pauta prueba 3

7/24/2019 Pauta Prueba 3

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Universidad de la FronteraFacultad de Ingenierıa, Ciencias y Admistracion Segundo semestre 2012

Departamento de Matematica y Estadıstica

Pauta prueba N˝3:Calculo en una variable (IME050)

Profesores: A. Carocca, A. Mansilla, A. Muci, E. Olivos

1. Sea R la region acotada por las curvas y2

´x

`2y

“3 y x

`y2

“1

a) Bosqueje la region R.

Solucion:

Los puntos de interseccion entre las curvas son Ap0, 1q y Bp´3,´2q.

Las parabolas px ` 4q “ py ` 1q2 y x ´ 1 “ ´y2 tienen vertices en p´4,´1q yp1, 0q respectivamente.

b ) Exprese las integrales que representan la medida del area de la region R con respectoa la variable x.

ApRq “ż

3

´4

`p´1 ` ? x ` 4q´p´1 ´ ?

x ` 4q˘ , dx

` ż 0´3

`´1 `? x ` 4 ´ p´

? x ´ 1q˘ dx

`ż

1

0

`? x ´ 1 ´ p´?

x ´ 1q˘ dx



c ) Exprese las integrales que representan la medida del area de la region R con respectoa la variable y.

ApRq “ ż 1´2

p1 ´ y2q ´ py2 ` 2y ´ 3qdy

d ) Calcule el area de la region R.

ż 1

´2

`p1 ´ y2q ´ py2 ` 2y ´ 3q˘ dy “ 2

ż 1

´2

p2 ´ y2 ´ yqdy

“ 4y ´ 2y3

3 ´ y2

ˇˇ1

´2

“ 9

2. Evalue las siguientes integrales indefinidas

a)

ż dx

xpx2 ` x` 1q .

Solucion:

Haciendo fracciones parciales tenemosż dx

xpx2 ` x ` 1q “ż

dx

x ´

ż x ` 1

x2 ` x ` 1dx

“ ż dxx ´ 1

2

ż 2x ` 1x2 ` x` 1

dx ´ 12

ż dxx2 ` x ` 1

“ ln |x| ´ 1

2 lnpx2 ` x` 1q ´ 1

2

ż dx

x2 ` x` 1

Ahora

x2 ` x ` 1 “ˆx ` 1

2

˙2

` 3

4 “ 3

4

¨˝˜x` 1

2? 3

2

¸2

` 1

˛‚

Hacemos x “?

3

2 tan θ ´ 1

2 , con esto dx “?

3

2 sec2

θd θ. Luegoż dx

x2 ` x` 1 “ 4

3

ż 1

sec2 θ

? 3

2 sec2 θd θ “ 2

? 3

3 θ “ 2

? 3

3 arctan

ˆ2x ` 1?

3

˙.

Finalmenteż dx

xpx2 ` x ` 1q “ ln |x| ´ 1

2 lnpx2 ` x` 1q ´

? 3

3 arctan

ˆ2x` 1?

3

˙` C



b )

ż dx

x3?

3x2 ´ 5.

Solucion:

Tenemos que?

3x2 ´ 5 “?

3

d x2 ´

ˆ? 5? 3

˙2

, por lo tanto hacemos sustitucion

trigonometrica y obtenemos:

x “?

5? 3

sec θ

dx “

? 5

? 3sec θ tan θ dθ

x3 “ 5?

5

3?

3sec3 θ

θ “ arctan

ˆ? 3x2 ´ 5?

5

˙

Luego,

ż dx

x3? 3x2 ´ 5 “

3

5? 5 ż sec θ tan θ

sec3

θ tan θ

dθ

“ 3

5?

5

ż cos2 θdθ “ 3

5?

5

ż cosp2θq ` 1

2 dθ

“ 3

5?

5

ˆθ

2 ` senpθq cospθq

2

˙

“ 3

10?

5arctan

ˆ? 3x2 ´ 5?

5

˙` 1

10

? 3x2 ´ 5

x2 ` C

c )

ż lnpx`

? x2 ` 1q dx.

Solucion:

Integrando por partes, tomemos

u “ lnpx `? x2 ` 1q y dv “ dx.

Entonces

du “ 1? x2 ` 1

dx y v “ x.



Luego

ż lnpx` ? x

2

` 1qdx “ x lnpx` ? x2

` 1q ´ ż x

? x2 ` 1dx

“ x lnpx`? x2 ` 1q ´

? x2 ` 1 ` C

3. a) Calcule la integral

ż 3

1

senpx ´ 2qpx´ 2q2 ` 1

dx

Solucion:

Haciendo el cambio de variable u “ x ´ 2 obtenemos que du “ dx y ´1 ď u ď 1.Luego

ż 3

1

senpx´ 2qpx ´ 2q2 ` 1

dx “ż

1

´1

senu

u2 ` 1 du

Como la funcion f puq “ senu

u2 ` 1 es impar, por propiedad se tiene que

ż 1

´1

senu

u2 ` 1 du “ 0

b ) Sea f una funcion continua tal queż 2

0

f pxqdx “ 3 y

ż 5

0

f pxqdx “ 7.

Determine el valor de

ż 1

0

f p2 ` 3xqdx

Solucion:

Haciendo el cambio de variable z “ 2 ` 3x tenemos que dx “ dz

3 y 2 ď z ď 5. Luego

ż 1

0

f p2 ` 3xqdx “ 1

3

ż 5

2

f pz qdz

“ 1

3

„ż 5

0

f pz qdz ´ż

2

0

f pz qdz

“ 1

3p7 ´ 3q “ 4

3



c ) Pruebe que y “ż x

1

gptq senpx´ tq? t3

dt es solucion de la ecuacion y2 ` y “ gpxq? x3

Solucion:

Por la suma de angulos podemos expresar la funcion como:

y “ senx

ż x

1

gptq cos t? t3

dt ´ cosx

ż x

1

gptq sen t? t3

dt.

Ası,

y1 “ cosx ż x

1

gptq cos t? t

3dt`gpxq cosx senx?

x

3`senx ż

x

1

gptq sen t? t

3dt´gpxq senx cosx?

x

3.

Simplificando y calculando la segunda derivada tenemos,

y2 “ cosx

ż x

1

gptq sen t? t3

dt ` gpxq? x3

sen2 x ´ senx

ż x

1

gptq cos t? t3

dt ` gpxq? x3

cos2 x.

Remplazando en la ecuacion

y2 ` y “ gpxq? x

3pcos2 x ` sen2 xq

“ gpxq? x3

4. Sea R es la region acotada por la curva y2 “ x2p5 ´ xq.

a) Escriba la integral que representa el volumen del solido de revolucion generado al rotarla region R en torno a la recta x “ ´1.

Solucion:

ý

El rectangulo elemental es paralelo al eje de rotacion, por lo que usamos metodo

de la corteza cilındrica.La altura es 2x

? 5 ´ x.

La distancia al eje de rotacion es x ` 1.



Luego, la integral que representa el volumen es

V “ 4πż 50xpx` 1q? 5 ´ xdx

b ) Escriba la integral que representa el volumen del solido de revolucion generado al rotarla region R en torno a la recta y “ 9

Solucion: þ

Ahora el rectangulo elemental es perpendicular al eje de rotacion por lo que usamosmetodo del anillo.

El radio exterior es 9

`a x2

p5

´x

q.

El radio interior es 9 ´a x2p5 ´ xq.

Luego, la integral que representa el volumen es

V “ π

ż 5

0

ˆ´9 ` x

a p5 ´ xq

¯2

´´

9 ´ xa

p5 ´ xq¯2˙ dx

c ) Calcule el volumen de uno de los solidos anteriores.

Solucion:

En cualquiera de los dos casos la sustitucion es

u “ 5 ´ x

du “ ´dx

x “ 0 Ñ u “ 5

x “ 5 Ñ u “ 0



En el primer solido tenemos:

4πż 50xpx ` 1q? 5 ´ x dx “ ´ ż

0

5p5 ´ uqp6 ´ uq? udu

“ 4π

ż 5

0

`30

? u´ 11u

? u` u2

? u˘ du

“ 4π

„20u

3

2 ´ 22

5 u

5

2 ` 2

7u

7

2

ˇˇ5

0

“ 4π53

2

„20 ´ 22

5 5 ` 2

752

“ 20

? 5π „

36

7 “

720?

5π

7

En el segundo solido la integral es:

π

ż 5

0

ˆ´9 ` x

a p5 ´ xq

¯2

´´

9 ´ xa

p5 ´ xq¯2˙ dx “ π

ż 5

0

36x?

5 ´ x dx

“ ´36π

ż 0

5

p5 ´ uq? u du

“ 36π

ż 5

0

p5 ´ uq? u du

“ 36π„

103 u

3

2 ´ 25u

5

2

ˇ50

“ 180?

5π

„10

3 ´ 2

“ 240

? 5π

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