UNIVERSIDAD ALVA EDISON

LICENCIATURA:

ARQUITECTURA Y DESARROLLO URBANO

ASIGNATURA:MATEMATICAS PARA LA ARQUITECTURA Y URB. I

DOCENTE:RAFAEL ORTUÑO LUCAS

ALUMNO: Alonso Moreno Luna

MATRICULA:

T150008

GEOMETRIA ANALITICA

Presentación

La geometría analítica estudia las figuras geométricas mediante técnicas básicas

del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas.

Su desarrollo histórico comienza con la geometría cartesiana, continúa con la

aparición de la geometría diferencial de Carl Friedrich Gauss y más tarde con el

desarrollo de la geometría algebraica. Actualmente la geometría analítica tiene

múltiples aplicaciones más allá de las matemáticas y la ingeniería, pues forma

parte ahora del trabajo de administradores para la planeación de estrategias y

logística en la toma de decisiones.

Las dos cuestiones fundamentales de la geometría analítica son:

Dado la curva en un sistema de coordenadas, obtener su ecuación.

Dada la ecuación indeterminada, polinomio, o función determinar en un sistema de

coordenadas la gráfica o curva algebraica de los puntos que verifican dicha

ecuación.

De esta se deriva las siguientes ramas de estudio.

LA GEOMETRIA CARTESIANA

La Geometría Cartesiana marca la Geometría en la Edad Moderna.

Descartes propone un nuevo método de resolver problemas geométricos, y

por extensión, de investigar en Geometría. En un plano traza dos rectas

perpendiculares (ejes) -que por convenio se trazan de manera que una de

ellas sea horizontal y la otra vertical-, y cada punto del plano queda

unívocamente determinado por las distancias de dicho punto a cada uno de

los ejes, siempre y cuando se dé también un criterio para determinar sobre

qué semiplano determinado por cada una de las rectas hay que tomar esa

distancia, criterio que viene dado por un signo. Ese par de números, las

coordenadas, quedará representado por un par ordenado (x,y), siendo x la

distancia a uno de los ejes (por convenio será la distancia al eje vertical) e y

la distancia al otro eje (al horizontal).

LA GEOMETRIA DIFERENCIAL

El estudio de la geometría usando las herramientas del análisis matemático

por métodos diferenciales. A diferencia de la anterior esta se basa en

curvas. Los objetos de estudio de este campo son las variedades

diferenciables (tal y como la topología diferencial) así como las nociones de

conexión y curvatura (que no se estudia en la topología diferencial).

Las aplicaciones modernas de la geometría diferencial han dado el estado

del arte que goza la física, por ejemplo el estudio de la Teoría de la

Relatividad.

GEOMETRÍA ALGEBRAICA

La geometría algebraica es una rama de la matemática que, como sugiere

su nombre, combina el álgebra abstracta, especialmente el álgebra

conmutativa, con la geometría analítica. Se puede comprender como el

estudio de los conjuntos de soluciones de los sistemas de ecuaciones

algebraicas. Cuando hay más de una variable, aparecen las

consideraciones geométricas que son importantes para entender el

fenómeno. Podemos decir que la materia en cuestión comienza cuando

abandonamos la mera solución de ecuaciones, y el tema de "entender"

todas las soluciones se vuelve tan importante como el de encontrar alguna

solución, lo cual lleva a las "aguas más profundas" del mundo de la

matemática, tanto conceptual como técnicamente.

CONSTRUCCIONES FUNDAMENTALES

En un sistema de coordenadas cartesianas, un punto del plano queda

determinado por dos números, llamados abscisa y ordenada del punto.

Mediante ese procedimiento a todo punto del plano corresponden siempre

dos números reales ordenados (abscisa y ordenada), y recíprocamente, a

un par ordenado de números corresponde un único punto del plano.

Consecuentemente el sistema cartesiano establece una correspondencia

biunívoca entre un concepto geométrico como es el de los puntos del plano

y un concepto algebraico como son los pares ordenados de números. Esta

correspondencia constituye el fundamento de la geometría analítica.

Con la geometría analítica se puede determinar figuras geométricas planas

por medio de ecuaciones e inecuaciones con dos incógnitas. Éste es un

método alternativo de resolución de problemas, o cuando menos nos

proporciona un nuevo punto de vista con el cual poder atacar el problema.

Coordenadas asignadas a tres puntos diferentes (verde, rojo y azul), sus

proyecciones ortogonales sobre los ejes constituyen sus coordenadas

cartesianas.

Coordenadas, quedará representado por un par ordenado (x, y), siendo x la

distancia a uno de los ejes (por convenio será la distancia al eje vertical) e y

la distancia al otro eje (al horizontal).

En la coordenada x, el signo positivo (que suele omitirse) significa que la

distancia se toma hacia la derecha sobre el eje horizontal (eje de las

abscisas), y el signo negativo (nunca se omite) indica que la distancia se

toma hacia la izquierda. Para la coordenada y, el signo positivo (también se

omite) indica que la distancia se toma hacia arriba sobre el eje vertical (eje

de ordenadas), tomándose hacia abajo si el signo es negativo (en ningún

caso se omiten los signos negativos).

A la coordenada x se la suele denominar abscisa del punto, mientras que a

la y se la denomina ordenada del punto.

Los puntos del eje de abscisas tienen por lo tanto ordenada igual a 0, así

que serán de la forma (x, 0), mientras que los del eje de ordenadas tendrán

abscisa igual a 0, por lo que serán de la forma (0, y).

El punto donde ambos ejes se cruzan tendrá por lo tanto distancia 0 a cada

uno de los ejes, luego su abscisa será 0 y su ordenada también será 0. A

este punto —el (0, 0) — se le denomina origen de coordenadas.

Coordenadas, quedará representado por un par ordenado , siendo   la

distancia a uno de los ejes (por convenio será la distancia al eje vertical) e   la

distancia al otro eje (al horizontal).

En la coordenada , el signo positivo (que suele omitirse) significa que la distancia

se toma hacia la derecha sobre el eje horizontal (eje de las abscisas), y el signo

negativo (nunca se omite) indica que la distancia se toma hacia la izquierda. Para

la coordenada , el signo positivo (también se omite) indica que la distancia se

toma hacia arriba sobre el eje vertical (eje de ordenadas), tomándose hacia abajo

si el signo es negativo (en ningún caso se omiten los signos negativos).

A la coordenada   se la suele denominar abscisa del punto, mientras que a la   

se la denomina ordenada del punto.

Los puntos del eje de abscisas tienen por lo tanto ordenada igual a , así que

serán de la forma  , mientras que los del eje de ordenadas tendrán abscisa

igual a  , por lo que serán de la forma  .

El punto donde ambos ejes se cruzan tendrá por lo tanto distancia   a cada uno de

los ejes, luego su abscisa será   y su ordenada también será . A este punto —

el  — se le denomina origen de coordenadas.

Se consideran dos rectas orientadas, (ejes) , perpendiculares entre sí, "x" e "y",

con un origen común, el punto O de intersección de ambas rectas.

Teniendo un punto a, al cual se desea determinar las coordenadas, se procede de

la siguiente forma:

Por el punto P se trazan rectas perpendiculares a los ejes, éstas determinan en la

intersección con los mismos dos puntos, P' (el punto ubicado sobre el eje x) y el

punto P'' (el punto ubicado sobre el eje y).

Dichos puntos son las proyecciones ortogonales sobre los ejes x e y del punto P.

A los Puntos P' y P'' le corresponden por número la distancia desde ellos al origen,

teniendo en cuenta que si el punto P' se encuentra a la izquierda de O, dicho

número será negativo, y si el punto P'' se encuentra hacia abajo del punto O, dicho

número será negativo.

Los números relacionados con P' y P'', en ese orden son los valores de las

coordenadas del punto P.

Ejemplo 1: P' se encuentra a la derecha de O una distancia igual a 2 unidades. P''

se encuentra hacia arriba de O, una distancia igual a 3 unidades. Por lo que las

coordenadas de P son (2, 3).

Ejemplo 2: P' se encuentra a la derecha de O una distancia igual a 4 unidades. P''

se encuentra hacia abajo de O, una distancia igual a 5 unidades. Por lo que las

coordenadas de P son (4, -5).

Ejemplo 3: P' se encuentra a la izquierda de O una distancia igual a 3 unidades. P''

se encuentra hacia abajo de O, una distancia igual a 2 unidades. Por lo que las

coordenadas de P son (-3, -2).

Ejemplo 4: P' se encuentra a la izquierda de O una distancia igual a 6 unidades. P''

se encuentra hacia arriba de O, una distancia igual a 4 unidades. Por lo que las

coordenadas de P son (-6, 4).

Ecuaciones de la recta en el planoUna recta es el lugar geométrico de todos los puntos en el plano tales que,

tomados dos cualesquiera de ellos, el cálculo de la pendiente resulta

siempre igual a una constante.

La ecuación general de la recta es de la forma:

Ax+By+C=0 \,

Cuya pendiente es m = -A/B y cuya ordenada al origen es b = -C/B.

Una recta en el plano se representa con la función lineal de la forma:

y = m x + b \,

Como expresión general, ésta es conocida con el nombre de ecuación

pendiente-ordenada al origen y podemos distinguir dos casos particulares.

Si una recta no corta a uno de los ejes, será porque es paralela a él. Como

los dos ejes son perpendiculares, si no corta a uno de ellos forzosamente

ha de cortar al otro (siempre y cuando la función sea continua para todos

los reales). Tenemos pues tres casos:

Rectas oblicuas. Rectas horizontales. Rectas verticales.

Las rectas verticales no cortan al eje de ordenadas y son paralelas a dicho

eje y se denominan rectas verticales. El punto de corte con el eje de

abscisas es el punto (x_0,0). La ecuación de dichas rectas es:

x = x_0 \,

Las rectas horizontales no cortan al eje de las abscisas y, por tanto, son

paralelas a dicho eje y se denominan rectas horizontales. El punto de corte

con el eje de ordenadas es el punto (0,y_0). La ecuación de dichas rectas

es:

y = y_0 \,

Cualquier otro tipo de recta recibe el nombre de recta oblicua. En ellas hay

un punto de corte con el eje de abscisas (a,0) y otro punto de corte con el

eje de ordenadas (0,b). El valor a recibe el nombre de abscisa en el origen,

mientras que el b se denomina ordenada en el origen.

Secciones cónicasEl resultado de la intersección de la superficie de un cono, con un plano, da

lugar a lo que se denominan secciones cónicas, que son: la parábola, la

elipse (la circunferencia es un caso particular de elipse) y la hipérbola.

La parábola es el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de

un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.

Una parábola (figura A) cuyo eje de simetría sea paralelo al eje de abscisas

se expresa mediante la ecuación:

y = a x^2 + bx + c \,

Los tres ejemplos de intersección de un plano con un cono: parábola (A),

elipse (B) e hipérbola (C).

La elipse es el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de sus

distancias a dos puntos fijos llamados focos es siempre igual a una

constante positiva, e igual a la distancia entre los vértices.

Una elipse (figura B) centrada en los ejes, con longitudes de semieje a y b

viene dada por la expresión:

Si los dos ejes son iguales y los llamamos c:

\frac{x^2}{c^2} + \frac{y^2}{c^2} = 1 \

Parábolas tipo y=ax2, con a=4, 1, 1/4 y 1/10.

El resultado es una circunferencia:

x^2 + y^2 = c^2 \,

Circunferencia centrada en el origen y su ecuación.

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos tales que el valor absoluto

de la diferencia (resta) de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos

es siempre igual a una constante positiva, e igual a la distancia entre los

vértices La hipérbola (Figura C) tiene por expresión:

Expresión algebraica en coordenadas cartesianas, las cónicas se expresan

en forma algebraica mediante ecuaciones cuadráticas de dos variables (x,y)

de la forma:

ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0 \,

en la que, en función de los valores de los parámetros, se tendrá:

h² > ab: hipérbola.

h² = ab: parábola.

h² < ab: elipse.

a = b y h = 0: circunferencia.

Hipérbola xy=1

Trigonometría

En términos generales, la trigonometría es el estudio de las razones

trigonométricas: seno, coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante.

Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y

se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de

precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como

es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.

Posee numerosas aplicaciones, entre las que se encuentran: las técnicas

de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir

distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos

geográficos, y en sistemas global de navegación por satélites.

Representación gráfica de un triángulo rectángulo en un sistema de coordenadas cartesianas.

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

En matemáticas, las funciones trigonométricas son las funciones establecidas con

el fin de extender la definición de las razones trigonométricas a todos los números

reales y complejos.

Las funciones trigonométricas son de gran importancia

en física, astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación

de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones.

Todas las funciones trigonométricas de un ángulo θ pueden ser construidas geométricamente en relación a una circunferencia de radio unidad de centro O.

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo

rectángulo asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones

cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un

triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad).

Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución

de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y

negativos, e incluso a números complejos.

Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en

relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir

geométricamente o por medio de sus relaciones. Algunas funciones fueron

comunes antiguamente, y aparecen en las primeras tablas, pero no se utilizan

actualmente; por ejemplo el verseno (1 − cos θ) y la exsecante (sec θ − 1).

Identidades trigonométricas fundamentales.

CONSTRUCCIONES EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

Los razonamientos sobre la construcción de los ejes coordenados son igualmente

válidos para un punto en el espacio y una terna ordenada de números, sin más

que introducir una tercera recta perpendicular a los ejes X e Y: el eje Z.

Sin embargo no hay análogo al importantísimo concepto de pendiente de una

recta. Una única ecuación lineal del tipo:

Representa en el espacio un plano. Si se pretende representar mediante

ecuaciones una recta en el espacio tridimensional necesitaremos especificar, no

una, sino dos ecuaciones lineales como las anteriores. De hecho toda recta se

puede escribir como intersección de dos planos. Así una recta en el espacio

podría quedar representada como:

Elipsoide.