En

este caso se dice que se cruzan o que son alabeadas.

Criterios

Criterio de perpendicularidad de recta y plano

Si una recta perpendicular a dos rectas de un plano que se

cortan en su pie, entonces es perpendicular al plano.

Criterio de paralelismo de recta y plano

Una recta es paralela a un plano si es paralela a una recta

contenida en dicho plano.

Distancia de un punto a un plano Si desde un punto se traza una perpendicular y varias oblicuas a un plano, la perpendicular es menor que las

oblicuas. Llamaremos distancia de un punto a un plano a la longitud

del segmento de perpendicular comprendido entre el punto y el plano.

Proyección de una oblicua y ángulo entre una oblicua y un plano

Llamamos proyección de una oblicua AB sobre un plano α, al segmento A’B que une el pie de la oblicua con el pie de la perpendicular bajada desde el mismo punto A al plano

α. Llamamos ángulo entre una oblicua AB y un plano α, al

ángulo ∂ formado por la oblicua y su proyección sobre el α.

GRACIAS POR SU

ATENCIÓN