pandeo en columnas - resistencia de materiales

7/26/2019 PANDEO EN COLUMNAS - RESISTENCIA DE MATERIALES

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“AÑO DE LA CONSOLIDACIÓN DEL MAR DE GRAU”

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE CHOTA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

TEMAS

1. ESFUERZOS COMBINADOS

2. COLUMNAS

Alumno

Campos Quispe, Ale Neise!

Profeor

I"#. Luis Sil$a %a!!illo

C!o"# $ Per%

&'()



INTRODUCCIÓN

El &esa!!ollo &e es'e '!a(a)o es'* (asa&o e" 'emas &e i"'e!+s pa!a el es'u&io

&e la !esis'e"ia &e ma'e!iales, 'oma"&o omo (ase los es-ue!os / las

&e-o!maio"es pa!a su a"*lisis, es'os so" (*sios pa!a el e"'e"&imie"'o &e los

'emas a '!a'a!.

La om(i"ai0" &e es-ue!os es al#o ue los i"#e"ie!os &e(e" &e

e"-!e"'a! al mome"'o &e &isea! u" eleme"'o es'!u'u!al &e(i&o a su

#eome'!3a / a su apliai0", o" &i-e!e"'es o"e"'!aio"es &e es-ue!os, /

&e(i&o a es'a i"4"i&a& &e posi(les o"e"'!aio"es &e es-ue!os u o'!as

a!a'e!3s'ias es &e $i'al impo!'a"ia o"oe! / e"'e"&e! los o"ep'os

(*sios &e los ue so" los es-ue!os om(i"a&os.

5e!o e" es'a oasi0" 'am(i+" se es'u&ia!a el 'ema &e olum"as /a ue es'as

so" -!eue"'eme"'e usa&as pa!a sopo!'a! $i#as o a!os so(!e los uales las

pa!'es supe!io!es &e las pa!e&es o 'e6os &esa"sa" po! lo 'a"'o e" el

p!ese"'e '!a(a)o a(o!&a!emos la lasi4ai0" / m+'o&os pa!a &ime"sio"a! u"a

olum"a, omo sa(emos es'e eleme"'o es'!u'u!al umple u" !ol -u"&ame"'al

e" e&i4aio"es, es po! eso ue es'e mo&es'o '!a(a)o $a e$oa&o pa!a

&i-u"&i! al#u"os o"ep'os / me'o&olo#3a &e &esa!!ollo &e los mismos.



O*+ETIVOS

• I"$es'i#a! la 'eo!3a &e Es-ue!os Com(i"a&os / a"alia! la i"'e!ai0" &e

es-ue!os al om(i"a!se e"'!e s3 al se! aplia&o a eleme"'os

es'!u'u!ales

• A"alia! la ma"e!a e" ue se !elaio"a" los es-ue!os po! a!#a aial,

po! a!#a &e 'o!si0" / po! a!#a &e 7ei0" ua"&o a'8a"

o")u"'ame"'e, pa!a &e'e!mi"a! el es-ue!o "e'o

• I"$es'i#a! la 'eo!3a &e olum"as pa!a "oso'!os po&e! &isea! eleme"'os

es'!u'u!ales ue sopo!'e" las &i-e!e"'es a!#as si" lle#a! al pu"'o &e

pa"&eo.



CAPITULO I

ESFUER,OS COM*INADOS

Los es-ue!os om(i"a&os !ep!ese"'a" la suma o om(i"ai0" &e $a!ios

es-ue!os ue so" aplia&os a u" eleme"'o sie"&o es'os es-ue!os &e a!#a

aial, es-ue!o po! a!#a &e 7ei0" o es-ue!o po! a!#a &e 'o!si0". Su

&e'e!mi"ai0" es &e mu6a u'ili&a& e" 'o&as las !amas &e la i"#e"ie!3a, /a

ue po! lo #e"e!al los eleme"'os a"alia&os "o es'*" some'i&os a u" solo 'ipo

&e es-ue!o, si "o, m*s (ie" a la i"'e!ai0" &e $a!ios es-ue!os &e ma"e!a

simul'*"ea. %am(i+" es u" m+'o&o pa!a seleio"a! / &ime"sio"a! el ma'e!ial

a&eua&o e" u" p!oeso &e o"s'!ui0"

Los eleme"'os &e u"a es'!u'u!a &e(e" &e sopo!'a!, a&em*s &e su p!opio

peso, o'!as -ue!as / a!#as e'e!io!es ue a'8a" so(!e ellos. Es'o oasio"a la

apa!ii0" &e &i-e!e"'es 'ipos &e es-ue!os e" los eleme"'os es'!u'u!ales,

es-ue!os &e '!ai0", omp!esi0", 7ei0", o!'a"'e / 'o!si0".

5e!o e" es'a oasi0" se es'u&ia!a los '!es 'ipos (*sios &e a!#as ue so"9

aiales, &e 'o!si0" / &e 7ei0", / su a'uai0" o")u"'ame"'e &e &os o m*s

om(i"aio"es posi(les &e esos es-ue!os.

(-(- COM*INACIÓN DE ESFUER,OS A.IALES / POR FLE.IÓN

La $i#a simpleme"'e apo/a&a &e la 4#u!a :;1a sopo!'a u"a a!#a

o"e"'!a&a Q. Supo"#amos ue la $i#a es'* u"i&a a los apo/os e" el

e"'!o &e #!a$e&a& &e la seio"es e'!emas. E" el pu"'o A, el es-ue!o

"o!mal &e 7ei0" es f < My/I. Es U"a 'e"si0" &i!i#i&a pe!pe"&iula!me"'e

al pla"o &e la sei0" !e'a, omo se i"&ia e" la 4#u!a, / la -ue!a ue

a'8a so(!e u" eleme"'o &i-e!e"ial &e *!ea A es f dA.

Si la misma $i#a apo/a&a e" la misma -o!ma se some'e solame"'e a la

ai0" &e u"a -ue!a aial 5 =Fi#. :;1(> los es-ue!os aiales se &is'!i(u/e"

u"i-o!meme"'e so(!e ualuie! sei0" '!a"s$e!sal =Se. 1;?>. Su $alo! es



a < 5@A / 'am(i+" es u"a 'e"si0" pe!pe"&iula! a la sei0" !e'a. La

-ue!a ue a'8a e" el mismo eleme"'o A es a dA.

Si am(as a!#as a'8a" simul'*"eame"'e e" la $i#a =Fi#. :;1> el es-ue!o

!esul'a"'e e" A se o('ie"e omo supe!posii0" &e los &os e-e'os aisla&os.

E" e-e'o, la -ue!a !esul'a"'e ue a'8a so(!e el eleme"'o &i-e!e"ial A es

el $e'o! suma &e las &os -ue!as oaiales a dA. f dA. Di$i&ie"&o es'a

-ue!a e"'!e el *!ea &A se &e&ue el es-ue!o !esul'a"'e < a f &i!i#i&o

pe!pe"&iula!me"'e a la sei0" !e'a.

A"*lo#ame"'e, e" u" pu"'o B &e la misma sei0", 'am(i+" a &is'a"ia /

&e la l3"ea "eu'!a, pe!o po! e"ima &e ella, el es-ue!o !esul'a"'e es

la &i-e!e"ia e"'!e los es-ue!os aial / po! 7ei0". Si a los es-ue!os &e

'e"si0" se les &a si#"o posi'i$o / a los &e omp!esi0", "e#a'i$os, el



es-ue!o !esul'a"'e e" u" pu'o ualuie!a &e la $i#a &a&o po! la suma

al#e(!aia &e los es-ue!os aial / &e 7ei0" e" auel pu"'o9

O (ie",

O(s+!$ese ue el es-ue!o aial pue&e se! &e 'e"si0" o &e omp!esi0".

Es'e es el mo'i$o &e po"e! los si#"os posi'i$o / "e#a'i$o &ela"'e &e 5@A, /

el !o&ea!los o" u" 3!ulo es pa!a !eo!&a! ue el es-ue!o aial es

u"i-o!me e" 'o&a la sei0" !e'a.

E" la euai0" =:;1> se 6a aplia&o el m+'o&o &e supe!posii0". A6o!a(ie", 6a/ ue 'e"e! e" ue"'a la mo&i4ai0" ue la a!#a aial pue&e

i"'!o&ui! e" el mome"'o 7eio"a"'e, omo se ala!a a o"'i"uai0". La

4#u!a :;2 mues'!a, mu/ ea#e!a&ame"'e, la 7ei0" p!o&ui&a po! u"a

a!#a '!a"s$e!sal Q e" u"a $i#a. Si 5 es &e 'e"si0", omo e" la 4#u!a :;2a,

el mome"'o 7eio"a"'e p!o&ui&o po! 5 e" ualuie! sei0", / ue $ale

, 'ie"&e a &ismi"ui! el mome"'o 7eio"a"'e p!o&ui&o po! Q /, po! 'a"'o,

!e&ue los es-ue!os po! 7ei0", / al o"'!a!io ou!!e si se '!a'a &e u"a

omp!esi0" aial. E" o'!as pala(!as, los $alo!es &a&os po! la euai0" =:;1>

so" al#o ma/o!es ue los !eales si 5 es &e 'e"si0", / me"o!es ue los

!eales si 5 es u"a omp!esi0". Es'e e-e'o es &esp!eia(le e" mu6as

oasio"es si las (a!!as o eleme"'os &e la es'!u'u!a so" 'a" !3#i&os ue

los es-ue!os p!o&ui&os po! 5 so" mu/ peueos -!e"'e a los p!o&ui&os

po! el mome"'o 7eio"a"'e &e las -ue!as '!a"s$e!sales Q, es &ei!, si las

&e7eio"es so" mu/ peueas. 5e!o si las (a!!as so" la!#as / 7ei(les,

el e-e'o pue&e 'e"e! su impo!'a"ia / &e(e" emplea!se o'!os

p!oe&imie"'os m*s ea'os &e *lulo.



(-&- N0CLEO CENTRAL DE UNA SECCIÓN- CARGAS APLICADAS FUERA DE

LOS E+ES DE SIMETRÍA

U" aso pa!'iula! &e es-ue!os aiales / &e 7ei0" om(i"a&os es el ue

!ep!ese"'a la 4#u!a :;a e" la ue u" pu"'al &e peuea lo"#i'u& sopo!'a

u"a a!#a 5 aplia&a o" u"a ie!'a ee"'!ii&a& o" !espe'o a u"o &e

los e)es p!i"ipales &e la sei0". La supe!posii0" &e u" sis'ema "ulo, &os

-ue!as i#uales / opues'as / &el mismo m0&ulo ue 5, aplia&as e" el

e"'!o &e #!a$e&a& &e la sei0", &a lu#a! al sis'ema eui$ale"'e i"&ia&o

e" la 4#u!a :;(. Los es-ue!os e" u"a sei0" ualuie!a m;" so" el

!esul'a&o &e la supe!posii0" &el es-ue!o aial a < P/A &e omp!esi0",

ue apa!ee e" la 4#u!a :;, / &el es-ue!o po! 7ei0" f < Mc/I < (Pe)/I

ue se $e e" la 4#u!a :;&. Si el es-ue!o po! 7ei0" m*imo es ma/o!

ue el es-ue!o aial, el es-ue!o !esul'a"'e 'ie"e la -o!ma &e la 4#u!a :;

e. El pu"'o &e es-ue!o "ulo es la



"ue$a posii0" &e la l3"ea "eu'!a / se e"ue"'!a -*ilme"'e 6alla"&o la&is'a"ia a la ue el es-ue!o po! 7ei0" =posi'i$o> es i#ual al es-ue!o

aial ="e#a'i$o>. 5o! 'a"'o,

E" &o"&e,

Es e$i&e"'e ue si el es-ue!o aial &e omp!esi0" es i#ual o ma/o! ue el

m*imo es-ue!o &e 7ei0", "o eis'i!* o"a al#u"a ue '!a(a)e a 'e"si0".

5a!a o"se#ui! es'o e" u"a sei0" !e'a"#ula! &e a"6o b / al'u!a h o" P

aplia&a o" u"a ee"'!ii&a& e =so(!e la al'u!a h, 4#u!a :;> se 6a &e

'e"e!9



E" es'as o"&iio"es, la ee"'!ii&a& m*ima pa!o "o 'e"e! 'e"si0"es9

Es'a -0!mula es el -u"&ame"'o &e la !e#la usual e" &iseo &e o(!as &e

la&!illo o &e o'!os ma'e!iales mu/ poo !esis'e"'es a 'e"si0", &e ue la

!esul'a"'e &e las a!#as &e(e pasa! po! el 'e!io e"'!al &e la sei0".

Co"si&e!emos a6o!a el aso #e"e!al e" el ue la a!#a P se aplia e" u"

pu"'o a!(i'!a!io &e u"a sei0" ualuie!a, sie"&o sus oo!&e"a&as e x / e y

o" !espe'o a los e)es p!i"ipales &e la sei0", omo i"&ia la 4#u!a :;.

Los mome"'os &e P o" !espe'o a los e)es / so", !espe'i$ame"'e, 5e /

/ Pe x . 5o! supe!posii0", el es-ue!o e" u" pu"'o ualuie!a =, /> &e la

sei0" $ie"e &a&o po!9

5a!a &e'e!mi"a! la l3"ea "eu'!a, o l3"ea &e es-ue!o "ulo, se !esuel$e la

euai0" < G. %e"ie"&o e" ue"'a ue , sie"&o !/ / !

los !a&ios &e #i!o !espe'o &e los e)es / , se 'ie"e9



Que es la euai0" &e u"a !e'a u/as i"'e!seio"es o" los e)es

=o!&e"a&a / a(sisa e" el o!i#e"> se o('ie"e" a"ula"&o / pa!a o('e"e! u, /

lue#o pa!a o('e"e! $, e" la euai0" (a). Se 'ie"e9

Quie!e es'o &ei! ue E.N. pasa po! el ua&!a"'e opues'o auel a&o"&e

a'8a 5 /, e" #e"e!al, "o es pe!pe"&iula! a la &i!ei0" O5. 5o! e)emplo,

e" la 4#u!a :;H( se !ep!ese"'a la &is'!i(ui0" &e es-ue!os e" u"a

sei0" !e'a"#ula! ua"&o la -ue!a 5 se aplia e" u" pu"'o -ue!a &e

los e)es p!i"ipales =Fi#. :;Ha>. Si se alula" los es-ue!os e" A, B / C, la

i"'e!sei0" &e la l3"ea "eu'!a o" AB / o" BC se alula po! seme)a"a

&e '!i*"#ulos. O(s+!$ese ue la i"'e!sei0" pue&e es'a! e" las

p!olo"#aio"es =Fi#. :;H>.

amos a &e'e!mi"a! a6o!a las oo!&e"a&as e / e/ &e la a!#a P pa!a las

ue la l3"ea "eu'!a pase po! u"a esui"a B, omo e" la 4#u!a :;H.

Sus'i'u/e"&o < G, x < -h/2, / y < -b/2 e" la euai0" =:;J> !esul'a9



Simpli4a"&o,

Que es la euai0" &e la !e'a m-n &e la 4#u!a :;H&, ue o!'a a los e)es X

/ Y e" h K 6 / b K 6, !espe'i$ame"'e. Es'a l3"ea es el lu#a! #eom+'!io &e los

pu"'os &e apliai0" &e 5 ue p!o&ue" e" es-ue!o "ulo e" B.

A"*lo#ame"'e, la !e'a m1"1 es el lu#a! #eom+'!io &e los pu"'os e" los

ue P, se p!o&ue u" es-ue!o "ulo e" C. Co"'i"ua"&o el p!oe&imie"'o, es

e$i&e"'e ue "i"#8" pu"'o &e la sei0" po&!* es'a! some'i&o a 'e"si0" sila a!#a se aplia &e"'!o o e" el (o!&e &el !om(o !a/a&o &e la 4#u!a, /a

ue la l3"ea "eu'!a pasa!* o -ue!a &e la sei0", o po! u"a esui"a,

o po! u" (o!&e !e'il3"eo. Es'a o"a &e la sei0" se llama "8leo &e la

misma

Se &emues'!a &e -o!ma a"*lo#a ue el "8leo &e u"a sei0" i!ula! es

o'!o 3!ulo &e &i*me'!o i#ual a un cuart de! d"#metr de !a $ecc"%n.

(-1- VARIACIÓN DEL ESFUER,O CON LA ORIENTACIÓN DEL ELEMENTO

La ma#"i'u& / el 'ipo &e es-ue!o &epe"&e" &e la o!ie"'ai0" o i"li"ai0"

&el eleme"'o a o"si&e!a!. Como se pue&e $e! e" la 4#u!a :;:a, se 'ie"e

u" s0li&o some'i&o a la ai0" &e -ue!as &e euili(!io, e" el ual se 6ae"

pasa! po! el mismo pu"'o &os seio"es &e eplo!ai0" a;a / (;(, &o"&e a;

a es pe!pe"&iula! a la &i!ei0" &e la !esul'a"'e R &e 51 / 52, omo se

i"&ia e" la 4#u!a :;:(, / (;( es'a i"li"a&a o" !espe'o a la !esul'a"'e R,

omo se pue&e $e! e" la 4#u!a :;:. El eleme"'o !a/a&o &e la 4#u!a :;:(

es'* some'i&o 8"iame"'e a es-ue!o "o!mal, pe!o el eleme"'o e" el

mismo pu"'o ue es'* e" la 4#u!a :;:, es'* some'i&o a es-ue!os

"o!mal / o!'a"'e, p!o&ui&os po! N / %, !espe'i$ame"'e. E"'o"es

se pue&e o(se!$a! ue pa!a u" mismo pu"'o &e u" s0li&o ue es'*

some'i&o a u" es'a&o &e es-ue!os =u(ia&os e" la i"'e!sei0" &e a;a / (;

(>, los es-ue!os $a!3a" se#8" la &i!ei0" u o!ie"'ai0" &el eleme"'o

&i-e!e"ial ue se o"si&e!e e" &i6o pu"'o.



E" las seio"es si#uie"'es se es'u&ia 0mo $a!3a" los es-ue!os o" la

o!ie"'ai0" &el eleme"'o. Es'o es mu/ impo!'a"'e / lo ue se pe!si#ue es

&e'e!mi"a! e" u+ pla"os se !ep!ese"'a" los es-ue!os m*imos / alula!

sus $alo!es.

E" -o!ma #e"e!al, se 6ae imposi(le 6alla! &i!e'ame"'e los $alo!es &e los

es-ue!os e" u" pla"o ue 'e"#a u"a &i!ei0" ualuie!a. 5o! e)emplo e"

el aso &e $i#as, o" la -0!mula &e 7ei0" se pue&e" &e'e!mi"a! los

$alo!es &el es-ue!o "o!mal ue apa!ee" e" el pla"o pe!pe"&iula! al e)e

&e la $i#a. %am(i+" se pue&e alula! el es-ue!o o!'a"'e e" es'os &os

pla"os. E" el aso &e 'o!si0", o" su o!!espo"&ie"'e -o!mula se o('ie"e el

$alo! &el es-ue!o o!'a"'e e" pla"os pe!pe"&iula!es al e)e &e la (a!!a.

E"'o"es ua"&o u"a (a!!a es'* some'i&a simul'*"eame"'e a 7ei0" / a

'o!si0", omo se mues'!a e" la 4#u!a :;1G, se alula" los es-ue!os

o!!espo"&ie"'es a am(os 'ipos &e es-ue!o, pe!o solame"'e si los

eleme"'os es'*" o!ie"'a&os omo se pue&e $e! e" es'a 4#u!a. 5e!o eis'i!*

u"a &e'e!mi"a&a posii0" u o!ie"'ai0" e" &o"&e el es-ue!o "o!mal se!*

m*imo, omo lo i"&ia la 4#u!a :;:. Eis'e" &os m+'o&os pa!a &e'e!mi"a!



es'a posii0" u o!ie"'ai0" &el eleme"'o, / &el $alo! &el es-ue!o "o!mal

ua"&o es m*imo. Los uales so"9 el a"al3'io usa"&o ep!esio"es

ma'em*'ias, / el o'!o m+'o&o es el #!a4o u'ilia"&o el 3!ulo &e Mo6!.

(-2- ESFUER,O EN UN PUNTO

El es-ue!o e" u" pu"'o &e4"e el es-ue!o me&io u"i-o!meme"'e

&is'!i(ui&o so(!e u" eleme"'o &i-e!e"ial &e *!ea. E" la 4#u!a :;11 se

mues'!a el es-ue!o "o!mal e" la &i!ei0" ue eis'e e" u" pu"'o &e

oo!&e"a&as ,/, el ual es el es-ue!o u"i-o!me ue a'8a so(!e el *!ea

&i-e!e"ial &/&.

Cua"&o el es-ue!o e" u" pu"'o se &e4"e po! las ompo"e"'es ue a'8a"

e" $a!ias &i!eio"es e" el espaio, se pue&e !ep!ese"'a! po! los es-ue!os

ue a'8a" so(!e u" eleme"'o &i-e!e"ial &e $olume" ue !o&ee el pu"'o

o"si&e!a&o. 5o! e)emplo , / / / los es-ue!os e" u" pu"'o. E" la 4#u!a

:;12 se mues'!a las ompo"e"'es &el es-ue!o p!ese"'es e" u" eleme"'o

&i-e!e"ial.

E" es'a sei0", solo se o"si&e!a el es'a&o pla"o o (i&ime"sio"al &e

es-ue!os, e" el ue los es-ue!os a'8a" pa!alelame"'e a u" pla"o, 'al



omo el . E" u" es'a&o '!i&ime"sio"al &e es-ue!os la a!a Z &e u"

eleme"'o ue&a some'i&a a la ai0" &e u" es-ue!o "o!mal , as3 omo

los es-ue!os o!'a"'es / / ue se p!o&ue" e" las a!as / ,

!espe'i$ame"'e, los es-ue!os / / so" "um+!iame"'e i#uales.

E+ERCICIOS RESUELTOS

Pro3lem# N4 '(



Pro3lem# N4 '&



Pro3lem# N4 '1

Calula! los es-ue!os m*imos / loalia! el e)e "eu'!o e" la $i#a e" $ola&io

&e JGmm 1GGmm omo se i"&ia e" la 4#u!a ;2Solui0"

El es-ue!o m*imo ou!!i!* e" el e'!emo empo'!a&o, pues e" ese lu#a! el

mome"'o 7eio"a"'e es m*imo. La a!#a &e 7ei0" &e la 4#u!a ;2 =>

p!o&ue es-ue!os &e 'e"si0" e" las 4(!as supe!io!es / es-ue!os &e



omp!esi0" e" las 4(!as i"-e!io!es. La a!#a aial &e la 4#u!a ;2 =(> p!o&ue

es-ue!os &e 'e"si0" e" 'o&as las 4(!as. E"'o"es9

Lue#o9

CAPITULO II

COLUMNAS

U"a olum"a es u" eleme"'o aial some'i&o a omp!esi0", lo (as'a"'e

&el#a&o !espe'o su lo"#i'u&, pa!a ue a(a)o la ai0" &e u"a a!#a

#!a&ualme"'e !eie"'e se !ompa po! 7ei0" la'e!al o pa"&eo a"'e u"a a!#a

mu6o me"os ue la "eesa!ia pa!a !ompe!lo po! aplas'amie"'o. Es'o se

&i-e!e"ia &e u" pos'e o!'o se"'i&o a omp!esi0", el ual, au"ue es'+

a!#a&o e+"'!iame"'e, epe!ime"'a u"a 7ei0" la'e!al &esp!eia(le.

Au"ue "o eis'e u"a limi'a pe!-e'ame"'e es'a(lei&o e"'!e eleme"'o o!'o /



olum"a, se suele o"si&e!a! ue u" eleme"'o a omp!esi0" es u"a olum"a

si su lo"#i'u& es m*s &e &ie $ees su &ime"si0" '!a"s$e!sal me"o!.

U"a olum"a es u" eleme"'o aial some'i&o a omp!esi0", lo (as'a"'e

&el#a&o !espe'o su lo"#i'u&, pa!a ue a(a)o la ai0" &e u"a a!#a

#!a&ualme"'e !eie"'e se !ompa po! 7ei0" la'e!al o pa"&eo a"'e u"a a!#a

mu6o me"os ue la "eesa!ia pa!a !ompe!lo po! aplas'amie"'o. Las

olum"as suele" &i$i&i!se e" &os #!upos9 &ar'a$ e Intermed"a$. A $ees, los

eleme"'os o!'os a omp!esi0" se o"si&e!a" omo u" 'e!e! #!upo &e

olum"as. Las &i-e!e"ias e"'!e los '!es #!upos $ie"e" &e'e!mi"a&as po! su

ompo!'amie"'o. Las olum"as la!#as !e !ompe" po! pa"&eo o 7ei0" la'e!al

las i"'e!me&ias, po! om(i"ai0" &e es-ue!as, aplas'amie"'o / pa"&eo, / los

pos'es o!'os, po! aplas'amie"'o.

U"a olum"a i&eal es u" eleme"'o 6omo#+"eo, &e sei0" !e'a o"s'a"'e,

i"iialme"'e pe!pe"&iula! al e)e, / some'i&o a omp!esi0". Si" em(a!#o, las

olum"as suele" 'e"e! siemp!e peueas impe!-eio"es &e ma'e!ial / &e

-a(!iai0", as3 omo u"a i"e$i'a(le ee"'!ii&a& ai&e"'al e" la apliai0"

&e la a!#a. %o&o es'o se !ep!ese"'a mu/ ea#e!a&ame"'e e" la 4#u!a 11;1.

La u!$a'u!a i"iial &e la olum"a, )u"'o o" la posii0" &e la a!#a, &a" lu#a!a u"a ee"'!ii&a& i"&e'e!mi"a&a e, o" !espe'o al e"'!o &e #!a$e&a&, e"

u"a sei0" ualuie!a m - n. El es'a&o &e a!#a e" es'a sei0" es simila! al

&e u" pos'e o!'o a!#a&o e+"'!iame"'e, / el es-ue!o !esul'a"'e es'*

p!o&ui&o po! la supe!posii0" &el es-ue!o &i!e'o &e omp!esi0" / el

es-ue!o &e 7ei0" =o me)o! &i6o, po! 7ei0">.



Si la ee"'!ii&a& es peuea / el eleme"'o es o!'o, la 7ei0" la'e!al es

&esp!eia(le, / el es-ue!o &e 7ei0" es i"si#"i4a"'e ompa!a&o o" el

es-ue!o &e omp!esi0" &i!e'o. Si" em(a!#o, e" u" eleme"'o la!#o, ue es

mu6o m*s 7ei(le /a ue las 7eio"es so" p!opo!io"ales al u(o &e la

lo"#i'u&, o" u" $alo! !ela'i$ame"'e peueo &e la a!#a 5 pue&e p!o&ui!se

u" es-ue!o &e 7ei0" #!a"&e, aompaa&o &e u" es-ue!o &i!e'o &e

omp!esi0" &esp!eia(le. As3, pues, e" las &os si'uaio"es e'!emas, u"a

olum"a o!'a sopo!'a -u"&ame"'alme"'e el es-ue!o &i!e'o &e omp!esi0", /

u"a olum"a la!#a es'* some'i&a p!i"ipalme"'e al es-ue!o &e 7ei0".

Cua"&o aume"'a la lo"#i'u& &e u"a olum"a &ismi"u/e la impo!'a"ia /

e-e'os &el es-ue!o &i!e'o &e omp!esi0" / aume"'a o!!ela'i$ame"'e las &el

es-ue!o &e 7ei0". 5o! &es#!aia, e" la o"a i"'e!me&ia "o es posi(le

&e'e!mi"a! ea'ame"'e la -o!ma e" ue $a!3a" es'os &os 'ipos &e es-ue!os, o

la p!opo!i0" o" la ue a&a u"a o"'!i(u/e al es-ue!o 'o'al. Es es'a

i"&e'e!mi"ai0" la ue &a lu#a! a la #!a" $a!ie&a& &e -0!mulas pa!a las

olum"as i"'e!me&ias.

No se 6a &a&o, 6as'a au3, !i'e!io al#u"o &e &i-e!e"iai0" e"'!e olum"as

la!#as e i"'e!me&ias, eep'o e" su -o!ma &e '!a(a)a!, es &ei!, la olum"a

la!#a es'* some'i&a ese"ialme"'e a es-ue!os &e 7ei0" / la i"'e!me&ia lo



es'* a es-ue!os &e 7ei0" / omp!esi0" &i!e'a. La &is'!i(ui0" e"'!e am(os

'ipos &e aue!&o o" su lo"#i'u& s0lo pue&e omp!e"&e!se &espu+s &e 6a(e!

es'u&ia&o las olum"as la!#a

&-(- CARGA CRITICA

Colouemos $e!'ialme"'e u"a $i#a mu/ es(el'a, a!'iul+mosla e" sus

e'!emos me&ia"'e !o'ulas ue pe!mi'a" la 7ei0" e" 'o&as sus

&i!eio"es. Apliuemos u"a -ue!a 6o!io"'al e" su pu"'o me&io, &e

ma"e!a ue p!o&ua 7ei0" se#8" la &i!ei0" &e m*ima 7ei(ili&a&,

omo se i"&ia e" la 4#u!a 11;2a.

Como los es-ue!os &e 7ei0" so" p!opo!io"ales a la 7ei0", "o

epe!ime"'a!a" al#u"a si se aa&e u"a -ue!a aial P e" a&a e'!emo,

omo e" la 4#u!a 11;2(, / 6aie"&o ue &ismi"u/a simul'*"eame"'e

o" el aume"'o &e P &e ma"e!a ue la -lei0" , e" el e"'!o "o $a!3e. Es

es'as o"&iio"es, el mome"'o 7eio"a!'e e" el e"'!o es9

, e" el l3mi'e, ua"&o 6a &ismi"ui&o 6as'a a"ula!se,

E"'o"es, omo se i"&ia e" la 4#. 11;2, P! es la a!#a !3'ia "eesa!ia

pa!a ma"'e"e! la olum"a &e-o!ma&a si" empu)e la'e!al al#u"o. U"

peueo i"!eme"'o &e P so(!e es'e $alo! !3'io 6a!* ue aume"'e la



&e-lei0" , lo ue i"!eme"'a!* M, o" lo ual $ol$e!* aume"'a! / as3

suesi$ame"'e 6as'a ue la olum"a se !ompa po! pa"&eo. 5o! el

o"'!a!io, si P &ismi"u/e li#e!ame"'e po! &e(a)o &e su $alo! !3'io,

&ismi"u/e la &e7ei0", lo ue a su $e 6ae &ismi"ui! M, $uel$e a

&ismi"ui! , e'., / la olum"a 'e!mi"a po! e"&e!ea!se po! omple'o. As3,

pues, la a!#a !3'ia pue&e i"'e!p!e'a!se omo la a!#a aial m*ima a la

ue pue&e some'e!se u"a olum"a pe!ma"eie"&o !e'a, au"ue e"

euili(!io i"es'a(le, &e ma"e!a ue u" peueo empu)e la'e!al 6a#a ue

se &e-o!me / ue&e pa"&ea&a, omo e" la 4#. 11;2.

&-&- FORMULA DE EULER PARA COLUMNAS LARGAS / MU/ ES*ELTAS

E" el ao 1, el #!a" ma'em*'io suio Leo"a!&o Eule! !eali0 u"

a"*lisis 'e0!io &e la a!#a !3'ia pa!a olum"as es(el'as (asa&o e" la

euai0" &i-e!e"ial &e la el*s'ia I(d2 y/dx 2 ) < M. A6o!a se sa(e ue es'e

a"*lisis es $*li&o 6as'a ue los es-ue!os ala"a" el l3mi'e &e

p!opo!io"ali&a&. E" 'iempo &e Eule! "o se 6a(3a" es'a(lei&o los

o"ep'os &e es-ue!o, "i &e l3mi'e &e p!opo!io"ali&a&. 5o! lo ue +l "o

'u$o e" ue"'a la eis'e"ia &e u" l3mi'e supe!io! &e la a!#a !3'ia.

La 4#u!a 11;? mues'!a la l3"ea e)e &e u"a olum"a e" euili(!io (a)o laai0" &e la a!#a !3'ia P. Se supo"e ue la olum"a 'ie"e los e'!emos

a!'iula&os =me&ia"'e !0'ulas o pasa&o!es> &e ma"e!a ue "o pue&e"

'e"e! &esplaamie"'os la'e!ales. La &e-lei0" m*ima es lo

su4ie"'eme"'e peuea pa!a ue "o eis'a &i-e!e"ia ap!eia(le e"'!e la

lo"#i'u& i"iial &e la olum"a / su p!o/ei0" so(!e el e)e $e!'ial. E" es'as

o"&iio"es, la pe"&ie"'e &/@& es peuea / se pue&e aplia! la euai0"

&i-e!e"ial ap!oima&a &e la el*s'ia &e u"a $i#a9

El mome"'o M es posi'i$o e" la Fi#. 11;? al pa"&ea! la olum"a e" el

se"'i&o o"'!a!io al &el !elo), po! lo ue al se! la y "e#a'i$a, 6a &e i!

p!ee&i&a &el si#"o me"os. Si la olum"a se pa"&ea!a e" se"'i&o

o"'!a!io, es &ei!, e" la &i!ei0" &e y posi'i$a, el mome"'o se!3a

"e#a'i$o, &e aue!&o o" el !i'e!io &e si#"os a&op'a&o.



La euai0" a"'e!io! =a> "o se pue&e i"'e#!a! &i!e'ame"'e, omo se 6a3a

a"'e!io!me"'e /a ue all3 M solame"'e e!a -u"i0" &e x . Si" em(a!#o,

p!ese"'amos &os m+'o&os pa!a !esol$e!la. Co"oie"&o al#o &e &i"*mia

"os &amos ue"'a ue la euai0" a"'e!io! es seme)a"'e a la euai0" &e

u" ue!po ue $i(!a simpleme"'e9

5a!a lo ual u"a solui0" #e"e!al es9

De au3, po! a"alo#3a, la solui0" =a> $ie"e &a&a po!

Al aplia! las o"&iio"es &e -!o"'e!a pa!a < G, / / < G, lo ue &a C 2 < G

pa!a < L, / < G, &e la ue se o('ie"e



&-1- LIMITACIONES DE LA FORMULA DE EULER

U"a olum"a 'ie"e a pa"&ea!se siemp!e e" la &i!ei0" e" la ual es m*s

7ei(le. Como la !esis'e"ia a la 7ei0" $a!ia o" el mome"'o &e i"e!ia, el

$alo! &e I e" la -0!mula &e Eule! es siemp!e el me"o! mome"'o &e i"e!ia

&e la sei0" !e'a. La 'e"&e"ia al pa"&eo 'ie"e lu#a!, pues, o" !espe'o

al e)e p!i"ipal &e mome"'o &e i"e!ia m3"imo &e la sei0" !e'a.

La -0!mula &e Eule! 'am(i+" &emues'!a ue la a!#a !3'ia ue pue&e

p!o&ui! el pa"&eo "o &epe"&e &e la !esis'e"ia &el ma'e!ial, si"o &e sus

&ime"sio"es / &el m0&ulo &e el*s'io. 5o! es'e mo'i$o, &os (a!!as &e



i&+"'ias &ime"sio"es, u"a &e ae!o &e al'a !esis'e"ia / o'!a &e ae!o

sua$e, se pa"&ea!*" (a)o la misma a!#a !3'ia /a ue, au"ue sus

!esis'e"ias so" mu/ &i-e!e"'es 'ie"e" p!*'iame"'e el mismo mo&ulo

el*s'io. As3 pues, pa!a aume"'a la !esis'e"ia al pa"&eo, i"'e!esa

aume"'a! lo m*s posi(le el mome"'o &e i"e!ia &e la sei0". 5a!a u" *!ea

&a&a, el ma'e!ial &e(e &is'!i(ui!se 'a" le)os omo sea posi(le &el e"'!o &e

#!a$e&a& / &e 'al ma"e!a ue los mome"'os &e i"e!ia o" !espe'o a los

e)es p!i"ipales sea" i#uales, o lo m*s pa!ei&os posi(le =omo e" u"a

olum"a 6uea>

5a!a ue la -0!mula &e Eule! sea aplia(le, el es-ue!o ue se p!o&ua e"

el pa"&eo "o &e(e ee&e! al l3mi'e &e p!opo!io"ali&a&. 5a!a &e'e!mi"a!

es'e es-ue!o, se sus'i'u/e e" la -0!mula el mome"'o &e i"e!ia I po! A!2 ,

&o"&e A es el *!ea &e la sei0" !e'a / r es el !a&io &e #i!o m3"imo.

La a"'i&a& &/r es la !elai0" &e es(el'e &e la olum"a. Es la!o, &a&o la

a"o'ai0" &el p*!!a-o p!ee&e"'e, ue el m3"imo $alo! &el !a&io &e #i!o r

&e(e usa!se al alula! la !elai0" &e es-ue!o / el es-ue!o !3'io &e la

olum"a.

La euai0" a"'e!io! mues'!a ue el es-ue!o !3'io es p!opo!io"al al

m0&ulo &e elas'ii&a& &el ma'e!ial e i"$e!same"'e p!opo!io"al al

ua&!a&o &e la !elai0" &e es(el'e &e la olum"a.

E+ERCICIOS RESUELTOS

E5er6767o N4 '(

De'e!mi"e la i"'e"si&a& pe!misi(le m*ima &e la a!#a &is'!i(ui&a ue

pue&e aplia!se al eleme"'o BC si" ausa! ue el eleme"'o AB se pa"&ee.Supo"#a ue AB es &e ae!o / es'a a!'uula&o e" sus e'!emos pa!a el pa"&eo

&el e)e P / 4)o e" sus e'!emos pa!a el pa"&eo &el e)e / P /. use u" -a'o!

&e se#u!i&a& o" !espe'o al pa"&eo &e ?. Ea < 2GG5a, / < ?GM5a



Soluio"

E)e / P /

E)e P

Lue#o9

E5er6767o N4 '&

La olum"a 12H &e ae!o A;? 'ie"e u"a lo"#i'u& &e 12 pies. Si su

e'!emo i"-e!io! se e"ue"'!a 4)o / su e'!emo supe!io! es'a li(!e, &e'e!mi"e

la ma/o! a!#a aial ue pue&e sopo!'a!. Use u" -a'o! &e se#u!i&a& o"

!espe'o al pa"&eo &e 1.



Soluio"

lue#o

E5er6767o N4 '1



5o! lo 'a"'o seleio"amos u" pe!4l 2GG?

E5er6767o N4 '2



La olum"a &e 1G pies 'ie"e las &ime"io"es mos'!a&as e" la 4#u!a,

&e'e!mi"a! la a!#a !i'ia si la pa!'e i"-e!io! es'a 4)a / la pa!'e supe!io! es'a

a!'iula&a. E < 1.1G? si, / < si.

Solui0"

Se 'ie"e ue * < G.



E5er6767o N4 '8

De'e!mi"e la ma/o! lo"#i'u& L "o apo/a&a pa!a la ual u" eleme"'o AB

a omp!esi0" S1GG11. se pue&e sopo!'a! e" -o!ma se#u!a la a!#a

+"'!ia mos'!a&a. Co"si&e!e σy < 2G Mpa / E< 2GGpa.

Si la a!#a &e G TN 6a se se! sopo!'a&a e" -o!ma se#u!a, &e(e 'e"e!se

σperm= P

A=

60 x103 N

1460 x 10−6m

2=41.1 x 10

6

5o! o'!a pa!'e, pa!a el l3mi'e &e 7ue"ia &a&o, la 9('-2&:

Cc2=

2π 2 E

σy

=2π

2(200 x109)

250 x10

6 =15.79 x10

3=125.7

Supo"ie"&o ue L@! C se usa la euai0" =1G.J?> / se es!i(e

σperm= π

2 E

1.92( Lr )2= π

2(200 x109 Pa)

1.92 x( Lr )2 =

1.028 x1012 Pa

( Lr )2

I#uala"&o es'a ep!esi0" po! al $alo! !eue!i&o &e σperm , se 'ie"e

1.028 x1012 Pa

(

L

r

)

2 =41.1 x10

6 Pa

L@!< 1H.2La 6ip0'esis so(!e L@! C es o!!e'a. Eso#ie"&o el me"o! &e los &os

!a&ios &e #i!o, !esul'a L

ry=

L

14.8 x10−3m❑=158.2

L=2.34m

CONCLUSIONES• Me&ia"'e la apliai0" &e la 'eo!3a / o"oimie"'os p!*'ios e" el

a"*lisis &e es'!u'u!as, es m*s omp!e"si(le el ompo!'amie"'o &e las

mismas (a)o a!#as sopo!'a&as.



• Co" los *lulos e)eu'a&os se o('ie"e" los es-ue!os p!i"ipales /

es-ue!os o!'a"'es e" u" pu"'o &e u"a es'!u'u!a, es'o p!opo!io"a los

eleme"'os "eesa!ios pa!a el &iseo &e las mismas, / pe!mi'e oloa!

los apo/os e" pu"'os la$e, &o"&e el es-ue!o es m*imo pa!a ue la

es'!u'u!a se ma"'e"#a es'a(le

• Se i"$es'i#0 / es'u&i0 la 'eo!3a &e olum"as / los &i-e!e"'es *lulos

ue &e(emos !ealia! pa!a "oso'!os po&e! &isea! eleme"'os

es'!u'u!ales ue sopo!'e" las &i-e!e"'es a!#as si" lle#a! al pu"'o &e

pa"&eo

REFERENCIAS *I*LIOGR;FICAS

Bee! / Vo6"s'o", Me*"ia &e ma'e!iales, 'a e&ii0" 2G1G. E&i'o!ialM!a;ill.

• i((ele!, R. C., Me*"ia &e Ma'e!iales, 'a e&ii0", M+io, 2GG.

E&i'o!ial 5EARSON EDUCACION• Vames M. e!e, Me*"ia &e Ma'e!iales, ma. E&ii0", 2GG:. Ce"#a#e

Lea!"i"# E&i'o!es, S.A &e C..• Ni6olas illems, Resis'e"ia &e ma'e!iales, 1:HH. E&i'o!ial M!a;ill.

• 5/'el ; Si"#e!, !esis'e"ia &e ma'e!iales, 1::J. E&i'o!ial meia"a.

pandeo en columnas - resistencia de materiales

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