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5/14/2018 Plan Clase 2 - slidepdf.com

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Plan clase 2

Numeros Reales

Los números naturales

Los números naturales surgen de la necesidad de contar, de enumerar: ={1,2,3,4...}

y Con los números naturales se puede sumar. De hecho, con laoperación suma, los naturales forman un semigrupo conmutativo.

y Con la operación producto los naturales también tienen estructura desemigrupo conmutativo.

y El infinito de los números naturales se denomina inf inito numerable.Cualquier conjunto que pueda ponerse en correspondencia biyectivacon el conjunto de los números naturales se dice que es infinitonumerable. Por ejemplo, el conjunto de las potencias sucesivas de unnúmero , es decir, el conjunto cuando es distinto

de 0, 1 y -1, es un conjunto infinito numerable. El conjunto de losnúmeros enteros y el de los racionales también son infinitosnumerables como se verá más adelante.

y El conjunto de los naturales es un conjunto totalmente ordenado,es decir, existe una relación de orden total, lo que significa queexiste una relación de orden y que dos elementos cualesquiera

pueden ser siempre comparados entre sí usando dicha relación. Dichode otra forma, dados dos naturales, e , o bien , o bien

.

y Todo subconjunto no vacío del conjunto de los naturales tiene unelemento mínimo, esto es, existe un elemento tal que para

todo de se tiene .

Por ejemplo, el subconjunto formado por los números pares tienecomo elemento mínimo a 2.

y Pr incipio de inducción matemática: si un subconjunto

de verifica que y, si , resulta que ,

entonces .

o Esto nos permite realizar razonamientos por induccióncuando queremos probar que una determinada propiedadse cumple para todo natural. Por ejemplo, si queremosprobar que la suma de los primeros números naturales



es podemos hacerlo por inducción en la forma

siguiente:

Para es claro que la suma de los 1 primeros

números naturales es .

Suponiendo cierta la fórmula para , es decir,

, veamos que también es

cierta para ,

Luego la fórmula es válida para todo n natural.

o Ejercicio: Demostrar, razonando por inducción, lassiguientes fórmulas:

y Dados dos números naturales , no es cierto en general que

exista un natural tal que . Si tal existe se denominacociente exacto de por , y la división se denomina exacta. Eneste caso se dice que es divisible por , o que es un divisor de , o que es un múltiplo de .Cuando no es así, siempre es posible encontrar y que verifiquen

con Los números , , y se denominan

dividendo, divisor , cociente y resto respectivamente y elprocedimiento para determinar y a partir de y se denominadivisión entera.

y Descomposición en factores pr imos:

Un número pr imo es aquél número natural que sólo es divisible por



sí mismo y por la unidad, por ejemplo 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,..., son números primos.

Hay infinitos números primos. Un famoso procedimiento paraencontrar números primos es la denominada criba de Eratóstenes,que consiste en tomar una lista de los números naturales e irtachando sucesivamente los múltiplos de cada natural que aún nohubiera sido tachado previamente.

El uso de números primos grandes tiene aplicaciones en criptografía(ocultación de secretos).

Todo número natural admite una descomposición en producto denúmeros primos. Esta descomposición es única salvo el orden de los

primos considerados. En el siguiente recuadro tienes algunosejemplos.



Encontrar la factorización de números grandes es un problema conelevada complejidad computacional, de hecho no hay ningúnalgoritmo eficiente para ello. Por eso varios sistemas criptográficos sebasan en este problema.

y Máximo común divisor y mínimo común múltiplo.Algor itmo de Euclides.

El máximo común divisor de dos números se define, como supropio nombre indica, como el divisor más grande que ambosnúmeros tienen en común. Si disponemos de la factorización deambos números, entonces el máximo común divisor se obtienequedándose solamente con aquellos factores comunes a ambasdescomposiciones y elevados al menor de los exponentes con los queaparezcan.

E

l mínimo común múltiplo, nuevamente como indica su nombre, esel múltiplo más pequeño que ambos números tienen en común.Atendiendo a las descomposiciones de ambos números, el mínimocomún múltiplo se obtiene considerando todos los factores distintosque aparecen (comunes y no comunes), cada uno de ellos elevado almayor exponente con el que aparezca.



Según se dijo antes, calcular la factprización deoun número es unproceso muy costoso. Sin embargo, puede calcularse el máximocomún divisor de dos números de una manera eficiente, sinnecesidad de factorizar previamente ambos números. Es lo que seconoce como algor itmo de Euclides y consiste en lo siguiente:

o Dados dos números , comenzamos relizando la

división entera de entre .

o Cada paso consiste en una nueva división, en la que eldividendo es el número que actuó de divisor en la divisiónanterior y el divisor es el número que se obtuvo comoresto en la división anterior.

o Cuando en una división se obtiene resto nulo, el máximocomun divisor de los números de los que partimos será elnúmero que ha actuado como divisor en esa últimadivisión efectuada y que resultó ser una división exacta.



Una vez obtenido el máximo común divisor de esta manera, ¿se teocurre cómo obtener el mínimo común múltiplo sin necesidad defactorizar los números?

y Representación de un número natural en unabase cualquiera:

El método de divisiones enteras sucesivas permite escribir cualquiernúmero natural en forma única en una base cualquiera p, en la formasiguiente:

en base p, donde .

Para lograr dicha expresión basta con realizar sucesivas divisionesenteras de n por p y tomar los restos, es decir,



hasta que en la r-ésima divisón, se tenga

. Se toma , y hemos terminado.

o Nótese que nuestra actual notación posicional para losnúmeros naturales se corresponde con la representaciónde los números naturales en base decimal (p=10). Sedenomina notación posicional porque el valor de una cifradepende de la posicón que ésta tenga en el número: un 5en el lugar de las unidades vale 5, mientras que en el

lugar de las centenas vale 500.o La notación binaria, tan común en el mundo de la

informática es el resultado de tomar p=2 y representar losnúmeros naturales en dicha base.

o ¿Conoces otras representaciones en bases distintas?Hexadecimal, sexagesimal...

Los números enterosCuando se necesita además restar surgen los números enteros ={ ... -3, -2, -1, 0, 1, 2,3, ...}

y Los enteros se obtienen a partir de los naturales añadiendo losopuestos para la operación suma.

y Si a y b denotan números naturales, la suma de dos números enterosa+(-b), se define como:

el entero positivo a-b, si a > b,0, si a=b

el entero negativo -(b-a) si a < bLa suma de dos enteros negativos se define como (-a)+(-b)=-(a+b)

De hecho, los enteros, con la operación suma tienen estructura degrupo conmutativo.

y Si además de la suma, consideramos la operación de multiplicacióndefinida como

o (-a)(-b)=ab



o (-a)b=a(-b)=-(ab),

el conjunto de los enteros, con ambas operaciones tiene estructurade anillo conmutativo y con unidad.

y Por cierto, ¿qué hay más?, ¿números enteros o números naturales?.Nótese que se puede establecer una correspondencia biyectiva entreambos conjuntos, , por ejemplo como ésta:

si n es un entero positivo

Por tanto, el conjunto de los enteros es también inf inito numerable.También es un conjunto totalmente ordenado, cuando se considerala relación de orden definida en la forma obvia y que extiende larelación de orden que se tiene en . También es cierto que en los

enteros todo subconjunto acotado inferiormente tiene elementomínimo, y recíprocamente, todo subconjunto acotado superiormentetiene elemento máximo.

Los números racionalesSi se necesita además dividir, surgen los números racionales (o fraccionar ios, oquebrados),

={... 1/2, 5/3, 8/10, 238476/98745, ...... }

y Los racionales se obtienen a partir de los enteros añadiendo losinversos para la multiplicación.

o La suma de dos racionales a/b y c/d se define comoa/b+c/d=(ad+cb)/bd.

o El producto de dos racionales a/b y c/d se define comoac/bd.

o Dos números racionales a/b y c/d son iguales si y sólo siad=bc.

(En todo lo anterior, a, b, c y d denotan númerosenteros)

o Un número racional se dice que está expresado medianteuna fracción irreducible si el numerador y el denominadorno tienen factores comunes.

De este modo, el conjunto de los racionales, con las operaciones desuma y producto tiene estructura de cuerpo conmutativo.



y En se pueden resolver todas las ecuaciones lineales, es decir,

aquéllas de la forma ax+b=0, con a y b racionales.

y En se puede definir un orden total compatible con las operaciones

suma y producto definidas anteriormente y que extienda el orden

existente en y en . Para ello basta con definirlo como sigue:

Dados dos números racionales a/b y c/d, donde b y c sonenteros positivos (esto siempre puede conseguirse, porejemplo, si b es negativo basta con multiplicar a y b por -1para obtener un número racional igual que el dado pero condenominador positivo), se dice que si y sólo si

respecto del orden existente en el conjunto de los enteros.

Por tanto con dicho orden es un conjunto totalmente ordenado.

y Densidad del orden: Dados dos números racionales distintos, , siempre existe otro

número racional tal que .

Para ello, si , con b y d positivos,

basta con tomar

Ejercicio: probar que efectivamente (por

ejemplo, entre 3/5 y 2/3 se encuentra 5/8)

Ahora bien, reiterando el proceso de intoducir un racional entre cadados racionales distintos es claro que entre dos racionales distintosexisten infinitos racionales distintos,

Por ejemplo, ahora entre 3/5 y 5/8 se encuentra 8/13, entre3/5 y 8/13 se encuentra 11/18, etc., tenemos asi 3/5 < ......< 11/18 < 8/13 < 5/8 < 2/3.

por eso se dice que el conjunto de los racionales es un conjuntodenso. No tiene sentido hablar del racional siguiente o anterior a unodado. Esto es algo que no ocurría ni en el conjunto de los naturales ni

en el de los enteros.

y Propiedad arquimediana (o de Arquímedes): Dados dos números racionales y , siempre existe un n

natural tal que . Esto quiere decir que por pequeño que sea

, si consideramos la sucesión de racionales , llegará



un momento en que sobrepasasaremos a , por muy grande que

este sea.

Por e jemplo:

Esta es una propiedad que también poseían los números naturales ylos enteros.

y El cardinal de los racionales: ¿Cuántos números racionales hay? ¿Qué hay más, naturales oracionales?

Puede parecer que la respuesta sería, obviamente hay másracionales, puesto que los naturales son también números racionales,y además hay otros racionales, como 1/2 por ejemplo, que no sonnaturales, por lo que podemos concluir que el cardinal de losracionales es que el de los naturales.

Pero podemos también probar que hay más naturales que racionales.Una forma de hacerlo sería seguir el siguiente razonamiento gráfico.Coloquemos los enteros en un eje horizontal, y también en un ejevertical. Cada punto (a,b) del retículo que se forma representará al

racional a/b.C

omenzamos ahora a trazar un camino en espiral,partiendo del origen que recorra uno a uno todos los puntos delretículo como se ve en la siguiente gráfica:



Es claro que podemos poner en correspondencia biyectiva los puntosdel retículo con los naturales sin más que irlos numerando a medidaque la linea espiral pasa por cada uno de ellos. Ahora bien, no todoslos puntos del retículo se corresponden con números racionales, yaque los de la forma (n,0) no se corresponden con ningún racional, y

además muchos puntos del retículo representan al mismo númeroracional, por ejemplo (1,2) y (2,4) representan al mismo númeroracional, ya que 1/2=2/4. De aquí se concluye que podemos dar unacorrespondencia sobreyectiva de en , y por tanto que el

cardinal de es que el cardinal de .

Combinando ambos resultados podemos concluir que el cardinalde es igual que el de , es decir, que es un conjunto inf inito

numerable.

Ejercicio: encontrar un correspondencia biyectiva entre y .

y Representación decimal de números racionales:

Todo número racional admite una representación decimal, que es laque se obtiene al dividir el numerador entre el denominador, por



ejemplo 1/2 tiene como expresión decimal 0.5 , 3405/25=136.2 y1/3= 0.33333.......

Esto puede dar lugar a dos tipos de expresiones decimales, lasexactas y las periódicas. Éstas últimas pueden a su vez dividirse enperiódicas puras o periódicas mixtas.

o Expresión decimal exacta, es aquélla que tiene unnúmero finito de términos. Por ejemplo: 0.5, 1.348 ó367.2982345Esta expresiones surgen de números racionales cuyodenominador (en la expresión irreducible) sólo contienelos factores 2 y 5. Por ejemplo 1349/1000, 40/25, ...

o Expresión decimal per iódica es aquélla que tinene unnúmero infinito de cifra decimales, pero de modo que ungrupo finito de ellas se repite infinitamente, de formaperiódica, por ejemplo 0.333333.....,125.67777777....... ó 3.2567256725672567......Surgen de fracciones cuyo denominador contiene factoresdistintos de 2 y 5, por ejemplo, 1/3=0.33333.....La parte que no se repite se denomina anteperíodo y laque se repite, período.

Per iódica pura es aquélla que no tieneanteperíodo.

Per iódica mixta es aquélla que sí tieneanteperíodo.

Podría considerarse que las expresionas decimales exactasson periódicas mixtas pero con período 0.



R ecíprocamente, dada una expresión decimal exacta operiódica, puede encontrarse una expresión racional parala misma siguiendo la siguiente norma:

Si la expresión es exacta se coloca comonumerador el número entero que resulta desuprimir el punto decimal y como denominadorla unidad seguida de tantos ceros como cifrasse encontraran a la derecha del punto decimalen la expresión decimal original.

Si la expresión es periódica, se coloca comonumerador el resultado de restar al númeroentero formado por el anteperíodo seguido dela primera repetición del período, el enteroformado por el anteperíodo, todo ellomultiplicado por la unidad seguida de tantosceros como cifras significativas se encuentren a

la izquierda del punto decimal. Comodenominador tantos nueves como cifras tengael período seguidos de tantos ceros como cifrastenga el anteperíodo.

Ejemplos:

Posteriormente se pueden simplificar las fraccionesobtenidas para conseguir la expresión irreducible.



Los números irracionales

Hay números que no son racionales, es decir que no pueden ser expresados como cociente dedos números enteros. Por ejemplo, piensa en el número cuya representación decimal es

0.1234567891011121314151617181920........

claramente, esta representación decimal no es exacta ni periódica, por tanto no puedecorresponderse con ningún número racional.

Veamos otros ejemplos.

Se trata de un ejemplo típico de número no racional con una demostración muy sencilla de que,en efecto, no puede ser racional



En el siguiente recuadro puedes ver las primeras 100 cifras decimales de . Además se

muestra una manera de construir el número sobre la recta real con regla y compás y

finalmente se da una serie de números racionales que converge hacia .

Para construir la serie que converge hacia hemos usado obviamente la sucesión de cifrasdecimales indicada más arriba. También podíamos haber definido una sucesión de números

racionales que converge hacia de la forma siguiente



donde es el mayor número entero que verifica .

T

Otro de los ejemplos cásicos de números irracionales que estamos acostumbrados a manejar esel conocido por la letra griega Pi que representa la relación entre el perímetro y el diámetro deuna circunferencia.

A diferencia de lo que ocurre con , no es posible dibujar con regla y compás el númerosobre la recta real. El problema es conocido como la rectif icación de la circunferencia y haymétodos algebraicos para demostrar que no tiene solución, a pesar de que mucha gente labuscó durante siglos (y algunos siguen buscándola hoy en día). Otros problemas de parecida

índole son los famosos de la cuadratura del círculo, que consiste en construir con regla ycompás un cuadrado que tenga el mismo área que un círculo dado, y la tr isección del ángulo,que consiste en dividir un ángulo dado en tres partes iguales. Todos ellos son imposibles conregla y compás y puede demostrarse algebraicamente su imposibilidad.

En el siguiente recuadro tienes las primeras cien cifras decimales de y además una serie denúmeros racionales que converge hacia .



La serie indicada es conocida como serie de Leibniz y hemos de advertir que su convergencia esbastante lenta. ¿Cuántos términos te hace falta sumar para obtener 10 cifras decimalescorrectas?

También el número , base de los llamados logaritmos naturales o neperianos es un númeroirracional. Este número surge de forma natural al considerar el interés compuesto.

Supongamos que tenemos un capital unidad a un interés anual (en tanto por uno). Al cabo

del año nuestro capital será .

Sin embargo, si dividimos el año en dos semestres e incorporamos el interés al finalizar cada

uno dos semestres, al final del primer período tendremos y al finalizar el año

Si dividimos el año en tres cuatrimestres, incorporando los intereses al capital al final del cada

período, tendremos respectivamente al final de cadacuatrimestre.

...

Si dividimos el año en n períodos tendremos al final del año .

Se define como el límite del resultado anterior cuando n se hace infinitamente grande(infinitos períodos infinitamente pequeños), siendo , es decir

En el recuadro siguiente vemos las 100 primeras cifras decimales de , así como dos formas dever como límite de sucesiones de números racionales (en el segundo caso se trata de unaserie).



Igual que pasaba con , no es posible dibujar con regla y compás un punto en la recta real adistancia del origen.

Si consideramos el conjunto de todas las expresiones decimales, solamente aquéllas finitas operiódicas se corresponderán, como ya se vio, con números racionales; el resto forman elconjunto de los números irracionales.

El conjunto de los irracionales, denotado por tiene, como , la propiedades de orden total,

densidad y propiedad arquimediana. En cambio no es un conjunto numerable. ¿Se te ocurrealguna forma de probar que no es numerable?

(pincha aquí para ver una forma de demostrarlo)

Ya se ha visto para los ejemplos mostrados, pero se puede afirmar en general que todos losnúmeros irracionales pueden verse como límites de sucesiones de números racionales. Para ellobasta con considerar la expresión decimal del número en cuestión y construir la sucesión obvia



que consiste en considerar cada vez un cifra decimal más, de modo que el término es lafracción que da lugar a la expresión decimalm exacta formada por las n primeras cifras delnúmero dado.

Los números realesLa unión de los racionales y los irracionales forma el conjunto de los números

reales. .

El conjunto de los reales, con el orden inducido por el orden ya visto en , y es unconjunto totalmente ordenado.

Teniendo eso en cuenta, se puede representar gráficamente el conjunto de los reales con unarecta, en la que cada punto representa un número.

Muchas de las propiedades que hemos visto para los conjuntos e son heredadas por .

Como ya se ha visto, es denso en . También es denso en .

Podemos considerar como el conjunto de todos los límites de sucesiones cuyos términosson números racionales.

A diferencia de lo visto para , y , el conjunto de los reales no es numerable. (unademostración).

Veamos por último un cuadro resumen de las propiedades que hemos analizado en los distintosconjuntos de números.

Ordenado Denso Numerable Estructura algebraica + Semigrupo

* Semigrupo

+ Grupo

* Semigrupo

+,* Anillo conmut. con1



+ Grupo

* Grupo

+,* Cuerpo conmut.

No tiene estructura algebraica al no

ser cerrado para + y * + Grupo

* Grupo

+,* Cuerpo conmut.

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