GeometríaGeometríaAnalíticaAnalítica

APRENDIZAJES ESPERADOS

• Calcular distancia y el punto medio entre dos puntos del plano.

• Identificar la pendiente y coeficiente de posición en una ecuación de recta dada.

• Representar gráficamente ecuaciones de recta.• Determinar la ecuación principal de la recta, dados dos puntos o dado un punto y la pendiente.

• Determinar si dos rectas son paralelas.• Determinar si dos rectas son coincidentes.• Determinar si dos rectas son perpendiculares.• Ubicar puntos en un sistema tridimensional.

• Determinar la pendiente entre dos puntos.

5. Ecuación de la recta

Contenidos

5.1 Ecuación General de la recta5.2 Ecuación Principal de la recta

4. La recta

5.5 Ecuación de la recta dado un punto y la pendiente5.6 Ecuación de la recta dados dos puntos de ella

1. Distancia entre dos puntos

3. Pendiente entre dos puntos2. Coordenadas del punto medio

5.3 Ecuación de Segmentos o Simétrica de la recta5.4 Gráfica de la línea recta

1. Distancia entre dos puntos

La “distancia” entre dos puntos del planoP1 (x1, y1) y P2 (x2, y2)

se puede obtener a través de la siguiente fórmula:

d2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2

Si dos puntos difieren sólo en una de sus coordenadas, la distancia entre ellos es el valor absoluto de su diferencia.La distancia entre (4,6) y (-5,6) es:

|-5 – 4| = |-9| = 9

Ejemplo:

El “punto medio” M entre dos puntos del plano

P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2)

se puede obtener a través de la siguiente fórmula:

x1 + x2 y1 + y22 2

M = ,

2. Coordenadas del punto medio

Ejemplos:a) La distancia entre los puntos (-3,4) y (9,-1) es:

d2 = (9 – (-3))2 + (-1 – 4)2

d2 = (9 + 3)2 + (-5)2

d2 = 144 + 25

d2 = 169d = 13

x1 y1 x2 y2

b) El punto medio entre los puntos (-3,4) y (9,-1) es:

-3 + 9 , 4 + -12 2

M =

M = (3, 1,5)

d2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2

x1 y1 x2 y2

x1 + x2 y1 + y22 2

M = ,

/

A

B

Veamos la distancia directamente en el plano:

4

8

2 24 8 16 64

80

La pendiente entre los puntos:P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2)

se obtiene a través de la siguiente fórmula:

Ejemplo:1. La pendiente entre los puntos

x1 y1 x2 y2(-4, -2) y (1, 7) es:

3. Pendiente entre dos puntos

y2 – y1 x2 – x1

m =

7 – (-2) 1 – (-4)

m = 9 5m =

OBS. La pendiente es igual a la tangente, la que permite calcular el angulo que tiene la recta con el eje “x”.

m=tg(α)

Ejemplo:2. La pendiente entre los puntos (8, 5) y (8, 10) es:

x1 y1 x2 y2

Como el denominador es cero, la pendiente NO existe.

Además, la recta que pasa por los puntos (8,5) y (8,10), es paralela al eje Y, y es de la forma: x = 8, la recta NO es función.

10 – 5

8 – 8m = 5 0m =

Tipos de pendiente

x

y

m = 0

x

y

NO existe m (Indefinida)

x

y

x

ym > 0 m < 0

4. La recta

Definición Geométricamente podemos decir que una línea recta es una sucesión continua e infinita de puntos alineados en una misma dirección; analíticamente, una recta en el plano está representada por una ecuación de primer grado con dos variables, x e y. Además es el lugar geométrico de todos los puntos que tomados de dos en dos, poseen la misma pendiente.

Ejemplos:1. 5x + 6y + 8 = 0

2. y = 4x + 7 3. 6x + 4y = 7

5. Ecuación de la recta

5.1 Ecuación General de la recta

Es de la forma: ax + by + c = 0, con a, b y c reales.

Ejemplos:1. 5x + 6y + 8 = 02. 2x - 4y + 7 = 03. -x + 12y - 9 = 0

Obs. m= n= ab c

b

5.2 Ecuación Principal de la rectaEs de la forma:

El coeficiente de posición (n), es la ordenada del punto donde la recta intersecta al eje Y. Corresponde al punto de coordenadas (0,n).

y = mx + nm : pendiente

n : coeficiente de posición

1) y= 2x -3 m=2 n=-3Ejemplo:

2) y= 3x – 4 2

y=3 x – 2 2

m= 32 n=2

5.3 Ecuación de Segmentos o Simétrica de la recta

a

b

x

y

1x ya b

Ejemplo:

Representación gráfica de: y = 2x + 3

1-2

Si un punto (x,y) pertenece a esta recta, entonces se debe cumplir la igualdad al reemplazarlo en la ecuación.Ejemplo: (1,5) pertenece a y = 2x +3

5.4 Gráfica de la rectaPara graficar una recta dada su ecuación, basta encontrar dos puntos de ella.

x y0 3

72

Ejemplos:

1. Dada la gráfica de la recta, encontrar su ecuación principal.

n = 3.

Por lo tanto, la pendiente (m) de la recta es 2, y el coeficiente de posición (n) es 3 (ordenada del punto donde la recta intersecta al eje Y), de modo que su ecuación principal es y = 2x + 3.

Con (0,3) y (1,5) encontraremos su pendiente

5 – 3 1– 0m =

2 1m = = 2

-1-2

-2-1

2. En las siguientes ecuaciones hallar m y

n:

b) y = 4x

c) 6x – y+ 13 = 8

m = -6/-1 = 6n = -5/-1 = 5

6x – y + 5=0 Luego, m = 6 y n = 5.

3. ¿Cuál será la pendiente y coeficiente de posición en ecuaciones como: y = 5 y x = 2 ?

a) y = x – 8

Para determinar m y n, ordenamos primero la ecuación y utilizamos las fórmulas dadas para m y n:

m = 4 y n = 0m = 1 y n = -8

y – y1 = m (x – x1)

5.5 Ecuación de la recta, dado un punto de ella y la pendienteLa Ecuación de la recta que pasa por el punto P1 (x1, y1) y tiene pendiente “m”, se puede obtener a través de la siguiente fórmula:

Ejemplo:La ecuación de la recta de pendiente m = -6, que pasa por el punto (3,-2) es:

y – (-2) = -6 (x – 3)y + 2 = -6x + 18y = -6x + 16

5.6 Ecuación de la recta, dados dos puntosLa Ecuación de la recta que pasa por los puntos:P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2)

se puede obtener a través de la siguiente fórmula:

y – y1 = (x – x1) y2 – y1

x2 – x1

2 2

2 1 2 1

y y x xy y x x

Ejemplo:La ecuación de la recta que pasa por los puntos

( 2, -3 ) y ( 5 , 6 ) es:

y – (-3) = (x – 2) 6 – (-3) 5 – 2

y + 3 = (x – 2) 9 3

y + 3 = 3 (x – 2)

y + 3 = 3x – 6

y = 3x – 6 - 3

y = 3x – 9

x1 y1 x2 y2

y – y1 = (x – x1) y2 – y1

x2 – x1

Ejemplo 2

Dados los puntos A(3,-2) y B(4,5), encontrar la ecuación general dela recta que pasa por esos puntos.

Al aplicar directamente la fórmula: 5 4

5 ( 2) 4 3y x 5 4

5 2 1y x 5 47 1y x 1( 5) 7( 4)y x

7 5 28 0x y

5 7 28y x 7 23 0x y

/* -1

5.7 La ecuación a partir del gráfico:

6

5

x

y

1° Debemos encontrar el punto de corte con el eje “y”, es decir, y=-5=n2° Determinar la pendiente: m= , es decir,

3° Utilizando la forma principal: y = mx + n, obtenemos: 56 5y x

Ejemplo:

Encuentre la ecuación de la recta

56

yx

4° También se puede usar la forma de segmentos: 6 5 1yx /*30

5x – 6y – 30=0 OBS: Ambas ecuaciones representanla misma recta.

6. Posiciones de dos rectas en el plano:

Rectas paralelas:Se dice que dos rectas, L1 y L2 son paralelas si tienen igual pendiente y distinto coeficiente de posición.

Ejemplo:

L1: y = 5x +3 y L2: y = 5x - 10 (m = 5) (m = 5)

Rectas coincidentes:Se dice que dos rectas, L1 y L2 son coincidentes si tienen la misma pendiente y el mismo coeficiente de posición.

Ejemplo: L1: y = 5x + 4 y L2: y = 10x + 83 6

Si las rectas son coincidentes, NO son paralelas.

Rectas perpendiculares:Se dice que dos rectas, L1 y L2 son perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a -1.

Ejemplo:

L1: y = -5x +3 y L2: y = 2x - 102 5

(m = -5 )2

(m = 2 )5

7. Geometría en el espacio

Sistema Tridimensional

P (a, b, c)a: abscisab: ordenadac: cota

Ejemplo:

Q (2, 7, 6)a: abscisab: ordenadac: cota

Siempre los planos son perpendiculares entre sí, formando planos cartesianos.Plano XY (x,y,0)Plano YZ (0,y,z)Plano XZ (x,0,z)