parábolas · 2020. 3. 26. · parábolas – representación cuando no hay puntos de corte con el...
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Parábolas
Son de la forma y=ax2+bx+c
Las parábolas son la representación gráfica de las ecuaciones de segundo grado.
En la imagen tenéis la parábola y=x²
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Parábolas
Una parábola puede tener sus ramas hacia arriba. Eso es porque el coeficiente que acompaña a x², que es a, es positivo
y=ax2+bx+c
a>0
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Parábolas
Una parábola puede tener también sus ramas hacia abajo. Eso es porque el coeficiente que acompaña a x², que es a, es negativo
y=ax2+bx+c
a
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Parábolas - Vértice
Si la parábola tiene sus ramas hacia abajo, entonces tiene un máximo, que es a la vez relativo y absoluto.
y=ax2+bx+c
Si la parábola tiene sus ramas hacia arriba, entonces tiene un mínimo, que es a la vez relativo y absoluto.
Ese punto se llama
VÉRTICE
Las parábolas son siempre CONTINUAS.Su dominio es el conjunto de los números reales ℝ
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Parábolas - Vértice y=ax2+bx+cEl vértice es un punto del plano y, por tanto, tiene dos coordenadas.
v x=−b2a
Su coordenada en x se calcula aplicando la fórmula:
La coordenada en y se calcula sustituyendo el valor que se obtiene en la fórmula anterior en la ecuación de la parábola
v y=a· vx2+b·v x+c
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Parábolas - Vértice y=ax2+bx+cEjemplo: Vamos a calcular el vértice de la parábola
v x=5
2 ·1=5
2
Su coordenada en x se calcula aplicando la fórmula:
La coordenada en y se calcula sustituyendo el valor que se obtiene en la fórmula anterior en las “x” ecuación de la parábola.
v y=52
2
−5 · 52+6=25
4−25
2+6
y=x2−5 x+6
254
−504
+ 244
=−504
+ 494
=−14
=
=
v x=−b2a
ATENCIÓN: -b significa que al coeficiente b le cambiamos el signo según está en la ecuación de la parábola.
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Parábolas - Vértice y=ax2+bx+cLuego las coordenadas del vértice son
(52,−1
4)
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Parábolas – Puntos de corteUna parábola puede cortar al eje X en dos, uno, o ningún punto
y=ax2+bx+c
Dos puntos de corte Un punto de corte No corta al eje X
En este caso, la parábola se puede escribir como identidad notable
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Parábolas – Puntos de cortePara calcular los puntos de corte con el eje X resolvemos la ecuación de segundo grado asociada a la parábola:
y=ax2+bx+c
Parábola: y=x2−5 x+6 Ecuación: x2−5 x+6=0
Recuerda la fórmula para obtener las soluciones de una ecuación de segundo grado:
En nuestro ejemplo, los puntos de corte con el eje X son:
x=5±√(−5)2−4 ·1 ·6
2=5±√25−24
2=5±√1
25±1
2
x=2
x=3
¡¡¡RECUERDA!!!: Los puntos de corte con el eje x tienen la coordenada y=0.
PC1(2,0)
PC2(3,0)
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Parábolas – Puntos de corte y=ax2+bx+cParábola: y=x2−5 x+6 Ecuación: x2−5 x+6=0
En nuestro ejemplo, los puntos de corte con eje X son:
x=5±√(−5)2−4 ·1 ·6
2=5±√25−24
2=5±√1
25±1
2
x=2
x=3
PC1(2,0)
PC2(3,0)
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Parábolas - RepresentaciónPara representar una parábola, debemos conocer tres puntos. Si conocemos el vértice y los puntos de corte con el eje X ya la podemos trazar
y=ax2+bx+c
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Parábolas - RepresentaciónPara representar una parábola, debemos conocer tres puntos. Si conocemos el vértice y los puntos de corte con el eje X ya la podemos trazar
y=ax2+bx+c
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Parábolas - RepresentaciónSi no podemos encontrar los puntos de corte con el eje X, o sólo hay uno, tomaremos un valor a izquierda y derecha del vértice. Veamos un ejemplo:
y=ax2+bx+c
y=x2+2 x+2
Calculemos el vértice. Recuerda que siempre existe.
v x=−b2a
v x=−22 ·1
=−1
v y=(−1)2+2 ·(−1)+2=1−2+2=1
Luego el vértice es (-1,1)
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Parábolas – Representación
Para calcular los puntos de corte con el eje X resolvemos la ecuación de segundo grado asociada a la parábola:
y=ax2+bx+c
Parábola: y=x2+2 x+2 Ecuación: x2+2 x+2=0
Recuerda la fórmula para obtener las soluciones de una ecuación de segundo grado:
Calculemos los puntos de corte con el eje X:
x=−2±√(2)2−4 ·1 ·2
2=−2±√4−8
2=5±√−4
2=∄
¡¡¡No hay puntos de corte!!! La ecuación de segundo grado no tiene solución
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Parábolas – Representación
Cuando no hay puntos de corte con el eje X, tomamos un valor a izquierda y derecha de la coordenada en x del vértice:
y=ax2+bx+c
Parábola: y=x2+2 x+2Vértice: (-1,1) Coordenada en x del vértice = -1
Valor a la izquierda x=-3
Valor a la derecha x=1
X Y
-3
1
Calculamos el valor de y para los de x dados sustituyendo en la ecuación de la parábola
12+2 ·1+2=1+2+2=5
(−3)2+2 ·(−3)+2=9−6+2=5NOTA: Si tomamos valores a la misma distancia de la coordenada x del vértice, obtenemos el mismo valor de y. Eso es porque las parábolas son simétricas.
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Parábolas – Representación
Con todo lo anterior, ya tenemos 3 puntos para representar la parábola:
y=ax2+bx+c
Parábola: y=x2+2 x+2
X Y-1 1
-3 5
1 4
Diapositiva 1Diapositiva 2Diapositiva 3Diapositiva 4Diapositiva 5Diapositiva 6Diapositiva 7Diapositiva 8Diapositiva 9Diapositiva 10Diapositiva 11Diapositiva 12Diapositiva 13Diapositiva 14Diapositiva 15Diapositiva 16