LIC. ALEXÁNDER HOYOS PORTELA.

PARCELADOR DE MATEMÁTIC

AS

GRADO 6T O

Proposiciones.

¿Qué es una proposición?

Son expresiones verbales (oraciones) que afirman algo, por lo general se expresa como una oración declarativa cuya característica fundamental me indica es ser verdadera o falsa pero no ambas valores a la vez.Para representar proposiciones se usa la letras minúsculas p,q,r…entre otras por ejemplo:

p: Ocho es múltiplo de dosq: El mes de Abril tiene 31 días.

Proposiciones simples: Las proposiciones simples son aquellas que carecen de palabras de enlace como: y, o , entonces.Ejemplos:p: Todos los triángulos son isósceles------------; ( F )s: 8 es un número par ---------------------------------; ( V )

Una proposición su valor de verdad se puede representar de la siguiente manera:V o F, 0 ó 1, según el uso que le quiera dar la persona.

Negación de una proposición: La negación de una proposición simple se obtiene anteponiendo la palabra no es cierto que. Al negar una proposición se cambia el valor de verdad observa:

Nota: el símbolo de negación es ~ , ¬

Ejemplo: negar las siguiente proposición Simón Bolívar es el libertador y elaborar su tabla de verdad.

Respuesta:q: Simón Bolívar es el libertador ---------------------------------> ( V )Negando esta proposición quedaría:~q: no es cierto que Simón Bolívar es el libertador --- > ( F )~q: Simón Bolívar no es el libertador --- > ( F )

Proposiciones compuestas y conectivos lógicosObjetivo: Identifico y construyo proposiciones compuestas y reconozco el valor de verdad

Las proposiciones compuestas son expresiones que pueden descomponerse en otras que a su vez son proposiciones simples. Están unidas por palabras de enlace como y, o., si solo si, entonces, llamados conectivos lógicos.Los conectivos lógicos son partículas de enlace usadas para unir dos o más proposiciones simples. En la siguiente tabla aparecen los conectivos lógicos con su nombre y símbolos.

CONECTIVO NOMBRE SIMBOLO

Y Conjunción ^

O Disyunción V

Si … entonces Implicación condicional ====>;

…… si solo si Doble implicación o bicondicional <====>

La conjunción: ( ^ )

Es aquel conectivo (y) que al actúa sobre las dos o más proposiciones simples.Para dar como respuesta el valor (V) sucede cuando las proposiciones simples que conforma la proposición compuesta son todas verdaderas de lo contrario su respuesta o resultado será (F)

Ejemplo: Se necesita una secretaria que sepa inglés y español nuevamente tenemos 4 posibilidades:Resultado Conjunción

p: la secretaria sabe inglés  q: la secretaria sabe español

*La secretaria sabe inglés y español*La secretaria sabe inglés y no sabe español*La secretaria no sabe inglés y sabe español*La secretaria no sabe ingles ni español

La disyunción (v) :Es aquel conectivo (o) que al actúa sobre las dos o más proposiciones simples.Para dar como respuesta el valor (F) sucede cuando las proposiciones simples que conforma la proposición compuesta son todas falsas de lo contrario su respuesta o resultado será (V)

Ejemplo: Se necesita una secretaria que sepa inglés o españolNuevamente tenemos 4 posibilidades:

Resultado disyunción

p: la secretaria sabe ingles q: la secretaria sabe español

p q p ^qV V VV F FF V FF F F

p q p V qV V VV F VF V VF F F

*La secretaria sabe inglés y español*La secretaria sabe inglés,  no sabe español*La secretaria no sabe inglés,  si sabe español*La secretaria no sabe inglés,  no sabe español

Implicación condicional:Es aquella proposición que es falsa únicamente cuando la condición suficiente p es verdadera y la condición necesaria q es falsa. Se escribe p => q, y se lee "si p entonces q". 

Ejemplo: Si va al estadio entonces paga la boleta de entrada

En el enunciado el componente que está entre el "si" y el "entonces" es llamado el antecedente o el implicante y el componente que sigue a la palabra "entonces" es el consecuente o conclusión. 

p = Si va al estadio (antecedente)q = paga la boleta de entrada. (Consecuente o conclusión )

 Ejemplos: Si llueve entonces habrá cosecha Si 3 es impar entonces 3 es menor que 6. Si los cuerpos se calientan entonces se dilatan. 

Doble Implicación:

La equivalencia puede reproducirse cuando en la conversación natural usan "... si y sólo si..." o "exactamente, si". La equivalencia será cierta, si ambas oraciones tienen igual valor de certeza. Ejemplo: "El nuevo año caerá exactamente en miércoles, si la noche buena cae en martes". Las formas idiomáticas equivalentes a "... si, y sólo si, ..." son: ... sólo si..., ... únicamente si ..., sólo en el caso de que ..., ... es necesario ..., si no ..., entonces no ... . 

p q p ===> qV V VV F FF V VF F V

p q p <===> qF F VF V FV F FV V V

Entonces convenimos en que "p <=> q" es cierta ( V ) solamente cuando p y q tienen el mismo valor de certeza; en los otros casos es falsa. La proposición compuesta "p <=>  q" se lee "p si y sólo si q" es la conjunción de la condicional "p <=> q" con su recíproca "<=> p"

EJEMPLOS DE PROPOSICIONES CONDICIONALES DOBLE IMPLICACIÓN: 

a : Habrá cosecha si y sólo si llueve b : Tendrás una buena calificación si y solo si respondes correctamente el examen

CONJUNTOS.

Un conjunto es la agrupación de objetos, cosas o personas con características iguales.

Clasificación de conjuntos.

Relación de pertenencia, contenencia y inclusión: Sea G el conjunto de los animales que viven en la granja.

Podemos decir que: la gallina pertenece al conjunto A y al conjunto GQue simbolizaremos así: La gallina ϵ A y ϵ a G.ϵ Simboliza la pertenencia de un elemento en un conjunto.

Para denotar que un elemento no pertenece a un conjunto lo representaremos así , por

ejemplo la oveja no pertenece al conjunto A, la oveja a A.También podemos decir que: el conjunto A esta incluido en el conjunto G, simbólicamente los representaremos así: A ϲ G, pero G¢A, porque todos los elementos de G no están en A.

Operaciones entre conjuntos:

Intersección:Fijado un conjunto de referencia   y conjuntos   y   se define el conjunto intersección de ambos, como el formado por todos aquellos elementos que son a la vez elementos de   y de  . Se nota  . 

Si  los conjuntos   y    son se dicen disjuntos.

Unión:Fijado un conjunto de referencia   y conjuntos   y   definimos el conjunto unión de ambos, y lo representamos por  , al siguiente conjunto: 

Diferencia:Dados dos conjuntos   y   definimos el conjunto diferencia de   y   y lo

representamos por   como el siguiente conjunto: 

(A veces se utiliza la notación) .

Sistemas de numeración:

Sistema de numeración romana:

Este sistema de numeración emplea letras mayúsculas a las que se ha asignado un valor numérico. Los romanos desconocían el cero, introducido posteriormente por los árabes, de forma que no existe ninguna forma de representación de este valor

Dado que presenta muchas dificultades de lectura y escritura actualmente no se usa, excepto en algunos casos particulares, descritos a continuación:

En los números de capítulos y tomos de una obra.En los actos y escenas de una obra de teatro.En los nombres de papas, reyes y emperadores.En la designación de congresos, olimpiadas, asambleas, certámenesLa numeración se basa en siete letras mayúsculas, con la correspondencia que se

Muestra en la siguiente tabla:

Reglas del sistema romano:Si a la derecha de una cifra romana de escribe otra igual o menor, el valor de ésta se suma a la anterior.Ejemplos: VI = 6; XXI = 21; LXVII = 67

La cifra "I" colocada delante de la "V" o la "X", les resta una unidad; la "X", precediendo a la "L" o a la "C", les resta diez unidades y la "C", delante de la "D" o la "M", les resta cien unidades.Ejemplos: IV = 4; IX = 9; XL = 40; XC = 90; CD = 400; CM = 900

En ningún número se puede poner una misma letra más de tres veces seguidas. En la antigüedad se ve a veces la "I" o la "X" hasta cuatro veces seguidas.Ejemplos: XIII = 13; XIV = 14; XXXIII = 33; XXXIV = 34

La "V", la "L" y la "D" no pueden duplicarse porque otras letras ("X", "C", "M") representan su valor duplicado.Ejemplos: X = 10; C = 100; M = 1.000

Si entre dos cifras cualesquiera existe otra menor, ésta restará su valor a la siguiente.Ejemplos: XIX = 19; LIV = 54; CXXIX = 129

El valor de los números romanos queda multiplicado por mil tantas veces como rayas horizontales se coloquen encima de los mismos, así con dos rayas se multiplica por un millón.

SISTEMA DE NUMERACIÓN BINARIA:

El sistema de numeración binario o de base 2 es un sistema posicional que utiliza sólo dos símbolos para representar un número: 1 y 0. La palabra binario viene de "bi-" que significa dos. Tenemos "bi-" en otras palabras como "bicicleta" (dos ruedas) o "binoculares" (dos ojos).

Los agrupamientos se realizan de 2 en 2: dos unidades de un orden forman la unidad de orden superior siguiente.Este sistema de numeración es sumamente importante ya que es el utilizado por las computadoras para realizar todas sus operaciones.

En el sistema binario el número 2 no existe, cuando llegamos a 2 unidades se forma un nuevo orden, entonces 2 se escribe "10" en este sistema: 

Como convertir de un número decimal a un número binario, miremos: esto se obtiene dividiendo tantas veces el número decimal hasta que su cociente sea 1.

Como convertir un número binario a un número decimal, miremos: haciendo uso de las potencias de 2 iniciando por 20, 21, 22 de izquierda a derecha, y multiplicamos cada uno de los símbolos binarios de esta forma.

SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL

El sistema de numeración decimal incorpora una serie de reglas que permiten representar una serie infinita de números.Sus principales características son:

ÍNDICE

1 Sistema en base 10 2 Posee 10 dígitos 3 Valor posicional y relativo de cada dígito

o Sistema en base 10:

Esto quiere decir que el principio de agrupamiento de este sistema es diez, en donde cada 10 unidades se forma otra de carácter superior, la cual se escribe a la izquierda de la primera de las unidades. Esto es ilustrado en el ábaco, en donde cada vez que tenemos 10 fichas en una varilla, las transformamos en una de la varilla inmediatamente izquierda y la ubicamos en ésta, con lo cual obtenemos que 10 unidades equivales a una decena, que 10 decenas equivalen a 1 centena y así sucesivamente.

o Posee 10 dígitos

Estos son el: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y su combinación puede formar infinitos números.

o Valor posicional y relativo de cada dígito

Esto quiere decir que dependiendo de la posición en donde se ubique cada dígito el valor que éste tendrá.

Así por ejemplo, vemos que el valor del número 2 en 3.245 no es el mismo que en el 332, esto debido a que los dígitos actúan como multiplicadores de las potencias de la base.

Así tenemos que en el número 3.245 el 2 se ubica en las centenas, por lo que su valor posicional será de 2*100, es decir 200. Sin embargo, en el número 332 su valor equivaldrá a la multiplicación de 2*1, es decir 2, ya que el 2 se encuentra en la posición de las unidades. Por otro lado, si recordamos cuál es el valor de cada base tendremos:

Unidades 1Decenas 10Centenas 100Unidades de Mil 1.000Decenas de Mil 10.000Centenas de Mil 100.000El siguiente cuadro muestra la posición de los números 321 y 921.004:

CM DM UM C D U3 2 1

9 2 1 0 0 4

Si analizamos los números que se encuentran en la tabla, vemos que en el número 321, el 3 se encuentra ubicado en las centenas, el 2 en las decenas y el 1 en las unidades, por lo que el valor relativo de éstos será 300, 20 y 1, ya que el 3 se encuentra ubicado en las centenas (su valor relativo es 3*100), el 2 se encuentra en las decenas (su valor relativo es 2*10) y el 1 en las unidades (su valor relativo es 1*1).

Al igual que con el número anterior, podemos analizar el número 921.004, donde el 9 se encuentra ubicado en la posición de las centenas de mil y su valor relativo es 900.000

(9*100.000), el 2 se encuentra en la posición de las decenas de mil y su valor relativo es 20.000 (2*10.000), el 1 en la posición de las unidades de mil y su valor relativo es 1.000 (1*1.000) y el 4 se encuentra en la posición de las unidades, por lo que su valor relativo será 4 (4*1).

Como podemos ver, el valor de un número es la suma de los productos de las cifras por el valor de posición que tiene, tal como lo hicimos con los números anteriores

El ejercicio que realizamos anteriormente, junto con lo que indica el cuadro de texto, nos sirve para componer y descomponer números. Veamos:

Para componer un número, se nos deben dar los dígitos que lo forman y el valor posicional de éstos. Así por ejemplo, si alguien nos pide construir un número en donde el 9 se encuentre ubicado en las decenas de mil, lo ubicaremos en la posición de las centenas de mil, tal como indica el cuadro de texto, y su valor relativo será de 9*10.000, es decir, 90.000.CM DM UM C D U

9

Ahora bien, si se nos pide descomponer un número, por ejemplo, el que se muestra a continuación:

CM DM UM C D U1 5 9 9 9 0

Lo que nosotros debemos hacer es multiplicar cada dígito por su valor posicional, obteniendo con ello su valor relativo.

Así tenemos que el valor relativo de 1 será la multiplicación de éste por su valor posicional 1*100.000 = 100.000, del 5 será 5*10.000 = 50.000, de 9 que se encuentra ubicado en las Unidades de Mil será 9*1.000 = 9.000, del 9 ubicado en las Centenas, será 9*100 = 900, del 9 ubicado en las Decenas será 9*10 = 90 y del 0 ubicado en las Unidades será 0*1 = 0.

CM DM UM C D U1 0 0 0 0 0

5 0 0 0 09 0 0 0

9 0 09 0

01 5 9 9 9 0