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7/24/2019 Pauta Prueba 3
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Universidad de la FronteraFacultad de Ingenierıa, Ciencias y Admistracion Segundo semestre 2012
Departamento de Matematica y Estadıstica
Pauta prueba N˝3:Calculo en una variable (IME050)
Profesores: A. Carocca, A. Mansilla, A. Muci, E. Olivos
1. Sea R la region acotada por las curvas y2
´x
`2y
“3 y x
`y2
“1
a) Bosqueje la region R.
Solucion:
Los puntos de interseccion entre las curvas son Ap0, 1q y Bp´3,´2q.
Las parabolas px ` 4q “ py ` 1q2 y x ´ 1 “ ´y2 tienen vertices en p´4,´1q yp1, 0q respectivamente.
b ) Exprese las integrales que representan la medida del area de la region R con respectoa la variable x.
ApRq “ż
3
´4
`p´1 ` ? x ` 4q´p´1 ´ ?
x ` 4q˘ , dx
` ż 0´3
`´1 `? x ` 4 ´ p´
? x ´ 1q˘ dx
`ż
1
0
`? x ´ 1 ´ p´?
x ´ 1q˘ dx
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c ) Exprese las integrales que representan la medida del area de la region R con respectoa la variable y.
ApRq “ ż 1´2
p1 ´ y2q ´ py2 ` 2y ´ 3qdy
d ) Calcule el area de la region R.
ż 1
´2
`p1 ´ y2q ´ py2 ` 2y ´ 3q˘ dy “ 2
ż 1
´2
p2 ´ y2 ´ yqdy
“ 4y ´ 2y3
3 ´ y2
ˇˇ1
´2
“ 9
2. Evalue las siguientes integrales indefinidas
a)
ż dx
xpx2 ` x` 1q .
Solucion:
Haciendo fracciones parciales tenemosż dx
xpx2 ` x ` 1q “ż
dx
x ´
ż x ` 1
x2 ` x ` 1dx
“ ż dxx ´ 1
2
ż 2x ` 1x2 ` x` 1
dx ´ 12
ż dxx2 ` x ` 1
“ ln |x| ´ 1
2 lnpx2 ` x` 1q ´ 1
2
ż dx
x2 ` x` 1
Ahora
x2 ` x ` 1 “ˆx ` 1
2
˙2
` 3
4 “ 3
4
¨˝˜x` 1
2? 3
2
¸2
` 1
˛‚
Hacemos x “?
3
2 tan θ ´ 1
2 , con esto dx “?
3
2 sec2
θd θ. Luegoż dx
x2 ` x` 1 “ 4
3
ż 1
sec2 θ
? 3
2 sec2 θd θ “ 2
? 3
3 θ “ 2
? 3
3 arctan
ˆ2x ` 1?
3
˙.
Finalmenteż dx
xpx2 ` x ` 1q “ ln |x| ´ 1
2 lnpx2 ` x` 1q ´
? 3
3 arctan
ˆ2x` 1?
3
˙` C
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b )
ż dx
x3?
3x2 ´ 5.
Solucion:
Tenemos que?
3x2 ´ 5 “?
3
d x2 ´
ˆ? 5? 3
˙2
, por lo tanto hacemos sustitucion
trigonometrica y obtenemos:
x “?
5? 3
sec θ
dx “
? 5
? 3sec θ tan θ dθ
x3 “ 5?
5
3?
3sec3 θ
θ “ arctan
ˆ? 3x2 ´ 5?
5
˙
Luego,
ż dx
x3? 3x2 ´ 5 “
3
5? 5 ż sec θ tan θ
sec3
θ tan θ
dθ
“ 3
5?
5
ż cos2 θdθ “ 3
5?
5
ż cosp2θq ` 1
2 dθ
“ 3
5?
5
ˆθ
2 ` senpθq cospθq
2
˙
“ 3
10?
5arctan
ˆ? 3x2 ´ 5?
5
˙` 1
10
? 3x2 ´ 5
x2 ` C
c )
ż lnpx`
? x2 ` 1q dx.
Solucion:
Integrando por partes, tomemos
u “ lnpx `? x2 ` 1q y dv “ dx.
Entonces
du “ 1? x2 ` 1
dx y v “ x.
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Luego
ż lnpx` ? x
2
` 1qdx “ x lnpx` ? x2
` 1q ´ ż x
? x2 ` 1dx
“ x lnpx`? x2 ` 1q ´
? x2 ` 1 ` C
3. a) Calcule la integral
ż 3
1
senpx ´ 2qpx´ 2q2 ` 1
dx
Solucion:
Haciendo el cambio de variable u “ x ´ 2 obtenemos que du “ dx y ´1 ď u ď 1.Luego
ż 3
1
senpx´ 2qpx ´ 2q2 ` 1
dx “ż
1
´1
senu
u2 ` 1 du
Como la funcion f puq “ senu
u2 ` 1 es impar, por propiedad se tiene que
ż 1
´1
senu
u2 ` 1 du “ 0
b ) Sea f una funcion continua tal queż 2
0
f pxqdx “ 3 y
ż 5
0
f pxqdx “ 7.
Determine el valor de
ż 1
0
f p2 ` 3xqdx
Solucion:
Haciendo el cambio de variable z “ 2 ` 3x tenemos que dx “ dz
3 y 2 ď z ď 5. Luego
ż 1
0
f p2 ` 3xqdx “ 1
3
ż 5
2
f pz qdz
“ 1
3
„ż 5
0
f pz qdz ´ż
2
0
f pz qdz
“ 1
3p7 ´ 3q “ 4
3
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c ) Pruebe que y “ż x
1
gptq senpx´ tq? t3
dt es solucion de la ecuacion y2 ` y “ gpxq? x3
Solucion:
Por la suma de angulos podemos expresar la funcion como:
y “ senx
ż x
1
gptq cos t? t3
dt ´ cosx
ż x
1
gptq sen t? t3
dt.
Ası,
y1 “ cosx ż x
1
gptq cos t? t
3dt`gpxq cosx senx?
x
3`senx ż
x
1
gptq sen t? t
3dt´gpxq senx cosx?
x
3.
Simplificando y calculando la segunda derivada tenemos,
y2 “ cosx
ż x
1
gptq sen t? t3
dt ` gpxq? x3
sen2 x ´ senx
ż x
1
gptq cos t? t3
dt ` gpxq? x3
cos2 x.
Remplazando en la ecuacion
y2 ` y “ gpxq? x
3pcos2 x ` sen2 xq
“ gpxq? x3
4. Sea R es la region acotada por la curva y2 “ x2p5 ´ xq.
a) Escriba la integral que representa el volumen del solido de revolucion generado al rotarla region R en torno a la recta x “ ´1.
Solucion:
ý
El rectangulo elemental es paralelo al eje de rotacion, por lo que usamos metodo
de la corteza cilındrica.La altura es 2x
? 5 ´ x.
La distancia al eje de rotacion es x ` 1.
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Luego, la integral que representa el volumen es
V “ 4πż 50xpx` 1q? 5 ´ xdx
b ) Escriba la integral que representa el volumen del solido de revolucion generado al rotarla region R en torno a la recta y “ 9
Solucion: þ
Ahora el rectangulo elemental es perpendicular al eje de rotacion por lo que usamosmetodo del anillo.
El radio exterior es 9
`a x2
p5
´x
q.
El radio interior es 9 ´a x2p5 ´ xq.
Luego, la integral que representa el volumen es
V “ π
ż 5
0
ˆ´9 ` x
a p5 ´ xq
¯2
´´
9 ´ xa
p5 ´ xq¯2˙ dx
c ) Calcule el volumen de uno de los solidos anteriores.
Solucion:
En cualquiera de los dos casos la sustitucion es
u “ 5 ´ x
du “ ´dx
x “ 0 Ñ u “ 5
x “ 5 Ñ u “ 0
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En el primer solido tenemos:
4πż 50xpx ` 1q? 5 ´ x dx “ ´ ż
0
5p5 ´ uqp6 ´ uq? udu
“ 4π
ż 5
0
`30
? u´ 11u
? u` u2
? u˘ du
“ 4π
„20u
3
2 ´ 22
5 u
5
2 ` 2
7u
7
2
ˇˇ5
0
“ 4π53
2
„20 ´ 22
5 5 ` 2
752
“ 20
? 5π „
36
7 “
720?
5π
7
En el segundo solido la integral es:
π
ż 5
0
ˆ´9 ` x
a p5 ´ xq
¯2
´´
9 ´ xa
p5 ´ xq¯2˙ dx “ π
ż 5
0
36x?
5 ´ x dx
“ ´36π
ż 0
5
p5 ´ uq? u du
“ 36π
ż 5
0
p5 ´ uq? u du
“ 36π„
103 u
3
2 ´ 25u
5
2
ˇ50
“ 180?
5π
„10
3 ´ 2
“ 240
? 5π